ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ĐẶNG VIỆT ĐÔNG GTLN, GTNN HÀM HỢP, HÀM LIÊN KẾT HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI (Mức độ VD-VDC) ÔN THI TNTHPT ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông GTLN, GTNN HÀM HỢP, HÀM LIÊN KẾT, HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: GTLN, GTNN liên quan hàm số khi biết BBT, đồ thị Dạng 2: GTLN, GTNN hàm liên kết khi biết BBT, đồ thị Dạng 3: GTLN, GTNN hàm số có tham số không chứa giá tuyệt đối Dạng 4: GTLN, GTNN hàm trị tuyệt đối chứa tham số. A. KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x xác định trên miền D . Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: 0 0 ( ) , , ( ) f x M x D x D f x M . Kí hiệu: max ( ) x D M f x hoặc max ( ) D M f x . Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: 0 0 ( ) , , ( ) f x m x D x D f x m . Kí hiệu: min ( ) x D m f x hoặc min ( ) D m f x 2. Định lý Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn Giả sử hàm số ( ) y f x liên tục trên đoạn ; a b . Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn ; a b ta làm như sau: Tìm các điểm 1 2 ; ;...; n x x x thuộc ; a b sao cho tại đó hàm số f có đạo hàm bằng hoặc không xác định. Tính 1 2 ; ;...; ; ; n f x f x f x f a f b . So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn ; a b , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn ; a b . * Nếu: +) ; ; max ' 0, ; min a b a b f x f b y x a b f x f a +) ; ; max ' 0, ; min a b a b f x f a y x a b f x f b Chú ý Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) đó. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại. * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ. 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông B. BÀI TẬP Dạng 1: GTLN, GTNN liên quan hàm số khi biết BBT, đồ thị Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 7 0; 2 có đồ thị hàm số ' f x như hình vẽ Hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1 ;3 2 tại điểm 0 x nào dưới đây? A. 0 0 x . B. 0 3 x . C. 0 1 x . D. 0 1 2 x . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy ' 0 f x trên đoạn 1 ;3 2 . Do đó hàm số y f x nghịch biến trên đoạn 1 ;3 2 . Từ đó ta có GTLN của hàm số y f x đạt tại 1 2 x . Câu 2: Cho hàm số f x có đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. Biết 0 1 2 2 4 3 f f f f f . Giá trị nhỏ nhất m , giá trị lớn nhất M của hàm số f x trên đoạn 0;4 là A. 4 , 1 m f M f . B. 4 , 2 m f M f . C. 1 , 2 m f M f . D. 0 , 2 m f M f . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn B Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên của hàm số f x trên đoạn 0;4 ta thấy 0;2 max 2 . f x f Ta có: 0 1 2 2 4 3 1 3 2 2 4 0 f f f f f f f f f f 1 2 3 2 4 0 f f f f f f .(*) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x trên đoạn 0;4 ta thấy 1 2 1 2 0 1 2 3 2 0 3 2 3 2 0 f f f f f f f f f f f f . Từ (*) 4 0 0 4 0 . f f f f Do đó: 0;2 min 4 f x f . Chọn B Câu 3: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ bên dưới. Biết rằng 0 1 2 3 5 4 f f f f f . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x trên đoạn 0;5 . A. 5 m f , 1 M f . B. 1 m f , 3 M f . C. 5 m f , 3 M f . D. 0 m f , 3 M f . Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số y f x ta có bảng biến thiên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 4: Từ bảng biến thiên ta thấy 3 M f nên loại đáp ánA. Mặt khác 1 3 ; 4 3 1 4 2 3 2 3 1 4 0. f f f f f f f f f f Mà 0 1 2 3 5 4 f f f f f nên 0 5 2 3 1 4 0 0 5 f f f f f f f . Suy ra 5 . m f Vậy 5 m f , 3 M f . Câu 5: Cho hàm số y f x xác định trên tập số thực và có đạo hàm f x . Đồ thị hàm số y f x được cho bởi hình bên dưới. Biết rằng 0 1 2 2 4 3 f f f f f . Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 0;4 là A. 1 f . B. 0 f . C. 2 f . D. 4 f . Lời giải Chọn D Từ đồ thị của hàm số y f x ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x trên đoạn 0;4 như sau: Từ bảng biến thiên, ta có nhận xét sau: 0;4 max 2 f x f và 0;4 min 0 f x f hoặc 0;4 min 4 f x f . Ta lại có: 0 1 2 2 4 3 f f f f f . 0 4 2 1 2 3 0, 0;4 f f f f f f x . Suy ra 0 4 , 0;4 f f x . Vậy 0;4 min 4 f x f . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 6: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn ; a e và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Biết rằng f a f c f b f d . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên ; a e ? A. ; ; max min a e a e f x f a f x f b . B. ; ; max min a e a e f x f e f x f b . C. ; ; max min a e a e f x f c f x f a . D. ; ; max min a e a e f x f d f x f b . Lời giải Chọn B Từ đồ thị y f x ta có bảng biến thiên : Từ bảng biến thiên ; min a e f x f b nên loại C. ; max max ; a e f x f a f e nên loại D. Ta có f b f c f d f e Mà f a f c f b f d 0 f a f d f b f c f a f d Có f d f e f a f e . Vậy ; max a e f x f e . Câu 7: Cho hàm số y f x có đồ thị C như hình vẽ bên và có đạo hàm f x liên tục trên khoảng ; . Đường thẳng ở hình vẽ bên là tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ 0 x Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 m . B. 2 0 m . C. 0 2 m . D. 2 m . Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên 1;1 và đồng biến trên các khoảng còn lại nên 0 f x , 1;1 x và 0 f x , ; 1 1; x min f x khi 1;1 x . Ta có m f x Quan sát đồ thị ta thấy tan 2 AOB tan 2 0 2 f Đồng thời ta có 1 1 0 2 f f Vậy ta có min 2 f x 2 m . Câu 8: Cho hàm số = ( ) liên tục trên đoạn [ −2; 4] và có đồ thị như hình bên. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( ) = (2 ) trên đoạn [ −1; 2]. Giá trị của + bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Đặt = 2 với ∈ [ −1; 2] ⇔ −1 ≤ ≤ 2 ⇔ −2 ≤ = 2 ≤ 4 ⇒ ∈ [ −2; 4]. x y -2 -1 2 3 4 -3 -2 -1 2 3 4 O 1 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Hàm số trở thành ( ) = ( ) Từ đồ thị hàm số = ( ) trên đoạn [ −2; 4] ta có: = max [ ; ] (2 ) = max [ ; ] ( ) = ( −2) = 3 và = min [ ; ] (2 ) = min [ ; ] ( ) = ( −1) = (4) = −1. Khi đó + = 2 Câu 9: Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên đồng thời có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 y f x trên 2;2 ? A. 0 1 f f . B. 1 2 f f . C. 1 4 f f . D. 0 4 f f . Lời giải Chọn C Đặt 2 g x f x . Ta có 2 2 2 2 2 2 0 0 1 4 1 2 0 0 2 0 2 4 0 1 0 0 0 1 1 x x x x f x x g x xf x x x x x x f x x . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y f x là 1 1 1 g g f . Và 2 2 4 g g f , 0 0 g f , do đó 2;2 max max 4 , 0 g x f f . Ta chú ý rằng: 1 4 0 1 0 1 4 1 0 4 f x dx f x dx f f f f f f . Vậy 2 2 2;2 2;2 max 4 ; min 1 f x f f x f . Câu 10: Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( − 2 ) trên − ; . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. + < 7. B. . > 7. C. − > 3. D. > 2. Lời giải Chọn A Đặt = − 2 , ∈ − ; ⇒ ∈ −1; Xét hàm = ( ), ∈ −1; , từ đồ thị ta có: = min ; ( ) = 2, = max ; ( ) > 5 ⇒ + > 7. Vậy A sai. Câu 11: Cho hàm số = ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( − 2 ) trên đoạn [ −1; 2] lần lượt và . Giá trị của biểu thức = ( − ) bằng A. 6 B. 7 C. 9 D. 11 Lời giải Chọn D Đặt = − 2 ⇒ khi ∈ [ −1; 2] thì ∈ [ −1; 3] Khi đó việc xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( − 2 ) trên đoạn ∈ [ −1; 2] sẽ tương đương với việc xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( ) trên đoạn ∈ [ −1; 3] Dễ thấy ∈[ −1;3] ( ) = (3) = 5 = ; min ∈[ −1;3] ( ) = −6 = Suy ra − = 11 Câu 12: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Hàm số ( ) = ( − 1) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn −1; √2 tại điểm nào sau đây? A. = ±1. B. = 0. C. = √2. D. = −1. Lời giải Chọn B Cách 1: Hình vẽ đã cho là đồ thị của hàm số bậc ba. Do đó ta có: ( ) = + + + ( ≠ 0). ′( ) = 3 + 2 + . Từ đồ thị ta có: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ′( −1) = 0 ′(1) = 0 (0) = 0 ( −1) = 2 (1) = −2 ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 3 − 2 + = 0 3 + 2 + = 0 = 0 − + − + = 2 + + + = −2 ⇔ = 1 = 0 = −3 = 0 . Vậy ( ) = − 3 . Suy ra ( ) = ( − 1) ⇔ ( ) = ( − 1) − 3( − 1). Đặt − 1 = . Với ∈ −1; √2 ⇒ ∈ [ −1; 1]. Ta có: max ( ) ∈ ; √ = max ( ) ∈[ ; ] = 2, đạt được khi = −1 ⇒ − 1 = −1 ⇔ = 0. Vậy hàm số ( ) = ( − 1) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn −1; √2 tại điểm = 0. Cách 2: Ta có ' ' 2 2 . 1 0 g x x f x 2 2 0 0 1 1 2 1 1 2 x x x x x x Ta có bảng xét dấu và biến thiên của g x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Từ bảng ta có giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 g x f x trên đoạn 1; 2 tại điểm 0 x . Câu 13: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ. Gọi và tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = (1 − cos ) trên 0; . Giá trị của + bằng A. 2. B. 1. C. . D. . Lời giải Chọn C Đặt 1 − cos = dễ thấy ∈ 0; thì cos ∈ [ −1; 1] do đó ∈ [0 ; 2]. Dựa vào đồ thị ta thấy max ∈[ ; ] ( ) = 2 và min ∈[ ; ] ( ) = nên + = 2 − = . Câu 14: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Giá trị lớn nhất của hàm số sin 1 f x bằng A. 4 . B. 3. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B Đặt sin 1 2;0 t x t . Do đó (sin 1) ( ), 2;0 y f x f t t . Từ bảng biến thiên suy ra 2;0 ( ) ( 2) 3 t Max f t f . Câu 15: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2cosx 1 y f . Tính M m . A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 0 . Lời giải Chọn C Do 1 cos 1, x x 1 2 cos 1 3, x x . Đặt 2cosx 1 t , [ 1; 3] t . Từ bảng biến thiên [ 1; 3] max 1 f t và [ 1; 3] min 2 f t . 1 ( 2) 1 M m . Câu 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên , hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số sin 3 cos 2 x x y f trên đoạn 5 ; 6 6 bằng A. 3 f . B. 0 f . C. 5 6 f . D. 6 f . Lời giải Chọn B Đặt sin 3 cos sin 2 3 x x t x . Vì 5 ; ; 1;1 6 6 3 2 2 x x t . Dựa vào đồ thị của hàm số f x , ta có bảng biến thiên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: 5 1;1 ; 6 6 sin 3 cos max max 2 x x f f t Hàm số y f t trong đoạn 1;1 t đạt giá trị lớn nhất tại 0 t Vậy 5 1;1 ; 6 6 sin 3 cos max max 0 2 x x f f t f . Câu 17: Cho hàm số y f x nghịch biến trên đoạn 2;2 . Giá trị lớn nhất của hàm số sin cos y f x x bằng A. 2 f . B. 2 f . C. 2 f . D. 2 f . Lời giải Chọn A Ta có: sin cos 2 sin 4 x x x và 2 2 sin 2, 4 x x . Do đó sin cos 2; 2 , x x x . Vì 2; 2 2;2 và hàm số y f x nghịch biến trên đoạn 2;2 nên hàm số sin cos y f x x nghịch biến trên đoạn 2; 2 . 3 2 sin 2 sin 1 2 2 , 4 4 4 2 4 x x x k x k k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số sin cos y f x x bằng 2 f , tại 3 2 , 4 x k k . Câu 18: Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ: Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) = 2(sin + cos ) . Tổng + bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn B Ta có: 2(sin + cos ) = 2 1 − sin 2 = 1 + cos 2 ⇒ 1 ≤ 2(sin + cos ) ≤ 2 Ta có: = max [ ; ] ( ) = (1) = 3 = min [ ; ] ( ) = (2) = 1 . Vậy + = 4. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 19: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4 4 sin cos . g x f x x Giá trị 2 3 M m bằng A. 3. B. 11. C. 20 . D. 14. Lời giải Chọn C Đặt 2 4 4 2 2 2 2 4 sin cos 4 sin cos 2sin .cos t x x x x x x 2 2 1 4 1 sin 2 4 2sin 2 2 x x . Suy ra 2;4 t . Từ đồ thị ta thấy 2;4 max max 7 M g x f t và 2;4 min min 2 m g x f t . Vậy 2 3 2.7 3.2 20 M m . Câu 20: Cho hàm số y f x liên tục trên 3;5 và có bảng biến thiên như sau Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 2 4sin 3 g x f x x . Giá trị của M m bằng A. 9. B. 4. C. 7. D. 6. Lời giải Chọn B Đặt 2 2 cos 2 4sin 3 4 6sin t x x t x . Vì 2 0 sin 1 x nên 2;4 t . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra g x f t với 2;4 t . Từ bảng biến thiên ta có 2;4 2;4 max 5 min 1 M f t m f t nên 4 M m . Câu 21: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x x 2 2 . Giá trị của 2M m bằng. A. 1 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Lời giải Chọn A Đặt 2 2 t x x ta có 0 1 t Hàm số y f x x 2 2 trở thành y f t và 0 1 t Dựa vào đồ thị ta suy ra 3 M , 5 m . Vậy 2 1 M m . Câu 22: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 2 6 9 y f x x . Giá trị cùa biểu thức 3 4 T M m bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 27 T . B. 23 T . C. 3 T . D. 23 T . Lời giải Chọn D Đặt 2 2 3 2 6 9 , 0; 3 t x x x 2 6 18 1 0 3 6 9 x t x x x 1 2 0 3; 1; 3 3 3 1;3 1;3 t t t t t 2 3 2 6 9 , 1;3 y f x x f t t Dựa vào đồ thị ta suy ra 1, 5 3 1 4 5 23 M m T . Câu 23: Cho hàm số ( ) y f x có đạo hàm trên và đồ thị ( ) y f x như hình vẽ bên. Xét hàm số 3 2 4 2 5 ( ) 4 2 1 x x x g x f x x , đặt min ( ) m g x ; max M g x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng A. 6 M m . B. 2 2 M m . C. 2 5 M m . D. 4 M m . Lời giải Chọn C Ta có 3 2 2 2 5 ( ) 4 1 x x x g x f x 3 3 2 3 2 2 2 1 1 5 ( ) . 4 1 1 x x x x x g x f x x 0 g x 3 3 2 3 2 2 2 1 1 0 1 5 0 4 1 x x x x x x f x 3 2 2 2 1 5 0 4 1 x x x x f x . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Dựa vào đồ thị của y f x , ta suy ra 3 2 2 2 5 0 4 1 x x x f x 3 2 2 2 3 2 2 2 5 0 4 1 5 2 4 1 x x x x x x x x . Xét hàm số 3 2 2 2 5 ; 4 1 x x x u x với x . Ta có 2 2 3 2 1 1 ' 0 1 x x u x 1 x . - Giới hạn 5 lim 4 x u . - Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình 0 u vô nghiệm, phương trình 2 u có nghiệm kép 1 x . Ta lập được bảng biến thiên của g x Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra min ( ) 1 m g x ; max 3 M g x . Do đó 2 5 M m . Câu 24: Cho hàm bậc nhất ax b f x cx d có đồ thị như hình vẽ. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f f x trên đoạn 2 ; 1 . Tính M m ? A. 1 2 . B. 6 . C. 2 3 . D. 3 2 . Lời giải Chọn B Từ đồ thị ta suy ra: +) Tiệm cận ngang: 1 a y a c c . +) Tiệm cận đứng: 2 2 d x d c c . +) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0; 1 1 2 b b d c d . Do đó: 2 2 2 2 cx c x f x cx c x . Khi đó: 2 2 2 2 4 6 2 2 2 2 4 3 2 2 2 x x x x x g x f f x x x x x x . Ta có 2 16 0 2; 1 3 2 g x x x . Vậy 1 5 6 2 1 M g M m m g . Câu 25: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x . Hàm số y f x liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau: Biết rằng 10 1 3 f , 2 6 f . Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 g x f x f x trên đoạn 1;2 bằng A. 10 3 . B. 820 27 . C. 730 27 . D. 198. Lời giải Chọn C Xét hàm số 3 3 g x f x f x trên đoạn 1;2 2 3 1 g x f x f x , 0 g x 2 0 1 1 2 f x f x . Từ bảng biến thiên, ta có: 1 1;2 1 2 1;2 x x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Và 0 f x , 1;2 x nên f x đồng biến trên 1;2 10 1 3 f x f 1 f x 2 1 f x , 1;2 x nên 2 vô nghiệm. Do đó, 0 g x chỉ có 2 nghiệm là 1 x và 2 x . Ta có 3 1 1 3 1 g f f 3 10 10 730 3 3 3 27 . 3 2 2 3 2 g f f 3 6 3 6 198 . Vậy 1;2 730 min 1 27 g x g . Câu 26: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ). Hàm số = ′( ) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng ( −1) = , (2) = 6. Tổng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) = ( ) − 3 ( ) trên [ −1; 2] bằng? A. . B. 198. C. . D. . Lời giải Chọn A Bảng biến thiến: Ta có ′( ) = 3 ( ) ′( ) − 3 ′( ). Xét trên đoạn [ −1; 2] có ′( ) = 0 ⇔ 3 ′( )[ ( ) − 1] = 0 ⇔ ′( ) = 0 ⇔ = −1 = 2 . Bảng biến thiên Suy ra min [ ; ] ( ) = ( −1) = ( −1) − 3 ( −1) = . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 27: Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ: Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = | ( ) − 2| − 3( ( ) − 2) + 5. Tích . bằng A. 2. B. 3. C. 54. D. 55. Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta có max [ ; ] ( ) = (3) = 7; min [ ; ] ( ) = (1) = (0 < < 2). Đặt = | ( ) − 2| ⇒ ∈ [0; 5] Ta có = | ( ) − 2| − 3( ( ) − 2) + 5 = − 3 + 5 = ( ) ′( ) = 3 − 6 ⇒ ′( ) = 0 ⇔ = 0 = 2 = max [ ; ] ( ) = max{ (0); (2); (5)} = (5) = 55 = min [ ; ] ( ) = min{ (0); (2); (5)} = (2) = 1 Vậy . = 55 Câu 28: Cho hàm số 4 3 2 y f x ax bx cx dx e có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi S là tập các giá trị của x sao cho hàm số 2 2 1 2 2 1 f x g x f x f x đạt giá trị lớn nhất. Số các phần tử của S là A. 4 . B. 0. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn D Hàm số g x có tập xác định D . Đặt t f x từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra ; t với 1 . Khi đó 2 2 1 2 2 1 t g x h t t t . Xét hàm 2 2 1 2 2 1 t h t t t trên ; . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2 2 2 4 4 ' 2 2 1 t t h t t t ; 0 ; ( ) 0 1 ; t h t t . Bảng biến thiên ; 1 max g x max h t khi 1 1 t f x . Từ đồ thị hàm số y f x suy ra phương trình 1 f x có 3 nghiệm. Vậy tập S có 3 phần tử. Câu 29: Cho hàm số 3 2 y f x ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số 2 1 1 f f x g x f f x f f x đạt giá trị lớn nhất. Số phần tử của T là A. 1. B. 3 . C. 7 . D. 5 . Lời giải Chọn C Đặt g x g t f f x . Ta có 2 1 1 t g t t 2 . 1 . 1 0 g t g t g . Để tồn tại số thực t thì 2 1 4 1 0 g g g 2 1 4 1 0 g g g 1 3 1 0 g g 1 1 3 g . Do đó g x đạt giá trị lớn nhất bằng 1 3 khi 2 1 1 1 3 t t t 2 4 4 0 t t 2 t 2 f f x . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình 2 f f x tương đương , 0 1 1 , 1 3 2 3 , 3 f x a a f x b b f x c c Số nghiệm của phương trình 1 là số giao điểm của ĐTHS y f x và 0 1 y a a nên có 3 nghiệm phân biệt. Số nghiệm của phương trình 2 là số giao điểm của ĐTHS y f x và 1 3 y b b nên có 3 nghiệm phân biệt. Số nghiệm của phương trình 3 là số giao điểm của ĐTHS y f x và 3 y c c nên có 1 nghiệm. Các nghiệm tìm được phân biệt nhau nên tập T có tất cả 7 phần tử. Câu 30: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên , bảng biến thiên của hàm số y f x như hình vẽ và 0 f x , 0; x . Biết a , x thay đổi trên đoạn 0;2 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 2 0 6 2 4 2 2 4 2 f x f a x f a S f x f x f x f a bằng m n (phân số tối giản). Tổng m n thuộc khoảng nào dưới đây? A. 20;25 . B. 95;145 . C. 45;75 . D. 75;95 . Lời giải Chọn C Có 2 2 1 2 0 6 2 4 2 2 4 2 f x f a x f a S f x f x f x f a Ta có 0;2 2 4 2 0;2 x x . Mặt khác 0, 0;2 f x x . Kết hợp với bảng biến thiên ta có ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 2 4 2 2 4 2 0 2 4 f x f f x f f x f Có 2 0 6 2 0 2 6 f a x f a f a f a , với 0;2 x . Suy ra 2 2 0 6 8 4 f a x f a S f a 2 0 2 6 1 . 1 64 4 f a f a f a . Ta chứng minh cho 2 0 2 6 1 2 4 f a f a f a 2 2 2 0 2 0 * f a a f a f Xét hàm số 2 2 0 2 g a f a a f a f , 0;2 a Có 2 0, 0;2 g a a f a a 0 0 g a g * đúng 2 đúng. Từ 1 và 2 1 64 S 65 m n . Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 0 x a Câu 31: Xét hàm số 2 d x F x f t t trong đó hàm số y f t có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. 1 F . B. 2 F . C. 3 F . D. 0 F . Lời giải Chọn B Ta có 2 x F x f t t f x d . Xét trên đoạn 0;3 , ta thấy 0 F x 0 2 f x x . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên 0;2 hàm số F x đồng biến nên 0 2 F F . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên 2;3 hàm số F x nghịch biến nên 3 2 F F . Vậy 2 F là giá trị lớn nhất. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 32: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên và đồ thị hàm số y f x trên đoạn 2;6 như hình vẽ. Tìm khẳng định đúng A. 2;6 6 max f x f . B. 2;6 1 max f x f . C. 2;6 2 max f x f . D. 2;6 2 max f x f Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số y f x suy ra ta có bảng biến thiên Mặt khác, lại có: 2 6 2 6 1 2 1 2 d d f x x f x x f x f x 2 1 6 2 1 6 f f f f f f Suy ra 2;6 6 max f x f . Dạng 2: GTLN, GTNN hàm liên kết khi biết BBT, đồ thị Câu 33: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên . Biết 0 3, 2 2018 f f và bảng xét dấu của f x như sau: Hàm số 2017 2018 y f x x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 0 x thuộc khoảng nào sau đây ? A. 0; 2 . B. ; 2017 . C. 2017; 0 . D. 2017; . Lời giải Chọn B Hàm số 2017 2018 y f x x Đặt 2017 2017 t x x t Ta được: 2018 2017.2018 y g t f t t 2018 g t f t 0 2018 g t f t ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Từ bảng xét dấu đề cho của hàm f x và 0 3, 2 2018 f f ta có bảng biến thiên của hàm f t : Suy ra phương trình 2018 f t có hai nghiệm là 2 (nghiệm kép) và a với 0 a . Bảng biến thiên của hàm số g t : (Chọn 3 2; 3 2018 0 t g t f . Suy ra: trên khoảng 2; thì 0 g x ) Suy ra hàm số g t đạt giá trị nhỏ nhất tại 1017 t a x a . Vì 0 a nên 2017 x . Câu 34: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng đồ thị hàm số y f x như dưới đây Tìm giá trị lớn nhất 1;2 max g x của hàm số 2 x f x x g x trên đoạn 1;2 . A. 1;2 max 1 g x g . B. 1;2 max 1 g x g . C. 1;2 max 2 g x g . D. 1;2 max 0 g x g . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn A Xét hàm số 2 x f x x g x trên đoạn 1;2 . Ta có 2 1 g x f x x . Cho 0 g x 2 1 f x x . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x với đường thẳng 2 1 y x . Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 2 1 f x x 1 1 2 x x x . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1;2 max 1 g x g . Câu 35: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị y f x như hình bên. Đặt 2 2 1 g x f x x . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó y g x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3;3 tại A. 3 x . B. 3 x . C. 0 x . D. 1 x . Lời giải. Chọn A Ta có 2 2 1 2 1 g x f x x g x f x x . Vẽ đồ thị hàm số 1 y x trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f x . Dựa vào đồ thị ta thấy + 1 3 3 1 0 1 3 ; 0 1 3 d d g x x g g g x x g g . Do đó y g x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3;3 tại 3 x hoặc 3 x . + Phần hình phẳng giới hạn bởi ; 1; 3; 1 y f x y x x x có diện tích lớn hơn phần hình phẳng giới hạn bởi ; 1; 1; 3 y f x y x x x nên 1 3 3 1 3 3 d d g x x g x x g g . Vậy y g x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3;3 tại 3 x . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 36: Cho hàm số f x . Biết hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây. Trên 4;3 , hàm số 2 2 1 g x f x x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. 3 x . B. 4 x . C. 3 x . D. 1 x . Lời giải Chọn D Xét hàm số 2 2 1 g x f x x trên 4;3 . Ta có: 2 2 1 g x f x x . 0 1 g x f x x . Trên đồ thị hàm số f x ta vẽ thêm đường thẳng 1 y x . Từ đồ thị ta thấy 4 1 1 3 x f x x x x . Bảng biến thiên của hàm số g x như sau: Vậy 4;3 min 1 1 g x g x . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 37: Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số đạo hàm y f ' x như hình vẽ dưới đây. Xét hàm số 3 2 1 3 3 2018 3 4 2 g x f x x x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 3;1 min g x g 1 . B. 3;1 min g x g 3 . C. 3;1 g 3 g 1 min g x 2 . D. 3;1 min g x g 1 . Lời giải Chọn D Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số đạo hàm y f ' x như hình vẽ. Xét hàm số 3 2 2 1 3 3 3 3 2018 ' ' 3 4 2 2 2 g x f x x x x g x f x x x Cho 2 2 3 3 3 3 3 ' ' 0 ' 1 2 2 2 2 1 x g x f x x x f x x x x x Dựa vào đồ thị ta so sánh được 3;1 min g x g 1 . Câu 38: Cho y f x có đồ thị ' y f x như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 1 3 g x f x x x trên đoạn 1;2 bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2 2 . 3 f B. 2 1 . 3 f C. 2 . 3 D. 2 1 . 3 f Lời giải Chọn D Ta có: 2 g' ' 1 x f x x , 2 1 g' 0 ' 1 . 1 x x f x x x Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy 1;2 2 min 1 1 . 3 g x g f Câu 39: Cho hàm số f x có đồ thị f x như hình vẽ bên. Xét hàm số 3 2 1 3 3 2019 3 4 2 g x f x x x x . Mệnh đề nào sau đây đúng. A. 3;1 min 1 g x g . B. 3;1 min 1 g x g . C. 3;1 3 1 min 2 g g g x . D. 3;1 min 3 g x g . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn B Tính được 2 3 3 . 2 2 g x f x x x Khi đó 2 3 3 0 . 2 2 g x f x x x Hàm số 2 3 3 2 2 h x x x có đồ thị như hình vẽ. Dựa vào tương giao của hai đồ thị f x và h x ta thấy trên 3;1 phương trình có các nghiệm 3; 1; 1 x x x . Trên 3; 1 , đồ thị hàm số f x nằm phía dưới đồ thị hàm số h x nên 0 g x . Trên 1;1 , đồ thị hàm số f x nằm phía trên đồ thị hàm số h x nên 0 g x . Ta có bảng biến thiên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Vậy 3;1 min 1 g x g khi 1 x . Câu 40: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Gọi 3 2 1 1 2019 3 2 g x f x x x x . Biết 1 1 0 2 g g g g . Với 1; 2 x thì g x đạt giá trị nhỏ nhất bằng: A. 2 g . B. 1 g . C. 1 g . D. 0 g . Lời giải Chọn A 2 1 g x f x x x . 2 0 1 g x f x x x . Vẽ đồ thị hàm số 2 1 y x x . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta suy ra bảng biến thiên hàm số g x trên 1;2 như sau: Ta có: 1 1 0 2 1 2 0 1 0 g g g g g g g g . 1;2 min 2 x g x g . Câu 41: Hàm số y f x có đồ thị y f x như hình vẽ. Xét hàm số 3 2 1 3 3 2020 3 4 2 g x f x x x x . Trong các mệnh đề dưới đây: 0 1 . I g g III Hàm số g x nghịch biến trên 3;1 . 3;1 min 1 . x II g x g 3;1 m ax ax 3 , 1 x IV g x m g g Số mệnh đề đúng là: A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2 3 3 2 2 g x f x x x ; 2 3 3 0 . 2 2 g x f x x x Vẽ đồ thị hàm số y f x và đồ thị hàm số 2 3 3 2 2 y x x trên cùng một hệ trục toạ độ. Ta thấy trên 3;1 hai đồ thị có ba giao điểm là: 3;3 , 1; 2 và 1;1 . Trên khoảng 3; 1 thì 2 3 3 2 2 f x x x nên 0. g x Trên khoảng 1;1 thì 2 3 3 2 2 f x x x nên 0. g x Bảng biến thiên của hàm số g x trên 3;1 : Từ bảng biến thiên ta có: +) Mệnh đề 0 1 I g g là đúng. +) Mệnh đề 3;1 min 1 x II g x g là đúng. +) Mệnh đề III Hàm số g x nghịch biến trên 3;1 là sai. +) Mệnh đề 3;1 m ax ax 3 , 1 x IV g x m g g là đúng. Câu 42: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Đặt 3 1 2020 3 g x x x f x . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên đoạn 3; 3 . Hãy tính . M m A. 3 3 f f . B. 3 3 f f . C. 2020 3 f . D. 4040 3 3 f f . Lời giải Chọn D Xét 3 1 2020 3 g x x x f x , với 3; 3 x . Ta có 2 1 g x x f x . 0 g x 2 1 f x x 0 3 x x . Bảng biến thiên của hàm số g x Do đó 3 ; 3 max 3 3 2020 M g x g f , 3; 3 min 3 3 2020 m g x g f . Vậy 3 3 4040. M m f f Câu 43: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 5 3 1 2 2 3 3 5 3 15 g x f x x x x x trên đoạn 1 ;2 ? A. 2022 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021. Lời giải Chọn D 2 3 4 2 2 3 2 3 3 3 2 3 1 3 3 3 g x x f x x x x x f x x x 3 2 2 3 3 3 0 0 1 0 f x x x g x x Mà 3 3 3 2 1; 2 3 2; 2 3 0 3 3 3 0 x x x f x x f x x x , do đó 2 0 1 0 1. g x x x Ta có Vậy 1;2 max 1 2 2 2021 y g f . Câu 44: Cho hai hàm số ( ) y f x và ( ) y g x là hai hàm số liên tục trên có đồ thị hàm số ( ) y f x là đường cong nét đậm, đồ thị hàm số ( ) y g x là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm , , A B C của y f x và y g x trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a ,b , c . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x g x trên đoạn ; a c . A. ; min 0 a c h x h . B. ; min a c h x h a . C. ; min a c h x h b . D. ; min a c h x h c . Lời giải Chọn C Ta có h x f x g x Theo đồ thị có bảng biến thiên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra ; min a c h x h b . Câu 45: Cho hai hàm số ( ) và ( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng = 1, = 6 đều là các điểm cực trị của 2 hàm số ( ) và ( ) đồng thời (1) = (6), 2 (6) = (1) + 3và2 ( −5 + 16) = 3 (5 − 9)( ∗). Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( )[ ( ) − 2 ( ) + 1] + ( ) + ( )trên đoạn [1; 6]. Tính tổng = + . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Lần lượt thay = 2, = 3 vào( ∗), đồng thời kết hợp điều kiện ban đầu ta có hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ 2 (1) = 3 (6) − 1 2 (6) = 3 (1) − 1 2 (1) = 4 (1) − 4 2 (6) = 4 (6) − 4 ⇔ (1) = (6) = 1 (6) = (1) = 2 . Từ giả thiết kết hợp đồ thị ta thấy rằng ( ) nghịch biến trên [1; 6] và ( ) đồng biến trên [1; 6], suy ra ( ) ∈ [1; 2]; ( ) ∈ 1; . Đặt = ( ), = ( ), ta có = − 2 + + + = ( ; ), coi đây là hàm số theo ẩn ta có ′ ( ; ) = 2 − 2 + 1 = 0 ⇔ = . Ta có (1; ) = − + 2, ; = − 4 + ⇒ ; − (1; ) > 0 ∀ ∈ [1; 2]. Xét ∈ 1; ⇒ = ∉ 1; và ∈ ; 2 ⇒ = ∈ 1; . Với ∈ 1; (1) khảo sát hàm số ( ; ) theo biến ∈ 1; ⇒ ( ; ) ≥ (1; ) = − + 2 ≥ 1 và ⇒ ( ; ) ≤ ; = − 4 + ≤ . Với ∈ ; 2 (2). Lập bảng biến thiên cho hàm số ( ; ) theo biến ∈ 1; ta có ( ; ) ≥ ; = − (2 − 1) + + + = ≥ và ⇒ ( ; ) ≤ ; = − 4 + ≤ . Từ (1) và (2) suy ra max = = , min = = 1 ⇒ = + = . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 46: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Gọi 3 2 1 1 ( ) (sin ) sin sin s in 3 2 g x f x x x x . Giá trị nhỏ nhất của g x bằng A. ( 1) g . B. (1) g . C. 1 ( 1) 6 f . D. 7 (1) 6 f . Lời giải Chọn D Hàm số xác định trên R , đặt sin , 1;1 u x u . Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 1 1 ( ) ( ) 3 2 h u f u u u u trên đoạn 1;1 Ta có: ' 2 ( ) ( ) 1 h u f u u u , 2 2 ( ) 0 ( ) 1 0 ( ) 1 h u f u u u f u u u So sánh đồ thị hàm số ( ) y f u và 2 1 y u u (hình vẽ) Ta được BBT sau ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta đi so sánh 1 ( 1) ( 1) 6 h f và 7 (1) (1) 6 h f . Dễ thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ' ( ) y f u và 2 1 y u u trên đoạn 1;0 nhỏ hơn trên đoạn 0;1 . Tức là: 0 1 2 2 1 0 '( ) 1 1 '( ) f x x x dx x x f x dx 0 1 3 2 3 2 1 0 ( ) ( ) 3 2 3 2 x x x x f x x x f x 7 1 (1) ( 1) 6 6 f f Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số g x là: 7 1 6 f . Dạng 3: GTLN, GTNN hàm số có tham số không chứa giá tuyệt đối Câu 47: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( − 3 + ) trên đoạn [ −1; 1]bằng 4. Tính tổng các phần tử của . A. 3. B. 6. C. 0. D. −5. Lời giải Chọn C Ta có = (3 − 3)( − 3 + ). = 0 ⇔ 3 − 3 = 0 − 3 + = 0 ⇔ = ±1 ( ) = − 3 = − (2) Xét hàm số ( ) = − 3 , ( ) = 3 − 3, ( ) = 0 ⇔ = ±1. +) TH 1: Với ≥ 2 ≤ −2 phương trình (2)có nghiệm không thuộc khoảng ( −1; 1). Khi đó ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ [ ; ] = (1) (1) < ( −1) [ ; ] = ( −1) ( −1) < (1) ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ( − 2) = 4 ( − 2) < ( + 2) ( + 2) = 4 ( + 2) < ( − 2) ⇔ = 0, = 4 > 0 = 0, = −4 < 0 ⇔ ∈ { −4,4} thoả mãn. +) TH2: Với −2 < < 2 phương trình (2)có 3 nghiệm phân biệt < −1 < < 1 < , ta có bảng biến thiên sau ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra [ ; ] = ( ) = 0 không thoả mãn yêu cầu bài toán. Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn là { −4,4} nên tổng của chúng bằng 0. Câu 48: Cho hàm số y f x trên 2;4 như hình vẽ. Gọi S là tập chứa các giá trị của m để hàm số 2 2 y f x m có giá trị lớn nhất trên đoạn 2;4 bằng 49 . Tổng các phần tử tập S bằng. A. 9 . B. 23 . C. 2 . D. 12 . Lời giải Chọn C Theo giả thiết 2;4 x ta có: 2 2 49 7 2 7 f x m f x m 7 2 7 m f x m (1). Nhận xét: Đặt 2 u x . Xét 2;4 x suy ra 2;4 u . Dựa vào đồ thị ta có 4 6 f u , 2;4 u . Hay 4 2 6 f x , 2;4 x (2). Từ (1) và (2) suy ra 7 4 3 7 6 1 m m m m . Vậy 3;1 S , do đó tổng các phần tử tập S bằng 2 . Câu 49: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Xét hàm số 3 2 g x f x x m . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g x trên đoạn 0;1 bằng 9 là: A. 10 m . B. 6 m . C. 12 m . D. 8 m . Lời giải Chọn D Có 3 0;1 0;1 max 9 max 2 9 g x f x x m . Với 3 0;1 2 0;3 x x x . Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra 3 2 3;1 f x x 3 0;1 max 2 1 9 1 8 f x x m m . Câu 50: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ sao cho ∈[ ; ] ( ) = (2) = 4. Xét hàm số ( ) = ( + ) − + 2 + . Giá trị của tham số để ∈[ ; ] ( ) = 8 là A. 5. B. 4. C. −1. D. 3. Lời giải Chọn D Xét hàm số ℎ( ) = ( + ) trên [0; 2]. Đặt = + , ∈ [0; 2]. Ta có = 3 + 1 > 0 ∀ ∈ ℝ nên ∈ [0; 10]. Vì vậy ∈[ ; ] ( + ) = ∈[ ; ] ( ) = 4 khi = 2 ⇔ = 1. Mặt khác ( ) = − + 2 + = −( − 1) + + 1 ≤ + 1. Suy ra ∈[ ; ] ( ) = + 1 khi = 1. Vậy ∈[ ; ] ( ) = 4 + + 1 = + 5 = 8 ⇔ = 3. Phương pháp trắc nghiệm Chọn hàm = ( ) = 4 thỏa mãn giả thiết: hàm số = ( ) liên tục trên ℝ có ∈[ ; ] ( ) = (2) = 4. Ta có ( ) = ( + ) − + 2 + = 4 − + 2 + . ( ) = −2 + 2; ( ) = 0 ⇔ = 1. Xét hàm số ( ) liên tục trên đoạn [0; 2], ( ) = 0 ⇔ = 1. Ta có (0) = 4 + , (1) = 5 + , (2) = 4 + . Rõ ràng (0) = (2) < (1) nên ∈[ ; ] ( ) = (1). Vậy 5 + = 8 ⇔ = 3. Câu 51: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Xét hàm số 3 2 g x f x x m . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g x trên đoạn 0;1 bằng 9 là: A. 10 m . B. 6 m . C. 12 m . D. 8 m . Lời giải Chọn D Có 3 0;1 0;1 max 9 max 2 9 g x f x x m . Với 3 0;1 2 0;3 x x x . Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra 3 2 3;1 f x x 3 0;1 max 2 1 9 1 8 f x x m m . Câu 52: Cho hàm số ( ) y f x liên tục, có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ. Ký hiệu ( ) 2 2 1 g x f x x m . Tìm điều kiện của tham số m sao cho [0;1] [0;1] max ( ) 2 min ( ) g x g x . A. 2 m . B. 3 m . C. 0 5 m . D. 4 m . Lời giải Chọn B Đặt 2 2 1 t x x ta có 2 1 4 1 2 ' 2 2 1 2 2 1 x x t x x x x . Xét 8 0 4 1 2 0 4 1 2 16(1 ) 2 9 t x x x x x x x . Ta có 8 0 1; 1 2 2 ; 3 [1;3] 9 t t t t . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Để [0;1] [1;3] [0;1] [1;3] max ( ) 2min ( ) max ( ) 2min ( ) g x g x g t g t [1;3] [1;3] max ( ) 2 min ( ) 5 2(1 ) 3 f t m f t m m m m . Dạng 4: GTLN, GTNN hàm trị tuyệt đối chứa tham số. A – KIẾN THỨC CHUNG Dạng 1: Tìm m để ; max 0 . y f x m a a Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm ; ; max ; min . f x K f x k K k Kiểm tra max , . 2 2 2 m K m k m K m k K k m K m k TH1: . 2 K k a Để ; max ; m k a m a k y a m a k a K m K a m a K . TH2: 2 K k a m . Cách 2: Xét trường hợp TH1: m K a Max m K m K m k TH2: m k a Max m k m k m K Cách 3: Sử dụng đồ thị Dạng 2: Tìm m để ; min 0 . y f x m a a Phương pháp: Cách 1: Trước tiên tìm ; ; max ; min . f x K f x k K k Để ; min . 0 0 m k a m K a m a k m a K y a m k m K m k m K Vậy 1 2 . m S S Cách 2:Sử dụng đồ thị x k và x K Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối Dạng 3: Tìm m để ; max y f x m không vượt quá giá trị M cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm ; ; max ; min . f x K f x k K k Cách 1: Để ; max . m k M y M M k m M K m K M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Cách 2: Sử dụng đồ thị Dạng 4: Tìm m để ; min y f x m không vượt quá giá trị a cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm ; ; max ; min . f x K f x k K k Cách 1: Để ; min 0 . 0 0 m k a m K a m a k m a K y a m K m k K m k m k m K m k m K Cách 2: Sử dụng đồ thị Dang 5: Tìm m để ; max a b y f x m đạt min. Phương pháp: Cách 1: Trước tiên tìm ; ; max ; min . a b a b f x K f x k K k Đề hỏi tìm . 2 K k m m Đề hỏi tìm min của ; max a b y giá trị này là . 2 K k Cách 2:Sử dụng dồ thị Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối. Cách 4: Phương pháp xấp xỉ đều. Dạng 6: Tìm m để ; min a b y f x m đạt min. Phương pháp: Trước tiên tìm ; ; max ; min . a b a b f x K f x k K k Đề hỏi tìm 0 m m K m k K m k . Đề hỏi tìm min của ; min a b y giá trị này là 0. Dạng 7: Cho hàm số y f x m .Tìm m để ; ; max .min 0 a b a b y h y h hoặc max Min Phương pháp: Trước tiên tìm ; ; max ; min . a b a b f x K f x k K k TH1: 1 cung dau . K m k m K m k m K m h k m m S TH2: 2 cung dau . k m K m K m k m k m h K m m S Vậy 1 2 . m S S Dạng 8: Cho hàm số y f x m . Phương pháp: Trước tiên tìm ; ; max ; min . a b a b f x K f x k K k BT1: Tìm m để ; ; min max a b a b y y m K m k . BT2: Tìm m để ; ; min *max * a b a b y y m K m k . B – BÀI TẬP ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông HÀM BẬC 2 Câu 53: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để 2 0;3 Max 2 4 x x m . Tổng giá trị các phần tử của S bằng A. 2 . B. 2 . C. 4 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt 2 2 t x x . Với 0;3 1; 3 x t . Nên 2 0;3 1;3 Max 2 Max ax 1 ; 3 . x x m t m M m m 2 0;3 1 4 5 1 4 1 4 3 Max 2 4 . 3 4 1 3 4 3 4 7 m m m m m x x m m m m m m 5; 3;1; 7 S . Vậy tổng giá trị các phần tử của S bằng 4 . Câu 54: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số = | + 2 + − 4| trên đoạn [ −2; 1] bằng 5? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A Xét hàm số ( ) = + 2 + − 4, ta có ( ) = 2 + 2, ( ) = 0 ⇔ = −1. ( −2) = − 4, ( −1) = − 5, (1) = − 1. Do − 5 < − 4 < − 1 nên giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = | + 2 + − 4| bằng {| − 1|; | − 5|} nên có 2 trường hợp xảy. TH1: Nếu | − 1| > | − 5| [ ; ] = (1) = | − 1| = 5 ⇔ ( − 1) > ( − 5) − 1 = 5 − 1 = −5 ⇔ 8 > 24 = 6 = −4 ⇔ > 3 = 6 = −4 ⇔ = 6. TH2: Nếu | − 1| < | − 5| [ ; ] = ( −1) = | − 5| = 5 ⇔ ( − 1) < ( − 5) − 5 = 5 − 5 = −5 ⇔ 8 < 24 = 10 = 0 ⇔ < 3 = 10 = 0 ⇔ = 0. Vậy có 2 giá trị thoả mãn. Câu 55: Gọi M là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 y x x m trên đoạn 2;1 . Với 3;3 m , giá trị lớn nhất của M bằng A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Xét 2 2 f x x x m liên tục trên 2;1 . Ta có: 2 2 f x x ; 0 1 2;1 f x x . 2 f m ; 1 3 f m ; 1 1 f m ; +) Trường hợp 1: 1 3 0 3 1 m m m , lúc đó 2;1 min 0 M y . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông +) Trường hợp 2: 3 1 3 0 1 m m m m (*). Do đó: 2;1 min min 1 ; 3 M y m m . Khi 2 2 1 3 1 3 1 m m m m m , kết hợp với điều kiện (*) ta được 1 m , lúc đó: 2;1 min 1 M y m . Khi 1 3 m m 1 m , kết hợp với điều kiện (*) ta được 3 m , lúc đó: 2;1 min 3 M y m . Xét các giá trị 3;3 m 0 khi 3 1 0 khi 3 1 1 khi 1 3 1 khi 1 3 m m M m m m m . Dễ dàng nhận thấy M đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi 3 m . Câu 56: Cho hàm số 2 y x x m . Tổng tất cả giá trị thực của tham số m để 2; 2 min 2 y bằng A. 31 4 . B. 8 . C. 23 4 . D. 9 4 . Lời giải Chọn C Xét hàm số 2 u x x m trên đoạn 2; 2 , có: 1 0 2 1 0 2 u x x . Khi đó: 2;2 2;2 1 max 2 , , 2 6 2 1 1 min min 2 , , 2 2 4 u max u u u m u u u u m . + Nếu 1 0 4 m hay 1 4 m thì 2; 2 1 9 min 2 4 4 y m m (thỏa mãn). + Nếu 6 0 m hay 6 m thì 2; 2 min 6 2 8 y m m (thỏa mãn). + Nếu 1 6 4 m thì 2; 2 min 0 y (không thỏa mãn). Vậy có hai số thực 9 4 m và 8 m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tổng các giá trị đó bằng 23 4 . Câu 57: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 4 f x x x m trên đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 1 m . B. 2 m . C. 3 m . D. 4 m . Lời giải Chọn C Xét hàm số 2 2 4 g x x x m trên đoạn 2;1 . Ta có: ' 2 2 g x x , ' 0 2 2 0 1 g x x x . Bảng biến thiên: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Từ bảng biến thiên ta luôn có: 5 4 1 m m m Mặt khác f x g x , suy ra: 2;1 max max 5 ; 1 f x m m . Nếu 5 1 8 24 3 m m m m thì 2;1 max 1 1 2 f x m m (1). Nếu 5 1 8 24 3 m m m m thì 2;1 max 5 5 2 f x m m (2). Từ (1) và (2) suy ra giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 4 f x x x m trên đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi 3 m . Câu 58: Cho hàm số 2 4 2 3 y x x m với m là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 1 ;3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng a khi m b . Tính 2 P b a . A. 1 2 . B. 13 4 . C. 9 4 . D. 6 . Lời giải Chọn D Xét hàm số 2 4 2 3 y f x x x m liên tục trên đoạn 1 ;3 . +) 2 4 f x x ; 0 2 1;3 f x x . +) 1 2 6 f m , 2 2 7 f m , 3 2 6 f m . Khi đó 1;3 max max 2 6 ; 2 7 f x m m M . Ta có: 2 6 2 2 6 7 2 2 6 7 2 1 2 7 7 2 M m M m m m m M m m 1 2 M . Dấu " " xảy ra 1 2 6 2 7 13 2 4 2 6 7 2 0 m m m m m . Do đó 1 2 M a khi 13 4 m b 2 6 P b a . Câu 59: Cho hàm số 2 y f x ax bx c có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g x f x m trên đoạn 0;4 bằng 9. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn B Từ đồ thị hàm số 2 y f x ax bx c ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng 2 x là trục đối xứng, mà 0 5 4 5 f f . Suy ra: 1 5, 0;4 f x x . Xét hàm số g x f x m , 0;4 x . Ta có: 0;4 1 ; 5 max g x max m m . Trường hợp 1: 0;4 3 1 5 3 10 8 9 1 9 10 m m m m m m max g x m m . Trường hợp 2: 0;4 3 1 5 3 4 4 9 5 9 14 m m m m m m max g x m m . Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của m là: 10 4 6 . Câu 60: Gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = | + + | trên đoạn [ −1; 3]. Khi đạt giá trị nhỏ nhất, tính + 2 . A. 7. B. −5. C. −4. D. −6. Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) = | + + |. Theo đề bài, là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −1; 3]. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra ≥ ( −1) ≥ (3) ≥ (1) ⇔ ≥ |1 − + | ≥ |9 + 3 + | ≥ |1 + + | ⇒ 4 ≥ |1 − + | + |9 + 3 + | + 2| −1 − − | ≥ |1 − + + 9 + 3 + + 2( −1 − − )| ⇒ 4 ≥ 8 ⇒ ≥ 2. Nếu = 2 thì điều kiện cần là |1 − + | = |9 + 3 + | = | −1 − − | = 2 và 1 − + , 9 + 3 + , −1 − − cùng dấu ⇔ 1 − + = 9 + 3 + = −1 − − = 2 1 − + = 9 + 3 + = −1 − − = −2 ⇔ = −2 = −1 . Ngược lại, khi = −2 = −1 ta có, hàm số ( ) = | − 2 − 1| trên [ −1; 3]. Xét hàm số ( ) = − 2 − 1 xác định và liên tục trên [ −1; 3]. ( ) = 2 − 2; ( ) = 0 ⇔ = 1 ∈ [ −1; 3] là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) trên [ −1; 3] ⇒ = {| ( −1)|; | (3)|; | (1)|} =2. Vậy = −2 = −1 . Ta có: + 2 = −4. Câu 61: Cho biết là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = | − 2 + | trên đoạn [ −1; 2]. Khi đạt giá trị nhỏ nhất có thể thì giá trị của biểu thức ( + + 3 ) bằng: A. . B. −2. C. 3. D. −1. Lời giải Chọn D Ta có: = ∈[ ; ] ( ) nên suy ra: + ≥ ( −1) = |2 + + 1|(1) + ≥ (2) = |4 − 4 + |(2) + ≥ = − + ⇔ 2 ≥ − + 2 − 2 (3) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta có: 4 ≥ |2 + + 1| + |4 − 4 + | + − + 2 − 2 ≥ 2 + + 1 + 4 − 4 + − + 2 − 2 = ⇔ ≥ ( ∗). Dấu ′ ′ = ′ ′ xảy ra khi dấu ′ ′ = ′ ′ ở (1), (2), (3) cùng đồng thời xảy ra và sao cho các giá trị (1 + 2 + ), (4 − 4 + ), − + 2 − 2 cùng dấu với nhau. Tức điều kiện dấu ′ ′ = ′ ′ xảy ra khi: ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 + 2 + = = 4 − 4 + = = − + 2 − 2 = = ⇔ = = − ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 + 2 + = = − 4 − 4 + = = − − + 2 − 2 = = − ( ) Khi đó: ( ) = − − . Suy ra giá trị nhỏ nhất của là: khi = , = − Vậy + + 3 = −1. Câu 62: Cho hàm số ( ) = + + , | ( )| ≤ 1, ∀ ∈ [0; 1]. Tìm giá trị lớn nhất của (0) A. 8. B. 0. C. 6. D. 4. Lời giải. Chọn A ( ) = 2 + ⇒ (0) = . Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của với điều kiện | ( )| ≤ 1, ∀ ∈ [0; 1]. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có. (0) = (1) = + + = + + ⇔ + = (1) − (0) + 2 = 4 − 4 (0) = (0) ⇒ = 4 − (1) − 3 (0). | ( )| ≤ 1, ∀ ∈ [0; 1] ⇒ −1 ≤ (0) ≤ 1 −1 ≤ (1) ≤ 1 −1 ≤ 1 2 ≤ 1 ⇒ = 4 1 2 + ( − (1)) + 3( − (0)) ≤ 4 + 1 + 3 = 8. Đẳng thức xảy ra ⇔ = 1 (1) = −1 (0) = −1 ⇔ = −1, + + = −1, + + = 1 ⇔ = −8 = 8 = −1 ⇒ ( ) = −8 + 8 − 1. Vậy giá trị lớn nhất của (0) bằng 8. Câu 63: Xét tam thức bậc hai ( ) = + + với , , ∈ ℝ, thỏa mãn điều kiện | ( )| ≤ 1, ∀ ∈ [ −1; 1]. Gọi là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ∈[ ; ] ( ) ≤ . Khi đó bằng A. 8. B. 4. C. 3. D. 7. Lời giải Chọn D Đặt = 2 . Ta có ∈ [ −2; 2] ⇔ ∈ [ −1; 1]. | ( )| = |4 + 2 + | = |2 ( ) + 2 − | = |2 ( ) + ( (1) + ( −1)) − 2 − | ≤ |2 ( )| + |( (1) + ( −1))|| | + 2| (0)| + | (0)| ≤ 7. Suy ra ∈[ ; ] ( ) ≤ 7. Chọn ( ) = 2 − 1 thì | ( )| ≤ 1, ∀ ∈ [ −1; 1] và ∈[ ; ] ( ) = 7. Do đó = 7. Câu 64: Có bao nhiêu số thực để giá trị nhỏ nhất của hàm số = | − 4 + + 3| − 4 bằng −5. A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn D Xét ( ) = − 4 + + 3 có = 1 − . TH1. ≥ 1: ( ) ≥ 0 ∀ ⇔ = − 8 + + 3. = −5 ⇔ = 8 (TM). TH2. < 1: ( ) = 0 có hai nghiệm = 2 − √1 − ; = 2 + √1 − . Nếu ∈ ( ; ): = − − 3 − . ( ) = −8 + 4 √1 − . ( ) = −8 − 4 √1 − . ⇒ ( ) < ( ) ⇒ ( ; ) = −8 − 4 √1 − < −8 (Không TM). Nếu ∉ ( ; ): = − 8 + 3 + . +) < 4 ⇔ 1 > > −3: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông = − 13 = −5 ⇔ = 8 (Loại). +) ≥ 4 ⇔ ≤ −3: ⇒ = −8 − 4 √1 − < −8 (Không TM). Vậy có 1 giá trị của . Câu 65: Cho hàm số ( ) = |8 + + |, trong đó , là tham số thực. Gọi là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng + khi nhận giá trị nhỏ nhất. A. + = −8. B. + = −9. C. + = 0. D. + = −7. Lời giải Chọn D Đặt = , ∈ [0; 1], ta có hàm số ( ) = |8 + + |. Khi đó = [ ; ] ( ). Do đó: ≥ (0) = | |; ≥ (1) = |8 + + |; ≥ = 2 + + ⇒ 2 ≥ |4 + + 2 |; Từ đó ta có 4 ≥ | | + |8 + + | + | −4 − − 2 | ≥ | + (8 + + ) + ( −4 − − 2 )| = 4 Hay ≥ 1. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi | | = |8 + + | = | | = 1 và , (8 + + ), ( −4 − − 2 ) cùng dấu ⇔ = −8 = 1 . Vậy + = −7. Câu 66: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số = | − 2 + | bằng 1. Số phần tử của S là A. 0. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn A Đặt = ( ∈ [ −1; 1]) ⇒ = | − 2 + | Xét hàm số ( ) = − 2 + có ′( ) = 2 − 2 = 0 ⇔ = 1 ∈ [ −1; 1] Có ( −1) = + 3, (1) = − 1. Khi đó 1;1 1;1 max max 3; 1 3 min min 3; 1 1 f x m m m f x m m m TH1: | + 3| ≥ | − 1| ⇔ ≥ −1 ⇒ ( ) = | + 3| = 1 ⇔ = −2( ) = −4( ) TH1: | + 3| < | − 1| ⇔ < −1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ⇒ ( ) = | − 1| = 1 ⇔ = 2( ) = 0( ) ⇒ Không tồn tại m thỏa mãn. Câu 67: Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 cos 2 sin 4 y x x m trên đoạn 0; 2 nhỏ hơn hoặc bằng 4? A. 12. B. 14. C. 13. D. 15. Lời giải Chọn D Ta có: 2 4 cos 2 sin 4 y x x m 2 4 1 cos 2sin x x m 2 4sin 2 sin x x m . Đặt sin t x , do 0; 2 x nên suy ra 0;1 t . Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 2 y t t m trên đoạn 0;1 . Xét hàm số 2 4 2 f t t t m liên tục trên đoạn 0;1 , ta có: 8 2 f t t ; 1 0 0;1 4 f t t . 0 f m ; 1 6 f m . Trường hợp 1: Nếu 0 m 0;1 min y m . Kết hợp với giả thiết ta có 0 4 m . 1 Trường hợp 2: Nếu 6 0 m 6 m 0;1 min 6 y m . Kết hợp với giả thiết ta có 6 4 6 m m 10 6 m . 2 Trường hợp 3: Nếu 6 0 m m 6 0 m 0;1 min 0 4 y . Trường hợp này thỏa mãn. 3 Từ 1 , 2 và 3 ta được 10;4 m . Vì m là số nguyên nên 10, 9, 8,..., 2,3,4 m . Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. HÀM BẬC 3 Câu 68: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số = | − 3 + | trên đoạn [0; 2] bằng 3. Tập hợp có bao nhiêu phần tử. A. 1. B. 2. C. 0. D. 6. Lời giải Chọn B Đặt ( ) = − 3 + trên [0; 2]. Ta có ′( ) = 3 − 3, ′( ) = 0 ⇔ = 1 = −1 Khi đó (0) = , (1) = − 2, (2) = + 2 suy ra GTLN của ( ) bằng + 2 và GTNN của ( ) bằng − 2. Từ đó suy ra GTLN của = | − 3 + | trên [0; 2] bằng {| − 2|; | + 2|}. +Trường hợp 1: | − 2| = 3 | + 2| ≤ 3 ⇔ = 5 = −1 | + 2| ≤ 3 ⇔ = −1. + Trường hợp 2: | + 2| = 3 | − 2| ≤ 3 ⇔ = 1 = −5 | − 2| ≤ 3 ⇔ = 1. Vậy có 2 giá trị thỏa mãn. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 69: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 6 f x x x m trên đoạn 0;3 bằng 8. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 8 . B. 16 . C. 32 . D. 72 . Lời giải Chọn C Xét 3 2 6 u x x x m trên đoạn 0;3 . Dễ thấy hàm số u x liên tục trên đoạn 0;3 . Có 2 0 6 6 0 1 0;3 u x x x . Khi đó 0;3 0;3 max max 0 ; 1 ; 3 max ; 4; 36 36 min min 0 ; 1 ; 3 min ; 4; 36 4 u u u u m m m m u u u u m m m m . Theo bài ra 0;3 4 8 4 0 12 min min 4 ; 36 ;0 8 44 36 0 36 8 m m m f x m m m m m . Do đó 44;12 S . Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 32 . Câu 70: Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số = | − 3 + 2 − 1| trên đoạn [0; 2] là nhỏ nhất. Giá trị của thuộc khoảng A. ( ; ). B. [ − ; ]. C. ; . D. − ; − . Lời giải Chọn A Xét hàm số : ( ) = − 3 + 2 − 1 liên tục và có đạo hàm trên [0; 2]. Ta có: ′( ) = 3 − 3. Suy ra: ′( ) = 0 ⇔ 3 − 3 = 0 ⇔ = 1 ∈ [0; 2] = −1 ∉ [0; 2] . Lúc đó: (0) = |2 − 1|; (1) = |2 − 3|; (2) = |2 + 1|. Vì: 2 − 3 < 2 − 1 < 2 + 1. Nên [ ; ] = {|2 − 3|; |2 + 1|} = {|3 − 2 |; |2 + 1|}. Xét đồ thị sau: Dựa vào đồ thị ta nhận thấy GTLN của {|2 − 3|; |2 + 1|} = {|3 − 2 |; |2 + 1|} bằng = 2 khi = 0 ⇔ = ∈ (0; 1). Nhận xét: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có thể xét bài toán sau: Tìm GTNN của ( ) = {| |; | |} với , là các biểu thức chứa tham số . Câu 71: Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số 3 2 3 y x x m đạt giá trị lớn nhất bằng 50 trên [ 2;4] . Tổng các phần tử thuộc S là A. 4. B. 36 . C. 140. D. 0. Lời giải Chọn A Xét hàm số 3 2 ( ) 3 g x x x m có 2 3 6 g x x x . Xét 0 0 2 x g x x . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số 3 2 3 y x x m trên [ 2;4] là: 2;4 max max 0 ; 2 ; 2 ; 4 x y y y y y max ; 4 ; 20 ; 16 m m m m . Trường hợp 1: Giả sử max 50 y m 50 50 m m . Với 50 m thì 16 66 50 m (loại). Với 50 m thì 20 70 50 m (loại). Trường hợp 2: Giả sử max 4 50 y m 54 46 m m . Với 54 54 50 m m (loại). Với 46 m thì 20 66 50 m (loại). Trường hợp 3: Giả sử max 20 50 y m 70 30 m m Với 70 m thì 16 86 50 m (loại). Với 30 m thì 16 14 50 m , 30 50 m ; 4 34 50 m (thỏa mãn). Trường hợp 4: Giả sử max 16 50 y m 34 66 m m . Với 34 m thì 34 50, 4 30 50, 20 14 50 m m m (thỏa mãn). Với 66 m thì 66 50 m (loại). Vậy 30;34 S . Do đó tổng các phẩn tử của S là: 30 34 4 . Câu 72: Cho hàm số 3 2 2 3 y x x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 1;3 min 3 y . A. 4. B. 8 . C. 31. D. 39. Lời giải Chọn D Nhận xét: Đây là bài toán tìm tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số. Hướng giải: Trong bài toán này tham số m đứng độc lập nên ta sẽ khảo sát hàm ở trong dấu giá trị tuyệt đối và sử dụng tính chất của đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối để giải quyết bài toán. Tuy nhiên để đưa ra đúng cho bài toán này, ta phải hết sức cẩn thận phân tích và chia trường hợp. Lời giải: Xét hàm số 3 2 2 3 f x x x m . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2 6 6 f x x x ; 0 0 1 x f x x . Khi đó ta có 1 5 0 1 1 3 27 f m f m f m f m . Trường hợp 1: Nếu 5 0 5 m m thì 1;3 min 5 5 3 8 y m m m . Vậy 5 8 m . Trường hợp 2: Nếu 27 0 27 m m thì 1;3 min 27 27 3 30 y m m m . Vậy 30 27 m . Trường hơp 3: Nếu 5 0 27 27 5 m m m thì 1;3 min 0 3 y (thỏa mãn). Kết hợp kết quả của cả 3 trường hợp ta được tập hợp giá trị của m là 30;8 có 39 giá trị m nguyên. Câu 73: Cho hàm số 3 2 3 9 y x x x m (với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để 2;3 max 50 y . Tổng các phần tử của M bằng A. 0 . B. 737 . C. 759. D. 215 . Lời giải Chọn B Xét hàm số 3 2 3 9 f x x x x m liên tục trên đoạn 2;3 . Ta có 2 3 6 9 f x x x . 2 1 0 3 6 9 0 3 x f x x x x . Có 2 2; 1 5; 3 27 f m f m f m . Suy ra 2;3 max 5 f x m ; 2;3 min 27 f x m . Do đó 2;3 max max 5 ; 27 M y m m . 5 27 2 22 0 5 50 11;45 50 5 50 50 23;45 2 22 0 23;11 5 27 50 27 50 27 50 m m m m m m M m m m m m m m . Do đó 22; 21; 20;...; 1;0;1;2;...;44 S . Vậy tổng các phần tử của M là 737. Câu 74: Có bao nhiêu số nguyên ∈ [ −5; 5] để [ ; ] | − 3 + | ≥ 2. A. 6. B. 4. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn B Ta có [ ; ] | − 3 + | ≥ 2 ⇔ | − 3 + | ≥ 2; ∀ ∈ [1; 3](1) (Do hàm số = | − 3 + | liên tục trên [1; 3]). ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Giải (1): | − 3 + | ≥ 2; ∀ ∈ [1; 3] ⇔ − 3 + ≥ 2; ∀ ∈ [1; 3] − 3 + ≤ −2; ∀ ∈ [1; 3] ⇔ − 3 ≥ 2 − ; ∀ ∈ [1; 3] − 3 ≤ −2 − ; ∀ ∈ [1; 3] ⇔ 2 − ≤ [ ; ] ( − 3 ) −2 − ≥ [ ; ] ( − 3 ) ( ∗). Xét hàm số ( ) = − 3 trên [1; 3]. Hàm số xác định và liên tục trên [1; 3] mà ( ) = 3 − 6 = 0 ⇔ = 0 = 2 . Ta có: (1) = −2; (3) = 0; (2) = −4. Do đó [ ; ] ( ) = 0; [ ; ] ( ) = −4. Từ ( ∗) suy ra 2 − ≤ −4 −2 − ≥ 0 ⇔ ≥ 6 ≤ −2 . Vì ∈ [ −5; 5] ∈ ℤ nên ∈ { −5; −4; −3; −2}. Vậy có 4 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Đặt = − 3 , với ∈ [1; 3] ⇒ ∈ [ −4; 0]. Khi đó bài toán trở thành [ ; ] | + | ≥ 2. TH1: − ≤ −4 ⇒ [ ; ] | + | = | −4 + | = − 4 ≥ 2 ⇔ ≥ 6. TH2: − ≥ 0 ⇒ [ ; ] | + | = | | = − ≥ 2 ⇔ ≤ −2. Kết hợp với điều kiện ∈ [ −5; 5] ∈ ℤ suy ra ∈ { −5; −4; −3; −2}. Vậy có 4 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 75: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3 1 9 10 3 y x x m trên đoạn 0;3 không vượt quá 12 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng bao nhiêu? A. 7 . B. 0. C. 3. D. 12 . Lời giải Chọn A Xét hàm số 3 1 9 10 3 g x x x m . Dễ thấy hàm số ( ) g x liên tục trên đoạn 0;3 . Ta có 2 9 g x x ; 3 0 3 0;3 x g x x Ta có 0 10 g m ; 3 8 g m . Theo yêu cầu bài toán, 0;3 0;3 max max 12 y g x 0 12 3 12 g g 10 12 8 12 m m 4 2 m Mà m nên 4; 3; 2; 1;0;1;2 m . Vậy tổng các phần tử của S là 7 . Câu 76: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để hàm số 3 2 3 2 y f x x x m có giá trị nhỏ nhất trên 1;1 không vượt quá 50. Tổng các phần tử của S bằng A. 420. B. 2020. C. 412. D. 2019. Lời giải Chọn A Đặt 3 2 3 2 g x x x m trên đoạn 1;1 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2 0 3 6 0 2 x g x x x g x x . Khi đó 1;1 1;1 max max 1 ; 0 ; 1 max 6; 4; 2 2 min min 1 ; 0 ; 1 min 6; 4; 2 6 M g x g g g m m m m m g x g g g m m m m . Vậy 1;1 2 50 2 6 48 4 min min 2 ; 6 50 48 56 4 56 6 50 2 6 m m m m f x m m m m m m m Vậy có tổng các phần tử của S là 420 . Câu 77: Cho hàm số 3 2 3 f x x x m . Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 1;3 không lớn hơn 2020? A. 4045 . B. 4046 . C. 4044 . D. 4042 . Lời giải Chọn A Với 3 2 3 u x x m có 2 3 6 ; 0 0; 2 u x x u x x Do đó 1;3 1;3 min min 1 ; 3 ; 2 min 2; ; 4 4 max max 1 ; 3 ; 2 max 2; ; 4 u u u u m m m m u u u u m m m m * Nếu 1;3 4 0 4 min 4 2020 2024 4,..., 2024 . m m f x m m m * Nếu 1;3 0 min 2020 2020 2020;...;0 . m f x m m m * Nếu 0 m 4 khi đó 1;3 1;3 1;3 min 0; max 0 min 0 u u f x (thỏa mãn). Vậy 2020,...,2024 m có tất cả 4045 số nguyên thỏa mãn. Câu 78: Cho hàm số ( ) = | − − 5 + |, ∈ ℝ. Gọi là tập hợp gồm tất cả các số nguyên để 0 < min [ ; ] ( ) ≤ 1. Tổng các phần tử bằng A. 11. B. 4. C. 2. D. 9. Lời giải Chọn C + Xét = − − 5 + ta có: * ′ = 3 − 2 − 5 ; ′ = 0 ⇔ 3 − 2 − 5 = 0 ⇔ = −1 = * ( −2) = − 2; ( −1) = + 3; (1) = − 5 * = min = [ ; ] − 5; = max = [ ; ] + 3 + Xét các trường hợp Nếu . < 0 ⇒ min [ ; ] ( ) = 0 (loại). Nếu ≥ 0 ⇒ min [ ; ] ( ) = ⇒ ⇔ 0 < ≤ 1 ⇔ 0 < − 5 ≤ 1 ⇔ 5 < ≤ 6 ⇒ = 6. Nếu ≤ 0 ⇒ min [ ; ] ( ) = − ⇒ ⇔ 0 < − ≤ 1 ⇔ 0 < − − 3 ≤ 1 ⇔ −4 ≤ < −3. ⇒ = −4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông + Vậy tổng các phần tử của bằng 6 − 4 = 2 Câu 79: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 9 9 y x mx x m trên đoạn 2;2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 3. B. 5. C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B Đặt 3 2 9 9 f x x mx x m . Dễ thấy 2;2 min 0 f x , dấu " " xảy ra khi và chỉ khi phương trình 0 f x có nghiệm 2;2 x . Ta có: 2 2 9 9 f x x x m x m x x m . 3 0 3 x f x x x m . Do đó điều kiện cần và đủ để 0 f x có nghiệm 2;2 x là 2;2 m . Mà m nên 2; 1;0;1 ;2 m . Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 80: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 3 12 1 f x x x m trên đoạn 1;3 đạt nhỏ nhất. A. 23 2 . B. 7 2 . C. 23 2 . D. 7 2 . Lời giải Chọn A Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f x trên 1;3 +) Xét 3 12 1 g x x x m trên 1;3 2 3 12 g x x ; 2 2 ( ) 0 3 12 0 2 ( ) x n g x x x l +) Ta có: 1 10 f m ; 2 15 f m ; 3 8 f m 1;3 max max 8 ; 15 x f x M m m 8 15 M m M m 2 8 15 8 15 8 15 7 M m m m m m m 7 2 M Dấu “=” xảy ra 8 15 23 2 8 15 0 m m m m m Vậy 23 2 m . Câu 81: Cho hàm số ( ) = − 3 + ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của sao cho max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 6. Tổng tất cả các phần tử của là A. 3. B. 0. C. −1. D. 2. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) = − 3 + . ( ) = 3 − 3; ( ) = 0 ⇔ 3 − 3 = 0 ⇔ = −1 = 1 . Bảng biến thiên +) Nếu < −2 thì max [ ; ] | ( )| = − + 2, min [ ; ] | ( )| = − − 2 Ta có max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 6 ⇔ − + 2 − − 2 = 6 ⇔ = −3 (thỏa) +) Nếu > 2 thì max [ ; ] | ( )| = + 2, min [ ; ] | ( )| = − 2 Ta có max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 6 ⇔ + 2 + − 2 = 6 ⇔ = 3 (thỏa) +) Nếu −2 ≤ ≤ 2 thì min [ ; ] | ( )| = 0; max [ ; ] | ( )| = max{| + 2|; | − 2|} ≤ 4 ⇒ max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| < 6 (không thỏa điều kiện đề bài) Vậy = { −3; 3}, Tổng các phần tử của là 0. Câu 82: Cho hàm số ( ) = − 3 + 2 + 5 (với là tham số). Gọi là tập tất cả các giá trị của để [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 5. Tổng số phần tử của là A. − . B. −3. C. − . D. −6. Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) = − 3 + 2 + 5 ⇒ ′( ) = 3 − 6 . ⇒ ′( ) = 0 ⇔ 3 − 6 = 0 ⇔ = 0( ) = 2( ) . Bảng biến thiên: TH1: Nếu 2 + 1 ≥ 0 ⇔ ≥ − . ⇒ [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ 2 + 1 + 2 + 5 = 5 ⇔ = − (nhận). TH2: Nếu 2 + 1 < 0 ≤ 2 + 3 ⇔ − ≤ < − . ⇒ [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ 0 + 2 + 5 = 5 ⇔ = 0 (loại). TH3: Nếu 2 + 3 < 0 < 2 + 5 ⇔ − < < − . ⇒ [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ 0 − 2 − 1 = 5 ⇔ = −3 (loại). TH4: Nếu 2 + 5 ≤ 0 ⇔ ≤ − . m m+2 0 x f'(x) f(x) 1 + 0 2 m-2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ⇒ [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ −2 − 5 − 2 − 1 = 5 ⇔ = − (nhận). ⇒ = − ; − ⇒tổng các phần tử của S là −3. Câu 83: Cho hàm số ( ) = − 3 + + 1 ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của thuộc đoạn [ −2020; 2020] sao cho max [ ; ] | ( )| ≤ 3min [ ; ] | ( )|. Số phần tử của là A. 4003. B. 4002. C. 4004. D. 4001. Lời giải Chọn B Xét hàm số = ( ) = − 3 + + 1 ⇒ ′ = ′( ) = 3 − 6 . ′( ) = 0 ⇔ 3 − 6 = 0 ⇔ = 0 ( ) = 2 . (1) = − 1; (2) = − 3; (4) = 17 + . max [ ; ] ( ) = + 17; min [ ; ] ( ) = − 3.+Nếu − 3 ≥ 0 ⇔ ≥ 3 thì max [ ; ] | ( )| = + 17, min [ ; ] | ( )| = − 3. Khi đó: max [ ; ] | ( )| ≤ 3min [ ; ] | ( )| ⇔ 17 + ≤ 3( − 3) ⇔ ≥ 13. +Nếu + 17 ≤ 0 ⇔ ≤ −17 thì max [ ; ] | ( )| = − + 3, min [ ; ] | ( )| = −17 − . Khi đó: max [ ; ] | ( )| ≤ 3min [ ; ] | ( )| ⇔ − + 3 ≤ 3( −17 − ) ⇔ ≤ −27. +Nếu ( − 3)( + 17) < 0 ⇔ −17 < < 3 thì max [ ; ] | ( )| = max{| + 17|, | − 3|} = max{ + 17,3 − } > 0; min [ ; ] | ( )| = 0. Khi đó, không thỏa điều kiện max [ ; ] | ( )| ≤ 3min [ ; ] | ( )|. Do đó: ≤ −27 ≥ 13 kết hợp với ∈ [ −2020; 2020] ta có ∈ [ −2020; −27] ∪ [13; 2020] Vậy 4002 giá trị nguyên của cần tìm. Câu 84: Gọi ( ) là giá trị lớn nhất của hàm số = ( ) = | − 6 + 9 + 2 − 1| trên đoạn [ −1; 4]. Biết bất phương trình ( ) ≤ có đúng 10 giá trị nguyên của tham số thoả mãn. Giá trị nguyên nhỏ nhất của bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Khảo sát hàm số: ℎ( ) = − 6 + 9 + 2 − 1 trên đoạn [ −1; 4], ta được: GTNN min ∈[ ; ] ℎ( ) = 2 − 17 và GTLN max ∈[ ; ] ℎ( ) = 2 + 3. Do đó: ( ) = max max ∈[ ; ] ℎ( ), − min ∈[ ; ] ℎ( ) = max{(2 + 3), ( −2 + 17)} Hay ta có ( ) = max{(2 + 3), ( −2 + 17)} = 2 + 3 ℎ 2 + 3 ≥ −2 + 17 −2 + 17 ℎ − 2 + 17 ≥ 2 + 3 = 2 + 3 ℎ ≥ 7 2 −2 + 17 ℎ ≤ 7 2 Đồ thị hàm số ( ) như hình vẽ ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Để có đúng 10 giá trị nguyên thoả mãn bất phương trình ( ) ≤ thì ta phải có: 19 ≤ ≤ 21 Suy ra GTNN = 19. Các giá trị nguyên của là = { −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Câu 85: Cho hàm số ( ) = |2 − 9 + 12 + |. Có bao nhiêu số nguyên ∈ ( −20; 20) để với mọi bộ ba số thực , , ∈ [1; 3] thì ( ), ( ), ( ) là độ dài ba cạnh một tam giác? A. 10. B. 8. C. 25. D. 23. Lời giải Chọn D Xét = 2 − 9 + 12 + trên [1; 3], ta có: = 6 − 18 + 12; = 0 ⇔ = 0 = 2 . [ ; ] = { (0), (1), (2), (3)} = + 4. max [ ; ] = ax{ (0), (1), (2), (3)} = + 9. Để ( ), ( ), ( ) là độ dài ba cạnh một tam giác thì ta phải có ( ) + ( ) > ( ). Chọn ( ) = ( ) = [ ; ] ( ), ( ) = max [ ; ] ( ) ta có điều kiện 2 [ ; ] ( ) > max [ ; ] ( ). Ngược lại: với 2 [ ; ] ( ) > max [ ; ] ( ), ta có : ( ) + ( ) − ( ) ≥ 2 [ ; ] ( ) > max [ ; ] ( ) > 0. Vậy điều kiện cần và đủ để ( ), ( ), ( ) là độ dài ba cạnh một tam giác là 2 [ ; ] ( ) > max [ ; ] ( ) TH1: + 4 ≥ 0 ⇒ [ ; ] ( ) = + 4; [ ; ] ( ) = + 9 ⇒ + 4 ≥ 0 2( + 4) > + 9 ⇔ > 1 TH2: + 9 ≤ 0 ⇒ [ ; ] ( ) = − − 9; [ ; ] ( ) = − − 4 ⇒ + 9 ≤ 0 2( − − 9) > − − 4 ⇔ < −14 TH3: ( + 4)( + 9) < 0 ⇒ [ ; ] ( ) = 0 ⇒ 2.0 > [ ; ] ( ) = + 9 (loại) Vậy ∈ { −19; −15; 2. ; 18; 19}. Có 23 số nguyên thỏa mãn. HÀM BẬC 4 Câu 86: Có bao nhiêu giá trị của để giá trị lớn nhất của hàm số = | − + 8 + | trên đoạn [ −1; 3] bằng 2018? A. 0. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn B Ta có = | − + 8 + | = | − 8 − | = |( − 4) − 16 − |. Đặt = ( − 4) , vì ∈ [ −1; 3] nên miền giá trị của là [0; 25]. Khi đó = ( ) = | − 16 − |. Ta có max ∈[ ; ] ( ) = max ∈[ ; ] ( ) = max{|16 + |; |9 − |}. Trường hợp 1 : |16 + | > |9 − | |16 + | = 2018 ⇔ = 2002. g m y 9 8 7 2 19 1 y O m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trường hợp 2 : |16 + | < |9 − | |9 − | = 2018 ⇔ = −2009. Trường hợp 3 : |16 + | = |9 − | |9 − | = 2018 ⇔ ∈ ∅. Vậy có 2 giá trị cần tìm. Câu 87: Cho hàm số 4 2 2 f x x x m . Có bao nhiêu số nguyên m để 1;2 max 100. f x A. 192. B. 191. C. 193. D. 190. Lời giải Chọn A Đặt 4 2 2 . g x x x m Khi đó hàm số ban đầu có dạng . f x g x Ta có: 3 3 ' 4 4 . 0 ' 0 4 4 1 1 g x x x x g x x x x x Ta có: 1 1; 0 ; 1 1; 2 8. g m g m g m g m Để 1;2 1 100 max 100 99 92. 8 100 m f x m m Vậy có 192giá trị m thỏa mãn. Câu 88: Cho hàm số ( ) = − 2 + ( là tham số thực). Gọi là tập hợp các giá trị của sao cho [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 7. Tổng các phần tử của là A. 7. B. − . C. − . D. `14. Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) = − 2 + liên tục trên đoạn [0; 2]. Ta có ′( ) = 4 − 4 ⇒ ′( ) = 0 ⇔ 4 − 4 = 0 ⇔ = 1 ∈ [0; 2] = 0 ∈ [0; 2] = −1 ∉ [0; 2] . Khi đó (0) = ; (1) = − 1; (2) = + 8. Suy ra (1) = − 1 < (0) = < (2) = + 8. Đồ thị của hàm số = | ( )| thu được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của ( ): = ( ), còn phần đồ thị phía dưới trục hoành của ( ): = ( ) thì lấy đối xứng qua trục hoành lên trên. Do đó, ta có biện luận sau đây: Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1. + 8 ≤ 0 ⇔ ≤ −8 thì [ ; ] | ( )| = | + 8| = − − 8 [ ; ] | ( )| = | − 1| = 1 − . Do đó: [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 7 ⇔ 1 − − − 8 = 7 ⇔ = −7 (loại). Trường hợp 2. ≤ 0 < + 8 ⇔ −8 < ≤ 0, thì đồ thị hàm số( ): = ( ) cắt trục hoành tại với ∈ [0; 2]. Do đó [ ; ] | ( )| = 0. Suy ra [ ; ] | ( )| = 7. Mặt khác [ ; ] | ( )| = {| + 8|; | − 1|} = { + 8; 1 − }. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra [ ; ] | ( )| = 7 ⇔ 1 − ≥ + 8 1 − = 7 + 8 > 1 − + 8 = 7 ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ≤ − = −6( ) > − = −1( ) . Trường hợp 3. − 1 ≤ 0 < ⇔ 0 < ≤ 1, thì đồ thị hàm số( ): = ( ) cắt trục hoành tại với ∈ [0; 2]. Do đó [ ; ] | ( )| = 0. Măt khác [ ; ] | ( )| = + 8. Suy ra [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 7 ⇔ + 8 = 7 ⇔ = −1 (loại). Trường hợp 4. − 1 > 0 ⇔ > 1 thì [ ; ] | ( )| = − 1 [ ; ] | ( )| = + 8 . Do đó: [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 7 ⇔ − 1 + + 8 = 7 ⇔ = 0 (loại). Suy ra = { −1; −6}. Vậy tổng các phần tử của là ( −6) + ( −1) = −7. Câu 89: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số 4 3 2 3 4 12 f x x x x m trên đoạn 1;3 . Có bao nhiêu số thực m để 59 2 M ? A. 2 . B. 6 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn C Xét hàm số: 4 3 2 3 4 12 u x x x m . Có 3 2 12 12 24 u x x x 0 0 1 2 x u x x . Khi đó: 1;3 1;3 min min 1 , 0 , 2 , 3 2 32 max max 1 , 0 , 2 , 3 3 27 u u u u u u m u u u u u u m . Do đó: 59 max 32 , 27 2 M m m 59 32 2 32 27 5 2 59 27 2 27 32 m m m m m m m . Vậy có 1 số thực m để 59 2 M . Câu 90: Cho hàm số ( ) = − 2 + ( là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của sao cho [ ; ] | ( )| + 2 [ ; ] | ( )| = 10. A. 4. B. −3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C Ta xét ( ) = − 2 + liên tục trên đoạn [0; 1], ′( ) = 4 − 6 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ′( ) = 0 ⇔ = 0 ∈ [0; 1] = ∉ [0; 1] . (0) = ; (1) = − 1. Ta xét các trường hợp sau: -Nếu ≤ 0 thì [ ; ] | ( )| = 1 − ; [ ; ] | ( )| = − . Khi đó: [ ; ] | ( )| + 2 [ ; ] | ( )| = 10 ⇔ (1 − ) + 2( − ) = 10 ⇔ = −3 (thỏa điều kiện). -Nếu ≥ 1 thì [ ; ] | ( )| = ; [ ; ] | ( )| = − 1. Khi đó: [ ; ] | ( )| + 2 [ ; ] | ( )| = 10 ⇔ + 2( − 1) = 10 ⇔ = 4 (thỏa điều kiện). -Nếu ≤ < 1 thì [ ; ] | ( )| = ; [ ; ] | ( )| = 0. Khi đó: [ ; ] | ( )| + 2 [ ; ] | ( )| = 10 ⇔ = 10 (không thỏa điều kiện). -Nếu 0 < < thì [ ; ] | ( )| = 1 − ; [ ; ] | ( )| = 0. Khi đó: [ ; ] | ( )| + 2 [ ; ] | ( )| = 10 ⇔ 1 − = 10 ⇔ = −9 (không thỏa điều kiện). Do đó có hai giá trị = −3 và = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy tổng tất cả các giá trị của sao cho [ ; ] | ( )| + 2 [ ; ] | ( )| = 10 là 1. Câu 91: Cho hàm số 4 3 2 4 4 f x x x x a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3;3 sao cho 2 M m ? A. 5. B. 7 . C. 6 . D. 3. Lời giải Chọn A Xét hàm số 4 3 2 4 4 g x x x x a . 3 2 4 12 8 g x x x x ; 0 g x 3 2 4 12 8 0 x x x 0 1 2 x x x . Bảng biến thiên ` TH1: 1 1 ; a m a M a 2 1 2 3; 2 a a a a . TH2: 1 0 0; 0 a m M 2 M m (loại). TH3: 0 ; 1 a m a M a 2 1 1 1;2;3 a a a a . Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. Câu 92: Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 3 2 3 4 12 y x x x a trên đoạn 3; 2 . Có bao nhiêu số nguyên 2019; 2019 a để 2m M ? A. 3209. B. 3213. C. 3215. D. 3211. Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn B Xét hàm số 4 3 2 3 4 12 f x x x x a , ta có 3 2 2 12 12 24 12 2 f x x x x x x x . 0 0 1 2 x f x x x Khi đó: 3 243; 1 5; 0 ; 2 32. f a f a f a f a Ta thấy: 32 5 243, . a a a a a Bảng biến thiên TH1: 32 0 32, a a ta có 3;2 max 243 M f x a ; 3;2 min 32 m f x a Ta phải có: 2 32 243 307 307; 2019 a a a a có 1712 số nguyên . a TH2: 243 0 243, a a ta có 3;2 max 32 32 M f x a a ; 3;2 min 243 243 m f x a a . Ta phải có: 2 243 32 518 2019; 518 a a a a có 1501 số nguyên . a Suy ra tất cả có 3213 số nguyên a thỏa mãn đề bài. Câu 93: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 4 2 1 ( ) 14 48 30 4 y f x x x x m trên đoạn 0;2 không vượt quá 30 . Tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120 . B. 210 . C. 108 . D. 136 . Lời giải Chọn D Cách 1: Đặt 4 2 1 ( ) 14 48 30 4 g x x x x m . Ta có: 3 ( ) 28 48 g x x x 2 2 2 24 x x x . ( ) 0 g x 2 0;2 4 0;2 6 0;2 x x x và ( ) 0, 0;2 g x x . 0;2 max ( ) (2) 14 g x g m , 0;2 min ( ) (0) 30 g x g m . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông TH1: 8 m : 30 22 14 22 30 14 m m m m 30 14 m m 0;2 max ( ) 30 f x m . 0;2 max ( ) 30 f x 30 30 0 m m . Trong trường hợp này 0;1;2;3;4;5;6;7;8 m . TH2: 8: m 30 22 14 22 30 14 m m m m 30 14 m m 0;2 max ( ) 14 f x m . 0;2 max ( ) 30 f x 14 30 16 m m . Trong trường hợp này 9;10;11 ;...;16 m . Vậy 0;1 ;2;...;16 S nên tổng giá trị các phần tử của S là 17 0 1 2 ... 16 16. 136 2 . * Bình luận một chút về việc tại sao lại chọn 8, 8. m m Từ việc phân chia các trường hợp sau: TH1: 30 m 0;2 max ( ) 14 f x m . TH2: 14 m 0;2 max ( ) 30 f x m . TH3: 14 30 m 0;2 max ( ) max 14 ; 30 f x m m max 14;30 m m . Vậy ta lại phải giải bất phương trình: 14 30 8. m m m Rõ ràng giá trị 8 m xuất hiện ở trên và trong quá trình biện luận thì ta thấy không cần hai điểm chia 30 m và 14 m nữa. Cách 2: Ta có: ycbt 4 2 1 14 48 30 30 4 x x x m , 0;2 x 4 2 1 30 14 48 30 30 4 x x x m , 0;2 x 4 2 4 2 1 1 14 48 14 48 60 4 4 x x x m x x x , 0;2 x 4 2 4 2 0;2 0;2 1 1 max 14 48 min 14 48 60 4 4 x x x m x x x 0 16 m . Do m 0;1 ;2;...;16 S . Vậy tổng giá trị các phần tử của tập hợp S là 17 0 1 2 ... 16 16. 136 2 . Cách 3: Đặt 4 2 1 14 48 30 4 t x x x , 0;2 x Ta có: 3 28 48 t x x 2 2 2 24 x x x . 0 t 2 0;2 4 0;2 6 0;2 x x x và 0, 0;2 t x . 0;2 max (2) 14 t t , 0;2 min (0) 30 t t . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số 4 2 1 ( ) 14 48 30 4 y f x x x x m trên đoạn 0;2 chính là 30;14 max t m max 30 ; 14 m m g m . Ta có đồ thị của g m là phần in đậm trong hình vẽ: Dựa vào đồ thị ta có 30 g m 0 16 m . Do m 0;1 ;2;...;16 S . Vậy tổng giá trị các phần tử của tập hợp S là 17 0 1 2 ... 16 16. 136 2 . Câu 94: Cho hàm số ( ) = − 4 + 4 + ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của sao cho max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 5. Số phần tử của là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) = − 4 + 4 + . ( ) = 4 − 12 + 8 ; ( ) = 0 ⇔ 4 − 12 + 8 = 0 ⇔ = 0 = 1 = 2 . Bảng biến thiên +) Nếu < −1 thì max [ ; ] | ( )| = − , min [ ; ] | ( )| = − − 1 Ta có max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ − − − 1 = 5 ⇔ = −3 (thỏa) +) Nếu > 0 thì max [ ; ] | ( )| = + 1, min [ ; ] | ( )| = Ta có max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ + 1 + = 5 ⇔ = 2 (thỏa) +) Nếu −1 ≤ ≤ 0 thì min [ ; ] | ( )| = 0; max [ ; ] | ( )| = max{| |; | + 1|} ≤ 1 ⇒ max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| < 5 (không thỏa điều kiện đề bài) 0 1 m m m+1 2 + f(x) f'(x) x 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Vậy = { −3; 2}, có 2 giá trị của thỏa mãn đề bài. Phương án nhiễu A, học sinh xét thiếu trường hợp Phương án nhiễu C, học sinh sai dấu khi đổi vi phân hàm số ở bước cuối Phương án nhiễu D, học sinh nhầm nhận 2 giá trị = 0; = −1 Câu 95: Cho hàm số ( ) = − 4 + 4 + ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của sao cho max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 5. Số phần tử của là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) = − 4 + 4 + . ( ) = 4 − 12 + 8 ; ( ) = 0 ⇔ 4 − 12 + 8 = 0 ⇔ = 0 = 1 = 2 . Bảng biến thiên +) Nếu < −1 thì max [ ; ] | ( )| = − , min [ ; ] | ( )| = − − 1 Ta có max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ − − − 1 = 5 ⇔ = −3 (thỏa) +) Nếu > 0 thì max [ ; ] | ( )| = + 1, min [ ; ] | ( )| = Ta có max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 5 ⇔ + 1 + = 5 ⇔ = 2 (thỏa) +) Nếu −1 ≤ ≤ 0 thì min [ ; ] | ( )| = 0; max [ ; ] | ( )| = max{| |; | + 1|} ≤ 1 ⇒ max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| < 5 (không thỏa điều kiện đề bài) Vậy = { −3; 2}, có 2 giá trị của thỏa mãn đề bài. Phương án nhiễu A, học sinh xét thiếu trường hợp Phương án nhiễu C, học sinh sai dấu khi đổi vi phân hàm số ở bước cuối Phương án nhiễu D, học sinh nhầm nhận 2 giá trị = 0; = −1 Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = + ( − 2) − + trên đoạn [0; 2]luôn bé hơn hoặc bằng 5? A. 0. B. 4. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B Xét hàm số ( ) = + ( − 2) − + trên đoạn [0; 2]. Ta có ( ) = + ( − 2) − 2 = ( − 2)( + ) ≤ 0, ∀ ∈ [0; 2] Suy ra hàm số ( )nghịch biến trên [0; 2] Để giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = + ( − 2) − + trên đoạn [0; 2]luôn bé hơn hoặc bằng 5 ⇔ (0) ≤ 5 (2) ≥ −5 ⇔ ≤ 5 4 + 8 3 ( − 2) − 4 + ≥ −5 0 1 m m m+1 2 + f(x) f'(x) x 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 3 53 3 53 4 4 m ∈ ℤ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ∈ { −1; 0; 1; 2}. Câu 97: Cho hàm số 4 3 2 1 4 y x x x m . Tính tổng tất cả các số nguyên m để 1;2 max 11 y . A. 19 . B. 37 . C. 30 . D. 11 . Lời giải Chọn C + Xét hàm số 4 3 2 1 4 f x x x x m liên tục trên đoạn 1; 2 . + Ta có 3 2 3 2 f x x x x . + 3 2 0 1;2 0 3 2 0 1 1;2 2 1;2 x f x x x x x x . + 9 1 1 ; 0 ; 1 ; 2 4 4 f m f m f m f m . Khi đó 1;2 1;2 9 max max 1 ; 0 ; 1 ; 2 1 4 min min 1 ; 0 ; 1 ; 2 0 2 f x f f f f f m f x f f f f f f m . Vậy 0;3 9 max max , 4 y m m , theo yêu cầu bài toán 0;3 max 11 y 9 11 4 9 4 11 9 4 m m m m m m 53 35 4 4 9 35 9 35 8 4 8 11 9 4 11 11 11 8 9 8 m m m m m m m . Vì m nguyên nên 11; 10;...;8 m . Kết luận: Tổng các số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 11 10 9 ... 8 30 . Câu 98: Cho hàm số ( ) = | − 4 + 4 + |. Khi thuộc [ −3; 3] thì giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) trên đoạn [0; 2] đạt giá trị lớn nhất bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B Tập xác định: = ℝ. Xét ( ) = − 4 + 4 + liên tục trên [0; 2]. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có ( ) = 4 − 12 + 8 , ( ) = 0 ⇔ = 0 = 1 = 2 . Ta có: (0) = (1) = + 1 (2) = . Suy ra: [0;2] ( ) = max [0;2] ( ) = + 1 . [ ; ] ( ) = {0; | |; | + 1|} hoặc [ ; ] ( ) = 0, với ∈ [ −3; 3] (*). Trường hợp 1: ( + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ ≤ 0. [ ; ] ( ) = 0 Trường hợp 2: > 0 kết hợp với (*) ta có: 0 < ≤ 3. [ ; ] ( ) = | |. Trường hợp 3: + 1 < 0 ⇔ < −1 kết hợp với (*) ta có −3 ≤ < −1. [ ; ] ( ) = | + 1|. Khi đó: [0;2] ( ) = | |, ∈ 0; 3 | + 1|, ∈ −3; −1) 0, ∈ [ −1; 0] . Dựa vào đồ thị ta thấy [0;2] ( ) đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi = 3. Câu 99: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = + ( − 2) − + trên đoạn [0; 2] luôn bé hơn hoặc bằng 5. A. 0. B. 4. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B Xét hàm số: ( ) = + ( − 2) − + trên đoạn [0; 2] hàm số liên tục. ( ) = + ( − 2) − 2 = 0 ⇔ = 0 = 2 = − +) Nếu = 0 ⇒ ( ) = 0 ⇔ = 0 = 2 ⇒ (0) = 0 (2) = − ⇒ [ ; ] | ( )| = {| (0)|; | (2)|} = < 5 (1) (Thỏa mãn) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông +) Nếu ≠ 0 ⇒ ( ) = 0 ⇔ = 0 = 2 = − 0 ≤ ≤ 2 ⇔ = 0 = 2 ⇒ (0) = (2) = − 4 3 + − 4 3 = − 4 + 4 3 ( ∀ ≠ 0) Nhận thấy: (0) = > (2) = − + , ∀ ∈ ℝ\{0}. Mặt khác − < 0, ∀ ∈ ℝ +) TH1: > 0: | (2)| = − + = − = > = (0), ∀ > 0. ⇒ [ ; ] | ( )| = | (2)| = − ( ∗). +) TH2: < 0: | (2)| = − + = − = > | | = (0), ∀ < 0. ⇒ [ ; ] | ( )| = | (2)| = − ( ∗ ∗). Vậy từ ( ∗) và ( ∗ ∗) ta có: [ ; ] | ( )| = | (2)| = 4 − 3 + 4 3 ≤ 5 ⇔ 3 − √185 8 ≤ ≤ 3 + √185 8 Do: ∈ ℤ ≠ 0 ⇒ ∈ { −1; 1; 2} (2) KL: Từ (1) và (2) ta tìm được: ∈ { −1; 0; 1; 2}. Câu 100: Cho hàm số ( ) = |8 + + |, trong đó , là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số ( ) trên đoạn [ −1; 1] bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng? A. < 0, < 0. B. > 0, > 0 C. < 0, > 0. D. > 0, < 0. Lời giải Chọn C Cách 1. Xét ( ) = 8 + + , ( ) = 32 + 2 = 0 ⇔ = 0 = − . Ta có [ ; ] ( ) = 1 ⇒ (0) = ∈ [ −1; 1]. TH1. > 0. Ta có (1) = ( −1) = 8 + + > 1. Suy ra [ ; ] ( ) > 1 không thỏa YCBT. TH2. < 0. Nếu − > 1 ⇔ < −16. Ta có (1) = ( −1) = 8 + + < −1. Suy ra [ ; ] ( ) > 1 không thỏa YCBT. Nếu − < 1 ⇔ > −16. Ta có BBT ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ▪ [ ; ] ( ) = = 1. Khi đó YCBT ⇔ 1 − ≥ −1 8 + + ≤ 1 ⇔ ≤ 64 ≤ −8 ⇔ = −8 (thỏa > −16) ▪ [ ; ] ( ) = 8 + + = 1. Khi đó, YCBT ⇔ ≤ 1 − ≥ −1 ⇒ ≥ −8 + + 6 ≤ 0 ⇔ ≥ −8 −24 ≤ ≤ −8 ⇔ = −8 ⇒ = 1. ▪ [ ; ] ( ) = − = 1. Khi đó, YCBT ⇔ − = −1 8 + + ≤ 1 ≤ 1 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = − 1 6 + + ≤ 0 ≥ −8 ⇔ = −8 = 1 . Vậy = −8, = 1 thỏa YCBT. Cách 2. Đặt = khi đó ta có ( ) = 8 + + . Vì ∈ [ −1; 1] nên ∈ [0; 1]. Theo yêu cầu bài toán thì ta có: 0 ≤ ( ) ≤ 1 với mọi ∈ [0; 1] và có dấu bằng xảy ra. Đồ thị hàm số ( ) là một parabol có bề lõm quay lên trên do đó điều kiện trên dẫn đến hệ điều kiện sau xảy ra: −1 ≤ (0) ≤ 1 −1 ≤ (1) ≤ 1 −1 ≤ − 32 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤ 1 −1 ≤ 8 + + ≤ 1 −32 ≤ 32 − ≤ 32 ⇔ −1 ≤ ≤ 1(1) −1 ≤ 8 + + ≤ 1(2) −32 ≤ − 32 ≤ 32(3) Lấy (1) + 32(3) ta có: −64 ≤ ≤ 64 do đó −8 ≤ ≤ 8. Lấy (3) + 32(2) ta có: −64 ≤ + 32 + 256 ≤ 64 Suy ra: + 32 + 192 ≤ 0 ⇔ −24 ≤ ≤ −8. Khi đó ta có = −8 và = 1. Kiểm tra: ( ) = 8 − 8 + 1 = 2(2 − 1) − 1 Vì 0 ≤ ≤ 1 nên −1 ≤ 2 − 1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ (2 − 1) ≤ 1 ⇒ −1 ≤ ( ) = 2(2 − 1) − 1 ≤ 1. Vậy | ( )| = 1 khi = 1 ⇒ = ±1 (t/m). Câu 101: Biết đồ thị hàm số 4 2 f x ax bx c có đúng ba điểm chung với trục hoành và 1 1 ; 1 0 f f . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 12 f x m nghiệm đúng 0;2 x . Số phần tử của S là A. 10 . B. 11. C. 11. D. 0 . Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số 4 2 f x ax bx c có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ, suy ra 0 0 0 f c I . Ta có 3 4 2 f x ax bx . Theo giả thiết 1 1 1 4 2 0 1 0 f a b c II a b f . Từ I và II suy ra 4 2 1 ; 2; 0 2 a b c f x x x . Xét hàm số 4 2 2 y x x m trên đoạn 0;2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;2 và có 3 0 0;2 0 4 4 0 1 0;2 1 0;2 x y x x x x . Khi đó 0 y m ; 1 1 y m ; 2 8 y m . 0;2 0;2 max 8 min 1 y m y m . Theo bài ra 4 2 8 12 8 1 2 12, 0;2 max 1 ; 8 12 1 12 1 8 m m m x x m x m m m m m 4 20 7 7 4 2 2 4 11 7 13 11 11 2 7 2 m m m m m m m . Suy ra S có 11 phần tử. HÀM HỮA TỈ Câu 102: Cho hàm số 2 ( ) 1 x m f x x ( m là số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 0;1 0;1 max ( ) min ( ) 14 f x f x . Số phần tử của S là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải. Chọn C Ta có ( ) f x là hàm số liên tục, đơn điệu hoặc là hàm hằng và không âm trên 0;1 , 2 (0) m f , 2 m 1 (1) 2 f , 2 ( m ) 0 f . Do đó 2 2 2 0;1 0;1 1 max ( ) min ( ) 14 14 9 3 2 m f x f x m m m Vậy số phần tử của S là 2 . Câu 103: Cho hàm số ( ) = . Gọi là tập hợp các giá trị của sao cho [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 2. Số phần tử của là A. 6. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn B Ta thấy hàm số ( ) = liên tục trên đoạn [0; 1], (0) = ; (1) = và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm = − TH 1. Nếu 0 ≤ − ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤ 0 thì [ ; ] | ( )| = | |; ; [ ; ] | ( )| = 0. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Do đó [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 2 ⇔ | | = 2 = 2 ⇔ = ±2 = 3 = −5 . TH 2.Nếu − < 0 ⇔ > 0 thì [ ; ] | ( )| = ; ; [ ; ] | ( )| = ; Do đó [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 2 ⇔ + = 2 ⇔ = 1. TH 3. Nếu − > 1 ⇔ < −1 thì [ ; ] | ( )| = − ; − ; [ ; ] | ( )| = − ; − Ta có [ ; ] | ( )| + [ ; ] | ( )| = 2 ⇔ − − = 2 ⇔ = − . Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn bài toán. Câu 104: Cho hàm số ( ) = ( là tham số thực). Gọi là tập các giá trị của sao cho max [ ; ] | ( )| = 2min [ ; ] | ( )|. Tích tất cả các phần tử của là A. 1. B. 2. C. −5. D. . Lời giải Chọn D Do ( ) = ( ) > 0 ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ [1; 2] nên hàm số đơn điệu trên đoạn [1; 2]. (1) = − + + 1 2 ; (2) = − + + 2 3 +Khi (1); (2) trái dấu hoặc (1). (2) = 0 thì min [ ; ] | ( )| = 0, từ yêu cầu của bài toán max [ ; ] | ( )| = 2min [ ; ] | ( )| suy ra max [ ; ] | ( )| = 0 ⇒ (1) = (2) = 0 điều này không xảy ra vì hàm số ( ) = là hàm số đơn điệu trên [1; 2]. +Khi (1); (2) cùng dương ⇔ (1) = > 0 (2) = > 0 ⇔ − < 1 − < 2 ⇔ − < 1 Thì max [ ; ] | ( )| = | (2)| = ; min [ ; ] | ( )| = | (1)| = Để max [ ; ] | ( )| = 2min [ ; ] | ( )| thì = 2. ⇔ − = thỏa mãn điều kiện − < 1 và phương trình − − = 0 cho ta hai giá trị có tích bằng − . +Khi (1); (2) cùng âm ⇔ (1) = < 0 (2) = < 0 ⇔ − > 1 − > 2 ⇔ − > 2 thì max [ ; ] | ( )| = | (1)| = − ; min [ ; ] | ( )| = | (2)| = − Để max [ ; ] | ( )| = 2min [ ; ] | ( )| thì = 2. ⇔ − = 5 thỏa mãn điều kiện − > 2 và phương trình − − 5 = 0 cho ta hai giá trị có tích bẳng −5. Từ hai trường hợp trên ta suy ra có bốn phần tử và tích của chúng bằng − . −5 = . + Nếu ℎ(0). ℎ(1) > 0 ⇔ < > 0 [ ; ] ( ) + [ ; ] ( ) = |4 | + |2 + 1| = 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ⇔ = −5 6 ( ) = 1 2 ( ) + Nếu ℎ(0). ℎ(1) ≤ 0 ⇔ ≤ ≤ 0 ⇒ [ ; ] ( ) = 0 [ ; ] ( ) + [ ; ] ( ) = 4 ⇔ |4 | = 4 |2 + 1| = 4 ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ = ±1( ) = 3 2 ( ) = −5 2 ( ) Vậy tổng các phần tử của là . Câu 105: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 4 3 x m f x x trên đoạn 2;2 bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 16 . B. 16. C. 2. D. 14. Lời giải Chọn B Xét hàm số 4 , 2;2 3 x m g x x x , ta có 2 12 3 m g x x . 8 2 , 2 8 5 m g g m . Do đó : 2;2 8 6 5 8 8 2 8 5 max max , 8 6 14 5 8 6 8 8 5 m m m m m f x m m m m m . Vậy 2;14 S . Vậy tổng các giá trị của S bằng 16. Câu 106: Cho hàm số 2 1 x m f x x . Gọi S là tập hợp tất các giá trị của m để 2; 0 min 2 f x . Tổng các phần tử của tập S là A. 2 . B. 8 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn B +) \{1} D . *) Với 2 m . Ta có 2 2 2 1 x f x x nên 2; 0 min 2 f x . Vậy 2 m (nhận). ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông *) Với 2 m . Khi đó, 2 , 1 2 1 m f x x x . +) Ta có 4 2 3 m f , 0 f m ; ( ) 0 2 2 m f x x m x . Ta xét các trường hợp sau: TH1: Đồ thị hàm số ( ) y f x cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ thuộc 2; 0 , tức là 2 0 4 0 2 m m . Khi đó 2; 0 min 0 f x (loại). TH2: Đồ thị hàm số ( ) y f x không cắt trục hoành hoặc cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ nằm ngoài đoạn 2; 0 , tức là 4 2 0 0 2 2 m m m m (*). Khi đó: 2; 0 4 4 min min 2 ; 0 min ; min ; 3 3 m m f x f f m m . +) Nếu 2 2 4 4 3 4 3 4 2 4 4 0 3 m m m m m m m m 2 1 m m (**) thì 2; 0 4 min 3 m f x . Ta có 4 6 2 (loaïi, ) 4 2 3 4 6 10 (nhaä 2 n) m m m m m m (do điều kiện (*) và (**)). +) Nếu 4 3 m m 1 2 m thì 2; 0 min f x m . Ta có 2 (loaïi) 2 2 (loaïi) m m m . Suy ra {2; 10} S . Vậy tổng các phần tử của S là 8 . Câu 107: Cho hàm số 2020 x f x x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho 0;2019 max 2020 f x . A. 2 . B. 1. C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn A Hàm số f x xác định với mọi x m . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông *Nếu 2020 m thì 1, 2020 f x x không thỏa mãn yêu cầu bài toán. * Nếu 2020 m thì f x đơn điệu trên mỗi khoảng ;m và ; m nên yêu cầu bài toán 0;2019 max 2020 f x 0;2019 max 0 ; 2019 2020 m f f 0; 2019 2020 4039 max ; 2020 2019 m m m . Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: 0 0;2019 2019 2020 2020 1 1 4039 2020 4039 2019 2020 2019 m m m m m m m m . Trường hợp 2: 0 2019 0;2019 4082419 2021 4039 4082419 2020 2020 2021 4074341 2019 2020 2017 2020 2020 2020 2020 2020 m m m m m m m m m . Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 108: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 x mx m y x trên 1;2 bằng 2 . Số phần tử của S là A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A Xét hàm số: 2 1 x mx m u x . 2 2 2 1 x x u x ; 0 u 2 2 2 0 1 x x x 2 2 0 x x 0 1;2 2 1;2 x x . Ta có: 0 1;2 u x nên 1;2 4 1 max , 3 2 y m m . 1;2 max 2 y 2 3 10 3 m m . Vậy 2 10 ; 3 3 S . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 109: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 2 x mx m y x trên đoạn 1;1 bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 8 3 . B. 5 . C. 5 3 . D. 1 . Lời giải. Chọn D Xét hàm số 2 2 2 x mx m y f x x , 1;1 . Tập xác định: \ 2 D và 2 2 4 2 x x f x x . Xét 0 f x 2 0 4 0 4 1;1 x x x x . Bảng biến thiên của hàm số y f x : Ta có: 1 1 3 f m , 0 f m , 1 1. f m Suy ra: 1;1 max max 1 ; 0 ; 1 . g x f f f Với 2 2 2 x mx m g x f x x . Ta có 1;1 max max 1 ; 0 ; 1 . g x f f f Dựa vào đồ thị các hàm số 1 ; 1 ;u 3 u m u m m . Xét với 1 2 m . Ta có 1;1 max 1 1 3 2. g x f m m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Xét với 1 2 m . Ta có 1;1 max 0 3 3 g x f m m . Vậy 3;2 S . Câu 110: Cho hàm số 2 1 2 2 2 x m x m y x (với m là tham số thực). Hỏi 1;1 max y có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 3 2 . B. 1 2 . C. 2. D. 3 . Lời giải Chọn B Ta có 2 2 2 x x y m t m x , trong đó 2 2 2; 1 , 1;1 2 x x t x x . 2 2 0 1;1 4 0 4 1;1 2 x x x t t x x . 4 1 , 0 1, 1 2 3 t t t Do đó 1;1 1;1 max max max 2 , 1 max 2 , 1 y t m m m m m 2 1 2 1 1 2 2 2 m m m m . Dấu bằng đạt tại 3 2 1 2 m m m . Câu 111: Cho hàm số ( ) = ( ) , trong đó là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của thỏa mãn [ ; ] ( ) + 2 [ ; ] ( ) = . Số phần tử của tập là A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C ( ) = ( ) = + . Xét hàm số ( ) = trên đoạn [2; 3], ta có ( ) = ( ) ≥ 0, ∀ ∈ [2; 3] ( ( ) = 0 tại = 2). Suy ra, tập giá trị của ( ) trên [2; 3] là đoạn [ (2); (3)] = 2; . Đặt = , hàm số ( ) trên [2; 3] trở thành hàm số ℎ( ) = | + | xét trên 2; . Khi đó: [ ; ] ( ) = ; ℎ( ); [ ; ] ( ) = ; ℎ( ) = | + 2|; + = ( ) ( ) = + + *) Xét ( + 2) + ≤ 0 ⇔ ∈ − ; −2 (1) Khi đó, [ ; ] ( ) = 0. Suy ra [ ; ] ( ) + 2 [ ; ] ( ) = 1 2 ⇔ 2 + 9 2 + 1 2 = 1 2 ⇔ = − 9 4 ℎ (1) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông *) Xét ( + 2) + > 0 ⇔ < − > −2 (2). Khi đó [ ; ] ( ) = ; ℎ( ) = | + 2|; + = ( ) ( ) = + − Suy ra [ ; ] ( ) + 2 [ ; ] ( ) = ⇔ + − + 2 + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − = − ( ). Vậy = − . Suy ra, số phần tử của tập bằng 1. Câu 112: Cho hàm số = . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 2]. Có bao nhiêu số nguyên sao cho ≥ 2 ? A. 15. B. 14. C. 16. D. 13. Lời giải Chọn C Xét = trên đoạn [1; 2], ta có = ( ) > 0, ∀ ∈ [1; 2]. Do đó, [ ; ] = (2) = + , [ ; ] = (1) = + . TH1: + ≥ 0 ⇒ = + = + ⇒ + ≥ 0 + ≥ 2 + ⇔ − ≤ ≤ . TH2: + ≤ 0 ⇒ = − + = − + ⇒ + ≤ 0 − + ≥ −2 + ⇔ − ≤ ≤ − . TH3: + . + ≤ 0 ⇒ = 0, = + , + ⇒ > 2 (thỏa mãn). Ta có: − ≤ ≤ ∈ { −10; . ; 4}. Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn. Câu 113: Xét hàm số ( ) = √ , với là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn điều kiện 0 < [ ; ] ( ) < 1? A. 4. B. 8. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B Cách 1: Xét hàm số ( ) = √ liên tục trên [ −1; 1] và ( ) = | ( )|. Ta có (0) = −1; (1) = √ ; ( −1) = √ . - Nếu ( −1) ≥ 0 (1) ≥ 0 ⇔ ≥ 2 √5 ≤ −2 √3 thì [ ; ] ( ) = 0, không thỏa mãn bài toán. - Nếu ( −1) < 0 (1) < 0 ⇔ −2 √3 < < 2 √5 Mà nguyên nên ∈ { −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}. Ta có ( ) = √ ( ) . TH1: ≥ 0. Khi đó ( ) > 0 ∀ ∈ [ −1; 1]. Do đó hàm số ( ) đồng biến trên [ −1; 1]. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 81 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Mà (0) = −1 ⇒ (1) > −1. Do đó −1 < (1) < 0. Vậy 0 < [ ; ] ( ) < 1 hay ∈ {0; 1; 2; 3; 4} thỏa mãn bài toán. TH2: < 0. Xét hàm số ℎ( ) = √ trên [ −1; 1]. Ta có ℎ ( ) = ( ) √ > 0 ∀ ∈ [ −1; 1]. Khi đó dễ thấy ℎ( ) ∈ √ ; √ . * Khi = −1 ⇒ 4 + ℎ( ) > 0 ∀ ∈ [ −1; 1] ⇒ ( ) > 0 ∀ ∈ [ −1; 1] hay hàm số ( ) đồng biến trên [ −1; 1]. Khi đó −1 < (1) < 0 nên 0 < [ ; ] ( ) < 1. Vậy = −1 thỏa mãn. * Khi ∈ { −3; −2} ⇒ 4 + ℎ( ) < 0 ∀ ∈ [ −1; 1] ⇒ ( ) < 0 ∀ ∈ [ −1; 1] hay hàm số ( ) nghịch biến trên [ −1; 1]. Khi đó ( −1) > (0) ⇒ −1 < ( −1) < 0 nên 0 < [ ; ] ( ) < 1. Vậy ∈ { −3; −2} thỏa mãn. Do đó ∈ { −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} hay có 8 giá trị nguyên của . Cách 2 Nhận thấy ( ) liên tục trên [ −1; 1] nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của ( ) trên đoạn [ −1; 1]. Ta có ( ) ≥ 0, ∀ ∈ [ −1; 1] (0) = 1 nên suy ra 0 ≤ ∈[ ; ] ( ) ≤ 1. Vậy điều kiện 0 < ∈[ ; ] ( ) < 1 ⇔ ∈[ ; ] ( ) > 0 (1) ∈[ ; ] ( ) ≠ 1 (2) . Ta có (1) ⇔ Phương trình − 2 √ + 4 = 0 vô nghiệm trên [ −1; 1] ⇔ Phương trình = √ vô nghiệm trên [ −1; 1]\{0} Xét hàm số ( ) = √ , ∀ ∈ [ −1; 1]\{0} / ( ) = − − 8 √ + 4 < 0, ∀ ∈ [ −1; 1]\{0} Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phương trình = √ vô nghiệm trên [ −1; 1]\{0} ⇔ −2 √3 < < 2 √5. Do nguyên nên ∈ { −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}. Để giải (2) trước hết ta đi tìm điều kiện để ∈[ ; ] ( ) = 1. Do (0) = 1 nên ∈[ ; ] ( ) = (0), mà 0 ∈ ( −1; 1), suy ra x = 0 là điểm cực trị của hàm số ( ). Đặt ℎ( ) = √ ⇒ ℎ / (0) = 0 ⇔ = − . Do đó với m nguyên thì (2) chắc chắn xảy ra. Vậy ∈ { −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} thỏa mãn điều kiện (2) Kết luận: Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. HÀM SỐ KHÁC Câu 114: Cho hàm số = 2 − − ( + 1)(3 − ) + . Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 82 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn B Hàm số xác định khi: ( + 1)(3 − ) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ ≤ 3. Đặt = ( + 1)(3 − ) = √3 + 2 − ( ∈ [0; 2]) và 2 − = − 3. Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số = | − − 3 + | trên đoạn [0; 2]. Với = − − 3 + ta có: 0;2 0;2 13 max 1;min 4 u m u m . Do đó = | − 1|; − ≥ | | ≥ = . Dấu bằng xảy ra | − 1| = − = ⇔ = . Câu 115: Có bao nhiêu giá trị của để giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) = | − 4 + | trên đoạn [0; 4] bằng 6? A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D Xét ∈ [0; 4]. Đặt = ⇒ ∈ [1; 4]. Đặt ( ) = − 4 + với ∈ [1; 4]. Đạo hàm: ( ) = 2 − 4. Xét ( ) = 0 ⇔ 2 − 4 = 0 ⇔ = 2. Ta có: (1) = − 3; (2) = − 4; (4) = . Suy ra giá trị nhỏ nhất của ( ) = | − 4 + | trên [0; 4] sẽ thuộc = {| − 3|; | − 4|; | |}. Xét | − 4| = 6 ⇔ = 10 ⇒ = {7; 6; 10} = −2 ⇒ = {5; 6; 2} . Ta thấy = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( ) = 6. Xét | − 3| = 6 ⇔ = 9 ⇒ = {5; 6; 9} = −3 ⇒ = {7; 6; 3} (không thỏa mãn). Xét | | = 6 ⇔ = 6 ⇒ = {2; 3; 6} = −6 ⇒ = {10; 9; 6} . Ta thấy = −6 thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( ) = 6. Vậy có hai giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán. HÀM HỢP Câu 116: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tổng tất cả các giá trị thực của để giá trị lớn nhất của hàm số = | ( ) + | trên đoạn [ −1; 3] bằng 2019 là A. 2020. B. 3. C. 2018. D. −1. Lời giải Chọn D Đặt ( ) = ( ) + . Khi đó ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 83 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông [ ; ] ( ) = (1) = (1) + = + 2 [ ; ] ( ) = (0) = (0) + = − 1 . Do đó [ ; ] = {| + 2|, | − 1|} = 2019 ⇔ | + 2| ≤ | − 1| = 2019 | − 1| < | + 2| = 2019 ⇔ = 2017 = −2018 . Vậy tổng các giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2017 − 2018 = −1. Câu 117: Cho đồ thị hàm số y f x với 2;4 x như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số 2 2 y f x m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 2;4 bằng 49. Tính tổng các phần tử của . S A. 23 . B. 12 . C. 9 . D. 2 . Lời giải Chọn D Vì 2;4 x nên suy ra 2 2;4 . x Dựa vào hình vẽ ta thấy 4 6, 2;4 f x x 4 2 6, 2;4 f x x 4 2 6 , 2;4 m f x m m x Theo đề bài ta có 2;4 6 7 1 4 7;7 3;11 1 max 49 . 3 4 7 3 6 7;7 13;1 m m m m m y m m m m m Suy ra 3;1 . S Vậy tổng các phần tử của S là 3 1 2. Câu 118: Cho hàm số 3 3 f x x x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos y f x m bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 4 . B. 16 . C. 32 . D. 12 . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 84 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn B Đặt 2 cos t x ta có 1 ;3 t . Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số 3 3 y t t m với 1;3 t đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2. Xét 3 3 u t t t m trên đoạn 1 ;3 . Ta có hàm số u t liên tục trên đoạn 1 ;3 . 2 3 3 u t t ; 1 1;3 0 1 1;3 t u t t . Khi đó: 1;3 1;3 max max 1 ; 3 max 18; 2 18 min min 1 ; 3 min 18; 2 2 u t u u m m m u t u u m m m . Yêu cầu bài tập: 1;3 min 2 y . Trường hợp 1: 2 0 2 m m 1;3 min 2 2 y m m ; 1;3 min 2 2 2 4 y m m (thỏa mãn) Trường hợp 2: 18 0 18 m m 1;3 min 18 18 y m m ; 1;3 min 2 18 2 20 y m m (thỏa mãn) Trường hợp 3: 1;3 18 2 0 18 2 min 0 2 m m m f x (loại) Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 16 . Chọn phương án B . Câu 119: Cho hàm số bậc bốn = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn [0; 20] sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) = |2 ( ) + + 4| − ( ) − 3 trên đoạn [ −2; 2] không bé hơn 1? A. 18. B. 19. C. 20. D. 21. Lời giải Chọn B Dựa vào hình vẽ ta có: ( ∗). ⇒ 2 ( ) + 4 ≥ 0, ∀ ∈ [ −2; 2]. Vì ∈ [0; 20] nên 2 ( ) + + 4 ≥ 0 suy ra |2 ( ) + + 4| = 2 ( ) + + 4, ∀ ∈ [ −2; 2]. Ta có: ( ) = |2 ( ) + + 4| − ( ) − 3 = |2 ( ) + + 4 − ( ) − 3| = | ( ) + + 1|, ∀ ∈ [ −2; 2]. +) Với = 0 ⇒ ( ) = | ( ) + 1|, ∀ ∈ [ −2; 2]. 2 ( ) 2, 2;2 f x x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 85 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ( ∗) ⇔ −1 ≤ ( ) + 1 ≤ 3, ∀ ∈ [ −2; 2]. ⇒ 0 ≤ | ( ) + 1| ≤ 3, ∀ ∈ [ −2; 2] ⇔ 0 ≤ ( ) ≤ 3, ∀ ∈ [ −2; 2]. [ ; ] ( ) = 0 ⇒ = 0 không thỏa yêu cầu bài toán. +) Với ∈ [1; 20] ⇒ ( ) + + 1 ≥ 0 ⇒ ( ) = ( ) + + 1. Từ ( ∗) ta có: ( ) + + 1 ≥ − 1 ⇒ [ ; ] ( ) = − 1. Yêu cầu bài toán: [ ; ] ( ) ≥ 1 ⇔ − 1 ≥ 1 ⇔ ≥ 2 ⇒ ∈ [2; 20]. Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số thỏa yêu cầu bài toán. Câu 120: Đồ thị hàm số = ( ) như hình vẽ bên. Đặt hàm số ( ) = ( − 3 + 2) + . Tổng tất cả các giá trị của tham số để max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 11 bằng A. 6. B. 5. C. 11. D. 1. Lời giải Chọn D Đạo hàm: ′( ) = (3 − 6 ) ′( − 3 + 2) ⇒ ′( ) = 0 ⇔ 3 − 6 = 0 − 3 + 2 = 0 − 3 + 2 = 2 ⇔ = 0 ∨ = 2 = 1 ∨ = 1 − √3 ∨ = 1 + √3 = 0 ∨ = 3 ⇒ (0) = (2) + = 1 + (1) = (0) + = 2 + (2) = ( −2) + = −3 + TH1. (1). (2) ≥ 0 ⇔ ≤ −2 ≥ 3 . Khi đó: max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 11 ⇔ | − 3| + | + 2| = 11 ⇔ = 6 = −5 . TH2. (1). (2) < 0 ⇔ −2 < < 3. Khi đó: max [ ; ] | ( )| + min [ ; ] | ( )| = 11 ⇔ | − 3| = 11 | + 2| = 11 ⇔ = 14 = −8 = 9 = −13 . Đối chiếu điều kiện: = 6 = −5 . Câu 121: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ bên. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 86 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 0;20 sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 ( ) 3 g x f x m f x trên đoạn 2;2 không bé hơn 1? A. 18. B. 19. C. 20 . D. 21 . Lời giải Chọn B Dựa vào hình vẽ ta có: 2 ( ) 2, 2;2 f x x * . 2 4 0, 2;2 f x x . Vì 0;20 m nên 2 4 0 f x m suy ra 2 4 2 4, 2;2 f x m f x m x . Ta có: 2 4 ( ) 3 g x f x m f x 2 4 3 f x m f x 1 f x m , 2;2 x . +) Với 0 m 1 g x f x , 2;2 x . * 1 1 3, 2;2 f x x . 0 1 3, 2;2 f x x 0 3, 2;2 g x x . 2;2 0 min g x 0 m không thỏa yêu cầu bài toán. +) Với 1;20 m 1 0 1 f x m g x f x m . Từ * ta có: 1 1 f x m m 2;2 1 min g x m . Yêu cầu bài toán: 2;2 1 min g x 1 1 2 m m 2;20 m . Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 122: Cho hàm số = ( ) liên tục và có đồ thị như hình vẽ ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 87 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi là tổng các giá trị nguyên của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = | ( ) + | trên đoạn [ −1; 3] nhỏ hơn hoặc bằng 2 √505. A. −2019. B. 2018. C. −1. D. 0. Lời giải Chọn A Xét hàm số = ( ) + trên đoạn [ −1; 3] có max [ ; ] = (1) = (1) + = + 2 và min [ ; ] = (0) = (0) + = − 1 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số = | ( ) + | trên đoạn [ −1; 3] là { | + 2|, | − 1|} Do đó max [ ; ] ( ) = { | + 2|, | − 1|}. Suy ra, hàm số đã cho có giá trị lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng 2 √505 khi và chỉ khi | + 2| ≤ | − 1| ≤ 2020(1) | − 1| ≤ | + 2| ≤ 2020(2) Ta có +) (1) ⇔ | + 2| ≤ | − 1| | − 1| ≤ 2020 ⇔ ≤ − −2019 ≤ ≤ 2021 ⇔ −2019 ≤ ≤ − +) (2) ⇔ | − 1| ≤ | + 2| | + 2| ≤ 2020 ⇔ ≥ − −2022 ≤ ≤ 2018 ⇔ − ≤ ≤ 2018 Từ hai trường hợp trên suy ra −2019 ≤ ≤ 2018. Vì vậy, tổng các giá trị nguyên thỏa mãn bài toán là = −2019. Câu 123: Cho hàm số f x liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số 2 8 1 1 x y f a x có giá trị lớn nhất không vượt quá 20 ? A. 29 . B. 35 . C. 31. D. 41. Lời giải Chọn C Đặt 2 8 1 x t x . Ta có: 2 2 2 8 8 1 x t x ; 0 1 t x . BBT: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 88 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 4;4 t . Hàm số 2 8 1 1 x y f a x trở thành 1 , 4;4 g t f t a t . Đặt 1, 4;4 h t f t a t , ta có: h t f t . 0 0 h t f t ⇔ = −4 ∈ [ −4; 4] = −2 ∈ [ −4; 4] = 2 ∈ [ −4; 4] . Ta có: 4 0,8 1 0,2 h a a ; 4 6 1 5 h a a ; 2 1 ,6 1 0,6 h a a ; 2 4 1 5 h a a . 4;4 Max Max y h t Max 5 ; 5 a a . Yêu cầu bài toán 5 20 5 20 a a ⇔ −20 ≤ + 5 ≤ 20 −20 ≤ − 5 ≤ 20 25 15 15 25 a a 15 15 a . Vậy có tất cả 31 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán. Phương án A: Thiếu dấu “=“ khi lấy điều kiện: 5 20 5 20 a a 15 15 a . Phương án B: Không giải 0 h t mà chỉ lấy 4 t thay vào. Max y Max 4 ; 4 h h Max 5 ; 0,2 a a . Yêu cầu bài toán 5 20 0,2 20 a a 20 5 20 20 0, 2 20 a a 25 15 19,8 20, 2 a a 19,8 15 a . Phương án D: Khi thay vào thấy trong 4 giá trị 4 , 4 , 2 , 2 h h h h thì 4 5 h a lớn nhất nên chỉ lấy giá trị đó. Max y 4 h 5 a . Yêu cầu bài toán 5 20 a 20 5 20 a 25 15 a . Câu 124: Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên trên đoạn [ −4; 4] như sau ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 89 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Có bao nhiêu giá trị của tham số ∈ [ −4; 4] để giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = (| | + 3| |) + ( ) trên đoạn [ −1; 1] bằng ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn C Xét hàm số = ( ) trên đoạn [ −4; 4]. Ta có ∈ [ −4; 4] ⇒ − ∈ [ −4; 4] ( − ) = ( ) ⇒ = ( ) là hàm số chẵn trên [ −4; 4]. Do đó: [ ; ] ( ) = [ ; ] ( ) = . Xét ∈ [0; 1] khi đó: ( ) = ( + 3 ) + ( ) Đặt = + 3 , = 3 + 3 > 0, ∀ ∈ [0; 1]. Suy ra (0) ≤ ≤ (1) ⇔ 0 ≤ ≤ 4. Hàm số trở thành ℎ( ) = ( ) + ( ) với ∈ [0; 4]. [ ; ] ( ) = [ ; ] ℎ( ) = (0) + ( ) = 3 + ( ) Mà [ ; ] ( ) = ⇒ 3 + ( ) = ⇔ ( ) = . Từ bảng biến thiên của hàm số = ( ) suy ra có 4 giá trị của . Câu 125: Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ Đặt ( ) = | ( )| − 1 − 2| | + √ √ √ . Với giá trị nào của thì giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) là 0? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 90 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. − . B. 0. C. . D. Không tồn tại. Lời giải Chọn A Với ∈ − ; điều kiện xác định của ( ) là: 1 − 2| | ≥ 0 ⇔ − ≤ ≤ . Trên tập = − ; hàm số ( ) có đồ thị Do đó đồ thị hàm số = | ( )| có dạng: Ta có 0 ≤ | ( )| ≤ 1, ∀ ∈ − ; và 0 ≤ 1 − 2| | ≤ 1 ⇒ −1 ≤ − 1 − 2| | ≤ 0 ⇒ −1 ≤ | ( )| − 1 − 2| | ≤ 1. Do đó ( ) ; = −1 + √ √ √ vị trí = 0. Theo yêu cầu bài toán ( ) ; = 0 ⇔ √ √ √ = 1. Đặt = √ √ √ , ∈ − ; . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 91 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có = √ √ + √ > 0, ∀ ∈ − ; ⇒ đồng biến trên − ; ⇒ − ≤ ≤ . Khi đó ( ) = 1 ⇔ = − ⇔ √ √ √ = − ⇔ = − . Vậy = − thỏa mãn yêu cầu bài toán.