Chuyên đề logarit - Hàm đặc trưng mũ - loga

ctvtoan5 4 năm trước 2719 lượt xem 183 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Chuyên đề logarit - Hàm đặc trưng mũ - loga". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Tài liệu gồm 41 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Hoàng Thanh Phong, hướng dẫn phương pháp hàm đặc trưng giải nhanh trắc nghiệm mũ – logarit (có kết hợp tư duy, mẹo giải nhanh và máy tính Casio), đây là lớp bài toán vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC) / nâng cao / khó, nhiều khả năng sẽ xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Trích dẫn tài liệu phương pháp hàm đặc trưng giải nhanh trắc nghiệm mũ – logarit – Hoàng Thanh Phong:
+ Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 2020 và x + x^2 – 9^y = 3^y.
+ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2018 để phương trình log2 (m + √(m + 2^x)) = 2x có nghiệm thực?
+ Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn biểu thức sau log4 (x + y + 3) = log5 (x^2 + y^2 + 2x + 4y + 5)?

CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 1 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn ≤ ≤ và + − = . A. 2020. B. 1010. C. 6. D. 7. - Tự luận: Ta có: + − = ⇔ + = + (1). Xét hàm = + , > . Ta có: ′ = + > , ∀ > ⇒ là hàm đồng biến trên ; +∞. Vì vậy, (1) ⇔ = ⇔ = . Theo giả thiết, ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . Vì nguyên nên ∈ ; ; ; ; ; ; ⇒ ∈ ; ; ; ; ; ; . Vậy có 7 cặp ; thỏa mãn. Chọn D - Tư duy + Casio: Ta có: + − = ⇔ + = + ⇔ = . Theo giả thiết, ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Vì nguyên nên ∈ ; ; ; ; ; ; ⇒ ∈ ; ; ; ; ; ; . Vậy có 7 cặp ; thỏa mãn. Chọn D Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn , ∈ !; " và √ = + − + + $ + + . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: √ = + − + + $ + + ⇔ + √ = + + + $ + + (2) Xét hàm số = + √ trên khoảng ; +∞ ta có: ′ = + √ > , ∀ > ⇒ đồng biến trên ; +∞. ⇔ = + + ⇔ = + + . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 2 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Do , ∈ !; " nên ≤ + + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Do ∈ ℤ và ∈ !; " nên = , với mỗi giá trị cho ta 1 giá trị = ∈ !; " thoả đề bài. Vậy có 1 cặp số nguyên ; thoả bài toán. Chọn C - Tư duy + Casio: + Áp dụng kĩ thuật CALC = . → = . = + + . + Do , ∈ !; " nên ≤ + + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Do ∈ ℤ và ∈ !; " nên = , với mỗi giá trị cho ta 1 giá trị = ∈ !; " thoả đề bài. Vậy có 1 cặp số nguyên ; thoả bài toán. Chọn C Câu 3. Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn . + + ()* = +( . A. 4. B. 3. C. 1. D. 0. - Tự luận: Ta có: . + + ()* = +( ⇔ , + + = +( + +( (3). Đặt = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ > ⇒ Hàm số = đồng biến trên ; +∞. Vì vậy phương trình (3)⇔ + = +( ⇔ + = +( ⇔ = − ()* ⇒ ≤ . Mà là số nguyên dương. Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn. Chọn D - Casio: Ta có: . + + ()* = +( ⇔ . + + ′ = -′ (vì ()* + +( = ) + Áp dụng kĩ thuật CALC . = . → = − . = − . = − ()* ⇒ ≤ . + Mà là số nguyên dương. Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn. Chọn D Câu 4. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện ≤ ≤ và , + + = + A. . B. . C. . D. . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 3 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Ta có: , + + = + ⇔ + = Xét hàm số = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ ∈ / Do đó + = ⇔ + = ⇒ = − Vì ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Mà ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; . . . ; Vậy có 2021 cặp số nguyên ; thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có: , + + = + ⇔ + = ⇒ = − (tư duy nhanh) + Vì ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Mà ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; . . . ; . Vậy có 2021 cặp số nguyên ; thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số 0 nhỏ hơn để phương trình 10 + √0 + 2 = có nghiệm thực? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 0 + √0 + = ⇔ 0 + + √0 + = + Ta có √0 + ≥ , > . Xét hàm đặc trưng = + trên ; +∞. ′ = + ≥ , ∀ ∈ ; +∞ ⇒ đồng biến trên khoảng ; +∞ do đó ⇔ 1√0 + 2 = ⇔ √0 + = ⇔ 0 = − . Đặt 5 = , 5 > . Ta có ⇔ 0 = 5 = 5 − 5. Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 0 ≥ − , mà 0 nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên 0 ∈ ; ; ; . . . ; .Vậy có 2017 giá trị 0 thỏa mãn bài toán. Chọn A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 4 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tư duy + Casio: + Ta có phương trình: 10 + √0 + 2 = ⇔ 0 + √0 + = + Áp dụng kĩ thuật CALC: Đặt = = → 0 = = − = − + Đặt 5 = , 5 > . Ta có ⇔ 0 = 5 = 5 − 5. Như vậy: 0 ≥ − , mà 0 nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên 0 ∈ ; ; ; . . . ; . Vậy có 2017 giá trị 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A Câu 6. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện sau ≤ ≤ và + + − + − = . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có: + + − + − = ⇔ + + + − + − = ⇔ + + + + + = + ⇔ + + + = + . (2). Xét hàm = + . Ta có . = + > , ∀ ∈ ℝ ⇒ là hàm đồng biến trên ℝ. Vì vậy, (2) ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = . Theo giả thiết: ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Vì nguyên nên ∈ − ; − ; − ; . . . . . . ; ; , với mỗi xác định duy nhất giá trị = . Vậy có 21 cặp ; thỏa mãn bài toán. Chọn D - Tư duy + Casio: + Ta có phương trình: + + − + − = + Áp dụng kĩ thuật – CALC: 89 = . → = . = √ ⇔ = + Theo giả thiết: ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Vì nguyên nên ∈ − ; − ; − ; . . . . . . ; ; , với mỗi xác định duy nhất giá trị = . Vậy có 21 cặp ; thỏa mãn bài toán. Chọn D CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 5 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 7. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện lẫn , ∈ !; " và − $ + = $ + √ − + (1). A. . B. . C. . D. . - Tự luận: ⇔ − $ + + = $ + $ − + ⇔ $,, $, = $- , - ⇔ : ,, , = : - , - (2). Xét hàm số = : , trên khoảng ; +∞ ta có: ′ = − : , < , ∀ > ⇒ nghịch biến trên ; +∞. ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = − − Mà , ∈ !; " nên ≤ − − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ . Do ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; ; ; , với mỗi giá trị cho 1 giá trị y thoả mãn đề bài. Vậy có 6 cặp số nguyên ; thoả đề bài. Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có phương trình: − $ + = $ + √ − + + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = → = = − + . + Mà , ∈ !; " nên ≤ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ Do ∈ ℤ nên ∈ ; ; ; ; ; , với mỗi giá trị cho 1 giá trị y thoả mãn đề bài. Vậy có 6 cặp số nguyên ; thoả đề bài. Chọn B Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn =>? @ , A + = BCD ,E>B − BCD . A. Vô số. B. . C. . D. . - Tự luận: =>? F + G + = BCD ,E>B − BCD ⇔ =>? + + − = BCD ,E>B − BCD ⇔ =>? + + + = BCD ,E>B − BCD . E>B + ⇔ =>? + + + = BCD ,E>B − BCD . E>B + BCD +E>B ⇔ =>? + + + = BCD ,E>B + BCD +E>B (2). Xét hàm số = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ > . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 6 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ⇒ hàm số = đồng biến ; +∞. Vì vậy (2)⇔ + = ()* + +( ⇔ + = ()* ,+( . Ta có: ()* + +( = − ()* ∈ H ; Inên ≤ ()* + +( ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Mà là số nguyên dương⇒ ∈ , , . Vậy có 3 giá trị thỏa mãn. Chọn B - Tư duy + Casio: {kĩ thuật độc quyền} + Ta có: @ , A + = ()* ,+( − ()* hay VT = VP (Vế trái = Vế phải) + Đối với dạng hàm lượng giác thì hãy khảo sát: + Ta nhận xét: Hàm lượng giác chỉ dao động từ 1 -> 4. Suy ra: ≤ @ , A + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Mà là số nguyên dương⇒ ∈ , , . Vậy có 3 giá trị thỏa mãn. Chọn B Câu 9. Cho số thực , thỏa mãn − = − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức J = − . A. J = . B. J = . C. J = . D. J = . - Tự luận: Ta có: − = − ⇔ + = + ⇔ = , với = + . Xét hàm số = + ⇒ ′ = . * + > , ∀ ∈ ℝ. Do đó = ⇔ = . J = − = − ≤ . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức J = đạt được khi = , = . Chọn D - Tư duy + Casio: + Nhận thấy = ⇒ J 05 = − CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 7 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Phương trình bậc 2, bậc 3 thì giải tìm min – max cho nhanh nhé! ~ Thậm chí các bạn vẫn có thể dò bảng câu này! Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức J = đạt được khi = , = . Chọn D Câu 10. Cho hai số thực , thỏa mãn ≤ , ≤ trong đó , không đồng thời bằng hoặc và @ , - A + + + − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của J với J = + . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Từ điều kiện đề bài và , - > ; − ≠ ⇒ + > ; − > . Khi đó: @ , - A + + . + − = ⇔ + + + = − + − . Xét hàm số = + , > có ′ = .* + > , ∀ > . Suy ra là hàm số đồng biến trên khoảng ; +∞. Vậy phương trình ⇔ + = − ⇒ = - , ⇒ J = + - , . Xét hàm số = + - , với ∈ ! ; " Ta có ′ = + - , . ′ = ⇒ H = = − . = ; = ⇒ 0)* ! ;" = .Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: {3 cách – nhưng giới thiệu 2 cách chính} + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = = - , . ~ Cách 1: Ta có: J = + - , (dò bảng – tìm min) ~ Cách 2: Hướng dẫn bên dưới + Từ đó ta có: L , M N -. M N O + + @ - , + A − = + Đạo hàm hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất tại y bằng bao nhiêu? + Như vậy, = → = → J 05 = + = . Chọn B - Tư duy + Mẹo: + Theo đề ta có: ≤ , ≤ ---- chọn tại các giá trị đặc biệt là các dấu bằng “=”. + Như vậy: = , = → J 05 = + = . Chọn B ~ Hãy ghi nhớ giá trị min hay max đều liên quan tới dấu bằng “=”. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 8 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 11. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; thỏa mãn điều kiện đề bài ≤ ≤ và + = + + − ? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có: + = + + − ⇔ . + = + + − ⇔ , + + = + + + . Xét hàm số = + . Ta có: ′ = . * + > , ∀. Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên ℝ. Do đó ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ = , − . Vì ≤ ≤ nên ≤ , − ≤ ⇔ − ≤ ≤ - Do nguyên nên ∈ ; ; . ⇒ ; ∈ ; ; ; ; ; do đó có cặp số nguyên ; thỏa mãn. Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → =? {nhưng hiện số xấu} ~ Tư duy độc quyền xuất hiện: Đặt: Q . = + ′ = + + ⇒ . . = . − ~ Áp dụng kĩ thuật CALC:Cho . = . → . = . = . + = + + ~ Vì ≤ ≤ nên ≤ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ - ~ Do nguyên nên ∈ ; ; . ⇒ ; ∈ ; ; ; ; ; do đó có cặp số nguyên ; thỏa mãn. Chọn D - Tư duy + Mẹo: ~ Ta thấy đề cho đáp số 2-4-5-3, khá ít cặp thỏa mãn thì các bạn chỉ cần thử lần lượt = → =? , = → =? , = → =? , … khi giải ra không được nữa nè giới hạn chỉ có nhiêu đó cặp số nguyên. Eazy Câu 12. Cho = − - . Gọi 0 là số lớn nhất trong số nguyên 0 thỏa 0 + + @ 0 − A < . A. 0 = . B. 0 = . C. 0 = . D. 0 = . - Tự luận: Ta có − = - − ; − = − − - . ⇔ − = − nên là hàm số lẻ vậy nên 0 + + @ 0 − A < .   *   *CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 9 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ⇔ 0 + < @− 0 + A. (*) Lại có = − - là hàm số đồng biến trên ℝ. Nên ∗ ⇔ 0 + < -0 + ⇔ 0 < . . Vậy 0 = . Chọn A - Tư duy + Casio: !!! Cách kiểm tra tính chẵn lẻ: Ta có: = − - Suy ra: − = −. Vậy hàm số trên có tính chất chẵn – lẻ. ~ Ta có: 0 + + @ 0 − A < ⇔ 0 + < @ 0 − A ~ Ta lại có: = − - là hàm số đồng biến trên ℝ (dò bảng). ⇔ 0 + < -0 + ⇔ 0 < . . Vậy 0 = . Chọn A Câu 13. Cho hai số thực , thỏa mãn: + 1 − $ − 2 + $ − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của J = + + + + + − . A. √, . B. 36 296 15 9  . C. - √ . D. -√, . - Tự luận: Ta có: + 1 − $ − 2 + $ − = ⇔ + − $ − + $ − = ⇔ + = 1$ − 2 + $ − ∗. Xét hàm số = + có . = + > ∀ ∈ ℝ nên hàm đồng biến trên ℝ. Do đó ∗ ⇔ = 1$ − 2 ⇔ = $ − ⇒ ≥ và = − . Với = không thỏa mãn. Với > thì J = + + + + + − = + + + + + − = + + + − + − = + + + − + + = + − + + . Mà + = + , = + ≥ √ √ . Đặt = + thì ≥ √ √ . Xét hàm số = − + với ≥ √ √ . Khi đó ′ = − > , ∀ ≥ √ √ . Do đó ≥ @ √ √ A = , √ . Vậy 0)* J = , √ . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: {kĩ năng xử lý số liệu – tư duy đa chiều} CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 10 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Bước 1: Phân tích đáp án và dữ kiện đề bài A. √, ≈ . B. 36 296 15 9  ≈ . C. - √ ≈ −. D. -√, ≈ . . ~ Bước 2: Phân tích đối thủ đang cần gì và làm gì + Ta có: + 1 − $ − 2 + $ − = . Kĩ thuật cho x giải tìm y = → = ∅ = . → = = . → = = . → = = → = J = + + + + + − .Thay lần lượt x, y vào P kiểm tra kết quả ∅ ≈ . ≈ . ≈ . ≈ . + Như vây khoanh đáp án B – hiểu kĩ hơn thì xem video Câu 14. Cho , là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây , , ≤ + − − . Biết ≤ , hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương ; thỏa mãn bất đẳng thức . A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có phương trình: , , ≤ + − − ⇔ , , ≤ + + − + . + ⇔ + − + ≤ + − + ⇔ + + + ≤ + + + ∗ Xét hàm = + với ∈ ; +∞ ′ = * + > ∀ ∈ ; +∞. Suy ra là hàm đồng biến trên ∈ ; +∞. ∗ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ . Vì ≤ nên ta có các trường hợp sau = ⇒ ∈ ; ; = ⇒ ∈ ; ; ; ; ; ............................................... = ⇒ ∈ ; ; . . . . . . . ; Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài là: + + +. . . + = . Chọn D - Tư duy + Casio: - Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = . = CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 11 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Đừng quan tâm dấu hãy luôn xử lý tại dấu bằng “=” , suy ra ≤ - Nhiều bạn thắc mắc làm sao biết x, y mà khẳng định ≤ , cách xác định dấu đó là hãy quay trở lại phương trình ban đầu cho x,y bất kì thì sẽ xét được ≤ V ≤ . - Vì 1≤ ≤ 95 ≤ ≤ . Sử dụng MCTC – tính tổng. Chọn D Câu 15. Cho 2 số thực , không âm thỏa mãn : , = W − − $ + X. Giá trị của biểu thức J = | − + | bằng A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : , ≥ : . = , ∀ > Mặt khác ta có: − − $ + = − + $ + + $ + . Đặt = $ + ≥ . Xét hàm : = − + + , ≥ . ′ = − + ; ′ = ⇔ = . Bảng biến thiên như sau : ⇒ ≤ ⇒ W − − $ + X ≤ = Từ , ta có dấu bằng xảy ra khi: Z = = $ + = ⇔ Q = = Vậy: J = | − + | = . Chọn C - Tư duy + Casio: ~ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : , ≥ : . = , ∀ > ⇔ = . ~ Ta lại có: W − − $ + X = ⇔ = . Vậy: J = | − + | = . Chọn C Câu 16. Cho , là các số thực thỏa mãn biểu thức sau + + − = ∗. Biết ≤ ≤ , số cặp , nguyên thỏa mãn đẳng thức (*) là A. . B. . C. . D. . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 12 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Ta có + + − = ⇔ , + + = + (1) Xét hàm số = + có . = * + > , ∀ ∈ ℝ. Khi đó ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − Với ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ≈ . . Vì ∈ ℤ ⇒ ∈ ; ; ; . Rõ ràng với nguyên thì nguyên. Vậy có 4 cặp số , nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C - Tư duy + Casio: + Đặt: = [ → = =>? [ ⇒ + + − =>? [ − [ + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho [ = → = = [ − = − + Với ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ≈ . . + Vì ∈ ℤ ⇒ ∈ ; ; ; . Rõ ràng với nguyên thì nguyên. Vậy có 4 cặp số , nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C Câu 17. Cho 5, \, + là các số thực thỏa mãn biểu thức sau đây 1 5 ,\ ,+ − 2 + 5 − + \ − + + − = 5,\,+ . Đặt J = 5,\,+ 5,\,+ và gọi ] là tập hợp gồm những giá trị nguyên của J. Số phần tử của tập hợp ] là A. Vô số. B. 5. C. 4. D. 3. - Tự luận: Ta có: 1 5 ,\ ,+ − 2 + 5 − + \ − + + − = 5,\,+ ⇔ 5 ,\ ,+ , + 5 + \ + + + = 5,\,+ + 5 + \ + + Xét hàm = + trên ℝ Ta lại có, . = * + > , ∀ ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ. Khi đó, phương trình đã cho có dạng 5 + \ + + + = 5 + \ + + . Suy ra: 5 + \ + + = 5 + \ + + + ⇔ 5 − + \ − + + − = (*) Ta lại có, J = 5,\,+ 5,\,+ ⇔ J − 5 + J − \ + J − + = (**) Trong hệ trục tọa độ ^_ lấy [5; \; + . Theo (*) ta có [ thuộc mặt cầu tâm `; ; ,bán kính / = √. Theo (**) thì [ thuộc mặt phẳng a có: Phương trình J − + J − + J − _ = . Tồn tại bộ 5; \; + khi và chỉ khi tồn tại [ ( mặt cầu và mặt phẳng có điểm chung). Suy ra b1`; a 2 ≤ / hay CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 13 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha |J − | $J − + J − + J − ≤ √ ⇔ J − ≤ . !J − + J − + J − " ⇔ J − J + ≤ ⇔ − √ ≤ J ≤ + √ Vậy ] = ; ; . Chọn D - Tư duy + Casio + Mẹo: + Nhận thấy: Quy đổi 5, \, + về dạng chung -> biến thành 1 ẩn chung là 5. + Ta có: 1 5 ,\ ,+ − 2 + 5 − + \ − + + − = 5,\,+ ⇒ 1 5 − 2 + 5 − = 5 , dò bảng tìm giá trị nguyên của P. + Vậy chỉ có 3 giá trị 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn D ~ Đối với tại = 5 = (vô lí), còn đối với tại = 5 = , … (số quá lớn và không nguyên nên loại) {ghi chú} Câu 18. Phương trình + = có nghiệm là. A. 11. B. 9. C. 101. D. 99. - Tự luận: Điều kiện + > ⇔ > −. Ta có + = ⇔ + = ⇔ = . Vậy tập nghiệm của phương trình là ] = . Chọn D - Tư duy + Casio: + Gặp dạng này thì chỉ cần dùng lệnh CALC {thử từng đáp án} Chọn D Câu 19. Cho 5 = , 3 \ = , 4 + = , 5 b = . Tính 5\+b . A. . B. . C. . D. . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 14 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Ta có 5 = ⇒ 5 = . Tương tự \ = , + = , b = ⇒ 5\+b = . . . = ⇒ J = = . Chọn D - Tư duy + Casio: Ta có 5 = ⇒ 5 = . Tương tự \ = , + = , b = , trong quá trình giải hãy gán lần lượt cho A,B,C,D hoặc thay thẳng vào yêu cầu. ⇒ J = = . Chọn D. Câu 20. Cho , , _ là ba số thực khác thỏa mãn = = -_ . Tính J = + + _ . A. −. B. . C. . D. . - Tự luận: Đặt = = -_ = > ⇒ f = = = M _ ⇒ , = - _ ⇒ + + _ = . Chọn C - Tư duy + Casio: Đặt = = -_ = ⇒ g = =>? = =>? _ = − =>? ⇒ J = + + _ = =>? + =>? + - =>? SHIFT CALC, giải tìm t - trong đó P là các đáp án, t hiển thị giá trị đẹp thì khoanh. Chọn C Câu 21. Cho hai số thực dương , thỏa mãn biểu thức = = + . Giá trị của tỉ số bằng A. -, √ . B. ±√ . C. , √ . D. -, √ . - Tự luận: Đặt = = + = ⇒ g = = + = . Mà . = ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ i = --√ = -, √ /0 . x yCHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 15 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tư duy + Casio: Đặt = = + = ⇒ g = = + = ⇔ + = ⇒ ≈ . Gán t -> A, tính ngược lại tỉ số x/y. Chọn A Câu 22. Cho , , 5, \ là các số dương thỏa mãn 5 > \ > và 5 , = \ = 5 \ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + + là A. −. B. - . C. . D. . - Tự luận: Ta có: Z 5 , = 5 \ \ = 5 \ ⇒ k = − 5 \ = − + \ 5 ⇒ = -- ⇒ = − − . Khi đó J = + + = + − + = @ + + A + ≥ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi k + = − = − − ⇒ g = √ = -√- . Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Gặp dạng này thì các bạn cứ cho a,b gần điều kiền và thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có: l > m > . Cho l = , m = . suy ra n, = . o = , giải tìm x,y. g n, = ⇔ ≈ − . . o = ⇔ ≈ . ⇒ J = + + ≈ . ≈ . . Chọn D Câu 23. Cho biết 5, \, + là các số thực dương thỏa mãn biểu thức 5 = \ = + . Hãy tính giá trị của biểu thức J = 5 \ + \ + . A. . B. + . C. . D. . . - Tự luận: Đặt 5 = \ = + = p ⇒ g 5 = p \ = p + = p Từ đó suy ra J = p p + p p = + . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Tối giản hóa 2020 -> 20, 2019 -> 19, 2018 -> 18, sau đó xử lý như câu 21. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 16 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 24. Cho , dương thỏa mãn: + = + . Giá trị lớn nhất của J = $ thuộc khoảng nào A. −; . B. @ ; A. C. ; . D. −; - Tự luận: Ta có: + = + = + = ⇒ + = Ta lại có: = + + ≥ √ . + ≥ + ≥ $. = √ $ ⇒ J = $ ≤ √ . Dấu bằng xảy ra khi Q = , > , > = ⇔ Q = = Vậy [5 J = √ . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Thật sự gặp câu này thì giải tay vẫn nhanh hơn. Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = . ⇔ = . ⇔ = − ⇔ = − ⟹ J = $ = r . − Đạo hàm tại P tìm cực trị, sau đó thay ngược vào P nhận đáp số. Vậy [5 J = √ . Chọn B Câu 25. Cho 5, \, + > và các số thực dương , , _ thỏa mãn 5 = \ = + _ = √5\+ . Tìm giá trị lớn nhất của J = + − _ . A. −. B. . C. −. D. . - Tự luận: Đặt 5 = \ = + _ = √5\+= > ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 5 = \ = + = _ 5\+ =  + + _ = ⇒ + = − _ . J = + − _ = − _ − _ = − @ _ + _ + _ A. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương _ ; _ ; _ ta có: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 17 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha _ + _ + _ ≥ ⇒ J ≤ −. Dấu " = " xảy ra ⇔ _ = _ = _ ⇔ _ = . Vậy J 05 = −. Chọn C - Tư duy + Casio: Đặt 5 = \ = + _ = √5\+= > ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 5 = \ = + = _ 5\+ = ⟹ + + _ = ⇒ + = − _ . ~ Bài này không thể dùng Casio nhưng vẫn có thể dùng tư duy như sau: Ta có: + = − _ , để cho J 05 ⇔ + = V _ = {kĩ thuật suy luận tìm max} Vậy J 05 = −. Chọn C Câu 26. Cho > ; > và -, = , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = − ? A. 0)* J = . B. 0)* J = . C. 0)* J = . D. 0)* J = . - Tự luận: Ta có phương trình: 1 -,2 = , , ⇔ W, -,X = , , ⇔ N N = , , ⇔ , + = , + . Xét hàm số = với > . Ta có ′ = + * > ∀ > . Khi đó ⇔ + = + ⇔ = + . Nên J = − = + − = − + ≥ . [)* J = khi Q = = . Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Vào thi mà ngồi biến đổi tự luận như trên sẽ tốn rất nhiều thời gian!!! Áp dụng kĩ thuật CALC: 89 = . → = . = + ~ Mẹo nhỏ để bấm nhanh ở đây là tối giản: 2020->20; 2019->19. J 0)* = + − . Bấm giải phương trình bậc 2 để tìm kết quả nhanh nhất! CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 18 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 27. Cho > ≥ thỏa mãn ,,- = - , . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + là A. . B. . C. . D. - √ √, . - Tự luận: Điều kiện: − > . Ta có: ,,- = - , ⇔ + + − = - , . ⇔ ! − " + − = + + + (*). Xét hàm = + với > ⇒ ′ = + * > . ∗ ⇔ 1 − 2 = + ⇔ − = + ⇔ = - , . Khi đó − > ⇔ , , > (luôn đúng). Ta có J = + = + - , . Đặt = + - , ⇒ ′ = − , . ′ = ⇒ = . Vậy J [)* = đạt được khi Q = = . Chọn A - Tư duy + Casio + Mẹo: Đề cho > ≥ , chọn = {khắc cốt ghi tâm cái mẹo này} Ta có: ,,- = - , ⇔ - = ⇔ = ⟹ J 05 = + = . Chọn A ~ Câu này áp dụng kĩ thuật CALC nhưng số xấu, hên vẫn còn tư duy đỉnh cao. Câu 28. Xét các số thực 5, \ thỏa mãn điều kiện < \ < 5 < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = =>? 5 @ \- A + =>? \ 5 5 − . A. 0)* J = . B. 0)* J = √ . C. 0)* J = √ . D. 0)* J = . - Tự luận: Ta có \ − \ + ≥ ⇒ \ − ≤ \ và từ điều kiện suy ra =>? 5 \ > . Từ đó suy ra: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 19 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha J ≥ =>? 5 \ + =>? 5 \- − = =>? 5 \.=>? 5 \- =>? 5 \- + ≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \ = , 5 = √ . Vậy 0)* J = . Chọn D - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Vẫn áp dụng kĩ thuật liên quan đến điều kiện < \ < 5 < . Nhập cả biểu thức: J = =>? 5 @ \- A + =>? \ 5 5 − vào máy tính. Dùng lệnh CALC đồng thời cả 5, \ với < \ < 5 < --- thử nhanh liên tục. Vậy 0)* J = . Chọn D Câu 29. Xét các số thực dương 5, \, +, , , _ thỏa mãn 5 > , \ > , + > và 5 = \ = + _ = √5\+ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + + _ thuộc tập hợp nào dưới đây ? A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . - Tự luận: Ta có: 5, \, + > và , , _ > nên 5 ; \ ; + _ ; √5\+ > Do đó: 5 = \ = + _ = √5\+ ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = + 5 \ + 5 + = \ 5 + + \ + _ = + 5 + + \ + . Khi đó, ta có: J = + + _ = + 5 \ + 5 + + \ 5 + + \ + + + 5 + + \ + = . + 5 \ + 5 + + \ 5 + \ + + + 5 + + \ = . + 5 \ + \ + + + 5 + 5 + + + \ + \ 5 Mặt khác 5, \, + > nên 5 \ , \ + , + 5 , 5 + , + \ , \ 5 > Suy ra: J ≥ 1 + $ 5 \ . \ + . + 5 + $ 5 + . + \ . \ 5 2 = . Dấu “ = ” xảy ra khi: g 5 \ = \ + = + 5 5 + = + \ = \ 5 5 = \ = + _ = √5\+ ⇔ f 5 \ = \ + = + 5 + 5 = \ + = 5 \ 5 = \ = + _ = √5\+ ⇔ Q 5 = \ = + = = _ = . Vậy 0)* J = ∈ ; . Chọn A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 20 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Nhận thấy 5, \, + có vai trò như nhau suy ra 5 = \ = + suy ra , , _ cũng có vai trò như nhau suy ra J = + + _ = . Mà để J 0)* ⇔ = ⟹ J 0)* = . ~ Ngoài ra, nếu đề bảo tìm J 05 thì hãy cho a,b,c >1 thỏa mãn điều kiện rồi giải tương tự các câu trên tìm J 05 . Câu 30. Xét các số thực dương 5, \, , thỏa mãn 5 > , \ > và 5 = \ = √5\ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = + là J 0)* = 0 * với 0 * là phân số tối giản và 0, * ∈ ℕ, khi đó giá trị của biểu thức { = 0 + * có giá trị bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Theo bài ra ta có: 5 = \ = √5\ ⇔ k 5 = 5 . \ \ = 5 . \ ⇔ k 5 - = \ \ - = 5 ⇔ g − = 5 \ − = . \ 5 . Do đó: J = + = + 5 \ + + \ 5 = + 5 \ + \ 5. Đặt = 5 \. Vì 5, \ > nên 5 \ > 5 = . Suy ra: = 5 \ > . Khi đó J = + + ≥ + : . = + = . Vậy J đạt giá trị nhỏ nhất là khi + ⇔ = hay 5 \ = ⇔ \ = 5 . Suy ra: 5 = 5 = √5 ⇔ g = = . Khi đó: 0 = , * = ⇒ { = . Chọn D - Tư duy + Casio + Mẹo: {tư duy ngược} A. = 0 + * B. 25= 0 + * C. 34= 0 + * D. 85= 0 + * 0 = * = 0 = * = 0 = * = 0 = * = ⇒ J = ≈ . ⇒ J = ≈ . ⇒ J = ≈ . ⇒ J = ≈ . + Cho 5 = \ = . > ⇒ 5 = √5\ ⇔ . = . = √. ⇔ = = . . + Suy ra J = + = . + ∗ . = . -> Chọn D ~ Bảng giá trị ở trên là rút ra m,n - tư duy ngược từ dữ kiện đề. Câu 31. Cho các số thực , thỏa mãn điều kiện sau đây > −, > − và + + + ,,, , = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây J = + + thuộc tập nào dưới đây: A. !; . B. !; . C. !; . D. !; . - Tự luận: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 21 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Với điều kiện: > −, > − ⇒ + > , + > . Ta có: + + + ,,, , = ⇔ + + + + + − , = . ⇔ + + + = , + , . Xét hàm số: = + > , ′ = * + > , ∀ > . Suy ra đồng biến trên khoảng ; +∞. Do đó: ⇔ + = , . Khi đó: J = + + = + , − + = + + , ≥ √. Dấu ′′ = ′′ xảy ra ⇔ J = + + , ⇔ = + ⇔ = √ − , (vì > −). Vậy: 0)* J = √. Chọn B - Tư duy + Casio: + Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = - = -- , . + Ta lại có: J = + + = + ∗ -- , + . Vậy: 0)* J = √. Chọn B Câu 32. Cho hai số thực dương 5, \ thỏa mãn > 5 > \ > . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức J = 5 @\ − A − 5 \ √\ thuộc tập hợp nào dưới đây? A. ; . B. @; A. C. @ ; A. D. @; A. - Tự luận: Đặt \ 5 = . Với điều kiện: > 5 > \ > . Khi đó = \ < \ 5 < \ \ = ⇒ ∈ ; Ta có: \ − \ + ≥ ⇔ \ − ≤ \ ⇒ 5 @\ − A ≥ 5 \ ⇒ 5 @\ − A ≥ . 5 \ √\ = \ 5- = - . Do đó J = 5 @\ − A − 5 \ √\ ≥ + - . Xét hàm = + - với ∈ ; . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 22 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ′ = − + - . Với ∈ ; ta có: ′ = ⇔ = . Do: )0 → N = )0 → N @ + - A = +∞; )0 → M = )0 → M @ + - A = +∞. Lập BBT của hàm số = + - với ∈ ; ta có: Dựa vào BBT ta tìm được [)* = tại = . Vậy 0)* J = . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Vẫn áp dụng kĩ thuật liên quan đến điều kiện > 5 > \ > . Nhập cả biểu thức: J = 5 @\ − A − 5 \ √\ vào máy tính. Dùng lệnh CALC đồng thời cả 5, \ với > 5 > \ > --- thử nhanh liên tục. Vậy 0)* J = . Chọn B Câu 33. Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤ − . Giá trị nhỏ nhất của J = , + * , là 5 + * \. Giá trị của tích 5. \ là A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Ta có: ≤ − ⇔ ≥ + ≥ $ ⇒ ≥ $ nên: : ≤ ⇔ ≤ . Xét J = , + * , = + . + * @ + A. Đặt = , < ≤ . Suy ra : J = = + + * + . Ta có: . = − + , = -- ., = - - ., . Với < ≤ thì − < − ≤ ⇒ ≤ − < nên − − < , ∀ ∈ ; ". Do đó: . < . Hàm số nghịch biến trên ; ". Suy ra: ≥ , ∀ ∈ ; ". Hay J ≥ = + + * ⇔ J ≥ + * . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 23 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy J 0)* = +* . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi k = = ⇔ k = = Khi đó : 5 = ; \ = nên 5\ = . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: Ta có: ≤ − ⇔ ≤ - {x,y thực dương -> không đổi dấu bất phương trình}. Ta lại có: J = , + * , = @∗ M ,A M + * M , . {xem y là x trong Casio} Như vậy, ta có: g | = 5 + * \ = [ \ + * \ [ = 5. \ ⇒ 5 = [ \ , trong đó M là các đáp án. Key | . [ = . Key B. [ = . Key C. [ = . Key D. [ = . Qua đó, nhận thấy tại Key B có = \ = (đẹp). Chọn B Câu 34. Xét các số thực dương 5, \, , thỏa mãn < 5 ≤ \ ≤ 5 và 5 = \ = √5\ . Giá trị lớn nhất của biều thức J = + thuộc tập hợp nào dưới đây? A. !; . B. !; . C. !; . D. !; . - Tự luận: Ta có 5 = √5\ ⇔ = + 5 \, \ = √5\ ⇔ = + \ 5. J = + = + 5 \ + + \ 5 = + 5 \ + 5 \ . Đặt 5 \ = , do < 5 ≤ \ ≤ 5 ⇒ ≤ 5 \ ≤ ⇒ ∈ !; " ⇒ J = + + . Xét hàm số = + + ; với ∈ !; ". ′ = − ; ′ = ⇔ ~ = √ = −√ . Do ∈ !; " ⇒ = √. = = ; 1√2 = , √ ⇒ 05 !;" = . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng . Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 24 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Như đã nói ở các bài trên thì luôn chọn tại các giá trị đặc biệt. Ta có: < 5 ≤ \ ≤ 5 . Chọn 5 = \ = ⇒ = = √ ⇒ = = Như vậy, J = + = + . = . Chọn B Câu 35. Cho hai số thực 5, \ thỏa mãn 5 + \ = . Giá trị lớn nhất của biểu thức J = $ 5 + $ \ bằng. A. $ + $ . B. $ + . C. + . D. $ , . - Tự luận: Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được: J = $ 5 + $ \ = r 5 + r \ = r 5 + r − 5 Xét hàm số = √ $ + $ . √ − ⇒ ′ = √$ − $ √- . Ta có ′ = ⇔ √ − = √ ⇔ − = . ⇔ = , . ⇒ ≥ @ , A = $ + ⇒ 0)* J = $ + . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Quy đổi các đáp án thành số liệu cụ thể Key | . J ≈ . . Key B. J ≈ . . Key C. J ≈ . . Key D. J ≈ . . Ta có: 5 + \ = , cho 5 tìm b { 5, \ > -điều kiện của biểu thức P. 5 = → \ = 5 = . → \ ≈ . 5 = . → \ ≈ . 5 = . → \ ≈ . Chọn B ~ Nhiều bạn thắc mắc tại sao không chọn 5 < V 5 > đơn giản vì khi chọn như thế thì \ < dẫn đến điều kiện sai. Câu 36. Cho các số thực dương , thỏa mãn = = - . Tính giá trị của biểu thức { = . A. { = . B. { = . C. { = − . D. { = − . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 25 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha - Tự luận: Đặt = = - = > ⇒ g = = - = ⇒ . - = ⇔ . − = . ⇔ . @ A + @ A − = ⇔ @ A = @ A = − . Vậy = @ A = @ A = . Chọn A - Tư duy + Casio: Đặt = = - = ⇒ f = = - = = ∗ - ⇒ ≈ −. → | ⇒ Q = = | = = | ⇒ = | | = . Chọn A Câu 37. Cho và là các số thực dương sao cho: = = + . Tìm giá trị của A. B. C. D. - Tự luận: Đặt: = = = + > ta có g = = + = . Từ đó suy ra + = ⇔ + @ A = @ A . Đặt = @ A = > phương trình trở thành: − − = ⇔ = , √ = -√ . Do > nên suy ra = , √ . Vậy = , √ . Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Tương tự câu 36 nhé --- tập làm lại cho quen tay nào!!! 4 3 8 5   1 1 3 2    1 1 5 2 CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 26 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ~ Nhớ bấm máy luôn cho nhanh, khỏi phải ghi vào giấy nhé ^.^ Câu 38. Cho , là hai số nguyên không âm thỏa mãn + = − . Hỏi tổng + là bao nhiêu? A.. B.. C.. D.. - Tự luận: Điều kiện: > ≥ . Đặt: + = − = ⇒ Q + = − = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = − Ta có ≥ ⇒ - ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ Do đó Q < ≤ < ≤ ⇔ < + ≤ ⇔ < , ≤ ⇔ < ≤ ; ∈ ℤ ⇒ = Với = ⇒ = ⇒ = Vậy + = . Chọn A - Tư duy + Casio: Ta có: + = − . Mà + = [ → = [ − Suy ra: [ − + = [ − − ⇔ [ = [ − . Key A. [ = Key B. [ = Key C. [ = Key D. [ = Khoanh A Loại -> y < 0 Loại -> y < 0 Loại -> y < 0 Vậy + = . Chọn A Câu 39. Cho số thực ≤ ≤ . Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức J = , − √ lần lượt là 5, \. Tính 5\ . A. 5\ = . B. 5\ = . C. 5\ = −. D. 5\ = . - Tự luận: J = , − √ = - , − = - , − . Đặt = ≤ ≤ . Ta có: J = - , − trên ! ; ". J′ = , − , J′ = ⇔ H = = − . Bảng biến thiên: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 27 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Giá trị lớn nhất của biểu thức là \ = − , giá trị lớn nhất của biểu thức là 5 = − . Như vậy 5\ = . Chọn B - Tư duy + Casio: ~ Dạng này siêu đơn giản nè – dò bảng là xong nhé. Ta có: J = , − √ , ≤ ≤ Như vậy 5\ = . Chọn B Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên ; , ≤ và thỏa mãn phương trình sau đây + − = + A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Điều kiện: Z > > − > . Ta có: + − = + ⇔ − = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ ~ = = − . Xét = , mà ≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ , kết hợp điều kiện ta có ∈ ; ; . . . . . Vậy có giá trị của , tương ứng với có cặp số ; thỏa mãn bài toán. Chọn B - Tư duy + Casio: Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = → = = Mà ≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ Kết hợp điều kiện ta có ∈ ; ; . . . . . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 28 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy có giá trị của , tương ứng với có cặp số ; thỏa mãn bài toán. Chọn B Câu 41. Biết , < là hai nghiệm của phương trình @ -, A = − và − = 15 − √\2, 5, \ ∈ ℕ. Tính giá trị của biểu thức J = 5 + \ A. J = −. B. J = . C. J = −. D. J = . - Tự luận: Điều kiện k > ≠ . Ta có @ -, A = − ⇔ − + − = − ⇔ − + + − + = + + ⇔ − + − = + ∗ Xét hàm số = + trên khoảng ; +∞. Ta có ′ = * + > , ∀ ∈ ; +∞ ⇒ đồng biến trên khoảng ; +∞. ∗ ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = , √ = -√ . Do < ⇒ = -√ , = , √ ⇒ − = @ -√ A − @ , √ A = -√ = 1 − √2. Vậy 5 = , \ = ⇒ J = 5 + \ = . Chọn B - Tư duy + Casio: Ta có: @ -, A = − , giải phương trình trên lưu lần lượt vào A,B. Ta lại có: − = 15 − √\2, 5, \ ∈ ℕ ⇔ − | = 15 − √\2, 5, \ ∈ ℕ Như vậy, ta có hpt sau: k − | = 15 − √\2 J = 5 + \ ⇔ k [ = 15 − √\2 5 = J − \ ⇔ [ = 1J − \ − √\2, [ = − | ~ SHIFT SOLVE giá trị \ được kết quả đẹp thì khoanh. Chọn B CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 29 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 42. Cho phương trình + = +( . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ; A. 2020 B. 2019 C. 1009 D. 1010 - Tự luận: Điều kiện ()* > , +( > . Đặt = + = +( ta có Q + = +( = Vì + = +( -+( nên suy ra - = ⇔ = . − ⇔ @ A + − = (1) Xét hàm số = @ A + − ta có: ′ = @ A * @ A + * > , ∀ ∈ ℝ. Suy ra hàm số đồng biến trên ℝ nên phương trình = có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy − = suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất = − = − +( = ⇔ = ± + p p ∈ ℤ. Đối chiếu điều kiện suy ra nghiệm là = + p p ∈ ℤ. Mà ∈ ; nên − < p < ta chọn p ∈ ; ; . . . ; . Khi đó số nghiệm của phương trình thuộc khoảng ; là 1010. Chọn D - Tư duy + Casio: ~ Gặp dạng lượng giác như thế này thì dò bảng nhé các chiến binh!!! ~ Xử lý trên một vòng tròn lượng giác, rồi nhân số vòng tròn sẽ tìm được đáp số. Như vậy, 1 vòng tròn (360 độ = 2pi) thì chỉ có một nghiệm ⇒ 2020pi = 1010 vòng nghĩa là có 1010 nghiệm. Chọn D Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của thỏa mãn = + + . Biết rằng || ≤ . A.. B.. C.. D.. - Tự luận: Điều kiện + > . Đặt + = ⇔ + = Khi đó: Q = + = + ⇔ + = + CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 30 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Xét hàm số = + ⇒ . = . * + > ⇒ hàm số đồng biến với ∀ ∈ ℝ Ta có: = ⇒ = Khi đó: = + ⇔ = − Đặt = − ⇒ ′ = . * − = ⇔ = − * Để phương trình có nghiệm thì ≥ * + * ≈ , Mà || ≤ nên có đúng giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn A - Tư duy + Casio: Đặt + = ⇔ + = ⟹ Q = + = + ⇔ + = + Áp dụng kĩ thuật CALC: 89 = . → = . = ⇔ + = ⇔ = − . Ta lại có: || ≤ ⇔ | − | ≤ . Bấm đạo hàm tìm cực trị. Để phương trình có nghiệm thì ≥ * + * ≈ , Mà || ≤ nên có đúng giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn A Câu 44. Cho bất phương trình + + ≥ 0. với 0 là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của 0 nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc !; +∞. A. . B. . C. vô số. D. . - Tự luận: Tập xác định: = !; +∞. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 31 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Ta có: + + ≥ 0 ⇔ 0 ≤ , , = , , , Đặt = ≥ ⇒ ≥ , bất phương trình trở thành:0 ≤ ,, , . Để bất phương trình ban đầu có nghiệm trên !; +∞ thì bất phương trình có nghiệm ! ; +∞. Xét = ,, , trên ! ; +∞. Trên ! ; +∞ ta có: ′ = ,- , , ′ = ⇔ = − + √0 = − − √ . Bảng biến thiên: Bất phương trình có nghiệm ! ; +∞ ⇔ 0 ≤ 0ax ! ;, ∞ ⇔ 0 ≤ − + √ Mà m nguyên nên 0 = . Vậy có giá trị nguyên dương thõa mãn. Chọn A - Tư duy + Casio: Cô lập 0 nhanh nè: 0 ≤ , , . Dò bảng hoặc đạo hàm tại x. Vậy ≤ ax ! ;, ∞ ⇔ ≤ . . Mà 0 ℤ suy ra 0 = . Chọn A ~ Bạn nào cảm thấy chưa chắc ăn thì dò lại bảng nhé! Câu 45. Cho , là các số thực thỏa mãn + = + . Tập giá trị của biểu thức J = + có chứa bao nhiêu giá trị nguyên. A. . B. . C. . D. Vô số. - Tự luận: + Điều kiện + > ; + ≠ . Ta đặt: + = + = . Ta có Q + = + = Vì + ≤ + ⇒ ≤ . ⇒ ≤ ≈ , . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 32 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha + Ta có + = + − ⇒ = - . + Khi đó, J = + = + − + = − . . - = − . + . = . + Xét = − . + . với ≤ , có ′ = − . . * + . . * . = ⇔ . . * = . . * ⇔ F G = . * * ⇔ = F. * * G ≈ . BBT: + Gọi { là tập giá trị của J . Từ BBT ta có { = ; " J ∈ ℤ ⇒ ; ; ; ∈ { nên suy ra tập giá trị của J có chứa 4 giá trị nguyên. Chọn A - Tư duy + Casio: + Ta đặt: + = + = . Suy ra Q + = + = + Lượng giác hóa: Đặt k = √ . +( a = √ . ()*a , a ; . + Từ đó ta được: √ . +( a + √ . ()*a = ⇒ +( a + ()*a = √ = @ A ⟹ = +( a + ()*a . Ta có: ⎩ ⎨ ⎧ = √ . +( a = : +( a ,()* a . +( a = √ . ()*a = : +( a ,()* a . ()*a ⇒ J = + + Dò bảng để tìm đáp số nè ^.^ + Như vậy ta thấy, x chạy trong khoảng từ 1 đến 4.18. Vì theo đề x nguyên nên ; ; ; . Chọn A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 33 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực dương thỏa mãn biểu thức , = . - ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. - Tự luận: Ta có: , = . - ⇔ , = -, ⇔ + = − + ⇔ − = − − + ∗ Cách 1: Yêu câu bài toán ⇔ tìm ∈ ℤ để phương trình (*) có nghiệm dương Xét hàm số = − trên , +∞. ′ = − , ′ = ⇔ − = ⇔ = Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình (*) có nghiệm dương ⇔ − − + ≥ − ⇔ --√ ≤ ≤ -, √ Vì ∈ ℤ nên ∈ −; . Vậy có 2 số nguyên để phương trình ∗ có nghiệm thực dương. Chọn B Cách 2: Yêu cầu của bài toán được thỏa ⇔ g ∈ ℤ; > F + G + F − G = ⇔ f ∈ ℤ; > = + r − F + G ∨ f ∈ ℤ; > = − r − F + G TH1: g ∈ ℤ; > = + : − @ + A ⇔ f ∈ ℤ; --√ ≤ ≤ -, √ = + : − @ + A ta chọn ∈ −; . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 34 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha TH2: g ∈ ℤ; > = − : − @ + A ⇔ f ∈ ℤ; --√ ≤ ≤ -, √ = − : − @ + A ; > , ∄ ∈ ℤ để > . Vậy có 2 số nguyên để phương trình ∗ có nghiệm thực dương. Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Vẫn như kĩ thuật ở trên - xử lý bảng đồng thời 2 giá trị x và y. Ta có: , = . - ⇔ , = -, ⇔ + = − + ⇔ − = − − + . Dò bảng đồng thời x,y. Vậy chỉ có hai số nguyên tồn tại số thực dương . Chọn B Câu 47. Tìm 0 để phương trình 0 − − + 0 − @ - A + 0 − = có nghiệm trên H ; I. A. − < 0 ≤ . B. 0 ∈ ℝ. C. 0 ∈ . D. − ≤ 0 ≤ . - Tự luận: Đặt = − . Do ∈ H ; I nên ∈ !−; " Ta có phương trình: 0 − − 0 − + 0 − = ⇔ 0 − − 0 − + 0 − = ⇔ 0 − + = − + ⇔ 0 = -, -, ⇔ 0 = . Xét hàm số = -, -, với ∈ !−; " . = − − + = − − − + ≤ ∀ ∈ !−; " ⇒ Hàm số nghịch biến trên đoạn !−; " Phương trình có nghiệm khi đường thẳng = 0 có điểm chung với đồ thị hàm số = trên đoạn !−; " ⇔ ≤ 0 ≤ − ⇔ − ≤ 0 ≤ . Chọn D - Tư duy + Casio: Đặt = − ⇒ 0 − − 0 − + 0 − = Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = → 0 = = -, -, = - - -, - - -, . Nhập cả biểu thức vào bảng giá trị, trên đoạn H ; I kiểm tra kết quả đúng nhất. CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 35 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy: − ≤ 0 ≤ . Chọn D Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực thỏa mãn biểu thức sau =>? + + = =>? + + + + ? A. . B. . C. . D. Vô số. - Tự luận: Cách 1: Ta có: =>? + + = =>? + + + + ⇔ =>? ! + + + " = =>? ! + + + " Đặt = + ; = + . Khi đó ta có =>? + = =>? + Đặt = =>? + = =>? + . Suy ra ta có hệ phương trình Q + = + = Theo bất đẳng thức . 8. ] ta có: + ≤ + ⇔ ≤ . ⇔ ≤ . Mặt khác = − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ vì ∈ ℤ ⇒ ∈ −, , Tương tự ta có − ≤ ≤ . TH1: = ta có =>? = =>? nghiệm là = . Do đó = = − . TH2: = − ta có =>? − = =>? + Xét hàm số = =>? − = =>? + với − ≤ ≤ , ta lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên chứng minh được như sau 05 - ≈ − , < nên không tồn tại . TH3: = ta có =>? + = =>? + ta lập bảng biến thiên và chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm = và một nghiệm còn lại thỏa − ≤ ≤ . CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 36 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy có giá trị ∈ ℤ thỏa mãn là H = = ⇔ H = − = . Chọn B Cách 2: (Dùng đồ thị) Ta có: =>? + + = =>? + + + + ⇔ =>? ! + + + " = =>? ! + + + " Đặt = + ; = + . Khi đó ta có =>? + = =>? + Đặt = =>? + = =>? + . Suy ra ta có hệ phương trình Q + = + = Theo bất đẳng thức . 8. ]: + ≤ + ⇔ ≤ . ⇔ ≤ . Khi đó ta có Z < + = ≤ < + = ≤ Minh họa bằng hình vẽ: Vậy có giá trị ∈ ℤ thỏa mãn là H = = ⇔ H = − = . Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có: + + = + + + + ⇔ ! + + + " = ! + + + " + Đặt = + ; = + . Khi đó ta có + = + + Ta đặt: = + = + . Suy ra Q + = + = CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 37 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha + Lượng giác hóa: Đặt k = √ . +( a = √ . ()*a , a ; . + Từ đó ta được: √ . +( a + √ . ()*a = ⇒ +( a + ()*a = √ = @ √ A ⟹ = √ +( a + ()*a . + Ta có: = − = √ . +( a = : √ +( a ,()* a . +( a − . + Dò bảng để tìm đáp số nè ^.^ + Như vậy ta thấy, x chạy trong khoảng từ -1.16 đến 0. Vì theo đề x nguyên nên −; . Chọn B Câu 49. Cho , thỏa mãn -, + -, − -, = -,, − -,, − -,, (*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức J = − − + + . A. . B. −. C. . D. . - Tự luận: Phương trình (*)⇔ -, + -,, + -, + -,, = -, + -,, Đặt − = 5, phương trình trở thành 5 + -5 + 5 + -5 = 5 + -5 Nhận thấy nếu a là nghiệm thì −5 cũng là nghiệm nên chỉ cần xét 5 ≥ . Xét hàm số = + - , > với số thực t dương tùy ý. Ta có: . = - − - , do > nên − - > ⟹ hàm số này đồng biến trên ; +∞. Do đó, ta được bất đẳng thức sau: 5 + -5 ≤ 5 + -5 ≤ 5 + -5 , ∀5 ≥ và dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 5 = . Suy ra 5 + -5 + 5 + -5 ≤ 5 + -5 Đẳng thức phải xảy ra nên 5 = hay − = ⇔ = . Khi đó J = − − + + = − + + = − − + ≤ Dấu " = " xảy ra khi = .Vậy giá trị lớn nhất của J bằng khi = . Chọn D - Tư duy + Casio: Ta có: -, + -, − -, = -,, − -,, − -,, Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho = . → = . ⇔ = . Khi đó J 05 = − − + + = − + + CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 38 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Vậy giá trị lớn nhất của J bằng khi = . Chọn D Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực thỏa mãn biểu thức 1 + √2 = + . A. . B. . C. . D. Vô số. - Tự luận: Điều kiện + √ > ; + ≠ . Đặt 1 + √2 = + = Khi đó k + √ = + = Vì 1 + √2 ≤ + ⇒ ≤ . ⇔ @ A ≤ ⇔ ≤ . Như vậy + = ⇒ ≤ ≤ ≈ , . Vì nguyên nên ∈ ; . Với = ta có hệ Z = √ = . Suy ra = ⇔ @ A = ⇔ = ⇒ = √ ≈ , . Với = ta có phương trình 1 + √2 = + ⇔ ~ = ≈ , Với = − ta có phương trình 1√ − 2 − + = . Xét hàm số = 1√ − 2 − + . Lập bảng biến thiên, ta chứng minh được 05 ≈ , ≈ −, < nên phương trình vô nghiệm. Do đó ta chọn được ∈ ; . Vậy có 2 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Chọn B - Tư duy + Casio: + Ta có: 1 + √2 = + + Ta đặt: = 1 + √2 = + . Suy ra k + √ = + = + Lượng giác hóa: Đặt k = √ . +( a = √ . ()*a , a ; . + Từ đó ta được: √ . +( a + √ . ()*a = ⇒ +( a + ()*a = √ = @ √ A CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 39 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha ⟹ = √ +( a + ()*a . + Ta có: = √ . +( a = : √ +( a ,()* a . +( a + Dò bảng để tìm đáp số nè ^.^ + Như vậy ta thấy, x chạy trong khoảng từ -0.178 đến 1.209. + Vì theo đề x nguyên nên ; . Chọn B Câu 51. Có bao nhiêu cặp số ; thuộc đoạn !; " thỏa mãn là số nguyên và + * = + ? A. . B. . C. . D. . - Tự luận: Xét hàm số = + ⇒ . = + > , ∀ ∈ ℝ ⇒ đồng biến trên ℝ (1). Ta lại có: + * = + ⇔ * = (2). Từ (1) và (2) suy ra * = ⇔ = Để ≤ ≤ thì ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ * . Mà nguyên và ∈ !; " nên ∈ ; ; ; ; ; ; . Với mỗi giá trị ∈ ; ; ; ; ; ; ta có 1 giá trị tương ứng thuộc đoạn !; ". Vậy có cặp số ; thỏa mãn. Chọn C - Tư duy + Casio: ~ Thật ra, nhận diện giỏi thì khẳng định = , nếu không thì xem dưới đây! + Ta có: + * = + . Đặt [ = = D → = [ ⇒ [ + [ = + ⇒ = . + Để ≤ ≤ thì ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ * . + Mà nguyên và ∈ !; " nên ∈ ; ; ; ; ; ; . + Với mỗi giá trị ∈ ; ; ; ; ; ; ta có 1 giá trị tương ứng thuộc !; ". Vậy có cặp số ; thỏa mãn. Chọn C Câu 52. Cho hai số thực dương , thỏa mãn > và + + ≥ + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ] = + thuộc tập hợp nào dưới đây? A.H ; A. B. H ; I. C.H ; A. D. H ; I. - Tự luận: CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 40 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Điều kiện Q > > Với điều kiện trên ta có: ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ − ≥ > ⇒ ≥ - @b > A Do đó ] = + ≥ = + - ⇒ ′ = − - . ′ = ⇔ − = ⇔ − = √ ⇔ = √, @b > A. Lập bảng biến thiên ta có 0)* @ ;, ∞A = @ , √ A = , √ . ] = + ≥ = + - ≥ 0)* @ ;,A = @ , √ A = , √ ∈ H ; I. Chọn B - Tư duy + Casio + Mẹo: ~ Nhận thấy có dấu “=”, xét tại chính nó – hãy luôn nhớ mẹo nhỏ này nhé!!! Ta có: + + ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ ≥ - @b > A Ta lại có: ] = + = + . - . Bấm đạo hàm tìm điểm cực trị. Kết quả đó! Chọn B <3 Thân tặng <3 CHƯƠNG 2 – LOGARIT https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ 41 | Hoàng Thanh Phong Good luck – Các bạn thi tốt nha Mọi thắc mắc, góp ý xin liên lạc: Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100011662810941 Đặt hàng giáo án, tài liệu hoặc soạn thảo đề Toán xin liên hệ: Thanh Phong 0913600971 Đóng góp giúp đỡ tác giả qua Số tài khoản Thông tin chuyển tiền  Chuyển khoản - Chủ tài khoản: Hoàng Thanh Phong - Số tài khoản: 58210000125792 - Tên ngân hàng: BIDV – Chi nhánh Phú Tài  MoMo - Số điện thoại: 0913600971 - Nội dung: “Họ và tên” – “ số điện thoại cá nhân” Tác giả xin chân thành cảm ơn Video bài giảng free: https://www.facebook.com/groups/398922834415126/ or kênh Youtube: http://www.youtube.com/c/HoàngThanhPhong Tài liệu bài giảng free: https://bom.to/K4SNfp or https://bom.to/OsGvlL {Vấn đề Sự Biến Thiên} Đề thi thử free: https://bom.to/rfzjr4 Bài tập tự luyện trên lớp Shub free: https://shub.edu.vn/class/XEMXC/info - Mã lớp: XEMXC ---Hết---

Xem thêm

Đề xuất cho bạn

Tài liệu