Chuyên đề khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – Trần Mạnh Tường

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Tác giả: Trần Mạnh Tường Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 B. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Định nghĩa Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó , , a b a A b B                , d a b AB   2. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Có 3 phương pháp thường dùng a. Phương pháp 1: Dùng định nghĩa - Xác định đoạn vuông góc chung AB của hai đường thẳng chéo nhau - Tính độ dài đoạn AB. b. Phương pháp 2: - Chọn hoặc dựng 1 mặt phẳng (P) chứa 1 đường và song song với đường thẳng còn lại (chẳng hạn chứa b và song song với a) - Khi đó           , ; ; d a b d a P d M P   với M là điểm tùy ý trên đường thẳng a c. Phương pháp 3: - Chọn hoặc dựng 2 mặt phẳng lần lượt chứa 1 đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại. - Khi đó                 , ; ; ; d a b d P Q d H P d K Q    với     , H Q K P   d. Sử dụng phương pháp vectơ (ít dùng) b a B A b a' a P H M b a' a Q P b' H K II. BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1. VÍ DỤ MINH HỌA: Câu 1: (nhiều cách giải) Cho hình lập phương . AB C D A B C D     cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ' A D và B D . Lời giải Cách 1. Dựng đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung. Do   // B D B D A D AB D            nên   A B D   là mặt phẳng chứa A D  và song song với B D . Gọi O là tâm của hình vuông AB C D . Ta dựng hình chiếu của điểm O trên   A B D   . Do B D A C B D C C               B D C C A       B D A C        1 Tương tự (2) A C AD    . Từ (1),(2) suy ra   A C AE D     . Gọi   G A C A B D      . Do A B D    đều và A A A E A D        nên G là trọng tâm của tam giác A B D   . Vậy Gọi I là tâm của hình vuông A B C D     thì A I là trung tuyến của tam giác AB D   nên , . A G I thẳng hàng. Trong   A C C A  dựng // O H C A  cắt A I tại H thì H là hình chiếu của O B D  trên   A B D   . Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt A D  tại M , từ M dựng đường thẳng song song với O H cắt B D tại N thì M N là đoạn vuông góc chung của A D  và B D do đó   , d AD B D M N   . Dễ thấy M N O H là hình chữ nhật nên M N O H  . Do O H là đường trung bình trong tam giác 1 2 AC G O H C G   . Mặt khác 2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 G C A C a C G G A C G C A a G A A I             . 1 2 3 3 2 3 3 a a O H     . Vậy   3 , 3 a d A D B D M N O H     . N M H G I O B' B A C' D C D' A' Cách 2. Tính độ dài đoạn vuông góc chung mà không cần dựng vị trí cụ thể của đoạn vuông góc chung. Giả sử M N là đoạn vuông góc chung của A D  và B D với , M A D N B D    . Từ M kẻ M P A D  , từ N kẻ N Q AD  . Dễ thấy ( ) BD M N P BD N P    ; ( ) AD M N Q A D M Q      . Hai tam giác A M Q và D N P vuông cân nên 3 a Q D Q N Q P M P P A      . Lại có 2 2 2 2 3 2 D P a a P N    . Từ đó 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 a a a a M N P M P N M N                      . Cách 3. ( dùng phương pháp 3) Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng song song chứa hai đường đó. Dễ thấy         // A D AB D B D BD C A B D BD C                         , , d A D B D d A B D B D C       . Gọi , I J lần lượt là giao điểm của A C  với các mặt phẳng     s A B D B D C    . Theo chứng minh trong cách 1 thì , I J lần lượt là trọng tâm của các tam giác A B D   và   BDC  . Mạt khác dễ dạng chứng minh được     , A C AB D A C B D C        . suy ra         1 3 , , 3 3 a d AD B D d A B D B D C I J A C          . Q P B' B A C' A' D' C D M N J I B' B A C' A' D' C D Cách 4. Sử dụng phương pháp vec tơ Gọi M N là đoạn vuông góc chung của ' AD và B D với , ' M AD N B D   . Đặt A B x       , AD y       , A A z        x y z a        , . . . 0 x y y z x z          ( ), ( ) A D y z AM k A D k y z D B x y D N m x y                                          . Ta có   1 M N A N AM A D D N AM m x k m y k z                                         . Vì       . 0 1 0 M N D B M N D B m x k m y x y                                2 1 0 m k     . Tương tự . ' 0 1 m 2k 0 M N A D                , từ đó ta có hệ 2 1 1 2 1 3 m k m k m k           . Vậy   2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 9 3 a M N x y z M N M N x y z                          . Câu 2: (dùng định nghĩa) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình vuông cạnh a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của A B và A D , H là giao điểm của C N và D M . Biết S H vuông góc mặt phẳng   A BC D và 3 S H a  . Khoảng cách giữa đường thẳng D M và SC là A. 57 19 a . B. 57 38 a . C. 3 57 38 a . D. 2 57 19 a . Lời giải Chọn D Ta có:   AD M D C N c g c      .        90 90 o o A D M D C N A D M C D M D C N C D M D H C D M N C            . Ta có:   C N D M D M SN C SH D M        . Kẻ   H K S C K S C   . Mặt khác H K D M  vì   D M SN C  . H K  là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng D M và S C .   ; d SC D M H K   . 2 2 . D C D C H C C N H C C N    2 2 2 2 2 2 2 5 5 2 D C a a D N D C a a            . H M N D A B C S K Xét tam giác SHC vuông tại H:   2 2 2 2 2 5 3. . 2 57 5 19 2 5 3 5 a a SH H C a H K SH H C a a            . Vậy khoảng cách giữa S C và D M bằng 2 57 19 a . Câu 3: (dùng phương pháp 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,  0 60 , 2 A B C SA SB SC a     . Khoảng cách giữa AB và SC bằng. A. 11 12 a . B. 11 4 a . C. 11 8 a . D. 3 11 4 a . Lời giải. Chọn B Ta có : AB C  đều, S A SB S C   , gọi G là trọng tâm A B C  nên     hay S G A B C S G AB C D   Ta lại có:   / / / / A B C D A B S C D  .               3 , , , , 2 d A B SC d A B S C D d B SC D d G SC D     Mặt khác : Kẻ G I S C  Mà / / C G AB C D C G AB C D             do / / C D C G C D SC G C D G I G I S C G C D SG           .       , / / G I C D G I SC D d G S C D G I G I SC         Tam giác SGC vuông tại G, có 2 3 3 3 a C G C K   suy ra 2 2 2 2 33 4 3 3 a a SG SC G C a      . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 36 11 11 11 6 a G I G I S G G C a a a        . Vậy       3 11 , , 2 4 a d A B S C d G SC D   . G O K A D C B S I Câu 4: (dùng phương pháp 3) Cho lăng trụ . A B C A B C    có các mặt bên là những hình vuông cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C  và A B  . A. 3 2 a . B. 5 2 a . C. 3 4 a . D. 5 5 a . Lời giải Chọn D + Gọi , D E lần lượt là trung điểm của B C và B C  . // ; // AD A E B D C E        // C A E AD B                , , , d A B A C d A D B C E A d B C E A          +     ' ' ' ' B C C A E E E B E C             , , d B C A E d C C A E       . + A B C     A E B C      . Vì ' A B B A  là hình vuông A E C C       A E C C E         C A E C C E     mà     C A E C C E C E      từ C  hạ đường vuông góc xuống C E tại H thì     , C H d C C A E     . + Xét tam giác vuông tại C C E  tại C  có 2 2 2 2 . . 5 2 ; 2 5 4 a a a C C C E a C C a C E C H C C C E a a                  5 , 5 a d AB A C     . Câu 5: (dùng phương pháp 2) Cho hình hộp chữ nhật . A B C D A B C D     có đáy A B C D là hình vuông cạnh 2 a , 2 A A a   . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B D và C D  . A. 2 a . B. 2 a . C. 5 5 a . D. 2 5 5 a . Lời giải Chọn D + Ta có     // , // BD B D B D C D B B D C D B              , d C D B D      , d D C D B    . + Gọi I D C D C       I D C C D B       mà I là trung điểm của D C          , , d D C D B d C C D B        . + Vì A B C D     là hình vuông tâm O  cạnh 2 a C O a     2 2 5 C O C C C O a         Ta có diện tích 2 1 1 . 5.2 5 2 2 C B D S C O B D a a a           . + Ta '. ' ' . ' ' ' C C D B C C B D V V  1 . . 6 C C C B C D     2 3 1 2 2 .2 6 3 a a a   H D E A' B' C' C B A a 2 I O' 2a a 2 D' C' B' A' D C B A     3 . ' ' ' 2 ' ' 2 3. 3 2 5 3 , . 5 5 C C B D C B D a V a d C C B D S a         2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Câu 6. Cho tứ diện O A B C có ba cạnh O A , O B , O C đôi một vuông góc nhau tại O với 3 O A a  , O B a  , 2 O C a  . Gọi , I J lần lượt là trọng tâm các tam giác O A B và O A C . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng I J và A C . A. 2 7 a . B. 4 7 a . C. 6 7 a . D. 8 7 a . Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng . A B C A B C    có tất cả các cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B   và B C  . A. a . B. 3 7 a . C. 21 7 a . D. 2 2 a . Câu 8. Cho hình lăng trụ . A B C A B C    có đáy là tam giác đều A B C cạnh a . Gọi M là trung điểm của A B , tam giác A C M  cân tại A  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A B và C C  , biết rằng thể tích khối lăng trụ . A B C A B C    là 3 3 8 V a  . A. 21 14 d a  . B. 2 39 3 d a  . C. 2 39 13 d a  . D. 21 7 d a  . Câu 9. Cho hình chóp . S A BC D có đáy A B C D là hình vuông cạnh bằng 4 a , cạnh S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh S C và mặt phẳng   A BC D bằng 0 60 , M là trung điểm của B C , N là điểm thuộc cạnh A D sao cho D N a  . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và M N . A. 8 618 103 a . B. 4 618 103 a . C. 3 618 103 a . D. 8 618 309 a . Câu 10. Cho hình chóp . S AB C D có đáy là hình chữ nhật 2; A B a A D a   , các mặt bên ; S B C S C D là các tam giác vuông tại ; B D . Góc tạo bởi cạnh S C và mặt phẳng đáy bằng 45 .Gọi M là trung điểm cạnh A D . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B M và SC theo a . A. 2 30 15 a . B. 15 5 a . C. 3 10 a . D. 3 15 a . ĐÁP ÁN Câu 6. Cho tứ diện O A B C có ba cạnh O A , O B , O C đôi một vuông góc nhau tại O với 3 O A a  , O B a  , 2 O C a  . Gọi , I J lần lượt là trọng tâm các tam giác O A B và O A C . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng I J và A C . A. 2 7 a . B. 4 7 a . C. 6 7 a . D. 8 7 a . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm cạnh O A . Ta có 1 3 M I M J M B M C   nên // I J B C . Do đó:                   , , , 2 1 , , 3 3 d I J A C d I J AB C d I AB C d M A BC d O AB C     . Tứ diện O AB C có ba cạnh O A , O B , O C đôi một vuông góc nhau tại O nên:     2 2 2 2 2 1 1 1 1 49 36 , O A O B O C a d O AB C         6 , 7 a d O ABC   . Vậy   1 6 2 , . 3 7 7 a a d I J A C   . Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng . A B C A B C    có tất cả các cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B   và B C  . A. a . B. 3 7 a . C. 21 7 a . D. 2 2 a . Lời giải Chọn C Dựng hình thoi A B D C     , suy ra // C D A B     nên   // A B BC D     . Khi đó:           , , , d A B B C d A B BC D d B B C D             . Dựng   B H C D C D BB H          . Kẻ   B K B H B K B C D        . Suy ra     , d B B C D B K      . Xét tam giác đều B C D    cạnh a , nên 3 2 a B H   . Xét tam giác vuông B B H  vuông tại B  , có B K  là đường cao nên ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 7 3 3 B K B B B H a a a         21 7 a B K    . Vậy       21 , , 7 a d A B BC d B B C D B K           . Câu 8. Cho hình lăng trụ . A B C A B C    có đáy là tam giác đều A B C cạnh a . Gọi M là trung điểm của A B , tam giác A C M  cân tại A  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A B và C C  , biết rằng thể tích khối lăng trụ . AB C A B C    là 3 3 8 V a  . A. 21 14 d a  . B. 2 39 3 d a  . C. 2 39 13 d a  . D. 21 7 d a  . Lời giải Chọn D + Ta có:   // C C A A B B           , , d C C A B d C C AA B B          , d C A A B B    + Gọi H là trung điểm của C M , ta được A H C M      A H AB C   . + Dựng H K A M      H K A A B B         , H K d H A A B B    . Khi đó         , 2 , 2 d C A A B B d H A A B B H K       . + 3 2 4 M C H M a   ; 3 . 2 3 8 2 3 4 AB C A B C AB C a V a A H S a        + Vậy 2 2 . 21 14 A H H M H K a A H H M         21 , 7 d C C A B a   . C' B' H M A C B A' K Câu 9. Cho hình chóp . S A BC D có đáy A B C D là hình vuông cạnh bằng 4 a , cạnh S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh S C và mặt phẳng   A BC D bằng 0 60 , M là trung điểm của B C , N là điểm thuộc cạnh A D sao cho D N a  . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và M N . A. 8 618 103 a . B. 4 618 103 a . C. 3 618 103 a . D. 8 618 309 a . Lời giải Chọn A ▪ Ta có   S A A BC D   A C là hình chiếu của SC trên mặt phẳng   A BC D . Suy ra góc giữa cạnh S C và mặt phẳng   A B C D là góc  SC A  0 60 S C A   Tam giác A B C vuông tại B , theo định lý Pytago 2 2 2 2 0 32a 4a 2 .tan 60 4a 6 A C A B B C A C S A AC         ▪ Gọi E là trung điểm của đoạn A D , F là trung điểm của A E  / / BF M N nên         / /( ) ( , ) , , M N SB F d M N S B d M N SB F d N SB F     Trong mặt phẳng   ABC D kẻ , AH BF H B F   , trong mặt phẳng   SA H kẻ , A K SH K SH   . Ta có ( ) B F AH B F SA H BF A K B F S A            . Do ( ) AK SH A K SBF AK B F            , d A SBF A K   Nên: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 103 4 618 96 103 a A K A K A S AB A F a       Mà:             , 8 618 2 , 103 , d N SB F N F a d N S BF A F d A SB F     . Vậy 8 618 ( , ) 103 a d M N S B  . F N E M A B D C S H K Câu 10. Cho hình chóp . S AB C D có đáy là hình chữ nhật 2; A B a A D a   , các mặt bên ; S B C S C D là các tam giác vuông tại ; B D . Góc tạo bởi cạnh S C và mặt phẳng đáy bằng 45 .Gọi M là trung điểm cạnh A D . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B M và SC theo a . A. 2 30 15 a . B. 15 5 a . C. 3 10 a . D. 3 15 a . Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có:   B C SB B C SA B B C A B        B C SA   (1)   D C D A D C SA D D C S D        D C S A   (2) Từ (1) và (2)   S A A B C D         ; 45 S C AB C D SC A     S AC   vuông cân tại A 3 SA A C a    . Dựng / / C K BM   M A D    / / B M S C K        ;SC ; d B M d B M SC K       ; d M S C K  . Mặt khác         ; 2 3 ; d M SC K M K A K d A S C K           2 ; ; 3 d M SC K d A SC K   . Kẻ A H C K  ; AN S H      ; d A S C K A N   . Tam giác A B M vuông tại A 2 2 2 BM AB A M      2 2 2 2 9 2 2 4 a a B M a           3 2 a BM   3 2 a C K B M    . 1 1 . . 2 2 AC K S A H C K C D A K    . C D A K AH C K   3 2. 2 2 3 2 a a a a   . Xét tam giác S A H vuông tại A ta có: 2 2 2 1 1 1 AN SA A H   2 2 . SA A H A N SA A H    2 2 3. 2 30 5 3 2 a a a a a    .     2 30 ; 15 a d M SC K     2 30 ; 15 a d B M SC   . Cách 2: Ta có:   B C SB B C SA B B C A B        B C SA   (1)   D C D A D C SA D D C S D        D C S A   (2) Từ (1) và (2)   S A A B C D         ; 45 S C AB C D SC A     S AC   vuông cân tại A 3 SA A C a    . Gọi A C cắt B M tại I 1 2 A M I A BC I C    1 3 3 3 a I A AC    Từ I kẻ   / / I H SC H S A  1 3 AH A I SA AC    1 3 3 3 a AH S A    . Vì   / / S C I H I H H BM         / / S C H B M        ; ; d B M SC d SC H B M       ; d C H B M  .         ; 2 ; d C H B M C I A I d A H B M           ; 2 ; d C H B M d A H B M   . Ta có , , A H AB A M đôi một vuông góc nên:     2 2 2 2 1 1 1 1 ; A H A M A B d A H BM    2 2 2 3 4 1 2 a a a    2 15 2 a      30 ; 15 a d A H B M       2 30 ; 15 a d C H BM     2 30 ; 15 a d SC B M   .