Chuyên đề: Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (chuyên đề gồm 106 trang) ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm cực trị của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm tiệm cận của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số. - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ( ) y f x = PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10) Câu 1: Cho parabol ( ) P : ( ) 2 y f x ax bx c = = ++ , 0 a ≠ biết: ( ) P đi qua (4;3) M , ( ) P cắt Ox tại (3;0) N và Q sao cho INQ ∆ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 . Khi đó hàm số ( ) 21 fx − đồng biến trên khoảng nào sau đây A. 1 ; 2  +∞   . B. ( ) 0;2 . C. ( ) 5;7 . D. ( ) ;2 −∞ . Lời giải Chọn C Vì ( ) P đi qua (4;3) M nên 3 16 4 a bc = ++ (1) Mặt khác ( ) P cắt Ox tại (3;0) N suy ra 09 3 a bc = ++ (2), ( ) P cắt Ox tại Q nên ( ) ;0 , 3 Q t t < Theo định lý Viét ta có 3 3 b t a c t a  +=−     =   Ta có 1 . 2 INQ S IH NQ ∆ = với H là hình chiếu của ; 24 b I aa ∆  − −   lên trục hoành Do 4 IH a ∆ = − , 3 NQ t = − nên ( ) 1 1 .3 1 24 INQ St a ∆ ∆ =⇔ − −= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 28 3 3 33 24 t bc t tt t a aa a a +  ⇔− − = ⇔− − = ⇔− =   (3) Từ (1) và (2) ta có 7 3 37 ab b a + = ⇔ = − suy ra 37 1 4 3 3 at t aa −− +=− ⇔ = Thay vào (3) ta có ( ) ( ) 3 3 2 84 3 3 27 73 49 0 1 3 t t t t t t − − = ⇔ − + − = ⇔= Suy ra 1 43 ab c =⇒ =− ⇒ = . Vậy ( ) P cần tìm là ( ) 2 43 y f x x x = = −+ . Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 21 21 4 21 3 4 12 8 fx x x x x − = − − − += − + Hàm số đồng biến trên khoảng 3 ; 2  +∞   . Câu 2: Cho hai hàm số bậc hai (), () y f x y gx = = thỏa mãn 2 ( ) 3 (2 ) 4 10 10 fx f x x x + −= − + ; (0) 9; (1) 10; ( 1) 4 gg g = = −= . Biết rằng hai đồ thi hàm số (), () y f x y gx = = cắt nhau tại hai điểm phân biệt là , A B . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d ? A. ( ) 2;1 M − B. ( ) 1;9 N − C. ( ) 1;4 P D. ( ) 3;5 Q Lời giải Chọn B Gọi hàm số 2 () f x ax bx c = ++ ta có 2 ( ) 3 (2 ) 4 10 10 fx f x x x + −= − + 2 22 3 (2 ) (2 ) 4 10 10 ax bx c a x b x c x x   ⇔ + ++ − + − + = − +   2 11 2 12 10 1 ( ) 1 12 6 4 10 1 aa b a b fx x x ab c c = =  ⇔ − − =− ⇔ =−⇒ = − +   ++ = =  . Gọi hàm số 2 () g x mx nx p = + + ta có (0) 9; (1) 10; ( 1) 4 gg g = = −= ra hệ giải được 2 2; 3; 9 ( ) 2 3 9 m n p gx x x = − = =⇒ = − + + . Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình 22 22 1 2 2 22 3 11 2 39 2 39 yx x y x x yx y xx y xx  = −+ = − +  ⇔ ⇒=+  = − + + = − + +   Do đó đường thẳng AB: 1 11 : 3 3 3 y x dy x k = + ⇒ = −+ . Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại ( ) 0; ; ;0 3 k E kF       . Diện tích tam giác OEF là 1 66 2 3 k kk =⇔= ± Vậy phương trình đường thẳng d là: : 3 6, -3-6 dy x y x = −+ = . Chọn đáp án B Câu 3: Biết đồ thị hàm số bậc hai 2 ( 0) y ax bx c a = ++ ≠ có điểm chung duy nhất với 2,5 y = − và cắt đường thẳng 2 y = tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 − và 5 . Tính P abc = ++ . A. 1. B. 0 . C. 1 − . D. 2 − . Lời giải Chọn D Gọi (P): ( ) 2 ,0 y ax bx c a = ++ ≠ . Ta có: +) ( ) P đi qua hai điểm ( ) ( ) 1;2 ; 5;2 − nên ta có 24 25 5 2 2 5 ab c b a a bc c a − + = =−  ⇔  + += = −  +) ( ) P có một điểm chung với đường thẳng 2,5 y = − nên ( ) 2 22 41 2,5 2,5 16 4 2 5 10 36 18 0 . 44 2 b ac aa a a a a a aa −∆ − = − ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − =⇔= Do đó: 1 2; . 2 bc = −= − Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số ( ) y f x = trong bài toán không chứa tham số. Câu 4: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  thỏa mãn ( ) 10 f < và ( ) ( ) 6 4 2 3 2 , . f x x f x x x x x − = + + ∀∈      Hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x x = + đồng biến trên khoảng A. ( ) 1;3 . B. 1 0; 3       . C. 1 ;1 3    . D. ( ) 1; +∞ . Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 4 2 64 2 3 2 . 3 2 0 f x x f x x x x f x x f x x x x − = + + ⇔ − − − − =     Đặt ( ) t f x = ta được phương trình 2 64 2 . 3 2 0 t x t x x x − − − − = Ta có ( ) ( ) 2 2 64 2 6 4 2 3 4 3 24 12 92 3 x x x xx x xx x ∆ = − − − − = + + = + Vậy 3 3 3 3 23 2 2 23 2 xx x t xx xx x t xx  ++ = = +   −−  = = −−   . Suy ra ( ) ( ) 3 3 2 f x x x f x x x  = +  = −−   Do ( ) 10 f < nên ( ) 3 f x x x = −− . Ta có ( ) ( ) 32 2 1 2 ' 3 4 1 0 1. 3 gx x x x g x x x x =− + − ⇒ =− + −> ⇔ < < Câu 5: Cho đa thức ( ) f x hệ số thực và thỏa điều kiện ( ) ( ) 2 2 1 ,. f x f x x x R + − = ∀∈ Hàm số ( ) 2 3. 4 1 y xf x x x = ++ + đồng biến trên A. { } \1 R − . B. (0; ) +∞ . C. R . D. ( ;0) −∞ . Lời giải Chọn C Từ giả thiết, thay x bởi 1 x − ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1. f x f x x − + = − Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21 3 2 1. 21 2 1 f x f x x f x x x f x f x x x  + −=  → = + −  − + = − +   Suy ra 32 2 3 3 1 3 6 3 0, y x x x y x x xR ′ = + + + ⇒ = + + ≥ ∀∈ . Nên hàm số đồng biến trên R . Câu 6: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên [ ] 1;1 − và thỏa ( ) 10 f = , ( ) ( ) ( ) 2 2 4 8 16 8 f x f x x x ′ + = + − . Hàm số ( ) ( ) 3 1 23 3 gx f x x x = − −+ đồng biến trên khoảng nào? A. ( ) 1;2 − . B. ( ) 0;3 . C. ( ) 0;2 . D. ( ) 2;2 − . Lời giải Chọn C Chọn ( ) 2 f x ax bx c = ++ ( ) 0 a ≠ (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai). ( ) 2 f x ax b ′ ⇒=+ . Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 8 16 8 f x f x x x ′ + = + − ( ) ( ) 2 22 2 4 8 16 8 ax b ax bx c x x ⇔ + + + + = + − ( ) ( ) 22 2 2 4 4 4 4 4 8 16 8 a a x ab b x b c x x ⇔ + + + + + = + − Đồng nhất 2 vế ta được: 2 2 4 48 4 4 16 48 aa ab b bc  +=  +=   += −  1 2 3 a b c =   ⇔=   = −  hoặc 2 4 6 a b c = −   = −   = −  . Do ( ) 10 0 f abc = ⇒ ++ = 1 a ⇒= , 2 b = và 3 c = − . Vậy ( ) 2 23 f x x x = +− ( ) ( ) ( ) 32 2 0 1 ' 2 '0 2 3 x g x x x gx x x gx x =  ⇒ = − +⇒ = −+ ⇒ = ⇔  =  . Ta có bảng biến thiên x −∞ 0 2 +∞ ( ) ' gx − 0 + 0 − Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 . Câu 7: Cho hàm số ( ) 32 y f x ax bx cx d = = + ++ có đồ thị như hình bên. Đặt ( ) ( ) 2 2 gx f x x = ++ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. ( ) gx nghịch biến trên khoảng ( ) 0;2 . B. ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 1;0 − . C. ( ) gx nghịch biến trên khoảng 1 ;0 2 −   . D. ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) ; 1 −∞ − . Lời giải Chọn C Hàm số ( ) 32 y f x ax bx cx d = = + ++ ; ( ) 2 32 f x ax bx c ′ = ++ , có đồ thị như hình vẽ. Do đó 04 x d = ⇒= ; 28 4 2 0 x abc d = ⇒ + + + = ; ( ) 2 0 12 4 0 f a bc ′ = ⇒ + += ; ( ) 00 0 f c ′ =⇒= . Tìm được 1; 3; 0; 4 ab c d == −== và hàm số 32 34 yx x = −+ . O x y 2 4Ta có ( ) ( ) 2 2 gx f x x = ++ ( ) ( ) 3 22 2 3 24 xx xx = ++ − ++ + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 31 2 1 2 3 2 1 3 2 1 2 1 22 g x x xx x x xx  ′ ⇒ = + ++ − + = + ++ −   ; ( ) 1 2 01 2 x gx x x  = −   ′ =⇔=   = −   . Bảng xét dấu của hàm ( ) y gx = : x y ′ y −∞ +∞ 1 0 − + +∞ 0 0 1/ 2 − 2 − − +∞ + 4 4 7 7 10 8 − Vậy ( ) y gx = nghịch biến trên khoảng 1 ;0 2 −   . Câu 8: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  có ( ) 20 f −< . Đồ thị hàm số ( ) ' y fx = như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số ( ) 2 1 y f x = − nghịch biến trên ( ) ; 2 −∞ − . B. Hàm số ( ) 2 1 y f x = − đồng biến trên ( ) ; 2 −∞ − . C. Hàm số ( ) 2 1 y f x = − nghịch biến trên ( ) 1;0 − . D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là ( ) 2 f − . Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = Ta có ( ) ( ) 22 2 0;1 1 1 0. f x fx x − < − ≤ ⇒ − < ∀∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ' 0 2;1 3; 3 0 ' ; 2 ; 3 3; t x ft t x ft t x = − ⇒ < ⇒ ∈ − ⇔ ∈− < ⇒ ∈ −∞ − ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 4' 1' 1 xf t f t gx f x g x f x ft − = − ⇒ = −= Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số ( ) y f x = trong bài toán chứa tham số. Câu 9: Cho hàm số , có đồ thị là . Biết rằng đồ thị đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ Tính giá trị . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Do là hàm số bậc ba nên là hàm số bậc hai. Dựa vào đồ thị hàm số thì có dạng với . Đồ thị đi qua điểm nên vậy . Vậy . ( ) 32 y f x ax bx cx d = = + ++ ( ) , , , , 0 abc d a ∈≠  ( ) C ( ) C ( ) y fx ′ = ( ) ( ) 42 Hf f = − 58 H = 51 H = 45 H = 64 H = ( ) f x ( ) fx ′ ( ) fx ′ ( ) fx ′ ( ) 2 1 f x ax ′ = + 0 a > ( ) 1;4 A 3 a = ( ) 2 31 fx x ′ = + ( ) ( ) ( ) ( ) 44 2 22 4 2 d 3 1 d 58 H f f fx x x x ′ = − = = += ∫∫ O x y 1 1 − 4 1Câu 10: Cho hàm số ( ) 4 32 f x ax bx cx dx m = + + + + , (với , , , , abc d m ∈  ). Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Tập nghiệm của phương trình ( ) 48 f x ax m = + có số phần tử là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có ( ) 32 43 2 f x ax bx cx d ′ = + ++ ( ) 1 . Dựa vào đồ thị ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 5 3 f x ax x x ′ = − ++ 32 4 13 2 15 ax ax ax a = + − − ( ) 2 và 0 a ≠ . Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra 13 3 ba = , ca = − và 15 da = − . Khi đó: ( ) 48 f x ax m = + ⇔ 4 32 48 ax bx cx dx ax + + += ⇔ 4 32 13 63 0 3 ax x x x   + −− =     4 32 3 13 3 189 0 x xx x ⇔ + −− = 0 3 x x =  ⇔  =  . Vậy tập nghiệm của phương trình ( ) 48 f x ax m = + là { } 0;3 S = . Câu 11: Cho hàm số ( ) 4 32 f x x bx cx dx m = + + + + , (với , , , , abc d m ∈  ). Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Biết rằng phương trình ( ) f x nx m = + có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên của n . A. 15 . B. 14 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có ( ) 32 43 2 f x x bx cx d ′ = + ++ ( ) 1 . Dựa vào đồ thị ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 5 3 fx x x x ′ =− ++ 32 4 13 2 15 x xx = + −− Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra 13 3 b = , 1 c = − và 15 d = − . Khi đó: ( ) f x nx m = + ⇔ 4 32 x bx cx dx nx + + += ⇔ 4 32 32 0 13 15 13 3 15 (*) 3 x x x x x nx x xx n =   + −− = ⇔  + −− =  Phương trình ( ) f x nx m = + có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 Xét hàm số 32 13 ( ) 15 3 gx x x x = + −− '2 3 26 () 3 1 0 1 3 9 x gx x x x = −   = + −= ⇔  =  Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi và chỉ khi { } 1; 2;...; 14 n∈− − − Câu 12: Cho hàm số ( ) y f x = , hàm số ( ) ( ) 32 ,, f x x ax bx c a b c ′ = + ++ ∈  có đồ thị như hình vẽ Hàm số ( ) ( ) ( ) gx f f x ′ = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 1; +∞ . B. ( ) ; 2 −∞ − . C. ( ) 1;0 − . D. 33 ; 33  −    . Lời giải Chọn B Vì các điểm ( ) ( ) ( ) 1;0 , 0;0 , 1;0 − thuộc đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = nên ta có hệ: ( ) ( ) 32 1 00 0 1 '' 3 1 1 0 0 ab c a c b fx x x f x x abc c −+ − + = =     ′ = ⇔ =−⇒ = − ⇒ = −     + ++ = =   Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . '' g x f fx g x f fx f x ′ ′ ′′ = ⇒ = Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 32 3 2 0 1 0 ' . 0 3 1 0 1 3 10 xx xx gx g x f f x f x f x x x xx x  −=  −=  ′ ′ ′ ′′ ′ = ⇔ = = ⇔ − −= ⇔  −=−   −=  1 0 1,325 1,325 3 3 x x x x x   = ±  =   ⇔=   = −   = ±   Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ( ) gx ⇒ nghịch biến trên ( ) ; 2 −∞ − Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm ( ) f x , xét sự biến thiên của hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ,... ... y f x y f f x y f f f x ϕ = = = trong bài toán không chứa tham số Câu 13: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm ( ) fx ′ như hình vẽ dưới đây. Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = − đồng biến trên khoảng nào? A. 1 ;1 2       . B. ( ) 1;2 . C. 1 1; 2  −   . D. ( ) ; 1 −∞ − . Lời giải Chọn C ( ) ( ) 2 gx f x x = − ( ) ( ) ( ) 2 21 gx x f x x ′′ ⇒ =− − . ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 0 2 2 10 0 01 0 1 2 2 x x x x gx x x x f x x x xx x  =    =  =  −=    ′ = ⇔ ⇔ −= ⇔ =   ′ − =    = − −=     =    . Từ đồ thị ( ) fx ′ ta có ( ) 22 2 02 1 x f xx xx x >  ′ − > ⇔ −> ⇔  <−  , Xét dấu ( ) gx ′ : Từ bảng xét dấu ta có hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng 1 1; 2  −   . Câu 14: Cho hàm số ( ) y f x = . Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số ( ) 2 1 yf x = + nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 3; +∞ . B. ( ) 3; 1 −− . C. ( ) 1; 3 . D. ( ) 0;1 . Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) 2 2 1 2. 1 y f x xf x ′   ′′ = += +   2 2 0 0 01 2 1 14 3 x x y x x x x =   =   ′ ⇒ =⇔+ =⇔ = ±     += = ±   . Mặt khác ta có ( ) 22 31 1 0 21 4 13 x fx x x  − < <− ′ + < ⇔ <+ < ⇔  <<   . Ta có bảng xét dấu: Vậy hàm số ( ) 2 1 yf x = + nghịch biến trên khoảng ( ) 1; 3 . Câu 15: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 2028 2023 f x xx x ′=−− . Khi đó hàm số ( ) 2 ( ) 2019 y gx f x = = + đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ( ) 2;2 − . B. ( ) 0;3 . C. ( ) 3;0 − . D. ( ) 2; +∞ . Lời giải Chọn C Ta có ( ) 2 ( ) 2019 y gx f x = = + ( ) ( ) ( ) 22 2 ( ) 2019 2019 2 . 2019 y g x x f x x f x ′ ′ ′ ′′ ⇒ = = + + = + . Mặt khác ( ) ( ) ( ) 2 2 2028 2023 f x xx x ′=−− . Nên suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 ( ) 2 . 2019 2 . 2019 2019 2038 2019 2023 2 . 2019 9 4 2 . 2019 3 3 2 2 y g x xf x x x x x xx x x xx x x x x ′ ′′ = = + = + +− +− = + − −= + − + − + . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 0 ( ) 3 ( ) 2 . 2019 3 3 2 2 0 3 ( ) 2 ( 2) 2 ( 2) x nghiem don x nghiem don y x x x x x x x nghiem don x nghiem boi x nghiem boi =   =  ′  = + − + − + =⇔= −  =   = −  Ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số ( ) 2 ( ) 2019 y gx f x = = + đồng biến trên khoảng ( ) 3;0 − và ( ) 3; +∞ . Câu 16: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  . Biết rằng hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số ( ) 2 5 y fx = − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ( ) ; 3 −∞ − . B. ( ) 5; 2 −− . C. 13 ; 22    . D. ( ) 2; +∞ . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) 2 5 y fx = − Ta có ( ) 2 2. 5 y xf x ′′ = − 22 22 22 00 0 ( 3) 55 0 03 52 3 22 53 8 x x x nghiem boi x x yx x x x x x = =  =    −=− =    ′=⇔ ⇔ ⇔= ±    −=− =    = ±   −=  =   . Ta lại có: khi ( ) 3 0 x fx ′ >⇒ > suy ra: ( ) ( ) 2 22 5 3 2 2 50 2 . 50 x x f x x f x ′′ − > ⇒ > ⇒ −> ⇒ −> Từ đó ta có bảng biến thiên: Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ( ) 2 2; 3 ; 0; 3 ; 2 2; − − +∞ . Mà ( ) 13 ; 0; 3 22  ⊂   . Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm ( ) f x , xét sự biến thiên của hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,... ... y f f x y f f f x = = trong bài toán chứa tham số. Câu 17: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  . Biết đồ thị hàm số ( ) ' y fx = như hình vẽ. Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn ( ) 2019;2019 m∈− sao cho hàm số ( ) ( ) gx f x m = − đồng biến trên khoảng ( ) 2;0 − . Số phần tử của tập S là A. 2017 . B. 2019 . C. 2015 . D. 2021. Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) '' gx f x m = − . Suy ra ( ) 11 '0 22 xm x m gx xm x m −= − =−  = ⇔⇔  −= =+  . Do đó từ đồ thị hàm số ( ) ' y fx = suy ra ( ) ( ) ' 0' 0 2 2 g x f xm xm x m > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ > + . Hàm số ( ) ( ) gx f x m = − đồng biến trên khoảng ( ) 2;0 − khi và chỉ khi ( ) ( ) ' 0, 2;0 gx x ≥ ∀ ∈ − 22 4 mm ⇔ + ≤− ⇔ ≤− . Mà tham số ( ) 2019;2019 m∈− và là gía trị nguyên thoả mãn 4 m ≤− nên { } 2018; 2017;...; 5; 4 m∈− − − − . Vậy tập S có 2015 phần tử. Câu 18: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 22 25 f x x x x mx ′ = + ++ với x ∀∈  . Số giá trị nguyên âm của m để hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x x = +− đồng biến trên ( ) 1; +∞ là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 gx x f x x ′′ = + +− . Hàm số đồng biến trên ( ) 1; +∞ khi ( ) ( ) 2 2 1 2 0 x f x x ′ + +− ≥ , ( ) 1; x ∀ ∈ +∞ ( ) 2 20 f x x ′ ⇔ +− ≥ , ( ) 1; x ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 25 0 xx xx xx m xx   ⇔ +− + +− + +− + ≥     , ( ) 1; x ∀ ∈ +∞ ( ) 1 . Đặt 2 2 tx x = +− với 0 t > , do ( ) 1; x ∈ +∞ . ( ) ( ) ( ) 22 1 2 50 t t t mt ⇒ + + +≥ , 0 t ∀> 2 50 t mt ⇔ + +≥ , 0 t ∀> 5 m t t   ⇔ ≥− +     , 0 t ∀> 2 5 4,47 m ⇔ ≥− ≈− . Do m nguyên âm nên { } 4; 3; 2; 1 m∈ −− −− . Câu 19: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  là ( ) ( ) ( ) 1 3 fx x x ′ =−+ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;20 − để hàm số ( ) 2 3 y fx x m = + − đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 . A. 18 . B. 17 . C. 16 . D. 20 . Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) 22 3 23 3 y f x xm x f x xm ′′ ′ = + − = + + − . Theo đề bài ta có: ( ) ( ) ( ) 1 3 fx x x ′ =−+ suy ra ( ) 3 0 1 x fx x <−  ′ > ⇔  >  và ( ) 0 3 1 fx x ′ < ⇔− < < . Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 khi ( ) 0, 0;2 yx ′≥ ∀∈ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 0, 0;2 x f x xm x ′ ⇔ + + − ≥ ∀∈ . Do ( ) 0;2 x ∈ nên ( ) 2 3 0, 0;2 x x + > ∀∈ . Do đó, ta có: ( ) ( ) 22 2 22 3 3 33 0, 0;2 3 0 3 1 31 xx m m xx y x f x xm xx m m xx  + − ≤− ≥ + + ′′ ≥ ∀∈ ⇔ + − ≥ ⇔ ⇔  + − ≥ ≤ + −  [ ] ( ) [ ] ( ) 2 0;2 2 0;2 max 3 3 13 1 min 3 1 m xx m m m xx  ≥ + + ≥   ⇔⇔   ≤− ≤ + −    . Do [ ] 10;20 m∈− , m ∈  nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài. Dạng toán 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm ( ) f x , xét sự biến thiên của hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln , ,sin , os f ... fx y f x y e f x c x = = trong bài toán không chứa tham số Câu 20: Cho hàm số ( ) f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số ( ) ( ) 32 1 2 3 fx fx ye −+ − = + đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 1; +∞ . B. ( ) 1;3 − . C. ( ) ; 2 −∞ − . D. ( ) 2;1 − . Lời giải Chọn D Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 2 32 1 2 3 2. 2.3 .ln 3 2. 3 3 .ln 3 fx fx fx fx y fx e fx fx e −+ − −+ − ′′ ′ ′ = − − − − = −− + . ( ) ( ) 0 2 0 20 y fx fx ′′ ′ > ⇔− − > ⇔ − < 21 3 1 24 21 xx xx − <− >  ⇔⇔  < − < − < <  . Câu 21: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số ( ) ( ) ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 fx fx y gx e π −+ − = = + nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ) 2016; 2018 . B. ( ) 2017; 2019 . C. ( ) 2018; 2020 . D. ( ) 2021; 2023 . Lời giải Chọn C +) Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 fx fx y gx e π −+ − = = + xác định và liên tục trên  . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 ' 2017 ' 2020 2019ln ' 2020 fx fx g x fx e fxππ −+ − =− +− ( ) ( ) ( ) ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 ' ' 2020 2017 2019 ln , . fx fx gx f x e x ππ −+ −  = − + ∀∈   +) Do ( ) ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 2017 2019 ln 0, fx fx ex ππ −+ − + > ∀∈  nên ( ) ( ) ' 0 ' 2020 0. gx f x < ⇔ − < Hơn nữa từ đồ thị của hàm số ( ) y f x = , ta thấy hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 0; 2 và ( ) 4; , +∞ suy ra ( ) ( ) ( ) ' 0, 0; 2 4; . fx x < ∀ ∈ ∪ +∞ Khi đó bất phương trình ( ) 0 2018 2 2018 2020 ' 2020 0 . 2018 4 2022 x x fx x x <− < < <   − < ⇔ ⇔   −> >   +) Vậy ( ) ( ) ( ) ' 0, 2018; 2020 2022; . gx x < ∀ ∈ ∪ +∞ Khi đó hàm số ( ) y gx = nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2018; 2020 và ( ) 2022; . +∞ Câu 22: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  và hàm ( ) fx ′ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2019 2 2 2018 fx f x f x gx −+ − = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 2;0 − . B. ( ) 0;1 . C. ( ) 1;2 . D. ( ) 2;3 . Lời giải Chọn D x y 2 -1 O 1Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2019 2 2 2 . 3 4 2 .2018 .ln 2018 fx f x f x g x f x f x f x −+ − ′′ = − −+  Có ( ) ( ) 1 0 00 1 2 x x gx f x x x = −   =  ′′ =⇔=⇔  =  =  , trong đó 1 x = là nghiệm kép. Bảng xét dấu của ( ) gx ′ : Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên ( ) 2;3 , do ( ) ( ) 2;3 2; ⊂ +∞ . Câu 23: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị ( ) ' y fx = như hình vẽ sau Hỏi đồ thị hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 31 2 fx fx gx f e + = + nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ) ; 5. −∞ − B. 7 3; . 4 −   −     C. ( ) 1; . − +∞ D. ( ) 3; 1 . −− Lời giải Chọn A Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31 31 31 31 ' 3 ' . 2 .' .ln 2 .' 2 ' . 3. 2 .ln 2 . ' 2 fx fx fx fx fx fx fx fx g x fx e fx f e f x e fe ++ ++ =+ + = ++ ( ) ' 0. ycbt g x ⇔< Mà ta thấy rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31 31 31 31 3. 2 .ln 2 0 3. 2 .ln 2 0 ' 2 0 20 fx fx fx fx fx fx fx fx e e fe e + + + +  +>  +>  ⇒  +> +>     Suy ra ( ) ( ) 0 0 5 '0 '0 7 1 3; 4 x gx f x x x x <−   < ⇔ < ⇔  −    < <− ∈ −         Vậy hàm số ( ) gx nghịch biến trên ( ) ; 5 −∞ − . Câu 24: Cho hàm số ( ) 1 y fx ′ = − có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 2 () 4 f x x y π − = đồng biến trên khoảng A. ( ) ;0 − ∞ . B. ( ) 2;0 − . C. ( ) 0; + ∞ . D. ( ) 2;1 − . Lời giải Chọn C Tịnh tiến đồ thị hàm số ( ) 1 y fx ′ = − sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = như sau Xét hàm số 2 () 4 f x x y π − = . Tập xác định D =  . 2 () 4 (2 ( ) 4) ln f x x y fx π π − ′′ = ⋅ −⋅ 2 0 () 2 0 1 x y fx x x = −   ′′ =⇔ =⇔=   =  . Ta có bảng biến thiên như sau Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) +∞ . Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm ( ) f x , xét sự biến thiên của hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln , ,sin , os f ... fx y f x y e f x c x = = trong bài toán chứa tham số Câu 25: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 19 f x x x x mx ′ = − −+ với mọi . x ∈  Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số ( ) ( ) fx gx e = đồngbiến trên khoảng ( ) 0; +∞ ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) '( ). fx g x f xe ′ = . Hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 0; +∞ khi và chỉ khi ( ) ( ) 0, 0; gx x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 0, 0; fx x ′ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 90, 0; x x x mx x ⇔ − − + ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) 2 9 , 0; x mx x + ⇔ ≤ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 0; min m hx +∞ ⇔≤ với ( ) 9 , (0; ) hx x x x = + ∀ ∈ +∞ . Ta có: ( ) 99 2 . 6, (0; ) hx x x x xx = + ≥ = ∀ ∈ +∞ nên { } 6 1;2;3;4;5;6 . m mm + ∈ ≤ → ∈  Câu 26: Cho hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên như sau Hàm số ( ) 2 2 fx m ye − + = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 4; +∞ B. ( ) 1;4 − . C. ( ) 1;2 . D. 1 ; 2  −∞   . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 fx m y gx e − + = = . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 . fx m g x f xe − + ′′ = , ( ) 2 2 0 fx m e x − + > ∀∈  . ( ) ( ) 1 0 00 4 x gx f x x x = −   ′′ =⇔ =⇔=   =  . Bảng biến thiên: Vậy hàm số ( ) ( ) 2 2 fx m y gx e − + = = nghịch biến trên khoảng ( ) ( ) ; 1 0;4 −∞ − ∪ . Câu 27: Cho hàm số () y fx = có bảng biến thiên Và hàm số () y gx = có bảng biến thiên Hàm số ( ) 1 ( ). 2 3 2 y f x g x x x = + +− + chắc chắn đồng biến trên khoảng nào? A. ( ) 2;1 − . B. ( ) 1;1 − . C. 3 ;1 2  −   . D. ( ) 1;4 . Lời giải Chọn B Xét ( ) 1 ( ). 2 3 . 2 y f x g x x x = + +− + Tập xác định: 3 ;1 2 D   = −     . Từ tập xác định loại được phương án A, D Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 ' '( ). ( ). ' 0, 1;1 . 23 2 y f x g x f x g x x x x = + + + > ∀ ∈ − + + Với phương án C, có ( ) '0 gx < trên 3 ; 1 2  − −   nên chưa kết luận được về dấu của hàm số cần xét. Câu 28: Cho hàm số ( ) f x có đồ thị như hình vẽ Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 75 1 e ln f x f x fx f x m f x + −+   + + =       có nghiệm là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn B Quan sát đồ thị ta thấy ( ) 1 5, f x x ≤ ≤ ∀∈  , đặt ( ) t f x = giả thiết trở thành 32 2 75 1 e ln t t t tm t + − +  + + =   . Xét hàm: ( ) [ ] 32 2 7 5, t 1;5 gt t t t = + −+ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 7 0 1 1 5 1 145 g t t t t g gt g gt ′ =+ −≥∀≥⇒ ≤≤ ⇔≤ ≤ . Mặt khác ( ) ( ) [ ] ( ) 2 1 1 26 , 1 0 1;5 2 5 ht t h t t ht t t ′ = + = − ≥ ∀∈ ⇒ ≤ ≤ . Do đó hàm ( ) 32 2 75 1 e ln t t t ut t t + − +  = ++   đồng biến trên đoạn [ ] 1;5 . Suy ra: Phương trình đã cho có nghiệm 145 26 e ln 2 e ln 5 m ⇔+ ≤ ≤ + . Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4 . Câu 29: Cho hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên như sau Hàm số ( ) 2 2 fx m ye − + = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 4; +∞ B. ( ) 1;4 − . C. ( ) 1;2 . D. 1 ; 2  −∞   . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 fx m y gx e − + = = . ( ) ( ) ( ) 2 2 . fx m g x f xe − + ′′ = , ( ) 2 2 0 fx m e x − + > ∀∈  . ( ) ( ) 1 0 00 4 x gx f x x x = −   ′′ =⇔ =⇔=   =  Bảng biến thiên: Vậy hàm số ( ) ( ) 2 2 fx m y gx e − + = = nghịch biến trên khoảng ( ) ( ) ; 1 0;4 −∞ − ∪ . Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra… ( ) ' y fx = PHẦN 2: Biết biểu thức của hàm số Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f x hx = = + trong bài toán không chứa tham số. Câu 30: Cho hàm số    y fx có 2 '( ) ( 3)( 4)( 2) ( 1), .         fx x x x x x Hàm số 43 2 5 () () 4 4 43      x x y gx f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.   ;1  B.   1;2 . C.   3;5 . D. 3 0; . 2         Lời giải Chọn A Ta có 3 2 2 22 '( ) '( ) 5 8 4 '( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 7 13).            g x fx x x x fx x x x x x x Khi đó 1 '( ) 0 . 2        x gx x Bảng xét dấu của hàm số '( ) gx như sau Vậy hàm số ()  y gx nghịch biến trên ( ;1).  Câu 31: Cho hàm số ( ) y f x = có ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 13 f x xx x = −− . Hàm s ố ( ) ( ) 3 1 5 3 gx f x x = + − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ( ) 0; 2 . B. 35 2; 2  +    . C. 35 ;2 2  −    . D. 35 0; 2  −    . Lời giải Chọn C Ta có: ( ) ( ) 2 gx f x x ′′ = + , ( ) ( ) ( ) 2 22 0 13 gx x x x x ′ =⇔ − −= − ( ) ( ) 2 32 0 0 0 2 5 7 20 1 31 35 2 x x x x x x x xx x   = =   =  ⇔ ⇔ ⇔=    − + − = − −= −     ±  =   Ta có bảng xét dấu của ( ) ' gx : Dựa vào bảng xét dấu ( ) ' gx ta thấy trên khoảng 35 ;2 2  −    thì hàm số ( ) y gx = đồng biến. Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số đồng biến trên khoảng nào? A. B. . C. . D. . Lời giải Chọn A () y fx = ( ) ( ) 2 '( ) 1 2 fx x x =−+ , x   2 () () 2 4 y gx f x x x = = − + ( ) 4;0 − ( ) ;0 −∞ ( ) 4;1 − ( ) 0; +∞ Bảng xét dấu Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng Câu 33: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và ( ) 2 ( 1)(4 ) f x xx x ′ = − − Hàm số ( ) () () 1 y gx f x f x = = +− đồng biến trên khoảng A. 1 2; 2  −−   . B. ( ) 0;1 . C. 13 ; 22    . D. ( ) 1;2 . Lời giải Chọn D Ta có 22 '( ) '( ) '(1 ) ( 1)(4 ) (1 ) ( )( 3) gx f x f x x x x x x x = − − = − − −− − + ( ) [ ] '( ) 1 (4 ) ( 1)( 3) ( 1)(6 3) g x x x x x x x xx x = − −+ − + = − − 0 1 '( ) 0 2 1 x gx x x =    =⇔ =   =  . Ta có bảng biến thiên : Dạng toán 10. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f x hx = = + trong bài toán chứa tham số. Câu 34: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 1 16 f x x x x mx ′ = − ++ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số [ ] 2019;2019 m∈− để hàm số ( ) ( ) 4 3 2 1 21 2019 4 3 2 gx f x x x x = +− ++ đồng biến trên khoảng ( ) 5; +∞ ? A. 2019 . B. 2021. C. 2028 . D. 4038 . Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '( ) '( ) 4 4 1 2 4 1 1 4 gx f x x x x x x x x = − += − + − − = − + , x   2 1 10 '( ) 0 0 40 4 x x gx x x x x =  −=   =⇔ ⇔=   + =   = −  () y gx = ( ) 4;0 −Chọn C Ta có ( ) ( ) 32 '' 2 gx f x x x x = +− + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 16 1 x x x mx x x = − ++ + − ( ) ( ) 2 2 1 17 x x x mx = − ++ . Để hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 5; +∞ thì ( ) ( ) ' 0 5; gx x ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 2 22 1 17 0 5 17 0 5 x x x mx x x mx x ⇔ − + + ≥ ∀> ⇔ + + ≥ ∀> 2 17 5 x mx x − − ⇔ ≥ ∀> . Xét hàm số ( ) 2 17 17 x hx x xx − − = =−− trên khoảng ( ) 5; +∞ ( ) 2 17 ' 1 0 17 hx x x =−+ = ⇒ =± . Từ bảng biến thiên suy ra 42 5 m ≥− . Vậy có 2028 giá trị của m thỏa mãn bài ra. Câu 35: Cho hàm số   fx có đạo hàm       2 2 12 fx x x x    với mọi . x   Có bao nhiêu số nguyên 100 m  để hàm số     22 8 1. gx f x x m m     đồng biến trên khoảng   4;  ? A. 18. B. 82 . C. 83 . D. 84 . Lời giải Chọn B Ta có       2 2 0 1 2 0 . 2 x fx x x x x            Xét       2 2 8. 8 . gx x f x x m     Để hàm số   gx đồng biến trên khoảng   4;  khi và chỉ khi  0, 4 gx x              2 2 2 2 2 8. 8 0, 4 8 0, 4 8 0, 4; 18. 8 2, 4; x fx x m x fx x m x x xm x m x xm x                                 Vậy 18 100. m  . Câu 36: (VD) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình ( ) 2 1 2 2 (2 ) 0 m x x xx + − + + −≤ có nghiệm thuộc đoạn 0;1 3  +  . A. 1 3 m ≤ . B. 2 3 m ≤ . C. 4 3 m ≤ . D. 5 3 m ≤ . Lời giải Chọn B Ta có: ( ) 2 2 2 2 1 2 2 (2 ) 0 1 22 xx m x x xx m xx − + − + + − ≤ ⇔ ≥ + −+ Đặt 2 2 2 , 0;1 3 tx x x  = −+ ∈ +  . Khi đó: 2 1 ,0 1 22 x t t x xx − ′′ = = ⇔= −+ Bảng biến thiên: x 0 1 13 + t ′ − 0 + t 2 2 1 Từ bảng biến thiên ta suy ra [ ] 1;2 t ∈ . Khi đó bất phương trình trở thành: 2 2 1 t m t − ≥ + có nghiệm [ ] [ ] 2 1;2 2 1;2 max 1 t t m t  − ∈⇔ ≥  +  Đặt [ ] 2 2 ( ) , 1;2 1 t ft t t − = ∈ + . Khi đó: ( ) [ ] 2 2 22 ( ) 0, 1;2 1 tt f t t t ++ ′ = > ∀∈ + Bảng biến thiên: t 1 2 () f t ′ + () ft 2 3 1 2 − Từ bảng biến thiên ta suy ra [ ] 1;2 2 max ( ) 3 ft = . Vậy 2 3 m ≥ hay 2 3 m ≤ . Câu 37: (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;10 − để bất phương trình ( 2) 1 m xm x + − ≥+ có nghiệm thuộc đoạn [ ] 2;2 − . A. 14 . B. 20 . C. 16 . D. 18. Lời giải Chọn C Ta có: ( ) ( ] [ ) 2 2 2 2 ( 2) 1 ( 2) 1 1 ( 1) 1 1;2 1 1 2;1 1 m xm x m xm x x mx x mm x x mm x +− ≥ + ⇔ +− ≥ + ⇔ +≤ −  + ≤ ∈  −  ⇔ +  ≥ ∈−  −  nÕu nÕu Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [ ] 2;2 − ( ] [ ) ( ) 2 1;2 2 2;1 1 min 1 * 1 max 1 x m x x m x −    + ≤    −    ⇔    +  ≥   −     Đặt [ ] 2 1 ( ) , 2;2 1 x fx x x + = ∈− − . Khi đó: ( ) 2 2 21 () 1 xx fx x −− ′ = − , 2 () 0 2 1 0 1 2 fx x x x ′ = ⇔ − −= ⇔ =± 11 lim ( ) , lim ( ) x x fx fx −+ → → = −∞ = +∞ Bảng biến thiên: t −∞ 2 − 12 − 1 2 12 + +∞ () f t ′ + + 0 − − − 0 + () ft 2 22 − 5 3 − −∞ +∞ 5 Từ bảng biến thiên ta có: ( ) { } 55 * 10; 9; 8;...; 1;5;6;7;8;9;10 2 22 2 22 mm m mm ≤≥   ⇔ ⇔ ⇒ ∈− − − −   − ≥ ≤ −   . Vậy Có 16 giá trị m thỏa đề. Câu 38: Biết rằng bất phương trình ( ) 2 24 2 2 1 1 2 1 2 mx x x x x x + −+ ≤ −+ + −+ có nghiệm khi và chỉ khi ( ;2 m a b  ∈ −∞ +  , với , ab ∈  . Tính giá trị của T ab = + . A. 3 T = . B. 2 T = . C. 0 T = . D. 1 T = . Lời giải Chọn D Điều kiện 11 x −≤ ≤ . Xét hàm số ( ) 22 1 gx x x = +− trên đoạn [ ] 1;1 − . Ta có : ( ) 22 11 1 gx x xx   ′ = −   −   , ( ) 0 gx ′ = 22 1 xx ⇔=− 1 2 x ⇔= ± . ( ) gx ′ không xác định khi 0, 1 xx = = ± . Bảng biến thiên : x 1 − 1 2 − 0 1 2 1 ( ) gx ′ || + 0 − || + 0 − || ( ) gx 2 2 1 1 1 Suy ra ( ) 12 gx ≤≤ . Đặt 22 1 tx x = +− , 12 t ≤≤ . Bất phương trình trở thành : ( ) 2 11 mt t t + ≤ ++ 1 1 mt t ⇔ ≤+ + (Do 12 t ≤≤ nên 10 t+> ). Xét hàm số ( ) 1 1 ft t t = + + trên đoạn 1; 2   . Có ( ) ( ) 2 1 1 0, 1; 2 1 ft x t  ′ = − > ∀∈  + . Bảng biến thiên : x 1 2 ( ) gx ′ + ( ) gx 22 1 − 3 2 Do đó, ( ) ( ) 1; 2 max 2 2 2 1 ft f     = = − . Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi ( ) 1; 2 max m ft     ≤ hay 22 1 m≤ − . Do đó, 2 a = , 1 b = − .Vậy 1 T = . Câu 39: Cho hàm số   y fx  có đạo hàm   2 ' 3 6 1, fx x x x R     . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng   50;50  của tham số m để hàm số       12 gx f x m x    nghịch biến trên khoảng   0;2 ? A. 26 . B. 25 . C. 51 . D. 50 . Lời giải Chọn A Ta có             12 ' ' 1 g x f x m x g x f x m       Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0; 2 khi ( ) ( ) ' 0, 0;2 ≤ ∀∈ gx x ( dấu '' '' = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng ( ) 0; 2 ). ( ) ( ) ( ) ' 1 0, 0;2 ⇔ − + ≤ ∀∈ fx m x ( ) ( ) 2 3 6 , 0;2 * ⇔ +≤∀∈ x xm x Xét hàm số ( ) 2 3 6, = + hx x x ( ) 0;2 x ∈ . Ta có ( ) ( ) ' 6 6 0, 0;2 = + > ∀∈ hx x x . Bảng biến thiên: Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để ( ) * xảy ra là: 24 ≥ m . Do ∈ mZ, thuộc khoảng   50;50  nên [ ) m 24;50 ∈ và ∈ mZ hay { } m 24,25,...,49 ∈ . Vậy có 26 số nguyên m thỏa mãn. Dạng toán 11. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f u x = = trong bài toán không chứa tham số. Câu 40: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 22 12 fx x x x ′ = − −− . Hỏi hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( ) 1;1 − . B. ( ) 0;2 . C. ( ) ; 1 −∞ − . D. ( ) 2; +∞ . Lời giải Chọn C ( ) 0 fx ′ = ⇔ ( ) ( ) 22 1 20 x xx − −− = ⇔ 2 2 10 20 x xx  −=  −− =  ⇔ 1 1 2 x x x = −   =   =  . Bảng xét dấu ( ) fx ′ Ta có ( ) ( ) ( ) 2 12 g x xf x x ′′ =−− . ( ) ( ) ( ) 2 0 12 0 g x xf x x ′′ = ⇔− − = ( ) 2 12 0 0 x f xx −=  ⇔  ′ −=   2 2 2 1 2 1 1 2 x xx xx xx  =   −= −  ⇔  −=   −=  1 2 15 2 15 2 x x x  =   +  ⇔=   −  =   . Bảng xét dấu ( ) gx ′ Từ bảng xét dấu suy ra hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = − đồng biến trên khoảng ( ) ; 1 −∞ − . Câu 41: Cho hàm số ( ) y f x = . Đồ thị hàm số ( ) y f' x = như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) 32 y gx f x = = − nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( ) ; 1 −∞ − . B. ( ) 1; − +∞ . C. ( ) 0;2 . D. ( ) 1;3 . Lời giải Chọn A • Từ đồ thị ( ) ( ) C : y f' x = ; ( ) 22 0 5 x f' x x −< <  > ⇔  >  ( ) 1 • Mà ( ) ( ) 2 32 g' x . f ' x = − − ( ) 2 • ( ) 1 , ( ) 2 ; ( ) ( ) 15 2 32 2 0 32 0 22 32 5 1 x x g' x f ' x x x  −< − < <<   < ⇔ − > ⇔ ⇔   −>  <−  . • Vậy hàm số ( ) gx nghịch biến trên các khoảng 15 2 2 ;       và ( ) 1 ; −∞ − . Câu 42: Cho hàm số ( ) y f x = . Hàm số ( ) y f' x = có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) 2 y gx f x = = nghịch biến trên khoảng A. ( ) ; 1 −∞ − . B. ( ) 1;0 − . C. ( ) 0;1 . D. ( ) 1;3 . Lời giải Chọn B • ( ) ( ) 2 2 g' x x. f ' x = . • Nhận xét: + ( ) 11 0 4 t f' t t −< <  > ⇔  <  . + ( ) 1 0 14 t f' t t <−  < ⇔  <<  . • Hàm số g nghịch biến ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 x f' x g' x x f' x <     >    ⇔ < ⇔  >      <     2 2 22 0 2 1 14 10 0 12 11 4 x x xx x x x xx  <  <−    −< < ∨ <    ⇔ ⇔ −< <   >    <<    <− ∨ < <   . • Vậy hàm số ( ) ( ) 2 y gx f x = = nghịch biến trên các khoảng ( ) 2 ; −∞ − , ( ) 10 ; − và ( ) 12 ; . Dạng toán 12. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f u x = = trong bài toán chứa tham số. Câu 43: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 22 25 f x x x x mx ′ = + ++ với x ∀∈  . Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x x = +− đồng biến trên khoảng ( ) 1; +∞ là A. 7 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2x 1 2 gx f x x ′′ = + +− . Hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x x = +− đồng biến trên khoảng ( ) 1; +∞ ( ) ( ) 0, 1; gx x ′ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) 2 2x 1 2 0, 1; f x x x ′ ⇔ + + − ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 2 2 0, 1; f x x x ′ ⇔ + − ≥ ∀ ∈ +∞ ( vì ( ) 2x 1 0, 1; x + > ∀ ∈ +∞ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 5 0, 1; xx xx xx m xx x   ⇔ +− + +− + +− + ≥ ∀ ∈ +∞     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 0, 1; xx m xx x   +− + +− + ≥ ∀ ∈ +∞     (*)( vì ). Đặt 2 2 tx x = +− . Khi đó 10 xt >⇒ > . (*) trở thành 2 5 0, 0 t mt t + + ≥ ∀> 5 ,0 mt t t ⇔ ≥− − ∀ > . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có 5 2 5 t t +≥ 5 2 5 t t ⇔ − − ≤− . Dấu "" = xảy ra 5 0 t t t  =  ⇔   >  5 t ⇔= . ( ) 0; 5 max 2 5 t t +∞  ⇒ −− =−   2 5 m ⇒ ≥− . Mà m nguyên âm nên { } 4; 3; 2; 1 m∈ −− −− . Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn bài toán. Câu 44: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4; fx x x x x ′ = + − − ∀∈  .Có bao nhiêu số nguyên 2019 m < để hàm số ( ) 2 1 x gx f m x −  = −   +   đồng biến trên ( ) 2; +∞ . A. 2018. B. 2019 . C. 2020 . D. 2021 Lời giải Chọn A Ta có: ( ) ( ) 2 32 1 1 x gx f m x x −  ′′ = −−   +   + . Hàm số ( ) gx đồng biến trên ( ) 2; +∞ ⇔ ( ) ( ) 0; 2; gx x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 2 32 0; 2; 1 1 x f mx x x −  ′ ⇔ − − ≥ ∀ ∈ +∞   +   + ⇔ ( ) 2 0; 2; 1 x f mx x −  ′ − ≤ ∀ ∈ +∞   +   ( ) ( ) ( ) 2 22 2 0, 1; xx xx + − + ≥ +∞Ta có: ( ) 0 fx ′ ≤ ⇔ ( ) ( ) ( ) 1 1 40 x xx + − −≤ ⇔ 1 14 x x ≤ −   ≤≤  Do đó: ( ) 2 0; 2; 1 x f mx x −  ′ − ≤ ∀ ∈ +∞   +   ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1; 2; 1 1 2 1 4; 2; 2 1 x mx x x mx x −  − ≤ − ∀ ∈ +∞  +  −  ≤ − ≤ ∀ ∈ +∞  +  Hàm số ( ) 2 1 x hx m x − = − + ; ( ) 2; x ∈ +∞ có bảng biến thiên: Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện ( ) 2 không có nghiệm m thỏa mãn. Điều kiện ( ) 1 ⇔ 1 m − ≤ − ⇔ 1 m ≥ ,kết hợp điều kiện 2019 m < suy ra có 2018 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4; fx x x x x ′ = + − − ∀∈  .Có bao nhiêu số nguyên 2019 m < để hàm số ( ) ( ) 2 1 x g x f hm x − = +  +  đồng biến trên ( ) 2; +∞ . Câu 45: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 fx x x x ′ =−− với mọi x ∈  . Có bao nhiêu số nguyên 20 m ≤ để hàm số ( ) ( ) 2 8 gx f x x m = −+ đồng biến trên ( ) 4; +∞ . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 28 8 gx x f x x m ′′ = − −+ Hàm số ( ) gx đồng biến trên ( ) 4; +∞ ( ) ( ) 0, 4; gx x ′ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 2 8 0, 4; f x x m x ′ ⇔ − + ≥ ∀ ∈ +∞ (vì ( ) 2 8 0, 4; xx − > ∀ ∈ +∞ ). Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 01 2 01 2 0 0 x f x x x x x x x x ≥  ′ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔  ≤  . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 2, 4; (1) 8 0, 4; 8 0, 4; (2) x x m x f x x m x x x m x  − + ≥ ∀ ∈ +∞ ′ − + ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔  − + ≤ ∀ ∈ +∞   . Xét ( ) 2 8 hx x x m = −+ Ta có ( ) 28 hx x ′ = − . Lập bảng biến thiên của ( ) 2 8 hx x x m = −+ , ta được Dựa vào bảng biến thiên: + (2) vô nghiệm vì ( ) 2 8 16, 4; x x m m x − +≥− ∀ ∈ +∞ . + ( ) 1 16 2 18 mm ⇔ − ≥⇔ ≥ . Theo giả thiết thì 20 m ≤ và m là số nguyên nên { } 18;19;20 m ∈ . Chọn B Câu 46: Cho hàm số () y fx = có đạo hàm 22 ( ) ( 1) ( 9) f x x x x mx ′ = − ++ với mọi xR ∀∈ . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số ( ) (3 ) gx f x = − đồng biến trên khoảng (3; ) +∞ ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy ra 22 (3 ) (3 )(2 ) [(3 ) (3 ) 9]. f x x x xm x ′ − = − − − + − + Ta có ( ) (3 ). gx f x ′′ = −− Hàm số () gx đồng biến trên khoảng (3; ) +∞ khi và chỉ khi ( ) 0, (3; ). gx x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ (3 ) 0, (3; ). fx x ′ ⇔ − − ≤ ∀ ∈ +∞ 22 (3 )(2 ) [(3 ) (3 ) 9] 0, (3; ). x x xm x x ⇔ − − − + − + ≤ ∀ ∈ +∞ (3; ) x ∀ ∈ +∞ thì 2 (3 ) 0,(2 ) 0, xx −≤ − ≥ suy ra 2 (3 ) (3 ) 9 0, (3; ). xm x x − + − + ≥ ∀ ∈ +∞ 2 (3 ) 9 , (3; ) ( 3) x mx x −+ ⇔ ≤ ∀ ∈ +∞ − 2 (3; ) (3 ) 9 . ( 3) x m Min x +∞ −+ ⇔≤ − Ta có 2 (3 ) 9 9 9 ( 3) 2 ( 3). 6. ( 3) 3 3 x xx x xx −+ = −+ ≥ − = − −− Suy ra 6. m ≤ Vì m nguyên dương suy ra { } 1;2;3;4;5;6 . m ∈ Chọn B Câu 47: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  là ( ) ( ) ( ) 1 3 fx x x ′ =−+ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;20 − để hàm số ( ) 2 3 y fx x m = + − đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 ? A. 18 B. 17 . C. 16 . D. 20 . Lời giải Chọn A Xét dấu ( ) fx ′ ta được Ta có: ( ) ( ) 2 23 3 y x f x xm ′′ = + + − . Vì ( ) 2 3 0, 0;2 x x + > ∀∈ . Do đó, đ ể hàm số ( ) 2 3 y fx x m = + − đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 thì ( ) ( ) 2 3 0, 0;2 f x xm x ′ + − ≥ ∀∈ (*). Đặt 2 3 t x xm = + − . Vì ( ) ( ) 0;2 ;10 x tm m ∈ ⇒ ∈− − . (*) trở thành: ( ) ( ) 0, ;10 ft t m m ′ ≥ ∀∈ − − . Dựa vào bảng xét dấu của ( ) fx ′ ta có: 13 20 10 3 13 10 1 11 m mm m mm mZ  ≤≤  − ≤− ≥     ⇔⇒ − ≤ ≤−     ≤− ≤−    ∈  { 10; 9;..; 1;3;4;..;20} m ⇒ ∈− − − . Dạng toán 13. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x hx = = + trong bài toán không chứa tham số. Câu 48: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đạo hàm ( ) fx ′ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 2 15 fx x x ′ =−− Hàm số ( ) 3 3 3 12 y f x x x = +− + nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ) 1;5 . B. ( ) 2; +∞ . C. ( ) 1;0 − . D. ( ) ;1 −∞ − . Lời giải Chọn B Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 15 fx x x ′ =−− suy ra ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 3 5 fx x x  ′ + = − + + −  ( ) ( ) ( ) 4 22 xxx = − ++− . Mặt khác: ( ) 2 3. 3 3 12 y fx x ′′ = +− + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 22 4 xxx x  = − ++− + −  ( ) ( ) ( ) 32 2 5 xx x = − − + + . Xét 0 y ′ < ( ) ( ) ( ) 3 2 2 50 xx x ⇔− − + + < 52 2 x x − < <−  ⇔  >  . Vậy hàm số ( ) 3 3 3 12 y f x x x = +− + nghịch biến trên các khoảng ( ) 5; 2 −− và ( ) 2; +∞ . Câu 49: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên  và có đạo hàm ( ) fx ′ thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 f x x x gx ′ =−+ + trong đó ( ) 0, gx x < ∀∈  . Hàm số ( ) 12 yf x x = − ++ nghịch biến trên các khoảng nào? A. ( ) 1; +∞ . B. ( ) 0;3 . C. ( ) ;3 −∞ . D. ( ) 3; +∞ . Lời giải Chọn D Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 f x x x gx ′ =−+ + ( ) ( ) ( ) 1 3 11 f x x x g x ′ ⇒ − = − − + Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 3 . 1 1 1 y f x f x x xg x ′ ′′ = − +=− − +=− − − + +     ( ) ( ) .3 . 1 x xg x = − − − Ta có: ( ) ( ) ( ) 0 .3 . 1 0 * y x xg x ′ < ⇔− − − < Do ( ) ( ) 0, 1 0, g xx g x x < ∀∈ ⇒ − < ∀∈  ( ) ( ) 3 * .3 0 0 x xx x >  ⇒ ⇔ − < ⇔  <  . Vậy hàm số ( ) 12 yf x x = − ++ nghịch biến trên các khoảng ( ) ;0 −∞ và ( ) 3; +∞ . Câu 50: Cho hàm số ( ) = y f x có đạo hàm liên tục trên  và ( ) ( ) ( ) 2 2 1 32 ′ = − ⋅ + + fx x x x . Hàm số ( ) 3 2 2019 = − + + yf x x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( ) 3;5 . B. 5 2; 2       . C. 5 ;3 2       . D. ( ) ;3 −∞ . Lời giải Chọn C Ta có ( ) 32 ′′ = − − + yf x . 0 ′ > y ( ) ( ) 3 20 3 2 ′′ ⇔− − + > ⇔ − < fx fx ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 1 3 3 2 2  ⇔ − − − − + + <    x x x ( ) ( ) ( ) 2 3 52 3 3 0  ⇔− − − + <  x x x Vì ( ) 2 3 3 0,  − + > ∀∈   xx . Suy ra 0 ′ > y khi và chỉ khi ( ) ( ) 3 52 0 − −< xx 5 3 2 ⇔ << x . Vậy hàm số ( ) 3 2 2019 = − + + yf x x đồng biến trên khoảng 5 ;3 2       . Câu 51: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đạo hàm ( ) fx ′ thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 11 4 fx x x x ′ =+ −− . Xét hàm số ( ) ( ) 2 64 2 12 2 15 24 2019. gx f x x x x = +− + + Khẳng định đúng là: A. Hàm số ( ) gx nghịch biến trên khoảng ( ) 2 ; 1 − − . B. Hàm số ( ) gx có hai điểm cực tiểu. C. Hàm số ( ) gx đạt cực đại tại 0. x = D. Hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 2 ; +∞ . Lời giải Chọn D Tập xác định của hàm số ( ) gx là . D =  Ta có ( ) ( ) ( ) 2 5 3 24 2 24 12 60 48 12 2 5 4 g x xf x x x x x f x x x  ′′ ′ = + − + = +− +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 22 2 12 1 14 14 12 14 2 x x xx xx x xx x  = + −−+ −− = −− +  ( ) 2 2 0 0 04 2 1 1 x x gx x x x x =  =    ′ =⇔ =⇔= ±     = ± =   . Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) gx như sau: Qua bảng biến thiên ta có phương án D là phương án đúng. Câu 52: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 3 4 fx x x x x ′ =−− − − Hàm số ( ) 3 32 3 y f x x x = + − + đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 1; +∞ . B. ( ) ; 1 −∞ − . C. ( ) 1;0 − . D. ( ) 0;2 . Lời giải Chọn C Ta có bảng xét dấu Xét ( ) 3 32 3 y f x x x = + − + . Cách 1: ( ) ( ) 2 3. 2 1 y fx x  ′′ = + + −  Ta có ( ) 1 23 1 1 20 24 2 xx fx x x ≤ + ≤ −≤ ≤   ′ + ≥ ⇔ ⇔   + ≥ ≥   . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0, 1;1 0, 1;1 1 0, 1;1 fx x yx xx ′ + ≥ ∀ ∈ −   ′ ⇒ > ∀ ∈ −  − > ∀ ∈ −   . Vậy ta chọn đáp án C. Cách 2: Xét ( ) 3 32 3 y f x x x = + − + . ( ) ( ) 2 3. 2 1 y fx x  ′′ = + + −  Ta có 3 75 3. 0 2 24 yf    ′′ = − <       nên loại đáp án A, D. ( ) ( ) 2 3. 0 3 0 yf ′′ − = − <   nên loại đáp án B. Vậy ta chọn đáp án C. Dạng toán 14. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x hx = = + trong bài toán chứa tham số. Câu 53: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) 2 ' 2 3, . f x x x x = + − ∀∈  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;20 − để hàm số ( ) ( ) 22 31 gx f x x m m = + − + + đồng biến trên ( ) 0;2 ? A. 16. B. 17. C. 18. D. 19. Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) 2 3 ' 2 3 0 *. 1 t ft t t t ≤−  = + − ≥ ⇔  ≥  Có ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 3' 3 gx x f x x m = + + − Vì ( ) 2 3 0, 0;2 x x + > ∀∈ nên ( ) gx đồng biến trên ( ) ( ) ( ) 0;2 ' 0, 0;2 gx x ⇔ ≥ ∀∈ ( ) ( ) 2 ' 3 0, 0;2 f x xm x ⇔ + − ≥ ∀∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 3 3, 0;2 3 3, 0;2 3 1, 0;2 3 1, 0;2 xx m x xx m x xx m x xx m x  + − ≤− ∀∈ + ≤ − ∀∈ ⇔⇔  + − ≥ ∀∈ + ≥ + ∀∈   (**) Có ( ) 2 3 hx x x = + luôn đồng biến trên ( ) 0;2 nên từ (**) ⇒ 3 10 13 10 1 mm mm − ≥ ≥  ⇔  + ≤ ≤−  Vì [ ] 10;20 m m  ∈−  ⇒  ∈    Có 18 giá trị của tham số m. Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm. Câu 54: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) '1 x fx x e = + , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [ ] 2019;2019 − để hàm số ( ) ( ) 2 ln 2 y g x f x mx mx = = − +− nghịch biến trên ( ) 2 1;e . A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021. Lời giải Chọn B Trên ( ) 2 1;e ta có ( ) ( ) ( ) 1 ' . ' ln 2 ln 1 2 1 g x f x mx m x x m x = − + = +− − Để hàm số ( ) y gx = nghịch biến trên ( ) 2 1;e thì ( ) ( ) ( ) 2 ' ln 1 2 1 0, 1; gx x x m x e = + − − ≤ ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) 2 2 ln 1 2 1 0, 1; ln 1 , 1; 21 x x m x e x mx e x ⇔ + − − ≤ ∀ ∈ + ⇔ ≤ ∀ ∈ − Xét hàm số ( ) ln 1 21 x hx x + = − trên ( ) 2 1;e , ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2ln ' 0, 1; 21 x x hx x e x −− = < ∀ ∈ − , từ đây suy ra 1 m ≥ . Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa bài toán. Câu 55: Cho hàm số ( ) = y fx liên tục trên R và có ( ) ( ) ( ) ( ) ′ =+ −− 34 5 . 1. 1 . 4 f x xx x x . Giá trị của tham số m để hàm số ( ) ( ) = = − + + ++ 22 1 1 1 y gx f x x mx m chắc chắn luôn đồng biến trên ( ) −3;0 . A. ( ) 2; 1 ∈− − m . B. ( ) ; 2 ∈ −∞ − m . C. [ ] 1;0 ∈− m . D. [ ) 0; ∈ +∞ m Lời giải Chọn D Điều kiện: + + + ≠ 22 10 x mx m (luôn đúng vì  + + + = + + + >   2 2 22 3 1 1 0 24 mm x mx m x ) ( ) ( ) ( ) + ′ ′ = − − − + ++ 2 22 2 1 1 xm gx f x x mx m Đặt ( ) ( ) = − ∈− ⇒ ∈ 1 ; 3; 0 1; 4 t xx t ( ) ( ) ′ ⇒− − ∈ − 1 , 3; 0 f x x chính là ( ) ( ) ′−∈ , 1; 4 ft t . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ′′ − >∀∈ ⇔− − >∀ ∈− 0, 1; 4 1 0, 3;0 ft t f x x Ycbt ( ) ( ) ( ) + ⇔− ≥ ∀ ∈− ⇔ + ≤ ∀ ∈− + ++ 2 22 2 0, 3;0 2 0, 3;0 1 xm x xm x x mx m ( ) ( )  −  ⇔≤− ∀∈− ⇔≤ − ⇔≤ 3;0 2 , 3;0 min 2 0 m xx m x m . Vậy )  ∈ +∞  0; m Câu 56: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) 2 2 1 x fx x + ′ = + , x ∀∈  . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( ) 20;20 − để hàm số ( ) ( ) 11 g x f x mx = +− + đồng biến trên  ? A. 20 . B. 19 . C. 17 . D. 18. Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) gx f x m ′′ = − . Hàm số ( ) ( ) 11 g x f x mx = +− + đồng biến trên  ( ) 0 gx x ′ ⇔ ≥∀ . ( ) 1 fx m ′ ⇔ +≥ x ∀ 2 3 22 x m xx + ⇔≥ ++ x ∀ 2 3 min 22 x m xx  + ⇔≥  ++   (*). Đặt ( ) 2 3 22 x hx xx + = ++ . Ta có ( ) ( ) 22 12 22 22 x hx xx xx −− ′ = ++ ++ . Cho ( ) 1 0 2 hx x ′ =⇔= − 1 5 2 h  ⇒− =   . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy ( ) *1 m ⇔ ≤− . Vì ( ) , 20;20 mm ∈ ∈−  nên { } 19; 18; 1 m∈− − − . Câu 57: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) ' 12 fx x x =+ − . Tìm m để hàm số ( ) ( ) 2x y gx f x m = = + − đồng biến trên khoảng ( ) 1;2 − . A. 9 4 m − ≤ . B. 9 10 4 m −≤ ≤ . C. 9 4 m − ≥ . D. 10 m ≥ . Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) 2x y gx f x m = = + − . Suy ra ( ) ( ) ' '2 gx f x m = + − . Để hàm số ( ) y gx = đồng biến ( ) 1;2 x ∀ ∈− thì ( ) ( ) ' 0 1;2 gx x ≥ ∀ ∈− . Hay ( ) '2 fx m + ≥ ( ) 1;2 x ∀ ∈− ⇔ ( ) '2 m fx ≤+ ( ) 1;2 x ∀ ∈− ⇔ ( ) ( ) 3 1;2 m x x x ≤ + ∀ ∈− . ( ) ( ) 2 1;2 3x x m Min x ∈ − ≤+ . Đặt ( ) 2 3x hx x = + , ( ) ( ) 3 ' 2x 3, ' 0 2 hx hx x − = + = ⇔= . Ta có bảng biến thiên như sau. x −∞ 1 − 3 2 − 2 +∞ ( ) ' hx - 0 + ( ) hx 2 − 10 9 4 − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 9 4 m ≤− . Đáp án A. Câu 58: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) 2 '1 fx x = − . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số ( ) ( ) 2 1 2 2 ln x y gx f x x m x  = = ++ −   nghịch biến trên khoảng ( ) 1; +∞ . A. 8 . B. 7 . C. 9 . D. 1. Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) 2 1 2 2 ln x y gx f x x m x  = = ++ −   . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21 ' 2x 2 ' 2 mx gx f x x x + = + ++ . Để hàm số ( ) y gx = nghịch biến ( ) 1; x ∀ ∈ +∞ thì ( ) ( ) ' 0 1; gx x ≤ ∀ ∈ +∞ . Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2x 2 ' 2 0 1; ' 2 0 1; mm f x x x f x x x x x  + + + ≤ ∀∈ +∞ ⇔ + + ≤ ∀∈ +∞   . (vì ( ) 2x 2 0 1; x + > ∀∈ +∞ ). Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 2 1 2x 0 1; 2x 1; m x x m xx x x x   − + + ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ + − ∀ ∈ +∞     Đặt ( ) ( ) 2 22 2 2x hx x x x = + − , ( ) ( ) ( ) 5 4 32 ' 2x 3 4x 6x 8x 1 , ' 0 0 hx x hx x = + + + − = ⇔= Phương trình 5 4 32 3 4x 6x 8x 1 0 x + + + −= không có nghiệm 1 x > . Ta có bảng biến thiên x −∞ 0 1 +∞ ( ) ' hx 0 + ( ) hx 8 0 Từ bảng biến thiên ta thấy 8 m ≤ . Mà m + ∈  . Suy ra m có 8 giá trị. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dạng toán 15. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x f v x hx == + + trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 16. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x f v x hx == + + trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 17. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) k y g x f ux  = =  trong bài toán không chứa tham số. Câu 1: Cho hàm số () y fx = liên tục và có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 24 ( ) 2 9 16 fx x x x ′ =+ −− trên  . Hàm số 2019 2 ( ) (2 ) y gx f x x  = = −  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ( ) 1 3;1 3 −+ . B. ( ) 3; +∞ . C. ( ) 1; +∞ . D. ( ) 1;3 − . Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 24 2 ( ) 2 9 16 3 232 4 fx x x x x x x x x ′ = + − − = − − + + + . ( ) ( ) 2018 2018 22 2 2 ( ) 2019. (2 ) (2 ) 2019. (2 ) 2 2 2 g x f xx f xx f xx x f xx ′ ′′   = − −= − − −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2018 2 22 2 2 2 2019 (2 ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 4 f xx x xx xx xx xx xx    = − − −− −− −+ −+ − +      ( ) ( ) 2 1 2 3 x xx A = − −+ Trong đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2018 22 2 22 2 2 2.2019 2 2 2 2 3 2 2 2 4 0, A f x x x x xx xx xx x     = − − + −+ −+ − + ≥ ∀∈        Khi đó ( ) ( ) [ ] [ ) 2 ( ) 0 1 2 3 0 1;1 3; gx x x x x ′ ≥ ⇒ − − + ≥ ⇔ ∈ − ∪ +∞ ⇒ Hàm số 2019 2 ( ) (2 ) y gx f x x  = = −  đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 1;1 − và ( ) 3; +∞ . Câu 2: Cho hàm số ( ) y fx = xác định và liên tục trên  có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 51 f x x x x ′ =− ++ và ( ) ( ) 5 21 ff −= = . Hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x  =  đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. ( ) ( ) ;0 2; −∞ ∪ +∞ . B. ( ) 2; 2 − . C. ( ) 0; +∞ . D. ( ) ( ) 2;0 2; − ∪ +∞ . Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn D Từ giả thiết ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 51 0 5 1 x f x x x x f x x x =   ′′ =− + +⇒ =⇔ = −   = −  Bảng biến thiên của ( ) y fx = Từ BBT suy ra ( ) 0 f x x > ∀∈  . Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x  =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 22 4. 4 2 5 1 g x f x x f x fx x x x x fx ′   ′′ ′ = = = − ++     Do ( ) ( ) 2 00 f x x fx x > ∀∈ ⇒ > ∀∈   Xét ( ) 0 0 2 x gx x =  ′ = ⇔  = ±  BBT của ( ) ( ) 2 2 gx f x  =  Từ BBT trên ta chọn đáp án D. Dạng toán 18. Biết biểu thức hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) k y g x f ux  = =  trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 19. Biết biểu thức hàm số ( ) ( ) y f ux ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = trong bài toán không chứa tham số. Câu 3: Cho hàm số () y fx = có 2 7 2 3 12 9 2 f x x x  ′ − + = − +   . Hàm số () y fx = nghịch biến trên khoảng nào sau đây. 1 1 2 -5 ∞ + ∞ + f(x) f(-1) ∞ ∞ 0 + + f'(x) x -1 0 0 + 2 0 ∞ + ∞ + g(x) ∞ ∞ 0 + + g'(x) x - 2 0 0 +NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. 19 ; 44    . B. 9 ; 4  +∞   . C. 53 ; 22   −     . D. 5 ; 2  −∞ −   . Lời giải Chọn C Ta cần giải bất phương trình () 0 fx ′ < . Từ 2 7 2 3 12 9 2 f x x x  ′ − + = − +   7 2 01 3 2 f x x  ′ ⇒ − + < ⇔ < <   . Đặt 7 2 2 tx = − + 72 4 t x − ⇒= . Khi đó ta có ( ) 72 5 3 01 3 4 2 2 t ft t − ′ < ⇔ < < ⇔− < < . Vậy hàm số () y fx = nghịch biến trên khoảng 53 ; 22  −   . Câu 4: Cho hàm số ( ) y f x = xác định, liên tục trên R và có đ ạo hàm ( ) f x ′ thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2018 xx f x gx =− + + ′ với ( ) 0, gx x R < ∀ ∈ . Khi đó hàm số ( ) 1 2018 2019 y f x x = −+ + nghịch biến trên khoảng nào? A. ( ) 1; +∞ . B. ( ) 0;3 . C. ( ;3) −∞ . D. ( ) 4; +∞ . Lời giải Chọn D Xét hàm số ( ) (1 ) 2018 2019 y hx f x x = = −+ + Ta có '( ) '(1 ) 2018 (3 ) (1 ) h x f x x xg x = − −+ = − − − Vì ( ) 0, gx x R < ∀ ∈ nên 0 '( ) 0 3 x hx x =  = ⇔  =  Bảng biến thiên Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ) 4; +∞ . NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 5: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số ( ) 35 yf x ′ = + như hình vẽ. Hàm số ( ) y f x = nghịch trên khoảng nào? A. ( ) ;8 −∞ . B. 7 ; 3   − +∞   . C. 4 ; 3  +∞   . D. ( ) ;10 −∞ . Lời giải Chọn A Đặt 35 xt = + . Khi đó ( ) ( ) 35 gt f t = + ( ) ( ) 3 35 gt f t ′′ ⇒ = + . Ta có ( ) ( ) 0 35 0 1 gt f t t ′′ < ⇔ + < ⇔ < . Khi đó ( ) 5 0 18 3 x fx x − ′ < ⇔ < ⇔ < . Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1;8 − . Câu 6: Cho hàm số ( ) f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ( ) 32 f x − nghịch biến trên khoảng ( ) ; αβ . Khi đó giá trị lớn nhất của β α − là: A. 9 . B. 3 . C. 6 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta có: ( ) ( ) 32 3. 32 yf x y f x ′′ = −⇒ = − . Hàm số ( ) 32 yf x = − nghịch biến ( ) ( ) 0 3. 3 20 3 2 0 y fx fx ′′ ′ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ . O y x ( ) f x 1 4NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC 13 2 4 1 2 x x ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ . Vậy khoảng ( ) ; αβ lớn nhất là ( ) 1;2 . Câu 7: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị hàm số ( ) 2 yf x ′ = − như hình vẽ bên. Hỏi hàm số ( ) y f x = đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ) 2;4 − . B. ( ) 1;3 − . C. ( ) 2;0 − . D. ( ) 0;1 . Lời giải Chọn C Đặt 2 x t = − ta có ( ) 2 yf t = − ( ) 2 yf t ′′ ⇒ = − − . ( ) 0 20 y ft ′′ > ⇔ − < 24 t ⇔ << hay Khi đó ( ) 0 fx ′ > 22 4 2 0 xx ⇔ < − < ⇔− < < . Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( ) 2;0 − . Dạng toán 20. Biết biểu thức hàm số ( ) ( ) y f ux ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = trong bài toán chứa tham số. Câu 8: Cho hàm số ( ) ( ) 5 gx f x = − có đạo hàm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 5 2 10 5 41 gx x x x m x m  = − − −+ + +  với mọi . Có bao nhiêu số nguyên dương để hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) ; 1 −∞ − . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ' '5 '5 ' gx f x f x gx = − −⇒ − = − . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 5 ' 5 2 10 5 41 f x gx x x x m x m  −= − =− − − + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 5 5 5 3 5 5 16 f x x x xm x  ⇔ − = − − − − + − +  x ∈  m 7 8 9 10NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) ; 1 −∞ − khi và chỉ khi ( ) ( ) ' 0, ; 1 fx x ≥ ∀ ∈ −∞ − (Dấu “ ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 16 0, ; 1 x x x mx x ⇔ − − + + ≥ ∀ ∈ −∞ − ( ) 2 16 0, ; 1 x mx x ⇔ + + ≥ ∀ ∈ −∞ − (vì 0 x < và ( ) ( ) 2 3 0, ; 1 xx − > ∀ ∈ −∞ − ) ( ) 2 16 , ; 1 x mx x − − ⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ − ( ) ( ) ;1 min m hx −∞ − ⇔≤ Với ( ) ( ) 2 16 16 16 2. . 8 x hx x x x x x − − −  = =−− ≥ − =   , dấu “=” xảy ra khi 4 x = − . , kết hợp với điều kiện nguyên dương ta suy ra . Vậy có giá trị của thỏa mãn. Dạng toán 21. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 22. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 23. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 24. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 25. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) gx y f x = hoặc ( ) ( ) f x y gx = trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 26. Biết biểu thức của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) gx y f x = hoặc ( ) ( ) f x y gx = trong bài toán chứa tham số. = ( ) ( ) 6; min 8 hx +∞ = ⇒ 8 m ⇒≤ m { } 1;2;3;4;5;6;7;8 m ∈ 8 mNHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) ' y fx = PHẦN 3: Biết đồ thị của hàm số Dạng toán 27. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f x hx = = + trong bài toán không chứa tham số. Câu 9: Cho hàm số ( ) y fx = có đạo hàm liên tục trên .  Đồ thị hàm số ( ) y f x ′ = như hình bên dưới. Hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x x = − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ( ) ; 2 −∞ − . B. ( ) 2;2 − . C. ( ) 2;4 . D. ( ) 2; +∞ . Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 . gx f x x gx f x x ′ ′ ′ ′ = − ⇒ =⇔ = Số nghiệm của phương trình ( ) 0 gx ′ = chính là số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x ′ = và đường thẳng : dy x = (như hình vẽ bên dưới). NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dựa vào đồ thị, suy ra ( ) 2 0 2. 4 x gx x x = −   ′ =⇔=   =  Lập bảng biến thiên ⇒ hàm số ( ) gx đồng biến trên ( ) 2;2 − và ( ) 4; +∞ . So sánh 4 đáp án Chọn B Câu 10: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = như hình vẽ bên dưới. Hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 x gx f x x x = − + −+ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( ) 1;0 − . B. ( ) 0;2 . C. ( ) 1;2 . D. ( ) 0;1 . Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 2 21 gx f x x x ′′ = −+ − , ( ) ( ) ( ) 2 01 gx f x x ′′ =⇔=− . Suy ra số nghiệm của phương trình ( ) 0 gx ′ = chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm số ( ) fx ′ và parabol ( ) ( ) 2 :1 P y x = − . NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dựa vào đồ thị ta suy ra ( ) 0 01 2 x gx x x =   ′ =⇔=   =  . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta Chọn D Lưu ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( ) ;0 −∞ ta thấy đồ thị hàm ( ) fx ′ nằm phía trên đường ( ) 2 1 yx = − nên ( ) gx ′ mang dấu − . Nhận thấy các nghiệm 0, 1, 2 x x x = = = là các nghiệm đơn nên qua ( ) gx ′ đổi dấu. Câu 11: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = như hình vẽ. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y Hỏi hàm số ( ) ( ) ( ) 2 21 gx f x x = ++ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( ) 3; +∞ . B. ( ) 1;3 . C. ( ) 3;1 − . D. ( ) ;3 −∞ . Lời giải Chọn B NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Tập xác định của ( ) gx là  . Ta có ( ) ( ) 21 gx f x x ′′ = ++   . Hàm số đồng biến khi và chỉ khi ( ) 1 fx x ′ ≥− − , (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). Vẽ chung đồ thị ( ) y fx ′ = và 1 y x =−− trên cùng một hệ trục như sau: -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y Từ đồ thị ta có ( ) 1 fx x ′ ≥− − 3 13 x x ≤−  ⇔  ≤≤  . Chọn B Câu 12: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên [ ] 1;5 − có đồ thị của hàm ( ) y fx ′ = được cho như hình bên dưới. Hàm số ( ) ( ) 2 2 44 gx f x x x = − +− + đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ( ) 1;0 . − B. ( ) 0;2 . C. ( ) 2;3 . D. ( ) 2; 1 . −− Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 44 gx f x x x = − +− + trên [ ] 1;5 − ta có: ( ) ( ) 2 24 gx f x x ′′ = − +− ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0; 2 0 23 4; 5 xx gx f x x x xx = ∈   ′′ = ⇔ = − ⇔ =   = ∈  . Bảng xét dấu ( ) gx ′ : Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2;3 . Câu 13: Cho hàm số ( ) = y f x . Đồ thị hàm số ( ) ' = y fx như hình vẽ dưới đây. Xét hàm số ( ) ( ) 32 13 3 2018 34 2 = − − ++ gx f x x x x . Hàm số ( ) y gx = đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) ; 2 −∞ − B. ( ) 3; 1 − − . C. ( ) 1;1 − . D. ( ) 1; +∞ . Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có: ( ) ( ) ( ) 22 3 3 33 '' ' 2 2 22  = − − += − + −   g x fx x x fx x x ( ) ( ) 2 33 ' 0' 22 ⇒ =⇔ =+− gx f x x x Ta vẽ đồ thị hàm số 2 33 22 = +− yx x Dựa nào đồ thị ( ) 3 '0 1 1 = −   ⇒ =⇔ = −   =  x gx x x Bảng biến thiên Dạng toán 28. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f x hx = = + trong bài toán chứa tham số. Câu 14: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = như hình vẽ bên. Các giá trị của m để hàm số ( ) ( ) 1 y f x m x = +− đồng biến trên khoảng ( ) 0;3 là A. 4 m > . B. 4 m ≤ . C. 4 m ≥ . D. 04 m > > . Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn C Ta có ( ) ( ) 1 y fx m x = +− ( ) 1 y f x m ′′ ⇒ = +− . Hàm số ( ) ( ) 1 y f x m x = +− đồng biến trên khoảng ( ) 0;3 ⇔ ( ) ( ) ( ) 0;3 0;3 0, 1 0, y x f x m x ′ ′ ≥ ∀∈ ⇔ + − ≥ ∀∈ ( ) ( ) , 0;3 1 m f x x ⇔ ′ − + ≤ ∀∈ ( ) ( ) 0;3 1 min x m f x ∈ ′ ⇔− + ≤ 13 4 mm ⇔ − + ≤− ⇔ ≥ . Câu 15: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị của hàm số ( ) ' y fx = như hình vẽ. Đặt ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2019 2 g x f xm xm = − − − − + với m là tham số thực. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số ( ) y gx = đồng biến trên khoản ( ) 5;6 . Tổng các phần tử của S bằng: A. 4 . B. 11. C. 14. D. 20. Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) '' 1 g x f xm xm = − − − − Đặt ( ) ( ) ( ) ' 1 hx f x x = − − . Từ đồ thị ( ) ' y fx = và đồ thị 1 yx = − trên hình vẽ ta suy ra ( ) 11 0 3 x hx x −≤ ≤  ≥ ⇔  ≥  NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có ( ) ( ) 1 11 1 '0 33 xm m x m g x hx m xm x m −≤ − ≤ − ≤ ≤ +   = − ≥ ⇔ ⇔   −≥ ≥ +   Do đó hàm số ( ) y gx = đồng biến trên các khoảng ( ) 1; 1 mm −+ và ( ) 3; m + +∞ Do vậy, hàm số ( ) y gx = đồng biến trên khoảng ( ) 5;6 15 56 16 2 35 m m m m m  − ≤  ≤≤    ⇔⇔ +≥    ≤   +≤  Do m nguyên dương nên { } 1;2;5;6 m ∈ , tức { } 1;2;5;6 S = Tổng các phần tử của S bằng 14. Câu 16: Cho hàm số   y fx  có đạo hàm liên tục trên .  Đồ thị hàm số   y fx   như hình bên dưới Đặt hàm số          2 1 2 x g x f m x x mx , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn   2020; 0 để hàm số    y gx nghịch biến trên khoảng   2;0 ? A. 2016. B. 2017. C. 2019. D. 2020. Lời giải. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có            1 1. gx f m x x m Ta có            0 1 1. gx f m x x m Đặt    1 tm x , bất phương trình trở thành   . ft t   Từ đồ thị của hàm số   y fx   và đồ thị hàm số yx  (hình vẽ bên dưới) ta thấy đường thẳng yx  cắt đồ thị hàm số   ' fx lần lượt tại ba điểm    3; 1; 3. x xx Quan sát đồ thị ta thấy                              3 13 4 1 31 1 3 2 t mx x m ft t t m x mx m Suy ra hàm số    y gx nghịch biến trên các khoảng     4; m và    2 ; . mm Để hàm số    y gx nghịch biến trên khoảng   2;0 thì                            42 6 22 0 0 m m m m m Vậy trên đoạn   2020; 0 có tất cả 2016 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Câu 17: Cho hàm số ( ) y fx = liên tục trên  có đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = như hình vẽ. Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 3 2 gx f x x m x m = − + − + . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng ? NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. Với mọi giá trị của tham số m thì ( ) gx nghịch biến trên các khoảng ( ) 2;0 − và ( ) 2; +∞ , đồng biến trên ( ) ; 2 −∞ − và ( ) 0;2 . B. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để ( ) gx nghịch biến trên các khoảng ( ) 2;0 − và ( ) 2; +∞ , đồng biến trên ( ) ; 2 −∞ − và ( ) 0;2 . C. Với mọi giá trị của tham số m thì ( ) gx đồng biến trên các khoảng ( ) 2;0 − và ( ) 2; +∞ , nghịch biến trên ( ) ; 2 −∞ − và ( ) 0;2 . D. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để ( ) gx đồng biến trên các khoảng ( ) 2;0 − và ( ) 2; +∞ , nghịch biến trên ( ) ; 2 −∞ − và ( ) 0;2 . Lời giải Chọn C Với mọi giá trị của tham số m ta luôn có: ( ) ( ) 3 gx f x x ′′ = −− . ( ) ( ) 2 0 30 2 x gx f x x x x = −   ′′ = ⇔ = +⇔ =   =  . Bảng biến thiên: ( ) gx ⇒ đồng biến trên các khoảng ( ) 2;0 − và ( ) 2; +∞ , nghịch biến trên ( ) ; 2 −∞ − và ( ) 0;2 . Dạng toán 29. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f u x = = trong bài toán không chứa tham số. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 18: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  . Biết hàm số ( ) y fx ′ = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số ( ) 2 1 yf x = + . A. ( ) ( ) ; 3 , 0; 3 −∞ − . B. ( ) ( ) ; 3 , 3; −∞ − +∞ . C. ( ) ( ) 3;0 , 3; − +∞ . D. ( ) ( ) ; 3 , 0; −∞ − +∞ . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) 2 1 yf x = + ( ) 2 2 1 1 x y f x x ′′ ⇒ = + + . ( ) 2 0 0 10 x y f x =   ′ = ⇔ ′ +=   2 2 2 2 0 11 10 11 12 x x x x x =   +=−   ⇔ +=   +=   +=  2 2 0 11 12 x x x =   ⇔ +=   +=   2 2 0 1 1 14 x x x =   ⇔ +=   +=  0 3 3 x x x =   ⇔= −   =  Bảng biến thiên Vậy hàm số ( ) 2 1 yf x = + đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) 3;0 , 3; − +∞ . NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 19: Cho hàm số ( ) y fx = .Hàm số ( ) y f x ′ = có đồ thị như hình bên. Hàm số ( ) 2 yf x = − đồng biến trên khoảng: A. ( ) 1;3 . B. ( ) 2; +∞ . C. ( ) 2;1 − . D. ( ) ;2 −∞ . Lờigiải Chọn C Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 .2 2 f x x f x f x ′ ′ ′′ − =− − = − − Hàm số đồng biến khi ( ) ( ) ( ) 21 3 2 0 20 1 24 21 xx fx f x xx − <− >  ′ ′ − > ⇔ − < ⇔ ⇔  < − < − < <  . Câu 20: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  và hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số ( ) 2 y fx = đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ) 1;2 . B. ( ) 2; − +∞ . C. ( ) 2; 1 −− . D. ( ) 1;1 − . Lời giải Chọn C Đặt ( ) ( ) 2 gx f x = . ( ) ( ) 2 2. g x xf x ′′ = . NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Cách 1:Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = đồng biến khi và chỉ khi ( ) 0 gx ′ ≥ (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 .0 0 2 0 x f x xf x x f x ≥     ′ ≥    ′ ⇔ ≥ ⇔  ≤      ′ ≤     . ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 11 01 1 11 02 2 4 2 x x x x x x f x x x x x ≥  ≥   ≥  −≤ ≤ ≤≤      ⇔ ⇔ ⇔⇔ −≤ ≤     ′ ≥ ≤− ≥       ≥     ≥   . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 1 2 1 21 0 1 14 22 lo¹i x x x x xx f x x x x ≤  ≤   ≤  ≤−     ⇔ ⇔ ≤− ⇔ ⇔ − ≤ ≤−    ′ ≤ ≥      ≤≤     −≤ ≤  . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ( ) 2; 1 , 0;1 , 2; − − +∞ . Cách 2: Dựa vào đồ thị có ( ) 1 01 4 x fx x x = −   ′ =⇔=   =  . Chọn ( ) ( ) ( ) ( ) 11 4 fx x x x ′ =+ −− . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 0 2 1 1 40 1 2 x g x xx x x x x =   ′ ⇒ = + − −=⇔ = ±   = ±  . Bảng xét dấu ( ) gx ′ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ( ) 2; 1 , 0;1 , 2; − − +∞ . Câu 21: Cho hàm số () y fx = có đạo hàm () fx ′ trên R và đồ thị của hàm số () fx ′ như hình vẽ. Hàm số ( ) 2 ( 2 1) gx f x x = −− đồng biến trên khoảng nào dưới đây? NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. ( ) ;1 −∞ . B. ( ) 1; +∞ . C. ( ) 0;2 . D. ( ) 1;0 − . Lời giải Chọn D Ta có: ( ) 2 ' (2 2). '( 2 1) g x x fx x = − −− . Lại có ( ) 2 2 1 ' 0 21 1 2 12 x gx x x xx =   = ⇔ − −=−   − −=  0 1 2; 3 x x x x =   ⇔ = ±   = =  Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( ) 1;0 − . Câu 22: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số ( ) ' y fx = như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = −− nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) ;1 −∞ − . B. 1 1; 2 −   −     . C. 1 ; 2 − +∞   . D. ( ) 1;0 − . Lời giải Chọn B x y O 2 4 4 −NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Từ đồ thị của hàm số ( ) ' y fx = ta có: ( ) ' 00 4 fx x < ⇔ < < và ( ) 0 '0 4 x fx x <  > ⇔  >  Xét hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = −− có ( ) ( ) ( ) 2 ' 12 ' g x xf x x = −− − − Để hàm số ( ) gx nghịch biến thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12 0 '0 ' 0 12 ' 0 12 0 '0 x f xx g x xf x x x f xx − − <     −− >    < ⇒ −− − − < ⇔  −− >      −− <     2 2 2 2 1 1 2 2 0 1, 0 4 0 1 11 1 2 22 0 10 4 x x xx x x xx x x x xx x xx x xx −  −  > >             −− < <− >           − − > ∈ ∅ >       ⇔⇔ ⇔  − −−    −< < <<          ∈ −− >       −< <  −− <            Suy ra hàm số ( ) gx nghịch biến trên khoảng 1 1; 2 −   −     và ( ) 0; +∞ . Vậy B là đáp án đúng. Dạng toán 30. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f u x = = trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 31. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x hx = = + trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 32. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x hx = = + trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 33. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x f v x hx == + + trong bài toán không chứa tham số. Câu 23: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị ( ) fx ′ như hình vẽ NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hỏi hàm số ( ) ( ) ( ) 2 1 2 63 gx f x f x x x = ++ − − + − đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây A. ( ) ;0 −∞ B. ( ) 0;3 C. ( ) 1;2 D. ( ) 3; +∞ Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 62 0 gx f x f x x x K ′′ ′ = + − − − + − ≥ ∀∈ ta chỉ cần chọn x sao cho ( ) ( ) 10 20 62 0 fx fx x ′ +≥   ′ − ≤   −≥  11 12 22 1 3 x x x x  +≥    + ≤−    ⇔ − ≤ − ≤   ≤    13 x ⇔ ≤ ≤ đối chiếu đáp án ta tìm được đáp án C Dạng toán 34. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x f v x hx == + + trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 35. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) k y g x f ux  = =  trong bài toán không chứa tham số. Câu 24: Cho hàm số ( ) y f x = . Đồ thị ( ) y fx ′ = như hình bên dưới. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số ( ) ( ) 3 21 gx f x = −   nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. ( ) 1;0 − B. ( ) 0;1 C. 1 0; 2    D. 1 ;1 2       Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 2 6 21 . 21 gx f x f x ′′ = − − Do ( ) 2 6 2 10 f x−≥ với x ∀∈  nên để hàm số nghịch biến thì ( ) 2 10 fx ′ −≤ Dựa vào đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = ta có Để ( ) 1 2 11 2 10 1 1 2 10 0 2 x x fx x x ≥  − ≥   ′ − ≤⇒ ⇔   −≤ − ≤ ≤≤   Câu 25: Cho hàm số ( ) y f x = . Đồ thị ( ) y fx ′ = như hình bên dưới. Hàm số ( ) ( ) 2019 1 gx f x = −     nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. ( ) 1;5 − . B. ( ) 2;1 − . C. ( ) 1;3 . D. ( ) 3;5 . Lời giải Chọn D NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có ( ) ( ) ( ) 2018 2019 1 . 1 gx f x f x ′′ = − −− Do ( ) 2018 2019 1 0 fx − − ≤ với x ∀∈  nên để hàm số nghịch biến thì ( ) 10 fx ′ − ≥ Dựa vào đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = ta có Để ( ) 1 01 2 3 fx x x ′ − ≥ ⇒ − ≤− ⇔ ≥ . Câu 26: Cho hàm số ( ) y f x = . Đồ thị ( ) y fx ′ = như hình bên dưới và ( ) ( ) 1 20 f f − = = Hàm số ( ) ( ) 2 2 3 gx f x  = −  đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. ( ) 1;2 B. ( ) 0;1 C. ( ) 1;0 − D. ( ) 2; 1 −− Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 22 4 3 . 3 g x xf x f x ′′ = −− Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = Do ( ) ( ) 1 20 f f − = = nên ( ) 2 30 fx −≤ với x ∀∈  để hàm số đồng biến thì ( ) 2 . 30 xf x ′ −≤ TH1: 0 x ≥ thì ( ) 2 3 2 3 2 1 3 0 2 3 30 32 5 5 x xx f x x x x  − ≤ ≤−  −≤ − ≤ ≤ ≤  ′ − ≤⇒ ⇔   − ≥ ≥    ≤−  NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Vì 0 x ≥ nên 23 5 x x  ≤≤  ≥   TH2: 0 x ≤ thì ( ) 2 3 2 53 0 32 30 3 5 31 22 x x f x x x x  − ≤ ≤−   ≤ − ≤ ′ − ≥⇒ ⇔ ≤ ≤   − ≤−   − ≤≤   Vì 0 x ≤ nên 53 20 x x  − ≤ ≤−  − ≤≤   Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ) 5; 3 −− , ( ) 2;0 − , ( ) 2; 3 , ( ) 5; +∞ . Câu 27: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và có đạo hàm trên  . Đồ thị của hàm số ( ) ' y fx = có dạng như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) 3 2 y gx f x = = −   nghịch biến trên khoảng nào sau đây A. ( ) 1;2 B. ( ) 3;4 C. ( ) ; 1 −∞ − D. ( ) 4; +∞ Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) 2 g' 3 2 ' 2 x f x f x =−−   , hàm số ( ) ( ) 3 2 y gx f x = = −   nghịch biến khi và chỉ khi ( ) '0 gx ≤ ( ) ' 2 0 1 22 fx x ⇔ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ 34 x ⇔ ≤ ≤ Dạng toán 36. Biết đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) k y g x f ux  = =  trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 37. Biết đồ thị hàm số ( ) ( ) y f ux ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = trong bài toán không chứa tham số. Câu 28: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị hàm số 3 2 2 yf x  ′ = +   như hình vẽ bên. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số ( ) y f x = đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 17 ; 22   −     . B. 51 ; 44   −     . C. 3 ; 4  +∞   . D. 1 ; 2   −∞ −     . Lời giải Chọn A Ta cần giải bất phương trình ( ) 0 y fx ′′ = > . Dựa vào đồ thị 3 2 2 yf x  ′ = +   . Ta có 11 3 20 3 2 x f x x −< <   ′ + > ⇔   >   ( ) * Đặt 3 2 2 tx = + ( ) 1 23 4 x x ⇔= − . Khi đó ( ) ( ) 23 1 7 11 4 2 2 *0 2 3 15 3 42 t t ft t t −  −< < − < <  ′ ⇔ > ⇔ ⇔  −  >>   . Do đó hàm số ( ) y f x = đồng biến trên các khoảng 17 ; 22   −     và 15 ; 2  +∞   . Câu 29: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm là hàm số ( ) fx ′ trên  . Biết rằng hàm số ( ) 31 yf x ′ = − có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ) ; 6 −∞ − . B. ( ) 1;5 . C. ( ) 2;6 . D. ( ) ; 7 −∞ − . Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số ( ) 31 yf x ′ = − ta có: ( ) 31 0 fx ′ −> 2 12 x x <−  ⇔  <<  Đặt 31 tx = − 1 3 t x + ⇔= Suy ra: ( ) 0 ft ′ > 1 2 3 1 1 2 3 t t +  <−  ⇔  +  <<   16 3 16 t t + <−  ⇔  <+<  7 25 t t <−  ⇔  <<  Do đó: Hàm số ( ) f x đồng biến trên các khoảng ( ) ; 7 −∞ − và ( ) 2;5 Câu 30: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị hàm số 7 ' 2x 2 2 yf  = −+ +   như hình bên Hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 19 ; 44    . B. 9 ; 4  +∞   . C. 53 ; 22   −     . D. 5 ; 2  −∞ −   . Lời giải Chọn C Quan sát đồ thị hàm số 7 ' 2x 2 2 yf  = −+ +   ta có 7 7 2 0 2 2 2 1 3(*) 2 2 f x f x x ′′   − + < ⇔ − + + <⇔ <<     (đồ thị hàm số nằm dưới đường thẳng 2 y = khi và chỉ khi ( ) 1;3 ) x ∈ Đặt 7 72 2 24 t tx x − = − + ⇔= khi đó (*) 72 5 3 () 0 1 3 4 2 2 t f t t ′ − ⇔ < ⇔ < < ⇔− < < điều đó chứng tỏ hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên khoảng 53 ; 22   −    NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 31: Cho đồ thị hàm số ( ) 3 1 y f x ′ = + như hình vẽ. Hàm số ( ) f x nghịch biến trong khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( ) 2;2 − . B. ( ) 2;5 . C. ( ) 5;10 . D. ( ) 10; +∞ . Lời giải Chọn B Từ đồ thị suy ra ( ) 3 20 10 12 x f x x −< <  ′ + < ⇔  <<  . Đặt 3 3 11 tx x t = +⇔ = − . Suy ra ( ) 3 3 2 1 08 1 07 1 0 1 18 2 9 1 12 t tt ft t t t  − < − < − < − < − < <  ′ < ⇔ ⇔ ⇔   < − < < < < − <   . Vậy hàm số ( ) f x nghịch biến trong các khoảng ( ) 7;1 − và ( ) 2;9 . Dạng toán 38. Biết đồ thị hàm số ( ) ( ) y f ux ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = trong bài toán chứa tham số. Câu 32: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  , hàm số ( ) 2 y fx ′ = − có đồ thị như hình dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số ( ) ( ) 2 8 gx f x x m = −+ nghịch biến trên khoảng 9 4; 2       . A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4 . Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có: đồ thị hàm số ( ) 2 y fx ′ = − là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = sang phải hai đơn vị. Khi đó hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên: x −∞ 3 − 2 − 1 − +∞ ( ) fx ′ + 0 − 0 + 0 + Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 8 (2 8) 8 g x f x x m g x x f x x m ′′ = −+ ⇒ = − −+ ( ) ( ) 2 9 (2 8) 8 0 (4; ) 2 gx x f x x m x ′′ = − − + < ∀∈ 2 2 2 9 8 3 ; (4; ) 13 2 3 8 2 13 9 13,75 8 2 ; (4; ) 2 x x mx m x x m m m x x mx  − + − ≤ ∀∈  ≥   − ≤ − + ≤− ⇔ ⇒ ⇔ =  ≤   − + − ≥ ∀∈   . Do đó có 1 giá nguyên của m để ( ) ( ) 2 8 gx f x x m = −+ nghịch biến trên khoảng 9 4; 2       . Dạng toán 39. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 40. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 41. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán không chứa tham số. Câu 33: Cho hàm số ( ) ( ) ,' yf x yf x = = có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng ( ) 0;2 , hàm số ( ) . x y e f x − = có bao nhiêu khoảng đồng biến? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C ( ) ( ) ( ) ( ) . '' xx y e f x y e f x f x −− = →= − NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dựa vào đồ thị ta có: ( ) ( ) 1 ,0 2 ' 0 ' 3 ,1 2 xa a y f x f x x b b  = <<  =↔=↔   = <<   Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) 0; , ;2 ab . Câu 34: Cho hàm số () y fx = , '( ) y fx = có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng ( ) 4;3 − , hàm số 10 () x y e fx −+ = có bao nhiêu khoảng nghịch biến? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Chọn B Ta có: [ ] 10 10 10 ' () '(). () '() x xx y e fx f x e e fx f x −+ −+ −+ = − + =−+ Dựa vào đồ thị, ta có: ,4 3 3 ' 0 '() () , 0 2 ,0 3 xa a y f x fx x b b xc c = − < <−    = ⇔ = ⇔ = − <<   = < <  Bảng biến thiên x -4 a -3 3 2 − b 0 c 3 ' y + 0 - - - 0 + + 0 - NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC y Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số 10 () x y e fx −+ = có hai khoảng nghịch biến ( , );( ;3) ab c Dạng toán 42. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 43. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) gx y f x = hoặc ( ) ( ) f x y gx = trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 44. Biết đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) gx y f x = hoặc ( ) ( ) f x y gx = trong bài toán chứa tham số. ( ) ' y fx = PHẦN 4: Biết BBT của hàm số Dạng toán 45. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f x hx = = + trong bài toán không chứa tham số. Câu 35: Cho hàm số   y fx  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x −∞ 2 − 0 1 +∞ ( ) fx ′ − 0 + 0 − 0 + Đặt     32 11 32 y gx f x x x    . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. Hàm số   y gx  đồng biến trên khoảng ( ) ;1 −∞ . B. Hàm số   y gx  đồng biến trên khoảng ( ) 1;2 . C. Hàm số   y gx  đồng biến trên khoảng ( ) 0;1 . D. Hàm số   y gx  nghịch biến trên khoảng ( ) 2;1 − . Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn B Tập xác định của hàm số   y gx  là  Ta có:         32 2 11 32 y g xf x x x y g xf x x x              2 00 1 x fx x x            ; 2 0 0 1 x x x x         Bảng xét dấu của   y gx    như sau: x −∞ 2 − 0 1 +∞ ( ) fx ′ − 0 + 0 − 0 + 2 x x  + + 0 − 0 +   y gx    Chưa xác định dấu + 0 − 0 + Từ bảng xét dấu của   y gx    suy ra: Hàm số   y gx  nghịch biến trên khoảng ( ) 0;1 . Hàm số   y gx  đồng biến trên các khoảng ( ) 2;0 − và ( ) 1; +∞ mà ( ) ( ) 1;2 1; ⊂ +∞ nên đáp án B đúng. Câu 36: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu của ( ) ' y fx = như sau: Hỏi hàm số ( ) ( ) 2 ( ) ln 1 gx f x x x = − ++ nghịch biến trên khoảng nào? A. ( ) ;0 −∞ . B. ( ) 0;1 . C. ( ) 1; − +∞ . D. ( ) 1;0 − . Lời giải Chọn B Tập xác định của hàm () gx là DR = NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có ( ) ( ) 2 2 1 '' . 1 x gx f x xx + = − ++ Đặt ( ) 2 2 1 1 x hx xx + = ++ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 '. 1 xx hx xx − −+ ⇒= ++ Ta có ( ) 3 1 2 '0 3 1 2 x hx x  − =   = ⇔  −− =   Bảng biến thiên của hàm số () y hx = như sau: Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1; 0 1 1; 0. 2 h hh h   − = − = = − =     Từ bảng biến thiên có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0;1 ; ' 0, ; 1 0;1 . hx x f x x > ∀∈ < ∀∈ −∞ − ∪ Nên suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0, 0;1 ' 0, 0;1 . f x h xx g xx − < ∀∈ ⇔ < ∀∈ Vậy hàm số ( ) gx nghịch biến trên ( ) 0;1 . Từ bảng biến thiên có ( ) ( ) 1 ( ) 1;0 ; ' 0, 1; 2 hx f x x −  ∈− > ∀ ∈ −   . 1 '() () 0, 1; . 2 f x hx x −  ⇒ − > ∀∈ −   Do đó hàm số ( ) y gx = đồng biến trên 1 1; 2 −  −   . Lại có trong các miền ( ) ( ) ( ) ;0 ; 1; ; 1;0 −∞ − +∞ − đều chứa miền 1 1; 2  −−   nên loại A,C,D. Câu 37: Cho hàm số   y fx  có đạo hàm liên tục trên  và bảng biến thiên của   ' y fx  như sau: NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số     3 gx f x x   đồng biến trên khoảng nào? A.   2;2019 B.   2019; 2  C.   1;2 D.   1;1  Lời giải: Chọn A Tập xác định của hàm số là  Ta có:     ' '3 gx f x   Hàm số   y gx  đồng biến   '0 gx       '' 30 3 2. fx fx x       Dạng toán 46. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f x hx = = + trong bài toán chứa tham số. Câu 38: Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên  và bảng biến thiên y = f ’ (x) được cho như sau: Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số g(x) = f(x) - ( ) 2 ln 1 x + - mx đồng biến trên [ ] 1;1 − . A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 Lời giải Chọn C Ta có: g(x) = f(x) - ( ) 2 ln 1 x + - mx có txđ D =  g ’ (x) = f ’ (x) - 2 2 1 x x + - m Hàm số g(x) đồng biến trên [ ] 1;1 −⇔ g ’ (x) [ ] 0 1;1 x ≥ ∀ ∈− x – -1 1 + 3 f’(x – 3 -3 + ∞ NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ' 2 ' 2 ' 2 2 0 1;1 1 2 1;1 1 1 2 : 5( ) 1;1 ; 1 1;1 1 x fx m x x x m fx x x x do f x bbt x x x ⇔ − − ≥ ∀ ∈− + ⇔ ≤ − ∀ ∈− + ≥ ∀ ∈− ≤ ∀ ∈− + ( ) [ ] ' 2 2 4 1;1 1 x fx x x ⇒ − ≥ ∀ ∈− + dấu “=” xảy ra khi “x=1” Vậy (1) 4 m ⇔≤ . Dạng toán 47. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f u x = = trong bài toán không chứa tham số. Câu 39: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau Hỏi hàm số ( ) ( ) 2 2 y gx f x x = = + đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ( ) ;0 −∞ . B. ( ) 2;1 − . C. ( ) ; 2 −∞ − . D. ( ) 2; +∞ . Lời giải Chọn C Tập xác định D =  . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2. 2 y g x f x x x x f x x ′ ′  ′′ ′ = = +=+ +  ( ) ( ) 2 2 2. 2 x f x x ′ =++ . Ta có ( ) 2 2 2 1 11 x x x + = + − ≥− với x ∀∈  dựa vào bảng xét dấu trên ta có ( ) 2 20 f x x ′ +≤ với x ∀∈  dấu "" = chỉ xảy ra tại 1 x = − . Từ đó 0 y ′ ≥ ( ) ( ) 2 2 2. 2 0 x f x x ′ ⇔ + +≥ 2 20 1 xx ⇔ + ≤ ⇔ ≤− nên hàm số đồng biến trên ( ) ; 1 −∞ − . Mặt khác ( ) ( ) ; 2 ; 1 −∞ − ⊂ −∞ − nên phương án C thỏa mãn bài toán. Câu 40: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau: . ( ) y f x = NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Đặt ( ) ( ) 2 x gx f e = − , hàm số xác định trên  . Ta có: ( ) ( ) '2 xx g x ef e ′ = −− . ( ) '0 gx = 21 21 24 x x x e e e  −= −  ⇔ −=   −=  ln 3 0 2( ) x x x e  =  ⇔=   = −  voâ nghieäm Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số ( ) y gx = như sau: Suy ra hàm số ( ) y gx = đồng biến trên các khoảng ; . Vậy chọn phương án D. Câu 41: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = − nghịch biến trên khoảng nào dưới đây:. A. ( ) 3; +∞ . B. ( ) 2;3 . C. ( ) 1;2 − . D. ( ) ; 1 −∞ − . Lời giải Chọn C - Do ( ) ( ) hx f x = là hàm chẵn, đồ thị hàm số ( ) y hx = nhận trục tung làm trục đối xứng ( ) 2 x yf e = − ( ) ;1 −∞ ( ) 1;4 ( ) 0;ln 3 ( ) 2; +∞ ( ) ;0 −∞ ( ) ln 3; +∞NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC nên từ bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = suy ra bảng biến thiên của hàm số ( ) ( ) hx f x = như sau: - Tịnh tiến đồ thị hàm số ( ) ( ) hx f x = sang phải (theo trục hoành) 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = − . Suy ra bảng biến thiên của hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = − : Từ bảng biến thiên của hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = − ta thấy hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = − nghịch biến trên ( ) 1;2 − và ( ) 5; +∞ nên ta chọn đáp án C. Câu 42: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  , có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) y f f x = đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ) ; 2 −∞ − . B. ( ) 1;1 − . C. ( ) 2; +∞ . D. ( ) 0;2 . Lời giải Chọn A Đặt ( ) ( ) ( ) gx f f x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .' . f x f x g x f f x f x ′′ ⇒ = Do đó ( ) gx ′ không xác định khi ( ) 0 f x = hay 0 x = . x ( ) fx ′ ( ) f x −∞ 1 1 − 0 + − 0 +∞ − 0 0 1 − 1 0 0 x ( ) fx ′ ( ) f x −∞ 1 1 − 0 + − 0 +∞ − 0 0 1 − 1 0 0NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 11 1 0 1 x fx x g x f x x f x f f x f x  = ± ′ =   = ±  ′  =⇔ ⇔ = ⇔ ⇔= ±   = ± ′ =     = −   . Từ bảng biến thiên của ( ) f x ta có ( ) [ ] 0;1 , f x x ∈ ∀∈  . Suy ra ( ) ( ) 0, f f x x ′ ≥ ∀∈  . Ta có bảng xét dấu của ( ) ' gx như sau: Từ đó suy ra ( ) gx đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ; 1 −∞ − và ( ) 0;1 . Câu 43: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  . Biết hàm số ( ) y fx ′ = có bảng xét dấu như sau Hàm số ( ) ( ) 2cos 1 gx f x = + đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; 6 π    . B. ; 43 π π    . C. ; 32 π π    . D. ; 2 π π    . Lời giải Chọn C Nhận thấy các tập hợp trong các đáp án đều là tập con của tập ( ) 0; π nên ở bài này ta xét trên khoảng ( ) 0; π . Hàm số ( ) gx đồng biến ( ) 0 gx ′ ⇔≥ và ( ) 0 gx ′ = tại hữu hạn điểm ( ) ( ) 2sin . 2cos 1 0 2cos 1 0 x fx fx ′′ ⇔− +≥ ⇔ +≤ ( do ( ) sin 0, 0; xx π > ∀∈ ) 12cos 12 x ⇔ ≤ +≤ 1 0 cos 23 2 xx ππ ⇔≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . Dạng toán 48. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) y g x f u x = = trong bài toán chứa tham số. Câu 44: Cho hàm số ( ) y fx = cáo đạo hàm trên  và có bảng xét dấu như sau x ( ) fx ′ ( ) f x −∞ 1 1 − 0 + − +∞ − 0 0 + ( ) gx ′ 0 + + − − 0 0 + + − − x ( ) fx ′ ( ) f x −∞ 1 1 − 0 + − +∞ − 0 0 + ( ) gx ′ 0 + + − − 0 0 + + − − 0 + 4 + - 0 0 0 2 1 + - -2 + ∞ - ∞ y' xNHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Có bao nhiêu giá trị nguyên của ( ) 0 2020 ; m ∈ để hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x m = −+ nghịch biến trên khoảng ( ) 10 ; − ? A. 2017 . B. 2018 . C. 2016 . D. 2015 . Lời giải Chọn C ( ) ( ) ( ) 2 21 ' .' g x x f x x m = − −+ Hàm số ( ) gx nghịch biến trên ( ) 10 ; − ( ) ( ) ( ) 0 10 ' , ; * g x x ⇔ ≤ ∀ ∈− Vì ( ) 2 1 0 10 ,; xx − < ∀ ∈− nên ( ) ( ) ( ) 2 0 10 *' , ; f x xm x ⇔ − + ≥ ∀ ∈− ( ) ( ) 2 2 1 10 4 10 ,; ,; x xm x x xm x  − + ≤ ∀ ∈− ⇔  − + ≥ ∀ ∈−   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 10 4 10 1 10 4 10 11 44 ,; ,; ,; ,; m xx x m xx x x x mx x x mx mm mm  ≤− + + ∀ ∈ − ⇔  ≥− + + ∀ ∈ −   − + + ≥ ∀ ∈− ⇔  − + + ≤ ∀ ∈ −   − ≥ ≤−   ⇔ ⇔   ≤ ≥   Vậy { } 4 5 6 2019 ; ; ;...; m ∈ . Chọn đáp số C. Câu 45: Cho hàm số () y fx = có đồ thị như bên. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( ) 2 y fx x m = ++ nghịch biến trên (0;1) là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có ( ) 2 (2 1) y x f x xm ′′ = + ++ . Hàm số ( ) 2 y fx x m = ++ nghịch biến trên (0;1) khi và chỉ khi 0, (0;1) yx ′≤ ∀∈ . Vì 2 1 0, (0,1) x x + > ∀∈ nên điều này tương đương với ( ) 22 2 22 1, (0;1) 1 , (0;1) 0, (0;1) 1, (0;1). 1 , (0;1). xx m x xx m x f x xm x xx m x xx m x  + + ≥− ∀ ∈ + ≥− − ∀ ∈  ′ + + ≤ ∀∈ ⇔ ⇔  + + ≤ ∀∈ + ≤ − ∀∈   Ta có hàm số 2 () gx x x = + luôn đồng biến trên [0;1]; do đó, ràng buộc trên tương đương với 1 (0) 0 1 1 (1) 2 mg m mg − − ≤ =  ⇔= −  −≥ =  . Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 46: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 12 fx x x x ′ =−− với mọi . x ∈  Có bao nhiêu số nguyên 100 m < để hàm số ( ) ( ) 2 8 gx f x x m = −+ đồng biến trên khoảng ( ) 4; +∞ ? A. 18. B. 82. C. 83. D. 84. Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 20 . 2 x fx x x x x <  ′ = − − > ⇔  >  Xét ( ) ( ) ( ) 2 2 8. 8 . gx x f x x m ′′ = − −+ Để hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 4; +∞ khi và chỉ khi ( )0, 4 gx x ′ ≥ ∀> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8. 8 0, 4 8 0, 4 8 0, 4; 18. 8 2, 4; x f x xm x f x xm x x xm x m x xm x ′ ⇔ − − + ≥ ∀> ′ ⇔ − + ≥ ∀>  − + ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ ≥  − + ≥ ∀ ∈ +∞   Vậy 18 100. m ≤< Câu 47: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 19 f x x x x mx ′ = − ++ với mọi . x ∈  Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số ( ) ( ) 3 gx f x = − đồng biến trên khoảng ( ) 3; +∞ ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 3 2 3 3 9. f x x x xm x  ′ − = − − − + −+  Ta có ( ) ( ) 3. gx f x ′′ = −− Để hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 3; +∞ khi và chỉ khi ( ) ( ) 0, 3; gx x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 3 0, 3; 3 2 3 3 9 0, 3; 39 , 3; 3 fx x x x xm x x x mx x ′ ⇔ − ≤ ∀ ∈ +∞  ⇔ − − − + − + ≤ ∀ ∈ +∞  −+ ⇔ ≤ ∀ ∈ +∞ − ( ) ( ) 3; min m h x +∞ ⇔ ≤ với ( ) ( ) 2 39 . 3 x h x x −+ = − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 39 99 3 2 3 . 6. 3 33 x h x x x x xx −+ = = −+ ≥ − = − −− Vậy suy ra { } 6 1;2;3;4;5;6 . m mm + ∈ ≤ → ∈  Câu 48: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 22 15 f x x x x mx ′ = − ++ với mọi . x ∈  Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = đồng biến trên ( ) 1; +∞ ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) ( ) 2 42 4 2 1 5. f x x x x mx ′ = − ++ Ta có ( ) ( ) 2 2. g x xf x ′ ′ = Để hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 1; +∞ khi và chỉ khi ( ) ( ) 0, 1; gx x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) 2 42 4 2 42 4 2 2 0, 1 2. 1 5 0, 1 50, 1 5 , 1 xf x x x x x x mx x x mx x x mx x ′ ⇔ ≥ ∀> ⇔ − + + ≥ ∀> ⇔ + + ≥ ∀> + ⇔ ≥− ∀ > ( ) ( ) 1; max m h x +∞ ⇔ ≥ với ( ) 4 2 5 . x h x x + = − Khảo sát hàm ( ) 4 2 5 x h x x + = − trên ( ) 1; +∞ ta được ( ) ( ) 1; max 2 5. h x +∞ = − NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Suy ra { } 2 5 4;3;2;1 . m mm − ∈ ≥−  → ∈ − − − −  Câu 49: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 43 13 1 f x x x x mx ′ = − ++ với mọi . x ∈  Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = đồng biến trên khoảng ( ) 0; +∞ ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 22 8 6 1 3 1. f x x x x mx ′ = − ++ Ta có ( ) ( ) 2 2. g x xf x ′ ′ = Để hàm số ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 0; +∞ khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0, 0; 2 0, 0; g x x xf x x ′′ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 8 6 86 8 6 2. 13 10, 0; 3 10, 0; 31 , 0; x x x x mx x x mx x x m x x ⇔ − + + ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ + + ≥ ∀ ∈ +∞ + ⇔ ≥ − ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 0; max m h x +∞ ⇔ ≥ với ( ) 8 6 31 . x h x x + = − Khảo sát hàm ( ) 8 6 31 x h x x + = − trên ( ) 0; +∞ ta được ( ) ( ) 0; max 4. h x +∞ = − Suy ra { } 4 4;3;2;1 . m mm − ∈ ≥−  → ∈ − − − −  Câu 50: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( ) ( ) gx f x m = + đồng biến trên khoảng ( ) 0 ;2 . A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A Từ giả thiết suy ra hàm số ( ) y f x = đồng biến trên các khoảng ( ) 1;1 − , ( ) 1;3 và liên tục tại 1 x = nên đồng biến trên ( ) 1;3 − . Ta có ( ) ( ) gx f x m ′′ = + và ( ) ( ) 0;2 ; 2 x x m mm ∈ ⇔+ ∈ + . ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 0 ;2 ( ) ( ) 1 ;2 1;3 1 1 23 m mm m m ≥−  ⇔ + ⊂− ⇔ ⇔−≤ ≤  +≤  . NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Vì m ∈  nên m có 3 giá trị là 1; 0; 1 m mm = −== . Câu 51: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( ) ( ) gx f x m = + đồng biến trên khoảng ( ) 0 ;2 . A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A Từ giả thiết suy ra hàm số ( ) y f x = đồng biến trên các khoảng ( ) 1;1 − , ( ) 1;3 và liên tục tại 1 x = nên đồng biến trên ( ) 1;3 − . Ta có ( ) ( ) gx f x m ′′ = + và ( ) ( ) 0;2 ; 2 x x m mm ∈ ⇔+ ∈ + . ( ) gx đồng biến trên khoảng ( ) 0 ;2 ( ) ( ) 1 ;2 1;3 1 1 23 m mm m m ≥−  ⇔ + ⊂− ⇔ ⇔−≤ ≤  +≤  . Vì m ∈  nên m có 3 giá trị là 1; 0; 1 m mm = −== . Câu 52: Cho hàm số ( ) y f x = là một hàm đa thức và có bảng xét dấu của ( ) fx ′ như hình bên dưới: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( 2 ) (1) yf x m = −+ nghịch biến trên khoảng ( ) 11;25 . A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A Đặt 2 tx m = −+ , với ( ) 11;25 x ∈ thì ( ) 3 ;5 t mm ∈+ + , hàm số trở thành: ( ) (2) y ft = Dễ thấy x và t cùng chiều biến thiên nên hàm (1) nghịch biến trên ( ) 11;25 thì hàm (2) nghịch biến trên ( ) 3 ;5 mm + + . Dựa vào bảng xét dấu của hàm ( ) fx ′ suy ra hàm () ft nghịch biến trên khoảng ( ) 1;3 . Do đó hàm () ft nghịch biến trên ( ) 3 ;5 mm + + khi và chỉ khi 31 2 2 5 3 2 mm m mm + ≥ ≥−  ⇔ ⇔= −  + ≤ ≤−  Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dạng toán 49. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x hx = = + trong bài toán không chứa tham số. Câu 53: Cho hàm số () y fx = có đạo hàm liên tục trên R . Bảng biến thiên của hàm số '( ) fx như sau: Hàm số     2 3 32 15 gx f x x x x      nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1 0; 3       . B. ( ) ;0 −∞ . C. 2 0; 3    . D. 2 ; 3  +∞   . Lời giải Chọn C Ta có 2 23 2 '( ) (3 2 ). '(1 ) 3 2 . g x xx f x x xx = − −+ + − 2 23 '( ) (3 2 ) '(1 ) 1 gx x x f x x  ⇔ = − −+ +  . Dựa vào bảng biến thiên của hàm số '( ) '( ) 1 fx fx x R ⇒ ≥− ∀ ∈ 23 '(1 ) 1 0 f x x xR ⇒ − + + ≥ ∀∈ Xét 2 2 '( ) 0 3 200 3 gx x x x ≤⇒ − ≤ ⇔ ≤ ≤ . Câu 54: Cho hàm số ( ) y f x = có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số ( ) ( ) 3 31 3 gx f x x x = +− + đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 11 ; 43       . B. 2 2; 3   −     . C. 2 ;2 3    . D. ( ) 2; +∞ . Lời giải Chọn A Cách 1 Ta có ( ) ( ) 22 3 31 3 3 3 31 1 y fx x fx x ′′ ′ = +− + = +− +  . NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) 2 0 31 1 y fx x ′′ ≥ ⇔ + ≥ − Ta có 2 10 1 1 xx − ≤ ⇔− ≤ ≤ ( ) 1 3 14 '3 1 0 2 13 13 0 3 x x fx x x ≥  +≥   + ≥ ⇔ ⇔   ≤ +≤ ≤≤   Suy ra với 2 0 3 x ≤≤ thì ( ) 2 '3 1 0 1 fx x + ≥≥ − . Suy ra hàm số ( ) 3 31 3 yf x x x = +− + đồng biến trên khoảng 2 0; 3    Mà 11 2 ; 0; 43 3    ⊂       nên chọn đáp án A. Cách 2 Ta có ( ) ( ) 22 3 31 3 3 3 31 1 y fx x fx x ′′ ′ = +− + = +− +  . Đặt 1 31 3 t tx x − = + ⇒ = ( ) 2 0 31 1 y fx x ′′ ≥ ⇔ + ≥ − ( ) 2 28 9 tt ft −− ′ ⇔≥ Vẽ đồ thị hàm số ( ) 2 28 9 tt gt −− = Từ bảng biến thiên ta có đồ thị ( ) ft ′ . NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Từ đồ thị ta có ( ) 2 28 9 tt ft −− ′ ≥ khi 2 1 3 13 13 0 3 tx x < < ⇔ < + < ⇔ < < Lời bình: Do hàm ( ) f x chưa biết nên + Phương án B sai. + Phương án C có thể đúng + Phương án D có thể đúng. Do đó, để chắc chắn chỉ có một phương án đúng thì nên điều chỉnh phương án C, D thành C. 1 ;1 . 3    D. ( ) ;0 . −∞ ĐỀ XUẤT SỬA LỜI GIẢI THÀNH Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 3 31 1 gx f x x  ′′ = + + −  Có: ( ) 12 3 1 0 0; ; ; 1. 33 fx x x x x ′ + = ⇔= = = = 2 1 0 1. xx − =⇔= ± Bảng xét dấu của ( ) gx ′ x −∞ 0 1 − 1 3 2 3 1 +∞ ( ) 31 fx ′ + − 0 + + 0 + 0 − 0 + 2 1 x − − − 0 + + + 0 − ( ) gx ′ − Khôn g XĐ được dấu + + Khô ng XĐ đượ c dấu Khô ng XĐ được dấu Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1 1; 3  −   và 12 ; 33       ⇒ Chọn . A Câu 55: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên  . Bảng biến thiên của hàm số ( ) fx ′ như hình vẽ. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số ( ) 1 2 x gx f x  = − +   nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ( ) 4; 2 −− . B. ( ) 2;0 − . C. ( ) 0;2 . D. ( ) 2;4 . Lời giải Chọn A Xét () 1 2 x gx f x  = − +   . Ta có 1 '( ) ' 1 1 22 x gx f  = − − +   Xét '( ) 0 ' 1 2 2 x gx f  ≤ ⇔ − ≥   Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( ) fx ′ ta có: +) TH1: 1 2 2 1 3 4 2. 22 xx fx  ′ − > ⇔ <− < ⇔−< <−   Do đó hàm số nghịch biến trên ( ) 4; 2 −− . +) TH2: 1 2 11 0 2 2 2 4 22 xx f a a x  ′ − >⇔− < − < < ⇔ < − <<   nên hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng ( ) 2 2 ;4 a − chứ không nghịch biến trên toàn khoảng ( ) 2;4 . Vậy hàm số ( ) 1 2 x gx f x  = − +   nghịch biến trên ( ) 4; 2 . −− Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng c ứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử. Dạng toán 50. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x hx = = + trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 51. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x f v x hx == + + trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 52. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y g x f u x f v x hx == + + trong bài toán chứa tham số. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dạng toán 53. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) k y g x f ux  = =  trong bài toán không chứa tham số. Câu 56: Cho hàm số   y fx  có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của hàm số y =   fx  như sau: Biết     2 20 f f   , hỏi hàm số     2 3 gx f x    nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A.   2; 1 .  B.   1; 2 . C.   2; 5 . D.   5; .  Lời giải Chọn C Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y =   fx  suy ra bảng biến thiên của hàm số y =   fx như sau: Ta có      . 2. 3 . 3 g x f xf x     Xét         1 0 3 . 3 0 g x f xf x     Từ bảng biến thiên suy ra   3 0, . fx x     Do đó (1)   2 3 1 2 5 30 . 32 1 x x f x xx                 Suy ra hàm số   gx nghịch biến trên các khoảng   ;1 ,    2; 5 . Dạng toán 54. Biết BBT hàm số ( ) y fx ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) k y g x f ux  = =  trong bài toán chứa tham số. Câu 57: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  và ( ) ' fx có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị ( ) = ' y fx cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là −3;1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −    10; 20 để hàm số ( ) ( ) = + − 3 2 3 y fx x m đồng biến trên khoảng ( ) 0; 2 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. 20 . B. 17 . C. 16 . D. 18 . Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) ( )  ′′ = + + − + −  2 2 2 32 3 3 . 3 y x f x xm f x xm . Theo đề bài ta có: ( ) ( ) ( ) ′ =− + 13 f x x x suy ra ( )  <− ′ >⇔  >  3 0 1 x f x x và ( ) ′ < ⇔− < < 03 1 f x x . Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0; 2 khi ( ) ′≥ ∀∈ 0, 0; 2 yx ( ) ( ) ( ) ( )  ′′ ⇔ = + + − + − ≥ ∀∈  2 2 2 3 2 3 3 . 3 0, 0; 2 y x f x xm f x xm x . Do ( ) ∈ 0; 2 x nên ( ) + > ∀∈ 2 3 0, 0; 2 xx và ( )  + − ≥ ∀∈   2 2 3 0, fx x m x Do đó, ta có: ( )   + − ≤− ≥ + + ′′ ≥⇔ + − ≥⇔ ⇔   + − ≥ ≤ + −     22 2 22 3 3 3 3 0 30 3 1 31 xx m m xx y f x xm xx m m xx ( ) ( ) ( ) ( )  ≥ + +  ≥  ⇔ ⇔   ≤− ≤ + −    2 0;2 2 0;2 max 3 3 13 1 min 3 1 m xx m m m xx . Do ∈ −    10; 20 m nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài. Dạng toán 55. Biết BBT hàm số ( ) ( ) y f ux ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = trong bài toán không chứa tham số. Câu 58: Cho hàm số ( ) 2 y f x = + có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số ( ) y f x = nghịch biến tên khoảng nào sau đây A. ( ) 0;2 B. ( ) 2;5 . C. ( ) 2;0 − . D. ( ) 4; 2 −− . Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2. 2 2 f x x fx fx ′ ′ ′′ + =+ += +     Đặt 2 tx = + khi đó ( ) ( ) 2 y f x ft = += và ( ) ( ) 2 ' y f x f t ′ ′= +=     Dựa vào bảng biến thiên của hàm ( ) 2 y f x = + ta có ( ) 4 20 2 x fx x = −  ′ +=⇔  = −  Suy ra ( ) 2 0 0 t ft t = −  ′ = ⇔  =  Vậy ta có bảng biến thiên của hàm ( ) y f x = như sau Suy ra hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên ( ) 2;0 − Dạng toán 56. Biết BBT hàm số ( ) ( ) y f ux ′ = xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = trong bài toán chứa tham số. Câu 59: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  và ( ) 12 f −= . Biết ( ) ' y fx = có bảng biến thiên như hình vẽ NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ ] 2019;2019 − để hàm số ( ) 32 11 3 ln 62 2 y f x x x x m  = + − − +   đồng biến trên ( ) 1;3 − A. 2008 . B. 2007 . C. 2009 . D. 2010 . Lời giải Chọn A Hàm số ( ) 32 1 ln 3 9 3 y f x x x x m   = + − ++     xác định trên R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 22 1 3 9 0, 1;3 3 ' ' 69 ' 0 ' 69 gx f x x x x m x gx f x x x gx f x x x ⇔ = + − + + > ∀ ∪∈ − ⇒=+−+⇒= ⇒ = −+ + Vẽ hai đồ thị ( ) 2 ' 6 9 y fx y x x = ∨=− + − trên cùng hệ trục Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 31 31 ' 0 1;3 1 0 33 g x x gx g m m ≥ ∀ ∈− ⇒ > − =− + ≥ ⇒ ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 32 ' 69 1 ln 3 9 ' 0, 1;3 11 3 3 62 2 fx x x y f x x x x m y x f x x x x m + − +   = + − + + ⇒ = ≥ ∀ ∈−     + − − + NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 52 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Đề hàm số đồng biến trên ( ) 1;3 − thì 31 ;2019 11;...;2018 3 mm   ∈ ⇒ =     có 2008 số. Câu 60: Cho hàm số ( ) 2 y f x = + có đạo hàm liên tục trên  . Biết ( ) '2 y fx = + có bảng biến thiên như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ ] 2019;2019 − để hàm số ( ) ( ) 4 32 1 23 21 12 3 2 y f x x x x m x m = − + − − − + đồng biến trên ( ) 1;3 A. 2021. B. 2020 . C. 2019 . D. 2018 . Lời giải Chọn A ( ) ( ) ( ) 4 3 2 32 1 23 1 2 1 ' ' 2 3 2 1 12 3 2 3 y f x x x x m x m y f x x x x m = − + − − − + ⇒= − + −− + Để hàm số đồng biến trên ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 1;3 ' ' 2 3 2 1 0, 1;3 1 3 y fx x x x m x ⇒= − + −− + ≥ ∀∈ Đặt ( ) ( ) 2 1;1 1 xt t = + ⇒ ∈− trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 ' 2 2 2 2 3 2 2 1 0, 1;1 3 ft t t t m t +− + + + − +− + ≥ ∀∈− ( ) ( ) ( ) 3 11 ' 2 2 , 1;1 33 gt f t t t m t ⇔ = + − + + ≥ ∀ ∈ − ( ) ( ) 2 ' "2 1 gt f t t ⇒ = + −+ Vẽ hai đồ thị ( ) " y ft = và 2 1 yt = − trên cùng hệ trục Từ đồ thị ta thấy ( ) ( ) ( ) ' 0. 1;1 g t t gt ≥ ∀ ∈ − ⇒ là hàm số đồng biến ( ) 1;1 t ∀ ∈ − NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 1;1 3 2 , 1;1 2 min 1 ' 1 1 3 2 m gt t m gt g f m − ⇒ ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤ = − = + = ⇒ ≤ Kết hợp [ ] 2019;2019 2019,...,0,1 mm ∈− ⇒ =− có 2021 số Dạng toán 57. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán không chứa tham số. Câu 61: Cho hàm số () y fx = liên tục và có đ ạo hàm trên  , thỏa mãn ( 1) 0 f −= . Biết bảng biến thiên của hàm số ( ) ' y fx = như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 gx x x f x = −− nghịch biến trên khoảng nào? A. ( ) 2; +∞ . B. ( ) ; 1 −∞ − . C. 1 1; 2  −   . D. ( ) 1;1 − . Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên của hàm số ( ) ' y fx = ta suy ra bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = như sau Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 21 2 ' g x x f x x x f x = − + −− . Ta lập bảng xét dấu: NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1 1; 2  −   . Dạng toán 58. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán chứa tham số. Câu 62: Cho hàm số ( ) y f x = và ( ) 0, f x x > ∀ ∈  . Biết hàm số ( ) ' y fx = có bảng biến thiên như hình vẽ và ( ) '4 0 f = Có bao nhiêu số nguyên [ ] 2019;2019 m∈− để hàm số ( ) 2 1 x mx y e f x −+ + = đồng biến trên ( ) 1;4 A. 2011 B. 2013 C. 2012 D. 2014 Lời giải Chọn C ( ) ( ) ( ) ( ) 22 11 '2 ' x mx x mx y e f x y e x m f x f x −+ + −+ + = ⇒ = −+ +     Hàm số đồng biến trên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;4 ' 0, 1;4 2 ' 0, 1;4 1 y x x mf x f x x ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ − + + ≥ ∀ ∈ Vì ( ) 0, f x x > ∀ ∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 2 , 1;4 fx m x gx x f x ⇔ ≥ − = ∀ ∈ Xét hàm số g(x) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ". ' '2 f x f x f x gx f x −    = −   Theo BBT của hàm số () fx ′ ta thấy ( ) 1;4 x ∀∈ thì () 0 fx ′′ < nên NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 " ' 0 0, f x f x f x f x x − < > ∀∈      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 ". ' ". ' 0, 1;4 ' 2 0, f x f x f x f x f x f x x gx f x f x −−         ⇒− > ∀ ∈ ⇒ = − >     ( ) y gx ⇒= đồng biến trên ( ) 1;4 Do đó để ( ) (1;4) m gx x ≥ ∀∈ thì [ ] ( ) ( ) 1;4 max 4 8. m gx g ≥== Do [ 2019;2019] m∈− nên [ ] 8;2019 m ∈ Có 2012 số nguyên thỏa ycbt. Dạng toán 59. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán không chứa tham số. Câu 63: Cho hàm số ( ) y f x = . Biết ( ) 00 f = và hàm số ( ) y fx ′ = có bảng biến thiên Khi đó, hàm số ( ) y xf x = đồng biến trên khoảng nào? A. ( ) ;0 −∞ . B. ( ) 2;0 − . C. ( ) 0;2 . D. ( ) 2;2 − . Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) y xf x y f x xf x ′′ = ⇒ = + Từ bảng biến thiên của hàm số ( ) y fx ′ = ta có ( ) 0 0 x fx xa =  ′ = ⇔  =  với 3 a <− . Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = . Từ bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = ta có ( ) ( ) 0, 2;0 f x x > ∀ ∈ − Và ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 2;0 0, 2;0 fx x xfx x ′′ < ∀ ∈ − ⇒ > ∀ ∈− NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) 0, 2;0 y f x xf x x ′′ = + > ∀ ∈ − . Do đó hàm số ( ) y xf x = đồng biến trên ( ) 2;0 − . Trên khoảng ( ) ;0 −∞ thì ( ) f x và ( ) xf x ′ có thể âm hoặc dương nên không thể kết luận hàm số đã cho đồng biến trên ( ) ;0 −∞ ⇒ đáp án A sai. Trên ( ) 0;2 thì ( ) 0 f x < và ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 f x xf x f x xf x ′′ <⇒ <⇒ + < nên hàm số nghịch biến trên ( ) 0;2 ⇒ đáp án C sai. Đáp án C sai nên đáp án D sai. Câu 64: Cho hàm số () y fx = có bảng biến thiên như sau: Hàm số [ ] 2 ( ) (3 ) gx f x = − nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (2;5) . B. (1;2) . C. ( 2;5) − . D. (5; ) +∞ . Lời giải Chọn A Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 0, (3 ) 0, fx x f x x ≤ ∀∈ ⇒ − ≤ ∀∈  . Ta có '( ) 2 '(3 ) (3 ) = −− − g x f xf x . Xét         23 1 2 5 0 2 3 30 30 32 1 xx g x fx f x fx xx                      . Suy ra hàm số   gx nghịch biến trên các khoảng ( ;1) −∞ và (2;5) . Dạng toán 60. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) . y gx f x = trong bài toán chứa tham số. Câu 65: Cho hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Với 0 m < , hàm số ( ) ( ) 2 2. y x x m f x = −+ đồng biến trên khoảng nào sau đây A. ( ) 1;0 − . B. ( ) 0;1 . C. ( ) 1;3 . D. ( ) ; 1 −∞ − . Lời giải Chọn B ( ) ( ) ( ) ( ) 2' ' 2 2. 2 . y x f x x x m f x = − + −+ + Ta có ( ) 2 2 0, 0;1 xx − < ∀∈ và ( ) ( ) 0, 0;1 f x x < ∀∈ (1) Bảng biến thiên của hàm ( ) 2 2 y gx x x m = = −+ Từ hai BBT suy ra ( ) ( ) 2 2 0, 0;1 gx x x m x = − + < ∀∈ ( do 0 m < ) và ( ) ( ) ' 0, 0;1 fx x < ∀∈ (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2' ' 2 2 . 2 . 0 0;1 y x f x x x m f x x = − + − + > ∀∈ . Trong các khoảng ( ) ; 1 −∞ − , ( ) 1;0 − , ( ) 1;3 thì chưa thể xác định được dấu của ( ) ( ) ( ) ( ) 2' ' 2 2. 2 . y x f x x x m f x = − + −+ nên dựa vào các đáp án ta Chọn B Dạng toán 61. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) gx y f x = hoặc ( ) ( ) f x y gx = trong bài toán không chứa tham số. Câu 66: Cho hàm số bậc ba ( ) y f x = có 1 (0) 3 f = − . Bảng biến thiên của hàm số ( ) fx ′ như hình vẽ NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số ( ) () x f x gx e = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) ;1 −∞ B. ( ) 2 3;2 − C. ( ) 4; +∞ D. ( ) 3; +∞ Lời giải Chọn C Vì () y fx = là hàm số bậc ba nên () y fx ′ = là hàm số bậc hai. Gọi 2 () f x ax bx c ′ = ++ suy ra () 2 f x ax b ′′ = + . Ta có hệ sau: (1) 0 2 0 1 (1) 0 0 2 (0) 1 1 1 f ab a f abc b f c c ′′ = + = =−       ′ = ⇔ ++ = ⇔ =       ′= −= − = −    . Vậy 2 () 2 1 fx x x ′ = − + − Suy ra ( ) 2 32 1 () ()d 2 1 d 3 fx f x x x x x x x x m ′ = = − + − =− + −+ ∫∫ , do 11 (0) 33 fm =−⇒ =− . Vậy 32 11 () 33 fx x x x =− + −− . Ta có ( ) 2 . . () () () () x x xx f x e e fx f x fx gx ee ′ − ′ − ′ = = . () 0 () () 0 g x f x fx ′′ =⇔ − = 32 2 12 2 3 0 23 33 2 3 x x xx x x =   ⇔ − + −= ⇔ = −   = +  . Lập bảng xét dấu () y gx ′ = Dựa vào bảng xét dấu () gx ′ hàm số nghịch biến trên ( ) 4; +∞ . Dạng toán 62. Biết BBT của hàm số ( ) y fx ′ = , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ) gx y f x = hoặc ( ) ( ) f x y gx = trong bài toán chứa tham số. Câu 67: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  . Đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = có như sau: NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 59 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Đồ thị hàm số ( ) y f x = không có giao điểm với trục hoành và ( ) 1 Max f x = −  . Đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = có duy nhất 1 giao điểm với trục hoành.Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 21 x m x m gx f x − − ++ = luôn đồng biến trên  . A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 5 . Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) 1 0, Max f x f x x =− ⇒ < ∀∈   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 2 1 21 3 1 2 1 21 1 21 3 1 2 1 21 x m x mf x x m x mf x gx f x x m x mf x x m x mf x gx f x ′ − −+ − + − − −+ + ′ =   ′ − −+ − + − − −+ +   ′ ⇔= Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 21 3 1 2 1 21 m x mf x x m x mf x h x ′ −+ − + − − −+ + = Vì ( ) gx ′ có 1 nghiệm bội lẻ 1 x = nên để ( ) 0 gx ′ ≥ thì điều kiện cần là ( ) hx cũng có nghiệm là 1 x = . ( ) ( ) ( ) 22 1 1 2 21 1 0 21 0 1 2 m h mm f mm m =   = − ++ = ⇔− ++ = ⇔ −  =  Th1: Với 1 m = ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2 31 1 0 x f x x f x gx x f x ′ − − +− ′ = > ∀∈  . TH2: Với 1 2 m − = ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2 31 1 1 .0 2 x f x x f x gx x f x ′ − − − ′ = < ∀∈  NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 60 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài yêu cầu.