Chuyên đề góc và khoảng cách trong không gian – Nguyễn Nhanh Tiến

LogaVN 6 năm trước 451 lượt xem 10 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Chuyên đề góc và khoảng cách trong không gian – Nguyễn Nhanh Tiến". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh H÷îng tîi k¼ thi THPTQG 2019 GÓC - KHOẢNG CÁCH x1. C¡c d¤ng to¡n li¶n quan ¸n t½nh Gâc 1. 1 Gâc giúa hai ÷íng th¯ng Gâc giúa hai ÷íng th¯nga v b trong khæng gian l gâc giúa hai ÷íng th¯ng a 0 v b 0 còng i qua mët iºm v l¦n l÷ñt song song vîi a v b. a a 0 b b 0 O L º x¡c ành gâc giúa hai ÷íng th¯ng a v b ta câ thº l§y iºm O thuëc mët trong hai ÷íng th¯ng â rçi v³ mët ÷íng th¯ng qua O v song song vîi ÷íng th¯ng cán l¤i. L N¸u # u v # v l¦n l÷ñt l vec-tì ch¿ ph÷ìng cõa a v b, çng thíi ( # u; # v ) = th¼ gâc giúa hai ÷íng th¯ng a v b b¬ng n¸u 0 90 v b¬ng 180 n¸u 90 < 180 . L N¸u a v b l hai ÷íng th¯ng song song ho°c tròng nhau th¼ gâc giúa chóng b¬ng 0 . ! X¡c ành gâc giúa hai ÷íng th¯ng trong khæng gian. Ta th÷íng câ hai ph÷ìng ph¡p º gi£i quy¸t cho d¤ng to¡n n y. ¹ Ph÷ìng ph¡p 1: Sû döng ành ngh¾a gâc giúa hai ÷íng th¯ng, k¸t hñp sû döng h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c (ành lþ cos, cæng thùc trung tuy¸n). ¹ Ph÷ìng ph¡p 2: Sû döng t½ch væ h÷ìng cõa hai vec-tì. V½ dö 1. 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 1 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Cho tù di»n ABCD câ AB vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (BCD). Bi¸t tam gi¡c BCD vuæng t¤i C v AB = a p 6 2 , AC =a p 2, CD =a. Gåi E l trung iºm cõa AC (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v DE b¬ng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . B D E A C  H÷îng d¨n gi£i: Gåi I l trung iºm cõa BC, suy ra EIkAB. Khi â (AB;DE) = (EI;ED) = [ IED. Ta câ 8 < : DC?BC (gi£ thi¸t) DC?AB (AB? (BCD)) )DC? (ABC), suy ra DC vuæng gâc vîi EC. Do â DE 2 =CD 2 +EC 2 =CD 2 + AC 2 4 = 3a 2 2 )DE = a p 6 2 : Ta câ IE = AB 2 = a p 6 4 v BC 2 =AC 2 AB 2 = a 2 2 : Tam gi¡c ICD vuæng t¤i C n¶n DI 2 =CD 2 +IC 2 =CD 2 + BC 2 4 = 9a 2 8 : B D E A C I p döng ành lþ cæ-sin cho tam gi¡c IDE, ta câ cos [ IED = IE 2 +DE 2 CD 2 2IEDE = 3a 2 8 + 3a 2 2 9a 2 8 2 a p 6 4 a p 6 2 = 1 2 ) [ IED = 60 : Vªy gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v DE b¬ng 60 : ! Câ thº chùng minhEI vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (BCD), suy ra tam gi¡cEID vuæng t¤iI º t½nh gâc [ IED ìn gi£n hìn m khæng c¦n sû döng ành lþ cæ-sin. V½ dö 2. Cho tù di»nABCD câAB vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (BCD). Bi¸t tam gi¡cBCD vuæng t¤i C v AB = a p 6 2 , AC =a p 2, CD =a. Gåi E l trung iºm cõa AD (tham kh£o h¼nh v³ d÷îi ¥y). 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 2 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh B D E C A Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v CE b¬ng A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi F l trung iºm cõa BD, suy ra EF k AB n¶n (AB;CE) = (EF;CE). Do AB ? (BCD) n¶n EF ? (BCD), suy ra4EFC vuæng t¤i F. M°t kh¡c 8 < : CD?BC CD?AB )CD?AC. Ta câ EF = 1 2 AB = a p 6 4 , AD = p AC 2 +CD 2 =a p 3. 4ACD vuæng t¤i C v câ E l trung iºm cõa AD n¶n CE = 1 2 AD = a p 3 2 . cos [ CEF = EF EC = p 2 2 ) [ CEF = 45 . Vªy (AB;CE) = (EF;CE) = [ CEF = 45 : B D E C F A V½ dö 3. Cho h¼nh l«ng trö ùng tam gi¡c ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c c¥n AB = AC = a, [ BAC = 120 , c¤nh b¶n AA 0 = a p 2. T½nh gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB 0 v BC (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . B C B 0 C 0 A A 0  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 3 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Düng AP sao cho song song v b¬ng vîi CB nh÷ h¼nh v³. Suy ra (BC;AB 0 ) = (AP;AB 0 ): Ta câ AP =CB =a p 3: Ta l¤i câ AB 0 = p B 0 B 2 +AB 2 =a p 3; B 0 P = p B 0 B 2 +PB 2 =a p 3. Vªy4APB 0 ·u n¶n (BC;AB 0 ) = (AP;AB 0 ) = 60 : B 0 C C 0 A A 0 B P V½ dö 4. Cho tù di»n ·u ABCD câ M l trung iºm cõa c¤nh CD (tham kh£o h¼nh v³), ' l gâc giúa hai ÷íng th¯ng AM v BC. Gi¡ trà cos' b¬ng A. p 3 6 . B. p 3 4 . C. p 2 3 . D. p 2 6 . M A B C D  H÷îng d¨n gi£i: Gi£ sû c¤nh cõa tù di»n ·u b¬ng a. Ta câ: # CB: # AM = # CB ( # CM # CA) = # CB # CM # CB # CA = CBCM cos \ ACMCBCA cos [ ACB = a 2 4 : cos' = cos # BC; # AM = # BC # AM BCAM = p 3 6 . V½ dö 5. Chotùdi»nABCD câAB vuænggâcvîim°tph¯ng (BCD). Bi¸t tam gi¡cBCD vuæng t¤iC v AB = a p 6 2 ,AC =a p 2, CD =a. Gåi E l trung iºm cõa AD (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v CE b¬ng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . A E B D C  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 4 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh GåiH l trung iºm cõaBD. Khi âEHkAB v EH? (BCD). Gâc giúa AB v CE b¬ng gâc giúa EH v EC v b¬ng \ HEC. Ta câ EH = 1 2 AB = a p 6 4 , BC = p AC 2 AB 2 = a p 2 2 , CH 2 = 2(CB 2 +CD 2 )BD 2 4 = 3a 2 8 )CH = a p 6 4 . V¼ tan \ HEC = CH EH = a p 6 4 a p 6 4 = 1 n¶n \ HEC = 45 . Vªy gâc giúa AB v CE b¬ng 45 . A E B D C H V½ dö 6. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 . Gâc giúa A 0 C 0 v D 0 C l A. 120 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .  H÷îng d¨n gi£i: Ta câ A 0 C 0 kAC n¶n (A 0 C 0 ;D 0 C) = (D 0 C;AC): D¹ th§y tam gi¡c ACD 0 l tam gi¡c ·u n¶n \ D 0 CA = 60 , do â (A 0 C 0 ;D 0 C) = (D 0 C;AC) = 60 : A B C D A 0 D 0 C 0 B 0 V½ dö 7. Cho h¼nh châp S:ABC câ SA =SB =SC =AB =AC = 1, BC = p 2. T½nh gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB, SC. A. 45 . B. 120 . C. 30 . D. 60 .  H÷îng d¨n gi£i: Ta câ AB 2 +AC 2 = 2 =BC 2 ) ABC vuæng t¤i A. cos # AB; # SC = # AB # SC # AB # SC = # AB # AC # AS 1 1 = # AB # AC # AB # AS = 0 1 1 cos 60 = 1 2 : Suy ra # AB; # SC = 120 . Do â gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v SC b¬ng 180 120 = 60 . C B S A p 2 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 5 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 8. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 c¤nh a. Gåi M; N; P l¦n l÷ñt l trung iºm c¡c c¤nh AB, BC, C 0 D 0 . X¡c ành gâc giúa hai ÷íng th¯ng MN v AP. A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .  H÷îng d¨n gi£i: DoAC song song vîiMN n¶n gâc giúa hai ÷íng th¯ng MN v AP b¬ng gâc giúa hai ÷íng th¯ng AC v AP. T½nh ÷ñc PC = a p 5 2 ; AP = 3a 2 ; AC =a p 2. p döng ành lþ cosin cho4ACP ta câ cos [ CAP = AP 2 +AC 2 PC 2 2APAC = 9a 2 4 + 2a 2 5a 2 4 2 3a 2 a p 2 = p 2 2 ) [ CAP = 45 : Vªy gâc giúa hai ÷íng th¯ng MN v AP b¬ng 45 : P A 0 B B 0 M C C 0 N A D D 0 V½ dö 9. Cho h¼nh châp S:ABC câ t§t c£ c¡c c¤nh ·u b¬ng a. Gåi I;J l¦n l÷ñt l trung iºm cõa SA, BC. T½nh sè o cõa gâc hñp bði IJ v SB. A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .  H÷îng d¨n gi£i: A C B S I J M Gåi M l trung iºm cõa AB. Khi â IM l ÷íng trung b¼nh cõa tam gi¡c SAB n¶n IMk SB v IM = SB 2 = a 2 . T÷ìng tü MJ = a 2 . M°t kh¡c, d¹ d ng chùng minh tam gi¡c IBJ vuæng t¤i J n¶n IJ = p IB 2 IB 2 = Ì a p 3 2 2 a 2 2 = a p 2 2 : 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 6 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Tam gi¡c IMJ câ MI =MJ = a 2 ;IJ = a p 2 2 n¶n l tam gi¡c vuæng c¥n t¤i M. Suy ra (IJ;SB) = (IJ;IM) = [ MIJ = 45 (do IMkSB): V½ dö 10. Tù di»n ·uABCD c¤nha,M l trung iºm cõa c¤nh CD. Cæ-sin cõa gâc giúa AM v BD l A. p 3 6 . B. p 2 3 . C. p 3 3 . D. p 2 6 .  H÷îng d¨n gi£i: GåiN l trung iºm cõaBC. DoMNkBD n¶n gâc giúaAM v BD b¬ng gâc giúa AM v MN. Suy ra gâc c¦n t¼m l gâc \ AMN. Ta câ cos \ AMN = MA 2 +MN 2 AN 2 2MAMN = a p 3 2 2 + a 2 2 a p 3 2 2 2 a p 3 2 a 2 = p 3 6 : D M B C N A V½ dö 11. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a, c¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi ¡y, SA =a. Gåi M l trung iºm cõa SB. Gâc giúa AM v BD b¬ng A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 .  H÷îng d¨n gi£i: C¡ch 1. Ta câ 2 # AM # BD = # AS + # AB # BD = # AB # BD = ABBD cos 135 = aa p 2 p 2 2 =a 2 : Tø â cos # AM; # BD = # AM # BD AMBD = a 2 2 a p 2 2 a p 2 = 1 2 ) # AM; # BD = 120 : Vªy gâc giúa AM v BD b¬ng 60 . A B S D M C C¡ch 2. Chån h» tröc tåa ë Oxyz vîi O tròng A, c¡c tia Ox, Oy, Oz l¦n l÷ñt tròng vîi c¡c tia AB, AD, AS. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a = 1. Khi â ta câ tåa ë c¡c iºm A(0; 0; 0), 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 7 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), S(0; 0; 1), M 1 2 ; 0; 1 2 . Tø â # AM = 1 2 ; 0; 1 2 , # BD = (1; 1; 0). V cos (AM;BD) = cos # AM; # BD = # AM # BD # AM # BD = 1 2 (1) + 0 1 + 1 2 0 É 1 4 + 0 + 1 4 p 1 + 1 + 0 = 1 2 ) (AM;BD) = 60 : V½ dö 12. Cho tù di»n ABCD. Gåi M;N l¦n l÷ñt l trung iºm cõa c¡c c¤nh BC v AD. Bi¸t AB =CD = 2a;MN =a p 3. T½nh gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD. A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi P l trung iºm AC ) MP k AB;MP = 1 2 AB = a v NPkCD;NP = 1 2 CD =a. (AB;CD) = (PM;PN). Ta câ cos \ MPN = PM 2 +PN 2 MN 2 2PMPN = a 2 +a 2 3a 2 2a 2 = 1 2 . Tø â suy ra \ MPN = 120 ) (AB;CD) = 60 . A B C D P M N V½ dö 13. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AC v A 0 D b¬ng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . A 0 B B 0 C C 0 A D D 0  H÷îng d¨n gi£i: Ta câ: ACkA 0 C 0 ) (AC;A 0 D) = (A 0 C 0 ;A 0 D). M°t kh¡c: A 0 C 0 =A 0 D =DC 0 =a p 2 n¶n suy ra4A 0 DC 0 ·u. Do â (A 0 C 0 ;A 0 D) = 60 . A 0 B B 0 C C 0 A D D 0 60 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 8 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 14. Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡yABCD l h¼nh thoi t¥mO, c¤nha, gâc \ BAD = 60 , câ SO vuæng gâc vîi m°t ¡y v SO = a. Kho£ng c¡ch tø O ¸n m°t ph¯ng (SBC) l A. a p 57 19 . B. a p 57 18 . C. a p 45 7 . D. a p 52 16 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H l h¼nh chi¸u cõa O tr¶n BC, K l h¼nh chi¸u cõa O tr¶n SH. Khi â ta câ OK ? (SBC) hay d(O; (SBC)) =OK. Ta câ 1 OK 2 = 1 SO 2 + 1 OH 2 = 1 SO 2 + 1 OB 2 + 1 OC 2 : Do \ BAD = 60 n¶n \ OBC = 60 , suy ra OB = a 2 , OC = a p 3 2 . Thay v o ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc OK = a p 57 19 . S K B A O C D H V½ dö 15. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD ¡y ABCD l h¼nh vuæng, E l iºm èi xùng vîi D qua trung iºm SA. Gåi M, N l¦n l÷ñt l trung iºm cõa AE v BC. Gâc giúa hai ÷íng th¯ng MN v BD b¬ng A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 75 .  H÷îng d¨n gi£i: DoD èixùngvîiE quatrungiºmcõaSAn¶nSDAE l h¼nh b¼nh h nh, suy ra EAkSD. Ta câ # MN = # AB + # EC 2 = # AB + # ED + # DC 2 = # AB + # AD + # SD + # DC 2 = # AC + # SC 2 : S E I B A C D M N O M BD?AC v BD?SC (do BD? (SAC)) n¶n # BD # MN = # BD # AC + # SC 2 = 0: Vªy (MN;BD) = 90 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 9 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 16. Cho tù di»n ·u ABCD. Gåi M l trung iºm c¤nh BC (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). Gi¡ trà cæ-sin cõa gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v DM b¬ng A. p 3 6 . B. p 3 3 . C. p 3 2 . D. 1 2 . D B M C A  H÷îng d¨n gi£i: Gåi N l trung iºm AC. Gåi I l trung iºm MN. Ta câ 8 < : MNkAB DI?MN ) (AB;DM) = (MN;DM). Do vªy, cos(AB;DM) = cos(MN;DM) = cos \ IMD. Ta câ 8 > < > : DM = p 3 2 MI = a 4 ) cos \ IMD = p 3 6 . D B M C A N I V½ dö 17. Cho h¼nh l«ng trö tam gi¡c ·u ABC:A 0 B 0 C 0 câ AB = a v AA 0 = p 2a. Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB 0 v BC 0 b¬ng A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . B 0 B C C 0 A 0 A  H÷îng d¨n gi£i: GåiI;H l¦nl÷ñtl trungiºmcõaAB 0 v A 0 C 0 .KhiâIH l ÷íng trung b¼nh cõa4A 0 BC 0 n¶nIHkBC 0 ) (AB 0 ;BC 0 ) = (AB 0 ;IH). TacâAB 0 =a p 3,B 0 H = a p 3 2 ;AH = 3a 2 n¶nB 0 H 2 +HA 2 =AB 0 2 , hay4HAB 0 vuæng t¤i H. IH = AB 0 2 = a p 3 2 ) B 0 IH ·u, suy ra (AB 0 ;BC 0 ) = (AB 0 ;IH) = \ B 0 IH = 60 . B 0 H B C C 0 A 0 A I 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 10 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 18. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh thang vuæng t¤i A v S, SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. T½nh cæ-sin gâc giúa 2 ÷íng th¯ng SD v BC bi¸t AD = DC =a,AB = 2a, SA = 2 p 3a 3 . A. 1 p 42 . B. 2 p 42 . C. 3 p 42 . D. 4 p 42 .  H÷îng d¨n gi£i: S D C A B M Gåi M l trung iºm AB, ta câ DMkBC. Do â (BC;SD) = (DM;SD). Ta câ SD 2 =SA 2 +AD 2 = 4a 2 3 +a 2 = 7a 2 3 )SD = a p 7 p 3 . SM 2 =SA 2 +AM 2 = 4a 2 3 +a 2 = 7a 2 3 )SM = a p 7 p 3 . DM 2 =AM 2 +AD 2 =a 2 +a 2 = 2a 2 )DM =a p 2. Ta câ cos \ SDM = DS 2 +DM 2 SM 2 2DSDM = 7a 2 3 + 2a 2 7a 2 3 2 p 7a 3 a p 2 = 3 p 14 = 3 p 42 . V½ dö 19. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a, SA =a v vuæng gâc vîi ¡y. Gåi M l trung iºm cõa SB. Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AM v BD b¬ng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .  H÷îng d¨n gi£i: L§y N l trung iºm SD, suy ra MN k BD, d¨n tîi (AM;BD) = (AM;MN) = \ AMN. V¼ SA?AB)AM = SB 2 = a p 2 2 . T÷ìng tü AN = a p 2 2 . L¤i câ MN l ÷íng trung b¼nh cõa 4SBD n¶n ta câ MN = BD 2 = a p 2 2 . Suy ra4AMN l tam gi¡c ·u, n¶n \ AMN = 60 . S C B A M D N 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 11 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 20. Cho tù di»n SABC câ SA, SB, SC æi mët vuæng gâc v SA =SB =SC =a. Gåi M l trung iºm cõa BC. T½nh gâc giúa hai vec-tì # SM v # AB.  H÷îng d¨n gi£i: L C¡ch 1: Gåi l gâcgiúahaivec-tì # SM v # AB,tacâ cos = # SM # AB SMAB . Câ BC =AB = p SA 2 +SB 2 =a p 2, SM = BC 2 = a p 2 2 . M°t kh¡c ta câ # SM # AB = 1 2 ( # SB + # SC) ( # SB # SA) = 1 2 ( # SB 2 # SB # SA + # SC # SB # SC # SA) = a 2 2 Vªy cos = a 2 2a p 2 a p 2 2 = 1 2 ) = 60 . L C¡ch 2: Gåi N l trung iºm cõa AC, ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc 4SMN ·u. Câ ( # SM; # AB) = ( # SM; # NM) = ( # MS; # MN) = \ NMS = 60 . B C M S A N V½ dö 21 (Thi thû, THPT chuy¶n KHTN H Nëi, 2019). Cho tù di»n ABCD câ AB = CD = a. Gåi M, N l¦n l÷ñt l trung iºm cõa AD v BC. Bi¸t MN = p 3a, gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD b¬ng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi P l trung iºm cõa AC. Khi â, ta câ PMkCD, PNkAB. Suy ra gâc giúa AB v CD b¬ng gâc giúa PM v PN. Ta câ PM = CD 2 = a 2 ;PN = AB 2 = a 2 . X²t tam gi¡c PMN câ cos \ MPN = PM 2 +PN 2 MN 2 2PMPN = a 2 4 + a 2 4 3a 2 4 2 a 2 a 2 = 1 2 . Suy ra \ MPN = 120 . A B C D M N P Suy ra gâc giúa hai ÷íng th¯ng PM v PN b¬ng 180 120 = 60 . Vªy gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD b¬ng 60 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 12 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 22. Cho h¼nh châp S:ABC câ SA = SB = SC = AB = AC = a p 2 v BC = 2a. T½nh gâc giúa hai ÷íng th¯ng AC v SB.  H÷îng d¨n gi£i: L C¡ch 1: Ta câSAB v SAC l tam gi¡c ·u,ABC v SBC l tam gi¡c vuæng c¥n c¤nh huy·n BC. Gåi M, N, P l¦n l÷ñt l trung iºm cõa SA, AB, BC, ta câ MNkSB, NPkAC n¶n (AC;SB) = (NP;MN). MN = SB 2 = a p 2 2 , NP = AC 2 = a p 2 2 . AP =SP = BC 2 =a, SA =a p 2 N¶n4SAP vuæng c¥n t¤i P)MP = SA 2 = a p 2 2 . Vªy4MNP ·u) (AC;SB) = (NP;NM) = \ MNP = 60 . L C¡ch 2: # AC # SB = ( # SC # SA) # SB = # SC # SB # SA # SB = 0SASB cos [ ASB =a 2 . cos(AC;SB) = # AC # SB ACSB = a 2 a p 2a p 2 = 1 2 ) (AC;SB) = 60 . B C P S A M N 1. 2 Gâc giúa ÷íng th¯ng v m°t ph¯ng Cho ÷íng th¯ng d v m°t ph¯ng ( ). A O H d d 0 ' L Tr÷íng hñp ÷íng th¯ng d vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ( ) th¼ ta nâi r¬ng gâc giúa ÷íng th¯ng d v m°t ph¯ng ( ) b¬ng 90 . L Tr÷íng hñp ÷íng th¯ng d khæng vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ( ) th¼ gâc giúa ÷íng th¯ng d v h¼nh chi¸u d 0 cõa nâ tr¶n ( ) gåi l gâc giúa ÷íng th¯ng d v m°t ph¯ng ( ). º x¡c ành gâc giúa d v (P ), ta th÷íng l m nh÷ sau 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 13 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh L X¡c ành giao iºm O cõa d v (P ). L L§y mët iºm A tr¶n d (A kh¡c O). X¡c ành h¼nh chi¸u vuæng gâc (vuæng gâc) H cõa A l¶n (P ). Lóc â (d; (P )) = (d;d 0 ) = \ AOH. ! N¸u ' l gâc giúa ÷íng th¯ng d v m°t ph¯ng ( ) th¼ ta luæn câ 0 ' 90 . V½ dö 23. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y l tam gi¡c vuæng t¤i B, c¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y, AB = 2a; [ BAC = 60 v SA =a p 2. Gâc giúa ÷íng th¯ng SB v m°t ph¯ng (SAC) b¬ng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa B l¶n AC)BH?(SAC) X²t tam gi¡c ABH vuæng t¤i H, ta câ sin \ BAH = BH AB )BH =AB sin 60 =a p 3 SB = p SA 2 +AB 2 =a p 6: X²t tam gi¡c SBH vuæng t¤i H, ta câ sin \ BSH = BH SB = 1 p 2 ) \ BSH = 45 Vªy [ \ SB; (SAC)] = \ BSH = 45 : A B C S H V½ dö 24. Cho h¼nh châpS:ABC câ ¡yABC l tam gi¡c ·u c¤nha,SA? (ABC);SA = a p 2 2 . T½nh gâc giúa SC v m°t ph¯ng (SAB): A. = 45 . B. = 30 . C. = 90 . D. = 60 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H l trung iºm AB ) CH ? AB m°t kh¡c SA ? CH)CH? (SAB)) (SC; (SAB)) = [ HSC SC = p SA 2 +AC 2 =a É 3 2 ; CH = a p 3 2 ) sin [ HSC = HC SC = p 2 2 ) = 45 : A C B H S V½ dö 25. 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 14 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Cho h¼nh trö ·uABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ t§t c£ c¡c c¤nh ·u b¬ng 1 (tham kh£o h¼nh v³). Gåi ' l gâc hñp bði ÷íng th¯ng AC 0 vîi m°t ph¯ng (BCC 0 B 0 ). T½nh sin'. A. sin' = p 10 4 . B. sin' = p 6 4 . C. sin' = p 3 4 . D. sin' = p 13 4 . B B 0 A 0 C 0 C A 1 1 1 1  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H l trung iºm cõa BC ta câ ' = \ AC 0 H. Ta câ AC 0 = p 2;AH = a p 3 2 n¶n sin' = AH AC 0 = p 6 4 . B B 0 A A 0 C 0 C H V½ dö 26. Cho h¼nh l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng c¥n t¤i B. Bi¸t AB =a;BC 0 =a p 2. T½nh gâc hñp bði ÷íng th¯ng BC 0 v m°t ph¯ng (ACC 0 A 0 ). A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H l trung iºm cõa AC. Do tam gi¡c ABC vuæng c¥n t¤i B n¶n BH ? AC. M°t kh¡c ABC:A 0 B 0 C 0 l l«ng trö ùng n¶n CC 0 ?BH. Do â BH? (ACC 0 A 0 ). Suy ra gâc giúa BC 0 vîi m°t ph¯ng (ACC 0 A 0 ) l gâc \ BC 0 H. Ta câ BC =AB =a n¶n AC =a p 2. Do â HB = 1 2 AC = a p 2 2 . sin \ BC 0 H = HB BC 0 = 1 2 n¶n \ BC 0 H = 30 . A C H B 0 C 0 B A 0 V½ dö 27. 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 15 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng câ c¤nh b¬ng a, c¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y v SA =a. Gåi H; K l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A tr¶n SB; SD (h¼nh v³ b¶n). Gåi l gâc t¤o bði ÷íng th¯ng SD v m°t ph¯ng (AHK), t½nh tan . A. tan = p 3. B. tan = p 2. C. tan = 1 p 3 . D. tan = p 3 2 . A B C D S K H  H÷îng d¨n gi£i: Gåi L l giao iºm cõa SC v (AHK). Ta câ AK? (SCD) v AH? (SBC) n¶n SC? (AKLH). Do â (SD; (AHK)) = (SK;KL) = [ SKL = : X²t4SAC ta câ SA 2 =SLSC,SL = SA 2 SC = a 2 a p 3 = a p 3 : B C D S K H L O A M°t kh¡c4SLK4SDC n¶n LK DC = SK SC ,LK = SKDC SC = a p 2 a a p 3 = a p 6 : X²t4SLK ta câ tan = SL KL = a p 3 a p 6 = p 2: Vªy tan = p 2. 1. 3 Gâc giúa hai m°t ph¯ng L ành ngh¾a: Gâc giúa hai m°t ph¯ng l gâc giúa hai ÷íng th¯ng l¦n l÷ñt vuæng gâc vîi hai m°t ph¯ng â. Hai m°t ph¯ng song song ho°c tròng nhau th¼ gâc giúa chóng b¬ng 0 . m n L Di»n t½ch h¼nh chi¸u cõa mët a gi¡c Cho a gi¡cH n¬m trong m°t ph¯ng ( ) câ di»n t½ch l S v H 0 l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõaH tr¶n m°t ph¯ng ( ). Khi â di»n t½ch S 0 cõa h¼nhH 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 16 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh ÷ñc t½nh theo cæng thùc nh÷ sau: S 0 =S cos' vîi ' l gâc giúa ( ) v ( ). L C¡ch x¡c ành gâc cõa hai m°t ph¯ng ct nhau B÷îc 1. T¼m giao tuy¸n c cõa ( ) v ( ). B÷îc 2. T¼m hai ÷íng th¯ng a, b l¦n l÷ñt thuëc hai m°t ph¯ng v còng vuæng gâc vîi c t¤i mët iºm. B÷îc 3. Gâc giúa ( ) v ( ) l gâc giúa a v b. I c a b Muèn t¼m gâc giúa hai m°t ph¯ng ta câ thº t¼m gâc giúa hai nûa ÷íng th¯ng l¦n l÷ñt n¬m tr¶n hai m°t ph¯ng v vuæng gâc vîi giao tuy¸n cõa chóng. Mët sè tr÷íng hñp th÷íng g°p: ¹ Tr÷íng hñp 1: ABC = DBC. B C I A D Gåi I l ch¥n ÷íng cao cõa ABC. Nèi DI. V¼ ABC = DBC n¶n DI?BC. ) \ ((ABC); (DBC)) = [ AID. ¹ Tr÷íng hñp 2: X²t gâc giúa hai m°t ph¯ng (MAB) v (NAB) vîi4MAB v 4NAB c¥n câ c¤nh ¡y AB. A B I M N 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 17 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Gåi I l trung iºm AB. Khi â NI?AB v MI?AB. ) \ ((MAB); (NAB)) = \ MIN. ¹ Tr÷íng hñp 3: Hai m°t ph¯ng ct nhau ( )\ ( ) = . I B A T¼m giao tuy¸n cõa hai m°t ph¯ng. DüngAB câ hai ¦u mót n¬m ð tr¶n hai m°t ph¯ng v vuæng gâc vîi mët m°t. (gi£ sû l ( )). Chi¸u vuæng gâc cõa A ho°c B l¶n l iºm I. ) [ AIB l gâc giúa hai m°t ph¯ng. ¹ Tr÷íng hñp 4: N¸u a? ( );b? ( ) th¼ \ (( ); ( )) = [ (a;b). ¹ Tr÷íng hñp 5: Tr÷íng hñp khâ v³ ÷ñc gâc giúa hai m°t ph¯ng th¼ câ thº dòng cæng thùc ph²p chi¸u di»n t½ch a gi¡c. V½ dö 28. Cho h¼nh hëp chú nhªt ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ AB = a, BC =a p 2,AA 0 =a p 3: Gåi l gâc giúa hai m°t ph¯ng (ACD 0 ) v (ABCD) (tham kh£o h¼nh v³ d÷îi ¥y). Gi¡ trà tan b¬ng A. 2 p 6 3 . B. p 2 3 . C. 2. D. 3 p 2 2 . A 0 D 0 B C D C 0 B 0 A  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 18 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh K´ DO vuæng gâc vîi AC. M ta câ AC?DD 0 n¶n AC?D 0 O. Do â, [(ACD 0 ); (ABCD)] = (D 0 O;DO) = \ D 0 OD = : X²t tam gi¡c ACD vuæng t¤i D, ÷íng cao DO, ta câ 1 DO 2 = 1 AD 2 + 1 CD 2 = 1 2a 2 + 1 a 2 = 3 2a 2 ; suy ra DO = a p 6 3 : Tam gi¡c D 0 DO vuæng t¤i D, ta câ tan = DD 0 DO = a p 3 a p 6 3 = 3 p 2 2 : A 0 D 0 B C D C 0 B 0 A O V½ dö 29. Cho h¼nh châp S:ABC câ SA vuæng gâc vîi ¡y, SA = 2BC v [ BAC = 120 . H¼nh chi¸u cõa A tr¶n c¡c o¤n SB, SC l¦n l÷ñt l M, N. T½nh gâc giúa hai m°t ph¯ng (ABC)v (AMN). A. 45 . B. 15 . C. 30 . D. 60 .  H÷îng d¨n gi£i: °t BC =a. Düng ÷íng k½nh AD cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p ¡y. Ta câ 8 < : CD?AC CD?SA )CD? (SAC))CD?AN. M AN?SC)AN? (SCD))AN?SD. T÷ìng tü ta chùng minhSD?AM. Suy raSD? (AMN) l¤i câ SA? (ABC) n¶n ((AHK); (ABC)) = (SD;SA) = [ ASD. Ta câ AD = BC sinA = 2a p 3 3 . tan [ ASD = AD SA = 2a p 3 3 2a = p 3 3 ) [ ASD = 30 . S M C A B N D 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 19 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 30. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a, c¤nh b¶n SA = a v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Gåi M, N l¦n l÷ñt l trung iºm SB v SD (tham kh£o h¼nh v³), l gâc giúa hai m°t ph¯ng (AMN) v (SBD). Gi¡ trà sin b¬ng A. p 2 3 . B. 2 p 2 3 . S A B C M N D C. p 7 3 . D. 1 3 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi O l trung iºm cõa BD. Gåi I =MN\SO, P =AI\SC. Ta câ 8 < : SB?AM BC?AM )AM? (SBC))AM?SC. T÷ìng tü ta câ AN?SC Suy ra SC? (AMN) M°t kh¡c 8 < : MNkBD BD? (SAO) ,MN? (SAO). Suy ra gâc giúa hai m°t ph¯ng (AMN) v (SBD) l gâc giúa AI v SO hay l Ô SIP = . X²t tam gi¡c vuæng SIP vuæng t¤i P. Ta câ. SI = 1 2 SO = p 6 4 a. SP = SA 2 SC = p 3 3 a (¡p döng h» thùc l÷ñng cho tam gi¡c vuæng SAC). sin = SP SI = 2 p 2 3 . O I P S A B C M N D V½ dö 31. Cho h¼nh châp S:ABCD câ SA? (ABC), ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i C. Cho [ ASC = 60 ; [ BSC = 45 , sin cõa gâc giúa hai m°t ph¯ng (SAB) v (SBC) b¬ng A. p 6 4 . B. p 7 7 . C. p 42 7 . D. p 6 3 .  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 20 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Düng AE ? SB;AF ? SC. D¹ d ng chùng minh ÷ñc SB ? (AEF ). Gâc giúa hai m°t ph¯ng (SAB) v (SBC) l gâc [ AEF. Gi£ sû SA = 1) SC = 2;BC = 2;AC = p 3 v AB = p 7;SB = 2 p 2. Tø â câ AF = p 3 2 ;AE = p 14 4 . Tam gi¡c AFE vuæng t¤i F n¶n sin [ FEA = p 42 7 . A C B S F E V½ dö 32. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a, SA = a v vuæng gâc (ABCD). Gåi M l trung iºm cõa BC (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). T½nh cæsin cõa gâc giúa hai m°t ph¯ng (SMD) v (ABCD). A. 3 p 10 . B. 2 p 5 . C. 2 3 . D. 1 p 5 . S A B C M D  H÷îng d¨n gi£i: K²o d iDM ctAB t¤iE. K´AH?DM (H 2 DM). Khi â B l trung iºm cõa AE ,gâc [ SHA l gâc giúa (SMD) v ¡y. Ta câ AH = ADAE p AD 2 +AE 2 = 2a p 5 . tan [ SHA = SA AH = p 5 2 ) cos [ SHA = Ê 1 1 + tan 2 [ SHA = 2 3 . B S A H C E M D V½ dö 33. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l nûa löc gi¡c ·u nëi ti¸p ÷íng trán ÷íng k½nh AB = 2a, SA =a p 3 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD). Cæsin cõa gâc giúa hai m°t ph¯ng (SAD) v (SBC) b¬ng A. p 2 2 . B. p 2 3 . C. p 2 4 . D. p 2 5 .  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 21 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Gåi I l giao iºm cõa AD v BC. Ta câ 8 < : BD?AD BD?SA )BD? (SAD). M SI (SAD) n¶n BD?SI. K´ DE?SI t¤i E. Ta câ 8 < : SI?DE SI?BD )SI? (BDE))SI?BE. Suy ra gâc giúa (SAD) v (SBC) l gâc giúa DE v BE. T½nh: BD =a p 3, sin Ô AIS = SA SI = p 3 p 7 , DE =DI sin Ô AIS = a p 3 p 7 ; BE = p BD 2 +DE 2 = 2 p 6 p 7 . Khi â cos \ BED = DE BE = a p 3 7 p 7 2a p 6 = p 2 4 . A D B C I S E 1. 4 Mët sè b i to¡n ¡p döng ph÷ìng ph¡p tåa ë trong khæng gian V½ dö 34 ( THPT Ngh±n - H T¾nh, 2019). Cho khèi lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 . Gåi M l trung iºm cõa AD, l gâc giúa hai m°t ph¯ng (BMC 0 ) v (ABB 0 A 0 ). Kh¯ng ành n o d÷îi ¥y óng? A. cos = 3 4 . B. cos = 4 5 . C. cos = 1 3 . D. cos = 2 3 . A B M D 0 C 0 A 0 D C B 0  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 22 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¡ch 1: T½nh gâc theo cæng thùc di»n t½ch h¼nh chi¸u. DoABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 l h¼nh lªp ph÷ìng)MA; CB; C 0 B 0 còng vuæng gâc vîi (ABB 0 A 0 ))4MBC 0 câ h¼nh chi¸u vuæng gâc l¶n m°t ph¯ng (ABB 0 A 0 ) l 4ABB 0 . Ta câ S 4ABB 0 =S 4MBC 0 cos) cos = S 4ABB 0 S 4MBC 0 . X²t tam gi¡c MBC 0 , ta câ MB = p MA 2 +AB 2 = Ê a 2 4 +a 2 = p 5a 2 : C 0 B = p 2a: MC 0 = p DM 2 +DC 02 = Ê a 2 4 + 2a 2 = 3 2 a: A B M D 0 C 0 A 0 D C B 0 °t p = MB +MC 0 +BC 0 2 . p döng cæng thùc H¶-ræng ta câ S 4MBC 0 = È p(pMC 0 )(pMB)(pBC 0 ) = 3a 2 4 : M°t kh¡c S 4ABB 0 = a 2 2 ) cos = S 4ABB 0 S 4MBC 0 = 1 2 a 2 : 3a 2 4 = 2 3 . C¡ch 2:Ph÷ìng ph¡p tåa ë hâa. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû AB = 1. Chån h» tröc tåa ë Oxyz vîi c¡c tåa ë c¡c iºm nh÷ sau: A 0 (0; 0; 0); B 0 (0; 1; 0); D 0 (1; 0; 0); A(0; 0; 1): Khi â ta câ B(0; 1; 1); M 1 2 ; 0; 1 ; C 0 (1; 1; 0). Ta câ # BC 0 = (1; 0;1); # BM = 1 2 ;1; 0 ; # BC 0 ; # BM = 1; 1 2 ;1 . Tø ¥y suy ra v²c-tì ph¡p tuy¸n cõa c¡c m°t ph¯ng (ABB 0 A 0 ) v (BC 0 M) l¦n l÷ñt l # n 1 = (1; 0; 0); # n 2 = 1; 1 2 ; 1 : Ta câ cos = j # n 1 # n 2 j j # n 1 jj # n 2 j = 1 1 + 0 1 2 + 0 1 p 1 2 + 0 2 + 0 2 Ê 1 2 + 1 2 2 + 1 = 2 3 . Vªy cos = 2 3 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 23 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh ! ×u iºm cõa hai c¡ch t½nh n y l khæng ph£i düng gâc a) C¡ch 1, mð t÷ duy v¼ th÷íng ta ch¿ chó þ vi»c chuyºn b i to¡n t½nh di»n t½ch thi¸t di»n th nh b i to¡n t½nh gâc m ½t khi ngh¾ ¸n h÷îng ng÷ñc l¤i. °c bi»t ð ¥y ta ch¿ c¦n mët ph¦n thi¸t di»n ch½nh l 4BC 0 M. Vi»c t½nh di»n t½ch tam gi¡c n y l kh¡ ìn gi£n. b) C¡ch 2, nh§n m¤nh vi»c tåa ë hâa b i to¡n li¶n quan ¸n h¼nh lªp ph÷ìng l h÷îng i tèt. Khæng c¦n nhi·u t÷ duy h¼nh. V½ dö 35 (Thi thû, THPT Thi»u Hâa - Thanh Hâa, 2019). Cho h¼nh l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ AB = AC = BB 0 = a, [ BAC = 120 . Gåi I l trung iºm cõa CC 0 . T½nh cosin cõa gâc t¤o bði hai m°t ph¯ng (ABC) v (AB 0 I). A. p 2 2 . B. 3 p 5 12 . C. p 30 10 . D. p 3 2 .  H÷îng d¨n gi£i: B 0 C 0 B A 0 C A I x y A C B a a 2 a p 3 2 Chån h» tröc tåa ë Oxyz sao cho AO, C thuëc tia Ox, A 0 thuëc tia Oy v B thuëc gâc ph¦n t÷ thù II cõa m°t ph¯ng tåa ë Oxy. Khi â, A(0; 0; 0), B a 2 ; a p 3 2 ; 0 , C(a; 0; 0), B 0 a 2 ; a p 3 2 ;a , I a; 0; a 2 . Ta câ: # AB = a 2 ; a p 3 2 ; 0 v # AC = (a; 0; 0) suy ra # n 1 = # AB; # AC = 0; 0; a 2 p 3 2 . # AB 0 = a 2 ; a p 3 2 ; 0 v # AI = 0; 0; a 2 p 3 2 suyra # n 2 = # AB 0 ; # AI = a 2 p 3 4 ; 5a 2 4 ; a 2 p 3 2 . Hai m°t ph¯ng (ABC) v (AB 0 I) l¦n l÷ñt nhªn # n 1 v # n 2 l m v²c-tì ph¡p tuy¸n. Gåi ' l gâc giúa hai m°t ph¯ng (ABC) v (AB 0 I), ta câ cos' =j cos( # n 1 ; # n 2 )j = j # n 1 # n 2 j j # n 1 jj # n 2 j = p 30 10 : 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 24 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 36 ( H Huy Tªp, 2019). Cho h¼nh châpS:ABCD. ¡y l h¼nh thang vuæng t¤iA v B,AB =BC =a,AD = 2a. Bi¸tSA vuæng gâc vîi ¡y (ABCD),SA =a. GåiM,N l¦n l÷ñt l trung iºm SB, CD. T½nh sin gâc giúa ÷íng th¯ng MN v m°t ph¯ng (SAC). A. 3 p 5 10 . B. 2 p 5 5 . C. p 5 5 . D. p 55 10 .  H÷îng d¨n gi£i: Chån h» tröc tåa ëOxyz nh÷ h¼nh v³. Ta câA(0; 0; 0), S(0; 0;a),C(a;a; 0),D(0; 2a; 0),B(a; 0; 0),M a 2 ; 0; a 2 , N a 2 ; 3a 2 ; 0 . Ta câ # AS; # AC = a 2 (1; 1; 0), do â m°t ph¯ng (SAC) câ v²c-tì ph¡p tuy¸n l (1; 1; 0). M°t kh¡c # MN = (0; 3a 2 ; a 2 ), suy ra ÷íng th¯ng MN câ v²c-tì ch¿ ph÷ìng (0; 3;1). Gåi ' l gâc giúa ÷íng th¯ng MN v (SAC), ta câ sin' = j1 0 + 1 3 + 0 (1)j p (1) 2 + 1 2 + 0 2 p 0 2 + 3 2 + (1) 2 = 3 p 5 10 : A B D C z S M x N y V½ dö 37 (Thi thû, Chuy¶n Sìn La). Cho l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c c¥n vîi AB = AC = a v [ BAC = 120 , c¤nh b¶n BB 0 = a, gåi I l trung iºm CC 0 . Cæsin gâc giúa (ABC) v (AB 0 I) b¬ng: A. p 20 10 . B. p 30. C. p 30 10 . D. p 30 5 .  H÷îng d¨n gi£i: B C B 0 C 0 I O A A 0 x y z 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 25 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Gåi O l trung iºm BC, ta câ: BC 2 =AB 2 +AC 2 2AB:AC cos 120 =a 2 +a 2 2aa cos 120 = 3a 2 )BC =a p 3. Tam gi¡c AOB vuæng t¤i O câ: AO = p AB 2 BO 2 = É a 2 3 4 a 2 = a 2 . Chån h» tröc Oxyz (nh÷ h¼nh v³). Ta câ: A a 2 ; 0; 0 , B 0 0; p 3 2 a;a , I 0; p 3 2 a; a 2 . M°t ph¯ng (ABC) câ mët VTPT # k = (0; 0; 1). # AB 0 = a 2 ; p 3 2 a;a , # AI = a 2 ; p 3 2 a; a 2 . ) # AB 0 ; # AI = 3 p 3 4 a 2 ; 1 4 a 2 ; p 3 2 a 2 = 1 4 a 2 3 p 3; 1; 2 p 3 . M°t ph¯ng (AB 0 I) câ mët VTPT # n = 3 p 3; 1; 2 p 3 : cos ((ABC); (AB 0 I)) = cos # k; # n = # k # n # k j # nj = p 30 10 : x2. Kho£ng c¡ch 2. 1 Kho£ng c¡ch tø mët iºm tîi mët ÷íng th¯ng º t½nh kho£ng c¡ch tø iºm O tîi ÷íng th¯ng (d), ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau: Trong m°t ph¯ng (O;d), h¤ OH? (d) t¤i H. T½nh ë d iOH düa tr¶n c¡c cæng thùc v· h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c, tù gi¡c v ÷íng trán. O H V½ dö 1. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B, c¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi ¡y v SA = 2a, AB =BC =a. Gåi M l iºm thuëc AB sao cho AM = 2a 3 . T½nh kho£ng c¡ch d tø S ¸n ÷íng th¯ng CM: A. d = 2a p 110 5 . B. d = a p 10 5 . C. d = a p 110 5 . D. d = 2a p 10 5 .  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 26 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Trong (SMC) k´ SH?MC t¤i H: Câ 8 < : MC?SH MC?SA )MC? (SAH))MC?AH. Di»n t½ch tam gi¡c ABC l S ABC = 1 2 ABBC = a 2 2 Di»n t½ch tam gi¡c MBC l S MBC = 1 2 MBBC = a 2 6 )S AMC =S ABC S MBC = a 2 2 a 2 6 = a 2 3 X²t4BMC)MC = p MB 2 +BC 2 = p 10a 3 ë d i c¤nh AH = 2S AMC MC = 2a p 10 10 B H C A S M X²t4AHS)SH = p AH 2 +SH 2 = a p 110 5 V½ dö 2. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ c¤nh b¬ng a. Kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n ÷íng th¯ng B 0 D b¬ng A. a p 3 2 . B. a p 6 3 . C. a p 6 2 . D. a p 3 3 .  H÷îng d¨n gi£i: V¼ 8 < : AD?AB (ABCD l h.vuæng) AD?AA 0 (ADD 0 A 0 l h.vuæng) )AD? (ABB 0 A 0 ))AD?AB 0 . Trong4ADB 0 vuæng t¤i A ta v³ ÷íng cao AH. Vªy AH = d (A;B 0 D). Theo h» thùc l÷ñng trong4ADB 0 1 AH 2 = 1 AD 2 + 1 AB 02 = 1 a 2 + 1 2a 2 Suy ra AH = a p 6 3 . C 0 D 0 H A 0 A B 0 B C A 0 D V½ dö 3. Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡yABCD l h¼nh vuæng c¤nh 1. Tam gi¡cSAB ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi ¡y (ABCD). T½nh kho£ng c¡ch tøA ¸n (SCD). A. 1. B. p 21 7 . C. 2 p 3 3 . D. p 2.  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 27 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Gåi H l trung iºm cõa AB)SH? (ABCD). GåiK l trung iºm cõaCD)HK?CD)CD? (SHK). Trong m°t ph¯ng (SHK) düng HI?SK)HI? (SCD). Ta câ AHk (SCD))d (A; (SCD)) =d (H;SCD) =HI. Tam gi¡c SAB ·u)SH = p 3 2 v HK = 1. X²t SHK câ 1 HI 2 = 1 SH 2 + 1 HK 2 )HI = p 21 7 . K H S A B C D I V½ dö 4. Cho h¼nh châp tam gi¡c ·uS:ABC câ c¤nh ¡y b¬nga,G l trång t¥m tam gi¡c ABC. Gâc giúa m°t b¶n vîi ¡y b¬ng 60 . Kho£ng c¡ch tø iºm G ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng A. a 2 . B. a 4 . C. 3a 4 . D. 3a 2 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi I l trung iºm BC. Trong m°t ph¯ng (SAI), k´ GH?SI (1) Ta câ: 8 < : BC?AI BC?SI )BC? (SAI))BC?GH (2). Tø (1), (2))GH? (SBC)) d (G; (SBC)) =GH. Câ: 8 > > > < > > > : (SBC)\ (ABC) =BC SI?BC AI?BC ) ((SBC); (ABC)) = (SI;AI) = Ô SIA = Ô SIG = 60 . Ta câ GI = 1 3 AI = a p 3 6 ) GH = GI sin 60 = a p 3 6 p 3 2 = a 4 . S A G B C I H V½ dö 5. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B, SA vuæng gâc vîi m°t ¡y v SA =AB = p 3. Gåi G l trång t¥m cõa tam gi¡c SAB. Kho£ng c¡ch tø G ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng A. p 6 3 . B. p 6 6 . C. p 3. D. p 6 2 .  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 28 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh A B G C M S Gåi M l trung iºm cõa SB)AM?SB (v¼ tam gi¡c SAB c¥n). Ta câ 8 < : BC?AB BC?SA )BC? (SAB))BC?AM. V 8 < : AM?SB AM?BC )AM? (SBC))GM? (SBC) t¤i M. Do â d (G; (SBC)) =GM. SB =AB p 2 = p 6;AM = SB 2 = p 6 2 )GM = AM 3 = p 6 6 : 2. 2 Kho£ng c¡ch tø mët iºm ¸n mët m°t ph¯ng Ph÷ìng ph¡p Cho m°t ph¯ng ( ) v mët iºm O, gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa iºmO tr¶n m°t ph¯ng ( ). Khi â kho£ng c¡chOH ÷ñc gåi l kho£ng c¡ch tø iºm O ¸n m°t ph¯ng ( ), k½ hi»u d (O; ( )) =OH O M H T½nh ch§t 1. N¸u ÷íng th¯ng d song song vîi m°t ph¯ng (P ) th¼ kho£ng c¡ch tø måi iºm tr¶n ÷íng th¯ng d ¸n m°t ph¯ng (P ) l nh÷ nhau. T½nh ch§t 2. N¸u # AM = k # BM th¼ d(A; (P )) =jkjd(B; (P )), trong â (P ) l m°t ph¯ng i qua M. V½ dö 6. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng, AB =AC =a. Bi¸t tam gi¡cSAB câ [ ABS = 60 v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh kho£ng c¡ch d tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC) theo a. A. d = a p 21 7 . B. d = 3 p 3. C. d = 2a p 3. D. d = a p 3 2 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 29 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Ta câ 8 > > > < > > > : CA?AB (ABC)? (SAB) (ABC)\ (SAB) =AB )CA? (SAB): K´ AK?SB t¤i K v AH?CK t¤i H. Ta câ 8 < : SB?AK SB?CA )SB? (ACK))SB?AH: Do 8 < : AH?CK AH?SB )AH? (SBC)) d(A; (SBC)) =AH: X²t4ABK, ta câ AK =AB sin \ ABK =a sin 60 = a p 3 2 : C A B S K H X²t4ACK, ta câ 1 AH 2 = 1 AK 2 + 1 AC 2 = 7 3a 2 )AH = a p 21 7 : V½ dö 7. Cho h¼nh châp tù gi¡c S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh chú nhªt c¤nh AB =a, AD =a p 2, c¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD), gâc giúa SC v m°t ph¯ng (ABCD) b¬ng 60 . Gåi M l trung iºm cõa c¤nhSB (tham kh£o h¼nh v³). T½nh kho£ngc¡chtøiºmM tîim°tph¯ng (ABCD). A. d (M; (ABCD)) = a 2 . B. d (M; (ABCD)) = 3a 2 . C. d (M; (ABCD)) = 2a p 3. D. d (M; (ABCD)) =a p 3. A B C D M S  H÷îng d¨n gi£i: Do SA? (ABCD) suy ra gâc giúa SC v ¡y l [ SCA = 60 . (1) Do ABCD l h¼nh chú nhªt n¶n AC =a p 3. (2) Trong tam gi¡c vuæng SAC câ SA =AC tan 60 = 3a. Do M l trung iºm c¤nh SB n¶n d(M; (ABCD)) = 1 2 d(S; (ABCD)) = 3a 2 . V½ dö 8. Cho h¼nh châp ·u S:ABCD, c¤nh ¡y b¬ng a, gâc giúa m°t b¶n v m°t ¡y l 60 . T½nh kho£ng c¡ch tø iºm B ¸n m°t ph¯ng (SCD). A. a 4 . B. a p 3 4 . C. a p 3 2 . D. a 2 .  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 30 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Trong â H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa O l¶n (SCD), ta câ d (B; (SCD)) d (O; (SCD)) = BD OD = 2) d (B; (SCD)) = 2:d (O; (SCD)) = 2OH Gåi I l trung iºm cõa CD ta câ 8 < : SI?CD OI?CD ) ((SCD) ; (ABCD)) = (OI;SI) = Ô SIO = 60 . X²t tam gi¡cSOI vuæng t¤iO ta câSO =OI: tan 60 = a p 3 2 Do SOCD l tù di»n vuæng t¤i O n¶n 1 OH 2 = 1 OC 2 + 1 OD 2 + 1 OS 2 = 2 a 2 + 2 a 2 + 4 3a 2 = 16 3a 2 )OH = a p 3 4 ) d (B; (SCD)) = a p 3 2 A B C D I H S O 60 V½ dö 9. Choh¼nhchâptamgi¡c·uS:ABC câc¤nh¡yb¬nga,c¤nhb¶nb¬ng 2a.Kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng A. a p 165 30 . B. a p 165 45 . C. a p 165 15 . D. 2a p 165 15 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi O l t¥m cõa tam gi¡c ·u ABC v H l trung iºm cõa BC. Ta câ SO = p SA 2 AO 2 = s (2a) 2 2 3 a p 3 2 2 = a p 33 3 . Ta câ SH = p SO 2 +OH 2 = s a p 33 3 2 + 1 3 a p 3 2 2 = a p 15 2 . C¡ch 1. T½nh V S:ABC = 1 3 SOS 4ABC = 1 3 a p 33 3 a 2 p 3 4 = a 3 p 11 12 . Vªy d[A; (SBC)] = 3V S:ABC S 4SBC = 3 a 3 p 11 12 1 2 a p 15 2 a = a p 165 15 . S A B C K H O C¡ch 2. Ta câ d[A; (SBC)] d[O; (SBC)] = AH OH = 3. Trong (SAH) v³ OK?SH. Ta câ 8 < : BC?AH BC?SO )BC? (SAH))BC?OK. M OK?SH)OK? (SBC). Khi â OK = d[O; (SBC)]. 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 31 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V¼4SOH vuæng t¤i O câ OK l ÷íng cao 1 OK 2 = 1 SO 2 + 1 OH 2 = 1 11 3 a 2 + 1 a 2 12 )OK = a p 165 45 : Do â d[A; (SBC)] = 3 a p 165 45 = a p 165 15 . V½ dö 10. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ c¤nh b¬ng a. Kho£ng c¡ch tø iºm D ¸n m°t ph¯ng (AD 0 B 0 ) b¬ng A. a p 3 3 . B. a p 2 2 . C. a p 6 6 . D. a.  H÷îng d¨n gi£i: Gåi O;O 0 l¦n l÷ñt l t¥m cõa c¡c m°t (A 0 B 0 C 0 D 0 ) v ADD 0 A 0 . Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A 0 l¶n AO. Do A 0 B 0 C 0 D 0 l h¼nh vuæng n¶n A 0 C 0 ?B 0 D 0 (1) AA 0 ? (A 0 B 0 C 0 D 0 ))AA 0 ?B 0 D 0 (2) Tø (1) v (2) suy ra B 0 D 0 ?AA 0 O. K´ A 0 H?AO (3) V¼ B 0 D 0 ? (AA 0 O))B 0 D 0 ?AH (4) Tø (3) v (4) suy ra A 0 H? (AB 0 D 0 ) )A 0 H =d(A 0 ; (AB 0 D 0 )). A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 O O 0 H A 0 C 0 = p A 0 D 02 +D 0 C 02 =a p 2)A 0 O = A 0 C 0 2 = a p 2 2 . Trong tam gi¡c vuæng AA 0 O câ AH = A 0 AA 0 O AC = A 0 AA 0 O p A 0 A 2 +A 0 O 2 = a p 3 3 . Ta câ : d (D; (AB 0 D 0 )) =d (A 0 ; (AB 0 D 0 )) =A 0 H = a p 3 3 . Vªy d (D; (AB 0 D 0 )) = a p 3 3 . V½ dö 11. Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡y l h¼nh thoi t¥m O c¤nhAB = 2a p 3; gâc \ BAD b¬ng 120 : Hai m°t ph¯ngSAB v SAD còng vuæng gâc vîi ¡y. Gâc giúa m°t ph¯ng (SBC) v (ABCD) b¬ng 45 : T½nh kho£ng c¡ch h tø O ¸n m°t ph¯ng (SBC). A. h = a p 3 2 . B. h = 3a p 2 4 . C. h = a p 2 3 . D. h = 3a.  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 32 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V¼ 8 < : (SAB)? (ABCD) (SAD)? (ABCD) )SA? (ABCD): Tø gi£ thi¸t ta suy ra ABC ·u v SBC c¥n t¤i S: Gåi M l trung iºm cõa BC: Ta câ AM? BC v SM?BC do â ((SBC); (ABCD)) = \ SMA = 45 : Gåi I l trung iºm cõa AM suy ra OI k BC ) OIk (SBC): Do â d (O; (SBC)) = d (I; (SBC)): Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa I l¶n SM; ta câ d (I; (SBC)) =IH: V¼ ABC ·u v SAM vuæng c¥n n¶n AM =SA = 2a p 3 p 3 2 = 3a)SM = 3a p 2: V¼ HIM SAM n¶n IH = IMSA SM = 1 2 3a 3a 3a p 2 = 3a p 2 4 : A D B C S 120 O M I H 45 V½ dö 12. Cho khèi châpS:ABCD câSA? (ABC), tam gi¡cABC ·u c¤nh a v thº t½ch khèi châpS:ABC b¬ng a 3 p 3 12 (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). T½nh kho£ng c¡ch h tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC). A. h = a p 3 7 . B. h = 2a p 7 . C. h = a p 3 2 . D. h = a p 3 p 7 . A B C S  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H; K l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u cõa A l¶n BC v SH. Ta câ d (A; (SBC)) =AK: V S:ABC = 1 3 S ABC SA) SA = 3V S:ABC S ABC = a 3 p 3 4 a 2 p 3 4 =a: X²t tam gi¡c SAH vuæng t¤i A câ 1 AK 2 = 1 SA 2 + 1 AH 2 = 1 a 2 + 4 3a 2 = 7 3a 2 ,a = a p 21 7 : A B C S H K V½ dö 13. Cho h¼nh châp S:ABCD vîi ¡y l h¼nh chú nhªt câ AB = a, BC = a p 2, SA? (ABCD) v SA = a p 3. Gåi M l trung iºm cõa SD v (P ) l m°t ph¯ng i qua B,M sao cho (P ) ct m°t ph¯ng (SAC) theo mët ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi BM. Kho£ng 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 33 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh c¡ch tø iºm S ¸n (P ) b¬ng A. 2a p 2 3 . B. a p 2 9 . C. a p 2 3 . D. 4a p 2 9 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi O l t¥m h¼nh chú nhªt ABCD. G l giao iºm cõa SO v BM. Suy ra G l trång t¥m cõa tam gi¡c SAC v SBD. Gåi N l giao iºm cõa (P ) v SA. H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa B l¶n AC. K l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H l¶n BG. Ta câ OA = 1 2 AC = 1 2 p AB 2 +BC 2 = a p 3 2 . Gåi I l trung iºm AB)OI = 1 2 BC = a p 2 2 . A B N I C D M G H S K O S ABO = 1 2 OIAB = 1 2 BHOA)BH = OIAB AO = a p 6 3 . 4ABH vuæng t¤i H câ AH = p AB 2 BH 2 = a p 3 3 . )AH = a p 3 3 = 1 3 AC) OH AH = OG OS = 2 3 )GHkSA Ta câ BH? (SAC))BH?NG Khi â 8 < : NG?BM BH?NG )NG?GH)NGkAC) (P )kAC v SN = 2AN: d (S; (P )) = 2d (A; (P )) = 2d (H; (P )) = 2HK: 4OSA câGH = 1 3 SA = a p 3 3 ;4AHB vuæng t¤i H câBH = p AB 2 AH 2 = É a 2 a 2 3 = a p 6 3 : 4GHB vuæng t¤i H câ 1 HK 2 = 1 HG 2 + 1 HB 2 )HK = Ê HG 2 HB 2 HG 2 +HB 2 = a p 2 3 . V½ dö 14. Cho h¼nh châp tam gi¡c ·u S:ABC câ c¤nh ¡y b¬ng a. Gâc giúa m°t b¶n vîi m°t ¡y b¬ng 60 . Kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng A. a 2 . B. a 4 . C. 3a 2 . D. 3a 4 .  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 34 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Gåi G l trång t¥m tam gi¡c ABC, M l trung iºm cõa BC, H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa G l¶n SM. Theo · gâc giúa (SBC) v (ABC) l gâc \ SMA = 60 . Do G l trång t¥m tam gi¡c ABC ta câ AM = 3GM, suy ra d (A; (SBC)) = 3d (G; (SBC)) = 3GH Trong4GHM vuæng t¤i H câ GH =GM sin 60 = 1 3 a p 3 2 p 3 2 = a 4 : Suy ra d (A; (SBC)) = 3GH = 3a 4 . M G B C H A S V½ dö 15. Cho ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a, tam gi¡c SAB c¥n t¤i S v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi (ABCD); gâc giúa SC vîi (ABCD) b¬ng 45 . Kho£ng c¡ch tø trång t¥m G cõa tam gi¡c SBC ¸n m°t ph¯ng (SAC) b¬ng A. a p 55 33 . B. a p 55 22 . C. 2a p 55 33 . D. a p 21 21 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H l trung iºm cõa AB. V¼ tam gi¡cSAB c¥n t¤iS v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi (ABCD) n¶n SH? (ABCD). Khi â gâc giúa SC vîi (ABCD) l [ SCH = 45 . Suy ra tam gi¡c SCH vuæng c¥n t¤i H n¶n SH =CH = p BC 2 +BH 2 = a p 5 2 : Tacâ d(G; (SAC)) d(B; (SAC)) = GM BM = 1 3 (vîiM l trungiºmSC). Hìn núa d(B; (SAC)) d(H; (SAC)) = BA HA = 2. Khi â d(G; (SAC)) = 2 3 d(H; (SAC)). B H G E F A C D M S a a 45 K´ HE?AC (trong m°t ph¯ng (ABCD)). Khi â AC? (SHE). K´ HF?SE (trong m°t ph¯ng (SHE)). Khi â HF? (SAC) hay HF = d(H; (SAC)). Ta câ tam gi¡c AHE vuæng c¥n t¤i E v AH = a 2 n¶n HE = a 2 p 2 . Hìn núa, v¼ tam gi¡c SHE vuæng t¤i H v câ ÷íng cao HF n¶n 1 HF 2 = 1 HE 2 + 1 SH 2 = 4 5a 2 + 8 a 2 ,HF = p 55a 22 : Vªy kho£ng c¡ch c¦n t¼m l d(G; (SAC)) = 2 3 d(H; (SAC)) = 2 3 p 55a 22 = 2 p 55a 33 : 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 35 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 16. Cho h¼nh l«ng trö tam gi¡c ·u ABC:A 0 B 0 C 0 câ c¤nh ¡y b¬ng a. Bi¸t gâc giúa hai m°t ph¯ng (A 0 BC) v (A 0 B 0 C 0 ) b¬ng 60 , M l trung iºm cõa B 0 C. T½nh kho£ng c¡ch tø iºm M ¸n m°t ph¯ng (A 0 BC). A. 3 8 a. B. 1 3 a. C. p 3 6 a. D. p 6 3 a. B 0 M C C 0 A A 0 B  H÷îng d¨n gi£i: Ta câ d(M; (A 0 BC)) d(B; (A 0 BC)) = MC B 0 C = 1 2 ; d(B 0 ; (A 0 BC)) = d(A; (A 0 BC)). V¼ (A 0 B 0 C 0 )k (ABC) n¶n gâc giúa (A 0 BC) v (A 0 B 0 C 0 ) b¬ng gâc giúa (A 0 BC) v (ABC). K´ AH?BC t¤i H ) A 0 H?BC. Suy ra, \ A 0 HA l gâc giúa hai m°t ph¯ng (A 0 BC) v (ABC). Do â, \ A 0 HA = 60 . K´ AK?A 0 H t¤i K ) AK? (A 0 BC). Do â, d(A; (A 0 BC)) =AK. Ta câ AH = a p 3 2 ; A 0 A =AH tan \ A 0 HA = 3a 2 . B 0 M C C 0 K A A 0 B H Tam gi¡c A 0 AH vuæng t¤i A câ AK l ÷íng cao, suy ra AK = AA 0 AH p AA 02 +AH 2 = 3a 4 . Vªy d(M; (A 0 BC) = 1 2 AK = 3a 8 . V½ dö 17. Cho h¼nh châpS:ABC câSA =a p 3,SA? (ABC), tam gi¡cABC vuæng t¤iB v AB =a. T½nh kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC).  H÷îng d¨n gi£i: Do SA? (ABC) v SA (SAB) n¶n (SAB)? (ABC). M (SAB)\ (ABC) =AB v AB?BC n¶n BC? (SAB). Do BC (SBC) n¶n (SBC)? (SAB). K´ AH?SB vîi H2SB. Do (SAB)\ (SBC) =SB n¶n AH? (SBC))d (A; (SBC)) =AH. Do SA? (ABC) n¶n SA?AB n¶n 1 AH 2 = 1 SA 2 + 1 AB 2 = 1 3a 2 + 1 a 2 = 4 3a 2 . Vªy d (A; (SBC)) = p 3a 2 . A B C S H 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 36 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 18. Cho h¼nh châp S:ABCD câ tam gi¡c SAB ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi (ABCD), tù gi¡c ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a. Gåi H l trung iºm cõa AB. T½nh kho£ng c¡ch tø iºm H ¸n m°t ph¯ng (SCD):  H÷îng d¨n gi£i: Dotamgi¡cSAB ·uv H l trungiºmcõaAB n¶nSH?AB. M (SAB)? (ABCD). N¶n SH? (ABCD))SH?CD. Do ABCD l h¼nh vuæng n¶n gåi E l trung iºm cõa CD n¶n HE?CD. Vªy CD? (SHE). M CD (SCD) n¶n (SCD)? (SHE). Ta câ (SCD)\ (SHE) =SE. K´ HK?SE vîi K2SE n¶n HK? (SCD). Khi â d (H; (SCD)) =HK. V¼ AB =a n¶n SH = p 3a 2 . Do ABCD l h¼nh vuæng n¶n HE =a. V¼ SH? (ABCD) n¶n SH?HE. A B C D K S H E Khi â 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 HE 2 = 7 3a 2 . N¶n HK = p 21a 7 . Vªy d (H; (SCD)) = p 21a 7 . V½ dö 19. Cho h¼nh châpS:ABC câ ¡yABC l tam gi¡c vuæng t¤iA,AB = 1;AC = p 3. Tam gi¡cSBC ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng vîi ¡y. T½nh kho£ng c¡ch tø B ¸n m°t ph¯ng (SAC).  H÷îng d¨n gi£i: Gåi H l trung iºm cõa BC, suy ra SH?BC)SH? (ABC). Gåi K l trung iºm AC, suy ra HK?AC. K´ HE?SK (E2SK): Khi â d (B; (SAC)) = 2d (H; (SAC)) = 2HE = 2: SH:HK p SH 2 +HK 2 = 2 p 39 13 : A E C B S H K V½ dö 20. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ c¤nh b¶n l 2a v di»n t½ch ¡y l 4a 2 . T½nh kho£ng c¡ch tø A ¸n m°t ph¯ng (SBC).  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 37 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Gåi O =AC\BD)SO? (ABCD). Ta câ d (A; (SBC)) = 2d [O; (SBC)]. K´ OE?BC;OF?SE ta câ 8 < : BC?OE BC?SO )BC? (SOE) .)BC?OF m OF? SE)OF? (SBC). Ta câ S ABCD =AB 2 = 4a 2 )AB = 2a)OE =a. Ta câ AC = 2a p 2 ) OA = a p 2 ) SO = p SA 2 OA 2 =a p 2. Ta câ 1 OF 2 = 1 OS 2 + 1 OE 2 = 3 2a 2 )OF = a p 6 3 . )d (O; (SBC)) = a p 6 3 )d (A; (SBC)) = 2a p 6 3 . A B C D O E F S V½ dö 21. Cho h¼nh châp S:ABC câ c¤nh SA = SB = SC = a v SA;SB;SC æi mët vuæng gâc vîi nhau. T½nh theo a kho£ng c¡ch h tø iºm S ¸n m°t ph¯ng (ABC): Gåi H l ch¥n ÷íng cao h¤ tø S xuèng (ABC) v M =AH\BC: Ta câ SH? (ABC))SH?BC)BC?SH: L¤i câ 8 < : SA?SB SA?SC )SA? (SBC))SA?BC)BC?SA: Nh÷ vªy 8 < : BC?SH BC?SA )BC? (SAM))BC?SM: Tø SA? (SBC))SA?SM Do â 1 SH 2 = 1 SA 2 + 1 SM 2 = 1 SA 2 + 1 SB 2 + 1 SC 2 = 3 a 2 )h = a p 3 : A B C M S H 2. 3 Kho£ng c¡ch giúa ÷íng v m°t song song - giúa hai m°t song song a) Cho ÷íng th¯ng d song song vîi m°t ph¯ng ( ), º t½nh kho£ng c¡ch giúa d v ( ) ta thüc hi»n Chån iºm A tr¶n d sao cho kho£ng c¡ch tø A tîi ( ) ÷ñc x¡c ành d¹ nh§t. K¸t luªn d(d; ( )) = d(A; ( )). b) Cho hai m°t ph¯ng song song ( ); ( ). º t½nh kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng ta thüc hi»n c¡c b÷îc Chån iºm A tr¶n ( ) sao cho kho£ng c¡ch tø A tîi ( ) ÷ñc x¡c ành d¹ nh§t. K¸t luªn d(( ); ( )) = d(A; ( )). 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 38 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 22. Cho h¼nh hëp ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ c¡c c¤nh ·u b¬ng a v \ BAD = \ BAA 0 = \ DAA 0 = 60 . T½nh kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng ¡y (ABCD) v A 0 B 0 C 0 D 0 .  H÷îng d¨n gi£i: H¤A 0 H?AC. Ta câBD? (OAA 0 ) suy raBD?A 0 H) A 0 H? (ABCD). Do (ABCD)k (A 0 B 0 C 0 D) n¶n A 0 H l kho£ng c¡ch giúa hai m°t ¡y. A 0 :ABD l h¼nh châp ·u n¶n AH = 2 3 AO = a p 3 3 . A 0 H 2 =A 0 A 2 AH 2 = 2a 2 3 )A 0 H = a p 6 3 : C C 0 D 0 D A B A 0 B 0 O V½ dö 23. Cho h¼nh châpS:ABC câ ¡yABC l tam gi¡c ·u c¤nh b¬nga, m°t b¶n (SBC) vuæng gâc vîi ¡y. Gåi M;N;P theo thù tü l trung iºm AB;SA;AC. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng (MNP ) v (SBC). Ta chùng minh ÷ñc (MNP )k (SBC). Suy ra d((MNP ); (SBC)) = d(P ; (SBC)). AP\ (SBC) = C suy ra d(P ; (SBC)) = AP AC d(A; (SBC)) = 1 2 d(A; (SBC)). GåiK l trung iºm cõaBC. Tam gi¡cABC ·u suy raAK? BC. Do (ABC)? (SBC) theo giao tuy¸n BC n¶n AK? (SBC). Do â, d(A; (SBC)) =AK = a p 3 2 . Vªy d((MNP ); (SBC)) = a p 3 4 . A M C K B S P N V½ dö 24. Cho h¼nh châp S:ABCD câ SA = a p 6 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD), ¡y (ABCD) l nûa löc gi¡c ·u nëi ti¸p trong ÷íng trán ÷íng k½nh AD = 2a. a) T½nh kho£ng c¡ch tø A;B ¸n m°t ph¯ng (SCD). b) T½nh kho£ng c¡ch tø ÷íng th¯ng AD ¸n m°t ph¯ng (SBC). c) T½nh di»n t½ch thi¸t di»n cõa h¼nh châp S:ABCD vîi m°t ph¯ng ( ) song song vîi m°t ph¯ng (SAD) v c¡ch (SAD) mët kho£ng b¬ng a p 3 4 . a) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 39 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Ta câ (SCD)? (SAC). H¤ AH ? SC ) AH ? (SCD). Suy ra AH l kho£ng c¡ch tø A tîi (SCD). X²t4SAB : 1 AH 2 = 1 AC 2 + 1 SA 2 )AH =a p 2. Gåi I l trung iºm cõa AD, suy ra BIkCD)BIk (SCD)) d(B; (SCD)) = d(I; (SCD)): M°t kh¡c, AI\ (SCD) = D, n¶n d(I; (SCD)) d(A; (SCD)) = ID AD = 1 2 . Suy ra d(I; (SCD)) = a p 2 2 . S A B C D I H b) Ta câ ADkCD)ADk (SBC)) d(AD; (SBC)) = d(A; (SBC)). H¤ AK?BC, ta câ BC? (SAK)) (SBC)? (SAK) v (SBC)? (SAK) =AK. H¤ AG?SK, suy ra AG? (SBC). X²t4SAK, ta câ 1 AG 2 = 1 SA 2 + 1 AK 2 )AG = a p 6 3 : c) Ta câ AK? (SAD). Gi£ sû ( )k (SAD) ct AK t¤i E, khi â d(( ); (SAD)) =AE = a p 3 4 = 1 2 AK: Suy raE l trung iºm cõaAK. Ta x¡c ành thi¸t di»n cõa h¼nh châp vîi m°t ph¯ng ( ) qua E v song song vîi (SAD). Thi¸t di»n l h¼nh thang vuæng MNPQ vîi M;N;Q;P l trung iºm cõa AB;CD;SB;SC. Ta t½nh ÷ñcS MNPQ = a 2 p 6 2 . 2. 4 o¤n vuæng gâc chung, kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau Ph÷ìng ph¡p. Ta câ c¡c tr÷íng hñp sau: 1) Tr÷íng hñp 1 Gi£ sû a v b l hai ÷íng th¯ng ch²o nhau v a?b. Ta düng m°t ph¯ng ( ) chùa a v vuæng gâc vîi b t¤i B. Trong ( ) düng BA?a t¤i A, ta ÷ñc ë d i o¤n AB l kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau a v b. b a A B 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 40 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh 2) Tr÷íng hñp 2 Gi£sûav bl hai÷íngth¯ngch²onhaunh÷ngkhæng vuæng gâc vîi nhau. Ta düng m°t ph¯ng ( ) chùa a v song song vîi b. L§y mët iºm M tòy þ tr¶n b v düng MM 0 vuæng gâc vîi ( ) t¤i M 0 . Tø M 0 düng b 0 song song vîi b ct a t¤i A. Tø A düng AB song song vîi MM 0 ct b t¤i B, ë d i o¤n AB l kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau a v b. b a B M A M 0 Nhªn x²t a) Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau b¬ng kho£ng c¡ch giúa mët trong hai ÷íng th¯ng â v m°t ph¯ng song song vîi nâ chùa ÷íng th¯ng cán l¤i. b) Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau b¬ng kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng song song l¦n l÷ñt chùa hai ÷íng th¯ng â. V½ dö 25. Choh¼nhlªpph÷ìngABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câc¤nhb¬ng 1(thamkh£o h¼nh v³). Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ngAA 0 v BD b¬ng A. 1 2 . B. 1. C. p 2. D. p 2 2 . A B C D A 0 B 0 C 0 D 0  H÷îng d¨n gi£i: Gåi O l trung iºm cõa BD. Ta câ 8 < : AO?AA 0 AO?BD: Suy ra d(AA 0 ;BD) =AO = AC 2 = p 2 2 . O A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 V½ dö 26. Cho tù di»nABCD câAB =CD =a> 0,AC =BD =b> 0,AD =BC =c> 0. C¡c biºu thùc a 2 +b 2 c 2 , a 2 +c 2 b 2 , c 2 +b 2 a 2 ·u câ gi¡ trà d÷ìng. Kho£ng c¡ch d giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD b¬ng A. d = É b 2 +c 2 +a 2 2 . B. d = É a 2 +c 2 b 2 2 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 41 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C. d = É b 2 +c 2 a 2 2 . D. d = É b 2 +a 2 c 2 2 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi E;F l¦n l÷ñt l trung iºm c£u AB v CD. D¹ chùng minh ÷ñc c¡c tam gi¡c CED c¥n t¤i E v tam gi¡c AFB c¥n t¤i F. Suy raEF l o¤n vuæng gâc chung cõaAB v CD. Vªy d =EF. Trong tam gi¡c ABC trung tuy¸n CE 2 = b 2 +c 2 2 a 2 4 . Trong tam gi¡c CFE vuæng t¤i F câ: FE = p CE 2 CF 2 = Ê b 2 +c 2 2 a 2 4 a 2 4 . Suy ra d =EF = É b 2 +c 2 a 2 2 . A D C F B E V½ dö 27. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a. ÷íng th¯ng SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y v SA =a. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB v CD. A. 2a. B. a p 2. C. a p 3. D. a.  H÷îng d¨n gi£i: V¼ CDkAB n¶n CDk (SAB). M SB (SAB) n¶n d(CD;SB) = d [CD; (SAB)] = d [D; (SAB)]: Ta câ 8 < : DA?SA (SA? (ABCD)) DA?AB )DA? (SAB); do â d [D; (SAB)] =DA =a: Vªy kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB v CD l a: S B C D A V½ dö 28. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng t¥m O c¤nh b¬ng 1, bi¸t SO = p 2 v vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SC v AB. A. p 5 3 . B. p 2 3 . C. p 2. D. 2 p 2 3 .  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 42 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V¼ AB k (SCD) n¶n d(AB;SC) = d(AB; (SCD)) = d(M; (SCD)), trong â M l trung iºm cõa AB. Gåi N l trung iºm cõa CD v H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa M tr¶n (SCD) th¼ H 2 SN. T½nh ÷ñc SN = É SO 2 + BC 2 4 = 3 2 v S 4SMN = 1 2 SOMN = p 2 2 . Do â d(AB;SC) = d(M; (SCD)) = MH = 2S 4SMN SN = 2 p 2 3 . B C A D O S M N H V½ dö 29. Cho h¼nh l«ng trö ùngABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y l tam gi¡c vuæng c¥n,AB =AC = a, AA 0 = 2a. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB 0 v BC 0 . A. 2a p 21 . B. a p 3 . C. a p 21 . D. 2a p 17 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi I;K l¦n l÷ñt l trung iºm BC 0 v AC. )AB 0 kIK)AB 0 k (BKC 0 ). ) d(AB 0 ;BC 0 ) = d (AB 0 ; (BKC 0 )) = d(C; (BKC 0 )). M°t kh¡c V C 0 :BKC = 1 6 V ABC:A 0 B 0 C 0 = a 3 6 . 8 > > > > > < > > > > > : BK = a p 5 2 KC 0 = a p 17 2 BC 0 =a p 6 )S BKC 0 = a 2 p 21 4 . Suy ra d(AB 0 ;BC 0 ) = d(C; (BKC 0 )) = 3V C 0 :BKC S BKC 0 = 2a p 21 . C I B 0 A 0 C 0 K A B V½ dö 30. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng t¥m O c¤nh b¬ng 1, bi¸t SO = p 2 v vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SC v AB. A. p 5 3 . B. p 2 3 . C. p 2. D. 2 p 2 3 .  H÷îng d¨n gi£i: V¼ AB k (SCD) n¶n d(AB;SC) = d(AB; (SCD)) = d(M; (SCD)), trong â M l trung iºm cõa AB. Gåi N l trung iºm cõa CD v H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa M tr¶n (SCD) th¼ H 2 SN. T½nh ÷ñc SN = É SO 2 + BC 2 4 = 3 2 v S 4SMN = 1 2 SOMN = p 2 2 . Do â d(AB;SC) = d(M; (SCD)) = MH = 2S 4SMN SN = 2 p 2 3 . B C A D O S M N H 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 43 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 31. Cho h¼nh l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i A vîi AB =a, AC = 2a; c¤nh b¶n AA 0 = 2a. H¢y düng v t½nh ë d i o¤n vuæng gâc chung cõa hai ÷íng th¯ng BC 0 v AA 0 .  H÷îng d¨n gi£i: A 0 C 0 B C F A E B 0 H Ta câ AA 0 kBB 0 )AA 0 k (BB 0 C 0 C). V¼ (A 0 B 0 C 0 )? (BB 0 C 0 C) theo giao tuy¸n B 0 C 0 n¶n trong m°t ph¯ng (A 0 B 0 C 0 ), k´ A 0 H?B 0 C 0 t¤i H, ta câ: A 0 H? (BB 0 C 0 C))A 0 H?BC 0 . Trong m°t ph¯ng (BB 0 C 0 C), k´HFkAA 0 (F2BC 0 ). Trong m°t ph¯ng (HF;AA 0 ), k´FEkA 0 H (E2AA 0 ))FE?BC 0 . Ta câ AA 0 ? (A 0 B 0 C 0 ))AA 0 ?A 0 H)AA 0 ?FE. Do â EF l o¤n vuæng gâc chung cõa AA 0 v BC 0 . Trong tam gi¡c vuæng A 0 B 0 C 0 ta câ: 1 A 0 H 2 = 1 A 0 B 02 + 1 A 0 C 02 = 1 a 2 + 1 4a 2 = 5 4a 2 . Suy ra EF =A 0 H = 2a p 5 5 . Vªy d(AA 0 ;BC 0 ) = 2a p 5 5 . V½ dö 32. Cho l«ng trö ·u ABC:A 0 B 0 C 0 câ t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng nhau. X¡c ành o¤n vuæng gâc chung cõa hai ÷íng th¯ng A 0 B v B 0 C.  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 44 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh N E B 0 M A 0 C 0 B A C I F N 0 Gåi M, N, N 0 l¦n l÷ñt l trung iºm cõa AA 0 , AC, A 0 C 0 . Ta câ 8 < : BN?AC BN?AA 0 )BN? (ACC 0 A 0 ))BN?C 0 M. M C 0 M?A 0 N n¶n C 0 M? (A 0 BN). Do â C 0 M?A 0 B. T÷ìng tü ta câ C 0 M? (B 0 N 0 C))C 0 M?CB 0 . Vªy ta câ ÷íng th¯ng C 0 M vuæng gâc vîi c£ hai ÷íng th¯ng A 0 B v B 0 C. L§y iºm I thuëc BB 0 . Gåi E l giao iºm cõa MI v A 0 B; F l giao iºm cõa IC 0 v B 0 C. Ta c¦n t¼m và tr½ cõa I º EFkC 0 M. Ta câ EFkC 0 M, IE ME = FI FC 0 , BI MA 0 = IB 0 CC 0 . Do CC 0 = 2MA 0 n¶n BI MA 0 = IB 0 CC 0 ,IB 0 = 2BI. VªyI l iºm thuëc o¤n BB 0 sao cho IB 0 = 2BI th¼EE l o¤n vuæng gâc chung cõa hai ÷íng th¯ng A 0 B v B 0 C vîi E l giao iºm cõa MI v A 0 B; F l giao iºm cõa IC 0 v B 0 C. V½ dö 33. Cho h¼nh châpS:ABC câ ¡y l tam gi¡c ·u c¤nha.SA = 2a v vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB v AC.  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 45 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh B S C A D H I Trong m°t ph¯ng (ABC), düng h¼nh thoi ACBD, ta câ: BDkAC)ACk (SBD). )d(AC;SB) =d(AC; (SBD)) =d(A; (SBD)). Gåi I l trung iºm cõa BD, ta câ: BD?AI v BD?SA)BD? (SAI). ) (SBD)? (SAI) theo giao tuy¸n SI. Trong m°t ph¯ng (SAI), k´ AH?SI t¤i H, ta câ: AH? (SBD))AH =d(A; (SBD)). Tam gi¡c SAI vuæng t¤i A câ ÷íng cao AH. ) 1 AH 2 = 1 SA 2 + 1 AI 2 = 1 4a 2 + 4 3a 2 = 19 12a 2 . )AH 2 = 12a 2 19 hay AH = 2a p 57 19 . Vªy d(SB;AC) = 2a p 57 19 . V½ dö 34. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh b¬ng a, SA vuæng gâc vîi ¡y v SA =a. M l trung iºm cõa SB. T½nh kho£ng c¡ch giúa c¡c ÷íng th¯ng: a) SC v BD. b) AC v SD. c) SD v AM.  H÷îng d¨n gi£i: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 46 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C S O H B E K I D A M a) Gåi O l giao iºm cõa AC v BD. Ta câ: 8 < : BD?SA BD?AC )BD? (SAC) t¤i O. Trong m°t ph¯ng (SAC), k´OH?SC t¤iH, ta câOH?SC v OH?BD (v¼BD? (SAC)). Vªy OH l o¤n vuæng gâc chung cõa BD v SC. Ta câ OH OC = SA SC = sin [ ACS)OH = OC:SA SC = a p 2 2 a a p 3 = a p 6 6 . Vªy d(SC;BD) =OH = a p 6 6 . b) Düng h¼nh b¼nh h nh ACDE, ta câ: ACkDE)ACk (SDE). )d(AC;SD) =d(AC; (SDE)) =d(A; (SDE)). Trong m°t ph¯ng (ABCD), k´ AI?DE t¤i I, ta câ 8 < : DE?AI DE?SA )DE? (SAI). ) (SDE)? (SAI) theo giao tuy¸n SI. Trong m°t ph¯ng (SAI), k´ AK?SI t¤i K, ta câ: AK? (SDE))AK =d(A; (SDE)). Ta câ AIDO l h¼nh b¼nh h nh n¶n AI =OD = a p 2 2 . Trong tam gi¡c vuæng SAI ta câ: 1 AK 2 = 1 AI 2 + 1 SA 2 = 2 a 2 + 1 a 2 = 3 a 2 . Suy ra AK = a p 3 3 . Vªy d(AC;SD) =d(A; (SDE)) =AK = a p 3 3 . c) Ta câ OMkSD v ACkDE n¶n (AMC)k (SDE). Suy ra d(SD;AM) =d((AMC); (SDE)) =d(A; (SDE)) =AK = a p 3 3 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 47 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh 2. 5 Mët sè b i to¡n ¡p döng ph÷ìng ph¡p tåa ë trong khæng gian V½ dö 35 (Thi thû L¦n 1, THPT Ninh B¼nh - B¤c Li¶u, Ninh B¼nh, 2019). Cho h¼nh l«ng trö ·u ABC:A 0 B 0 C 0 câ t§t c£ c¡c c¤nh ·u b¬ng a. M l trung iºm cõa AA 0 . T¼m kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng MB 0 v BC. A. a 2 . B. a p 3 2 . C. a p 6 3 . D. a.  H÷îng d¨n gi£i: L C¡ch 1: °t b = a 2 . Gåi O, O 0 l¦n l÷ñt l trung iºm BC, B 0 C 0 . Chån h» tröcOxyz nh÷ h¼nh v³, ta câO(0; 0; 0),B(b; 0; 0), C(b; 0; 0), B 0 (b; 0; 2b), M(0;b p 3;b), # BC = (2b; 0; 0), # MB 0 = (b;b p 3;b), # CB 0 = (2b; 0; 2b). Kho£ng c¡ch giúa MB 0 v BC l d(MB 0 ;BC) = [ # BC; # MB 0 ] # CB 0 [ # BC; # MB 0 ] =b p 3 = a p 3 2 : y x z C 0 B O A C B 0 A 0 M L C¡ch 2: Do BCkB 0 C 0 n¶n d (MB 0 ;BC) = d (BC; (MB 0 C 0 )) = d (B; (MB 0 C 0 )): Gåi E =MB 0 \A 0 B. Ta câ BE AE = BB 0 AM = 2. N¶n d (B; (MB 0 C 0 )) = 2d (A 0 ; (MB 0 C 0 )). K´ A 0 H?MI suy ra A 0 H? (MB 0 C 0 ). Do â d (A 0 ; (MB 0 C 0 )) = A 0 H = A 0 IA 0 M p A 0 I 2 +A 0 M 2 = a p 3 2 a 2 É 3a 2 4 + a 2 4 = a p 3 4 : Vªy d (MB 0 ;BC) = 2A 0 H = a p 3 2 . B C B 0 C 0 I A A 0 M H E 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 48 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh V½ dö 36 (Thi thû, Chuy¶n Phan Bëi Ch¥u - Ngh» An, 2019-L1). Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ c¤nh b¬ng 2. Kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng (AB 0 D 0 ) v (BC 0 D) b¬ng A. p 3 3 . B. 2 p 3 3 . C. p 3 2 . D. p 3.  H÷îng d¨n gi£i: Chån h» tröc to¤ ë nh÷ h¼nh v³. Ta câ A(0; 0; 0);B(2; 0; 0);C(2; 2; 0);D(0; 2; 0). A 0 (0; 0; 2);B 0 (2; 0; 2);C 0 (2; 2; 2);D 0 (0; 2; 2). M°t ph¯ng (AB 0 D 0 ) qua A v câ mët v²c-tì ph¡p tuy¸n l 1 4 # AB 0 ; # AD 0 = (1; 1;1) n¶n câ ph÷ìng tr¼nh x +yz = 0: D 0 C D A 0 A B 0 B C 0 x y z M°t ph¯ng (BC 0 D) qua B v câ mët v²c-tì ph¡p tuy¸n l 1 4 # BC 0 ; # BD = (1; 1;1) n¶n câ ph÷ìng tr¼nh x +yz 2 = 0. Ta câ (AB 0 D 0 )k (BC 0 D) n¶n d((AB 0 D 0 ); (BC 0 D)) = d(A; (BC 0 D)) = j 2j p 1 2 + 1 2 +t(1) 2 = 2 p 3 3 : V½ dö 37. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh 2a, tam gi¡c SAB ·u, gâc giúa (SCD) v (ABCD) b¬ng 60 . Gåi M l trung iºm cõa c¤nh AB. Bi¸t r¬ng h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa ¿nhS tr¶n m°t ph¯ng (ABCD) n¬m trong h¼nh vuængABCD. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SM v AC l A. a p 5 5 . B. a p 5 10 . C. 3a p 5 10 . D. 5a p 3 3 .  H÷îng d¨n gi£i: Gåi I l trung iºm c¤nh CD, khi â 8 < : AB?SM AB?MI ) AB ? (SMI). Do CDkAB n¶n CD? (SMI)) ((SCD); (ABCD)) = [ SIM. V³ SH?MI t¤i H2MI th¼ SH? (ABCD). 4SMI câ SM 2 =MI 2 +SI 2 2MISI cos [ SIM , 3a 2 = 4a 2 +SI 2 2aSI ,SI 2 2aSI +a 2 = 0,SI =a: A B C D M I H S N C¡ch 1: 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 49 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh Theo ành lþ Pythagore £o th¼4SMI vuæng t¤i S)SH = SMSI MI = a p 3 2 . Gåi N l trung iºm c¤nh BC ta câ ACkMN ) d(AC;SM) = d(AC; (SMN)) = d(C; (SMN)) = 3V SMNC S SMN . Ta câ V SMNC =V S:MNB = 1 3 SH 1 2 BMBN = 1 6 a p 3 2 aa = a 3 p 3 12 . Tam gi¡c SIC câ SC = p SI 2 +IC 2 = p a 2 +a 2 =a p 2. Tam gi¡c SBC câ SN 2 = SB 2 +SC 2 2 BC 2 4 = 2a 2 )SN =a p 2. Tam gi¡c SMN câ nûa chu vi p = SM +SN +MN 2 = a p 3 +a p 2 +a p 2 2 . V di»n t½ch4SMN l S 4SMN = p p(pSM)(pSN)(pBC) = a 2 p 15 4 . Vªy d(AC;SM) = 3V SMNC S SMN = 3 a 3 p 3 12 a 2 p 15 4 = a p 5 5 . C¡ch 2: Ta th§y SM 2 +SI 2 =MI 2 n¶n4SMI vuæng t¤i S. Suy ra SH = SMSI MI = a p 3 2 ; HM = 3a 2 . Gåi O =AC\BD; N l trung iºm c¤nh BC ta câ ACk (SMN). Do â, d(AC;SM) = d(AC; (SMN)) = d(O; (SMN)) = 2 3 d (H; (SMN)). Gåi K l h¼nh chi¸u cõa H l¶n MN, ta câ4HKM vuæng c¥n t¤i K n¶n HK = HM p 2 = 3a p 2 4 . Vªy d(AC;SM) = 2 3 SHHK p SH 2 +HK 2 = a p 5 5 . d Têng Æn GÂC V KHONG CCH H÷îng Tîi K¼ Thi THPTQG 2019 C¥u 1. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l nûa löc gi¡c ·u vîi AB = BC = CD = a, AD = 2a. ÷íng th¯ng SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD) v SA = a. T½nh gâc t¤o bði hai m°t ph¯ng (SCD) v (ABCD). A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 75 . (· thi thû THPT Hai B Tr÷ng, Hu¸, L¦n 2 - 2019) C¥u 2. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ c¤nh ¡y b¬ng 2a, gâc giúa m°t b¶n v m°t ¡y b¬ng 60 . T½nh kho£ng c¡ch tø B ¸n m°t ph¯ng (SCD). A. a. B. a p 3. C. a p 3 2 . D. a 2 . (· thi thû THPT Hai B Tr÷ng, Hu¸, L¦n 2 - 2019) C¥u 3. Cho tù di»n OABC câ OA, OB, OC æi mët vuæng gâc vîi nhau v OA = OB = OC. Gåi M l trung iºm cõa BC. Gâc giúa hai ÷íng th¯ng OM v AB b¬ng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 50 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh (· tªp hu§n, Sð GD v T - V¾nh Phóc, 2019) C¥u 4. Cho tù di»n ABCD câ AB = CD = a. Gåi M v N l¦n l÷ñt l trung iºm cõa AD v BC. X¡c ành ë d i o¤n th¯ng MN º gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v MN b¬ng 30 . A. MN = a 2 . B. MN = a p 3 2 . C. MN = a p 3 3 . D. MN = a 4 . (· tªp hu§n, Sð GD v T - V¾nh Phóc, 2019) C¥u 5. Cho h¼nh l«ng trö tam gi¡c ·u ABC:MNP câ t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng nhau. Gåi I l trung iºm c¤nh MP. Cæ-sin cõa gâc giúa hai ÷íng th¯ng BP v NI b¬ng A. p 15 5 . B. p 6 4 . C. p 6 2 . D. p 10 4 . (Thi thû, Sð GD v T - H T¾nh, 2019) C¥u 6. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B v SA vuæng gâc vîi m°t ¡y. Bi¸t SA =a, AB =a, BC =a p 2. Gåi I l trung iºm cõa BC. T½nh cosin cõa gâc giúa hai ÷íng th¯ng AI v SC. A. É 2 3 . B. 2 3 . C. É 2 3 . D. p 2 8 . (THPT ëi C¦n, V¾nh Phóc, 2019) C¥u 7. Cho tù di»n ABCD vîi AC = 3 2 AD, [ CAB = \ DAB = 60 , CD = AD. Gåi ' l gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD. Chån kh¯ng ành óng v· gâc '. A. cos' = 3 4 . B. ' = 30 . C. ' = 60 . D. cos' = 1 4 . A C B D (Thi thû, Chuy¶n L¶ Quþ æn - i»n Bi¶n, 2019) C¥u 8. Cho khèi châp S:ABCD câ ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a, SA = a p 3 v SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Cosin cõa gâc giúa hai ÷íng th¯ng SB v AC l A. p 3 4 . B. p 2 4 . C. p 5 4 . D. p 5 5 . ( THPT L¶ V«n H÷u, Thanh Hâa, 2019) C¥u 9. Cho tù di»n ABCD câ AB =CD =a. Gåi M, N l¦n l÷ñt l trung iºm cõa AD v BC. Bi¸t MN = p 3a, gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD b¬ng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 51 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh (Thi thû, THPT chuy¶n KHTN H Nëi, 2019) C¥u 10. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 . Gåi M, N, P l¦n l÷ñt l trung iºm c¡c c¤nh AB, AD v C 0 D 0 . T½nh cosin gâc giúa hai ÷íng th¯ng MN v CP. A. p 10 5 . B. p 15 5 . C. 1 p 10 . D. 3 p 10 . A 0 N B 0 B P D D 0 A M C 0 C (· tªp hu§n Sð Ninh B¼nh, 2019) C¥u 11. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng ABCD c¤nh a, ë d i c¤nh b¶n công b¬ng a. Gåi M, N l¦n l÷ñt l trung iºm c¡c c¤nh SA v BC. Gâc giúa MN v SC b¬ng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . (Thi thû, To¡n håc tuêi tr´, 2019-2) C¥u 12. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng t¥m O, c¤nh b¬ng a, SA = a vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Tang cõa gâc giúa ÷íng th¯ng SO v m°t ph¯ng (SAB) b¬ng A. p 2. B. p 5 5 . C. p 5. D. p 2 2 . (Thi thû l¦n I, Sð GD&T Sìn La 2019) C¥u 13. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD vîi t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng a. Gåi G l trång t¥m tam gi¡c SCD (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). Tang gâc giúa AG v (ABCD) b¬ng A. p 17 7 . B. p 5 3 . C. p 17. D. p 5 5 . S G A B C D I Q O (· tªp hu§n sè 2, Sð GD v T Qu£ng Ninh, 2019) C¥u 14. Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡yABCD l h¼nh vuæng t¥mO c¤nh b¬nga,SA =a v SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Tan cõa gâc giúa ÷íng th¯ng SO v m°t ph¯ng (SAB) b¬ng A. p 2. B. p 2 2 . C. p 5. D. p 5 5 . (Thi thû, Chuy¶n Sìn La, 2018) C¥u 15. Cho h¼nh châp ·u S:ABCD câ c¤nh ¡y b¬ng a, c¤nh b¶n b¬ng a p 2. Gâc giúa ÷íng th¯ng SB v m°t ph¯ng (ABCD) b¬ng bao nhi¶u? A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 52 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh (· Tªp Hu§n -4, Sð GD v T - H£i Pháng, 2019) C¥u 16. Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡yABCD l h¼nh chú nhªt vîiAB =a,AD =a p 3 . C¤nh b¶nSA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y v SA =a. Gåi' l gâc giúa ÷íng th¯ng SD v m°t ph¯ng (SBC). Kh¯ng ành n o d÷îi ¥y óng? A. tan' = p 7 7 . B. tan' = 1 7 . C. tan' = p 7. D. tan' = p 7 7 . (Tªp hu§n, Sð GD v T - Bc Giang, 2019) C¥u 17. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a. ÷íng th¯ng SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y v SA =a. Gâc giúa ÷íng th¯ngSC v m°t ph¯ng (ABCD) l . Khi â tan b¬ng A. p 2. B. 1 p 3 . C. 1. D. 1 p 2 . (Thi thû, Sð GD v T - H T¾nh, 2019) C¥u 18. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng 2a. Gåi M l trung iºm cõa SD. T½nh tan cõa gâc giúa ÷íng th¯ng BM v m°t ph¯ng (ABCD). A. p 2 2 . B. p 3 3 . C. 2 3 . D. 1 3 . (Thi thû, Sð GD v T - V¾nh Phóc, 2018) C¥u 19. Cho h¼nh châp S:ABCD câ m°t b¶n SAB l tam gi¡c ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi ¡y (ABCD). Gåi I l trung iºm cõa AB. M»nh · n o d÷îi ¥y sai? A. Gâc giúa SC v mp(ABCD) l gâc SCI. B. SI vuæng gâc vîi mp(ABCD). C. Gâc giúa SC v mp(ABCD) l gâc SCA. D. Gâc giúa SB v mp(ABCD) l gâc SBA. (Thi thû L1, THPT Y¶n Dông-Bc Giang, 2018) C¥u 20. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a, c¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi m°t ¡y v SA =a p 2. T¼m sè o cõa gâc giúa ÷íng th¯ng SC v m°t ph¯ng (SAD). A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 . (Thi thû L1, Qu£ng X÷ìng I, 2019) C¥u 21. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng ABCD c¤nh a. Tam gi¡c SAB ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi ¡y. Gåi H, K l¦n l÷ñt l trung iºm cõa c¡c c¤nh AB, AD. T½nh sin cõa gâc t¤o bði ÷íng th¯ng SA v (SHK). A. p 7 4 . B. p 14 4 . C. p 2 4 . D. p 2 2 . (GHK2, Hëi 8 tr÷íng Chuy¶n, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 53 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 22. Cho h¼nh l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c c¥n vîi AB =AC =a v [ BAC = 120 , c¤nh b¶n BB 0 = a, gåi I l trung iºm cõa CC 0 . Cæsin cõa gâc t¤o bði m°t ph¯ng (ABC) v (AB 0 I) b¬ng A. p 20 10 . B. p 30 5 . C. p 30 . D. p 30 10 . (Thi thû l¦n I, Sð GD&T Sìn La 2019) C¥u 23. Cho tù di»n ABCD câ AC =AD =BC =BD =a, CD = 2x, (ACD)? (BCD). T¼m gi¡ trà cõa x º (ABC)? (ABD). A. x = a p 3 3 . B. x =a p 2. C. x =a. D. x = a p 2 2 . (KSCL, Sð GD v T - Thanh Hâa, 2018) C¥u 24. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh thoi t¥m I, c¤nh a, gâc \ BAD = 60 . SA = SB = SD = a p 3 2 . Gåi l gâc giúa ÷íng th¯ng SD v m°t ph¯ng (SBC). Gi¡ trà sin b¬ng A. 1 3 . B. 2 3 . C. p 5 3 . D. 2 p 2 3 . (Thi thû, Chuy¶n Phan Bëi Ch¥u - Ngh» An, 2019-L1) C¥u 25. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ c¤nh ¡y v c¤nh b¶n ·u b¬ng a. T½nh cosin cõa gâc giúa hai m°t ph¯ng (SAB) v (SAD). A. 1 3 . B. 1 3 . C. 2 p 2 3 . D. 2 p 2 3 . (· tªp hu§n Sð Ninh B¼nh, 2019) C¥u 26. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡yABCD l h¼nh thang vuæng t¤i A. C¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi m°t ¡y v SA =a p 2. Bi¸t AB = 2AD = 2DC = 2a. Gâc giúa hai m°t ph¯ng (SAB) v (SBC) l A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 12 . (· kiºm tra ành k¼ l¦n 3, Chuy¶n Bc Ninh, 2018-2019) C¥u 27. Choh¼nhlªpph÷ìngABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 .T½nhgâcgiúahaim°tph¯ng (A 0 B 0 C)v (C 0 D 0 A). A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . (THPT Chuy¶n Quang Trung - B¼nh Ph÷îc - L¦n 2, 2018-2019) C¥u 28. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ c¤nh ¡y b¬ng a, chi·u cao cõa h¼nh châp b¬ng a p 3 2 . Gâc giúa m°t b¶n v m°t ¡y b¬ng A. 60 . B. 75 . C. 30 . D. 45 . (Thi thû L¦n 1,THPT Tù Ký, H£i D÷ìng, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 54 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 29. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ c¤nh b¬ng a. Sè o gâc giúa hai m°t ph¯ng (BA 0 C) v (DA 0 C) b¬ng A. 120 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . (GHK2, THPT Y¶n ành 2 - Thanh Hâa, 2019) C¥u 30. Cho h¼nh hëp chú nhªt ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ BC = a, BB 0 = a p 3. Gâc giúa hai m°t ph¯ng (A 0 B 0 C) v (ABC 0 D 0 ) b¬ng A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . (Thi thû L3, Chuy¶n Quang Trung - B¼nh Ph÷îc, 2019) C¥u 31. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 c¤nh a. C¡c iºm M;N;P l¦n l÷ñt thuëc c¡c ÷íng th¯ng AA 0 ;BB 0 ;CC 0 thäa m¢n di»n t½ch cõa tam gi¡c MNP b¬ng a 2 . Gâc giúa hai m°t ph¯ng (MNP ) v (ABCD) l A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 120 . (Thi thû L1, THPT Chuy¶n HSP H Nëi, 2019) C¥u 32. Cho l«ng trö ùngABC:A 0 B 0 C 0 câ di»n t½ch tam gi¡cABC b¬ng 2 p 3. GåiM,N,P l¦n l÷ñt thuëc c¡c c¤nhAA 0 ,BB 0 ,CC 0 , di»n t½ch tam gi¡cMNP b¬ng 4. T½nh gâc giúa hai m°t ph¯ng (ABC) v (MNP ). A. 120 . B. 45 . C. 30 . D. 90 . ( H m Rçng, Thanh Hâa, n«m 2019) C¥u 33. Cho h¼nh lªp ph÷ìngABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 . T½nh gâc giúa hai m°t ph¯ng (A 0 BC) v (A 0 CD). A. 90 . B. 120 . C. 60 . D. 45 . (· KSCL Quýnh L÷u 1, Ngh» An, n«m 2019, L¦n 1) C¥u 34. Cho h¼nh châp tam gi¡c ·uS:ABC câ c¤nh b¶n b¬ng 2a, c¤nh ¡y b¬nga. Gåi l gâc giúa hai m°t b¶n cõa h¼nh châp â. H¢y t½nh cos . A. cos = 8 15 . B. cos = p 3 2 . C. cos = 7 15 . D. cos = 1 2 . (KSCL L¦n 1 Tr÷íng THPT Cëng Hi·n - H£i Pháng, n«m 2018 - 2019) C¥u 35. Cho l«ng trö ùng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ ¡y ABCD l h¼nh thoi, AC = 2AA 0 = 2a p 3. Gâc giúa hai m°t ph¯ng (A 0 BD) v (C 0 BD) b¬ng A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . (Thi thû L1, THPT Hªu Lëc 2, Thanh Ho¡, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 55 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 36. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ c¤nh b¬ng p 3. M°t ph¯ng ( ) song song vîi AB v ct t§t c£ c¡c c¤nh b¶n cõa h¼nh lªp ph÷ìng. T½nh di»n t½ch thi¸t di»n cõa h¼nh lªp ph÷ìng ct bði m°t ph¯ng ( ) bi¸t ( ) t¤o vîi m°t (ABB 0 A 0 ) mët gâc 60 . A. 2 p 3. B. 3 2 . C. 6. D. 3 p 3 2 . (Thi thû l¦n 1, THPT Th«ng Long - H Nëi, 2019) C¥u 37. Cho h¼nh châpS:ABC câ ¡yABC l tam gi¡c vuæng c¥n t¤i ¿nhB,AB =a,SA = 2a v SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Gåi H, K l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A l¶n SB, SC. Di»n t½ch cõa tam gi¡c AHK b¬ng A. a 2 p 3 3 . B. a 2 p 2 3 . C. 2 p 6a 2 15 . D. 2a 2 p 3 3 . (Thi thû L1, THPT Y¶n Dông-Bc Giang, 2018) C¥u 38. Cho h¼nh châp S:ABCD, ¡y l h¼nh thang vuæng t¤i A v B, bi¸t AB = BC = a, AD = 2a, SA = a p 3 v SA? (ABCD). Gåi M, N l¦n l÷ñt l trung iºm cõa SB v SA. T½nh kho£ng c¡ch tø M ¸n (NCD) theo a. A. a p 66 22 . B. 2a p 66. C. a p 66 11 . D. a p 66 44 . (DTH, Sð GD v T - H Nam, 2019) C¥u 39. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ c¤nh a. Gâc giúa c¤nh b¶n v m°t ph¯ng ¡y b¬ng 60 o . Kho£ng c¡ch tø ¿nh S ¸n m°t ph¯ng (ABCD) b¬ng A. a p 2. B. a p 6 2 . C. a p 3 2 . D. a. (Thi tªp hu§n, Sð GD v T - Bc Ninh, 2019) C¥u 40. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ c¤nh ¡y b¬ng a. Gâc giúa c¤nh b¶n v m°t ph¯ng ¡y b¬ng 60 . Kho£ng c¡ch tø ¿nh S ¸n m°t ph¯ng (ABCD) b¬ng A. a p 2. B. a p 6 2 . C. a p 3 2 . D. a. (Tªp hu§n SGD Bc Ninh, 2019) C¥u 41. Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡yABCD l h¼nh vuæng c¤nha, m°t b¶nSAB l tam gi¡c ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. T½nh kho£ng c¡ch h tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SCD). A. h = a p 21 7 . B. h =a. C. h = a p 3 4 . D. h = a p 3 7 . (· tªp hu§n t¿nh Lai Ch¥u,2019) C¥u 42. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B v SB ? (ABC). Bi¸t SB = 3a, AB = 4a, BC = 2a. T½nh kho£ng c¡ch tø B ¸n (SAC). A. 12 p 61a 61 . B. 3 p 14a 14 . C. 4a 5 . D. 12 p 29a 29 . (· KSCL To¡n 12 tr÷íng Nguy¹n Tr¢i, Thanh Ho¡, n«m 2018, l¦n 1) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 56 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 43. Cho h¼nh l«ng trö tam gi¡c ·u ABC:A 0 B 0 C 0 câ AB = a, AA 0 = 2a. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB 0 v A 0 C. A. a p 3 2 . B. 2 p 5 5 a. C. a p 5. D. 2 p 17 17 a. (KSCL l¦n 2, THPT Chuy¶n V¾nh Phóc) C¥u 44. Cho tù di»n ·u ABCD câ t§t c£ c¡c c¤nh ·u b¬ng 2a, gåi M l iºm thuëc c¤nh AD sao cho DM = 2MA. T½nh kho£ng c¡ch tø M ¸n m°t ph¯ng (BCD). A. 2a p 6 9 . B. a p 6. C. 4a p 6 9 . D. 2a p 6 3 . (KSCL, THPT Næng Cèng I, Thanh Hâa, l¦n 1, 2019) C¥u 45. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·uS:ABCD câ c¤nh ¡y b¬ng c¤nh b¶n b¬nga. Kho£ng c¡ch tø AD ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng bao nhi¶u? A. 2a p 3 . B. p 2a p 3 . C. 3a 2 . D. a p 3 . (KSCL l¦n 1, L÷u ¼nh Ch§t - Thanh Hâa, 2019) C¥u 46. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y l tam gi¡c vuæng t¤i A, AB =a, AC =a p 3, SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y v SA = 2a. Kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng A. 2a p 3 19 . B. 2a p 57 19 . C. 2a p 38 19 . D. a p 57 19 . (· KSCL, Chuy¶n Lam Sìn, Thanh Hâa n«m 2018-2019) C¥u 47. Cho h¼nh châpS:ABC câ ¡y l tam gi¡c vuæng c¥n t¤iB, 2SA =AC = 2a v SA vuæng gâc vîi ¡y. Kho£ng c¡ch tø A ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng A. 2a p 6 3 . B. 4a p 3 3 . C. a p 6 3 . D. a p 3 3 . (Thû sùc tr÷îc k¼ thi - THTT, 2019) C¥u 48. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a, c¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi ¡y v SA =a p 3. Kho£ng c¡ch tø A ¸n m°t ph¯ng (SBC) b¬ng A. 2a p 5 5 . B. a p 3. C. a 2 . D. a p 3 2 . (Thi thû L1, Qu£ng X÷ìng I, 2019) C¥u 49. Cho h¼nh châpS:ABC câSA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Bi¸t gâc [ BAC = 30 ,SA =a v BA = BC = a. Gåi D l iºm èi xùng vîi B qua AC. Kho£ng c¡ch tø B ¸n m°t (SCD) b¬ng A. p 21 7 a. B. p 2 2 a. C. 2 p 21 7 a. D. p 21 14 a. (Thi thû L3, Chuy¶n Quang Trung - B¼nh Ph÷îc, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 57 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 50. Cho tam gi¡c ·u ABC câ c¤nh b¬ng 3a. iºm H thuëc c¤nh AC vîi HC = a. Düng o¤n th¯ng SH vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABC) vîi SH = 2a. Kho£ng c¡ch tø iºm C ¸n m°t ph¯ng (SAB) b¬ng A. 3a 7 . B. a p 21 7 . C. 3a p 21 7 . D. 3a. (THPT Chuy¶n Th¡i Nguy¶n - L¦n 1) C¥u 51. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l nûa löc gi¡c ·u nëi ti¸p ÷íng trán ÷íng k½nh AD = 2a, SA vuæng gâc vîi ¡y v SA =a p 3. Gåi H l h¼nh chi¸u cõa A tr¶n SB. Kho£ng c¡ch tø H ¸n m°t ph¯ng (SCD) b¬ng A. a p 6 3 . B. 3a p 6 8 . C. a p 6 2 . D. 3a p 6 16 . (Thi thû L1, THPT Hªu Lëc 2, Thanh Ho¡, 2019) C¥u 52. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng t¥m O c¤nh a. T½nh kho£ng c¡ch giúa SC v AB bi¸t r¬ng SO =a v vuæng gâc vîi m°t ¡y cõa h¼nh châp. A. a. B. a p 5 5 . C. 2a 5 . D. 2a p 5 . (De tap huan, So GD&DT Dien Bien, 2019) C¥u 53. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng t¥m O c¤nh a, SO vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD) v SO =a. Kho£ng c¡ch giúa SC v AB b¬ng A. a p 3 15 . B. a p 5 5 . C. 2a p 3 15 . D. 2a p 5 5 . (DTH, Sð GD v T - H Nam, 2019) C¥u 54. Cho h¼nh châp tam gi¡c S:ABC câ SA? (ABC), AB = 6, BC = 8, AC = 10. T½nh kho£ng c¡ch d giúa hai ÷íng th¯ng SA v BC. A. d = 0. B. d = 8. C. d = 10. D. d = 6. (Tªp Hu§n - Ninh B¼nh-2019) C¥u 55. Cho tù di»n OABC câ OA, OB, OC æi mët vuæng gâc v ·u b¬ng a. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng OA v BC b¬ng A. a. B. a p 2. C. a p 2 2 . D. a p 3 2 . (Thi thû, Chuy¶n Sìn La, 2018) C¥u 56. Cho h¼nh châp ·u S:ABCD câ ë d i c¤nh ¡y b¬ng a, ë d i c¤nh b¶n b¬ng a p 5 2 . T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB v SC. A. a. B. a p 5 2 . C. a p 3 2 . D. a p 6 3 . (· tªp hu§n, Sð GD v T - Qu£ng Trà, 2018) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 58 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 57. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng c¥n t¤i A, m°t b¶n SBC l tam gi¡c ·u c¤nh a v m°t ph¯ng (SBC) vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh theo a kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SA, BC ÷ñc k¸t qu£ A. a p 3 4 . B. a p 3 2 . C. a p 5 2 . D. a p 2 2 . (Thi thû, L o Cai - Phó Thå, 2019) C¥u 58. Cho tù di»n ·u ABCD c¤nh b¬ng 4. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD b¬ng A. 2 p 2. B. 2. C. 3. D. 2 p 3. (Thi thû, Sð GD v T - H T¾nh, 2019) C¥u 59. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD, câ t§t c£ c¡c c¤nh ·u b¬ng a. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AD v SB. A. a p 6 2 . B. a p 6 3 . C. a p 3 3 . D. a p 3 2 . (Thi KSCL,M.V.Læmænæxèp H Nëi, 2019) C¥u 60. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a. C¤nh b¶n SA vuæng gâc vîi ¡y. Gâc giúa SC v m°t ¡y l 45 . Gåi E l trung iºm cõa BC. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng DE v SC. A. a p 5 19 . B. a p 38 19 . C. a p 5 5 . D. a p 38 5 . (Giúa HK1 THPT Ho¬ng Hâa 2 - Thanh Hâa - 19) C¥u 61. Cho h¼nh châp S:ABCD ¡y l h¼nh thoi c¤nh a; gâc [ BAC = 60 , tam gi¡c SAB c¥n t¤i S v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi ¡y. M°t ph¯ng (SCD) t¤o vîi ¡y gâc 30 . T½nh kho£ng c¡ch d giúa hai ÷íng th¯ng SB v AD. A. d = p 21 14 a. B. d = p 3 5 a. C. d = 2 p 3 5 a. D. d = p 21 7 a. (Thi thû L1, THPT Thuªn Th nh Bc Ninh, 2019) C¥u 62. Cho h¼nh hëp ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 câ A:A 0 B 0 D 0 l h¼nh châp ·u, A 0 B 0 = AA 0 = a. T½nh theo a kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB 0 v A 0 C 0 . A. a p 22 22 . B. a p 11 2 . C. a p 22 11 . D. 3a p 22 11 . (Thi thû, THPT Thi»u Hâa-Thanh Hâa, 2018) C¥u 63. Cho h¼nh l«ng trö ùngABC:A 0 B 0 C 0 câ c¤nh b¶nAA 0 =a p 2. Bi¸t ¡yABC l tam gi¡c vuæng câ BA = BC = a, gåi M l trung iºm cõa BC. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AM v B 0 C. A. d(AM;B 0 C) = a p 5 5 . B. d(AM;B 0 C) = a p 3 3 . C. d(AM;B 0 C) = a p 2 2 . D. d(AM;B 0 C) = a p 7 7 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 59 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh (Thi thû, THPT Chuy¶n Tho¤i Ngåc H¦u - An Giang, 2018-2019) C¥u 64. Cho l«ng trö ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y l tam gi¡c ·u c¤nh b¬ng 4. H¼nh chi¸u vuæng gâc cõaA 0 l¶n m°t ph¯ng (ABC) tròng vîi t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC. GåiM l trung iºm c¤nh AC. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng BM v B 0 C b¬ng A. 2. B. p 2. C. 1. D. 2 p 2. (THPT ëi C§n, V¾nh Phóc, 2018-2019) C¥u 65. Cho tù di»n ·u ABCD câ c¡c c¤nh b¬ng a. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB v CD b¬ng A. a p 2 3 . B. a p 2 2 . C. a p 3 2 . D. a p 3 3 . (Thû sùc tr÷îc k¼ thi - THTT, 2019) C¥u 66. Cho tù di»n OABC câ OA;OB;OC æi mët vuæng gâc vîi nhau v OC = 2a, OA = OB =a. Gåi M l trung iºm cõa AB. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng OM v AC. A. 2a 3 . B. 2 p 5a 5 . C. p 2a 3 . D. p 2a 2 . (Chuy¶n Quang Trung, B¼nhPh÷îc, L¦n2) C¥u 67. Cho h¼nh trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y l tam gi¡c ABC vuæng t¤i A câ BC = 2a, AB =a p 3. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AA 0 v BC l A. a p 21 7 . B. a p 3 2 . C. a p 5 2 . D. a p 7 3 . (Thi thû L1, Qu£ng X÷ìng I, 2019) C¥u 68. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y l tam gi¡c ·u c¤nh b¬ng 4, gâc giúa SC v m°t ph¯ng (ABC) l 45 . H¼nh chi¸u cõa S l¶n (ABC) l iºm H thuëc c¤nh AB sao cho HA = 2HB. T½nh kho£ng c¡ch d giúa hai ÷íng th¯ng SA v BC. A. d = 4 p 210 45 . B. d = p 210 5 . C. d = 4 p 210 15 . D. d = 2 p 210 15 . S H C A B (Thi thû, Chuy¶n L¶ Quþ æn - i»n Bi¶n, 2019) C¥u 69. Cho l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng, BA = BC = a, c¤nh b¶nAA 0 =a p 2,M l trung iºm cõaBC. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ngAM v B 0 C b¬ng A. a p 2 2 . B. a p 5 5 . C. a p 7 7 . D. a p 3 3 . (GHK2, THPT Y¶n ành 2 - Thanh Hâa, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 60 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 70. Cho h¼nh l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng BA = BC = a, c¤nh b¶n AA 0 = a p 2, M l trung iºm cõa BC. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AM v B 0 C l A. a p 7 7 . B. a p 2 2 . C. a p 5 5 . D. a p 3 3 . (Thi thû, H£i Hªu A, 2019, l¦n 1) C¥u 71. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh 2a. Bi¸t c¡c m°t b¶n cõa h¼nh châp còng t¤o vîi ¡y c¡c gâc b¬ng nhau v thº t½ch cõa khèi châp b¬ng 4 p 3a 3 3 . T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SA v CD. A. p 5a. B. 3 p 2a. C. p 2a. D. p 3a. (Thi thû L1, Hai B Tr÷ng, Hu¸, 2019) C¥u 72. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh chú nhªt, AB =a, BC = 2a, SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y v SA =a. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng AC v SB b¬ng. A. a 2 . B. p 6a 2 . C. a 3 . D. 2a 3 . (· thi thû THPT Gia ành - HCM, 2019) C¥u 73. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a. M°t b¶n (SAB) l tam gi¡c ·u n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi ¡y. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB v SC b¬ng A. a p 2 2 . B. a p 21 7 . C. a p 7 3 . D. a p 21 3 . (THPT Qu£ng X÷ìng 1 - Thanh Hâa - 2019) C¥u 74. Cho h¼nh châp S:ABCD ¡y l h¼nh vuæng vîi ÷íng ch²o AC = 2a, SA? (ABCD). Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB v CD l A. a p 3 . B. a p 2 . C. a p 2. D. a p 3. (Thi thû, THPT B¤ch ¬ng - Qu£ng Ninh, 2019) C¥u 75. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a. Tam gi¡c SAB ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD). Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng BC v SD l A. a. B. a p 3 2 . C. a p 3 3 . D. a p 2 2 . (Thi thû L1, THPT Chuy¶n HSP H Nëi, 2019) C¥u 76. [Tr÷ìng Quan K½a, 12EX10]Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng c¤nh b¬ng a, SA? (ABCD) , SA =a p 3. Gåi M l trung iºm SD. T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB v CM. A. a p 3 4 . B. 2a p 3 3 . C. 3a 4 . D. a p 3 2 . 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 61 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh (Thi thû, Tr÷íng THPT Y¶n Dông 2, Bc Giang-L¦n 2-2019) C¥u 77. Cho h¼nh châp ·u S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng ABCD t¥m O c¤nh 2a, c¤nh b¶n SA =a p 5. Kho£ng c¡ch giúa BD v SC l A. a p 15 5 . B. a p 30 5 . C. a p 15 6 . D. a p 30 6 . ( H m Rçng, Thanh Hâa, n«m 2019) C¥u 78. Cho tù di»nOABC câOA,OB,OC æi mët vuæng gâc vîi nhau,OA =a; OB =OC = 2a. Gåi M l trung iºm cõa BC. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng OM v AB b¬ng A. a p 2 2 . B. 2a p 5 5 . C. a. D. a p 6 3 . (Thi thû, Tri»u Quang Phöc - H÷ng Y¶n L¦n 2, 2019) C¥u 79. Cho l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câ AC = a, BC = 2a, [ ACB = 120 . Gåi M l trung iºm cõa BB 0 . T½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AM v CC 0 theo a. A. a p 3 7 . B. a p 3. C. a p 7 7 . D. a É 3 7 . (Thi thû l¦n 1, Chuy¶n L¶ Th¡nh Tæng Qu£ng Nam, 2019) C¥u 80. Cho h¼nh châp S:ABC ¡y ABC l tam gi¡c ·u c¤nh a, SA vuæng gâc vîi ¡y v SA = a. Gåi M, N l¦n l÷ñt l trung iºm cõa c¡c c¤nh BC v CA. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AM v SN b¬ng A. a 4 . B. a p 17 . C. a 17 . D. a 3 . (Thi thû, To¡n håc tuêi tr´, 2019-2) C¥u 81. Cho h¼nh châp tam gi¡c S:ABC câ SA? (ABC), AB = 6, BC = 8, AC = 10. T½nh kho£ng c¡ch d giúa hai ÷íng th¯ng SA v BC. A. d = 0. B. d = 8. C. d = 10. D. d = 6. (· tªp hu§n Sð Ninh B¼nh, 2019) C¥u 82. Choh¼nhchâpS:ABCD câ¡yl h¼nhvuængc¤nhb¬ng 2;c¤nhSA = 1 v vuæng gâc vîi ¡y. Gåi M l trung iºm cõa CD. T½nh cos vîi l gâc t¤o bði hai ÷íng th¯ng SB v AM. A. 2 5 . B. 2 5 . C. 1 2 . D. 4 5 . S A B C D M (Thi thû, Lþ Th÷íng Ki»t - Bc Ninh, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 62 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 83. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·uS:ABCD vîi t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng a. Gåi G l trång t¥m tam gi¡c SCD (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). Gi¡ trà tan gâc giúa AG v (ABCD) b¬ng A. p 17 17 . B. p 5 3 . C. p 17. D. p 5 5 . S B C O Q D G I A (· tªp hu§n, Sð GD v T - Qu£ng Ninh, 2019) C¥u 84. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l h¼nh thoi c¤nh a, SA =SB =SD =a, \ BAD = 60 . Gâc giúa ÷íng th¯ng SA v m°t ph¯ng (SCD) b¬ng A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . (GHK1, THPT ëi C§n, V¾nh Phóc, 2018-2019) C¥u 85. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh thang c¥n (AD k BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a vîi a > 0. Gåi O l giao iºm cõa AC v BD. Bi¸t SD vuæng gâc AC. M l mët iºm thuëc o¤n OD; MD =x vîi x> 0. M kh¡c O v D. M°t ph¯ng ( ) qua M v song song vîi hai ÷íng th¯ng SD v AC ct khèi châp S:ABCD theo mët thi¸t di»n. T¼m x º di»n t½ch thi¸t di»n l lîn nh§t? A. a p 3 4 . B. a p 3. C. a p 3 2 . D. a. (Thi thû l¦n 1, Chuy¶n L¶ Th¡nh Tæng Qu£ng Nam, 2019) C¥u 86. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng c¤nh a, SAB l tam gi¡c ·u v (SAB) vuæng gâc vîi (ABCD). T½nh cos' vîi ' l gâc t¤o bði (SAC) v (SCD). A. 5 7 . B. p 3 7 . C. p 6 7 . D. p 2 7 . (Thi thû l¦n 1, THPT L÷ìng Th¸ Vinh - H Nëi, 2019) C¥u 87. Cho h¼nh châp S:ABC câ SC? (ABC) v tam gi¡c ABC vuæng t¤i B. Bi¸t AB = a, AC =a p 3, SC = 2a p 6. T½nh sin cõa gâc giúa hai m°t ph¯ng (SAB) v (SAC). A. É 2 3 . B. 2 p 13 . C. 1. D. É 5 7 . (De tap huan, So GD&DT Dien Bien, 2019) C¥u 88. Cho h¼nh l«ng trö tam gi¡c ·u ABC:A 0 B 0 C 0 câ AB = 2 p 3 v AA 0 = 2. Gåi M, N, P l¦n l÷ñt l trung iºm c¡c c¤nh A 0 B 0 , A 0 C 0 v BC. Cæ-sin cõa gâc t¤o bði hai m°t ph¯ng (AB 0 C 0 ) v (MNP ) b¬ng A. 6 p 13 65 . B. p 13 65 . C. 17 p 13 65 . D. 18 p 13 65 . (· tªp hu§n, Sð GD v T - V¾nh Phóc, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 63 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 89. Cho khèi châpS:ABCD câ ¡y l h¼nh b¼nh h nh,AB = 3;AD = 4; \ BAD = 120 . C¤nh b¶n SA = 2 p 3 vuæng gâc vîi ¡y. Gåi M;N;P l¦n l÷ñt l trung iºm c¡c c¤nh SA;AD v BC v l gâc giúa hai m°t ph¯ng (SAC) v (MNP ). Chån kh¯ng ành óng trong c¡c kh¯ng ành sau ¥y. A. 2 (60 ; 90 ). B. 2 (0 ; 30 ). C. 2 (30 ; 45 ). D. 2 (45 ; 60 ). (Thi thû L1, Qu£ng X÷ìng I, 2019) C¥u 90. Cho tù di»n ABCD câ AB = 3a, AC = a p 15, BD = a p 10, CD = 4a. Bi¸t r¬ng gâc giúa ÷íng th¯ng AD v m°t ph¯ng (BCD) b¬ng 45 , kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AD v BC b¬ng 5a 4 v h¼nh chi¸u cõa A l¶n m°t ph¯ng (BCD) n¬m trong tam gi¡c BCD. T½nh ë d i o¤n th¯ng AD bi¸t r¬ng AD>a. A. 5a p 2 4 . B. 2a. C. 2 p 2a. D. 3a p 2 2 . (KSCL, Sð GD v T - Thanh Hâa, 2018) C¥u 91. Cho h¼nh l«ng trö ùng ABC:A 0 B 0 C 0 câAB = 1,AC = 2,AA 0 = 3 v [ BAC = 120 . Gåi M, N l¦n l÷ñt l c¡c iºm tr¶n c¤nh BB 0 , CC 0 sao cho BM = 3B 0 M, CN = 2C 0 N. T½nh kho£ng c¡ch tø iºm M ¸n m°t ph¯ng (A 0 BN). A. 9 p 138 184 . B. 3 p 138 46 . C. 9 p 3 16 p 46 . D. 9 p 138 46 . (· tªp hu§n sè 2, Sð GD v T Qu£ng Ninh, 2019) C¥u 92. Cho h¼nh l«ng trö ùngABC:A 0 B 0 C 0 câAB =a,AC = 2a,AA 0 = 2a p 5 v [ BAC = 120 . Gåi K, I l¦n l÷ñt l trung iºm cõa c¡c c¤nh CC 0 , BB 0 . Kho£ng c¡ch tø iºm I ¸n m°t ph¯ng (A 0 BK) b¬ng A. a p 15. B. a p 5 6 . C. a p 15 3 . D. a p 5 3 . (Thi thû L¦n 1,THPT Tù Ký, H£i D÷ìng, 2019) C¥u 93. Cho h¼nh lªp ph÷ìngABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 c¤nh a . GåiM;N l¦n l÷ñt l trung iºm cõaAC v B 0 C 0 . Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng MN v B 0 D 0 b¬ng A. a p 5. B. a p 5 5 . C. 3a. D. a 3 . (Thi thû, Sð GD v T -L¤ng Sìn, 2019) C¥u 94. Cho h¼nh châp ·u S:ABC câ c¤nh ¡y b¬ng a p 6, kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SA v BC b¬ng 3a 2 . T½nh thº t½ch khèi châp S:ABC. A. a 3 p 6 2 . B. a 3 p 6 8 . C. a 3 p 6 12 . D. a 3 p 6 4 . (· tªp hu§n Sð Ninh B¼nh, 2019) 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 64 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh C¥u 95. Cho h¼nh chîp S:ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng ABCD, SAD l tam gi¡c ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Bi¸t r¬ng di»n t½ch m°t c§u ngo¤i ti¸p cõa khèi châp S:ABCD l 4. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SD v AC g¦n vîi gi¡ trà n o sau ¥y nh§t? A. 2 7 . B. 3 7 . C. 6 7 . D. 4 7 . (H£i Pháng, 2018) C¥u 96. Cho h¼nh lªp ph÷ìngABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 c¤nha. GåiM,N l¦n l÷ñt l trung iºm cõaBC v DD 0 . T½nh theo a kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng MN v BD. A. p 3a. B. p 3a 2 . C. p 3a 3 . D. p 3a 6 . (THPT Nguy¹n Hu», V¾nh Phóc, 2019) C¥u 97. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l h¼nh vuæng, SAD l tam gi¡c ·u v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y. Bi¸t r¬ng di»n t½ch m°t c¦u ngo¤i ti¸p khèi châp S:ABCD l 4. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ngSD v AC g¦n vîi gi¡ trà n o nh§t sau ¥y? A. 2 7 dm. B. 3 7 dm. C. 4 7 dm. D. 6 7 dm. (· Tªp Hu§n -4, Sð GD v T - H£i Pháng, 2019) C¥u 98. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 c¤nh a. (tham kh£o h¼nh v³ b¶n). Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB 0 v BC 0 b¬ng A. a p 3 3 . B. a p 2 2 . C. a p 3. D. a p 2. A A 0 B C D B 0 A C 0 D 0 (KSCL L¦n 1 Tr÷íng THPT Cëng Hi·n - H£i Pháng - 2019) C¥u 99. Cho khèi lªp ph÷ìng ABCD:A 0 B 0 C 0 D 0 . Gåi M l trung iºm cõa AD, l gâc giúa hai m°t ph¯ng (BMC 0 ) v (ABB 0 A 0 ). Kh¯ng ành n o d÷îi ¥y óng? A. cos = 3 4 . B. cos = 4 5 . C. cos = 1 3 . D. cos = 2 3 . A B M D 0 C 0 A 0 D C B 0 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 65 TT Quèc Håc Hu¸Ð L A T E X Hâa Nguy¹n Húu Nhanh Ti¸n h /ToanTienNhanh (THPT Ngh±n - H T¾nh, 2019) P N C U HÄI TRC NGHIM 1. B 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C 7. D 8. B 9. C 10. C 11. A 12. B 13. A 14. D 15. C 16. A 17. D 18. D 19. C 20. B 21. C 22. D 23. A 24. C 25. B 26. A 27. D 28. A 29. B 30. A 31. A 32. C 33. C 34. C 35. A 36. A 37. C 38. D 39. B 40. B 41. A 42. A 43. D 44. C 45. B 46. B 47. C 48. D 49. A 50. C 51. D 52. D 53. D 54. D 55. C 56. C 57. A 58. A 59. B 60. B 61. D 62. C 63. D 64. A 65. D 66. B 67. B 68. B 69. C 70. A 71. D 72. D 73. B 74. C 75. B 76. D 77. B 78. D 79. D 80. B 81. D 82. A 83. A 84. C 85. A 86. A 87. B 88. B 89. A 90. B 91. A 92. B 93. D 94. A 95. C 96. D 97. D 98. A 99. D 161 -Bòi Thà Xu¥n Tp Hu¸ 66 TT Quèc Håc Hu¸

Xem thêm

Đề xuất cho bạn

Tài liệu