Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Dương Minh Hùng

Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 1 §➊. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Chương 1: Tóm tắt lý thuyết Ⓐ . Hàm số sin: ➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin: R  R x sinx được gọi là hàm số sin, Kí hiệu y = sinx ➋. Tính chất:  Tập xác định .  Tập giá trị: ,có nghĩa là .  Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , .  là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1). Hình 1. . Một số giá trị đặc biệt:    ①. Hàm số sin Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 2 . Hàm số côsin: ➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx cos: R  R x cosx được gọi là hàm số cos, Kí hiệu y = cosx ➋. Tính chất:  Tập xác định .  Tập giá trị: ,có nghĩa là .  Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , .  là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2). Hình 2. Ta có nên đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo vectơ .Một số giá trị đặc biệt:   . ②. Hàm số cos Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 3 . Hàm số tan: ➊. Định nghĩa: Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức: y = (cosx  0) Kí hiệu là y = tanx. ➋. Tính chất:  Tập xác định:  Tâp giá trị là R.  Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng .  là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng làm đường tiệm cận. (Hình 3) Hình 3. . Một số giá trị đặc biệt :   .  . ③. Hàm số tan Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 4 . Hàm số tan: ➊. Định nghĩa: Hàm số cot là hàm số được xác định bởi công thức: y = (sinx  0) Kí hiệu là y = cotx. ➋. Tính chất:  Tập xác định: .  Tập giá trị: .  Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .  Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng .  là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng làm đường tiệm cận (Hình 4). Hình 4 . Một số giá trị đặc biệt :  .  .  . ④. Hàm số cot Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 5 . Bài tập minh họa: Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số tan( ) 6 y x    Lời giải  Điều kiện: 2 cos( ) 0 6 6 2 3 x x k x k                 TXĐ: 2 \ , 3 D k k              . Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số 2 2 cot ( 3 ) 3 y x    Lời giải  Điều kiện: 2 2 2 sin( 3 ) 0 3 3 3 9 3 x x k x k               TXĐ: 2 \ , 9 3 D k k              . Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số tan 2 cot(3 ) sin 1 6 x y x x      Lời giải  Điều kiện: sin 1 2 2 sin(3 ) 0 6 18 3 x x k k x x                              Vậy TXĐ: \ 2 , ; 2 18 3 k D k k                   Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số tan 5 sin 4 cos3 x y x x   Lời giải Phân dạng bài tập Ⓑ .Ghi nhớ  xác định  xác định .  xác định xác định.  xác định xác định.  xác định xác định và .  xác định xác định và . ➊.Dạng 1 Tìm tập xác định Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 6  Ta có: sin 4 cos3 sin 4 sin 3 2 x x x x            7 2cos sin 2 4 2 4 x x                   Điều kiện: cos5 0 10 5 cos 0 2 2 4 2 2 7 sin 0 14 7 2 4 x k x x x k k x x                                                     Vậy TXĐ: 2 \ ; 2 , 10 5 2 14 7 k k D k                   . . Bài tập minh họa: Câu 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: 2 cos 1 y x   . Lời giải  Ta biến đổi: 2 1 cos 2 1 1 cos 1 1 cos 2 . 2 2 2 x y x x         Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 2      . Câu 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: 2 2 sin .cos 5 5 y x x              . Lời giải .Ghi nhớ  Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Nếu hàm số chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là thì hàm số có chu kì là bội chung nhỏ nhất của .  Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì hàm số (c là hằng số) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T. ➋.Dạng 2 Tuần hoàn, chu kỳ Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 7  Ta biến đổi: 2 2 1 4 sin .cos sin 5 5 2 5 y x x x                     .  Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 5 4 2 5            . Câu 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau:   cos cos 3. y x x   Lời giải  Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn  có số thực dương  thỏa :          cos cos 3 cos cos 3 f x f x x x x x             cos 1 2 0 cos cos 3 2 3 cos 3 1 3 2 n m x n m                               vô lí, do , m m n n    là số hữu tỉ.  Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. Câu 4: Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó: 1 sin y x  . Lời giải  Tập xác định:   D \ , k k      .  Ta xét đẳng thức         1 1 sin sin . sin sin f x f x x x x x             Chọn 2 x   thì sin 1 x  và do đó sin 1 2 , . 2 2 2 k k                      Số dương nhỏ nhất trong các số T là 2  .  Rõ ràng D, 2 D, 2 D x x k x k         và       1 1 2 sin 2 sin f x k f x x k x         Vậy f là hàm số tần hoàn với chu kì 2    . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 8 . Bài tập minh họa: Câu 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số { .   9 sin 2 2 y f x x           |.   tan cot y f x x x    Lời giải { . Tập xác định D   , là một tập đối xứng. Do đó x D   thì x D   .  Ta có   9 sin 2 sin 2 4 sin 2 cos 2 2 2 2 f x x x x x                               .  Có       cos 2 cos 2 f x x x f x      .  Vậy hàm số   f x là hàm số chẵn. | . Hàm số có nghĩa cos 0 2 sin 0 x x k x x l                   (với , k l   ).  Tập xác định \ , , 2 D k l k l               , là một tập đối xứng. Do đó x D   thì x D    Ta có           tan cot tan cot tan cot f x x x x x x x f x              .  Vậy hàm số   f x là hàm số lẻ. Câu 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 7 tan 2 .sin 5 y x x  Lời giải  Hàm số có nghĩa khi cos 2 0 x  2 2 x k      , 4 2 k x k        . .Ghi nhớ  cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx  sin 2 (-x) = = (-sinx) 2 = sin 2 x . Tìm chu kỳ của hàm số  Bước 1 : Tìm TXĐ của hàm số  Bước 2 : Chứng minh là tập đối xứng, nghĩa là  Bước 3 : Tính f(-x) , so sánh với f(x) . Có 3 khả năng: . Chú ý: Hàm y=sinx, y=tanx, y=cotx là hàm số lẻ. y=cosxlà hàm chẵn ➌.Dạng 3 Tính chẵn, lẻ Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 9  Tập xác định \ , 4 2 k D k              , là một tập đối xứng. Do đó x D   thì x D   .  Ta có     7 7 tan ( 2 ).sin( 5 ) tan 2 .sin 5 f x x x x x f x       .  Vậy hàm số   f x là hàm số chẵn. . Bài tập minh họa: Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. 4 s i n c o s 1 y x x   2. 2 4 3 s i n 2 y x   Giải 1. Ta có 2 s i n 2 1 y x   . Do 1 s i n 2 1 2 2 s i n 2 2 1 2 s i n 2 1 3 x x x             1 3 y     . * 1 s i n 2 1 2 2 2 4 y x x k x k                 . * 3 s i n 2 1 4 y x x k         . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1  . 2. Ta có: 2 2 0 s i n 1 1 4 3 s i n 4 x x       * 2 1 s i n 1 c o s 0 2 y x x x k           . * 2 4 s i n 0 y x x k       . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau   1 s i n s i n y x x trong khoảng 0 x    .Ghi nhớ  ; 0 sin 2 x 1 ; A 2 + B B   Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn thì  Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn thì  ➍.Dạng 4 GTLN-GTNN Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 10 Giải Vì 0 x    nên 0 sin 1 x   ,do đó 1 sin sin x x  Vậy hàm số đạt giá trị , lớn nhất là 0 tại sin 1 2 x x     . Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số 1 2 sin 2 x y x   . { .   \ , D k k      . | . \ 2 , 2 , 2 D k k k               . } . \ , 2 D k k              . ~ . \ , 2 D k k            . Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số 3 cos 1 y x   { . \ 2 , 2 D k k              . | .   \ 2 , D k k      . } .   \ 2 , D k k        . ~ .   \ , D k k        . Câu 3: Tập xác định của hàm số sin 1 y x   là { .  . |.   | k k    . } . 2 | 2 k k            . ~. | 2 k k            . Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số 1 1 sin y x   . { .   \ 2 , D k k      . | .   \ 2 , D k k        . } . \ 2 , 2 D k k              . ~ . \ 2 , 2 D k k               . Câu 5: Tập xác định D của hàm số tan 3 y x  là { . \ , 3 k D k            . | . \ , 6 3 k D k              . } .   \ , D k k      . ~ . \ , 2 D k k              . Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số tan sin 1 x y x   . { . .  | . \ 2 , 2 k k             . } . \ , 2 k k             . ~ .   \ , k k     . Câu 7: Tập xác định của hàm số tan 2 6 y x          là { . \ , 2 k k             . | . \ , 6 2 k k              . Bài tập trắc nghiệm Ⓒ Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 11 } . \ , 6 k k             . ~. \ , 6 2 k k             . Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số 1 cos cot y x x    . { .   \ , k k     . |.   ;1   . } . \ , 2 k k             .` ~.     1;1 \ 0  . Câu 9: Hàm số sin 1 3 sin x y x    có tập xác định là { . \ 2 | 2 k k             |.  . } .  . ~. 2 | 2 k k            . Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số 1 cos 1 sin x y x    . { .   \ | k k     . |. \ 2 | 2 k k             . } .  . ~.   \ 2 | k k     . Câu 11: Tập xác định của hàm số cot cos 1 x y x   là { . \ , 2 k k           . |. \ , 2 k k             . } .   \ , k k     . ~.   \ 2 , k k     . Câu 12: Tập xác định của hàm số   1 1 cos f x x   là { .   \ 2 1 2 k k            . |.     \ 2 1 k k      . } .   \ k k     . ~.   \ 2 k k     . Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin 2 y x          { .   \ (2 1) , D R k k      |. \ , 2 k D R k           } . \ (2 1) , 2 D R k k            ~.   \ , D R k k     Câu 14: Hàm số tan 2 1 tan x y x   có tập xác định là { .  . |. \ | 4 2 k k             . } . \ | 2 k k             . ~. \ , | 4 2 2 k k k                . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 12 Câu 15: Tập xác định của hàm số 3 cot 2 cos 1 x y x    là: { .   \ . k k     |.   \ 2 . k k     } .   \ 2 . k k       ~. \ 2 . 2 k k             Câu 16: Cho các hàm số   1 sin3 y x  .   2 tan 3 2 cos 2 x y x    .   2 2cos 1 3 sin 1 x y x    .   4 1 sin y x   .   2cos 3 5 sin 1 x y x    . Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là  { . 4 . | . 1. } . 3 . ~. 2 Câu 17: Tập xác định của hàm số cos 2 1 sin x y x    là { .   \ | k k     . |. \ | 2 k k              . } .   \ 2 | k k     . ~. \ 2 | 2 k k              . Câu 18: Tập xác định của hàm số 1 sinx 1 y   là { . \ 2 , 2 k k             . |. \ 2 , 2 k k              . } . \ , 2 k k              . ~.  . Câu 19: Tập xác định của hàm số inx 1 i s nx s 2 y    là { .   2;    | .   2;   } .   \ 2  . ~.  . Câu 20: Hàm số 2sin 1 1 cos x y x    xác định khi { . 2 2 x k     . | . x k   . } . 2 x k   . ~. 2 x k     Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? { . Các hàm số sin , cos , cot    y x y x y x đều là hàm số chẵn. | . Các hàm số sin , cot , tan    y x y x y x đều là hàm số lẻ. } . Các hàm số sin , cot , tan    y x y x y x đều là hàm số chẵn. ~ . Các hàm số sin , cos , cot    y x y x y x đều là hàm số lẻ. Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? { . . | . . } . . ~. . Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? { . tan y x  . | . cos y x  . } . sin y x  . ~. cot y x  . Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? { . cos y x  . | . tan y x  . } . sin y x  . ~. cot y x  . cot 4 y x  tan 6 y x  sin 2 y x  cos y x  Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 13 Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? { . 1 sin y x   . | . .tan y x x  . } . 5 sin y x  . ~. 2 cos .sin y x x  . Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? { . 2sin y x   . | . 2sin 2 y x  . } . sin cos y x x   . ~. 2cos y x   Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ? { . sin 2 y x          . | . tan y x  . } . sin y x  . ~. sin 6 y x          . Câu 28: Cho hàm số 1 cos y x  . Phát biểu nào sau đây đúng? { . Hàm số có tập xác định là   \ 0  . | . Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. } . Hàm số đó là hàm số lẻ trên \ , 2 D k k              . ~ . Hàm số đó là hàm số lẻ trên  . Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? { . 2 cos y x x  . | . sin 2 y x  . } . 2 sin y x  . ~. cos 2 y x  . Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ? { . sin tan 4 4 y x x                   . |. 1 tan sin y x x   . } . 4 4 sin cos y x x   . ~. cos y x  . Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. { . cot y x  . | . sin y x  . } . tan y x  . ~. cos y x  . Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn? { . cos 3 y x          . | . sin y x  . } . 1 sin y x   . ~. sin cos y x x   . Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? { . tan y x  . | . sin y x  . } . cos y x  . ~. cot y x  . Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   ? { . sin y x  . | . 2sin y x  . } . sin 2 y x  . ~. 2 sin y x   . Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì 2 T   ? { . tan 3 x y  . | . tan 2 x y  . } . tan 3 y x  . ~. tan 2 y x  . Câu 36: Chọn khẳng định sai? { . Hàm số tan sin y x x   là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .  | . Hàm số os c y x  là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .  } . Hàm số cot tan y x x   là hàm số tuần hoàn với chu kì .  ~ . Hàm số sin y x  là hàm số tuần hoàn với chu kì .  Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số cot 3 6 y x          là { .  . | . 2 3  . } . 3  . ~. 2  . Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng? Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 14 { . Hàm số sin y x  tuần hoàn với chu kì  . | . Hàm số tan y x  tuần hoàn với chu kì 2  . } . Hàm số cos y x  tuần hoàn với chu kì 2  . ~ . Hàm số cot y x  tuần hoàn với chu kì  . Câu 39: Trong bốn hàm số:         1 cos2 ; 2 sin ; 3 tan 2 ; 4 cot 4 y x y x y x y x     có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ? { . 3. | . 2 . } . 0 . ~. 1. Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? { . cos y x  tuần hoàn với chu kỳ  . |. cos y x  là hàm nghịch biến trên   0;  . } . cos y x  là hàm chẵn. ~. cos y x  có tập xác định  . Câu 41: Hàm số 2 2 1 1 1 tan 1 cot 2 y x x     có chu kì là: { . 2 T   . | . 2 T   . } . T   . ~. 4 T   . Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số cot y x  là { .  . | . 2  . } . k  , ( k   ). ~. 2 k  , ( k   ). Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số tan y x  là { . 2  | .  } . 2  ~. 3  Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số cos y x  { . 2 T   . | . T   . } . 2 T  . ~. 2 T   . Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3cos 2 5 y x   lần lượt là { . –8 và –2 . | . 2 và8 . } . –5 và 3 . ~. –5 và 2 . Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 7 2sin 4 y x           lần lượt là { . 4 và 7 . | . 5 và 9 . } . 2  và 7 . ~. 2  và 2 . Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số 2 cos 3 1 y x   . { .   3;1  . | .   3; 1   . } .   1;3  . ~.   1;3 . Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3cos 4 y x   là { . 7 . | . 5 . } . 8 . ~. 6 . Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3sin 4 y x          là: { . 0. | . -3. } . 3. ~. -1. Câu 50: Hàm số sin y x  có tập giá trị là: { .  . | .   1;1  . } .   ;    . ~.   0;  Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số 2sin 1 y x   là { . 1  . | . 1. } . 1 2  . ~. 3 . Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4 sin 3 1 y x    lần lượt là Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 15 { . 2 và 2 . |. 4 2 và 8 . } . 2 và 4 . ~. 4 2 1  và 7 . Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 cos y x   là { . 2 và 1  . |. 2 và 0 . } . 2 và 1. ~. 3 và 1. Câu 54: Cho hàm số trên đoạn có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị để hàm số nhận giá trị âm. { . . |. . } . . ~. . Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 3 2cos y x   lần lượt là { . max min 5, 1 y y   . |. max min 1, 1 y y    . } . max min 3, 1 y y   . ~. max min 5, 1 y y    . Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 cos sin y x x   . { . 11 2 M  . |. 5 M  . } . 3 M  . ~. 6 M  . Câu 57: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 2 1 y x   trên đoạn 3 ; 6 8          . khi đó . M m bằng { . 1  . |. 2 2 2.  } . 2 2.  ~. 2 2 2.  Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4 sin 3 1 y x    lần lượt là { . 4 2 1  và 7 . |. 4 2 và 8 . } . 2 và 4 . ~. 2 và 2 . Câu 59: Tập giá trị hàm số 5sin s co 12 y x x   là { .   12;5  . |.   13;13  . } .   17;17  . ~.   13;13  . Câu 60: Hàm số 3 4 11cos y x   có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương? { . 15. . |. 14 . } . 13 . ~. 23. Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số 5sin 2 12cos 2 y x x   là { . 10 . |. 12. } . 17 . ~. 13. Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? { . cot y x  . |. sin 2 y x  . } . sin y x  . ~. cos 2 y x  . Câu 63: Cho đồ thị với   ; x     . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào? sin y x  3 5 ; 2 2          x     ;0 ; ;2       0;    ;2   3 ;2 2         x y 2  - 5  2 - 3  2 -  2 5  2 3  2  2 - 3  - 2  -  3  2   O 1 Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 16 { . cos y x  . | . cos y x   . } . sin y x  . ~. cos y x  . Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số sin y x  , hãy tìm số nghiệm của phương trình: 1 sin 2018 x  trên đoạn 5 5 ; 2 2          . { . 4 . | . 6 . } . 10 . ~. 5. Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây? { . 2 cos 3 x y  . | . 2 sin 3  x y . } . 3 cos 2 x y  ~. 3 sin 2  x y . Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số đó là hàm số nào? { . 3 sin . 2 x y  | . 2 sin . 3 x y  } . 3 cos . 2 x y  ~. 2 cos . 3 x y  Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. { . Hàm số cos y x  tuần hoàn với chu kì 2  . | . Hàm số sin y x  nghịch biến trên khoảng ; 2         . } . Hàm số cot y x  đồng biến trên khoảng ; 2         . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 17 ~ . Hàm số tan y x  tuần hoàn với chu kì  . Câu 68: Hàm số tan y x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? { .   0;  . | . 3 ; 2 2           . } . 3 ; 2 2          . ~.   2 ;     . Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? { . Hàm số y cot x  đồng biến trên khoảng   0;  . | . Hàm số y sin x  đồng biến trên khoảng 3 5 ; 2 2         . } . Hàm số y sin x  nghịch biến trên khoảng   ;2   . ~ . Hàm số y cos x  đồng biến trên khoảng ; 2 2          . Câu 70: Cho hàm số sin y x  . Khẳng định nào dưới đây sai? { . Hàm số đã cho là hàm lẻ. |. Hàm số đã cho có tập giá trị là   1;1  . } . Hàm số đã cho đồng biến trên   0;2  . ~. Hàm số đã cho có tập xác định  . Câu 71: Cho ba hàm số sin ; cos ; tan y x y x y x    . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên 3 0; 2        ? { . 1. | . 3. } . 0 . ~. 2 . Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số 1 2 sin 2 x y x   . { .   \ , D k k      . |. \ 2 , 2 , 2 D k k k               . } . \ , 2 D k k              . ~. \ , 2 D k k            . Lời giải Hàm số xác định sin 2 0 . 2 x x k      Vậy \ , 2 D k k            . Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số 3 cos 1 y x   { . \ 2 , 2 D k k              . |.   \ 2 , D k k      . } .   \ 2 , D k k        . ~.   \ , D k k        . Lời giải Điều kiện cos 1 0 cos 1 2 , x x x k k             Suy ra tập xác định   \ 2 , D k k        . Câu 3: Tập xác định của hàm số sin 1 y x   là { .  . | .   | k k    . } . 2 | 2 k k            . ~. | 2 k k            . Lời giải Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 18 Điều kiện: sin 1 0 sin 1 sin 1 x x x       2 , 2 x k k        . Tập xác định 2 | 2 D k k             Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số 1 1 sin y x   . { .   \ 2 , D k k      . |.   \ 2 , D k k        . } . \ 2 , 2 D k k              . ~. \ 2 , 2 D k k               . Lời giải 1 1 sin y x   xác định khi 1 sin 0. x   Có 1 sin 1 x    , x    1 sin 0 x    x    . Do đó 1 sin 0 x   1 sin 0 x    sin 1 x   2 2 x k      , k   . Vậy \ 2 , 2 D k k              . Câu 5: Tập xác định D của hàm số tan 3 y x  là { . \ , 3 k D k            . |. \ , 6 3 k D k              . } .   \ , D k k      . ~. \ , 2 D k k              . Lời giải Điều kiện: cos3 0 3 2 6 3 k x x k x              k   . Tập xác định: \ , . 6 3 k D k              Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số tan sin 1 x y x   . { . .  | . \ 2 , 2 k k             . } . \ , 2 k k             . ~ .   \ , k k     . Lời giải Hàm số xác định cos 0 sin 1 x x         2 2 2 x k k x k                   Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 19 Vậy tập xác định của hàm số là: \ , 2 D k k              . Câu 7: Tập xác định của hàm số tan 2 6 y x          là { . \ , 2 k k             . | . \ , 6 2 k k              . } . \ , 6 k k             . ~ . \ , 6 2 k k             . Lời giải Điều kiện: cos 2 0 2 , 6 6 2 6 2 k x x k x k                        . Do đó tập xác định \ , 6 2 k D k              . Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số 1 cos cot y x x    . { .   \ , k k     . | .   ;1   . } . \ , 2 k k             . ~ .     1;1 \ 0  . Lời giải Hàm số xác định 1 cos 0 cos 1 , sin 0 x x x k k x x k                    . Tập xác định của hàm số   \ , D k k      . Câu 9: Hàm số sin 1 3 sin x y x    có tập xác định là { . \ 2 | 2 k k             | .  . } .  . ~ . 2 | 2 k k            . Lời giải +) Ta có: sin 1 0, x x      và 3 sin 2 x   > 0, x    +) Nên hàm số xác định khi và chỉ khi sin 1 0 2 , 2 x x k k          . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 20 Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số 1 cos 1 sin x y x    . { .   \ | k k     . | . \ 2 | 2 k k             . } .  . ~ .   \ 2 | k k     . Lời giải Hàm số xác định 1 cos 0 1 sin 1 sin 0 x x x              sin 1 2 2 x x k k          . Vậy tập xác định của hàm số là: \ 2 | 2 k k             . Câu 11: Tập xác định của hàm số cot cos 1 x y x   là { . \ , 2 k k           . |. \ , 2 k k             . } .   \ , k k     . ~.   \ 2 , k k     . Lời giải Điều kiện xác định của hàm số là sin 0 cos 1 x x        , 2 x k k l x l           , x k k      . Vậy, tập xác định của hàm số cot cos 1 x y x   là   \ , k k     . Câu 12: Tập xác định của hàm số   1 1 cos f x x   là { .   \ 2 1 2 k k            . |.     \ 2 1 k k      . } .   \ k k     . ~.   \ 2 k k     . Lời giải Điều kiện: 1 cos 0 cos 1 2 , x x x k k          . Vậy tập xác định của hàm số là:   \ 2 D k k      . Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin 2 y x          { .   \ (2 1) , D R k k      |. \ , 2 k D R k           } . \ (2 1) , 2 D R k k            ~.   \ , D R k k     Lời giải Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 21 Hàm số 1 sin 2 y x          xác định khi sin 0 (1 2 ) , . 2 2 2 2 x x k x k x k k                          Câu 14: Hàm số tan 2 1 tan x y x   có tập xác định là { .  . |. \ | 4 2 k k             . } . \ | 2 k k             . ~. \ , | 4 2 2 k k k                . Lời giải Hàm số xác định 4 2 cos 2 0 4 2 cos 0 2 tan 1 2 4 x k x x k x x k x k x x k                                                . Câu 15: Tập xác định của hàm số 3 cot 2 cos 1 x y x    là: { .   \ . k k     |.   \ 2 . k k     } .   \ 2 . k k       ~. \ 2 . 2 k k             Lời giải Điều kiện: 2 sin 0 2 2 2 cos 1 2 x x x k k x k x k x x k                                  , k   . Vậy   \ . D k k      Câu 16: Cho các hàm số   1 sin3 y x  .   2 tan 3 2 cos 2 x y x    .   2 2cos 1 3 sin 1 x y x    .   4 1 sin y x   .   2cos 3 5 sin 1 x y x    . Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là  { . 4 . | . 1. } . 3 . ~. 2 Lời giải   1 sin3 y x  có D   .   2 tan 3 2 cos 2 x y x    có điều kiện là 2 cos 0 2 cos 2 0 x x k x            ,   k   . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 22   2 2cos 1 3 sin 1 x y x    có D   .   4 1 sin y x   có điều kiện là sin 1 x  luôn đúng x    .   2cos 3 5 sin 1 x y x    có điều kiện là 2cos 3 0 2 sin 1 2 sin 1 0 x x k x x                 ,   k   . Vậy các hàm số       1 , 3 , 4 có tập xác định là  . Câu 17: Tập xác định của hàm số cos 2 1 sin x y x    là { .   \ | k k     . |. \ | 2 k k              . } .   \ 2 | k k     . ~. \ 2 | 2 k k              . Lời giải Điều kiện: 1 sin 0 sin 1 2 2 x x x k              k   . Vậy tập xác định của hàm số là \ 2 | 2 D k k               . Câu 18: Tập xác định của hàm số 1 sinx 1 y   là { . \ 2 , 2 k k             . |. \ 2 , 2 k k              . } . \ , 2 k k              . ~.  . Lời giải Hàm số 1 sinx 1 y   xác định khi: sinx 1 0 sinx 1 0 2 2 x k            TXĐ: \ 2 , 2 D k k               . Câu 19: Tập xác định của hàm số inx 1 i s nx s 2 y    là { .   2;    | .   2;   } .   \ 2  . ~.  . Lời giải Ta có i 1 . s nx 1, x       Do đó inx 2 0, s x      . Vậy tập xác định D   Câu 20: Hàm số 2sin 1 1 cos x y x    xác định khi { . 2 2 x k     . | . x k   . } . 2 x k   . ~. 2 x k     Lời giải Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 cos 0 x   cos 1 x   2 x k    với k   . Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 23 { . Các hàm số sin , cos , cot    y x y x y x đều là hàm số chẵn. | . Các hàm số sin , cot , tan    y x y x y x đều là hàm số lẻ. } . Các hàm số sin , cot , tan    y x y x y x đều là hàm số chẵn. ~ . Các hàm số sin , cos , cot    y x y x y x đều là hàm số lẻ. Lời giải Các hàm số sin , cot , tan    y x y x y x đều là hàm số lẻ. Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? { . . | . . } . . ~. . Lời giải Hàm số có tập xác định . Ta có . Và . Vậy hàm số là hàm số chẵn. Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? { . tan y x  . | . cos y x  . } . sin y x  . ~. cot y x  . Lời giải Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Nên hàm số cos y x  có đồ thị đối xứng qua trục tung. Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? { . cos y x  . | . tan y x  . } . sin y x  . ~. cot y x  . Lời giải Hàm số cos y x  có tập xác định là  và   cos cos x x x      cos y x   là hàm số chẵn. Hàm số sin y x  , tan y x  , cot y x  là hàm số lẻ. Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? { . 1 sin y x   . | . .tan y x x  . } . 5 sin y x  . ~. 2 cos .sin y x x  . Lời giải Xét hàm số   5 sin y f x x   có tập xác định D   . Ta có       5 5 sin sin x x f x x x f x                    Vậy hàm số 5 sin y x  là hàm số lẻ. Xét hàm số   1 sin y f x x    có tập xác định D   . Ta có     1 sin 1 sin x x f x x x                   ,         f x f x f x f x           . Vậy hàm số 1 sin y x   là hàm số không chẵn, không lẻ. cot 4 y x  tan 6 y x  sin 2 y x  cos y x  cos y x  D   x D x D            cos cos y x x x y x      cos y x  Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 24 Xét hàm số   .tan y f x x x   có tập xác định \ , 2 D k k              . Ta có         .tan .tan x D x D f x x x x x f x                 . Vậy hàm số .tan y x x  là hàm số chẵn. Xét hàm số   2 cos .sin y f x x x   có tập xác định D   . Ta có         2 2 cos sin cos sin x x f x x x x x f x                   Vậy hàm số 2 cos .sin y x x  là hàm số chẵn. Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? { . 2sin y x   . | . 2sin 2 y x  . } . sin cos y x x   . ~. 2cos y x   Lời giải Nhận xét, cả 4 đáp án đều có tập xác định là D   là tập đối xứng. Đáp án { .   2sin f x x   ,     2sin 2sin f x x x          f x f x     . Vậy 2sin y x   là hàm số lẻ. - Đáp án | .   2sin 2 f x x  ,     2sin 2 2sin 2 f x x x          f x f x     . Vậy 2sin 2 y x  là hàm số lẻ. - Đáp án } .   sin cos f x x x   ,       sin cos sin cos f x x x x x             f x f x    . Vậy sin cos y x x   là hàm số không chẵn không lẻ. - Đáp án ~ .   2cos f x x   ,       2cos 2cos f x x x           f x f x    . Vậy 2cos y x   là hàm số chẵn. Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ? { . sin 2 y x          . | . tan y x  . } . sin y x  . ~. sin 6 y x          . Lời giải sin cos 2 y x x           là hàm số chẵn trên  . Câu 28: Cho hàm số 1 cos y x  . Phát biểu nào sau đây đúng? { . Hàm số có tập xác định là   \ 0  . | . Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. } . Hàm số đó là hàm số lẻ trên \ , 2 D k k              . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 25 ~ . Hàm số đó là hàm số lẻ trên  . Lời giải Hàm số 1 cos y x  là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận tung làm trục đối xứng. Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? { . 2 cos y x x  . | . sin 2 y x  . } . 2 sin y x  . ~. cos 2 y x  . Lời giải Hàm số sin 2 y x  là hàm số lẻ vì: Hàm số có tập xác định là  nên x x        và       sin 2 sin 2 y x x x y x        . Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ? { . sin tan 4 4 y x x                   . |. 1 tan sin y x x   . } . 4 4 sin cos y x x   . ~ . cos y x  . Lời giải Ta có Xét hàm số , tập xác định Rõ ràng không là tập đối xứng, chẳng hạn nhưng . Nên hàm này không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. { . cot y x  . | . sin y x  . } . tan y x  . ~. cos y x  . Lời giải Hàm số cos y x  là hàm số chẵn. Hàm số tan ; cot ; sin y x y x y x    là hàm số lẻ. Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn? { . cos 3 y x          . | . sin y x  . } . 1 sin y x   . ~. sin cos y x x   . Lời giải TXĐ: !  x  !   x  ! Và y(  x)  sin  x    sin x  sin x  y x   Vậy hàm số trên là hàm số chẵn Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? { . tan y x  . | . sin y x  . } . cos y x  . ~. cot y x  . Lời giải Hàm số tan , sin , cot y x y x y x    là các hàm số lẻ. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 26 Hàm số cos y x  là hàm số chẵn Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   ? { . sin y x  . | . 2sin y x  . } . sin 2 y x  . ~. 2 sin y x   . Lời giải Xét hàm số sin 2 y x  ta có:         sin 2 sin 2 2 sin 2 , y x x x x y x x                  Do đó hàm số sin 2 y x  tuần hoàn với chu kỳ T   . Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì 2 T   ? { . tan 3 x y  . | . tan 2 x y  . } . tan 3 y x  . ~. tan 2 y x  . Lời giải Ta có: Hàm số tan 2 y x  có tập xác định là \ 4 2 D k            . a) x D   ta có 2 x D    b)   tan 2 tan 2 tan 2 2 2 y x x x x                      . Giả sử có số 0 2 T    thỏa mãn cả hai tính chất a) và b) sao cho:     y x T y x   Với 0 x  ta có tan 2 tan 0 2 T T k       0 2 T    1 1 0 1 0 2 2 2 2 k k k T                trái với điều giả sử. Suy ra 2 T   là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cả hai tính chất a) và b). Vậy hàm số tan 2 y x  tuần hoàn với chu kì 2 T   . Câu 36: Chọn khẳng định sai? { . Hàm số tan sin y x x   là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .  | . Hàm số os c y x  là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .  } . Hàm số cot tan y x x   là hàm số tuần hoàn với chu kì .  ~ . Hàm số sin y x  là hàm số tuần hoàn với chu kì .  Lời giải Hàm số sin y x  và cos y x  tuần hoàn với chu kì 2 .  Hàm số tan y x  và cot y x  tuần hoàn với chu kì .  Nên khẳng định sai là . D Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số cot 3 6 y x          là Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 27 { .  . | . 2 3  . } . 3  . ~. 2  . Lời giải Hàm số cot 3 6 y x          có chu kỳ tuần hoàn là 3  . Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng? { . Hàm số sin y x  tuần hoàn với chu kì  . | . Hàm số tan y x  tuần hoàn với chu kì 2  . } . Hàm số cos y x  tuần hoàn với chu kì 2  . ~ . Hàm số cot y x  tuần hoàn với chu kì  . Lời giải Hàm số sin y x  và cos y x  tuần hoàn với chu kì 2  . Hàm số tan y x  và cot y x  tuần hoàn với chu kì  . Câu 39: Trong bốn hàm số:         1 cos2 ; 2 sin ; 3 tan 2 ; 4 cot 4 y x y x y x y x     có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ? { . 3 . | . 2 . } . 0 . ~. 1. Lời giải Hàm số cos 2 y x  tuần hoàn với chu kỳ  . Hàm số sin y x  tuần hoàn với chu kỳ 2  . Hàm số tan 2 y x  tuần hoàn với chu kỳ 2  . Hàm số cot 4 y x  tuần hoàn với chu kỳ 4  . Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? { . cos y x  tuần hoàn với chu kỳ  . |. cos y x  là hàm nghịch biến trên   0;  . } . cos y x  là hàm chẵn. ~. cos y x  có tập xác định  . Lời giải Vì hàm số cos y x  tuần hoàn với chu kỳ 2  . Câu 41: Hàm số 2 2 1 1 1 tan 1 cot 2 y x x     có chu kì là: { . 2 T   . | . 2 T   . } . T   . ~. 4 T   . Lời giải Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 cos 2 1 cos4 cos sin 2 1 tan 1 cot 2 2 2 x x y x x x x           1 1 cos4 cos2 1 2 2 x x     Do hàm số 1 cos 4 y x  có chu kì 1 2 4 2 T     , hàm số 2 cos 2 y x  có chu kì 2 2 2 T     Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 28 Vậy hàm số đã cho có chu kì T   Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số cot y x  là { .  . | . 2  . } . k  , ( k   ). ~. 2 k  , ( k   ). Lời giải Dựa vào sách giáo khoa, T   là chu kì tuần hoàn của hàm số cot y x  . Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số tan y x  là { . 2  | .  } . 2  ~. 3  Lời giải Theo tính chất của hàm số tan . y x  Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số cos y x  { . 2 T   . | . T   . } . 2 T  . ~. 2 T   . Lời giải Chọn. ~ Hàm số lượng giác: cos y x  có chu kỳ là 2  . Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3cos2 5 y x   lần lượt là { . –8 và –2 . | . 2 và8 . } . –5 và 3 . ~. –5 và 2 . Lời giải Ta có 1 cos2 1 8 3cos2 5 2 8 2 x x y               +/ 8 cos2 1 2 y x x k           +/ 2 cos2 1 y x x k        Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3cos2 5 y x   lần lượt là –8 và –2. Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 7 2sin 4 y x           lần lượt là { . 4 và 7 . | . 5 và 9 . } . 2  và 7 . ~. 2  và 2 . Lời giải Ta có: 1 sin 1 2 2sin 2 5 7 2sin 9 4 4 4 x x x                                     Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho lần lượt là 5 và 9 . Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số 2 cos 3 1 y x   . { .   3;1  . | .   3; 1   . } .   1;3  . ~.   1;3 . Lời giải Tập xác định : D   . Ta có: 1 cos 3 1 1 2 cos 3 1 3 x x         1 3 y     . Mà hàm số đã cho liên tục trên D   . Vậy tập giá trị của hàm số là   1;3  . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 29 Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3cos 4 y x   là { . 7 . | . 5 . } . 8 . ~. 6 . Lời giải Do 1 cos 1 x x       nên 1 3cos 4 7 x    , x    . Nên max 7 y   đạt được khi cos 1 2 x x k       k   . min 1 y   đạt được khi cos 1 2 x x k          k   . Suy ra max min 8 y y     . Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3sin 4 y x          là: { . 0. | . -3. } . 3. ~. -1. Lời giải Ta có: 1 sin 1 3 3sin 3 4 4 x x                        Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin 4 y x          là -3 Câu 50: Hàm số sin y x  có tập giá trị là: { .  . | .   1 ;1  . } .   ;    . ~.   0;  Lời giải Hàm số sin y x  có tập giá trị trong đoạn   1;1  Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số 2sin 1 y x   là { . 1  . | . 1. } . 1 2  . ~. 3 . Lời giải Vì sin 1 x  , x    nên 2sin 1 3 y x    , x    . 3 y  khi sin 1 x  2 2 x k      ,   k   . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số 2sin 1 y x   là 3 . Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4 sin 3 1 y x    lần lượt là { . 2 và 2 . | . 4 2 và 8 . } . 2 và 4 . ~. 4 2 1  và 7 . Lời giải Đặt sin x t  1 1 t     . Xét hàm số 4 3 1 y t    có   2 0 1;1 3 y t t        Do đó     1;1 max 1 7 y y    ;     1;1 min 1 4 2 1 y y      . Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 cos y x   là { . 2 và 1  . | . 2 và 0 . } . 2 và 1. ~. 3 và 1. Lời giải 2 2 ,0 cos 1 1 cos 0 1 2 x x x y              Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 30 Câu 54: Cho hàm số trên đoạn có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị để hàm số nhận giá trị âm. { . . |. . } . . ~. . Lời giải Trên các khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên hàm số nhận giá trị âm. Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 3 2cos y x   lần lượt là { . max min 5, 1 y y   . |. max min 1, 1 y y    . } . max min 3, 1 y y   . ~. max min 5, 1 y y    . Lời giải Ta có 2 2 2 0 cos 1 2 2cos 0 1 3 2cos 3 x x x            . Vậy max min 3, 1 y y   . Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 cos sin y x x   . { . 11 2 M  . |. 5 M  . } . 3 M  . ~. 6 M  . Lời giải Ta có:   2 1 2cos sin 5 cos sin 5 cos 5 5 y x x x x x              với góc   0;2    thỏa mãn 2 1 cos ;sin 5 5     . Do đó: 5 y  hay giá trị lớn nhất của hàm số là 5 M  khi     cos 1 2 , x x k k            . Câu 57: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 2 1 y x   trên đoạn 3 ; 6 8          . khi đó . M m bằng { . 1  . |. 2 2 2.  } . 2 2.  ~. 2 2 2.  Lời giải 3 3 ; 2 ; 6 8 3 4 x x                      2 1 2 cos 2 2 2 cos 2 1 1 2 2 2 x x           2 1; 2 . 2 2. 2 M m M m         sin y x  3 5 ; 2 2          x     ;0 ; ;2       0;    ;2   3 ;2 2             ;0 ; ;2     Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 31 Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4 sin 3 1 y x    lần lượt là { . 4 2 1  và 7 . | . 4 2 và 8 . } . 2 và 4 . ~. 2 và 2 . Lời giải   4 sin 3 y f x x    . Có 1 sin 1 x    2 sin 3 4 x     2 sin 3 2 x     4 2 1 4 sin 3 1 7 x       . Có 4 sin 3 1 4 2 1 2 2 x x k           ; 4 sin 3 1 7 2 2 x x k         . Vậy   min 4 2 1 x f x     ,   max 7 x f x    . Câu 59: Tập giá trị hàm số 5sin s co 12 y x x   là { .   12;5  . | .   13;13  . } .   17;17  . ~.   13;13  . Lời giải Ta có: 5sin 12 c 5sin 12 c 13. 1 s o 3 o s x x y x x               os 13. sin sin c o c os 13c s x x x          với 5 12 sin , cos 13 13        Lại có:     1 c 1 13 os os 13c 13 x x             Vậy tập giá trị hàm số 5sin s co 12 y x x   là   13;13  Câu 60: Hàm số 3 4 11cos y x   có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương? { . 15. . | . 14 . } . 13. ~. 23. Lời giải Ta có: 3 3 3 1 cos 1 1 cos 1 11 11cos 11 7 4 11cos 15. x x x x                  Suy ra các giá trị nguyên của hàm số 3 4 11cos y x   là:   7; 6; 5;....;0;1;2;...;15 . S     Nên có tất cả 23 giá trị nguyên. Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số 5sin 2 12cos2 y x x   là { . 10. | . 12. } . 17 . ~. 13. Lời giải Cách 1 Ta có: M   là giá trị lớn nhất của hàm số 5sin2 12cos2 y x x   trên  nếu 0 x    sao cho   0 y x M  và   M y x  , x    . Suy ra phương trình 5 sin 2 12 cos 2 x x M   phải có nghiệm. Phương trình 5 sin 2 12 cos 2 x x M   có nghiệm 2 2 2 2 5 12 169 13 13 13 M M          . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số 5sin 2 12cos2 y x x   bằng 13 . Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 32 { . cot y x  . | . sin 2 y x  . } . sin y x  . ~. cos2 y x  . Lời giải Câu 63: Cho đồ thị với   ; x     . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào? { . cos y x  . | . cos y x   . } . sin y x  . ~. cos y x  . Lời giải Cách 1: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm   0; 1  và   ; 1  . Thay các điểm trên vào các hàm số ở các phương án thì chỉ có phương án B thỏa mãn. Cách 2: Từ hình vẽ ta suy ra hàm số đồng biến trên đoạn   0;  . Trong các phương án chỉ có hàm số ở phương án B thỏa mãn. Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số sin y x  , hãy tìm số nghiệm của phương trình: 1 sin 2018 x  trên đoạn 5 5 ; 2 2          . { . 4 . | . 6 . } . 10 . ~. 5 . Lời giải Nhìn đồ thị ta thấy, đường thẳng 1 2018 y  cắt đồ thị hàm số sin y x  trên đoạn 5 5 ; 2 2          tại 5 điểm phân biệt. Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây? x y 2  - 5  2 - 3  2 -  2 5  2 3  2  2 - 3  - 2  -  3  2   O 1 Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 33 { . 2 cos 3 x y  . | . 2 sin 3  x y . } . 3 cos 2 x y  ~. 3 sin 2  x y . Lời giải Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm 3 ;0 4        Suy ra đó là đồ thị hàm số 2x y = cos 3 . Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, ~ . Hỏi hàm số đó là hàm số nào? { . 3 sin . 2 x y  | . 2 sin . 3 x y  } . 3 cos . 2 x y  ~. 2 cos . 3 x y  Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua trục O y nên hàm số cần tìm là hàm số chẵn, loại hai phương án A và | . Ta lại có   3 1 y   mà   2(3 ) cos cos 2 1 3     cho nên ta chọn phương án ~. Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. { . Hàm số cos y x  tuần hoàn với chu kì 2  . | . Hàm số sin y x  nghịch biến trên khoảng ; 2         . } . Hàm số cot y x  đồng biến trên khoảng ; 2         . ~ . Hàm số tan y x  tuần hoàn với chu kì  . Lời giải Hàm số cot y x  nghịch biến trên khoảng ; 2         . Câu 68: Hàm số tan y x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? { .   0;  . | . 3 ; 2 2           . } . 3 ; 2 2          . ~.   2 ;     . Lời giải Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 34 Tập xác định: \ , 2 D k k              . Hàm số tan y x  đồng biến trên khoảng ; 2 2 k k              nên đồng biến trên khoảng 3 ; 2 2           . Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? { . Hàm số y cot x  đồng biến trên khoảng   0;  . | . Hàm số y sin x  đồng biến trên khoảng 3 5 ; 2 2         . } . Hàm số y sin x  nghịch biến trên khoảng   ;2   . ~ . Hàm số y cos x  đồng biến trên khoảng ; 2 2          . Lời giải Ta có các lưu ý sau: * Hàm số y cot x  nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định. * Hàm số y sin x  đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k              và nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 2 2 k k             . * Hàm số y cos x  đồng biến trên mỗi khoảng   2 ; 2 k k      và nghịch biến trên mỗi khoảng   2 ; 2 k k     . Câu 70: Cho hàm số sin y x  . Khẳng định nào dưới đây sai? { . Hàm số đã cho là hàm lẻ. |. Hàm số đã cho có tập giá trị là   1;1  . } . Hàm số đã cho đồng biến trên   0;2  . ~. Hàm số đã cho có tập xác định  . Lời giải • Hàm số sin y x  có tập xác định: D   . • Hàm số sin y x  có tập giá trị:   1;1 T   . Ta có: x x        . Mà       sin sin y x x x f x        . Do đó hàm số sin y x  là hàm lẻ. • Hàm số sin y x  đồng biến trên khoảng ; 2 2          và nghịch biến trên 3 ; 2 2         . Vậy đáp án C sai. Câu 71: Cho ba hàm số sin ; cos ; tan y x y x y x    . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên 3 0; 2        ? { . 1. | . 3 . } . 0 . ~. 2 . Lời giải Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 35 Hàm số sin y x  đồng biến trên 0; 2        và nghịch biến trên 3 ; 2 2         . Hàm số cos y x  nghịch biến trên 0; 2        . Hàm số tan y x  gián đoạn tại 2  . Vậy không có hàm số nào đồng biến trên 3 0; 2        . §➋. PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Chương 1: Tóm tắt lý thuyết Ⓐ ➊.Phương trình sinx = a  a > 1: PT vô nghiệm  a  1: PT có các nghiệm . x = arcsina + k2 , k  Z; . x =  – arcsina + k2 , k  Z Chú ý:  sinf(x) = sing(x)              ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 f x g x k k Z f x g x k  sinx = sin  0  0 0 0 0 0 x = β + k360 (k Z) x = 180 -β + k360      Các trường hợp đặc biệt: .sinx = 1  x = 2  + k2  .sinx = –1  x = – 2  + k2  Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 36 ➋. Phương trình cosx = a  a > 1: PT vô nghiệm  a  1: PT có các nghiệm .x = arccosa + k2 , k  Z; .x = – arccosa + k2 , k  Z Chú ý:  cosf(x) = cosg(x)  f(x) =  g(x) + k2 , k  Z  cosx = cos  0  x =   0 + k360 0 , k  Z Các trường hợp đặc biệt: .cosx = 1  x = k2  .cosx = –1  x =  + k2   ➌. Phương trình tanx = a  ĐK: x  2  + k  (k  Z).  PT có nghiệm x = arctana + k , k  Z; Chú ý:  tanf(x) = tang(x) f(x) = g(x) + k , k  Z  tanx = tan  0  x =  0 + k180 0 , k  Z Các trường hợp đặc biệt: .tanx = 1  x = 4  + k  .tanx = –1  x = – 4  + k  Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 37 . Bài tập minh họa: Câu 1: Tập nghiệm của phương trình sin 0 x  là { . 2 , 2 S k k             . | .   , S k k     . } .   2 , S k k     . ~ . 2 , 2 S k k              . Lời giải Ta có: sin 0 x  x k    , k   . Câu 2: Nghiệm của phương trình 1 sinx 2  là { . 5 ; 6 6 x k x k         . | . 2 6 x k      . } . 5 2 ; 2 6 6 x k x k           . ~ . 5 2 ; 2 6 6 x k x k         . Lời giải 2 1 6 s inx 5 2 2 6 x k x k                   Câu 3: Tập nghiệm của phương trình 3 sin 4 2 x          là { . 5 2 , 2 | 12 12 S k k k                . ➍. Phương trình cotx = a  ĐK: x  k  (k  Z).  PT có nghiệm x = arccota + k , k  Z; Chú ý:  cotf(x) = cotg(x)  f(x) = g(x) + k , k  Z  cotx = cot  0  x =  0 + k180 0 , k  Z Các trường hợp đặc biệt: .cotx = 1  x = 4  + k  .cotx = –1  x = – 4  + k  2  Phân dạng bài tập Ⓑ ①. Dạng 1: Phương trình sinx = a Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 38 | . 5 2 , 2 | 12 12 S k k k                  . } . 5 2 , 2 | 12 12 S k k k                 . ~ . 7 2 , 2 | 12 12 S k k k                 . Lời giải Ta có   2 2 3 4 3 12 sin 5 4 2 2 2 4 3 12 x k x k x k x k x k                                                Câu 4: Nghiệm của phương trình 1 sin .cos 2 x x  là { . 2 x k   ; k   . | . 4 k x   ; k   . } . 4 x k     ; k   . ~ . x k   ; k   . Lời giải Ta có: 1 sin .cos sin 2 1 2 2 2 2 4 x x x x k x k                k   . Câu 5: Nghiệm của phương trình sin 0 3 x          là { .   3 x k k        . |.   2 3 x k k        . } .   2 6 x k k       . ~.   x k k     . Lời giải   sin 0 3 3 3 x x k x k k                       . . Bài tập minh họa: Câu 1: Giải phương trình sau 2cos 2 0 x   . { . 2 , 4 x k k        . |. 2 , 4 x k k       . } . 2 , 4 x k k        . ~. , 4 x k k        . Lời giải Ta có: 2 2cos 2 0 cos cos cos 2 , 2 4 4 x x x x k k                . ②. Dạng 2: Phương trình cosx = a Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 39 Câu 2: Nghiệm của phương trình 3 cos 2 x  là { . 2 2 ; 3 x k k        . |. 5 ; 6 x k k        . } . ; 3 x k k        . ~. 5 2 ; 6 x k k        . Lời giải Ta có 3 2 3 cos cos cos 2 ; 2 3 3 x x x k k              . Câu 3: Phương trình lượng giác cos3 cos 15 x   có nghiệm là { . 2 15 x k      . | . 2 45 3 k x      . } . 2 45 3 k x      . ~. 2 45 3 k x     . Lời giải Ta có cos3 cos 15 x   3 2 15 x k       2 45 3 k x       . Câu 4: Nghiệm của phương trình 1 cos 2 x   là { .   2 3 x k k        . |.   2 6 x k k        . } .   2 2 3 x k k        . ~.   6 x k k        . Lời giải Ta có 1 cos 2 x     2 2 3 2 2 3 x k k x k                   . Câu 5: Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2 x  là { . 3 2 4 k k            . | . 5 2 ; 2 4 4 k k k                . } . 3 2 4 k k             . ~ . 2 4 k k             . Lời giải 2 2 4 cos cos cos , 2 4 2 4 x k x x k x k                       . ③. Dạng 3: Phương trình tanx = a Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 40 . Bài tập minh họa: Câu 1: Tập nghiệm của phương trình tan 1 0 x   là { . 2 , 4 S k k              . |. , 4 S k k             . } . , 4 S k k              . ~. 2 , 4 S k k             . Lời giải tan 1 0 x   tan 1 x    , 4 x k k         . Câu 2: Nghiệm của phương trình tan 2 1 0 x   là: { . 8 x k     . | . 4 x k     . } . 8 2 x k     . ~. 4 2 x k     . Lời giải tan 2 1 0 tan 2 1 x x     2 4 8 2 x k x k           . Câu 3: Nghiệm của phương trình tan cot x x  là { .   4 2 x k k       . |.   2 4 x k k        . } . 4 x    . ~.   4 x k k       . Lời giải tan cot tan tan 2 2 4 2 x x x x x x k x k                       ( k   ). Câu 4: Số nghiệm của phương trình 5 tan 2 3 0 6 x           trên khoảng   0;3  là { . 3 . | . 8 . } . 4 . ~. 6 . Lời giải   5 5 tan 2 3 0 2 6 6 3 4 2 k x x k x k                          .     1 11 0;3 0 3 0;1;2;3;4;5 4 2 2 2 k k x k k                  . Vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng   0;3  . Câu 5: Tất cả các nghiệm của phương trình tan cot x x  là { . , 4 4 x k k       . |. 2 , 4 x k k       . } . , 4 x k k       . ~. , 4 2 x k k       . Lời giải Điều kiện sin 0 sin 2 0 , cos 0 2 x x x m m x             tan cot tan tan 2 x x x x              2 4 2 x x k x k k              thỏa mãn điều kiện. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 41 . Bài tập minh họa: Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot 3 6 x          là { . 5 6  . | . 3  . } . 6  . ~. 12  . Lời giải cot 3 , . 6 6 6 3 x x k x k k                        Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 3  . Câu 2: Tất cả các nghiệm của phương trình   o cot 15 3 0 x    là: { . o o 75 360 x k   ,   k   . |. o o 45 360 x k   ,   k   . } . o o 75 180 x k   ,   k   . ~. o o 45 180 x k   ,   k   . Lời giải Ta có:   o cot 15 3 0 x      o cot 15 3 x    o o o 15 30 180 x k     o o 45 180 x k    ,   k   . Nghiệm của phương trình đã cho là: o o 45 180 x k   ,   k   . Câu 3: Số nghiệm của phương trình cot 1 0 4 x           trên khoảng   ;3    là { . 2 . | . 3 . } . 1. ~. 4 Lời giải Ta có:   cot 1 0 4 4 4 2 x x k x k k                           . 1 7 3 2 2 2 y c b t k k               , mà k   nên   0;1;2;3 k  . Bài tập rèn luyện Câu 1: Nghiệm của phương trình 1 sinx 2  là { . 5 ; 6 6 x k x k         . |. 2 6 x k      . } . 5 2 ; 2 6 6 x k x k           . ~. 5 2 ; 2 6 6 x k x k         . Câu 2: Giải phương trình sau 2cos 2 0 x   . { . 2 , 4 x k k        . |. 2 , 4 x k k       . } . 2 , 4 x k k        . ~. , 4 x k k        . Câu 3: Nghiệm của phương trình 3 cos 2 x  là { . 2 2 ; 3 x k k        . |. 5 ; 6 x k k        . ④. Dạng 4: Phương trình cotx = a Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 42 } . ; 3 x k k        . ~. 5 2 ; 6 x k k        . Câu 4: Phương trình lượng giác cos3 cos 15 x   có nghiệm là { . 2 15 x k      . | . 2 45 3 k x      . } . 2 45 3 k x      . ~. 2 45 3 k x     . Câu 5: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai? { . sin 1 2 2 x x k         . |. sin 0 x x k     . } . sin 0 2 x x k     ~ . sin 1 2 2 x x k       . Câu 6: Nghiệm của phương trình 2sin 1 0 x   là { . 2 2 , 3 x k k        . |. 2 6 , 7 2 6 x k k x k                  . } . 2 , 6 x k k        . ~. 2 3 , 2 2 3 x k k x k                 . Câu 7: 8 2 , 3 x k k       là một họ nghiệm của phương trình nào sau đây? { . 2 cos 1 0 x   . | . 2sin 1 0 x   . } . 2 cos 1 0 x   . ~. 2sin 3 0 x   . Câu 8: Phương trình tan tan x   ,  thuộc  có nghiệm là { .   2 x k k       . |.   2 ; 2 x k x k k             . } .   x k k       . ~ .   2 ; 2 x k x k k            . Câu 9: Nghiệm của phương trình sin 0 x  là { . 2 , 2 x k k       . | . , 2 x k k       . } . 0 x  . ~. , x k k     . Câu 10: Nghiệm của phương trình 1 cos 2 x   là { .   2 3 x k k        . |.   2 6 x k k        . } .   2 2 3 x k k        . ~.   6 x k k        . Câu 11: Tập nghiệm của phương trình 3 sin 4 2 x          là { . 5 2 , 2 | 12 12 S k k k                . | . 5 2 , 2 | 12 12 S k k k                  . } . 5 2 , 2 | 12 12 S k k k                 . ~ . 7 2 , 2 | 12 12 S k k k                 . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 43 Câu 12: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot 3 6 x          là { . 5 6  . | . 3  . } . 6  . ~. 12  . Câu 13: Phương trình 2 sin 0 3 3 x          có nghiệm là { .   3 2 2 k x k        . |.   6 x k k       . } .   2 3 3 2 k x k        . ~.   x k k     . Câu 14: Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2 x  là { . 3 2 4 k k            . |. 5 2 ; 2 4 4 k k k                . } . 3 2 4 k k             . ~. 2 4 k k             . Câu 15: Phương trình cos 0 x  có nghiệm là { .   2 x k k       . |.   2 x k k     . } .   2 2 x k k       . ~.   x k k     . Câu 16: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm? { . tan 99 x  . |. 2 cos 2 2 3 x           . } . cot 2018 2017 x  . ~. 3 sin 2 4 x   . Câu 17: Nghiệm của phương trình 1 sin .cos 2 x x  là { . 2 x k   ; k   . |. 4 k x   ; k   . } . 4 x k     ; k   . ~. x k   ; k   . Câu 18: Phương trình 2sin 3 0   x có tập nghiệm là { . 2 , 6             k k . |. 2 , 3             k k . } . 5 2 , 2 , 6 6               k k k . ~. 2 2 , 2 , 3 3               k k k . Câu 19: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? { . cos 0 2 2 x x k       . |. cos 1 2 x x k     . } . cos 1 2 x x k        . ~. cos 0 2 x x k       . Câu 20: Nghiệm của phương trình sin 0 3 x          là Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 44 { .   3 x k k        . |.   2 3 x k k        . } .   2 6 x k k       . ~.   x k k     . Câu 21: Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm? 1 2 1 3 sin ; sin ; sin 2 2 2 x x x      { . 0 . | . 1. } . 3. ~. 2 . Câu 22: Tập nghiệm của phương trình 2 cos 1 0 x   là { . : 3 S k k              . |. 2 : 6 S k k              . } . 2 : 3 S k k              . ~. : 6 S k k              . Câu 23: Tập nghiệm của phương trình tan 1 0 x   là { . 2 , 4 S k k              . |. , 4 S k k             . } . , 4 S k k              . ~. 2 , 4 S k k             . Câu 24: Tập nghiệm của phương trình sin 3 1 0 x   là { . , 2 k k             . | . 2 , 2 k k             . } . 2 , 6 k k             . ~ . 2 , 6 3 k k             . Câu 25: Tất cả các nghiệm của phương trình   o cot 15 3 0 x    là: { . o o 75 360 x k   ,   k   . |. o o 45 360 x k   ,   k   . } . o o 75 180 x k   ,   k   . ~. o o 45 180 x k   ,   k   . Câu 26: Tập nghiệm của phương trình sin 0 x  là { . 2 , 2 S k k             . |.   , S k k     . } .   2 , S k k     . ~ . 2 , 2 S k k              . Câu 27: Họ nghiệm của phương trình 0 cot(2 30 ) 3 x   là: { . 0 0 90 180 x k   . | . 0 0 30 180 x k   . } . 0 0 30 90 x k   . ~. 0 0 60 180 x k   . Câu 28: Khẳng định nào sau đây là sai? { . sin 1 2 . 2 x x k       |. sin 0 . x x k     } . os 1 . c x x k        ~. os 0 . 2 c x x k       Câu 29: Phương trình cos x m  có nghiệm khi: { . 1 m  . | . 1 m  . } . 1 m  . ~. 1 m   . Câu 30: Nghiệm của phương trình 2 sin 1 x  là { . . x k   | . 2 k x   . } . 2 2 x k     . ~. 2 x k     . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 45 Câu 31: Nghiệm của phương trình tan 2 1 0 x   là: { . 8 x k     . | . 4 x k     . } . 8 2 x k     . ~. 4 2 x k     . Câu 32: Nghiệm của phương trình 2 cos 2 2 x   . { . 2 x k   . | . 2 x k     . } . 2 x k     . ~. 2 2 x k     . Câu 33: Cho   2 3 x k k       là nghiệm của phương trình nào sau đây { . 2cos 3 0 x   . | . cos 2 1 x   . } . 2sin 3 0 x   . ~. 2cos 3 0 x   . Câu 34: Cho   2 x k k       là nghiệm của phương trình nào sau đây { . cos 2 0 x  . | . cos 2 1 x   . } . sin 1 x  . ~. sin 0 x  . Câu 35: Cho phương trình 1 sin 2 x  , nghiệm của phương trình là: { . 2 6 2 2 x k x k               | . 2 6 2 6 x k x k                } . 2 6 5 2 6 x k x k               ~. 2 2 x k     . Câu 36: Phương trình cos cos 3 x   có nghiệm là { . 2 2 3 x k     . | . 3 x k      . } . 2 3 x k      . ~. 2 3 x k     . Câu 37: Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào sai? { . sin 1 2 , 2 x x k k         . |. tan 1 , 4 x x k k         . } . 2 , 1 3 cos 2 2 , 3 x k k x x k k                      . ~. sin 0 2 , x x k k       . Câu 38: Nghiệm của phương trình sin 2 1 0 x   là { . , . 4 x k k        | . 2 , . 2 x k k       . } . , . 4 x k k       ~ . 2 , . 2 x k k        Câu 39: Phương trình 2cos 1 x  có một nghiệm là { . 2 x    . | . 2 x   . } . 3 x   . ~. x   . Câu 40: Giải phương trình cos 1 x  . { . 2 k x   , k   . |. x k   , k   . } . 2 2 x k    , k   . ~. 2 x k  , k   . Câu 41: Phương trình cos 0 x  có nghiệm là: { .   2 x k k       . |.   2 x k k     . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 46 } .   2 2 x k k       . ~.   x k k     . Câu 42: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? { . tan 3 0 x   . |. 2 2 cos cos 1 0 x x    . } . sin 3 0 x   . ~. 3sin 2 0 x   . Câu 43: Gọi  là nghiệm trong khoảng   ;2   của phương trình 3 cos 2 x  , nếu biểu diễn a b    với a, b là hai số nguyên và a b là phân số tối giản thì a b bằng bao nhiêu? { . 42 a b  . | . 6 a b  . } . 66 a b  . ~. 30 a b  . Câu 44: Nghiệm của phương trình: sin 4 cos 5 0 x x   là. { . 2 2 2 18 9 x k k x                . |. 2 18 9 x k k x                . } . 2 2 2 18 9 x k k x                . ~. 2 2 2 9 9 x k k x                . Câu 45: Trong khoảng   0;  phương trình cos 4 sin 0 x x   có tập nghiệm S bằng { . 7 ; ; 6 10 10 S           . |. 3 ; 6 10 S          . } . 2 3 7 ; ; ; 3 3 10 10 S            . ~. 5 3 7 ; ; ; 6 6 10 10 S            . Câu 46: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos 0 3 x  . { . 3 3 , 2 x k k       . |. 3 6 , 2 x k k       . } . , x k k     . ~ . , 2 x k k       . Câu 47: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 cos 0 x x   trong khoảng   0;2  bằng T . Vậy T bằng bao nhiêu? { . T   . | . 7 6 T   . } . 4 3 T   . ~. 2 T   . Câu 48: Số nghiệm của phương trình cot 1 0 4 x           trên khoảng   ;3    là { . 2 . | . 3 . } . 1. ~. 4 Câu 49: Cho   6 A O C A O F    như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình 2sin 1 0 x   được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào? Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 47 { . Điểm E , điểm D . |. Điểm C , điểm F . } . Điểm D , điểm C . ~. Điểm E , điểm F . Câu 50: Nghiệm của phương trình tan cot x x  là { .   4 2 x k k       . |.   2 4 x k k        . } . 4 x    . ~.   4 x k k       . Câu 51: Phương trình 1 sin 2 x  có bao nhiêu nghiệm trên đoạn   0; 20  ? { . 10. | . 11. } . 21. ~. 20. Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 2 1 0 x   trên đoạn   0;1000  là { . 1000. | . 999. } . 2000 . ~. 1001. Câu 53: Tập các giá trị của tham số m để phương trình 2017 2 3 0 2 s i n x m           có nghiệm là { .   1;1  . | .   1;1  . } . 3 3 ; 2 2        . ~. 2 2 ; 3 3        . Câu 54: Phương trình 1 sin 2 2 x  có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 15 0; 2        ? { . 18. | . 16. } . 14. ~. 12. Câu 55: Phương trình cot 3 x  có bao nhiêu nghiệm thuộc   2018 ,2018    ? { . 2018 . | . 4035 . } . 4037 . ~. 4036 . Câu 56: Phương trình   1 cos 30 2 x    có các nghiệm là { . 360 60 360 x k x k           . |. 360 6 360 2 x k x k                . } . 30 2 90 2 x k x k             . ~. 30 360 90 360 x k x k             . Câu 57: Phương trình 1 sin 2 2 x   có hai họ nghiệm có dạng x k     và x k     , k   3 0 4 4                . Khi đó, tính 2 2    ? { . 2 3  . | . 2 3   . } . 2 25 72  . ~. 2 25 72   . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 48 Câu 58: Số nghiệm của phương trình: 1 cos 2 2 x   thuộc khoảng   ; 2   là { . 4 . | . 1. } . 2 . ~. 3. Câu 59: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 2cos 1 x  ? { . 2 cos 2 x  . | . 2 sin 2 x  . } . 2 tan 1 x  . ~. tan 1 x  . Câu 60: Số nghiệm của phương trình 5 tan 2 3 0 6 x           trên khoảng   0;3  là { . 3 . | . 8 . } . 4 . ~. 6 . Câu 61: Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết   30 , , A O C A O F E D    lần lượt là các điểm đối xứng của , C F qua gốc . O Nghiệm của phương trình 2sin 1 0 x   được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào? { . Điểm C , điểm . D |. Điểm , E điểm . F } . Điểm , C điểm . F ~. Điểm , E điểm . D Câu 62: Số nghiệm của phương trình 2sin 3 0 x   trên đoạn đoạn   0;2  là { . 3. | . 1. } . 4. ~. 2. Câu 63: Nghiệm của phương trình sin 2 cos 0 x x   là { . 2 2 ( ) 2 6 3 k x k k x                   . |. 2 2 ( ) 2 2 3 x k k k x                  . } . 2 2 ( ) 6 3 x k k k x                 . ~. 2 ( ) 2 4 x k k x k                  . Câu 64: Tập nghiệm của phương trình 2cos2 1 0 x   là { . 2 , 2 , 3 3 S k k k                 . |. 2 2 2 , 2 , 3 3 S k k k                 . } . , , 3 3 S k k k                 . ~. , , 6 6 S k k k                 . Câu 65: Phương trình 2cos 1 0 x   có tập nghiệm là { . 2 , 3 k k             . |. 2 , 6 k k             . } .     2 , 2 3 6 k k l l                 . ~.     2 , 2 3 6 k k l l                   . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 49 Câu 66: Cho hàm số sin y x x  , số nghiệm thuộc ;2 2          của phương trình 1 y y     là { . 2. | . 0. } . 1. ~. 3. Câu 67: Nghiệm của phương trình 1 sin .cos 2 x x  là { . 2 x k   ; k   . |. 4 k x   ; k   . } . 4 x k     ; k   . ~. x k   ; k   . Câu 68: Phương trình tan 3 tan x x  có nghiệm là { . x k   . | . 2 x k   . } . 2 x k   . ~. 2 x k     . Câu 69: Phương trình cos 2 1 m x  có nghiệm khi { . 0 m  . | . 1 1 m m       . } . 1 m  . ~. 1 m  . Câu 70: Tập nghiệm của phương trình   sin cos 3 x x                là: { . , 12 k k            . | . 1 , 12 k k          . } . , 2 k k            . ~. 1 , 2 k k           . Câu 71: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm? { . 3sin 1 0 x   . |. 2 2cos cos 1 0 x x    . } . 5 tan 3 0 x   ~. 3cos 5 0 x   . Câu 72: Phương trình 1 sin 2 2 x  có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 15 0; 2        ? { . 18. | . 16. } . 14. ~. 12. Câu 73: Cho phương trình 3sin 2 1 5 x m           có nghiệm khi   ; . m a b  Khi đó b a  bằng { . 6. | . 0. } . 2.  ~. 4. Câu 74: Tập nghiệm S của phương trình cos 3 cos x x  là { .   , S k k     . |. , 2 k S k           . } . , 3 k S k           . ~. , 2 S k k             . Câu 75: Phương trình sin 2 1 2 x          có mấy nghiệm trong nửa khoảng ; 2 2          ? { . 0 . | . 2. } . 1. ~. 3 . Câu 76: Phương trình cos3 sin x x  có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn ; 2 2          ? { . 0 . | . 2. } . 3 . ~. 1. Câu 77: Tất cả các nghiệm của phương trình tan cot x x  là { . , 4 4 x k k       . |. 2 , 4 x k k       . } . , 4 x k k       . ~. , 4 2 x k k       . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 50 Câu 78: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin 3 4 2 x          bằng { . 9  . | . 6  . } . 6   . ~. 9   . Câu 79: Biết các nghiệm của phương trình 1 cos 2 2 x   có dạng x k m     và x k n      , k   ; với , m n là các số nguyên dương. Khi đó m n  bằng { . 4. | . 3. } . 5. ~. 6. Câu 80: Phương trình 2 s i n 0 x m   vô nghiệm khi m là: { . 2 2    m . | . 2  m . } . 2 2       m m . ~. 2   m . Câu 81: Số nghiệm của phương trình sin3 0 1 cos x x   trên đoạn   0;  là: { . 4. | . 2. } . 3. ~. Vô số. Câu 82: Số nghiệm của phương trình sin 1 4 x          thuộc đoạn   0;2  là { . 2 . | . 0 . } . 1. ~. 3 . Câu 83: Giải phương trình 2cos 1 sin 2 0 2 2 x x                . { .   2 2 , 3 x k k        . |.   2 , 3 x k k        . } .   4 , 3 x k k        . ~.   2 4 , 3 x k k        . Câu 84: Giải phương trình 2cos 1 0 x   . { . 2 , 6 x k k        . |. 2 , 3 x k k       . } . 2 , 3 x k        . ~. 2 , 3 x k k        . Câu 85: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 3sin 2 5 0 x m    có nghiệm? { . 6. | . 2. } . 1. ~. 7. Câu 86: Tính tổng các nghiệm trong đoạn   0;30 của phương trình: tan tan 3x x  { . 55 .  | . 171 . 2  } . 45 .  ~. 190 . 2  Câu 87: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin sin 2 0 x x   trên đoạn   0;2  . { . 4  . | . 5  . } . 3  . ~. 2  . Câu 88: Phương trình: cos 0 x m   vô nghiệm khi m là: { . 1 1 m    . | . 1 m  . } . 1 m   . ~. 1; 1 m m    Câu 89: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm , M N ? Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 51 { . 2sin2 1 x  . | . 2cos2 1 x  . } . 2sin 1 x  . ~. 2cos 1 x  . Câu 90: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin 3 cos 0 x x   trên   0;  . { . 5 8  . | . 3  . } .  . ~. 2  . Câu 91: Cho phương trình sin 2 sin 2 cos 0, x x m x m     m là tham số. Số các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên 7 ; 3 4         là { . 0 . | . 2 . } . 3. ~. 1 Câu 92: Cho phương trình 3 sin 2 sin 4 4 x x                  . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng   0;  của phương trình trên. { . 7 2  . | .  . } . 3 2  . ~. 4  . Câu 93: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 8sin .cos .cos 2 3 0 x x x   là m n  . Khi đó m n  bằng { . 12. | . 13. } . 14. ~. 11 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 11.A 12.B 13.A 14.D 15.A 16.B 17.C 18.D 19.A 20.A 21.D 22.C 23.C 24.D 25.D 26.B 27.C 28.C 29.A 30.D 31.C 32.C 33.C 34.B 35.C 36.C 37.D 38.C 39.C 40.D 41.A 42.C 43.C 44.A 45.D 46.A 47.D 48.D 49.D 50.A 51.D 52.A 53.D 54.B 55.D 56.D 57.A 58.C 59.C 60.D 61.A 62.D 63.B 64.C 65.A 66.D 67.C 68.A 69.B 70.B 71.D 72.B 73.A 74.B 75.C 76.C 77.D 78.C 79.D 80.C 81.C 82.C 83.D 84.D 85.B 86.C 87.B 88.D 89.C 90.D 91.D 92.B 93.C Hướng dẫn giải Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 52 Câu 1: 2 1 6 s inx 5 2 2 6 x k x k                   Câu 2: Ta có: 2 2cos 2 0 cos cos cos 2 , 2 4 4 x x x x k k                . Câu 3: Ta có 3 2 3 cos cos cos 2 ; 2 3 3 x x x k k              . Câu 4: Ta có cos3 cos 15 x   3 2 15 x k       2 45 3 k x       . Câu 5: Câu 6: 1 2sin 1 0 sin 2 x x       2 6 , 7 2 6 x k k x k                  . Câu 7: Với 8 2 , 3 x k k       ta có: 2 1 2 3 cos cos ;sin sin 3 2 3 2 x x        . Do đó 8 2 , 3 x k k       là một họ nghiệm của phương trình 2 cos 1 0 x   . Câu 8: Câu 9: sin 0 , x x k k       . Câu 10: Ta có 1 cos 2 x     2 2 3 2 2 3 x k k x k                   . Câu 11: Ta có   2 2 3 4 3 12 sin 5 4 2 2 2 4 3 12 x k x k x k x k x k                                                Câu 12: cot 3 , . 6 6 6 3 x x k x k k                        Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 3  . Câu 13: Ta có 2 sin 0 3 3 x          2 3 3 x k      2 3 3 x k       2 3 x k         3 2 2 k x k         . Câu 14: 2 2 4 cos cos cos , 2 4 2 4 x k x x k x k                       . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 53 Câu 15: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì   cos 0 2 x k k x         . Câu 16: Vì 2 1 3   là nên phương trình 2 cos 2 2 3 x           vô nghiệm. Câu 17: Ta có: 1 sin .cos sin 2 1 2 2 2 2 4 x x x x k x k                k   . Câu 18:   2 3 3 2sin 3 0 sin 2 2 2 3                      x k x x k x k . Câu 19: Ta có:  cos 0 2 x x k       .  cos 1 2 x x k     .  cos 1 2 x x k        . Đáp án sai : cos 0 2 2 x x k       . Câu 20:   sin 0 3 3 3 x x k x k k                       . Câu 21: Do y sin x  có tập giá trị là   1;1  nên các phương trình 1 2 sin ;sin 2 2 x x    có nghiệm; phương trình 1 3 sin 2 x   vô nghiệm do 1 3 1 2   Câu 22: Ta có 1 2 cos 1 0 cos 2 , 2 3 x x x k k             . Câu 23: tan 1 0 x   tan 1 x    , 4 x k k         . Câu 24: Ta có phương trình sin 3 1 0 x   sin 3 1 x    3 2 2 x k       2 , 6 3 x k k         . Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 , 6 3 k k             . Câu 25: Ta có:   o cot 15 3 0 x      o cot 15 3 x    o o o 15 30 180 x k     o o 45 180 x k    ,   k   . Nghiệm của phương trình đã cho là: o o 45 180 x k   ,   k   . Câu 26: Ta có: sin 0 x  x k    , k   . Câu 27: Lời giải 0 cot(2 30 ) 3 x   0 0 0 2 30 30 180 x k            0 0 30 90 x k k Câu 28: Lời giải Ta có: os 1 2 . c x x k        Suy ra C là đáp án sai Câu 29: Lời giải Phương trình cos x m  có nghiệm khi 1 m  do 1 cos 1 x    . Câu 30: Lời giải Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 54 cos 0 2 P t x x k        . Vậy chọn D Câu 31: tan 2 1 0 tan 2 1 x x     2 4 8 2 x k x k           . Câu 32: Ta có: 2 cos 2 2 cos 2 1 2 2 , 2 x x x k x x k k                   Câu 33: Ta có:   2 3 3 2sin 3 0 sin sin 2 2 3 2 2 3 3 x k x x k x k k                              Câu 34: Ta có:   cos 2 1 2 2 2 x x k x k k               Câu 35: 2 2 1 6 6 sin sin sin , 5 2 6 2 2 6 6 x k x k x x k Z x k x k                                      Câu 36: cos cos 2 3 3 x x k         Câu 37: Ta có sin 0 , x x k k       , nên đáp án D sai. Câu 38: * Ta có: sin 2 1 0 sin 2 1 x x     2 2 ; ; 2 4 x k k x k k               . Câu 39: 1 2cos 1 cos cos 2 , 2 3 3 x x x k k                    . Vậy 3 x   là một nghiệm của pt đã cho. Câu 40: Ta có cos 1 x  2 x k    , k   . Câu 41: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì   cos 0 2 x k k x         . Câu 42: + Phương trình sin 3 0 sin 3 x x       phương trình sin 3 0 x   vô nghiệm. + Phương trình 2 cos 1 2cos cos 1 0 1 cos 2 x x x x             phương trình 2 2 cos cos 1 0 x x    có nghiệm. + Phương trình tan 3 0 tan 3 x x        arctan 3 x k       phương trình tan 3 0 x   có nghiệm. + Phương trình 2 sin 3 x  mà 2 1 1 3    nên phương trình 3sin 2 0 x   có nghiệm. Câu 43: Phương trình   3 cos 2 2 6 x x k k          . Với   11 ;2 6 x x       . Suy ra 11 a  và 6 b  . Vậy 66 a b  . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 55 Câu 44: 2 2 sin 4 cos5 0 cos5 sin 4 cos 4 2 2 18 9 x k x x x x x k x                               . Câu 45: 2 6 3 cos 4 sin 0 cos 4 sin cos 2 2 10 5 x k x x x x x x k                               . Suy ra trong khoảng   0;  phương trình đã cho có tập nghiệm là 5 3 7 ; ; ; 6 6 10 10 S            . Câu 46: Ta có 3 cos 0 3 , 3 3 2 2 x x k x k k              . Câu 47: 2 2 2 2 cos 2 cos 0 cos 2 cos 2 2 2 3 3 x k x x k x x x x x k x x k x k                            . Với   2 4 0;2 ; 3 3 x x x        . Vậy 2 4 2 3 3 T       . Câu 48: Ta có:   cot 1 0 4 4 4 2 x x k x k k                           . 1 7 3 2 2 2 y c b t k k               , mà k   nên   0;1;2;3 k  . Câu 49:   2 1 6 2sin 1 0 sin 7 2 2 6 x k x x k x k                        . Các cung lượng giác 2 6 x k      , 7 2 6 x k     lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm F và E . Câu 50: tan cot tan tan 2 2 4 2 x x x x x x k x k                       ( k   ). Câu 51: Cách 1: Ta có 2 1 6 sin 5 2 2 6 x k x x k                 , với . k    +) 1 119 0 2 20 . 6 12 12 k k           Lại có k   nên   0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . k  +) 5 5 115 0 2 20 . 6 12 12 k k           Lại có k   nên   0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . k  Vậy phương trình 1 sin 2 x  có 20 nghiệm trên đoạn   0; 20 .  Cách 2: Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 56 Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn   0;2  phương trình 1 sin 2 x  có 2 nghiệm, tương tự với       2 ;4 , 4 ;6 ,... 18 ;20 .       Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên   0;20   chọn đáp án ~. Câu 52: cos 2 1 0 cos 2 1 2 2 x x x k           , 2 x k k        . Ta có: 1 1999 0 1000 2 2 2 k k           . Ta được   0;1;2;...999 k  . Có 1000 giá trị k , ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên   0;1000  . Câu 53: Ta có: 2017 2017 3 2 3 0 2 2 2 m s i n x m s i n x                      có nghiệm khi và chỉ khi 3 2 2 1 1 2 3 3 m m         . Câu 54: Ta có: 2 2 1 6 12 sin 2 sin 2 sin 5 2 6 2 2 6 12 x k x k x x x k x k                                       k   .  Trường hợp 1: 12 x k       k   . Vì   15 15 1 89 0 0 0;1;2;3;4;5;6;7 2 12 2 12 12 k x k k k                   . Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là: 12 x   ; 13 12 x   ; 25 12 x   ; 37 12 x   ; 49 12 x   ; 61 12 x   ; 73 12 x   ; 85 12 x   .  Trường hợp 2: 5 12 x k       k   . Vì   15 5 15 5 85 0 0 0;1;2;3;4;5;6;7 2 12 2 12 12 k x k k k                   . Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là: 5 12 x   ; 17 12 x   ; 29 12 x   ; 41 12 x   ; 53 12 x   ; 65 12 x   ; 77 12 x   ; 89 12 x   Vậy trên khoảng 15 0; 2        phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm. Câu 55:   cot 3 1 x  , 6 x k k        , mà 2018 2018 x      . 2018 2018 6 k          1 2018 2018 6 k      1 1 2018 2018 6 6 k       , k   . Suy ra 2018 2017 k    , k   . Vậy   1 có 4036 nghiệm thuộc   2018 ,2018    . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 57 Nhận xét: Hàm số cot y x  tuần hoàn với chu kì T   , nên trên mỗi đoạn có độ dài bằng một chu kì thì phương trình cot 3 x  có đúng một nghiệm. Mà đoạn   2018 ;2018    được chia làm 4036 đoạn có độ dài bằng 1 chu kì dạng   2018 ; 2017     ,   2017 ; 2016     , …,   2017 ;2018   nên phương trình đã cho có 4036 nghiệm. Câu 56: Ta có:   30 60 360 30 360 1 cos 30 , 30 60 360 90 360 2 x k x k x k x k x k                                    Câu 57: 1 sin 2 2 x   2 2 6 7 2 2 6 x k x k                 12 7 12 x k x k                   k   . 7 , 12 12         2 2 2 3       . Câu 58: Cách 1: 1 2 cos 2 2 2 , 2 3 3 x x k x k k                 . +) Xét   2 4 4 ; 2 1 3 3 3 3 k k k x               . +) Xét   4 7 5 ; 2 2 3 3 3 3 k k k x                . Vậy phương trình 1 cos 2 2 x   có 2 nghiệm trên   ; 2   . Cách 2: Hàm số cos 2 y x  là hàm số tuần hoàn với chu kì T   . Trên mỗi khoảng có độ dài bằng chu kì thì phương trình   cos 2 , 1 1, 0 x m m m      luôn có đúng hai nghiệm. Do đó trên   ; 2   thì phương trình 1 cos 2 2 x   có đúng hai nghiệm. Câu 59: 2 2 2 2 2 1 1 2cos 1 cos 2 1 tan 2 tan 1 2 cos x x x x x           . Câu 60:   5 5 tan 2 3 0 2 6 6 3 4 2 k x x k x k                          .     1 11 0;3 0 3 0;1;2;3;4;5 4 2 2 2 k k x k k                  . Vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng   0;3  . Câu 61: Ta có: 2 1 6 2sin 1 0 sin , 5 2 2 6 x k x x k x k                      . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 58 Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm , C điểm D . Câu 62: Tự luận 2 2 3 3 3 2sin 3 0 sin sin sin , 2 2 3 2 2 3 3 x k x k x x x k x k x k                                                - Xét 2 3 x k     5 1 5 0 2 0 2 2 2 0 3 3 3 6 6 x k k k k                        Chỉ có một nghiệm   0;2 3 x     - Xét 2 2 3 x k     2 2 4 1 2 0 2 0 2 2 2 0 3 3 3 3 3 x k k k k                        Chỉ có một nghiệm   2 0;2 3 x     Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn   0;2  . Câu 63: sin 2 cos 0 2sin .cos cos 0 cos .(2sin 1) 0 2 cos 0 2 cos 0 2 ( ) 2 1 2 2sin 1 0 sin 6 2 7 2 3 2 6 x x x x x x x x k x x k x x k Z k k x x x x k                                                                Câu 64: Ta có 1 2 2 cos 2 1 0 cos 2 cos 2 3 x x          2 2 2 3 3 . 2 2 2 3 3 x k x k k x k x k                                   Câu 65: 1 2cos 1 0 cos cos 2 3 x x         2 3 2 3 x k k x k                   . Câu 66: Ta có ' sinx cos '' cos cos sin 2 cos sin y x x y x x x x x x x        Do đó   2 1 3 1 2cos 1 cos 2 2 3 x k y y x x k Z x k                          Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 59 Trường hợp 1. Với   2 3 x k k Z      Do ;2 2 x           nên 5 5 2 2 2 3 12 6 k k             Suy ra 0 k  ta được 3 x   . Trường hợp 2. Với   2 3 x k k Z       Do ;2 2 x           nên 1 7 2 2 2 3 12 6 k k              Suy ra 0 k  ta được ; 1 3 x k     ta được 5 3 x   . Vậy có 3 nghiệm thuộc ;2 2          của phương trình 1 y y     là 3 x   ; 3 x    ; 5 3 x   . Câu 67: Ta có: 1 sin .cos sin 2 1 2 2 2 2 4 x x x x k x k                k   . Câu 68: Điều kiện: cos3 0 cos 0 6 3 x x k x             k   . Ta có: tan 3 tan 3 2 x x x x k x k         . Kết hợp với điều kiện ta được x k     k   . Câu 69: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 1 1 . 1 1 1 m m m m m                 Câu 70: Ta có:   sin cos 3 x x                  sin sin 2 3 x x                     sin sin 6 x x                   2 1 6 , 12 2 6 x x k x k k x x k V L                               . Câu 71: 5 3cos 5 0 cos 3 x x     . Ta có 1 cos 1 x    nên phương trình vô nghiệm. Câu 72: Ta có: 2 2 1 6 12 sin 2 sin 2 sin 5 2 6 2 2 6 12 x k x k x x x k x k                                       k   .  Trường hợp 1: 12 x k       k   . Vì   15 15 1 89 0 0 0;1;2;3;4;5;6;7 2 12 2 12 12 k x k k k                   . Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là: 12 x   ; 13 12 x   ; 25 12 x   ; 37 12 x   ; 49 12 x   ; 61 12 x   ; 73 12 x   ; 85 12 x   . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 60  Trường hợp 2: 5 12 x k       k   . Vì   15 5 15 5 85 0 0 0;1;2;3;4;5;6;7 2 12 2 12 12 k x k k k                   . Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là: 5 12 x   ; 17 12 x   ; 29 12 x   ; 41 12 x   ; 53 12 x   ; 65 12 x   ; 77 12 x   ; 89 12 x   Vậy trên khoảng 15 0; 2        phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm. Câu 73: Ta có: 1 3sin 2 1 sin 2 5 5 3 m x m x                      Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 1 1 2 4. 3 m m         Suy ra: 6. b a   Câu 74: Phương trình: 3 2 cos3 cos 3 2 2 2 x k x x k k x x x k x x k x                           k   . Kết luận: Vậy phương trình tập nghiệm , 2 k S k           . Câu 75: Ta có: sin 2 1 2 2 2 2 2 8 x x k x k                      . Do 5 3 ; 2 2 2 8 2 8 8 x k k                        Mặt khác do 0 8 k k x        . Vậy phương trình có nghiệm 8 x   Câu 76: Ta có 3 2 8 2 2 cos3 sin cos3 cos 2 3 2 2 4 x k x x k x x x x x x l x l                                              .   5 3 ; 1; 0 8 2 2 2 2 8 2 2 4 4 x k k k k                               . Vậy họ nghiệm này có hai nghiệm thuộc đoạn ; 2 2          là 3 , 8 2 x x      . 1 3 ; 0 4 2 2 2 4 2 4 4 x l l l l                                . Vậy họ nghiệm này có một nghiệm thuộc đoạn ; 2 2          là 4 x    . Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm thuộc đoạn ; 2 2          . Câu 77: Điều kiện sin 0 sin 2 0 , cos 0 2 x x x m m x             tan cot tan tan 2 x x x x              2 4 2 x x k x k k              thỏa mãn điều kiện. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 61 Câu 78: 3 sin 3 4 2 x          3 2 4 3 2 3 2 4 3 x k x l                    7 2 36 3 11 2 36 3 k x l x                ; ; k l   TH1: 0 x  ; x lớn nhất Chọn 17 1; 36 13 1; 36 k x l x                 13 36 x     TH2: 0 x  ; x nhỏ nhất Chọn 7 0; 36 11 0; 36 k x l x             7 36 x    Khi đó tổng cần tìm là: 13 7 36 36 6        . Câu 79: 1 cos 2 2 x     2 2 2 2 3 3 cos 2 cos 2 3 2 2 3 3 x k x k x k x k x k                                      3 3 6 m n      . Câu 80: +) 2 s i n 0 s i n 2 m x m x     , phương trình có nghiệm khi 1 1 2 2 2 m m        +) 2 s i n 0 s i n 2 m x m x     , phương trình vô nghiệm khi         2 1 2 2 m m m Chọn đáp án C Câu 81: ĐKXĐ: 1 2 , c o s x x k k       . Khi đó: 3 0 3 0 3 , 1 3 s i n x k s i n x x k x k c o s x             . Mà 0 x    nên 2 0, , , 3 3 x x x x        . Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình trên đoạn   0;  là 2 , , 3 3 x x x       . Câu 82: Ta có sin 1 2 2 , 4 4 2 4 x x k x k k                        . Vì   0;2 . 4 x x       Phương trình có 1 nghiệm trên đoạn   0;2  Câu 83: Ta có :   2cos 1 0 1 2 2cos 1 sin 2 0 2 2 sin 2 0 (2) 2 x x x x                           . Giải   1 : 1 2 2 cos 1 0 cos 2 4 , 2 2 2 2 3 3 x x x k x k k                   . Giải   2 : sin 2 0 2 x   , phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình có họ nghiệm là 2 4 , 3 x k k        . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 62 Câu 84: Ta có: 1 2cos 1 0 cos cos 2 , 2 3 3 x x x k k                     . Câu 85: Phương trình đã cho tương đương với phương trình 2 5 sin 2 3 m x   Vì   sin 2 1;1 x   nên     2 2 2 2 2 5 1;1 2;8 3 2 2 2 m m m m                 Vậy nên có 2 giá trị chọn B Câu 86: Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa   cos x 0 2 * cos3x 0 6 3 x k k x                      Khi đó, phương trình 3x 2 k x k x       so sánh với đk       2 , 0;30 0;...;4 0; ;2 ;....;9 2 x k x k x x k                   Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn   0;30 của phương trình là: 45  . Câu 87: Ta có     2 2 2 sin sin 2 0 sin 2 sin , , 3 2 2 2 k x x k x x x x x k l x x l x l                                . Vì   0;2 x   nên 0 2 x    . + Với 2 3 k x   . Ta có 2 0 2 0 3 3 k k        . Suy ra 0 0 2 1 3 4 2 3 3 2 k x k x k x k x                         . + Với 2 x l     . Tương tự 1 1 0 2 2 2 2 l l           . Suy ra 0 l x     . Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên   0;2  là 5  . Câu 88: Theo lý thuyết phương trình cos x m  vô nghiệm khi: 1 1 m m         . Câu 89: Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm 1 2 với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: 1 sin 2sin 1 2 x x    ⇒ Đáp án. } . Câu 90: Ta có: 3 2 2 sin 3 cos 0 sin 3 sin 3 2 3 2 2 x x k x x x x x x l                              Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 63   4 , 3 8 2 x k k l x l                   . Mà   0; x   nên 0 4 3 0 8 2 k l                    . Do k l        nên 1 0 1 k l l         3 4 3 3 3 7 2 8 4 8 8 7 8 x x T x                          . Câu 91: Phương trình đã cho tương đương với phương trình     1 cos (1) 2cos -1 sin - 0 2 sin (2) x x x m x m         có 1 nghiệm là 8 3 x   trên 7 ; 3 4         Suy ra 1 3 2 2 ;0 2 m m m                      Câu 92: Ta có: 3 2 2 2 3 4 4 sin 2 sin 2 3 4 4 2 2 6 3 4 4 x k x x k x x x k x x k                                                        k   . + Xét 2 x k       k   . Do 1 0 0 2 0 2 x k k               . Vì k   nên không có giá trị k . + Xét 2 6 3 x k       k   . Do 2 1 5 0 0 6 3 4 4 x k k               . Vì k   nên có hai giá trị k là: 0; 1 k k   . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 64  Với 0 6 k x     .  Với 5 1 6 k x     . Do đó trên khoảng   0;  phương trình đã cho có hai nghiệm 6 x   và 5 6 x   . Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng   0;  là: 5 6 6      . Câu 93: Tập xác định: D   . Ta có: 8sin .cos .cos 2 3 0 x x x   4sin 2 .cos 2 3 x x   3 2sin 4 3 sin 4 2 x x     4 2 3 13 2 2 4 2 3 6 2 k x k x k x k x                                 k   . Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 1 14 13 13 m m n n           . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 65 §➌. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Chýõng 1: Tóm tắt lý thuyết Ⓐ ➊. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . Định nghĩa:  Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là pt có dạng: at + b = 0,  Trong đó a, b là các hằng số (a  0), t là một trong các hàm số lượng giác.  Ví dụ: 2sinx – √3 = 0; 2cosx – 3 = 0; √3tanx + 1 = 0; cotx -1 = 0 . Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2sinx – 3 = 0; b) √3tanx + 1 = 0 Hướng dẫn giải: a) 2sinx – 3 = 0  sinx = > 1: phương trình vô nghiệm b) √3tanx + 1= 0  tanx = – √  x = – + 𝑘𝜋 .PT đưa về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 5cosx – 2sin2x = 0 b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 Hướng dẫn giải: a) 5cosx – 2sin2x = 0  cosx(5 – 4sinx) = 0 b) 8sinx.cosx.cos2x = –1  2sin4x = –1 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) 2cos 2 x – 1 = 0 b) sinx + sin2x + sin3x = 0 c) sinx + cosx = 1 Hướng dẫn giải: a) 2cos 2 x – 1 = 0  cos2x = 0 b) sinx + sin2x + sin3x = 0  sin2x(2cosx + 1) = 0 c) sinx + cosx = 1  √2sin 𝑥 + = 1 Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 66 ➋. PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác . Định nghĩa: PT bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng: at 2 + bt + c = 0; trong đó a, b, c là các hằng số (a  0), t là một HSLG. Ví dụ : a) 2sin 2 x + 3sinx – 2 = 0 b) 3cos 2 x – 5cosx + 2 = 0 c) 3tan 2 x – 2√3tanx + 3 = 0 d) 3cot 2 x – 5cotx – 7 = 0 . Cách giải  Đặt t = sinx (cosx, tanx, cotx)  Đưa về PT: at 2 + bt + c = 0  Chú ý: Nếu đặt t = sinx (cosx) thì cần có điều kiện –1  t  1 a) 2sin 2 x + 3sinx – 2 = 0  𝑡 = sin𝑥 , − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2𝑡 + 3𝑡 − 2 = 0 b) 3cos 2 x – 5cosx + 2 = 0  𝑡 = cos𝑥 , − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 3𝑡 − 5𝑡 + 2 = 0 c) 𝑡 = tan𝑥 3𝑡 − 2√3𝑡 + 3 = 0 d) 𝑡 = cot𝑥 3𝑡 − 5𝑡 − 7 = 0 . Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: a) 2sin + √2sin − 2 = 0 b) 2cos 2 x – 3cosx + 1 = 0 c) cos 2 x + sinx + 1 = 0 d) √3tan 2 x – (1 + √3)tanx + 1=0 Hướng dẫn giải: a) 𝑡 = sin , − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2𝑡 + √2𝑡 − 2 = 0 b) 𝑡 = cos𝑥 , − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2𝑡 − 3𝑡 + 1 = 0 c) 𝑡 = sin𝑥 , − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 −𝑡 + 𝑡 + 2 = 0 d) 𝑡 = tan𝑥 √3𝑡 − (1 + √3)𝑡 + 1 = 0 Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 67 Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 68 ➌. PT bậc nhất đối với sinx và cosx . Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx  sinx + cosx = √2sin 𝑥 + = √2cos 𝑥 −  sinx – cosx = √2sin 𝑥 − = −√2cos 𝑥 +  asinx+bcosx=√𝑎 + 𝑏 .sin(x+ )  với cos  = √ , sin  = √ . PT dạng asinx + bcosx = c  Nếu a = 0, b  0 hoặc a 0, b=0 thì đưa về PTLG cơ bản.  Nếu a  0, b  0 thì dùng công thức biến đổi ở trên đưa về PTLG cơ bản.  Điều kiện có nghiệm: 𝑎 2 + 𝑏 2 ≥ 𝑐 2 Cách giải: Chia hai vế của (1) cho 𝑎 2 + 𝑏 2 , ta được  (1) ⇔ √ sin𝑥 + √ cos𝑥 = √  Vì √ + √ = 1 nên ta đặt sin𝜑 = √ cos𝜑 = √  Phương trình trở thành:sin𝑥 sin𝜑 + cos𝑥 cos𝜑 = √ ⇔ cos(𝑥 − 𝜑 ) = √  Đặt cos𝛼 = √ ta được phương trình lượng giác cơ bản giải được. . Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: a) sinx + √3cosx = 1 b) √3sin3𝑥 − cos3𝑥 = √2 c) 3cosx + 4sinx = –5 d) 2sin2x – 2cos2x = √2 Hướng dẫn giải: a)  2sin 𝑥 + = 1 b)  2sin 3𝑥 − = √2 c)  cos(x + ) = –1 , với cos  = d) sin 2𝑥 − = Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 69 Câu 1: Phương trình 2sin𝑥 − 1 = 0 có tập nghiệm là { . 𝑆 = + 𝑘2𝜋; + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . | . 𝑆 = + 𝑘2𝜋; − + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . } . 𝑆 = + 𝑘2𝜋; − + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . ~ . 𝑆 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Lời giải Ta có: 2sin𝑥 − 1 = 0 ⇔ sin𝑥 = ⇔ sin𝑥 = sin ⇔ 𝑥 = + 𝑘2𝜋 𝑥 = + 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ . Câu 2: Phương trình cot𝑥 + √3 = 0 có các nghiệm là { . 𝑥 = + 𝑘. 2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ ). | . 𝑥 = + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ ). } . 𝑥 = − + 𝑘. 2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ ). ~ . 𝑥 = − + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ ). Lời giải Ta có: cot𝑥 + √3 = 0 ⇔ cot𝑥 = − √3 ⇔ cot𝑥 = cot − ⇔ 𝑥 = − + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ ). Câu 3: Phương trình sin𝑥 = cos𝑥 có số nghiệm thuộc đoạn [−𝜋; 𝜋 ] là { . 3. |. 5. } . 2. ~. 4. Lời giải Ta có sin𝑥 = cos𝑥 ⇔ tan𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋 , (𝑘 ∈ ℤ ). Theo đề 𝑥 ∈ [−𝜋; 𝜋 ] ⇔ −𝜋 ≤ + 𝑘𝜋 ≤ 𝜋 ⇔ − ≤ 𝑘 ≤ . Mà 𝑘 ∈ ℤ ⇒ 𝑘 ∈ {−1; 0}. Vậy có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 4: Số nghiệm trên đoạn [0; 2𝜋 ] của phương trình sin2𝑥 − 2cos𝑥 = 0 là { . 4. |. 3. } . 2. ~. 1. Lời giải Ta có: sin2𝑥 − 2cos𝑥 = 0 ⇔ 2sin𝑥cos𝑥 − 2cos𝑥 = 0 ⇔ 2cos𝑥 (sin𝑥 − 1 ) = 0 ⇔ cos𝑥 = 0 sin𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . Nghiệm trên đoạn [0; 2𝜋 ] ứng với 0 ≤ + 𝑘𝜋 ≤ 2𝜋 ⇔ − ≤ 𝑘 ≤ . Phân dạng bài tập Ⓑ ①. Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo 1 hàm số lượng giác Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 70 Vì 𝑘 ∈ ℤ nên chọn 𝑘 = 0, 𝑘 = 1 . Vậy trên đoạn [0; 2𝜋 ] phương trình đã cho có 2 nghiệm. . Bài tập minh họa: Câu 1: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin 𝑥 − 3sin𝑥 + 1 = 0 thỏa điều kiện 0 ≤ 𝑥 < là { . 𝑥 = . | . 𝑥 = . } . 𝑥 = ~. 𝑥 = . Lời giải 2sin 𝑥 − 3sin𝑥 + 1 = 0 ⇔ sin𝑥 = 1 sin𝑥 = 1 2 ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑥 = 𝜋 2 + 𝑘 2𝜋 𝑥 = 𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 𝑥 = 5𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ. Vì 0 ≤ 𝑥 < nên chỉ có nghiệm 𝑥 = . Câu 2: Tập nghiệm 𝑆 của phương trình cos 𝑥 − 3cos𝑥 = 0 là { . 𝑆 = − . | . 𝑆 = + 𝑘 2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . } . 𝑆 = . ~ . 𝑆 = + 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . Lời giải Chọn D cos 𝑥 − 3cos𝑥 = 0 ⇔ cos𝑥 = 0 cos𝑥 = 3(𝐿 ) ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. Câu 3: Tập nghiệm của phương trình sin 𝑥 − 5sin𝑥 + 4 = 0 là { . 𝑆 = + 𝑘 2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . |. 𝑆 = {𝑘 2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ}. } . 𝑆 = {𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ}. ~ . 𝑆 = + 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . Lời giải Ta có: sin 𝑥 − 5sin𝑥 + 4 = 0 ⇔ sin𝑥 = 1 sin𝑥 = 4 (𝐿 ) . sin𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = + 𝑘 2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. Câu 4: Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 𝜋 ) của phương trình 2cos 5𝑥 + 3cos5𝑥 − 5 = 0 là { . . | . . } . 𝟑𝝅 𝟓 . ~. 𝟗𝝅 𝟓 Lời giải 2cos 5𝑥 + 3cos5𝑥 − 5 = 0 ⇔ cos5𝑥 = 1 cos5𝑥 = − 5 2 (𝐿 ) ⇔ 5𝑥 = 𝑘 2𝜋 ⇔ 𝑥 = 𝑘 2𝜋 5 ; 𝑘 ∈ ℤ Vì 𝒙 thuộc khoảng (0; 𝜋 ) nên có 2 nghiệm thỏa mãn là 𝑥 = ;𝑥 = Vậy tổng các nghiệm bằng . ②. Dạng 2: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 71 . Bài tập minh họa: Câu 1: Nghiệm của phương trình cos𝑥 + sin𝑥 = 1là { . 𝑥 = + 𝑘𝜋 𝑥 = 𝑘𝜋 . | . 𝑥 = + 𝑘𝜋 𝑥 = 𝑘 2𝜋 . } . 𝑥 = + 𝑘 2𝜋 𝑥 = 𝑘 2𝜋 . ~. 𝑥 = + 𝑘 2𝜋 𝑥 = 𝑘𝜋 . Lời giải Ta có cos𝑥 + sin𝑥 = 1 ⇔ √2cos 𝑥 − = 1 ⇔ cos 𝑥 − = √ ⇔ 𝑥 − = + 𝑘 2𝜋 𝑥 − = − + 𝑘 2𝜋 ⇔ 𝑥 = + 𝑘 2𝜋 𝑥 = 𝑘 2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. Câu 2: Nghiệm của phương trình sin𝑥 + √3cos𝑥 = √2 là { .𝑥 = − + 𝑘 2𝜋 ; 𝑥 = + 𝑘 2𝜋 . |.𝑥 = − + 𝑘 2𝜋 ; 𝑥 = + 𝑘 2𝜋 . } .𝑥 = + 𝑘 2𝜋 ; 𝑥 = + 𝑘 2𝜋 . ~.𝑥 = − + 𝑘 2𝜋 ; 𝑥 = − + 𝑘 2𝜋 . Lời giải Ta có sin𝑥 + √3cos𝑥 = √2 ⇔ sin𝑥 + √ cos𝑥 = √ ⇔ cos sin𝑥 + sin cos𝑥 = sin ⇔ sin 𝑥 + = sin ⇔ 𝑥 + = + 𝑘 2𝜋 𝑥 + = + 𝑘 2𝜋 ⇔ 𝑥 = − + 𝑘 2𝜋 𝑥 + = + 𝑘 2𝜋 ,(𝑘 ∈ ℤ) Câu 3: Tìm số nghiệm 𝑥 ∈ − ; − của phương trình √3sin𝑥 = cos − 2𝑥 ? { . 4. | . 3. } . 1. ~. 2. Lời giải Ta có: √3sin𝑥 = cos 3𝜋 2 − 2𝑥 ⇔ √3sin𝑥 + sin2𝑥 = 0 ⇔ √3sin𝑥 + 2sin𝑥 cos𝑥 = 0 ⇔ sin𝑥 √3 + 2cos𝑥 = 0 ⇔ sin𝑥 = 0 cos𝑥 = cos 5𝜋 6 ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑥 = 𝑘𝜋 𝑥 = 5𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 𝑥 = − 5𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. + Ta có: 𝑥 = 𝑘𝜋 ∈ − 3𝜋 2 ; − 𝜋 2 ⇔ − 3𝜋 2 ≤ 𝑘𝜋 < − 𝜋 2 ⇔ − 3 2 ≤ 𝑘 < − 1 2 ⇔ 𝑘 = −1(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ). 𝑥 = 5𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 ∈ − 3𝜋 2 ; − 𝜋 2 ⇔ − 3𝜋 2 ≤ 5𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 < − 𝜋 2 ⇔ − 14 12 ≤ 𝑘 < − 8 12 ⇔ 𝑘 = −1(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ). ③. Dạng 3: Phương trình a.sinx+b.cosx=c Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 72 𝑥 = − 5𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 ∈ − 3𝜋 2 ; − 𝜋 2 ⇔ − 3𝜋 2 ≤ − 5𝜋 6 + 𝑘 2𝜋 < − 𝜋 2 ⇔ − 4 12 ≤ 𝑘 < 2 12 ⇔ 𝑘 = 0(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ). Vậy phương trình √3sin𝑥 = cos − 2𝑥 có 3 nghiệm 𝑥 ∈ − ; − . . Bài tập minh họa: Câu 1: Điều kiện để phương trình: 3sinx + mcosx = 5 vô nghiệm là { . m ≤ −4 m ≥ 4 . | . m > 4. } . m < −4. ~. −4 < m < 4. Lời giải Phương trình 3sin𝑥 + 𝑚 cos𝑥 = 5 vô nghiệm khi và chỉ khi 3 + 𝑚 < 5 ⇔ 𝑚 < 16 ⇔ −4 < 𝑚 < 4. Câu 2: Tập hợp tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình (𝑚 + 1)sinx − 3cos𝑥 = 𝑚 + 2 có nghiệm là { . (3; +∞). | . (−∞; 3). } . [3; +∞). ~. (−∞; 3]. Lời giải Phương trình có nghiệm khi (𝑚 + 1) + 3 ≥ (𝑚 + 2) ⇔ −2𝑚 ≥ −6 ⇔ 𝑚 ≤ 3. Câu 3: Điều kiện của 𝑚 để phương trình 𝑚 sin𝑥 − 3cos𝑥 = 5 có nghiệm là. { . 𝑚 ≥ √34. | . −4 ≤ 𝑚 ≤ 4. } . 𝑚 ≤ −4 𝑚 ≥ 4 . ~. 𝑚 ≥ 4. Lời giải Điều kiện có nghiệm của phương trình là: 𝑚 sin𝑥 − 3cos𝑥 = 5 là 𝑚 + 9 ≥ 25 ⇔ 𝑚 ≤ −4 𝑚 ≥ 4 . Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để phương trình 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 2𝑚 vô nghiệm? { . 𝑚 ≤ 0 𝑚 ≥ . | . 0 ≤ 𝑚 ≤ . } . 0 < 𝑚 < . ~. 𝑚 < 0 𝑚 > . Lời giải. Ta có: 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 2𝑚 ⇔ 𝑚𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2𝑚 − 1 (1) Điều kiện phương trình (1) vô nghiệm là: 𝑚 + 1 < (2𝑚 − 1) ⇔ 3𝑚 − 4𝑚 > 0 ⇔ 𝑚 < 0 𝑚 > . Vậy với 𝑚 < 0 𝑚 > thì phương trình trên vô nghiệm. Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 𝑚 thuộc đoạn [0; 10] để phương trình (𝑚 + 1)sin𝑥 − cos𝑥 = 1 − 𝑚 có nghiệm. { . 21. | . 18. } . 20. ~. 11. Lời giải ④. Dạng 4: Phương trình lượng giác có chứa tham số. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 73 Phương trình (𝑚 + 1 )sin𝑥 − cos𝑥 = 1 − 𝑚 có nghiệm ⇔ (𝑚 + 1 ) + (−1) ≥ (1 − 𝑚 ) ⇔ 𝑚 ≥ − . Vì 𝑚 nhận giá trị nguyên thuộc đoạn [0; 10] nên có 11 giá trị 𝑚 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 1: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: { . 3sin 2 x  . | . 1 1 cos 4 4 2 x  . } . 2sin 3cos 1 x x   . ~ . 2 cot cot 5 0 x x    . Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình 2sin 3 0 x   . { . x   . | .   3 arcsin 2 2 3 arcsin 2 2 x k k x k                             . } .   3 arcsin 2 2 3 arcsin 2 2 x k k x k                            . ~ . x   . Câu 3: Nghiệm của phương trình 2 sin 4sin 3 0 x x    là { . 2 , 2        x k k . |. 2 ,       x k k . } . 2 , 2       x k k . ~ . 2 ,     x k k Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? { . tan 3 x  . | . sin 3 0 x   . } . 3sin 2 0 x   . ~ . 2 2cos cos 1 0 x x    . Câu 5: Giải phương trình 2 3sin 2cos 2 0 x x    . { . , 2 x k k       . | . , x k k     . } . 2 , x k k     . ~ . 2 , 2 x k k       . Câu 6: Nghiệm của phương trình lượng giác 2 sin 2sin 0 x x   có nghiệm là: { . 2 x k   . |. x k   . } . 2 x k     . ~. 2 2 x k     . Câu 7: Nghiệm của phương trình 2 2 sin – 3sin 1 0 x x   thỏa điều kiện: 0 2 x    . { . 6 x   . |. 4 x   . } . 2 x   . ~. 2 x    . Bài tập rèn luyện Ⓒ Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 74 Câu 8: Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2 2sin 5sin 3 0 x x    là: { . 6 x   . | . 2 x   . } . 3 2 x   . ~. 5 6 x   . Câu 9: Phương trình cos 2 4sin 5 0 x x    có bao nhiêu nghiệm trên khoảng   0;10  ? { . 5. | . 4 . } . 2 . ~. 3. Câu 10: Phương trình lượng giác 2 cos 2cos 3 0 x x    có nghiệm là: { . 2 . x k   | . 0 x  . } . 2 2 x k     . ~. Vô nghiệm. Câu 11: Cho phương trình: cos 2 sin 1 0 x x      * . Bằng cách đặt sin t x    1 1 t    thì phương trình   * trở thành phương trình nào sau đây? { . 2 2 0 t t    . | . 2 2 0 t t    . } . 2 2 2 0 t t     . ~. 2 0 t t    . Câu 12: Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn   0;10  của phương trình 2 sin 2 3sin 2 2 0 x x    . { . 105 2  . | . 105 4  . } . 297 4  . ~. 299 4  . Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2 2sin 2 cos 2 1 0 x x    trong   0;2018  là { . 1009 . | . 1008 . } . 2018 . ~. 2017 . Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác 2 cos cos 0 x x   thỏa mãn điều kiện 0 x    . { . 2 x   . | . 0 x  . } . x   . ~. 4 x   . Câu 15: Nghiệm của phương trình 2 3cos – 8 cos – 5 x x  là { . x k   . | . 2 x k     . } . 2 x k   . ~. 2 2 x k      . Câu 16: Giải phương trình 2 2sin 3 sin 2 3 x x   { . 3 x k      . | . 3 x k     . } . 2 3 x k     . ~. 5 3 x k     . Câu 17: Giải phương trình 2 2 2 sin sin tan 3 x x x   . { . 6 x k      . | . 6 2 x k      . } . 3 x k      . ~. 3 2 x k      . Câu 18: Giải phương trình   4 4 4 sin cos 5cos 2 . x x x   { . 6 x k      . | . 24 2 k x      . } . 12 2 k x      . ~. 6 2 k x      . Câu 19: Giải phương trình 2 4 cos cos 3 x x  . { . 3 3 4 5 3 4 x k x k x k                     . | . 4 5 4 x k x k x k                     . } . 3 3 4 x k x k            . ~. 3 5 3 4 x k x k            . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 75 Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin cos 1 x x   là { . 2 x k   . | . 2 2 2 x k x k           . } . 2 4 x k     . ~. 2 4 2 4 x k x k                . Câu 21: Phương trình 2 2sin 3sin2 3 x x   có nghiệm là { . 3 x k     . | . 2 3 x k     . } . 4 3 x k     . ~. 5 3 x k     . Câu 22: Điều kiện có nghiệm của pt .sin 5 .cos5 a x b x c   là { . 2 2 2 a b c   . | . 2 2 2 a b c   . } . 2 2 2 a b c   . ~. 2 2 2 a b c   . Câu 23: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: { . 3 sin 2 x  . | . 1 1 cos 4 4 2 x  . } . 2sin 3cos 1 x x   . ~ . 2 cot cot 5 0 x x    . Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 5sin 12cos x x m   có nghiệm? { . 13. | . Vô số. } . 26 . ~. 27 . Câu 25: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sinx sin( ) 3 y x     bằng a và b . Khi đó S a b a b    có giá trị bằng { . 3 | . 2 } . 3  ~. 3  Câu 26: Cho phương trình 2 2 sin cos 4 cos 5 m x x x m    , với m là một phần tử của tập hợp   3; 2; 1;0;1;2 E     . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm? { . 3. | . 2 . } . 6 . ~. 4 . Câu 27: Số nghiệm thuộc 3 ; 2           của phương trình 3 3 sin cos 2 2 x x          là: { . 3. | . 1. } . 2 . ~. 0 . Câu 28: Nghiệm của phương trình sin 3 cos 2 x x   là: { . 5 2 ; 2 12 12 x k x k          . |. 3 2 ; 2 4 4 x k x k          . } . 2 2 ; 2 3 3 x k x k         . ~. 5 2 ; 2 4 4 x k x k           . Câu 29: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình 2 2 sin 2sin 2 3 cos 2 a x x a x    có nghiệm { . 3 a  | . 2 a  } . 1 a  ~. 1 a   Câu 30: Nghiệm của phương trình cos sin 1 x x   là: { . 2 ; 2 2 x k x k       . |. ; 2 2 x k x k        . } . ; 2 6 x k x k       . ~. ; 4 x k x k       . Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin cos 5 2 2 x x m   có nghiệm. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 76 { . 2 2 m m       . | . 2 2 m m       . } . 2 2 m    . ~. 2 2 m    . Câu 32: Phương trình     3 1 sin 3 1 cos 3 1 0 x x       có các nghiệm là:. { . 2 4 2 6 x k x k                . | . 2 2 2 3 x k x k                . } . 2 6 2 9 x k x k                . ~. 2 8 2 12 x k x k                . Câu 33: Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình   cos 2 sin 2 1 0 m x m x m      có nghiệm. { . 0 | . 3 } . vô số ~. 1 Câu 34: Nghiệm của phương trình sin cos 3 0 x x   là: { . 6 x k      . | . 3 x k      . } . 3 x k     . ~. 6 x k     . Câu 35: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng   0;  của phương trình: 2 cos3 sin cos x x x   . { . 2  . | . 3  . } . 3 2  . ~.  . Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn   10;10  để phương trình sin 3 cos 2 3 3 x x m                   vô nghiệm. { . 21. | . 20. } . 18. ~. 9. Câu 37: Cho phương trình sin 4cos 2 5 m x x m    với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm? { . 4 . | . 7. } . 6. ~. 5. Câu 38: Phương trình: 3 3sin 3 3 sin 9 1 4sin 3    x x x có các nghiệm là: { . 2 6 9 7 2 6 9                x k x k . | . 2 9 9 7 2 9 9                x k x k . } . 2 12 9 7 2 12 9                x k x k . ~. 54 9 2 18 9                 x k x k . Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình   sin 1 .cos 5 2 2 x x m    vô nghiệm? { . 3 m  hoặc 1 m   . |. 1 3 m    . } . 3 m  hoặc 1 m   . ~ . 1 3 m    . Câu 40: Hàm số 2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3 x x y x x     có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? { . 1. . | . 2. } . 3. ~. 4. Câu 41: Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình   4 s i n 4 c o s 2 5 0 x m x m      có nghiệm là: Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 77 { . 5 | . 6 } . 1 0 ~. 3 Câu 42: Tìm m để phương trình sin 5cos 1 m x x m    có nghiệm. { . 12 m  . | . 6 m  } . 24 m  . ~. 3 m  . Câu 43: Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình 2 2 sin 2sin 2 3 cos 2 a x x a x    có nghiệm? { . 2 . | . 11 3 . } . 4 . ~. 8 3 . Câu 44: Để phương trình sin 2 os2 2 m x c x   có nghiệm thì m thỏa mãn { . 1. m  | . 3 . 3 m m        } . 2 . 2 m m        ~. 1. m  Câu 45: Tìm m để phương trình 2sin cos 1 x m x m    có nghiệm ; 2 2 x           { . 1 3 m    . | . 3 2 m   . } . 1 3 m   . ~. 3 2 m  . Câu 46: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 s i n x + m s i n 2 x = 2 m vô nghiệm? { . 0 4 3 m m       . | . 4 0 3 m   . } . 4 0 3 m   . ~. 0 4 3 m m       . Câu 47: Điều kiện để phương trình .sin 3cos 5 m x x   có nghiệm là: { . 4 m  . | . 4 4 m    . } . 34 m  . ~. 4 4 m m       . Câu 48: Tìm m để phương trình cos 2sin 3 2cos sin 4 x x m x x      có nghiệm. { . 2 0 m    | . 0 1 m   } . 2 2 11 m   ~. 2 1 m     Câu 49: Để phương trình:     2 sin 2 1 sin 3 2 0 x m x m m      có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: { . 1 1 2 2 1 2 m m          . | . 1 1 3 3 1 3 m m          . } . 2 1 0 1 m m          . ~. 1 1 3 4 m m         . Câu 50: Cho phương trình: sin cos sin cos 0 x x x x m     , trong đó m là tham số thự } . Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là { . 1 2 2 2 m      . |. 1 2 1 2 m     . } . 1 1 2 2 m    . ~. 1 2 1 2 m     . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C A C B C B A A A A A A C A B B C A A Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 78 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A C D C A C A B A A B D A C C C D D B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A A D B A D A C B D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Lời giải Chọn C Phương trình 2sin 3cos 1 x x   có 2 2 2 2 3 1   . Vậy phương trình 2sin 3cos 1 x x   có nghiệm. Câu 2. Lời giải Chọn A Ta có: 3 2sin 3 0 sin 1 2 x x      nên phương trình vô nghiệm. Câu 3. Lời giải Chọn C 2 sin 4sin 3 0 x x    sin 1 sin 3 x x       . Với sin 1 x  2 , 2        x k k . Với sin 3 x  phương trình vô nghiệm. Câu 4. Lời giải Chọn B Ta có: 1 sin 1 x    nên phương trình sin 3 0 sin 3 x x      vô nghiệm. Câu 5. Lời giải Chọn C Ta có 2 3sin 2cos 2 0 x x    2 3cos 2cos 5 0 x x     cos 1 x   2 , x k k      . Câu 6. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 79 Lời giải Chọn B Ta có   2 sin 0 sin 2sin 0 sin sin 2 0 . sin 2 x x x x x x            Vì 1 sin 1 x    nên chỉ có sin 0 x  thỏa mãn. Vậy ta có sin 0 , x x k      . k   Câu 7. Lời giải Chọn A 2 2 sin – 3sin 1 0 x x     2 2 sin 1 2 1 6 sin 2 5 2 6 x k x x k k x x k                                Vì 0 2 x    nên nghiệm của phương trình là 6 x   . Câu 8. Lời giải Chọn A 2 sin 3 2sin 5sin 3 0 1 sin 2 x x x x            2 1 6 sin 5 2 2 6 x k x x k                  . Câu 9. Lời giải Chọn A PT đã cho 2 2sin 4sin 6 0 x x        sin 1 sin 3 x x V N          2 , 2 x k k         . Theo đề:   0;10 x   0 2 10 2 k         1 21 4 4 k    . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 80 Vì k   nên   1;2;3;4;5 k  . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng   0;10  . Câu 10. Lời giải Chọn A Ta có 2 cos 2 cos 3 0. x x    Đặt cos x t  với điều kiện 1 1, t    ta được phương trình bậc hai theo t là 2 2 3 0. t t      * Phương trình   * có hai nghiệm 1 1 t  và 2 3 t   nhưng chỉ có 1 t thỏa mãn điều kiện. Vậy ta có cos x 1 2 , x k      . k   Câu 11. Lời giải Chọn A 2 2 2 cos 2 sin 1 0 1 2sin sin 1 0 2sin sin 0 2 0 x x x x x x t t                 . Câu 12. Lời giải Chọn A Ta có: 2 sin 2 3sin 2 2 0 x x    sin 2 1 sin 2 2 x x         (loaïi) sin 2 1 x    4 x k       , k   . Theo đề bài: 0 10 4 k        1 41 4 4 k    1, 2,...,10 k   . Vậy tổng các nghiệm là: 3 3 3 ... 9 4 4 4 S                        105 2   . Câu 13. Lời giải Chọn C Ta có 2 2sin 2 cos2 1 0 x x      2 2 1 cos 2 cos2 1 0 x x      2 2cos 2 cos 2 3 0 x x     cos2 1 3 cos2 ( / ) 2 x x k o t m         cos 2 1 x      2 2 x k k Z       2 x k      Để   0;2018 x   0 2018 , 2 k k Z         1 1 2018 , 2 2 k k Z       Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 81   0;2017 , k k Z    . Khi đó phương trình có 2018 nghiệm. Vậy chọn đáp án 𝐶 . Câu 14. Lời giải Chọn { . Ta có 2 cos 0 cos cos 0 2 cos 1 2 x x k x x x x k                      k   . Với 2 x k     , do 0 x    nên ta được 2 x   . Với 2 x k   , do 0 x    nên không có x nào thỏa mãn. Câu 15. Lời giải Chọn B 2 3cos – 8 cos – 5 x x    2 cos 1 3cos 8cos 5 0 2 5 cos 1 3 x x x x k k x                       . Câu 16. Lời giải Chọn B Ta có 2 2sin 3 sin 2 3 x x   1 cos 2 3sin 2 3 x x     3 sin 2 cos 2 2 x x    3 1 sin 2 cos 2 1 2 2 x x    sin 2 1 6 x           2 2 6 2 3 x k x k             . Câu 17. Lời giải Chọn C ĐK: cos 0 2 x x k       .   4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos sin sin tan 3 3 sin sin cos 3cos cos x x x x x x x x x x x         2 tan 3 tan 3 3 x x x k            (tm). Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 82 Câu 18. Lời giải Chọn A     4 4 2 2 4 sin cos 5cos 2 4 1 2sin cos 5cos 2 x x x x x x        2 2 2 4 2sin 2 5cos 2 4 2 1 cos 2 5cos 2 2cos 2 5cos 2 2 0 x x x x x x            1 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 3 3 6 cos 2 2 ( ) x x x k x k x l                       . Câu 19. Lời giải Chọn A 2 4 4 1 cos 2 2 2 cos cos cos 2cos 2. 1 cos3. 3 3 2 3 3 x x x x x x        2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos 1 1 4cos 3cos 4cos 4cos 3cos 3 0 3 3 3 3 3 3 x x x x x x                 2 2 2 3 cos 1 2 3 2 3 6 2 3 cos 2 5 3 2 2 3 6 x k x x k x x k                                 3 3 4 5 3 4 x k x k x k                     . Câu 20. Lời giải Chọn B sin cos 1 2 sin 1 4 x x x             2 1 4 4 sin 4 2 2 4 4 x k x x k                                2 2 2 x k x k            . Câu 21. Lời giải Chọn A Phương trình tương đương 3sin 2 cos2 2 x x   sin 2 1 2 1 6 6 3 x x x k                    Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 83 Câu 22. Lời giải Chọn A Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với sin và cos có nghiệm Câu 23. Lời giải Chọn C Phương trình 2sin 3cos 1 x x   có 2 2 2 2 3 1   . Vậy phương trình 2sin 3cos 1 x x   có nghiệm. Câu 24. Lời giải Chọn D Phương trình 5sin 12cos x x m   có nghiệm khi và chỉ khi   2 2 2 5 12 m     2 169 m  13 13 m     . Suy ra có 27 số nguyên m để phương trình 5sin 12cos x x m   có nghiệm. Câu 25. Lời giải Chọn C Ta có 1 3 3 3 sinx sinx cos x sinx x 2 2 2 2 y c o s      . Gọi 0 y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình 0 3 3 sinx x 2 2 y c o s   có nghiệm khi và chỉ khi 2 0 0 9 3 12 3 3 4 4 4 y y        . Suy ra 3, 3 a b    Vậy 3 S a b a b      Câu 26. Lời giải Chọn A Ta có 2 2 sin cos 4 cos 5 m x x x m    1 cos 2 sin 2 4 5 2 x m x m      sin 2 2cos 2 3 m x x m     . Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi   2 2 5 4 3 9 m m m       . Vậy có ba giá trị của m E  để phương trình đã cho có nghiệm. Câu 27. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 84 Lời giải Chọn C Ta có 3 3 sin cos 2 2 x x            3 sin sin 2 x x     3 sin sin 2 3 sin 2sin cos x x x x x       sin 0 5 3 5 2 cos cos 6 2 6 x x k x k x                          k   . Bài ra 3 ; 2 x            nên 3 ; 1 2 k k x                    . 5 3 7 2 ; 1 6 2 6 k k x                      . 5 3 2 ; 6 2 k k x                      . Do đó số nghiệm thuộc 3 ; 2           của phương trình đã cho là 2 . Câu 28. Lời giải Chọn A sin 3 cos 2 x x   1 3 2 sin cos cos .sin sin .cos sin 2 2 2 3 3 4 x x x x            2 2 3 4 12 sin sin 3 5 3 4 2 2 3 4 12 x k x k x k x k x k                                                 . Câu 29. Lời giải Chọn B 2 2 sin 2sin 2 3 cos 2 a x x a x    1 cos 2 1 cos 2 2sin 2 3 2 2 2 x x a x a       cos 2 4sin 2 3 3 cos 2 4 a a x x a a x       4sin 2 2 cos 2 4 4 x a x a       *   * có nghiệm khi   2 2 2 4 4 4 4 a a    2 12 32 0 a a    2 12 32 0 a a    8 0 3 a    . Do a   và là số lớn nhất nên 2 a  . Câu 30. Lời giải Chọn A Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 85 cos sin 1 x x   2 2 4 4 2 sin 1 sin 3 4 4 2 2 4 4 x k x x x k                                          2 2 2 x k k x k              . Câu 31. Lời giải Chọn A Điều kiện có nghiệm của phương trình là: 2 2 2 2 2 1 5 4 2 m m m m            . Câu 32. Lời giải Chọn B Phương trình tương đương     3 sin cos sin 3 cos 3 1 0 x x x x       2sin 2sin 1 3 4cos .sin 1 3 6 3 12 3 3 1 5 cos cos cos 12 12 12 2 2 2 2 2 3 x x x x x x k x k                                                                                    Câu 33. Lời giải Chọn D Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:     2 2 2 2 2 1 m m m     2 2 3 0 m    3 3 2 2 m     Vậy có 1 giá trị nguyên. Câu 34. Lời giải Chọn A 1 sin cos 0 sin .cos 0 3 3 . sin 0 2 6 2 x x x x x                  6 6 x k x k k Z             . Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 86 Câu 35. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 2 cos3 sin cos x x x   cos3 cos 4 x x             8 16 2 x k k x k                   . Vì   0; x   nên nhận 7 8 x   , 16 x   , 9 16 x   . Câu 36. Lời giải Chọn C Phương trình vô nghiệm     2 2 2 2 1 1 3 2 4 4 0 1 m m m m               .     10;10 10; 9; 8;...; 2; 2;...;8;9;10 m m m                  có 18 giá trị. Câu 37. Lời giải Chọn C Điều kiện để phương trình sin 4cos 2 5 m x x m    có nghiệm là   2 2 2 10 73 10 73 16 2 5 3 20 9 0 3 3 m m m m m             . Vậy   1, 2,3, 4,5,6 m  . Câu 38. Lời giải Chọn D Ta có   3 3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1 x x x x x x        2 9 2 1 3 6 54 9 sin 9 3 cos9 1 sin 9 5 2 3 2 9 2 3 6 18 9 k x k x x x x k x k x                                                 . Câu 39. Lời giải Chọn D Phương trình   sin 1 .cos 5 2 2 x x m    vô nghiệm khi 2 2 2 a b c     2 2 1 1 5 2 3 0 1 3 m m m m             . Câu 40. Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 87 Lời giải Chọn B Ta có     2sin 2 cos 2 2 sin 2 1 cos 2 3 . sin 2 cos 2 3 x x y y x y x y x x           . Điều kiện để phương trình có nghiệm       2 2 2 2 2 1 3 7 2 5 0 y y y y y           .   5 1 1;0 7 y y y             nên có 2 giá trị nguyên. Câu 41. Lời giải Chọn A   4 s in 4 co s 2 5 0 x m x m        4 si n 4 c os 2 5 x m x m      . Phương trình có nghiệm khi     2 2 2 4 4 2 5 0 m m      2 3 1 2 7 0 m m      6 5 7 6 57 3 3 m      Vì m   nên   0 , 1 , 2 , 3 , 4 m  . Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 1 0 . Câu 42. Lời giải Chọn A Phương trình có nghiệm   2 2 25 1 2 24 12 m m m m         . Câu 43. Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 sin 2sin 2 3 cos 2 a x x a x     1 cos 2 x 1 cos 2 x 2sin 2 3 2 2 2 a x a        4sin 2 2 cos 2 4 4 * x a x a     . Phương trình   * có nghiệm    2 2 16 4 4 4 a a     2 12 32 0 a a    8 0 3 a   . Câu 44. Lời giải Chọn B Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 88   2 2 2 2 sin 2 os2 2 1 2 sin 2x cos 2 1 1 1 2 sin 2 1 m x c x m x m m m x m              có nghiệm khi 2 3 2 1 . 1 3 m m m           Câu 45. Lời giải Chọn A Đặt tan 2 x t  , do ; 2 2 x           suy ra   1 ;1 t   . Phương trình trở thành tìm m để phương trình 2 2 2 4 1 . 1 1 1 t t m m t t       có nghiệm thuộc đoạn   1;1  . Ta có 2 2 2 4 1 . 1 1 1 t t m m t t       . Hoành độ đỉnh là 0 2 t  loại. Ta có   1 3 f   và   1 1 f   . Suy ra   1 3 f t    . Vậy ta chọn đáp án { . Câu 46. Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 s i n x + m s i n 2 x = 2 m m s i n 2 x - c o s 2 x = 2 m - 1    1 Điều kiện phương trình   1 vô nghiệm là:   2 2 2 0 1 2 1 3 4 0 4 3 m m m m m m              . Vậy với 0 4 3 m m       thì phương trình trên vô nghiệm. Câu 47. Lời giải Chọn A Điều kiện để phương trình .sin 3cos 5 m x x   có nghiệm là 2 2 2 2 3 5 16 m m      4 4 m m       . Câu 48. Lời giải   2 1 1 2 2 2 m t t f t      Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 89 Chọn C Ta có 2 c o s s i n x 4 0 , x x       nên   cos 2sin 3 cos 2sin 3 2cos sin 4 2 cos sin 4            x x m x x m x x x x     2 1 c o s x - 2 s i n x 4 3 0 m m m       (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi       2 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 1 2 4 4 0 2 1 1 m m m m m m              Câu 49. Lời giải Chọn B Đặt t sin x      2 3 2 1 3 2 0 2 t m t m t m m t m               sin 3 sin 2 x m x m         Để phương trình có nghiệm thì 1 1 1 3 1 3 3 1 2 1 1 3 m m m m                      Câu 50. Lời giải Chọn D Đặt   2 1 sin cos 2 sin cos 2 t x x t t x x       . Khi đó ta có phương trình   2 2 1 0 2 2 1 0 * 2 t t m t t m          Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình   * có nghiệm     2 2 0 2 1 2 1 1 2 2; 2 2 1. 1 2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 0 m s m t m m f m f m                                                 