Chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 7

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7

PAGE

PAGE 1

Bùi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh

  DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬTBài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ...  c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ...  f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ...  h) 3, 6, 10, 15, 21, ...  i) 2, 8, 20, 40, 70, ...Hướng dẫn: a) 3, 8, 15, 24, 35, ...

1.(1+2) ; 2.(2+2); 3.(3+2); 4.(4+2);………; n(n+2)

 b) 3, 24, 63, 120, 195, ...  

( 3.1-2).3.1; (3.2-2).3.2; (3.3-2).3.3 ; (3.4-2).3.4 ;……; (3n-2)3n

c) 1, 3, 6, 10, 15, ...

   1.(1+1)/2 ; 2.(2+1)/2 ; 3.(3+1)/2 ; 4.(4+1)/2 ; …..; n( n + 1)/2

d) 2, 5, 10, 17, 26, ...

; ; ; ; ; ;……..;

e) 6, 14, 24, 36, 50, ...  

1.(1+5) ; 2.(2+5) ; 3.(3+5) ; 4.(4+5) ; 5.(5+5) ;… ; n(n+5)

f) 4, 28, 70, 130, 208, ...

( 3.1-2).(3.1+1) ; ( 3.2-2).(3.2+1) ; ( 3.3-2).(3.3+1) ;…; (3n-2)(3n+1)

g) 2, 5, 9, 14, 20, ...     

1.( 1 + 3)/2 ; 2( 2 + 3)/2 ; 3( 3 + 3)/2 ; 4( 4 + 3)/2 ;…..;n( n + 3)/2 ;

h) 3, 6, 10, 15, 21, ...

(1 + 1)(1 + 2)/2 ; (2 + 1)(2 + 2)/2 ; (3 + 1)(3 + 2)/2 ;..;(n+ 1)(n + 2)/2 ;

 i) 2, 8, 20, 40, 70, ...

1( 1 +1)(1 + 2)/ 3 ; 2( 2 +1)(2 + 2)/ 3 ;……….; n( n +1)(n + 2)/ 3 ;

CÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ

Bài 2: Tính: a, A = 1+2+3+…+(n-1)+n

 Hướng dẫn: a, A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2     b, A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)      3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100     3A = 99.100.101 A = 333300Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101Hướng dẫn:  A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99     A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)     A = 333300 + 4950 = 338250Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 = (n-1)n(2n+1):6Bài 4: Tính:  A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102Hướng dẫn:     A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)     A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2     A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)     A = 333300 + 9900= 343200Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+...+19404+19800 A/2 = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 A= 666600Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+...+4851+4950

2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+...+19600+19998 2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101  A = 338250:2 = 169125Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+...+4949+5049     2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102  A = 343200:2 = 171600Bài 9: Tính:  A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)     4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 = 98.99.100.101  A = 2449755Tổng quát:     A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4Bài 10: Tính:  A = 12+22+32+...+992+1002     A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)     A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100     A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)     A = 333300 + 5050= 338050Tổng quát:  A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2     A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 = n(n+1)(2n+1):6Bài 11: Tính: A = 22+42+62+...+982+1002Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+...+492+502)Bài 12: Tính:  A = 12+32+52+...+972+992 A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002) A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+...+992-1002      A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)Bài 15: Tính:  A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101Hướng dẫn:  A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)     A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) A = (2 +4 +6 +...+98 +100 )+4(1+2+3+...+49+50)Bài17: Tính: A = 13+23+33+...+993+1003A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)  = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)Bài 20: Tính:  A = 13-23+33-43+...+993-1003

A = (13+33+53+...+973+993) -(23+43+63+...+983+1003)

Bài 21: TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4

= 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2)+.. + 98.99.100(101 - 97)

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + …

+ 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 = 24 497 550

Bài 22: TÝnh A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99

8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93)

= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + …

+ 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 A = 11 517 600

Tæng qu¸t

4kn(n+ k)(n +2k) =n(n +k)(n + 2k)(n + 3k)-(n -k)(n + k)n(n + 2k)

Bài 23: TÝnh A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002

A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1)

= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100

= (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100)

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè trong bµi 6 ta cã bµi to¸n:

Bài 24: TÝnh A = 12 + 32 + 52 + … + 992

A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97)

= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99

= 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99)

= 1 + 4998 + 161651 = 166650

Tæng qu¸t : (n - a) ((n + a) = n2 - a2

n2 = (n - a)(n + a) + a2 (a lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè)

Bài 25: TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100:

A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3)

= ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 )

– ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 )

= ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101)

= 13517400 – 3.171650 = 13002450

Thay ®æi sè mò cña bµi to¸n 25 ta cã bµi to¸n:

Bài 26: TÝnh A = 13 + 23 + 33 + … + 1003

Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n n3 = n + (n - 1)n(n + 1)

A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101

= (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101)

= 5050 + 101989800 = 101994850

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè ë bµi to¸n 26 ta cã bµi to¸n

Bài 27: TÝnh A = 13 + 33 + 53 + … + 993

Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n

A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99

= 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99)

= 1 + 12487503 + 9996 = 12497500

Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n.

ë bµi to¸n 26, 27 ta cã thÓ lµm nh­ bµi to¸n 24, 25.

Thay ®æi sè mò cña mét thõa sè trong bµi to¸n 28 ta cã:

Bài 28: TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1)

= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100

= (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101)-(1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100)

= 25497450 – 333300 = 25164150

Víi c¸ch khai th¸c nh­ trªn ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn thµnh rÊt nhiÒu bµi to¸n hay mµ trong qu¸ tr×nh gi¶i ®ßi hái häc sinh ph¶i cã sù linh ho¹t, s¸ng t¹o.

Trong c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ thay ®æi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña d·y.

*VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y gi¶i c¸c bµi to¸n sau:

1. TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50

2. TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101

3 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101

4. TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51

5. TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513

6. TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ

Bài 1: a. Cho a, b, n  N* Hãy so sánh và

b. Cho A = ; B = . So sánh A và B

Ta xét 3 trường hợp

+TH1:  a=b thì thì = =1.

+TH2:  a>b

Ta có:

+TH3: <1  a

Ta có:

b) Cho A = ;

A< 1 nên <1 thì >  <

Do đó A< = Vây A

Bài 2: Tìm số nguyên n để phân bố

a. Có giá trị là số nguyên

b. Có giá trị là số tự nhiên

c. Là phân số tối giản

d. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.

a.

Để A Z thì 187(4n + 3) =>11.17(4n + 3) =>

+ 4n + 3 = 11 -> n = 2

+ 4n + 3 = -11 -> n = ..

+ 4n +3 = 187 -> n = 46

+ 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> không có n N

+ 4n + 3 = -17

Vậy n = …..

b. N > -2 và 11.17(4n + 3)

c. A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1. Mà 187=11.17

->4n+3 không chia hết cho 11 và 17.

-> n 11k + 2 (k N)

-> n 17m + 12 ( m N)

d) Để A rút gọn được thì 4n + 3 = 11k hoặc 4n + 3 = 17k ;

hoặc

Mặt khác: 150< n <170 nên: 150< <170

Hoặc 150 < < 170

-> n = 156 -> n = 165 -> ; n = 167 ->

Chuyên đề:TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

                            DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬTBài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ... f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ... h) 3, 6, 10, 15, 21, ... i) 2, 8, 20, 40, 70, ...Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n       n( n + 1)  c)           2  d) 1+n2  e) n(n+5)  f) (3n-2)(3n+1)     n( n + 3)  g)         2     (n + 1)(n + 2)  h)            2       n( n +1)(n + 2)  i)          3Bài 2: Tính:     a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n     b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100Hướng dẫn:     a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n     A = n (n+1):2     b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)     3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100     3A = 99.100.101     A = 333300Tổng quát:A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) nA = (n-1)n(n+1): 3Bài 3: Tính:     A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101Hướng dẫn:     A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)     A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99                                            1

 Các chuyên đề                                     Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7     A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)     A = 333300 + 4950 = 338250Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2A= (n-1)n(2n+1):6Bài 4: Tính:     A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102Hướng dẫn:     A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)     A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2     A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)     A = 333300 + 9900     A = 343200Bài 5: Tính:     A = 4+12+24+40+...+19404+19800Hướng dẫn:     1       A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100     2     A= 666600Bài 6: Tính:     A = 1+3+6+10+...+4851+4950Hướng dẫn:     2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100     A= 333300:2     A= 166650Bài 7: Tính:     A = 6+16+30+48+...+19600+19998Hướng dẫn:     2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101     A = 338250:2     A = 169125Bài 8: Tính:     A = 2+5+9+14+...+4949+5049Hướng dẫn:     2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102     A = 343200:2     A = 171600Bài 9: Tính:     A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100Hướng dẫn:     4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)     4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100     4A = 98.99.100.101                                             2

 Các chuyên đề                                        Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7     A = 2449755Tổng quát:     A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n     A = (n-2)(n-1)n(n+1):4Bài 10: Tính:     A = 12+22+32+...+992+1002Hướng dẫn:     A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)     A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100     A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)     A = 333300 + 5050     A = 338050Tổng quát:     A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2     A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2     A = n(n+1)(2n+1):6Bài 11: Tính:     A = 22+42+62+...+982+1002Hướng dẫn:     A = 22(12+22+32+...+492+502)Bài 12: Tính:     A = 12+32+52+...+972+992Hướng dẫn:     A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)     A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)Bài 13: Tính:     A = 12-22+32-42+...+992-1002Hướng dẫn:     A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)Bài 14: Tính:     A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992Hướng dẫn:     A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)     A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99     A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)Bài 15: Tính:     A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101Hướng dẫn:     A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)     A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)Bài 16: Tính:     A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102Hướng dẫn:     A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)                                          3

 Các chuyên đề                                        Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7           2   2  2       2     2     A = (2 +4 +6 +...+98 +100 )+4(1+2+3+...+49+50)Bài 17: Tính:     A = 13+23+33+...+993+1003Hướng dẫn:     A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)     A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)     A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)                                                                   98.99+(12+22+32+...     A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-     +992+1002)     A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...+992+1002)Bài 18: Tính:     A = 23+43+63+...+983+1003Hướng dẫn:Bài 19: Tính:     A = 13+33+53+...+973+993Hướng dẫn:Bài 20: Tính:     A = 13-23+33-43+...+993-1003Hướng dẫn:Chuyên đề:TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU                                  A. CƠ SỞ LÍ THUYẾTI. TỈ LỆ THỨC1. Định nghĩa:                                           ac                                           =Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số      (hoặc a : b = c : d).                                           bdCác số a, b, c, d được gọi là các số hạng của t ỉ l ệ th ức; a và d là các s ố h ạng ngoài hay ngo ạitỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.2. Tính chất:                ac                  = thì ad = bcTính chất 1: Nếu                bdTính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: ac               ab                      dc                    db  =,                =,                      =                    =                                                   , bd               cd                      ba                    caNhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU                         a c a+c a−c                ac                = suy ra: = =   =-Tính chất: Từ                         b d b+d b−d                bd-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:                              a+b+c       a −b+c     ace          ace     ==   suy ra: b = d = f = b + d + f = b − d + f = ...     bd f(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).                                                4

 Các chuyên đề                                            Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7                        abc* Chú ý: Khi có dãy tỉ số = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.                        235       Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5                  B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI               DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.                                     xy                                        và x + y = 20                                     =Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết                                     23Giải:Cách 1: (Đặt ẩn phụ)     xy                  , suy ra: x = 2k   , y = 3k     = =kĐặt     23Theo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = 4Do đó: x = 2.4 = 8      y = 3.4 = 12KL: x = 8 , y = 12Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:x y x + y 20==            =   =42 3 2+3          5       xDo đó: = 4 ⇒ x = 8       2     y        = 4 ⇒ y = 12     3KL: x = 8 , y = 12Cách 3: (phương pháp thế)               xy        2y                = ⇒x=Từ giả thiết               23        3                 2ymà x + y = 20 ⇒ + y = 20 ⇒ 5 y = 60 ⇒ y = 12                  3           2.12Do đó: x =        =8             3KL: x = 8 , y = 12                          xy     yzVí dụ 2: Tìm x, y, z biết: = , = và 2 x − 3 y + z = 6                          34     35Giải:              xy        x   y               =⇒=Từ giả thiết:                     (1)              34        9 12            yz        y    z              =⇒         =      (2)            35       12 20                      xy      zTừ (1) và (2) suy ra: = =                (*)                     9 12 20                                  2x − 3y + z 6      xy       z    2x 3y     zTa có: = = = = = =                            = =3      9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2       xDo đó: = 3 ⇒ x = 27       9                                                 5

 Các chuyên đề                                                 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7       y         = 3 ⇒ y = 36      12       z          = 3 ⇒ z = 60      20KL: x = 27 , y = 36 , z = 60                                       xy    z                                        =  =   = k ( sau đó giải như cách 1 của VD1).Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt                                       9 12 20Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)Từ giả thiết:               yz    3z               = ⇒y=               35    5                                     3z                                  3.                 xy         3y          9z                                = 5=                  = ⇒x=                 34          4      4   20                        9z     3z           zmà 2 x − 3 y + z = 6 ⇒ 2. − 3. + z = 6 ⇒ = 60 ⇒ z = 60                        20      5          10             3.60             9.60Suy ra: y =        = 36 , x =       = 27               5               20KL: x = 27 , y = 36 , z = 60                                        xy                                              và x. y = 40Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: =                                        25Giải:Cách 1: (đặt ẩn phụ)     xy                 , suy ra x = 2k   , y = 5k     = =kĐặt     25Theo giả thiết: x. y = 40 ⇒ 2k .5k = 40 ⇒ 10k 2 = 40 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2+ Với k = 2 ta có: x = 2.2 = 4                   y = 5.2 = 10+ Với k = −2 ta có: x = 2.(−2) = −4                    y = 5.(−2) = −10KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)Hiển nhiên x ≠ 0                       xy                      x 2 xy 40                       =Nhân cả hai vế của           với x ta được:         =   =   =8                       25                       2    5   5                                          ⇒ x 2 = 16                                          ⇒ x = ±4                   4y          4.5+ Với x = 4 ta có = ⇒ y =            = 10                   25           2                    −4 y           − 4.5                       = ⇒y=             = −10+ Với x = −4 ta có                     2   5           2KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.                                     BÀI TẬP VẬN DỤNG:Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:                                                   6

 Các chuyên đề