Chuyên đề góc và khoảng cách - lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

Trang 1/31 CHỦ ĐỀ 6. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. GÓC: 1. Góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng (P): 0 + + + = Ax By Cz D , (Q): ’ ’ ’ ’ 0 Ax B y C z D +++ = được ký hiệu: 0 (( ),( )) 90 oo PQ ≤≤ , xác định bởi hệ thức 2 2 2 222 cos(( ),( )) . AA' BB' CC' PQ A B C . A' B' C' + + = ++ + + Đặc biệt: . 0 ' ' ' ) ( ) ( = + + ⇔ ⊥ CC BB AA Q P 2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương ) ; ; ( c b a u = và ) ' ; ' ; ' ( ' c b a u = là φ 2 22 2 2 2 ' '' cos . ' ' ' aa bb cc abc a b c φ ++ = ++ + + ). 90 0 ( o o ≤ ≤ ϕ Đặc biệt: . 0 ' ' ' ) ' ( ) ( = + + ⇔ ⊥ cc bb aa d d b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương ) ; ; ( c b a u = và mp ) ( α có vectơ pháp tuyến ). C ; B ; A ( n = 2 2 2 2 2 2 c b a . C B A Cc Bb Aa ) u , n cos( sin + + + + + + = = ϕ ). 90 0 ( o o ≤ ≤ ϕ Đặc biệt: ) //( ) d ( α hoặc ) ( ) ( α ⊂ d . 0 = + + ⇔ Cc Bb Aa II. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. a) Khoảng cách từ ) ; ; ( 0 0 0 z y x M đến mặt phẳng ) ( α có phương trình 0 Ax by Cz D + + += là: . 2 2 2 0 0 0 C B A D Cz By Ax d(M,(P)) + + + + + = b) Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng. a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng dqua điểm Mocó vectơ chỉ phương u : MM u dM d u 0 ; ( ,) .   =      b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: dđi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương ' u là: u u MM dd d uu 0 ; ' . ( , ') . ;'   =          Trang 2/31 d) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng. B. KY ̃ NĂNG CƠ BA ̉ N - Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; biết cách khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. - Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; biết cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song. - Nhớ và vận dụng được công thức góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng. - Áp dụngđược góc và khoảng cách vào các bài toán khác. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ( ) 1; 2; 2 A đến mặt phẳng () α : 2 2 40 x yz + − − = bằng: A. 3. B. 1. C. 13 . 3 D. 1 . 3 Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () α : 2 2 40 x y z − − − = và ( ): β 2 2 20 x y z −− +=. A. 2. B. 6. C. 10 . 3 D. 4 . 3 Câu 3. Khoảng cách từ điểm ( ) 3; 2; 1 M đến mặt phẳng (P): 0 Ax Cz D + + = , .. 0 AC D ≠ . Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. 22 3 ( ,( )) AC D dM P AC ++ = + B. 22 2 23 ( ,( )) . A B CD dM P A BC + ++ = ++ C. 22 3 ( ,( )) . AC dM P AC + = + D. 22 3 ( ,( )) . 31 AC D dM P ++ = + Câu 4. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng () α : 2 2 40 x y z − − − = và đường thẳng d: 1 24 xt y t zt = +   = +   = −  . A. 1 . 3 B. 4 . 3 C. 0. D. 2. Câu 5. Khoảng cách từ điểm ( ) 2; 4; 3 A đến mặt phẳng () α : 2 2 10 xy z + + += và ( ) β : 0 x = lần lượt là ( ,( )) dA α , ( ,( )) dA β . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. ( ) ,( ) dA α 3 = . ( ) ,( ) . dA β B. ( ) ,( ) dA α > ( ) ,( ) . dA β C. ( ) ,( ) dA α = ( ) ,( ) . dA β D. 2. ( ) ,( ) dA α = ( ) ,( ) . dA β Câu 6. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): 2 3 40 x y z − + − = nhỏ nhất? A. ( ) 0;2;0 . M B. ( ) 0;4;0 . M C. ( ) 0; 4;0 . M − D. 4 0; ;0 3 M       . Câu 7. Khoảng cách từ điểm ( ) 4; 5;6 M −− đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng: A. 6 và 4. B. 6 và 5. C. 5 và 4. D. 4 và 6. Trang 3/31 Câu 8. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 0 00 ; ; Ax y z đến mặt phẳng ( ): 0 P Ax By Cz D + + += , với .. . 0 A BC D ≠ . Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. ( ) 0 00 ,( ) . d A P Ax By Cz = ++ B. ( ) 0 00 22 2 ,( ) . Ax By Cz dA P A BC ++ = ++ C. ( ) 0 00 22 ,( ) . Ax By Cz D dA P A C + ++ = + D. ( ) 0 00 22 2 ,( ) . Ax By Cz D dA P A BC + ++ = ++ Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 0 00 ;; Bx y z đến mặt phẳng (P): y + 1 = 0. Ch ọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. 0 . y B. 0 . y C. 0 1 . 2 y + D. 0 1. y + Câu 10. Khoảng cách từ điểm ( ) 2; 0; 0 C − đến mặt phẳng (Oxy) bằng: A. 0. B. 2. C. 1. D. 2. Câu 11. Khoảng cách từ điểm ( ) 1;2;0 M đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz). Chọn khẳng định saitrong các khẳng định sau: A. ( ) ,( ) 2. d M Oxz = B. ( ) ,( ) 1. d M Oyz = C. ( ) ,( ) 1. d M Oxy = D. ( ) ( ) ,( ) ,( ) . d M Oxz d M Oyz > Câu 12. Khoảng cách từ điểm ( ) 0 00 ;; Ax y z đến mặt phẳng (P): 0 Ax By Cz D + + += , với 0 D ≠ bằng 0 khi và chỉ khi: A. 0 00 . Ax By Cz D + + ≠− B. ( ). AP ∉ C 0 00 . Ax By Cz D ++ = − D. 0 00 . Ax By Cz ++ = 0. Câu 13. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) bằng 1. Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. (Q): – 3 0. xy z ++ = B. (Q): 2 2 – 3 0. xy z ++ = C. (Q): 2 – 2 6 0. xy z + += D. (Q): – 3 0. xy z ++ = Hướng dẫn giải Dùng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng cách lần lượt trong mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng. Câu 14. Khoảng cách từ điểm H (1;0;3) đến đường thẳng 1 1 : 2 3 xt d yt zt = +   =   = +  , tR ∈ và mặt phẳng (P): 30 z−= lần lượt là 1 (, ) d Hd và ( ,( )) dH P . Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A ( ) ( ) 1 , ,( ) . dH d dH P > B. ( ) ( ) 1 ,( ) , . dH P dH d > C. ( ) ( ) 1 , 6. ,( ) . dH d dH P = D. ( ) ,( ) 1 dH P = . Câu 15. Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng 2 : 43 25 xt dy t zt = +   = +   =−−  , tR ∈ bằng: A 1 . 35 B. 4 . 35 C. 5 . 35 D. 0 Câu 16. Cho vectơ ( ) ( ) uv 2; 2; 0 ; 2; 2; 2 −−  . Góc giữa vectơ u  và vectơ v  bằng: Trang 4/31 A.135 ° . B. 45 ° . C. 60 ° . D. 150 ° . Câu 17. Cho hai đường thẳng xt dy t z 1 2 :1 3  = +  =−+   =  và x t d y zt 2 1 :2 2  = −  =   =−+  . Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là: A30 °. B. 120 ° . C. 150 ° . D.60 ° . Câu 18. Cho đường thẳng x yz : 1 21 ∆ = = − và mặt phẳng (P): x yz 5112 4 0 + + −=. Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là: A.60 ° . B. 30 −°. C.30 °. D. 60 −° . Câu 19. Cho mặt phẳng xy z x y z ( ):2 2 1 0; ( ): 2 2 3 0 αβ − + −= + − − = . Cosin góc giữa mặt phẳng () α và mặt phẳng ( ) β bằng: A. 4 9 B. − 4 . 9 C. 4 . 33 D. − 4 . 33 Câu 20. Cho mặt phẳng Px y z ( ):3 4 5 2 0 + + += và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x y xz ( ): 2 1 0; ( ): 2 3 0 αβ − += − − = . Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó: A.60 ° . B. 45 ° . C. 30 °. D. 90 ° . Câu 21. Cho mặt phẳng x yz ( ):3 2 2 5 0 α − + −=. Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng () α một góc 45 . ° A. Vô số. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 22. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc 60 ° A. Px y z ( ):2 11 5 3 0 + − += và Qx y z ( ): 2 2 0 + −− =. B. Px y z ( ):2 11 5 3 0 + − += và Q x yz ( ): 2 5 0 − + + −=. C. Px y z ( ):2 11 5 21 0 − + −= và Q x yz ( ):2 2 0 + +− =. D. Px y z ( ):2 5 11 6 0 − + − = và Q x yz ( ): 2 5 0 − + + −=. Câu 23. Cho vectơ u vm (1;1; 2), (1; 0; ) −  . Tìm m để góc giữa hai vectơ uv ,  có số đo bằng 45 ° . Một học sinh giải như sau: Bước 1: Tính ( ) m uv m 2 12 cos , 6. 1 − = +  Bước 2: Góc giữa uv ,  có số đo bằng 45 ° nên m m 2 12 1 2 6. 1 − = + mm 2 1 2 3( 1) ⇔ − = + (*) Bước 3: Phương trình mm 22 (*) (1 2 ) 3( 1) ⇔− = + m mm m 2 26 4 20 2 6.  = − ⇔ − −= ⇔   = +  Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Sai ở bước 3. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 1. D. Đúng. Câu 24. Cho hai điểm A(1; 1;1); B(2; 2; 4) − − . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, Bvà tạo với mặt phẳng x yz ( ): 2 7 0 α − +− = một góc 60 ° . A. 1. B. 4. C. 2. D. Vô số. Trang 5/31 Câu 25. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng: A. α =          ABCD AB CD . cos . . B. α =          ABCD AB CD . cos . . C. α =           ABCD AB CD . cos . , D. α   =          ABCD AB CD . cos . . Câu 26. Cho hình lập phương ABCD A B C D .' ' ' ' có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB CD A D ', , ' '. Góc giữa hai đường thẳng MP và C’N là: A. 30 o . B. 120 o . C. 60 o . D. 90 o . Câu 27. Cho hình chóp A.BCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. ABC ∆ cân, cạnh bên bằng a, AD a 2 = . Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là: A. . 4 5 B. − . 2 5 C. . 4 5 D. . 1 5 Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AC = 5 . SAC ∆ vuông cân tại A. K là trung điểm của cạnh SD. Hãy xác định cosin góc giữa đường thẳng CK và AB? A. 4 . 17 B. 2 . 11 C. 4 . 22 D. 2 . 22 Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm −− A( 3; 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); − D( 2; 6;1) . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60 ° ? A. DB và AC. B. AC và CD. C. AB và CB. D.CB và CA. Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz một góc 30 ° ? A. x yz 2( 2) ( 1) ( 2) 3 0. − + − − − −= B. x yz ( 2) 2( 1) ( 1) 2 0. − + − − + − = C. x yz 2( 2) ( 1) ( 2) 0. − + −− − = D. x yz 2( 2) ( 1) ( 1) 2 0. − + −− −− = Câu 31. Cho mặt phẳng Px y z ( ):3 4 5 8 0 + + + =. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x y xz ( ): 2 1 0; ( ): 2 3 0 α β − += − − = . Góc giữa d và (P) là: A. ° 120 . B. ° 60 . C. ° 150 . D. ° 30 . Câu 32. Gọi α là góc giữa hai vectơ AB CD ,     . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. ABCD AB CD . cos . α   =          . B. α =          ABCD AB CD . cos . . C. =          α ABCD AB CD . sin . . D. ABDC AB DC . cos . α =          Câu 33. Cho ba mặt phẳng P xy z Q xy z R x y z ( ): 2 2 3 0; ( ): 2 1; ( ): 2 2 2 0 − + + = − − −= + + −= . Gọi 12 3 ;; αα α lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng. A.α αα >> 1 32 . B. α αα >> 2 31 . C.α αα > > 3 21 . D.α αα > > 1 23 . Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng ( ) : 22 0 x y zm α + + + = vàđiểm ( ) 1;1;1 A . Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) α bằng 1? A. − 2. B. − 8. C. − 2 hoặc 8 − . D. 3. Trang 6/31 Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng ( ) α cắt các trục ,, Ox Oy Oz lần lượt tại 3 điểm ( ) 2;0;0 A − , ( ) 0;3;0 B , ( ) 0;0;4 C . Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) ABC là A. 61 . 12 B.4. C. 12 61 . 61 D.3. Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ 0 2 2 20 y x y z =   − − − =  Oxyz cho điểm ( ) 1;0;0 M và ( ) 0;0; 1 N − , mặt phẳng ( ) P qua điểm , MN và tạo với mặt phẳng ( ) : 40 Q x y − − =một góc bằng O 45 . Phương trình mặt phẳng ( ) P là A. 0 2 2 20 y xy z =   − − −=  . B. 0 2 2 20 y x y z =   −− + =  . C. 2 2 20 2 2 20 x y z x y z −− +=   − − − =  . D. 2 2 20 . 2 2 20 xz xz − +=   − − =  Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm ( ) 2; 0; 1 A − , đường thẳng d qua điểm A và tạo với trục Oy góc O 45 . Phương trình đường thẳng d là A. 21 21 5 2 1 21 5 x yz x yz + −  = =  −  + −  = =  − −  . B. 21 21 5 21 21 5 x yz x yz −+  = =  −  −+  = =  − −  C. 21 21 5 21 21 5 x yz x yz + −  = =  −  −+  = =  −  D. 2 1 21 5 21 21 5 x yz x yz + −  = =  − −  −+  = =  −  Câu 38. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 30 P x y z + + − = và mặt phẳng ( ) : 10 Q x y z − + − =. Khi đó mặt phẳng ( ) R vuông góc với mặt phẳng ( ) P và ( ) Q sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) R bằng 2 , có phương trình là A. 2 2 22 0 − − = xz . B. 22 0 xz −− = . C. 22 0 xz −+ =. D. 22 0 22 0 xz xz  −+ =  −− =   . Câu 39. Tập hợp các điểm ( ) ; ; M x yz trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng ( ) : 2 30 Px y z + − − = và ( ) : 2 50 Qx y z + − += thoả mãn: A. 2 10 xy z + − +=. B. 2 40 xy z + − += . C. 2 20 xy z + − +=. D. 2 40 xy z + − −= . Câu 40. Tập hợp các điểm ( ) ; ; M x yz trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng ( ) : 2 2 7 0 Px y z − − −=và mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 Q xy z + + += thoả mãn: A. 3 4 8 0. xy z + + += B. 3 4 8 0 3 60 + + + =   − −=  xy z xy . C. 3 6 0. x y − −= D.3 3 4 8 0. + + += x y z Trang 7/31 Câu 41. Trong không gian Oxyz cho điểm M thuộc trục Oxcách đều hai mặt phẳng ( ) : 2 30 P xy z + − − = và ( ) Oyz .Khitọa độ điểm M là A. 3 ;0;0 1 6   +  và 3 ;0;0 . 61   −  B. 3 ;0;0 1 6   +  và 3 ;0;0 . 16   −  C. 61 ;0;0 3   −       và 61 ;0;0 . 3  +    D. 1 6 ;0;0 3  +    và 16 ;0;0 . 3  −    Câu 42. Trong không gianOxyz cho điểm ( ) 3; 2;4 A − và đường thẳng 5 1 2 : 23 2 x yz d − −− = = − . Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho M cách A một khoảng bằng 17 . Tọa độ điểm M là A. ( ) 5;1;2 và ( ) 6; 9; 2 . B. ( ) 5;1;2 và ( ) 1; 8; 4 . −− − C. ( ) 5; 1;2 − và ( ) 1; 5;6 . − D. ( ) 5;1;2 và ( ) 1; 5;6 . − Câu 43. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( ) 1;2;1 A , ( ) 2;1;3 B − , ( ) 2; 1;1 C − và ( ) 0;3;1 D . Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua 2 điểm , A B sao cho khoảng cách từ C đến ( ) P bằng khoảng cách từ D đến ( ) P là A. 4 2 7 10 . 2 3 50 x y z x z − + −=   + −=  B. 2 3 5 0. x z + −= C. 4 2 7 15 0. x y z + + − = D. 4 2 7 15 0 . 2 3 50 x y z x z + + − =   + −=  Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng 12 : 1 12 xy z d − + = = − − và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc ( ) mp P ? A. ( ) 3;0;4 . E − B. ( ) 3;0;2 . M C. ( ) 1; 2; 1 . N −− − D. ( ) 1;2;1 . F Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) ( ) 0; 1; 2 , 1; 1; 3 −− M N . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua , MN và tạo với mặt phẳng ( ) :2 2 2 0 Q xy z − − − = góc có số đo nhỏ nhất. Điểm ( ) 1;2;3 A cách mp ( ) P một khoảng là A. 3. B. 53 . 3 C. 7 11 . 11 D. 4 3 . 3 Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho ( ) : 2 2 10 Px y z − + −= và 2 đường thẳng 12 1 9 1 31 : ;: 11 6 2 1 2 x yz x y z + + − − + ∆== ∆ == − . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1 ∆ , M có toạ độ là các số nguyên, M cách đều 2 ∆ và ( ). P Khoảng cách từ điểm M đến ( ) mp Oxy là A.3. B. 2 2. C.3 2. D. 2. Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 2 điểm ( ) ( ) 1;5;0 ; 3;3;6 AB và đường thẳng 11 : 2 12 x yz d +− = = − . Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là A. 29. B. 29. C. 33. D. 7. Trang 8/31 Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm ( ) 10;2;1 A và đường thẳng 11 : 21 3 x yz d − − = = . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ( ) P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm ( ) 1;2;3 M − đến mp ( ) P là A. 97 3 . 15 B. 76 790 . 790 C. 2 13 . 13 D. 3 29 . 29 Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) 2;5;3 A và đường thẳng 12 : 21 2 x yz d − − = = . Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) P lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 1;2; 1 M − đến mặt phẳng ( ) P . A. 11 18 . 18 B.3 2. C. 11 . 18 D. 4 . 3 Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 20 Px y z + − + = và hai đường thẳng 1 : 22 xt d yt zt = +   =   = +  ; 3 ': 1 . 12 xt dy t zt ′ = −   ′ = +   ′ = −  Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với ( ) P ; cắt , dd ′ và tạo với d góc O 30 . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. A. 1 . 5 B. 1 . 2 C. 2 . 3 D. 1 . 2 Câu 51. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0;1 ; 3; 2;0 ; 1;2; 2 A B C −− . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ( ) P lớn nhất biết rằng ( ) P không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( ) P ? A. ( ) 2; 0; 3 . G − B. ( ) 3; 0; 2 . F − C. ( ) 1;3;1 . E D. ( ) 0;3;1 H Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho các điểm ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A B b C c trong đó , bc dương và mặt phẳng ( ) : 1 0 P yz − += . Biết rằng ( ) mp ABC vuông góc với ( ) mp P và ( ) ( ) 1 , 3 d O ABC = , mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1. bc += B. 2 1. bc += C. 3 1. b c −= D. 3 3. bc += Câu 53. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;2;3 ; 0;1;1 ; 1;0; 2 A BC − . Điểm ( ) : 20 M Px y z ∈ + ++ =sao cho giá trị của biểu thức 222 23 T MA MB MC = ++ nhỏ nhất. Khi đó, điểm M cách ( ) :2 2 3 0 Q x y z − − += một khoảng bằng A. 121 . 54 B. 24. C. 2 5 . 3 D. 101 . 54 Câu 54. Cho mặt phẳng xy z x y z ( ): 2 1 0; ( ):5 2 11 3 0 αβ + − −= + + − = . Góc giữa mặt phẳng () α và mặt phẳng ( ) β bằng A. 120 . ° B. 30 . ° C.150 . ° D.60 . ° Trang 9/31 Câu 55. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình xy 3 0. + − = Điểm H(2; 1; 2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng A.45 . ° B. 30 . ° C.60 . ° D. 120 . ° Câu 56. Cho vectơ ( ) u v uv 2; 1; , 3 π = = =    . Gócgiữa vectơv  và vectơ uv −   bằng: A. 60 . ° B. 30 . ° C.90 . ° D.45 . ° Câu 57. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 3 11 :, 9 51 − +− = = x yz x yz 2 3 3 90 : 2 3 0  − − += ∆  − ++ =  . Góc giữa đường thẳng d và đường thẳng ∆ bằng A.90 . ° B. 30 . ° C.0. ° D. 180 . ° Câu 58. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng xy z ( ):2 2 10 0; α − −−= đường thẳng x yz d 11 3 : 12 3 −− + = = . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () α bẳng A. 30 . ° B.90 . ° C. 60 . ° D.45 . ° Câu 59. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, phương trình các đường thẳng qua A(3; – 1;1), nằm trong (P): – – 5 0 += x yz và hợp với đường thẳngd: 2 1 22 − = = xy z một góc 45 0 là A.  = + = +  ∆ =−+ ∈ ∆ =−− ∈   = = −  xt x t y t tR y t tR z zt 12 3 33 :1 , ; :1 2 , . 1 15 B.   = += +   ∆ =−+ ∈ ∆ =−+ ∈     = = +   xt x t y t tR y t tR z zt 12 3 2 3 15 :1 2 , ; :1 38 , . 1 1 23 C.  = + = +  ∆ =−+ ∈ ∆ =−− ∈   = = −  xt x t y t tR y t tR z zt 12 3 3 15 :1 , ; :1 8 , . 1 1 23 D.  = − = +  ∆ =−− ∈ ∆ =−− ∈   = += −  xt x t y t tR y t tR zt z t 12 3 3 15 :1 , ; :1 8 , . 1 1 23 Câu 60. Cho hình lập phương ABCD A B C D .' ' ' ' có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A B BC DD ' ', , ' . Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (MNP) là A. 30 . ° B. ° 120 . C. 60 . ° D.90 . ° Câu 61. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz gọi(P) là mặt phẳng chứa đường thẳng 1 2 : 2 3 xt dy t zt = +   = −   =  và tạo với trục Ox góc có số đo lớn nhất.Khi đó, khoảng cách từ điểm ( ) 1; 4;2 A − đến ( ) mp P là A. 12 35 . 35 B. 4 3 . 3 C. 20 6 . 9 D. 26 . 3 Trang 10/31 Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) ( ) 2;1; 12 , 3;0;2 MN − . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua , MN và tạo với mặt phẳng ( ) :2 2 3 4 0 Q x yz + − + = góc có số đo nhỏ nhất. Điểm ( ) 3;1;0 A cách mp ( ) P một khoảng là A. 6 13 . 13 B. 22 . 11 C. 6 . 2 D. 1 . 22 Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho ( ) : 7 0 P x yz + −− = và hai đường thẳng 12 11 2 2 3 4 : ;: 11 1 2 3 5 x y z x y z − − − − − + ∆= = ∆ = = − . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1 ∆ , M có toạ độ là các số dương, M cách đều 2 ∆ và ( ). P Khoảng cách từ điểm M đến mp( P ) là A. 2 3. B. 2. C. 7. D. 2 . 3 Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 2 điểm ( ) ( ) 1; 4;3 ; 1;0;5 AB − và đường thẳng 3 : 3 2. 2 xt dy t z = −   = +   = −  Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa điểm C và gốc toạ độ O là A. 6. B. 14. C. 14. D. 6. Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) 2;5;3 A và đường thẳng 12 :. 21 2 x yz d − − = = Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ( ) P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm ( ) 2;0; 3 B − đến mp ( ) P là A. 72 . 3 B. 52 . 3 C. 7. D. 18 . 18 Câu 66. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) 4; 3;2 A − và đường thẳng 43 : 2 2. 2 xt dy t zt = +   = +   =−−  Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) P lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 2;1; 3 B−− đến mặt phẳng ( ) P đó. A. 2 3. B. 2. C. 0. D. 38. Câu 67. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1; 1; 2 ; 1; 2; 1 ; 3; 4; 1 −− − A B C . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ( ) P lớn nhất biết rằng (P) không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( ) P ? A. ( ) 1;2;0 . F − B. ( ) 2; 2;1 . E − C. ( ) 2;1; 3 . G − D. ( ) 1; 3;1 . H − Câu 68. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho các điểm ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0;2;0 , 0;0; Aa B C c trong đó , ac dương và mặt phẳng ( ) :2 3 0 P x z −+=. Biết rằng ( ) mp ABC vuông góc với ( ) mp P và ( ) ( ) 2 , 21 d O ABC = , mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 3. ac += B. 2 5. ac += C. 1. ac − = D. 4 3. ac − = Trang 11/31 Câu 69. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2; 2; 3 ; 1; 1; 3 ; 3; 1; 1 − −− A BC . Điểm ( ) : 2 80 M Px z ∈ + −= sao cho giá trị của biểu thức 22 2 23 T MA MB MC = ++ nhỏ nhất. Khi đó, điểm M cách ( ) : 2 2 60 Q x yz −+ − − = một khoảng bằng A. 2 . 3 B.2. C. 4 . 3 D. 4. Câu 70. Tính khoảng cách từ điểm H(3; – 1;– 6) đến mặt phẳng () α : 10 x yz + − += . A. 83 . 3 B. 9. C. 3 3. D. 3. Câu 71. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): 2 20 xy z ++ = và (Q) 2 2 70 xy z + + +=. A. 7 . 9 B. 7. C. 7 . 3 D. 2. Câu 72. Khoảng cách từ điểm K(1;2;3) đến mặt phẳng (Oxz) bằng A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 73. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng () α : 2 2 40 xy z + + += và đường thẳng d: 15 22 4 x t yt zt = +   = −   = −  . A. 8 . 3 B. 0. C. 4 . 3 D. 4. Câu 74. Khoảng cách từ giao điểm A của mặt phẳng ( ): 3 0 R x yz + +−= với trục Oz đến mặt phẳng () α : 2 2 10 xy z + + += bằng A. 7 . 3 B. 5 . 3 C. 4 . 3 D. 0. Câu 75. Cho hai mặt phẳng ( ): 2 1 0, ( ): 2 0 P xy z Q xy z ++ − = ++ = và đường thẳng d: 13 2. 1 = −   = +   =−+  x t yt zt Gọi ( ,( )) dd P , ( ,( )) dd Q , (( ),( )) dP Q lần lượt là khoảng cách giữa đường thẳng d và (P), d và (Q), (P) và (Q). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A. ( ,( )) 0. dd P = B. 6 ( ,( )) . 2 dd Q = C. (( ),( )) 0. dP Q = D. ( ,( )) 0. dd Q = Câu 76. Khoảng cách từ điểm ( 2;1;0) C − đến mặt phẳng (Oyz) và đến đường thẳng ∆ : 1 4 62 xt yt zt = +   = +   = +  lần lượt là 1 d và 2 d . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. 1 d > 2 . d B. 1 d = 2 . d C. 1 d 0. = D. 2 d =1. Câu 77. Khoảng cách từ điểm (1;1;1) B đến mặt phẳng (P) bằng 1. Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. (P): 2 – 2 6 0. xy z + += B. (P): – 3 0. ++ = xy z B. (P): 2 2 – 2 0. xy z ++ = D. (P): – 3 0 ++ = xy z . Câu 78. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 xy z α − + += và mặt phẳng ( ) :2 2 5 0 xy z β − + +=. Tập hợp các điểm M cách đều mặt phẳng ( ) α và ( ) β là A. 2 2 3 0. x y z − + += B. 2 2 3 0. x y z − − += Trang 12/31 C. 2 2 3 0. x y z − + −= D. 2 2 3 0. xy z + + += Câu 79. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 x yz α − + += và mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 xy z β − + += . Tập hợp các điểm cách đều mặt phẳng ( ) α và ( ) β là A. 20 . 3 3 4 40 x y xy z −+=   + + +=  B. 20 . 3 3 4 40 x y xy z −+=   − + +=  C. 20 . 3 3 4 40 x y xy z −+=   − + +=  D. 20 . 3 3 4 40 xy xy z + +=   − + +=  D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B A C A D A C C A B D A C C A A D A B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D C A D D A C C B C D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A C A A B A D C C A A A B A C A D A Trang 13/31 II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ( ) 1; 2; 2 A đến mặt phẳng () α : 2 2 40 x yz + − − = bằng: A. 3. B. 1. C. 13 . 3 D. 1 . 3 Hướng dẫn giải 22 2 1. 2.y 2. 4 ( ,( )) 1. 1 2 ( 2) A A A xz dA α + − − = = + +− Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () α : 2 2 40 x y z − − − = và ( ): β 2 2 20 x y z −− +=. A. 2. B. 6. C. 10 . 3 D. 4 . 3 Hướng dẫn giải Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuộc () α . Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2.2 1.0 2.0 2 ( ),( ) ,( ) 2 2 (1) (2) αβ β −− + = = = + − + − d dH . Câu 3. Khoảng cách từ điểm ( ) 3; 2; 1 M đến mặt phẳng (P): 0 Ax Cz D + + = , .. 0 AC D ≠ . Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. 22 3 ( ,( )) AC D dM P AC ++ = + B. 22 2 23 ( ,( )) . A B CD dM P A BC + ++ = ++ C. 22 3 ( ,( )) . AC dM P AC + = + D. 22 3 ( ,( )) . 31 AC D dM P ++ = + Câu 4. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng () α : 2 2 40 x y z − − − = và đường thẳng d: 1 24 xt y t zt = +   = +   = −  . A. 1 . 3 B. 4 . 3 C. 0. D. 2. Hướng dẫn giải Đường thẳng d song song với mặt phẳng () α . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng. Ta lấy điểm ( ) 1; 2; 0 H thuộc đường thẳng d. Khi đó: 22 2 2.1 1.2 2.0 4 4 ( ,( )) ( ,( )) . 3 2 (1) (2) dd d H αα −− − = = = +− +− Câu 5. Khoảng cách từ điểm ( ) 2; 4; 3 A đến mặt phẳng () α : 2 2 10 xy z + + += và ( ) β : 0 x = lần lượt là ( ,( )) dA α , ( ,( )) dA β . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. ( ) ,( ) dA α 3 = . ( ) ,( ) . dA β B. ( ) ,( ) dA α > ( ) ,( ) . dA β C. ( ) ,( ) dA α = ( ) ,( ) . dA β D. 2. ( ) ,( ) dA α = ( ) ,( ) . dA β Hướng dẫn giải Trang 14/31 ( ) 22 2 2. y 2. 1 ,( ) 1 21 2 AA A xz dA α ++ + = = ++ ; ( ) 2 ,( ) 2. 1 A x dA β = = Kết luận: ( ) ( ) ,( ) 2. ,( ) dA dA βα = . Câu 6. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): 2 3 40 x y z − + − = nhỏ nhất? A. ( ) 0;2;0 . M B. ( ) 0;4;0 . M C. ( ) 0; 4;0 . M − D. 4 0; ;0 3 M       . Hướng dẫn giải Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y = − 4. Vậy M(0; − 4;0). Cách giải khác Tính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng (P) sau đó so sánh chọn đáp án. Câu 7. Khoảng cách từ điểm ( ) 4; 5;6 M −− đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng: A. 6 và 4. B. 6 và 5. C. 5 và 4. D. 4 và 6. Hướng dẫn giải ( ) ( ) , 6 M d M Oxy z = = ; ( ,( )) 4. M d M Oyz x = = Câu 8. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 0 00 ; ; Ax y z đến mặt phẳng ( ): 0 P Ax By Cz D + + += , với .. . 0 A BC D ≠ . Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. ( ) 0 00 ,( ) . d A P Ax By Cz = ++ B. ( ) 0 00 22 2 ,( ) . Ax By Cz dA P A BC ++ = ++ C. ( ) 0 00 22 ,( ) . Ax By Cz D dA P A C + ++ = + D. ( ) 0 00 22 2 ,( ) . Ax By Cz D dA P A BC + ++ = ++ Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 0 00 ;; Bx y z đến mặt phẳng (P): y + 1 = 0. Ch ọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. 0 . y B. 0 . y C. 0 1 . 2 y + D. 0 1. y + Câu 10. Khoảng cách từ điểm ( ) 2; 0; 0 C − đến mặt phẳng (Oxy) bằng: A. 0. B. 2. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên ( ) ,( ) 0 d C Oxy = Câu 11. Khoảng cách từ điểm ( ) 1;2;0 M đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz). Chọn khẳng định saitrong các khẳng định sau: A. ( ) ,( ) 2. d M Oxz = B. ( ) ,( ) 1. d M Oyz = C. ( ) ,( ) 1. d M Oxy = D. ( ) ( ) ,( ) ,( ) . d M Oxz d M Oyz > Câu 12. Khoảng cách từ điểm ( ) 0 00 ;; Ax y z đến mặt phẳng (P): 0 Ax By Cz D + + += , với 0 D ≠ bằng 0 khi và chỉ khi: A. 0 00 . Ax By Cz D + + ≠− B. ( ). AP ∉ C 0 00 . Ax By Cz D ++ = − D. 0 00 . Ax By Cz ++ = 0. Câu 13. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) bằng 1. Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. (Q): – 3 0. xy z ++ = B. (Q): 2 2 – 3 0. xy z ++ = Trang 15/31 C. (Q): 2 – 2 6 0. xy z + += D. (Q): – 3 0. xy z ++ = Hướng dẫn giải Dùng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng cách lần lượt trong mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng. Câu 14. Khoảng cách từ điểm H (1;0;3) đến đường thẳng 1 1 : 2 3 xt d yt zt = +   =   = +  , tR ∈ và mặt phẳng (P): 30 z−= lần lượt là 1 (, ) d Hd và ( ,( )) dH P . Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A ( ) ( ) 1 , ,( ) . dH d dH P > B. ( ) ( ) 1 ,( ) , . dH P dH d > C. ( ) ( ) 1 , 6. ,( ) . dH d dH P = D. ( ) ,( ) 1 dH P = . Hướng dẫn giải Vì H thuộc đường thẳng 1 d và H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ điểm H đến đường thẳng 1 d bằng 0 và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (P) bằng 0. Câu 15. Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng 2 : 43 25 xt dy t zt = +   = +   =−−  , tR ∈ bằng: A 1 . 35 B. 4 . 35 C. 5 . 35 D. 0 Hướng dẫn giải + Gọi (P) là mặt phẳng đi qua E và vuông góc với (P). Viết phương trình (P) + Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và (P). Tìm tọa độ H + Tính độ dài EH. Khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d bằng EH. Cách giải khác: Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d bằng 0. Câu 16. Cho vectơ ( ) ( ) uv 2; 2; 0 ; 2; 2; 2 −−  . Góc giữa vectơ u  và vectơ v  bằng: A.135 ° . B. 45 ° . C. 60 ° . D. 150 ° . Hướng dẫn giải Ta có ( ) ( ) uv uv uv 22 2 2 2 . 2. 2 2. 2 2.0 1 cos( , ) 2 . ( 2) ( 2) . 2 2 2 −− + = = = − − +− + +    uv ( , ) 135 ⇒=°  . Câu 17. Cho hai đường thẳng xt dy t z 1 2 :1 3  = +  =−+   =  và x t d y zt 2 1 :2 2  = −  =   =−+  . Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là: A30 °. B. 120 ° . C. 150 ° . D.60 ° . Hướng dẫn giải Gọi uu 12 ;   lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2. uu 12 (1;1; 0); ( 1; 0;1) = = −   Trang 16/31 Áp dụng công thức ta có ( ) ( ) − = = = = ++             uu dd u u uu 12 12 1 2 12 . 1 1 cos , cos , 2 11. 11 . . ( ) ⇒ =° dd 12 , 60 . Câu 18. Cho đường thẳng x yz : 1 21 ∆ = = − và mặt phẳng (P): x yz 5112 4 0 + + −=. Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là: A.60 ° . B. 30 −°. C.30 °. D. 60 −° . Hướng dẫn giải Gọi un ;  lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). ( ) ( ) =−=  un 1; 2;1 ; 5;11; 2 Áp dụng công thức ta có ( ) ( ) ∆ −+ = = = = + + ++    un P un un 2 22 22 2 . 1.5 11.2 1.2 1 sin ,( ) cos , . 2 . 5 112 . 12 1 ( ) ( ) ∆ ⇒=° P , 30 . Câu 19. Cho mặt phẳng xy z x y z ( ):2 2 1 0; ( ): 2 2 3 0 αβ − + −= + − − = . Cosin góc giữa mặt phẳng () α và mặt phẳng ( ) β bằng: A. 4 9 B. − 4 . 9 C. 4 . 33 D. − 4 . 33 Hướng dẫn giải Gọi α  n , β  n lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α () và β ( ) . Ta có nn (2; 1; 2); (1; 2; 2) αβ − −       . Áp dụng công thức: αβ αβ α β αβ −− = = = = +− + + +−              nn nn nn 2 22 22 2 . 2.1 1.2 2.2 4 cos(( ),( )) cos( , ) . 9 . 2 (1) 2 . (1 2 (2) Câu 20. Cho mặt phẳng Px y z ( ):3 4 5 2 0 + + += và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x y xz ( ): 2 1 0; ( ): 2 3 0 αβ − += − − = . Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó: A.60 ° . B. 45 ° . C. 30 °. D. 90 ° . Hướng dẫn giải Đường thẳng d có phương trình: x t y t tR zt 2 1 , 2 3 2   =   =+∈    =−+   . Suy ra VTCP của d là d u (2;1;1)  Ta có ( ) ( ) ++ = = = = ++ + +       d d d un dP u n un 222 2 2 2 . 2.3 1.4 1.5 3 sin ,( ) cos , 2 . 2 1 1. 3 4 5 . dP ( ,( )) 60 ⇒=° . Trang 17/31 Câu 21. Cho mặt phẳng x yz ( ):3 2 2 5 0 α − + −=. Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng () α một góc 45 . ° A. Vô số. B. 1. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Gọi ( ) β   n a b c ;; là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) β cần lập. ( ) ( ) αβ αβ α β αβ −+ = = = = +− + + +             n n b nn nn b 2 2 22 2 2 . 3.a 2. 2.c 2 cos ( ),( ) cos , 2 . 3 ( 2) 2 . a c abc a b c 2 2 2 2 2(3 2 2 ) 17( ) ⇒ − + = ++ Phương trình trên có vô số nghiệm. Suy ra có vô số vectơ n a bc (; ; ) β   là véc tơ pháp tuyến của ( ) β . Suy ra có vô số mặt phẳng ( ) β thỏa mãn điều kiện bài toán [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình. Giả sử tồn tại mặt phẳng ( ) β thỏa mãn điều kiện bài toán. (Đi qua A và tạo với mặt phẳng () α một góc 45 ° ). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng () α . Sử dụng phép quay theo trục ∆ với mặt phẳng ( ) β . Ta được vô số mặt phẳng ( ') β thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 22. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc 60 ° A. Px y z ( ):2 11 5 3 0 + − += và Qx y z ( ): 2 2 0 + −− =. B. Px y z ( ):2 11 5 3 0 + − += và Q x yz ( ): 2 5 0 − + + −=. C. Px y z ( ):2 11 5 21 0 − + −= và Q x yz ( ):2 2 0 + +− =. D. Px y z ( ):2 5 11 6 0 − + − = và Q x yz ( ): 2 5 0 − + + −=. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng. ( ) = = ° =         PQ P Q nn PQ n n . 1 cos ( ),( ) cos60 2 . Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng. Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất. Câu 23. Cho vectơ u vm (1;1; 2), (1; 0; ) −  . Tìm m để góc giữa hai vectơ uv ,  có số đo bằng 45 ° . Một học sinh giải như sau: Bước 1: Tính ( ) m uv m 2 12 cos , 6. 1 − = +  Bước 2: Góc giữa uv ,  có số đo bằng 45 ° nên m m 2 12 1 2 6. 1 − = + mm 2 1 2 3( 1) ⇔ − = + (*) Bước 3: Phương trình mm 22 (*) (1 2 ) 3( 1) ⇔− = + Trang 18/31 m mm m 2 26 4 20 2 6.  = − ⇔ − −= ⇔   = +  Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Sai ở bước 3. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 1. D. Đúng. Hướng dẫn giải Phương trình (*) chỉ bình phương được hai vế khi biến đổi tương đương nếu thỏa mãn m 12 0 −≥ . Bài toán đã thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai nghiệm m 26 = + . Câu 24. Cho hai điểm A(1; 1;1); B(2; 2; 4) − − . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, Bvà tạo với mặt phẳng x yz ( ): 2 7 0 α − +− = một góc 60 ° . A. 1. B. 4. C. 2. D. Vô số. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] AB n (1; 1; 3), (1; 2;1) α −−     Gọi n a bc (; ; ) β   là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) β cần lập. ( ) ( ) αβ αβ αβ αβ = = −+ = = +− + + +              nn nn nn b b 2 2 22 2 2 . cos ( ),( ) cos , . 1.a 2. 1.c 1 . 2 1 ( 2) 1 . a c a bc a b c 2 2 2 2 2( 2 ) 3( ) ⇒ − + = ++ (1) Mặt khác vì mặt phẳng ( ) β chứa A, B nên: n AB ab c ab c . 0 30 3 β = ⇔− + = ⇔= −     Thế vào (1) ta được: b bc c 22 2 13 11 0 −+ = (2) Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra có 2 vectơ ( ) β  n a bc ;; thỏa mãn. Suy ra có 2 mặt phẳng. [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình Câu 25. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng: A. α =          ABCD AB CD . cos . . B. α =          ABCD AB CD . cos . . C. α =           ABCD AB CD . cos . , D. α   =          ABCD AB CD . cos . . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức ở lý thuyết. Câu 26. Cho hình lập phương ABCD A B C D .' ' ' ' có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB CD A D ', , ' '. Góc giữa hai đường thẳng MP và C’N là: A. 30 o . B. 120 o . C. 60 o . D. 90 o . Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ sao cho AO(0; 0; 0) ≡ Trang 19/31 Suy ra Ba C a a D a ( ; 0; 0); ( ; ; 0); (0; ; 0) A a B a a C aaa D aa '(0; 0; ); '( ; 0; ); '( ; ; ); '(0; ; )       aa a M a N a P a ; 0; ; ; ; 0 ; 0; ; 22 2 Suy ra    = − =⇒=                 a a a MP a NC a MPNC ; ; ; ' ; 0; . ' 0 2 2 2 MP NC ( , ') 90 ⇒=° Câu 27. Cho hình chóp A.BCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. ABC ∆ cân, cạnh bên bằng a, AD a 2 = . Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là: A. . 4 5 B. − . 2 5 C. . 4 5 D. . 1 5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Chọn hệ trục tọa độ sao cho AO(0; 0; 0) ≡ Suy ra Ba C a D a ( ; 0; 0); (0; ; 0); (0; 0; 2 ) Ta có DB a a DC a a ( ; 0; 2 ); (0; ; 2 ) −−       = = =              DB DC DB DC DB DC DB DC . 4 cos( , ) cos( ; ) . 5 . Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AC = 5 . SAC ∆ vuông cân tại A. K là trung điểm của cạnh SD. Hãy xác định cosin góc giữa đường thẳng CK và AB? A. 4 . 17 B. 2 . 11 C. 4 . 22 D. 2 . 22 Hướng dẫn giải Vì ABCD là hình chữ nhật nên = −= AD AC CD 22 1 Chọn hệ trục tọa độ sao cho AO(0; 0; 0) ≡ Suy ra B C D (0; 2; 0); (1; 2; 0); (1; 0; 0) ( )     SK 15 0; 0; 5 ; ; 0; 22 Suy ra ( )  − −        CK AB 15 ; 2; ; 0; 2; 0 22 ( ) ( ) = = =             CK AB CK AB CK AB CK AB . 4 cos , cos ; . 22 . Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm −− A( 3; 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); − D( 2; 6;1) . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60 ° ? A. DB và AC. B. AC và CD. C. AB và CB. D.CB và CA. Hướng dẫn giải Tính tọa độ các vectơ sau đó thay vào công thức: =     dd dd u u ' cos( , ') cos( , để kiểm tra. Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz một góc 30 ° ? C D A B S z x y K Trang 20/31 A. x yz 2( 2) ( 1) ( 2) 3 0. − + − − − −= B. x yz ( 2) 2( 1) ( 1) 2 0. − + − − + − = C. x yz 2( 2) ( 1) ( 2) 0. − + −− − = D. x yz 2( 2) ( 1) ( 1) 2 0. − + −− −− = Hướng dẫn giải Gọi phương trình mặt phẳng () α cần lập có dạng A x By C z n A B C ( 2) ( 1) ( 1) 0; ( ; ; ) − + −+ + =  Oz có vectơ chỉ phương là k(0; 0;1)  . Áp dụng công thức nk Oz nk . sin(( ), ) sin30 . α = = °    Sau khi tìm được các vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để viết phương trình mặt phẳng. Câu 31. Cho mặt phẳng Px y z ( ):3 4 5 8 0 + + + =. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x y xz ( ): 2 1 0; ( ): 2 3 0 α β − += − − = . Góc giữa d và (P) là: A. ° 120 . B. ° 60 . C. ° 150 . D. ° 30 . Hướng dẫn giải Ta có P n (3; 4; 5)  d n nn , (2;1;1) αβ  = =        Áp dụng công thức Pd P d nu Pd nu . 3 sin(( ), ) 2 . = =       . Câu 32. Gọi α là góc giữa hai vectơ AB CD ,     . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. ABCD AB CD . cos . α   =           . B. α =          ABCD AB CD . cos . . C. α =         ABCD AB CD . sin . , D. ABDC AB DC . cos . α =          Hướng dẫn giải Áp dụng công thức ở lý thuyết. Câu 33. Cho ba mặt phẳng P xy z Q xy z R x y z ( ): 2 2 3 0; ( ): 2 1; ( ): 2 2 2 0 − + + = − − −= + + −= . Gọi 12 3 ;; αα α lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng. A.α αα >> 1 32 . B. α αα >> 2 31 . C.α αα > > 3 21 . D.α αα > > 1 23 . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính góc rồi so sánh các giá trị đó với nhau. VẬN DỤNG Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng ( ) : 22 0 x y zm α + + + = vàđiểm ( ) 1;1;1 A . Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) α bằng 1? A. − 2. B. − 8. C. − 2 hoặc 8 − . D. 3. Hướng dẫn giải: ( ) ( ) 53 2 5 ,1 53 8 3 mm m dA mm α += =− +  == ⇔⇔  +=− =−  Trang 21/31 Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng ( ) α cắt các trục ,, Ox Oy Oz lần lượt tại 3 điểm ( ) 2;0;0 A − , ( ) 0;3;0 B , ( ) 0;0;4 C . Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) ABC là A. 61 . 12 B.4. C. 12 61 . 61 D.3. Hướng dẫn giải Cách 1: ( ) : 1 6 4 3 12 0 234 x yz x y z α + + =⇔ − − + = − ; ( ) ( ) 12 61 , 61 d O ABC = Cách 2: Tứ diệnOABC có ,, OA OB OC đôi một vuông góc, khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 1 1 1 61 12 61 , 144 61 , d O ABC OA OB OC d O ABC = + + = ⇒ = Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ 0 2 2 20 y x y z =   − − − =  Oxyz cho điểm ( ) 1;0;0 M và ( ) 0;0; 1 N − , mặt phẳng ( ) P qua điểm , MN và tạo với mặt phẳng ( ) : 40 Q x y − − =một góc bằng O 45 . Phương trình mặt phẳng ( ) P là A. 0 2 2 20 y xy z =   − − −=  . B. 0 2 2 20 y x y z =   −− + =  . C. 2 2 20 2 2 20 x y z x y z −− +=   − − − =  . D. 2 2 20 . 2 2 20 xz xz − +=   − − =  Hướng dẫn giải Gọi vectơ pháp tuyến của mp ( ) P và ( ) Q lần lượt là ( ) ;; P n abc  ( ) 2 22 0 abc + + ≠ , Q n  ( ) ( ) ( ) ( ) qua 1;0;0 : 1 0 P M P a x by cz ⇒ − + + = ( ) P qua ( ) 0;0; 1 N − 0 ac ⇒ += ( ) P hợp với ( ) Q góc O 45 ( ) O 22 0 1 , 45 2 2 22 PQ a ab cos n n cos a b ab = −  ⇒ =⇔ =⇔  = − +      Với 00 ac =⇒= chọn 1 b = phương trình ( ) :0 P y = Với 2 a b = − chọn 12 ba =−⇒ = phương trình mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0 P x y z − − − =. Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm ( ) 2; 0; 1 A − , đường thẳng d qua điểm A và tạo với trục Oy góc O 45 . Phương trình đường thẳng d là A. 21 21 5 2 1 21 5 x yz x yz + −  = =  −  + −  = =  − −  . B. 21 21 5 21 21 5 x yz x yz −+  = =  −  −+  = =  − −  C. 21 21 5 21 21 5 x yz x yz + −  = =  −  −+  = =  −  D. 2 1 21 5 21 21 5 x yz x yz + −  = =  − −  −+  = =  −  Hướng dẫn giải Trang 22/31 Cách 1: Điểm ( ) 0; ;0 M m Oy ∈ , ( ) 0;1;0 j  là vectơ chỉ phương của trục .Oy , ( ) 2; ; 1 AM m −−    ( ) O 2 1 cos , cos 45 5 2 5 m AM j m m = ⇔ = ⇔= ± +     nên có 2 đường thẳng: 2 12 1 ; 2 12 1 55 x yz x y z + −+ − = = = = −− − Cách 2: ( ) ( ) 11 1 2; 5; 1 cos , 2 u uj − ⇒ =    ; ( ) ( ) 22 1 2; 5; 1 cos , 2 u uj − − ⇒ =    Đường thẳng d đi qua điểm ( ) 2;0;1 A − nên chọn đáp án A. Câu 38. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 30 P x y z + + − = và mặt phẳng ( ) : 10 Q x y z − + − =. Khi đó mặt phẳng ( ) R vuông góc với mặt phẳng ( ) P và ( ) Q sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) R bằng 2 , có phương trình là A. 2 2 22 0 − − = xz . B. 22 0 xz −− = . C. 22 0 xz −+ =. D. 22 0 22 0 xz xz  −+ =  −− =   . Hướng dẫn: ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 1; 1;1 , 2;0; 2 P Q PQ n n n n   −⇒ = −           Mặt phẳng ( ) ( ) ( ) 42 : 2 2 0 , 2 8 42 D D R x z D dO R D  = − + = ⇒ = = ⇒  = −   Vậy phương trình mp ( ) : 22 0; 22 0 R xz xz −+ = −− = Câu 39. Tập hợp các điểm ( ) ; ; M x yz trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng ( ) : 2 30 Px y z + − − = và ( ) : 2 50 Qx y z + − += thoả mãn: A. 2 10 xy z + − +=. B. 2 40 xy z + − += . C. 2 20 xy z + − +=. D. 2 40 xy z + − −= . Hướng dẫn: ( ) ; ; M x yz . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2 5 ,, 66 xy z xy z dM P dM Q +− − +− + = ⇔= 2 3 2 5 2 10 xy z xy z xy z ⇔ +− − = +− + ⇔ +− + = Câu 40. Tập hợp các điểm ( ) ; ; M x yz trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng ( ) : 2 2 7 0 Px y z − − −=và mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 Q xy z + + += thoả mãn: A. 3 4 8 0. xy z + + += B. 3 4 8 0 3 60 + + + =   − −=  xy z xy . C. 3 6 0. x y − −= D.3 3 4 8 0. + + += x y z Hướng dẫn giải Cho điểm ( ) ;; , M x yz ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 7 2 21 ,, 33 x y z xy z dM P dM Q − − − ++ + =⇔= 3 4 80 3 60 xy z xy + + +=  ⇔  − − =  . Trang 23/31 Câu 41. Trong không gian Oxyz cho điểm M thuộc trục Oxcách đều hai mặt phẳng ( ) : 2 30 P xy z + − − = và ( ) Oyz .Khitọa độ điểm M là A. 3 ;0;0 1 6   +  và 3 ;0;0 . 61   −  B. 3 ;0;0 1 6   +  và 3 ;0;0 . 16   −  C. 61 ;0;0 3   −       và 61 ;0;0 . 3  +    D. 1 6 ;0;0 3  +    và 16 ;0;0 . 3  −    Hướng dẫn giải: Điểm ( ) ;0;0 M m Ox ∈ ; ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ,, 6 m dM P dM P m − = ⇔= 3 36 1 6 3 36 16 m mm mm m  =   − = +  ⇔⇔   − =−   =  −  Câu 42. Trong không gianOxyz cho điểm ( ) 3; 2;4 A − và đường thẳng 5 1 2 : 23 2 x yz d − −− = = − . Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho M cách A một khoảng bằng 17 . Tọa độ điểm M là A. ( ) 5;1;2 và ( ) 6; 9; 2 . B. ( ) 5;1;2 và ( ) 1; 8; 4 . −− − C. ( ) 5; 1;2 − và ( ) 1; 5;6 . − D. ( ) 5;1;2 và ( ) 1; 5;6 . − Hướng dẫn giải Cách 1: ( ) 5 2 ;1 3 ;2 2 M t t td + + − ∈ ; ( ) 2 2 ;3 3 ; 2 2 AM m m m + + − −    ( ) ( ) ( ) 2 5;1;2 0 17 17 1 17 2 1; 5;6 M m AM m m M  =  ⇒ = ⇔ + =⇔ ⇒   = − −    Cách 2: Kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng d có 2 cặp điểm trong đáp án B và C thuộcđường thẳng d . Dùng công thức tính độ dài AM suy ra đáp án C thỏa mãn. Câu 43. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( ) 1;2;1 A , ( ) 2;1;3 B − , ( ) 2; 1;1 C − và ( ) 0;3;1 D . Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua 2 điểm , A B sao cho khoảng cách từ C đến ( ) P bằng khoảng cách từ D đến ( ) P là A. 4 2 7 10 . 2 3 50 x y z x z − + −=   + −=  B. 2 3 5 0. x z + −= C. 4 2 7 15 0. x y z + + − = D. 4 2 7 15 0 . 2 3 50 x y z x z + + − =   + −=  Hướng dẫn giải: Trường hợp 1: ( ) P qua AB và song song với CD , khi đó: ( ) P có vectơ pháp tuyến là ( ) , 8; 4; 14 AB CD  =−− −      và ( ) CP ∉ ( ) : 4 2 7 15 0. P x y z ⇒ + + − = Trường hợp 2: ( ) P qua AB cắt CD tại trung điểm I của đoạn CD . Ta có ( ) ( ) 1;1;1 0; 1;0 I AI ⇒−  , vectơ pháp tuyến của ( ) P là ( ) , 2;0;3 AB AI  =      nên phương trình ( ) :2 3 5 0 P xz + −=. VẬN DỤNG CAO Trang 24/31 Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng 12 : 1 12 xy z d − + = = − − và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc ( ) mp P ? A. ( ) 3;0;4 . E − B. ( ) 3;0;2 . M C. ( ) 1; 2; 1 . N −− − D. ( ) 1;2;1 . F Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ;; ; 0 n abc n ≠   là VTPT của ( ) P ; α là góc tạo bởi ( ) P và Oy , α lớn nhất khi sin α lớn nhất. Ta có n  vuông góc với d u  nên ( ) 2 ; ; n b cb c +  ( ) 22 sin cos , 2 54 α = = ++  b nj b c bc Nếu 0 b = thì sin = 0. α Nếu 0 b ≠ thì 2 1 sin 52 6 5 5 c b α =   + +     . Khi đó, sin α lớn nhất khi 2 5 c b = − ⇒ chọn 5; 2 bc = = − Vậy, phương trình mp ( ) P là 5 2 90 xyz + − +=. Do đó ta có ( ) NP ∈ . Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) ( ) 0; 1; 2 , 1; 1; 3 −− M N . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua , MN và tạo với mặt phẳng ( ) :2 2 2 0 Q xy z − − − = góc có số đo nhỏ nhất. Điểm ( ) 1;2;3 A cách mp ( ) P một khoảng là A. 3. B. 53 . 3 C. 7 11 . 11 D. 4 3 . 3 Hướng dẫn giải: ( ) P có VTPT n  vuông góc với ( ) 1;2;1 MN −    nên ( ) 2 ;; + n b cb c  . Gọi α là góc tạo bởi ( ) P và ( ) Q , α nhỏ nhất khi cos α lớn nhất. Ta có 22 cos 5 2 4 b b c bc = + + α Nếu 0 b = thì cos = 0. α Nếu 0 b ≠ thì 2 1 cos 2 13 c b =  ++   α . Khi đó, cos α lớn nhất khi 1 c b = −⇒ chọn 1; 1 bc = = − Vậy, phương trình mp ( ) P là 30 x yz + − +=. Do đó ( ) ( ) ,3 dA P = . Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho ( ) : 2 2 10 Px y z − + −= và 2 đường thẳng 12 1 9 1 31 : ;: 11 6 2 1 2 x yz x y z + + − − + ∆== ∆ == − . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1 ∆ , M có toạ độ là các số nguyên, M cách đều 2 ∆ và ( ). P Khoảng cách từ điểm M đến ( ) mp Oxy là A.3. B. 2 2. C.3 2. D. 2. Hướng dẫn giải: Trang 25/31 C A B H Gọi ( ) 1; ;6 9 , Mt t t t − − ∈  . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 , ,, ,   ∆= ⇔ = MM u dM dM P dM P u      2 11 20 29 88 68 3 t tt − ⇔ − + = với ( ) 02 1;3; 1 M − ∈∆ 1 1 53 35 t t t t ∈ =   ⇔ → =  =   Vậy, ( ) ( ) 0; 1;3 ,(Ox ) 3. M dM y −⇒ = Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 2 điểm ( ) ( ) 1;5;0 ; 3;3;6 AB và đường thẳng 11 : 2 12 x yz d +− = = − . Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là A. 29. B. 29. C. 33. D. 7. Hướng dẫn giải: Ta có 2 đường thẳng AB và d chéo nhau. Gọi C là điểm trên d và H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB . Vì 1 11 2 ABC S AB CH CH = ⋅= ⋅ nên ABC S nhỏ nhất khi CH nhỏ nhất CH ⇔ là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AB và d . Ta có ( ) 1; 0; 2 29 ⇒= C AC . Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm ( ) 10;2;1 A và đường thẳng 11 : 21 3 x yz d − − = = . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ( ) P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm ( ) 1;2;3 M − đến mp ( ) P là A. 97 3 . 15 B. 76 790 . 790 C. 2 13 . 13 D. 3 29 . 29 Hướng dẫn giải: ( ) P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d nên ( ) P chứa đường thẳng d ′ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d . Gọi H là hình chiếu của A trên d , K là hình chiếu của H trên ( ) P . Ta có ( ) ( ) , d d P HK AH = ≤ ( AH không đổi) ⇒ GTLN của ( , ( )) dd P là AH ⇒ ( ) ( ) , dd P lớn nhất khi AH vuông góc với ( ) P . Khi đó, nếu gọi ( ) Q là mặt phẳng chứa A và d thì ( ) P vuông góc với ( ) Q . P d' d H K A Trang 26/31 ( ) ( ) ( ) ( ) , 98;14; 70 97 3 :7 5 77 0 , . 15 P d Q n un P x y z dM P  ⇒= = −  ⇒ + − − = ⇒ =   Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) 2;5;3 A và đường thẳng 12 : 21 2 x yz d − − = = . Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) P lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 1;2; 1 M − đến mặt phẳng ( ) P . A. 11 18 . 18 B.3 2. C. 11 . 18 D. 4 . 3 Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của A trên d ; K là hình chiếu của A trên ( ) P . Ta có ( ) ( ) , d A P AK AH = ≤ (Không đổi) ⇒ GTLN của ( , ( )) dd P là AH ( ) ( ) , dA P lớn nhất khi KH ≡ . Ta có ( ) 3;1;4 H , ( ) P qua H và ⊥ AH ( ) : 4 30 Px y z ⇒ − +−= Vậy ( ) ( ) 11 18 , 18 dM P = . Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 20 Px y z + − + = và hai đường thẳng 1 : 22 xt d yt zt = +   =   = +  ; 3 ': 1 . 12 xt dy t zt ′ = −   ′ = +   ′ = −  Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với ( ) P ; cắt , dd ′ và tạo với d góc O 30 . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. A. 1 . 5 B. 1 . 2 C. 2 . 3 D. 1 . 2 Hướng dẫn giải: Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm, P n  là VTPT của mặt phẳng ( ) P . Gọi ( ) 1 ; ;2 2 M tt t + + là giao điểm của ∆ và d ; ( ) 3 ;1 ;1 2 M tt t ′ ′′ ′ −+ − là giao điểm của ∆ và ' d Ta có: ( ) ' 2 ;1 ; 1 2 2 MM tt tt t t ′′ ′ − − + − − − −    MM ′ // ( ) ( ) ( ) 2 4 ; 1 ;3 2 P MP P t MM t t t MM n  ∉  ′′ ⇔ ⇔ = − ⇒ − −− −  ′ ⊥            Ta có ( ) O 2 4 69 3 cos30 cos , 1 2 36 108 156 d t t MM u t tt = −+  ′ = ⇔ = ⇔  = − −+      P d' A K H Trang 27/31 Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là 12 5 : 4 ;: 1 10 x x t yt y z t zt ′ = =  ∆ =+ ∆ = −   ′ =+=  . Khi đó, ( ) 1 2 1 cos , . 2 ∆∆ = Câu 51. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0;1 ; 3; 2;0 ; 1;2; 2 A B C −− . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ( ) P lớn nhất biết rằng ( ) P không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( ) P ? A. ( ) 2; 0; 3 . G − B. ( ) 3; 0; 2 . F − C. ( ) 1;3;1 . E D. ( ) 0;3;1 H Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm đoạn BC ; các điểm , , BC I ′′ ′ lần lượt là hình chiếu của , , BC I trên ( ) P . Ta có tứ giác BCC B ′′ là hình thang và II ′ là đường trung bình. ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2 . d B P d C P BB CC II ′ ⇒ + = += ′′ Mà II IA ′ ≤ (với IA không đổi) Do vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) , , d B P dC P + lớn nhất khi IA ′ ≡ ( ) P ⇒ đi qua A và vuông góc IA  với ( ) 2;0; 1 . I − ( ) ( ) ( ) : 2 1 0 1;3;1 . P xz E P ⇒ −+ −= ⇒ ∈ Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho các điểm ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A B b C c trong đó , bc dương và mặt phẳng ( ) : 1 0 P yz − += . Biết rằng ( ) mp ABC vuông góc với ( ) mp P và ( ) ( ) 1 , 3 d O ABC = , mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1. bc += B. 2 1. bc += C. 3 1. b c −= D. 3 3. bc += Hướng dẫn giải: Ta có phương trình mp( ) ABC là 1 1 x y z bc + += ( ) ( ) 11 0 (1) ABC P b c bc ⊥ ⇒ − = ⇒= Ta có ( ) ( ) 22 22 1 1 1 11 , 8(2) 33 11 1 d O ABC bc bc =⇔ =⇔ += ++ Từ (1) và (2) 1 1 2 b c b c ⇒ = = ⇒ += . Câu 53. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;2;3 ; 0;1;1 ; 1;0; 2 A BC − . Điểm ( ) : 20 M Px y z ∈ + ++ =sao cho giá trị của biểu thức 222 23 T MA MB MC = ++ nhỏ nhất. Khi đó, điểm M cách ( ) :2 2 3 0 Q x y z − − += một khoảng bằng A. 121 . 54 B. 24. C. 2 5 . 3 D. 101 . 54 P B C B' C' A I' I Trang 28/31 Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ; ; M x yz . Ta có 2 22 6 6 6 8 8 6 31 T x y z xy z = + + −− + + 2 22 2 2 1 145 6 3 3 26 Tx y z        ⇒ = − + − + +                2 145 6 6 T MI ⇒= + với 22 1 ; ; 33 2 I  −   T ⇒ nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất M ⇒ là hình chiếu vuông góc của I trên ( ) P 5 5 13 ;; 18 18 9 M  ⇒ −−−   . BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 54. Cho mặt phẳng xy z x y z ( ): 2 1 0; ( ):5 2 11 3 0 αβ + − −= + + − = . Góc giữa mặt phẳng () α và mặt phẳng ( ) β bằng A. 120 . ° B. 30 . ° C.150 . ° D.60 . ° Câu 55. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình xy 3 0. + − = Điểm H(2; 1; 2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng A.45 . ° B. 30 . ° C.60 . ° D. 120 . ° Câu 56. Cho vectơ ( ) u v uv 2; 1; , 3 π = = =    . Gócgiữa vectơv  và vectơ uv −   bằng: A. 60 . ° B. 30 . ° C.90 . ° D.45 . ° Câu 57. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 3 11 :, 9 51 − +− = = x yz x yz 2 3 3 90 : 2 3 0  − − += ∆  − ++ =  . Góc giữa đường thẳng d và đường thẳng ∆ bằng A.90 . ° B. 30 . ° C.0. ° D. 180 . ° Câu 58. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng xy z ( ):2 2 10 0; α − −−= đường thẳng x yz d 11 3 : 12 3 −− + = = . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () α bẳng A. 30 . ° B.90 . ° C. 60 . ° D.45 . ° Câu 59. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, phương trình các đường thẳng qua A(3; – 1;1), nằm trong (P): – – 5 0 += x yz và hợp với đường thẳngd: 2 1 22 − = = xy z một góc 45 0 là A.  = + = +  ∆ =−+ ∈ ∆ =−− ∈   = = −  xt x t y t tR y t tR z zt 12 3 33 :1 , ; :1 2 , . 1 15 B.   = += +   ∆ =−+ ∈ ∆ =−+ ∈     = = +   xt x t y t tR y t tR z zt 12 3 2 3 15 :1 2 , ; :1 38 , . 1 1 23 C.  = + = +  ∆ =−+ ∈ ∆ =−− ∈   = = −  xt x t y t tR y t tR z zt 12 3 3 15 :1 , ; :1 8 , . 1 1 23 Trang 29/31 D.  = − = +  ∆ =−− ∈ ∆ =−− ∈   = += −  xt x t y t tR y t tR zt z t 12 3 3 15 :1 , ; :1 8 , . 1 1 23 Câu 60. Cho hình lập phương ABCD A B C D .' ' ' ' có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A B BC DD ' ', , ' . Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (MNP) là A. 30 . ° B. ° 120 . C. 60 . ° D.90 . ° Câu 61. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz gọi(P) là mặt phẳng chứa đường thẳng 1 2 : 2 3 xt dy t zt = +   = −   =  và tạo với trục Ox góc có số đo lớn nhất.Khi đó, khoảng cách từ điểm ( ) 1; 4;2 A − đến ( ) mp P là A. 12 35 . 35 B. 4 3 . 3 C. 20 6 . 9 D. 26 . 3 Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) ( ) 2;1; 12 , 3;0;2 MN − . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua , MN và tạo với mặt phẳng ( ) :2 2 3 4 0 Q x yz + − + = góc có số đo nhỏ nhất. Điểm ( ) 3;1;0 A cách mp ( ) P một khoảng là A. 6 13 . 13 B. 22 . 11 C. 6 . 2 D. 1 . 22 Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho ( ) : 7 0 P x yz + −− = và hai đường thẳng 12 11 2 2 3 4 : ;: 11 1 2 3 5 x y z x y z − − − − − + ∆= = ∆ = = − . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1 ∆ , M có toạ độ là các số dương, M cách đều 2 ∆ và ( ). P Khoảng cách từ điểm M đến mp( P ) là A. 2 3. B. 2. C. 7. D. 2 . 3 Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 2 điểm ( ) ( ) 1; 4;3 ; 1;0;5 AB − và đường thẳng 3 : 3 2. 2 xt dy t z = −   = +   = −  Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa điểm C và gốc toạ độ O là A. 6. B. 14. C. 14. D. 6. Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) 2;5;3 A và đường thẳng 12 :. 21 2 x yz d − − = = Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ( ) P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm ( ) 2;0; 3 B − đến mp ( ) P là A. 72 . 3 B. 52 . 3 C. 7. D. 18 . 18 Trang 30/31 Câu 66. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho điểm ( ) 4; 3;2 A − và đường thẳng 43 : 2 2. 2 xt dy t zt = +   = +   =−−  Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) P lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 2;1; 3 B−− đến mặt phẳng ( ) P đó. A. 2 3. B. 2. C. 0. D. 38. Câu 67. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1; 1; 2 ; 1; 2; 1 ; 3; 4; 1 −− − A B C . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ( ) P lớn nhất biết rằng (P) không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( ) P ? A. ( ) 1;2;0 . F − B. ( ) 2; 2;1 . E − C. ( ) 2;1; 3 . G − D. ( ) 1; 3;1 . H − Câu 68. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho các điểm ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0;2;0 , 0;0; Aa B C c trong đó , ac dương và mặt phẳng ( ) :2 3 0 P x z −+=. Biết rằng ( ) mp ABC vuông góc với ( ) mp P và ( ) ( ) 2 , 21 d O ABC = , mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 3. ac += B. 2 5. ac += C. 1. ac − = D. 4 3. ac − = Câu 69. Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2; 2; 3 ; 1; 1; 3 ; 3; 1; 1 − −− A BC . Điểm ( ) : 2 80 M Px z ∈ + −= sao cho giá trị của biểu thức 22 2 23 T MA MB MC = ++ nhỏ nhất. Khi đó, điểm M cách ( ) : 2 2 60 Q x yz −+ − − = một khoảng bằng A. 2 . 3 B.2. C. 4 . 3 D. 4. Câu 70. Tính khoảng cách từ điểm H(3; – 1;– 6) đến mặt phẳng () α : 10 x yz + − += . A. 83 . 3 B. 9. C. 3 3. D. 3. Câu 71. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): 2 20 xy z ++ = và (Q) 2 2 70 xy z + + +=. A. 7 . 9 B. 7. C. 7 . 3 D. 2. Câu 72. Khoảng cách từ điểm K(1;2;3) đến mặt phẳng (Oxz) bằng A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 73. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng () α : 2 2 40 xy z + + += và đường thẳng d: 15 22 4 x t yt zt = +   = −   = −  . A. 8 . 3 B. 0. C. 4 . 3 D. 4. Câu 74. Khoảng cách từ giao điểm A của mặt phẳng ( ): 3 0 R x yz + +−= với trục Oz đến mặt phẳng () α : 2 2 10 xy z + + += bằng A. 7 . 3 B. 5 . 3 C. 4 . 3 D. 0. Câu 75. Cho hai mặt phẳng ( ): 2 1 0, ( ): 2 0 P xy z Q xy z ++ − = ++ = và đường thẳng d: 13 2. 1 = −   = +   =−+  x t yt zt Trang 31/31 Gọi ( ,( )) dd P , ( ,( )) dd Q , (( ),( )) dP Q lần lượt là khoảng cách giữa đường thẳng d và (P), d và (Q), (P) và (Q). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A. ( ,( )) 0. dd P = B. 6 ( ,( )) . 2 dd Q = C. (( ),( )) 0. dP Q = D. ( ,( )) 0. dd Q = Câu 76. Khoảng cách từ điểm ( 2;1;0) C − đến mặt phẳng (Oyz) và đến đường thẳng ∆ : 1 4 62 xt yt zt = +   = +   = +  lần lượt là 1 d và 2 d . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: B. 1 d > 2 . d B. 1 d = 2 . d C. 1 d 0. = D. 2 d =1. Câu 77. Khoảng cách từ điểm (1;1;1) B đến mặt phẳng (P) bằng 1. Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. (P): 2 – 2 6 0. xy z + += B. (P): – 3 0. ++ = xy z B. (P): 2 2 – 2 0. xy z ++ = D. (P): – 3 0 ++ = xy z . Câu 78. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 xy z α − + += và mặt phẳng ( ) :2 2 5 0 xy z β − + +=. Tập hợp các điểm M cách đều mặt phẳng ( ) α và ( ) β là A. 2 2 3 0. x y z − + += B. 2 2 3 0. x y z − − += C. 2 2 3 0. x y z − + −= D. 2 2 3 0. xy z + + += Câu 79. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 x yz α − + += và mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 xy z β − + += . Tập hợp các điểm cách đều mặt phẳng ( ) α và ( ) β là A. 20 . 3 3 4 40 x y xy z −+=   + + +=  B. 20 . 3 3 4 40 x y xy z −+=   − + +=  C. 20 . 3 3 4 40 x y xy z −+=   − + +=  D. 20 . 3 3 4 40 xy xy z + +=   − + += 