Chuyên đề: Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN – GTNN của hàm số

NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN hoặc thông qua phép biến đổi đồ thị 1. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) , yf x yf u x = = trên khoảng, đoạn. 2. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) , yf x yf u x = = trên khoảng, đoạn. 3. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) , y f x y f u x = = trên khoảng, đoạn. 4. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, , yf x b yf u x b yf x a b yf u x a b = + = + = + + = + + trên khoảng, đoạn. 5. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, , y f x b y f u x b y f x a b y f u x a b = += += + += + + trên khoảng, đoạn. 6. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, , y f x b y f u x b y f x a b y f u x a b = += += + += + + trên khoảng, đoạn. PHẦN II: Xác định GTLN, NN hoặc so sánh các giá trị của hàm số thông qua tích phân hoặc so sánh diện tích hình phẳng. 7. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x = trên khoảng, đoạn. 8. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y fx = trên khoảng, đoạn. 9. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x = trên khoảng, đoạn. 10. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x a b = + + trên khoảng, đoạn. 11. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x b = + trên khoảng, đoạn. 12. Các dạng khác. NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN hoặc thông qua phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) , yf x yf u x = = trên khoảng, đoạn. Câu 1. Biết hàm số ( ) y f x = liên tục trên  có M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ] 0;2 . Hàm số 2 4 1 x yf x   =   +   có tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là A. Mm + . B. 2Mm + . C. 2 Mm + . D. 22 Mm + . Lời giải Chọn A Đặt ( ) 2 4 1 x gx x = + , [ ] 0;2 x ∈ . Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 44 1 x gx x −+ ′ = + . ( ) 01 gx x ′ = ⇔= [ ] 0;2 ∈ . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ( ) 02 gx ≤≤ . Do đó: Hàm số ( ) y f x = liên tục trên  có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [ ] 0;2 khi và chỉ khi hàm số ( ) y f gx =   liên tục trên  có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [ ] 0;2 . Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 4 1 x yf x   =   +   là Mm + . Câu 2. Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số ( ) 2 2 yf x = − đạt GTLN trên 0; 2     bằng A. ( ) 0 f . B. ( ) 1 f . C. ( ) 2 f . D. ( ) 2 f . Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Đặt 2 2 tx = − , từ 0; 2 x   ∈   , ta có [ ] 0;2 t ∈ . Trên [ ] 0;2 hàm số ( ) y ft = nghịch biến. Do đó [ ] ( ) ( ) 0;2 max 0 . ft f = Câu 3. Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng ( ) ax b f x cx d + = + và ( ) ( ) ( ) gx f f x = . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) gx trên đoạn [ ] 3; 1 − − . A. 2 − . B. 2 . C. 1. D. 4 3 − . Lời giải Chọn B Từ hình vẽ ta có: TCN là 00 a y a c = = ⇔= . TCĐ là 1 d x cd c =− =⇔=− . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên ( ) 10 b b dd d = ⇔= ≠ . Khi đó ( ) 1 1 d f x dx d x = = − + −+ ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 x gx f f x x x −+ ⇒= = = − −+ −+ . TXĐ hàm ( ) gx là { } \ 0 g D =  ⇒ hàm số ( ) gx xác định trên [ ] 3; 1 − − . ( ) 2 1 gx x ′ = , với [ ] 3; 1 x ∀ ∈− − . ( ) 4 3 3 g −=, ( ) 12 g − = . Vậy [ ] ( ) 3; 1 max 2 gx − − = . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 4. Cho , xy thoả mãn 22 5 6 5 16 x xy y ++ = và hàm số bậc ba ( ) y fx = có đồ thị như hình vẽ. Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 22 22 2 . 24 xy Pf x y xy  +− =  −− +  Tính 22 . Mm + A. 22 4. Mm + = B. 22 1. Mm + = C. 22 25. Mm + = D. 22 2. Mm + = Lời giải Chọn A Ta có: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 8 8 16 3 6 3 . 2 4 8 8 16 2.16 18 4 2 x y x y x xy y t x y xy x y xy x xy y +− + − − + = = = − −+ − − + −+ TH1: Xét ( ) ( ) 1 0 0; 2 . 6 y t ft m = ⇒= ⇒ = ∈ − TH2: Xét 2 2 3 6. 3 0. 18 4. 2 xx yy y t xx yy   −+     ≠ ⇒=   −+     Đặt , x u y = ta có: 2 2 3 63 . 18 4 2 uu t uu − + = −+ Xét ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 0 3 6 3 96 96 ;' ;' 0 1 18 4 2 18 4 2 u uu u u g u gu gu u uu uu =  − + − = = = ⇔  = −+  −+ . Ta lại có: ( ) ( ) 1 lim lim . 6 uu gu gu → +∞ → −∞ = = Từ đó lập bảng biến thiên ta có Từ bảng biến ta có ( ) 33 0 0. 22 gu t ≤ ≤ ⇒ ≤≤ O x y −1 1 2 2 −NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng:       = = − 3 3 0; 0; 2 2 P 0; P 2. max min Vậy 22 4. Mm + = Câu 5. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi , Mm lần lượt là GTLN – GTNN của hàm số ( ) ( ) 44 2 sin cos . gx f x x   = +   Tổng Mm + bằng A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn C Ta có 44 2 1 sin cos 1 sin 2 , 2 x x xx + = − ∀∈  . Vì 22 11 0 sin 2 1, 1 sin 2 1, 22 xx xx ≤ ≤ ∀∈ ⇔ ≤ − ≤ ∀∈  ( ) 44 1 2 sin cos 2. xx ⇒ ≤ + ≤ Dựa vào đồ thị suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) max 1 3 4. min 2 1 M gx f Mm m gx f = = =   ⇒ + =  = = =   Câu 6. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ . Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 1. gx f x x m = +− + Tìm m để [ ] ( ) 0;1 max 10. gx = − A. 3 m = . B. 12 m = − . C. 13 m = − . D. 6 m = . Lời giải NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chọn C Đặt ( ) 3 21 t x x x = +− với [ ] 0;1 . x ∈ Ta có ( ) [ ] 2 6 10, 0;1. tx x x ′ = + > ∀∈ Suy ra hàm số ( ) t x đồng biến nên [ ] [ ] 0;1 1;2 . xt ∈ ⇒ ∈− Từ đồ thị hàm số ta có [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 1;2 max 3 max 3 . ft ft m m − − =⇒ +=+   Theo yêu cầu bài toán ta cần có: 3 10 13. mm + = − ⇔ = − Câu 7. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 2sin yf x = trên ( ) 0; π là A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn C Đặt 2sin tx = . Với ( ) 0; x π ∈ thì ( ] 0;2 t ∈ . Dựa vào đồ thị hàm số ( ) y f x = ta có ( ) ( ) ( ] ( ) ( ) 0; 0;2 max 2sin max 2 3 f x ft f π = = = . Câu 8. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có bảng biến thiên dạng Hàm số (2sin ) yf x = đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M và m . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 mM = − . B. 2 Mm = . C. 0 Mm + = . D. 2 Mm + = . Lời giải Chọn A Ta có: 1 sin 1 2 2sin 2. xx − ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤ NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Với [ ] 2sin 2;2 . t xt = ⇒ ∈− Khi đó: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 2;2 2;2 max 2sin max 2. min 2sin min 4. M f x ft m f x ft − − = = = = = = − Câu 9. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên tập  và có bảng biến thiên như sau Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2 y fx x = − trên đoạn 37 ; 22   −     . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. . 10 Mm > . B. 2 M m > . C. 3 Mm −> . D. 7 Mm + > . Lời giải Chọn B Đặt 2 2 tx x = − . Ta có ( ) 2 3 7 5 5 25 ; 1 01 22 2 2 4 x xx   ∈ − ⇔− ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤     ( ) 2 21 1 11 4 x ⇔− ≤ − − ≤ nên 21 1; 4 t  ∈ −   . Xét hàm số ( ) 21 , 1; 4 y ft t  = ∈ −   Từ bảng biến thiên suy ra: ( ) ( ) ( ) 21 21 1; 1; 4 4 21 min 1 2, max 5 2 4 t t M m ft f M ft f m   ∈− ∈−      = = = = = = ⇒ >   . Câu 10. Cho hàm số   42 y x c f x ax b     xác định và liên tục trên  và có bảng biến thiên sau: Giá trị nhỏ nhất của hàm số   3 y f x  trên đoạn   0;2 là A. 64 . B. 65. C. 66. D. 67 . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Lời giải Chọn C Hàm số có dạng   42 f x ax bx c   . Từ bảng biến thiên ta có:       03 12 10 f f f                  3 2 42 0 c a bc ab                 3 2 1 c b a                  42 23 f x x x     .   0;2 x    3 3;5 x   . Trên đoạn   3;5 hàm số tăng, do đó       0;2 in 3 66 m 3 f x f   . Câu 11. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] 2;4 − và có bảng biến thiên như sau Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 2 cos 2 4sin 3 . gx f x x = −+ Giá trị của Mm − bằng A. 4 . B. 4 − . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn A Ta có: 2 cos 2 4sin 3 3cos 2 1 xx x − += + . ( ) ( ) 3cos 2 1 , gx f x ⇒= + đặt 3cos 2 1, tx = + khi đó với mọi [ ] 2;4 . xt ∈ ⇒ ∈−  Từ bảng biến thiên suy ra [ ] ( ) [ ] ( ) 2;4 2;4 max 3;min 1 ft ft − − = = − . Suy ra ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 2;4 2;4 max max 3; min min 1 M gx f t m gx f t − − = = = = = = −   . Vậy 4. Mm −= Câu 12. Cho hàm số ( ) 5 43 2 f x ax bx cx dx ex n = + + + ++ ( ) , , , ,, . abc d e n ∈  Hàm số ( ) ' y fx = có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ 1 3; 1; 2 −− và 2). Đặt [ ] ( ) [ ] ( ) 3;2 3;2 max ; min M fx m fx − − = = và . T Mm = + Khẳng định nào sau đây đúng? NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. ( ) ( ) 32 Tf f = −+ . B. ( ) ( ) 3 0 Tf f = −+ . C. ( ) 1 2 2 Tf f  = +   . D. ( ) 1 0 2 Tf f  = +   . Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 ' 5 4 3 2 5 31 2 2 f x ax bx cx dx e a x x x x  = + + + += + + − −   (Vì phương trình ( ) '0 fx = có 4 nghiệm 1 3; 1; 2 −− và 2). Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của ( ) f x Từ bảng biến thiên 0 a ⇒< . Suy ra bảng biến thiên của ( ) fx : Vì hàm số ( ) fx là hàm số chẵn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2; 3 3 1 1 2 2 f f f f ff − = −=   ⇒     −=         +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 11 22 1 1 11125 3 ' 5 31 2 0 2 2 128 a f f f x dx a x x x x dx    − = = + +− − = <       ∫∫ NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) ( ) 11 33 22 f ff f    ⇒ −= < = −       (1) +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 00 1 2 0 ' 5 3 1 2 23 0 2 f f f x dx a x x x x dx a  − = = + + − − = −>   ∫∫ ( ) ( ) ( ) 2 20 f ff ⇒ − = > (2) Từ (1) và (2) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3;2 3;2 max 2 2 ; min 3 . M fx f f m fx f − − ⇒ = = − = = = − Vậy ( ) ( ) 3 2. T Mm f f = + = −+ Câu 13. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( ) 3 y gx f x = = − trên [ ] 0;3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) 0 M f = . B. ( ) 3 M f = . C. ( ) 1 M f = . D. ( ) 2 M f = . Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) 3 gx f x ′′ = − − . ( ) ( ) 31 4 0 3 0 32 1 xx gx f x xx −=− =  ′′ = ⇔− − = ⇔ ⇔  −= =  . ( ) ( ) 31 4 0 30 32 1 xx gx f x xx − <− >  ′′ > ⇔ − < ⇔ ⇔  −> <  . ( ) ( ) 0 3 0 13 2 1 4 gx f x x x ′′ < ⇔ − > ⇔− < − < ⇔ < < . Từ đó ta có bảng biến thiên NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy ( ) 1 M f = . Câu 14. Cho hàm số () y fx = xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi GTLN, GTNN tương ứng là M và m của hàm số ( ) 2 3 46 9 yf x x = − − . Khi đó T Mm  bằng A. 4 − . B. 2 . C. 6 − . D. 2 − . Lời giải Chọn A Điều kiện: 2 2 69 0 0 3 xx x − ≥ ⇔ ≤ ≤ . Với 2 0; 3 x  ∈   , ta có 22 0 6 9 1 (1 3 ) 1 x x x      2 0 46 9 4 x x     . 2 3 3 46 9 1 xx ⇔ ≥ − − ≥− . Dựa vào đồ thị ta có: ( ) 2 5 3 46 9 1 f xx − ≤ − − ≤ . Do đó 4 T Mm    . Câu 15. Cho hàm số () y fx = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Khi đó GTLN của hàm số ( ) 2 4 yf x = − trên nửa khoảng ) 2; 3  −  là A. 3 . B. 1 − . C. 0 . D. Không tồn tại Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Đặt 2 2 4' 4 x t x t x = − ⇒= − − . Ta có: ) ' 0 0 2; 3 tx  = ⇔ = ∈ −  do ) 2; 3 x  ∈ −  nên ( ] 1;2 t ∈ . Dựa vào đồ thị hàm số () y fx = , ( ] 1;2 x ∈ ta suy ra GTLN bằng 3. Câu 16. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá truh lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2 1   =   +   x gx f x Trên ( ) ; −∞ +∞ . Tổng của Mm + bằng A. 4. B. 6. C. 8 . D. 12. Lời giải Chọn C Đặt 2 2 1 = + x t x . Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 '0 1 1 x x tx x x =  − = = ⇔  = −  + . Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có [ ] 1;1 t∈ − . Quan sát đồ thị hàm số trên [ ] 1;1 − , ta có ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 1;1 1;1 max max 6 8 min min 2 ∈− ∈ − = = =   ⇒ + =  = = =   xR xR M gx f t Mm m gx f t . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dạng 2: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) , yf x yf u x = = trên khoảng, đoạn. Câu 1. Cho hàm số () = y fx liên tục, có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ như sau: Hàm số () y f x = có giá trị nhỏ nhất trên  bằng A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C Do đồ thị hàm số () y f x = được suy ra từ đồ thị hàm số () = y fx bằng cách giữ nguyên phần bên phải trục Oy , bỏ phần bên trái Oy rồi lấy đối xứng phần bên phải qua trục Oy nên giá trị nhỏ nhất bằng 1. Câu 2. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y fx = trên đoạn [ ] 2;4 − bằng A. ( ) 2 f . B. ( ) 0 f . C. ( ) 4 f . D. Không xác định được. Lời giải Chọn C Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số ( ) y fx = như sau x −∞ 4 − 0 4 +∞ y ′ − 0 + − 0 + +∞ ( ) 0 f +∞ y ( ) 4 f ( ) 4 f x −∞ 2 − 0 4 +∞ y ′ − 0 + 0 − 0 + +∞ ( ) 0 f +∞ y ( ) 2 f − ( ) 4 f NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy [ ] ( ) ( ) 2;4 min 4 fx f − = . Câu 3. Cho hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên như sau. Hàm số ( ) 1 y fx = − có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ] 0;2 bằng A. ( ) 2 − f . B. ( ) 2 f . C. ( ) 1 f . D. ( ) 0 f . Lời giải Chọn C ( ) ( ) 11 y fx = − . Đặt 1 tx = − , 0 t ≥ thì ( ) 1 trở thành: ( ) y ft = ( ) 0 t ≥ . Có ( ) 2 1 t x = − ( ) 2 1 1 x x t x − ′ ⇒ = − . Có ( ) xx y tf t ′ ′′ = . 0 x y ′ = ( ) 0 x tf t ′′ ⇔= ( ) 0 0 x t ft ′ =  ⇔  ′ =  ( ) 1 2 1 =   ⇔= −   =  x tL t 1 11 11 =   ⇔ − =   − =−  x x x 1 2 0 =   ⇔ =   =  x x x . Lấy 3 x = có ( ) ( ) 3 20 tf ′′ < , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên: Hàm số ( ) 1 y fx = − có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ] 0;2 bằng ( ) 1 f . Câu 4. Cho hàm số ( ) y fx = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. x 0 1 2 y' – + y CT x – ∞ -2 1 + y' – 0 + 0 – y + -3 4 – ∞ NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Gọi M , m theo thứ tự làGTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 y fx = − trên đoạn [ ] 1,5 − . Tổng Mm + bằng A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 1. Lời giải Chọn C Ta có 1 5 3 23 0 2 3 xx x − ≤ ≤ ⇒− ≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤ Do đó [ ] 1;5 x ∀ ∈− , 0 23 x ≤ −≤ . Đặt 2 tx = − với [ ] 0;3 t ∈ . Xét hàm số ( ) y ft = liên tục [ ] 0;3 t ∀ ∈ . Dựa vào đồ thị ta thấy [ ] 0;3 max ( ) 5 ft = , [ ] 0;3 min ( ) 2 ft = . Suy ra 2 m = , 5 M = nên 7 Mm += . Câu 5. Cho hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên như hình vẽ. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 25 yf x x = − + + trên [ ] 1;3 − lần lượt là M , m . Tính Mm + . A. 13. B. 7 . C. ( ) 22 f − . D. 2 . Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) 2 25 gx x x = − + + trên [ ] 1;3 − . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Hàm số ( ) 2 25 gx x x = − + + xác định và liên tục trên [ ] 1;3 − có ( ) ( ) [ ] 22, 0 22 0 1 1;3 gx x g x x x ′′ =− + = ⇔− + = ⇔ =∈− . ( ) ( ) ( ) 1 6, 1 2, 3 2 gg g = − = = . [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 1;3 2;6 2;6 x gx gx ∀ ∈− ⇒ ∈ ⇒ ∈ . Đặt ( ) 2 25 t gx x x = =− + + . Ta có: ( ) ( ) 2 25 y f x x ft = − + + = . [ ] [ ] 1;3 2;6 xt ∀ ∈− ⇒ ∈ . Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số ( ) y ft = trên [ ] 2;6 Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 4 2 14 fff −= < < = nên [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) 2;6 max max 2 ; 4 ; 6 6 9 M f t f f f f = = = = , [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) 2;6 min min 2 ; 4 ; 6 4 2 m f t f f f f = = = = − . Vậy 7 Mm + = . Câu 6. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên ( ) ; −∞ + ∞ và có đồ thị như hình vẽ Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 3 31 y fx x = −+ trên đoạn [ ] 2;0 − . Tính Mm + . A. 2 Mm + = − . B. 7 2 Mm + = − . C. 11 2 Mm + = − . D. 0 Mm + = . Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) 3 31 gx x x = −+ trên [ ] 2;0 − . Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ ] 2;0 − . ( ) 2 33 gx x ′ = − ; ( ) 1 ( 2;0) 0 1 ( 2;0) x gx x =− ∈ −  ′ = ⇔  = ∉ −  ( ) 21 g − = − ; ( ) 13 g − = ; ( ) 01 g = . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy [ ] ( ) 2;0 min 1 x gx ∈− = − và [ ] ( ) 2;0 max 3 x gx ∈− = ( ) 13 gx ⇒− ≤ ≤ , [ ] 2;0 x ∀ ∈− ( ) 03 gx ⇒≤ ≤ , [ ] 2;0 x ∀ ∈− . Xét hàm số ( ) y fu = với ( ) 3 31 u gx x x = = −+ trên [ ] 0;3 . Dựa vào đồ thị hàm số ta có: 1 2 M = − và 3 m = − . Vậy 7 2 Mm + = − . Câu 7. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị ( ) C như hình vẽ. Gọi M , m theo thứ tự là GTLN-GTNN của hàm số ( ) 32 31 yf x x = −+ − trên đoạn [ ] 1 3 ; − . Tích M .m bằng A. 0 . B. 111 16 − . C. 45 48 − . D. 185 144 . Lời giải Chọn C • Hàm số ( ) 32 31 y gx x x = = −+ − liên tục trên đoạn [ ] 1 3 ; − ; + ( ) ( ) 2 3 6 3 2 g' x x x x x = − += − − ; ( ) 0 0 2 x g' x x =  = ⇔  =  . + Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 13 01 23 31 g g g g − =   = −   =   = −  nên [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 13 13 min 1 1 3 1 3 max 3 ; ; gx gx , x ; gx − − = −   ⇒− ≤ ≤ ∀ ∈ −  =   . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) [ ] 0 3 1 3 gx , ; ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ − . • Từ đồ thị ( ) ( ) C :y f x = ; + [ ] ( ) ( ) 13 5 min 12 ; m f gx − − = = khi ( ) 1 gx = tại 013 x x x ... = ∨=∨= . + [ ] ( ) ( ) 13 9 max 4 ; M f gx − = = khi ( ) 3 gx = tại 12 xx =− ∨ = . • Vậy 45 48 m.M − = . Câu 8. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi , mM lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 32 31 y fx x = −+ trên [ ] 1;3 − . Tính 3mM + . A. 7 3 2 mM += . B. 19 3 3 mM − += . C. 31 mM += − . D. 11 3 3 mM − += . Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) 32 31 gx x x = −+ trên [ ] 1;3 − . ( ) 2 36 gx x x ′ = − . ( ) ( ) ( ) 0 1;3 0 2 1;3 x gx x = ∈ −  ′ = ⇔  = ∈−   . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) 13 g − = − ; ( ) 01 g = ; ( ) 23 g = − ; ( ) 31 g = . Suy ra [ ] ( ) 1;3 max 1 gx − = ; [ ] ( ) 1;3 min 3 gx − = − ( ) [ ] 3 1, 1;3 gx x ⇒− ≤ ≤ ∀ ∈ − ( ) [ ] 0 3, 1;3 gx x ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈− . Dựa vào đồ thị ta thấy : Hàm số ( ) ( ) ( ) 32 31 y fx x fg x = − + = đạt giá trị nhỏ nhất là 9 4 m − = khi ( ) 3 gx = 2 x ⇔= . Hàm số ( ) ( ) ( ) 32 31 y fx x fg x = − + = đạt giá trị lớn nhất là 5 12 M = khi ( ) 1 gx = 0 3 x x =  ⇔  =  . Vậy 19 3 3 mM − += . Câu 9. Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 3 26 9 yf x x = − − . Giá trị biểu thức 3 T Mm = − bằng A. 2 T = . B. 0 T = . C. 8 T = − . D. 14 T = . Lời giải Chọn A Điều kiện: 2 2 69 0 0 3 xx x − ≥ ⇔ ≤ ≤ . Với 2 0; 3 x   ∈     ta có: 2 2 1 0 6 9 9 11 3 xx x  ≤ − = − − +≤   . 22 0 26 9 2 3 3 26 9 1. xx xx ⇒ ≥− − ≥− ⇔ ≥ − − ≥ Đặt 2 3 26 9 1 3 u xx u = − − ⇒ ≤ ≤ . Xét hàm số ( ) y fu = với 2 3 26 9 u xx − − = trên đoạn [ ] 1; 3 . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dựa vào dồ thị hàm số ta có 1; 5 Mm = −= − 3 35 2 T Mm ⇒ = − =−+ = . Câu 10. Cho hàm số ( ) = y f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau: Xét hàm số ( ) 2 1 gx x x =+− . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y f gx  =  . Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn [ ] ; mM ? A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn A Hàm số ( ) 2 1 y gx x x = =+− xác định và liên tục trên đoạn [ ] 1; 1 − . ( ) 2 '1 1 x gx x = − − 2 2 1 1 xx x −− = − ; ( ) '0 gx = 2 10 xx ⇔ − −= 22 0 1 x xx ≥  ⇔  −=  1 2 x ⇔= . Ta có 1 2 2 g   =     ; ( 1) 1 g−= − và ( ) 11 g = . Suy ra ( ) ( ) 1 20 2 gx gx −≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . Từ bảng biến thiên của ( ) = y f x ta được 1 M = − và 3 m = − Nên có 3 số nguyên thuộc khoảng [ ] ; mM . Câu 11. Cho hàm số   y fx  liên tục trên R và có đồ thị là hình bên và hàm số   32 35 y gt t t    . Gọi , Mm theo thứ tự là GTLN – GTNN của     2 y g fx  trên đoạn   1;3  . Tích . Mm bằng NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. 2 . B. 3 . C. 54 . D. 12. Lời giải Chọn A           32 2 23 2 5 y g f x f x f x       . Trên   1;3  , ta có       1 7 1 2 5 0 2 5. f x f x f x            Đặt   2 t f x   với   0;5 . t  Khi đó 32 2 0 3 5 3 60 . 2 t yt t y t t t                Ta có       0 5; 2 1; 5 55. y yy   Suy ra 55 . 55. 1 M Mm m             Câu 12. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos | cos | 1 | cos | 1 x x y x ++ = + là? A. 3 2 . B. 5 2 . C. 7 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B Đặt cos x t = , hàm số đã cho trở thành ( ) 2 1 1 tt y ft t ++ = = + , với 1 t ≤ . Nếu [ ] 0;1 t ∈ thì ( ) ( ) 2 2 2 '0 1 tt ft t + = > + với mọi [ ] 0;1 t ∈ . Ta có: [ ] ( ) 0;1 Min ( ) 0 1 t ft f ∈ = = ; [ ] ( ) 0;1 3 Max ( ) 1 2 t ft f ∈ = = Nếu [ ] 1;0 t∈− thì ( ) ( ) 2 2 2 '0 1 tt ft t − + = < −+ với mọi [ ] 1;0 t∈− . Ta có: [ ] ( ) 1;0 Min ( ) 0 1 t ft f ∈− = = ; [ ] ( ) 1;0 3 Max ( ) 1 2 t ft f ∈− = − = . Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC [ ] [ ] 1;1 1;1 35 Min ( ) Max ( ) 1 22 t t ft ft ∈− ∈− + =+ = Câu 13. Cho hàm số ( ) 3 3 f x x x a = −+ . Gọi [ ] ( ) 3;2 max x M fx ∈− = , [ ] ( ) 3;2 min x m fx ∈− = Có bao nhiêu giá trị nguyên của [ ] 35;35 a∈− sao cho 3. M m ≤ A. 23. B. 24 . C. 25 . D. 26 . Lời giải Chọn B Dễ thấy rằng [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 3;2 0;3 0;3 max max max , x xx M fx fx f x ∈− ∈ ∈ = = = [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 3;2 0;3 0;3 min min min . x xx m fx fx f x ∈− ∈ ∈ = = = Ta có ( ) ( ) [ ] [ ] 2 1 0;3 ' 33 ' 0 1 0;3 . x fx x fx x  =−∉ = −⇒ = ⇔  = ∈   Mà ( ) 0 fa = , ( ) 12 fa = − , ( ) 3 18 fa = + . Vậy 18 Ma = + , 2 ma = − . Yêu cầu bài toán tương đương với ( ) 18 3 2 12 a aa + ≤ − ⇔≥ . Kết hợp với điều kiện [ ] 35;35 a∈− suy ra { } 12;13;14;...;35 a ∈ , do đó có 24 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dạng 3: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) , yf x yf u x = = trên khoảng, đoạn. Câu 1. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 2 3 23 22 x x y f x   ++ =   +   trên  . Tính Mm + . A. 4. Mm + = B. 7. Mm + = C. 5. Mm + = D. 6. Mm + = Lời giải Chọn D NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thi của hàm ( ) y f x = là Đặt ( ) 22 2 2 2 3 23 4 4 22 22 x x x tt x x ++ − + ′ = ⇒= + + ; 1 0 1 x t x = −  ′ = ⇔  =  . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy [ ] 1;2 xt ∈ ⇒∈  . [ ] ( ) 2 2 1;2 3 23 4; 22 x x M max f max f t x   ++ = = =   +    [ ] ( ) 2 2 1;2 3 23 min min 2. 22 x x m f ft x   ++ = = =   +    6 Mm ⇒ + = . Câu 2. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số ( 1) y fx = − trên đoạn [ ] 3;3 − . Tìm M . A. 0 = M . B. 6 = M . C. 5 = M . D. 2 = M . Lời giải Chọn B Đặt 1 = − tx Do [ ] 3;3 ∈− x [ ] 4;2 ⇒ ∈− t . Xét hàm () = y ft trên [ ] 4;2 − . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Cách vẽ đồ thị hàm () = y ft trên [ ] 4;2 − - Giữ nguyên đồ thị hàm số ứng với phần phía trên trục hoành ta được nhánh (I). - Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành ta được nhánh (II). Hợp của hai nhánh (I) và (II) ta được đồ thị hàm số () = y ft trên [ ] 4;2 − như hình vẽ. Dựa vào đồ thị suy ra 6 = M . Câu 3. Cho hàm số () y fx = xác định và liên tục trên đoạn [ 1;3] − đồng thời có đồ thị như hình vẽ . Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số | () | y fx m = + trên đoạn [ 1;3] − bằng 2018 ? A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B Đặt () () '() ' ) g xf x m g xf x = +⇒ = . 0 '( ) 0 2 x gx x =  = ⇔  =  . ( ) y f x =NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Bảng biến thiên : { } [ 1;3] [ 1;3] [ 1;3] max ( ) 16 ; min 9 max max | 16 |;| 9 | gx m m y m m − − − = + = −⇒ = + − . + Nếu [ 1;3] 7 | 16 | | 9 | max | 16 | 16 2018 2 m m m y m m − + ≥ −⇔ ≥−⇒ = + = + = . Suy ra 2002 m = . + Nếu [ 1;3] 7 | 16 | | 9 | max | 9 | 9 2018 2 m m m y m m − + ≤ −⇔ ≤−⇒ = −= − = . Suy ra 2025 m = . Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán . Câu 4. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Đặt ( ) ( ) 2 2 max sin 2 , min sin 2 R R M fx m fx = = . Tổng Mm + bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B 2 , 0 sin 2 1 xR X x ∀ ∈ ≤ = ≤ Từ đồ thị hàm số ( ) y f x = trên R ta có [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0;1 0;1 max 1 0 ,min 1 1 fX f fX f = = =−= . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vì [ ] ( ) [ ] ( ) 0;1 0;1 min 1 0 max 1 fX fX =−< < = nên ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) 22 0;1 0;1 max sin 2 min max 1, min sin 2 0 R R M f x fX fX m f x = = = = = = Vậy 1 Mm += . Câu 5. Cho hàm số bậc ba ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 2 cos y f f x = trên đoạn ; 2 π π    . A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt ( ) ( ) 32 0 f x ax bx cx d a = + ++ ≠ . Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O nên 0 d = . Mặt khác đồ thị hàm số còn đi qua các điểm ( ) ( ) ( ) 1;2 , 1; 2 , 2;2 A B C −− nên ta có hệ phương trình: 21 20 4 2 1 3 a bc a abc b a bc c −+ − = =   ++ =− ⇔ =   + += =−  . Do đó ( ) 3 3 f x x x = − . Đặt [ ] ( ) ( ) 3 cos , ; 1;0 cos 3 2 t x x t f x f t t t π π  = ∈ ⇒ ∈− ⇒ = = −   với [ ] 1;0 t∈− . Ta có ( ) [ ] ( ) 2 ' 3 3 0, 1;0 f t t t ft = − < ∀∈ − ⇒ nghịch biến trên [ ] 1;0 − ( ) ( ) ( ) 2 2 0 ;2 1 ft f f ⇒∈ −   hay ( ) [ ] 2 0;4 ft ∈ . Đặt ( ) [ ] 2 0;2 u ft u = ⇒∈ ( ) 3 3 y fu u u ⇒= = − với [ ] 0;2 u ∈ . Ta có ( ) ( ) [ ] 2 ' 3 3 ' 0 1 0;2 fu u fu u = −⇒ = ⇔ = ∈ . Bảng biến thiên của ( ) fu NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ bảng biến thiên suy ra ( ) ( ) 2 20 2 fu fu −≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Vậy max 2, min 0 max min 2 y y y y = =⇒ += . Câu 6. Cho hàm số () fx xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) 44 ( ) 2sin 2cos 2 gx f x x = +− trên  . Tính T Mm = − . A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn A Xét hàm số: ( ) 44 ( ) 2sin 2cos 2 gx f x x = +− . Đặt 44 2sin 2cos 2 t xx = +− ( ) 2 2 2 22 2 sin cos 2sin cos 2 x x x x  = +− −   22 4sin cos x x = − 2 sin 2 tx ⇒=− ( ) 1 0 t −≤ ≤ . Suy ra hàm số ( ) gx có dạng ( ) ft ( ) 1 0 t −≤ ≤ . Dựa vào đồ thị hàm số ( ) f x , ta có: ( ) [ ] ( ) 1;0 33 t Max g x Max f t M ∈ − = =⇒= ; ( ) [ ] ( ) 1;0 11 t Min g x Min f t m ∈ − = =⇒= . Nên 2 Mm −= NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu7. Cho đồ thị hàm số bậc ba ( ) y f x = liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đặt ( ) ( ) 44 2 sin cos M Max f x x = +  , ( ) ( ) 44 2 sin cos m min f x x = +  . Tính tổng Mm + . A. 3. B. 27 5 . C. 22 5 . D. 5. Lời giải Chọn B * Đồ thị ( ) y f x = được vẽ như sau: Đặt ( ) ( ) 4 4 22 2 sin cos 2 1 2sin cos t x x xx = +=− 22 1 2 1 sin 2 2 sin 2 2 xx  =−= −   Ta có 22 0 sin 2 1 1 2 sin 2 2 xx ≤ ≤⇒ ≤ − ≤ ⇒ 12 t ≤≤ Khi đó ( ) ( ) ( ) 44 2 sin cos f x x ft += với [ ] 1;2 t ∈ Dựa vào đồ thị ( ) ( ) [ ] ( ) 44 1;2 max 2 sin cos max 3 t M f x x ft ∈ = += =  ; ( ) ( ) [ ] ( ) 44 1;2 12 min 2 sin cos min 5 t m f x x ft ∈ = += =  27 5 Mm ⇒ + = . x y 12 5 3 2 O 1 x y 12 5 3 2 O 1NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 8. Cho hàm số () fx có đồ thị như hình vẽ dưới: Gọi , mM lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 14 sin | sin | 33 3 yf x π    =       . Khi đó tổng mM + là A. 2 3 . B. 4 . C. 2 . D. 4 3 . Lời giải Chọn C Vì 0 | sin | 1 0 | sin | 33 xx ππ ≤ ≤⇒ ≤ ≤ . Trên đoạn 0; 3 π    hàm số sin luôn tăng nên suy ra sin 0 sin | sin | sin 3 3 x π π  ≤≤   . Hay 34 0 sin | sin | sin | sin | [0;2] 32 3 3 xx ππ   ≤ ≤⇒ ∈     Quan sát đồ thị ta thấy: 14 4 sin | sin | ;2 33 3 3 f x π      ∈ −          Từ đó max 2;min 0 yy = = . Câu 9. Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị như hình vẽ. NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Tổng giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 2 1 y hx f x = = + thuộc đoạn [ ] 0;1 bằng A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ( ) y f x = ta suy đồ thị ( ) ( ) y gx f x = = Xét hàm số ( ) ( ) 2 1 hx f x = + , [ ] 0;1 x ∈ Đặt [ ] ( ) 2 1 1;2 tx t = + ∈ , suy ra hàm số có dạng ( ) ( ) y gt f t = = Dựa vào đồ thị của hàm số ( ) ( ) y gx f x = = , ta suy ra được: [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 0;1 max 2 max 2 gt h x = ⇒ = , [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 0;1 min 0 min 0 gt h x = ⇒= Câu 10. Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị hàm số như hình vẽ Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 21 y fx = − trên đoạn 1 0; 2    . Tính giá trị Mm − . A. 3 B. 0 . C.1. D. 2 . Lời giải Chọn C Đặt 21 tx = − . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Với 1 0; 2 x  ∈   [ ] 1;0 t ⇒ ∈− . Đồ thị hàm số ( ) y ft = có dạng Suy ra với [ ] 1;0 t∈− ta có 0 m = , 1 M = . Vậy 1 Mm −= . Câu 11. Cho hàm số ( ) y fx = có đồ thị trên [ ] 2;4 − như hình vẽ. Tìm [ ] ( ) 2;4 max fx − . A. 2 . B. ( ) 0 f . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số ( ) y fx = trên [ ] 2;4 − ta có tập giá trị ( ) y fx = là [ 3;2] − . Suy ra tập giá trị của hàm số ( ) fx trên [ ] 2;4 − là [0;3] . Do đó [ ] ( ) 2;4 max 3 fx − = . Câu 12. Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị như hình vẽ: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 22 x yf  =   trên đoạn [ ] 2;4 . Khi đó Mm + bằng A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn C Xét hàm số: ( ) 3 22 x gx f  =   Ta có ( ) 3 '' 42 x gx f  =   , ( ) 0 ' 0' 0 4 2 x x gx f x =   =⇔=⇔   =   . Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) gx trên [ ] 2;4 Từ BBT ta suy ra được GTLN và GTNN của hàm số ( ) y gx = trên [ ] 2;4 lần lượt là 3;0 Vậy 3 Mm += . Dạng 4: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, , yf x b yf u x b yf x a b yf u x a b = + = + = + + = + + trên khoảng, đoạn. Câu 1. Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ] 1;3 − và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 3 cos 1 yf x = − bằng NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. 0 . B. 1. C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn D Đặt 3 cos 1 tx = − x ∀∈  ta có: 0 cos 1 0 3 cos 3 1 3 cos 1 2 x x x ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ − ≤ . Vậy [ ] 1;2 t∈− Khi đó hàm số ( ) 3 cos 1 yf x = − trở thành: ( ) y ft = với [ ] 1;2 t∈− . Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 3 cos 1 yf x = − bằnggiá trị lớn nhất của hàm số ( ) y ft = trên đoạn [ ] 1;2 − . Dựa vào đồ thị hàm số ( ) fx ta có: ( ) [ ] ( ) 1;2 max 3 cos 1 max (0) 2 f x f t f − −= = =  . Câu 2. Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ] 3;5 − và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3cos 4sin 2 yf x x = +− bằng A. 0 . B. 1. C. 3. D. 2 − . Lời giải Chọn A Đặt 3cos 4sin 2 t xx = +− . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC x ∀∈  ta có: ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 3cos 4sin 3 4 cos sin 25 x x xx + ≤+ + = . Suy ra 0 3cos 4sin 5 2 3cos 4sin 2 3 xx xx ≤+ ≤⇔−≤+ −≤ . Vậy [ ] 2;3 t∈− Khi đó hàm số ( ) 3cos 4sin 2 yf x x = +− trở thành: ( ) y ft = với [ ] 2;3 t∈− . Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3cos 4sin 2 yf x x = +− bằnggiá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y ft = trên đoạn [ ] 2;3 − . Dựa vào đồ thị hàm số ( ) fx ta có: ( ) [ ] ( ) 2;3 3cos 4sin min min ( 2) 0 2 x f fx ft − = = − +− =  . Câu 3. Cho hàm số   fx có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số     2 gx f x  trên [ ] 4;4 − là A. 0 B. 4 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn B Xét hàm số     2 gx f x  . Ta thấy hàm số là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Ta lại có: khi 0 x  thì hàm số     2 gx f x  trở thành:     2 gx f x  . Từ đồ thị hàm số ( ) f x ta suy ra đồ thị hàm số ( ) 2 f x − bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số ( ) f x sang phải (theo phương Ox) 2 đơn vị. Từ đồ thị hàm số ( ) 2 f x − ta suy ra đồ thị hàm số ( ) gx bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ( ) 2 f x − bên phải trục Oy qua trục Oy. Ta được đồ thị của hàm số     2 gx f x  như sau: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dựa vào đồ thị hàm số   ( ) 2, gx f x  suy ra hàm số   gx có giá trị lớn nhất bằng 4 trên [ ] 4;4 − Câu 4. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] 2;6 − và có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 1 y fx = + trên đoạn [ ] 2;4 − . Giá trị của M bằng A. 3 B. 1 − . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) 1 y fx = + . Ta thấy hàm số là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Khi 0 x ≥ hàm số ( ) 1 y fx = + trở thành ( ) 1 y f x = + . Từ đồ thị hàm số ( ) y f x = ta suy ra đồ thị hàm số ( ) 1 y f x = + bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số ( ) y f x = sang trái (theo phương Ox ) 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số ( ) 1 y f x = + như sau: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ đồ thị hàm số ( ) 1 y f x = + ta suy ra đồ thị hàm số ( ) 1 y fx = + bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ( ) 1 y f x = + bên phải trục Oy qua trục Oy , ta được đồ thị hàm số ( ) 1 y fx = + như sau: Từ đồ thị hàm số ( ) 1 y fx = + ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 1 y fx = + trên đoạn [ ] 2;4 − bằng 2 . Dạng 5: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) y f x = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, , y f x b y f u x b y f x a b y f u x a b = += += + += + + trên khoảng, đoạn. Câu 1: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị trên đoạn [ ] 2; 4 − như hình vẽ bên. Tìm [ ] ( ) 2; 4 max f x − . A. ( ) 0 f . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chọn C * Phương pháp tìm GTLN của hàm trị tuyệt đối: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) { } ; ; ; max max max ; min ab ab ab fx fx fx = Dựa vào đồ thị ta có: [ ] ( ) 2; 4 max 2 f x − = khi 2 x = và [ ] ( ) 2; 4 min 3 f x − = − khi 1 x = − . Vậy [ ] ( ) 2; 4 max 3 f x − = khi 1 x = − . Câu 2: Cho đồ thị hàm số () y fx = như hình vẽ. Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số () y fx = trên đoạn [ ] 1;1 − lần lượt là , Mm . Tính giá trị của biểu thức 673 2019 TM m = − . A. 2019 T = . B. 0 T = . C. 4038 T = . D. 2692 T = . Lời giải Chọn A • Vẽ đồ thị của hàm số ( ) y f x = bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số ( ) y f x = ở phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số ( ) y f x = ở phía đưới trục hoành qua trục hoành, xóa bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành. • Từ đó suy ra phần đồ thị của hàm số ( ) y f x = trên đoạn [ ] 1;1 − Dựa vào phần đồ thị đó, ta được 3, 0 Mm = = nên 2019 T = . x y 2 1 1 -1 3 O x y 2 1 1 -1 3 ONHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 3: Cho đồ thị hàm số () y fx = như hình vẽ. Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 2) y fx = + trên đoạn [ ] 1;0 − lần lượt là , Mm . Tính giá trị của biểu thức 3 TM m = − . A. 3 T = . B. 0 T = . C. 6 T = . D. 4 T = . Lời giải Chọn A Cách 1: + Tịnh tiến đồ thị hàm số ( ) y f x = sang trái 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số ( ) 2 y f x = + + Vẽ đồ thị hàm số ( ) 2 y f x = + bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số ( ) 2 y f x = + ở phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số ( ) 2 y f x = + ở phía đưới trục hoành qua trục hoành, xóa bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành. Từ đó suy ra phần đồ thị của hàm số ( ) 2 y f x = + trên đoạn [ ] 1;0 − Dựa vào phần đồ thị đó, ta được 3, 0 Mm = = nên 3 T = . Câu 4: Cho đồ thị hàm số () y fx = như hình vẽ. x y 2 1 1 -1 3 O x y -2 -1 3 1 -1 O x y -2 -1 3 1 -1 O x y -2 -1 3 1 -1 O x y -2 -1 3 1 ONHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( 2) y fx x = + trên đoạn [ ] 2;0 − lần lượt là , Mm . Tính giá trị của biểu thức 3 TM m = − . A. 3 T = . B. 0 T = . C. 6 T = . D. 4 T = . Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) 2 2 y fx x = + trên đoạn [ ] 2;0 − Ta có ( ) ( ) 2 ' 2 2' 2 y x f x x =+ + [ ] [ ] 2 2 1 1 2;0 '0 2 1 21 1 2 2;0 xx y x x x x x  =− =− ∈−    = ⇔ + =− ⇔     + = =− ± ∉−   Cách 1: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2; 1 4 y yf y − = = = − = Suy ra giá trị 4, 2 Mm = = hay 2 T = − . Cách 2: Lập bảng Vậy 4, 2 Mm = = suy ra 2 T = − . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 5: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 1 13 gx f x x = +− − . Tìm [ ] ( ) 0;1 max gx . A. 10. − B. 0. C. 10. D. 14. Lời giải Chọn D Đặt ( ) 3 21 t x x x = +− với [ ] 0;1 . x ∈ Ta có ( ) [ ] 2 6 10, 0;1. tx x x ′ = + > ∀∈ Suy ra hàm số ( ) t x đồng biến nên [ ] [ ] 0;1 1;2 . xt ∈ → ∈ − Từ đồ thị hàm số ta có [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 1;2 1;2 1;2 max 3 max 13 10 min 1 min 13 14 ft ft ft ft − − −−  = → − = −     = − → − = −     Suy ra [ ] ( ) 0;1 max 14 gx = . Câu 6: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3 sin 3 sin y f x x = + trên  . Giá trị ln 2019 Mm e + bằng ? A. . e B. 4. C. 3 2009 . − D. 3. Lời giải x y -2 4 -1 -1 1 O x y -2 4 -1 -1 1 O x y 2 -2 4 -1 -1 1 O x y 2 -1 4 ONHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chọn B Đặt 3 sin 3 sin 3sin t xx x = += , Với [ ] [ ] 3sin 3;3 3;3 x x t ∈ ⇒ ∈− ⇒ ∈−  Hàm số trở thành ( ) y ft = Từ đồ thị hàm ( ) ft trên đoạn [ ] 3;3 − ta suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 3;3 3;3 3;3 3;3 min ( ) 3, max ( ) 3 min ( ) 0, max ( ) 3 ft f x ft f x − − −− = − = ⇒== Vậy ln ln3 0 2019 2019 4. Mm ee + =+= Câu 7: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ dưới đây Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 9 y f x = − . Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn [ ] ; mM ? A.1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A Điều kiện xác định [ ] 3;3 x∈− . Đặt [ ] 2 9 0;3 t x t = − ⇒∈ hàm số trở thành: ( ) y ft = Dựa vào đồ thị hàm ( ) ft ta có : [ ] [ ] [ ] [ ] 0;3 ;3 0;3 0;3 13 3 min ( ) , max ( ) min ( ) 0, max ( ) 22 2 o ft f x ft f x − = =⇒= = Vậy có duy nhất một giá trị nguyên thuộc đoạn 3 0; 2       . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ PHẦN II: Xác định GTLN, NN hoặc so sánh các giá trị của hàm số thông qua tích phân hoặc so sánh diện tích hình phẳng. 1. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x = trên khoảng, đoạn. 2. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y fx = trên khoảng, đoạn. 3. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x = trên khoảng, đoạn. 4. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x a b = + + trên khoảng, đoạn. 5. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x b = + trên khoảng, đoạn. 6. Các dạng khác. NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dạng 7: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x = trên khoảng, đoạn. Câu 1: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) fx ′ . Đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = được cho như hình vẽ bên. Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 03 25 ff f f + = + . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của ( ) f x trên đoạn [ ] 0;5 lần lượt là A. ( ) ( ) 0 , 5 ff . B. ( ) ( ) 2 , 0 f f . C. ( ) ( ) 1, 5 ff . D. ( ) ( ) 2 , 5 f f . Lời giải Chọn D Cách 1: Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 5 +∞ f ′ 0 − 0 + f ( ) 0 f ( ) 5 f ( ) 2 f Dựa vào đồ bảng biến thiên, ta có [ ] ( ) ( ) 2;5 min 2 f x f = Và [ ] ( ) ( ) ( ) { } 0;5 max max 0 , 5 f x f f = Vì ( ) f x đồng biến trên đoạn [ ] 2;5 nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 2 5 3 0 2 f f ff ff f f > ⇒ − > −= − Do đó ( ) ( ) 5 0 ff > , vậy [ ] ( ) ( ) ( ) { } ( ) 0;5 max max 0 , 5 5 f x f f f = = Cách 2: Căn cứ đồ thị của ( ) y fx ′ = và ứng dụng tích phân, ta có: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 00 02 S f x dx f x dx f f ′′ = = = − ∫∫ và ( ) ( ) ( ) ( ) 55 2 22 2 5 S f x dx f x dx f f ′′ = = = − ∫∫ Theo giả thiết, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03 25 5 3 0 2 f ff f f ff f + = +⇒ −= − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 55 21 23 53 S f x dx f x dx f f S ′′ = > = −= ∫∫ . Suy ra ( ) ( ) ( ) 21 0 5 0 2 SS f f f > >⇒ > > . Vậy [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0;5 0;5 min 2 ,max 5 f x f f x f = = . Câu 2: Cho hàm số ( ) y f x = . Đồ thị ( ) y fx ′ = như hình bên dưới. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ ] 0;3 . A. ( ) ( ) 1, 0 ff . B. ( ) ( ) 2 , 0 f f . C. ( ) ( ) 1, 3 ff . D. ( ) ( ) 0 , 3 ff Lời giải Chọn C Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = Khi đó: [ ] ( ) ( ) 0;3 min 1 f x f = . Dựa vào đồ thị ( ) y fx ′ = ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 01 0 1 31 0 3 f x dx f x dx f f f f f f ′′ − < ⇔ −< − ⇔ < ∫∫ . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy [ ] ( ) ( ) 0;3 max 3 f x f = . Câu 3: Cho hàm số ( ) y f x = . Đồ thị ( ) y fx ′ = như hình bên dưới. Biết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 21 3 2 f f fff −+ − = − . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ] 1;3 − . A. ( ) ( ) 1, 0 ff . B. ( ) ( ) 2 , 1 f f . C. ( ) ( ) 1, 1 ff − . D. ( ) ( ) 1, 3 ff Lời giải Chọn C Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = Vậy [ ] ( ) ( ) 1;3 max 1 f x f − = Từ bảng biến thiên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 01 , 21 f ff f << vậy ( ) ( ) ( ) 0 2 21 ff f +< Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 13 2 02 2 13 1 f f fff f f fff −+ − = − ⇔ + − = −− Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 3 10 3 1 ff f f − − >⇒ > − Khi đó [ ] ( ) ( ) 1;3 min 1 f x f − = − . Câu 4: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng? ( ) y f x = ( ) ' y f x = ( ) [ ] ( ) [ ] 2; 6 2; 6 max , min , . M f x m f x T M m −− = = = +NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. ( ) ( ) 02 Tf f = + B. ( ) ( ) 52 Tf f = + − . C. ( ) ( ) 56 Tf f = + D. ( ) ( ) 02 Tf f = + − Lời giải Chọn B +) Nhận xét: Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 5 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là nên phương trình có 5 nghiệm phân biệt là Hơn nữa và ngược lại Ta lập bảng biến thiên của hàm số . +) Gọi lần lượt là diện tích của các hình phẳng là hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ' y f x = 2; 0; 2; 5; 6 − ( ) '0 f x = 1 2 3 45 2; 0; 2; 5; 6. x x x xx = −==== ( ) ( ) ( ) ' 0, 2; 0 2; 5 f x x > ∀ ∈− ∪ ( ) ( ) ( ) ' 0, 0; 2 5; 6 . f x x < ∀∈ ∪ ( ) y f x = 1 234 , ,, SS S S ( ) ( ) ( ) ( ) 12 3 4 ,, ,, HH H H ( ) 1 H ( ) ' , 0, 2, 0. y f x y x x = == − = NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC là hình phẳng giới hạn bởi các đường là hình phẳng giới hạn bởi các đường là hình phẳng giới hạn bởi các đường Ta có Ta có Ta có: +) Từ bảng biến thiên và ta có: và . Câu 5: Cho hàm số ( ) y f x = là hàm đa thức bậc 4. Biết hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị ( ) C như hình vẽ và diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C và trục hoành bằng 27 . Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên [ ] 3;3 − . Tính . S Mm = − A. 75. B. 27 . C. 36 . D. 48 Lời giải Chọn A Do hàm số ( ) y f x = là hàm đa thức bậc 4 ⇒ hàm số ( ) y fx ′ = là hàm đa thức bậc 3. Từ đồ thị ( ) C của hàm số ( ) y fx ′ = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ; 0. f x ax x a ′ ⇒ = +− > Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C và trục hoành là: ( ) 1 3 2 3 2 27 a x x dx − −+ = ∫ 27 27 7 4 a a ⇔ = ⇔= ( ) 4 2 6 8 f x x x x c ⇒ = − + + . Xét hàm số ( ) 4 2 6 8 f x x x x c = − + + liên tục trên [ ] 3;3 − ta có: ( ) 2 H ( ) ' , 0, 0, 2. y f x y x x = = = = ( ) 3 H ( ) ' , 0, 2, 5. y f x yxx = = = = ( ) 4 H ( ) ' , 0, 5, 6 y f x y x x = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 12 20 ' ' 0 20 2 22 1 . S S f x dx f x dx f f f f f f − > ⇔ >− ⇔ − − > − ⇔ − < ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25 23 02 ' ' 0 25 2 05 2 . S S f x dx f x dx f f f f f f < ⇔− < ⇔ − < − ⇔ < ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 56 34 25 ' ' 5 2 5 6 2 6 3. S S f x dx f x dx f f f f f f > ⇔ >− ⇔ − > − ⇔ < ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1, 2 , 3 ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 2; 6 2; 6 max 5 , min 2 M f x f m f x f −− = = = = − ( ) ( ) 5 2. T Mm f f = += + −NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) ( ) ( ) 2 42 1 fx x x ′ = +− ; ( ) 2 0 1 x fx x = −  ′ = ⇔  =  Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ; 2 24 ; 1 3 ; 3 51 f cf cf cf c −= + − =− + = + = + ⇒ 51 ; 24 M cm c =+ = −+ 75 Mm ⇒ −= . Câu 6: Cho hàm số ( ) y f x = . Đồ thị ( ) ' y fx = trên [ ] 3;2 − như hình vẽ ( phần cong của đồ thị là một phần của parabol 2 y ax bx c = ++ ). Biết ( ) 10 f = . Gọi , mM lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) y f x = trên [ ] 3;2 − . Tính mM + . A. 10 3 . B. 10 3 − . C. 5 3 − . D. 5 3 Lời giải Chọn B Từ giả thiết có ( ) 2 43 3 1 ' 22 1 0 2 02 x x khi x f x x khi x x khi x − − − − ≤ ≤−  = + − < ≤   −+ < ≤  . Suy ra ( ) 32 1 2 2 2 3 1 2 3 3 1 3 2 10 1 2 02 2 x x x C khi x f x x x C khi x x x C khi x  − − − + − ≤ ≤−   = + + − < ≤    − + + <≤  . Từ đồ thị của ( ) ' y fx = , suy ra bảng biến thiên của ( ) y f x = Vậy [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3;2 3;2 minf 3 ,maxf 2 xf xf − − =− = . Do đó ( ) ( ) 13 3 22 mM f f C C + = −+ = + + . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC + Hàm số ( ) f x liên tục tại 1 x = − nên ( ) ( ) ( ) ( ) 12 11 4 lim lim 1 3 xx f x f x C C − + →− →− = ⇔ + =−+ ( ) 1 + Hàm số ( ) f x liên tục tại 0 x = nên ( ) ( ) 23 00 lim lim xx f x f x C C −+ →→ = ⇔= ( ) 2 + Có ( ) 3 3 10 2 f C =⇔= − ( ) 3 Từ ( ) 1 , ( ) 2 , ( ) 3 suy ra 23 1 3 23 , 26 CC C == −= − Vậy nên 13 10 2 3 mM C C + =+ + = − . Câu 7: Cho hàm số ( ) f x . Biết hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ bên . Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) f x trên đoạn [ ] 1;3 − là A. ( ) 1 f − . B. ( ) 3 f . C. ( ) 0 f . D. ( ) 2 f . Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) f x trên đoạn [ ] 1;3 − , ta có: [ ] 1;a x∈− . Với ( ) 0;1 a ∈ hàm số đồng biến và [ ] a;3 x ∈ hàm số nghịch biến. Ta có bảng biến thiên như sau: Mặt khác ta có ( ) ( ) ( ) 33 11 ' ' '0 a a f x dx f x dx f x dx −− = +< ∫∫ ∫ . Suy ra ( ) ( ) 31 ff <− . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại ( ) 3 f . Câu 8: Cho hàm số () y fx = có đạo hàm '( ) y fx = . Hàm '( ) y fx = có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng (0) (1) 2 (2) (4) (3) ff f ff + − = − . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của ( ) f x trên đoạn [0;4] . A. (4); (2) mf M f = = . B. (4); (1) mf M f = = . C. (0); (2) mf M f = = . D. (1); (2) mf M f = = . Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên trên [0;4] Dựa vào bảng biến thiên ta có ( ) ( ) (2); min{ 0 ; 4 } M f m f f = = . Mặt khác có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2); (3) (2) 1 3 2 2 2 2 1 3 0 f ff f f f f f f f < < ⇒ +< ⇔ − −> . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (1) 2 (2) 4 3 2 2 1 3 0 4 0 0 4 ff f f f f ff f f f f + − = −⇔ − −= − >⇔ > Do vậy (4) mf = . Câu 9: Cho hàm số ( ) 5 43 2 f x x bx cx dx ex = + ++ + ( ) , , , bc d e ∈  . Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ. NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) f x trên đoạn [ ] 1;3 . − Tính . Mm + A. 250 3 . B. 38 3 . C. 196 3 . D. 272 . 3 Lời giải Chọn C Do ( ) 0 fx ′ = có nghiệm phân biệt 2; 1;1; 2 −− nên Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 4 2 54 3 2 5 2 1 1 2 5 54 f x x bx cx dx e x x x x x x ′ = + + + += + + − − = − + Suy ra ( ) 53 25 20 3 f x x x x =−+ . Xét hàm số ( ) 53 25 20 3 f x x x x =−+ trên [ ] 1;3 − . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 38 38 16 1 ; 1 ; 2 ; 3 78 33 3 f f f f − = − = = = . Vậy 38 196 78, . 33 M m Mm = = − ⇒ + = Câu 10: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) fx ′ liên tục trên  và đồ thị của hàm số ( ) fx ′ trên đoạn [ ] 2;6 − như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 4 x y 4 2 − 1 − 1 2 O ( ) y fx ′ =NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. ( ) [ ] ( ) 2;6 max 2 x f x f ∈− = − . B. ( ) [ ] ( ) 2;6 max 2 x f x f ∈− = . C. ( ) [ ] ( ) 2;6 max 6 x f x f ∈− = . D. ( ) [ ] ( ) 2;6 max 1 x f x f ∈− = − . Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số   ' y fx  ta có bảng biến thiên như sau: Ta có           6 26 21 1 12 61 0 f f f xx f xx f xx S S d dd                  61 ff   . Câu 11: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) fx ′ . Hàm số ( ) y fx ′ = liên tục trên tập số thực  và có đồ thị như hình vẽ. Biết ( ) ( ) 13 1 ,2 6 4 ff −= = . Tổng giá trị lớn nhất và giá tr ị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) 3 3 gx f x f x = − trên [ ] 1;2 − bằng y 2 2 -1 1 4 ONHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. 1573 64 . B. 198 . C. 37 4 . D. 14245 64 . Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = và giả thiết ( ) ( ) 13 1 ,2 6 4 ff −= = ta có bảng biến thiên hàm số ( ) y f x = trên [ ] 1;2 − : Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3. 3 g x f x f x f x ′ ′′ = − . Xét trên đoạn [ ] 1;2 − . ( ) 0 gx ′ = ( ) ( ) 2 3 1 0 f x f x ′  ⇔ − =   ( ) 0 f x ′ ⇔ = 1 2 x x = −  ⇔  =  Bảng biến thiên [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1;2 1573 min 1 1 3 1 64 gx g f f − ⇒ = −= − − −= . Câu 12: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm là ( ) fx ′ . Đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = được cho như hình vẽ bên. Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 03 25 ff f f + = + . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của ( ) f x trên đoạn [ ] 0;5 . A. ( ) ( ) 0 , 5. mf M f = = . B. ( ) ( ) 2 , 0. mf M f = = . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC C. ( ) ( ) 1, 5 . mf M f = = D. ( ) ( ) 2 , 5. mf M f = = Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên Ta có:     0;5 min 2 fx f        và     32 ff  . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 2 5 05 23 0 f f f f f f ff += + ⇒ −= − <⇒     05 ff      0;5 max 5 fx f        . Câu 13 : Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) fx ′ . Đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = được cho như hình vẽ bên. Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 03 4 2 ff f f + = + . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của ( ) f x trên đoạn [ ] 0;4 lần lượt là A. ( ) ( ) 4 0 , ff . B. ( ) ( ) 2 , 0 f f . C. ( ) ( ) 4 1, ff . D. ( ) ( ) 2 , 4 f f . Lời giải Chọn D Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = lập bảng biến thiên, ta có [ ] ( ) ( ) 2;4 min 2 f x f = Và [ ] ( ) ( ) ( ) { } 0;4 max ma 4 x 0, f x f f = . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vì ( ) f x đồng biến trên đoạn [ ] 2;4 nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 02 4 4 f f ff ff f f > ⇒−>− = − . Do đó ( ) ( ) 40 ff > , vậy [ ] ( ) ( ) ( ) { } ( ) 0;5 max max 0 , 4 4 f x f f f = = . Cách 2: Căn cứ đồ thị của ( ) y fx ′ = và ứng dụng tích phân, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 00 02 S f x dx f x dx f f ′′ = = = − ∫∫ và ( ) ( ) ( ) ( ) 44 2 22 24 S f x dx f x dx f f ′′ = = = − ∫∫ . Theo giả thiết, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03 2 3 0 2 44 ff f f ff f f + = + ⇒ −= − . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 4 21 23 4 4 3 S f x dx f x dx f f S ′′ = > = −= ∫∫ . Suy ra ( ) ( ) ( ) 21 02 4 0 SS f f f > >⇒ > > . Vậy [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0;5 0;5 min 2 , 4 max f x f f x f = = . Câu 14: Cho hàm số () y fx = xác định và liên tục trên đoạn [ ] 1;2 − , có đồ thị hàm số '( ) y fx = như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. [ ] 1;2 max ( ) ( 1) fx f − = − . B. [ ] 1;2 max ( ) (2) fx f − = . C. [ ] 1;2 max ( ) (1) fx f − = . D. [ ] 1;2 3 max ( ) 2 fx f −   =     Lời giải Chọn B NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 1; , 0 x x ay = − == và đồ thị '( ) y fx = . 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng ; 1; 0 x a x y = = = và đồ thị '( ) y fx = . 3 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3 1; ; 0 2 x x y = = = và đồ thị '( ) y fx = . 4 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3 ; 2; 0 2 x xy = = = và đồ thị '( ) y fx = . Ta có: 11 21 11 (1) ( 1) '( ) '( ) '( ) 0 (1) ( 1) a a f f f x dx f x dx f x dx S S f f −− − − = = + = − >⇒ > − ∫ ∫∫ 3 22 2 43 3 1 1 2 (2) (1) '() '() '() 0 (2) (1) f f f x dx f x dx f x dx S S f f − = = + = − >⇒ > ∫ ∫ ∫ . Suy ra ( ) ( ) ( ) 3 21 1 2 f ff f  > > − >   . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dạng 8: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y fx = trên khoảng, đoạn. Câu 1: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) fx ′ xác định và liên tục trên  . Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như sau: Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y fx = trên đoạn [ ] 4;3 − Tính giá trị của Mm − . A. ( ) ( ) 42 f f + . B. ( ) ( ) 40 f f + . C. ( ) ( ) 30 ff − . D. ( ) ( ) 32 ff + . Lời giải Chọn A Ta có ( ) 1 0 0 1 2 x x fx x x = −   =  ′ = ⇔  =  =  . Mặt khác hàm số ( ) y fx = là hàm số chẵn. Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x và ( ) fx . x ∞ − 1 − 0 1 2 ∞ + y ′ - 0 + 0 - 0 - 0 + ( ) y f x = +∞ (0) f +∞ ( ) 1 f − ( ) 2 f x 4 − 2 − 0 2 3 y ′ - 0 + 0 - 0 + ( ) y fx = ( ) 4 f (0) f ( ) 3 f ( ) 2 f ( ) 2 f NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ hình vẽ của đồ thị ( ) y fx ′ = ta có ( ) ( ) 23 02 dd fx x fx x ′′ < ∫∫ . Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 3 2 3 2 0 0 3 f f ff ff f f − − < −⇔ −>⇔ <     . ( ) ( ) 34 22 d d fx x fx x ′′ < ∫∫ Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 2 3 2 0 3 4 ff f f ff f f − <−⇔ −>⇔ < Vậy: ( ) ( ) ( ) 034 f ff << . Mặt khác từ bảng biến thiên hàm số ( ) y fx = ta có: [ ] ( ) ( ) 4;3 min 0 fx f − = . [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4;3 max 4 4 4 2 fx f f M M m f f − ⇒ = − = = ⇒ + = + . Câu 2: Cho hàm số ( ) y fx = có đạo hàm liên tục trên  . Biết hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) gx f x = trên đoạn [ ] 2;1 − . Tính Mm + . A. ( ) ( ) 10 ff + B. ( ) ( ) 1 2 ff +− C. ( ) ( ) 21 ff −+ − D. ( ) ( ) 10 f f −+ Lời giải Chọn A Từ đồ thị ta suy ra bảng biến thiên của hàm số ( ) y fx = như sau: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Với [ ] 2;1 x∈− thì [ ] 0;2 x ∈ , từ bảng biến thiên suy ra ( ) 1 M f = và ( ) ( ) { } min 0 , 2 m ff = . Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 01 10 1 2 2 0 f x dx f x dx f f f f f f ′′ >− ⇔ − > − ⇔ > ∫ ∫ , nên ( ) 0 mf = . Vậy ( ) ( ) 10 Mm f f + = + . Câu 3: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ' fx . Hàm số ( ) y fx ′ = liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) y fx = trên đoạn [ ] 1;4 − ? A. [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1;4 1;4 max 1 ; min 0 fx f fx f − − = = . B. [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1;4 1;4 max 4 ; min 0 fx f fx f − − = = . C. [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1;4 1;4 max 4 ; min 2 fx f fx f − − = = . D. [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1;4 1;4 max 1 ; min 2 fx f fx f − − = = . Lời giải Chọn B Từ đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = ta có bảng biến thiên của ( ) y f x = trên [ ] 1;4 − : Từ bảng biến thiên ( ) y f x = ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y fx = : NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ hình vẽ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 01 10 1 2 2 0 f x dx f x dx f f f f f f ′′ > ⇔ − >− ⇒ > ∫∫ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42 21 4 21 2 41 f x dx f x dx f f f f f f ′′ > ⇔ − >− ⇒ > ∫∫ . Vậy [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1;4 1;4 max 4 ; min 0 fx f fx f − − = = . Câu 4: Cho hàm số ( ) 5 43 2 f x ax bx cx dx ex n = + + + ++ ( ) , , , ,, . abc d e n ∈  Hàm số ( ) ' y fx = có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị cắt Ox tại 4 đi ểm có hoành độ 1 3; 1; 2 −− và 2). Đặt [ ] ( ) [ ] ( ) 3;2 3;2 max ; min M fx m fx − − = = và . T Mm = + Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( ) ( ) 32 Tf f = −+ . B. ( ) ( ) 3 0 Tf f = −+ . C. ( ) 1 2 2 Tf f  = +   . D. ( ) 1 0 2 Tf f  = +   . Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 ' 5 4 3 2 5 31 2 2 f x ax bx cx dx e a x x x x  = + + + += + + − −   (Vì phương trình ( ) '0 fx = có 4 nghiệm 1 3; 1; 2 −− và 2). NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của ( ) f x Từ bảng biến thiên 0 a ⇒< . Suy ra bảng biến thiên của ( ) fx Vì hàm số ( ) fx là hàm số chẵn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2; 3 3 1 1 2 2 f f f f ff − = −=   ⇒     −=         . +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 11 22 1 1 11125 3 ' 5 31 2 0 2 2 128 a f f f x dx a x x x x dx    − = = + +− − = <       ∫∫ ( ) ( ) 11 33 22 f ff f    ⇒ −= < = −       (1) +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 00 1 2 0 ' 5 3 1 2 23 0 2 f f f x dx a x x x x dx a  − = = + + − − = −>   ∫∫ ( ) ( ) ( ) 2 20 f ff ⇒ − = > (2) Từ (1) và (2) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3;2 3;2 max 2 2 ; min 3 . M fx f f m fx f − − ⇒ = = − = = = − Vậy ( ) ( ) 3 2. T Mm f f = + = −+ Câu 5: Cho hàm số () y fx = có đồ thị hàm số () fx ′ như hình bên NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y fx = trên đoạn [ ] 1;4 − . A. ( ) 1 f − . B. ( ) 1 f . C. ( ) 0 f . D. ( ) 4 f . Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = trên đoạn [ ] 1;4 − Suy ra bảng biến thiên của hàm số ( ) y fx = trên đoạn [ ] 1;4 − Từ đồ thị ta có ( ) ( ) 14 01 f x dx f x dx ′′ <− ∫ ∫ ( ) ( ) 14 01 f x f x ⇔ <− ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 4 ff ff ⇔ − <− ( ) ( ) 04 ff ⇔> . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y fx = trên đoạn [ ] 1;4 − là ( ) 4 f . Dạng 9: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x = trên khoảng, đoạn. Câu 1: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên  . Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ. NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Biết ( ) 10 f < . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số ( ) ( ) gx f x = trên đoạn [ ] 1;4 . A. ( ) ( ) 4 , 1 M f mf = = . B. ( ) ( ) 3, 1 M f mf = = . C. ( ) ( ) 4, 1 M f mf = = . D. ( ) ( ) 1, 4 M f mf = = . Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = ta có bảng biến thiên sau: Do ( ) 10 f < nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 4 10 4 1 ff f f < <⇒ > Ta có bảng biến thiên: Vậy ( ) ( ) 4; 1 M f mf = = . Câu 2: Cho hàm số ( ) y f x = xác định, liên tục trên  và ( ) 10 f < . Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) gx f x = trên [ ] 1;1 − . Khi đó ; Mm là A. ( ) ( ) 1, 1 M f mf =− = . B. ( ) ( ) 1, 1 M f mf = = − . C. ( ) ( ) 1, 1 M f mf =−= . D. ( ) ( ) 1, 1 M f m f =− = . Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = ta có ( ) y f x = luôn đồng biến trên [ ] 1;1 − nên ( ) ( ) [ ] 1 1 0, 1;1 ff x − < < ∀ ∈− . Do đó ( ) ( ) [ ] 1 1 , 1;1 f fx − > ∀ ∈− nên [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1 1;1 1; 1 1 , 1 max g x f min g x f M f m f − − = − = ⇒= − = . Câu 3: Cho hàm số ( ) y f x = xác định, liên tục trên  và ( ) 20 f < . Hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ . Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) gx f x = trên [ ] 1;3 − . Khi đó ; Mm là A. ( ) ( ) 1, 3 M f mf =− = . B. ( ) ( ) 3, 1 M f mf = = − . C. ( ) ( ) 1, 2 M f mf =−= . D. ( ) ( ) 1, 3 M f mf =−= . Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = ta có ( ) y f x = luôn đồng biến trên [ ] 1;2 − và nghịch biến trên [ ] 2;3 nên ( ) ( ) [ ] 1 2 0, 1;2 ff x − < < ∀ ∈− và ( ) ( ) [ ] 3 2 0, 2;3 ff x < < ∀∈ . Mặt khác ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 23 12 1 2 2 1 32 1 3 f x dx f x dx f x f x f f f f f f − − ′′ > − ⇔ >− ⇒ − − >− + ⇒ − < ∫∫ Do đó ta có ( ) ( ) ( ) [ ] 1 3 2 0, 1;3 f ff − < < < ∀ ∈ − ( ) ( ) ( ) 13 2 f ff ⇒ −> > NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1;3 1;3 1; 2 1 , 2 max g x f min g x f M f m f − − = − = ⇒= − = . Câu 4: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên [ ] 0;5 . Đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = trên [ ] 0;5 như hình vẽ. Biết ( ) ( ) ( ) ( ) 03 25 ff f f + = + và ( ) 50 f < . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) gx f x = trên đoạn [ ] 0;5 . A. ( ) ( ) 3, 5 ff . B. ( ) ( ) 2, 0 f f . C. ( ) ( ) 2, 5 f f . D. ( ) ( ) 0, 5 ff . Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = ta có bảng biến thiên sau Theo giả thiết ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 2 5 5 0 3 2 f f f f f f ff + = + ⇔ − = − mà ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 0 ff f f > ⇒ > Cũng theo giả thiết ta có ( ) 50 f < nên ( ) ( ) ( ) 2 0 50 f f f < << ( ) ( ) ( ) 2 05 f ff ⇒ >> Do đó ta suy ra bảng biến thiên sau NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0;5 0;5 2; 5 max g x f min g x f = = . Câu 5: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  có đồ thị ( ) y fx ′ = như hình vẽ dưới đây và ( ) 10 f < . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số ( ) y f x = trên đoạn [ ] 1;4 − bằng A. ( ) 0 f . B. ( ) 1 f . C. ( ) 1 f − . D. ( ) 4 f . Lời giải Chọn D Xét hàm số ( ) y f x = . Ta có ( ) 1 01 4 x fx x x = −   ′ =⇔=   =  . Ta có bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số, suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 14 1 4 11 1 1 d d d d fx x fx x fx x fx x − − ′′ ′ ′ < ⇒ <− ∫∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 14 11 14 f x f x f f − ⇒ <− ⇒ − > . Ta có ( ) ( ) ( ) 4 1 10 ff f < −< < ( ) ( ) ( ) 4 11 ff f ⇒ > −> [ ] ( ) ( ) 1,4 max 4 f x f − ⇒= . Câu 6: Cho hàm số   32     f x ax bx cx d có đồ thị  . C Biết đồ thị   C tiếp xúc với đường thẳng 4  y tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số     y fx như hình vẽ bên dưới NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Giá trị lớn nhất của hàm số   y fx  trên   0;3 bằng A. 20 . B. 60 . C. 22 . D. 3 . Lời giải Chọn A Vì đồ thị hàm   fx  cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1  x và 1  x nên       11 f x k x x    với k là số thực khác 0 . Vì đồ thị hàm   fx  đi qua điểm   0; 3  nên ta có 3 3 kk     . Suy ra     2 3 3. fx x Mà   2 3 2 f x ax bx c    nên ta có được 1, 0, 3 ab c    . Từ đó   3 3 fx x x d   . Do đồ thị   fx tiếp xúc với đường thẳng 4  y tại điểm có hoành độ âm nên ta có 3 2 3 4 3 30 0                x xd x x có nghiệm. Suy ra 1 2 x d          . Do đó   3 32 fx x x   và   3 32 y fx x x    với     0;3 x . Ta có   2 1 3 30 1 x fx x x           và       0 2; 1 0; 3 20 f f f   . Suy ra   [0;3] min 0 m fx  và   [0;3] max 20. M fx  Vậy       0;3 max max ; 20 fx m M  . Câu 7: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên  có đồ thị của hàm ( ) y fx ′ = được cho như hình bên dưới và ( ) 23 f −= , ( ) ( ) 0 5, 1 0 f f = − = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ( ) 1 y fx = + trên [ ] 2;1 − . Khi đó 22 Mm + bằng NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. 8 . B. 25 . C. 37 . D. 34 . Lời giải Chọn C Quan sát đồ thị ( ) fx ′ ta có: ( ) 2 00 1 x fx x x = −   ′ =⇔=   =  . Ta có bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta có: [ ] 2;1 x∈− thì ( ) [ ] ( ) [ ] 5;3 1 1;6 f x f x ∈− ⇒ + ∈ . Suy ra 6 M = và 1 m = . Vậy 22 37 Mm += . Câu 8: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  , có đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng về cả hai phía như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) y f x = trên đoạn [ ] 1;3 − , biết rằng ( ) 2 1 5 f = và NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) ( ) ( ) 1 0 10 f ff −+ + = . A. ( ) 0 f . B. ( ) 1 f − . C. ( ) 2 f . D. ( ) 3 f . Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm ( ) y fx ′ = ta có ( ) 02 fx x ′ = ⇔= và ( ) fx ′ không xác định tại 0 x = . Do ( ) y f x = liên tục trên  nên bảng biến thiên của ( ) y f x = trên đoạn [ ] 1;3 − là: Vì ( ) f x liên tục tại 0 x = nên ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim 0 x x f x f x f −+ → → = = . Gọi ( ) 1 S a là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), 0, 1, y fx y x x a ′ = == −= với ( ) 1;0 a∈− (Hình vẽ). Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 00 1 0 lim 1 lim ' lim 3 d a aa a f f f f a f x x S a − −− − → →→  −− = −− = = >     ∫ Suy ra ( ) ( ) 0 13 f f < −− (*) Gọi ( ) 2 Sb là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), 0, , 1 y f x y x bx ′ = = = = với ( ) 0;1 b ∈ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 00 1 0 lim 1 lim ' lim 1 d b bb b ff ff b f x x S b + ++ → →→  −= − = = >     ∫ Suy ra ( ) ( ) 0 11 f f <− (**) Từ (*) và (**) suy ra ( ) ( ) ( ) 2 0 1 14 f f f < −+ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 30 0 1 14 4 0 0 3 3 f ff f f f ⇒ < + − + − =− ⇒ <− ⇒ > (1) NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ bảng biến thiên ta có ( ) ( ) 10 f f − > . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 11 0 11 1 1 5 f ff f ff f f = − + − ⇒ = + − =+ − > −   Do đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 10 0 1 f f f f f < −< ⇒ > − (2) Gọi 3 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), 0, 1, 2 y fx y x x ′ = = = = . Ta có ( ) ( ) 2 21 0 5 ff >=> và ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 21 2 d f f fx x S ′ −= =< ∫ ( ) ( ) 1 1 2 9 02 1 2 2 5 10 ff ⇒< < + = + = Do đó ( ) ( ) ( ) 49 0 22 3 10 f ff >> > = (3) Gọi 4 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), 0, 2, 3 y fx y x x ′ = = = = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 23 2 3 ' 1 3 2 1 11 1 55 d f f f xx S f f f − = = < ⇒ > −> −= −=− ∫ Kết hợp với ( ) ( ) 9 32 10 ff<< nên ( ) 9 3 10 f < , suy ra ( ) ( ) 30 f f < (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra [ ] ( ) ( ) 1;3 max 0 x f x f ∈− = . Chú thích của tác giả: Sáng tác dựa trên hàm số ( ) ( ) 3 2 3 52 5 f x x x = − − − . Dạng 10: Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x a b = + + trên khoảng, đoạn. 1. Lý thuyết: +) ( ) ( ) . xa gx f x a b xa + ′′ = ++ + . +) Dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số ( ) fx ′ giải phương trình ( ) 0 gx ′ = và tìm các giá trị của x trên khoảng, đoạn đã cho mà tại đó ( ) gx ′ không xác định. Từ đó lập bảng biến thiên của hàm số ( ) gx , dựa vào bảng biến thiên để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. +) Một số bài toán cần tìm ra công thức của hàm số ( ) y fx = . Khi đó, dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số ( ) fx ′ và các giả thiết khác để thiết lập công thức của hàm số ( ) fx ′ , từ đó tìm công thức ( ) y fx = bằng phép toán nguyên hàm. +) Một số bài toán cho đồ thị của hàm số ( ) fx ′ , để tìm GTLN, NN của hàm số ( ) fx a b ++ cần dùng đến phép toán tích phân. Đặc biệt ý nghĩa của tích phân về diện tích hình phẳng. +) Nếu biết đồ thị của hàm số ( ) y fx = , bằng phép biến đổi đồ thị thì chúng ta có thể suy ra được đồ thị ( ) ( ) y gx f x a b = = ++ . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC +) Một số bài toán tìm GTLN, NN của hàm số ( ) ( ) y gx f x a b = = ++ trên đoạn [ ] ; cd , bằng cách đặt t xa b = ++ , với [ ] ; x cd ∈ thì [ ] ; t mn ∈ . Khi đó ta chuyển về tìm GTLN, NN của hàm số ( ) ft trên [ ] ; mn . 2. Bài tập: Câu 1: Cho hàm số ( ) y fx = có đồ thị ( ) f x ′ (như hình vẽ). Khi đó hàm số ( ) ( ) 12 gx f x = +− lần lượt đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là M , m trên đoạn [ ] 0;1 . Khẳng định đúng là: A. ( ) ( ) 10 Mm f f − = −− . B. ( ) ( ) 2 02 1 M mf f += + − . C. ( ) ( ) 22 0 M m fa f −= − . D. ( ) ( ) 10 mM f f − = −− Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số ( ) f x ′ , ta suy ra bảng biến thiên: Xét hàm ( ) ( ) 1 hx f x = + có đồ thị được suy ra bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm ( ) y fx = sang trái 1 đơn vị. Khi đó, ta được bảng biến thiên: Hàm ( ) ( ) 1 px f x = + có đồ thị được suy ra từ đồ thị hàm ( ) hx bằng cách: + Giữ nguyên phần bên phải Oy (với 1 x ≥− ). + Lấy đối xứng phần bên phải Oy qua trục tung. Ta được bảng biến thiên: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Hàm số ( ) ( ) 12 gx f x = +− có đồ thị được tạo thành bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm ( ) px sang phải 2 đơn vị. Ta được bảng biến thiên: Vì 1 a > nên 10 a − +< nên trên đoạn [ ] 0;1 có ( ) [ ] ( ) 0;1 max 0 M gx f = = , ( ) [ ] ( ) 0;1 min 1 m gx f = = − . Câu 2: Cho hàm số ( ) y fx = có đồ thị ( ) f x ′ (như hình vẽ). Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 13 gx f x = +− trên đoạn [ ] 1;4 . Phát biểu nào sau đây đúng? A. ( ) 4 Mg = , ( ) 2 mg = . B. ( ) 2 Mg = , ( ) 4 mg = . C. ( ) M ga = , ( ) m gb = . C. ( ) m ga = , ( ) M gb = . Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số ( ) f x ′ , ta suy ra bảng biến thiên: Xét hàm số ( ) ( ) 1 hx f x = + có đồ thị được suy ra bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm ( ) y fx = sang trái 1 đơn vị. Khi đó, ta được bảng biến thiên: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Hàm ( ) ( ) 1 px f x = + có đồ thị được suy ra từ đồ thị hàm ( ) hx bằng cách: + Giữ nguyên phần bên phải Oy (với 1 x ≥− ). + Lấy đối xứng phần bên phải Oy qua trục tung. Ta được bảng biến thiên: Hàm số ( ) ( ) 13 gx f x = +− có đồ thị được tạo thành bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm ( ) px sang phải 3 đơn vị. Ta được bảng biến thiên: Vì 2 b > nên 24 b+> . Đồ thị hàm ( ) gx đối xứng qua đường thẳng 2 x = nên ta có ( ) ( ) 13 gg = và ( ) ( ) ( ) 3 4 2 g g gb < <+ . Vậy ( ) [ ] ( ) 1;4 max 4 M gx g = = , ( ) [ ] ( ) 1;4 min 2 m gx g = = . Câu 3: Cho hàm số ( ) y fx = có đạo hàm ( ) fx ′ là hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng ( ) 3 min 4 fx ′ = −  , ( ) 00 f = . Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( ) 21 gx f x = − + trên đoạn [ ] 1;3 có dạng m n với , , 0 mn n ∈>  và phân số đó tối giản. Tính 22 mn + . A. 85 . B. 74 . C. 61. D. 58 . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Lời giải Chọn C Vì ( ) fx ′ là hàm số bậc hai nên nó có dạng: ( ) ( ) 2 0 f x ax bx c a ′ = ++ ≠ . Từ đồ thị hàm số ( ) fx ′ và giả thiết ta có ( ) ( ) 10 33 24 20 f f f ′ =     ′ = −      ′ =  0 93 3 42 4 42 0 a bc a bc a bc ++ =    ⇔ + +=−   + +=   1 3 2 a b c =   ⇔ = −   =  ( ) 2 32 fx x x ′ ⇒ = −+ ( ) 3 2 3 2 32 x fx x x C ⇒ = − ++ . Vì ( ) 00 f = nên ( ) 3 2 3 2 32 x fx x x =−+ . Ta có ( ) ( ) 2 21 2 x gx f x x − ′′ = − + − với 2 x ≠ . ( ) ( ) 0 21 0 gx f x ′′ = ⇔ − + = ( ) 2 11VNdo 2 2 12 x x x − + = ≠  ⇔  − + =   1 3 x x =  ⇔  =  . Ta có bảng biến thiên x 12 3 ( ) gx ′ 0 || 0 + − ( ) gx ( ) ( ) ( ) 2 13 g gg Dựa vào bảng biến thiên ta có [ ] ( ) ( ) ( ) 1;2 5 max 2 1 6 gx g f = = = . Do đó 22 5, 6 61 m n mn = =⇒ += . Câu 4: Cho hàm số ( ) y fx = có đạo hàm cấp hai trên  . Biết ( ) ( ) ( ) 0 3, 2 2018 0 f ff ′ ′′ = =−=, và bảng xét dấu của như sau: ( ) fx ′′NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Hàm số ( ) 1 2018 y fx = −− đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ) 1009;2 − . B. ( ) 2015;1 − . C. ( ) 1;3 . D. ( ) ; 2015 −∞ − . Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) fx ′ x 02 −∞ + ∞ ( ) fx ′′ 00 + − + ( ) fx ′ 3 0 Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y fx = x 2018 2 −∞ − + ∞ ( ) fx ′ 00 − + + ( ) fx ( ) 2018 f − ( ) ( ) 1 1 2018 1 2018 1 x y fx y f x x − ′′ = −− ⇒ = −− − với 1 x ≠ . ( ) 0 1 2018 0 y fx ′′ = ⇔ −− = ( ) 1 2018 2 1 2018 2018 VN x x −− =  ⇔  −− =−   2021 2019 x x =  ⇔  = −  . Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) ( ) 1 2018 y gx f x = = −− x 2019 1 2021 −∞ − + ∞ ( ) gx ′ 0 || 0 − − + + ( ) gx ( ) 1 g Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( ) ( ) min 1 gx g =  . Câu 5: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm là ( ) fx ′ . Đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = được cho như hình vẽ bên. 0 xNHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Biết ( ) ( ) ( ) ( ) 03 25 ff f f + = + . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của ( ) 32 y fx = +− trên đoạn [ ] 1;4 − lần lượt là A. ( ) ( ) 0 , 5 ff . B. ( ) ( ) 2 , 5 f f . C. ( ) ( ) 0 , 2 ff . D. ( ) ( ) 1, 4 ff − . L ời gi ải Ch ọn B Từ đồ thị ( ) y fx ′ = trên đoạn [ ] 0;5 ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = : Suy ra [ ] ( ) ( ) 0;5 min 2 f x f = . Từ giả thiết, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 03 25 ff f f + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 53 0 2 ff f f ⇒ −= − Hàm số đồng biến trên [ ] 2;5 . ( ) ( ) 3 2 ff ⇒> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 53 0 2 ff ff f f ⇒ − > −= − nên ( ) ( ) 5 0 ff > . Suy ra, [ ] ( ) ( ) 0;5 max 5 fx f = . Đặt 32 tx = +− , với [ ] 1;4 x∈− thì [ ] 0;5 t ∈ . Khi đó giá tr ị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số ( ) 32 y fx = +− trên đoạn [ ] 1;4 − cũng chính là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số ( ) y ft = trên đoạn [ ] 0;5 . Do đó [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) 1;4 0;5 min 3 2 min 2 f x fx f − +− = = ; [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) 1;4 0;5 max 3 2 max 5 f x fx f − +− = = Câu 6: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị ( ) y fx ′ = như hình vẽ. ( ) fx O 2 5 x yNHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 13 3 2018 34 2 gx f x x x x = − − + + . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] ( ) ( ) ( ) 2;2 3 1 min 3 4 2 gg gx − −+ +− = . B. [ ] ( ) ( ) 2;2 min 3 4 1 gx g − +− = . C. [ ] ( ) ( ) 2;2 min 3 4 3 gx g − +− = − . D. [ ] ( ) ( ) 2;2 min 3 4 1 gx g − +− = − . L ời gi ải Ch ọn D Ta có ( ) ( ) 2 33 22 gx f x x x ′′ = −− + ( ) ( ) 2 1 33 0 1 22 x gx f x x x x = −  ′′ = ⇔ = + −⇔  =  Lập Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có: [ ] ( ) ( ) 3;1 min 1 gx g − = − . Đặt 34 tx = +− với [ ] 2;2 x∈− thì [ ] 3;1 t∈− . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Khi đó [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) 2;2 3;1 min 3 4 min 1 g x gt g −− +− = = − . Dạng 11. Cho đồ thị, BBT của hàm số ( ) ' y fx = , tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x b = + trên khoảng, đoạn. Câu 1. Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) y f' x = như hình vẽ bên dưới và ( ) ( ) 1 5 3 15 f ;f = − = . Xét hàm số ( ) ( ) gx f x m = + . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) gx trên đoạn [ ] 1 3 ; bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của tập S có giá trị bằng A. 10 − . B. 8 − . C. 8 . D. 10. Lời giải Chọn A Xét hàm số ( ) ( ) hx f x m = + liên tục trên đoạn [ ] 1 3 ; . Ta có: ( ) ( ) 1 0 1 x h' x f 'x x = −  = = ⇔  =  . Khi đó ( ) 15 hm = − ; ( ) 3 15 hm = + . Để hàm số ( ) y hx = đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ] 1 3 ; bằng 3 thì đồ thị hàm số ( ) y hx = phải nằm hoàn toàn phía dưới hoặc phía trên trục hoành (tức không cắt trục hoành) trên [ ] 1 3 ; . Trường hợp 1: 15 0 15 mm + < ⇔ < − thì [ ] ( ) 13 15 3 ; min f x m m + = + = ( ) ( ) 18 12 m tm ml = −  ⇔  = −   . Trường hợp 2: 50 5 mm −> ⇔ > thì [ ] ( ) 13 53 ; min f x m m + = −= ( ) 8 m tm ⇔ = . Vậy { } 18 8 S; = − . Do đó chọn phương án A. Câu2. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Biết ( ) ( ) 4 47 ff −= = − . Giá trị lớn nhất của hàm số 5 y f ( x) = + trên đoạn [ ] 44 ; − đạt được tại điểm nào? A. 4 x = − . B. 1 x = − . C. 2 x = . D. 4 x = . Lời giải Chọn C Xét ( ) ( ) ( ) ( ) 5 g x f x g' x f 'x = + ⇒ = . ( ) 0 4 12 4 g' x x x x x =⇔ =− ∨=− ∨=∨= . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy 5 y f ( x) = + đạt GTLN tại 2 x = . Câu 3. Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  và có đồ thị ( ) f x ′ như hình vẽ dưới. Biết ( ) ( ) ( ) 24 25 01 f ,f ,f = − −= − = − . Xét hàm số ( ) ( ) 2 23 y gx f x = = −+ . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Giá trị lớn nhất của hàm số trên [ ] 22 ; − bằng 2. B. Giá trị lớn nhất của hàm số trên [ ] 22 ; − đạt được tại 0 x = hoặc 2 x = . C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ ] 22 ; − bằng 1. D. Có hai giá trị của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên [ ] 22 ; − . Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) ( ) 2 22 g x x.f x ′′ = − là hàm số liên tục trên  . ( ) ( ) 2 0 2 20 g x x.f x ′′ =⇔ −= ( ) 2 2 2 0 0 0 21 1 20 2 2 2 x x x xx fx x x =  =  =    ⇔ ⇔ − =−⇔ =±    ′ −=     = ± −=   . ( ) 2 22 2 2 0 2 2 4 2 x fx x x x >  ′ − > ⇔ − > ⇔ > ⇔  < −  . Bảng biến thiên của hàm số ( ) gx Từ bảng biến thiên, ta thấy đáp án C là sai. Câu 4. Cho hàm số y f ( x) = có đạo hàm f '( x ) trên R. Đồ thị f '( x ) như hình vẽ sau và 12 f( ) − < − Khi đó gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 g( x) f ( x) = + trên đoạn [ ] 2 1 ; − lần lượt là M ,m . Tổng Mm + bằng A. 21 g( ) g( ) − + . B. 21 g( ) g( ) − + − . C. 12 12 f( ) f( ) − + + + . D. 1 14 f( ) f( ) − + + . Lời giải Chọn C 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 1 -2 -1NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dựa vào đồ thị của f '( x ) ta có BBT của hàm y f ( x) = như sau Ngoài ra ta có: 11 21 1 2 11 f ( x ) dx f '( x )dx f( ) f( ) f( ) f( ) − −− ′ < ⇒ − − − < − − ∫ ∫ . 2 1 2 1 2 1 f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) ⇒ −> ⇒− > − > −> . Từ đó 12 2 2 12 0 f( ) f( ) f( ) +< − +< − +< hay 1 2 1 g( ) g( ) g( ) >− >− . Dạng 12. Các dạng khác. Câu 1: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có đồ thị hàm số đạo hàm ( ) y f' x = như hình vẽ. Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 13 3 2019 34 2 gx f x x x x = − − + + . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] ( ) ( ) 3;1 min 3 gx g − = − . B. [ ] ( ) ( ) 3;1 min 1 gx g − = . C. [ ] ( ) ( ) 3;1 min 1 gx g − = − . D. [ ] ( ) ( ) ( ) 3;1 31 min 2 gg gx − −+ = . Lời giải Chọn C • Ta có: ( ) ( ) 2 3 3 2 2 g' x f 'x x x = −− + ; ( ) ( ) ( ) 2 33 0 22 g' x f 'x h x x x =⇔ = =+ − NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 3 1 1 x x x = −   ⇔= −   =  . • Bảng biến thiên: • Dựa vào bảng biến thiên ta có: [ ] ( ) ( ) 3;1 min 1 gx g − = − . Câu 2: Cho hàm số ( ) y f x = , hàm số ( ) fx ′ có đồ thị như hình vẽ Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) 2 1 11 21 21 4 2 19 gx f x x x = − + − − trên khoảng 5 0; 2       bằng A. ( ) 1 11 1 2 19 f + . B. ( ) 1 `14 4 2 19 f − . C. ( ) 1 02 2 f − . D. ( ) 1 70 2 2 19 f − . Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) ( ) 44 21 21 4 0 19 gx f x x ′′ = − + − − = ( ) ( ) 44 21 21 4 19 fx x ′ ⇔ − = − − + . Đặt ( ) 44 21 4 19 t x ft t ′ = −⇒ =− + với 5 0 14 2 x t ≤ ≤ ⇒− ≤ ≤ . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ đồ thị ta có ( ) 0 44 4 2 19 t ft t t =  ′ =− +⇔  =  . Lập bảng biến thiên hàm số ( ) gt Giá trị nhỏ nhất hàm số đạt được khi 3 2 2 tx = ⇔= . suy ra ( ) ( ) ( ) min 1 70 2 2 19 gx f = − . Câu 3: Cho hàm số ( ) f x . Biết hàm số ( ) y fx ′ = có đồ thị như hình bên. Trên đoạn [ ] 4;3 − , hàm số ( ) ( ) ( ) 2 21 gx f x x = + − đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. 0 3 x = − . B. 0 4 x = − . C. 0 1 x = − . D. 0 3 x = . Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ta có ( ) ( ) ( ) 2 21 gx f x x ′′ = − − . ( ) 0 gx ′ = ( ) ( ) 2 21 0 fx x ′ ⇔ − −= ( ) 1 fx x ′ ⇔=− . Dựa vào hình vẽ ta có: ( ) 4 01 3 x gx x x = −   ′ =⇔= −   =  . Và ta có bảng biến thiên Suy ra hàm số ( ) ( ) ( ) 2 21 gx f x x = + − đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 0 1 x = − . Câu 4: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  . Đồ thị của hàm số ( ) y fx ′ = như hình vẽ dưới đây. Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 21 gx f x x = − + . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. [ ] ( ) ( ) 3;3 min 1 gx g − = . B. [ ] ( ) ( ) 3;3 max 1 gx g − = . O 1 3 x 2 4 2 − 3 − yNHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC C. [ ] ( ) ( ) 3;3 max 3 gx g − = . D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) gx trên [ ] 3;3 − . Lời giải Chọn B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 10 1 g x fx x fx x ′′ ′ = − + = ⇔ = +∗ . Dựa vào đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = ta thấy đường thẳng 1 yx = + cắt đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = tại ba điểm lần lượt có hoành độ là: 3;1;3 − . Do đó phương trình ( ) 3 1 3 x x x = −   ∗⇔ =   =  . Bảng biến thiên của hàm số ( ) y gx = Vậy [ ] ( ) ( ) 3;3 max 1 gx g − = . Câu 5: Cho hàm số ( ) y fx = có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số ( ) y fx = ′ như dưới đây. 6 4 2 2 x y 3 O 1 -1 -1 2 5NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Xét hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x x = −− . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) ( ) ( ) 11 2 g gg − > > . B. ( ) ( ) ( ) 1 21 g gg − > > . C. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 gg g > >− . D. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 gg g > >− . Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 10 2 1 g x fx x fx x ′′ ′ = − −= ⇔ = + ∗ . Dựa vào độ thị hàm số ( ) y fx ′ = , ta thấy đường thẳng 21 y x = + cắt đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = tại ba điểm lần lượt có hoành độ là 1;1;2 − . Do đó ( ) 1 1 2 x x x = −   ∗⇔ =   =  . Bảng biến thiên của hàm số ( ) gx Từ bảng biến thiến suy ra [ ] ( ) 1;2 max 1 g − = . Đồ thị hàm số ( ) y gx ′ = cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 0 x ( ) 0 10 x −< < . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y gx ′ = , 0 y = , 1 x = − , 0 xx = ( ) ( ) ( ) 0 10 1 d1 x S g x x g gx − ′ = − = −− ∫ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y gx ′ = , 0 y = , 0 xx = , 2 x = ( ) ( ) ( ) 0 2 20 2 x S g x dx g g x ′ = = − ∫ . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 0 0 1 2 12 S S g gx g gx g g < ⇒ −− < − ⇔ − < . Vậy ( ) ( ) ( ) 1 2 1 gg g > >− . Câu 6: Cho hàm số () y fx = có đạo hàm '( ) fx liên tục trên  và đồ thị của hàm số '( ) fx trên đoạn [ ] 2;6 − như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. [ ] 2;6 max ( ) ( 2) x fx f ∈− = − . B. [ ] 2;6 max ( ) (2) x fx f ∈− = . C. [ ] 2;6 max ( ) (6) x fx f ∈− = . D. [ ] 2;6 max ( ) ( 1) x fx f ∈− = − . Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số '( ) fx ta có bảng biến thiên hàm số () y fx = trên [ ] 2;6 − Do đó hàm số () y fx = đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại 1 x = − hoặc 6 x = . Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số '( ) y fx = và trục Ox . [ ] 2 1 1 '( ) ( 1) (2) S f x dx f f − ⇒ = − = −− ∫ . Gọi 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số '( ) y fx = , trục Ox và hai đường thẳng 2; 6 xx = = . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 6 2 2 '( ) (6) (2) S f x dx f f ⇒ = = − ∫ . Ta có 21 (6) (2) ( 1) (2) (6) ( 1) SS f f f f f f > ⇒ − >− − ⇔ >− . Vậy [ ] 2;6 max ( ) (6) x fx f ∈− = . Câu 7: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) fx ′ . Hàm số ( ) y fx ′ = liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Biết ( ) ( ) 13 1 ,2 6 4 ff − = = . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) 3 3 gx f x f x = − trên [ ] 1;2 − bằng A. 1573 64 B. 198. C. 37 4 . D. 14245 64 . Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ( ) y fx ′ = ta có bảng biến thiên Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3. 3 g x f x fx fx ′ ′′ = − . Xét trên đoạn [ ] 1;2 − ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 3 1 0 0 2 x g x fx f x fx x = −  ′′ ′  = ⇔ − = ⇔ = ⇔   =  . NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC ( ) 1573 1 64 g − = , ( ) 2 198 g = . Từ đó suy ra [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 1;2 1573 max 198,min 64 gx gx − − = = . Vậy [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 1;2 14245 max min 64 gx gx − − += . Câu 8: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  . Biết rằng hàm số ( ) ' y f x = có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số ( ) y gx = thỏa mãn ( ) ( ) 3 2 2 3 x gx f x x x = − + − + . Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ( ) [ ] ( ) 0; 2 max 1 . gx g = B. ( ) [ ] ( ) 0; 2 max 2 . gx g = . C. ( ) [ ] ( ) 0; 2 max 0 . gx g = D. ( ) [ ] ( ) ( ) 0; 2 0 2 max . 2 gg gx + = . Lời giải Chọn A +) Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 x gx f x x x = − + − + trên . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' 2 1 ' 1, . g x f x x x f x x x = − + − = − − ∀∈  Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 ' 0 ' 1, . gx f x x x =⇔ =− ∈  +) Từ đồ thị của hàm số ( ) ' y f x = và đồ thị của parabol ( ) 2 1 yx = − ta thấy chúng cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là 0, 1, 2. x xx = = = NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ngoài ra trên miền ( ) ( ) ; 0 1; 2 x ∈ −∞ ∪ thì đồ thị hàm số ( ) ' y f x = nằm phía dưới đồ thị của parabol ( ) 2 1 yx = − nên ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 1 , ; 0 1; 2 f x x x < − ∀ ∈ −∞ ∪ và trên miền ( ) ( ) 0; 1 2; x ∈ ∪ +∞ thì đồ thị hàm số ( ) ' y f x = nằm phía trên đồ thị của parabol ( ) 2 1 yx = − nên ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 1 , 0; 1 2; . f x x x > − ∀ ∈ ∪ +∞ Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y gx = +) Từ bảng biến thiên, ta có ( ) [ ] ( ) 0; 2 max 1 . gx g =