Chuyên đề đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

CHƯƠNG7 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN BÀI1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶT PHẲNG A TÓMTẮTLÝTHUYẾT 1 Mởđầuvềhìnhhọckhônggian. Đốitượngcơbản: . Điểm:kíhiệu A, B, C,... . Đườngthẳng:kíhiệu a, b, c, d,... . Mặtphẳng:kíhiệu (P), (Q), (®), (¯),... A B d P Quanhệcơbản: . Thuộc:kíhiệu2.Vídụ A2d, M2 (P)... . Chứa,nằmtrong:kíhiệu½.Vídụ: d½ (P), b½ (®). Hìnhbiểudiễncủamộthìnhtrongkhônggian: . Đườngthẳngđượcbiểudiễnbởiđườngthẳng.Đoạnthẳngbiểudiễnbởiđoạnthẳng. . Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). . Hai đoạn thẳng song song hoặc bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau. . Dùngnétvẽliềnđểbiểudiễnchonhữngđườngtrôngthấyvàdùngnétđứtđoạn(----)đểbiểudiễn chonhữngđườngbịchekhuất. 2 Cáctínhchấtthừanhậntronghìnhhọckhônggian. Cómộtvàchỉmộtmặtphẳngđiquabađiểmphânbiệtkhôngthẳng hàngchotrước. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thìmọiđiểmcủađườngthẳngđềuthuộcmặtphẳngđó. Tồntạibốnđiểmkhôngcùngthuộcmộtmặtphẳng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có mộtđiểmchungkhácnữa. Từtínhchấtnàysuyra:Nếuhaimặtphẳngphânbiệtcómộtđiểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.Đườngthẳngchunglàduynhấtchứatấtcảcácđiểmchungcủa hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến củahaimặtphẳng. Trênmỗimặtphẳng,cáckếtquảđãbiếttronghìnhhọcphẳngđều đúng. A B C E G d ® A B d ® A B C D ® 3 Điềukiệnxácđịnhmặtphẳng. . Mặtphẳngđượchoàntoànxácđịnhkhibiếtnóđiquabađiểmkhôngthẳnghàng. . Mặtphẳngđượchoàntoànxácđịnhkhibiếtnóđiquamộtđiểmvàchứamộtđườngthẳngkhôngđiqua điểmđó. . Mặtphẳngđượchoàntoànxácđịnhkhibiếtnóchứahaiđườngthẳngcắtnhau. Mặtphẳnghoàntoàncóthểmởrộngrađếnvôcực. 311312 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN 4 Hìnhchópvàhìnhtứdiện. Cho đa giác A 1 A 2 A 3 ...A n nằm trong mặt phẳng (®) và điểm SÝ (®). Lần lượt nối điểm S với các đỉnh A 1 A 2 A 3 ...A n tađược ntamgiác SA 1 A 2 , SA 2 A 3 2,... SA n A 1 .Hìnhgồmđagiác A 1 A 2 A 3 ...A n và ntamgiác SA 1 A 2 , SA 2 A 3 ,... SA n A 1 đượcgọilàhìnhchóp,kíhiệuhìnhchópnàylà S.A 1 A 2 A 3 ...A n .Khiđótagọi: . S làđỉnhcủahìnhchóp. . A 1 A 2 A 3 ...A n làmặtđáycủahìnhchóp. . Cáctamgiác SA 1 A 2 , SA 2 A 3 ,... SA n A 1 đượcgọilàcácmặtbên. Tagọihìnhchópcóđáylàtamgiác,tứgiác,ngũgiác,...,lầnlượtlàhìnhchóptamgiác,hìnhchóptứgiác, hìnhchópngũgiác,.... Chobốnđiểm A, B, C, D khôngđồngphẳng.Hìnhgồm 4tamgiác ABC, ACD, BCD, ABD gọilàhìnhtứ diện(hayngắngọngọilàtứdiện)vàđượckíhiệulà ABCD. . Cácđiểm A, B, C, D làbốnđỉnhcủatứdiện. . Cácđoạnthẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọilàcáccạnhcủatứdiện. . Haicạnhkhôngđiquamộtđỉnhgọilàhaicạnhđốidiệncủatứdiện. . Cáctamgiác ABC, ACD, ABD, BCD gọilàcácmặtcủatứdiện. Hìnhtứdiệncóbốnmặtlàcáctamgiácđềugọilàhìnhtứdiệnđều. A D B C S D A B C Hìnhchóptamgiác(Tứdiện) Hìnhchóptứgiác S D A B C S A D B C Hìnhchóptứgiáccóđáylàhìnhthang Hìnhchóptứgiáccóđáylàhìnhbìnhhành B DẠNGTOÁNVÀBÀITẬP {DẠNG1.1.Xácđịnhgiaotuyếncủahaimặtphẳng Tìmhaiđiểmchungphânbiệtcủahaimặtphẳng. Đườngthẳngnốihaiđiểmđólàgiaotuyếncủachúng.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 313 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. ChotứdiệnSABC.Gọi M,N lầnlượtlàhaiđiểmtrêncạnh ABvàBC saocho MN khôngsongsong với AC.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsau (SMN)và (SAC); 1 (SAN)và (SCM). 2 Lờigiải. 1 Trong (ABC),gọi KÆMN\AC,tacó ( S2 (SMN)\(SAC)S K2 (SMN)\(SAC). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳnglàđườngthẳng SK. 2 Trong (ABC),gọi HÆAN\CM,tacó ( S2 (SAN)\(SCM) H2 (SAN)\(SCM). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳnglàđườngthẳng SH. B M S A H C N K ä VÍ DỤ 2. Chohìnhchóp S.ABCD,trongđómặtđáy ABCD cócáccặpcạnhđốikhôngsongsong.Gọiđiểm M thuộccạnh SA.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsau (SAC)và (SBD); 1 (SAB)và (SCD); 2 (MBC)và (SAD). 3 Lờigiải. 1 Trong (ABCD),gọi EÆAC\BD,tacó ( S2 (SAC)\(SBD) E2 (SAC)\(SBD). Vậyđườngthẳnggiaotuyếnlà SE. 2 Trong (ABCD),gọi FÆAB\CD,tacó ( S2 (SAB)\(SCD) F2 (SAB)\(SCD). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳnglà SF. 3 Trong (ABCD),gọi KÆAD\CB,tacó ( M2 (MBC)\(SAD) K2 (MBC)\(SAD). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳnglà MK. M S A D K C B F E ä 2 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 1. Cho tứ diện SABC. Gọi K,M lần lượt là hai điểm trên cạnh SA và SC. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsau (SAN)và (ABM); 1 (SAN)và (BCK). 2 Lờigiải.314 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN 1 Trong (SBC),gọi EÆSN\BM,tacó ( A2 (SAN)\(ABM) E2 (SAN)\(ABM). Vậyđườngthẳnggiaotuyếnlà AE. 2 Tacó ( N2 (SAN)\(BCK) K2 (SAN)\(BCK). Suyragiaotuyếncủahaimặtphẳnglà KN. M S A E K C N B ä BÀI 2. ChohìnhchópSABCD cóđáy ABCD làhìnhthangvới ABÒCD và ABÈCD.Lấyđiểm M trênđoạnBC.Tìm giaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (SAC)và (SBD); 1 (SAD)và (SBC); 2 (SAM)và (SBD); 3 (SDM)và (SAB). 4 Lờigiải. Trong (ABCD),gọi EÆAC\BD,tacó ( S2 (SAC)\(SBD) E2 (SAC)\(SBD). Vậyđườngthẳnggiaotuyếnlà SE. 1 Trong (ABCD),gọi KÆAD\CB,tacó ( S2 (SBC)\(SAD) K2 (SAD)\(SBC). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳnglà SK. 2 Trong (ABCD),gọi FÆAM\DB,tacó ( S2 (SAM)\(SBD) F2 (SAM)\(SBD). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳnglà SF. 3 Trong (ABCD),gọiÆDM\AB,tacó ( S2 (SDM)\(SAB) H2 (SDM)\(SAB). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳnglà SH. 4 M S A B C D E K F H ä BÀI 3. Chotứdiện SABC.Gọi D,E,F lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,BC,SA. Tìmgiaotuyến SH củahaimặtphẳng (SCD)và (SAE); 1 Tìmgiaotuyến CI củahaimặtphẳng (SCD)và (BFC); 2 SH và CI cócắtnhaukhông?Giảithích?Nếucó,gọigiaođiểmđólàO,chứngminh IHÒSC.Tínhtỉsố OH OS . 31. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 315 Lờigiải. Trong (ABC),gọi HÆAE\CD´H. Tacógiaotuyếncủa (SCD)và (SAE)là SH. 1 Trong (SAB),gọi IÆSD\BF. Tacógiaotuyếncủahaimặtphẳng (SCD)và (BFC)là CI. 2 Tacó CI và SH cùngnằmtrongmặtphẳng (SCD). Xéttamgiác SCD có I2SD;H2CD nên CI và SH cắtnhautạiO. Tacó I làtrọngtâmtamgiác SAB suyra ID SD Æ 1 3 . H làtrọngtâmtamgiác ABC suyra DH CD Æ 1 3 . Suyra ID SD Æ DH CD ,IHÒSC. Vậy OH OS Æ IH SC Æ ID SD Æ 1 3 . 3 S A O C B E F D H I ä 3 BÀITẬPTỰLUYỆN BÀI 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Trên cạnh SA lấy điểm M. Tìm giao tuyến của các cặp mặtphẳngsauđây: (SAC)và (SBD). 1 (BCM)và (SAD). 2 (CDM)và (SAB). 3 (BDM)và (SAC). 4 BÀI 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trung điểm của CD là M. Tìm giao tuyến của các cặpmặtphẳngsauđây: (SAC)và (SBD). 1 (SBM)và (SAC). 2 (SBM)và (SAD). 3 (SAM)và (SBC). 4 BÀI 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với ABÒCD và ABÈCD. Lấy điểm M nằm trên đoạn SA.Hãytìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (BDM)và (SAC). 1 (BCM)và (SAD). 2 (BCM)và (SCD). 3 BÀI 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy điểm M trên cạnh SA, trung điểm CD là N.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (BMN)và (SAC). 1 (BMN)và (SAD). 2 (MCD)và (SBD). 3 (MCD)và (SAB). 4 BÀI 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miềntrongtamgiác SCD.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (SBM)và (SCD). 1 (ABM)và (SCD). 2 (ABM)và (SAC). 3 BÀI 9. Chohìnhchóp SABCD cóđáy ABCD làtứgiáclồi.Lấy I thuộccạnh SA, J thuộccạnh SBsaocho IJ không song song với AB. Lấy K là một điểm thuộc miền trong tứ giác ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: (IJK)và (ABCD). 1 (IJK)và (SAB). 2 (IJK)và (SAD). 3 (IJK)và (SAC). 4 (IJK)và (SBD). 5 BÀI 10. ChohìnhchópSABC.TrêncạnhSA,SClấyđiểm M,N saocho MN khôngsongsongvới AC.GọiK làtrung điểmcủa BC.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây:316 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN (MNK)và (ABC). 1 (MNK)và (SAB). 2 BÀI 11. ChohìnhchópSABC.TrêncạnhSA,SC lấyđiểm M,N saocho MN khôngsongsongvới AC.GọiOlàđiểm thuộcmiềntrongcủatamgiác ABC.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (MNO)và (ABC). 1 (MNO)và (SAB). 2 (SMO)và (SBC). 3 (ONC)và (SAB). 4 BÀI 12. Chotứdiện ABCD có M làđiểmtrêncạnh AB, N làđiểmtrêncạnh AD saocho MBÆ 2MA,ANÆ 2ND.Gọi P làđiểmnằmtrongtamgiác BCD.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (CMN)và (BCD). 1 (MNP)và (SAD). 2 (MNP)và (ABC). 3 BÀI 13. Chotứdiện ABCD.Gọi M làđiểmnằmtrongtamgiác ABC, N làđiểmnằmtrongtamgiác ACD.Tìmgiao tuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (CDM)và (ABD). 1 (BCN)và (ABD). 2 (CMN)và (BCD). 3 BÀI 14. Chotứdiện SAC.Lấyđiểm E,F lầnlượttrênđoạn SA,SBvàđiểmG làtrọngtâmtamgiác ABC.Tìmgiao tuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (EFG)và (ABC). 1 (EFG)và (SBC). 2 (EFG)và (SGC). 3 BÀI 15. Cho hình chóp S.ABCD. Hai điểm G,H lần lượt là trọng tâm 4SAB,4SCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặtphẳngsauđây: (SGH)và (ABCD). 1 (SAC)và (SGH). 2 (SAC)và (BGH). 3 (SCD)và (BGH). 4 BÀI 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có ABÒCD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Lấy M thuộccạnh SC.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (SAC)và (SBD). 1 (SAD)và (SBC). 2 (ADM)và (SBC). 3 BÀI 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CD,SA.Hãytìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (MNP)và (SAB). 1 (MNP)và (SAD). 2 (MNP)và (SBC). 3 (MNP)và (SCD). 4 BÀI 18. Cho hình chóp S.ABC. Gọi H,K lần lượt là trọng tâm tam giác SAB,SBC và M là trung điểm cạnh AC, I2SM saocho SIÈSM .Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsauđây: (IHK)và (ABC). 1 (IHK)và (SBC). 21. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 317 {DẠNG1.2.Tìmgiaođiểmcủađườngthẳng dvàmặtphẳng (®) d u I ® ¯ Tìm một mặt phẳng phụ (¯) chứa d sao cho dễ tạo giao tuyến với (®). Mặt phẳng này thường xác định bởi d vàmộtđiểmcủa (®). Tìmgiaotuyến u của (®)và (¯). Trong (¯), d cắt u tại I,mà u½ (®).Vậy d cắt (®)tại I. 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho tứ diện SABC có M là điểm nằm trên tia đối của tia SA, O là điểm nằm trong tam giác ABC. Tìmcácgiaođiểmcủa 1 Đườngthẳng BC vàmặtphẳng (SOA); 2 Đườngthẳng MO vàmặtphẳng (SBC); 3 Đườngthẳng AB vàmặtphẳng (MOC); 4 Đườngthẳng SB vàmặtphẳng (MOC). Lờigiải. 1 Trongmặtphẳng (ABC),kéodài AO cắt BC tại I. Tacó ( I2BC I2AO½ (SOA) )I làgiaođiểmcủa BC và (SOA). 2 Chọnmặtphẳngphụchứa MO là (SOA),tacó (SOA)\(SBC)ÆSI. Trong (SOA)´ (SMI),gọi J làgiaođiểmcủa SI và MO. Tacó ( J2MO J2SI½ (SBC) )J làgiaođiểmcủa MO và (SBC). 3 Trongmặtphẳng (ABC),kéodài CO cắt AB tại K. Tacó ( K2AB K2CO½ (MOC) )K làgiaođiểmcủa AB và (MOC). 4 Chọnmặtphẳngphụchứa SB là (SAB),tacó (SAB)\(MOC)ÆMK. Trong (SAB)´ (MAB),gọi H làgiaođiểmcủa SB và MK. Tacó ( H2SB H2MK½ (MOC) )H làgiaođiểmcủa SB và (MOC). A B C K I O M H J S ä VÍ DỤ 2. Cho tứ diện SABC có hai điểm M, N lần lượt thuộc hai cạnh SA, SB và O là điểm nằm trong tam giác ABC.Xácđịnhgiaođiểmcủa 1 Đườngthẳng AB vàmặtphẳng (SOC); 2 Đườngthẳng MN vàmặtphẳng (SOC);318 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN 3 Đườngthẳng SO vàmặtphẳng (CMN). Lờigiải. 1 Trongmặtphẳng (ABC),kéodài CO cắt AB tại I. Tacó ( I2AB I2CO½ (SOC) )I làgiaođiểmcủa AB và (SOC). 2 Chọnmặtphẳngphụchứa MN là (SAB),tacó (SAB)\(SOC)ÆSI. Trong (SAB),gọi K làgiaođiểmcủa SI và MN. Tacó ( K2MN K2SI½ (SOC) )K làgiaođiểmcủa MN và (SOC). 3 Chọnmặtphẳngphụchứa SO là (SIC),tacó (SIC)\(CMN)ÆKC. Trong (SIC),gọi H làgiaođiểmcủa KC và SO. Tacó ( H2SO H2KC½ (CMN) )H làgiaođiểmcủa SO và (CMN). A B C I O S M K H N ä 2 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm P trên cạnh BD sao cho PBÈPD.Tìmgiaođiểmcủa CD và (MNP). 1 AD và (MNP). 2 Lờigiải. A E Q D P C B N M 1 Trong mặt phẳng (BCD), xét tam giác BCD có NB NC Æ 16Æ PB PC nên NP và DC cắt nhau giả sử tại Q. Rõ ràng Q2CD theocáchdựng.LạicóQ2NP½ (MNP)nênQ2 (MNP).VậyQÆCD\(MNP). 2 Trong mặt phẳng (ACD) nối Q với M cắt AD tại E. Dễ thấy E2 AD theo cách dựng. Lại có E2MQ½ (MNP) nên E2 (MNP).Vậy EÆAD\(MNP). ä BÀI 2. Chotứdiện ABCD.Trên AC và AD lầnlượtlấycácđiểm M, N saocho MN khôngsongsongvới CD.Gọi O làđiểmthuộcmiềntrong4BCD.Tìmgiaođiểmcủa BD và (OMN). 1 BC và (OMN). 2 MN và (ABO). 3 AO và (BMN). 4 Lờigiải. Trongmặtphẳng (ACD),vì MN khôngsongsongvới CD nêntagiả sử MN cắt CD tại E. Trong mặt phẳng (BCD), nối E với O kéo dài cắt BD và BC lầnlượttại F vàG. 1 Tacó F2OE½ (OMN)và F2BD.Suyra FÆBD\(OMN). 2 Theo cách dựng thì G2BC và G2OE½ (OMN). Vậy GÆBC\ (OMN). 3 Trong mặt phẳng (BCD) kéo dài BO cắt DC tại H. Trong mặt phẳng (ADC)nối H với A cắt MN tại I.Vì H2BO½ (ABO)nên AH½ (ABO).Suyra I2 (ABO).Vậy IÆMN\(ABO). F N A M I G O H D J B E C 4 Trong mặt phẳng (ABH) nối B với I cắt AO tại J. Rõ ràng J2 AO theo cách dựng và J2BI½ (BMN). Vậy JÆAO\(BMN).1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 319 ä BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB, N là trọng tâm4SCD. Xácđịnhgiaođiểmcủa MN và (ABCD). 1 MN và (SAC). 2 SC và (AMN). 3 SA và (CMN). 4 Lờigiải. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và DC. Trọng tâmcủatamgiác SCD là NÆSJ\CI. 1 Trong mặt phẳng (ABCD) nối B với J cắt AC và AD lần lượt tại E và K. Vì DKÒBC nên theo Hệ quả của Định lý Talet ta có JB JK Æ JC JD Æ 1)JCÆJD. Vậy 4SCD và 4SBK có chung đường trung tuyến là SJ. Vì thế trọng tâm N của 4SCD cũng là trọng tâm của 4SBK. Suyra K2MN.Lúcđó KÆMN\(ABCD). 2 Trong mặt phẳng (SBJ) nối S với E cắt MN tại F. Ta có FÆ MN\(SAC). H G S K I A M N F J E C D B 3 Trong mặt phẳng (SCD) nối N với D kéo dài cắt SC tại H. Vì D2 AK ½ (AMN) nên ND½ (AMN). Suy ra H2 (AMN).Vậy HÆSC\(AMN). 4 Theo cách dựng ta thấy IKÆ (CMN)\ (SAD). Trong mặt phẳng (SAD) kéo dài IK cắt SA tại G. Lúc đó GÆ SA\(CMN). ä BÀI 4. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáyhìnhbìnhhànhtâmO.Trên SA, SB lầnlượtlấyhaiđiểm M và N. Tìmgiaođiểmcủa SO và (CMN). 1 Tìmgiaotuyếncủa (SAD)và (CMN). 2 Lờigiải. Trongmặtphẳng (SAC)nốiSvớiOcắt MCtại I.Trongmặtphẳng (SBD)kéodài IN cắt SD tại J.Lúcđó 1 IÆSO\(CMN). 2 J2 (SAD)\(CMN).Lạicó M2 (SAD)\(CMN).Vậy JMÆ (SAD)\(CMN). S A D J B C N O M I ä BÀI 5. Chohìnhchóp S.ABCD.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủacạnh SA, SD và P làđiểmthuộccạnh SB sao cho SPÆ 3PB. TìmgiaođiểmQ của SC và (MNP). 1 Tìmgiaotuyếncủa (MNP)và (ABCD). 2 Lờigiải. Gọi O làgiaođiểmcủa AC và BD.Trongmặtphẳng (SBD)gọi I làgiaođiểmcủa NP với SO.Lúcđó I2 (MNP)và MI½ (SAC). 1 Trong mặt phẳng (SAC) gọi Q là giao điểm của MI và SC. Vì Q2MI nên QÆSC\(MNP). 2 Trong mặt phẳng (SAC) gọi G là giao điểm của MI và AC. Lúc đó G 2 (MNP)\(ABCD).Trongmặtphẳng (SAB),vì 1Æ MS MA 6Æ PS PB Æ 3 nên MP và AB cắt nhau. Gọi H là giao điểm của MP và AB. Ta có H 2 (MNP)\(ABCD).VậyGHÆ (MNP)\(ABCD).. S P H M I O A D N G B Q C ä BÀI 6. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành, M làtrungđiểmcủa SC, N làtrungđiểmcủa OB vớiO làgiaođiểmcủa AC và BD.320 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN Tìmgiaođiểm I của SD với (AMN). 1 Tínhtỉsố SI ID . 2 Lờigiải. S O M A I P N L C D J B 1 Trongmặtphẳng (ABCD)nối A với N kéodàicắt DC tại J vàcắt BC tại L.Trongmặtphẳng (SDC)nối J với M kéodàicắt SD tại I.Vì J2AN½ (AMN)nên MJ½ (AMN).Suyra I2 (AMN).Vậy IÆSD\(AMN). 2 Trongmặtphẳng (ABCD),vì ABÒDJ nên4NAB đồngdạngvới4NJD.Suyra DJ AB Æ DN NB Æ 3)DJÆ 3ABÆ 3DC. Trên cạnh SD lấy điểm P sao cho I là trung điểm của SP. Ta có IM là đường trung bình của 4SPC nên IMÒPC)IMÒIJ.ÁpdụngĐịnhlýTalettrong4DIJ tacó DI DP Æ DJ DC Æ 3)DIÆ 3DP và SIÆPIÆ 2DP. Vậy SI ID Æ 2 3 . ä BÀI 7. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh SA sao cho MAÆ 2MS, K làtrungđiểm BC và D làđiểmđốixứngcủaG qua A. Tìmgiaođiểm H của SK với (MCD). 1 Tínhtỉsố HK SK . 2 Lờigiải. 1 Trongmặtphẳng (SDK)kéodài DM cắt SK tại H.Lúcđó HÆSK\(MCD). 2 Trongmặtphẳng (SDK)vẽđườngthẳngqua A vàsongsongvới SK cắt DH tại E. Vì AEÒSH nên theo Hệ quả của Định lý Talet ta có AE SH Æ MA MS Æ 2)SHÆ 1 2 AE. Trong4DHK tacó AEÒHK nêntheoĐịnhlýTaletthì AE HK Æ DA DK Æ 2 5 )HKÆ 5 2 AE. Tacó SKÆSHÅHKÆ 1 2 AEÅ 5 2 AEÆ 3AE.Vậy HK SK Æ 5 6 . G D S E M B K H A C ä BÀI 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BKÆ 2KD. Tìmgiaođiểm E của CD với (IJK).Chứngminh: DEÆDC. 1 Tìmgiaođiểm F của AD với (IJK).Chứngminh: FAÆ 2FD và FKÒIJ. 2 Gọi M và N làhaiđiểmbấtkìlầnlượtnằmtrênhaicạnh AB và CD.Tìmgiaođiểmcủa MN với (IJK). 31. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 321 Lờigiải. A I E F N P M B J H Q K D C 1 Trongmặtphẳng (BCD)kéodài JK cắtCDtạiE.Lúcđó,dễthấyE2CDtheocáchdựng.LạicóE2KJ½ (IJK). Suyra EÆCD\(IJK). Trong mặt phẳng (BCD) lấy điểm E 0 thuộc đường thẳng DC sao cho D là trung điểm của E 0 C. Xét4E 0 BC có BD vàE 0 J làcácđườngtrungtuyến.VìBKÆ 2KD nên K làtrọngtâm4E 0 BC.SuyraE 0 ,K, J thẳnghàng.Từ đâycó E 0 ÆDC\KJ.Vậy E 0 ´E.Suyra DEÆDC. 2 Trong mặt phẳng (ACD), nối I với E cắt AD tại F. Lúc đó rõ ràng F2AD và vì F2EI½ (IJK) nên F2 (IJK). Vậy FÆAD\(IJK). Trong4AEC, vì các điểm D, I lần lượt là trung điểm của EC và AC nên FÆAD\EI chính là trọng tâm của 4AEC.Theotínhchấttrọngtâmtamgiáctacó FAÆ 2FD. Vì IJ làđườngtrungbìnhcủatamgiác ABC nên IJÒAB.Mặtkhác,vì DK DB Æ DF DA Æ 1 3 nêntheoĐịnhlýTalet tacó FKÒAB.Từđósuyra FKÒIJ. 3 Trongmặtphẳng (BCD)nốiBvới N cắt KJ tạiQ.TacóQ2 (IJK).Trongmặtphẳng (ADC)nối A với N cắt EI tại P.Vì (IJK)´ (IEJ)nên P2EI½ (IEJ))P2 (IJK).Trongmặtphẳng (ABN)nối P vớiQ cắt MN tại H.Lúc đó,vì H2PQ½ (IJK)nên H2 (IJK).Vậy HÆMN\(IJK). ä BÀI 9. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangvới ADÒBC và ADÆ 2BC, E làtrungđiểmcủa SA.Gọi N làđiểmthuộcđoạn AB saocho NBÆ 2NA và M làđiểmthuộcđoạn CD saocho MDÆ 2MC. Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (EMN)và (SAD). 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (EMN)và (SCD). 2 Tìmgiaođiểm L củađườngthẳng EM vàmặtphẳng (SBC). 3 Tìmgiaotuyếncủa (CDE)và (SAB).Giaotuyếnnàycắt SBtại P vàcắt ABtại I.Chứngminh: 2SBÆ 3SP và S 4IDE Æ 3S 4ICP . 4 Lờigiải. 1 Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài MN và AD cắt nhau tại J. Lúc đó J2AD½ (SAD) và J2MN½ (EMN). Vì thế J2 (SAD)\(EMN).Dễthấy E2 (SAD)\(EMN).Vậy EJÆ (EMN)\(SAD). 2 Trong mặt phẳng (SAD) kéo dài JE cắt SD tại Q. Vì JE½ (EJM)´ (EMN) nên Q2 (EMN). Lúc đó QMÆ (EMN)\(SCD). 3 Trong mặt phẳng (SAB) kéo dài NE và SB cắt nhau tại K. Lúc đó K 2 (EMN)\ (SBC). Trong mặt phẳng (ABCD)kéodài MN và BC cắtnhautại H.Tacó H2 (EMN)\(SBC).SuyraGHÆ (EMN)\(SBC).Trongmặt phẳng (EMN)kéodài KH và EM cắtnhautại L.Vì KH½ (SBC)nên L2 (SBC).Vậy LÆEM\(SBC). 4 Trongmặtphẳng (ABCD)kéodài CD và AB cắtnhautại322 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN I.Lúcđó IEÆ (CDE)\(SAB). Trong mặt phẳng (ABCD) vì BCÒAD nên áp dụng Định lýTaletvới4IAD tacó IB IA Æ IC ID Æ BC AD Æ 1 2 )IBÆAB và IDÆ 2IC. Trong mặt phẳng (SAB) xét 4SIA có B và E lần lượt là trungđiểmcáccạnhIAvàSA.LúcđóPÆIE\SBlàtrọng tâm4SIA.Theotínhchấttrọngtâmthì IEÆ 3 2 IP và 2SBÆ 3SP. Tacó S 4IDE Æ 1 2 IE¢ID¢sin  EIDÆ 1 2 ¢ 3 2 IP¢2IC¢sin  EID Æ 3¢ 1 2 ¢IP¢IC¢sin  PICÆ 3S 4ICP . Vậy S 4IDE Æ 3S 4ICP . J Q K I S A N H D C L B P E M ä BÀI 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB đáy lớn và ABÆ 3CD. Gọi N là trung điểm của CD, M làđiểmtrêncạnh SB thỏa SMÆ 3MB,điểm I trêncạnh SA vàthỏa AIÆ 3IS. Tìmgiaođiểmcủađườngthẳng MN với (SAD). 1 Gọi H làgiaođiểmcủa CB với (IMN).Tínhtỉsố HB HC . 2 Lờigiải. Trongmặtphẳng (SAB)vì 1 3 Æ IS AI 6Æ MS MB Æ 3nên IM và AB cắtnhau.Gọi J làgiaođiểmcủa IM và AB.Trongmặt phẳng (ABCD)nối J, N cắt AD tại P.Trongmặtphẳng (IMN)nối M, N cắt IP tại K. 1 Theocáchdựng,dễthấy K2MN.Vì K2IP½ (SAD)nên K2 (SAD).Vậy KÆMN\(SAD). 2 Vì H làgiaođiểmcủa CB với (IMN)nên HÆCB\NJ. Tacó NCÆ 1 2 DCÆ 1 6 AB. Vì NCÒBJ nêntheoHệquảcủaĐịnhlýTalettacó: HB HC Æ BJ NC ) HB HC Æ 6¢ BJ AB Æ 6¢ BJ JA¡BJ Æ 6¢ 1 JA BJ ¡1 .1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 323 Trongmặtphẳng (SAB)vẽđườngthẳngqua B vàsongsongvới SA cắt IJ tạiO. Vì BOÒSI nên áp dụng Hệ quả Định lý Talet tacó BO SI Æ BM MS Æ 1 3 . Vì BOÒ AI nên áp dụng Định lý Talet trong 4JAI tacó JB JA Æ BO IA Æ 1 3 ¢ BO SI Æ 1 9 ) JA BJ Æ 9. Từđócó HB HC Æ 6¢ 1 JA BJ ¡1 Æ 6¢ 1 9¡1 Æ 3 4 . O S J A P M I B D K N H C ä 3 BÀITẬPRÈNLUYỆN BÀI 11. ChohìnhchópS.ABC.TrêncạnhSA lấy M saochoSAÆ 3SM,trêncạnhSC lấyđiểm N saochoSCÆ 2SN. Điểm P thuộccạnh AB.Tìmgiaođiểmcủa: MN và (ABC). 1 BC và (MNP). 2 ĐS: MN\(ABC)ÆI. 1 BC\(MNP)ÆJ. 2 P S I J M C A N BÀI 12. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáyhìnhbìnhhànhtâmO.GọiG làtrọngtâmtamgiác SAB.Hãytìm: (SGC)\(ABCD)Æ?. 1 AD\(SGC)Æ?. 2 SO\(SGB)Æ?. 3 SD\(BCG)Æ?. 4 ĐS: (SGC)\(ABCD)ÆMC. 1 AD\(SGC)ÆN. 2 SO\(SGB)ÆS. 3 SD\(BCG)ÆJ. 4 S G A J I M N O B C D BÀI 13. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthang,đáylớn AB.Gọi I, J lầnlượtlàtrungđiểm SA và SB. Lấyđiểm M tùyýtrên SD.Tìmgiaođiểmcủa IM với (SBC). 1 JM với (SAC). 2 SC với (IJM). 3 ĐS:324 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN IM\(SBC)ÆH. 1 JM\(SAC)ÆK. 2 SC\(IJM)ÆP. 3 S J P M C K I G H D O A B BÀI 14. Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, OB và AB. Trên cạnh OC lấy điểm Q sao choOQÈQC.GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC.Tìmgiaođiểm EÆBC\(MNQ). 1 FÆCP\(MNQ). 2 KÆBG\(MNQ). 3 ĐS: O Q H G C A M E N B P F K BÀI 15. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi M làtrungđiểmcủa SBvàG làtrọng tâmcủatamgiác SAD.Tìmgiaođiểm: KÆGM\(ABCD). 1 FÆAD\(OMG). 2 EÆSA\(OMG). 3 ĐS: S K J O N G E F B M A D C BÀI 16. Chotứdiện S.ABC,lấyđiểm M làtrungđiểm SA,lấyđiểm N làtrọngtâm4SBC và P nằmtrong4ABC. Tìmgiaođiểmcủa MN và (ABC). 1 SB\(MNP)Æ?. 2 SC\(MNP)Æ?. 3 NP\(SAB)Æ?. 4 Tứgiác ABIC làhìnhgì? 5 ĐS:1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 325 MN\(ABC)ÆI. 1 SB\(MNP)ÆJ. 2 SC\(MNP)ÆK. 3 NP\(SAB)ÆO. 4 Tứgiác ABIC làhìnhbìnhhành. 5 Q K O C P H M A S B J N I BÀI 17. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành, M làtrungđiểmcủa SD. Tìm IÆBM\(SAC).Chứngminh: BIÆ 2IM. 1 Tìm EÆSA\(BCM).Chứngminh: E làtrungđiểmcủa SA. 2 ĐS: S O E I A D M B C BÀI 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộcđoạn SD saocho SNÆ 2ND. Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SBD)và (SAC). 1 Tìmgiaođiểm E củađườngthẳng MN vàmặtphẳng (ABCD).Tính EN EM . 2 Tìmgiaođiểm K củađườngthẳng SC vàmặtphẳng (AMN).Gọi J giaođiểmcủa AK và SO.Tínhtỉsố: JK JA . 3 ĐS: (SBD)\(SAC)ÆSO. 1 EN EM Æ 2 3 . 2 JK JA Æ 2 5 . 3 S E D C A O J N K M B BÀI 19. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi M, N,lầnlượtlàtrungđiểmcủa SA và CD. Tìmgiaođiểm E của AD với (BMN). 1 Tìmgiaođiểm F của SD và (BMN).Chứngminhrằng: FSÆ 2FD. 2326 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN ĐS: S E A F N D B C M BÀI 20. Chotứdiện ABCD.Gọi I, M lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB và BC,G làtrọngtâmtamgiác ACD. Tìmgiaođiểm P của CD và (IMG). 1 Tínhtỉsố: PC PD . 2 ĐS: PC PD Æ 1 2 . ² A I G P C B M J D BÀI 21. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BKÆ 2KD. Tìmgiaođiểm E củađườngthẳng CD và (IJK).Chứngminh: DEÆDC. 1 Tìmgiaođiểm F củađườngthẳng AD và (IJK).Tínhtỉsố FA FD . 2 ĐS: FA FD Æ 2. ² A I J E D K B C F {DẠNG1.3.Tìmthiếtdiệncủahìnhchópkhicắtbởimặtphẳng (®). Phươngphápgiải:Tatìmcácđoạngiaotuyếnnốitiếpnhaucủamặtphẳng (®)vớicácmặtcủahìnhchópcho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là cáccạnhcủathiếtdiện.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 327 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD, trên các đoạn CA, CB, BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB. Gọi (®) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M, N, P. Xác định thiết diện tạo bởi (®) và tứ diện ABCD? Lờigiải. Trong mặt phẳng (ABC), do MN và AB không song songnênchúngcắtnhaugiảsửtạiE.KhiđóđiểmE nằmngoàiđoạn AB. Trong mặt phẳng (ABD), gọi Q là giao điểm của EP và AD.Tacó ² (MNP)\(ABC)ÆMN. ² (MNP)\(BCD)ÆMP. ² (MNP)\(ABD)ÆPQ. ² (MNP)\(ACD)ÆQN. Vậy thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNQP. Hay hiết diện cắt tứ diện ABCD bởimặtphẳng (®)làtứgiác MNQP. E C M P A B N D Q M E C P A B N D Q ä VÍ DỤ 2. ChotứdiệnSABCvàOlàmộtđiểmthuộcmiềntrongtamgiác ABC.Gọi M, N lầnlượtlàhaiđiểm nằmtrêncạnh SA và SC saocho MN khôngsongsongvới AC.Xácđịnhthiếtdiệncắttứdiện SABC bởimặt phẳng (MNO)? Lờigiải. Trongmặtphẳng (SAC),do MN và AC khôngsongsongnênchúngcắtnhau giảsửtại E.Khiđóđiểm E nằmngoàiđoạn AC. Trongmặtphẳng (ABC),gọi P,Q lầnlượtlàgiaođiểmcủa EO với BC và AB. Tacó ² (MNO)\(SAC)ÆMN. ² (MNO)\(SBC)ÆNP. ² (MNO)\(ABC)ÆPQ. ² (MNO)\(SAB)ÆQM. Vậythiếtdiệncắttứdiện SABC bởimặtphẳng (MNO)làtứgiác MNPQ. S B P Q O A M N C E ä 2 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 1. Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song với AB.GọiP làđiểmthuộcmiềntrongtamgiác ABC.Xácđịnhgiaotuyếncủa (MNP)và (ABC)từđósuyrathiếtdiện khicắthìnhchóp S.ABC bởimặtphẳng (MNP). Lờigiải. Trongmặtphẳng (SAB),do MN khôngsongsongvới AB nênchúngcắtnhaugiảsử tại E.Khiđó E nằmngoàiđoạn AB. Trongmặtphẳng (ABC),gọi K, H lầnlượtlàgiaođiểmcủa EP vớicácđoạn BC, AC (Vì P thuộcmiềntrongtamgiác (ABC)).Khiđótacó ² (MNP)\(SAB)ÆMN. ² (MNP)\(SBC)ÆNK. ² (MNP)\(ABC)ÆKH. ² (MNP)\(SAC)ÆHM. Vậythiếtdiệncắthìnhchóp S.ABC bởimặtphẳng (MNP)làtứgiác MNKH. S B A M N C P E K H ä328 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN BÀI 2. Cho tứ diện SABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và M là điểm thuộc đoạn SC sao cho 3SMÆ 2MC. 1 Tìmthiếtdiệncủahìnhchópvàmặtphẳng (KMN). 2 Mặtphẳng (KMN)cắt AB tại I.Tínhtỉsố IA IB . ĐS: IA IB Æ 2 3 Lờigiải. S B E A I N C H K M P 1 Trongmặtphẳng (SAC),vì SM MC Æ 2 3 ) SM SC Æ 2 5 6Æ 1 2 Æ SK SA nên KM khôngsongsongvới AC.Gọi E làgiaođiểm của KM và AC. Trongmặtphẳng (ABC),gọi I làgiaođiểmcủa EN và AB,khiđó I làgiaođiểmcủa AB với (KMN).Tacó ² (KMN)\(SAC)ÆMK. ² (KMN)\(SAB)ÆKI. ² (KMN)\(ABC)ÆIN. ² (KMN)\(SBC)ÆNM. Vậythiếtdiệncắttứdiện SABC bởimặtphẳng (KMN)làtứgiác MNIK. 2 Trên SC lấyđiểm P saocho M làtrungđiểmcủa SP.Khiđótacó ² APÒKM theotínhchấtđườngtrungbìnhcủatamgiác SAP nên APÒEM) AC AE Æ PC PM Æ 1 2 . ² Gọi H làtrungđiểmcủa AB,khiđó NHÒAC (Tínhchấtđườngtrungbình). Dođó IH IA Æ NH AE Æ 1 4 )AIÆ 4 5 AHÆ 2 5 AB) AI BI Æ 2 3 . ä BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang thỏa mãn ABÒCD, ABÈCD. Gọi I, J theo thứ tự là trungđiểmcủacáccạnh SB, SC. 1 Xácđịnhgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAD)và (SBC). 2 Tìmgiaođiểmcủađườngthẳng SD với (AIJ). 3 Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD cắtbởimặtphẳng (AIJ). Lờigiải. d S B C I J A D1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 329 1 Haimặtphẳng (SAD)và (SBC)có S làmộtđiểmchung. Lạicó ADÒBC theogiảthiếtvà SÝ (ABCD)nêngiaotuyếncủa (SAD)và (SBC)làđườngthẳng d điqua S và songsongvới AD, BC. 2 Do IJ làđườngtrungbìnhcủatamgiácSBC nên IJÒBC mà IÝ (ABCD))IJÒAD.Vìvậy A,D, I, J xácđịnh mặtphẳng (ADJI)hay D2 (AIJ). Mặtkhác D2SD nên D làgiaođiểmcủa SD với (AIJ). 3 Từkếtquảtrêntacó ² (AIJ)\(ABCD)ÆAD. ² (AIJ)\(SCD)ÆDJ. ² (AIJ)\(SBC)ÆJI. ² (AIJ)\(SAB)ÆIA. Vậythiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD cắtbởimặtphẳng (AIJ)làhìnhthang ADJI. ä BÀI 4. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy điểm N thuộc miền trong tamgiác SCD. 1 Tìmgiaođiểmcủa MN vàmặtphẳng (SAC). 2 Tìmgiaođiểmcủa SC vàmặtphẳng (AMN). 3 Tìmthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD cắtbởimặtphẳng (AMN). Lờigiải. S B C E O R M Q A I P D F N 1 Trongmặtphẳng (ABCD),gọiO làgiaođiểmcủa AC và EF.Khiđó SOÆ (SAC)\(SEF). Trongmặtphẳng (SEF),gọi {I}ÆMN\SO.Tacó I2SO)I2 (SAC).Mà I2MN nên {I}ÆMN\(SAC). 2 Theochứngminhtrêntasuyra AIÆ (AMN)\(SAC). Trong mặt phẳng (SAC) gọi P là giao điểm của AI và SC. Khi đó do P2 AI)P2 (AMN). Mà P2SC nên {P}ÆSC\(AMN). 3 Do M,P 2 (SBC) nên trong mặt phẳng (SBC), gọi R là giao điểm của PM với SB. Ta có PM½ (AMN) nên R2 (AMN). Tươngtự,trongmặtphẳng (SCD),gọiQ làgiaođiểmcủa PN với SD tacóQ2 (AMN).Vìvậy ² (AMN)\(SAB)ÆAR. ² (AMN)\(SBC)ÆRP. ² (AMN)\(SCD)ÆPQ. ² (AMN)\(SAD)ÆQA. Vậythiếtdiệncắthìnhchóp S.ABCD bởimặtphẳng (AMN)làtứgiác ARPQ. ä BÀI 5. Chohình chóp S.ABCD cóđáy ABCD làhình bìnhhành tâm O. Gọi M làtrung điểmcủa SB và G làtrọng tâmtamgiác SAD.330 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN 1 Tìmgiaođiểm I củaGM với (ABCD).Chứngminh I thuộcđườngthẳng CD và ICÆ 2ID. 2 Tìmgiaođiểm J của AD và (OMG).Tínhtỉsố JA JD . ĐS: JA JD Æ 2 3 Tìmgiaođiểm K của SA và (OMG).Tínhtỉsố KA KS . ĐS: KA KS Æ 2 4 Tìmthiếtdiệncắthìnhchóp S.ABCD bởimặtphẳng (OMG). Lờigiải. S B C E O J P F I G H A M D N K 1 GọiE, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AD,SA.Tacó M làtrungđiểmcủaSB,G làtrọngtâmcủatamgiácSAD. Trongmặtphẳng (SBE)có SM SB Æ 1 2 6Æ 2 3 Æ SG SE suyra MG và BE khôngsongsong.Dođó MG và BE cắtnhau. Lạido BE½ (ABCD), {I}ÆMG\(ABCD)nên I2BE. Vậygiaođiểm I của MG và (ABCD)làgiaođiểm I của MG và BE. Do MN làđườngtrungbìnhcủatamgiácSABnên MNÒAB)MNÒCD.Suyra MN,CD xácđịnhmặtphẳng (MNDC). LạidoG làtrọngtâmtamgiác SAD nênG2ND)G2 (MNDC), I2MG)I2 (MNDC). Mặtkhác (MNDC)\(ABCD)ÆCD, I2 (MNDC), I2 (ABCD)nên I2CD. Mà ADÒBC nên EDÒBC) ID IC Æ ED BC Æ 1 2 )ICÆ 2ID. 2 Dễthấy I2 (OMG).Trongmặtphẳng (ABCD),gọi J 0 làgiaođiểmcủa AD và OI.Vì OI½ (OMG))J 0 2 (OMG) nên AD\(OMG)Æ {J 0 }. Mà J làgiaođiểmcủa AD và (OMG)(gt)nên J 0 ´J.Vậy J làgiaođiểmcủa IO và AD. Dễthấy J làtrọngtâm4IAC nên JA JD Æ 2. 3 Trongmặtphẳng (ABCD),gọi F làgiaođiểmcủa BI và AC suyra (SBI)\(SAC)ÆSF. Trongmặtphẳng (SBI),gọiHlàgiaođiểmcủaMIvàSF.TacóH2MG) OH½ (OMG)và H thuộc (SAC). Trong mặt phẳng (SAC), gọi K 0 là giao điểm của OH và SA. Khi đó do K 0 2OH)K 0 2 (OMG))SA\(OMG)Æ {K 0 }hay K 0 ´K.Vậy K làgiaođiểm củaOH với SA. Lạicó K,G, J làcácđiểmchungcủahaimặtphẳng (OMG)và (SAD)nên K,G, J thẳnghàng. GọiQ làtrungđiểmcủa SD,vì J làtrọngtâm4IAC.Xét4SAD có AG AQ Æ 2 3 Æ AJ AD )GJÒSD)KJÒSD) KA KS Æ JA JD Æ 2. S A D J E Q K G 4 Từchứngminhtrêntasuyra ² (OMG)\(SAB)ÆKM. ² (OMG)\(SBC)ÆMP. ² (OMG)\(ABCD)ÆPJ. ² (OMG)\(SAD)ÆJK. Vậythiếtdiệncắthìnhchóp S.ABCD bởimặtphẳng (OMG)làtứgiác KMPJ.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 331 ä BÀI 6. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi M, N, P lầnlượtlàtrungđiểmcủa SB, SD vàOC. 1 Tìmgiaotuyếncủamặtphẳng (MNP)vớicácmặtphẳng (SAC)và (ABCD). 2 Tìmgiaođiểmcủa SA vớimặtphẳng (MNP). 3 Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số mà mặt phẳng (MNP) chia các cạnh SA, BC và CD. ĐS: ES EA Æ 1 3 , HB HC Æ KD KC Æ 1 Lờigiải. S B C O H K P G F N I D E A M 1 Do M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa SB, SD nên MN làđườngtrungbìnhcủatamgiác SBD,suyra MNÒBD. Tacó (PMN)\(SBD)ÆMN. Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của MN và SO. Khi đó vì I2SO)I2 (SAC), P2AC)P2 (SAC) suyra (PMN)\(SAC)ÆPI. Haimặtphẳng (PMN)và (ABCD)có P làmộtđiểmchung.Mà MNÒBD, PÝMN, PÝBD nêngiaotuyếncủa (PMN)và (ABCD)làđườngthẳngquaP,songsongvới MN vàsongsongvớiBD,cắtcáccạnhBC,CD lầnlượt tại H và K. 2 Trongmặtphẳng (SAC),gọi E làgiaođiểmcủa PI và SA.Tacó ² E2PI,PI½ (PMN))E2 (PMN). ² Mà E2SA nên E làgiaođiểmcủa SA với (PMN). 3 Tacó (PMN)lầnlượtgiaovớicáccạnh SA, SB, BC, CD, SD tạicácđiểm E, M, H, K, N nên ² (PMN)\(SAB)ÆEM. ² (PMN)\(SBC)ÆMH. ² (PMN)\(ABCD)ÆHK. ² (PMN)\(SCD)ÆKN. ² (PMN)\(SAD)ÆNE. VậythiếtdiệncủahìnhchópS.ABCD vớimặtphẳng (PMN)làngũgiácEMHKN.Vì MN làđườngtrungbình trongtamgiác ABD nên I làtrungđiểmcủa SO. Trongtamgiác SOC có IP làđườngtrungbìnhnên IPÒSC. Dođótrongtamgiác SAC có PEÒSC suyra ES EA Æ PC PA Æ 1 3 . Lạicó P làtrungđiểmcủaOC, HK qua P và HKÒBD nên HK làđườngtrungbìnhcủatamgiác BCD. Dođó HB HC Æ KD KC Æ 1. ä BÀI 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên các cạnh SB, SD ta lần lượt lấy các điểm M, N saocho SM SB Æ 1 3 , SN SD Æ 2 3 .332 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (AMN)và (SCD). 2 Tìmgiaođiểm I củaSCvàmặtphẳng (AMN).Suyrathiếtdiệncủamặtphẳng (AMN)vàhìnhchópS.ABCD. 3 Gọi K làgiaođiểmcủa IN và CD.Tínhtỉsố KC KD . ĐS: KC KD Æ 5 Lờigiải. S K B C O E N I A M D 1 Trongmặtphẳng (SBD).Theobàiratacó SM SB Æ 1 3 , SN SD Æ 2 3 ) SM SB 6Æ SN SD .Dođó MN cắt BD giảsửtại E. Haimặtphẳng (AMN)và (ABCD)cóhaiđiểmchung A và E nên (AMN)\(ABCD)ÆAE. Trongmặtphẳng (ABCD),gọi K làgiaođiểmcủa AE và CD.Khiđó ² K2AE)K2 (AMN). ² K2CD)K2 (SCD).Suyra K làmộtđiểmchungcủa (AMN)và (SCD). ² Mặtkhác (AMN)và (SCD)cóđiểm N chung(vì N2SD). Vậygiaotuyếncủahaimặtphẳng (AMN)và (SCD)làđườngthẳng KN. 2 Trongmặtphẳng (SCD),gọi I làgiaođiểmcủa KN và SC.Khiđó I2KN)I2 (AMN).Vậy I làgiaođiểmcủa SC và (AMN). Do (AMN)cắtcáccạnh SA, SB, SC, SD lầnlượttạicácđiểm A, M, I, N nên ² (AMN)\(SAB)ÆAM. ² (AMN)\(SBC)ÆMI. ² (AMN)\(SCD)ÆIN. ² (AMN)\(SAD)ÆNA. Suyrathiếtdiệncủamặtphẳng (AMN)vàhìnhchóp S.ABCD làtứgiác AMIN. 3 Tacó K2CD và K, I, N thẳnghàng. Lấyđiểm P trêncạnh SB saocho PDÒMN. Khiđótacó SM SP Æ SN SD Æ 2 3 ) MP MM Æ 1 2 ) MP MB Æ 1 4 vì BMÆ 2SM. Xéttamgiác BME,tacũngcó PDÒME nên ED EB Æ MP MB Æ 1 4 . Xéttamgiác ABE,có KDÒAB nên KD AB Æ ED EB Æ 1 4 . Suyra KD DC Æ KD AB Æ 1 4 ) KD KC Æ KD KDÅDC Æ 1 1Å4 Æ 1 5 ) KC KD Æ 5. S B D E N M P ä 3 BÀITẬPTỰLUYỆN BÀI 8. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm M. Trên cạnh BC lấy điểm N thỏa mãn BNÆ 2NC. Gọi P là trung điểmcủa CD.Xácđịnhthiếtdiệncủatứdiện ABCD khicắtbởimặtphẳng (MNP). ĐS:1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 333 Thiếtdiệnlàtứgiác MNPQ. A P C E D M B Q N BÀI 9. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangđáylớn AD.Lấyđiểm M trêncạnh SB.Tìmthiếtdiện củahìnhchópcắtbởimặtphẳng (AMD). ĐS: Thiếtdiệnlàhìnhthang AMND. S B C M N A D BÀI 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CD, SA.Tìmthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD cắtbởimặtphẳng (MNP). ĐS: Thiếtdiệnlàngũgiác MNHPG. S D N C M B E G A F H P BÀI 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB và M là một điểm nằm trong hình thang ABCD sao cho đường thẳng KM cắt hai đường thẳng AD và CD.Tìmthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD khicắtbởimặtphẳng (HKM). ĐS: Thiếtdiệnlàngũgiác HKPQJ. S B C K I P M H J Q A D N BÀI 12. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangđáylớn AB.Lấycácđiểm M, N lầnlượttrêncáccạnh SC và SD.Tìmthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD vớicácmặtphẳng (ABM)và (AMN). ĐS:334 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN S C D O A N B M Q I J P Hình 1 S C D O A B Q N M I Hình 2 Thiếtdiệncắtbởi (ABM)làhìnhthang ABMP. Nếu SM SC È SN SD thìthiếtdiệncắthìnhchóp S.ABCD bởi (AMN)làtứgiác ANMQ (Hình 1). Nếu SM SC Ç SN SD thìthiếtdiệncắthìnhchóp S.ABCD bởi (AMN)làtứgiác ANMQ (Hình 2). BÀI 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Lấyđiểm M bấtkỳtrêncạnh SA.Tìmthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD vớimặtphẳng (MHK). ĐS: Thiếtdiệnlàngũgiác PMQKH. S D K C H B E P A M F Q BÀI 14. Chotứdiệnđều ABCD cócạnhbằng a.Gọi I làtrungđiểmcủa AD, J làđiểmđốixứngvới D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (IJK) và tính diện tích củathiếtdiệnnày. ĐS: Thiếtdiệnlàtamgiác IEF cântại I. S 4IEF Æ a 2 6 . A J B I D F K C E BÀI 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAC. Gọi I, J lầnlượtlàtrungđiểmcủa CD và SD. 1 Tìmgiaođiểm H củađườngthẳng IK vớimặtphẳng (SAB).1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 335 2 Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchópvớimặtphẳng (IJK). ĐS: 1 {H}ÆSP\IK. 2 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJK) là ngũ giác IJGMF. S D O I C F P E B K H A J M G BÀI 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm trong tam giác SAB và điểm M thuộccạnh SD saocho MDÆ 2MS. 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAB)và (PCD). 2 Tìmgiaođiểmcủa SC vớimặtphẳng (ABM). 3 Gọi N làtrungđiểmcủa AD.Tìmthiếtdiệntạobởimặtphẳng (MNP)vàhìnhchóp S.ABCD. ĐS: S E C D A B P Hình 1. S B C O I D M F A Hình 2. S B C I 0 J 0 L G H P R N Q D M E 0 F 0 A Hình 3. 1 Giaotuyếncủahaimặtphẳng (SAB)và (PCD)làđườngthẳng PE. 2 Giaođiểmcủa SC vớimặtphẳng (ABM)làđiểm F. 3 Thiếtdiệntạobởimặtphẳng (MNP)vàhìnhchóp S.ABCD làngũgiác MNHQR. {DẠNG1.4.Chứngminhbađiểmthẳnghàng Phươngphápgiải Giảsửchứngminhbađiểm I, J, K thẳnghàng. Xéthaimặtphẳng (P)và (Q).Chứngminhbađiểm I, J, K làbađiểmchungcủa (P)và (Q). Khiđó I, J, K thuộcgiaotuyếncủa (P)và (Q)hay I, J, K thẳnghàng. 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, P sao cho MN cắt AB tại I, NP cắt BC tại J và MP cắt AC tại K.Chứngminhrằngbađiểm I, J, K thẳnghàng. Lờigiải.336 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN Xéthaimặtphẳng (ABC)và (MNP).Tacó ( I2AB½ (ABC) I2MN½ (MNP) )I2 (ABC)\(MNP). (1) ( J2BC½ (ABC) J2NP½ (MNP) )J2 (ABC)\(MNP). (2) ( K2AC½ (ABC) K2MP½ (MNP) )K2 (ABC)\(MNP). (3) Từ (1), (2), (3) suy ra I, J, K cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của (ABC)và (MNP). Vậybađiểm I, J, K thẳnghàng. S P N A M B I C K J ä VÍ DỤ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O hai điểm, M, N lần lượt là trung điểmcủa SB, SD,điểm P thuộc SC vàkhônglàtrungđiểmcủa SC. 1 Tìmgiaođiểm I của SO vớimặtphẳng (MNP). 2 TìmgiaođiểmQ của SA vớimặtphẳng (MNP). 3 Gọi F, G, H lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh ba điểm F, G, H thẳnghàng. 1 Trongmặtphẳng (SBD),gọi IÆSO\MN. Tacó ( I2SO I2MN½ (MNP) )IÆSO\(MNP). 2 Trongmặtphẳng (SAC),gọiQÆSA\IP. Tacó ( Q2SA Q2IP½ (MNP) )QÆSA\(MNP). 3 Xéthaimặtphẳng (ABCD)và (MNPQ).Tacó ( F2AB½ (ABCD) F2QM½ (MNPQ) )F2 (ABCD)\(MNPQ). (1) ( G2AC½ (ABCD) G2QP½ (MNPQ) )G2 (ABCD)\(MNPQ). (2) ( H2AD½ (ABCD) H2QN½ (MNPQ) )H2 (ABCD)\(MNPQ). (3) Từ (1), (2), (3)suyra F,G, H cùngthuộcđườngthẳnggiao tuyếncủa (ABCD)và (MNPQ). Vậybađiểm F,G, H thẳnghàng. S A M Q F C B O G D N I H P 2 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 1. Chotứdiện ABCD cóG làtrọngtâmtamgiác BCD.Gọi M, N, P lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB, BC, CD. Tìmgiaotuyếncủa (ADN)và (ABP). 1 Gọi IÆAG\MP và JÆCM\AN.Chứngminh D, I, J thẳnghàng. 21. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 337 Lờigiải. Tacó A2 (ADN)\(ABP). (1) Mặtkhác ( G2DN2 (ADN) G2BP2 (ABP) )G2 (ADN)\(ABP). (2) Từ (1)và (2)suyra (ADN)\(ABP)ÆAG. 1 Xéthaimặtphẳng (CDM)và (ADN).Tacó + D2 (CDM)\(ADN). (3) + ( I2JD½ (CDM) I2AG½ (AND) )I2 (CDM)\(ADN). (4) + ( J2CM½ (CDM) J2AN½ (AND) )J2 (CDM)\(ADN). (5) Từ (3), (4), (5)suyra D, I, J thẳnghàng. 2 A N M B J C G P D I ä BÀI 2. Chotứdiện ABCDcóK làtrungđiểmcủa AB.Lấy I, Jlầnlượtthuộc AC,BDsaocho IAÆ 2ICvà JBÆ 3JD. Tìmgiaođiểm E của AD và (IJK). 1 Tìmgiaotuyến d của (IJK)và (BCD). 2 GọiO làgiaođiểmcủa d với CD.Chứngminh I,O, E thẳnghàng. 3 Tínhcáctỉsố OI OE và OC OD . ĐS: OI OE Æ 2 3 và OC OD Æ 3 2 . 4 Lờigiải.338 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN Trong (ABD),gọi AD\KJÆE.Tacó ( E2AD E2KJ½ (IJK) )EÆAD\(IJK). 1 Trong (ABC),gọi KI\BCÆF.Tacó + ( J2 (IJK) J2BD½ (BCD) )J2 (IJK)\(BCD). (1) + ( F2KI½ (IJK) F2BC½ (BCD) )F2 (IJK)\(BCD). (2) Từ (1)và (2)suyra (IJK)\(BCD)ÆFJ hay d´FJ. 2 Trong (BCD),OÆFJ\CD. Xéthaimặtphẳng (IJK)và (ACD).Tacó + ( I2 (IJK) I2AC½ (ACD) )I2 (IJK)\(ACD). (3) + ( O2FJ½ (IJK) O2CD½ (ACD) )O2 (IJK)\(ACD). (4) + ( E2KJ½ (IJK) E2AD½ (ACD) )E2 (IJK)\(ACD). (5) Từ (3), (4), (5)suyra I,O, E thẳnghàng. 3 ÁpdụngđịnhlíMenelaustrongcáctamgiácsau. Tamgiác ABC có K, I, F thẳnghàng ) FC FB ¢ KB KA ¢ IA IC Æ 1, FC FB ¢1¢2Æ 1) FC FB Æ 1 2 )C làtrungđiểmcủa BF. Tamgiác BCD có F,O, J thẳnghàng ) OC OD ¢ JD JB ¢ FB FC Æ 1, OC OD ¢ 1 3 ¢2Æ 1, OC OD Æ 3 2 . Tamgiác ABD có K, J, E thẳnghàng ) ED EA ¢ KA KB ¢ JB JD Æ 1, ED EA ¢1¢3Æ 1, ED EA Æ 1 3 . Tamgiác AIE có C,O, D thẳnghàng ) OI OE ¢ DE DA ¢ CA CI Æ 1, OI OE ¢ 1 2 ¢3Æ 1, OI OE Æ 2 3 . Vậy OI OE Æ 2 3 và OC OD Æ 3 2 . 4 A J K B I O C F E D ä BÀI 3. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthang, AD làđáylớnvà ADÆ 2BC.Gọi M, N lầnlượtlàtrung điểmcủa SB, SC vàOÆAC\BD. Tìmgiaotuyếncủa (ABN)và (SCD). ĐS: (ABN)\(SCD)ÆEN với EÆAB\CD 1 Tìmgiaođiểm P của DN và (SAB). ĐS: PÆDN\SE 2 Gọi KÆAN\DM.Chứngminh S, K,O thẳnghàng.Tínhtỉsố KS KO . ĐS: KS KO Æ 3 2 3 Lờigiải.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 339 Tacó N2 (ABN)\(SCD). Trong (ABCD),gọi AB\CDÆE)E2 (ABN)\(SCD). Suyra (ABN)\(SCD)ÆEN. 1 Trong (SCD),gọi DN\SEÆP )PÆDN\(SAB). 2 Xéthaimặtphẳng (SAC)và (SBD)có + S2 (SAC)\(SBD). (1) + ( K2AN½ (SAC) K2MD½ (SBD) )K2 (SAC)\(SBD). (2) + ( O2AC½ (SAC) O2BD½ (SBD) )O2 (SAC)\(SBD). (3) Từ (1), (2), (3)suyra S, K,O thẳnghàng. Vì ADÒBC nên4OAD»4OCB ) OC OA Æ BC AD Æ 1 2 . ÁpdụngđịnhlíMenenalusvào4SOC có A, K, N thẳnghàng ) KS KO ¢ AO AC ¢ NC NS Æ 1, KS KO ¢ 2 3 ¢1Æ 1, KS KO Æ 3 2 . 3 S A M B C O E D K N P ä BÀI 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tìmgiaotuyếncủa (BMN)vớicácmặtphẳng (SAB)và (SBC). ĐS: (BMN)\(SAB)ÆBM và (BMN)\(SBC)ÆBN 1 Tìm IÆSO\(BMN)và KÆSD\(BMN). ĐS: SO\MNÆI và SD\BIÆK 2 Tìm EÆAD\(BMN)và FÆCD\(BMN). ĐS: MK\ADÆE và NK\CDÆF 3 Chứngminhrằngbađiểm B, E, F thẳnghàng. ĐS: B, E, F làđiểmchungcủa (ABCD)và (MNP) 4 Lờigiải. Tacó (BMN)\(SAB)ÆBM và (BMN)\(SBC)ÆBN. 1 Trong (SAC),gọi SO\MNÆI )IÆSO\(BMN). Trong (SBD),gọi SD\BIÆK )KÆSD\(BMN). 2 Trong (SAD),gọi MK\ADÆE )EÆAD\(BMN). Trong (SCD),gọi NK\CDÆF )FÆCD\(BMN). 3 Xéthaimặtphẳng (ABCD)và (BMN)có + ( B2 (ABCD) B2 (BMN) )B2 (ABCD)\(BMN). (1) + ( E2AD½ (ABCD) E2 (BMN) )E2 (ABCD)\(BMN). (2) + ( F2CD½ (ABCD) F2 (BMN) )F2 (ABCD)\(BMN). (3) Từ (1), (2), (3)suyra B, E, F thẳnghàng. 4 S A M I E C B O F D N K ä340 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN BÀI 5. Chohìnhchóp S.ABCD.Gọi I và J làhaiđiểmtrênhaicạnh AD, SB. Tìmgiaotuyếncủa (SBI)và (SAC).Tìmgiaođiểm K của IJ và (SAC). 1 Tìmgiaotuyếncủa (SBD)và (SAC).Tìmgiaođiểm L của DJ và (SAC). 2 GọiOÆAD\BC, MÆOJ\SC.Chứngminhrằng A, K, L, M thẳnghàng. ĐS: A, K, L, M làđiểmchungcủa (SAC)và (AOJ) 3 Lờigiải. Tacó S2 (SBI)\(SAC). Trong (ABCD),gọi BI\ACÆE )E2 (SBI)\(SAC) Suyra (SBI)\(SAC)ÆSE. Trong (SBI),gọi IJ\SEÆK )KÆIJ\(SAC). 1 Tacó S2 (SBD)\(SAC). Trong (ABCD),gọi AC\BDÆF )F2 (SBD)\(SAC). Suyra (SBD)\(SAC)ÆSF. Trong (SBD),gọi DJ\SFÆL )LÆDJ\(SAC). 2 Xét (SAC)và (AOJ)có + A2 (SAC)\(AOJ). (1) + ( K2SE½ (SAC) K2IJ½ (AOJ) )K2 (SAC)\(AOJ). (2) + ( L2SF½ (SAC) L2JD½ (AOJ) )L2 (SAC)\(AOJ). (3) + ( M2SC½ (SAC) M2OJ½ (AOJ) )M2 (SAC)\(AOJ). (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra A, K, L, M thẳnghàng. 3 S A B J K D C I F E O L M ä BÀI 6. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy ba điểm E, F, G sao cho ABÆ 3AE, ACÆ 2AF, DBÆ 4DG. Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (EFG)và (BCD). 1 Tìmgiaođiểm H củađườngthẳng CD với (EFG).Tínhtỉsố HC HD . ĐS: HC HD Æ 3 2 2 Tìmgiaođiểm I củađườngthẳng AD với (EFG).Tínhtỉsố IA ID . ĐS: IA ID Æ 3 2 . 3 Chứngminhbađiểm F, H, I thẳnghàng. 4 Gọi J làtrungđiểmcủa BC, AJ cắt EF tại K.Tínhtỉsố AK AJ . ĐS: AK AJ Æ 2 5 5 Lờigiải.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 341 Trong (ABC),gọi EF\BCÆM) (EFG)\(BCD)ÆMG. 1 Trong (BCD),gọi MG\CDÆH)HÆCD\(EFG). ÁpdụngđịnhlíMenenalusvớicáctamgiácsau. Tamgiác ABC có E, F, M thẳnghàng ) MC MB ¢ EB EA ¢ FA FC Æ 1, MC MB ¢2¢1Æ 1, MC MB Æ 1 2 . Tamgiác BCD có M, H,G thẳnghàng ) HC HD ¢ GD GB ¢ MB MC Æ 1, HC HD ¢ 1 3 ¢2Æ 1, HC HD Æ 3 2 . 2 Trong (ABD),goij AD\EGÆI)IÆAD\(EFG). Tamgiacs ABD cos E,G, I thẳnghàng ) IA ID ¢ GD GB ¢ EB EA Æ 1, IA ID ¢ 1 3 ¢2Æ 1, IA ID Æ 3 2 . 3 Xéthaimặtphẳng (ACD)và (EFG)có + ( F2AC½ (ACD) F2 (EFG) )F2 (ACD)\(EFG). (1) + ( H2CD½ (ACD) H2 (EFG) )H2 (ACD)\(EFG). (2) + ( I2AD½ (ACD) I2 (EFG) )I2 (ACD)\(EFG). (3) Từ (1), (2), (3)suyra F, H, I thẳnghàng. 4 Tamgiác AJC có K, F, M thẳnghàng KA KJ ¢ MJ MC ¢ FC FA Æ 1, KA KJ ¢ 3 2 ¢1Æ 1, KA KJ Æ 2 3 ) AK AJ Æ 2 5 . 5 A G B E F K C J I M D H ä 3 BÀITẬPRÈNLUYỆN BÀI 7. Chohìnhchóp S.ABCD có AD khôngsongsongvới BC.Lấy M thuộc SB vàO làgiaođiểm AC với BD. Tìmgiaođiểm N của SC với (AMD). 1 Gọi IÆAN\DM.Chứngminh S, I,O thẳnghàng. 2 Lờigiải. Trong (ABCD),gọi AD\BCÆE. Trong (SBC),gọi SC\MEÆN )NÆSC\(AMD). 1 Xét (SAC)và (SBD)có + S2 (SAC)\(SBD). + ( I2AN½ (SAC) I2DM½ (SBD) )I2 (SAC)\(SBD). + ( O2AC½ (SAC) O2BD½ (SBD) )O2 (SAC)\(SBD). Suyra S, I,O thẳnghàng. 2 S A B M D C O E N I ä BÀI 8. Chohìnhchóp S.ABCD.Gọi E, F, H lầnlượtlàcácđiểmthuộccạnh SA, SB, SC. Tìmgiaođiểm KÆSD\(EFH). 1342 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN GọiOÆAC\BD và IÆEH\FK.Chứngminh S, I,O thẳnghàng. 2 Gọi MÆAD\BC và NÆEK\FH.Chứngminh S, M, N thẳnghàng. 3 Gọi PÆAB\CD vàQÆEF\HK.Chứngminh S, P,Q thẳnghàng. 4 Lờigiải. Trong (SAC),gọi IÆEH\SO. Trong (SBD),gọi FI\SDÆK )KÆSD\(EFH). 1 Hiểnnhiên S, I,O thẳnghàng. 2 ChứngminhS,M,N làđiểmchungcủa (SAD) và (SBC). 3 Chứngminh S, P,Q làđiểmchungcủa (SAB) và (SCD). 4 S K A B E F I D C O P H M N Q ä BÀI 9. Chotứdiện ABCD.Gọi M, N, P lầnlượtlàcácđiểmthuộccạnh AB, AC, BD và MN\BCÆI, MP\ADÆJ, NJ\IPÆK.Chứngminh C, D, K thẳnghàng. Lờigiải. Chứngminh C, D, K làđiểmchungcủahaimặtphẳng (ACD) và (BCD). A B C M N P I J K D ä BÀI 10. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối đôi một không song song và điểm SÝ (ABCD). Lấy điểm I thuộc cạnh AD,lấyđiểm J thuộccạnh SB. Tìm KÆIJ\(SAC). 1 Tìm LÆDJ\(SAC). 2 GọiOÆAD\BC, MÆOJ\SC.Chứngminhrằng K, L, M thẳnghàng. 3 Lờigiải.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 343 Gọi AC\BIÆE; IJ\SEÆK )KÆIJ\(SAC). 1 Gọi AC\BDÆF; DJ\SFÆL )LÆDJ\(SAC). 2 Chứngminh K, L, M làđiểmchungcủa (SAC) và (AOJ). 3 S A B J E K D C I F O M L ä BÀI 11. Chohìnhchóp S.ABCD.Gọi M, N là 2điểmlầnlượtnằmtrên 2cạnh BC và SD. Tìmgiaođiểm I của BN và (SAC). 1 Tìmgiaođiểm J của MN và (SAC). 2 Chứngminh I, J, C thẳnghàng. 3 Xácđịnhthiếtdiệncủamặtphẳng (BCN)vớihìnhchóp. 4 Lờigiải. Gọi AC\BDÆO; BN\SOÆI )IÆBN\(SAC). 1 Gọi AC\MDÆE; MN\SEÆJ )JÆMN\(SAC). 2 Chứngminh I, J, C làđiểmchungcủa (SAC)và (BCN). 3 Gọi CI\SAÆP. Thiếtdiệncủamặtphẳng (BCN)vớihìnhchóplàtứgiác BCNP. 4 S A B I P J D C M E O N ä BÀI 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.Gọi (P)làmặtphẳngqua M, N và B. Tìmgiaotuyếncủa (P)vớicácmặtphẳng (SAB), (SBC), (SAD), (SDC). 1 Tìm IÆSO\(P), KÆSD\(P), EÆDA\(P), FÆDC\(P). 2 Chứngminhrằngbađiểm E, B, F thẳnghàng. ĐS: E, B, F làđiểmchungcủa (P)và (ABCD) 3 Lờigiải.344 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN Tacó (P)\(SAB)ÆBM; (P)\(SBC)ÆBN; (P)\(SAD)ÆMK; (P)\(SCD)ÆNK. 1 IÆSO\MN; KÆBI\SD; EÆDA\MK; FÆDC\ NK. 2 Chứng minh E, B, F là điểm chung của (P) và (ABCD). 3 S K A M I E C B O F D N ä BÀI 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song nhau. Gọi M, E là trungđiểm SA, AC và F2CD saocho CDÆ 3CF. Tìmgiaotuyếncủa (SAB)và (SCD). 1 Tìmgiaođiểm N của SD và (MEF).Tínhtỉsố NS ND . ĐS: NS ND Æ 1 2 2 Gọi HÆSE\CM và KÆMF\NE.Chứngminh D, H, K thẳnghàng. 3 Tínhcáctỉsốsau HM HC ; HS HE ; KM KF ; KN KE ; KH KD . ĐS: HM HC Æ 1 2 ; HS HE Æ 2; KM KF Æ 1 2 ; KN KE Æ 1; KH KD Æ 1 4 4 Lờigiải. Gọi AB\CDÆI ) (SAB)\(SCD)ÆSI. 1 Gọi AD\EFÆJ, SD\JMÆN )NÆSD\(MEF). NS ND Æ 1 2 2 Chứngminh D, H, K làđiểm chungcủa (MCD)và (SED). 3 Tacó HM HC Æ 1 2 ; HS HE Æ 2; KM KF Æ 1 2 ; KN KE Æ 1; KH KD Æ 1 4 . 4 S A K B J H D C E I F N M ä {DẠNG1.5.Chứngminhbađườngthẳngđồngquy Phươngpháp:Tìmgiaocủahaiđườngthẳng,sauđóchứngminhđườngthẳngthứbađiquagiaođiểmđó.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 345 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD. Lấy M,N,P lần lượt trên các cạnh AB, AC, BD sao cho MN cắt BC tại I, MP cắt AD tại J.Chứngminh PI, NJ, CD đồngquy. Lờigiải. Trong(BCD) :GọiKÆPI\CD ) ( K2PI,PI½ (MIJ) K2CD,CD½ (ACD) ) K2 (MIJ)\(ACD) ) K2NJ. Vậy PI, NJ, CD đồngquytại K. A P C I B M N D J K ä 2 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD. Gọi M là trung điểm SC và O là giao điểm của AC và BD. 1 Tìmgiaođiểm N của SD và (MAB). 2 Chứngminhbađườngthẳng SO, AM, BN đồngquy. Lờigiải. 1 Trong (SAC):Gọi KÆAM\SO. Trong(SBD) :GọiNÆBK\SD ) ( N2BK,BK½ (MAB) N2SD ) NÆSD\(MAB). 2 Tacó KÆAM\SO) SO, AM điqua K. Mà NÆBK\SD) BN cũngđiqua K. Vậybađườngthẳng SO, AM, BN đồngquytại K. S O B C K A D M N ä BÀI 2. Chohìnhchóp S.ABCD.Trêncạnh SC lấymộtđiểm E khôngtrùngvới S và C. 1 Tìmgiaođiểm F củađườngthẳng SD và (ABE). 2 Giảsử AB khôngsongsong CD.Chứngminhbađườngthẳng AB, CD, EF đồngquy. Lờigiải.346 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN 1 Trong (ABCD):Gọi IÆAC\BD. Trong (SAC):Gọi JÆAE\SI. Trong(SBD) :GọiFÆBJ\SD ) ( F2BJ,BJ½ (ABE) F2SD ) FÆSD\(ABE). 2 Tacó ( E2 (ABE)\(SCD) F2 (ABE)\(SCD) ) (ABE)\(SCD)ÆEF. Trong(ABCD) :GọiKÆAB\CD ) ( K2AB,AB½ (ABE) K2CD,CD½ (SCD) ) K2 (ABE)\(SCD) ) K2EF. Vậy AB, CD, EF đồngquytại K. S I K A B J C D E F ä BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Lấy điểm M trên cạnh SC. Gọi N là giao điểm của SB và (ADM).GọiO làgiaođiểmcủa AC và BD.Chứngminh SO, AM, DN đồngquy. Lờigiải. Tacó S2 (SAB)\(SCD). (1) Trong(ABCD) :GọiIÆAB\CD ) ( I2AB,AB½ (SAB) I2CD,CD½ (SCD) )I2 (SAB)\(SCD). (2) Từ (1)và (2)) (SAB)\(SCD)ÆSI. Trong (SID):Gọi JÆDM\SI. Trong(SAI) :GọiNÆAJ\SB ) ( N2AJ,AJ½ (ADM) N2SB ) NÆSB\(ADM). Tacó : ( S2 (SAC)\(SBD) O2 (SAC)\(SBD) ) (SAC)\(SBD)ÆSO. Trong(AJD) :GọiKÆAM\DN ) ( K2AM,AM½ (SAC) K2DN,DN½ (SBD) ) K2 (SAC)\(SBD) ) K2SO. Vậy SO, AM, DN đồngquytại K. S O J M I K A B N C D ä BÀI 4. Chohìnhchóp S.ABCD có AB\CDÆE và AD\BCÆK.Gọi M,N,P lầnlượtlàtrungđiểmcủa SA,SB,SC. 1 Tìmgiaotuyếncủa (SAC)và (SBD). 2 Tìmgiaotuyếncủa (MNP)và (SBD). 3 TìmgiaođiểmQ của SD và (MNP). 4 Gọi HÆMN\PQ.Chứngminh S,H,E thẳnghàng. 5 Chứngminh SK,QM, NP đồngquy. Lờigiải.1. ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNG 347 1 Tacó S2 (SAC)\(SBD). (1) Trong(ABCD) : IÆAC\BD ) ( I2AC,AC½ (SAC) I2BD,BD½ (SBD) )I2 (SAC)\(SBD). (2) Từ (1)và (2)) (SAB)\(SCD)ÆSI. 2 Tacó N2 (MNP)\(SBD). (3) Trong(SAC) :GọiJÆMP\SI ) ( J2MP,MP½ (MNP) J2SI,SI½ (SBD) )J2 (MNP)\(SBD). (4) Từ (3)và (4)) (MNP)\(SBD)ÆNJ. 3 Trong(SBD) :GọiQÆNJ\SD ) ( Q2NJ,NJ½ (MNP) Q2SD ) QÆSD\(MNP). 4 Trong(MNPQ) : HÆMN\PQ ) ( H2MN,MN½ (SAB) H2PQ,PQ½ (SCD) ) H2 (SAB)\(SCD) ) H2SE. Suyra S,H,E thẳnghàng. 5 Tacó S2 (SAD)\(SBC). (5) Trong(ABCD) : KÆAD\BC ) ( K2AD,AD½ (SAD) K2BC,BC½ (SBC) )K2 (SAD)\(SBC). (6) Từ (5)và (6)) (SAD)\(SBC)ÆSK. Trong(MNPQ) :GọiFÆQM\PN ) ( F2QM,QM½ (SAD) F2PN,PN½ (SBC) ) F2 (SAD)\(SBC) ) F2SK. Suyra SK,QM, NP đồngquytại F. S A M I J E C B N F K D Q H P ä 3 BÀITẬPRÈNLUYỆN BÀI 5. Cho tứ diện S.ABC với I là trung điểm của SA, J là trung điểm của BC. Gọi M là điểm di động trên IJ và N làđiểmdiđộngtrên SC. 1 Xácđịnhgiaođiểm P của MC và (SAB). 2 Tìmgiaotuyếncủa (SMP)và (ABC). 3 Tìmgiaođiểm E của MN và (ABC). 4 Gọi FÆIN\AC.Chứngminhđườngthẳng EF luônđiquamộtđiểmcốđịnhkhi M,N diđộng.348 CHƯƠNG7. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN BÀI 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AB,CD. Gọi J là một điểm trên đoạn AD sao cho ADÆ 3JD. 1 Tìmgiaođiểm F của IJ và (BCD). 2 Tìmgiaođiểm E của (IJK)vàđườngthẳng BC.Tínhtỉsố EB EC . ĐS: EB EC Æ 2 3 Chứngminhbađườngthẳng AC, KJ, IE đồngquytạiđiểm H.Tínhtỉsố HC HA . ĐS: HC HA Æ 2 4 Chứngminh EJÒHF vàđườngthẳng IK điquatrungđiểmcủađoạn HF. 5 Gọi O làtrungđiểm IK và G làtrọngtâmcủatamgiác BCD.Chứngminhbađiểm A,O,G thẳnghàng.Tính tỉsố OA OG . ĐS: OA OG Æ 3CHƯƠNG8 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG BÀI1. HAIĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG. A TÓMTẮTLÝTHUYẾT 1 Vịtrítươngđốicủahaiđườngthẳngphânbiệt Chohaiđườngthẳngphânbiệt a, b. a b I a b a b Định nghĩa 1. ²Haiđườngthẳnggọilàđồngphẳngnếuchúngcùngnằmtrongmộtmặtphẳng. ²Haiđườngthẳnggọilàchéonhaunếuchúngkhôngđồngphẳng. ²Haiđườngthẳnggọilàsongsongnếuchúngđồngphẳngvàkhôngcóđiểmchung. 2 Tínhchấthaiđườngthẳngsongsong Định lí 1. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đườngthẳngsongsongvớiđườngthẳngđãcho. Định lí 2 (Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng). Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theobagiaotuyếnphânbiệtthìbagiaotuyếnấyhoặcđồngquyhoặcđôimộtsongsongvớinhau. ® ¯ ° a b c ® ¯ ° a b c Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng(nếucó)cũngsongsongvớihaiđườngthẳngđóhoặctrùngvớimộttronghaiđườngthẳngđó. ® ¯ d d 00 d 0 ® ¯ d d 00 d 0 ® ¯ d d 0 d 00 Định lí 3. Haiđườngthẳngphânbiệtcùngsongsongvớiđườngthẳngthứbathìsongsongvớinhau. 349350 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. ® ¯ ° a b c B DẠNGTOÁNVÀBÀITẬP {DẠNG1.1.Chứngminhhaiđườngthẳngsongsong. Phươngphápgiải: Cách 1. Chứng minh hai đường thẳng a, b đồng phẳng, rồi dùng các định lí trong hình học phẳng, chẳng hạnđịnhlíđườngtrungbình,địnhlíđảoThales,...đểchứngminh aÒb. Cách 2. Chứngminhhaiđườngthẳngđócùngsongsongvớiđườngthẳngthứba.Chẳnghạn,chứngminh ( cÒa cÒb )aÒb. Cách 3. Ápdụngđịnhlívềgiaotuyếncủabamặtphẳngvàhệquảcủanó.Chẳnghạn,chứngminh 8 > < > : bÒc b½ (®), c½ (¯) (®)\(¯)Æa ) 2 6 4 aÒbÒc a´b a´c. 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng IJÒCD. Lờigiải. Gọi E làtrungđiểm AB.Tacó ( I2CE J2DE )IJ và CD đồngphẳng. Vì I, J lầnlượtlàtrọngtâmcủatamgiác ABC và ABD nên EI EC Æ EJ ED Æ 1 3 . TheođịnhlíđảoThalessuyra IJÒCD (đpcm). A J D I B E C ä VÍ DỤ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứngminh MPNQ làhìnhbìnhhành.Từđósuyrabađoạnthẳng MN, PQ, RS cắtnhautạitrungđiểmG củamỗiđoạn. Lờigiải.1. HAIĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG. 351 Vì MP làđườngtrungbìnhcủa4ABC nên 8 < : MPÒAC MPÆ 1 2 AC. (1) Vì NQ làđườngtrungbìnhcủa4ACD nên 8 < : NQÒAC NQÆ 1 2 AC. (2) Từ (1)và (2)suyra ( MPÒNQ MPÆNQ. Do đó, MPNQ là hình bình hành. Suy ra MN, PQ cắt nhau tại trung điểm G củamỗiđoạn. Chứng minh tương tự ta được PSQR là hình bình hành nên PQ, RS cắt nhautạitrungđiểmG củamỗiđoạn. Vậy MN, PQ, RS cắtnhautạitrungđiểmG củamỗiđoạn. A G D B R C S N P Q M ä Nhậnxét. ĐiểmG nóitrênđượcgọilàtrọngtâmcủatứdiện. Trọngtâmcủatứdiệnlàđiểmđồng quicủacácđoạnnốitrungđiểmcủacáccạnhđối,nócũnglà trungđiểmcủa cáccạnhnày. 2 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.Chứngminh MNÒAD và MNÒBC; 1 MOÒSC và NOÒSB. 2 Lờigiải. 1 Xéttamgiác SAD có M làtrungđiểmcủa SA (giảthiết); N làtrungđiểmcủa SD (giảthiết). Suy ra MN là đường trung bình của 4SAD. Do đó MNÒAD. Ta có ( MNÒAD (chứngminhtrên) BCÒAD (ABCD làhìnhbìnhhành) ) MNÒ BC. 2 Xéttamgiác ASC có S O A D N M B C M làtrungđiểmcủa SA (giảthiết); O làtrungđiểmcủa AC (O làtâmcủahìnhbìnhhành ABCD). SuyraOM làđườngtrungbìnhcủa4SAC.Dođó MOÒSC. Tươngtự, NO làđườngtrungbìnhcủa4SDB nên NOÒSB. ä BÀI 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.Gọi I, J,G lầnlượtlàtrọngtâmcủacáctamgiác SAB, SAD và AOD.Chứngminh IJÒMN; 1 IJÒBD vàGJÒSO. 2 Lờigiải.352 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 1 Xéttamgiác SMN có SIÆ 2 3 SM (I làtrọngtâmcủa4SAB); SJÆ 2 3 SN (J làtrọngtâmcủa4SAD). suyra IJÒMN (địnhlýTa-létđảo). 2 Vì MN làđườngtrungbìnhcủa4ABD nên MNÒBD. Mà IJÒMN (chứngminhtrên)nên IJÒBD. Xéttamgiác SON có NGÆ 1 3 NO (G làtrọngtâmcủa4AOD); NJÆ 1 3 SN (J làtrọngtâmcủa4SAD). suyraGJÒSO (địnhlýTa-létđảo). S N B A M I J C G D O ä 3 BÀITẬPRÈNLUYỆN BÀI 3. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO và I làmộtđiểmtrêncạnh SO. Tìmgiaođiểm E và F củamặtphẳng (ICD)lầnlượtvớicácđường SA, SB.Chứngminh EFÒAB; 1 Gọi K làgiaođiểmcủa DE và CF.Chứngminh SKÒBC. 2 Lờigiải. 1 Vì I2SO mà SO½ (SBD) nên I2 (SBD). Do đó FÆDI\SB và EÆCI\SA. Tacó (CDI)\(ABCD)ÆCD; (SAB)\(ABCD)ÆAB; (CDI)\(SAB)ÆEF. Mà AB Ò CD (ABCD là hình bình hành) nên EFÒ ABÒCD (tính chất giao tuyến của ba mặt phẳng). S E O B K F C D I A 2 Cách1.Tacó ( K2ED½ (SAD) K2FE½ (SBC) )K làđiểmchungthứnhấtcủahaimặtphẳng (SAD)và (SBC). ( S2 (SAD) S2 (SBC) )S làđiểmchungthứhaicủahaimặtphẳng (SAD)và (SBC). Suyra SK làgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAD)và (SBC). Tacó 8 > > > > < > > > > : (SAD)\(ABCD)ÆAD (SBC)\(ABCD)ÆBC (SAD)\(SBC)ÆSK ADÒBC )SKÒBCÒAD. Vậy SKÒBC. Cách2.Trong4SCD có EFÒCD nêntheođịnhlýTa-léttacó KF KC Æ EF CD . (1) Tươngtự,trong4SAB có EFÒAB nên SF SB Æ EF AB Æ EF CD (ABÆCD). (2)1. HAIĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG. 353 Từ(1)và(2)suyra KF KC Æ SF SB , KF FC Æ SF FB . Xét4FSK và4FBC có KF FC Æ SF FB (chứngminhtrên); ƒ SFKÆ  BFC (đốiđỉnh). Dođó4FSKv4FBC (cạnh-góc-cạnh)suyra SKÒBC. ä BÀI 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứngminh EFÒCD. 1 Tìm IÆAF\(SCD). 2 Chứngminh SIÒABÒCD. 3 Lờigiải. S F A B C D E I 1 Tacó EF làđườngtrungbìnhcủatamgiác SAB nên EFÒAB mà ABÒCD (haiđáycủahìnhthang) nên EFÒCD. 2 Haimặtphẳng (SAB)và (SCD)có ABÒCD nêngiaotuyếnlàđườngthẳng SxÒABÒCD. Kéodài AF cắt Sxtại I. Tathấy I làđiểmchungcủa AF và (SCD). 3 Theoý 2 . ä {DẠNG1.2.Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳngchứahaiđườngthẳngsongsong. Phươngphápgiải: 8 > < > : A2 (®)\(¯) a½ (®), b½ (¯) aÒb ) (®)\(¯)ÆAxvới AxÒaÒb. 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA. Điểm E, F lần lượtlàtrungđiểmcủa AB và BC. Tìm (SAB)\(SCD). 1 Tìm (MBC)\(SAD). 2 Tìm (MEF)\(SAC). 3 Tìm AD\(MEF). 4 Tìm SD\(MEF). 5 Tìmthiếtdiệncủahìnhchópcắtbởi (MEF). 6354 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Lờigiải. 1 8 > < > : S2 (SAB)\(SCD) AB½ (SAB), CD½ (SCD) ABÒCD ) (SAB)\(SCD)ÆSxvới SxÒABÒCD. 2 8 > < > : M2 (MBC)\(SAD) BC½ (MBC), AD½ (SAD) BCÒAD ) (MBC)\(SAD)ÆMyvới MyÒBCÒAD. 3 8 > < > : M2 (MEF)\(SAC) EF½ (MEF), AC½ (SAC) EFÒAC ) (MEF)\(SAC)ÆMz với MzÒEFÒAC. 4 Trong (ABCD),gọi IÆEF\AD. Mà EF½ (MEF)nên AD\(MEF)ÆI. 5 Trong (SAD),gọi NÆSD\IM. Mà IM½ (MEF)nên SD\(MEF)ÆN. 6 Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MEF) là ngũ giác MNKFE. S x y D K I A M N z B C F E ä VÍ DỤ 2. Chohìnhchóp S.ABCD.Mặtđáylàhìnhthangcócạnhđáylớn AD, AB cắt CD tạiđiểm K.Gọi M làđiểmnằmtrêncạnh SD. 1 Tìm dÆ (SAD)\(SBC)và NÆKM\(SBC). 2 Chứngminhrằng AM, BN và d đồngqui. Lờigiải. 1 ² 8 > < > : S2 (SAD)\(SBC) AD½ (SAD), BC½ (SBC) ADÒBC ) (SAD)\(SBC)Æd với S2d, dÒADÒBC. ²Trong (SCD),gọi NÆKM\SC. Mà SC½ (SBC)nên NÆKM\(SBC). 2 8 > < > : (SBC)\(SAD)Æd (SBC)\(MAB)ÆBN (MAB)\(SAD)ÆAM Theođịnhlívềgiaotuyếncủa 3mặtphẳng,suyra AM,BN và d hoặcđồngquihoặcđôimộtsongsong. Mà AM, d cắtnhaunên AM, BN và d phảiđồngqui. S d E M D N A K C B ä 2 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Gọi P làmộtđiểmtrêncạnh BC.Tìmgiaotuyếncủa (SBC)và (SAD); 1 (SAB)và (SCD); 2 (MNP)và (ABCD). 3 Lờigiải.1. HAIĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG. 355 1 Tacó (SBC)\(ABCD)ÆBC; (SAD)\(ABCD)ÆAD; ADÒBC (ABCD làhìnhbìnhhành). Mà S là điểm chung của 2 mặt phẳng (SBC) và (SAD) nên giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đườngthẳng SxÒBCÒAD. x S O y Q M B P N C D A 2 Giaotuyếncủahaimặtphẳng (SAB)và (SCD)làđườngthẳng SyÒABÒCD. 3 Vì MNÒAB (MN là đường trung bình của4SAB) nên qua P kẻ PQÒAB (Q2AD). Khi đó giao tuyến của hai mặtphẳng (MNP)và (ABCD)làđườngthẳng PQ. ä BÀI 2. Chotứdiện SABC.Gọi E và F lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh SB và AB,G làmộtđiểmtrêncạnh AC. Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsau (SAC)và (EFC); 1 (SAC)và (EFG). 2 Lờigiải. 1 Tacó (SAC)\(SAB)ÆSA; (EFC)\(SAB)ÆEF; SAÒEF (EF làđườngtrungbìnhcủa4SAB). Do đó giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (EFC) sẽ song songvới SA và EF. Mà C là điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (EFC) nên giaotuyếncủachúnglàđườngthẳng CxÒSAÒEF. 2 Vì EFÒSA (EF làđườngtrungbìnhcủa4SAB)nênqua G kẻ GHÒSA (H2SC). Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC)và (EFG)làđườngthẳngGH. S B A C x H E F G ä BÀI 3. Chohìnhchóp S.ABCD có O làtâmcủahìnhbìnhhành ABCD,điểm M thuộccạnh SA saocho SMÆ 2MA, N làtrungđiểmcủa AD. 1 Tìmgiaotuyếncủamặtphẳng (SAD)và (MBC). 2 Tìmgiaođiểm I của SB và (CMN),giaođiểm J của SA và (ICD). 3 Chứngminhbađườngthẳng ID, JC, SO đồngquytại E.Tínhtỉsố SE SO . Lờigiải.356 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. S F N t J M E A I B C O D P 1 Vì 8 > < > : M2 (MBC)\(SAD) BC½ (MBC)và AD½ (SAD) BCÒAD nên (SAD)\(MBC)ÆMPÒBCÒAD (với P2SD). 2 Vì 8 > < > : S2 (SAD)\(SBC) AD½ (SAD)và BC½ (SBC) ADÒBC nên (SAD)\(SBC)ÆStÒADÒBC. Gọi FÆMN\St; IÆCF\SB. Vì ( I2SB I2CF½ (CMN) nên IÆSB\(CMN). Qua I kẻđườngthẳngsongsongvới AB cắt SA tại J. Vì ( J2SA J2JI½ (ICD)(vì IJÒCD) (IJCD)´ (ICD)) nên JÆSA\(ICD). 3 Xét 3mặtphẳng (SAC), (SBD)và (CDJI),tacó 8 > < > : SOÆ (SAC)\(SBD) IDÆ (SBD)\(CDJI) JCÆ (SAC)\(CDJI). Dođóbađườngthẳng ID, JC, SO đồngquy.Gọiđiểmđồngquylà E. Trongmặtphẳng (SFAD),ápdụngđịnhlýThales(đểýrằng ANÒSF)tacó MA MS Æ AN SF Æ 1 2 . Suyra SFÆADÆBC và SFBC làhìnhbìnhhành. IÆSB\CF nên I làtrungđiểmcủa SB. 4SBD có DI và SO làtrungtuyếnnên E làtrọngtâmcủa4SBD. Vậy SE SO Æ 2 3 . ä BÀI 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và ADÆ 2BC. Gọi M, N, P lần lượt thuộccácđoạn SA, AD, BC saocho MAÆ 2MS, NAÆ 2ND, PCÆ 2PB. 1 Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsau: (SAD)và (SBC), (SAC)và (SBD). 2 XácđịnhgiaođiểmQ của SB với (MNP). 3 Gọi K làtrungđiểmcủa SD.Chứngminh CKÆ (MQK)\(SCD). Lờigiải.1. HAIĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG. 357 S N K t F´F 0 A C P E D Q K 0 B M O 1 Vì 8 > < > : S2 (SAD)\(SBC) AD½ (SAD)và BC½ (SBC) ADÒBC nên (SAD)\(SBC)ÆStÒADÒBC. GọiOÆAC\BD) ( O2AC½ (SAC) O2BD½ (SBD) suyra SOÆ (SAC)\(SBD). 2 Gọi EÆNP\AB vàQÆEM\SB.Vì ( Q2SB Q2ME½ (MNP) nênQÆSB\(MNP). 3 Gọi FÆMK\St và F 0 ÆQC\St. Dựa vào các vị trí các điểm Q, C, M và K của giả thiết cho, dễ thấy F và F 0 cùngnằmvềmộtphíasovớimặtphẳng (SAB). Trongmặtphẳng (SF 0 BC),ápdụngđịnhlýThales(đểýrằng SF 0 ÒBC)tacó QS QB Æ BC SF 0 Æ 1 2 . (1) Gọi K 0 làtrungđiểmcủa SA.suyra MK 0 MS Æ 1 2 . Trongmặtphẳng (SFAD),ápdụngđịnhlýThales(đểýrằng SFÒKK 0 )tacó MK 0 MS Æ KK 0 SF Æ 1 2 . (2) Từ(1),(2)và ADÆ 2BC suyra SFÆSF 0 .Dođó F´F 0 ,suyrabốnđiểmQ, C, M và K đồngphẳng. Vậy CKÆ (MQK)\(SCD). ä 3 BÀITẬPRÈNLUYỆN BÀI 5. Chotứdiện ABCD.GọiG, J lầnlượtlàtrọngtâmtamgiác BCD và ACD. ChứngminhGJÒAB. 1 Tìm (ABD)\(GJD). 2 Lờigiải.358 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. A C M G B D x J 1 Gọi M làtrungđiểm CD. Xéttamgiác ABM có MG MB Æ MJ MA Æ 1 3 SuyraGJÒAB. 2 Haimặtphẳng (ABD)và (GJD)cóđiểm D chungvàGJÒAB nêngiaotuyếnlàđườngthẳng DxÒGJÒAB. ä BÀI 6. Chotứdiện ABCD.Gọi I, J lầnlượtlàtrọngtâm4ABC,4ABD và E, F lầnlượtlàtrungđiểm BC, AC. Chứngminh IJÒCD. 1 Tìm (DEF)\(ABD). 2 Lờigiải. A C B I D J x E M F 1 Gọi M làtrungđiểm BD. Tamgiác AEM có AI AE Æ AJ AM Æ 1 3 nên IJÒME. Mà MEÒCD (đườngtrungbình) Suyra IJÒCD. 2 Haimặtphẳng (DEF)và (ABD)cóđiểmchung D và EFÒAB nêngiaotuyếnlàđườngthẳng DxÒABÒEF. ä BÀI 7. ChohìnhchópSABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi M làtrungđiểmcủaSCvà N làtrọngtâmtam giác ABC. Tìm IÆSD\(AMN). 1 Chứngminh NIÒSB. 2 Tìm (AMN)\(SAD). 3 Lờigiải.1. HAIĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG. 359 S B C N O D M I A E 1 GọiO làgiaođiểm AC và BD, E làgiaođiểm SO và AM. Khiđó NE và SD cắtnhautại I. Tathấy I2SD và I2NE½ (AMN)nên IÆSD\(AMN). 2 Tamgiác SOB có OE OS Æ ON OB Æ 1 3 nên NEÒSB. Suyra NIÒSB. 3 Haimặtphẳng (AMN)và (SAD)cóhaiđiểmchung A, I nên (AMN)\(SAD)ÆAI. ä BÀI 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang (ABÒCD) với CDÆ 2AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD, K làtrungđiểm SC,G làtrọngtâmtamgiác SCD. ChứngminhOGÒBK. 1 Tìm (ACG)\(SBC). 2 Lờigiải. O S G C B A K D x 1 Tacó4OCDv4OAB do ƒ CODÆ ƒ AOB và ƒ ODCÆ ƒ OBA. Suyra OD OB Æ OC OA Æ CD AB Æ 2. SuyraODÆ 2 3 DB. Tamgiác DBK có DG DK Æ DO DB Æ 2 3 nênOGÒBK. 2 Haimặtphẳng (SBC)và (ACG)cóđiểm C chungvàOGÒBK nêngiaotuyếnlàđườngthẳng CxÒOGÒBK. ä BÀI 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm E trêncạnh SC saocho ECÆ 2ES.360 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAB)và (SCD) 2 Tìm giao điểm M của đường thẳng AE và mặt phẳng (SBD). Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng SO. Lờigiải. 1 Vì 8 > < > : S2 (SAB)\(SCD) AB½ (SAB)và CD½ (SCD) ABÒCD nên (SAB)\(SCD)ÆStÒABÒCD. 2 Gọi MÆAE\SO. Vì ( M2AE M2SO\(SBD) nên MÆAE\(SBD). Gọi I làtrungđiểm SC,suyra EI ES Æ 1 2 . Gọi FÆOI\AE. Trong mặt phẳng (SAC), áp dụng địnhlýThales(đểýrằngOIÒSA) FI SA Æ EI ES Æ 1 2 . S t F A B C O D M E I Suyra FIÆOIÆ SA 2 ,từđódẫnđến SFOA làhìnhbìnhhành.Vậy M làtrungđiểmcủa SO. ä BÀI 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SD, CD, BC. 1 Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳngsau: (SAC)và (SBC), (AMN)và (SBC). 2 Tìmgiaođiểm I của (PMN)và AC, K của (PMN)và SA. 3 Gọi F làtrungđiểmcủa PM,chứngminhbađiểm K, F, I thẳnghàng. Lờigiải. S A M t B C P E I N D K F 1 Dễthấy SCÆ (SAC)\(SBC). Gọi EÆBC\AN Tacó 8 > < > : E2 (SBC)\(AMN) SC½ (SBC)và MN½ (AMN) SCÒMN suyra (SBC)\(AMN)ÆEtÒSCÒMN.2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 361 2 Gọi IÆAC\PN) ( I2AC I2PN½ (PMN) )IÆAC\(PMN). Gọi K làgiaođiểmcủa SA vớiđườngthẳngđiqua I vàsongsongvới SC. Vì ( K2SA K2IK½ (PMN)(vì MNÒSC) nên KÆSA\(PMN). 3 Theocáchdựngtacó IKÒMN. (1) ABCD làhìnhbìnhhànhnên AC và BD cắtnhautạitrungđiểmmỗiđường.Mà PN làđườngtrungbìnhcủa 4CBD nên AC cũngcắt PN tại I làtrungđiểmcủa PN. Suyra IF làđườngtrungbìnhcủa4PMN)IFÒMN. (2) (1)và(2)suyra K, F, I thẳnghàng. ä BÀI2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG A TÓMTẮTLÝTHUYẾT 1 Vịtrítươngđốicủahaiđườngthẳngphânbiệt Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Có ba trường hợpxảyra: Đườngthẳng d và (P)có 2điểmchungphânbiệt)d½ (P). Đườngthẳng d và (P)có 1điểmchungduynhất)d\(P)ÆA. Đườngthẳng d và (P)khôngcóđiểmchungnào)dÒ (P). Định nghĩa 1. Đườngthẳngdvàmặtphẳng (P)gọilàsongsongvớinhaunếuchúngkhôngcóđiểmchung. 2 Cácđịnhlý Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (®) và d song song với đường thẳng d 0 nằm trong (®)thì d songsongvới (®). Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (®). Nếu mặt phẳng (¯) chứa a và cắt (®) theo giao tuyến b thì b songsongvới (®). Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đương thẳng thì giao tuyến củachúng(nếucó)cũngsongsongvớiđườngthẳngđó. Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song songvớiđườngthẳngkia. B DẠNGTOÁNVÀBÀITẬP {DẠNG2.1.Chứngminhdườngthẳngasongsongvớimặtphẳng(P) Phươngpháp:Chứngminh 8 > < > : aÒb b½ (P) aÝ (P) )aÒ (P). 1 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M vàN lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN songsongvớicácmặtphẳng (ABC)và (ABD). Lờigiải.362 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Gọi P,Q lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC và CD. Khiđó,tacó QM MA Æ QN NB Æ 1 3 )MNÒAB. Vì 8 > < > : MN6½ (ABC) AB½ (ABC) MNÒAB nên MNÒ (ABC). Tươngtự,tacó 8 > < > : MN6½ (ABD) AB½ (ABD) MNÒAB nên MNÒ (ABD). A B P N D M C Q ä VÍ DỤ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứngminh MN songsongvớicácmặtphẳng (SBC)và (SAD). 1 Gọi E làtrungđiểmcủa SA.Chứngminh SB và SC đềusongsongvớimặtphẳng (MNE). 2 Lờigiải. Từgiảthiết,tasuyra MNÒBC và MNÒAD. Vì 8 > < > : MN6½ (SBC) BC½ (SBC) MNÒBC nên MNÒ (SBC). Tươngtự,tacó 8 > < > : MN6½ (SAD) AD½ (SAD) MNÒAD nên MNÒ (SAD). 1 Từgiảthiết,tacó AE AS Æ AM AB Æ 1 2 )MEÒSB. Vì 8 > < > : SB6½ (MNE) ME½ (MNE) MEÒSB nên SBÒ (MNE). Tươngtự,gọiO làtâmcủahìnhbìnhhành. Khiđó AO AC Æ AE AS Æ 1 2 )EOÒSC. Vì 8 > < > : SC6½ (MNE) EO½ (MNE) EOÒSC nên SCÒ (MNE). 2 S O C D N E A B M ä {DẠNG2.2.Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng Phươngpháp:Ápdụngmộttronghaicáchsau Cách1: 8 > < > : aÒ (P) a½ (Q) M2 (P)\(Q) ) (P)\(Q)ÆMxÒa. 1 Cách2: 8 > < > : aÒ (P) aÒ (Q) M2 (P)\(Q) ) (P)\(Q)ÆMxÒa. 22. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 363 VÍ DỤ 1. Chotứdiện ABCD cóG làtrọngtâm4ABC, M2CD với MCÆ 2MD. Chứngminh MGÒ (ABD). 1 Tìm (ABD)\(BGM). 2 Tìm (ABD)\(AGM). 3 Lờigiải. Gọi N làtrungđiểmcủa AB.TrongtamgiácCDN,tacó CM CD Æ CG CN Æ 2 3 )GMÒND.Vì ND½ (ABD),GM6½ (ABD)nênGMÒ (ABD). 1 Vì ( GMÒ (ABD) B2 (ABD)\(BGM) ) (ABD)\(BGM)ÆBxÒGMÒND. 2 Vì ( GMÒ (ABD) A2 (ABD)\(AGM) ) (ABD)\(BGM)ÆAyÒGMÒND. 3 A y D M x B N G C ä {DẠNG2.3.Tìmthiếtdiệnsongsongvớimộtđườngthẳng Phươngpháp:Đểtìmthiếtdiệncủamặtphẳngsongsongvớimặtphẳng (®)điquamộtđiểmvàsongsong với hai đường thẳng chéo nhau hoặc (®) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng sử dụng tíchchấtsau: 8 > < > : M2 (®)\(¯) dÒ (®) d½ (¯) ) (®)\(¯)ÆaÒd ,(vớiM2a). VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, AC. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với BI và SC. Xác định trên hình vẽ các giao điểm của (P) với các cạnh AC, SA, SB. Từ đó suy ra thiếtdiệncủa (P)cắthìnhchóp. Lờigiải. Vì ( (P)ÒSC M2 (P)\(SBC) ) (P)\(SBC)ÆMNÒSC, N2SB (1) Tươngtự, ( (P)ÒBI M2 (P)\(ABC) ) (P)\(ABC)ÆMHÒBI, H2AC (2) Mặtkhác, ( (P)Ò (SC) N2 (P)cap(SAC) ) (P)\(SAC)ÆHKÒSC, K2SA (3)Từ (1), (2) và (3)tacóthiếtdiệncủa (P)vớitưdiện ABCD làtứgiác MNKH. C B M I S H A K N ä 1 BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 550. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểm SA, SD. Chứngminhrằng: BCÒ (SAD). 1 ADÒ (SBC). 2 MNÒ (ABCD). 3 MNÒ (SBC). 4 MOÒ (SCD). 5 NOÒ (SBC). 6364 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Lờigiải. S A M D N B C O BCÒ (SAD) Tacó 8 > < > : BCÒAD AD½ (SAD) BC6½ (SAD) )BCÒ (SAD). 1 Tacó 8 > < > : ADÒBC BC½ (SBC) AD6½ (SBC) )ADÒ (SBC). 2 Tacó SM SA Æ SN SD Æ 1 2 )MNÒAD.Khiđó 8 > < > : MNÒAD AD½ (ABCD) MN6½ (ABCD) )MNÒ (ABCD). 3 Tacó SM SA Æ SN SD )MNÒAD,vì ADÒBC nên MNÒBC Khiđó 8 > < > : MNÒBC BC½ (SBC) MN6½ (SBC) )MNÒ (SBC). 4 Tacó AM AS Æ AO AC Æ 1 2 )MOÒSC.Vì 8 > < > : MOÒSC SC½ (SCD) MO6½ (SCD) )MOÒ (SCD). 5 Tacó DN DS Æ DO DC Æ 1 2 )NOÒSB.Vì 8 > < > : NOÒSB SB½ (SBC) NO6½ (SBC) )NOÒ (SBC). 6 ä BÀI 551. Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và E là điểm trêncạnh DC saocho DCÆ 3DE, I làtrungđiểm AD. ChứngminhOIÒ (SAB)vàOIÒ (SCD). 1 Tìmgiaođiểm P của IE và (SBC).ChứngminhGEÒ (SBC). 2 Lờigiải.2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 365 Tacó 8 > < > : OIÒAB AB½ (SAB) OI6½ (SAB) )OIÒ (SAB). Tươngtự, 8 > < > : OIÒCD CD½ (SCD) OI6½ (SCD) )OIÒ (SCD). 1 Vì DI DA Æ 1 2 6Æ 1 3 Æ DE DC nênIEkhôngsongsongvới AC.Tronghình chữnhật ABCD,gọi PÆIE\BC)PÆIE\(SBC). Gọi K làtrungđiểmcủa BC,G 0 làtrọngtâmtamgiác SBC. Khi đó SG 0 SK Æ SG SI Æ G 0 G KI Æ 2 3 ,suy ra G 0 GÒKIÒCE và )G 0 GÆ 2 3 KIÆ 2 3 CDÆCE. Do dó tứ giác G 0 GEC là hình bình hành, suy ra CG 0 ÒCE)CGÒ (SBC). 2 S A G G 0 D E B C O I K ä BÀI 552. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểm AB và CD. Chứngminh MNÒ (SBC)và MNÒ (SAD). 1 Gọi P làtrungđiểmcạnh SA.Chứngminh SBÒ (MNP)và SCÒ (MNP). 2 GọiG, I làtrọngtâmcủatamgiác ABC và SBC.ChứngminhGIÒ (MNP). 3 Lờigiải. Từ giả thiết, ta có MNÒ ADÒBC. Vì MN6½ (SBC), MN6½ (SAD) nên MNÒ (SBC)và MNÒ (SAD). 1 Tacó AP AS Æ AM AB Æ 1 2 )SBÒPM )SBÒ (MNP). Tương tự, AO AC Æ AP AS Æ 1 2 ) POÒ SC vì OP ½ (MNP) nên SCÒ (MNP). 2 3 S I G A M P D N B C O ä BÀI 553. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, với ABÆ 2CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I làtrungđiểmcủa SA, G làtrọngtâmcủatamgiác SBC và E làmộtđiểmtrêncạnh SD saocho 3SEÆ 2SD. Chứngminh: DIÒ (SBC). 1 GOÒ (SCD). 2 SBÒ (ACE). 3 Lờigiải.366 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Gọi N là trung điểm SB, khi đó INÒAB và INÆ 1 2 AB. Suy ra INÒCD, INÆDC suy ra tứ giác INCD là hình bình hành, do đó IDÒNC.Vậy IDÒ (SBC). 1 GOÒ (SCD) GọiPlàtrungđiểmcủaSC,khiđóGOÒPD,suyraGOÒ (SCD). 2 Tacó EOÒSB,suyra SBÒ (ACE). 3 S C D O A I P B E G M N ä BÀI 554. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N là trung điểm của các cạnh AB,AD. Gọi I,J thuộc SM,SN saocho SI SM Æ SJ SN Æ 2 3 .Chứngminh MNÒ (SBD). 1 IJÒ (SBD). 2 SCÒ (IJO). 3 Lờigiải. 1 Tacó M,N làtrungđiểmcủacáccạnh AB,AD. Suyra MNÒBD,mà BD½ (SBD). Nên MNÒ (SBD). 2 Tacó SI SM Æ SJ SN Æ 2 3 )IJÒMN.Hay IJÒBD. Mà BD½ (SBD).Nên IJÒ (SBD). 3 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi H là giao điểm của MN và AC. Trongmặtphẳng (SMN)gọi K làgiaođiểmcủa IJ và SH. Dễthấy H làtrungđiểmcủa AO,suyra HO HC Æ 1 3 . Lạicó IJÒMN)IKÒMH) HK SH Æ MI SM Æ 1 3 . Dođó HK HS Æ HO HC Æ 1 3 )KOÒSC. Mà KO½ (IJO))SCÒ (IJO). S K A B M I D J C N H O ä BÀI 555. Chotứdiện ABCD,G làtrọngtâmcủatamgiác ABD và I làđiểmtrêncạnh BC saocho BIÆ 2IC.Chứng minh IGÒ (ACD). Lờigiải. Gọi H làtrungđiểmcủaBD.Trongmặtphẳng (BCD),gọi K là giaođiểmcủa HI và CD. Theo định lý Menelaus có BH HD ¢ IC BI ¢ KD KC Æ 1, 1¢ 1 2 ¢ KD KC Æ 1, KD KC Æ 2. Suy ra C là trung điểm của KD, suy ra BC là trung tuyến của 4BDK. Mà BIÆ 2IC,suyra I làtrọngtâmcủa4BDK. Suyra HI HK Æ 1 3 .LạicóG làtrọngtâmcủa4ABD) HG HK Æ 1 3 . Dođó,GIÒAK,mà AK½ (ACD))IGÒ (ACD). A D K I B H G C ä BÀI 556. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và P lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và ABC. Chứng minh rằng GPÒ (BCD),GPÒ (ABD).2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 367 Lờigiải. Gọi K,H lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC và CD.Suyra KHÒBD (1). TacóG,P lầnlượtlàtrọngtâmcủa4ACD,4ABC. Suyra AP AK Æ 2 3 , AG AH Æ 2 3 )PGÒHK (2). Từ(1)và(2),suyraGPÒBD. Mà BD½ (BCD),BD½ (ABD),suyraGPÒ (BCD),GPÒ (ABD). A C B K P D H G ä BÀI 557. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhbìnhhành,Olàgiaođiểmcủa AC vàBD, M làtrungđiểmcủa SA. 1 ChứngminhOMÒ (SCD). 2 Gọi (®)làmặtphẳngđiqua M,đồngthờisongsongvới SC và AD.Tìmthiếtdiệncủamặtphẳng (®)vớihình chóp S.ABCD. Lờigiải. 1 Tacó M,O làtrungđiểmcủa SA và AC,suyra MOÒSC. Mà SC½ (SCD))OMÒ (SCD). 2 Vì MOÒSC)O2 (®). Tacó 8 > < > : O2 (®)\(ABCD) ADÒ (®) AD½ (ABCD) ) (®)\(ABCD)ÆPQ. Với PQÒAD,O2PQ,Q2AB,P2CD. Lạicó 8 > < > : P2 (®)\(SCD) SCÒ (®) SC½ (SCD) ) (®)\(SCD)ÆPN,với PNÒSC. Có (®)\(SAD)ÆMN,(®)\(SAB)ÆMQ. NhậnthấyP,Q làtrungđiểmcủaCD và AB.Suyra N làtrungđiểm của SD. Suyra MNÒPQ.Vậythiếtdiệnlàhìnhthang MNPQ. S O C A B Q D N P M ä BÀI 558. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangđáylớn AB.Gọi M làtrungđiểmcủa CD, (®)làmặt phẳngqua M,đồngthờisongsongvới SA và BC.Tìmthiếtđiệncủa (®)vớihìnhchóp S.ABCD.Thiếtdiệnlàhình gì? Lờigiải. Tacó 8 > < > : M2 (®)\(ABCD) BCÒ (®) BC½ (ABCD) ) (®)\(ABCD)ÆMK, với MKÒBC,K2AB. Có 8 > < > : K2 (®)\(SAB) SAÒ (®) SA½ (SAB) ) (®)\(SAB)ÆKH,với KHÒSA. Lạicó 8 > < > : H2 (®)\(SBC) BCÒ (®) BC½ (SBC) ) (®)\(SBC)ÆHI,với HIÒBC. Dođó, ®\(SCD)ÆIM,mà MK,HI đềusongsongvới BC. Vậythiếtdiệncủahìnhchóplàhìnhthang MKHI. S B I M D C K A H ä BÀI 559. ChohìnhchópS.ABCD.Gọi M, N thuộccạnh AB,CD.Gọi (®)làmặtphẳngqua MN vàsongsongvớiSA. 1 Tìmthiếtdiệncủa (®)vớihìnhchóp.368 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 2 Tìmđiềukiệncủa MN đểthiếtdiệnlàhìnhthang. Lờigiải. 1 Tacó 8 > < > : M2 (®)\(SAB) SAÒ (®) SA½ (SAB) ) (®)\(SAB)ÆMP,với MPÒSA. Trongmặtphẳng (ABCD),gọi RÆMN\AC. Tacó 8 > < > : R2 (®)\(SAC) SAÒ (®) SA½ (SAC) ) (®)\(SAC)ÆRQ,với RQÒSA. Tacó (®)\(SCD)ÆQN.Vậythiếtdiệnlàtứgiác MNQP. 2 Tacó MNQP làhìnhthang) " MPÒQN (1) MNÒPQ (2) . Xét(1)tacó ( SAÒMP MPÒQN )SAÒQN. Dođó ( SAÒQN QN½ (SCD) )SAÒ (SCD)(vôlý). S D N Q M P B C R A Xét(2)tacó 8 > < > : BCÆ (ABCD)\(SBC) MN½ (ABCD) PQ½ (SBC) )MNÒBC. Ngượclại,nếu MNÒBC thì 8 > < > : PQÆ (®)\(SBC) MN½ (®) BC½ (SBC) )MNÒPQ. Vậyđểthiếtdiệnlàhìnhthangthì MNÒPQ. ä BÀI 560. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. (P) là mặt phẳngqua AM vàsongsongvới BD. 1 Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchópkhicắtbởimặtphẳng (P). 2 Gọi E,F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB,SD. Tìm tỉ số diện tích của 4SME với 4SBC và tỉ số diệntíchcủa4SMF với4SCD. 3 Gọi K là giao điểm của ME và CB, J là giao của MF và CD. Chứng minh K,A,J nằm trên đường thẳng song songvới EF vàtìmtỉsố EF KJ . Lờigiải. 1 Trong mặt phẳng (ABCD) gọi AC\BDÆO, trong mặt phẳng (SAC), gọi AM\SOÆI. Tacó 8 > < > : I2 (P)\(SBD) BDÒ (P) BD½ (SBD) ) (P)\ (SBD) Æ EF, với I 2 EF,E2SB,F2SD. Ta có (P)\ (SAB) Æ AE,(P)\ (SBC)ÆEM,(P)\(SCD)ÆMF. Vậythiếtdiệnlàtứgiác AEMF. S J K D C O B I A E F M 2 Trong4SAC,có I làtrọngtâmcủatamgiác) SI SO Æ 2 3 ) SE SB Æ SF SD Æ EF BD Æ 2 3 (1). Dođó S 4AME S 4SBC Æ 2 3 ¢ 1 2 Æ 1 3 , S 4SMF S 4SCD Æ 2 3 ¢ 1 2 Æ 1 3 .2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 369 3 Tacó ( (MEF)\(ABCD)ÆAK (MEF)\(ABCD)ÆAJ )K,A,J thẳnghàng. TheođịnhlýMenelaus,xét4SBC tacó MS MC ¢ EB ES ¢ KC KB Æ 1, 1¢ 1 2 ¢ KC KB Æ 1, KC KB Æ 2. Hay B làtrungđiểmcủa KC.Tươngtự,tacó D làtrungđiểmcủa CJ. Dođó, BD làđườngtrungbìnhcủa4KCJ) 8 < : BDÒKJ BDÆ 1 2 ¢KJ (2) . Mà BDÒEF.Vậy A,K,J nằmtrênđườngsongsongvới EF. Từ(1)và(2),suyra EF KJ Æ 2 3 ¢ 1 2 Æ 1 3 . ä BÀI 561. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh BC và AD. Xác định thiết diện của tứdiệncắtbởimặtphẳng (®)qua MN vàsongsongvới CD.Xácđịnhvịtrícủahaiđiểm M,N đểthiếtdiệnlàhình bìnhhành. Lờigiải. Tacó 8 > < > : MÆ (®)\(BCD) CDÒ (®) CD½ (BCD) ) (®)\(BCD)ÆMI,với MIÒCD. 8 > < > : NÆ (®)\(ACD) CDÒ (®) CD½ (ACD) ) (®)\(ACD)ÆNK,với NKÒCD. Tacó (®)\(ABD)ÆNI,(®)\(ABC)ÆMK. Vậythiếtdiệnlàhìnhthang MINK,(vì MIÒNK). Lạicó ( MIÒCD KNÒCD ) 8 > > < > > : MI CD Æ BM CB KN CD Æ AN AD . A C I B M K D N Đểthiếtdiện MINK làhìnhbìnhhànhkhivàchỉkhi MIÆNK, BM CD Æ AN AD . Vậy M,N lầnlượtlàhaiđiểmnằmtrên BC và AD và BM CD Æ AN AD . ä BÀI 562. Chotứdiện ABCD.Gọi I,J lầnlượtlàtrungđiểmcủa ABvà CD, M làmộtđiểmtrênđoạn IJ.Gọi (P)là mặtphẳngqua M vàsongsongvới AB và CD. 1 Tìmgiaotuyếncủamặtphẳng (P)và (ICD). 2 Xácđịnhthiếtdiệncủatứdiệnvớimặtphẳng (P).Thiếtdiệnlàhìnhgì? Lờigiải. 1 Gọi¢ 1 Æ (P)\(ICD),tacó ( M2 (P) M2IJ,IJ½ (ICD) )M2¢ 1 . 8 > < > : (P)ÒCD CD½ (ICD) (P)\(ICD)Æ¢ 1 )¢ 1 ÒCD. Vậy¢ 1 làđườngthẳngqua M vàsongsongvới CD. Gọi EÆ¢ 1 \IC,FÆ¢ 1 \TD,tađược (P)\(ICD)ÆEF. 2 Gọi¢ 2 Æ (P)\(ABD),tacó ( F2 (P) F2ID,ID½ (ABD) )F2¢ 2 . 8 > < > : (P)ÒAB AB½ (ABD) (P)\(ABD)Æ¢ 2 )¢ 2 ÒAB. Vậy¢ 2 làđườngthẳngqua F vàsongsongvới AB. GọiGÆ¢ 2 \BD,PÆ¢ 2 \AD,tađược (P)\(ICD)ÆGP. C J A M I F H G D P B E Q Gọi¢ 3 Æ (P)\(ABC),tacó ( E2 (P) E2IC,IC½ (ABC) )E2¢ 3 .370 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Tacó 8 > < > : (P)ÒAB AB½ (ABC) (P)\(ABC)Æ¢ 3 )¢ 3 ÒAB. Vậy¢ 3 làđườngthẳngqua E vàsongsongvới AB. Gọi HÆ¢ 3 \BC,QÆ¢ 3 \AC,tađược (P)\(ABC)ÆHQ. Giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (BCD), (ABD), (ACD), (ABC) lần lượt là GH,GP,PQ,QH. Do đó thiết diệncủatứdiệnvớimặtphẳng (P)làtứgiác HGPQ. Tacó 8 > < > : (P)ÒCD CD½ (ACD) (P)\(ACD)ÆPQ )PQÒCD và 8 > < > : (P)ÒCD CD½ (BCD) (P)\(BCD)ÆHG )HGÒCD. Tacó ( HGÒPQ (cùngsongsongvớiCD) HQÒPG (cùngsongsongvớiAB) )tứgiác HGPQ làhìnhbìnhhành. ä BÀI 563. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâm O.Gọi K và J lầnlượtlàtrọngtâmcủacác tamgiác ABC và SBC. 1 Chứngminh KJÒ (SAB). 2 Gọi (P)làmặtphẳngchứa KJ vàsongsongvới AD.Tìmthiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng (P). Lờigiải. 1 Gọi H là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm ta có HK HA Æ HJ HS Æ 1 3 )KJÒSA (Định lý Ta-lét đảo). Ta có 8 > < > : KJÒSA SA½ (SAB) KJ6½ (SAB) )KJÒ (SAB). 2 Gọi¢ 1 Æ (P)\(ABCD),tacó ( K2KJ,KJ½ (P) K2 (ABCD) )K2¢ 1 . 8 > < > : (P)ÒAD AD½ (ABCD) (P)\(ABCD)Æ¢ 1 )¢ 1 ÒAD. Vậy¢ 1 làđườngthẳngqua K vàsongsongvới AD. Gọi EÆ¢ 1 \AB,FÆ¢ 1 \CD,tađược (P)\(ABCD)ÆEF. A M E B H C D N F S O J K Gọi¢ 2 Æ (P)\(SBC),tacó ( J2KJ,KJ½ (P) J2 (SBC) )K2¢ 2 . Và 8 > < > : (P)ÒADÒBC BC½ (ABCD) (P)\(ABCD)Æ¢ 2 )¢ 2 ÒBC. Vậy¢ 2 làđườngthẳngqua J vàsongsongvới BC. Gọi MÆ¢ 2 \SB,NÆ¢ 1 \SD,tađược (P)\(SBC)ÆMN. Ta có giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (ABCD), (SCD), (SBC), (SAB) lần lượt là EF,FN,NM,NE, do đó thiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng (P)làtứgiác MNFE. ä2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 371 BÀI 564. Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G 1 G 2 Ò (ABC)vàG 1 G 2 Ò (ABD). Lờigiải. Xéttamgiác ABM tacó MG 2 MB Æ 1 3 (G 2 làtrọngtâm4BCD). MG 1 MA Æ 1 3 (G 1 làtrọngtâm4ACD). Suyra MG 2 MB Æ MG 1 MA )G 1 G 2 ÒAB (ĐịnhlýTa-létđảo). Tacó 8 > < > : G 1 G 2 ÒAB AB½ (ABC) G 1 G 2 6½ (ABC) )G 1 G 2 Ò (ABC). Tacó 8 > < > : G 1 G 2 ÒAB AB½ (ABD) G 1 G 2 6½ (ABD) )G 1 G 2 Ò (ABD). A B G 1 D C G 2 M ä BÀI 565. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của4SAB,I là trung điểm AB,lấyđiểm M trongđoạn AD saocho ADÆ 3AM. 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAD)và (SBC). 2 Đườngthẳngqua M vàsongsongvới AB cắt CI tại N.Chứngminh NGÒ (SCD). 3 Chứngminh MGÒ (SCD). Lờigiải. 1 Gọi¢Æ (SAD)\(SBC),tacó S2¢. Tacó 8 > > > > < > > > > : ADÒBC AD½ (SAD) BC½ (SBC) (SAD)\(SBC)Æ¢ )¢ÒAD. Vậy¢làđườngthẳngqua S vàsongsongvới AD. 2 Hình thang AICD có MN Ò AI ÒCD nên IN IC Æ AM AD Æ 1 3 (ĐịnhlíTa-lét). 4SAB cóG làtrọngtâmnên IG IS Æ 1 3 . 4ISC có IN IC Æ IG IS Æ 1 3 )NGÒSC (ĐịnhlýTa-létđảo). A I B N C D E S G M ¢ Tacó 8 > < > : NGÒSC SC½ (SCD) NG6½ (SCD) )NGÒ (SCD). 3 Gọi E làgiaođiểmcủa IM và CD.Vì AIÒDE nêntacó IM ME Æ AM MD Æ 1 2 (ĐịnhlýTa-lét). Xét4ASE có IG GS Æ IM ME Æ 1 2 )GMÒSE. Tacó 8 > < > : MGÒSE SE½ (SCD) MG6½ (SCD) )MGÒ (SCD). ä BÀI 566. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangvớiđáylớn AD và ADÆ 2BC.Gọi O làgiaođiểmcủa AC và BD,G làtrọngtâmcủatamgiác SCD. 1 ChứngminhOGÒ (SBC). 2 Cho M làtrungđiểmcủa SD.Chứngminh CMÒ (SAB). 3 Gọi I làđiểmtrêncạnh SC saocho 2SCÆ 3SI.Chứngminh SAÒ (BDI).372 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Lờigiải. 1 GọiNlàtrungđiểmSC,vìGlàtrọngtâm4SCDnên NG GD Æ 1 2 . Tacó BCÒAD) BO OD Æ CO AO Æ BC AD Æ 1 2 (ĐịnhlíTa-lét). 4BND có NG GD Æ BO OD Æ 1 2 )OGÒBN (ĐịnhlíTa-létđảo). Tacó 8 > < > : OGÒBN BN½ (SBC) OG6½ (SBC) )OGÒ (SBC). 2 Gọi E làtrungđiểmcủa SA,theotínhchấtđườngtrungbình tacó MEÒAD và MEÆ 1 2 AD. 8 < : MEÆBCÆ 1 2 AD MEÒBC (ÒAD) )Tứgiác MEBC làhìnhbìnhhành. B C D M N A I E S G O Suyra CMÒBE. Tacó 8 > < > : CMÒBE BE½ (SAB) CM6½ (SAB) )CMÒ (SAB). 3 Tacó 2SCÆ 3SI, 2SIÅ2ICÆ 3SI,SIÆ 2IC. Xét4SAC có CI IS Æ CO OA Æ 1 2 )OIÒSA (ĐịnhlíTa-létđảo). Tacó 8 > < > : SAÒBI BI½ (BDI) AB6½ (BDI) )ABÒ (BDI). ä BÀI 567. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD,SB. 1 Chứngminh BDÒ (MNP). 2 Tìmgiaođiểmcủa (MNP)với BC. 3 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (MNP)và (SBD). 4 Tìmthiếtdiệncủahìnhchópvới (MNP). Lờigiải. A P H B C D Q S N M K 1 4ABD có MN làđườngtrungbìnhnên MNÒBD và MNÆ 1 2 BD. Tacó 8 > < > : BDÒMN MN½ (MNP) BD6½ (MNP) )BDÒ (MNP).2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 373 2 Trong (ABCD),dựng HÆMN\BC,tacó ( H2BC H2MN,MN½ (MNP) )HÆ (MNP)\BC. 3 Gọi¢Æ (MNP)\(SBD),tacó ( P2 (SBD) P2 (MNP) )P2¢. Tacó 8 > < > : MNÒBD MN½ (MNP), (BD)½ (SBD) (MNP)\(SBD)Æ¢ )¢ÒMN. Vậy¢làđườngthẳngqua P vàsongsongvới MN. GọiQÆ¢\SD,tađược (MNP)\(SBD)ÆPQ. 4 Trong (SBC),dựngKÆHP\SC.Giaotuyếncủa (MNP)vớicácmặtphẳng (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) lầnlượtlà MN,PM,PK,KQ,QN.Vậythiếtdiệncủahìnhchópvới (MNP)làngũgiác PMNQK. ä BÀI 568. Chotứdiện ABCD.Gọi M làđiểmthuộc BC saocho MCÆ 2MB.Gọi N,P lầnlượttrungđiểmcủa BD và AD. 1 Chứngminh NPÒ (ABC). 2 TìmgiaođiểmQ của AC với (MNP)vàtính QA QC .Suyrathiếtdiệncủahìnhchópbịcắtbởi (MNP). 3 Chứngminh MGÒ (ABD),vớiG làtrọngtâmcủatamgiác ACD. Lờigiải. 1 4ABD có NP là đường trung bình nên NP Ò AB và NP Æ 1 2 AB. Tacó 8 > < > : NPÒAB AB½ (ABC) NP6½ (ABC) )NPÒ (ABC). 2 Gọi¢Æ (MNP)\(ABC),tacó ( M2 (SBD) M2BC,BC½ (ABC) )M2¢. 8 > < > : NPÒ (ABC) NP½ (MNP) (MNP)\(ABC)Æ¢ )¢ÒAB. Vậy¢làđườngthẳngqua M vàsongsongvới AB. Trong (ABC)dựngQÆ¢\AC,tacó ( Q2AC Q2¢,¢½ (MNP) )QÆAC\(MNP). A G B M Q D P C N Tacó MCÆ 2MB,MCÅMBÆ 3MB,BCÆ 3MB, MB BC Æ 1 3 . Xét4ABC cóQMÒAB) QA QC Æ BM BC Æ 1 3 . Tacógiaotuyếncủa (MNP)vớicácmặtphẳng (ABC), (ACD), (ABD), (BCD)lầnlượtlàQM,QP,PN,MN.Vậy thiếtdiệncùahìnhchópbịcắtbởi (MNP)làtứgiác MNPQ. 3 VìG làtrọngtâm4ACD nên PG PC Æ 1 3 . Xét4BCP có PG PC Æ BM BC Æ 1 3 )MGÒBP (ĐịnhlíTa-létđảo). Tacó 8 > < > : MGÒBP BP½ (ABD) MG6½ (ABD) )MGÒ (ABD). ä374 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. BÀI 569. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành. 1 Tìmgiaotuyếncủa (SAC)và (SBD); (SAB)và (SCD). 2 Một mặt phẳng qua BC và song song với AD cắt SA tại E, (E6ÆS,E6ÆA), cắt SD tại F, (F6ÆS,F6ÆD). Tứ giác BEFC làhìnhgì? 3 Gọi M thuộcđoạn AD saocho ADÆ 3AM và G làtrọngtâmtamgiác SAB, I làtrungđiểm AB.Đườngthẳng qua M vàsongsong AB cắt CI tại N.Chứngminh NGÒ (SCD)và MGÒ (SCD). Lờigiải. S M G F A O B E D H C N I ¢ 1 Tacó S2 (SAC)\(SBD) Trong (ABCD),dựngOÆAC\BD,tacó ( O2AC,AC½ (SAC) O2BD,BD½ (SBD) )O2 (SAC)\(SBD). Vậy (SAC)\(SBD)ÆSO. Gọi¢Æ (SAB)\(SCD),tacó S2¢ Tacó 8 > > > > < > > > > : ABÒCD AB½ (SAB) CD½ (SCD) (SAB)\(SCD)Æ¢ )¢ÒAB. Vậy¢làđườngthẳngqua S vàsongsongvới AB. 2 Tacó 8 > > > > < > > > > : BCÒAD BC½ (BCFE) AD½ (SAD) (BCFE)\(SAD)ÆEF )EFÒADÒBC. Vậytứgiác BCFE làhìnhthang. 3 Xéthìnhthang AICD có MNÒAI) AM AD Æ IN IC Æ 1 3 (ĐịnhlíTa-lét). VìG làtrọngtâmtamgiác SAB nên IG IS Æ 1 3 . Xét4ISC tacó IG IS Æ IN IC Æ 1 3 )GNÒSC(ĐịnhlíTa-létđảo).2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 375 Tacó 8 > < > : GNÒSC SC½ (SCD) NG6½ (SCD) )NGÒ (SCD). Trong (ABCD),dựng HÆIM\CD.Vì AIÒDM nêntacó IM IH Æ AM AD Æ 1 3 (ĐịnhlíTa-lét). Xét4ISH tacó IG IS Æ IM IH Æ 1 3 )GMÒSH(ĐịnhlíTa-létđảo). Tacó 8 > < > : MGÒSH SH½ (SCD) MG6½ (SCD) )MGÒ (SCD). ä BÀI 570. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD. 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAC)và (SBD). 2 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAB)và (SCD). 3 Tìmgiaođiểm E của SB và (MNP). 4 Chứngminh NEÒ (SAP). Lờigiải. A C D F S B E Q M O P N 1 TacóOÆAC\BD) ( O2AC½ (SAC) O2BC½ (SBD). DođóO làđiểmchungcủahaimặtphẳng (SAC)và (SBD) mà S làđiểmchungthứhaicủahaimặtphẳng (SAC)và (SBD) nên SOÆ (SAC)\(SBD). 2 Tacó 8 > > > > < > > > > : ABÒCD AB½ (SAB) CD½ (SCD) S2 (SAB)\(SCD) ) (SAB)\(SCD)ÆSxÒAB và SxÒCD. 3 GọiQÆNP\AB)Q làđiểmchungcủa (SAB)và (MNP) mà M làđiểmchungthứhainên (SAB)\(MNP)ÆMQ. Trongmặtphẳng (SAB)gọi EÆMQ\SB. Tacó ( E2SB E2MQ½ (MNP) )EÆSB\(MNP).376 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 4 Tacó N làtrungđiểmcủa BC và BQÒCP nên BQÆCP và NQÆNP (1). Gọi F làtrungđiểmcủa AB,tacó AFÆBFÆ AB 2 Æ CD 2 ÆCPÆBQ. Tacó M, F làtrungđiểmcủa SA và AB nên MF làđườngtrungbìnhtamgiác SAB nên MFÒSB. TrongtamgiácQMF có B làtrungđiểmQF và BEÒMF nên E làtrungđiểm MQ (2). Từ (1)và (2)tacó EN làđườngtrungbìnhtamgiácQMP)ENÒMP. Mặtkhác,do MP½ (SAP)nên NEÒ (SAP). ä BÀI 571. Chotứdiện ABCD.Lấyđiểm M trêncạnh ABsaucho AMÆ 2MB.GọiG làtrọngtâm4BCD và I làtrung điểm CD, H làđiểmđốixứngcủaG qua I. 1 ChứngminhGDÒ (MCH). 2 Tìmgiaođiểm K của MG với (ACD).Tínhtỉsố GK GM . Lờigiải. 1 Tacó ICÆID và IGÆIH nênGDHC làhìnhbìnhhành. DođóGDÒCH mà CH½ (MCH)nênGDÒ (MCH). 2 Trongmp(ABI),gọi KÆAI\MG,tacó ( K2AI½ (ACD) K2MG )KÆMG\(ACD). Trongmp(ABI),kẻGEÒAB, (E2AI). Xéttamgiác ABI,cóGEÒAB,suyra GE AB Æ IG IB Æ 1 3 ) GE AM Æ 1 2 . Xéttamgiác AKM,cóGEÒAM,suyra KG KM Æ GE AM Æ 1 2 ) GK GM Æ 1. B M D K E C I G H A ä BÀI 572. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi I, K lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC và CD. 1 Tìmgiaotuyếncủa (SIK)và (SAC), (SIK)và (SBD). 2 Gọi M làtrungđiểmcủa SB.Chứngminh SDÒ (ACM). 3 Tìmgiaođiểm F của DM và (SIK).Tínhtỉsố MF MD . Lờigiải. A M C D S K x F B O I E2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 377 1 Tacó S2 (SIK)\(SAC). Trongmp(ABCD),gọi EÆIK\AC) ( E2IK½ (SIK) E2AC½ (SAC) )E2 (SIK)\(SAC). Suyra SEÆ (SIK)\(SAC). Tacó ( S2 (SIK)\(SBD) BD2 (SBD),IK2 (SIK),BDÒIK ) (SIK)\(SBD)ÆSx,(với SxÒBDÒIK). 2 Trongmp(ABCD),gọiOÆAC\BD,tacó SDÒMO.Mà MO½ (ACM),suyra SDÒ (ACM). 3 Trongmp(SBD),gọi FÆSx\DM) ( S2DM S2Sx½ (SIK) )FÆDM\(SIK). Tacó SFÒBD) MF MD Æ MS MB Æ 1. ä BÀI 573. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm4SAB, trên AD lấy điểm E saocho ADÆ 3AE.Gọi M làtrungđiểm AB. 1 Chứngminh EGÒ (SCD). 2 Đườngthẳngqua E songsong AB cắt MC tại F.ChứngminhGFÒ (SCD). 3 Gọi I làđiểmthuộccạnh CD saocho CIÆ 2ID.ChứngminhGOÒ (SAI). Lờigiải. C D K S E L H B G M A O F I N 1 Gọi H làtrọngtâmtamgiác SCD,tacóGHÒMN và GH MN Æ 2 3 . Lạicó EDÒMN và ED MN Æ ED AD Æ 2 3 . SuyraGHÒED vàGHÆED.SuyraGHDE làhìnhbìnhhành. Tacó ( EGÒDH DH½ (SCD) )EGÒ (SCD). 2 Tacó MAÒEFÒCD,suyra MF MC Æ AE AD Æ 1 3 . Xéttamgiác MSC có MF MC Æ MG MS Æ 1 3 ,suyraGFÒSC. Mà SC½ (SCD).VậyGFÒ (SCD). 3 Trongmp(ABCD),gọi KÆAI\MN.Tacó SKÆ (SMN)\(SAI). Gọi L làtrungđiểmcủa AI,tacóOL làđườngtrungbìnhcủahìnhthang AMNI,suyra OLÆ AMÅNI 2 Æ AMÅ CD 6 2 Æ AMÅ AB 6 2 Æ AMÅ AM 3 2 Æ 2AM 3 ) OL AM Æ 2 3 .378 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Xéttamgiác AKM,cóOLÒAM,suyra KO KM Æ OL AM Æ 2 3 . Xéttamgiác SMK,có SG SM Æ KO KM Æ 2 3 ,suyraGOÒSK. Mà SK½ (SAI).VậyGOÒ (SAI). ä BÀI 574. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi M làtrungđiểmcủa SC và N làtrọngtâm tamgiác ABC. 1 Chứngminh SBÒ (AMN). 2 Tìmgiaotuyến (AMN)và (SAB). 3 Tìmgiaođiểm I của SD với (AMN).Tínhtỉsố IS ID . 4 GọiQ làtrungđiểmcủa ID.ChứngminhQCÒ (AMN). Lờigiải. C D M x S I F Q A B E N O G T 1 Trongmp(ABCD),gọiOÆAC\BD. Trongmp(SAC),gọi EÆAM\SO,tacó E làtrọngtâmtamgiác SAC.Suyra OE OS Æ 1 3 . Tacó N làtrọngtâmtamgiác ABC nên ON OB Æ 1 3 . XéttamgiácOSB có OE OS Æ ON OB Æ 1 3 .Suyra NEÒSB. Mà NE½ (AMN).Vậy SBÒ (AMN). 2 Tacó ( A2 (SAB)\(AMN) SB½ (SAB),SBÒ (AMN) ) (SAB)\(AMN)ÆAx,(với AxÒSB). 3 Trongmp(SBD),gọi IÆNE\SD) ( I2NE½ (AMN) I2SD )IÆSD\(AMN). Tacó NEÒSB)NIÒSB) IS ID Æ BN ND Æ BN BD¡BN Æ 2BO 3 2BO¡ 2BO 3 Æ 1 2 . 4 Trongmp(SBD),gọi FÆNE\BQ. Trongmp(ABCD),gọiGÆAN\BC,vì N làtrọngtâmtamgiác ABC nênG làtrungđiểmcủa BC. Tacó FGÆ (AMN)\(BQC). KẻQTÒFN, (T2BD). (1)2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 379 Xéttamgiác DNI cóQTÒNI,suyra NT DN Æ IQ DI Æ 1 2 Mà BN ND Æ 1 2 nên BNÆNT,hay N làtrungđiểmcủa BT. (2) Từ(1)và(2),tacó F làtrungđiểmcủa BQ. DođóGF làđườngtrungbìnhcủatamgiác BQC.SuyraQCÒGF. MàGF½ (AMN).VậyQCÒ (AMN). ä BÀI 575. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC, CD. 1 Tìmgiaotuyếncủa (SMD)và (SAB). 2 Tìmgiaotuyếncủa (SMN)và (SBD). 3 Gọi H làđiểmtrêncạnh SA saocho HAÆ 2HS.Tìmgiaođiểm K của MH và (SBD).Tínhtỉsố KH KM . 4 GọiG làgiaođiểmcủa BN và DM.Chứngminh HGÒ (SBC). Lờigiải. A H C D S N x B K F O M E G 1 Trongmp(ABCD),gọi EÆMD\AB) ( E2MD½ (SMD) E2AB½ (SAB) )E2 (SMD)\(SAB). mà S2 (SAB)\(SMD))SEÆ (SAB)\(SMD). 2 Tacó 8 > < > : MNÒBD MN½ (SMN),BD½ (SBD) S2 (SMN)\(SBD) ) (SMN)\(SBD)ÆSxÒBDÒMN. 3 Trongmp(ABCD),gọi FÆAM\BD. Trongmp(SAM),gọi KÆMH\SF) ( K2SF½ (SBD) K2MH )KÆMH\(SBD). 4 Trongtamgiác BCD, BN và DM làhaitrungtuyếnnênG làtrọngtâm.Từđótacó GC CO Æ 2 3 ) GC AC Æ 1 3 . Mặtkhác,do HAÆ 2HS nên HS SA Æ 1 3 ) GC AC Æ HS SA )HGÒSC)HGÒ (SBC). ä BÀI 576. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và ADÆ 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD,G làtrọngtâmcủatamgiác SCD.380 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 1 ChứngminhOGÒ (SBC). 2 Gọi M làtrungđiểmcủacạnh SD.Chứngminh CMÒ (SAB). 3 Giảsửđiểm I trênđoạn SC saocho 2SCÆ 3SI.Chứngminh SAÒ (BID). 4 Xácđịnhgiaođiểm K của BG vàmặtphẳng (SAC).Tínhtỉsố KB KG . Lờigiải. A I N D S G M B P C O 1 Tacó ADÒBC) OD OB Æ AD BC Æ 2. Mặtkhác,gọi N làtrungđiểm SC.VìG làtrọngtâm4SCD nên GD GN Æ 2 ) GD GN Æ OD OB )OGÒBN)OGÒ (SBC). 2 Gọi P làtrungđiểm SA,tacóngay PM làđườngtrungbìnhcủa4SAD. Suyra PMÆ AD 2 ÆBC và PMÒADÒBC.Dođó PMCB làhìnhbìnhhành. Vậy CMÒBP)CMÒ (SAB). 3 Tacó ADÒBC) OA OC Æ 2. Mặtkhác,vì 2SCÆ 3SI nên SI IC Æ 2) SI IC Æ OA OC )OIÒSA)SAÒ (BID). 4 Trongmp(BCMP),gọi KÆBG\CP mà CP2 (SAC))KÆBG\(SAC). Talạicó CGÒBP) KB KG Æ BP CG Æ CM CG Æ 3 2 . ä BÀI 577. Chohìnhchóp S.ABC Gọi M, P, I lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB, SC, SB.Mộtmặtphẳng (®)qua MP và songsongvới AC vàcắtcáccạnh SA, BC tại N,Q. 1 Chứngminh BCÒ (IMP). 2 Xácđịnhthiếtdiệncủa (®)vớihìnhchóp.Thiếtdiệnnàylàhìnhgì? 3 Tìmgiaođiểmcủađườngthẳng CN vàmặtphẳng (SMQ). Lờigiải.2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 381 N B P C S x D A M I Q 1 Tacó IP làđườngtrungbìnhcủatamgiác SBC nên IPÒBC)BCÒ (IMP). 2 Tacó (®)cắt BC tạiQ nên (®)\(SBC)ÆPQ và (®)\(ABC)ÆMQ. Talạicó (®)cắt SA tại N nên (®)\(SAB)ÆMN và (®)\(SAC)ÆPN. Vậythiếtdiệncầntìmlàtứgiác MNPQ. Mặtkhác,do ( (®)ÒAC AC½ (ABC) ) (®)\(ABC)ÆMQÒAC)Q làtrungđiểm BC. Tươngtựtachứngminhđược NPÒAC và N làtrungđiểm SA. Lúcnày NP và MQ làđườngtrungbìnhtamgiác SAC và ABC nên NPÆMQÆ AC 2 và NPÒMQ. Suyra MNPQ làhìnhbìnhhành. 3 Tacó 8 > < > : ACÒMQ AC½ (SAC),MQ½ (SMQ) S2 (SAC)\(SMQ) ) (SAC)\(SMQ)ÆSxÒAC. Trongmp(SAC),gọi DÆCN\Sx.Tacó D2Sx½ (SMQ)và D2CN nên DÆCN\(SMQ). ä BÀI 578. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M, N là trung điểm của SC và CD. Gọi (®) là mặtphẳngqua M, N vàsongsongvớiđườngthẳng AC. 1 Tìmgiaotuyếncủa (®)với (ABCD). 2 Tìmgiaođiểmcủa SB và (®). 3 Tìmthiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng (®). Lờigiải. M D H S A B y z Q C N P K382 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 1 Tacó 8 > < > : ACÒ (®) AC½ (ABCD) N2 (®)\(ABCD) ) (®)\(ABCD)ÆNxÒAC.Gọi PÆNx\AD tacó (®)\(ABCD)ÆNP. 2 Tacó MN làđườngtrungbìnhcủatamgiác SCD nên SDÒMN)SD)SDÒ (®). Gọi KÆNP\BD,tacó 8 > < > : SDÒ (®) SD½ (SBD) K2 (®)\(SBD) ) (®)\(SBD)ÆKyÒSD.Gọi HÆKy\SB. Tacó H2Ky½ (®)và H2SB)HÆSB\(®). 3 Tacó 8 > < > : SDÒ (®) SD½ (SAD) P2 (®)\(SAD) ) (®)\(SBD)ÆPzÒSD.GọiQÆPz\SA. (®)và (SAB)có H,Q làđiểmchungnêngiaotuyếnlàQH. (®)và (SAD)có P,Q làđiểmchungnêngiaotuyếnlà PQ. (®)và (ABCD)có P, N làđiểmchungnêngiaotuyếnlà PN. (®)và (SCD)có M, N làđiểmchungnêngiaotuyếnlà MN. (®)và (SBC)có H, M làđiểmchungnêngiaotuyếnlà HM. Vậythiếtdiệncầntìmlàngũgiác MNPQH. ä BÀI 579. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangvới ABÒCD.Gọi M, N, I,lầnlượtlàtrungđiểmcủa AD, BC, SA. 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (IMN)và (SAC); (IMN)và (SAB). 2 Tìmgiaođiểmcủa SB và (IMN). 3 Tìmthiếtdiệncủamặtphẳng (IDN)vớihìnhchóp S.ABCD. Lờigiải. 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (IMN)và (SAC); (IMN)và (SAB). (a) Tìmgiaotuyếncủa (IMN)và (SAC). Tacó I2 (SAC)\(IMN). Trong (ABCD)gọi EÆAC\MN)E2 (SAC)\(IMN). Vậy IEÆ (IMN)\(SAC). (b) Tacó I2 (IMN)\(SAB)và MN làđườngtrungbìnhcủahìnhthang ABCD nên MNÒAB.Nêngiaotuyếncủa (IMN)và (SAB)làđường thẳng ađiqua I songsongvới AB. 2 Ta thấy SB½ (SAB) và aÆ (IMN)\ (SAB). Gọi JÆSB\a, vậy JÆSB\ (IMN). 3 Tathấy IJÆ (SAB)\(IDN), IDÆ (SAD)\(IDN), DNÆ (ABCD)\(IDN), NJÆ (SBC)\(IDN). Vậythiếtdiệncủa (IDN)vàhìnhchóp S.ABCD làtứgiác IJND. C D I M N E S I J A B a ä BÀI 580. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO.GọiG làtrọngtâm4SAB; N làmộtđiểm thuộcđoạn AC saocho AN AC Æ 1 3 ; I làtrungđiểmcủa AB. 1 ChứngminhOIÒ (SAD)vàGNÒSD. 2 Gọi (®) là mặt phẳng đi qua O, song song với SA và BC. Mặt phẳng (®) cắt SB, SC lần lượt tại L và K. Xác địnhthiếtdiệncắtbởimặtphẳng (®)vớihìnhchóp. Lờigiải.2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 383 1 ChứngminhOIÒ (SAD)vàGNÒSD. (a) ChứngminhOIÒ (SAD). Ta có OIÒBC (OI là đường trung bình trong4ABC) nên OIÒ AD (vì ADÒBC)mà AD½ (SAD)suyraOIÒ (SAD). (b) ChứngminhGNÒSD. Do AN AC Æ 1 3 ) AN AO Æ 2 3 suy ra N là trọng tâm4ABD. Từ đó ta có IN ID Æ 1 3 Æ IG IS )GNÒSD. 2 Xácđịnhgiaođiểm LÆSB\(®). Ta thấy (®) là (KIH) với H, K lần lượt là trung điểm CD, SC. Ta thấy SB½ (SBC), K Æ (®)\ (SBC) và IH Ò BC nên giao tuyến của (®) và (SBC) là đường thẳng d đi qua K song song với BC. Khi đó LÆd\SB suyra L làtrungđiểm SB. Tathấy (®)\(ABCD)ÆHI, (®)\(SBC)ÆKL, (®)\(SAB)ÆLI. Vậythiếtdiệncủa (®)vớihìnhchóplàhìnhthang LKHI. B C D O I H N A S L K G ä BÀI 581. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi H, K lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh SA, SB và M làđiểmthuộccạnh CD,(M khác C và D). 1 Tìmgiaotuyếncủa (KAM)và (SBC), (SBC)và (SAD). 2 Tìmthiếtdiệntạobởi (HKO)vớihìnhchóp S.ABCD.Thiếtdiệnlàhìnhgì? 3 Gọi L làtrungđiểmđoạn HK.Tìm IÆOL\(SBC).Chứngminh SIÒBC. Lờigiải. 1 Tìmgiaotuyếncủa (KAM)và (SBC), (SBC)và (SAD). Tìmgiaotuyếncủa (KAM)và (SBC). Tacó K2 (KAM)\(SBC).Trong (ABCD)gọi FÆAM\BC,nên F2 (KAM)\(SBC).Suyra KFÆ (KAM)\(SBC). Tìmgiaotuyếncủa (SBC)và (SAD). Ta thấy S2 (SBC)\ (SAD), mà BCÒ AD nên giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng d đi qua S song song với AD và BC. 2 Tìmthiếtdiệntạobởi (HKO)vớihìnhchóp S.ABCD.Thiếtdiệnlà hìnhgì? Ta thấy (HKO) và (ABCD) chứa có chung điểm O và lần lượt chứa HK và AB song song với nhau nên giao tuyến là đường thẳng a đi quaO songsongvới AB cắt AD và BC lầnlượttại E vàG.Tathấy (HKO)\(ABCD)ÆEG, (HKO)\(SAD)ÆHE, (HKO)\(SAB)ÆHK,(HKO)\(SBC)ÆKG.Vậythiếtdiệncủa (HKO) và hình chóp là hình thang HKGE do HK Ò AB mà ABÒEG nên HKÒEG. 3 Tìm IÆOL\(SBC).Chứngminh SIÒBC. Trong (HKGE)gọi IÆOL\GK màGK½ (SBC))I2OL\(SBC). Trong (SAB) gọi JÆSL\AB khi đó L là trung điểm của AB do HKÒAB. Xét (SJO)và (SBC)tathấycóSlàđiểmchungvàOJÒBCnêngiao tuyếnlàđườngthẳngđi d điqua S vàsongsongvới BC.Mặtkhác I2 (SJO)\(SBC)nên SI´d.Vậy SIÒBC. B C D F G E J S I H A M K L O d ä BÀI 582. Chotứdiện ABCD,có M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB, BC vàG làtrọngtâmcủatamgiác ACD. 1 Tìmgiaođiểm E của MG và (BCD).384 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 2 Tìm dÆ (MNG)\(BCD).Giảsử d\CDÆP.ChứngminhGPÒ (ABC). 3 Gọi (®)làmặtphẳngchứa MN vàsongsongvới AD.Tìmthiếtdiệncủa (®)vớitứdiện. Lờigiải. 1 Tìmgiaođiểm E của MG và (BCD). Ta thấy (ABF) chứa MG với F là trung điểm của DC và BFÆ (ABF)\ (BCD).Gọi EÆMG\BF)EÆMG\(BCD). 2 Tìm dÆ (MNG)\(BCD).Giảsử d\CDÆP.ChứngminhGPÒ (ABC). Ta có N2 (BCD)\ (MNG) và E2MG½ (MNG); E2BF½ (BCD). Suy ra d´NEÆ (MNG)\(BCD). Tathấy (ABC)\(EMN)ÆMN, (DAC)\(ABC)ÆAC, (EMN)\(DAC)ÆGP mà MNÒAC nênGPÒAC)GPÒ (ABC). 3 Gọi K là trung điểm của BD, do (®) chứa MN và song song với AD nên (®)điqua K.Tathấy (®)\(ABD)ÆNK, (®)\(ABC), (®)\(BCD)ÆKN. Vậythiếtdiệncủa (®)vàhìnhchóplàtamgiác MNK. B M N D E A K C F P G ä BÀI 583. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA thỏa mãn 3MAÆ 2MS. Haiđiểm E và F lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB và BC. 1 Xácđịnhgiaotuyếncủahaimặtphẳng (MEF)và (SAC). 2 Xácđịnhgiaođiểm K củamặtphẳng (MEF)vớicạnh SD.Tínhtỉsố KS KD . 3 Tìmgiaođiểm I của MF với (SBD).Tínhtỉsố IM IF . 4 Tìmthiếtdiệntạobởimặtphẳng (MEF)vớihìnhchóp S.ABCD. Lờigiải. 1 Xácđịnhgiaotuyếncủahaimặtphẳng (MEF)và (SAC). Tathấy M2 (MEF)\(SAC)vàEFÒACvớiEF½ (MEF), ACÒ (SAC) nên giao tuyến của (MEF) và (SAC) là đường thẳng d đi qua M songsongvới AC. 2 Xác định giao điểm K của mặt phẳng (MEF) với cạnh SD. Tính tỉ số KS KD . Tathấy SD½ (SBD),gọi HÆEF\BD,OÆAC\BD, LÆd\SO.Khi đó HLÆ (MEF)\(SBD),gọi KÆHL\SD)KÆSD\(MEF). Do MLÒAC nên MA MS Æ LO LS Æ 3 2 . Xét tam giác SOD trong (SBD) vì K, L, H thẳng hàng nên theo địnhlíMenelaustacó SK KD ¢ HD HO ¢ LO LS Æ 1) SK KD ¢3¢ 3 2 Æ 1) SK KD Æ 2 9 . 3 Tìmgiaođiểm I của MF với (SBD).Tínhtỉsố IM IF . Trong (MEF)gọi IÆHL\MF mà HL½ (SBD))IÆMF\(SBD). Do MLÒAC và EFÒAC nên MLÒEF.Từđótasuyra IM IF Æ ML HF Æ HL AO : HF AO Æ 2 5 : 1 2 Æ 4 5 . 4 Tìmthiếtdiệntạobởimặtphẳng (MEF)vớihìnhchóp S.ABCD. Gọi NÆML\SC.Tathấy (MEF)\(SAB)ÆEM, (MEF)\(ABCD)ÆEF, (MEF)\(SAD)ÆMK, (MEF)\ (SCD) Æ KN, (MEF)\ (SBC) Æ NF. Vậy thiết diện của (MEF)vớihìnhchóplàngũgiác EMKNF. A B C E F H O S N I D K M L ä2. ĐƯỜNGTHẲNGSONGSONGVỚIMẶTPHẲNG 385 BÀI 584. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi M, N làtrungđiểmcủa SA, SD. 1 Xácđịnhgiaođiểmcủa NC và (OMD). 2 Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchópvớimặtphẳng (P)qua MN vàsongsongvới SC. Lờigiải. 1 Xácđịnhgiaođiểmcủa NC và (OMD). Ta thấy CN ½ (SCD), OMÒ SC mà OM½ (OMD), SC½ (SCD) và O2 (OMD)\ (SCD) nên giao tuyến của (OMD) và (SCD) là đường thẳng d đi qua D và song song với OM, SC. Gọi KÆd\NC)KÆ NC\(OMD). 2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua MN và songsongvới SC. Tathấy (P)´ (OMN). Xácđịnhgiaotuyếncủa (OMN)và (SCD). Tathấy N2 (OMN)\(SCD)vàOMÒSC nêngiaotuyếncủa (OMN) và (SCD)làđườngthẳngđiqua N songsongvới SC cắtCD tại I là trungđiểm CD. Gọi JÆOI\AB.Tathấy (OMN)\(SAB)ÆJM, (OMN)\(SAD)ÆMN, (OMN)\(SCD)ÆIN, (OMN)\(ABCD).Vậy thiếtdiệncủamặtphẳng (P)vớihìnhchóplàhìnhthang MNIJ. A B C D O I J S K M N ä BÀI 585. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM vàsongsongvới BD. 1 Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchópkhicắtbởimặtphẳng (P). 2 Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác SME với diện tíchtamgiác SBC vàtỉsốdiệntíchcủatamgiác SMF vàdiệntíchtamgiác SCD. 3 Gọi K làgiaođiểmcủa ME và CB, J làgiaođiểmcủa MF và CD.Chứngminhbađiểm K, A, J nằmtrênmột đườngthẳngsongsongvới EF vàtìmtỉsố EF KJ . Lờigiải.386 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 1 Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặtphẳng (P). Trong (ABCD)qua Akẻđườngthẳngsongsong BD cắt BC và CD lần lượt tại K và J. Khi đó (P)´ (MKJ). Gọi E Æ MK\SB, F Æ CD\SD. Khi đó, ta thấy (P)\ (SAB)ÆEA, (P)\ (SBC)Æ EM, (P)\ (SCD)Æ MF, (P)\ (SAD)Æ AF. Vậy thiết diện của (P) với hình chóp là tứ giác AEMF. 2 Tính tỉ số diện tích của tam giác SME với diện tích tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF vàdiệntíchtamgiác SCD. Tacó S 4SME S 4SBC Æ SE SB ¢ SM SC Æ 2 3 ¢ 1 2 Æ 1 3 .(VìElàgiao điểmcủahaiđườngtrungtuyếnKM vàSBnên E làtrọngtâmcủatamgiác SCK.) Tươngtựtacó S 4SMF S 4SCD Æ SF SD ¢ SM SC Æ 2 3 ¢ 1 2 Æ 1 3 .(Vì F là giao điểm của hai đường trung tuyến JM và SD nên F làtrọngtâmcủatamgiác SCJ.) 3 Chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên một đườngthẳngsongsongvới EF vàtìmtỉsố EF KJ . Tacó SE SB Æ 2 3 Æ SF SD )EFÒKJ) EF KJ Æ ME MK Æ 1 3 . A B C D K S F J M E ä BÀI 586. Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm 4ABC. Gọi M, N, P, Q, R, H lần lượt là trung điểm của SA, SC, CB, BA,QN, AG. 1 Chứngminhrằng S, R,G thẳnghàngvà SGÆ 2MHÆ 4RG. 2 GọiG 0 làtrọngtâm4SBC.ChứngminhrằngGG 0 Ò (SAB)vàGG 0 Ò (SAC). Lờigiải. 1 Chứngminhrằng S, R,G thẳnghàngvà SGÆ 2MHÆ 4RG. Gọi E, F lầnlượtlàtrungđiểmcủa AC và SB khiđótacó QENF là hình bình hành (do EQÆ NFÆ 1 2 BC, EQÒBCÒ NF) nên R là trungđiểmcủa EF.Tathấy S2 (SQC)\(SEB), G2 (SQC)\(SEB), R2 (SQC)\(SEB)suyra S, R,G thẳnghàng. Vì M, H lầnlượtlàtrungđiểmcủa SA, AG nên SGÆ 2MH. Xét4SGB vì E, R, F thẳnghàngnêntheo địnhlíMenelaustacó RS RG ¢ EG EB ¢ FB FS Æ 1) RS RG ¢ 1 3 ¢1Æ 1) RS RG Æ 3)SGÆ 4RG. 2 ChứngminhrằngGG 0 Ò (SAB)vàGG 0 Ò (SAC). Xét 4SAP có PG 0 PS Æ 1 3 Æ PG PA )GG 0 ÒSA mà SA½ (SAB) và SA½ (SAC)nênsuyraGG 0 Ò (SAB),GG 0 Ò (SAC). C D E G H S F B P G 0 N Q M A R ä BÀI3. HAIMẶTPHẲNGSONGSONG A TÓMTẮTLÝTHUYẾT3. HAIMẶTPHẲNGSONGSONG 387 1 VỊTRÍTƯƠNGĐỐICỦAHAIMẶTPHẲNGPHÂNBIỆT Chođườngthẳng d vàmặtphẳng (P).Cóbatrườnghợpxảyra: P Q (P), (Q)có1điểmchung: (P)\(Q)Æa P Q (P), (Q)khôngcóđiểmchung: (P)Ò (Q) Định nghĩa 1. Haimặtphẳngđượcgọilàsongsongnếuchúngkhôngcóđiểmchung. 2 CÁCĐỊNHLÍ Định lí 1. Nếu mặt phẳng (®) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùngsongsongvớimặtphẳng (¯)thì (®)songsongvới (¯). ® M a b ¯ ! Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộcmặtphẳngnàylầnlượtsongsongvớimặtphẳngkia. Muốn chứng minh đường thẳng aÒ (Q), ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)Ò (Q). Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ mộtmặtphẳngsongsongvớimặtphẳngđãcho. ® A ¯ Hệ quả 1. Nếuđườngthẳng d songsongvớimặtphẳng (®)thìtrong (®)cómộtđườngthẳngsongsong với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (®). Do đó đường thẳng d song song với (®) ta phảichứngminh d thuộcmặtphẳng (¯)vàcó (®)Ò (¯))dÒ (®). Haimặtphẳngphânbiệtcùngsongsongvớimặtphẳngthứbathìsongsongvớinhau. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (®). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (®) đều nằm trongmặtphẳngđiqua A vàsongsongvới (®). Định lí 3. Chohaimặtphẳngsongsong.Nếumộtmặtphẳngcắtmặtphẳng nàythìcũngcắtmặtphẳngkiavàhaigiaotuyếnsongsongvớinhau. ® ¯ A A 0 B B 0 a b Hệ quả 2. Haimặtphẳngsongsongchắntrênhaicáttuyếnsongsongnhữngđoạnthẳngbằngnhau.388 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Định lí 4. Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cáttuyếnbấtkìnhữngđoạnthẳngtươngứngtỉlệ. ® ¯ ° A A 0 B B 0 C C 0 3 VÍDỤ VÍ DỤ 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang mà ADÒBC và ADÆ 2BC. Gọi M, N lần lượt làtrungđiểmcủa SA và AD.Chứngminh: (BMN)Ò (SCD). Lờigiải. Vì N làtrungđiểmcủa AD nên NAÆNDÆ AD 2 ÆBC. Tứgiác NBCD có NDÆBC và NDÒBC nên NBCD làhìnhbìnhhành,suy ra NBÒCD)NBÒ (SCD). Tam giác SAD có M, N lần lượt là trung điểm của AS và AD nên MN là đườngtrungbìnhcủa4ADS,suyra MNÒSD)MNÒ (SCD). Từ ( MNÒ (SCD), MN½ (BMN) BNÒ (SCD), BN½ (BMN) ) (BMN)Ò (SCD). S M B C N A D ä B BÀITẬPÁPDỤNG BÀI 587. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhbìnhhànhtâm O.Gọi M, N, P lầnlượtlàtrungđiểm SA, SB, SD và K, I làtrungđiểmcủa BC,OM. Chứngminh (OMN)Ò (SCD). 1 Chứngminh (PMN)Ò (ABCD). 2 Chứngminh KIÒ (SCD). 3 Lờigiải. 1 Ta có O, M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OMÒSC, suy ra OMÒ (SCD). Tương tự ONÒ (SCD). Khiđó (OMN)Ò (SCD). 2 Ta có N, M lần lượt là trung điểm của SB và SA nênMNÒAB,suyraMNÒ (ABCD).TươngtựPMÒ (ABCD).Vậy (PMN)Ò (ABCD). 3 Ta có O, K lần lượt là trung điểm của AC và BC nên OKÒ AB, suy ra OKÒMN. Khi đó 5 điểm M, N, K,O, I đồngphẳng. Từcâutrên (OMN)Ò (SCD),thì KIÒ (SCD). M N Q P S A B O C D K I ä BÀI 588. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểm SA, SD3. HAIMẶTPHẲNGSONGSONG 389 1 Chứngminh (OMN)Ò (SBC). 2 Gọi P,Q, R lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,ON, SB.Chứngminh PQÒ (SBC)và (ROM)Ò (SCD). Lờigiải. 1 Ta có O, M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OMÒSC, suy ra OMÒ (SBC). Tương tự ONÒ (SBC). Khiđó (OMN)Ò (SBC). 2 Ta có O, P lần lượt là trung điểm của AC và BA nên OP ÒCB, suy ra OP Ò (SBC) hay P 2 (OMN). MặtkhácQ2 (OMN). Theotrên (OMN)Ò (SBC)thì PQÒ (SBC). Ta có R, O lần lượt là trung điểm của SB và BD nên ROÒSD,suyra ROÒ (SCD). TheotrênOMÒSC nênOMÒ (SCD). Vậy (ROM)Ò (SCD). M N Q R S A B P O C D ä BÀI 589. Chohaihìnhbìnhhành ABCD và ABEF cóchungcạnh AB vàkhôngđồngphẳng.Gọi I, J, K lầnlượtlà trungđiểm AB, CD, EF.Chứngminh (ADF)Ò (BCE). 1 (DIK)Ò (JBE). 2 Lờigiải. 1 Tacó ADÒBC,suyra ADÒ (BCE).Tươngtự AFÒ (BCE). Khiđó (ADF)Ò (BCE). 2 Tronghìnhbìnhhành ABCDcó I, Jlầnlượt là trung điểm của AB và CD nên BIÆDJ. Do đó IBJD là hình bình hành. Suy ra DIÒ BJ nên DIÒ (JBE). Tronghìnhbìnhhành ABEF có I,K lầnlượt là trung điểm của AB và EF nên IK ÒEF, suyra IKÒ (JBE). Vậy (DIK)Ò (JBE). K J I F A B E C D ä BÀI 590. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC, BF lấycácđiểm M, N saocho MCÆ 2AM, NFÆ 2BN.Qua M, N lầnlượtkẻcácđườngthẳngsongsongvớicạnh AB, cắtcáccạnh AD, AF theothứtựtại M 1 , N 1 .Chứngminhrằng MNÒDE. 1 M 1 N 1 Ò (DEF). 2 (MNM 1 N 1 )Ò (DEF). 3 Lờigiải. M N M 1 N 1 F A B E I C D390 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. 1 Gọi I làgiaođiểmcủa BM với CD.Khiđótacó BM MI Æ AM MC Æ 1 2 .Mặtkhác BN NF Æ 1 2 . Khiđó MNÒIF. Theotrên AM MC Æ 1 2 nên AB CI Æ 1 2 .Suyra DIÆCDÆAB. Lạicó DIÒEF.Dođó DEFI làhìnhbìnhhành,hay FIÒDE. Vậy MNÒDE. 2 Theogiảthiếtthì MM 1 ÒNN 1 (vìcùngsongsongvới AB)nên M, M 1 , N,N 1 đồngphẳng. Lạicó MM 1 Ò (DEF)(vì MM 1 ÒCDÒAB)vàtheocâutrênthì MNÒDE nên MNÒ (DEF). Vậy (MM 1 N 1 N)Ò (DEF),suyra M 1 N 1 Ò (DEF). 3 Đãchứngminhởcâu2. ä BÀI 591. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi I, J, K theo thứ tự là trọngtâmcáctamgiác ADF, ADC, BCE.Chứngminhrằng (IJK)Ò (CDFE). Lờigiải. Ta có CDÒEF Ò AB nên CD và EF đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DF, CD. Khi đó, vì I, J lần lượt là trọng tâm tamgiác ADF, ADC nên AI AM Æ 2 3 Æ AJ AN )IJÒMN)IJÒ (CDEF). Mặtkhác,gọi P làtrungđiểm CE.Khiđó BK BP Æ 2 3 . Tacó ABCD, ABEFlàhìnhbìnhhànhnên CDFE cũnglàhìnhbìnhhành.Khiđóvới M, P là trung điểm của hai cạnh đối của hình bình hành CDFE nên MPÒCDÒAB suyra IKÒMPÒAB.Dođó ABPK cũnglà hìnhbìnhhành.Tacó AI AM Æ 2 3 Æ BK BP .Suy ra IKÒMN.Khiđó IKÒ (CDFE). Vậy (IJK)Ò (CDFE). M N P K J I F A B E C D ä BÀI 592. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi M, N, P lầnlượtlàtrungđiểm SA, BC, CD. 1 Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAD)và (MOP). 2 Gọi E làtrungđiểmcủa SC và I làđiểmtrêncạnh SA thỏa AIÆ 3IS.Tìm KÆIE\(ABC)và HÆAB\(EIN). Tínhtỉsố AH AB . 3 GọiG làtrọngtâmtamgiác SBC.Tìmthiếtdiệnhìnhchóp S.ABC bịcắtbởi (IMG). Lờigiải. M N Q P S H G E A B O C D K I3. HAIMẶTPHẲNGSONGSONG 391 1 TacóO, P lầnlượtlàtrungđiểmcủa AC và CD nênOPÒAD,suyraOPÒ (SAD). Khi đó giao tuyến của (SAD) và (OMP) là đường thẳng qua M và song song với AD và cắt SD tại trung điểm Q của SD. 2 Xétmặtphẳng (SAC)có SI SA Æ 1 4 6Æ 1 2 Æ SE SC suyra IE cắt AC tại K. Khiđó KÆIE\(ABC). ÁpdụngđịnhlýMenelaustrongtamgiác SAC vớibađiểm K, E, I thẳnghàngcó KC KA ¢ IA IS ¢ ES EC Æ 1, KC KA ¢ 3 1 ¢1Æ 1, KC KA Æ 1 3 . ÁpdụngđịnhlýMenelaustrongtamgiác ABC vớibađiểm K, N, H thẳnghàngcó KC KA ¢ HA HB ¢ NB NC Æ 1, 1 3 ¢ HA HB ¢1Æ 1, HA HB Æ 3. Khiđó AH AB Æ 3 4 . 3 Tathấymặtphẳng (IMG)cũngchínhlàmặtphẳng (SAG). VìG làtrọngtâmtamgiác SBC và N làtrungđiểm BC nên (IMG)\(SBC)ÆSN. Vậythiếtdiệnhìnhchóp S.ABC bịcắtbởi (IMG)làtamgiác SAN. ä BÀI 593. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và CD.Gọi E làgiaođiểmcủa AD và (BMN), I làtrungđiểmcủa ME vàGÆAN\BD. Tìmđiểm E vàgiaođiểm F của SD vớimặtphẳng (BMN).Chứngminh FSÆ 2FD. 1 Chứngminh FGÒ (SAB)và (CDI)Ò (SAB). 2 Gọi H làgiaođiểmcủa MN và SG.ChứngminhOHÒGF. 3 Lờigiải. S E F A I B C O N D M H G 1 Trongmặtphẳng (ABCD)kéodài BN cắtđườngthẳng AD tại E.Khiđó E làgiaođiểmcủa (BMN)với AD. Gọi F làgiaođiểmcủa ME với SD.Khiđó F làgiaođiểmcủa SD với (BMN). Vì ED EA Æ DN AB Æ 1 2 nên D là trung điểm của đoạn AE. Từ đó suy ra SD và EM là các đường trung tuyến của tamgiác SAE.Suyra F làtrọngtâmtamgiác SAE.Vậy FSÆ 2FD. 2 Tamgiác DGN vàtamgiác BGA đồngdạngnên GD GB Æ DN BA Æ 1 2 . Từđósuyra GD GB Æ FD FS .Nên FGÒSB)FGÒ (SAB). Tacó CDÒAB và DIÒMA.Từđósuyra (CDI)Ò (SAB). 3 TacóG làtrọngtâmtamgiác ACD.ÁpdụngđịnhlýMenelauschotamgiác SAG vớibộbađiểmthẳnghàng M,H,N,tacó NG NA ¢ MA MS ¢ HS HG Æ 1, 1 3 ¢1¢ HS HG Æ 1, HS HG Æ 3. Tacũngcó OG OB Æ OG OD Æ 1 3 )OHÒSB. TheochứngminhtrêntacũngcóGFÒSB.VậyOHÒGF. ä392 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. BÀI 594. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC, N là điểm trênđườngchéo BD saocho BDÆ 3BN. Xácđịnhgiaotuyếncủamặtphẳng (SCD)và (SAB)vàtìm TÆDM\(SAB).Tính TM TD . ĐS: TM TD Æ 1 2 1 Gọi KÆAN\BC.Chứngminhrằng MKÒ (SBD). 2 Gọi IÆAN\DC, LÆIM\SD.Tínhtỉsố LS LD và S IKM S IAL . ĐS: LS LD Æ 1 2 ; S IKM S IAL Æ 3 8 3 Lờigiải. S d T D M B I C L O N A K 1 Mặt phẳng (SAB) và (SCD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúnglàđườngthẳng d qua S và dÒABÒCD. Trongmặtphẳng (SCD)kéodài DM cắt d tại T.Khiđó T2d)T2 (SAB).Vậy TÆDM\(SAB). Do CDÒST nênhaitamgiác MCD và MST đồngdạng.Dođó MT MD Æ MS MC Æ 1.Vậy TM TD Æ 1 2 . 2 Vì BN BD Æ 1 3 ) BN BO Æ 2 3 .Dođó N làtrọngtâmtamgiác ABC. Suyra K làtrungđiểmcủa BC.Dẫnđến MK làđườngtrungbìnhcủatamgiác SBC. Nên MKÒSB)MKÒ (SBD). 3 Tamgiác IKC vàtamgiác IAD đồngdạngnên IC ID Æ KC AD Æ 1 2 . ÁpdụngđịnhlýMenelaustrongtamgiác SCD vớibộđiểmthẳnghàng I, M, L tacó LS LD ¢ ID IC ¢ MC MS Æ 1, LS LD ¢2¢1Æ 1, LS LD Æ 1 2 . ÁpdụngđịnhlýMenelauschotamgiác IDL vớibađiểmthẳnghàng S,M,C tacó SD SL ¢ ML MI ¢ CI CD Æ 1, 3¢ ML MI ¢1Æ 1, ML MI Æ 1 3 . Từđósuyra IMÆ 3 4 IL. Gọi h, k là lượt là độ dài đường cao các tam giác IKM và IAL kẻ từ M và L. Dễ thấy rằng h k Æ IM IL Æ 3 4 . Vậy S IKM S IAL Æ 1 2 h¢IK 1 2 k¢IA Æ 3 4 ¢ 1 2 Æ 3 8 . ä BÀI 595. Chohaihìnhvuông ABCD và ABEF ởtronghaimặtphẳngphânbiệt.Trêncácđườngchéo AC vàBF lần lượtlấycácđiểm M, N saocho AMÆBN.Cácđườngthẳngsongsongvới AB vẽtừ M, N lầnlượtcắt AD và AF tại M 0 và N 0 .3. HAIMẶTPHẲNGSONGSONG 393 Chứngminhrằng (ADF)Ò (BCE). 1 Chứngminhrằng (CDF)Ò (MM 0 N 0 N). 2 Lờigiải. A M 0 N 0 M B C D E F N 1 Tacó 8 > < > : ADÒBC AFÒBE AD\AFÆA ) (ADE)Ò (BCF). 2 Tacó MM 0 ÒCD) AM AC Æ AM 0 AD (1) Tacũngcó NN 0 ÒAB) BN BF Æ AN 0 AF (2) Màtừgiảthiếttacó AM AC Æ BN BF ) AM 0 AD Æ AN 0 AF (3) Từ (3)suyra M 0 N 0 ÒDF.Tacũngcó MM 0 ÒNN 0 ÒDCÒFE. Vậy (CDF)Ò (MM 0 N 0 N). ä BÀI 596. Chohìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 .Gọi I, J, K lầnlượtlàtrọngtâmcáctamgiác ABC, ACC 0 , A 0 B 0 C 0 .Chứng minhrằng (IJK)Ò (BCC 0 B 0 )và (A 0 JK)Ò (AIB 0 ). Lờigiải. A C M N B I J A 0 C 0 P K B 0 1 Gọi M, N, P lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC, CC 0 và B 0 C 0 .Theotínhchấtcủatrọngtâmtamgiáctacó AI AM Æ AJ AN )IJÒMN. Tứgiác AMPA 0 làhìnhbìnhhànhvàcó AI AM Æ AK AP Æ 2 3 )IKÒMP. Vậy (IJK)Ò (BCC 0 B 0 ). 2 Chúýrằngmặtphẳng (AIB 0 )chínhlàmặtphẳng (AMB 0 ).Mặtphẳng (A 0 JK)chínhlàmặtphẳng (A 0 CP). Vì AMÒA 0 P, MB 0 ÒCP (dotứgiác B 0 MCP làhìnhbìnhhành).Vậytacó (A 0 JK)Ò (AIB 0 ). ä394 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. BÀI 597. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangvớiđáylớn AD và ADÆ 2BC, M2BC.Gọi (P)làmặt phẳngđiqua M, (P)ÒCD,(P)ÒSC, (P)cắt AD, SA ,SB lầnlượttại N, P,Q. Chứngminhrằng NQÒ (SCD)và NPÒSD. 1 Gọi H, K lầnlượtlàtrungđiểmcủa SD và AD.Chứngminhrằng (CHK)Ò (SAB). 2 Lờigiải. A B Q E C M N K D P S H 1 -Từ M takẻđườngthẳngsongsongvới CD cắt AD tại N vàcắt AB tại E. Từ M kẻđườngthẳngsongsongvới SC cắt SB tạiQ.Kéodài EQ cắt SA tại P. Theocáchdựngtasuyra (EPN)Ò (SCD)và NQ½ (EPN).Vậy NQÒ (SCD). - Do (P)Ò (SCD) và hai mặt phẳng này cùng cắt (SAD) theo các giao tuyến là NP và SD. Do đó ta suy ra NPÒSD. 2 Tacó HK làđườngtrungbìnhcủatamgiác SAD nên HKÒSA (1) Vì K làtrungđiểmcủa AD nên AKÆBC.Dođótứgiác ABCK làhìnhbìnhhành.Suyra CKÒAB (2) Từ (1)và (2)suyra (CKH)Ò (SAB). ä BÀI 598. Cho hình chóp SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Trên đoạn SA lấy hai điểm M, N sao cho SMÆ MNÆNA. ChứngminhrằngGMÒ (SBC). 1 Gọi D làđiểmđốixứngvới A quaG.Chứngminhrằng (MCD)Ò (NBG). 2 Gọi HÆDM\(SBC).Chứngminhrằng H làtrọngtâmtamgiác SBC. 3 Lờigiải. A M N B G E C D H S 1 Gọi E làtrungđiểmcủa BC.Khiđótacó AG AE Æ AM AS Æ 2 3 )GMÒSE.VậyGMÒ (SBC).3. HAIMẶTPHẲNGSONGSONG 395 2 TừgiảthiếttasuyraG,N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AD và AM.Dođó NGÒMD (1) (1) Từgiác BDCG có E làtrungđiểmcủahaiđườngchéonênđólàhìnhbìnhhành.Suyra BGÒCD (2) Từ (1)và (2)suyra (MCD)Ò (NBG). 3 Tacó AE làđườngtrungtuyếncủatamgiác SBC (3) ÁpdụngđịnhlýMenelauschotamgiác SAE vớibađiểmthẳnghàng M,H,D tacó HS HE ¢¢ DE DA ¢ MA MS Æ 1, HS HE ¢ 1 4 ¢2Æ 1, HS HE Æ 2 (4) Từ (3)và (4)suyra H làtrọngtâmtamgiác SBC. ä396 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. BÀI4. BÀITẬPÔNCUỐICHƯƠNG2 BÀI 1. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO. Tìmgiaotuyếncủa (SAB)và (SCD). 1 Gọi E làtrungđiểmcủa SC.ChứngminhOEÒ (SAB). 2 Gọi F làđiểmtrênđoạn BD saocho 3BFÆ 2BD.Tìmgiaođiểm M của SB và (AEF).Tínhtỉsố SM SB . 3 Lờigiải. Tacó 8 > < > : ABÒ (SCD) AB½ (SAB) S2 (SAB)\(SCD) ) (SAB)\(SCD)ÆSxÒAB. 1 Tacó 8 > < > : OEÒSA (đườngtrungbình) SA½ (SAB) OE6½ (SAB) )OEÒ (SAB). 2 Trongmặtphẳng (SAC)có IÆSO\AE. Suyra ( I2 (SBF) I2 (AEF) . 8 > < > : SB½ (SBF) FIÆ (SBF)\(AEF) MÆFI\SB )M2SB\(AEF). Tacó 3BFÆ 2BD ) 3(OBÅOF)Æ 4OD ) 3ODÅ3OFÆ 4OD ) 3OFÆOD ) OF OD Æ 1 3 . (8.1) Mặtkhác4IOEv4ISM (g.g),suyra OE SM Æ OI SI Æ 1 2 suyra OI OS Æ 1 3 (2) Từ(1)và(2)suyra FIÒSD,suyra MFÒAD. Mà FDÆ 2 3 ODÆ 1 3 BD,suyra SMÆ 1 3 SB. Vậy SM SB Æ 1 3 . 3 x F I M A B O C D S E ä BÀI 2. ChohìnhchópS.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhànhtâmO.Gọi I, J lầnlượtlàtrọngtâmtamgiácSAB và SAD.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa SA, SB. Chứngminh IJÒ (ABCD). 1 Chứngminh (OMN)Ò (SDC). 2 Tìmgiaotuyếncủa (SAB)và (SDC). 3 Tìmgiaođiểmcủa BC và (OMN). 4 Lờigiải.4. BÀITẬPÔNCUỐICHƯƠNG2 397 Gọi P,Q lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB và AD,tacó: SI SP Æ SJ SQ Æ 2 3 . Suyra IJÒPQ. 8 > < > : IJÒPQ PQ½ (ABCD) IJ6½ (SBCD) )IJÒ (ABCD). 1 Xéthaimặtphẳng (OMN)và (SCD)có: 8 > < > : MNÒCD (cùngsongsongAB) MOÒSC MÆMN\MO ) 8 > < > : MNÒ (SCD) MOÒ (SCD) MÆMN\MO ) (OMN)Ò (SCD). 2 Tacó 8 > < > : ABÒ (SCD) AB½ (SAB) S2 (SAB)\(SCD) ) (SAB)\(SCD)ÆSxÒAB. 3 Gọi R làtrungđiểm BC,dễdàngchứngminh MNÒRQ. Tacó 8 > < > : BC½ (ABCD) (OMN)\(ABCD)ÆRQ RÆBC\RQ )RÆBC\(OMN). 4 A N P B O R C D J M S I Q x ä BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H, I, K, L lần lượt là trung điểm của SA, SC,OB, SD. Xácđịnhgiaotuyếncủamặtphẳng (SAC)và (SBD); (HIK)và (SBD). 1 ChứngminhOL songsongvới (HIK). 2 Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD bịcắtbởimặtphẳng (HIK). 3 Lờigiải.398 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Tacó ( SO½ (SAC) SO½ (SBD) )SOÆ (SAC)\(SBD). Gọi M làgiaođiểmcủa SO và HI,tacó: 8 > > > > < > > > > : K2BO½ (SBD) K2 (HIK) M2SO½ (SBD) M2HI½ (HIK) )MKÆ (HIK)\(SBD). 1 Trong tam giác SAC có HIÒ AC nên theo định lí Talet ta có SM SO Æ 1 2 ,suyra M làtrungđiểm SO. Trong tam giác SOB có MKÒSB (tính chất trung bình), trong tam giác SBD có OLÒSB (tính chất trung bình). Do đó, OLÒ MK. Tacó 8 > < > : OLÒMK MK½ (HIK) OL6½ (HIK) )OLÒ (HIK). 2 Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AB và BC, từ đó dễ dàng chứng minh được N, K, P thẳng hàng. Gọi Q là giao điểm của MK và SD. Suyra NPÒAC)NPÒHI (tínhchấttrungbình). Tacó 8 > > > > > > > < > > > > > > > : HNÆ (HIK)\(SAB) PIÆ (HIK)\(SBC) QIÆ (HIK)\(SCD) HQÆ (HIK)\(SAD) NPÆ (HIK)\(ABCD). Do đó, thiết diện tạo bởi (HIK) và hình chóp S.ABCD là ngũ giác HNPIQ. 3 M Q H N A B O K P C D I S L ä BÀI 4. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangcạnhđáylớn AD.Gọi E, F lầnlượtlàcácđiểmtrênhai cạnh SA, SD thỏamãnđiềukiện SE SA Æ SF SD Æ 1 3 .GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC. Tìmgiaotuyếncủa (SAB)và (SCD),của (SAD)và (SBC). 1 Tìmgiaođiểm H của CD và (EFG). 2 Chứngminh EGÒ (SBC). 3 Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchóp S.ABCD bịcắtbởi (EFG).Nólàhìnhgì? 4 Lờigiải.4. BÀITẬPÔNCUỐICHƯƠNG2 399 Gọi I làgiaođiểmcủa AB và CD,tacó: 8 > > > > < > > > > : S2 (SAB) S2 (SCD) I2AB½ (SAB) I2CD½ (SCD) )SIÆ (SAB)\(SCD). Tacó 8 > > > > < > > > > : BCÒAD AD½ (SAD) BC½ (SBC) S2 (SAB)\(SBC) ) (SAD)\(SBC)ÆSxÒBC. 1 TheođịnhlíTaletthì EFÒAD,lấyđiểm K trên ABsaocho AK AB Æ 2 3 ,do đó: CũngtheođịnhlíTaletthì KGÒBC mà BCÒAB nên EFÒKG. Gọi H làgiaođiểmcủa KG và CD,tacó: ( H2CD H2KH½ (EFG) )H2CD\(EFG). 2 Tacó 8 > < > : EFÒBC½ (SBC) EKÒSB½ (SBC) EÆEF\EK ) (EFG)Ò (SBC))EGÒ (SBC). 3 Tacó 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : EFÆ (EFG)\(SAD) FHÆ (EFG)\(SBD) KHÆ (EFG)\(ABCD) EKÆ (EFG)\(SAB) ?Æ (EFG)\(SBC) EF. Vậymặtphẳng (EFG)cắthìnhchóp S.ABCD làhìnhthang EFHK. 4 A E G K x B I C D H S F ä BÀI 5. ChohìnhchópS.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.GọiG làtrọngtâm4SAB.Lấyđiểm M thuộccạnh AD saocho ADÆ 3AM. Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng (SAD)và (GCD). 1 Tìmgiaođiểm I của CD vàmặtphẳng (SGM). 2 Chứngminh MG songsong (SCD). 3 Lờigiải.400 CHƯƠNG8. ĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶTPHẲNGTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆSONGSONG. Lấyđiểm N trên SA saocho SNÆ 2 3 SA,tacó: ( GNÒAB ABÒCD )GNÒCD)GN½ (GCD). Dođó, 8 > > > > < > > > > : N2SA½ (SAD) N2GD½ (GCD) D2 (SAD) D2 (GCD) )NDÆ (GCD)\(SAD). 1 GọiP làtrungđiểm ABvà I làgiaođiểmcủaPM vàCD,tacó: ( I2CD I2PM½ (SGM) )I2CD\(SGM). 2 Tacó 8 > < > : CDÒGN GN½ (GMN) CD6½ (GMN) )CDÒ (GMN). (1) AN AS Æ AM AD Æ 1 3 ,theođịnhlíTalettađược MNÒSD. 8 > < > : SDÒMN MN½ (GMN) SD6½ (GMN) )SDÒ (GMN). (2) Từ(1)và(2)suyra, (SCD)Ò (GMN))GMÒ (SCD). 3 N M I A G P B O C D S ä BÀI 6. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểm SA, SB. Tìmgiaotuyếncủa (MBC)và (SAD). 1 Chứngminh (MNÒ (SCD). 2 Gọi IÆDM\CN.Chứngminh SIÒ (NAD). 3 Lờigiải. Gọi P làtrungđiểmcủa SD,tacó: ( MPÒAD ADÒBC )MPÒBC)MP½ (MBC). 8 > > > > < > > > > : M2 (MBC) M2 (SAD) P2SD½ (SAD) P2MP½ (MBC) )MPÆ (MBC)\(SAD). 1 Tacó 8 > < > : MNÒABÒCD CD½ (SCD) MN6½ (SCD) )MNÒ (SCD). 2 Ta có MN Æ 1 2 ABÆ 1 2 CD suy ra MN là đường trung bìnhcủa4ICD,dođó M làtrungđiểm ID. Dễdàngchứngminh4MSIÆ4MAD (c.g.c). Suyra  SIMÆ ƒ ADM)SIÒAD (soletrong). 8 > < > : SIÒAD AD½ (NAD) SI6½ (NAD) )SIÒ (NAD). 3 N I M B O C D S P A ä