Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit – Bùi Trần Duy Tuấn
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Lời nói đầu
Tài liệu gồm 341 trang bao gồm các chủ đề sau:
Chủ đề 1. Lũy thừa
Chủ đề 2. Logarit
Chủ đề 3. Hàm số Lũy thừaMũLogarit
Chủ ề 4. Phương trìnhHệ phương trình MũLogarit
Chủ đề 5. Bất phương trình MũLogarit
Chủ đề 6. Các bài toán ứng dụng Lũy thừaMũLogarit
Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau:
1. Kiến thức cơ bản cần nắm
2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa)
3. Thủ thuật Casio giải nhanh
4. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)
Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi
T HPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn.
Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số
lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để
những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về:
Xin chân thành cảm ơn!!!
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA ................................................................................................. 7
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM .......................................................................................
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Lời nói đầu
“Nơi nào có ý chí, nơi ó có con ư ờng.”
Tài liệu gồm 341 trang bao gồm các chủ ề sau:
Chủ ề 1. Lũy thừa
Chủ ề 2. Logarit
Chủ ề 3. Hàm số Lũy thừaMũLogarit
Chủ ề 4. Phương trìnhHệ phương trình MũLogarit
Chủ ề 5. Bất phương trình MũLogarit
Chủ ề 6. Các bài toán ứng dụng Lũy thừaMũLogarit
Bố cục của các chủ ề gồm các phần sau:
1. Kiến thức cơ bản cần nắm
2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa)
3. Thủ thuật Casio giải nhanh
4. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)
Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi
T HPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn.
Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số
lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để
những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về:
Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna.
Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com.
Các em có thể xem thêm các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán tại Website:
https://toanhocplus.blogspot.com/
Xin chân thành cảm ơn!!!
Quảng Nam – 15.02.2018
30 Tết
Bùi Trần Duy Tuấn Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA ................................................................................................. 7
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM ................................................................................................................. 7
I. LŨY THỪA...................................................................................................................................... 7
II. CĂN BẬC N ................................................................................................................................... 8
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VỀ LŨY THỪA ................................................................. 9
I. VIẾT LŨY THỪA VỚI DẠNG SỐ MŨ HỬU TỈ .......................................................................... 9
II. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ............................................................................................. 10
III. RÚT GỌN BIỂU THỨC ............................................................................................................. 12
IV. SO SÁNH CÁC SỐ..................................................................................................................... 14
C. THỦ THUẬT CASIO ...................................................................................................................... 16
I. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN .......................................................................................... 16
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ............................................................................................. 16
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................. 21
I. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................... 21
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................ 33
CHỦ ĐỀ 2: LOGARIT ................................................................................................. 46
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN .................................................................................................................... 46
I. ĐỊNH NGHĨA ............................................................................................................................... 46
II. CÁC TÍNH CHẤT ....................................................................................................................... 46
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LOGARIT ......................................................................................... 47
I. TÍNH, RÚT GỌN GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC CHỨA LOGARIT ................................. 47
II. BIỂU DIỄN MỘT LOGARIT THEO CÁC LOGARIT CHO TRƯỚC ...................................... 50
C. THỦ THUẬT CASIO ...................................................................................................................... 56
I. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN .......................................................................................... 56
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ............................................................................................. 56
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................. 61
I. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................... 61
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................ 70
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA - MŨ – LOGARIT ............................................. 82
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM ............................................................................................................... 82
I. HÀM LŨY THỪA ......................................................................................................................... 82
II. HÀM SỐ MŨ ............................................................................................................................... 84
III. HÀM SỐ LOGARIT ................................................................................................................... 85
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ...................................................................................... 86
I. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ ......................................................................................... 86
II. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ .............................................................................................. 88
III. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ............................................................................................ 93
IV. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................. 98
V. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ..................................................................................................... 103
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 110
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 110
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .......................................................................................... 125
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT ......... 139
A. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ...................................... 139
I. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ............................... 139
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ............................................. 141
III. PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ......................................... 146
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ............................................... 148
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ..................................................................................... 153
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT .................................................................................. 160
I. PHƯƠNG PHÁP THẾ ................................................................................................................ 160
II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ..................................................................... 161
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................................................................................ 163
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ..................................................................................................... 165
C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT ............................................... 167
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SHIFT SOLVE ............................................................................ 167
II. PHƯƠNG PHÁP CALC ........................................................................................................... 172
III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7 ................................................................................... 178
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ........................................................................................................... 181 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 181
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ ........................................................................................................... 181
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................................................ 187
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................... 194
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ ........................................................................................................... 194
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................................................ 206
CHỦ ĐỀ 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT .......................................... 224
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT ....................................... 224
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BPT MŨ ............................................. 224
II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 226
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT ......... 227
IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ...... 229
V. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ............................................................................................................ 231
VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ........................................................................... 232
B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT ................................. 236
I. PHƯƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN ............................................................... 236
II. PHƯƠNG PHÁP 2 : CALC THEO CHIỀU NGHỊCH ............................................................ 241
BÀI TẬP KẾT HỢP 2 PHƯƠNG PHÁP THUẬN VÀ NGHỊCH ........................................... 243
III. PHƯƠNG PHÁP 3: LẬP BẢNG GIÁ TRỊ MODE 7 .............................................................. 247
IV. PHƯƠNG PHÁP 4 : LƯỢC ĐỒ CON RẮN .......................................................................... 250
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 254
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 254
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .................................................................................................. 254
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ....................................................................................... 259
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................... 267
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .................................................................................................. 267
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .............................................................................................. 281
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
CHỦ ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ MŨ – LOGARIT .. 298
A. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT ............... 298
MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN NGÂN HÀNG .................................... 298
I. LÃI ĐƠN ..................................................................................................................................... 299
1. Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ.................................. 300
2. Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n ............................ 301
3. Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. tìm lãi suất ...................................... 301
4. Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ, tìm vốn ban đầu ....................... 302
II. LÃI KÉP ...................................................................................................................................... 303
1. Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ.................................. 303
2. Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n ............................ 305
3. Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm lãi suất ..................................... 307
4. Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm vốn ban đầu ...................... 307
III. BÀI TOÁN VAY TRẢ GÓP – GÓP VỐN ............................................................................... 309
1. Một số dạng toán thường gặp ............................................................................................... 309
2. Tổng kết phần III .................................................................................................................... 313
IV. BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC TĂNG TRƯỞNG MŨ - ỨNG DỤNG
TRONG LĨNH VỰC ĐỜI SỐNG XÃ HỘI ................................................................................... 314
1. Bài toán lãi kép liên tục. ......................................................................................................... 314
2. Bài toán về dân số. .................................................................................................................. 314
V. ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC KHOA HỌC KỸ THUẬT .............................................. 317
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .......................................................................................................... 317
2. CÁC BẢI TOÁN THỰC TẾ ................................................................................................... 318
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 325
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 325
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ......................................................................... 333
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 7
Chủ đề 1
LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. LŨY THỪA
1. Lũy thừa
a. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của
n thừa số a . ......
n
n
a a a a
( n thừa số)
Ta gọi a là cơ số, n là số mũ của lũy thừa
n
a .
Với a 0 , 0 n hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số
n
a xác định
bởi:
0
1
1;
n
n
a a
a
.
Chú ý :
0
0 và 0
n
không có nghĩa.
b. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho 0 a và số hữu tỉ ;
m
r
n
trong đó , , 2. m n n Khi đó: .
m
n r m
n
a a a
c. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Cho 0, , ( )
n
a r là dãy số hữu tỉ sao cho lim .
n
x
r
Khi đó: lim .
n
r
n
x
a r a
2. Một số tính chất của lũy thừa
Với 0, 0 a b và , m n , ta có:
;
m n m n
a a a
;
m
m n
n
a
a
a
.
( ) ;
m n m n
a a
( ) ;
m m m
ab a b ;
m
m
m
a a
b b
m m
a b
b a
*
1
n
n
a n
a
m
n m
n
a a
*
( 0, , ) a m n
Với 1 a thì
m n
a a m n ; Với 0 1 a thì
m n
a a m n .
Với mọi 0 a b , ta có: 0
m m
a b m ; 0
m m
a b m
Chú ý: Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
Lũy thừa với mũ số thực (của một số dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa
với số mũ nguyên. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 8
II. CĂN BẬC N
1. Định nghĩa:
Cho số thực b và số nguyên dương n ( 2) n . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu
n
a b .
Nhận xét:
Với n lẻ và a : Có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là
n
a .
0 : a Không tồn tại căn bậc n của a.
Với n chẵn 0 : a Có một căn bậc n của a là số 0 .
0 : a Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị
dương ký hiệu là
n
a , căn có giá trị âm kí hiệu là
n
a .
2. Một số tính chất của căn bậc n
Với
*
, ;n a b , ta có:
2 2 n n
a a a ;
2 1 2 1 n n
a a a
.
2 2 2
, 0
n n n
ab a b ab ;
2 1 2 1 2 1
,
n n n
ab a b a b
.
2
2
2
, 0, 0
n
n
n
a a
ab b
b
b
;
2 1
2 1
2 1
, 0
n
n
n
a a
a b
b
b
.
Với , , a b ta có:
, 0
m
n m n
a a a , n nguyên dương, m nguyên.
, 0
n m nm
a a a , n , m nguyên dương.
Nếu
p q
n m
thì , 0; ,
n m p q
a a a m n nguyên dương; , p q nguyên.
Đặc biệt:
m n m n
a a
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 9
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VỀ LŨY THỪA
I. VIẾT LŨY THỪA VỚI DẠNG SỐ MŨ HỬU TỈ
Bài toán 1: Cho x là số thực dương. Biểu thức
4 2 3
x x được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ
hữu tỉ là:
A.
7
12
x . B.
5
6
x . C.
12
7
x . D.
6
5
x .
Lời giải:
Chọn A.
1
1 7 7 7
4
4 4
4 2 2 3
3 3 3 12
x x x x x x x .
Bài toán 2: Cho b là số thực dương. Biểu thức
5 2
3
b b
b b
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ
hữu tỉ là:
A. – 2. B. – 1. C. 2. D. 1.
Lời giải:
Chọn D.
1
1 5 5 1
5
5 5
5 2 2
2 2 2 2
1 1
1 3
3
3 3 3
3 2
2 2
2
1
b b b b b b b
b b
b
bb b
b
Bài toán 3: Cho x là số thực dương. Biểu thức x x x x x x x x được viết dưới dạng
lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
A.
256
255
x . B.
255
256
x . C.
127
128
x . D.
128
127
x .
Lời giải:
Chọn B.
Cách 1: x x x x x x x x
1
2
x x x x x x x x
3
2
x x x x x x x
1
3
2
2
x x x x x x x
7
4
x x x x x x
7
8
x x x x x x
15
8
x x x x x
15
16
x x x x x
31
16
x x x x
31
32
x x xx
63
32
x x x
63
64
x x x
127
64
x x
127
128
x x
255
128
x x
255
128
x
255
256
x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 10
Nhận xét:
8
8
2 1 255
256 2
x x x x x x x x x x
.
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Ta nhẩm
1
2
x x . Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =.
Bài toán 4: Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức
5 3
a b a
b a b
được viết dưới dạng lũy thừa
với số mũ hữu tỉ là:
A.
7
30
x .
B.
31
30
a
b
. C.
30
31
a
b
. D.
1
6
a
b
.
Lời giải:
Chọn D.
5 3
a b a
b a b
1
1
2
5 3
a a a
b b b
1
2
5 3
a a
b b
1
6
5
a a
b b
5
6
5
a
b
5
6
5
a
b
1
6
a
b
II. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài toán 1: Tính các biểu thức sau:
a)
2 3
3 2
4 8 A b)
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
2 5 4 25 10 B
Lời giải:
a)
3 2 2 3
2 3 3 2
2 3 3 2
4 8 2 2 2 2 12 A .
b)
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 5 4 25 10 2 5 2 2 5 5 2 5 7 B
Bài toán 2: Giá trị của biểu thức
3 1 3 4
0
3 2
2 .2 5 .5
10 : 10 0,1
P
là:
A. 9. B. 9 . C. 10 . D. 10.
Lời giải:
Chọn C.
3 1 3 4 2
0 1
3 2
2 .2 5 .5 2 5 9
10
1
10 1
10 : 10 0,1
1
10
P
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 11
Bài toán 3: Chứng minh rằng
3 3
3 3 3
1 2 4
2 1
9 9 9
.
Lời giải:
Đặt
3
2 1 x . Ta cần chứng minh đẳng thức
2
3
3
1
1
9
x x
x
.
3
2
9 1 1 x x x , nhân vào hai vế
3
1 0 x
3 3
3
9 1 1 1 x x x , sử dụng
3
2 x
2 2
9 1 3 3 3 27 1 1 1 x x x x x x
3 3
1 1 2 x x , đẳng thức này đúng. (Đpcm)
Bài toán 4: Cho
2016
2016 2016
x
x
f x
. Tính giá trị biểu thức
1 2 2016
2017 2017 2017
S f f f
A. S = 2016 B. S = 2017 C. S = 1008 D. S = 2016
Lời giải:
Chọn C.
Ta có:
2016
(1 ) ( ) (1 ) 1
2016 2016
x
f x f x f x
Suy ra
1 2 2016 1 2016 2
2017 2017 2017 2017 2017 2017
S f f f f f f
2015 1008 1009
... 1008
2017 2017 2017
f f f
.
Bài toán 5: Rút gọn biểu thức
2
4 3 6 8 2 1 200 9999
... ...
1 3 2 4 1 1 99 101
k k
A
k k
Lời giải:
Ta có
2 2
2
1 1 1 1 1 1
2 1
1 1 1 1 1 1
k k k k k k
k k
k k k k k k
3 3
1 1 1 1
1 1
2 2
k k k k
k k
.
Áp dụng đẳng thức trên ta có Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 12
2
4 3 6 8 2 1 200 9999
... ...
1 3 2 4 1 1 99 101
k k
A
k k
3 3 1 1 4 4 2 2 5 5 3 3 6 6 4 4 ...100 100 98 98 101 101 99 99
2
1 1 2 2 100 100 101 101 999 101 101 2 2
2 2
.
III. RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài toán 1: Cho
1
2
1 1
2 2
1 2
y y
x y P
x x
. Biểu thức rút gọn của P là:
A. x. B. 2x. C. 1 x . D. – 1 x .
Lời giải:
Chọn A.
1
2 2
2
2 x xy y
x
x y x y x
x
x y
P
.
Bài toán 2: Hãy rút gọn biểu thức sau:
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 2 1
.
1 2 1
a a a
a a a a
(Với 0 1 a )
Lời giải:
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 2 1
.
1 2 1
a a a
a a a a
0,5 0,5 0,5
2 0,5
0,5 0,5
0,5
2 2 1
.
1 1
1
a a a
a
a a
a
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
2 2 1 2 2 1 2
. .
1 1 1 1
a a a a a a
a a a a a a
.
Bài toán 3: Hãy rút gọn biểu thức sau
3
4 4 3 3
4 4
1 1
1 1
x x x
x x
x x
x x
(Với 0, x 1 x )
Lời giải: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 13
3 3
4 4 4 4 3 3 2 2 4 4
4 4
1 1 1 1
1 1
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
3
3
3
4 4
1
1 1 1
x x
x x x
x
x x x
.
Bài toán 4: Hãy rút gọn biểu thức sau
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
x y x y x y y
x y x y
yx xy xy yx
(Với 0, x 0 y , x y )
Lời giải:
Cách 1: Làm trực tiếp
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2
. .
x y x y x y x y x y y y x
x y x y x y x y
y x x y
yx xy xy yx
2
2 . 2
x y y x
x y x y x y
.
Cách 2 : Dùng ẩn phụ
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
x y x y x y y
A
x y x y
yx xy xy yx
, đặt
1 1
2 2
, x a y b
Ta có
3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
.
.
a b a b a b b
A
a b a b a b ab a b a b
2 2
2 2 2 2
2
.
a b a b a b
b a a b a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 . 2
a b a b
a b a b a b
Bài toán 5: Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
2 3 2 3 4 9 P a b a b a b có dạng là P xa yb . Tính ? x y
A. 97 x y . B. 65 x y . C. 56 x y . D. 97 y x .
Lời giải:
Chọn B.
Cách 1: Ta có:
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 4 4 2 2
2 3 2 3 4 9 2 3 4 9 P a b a b a b a b a b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 14
.
Do đó: 16; 81. x y
Cách 2: Cho a = 1, b= 1 bấm máy ra kết quả là A
Cho a = 2, b = 3 bấm máy ra kết quả là B
Giải hệ
16
2 3 81
x y A x
x y B y
Bài toán 6: Cho các số thực dương phân biệt a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
4
4 4 4 4
4 16 a b a ab
P
a b a b
có dạng
4 4
P m a n b . Khi đó biểu thức liên hệ giữa
m và n là:
A. 2 3 m n . B. 2 m n . C. 0 m n . D. 3 1 m n .
Lời giải:
Chọn A.
Cách 1: .
.
Do đó .
Cách 2: Cho a = 1, b= 1 bấm máy ra kết quả là A
Cho a = 2, b = 3 bấm máy ra kết quả là B
Giải hệ
IV. SO SÁNH CÁC SỐ
Bài toán 1: So sánh các cặp số sau:
a)
víi 10
2 2
0,01
b) víi
4
2 6
4
c) víi
2 3 3 2
5 5
d)
200
víi
300
5 8
Lời giải:
a) Ta có hai số cùng số mũ 2 0 n nên cơ số càng lớn số càng nhỏ.
Suy ra
> 10
2 2
0,01
b) Ta có hai số cùng cơ số 0 1
4
a
nên số mũ càng lớn số càng nhỏ.
Suy ra >
4
2 6
4
.
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 9 a b a b
2 2
1 1
2 2
4 9 16 81 a b a b
2 2
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4
4 16 2 2 a b a ab a b a a a b
P
a b a b a b a b
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
2 a b a b a a b
a b a b
4 4 4 4 4
2 a b a b a
1; 1 m n
1
2 3 1
m n A x
m n B y
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 15
c) Ta có hai số cùng cơ số 5 1 a nên số mũ càng lớn số càng lớn.
Mà 2 3 12 3 2 18
Suy ra >
2 3 3 2
5 5
.
d) Ta cần đưa hai số trên về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
200
=
100 100
300 3 100 2 100
5 5 125 8 8 64
Bài toán 2: So sánh hai số m, n hoặc tìm điều kiện với cơ số a ?
a) 3,2 3,2
m n
b)
3 3
2 2
m n
c)
5 1 5 1
m n
d)
2 1
3 3
1 1 a a
Lời giải:
a) Ta có hai số cùng cơ số 3,2 1 a nên số mũ càng lớn số càng lớn.
Mà 3,2 3,2
m n
m n .
b) Ta có hai số cùng cơ số
3
1
2
a nên số mũ càng lớn số càng nhỏ.
Mà
3 3
2 2
m n
m n
.
c)Ta có hai số cùng cơ số 5 1 1 a nên số mũ càng lớn số càng lớn.
Mà
5 1 5 1
m n
m n .
d) Ta có hai số cùng cơ số 1 a .
Mà
2 1
3 3
và
2 1
3 3 1 1 1 1 2 a a a a .
Bài toán 3: So sánh hai số
1 2 3 1000
1 2 3 ... 1000 và
2
2
2
2
2
Lời giải:
Ta có
2
2 4
2 2 16
2 2 2
2 2 2 .
Mà
16
10
16 2 64000
6
2 1024 1000
2 64000 2 2
2 64
.
Mặt khác
1001
1 2 3 1000 1000 1001 10 10010 64000
1 2 3 ... 1000 1000.1000 1000 2 2 2 .
Vậy
2
2
2
1 2 3 1000 2
1 2 3 ... 1000 2 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 16
C. THỦ THUẬT CASIO
I. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN
Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến
Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào , , A B C nếu các giá trị tính được lẻ
Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Cho 9 9 23
x x
. Khi đó biểu thức
5 3 3
1 3 3
x x
x x
P
có giá trị bằng?
A. 2 B.
3
2
C.
1
2
D.
5
2
Lời giải:
PHƯƠNG PHÁP CASIO
Từ phương trình điều kiện 9 9 23
x x
ta có thể dò được nghiệm bằng chức năng SHIFT
SOLVE
9^Q)$+9^pQ)$p23qr1=
Lưu nghiệm này vào giá trị A : qJz
Để tính giá trị biểu thức P ta chỉ cần gắn giá trị x A sẽ được giá trị của P
a5+3^Qz$+3^pQzR1p3^Q)$p3^p
Qz$$=
Vậy rõ ràng D là đáp số chính xác
TỰ LUẬN
Đặt
2
3 3 9 9 2 25 5
x x x x
t t t
Vì 3 3 0
x x
vậy 0 t hay 5
Với 3 3 5
x x
. Thế vào P ta được
5 5 5
1 5 2
P
Bình luận
Một bài toán hay thể hiện sức mạnh của Casio
Nếu trong một phương trình có cụm
x x
a a
thì ta đặt ẩn phụ là cụm này, khi đó ta có thể biểu
diễn
2 2 2
2
x x
a a t
và
3 3 3
3
x x
a a t t
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 17
Bài toán 2: Cho
1
2
1 1
2 2
1 2
y y
K x y
x x
với 0, 0 x y . Biểu thức rút gọn của K là ?
A. x B. 2x C. 1 x D. 1 x
Lời giải:
PHƯƠNG PHÁP CASIO
Ta hiểu nếu đáp án A đúng thì K x hay hiệu
1
2
1 1
2 2
1 2
y y
x y x
x x
bằng 0 với mọi
giá trị ; x y thỏa mãn điều kiện 0, 0 x y
Nhập hiệu trên vào máy tính Casio
(Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$)d(1p2s
aQnRQ)$$+aQnRQ)$)^p1pQ)
Chọn 1 giá trị 1.25 X và 3 Y bất kì thỏa 0, 0 x y rồi dùng lệnh gán giá trị CALC
r1.25=3=
Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị
9
log
12
x
y
12^i9$Qz=
Vậy ta khẳng định 90% đáp án A đúng
Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ như 0.55, 1.12 X Y
r0.55=1.12=
Kết quả vẫn ra là 0 , vậy ta chắc chắn A là đáp số chính xác
TỰ LUẬN
Rút gọn
2
1 1
2
2 2
x y x y
Rút gọn
1
2 2 1 2
1 2 1
y x y y y x
x x x
x y x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 18
Vậy
2
2
x
K x y x
y x
Bình luận
Chúng ta cần nhớ nếu 1 khẳng định ( 1 hệ thức đúng ) thì nó sẽ đúng với mọi giá trị , x y thỏa
mãn điều kiện đề bài . Vậy ta chỉ cần chọn các giá trị , 0 X Y để thử và ưu tiên các giá trị này
hơi lẻ, tránh số tránh (có khả năng xảy ra trường hợp đặc biệt)
Bài toán 3: Rút gọn biểu thức
3 1 2 3
2 2
2 2
. a a
a
(với 0 a ) được kết quả :
A.
4
a B. a C.
5
a D.
3
a
Lời giải:
PHƯƠNG PHÁP CASIO
Ta phải hiểu nếu đáp A đúng thì hiệu
3 1 2 3
4
2 2
2 2
. a a
a
a
phải 0 với mọi giá trị của a
Nhập hiệu trên vào máy tính Casio
aQ)^s3$+1$OQ)^2ps3R(Q)^s2$
p2$)^s2$+2$$pQ)^4
Chọn một giá trị a bất kỳ (ưu tiên A lẻ), ta chọn 1.25 a chả hạn rồi dùng lệnh tính giá trị
CALC
r1.25=
Vậy hiệu trên khác 0 hay đáp án A sai
Để kiểm tra đáp số B ta sửa hiệu trên thành
3 1 2 3
2 2
2 2
. a a
a
a
!ooo
Rồi lại tính giá trị của hiệu trên với 1.25 a
r1.25=
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 19
Vẫn ra giá trị khác 0 vậy B sai.
Tương tự vậy ta sẽ thấy hiệu
3 1 2 3
5
2 2
2 2
. a a
a
a
bằng 0
Vậy đáp số C là đáp số chính xác
TỰ LUẬN
Ta rút gọn tử số
3 1 2 3
3 1 2 3 3
. a a a a
Tiếp tục rút gọn mẫu số
2 2
2 2 2 2
2 2 2 4 2
a a a a
Vậy phân thức trở thành
3
3 2
5
2
a
a a
a
Bài toán 4: Rút gọn biểu thức
3 1 2 3
2 2
2 2
. a a
a
(với 0 a ) được kết quả :
A.
4
a B. a C.
5
a D.
3
a
Lời giải:
Chọn 0 a ví dụ như 1.25 a chẳng hạn. Tính giá trị
3 1 2 3
2 2
2 2
1.25 .1.25
1.25
rồi lưu vào A
a1.25^s3$+1$O1.25^2ps3R(1.25
^s2$p2$)^s2$+2=qJz
Ta thấy
5
5
3125
1.25
1024
a Đáp số chính xác là C
Bài toán 5: Biến đổi
3 5 4
0 x x x thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được :
A.
20
21
x B.
21
12
x C.
20
5
x D.
12
5
x
Lời giải:
Chọn 0 a ví dụ như 1.25 a chẳng hạn. Tính giá trị
3 5 4
1.25 1.25 rồi lưu vào A
q^3$1.25^5$Oq^4$1.25=qJz
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 20
Ta thấy
21 21
12 12
1.25 A a Đáp số chính xác là B
Bài toán 6: Cho
1
2
1 1
2 2
1 2
y y
K x y
x x
với 0, 0 x y . Biểu thức rút gọn của K là ?
A. x B. 2x C. 1 x D. 1 x
Lời giải:
Chọn 1.125 x và 2.175 y rồi tính giá trị biểu thức K
(1.125^0.5$p2.175^0.5$)dO(1
p2sa2.175R1.125$$+a2.175R1.
125$)^p1=
Rõ ràng
9
1.125
8
K x Đáp số chính xác là A
Bài toán 7: Cho các số 0, 0, 0 a b c thỏa mãn 4 6 9
a b c
. Tính giá trị biểu thức
b b
T
a c
A. 1 B.
3
2
C. 2 D.
5
2
Lời giải:
Chọn 2 a Từ hệ thức ta có
2 2
4 6 6 4 0
b b
. Dò nghiệm và lưu vào B
6^Q)$p4^2qr1=qJx
Từ hệ thức ta lại có
2
9 4 0
c
. Dò nghiệm và lưu vào C
ga2+QxR40$)=
Cuối cùng là tính 2
2
b b B B
T
a c C
Đáp số chính xác là C
aQxR2$+aQxRQc=
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 21
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. ĐỀ BÀI
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng:
A.
n
a
xác định với mọi
\ 0 ; a n N B. ;
m
n m
n
a a a
C.
0
1; a a D. ; ; ,
m
n m
n
a a a m n
Câu 2. Tìm x để biểu thức
2
2 1 x
có nghĩa:
A.
1
2
x B.
1
2
x C.
1
; 2
2
x
D.
1
2
x
Câu 3. Tìm x để biểu thức
1
2
3
1 x có nghĩa:
A.
; 1 1; x . B.
;1 1; x
.
C.
1;1 x . D.
\ 1 x .
Câu 4. Tìm x để biểu thức
2
2
3
1 x x
có nghĩa:
A. x B. Không tồn tại x C. 1 x D.
\ x 0
Câu 5. Các căn bậc hai của 4 là:
A. 2 B. 2 C. 2 D. 16
Câu 6. Cho a và
*
2 ( ) n k k ,
n
a có căn bậc n là:
A. a . B. | | a . C. a . D.
2
n
a .
Câu 7. Cho a và
*
2 1( ) n k k ,
n
a có căn bậc n là:
A.
2 1
n
n
a
. B. | | a . C. a . D. a .
Câu 8. Phương trình
2016
2017 x có tập nghiệm trong là :
A.
2017
2016 T={ } B.
2016
2017 T={ } C.
2016
2017 T={ } D.
2016
2017 T={ }
Câu 9. Các căn bậc bốn của 81 là:
A. 3 B. 3 C. 3 D. 9
Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình
2015
2 x vô nghiệm.
B. Phương trình
21
21 x có 2 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình
e
x có 1 nghiệm.
D. Phương trình
2015
2 x có vô số nghiệm.
Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có một căn bậc n của số 0 là 0. B.
1
3
là căn bậc 5 của
1
243
.
C. Có một căn bậc hai của 4. D. Căn bậc 8 của 2 được viết là
8
2 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 22
Câu 12. Tính giá trị
4
0,75
3
1 1
16 8
, ta được:
A. 12 B. 16 C. 18 D. 24
Câu 13. Viết biểu thức a a
0 a về dạng lũy thừa của a là.
A.
5
4
a B.
1
4
a C.
3
4
a D.
1
2
a
Câu 14. Viết biểu thức
3
0,75
2 4
16
về dạng lũy thừa 2
m
ta được ? m .
A.
13
6
. B.
13
6
. C.
5
6
. D.
5
6
.
Câu 15. Các căn bậc bảy của 128 là:
A. 2 B. 2 C. 2 D. 8
Câu 16. Viết biểu thức
5 3
, , 0
b a
a b
a b
về dạng lũy thừa
m
a
b
ta được ? m .
A.
2
15
. B.
4
15
. C.
2
5
. D.
2
15
.
Câu 17. Cho 0 a ; 0 b . Viết biểu thức
2
3
a a về dạng
m
a và biểu thức
2
3
: b b về dạng
n
b . Ta có
? m n
A.
1
3
B. 1 C. 1 D.
1
2
Câu 18. Cho 0 x ; 0 y . Viết biểu thức
4
6 5
5
. x x x ; về dạng
m
x và biểu thức
4
5
5 6
: y y y ; về dạng
n
y . Ta có ? m n
A.
11
6
B.
11
6
C.
8
5
D.
8
5
Câu 19. Viết biểu thức
4
2 2
8
về dạng 2
x
và biểu thức
3
2 8
4
về dạng 2
y
. Ta có
2 2
? x y
A.
2017
567
B.
11
6
C.
53
24
D.
2017
576
Câu 20. Cho
3 6
( ) . f x x x khi đó (0,09) f bằng:
A. 0,09 B. 0,9 C. 0,03 D. 0,3
Câu 21. Cho
3 2
6
x x
f x
x
khi đó
1,3 f bằng:
A. 0,13. B. 1,3 . C. 0,013 . D. 13.
Câu 22. Cho
12 5 3 4
f x x x x . Khi đó (2,7) f bằng
A. 0,027 . B. 0,27 . C. 2,7 . D. 27 .
Câu 23. Đơn giản biểu thức
4 2
81 a b , ta được:
A.
2
9a b . B.
2
9a b . C.
2
9a b . D.
2
3a b . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 23
Câu 24. Đơn giản biểu thức
4
8
4
1 x x , ta được:
A.
2
1 x x . B.
2
1 x x C.
2
1 x x . D.
2
1 x x .
Câu 25. Đơn giản biểu thức
9
3
3
1 x x , ta được:
A.
3
1 x x . B.
3
1 x x . C.
3
1 x x . D.
3
1 x x .
Câu 26. Khẳng định nào sau đây đúng
A.
0
1 a a . B.
2
1 1 a a . C. 2 3 3 2 . D.
1 2
1 1
4 4
.
Câu 27. Nếu
2
2 3 1 2 3 1
a
thì
A. 1 a . B. 1 a . C. 1 a . D. 1 a .
Câu 28. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.
2 2
0,01
10 . B.
2 2
0,01
10 .
C.
2 2
0,01
10 . D.
0
1, 0 a a .
Câu 29. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A.
3 4
2 2 2 2 . B.
6
11 2 11 2
.
C.
3 4
4 2 4 2 . D.
4
3 2 3 2
.
Câu 30. Nếu
2 2
3 2 3 2
m
thì
A.
3
2
m . B.
1
2
m . C.
1
2
m . D.
3
2
m .
Câu 31. Cho n
nguyên dương 2 n khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
1
n
n
a a 0 a .
B.
1
n
n
a a 0 a .
C.
1
n
n
a a 0 a .
D.
1
n
n
a a a .
Câu 32. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
ab a b , a b . B.
2 2
0
n n
a a , n nguyên dương
1 n .
C.
2 2 n n
a a a , n nguyên dương
1 n . D.
4 2
a a 0 a .
Câu 33. Cho 0, 0 a b , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
4 4 4
a b ab .
B.
3 3 3
a b ab .
C.
2 2
a b ab .
D.
4 2 2
a b a b .
Câu 34. Tìm điều kiện của a để khẳng định
2
(3 ) 3 a a là khẳng định đúng ?
A.
a .
B.
3 a .
C.
3 a .
D.
3 a .
Câu 35. Cho a là số thực dương, , m n tùy ý. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai ? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 24
A.
.
m n m n
a a a
.
B.
n
n m
m
a
a
a
.
C.
n
m m n
a a
.
D.
.
n
m m n
a a .
Câu 36. Bạn An trong quá trình biến đổi đã làm như sau:
1 2 3 4
1 2
2
3
6 3 6
27 27 27 27 3
bạn đã sai ở bước nào?
A.
4 .
B.
2 .
C.
3 .
D.
1 .
Câu 37. Nếu
1 1
6 2
a a và
2 3
b b thì:
A.
1; 0 1 a b .
B.
1; 1 a b .
C.
0 1; 1 a b .
D.
1;0 1 a b .
Câu 38.
Nếu
3 2 3 2
x
thì
A.
x .
B.
1 x .
C.
1 x .
D.
1 x .
Câu 39.
Với giá trị nào của a thì phương trình
2
4 2
4
1
2
2
ax x a
có hai nghiệm thực phân biệt.
A.
0 a
B.
a
C.
0 a
D.
0 a
Câu 40. Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau:
A.
4
3
.
B.
1
3
3
.
C.
4
0 .
D.
0
3
1
2
.
Câu 41. Đơn giản biểu thức
2 1
2
1
. P a
a
được kết quả là
A.
2
a .
B.
2 2 1
a
.
C.
1 2
a
.
D.
a .
Câu 42.
Biểu thức
2 a
có nghĩa với:
A.
2 a
B.
a
C.
0 a
D.
2 a
Câu 43.
Cho ; 2 n N n khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
n
n
a a , 0 a .
B.
1
n
n
a a , 0 a .
C.
1
n n
a a , 0 a .
D.
1
n
n
a a , a .
Câu 44.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. a b a b , a b
B.
2 2
0
n n
a a , n nguyên dương
2 n
C.
2 2 n n
a a a , n nguyên dương
2 n
D.
4 2
a a 0 a
Câu 45. Cho 0, 0 a b , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
4 4 4
a b ab
B.
3 3 3
a b ab
C.
2 2
a b ab
D.
2 4 2
a b ab
Câu 46. Nếu
1 1
6 2
a a và
2 3
b b thì
A.
1;0 1 a b
B.
1; 1 a b
C.
0 1; 1 a b
D.
1;0 1 a b Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 25
Câu 47. Cho a , b là các số dương. Rút gọn biểu thức
4
4 3 2
3 12 6
.
.
a b
P
a b
được kết quả là :
A.
2
ab .
B.
2
a b .
C.
ab .
D.
2 2
a b .
Câu 48. Cho 3 27
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
3
3
.
B.
3 .
C.
3 .
D.
3 3 .
Câu 49.
Giá trị của biểu thức
1 1
1 1 A a b
với
1
2 3 a
và
1
2 3 b
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 50. Với giá trị nào của thì đẳng thức đúng
A. Không có giá trị nào. B. .
C. . D. .
Câu 51. Với giá trị nào của thì đẳng thức
2017 2017
x x đúng
A. . B. x .
C. . D. Không có giá trị nào.
Câu 52. Với giá trị nào của thì đẳng thức đúng
A. . B. .
C. . D. Không có giá trị nào.
Câu 53. Căn bậc 4 của 3 là
A. . B. . C. . D. .
Câu 54. Căn bậc 3 của – 4 là
A. . B. . C. . D. Không có.
Câu 55. Căn bậc 2016 của –2016 là
A. . B. Không có. C. . D. .
Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
(I): (II):
(III):
(IV):
A. (I) và (IV). B. (I) và (III). C. (IV). D. (II0 và (IV).
Câu 57. Trong các biểu thức sau biểu thức nào không có nghĩa
A. . B. . C.
.
D. .
Câu 58. Với giá trị nào của thì biểu thức sau có nghĩa
A. . B. 2 2 x .
C. . D. Không có giá trị nào.
Câu 59. Cho số thực dương . Rút gọn biểu thức
x
2016 2016
x x
x 0 x
0 x 0 x
x
0 x
0 x x
x
4 4
1
x
x
0 x 0 x
1 x x
3
4
4
3
4
3
4
3
3
4
3
4
3
4
2016
2016
2016
2016
2016
2016
3 5
0.4 0.3
5 3
5 3
3 5
2 4
3 5
5 3
0
2016
2016
2016
2016
0
2016
2016
x
1
2
3
4 x
2 x
2 x x
a
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
a a a aBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 26
A. . B. . C. . D. .
Câu 60. Cho số thực dương . Rút gọn biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Câu 61. Cho số thực dương . Rút gọn biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Câu 62. Cho thì bằng
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 63. Có bao nhiêu giá trị thỏa mãn
A. . B. . C. . D. .
Câu 64. Có bao nhiêu giá trị thỏa mãn đúng
A. 3. B. 3. C. 2. D. 1.
LŨY THỪA VẬN DỤNG
Câu 65. Biết 4 4 23
x x
tính giá trị của biểu thức 2 2
x x
P
:
A. 5 . B. 27 . C. 23 . D. 25 .
Câu 66. Cho a là số thực dương. Biểu thức
4 3 8
a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu
tỉ là:
A.
3
2
a . B.
2
3
a . C.
3
4
a . D.
4
3
a .
Câu 67. Cho x là số thực dương. Biểu thức
4 2 3
x x được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu
tỉ là:
A.
7
12
x . B.
5
6
x . C.
12
7
x . D.
6
5
x .
Câu 68. Cho b là số thực dương. Biểu thức
5 2
3
b b
b b
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu
tỉ là:
A. – 2. B. – 1. C. 2. D. 1.
Câu 69. Cho x là số thực dương. Biểu thức x x x x x x x x được viết dưới dạng lũy
thừa với số mũ hữu tỉ là:
A.
256
255
x . B.
255
256
x . C.
127
128
x . D.
128
127
x .
Câu 70. Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức
5 3
a b a
b a b
được viết dưới dạng lũy thừa với
số mũ hữu tỉ là:
1
2
9 a 9 a 3 a
1
2
3 a
, a b
2 2
3 3 3 3 3
a b a b a b
1 1
3 3
a b a b a b
1 1
3 3
a b
a
11
16
: a a a a a
3
4
a
1
2
a a
1
4
a
1 a b
4 4
4 2 4 2
a b
a b
x
2
6
2
3 3 1
x x
x x
2 3 4 1
x
2
3 2 2
5 2 5 2
x x xBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 27
A.
7
30
x . B.
31
30
a
b
. C.
30
31
a
b
. D.
1
6
a
b
.
Câu 71. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3
. P a b a a b b được kết
quả là:
A. a b . B.
2
a b . C. b a . D.
3 3
a b .
Câu 72. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức
4
4 4 4 4
a b a ab
P
a b a b
được kết quả
là:
A.
4
b . B.
4 4
a b . C. b a . D.
4
a .
Câu 73. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức
2
3 3 3
3 3
:
a b
P ab a b
a b
được
kết quả là:
A. 1 . B. 1 . C. 2 . D. 2 .
Câu 74. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1
3 3
3
6 6
a b b a
P ab
a b
là
A. 0 . B. 1 . C. 1 . D. 2 .
Câu 75. Cho số thực dương a . Biểu thức thu gọn của biểu thức
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
P
a a a
là:
A. 1 . B. 1 a . C. 2a . D. a .
Câu 76. Cho 0, 0 a b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
P a b a b a b là:
A.
10 10
a b . B. a b . C. a b . D.
8 8
a b .
Câu 77. Cho 0, 0 a b .Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
P a b
b a
là:
A.
3
ab . B.
3
3 3
ab
a b
. C.
3
3
3 3
ab
a b
. D.
3 3 3
ab a b .
Câu 78. Cho 0, 0 a b và a b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
3 3
6 6
a b
P
a b
là:
A.
6 6
a b . B.
6 6
a b . C.
3 3
b a . D.
3 3
a b .
Câu 79. So sánh hai số m và n nếu 3,2 3,2
m n
thì:
A. m n . B. m n .
C. m n . D. Không so sánh được.
Câu 80. So sánh hai số m và n nếu
2 2
m n
A. m n . B. m n .
C. m n . D. Không so sánh được. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 28
Câu 81. So sánh hai số m và n nếu
1 1
9 9
m n
A. Không so sánh được. B. m n .
C. m n . D. m n .
Câu 82. So sánh hai số m và n nếu
3 3
2 2
m n
A. m n . B. m n .
C. m n . D. Không so sánh được.
Câu 83. So sánh hai số m và n nếu
5 1 5 1
m n
A. m n . B. m n .
C. m n . D. Không so sánh được.
Câu 84. So sánh hai số m và n nếu
2 1 2 1
m n
A. m n . B. m n .
C. m n . D. Không so sánh được.
Câu 85. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
2 1
3 3
( 1) ( 1) a a
A. 2 a . B. 0 a . C. 1 a . D. 1 2 a .
Câu 86. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
3 1
(2 1) (2 1) a a
A.
1
0
2
1
a
a
. B.
1
0
2
a . C.
0 1
1
a
a
. D. 1 a .
Câu 87. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
0,2
2
1
a
a
A. 0 1 a . B. 0 a . C. 1 a . D. 0 a .
Câu 88. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
1 1
3 2
1 1 a a
A. 1 a . B. 0 a . C. 0 1 a . D. 1 a .
Câu 89. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
3
2
4
2 2 a a
A. 1 a . B. 0 1 a . C. 1 2 a . D. 1 a .
Câu 90. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
1 1
2 2
1 1
a a
A. 1 2 a . B. 1 a . C. 1 a . D. 0 1 a .
Câu 91. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
3 7
a a
A. 1 a . B. 0 1 a . C. 1 a . D. 1 2 a .
Câu 92. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
1 1
8 17
a a
A. 1 a . B. 1 a . C. 0 1 a . D. 1 2 a .
Câu 93. Kết luận nào đúng về số thực a nếu
0,25 3
a a
A. 1 2 a . B. 1 a . C. 0 1 a . D. 1 a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 29
Câu 94. Rút gọn biểu thức
1,5 1,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0.5 0.5
a b
a b
a b
a b
ta được:
A. a b . B. a b . C. a b . D. a b .
Câu 95. Rút gọn biểu thức
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
x y x y x y y
x y x y
xy x y xy x y
được kết quả là:
A. x y . B. x y . C. 2 . D.
2
xy
.
Câu 96. Biểu thức
2 3
( 3 2) 2 f x x x x
xác định với:
A. (0; )\ 1; 2} x { . B. 0; ) x [ .
C. 0; )\ 1;2} x [ { . D. 0; )\ 1} x [ { .
Câu 97. Biểu thức
2
2
3
2
4 3
2 3 1
x x
f x
x x
xác định khi:
A.
1 4
1; 0;
2 3
x
. B.
1 4
( ; 1) ;0 ;
2 3
x
.
C.
1 4
1; 0;
2 3
x
. D.
4
1;
3
x
.
Câu 98. Biểu thức
1
3 2
4
3 2 f x x x chỉ xác định với:
A.
1 3; x . B.
;1 3 1;1 3 x .
C.
1 3;1 x . D.
1 3;1 1 3; x .
Câu 99. Biểu thức
2
5 6
2
3 2 1
x x
x x
với:
A. 2 x . B. 3 x . C. 2; 3 x x . D. Không tồn tại
x
.
Câu 100. Với giá trị nào của x thì
5 3
2 5 2
( 4) 4
x
x
x x
A.
1
2
x . B.
1
2
x . C.
1
2
x . D.
1
2
x .
Câu 101. Cho
2 1
3 3
1 1 a a
khi đó
A. 2 a . B. 1 a . C. 1 a . D. 2 a .
Câu 102. Cho 1 2
x
a
, 1 2
x
b . Biểu thức biểu diễn b theo a là:
A.
2
1
a
a
. B.
1 a
a
. C.
2
1
a
a
. D.
1
a
a
.
Câu 103. Cho số thực dương a . Biểu thức thu gọn của biểu thức
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
P
a a a
là:
A. a . B. 1 a . C. 2a . D. 1 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 30
Câu 104. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
2 3 2 3 4 9 P a b a b a b có dạng là P xa yb . Tính ? x y
A. 97 x y . B. 65 x y . C. 56 x y . D. 97 y x .
Câu 105. Cho các số thực dương phân biệt a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
3 3
6 6
a b
P
a b
là:
A.
6 6
a b . B.
6 6
a b . C.
3 3
b a . D.
3 3
a b .
Câu 106. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1
3 3
3
6 6
a b b a
P ab
a b
là:
A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 0 .
Câu 107. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
2
3 3 3
3 3
:
a b
P ab a b
a b
A. 1 . B. 1 . C. 2 . D. 2 .
Câu 108. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
P a b
b a
A.
3
3
3 3
ab
a b
. B.
3
ab . C.
3
3 3
ab
a b
. D.
3 3 3
ab a b .
Câu 109. Cho số thực dương x . Biểu thức x x x x x x x x được viết dưới dạng lũy thừa
với số mũ hữu tỉ có dạng
a
b
x , với
a
b
là phân số tối giản. Khi đó, biểu thức liên hệ giữa a
và b là:
A. 509 a b . B. 2 767 a b . C. 2 709 a b . D. 3 510 a b .
Câu 110. Cho các số thực dương phân biệt a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
4
4 4 4 4
4 16 a b a ab
P
a b a b
có dạng
4 4
P m a n b . Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và
n là:
A. 2 3 m n . B. 2 m n . C. 0 m n . D. 3 1 m n .
Câu 111. Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
,( 0, 1),
1
2 1
a a a
P a a
a
a a a
có dạng
m
P
a n
Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:
A. 3 1 m n . B. 2 m n . C. 0 m n . D. 2 5 m n . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 31
Câu 112. Cho a , b là các số dương. Rút gọn biểu thức
4
4 3 2
3 12 6
.
.
a b
P
a b
được kết quả là :
A.
2
ab . B.
2
a b . C. ab . D.
2 2
a b .
Câu 113. Giá trị của biểu thức
1 1
1 1 A a b
với
1
2 3 a
và
1
2 3 b
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 114. Cho các số thực dương a và b . Kết quả thu gọn của biểu thức
1 1
3 3
3
6 6
a b b a
P ab
a b
là
A. 0 . B. 1 . C. 1 . D. 2 .
Câu 115. Cho số thực dương a . Biểu thức thu gọn của biểu thức
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
P
a a a
là:
A.1 . B. 1 a . C. 2a . D. a .
Câu 116. Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
2 3 2 3 4 9 P a b a b a b có dạng là P xa yb . Tính ? x y
A. 97 x y . B. 65 x y . C. 56 x y . D. 97 y x .
Câu 117. Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,65% / tháng. Biết
rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ
được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau
hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi là:
A.
24
(2,0065) triệu đồng. B.
24
(1,0065) triệu đồng.
C.
24
2.(1,0065) triệu đồng. D.
24
2.(2,0065) triệu đồng.
Câu 118. Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng. Biết
rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ
được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn
lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và
lãi suất không đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là:
A. 3 triệu 600 ngàn đồng. B. 3 triệu 800 ngàn đồng.
C. 3 triệu 700 ngàn đồng. D. 3 triệu 900 ngàn đồng.
Câu 119. Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác An
gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% / tháng. Sau sáu tháng gửi
tiền, lãi suất tăng lên 0,9% / tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm
xuống 0,6% / tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác An không rút tiền ra khỏi ngân
hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là
lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác An rút được số tiền là (biết trong khoảng thời gian
này bác An không rút tiền ra):
A. 5436521,164 đồng. B. 5468994,09 đồng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 32
C. 5452733,453 đồng. D. 5452771,729 đồng.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 33
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1A 2A 3A 4A 5C 6B 7D 8B 9B 10A
11C 12D 13C 14A 15C 16D 17C 18B 19D 20D
21B 22C 23B 24D 25B 26C 27A 28B 29C 30C
31A 32A 33A 34D 35C 36D 37D 38D 39A 40B
41D 42A 43B 44A 45A 46A 47C 48D 49C 50D
51B 52A 53D 54B 55B 56C 57C 58D 59B 60C
61D 62D 63C 64C 65A 66B 67A 68D 69B 70D
71B 72A 73B 74A 75D 76C 77B 78A 79C 80C
81D 82A 83B 84A 85A 86A 87C 88D 89C 90D
91B 92A 93D 94B 95C 96C 97C 98D 99B 100C
101A 102D 103A 104B 105A 106D 107B 108C 109B 110A
111D 112C 113C 114A 115D 116B 117C 118D 119C
Câu 1. Chọn A.
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 2. Chọn A.
Biểu thức
2
2 1 x
có nghĩa
1
2 1 0
2
x x
Câu 3. Chọn A.
Biểu thức
1
2
3
1 x có nghĩa
2
1
1 0
1
x
x
x
Câu 4. Chọn A.
Biểu thức
2
2
3
1 x x
có nghĩa
2
1 0 x x x
Câu 5. Chọn C.
Câu 6. Chọn B.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 7. Chọn D.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 8. Chọn B.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 9.
Chọn B.
Câu 10. Chọn A.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 11. Chọn C.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 12. Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 34
4
0,75
4 3
3
4 3 3 4
3 4
1 1
(2 ) 2 2 2 24
16 8
Phương pháp trắc nghiệm. Sử dụng máy tính
Câu 13. Chọn C.
1 1 3
4
2 4 4
. . a a a a a a a
Phương pháp trắc nghiệm. Gán một hoặc hai giá trị để kiểm tra kết quả. Cụ thể gán
2 a rồi sử dụng máy tính kiểm tra các đáp số bằng cách xét hiệu bằng không, sau đó
để an toàn chọn thêm một giá trị bất kỳ nữa, nhập vào máy tính
3
4
a a a được kết
quả 0 suy ra A là đáp án đúng.
Câu 14. Chọn A.
5
13 6 2 3
6
6
0,75 3 3
4
4
2 4 2. 2 2
2
16 2
2
.
Câu 15. Chọn C.
Câu 16. Chọn D.
1 1 2
5 15 15
5 3 5 15
. .
b a b a a a a
a b a b b b b
.
Câu 17. Chọn C.
2 2 5 1
3 3 6 2
5
.
6
a a a a a m ;
2 2 1 1
3 3 6 2
1
: :
6
b b b b b n 1 m n
Câu 18. Chọn B.
4 4 5 103 1
6 5
5 5 6 60 12
103
. . .
60
x x x x x x x m
4 4 5 7 1
5
5 5 6 60 6 12
7
: : .
60
y y y y y y y n
11
6
m n
Câu 19. Chọn D.
Ta có:
3 4
8
4 8 3
2 2 2. 2 3
2
8
8
2
x ;
3
11
2
6
2
3
3
2 8 2.2 11
2
6
4
2
y
2 2
53
24
x y
Câu 20. Chọn D.
Vì 0,09 0 x nên ta có:
1 1 1
3 6
3 6 2
. . 0 f x x x x x x x x
0,09 0,3 f
Câu 21. Chọn B.
Vì 1,3 0 x nên ta có:
2 1
3 2
3 2
1
6
6
. x x x x
f x x
x
x
1,3 1,3 f
Câu 22. Chọn C.
Vì 2,7 0 x nên ta có:
1 1 5
12 5 3 4
3 4 12
. . f x x x x x x x x
2,7 2,7 f . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 35
Câu 23. Chọn B.
2
4 2 2 2 2
81 9 9 9 a b a b a b a b .
Câu 24. Chọn D.
4 4
8 2 2 2
4 4
1 1 1 1 x x x x x x x x .
Câu 25. Chọn B.
3
9 3 3
3
3 3
1 1 1 x x x x x x
Câu 26. Chọn C.
Đáp án A và B sai do áp dụng trực tiếp lí thuyết.
Dùng máy tính để kiểm tra kết quả đáp án A và D.
Câu 27. Chọn A.
Do 2 3 1 1 nên
2
2 3 1 2 3 1 2 1 1
a
a a
Câu 28. Chọn B.
Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
Câu 29. Chọn C.
Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
Câu 30. Chọn C.
Ta có
1
3 2
3 2
2 2 1
1
3 2 3 2 2 2 1
2
m
m m
Câu 31. Chọn A.
Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 32. Chọn A.
Áp dụng tính chất căn bậc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 33. Chọn A.
Áp dụng tính chất căn bâc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 34. Chọn D.
Ta có
2
3 3
(3 ) 3
3 3
a neu a
a a
a neu a
Câu 35. Chọn C.
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án C là đáp án chính xác.
Câu 36. Chọn D.
Câu 37. Chọn D.
Vì
1 1
6 2
1 1
2 6
1 a
a a
và
2 3
2 3
0 1 b
b b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 36
Câu 38. Chọn D.
Vì
3 2 . 3 2 1
1
3 2
3 2
nên
3 2 3 2
x
1
3 2
3 2
x
1
3 2 3 2
x
.
Mặt khác 0 3 2 1 1 x .
Câu 39. Chọn A.
Ta có
2
4 2
4
1
2
2
ax x a
(*)
2
4 2 2 2
2 2 4 2 2
ax x a
ax x a
2
4 2 1 0 ax x a
PT (*) có hai nghiệm phân biệt
2
2
0
4 2 1 0
2 2 4
a
ax x a
a a o
0 a
Câu 40. Chọn B.
Vì
1
3
nên
1
3
3
không
có
nghĩa.
Câu 41. Chọn D.
2 1
2 2 2 1 2 2 1
1
. . P a a a a a
a
.
Câu 42. Chọn A.
2 a
có
nghĩa
khi
2 0 2 a a
.
Câu 43. Chọn B.
Đáp án B đúng. Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a
Câu 44. Chọn A.
Câu 45. Chọn A.
Do 0, 0 a b nên
4 4 4 4
4
( ) a b ab ab ab . Đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 46. Chọn A.
Do
1 1
2 6
nên
1 1
6 2
1 a a a .
Vì 2 3 nên
2 3
0 1 b b b
Câu 47. Chọn C.
4
4 3 2
3 2 3 2
2
6 12 6
3 12 6
.
. .
.
.
.
a b
a b a b
P ab
a b
a b
a b
.
Câu 48. Chọn D.
Ta có
3
3 27 3 3 3 3 3
.
Câu 49. Chọn C.
1 1
1 1
1 1 2 3 1 2 3 1 A a b
1 1
3 3 3 3
1 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 37
Câu 50. Chọn D.
Do nên khi
Câu 51. Chọn B.
n n
x x khi n lẻ nên
2017 2017
x x với x
Câu 52. Chọn A.
Do nên khi 0 x .
Câu 53. Chọn D.
Theo định nghĩa căn bậc của số : Cho số thực và số nguyên dương .
Số được gọi là căn bậc của số nếu
Nếu chẵn và Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là , còn giá trị âm kí
hiệu là . Nên có hai căn bậc 4 của 3 là
Câu 54. Chọn B.
Theo định nghĩa căn bậc của số : Cho số thực và số nguyên dương .
Số được gọi là căn bậc của số nếu
lẻ, : Có duy nhất một căn bậc của , kí hiệu
Câu 55. Chọn B.
n chẵn và 0 b Không tồn tại căn bậc n của b . -2016<0 nên không có căn bậc 2016 của
- 2016
Câu 56. Chọn C.
Áp dụng tính chất với hai số tùy ý và nguyên dương ta có
Câu 57. Chọn C.
Ta có n N không có nghĩa và , a Z
xác định với a R
, a Z
xác định với 0 a ;
, a Z
xác định với 0 a
Vì vậy không có nghĩa.
Câu 58. Chọn B.
Điều kiện xác định
Câu 59. Chọn B.
Câu 60. Chọn C.
2016 2016
x x
2016 2016
x x x x 0 x
4 4
x x
4 4
1
x
x
n b b n
2 n
a n b
n
a b
n 0 b
n
b
n
b
4
3
n b b n
2 n
a n b
n
a b
n b R n b
n
b
, a b 0 a b n
n n
a b
0
0 , 0
n
2016
0
2
4 0 2 2 x x
2
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1
2 2
2 3 3 4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
2 3
a a a a a a a a a
a
a a
a a a a a a a
a a
2 2
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b a b a b a b a a b b a b a b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 38
Câu 61. Chọn D.
Câu 62. Chọn D.
Câu 63. Chọn C.
Điều kiện xác định
Khi đó
Câu 64. Chọn C.
2 2
1
3 2 2 3 2 2
2
5 2 . 5 2 1 5 2 5 2
5 2 5 2 5 2 5 2 3 2 2 1; 2
x x x x x x
x x x x x
LŨY THỪA VẬN DỤNG
Câu 65. Chọn A.
Do 2 2 0,
x x
x
Nên
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 23 2 5
x x x x x x x x
.
Câu 66. Chọn B.
1
8 8 2
4
4
4 3 8
3 3 3
a a a a hoặc
2 8
4 3 12 8 8
3 12
a a a a
Câu 67. Chọn A.
1
1 7 7 7
4
4 4
4 2 2 3
3 3 3 12
x x x x x x x .
Câu 68. Chọn D.
1
1 5 5 1
5
5 5
5 2 2
2 2 2 2
1 1
1 3
3
3 3 3
3 2
2 2
2
1
b b b b b b b
b b
b
bb b
b
Câu 69. Chọn B.
Cách 1: x x x x x x x x
1
2
x x x x x x x x
3
2
x x x x x x x
1
3
2
2
x x x x x x x
7
4
x x x x x x
7
8
x x x x x x
1
1 1
2
1 15 1 1
2 2
11 11 11 7 11 3 3 1
2 16 2 2
1 1
16 16 6 8 16 2 4 4
11
16
: . : . : :
a
a a a a a a a a a a a a a a a
a
4 4 2 4 4 2 2.4 2. 4 4 8 2. 4 4
4 4
1
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2. 4 4 4 8 2. 4 4
a b b a a b a b a b
a b
a b a b a b a b a b
2
3 3 0 x x x R
2
2
6
2
2
3 3 1 1; 2
3 3 1
3; 2
6 0
x x x x x x
x x
x x
x xBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 39
15
8
x x x x x
15
16
x x x x x
31
16
x x x x
31
32
x x xx
63
32
x x x
63
64
x x x
127
64
x x
127
128
x x
255
128
x x
255
128
x
255
256
x .
Nhận xét:
8
8
2 1 255
256 2
x x x x x x x x x x
.
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Ta nhẩm
1
2
x x . Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =.
Câu 70. Chọn D.
5 3
a b a
b a b
1
1
2
5 3
a a a
b b b
1
2
5 3
a a
b b
1
6
5
a a
b b
5
6
5
a
b
5
6
5
a
b
1
6
a
b
Câu 71. Chọn B.
3 3
1 2 2 1 2 4 1 2
2
3 3 3 3 3 3 3 3
. P a b a a b b a b a b
Câu 72. Chọn A.
2 2
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4
a b a b a ab a a a b
P
a b a b a b a b
.
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
a b a b a a b
a b a b
4 4 4 4
a b a b .
Câu 73. Chọn B.
3 3
3 3
2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
: :
a b a b
P ab a b ab a b
a b a b
2 2
3 3 3 3 3 3
2
3 3 3
3 3
:
a b a a b b
ab a b
a b
2 2 2
3 3 3 3 3 3
: a ab b ab a b
2 2
3 3 3 3
: 1 a b a b
Câu 74. Chọn A.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 6 6 2 2
3
3 3 3 3 3
1 1 1 1
6 6
6 6 6 6
0
a b b a a b b a a b b a
P ab ab ab a b ab
a b
a b a b
Câu 75. Chọn D.
4 1 2
2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
( 1)
1 1
a a a a a a a
P a
a a
a a a
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 40
Câu 76. Chọn C.
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
P a b a b a b a b a b a b a b
2 2
1 1
2 2
a b a b .
Câu 77. Chọn B.
1 1 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3 3 3
2
: 2 : 2 :
a b a b a b a b
P a b a b a b
b a
b a a b
2
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2
3 3 3 3
3 3
:
a b a b a b
a b a b
a b a b
a b
Câu 78. Chọn A.
2 2
6 6 6 6 6 6 3 3
6 6
6 6 6 6 6 6
a b a b a b a b
P a b
a b a b a b
Câu 79. Chọn C.
Do 3,2 1 nên 3,2 3,2
m n
m n .
Câu 80. Chọn C.
Do 2 1 nên
2 2
m n
m n .
Câu 81. Chọn D.
Do
1
0 1
9
nên
1 1
9 9
m n
m n
.
Câu 82. Chọn A.
Do
3
0 1
2
nên
3 3
2 2
m n
m n
.
Câu 83. Chọn B.
Do 5 1 1 nên
5 1 5 1
m n
m n .
Câu 84. Chọn A.
Do 0 2 1 1 nên
2 1 2 1
m n
m n .
Câu 85. Chọn A.
Do
2 1
3 3
và số mũ không nguyên nên
2 1
3 3
( 1) ( 1) a a
khi 1 1 2 a a .
Câu 86. Chọn A.
Do 3 1 và số mũ nguyên âm nên
3 1
(2 1) (2 1) a a
khi
1
0 2 1 1 0
2
2 1 1
1
a a
a
a
.
Câu 87. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 41
0,2
2 0,2 2
1
a a a
a
Do 0,2 2 và có số mũ không nguyên nên
0,2 2
a a khi 1 a .
Câu 88. Chọn D.
Do
1 1
3 2
và số mũ không nguyên
1 1
3 2
1 1 a a
1 a .
Câu 89. Chọn C.
Do
3
2
4
và có số mũ không nguyên
3
2
4
2 2 a a
0 2 1 2 1 2 1 a a a
Câu 90. Chọn D.
Do
1 1
2 2
và số mũ không nguyên
1 1
2 2
1 1
a a
1
1 0 1 a
a
.
Câu 91. Chọn B.
Do 3 7 và số mũ không nguyên
3 7
a a 0 1 a .
Câu 92. Chọn A.
Do
1 1
17 8
và số mũ không nguyên nên
1 1
8 17
a a
khi 1 a .
Câu 93. Chọn D.
Do 0,25 3 và số mũ không nguyên nên
0,25 3
a a
khi 1 a .
Câu 94. Chọn B.
3 3
1,5 1,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0.5 0.5
2
a b
a b
ab
a b
a ab b
a b a b
a b
a b
a b a b
Câu 95. Chọn C.
3
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 3
2 2
. .
2 2 2
. . 2
x y
x y x y x y x y x y y y
x y x y x y x y
x y y x x y y x
xy x y xy x y
x y x y x y
y y
x
x y x y x y x y
xy x y x y
Câu 96. Chọn C.
2 3
( 3 2) 2 f x x x x
xác định
2
2
3 2 0
1 0; )\ 1; 2}
0
0
x
x x
x x
x
x
[ {
Câu 97. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 42
2
2
3
2
4 3
2 3 1
x x
f x
x x
xác định khi
2
2
4 3 1 4
0 ( 1; ) (0; )
2 3 2 3 1
x x
x
x x
Câu 98. Chọn D.
1
3 2
4
3 2 f x x x xác định khi
3 2
3 2 0 1 3;1 1 3; x x x
Câu 99. Chọn B.
2
5 6
2
3 2
x x
x x
xác định
2
3 2 0 ;1 2; x x x
Khi đó
2 2
5 6 5 6 0
2 2 2 2
2
3 2 1 3 2 3 2 5 6 0
3
x x x x x loai
x x x x x x x x
x tmdk
Câu 100. Chọn C.
5 3
2 5 2
( 4) 4
x
x
x x
xác định x
Khi đó
5 3
2 2 5 2
1
4 1 ( 4) 4 5 5 3
2
x
x
x x x x x x x
Câu 101. Chọn A.
Do
2 1
3 3
2 1
3 3
1 1 1 1 2 a a a a
Câu 102.
Chọn D.
Ta có: 1 2 1,
x
a x
nên
1
2
1
x
a
Do đó:
1
1
1 1
a
b
a a
Câu 103. Chọn A.
4 1 2
2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
( 1)
1 1
a a a a a a a
P a
a a
a a a
Câu 104. Chọn B.
Ta có:
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 4 4 2 2
2 3 2 3 4 9 2 3 4 9 P a b a b a b a b a b
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 9 a b a b
2 2
1 1
2 2
4 9 16 81 a b a b .
Do đó: 16, 81 x y .
Câu 105. Chọn A.
2 2
6 6 6 6 6 6 3 3
6 6
6 6 6 6 6 6
a b a b a b a b
P a b
a b a b a b
Câu 106. Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 43
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 6 6 2 2
3
3 3 3 3 3
1 1 1 1
6 6
6 6 6 6
0
a b b a a b b a a b b a
P ab ab ab a b ab
a b
a b a b
Câu 107. Chọn B.
3 3
3 3
2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
: :
a b a b
P ab a b ab a b
a b a b
2 2
3 3 3 3 3 3
2
3 3 3
3 3
:
a b a a b b
ab a b
a b
2 2 2
3 3 3 3 3 3
: a ab b ab a b
2 2
3 3 3 3
: 1 a b a b
Câu 108. Chọn C.
1 1 3 3 2 2 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3 3 3
2
: 2 : 2 :
a b a b a b a b
P a b a b a b
b a
b a a b
2
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2
3 3 3 3
3 3
:
a b a b a b
a b a b
a b a b
a b
Câu 109. Chọn B.
Cách 1: x x x x x x x x
1
2
x x x x x x x x
3
2
x x x x x x x
1
3
2
2
x x x x x x x
7
4
x x x x x x
7
8
x x x x x x
15
8
x x x x x
15
16
x x x x x
31
16
x x x x
31
32
x x xx
63
32
x x x
63
64
x x x
127
64
x x
127
128
x x
255
128
x x
255
128
x
255
256
x . Do đó 255, 256 a b .
Nhận xét:
8
8
2 1 255
256 2
x x x x x x x x x x
.
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Nhẩm
1
2
x x . Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =. Chọn đáp án A.
Câu 110. Chọn A.
2 2
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4
4 16 2 2 a b a b a ab a a a b
P
a b a b a b a b
.
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
2 a b a b a a b
a b a b
4 4 4 4 4
2 a b a b a .
Do đó 1; 1 m n . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 44
Câu 111. Chọn D.
1 1 1
2 2 2
1 1 2
2 2
2 2 1 2 2 1
1
1 1
1
2 1
a a a a a a
P
a
a a a
a
a a a
2 2 1 2 1 2
1 1
1 1
a a a
a a
a a a a
Do đó 2; 1 m n .
Câu 112. Chọn C.
Cách 1: biến đổi
Cách 2: cho a = 2, b = 1 bấm máy tính chọn C
Câu 113. Chọn C.
Cách 1:
Cách 2 bấm máy tính chọn C
Câu 114. Chọn A.
Cách 1:
Cách 2: cho a = 2, b = 1 bấm máy tính
Câu 115. Chọn D.
Cách 1:
Cách 2: cho a = 2 bấm máy chọn D
Câu 116. Chọn B.
Cách 1: Ta có:
.
Do đó: .
Cách 2: Cho a = 1, b= 1 bấm máy ra kết quả là A
Cho a = 2, b = 3 bấm máy ra kết quả là B
Giải hệ
16
2 3 81
x y A x
x y B y
Câu 117. Chọn C.
Gọi số tiền gửi vào vào là M đồng, lãi suất là r /tháng.
4
3 2 4
3 2
2
3 12 6
.
.
a b
a b
P a b
a b
a b
1 1
1 1
1 1 2 3 1 2 3 1 A a b
1 1
3 3 3 3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 6 2 2
3 3 3
3 3 3
1 1 1 1
6 6
6 6 6 6
0
a b b a a b b a a b b a
P ab ab ab a b ab
a b
a b a b
4 1 2
2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
( 1)
1 1
a a a a a a a
P a
a a
a a a
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 4 4 2 2
2 3 2 3 4 9 2 3 4 9 P a b a b a b a b a b
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 9 a b a b
2 2
1 1
2 2
4 9 16 81 a b a b
16, 81 x y Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 45
Cuối tháng thứ nhất: số tiền lãi là: Mr . Khi đó số vốn tích luỹ đượclà:
1
(1 ) T M Mr M r .
Cuối tháng thứ hai: số vốn tích luỹ được là:
2
2 1 1 1
(1 ) (1 )(1 ) (1 ) T T T r T r M r r M r .
Tương tự, cuối tháng thứ n: số vốn tích luỹ đượclà: (1 )
n
n
T M r .
Áp dụng công thức trên với 2, M 0,0065, r 24 n , thì số tiền người đó lãnh được
sau 2 năm (24 tháng) là:
24 24
24
2.(1 0,0065) 2.(1,0065) T triệu đồng.
Câu 118. Chọn D.
Áp dụng công thức trên với 5
n
T , 0,007, r 36 n , thì số tiền người đó cần gửi vào
ngân hàng trong 3 năm (36 tháng) là:
36
5
3,889636925
(1 )
1,007
n
n
T
M
r
triệu đồng.
Câu 119. Chọn C.
Số vốn tích luỹ của bác An sau 6 tháng gửi tiền với lãi suất 0,7% / tháng là:
6 6
1
5. 1 0,7% 5. 1,007 T triệu đồng;
Số vốn tích luỹ của bác An sau 9 tháng gửi tiền ( 3 tháng tiếp theo với lãi suất 0,9% /
tháng) là:
3 6 3
2 1
. 1 0,9% 5. 1,007 . 1,009 T T triệu đồng;
Do đó số tiền bác An lãnh được sau 1 năm (12 tháng) từ ngân hàng ( 3 tháng tiếp theo
sau đó với lãi suất 0,6% / tháng) là:
3 6 3 3
2
. 1 0,6% 5. 1,007 . 1,009 . 1,006 T T triệu đồng 5452733,453 đồng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 46
Chủ đề 2
LOGARIT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hai số dương , a b với 1 a . Số thỏa mãn đẳng thức a b
được gọi là logarit cơ số a
của b và kí hiệu là log
a
b . Ta viết: log .
a
b a b
Chú ý:
Không có logarit của số 0 và số âm vì 0, a
Cơ số của logarit phải dương và khác 1
1 a
Theo định nghĩa của logarit, ta có: log 1 0; log 1
a a
a
log ,
b
a
a b b
log
, , 0
a
b
a b b b
II. CÁC TÍNH CHẤT
1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số
Cho số dương 1 a và các số dương , b c
Khi 1 a thì log log
a a
b c b c
Khi 0 1 a thì log log
a a
b c b c
1.2 Hệ quả:
Cho số dương 1 a và các số dương , b c
Khi 1 a thì log 0 1
a
b b
Khi 0 1 a thì log 0 1
a
b b
log log
a a
b c b c
2. Logarit của một tích:
Cho 3 số dương
1 2
, , a b b với 1 a , ta có
1 2 1 2
log ( . ) log log
a a a
b b b b
3. Logarit của một thương:
Cho 3 số dương
1 2
, , a b b với 1 a , ta có
1
1 2
2
log log log
a a a
b
b b
b
Đặc biệt: với , 0, 1 a b a
1
log log
a a
b
b
4. Logarit của lũy thừa:
Cho , 0, 1 a b a , với mọi , ta có
log log
a a
b b
Đặc biệt:
1
log log
n
a a
b b
n
5. Công thức đổi cơ số:
Cho 3 số dương , , a b c với 1, 1 a c , ta có
log
log
log
c
a
c
b
b
a
Đặc biệt:
1
log
log
a
c
c
a
và
1
log log
a
a
b b
với 0 .
Chú ý:
Logarit thập phân và Logarit tự nhiên
Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết :
10
log log lg b b b
Logarit tự nhiên là logarit cơ số e . Viết : log ln
e
b b Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 47
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LOGARIT
I. TÍNH, RÚT GỌN GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC CHỨA LOGARIT
1. Phương pháp
Sử dụng các tính chất của logarit
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức
2 2 2 2
2 log 12 3log 5 log 15 log 150 B .
Lời giải:
Ta có
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 log 12 3log 5 log 15 log 150
2 log 2 .3 3log 5 log 3.5 log 2.3.5
2 2 log 3 3log 5 log 3 log 5 1 log 3 2log 5
3
B
Bài toán 2: Cho , 0 a b và , 1 a b . Tính giá trị biểu thức
2
2
2
log
log
a
a
b
P b
a
.
Lời giải:
Ta có
2
2
2
2
2
log 4log 2 log
log
4log 2 log log 2
a a
a
a
b
a a a
a
P b b
a b
b a b
Bài toán 3: Cho , a b là các số thực dương và 1 ab thỏa mãn
2
log 3
ab
a thì giá trị của
3
log
ab
a
b
bằng bao nhiêu?
Lời giải:
2
3
1 1
log log log
3 3
ab ab ab
a a a
b b ab
2 2
1 1
. log log . log 1
3 3
ab ab ab
a ab a
Giả thiết
2
log 3
ab
a nên
3
1 2
log . 3 1
3 3
ab
a
b
Bài toán 4: Cho 2000! x . Tính giá trị của biểu thức
2 3 2000
1 1 1
...
log log log
A
x x x
.
Lời giải:
Ta có
log 2 log 3 ... log 2000 log 1.2.3...2000 log 1
x x x x x
A x
Bài toán 5: Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức
2 3 5 2 3 5
log log log log .log .log a a a a a a ? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 48
Lời giải:
2 3 2 5 2 2 3 5 5
2
2 3 5 2 3 5
2
2 3 5 3 5
2
2 3 5
5 3 5 3 5
3
(*) log log 2.log log 2.log log .log 5.log .log
log . 1 log 2 log 2 log .log 5.log
log . 1 log 2 log 2 log 5.log 0
1
log 0
1 log 2 log 2
log 1 log 2 log 2 log 5.log 0
log 5
a a a a a a
a a a
a a
a
a
a a
3 5
3
1 log 2 log 2
log 5
1
5
a
a
Có 3 số thỏa mãn.
Bài toán 6: Tính giá trị của biểu thức
0 0 0 0
ln tan1 ln tan 2 ln tan 3 ... ln tan 89 P .
Lời giải:
ln tan1 ln tan 2 ln tan 3 ... ln tan 89
ln tan1 .tan 2 .tan 3 ...tan 89
ln tan1 .tan 2 .tan 3 ...tan 45 .cot 44 .cot 43 ...cot1
o
P
ln tan 45 ln1 0. (vì tan .cot 1 )
Bài toán 7: Cho , a b là các số thực dương thỏa mãn 1 a , a b và log 3
a
b . Tính
P log
b
a
b
a
.
A. 5 3 3 P . B. 1 3 P . C. 1 3 P . D. 5 3 3 P .
Lời giải:
Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận.
1 1
log
log 1 3 1
3 1
2 2
1
log 1 3 2
log 1
log
2
a
a
a
a
a
b
b
a
P
b b
b
a
1 3 .
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm.
Chọn 2 a ,
3
2 b . Bấm máy tính ta được 1 3 P .
Bài toán 8: Tính giá trị của biểu thức
2 3
10 2 2
log log log
a a b
a
P a b b
b
( với
0 1; 0 1 a b ).
A. 2 P . B. 1 P . C. 3 P . D. 2 P .
Lời giải:
Chọn B.
Cách 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi logarit. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 49
2 3
10 2 2
10 2
log log log
1
log log 2 log log 3. 2 log
2
1 1
10 2log 2 1 log 6 1.
2 2
a a b
a a a a b
a a
a
P a b b
b
a b a b b
b b
Cách 2: Ta thấy các đáp án đưa ra đều là các hằng số, như vậy ta dự đoán giá trị của P không
phụ thuộc vào giá trị của , a b .
Khi đó, sử dụng máy tính cầm tay, ta tính giá trị của biểu thức khi 2; 2 a b , ta được
3
10 2
4
2 2
2
log 2 .4 log log 2 1.
2
P
Bài toán 9: Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
c¨n bËc hai
2 2
log log ... 2
n
n
. B.
c¨n bËc hai
2 2
log log ... 2
n
n
.
C.
bËc hai
2 2
2 log log ... 2
n căn
n
. D.
bËc hai
2 2
2 log log ... 2
n căn
n
.
Lời giải:
+Tự luận:
Đặt
2 2
c¨n bËc hai
-log log ... 2 .
n
m
Ta có
2
2
log ... 2 2 ... 2 2
m
m
.
Ta thấy :
2
1 1
1
2 2 2
2
2 2 , 2 2 ,....., ... 2 2 2
n
n
. Do đó ta được: 2 2
m n
m n
. Vậy
c¨n bËc hai
2 2
log log ... 2
n
n
. Đáp án A.
+Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio, lấy n bất kì, chẳng hạn 3 n .
Nhập biểu thức
2 2
log log 2 ( có 3 dấu căn ) vào máy tính ta thu được kết quả bằng – 3.
Vậy chọn A.
Bài toán 10: Cho , a b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn
2 3
8
log 8log ( )
3
a b
b a b . Tính
giá trị biểu thức
3
log 2017.
a
P a ab
A. 2019. P B. 2020. P C. 2017. P D. 2016. P
Lời giải:
Chọn A
2 2 3
8 1 8
log 8log ( ) log 8 log
3 3 3
a b a b
b a b b a
2
8
log 0 log 2
log
a a
a
b b
b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 50
4
3
3
1 4 2
log 2017 log log 2017 2017 2019.
3 3 3
a a a
P a ab a b
II. BIỂU DIỄN MỘT LOGARIT THEO CÁC LOGARIT CHO TRƯỚC
1. Phương pháp
Sử dụng các tính chất của logarit
Để tính log
a
b theo log ; log
a a
m x n y ta biến đổi . . b a x y
từ đó suy ra
log log . .
a a
b a x y m n
.
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Cho
2
log 6 a . Tính giá trị của
3
log 18 được tính theo a?
Lời giải:
Ta có
2 2 2 3
1
log 6 log (2.3) 1 log 3 log 2
1
a
a
.
Suy ra
2
3 3 3
1 2 1
log 18 log (2.3 ) log 2 2 2
1 1
a
a a
.
Bài toán 2: Cho
3 3
log 15; log 10 a b . Tính giá trị của
3
log 50 được tính theo , a b ?
Lời giải:
Ta có
3 3 3 3
log 15 log (3.5) 1 log 5 log 5 1 a a .
Khi đó :
3 3 3
3
log 50 2 log (5.10) 2(log 5 log 10) 2( 1 ) a b Ta chọn đáp án A.
Bài toán 3: Cho log log
27 8 2
log 5 , 7 , 3 a b c . Tính giá trị của
6
log 35 được tính theo , , a b c ?
Lời giải:
Ta có
27 3
8 2
2 2 3
log 5 log 5 3 ,
log 7 log 7 3
log 5 log 3.log 5 3
a a
b b
ac
a
2 2 2
6
2 2 2
3
log 35 log 5.log 7
log 35
log 6 log 2.log 3 1
c b
c
.
Bài toán 4: Đặt
2 5
log 3, log 3. a b Hãy biểu diễn
6
log 45 theo a và b
A.
6
2
log 45
a ab
ab
. B.
2
6
2 2
log 45
a ab
ab
.
C.
6
2
log 45
a a b
a b b
. D.
2
6
2 2
log 45
a ab
ab b
.
Lời giải:
Chọn C.
Ta có Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 51
2
2 2 2 2
6
2 2 2
2 2 3
2
log 45 log 3 .5 2log 3 log 5
log 45
log 6 log 2.3 1 log 3
1
2 .
2log 3 log 3.log 5 2
1 log 3 1
a a
a ab
b
a ab b
Bài toán 5: Biết
2 5
log 5, log 3 a b . Khi đó giá trị của
24
log 15 được tính theo a là :
A.
( 1)
3
a b
b ab
. B.
1
1
ab
a
. C.
1
1
b
a
. D.
1 ab
b
.
Lời giải:
Chọn A.
+Tự Luận
2 2 2 2
24 3
2 2 2
2 2 3
2
log 15 log 3.5 log 3 log 5
log 15
log 24 log 3 3 log 3.2
1
.
log 3 log 3.log 5
log 3 3 3 3
a a
a ab
b
a ab b
+ Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán lần lượt
2 5
log 5;log 3 cho A, B.
Lấy
24
log 15 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Bài toán 6: Cho
12
log 27 a . Khi đó giá trị của
6
log 16 được tính theo a là:
A.
4 3
3
a
a
. B.
4 3
3
a
a
. C.
4
3
a
a
. D.
2
3
a
a
.
Lời giải:
Chọn A.
Ta có
a
2 2
12 2 6
2 2
4 3
log 27 3log 3 2
log 27 log 3 log 16
log 12 2 log 3 3 3
a
a
a a
.
Bài toán 7: Cho
2 3 7
log 3; log 5; log 2 a b c . Khi đó giá trị của biểu thức
140
log 63 được tính
theo , , a b c là:
A.
2 1
2 1
ac
abc c
. B.
2 1
2 1
abc c
ac
. C.
2 1
2 1
ac
abc c
. D.
1
2 1
ac
abc c
.
Lời giải:
Chọn C.
+ Tự Luận:
2
2 2 2 2
140 2
2 2 2 2
log 63 log 3 .7 2log 3 log 7
log 63
log 140 log 2 .5.7 2 log 5 log 7
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 52
2
7
2 3 7
1
1
2log 3
2
log 2 1 2
1
2 log 3.log 5 log 2 1 2
2
a
ac
c
c ab c
ab
c
+Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt
2 3 7
log 3;log 5;log 2 cho A, B, C
Lấy
140
log 63 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án C
Bài toán 8: Cho số thực x thỏa mãn:
1
log log 3 2log 3log
2
x a b c ( a , b, c là các số thực
dương). Hãy biểu diễn x theo a, b , c .
A.
3
2
3ac
x
b
. B.
2 3
3a
x
b c
. C.
3
2
3 . a c
x
b
. D.
2
3ac
x
b
.
Lời giải:
Chọn A.
Ta có
1
log log 3 2log 3log
2
x a b c
2 3
log log 3 log log x a b c
3
2
3
log log
ac
x
b
Bài toán 9: Cho
4 25
log 3, log 2 a b . Hãy tính
60
log 150 theo , . a b
A.
60
1 2 2
log 150 .
2 1 4 2
b ab
b ab
B.
60
1 2
log 150 .
1 4 4
b ab
b ab
C.
60
1 1 2
log 150 .
4 1 4 2
b ab
b ab
D.
60
1 2
log 150 4 .
1 4 4
b ab
b ab
Lời giải:
Chọn B.
25 25 25 25
60
25 25 25 25
25 4 25
25 25 4 25
log 150 log 25 log 2 log 3 1 1
log 150
2 log 60 2 log 5 log 4 log 3
1 log 2 2 log 3.log 2 1 2
2 log 5 4 log 2 4 log 3.log 2 1 4 4
a ab
b ab
Bài toán 10: Biết
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3 a b c thì
12
log 35 tính theo , , a b c bằng:
A.
3
.
2
b ac
c
B.
3 2
.
1
b ac
c
C.
3 2
.
2
b ac
c
D.
3
.
1
b ac
c
Lời giải:
Chọn A.
Ta có
27 3 3
1
log 5 log 5 log 5 3
3
a a ,
8 2 2
1
log 7 log 7 log 7 3
3
b b .
Mà Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 53
2
2 2
12
2
2
2
2 2 3
2
log 7.5
log 7 log 5
log 35
log 3 2
log 3.2
3
log 7 log 3.log 5 3 .3
.
log 3 2 2 2
b ac
b c a
c c
Bài toán 11: Cho
12
log 27 a thì
6
log 16 tính theo a là:
A.
3
3
a
a
. B.
3
4(3 )
a
a
. C.
3
3
a
a
. D.
4(3 )
3
a
a
.
Lời giải:
Chọn D.
3
12 3
3 3
log 27 3 3
log 27 log 2
log 12 1 2log 2 2
a
a
a
.
3 3
6
3 3
3
4
log 16 4log 2 4(3 )
2
log 16
3 log 6 1 log 2 3
1
2
a
a
a
a a
a
.
Bài toán 12: Xét các số thực a, b thỏa mãn 1 a b . Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P của biểu thức
2 2
log 3log
b a
b
a
P a
b
.
A.
min
19 P . B.
min
13 P . C.
min
14 P . D.
min
15 P .
Lời giải:
Chọn D.
Với điều kiện đề bài, ta có
2
2
2
2
2
log 3log 2log 3log 4 log . 3log
4 1 log 3log
a a a
b b b
a
b b b
b
b
a a a a
P a a b
b b b b
a
b
b
Đặt log 0
a
b
t b (vì 1 a b ), ta có
2 2
3 3
4(1 ) 4 4 ( ) 8 P t t f t t
t t
.
Ta có
3 2 2
2 2 2
3 8 3 (2 1)(4 3)
)
8 6
( 8 8
t t t
t
t t
f t t
t t
Vậy
1
( ) 0
2
f t t . Khảo sát hàm số, ta có
min
1
15
2
f P
.
Bài toán 13: Biết thì tính theo bằng:
A. B. C. D.
Lời giải:
Chọn A.
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3 a b c
12
log 35 , , a b c
3
.
2
b ac
c
3 2
.
1
b ac
c
3 2
.
2
b a c
c
3
.
1
b a c
c
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 54
Ta có
27 3 3
1
log 5 log 5 log 5 3
3
a a ,
8 2 2
1
log 7 log 7 log 7 3
3
b b .
Mà
2
2 2 3 2 2
12
2
2 2
2
log 7.5 3
log 7 log 3.log 5 log 7 log 5 3 .3
log 35 .
log 3 2 log 3 2 2 2
log 3.2
b ac
b c a
c c
Bài toán 14: Đặt
3
log 5 a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
15
1
log 75
2 1
a
a
B.
15
2 1
log 75
1
a
a
C.
15
2 1
log 75
1
a
a
D.
15
2 1
log 75
1
a
a
Lời giải:
Chọn B.
2
15 15 15 15 15
log 75 log 5 log 3 2log 5 log 3
5 5 3 3
2 1
log 5 log 3 log 5 log 3
1
2 1
1 1 a a
Thu gọn ta có
15
2 1
log 75
1
a
a
.
Bài toán 15: Đặt
3 5
log 4, log 4. a b Hãy biểu diễn
12
log 80 theo a và . b
A.
2
12
2 2
log 80 .
a ab
ab b
B.
12
2
log 80 .
a ab
ab
C.
12
2
log 80 .
a ab
ab b
D.
2
12
2 2
log 80 .
a ab
ab
Lời giải:
Chọn C.
Ta có
2 2
12 12 12 12 12
5
1
log 80 log 4 .5 log 4 log 5 2 log 4
log 12
4 5 5 4 4 5
2 1 2 1
.
log 12 log 4 log 3 log 4 log 3 log 3 b
Từ
3 4 5 5 4
1 1
log 4 log 3 log 3 log 4.log 3 .
b
a b
a a a
12
2 1 2 2
log 80 .
1 1 1
1
a a a ab
b a ab b b a
b
a a
Bài toán 16: Đặt
3 3
log 15; log 10. a b Hãy biểu diễn
3
log 50 theo a và b.
A.
3
log 50 1 a b . B.
3
log 50 3 1 a b .
C.
3
log 50 2 1 a b . D.
3
log 50 4 1 a b .
Lời giải:
Chọn C.
Ta có
1
2
3 3
3
3
log 50 log 50 2 log 50 2 log 10.5
3 3
2 log 10 log 5
3 3 3
2 log 10 log 15 log 3 2 1 a b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 55
Bài toán 17: Cho là các số hữu tỉ thỏa mãn: . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn B.
Ta có
6 6 6
6
2 2 2 2 2 2 2 2
360 1 1 1
log 360 log 2 log 360 log 8 log log 45 log 3 log 5
8 6 3 6
Theo đề ta có
6
2 2 2 2
1
1
3
log 360 log 2 log 3 log 5
1 2
6
a
a b a b
b
, a b
6
2 2 2 2
log 360 log 2 log 3 log 5 a b a b
5
1
2
2 0Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 56
C. THỦ THUẬT CASIO
I. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN
Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến
Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào , , A B C nếu các giá trị tính được lẻ
Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Đặt
2 5
log 3, log 3. a b Hãy biểu diễn
6
log 45 theo a và b
A.
6
2
log 45
a ab
ab
B.
2
6
2 2
log 45
a ab
ab
C.
6
2
log 45
a ab
ab b
D.
2
6
2 2
log 45
a ab
ab b
Lời giải:
PHƯƠNG PHÁP CASIO
Tính giá trị của
2
log 3 a . Vì giá trị của a ra một số lẻ vậy ta lưu a vào A
i2$3$=qJz
Tính giá trị của
5
log 3 b và lưu vào B
i5$3=qJx
Bắt đầu ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án A. Nếu đáp án A đúng thì hiệu
6
2
log 45
a ab
ab
phải bằng 0. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio và bấm nút =
i6$45$paQz+2QzQxRQzQx=
Kết quả hiển thị của máy tính Casio là 1 giá trị khác 0 vậy đáp án A sai
Tương tự như vậy ta kiểm tra lần lượt từng đáp án và ta thấy hiệu
6
2
log 45
a ab
ab b
bằng 0
i6$45$paQz+2QzQxRQzQx+Qx=
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 57
Vậy
6
2
log 45
a ab
ab b
hay đáp số C là đúng
PHƯƠNG PHÁP TỰ LUẬN
Ta có
2 3
3
1 1
log 3 log 2
log 2
a
a
và
3
1
log 5
b
Vậy
2
3
3 3
6
3 3 3
1
2
log 3 .5
log 45 2 log 5 2
log 45
1 log 6 1 log 2 log 3.2
1
a ab
b
ab b
a
Bình luận
Cách tự luận trong dạng bài này chủ yếu để kiểm tra công thức đổi cơ số : công thức 1 :
1
log
log
a
x
x
a
(với 1 a ) và công thức 2 :
log
log
log
b
a
a
x
x
x
(với 0; 1 b b )
Cách Casio có vẻ nhiều thao tác nhưng dễ thực hiện và độ chính xác 100%. Nếu tự tin cao thì
làm tự luận, nếu tự tin thấp thì nên làm Casio vì làm tự luận mà biến đổi sai 1 lần thôi rồi làm
lại thì thời gian còn tốn hơn cả làm theo Casio
Bài toán 2: Cho
9 12 16
log log log x y x y Giá trị của tỉ số
x
y
là ?
A.
1 5
2
B.
5 1
2
C. 1 D. 2
Lời giải:
PHƯƠNG PHÁP CASIO
Từ đẳng thức
9 12
log log x y
9
log
12
x
y . Thay vào hệ thức
9 16
log log x x y ta được :
9
log
9 16
log log 12 0
x
x x
Ta có thể dò được nghiệm phương trình
9
log
9 16
log log 12 0
x
x x bằng chức năng SHIFT
SOLVE
i9$Q)$pi16$Q)+12^i9$Q)$$$
qr1=
Lưu nghiệm này vào giá trị A
qJz
Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị
9
log
12
x
y . Lưu giá trị y này vào biến
B
12^i9$Qz=qJx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 58
Tới đây ta dễ dàng tính được tỉ số
x A
y B
aQzRQx=
Đây chính là giá trị
5 1
2
và đáp số chính xác là B
PHƯƠNG PHÁP TỰ LUẬN
Đặt
9 12 16
log log log x y x y t vậy 9 ; 12 ; 16
t t t
x y x y
Ta thiết lập phương trình
3 3
4 4
x
x
x
x
y
và
16 4
1
3 12
x
x
x
x y x
y y
Vậy
2
1 5
1 1 1 0
x x x x x
y y y y y y
Vì 0
x
y
nên
1 5
2
x
y
Bình luận
Một bài toán cực khó nếu tính theo tự luận
Nhưng nếu xử lý bằng Casio thì cũng tương đối dễ dàng và độ chính xác là 100%
Bài toán 3: Cho
2 8 8 2
log log log log x x thì
2
2
log x bằng ?
A. 3 B. 3 3 C. 27 D.
1
3
Lời giải:
Phương trình điều kiện
2 8 8 2
log log log log 0 x x . Dò nghiệm phương trình, lưu vào
A
i2$i8$Q)$$pi8$i2$Q)qr1=qJz
Thế x A để tính
2
2
log x
i2$Qz$d=
Đáp số chính xác là C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 59
Bài toán 4: Nếu
12 12
log 6 ,log 7 a b thì :
A.
2
log 7
1
a
b
B.
2
log 7
1
b
a
C.
2
log 7
1
a
b
D.
2
log 7
1
b
a
Lời giải:
Tính
11
log 6 rồi lưu vào A
i12$6=qJz
Tính
12
log 7 rồi lưu vào B
i2$Qz$d=
Ta thấy
2
log 7 0
1
b
a
Đáp số chính xác là B
i2$7$paQxR1pQz=
Bài toán 5: Tìm x biết
3 3 3
log 4log 7 log x a b :
A.
3 7
x a b B.
4 7
x a b C.
4 6
x a b D.
3 6
x a b
Lời giải:
Theo điều kiện tồn tại của hàm logarit thì ta chọn , 0 a b . Ví dụ ta chọn 1.125 a và 2.175 b
Khi đó
3 3
4log 7 log
3 3 3
log 4log 7 log 3
a b
x a b x
.
3^(4i3$1.125$+7i3$2.175$)=
Thử các đáp án ta thấy
4 7
1.125 1.175 x Đáp số chính xác là B
Bài toán 6: Cho hàm số
1
.ln
8
2016.
x
y e . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. ' 2 ln 2 0 y y B. ' 3 ln 2 0 y y C. ' 8 ln 2 0 y h D. ' 8 ln 2 0 y y
Lời giải: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 60
Chọn 1.25 x tính
1
1.25ln
8
2016. y e rồi lưu vào A
2016OQK^1.25h1P8)=qJz
Tính
' 1.25 y rồi lưu vào B
qy2016OQK^Q)Oh1P8)$$1.25=q
Jx
Rõ ràng 3ln 2. 0 B A Đáp số chính xác là B
Bài toán 7: Cho
2 2
, 0; 1598 a b a b ab Mệnh đề đúng là ;
A.
1
log log log
40 2
a b
a b
B. log log log
40
a b
a b
C.
1
log log log
40 4
a b
a b
D.
log 2 log log
40
a b
a b
Lời giải:
Chọn 2 a Hệ thức trở thành
2
4 3196 b b
2
3196 4 0 b b . Dò nghiệm và lưu vào
B
Q)dp3196Q)+4qr1=qJx
Tính
2
log log
40 40
a b B
ga2+QxR40$)=
Tính tiếp log log a b
g2)+gQx)=
Rõ ràng giá trị log log a b gấp 2 lần giá trị log
40
a b
Đáp số A là chính xác
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 61
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. ĐỀ BÀI
Câu 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức xác định?
A.
1
;
2
x
. B.
1
;
2
x
. C. . D. x ( 1; ) .
Câu 2. Với giá trị nào của x thì biểu thức
2
( ) ln(4 ) f x x xác định?
A. . B. 2;2] x [ . C. \ 2;2] x [ . D. .
Câu 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức
1
2
1
( ) log
3
x
f x
x
xác định?
A. 3;1] x [ . B. . C. \( 3;1) x . D. ( 3;1) x .
Câu 4. Với giá trị nào của thì biểu thức:
2
6
( ) log (2 ) f x x x xác định?
A. 0 2 x . B. 2 x . C. 1 1 x . D. 3 x .
Câu 5. Với giá trị nào của x thì biểu thức:
3 2
5
( ) log ( 2 ) f x x x x xác định?
A. (0;1) x . B. (1; ) x .
C. ( 1;0) (2; ) x . D. (0; 2) (4; ) x .
Câu 6. Cho 0, 1 a a , giá trị của biểu thức
log 4
a
A a bằng bao nhiêu?
A.8. B.16. C.4. D.2.
Câu 7. Giá trị của biểu thức
2 2 2 2
2 log 12 3log 5 log 15 log 150 B bằng bao nhiêu?
A.5. B.2. C.4. D.3.
Câu 8. Giá trị của biểu thức
2 2 2 2
22log 12 3log 5 log 15 log 150 P bằng bao nhiêu?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 9. Cho 0, 1 a a , biểu thức
3
log
a
D a
có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 3. B.
1
3
. C. 3 . D.
1
3
.
Câu 10. Giá trị của biểu thức
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
C bằng bao nhiêu ?
A. 2 . B. 2. C.
1
2
. D. .
Câu 11. Cho 0, 1 a a , biểu thức
2
4log 5
a
E a
có giá trị bằng bao nhiêu?
A. . B. 625 . C. 25 . D. .
Câu 12. Trong các số sau, số nào lớn nhất?
A.
3
5
log
6
. B.
3
5
log
6
. C.
1
3
6
log
5
. D. .
Câu 13. Trong các số sau, số nào nhỏ nhất ?
A.
5
1
log
12
. B.
1
5
log 9 . C. . D.
5
1
log
15
.
2
( ) log (2 1) f x x
1
\
2
x
( 2; 2) x \( 2; 2) x
\ 3;1] x [
x
1
2
5
8
5
3
6
log
5
1
5
log 17Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 62
Câu 14. Cho 0, 1 a a , biểu thức có giá trị bằng
A.
2
2 ln 2 a . B. 4ln 2 a . C.
2
2 ln 2 a . D. .
Câu 15. Cho 0, 1 a a , biểu thức
3 2
2ln 3log
ln log
a
a
B a e
a e
có giá trị bằng
A. . B. 4ln a . C.
3
3ln
log
a
a
e
. D. .
Câu 16. Cho 0, 0 a b , nếu viết
2
3 5 3
3 3 3
log log log
5 15
y x
a b a b thì x y bằng bao nhiêu?
A.3. B.5. C.2. D.4.
Câu 17. Cho 0, 0 a b , nếu viết
0,2
10
5 5 5
6 5
log log log
a
x a y b
b
thì xy bằng bao nhiêu ?
A. 3 . B.
1
3
. C.
1
3
. D. 3 .
Câu 18. Cho
3 3 9
3
log 3log 2 log 25 log 3 x . Khi đó giá trị của x là :
A.
200
3
. B.
40
9
. C.
20
3
. D.
25
9
.
Câu 19. Cho
7 7 49
1
log 2 log 6 log a b
x
. Khi đó giá trị của x là :
A. 2 6 a b . B.
2
3
a
x
b
. C.
2 3
x a b . D.
3
2
b
x
a
.
Câu 20. Cho , , 0; 1 a b c a và số , Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log
c
a
a c . B. .
C. log log
a a
b b
. D. log ( ) log log
a a a
b c b c .
Câu 21. Cho , , 0; 1 a b c a , Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. . B. log .log log
a b a
b c c .
C. log log
c
a
a
b c b . D. .
Câu 22. Cho , , 0 a b c và , 1 a b , Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
log
a
b
a b . B. .
C.
log
log
log
a
b
a
c
c
b
. D. log log
a a
b c b c .
Câu 23. Cho và 1 a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log log
a a
b c b c . B. log log
a a
b c b c .
C. log
a
b c b c . D.
b c
a a b c .
Câu 24. Cho , , 0 a b c và 1 a .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log log
a a
b c b c . B.
2 3
a a .
C. log log
a a
b c b c . D. log 0 1
a
b b .
Câu 25. Số thực a thỏa điều kiện
3 2
log (log ) 0 a là:
2 2 2
(ln log ) ln log
a a
A a e a e
2
ln 2 a
4 ln 6log 4
a
a 6log
a
e
log 1
a
a
1
log
log
a
b
b
a
log ( . ) log log
a a a
b c b c
log log
a a
b c b c
, , 0 a b c Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 63
A.
1
3
. B. 3. C.
1
2
. D. 2.
Câu 26. Biết các logarit sau đều có nghĩa. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. log log
a a
b c b c . B. log log
a a
b c b c
C. log log
a a
b c b c . D. log log 0 0
a a
b c b c .
Câu 27. Cho , , 0 a b c và 1 a . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. log ( ) log log
a a a
bc b c . B. log ( ) log log
a a a
b
b c
c
.
C. log
c
a
b c b a . D. log ( ) log log
a a a
b c b c .
Câu 28. Số thực x thỏa mãn điều kiện
2 4 8
log log log 11 x x x là :
A. 64. B.
11
6
2 . C.8. D. 4.
Câu 29. Số thực x thỏa mãn điều kiện
3
log 2 2 4
x
là
A.
3
2 . B. .
3
1
2
C. 4. D. 2.
Câu 30. Cho , 0 a b và , 1 a b . Biểu thức
2
2
2
log
log
a
a
b
P b
a
có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 6. B.3. C.4. D.2.
Câu 31. Cho , 0 a b và , 1 a b , biểu thức
3 4
log .log
b
a
P b a có giá trị bằng bao nhiêu?
A.6. B.24. C.12. D. 18.
Câu 32. Giá trị của biểu thức
8 16
3log 3 2log 5
4
là:
A. 20. B.40. C. 45. D. 25.
Câu 33. Giá trị của biểu thức
3 5
log
a
P a a a là
A.
53
30
. B.
37
10
. C.20. D.
1
15
.
Câu 34. Giá trị của biểu thức
3 4 5 16
log 2.log 3.log 4...log 15 A là:
A.
1
2
. B.
3
4
. C. 1 . D.
1
4
.
Câu 35. Giá trị của biểu thức
3 5 3 2 3
1
4
log
a
a a a
a a
là:
A.
1
5
. B.
3
4
. C.
211
60
. D. .
Câu 36. Trong 2 số
3
log 2 và
2
log 3 , số nào lớn hơn 1?
A.
2
log 3 . B. . C. Cả hai số. D. Đáp án khác.
Câu 37. Cho 2 số
1999
log 2000 và
2000
log 2001. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
1999 2000
log 2000 log 2001 . B. Hai số trên nhỏ hơn 1.
C. Hai số trên lớn hơn 2. D.
1999 2000
log 2000 log 2001 .
91
60
3
log 2Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 64
Câu 38. Các số
3
log 2 ,
2
log 3 ,
3
log 11 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
A.
3 3 2
log 2, log 11, log 3 . B.
3 2 3
log 2, log 3, log 11 .
C.
2 3 3
log 3, log 2, log 11 . D.
3 3 2
log 11, log 2, log 3 .
Câu 39. Số thực x thỏa mãn điều kiện
3
log 2 3 x là:
A. 5 . B. 25 . C.
25 . D. 3 .
Câu 40. Số thực x thỏa mãn điều kiện
3 9
3
log log
2
x x là :
A. 3 . B. 25 . C.
3 . D. 9 .
Câu 41. Cho
3 3 3
log 4 log 7 log , 0 x a b a b . Giá trị của x tính theo , a b là:
A. ab . B.
4
a b . C.
4 7
a b . D.
7
b .
Câu 42. Cho
2 2
2 2
log 1 log 0 x y xy xy . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau ?
A. x y . B.
x y . C. x y . D.
2
x y .
Câu 43. Cho
1 4
4
1
log log 0, y x y y x
y
=1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau?
A. 3 4 x y . B.
3
4
x y . C.
3
4
x y . D. 3 4 x y .
Câu 44. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.
2 2
log 2 log 0
a a
x x x . B. log log log
a a a
xy x y .
C.
log log log 0
a a a
xy x y xy . D.
log log log 0
a a a
xy x y xy .
Câu 45. Cho , 0 x y và
2 2
4 12 x y xy . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
2 2 2
2
log log log
4
x y
x y
. B.
2 2 2
1
log ( 2 ) 2 (log log )
2
x y x y .
C.
2 2 2
log ( 2 ) log log 1 x y x y . D.
2 2 2
4 log ( 2 ) log log x y x y .
Câu 46. Cho , 0 a b và
2 2
7 a b ab . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. 2 log( ) log log a b a b . B. 4 log log log
6
a b
a b
.
C.
1
log (log log )
3 2
a b
a b
. D. log 3(log log )
3
a b
a b
.
Câu 47. Cho
2
log 6 a . Khi đó giá trị của
3
log 18 được tính theo a là:
A. a . B.
1
a
a
. C. 2 3 a . D.
2 1
1
a
a
.
Câu 48. Cho
2
log 5 a . Khi đó giá trị của
4
log 1250 được tính theo a là :
A.
1 4
2
a
. B. 2(1 4 ) a . C. 1 4a . D.
1 4
2
a
.
Câu 49. Biết
7
log 2 m , khi đó giá trị của
49
log 28 được tính theo m là: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 65
A.
2
4
m
. B.
1
2
m
. C.
1 4
2
m
. D.
1 2
2
m
.
Câu 50. Biết
2 5
log 5, log 3 a b ; khi đó giá trị của
10
log 15 được tính theo a là:
A.
1
a b
a
. B.
1
1
ab
a
. C.
1
1
ab
a
. D.
( 1)
1
a b
a
.
Câu 51. Cho
3 3
log 15; log 10 a b . Khi đó giá trị của
3
log 50 được tính theo , a b là :
A. 2( 1) a b . B. 2( 1) a b . C. 2( 1) a b . D. 2( 1) a b .
Câu 52. Biết
5
log 3 a , khi đó giá trị của
15
log 75 được tính theo a là:
A.
2
1
a
a
. B.
1 2
1
a
a
. C.
1
2
a
a
. D. 2 .
Câu 53. Biết
4
log 7 a , khi đó giá trị của
2
log 7 được tính theo a là:
A. 2a . B.
1
2
a . C.
1
4
a . D. 4a .
Câu 54. Biết
5
log 3 a , khi đó giá trị của
3
27
log
25
được tính theo a là:
A.
3
2a
. B.
3
2
a
. C.
3 2 a
a
. D.
3 2
a
a
.
Câu 55. Biết
2 5
log 5, log 3 a b . Khi đó giá trị của
24
log 15 được tính theo a là :
A.
1 ab
b
. B.
1
1
ab
a
. C.
1
1
b
a
. D.
( 1)
3
a b
ab
.
Câu 56. Cho
12
log 27 a . Khi đó giá trị của
6
log 16 được tính theo a là:
A.
4 3
3
a
a
. B.
4 3
3
a
a
. C.
4
3
a
a
. D.
2
3
a
a
.
Câu 57. Cho lg 3 , lg 2 a b . Khi đó giá trị của
125
log 30 được tính theo a là:
A.
1
3 1
a
b
. B.
4 3
3
a
b
. C.
3
a
b
. D.
3
a
a
.
Câu 58. Cho log 3
a
b . Giá trị của biểu thức
3
log
b
a
b
A
a
được tính theo a là:
A.
3
3
. B.
3
4
. C.
1
3
D.
3
4
.
Câu 59. Cho
27 8 2
log 5 , 7 , 3 a b c log log . Giá trị của
6
log 35 được tính theo , , a b c là:
A.
1
ac
c
. B.
1
ac
b
. C.
3
1
c b
c
a
. D.
3 3
3
ac b
a
.
Câu 60. Cho 2000! x . Giá trị của biểu thức
2 3 2000
1 1 1
...
log log log
A
x x x
là:
A. 1 . B. 1 . C.
1
5
. D. 2000 .
Câu 61. Biết
7 12
log 12, log 24 a b . Khi đó giá trị của
54
log 168 được tính theo a là: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 66
A.
(8 5 )
1
a b
ab a
. B.
1
(8 5 )
ab a
a b
. C.
(8 5 )
1
a b
ab
. D.
1
(8 5 )
ab
a b
.
Câu 62. Biết log 2,log 3
a a
b c . Khi đó giá trị của bieeur thức
3
4
log
a
b
c
2
a
bằng:
A. 20 . B.
2
3
. C. 1 . D.
3
2
.
Câu 63. Biết log 3,log 4
a a
b c . Khi đó giá trị của biểu thức
2 2 3
log
a
a bc bằng:
A.
16 3
3
. B. 5 . C. 16 . D. 48 .
Câu 64. Rút gọn biểu thức
3 5
log
a
A a a a , ta được kết quả là:
A.
37
10
. B.
35
10
. C.
3
10
. D.
1
10
.
Câu 65. Rút gọn biểu thức
5 3 3 2
1
4
log
a
a a a
B
a a
, ta được kết quả là :
A.
91
60
. B.
60
91
. C.
16
5
. D.
5
16
.
Câu 66. Biết
2 3
log 5, log 5 a b . Khi đó giá trị của
6
log 5 được tính theo , a b là :
A.
ab
a b
. B.
1
a b
. C. a b . D.
2 2
a b .
Câu 67. Cho
2 3 7
log 3; log 5; log 2 a b c . Khi đó giá trị của biểu thức
140
log 63 được tính theo
, , a b c là:
A.
2 1
2 1
ac
abc c
. B.
2 1
2 1
abc c
ac
. C.
2 1
2 1
ac
abc c
. D.
1
2 1
ac
abc c
.
Câu 68. Cho
5 5
log 2; log 3 a b . Khi đó giá trị của
5
log 72 được tính theo , a b là :
A. 3 2 a b . B.
3 2
a b . C. 3 2 a b . D. 6ab .
Câu 69. Biết
12 24
log 18, log 54 a b . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. 5( ) 1 ab a b . B. 5 1 ab a b .
C. 5( ) 1 ab a b . D. 5 0 ab a b .
Câu 70. Biết
3 4 2
log log log 0 y , khi đó giá trị của biểu thức 2 1 A y là:
A. 33. B. 17. C. 65. D. 133.
Câu 71. Cho
5
log 0 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. log 5 log 4
x x
. B. log 5 log 6
x x
. C.
5
log log 5
x
x . D.
5 6
log log x x .
Câu 72. Cho 0 1 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
3
3 1
2
log 5 log 5 0
x
B.
3
1
log 5 log
2
x x
C.
5
1 1
log log .
2 2
x
D.
3
1
log . log 5 0
2
x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 67
Câu 73. Trong bốn số
2 0 ,5
3 3
log 5 log 2
log 4 2log 2
1 1
3 , 3 , ,
4 16
số nào nhỏ hơn 1?
A.
0 ,5
log 2
1
16
. B.
3
2log 2
3 . C.
3
log 4
3 . D.
2
log 5
1
4
.
Câu 74. Gọi
0 ,5 0 ,5
log 4 log 13
3 M ; N = 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. 1 M N . B. 1 N M . C. 1 M N . D. 1 N M .
Câu 75. Biểu thức
2 2
log 2 sin log cos
12 12
có giá trị bằng:
A. 2 . B. 1 . C.1. D.
2
log 3 1 .
Câu 76. Với giá trị nào của m thì biểu thức
5
( ) log ( ) f x x m xác định với mọi ( 3; ) x ?
A. 3 m . B. 3 m . C. 3 m . D. 3 m .
Câu 77. Với giá trị nào của m thì biểu thức
1
2
( ) log (3 )( 2 ) f x x x m xác định với mọi
4;2] x [ ?
A. 2 m . B.
3
2
m . C. 2 m . D. 1 m .
Câu 78. Với giá trị nào của m thì biểu thức
3
( ) log ( )( 3 ) f x m x x m xác định với mọi
( 5; 4] x ?
A. 0 m . B.
4
3
m . C.
5
3
m . D. m .
Câu 79. Với mọi số tự nhiên n, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
2 2
log log ... 2
n
n
c¨n bËc hai
. B.
2 2
log log ... 2
n
n
c¨n bËc hai
.
C.
2 2
2 log log ... 2
n căn
n
bËc hai
. D.
2 2
2 log log ... 2
n căn
n
bËc hai
.
Câu 80. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn:
3 7 11
log 7 log 11 log 25
27, 49, 11 a b c . Giá trị của biểu thức
2 2
2 (log 11) (log 25)
7 11
3
(log 7)
A a b c là:
A. 519. B.729. C. 469. D.129.
Câu 81. Kết quả rút gọn của biểu thức
log log 2 log log log
a b a ab a
C b a b b b là:
A.
3
log
a
b . B. . log
a
b . C.
3
log
a
b . D. log
a
b .
Câu 82. Cho , , 0 a b c đôi một khác nhau và khác 1, Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.
2 2 2
log ;log ; log 1
a b c
b c a
c a b
b c a
. B.
2 2 2
log ;log ; log 1
a b c
b c a
c a b
b c a
.
C.
2 2 2
log ;log ;log 1
a b c
b c a
c a b
b c a
. D.
2 2 2
log ;log ; log 1
a b c
b c a
c a b
b c a
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 68
Câu 83. Gọi ( ; ) x y là nghiệm nguyên của phương trình 2 3 x y sao cho P x y là số dương
nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 3
log log x y không xác định. B.
2
log ( ) 1 x y .
C.
2
log ( ) 1 x y . D.
2
log ( ) 0 x y .
Câu 84. Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức
2 3 5 2 3 5
log log log log .log .log a a a a a a
A. 3. B.1. C.2. D. 0.
Câu 85. Cho các số dương a , b khác 1 sao cho
2
3 9
16
log log log 2
b
a
a b . Tính giá trị của
2
b
a
.
A. 16 . B. 8 . C. 2 . D. 4 .
Câu 86. Cho 0 a và 0 b
thỏa mãn
2 2
7 a b ab . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A.
1
3log( ) (log log )
2
a b a b . B.
1
log (log log )
3 2
a b
a b
.
C. 2(log log ) log(7 )
a b
ab . D.
3
log( ) (log log )
2
a b a b .
Câu 87. Cho
7
log 12 x ,
12
log 24 y và
54
1
log 168
axy
bxy cx
, trong đó , , a b c là các số nguyên.
Tính giá trị biểu thức 2 3 . S a b c
A. 4 S . B. 19. S C. 10. S D. 15. S
Câu 88. Giả sử , p q là các số thực dương sao cho
9 12 16
log log log . p q p q Tìm giá trị của
.
p
q
A.
1
1 5
2
. B.
1
1 5
2
. C.
4
3
. D.
8
5
.
Câu 89. Cho hai số thực , a b thỏa mãn đồng thời đẳng thức 3 .2 1152
a b
và
5
log ( ) 2. a b Tính
. P a b
A. 9. P B. 3. P C. 8. P D. 6. P
Câu 90. Nếu
12
log 18 a thì
2
log 3 bằng bao nhiêu?
A.
1 2
.
2
a
a
B.
2 1
.
2
a
a
C.
1
.
2 2
a
a
D.
1
.
2
a
a
Câu 91. Đặt ln 2 a , ln5 b , hãy biểu diễn
1 2 3 98 99
ln ln ln ... ln ln
2 3 4 99 100
I theo a và b
A.
2 a b . B.
2 a b . C.
2 a b . D.
2 a b .
Câu 92. Biết log 5 a và log 3 b . Tính
30
log 8 theo a và b được kết quả là:
A.
30
3(1 )
log 8
1
a
b
B.
30
3(1 )
log 8
1
a
b
C.
30
3(1 )
log 8
1
a
b
D.
30
3( 1)
log 8
1
a
b
Câu 93. Rút gọn biểu thức
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a ta được kết quả là:
A.
1
log
b
a
B. log
b
a C. log
b
a D.
log
3
b
a
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 69
Câu 94. Cho , , a b x là các số thực dương. Biết
3 1
3
3
log 2log log x a b . Tính x theo a và b :
A. 4 x a b B.
4
a
x
b
C.
4
x a b D.
a
x
b
Câu 95. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn
16 20 25
2
log log log
3
a b
a b
. Tính tỉ số
a
T
b
.
A.
5
4
T B.
2
3
T C.
3
2
T D.
4
5
T
Câu 96. Cho 1 64 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 2
2 2 2
8
log 12 log .log P x x
x
.
A. 64 . B. 96 . C. 82 . D. 81.
Câu 97. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho
3
2 2 2 2 2
log 2019 2 log 2019 3 log 2019 ... log 2019 1008 2017 log 2019
n
a a
a a a
n
A. 2017 . B. 2019 .
C. 2016 . D. 2018 .
Câu 98. Cho
3
log 5 a ,
3
log 6 b ,
3
log 22 c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
270
log
121
3 2 a b c
. B.
3
270
log
121
3 2 a b c
.
C.
3
270
log
121
3 2 a b c
. D.
3
270
log
121
3 2 a b c
.
Câu 99. Gọi
1
1 1 1 1
log log log log
a b c d
T
x x x x
, với , , , a b c x thích hợp để biểu thức có nghĩa.
Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. log
abcd
T x . B. log
x
T abcd .
C.
1
log
x
T
abcd
. D.
1
log log log log
x x x x
T
a b c d
.
Câu 100. Cho log
b
a x và log
b
c y . Hãy biểu diễn
2
3 5 4
log
a
b c theo x và . y
A.
5 4
6
y
x
. B.
20
3
y
x
. C.
4
2
5 3
3
y
x
. D.
20
20
3
y
x .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 70
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1A 2A 3B 4A 5C 6B 7D 8B 9B 10A
11C 12D 13C 14A 15C 16D 17C 18B 19D 20D
21C 22D 23C 24B 25D 26A 27D 28A 29A 30D
31B 32C 33B 34D 35C 36A 37A 38B 39C 40C
41C 42B 43C 44D 45B 46C 47D 48D 49D 50D
51B 52A 53A 54C 55D 56B 57A 58A 59C 60A
61D 62A 63B 64A 65A 66A 67C 68A 69C 70A
71D 72A 73D 74B 75B 76C 77C 78D 79B 80C
81C 82A 83A 84A 85D 86B 87D 88B 89A 90A
91B 92A 93A 94D 95B 96D 97C 98A 99B 100A
Câu 1. Chọn A. Biểu thức ( ) f x xác định
1
2 1 0
2
x x .
Câu 2. Chọn A. Biểu thức ( ) f x xác định
2
4 0 ( 2; 2) x x .
Câu 3. Chọn B. Biểu thức ( ) f x xác định
1
0 ( ; 3) (1; )
3
x
x
x
.
Câu 4. Chọn A. Biểu thức ( ) f x xác định
2
2 0 (0;2) x x x .
Câu 5. Chọn C. Biểu thức ( ) f x xác định
3 2
- 2 0 ( 1; 0) (2; ) x x x x .
Câu 6. Chọn B. Ta có
1/2
log 4 log 4
2log 4 log 16
16
a a a a
A a a a a .
Câu 7. Chọn D. Ta nhập vào máy tính biểu thức
2 2 2 2
2 log 12 3log 5 log 15 log 150 , bấm =,
được kết quả 3 B
Câu 8. Chọn B.
+Tự luận
2 3
2 2 2 2 2 2 2
2 3
2
2log 12 3log 5 log 15 log 150 log 12 log 5 log (15.150)
12 .5
log 3
15.150
P
+Trắc nghiệm: Nhập biểu thức vào máy tính và nhấn calc ta thu được kết quả bằng 3.
Câu 9. Chọn B. Ta có
3
1 1
log log
3 3
a
a
D a a .
Câu 10. Chọn A. Ta nhập vào máy tính biểu thức:
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
bấm =, được
kết quả 2 C .
Câu 11. Chọn C. Ta có
2
4
log 5 4log 5
log 25
2
25
a
a a
E a a a .
Câu 12. Chọn D.
+ Tự luận: Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy
3 3 1
3
3
6 5 6 5
log log log log
5 6 5 6
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 71
+ Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết
quả 0 thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả 0 thì đổi
số trừ thành số bị trừ và thay số trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả.
Câu 13. Chọn C.
+ Tự luận : Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy
1 1 5 1 5 1
5 5 5 5
1 1
log 17 log 15 log log 12 log log 9
15 12
.
+ Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết
quả 0 thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả 0 thì đổi
số trừ thành số bị trừ và thay số trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả.
Câu 14. Chọn A.
+Tự luận :
Ta có
2 2 2 2 2 2
ln 2 ln .log log ln log 2 ln 2 ln 2 ln 2
a a a
A a a e e a e a e a .
+Trắc nghiệm : Sử dung máy tính, Thay 2 a rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt
các biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 15. Chọn C.
+Tự luận :
Ta có
3
2 ln 3log 3log 2 ln 0 3ln
log
a a
a
B a e e a a
e
.
+Trắc nghiệm : Sử dung máy tính, Thay 2 a rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt
các biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 16. Chọn D. Ta có:
2
2
3 5 3 3
15
3 3 3 3
2 2
log log ( ) log log 4
5 15
a b a b a b x y .
Câu 17. Chọn C. Ta có :
0,2
1 10
2
6
5 5 5 5
6 5
1 1
log log ( . ) 2 log log .
6 3
a
a b a b x y
b
.
Câu 18. Chọn B. Ta có:
3 3 3 3 3
40 40
log log 8 log 5 log 9 log
9 9
x x .
Câu 19. Chọn D. Ta có:
2 3
2 3
7 7 49 7 7 7 3 2
1
log 2log 6log log log log
a b
a b a b x
x b a
.
Câu 20. Chọn D. Vì không có tính chất về logarit của một hiệu
Câu 21. Chọn C. Vì
1
log log
c
a
a
b b
c
Câu 22. Chọn D. Vì khẳng định đó chỉ đúng khi 1 a , còn khi 0 1 log log
a a
a b c b c
Câu 23. Chọn C. Vì log
c
a
b c b a
Câu 24. Chọn B. Vì
2 3
2 3 ( 0 1) a a do a
Câu 25. Chọn D. Ta có
3 2 2
log (log ) 0 log 1 2 a a a .
Câu 26. Chọn A. Đáp án A đúng với mọi , , a b c khi các logarit có nghĩa
Câu 27. Chọn D. Vì không có logarit của 1 tổng.
Câu 28. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 72
Sử dụng máy tính và dùng phím CALC : nhập biểu thức
2 4 8
log log log 1 X X X vào
máy và gán lần lượt các giá trị của x để chọn đáp án đúng. Với 64 x thì kquả bằng 0.
Câu 29. Chọn A.
Sử dụng máy tính và dùng phím CALC : nhập biểu thức
3
log 2 2 4
x
vào máy và gán
lần lượt các giá trị của x để chọn đáp án đúng. Với. thì kquả bằng 0. Ta chọn A là đáp
án đúng.
Câu 30. Chọn D.
+Tự luận : Ta có
2
2
2
2
log 4log 2log 2
log
a a
a
a
b
a
P b b
a b
.
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay 2 a b , rồi nhập biểu thức
2
2
2
log
log
a
a
b
b
a
vào máy bấm =, được kết quả 2 P .
Câu 31. Chọn B.
+ Tự luận : Ta có
3 4
log .log 2.3.4 24
b
a
P b a .
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính Casio, Thay 2 a b , rồi nhập biểu thức
3 4
log .log
b
a
b a vào máy bấm =, được kết quả 24 P .
Câu 32. Chọn C.
+ Tự luận :
8 16 2 2
2
3log 3 2log 5 log 3 log 5
4 2 .2 45
+ Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, rồi nhập biểu thức
8 16
3log 3 2log 5
4
vào máy, bấm =,
được kết quả bằng 45.
Câu 33. Chọn B.
+Tự luận :
37
3 5
10
37
log log
10
a a
a a a a
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, Thay 2 a , rồi nhập biểu thức
3 5
log
a
a a a vào
máy bấm =, được kết quả
37
10
P .
Câu 34. Chọn D.
+Tự luận :
16 15 5 4 3 16
1
log 15.log 14...log 4.log 3.log 2 log 2
4
A
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính Casio, rồi nhập biểu thức
3 4 5 16
log 2.log 3.log 4...log 15 vào máy bấm =, được kết quả
1
4
A .
Câu 35. Chọn C.
+Tự luận :
91 3 5 3 2 3
60
1
4
91
log log
60
a
a
a a a
a
a a
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 73
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, Thay 2 a , rồi nhập biểu thức
3 5 3 2 3
1
4
log
a
a a a
a a
vào máy bấm =, được kết quả
211
60
.
Câu 36. Chọn A. Ta có:
3 3 2 2
log 2 log 3 1, log 3 log 2 1
Câu 37. Chọn A.
2 2
2000 2000
2000 1999.2001 log 2000 log 2001.1999
2000 2000 1999 2000
2 log 2001 log 1999 log 2000 log 2001
Câu 38. Chọn B. Ta có
3 3 2 2 3
log 2 log log 3 log 11 3=1=log 2<
Câu 39. Chọn C.
3
3
log 2 3 2 3 25 x x x
Câu 40. Chọn C.
3 9 3 3
3 1 3
log log log log 3
2 2 2
x x x x x
Câu 41. Chọn C. Ta có
4 7 4 7
3 3 3
4 log 7 log log ( ) a b a b x a b .
Câu 42. Chọn B.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
log 1 log log log 2 2 x y xy x y xy x y y x y x
Câu 43. Chọn C.
1 4 4
4
1 3
log log log 1
4
y
y x x y
y y x
=1
Câu 44. Chọn D. Do , 0 log log log
a a a
x y xy x y
Câu 45. Chọn B.
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
4 12 ( 2 ) 16 log (x 2 y) log 16
1
2log ( 2 ) 4 log log log ( 2 ) 2 log log
2
x y xy x y y y
x y x y x y x y
x x
Câu 46. Chọn C.
2 2 2 2
7 ( ) 9 log( ) log 9
1
2log( ) log 9 log log log (log log )
3 2
a b ab a b ab a b ab
a b
a b a b a b
Câu 47. Chọn D.
+Tự luận : Ta có :
2 2 2 3
1
log 6 log (2.3) 1 log 3 log 2
1
a
a
Suy ra
2
3 3 3
1 2 1
log 18 log (2.3 ) log 2 2 2
1 1
a
a a
.
+Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán
2
log 6 cho A
Lấy
3
log 18 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Câu 48. Chọn D.
+Tự luận : Ta có :
2
4 4
4 2 2
2
1 1 1 4
log 1250 log (2.5 ) log (2.5 ) 2log 5
2 2 2
a
.
+Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán
2
log 5 cho A Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 74
Lấy
4
log 1250 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 49. Chọn D.
Sử dụng máy tính: gán
7
log 2 cho A
Lấy
49
log 28 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 50. Chọn D.
Sử dụng máy tính: gán lần lượt
2 5
log 5; log 3 cho A, B
Lấy
10
log 15 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 51. Chọn B.
+Tự luận : Ta có :
3 3 3 3
log 15 log (3.5) 1 log 5 log 5 1 a a .
Khi đó :
3 3 3
3
log 50 2 log (5.10) 2(log 5 log 10) 2( 1 ) a b
+Trắc nghiệm
Sử dụng máy tính: gán lần lượt
3 3
log 15;log 10 cho A, B.
Lấy
3
log 50 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 52. Chọn A.
Sử dụng máy tính: Gán
5
log 3 cho A
Lấy
15
log 75 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 53. Chọn A. Ta có:
2 2 4
1
log 7 2. log 7 2log 7 2
2
a .
Câu 54. Chọn C. Ta có:
3 3 3 3
27 2 3 2
log log 27 log 25 3 2 log 5 3
25 a a
a
.
Câu 55. Chọn D.
Sử dụng máy tính: Gán lần lượt
2 5
log 5;log 3 cho A, B
Lấy
24
log 15 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 56. Chọn B. Ta có:
2 2
12 2 6
2 2
4 3
log 27 3log 3 2
log 27 log 3 log 16
log 12 2 log 3 3 3
a
a
a a
a
.
Câu 57. Chọn A. Ta có:
125
lg 30 1 lg 3 1
log 30
lg125 3 1 lg 2 3 1
a
b
.
Câu 58. Chọn A. Ta có :
3 3 3
1
3 2
3
log 3
3
a
b b
b a a a A
a
a
.
Câu 59.
Chọn C. Ta có
27 3 8 3 2
3
log 5 log 5 3 , log 7 log 7 log 5 3
b
a a b ac
c
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 75
6
3
log 35
1
c b
c
a
.
Câu 60. Chọn A. Ta có:
log 2 log 3 ... log 2000 log 1.2.3...2000 log 1
x x x x x
A x
Câu 61. Chọn D. Sử dụng máy tính: Gán lần lượt
7 12
log 12;log 24 cho A, B
Lấy
54
log 168 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 62. Chọn A. Ta có
3
2 3 4
4
log log log log 2 3.2 4.( 3) 20
a a a a
b
a b c
c
2
a
.
Câu 63. Chọn B. Ta có
2 2 3
1 1
log 2log log 2log 2 .3 2.( 4) 5
3 3
a a a a
a bc a b c .
Câu 64. Chọn A. Thay a e , rồi sử dụng máy tính sẽ được kết quả
37
10
A .
Câu 65. Chọn A. Thay a e , rồi sử dụng máy tínhsẽ được kết quả
91
60
B .
Câu 66. Chọn A. Ta có:
2 3
6
5 5 5 5 2 3
log 5.log 5 1 1 1
log 5
log 6 log (2.3) log 2 log 3 log 5 log 5
ab
a b
.
Câu 67. Chọn C. Sử dụng máy tính: gán lần lượt
2 3 7
log 3;log 5; log 2 cho A, B, C
Lấy
140
log 63 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp
án.
Câu 68. Chọn A. Sử dụng máy tính: gán lần lượt
5 5
log 2;log 3 cho A, B
Lấy
5
log 72 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Câu 69. Chọn C. Sử dụng máy tính Casio, gán lần lượt
12 24
log 18;log 54 cho A và B.
Với đáp án C nhập vào máy : 5( ) 1 AB A B , ta được kết quả bằng 0 .
Câu 70. Chọn A. Vì
3 4 2
log log log 0 y nên
4
4 2 2
log (log ) 1 log 4 2 2 1 33 y y y y .
Câu 71. Chọn D. Vì
5
log 0 1 x x . Khi đó
5 6
log log x x .
Câu 72. Chọn A.
Sử dụng máy tính Casio, Chọn 0,5 x và thay vào từng đáp án, ta được đáp án A.
Câu 73. Chọn D.
+Tự luận:
Ta có:
2
2
3 3 3 2 2
log 5
log 4 2log 2 log 4 2log 5 log 5 2
1 1
3 4; 3 3 4; 2 2 5
4 25
,
0 ,5
4
2
2
log 2
log 2
log 2 4 4
1
2 2 2 16
16
.
Trắc nghiệm: nhập vào máy tính từng biểu thức tính kết quả, chọn kết quả nhỏ hơn 1.
Câu 74. Chọn B.
+Tự luận: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 76
Ta có
0 ,5 0 ,5
log 13 log 4
0,5 0,5
log 13 log 4 0 3 3 1 1 N M .
Chọn: Đáp án B.
+ Trắc nghiệm: Nhập các biểu thức vào máy tính, tính kết quả rồi so sánh, ta thấy đáp
án B đúng.
Câu 75. Chọn B.
Ta có
2 2 2 2 2
1
log 2 sin log cos log 2 sin .cos log sin log 1
12 12 12 12 6 2
Câu 76. Chọn C.
Biểu thức ( ) f x xác định 0 x m x m .
Để ( ) f x xác định với mọi ( 3; ) x thì 3 m
Câu 77. Chọn C.
Thay 2 m vào điều kiện (3 )( 2 ) 0 x x m ta được (3 )( 4) 0 ( 4; 3) x x x mà
4; 2] ( 4;3) [ nên các đáp án B, A, D loại. Ta chọn đáp án đúng là C.
Câu 78. Chọn D.
- Thay 2 m vào điều kiện ( )( 3 ) 0 m x x m ta được (2 )( 6) 0 (2;6) x x x mà
( 5; 4] (2;6) nên các đáp án B, A loại.
- Thay 2 m vào điều kiện( )( 3 ) 0 m x x m ta được ( 2 )( 6) 0 ( 6; 2) x x x
mà ( 5; 4] ( 6; 2) nên các đáp án C loại. Do đó Ta chọn đáp án đúng là D.
Câu 79. Chọn B.
+Tự luận:
Đặt
2 2
-log log ... 2 .
n
m
c¨n bËc hai
Ta có:
2
2
log ... 2 2 ... 2 2
m
m
.
Ta thấy:
2
1 1
1
2 2 2
2
2 2 , 2 2 ,....., ... 2 2 2
n
n
.
Do đó ta được: 2 2
m n
m n
. Vậy
2 2
log log ... 2
n
n
c¨n bËc hai
. Đáp án B.
+Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio, lấy n bất kì, chẳng hạn 3 n .
Nhập biểu thức
2 2
log log 2 ( có 3 dấu căn) vào máy tính ta thu được kết quả
bằng – 3.
Câu 80. Chọn C.
Ta có
log 25
11
11 3 7
3 3 7 11 7
1
log 25 log 7 log 11
log 7 log 7 log 11 log 25 log 11 3 2
2
27 49 11 7 11 25 469 a b c
Câu 81. Chọn C.
log log 2 log log log
a b a ab a
C b a b b b
2
2
3
2
log 1 log 1
log log
log log log log
1 log log 1 log log
a a
a a
a a a a
a a a a
b b
b b
b b b b
b b b b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 77
Câu 82. Chọn A.
*
1 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
* log .log .log 1 log .log log 1
a b c a b a
b c a b a a
* Từ 2 kết quả trên ta có:
2
2 2 2
log log log log .log log 1
a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
Câu 83. Chọn A.
Vì 0 x y nên trong hai số x và y phải có ít nhất một số dương mà
3 0 x y x nên suy ra 3 x mà x nguyên nên 0; 1; 2;... x
+ Nếu 2 x suy ra 1 y nên 1 x y
+ Nếu 1 x thì 1 y nên 2 x y
+ Nếu 0 x thì 3 y nên 3 x y
+ Nhận xét rằng: 2 x thì 1 x y . Vậy x y nhỏ nhất bằng 1.
Câu 84. Chọn A.
2 3 2 5 2 2 3 5 5
(*) log log 2.log log 2.log log .log 5.log .log a a a a a a
3 5
3
2
2 3 5 2 3 5
2
2 3 5 3 5
2
1 log 2 log 2
2 3 5
log 5
5 3 5 3 5
3
log . 1 log 2 log 2 log .log 5.log
log . 1 log 2 log 2 log 5.log 0
1
1
log 0
1 log 2 log 2
log 1 log 2 log 2 log 5.log 0
5
log 5
a a a
a a
a
a
a
a a
a
Câu 85. Chọn D.
Ta có
3
16
log log 2
b
a
2
2
1 1
log
4.3 log
a
b
2 2
log .log 12 1 a b .
Mặt khác ta có
2
9
log log 2
b
a
b
2
1 1
log
2 9 log
a
b
b
2
log .log 18
a
b b
2
2
2
log
18 2
log
b
a
.
Từ
1 và
2 ta có :
3
2
2 2
log 216
log log 12
b
b a
2
2
log 6
log 2
b
a
64
4
b
a
2
4
b
a
.
Câu 86. Chọn B.
Ta có:
2 2
7 a b ab
2
9 a b ab
2
3
a b
ab
2
log log
3
a b
ab
2 log log log
3
a b
a b
1
log log log
3 2
a b
a b
(do 0 a , 0 b ).
Câu 87. Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 78
Ta có:
7
54
7
log 24.7
log 168
log 54
7
7
log 24 1
log 54
7 12
7
log 12 log 24 1
log 54
7 12
7 12
log 12 log 24 1
log 12 log 54
12
1
.log 54
xy
x
Tính
12 12
log 54 log 27.2
12 12
3log 3 log 2
12 12
3.2.12.24 24
3log log
2.12.24 12
.
3
12 12 2
12 24
3log log
12 24
12 12
3 3 2 log 24 log 24 1
12
8 5log 24 8 5y .
Do đó:
54
1
log 168
8 5
xy
x y
1
5 8
xy
xy x
.
Vậy
1
5
8
a
b
c
2 3 15 S a b c
Câu 88. Chọn B.
Đặt
9 12 16
log log log p q p q u
9
12
16
u
u
u
p
q
p q
Đặt
q
x
p
12
9
u
u
4
3
u
2
16
9
u
x
u
p q
p
1 x
2
1 0 x x
1 5
2
x
Câu 89. Chọn A.
Theo đề ta có:
5
log 2 5 a b a b
3 .2 1152 3 .2 .2 .2 1152
a b a a a b
6 .2 1152
a a b
5
6 .2 1152
a
6 36
a
2 2 7 a a b
Vậy 9 P a b .
Câu 90. Chọn A.
Ta có:
2
2
12 2
2
ln 3
2 1
2 log 3 1 ln18 ln 3 .2 2 ln 3 ln 2
ln 2
log 18
ln 3 ln12 2 ln 2 ln 3 2 log 3 ln 2 .3
2
ln 2
a
2 2 2
2 1 1 2
2 log 3 1 2 log 3 log 3
2 2
a a
a a
a a
.
Câu 91. Chọn B.
Ta có:
1 2 3 98 99
ln . . .... .
2 3 4 99 100
I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 79
1
ln
100
I
1
2 2
ln 2 .5
2ln 2 2ln 5
2 . a b
Câu 92. Chọn A.
10 5
5 5
1 1 1
log 5 log 5 log 2
log 10 1 log 2
a
a
a
2 2
2 2
2 2
log 3 log 3
log 3 log 3 1 log 5
log 10 1 log 5
b b
2
30
2 2 2
log 8 3 3 3(1 )
log 8
log 30 1 log 5 log 3 1
1 1
1 1
a
b a a
b
a a
Câu 93. Chọn A.
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a
log log 2 log log log 1
a b a ab b
b a b b a
log log 2 1 log log 1
a b ab b
b a b a
log log 2 1 log 1
a b ab
b a a
1 1
log 2 1 1
log 1 log
a
a a
b
b b
2
log 1
log
1
log 1 log
a
a
a a
b
b
b b
1 log 1
a
b
log
a
b
Câu 94. Chọn D.
1 1
2
3 1 3
3 3
3
3
3 3 3
4
4
3 3 3 3
4
log 2 log log log 2 log log
log 4 log log
log log log log
x a b x a b
x a b
a
x a b
b
a
x
b
Câu 95. Chọn B.
16 20 25
2 2
log log log 16 , 20 ; 25
3 3
t t t
a b a b
a b t a b
thay 16 , 20
t t
a b vào
2
25
3
t
a b
Ta có:
2.16 20
25 2.16 20 3.25
3
t t
t t t t
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 80
Chia 2 vế cho 25
t
ta có:
2
4 4
2 3 0
5 5
4 2
5 3
4
1(L)
5
t t
t
t
-
Ta lại có:
16 4 2
5 3 20
t
t
t
a
b
Câu 96. Chọn D.
4 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2
8
log 12 log .log log 12log (log 8 log ) P x x x x x
x
Vì 1 64 x nên
2 2 2 2
log 1 log log 64 0 log 6 x x
Đặt
2
log t x với 0 6 t .
Ta có
4 2 4 3 2
12 (3 ) 12 36 P t t t t t t
3 2
0( )
' 4 36 72 0 6( )
3( )
t L
P t t t t L
t TM
Lập bảng biến thiên ta: 81
max
P khi 3 x
Câu 97. Chọn C.
3
2 2 2 2 2
log 2019 2 log 2019 3 log 2019 ... log 2019 1008 2017 log 2019
n
a a
a a a
n (*)
Ta có
2 2 3
log 2019 . .log 2019 log 2019
n
a a
a
n n n n . Suy ra
VT (*)
2
3 3 3
( 1)
1 2 ... .log 2019 .log 2019
2
a a
n n
n
VP (*)
2 2
1008 2017 log 2019
a
. Khi đó (*) được:
2 2 2 2 2 2 2
( 1) 2 .1008 .2017 2016 .2017 2016 n n n .
Câu 98. Chọn A.
Theo đề bài, ta có
3 3 3
3 3 3
3 3 3 3
log 5 log 5 log 5
log 6 log 2 1 log 2 1
log 22 log 2 log 11 log 11 1
a a a
b b b
c c c b
Khi đó
3 2
3 3 3 3 3 3 3 3
270
log log 270 log 121 log 2.5.3 log 11 log 2 log 5 3 2log 11
1
3 2
21
1 3 . 2 1 b a c a b c b
Câu 99. Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 81
d
d
1 1 1
log .
1 1 1 1 log log log log log
log log log log
abc
x x x x x
a b c d
T x
a b c d abc
x x x x
Câu 100. Chọn A.
2
1 5 4
3 5 4 5 4 5 4
3
5 4
log 1 1 1
log log log .
2 6 6 log
log log 5 4 log 5 4 1 1
. . .
6 log 6 log 6
b
a a
a
b
b b b
b b
b c
b c b c b c
a
b c c y
a a x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 82
Chủ đề 3
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ,
HÀM SỐ LOGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. HÀM LŨY THỪA
1. Định nghĩa:
Hàm số y x
với được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định:
Tập xác định của hàm số y x
là:
D nếu là số nguyên dương.
\ 0 D với nguyên âm hoặc bằng 0.
(0; ) D với không nguyên.
Chú ý:
Theo định nghĩa, đẳng thức
1
n
n
x x chỉ xảy ra nếu 0 x . Do đó, hàm số
1
n
y x không
đồng nhất với hàm số
* n
y x n
3. Đạo hàm:
Hàm số , ( ) y x
có đạo hàm với mọi 0 x và
1
( ) . . x x
Nếu hàm số
u u x nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số
y u x
cũng
có đạo hàm trên J và
1
. . u x u x u x
4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; ) .
, 0 y x
, 0 y x
a. Tập khảo sát: (0; ) a. Tập khảo sát: (0; )
b. Sự biến thiên:
+
1
0, 0. y x x
+ Giới hạn đặc biệt:
0
lim 0, lim .
x x
x x
+ Tiệm cận: không có
b. Sự biến thiên:
+
1
0, 0. y x x
+ Giới hạn đặc biệt:
0
lim , lim 0.
x x
x x
+ Tiệm cận:
- Trục O x là tiệm cận ngang.
- Trục O y là tiệm cận đứng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 83
c. Bảng biến thiên:
x 0
y
y
0
c. Bảng biến thiên:
x 0
y
y
0
d. Đồ thị:
Đồ thị của hàm số lũy thừa y x
luôn đi
qua điểm (1;1). I
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số
mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ
tập xác định của nó. Chẳng hạn:
3 2
, , . y x y x y x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 84
II. HÀM SỐ MŨ
1. Định nghĩa:
Hàm số dạng , ( 0, 1)
x
y a a a được gọi là hàm số mũ cơ số a.
2. Tập xác định và tập giá trị:
Tập xác định: D
Tập giá trị: (0, ), T nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt
( ) f x
t a thì 0. t
3. Tính đơn điệu:
Khi 1 a thì hàm số
x
y a đồng biến, khi đó ta luôn có:
( ) ( )
( ) ( ).
f x g x
a a f x g x
Khi 0 1 a thì hàm số
x
y a nghịch biến, khi đó ta luôn có:
( ) ( )
( ) ( ).
f x g x
a a f x g x
4. Đạo hàm:
1
( ) .ln ( ) . .ln ( )
.
( ) ( ) .
x x u u n
n n
x x u u
u
a a a a u a a u
n u
e e e e u
5. Đồ thị:
Nhận trục hành làm đường tiệm cận ngang
O
1
O
1 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 85
III. HÀM SỐ LOGARIT
1. Định nghĩa:
Hàm số dạng log , ( 0, 1)
a
y x a a được gọi là hàm số logarit cơ số a
2. Tập xác định và tập giá trị
Tập xác định: (0, ). D
Tập giá trị: T , nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt log
a
t x thì t không có
điều kiện.
3. Tính đơn điệu:
Khi 1 a thì log
a
y x đồng biến trên , D khi đó nếu: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x .
Khi 0 1 a thì log
a
y x nghịch biến trên , D khi đó nếu:
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x .
4. Đạo hàm:
1
1
log log
.ln .ln
(ln ) ln
1
(ln ) , ( 0) (ln )
a a
n n
u
x u
u
x a u a
u n u
u u
x x u
x u
5. Đồ thị:
Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit
0
0 0
0 0
0
*
0 0
ln 1
, lim lim 1
1
, lim log log lim
x x
x x x x
x
a a
x x x x
x
x a a
x
e
x x x
x
O
1
1
O
1 a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 86
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: (ĐỀ MINH HOẠ 2016 – 2017) Tìm tập xác định D của hàm số
2
2
log 2 3 y x x
A.
D ; 1 3;
. B. D 1; 3
.
C.
D ; 1 3; . D.
D 1; 3 .
Lời giải:
Hàm số xác định
2
3
2 3 0 .
1
x
x x
x
Vậy tập xác định của hàm số là
D ; 1 3; . Chọn C.
Bài toán 2: Tìm tập xác định D của hàm số
2 ln . y e x
A.
D 1; 2 . B.
D 1; . C.
D 0;1 . D.
D 0; e
.
Lời giải:
Hàm số xác định
2
0
0 0 0
0 .
2 ln
ex x x
x e
e x e x e x e
Chọn D.
Bài toán 3: Tìm tập xác định D của hàm số
3
1 3
2
2
log 1 log 3 log 1 . y x x x
A.
D 1; 3 . B.
D 1;1 . C.
D ; 3 . D.
D 1; .
Lời giải:
Hàm số xác định
1 0 1
3 0 3 1 3 D 1 ; 3 .
1 0 1
x x
x x x
x x
Chọn A.
Bài toán 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
2
ln 2 y x m x m có tập xác
định là .
A. 0 m ; 1 m . B. 0 1 m . C. 0 m ; 1 m . D. 0 1 m .
Lời giải:
Ycbt
2
2
0
2 0, 0 1
' 0
a
x m x m x m
m m
. Chọn B.
Bài toán 5: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm
số
2
log 2 1 y x x m có tập xác định là .
A. 0 m . B. 0 m . C. 2 m . D. 2 m .
Lời giải: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 87
Ycbt
2
0
2 1 0, 0
' 1 1 0
a
x x m x m
m
. Chọn B.
Bài toán 6: Tìm tập xác định D của hàm số
1
ln 1
2
y x
x
.
A.
D \ 2 . B.
D 1; 2 .
C.
D 0;
. D.
D ;1 2; .
Lời giải:
Hàm số xác định
1 0 1
1 2
2 0 2
x x
x
x x
. Chọn B.
Bài toán 7: Tìm tập xác định D của hàm số
2
1
2
1 .log 2 . y x x x
A.
D 2; . B. D 2; 1
. C.
D 2; 1 . D.
D 2; 1
.
Lời giải:
Hàm số xác định
2
1 1
2 2
2 0 2
log 2 0 1 .log 2 0
x x
x x x x
2 2
2 1
2 1 1
x x
x
x x
. Chọn D.
Bài toán 8: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là đoạn 1; 3
?
A.
2
ln 3 2 y x x . B.
2
1
3 2
y
x x
.
C.
2
3 2 y x x . D.
2
1
3 2
y
x x
.
Lời giải:
Hàm số
2
ln 3 2 y x x và hàm số
2
1
3 2
y
x x
xác định khi
2
3 2 0 x x
1 3 0 1 3 x x x : không phù hợp.
Hàm số
2
1
3 2
y
x x
xác định khi
2
1
3 2 0 .
3
x
x x
x
Hàm số này có tập xác định là
D \ 1; 3 : không phù hợp.
Hàm số
2
3 2 y x x xác định khi
2
3 2 0 1 3 : x x x thỏa mãn. Chọn C.
Bài toán 9: Tìm tập xác định D của hàm số
2
3
2 9
.
3 4
x x
y
A. D 0; 3
. B.
D ;1 2;
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 88
C. D 1 ; 2 . D. D 1; 2
.
Lời giải:
Hàm số xác định
2 2
3 3 2
2
2 9 2 2
3 2
3 4 3 3
x x x x
x x
2
3 2 0 1 2 x x x . Chọn C.
Bài toán 10: Đẳng thức
3
log
3
x
x có nghĩa khi:
A. 0 x . B. Với mọi x. C. 0 x . D. 1 x .
Lời giải:
Điều kiện: 0 x .
Lôgarit cơ số 3 hai vế của
3
log
3
x
x , ta được
3
log
3 3
log log 3
x
x
3 3 3 3 3
log log .log 3 log log x x x x : luôn đúng 0 x . Chọn A.
II. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Tính đạo hàm của hàm số
2
2
3
2 1 . y x x
A.
3 2
2 4 1
'
3 2 1
x
y
x x
. B.
2
2
3
2 4 1
'
3 2 1
x
y
x x
.
C.
3 2
3 4 1
'
2 2 1
x
y
x x
. D.
2
2
3
3 4 1
'
2 2 1
x
y
x x
.
Lời giải:
Áp dụng công thức
/
1 /
. . u u u
, ta có
1
/
/ 2 2
3
2
. 2 1 . 2 1
3
y x x x x
3 3 2 2
2 4 1
2 1
. . 4 1
3
2 1 3 2 1
x
x
x x x x
. Chọn A.
Bài toán 2: (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số
1
4
x
x
y
.
A.
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
. B.
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
.
C.
2
1 2 1 ln 2
'
4
x
x
y
. D.
2
1 2 1 ln 2
'
4
x
x
y
.
Lời giải:
Ta có
/
/
/
2
1 .4 1 . 4
1
'
4
4
x x
x
x
x x
x
y
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 89
2 2
ln 4 2.ln 2
2 2
4 2 2
4 1 .4 .ln 4 1 1 .ln 4 1 2 1 ln 2
'
4 2
4
x
x x
x x
x x
x
x x x
y
. Chọn A.
Bài toán 3: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số
2
log 2 1 . y x
A.
2
' .
2 1
y
x
B.
1
' .
2 1
y
x
C.
2
' .
2 1 ln 2
y
x
D.
1
' .
2 1 ln 2
y
x
Lời giải:
Áp dụng
/ '
log
.ln
a
u
u
u a
, ta được
/
2 1
2
' .
2 1 .ln 2 2 1 .ln 2
x
y
x x
Chọn C.
Bài toán 4: Cho hàm số
1 1
.
3 2 3 2
x x
f x
Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng
định đúng?
1)
0 f x với mọi . x
2)
1 2 ... 2017 2017. f f f
3)
2
1 1
.
3 4 3 4
x x
f x
A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3.
Lời giải:
Ta có
2 2
2 ln 2 2 ln 2
'
3 2 3 2
x x
x x
f x
. Tại 0 x ta có
' 0 f x nên khẳng định 1 sai.
2 2 6 2 2 6
1 1 2 ... 2017 2017
3 2 3 2 3. 2 2 10
x x x x
x x x x
f x f f f
nên khẳng định 2 sai.
2 2
2
1 1 1 1
3 4 3 4
3 2 3 2
x x
x x
f x
với 1 x chẳng hạn nên khẳng định 3 sai.
Do đó không có khẳng định nào đúng. Chọn A.
Bài toán 5: Cho 0 1 2 a và các hàm
2
x x
a a
f x
,
.
2
x x
a a
g x
Trong các khẳng định
sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1)
2 2
1. f x g x
2)
2 2 . g x g x f x
3)
0 0 . f g g f Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 90
4)
2 . g x g x f x g x f x
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải:
Ta có
2 2
2 2
1
2 2
x x x x
a a a a
f x g x
khẳng đinh 1 đúng.
2 2
2 2. . 2 .
2 2 2 2
x x x x
x x x x x x
a a a a
a a a a a a
g x g x f x
khẳng đinh 2
đúng.
2
0 0 1.
1
0 0
1
0 1
2 2
f g f
f g g f
a
a
a
g f g
a
khẳng định 3 sai.
Do
2 2 g x g x f x , lấy đạo hàm hai vế (để ý là
g u u g u
), ta có:
2 2 2 2 2 g x g x f x g x f x g x g x f x g x f x
2 g x g x f x g x f x khẳng định 4 sai.
Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn C.
Bài toán 6: Tính đạo hàm của hàm số
2
ln ln y x tại điểm x e .
A.
/
y e e . B.
/
1 y e . C.
/
2
y e
e
. D.
/
0 y e .
Lời giải:
Nhận thấy có dạng
/
1 /
. . u u u u
với
ln ln . u x
Áp dụng, ta được
/
/
2.ln ln . ln ln . y x x
1
-----------------------------------------------------------------------
Tính
/
ln ln x
. Nhận thấy có dạng
/
/
ln
u
u
u
với ln u x .
Áp dụng, ta được
/
/
1
ln
1
ln ln .
ln ln ln
x
x
x
x x x x
2
Từ
1 và
2 , ta có
/ /
2ln ln 2ln ln
2.ln1
0.
ln .ln .ln
x e
y y e
x x e e e e
Chọn D.
Bài toán 7: Cho hàm số
2
4ln 4 4 f x x x x x với 4 x . Tính giá trị của biểu thức
2
4 ' 8 .ln 2. P f f
A. 2 ln 2 P . B. 4 ln 2 P . C. 6ln2 P . D. 8ln 2 P .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 91
Lời giải:
Ta có
2 2
4 '
2
' 4.
4
4 4
x x
x x
f x
x x
x x x x
.
Khi đó
' 8 2 f và
4 4 ln 2 f .
Vậy
2
2
4 ' 8 .ln 2 4ln 2 2 .ln 2 2.ln 2 P f f
. Chọn A.
Bài toán 8: Cho hàm số .sin
x
y e x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ' 2 '' 2 0 y y y . B. '' 2 ' 2 0 y y y .
C. '' 2 ' 2 0 y y y . D. ' 2 '' 2 0 y y y .
Lời giải:
Ta có
' .sin .cos cos sin .
x x x
y e x e x e x x
Lại có
'' cos sin sin cos 2 .cos
x x x
y e x x e x x e x
Ta thấy
'' 2 ' 2 2 .cos 2 cos sin 2 .sin 0
x x x
y y y e x e x x e x
. Chọn B.
Bài toán 9: Cho hàm số
1
1 ln
y
x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
' ln 1 x y y y x . B.
' ln 1 x y y y x .
C.
'ln 1 xy y y x . D.
' ln 1 xy y y x .
Lời giải:
Ta có
2 2
1
1
1
'
1 ln 1 ln
x
x
y
x x x x x
Suy ra
2
2 2
1 ln ln
1 ln
' ln .
1 ln
1 ln 1 ln
x x x
x
xy y x y
x x
x x x x
' ln 1 x y y y x . Chọn B.
Bài toán 10: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
3
3 3 x x
f x e
trên đoạn 0; 2 .
A. M e .
B.
2
M e . C.
3
M e . D.
5
M e .
Lời giải:
Hàm số
f x xác định và liên tục trên đoạn 0; 2
.
Đạo hàm
3
2 3 1 2
1 0; 2
' 3 3 ' 0 3 3 0 .
1 0; 2
x x
x
f x x e f x x
x
Ta có
3
5
0;2
5
0
1 max 2 .
2
f e
f e f x f e
f e
Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 92
Bài toán 11: Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
2 3 x
f x e
trên
đoạn 0; 2
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 1 m M . B. . M m e C.
2
1
. M m
e
. D.
2
M
e
m
.
Lời giải:
Hàm số
f x xác định và liên tục trên đoạn 0; 2
.
Đạo hàm
2 3
' 3 0,
x
f x e x
. Do đó hàm số
f x nghịch biến trên 0; 2
.
Suy ra
2
0;2
2
4 2
4
0;2
max 0
1 1
, . .
1
min 2
f x f e
m M e M m
e e
f x f
e
Chọn C.
Bài toán 12: Tìm tập giá trị T của hàm số
ln x
f x
x
với
2
1; . x e
A. T 0; e
. B. T
1
; e
e
. C. T
1
0;
e
. D. T
1
; e
e
.
Lời giải:
Hàm số
f x xác định và liên tục trên đoạn
2
1; e
.
Đạo hàm
2
2
1 ln
' ' 0 1 ln 0 1; .
x
f x f x x x e e
x
Ta có
T
2 2
1; 1;
2
2
1 0
1 1 1
min 0, max 0; .
2
x e x e
f
f e f x f x
e e e
f e
e
Chọn C.
Bài toán 13: Biết rằng hàm số
ln f x x x đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1; e
tại
0
x x . Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A.
0
3
1; . x
e
B.
0
3
; . x e
e
C.
0
; 2 . x e
D.
0
2; . x e
Lời giải:
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 1; e
.
Đạo hàm
/
/ ln 1 ln 2
' .ln . ln
2 2
x x
f x x x x x
x x x
.
Suy ra
2
2
1
' 0 ln 2 0 ln 2 1; . f x x x x e e
e
Ta có
1 0 f
f e e
GTLN của hàm số bằng e , đạt tại x e . Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 93
Nhận xét. Ta có
ln 2
' 0, 1;
2
x
f x x e f x
x
đồng biến trên 1; e
.
Bài toán 14: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
2 2
ln f x x x e trên đoạn 0; . e
A.
1
2
m . B. 1 m .
C.
1 ln 1 2 m . D.
1 ln 1 2 m .
Lời giải:
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 0; e
.
Đạo hàm
/
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
' 0, 0;
x
x x e
x e
f x x e
x x e x x e x e
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên
0;
0; min 0 1.
e
e f x f
Chọn B.
Bài toán 15: Tính giá trị cực tiểu
CT
y của hàm số .
x
y x e
A.
CT
1
y
e
. B.
CT
y e . C.
CT
1
y
e
. D.
CT
1 y .
Lời giải:
Hàm số xác định và liên tục trên .
Ta có
' 1 ' 0 1 0 1.
x x x
y e x e e x y x x
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu
CT
1
1 y y
e
. Chọn C.
III. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng
0; ?
A.
2
2
log y x . B.
3
log
e
y x . C.
2
log
e
y x . D.
4
log y x
.
Lời giải:
Áp dụng lý thuyết
'' Hàm số log
a
y x đồng biến khi 1 a , nghịch biến khi 0 1 a '' .
Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số
2
log
e
y x đồng biến vì cơ số 1
2
e
a . Chọn C.
y '
y
x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 94
Bài toán 2: Hàm số nào sao đây nghịch biến trên .
A. 2017
x
y . B.
1
2
log y x . C.
2
2
log 1 y x . D.
4
x
y
.
Lời giải:
Hàm số 2017
x
y có TXĐ: D ; cơ số 2017 1 nên đồng biến trên .
Hàm số
1
2
log y x có TXĐ:
D 0; không thỏa mãn.
Hàm số
2
2
log 1 y x có TXĐ: D . Ta có
2
2
'
1 ln 2
x
y
x
nên hàm số
2
2
log 1 y x
đồng biến khi 0 x , nghịch biến khi 0. x Do đó C sai.
Hàm số
4
x
y
có TXĐ: D ; cơ số 1
4
nên nghịch biến trên . Chọn D.
Bài toán 3: Cho hàm số
3 2
3 2
1
2
log 3
x x
y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2; .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
; 2 và
2; .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
; 2 .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
0; 2 .
Lời giải:
Viết lại
3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 2
2 2
log 3 3 2 log 3 3 2 .log 3
x x
y x x x x
.
Nếu để ý thấy thì đây là hàm bậc ba thuần túy và có đạo hàm
2
2 2
0
' 3 6 .log 3 3 2 .log 3 ' 0 .
2
x
y x x x x y
x
Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
0; 2 . Chọn D.
Bài toán 4: Cho hàm số
ln 1 y x x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số giảm trên
1; .
B. Hàm số tăng trên
1;
C. Hàm số giảm trên
1; 0 và tăng trên
0; .
D. Hàm số tăng trên
1; 0 và giảm trên
0; .
Lời giải:
TXĐ:
D 1; . Đạo hàm
1
' 1 ' 0 0.
1 1
x
y y x
x x
Bảng biến thiên Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 95
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số giảm trên
1; 0 và tăng trên
0; . Chọn C.
Bài toán 5: Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
1) Hàm số ln y x là hàm số nghịch biến trên
0; .
2) Trên khoảng
1; 3 hàm số
1
2
log y x nghịch biến.
3) Nếu 0 M N thì log log
a a
M N .
4) Nếu log 3 0
a
thì 0 1 a .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải:
Vì cơ số 1 ln e y x đồng biến trên
0; . Do đó 1) sai.
Hàm số
1
2
log y x có cơ số
1
0;1
2
a nên nghịch biến trên , suy ra nghịch biến trên khoảng
1; 3 . Do đó 2) đúng.
Nếu cơ số
0;1 a thì hàm số log
a
y x nghịch biến. Vì vậy với 0 M N , suy ra
log log
a a
M N . Do đó 3) sai.
Ta có log 3 0 log 3 log 1 0 1
a a a
a . Do đó 4) đúng.
Vậy có 2) và 4) đúng. Chọn B.
Bài toán 6: Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
1) Hàm số log
a
y x liên tục trên .
2) Nếu
2
log 0
3
a
thì 1 a .
3)
2
log 2log
a a
x x .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0.
Lời giải:
Hàm số log
a
y x xác định trên
0; . Do đó 1) sai.
y'
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 96
Ta có
2 2
log 0 log log 1 1
3 3
a a a
a . Do đó 2) đúng.
Ta có
2
log 2 log
a a
x x . Do đó 3) sai.
Vậy chỉ có 2) đúng. Chọn A.
Bài toán 7: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số
x
y e không chẵn cũng không lẻ
B. Hàm số
2
ln 1 y x x là hàm số lẻ.
C. Hàm số
x
y e có tập giá trị là
0; .
D. Hàm số
2
ln 1 y x x không chẵn cũng không lẻ.
Lời giải:
Ta có
1
.
x
x
f x e
e
Do đó A đúng.
0, ; lim
x x
x
f x e x e
. Do đó C đúng.
Xét hàm số
2
ln 1 y x x .
Ta có
2 2
1 0, . x x x x x x x
Do đó hàm số
2
ln 1 y x x có TXĐ: D . Rõ ràng D D x x .
Ta có
2
2
ln 1 ln 1 y x y x x x x x
2 2 2 2
ln 1 ln 1 ln 1 1 ln1 0 x x x x x x x x
hay
y x y x .
Suy ra hàm số
2
ln 1 y x x là hàm số lẻ. Do đó đáp án D sai. Chọn D.
Bài toán 8: Cho hàm số
2 2
ln 1 1 y x x x x . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số có đạo hàm
2
' ln 1 y x x .
B. Hàm số tăng trên khoảng
0; .
C. Tập xác định của hàm số là D .
D. Hàm số giảm trên khoảng
0; .
Lời giải:
Ta có
2 2
1 0, . x x x x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 97
Do đó hàm số có tập xác định là D . Suy ra C đúng.
Đạo hàm
2
2 2
2 2
1
1
' ln 1 . ln 1 .
1 1
x
x
x
y x x x x x
x x x
Do đó A đúng.
Trên khoảng
0; , ta có
2
2
1 1
1 1
1 1
x
x x
x
hay
2
1 1 x x .
Suy ra
2
' ln 1 0, 0; . y x x x Do đó B đúng, D sai. Chọn D.
Bài toán 9: Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
1) Hàm số
5
x
y là hàm số mũ.
2) Nếu
2
thì 1 .
3) Hàm số
x
y a có tập xác định là .
4) Hàm số
x
y a có tập giá trị là
0; .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải:
Hàm số
5
x
y không phải là hàm số mũ vì cơ số 5 0. Do đó 1) sai.
Vì cơ số 1 nên từ
2
2 0
. Do đó 2) sai.
Hàm số
x
y a xác định với mọi x. Do đó 3) đúng.
Vì 0,
x
a x và lim
x
x
a
nên hàm
x
y a có TGT là
0; . Do đó 4) đúng.
Vậy có 3) và 4) đúng. Chọn B.
Bài toán 10: Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
1) 0
x
a với mọi x .
2) Hàm số
x
y a đồng biến trên .
3) Hàm số
2017 x
y e là hàm số đồng biến trên .
4) Đồ thị hàm số
x
y a nhận trục O x làm tiệm cận ngang.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải:
Rõ ràng 1) đúng theo định nghĩa.
Hàm số
x
y a đồng biến khi 1 a , nghịch biến khi 0 1 a . Do đó 2) sai.
Vì cơ số 1 e nên hàm số
2017 x
y e là hàm số đồng biến trên . Do đó 3) đúng.
Rõ ràng 4) đúng theo định nghĩa SGK.
Vậy có 1), 3) & 4) đúng. Chọn C.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 98
IV. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Cho hàm số ln y x có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới
đây?
x
y
1 O e
1
x
y
1 O e
1
Hình 1 Hình 2
A. ln . y x B. ln . y x C.
ln 1 . y x D. ln 1 . y x
Lời giải:
Đồ thị Hình 2 được suy ra từ đồ thị Hình 1 bằng cách:
● Giữ nguyên phần 0. y
● Lấy đối xứng qua O x phần 0. y Chọn B.
Bài toán 2: Cho , , a b c là các số thực dương khác 1 . Hình vẽ bên là đồ
thị của ba hàm số
x
y a ,
x
y b ,
x
y c . Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. . a b c B. . a b c
C. . c a b D. . a c b
x
x
y a
y
1
O
x
y b
x
y c
Lời giải:
Ta thấy hàm
x
y c có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi lên nên là hàm đồng biến
1. c Còn hàm số
x
y a và
x
y b là những hàm nghịch biến , 1. a b Từ đó loại
được các đáp án A, D.
Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị
0
0 x thì đồ thị hàm số
x
y b nằm trên đồ thị hàm
số
x
y a hay
0
x x
x
b a
b a
. Ví dụ
1 1
1
1
.
1 1
x
x
b a
b a
b a
Vậy . c a b Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Kẻ đường thẳng 1 x cắt đồ thị các hàm số
x
y a ,
x
y b ,
x
y c lần lượt tại
các điểm có tung độ , , y a y b y c . Dựa vào đồ thị ta thấy ngay . c a b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 99
Bài toán 3: Cho , , a b c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ
thị của ba hàm số log
a
y x , log
b
y x , log
c
y x . Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. . a c b B. . a b c
C. . b a c D. . b a c
x
log
b
y x
y
1
O
l og
a
y x
log
c
y x
Lời giải:
Ta thấy hàm log
a
y x có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi xuống nên là hàm nghịch biến
0 1. a Còn hàm số log
b
y x và log
c
y x là những hàm đồng biến , 1. b c Từ đó
loại được các đáp án C, D.
Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị
0
1 x thì đồ thị hàm số log
b
y x nằm trên đồ thị
hàm số log
c
y x hay
1
log log
b c
x
b c
x x
.
Vậy . a b c Chọn B.
Cách trắc nghiệm. Kẻ đường thẳng 1 y cắt đồ thị các hàm số log
a
y x , log
b
y x , log
c
y x
lần lượt tại các điểm có hoành độ , , x a x b x c . Dựa vào đồ thị ta thấy ngay . a b c
Bài toán 4: Cho a là số thực tùy ý và , b c là các số thực dương
khác 1 . Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số G ,
1; 1; 2 A và
, 0
a
y x x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . a c b B. . a b c
C.
4 2 8
; ;
3 3 3
D. . a c b
Lời giải:
Nhận thấy hàm số
a
y x nghịch biến 0. a Do đó ta loại ngay đáp án C & D (vì , b c là
các số thực dương khác 1).
Kẻ đường thẳng 1 y cắt đồ thị của hai hàm số G ,
1; 1; 2 A lần lượt tại điểm có hoành độ là
x b và x c như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ ta thấy 0 . b c
Vậy . a b c Chọn B.
Bài toán 5: Cho đồ thị của ba hàm số , , y x y x y x
trên
khoảng
0; trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 0. B. 0 1.
C. 1 . D. 0 1.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 100
Lời giải:
Dựa vào đồ thị, ta có
Với 0 1 x thì :
1
1 x x x x
.
Với 1 x thì:
1
1 x x x x
.
Vậy với mọi 0 x , ta có 1 . Chọn C.
Nhận xét. Ở đây là so sánh thêm với đường
1
y x x .
Bài toán 6: Biết hai hàm số
x
y a và
y f x có đồ thị như hình
vẽ đồng thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường
thẳng : d y x . Tính
3
. f a
A.
3 3
.
a
f a a
B.
3
1
.
3
f a
C.
3
3. f a D.
3 3
.
a
f a a
x
x
y a
y
1
O
y f x
- 1
y x
Lời giải:
Giả sử
;
M M
M x y là điểm thuộc hàm số
x
y a ;
0 0
; N x y là điểm đối xứng của M qua đường
thẳng y x .
Gọi I là trung điểm của
0 0
;
2 2
M M
x x y y
M N I
.
Vì , M N đối xứng nhau qua
0 0
0
0 0 0
2 2
.
1 1
M M
M
M M M d
y y x x
I d
x y
d
x x y y y x
M N n
Ta có
;
M M
M x y đồ thị
x
y a nên
M
x
M
y a .
Do đó
0
0 0 0 0 0
log log
M
x y
M a a
x y a a y x y x
. Điều này chứng tỏ điểm
N thuộc đồ thị hàm số
1 1 1
2. 4. 6 6 .
2 2 2
x x x
f x
Khi đó
3 3
log 3.
a
f a a Chọn C.
Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số
x
y a qua Oy là được đồ thị hàm số
1
.
x
x
y a
a
Lấy đối xứng đồ thị hàm số
y f x qua O y là được đồ thị hàm số
. y f x
Theo giả thiết, đồ thị hai hàm số
x
y a và
y f x đối xứng nhau qua đường thẳng y x nên
suy ra đồ thị của hai hàm số
1
x
y
a
và
y f x đối xứng nhau qua đường thẳng y x
1
Theo lý thuyết (SGK) thì đồ thị của hai hàm số
x
y a và log
a
y x đối xứng nhau qua đường
thẳng . y x
2 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 101
Từ
1 và
2 , suy ra
3
3 3
1 1
log log 3.
x a
a a
f x x f a a
Bài toán 7: Cho hàm số
4
log y x
0 x có đồ thị
C . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có tập xác định D .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng tập xác định.
C. Đồ thị
C nhận O y làm trục đối xứng.
D. Đồ thị
C không có đường tiệm cận.
Lời giải:
Tập xác định:
D \ 0 . Do đó A sai.
Với 0 x , ta có
4
log y x y đồng biến.
Với 0 x , ta có
4
1
log ' 0, 0
ln 4
y x y x y
x
nghịch biến.
Do đó B sai.
Ta có
D D
4 4
log log
x x
y x x x y x
hàm số
4
log y x chẵn trên tập xác định nên nhận O y
làm trục đối xứng. Do đó C đúng. Chọn C.
Đáp án D sai. Ta có
4 4
0 0
lim log lim log
x x
x x
. Suy ra 0 x là tiệm cận đứng.
Bài toán 8: Cho a là số thực dương và khác 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị của hai hàm số
x
y a và
1
x
y
a
đối xứng nhau qua trục hoành.
B. Đồ thị của hai hàm số log
a
y x và
1
log
a
y x đối xứng nhau qua trục tung.
C. Đồ thị của hai hàm số
x
y e và ln y x đối xứng nhau qua đường phân giác của
góc phần tư thứ nhất.
D. Đồ thị của hai hàm số
x
y a và log
a
y x đối xứng nhau qua đường thẳng y x
Lời giải:
Đồ thị của hai hàm số
x
y a và
1
x
y
a
đối xứng nhau qua trục tung. Do đó A sai.
Đồ thị của hai hàm số log
a
y x và
1
log
a
y x đối xứng nhau qua trục hoành. Do đó B sai.
Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị của hai hàm số
x
y a và log
a
y x đối xứng nhau qua đường '' y x
. Do đó C đúng. Chọn C.
Đồ thị của hai hàm số
x
y a và log
a
y x đối xứng nhau qua đường thẳng y x . Do đó D sai.
Bài toán 9: Cho hai hàm số
log
a
y f x x và
x
y g x a
0 1 a . Xét các mệnh đề sau:
1) Đồ thị của hai hàm số
f x và
g x luôn cắt nhau tại một điểm. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 102
2) Hàm số
f x g x đồng biến khi 1 a , nghịch biến khi 0 1 a .
3) Đồ thị hàm số
f x nhận trục O y làm tiệm cận.
4) Chỉ có đồ thị hàm số
f x có tiệm cận.
Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải:
Chọn 2 a chẳng hạn, khi đó
f x và
g x cùng đồng biến. Mà hai hàm cùng đồng biến thì
không kết luận được số nghiệm của phương trình
f x g x vì nó có thể vô nghiệm, hoặc có
một nghiệm, hoặc có hai nghiệm,….Do đó 1) sai.
Tổng của hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, tổng của hai hàm nghịch biến là hàm nghịch biến.
Do đó 2) đúng.
Dựa vào lý thuyết, đồ thị hàm số log
a
y x nhận trục O y làm tiệm cận đứng. Do đó 3) đúng.
Đồ thị hàm số
x
y a nhận trục O x làm tiệm cận ngang. Do đó 4) sai.
Vậy có các mệnh đề 2) và 3) đúng. Chọn B.
Bài toán 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hình vuông A B C D có diện tích bằng 36,
đường thẳng chứa cạnh A B song song với trục , O x các đỉnh , A B và C lần lượt nằm trên đồ
thị của các hàm số log , log
a
a
y x y x và
3
log
a
y x với a là số thực lớn hơn 1 . Tìm a .
A. 3 a . B.
3
6 a . C. 6 a D.
6
3 a .
Lời giải:
Do A B Ox , A B nằm trên đường thẳng
0 . y m m
Lại có , A B lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số log , log
a
a
y x y x .
Từ đó suy ra
;
m
A a m ,
2
;
m
B a m
.
Vì A B C D là hình vuông nên suy ra
2
m
C B
x x a .
Lại có C nằm trên đồ thị hàm số
3
log
a
y x , suy ra
2
3
; .
2
m
m
C a
Theo đề bài
2
6
6
36
6
3
6
2
m
m
AB CD
a a
AB
S
B C
m
m
6
12
1
1
3
m
a
l o a ï i
hoặc
6
12
.
3
m
a
Chọn D.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 103
V. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài toán 1: Cho hàm số
1
2
x
f x
và biểu thức
1 2 . P f x f x Mệnh đề nào sau đây
là đúng?
A.
3
.
4
P f x B.
6 . P f x C.
3 . P f x D.
8 . P f x
Lời giải:
Ta có
1 2
1 1
1 2
2 2
x x
P f x f x
1 1 1
2. 4. 6 6 .
2 2 2
x x x
f x
Chọn B.
Bài toán 2: Cho hàm số
2017
x
f x . Tính
1 2
.
3
f x f x f x
P
f x
A. 2017 .
x
P B. 3.2017. P C. 3. P D.
3
2017 . P
Lời giải:
Ta có
1 2
3
1 2
2017 .2017 .2017
3 2017
x x x
x
f x f x f x
P
f x
3 3
3
3
2017
2017
2017
x
x
. Chọn D.
Bài toán 3: Cho hàm số
4
4 2
x
x
f x
. Tính tổng
1 2 2016
... .
2017 2017 2017
S f f f
A. 2016. S B. 1008. S C. 1007. S D. 2017. S
Lời giải:
Sử dụng tính chất '' Nếu 1 a b thì
1 f a f b '' . Thật vậy:
4 2.4
4 2 2.4 4
a a
a a
f a
.
1 1 a b b a . Do đó
1
1
4
4 4
4
1
4
4 2 4 2.4
2
4
a
a
a a
a
f b f a
.
Suy ra
2.4 4
1
2.4 4 4 2.4
a
a a
f a f b
.
Áp dụng: Ta có
1 2016
1
2017 2017
nên
1 2016
1
2017 2017
f f
.
Vậy
1 2016 2 2015 1008 1009
...
2017 2017 2017 2017 2017 2017
S f f f f f f
1 1 ... 1 1008 . Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 104
Bài toán tổng quát: Nếu
0
x
x
M
f x M
M M
thì
1 1 f x f x .
Bài toán 4: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét hàm số
2
9
9
t
t
f t
m
với m là tham số thực.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho
1 f x f y với mọi , x y thỏa mãn
x y
e e x y
. Tìm số phần tử của S.
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải:
Xét hàm số
, .
t
g t e e t t Ta có
' ' 0 1.
t
g t e e g t t
Lập bảng biến thiên ta thấy
0, g t t và đẳng thức xảy ra 1 t .
Ta có
0 .
x x y y
g x y e e x y e e x y
Kết hợp với giải thiết
x y
x y e e
, suy ra
1.
x y
e e x y x y
Chọn một bộ
1
2
x y theo giả thiết, có
2
1 1 3
1 2. 1 3.
2 2 3
f f m
m
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu. Chọn C.
Bài toán 5: Cho hàm số
1
ln 2017 ln
x
f x
x
. Tính
' 1 ' 2 ... ' 2017 S f f f .
A.
4035
.
2018
S B. 2017. S C.
2016
.
2017
S D.
2017
.
2018
S
Lời giải:
Ta có
/
2
1
1
1 1 1
'
1 1 1 1
x
x
x
f x
x x x x x x
x x
.
Khi đó
' 1 ' 2 ... ' 2017 S f f f
1 1 1 1 1 1 1 1 2017
... .
1 1 1 2 2 1 2017 2017 1 1 2017 1 2018
Chọn D.
Bài toán 6: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số nguyên dương , a b sao cho phương
trình
2
ln ln 5 0 a x b x có hai nghiệm phân biệt
1
, x
2
x và phương trình
2
5log log 0 x b x a có hai nghiệm phân biệt
3
, x
4
x thỏa mãn
1 2 3 4
x x x x . Tính giá trị nhỏ
nhất
min
S của 2 3 S a b .
A.
min
30 S . B.
min
25 S . C.
min
33 S . D.
min
17 S .
Lời giải:
Điều kiện 0 x .
Phương trình
2
ln ln 5 0 a x b x có hai nghiệm phân biệt
2
20 b a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 105
Phương trình
2
5log log 0 x b x a có hai nghiệm phân biệt
2
20 b a .
Ta có
ln 2 2
ln ln 5 0 5 0.
t x
a x b x a t b t
1
log 2 2
5log log 0 5 0.
u x
x b x a u bu a
2
Với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x, một nghiệm u thì có một nghiệm x.
Ta có
1 2 1 2
1 2
1 2
5
3 4
. .
. 10 10
b
t t t t
a
b
u u
x x e e e e
x x
, kết hợp giả thiết
5
1 2 3 4
10
b b
a
x x x x e
5
ln10 3
5 ln10
a
b b
a a
a
.
Suy ra
2
20 60 8
b
b a b
.
Vậy 2 3 2.3 3.8 30 S a b , suy ra
min
30 S đạt được khi
3
8
a
b
. Chọn A.
Bài toán 7: Cho , a b là các số thực thỏa mãn
2 2
1 a b và
2 2
log 1.
a b
a b
Tìm giá trị lớn nhất
max
P của biểu thức 2 4 3. P a b
A.
max
10. P B.
max
1
.
10
P C.
max
10
.
2
P D.
max
2 10. P
Lời giải:
Do
2 2
1 a b nên
2 2
2 2
2 2
1 1 1
log 1 .
2 2 2
a b
a b a b a b a b
1
Ta có
1 1 3
2 2 .
2 2 2
a b a b
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có
2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 5
2 1 2 5. .
2 2 2 2 2 2
a b a b
Do đó
1 1 10 10 3
2 2 2 4 3 10.
2 2 2 2 2
a b a b P a b
Dấu " " xảy ra
5 10 5 2 10
; .
10 10
a b
Chọn A.
Cách 2. Ta thấy
1 là hình tròn tâm
1 1
;
2 2
I
, bán kính
2
.
2
R
Ta có 2 4 3 : 2 4 3 0. P a b a b P Xem đây là phương trình đường thẳng.
Để đường thẳng và hình tròn có điểm chung , d I R
1 1
2. 4. 3
2 2 2
10 10.
2
4 16
P
P P
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 106
Bài toán 8: Xét các số thực , a b thỏa mãn 1. a b Biết rằng
1
log
log
a
ab
a
P
a b
đạt giá trị lớn
nhất khi
k
b a . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
0; .
2
k
B.
1; 0 . k C.
3
; 2 .
2
k
D.
2; 3 . k
Lời giải:
Ta có
1
log log 1 log 1 log 1 log
log
a a a a a
ab
a
P a b b b b
a b
Khi 1 1
k
b a P k k .
Đặt
1 1 t k k , ta được
2
2
1 9 9
2 .
2 4 4
P t t t
Dấu '' '' xảy ra
1 3 3
0;
2 4 2
t k
. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta chọn 2 2
k
a b . Khi đó
2
2.2
1 2
log
log 2 2
k
k
P .
Sử dụng MODE7 khảo sát hàm
2
2.2
1 2
log
log 2 2
X
X
f X với
Star
End
Step
1
3 .
0,2
t
Dựa vào bảng giá trị dễ dàng thấy được
3
0;
2
k
thì
f X lớn nhất.
Bài toán 9: (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Xét các số thực , a b thỏa mãn 1 a b . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
log 3log
b a
b
a
P a
b
.
A.
min
19 P . B.
min
13 P . C.
min
14 P . D.
min
15 P .
Lời giải:
Ta có
2
2
2
log 3log 2 log 3log
a a
b
b b
b
a a
P a a
b b
2
2
4 log . 3log 4 1 log 3log
b a a
b b
b
a a a
b b
b b b
.
Đặt log 0
a
b
t b (vì 1 a b ). Khi đó
2
2
3 3
4 1 4 8 4. t P t t
t t
Xét hàm
2
8
3
4 4 t f t t
t
trên
0; , ta được
1
15.
2
f P f t
Chọn D.
Cách CASIO. Cho 1,1 b và coi a là X . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 107
Dùng MODE 7 khảo sát
2
2
1,1
1,1
log 3log
1,1
X
X
f X X
với
Start
End
Step
1,1
3
0,1
Quan sát bảng giá trị, ta thấy
f X nhỏ nhất bằng 15 khi 1,3 X .
Bài toán 10: Xét các số thực , a b thỏa mãn
2
a b và 1 b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
log log
a b
b
a
P a
b
.
A.
min
1
.
3
P B.
min
1. P C.
min
3. P D.
min
9. P
Lời giải:
Từ điều kiện, suy ra
1
1
a
b
. Ta có
1 log 1
1 log log
a
a a
b
P
b b
.
Đặt log 0
a
t b . Do
2 2
1
log log 2 log .
2
b b a
a b a b t b
Khi đó
1 1
1
t
P f t
t t
.
Khảo sát hàm
f t trên
1
0;
2
, ta được
1
3
2
P f t f
. Chọn C.
Cách 2.
Cosi
1 1 1 1 1
1 1 2 3.
1 1 1
t t t t t t
P
t t t t t t
Cách CASIO. Cho 4 a khi đó 1 4. b
Dùng MODE 7 khảo sát
4
4
log 4 log
X
X
f X
X
với Start End Step 1,1, 2, 0,1.
Quan sát bảng giá trị, ta thấy
f X nhỏ nhất bằng 3 khi 2 X .
Bài toán 11: Xét các số thực , a b thỏa mãn điều kiện 1 b và a b a . Biểu thức
log 2 log
a
b
b
a
P a
b
đạt giá trị khỏ nhất khi:
A.
2
. a b B.
2 3
. a b C.
3 2
. a b D.
2
. a b
Lời giải:
Từ điều kiện, suy ra
1
1
a
b
.
Ta có
1 1 4
4 log 1 4
1 log 1 log log
b
a a a
P a
b b b
.
Đặt log 0
a
t b . Do
1
log log log 1.
2
a a a
a b a a b a t
Khi đó
1 4
4
1
P f t
t t
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 108
Khảo sát
f t trên
1
;1
2
, ta được
f t đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi
2
3
t .
Với
2 3
2 2
log .
3 3
a
t b a b Chọn B.
Cách 2.
4 1 4 4 1
1 4 1
4 4 1 1 2.2 5.
1 1 1
t t t
t t t
P
t t t t t t
Cách trắc nghiệm. Dễ dàng nhận thấy đáp án C & D không thỏa mãn điều kiện.
Thử đáp án A với
2
a b , ta được
2
log 2 log 2 4 6.
b
b
P b b
Thử đáp án B với
2 3
a b , ta được
2
2
2
2
2
log 2log log log
a
b a b
b
b
a a
P a a
b b
3
log log 3 2 5.
b
b
b b
So sánh hai đáp án, ta thấy ứng đáp án B thì P có giá trị nhỏ hơn.
Bài toán 12: Xét các số thực , a b thỏa mãn 1 0. a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2 3
log log .
a b
P a b a
A.
max
1 2 3. P B.
max
2 3. P C.
max
2. P D.
max
1 2 3. P
Lời giải:
Ta có
2
2 3
2 3
2
log log log 2 6
log log .
2 log log
log
a a a
a b
a a
a
a b a b
P a b a
b a
b
Đặt log
a
t b . Do 1 0 log log 1 0 0.
a a
a b b t
Khi đó
Cauchy
2 6 6 6
1 1 1 2 3.
2 2 2
t t t
P
t t t
Chọn D.
Cách CASIO. Cho
1
4
b khi đó
2
2
3
2
log log .
4
a
a
P a
Dùng MODE 7 khảo sát
2
2
3
2
log log
4
X
X
f X X
với
Start
End
Step
1,1
5 .
0,3
Quan sát bảng giá trị của
f X và so sánh với các đáp án ta chọn D.
Bài toán 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3log
1
ln
12
x
y
x
P e
y
với 0 1 x và 0. y
A.
min
8 3. P B.
2
min
3. P e C.
min
8 2. P D.
min
4 6. P
Lời giải:
Ta có
1
log log
ln
.
x x
e y
x
y y e (ở đây là sử dụng
log log
b b
c a
a c )
Suy ta
log
3log 3
log
12 12
, 0.
y
x
x
x
y t e
y
P e P t t
t e
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 109
Xét hàm
3
12
f t t
t
trên
0; , ta được
2 8 2. P f t f Chọn C.
Bài toán 14: Cho , x y là số thực dương thỏa mãn
2
ln ln ln y x y x . Tìm giá trị nhỏ nhất
của P x y .
A.
min
6 P . B.
min
2 2 3 P . C.
min
2 3 2 P . D.
min
17 3 P .
Lời giải:
Ta có
2 2 2
ln l l . n ln n ln x y x x y x xy x y y y
Nếu 0 1 x thì
2 2
0 x x x y y y : mâu thuẫn.
Nếu 1 x thì
2
2 2
1
1
x
x y x y y x x
x
y
. Vậy
2
1
x
x P x y
x
.
Xét
2
1
x
f x x
x
trên
1; , ta được
1;
2 2
min 2 2 3.
2
f x f
Chọn B.
Bài toán 15: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số thực dương , x y thỏa mãn
3
1
log 3 2 4.
2
x y
x y x y
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P của biểu thức P x y .
A.
min
9 11 19
.
9
P
B.
min
9 11 19
.
9
P
C.
min
18 11 29
.
21
P
D.
min
2 11 3
.
3
P
Lời giải:
Điều kiện: 0, 0 , 1. x y xy
Ta có
3 3
1 1
log 3 2 4 1 log 3 2 3
2 2
xy xy
xy x y xy x y
x y x y
3 3 3
3 3
log 3 3 2 log 3 3 3 3 log 2 2 .
2
xy
xy x y xy xy x y x y
x y
*
Xét hàm
3
log f t t t trên
0; , ta có
1
' 1 0, 0; .
.ln 3
f t t
t
Từ đó suy ra
3 3
* 3 3 2 .
3 2 3 2
x x
x y x y y P x
x x
Xét
3
3 2
x
f x x
x
trên
0; 3 , ta được
0;3
2 11 2 11 3
min .
3 3
f x f
Chọn D.
Nhận xét. Do
3
3 2
x
y
x
, mà 0 3 y x . Kết hợp giả thiết ta có
0; 3 x .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 110
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. ĐỀ BÀI
Câu 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số
x
y a và đồ thị hàm số log
a
y x đối xứng nhau qua đường thẳng
y x .
B. Hàm số
x
y a với 0 1 a đồng biến trên khoảng ( ; ) .
C. Hàm số
x
y a với 1 a nghịch biến trên khoảng ( ; ) .
D. Đồ thị hàm số
x
y a với 0 a và 1 a luôn đi qua điểm ( ;1) M a .
Câu 2. Tập giá trị của hàm số ( 0; 1)
x
y a a a là:
A. \ 0} { B. 0; ) [ C. (0; ) D.
Câu 3. Với 0 a và 1 a . Phát biểu nào sau đây không đúng?
A. Hai hàm số
x
y a và log
a
y x có cùng tính đơn điệu.
B. Hai hàm số
x
y a và log
a
y x có cùng tập giá trị.
C. Đồ thị hai hàm số
x
y a và log
a
y x đối xứng nhau qua đường thẳng y x .
D. Đồ thị hai hàm số
x
y a và log
a
y x đều có đường tiệm cận.
Câu 4. Cho hàm số
2 1
x
y . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; )
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) .
Câu 5. Tập xác định của hàm số
2017
(2 1) y x là:
A. D B.
1
;
2
D
C.
1
;
2
D
D.
1
\
2
D
Câu 6. Tập xác định của hàm số
2 2
(3 1) y x
là:
A.
1
3
D
B.
1
\
3
D
C.
1 1
; ;
3 3
D
D.
1 1
;
3 3
Câu 7. Tập xác định của hàm số
2
( 3 2)
e
y x x
là:
A. (1; 2) D B. \ 1; 2} D {
C. (0; ) D D. ( ;1) (2; ) D
Câu 8. Tập xác định của hàm số
0,5
log ( 1) y x là:
A. ( 1; ) D B. \ 1} D { C. (0; ) D D. ( ; 1)
Câu 9. Tìm x để hàm số
2
log 12 y x x có nghĩa. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 111
A.
4
3
x
x
B. ( 4; 3) x
C. ( ; 4) (3; ) x D. x R
Câu 10. Tập xác định của hàm số
2
3
log
2
x
y
x
là:
A. \ ; 2} D { 3 B. ( 3; 2) D C. ( ; 3) (2; ) D D. ; 2] D [ 3
Câu 11. Tập xác định của hàm số
1
ln( 1)
2
y x
x
là:
A. 1; 2] D [ B. (1; ) D C. (0; ) D D. (1; 2) D
Câu 12. Tập xác định của hàm số
1
x
x
e
y
e
là:
A. ( ; ) D e B. (0; ) C. \ 1} { D. \ 0} D {
Câu 13. Tập xác định
2
2
1
2 5 2 ln
1
y x x
x
là:
A. (1; 2] D B. 1; 2] D [ C. ( 1;1) D D. ( 1; 2) D
Câu 14. Tập xác định của hàm số ln(ln ) y x là :
A. (0; ) D B. (1; ) D C. ( ; ) D e D. 1; ) D [
Câu 15. Tập xác định của hàm số
2
(3 9)
x
y
là
A. \ 2} D { B. \ 0} D { C. (2; ) D D. (0; ) D
Câu 16. Hàm số
1
log
x
y x
xác định khi và chỉ khi :
A. 0 x B. 1 x C.
1
2
x
x
D. 2 x
Câu 17. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
2
x
y
B. y x C. 2
x
y D.
2
x
y
Câu 18. Hàm số
1
3
( 1) y x có đạo hàm là:
A.
3
1
'
3 ( 1)
y
x
B.
2
3
1
'
3 ( 1)
y
x
C.
2
3
( 1)
'
3
x
y
D.
3
( 1)
'
3
x
y
Câu 19. Đạo hàm của hàm số
2
4
x
y là:
A.
2
' 2.4 ln 4
x
y B.
2
' 4 .ln 2
x
y C.
2
' 4 ln 4
x
y D.
2
' 2.4 ln 2
x
y
x
y
2
1
2
OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 112
Câu 20. Đạo hàm của hàm số
5
log , 0 y x x là:
A. ' 5 ln 5
x
y B. ' ln 5 y x C.
1
'
ln 5
y
x
D.
1
'
5 ln 5
x
y
Câu 21. Hàm số
2
0,5
log ( 0) y x x có công thức đạo hàm là:
A.
2
1
'
ln 0,5
y
x
B.
2
'
ln 0,5
y
x
C.
2
2
'
ln 0,5
y
x
D.
1
ln 0,5 x
Câu 22. Đạo hàm của hàm số
3
3
sin log ( 0) y x x x là:
A.
3
' cos
ln 3
y x
x
B.
3
' cos
ln 3
y x
x
C.
3
1
' cos
ln 3
y x
x
D.
3
1
' cos
ln 3
y x
x
Câu 23. Cho hàm số
4
( ) ln 1 f x x . Đạo hàm
/
0 f bằng:
A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
Câu 24. Cho hàm số
2
2017
( )
x
f x e . Đạo hàm
/
0 f bằng:
A. 0 B. 1 C. e D.
2017
e
Câu 25. Cho hàm số ( )
x
f x x e . Gọi
/ /
f x là đạo hàm cấp hai của
f x . Ta có
/ /
1 f bằng:
A. 3 e B.
2
3 e C.
3
e D.
2
5 e
Câu 26. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
2
log y x B.
1
2
log y x C.
2
log y x D.
2
log 2 y x
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. Đồ thị hàm số y x
với 0 có hai tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số y x
với 0 không có tiệm cận.
C. Hàm số y x
với 0 nghịch biến trên khoảng (0; ) .
D. Hàm số y x
có tập xác định là D .
Câu 28. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
B. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên trái trục tung.
C. Đồ thị hàm số mũ nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ nằm bên trái trục tung.
x
y
1
2
1
OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 113
Câu 29. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?
A. Đồ thị hàm số mũ không nằm bên dưới trục hoành.
B. Đồ thị hàm số logarit nằm bên trên trục hoành.
C. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Câu 30. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
2
log y x B.
0,5
log y x
C.
1 1
3 3
y x D. 3 1 y x
Câu 31. Tìm a để hàm số log
a
y x
0 1 a có đồ thị là hình bên dưới:
A.
1
2
a
B. 2 a
C. 2 a D.
1
2
a
Câu 32. Tìm tập xác định D của hàm số
3 2
10
log
3 2
x
y
x x
.
A. (2;10) D B. (1; ) D
C. ( ;10) D D. ( ;1) (2;10) D
Câu 33. Tìm tập xác định D của hàm số
3
log ( 2) 3 y x ?
A. 29; ) D [ B. (29; ) D C. (2;29) D D. (2; ) D
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số
2
( 2 )
x
y x x e
?
A. ' (2 2)
x
y x e B.
2
' ( 2)
x
y x e
C. '
x
y x e
D.
2
' ( 2)
x
y x e
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
2
ln( 2 4) y x m x có tập xác
định D ?
A. 2 2 m B.
2
2
m
m
C. 2 m D. 2 2 m
x
y
1
1 2 O
x
y
1
2
2
OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 114
Câu 36. Cho tập (3; 4) D và các hàm số
2
2017
( )
7 12
f x
x x
,
3
( ) log (4 )
x
g x x
,
2
7 12
( ) 3
x x
h x
D là tập xác định của hàm số nào?
A. ( ) f x và ( ) h x B. ( ) f x và ( ) ( ) f x g x
C. ( ) g x và ( ) h x D. ( ) ( ) f x h x và ( ) h x
Câu 37. Biết hàm số 2
x
y có đồ thị là hình bên.
Khi đó, hàm số 2
x
y có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn A, B, C,
D dưới đây ?
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
A. Hình 4 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 1
Câu 38. Cho hàm số
x
y ex e
. Nghiệm của phương trình ' 0 y ?
A. 0 x B. 1 x C. 1 x D. ln 2 x
x
y
y = 2
x
1
O
x
y
1
O
x
y
1
OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 115
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số log
a
y x
0 1 a có đồ thị là hình bên ?
A. 2 a B. 2 a
C.
1
2
a D.
1
2
a
Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
( )
x
f x x e trên đoạn 1;1
?
A. e B.
1
e
C. 2 e D. 0
Câu 41. Cho hàm số
2
log 2 y x . Khi đó, hàm số
2
log 2 y x có đồ thị là hình nào trong
bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:
Hình 1
Hình 2
Hình 3 Hình 4
A. Hình 3 B. Hình 2 C. Hình 1 D. Hình 4
Câu 42. Tìm điều kiện xác định của phương trình
4 2 2
log ( 1) log ( 1) 25 x x ?
A. x B. 1 x C. 1 x D. 1 x
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
| |
2
x
y trên 2; 2
?
A.
1
max 4; min
4
y y B.
1
max 4; miny
4
y
x
y
1
2
2
O
x
y
O
x
y
O
x
y
1
O
x
y
OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 116
C.
1
max 1; miny
4
y D. max 4; miny 1 y
Câu 44. Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số
ln x
y
x
A. Hàm số có một điểm cực đại.
B. Hàm số có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Câu 45. Hình bên là đồ thị của ba hàm số log
a
y x , log
b
y x , log
c
y x
0 , , 1 a b c được vẽ
trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a c b B. a b c C. b c a D. b a c
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
3
1
log
2 1
y x m
m x
xác
định trên
2; 3 .
A. 1 2 m B. 1 2 m C. 1 2 m D. 1 2 m
Câu 47. Cho hàm số
2 2
ln 1 1 y x x x x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A. Tập xác định của hàm số là D B. Hàm số tăng trên khoảng (0; )
C. Hàm số giảm trên khoảng (0; ) D. Hàm số có đạo hàm
2
' ln 1 y x x
Câu 48. Đối với hàm số
1
ln
1
y
x
, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. ' 1
y
xy e
B. ' 1
y
x y e C. ' 1
y
x y e D. ' 1
y
x y e
Câu 49. Đạo hàm của hàm số
x x
x x
e e
y
e e
là:
A.
2
2 2
3
'
( 1)
x
x
e
y
e
B.
2
2 2
'
( 1)
x
x
e
y
e
C.
2
2 2
2
'
( 1)
x
x
e
y
e
D.
2
2 2
4
'
( 1)
x
x
e
y
e
Câu 50. Cho hàm số sin y x x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. '' 2 ' 2 xy y xy sin x B. ' '' ' 2 xy yy xy sinx
C. ' ' ' 2sin xy yy x y x D. '' ' 2cos sin xy y x y x x
Câu 51. Hình bên là đồ thị của ba hàm số
x
y a ,
x
y b ,
x
y c
0 , , 1 a b c được vẽ trên cùng
một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
x
y
y = log
c
x
y = log
b
x
y = log
a
x
O 1Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 117
A. b a c B. a b c C. a c b D. c b a
Câu 52. Hàm số
2
3 10 2
x
y a a đồng biến trên
; khi:
A.
1
;
3
a
. B.
3; a . C. ]
1
( ;
3
a . D.
1
;3
3
a
.
Câu 53. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 54. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?
A. .
3 5
x
y
B.
2
.
x
y
e
C.
3
.
3 2
x
y
D.
1
3 .
3 2
x
x
y
Câu 55. Cho ba số thực dương , , a b c khác 1 . Đồ thị các hàm số
x
y a ,
x
y b ,
x
y c được cho
trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b c . B. a c b . C. b c a . D. c a b .
Câu 56. Cho là số thực dương khác 1. Xét hai số thực , . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu thì . B. Nếu thì .
C. Nếu thì . D. Nếu thì .
Câu 57. Cho hàm số . Tìm khẳng định sai.
A. Hàm số luôn nghịch biến trên .
B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
C. Hàm số không có cực trị.
D. luôn nhỏ hơn với mọi dương.
x
y
y = c
x
y = b
x
y = a
x
O
4
x
y
2
x
y
e
2
3 1
x
y
1
x
e
y
a
1
x
2
x
1 2
x x
a a
1 2
x x
1 2
x x
a a
1 2
1 0 a x x
1 2
x x
a a
1 2
1 0 a x x
1 2
x x
a a
1 2
x x
1
2 3
x
y f x
1
f x 1 x
O
x
y
x
y a
x
y b
x
y c
1Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 118
Câu 58. Tính đạo hàm của hàm số:
A. . B. . C. . D. .
Câu 59. Tính đạo hàm của hàm số
6 1
3
x
y
.
A.
6 2
3 .2
x
y
. B.
6
(6 1).3
x
y x . C.
6 2
3 .2ln 3
x
y
. D.
6 1
3 .ln 3
x
y
.
Câu 60. Cho hàm số
x x
y e e
. Tính
1 ? y
A.
1
e
e
. B.
1
e
e
. C.
1
e
e
. D.
1
e
e
.
Câu 61. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. ln ( )
u u
a u a a , với u là một hàm số. B.
ln
x x
a a a
.
C.
x x
e e
. D.
'
ln '
2
u
u
u
, với u là một hàm số.
Câu 62. Cho hàm số
9
,
3 9
x
x
f x x R
. Nếu 3 a b thì
2 f a f b có giá trị bằng
A. 1 . B. 2 . C.
1
4
D.
3
4
.
Câu 63. Cho
9
9 3
x
x
f x
. Nếu 1 a b thì
f a f b là
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 64. Hàm số
2 5 2
( 16) ln(24 5 ) y x x x
có tập xác định là
A. ( 8; 4) (3; ) . B. ( ; 4) (3; ) . C.
( 8; 3)\ 4 . D. ( 4; 3) .
Câu 65. Tập xác định của hàm số
2
2
log 5 125
x
y
.
A. [1; ) . B.
1; . C.
2; . D. [2; ) .
Câu 66. Tập xác định của hàm số
ln 1 ln 1 y x x là:
A.
1; . B.
; 2 . C. . D.
2; .
Câu 67. Hàm số
2
log 4 2
x x
y m có tập xác định D khi
A.
1
4
m . B. 0 m . C.
1
4
m . D.
1
4
m .
Câu 68. Tìm tập xác định D của hàm số
2
log 6 5 y x x .
A.
;1 5; D . B.
1; 5 D .
C.
;1 5; D
. D. 1; 5 D
.
Câu 69. Tập xác định của hàm số
2
2 2
3 1
log
1 1
x
x x x x
là
A.
1
;
3
. B.
1
;
3
. C. . D.
1
\
3
.
2017
3
x
y
2017
2017ln 3.3
x
y
2017
3
ln 3
y
2017
3 y
2017
ln 3.3
x
y Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 119
Câu 70. Hàm số
3
2
log 4 y x x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .
Câu 71. Cho a là một số thực dương khác 1 . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề
sau?
1. Hàm số log
a
y x có tập xác định là (0; ) D .
2. Hàm số log
a
y x là hàm đơn điệu trên khoảng (0; ) .
3. Đồ thị hàm số log
a
y x và đồ thị hàm số
x
y a đối xứng nhau qua đường thẳng
y x .
4. Đồ thị hàm số log
a
y x nhận O x là một tiệm cận.
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 72. Cho các hàm số log
a
y x và log
b
y x có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng 7 x
cắt trục hoành, đồ thị hàm số log
a
y x và log
b
y x lần lượt tại H , M , N . Biết rằng
H M M N . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 7 a b . B. 2 a b . C.
7
a b . D.
2
a b .
Câu 73. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2
3 3
1
log 4 log 3
y
m x x m
xác định
trên khoảng
0; .
A.
; 4 1; m . B.
1; m
. C.
4;1 m .
D.
1; m .
Câu 74. Cho ba số thực dương , , a b c khác 1. Đồ thị các hàm số log , log , log
a b c
y x y x y x
được cho trong hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . b c a B. . a b c C. . c a b D. . a c b
Câu 75. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trong khoảng
0; ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 76. Tính đạo hàm của hàm số
2
2
log 1 y x x .
A.
2
1 2
1 ln 2
x
y
x x
B.
2
2 1
1 ln 2
x
y
x x
2
log y x
2
2
l og y x x
2
l o g y x x
2
1
log y
x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 120
C.
2
2
1 ln 2
x
y
x x
D.
2
2
1 ln 2
x
y
x x
Câu 77. Tính đạo hàm của hàm số
ln 1 1 y x .
A.
1
2 1 1 1
y
x x
. B.
1
1 1
y
x
.
C.
1
1 1 1
y
x x
. D.
2
1 1 1
y
x x
.
Câu 78. Đạo hàm của hàm số
3
log 4 1 y x là
A.
1
.
4 1 ln 3
y
x
B.
4
.
4 1 ln 3
y
x
C.
ln 3
.
4 1
y
x
D.
4 ln 3
.
4 1
y
x
Câu 79. Tính đạo hàm của hàm số
log ln 2 y x .
A.
2
ln 2 .ln10
y
x x
. B.
1
ln 2 .ln10
y
x x
.
C.
1
2 ln 2 .ln10
y
x x
. D.
1
ln 2
y
x x
Câu 80. Cho hàm số
2
ln 4 . f x x x Chọn khẳng định đúng.
A.
3 1,5. f B.
2 0. f C.
5 1,2. f D.
1 1,2. f
Câu 81. Tính đạo hàm của hàm số
2
5
log 1 . y x x
A.
2
2 1
.
1 ln 5
x
y
x x
B.
2
2 1
.
1
x
y
x x
C.
2 1 ln 5. y x D.
2
1
.
1 ln 5
y
x x
Câu 82. Cho hàm số
4
( ) ln 1 f x x . Đạo hàm
1 f bằng
A.
ln 2
2
. B. 1 . C.
1
2
. D. 2 .
Câu 83. Đạo hàm của hàm số
3
log 1 2ln 1 2 y x x x tại điểm 2 x bằng
A.
1
3
. B.
1
2
3ln 3
. C.
1
1
3ln 3
. D.
1
3ln 3
.
Câu 84. Tính đạo hàm của hàm số
2
ln 1 y x x .
A.
2
1
2 1
y
x
. B.
2
2
1
x
y
x x
. C.
2
1
1
y
x x
. D.
2
1
1
y
x
.
Câu 85. Tính đạo hàm của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
2
log y x x
2
1
ln10
y
x x
2
2 1 x
y
x x
2
2 1
log
x
y
x x e
2
2 1
.log
x
y e
x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 121
Câu 86. Đạo hàm của hàm số
log 2sin 1 y x trên tập xác định là:
A.
2 cos
.
2 sin 1
x
y
x
B.
2 cos
.
2 sin 1
x
y
x
C.
2 cos
.
2 sin 1 ln10
x
y
x
D.
2 cos
.
2 sin 1 ln10
x
y
x
Câu 87. Cho hàm số 2 3sin2
x
y x e x .Khi đó (0) y có giá trị bằng
A. 8 . B. 4 . C. 2 . D. 5 .
Câu 88. Cho các số thực , , a b c thỏa 0 1 a và 0, 0 b c .Khẳng định nào sau đây không
đúng?
A.
( )
log ( ) ( ) ( )
g x
a
f x g x f x a B.
( )
( ) log
f x
a
a b f x b .
C.
( ) ( )
( ) ( )log log
f x g x
a a
a b c f x g x b c D.
( )
log ( ) ( ) 0 ( )
g x
a
f x g x f x a
Câu 89. Cho hàm số
1
5
log y x . Khảng định nào sau đây sai
A. Hàm số có tập xác định là
\ 0 D . B.
1
ln 5
y
x
.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy .
Câu 90. Nếu và thì:
A. B. C. D.
Câu 91. Cho các số thực . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. .
B. .
C. . D. .
Câu 92. Cho , a b là các số thực dương khác 1, thoả
2 2
log log 1
a b
b a . Mệnh đề nào dưới đây
là đúng?
A.
1
a
b
. B. a b . C.
2
1
a
b
. D.
2
a b .
Câu 93. Cho , a b là các số thực dương thỏa mãn
4 3
5 4
a a và
1 2
log log
2 3
b b
. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. 1, 1 a b . B. 1,0 a b a . C. 0 1,0 1 a b . D. 0 1, 1 a b .
Câu 94. Tính đạo hàm của hàm số
.
x
y f x x
tại điểm 1 x .
A.
' 1 . f B.
2
' 1 ln f . C.
2
' 1 ln . f D.
' 1 1 f .
Câu 95. Cho hàm số
2 .5 .
x x
y f x Tính
/
0 . f
A.
/
0 10. f B.
/
0 1. f C.
/
1
0 .
ln10
f D.
/
0 ln10. f
3 2
0,1 0,1 a a
2 1
log log
3 2
b b
10
.
1
a
b
0 10
.
0 1
a
b
0 10
.
1
a
b
10
.
0 1
a
b
0 a b
2
2 2
ln ln ln ab a b
1
ln ln ln
2
ab a b
ln ln ln
a
a b
b
2
2 2
ln ln ln
a
a b
b
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 122
Câu 96. Cho hàm số
2
5
x
f x e . Tính
1
' 2 . 0 ' 0
5
P f x x f x f f .
A. 1 P . B. 2 P . C. 3 P . D. 4 P .
Câu 97. Cho hàm số
2
1
2
x
f x
Tính
2
1
2 . ' 2 ln 2 2.
x
T f x x
A. 2. T B. 2. T C. 3. T D. 1. T
Câu 98. Tính đạo hàm của hàm số l og 2 . y x
A.
/
1
ln 2
y
x
. B.
/
1
ln10
y
x
. C.
/
1
2 ln10
y
x
. D.
/
ln10
y
x
.
Câu 99. Tính đạo hàm của hàm số
ln 1 1 y x .
A.
1
2 1 1 1
y
x x
. B.
1
1 1
y
x
.
C.
1
1 1 1
y
x x
. D.
2
1 1 1
y
x x
.
Câu 100. Cho hàm số
ln . f x x Tính đạo hàm của hàm số
2
3
log . g x x f x
A.
1
' . g x
x
B.
1
' .
ln 3
g x
x
C. D.
Câu 101. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 102. Tìm điểm cực trị của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 103. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 104. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 105. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số với nghịch
biến trên tập xác định.
A. . B. .
C. ; . D. .
Câu 106. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến.
A. . B. .
C. . D.
ln 3
' . g x
x
' .
ln 3
x
g x
cos x
y e
'.cos .sin '' 0 y x y x y '.sin .cos '' 0 y x y x y
'.sin ''.cos ' 0 y x y x y '.cos .sin '' 0 y x y x y
0
x .
x
y x e
0
x e
2
0
x e
0
1 x
0
2 x
2
2
.
x
y x e
2
1 ' x y x y
2
. ' 1 . x y x y
2
1 . ' xy x y
2
' 1 . xy x y
3
x
y
2 3
3
x
y
3
2
x
y
2 3
x
y
a log
M
y x
2
4 M a
2 5 a 5 a
5 2 a 2 5 a 2 a
a
2
3 3
x
y a a
1 a 2 a
1; 2 a
;1 2; . a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 123
Câu 107. Cho là hai số thực thỏa mãn và . Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 108. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới
đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. . B. .
C. . D. .
x
3
y
1
O
- 1
Câu 109. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới
đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 110. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới
đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 111. Cho hàm số có đồ thị Hình . Đồ thị Hình là của hàm số nào dưới đây?
Hình Hình
A. B. C. D.
Câu 112. Cho hàm số có đồ thị Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với qua
đường thẳng
A. B. C. D.
, a b
3 2
3 2
a a
3 4
log log
4 5
b b
0 1, 0 1 a b 0 1, 1 a b
1, 0 1 a b 1, 1 a b
3
x
y
1
2
x
y
5
2
2
x
y
1
3
x
y
2
x
y
1
2
x
y
2
x
y
1
2
x
y
x
y
O
- 1
2
log y x
2
log 1 y x
3
log 1 y x
3
log 1 y x
x
2
y
1
O
- 1
2
x
y 1 2
x
y
1
O
x
y
1
O
1 2
2 .
x
y
2 .
x
y
2 .
x
y
2 .
x
y
5
x
y
. C
C
. y x
5 .
x
y
5
log . y x
5
log . y x 5 .
x
y
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 124
Câu 113. Cho hàm số có đồ thị Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với qua
đường thẳng
A. . B. . C. . D. .
Câu 114. Cho hàm số có đồ thị Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với
qua đường thẳng
A. . B. . C. . D. .
Câu 115. Đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số là đồ thị nào trong các đồ thị có
phương trình sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 116. Cho hàm số có đồ thị . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị luôn đi qua và
B. Đồ thị có tiệm cận .
C. Đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.
D. Hàm số luôn đồng biến.
Câu 117. Cho các hàm số và có đồ thị như hình
vẽ bên. Đường thẳng cắt trục hoành, đồ thị hàm số
và lần lượt tại và . Biết rằng
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. .
C. D. .
Câu 118. Cho hàm số . Tính tổng
A. B. C. D.
2
3
x
y
. C
C
. y x
3
log y x
2
3
log y x
3
log
2
x
y
3
1
log
2
y x
2
log y x
. C
C
. y x
2
x
y
1
2
x
y 2
x
y
2
2
x
y
2
log y x
1
2
log y x 2
x
y
2
log y x
1
2
x
y
x
y a
0 1 a
C
C
0;1 M
1; N a
C 0 y
C
log
a
y x log
b
y x
5 x
log
a
y x log
b
y x , A B C
2 . C B A B
2
a b
3
a b
3
a b 5 a b
x
l o g
b
y x
y
5 x
O
l og
a
y x
A
B
C
9
9 3
x
x
f x
1 2 2016
... .
2017 2017 2017
S f f f
2016. S 2017. S 1008. S 1007. S Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 125
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1A 2C 3B 4D 5A 6B 7D 8A 9C 10B
11D 12D 13A 14B 15A 16C 17D 18B 19A 20C
21B 22B 23D 24A 25A 26C 27D 28A 29B 30B
31C 32D 33A 34D 35A 36B 37D 38C 39A 40A
41C 42D 43A 44B 45D 46A 47C 48C 49D 50A
51A 52D 53D 54D 55B 56B 57B 58A 59C 60A
61D 62A 63A 64C 65B 66D 67A 68A 69A 70C
71A 72D 73A 74A 75D 76B 77A 78B 79B 80B
81A 82D 83D 84D 85D 86C 87A 88D 89A 90C
91B 92B 93D 94C 95D 96A 97B 98B 99A 100B
101B 102C 103D 104B 105C 106D 107B 108D 109A 110D
111C 112B 113A 114C 115A 116D 117C 118C
Câu 1. Chọn A.
Câu B sai vì hàm số
x
y a với 0 1 a nghịch biến trên khoảng ( ; ) .
Câu C sai vì hàm số
x
y a với 1 a đồng biến trên khoảng ( ; ) .
Câu D sai vì đồ thị hàm số
x
y a với 0 a và 1 a luôn đi qua điểm ( ; )
a
M a a hoặc
(0;1) M chứ không phải ( ;1) M a .
Câu 2. Chọn A.
Với 0; 1 a a thì 0
x
a , x . Suy ra tập giá trị của hàm số ( 0; 1)
x
y a a a là
(0; )
Câu 3. Chọn A.
Tập giá trị của hàm số
x
y a là(0; ) , tập giá trị của hàm số log
a
y x là .
Câu 4. Chọn A.
Vì 0 2 1 1 nên hàm số
2 1
x
y nghịch biến trên khoảng ( ; ) .
Câu 5. Chọn A.
Vì 2007
nên hàm số xác định với mọi x .
Câu 6. Chọn A.
Vì 2
nên hàm số
2 2
(3 1) y
x xác định khi
2
1
3 1 0
3
x x .
Câu 7. Chọn A.
Vì e nên hàm số xác định khi
2
2
3 2 0
1
x
x
x
x .
Câu 8. Chọn A.
Hàm số
0,5
log ( 1) x xác định khi 1 0 1 x x .
Câu 9. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 126
Hàm số
2
log 12 x x có nghĩa khi
2
3
12 0
4
x
x x
x
.
Câu 10. Chọn A.
Hàm số
2
3
log
2
x
x
có nghĩa khi
3
0 3 2
2
x
x
x
.
Câu 11. Chọn A.
Hàm số
1
ln( 1)
2
y x
x
xác định khi
2 0
1 2
1 0
x
x
x
.
Câu 12. Chọn A.
Hàm số
1
x
x
e
y
e
xác định khi 1 0 0
x
e x .
Câu 13. Chọn A.
Hàm số
2
2
1
2 5 2 ln
1
y
x
x x xác định khi
2
2
1
2
2 5 2 0 2
1 2
1
1 0
1
x
x
x
x
x
x x
Câu 14. Chọn A.
Hàm số ln(ln( )) y x xác định khi
0 0
1
ln 0 1
x x
x
x
x
.
Câu 15. Chọn A.
Vì 2
nên hàm số
2
(3 9)
x
y
xác định khi 3 9 0 2
x
x .
Câu 16. Chọn A.
Hàm số
1
log
x
y x
xác định khi
0 0
1
1 0 1
2
1 1 2
x x
x
x x
x
x x
.
Câu 17. Chọn A.
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số dạng
x
y a . Ta có (0;1) A và (2; 2) B thuộc đồ thị hàm
số.
Suy ra,
0
2
1
2 2
0
a
a a
a
. Hàm số là
2
x
y .
Câu 18. Chọn A.
1 1 2
1
3 3 3
2
3
1 1 1
( 1) ' ( 1)'.( 1) ( 1)
3 3
3 ( 1)
y x y x x x
x
.
Câu 19. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 127
2 2 2
4 ' (2 )'.4 ln 4 2.4 ln4 y y
x x x
x .
Câu 20. Chọn A.
5
1
log '
ln 5
y x y
x
.
Câu 21. Chọn A.
2 2
0,5 2
1 2
log ' ( )'.
ln 0,5 ln 0,5
y x y x
x x
.
Câu 22. Chọn A.
2
3
3 3
3 3
sin log ' cos cos
ln 3 ln 3
y x x y
x x
x
x x .
Câu 23. Chọn A.
4 3
4
4 4
( 1)' 4
( ) ln( 1) '( ) '(0) 0
1 1
x
f x x f x f
x x
x
.
Câu 24. Chọn A.
2 2
2017 2017
( ) '( ) 2.2017 . '(0) 0 f x e f x e f
x x
x .
Câu 25. Chọn A.
( ) . '( ) . ''( ) . ''(1) 3
x x x x x x
f x x e f x e x e f x e e x e f e .
Câu 26. Chọn A.
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số log
a
y x . Điểm
1
; 1
2
thuộc đồ thị hàm số nên
1
1 1 1 1
1 log 2
2 2 2
a
a a
a
. Hàm số là
2
log y x .
Câu 27. Chọn A.
Hàm số y x
có tập xác định thay đổi tùy theo .
Câu 28. Chọn A.
Hàm số lôgarit chỉ xác định khi 0 x nên đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.
Câu 29. Chọn A.
Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung và cả dưới, cả trên trục hoành.
Câu 30. Chọn A.
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số log
a
y x . Điểm (2; 1) A thuộc đồ thị hàm số nên
1
1
1 log 2 2 2 0,5
a
a a
a
. Hàm số
0,5
log y x .
Câu 31. Chọn A.
x
y
1
1 2 OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 128
Đồ thị hàm số đi qua
2
(2; 2) 2 log 2 2 2
a
A a a .
Câu 32. Chọn A.
Hàm số xác định
2
10
0 1
3 2
x
x
x x
hoặc 2 10 x
Tập xác định
;1 2;10 D
Câu 33. Chọn A.
Hàm số xác định
3
3
2 0
log 2 3 0 29
2 2
x
x x
x
Tập xác định
29; D
Câu 34. Chọn A.
/ /
2 / 2 2
2 2 2
x x x
y x x e y x x e e x x
/ 2 2
2 2 2 2
x x x
y x e e x x x e
Câu 35. Chọn A.
Hàm số có tập xác định là
2
2 4 0, x m x x
2
' 4 0 2 2 m m
Câu 36. Chọn A.. Sử dụng điều kiện xác định của các hàm số.
Câu 37. Chọn A.
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
Câu 38. Chọn A.
/
x x
y ex e y e e . Suy ra
/
0 0 1
x
y e e x
Câu 39. Chọn A.
Nhận dạng đồ thị:
- Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến loại C và D.
- Đồ thị đã cho qua điểm
2; 2 A . Thử với hai đáp án còn lại loại B.
Câu 40. Chọn A.
Trên đoạn 1;1
, ta có:
/
2
x
f x x e x ;
/
0 0 f x x hoặc 2 x (loại).
Ta có:
1
1 ; 0 0; 1 f f f e
e
Suy ra:
1;1
max f x e
Câu 41. Chọn A.
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
x
y
1
2
2
OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 129
Câu 42. Chọn A.
Hàm số xác định
1 0
1
1 0
x
x
x
Tập xác định
1; D
Câu 43. Chọn A.
Đặt , t x với 2; 2 0; 2 x t
Xét hàm
2
t
f t trên đoạn 0; 2
;
f t đồng biến trên 0; 2
2;2 0;2
max max 4 y f t
;
2;2 0;2
min min 1 y f t
Hoặc với 2; 2 0; 2 x x
. Từ đây, suy ra:
0 2
2 2 2 1 2 4
x x
Câu 44. Chọn A.
Tập xác định
/ /
2
1 ln
0; ; ; 0
ln
x
D y y x e
x
Hàm
/
y đổi dấu từ âm sang dương khi qua x e nên x e là điểm cực tiểu của hàm
số.
Câu 45. Chọn A.
Do log
a
y x và log
b
y x là hai hàm dồng biến nên , 1 a b
Do log
c
y x nghịch biến nên 1 c . Vậy c bé nhất.
Mặt khác: Lấy y m , khi đó tồn tại
1 2
, 0 x x để
1 1
2
2
log
log
m
a
m
b
x m a x
x m b x
Dễ thấy
1 2
m m
x x a b a b
Vậy b a c .
Câu 46. Chọn A.
Hàm số xác định
2 1 0 2 1
0
m x x m
x m x m
Suy ra, tập xác định của hàm số là
; 2 1 D m m , với 1 m .
Hàm số xác định trên
2; 3 suy ra
2 2
2; 3
2 1 3 1
m m
D
m m
Câu 47. Chọn A.
Tập xác định D
Đạo hàm:
/ 2 / 2
ln 1 1 ; 0 1 1 1 0 y x y x x
Lập bảng biến thiên:
Câu 48. Chọn A.
1
+
∞
0
0 +∞
y
y'
xBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 130
/
1 1
ln ln 1
1 1
y x y
x x
Ta có:
1 1
' 1 1 1
1 1 1
x
xy x
x x x
,
1
ln
1
1
1
y
x
e e
x
.
Câu 49. Chọn A.
Ta biến đổi hàm số về dạng
2
2
1
1
x
x
e
y
e
/ /
2 2 2 2
2
/
2 2
2 2
1 1 1 1
4
1 1
x x x x
x
x x
e e e e
e
y
e e
.
Câu 50. Chọn A.
/ //
sin sin cos 2cos sin y x x y x x x y x x x
Ta có:
/ / /
2 2 cos sin 2 sin cos . sin x y y x y x x x x x x x x x x 2sin x
Câu 51. Chọn A.
Do
x
y a và
x
y b là hai hàm đồng biến nên , 1 a b .
Do
x
y c nghịch biến nên 1 c . Vậy x bé nhất.
Mặt khác: Lấy x m , khi đó tồn tại
1 2
, 0 y y để
1
2
m
m
a y
b y
Dễ thấy
1 2
m m
y y a b a b
Vậy b a c .
Câu 52. Chọn D.
Hàm số
2
3 10 2
x
y a a đồng biến trên
; khi
2
1
3 10 2 1 3
3
a a a .
Câu 53. Chọn D.
Cơ số nên hàm số mũ đồng biến trên
.
Câu 54.
Chọn D.
Ta có
1 1
3
3 2 3( 3 2)
x
x
x
y
có cơ số
1
1
3( 3 2)
nên là hàm số đồng
biến.
Câu 55. Chọn B.
Từ đồ thị suy ra 0 1 a ;
1, 1 b c và
x x
b c khi 0 x nên b c . Vậy a c b .
Câu 56. Chọn B.
Xét 2 trường hợp:
+) TH1: 1. a Khi đó,
1 2
1 2 1 2
( ) 0.
x x
a a x x x x
Mà
1 2
1 1 0 ( 1)( ) 0. a a a x x
1
1
e
1
x
e
y
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 131
+) TH1: 0 1. a Khi đó,
1 2
1 2 1 2
( ) 0.
x x
a a x x x x
Mà
1 2
1 1 0 ( 1)( ) 0. a a a x x
Câu 57. Chọn B.
Hàm số có TXĐ =
hàm số luôn nghịch biến trên A đúng.
đồ thị hàm số không cắt trục B sai.
hàm số không có cực trị
C đúng.
D đúng.
Câu 58. Chọn A.
2017 2017 2017 2017 2017
3 3 3 ln 3 2017.3 .ln 3.
x x
x x
y y
Câu 59. Chọn C.
Ta có:
6 1 6 1 6 1 6 2
3 6 1 3 ln 3 6 3 ln 3 3 2ln 3
x x x x
y y x
Câu 60. Chọn A.
Ta có:
1
1
x x x x
y e e y e e y e
e
.
Câu 61. Chọn D.
'
ln '
u
u
u
.
Câu 62. Chọn A.
Ta có: 2 1 b a
1
1
9 9 3
; 2 1
3 9 3 9 3 9
a a
a a a
f a f b f a
9 3
2 1
3 9 3 9
a
a a
f a f b
.
Câu 63. Chọn A.
Cách 1: 1 1 a b b a .
1
1
9 9 9 9 9 3
1
9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 3 9
a b a a a
a b a a a a
f a f b
.
Cách 2: Chọn
1
2
a b . Bấm máy
1
2
9 9 9
2. 1
9 3 9 3 2 9
1 1
2 3
a a a
calc
a a a
a
f f
.
Câu 64. Chọn C.
1
2 3
x
y
1
1
2 3
a
1
0,
2 3
x
y x
Ox
1 1 1
.ln 0,
2 3 2 3 2 3
x x
y y x
0
1 1 1
1 1, 0
2 3 2 3 2 3
x
a y x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 132
Tập xác định của hàm số
2 5 2
( 16) ln(24 5 ) y x x x
là:
2
2
16 0 4
8 3
24 5 0
x x
x
x x
Vậy tập xác định là:
( 8; 3)\ 4 D .
Câu 65. Chọn B.
Điều kiện để hàm số xác định là:
2 2 3
5 125 0 5 5 1
x x
x
.
Câu 66. Chọn D.
Ta có
2
1 0
1 1
1 0 2.
1 1 2 2
ln 1 1 0
x
x x
x x
x x x
x x
Câu 67. Chọn A.
Hàm số có tập xác định D khi
4 2 0, 1
x x
m , x R
Đặt 2
x
t , 0 t
Khi đó
1 trở thành
2
0 t t m
2
m t t ,
0; t
Đặt
2
f t t t
ycbt xảy ra khi
0;
1
4
m M a x f t
.
Câu 68. Chọn A.
Hàm số có nghĩa khi
2
6 5 0 x x
5
1
x
x
.
Câu 69. Chọn A.
Hàm số có nghĩa khi
2 2
3 1 1
0 3 1 0
3
1 1
x
x x
x x x x
.
Vì
2
2 2
2
1 0
, 1 1 0,
1 0
x x
x x x x x x
x x
.
Vậy TXĐ
1
;
3
D
.
Câu 70. Chọn C.
TXĐ:
2; 0 2; D .
Ta có
2
3
3 4
4 ln 2
x
y
x x
,
2
3
3 4
0 0
4 ln 2
x
y
x x
2
3 4 0 x
2 3
3
2 3
3
x l o a i
x
Vậy y đổi dấu từ dương sang âm qua
0
2 3
3
x nên hàm số có một cực trị.
Câu 71. Chọn A.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 133
Câu 72. Chọn D.
Ta có
2
2 log 7 2log 7 log 7 log 7
b a b
a
M H MN H N M H b a a b .
Câu 73. Chọn A.
Đặt
3
log t x , khi đó
0; x t .
2
3 3
1
log 4 log 3
y
m x x m
trở thành
2
1
4 3
y
m t t m
.
Hàm số
2
3 3
1
log 4 log 3
y
m x x m
xác định trên khoảng
0; khi và chỉ khi hàm
số
2
1
4 3
y
m t t m
xác định trên
2
( ) 4 3 f t m t t m vô nghiệm
2
4 3 0 4; 1 m m m m
.
Câu 74. Chọn A.
Do đồ thị hàm số log
a
y x đi lên từ trái sang phải trên khoảng
0; nên hàm số
đồng biến, suy ra 1. a
Mặc khác đồ thị hàm số log ; log
b c
y x y x đi xuống từ trái sang phải trên khoảng
0; nên hàm số nghịch biến, suy ra 1; 1. b c
Mà từ đồ thị ta xét tại
2 2
1 1
2 log 2 log 2
log log
b c
x
b c
nhân hai vế
2 2
log .log 0 b c
Ta được
2 2
log log c b c b .
Vậy: . a c b
Câu 75. Chọn D.
Ta thấy hàm số
2
log y x
đồng biến trên khoảng
0; nên A, B, C loại.
Kiểm tra
2
1
log y
x
có
1
' 0, 0;
ln 2
y x
x
.
Câu 76. Chọn B.
2
2 2
1
2 1
.
1 ln 2 1 ln 2
x x
x
y
x x x x
Câu 77. Chọn A.
O 7
M
N
x
y
log
b
y x
log
a
y x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 134
Áp dụng công thức:
ln
u
u
u
1 1
ln 1 1
1 1
x
y x
x
. Mà
1
1 1
2 1
x
x
1
2 1 1 1
y
x x
Câu 78. Chọn B.
Với
1
4
x .
Áp dụng công thức
log
ln
a
u
u
u a
ta có
4
.
4 1 ln 3
y
x
Câu 79. Chọn B.
ln 2
1
ln 2 .ln10 .ln 2 .ln10
x
y
x x x
Câu 80. Chọn B.
;
2
4 2
2 0
4
x
f x f
x x
.
Câu 81. Chọn A.
Áp dụng công thức
log
.ln
a
u
u
u a
. Khi đó:
2
2 2
1
2 1
1 .ln 5 1 .ln 5
x x
x
y
x x x x
.
Câu 82. Chọn D.
Ta có:
3
4
4
1 2
1
x
f x f
x
.
Câu 83. Chọn D.
Sử dụng công thức
log
ln
a
u
u
u a
, ta được
1 1 1 1
2. 2 2 2 2
1 3ln 3 3ln 3 1 ln 3
y y
x x
.
Câu 84. Chọn D.
2
2
2
2
2 2 2 2
1
1
1
1
ln 1
1 1 1 1
x
x x
x x
x
y x x y
x x x x x x x
2
1
1 x
.
Câu 85. Chọn D.
Ta có
2
log y x x
2
2 1
ln10
x
x x
2
2 1
.log
x
e
x x
Câu 86. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 135
Ta có
2 cos
log 2 sin 1
2 sin 1 ln10
x
y x y
x
.
Câu 87. Chọn A.
2 3sin2
x
y x e x
Câu 88. Chọn D.
( )
log ( ) ( ) 0 ( )
g x
a
f x g x f x a chỉ đúng khi cơ số 1 a . Vậy với 0 1 a thì đẳng
thức
( )
log ( ) ( ) 0 ( )
g x
a
f x g x f x a sai.
Câu 89. Chọn A.
Hàm số
1
5
log y x . Do đó
Tập xác định
0; D A sai.
1
ln 5
y
x
B đúng.
Cơ số
1
1
5
a Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định C đúng.
Hàm số logarit nhận trục Oy làm tiệm cận đứng D đúng.
Câu 90. Chọn C.
Do 3 2 nên ta có
3 2
0,1. 0,1. 0,1. 1 0 10 a a a a
Do
2 1
3
2
nên ta có
2 1
log log 1
3
2
b b
b .
Câu 91. Chọn B.
Câu 92. Chọn B.
Ta có:
2 2
log log 1 log log 2
a b
a b
b a b a
2 1
log 2 log 1 0
log
log 1.
a a
a
a
b b
b
b
Suy ra: a b .
Câu 93. Chọn D.
Ta có
3
4
4
5
4 3
5 4
a a nên hàm số
x
y a giảm. Suy ra 0 1 a .
Và
1 2 1 2
log log
2 3 2 3
b b
nên hàm số log
b
y x tăng. Suy ra 1 b .
Suy ra 0 1, 1 a b .
Câu 94. Chọn C.
Đạo hàm
/ /
1
' . . . . . .ln
x x x x
f x x x x x
Suy ra
2
' 1 ln f .
Câu 95. Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 136
Viết lại
2 .5 10 .
x x x
f x Suy ra
/
/
10 10 .ln10.
x x
f x
Vậy
0
' 0 10 .ln10 1.ln10 ln10. f
Câu 96. Chọn A.
Ta có
2
' 10 .
x
f x x e . Do đó
' 0 0 f và
0 5 f .
Vậy
2 2 1 1
' 2 0 ' 0 10 2 .5 .5 0 1
5 5
x x
P f x xf x f f xe x e .
Câu 97. Chọn B.
Ta có
2 2 /
2 1 1
' 1 .2 .ln 2 2 .ln 2.2 .
x x
f x x x
Vậy
2 2
1 1
2 .2 ln 2.2 2 ln 2 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2.
x x
T x x x x
Câu 98. Chọn B.
Viết lại
ln 2 1
log 2 .ln 2
ln10 ln10
x
y x x .
Suy ra
/
/
2
1 1 1 2 1
' . l n 2 . . .
l n 1 0 l n 1 0 2 ln 1 0 2 ln 1 0
x
y x
x x x
Câu 99. Chọn A.
Áp dụng công thức
ln
u
u
u
, ta được
1 1
1 1
x
y
x
.
Mà
1 1
1 1
2 1 2 1 1 1
x y
x x x
.
Câu 100. Chọn B.
Ta có
/ 2 2
3 3 3
1 1
log . log . log . f x g x x f x x x
x x
Suy ra
1
' .
ln 3
g x
x
Câu 101. Chọn B.
Ta có
cos
2 cos cos
' sin .
.
'' sin . cos .
x
x x
y x e
y x e x e
Thay lần lượt vào các đáp án thì ta được đáp án B đúng. Thật vậy: Ta có
'.sin .cos '' y x y x y
cos cos 2 cos cos
sin . .sin .cos sin . cos . 0
x x x x
x e x e x x e x e .
Câu 102. Chọn C.
Hàm số xác định và liên tục trên .
Ta có
' . 1 ' 0 1 0 1.
x x x
y e x e e x y x x
Vậy hàm số đạt cực trị tại 1 x .
Câu 103. Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 137
Ta có
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
' . 1
x x x x x
y e x xe e x e x e
.
Nhân hai vế cho x, ta được
2
2 2
2
. ' 1 1
x
x y x x e x y
.
Câu 104. Chọn B.
Áp dụng lý thuyết
'' Hàm số
x
y a đồng biến khi 1 a , nghịch biến khi 0 1 a '' .
Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số
2 3
3
x
y
đồng biến vì cơ số
2 3
1
3
a
.
Câu 105. Chọn C.
Hàm số đã cho nghịch biến khi cơ số 0 1 M hay
2
0 4 1 a
2
2 5
4 5 .
5 2
a
a
a
Câu 106. Chọn D.
Hàm số đồng biến khi
2 2
1
3 3 1 3 2 0 .
2
a
a a a a
a
Câu 107. Chọn B.
Ta có
3 2
3 2
, mà
3 2
3 2
a a .
Suy ra hàm đặc trưng
x
y a nghịch biến nên 0 1 a .
Tượng tự có
3 4
4 5
và
3 4
log log
4 5
b b
.
Suy ra hàm đặc trưng log
b
y x đồng biến nên 1 b .
Vậy 0 1 a và 1 b .
Câu 108. Chọn D.
Dựa vào hình dáng đồ thị từ trái sang phải ta thấy: x tăng nhưng y giảm. Suy ra hàm
số tương ứng của đồ thị là hàm nghịch biến. Loại A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ
1; 3 nên chỉ có D thỏa mãn.
Câu 109. Chọn A.
Đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Loại B, C.
Lấy đối xứng đồ thị qua trục hoành ta được đồ thị của một hàm số đồng biến.
Câu 110. Chọn D.
Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng 1 x . Loại đáp án A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ
2;1 nên chỉ có D thỏa mãn.
Câu 111. Chọn C.
Từ đồ thị ta thấy: Đồ thị Hình 2 có được là lấy đối xứng đồ thị Hình 1 (phần 0 x )
qua trục O y . Do đó hàm số của đồ thị Hình 2 là hàm số chẵn. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 138
Câu 112. Chọn B.
Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hàm số
x
y a và đồ thị hàm số log
a
y x đối xứng với
nhau qua đường thẳng ''. y x
Câu 113. Chọn A.
Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn:
2
3 3
x
x
y .
Dựa vào lý thuyết '' Hai hàm số
x
y a và log
a
y x có đồ thị đối xứng nhau qua đường
phân giác của góc phần tư thứ nhất '' y x .
Câu 114. Chọn C.
Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn:
2 1
2
log log y x x .
Suy ra hàm số cần tìm là
1
2 .
2
x
x
y
Câu 115. Chọn A.
Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hàm số
y f x đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị
hàm số
y f x '' . Do đó đồ thị hàm số
2
log y x đối xứng qua trục hoành ta được
đồ thị hàm số
2
log . y x
Chưa thấy đáp án nên ta biến đổi:
2 1
2
log log y x x .
Câu 116. Chọn D.
Với
0
0 1 x y a và
1
1 x y a a . Do đó A đúng.
Ta có lim 0
x
y
nếu 0 1 a và lim 0
x
y
nếu 1. a Suy ra 0 y là tiệm cận ngang. Do
đó B đúng.
Vì 0,
x
a x . Do đó C đúng.
Hàm số
x
y a đồng biến khi 1 a , nghịch biến khi 0 1 a . Do đó D sai.
Câu 117. Chọn C.
Theo giả thiết, ta có
5; 0 , 5; log 5 , 5; log 5
a b
A B C .
Do
2 2 log 5 log 5 2. log 5
a b a
CB A B CB B A
3
3
1
3log 5 log 5 log 5 log 5 log 5 log 5 .
3
a b a b a
b
a b
Câu 118. Chọn C.
Ta có
1 2016 2 2015 1008 1009
...
2017 2017 2017 2017 2017 2017
S f f f f f f
1 1 ... 1 1008 .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 139
Chủ đề 4 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ-LOGARIT
A. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT
1. Phương pháp
Dạng 1: Phương trình:
( ) ( ) f x g x
a a
1
0 1
( ) ( )
a
a
f x g x
log log
a a
f x g x
0 1
( ) ( ) 0
a
f x g x
Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện
0 f x hoặc
0 g x tuỳ thuộc vào độ phức tạp của
0 f x và
0 g x .
Dạng 2: Phương trình:
( ) f x
a b
0 1, 0
( ) log
a
a b
f x b
log
a
f x b
0 1
( )
b
a
f x a
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải các phương trình sau:
3 2
4 2
8
x x x
=
2
2
4
x x
.
2 3
0,125.4
x
4 2
x
.
Lời giải:
Phương trình được biến đổi về dạng:
3 2
3 4 2
(2 )
x x x
=
2
2 2
(2 )
x x
3 2 2
3 4 2 ( 2 2) x x x x x
3 2
3 14 5 2 0 x x x
2
3 2 4 1 0 x x x
2
3
x x=2 5 .
Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt
2
3
x , x = 2 5 .
Vì
3
1
0,125 2
8
nên ta biến đổi phương trình về dạng:
( 3 2 ) 2 3
2 .2
x
=
1
2
2
(2 .2 )
x
4 9
2
x
=
5
2
2
x
5
4 9
2
x
x 8 18 5 x x 3 18 x 6 x .
Vậy, phương trình có nghiệm là 6 x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 140
Nhận xét: Trong lời giải trên:Với phương trình
( ) ( ) f x g x
a b ta cần chọn phần tử trung gian c
để biến đổi phương trình về dạng:
( ) ( )
( ) ( )
af x bg x f x g x a b
c c c c af x bg x
Bài toán 2: Giải các phương trình sau:
3 2
2 2
( log 3 2 log 4 2 6) x x x x .
3 9
log log x x =
1
3
log 2 .
2
log x
2 4
.log .log 8 x x .
Lời giải:
Phương trình được biến đổi về dạng:
3 2
3 2 4 2 6 0 x x x x
3 2
3 2 0
4 4 0
x
x x x
2
2
3
( 1)( 4) 0
x
x x
1
4
x
x
.
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt 1, 4 x x .
Điều kiện 0 x .
Biến đổi phương trình về dạng:
3 3
1
log log
2
x x =
3
log 2
1
3 3
1
log log 2 2
2
x x
.
Vậy, phương trình có nghiệm là
1
2
x .
Điều kiện 0 x .
Biến đổi phương trình về dạng:
1
2
2 2 2
log .log .2 log 8 x x x
3
2
log x = 8
2
2
log 2 2 4 x x .
Vậy, phương trình có nghiệm là 4. x
Bài toán 3: Giải các phương trình sau:
1
6 3 2 2 0
x x x
.
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log
2
x
.
Lời giải:
Phương trình được biến đổi về dạng:
2.3 3 2.2 2 0 3 2 ( ) ( 1 2 2 1 0 )
x
x x x x x
2 1 3 2 ( )( ) 0
x x
2 1 0
3 2 0
x
x
2 1
3 2
x
x
3
0
log 2
x
x
.
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt
3
0, log 2 x x .
Phương trình được biến đổi về dạng:
3 2 2 3 2 2
2 log 1 log 1 3log 2 log 1 log 1 3log 1 x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 141
2 2 2 2 2
1 log 1 3log 3 log 1 3log 2 1 3log 4 x x x
2
log 1 2 x x .
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 2 x .
Nhận xét: Trong lời giải trên:
Ở câu chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để chuyển phương
trình về dạng tích. Và từ đó, nhận được hai phương trình mũ dạng 2.
Ở câu chúng ta đã sử dụng phương pháp biến đổi dần để loại bỏ được logarit. Cách
thực hiện này giúp chúng ta tránh được phải đặt điểu kiện có nghĩa cho phương trình.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT
1. Phương pháp
Phương pháp dùng ẩn phụ là việc sử dụng một (hoặc nhiều) ẩn phụ để chuyển phương trình
ban đầu thành một phương trình hoặc hệ phương trình với một (hoặc nhiều) ẩn phụ.
a. Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình mũ:
Dạng 1: Phương trình
1 ( )
1 1 0
... 0
kx k x x
k k
a a a a
, khi đó đặt
x
t a , điều kiện 0 t ,
ta được:
1
1 1
( )
0
... 0
k k
k k
t t t a
Mở rộng: Nếu đặt
( ) f x
t a , điều kiện hẹp 0 t .
Khi đó:
( ) ( ) ( ) 2 3 2 3
, ,...,
f x f x kf x k
a t a t a t và
1 f x
a
t
.
Dạng 2: Phương trình
1 2 3
0
x x
a b , với . 1 a b
Khi đó, đặt
x
t a , điều kiện 0 t , suy ra
1
x
b
t
, ta được:
1
t +
2
t
+
3
= 0
2
1 3 2
0 t t .
Mở rộng: Với . 1 a b thì khi đặt
f x
t a , điều kiện hẹp 0 t , suy ra
1 f x
b
t
.
Dạng 3: Phương trình
2 2
1 2 3
0
x
x x
a ab b .
Khi đó chia hai vế của phương trình cho
2
0
x
b (hoặc
2
, .
x
x
a a b ), ta được:
2
1
x
a
b
+
2
x
a
b
+
3
= 0
Đặt
x
a
t
b
, điều kiện 0 t , ta được
2
1 2 3
0 t t .
Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử
2 2
, , .
f x
f x f x
a b a b , ta thực
hiện theo các bước sau:
- Chia hai vế của phương trình cho
2
0
f x
b (hoặc
2
, .
f x
f x
a a b ). Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 142
- Đặt
f x
a
t
b
, điều kiện hẹp 0 t .
Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp 0 t cho trường hợp đặt
( ) f x
t a vì:
Nếu đặt
x
t a thì 0 t là điều kiện đúng.
Nếu đặt
2
1
2
x
t
thì 0 t chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải
là 2 t . Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có chứa tham số.
b. Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình logarit:
D¹ng 1: Nếu đặt log
a
t x với 0 x thì log
k k
a
x t ,
1
log
x
a
t
với 0 1 x .
D¹ng 2: Ta biết rằng
log
b
c
a =
log
b
a
c , do đó nếu đặt
log
b
x
t a thì
log
b
a
t x
Tuy nhiên, trong nhiều bài toán có chứa
log
b
x
a , ta thường đặt ẩn phụ dần với log
b
t x .
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải các phương trình sau:
1
4 3.2 16 0
x x
. 2 3
x
+ 2 3
x
= 4.
Lời giải:
Đặt 2
x
t (điều kiện 0 t ).
Phương trình được biến đổi về dạng:
2 2
2 6.2 16 0 6 16 0
x x
t t
¹i 8 ( )
2
t lo
t
2 2 1
x
x .
Vậy, phương trình có nghiệm 1 x .
Nhận xét rằng:
2 3 . 2 3 =
2 3 2 3 1.
Do đó, nếu đặt t = 2 3
x
, điều kiện 0 t , thì 2 3
x
=
1
t
.
Khi đó phương trình tương đương với:
1
t
t
= 4
2
4 1 0 t t
2 3
2 3
t
t
2 3 2 3
2 3 2 3
x
x
2
1
2
2 3 2 3
2 3 2 3
x
x
1
2
1
2
x
x
2
2
x
x
.
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 x .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 143
Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với hai dạng đặt ẩn phụ
cơ bản của phương trình mũ. Và ở đó:
Với câu chúng ta cần tới phép biến đổi
2
4 2
x x
và
1
2 2.2
x x
để định hướng
cho ẩn phụ 2
x
t .
Với câu các em học sinh cần biết cách mở rộng phương pháp cho dạng phương
trình:
1 2 3
0
x x x
a b c , với
2
. a b c .
Bài toán 2: Giải các phương trình sau:
1
3 18.3 29
x x
.
2 1
5.4 2.6 3
x x x
.
Lời giải:
Đặt 3
x
t , điều kiện 0 t .
Biến đổi phương trình về dạng:
3.3
x
+ 18.
1
3
x
= 29 3t +
18
t
= 29 3t
2
29t + 18 = 0
9
2
3
t
t
3 9
2
3
3
x
x
2
1
3 3
3 2
x
x
3
2
1 log 2
x
x
3
2
log 2 1
x
x
.
Vậy, phương trình có nghiệm là 2 x hoặc
3
log 2 1 x .
Viết lại phương trình dưới dạng:
2 2
5.2 2. 2.3 3.3
x
x x
.
Chia cả hai vế của phương trình cho 3
2z
> 0, ta được:
2
2 2
5 2 3
3 3
x x
2
2 2
5 2 3 0
3 3
x x
.
Đặt
2
3
x
t
, điều kiện 0 t , ta được:
2
5 2 3 0 t t
0 t
1 t
2
3
x
= 1 0 x .
Vậy, phương trình có nghiệm 0 x .
Bài toán 3: Giải các phương trình sau:
2 3
3 3
log 20log 1 0 x x .
9 3 9
log 27 log 3 log 243 0
x x
.
Lời giải:
Điều kiện 0 x .
Biến đổi phương trình về dạng:
2
2
3 3 3 3
1
3log 20. log 1 0 9 log 10 log 1 0
2
x x x x .
Đặt
3
log t x , ta biến đổi phương trình về dạng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 144
2
9 10 1 0 t t
1
1 / 9
t
t
3
1
9
9
3
3
l g 1
l g 1/ 9
3 3
x
o x
o x
x
.
Vậy, phương trình có nghiệm là 3 x hoặc
9
3 x .
Điều kiện:
0 9 1
0 3 1
x
x
1 1
( ) ;
9 3
0; \ x
.
Biến đổi phương trình về dạng:
9 3 3
1
3log 3 log 3 .5log 3 0
2
x x
3 3
3 1
log 9 log 3 x x
+
5
2
= 0
3 3
3 1
1 log 3 log 3 x x
+
5
2
= 0.
Đặt
3
log 3 t x , ta biến đổi phương trình về dạng:
3 1
1 t t
+
5
2
= 0
2
6 2 1 5 1 0 5 9 2 0 t t t t t t
0,2
2
t
t
3
3
log 3 0,2
log 3 2
x
x
0,2
2
3 3
3 3
x
x
0,8
3
3
3
x
x
.
Vậy, phương trình có nghiệm là
0,8
3 x
hoặc
3
3 x
.
Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với dạng đặt ẩn phụ cơ
bản của phương trình logarit. Và ở đó:
Với câu , các em học sinh dễ nhận thấy ẩn phụ
3
log t x . Tuy nhiên, rất nhiều
em biến đổi nhầm
2 3 2
3 3
log 3log x x .
Với câu , chúng ta cần sử dụng công thức đổi cơ số để làm xuất hiện ẩn phụ.
Bài toán 4: Giải các phương trình sau:
8 2
4 16
log 4 log
log 2 log 8
x x
x x
.
3
2 2 2
log log log 8
3 12 2.
x x
x .
Lời giải:
Điều kiện:
0
0 2 1
0 8 1
x
x
x
1 1
0; \ ;
2 8
( ) x
. (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
2
2
2 2
1
log 4
log
3
1 1
log 2 log 8
2 4
x
x
x x
2 2
2 2
log 2(2 log )
1 log 3(3 log )
x x
x x
.
Đặt
2
log t x , ta biến đổi phương trình về dạng:
2(2 )
1 3(3 )
t t
t t
2
3 4 0 t t
1
4
t
t
2
2
log 1
log 4
x
x
2
1
16
x
x
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 145
Vậy, phương trình có nghiệm là 2 x hoặc
1
16
x .
Điều kiện 0 x .
Biến đổi phương trình về dạng:
2 2 2
3log log log
3 12 2.8
x x x
2 2 2
3log log 3log 2
3 (3.2 ) 2.2
x x x
. (**)
Đặt t = log3x, ta biến đổi phương trình về dạng:
3t 2 t 3t
3 (3.2 ) 2.2
3
3 3
2
2 2
t t
.
Đặt
3
2
t
u
(điều kiện 0 u ), ta biến đổi phương trình về dạng:
3 2
( 2 2 0 ) 0 1 u u u u u
« nghiÖm
2
1
2 0 ( )
u
u u v
3
1
2
t
3
0 log 0 1 t x x .
Vậy, phương trình có nghiệm là 1 x .
Nhận xét: Với câu các em học sinh có thể giảm bớt một lần đặt ẩn phụ bằng cách chia hai vế
của phương trình (*) cho
2
3log
2
x
.
Bài toán 5: Giải phương trình
2
2 2
lg lg .log 4 2 log 0 x x x x .
Lời giải:
Điều kiện 0 x .
Biến đổi phương trình về dạng:
2
2 2
lg 2 log lg 2log 0 x x x x .
Đặt lg t x , khi đó phương trình tương đương với:
2
2 2
2 log . 2 log 0 t x t x
ta có:
2
2
2 2 2
2 log 8log 2 log ( ) x x x
suy ra phương trình có nghiệm:
2
2
log
t
t x
lg 2
lg
lg
lg 2
x
x
x
lg 2
lg 0
x
x
100
1
x
x
.
Vậy, phương trình có hai nghiệm 100 x và 1 x .
Chú ý: Một mở rộng khá tự nhiên của phương pháp đặt ẩn phụ kiểu này là chúng ta có thể sử
dụng ngay các hằng số hoặc các tham số trong phương trình để làm ẩn phụ, phương pháp này
có tên gọi là "Phương pháp hằng số biến thiên".
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 146
III. PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT
1. Phương pháp
Ta có thể giải một phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy logarit hai vế theo cùng
một cơ số thích hợp.
Cụ thể:
( ) ( ) ( ) ( )
log log .log
f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b hoặc
( ) ( )
log log .log
f x g x
b b b
a b f x a g x
hoặc
( ) ( )
log log .log .log
f x g x
c c c c
a b f x a g x b .
Chú ý: Phương pháp logarit hoá tỏ ra rất hiệu lực khi hai vế phương trình có dạng tích các
luỹ thừa.
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải các phương trình sau:
3 2
2 3
x x
. 5
x
.
1
8
x
x
= 500.
Lời giải:
Ta trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được:
3 2
3 3
log 2 log 3
x x
3
3 log 2 2
x x
3
2
log 2
3
x
2 3
3
log log 2 x .
Vậy, phương trình có nghiệm là
2 3
3
log log 2 x .
Cách 2: Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình, ta được:
3 2
2 2
log 2 log 3
x x
2
3 2 log 3
x x
2
3
log 3
2
x
3 2
2
log log 3 x .
Vậy, phương trình có nghiệm là
3 2
2
log log 3 x .
Cách 3: Lấy logarit cơ số 10 hai vế của phương trình, ta được:
lg lg 3 lg 2 2 lg 3
x x
3
2
x
=
lg 3
lg 2
3 2
2
log log 3 x .
Vậy, phương trình có nghiệm là
3 2
2
log log 3 x .
Điều kiện x 0. Tới đây, ta trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Lấy logarit cơ số 5 hai vế của phương trình, ta được:
1
5 5
log 5 .8 log 500
x
x
x
1
5 5 5 5
log 5 log 8 log 125 log 4
x
x
x
5 5
1
log 8 3 2 log 2
x
x
x
2
5 5
3( 1)log 2 3 2 log 2 x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 147
2
5 5
log 2 3 3log 2 0 x x
ta có =
2
5 5
log 2 3 12 log 2 =
2
5
log 2 3 phương trình có nghiệm:
5 5
3 log 2 (log 2 3)
2
x
5
3
log 2
x
x
.
Vậy, phương trình có hai nghiệm
5
3, log 2 x x .
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:
5
x
.
1
8
x
x
= 500 5
x
.
1
3.
2
x
x
=
3 2 3
5 .2 5
x
.
3
2
x
x
= 1.
Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
3
3
2
log 5 .2
x
x
x
= 0
log25
x - 3
+
3
2
log 2
x
x
= 0
2
3 log 5 x +
3 x
x
= 0
2
1
3 log 5 0 x
x
5
2
3
1
log 2
log 5
x
x
Vậy, phương trình có hai nghiệm
5
3, log 2 x x .
Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với phương pháp logarit
hóa. Và ở đó:
Với câu đã trình bày các cách lấy logarit hóa hai vế của một phương trình.
Với câu các em học sinh sẽ nhận thấy tính linh hoạt trong việc sử dụng các phép
biến đổi đại số trước khi thực hiện phép logarit hóa hai vế của một phương trình
để giảm thiểu tính phức tạp.
Bài toán 2: Giải các phương trình sau:
3
2 log
3
x
= 81 x .
6
. x
log 5
5
x
= 5
5
.
Lời giải:
Điều kiện 0 x .
Lấy logarit cơ số 3 cả hai vế của phương trình, ta được:
log3
3
2 log
3
x
=
3
log 81x
1
3 3 3
2 log 4 log log 1 3 x x x x
.
Vậy, phương trình có nghiệm là
1
3 x
.
Điều kiện 0 1 x .
Lấy logarit cơ số 5 cả hai vế của phương trình, ta được:
log 5 6
5
log .5
x
x
= log55
5
log
5
5 6
5
log log 5
x
x
= 5
5
6 log log 5 5
x
x .
Đặt
5
log t x , ta biến đổi phương trình về dạng:
6t
1
t
= 5 6t
2
+ 5t 1 = 0
1
1 / 6
t
t
5
5
log 1
log 1 / 6
x
x
1
6
5
5
x
x
.
Vậy, phương trình có nghiệm là
1
5 x
hoặc
6
5 x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 148
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT
1. Phương pháp
Ta sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1 : Nếu hàm
f x tăng (hoặc giảm) trong khoảng
, a b thì phương trình
f x k
có không quá một nghiệm trong khoảng
, a b .
Phương pháp áp dụng: ta thực hiện theo các bước sau:
Bíc 1: Chuyển phương trình về dạng
f x k .
Bíc 2: Xét hàm số
y f x .
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu ( giả sử đồng biến).
Bíc 3: Nhận xét:
Với
0 0
x x f x f x k , do đó
0
x x là nghiệm
Với
0 0
x x f x f x f x k , do đó phương trình vô nghiệm.
Với
0 0
x x f x f x f x k , do đó phương trình vô nghiệm.
Bíc 4: Vậy
0
x x là nghiệm duy nhất của phương trình.
Tính chất 2. Nếu hàm
f x tăng trong khoảng
; a b và hàm
g x là hàm hằng hoặc là một
hàm giảm trong khoảng
; a b thì phương trình
f x g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc
khoảng
; a b (do đó nếu tồn tại
0 0 0
; : x a b f x g x thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình
f x g x ).
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải các phương trình sau:
2 3 5
x x
.
2 3
log 2 log 3 2 x x .
Lời giải:
Nhận xét rằng:
Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến.
Vế phải của phương trình là một hàm hằng.
Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét rằng 1 x là nghiệm của phương trình vì
1 1
2 3 5 , đúng.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 1 x .
Điều kiện 2 x . Nhận xét rằng:
Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến.
Vế phải của phương trình là một hàm hằng.
Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét rằng 0 x là nghiệm của phương trình vì
2 3
log 2 log 3 2 , đúng.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 0 x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 149
Bài toán 2: Giải các phương trình sau:
3 4
x
x .
3
log 4 x x .
Lời giải:
Nhận xét rằng:
Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến.
Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến.
Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét rằng 1 x là nghiệm của phương trình vì:
1
3 4 1 3 3 , đúng.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 1 x .
Nhận xét rằng:
Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến.
Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến.
Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét rằng 3 x là nghiệm của phương trình vì:
3
log 3 4 3 1 1 , đúng.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 3 x .
Bài toán 3: Giải phương trình
1
2
3 log 1 0
x
x
.
Lời giải:
Điều kiện 0 x .
Viết lại phương trình dưới dạng:
1
2
1
log 1
3
x
x
.
Nhận xét rằng:
Vế trái của phương trình là một hàm nghịch biến.
Vế phải của phương trình là một hàm đồng biến.
Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình vì:
1 1
2
1
log 1 1
3
1 = 1, đúng.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 1 x .
Chú ý: 1. Đối với phương trình logarit có một dạng rất đặc biệt, đó là:
.log
ax b
s
s c dx e x
với d ac và e bc (*)
Với dạng phương trình này, ta thực hiện như sau:
Điều kiện:
0 1
0
s
dx e
.
Đặt
log
s
ay b dx e .
Khi đó, phương trình được chuyển thành hệ: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 150
( )
log ( )
ax b
s
s c ay b x
ay b dx e
ax b
ay b
s acy x bc
s dx e
( ) (1)
(2)
ax b
ay b
s acy d ac x e
s dx e
. (I)
Trừ theo vế hai phương trình của (I), ta được:
ay b ax b
s acx s acy
. (3)
Xét hàm số
at b
f t s act
là hàm đơn điệu trên R.
Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:
f x f y x y .
Khi đó (2) có dạng: 0
ax b
s dx e
. (4)
Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của (4).
2. Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu
về dạng thoả mãn điều kiện (*).
Bài toán 4: Giải phương trình:
6
6 3log 5 1 2 1.
x
x x
Lời giải:
Điều kiện:
1
5 1 0
5
x x .
Đặt
6
log 5 1 y x . Khi đó, phương trình được chuyển thành hệ:
6
6 3 2 1
log (5 1)
x
y x
y x
6 2 3 1 (1)
6 5 1 (2)
x
y
x y
x
. (I)
Trừ theo vế hai phương trình của (I), ta được:
6 3 6 3
y x
x y . (3)
Xét hàm số
6 3
t
f t t là hàm đơn điệu trên R.
Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:
f x f y x y .
Khi đó (2) có dạng: 6 5 1 0
x
x . (4)
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Bernouli
(4) 6 1 ( ) 6 1
x
x
Bernoulli
0 x hoặc 1 x .
Vậy, phương trình có hai nghiệm 0 x và 1 x .
Cách 2: (Sử dụng định lý Rôn): Xét hàm số
6 5 1
x
g x x .
Miền xác định:
1
;
5
( ) D .
Đạo hàm:
' 6 .ln 6 5
x
g x ,
2
'' 6 .ln 6 0,
x
g x x D Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 151
' g x là hàm đồng biến trên D.
Vậy theo định lý Rôn phương trình
0 g x có không quá 2 nghiệm trên D.
Nhận xét rằng
0 1 0 g g .
Vậy, phương trình có hai nghiệm 0 x và 1 x .
Chú ý: Ta xét dạng phương trình lặp:
f f x x
, trong đó
f x là hàm đồng biến trên tập xác định D.
Khi đó ta thực hiện:
Đặt
y f x , khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
( ) (1)
( ) (2)
f y x
y f x
. (I)
Cộng theo vế hai phương trình của (I), ta được:
f y y f x x . (3)
Xét hàm số
A t f t t là hàm đồng biến trên D (bởi
f t là hàm đồng biến).
Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:
A x A y x y .
Khi đó (1) có dạng:
f x x (4)
Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của (4).
Ví dụ sau sẽ minh hoạ cụ thể dạng phương trình kiểu này.
Bài toán 5: Giải phương trình
2 2
log 3log 3 1 1 . [ ] x x
Lời giải:
Điều kiện
2
3 1 0
3log (3 1) 1 0
x
x
1
3
3 1 0
3 1 2
x
x
x >
1
3
2 1
3
.
Đặt
2
log 3 1 y x .
Khi đó, phương trình được chuyển thành hệ:
2
2
log (3 1) (1)
log (3 1) (2)
y x
y x
. (I)
Cộng theo vế hai phương trình của (I), ta được:
2 2
log 3 1 ( ) ( ) log 3 1 y y x x . (3)
Xét hàm số
2
( log 3 1) f t t t , ta có: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 152
Miền xác định
1
3
2 1
;
3
D
Đạo hàm:
3
(3 1)ln 2
f t
t
+ 1 > 0, t D .
Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:
f x f y x y .
Khi đó (1) có dạng:
2
( ) log 3 1 3 1 2 2 3 1 0
x x
x x x x . (4)
Xét hàm số
2 3 1
x
g x x , ta có:
Miền xác định:
1
3
2 1
;
3
D
Đạo hàm:
2
' 2 .ln 2 3, '' 2 .ln 2 0,
x x
g x g x x D
' g x là hàm đồng biến trên D.
Vậy theo định lý Rôn phương trình
0 g x có không quá 2 nghiệm trên D.
Nhận xét rằng
1 3 0 g g .
Vậy, phương trình có hai nghiệm 1 x và 3 x .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 153
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
1. Phương pháp
Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( ). f x A m
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ( ) f x trên . D
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số ( ) A m để đường thẳng ( ) y A m
nằm ngang cắt đồ thị hàm số ( ). y f x
Bước 4: Kết luận các giá trị của ( ) A m để phương trình ( ) ( ) f x A m có nghiệm (hoặc có k
nghiệm) trên . D
Lưu ý:
o Nếu hàm số ( ) y f x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị ( ) A m cần
tìm là những m thỏa mãn: min ( ) ( ) max ( ).
x D x D
f x A m f x
o Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa
vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng ( ) y A m nằm ngang cắt đồ thị
hàm số ( ) y f x tại k điểm phân biệt.
o Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu không
sẽ làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm
là hiển nhiên
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 3 4 1 * .
x x
m
Lời giải:
Đặt 2 , 0
x
t t . Phương trình
2
2
3
* 3 1 1 .
1
t
t m t m
t
Xét hàm số:
2
3
1
t
f t
t
xác định trên tập
0; . D
Ta có:
2 2
1 3
1 1
t
f t
t t
. Cho
1
0 1 3 0 .
3
f t t t
Bảng biến thiên:
x
0
1
3
y 0
y
3
10
1
Dựa vào bảng biến thiên
Với 10 m hoặc 1 m phương trình vô nghiệm. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 154
Với 1 3 m hoặc 10 m phương trình có nghiệm duy nhất.
Với 3 10 m phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán 2: Tìm m để phương trình:
- 3 +2m+1=0 ( )
2 2
1 1 1 1
9 2
x x
m
có nghiệm.
Lời giải:
Điều kiện: 1 1 x . Đặt:
2
1 1
3 ; 1;1 3; 9
x
t x t
.
Ta có:
2
2 2
2 1
* 2 2 1 0 2 2 1
2
t t
t m t m t m t t m
t
Xét hàm số:
2
2 1
2
t t
f t
t
với 3; 9 . t
Ta có:
2
2
4 3
2
t t
f t
t
. Cho
2
1
0 4 3 0 .
3
t
f t t t
t
Cho
2
0 2 1. t x x x
x
3
9
f t
f t
4
64
7
Kết luận: Phương trình có nghiệm
64
4
7
m thỏa yêu cầu bài toán.
Bài toán 3: Tìm m để phương trình: ( )
1 1
2.4 5.2 0,
x x
m
có nghiệm
Lời giải:
Đặt
1
2
x
t
, điều kiện
1
2
t vì 1 1 x .
Khi đó
2
* 2 5 . t t m
Xét hàm số
2
2 5 y t t trên
1
; .
2
Ta có: 4 5. y t Cho
5
0 4 5 0 .
4
y t t
x
1
2
5
4
y
– 0
y
2
25
8
Kết luận: Phương trình có nghiệm
25
.
8
m Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 155
Bài toán 4: Tìm m để phương trình: ( )
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2 ,
x mx x mx
x mx m
vô nghiệm.
Lời giải:
Đặt
2
2 2 t x mx , phương trình
2 2 2 2
* 5 5 2 5 5 2 2. 1 .
t t m t t m
t m t t m
Xét hàm số:
5 .
t
f t t
+ Miền xác đinh: . D
+ Đạo hàm
5 .ln 5 1 0,
t
f t x D hàm số đồng biến trên . D
Vậy phương trình
1
2
2 2 2 2 2 2 0. 2 . f t f t m t t m t m x mx m
Xét phương trình
2 ta có:
2
. m m
Nếu
2
0 0 1. m m m Phương trình
2 vô nghiệm phương trình
* vô
nghiệm.
Nếu
2
0
0 .
1
m
m m
m
+ Với 0 m phương trình có nghiệm kép 0. x
+ Với 1 m phương trình có nghiệm kép 1. x
Nếu
2
0
0 .
1
m
m m
m
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2
1
x m m m
và
2
2
. x m m m
Bài toán 5: Tìm m để phương trình: ( )
2 2
5 6 1 6 5
.2 2 2.2 ,
x x x x
m m
có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Ta có:
2 2
2 2 2 2 5 6 1
5 6 1 7 5 5 6 1
* .2 2 2 .2 2 2 .
x x x
x x x x x x x
m m m m
2 2 2 2
5 6 1 5 6 1
.2 2 2 .2 . 1
x x x x x x
m m
Đặt
2
5 6
2
x x
u
và
2
1
2
x
v
với , 0 u v . Khi đó phương trình
1 tương đương với:
2
2 2
2
2 5 6
1 1
1
1
1 0
2
5 6 0 2 1
3
2 2
2 , 2
x x
x x
x
u
mu v uv m u v m
v m
x
x x
x
m m
m
2 2
2 2
0 0
2 .
1 log 1 log
m m
x m x m
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 156
Phương trình
* có 4 nghiệm phân biệt Phương trình
2 có 2 nghiệm phân biệt
khác 2 và 3 .
2
2
2
0
0
2
1 log 0
1 1
1
0; 2 \ ; .
1 log 4 8 256
8
1 1 log 9
256
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy với
1 1
0; 2 \ ;
8 256
m
thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài toán 6: Tìm tham số thực m để phương trình:
2
3 3
log log 0 x x m có nghiệm.
Lời giải:
Tập xác định
D 0; .
Đặt
3
log x t . Khi đó phương trình trở thành
2
0 * t t m
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình
* có nghiệm:
1
1 4 0
4
m m .
Vậy để phương trình có nghiệm thực thì:
1
4
m .
Bài toán 7:
Tìm tham số thực m để phương trình:
2 4
log 5 1 log 2.5 2
x x
m có nghiệm thực 1 x .
Lời giải:
Điều kiện: 5 1 0 0
x
x
2 4 2 2
2
2 2 2 2
1
log 5 1 log 2.5 2 log 5 1 log 2 5 1
2
log 5 1 1 log 5 1 2 log 5 1 log 5 1 2
x x x x
x x x x
m m
m m
Đặt
2
log 5 1
x
t . Khi đó phương trình đã cho trở thành
2
2 0 * t t m
Phương trình đã cho có nghiệm 1 x khi phương trình
* có nghiệm 2 t
1 2
1 2
2 * *
2 * * *
t t
t t
(Loại
* * vì nếu 1 8 0 m thì
* có nghiệm
1
1
1 1 8
2,
2
1 1 8
2
m
t m
m
t
)
Ta có
* * * 2 0 6 2 0 3 af m m
Vậy phương trình có nghiệm thực 1 x thì 3 m . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 157
Bài toán 8: Tìm tham số thực m để phương trình:
log
2
log 1
mx
x
có nghiệm thực duy nhất.
Lời giải:
Tập xác định:
1
0
x
x
.
2 2
2
log
2 log 2 log 1 log log 1 1
log 1
2 1 0 *
mx
mx x mx x mx x
x
x m x
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình
* có một nghiệm thỏa mãn
1
0
x
x
( Ta thấy
* luôn có nghiệm khác 0
)
+ TH1:
phương trình
* có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
1 x x :
2
4 0
4
1 0 4 0
0 2
1
2 2
m m
m
af m m
m S m
+ TH2:
phương trình
* có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
1 x x :
1 0 0 af m .
Các giá trị m cần tìm
4
0
m
m
.
Bài toán 9:
Tìm tham số thực m để phương trình:
2 2 3
1 1
2 2
log 4 2 1 log 4 2 0 m x m x m m có
hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng
4; 6 .
Lời giải:
Đặt
1
2
log 4 x t .
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2 3
2 1 2 0 * mt m t m m .
Yêu cầu bài toán tương đương với
* phải có hai nghiệm phân biệt
1 2
1 t t :
2
2
3
1 2 1 2
1
1 2
2
2 1 2
1 2
0
0
0
1 0
1
1 0
0
2 1
2
1 0
1 0
1 0
1 1 0
1 0 2 0
2 1
1 1 0
2 0
m
m
m
m m
m
m
m
m m
t t t t
t
t t
m m
t t t
m
t t
m
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 158
3 2
2
2
0
0
1
1 0
2 2 4
1 0 1
2 2
0
0
2
0
1
0 0
m
m
m
m m
m m m
m m
m m
m
m
m
m m
m
m
m
Vậy 0 1 m thỏa yêu cầu bài toán.
Bài toán 10: Tìm m để:
2 2
3 3
log log 1 2 1 0 x x m cóít nhất một nghiệm trong đoạn
3
1; 3
Lời giải:
Điều kiện: 0. x
Đặt
2
3
log 1 x t .
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2
2 2 0 2 2 * t t m t t m .
Yêu cầu bài toán tương đương với
* phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2
.
Xét hàm số
2
f t t t trên đoạn 1; 2
. Ta có
2 1 0, 1; 2 f t t t
nên
1;2 1;2
min 1 2; max 2 6; f t f f t f
Để
* có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2
thì 2 2 2 6 0 2 m m
Bài toán 11:
Tìm tham số m để
2
2 2
4 log 2 2 log 1 0 m x m x m có hai nghiệm thỏa
1 2
1 2 x x
Lời giải:
Đặt
2
log 2 t 0
t
x t x ,phương trình đã cho trở thành:
2
2
2 1
4 2 2 1 0 *
1
t
m t m t m m
t
(do 1 t không phải là nghiệm )
Yêu cầu bài toán tương đương với
* phải có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
0 1 t t .
Xét hàm số
2
3
2 2 1
2 1 1
; ; 0
1 2
1
t
t
f t f t f t t
t
t
.
t 0
1
2
1
f t
0
f t
1
0
4
Từ BBT 4 m .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 159
Bài toán 12:
Tìm tham số m để:
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 log 3 x x m x có nghiệm thực thuộc
32;
.
Lời giải:
2 2 2 2
2 1 4 2 2 2
2
log log 3 log 3 log log 3 log 3 x x m x x x m x
Đặt
2
log x t ,phương trình đã cho trở thành:
2
2
3
3 3 *
3
t t
t t m t m
t
Yêu cầu bài toán tương đương với
* phải có hai nghiệm phân biệt 5 t :
Xét hàm số
2
3
3
t t
f t
t
trên
5;
4
5 9
; 0 5;
3
t
f t f t t
t
Cho 0 2 3 7 1. t x x x
Bảng biến thiên
t 5
f t
f t
17
2
1
Căn cứ BBT suy ra giá trị cần tìm là
17
1;
2
m
.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 160
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã
học như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, ...
I. PHƯƠNG PHÁP THẾ
Bài toán : Giải các hệ phương trình:
(ĐHKT 1999):
5( )
4
3
3 1
x
y
y x
x y
x y
.
9
1 y
x
log x
1
4
2
y
3
3
.
Lời giải:
Điều kiện x, y > 0. (*)
Thế phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:
3
3 3.5( )
4
3
x
x
x x
x x
3 3
1
4 15 5
x
x x x x
4
1
16 0
x
x
(*)
1
.
2
x
x
.
Khi đó:
Với 1 x suy ra
3
1 1 y
.
Với
1
2
8
x y .
Vậy, hệ phương trình có hai cặp nghiệm
1;1 và
1
2;
8
Điều kiện x > 0.
Viết lại hệ phương trình dưới dạng:
3
1 2
1
log
2
2 2
3
3
y x
x
y
3
1
log
2
2 1
3
3
x
x y
y
2 1
3
x y
y
x
y
2. y 1
3
y
x
3
1
3
x
y
.
Vậy, hệ phương trình có một cặp nghiệm
1; 3 .
Nhận xét: Trong lời giải trên:
Ở câu chúng ta sử dụng ngay phép thế
3
y x
vào phương trình thứ nhất của
hệ để nhận được một phương trình mũ dạng:
( ) ( ) f x g x
u x u x
( ) 1
( ) ( )
u x
f x g x
.
Ở câu để tường minh chúng ta có thể trình bày theo cách:
+ Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:
1 2
2 2
y x
2 1 x y 2 1. y x (1)
+ Biến đổi phương trình thứ hai của hệ về dạng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 161
3
1
lo g x
2
y
3
3
3
1
log
2
3
3
x
y
.
3
y
x (2)
+ Thay (2) vào (1), ta được:
2
1
3
y
y 3 2 1 3 1 y y y x .
II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài toán 1: Giải các hệ phương trình:
4 4 4
20
log log 1 log 9
x y
x y
.
2 2
1
4 4 0,5
y x
x y
.
Lời giải:
Điều kiện 0, 0 x y .
Biến đổi hệ phương trình về dạng:
4 4
20
log ( ) log (4.9)
x y
xy
20
36
x y
xy
suy ra x, y là nghiệm của phương trình:
t
2
20t + 36 = 0
2
18
t
t
µ y=18
µ y=2
2
18
x v
x v
.
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là
2;18 hoặc
18; 2 .
Biến đổi hệ phương trình về dạng:
2 2
( 2 ) ( 2 ) 2
4 4 0,5
y x
x y
( 2 ) ( 2 )
2 2
1
4
16
1
4 4
2
x y
y x
2 2
2 2
1
4 .4
16
1
4 4
2
y x
y x
suy ra
2 2
4 ,4
y x
là nghiệm của phương trình:
2
1 1
0
2 16
t t
1
4
t
2 2
1 1
4 4
4 2
y x
x y
.
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là
1
2
x y .
Nhận xét: Trong lời giải trên:
Ở câu bằng việc sử dụng công thức biến đổi tổng của hai logarit cùng cơ số
(trong đó
4
1 log 4 ) chúng ta nhận được dạng Vi ét cho hai ẩn , x y .
Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp thế như sau:
Rút 20 y x từ phương trình thứ nhất của hệ thay vào phương trình thứ hai,
ta được:
4 4 4 4 4
log log 20 1 log 9 log ( ) [ ( ) l g 6 ] 20 o 3 x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 162
2
20 36 20 36 ( ) 0 x x x x
y=18
y=2
2
.
18
x
x
Ở câu chúng ta đã sử dụng phép mũ hoá để nhận được tích của hai toán tử
2
4
x
và
2
4
y
, từ đó sử dụng hệ quả của định lí Vi ét. Đây chính là sự khác biệt mà các em
học sinh cần lưu ý cho hai dạng hệ phương trình ở và .
Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp thế như sau:
Rút y = 1 x từ phương trình thứ nhất của hệ thay vào phương trình thứ hai,
ta được:
( 2 2 1 2 2 )
1
4 4 0,5 4 4 0,5
16
x x x x
.
Đặt
2
4
x
t , điều kiện 0 t . Ta được:
1 2 2
1
. 0,5 8 16 0 4 4 4
16
x
t t t t t
2 1 x
1 1 1
1 .
2 2 2
x y
Như vậy, từ đây các em học sinh có thể thấy được tính tối ưu của việc sử dụng các phép biến đổi
tương đương để giải hệ phương trình.
Bài toán 2: Giải các hệ phương trình:
5 5 7 5
2 5 2
log log 7.log 1 log 2
3 log (1 3log )log 5
x y
y x
.
2 2
log ( ) 5 log ( )
lg lg 4
1
lg lg 3
x y x y
x
y
.
Lời giải:
Điều kiện , 0 x y . Biến đổi hệ phương trình về dạng:
5 5 5
2 2 2 5
log log 1 log 2
3 log log 5 3log 5.log
x y
y x
5 5 5
2 2 2
log log log 10
3log log 3 log 5
x y
x y
5 5
3
2 2
log ( ) log 10
8
log og
5
xy
x
l
y
3
10
8
5
xy
x
y
2
5
x
y
.
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là
2; 5 .
Điều kiện:
0, 0
0; 0
lg lg 3 0
x y
x y x y
y
0, 0 3
0; 0
x y
x y x y
. (*)
Biến đổi tương đương hệ phương trình về dạng:
2 2
log ( ) log ( ) 5
3
lg lg
4
x y x y
x
y
2 2
2
log ( ) 5
3
4
x y
x
y
2 2
32
12
x y
x
y
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 163
2
2
12
32
12
y
y
x
y
4 2
32 144 0
12
y y
x
y
2
4
12
y
x
y
(*)
2
6
y
x
.
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là
6; 2 .
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài toán 1: Giải các hệ phương trình sau:
2 2 2 2
1
3 2 17
2.3 3.2 8
y x
y x
.
1
2 2 2
y x
x y
.
Lời giải:
Đặt:
3
2
x
y
u
v
, điều kiện , 0 u v .
Khi đó, hệ (I) được biến đổi về dạng:
2 2
9 4 17
6 3 8
u v
u v
2
9 6 1 0
8 6
3
u u
u
v
1
3
2
u
v
1
3
3
2 2
x
y
1
1
x
y
Vậy, hệ có cặp nghiệm
1;1 .
Biến đổi hệ phương trình về dạng:
2 2
2 2 2
x y
y x
2 .( 2 ) 2
2 2 2
y x
y x
. Đặt:
2
2
x
y
u
v
, 0 u và 0 v
Khi đó, hệ có dạng:
2
. 2
u v
u v
suy ra , u v là nghiệm của phương trình:
2
2 2 0 1 3 t t t
1 3
1 3
u
v
2 1 3
2 1 3
x
y
2
2
log (1 3)
log ( 3 1)
x
y
.
Vậy, hệ phương trình có một nghiệm.
Bài toán 2: Giải các hệ phương trình sau:
2 2
lg lg 1
lg 1
x y
x
y
.
2
2
ln( ) ln 1
ln( ) ln 1
xy x
xy y
.
Lời giải:
Điều kiện , 0 x y .
Biến đổi hệ về dạng:
2 2
lg lg 1
lg lg 1
x y
x y
. Đặt:
lg
lg
u x
v y
Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 164
2 2
1
1
u v
u v
2 2
1
( 1) 1
v u
u u
2
1
2 2 0
v u
u u
1
0
1
v u
u
u
0 & 1
1 & 0
u v
u v
1
1 &
10
10 & 1
x y
x y
Vậy, hệ có hai cặp nghiệm
1
1;
10
và
10;1 .
Điều kiện , 0 x y . Biến đổi hệ về dạng:
2
2
ln ln ln 1
ln ln ln 1
x y x
x y y
. Đặt:
ln
ln
u x
v y
Khi đó, hệ (I) được biến đổi về dạng:
2
2
1
.
1
u v v
u v u
Trừ từng vế hệ phương trình, ta được:
2 2 2 2
( ) ( ) 0 u v u v u v u v
u v
u v
.
Ta lần lượt:
Với u v , ta được:
2
1 v v v
2
2 1 0 1 v v v
1 lg lg 1 10 u v x y x y .
Với u v , ta được:
2 2
1 1 0 v v v v , vô nghiệm.
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất
10;10 .
Chú ý: Với các em học sinh đã có kinh nghiệm trong việc giải toán thì:
Ở câu chúng ta có thể trình bày (với điều kiện 0, 0 x y ) theo cách:
2 2
lg lg 1
lg lg 1
x y
x y
2
lg lg 2lg .lg 1
lg lg 1
x y x y
x y
lg .lg 0
lg lg 1
x y
x y
lg 0
lg 1
lg 0
lg 1
x
y
y
x
1
1 &
10
10 & 1
x y
x y
.
Ở câu chúng ta có thể trình bày (với điều kiện x > 0, y > 0) theo cách suy ra:
2 2 2 2
ln 1 ln 1 ln ln ln ln x y x y x y x y .
Từ đó, ta được:
2 2 2
ln ln 1 ln 2ln 1 0 ln 1 x x x x x 10 10 x y .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 165
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Bài toán 1: Giải các hệ phương trình sau:
2 2
3 3
12
y x
y x
x xy y
.
2 2
ln ln
6 2 6 0
x y y x
x y x y
.
Lời giải:
Viết lại phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: 3 3
y x
x y (*)
Xét hàm số
3
t
f t t đồng biến trên .
Vậy, phương trình (*) được viết dưới dạng:
f x f y x y .
Khi đó hệ có dạng:
2 2
12
x y
x xy y
2
3 12
x y
x
2
x y
x
2
2
x y
x y
Vậy, hệ phương trình có 2 cặp nghiệm
2; 2 và ( 2; 2) .
Điều kiện , 0 x y .
Từ phương trình thứ nhất của hệ: ln ln x x y y . (**)
Xét hàm số f(t) = lnt + t là hàm đồng biến, khi đó (**) tương đương:
f x f y x y .
Khi đó, hệ được chuyển về dạng:
2
4 3 0
x y
x x
, 0 x y
1
3
x y
x y
.
Vậy, hệ có hai cặp nghiệm
1;1 và
3; 3 .
Bài toán 2: (ĐHQG Hà Nội 1995): Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 ( )( 2) (1)
2 (2)
y x
y x xy
x y
.
Lời giải:
Thay (2) vào (1) ta được:
2 2 3 3
2 2 2 2
y y x x
y x x y xy Û y x
3 3
2 2
y x
x y (3)
Xét hàm số
3
2
t
f t t đồng biến trên .
Vậy, phương trình (3) được viết dưới dạng:
f x f y x y .
Khi đó, hệ có dạng:
2 2
2
x y
x y
2
2 2
x y
x
1
x y
x
1
1
x y
x y
.
Vậy, hệ phương trình có 2 cặp nghiệm
1;1 và( 1; 1) .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 166
Bài toán 3: (ĐHQG Hà Nội 1995): Giải hệ phương trình:
2
2
log ( 1) 1
log
x y
y x
.
Lời giải:
Điều kiện:
1
0
x
y
.
Từ hệ suy ra:
2 2 2 2
log 1 log 1 log 1 1 log . x x y y x x y y
Xét hàm số
2
log f t t t là hàm đồng biến với 0 t , do đó phương trình có dạng:
1 1 f x f y x y .
Khi đó hệ được chuyển thành:
2
1
log ( 1)
y x
x x
1
1 2
x
y x
x
Bernoulli
1
0
1
y x
x
x
0 & 1
1 & 2
x y
x y
.
Vậy, hệ có hai cặp nghiệm
0;1 và
1; 2 .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 167
C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SHIFT SOLVE
1. Phương pháp
Bài toán đặt ra : Tìm số nghiệm của phương trình
2
2 1 3 1 x x x x ?
Xây dựng phương pháp :
Chuyển bài toán về dạng Vế trái 0 khi đó
2
2 1 3 1 0 x x x x và đặt
2
2 1 3 1 f x x x x x
Nhập vế trái vào màn hình máy tính Casio
sQ)$+s2Q)+1$pQ)d+3Q)p1
Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE với nghiệm gần giá trị 3
qr3=
Máy tính báo có nghiệm 4 x
Để tìm nghiệm tiếp theo ta tiếp tục sử dụng chức năng SHIFT SOLVE, tuy nhiên câu hỏi được
đặt ra là làm thế nào máy tính không lặp lại giá trị nghiệm 4 x vừa tìm được ?
+) Để trả lời câu hỏi này ta phải triệt tiêu nghiệm 4 x ở phương trình
0 f x đi bằng cách
thực hiện 1 phép chia
4
f x
x
+) Sau đó tiếp tục SHIFT SOLVE với biểu thức
4
f x
x
để tìm nghiệm tiếp theo.
+) Quá trình này liên tục đến khi nào máy tính báo hết nghiệm thì thôi.
Tổng hợp phương pháp
Bước 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0
Bước 2: Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE dò nghiệm
Bước 3: Khử nghiệm đã tìm được và tiếp tục sử dụng SHIFT SOLVE để dò nghiệm
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: [THPT Phạm Hồng Thái – Hà Nội 2017]
Số nghiệm của phương trình 6.4 12.6 6.9 0
x x x
là :
A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
Lời giải:
Nhập vế trái của phương trình 6.4 12.6 6.9 0
x x x
vào máy tính Casio :
6O4^Q)$p12O6^Q)$+6O9^Q)
Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm được nghiệm thứ nhất :
qr2= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 168
Ta thu được nghiệm thứ nhất 0 x
Để nghiệm 0 x không xuất hiện ở lần dò nghiệm SHIFT SOLVE tiếp theo ta chia phương
trình
F X cho nhân tử x
$(!!)PQ)
Tiếp tục SHIFT SOLVE lần thứ hai :
qr1=
50
10
ta hiểu là 0 (do cách làm tròn của máy tính Casio) Có nghĩa là máy tính không thấy nghiệm
nào ngoài nghiệm 0 x nữa Phương trình chỉ có nghiệm duy nhất.
Đáp số chính xác là B.
Bài toán 2: Số nghiệm của bất phương trình
2
2
3
2
2
x x
(1) là :
A. 3 B. 2 C. 0 D. 4
Lời giải:
Chuyển bất phương trình (1) về dạng :
2
2
3
2 0
2
x x
Nhập vế trái của phương trình
2
2
3
2 0
2
x x
vào máy tính Casio rồi nhất =để lưu vế trái vào
máy tính . Dò nghiệm lần thứ nhất với x gần 1
2^Q)dp2Q)$pa3R2$= qrp1=
Ta được nghiệm 0.2589... x
Tiếp theo ta sẽ khử nghiệm 0.2589... x nhưng nghiệm này lại rất lẻ, vì vậy ta sẽ lưu vào biến
A
qJz
Sau đó gọi lại phương trình và thực hiện phép chia nhân tử x A để khử nghiệm A
E$(!!)P(Q)pQz) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 169
Tiếp tục SHIFT SOLVE với x gần 1 . Ta được nghiệm thứ hai và lưu vào B
qr=1=qJx
Gọi lại phương trình ban đầu rồi thực hiện phép chia cho nhân tử x B để khử nghiệm B
EE$(!!)P(Q)pQz)P(Q)pQx)
Rồi dò nghiệm với x gần 0
qr===
Máy tính nhấn Can’t Solve tức là không thể dò được nữa (Hết nghiệm)
Kết luận : Phương trình (1) có 2 nghiệm Chọn đáp án B.
Bài toán 3: Số nghiệm của bất phương trình
2 2
2 1 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x x
(1) là :
A. 0 B. 2 C. 3 D. 5
Lời giải:
Nhập vế trái phương trình
2 2
2 1 2 1
4
2 3 2 3 0
2 3
x x x x
vào máy tính Casio , nhấn
nút = để lưu phương trình lại và dò nghiệm thứ nhất.
(2+s3$)^Q)dp2Q)+1$+(2ps3$)^
Q)dp2Q)p1$pa4R2ps3=
qr1=
Khử nghiệm 1 x rồi dò nghiệm thứ hai.
qr1=$(!!)P(Q)p1)qr3=
Lưu biến thứ hai này vào A Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 170
qJz
Khử nghiệm 1; x x A rồi dò nghiệm thứ ba. Lưu nghiệm này vào B
$(!!)P(Q)p1)P(Q)pQz)qr=p1=
Khử nghiệm 1 ; ; x x A x B rồi dò nghiệm thứ tư.
EEE$(!!)P(Q)p1)P(Q)pQz)P(Q)
pQx)qr==0=
Hết nghiệm Phương trình (1) có 3 nghiệm Chọn đáp án C.
Bài toán 4: [Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017]
Số nghiệm của phương trình
sin
4
tan
x
e x
trên đoạn 0; 2
là :
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Chuyển phương trình về dạng :
sin
4
tan 0
x
e x
. Dò nghiệm thứ nhất rồi lưu vào A
QK^jQ)paqKR4$)$plQ))=qr2qK
P4=qJz
Gọi lại phương trình ban đầu . Khử nghiệm x A hay
4
x
rồi dò nghiệm thứ hai. Lưu nghiệm
tìm được vào B
E$(!!)P(Q)pQz)qr=2qKP4=
Ra một giá trị nằm ngoài khoảng 0; 2
. Ta phải quay lại phương pháp 1 dùng MODE 7 thì
mới xử lý được. Vậy ta có kinh nghiệm khi đề bài yêu cầu tìm nghiệm trên miền ;
thì ta
chọn phương pháp lập bảng giá trị MODE 7
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 171
Bài toán 5: [THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017]
Phương trình
3
1
3 2 3 2
x
x
x
có số nghiệm âm là :
A. 2 nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. Không có
Lời giải:
Nhập vế trái phương trình :
3
1
3 2 3 2 0
x
x
x
, lưu phương trình, dò nghiệm thứ
nhất.
w7(s3$+s2$)^a3Q)RQ)+1$$p(s3
$ps2$)^Q)
Gọi lại phương trình, khử nghiệm 0 x rồi dò nghiệm thứ hai. Lưu nghiệm này vào biến A
E$(!!)PQ)qrp10=qJz
Khử hai nghiệm 0; x x A rồi dò nghiệm thứ ba.
E$(!!)PQ)P(Q)+2)qrp10=
Ta hiểu
50
10 0
tức là máy tính không dò thêm được nghiệm nào khác 0
Phương trình chỉ có 1 nghiệm âm 2 x (nghiệm 0 x không thỏa) Ta chọn đáp án C.
Bài toán 6: [THPT Yến Thế - Bắc Giang 2017]
Số nghiệm của phương trình
3
3 5 7 3 5 2
x x
x
là :
A. 2 B. 0 C. 3 D. 1
Lời giải:
Nhập vế trái phương trình :
3
3 5 7 3 5 2 0
x x
x
vào máy tính Casio, lưu phương
trình, dò nghiệm thứ nhất . Ta thu được nghiệm 0 x
(3ps5$)^Q)$+7(3+s5$)^Q)$p2^
Q)+3=qr1=
Khử nghiệm 0 x rồi tiếp tục dò nghiệm thứ hai. Lưu nghiệm thứ hai vào A
$(!!)PQ)qr1=qJz Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 172
Gọi lại phương trình, khử nghiệm 0; x x A rồi dò nghiệm thứ ba.
EE$(!!)PQ)P(Q)pQz)qr=p2=
Không có nghiệm thứ ba Ta chọn đáp án A.
II. PHƯƠNG PHÁP CALC
1. Phương pháp
Bước 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0 .
Vậy nghiệm của PT sẽ là giá trị của x làm cho vế trái 0
Bước 2: Sử dụng chức năng CALC hoặc MODE 7 hoặc SHIFT SOLVE để kiểm tra xem
nghiệm. Một giá trị được gọi là nghiệm nếu thay giá trị đó vào vế trái thì được kết
quả là 0
Bước 3: Tổng hợp kết quả và chọn đáp án đúng nhất
*Đánh giá chung: Sử dụng CALC sẽ hiệu quả nhất trong 3 cách
Chú ý : Nhập giá trị log
a
b vào máy tính casio thì ta nhập log : log b a
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: [Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội 2017] Giải phương trình
2
2 4 1 1
2 8
x x x
A. Vô nghiệm B.
5
2
2
x
x
C.
5
2
2
x
x
D.
7 17
4
x
Lời giải:
Phương trình
2
2 4 1 1
2 8 0
x x x
. Nhập vào máy tính Casio rồi kiểm tra giá trị 2 x
2^2Q)dp4Q)+1$p8^Q)p1r2=
2 6 F Đáp số B và C sai
Kiểm tra giá trị
7 17
4
x
và
7 17
4
x
r(7+s17))P4=r(7ps17))P4= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 173
D là đáp án chính xác.
Bài toán 2: [Thi HK1 THPT Liên Hà – Đông Anh năm 2017]
Tập nghiệm của phương trình
2 2
1
3 .5 15
x m
x
x m
( m là tham số) là :
A.
3
2; log 5 m B.
3
2; log 5 m C.
2 D.
3
2; log 5 m
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Đề bài không cho điều kiện ràng buộc của m nên ta chọn một giá trị m bất kì. Ví dụ 5 m
Phương trình trở thành :
2 2 5 2 2 5
1 1
5 5
3 .5 15 3 .5 15 0
x x
x x
x x
Nhập phương trình vào máy tính Casio
3^Q)p1$O5^a2Q)p2p5RQ)p5$$p1
5
Đáp án nào cũng có 2 nên không cần kiểm tra. Kiểm tra nghiệm
3 3
log 5 5log 5 x m .
r5O(g5)Pg3))=
Ra một kết quả khác 0 Đáp án A sai
Tương tự tra nghiệm
3 3
log 5 5 log 5 x m
r5pg5)Pg3)=
Ra kết quả bằng 0 vậy Đáp án chính xác là D
Cách tham khảo : Tự luận
Phương trình
2 2 2 2 2 2
1
1 1
1 1 1 1
3 .5 15 3 .5 3 .5 5 3
x m x m x m
x
x x
x m x m x m
2
2
5 3
x
x
x m
(1)
Logarit hóa hai vế theo cơ số 5.
5
2
(1) 2 log 3
x
x
x m
Trường hợp 1 : Với 2 0 2 x x
Trường hợp 2 :
5 2
5
1 1
log 2 log 5
log 2
x m x m
x m
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 174
Bài toán 3: [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai Tp.HCM 2017]
Gọi
1
x và
2
x là 2 nghiệm của phương trình
2 1
5 8.5 1 0
x x
. Khi đó :
A.
1 2
1 x x B.
1 2
2 x x C.
1 2
2 x x D.
1 2
1 x x
Lời giải:
Cách 1 : CASIO SHOLVE+CALC
Nhập vế trái vào máy tính Casio. Rồi nhấn phím =để lưu lại phương trình =
5^2Q)+1$p8O5^Q)$+1
Vì đáp án không cho 1 giá trị cụ thể nên ta không thể sử dụng được chức năng CALC mà phải
sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE. Ta dò nghiệm với giá trị x gần 1 chả hạn
qr1=
Vậy 1 là nghiệm. Ta lưu nghiệm này vào biến A rồi coi đây là nghiệm
1
x
qJz
Ta có
1
x A Nếu đáp án A là
1 2
1 x x đúng thì
2
1 x A phải là nghiệm. Ta gọi lại phương
trình ban đầu rồi CALC với giá trị 1 A
Er1pQz=
Kết quả ra khác 0 vậy 1 A không phải là nghiệm hay đáp án A sai
Tương tự như vậy ta CALC với các giá trị
2
x của đáp án B, C, D. Cuối cùng ta thấy giá trị 1 A
là nghiệm. Vậy đáp số chính xác là D
rp1pQz=
Cách 2 : CASIO 2 LẦN SHIFT SOLVE
Nhập vế trái vào máy tính Casio. Nhấn nút để lưu vế trái lại rồi SHIFT SOLVE tìm nghiệm thứ
nhất và lưu vào A Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 175
5^2Q)+1$p8O5^Q)$+1=qr1=qJz
Gọi lại vế trái. SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm thứ hai và lưu vào B
Eqrp2= qJx
Ta có 1 A B
Cách tham khảo : Tự luận
Đặt 5
x
t khi đó
2
2 2
5 5
x x
t . Phương trình
2
5 8 1 0 t t
4 11
5
t
Với
5
4 11 4 11 4 11
5 log
5 5 5
x
t x
Với
5
4 11 4 11 4 11
5 log
5 5 5
x
t x
Vậy
1 2 5 5 5 5
4 11 4 11 4 11 4 11 1
log log log . log 1
5 5 5 5 5
x x
Bài toán 4: [Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Phương trình 9 3.3 2 0
x x
có hai nghiệm
1 2
, x x
1 2
x x . Giá trị
1 2
2 3 A x x là :
A.
3
4 log 2 B. 1 C.
3
3log 2 D.
2
2 log 3
Lời giải:
Cách 1 : CASIO SHIFT SLOVE + CALC
Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi nhấn nút để lưu phương trình
9^Q)$p3O3^Q)$+2=
Vì chưa biết 2 đáp án , mà 2 đáp án vai trò không bình đẳng trong quan hệ ở đáp án. Nên ta
phải sử dụng dò cả 2 nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE ở mức độ khó hơn . Đầu tiên ta dò
nghiệm trong khoảng dương, chả hạn chọn X gần với 1
qr1=
Lưu nghiệm này vào giá trị A ta được 1 nghiệm. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 176
qJz
Vì vừa dò với 1 giá trị dương rồi bây giờ ta dò nghiệm trong khoảng âm, chả hạn chọn X gần
2 . Gọi là phương trình và dò nghiệm
Eqrp2=
Ta được 1 nghiệm nữa là 0. Vì 0 A nên
1 2
0; x x A ta có
1 2 3
2 3 2.0 3. 1.8927 3log 2 x x A
Vậy đáp số đúng là C.
Cách 2 : CASIO 2 LẦN SHIFT SOLVE
Nhập vế trái vào máy tính Casio. Nhấn nút để lưu vế trái lại rồi SHIFT SOLVE tìm nghiệm thứ
nhất và lưu vào A
9^Q)$p3O3^Q)$+2=qr1=qJz
Gọi lại vế trái. SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm thứ hai và lưu vào B
Eqrp1=
Ta có
3
2 3 1 .8 9 2 7 3 l o g 2 A B
Cách tham khảo : Tự luận
Đặt 3
x
t khi đó
2
2 2. 2
9 3 3 3
x
x x x
t
Phương trình
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
.
Với 1 3 1 0
x
t x
Với
3
2 3 2 log 2
x
t x
Vậy
1 2 3 3
2 3 2.0 3.log 2 3log 2 x x
Bài toán 5: [THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Phương trình
2 1 2 1 2 2 0
x x
có
tích các nghiệm là :
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 177
Lời giải:
Nhập phương trình
2 1 2 1 2 2 0
x x
vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT
SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1
(s2$p1)^Q)$+(s2$+1)^Q)$p2s2
qr2=
Nếu đáp số A đúng thì nghiệm còn lại là 0 . Sử dụng chức năng CALC để kiểm tra. Ra một
kết quả khác 0 Đáp số A sai
r0=
Tương tự vậy, kiểm tra đáp số B với giá trị 1 x là nghiệm Đáp số B chính xác
rp1=
Bài toán 6: [THPT Nguyễn Gia Thiều -HN 2017]
Tổng các nghiệm của phương trình 2 5 2 3 . 5 2 7 0
x x
x x là :
A. 1 B. 6 C. 2 D. 9
Lời giải:
Phương trình
25 2 3 .5 2 7 0
x x
x x . Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức
năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1
25^Q)$p2(3pQ))O5^Q)$+2Q)p7
=qr1=
Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại Nghiệm còn lại là 1 x
qr5=qrp5=
Không còn nghiệm nào ngoài 1 vậy phương trình có nghiệm duy nhất Đáp số chính xác
là A.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 178
Bài toán 7: [THPT Phạm Hồng Thái -HN 2017]
Phương trình
2 1
2
1
log 2 .log 2 x
x
có hai nghiệm
1 2
; x x thỏa mãn biểu thức :
A.
1 2
2 x x B.
1 2
3
4
x x C.
1 2
1
2
x x D.
1 2
1 x x
Lời giải:
Phương trình
2 1
2
1
log 2 .log 2 0 x
x
. Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức
năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 2
i2$2Q)$Oi0.5$a1RQ)$$p2qr1
=
Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại Nghiệm còn lại là 1 x
qrp2=
Rõ ràng
1 2
1
.
2
x x Đáp số chính xác là C.
III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7
1. Phương pháp
Bước 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0
Bước 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để xét lập bảng giá trị của vế trái
Bước 3: Quan sát và đánh giá : +) Nếu
0 F thì là 1 nghiệm
+) Nếu
. 0 F a F b thì PT có 1 nghiệm thuộc
; a b
Ưu điểm: Những bài toán biết trước khoảng nghiệm của nó thì làm cách này sẽ nhanh, chỉ cần chọn
Start , End và Step hợp lý và xem F(x)=0 hoặc F(x) đổi dấu.
Nhược điểm: Không khuyến khích cách này vì dễ sót nghiệm đối với những bài toán tìm số nghiệm của
phương trình do thiết lập Start , End và Step không hợp lý.
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: [Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017]
Số nghiệm của phương trình
sin
4
tan
x
e x
trên đoạn 0; 2
là :
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 179
Lời giải:
Chuyển phương trình về dạng :
sin
4
tan 0
x
e x
Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 2 Step
2 0
19
qw4w7QK^jQ)paQKR4$)$plQ))=
=0=2qK=2qKP19=
Quan sát bảng giá trị ta thấy 3 khoảng đổi dấu như trên :
0.6613 . 0.992 0 f f có nghiệm thuộc khoảng
0.6613; 0.992
1.3227 . 1.6634 0 f f có nghiệm thuộc khoảng
1.3227;1.6534
3.6376 . 3.9683 0 f f có nghiệm thuộc khoảng
3.6376; 3.9683
4.6297 . 4.9604 0 f f có nghiệm thuộc khoảng
4.6297; 4.9604
Kết luận : Phương trình ban đầu có 4 nghiệm Ta chọn đáp án D.
Bình luận :
Đề bài yêu cầu tìm nghiệm thuộc 0; 2
nên Start = 0 và End = 2
Máy tính Casio tính được bảng giá trị gồm 19 giá trị nên bước nhảy Step =
2 0
19
Bài toán 2: [THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017]
Phương trình
3
1
3 2 3 2
x
x
x
có số nghiệm âm là :
A. 2 nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. Không có
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Chuyển phương trình về dạng :
3
1
3 2 3 2 0
x
x
x
Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm :
w7(s3$+s2$)^a3Q)RQ)+1$$p(s3
$ps2$)^Q)
Vì đề bài yêu cầu nghiệm âm nên ta hiết lập miền giá trị của X là : Start 9 End 0 Step 0.5
==p9=0=0.5= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 180
Máy tính cho ta bảng giá trị :
Ta thấy khi 4 x thì
4 0 F vậy 4 x là nghiệm.
Tiếp tục quan sát bảng giá trị
F X nhưng không có giá trị nào làm cho
0 F X hoặc khoảng
nào làm cho
F X đổi dấu.
Điều này có nghĩa 4 x là nghiệm âm duy nhất
Kết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm Ta chọn đáp án C
Cách tham khảo : Tự luận
Logarit hai vế theo cơ số dương 3 2
Phương trình
3
1
3 2 3 2
x
x
x
3
1
3 2 3 2
log 3 2 log 3 2
x
x
x
3 2
3
l o g 3 2
1
x
x
x
0
3 3
1 0
1 3 4 1 1
x
x
x x
x x x x
4 x thỏa điều kiện. Vậy ta có 4 x là nghiệm âm thỏa phương trình
Bình luận :
Phương trình trên có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung. Vậy đây là dấu hiệu của
phương pháp Logarit hóa 2 vế
Thực ra phương trình có 2 nghiệm 0; 4 x x nhưng đề bài chỉ hỏi nghiệm âm nên ta chỉ
chọn nghiệm 4 x và chọn đáp án C là đáp án chính xác
Vì đề bài hỏi nghiệm âm nên ta thiết lập miền giá trị của x cũng thuộc miền âm
9; 0
Lời giải theo CASIO sẽ sai nếu có nghiệm bé hơn -9 (Start 9 End 0), nên đây chính là hạn
chế của cách này.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 181
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. ĐỀ BÀI
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Tìm giá trị của tham số k để hai phương trình sau có nghiệm chung:
3 30 1
0 2
x
x
x k
A. 2 . B. 3. C. 4. D. 5 .
Câu 2. Phương trình
3
9 4
3 81
x x
có mấy nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 3. Phương trình 6 35 6 35 12
x x
có mấy nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 4. Phương trình
2
2 .5 40000
x x
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 5. Phương trình
2
3 666661
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 6. Phương trình 4 10.2 16 0
x x
có mấy nghiệm?
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 7. Cho phương trình
2
4 5
3 9
x x
tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:
A. 28. B. 27. C. 26. D. 25.
Câu 8. Cho phương trình:
x
2
3 8 2 1
3 9
x x
, khi đó tập nghiệm của phương trình là:
A.
2; 5 . S
B.
5 61 5 61
; .
2 2
S
C.
5 61 5 61
; .
2 2
S
D.
2; 5 . S
Câu 9. Phương trình
1
1
3 2
9
x
x
có bao nhiêu nghiệm âm?
A. 1. B. 4. C. 0. D. 2.
Câu 10. Cho phương trình:
x
2
28
4
3 1
2 16
x
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên.
B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 11. Phương trình
2 2 1
8 8 5
2 .5 0,001. 10
x
x x
có tổng các nghiệm là?
A. 7. B. 7. C. 5. D. 5.
Câu 12. Phương trình 9 5.3 6 0
x x
có nghiệm là:
A.
2
1, log 3 x x . B.
3
1, log 2 x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 182
C.
3
1, log 2 x x . D.
3
1, log 2 x x .
Câu 13. Cho phương trình
1
4.4 9.2 8 0
x x
. Gọi
1 2
, x x là hai nghiệm của phương trình trên.
Khi đó, tích
1 2
. x x bằng:
A. 1 . B. 2 . C. 2 . D. 1 .
Câu 14. Cho phương trình
1
4 4 3
x x
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
x 2
4 3.4 4 0
x
.
B. Phương trình có một nghiệm.
C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.
D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 15. Nghiệm của phương trình
1 1
2 2 3 3
x x x x
là:
A.
3
2
3
log
4
x . B. 1 x . C. 0 x . D.
4
3
2
log
3
x .
Câu 16. Nghiệm của phương trình 6.4 13.6 6.9 0
x x x
là:
A.
0;1 x . B.
2 3
;
3 2
x
. C.
1; 0 x . D.
1; 1 x .
Câu 17. Nghiệm của phương trình
1
12.3 3.15 5 20
x x x
là:
A.
5
log 3 1 x . B.
3
log 5 x . C.
3
log 5 1 x . D.
3
log 5 1 x .
Câu 18. Phương trình 9 5.3 6 0
x x
có tổng các nghiệm là:
A.
3
log 6 . B.
3
2
log
3
. C.
3
3
log
2
. D.
3
log 6 .
Câu 19. Phương trình
1
5 25 6
x x
có tích các nghiệm là:
A.
5
1 21
log
2
. B.
5
1 21
log
2
. C. 5. D.
5
1 21
5log
2
.
Câu 20. Phương trình
7 4 3 2 3 6
x x
có nghiệm là:
A.
2 3
log 2 x
. B.
2
log 3 x . C.
2
log 2 3 x . D. 1 x .
Câu 21. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x
.
A.
5; 1;1; 2 . x B.
5; 1;1; 3 . x
C.
5; 1;1; 2 . x D.
5; 1;1; 2 . x
Câu 22. Phương trình
3 2 3 2 10
x x x
có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?
A.
1 . B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 23. Cho phương trình
2 2
cos sin
2 4.2 6
x x
. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 2. C. 4. D. Vô số nghiệm.
Câu 24. Phương trình
2 1
.2 2 2 3
x x
x x x
có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?
trên R.
A. 0. B. 4. C. 3.
D. 2. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 183
Câu 25. Phương trình:
5 2 3 2 7
x x x
có mấy nghiệm?
A.
4. B. 0. C. 3.
D. 2.
Câu 26. Phương trình
2
3 2 3 1 4.3 5 0
x x x
x có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?
A.
1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 27. Phương trình
2
3 5 6
2 3
x x x
có hai nghiệm
1 2
, x x trong đó
1 2
x x , hãy chọn phát biểu
đúng?
A.
1 2 3
3 2 log 54. x x B.
1 2 3
2 3 log 8 x x .
C.
1 2 3
2 3 log 54. x x D.
1 2 3
3 2 log 8 x x
Câu 28. Phương trình
2 2
sin cos
4 4 2 2 sin cos
x x
x x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;15
A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 29. m là tham số thay đổi sao cho phương trình
2
1 1
9 4.3 27 0
x x m
có hai nghiệm phân
biệt. Tổng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Câu 30. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình
2 3 2 3
x x
m có hai
nghiệm phân biệt?
A. 2 m . B. 2 m . C. 2 m . D. 2 m .
Câu 31. Gọi
1 2
, x x là hai nghiệm của phương trình
2 2
2 2 2 1 2 2
4 3
2 2 2 2 1
x x
x x
. Khi đó,
tổng hai nghiệm bằng?
A. 2. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 32. Tìm tập nghiệm S của phương trình
2 2
1
3 .5 15
x m
x
x m
, m là tham số khác 2.
A.
3
2; log 5 . S m B.
3
2; log 5 . S m C.
2 . S D.
3
2; log 5 . S m
Câu 33. Biết rằng phương trình
2
1 1
3
3 .25
25
x x
có đúng hai nghiệm
1 2
, x x . Tính giá trị của
1 2
3 3 .
x x
P
A.
26
.
5
P B. 26. P C. 26. P D.
26
.
25
P
Câu 34. Phương trình
2 2
1
2 2 1
x x x
x
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 35. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình
2 2
sin cos
2017 2017 cos 2
x x
x trên đoạn
0; .
A. . x B. .
4
x
C. .
2
x
D.
3
.
4
x
Câu 36. Biết rằng phương trình
2
1 2 1
3 1 3 1
x x
x
có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập
phương hai nghiệm của phương trình bằng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 184
A. 2. B. 0. C. 8. D. 8.
Câu 37. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
1
9 2.3 0
x x
m
có hai nghiệm thực
1 2
, x x thỏa mãn
1 2
1. x x
A. 6. m B. 3. m C. 3. m D. 1 . m
Câu 38. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
1
4 .2 2 0
x x
m m
có hai nghiệm thực
1 2
, x x thỏa mãn
1 2
2. x x
A. 4 . m B. 3. m C. 2. m D. 1. m
Câu 39. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
2 1
2017 2 .2017 0
x x
m m
có hai
nghiệm thực
1 2
, x x thỏa mãn
1 2
1. x x
A. 0. m B. 3. m C. 2. m D. 1. m
Câu 40. Cho phương trình
1 16 2 2 3 4 6 5 0
x x
m m m với m là tham số thực. Tập tất
cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng
; . a b Tính . P ab
A. 4 P . B. 4 P . C.
3
2
P . D.
5
6
P .
Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9 1 3 2 0
x x
m m có nghiệm duy
nhất.
A. 5 2 6 m . B. 0 m ; 5 2 6 m .
C. 0 m . D. 0 m ; 5 2 6 m .
Câu 42. Cho phương trình
2 2
2 1 2 2
4 .2 3 2 0
x x x x
m m
với m là tham số thực. Tìm tất cả các
giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
A. 1 m . B. 1 m ; 2. m C. 2. m D. 2. m
Câu 43. Cho phương trình
2 2
5 6 1 6 5
.2 2 2.2
x x x x
m m
với m là tham số thực. Có tất cả bao
nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 44. Cho phương trình
2 2
1 1 1 1
25 2 5 2 1 0
x x
m m
với m là tham số thực. Số
nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là?
A. 20. m B. 35. m C. 30. m D. 25. m
Câu 45. Với giá trị của tham số m thì phương trình
1 16 2 2 3 4 6 5 0
x x
m m m có hai
nghiệm trái dấu?
A. 4 1. m B. Không tồn tại m . C.
3
1
2
m . D.
5
1
6
m .
Câu 46. Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số
tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1 một quý trong thời gian 15 tháng.
Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73 một tháng trong thời gian 9
tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là 27 507 768,13 (chưa làm tròn). Hỏi số
tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
A. 140 triệu và 180 triệu. B.180 triệu và 140 triệu. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 185
C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu.
Câu 47. Anh Bình vay ngân hàng 2 tỷ đồng để xây nhà và trả dần mỗi năm 500 triệu đồng.
Kỳ trả đầu tiên là sau khi nhận vốn với lãi suất trả chậm 9 một năm. Hỏi sau mấy
năm anh Bình mới trả hết nợ đã vay?
A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 48. Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng hiện nay là 8,2 một năm đối với kỳ
hạn một năm. Để khuyến mãi, ngân hàng A đưa ra dịch vụ mới như sau: nếu khách
hàng gửi tiết kiệm năm đầu thì lãi suất là 8,2 một năm; sau đó, lãi suất năm sau hơn
lãi suất năm trước đó là 0,12 . Hỏi nếu gửi 1,5 triệu đồng theo dịch vụ đó thì sau 7
năm số tiền sẽ nhận được cả gốc và lãi là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 2 609 233 . B. 2 665 464 . C. 2 665463 . D. 2 609 234 .
Câu 49. Theo chính sách tín dụng của chính phủ hỗ trợ sinh viên vay vốn trang trải học tập:
mỗi sinh viên được vay tối đa 900000 đồng/ tháng (9 triệu/ năm học), với lãi suất
0,45 một tháng. Mỗi năm lập thủ tục vay 2 lần ứng với 2 học kỳ và được nhận tiền
vay đầu mỗi học kỳ (mỗi lần nhận tiền vay là 4,5 triệu). Giả sử sinh viên A trong thời
gian học đại học 5 năm vay tối đa theo chính sách thì tổng sợ tiền nợ bao gồm cả lãi là
bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 52 343156 B. 52 343155 C. 46128 921 D. 96128 922
Câu 50. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền cố định với lãi suất 0.6%/tháng và
lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi sau bao lâu thì người đó thu được số tiền
gấp hơn ba ban đầu?
A. 184 tháng B. 183 tháng C. 186 tháng D. 185 tháng
Câu 51. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:
0
1
2
t
T
m t m
, trong đó
0
m là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t =
0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến
thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon
14
C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu
Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao nhiêu?
A.
5730
1
100.
2
m t
B.
ln 2
5730
100.
t
m t e
C.
100
5730
1
100
2
t
m t
D.
100
5730
100.
t
m t e
Câu 52. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:
0
1
2
t
T
m t m
, trong đó
0
m là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t =
0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến
thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon
14
C là khoảng 5730 năm. Người ta tìm được Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 186
trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất khoảng 25%
lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?
A. 2400 năm B. 2300 năm C. 2387 năm D. 2378 năm
Câu 53. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các
loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng,
khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức
75 20 ln 1 , 0 M t t t (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh
nhớ được danh sách đó dưới 10%?
A. 25 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng D. 22 tháng
Câu 54. Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền
hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát
thì số % người xem mua sản phẩm là
0.015
100
( ) , 0
1 49
x
P x x
e
. Hãy tính số quảng cáo
được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%.
A. 343 B. 333 C. 330 D. 323
Câu 55. Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng hạn sương mù,
nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường và hằng số gọi là khả năng
hấp thu của môi trường, tùy thuộc môi trường thì khả năng hấp thu tính theo công
thức
x
0
I I e
với x là độ dày của môi trường đó và được tính bằng đơn vị mét. Biết
rằng nước biển có 1.4 . Hãy tính cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu khi từ độ
sâu 2m xuống đến 20m?
A.
25.2
e B.
22.5
e C.
32.5
e D.
52.5
e
Câu 56. Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ
người ta dùng máy đếm xung. Khi chất
này phóng xạ ra các hạt
, các hạt này đập vào máy khi đó trong máy xuất hiện một
xung điện và bộ đếm tăng thêm 1 đơn vị. Ban đầu máy đếm được 960 xung trong một
phút nhưng sau đó 3h thì chỉ còn 120 xung trong một phút (trong cùng điều kiện). Hỏi
chu kỳ bán rã của chất này là bao nhiêu giờ?
A. 1giờ B. 2 giờ C. 0.5 giờ D. 1.5 giờ
Câu 57. Giả sử một hàm chỉ mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là:
2 1
3 3
, q m n m n trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lao động chính. Mỗi ngày
hãng phải sản xuất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng; biết rằng lương của
nhân viên là 16$ và lương của lao động chính là 27$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất chi phí
một ngày của hãng sản xuất này.
A. 1440 B. 1340 C. 1240 D. 1540
Câu 58. Một tấm vải hình chữ nhật có chiều rộng là 1,2m; chiều dài là 350m và được cuộn chặt
xung quanh một lõi gỗ hình trụ có đường kính 10cm liên tục cho đến hết, sao cho mép
vải theo chiều rộng luôn song song với trục của hình trụ. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 187
Cho biết độ dày của cuộn vải đó sau khi đã cuộn hết tấm vải, biết rằng tấm vải có độ
dày như nhau là 0,15mm (kết quả tính theo xăng-ti-mét và làm tròn đến 3 chữ số thập
phân)
A. 88.8 cm B. 88,65 cm
C. 88,65cm hoặc 88.8cm D. 87,65 cm.
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 59. Nghiệm phương trình
4
log ( 1) 3 x là:
A. 63 x B. 65 x
C. 80 x D. 82 x
Câu 60. Tổng các nghiệm không âm của phương trình
2
3
3
log log (2 4 3) 0 x x x là:
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 61. Phương trình
2
log (4 2 ) 2
x
x tương đương với phương trình nào sau đây?
A. 4 2 2
x
x B.
2
4 2 2
x x
C.
2
(2 ) 4.2 4 0
x x
D. Cả 3 đáp án đều sai.
Câu 62. Cho phương trình
2
log ( 3 ) log 2
a
a
x x x ,( 0; 1) a a , số nghiệm của phương trình trên
là ?
A. 1 . B. 2 C. 3 D. 4
Câu 63. Phương trình
3
4
2
log 3 log 3 0
a
a
có bao nhiêu nghiệm trên ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 64. Một học sinh giải phương trình
2 2
2 2
log log 1 0 x x theo các bước như sau:
Bước 1: Điều kiện
2
0 0
0
0 0
x x
x
x x
Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình đã cho trở thành:
2
2 2
log 2log 1 0 x x
2
2 2
log 1 0 log 1 x x
Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là
1
2 2 x (nhận)
Bài trên sai ở bước nào?
A. Bước 1. B. Bước 2.
C. Bước 3. D. Không sai bước nào.
Câu 65. Nghiệm của phương trình
0,4
log ( 3) 2 0 x là?
A. Vô nghiệm B. Có nghiệm 3 x C. 2 x D.
37
4
x
Câu 66. Phương trình
3
ln 7 ln 6 0 x x có bao nhiêu nghiệm trên ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 67. Nghiệm của phương trình
2
3
log (log ( 3)) 0 x
là ?
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 188
Câu 68. Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình
2
2 3 2 3
log ( 3) log ( 1) 0 mx m
có
nghiệm là 1 ?
A.
1
1
m
m
B.
1
2
m
m
C. 3 m D. 3 m
Câu 69. Phương trình
2 1
2
log (2 1) log ( 1) 1 x x có nghiệm là:
A.
3 17
4
3 17
4
x
x
B.
3 17
4
x
C.
3 17
4
x
D. 1 x
Câu 70. Tập nghiệm của phương trình
3
log | 1| 2 x là:
A.{3} B.{ 3; 4} C. { 2; 3} D. {4; 2}
Câu 71. Tất cả các giá trị x thỏa mãn
3
log ( 2)
2 3
x
x
:
A. 2 x B. x C. 2 x D. 2 x
Câu 72. Với giá trị nào của m thì phương trình
3
2
log (4 2 )
x
m x có hai nghiệm phân biệt?
A.
1
2
m B.
3
4
2
x
m C.
1
0
2
m D. 0 m
Câu 73. Phương trình
1
3 3
log 3 1 .log (3 3) 6
x x
có:
A. Hai nghiệm dương. B. Một nghiệm dương.
C. Phương trình vô nghiệm D. Một nghiệm kép.
Câu 74. Phương trình
1
log 2 log 0
a
a
a x x có nghiệm?
A.
x a B. 2 x a
C. 2 1 x a D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 75. Cho phương trình
2
3 2
log log 5 1 x , tổng bình phương các nghiệm của phương trình
trên là:
A. 0 B. 244 C. 59 D. 118
Câu 76. Phương trình
3 7
log 2 log x x có nghiệm là:
A.
4 x B. 49 x C. 25 x D. Đáp án khác.
Câu 77. Với giá trị nào của m thì:
2 2
3 3
log log 1 3 x x m có nghiệm trên 1; 3
.
A.
1 2;1 m B.
1 1 2
;
3 3
m
C.
1
;
3
m
D.
1 2
;1
3
m
Câu 78. Tìm nghiệm của phương trình sau:
2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 189
A.
2 x B.
5
2
x
C.
5
4
x D. Cả A và C đều đúng.
Câu 79. Tập nghiệm của phương trình
4 2
log 2 log x x là
A.
2; 1 . S B.
2 . S
C.
4 S D.
4; 1 . S
Câu 80. Giải phương trình
3 3
log log 2 1. x x
A. 3. x B. 3 1. x x C.
1
.
2
x
D. 6 3. x x
Câu 81. Tập nghiệm của phương trình
2
1
log 10 log 2 log 4
2
x x là
A.
5; 5 5 2 . S B.
5; 5 5 2 . S
C.
5; 5 5 2; 5 5 2 . S D.
5 5 2; 5 5 2 . S
Câu 82. Tập nghiệm của phương trình
2 3 4 20
log log log log x x x x là
A.
1 . S B. . S C.
1; 2 S D.
2 S
Câu 83. Tập nghiệm của phương trình
2
lg 1 3lg 1 2 lg 1 x x x là
A.
1 . S B. . S C.
1; 2 S D.
2 S
Câu 84. Phương trình
2
2
6 2
3
2 2 2 2
1
log 3 4 .log 8 log log 3 4
3
x x x x có tập nghiệm là :
A.
16
1; 2; .
9
S
B.
1; 2 . S C.
16
1; .
9
S
D.
16
2; .
9
S
Câu 85. Tập nghiệm của phương trình
2 3 2 3
log 1 log 2 x x
là
A.
3 5
.
2
S
B.
3 5 3 5
; .
2 2
S
C.
3 5
.
2
S
D.
3 5
.
2
S
Câu 86. Tập nghiệm của phương trình
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log 2 3 log 4 log 6 .
2
x x x
A.
2 . S B.
1 33 . S C.
2;1 33 . S D.
2;1 33 . S
Câu 87. Tìm số nghiệm của phương trình
2
2 2
log 3log 2 0 x x .
A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. Vô nghiệm. D. 3 nghiệm.
Câu 88. Tìm số nghiệm của phương trình
2 2
2 2 2
log 1 log 1 log 1 2 0 x x x .
A. 4 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 3 nghiệm.
Câu 89. Tìm số nghiệm của phương trình
2 1
log 1 log 16
x
x
.
A. Vô nghiệm. B. 3 nghiệm. C. 1 nghiệm. D. 2 nghiệm. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 190
Câu 90. Tìm số nghiệm của phương trình
4
7
log 2 log 0
6
x
x .
A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. 3 nghiệm.
Câu 91. Tìm số nghiệm của phương trình
2 2
3 3
log 5 log 1 7 0 x x .
A. 1 nghiệm. B. Vô nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 3 nghiệm.
Câu 92. Tìm số nghiệm của phương trình
2 2
2 2
log log 1 1 x x .
A. Vô nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 1 nghiệm. D. 3 nghiệm.
Câu 93. Tìm số nghiệm của phương trình
2
2 2
log 12 log 11 0 x x x x .
A. Vô nghiệm. B. 3 nghiệm. C.1 nghiệm. D. 2 nghiệm.
Câu 94. Phương trình
2
log 4 4 3
x
x x có số nghiệm là:
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 95. Giải phương trình
4 3 2 2
1
log 2 log 1 log 1 3log
2
x
ta được nghiệm x a . Khi đó
giá trị a thuộc khoảng nào sau đây?
A.
0; 3 . B.
2; 5 . C.
5; 6 . D.
6; .
Câu 96. Phương trình
2
3
log 4 12 2 x x . Chọn phương án đúng?
A. Có hai nghiệm cùng dương B. Có hai nghiệm trái dấu
C. Có hai nghiệm cùng âm D. Vô nghiệm
Câu 97. Phương trình
2
log (9 2 ) 3
x
x có nghiệm nguyên dương là a . Tính giá trị biểu thức
3
2
9
5 T a a
a
A. 7 T . B. 12 T . C. 11 T . D. 6 T .
Câu 98. Tập nghiệm của phương trình
2
log 2 1 2
x
là:
A.
2
2 log 5 . B.
2
2 log 5 C.
2
log 5 . D.
2
2 log 5 .
Câu 99. Số nghiệm của phương trình
2
3
log 1 2 x là:
A. 0 . B.1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 100. Tìm m để phương trình
3
2
log ( 3 ) x x m có ba nghiệm thực phân biệt.
A. 1 m . B. 0 1 m C. 0 m . D. 1 m .
Câu 101. Tìm m để phương trình
2
log 4 1
x
m x có đúng hai nghiệm phân biệt.
A. 0 1 m B. 0 2 m C. 1 0 m . D. 2 0 m .
Câu 102. Nghiệm của phương trình
2
log
2.3 3
x
x là
A.
1 x B. 3; 1. x x C. 3; 1. x x D. 3. x
Câu 103. Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình
3 2
3 2
log 1 3 1 3 4 2 log 1 x x x x
.
A. 1 . B. 7 . C.
7 . D. 11 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 191
Câu 104. Cho phương trình
6
log
2 6
log 3 log
x
x x có nghiệm
a
x
b
với
a
b
là phân số tối giản. Khi
đó tổng a b bằng?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
Câu 105. Phương trình
5
log 3
2
x
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm.
Câu 106. Phương trình
2
2 2
4 5 log 16 7 log 12 0 x x x x có tích các nghiệm bằng?
A.
1
2
. B.
1
2
. C. 2 . D. 5 .
Câu 107. Phương trình
2
3 1
2
3
1
log 3 2 2 2
5
x x
x x
có tổng các nghiệm bằng?
A. 5 . B. 3 C. 3 . D. 5 .
Câu 108. Hiệu của nghiệm lớn nhất với nghiệm nhỏ nhất của phương trình
1 3
7
7 2 log (6 5) 1
x
x
là
A. 1 . B. 2 C. 1 . D. 2 .
Câu 109. Phương trình
2
3 2
2 1
log 4
1
x
x x
x
có nghiệm là:
A. 0 x . B. 0; 4 x x . C.
Vô nghiệm
. D. 4 x .
Câu 110. Cho phương trình
2
9 1 1
3
3
1 2
4 log log log 0
6 9
x m x x m (m là tham số). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm
1 2
, x x thỏa mãn
1 2
3 x x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.1 2 m
.
B. 3 4 m
.
C.
3
0 .
2
m D. 2 3 m
.
Câu 111. Nghiệm của phương trình
3
2
log 1 11
3
x
x là:
A.Vô nghiệm. B. 2 x . C.
2
3
x
x
. D. 3 x .
Câu 112. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2 2
log (2 + + 3) log (3 - )
m m
x x x x . Biết rằng x = 1 là một nghiệm của bất phương trình.
A. . B.
C. . D. .
Câu 113. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình
2 2
.log 1 .log 1 x x m m x x có hai
nghiệm thực phân biệt thuộc
1; 3
.
A. 3 m . B. 1 3 m . C. 3 m . D. Không có m .
Câu 114. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
3 3
log 2 .log 3 1 0 x m x m
có 2 nghiệm
1 2
, x x sao cho
1 2
27 x x .
1
( 2 ; 0) ( ; 3 ]
3
S
1
( 1 ; 0 ) ( ; 2 ] .
3
S
1
1 , 0 ( ; 3 ]
3
S ( 1 ; 0) ( 1 ; 3 ] S Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 192
A.
4
.
3
m B. 25 m
.
C.
28
.
3
m D. 1. m
Câu 115. Định điều kiện cho tham số m để:
2
log log log 0
x mx
m x
m m m có nghiệm.
A. 0 m . B.
0
1
m
m
. C.
1 m . D.
1 m .
Câu 116. Số nghiệm của phương trình:
2
4
2
log log 2 x có được là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 117. Nghiệm phương trình
4
log (3 4).log 2 1
x
x là
A.
2 x B.
4 x C.
1
4
x
x
D. Vô nghiệm.
Câu 118. Biết rằng phương trình
2
2
1 3
3
log 9 log 7 0
81
x
x
có hai nghiệm phân biệt
1 2
, x x .
Tính
1 2
. P x x
A.
3
1
.
9
P B.
6
3 . P C.
3
9 . P D.
8
3 . P
Câu 119. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình
1
2
2
log 1 log 1 1. x x
A.
3 13
.
2
S
B.
3 . S
C.
2 5; 2 5 . S D.
2 5 . S
Câu 120. Biết rằng phương trình
1
3 1
3
log 3 1 2 log 2
x
x
có hai nghiệm
1
x và
2
. x Hãy tính tổng
1 2
27 27 .
x x
S
A. 180. S B. 45. S C. 9. S D. 252. S
Câu 121. Số nghiệm của phương trình
3 2
5 6
0
ln 1
x x x
x
là:
A. 0. B. 1. C. 2. C. 3.
Câu 122. Biết rằng phương trình
2 1
2
2
1
2 log log 1 log 2 2
2
x x x x có nghiệm duy nhất
có dạng 3 a b với , a b . Tính tổng . S a b
A. 6. S B. 2. S C. 2. S D. 6. S
Câu 123. Phương trình
2
2
3
2 1
log 1 3
x x
x x
x
có tổng tất cả các nghiệm bằng:
A. 3. B. 5. C. 5 . D. 2.
Câu 124. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình
2 2 2
4 2
log 2 2 2 log 2
x x
m
vô nghiệm. Giá trị của S bằng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 193
A. 6. S B. 8. S C. 10. S D. 12. S
Câu 125. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
log 2
1
log 1
mx
x
có nghiệm
duy nhất.
A. 0 100. m B. 0 m ; 100 m . C. 1. m D. Không tồn tại . m
Câu 126. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
2
3 3
log log 1 0 x m x có nghiệm
duy nhất nhỏ hơn 1 .
A. 2 m . B. 2 m . C. 2 m . D. 0 m .
Câu 127. Gọi
0
m là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình
2
1 1
2 2
1 log 2 5 log 2 1 0 m x m x m có nghiệm thuộc
2; 4 . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A.
5
5; .
2
m
B.
4
1; .
3
m
C.
10
2;
3
m
D. Không tồn tại.
Câu 128. Cho phương trình
2
2 2 2
log 2 log 3 log 3 x x m x với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc
16;
.
A. 1 2 m . B. 1 5 m . C.
3
5
4
m . D. 1 5 m .
Câu 129. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2017; 2017
để phương trình
log 2 log 1 mx x có nghiệm duy nhất?
A. 2017 . B. 4014. C. 2018. D. 4015.
Câu 130. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
4 1
log 0
4 1
x
x
m
có nghiệm.
A. 0. m B. 1 1. m C. 1. m D. 1 0. m
Câu 131. Cho phương trình
2
1
2
2 2
2 .log 2 3 4 .log 2 2
x x m
x x x m
với m là tham số
thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.
A.
1 3
; ; .
2 2
m
B.
1 3
; ; .
2 2
m
C.
; 1 1; . m
D.
;1 1; . m
Câu 132. Cho phương trình
2
3 1
3
log 4 log 2 2 1 0 x mx x m với m là tham số thực. Gọi S
là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó S có dạng
; a b c
với a b c . Tính 2 10 P a b c .
A. 0 P . B. 15 P . C. 2 P . D. 13 P .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 194
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1B 2C 3B 4A 5A 6D 7A 8A 9D 10B
11C 12C 13C 14D 15A 16D 17D 18A 19B 20A
21B 22A 23D 24D 25B 26A 27D 28A 29B 30B
31C 32D 33A 34A 35A 36B 37C 38C 39D 40A
41D 42D 43C 44D 45A 46A 47D 48C 49A 50A
51B 52D 53A 54B 55A 56A 57A 58C 59D 60D
61B 62A 63B 64D 65D 66C 67D 68B 69B 70D
71D 72C 73A 74A 75D 76B 77B 78D 79B 80A
81A 82A 83B 84A 85C 86D 87A 88C 89D 90A
91B 92C 93D 94B 95A 96C 97C 98D 99C 100A
101C 102A 103C 104D 105A 106A 107B 108A 109B 110C
111D 112C 113B 114D 115A 116C 117B 118A 119D 120A
121B 122B 123A 124B 125B 126B 127A 128B 129C 130A
131A 132C
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Chọn B.
Phương trình
1 có nghiệm duy nhất 3 x . Thay vào phương trình
2 ta được 3 k .
Câu 2. Chọn C.
3
9 4 4 3 2
3 81 3 9 4 4 9 0 0; 3 .
x x
x x x x x
Câu 3. Chọn B.
Đặt 6 35
x
t
ta được:
2
1
12 12 1 0 6 35 2 t t t t x
t
.
Câu 4. Chọn A.
Phương trình đã cho tương đương với: 4.2 .5 40000 10 10000 4
x x x
x .
Câu 5. Chọn A.
Cách 1: Vế trái là hàm số đồng biến nhận các giá trị
0; . Từđó suy ra phương trình
có nghiệm duy nhất.
Cách 2: Lấy logarit hai vế ta được
3
2 log 666661 x .
Câu 6. Chọn D.
Đặt 2
x
t ta được:
2
10 16 0 2 t t t hoặc 8 t . Do đó ta tìm được 1 x hoặc 3 x
Câu 7. Chọn A.
Tacó:
2 2
4 5 4 5 2 2 2
1
3 9 3 3 4 5 2 4 3 0
3
x x x x
x
x x x x
x
Suy ra
3 3
1 3 28 .
Câu 8. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 195
x x
x
2 2
3 8 2 1 3 8 4 2 2 2
5
3 9 3 3 3 8 4 2 7 10 0
2
x x x x
x
x x x x
x
Vậy
2; 5 S
Câu 9. Chọn D.
Phương trình tương đương với
1
1
3 9. 4 0
3
x
x
2
1 1
3 3. 4 0 3 3. 4 0 3 4.3 3 0
3 3
x
x x x x
x
.
Đặt 3
x
t , 0 t . Phương trình trở thành
2
1
4 3 0
3
t
t t
t
.
● Với 1 t , ta được 3 1 0
x
x .
● Với 3 t , ta được 3 3 1
x
x .
Vậy phương trình có nghiệm 0 x , 1 x .
Câu 10. Chọn B.
x
x x
x
2
28
4
3 1 2 2
2
1 1
1 1
3
2
28
3
2 16 4 4 1 7 3 3 3
7
3
3
7 7 3 3 3 3
0
3
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x
x x
.
Nghiệm của phương trình là :
7
; 3
3
S
. Vì
7
.3 7 0
3
Câu 11. Chọn C.
2
2 8
3 5 5 8 2 5 2
2.5 10 .10 10 10 8 2 5 1; 6
x
x x x
x x x x
. Ta có : 1 6 5
Câu 12. Chọn C.
Đặt 3
x
t ( 0 t ), khi đó phương trình đã cho tương đương với
2 3
log 2 2
5 6 0
3 1
x t
t t
t x
Câu 13. Chọn C.
Đặt 2
x
t ( 0 t ), khi đó phương trình đã cho tương đương với
2 1
2
4
2
4 18 8 0
1
1
2
t
x
t t
x t
. Vậy
1 2
. 1.2 2 x x .
Câu 14. Chọn D.
Đặt 4
x
t ( 0 t ), khi đó phương trình đã cho tương đương với
2
4
3 4 0 1
1( )
t
t t x
t L
Câu 15. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 196
1 1
3
2
3 3 3
2 2 3 3 3.2 4.3 log
2 4 4
x
x x x x x x
x
Câu 16. Chọn D.
2
3 3
6.4 13.6 6.9 0 6 13 6 0
2 2
x x
x x x
3 3
2 2
3 2
2 3
x
x
1
1
x
x
Câu 17. Chọn D.
1
12.3 3.15 5 20
x x x
3.3 5 4 5 5 4 0
x x x
1
5 4 3 5 0
x x
1
3 5
x
3
log 5 1 x
Câu 18. Chọn A.
9 5.3 6 0
x x
1
2
2
1 3 5.3 6 0 3 5.3 6 0 1'
x
x x x
Đặt 3 0
x
t . Khi đó:
2
2
1' 5 6 0
3
t N
t t
t N
Với
3
2 3 2 log 2
x
t x .
Với
3
3 3 3 log 3 1
x
t x .
Suy ra
3 3 3 3
1 log 2 log 3 log 2 log 6
Câu 19. Chọn B.
1
5 25 6 1
x x
2
2
25 25 25
1 5 6 0 5 6 0 5 6 0 6'
25
5 5
x x x
x x
x
.
Đặt 5 0
x
t . Khi đó:
3 2
2
5
25 1 21
6' 6 0 6 25 0 5 5 0
2
1 21
2
t N
t t t t t t t N
t
t L
Với 5 5 5 1
x
t x .
Với
5
1 21 1 21 1 21
5 log
2 2 2
x
t x
.
Suy ra:
5 5
1 21 1 21
1.log log
2 2
Câu 20. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 197
Đặt
2 3
x
t ( 0 t ), khi đó phương trình đã cho tương đương với
2
2 3
2
6 0 log 2
3( )
t
t t x
t L
Câu 21. Chọn B.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x
2 2 2 2
3 2 6 5 3 2 6 5
4 4 4 .4 1
x x x x x x x x
2 2 2
3 2 6 5 6 5
4 1 4 1 4 0
x x x x x x
2 2
3 2 6 5
4 1 1 4 0
x x x x
2
2
3 2
6 5
4 1 0
1 4 0
x x
x x
2
2
3 2 0
6 5 0
x x
x x
1 5
1 2
x x
x x
Câu 22. Chọn A.
3 2 3 2 10
x x x
3 2 3 2
1
10 10
x x
Xét hàm số
3 2 3 2
10 10
x x
f x
Ta có:
2 1 f
Hàm số
f x nghịch biến trên do các cơ số
3 2 3 2
1; 1
10 10
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 2 x .
Câu 23. Chọn D.
Đặt
2
cos
2 , 1; 2
x
t t
ta được:
2
6 8 0 4 t t t hoặc 2 t .
Đỗi chiếu điều kiện ta được
2
cos 1
2 2 2 ;
x
t x k k Z .
Câu 24. Chọn D.
Phương trình tương đương với:
2
3 2 .2 2.2 0 1 2 2 2 0 2 2 1 0
) 2 0 2
x x x x
x x x x x x x x
x x
) 2 1
x
x có nghiệm duy nhất 0 x .
Câu 25. Chọn B.
Phương trìnhđã cho tương đương với:
5 2 3 2
1
7 7
x x
.
Đặt
5 2 3 2
;
7 7
a b
ta có: 0 1 . b a
Phương trình trở thành: 1
x x
a b .
Nếu 0 x thì 1, 0
x x
a b nên vế trái 1.
Nếu 0 x thì 0, 1
x x
a b nên vế trái 1.
Câu 26. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 198
2
3 2 3 1 4.3 5 0
x x x
x
2
3 1 2 3 1 4.3 4 0
x x x
x
3 1 3 1 2 4 3 1 0
x x x
x
3 2 5 3 1 0
x x
x 3 2 5 0
x
x
Xét hàm số
3 2 5
x
f x x , ta có :
1 0 f .
' 3 ln 3 2 0;
x
f x x . Do đó hàm số
f x đồng biến trên
.
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 1 x
Câu 27. Chọn D.
Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:
2
3 5 6
2 2
3 log 2 log 3
x x x
2
2 2 2
3 log 2 5 6 log 3 3 2 3 log 3 0 x x x x x x
2
2 2
2
3
3 0 3
3 . 1 2 log 3 0 1
2 1 2 log 3 2 log 3 1
log 3
x
x x
x x
x x x
3 3 3 3
3 3 3
log 2 2 log 2 log 9 log 18
x x x
x x x
Câu 28. Chọn A.
Vế trái
2 2 2 2
sin cos sin cos
4 4 2 4 4
x x x x
.
Vế phải
2 2 sin cos 4 cos 4
4
x x x
.
Vế trái bằng vế phải khi:
cos 1 2 ;
4 4
x x k k Z
.
Do
0 15 0 2 15 0;1; 2
4
x k k
. Phương trình có ba nghiệm.
Câu 29. Chọn B.
Đặt 3
x
t ta được:
2
3 1
2
12 3 0 1
m
t t
.
Do phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nên
1 có hai nghiệm phân biệt
1 2
, t t .
2
1 2 1 2
3 1
2
1 2 1 2
3 3 .3 . 3 3 1 3
m
x x x x
t t x x m
.
Do đó
1 2
x x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 0 m .
Thay 0 m vào
1 ta được
2
1
12 0
27
t t có hai nghiệm
1 2
, 0 t t .
Câu 30. Chọn B.
Nhận xét:
2 3 2 3 1 2 3 2 3 1
x x
.
Đặt
1
2 3 2 3 , 0,
x x
t t
t
.
1 1
1 1' , 0, t m f t t m t
t t
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 199
Xét hàm số
1
f t t
t
xác định và liên tục trên
0, .
Ta có:
2
2 2
1 1
' 1
t
f t
t t
. Cho
' 0 1 f t t .
Bảng biến thiên:
t 0
1
f t
0
f t
2
+ Nếu 2 m thì phương trình
1' có hai nghiệm phân biệt
1 pt có hai nghiệm
phân biệt.
Câu 31. Chọn C.
2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1
4 3 1 1
2 2 2 2 1 8.2 2 4.2 4.2 1
x x x x
x x x x
Đặt
2
1
2 2
x
t t
, phương trình trên tương đương với
2 2 2
8 4 4 1 6 1 0 3 10 t t t t t t t (vì 2 t ). Từ đó suy ra
2
1 2
1
2 2
3 10
log
2
2 3 10
3 10
log
2
x
x
x
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0 .
Câu 32. Chọn D.
Điều kiện: . x m
Phương trình
2 2 2 2 2
1
1 1
1 2
3 .5 3.5 5 3 5 3
x m x m x
x
x x
x m x m x m
.
*
Lấy logarit cơ số 5 hai vế của
* , ta được
5 5
2 1
2 log 3 2 log 3 0.
x
x x
x m x m
Với
2 0 2 . x x thoûa maõn
Với
5 3
5
1 1
log 3 0 log 5 .
log 3
x m x m
x m
thoûa maõn
Vậy phương trình có tập nghiệm
3
2; log 5 . S m
Câu 33. Chọn A.
Phương trình
2
2 2
1
1 1
1
3 3 1 1
3 .25 3 .
25 3 25 .25 25
x
x x x
x x
*
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của
* , ta được
2
3 3
1
log 3 log
25
x
x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 200
1
2 2
3 3
3 2
0
1 1
log log 0 .
1
25 25 log
25
x x
x x x x
x x
Suy ra
3
1 2
1
log
0
25
26
3 3 3 3 .
5
x x
P
Câu 34. Chọn A.
Phương trình
2 2 2
1 1 2
2 2 1 2 1 2 .
x x x x x x
x x x x
*
Xét hàm số
2
t
f t t trên , ta có
' 2 ln 2 1 0, .
t
f t t
Suy ra hàm số
f t đồng biến trên .
Nhận thấy
* có dạng
2
2 2
1 1 1 0 1. f x f x x x x x x x
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 1. x
Câu 35. Chọn A.
Phương trình
2 2
sin cos 2 2
2017 2017 cos sin
x x
x x
2 2
sin 2 cos 2
2017 sin 2017 cos .
x x
x x
*
Xét hàm số
2017
t
f t t trên , ta có ' 2 01 7 ln 2017 1 0 , .
t
f t t
Suy ra hàm số
f t đồng biến trên .
Nhận thấy
* có dạng
2 2 2 2
sin cos sin cos f x f x x x
2 2
cos sin 0 cos 2 0 , .
4 2
x x x x k k
Vì
3 3
0; ; .
4 4 4 4
x x T
Câu 36. Chọn B.
Nếu
; 1 1; x thì
2
1 0 x . Suy ra
2
1 2 1
3 1 3 1
x x
x
.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu
1;1 x thì
2
1 0 x . Suy ra
2
1 2 1
3 1 3 1.
x x
x
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Kiểm tra 1 x thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
1
1 x x ,
2
1 x x .
Suy ra
3 3
1 2
0. x x
Câu 37. Chọn C.
Ta có
1 2
9 2.3 0 3 6.3 0.
x x x x
m m
Đặt 3 0
x
t , phương trình trở thành
2
6 0 t t m .
*
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phương trình
* có hai nghiệm dương Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 201
' 0 9 0
0 6 0 0 9.
0 0
m
S m
P m
Theo định lí Viet, ta có
1 2 1 2
3 .3 3 3 .
x x x x
m m m
(thỏa).
Cách trắc nghiệm. Thử lần lượt 4 đáp án để chọn.
Câu 38. Chọn C.
Phương trình tương đương với
2
2 2 .2 2 0
x x
m m .
Đặt 2 0
x
t , phương trình trở thành
2
2 2 0 t mt m .
*
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phương trình
* có hai nghiệm dương
2
' 0 2 0
0 2 0 2.
0 2 0
m m
S m m
P m
Theo định lí Viet, ta có
1 2 1 2
2 .2 2 2 2 4 2 2
x x x x
m m m m
(thỏa).
Câu 39. Chọn D.
Phương trình
2
1
2017 2 .2017 0
2017
x x
m m
2
2017 4034 .2017 2017 0.
x x
m m
Giả sử phương trình có hai nghiệm
1 2
, x x .
Theo Viet, ta có
1 2 1 2
2017 .2017 2017 2017 2017 2017 2017 1.
x x x x
m m m m
Thử lại với 1 m ta thấy thỏa mãn.
Câu 40. Chọn A.
Đặt 4 0
x
t .
Phương trình trở thành
2
1 2 2 3 6 5 0.
f t
m t m t m
*
Phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
, x x thỏa mãn
1 2
0 x x
1 2
0
1 2
4 4 4 1 .
x x
t t
Ycbt phương trình
* có hai nghiệm
1 2
, t t thỏa
1 2
1 0
0 1 1 1 0
1 0 0
m
t t m f
m f
1 0
4
1 3 12 0 4 1 4.
1
1 6 5 0
m
a
m m m P
b
m m
Câu 41. Chọn D.
Đặt 3 0
x
t , phương trình trở thành
2
1 2 0 t m t m .
*
Yêu cầu bài toán phương trình
* có đúng một nghiệm dương. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 202
●
* có nghiệm kép dương
2
0
1 8 0
5 2 6.
1
0
0
2
2
m m
m
b
m
a
●
* có hai nghiệm trái dấu
0
2 0 0
ac
m m
.
Vậy 0 m hoặc 5 2 6 m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 42. Chọn D.
Đặt
2
1
2
x
t
, điều kiện 1 t .
Phương trình trở thành
2
2 3 2 0.
f t
t mt m
*
Ta thấy cứ một nghiệm 1 t tương ứng cho hai nghiệm x .
Do đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình
* có hai
nghiệm phân biệt
1 2
t t thỏa mãn
2
1 2
' 0 3 2 0
1 . 1 0 1. 1 0 2.
1
1
2
m m
t t a f m m
S m
Câu 43. Chọn C.
Ta có
2 2 2 2
5 6 1 6 5 5 6 1 7 5
.2 2 2.2 .2 2 2
x x x x x x x x
m m m m
2 2 2 2 2
5 6 1 5 6 5 6 1
2 1 2 1 2 0 2 1 2 0.
x x x x x x x x
m m
2
2
2
5 6
1
1
2
2 1 0
3 .
2
2 *
x x
x
x
x
x
m
m
Yêu cầu bài toán tương đương với
TH1: Phương trình
* có nghiệm duy nhất
0 x , suy ra 2. m
TH2: Phương trình
* có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 2 và nghiệm
còn lại khác 3
3
2 . m
TH3: Phương trình
* có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 3 và nghiệm
còn lại khác 2
8
2 . m
Vậy có tất cả ba giá trị m thỏa mãn.
Câu 44. Chọn D.
Điều kiện: 1 1 x .
Xét
2
1 1 u x x , có
2
'
1
x
u x
x
;
1;1
1;1
max 2
' 0 0 1;1 .
min 1
u x
u x x
u x
Đặt
2
1 1
5 5 25
x
t t
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 203
Phương trình trở thành
2
2
2 1
2 2 1 0
2
t t
t m t m m f t
t
.
Do đó phương trình đã có nghiệm
5;25 5;25
16 576
min max .
3 23
f t m f t m
Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là 25. m
Cách CASIO. Cô lập m ta được
2 2
2
1 1 1 1
1 1
25 2.5 1
.
5 2
x x
x
m
Đặt
2 2
2
1 1 1 1
1 1
2 5 2. 5 1
5 2
x x
x
f x
. Khi đó phương trình
. f x m
Sử dụng MODE7 khảo sát hàm
f x với thiết lập Start 1, End 1, Step 0,2.
(Do điều kiện
2
1 0 1 1 x x nên Start 1, End 1 )
Quan sát bảng giá trị ta thấy
0 25.043... f x f hay
0 m f .
Vậy m nguyên dương lớn nhất là 25.
Câu 45. Chọn A.
Đặt 4 0
x
t . Phương trình đã cho trở thành:
2
1 2 2 3 6 5 0.
f t
m t m t m
*
Yêu cầu bài toán
* có hai nghiệm
1 2
, t t thỏa mãn
1 2
0 1 t t
1 0 1 0
1 1 0 1 3 12 0 4 1.
1 6 5 0 1 6 5 0
m m
m f m m m
m m m m
Câu 46. Chọn A.
Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân
hàng là 347 ,507 76813 triệu đồng.
Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó 320 x (triệu đồng) là số tiền
gửi ở ngân hàng Y. Theo giả thiết ta có:
5 9
(1 0,021) (320 )(1 0,0073) 347,507 76813 x x
Ta được 140 x . Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X và 180 triệu ở ngân hàng
Y.
Câu 47. Chọn D.
Kỳ trả nợ đầu tiên là sau khi nhận vốn nên đây là bài toán vay vốn trả góp đầu kỳ.
Gọi A là số tiền vay ngân hàng, B là số tiền trả trong mỗi chu kỳ, d r là lãi suất trả
chậm (tức là lãi suất cho số tiền còn nợ ngân hàng) trên một chu kỳ, n là số kỳ trả nợ.
Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kỳ như sau:
+ Đầu kỳ thứ nhất là A B .
+ Đầu kỳ thứ hai là ( )(1 ) (1 ) (1 ) 1 A B d B A d B d
.
+ Đầu kỳ thứ ba là
2 2
(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 A d B d d B A d B d d
.
…… Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 204
+ Theo giả thiết quy nạp, đầu kỳ thứ n là
1 1 1
(1 ) 1
(1 ) (1 ) ... (1 ) 1 (1 )
n
n n n
d
A d B d d A d B
d
Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau n chu kỳ là
1
(1 ) 1
(1 )
n
n
d
A d B
d
.
Trở lại bài toán, để sau n năm (chu kỳ ở đây ứng với một năm) anh Bình trả hết nợ thì
ta có
1 1
(1 ) 1 1,09 1
(1 ) 0 2.1,09 0,5. 0 4,7
0,09
n n
n n
d
A d B n
d
.
Vậy phải sau 5 năm anh Bình mới trả hết nợ đã vay.
Câu 48. Chọn C.
Ta nhập vào MTCT như sau:
Thiết lập:1500000 SHIFT RCL A , 0,082 SHIFT RCL B ; 0 SHIFT RCL D (biến đếm).
Phép lặp: 1: (1 ) : 0,0012 D D A A B B B .
Bấm CALC = = =…, đến khi 7 D ta được 2665 463,087 A
Câu 49. Chọn A.
Sau 5 năm học đại học tức là 10 học kỳ, ta nhập vào MTCT như sau:
Thiết lập: 0 SHIFT RCL A , 0 SHIFT RCL D (biến đếm).
Phép lặp:
6
1 : 4500000 1,0045 D D A A .
Bấm CALC = = =…, đến khi 10 D ta được 52 343155,61 A
Câu 50. Chọn A.
0 0 0 1
3 3 1 log 3
n
n r
T T T T r n
Câu 51. Chọn B.
Theo công thức
0
kt
m t m e
ta có:
.5730
100 ln 2
5730 50 100.
2 5730
k
m e k
suy ra
ln2
5730
100
t
m t e
Câu 52. Chọn D.
Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là
0
m , tại thời điểm t tính từ thời
điểm ban đầu ta có:
ln 2 ln 2
0 5730 5730
0 0
3
5730ln
3 4
2378
4 ln 2
t t m
m t m e m e t
(năm)
Câu 53. Chọn A.
Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn:
75 20 ln 1 10 ln 1 3.25 24.79 t t t
Câu 54. Chọn B.
Số quảng cáo phát ra tối thiểu để số người mua đạt hơn 75% Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 205
0.015
100
75% 333
1 49
x
x
e
Câu 55. Chọn A.
Cường độ ánh sáng thay đổi khi đi từ độ sâu
1
x đến độ sâu
2
x là:
1
2 1
2
0 1
2 0
x
x x
x
I e I
e
I I e
Câu 56. Chọn A.
Gọi
1
N là số hạt
được phóng ra trong khoảng thời gian
1
t kể từ thời điểm ban
đầu. Ta có:
1
1 01 1 01
1
k t
N N N N e
(
01
N là số hạn phóng xạ
ban đầu)
Sau 3 giờ số nguyên tử còn lại trong chất phóng xạ là:
3
02 01
k
N N e
Kể từ thời điểm này, trong khoảng thời gian
2
t thì số hạt
tạo thành là:
2
2 02 2 02
1
k t
N N N N e
Cho
1 1
1 t t phút thì:
1 2
960, 120 N N suy ra:
1
01
3 1
3 2
2
01
1
960 ln 2
ln 8 3 1
120
1
k t
k
k k t
N e
N
e T
N T
N e e
Câu 57. Chọn A.
Theo giả thiết, chi phí mỗi ngày là: 16 27 C m n
Do hàm sản xuất mỗi ngày phải đạt chỉ tiêu 40 sản phẩm nên cần có:
2 1 3
3 3
2
40
40 m n n
m
Mối quan hệ giữa số lượng nhân viên và chi phí kinh doanh là:
3
2
27.40
16 C m
m
Theo bất đẳng thức AM-GM thì:
3 3 3
3
2 2 2
27.40 27.40 8 .8 .27.40
16 8 8 3 1440
m m
m m m
m m m
Do đó, chi phí thấp nhất cần tìm là: min 1440 C (USD) khi
3
2
27.40
8 60 m m
m
, tức
là số nhân viên bằng 60 và lao động chính sấp xỉ 18 người (do
3
2
40
17.778 18
60
n )
Câu 58. Chọn C.
Gọi d = 10 cm = 100 mm là đường kính của lõi gỗ hình trụ; b = 0,15mm là độ dày của
tấm vải.
Vòng vải thứ nhất (quấn đủ vòng) có chiều dài:
1
u d
Vòng vải thứ hai (quấn đủ vòng) có chiều dài:
2
2 u d b
Vòng vải thứ ba (quấn đủ vòng) có chiều dài:
3
4 u d b
.
Vòng vải thứ n (quấn đủ vòng) có chiều dài:
2 1
n
u d n b Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 206
Do đó, nếu quấn đủ n vòng quanh lõi gỗ thì chiều dài tấm vải là:
2
1
2 1 2 3 ... 1 2
2
n n
S nd b n nd b bn d b n
Theo giả thiết:
2
350000 ( ) 350000 0 s bn d b n
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 59. Chọn D.
4
log ( 1) 3 1 81 82 x x x
Câu 60. Chọn D.
Điều kiện 0 x
2 2 2 2
3 3 3 3 3
3
2 2 2 1
1 2
2
log log (2 4 3) 0 2 log log (2 4 3) 0 log log (2 4 3)
1
2 4 3 4 3 0 4
3
x x x x x x x x x
x
x x x x x x x
x
Câu 61. Chọn B.
2
2
log (4 2 ) 2 4 2 2
x x x
x
Câu 62. Chọn A.
Điều kiện 0 x
2 2 2 2
2 2
log ( 3 ) log 2 log ( 3 ) 2 log 2 log ( 3 ) log 4
0
3 4
1
a a a a a
a
x x x x x x x x x
x L
x x x
x TM
Vậy phương trình có một nghiệm.
Câu 63. Chọn B.
Điều kiện
3
1 2 0
1 4 0
a
a
3
4
2 3
3
3
3 3
3 3
3
1 1
log 3 log 3 0 0
log 4
log 2
log 2 log 4 2 4
2 0 1(TM)
a
a
a
a
a a a a
a a a
Câu 64. Chọn D.
Câu 65. Chọn D.
2
0,4 0,4
37
log ( 3) 2 0 log ( 3) 2 3 0,4
4
x x x x
Câu 66. Chọn C.
Điều kiện 0 x
3 2
2
3
ln 1
ln 7 ln 6 0 ln 1 ln ln 6 0 ln 2
ln 3
x e x
x x x x x x x e
x x e
Vậy phương trình có ba nghiệm.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 207
Câu 67. Chọn D.
2 2
3
log (log ( 3)) 0 log ( 3) 1 3 2 5. x x x x
Câu 68. Chọn B.
Thay 1 x vào phương trình ta có
1
2 2
2 3 2 3 2 3
2 3
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3
2 2
log ( 3) log ( 1) 0 log ( 3) log ( 1) 0
log ( 3) log ( 1) 0 log ( 3) log ( 1)
1
3 1 2 0
2.
m m m m
m m m m
m
m m m m
m
Câu 69. Chọn B.
Điều kiện
2 1 0
1.
1 0
x
x
x
2 1 2 2 2
2
2
log (2 1) log ( 1) 1 log (2 1) log ( 1) 1 log (2 1)( 1) 1
3 17
(TM)
4
(2 1)( 1) 2 2 3 1 0
3 17
(L)
4
x x x x x x
x
x x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm
3 17
4
x
.
Câu 70. Chọn D.
3
4
log | 1| 2 | 1| 3
2
x
x x
x
Câu 71. Chọn D.
3
log ( 2)
2
2 3 2
2 2
x
x
x x
x x
Câu 72. Chọn C.
3 3 3
2
log (4 2 ) 4 2 2 4 2 2 0
x x x x x
m x m m
Đặt
2 0
x
t t . Khi đó phương trình trở thành
2 3
2 0 * t t m
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình
* có hai nghiệm
dương phân biệt:
3
3
1 8 0
1
1 0 0
2
2 0
m
S m
P m
.
Vậy để phương trình có nghiệm thực thì:
1
0
2
m .
Câu 73. Chọn A.
Tập xác định 3 1 0 0
x
x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 208
1
3 3 3 3
3 3
log 3 1 .log (3 3) 6 log 3 1 .log 3(3 1) 6
log 3 1 . 1 log 3 1 6 0
x x x x
x x
.
Đặt
3
log 3 1
x
t
Khi đó phương trình trở thành
2
3
6 0
2
t
t t
t
.
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiêm dương.
Câu 74. Chọn A.
Tập xác định 0 2 x a .
1
log 2 log 0 2log 2 log 0 log 2 log 0
log 2 log 2 .
a a a a
a
a
a a
a x x a x x a x x
a x x a x x x a
.
Câu 75. Chọn D.
2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 1
1 2
2
log log 5 1 log 5 3 5 8 5 64
59
59 118.
59
x x x x
x
x x x
x
Câu 76. Chọn B.
Tập xác định 0 x .
Đặt
3 7
2
3 2
2 3
log 2 log
7
7
t
t
t
t
x
x
x x t
x
x
2 2
2 2 2
9 1
3 2 7 9 2 7 2 1 *
7 7
t t
t t t
t
Phương trình
* có một nghiệm 2 t .
2 2
9 1
2 0
7 7
t t
f t f t
.Suy ra vế trái của
* là hàm đồng biến mà vế phải là
hàm hằng nên
* có nghiệm duy nhất 1 49 t x .
Câu 77. Chọn B.
Điều kiện: 0. x
Đặt
2
3
log 1 x t .
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2
1 3 * t t m .
Yêu cầu bài toán tương đương với
* phải có nghiệm thuộc đoạn 1; 2
.
Xét hàm số
2
1 f t t t trên đoạn 1; 2
. Ta có
2 1 0, 1; 2 f t t t
nên
1;2 1;2
min 1 1; max 2 1 2; f t f f t f
Để
* có nghiệm thuộc đoạn 1; 2
thì
1 1 2
1 3 1 2 .
3 3
m m
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 209
Câu 78. Chọn D
Điều kiện:
2
2
1
1
2
1 2 1 0
0 1
1 1 0
1 1
1
2 2 2 1 0
1
2 1 0
2
1
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
2
2 2
2 1 1 2 1 1
log 2 1 log 2 1 4 log 2 1 2log 2 1 4
x x x x
x x x x x x
2 1 2 1
2 1 2 1
2 2
log 1 2 1 4 1 log 1 4
log 1 log 1
x x
x x
x x x
x x
2 1
2 1
2
log 1 3 0
log 1
x
x
x
x
Đặt
2 1
log 1 0
x
x t t
.
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2
1
2
3 0 3 2 0
2
t
t t t
t t
.
2 1
2
2 1
2(TM)
1 2 1
log 1 1
0(L)
log 1 2
1 2 1
5
(TM)
4
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
Câu 79. Chọn B.
Tự luận: ĐK: 0 x .
PT
2
2 2
2
1
log 2 log 2 2 0
2 1
x tm
x x x x x x
x l
.
Trắc nghiệm: Đk 0 x -> Loại ngay đáp án A,D. Thử trực tiếp 2 x vào thấy thỏa mãn
Câu 80. Chọn A.
Tự luận: ĐK: 0 x .
PT
2
3 3
1
log 2 log 3 2 3 2 3 0 .
3
x l
x x x x x x
x tm
Trắc nghiệm: Đk 0 x -> Loại ngay đáp án B,C. Thử trực tiếp 3 x vào thấy thỏa
mãn, 6 x thấy không thỏa mãn -> Chọn A.
Câu 81. Chọn A.
Tự luận: Đk 10 x .
PT
log 10 log log100 log 4 10 25 x x x x .
TH1:
2
5 5 2
0 10 25 0 .
5 5 2
x tm
x x x
x l
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 210
TH2:
2
10 0 10 25 0 5 x x x x tm .
Trắc nghiệm: Sử dụng phím CACL của máy tính để kiểm tra các kết quả trung của
đáp án.
Câu 82. Chọn A.
Tự luận:ĐK 0. x
PT
2 2
2 2 2
1 1 1
log 1 0 log 0 1
log 3 log 4 log 20
x x x
.
Trắc nghiệm: Sử dụng phím CACL của máy tính để kiểm tra các kết quả trung của
đáp án.
Câu 83. Chọn B.
Tự luận: ĐK 1 1. x
PT
lg 1 3lg 1 2 lg 1 lg 1 lg 1 1
1 10 99
x x x x x
x x l
Vâỵ phương trình vô nghiệm.
Câu 84. Chọn A.
Bài này không nên làm theo phương pháp tự luận.
Trắc nghiệm: Sử dụng phím CACL của máy tính để kiểm tra các kết quả trung của
đáp án.
Câu 85. Chọn C.
Tự luận: Đk 1 x .
PT
1
2 3
2 3
1
log 1 log 2 1
2
x x x
x
2
3 5
2
3 1 0
3 5
2
x l
x x
x tm
Trắc nghiệm: Sử dụng phím CACL của máy tính để kiểm tra các kết quả trung của
đáp án.
Câu 86. Chọn D.
Tự luận: Đk
6 4
2
x
x
.
PT
1 1 1
4 4 4
3log 2 3 3log 4 3log 6 . x x x
1 1
4 4
4 6 4 6
log 2 log 2
4 4
x x x x
x x
Th1.
2
2 4 6
2 4 2 6 16 0
4 8
x tm x x
x x x x
x l
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 211
Th2.
2
1 33 4 6
6 2 2 2 32 0 .
4
1 33
x tm x x
x x x x
x l
Trắc nghiệm: Sử dụng phím CACL của máy tính để kiểm tra các kết quả trung của
đáp án.
Câu 87. Chọn A.
Tự luận: Đk: 0 x
Đặt
2
log t x
2
2
2
1
1 log
2
3 2 0
1
2 log
4
t x x tm
pt t t
t x x tm
Câu 88. Chọn C.
Tự luận: Đk:
2
1 0
1 0 1
1 0
x
x x
x
2 2 2
2 2
pt log 1 log 1 2 0 x x
Đặt
2
2
log 1 t x
2 2
2
2
2 2
2
1 log 1 1 2 3
2 0
1 5
2 log 1 1
4 2
t x x x
pt t t
t x x x
Vì
3
1
5
2
x
x
x
Câu 89. Chọn D.
Tự luận: Đk:
1 0 1
1 1 0
x x
x x
2 1
pt log 1 4log 2
x
x
Đặt
2
log 1 t x
2
2
2
2 log 1 1 4 3
4
4
1 3
2 log 1 1
4 4
t x x x tm
pt t t
t
t x x x tm
Câu 90. Chọn A.
Tự luận: Đk:
0
1
x
x
2
1 7
pt log 2 log 0
2 6
x
x
Đặt
2
log t x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 212
2
2
2 3
8
3 log
1 7 1 7
0 1 0
1
2
2 6 2 6 log
3 4
x
t x
t
pt t t
x t t x
Câu 91. Chọn B.
Tự luận: Đk: 0 x
Đặt
2
3
log 1 0 t x
2
3
5 6 0
2
t L
pt t t
t L
. Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 92.
Chọn C.
Tự luận: Đk: 0 x
Đặt
2
2
log 1 0 t x
2
1
2 0
2
t tm
pt t t
t ktm
=>
2
2 2
log 1 1 log 0 1 x x x
Câu 93. Chọn D.
Tự luận: Đk: 0 x
Đặt
2
log t x
2
1 1
12 11 0
11 2
t
pt t x t x
t x
2
1 log 1 2 pt x x tm
2 2
2 log 11 log 11 0 pt x x x x
Đặt
2
g log 11 x x x TXĐ: 0 x
1
g 1 0 0
ln 2
x x
x
=>
g x đồng biến trên TXĐ.
Mà
3 0 3 g x là nghiệm duy nhất của pt (2).
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Câu 94. Chọn B.
Tự luận: ĐK: 0; 1 x x
2 3
4 4 1; 2; 2 PT x x x x x x
Kết hợp đk ta có nghiệm 2 x
Câu 95. Chọn A.
Tự luận:
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2log 1 log 1 3log 2 1 log 1 3log 3
log 1 3log 2 1 3log 4 log 1 2
PT x x
x x x x
Vậy pt có nghiệm duy nhất 2 x
Câu 96. Chọn C.
Tự luận:
2
4 12 9 1; 3 PT x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 213
Vậy pt có hai nghiệm cùng âm.
Câu 97. Chọn C.
Tự luận:
3 2
2
log 9 2 3 9 2 2 2 9.2 8 0 0; 3
x x x x x
PT x x x
Nên
3
2
9
3 3 5.3 11
3
a T pt có nghiệm duy nhất 2 x
Câu 98. Chọn D.
Tự luận:
2 2 2
1 5 5
log 2 1 2 2 1 2 log log 5 2.
4 4 4
x x x
x
Câu 99. Chọn C.
2 2
3
2
log 1 2 1 9
4
x
x x
x
. Vậy phương trình có hai nghiệm.
Câu 100. Chọn A.
3
3 2
m
PT x x
3 2
3 ; 3 3; 0 1 f x x x f x x f x x
BBT
x 1 1
y
0
0
y
2
2
Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 2 2 1
m
m
Trắc nghiệm:
3 3
3 2 3 2 0
m m
PT x x x x
Bấm máy tính giải phương trình bậc 3:
Thay 0,5 m . Giải pt
3 0,5
3 2 0 x x có ba nghiệm phân biệt. Loại D
Thay 1 m . Giải pt
3 1
3 2 0 x x
có ba nghiệm phân biệt. Chọn A.
Câu 101. Chọn C.
Tự luận:
1 2
4 2 2 2.2 0
x x x x
PT m m
Đặt ẩn phụ 2 , 0
x
t t . Yêu cầu bài toán tương đương pt
2
2 0 t t m có hai nghiệm
dương phân biệt
' 1 0 1
0 0
m m
m m
Trắc nghiệm:
1 2
4 2 2 2.2 0
x x x x
PT m m
Đặt ẩn phụ 2 , 0
x
t t . Yêu cầu bài toán tương đương pt
2
2 0 t t m có hai nghiệm
dương phân biệt.
Thấy pt có hai nghiệm dương thì . 0 0 0 a c m m . Nên loại A,B
Thử 1,5 m thấy phương trình
2
2 1,5 0 t t vô nghiệm. Nên loại D, Chọn C.
Câu 102. Chọn A.
Phương trình có một nghiệm 1 x
.
2
log
2.3 0
x
f x x f x
. Suy ra vế trái là hàm đòng biến, mà vế phải là hàm hằng,
nên phương trình có một nghiệm duy nhất
1 x
.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 214
Câu 103. Chọn C.
Tự luận:
3 2
3 2
log 1 3 1 3 4 2log 1 x x x x
Điều kiện: 1 x
3 2
3 2
log 1 3 1 3 1 1 2 log 1 x x x x
3
3 2
log 2 2log 1 x x
3 2
3log 2 2 log 1 6 x x t
2 2
3
3 3
2
log 2 2
2 3 3 2
8 1
9 8 1 1
9 9 log 1 3 1 2 2 1
t t
t t
t t
t t
x t
x x
x t x x
Đặt
8 1
9 9
t t
f t
nhận thấy
f t là hàm luôn nghịch biến, nên pt có nghiệm duy
nhất, và
1 1 f , vậy nghiệm t=1, hay x=7
Trắc nghiệm: shift slove ra nghiệm.
Câu 104. Chọn D.
Tự luận:
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
Đặt
6
log 6
t
t x x
2
6 3
log 6 3 6 3 2 1
2 2
t t
t t t t t
pt t
Đặt
3
3
2
t
t
f t
nhận thấy
f t là hàm đồng biến trên R và
1 1 f . nên pt có
nghiệm duy nhất 1 t hay
1
6
x
Câu 105. Chọn A.
ĐK:
3 x
5
log 3
5 2
2 log 3 log
x
x x x
Đặt
5 2
3 5 5 3
log 3 log
2 2
t t
t t
x x
x x t
x x
.
5 1
5 3 2 3 1(*)
2 2
t t
t t
Phương trình (*) có một nghiệm 1. t
Xét hàm số
5 1
3
2 2
t t
f t
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 215
Ta có
0 f t nên vế trái của(*) là hàmđồng biến trên tập xác định, trong khi vế phải
là hàm hằng nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất 1 2 t x
Câu 106. Chọn A.
Tự luận:
2
2 2
4 5 log 16 7 log 12 0 x x x x
ĐK:
0 x
Đặt
2
log t x
2 2
4 5 16 7 12 0 4 5 16 7 12 0
1
2
2 3 0
4
3
pt x t x t x t x t
t x
t t x
t x
Với
2
3 log 3 t x x x
Nhận xét thấy vế trái là hàm tăng, vế phải là hàm giảm. Nên pt có nghiệm duy nhất. Và
thay 2 x thì thỏa pt. Vậy nghiệm 2 x
Tích bằng 0.5
Trắc nghiệm: Dùng shift solve tìm nghiệm thứ nhất, tìm nghiệm thứ 2 rồi tìm tích.
Câu 107. Chọn B.
Tự luận:
2
3 1
2
3
1
log 3 2 2
5
x x
x x
Đặt:
2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 1 1 u x x u x x x x u .
2
1
3
log 2 5 2
u
pt u
Đặt
2
1
3
log 2 5
u
f u u
Nhận xét thấy vế phải là hàm tăng, và
1 2 f
. Nên
phương trình có nghiệm duy nhất u=1
hay
2
3 2 1 x x
2
3 5
2
3 1 0
3 5
2
x
x x
x
Câu 108. Chọn A.
Tự luận:
1 3
7
1
7
5
7 2 log (6 5) 1
6
7 6 1 6 5 6 log (6 5)
x
x
x dk x
x x x
Đặt
7
6 log f t t t ,
6
' 1 0, 0
ln7
f t t
t
Nên
f t tăng
Vậy
1 1
7 6 5 7 6 5 7 6 1
x x u
f f x x u
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 216
Xét hàm ( ) 7 6 1
u
g u u ;
7
6
' 7 .ln7 6; ' 0 log
ln7
u
g u g u u
Theo bảng biến thiên ta có hàm
g u tăng, giảm trên hai khoảng. Nên
g u có nhiều
nhất 2 nghiệm
Mà
0 0; 1 0; g g
Vậy
0 1
1 2
u x
u x
Trắc nghiệm: shift solve.
Câu 109. Chọn B.
Tự luận:
2 2 2
3 3 3 2
2 1
log 4 log 2 1 log 2 1 4
1
x
x x x x x x x
x
2 2
3 3
2
log 2 1 2 1 log 2 1 2 1
2 1 2 1 *
x x x x x x
f x f x x
Với
3
log 0 f x x x f x . Nên
f x đồng biến.
Vậy
2 2
0
* 2 1 2 1 4 0
4
x
x x x x x
x
.
Trắc nghiệm: shift solve.
Câu 110. Chọn C.
PT được viết lại:
2
3 3
9 log (9 3)log 9 2 0 x m x m .
Nếu đặt
3
log t x ,khi đó ta tìm
1 2 3 1 3 2 3 1 2
9 3 2
log log log . 1 1
9 3
m
t t x x x x m
( Chú ý trong các trường hợp tq cần điều kiện có nghiệm của pt bậc 2).
Câu 111. Chọn D.
ĐK: 1 x .
Phương trình có một nghiệm 3 x .
Xét
3
2
log 1
3
x
f x x
Ta có
0 f x nên
VT f x đồng biến trên
1; , trong khi VP là hàm hằng nên
phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 112. Chọn C.
1 x là nghiệm nên log 6 log 2 0 1
m m
m . Khi đó ta có BPT:
2 2
2
1
2 3 3 3
3
3 0
1 0
x x x x x
x x
x
.
Câu 113. Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 217
ĐK: 1 x
2 2 2
.log 1 .log 1 log 1 x x m m x x x m x x m
2
log 1 1 0
1 2 3
x m x m
x m x
x x
Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc
1; 3
khi 1 3 x m .
Câu 114. Chọn D.
Nếu đặt
3
log t x ,khi đó ta tìm
1 2 3 1 3 2 3 1 2
log log log . 3 2 3 1. t t x x x x m m
Câu 115. Chọn A.
ĐK: 0 m
.
Với 1 m . Phương trình: log 1 0
x
nghiệm đúng mọi 0 1 x .
Với 0 1 m . Phương trình:
2
2
1 1 1
log log log 0 0
log log log
x mx
m x
m m m
m m m
x mx m x
1 1 1
0
log 1 log 2 log
m m m
x x x
Đặt
log 0; 1; 2
m
x t t t t . Khi đó có phương trình:
2
1 1 1 3 3
0 3 6 2 0 (TM)
1 2 3
t t t
t t t
Vậy 0 m .
Câu 116. Chọn C.
ĐK:
2
0 0. x x
2
4 2 2
2
log log 2 log log 4 4 4. x x x x
Câu 117. Chọn B.
ĐK:
3 4 0
1 0.
1 0
x
x
x
2
4 2
2
1
log (3 4).log 2 1 log (3 4).log 2 1 log (3 4) 2 3 4
2
1(L)
3 4 0
4(TM)
x x x
x x x x x
x
x x
x
Câu 118. Chọn A.
Điều kiện: 0 x .
Phương trình
2
2
3 3 3
2 log log log 81 7 0 x x
1
2 3
3 3
7
3 2
3
log 1
log 6log 7 0
log 7 3
x x
x
x x
x x x
thoûa maõn
thoûa maõn
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 218
7 6
1 2 6 3
1 1
3.3 3 .
3 9
P x x
Câu 119. Chọn D.
Điều kiện: 1. x
Phương trình
2
2 2 2 2
2log 1 log 1 1 log 1 1 log 1 x x x x
2 2
2 2
log 1 log 2 1 1 2 1 x x x x
2
2 5
4 1 0 2 5 .
2 5
x
x x S
x
thoûa maõn
loaïi
Câu 120. Chọn A.
Điều kiện:
1
3 1 0 1.
x
x
Phương trình
1 1
3 3 3 3
log 3 1 2 log 2 log 3 1 log 2 2
x x
x x
1 1 2 2
3
log 3 1 .2 2 3 1 .2 3 6.3 2 3
x x x x x
x
Viet
1 2
1 2
2
3 3 6
3 6.3 2 0 .
3 .3 2
x x
x x
x x
Ta có
1 2 1 2 1 2 1 2
3
3
27 27 3 3 3.3 .3 3 3 6 3.2.6 180.
x x x x x x x x
S
Câu 121. Chọn B.
Điều kiện:
1 0
1
ln 1 0 2
x
x
x x
.
Phương trình
3 2
0
5 6 0 2.
3
x
x x x x
x
Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất 3 x .
Câu 122. Chọn B.
Điều kiện: 0 1 x .
Phương trình
2
2 2 2
log log 1 log 2 2 x x x x
2 2
2 2
log log 2 2 2 2
1 1
x x
x x x x
x x
2
2 2
2
2 1 2 2 0
1 1 1 1
1
x x x x x
x x
x x x x
x
1
1
x
x
(vô nghiệm) hoặc 2
1
x
x
4
2 2 0 1 3 4 2 3 .
2
a
x x x x
b
Câu 123. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 219
Điều kiện:
2
2
1
2 1
0 0 0 1.
x
x x
x
x x
Phương trình
2
2
3
1
log 2 1
x
x x x
x
2 2 2 2
3 3 3 3
log 1 log 1 log 1 1 log . x x x x x x x x
*
Xét hàm số
3
log f t t t với 0 t . Ta có
1
' 1 0, 0
ln 3
f t t
t
.
Suy ra hàm số
f t đồng biến trên
0; .
Nhận thấy
* có dạng
2 2
1 1 f x f x x x
2
3 5
3 5 3 5
2
3 1 0 3.
2 2
3 5
2
x
x x
x
thoûa maõn
thoûa maõn
Câu 124. Chọn B.
Điều kiện: 2. m Phương trình
2
4 2
log 2 2 log 2
x
m
2 2
2 2 2 2 4
l og 2 2 l og 2 2 2 2
2 2 2 2
x x
x x
x x
m m
m m
m m
Để phương trình vô nghiệm
4 0 4
0 4
0 0
m m
m
m m
2
0;1; 3; 4 0 1 3 4 8.
m
m
m S
Câu 125. Chọn B.
Điều kiện:
0 0
1 0 1 0.
1 1 log 1 0
mx mx
x x
x x
Phương trình
log 2 log 1 log log 1 1
100 100
mx mx
mx x x x
100
100 100 100 100 .
100
mx x m x x
m
Thay vào điều kiện, ta có
100
. 0
100
100
100
1 0 0 .
0 100 100
100
1 1
100
m
m
m
m
m m m
m
Câu 126. Chọn B.
Điều kiện: 0 x .Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra 0 1 x .
Đặt
3
log x t , với 0 1 0 x t . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 220
Phương trình đã cho trở thành
2
1
1 0 . t mt t m
t
Xét hàm
1
f t t
t
với 0 t .
Đạo hàm và lập bảng biến thiên ta được 2 m thỏa mãn bài toán.
Câu 127. Chọn A.
Đặt
1
2
log 2 t x , do 2 4 0 2 2 1. x x t
Phương trình trở thành
2
2
2
5 1
1 5 1 0 .
1
t t
m t m t m m
t t
Xét hàm số
2
2
5 1
1
t t
f t
t t
với 1 t .
Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta được
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm
7
3
3
m .
Suy ra
0
5
3 5; .
2
m
Câu 128. Chọn B.
Đặt
2
log t x , với 16 4 x t .
Phương trình trở thành
2
2 3 3 . t t m t
*
● Với 0 m thì phương trình vô nghiệm, do
2
2 3 0
, 4.
3 0
t t
t
t
● Với 0 m thì
2
2 2
* 2 3 3 t t m t
2 2 2 2
1 2 3 1 3 1 3 0 m t m t m .
Nếu 1 3 m t : không thỏa mãn.
Nếu 1 m , ta nhẩm được một nghiệm 3 t (không thỏa mãn), suy ra nghiệm
còn lại
2
2
3 1
1
m
t
m
.
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm
2
2
3 1
4 1 5
1
m
m
m
thoûa .
Nhận xét. Phương trình
2
2 3
* , 4
3
t t
m f t t
t
. Xét hàm
f t với 4. t
Câu 129. Chọn C.
Điều kiện: 1. x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 221
Phương trình
2
2
1
log 2log 1 1 .
x
mx x mx x m
x
Xét hàm
2
1 x
f x
x
trên
1; .
Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta được
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất
4
0
m
m
2017;2017
2017; 2016;...; 1; 4
m
m
m
có 20 18 giá trị m nguyên.
Câu 130. Chọn A.
Điều kiện: 4 1 0 0.
x
x
Đặt 4
x
t , với 0 1. x t Phương trình trở thành
2
1
log .
1
t
m
t
*
Xét hàm số
2
1
lo g
1
t
f t
t
trên
1; . Ta có
2
2
' 0, 1.
1 ln 2
f t t
t
Suy ra hàm số
f t đồng biến trên khoảng 1 ; .
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm 0. m
Câu 131. Chọn A.
Phương trình
2
2 2 2 3 2
2 2
2 .log 2 3 2 .log 2 2
x m x x
x x x m
.
Xét hàm
2
2 .log
t
f t t trên
2;
. Ta có
2
2
2 .ln 2.log 0, 2.
.ln 2
t
t
f t t t
t
Suy ra hàm số
f t là hàm số đồng biến trên
2; .
Nhận thấy
có dạng
2 2
2 3 2 2 2 3 2 2 f x x f x m x x x m
2
2
2
2 2
1 2 4 2 1 0 1
1 2 .
2 1 2
1 2
x x m x x m
x x m
x m
x x m
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 222
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
TH1. Phương trình
1 và
2 đều có nghiệm kép và hai nghiệm này khác nhau
1
2
0
.
2 1 0
m
x m
TH2. Phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình
2 vô nghiệm
1
2
0
4 2 1 0
1
.
2
2 1 0
2 1 0
m
m
m
x m
TH3. Phương trình
1 vô nghiệm, phương trình
2 có hai nghiệm phân biệt
1
2
0
4 2 1 0
3
.
2
2 1 0
2 1 0
m
m
m
x m
TH4. Phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình
2 cũng có hai nghiệm
phân biệt và hai nghiệm của
1 giống hai nghiệm của
2 hay nói cách khác hai
phương trình tương đương . m
Vậy
1 3
; ;
2 2
m
là giá trị cần tìm.
Câu 132. Chọn C.
Phương trình
2
3 3
log 4 log 2 2 1 x mx x m
2
2
2 1
2 2 1 0 1
2
4 2 2 1
2 2 1 2 1 0 *
.
m
x m x
x mx x m
x m x m
Yêu cầu bài toán phương trình
* có một nghiệm thỏa mãn
1 .
● TH1:
* có nghiệm kép thỏa
2
/
*
2 1 2 1
1
1
1
0
2
2
2
m m
m
x m
2
4 6 0
0.
6 1
m m
m
m
● TH2:
* có hai nghiệm
1 2
, x x thỏa
2
/
*
1 2
1 2
2 1 2 1 0
2 1
2 1 2 1
2
0
2 2
m m
m
x x
m m
x x
2
2
4 6 0
1 1
.
2 10 20 12 1 0
m m
m
m m
● TH3:
* có nghiệm
1
2 1
2
m
x
và nghiệm
2
2 1
2
m
x
. Thay
1
2 1
2
m
x
vào phương
trình
* ta nhận được
1
2
m hoặc
1
10
m . Thử lại ta thấy thỏa mãn. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 223
Kết hợp các trường hợp, ta được
1 1
2 10
m hoặc 0 m thỏa mãn yctb.
1 1
; ; 0
2 10
a b c .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 224
Chủ đề 5
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BPT MŨ
1. Phương pháp
Dạng 1: Với bất phương trình:
f x g x
a a
1
( ) ( )
1
0 1
( ) ( )
a
f x g x
a
a
f x g x
hoặc
0
( 1)[ ( ) ( )] 0
a
a f x g x
Dạng 2: Với bất phương trình:
f x
a b (với b > 0)
1
( ) log
0 1
( ) log
a
a
a
f x b
a
f x b
.
Dạng 3: Với bất phương trình:
f x
a b
cã nghÜa
0
( )
0
1
( ) log
0 1
( ) log
a
a
b
f x
b
a
f x b
a
f x b
.
2. Bài toán minh họa
Giải các bất phương trình sau:
4 2
2 3
3 2
x x
2
1 2 1
3 2 5 2 6
x x
2
1
3 2
x
Lời giải:
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Bất phương trình được biến đổi về dạng:
4 2
2 2
3 3
x x
4 2 3 2 x x x
2
3
x .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
2
;
3
.
Cách 2: Bất phương trình được biến đổi về dạng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 225
4 2
3 3
2 2
x x
4 2 3 2 x x x
2
3
x .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
2
;
3
.
Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực hiện một công
việc là đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên:
Trong cách 1, với việc sử dụng cơ số 1 a nên dấu bất đẳng thức phải đổi chiều và đây
là điểm thường gây ra lỗi đối với một vài học sinh.
Trong cách 2, với việc sử dụng cơ số 1 a nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều. Trong
những trường hợp tương tự các em học hãy lựa chọn theo hướng này.
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Nhận xét rằng:
2
5 2 6 3 2 =
2
3 2
3 2
=
2
3 2
.
Do đó, bất phương trình được biến đổi về dạng:
2
1 2(2 1)
3 2 3 2
x x
2
1 2 2 1 x x
2
4 3 0 x x 3 1. x
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là ( ) 3; 1 .
Cách 2: Nhận xét rằng:
2
5 2 6 3 2 ,
3 2 3 2 3 2 1
1
3 2 3 2
.
Do đó, bất phương trình được biến đổi về dạng:
2
( 1) 2(2 1)
3 2 3 2
x x
2
1 4 2 x x
2
4 3 0 x x 3 1. x
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là ( ) 3; 1 .
Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực hiện một công
việc là đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên:
Trong cách 1, chúng ta đã tìm cách biến đổi 5 2 6 theo 3 2 và ở đây các em học
sinh cũng cần lưu ý rằng cơ số này nhỏ hơn 1.
Trong cách 2, chúng ta đã sử dụng ý tưởng về cơ số trung gian đã biết trong phần phương
trình mũ.
Bất phương trình được biến đổi về dạng:
2
3
1 log 2 x
2
3
1 log 2 x tham số
2
3
log 6 x
3
log 6 x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3 3
log 6; log 6 .
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 226
II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương pháp
Dạng 1: Với bất phương trình:
log log
a a
f x g x
1
0 ( ) ( )
0 1
( ) ( ) 0
a
f x g x
a
f x g x
0 1
( ) 0
( ) 0
( 1)[ ( ) ( )] 0
a
f x
g x
a f x g x
Dạng 2: Với bất phương trình:
log
a
f x b
1
0 ( )
0 1
( )
b
b
a
f x a
a
f x a
Dạng 3: Với bất phương trình:
log
a
f x b
1
( )
0 1
0 ( )
b
b
a
f x a
a
f x a
2. Bài toán minh họa:
Giải các bất phương trình sau:
2
5 1
5
log ( 1) 1 log ( 1) x x
1
5
log
2
5
6 18 2 l ( ) ( ) og 4 0. x x x
Lời giải:
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Điều kiện:
2
1 0
1 0
x
x
1
1
x
x
1. x (*)
Biến đổi bất phương trình về dạng:
2
5 5
log ( 1) 1 log ( 1) x x
2
5 5
log ( 1) log 5( 1) x x
2
1 5 ) 1 ( x x
2
5 4 0 x x 1 4. x
Kết hợp với điều kiện (*) ta nhận được tập nghiệm của bất phương trình là
1; 4 .
Cách 2: Bất phương trình biến đổi tương đương về dạng:
2
5 5
log ( 1) 1 log ( 1) x x
2
5 5
log ( 1) log 5( 1) x x
2
0 1 5 ) 1 ( x x
2
2
1 0
5 4 0
x
x x
1
1 4
x
x
1 4. x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1; 4 .
Yêu cầu: Các em học sinh hãy so sánh hai cách giải trên và hãy trả lời câu hỏi "Có thể sử dụng
cách 2 cho bất phương trình trong câu hay không ?".
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 227
Điều kiện:
2
6 18 0
4 0
x x
x
4. x (*)
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:
2
5 5
( ) log 6 18 2 g 0 ) 4 ( lo x x x
2 2
5 5
log 4 lo ( 6 ) g ) ( 18 x x x
2 2
8 16 6 18 x x x x 2 2 x 1. x (**)
Kết hợp (*) và (**) ta được nghiệm của bất phương trình là 4. x
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT
1. Phương pháp
Các dạng đặt ẩn phụ trong trường hợp này cũng giống như với phương trình mũ và phương
trình logarit.
2. Bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải các bất phương trình sau:
1
9 2.3 16 0.
x x
(5+ 21 )
x
+(5- 21 )
x
2
log 5
2
x
.
4
lnx + 1
6
lnx
2.
2
ln 2
3
x
≤ 0.
Lời giải:
Đặt 3
x
t (điều kiện 0 t ), phương trình được biến đổi về dạng:
2
3 6.3 16
x x
≥ 0
2
6 16 t t ≥ 0
lo¹i 8 ( )
2
t
t
2 t
3
x
2
3
log 2. x
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là
3
log 2 ( ; ).
Chia hai vế bất phương trình cho 2
x
> 0, ta được:
5 21
2
x
+
5 21
2
x
5.
Nhận xét rằng
5 21
2
.
5 21
2
= 1.
Nên nếu đặt t =
5 21
2
x
, điều kiện t > 0 thì
5 21
2
x
=
1
t
.
Khi đó, bất phương trình có dạng:
1
t
t
5
0 t
2
5 1 t t 0
5 21
2
t
5 21
2
5 21
2
5 21
2
x
5 21
2
1 1. x
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 1;1 .
Điều kiện x > 0. Biến đổi bất phương trình về dạng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 228
4.4
lnx
6
lnx
18.
2
ln
3
x
0 4.2
2lnx
(2.3)
lnx
18.
2ln
3
x
0. (1)
Chia cả hai vế của (1) cho
2ln
3 0
x
, ta được 4
2ln ln
2 2
3 3
x x
18 0.
Đặt t =
ln
2
3
x
, điều kiện t > 0. Bất phương trình được biến đổi về dạng:
2
4 18 t t 0
9
2
4
t 0
ln
2
3
x
9
4
ln
2
3
x
2
2
3
lnx ≥ 2
2
. x e
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là
2
; . [ ) e
Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với ba dạng đặt ẩn phụ
cơ bản đã được biết trong phần phương trình mũ. Và ở đây:
Với câu chúng ta cần tới phép biến đổi
2
9 3
x x
và
1
3 3.3
x x
để định hướng cho ẩn
phụ 3
x
t . Và với điều kiện 0 t nên kết quả 8 t bị loại.
Với câu chúng ta đã sử dụng dạng mở rộng đã biết cho phương trình
1 2 3
0
x x x
a a a b a c , với
2
. a b c . Và với điều kiện 0 t chúng ta loại bỏ luôn mẫu số
sau phép quy đồng.
Với câu chúng ta cần sử dụng một vài phép biến đổi đại số để nhận dạng được loại
ẩn phụ cho bất phương trình. Và ở đó việc chia cả hai vế của bất phương trình cho
một số dương nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều.
Bài toán 2: Giải các bất phương trình sau:
2 3
lg 20 lg 1 0 x .
1 2
log 4 1 l ( 1) og .
x
x
Lời giải:
Điều kiện 0. x
Biến đổi bất phương trình về dạng:
2
2
3lg 20.lg 1 0 9lg 10lg 1 0. x x x x
Đặt lg t x , ta biến đổi bất phương trình về dạng:
2
9 10 1 0 t t
1
1
9
t
1
lg 1
9
x
9
10 10 x .
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là
9
10; 10
.
Điều kiện 0 1 1 1 2. x x (*)
Biến đổi bất phương trình về dạng:
1 2
2 log 2 1 log ( 1)
x
x
2
2
log ( 1) x
≥
2
( 1 log 1 . ) x
Đặt
2
( og 1) l t x , ta biến đổi bất phương trình về dạng:
2
1 t
t
2
1 0 t
t
2
2
0
t t
t
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 229
2
0 1
t
t
2
2
log ( 1) 2
0 log ( 1) 1
x
x
2
1 2
1 1 2
x
x
5
4
2 3
x
x
.
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là
5
1; 2; 3
4
.
Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với hai dạng đặt ẩn phụ
cơ bản đã được biết trong phần phương trình logarit. Và ở đây:
Với câu các em học sinh dễ nhận thấy ẩn phụ lg t x . Tuy nhiên, rất nhiều em biến
đổi nhầm
2 3 2
3 3
lg 3 lg x x .
Với câu các em học sinh có thể bị mắc lỗi khi thực hiện quy đồng mẫu số rồi bỏ mẫu
hoặc không kết hợp với điều kiện (*) của bất phương trình.
IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
1. Phương pháp
Với bất phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
lg lg .lg .lg
f x g x f x g x
a b a b f x a g x b
hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b .
Chú ý: Phương pháp logarit hoá tỏ ra rất hiệu lực khi hai vế bất phương trình có dạng tích
các luỹ thừa.
2. Bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải các bất phương trình sau:
3 4
4 3
x x
.
6
x .
log 5
5
x
≤
5
5
.
Lời giải:
Ta trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Lấy logarit cơ số 4 hai vế của phương trình, ta được:
3 4
4 4
log 4 log 3
x x
4
3 4 log 3
x x
4
3
log 3
4
x
3 4
4
log log 3 x .
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
3 4
4
log log 3;
.
Cách 2: Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được:
3 4
3 3
log 4 log 3
x x
3
3 log 4 4
x x
3
4
log 4
3
x
4 3
3
log log 4 x .
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
4 3
3
log log 4;
.
Cách 3: Lấy logarit cơ số 10 hai vế của phương trình, ta được: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 230
3 4
lg 4 lg 3
x x
3 lg 4 4 lg 3
x x
3
lg 4 4
log 4
3 lg 3
x
4 3
3
log log 4 x .
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
4 3
3
log log 4;
.
Điều kiện 0 1. x (*)
Lấy logarit cơ số 5 cả hai vế của bất phương trình, ta được:
6
5
log ( . x
log 5
5
x
) ≤
5
5
log 5
6
5 5
log log x
log 5
5
x
≤ 5
5
6log log 5 5.
x
x
Đặt
5
log t x , ta biến đổi bất phương trình về dạng:
1
6 5 t
t
2
6 5 1
0
t t
t
1
1
0
6
t
t
5
5
log 1
1
0 log
6
x
x
1
6
5
1 5
x
x
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
1 6
0; 5 1; 5
.
Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với phương pháp logarit
hóa. Và ở đó:
Với câu đã trình bày các cách lấy logarit hóa hai vế của một bất phương trình.
Với câu các em học sinh đã nhận thấy tính linh hoạt trong việc thực hiện phép logarit
hóa hai vế của một bất phương trình để giảm thiểu tính phức tạp. Và ở đây cần lưu ý tới
việc kết hợp điều kiện (*) với giá trị tìm được.
Bài toán 2: Giải các bất phương trình sau:
3 4
log log . x x
4
1
log
2
3
x
+
4
1
log
2
3
x
≤ x .
Lời giải:
Điều kiện 0 x . Biến đổi bất phương trình về dạng:
3 4 3
log log 3.log x x
4 3
1 log 3 log 0 x
4
log 3 1
3
log 0 x 1. x
Vậy bất phương trình có nghiệm 1. x
Điều kiện x > 0. Biến đổi bất phương trình về dạng:
4
log
3
x
1
3
3
≤ x 4.
4
log
3
x
≤ 3x .
Lấy logarit cơ số 4 cả hai vế của bất phương trình, ta được:
log4(4.
4
log
3
x
) ≤ log4 3x
4 4
1 log .log 3 x ≤
1
2
4 4
log 3 log x
4 4 4
2 log 3 1 log log 2 ( ) 3 x
4 4 4
9 3
log .log log
4 16
x (*)
4
log x
4
4
3
log
16
9
log
4
=
4
4
3
log
4
3
log
2
=
3
2
3
log
4
x ≥
3
2
3
log
4
4 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 231
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
3
2
3
log
4
4 ;
.
Yêu cầu: Các em học sinh hãy giải thích cho phép biến đổi tiếp theo từ (*).
V. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
Bài toán : Giải các bất phương trình sau:
2.2 3.3 6 1.
x x x
log2 1 x + log3 9 x > 1.
Lời giải:
Chia hai vế bất phương trình cho 6
x
> 0, ta được:
2
3
x
+
3
2
x
+
1
6
x
> 1. (1)
Hàm số f(x) =
2
3
x
+
3
2
x
+
1
6
x
, là hàm nghịch biến.
Ta có:
Với
2, 2 1 x f x f do đó bất phương trình (1) vô nghiệm.
Với
2, 2 1 x f x f do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng.
Vậy 2 x là nghiệm của bất phương trình.
Điều kiện:
1 0
9 0
x
x
1. x
Các hàm số f1(x) = 1 x và f2(x) = 9 x đồng biến trên miền x > -1
hàm số f(x) = log2 1 x + log3 x 9 đồng biến trên miền x > -1.
Ta có
0 1 f , do đó:
Nếu 0 x thì
0 f x f log2 1 x + log3 9 x > 1, nên x > 0 là nghiệm.
Nếu 1 0 x thì
0 f x f log2 1 x + log3 9 x 1, nên 1 0 x không phải là
nghiệm.
Vậy nghiệm của bất phương trình là 0. x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 232
VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
1. Phương pháp
Bài toán: Tìm m để bất phương trình
; 0; ; 0
; 0; ; 0
F x m F x m
F x m F x m
có nghiệm trên D?
o Bước 1: Cô lập tham số m và đưa về dạng
A m f x hoặc
A m f x hoặc
A m f x hoặc
. A m f x
o Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số
f x trên D.
o Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m .
Chú ý:
Nếu hàm số
y f x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì
o Bất phương trình
A m f x có nghiệm trên
max .
D
D A m f x
o Bất phương trình
A m f x nghiệm đúng
min .
D
x D A m f x
o Bất phương trình
A m f x có nghiệm trên
min .
D
D A m f x
o Bất phương trình
A m f x nghiệm đúng
max .
D
x D A m f x
Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu không sẽ
làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm.
2. Bài toán minh họa
Bài toán 1:
Tìm m để bất phương trình .9 (2 1).6 .4 0
x x x
m m m nghiệm đúng với mọi
0;1 x .
Lời giải:
Ta có
.9 2 1 .6 .4 0
x x x
m m m
9 3
. 2 1 0
4 2
x x
m m m
.
Đặt
3
2
x
t
. Vì
0;1 x nên
3
1
2
t
Khi đó bất phương trình trở thành
2
. 2 1 0 m t m t m
2
1
t
m
t
.
Đặt
2
1
t
f t
t
với
3
1
2
t .
Ta có
3
1
1
t
f t
t
,
0 1 f t t .
Bảng biến thiên. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 233
t 1 1
3
2
f t
0
f t
6
Dựa vào bảng biến thiên ta có
3
2
lim 6
t
m f t
.
Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2
2 2
4 log log 0 x x m nghiệm đúng mọi giá trị
1; 64 . x
Lời giải:
Điều kiện: 0 x .
2
2 2
4 log log 0 x x m
2
2 2
log log 0 * x x m .
Đặt
2
log x t
2
1 64 0 log 6 0 6 x x t .
Phương (*) có dạng:
2
0 t t m .
Vậy ta tìm m để
2
0 t t m có nghiệm với 0 6 t .
Xét hàm
2
f t t t ,
1
2 1, 0
2
f t t f t t .
Lập bảng biến thiên ta có:
t 0 6
f t
f t
0
42
Vậy phương trình
2
0 t t m có nghiệm với 0 6 t 0 0 m m .
Bài toán 3: Tìm m để hệ bất phương trình
2
2
ln ln 4 0
3
0
x m x m
x
x
có nghiệm?
Lời giải:
Ta có
2
3
0 3
x
x
x
x
x
2
2 2
ln 3
ln ln 3 0 ln 1 ln 3
ln 1
x
x m x m m x m
Đặt x ln ; ln 3 t t . Ta xét hàm số
2
3
1
t
f t
t
2
2
3 4 4
1 1 ;
1 1
1
t
f t t f t
t t
t
2
3
4
0 1 0
1
1
t
f t
t
t
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 234
x ln3 3
f x
0
f x
6
Vậy hệ có nghiệm khi 6 m .
Bài toán 4: Số giá trị nguyên của tham số m sao cho bất phương trình
2 2
log 5 log 1 log 4 x mx x m nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực là
Lời giải:
Điều kiện xác định:
2
2
0
0
4 0 2. 2
16 4 0
2
m
m
mx x m x m m
m
m
2 2 2 2
log 5 log 1 log 4 log 5 1 log 4 x mx x m x mx x m
2 2 2
5 1 4 5 4 5 0, x mx x m m x x m x
2 2
5 5
5 0 5
2 5 7 3 5.
16 4 5 0 4 5
5 2
3
m m
m m
m m m
m m
m
m
Có 2 giá trị nguyên thỏa mãn
3; 4 . m
Bài toán 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 9 2.3 3 0
x x
m được
nghiệm đúng x .
Lời giải:
Đặt
3 , 0 .
x
t t Bất phương trình trở thành
2 2
2 3 0 2 3. t t m m t t
Xét hàm số
2
2 3 f t t t trên khoảng
0; .
Có
2 2 0 1 f t t t . Ta có bảng biến thiên:
t 0
1
f t
0
f t
3
2
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy 2 m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài toán 6: Số các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
2 2 2
cos sin sin
3 2 .3
x x x
m có nghiệm là?
Lời giải: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 235
- Chia cả hai vế cho
2
sin
3 0
x
ta được:
mµ
2
2 2
2 2
2
2
2
sin 2
cos sin
sin sin
sin
2
sin
2
1 1
; 1 ; 1
3 3
3 1
2 1 1
3 3 1 (*)
1
3
3 3
3
1 1 1
: 0 sin 1 1 ; 1
3 3
3
(*) max max 3 1 1 3 1; 2; 3
x
x x
x x
x
x
t t m
m m
t
DK x t
m y t t m y m m
- Chú ý : ở đây chúng ta sử dụng phương pháp hàm số ; phân biệt bpt có nghiệm và bpt có
nghiệm với mọi x.
Bài toán 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
5 4
12 .log 3
x
x x x m
có nghiệm.
Lời giải:
Ta có
5 4
12 .log 3
x
x x x m
3
5 4
1
12 . 12 log 5 4
log 3
x
x x x m x x x x m
Đặt
3
12 .log 5 4 . g x x x x x
Yêu cầu bài toán trở thành
m Max g x
Điều kiện
0
0
12 0
21
5 4 0 0 4.
12
5 4 1
4
4 0
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
3
1
3 1
2 4
' .log 5 4 12
2
2 12
5 4 .ln 3
x
g x x x x x x
x
x
3
3 1 1
' .log 5 4 12 .
2
2 12 2 4 . 5 4 .ln 3
g x x x x x x
x x x
' 0 0; 4 g x x
g x đồng biến trên 0; 4 .
3
0;4
3
0;4
3
4 4 4 4 12 .log 5 4 4 .
12 log 5.
12log 5.
x
x
GTLN g x g
GTLN g x
m
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 236
B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LOAGRIT
I. PHƯƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN
Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số
hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0
Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó
rút ra đáp số đúng nhất của bài toán .
CALC THUẬN có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng
; a b
thì bất phương trình đúng với mọi giá trị thuộc khoảng
; a b
*Chú ý: Nếu khoảng
; a b và
, c d cùng thỏa mãn mà
, , a b c d thì
, c d là đáp án chính
xác
Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Bất phương trình
1 3
2
2 1
log log 0
1
x
x
có tập nghiệm là?
A.
; 2 B.
4; C.
2;1 1; 4 D.
; 2 4;
(Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Nhập vế trái vào máy tính Casio
ia1R2$$i3$a2Q +1R ) Q)p1
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị cận trên 2 0.1 X ta được
rp2p0.1=
Đây là 1 giá trị dương vậy cận trên thỏa
+) CALC với giá trị cận dưới
5
10 X
rp10^5)=
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 237
Đây là 1 giá trị dương vậy cận dưới thỏa
Tới đây ta kết luận đáp án A đúng
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B thì ta thấy B cũng đúng
A đúng B đúng vậy A B là đúng nhất và D là đáp án chính xác
Cách tham khảo : Tự luận
Bất phương trình
1 3 1
2 2
2 1
log log log 1
1
x
x
(1)
Vì cơ số
1
2
thuộc
0;1 nên (1)
3 3 3
2 1 2 1
log 1 log log 3
1 1
x x
x x
(2)
Vì cơ số 3 1 nên (2)
4
2 1 2 1 4
3 3 0 0
1 1 1 1
x
x x x
x x x x
Xét điều kiện tồn tại
3 3 3
2 1 2 1
0 0
1
2 1 2
1 1
1 0
2 1 2 1 2 1 1
log 0 log log 1
1 1
x x
x
x x
x x
x x x x x
x x
Kết hợp đáp số
4
1
x
x
và điều kiện
1
2
x
x
ta được
4
2
x
x
Bình luận :
Ngay ví dụ 1 đã cho chúng ta thấy sức mạnh của Casio đối với dạng bài bất phương trình.
Nếu tự luận làm nhanh mất 2 phút thì làm Casio chỉ mất 30 giây
Trong tự luận nhiều bạn thường hay sai lầm ở chỗ là làm ra đáp số
4
1
x
x
là dừng lại mà
quên mất việc phải kết hợp điều kiện
1
2
x
x
Cách Casio thì các bạn chú ý Đáp án A đúng , đáp án B đúng thì đáp án hợp của chúng là
đáp án D mới là đáp án chính xác của bài toán.
Bài toán 2: Giải bất phương trình
2
4 2
2 5
x x
:
A.
2
; 2 log 5; x B.
2
; 2 log 5; x
C.
2
; log 5 2 2; x D.
2
; log 5 2 2; x
(Chuyên Thái Bình 2017)
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu
2
4 2
2 5 0
x x
Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại
Nhập vế trái vào máy tính Casio
2^Q)dp4$p5^Q)p2 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 238
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B và D
+) CALC với giá trị cận trên 2 X ta được
rp2=
+) CALC với giá trị cận dưới
5
10 X
rp10^5)=
Số
5
10 là số quá nhỏ để máy tính Casio làm việc được vậy ta chọn lại cận dứoi 10 X
!rp10=
Đây cũng là một giá trị dương vậy đáp án nửa khoảng
; 2
nhận
Đi kiểm tra xem khoảng tương ứng
2
; log 5 2
ở đáp án D xem có đúng không, nếu sai
thì chỉ có B là đúng
+) CALC với giá trị cận dưới
2
log 5 2 X
rh5 P ) h2)=
+) CALC với cận trên 10 X
rp10=
Đây cũng là 2 giá trị dương vậy nửa khoảng
2
; log 5 2
nhận
Vì nửa khoảng
2
; log 5 2
chứa nửa khoảng ; 2 vậy đáp án D là đáp án đúng nhất
Cách tham khảo : Tự luận
Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta được
2
4 2 2
2 2 2
log 2 log 5 4 2 log 5
x x
x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 239
2
2
2
2 2 log 5 0
log 5 2
x
x x
x
Vậy ta chọn đáp án D.
Bình luận :
Bài toán này lại thể hiện nhược điểm của Casio là bấm máy sẽ mất tầm 1.5 phút so với 30 giây
của tự luận. Các e tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào
thì làm theo cách Casio
Các tự luận tác giả dùng phương pháp Logarit hóa 2 vế vì trong bài toán xuất hiện đặc điểm
“ có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung” các bạn lưu ý điều này.
Bài toán 3: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0
x x x
:
A.
2; S B.
0; 2 S C. S R D. ;2
(Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017)
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Nhập vế trái vào máy tính Casio
2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$+1
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị cận trên 10 X ta được
r10=
Đây là 1 giá trị âm vậy đáp án A loại dẫn đến C sai
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+) CALC với giá trị cận trên 2 0.1 X
r2p0.1=
+) CALC với giá trị cận dứoi 0 0.1 X
r0+0.1=
Cả 2 giá trị này đều dương vậy đáp án B đúng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 240
Vì D chứa B nên để xem đáp án nào đúng nhất thì ta chọn 1 giá trị thuộc D mà không B
+) CALC với giá trị 2 X
rp2=
Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác
Cách tham khảo : Tự luận
Bất phương trình
2 3 1
2.2 3.3 1 6 2. 3. 1
6 6 6
x x x
x x x
1 1 1
2. 3. 1
3 2 6
x x x
(1)
Đặt
1 1 1
2. 3.
3 2 6
x x x
f x
khi đó (1)
2 f x f (2)
Ta có
1 1 1 1 1 1
' 2. ln 3. ln ln 0
3 3 2 2 6 6
x x x
f x
với mọi x
Hàm số
f x nghịch biến trên R
Khi đó (2) 2 x
Bình luận :
Tiếp tục nhắc nhở các bạn tính chất quan trọng của bất phương trình : B là đáp án đúng
nhưng D mới là đáp án chính xác (đúng nhất)
Phần tự luận tác giả dùng phương pháp hàm số với dấu hiệu “Một bất phương trình có 3
số hạng với 3 cơ số khác nhau”
Nội dung của phương pháp hàm số như sau : Cho một bất phương trình dạng
f u f v
trên miền ; a b
nếu hàm đại diện
f t đồng biến trên ; a b
thì u v còn hàm đại diện luôn
nghịch biến trên ; a b
thì u v
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 241
II. PHƯƠNG PHÁP 2 : CALC THEO CHIỀU NGHỊCH
Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số
hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0
Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó
rút ra đáp số đúng nhất của bài toán .
CALC NGHỊCH có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng
; a b
thì bất phương trình sai với mọi giá trị không thuộc khoảng
; a b
Một số bài toán minh họa
Bài toán 4: Bất phương trình
1 3
2
2 1
log log 0
1
x
x
có tập nghiệm là :
A.
; 2 B.
4; C.
2;1 1; 4 D.
; 2 4;
(Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 )
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Nhập vế trái vào máy tính Casio
ia1R2$$i3$a2Q +1R ) Q)p1
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị ngoài cận trên 2 0.1 X ta được
rp2+0.1=
Vậy lân cận phải của 2 là vi phạm Đáp án A đúng và đáp án C sai
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+) CALC với giá trị ngoài cận trên 4 0.1 X ta được
!r4p0.1=
Đây là giá trị âm. Vậy lân cận tráii của 4 là vi phạm Đáp án B đúng và đáp án C sai
Đáp án A đúng B đúng vậy ta chọn hợp của 2 đáp án là đáp án D chính xác.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 242
Bài toán 5: Giải bất phương trình
2
4 2
2 5
x x
.
A.
2
; 2 log 5; x B.
2
; 2 log 5; x
C.
2
;log 5 2 2; x D.
2
; log 5 2 2; x
(Chuyên Thái Bình 2017)
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu
2
4 2
2 5 0
x x
Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại
Nhập vế trái vào máy tính Casio
2^Q)dp4$p5^Q)p2
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+) CALC với giá trị ngoài cận trên 2 là 2 0.1 X ta được
rp2+0.1=
Đây là 1 giá trị dương (thỏa đề bài) mà đáp án B không chứa 2 0.1 X Đáp án B sai
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác
Bài toán 6: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0
x x x
:
A.
2; S B.
0; 2 S C. S R D.
; 2
(Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017)
Lời giải:
Cách 1 : CASIO
Nhập vế trái vào máy tính Casio
2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$+1
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị ngoài cận dưới 2 ta chọn 2 0.1 X
r2p0.1= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 243
Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) vậy đáp án A sai dẫn đến đáp án C sai
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+) CALC với giá trị ngoài cận dưới 0 ta chọn 0 0.1 X
r0p0.1=
Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) Đáp án B sai
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác
BÀI TẬP KẾT HỢP 2 PHƯƠNG PHÁP THUẬN VÀ NGHỊCH
Bài toán 7: Bất phương trình
ln 1 2 3 1 0 x x x
có tập nghiệm là :
A.
1; 2 3; B.
1; 2 3; C.
;1 2; 3 D.
;1 2; 3
(Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017)
Lời giải:
Casio cách 1
Kiểm tra khoảng nghiệm
1; 2 với cận dưới 1 0.1 X và cận trên 2 0.1 X
) ) h (Q)p1 (Q)p2 (Q)p3 + ) 1)r1
+0.1=r2p0.1=
Hai cận đều nhận
1; 2 nhận
Kiểm tra khoảng nghiệm
3 : với cận dưới 3 0.1 X và cận trên
9
10 X
EE$(!!)P (Q)pQz qr= ) 5=qJx
Hai cận đều nhận
3; nhận
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng A là đáp số chính xác
Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm
1; 2 với ngoài cận dưới 1 0.1 X và ngoài cận trên 2 0.1 X Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 244
) ) h (Q)p1 (Q)p2 (Q)p3 + ) 1)r1
+0.1=r2p0.1=
Hai cận ngoài khoảng
1; 2 đều vi phạm Khoảng
1; 2 thỏa
Kiểm tra khoảng
3 : với ngoài cận dưới 3 0.1 X và trong cận dưới (vì không có cận
trên)
r3p0.1=r3+0.1=
Ngoài cận dưới vi phạm, trong cận dưới thỏa Khoảng
2; 3 loại, Khoảng
3; nhận
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng A là đáp số chính xác
Bài toán 8: Tập xác định của hàm số
1
2
log 1 1 y x là :
A.
1;
B.
3
1;
2
C.
1; D.
3
;
2
(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017)
Lời giải:
Casio cách 1
Điều kiện :
0.5
log 1 1 0 x ( trong căn 0 )
Kiểm tra khoảng nghiệm
1;
với cận dưới 1 X và cận trên
9
10
i0.5$Q p ) 1$p1r1=
Cận dưới vi phạm Đáp án A sai
Kiểm tra khoảng nghiệm
3
1;
2
với cận dưới 1 0.1 X và cận trên 3 X
!r1+0.1=r3P2=
Hai cận đều nhận
3
1;
2
nhận Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 245
Kiểm tra khoảng nghiệm
1; với cận trên
9
10 X Cận trên bị vi phạm C sai D
sai
r10^9)=
Tóm lại A là đáp số chính xác
Casio cách 2
Đáp án A sai luôn vì cận 1 x không thỏa mãn điều kiện hàm logarit
Kiểm tra khoảng nghiệm
3
1;
2
với ngoài cận dưới 1 0.1 X và ngoài cận trên
3
0.1
2
X
i0.5$Q p1$p1r1p ) 0.1=
Ngoài hai cận đều vi phạm
3
1;
2
nhận
Hơn nữa
3
0.1
2
X vi phạm C và D loại luôn
Bài toán 9: Nghiệm của bất phương trình
2
1
log 6 1
x
x x
là?
A. 1 x B. 5 x C. 1; 2 x x D. 1 5, 2 x x
(Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)
Lời giải:
Casio cách 1
Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu
2
1
log 6 1 0
x
x x
Kiểm tra khoảng nghiệm 1 x với cận dưới 1 0.1 X và cận trên
9
10 X
) ) ) iQ p1$Q d+Q p6r1+0.1=!r
10^9)=
Cận dưới vi phạm A sai C và D chứa cận dưới 1 01. X vi phạm nên cũng sai
Tóm lại đáp số chính xác là B
Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm
1; 2 với ngoài cận dưới 1 0.1 X và cận dưới 1 0.1 X
) ) h (Q)p1 (Q)p2 (Q)p3 + ) 1)r1
+0.1=r2p0.1= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 246
Cận dưới 1 0.1 X vi phạm nên A , C , D đều sai
Bài toán 10: Giải bất phương trình
2
9 1
tan tan
7 7
x x x
.
A. 2 x B. 4 x C. 2 4 x D. 2 x hoặc 4 x
(Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017)
Lời giải:
Casio cách 1
Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu
2
9 1
tan tan 0
7 7
x x x
Kiểm tra khoảng nghiệm 2 x với cận dưới 10 X và cận trên 2 X
qw4laqKR7$)^Q)dpQ)p9$pl
aqKR7$)^Q)p1rp10=rp2=
Hai cận đều nhận 2 x nhận Đáp số chính xác chỉ có thể là A hoặc D
Kiểm tra khoảng nghiệm 4 x với cận dưới 4 X và cận trên 10 X
r4=r10=
Hai cận đều nhận 4 x nhận
Tóm lại đáp số chính xác là D
Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm 2 x với ngoài cận trên 2 0.1 X và cận trên 2 X
qw4laqKR7$)^Q)dpQ)p9$pl
aqKR7$)^Q)p1rp2+0.1=rp2=
Ngoài cận trên 2 0.1 X vi phạm nên A nhận đồng thời C sai
Kiểm tra khoảng nghiệm 4 x với ngoài cận dưới 4 0.1 X và cận dưới 4 X
r4p0.1=r4= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 247
Ngoài cận dưới 4 0.1 X vi phạm nên B nhận đồng thời C sai
Tóm lại A , B đều nhận nên hợp của chúng là D là đáp số chính xác.
III. PHƯƠNG PHÁP 3: LẬP BẢNG GIÁ TRỊ MODE 7
Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số
hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0
Bước 2: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio để xét dấu các
khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán .
*Chú ý: Cần làm nhiều bài toán tự luyện để từ đó rút ra kinh nghiệm thiết lập Start End Step
hợp lý
Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Bất phương trình
1 3
2
2 1
log log 0
1
x
x
có tập
nghiệm là :
A.
; 2 B.
4; C.
2;1 1; 4 D.
; 2 4;
Lời giải:
Cách 3 : CASIO
Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio
w7ia1R2$$i3$a2Q)+1RQ)p1
Quan sát các cận của đáp số là 2; 4;1 nên ta phải thiết lập miền giá trị của X sao cho X chạy
qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 4 End 5 Step 0.5
==p4=5=0.5=
Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng
; 2 và
4; làm cho dấu của vế trái
dương. Đáp số chính xác là D
Bài toán 2: [Chuyên Thái Bình 2017 ] Giải bất phương trình
2
4 2
2 5
x x
:
A.
2
; 2 log 5; x B.
2
; 2 log 5; x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 248
C.
2
; log 5 2 2; x D.
2
; log 5 2 2; x
Lời giải:
Cách 3 : CASIO
Bất phương trình
2
4 2
2 5 0
x x
.Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio
w72^Q)dp4$p5^Q)p2
Quan sát các cận của đáp số là
2 2
2; 2;log 5 2.32;log 5 2 0.32 nên ta phải thiết lập miền
giá trị của X sao cho X chạy qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 3 End 3 Step 1: 3
==p3=3=1P3=
Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng
2
; 0.32 log 5 và
2; làm cho dấu
của vế trái dương. Đáp số chính xác là C
Bài toán 3: [Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ]
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0
x x x
:
A.
2; S B.
0; 2 S C. S R D.
; 2
Lời giải:
Cách 3 : CASIO
Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio
w72O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$+1
Quan sát các cận của đáp số là 0; 2 nên ta phải thiết lập miền giá trị của X sao cho X chạy
qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 4 End 5 Step 1
==p4=5=1=
Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng
; 2 làm cho dấu của vế trái dương.
Đáp số chính xác là C
Bài toán 4: [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Nghiệm của bất phương trình
2
1
log 6 1
x
x x
là : Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 249
A. 1 x B. 5 x C. 1; 2 x x D. 1 5, 2 x x
Lời giải:
Casio cách 3
Bất phương trình
2
1
log 6 1 0
x
x x
. Quan sát đáp số xuất hiện các giá trị
1; 2; 5 2.23 . Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 3 Step 0.25
w7iQ)p1$Q)d+Q)p6$p1==0=3=0
.25=
Rõ ràng 5 2.23 x làm cho vế trái bất phương trình nhận dấu dương B là đáp án
chính xác
Bài toán 5: [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017 ] Giải bất phương trình
2
9 1
tan tan
7 7
x x x
:
A. 2 x B. 4 x C. 2 4 x D. 2 x hoặc 4 x
Lời giải:
Casio cách 3
Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu
2
9 1
tan tan 0
7 7
x x x
Quan sát đáp số xuất hiện các giá trị 2; 4 . Sử dụng MODE 7 với Start 4 End 5 Step 0.5
qw4w7laqKR7$)^Q)dpQ)p9$pl
aqKR7$)^Q)p1==p4=5=0.5=
Quan sát bảng giá trị . Rõ ràng 2 x và 4 x làm cho vế trái bất phương trình 0 D
là đáp án chính xác
Bài toán 6: [Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017 ] Tập nghiệm của bất phương
trình 32.4 18.2 1 0
x x
là tập con của tập
A.
5; 2 B.
4; 0 C.
1; 4 D.
3;1
Lời giải:
Casio cách 3
Sử dụng MODE 7 với Start 6 End 6 Step 1
w732O4^Q)$p18O2^Q)$+1==p6=
6=1= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 250
Quan sát bảng giá trị . Rõ ràng khoảng nghiệm làm cho vế trái thuộc khoảng
4; 0
B là đáp án chính xác.
IV. PHƯƠNG PHÁP 4 : LƯỢC ĐỒ CON RẮN
Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số
hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0
Bước 2: Sử dụng CALC tìm các giá trị tới hạn của (làm cho vế trái = 0 hoặc không xác định )
. Dấu của bất phương trình có trong các khoảng tới hạn là không đổi. Dùng CALC lấy một
giá trị đại diện để xét dấu.
Chú ý : Qua 4 phương pháp ta mới thấy trong tự luận thì lược đồ con rắn là lợi hại nhất
nhưng trong khi thi trắc nghiệm thì lại tỏ ra yếu thế vì khó dùng và khá dài dòng
Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Bất phương trình
1 3
2
2 1
log log 0
1
x
x
có tập
nghiệm là :
A.
; 2 B.
4; C. 2;1 1;4 D.
; 2 4;
Lời giải:
Cách 4 : CASIO
Đề bài xuất hiện các giá trị 2; 4;1 ta CALC với các giá trị này để tìm giá trị tới hạn
ia1R2$$i3$a2Q)+1RQ)p1
Lần lượt CALC với cá giá trị 2; 4;1
rp2=!r4=r1=
3 giá trị trên đều là giá trị trên đều là giá trị tới hạn nên ta chia thành các khoảng nghiệm
; 2 ; 2;1 ; 1; 4 ; 4;
CALC với các giá trị đại diện cho 4 khoảng để lấy dấu là : 3;0; 2; 5
rp2=!r4=r1= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 251
Rõ ràng khoảng nghiệm thứ nhất và thứ tư thỏa mãn Đáp số chính xác là D
Bài toán 2: [Chuyên Thái Bình 2017 ] Giải bất phương trình
2
4 2
2 5
x x
:
A.
2
; 2 log 5; x B.
2
; 2 log 5; x
C.
2
; log 5 2 2; x D.
2
; log 5 2 2; x
Lời giải:
Cách 4 : CASIO
Đề bài xuất hiện các giá trị
2 2
2;log 5 2; 2;log 5 2.32 ta CALC với các giá tri này để tìm giá
trị tới hạn
2^Q)dp4$p5^Q)p2rp2=ri5)Pg2
)p2=r2=rg5)Pg2)=
Ta thu được hai giá trị tới hạn
2
log 5 2 và 2 Đáp số chỉ có thể là C hoặc D
Vì bất phương trình có dấu = nên ta lấy hai cận Đáp số chính xác là D
Bài toán 3: [Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ]
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0
x x x
:
A.
2; S B.
0; 2 S C. S R D.
; 2
Lời giải:
Cách 4 : CASIO
Đề bài xuất hiện các giá trị 0; 2 ta CALC với các giá tri này để tìm giá trị tới hạn
2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$+1r0=
r2=
Ta thu được 1 giá trị tới hạn 2 x Đáp số đúng là A hoặc D
CALC với các giá trị đại diện cho 2 khoảng để lấy dấu là : 1; 3 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 252
rp2=!r4=r1=
Ta cần lấy dấu dương Đáp số chính xác là D
Bài toán 4: [Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017 ]
Bất phương trình
ln 1 2 3 1 0 x x x
có tập nghiệm là :
A.
1; 2 3; B.
1; 2 3; C.
;1 2; 3 D.
;1 2; 3
Lời giải:
Casio cách 4
Kiểm tra các giá trị 1; 2; 3
h(Q)p1)(Q)p2)(Q)p3)+1)r1=r
2=r3=
Cả 3 giá trị trên đều là giá trị tới hạn Chia thành 4 khoảng nghiệm
;1 ; 1; 2 ; 2; 3 ; 3;
CALC với 4 giá trị đại diện cho 4 khoảng này là
3 5
0; ; ; 4
2 2
EE$(!!)P(Q)pQz)qr=5=qJx
Ta cần lấy dấu dương Lấy khoảng 2 và khoảng 4 A là đáp số chính xác
Bài toán 5: [THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017 ] Tập xác định của hàm số
1
2
log 1 1 y x là :
A.
1;
B.
3
1;
2
C.
1; D.
3
;
2
Lời giải:
Casio cách 4
Tập xác định
2
log 1 1 0 x . Kiểm tra các giá trị
3
1;
2
i0.5$Q)p1$p1r1=!r3P2= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 253
Cả 2 giá trị trên đều là giá trị tới hạn Chia thành 3 khoảng nghiệm
3 3
;1 ; 1; ; ;
2 2
CALC với 3 giá trị đại diện cho 4 khoảng này là 0;1.25; 2
EE$(!!)P(Q)pQz)qr=5=qJx
Ta cần lấy dấu dương Lấy khoảng 2 B là đáp số chính xác
Bài toán 6: [THPT HN Amsterdam 2017] Bất phương trình
2
2 .3 1
x x
có bao nhiêu nghiệm
nguyên :
A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2
Lời giải:
Cách 4 : CASIO
Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu
2
2 .3 1 0
x x
Tìm cận thứ nhất bằng chức năng SHIFT SOLVE
2^Q)d$O3^Q)$p1=qr1=
Khử cận thứ nhất và tiếp tục dò cận thứ hai
$(!!)PQ)qrp1=
Vậy ta dự đoán khoảng nghiệm là
1.5849...; 0 . Kiểm tra dấu bằng cách lấy giá trị đại
diện 1 x
Erp1=
Ta thấy dấu vậy khoảng nghiệm là
1.5849...; 0 có 1 nghiệm nguyên 1 x
Đáp số chính xác là A.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 254
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. ĐỀ BÀI
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Nghiệm của bất phương trình
2 1 3
3 3
x x
là
A.
3
2
x . B.
2
3
x . C.
2
3
x . D.
2
3
x .
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình
2
3
2 2
x
x
là
A. (1; ) . B. ( ;0) . C. ( ; 8) . D. (6; ) .
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 1 5
2 5
5 2
x x x
là
A. 4 x . B. 1 x . C. 4 1 x x . D. 4 1 x x .
Câu 4. Tập hợp các số x thỏa mãn
4 2
2 3
3 2
x x
là
A.
2
;
5
. B.
2
;
3
. C.
2
;
5
. D.
2
;
3
.
Câu 5. Nghiệm của bất phương trình
2
3 2
3.9 729
x
x
x
là
A. 4 0 x . B. 4 x . C. 0 x . D. 4 0 x x .
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 5 6
1
3
3
x x
x
là
A. 10 x . B. 1 x . C. 1 10 x . D. 1 10 x x .
Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 2
5 5
x x
là
A. (1; 2]. B. ( ; 2) (1; ) . C. (1; ) . D. kết quả khác.
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
1 2
0
2
2
x
x x
là
A.
; 0
. B.
;1
. C.
2;
. D. 0; 2
.
Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình
2 1
2 4
x x
là
A.
4; 0 . B. 2;1 . C.
; 4 . D.
0; .
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình
3 3 1 1
2 .3 2 .3 288
x x x x
là
A. 3 x . B. 3 x . C. 2 x . D. 2 x .
Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình
2 1 2 2 2 3
2 2 2 448
x x x
là
A.
9
2
x . B.
9
2
x . C.
9
2
x . D.
9
2
x .
Câu 12. Bất phương trình
2 1 2
2 5 2 5
x x x x
có nghiệm. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 255
A.
5
2
20
log
3
x
. B.
2
5
20
log
3
x
. C.
5
2
3
log
20
x
. D.
5
2
20
log
3
x
.
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình
2
1
5 2 5 2
x
x
x
là
A.
; 1 0;1
. B. 1; 0
. C.
; 1 0;
. D.
1; 0 1;
.
Câu 14. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
là
A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình
3 1
1 3
2 3 2 3
x x
x x
là
A. 1 3 x x . B. 1 x . C. 3 x . D. 1 3 x .
Câu 16. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
2
4
2 3 7 4 3
x x
bằng
A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 0 .
Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình 4 7.2 8 0
x x
là
A. [ ( ; 1] 8; ) . B. [0; 4]. C. ( ; 3] . D. [3; ) .
Câu 18. Bất phương trình 9 3 6 0
x x
có tập nghiệm là
A. 1; . B. ;1 . C. 1;1 . D. ; 1 .
Câu 19. Bất phương trình
1
4 2 3
x x
có tập nghiệm là
A. (1;3). B. (2;4). C.
2
(log 3; 5) . D.
2
( ;log 3) .
Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình
2 1
3 10.3 3 0
x x
là
A. 1;1
. B.
1;0
. C.
0;1
. D.
1;1 .
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình
2 1
3 2.3 1 0
x x
trên tập số thực là
A.
; 0
. B.
0;
. C.
;1
. D.
1;
.
Câu 22. Cho bất phương trình
3 3 0
x
x
tập nghiệm của bất phương trình là
A.
; 0 . B.
0;1 . C.
;1 . D. .
Câu 23. Đặt 5
x
t thì bất phương trình
2 2
5 3.5 32 0
x x
trở thành bất phương trình nào sau
đây?
A.
2
75 32 0 t t . B.
2
6 32 0 t t . C.
2
3 32 0 t t . D.
2
16 32 0 t t .
Câu 24. Bất phương trình
1 1 1
4 5.2 16 0
x x x x
có nghiệm
A.
1
2 3
x
x
. B.
1
2
x
x
. C. 1 3 x . D.
1
2
x
x
.
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình
2
3 3 8 0
x x
là
A.
; 0 . B.
0; . C.
;1 . D.
1; .
Câu 26. Bất phương trình
3
5 5 20
x x
có tập nghiệm là
A. ;2 . B.
;1
. C. (0;2). D. (2; ) . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 256
Câu 27. Cho bất phương trình
3
2 2 9
x x
tập nghiệm của bất phương trình là
A. 0; 3
. B. 0; 2
. C. 0; 4
. D. 0;1
.
Câu 28. Giải bất phương trình
2 3
2 1
3 2
x x
.
A.
2
3
log 2 x . B.
2
2
log
3
x . C.
2
3
log 2 x . D.
2
3
log 2 x .
Câu 29. Tập hợp nghiệm của bất phương trình
3 2
1 2
3
3 27
x
x
là
A.
0;1 . B.
1; 2 . C.
1
3
. D.
2; 3 .
Câu 30. Giải bất phương trình
4 1 2 2
2 1 2 1
2 2 1
x x
x x
A.
1
2
1
x
x
. B.
1
1
2
x . C. 1 x . D.
1
2
x .
Câu 31. Cho bất phương trình 5.4 2.25 7.10 0
x x x
tập nghiệm của bất phương trình là
A. 1; 2
. B. 0;1 . C. 2; 1
. D. 1; 0
.
Câu 32. Nghiệm của bất phương trình 8 18 2.27 0
x x x
là
A. 0 x . B. 0 x . C. 1 x . D. 1 x .
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x
là
A.
0; . B.
1; . C.
; 0 . D.
;1 .
Câu 34. Cho bất phương trình 5.4 2.25 7.10 0
x x x
tập nghiệm của bất phương trình là
A. 1; 2
. B. 0;1
. C. 2; 1
. D. 1; 0
.
Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình 3.4 5.6 2.9 0
x x x
là
A.
;0 . B.
2
;1
3
. C.
2
0;
3
. D.
0;1 .
Câu 36. Bất phương trình
2 2
2.5 5.2 133. 10
x x x
có tập nghiệm là ; S a b
thì 2 b a bằng
A. 6 . B. 10. C. 12 . D. 16.
Câu 37. Bất phương trình
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x
có tập nghiệm là
A.
;1 3 0; 2 1 3; S
. B.
0; S .
C.
2; S . D.
1 3; 0 S .
Câu 38. Bất phương trình 64.9 84.12 27.16 0
x x x
có nghiệm là
A.
9 3
16 4
x . B. 1 2 x . C.
1
2
x
x
. D. vô nghiệm.
Câu 39. Bất phương trình 5.4 2.25 7.10 0
x x x
có nghiệm là
A. 0 1 x . B. 1 2 x . C. 2 1 x . D. 1 0 x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 257
Câu 40. Nghiệm của bất phương trình
2 3 2 3 14
x x
là ?
A. 1 1 x . B. 2 2 x . C.
1
1
x
x
. D.
2
2
x
x
.
Câu 41. Giải bất phương trình
2 2
2
2 2
1 2
3 5 3 5 2 0
x x x x
x x
.
A. 0 2 x x . B. 2 x .
C.
0; 2 . D.
1
;1 2;
2 2
.
Câu 42. Tổng của tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình
1
1 1
3 5 3 1
x x
là
A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1 .
Câu 43. Nghiệm của bất phương trình
1
1
4 3.2 8
0
2 1
x x
x
có nghiệm
A.
1 1
2
x
x
. B.
1 1
2
x
x
. C.
1
1
2
4
x
x
. D.
1
1 2
x
x
.
Câu 44. Cho bất phương trình
1
1 1
5 1 5 5
x x
. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
A.
1; 0 1; S
. B.
1; 0 1; S
.
C.
; 0 S
. D.
; 0 S .
Câu 45. Cho bất phương trình
1 1
8 2 27 3
x x x x
tập nghiệm của bất phương trình là
A.
2
;log 3 . B.
2
3
; log 3
. C.
3
log 2; . D.
;0 .
Câu 46. Tập nghiệm của bất phương trình
2
3 2 1
3 5
x x x
là?
A.
3
2 log 5;1
. B.
3
2 log 5;1 .
C.
[
3
; 2 log 5] 1; ) . D.
3
; 2 log 5) (1; ) .
Câu 47. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 1 2 5 2
2 5
x x x
là?
A.
5
1
; 2 log 2
2
. B.
5
2 log 2 1
;
2 2
.
C.
5
1
; 2 log 2;
2
. D.
2
1
; 2 log 5;
2
.
Câu 48. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
2
4
2
1
3
2
x
x
là?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình
2
3 5 6
2 3
x x x
A. 0; 2
. B.
; 2
. C.
3
2 log 2; 3
. D.
0; .
Câu 50. Cho hàm số
2
4 .3
x x
y , khẳng định nào sau đây sai Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 258
A.
2
3
3 2 log 2 1 f x x x . B.
2
3 2 ln 2 ln 3 f x x x .
C.
2
3 log 3 2 log 2 log 3 f x x x . D.
2
3
3 log 4 1 f x x x .
Câu 51. Cho hàm số
5
1
( ) 5 .7
x x
f x
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A.
5
5 5
( ) 1 log 7 log 7 0. f x x x . B.
5
( ) 1 ln 5 ln 7 ln 7 0 f x x x .
C.
5
7
( ) 1 log 5 1 f x x x . D.
4
5 5
( ) 1 1 log 7 log 7 f x x .
Câu 52. Bất phương trình
2
1
2 .5 10
x
x
x
có tập nghiệm là
; a b . Khi đó b a bằng?.
A.
5
2
log
. B.
2
5
log
. C. 1 . D.
2
2 log 5 .
Câu 53. Tìm tập S của bất phương trình
2
3 .5 1
x x
.
A.
5
log 3; 0
. B.
3
log 5; 0
. C.
5
log 3; 0 . D.
3
log 5;0 .
Câu 54. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1
x
x là
A.
;0 . B. . C.
0; . D. R .
Câu 55. Tập nghiệm của bất phương trình
1
2 3 13 2
x x
x
là
A.
; 1
. B.
2
; e ; e . C.
1;
. D.
;1
.
Câu 56. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
4
2 1 0
x
x
.
A.
;1 S
. B.
; 3 S . C.
; 3
. D.
3;
.
Câu 57. Tập nghiệm của bất phương trình
1
4
3
x
x
là
A.
; 1
. B.
1;
. C.
1;
. D.
;1 .
Câu 58. Tập nghiệm của bất phương trình3 5 2
x
x
A. R. B.
;1
. C.
; 1
. D.
1;
.
Câu 59. Tập nghiệm của bất phương trình 4 3 5
x x x
A. R . B.
; 2
. C.
; 0
. D.
2;
.
Câu 60. Giải bất phương trình 5 3 8
x x x
. Ta có nghiệm.
A. x < 1. B. x > 2. C. x < 2. D. x > 1.
Câu 61. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình
2
2 3 1
x
x
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 62. Tập nghiệm của bất phương trình 3.2 7.5 49.10 2
x x x
A. ; 1 . B.
1; 0 . C.
; 1 0; . D.
1; .
Câu 63. Cho bất phương trình
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
. Tập nghiệm của bất phương trình là
A.
1
;
2
. B.
1
; 2
2
. C.
2; . D.
1
; 2
2
. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 259
Câu 64. Với giá trị nào của m để bất phương trình
9 2 1 3 3 2 0
x x
m m nghiệm đúng với mọi
x ?
A. 2 m . B.
3
2
m .
C.
5 2 3; 5 2 3 m . D. không tồn tại m .
Câu 65. Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3 1)12 (2 )6 3 0
x x x
m m có nghiệm
đúng 0 x là
A.
2; . B. ( ; 2] . C.
1
;
3
. D.
1
2;
3
.
Câu 66. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình 9 .3 3 0
x x
m m nghiệm đúng với
mọi x
A. 2 m . B. 2 m hoặc 6 m .
C. 2 m . D. 6 2 m .
Câu 67. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình
cos
2 2 2
sin sin
2 3 .3
x x x
m có nghiệm?
A. 4. m B. 4. m C. 1. m D.
1. m
Câu 68. Tất cả các giá trị của m để bất phương trình
3 1 12 2 6 3 0
x x x
m m có nghiệm
đúng 0 x là
A. ( ; 2] . B.
2; . C.
1
;
3
. D.
1
2;
3
.
Câu 69. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình 9 .3 3 0
x x
m m nghiệm đúng với
mọi x
A. 2 m . B. 2 m .
C. 2 m hoặc 6 m . D. 6 2 m .
Câu 70. Bất phương trình
2 1
3 3 3 2 3 0
x x
m m
có nghiệm khi và chỉ khi
A. 3 m . B. 3 m . C. 0 m . D. 3 m .
Câu 71. Bất phương trình
1 2
4 2 2 2 2 0
x x
m m m
có tập nghiệm là khi
A. 1 m . B. 2 m . C. 2 m . D. 1 m .
Câu 72. Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình 3 3 5 3
x x
m nghiệm
đúng x
A. 2 2 m . B. 2 2 m . C. 4 m . D. 4 m .
Câu 73. Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình 2 7 2 2
x x
m có nghiệm?
A. 0 3 m . B. 3 5 m . C. 3 m . D. 3 m .
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 74. Giải bất phương trình
2 2
log 3 2 log 6 5 x x được tập nghiệm là
; a b . Hãy tính
tổng S a b . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 260
A.
26
5
S . B.
11
5
S . C.
28
15
S . D.
8
3
S .
Câu 75. Tìm tập nghiệm của bất phương trình
2
4 4
log 1 log 3 3 x x
.
A.
1; 2 S . B.
; 1 2; S .
C.
;1 2; S . D.
2; S .
Câu 76. Bất phương trình
1
2
log (2 1) x >
1
2
log ( 2) x có tập nghiệm là
A. (3; + ). B. (- ;3). C. (
1
2
; 3). D. (-2;3).
Câu 77. Tập nghiệm của bất phương trình
2
0,8 0,8
log ( ) log ( 2 4) x x x là
A.
; 4 1; . B.
4;1 . C.
; 4 1; 2 . D.
1; 2 .
Câu 78. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2
1 1
2 2
log (3 1) log (4 ) x x
A.
1
0; 1;
3
S
. B.
1
; 1;
3
S
.
C.
1
;1
3
S
. D.
1
0; 1;
3
S
.
Câu 79. Tập nghiệm của bất phương trình
2
ln 3 2 ln 5 2 x x x là
A.
; 0 8;
. B.
0;1 2; 8
. C.
5
;0 8;
2
. D.
8;
.
Câu 80. Bất phương trình
4 2
log 7 log 1 x x có tập nghiệm là
A. 1; 4 . B. (-1; 2). C. 5; . D. (-∞; 1).
Câu 81. Tập nghiệm của bất phương trình
3
3
log log (12 ) x x là
A.
0;12 . B.
9;16 . C.
0; 9 . D.
0;16 .
Câu 82. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình.
2 2
log (2 3) log (3 )
m m
x x x x . Biết rằng 1 x là một nghiệm của bất phương trình.
A. ]
1
( 2;0) ( ; 3
3
S . B. ]
1
( 1; 0) ( ; 2
3
S .
C.
]
1
1,0 ( ; 3
3
S
. D. ] ( 1; 0) (1; 3 S .
Câu 83. Tập xác định của hàm số
ln 1 ln 1 y x x là
A.
1; . B.
; 2 . C. . D.
2;
.
Câu 84. Bất phương trình
log log
3 9
2 4
1 x x tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. log log log
3 9 9
2 4 4
1 x x . B.
2log log
3 3
2 2
1 x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 261
C.
log log
9 3
4 2
1 x x . D.
log 2log
3 3
2 2
1 x x .
Câu 85. Tất cả các giá trị của m để bất phương trình
2 2
2 2
log (7 7) log ( 4 ) x mx x m có
nghiệm đúng với mọi giá trị của x là
A. 5 m . B. 2 5 m . C. 7 m . D. 2 5 m .
Câu 86. Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn điều kiện
log 40 log 60 2 x x ?
A. 20 . B. 18 . C. 21. D. 19.
Câu 87. Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
2 log 1 log 5 1 x x là
A. (1; 5) . B. 1; 3
. C. ] (1; 3 . D. 3; 5
.
Câu 88. Bất phương trình
3 1
3
2 log 4 3 log 2 3 2 x x là
A.
3
;
4
. B.
3
;
4
. C.
3
; 3
4
. D.
3
; 3
4
.
Câu 89. Bất phương trình
2 3 4 20
log log log log x x x x có tập nghiệm là
A.
1;
. B.
0;1
. C. 0;1 . D.
1; .
Câu 90. Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
log 2 log 2 2 x x
A.
10
;
3
. B. 2; .
C.
2; . D.
2; 2 .
Câu 91. Tập nghiệm của bất phương trình
2
log 2 3 log 3 log 1 0 x x x x .
A.
4; 2 1; . B.
2;1 . C.
1; . D. .
Câu 92. Bất phương trình
2 1
2
log 2 1 log 2 1 x x có tập nghiệm là
A.
2, . B.
2,3
. C.
5
2,
2
. D.
5
,3
2
.
Câu 93. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2
1 1 2
2
2
log 2 log log 1 x x x x .
A.
2; S . B.
1; 2 S . C.
0; 2 S . D.
1; 2 S
.
Câu 94. Cho bất phương trình
0,2 5 0,2
log log 2 log 3 x x . Nghiệm của bất phương trình đã
cho là
A. 3 x . B. 2 3 x . C. 2 x . D. 2 3 x .
Câu 95. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
1 1
2 2
1
log log 1
2
x x
là
A. vô số. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 96. Tập nghiệm của bất phương trình log( 1) log log 20 x x là
A. 5; 4 . B. ; 5 . C.
; 5 4; . D.
4; . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 262
Câu 97. Tập nghiệm của bất phương trình
2 2 2
log 1 2 log 5 1 log 2 x x x chứa
khoảng nào dưới đây ?
A. 1 2 x . B. 4 3 x . C. 2 5 x . D. 2 5 x .
Câu 98. Bất phương trình
3
3
3
3log 1 log 2 1 3 x x có tập nghiệm là
A.
1; 2
. B. 1; 2
. C.
1
; 2
2
. D.
1
; 2
2
.
Câu 99. Nghiệm của bất phương trình
3
3
5 0.2
25
log log log 7 x x x là
A. 25 x . B. 0 25 x . C. 10 x . D. 0 10 x .
Câu 100. Nghiệm của bất phương trình
2 2
2 log 1 2 log 2 x x là
A. 2 3 x . B. 2 x . C. 3 x . D. 2 3 x .
Câu 101. Nghiệm của bất phương trình
2 2
log 3 1 6 1 log 7 10 x x là
A. 1 x . B.
369
49
x . C.
369
49
x . D.
369
1
49
x .
Câu 102. Nghiệm của bất phương trình
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x là
A. 5 x . B. 3 x . C. 3 5 x . D. 10 x .
Câu 103. Giá trị nào của tham số m thì bất phương trình
2 2 2
2 2
log 3 2 2 4 1 log 2 x mx m m x nghiệm đúng với mọi . x
A. 1 0 m m . B. 1 0 m . C. 0 m . D. 1 m .
Câu 104. Tập nghiệm S của bất phương trình
2
2 2
log 5 log 6 0 x x là
A.
1
; 64
2
S
. B.
1
0;
2
S
.
C. 64; S
. D.
1
0; 64;
2
S
.
Câu 105. Nghiệm của bất phương trình
2
5 2
log 6 log 5 x x
A.
32
1
x
x
. B.
5
1
x
x
. C.
32
0 1
x
x
. D.
32
1
x
x
.
Câu 106. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2
2 2
log 2 4 log 2 5 x x .
A.
63
;0 ; 2
32
S
. B.
63
; 0 ;
32
S
.
C.
2;
. D.
;0 S
.
Câu 107. Nghiệm của bất phương trình
2
(ln ) 2ln 1 x x là
A.
0
x e
x
. B. 1 x . C. { \ 1} x R . D. x R .
Câu 108. Nghiệm của bất phương trình
2
2 2
log 3log 2 x x .
1 2 x . B. 2 4 x . C. 2 4 x . D. 1 2 x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 263
Câu 109. Tập nghiệm của bất phương trình
2
ln 3ln 2 0 x x là
A.
;1 2;
. B.
2
; e
. C.
2
; ; e e
. D.
2
0; ; e e
.
Câu 110. Tập nghiệm của bất phương trình
3
3
3 3 3
3 1
log log log 2 log
2
3
x
x x
x
là ?
A.
0; . B.
3
0; 1;
8
. C.
3
;1
8
. D.
1
;1
27
.
Câu 111. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 4
log 6 log 4 0 x x là
A.
1
;16
2
. B.
1; 4 . C. 1;16 . D.
1
; 4
2
.
Câu 112. Tập xác định của hàm số
2
y ln 3ln 2 x x là
A.
2
0; ; e e
. B.
;1 2;
. C.
2
; ; e e
. D.
2
; e
.
Câu 113. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2 2
2
2
log 2 2 log 4 8 0 x x .
A.
1
; 2
2
S
. B.
; 2 S
. C. 2; 2
. D.
0; 2
.
Câu 114. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
2
log 10 log 1 0 x x là
A.
2; . B.
1
4
; 2 2;
. C.
1
4
0; 2 2;
. D.
1
4
0; 2
.
Câu 115. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 8
4 2
5
log 9 log log 16
2
x x là
A.
1
; 2
16
. B.
1
0; 2;
16
. C.
1
;
16
. D.
2;
.
Câu 116. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 0.25
log (2 ) 8 log (2 ) 5 0 x x là
A.
63
;0 ; 2
32
. B.
63
;
32
. C.
; 5 1; D.
; 2 .
Câu 117. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
2
log 5log 1 0 x x là
A.
1
4
2 ; 2
. B.
1
4
0; 2 2;
. C.
2 . D.
0; 2 .
Câu 118. Cho bất phương trình
3
4 2
2
log .log 4 log 0
2
x
x x
. Nếu đặt
2
log t x , ta được bất
phương trình nào sau đây?
A.
2
11 2 0 t t . B.
2
11 3 0 t t . C.
2
14 2 0 t t . D.
2
14 4 0 t t .
Câu 119. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
2 5 2
3 3
log 25log 750 0 x x là
A. 925480 . B. 38556 . C. 378225 . D. 388639 .
Câu 120. Tập nghiệm của bất phương trình
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log
16 4
x
x
là Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 264
A.
1; 2 3;
. B.
1;1 4;
.
C.
0; 4 5;
. D.
0;1 2;
.
Câu 121. Bất phương trình
2 3 2 3
3 2 3 2
2log .log 2log 4log 4 0 x x x x có nghiệm là
A.
2
3
x . B.
4
9
x . C.
4
9
x . D.
4 2
9 3
x .
Câu 122. Bất phương trình
4
3
log log 4
2
x
x có mấy nghiệm nguyên trên đoạn 1; 25
?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 123. Nghiệm của bất phương trình
100
1
log 100 log 0
2
x
x là
A.
2 2
1 10 x . B.
2 2
2 2
1
10
1 10
x
x
. C.
2 2
1
0
10
x . D.
2 2
2 2
1
0
10
1 10
x
x
.
Câu 124. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
5
2 log log 125 1
x
x
A. 1. B. 9. C. 10. D. 11.
Câu 125. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
3 3
log log 27 3
x
x
A. 9. B. 0. C. 5. D. 11.
Câu 126. Giải bất phương trình
ln 2
0
ln 1
x
x
ta được tập nghiệm là
A.
2
1
; e
e
. B.
; e . C.
2
1
;
e
. D.
; e .
Câu 127. Mệnh đề nào sau đây đúng khi phát biểu về bất phương trình
2 3
3 1
1
4 2 log 2 3log x x
A. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
0; T .
B. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
0; T
.
C. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
8 8
0; ; 4 4;
27 27
T
.
D. Tập xác định của bất phương trình đã cho là
3 3
0; 9 9; 4 4; T .
Câu 128. Tập nghiệm của bất phương trình
1 1
2
2 ln ln x x
là
A.
2
; 0 1; e ; e . B.
;1 .
C.
2
1; \ e e . D.
2
; e ; e .
Câu 129. Tập nghiệm của bất phương trình
6 4 3
1 1 1
log log log
x x
e e e
là:
A.
3; 2 3; 4 . B.
3; 4 3; 2 . C.
; 2 3; . D.
; 3 4; Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 265
Câu 130. Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
1 2
1
4 log 2 log x x
là
A.
1 1 1
0; ; 2; 4 4;
16 4 2
. B.
1 1 1
0; ; 2; 4 4;
16 4 2
.
C.
1 1 1
0; ; 2; 4 4;
16 4 2
. D.
1 1 1
0; ; 2;
16 4 2
.
Câu 131. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2 2
2
2 2
16log 3log
0
log 1 log 3
x x
x x
là
A. (0;1) ( 2; ) . B.
1 1
; (1; )
2
2 2
.
C.
1 1
; 1; 2
2
2 2
. D.
1
;1 2;
2 2
.
Câu 132. Tìm m để bất phương trình
2
log log 3 0 x m x m có nghiệm 1 x
A.
3
6
m
m
. B. 3 6 m . C. 3 m . D. 6 m .
Câu 133. Tập nghiệm của bất phương trình
9
log log 3 9 1
x
x
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 134. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 135. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 136. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 137. Bất phương trình có tập nghiệm
A. . B. . C. . D. .
Câu 138. Giải bất phương trình ta được:
A. . B. . C. . D. .
Câu 139. Nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 140. Bất phương trình có tập nghiệm là
A. . B. .
C. . D. .
2;
2
log 10;
4
log (log (2 4)) 1
x
x
R 2;
2
log 5;
2
2
log 5 6 1
x
x x
0 1 2 3
2
5
log 8 16 0
x
x x
3; \ 4 3; 5; 3; \ 5
2 3
log (2 1) log (4 2) 2
x x
( ;0) 0; ;0 0;
3
log (log (9 72)) 1
x
x
2 x
0 2
1
x
x
9
log 72 2 x
9
log 73 2 x
2
log 7.10 5.25 2 1
x x
x
1;0 1;0 1;0 1;0
9 1
3
2log 9 9 log 28 2.3
x x
x
3
; 1 2;log 14
3
;1 2;log 14
12
; 1 2;
5
3
;log 14 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 266
Câu 141. Tập nghiệm của bất phương trình là?
A. . B. . C. . D. .
Câu 142. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là?
A. . B. . C. . D. Vô số.
Câu 143. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 144. Tập nghiệm của bất phương trình là?
A. . B. . C. . D. .
Câu 145. Tích các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 146. Tìm m để bất phương trình có nghiệm
A. . B. . C. . D. .
Câu 147. Bất phương trình có tập nghiệm là tập số thực R khi
A. . B. . C. . D. .
Câu 148. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có vô số
nghiệm
A. . B. . C. . D. .
Câu 149. Tìm m để bất phương trình có nghiệm với
mọi
A. . B. . C. . D. .
7 3
log log 2 x x
1; 0;1 0; 0;1
1
2
log 3 1 3 0 x x
0 1 2
3 5
log 1 log 2 1 2 x x
1 2 3 4
3
log 2 1 2 x x
1
;1
2
1; 1;
1
;1
2
2
2
2
1
log 3 2
2 4 3
x x
x x
x x
4 6 0 2
2
log log 3 0 x m x m 1 x
3
6
m
m
3 6 m 3 m 6 m
2
1
3
log 2 3 0 x a x a
1
2
a
a
2 a 1 a 1 2 a
2
log 2 5 1
m
x x m
1 m 0 1 m 1 m 0 m
2 2
4 2
log (2 3 1) log (2 3 1) m x x m x x
1 x
0 m 2 m 1 m 1 m Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 267
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1D 2C 3C 4B 5D 6C 7A 8C 9A 10C
11B 12C 13D 14B 15D 16A 17D 18B 19D 20A
21B 22A 23A 24B 25B 26A 27A 28D 29C 30A
31B 32A 33A 34B 35D 36B 37A 38B 39A 40B
41C 42D 43B 44B 45B 46A 47A 48D 49C 50B
51D 52D 53C 54C 55D 56C 57B 58B 59B 60A
61B 62A 63D 64B 65B 66C 67B 68A 69B 70D
71D 72C 73D 74B 75D 76C 77C 78A 79C 80B
81C 82C 83D 84B 85B 86B 87C 88C 89D 90A
91D 92C 93B 94A 95B 96D 97C 98A 99B 100A
101D 102C 103B 104A 105C 106A 107A 108C 109D 110D
111A 112A 113A 114C 115B 116A 117A 118D 119A 120D
121D 122A 123D 124C 125A 126A 127D 128C 129A 130D
131C 132A 133D 134C 135C 136D 137C 138D 139B 140B
141A 142B 143A 144A 145D 146D 147D 148A 149D
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Chọn D.
Ta có:
2 1 3
2
3 3 2 1 3 3 2 .
3
x x
x x x x
Câu 2. Chọn C.
Ta có:
2
3
2
2 2 3 2 2 6 8.
2
x
x
x
x x x x
Câu 3. Chọn C.
Ta có:
2 2
2 1 5 2 1 5
2 5 5 5
5 2 2 2
x x x x x x
2 2
1
2 1 5 3 4 0
4.
x
x x x x x
x
Câu 4. Chọn B.
Ta có:
4 2 4 2
2 3 3 3 2
4 2 .
3 2 2 2 3
x x x x
x x x
Câu 5. Chọn D.
Ta có:
2
2 3 2
3 2 2 2 1
6
4
6 4 4
3.9 729 3 3 6 0
0
x
x
x
x x
x
x
x x x
x
x x x
.
Câu 6. Chọn C.
Ta có:
2 2
2 5 6 2 5 6
1
3 3 3
3
x x x x x
x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 268
2
2
2
2
5 6 0
5 6 2 2 0
5 6 2
x x
x x x x
x x x
6 1
2
10
x x
x
x
1 10. x
Câu 7. Chọn A.
Ta có:
2
2
2 0 2
2 2
2 0 1 2.
5 5
2
0
1 2
x x
x x
x x x x
x x x x
x
Câu 8. Chọn C.
Ta có :
2
2
2
2 1 2
2
2
2
2 0
1 0
1 2
0 2 2 2 1
1 0
2
2
2 1
x
x x x
x x
x x
x
x x x
x
x x x
2 2
0 2
1
2.
1
2 1 2
x x
x
x
x
x x x x
Câu 9. Chọn A.
Ta có:
2 1
2 4
x x
2 2 1
2 2
x x
2 2 1 x x
2 2
4 4 4 2 1 x x x x 4 0. x
Câu 10. Chọn C.
Tacó:
3 3 1 1
3 1
2 .3 2 .3 288 8 .3 .8 .3 288 .24 288
2 2
x x x x x x x x x
24 576 2
x
x
Câu 11. Chọn B.
Ta có:
2 1 2 2 2 3 2 2 9
7 9
2 2 2 448 .2 448 2 2 2 9 .
8 2
x x x x x
x x
Câu 12. Chọn C.
Ta có:
2 1 2
4.2 5 2 .5 2 25.5 3.2 2 . 5 2 5 0 5
x x x x x x x x x x
5
2
5 3 3
log .
2 20 20
x
x
Câu 13. Chọn D.
Ta có:
2 2
2
1 1
2
5 2 5 2 5 2 5 2 0
1 1
x x
x x
x x
x x x
x
x x
1 0
.
1
x
x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 269
Câu 14. Chọn B.
Ta có:
3 1 3 1
1 3 1 3
3 1
10 3 10 3 10 3 10 3
1 3
x x x x
x x x x
x x
x x
8
0 3 1
1 3
x
x x
bất phương trình có các nghiệm nguyên là 2; 1;0.
Câu 15. Chọn D.
Ta có:
3 1 3 1
1 3 1 3
3 1
2 3 2 3 2 3 2 3
1 3
x x x x
x x x x
x x
x x
2 2
2
3 1
2 8 10
0 0 1 3.
3 1 3 1
x x
x x
x
x x x x
Câu 16. Chọn A.
Ta có:
2 2
4 2 8
2 2
2 3 7 4 3 2 3 2 3 2 8 2 8 0
x x x x
x x x x
4 2 x bất phương trình có các nghiệm nguyên là 4; 3; 2; 1;0;1; 2
Câu 17. Chọn D.
Đặt
2 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
8
7 8 0
1
t
t t
t
Kết hợp điều kiện ta được 8 2 8 3.
x
t x
Câu 18. Chọn B.
Đặt
3 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
6 0 2 3. t t t
Kết hợp điều kiện ta được 0 3 0 3 3 1.
x
t x
Câu 19. Chọn D.
Đặt
2 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
2 3 0 1 3. t t t
Kết hợp điều kiện ta được:
2
0 3 0 2 3 log 3 .
x
t x
Câu 20. Chọn A.
Đặt
3 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
1 1
3 10 3 0 3 3 3 1 1.
3 3
x
t t t x
Câu 21. Chọn B.
Đặt
3 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
1
3 2 1 0 .
1
3
t
t t
t
Kết hợp điều kiện ta được: 1 3 1 0.
x
t x
Câu 22. Chọn A.
Đặt
3 0
x
t t ta được bất phương trình
2
0 0 1 0 3 1 0.
x
t t t x
Câu 23. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 270
Đặt
5 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
75 32 0. t t
Câu 24. Chọn B.
+ Ta có:
2 1
1 1 1 1
4 5.2 16 0 2 10.2 16 0.
x x
x x x x x x
+ Đặt
1
2 0
x x
t t
ta được bất phương trình:
2
2
10 16 0 .
8
t
t t
t
+ Kết hợp điều kiện 0 t ta được
0 2
8
t
t
.
+ Với 0 2 t ta được
1
0 2 2 1 1 1 1 1.
x x
x x x x x
+ Với 8 t ta được
1
2
1 0
3 0
2 8 1 3 1 3
3 0
1 3
x x
x
x
x x x x
x
x x
2
1
3
3
2.
2 3 3
7 10 0
x
x
x
x
x x
x x
Kết hợp 2 trường hợp ta được nghiệm của bất phương trình là
1
2
x
x
.
Câu 25. Chọn B.
Ta có:
2
9
3 3 8 0 3 8 0.
3
x x x
x
Đặt
3 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
1
9
8 0 8 9 0
9
t
t t t
t t
Kết hợp điều kiện 0 t ta được 1 3 1 0.
x
t x
Câu 26. Chọn A.
Ta có:
3
125
5 5 20 5 20.
5
x x x
x
Đặt
5 0
x
t t ta được bất phương trình
2
125
20 20 125 0 5 25. t t t t
t
Kết hợp điều kiện 0 t ta được 0 25 0 5 25 2.
x
t x
Câu 27. Chọn A.
Ta có:
3
8
2 2 9 2 9.
2
x x x
x
Đặt
2 0
x
t t ta được bất phương trình
2
8
9 9 8 0 1 8 1 2 8 0 3.
x
t t t t x
t
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 271
Câu 28. Chọn D.
Đặt
2
0
3
x
t t
ta được bất phương trình
2
1
2 1 2 0 1 2. t t t t
t
Kết hợp điều kiện 0 t ta được
2
3
2
0 2 0 2 log 2.
3
x
t x
Câu 29. Chọn C.
Ta có:
3
3 2
3
1 2 3 1 2
3 .
3 9 3 27 3
x
x
x x
Đặt
3
3 0
x
t t ta được bất phương trình :
2
2 3
1 2 1
6 9 0 3 0 3 3 3 .
9 3 3
x
t
t t t t x
t
Câu 30. Chọn A.
Ta có:
3
2 2 1 3 3 1 2
4 1 2 2 3 3
2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3
2 1
4 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1 1
2
2
x x
x x
x
x x x x x x
x
Đặt
3
2 1
2 0
x
t t
ta được bất phương trình
2
4
1 2 8 0 4 2.
2
t
t t t
t
Kết hợp điều kiện 0 t ta được
3
2 1
3 2 2
0 2 0 2 2 1 0
2 1 2 1
x
x
t
x x
1
.
2
1
x
x
Câu 31. Chọn B.
Ta có:
25 5
5.4 2.25 7.10 0 2 7 5 0.
4 2
x x
x x x
Đặt
5
0
2
x
t t
ta được bất phương trình:
2
5 5
2 7 5 0 1 5 1 0 1.
2 2
x
t t t x
Câu 32. Chọn A.
Ta có:
3
8 2 2 2
8 18 2.27 0 2 0 2 0.
27 3 3 3
x x x x
x x x
Đặt
2
0
3
x
t t
ta được bất phương trình
3
2
2 0 1 1 0.
3
x
t t t x
Câu 33. Chọn A.
Ta có:
2
1 2 1
2
2 2
3 2 12 0 3.3 2.4 2 3 0 3 2. 0.
3 3
x x
x
x
x x x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 272
Đặt
2
0
3
x
t t
ta được bất phương trình:
loai
2
3
2
2 3 0 1 0.
2
3
1
x
t
t t x
t
Câu 34. Chọn B.
Ta có:
4 2
5.4 2.25 7.10 0 5 2 7 0.
25 5
x x
x x x
Đặt
2
0
5
x
t t
ta được bất phương trình:
2
2 2 2
5 7 2 0 1 1 1 0.
5 5 5
x
t t t x
Suy ra tập nghiệm là 0;1 .
Câu 35. Chọn D.
Ta có:
4 2
3.4 5.6 2.9 0 3 5 2 0.
9 3
x x
x x x
Đặt
2
0
3
x
t t
ta được
2
2 2 2
3 5 2 0 1 1 0 1.
3 3 3
x
t t t x
Câu 36. Chọn B.
Ta có :
2 2
5 5
2.5 5.2 133. 10 50.5 20.2 133. 5. 2 50 20 133.
2 2
x
x
x
x x x x x
Đặt
5
0
2
x
t t
ta được:
2
4 5 4 5 5
50 133 20 0 4 2.
25 2 25 2 2
x
t t t x
Tập nghiệm của phương trình 4; 2 S
4; 2 2 10. a b b a
Câu 37. Chọn A.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2 2 2
25 9 34.15 25.25 9.9 34.15
x x x x x x x x x x x x
2 2
2 2
25 5
25. 9 34 .
9 3
x x x x
Đặt
2
2
5
0
3
x x
t t
ta được bất phương trình:
2
9
25 34 9 0
25
1
t
t t
t
.
Kết hợp điều kiện 0 t ta được
2 2
2 2
9 5 9 5
0 1 0 1
25 3 25 3
x x x x
t t
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 273
2 2
2 2
2 2 2 2 0
1 3 1 3
2 0 2 0 0 2
x x x x
x x
x x x x x
;1 3 0; 2 1 3; S
.
Câu 38. Chọn B.
Ta có:
16 4 4 4 16
64.9 84.12 27.16 0 27. 84 64 0 1 2.
9 3 3 3 9
x x x
x x x
x
Câu 39. Chọn A.
Ta có:
25 5 5 5
5.4 2.25 7.10 0 2. 7 5 0 1 0 1.
4 2 2 2
x x x
x x x
x
Câu 40. Chọn B.
Ta có:
1
2 3 . 2 3 1. 2 3 .
2 3
x x x
x
Đặt
2 3 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
1
14 14 1 0 7 4 3 7 4 3 7 4 3 2 3 7 4 3
2 2.
x
t t t t
t
x
Câu 41. Chọn C.
Ta có:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 2 2
3 5 3 5 2 0 3 5 3 5 2.2 0
x x x x x x x x
x x x x
2 2
2 2
3 5 3 5
2 0
2 2
x x x x
Đặt
2
2
3 5
0
2
x x
t t
ta được bất phương trình:
2
2
2
2
2
1
2 0 2 1 0 1 0 1
0
3 5
1 2 0
2 2
x x
t t t t t
t
x
x x
x
Câu 42. Chọn D.
Điều kiện:
1
3 1 0 1.
x
x
Đặt
3 0
x
t t ta được bất phương trình:
1 1 2 6 2 6
0 0
5 3 1 3 1 5 3 1
t t
t t t t t
(vì 5 0 t )
1
3 3 1 1.
3
x
x
Bất phương trình có nghiệm nguyên là 0; 1 x x
Tổng các nghiệm nguyên là 1.
Câu 43. Chọn B.
Điều kiện:
1
2 1 0 1.
x
x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 274
Đặt
2 0
x
t t ta được bất phương trình:
2
1 1
2 2 2 6 8
0 2 2
2 1
4 2 4
x
x
t t t
t
t
1 1
2
x
x
Kết hợp điều kiện 1 x ta được
1 1
2
x
x
.
Câu 44. Chọn B.
Điều kiện:
1
5 1 0 1
.
1
5 5 0
x
x
x
x
Đặt
5 0
x
t t ta được bất phương trình:
1 1
1 0 5 1 1 1 1 6 6
0 5 5
1 5 1 5 5 1 5
5 5 5
x
x
x t t
x t t t t
t
Kết hợp điều kiện ta được
1 0
1
x
x
.
Câu 45. Chọn B.
Ta có:
3 3
1 1 1 1
8 2 27 3 2 3 2 3 0.
x x x x x x x x
Đặt
1
2
3
x
x
u
v
ta được bất phương trình:
3 3 2 2 2 2
0 0 1 0 * . u v u v u v u uv v u v u v u uv v
Ta coi
2 2
1 u uv v là một tam thức bậc 2 theo u khi đó ta có
2 2 2
4 1 3 4 0 v v v
2 2
1 0 u uv v .
Do đó bất phương trình
1
2
3
2
* 0 2 3 3 log 3.
3
x
x x
u v x
Câu 46. Chọn A.
Ta có:
2
3 2 1 2 2
3 3 3
3 5 3 2 1 log 5 log 5 3 2 log 5 0
x x x
x x x x x
3
2 log 5 1. x
Câu 47. Chọn A.
Ta có:
2
2 1 2 5 2 2 2
5 5 5
2 5 2 1 log 2 2 5 2 2 5 2 log 2 2 log 2 0
x x x
x x x x x
5
1
2 log 2.
2
x
Câu 48. Chọn D.
Ta có:
2
2
4
2 4 2 2 2
2 2 2
1
3 2 3 4 2 log 3 log 3 2 log 3 4 0
2
x
x x x
x x x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 275
2
2 log 3 2 x Bất phương trình có 3 nghiệm nguyên là 0; 1; 2. x x x
Câu 49. Chọn C.
Ta có:
2
3 5 6 2 2
3 3 3
2 3 3 log 2 5 6 5 log 2 3log 2 6 0
x x x
x x x x x
3
2 log 2 3. x
Câu 50. Chọn B.
Ta có:
2 2 2
2
3 3 3 3
3 4 .3 3 log 4 .3 1 log 4 log 3 1 log 4 1
x x x x x x
f x x x
2
3
2 log 2 1 x x A đúng.
Tương tự
2 2 2
2
3 4 .3 3 ln 4 .3 ln 3 ln 4 ln3 1 2 ln 2 ln3 ln3
x x x x x x
f x x x B sai.
Câu 51. Chọn D.
+ A đúng. Vì
5 5 5
1 1 1
5 5 5
( ) 1 5 .7 1 log 5 .7 0 log 5 log 7 0
x x x x x x
f x
5 5
5 5 5
1 log 7 0 log 7 log 7 0. x x x x
+ B đúng.
5 5 5
1 1 1 5
( ) 1 5 .7 1 ln 5 .7 0 ln 5 ln7 0 ln 5 ln7 ln7 0
x x x x x x
f x x x
+ C đúng.
5 5
1 1 5 5
7 7 7
( ) 1 5 .7 1 log 5 .7 0 log 5 1 0 log 5 1.
x x x x
f x x x x x
Câu 52. Chọn D.
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2
2 .5 10 log 2 .5 log 2.5 log 2 log 5 1 log 5
x x x
x x x
x x x
2
2 2 2 2 2
2
log 5 1 log 5 log 5 1 log 5 0 1 log 5 1
1
x
x x x x
x
Tập nghiệm của phương trình là
2
1 log 5;1 .
Vậy
2 2
1; 1 log 5 2 log 5 b a b a
Câu 53. Chọn C.
Ta có:
2 2
2
5 5 5
3 .5 1 log 3 .5 0 log 3 0 log 3 0.
x x x x
x x x
Câu 54. Chọn C.
Ta có: 2 1 2 1 0.
x x
x x
Xét hàm số
2 1
x
f x x , ta có
' 2 ln 2 1 0, .
x
f x x
Suy ra
f x là hàm đồng biến trên
0 0. f x f x
Câu 55. Chọn D.
Ta có:
1 1
2 3 13 2 2 3 2 13 0.
x x x x
x x
Xét hàm số
1
2 3 2 13
x x
f x x
xác định trên .
1
2 ln 2 3 ln 3 2 0,
x x
f x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 276
f x là hàm đồng biến trên
0 1 1. f x f x
Câu 56. Chọn C.
Xét hàm số
4
2 1
x
f x x
ta có
4
2 ln 2 1 0,
x
f x x
f x là hàm nghịch biến trên
0 3 3 f x f x .
Câu 57. Chọn B.
Ta có:
1 1
4 4 0.
3 3
x x
x x
Xét hàm số
1
4
3
x
f x x
xác định trên .
1 1
ln 1 0,
3 3
x
f x x
f x là hàm nghịch biến trên
0 1 1. f x f x
Câu 58. Chọn B.
Ta có: 3 5 2 3 2 5 0.
x x
x x
Xét hàm số
3 2 5
x
f x x ta có
3 ln 3 2 0,
x
f x x
f x là hàm đồng biến trên
0 1 1. f x f x
Câu 59. Chọn B.
Ta có:
4 3
4 3 5 1.
5 5
x x
x x x
Xét hàm số
4 3
5 5
x x
f x
ta có
4 4 3 3
ln ln 0,
5 5 5 5
x x
f x x
f x là hàm nghịch biến trên
1 2 2. f x f x
Câu 60. Chọn A.
Ta có:
5 3
1.
8 8
5 3 8
x x x
x x
Xét hàm số
5 3 5 5 3 3
ln ln 0,
8 8 8 8 8 8
x x x x
f x f x x
f x là hàm nghịch biến trên .
Bất phương trình
1 1 1. f x f x f x
Câu 61. Chọn B.
Ta có:
2
3 1
2 3 1 1 .
2 2
x
x
x
x
Xét hàm số
3 1 3 3 1 1
ln ln 0,
2 2 2 2 2 2
x x
x x
f x f x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 277
f x là hàm nghịch biến trên
1 2 2 f x f x Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên dương là 1; 2.
Câu 62. Chọn A.
Ta có: 3.2 7.5 49.10 2
x x x
3.2 7.5 2 1 1 1
3.2 7.5 2 49.10 49 3 7 2 49
5 2 10 10
x x x
x
x x
x
Xét hàm số:
1 1 1
3 7 2
5 2 10
x x x
f x
xác định trên .
1 1 1 1 1 1
3 ln 7 ln 2 ln 0,
5 5 2 2 10 10
x x x
f x x
.
1 1 1
3 7 2
5 2 10
x x x
f x
nghịch biến trên .
Ta có:
1 49 f . Khi đó
1 1. f x f x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1 . .
Câu 63. Chọn D.
Xét hàm số:
2
3 3 2
x
f x x
trên .
2 2
3 .ln 3 2 0, 3 3 2
x x
f x x f x x
là hàm số nghịch biến trên .
Xét hàm số:
4 2
x
g x trên .
4 ln 4 0, 4 2
x x
g x x g x là hàm số đồng biến trên .
Lúc đó:
2
3 3 2
0 0
4 2
x
x
f x
x
g x
0 2
2
1
1
0
2
1
2
2
2 2 0 2
1
1
0
2
2
f x f
x
g x g
x
x
x f x f
x
g x g
.
Câu 64. Chọn B.
Đặt
3 0
x
t t ta được
2
2 1 3 2 0, 0 t m t m t
,
0;
2 3 0 2 3 m t t m min t
Xét hàm số
3 1 0 f t t f t f t đồng biến trên
0;
0; 0 3. min f t f
Khi đó ta có
3
2 3 .
2
m m
Câu 65. Chọn B.
Ta có:
3 1 12 2 6 3 0, 0
x x x
m m x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 278
(3 1)4 (2 )2 1 0, 0.
x x
m m x
Đặt 2
x
t , với 0 1 x t .
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để
2
3 1 2 1 0, 1 m t m t t
2
2 2
2
2 1
2 1 3 , 1
3
t t
t t m t t t m
t t
(do
2
3 0, 1 t t t )
Xét hàm số
2 2
2 2
2
2 1 7 6 1
3
3
t t t t
f t f t
t t
t t
,
1
0
1
7
t
f t
t
Bảng biến thiên:
Bất phương trình nghiệm đúng 0 x 2. m
Câu 66. Chọn C.
Đặt
3 0
x
t t , yêu cầu bài toán trở thành
2
2
3
. 3 0, 0 , 0.
1
t
t m t m t m t
t
Xét hàm số
2 2
2
3 2 3
1
1
t t t
f t f t
t
t
;
1
0
3.
t
f t
t
Bảng biến thiên:
Dựa và bảng biến thiên ta thấy 2 m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 67. Chọn B.
Chia hai vế của bất phương trình cho
2
sin
3 0
x
, ta được
2 2
sin sin
2 1
3.
3 9
x x
m
Xét hàm số
2 2
sin sin
2 1
3.
3 9
x x
y
là hàm số nghịch biến.
Ta có:
2
0 sin 1 x nên 1 4 y
Bất phương trình có nghiệm khi max 4. m y m
+ + +
2
1
0
1
7
1
3
1 0 +
0
f ( t )
f ' ( t )
t
3
f ' ( t )
t
f ( t )
+
1
0
0
+
+
2Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 279
Câu 68. Chọn A.
Ta có:
3 1 12 2 6 3 0, 0
x x x
m m x
(3 1)4 (2 )2 1 0, 0.
x x
m m x
Đặt 2
x
t , với 0 1 x t .
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để
2
3 1 2 1 0, 1 m t m t t
2
2 2
2
2 1
2 1 3 , 1
3
t t
t t m t t t m
t t
(do
2
3 0, 1 t t t )
Xét hàm số
2 2
2 2
2
2 1 7 6 1
3
3
t t t t
f t f t
t t
t t
1
0
1
7
t
f t
t
Bảng biến thiên:
Bất phương trình nghiệm đúng 0 x 2. m
Câu 69. Chọn B.
Đặt
3 0
x
t t , yêu cầu bài toán trở thành
2
2
3
. 3 0, 0 , 0.
1
t
t m t m t m t
t
Xét hàm số
2 2
2
3 2 3
1
1
t t t
f t f t
t
t
;
1
0
3.
t
f t
t
Bảng biến thiên:
Dựa và bảng biến thiên ta thấy 2 m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 70. Chọn D.
Đặt
3 0
x
t t , ta được bất phương trình
2
2
3 2 6
3 3 2 6 0
2
t t
t m t m m
t
Xét hàm số
2 2
2
0
3 3 6 3 12
0
4 2
2
t
t t t t
f t f t f t
t t
t
+ + +
2
1
0
1
7
1
3
1 0 +
0
f ( t )
f ' ( t )
t
3
f ' ( t )
t
f ( t )
+
1
0
0
+
+
2Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 280
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 3 m thỏa yêu cầu.
Câu 71. Chọn D.
Đặt
2 0
x
t t . Bài toán trở thànhtìm m để
2 2
2 2 2 2 0, 0 f t t m t m m t
Ta xét các trường hợp sau:
TH1:
' 2 2 0 1 0 0 0 1 m m f t t R f t t m thỏa yêu cầu.
TH 2:
2 2 0 1 0 1 0; 1 m m f t t m loại.
TH 3:
2 2 0 1 m m f t có 2 nghiệm
1 2
0 t t
2
2 2 0
2
2 0 .
1
2 2 0
P m m
m
S m m
m
m
Kết hợp 3 trường hợp ta được 1. m
Câu 72. Chọn C.
Đặt
3 0
x
t t . Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để 3 5 , 0. t t m t
Xét hàm số
3 5 f t t t
TXĐ: 3; 5 D
1 1
; 0 1.
2 3 2 5
f t f t t
t t
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 4 m thỏa yêu cầu.
Câu 73. Chọn D.
Đặt
2 0
x
t t .
3
0
+
+
+
f ( t )
f ' (t)
t
3 + 5
4
+
0
0
1 +
f ( t )
f ' ( t )
tBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 281
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để bất phương trình 7 2 t t m có nghiệm
0;
7 2 m min t t
Xét hàm số
7 2 f t t t
TXĐ:
2; . D
1 1
' 0,
2 7 2 2
f t t D f t
t t
là hàm số đồng biến trên D .
2 3 3
D
min f t f m thỏa yêu cầu.
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 74. Chọn B.
Điều kiện:
2
3
6
5
x
x
Ta có:
2 2
log 3 2 log 6 5 3 2 6 5 1. x x x x x
Giao với điều kiện ta được
6
1 .
5
x
6 11
1; .
5 5
a b a b
Câu 75. Chọn D.
Điều kiện: 1. x
Ta có:
2 2 2
4 4
2
log 1 log 3 3 1 3 3 3 2 0 .
1
x
x x x x x x
x
Giao với điều kiện ta được 2. x
Câu 76. Chọn C.
Điều kiện:
1
.
2
x
Ta có:
1 1
2 2
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3. x x x x x
Giao với điều kiện ta được
1
3.
2
x
Câu 77. Chọn C.
ĐKXĐ:
2
2 4 0
; 1 0; 2
0
x
x
x x
2 2 2
0,8 0,8
4
log ( ) log ( 2 4) 2 4 3 4 0
1
x
x x x x x x x x
x
So sánh điều kiện ta có nghiệm:
; 4 1; 2
Câu78. ChọnA. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 282
Ta có:
2
1 1 2 2
2 2
0
0 0
1
log (3 1) log (4 )
3 1 4 3 4 1 0 3
1
x
x x
x x x
x x x x
x
1
0
.
3
1
x
x
Câu 79. Chọn C.
Ta có:
2
2
2
2
2
5 2 0 5
ln 3 2 ln 5 2 5
0
3 2 5 2
8 0
8
x
x x
x x x
x
x x x
x x
x
2
0 0
.
5
8 x
Câu 80. Chọn B.
Điều kiện: 1. x
Khi đó:
2
4 2 4 4 4 4
log 7 log 1 log 7 2 log 1 log 7 log 1 x x x x x x
2 2
7 2 1 6 0 3 2. x x x x x x
Giao với điều kiện ta được: 1 2. x
Câu 81. Chọn C.
Điều kiện: 0 12. x
Ta có:
2
3 3 3 3 3
3
log log (12 ) log 2log (12 ) log log (12 ) x x x x x x
2 9
12 .
16
x
x x
x
Giao với điều kiện ta được 0 9. x
Câu 82. Chọn C.
Điều kiện:
1
0 .
3
x x
Do 1 x là một nghiệm của bất phương trình nên ta có log 6 log 2 0 1.
m m
m
Khi đó ta có:
2 2 2 2 2
log (2 3) log (3 ) 2 3 3 2 3 0
m m
x x x x x x x x x x 1 3. x
Giao với điều kiện ta được
1 0
.
1
3
3
x
x
Câu 83. Chọn D.
Điều kiện xác đinh:
ln 1 ln 1 0 x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 283
2
1 1 1
2.
ln 1 1 0 1 1 2 2
x x x
x
x x x x x
Câu 84. Chọn B.
Điều kiện: 0 1. x
Ta có:
log log log log log log log log
2
3 3
2 2
3 9 3 3 3
3
2 4 2 2 2
2
1
1 1 1 2 1 .
2
x x x x x x x x
Câu 85. Chọn B.
Yêu cầu bài toán
2 2
2 2 2
4 0 4 0
7 4 7 0 7 7 4
mx x m mx x m
x R x R
m x x m x mx x m
2
2
0
0
7 0
7
2 5.
4 0
2 2
5 9
4 7 0
m
m
m
m
m
m
m m
m m
m
Câu 86. Chọn B.
Điều kiện: 40 60. x
Ta có:
log 40 log 60 2 log 40 60 2 40 60 100 x x x x x x
2
100 2500 0 50. x x x
Giao với điều kiện ta được tập nghiệm
40; 60 \ 50 S bất phương trình có 18
nghiệm nguyên.
Câu 87. Chọn C.
Điều kiện: 1 5. x
Ta có:
2 2
2 2 2 2
2log 1 log 5 1 log 1 log 10 2 1 10 2 x x x x x x
2
9 0 3 3. x x
Giao với điều kiện ta được: 1 3. x
Câu 88. Chọn C.
Điều kiện:
3
.
4
x
Ta có:
2
3 1 3 3 3
3
2log 4 3 log 2 3 2 log 4 3 log 2 3 log 9 x x x x
2 2
2
3 3
3
log 4 3 log 18 27 4 3 18 27 16 42 18 0 3.
8
x x x x x x x
Giao với điều kiện ta được:
3
3.
4
x
Câu 89. Chọn D.
Điều kiện: 0. x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 284
Ta có:
2 3 4 20 2 2 3 2 2 20
1
log log log log log log log 2 log log log 2
2
x x x x x x x x
2 3 20 2
1
log 1 log 2 log 2 0 log 0 1.
2
x x x
Câu 90. Chọn A.
Điều kiện: 2. x
Ta có:
2 2 2 2 2
log 2 log 2 2 log 2 log 2 log 4 x x x x
10
2 4 2
3
x x x
Giao với điều kiện ta được:
10
.
3
x không thấy đáp án đúng khả năng chép đề sai
Câu 91. Chọn D.
Điều kiện: 1. x
Ta có:
2 2
log 2 3 log 3 log 1 0 log 2 3 3 log 1 x x x x x x x x
2
4
1 6 8 0 .
2 1
x
x x x
x
Giao điều kiện ta thấy bất phương trình vô nghiệm.
Câu 92. Chọn C.
Điều kiện: 2. x
Tacó:
2 1 2 2 2
2
log 2 1 log 2 1 log 2 1 log 2 1 log 2 1 2 1 x x x x x x
5
2 1 2 2 0 .
2
x x x
Giao với điều kiện ta được:
5
2 .
2
x
Câu 93. Chọn B.
Điều kiện: 1. x
Ta có:
2 2
1 1 2 2 2 2 2
2
2
log 2 log log 1 log 2 2log log log 2 x x x x x x x x
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
log log 2 log log 2 log 2 log 2 x x x x x x x x
2 3 2 2 3 2
1
2 2 2 2 0 .
0 2
x
x x x x x x x x
x
Giao với điều kiện ta được: 1 2. x
Câu 94. Chọn A.
Điều kiện: 2. x
Ta có:
0,2 5 0,2 5 5 5
log log 2 log 3 log log 2 log 3 x x x x
2
5 5 5 5 5
log log 2 log 3 log 2 log 3 2 3 2 3 0 x x x x x x x x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 285
1 3. x x
Kết hợp điều kiện ta được: 3. x
Câu 95. Chọn B.
Điều kiện: 0. x
Ta có:
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1
log log 1 log 1 1 .
2 2 2 2 2
x x x x x x x
Giao với điều kiện ta được
1
0
2
x bất phương trình không có nghiệm nguyên.
Câu 96. Chọn D.
Điều kiện: 0. x
Ta có:
2 2
log( 1) log log 20 log ( 1) log 20 20 20 0 x x x x x x x x
5 4. x x
Giao với điều kiện ta được: 4. x
Câu 97. Chọn C.
Điều kiện: 2 5. x
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2 2
log 1 2log 5 1 log 2 log 1 log 2 log 2 log 5 x x x x x x
2 2
2
2 2
log 1 2 log 2 5 1 2 2 5 19 52 0 x x x x x x x x
19 3 17 19 3 17
.
2 2
x x
Giao với điều kiện ta được:
19 3 17
2 .
2
x
Câu 98. Chọn A.
Điều kiện: 1. x
Ta có:
3
3 3 3
3
3 3
3log 1 log 2 1 3 3log 1 3log 2 1 3
log 1 log 2 1 1
x x x x
x x
2
3
log 1 2 1 1 1 2 1 3 3 2 0 1 2. x x x x x x x
Giao với điều kiện ta được: 1 2. x
Câu 99. Chọn B.
Điều kiện: 0. x
Ta có:
3
3
5 0.2 5 5 5 5
25
3
log log log 7 3log log log 7 log 2 25.
2
x x x x x x x x
Kết hợp điều kiện ta được 0 25. x
Câu 100. Chọn A.
Điều kiện: 2. x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 286
Ta có:
2 2 2 2 2
2log 1 2 log 2 log 1 log 2 log 4 x x x x
2
2 2
log 1 2 log 4 1 2 4 6 2 3. x x x x x x x
Giao với điều kiện ta được 2 3. x
Câu 101. Chọn D.
Điều kiện:
1
10.
3
x
Ta có:
2 2 2 2 2
log 3 1 6 1 log 7 10 log 3 1 6 log 2 log 7 10 x x x x
2 2
log 3 1 6 log 14 2 10 3 1 6 14 2 10 x x x x
2
2
3 1 2 10 8 4 10 29 3 23
369
49 418 369 0 1 .
49
x x x x x
x x x
Câu 102. Chọn C.
Điều kiện: 3. x
Ta có:
2
3 1 1
3 3
2
3 3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
1 1 1
log 5 6 log 2 log 3
2 2 2
x x x x
x x x x
2
3 3 3
2
3 3 3
log 5 6 log 2 log 3
log 5 6 log 3 log 2
x x x x
x x x x
2 2
3 3
log 5 6 3 log 2 5 6 3 2 x x x x x x x x
2 4
2 4 0 .
2
x
x x
x
Giao với điều kiện ta được: 3 4. x
Câu 103. Chọn B.
Ta có:
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
log 3 2 2 4 1 log 2
log 3 2 2 4 log 2 4
x mx m m x
x mx m m x
Yêu cầu bài toán
2 2
2 2 2
3 2 2 4 0
.
3 2 2 4 2 4
x mx m m
x R
x mx m m x
2 2
2 2
2 2
3 2 2 4 0
2 2 0 1 0.
2 2 0
x mx m m
x R x mx m m x R m
x mx m m
Câu 104. Chọn A.
Điều kiện 0 x .Đặt
2
log t x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 287
Bất phương trình trở thành
2
2
1
5 6 0 1 6 1 log 6 64
2
t t t x x .
Câu 105. Chọn C.
Điều kiện 0 x .Đặt
2
log t x .
Bất phương trình trở thành
2 2
2
log 5 5 32
6 5 0
1 log 1 0 2
x t x
t t
t x x
.
Câu 106. Chọn A.
Điều kiện 2 x .Đặt
2
log 2 t x .
Bất phương trình trở thành
2
2
2
2 2 0
log 2 1
1
4 5 0
1 63
5 0 2 2 log 2 5
32 32
x x
x
t
t t
t x x x
.
63
;0 ; 2
32
S
.
Câu 107. Chọn A.
Điều kiện 0 x .Đặt ln t x .
Bất phương trình trở thành
2
0
2 1 0 1 ln 1
x
t t t x
x e
.
Câu 108. Chọn C.
Điều kiện 0 x .Đặt
2
log t x .
Bất phương trình trở thành
2
2
3 2 0 1 2 1 log 2 2 4 t t t x x .
Câu 109. Chọn D.
Điều kiện 0 x .Đặt ln t x .
Bất phương trình trở thành
2
2
2 ln 2
3 2 0
1 ln 1 0
t x x e
t t
t x x e
.
2
0; ; e e
.
Câu 110. Chọn D.
Điều kiện 0 x .
3
3
3 3 3
3 1
log log log 2log
2
3
x
x x
x
.
1
3
2
3 3 3 3 3 3
1
log 3 log log log log 3 2 log
2
x x x x .
3 3 3 3
1 1
1 log log 3log log
2 2
x x x x
Đặt
3
log t x .
2
3
1 1 1
1 3 3 0 3 0 3 log 0 1
2 2 27
t t t t t t t x x
.
Câu 111. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 288
Điều kiện 0 x .
2 2
2 4 2 2
log 6 log 4 0 log 3 log 4 0 x x x x .
Đặt
2
log t x .
2
2
1
3 4 0 1 4 1 log 4 16
2
t t t x x .
1
;16
2
.
Câu 112. Chọn A.
Điều kiện
2
2
2
0 0
0
ln 2
ln 3ln 2 0 0
ln 1 0
x x
x x e
x x e
x x x e
x x e
2
0; ; e e
Câu 113. Chọn A.
Điều kiện 0 x .
1
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
log 2 2log 4 8 0 log 2 2 log 4 log 8 0 x x x x
.
2
2 2 2
2 log 2 log 2 2 2log 8 0 x x
.
2 2
2 2 2 2
4 1 log 4log 12 0 1 log log 3 0 x x x x .
Đặt
2
log t x .
2
2
2
1 3 0 2 0 2 1 2 log 1 t t t t t x
1
2
2
x .
1
; 2
2
S
.
Câu 114. Chọn C.
Điều kiện 0 x . Với điều kiện trên bất phương trình trở thành
2
2
2
log 10log 1 0 x x
2
2 2
4log 5log 1 0 x x
Đặt
2
log t x , bất phương trình trở thành
2
4 5 1 0 t t
1
4
1
t
t
2
2
1
log
4
log 1
x
x
1
4
2
2
x
x
.
So với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là
1
4
0; 2 2;
.
Câu 115. Chọn B.
Điều kiện 0 x . Với điều kiện trên bất phương trình trở thành
2
2 8
4 2
5
log 9 log log 16
2
x x
2
2 2
log 3log 4 0 x x
Đặt
2
log t x , bất phương trình trở thành
2
3 4 0 t t
4
1
t
t
2
2
1
log 4
16
log 1
2
x x
x
x
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 289
So với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là
1
0; 2;
16
.
Câu 116. Chọn A.
Điều kiện 2 x , với điều kiện trên bất phương trình trở thành
2
2 0.25
log (2 ) 8 log (2 ) 5 0 x x
2
2 2
log (2 ) 4 log (2 ) 5 0 x x
Đặt
2
log 2 t x , bất phương trình trở thành
2
4 5 0 t t
5
1
t
t
2
2
63
log 2 5
32
log 2 1
0
x
x
x
x
So với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là
63
; 0 ; 2
32
.
Câu 117. Chọn A.
Điều kiện 0 x , với điều kiện trên bất phương trình trở thành
2
2
2
log 5log 1 0 x x
2
2 2
4 log 5log 1 0 x x
Đặt
2
log t x , bất phương trình trở thành
2
4 5 1 0 t t
1
4
1
t
t
1
4
2
2
1
log
2
4
2
log 1
x
x
x
x
So với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là
1
4
2 ; 2
.
Câu 118. Chọn D.
Điều kiện 0 x , với điều kiện trên bất phương trình trở thành
3
4 2
2
log .log 4 log 0
2
x
x x
3
2 2 2
1
log 2 log 2 log 1 0
2
x x x
2
2 2
log 14 log 4 0 x x
Đặt
2
log t x , ta được bất phương trình
2
14 4 0 t t .
Câu 119. Chọn A.
Điều kiện 0 x , với điều kiện trên bất phương trình trở thành
2 5 2
3 3
log 25log 750 0 x x
2 2 2
3 3 3 3
25log 50log 750 0 log 2log 30 0 x x x x
Đặt
3
log t x , ta được bất phương trình
2
2 30 0 1 31 1 31 t t t
1 31 1 31
3
1 31 log 1 31 3 3 x x
Ta có
1 31 1 31
3 0,0067; 3 1360,2539
, suy ra tập tất cả các nghiệm nguyên của bất
phương trình là
1; 2; ;1360 S .
Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là
1360 1
1360. 925480
2
S
.
Câu 120. Chọn D.
Điều kiện 0 x , với điều kiện trên bất phương trình trở thành Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 290
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log
16 4
x
x
4 4
3
log (3 1). log 3 1 2
4
x x
2
4 4
4 log (3 1) 8 log 3 1 3 0
x x
Đặt
4
log 3 1
x
t , ta được bất phương trình
2
1
2
4 8 3 0
3
2
t
t t
t
4
4
1
log 3 1
3 3 1
2
3 2
3 9
log 3 1
2
x
x
x
x
x
x
So với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
0;1 2;
.
Câu 121. Chọn D.
Điều kiện 0 x , với điều kiện trên bất phương trình trở thành
2 3 2 3
3 2 3 2
2log .log 2log 4log 4 0 x x x x
3 3 3 3
2 2 2 2
2log .log 2log 4log 4 0 x x x x
2
3 3
2 2
log 3log 2 0 x x
Đặt
3
2
log t x , ta được bất phương trình
2
3 2 0 2 1 t t t
3
2
4 2
2 log 1
9 3
x x .
So với điều kiện bất phương trình có nghiệm là
4 2
9 3
x .
Câu 122. Chọn A.
Điều kiện: 0; 1 x x
4 4
4
2
4 4
4 4
4
3 1 3
log log 4 log 0
2 log 2
3
log log 1
1
2
0 log 2 0 log
log 2
1
1 2
16
x
x x
x
x x
x x
x
x x
Do 1; 25 ; 1 x x
nên suy ra có 1 nghiệm nguyên 2 x cần tìm.
Câu 123. Chọn D.
Điều kiện: 0; 1 x x
2
100
2 2 2 2
log 8 1 2 1
log 100 log 0 log 0 0
2 log 4 log
log 2 2 0 log 2 2
10 1 10 .
x
x
x x
x x
x x
x x
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình:
2 2
2 2
1
0 1 10
10
x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 291
Câu 124. Chọn C.
Điều kiện: 0; 1 x x
2
5 5
5 5
5 5
5 5
2 log log 3 3
2 log log 125 1 2 log 1 0 0
log log
3 1
log 1 0 log 0 1 5 5
2 5
x
x x
x x
x x
x x x x
Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là: 10.
Câu 125. Chọn A.
Điều kiện:
1
0;
3
x x
2
3 3
3 3 3
3 3
3 3
log 2log 3
log log 27 3 log 3 0 0
1 log 1 log
1
log 1 0 log 2 0 1 9
3
x
x x
x x
x x
x x x x
Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là: 9
Câu 126. Chọn A.
Điều kiện
0 x
x e
Ta có.
2
ln 2 1
0 2 ln 1
ln 1
x
x x e
x e
Câu 127. Chọn D.
Điều kiện xác định:
2
2
3
3
0 0
4 2log 0 4
2 3log 0
3
x x
x x
x
x
Vậy tập xác định
3 3
0; 9 9; 4 4; D
Câu 128. Chọn C.
Điều kiện
2
0; 1; x x x e
Đặt ln t x bpt trở thành
2
2
1 1 2 4 2
2 0 0 1 1 2
2 2
t t
t t
t t t t
Suy ra
2
0 ln 1 1 ln 2 1 x x x e e x e .
Câu 129. Chọn A.
Điều kiện
4 0
3 4
3 0
3
4 1
2
3 1
x
x
x
x
x
x
x
Phương trình đã cho tương đương với:
6 4 3
1 1 1
log log log
x x
e e e
ln6 ln(4 ) ln(3 ) x x
2
ln 6 ln( 12) x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 292
2
6 0 2 3 x x x x
Kết hợp với điều kiện suy ra 3 2 3 4 x x .
Câu 130. Chọn D.
Đặt:
2
t log x
Ta có bất phương trình:
2
1 2 10 3 2
1 1 0 *
4 2 4 2 4 2
t t t
t t t t t t
Bảng xét dấu:
Do đó:
4
* 2 1
2
t
t
t
2
2
2
log 4
2 log 1
log 2
x
x
x
1 1 1
0; ; 4;
16 4 2
x
Câu 131. Chọn C.
Đặt:
2
log t x
Ta có bất phương trình:
16 6
0
2 3 1
t t
t t
2
4 2
0 *
2 3 1
t t
t t
Bảng xét dấu:
Khi đó:
2
2
3 3
1 log 1
1 1
2 2
* ; 1; 2 .
1 1 2
2 2
0 0 log
2 2
t x
x
t x
Câu 132. Chọn A.
Đặt
log t x
. Vì 1 0 x t
Bất phương trình đã cho có nghiệm 1 x khi và chỉ khi bất phương trình
2
3 0 t mt m có nghiệm 0 t
+ Trường hợp 1:
2
2
0 4 12 0
6
m
m m
m
Với 2 m thì bất phương trình không có nghiệm 0 t
Với 6 m thì bất phương trình có nghiệm 0 t
+ Trường hợp 1:
2
0 4 12 0 2 6 m m m thì bất phương trình vô
nghiệm.
+Trường hợp 3:
2
0
6
m
m
2
+ +
1
2
4
0 0
+ ∞
∞
V T
t
+
0
+ ∞
+ +
0 1
3
2
0
1
2
∞
V T
tBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 293
Bất phương trình có nghiệm 0 t khi:
0 0
0
0 3 0
S m
m
P m
. Do đó: 6 m
Trường hợp 4: Tam thức
2
3 t mt m có hai nghiệm trái dấu 3 0 3 m m
Câu 133. Chọn D.
Điều kiện:
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
.
So với điều kiện ta thu được tập nghiệm:
Câu 134. Chọn C.
Điều kiện:
2
log 5 x
.
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
So với điều kiện ta thu được tập nghiệm:
Câu 135. Chọn C.
Trường hợp 1: : Bất phương trình không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 2: .
Bất phương trình tương đương với:
.Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên.
Câu 136. Chọn D.
Phương trình tương đương với:
Câu 137. Chọn C.
Đặt:
3
9
0; 1
3 9 0 3 10 log 10
log 3 9 0
x x
x
x x
x
9 9
log log 3 9 1 log 3 9
x x
x
x
3 9 9
x x
9 3 9 0
x x
x
2
log 10;
4
0; 1
2 4 0
log (2 4) 0
x
x
x x
4
log (2 4) 2 4 4
x x x
x 4 2 4 0 .
x x
x R
2;
1
0
2
x
1
2
x
2
2
5 6 0
5 6 2
x x
x x x
2
2
3
7 6 0
x
x
x x
2
3
1 6
x
x
x
4;5 x x
2
5
log 8 16 0
x
x x
2
2
1
5
8 15 0
0 1
5
8 15 0
x
x x
x
x x
5
5
3
0 5
3 5
x
x
x
x
x
3; \ 5 . x
2 3
log (2 1) log (4 2) 2
x x
f x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 294
Ta có:
Nhận thấy: Đồ thị hàm số cắt tại
Ta có bảng biến thiên:
x
0
f x
0
f x
0
Câu 138. Chọn D.
Điều kiện:
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
Câu 139. Chọn B.
Điều kiện .
Ta có:
Câu 140. Chọn B.
Điều kiện:
Ta có:
.
So điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 141. Chọn A.
2 4
0
2 1 4 2
x x
x x
f x
f x O x
0;0 O
9
9
3
0, 1
log 72
9 72 0 log 73
9 73
log (9 72) 0
x
x
x
x x
x
x
3
log log 9 72 1
x
x
3
log 9 72
x
x
3
log 9 72
x
x 9 72 3
x x
2
3 3 72 0
x x
3 9
x
2. x
10
25
5
7.10 5.25 0 log
7
x x
x
2 1
2
log 7.10 5.25 2 1 7.10 5.25 2
x x x x x
x
2 1
7.10 5.25 2
x x x
2
5.25 7.10 2.2 0
x x x
2
5 5
5 7 2 0
2 2
x x
2 5
1
5 2
x
1 0
5 5 5
2 2 2
x
1 0 x
3
28 2.3 0 3 14 log 14
x x
x
9 1 3 3
3
2log 9 9 log 28 2.3 log 9 9 log 28 2.3
x x x x
x x
3
9 9 9 9
log 3 9 9 3 28 2.3
28 2.3 28 2.3
x x
x x x x
x x
x
2 2 2
3 9 28.3 2.3 0 3.3 28.3 9 0
x x x x x
3 9
2
1
1
3
3
x
x
x
x
3
; 1 2;log 14 S Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 295
Điều kiện .
Ta có:
Đặt xác định và liên tục trên .
nên hàm số đồng biến trên
Mặt khác: .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
Câu 142. Chọn B.
Điều kiện .
Ta có:
Đặt
Khi đó: với .
Suy ra, hàm số đồng biến trên
Mặt khác:
So điều kiện, suy ra
Câu 143. Chọn A.
Điều kiện .
Đặt
Khi đó: với .
Suy ra, hàm số đồng biến trên
So điều kiện, suy ra
Câu 144. Chọn A.
Điều kiện .
Đặt
Khi đó: với .
0 x
7 3 7 3
log log 2 log log 2 0 x x x x
7 3
log log 2 f x x x
0;
1 1
0 0;
ln 7
2 2 ln 3
f x x
x
x x
0;
49 49 f x f x
49;
1
3
x
1
2
log 3 1 3 0 x x
1
2
log 3 1 3 f x x x
3
1 0
3 1 ln 2
f x
x
1
3
x
1
;
3
0 1 1 f x f x f x
1
1 0
3
x x
1
2
x
3 5
log 1 log 2 1 f x x x
1 2
0
1 ln 3 2 1 ln 5
f x
x x
1
2
x
1
;
2
2 2 f x f x
1
2 0;1 0 1 1
2
x x S
1
2
x
3
log 2 1 f x x x
2
1 0
2 1 ln 3
f x
x
1
2
x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 296
Suy ra, hàm số đồng biến trên
Mặt khác:
So điều kiện, suy ra
Câu 145. Chọn D.
Ta có:
Điều kiện:
Đặt
Suy ra, hàm số đồng biến trên
Mặt khác
Câu 146. Chọn D.
Đặt
t 0 3
f t
f t
6
Bất phương trình có nghiệm
Vậy thỏa ycbt.
Câu 147. Chọn D.
Điều kiện: .
1
;
2
1 1 f x f x
1 1
1 ;1
2 2
x S
2
2 2 2 2
2
1
log 3 2 log 1 log 2 4 3 3 2 *
2 4 3
x x
x x x x x x x x
x x
2
2
1 0
,
2 4 3 0
x x
x
x x
2 2 2 2
* log 1 1 log 2 4 3 2 4 3 x x x x x x x x
log , 0; f t t t t
1
1 0, 0;
ln10
f x t
t
f
0;
2 2 2 2
1 2 4 3 1 2 4 3 f x x f x x x x x x
2
3 2 0 1 2 1;2 x x x S
log , 0 t x t
2
2 2
3
log log 3 0 3 0
1
t
x m x m t m t m m
t
2 2
2
3 2
, 0
1
1
t t t
f t t f t
t
t
2
2
1
2 3
0 0
3
1
t
t t
f t
t
t
1 min 6 x m f t
6 m
2
1 13 1 13
2 3 0 1
2 2
x ax a x a
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 297
Từ (1) và (2) ta suy ra giá trị cần tìm là .
Câu 148. Chọn A.
Điều kiện: .
TH1:
TH1:
Vậy thỏa ycbt.
Câu 149. Chọn D.
Điều kiện:
Đặt
BPT tương đương
Do
Xét hàm số
t
Bất phương trình có nghiệm
Vậy 1 m thỏa ycbt.
2 2 2
1
3
log 2 3 0 2 3 1, 2 2 0,
0 1 2 2
x a x a x x a x a x x a x a x
a
a 1 2 a
2
0 2 5 0,
1
1 0 1
m x x m x
m m
0 1 m
2 2
BPT 2 5 2 5 0 VL x x m m x x x x
1 m
2 2
2 5 2 5 0 x x m m x x x x BPT LÑ
1 m
2 2
2
2 3 1 1 2 3 2 0
1
2
x
x x x x
x
2 2 2
2 2
1
log (2 3 1), 0 2 log (2 3 1)
2
t x x t t x x
2
2 2
2
2 2 0
1
t
m t m t t m t m m
t
1 1 x t
2 2
2
2 2 4
, 1
1
1
t t t
f t t f t
t
t
0
0
2
t
f t
t
1
f t
f t
1
1 min 1 x m f t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 298
Chủ đề 6
ỨNG DỤNG HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Các bài toán về hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm số logarit là các bài toán rất hay và có nhiều ứng
dụng trong thực tế.
1. Các ứng dụng trong kinh tế: Bài toán lãi suất trong gửi tiền vào ngân hàng, bài toán vay - mua trả góp
...
2.Các ứng dụng trong lĩnh vực đời sống và xã hội. Bài toán tăng trưởng về dân số ....
3.Các ứng dụng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật: Bài toán liên quan đến sự phóng xạ, tính toán các cơn
dư chấn do động đất, cường độ và mức cường độ âm thanh …
Qua nội dung này, chúng ta sẽ biết vận dụng các kiến thức đã học về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và
hàm số logarit vào đế giải quyết một số bài toán thực tế liên quan các chủ đề nêu ở trên.
A. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA -
MŨ - LOGARIT
MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN NGÂN HÀNG
Trước hết chúng ta tìm hiểu một số khái niệm đơn giản sau.
1. Tiền lãi là một khái niệm xem xét dưới hai góc độ khác nhau là người cho vay và người đi vay. Ở góc
độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, tiền lãi là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một
giai đoạn thời gian nhất định. Khi nhà đầu tư đem đâu tư một khoản vốn, họ mong muốn sẽ thu được
một giá trị trong tương lai, hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản tiền chênh lệnh này được gọi là tiền
lãi. Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, tiền lãi là số tiến mà người đi vay phải trả cho người
vay (là người chù sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định.
2. Lãi suất: Là tỷ số tiền lãi (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay trong 1 đơn vị thời gian.
Đơn vị thời gian có thế là năm, quý, tháng, ngày.
Lãi suất được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số lẻ thập phân.
Thí dụ: Một ngân hàng A có lãi suất cho tiền gửi tiết kiệm cho kỳ hạn 1 tháng là 0,65% một tháng.
Nghĩa là ta hiểu nếu ban đầu ta gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền ỉà 100 triệu đồng thì sau
một tháng số tiền lãi ta nhận được là 100.10
6
. 0,65% = 650.000 đồng.
Bây giờ ta tìm hiểu một số loại lãi suất hay sử dụng trong các ngân hàng và các dịch vụ tài chính:
lãi đơn, lãi kép, lãi kép liên tục.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 299
I. LÃI ĐƠN
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn gốc mà không tính trên số tiền lãi do số vốn gốc sinh
ra trong một khoáng thời gian cố định. (Chỉ có vốn gốc mới phát sinh tiền lãi).
Bây giờ, hãy tưởng tượng ta cầm một khoản tiền 10.000.000 đồng đến gửi ngân hàng, sau mỗi
tháng ta sẽ nhận được 0,5% của số tiền vốn 10.000.000 đồng đó. Quá trình tích vốn và sinh lãi
có thế quan sát trong bảng sau:
Tháng
Tổng vốn
(Đồng)
Tổng Lãi (nếu không rút)
(Đồng)
1 10.000.000 0,5%. 10.000.000 = 50.000
2 10.000.000 50.000 + 0,5%.10.000.000 = 100.000
3 10.000.000 100.000 + 0,5%.10.000.000 = 150.000
Như vậy, ta thấy rõ trong suốt quá trình trên tiền lãi ta có thêm hàng tháng là một hằng số,
ngoài ra tiền vốn từ đầu chí cuối không đổi.
Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P0 với mong muốn
đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút
tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày.
Ta theo dõi bảng sau:
Ở cuối kì Vốn gốc Tiền lãi Tổng vốn và lãi cộng dồn ở cuối kì
1 P0 P0.r P0 + P0.r = P0(1+r)
2 P0 P0.r P0 + P0.r+ P0.r = P0(1+2r)
3 P0 P0.r P0 + P0.r+ 2P0.r = P0(1+3r)
4 P0 P0.r P0 + P0.r+ 3P0.r = P0(1+4r)
… … … …
n P0 P0.r P0 + P0.r+ (n-1)P0.r = P0(1+nr)
Do đó, ta có thể tóm gọn lại công thức tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì như sau:
Pn=P0.(1 + nr), (1)
Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
P0 là vốn gốc.
r là lãi suất mỗi kì.
Bây giờ để hiểu rõ hơn về công thức (1) trong bài toán lãi đơn, các em qua phần tiếp theo: Các
bài toán trong thực tế hay gặp.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 300
1. Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0, lãi suất r, số kỳ n.
Áp đụng công thức Pn=P0.(1 + nr), (1)
Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên.
Bài toán 1: Anh Lâm đi gửi ngân hàng với số tiền 120.000.000 đồng theo hình thức lãi đơn với
lãi suất 5% một năm. Hỏi nếu anh giữ nguyên số tiền vốn như vậy thì sau 2 năm tổng số tiền
anh Lâm rút được về từ ngân hàng là bao nhiêu?(Giả sử lãi suất hàng năm không đổi)
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 120.000.000 đồng, hình thức gửi lãi đơn
với lãi suất r = 5% một năm và gửi trong thời gian n = 2 năm.
Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền anh Lâm rút được từ ngân hàng sau 2 năm, lúc này ta sử dụng
trực tiếp công thức Pn=P0.(1 + nr), (1)
Lời giải:
Áp đụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền anh Lâm rút được từ ngân hàng sau 2 năm là:
P2 =120.000.000x(l + 2 x 5%) = 132.000.000 đồng.
Cũng sau hai năm số tiền lãi mà anh Lâm thu được là:
132.000.000 - 120.000.000 = 12.000.000 đồng.
Bài toán 2: Ông B bỏ vốn 450.000.000 đồng, đầu tư vào một công ty bất động sản với lãi suất
đầu tư 12% một năm (theo hình thức lãi đơn) trong vòng 2 năm 3 tháng. Xác định giá trị đạt
được vào cuối đợt đầu tư.
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 450.000.000 đồng, hình thức đầu tư lãi
đơn với lãi suất r = 12% = 0,12 một năm và đầu tư trong thời gian n = 2 năm 3 tháng. Như vậy
trong bài này ta thời gian đầu tư chưa cùng đơn vị với lãi suất nên ta phải đổi chúng về cùng
đơn vị thời gian. Trong bài này ta có thế đưa về đơn vị thời gian cùng là năm hoặc cùng là
tháng.
Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng, lúc này ta sử dụng trực
tiếp công thức Pn=P0.(1 + nr), (1)
Lời giải:
Do n = 2 năm 3 tháng = 27 tháng =
27
12
năm. Ta có thể tính giá trị đạt được theo 2 cách.
Cách 1: Đưa đơn vị thời gian cùng là năm
Áp dụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là
27
450.000.000 1 12% 571.500.000
12
x
P
đồng.
Cách 2: Đưa đơn vị thời gian cùng là tháng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 301
Qui đổi lãi suất tháng: 1%
12
r
r tháng
Áp dụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là: Pn =
450.000.000 x (1 + 27 x 1%) = 571.500.000 đồng.
2. Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0, lãi suất r, tổng số tiền có được sau n kì
Áp dụng công thức
0
0 0 0
0
1
n
n n
P P
P P nr P P P nr n
P r
Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên
Bài toán 3: Với lãi suất 10% năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư
A mong muốn thu được 32.125.000 đồng vào cuối đợt đầu tư. Vậy phải đầu tư trong bao lâu
để đạt được giá trị như trên? (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi).
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 25.000.000 đồng, hình thức gửi lãi đơn
với lãi suất r = 10% một năm và giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư là 32.125.000 đồng.
Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, xuất phát từ công thức (1)
0
0 0 0
0
1
n
n n
P P
P P nr P P P nr n
P r
Lời giải:
Áp dụng công thức (1):
0
0 0 0
0
32.125.000 25.000.000
1 2,85
25.000.000 10%
n
n n
P P
P P nr P P P nr n
P r
năm = 2 năm
10 tháng 6 ngày
Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày đế đạt được giá trị mong muốn.
3. Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. tìm lãi suất
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0, tổng số tiền có được sau n kì, số kỳ n
Để tính lãi suất r. Từ công thức (1)
0
0 0 0
0
1
n
n n
P P
P P nr P P P nr r
P n
Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên
Bài toán 4: Bà Cúc gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng với lãi suất r%/năm thì
đạt kết quả cuối cùng 75.210.000 đồng. Xác định r? (Biết rằng hình thức lãi suất là lãi đơn và lãi
suất hàng năm không thay đổi) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 302
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 =60.000.000 đồng, tổng số tiền có được
sau 3 năm 4 tháng là 75.210.000 đồng.
Đề bài yêu câu tìm tìm lãi suất ta áp dụng công thức
0
1 , 1
n
P P nr
Lời giải:
3 năm 4 tháng
1 10
3
3 3
năm
Áp dụng công thức (1)
0
0
0
75.210.000 60.000.000
1 7,605%
10
60.000.000
3
n
n
P P
P P nr n
P n
một năm
Vậy lãi suất tiền gửi là 7,605% một năm để đạt được giá trị mong muốn.
4. Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ, tìm vốn ban đầu
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đầu: tổng số tiền có được sau n kì, lãi suất r, số kỳ n.
Tính số vốn ban đầu: Áp dụng công thức
0 0
1
1
n
n
P
P P nr P
nr
Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên
Bài toán 5: Với lãi suất đầu tư 14% năm (theo hình thức lãi đơn) thì nhà đầu tư anh Tuấn phải
bỏ ra số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng.
(Giả sử lãi suất hằng năm không đổi)
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền thu được Pn = 244.000.000 đồng, hình thức đầu tư
theo lãi đơn với lãi suất r = 14% một năm và đầu tư trong thời gian n = 3 năm 9 tháng.
Đề bài yêu cầu tìm vốn đầu tư ban đầu của anh Tuấn, ta sử dụng công thức
0
1
n
P P nr
Lời giải:
3 năm 9 tháng =
9 15
3
12 4
năm
Từ dụng công thức (1):
0 0
244.000.000
1 160.000.000
15 1
1 14%
4
n
n
P
P P nr P
nr
đồng
Vậy phải đầu tư 160.000.000 đồng để đạt được giá trị mong muốn.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 303
II. LÃI KÉP
Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kì sau.
Trong khái niệm này, số tiền lãi không chi tính trên số vốn gốc mà còn tính trên số tiền lãi do
số vốn gốc sinh ra.
Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi
nhập vốn.
Công thức tính lãi kép.
Trong khái niệm lãi kép, các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kì được tính
gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tư.
Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P0 với mong
muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì
ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính Pn tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày.
o Ở cuối kì thứ nhất ta có:
Tiền lãi nhận được: P0.
Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ nhất:
1 0 0 0
. 1 . P P P r P r
o Đo lãi nhập vào vốn đến cuối kì thứ hai ta có:
Tiền lãi nhận được: P1.r
Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ 2 là:
P2=P1+P1.r=P1(l+r)=P0(1+r)(1+r)=P0(1+r)
2
………….
o Một cách tống quát, sau n kì, tổng giá trị đạt được là Pn=P0(1+r)
n
, (2)
Trong đó Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
P0 là vốn gốc.
r là lãi suất mỗi kì.
o Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là:Pn - P0
Bây giờ để hiểu rõ hơn về công thức (2) trong bài toán lãi kép, các em qua phần tiếp theo: Các
bài toán trong thực tế hay gặp.
1. Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0, lãi suất r, số kỳ n .
Áp dụng công thức Pn=P0(1+r)
n
, (2)
Qua các bài toán cụ thế, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 304
Bài toán 1: Ông A gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép.
Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được số tiền
là bao nhiêu?
Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm người đó thu được số tiền
là bao nhiêu?
Phân tích bài toán
Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông A rút được từ ngân hàng sau 2 năm, lúc này ta sử dụng
trực tiếp công thức Pn=P0(1+r)
n
, (2)
Ta phải xác định rõ: P0 = ..,r = ,.,n =....?, từ đó thay vào công thức (2) tìm được Pn.
Lời giải:
Ta có P0 = 10.000.000 triệu, n = 2 năm, lãi suất trong 1 năm là r = 7,56% một năm.
Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là :
P2 =10.000.000 x (1 + 7,65%)
2
11.569.000 đồng.
Ta có P0 = 10.000.000 triệu, n = 2 năm = 8 quý, lãi suất trong 1 quý là r = 1,65% một quý.
Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là:
P2 = 10.000.000 x (1 + 1,65%)
8
11.399.000 đồng.
Bài toán 2: Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi
suất 13% một năm. Hỏi sau 5 năm mói rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử
rằng lãi suất hằng năm không đổi)
Phân tích bài toán
Đề bài yêu cầu tìm số tiền lãi thu được sau 5 năm. Trước hết ta tính tổng số tiền người đó có
được sau 5 năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức Pn=P0(1+r)
n
, (2). Từ đó ta tính đươc số
tiền lãi thu đươc sau 5 năm là: Pn-P0
Trong công thức (2) ta phải xác định rõ: P0 =..; r = .., n = ....?, từ đó thay vào công thức (2) tìm
được Pn.
Lời giải:
• Ta có P0 =100 triệu, n = 5 năm, lãi suất trong 1 năm là r = 13% một năm.
• Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 5 năm là:
P5 = 100 x (1 + 13%)
5
= 184 triệu đồng.
Vậy số tiền lãi thu được sau 5 nấm là: P5 - P0 = 184 - 100 = 84 triệu đồng.
Bài toán 3: Chị An gửi tiết kiệm 500.000.000 đông vào ngân hàng A theo kì hạn 3 tháng và lãi
suất 0,62% một tháng theo thể thức lãi kép.
Hỏi sau 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cà vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng
chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.
Nếu với số tiền trên chị gửi tiết kiệm theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng
thì 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không
rút lãi ở tất cả các kì trước đó. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 305
Phân tích bài toán
Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền chị An rút được từ ngân hàng 1 thời gian gửi nhất định, lúc
này ta sử dụng trục tiếp công thức Pn=P0(1+r)
n
, (2)
Trong công thức (2) ta phải xác định rõ: P0 = ..; r = .., M = ....?, từ đó thay vào công thức (2) tìm
được Pn.
Lời giải:
Do mỗi kì hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có n = 20 kì hạn.
• Lãi suất mỗi kì hạn là r = 3 x 0,62% = 1,86% .
• Áp dụng công thức (2) sau 5 năm chị An nhận được số tiền là:
Pn =500000000 x (1 + 1,86%)
20
= 722.842.104 đồng.
Do mỗi kì hạn là 6 tháng nên 5 năm ta có n = 10 kì hạn.
• Lãi suất mỗi kì hạn là r = 6 x 0,65% = 3,9%.
• Số tiền nhận được là: Pn = 500000000 x (1 + 3,9%)
10
= 733036297,4 đồng.
2. Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đâu: vốn P0, lãi suẵì r trong mỗi kì, tổng số tiền có được sau n kì.
Để tìm n, áp dụng công thức (2), ta có
0
0
1 1 *
n n
n
n
P
P P r r
P
Để tìm n từ đằng thức (*) ta có nhiêu cách thực hiện:
Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra tìm n.
1
0 0
1 log
n
n n
r
P P
r n
P P
Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (*), ta được
0
0 0
log
log 1 log .log 1 log
log 1
n
n
n n
P
P P P
r n r n
P P r
Bài toán 4: Doanh nghiệp B muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đâu tư ở hiện tại 170
triệu đồng, với lãi suất sinh lợi là 13% một năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gian đầu
tư?
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 170.000.000 đồng, theo hình thức lãi
kép với lãi suất sinh lợi r = 13% một năm và giá trị đạt được vào cuối đạt đầu tư là 280.000.000
đồng.
Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần phương
pháp giải). Ở bài toán này ta dùng cách 2.
Lời giải:
Ta có Pn = 280.000.000 đồng, P0 = 170.000.000 đồng, r = 13% một năm Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 306
Sau n năm đầu tư, Doanh nghiệp B thu được tổng số tiền là: Pn=P0(1 + r) ,(*). Để tìm n từ công
thức (*) các em sử dụng 2 cách (coi lại phân phương pháp giải). Trong lời giải này ta sử dụng
cách 2, lấy logarit thập phân hai vế. Ta được
0
0 0
log
* 1 .log 1 log
log 1
n
n
n n
P
P P P
r n r n
P P r
280.000.000
log
170.000.000
4,08
log 1 13%
n
năm = 4
năm 1 tháng
Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị mong muốn.
Bài toán 5: Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với
lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm gửi người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số
tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 = 60.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép
với lãi suất r = 7,56% một năm và giá trị đạt được sau n năm gửi là 280.000.000 đồng.
Để tìm thời gian gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần phương
pháp giải). Ở bài toán này ta dùng cách 1.
Lời giải:
Ta có Pn =120.000.000 đồng, P0 = 60.000.000 đồng, r = 7,56% một năm
Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền là
0 1 1 7 ,56%
0 0
120.000.000
1 1 log log 9,51
60.000.000
n n
n n
n r
P P
P P r r n n
P P
năm
Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng ban đầu.
Bài toán 6: Một khách hàng có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng với lãi suất 0,65%
một tháng theo thế thức lãi kép. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu quý gửi tiền vào ngân hàng, khách
mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng, giả sử người đó không rút lãi
trong tất cả các quý định kì. (Số quý gửi là số nguyên)
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 =100.000.000 đồng, gửi theo hình thức lãi
kép với lãi suất 0,65% một tháng và kì hạn gửi là 3 tháng, từ đó suy ra được lãi suất trong 1 kì
hạn là: r = 3 x 0,65% = 1,95%
Để tìm thời gian n gửi tối thiểu trong bao lâu, để số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu ta làm
như sau: Ta tìm tổng số tiền lãi Pn - P0 có được sau n quý. Từ đó ta giải bất phương trình Pn –
P0 > Pn suy ra n cần tìm. Các em coi lời giải chi tiết ở dưới.
Lời giải:
Áp dụng công thức (2) ta có: P0 =100.000.000 đồng, lãi suất trong 1 kì hạn là: r = 3 x 0,65% =
1,95%. Sau n quý tổng số tiền (vốn và lãi) khách hàng có được là: Pn = P0 (1 + r)
n
suy ra tổng sổ
tiền lãi có được sau n quý là: Pn -P0 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 307
Cần tìm n đế
0 0 0 0 0
1 1 2
n n
n
P P P P r P P r
1 1 1,95%
log 2 log 2 35,89 36
r
n n
Vậy sau 36 quý (tức là 9 năm) người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân
hàng.
3. Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm lãi suất
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0, tổng số tiền có được sau n kì, số kỳ n.
Để tính lãi suất r mỗi kì. Từ công thức (2) ta có:
0
0 0 0
1 1 1 1
n n
n n n
n n
n
P P P
P P r r r r
P P P
Bài toán 7: Doanh nghiệp C gửi tiền vào ngân hàng với số tiền là 720 triệu đồng, theo thể thức
lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất r% một năm. Sau 5 năm doanh nghiệp C có một số tiền 1200
triệu đồng. Xác định r? (Biết lãi suất hàng năm không thay đổi)
Phân tích bài toán
Ta xác định già thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P0 =720.000.000 đồng, tổng số tiền có được
sau 5 năm (n = 5 kì hạn) là 1200.000.000 đồng.
Đề bài yêu cầu tìm lãi suất mỗi kì, ta áp dụng công thức
0
1
n
n
P
r
P
(Coi phần phương pháp
giải)
Lời giải:
Lãi suất mỗi kì là:
5
5
0
1200.000.000
1 1 10,76%
720.000.000
n
P
r
P
một năm
Vậy lãi suất tiền gửi là 10,76% một năm để đạt được giá trị mong muốn.
4. Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm vốn ban đầu
Phương pháp
Xác định rõ các giá trị ban đầu: tổng số tiền có được sau n kì, lãi suất r, số kỳ n.
Tính số vốn ban đấu: Áp dụng công thức
0 0
1
1
n
n
n n
P
P P r P
r
Bài toán 8: Chủ cửa hàng C vay ngân hàng một số vốn, theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn 6
tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một năm. Tổng số tiền chủ cửa hàng phải trả sau 4 năm 3 tháng là
536.258.000 đồng. Xác định số vốn chủ cửa hàng c đã vay. (Biết lãi suất hàng năm không thay
đổi) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 308
Phân tích bài toán
Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền phải trả sau 4 năm 3 tháng là Pn = 536.258.000 đồng,
hình thức đầu tư theo lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một năm, từ đó suy
ra lãi suất trong 1 kì là:
1
9,6% 4,8%
2
r và đầu tư trong thời gian 4 năm 3 tháng, từ đó suy
ra số kì vay là: n = 8,5
Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là:
0
1
n
n
P
P
r
Lời giải:
Ta có 8,5 , 4,8% , 536.258.000
n
n r P
Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là:
0 0 8,5
536.258.000
360.000.000
1 1 4,8%
n
n
P
P P
r
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 309
III. BÀI TOÁN VAY TRẢ GÓP – GÓP VỐN
1. Một số dạng toán thường gặp
Dạng toán 1: Ông A hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng (vào đầu
mỗi kì hạn), kì hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông A nhận được số tiền vốn
và lãi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Cuối tháng thứ 1, ông A có số tiền là:
1
. 1 P a a r a r
Đầu tháng thứ 2, ông A có số tiền là:
1
1 1 1 1 P a a r a a a r a r
Cuối tháng thứ 2, ông A có số tiền là:
2
2 1 1
. 1 1 1 1 P P P r a a r a a r a r r
Đầu tháng thứ 3, ông A có số tiền là:
2 2
2
1 1 1 1 1 P a a r r a a r r
Cuối tháng thứ 3, ông A có số tiền là:
2 2
3 2 2
. 1 1 1 1 1 1 . P P P r a r r a r r r
3 2
1 1 1 a r r r
………
Cuối tháng thứ n, ông A có số tiền là:
1 2 2
1 1 1 ... 1 1
1 1
1 . 3
n
n n n
n
S
n
n
P a r r r r r
r
P a r
r
(Lưu ý các số hạng của tổng Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với
công bội là q = 1 + r và số hạng đầu là u1 = 1 + r nên ta có
1
1 1
1
. 1
1
n
n
n
r
q
S u r
q r
)
Để hiểu ý tưởng bài toán 1, các em theo dõi các ví dụ phía dưới nhé.
Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì
hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,67%. Hỏi sau 2 năm người đó nhận được số tiền
là bao nhiêu?
Lời giải:
• Áp dụng công thức (3) cho a = 3.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 2 x l2 = 24 tháng
• Ta có: Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 310
24
24
1 0,67% 1
3.000.000 1 0,67% 78.351.483,45
0,67%
P
Bài toán 2: Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm một tháng là
bao nhiêu. Biết rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi
suất 0,67% một tháng. Lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.
Lời giải:
Áp dụng công thức (3) cho Pn = 200.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 36 tháng
Ta có:
1 1
.
1
1 1 1
n
n
n
n
r
r P
P a r a
r
r r
36
0,67%.200.000.000
4.898.146
1 0,67% 1 0,67% 1
a a
Vậy hàng tháng phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng.
Dạng toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng , kì hạn 1
tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền
còn lại là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi Pn là số tiền còn lại sau tháng thứ n.
Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a + ar = a(l + r) = ad với d = 1 + r
Rút x đồng thì số tiền còn lại là:
1
1
1
d
P ad x ad x
d
Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là:
1 ad x ad x r ad x r ad x d
Rút x đồng thì số tiền còn lại là:
2
2 2 2
2
1
1
1
d
P ad x d x ad x d x ad x d ad x
d
Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 ad x d ad x d r ad x d r ad x d d
Rút x đồng thì số tiền còn lại là:
3
2 3 2 3 2 3
3
1
1 1
1
d
P ad x d d x ad xd xd x ad x d d ad x
d
…………………
Sau tháng thứ n số tiền còn lại là:
1 1
1
1 . , 4
1
n
n
n
x
n n
r
d
P ad x P a r x
d r
với d = 1 + r
Để hiểu rõ bài toán trên các em theo dõi các ví dụ phía dưới
Một số bài toán minh họa Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 311
Bài toán 1: Một cụ già có 100.000.000 gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng
với lãi suất 0,65% một tháng. Mỗi thcáng cụ rút ra 1.000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi.
Hỏi sau hai năm số tiền còn lại của cụ là bao nhiêu?
Lời giải:
Áp dụng công thức (4) với: n = 24; r = 0,65%, x = 1.000.000, a = 100.000.000
Vậy số tiền bà cụ còn lại sau 2 năm là:
24
24
24
1 0,65% 1
100.000.000 1 0,65% 1.000.000 90.941.121,63
0,65%
P
đồng
Bài toán 2: Bạn An được gia đình cho gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 200.000.000
đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,75% một tháng. Nếu mỗi tháng An
rút một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì An phải rút bao nhiêu tiền một tháng
để sau đúng 5 năm, số tiền An đã gửi vừa hết?
Lời giải:
Áp dụng công thức (4) với: n = 60, r = 0,75%, a = 200.000.000, Pn = P60 = 0. Tìm x ?
Ta có
60
6 0 60
6 0
60 60
60 60 60
1
1 1
1 1 1
ad P d
d d
P ad x x ad P x
d d d
60
60
200.000.000 1 0,75% 0 0,75%
4.151.671
1 0,75% 1
x
đồng
Dạng toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.
(Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2)
Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho
số tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính
lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau đúng
một tháng kể từ ngày vay, người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số iền đều đặn trả vào ngân hàng là x
đồng. Tìm công thức tính x? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay.
Hướng dẫn giải:
Gọi p là số tiền còn lại sau tháng thứ n .
Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là:
1 a ar a r ad với 1 d r
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là:
1
1
1
d
P ad x ad x
d
Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là:
1 ad x ad x r ad x r ad x d
Trả x đồng thì số tiền còn lại saíi thảng thứ 2 là:
2
2 2 2
2
1
1
1
d
P ad x d x ad xd x ad x d ad x
d
Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 312
2 2 2 2
1 1 1 1 1 ad x d ad x d ad x d r ad x d d
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là:
3
2 3 2 3 2 3
3
1
1 1
1
d
P ad x d d x ad xd xd x ad x d d ad x
d
Số tiền còn lại sau tháng thứ n là:
1 1
1
1 5
1
n
n
n
n
n n
r
d
P ad x P a r x a
d r
với
1 d r
Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có
1 1 1
0 0 5
1 1
1 1
n
n n
n
n n n
ad d a r r d
P ad x x x b
d d
r
Để hiểu bài toán vay trả góp, các em theo dõi các ví dụ phía dưới
Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chưa trả làl
2%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
ông bắt đâu hoàn nợ, hai lan hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở
mồi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số
tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mồi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biêt rằng lãi suất
ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
(Trích đề minh họa môn Toán năm 2017)
Lời giải:
Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất trong 1 tháng là 1% một tháng.
Áp dụng công thức (5b) cho: a = 100.000 000, r = 1%, n = 3, P3 = 0. Tìm x?
Vậy số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ, để 3 tháng hết nợ là:
3
3
. . 1 100.0,01. 1 0,01
34
1 1 1 0,01 1
n
n
a r r
x
r
triệu đồng một tháng.
Bài toán 2: Một người vay ngân hàng với sổ tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền
4.000.000 đồng và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1,1% một tháng theo hình thức lãi kép.
Hỏi sau bao lâu ngưòi đó trả hết nợ?
Lời giải:
Áp dụng công thức (5b) cho: a = 50.000.000, x = 4.000.000, r = 1,1%, Pn = 0. Tìm n?
Từ công thức (5b) ta có:
. . 1
1 1
1 1
n
n n
n
a r r
x x r x ar r
r
1 1
n n x
x ar r x r
x ar
1 1 1,1%
4.000.000
log log 13,52
4.000.000 50.000.000 1,1%
r
x
n n n
x ar
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 313
Ở đây ta thấy n không là số nguyên, lúc này ta có hai cách làm chọn
Nếu chọn n = 13 (chọn số nguyên cao hơn gần nhất)
Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 12 là:
12
12
12
1 1,1% 1
50. 1 1,1% 4. 6,001147461
1,1%
P
triệu đồng
(Lưu A máy tính Casio)
Số tiền người này phải trả tháng cuối là:
1 0,5% 6,067 A triệu đồng.
Nếu chọn n = 14 ( chọn số nguyên nhỏ hơn gần nhất)
Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 13 là:
13
13
13
1 1,1% 1
50. 1 1,1% 4. 2,067160083
1,1%
P
triệu đồng.
(Lưu B máy tính Casio)
Số tiền người này phải trả tháng cuối là: 1 0, 5 % 2 , 0 9 B triệu đồng.
2. Tổng kết phần III
Dạng toán 1: Ông A hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng, kì hạn
1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông A nhận được số tiền vốn và lãi là bao
nhiêu?
Kết quả cần nhớ: Sau n tháng ông A nhận được số tiền vốn và lãi là
1 1
1
n
n
r
P a r
r
(3)
Dạng toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng, kì hạn 1
tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền
còn lại là bao nhiêu?
Kết quả cần nhớ:
Sau n tháng số tiền còn lại là:
1 1
1
1 , 4
1
n
n
n
n
n n
r
d
P ad x P a r x
d r
Dạng toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.
(Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2)
Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho
số tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là
tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, số tiền
đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x? Biết rằng lãi suất ngân hàng
không thay đổi trong thời gian vay.
Kết quả cần nhớ:
Số tiền còn lại sau tháng thứ n là:
1 1
1
1
1
n
n
n
n
n n
r
d
P ad x P a r x
d r
(5a) với d = 1 + r Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 314
Số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là:
1 .
5
1 1
n
n
a r r
x b
r
IV. BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC TĂNG TRƯỞNG MŨ -
ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC ĐỜI SỐNG XÃ HỘI
1. Bài toán lãi kép liên tục.
Ta đã biết: nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo
thế thức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là P0(l + r)
n
.
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là
r
m
và số tiền
thu được n năm là (hay sau nm kì) là
.
0
1
m n
r
P
m
Hiến nhiên khi tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo.
Tuy nhiên như ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực được.
Thể thức tính lãi khi m gọi là thể thức lãi kép liên tục.
Như vậy với số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta
chứng minh được rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là:
0
6
nr
n
P P e
Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.
Ví dụ 1: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% năm thì
sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là:
2 8%
100. 117,351087 S e
triệu đồng.
Nhiều bài toán, hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự
tăng trường dân số, cũng được tính theo công thức (6). Vì vậy công thức (6) còn được gọi là công
thức tăng trưởng (suy giảm) mũ.
Để hiểu rõ hơn về công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ. Các em qua phần tiếp theo của tài liệu.
2. Bài toán về dân số.
Gọi:
o P0 là dân số của năm lấy làm mốc tính.
o Pn là dân số sau n năm.
o r là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng nam.
Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau
o Công thức 1:
0
nr
n
P P e dùng công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ.
o Công thức 2:
0
1
n
n
P P r dùng công thức tính lãi kép. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 315
Ta xét một ví dụ sau: Năm 2001, dân số nước ta khoảng 78690000 người. Theo công thức
tăng trưởng mũ, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm luôn là 1,7% thì ước tính dân số Việt Nam
x năm sau sẽ là
0,017 0,017
78690000 7,869.
r r
e e (chục triệu người). Để phần nào thấy được
mức độ tăng nhanh của dân số; ta xét hàm số
0,017
7,869.
r
f x e
Đồ thị của hàm số
y f x cho thấy khoảng 30 năm
sau (tức là khoảng năm 2031), dân số nước ta sẽ vào
khoảng 131 triệu người, tức là tăng gấp rưỡi. Chính
vì vậy, các em hiểu bùng nổi dân số là khái niệm
dùng rất phổ biến hiện nay, để thể hiện việc dân số
tăng quá nhanh, có cơ cấu dân số trẻ, thời gian tăng
gấp đôi rút ngắn. Những vấn đề đặt ra cho các nhà
hoạch định chính sách như kế hoạch hóa dân số, việc
làm, phân bố dân cư, nhập cư, di dân, … sao cho
hợp lí.
Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Dân số nước ta năm 2014 đạt 90,7 triệu người (theo Thông cáo báo chí của
ASEANstats), tỉ lệ tăng dân số là 1,06%.
Dự đoán dân số nước ta năm 2024 là bao nhiêu?
Biết rằng dân số nước ta sau m năm sẽ vượt 120 triệu người. Tìm số m bé nhất?
Lời giải:
Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: P0 = 90.700.000, n = 2024 - 2014 = 10, r = 1,06%
• Áp dụng công thức (1): Khi đó dư đoán dân số nước ta năm 2024 là:
10 1,06%
10
90.700.000 100.842.244 P e
(người)
• Áp dụng công thức (2): Khi đó dự đoán dân số nước ta năm 2024 là:
10
10
90.700.000 1 1,06% 100.786.003 P người
Áp dụng công thức (2) ta có:
1.200
120.000.000 90.700.000 1 1,06% 1,0106
907
m
m
1,0106
1.200
log 27
907
m m
Vậy m bé nhất bằng 27. (Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số nước ta sẽ vượt mốc
120 triệu người).
Áp dụng công thức (1):
1,06% 0,0106
1200 1.200
120.000.000 90.700.000 0,0106 ln 27
907 907
m m
e e m m
Vậy m bé nhất bằng 27 (Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số nước ta sẽ vượt mốc
120 triệu người).
Bài toán 2: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức
0
nr
n
P P e , trong đó P0 là dân số của
năm lấy làm mốc tính, Pn là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 316
2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 triệu và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Hỏi cứ tăng dân
số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?
Lời giải:
Phân tích bài toán:
Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau:
0
90.700.000, 100.000.000, 1,7%.
n
P P r Tìm n?
Áp dụng công thức
. 1,7%. 1,7%.
0
100.000.000 78.685.800 100 78,6858 *
n r n n
n
P P e e e
Lấy logarit tự nhiên hai vế của (*) ta được
1,7%.
ln100 ln 78,6858 ln100 ln 78,6858 1,7%.
n
e n
ln100 ln78,6858
14
1,7%
n
Vậy nếu cứ tăng dân số với tỉ lệ hàng năm là r = 1,7% thì đền năm 2015 dân số nưóc ta sẽ
ở mức 100 triệu người.
Bài toán 3: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức Pn = P0(1 + r)
n
, trong đó P0 là dân số
của năm lấy làm mốc tính, Pn là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Giả sử tỉ lệ
tăng dân số hàng năm của thế giới là không đổi trong giai đoạn 1990 - 2001. Biết rằng năm 1990
dân số thế giới là 5,30 tỉ người, năm 2000 dân số thế giới là 6,12 tỉ người. Tính dân số thể giới
vào năm 2011? (Kết quà là tròn đến hai chữ số)
Lời giải:
Phân tích bài toán
Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: P0 = 5,30, P10 = 6,12, Tính r = ? P21 =?
Áp dụng công thúc Pn = P0(l + r)
n
, ta được
10 10
10
10 0
6,12
1 6,12 5,30 1 1 1,45%
5,30
P P r r r r
Dân số thế giới vào năm 2011 là:
21 21
21 0
1 5,30 1 1,45% 7,17 P P r tỉ người.
Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, trong bài toán này đề bài cho biết là ta phải sử dụng công thức (1).
Hai là, trong giải phương trình (*) các em áp dụng trực tiếp cách giải phương trình mũ cơ bản sau cũng
được: ln
u
e b u b với b > 0.
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 317
V. ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC KHOA HỌC KỸ THUẬT
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1 Bài toán về sự phóng xạ của các chất.
Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thứ
0
1
2
t
T
m t m
trong đó
0
m là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thòi điểm t = 0) m(t) là khối lượng chất
phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên
tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác).
1.2 Ứng dụng của hàm logarit trong việc tính độ chấn động và năng lượng giải toả của một trận
động đất.
• Độ chấn động M của một địa chấn biên độ I được đo trong thang đo Richte xác định bởi
công thức:
0
ln
I
M
I
hoặc
0
log log M I I
Trong đó
0
I là biện độ của đao động bé hơn 1 m trên máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa
chấn 100 km.
0
I được lấy làm chuẩn.
• Ở M = 3 độ Richte, địa chấn chỉ có ảnh hưởng trong một vùng diện tích nhỏ, ở 4 đến 5 độ
Richte, địa chấn gây một thiệt hại nhỏ, ở 6 đến 8 độ Richte, địa chấn gây một số thiệt hại
lớn, ở 9 độ Richte, địa chấn gây thiệt hại lớn cực lớn.
• Năng lượng giải tỏa E tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác định xấp xỉ bởi công thức
log 11,4 1,5 E M
1.3 Âm thanh
• Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một
đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB).
Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức:
0
10log
I
L db
I
trong đó I là cường
độ của âm tại thời điểm đang xét (cường độ của âm tức là năng lượng truỵền đi bởi sóng âm trong
một đơn vị thời gian và qua một đơn vị điện tích bề mặt vuông góc với phương sóng truyền (đơn vị đo
là w/m
2
)). I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe (I0= 10
-12
w/m
2
).
Nhận xét: Khi cường độ âm tăng lên 10
2
,10
3
,.... thì cảm giác về độ to của âm tăng lên gấp 2,3,..
lần.
• Độ to của âm: Gắn liền với mức cường độ âm
min
I I I với
m in
I là ngưỡng nghe.(Đơn vị
của độ to của âm là phôn). Khi 1 I phôn (độ to tối thiểu mà tai người bình thường phân
biệt được) thì
min
10log 1
I
dB
I
Trên đây là 1 số ứng dụng hay gặp, để hiểu hơn về vấn đề này các em đọc các ví dụ phía dưới,
qua đó thấy thêm được các ứng dụng khác của hàm số mũ, hàm số logarit. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 318
2. CÁC BẢI TOÁN THỰC TẾ
Bài toán 1: Cường độ một trận động đất M Richte được cho bởi công thức
0
log log M A A ,
với A là biên độ rung chấn tối đa và
0
A là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận
động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác
Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao
nhiêu?
Phân tích bài toán
Để tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ ta sử dụng công thức đề bài cho
0
log log M A A . Trong đó
0
A là hằng số, vậy muốn tính M các em phải tính được biên độ
A . Các em coi kỹ lời giải phía dưới.
Qua bài toán này các em thấy được những ứng dụng của hàm logarit trong các bài toán khoa
học kĩ thuật.
Lời giải:
Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức
1 0 0
log log 8 log log M A A A A với
Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cường độ của trận động đt ở Nam Mỹ là:
2 0 2 0 2
log 4 log log 4 log log log 4 8 8,6 M A A M A A M độ Richte
Bài toán 2: Cường độ một trận động đất M (Richte) được cho bởi công thức
0
log log M A A
, với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một
trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất
khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richte. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên
độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản.
Phân tích bài toán
Để so sánh biên độ giữa hai trận động đất thì công thức
0
log log M A A
log log
0
log log 10 10 .10
M A A M
A M A A
. Từ đó ta đưa ra được kết luận.
Kiến thức sử dụng trong bài toán này là kiến thức về giải phương trình logarit cơ bàn và kiến
thức về tính chất của hàm mũ.
Lời giải:
Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức
0 0
8 l og l og 8
1 1 0 1 0 1 0 1
l o g l o g 8 l o g l o g l o g 8 l o g 1 0 1 0 .1 0
A A
M A A A A A A A
với A1 là
biên độ của trận động đất ở San Prancisco.
Trận động đất ở Nhật có cường độ 6 độ Richte khi đó áp dụng công thức
0 0
6 log log 6
2 2 0 2 0 2 0 2
log log 6 log log log 6 log 10 10 .10
A A
M A A A A A A A
với A2
là biên độ của trận động đất ở Nhật.
Khi đó ta có
8
2 1
1 2 6
2
10
10 100
10
A
A A
A
Vậy trận động đất ở San Prancisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất ở Nhật bàn. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 319
Bài toán 3: Để đặc trưng cho độ to nhỏ cua âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của
âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó
mức cường độ L của âm được tính theo công thức:
0
10log
I
L db
I
trong đó, I là cường độ của
câm tại thời điểm đang xét, I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe (
12 2
0
10 / I w m
). Một cuộc trò
chuyện bình thường trong lớp học có mức cường độ âm trung bình là 68dB. Hãy tính cường
độ âm tương ứng ra đơn vị
2
/ w m
Phân tích bài toán
Đề bài cho biết mức cường độ âm một cuộc nói chuyện trong lớp là L(đB) = 68dB yêu cầu ta tính
cường độ âm I? Ở đây các em biết rằng cường độ âm ở ngưỡng nghe bình thường là
12 2
0
10 / I w m
.
Từ những phân tích trên ta chỉ cần áp dụng công thức
0
10log
I
L db
I
và sử dụng kiến thức về
giải phương trình logarit cơ bản là tìm được câu trả lời cho bài toán. Các em tham khảo lời giải
ở phía dưới nhé.
Lời giải:
Theo giả thiết ta có
68 L db db ,
12 2
0
10 / I w m
.Tính I.
Áp dụng công thức ta có:
6,8
0 0 0 0
10log 68 10log log 6,8 10
I I I I
L db
I I I I
6 6 12 6 2
0
6,3.10 6,3.10 .10 6,3.10 /
I
I w m
I
Bài toán 4: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của
âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó
mức cường độ L của âm được tính theo công thức:
0
10log
I
L db
I
trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, I0 cường độ âm ở ngưỡng
nghe
12 2
0
10 / I w m
Hai cây đàn ghita giống nhau, cùng hòa tấu một bản nhạc. Mỗi chiếc đàn phát ra âm có mức
cường độ âm trung bình là 60dB. Hỏi mức cường độ âm tổng cộng do hai chiếc đàn cùng phát
ra là bao nhiêu?
Phân tích bài toán
Trong bài toán này ta biết được mức cường độ trung bình phát ra từ một cây đàn ghita.
Đề bài yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát ra từ 2 cây đàn ghita. Như vậy muốn xử lý bài
toán này các em phải chú ý rằng khi dùng một chiếc đàn có cường độ của âm là I1, thì khi ta dùng
hai chiếc đàn cùng một lúc thì cường độ của âm là 2I1. Nếu ta nắm được chi tiết này thì bài toán
này hóa giải không khó. Các em coi lời giải ở dưới nhé. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 320
Bài toán này về mặt tính toán không có gì phức tạp, nhưng ý nghĩa thực tế của nó thì lớn.
Ví dụ một trung tâm đạy đàn ghita, phòng học dạy trung bình 15 học viên, tương ứng 15 cây đàn.
Trung tâm phải đảm bảo âm thanh phát ra từ các cây đàn không ành hường đến nhà xung quanh,
khi đó phải lắp cửa cách âm. Khi đó chuyện tính mức cường độ âm (độ to) tổng cộng của 15 cây
đàn là cần thiết đối với nhà thầu xây đựng.
Lời giải:
Mức cường độ âm do một chiếc đàn ghita phát ra là:
0
10 log 60
I
L db dB
I
Mức cường độ âm đo hai chiếc đàn ghita cùng phát ra là:
1 1
2
0 0
2
10 log 10 log 2 10log 10.log 2 60 63
I I
L dB
I I
Vậy có thêm một chiếc đàn (phát ra âm cùng lúc) thì mức cường độ âm tăng thêm 3 dB.
Bài toán 5: Để đặc trung cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của
âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó
mức cường độ L của âm được tính theo công thức:
0
10log
I
L db
I
trong đó, I là cường độ của
âm tại thời điểm đang xét, I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe
12 2
0
10 / I w m
Tiếng ồn phát ra từ một xưởng cưa, ở mức cường độ âm đo được là 93 đB, đo 7 chiếc cưa máy
giống nhau cùng họat động gây ra.
Giả sử có 3 chiếc cưa máy đột ngột ngừng họat động thì mức cường độ âm trong xưởng lúc
này là bao nhiêu?
Phân tích bài toán
Trong bài toán này ta biết được mức cường độ đo được phát ra từ 7 cái cưa máy. Đề bài yêu
cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát ra từ 4 cưa máy là bao nhiêu. Như vậy muốn xử lý
bài toán này các em phải chú ý rằng khi dùng một cưa máy có cường độ của âm là I1, thì khi
ta dùng 7 (hay 4) cưa máy cùng một lúc thì cường độ của âm là 7I1, (hay 4I1). Nếu ta nắm
được chi tiết này thì bài toán này hoá giải không khó. Các em coi lời giải ở dưới nhé.
Việc tính toán trong bài này các em sử dụng trực tiếp các tính chất về logarit là xử lý gọn
gàng bài toán.
Lời giải:
o Gọi cường độ của âm do 1 cái cưa phát ra là: I1.
o Lúc đầu mức cưòng độ âm là: (7 cưa máy cùng họat động)
1 1 1
0 0 0
7
10log 93 10log 7 10 log 93 10 log 9,3 10 log 7 8,45
I I I
L dB
I I I
o Lúc sau mức cường độ tâm là: (3 cưa máy hỏng nên còn 4 cưa máy hoạt động)
1 1
1
0 0
4
10log 10 log 4 10 log 10 log 4 10.8,45 90,5
I I
L dB dB
I I
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 321
Bài toán 6: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của
âm. Một đơn vị thường dùng để’ đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó
mức cường độ L của âm được tính theo công thức:
0
10log
I
L db
I
trong đó, I là cường độ của
âm tại thời điểm đang xét, I0 là cường độ âm ở ngưỡng nghe
12 2
0
10 / I w m
. Tiếng ồn phát
ra tù tiềng gõ phím liên tục ở một bàn phím của máy vi tính, có cường độ âm đo được là
5 2
10 / w m
. Giả sử trong phòng làm việc của một công ty có hai nhân viên văn phòng cùng thực
hiện thao tác gõ phím trên hai bàn phím máy vi tính giống nhau thì mức cường độ âm tổng
cộng đo cả hai bàn phím phát ra cùng lúc là bao nhiêu?
Phân tích bài toán
Trong bài toán này ta biết được cường độ đo được từ tiếng gõ phím liên tục ở mộ bàn phím của
máy vi tính, có cường độ âm đo được là
5 2
10 / w m
. I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe
12 2
0
10 / I w m
. Đề bài yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát ra từ tiếng gõ phím liên tục
của hai bàn phím của máy vi tính là bao nhiêu. Các em theo dõi lời giải phía dưới nhé.
Lời giải:
Nếu chỉ có một bàn phím có
5
12
0
10
10 log 10 log 70
10
I
L db dB
I
Cả hai bàn phím cùng gõ:
1
2
0 0
2
10 log 10 log 2 10 log 10.log 2 70 73
I I
L dB
I I
Vậy có thêm một bàn phím gõ thì mức cường độ âm tăng thêm 3 dB.
Bài toán 7: Cho biết chu kì bán hủy của chất phỏng xạ plutônium
239
Pu là 24.360 năm (tức là
lượng
239
Pu sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính bởi công
thức
rt
S Ae , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0),
t là thời gian phân huỷ, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam
239
Pu sau bao
nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?
Phân tích bài toán
Đây là bài toán về chất phóng xạ, từ công thức
rt
S Ae ta thấy có 4 đại lượng. Yêu cầu của bài
toán tìm t sao cho
239
Pu phân hủy còn lại l gam, đọc đề bài các em thấy ta phcài đi tìm tỉ lệ phân
hủy hàng năm của
239
Pu ? Để tìm được tỉ lệ phân hủy các em phải biết cách khai thác giả thiết
sau: chu kì bán hủy của chất phóng xạ plutônium
239
Pu là 24.360 năm (tức là lượng
239
Pu sau
24.360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Trong bài này các em hiểu như sau: sau thời gian
t = 24.360 năm, lượng
239
Pu từ 10gam còn lại là s = 5gam, từ đó các em tính tỉ lệ phân hủy r dễ
dàng.
Lời giải:
Trước tiên, ta tìm tỉ lệ phân hủy hàng năm của
239
Pu . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 322
23 9
P u có chu kì bán hủy của chất phóng xạ plutônium
239
Pu là 24.360 năm, do đó ta
.24360 5
5
ln
ln 5 ln10
10
5 10 2,84543.10 0,000028
24360 24360
r
e r r
Vậy sự phân hủy của
239
Pu được tính bởi công thức
0.000028t
S Ae
trong đó S, A tính bằng gam,
t tính bằng năm.
Theo đề bài cho ta có:
0,000028
ln10
1 10 82235
0,000028
t
e t
năm.
Vậy sau khoảng 82235 năm thì 10 gam
239
Pu sẽ phân hủy còn lại 1 gam.
Bài toán 8: Các loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon
14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây xanh đó bị chết thì hiện tượng quang
hợp cũng dừng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ
phân hủy một cách chậm chạp và chuyển hóa thành nitơ 14.
Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh
trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức
500
100. 0,5 %
t
P t . Phân tích
mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó
là 65% . Hãy xác định niên đại của công trình đó.
Phân tích bài toán
Đây là một bài toán có ý nghĩa về khảo cổ học, nghiên cứu về lịch sử thời xưa. Bằng những
kiến thức toán học các nhà khảo cổ học hoàn toàn biết được công trình kiến trúc đó được xây
đựng từ năm nào, để từ đó có nhũng kết luận chính xác nhất.
Trong bài toán này để xác định niên đại của công trình kiến trúc t, các em sử dụng công thức
đề bài cho
500
100. 0,5 %
t
P t trong đó ta đã biết P(t) = 65, từ đó sử dụng kiến thức về giải
phương trình mũ các em tìm t dễ dàng. Các em coi lời giải ở dưới nhé.
Lời giải:
Theo đề bài ta có P(t) = 65 .
Vậy ta có phương trình
5750 5750
0,5
65 65
100. 0,5 65 0,5 log
100 5750 100
t t
t
0,5
65
5750.log
100
t
Vậy tuổi của công trình kiến trúc đó là khoảng 3.574 năm.
Bài toán 9: Trên mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn đúng
sóng radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d(cm)
thì ứng với tần số
d
F ka kHz , trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng
bên trái ứng với tần số 53kHz, vạch tận cùng bến phải ứng với tần số 160kHz và hai vạch này
cách nhau 12cm
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 323
Tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn)
Tìm d(cm)biết rằng vạch đó là chương trình ca nhạc có tần số là F = 120kHz.
Phân tích bài toán
Đây là một bài toán có ý nghĩa về mặt thiết kế tính toán các thiết bị điện tử, cụ thể thiết kế
vạch chia tần số để dễ dàng dò các chương trình cần nghe. Các nhà thiết kế phải tính toán
phân chia và thiết kế các vạch chia tần số cho hợp lí, để người tiêu dùng dễ sử dụng.
Để tìm các hằng số k và a, ta áp dụng công thức đề bài cho
d
F ka kHz biết khi d = 0 thì F =
53 và khi d = 12 thi F = 160, từ đó sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ và hệ phương
trình các em tìm k và a dễ dàng. Các em coi lời giải ở dưới nhé.
Lời giải:
Khi d = 0 thì F = 53 và khi d = 12 thì F = 160,ta có hệ phương trình:
0
12 12
12
53
53
53
160 160
160 1,096
53 53
k
k
ka
ka a a
Vậy k = 53, a = 1,096
Chương trình ca nhạc có tần số là F = 120kHz, vậy ta có phương trình:
1,096
120 120 120
120 log log 8,91
53
d d
a
ka a d d cm
k k
Vậy muốn mở tới ngay chương trình ca nhạc, ta chỉnh đến vạch chia cách vạch ban đầu một
khoảng 8,91 cm.
Bài toán 10: Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô - zi - ut (R. Clausius) và Clay
- pay - rông (E. Claypeyron) đã thấy rằng áp suất p của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân,
viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên
của mặt nước chứa trong một bình kín (coi hình vẽ bên dưới)
được tính theo công thức
237
.10
k
t
p a
Trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho
biết k -2258,624
Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100°c thì áp suất của
hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục)
Tính áp suất của hơi nước khi nhiệt độ của nước từ 40°C. (tính chính xác đến hàng phần
chục)
Phân tích bài toán:
Đây là một bài toán có ý nghĩa về.mặt thiết kế tính toán các bình kín đựng nước, nước ngọt,
các loại dụng dịch lỏng...Qua bài toán này giúp ta tính toán được áp suất p của hơi nước gây
ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín, từ đó có
những thiết kế vỏ chai, vỏ bình đựng cho hợp lí để không bị bể … Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 324
Để tìm các hằng số a, ta áp dụng công thức đề bài cho
237
.10
k
t
p a
biết khi t = 100°C thì p =
760, từ đó sử dụng kiến thức về giải phương trình a dễ dàng. Các em coi lời giải ở dưới nhé.
Lời giải:
Khi t = 100°C thì p = 760. Do đó ta có phương trình (ẩn a)
2258,624
373
760 .10 863188841,4 a a
Áp suất của hơi nước khi nhiệt độ của nước ở 40°Clà:
2258,624
40 237
863188841,4.10 52,5 p p mmHg
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 325
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. ĐỀ BÀI
Câu 1. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với
lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao nhiêu quý thì người đó có được ít nhất 20 triệu?
A. 15 quý. B. 16 quý. C. 17 quý. D. 18 quý.
Câu 2. Sau nhiêu năm làm việc anh Nam tiết kiệm được P đồng, dự định số tiền đó để mua
một căn nhà. Nhung hiện nay với số tiền đó thì anh ta chưa thể mua được ngôi nhà vì
giá trị ngôi nhà mà anh ta muốn mua là 2P đồng. Vì vậy anh Nam gửi tiết kiệm số tiền
này vào ngân hàng X. Theo bạn sau bao nhiêu năm anh Nam mới có thể sở hữu được
ngôi nhà đó. Biết rằng lãi suất gửi tiết kiệm là 8,4% một năm, lãi hàng năm được nhập
vào vốn và giá của ngôi nhà đó không thay đổi trong 12 năm tới. (Két quà làm tròn đến
hàng đơn vị)
A. 9 năm. B. 10 năm. C. 8 năm. D. 11 năm.
Câu 3. Một người gửi tiết kiệm theo ngân hàng một số tiền là 500 triệu đồng, có kì hạn 3 tháng
(sau 3 tháng mới được rút tiền), lãi suất 5,2% một năm, lãi nhập gốc (sau 3 tháng người
đó không rút tiền ra thì tiền lãi sẽ nhập vào gốc ban đầu). Để có số tiền ít nhất là 561
triệu đồng thì người đó phải gửi bao nhiêu tháng ? (Kết quả làm tròn hàng đơn vị)
A. 25 tháng. B. 27 tháng. C. 26 tháng. D. 28 tháng.
Câu 4. Một học sinh 16 tuối được hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 VNĐ. Số tiền này được
bảo quản trong một ngân hàng với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh này chỉ nhận
được số tiền này khi đã đủ 18 tuổi. Biết rằng khi đủ 18 tuổi, số tiền mà học sinh này
được nhận sẽ là 228 980 000 VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn 1 năm của ngân hàng này là bao
nhiêu?
A. 6% / năm. B. 5% / năm. C. 7% / năm. D. 8% / năm.
Câu 5. Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một ngân hàng thời gian qua liên tục thay đổi. Bạn
Hùng gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng. Chưa đầy một năm,
thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Hùng tiếp tục gửi. Sau
nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng. Bạn Hùng tiếp tục gửi: thêm một số
tháng tròn nữa. Biết rằng khi rút ra số tiền bạn Hùng nhận được cả vốn lẫn lãi là
5747478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Hùng đã gửi tiết kiệm trong bao nhiêu tháng
? (Trong suốt quá trình gửi thì lãi nhập gốc)
A. 15 tháng. B. 16 tháng. C. 14 tháng. D. 19 tháng.
Đề bài dùng cho câu 6, câu 7: (Trích đề thi HSG tỉnh Đắk nông năm 2009)
Bố Hùng để dành cho Hùng 11.000 USD để học đại học trong ngân hàng theo hình thức
lãi kép với lãi suất 0,73% một tháng. Mỗi tháng Hùng đến rút 60 USD để sinh sống.
Câu 6. Hỏi sau một năm số tiền còn lại là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 1254USD. B. 1259USD. C. 1257USD. D. 1256USD.
Câu 7. Nếu mỗi tháng rút 200 USĐ thì sau bao lâu sẽ hết tiền? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn
vị)
A. 65 tháng. B. 81 tháng. C. 71 tháng. D. 75 tháng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 326
Câu 8. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của In - đô - nê - xia - a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước
này là 212.942.000 người. Hỏi dân số của In - đô - nê - xia - a vào năm 2006 gần với số
nào sau đây nhất?
A. 240.091.000. B. 250.091.000. C. 230.091.000. D. 220.091.000.
Câu 9. Biết rằng tỉ lệ giảm đân hàng năm của Nga là 0,5%. Năm 1998, dân số của Nga là
146.861.000 người. Hỏi năm 2008 dân số của Nga gần với số nào sau đây nhất?
A. 135.699.000. B. 139.699.000. C. 140.699.000. D. 145.699.000.
Câu 10. Biết rằng tỉ lệ giảm dần hàng năm của I - ta - li -a là 0,1%. Năm 1998, dân số của Nga là
56.783.000 người. Hoi năm 2020 dân số của nước này gần với số nào sau đây nhất?
A. 56.547.000. B. 55.547.000. C. 54.547.000. D. 53.547.000.
Câu 11. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Nhật là 0,2%. Năm 1998, dân số của Nhật là 125932000.
Vào năm nào dân số của Nhật sẽ là 140000000? (Kết quà làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 2061. B. 2055. C. 2051. D. 2045.
Câu 12. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Ấn độ là 1,7%. Năm 1998, dân số của Ấn độ là 984 triệu.
Hỏi sau bao nhiêu năm dân số của Ấn độ sẽ đạt l,5 tỉ ? ( Kết quả là tròn đến hàng đơn
vị)
A. 15. B. 25. C. 20. D. 29.
Câu 13. Nếu cường độ âm tăng lên 1000 lần thì độ to của âm thay đổi như thế nào?
A. Tăng 10 dB. B. Tăng 3 lần. C. Giảm 30dB. D. Tăng 30 dB.
Câu 14. Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so
với độ cao x (đo bằng mét), tức P giảm theo công thức
0
xi
P P e trong đó P0 = 760mmHg
là áp suất ở mực nước biến (x = 0), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp
suất của không khí là 672,7mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m gân với số
nào sau đây nhất?
A. 530,23mmHg. B. 540,23mmHg. C. 520,23mmHg. D. 510,23 mmHg.
Câu 15. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.10
5
mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở
khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
A. 545.470 B. 488.561 C. 465.470 D. 535.470
Câu 16. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức:
0
1
2
t
T
m t m
trong đó m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0),
m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời
gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Cho biết chu
kì bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ (1 ngày đêm). Hỏi 250 gam chất đó sẽ còn lại
bao nhiêu sau 3,5 ngày đêm? (Kết quả làm tròn đến 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy)
A. 22,097 (gam). B. 23,097 (gam). C. 20,097 (gam). D. 24,097 (gam)
Câu 17. Năm 1994, tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là
6
358
10
. Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO2
trong không khí tăng 0,4% hàng năm. Hỏi năm 2004, tỉ lệ khí CO2, trong không khí gần
với số nào sau đây nhất? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 327
A. 393.10
-6
B. 379.10
-6
C. 373.10
-6
D. 354.10
-6
Câu 18. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức .
rt
S A e , trong đó A là số
lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng
số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban
đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trường t gần với kết quả nào sau đây nhất.
A. 3 giờ 9 phút. B. 3 giờ 2 phút. C. 3 giờ 16 phút. D. 3 giờ 30 phút.
Câu 19. Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = log A - log A0, với
A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một
trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động
đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam
Mỹ gần với số nào sau đây nhất là:
A. 7,9. B. 8,6 C. 8,5 D. 8,9
Câu 20. Biểu đồ bên cho thấy kết quả thống kê sự tăng trưởng về số lượng của một đàn vi khuẩn:
cứ sau 12 tiếng thì số lượng của một đàn vi khuẩn tăng lên gấp 2 lần. Số lượng vi khuẩn
ban đầu của đàn là 250 con. Công thức nào dưới đây thể hiện sự tăng trường về số lượng
của đàn vi khuẩn N tại thời điểm t?
A.
12
500. N t B. 250.2
t
N C.
2
250.2
t
N D.
2
250.2
t
N
Câu 21. Thang đo Richter được Charles Brands Richter đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm
1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị là độ Richter.
Công thức tính độ chấn động như sau:
0
log log
L
M A A , với
L
M là độ chấn động, A
là biên độ tối đa đo được bằng địa chấn kế và A0 là một biên độ chuẩn, (nguồn: Trung
tâm tư liệu khí tượng thủy văn). Hỏi theo thang độ Richter, với cùng một biên độ chuẩn
thì biên độ tối đa của một trận động đất 7 độ Richter sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa
của một trận động đất 5 độ Richter?
A. 2. B. 20. C. 105. D. 100.
Câu 22. Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 3 tháng (1 quí), lãi suất 6% một
quí theo hình thức lãi kép (lãi cộng với vốn). Sau đúng 6 tháng, người đó lại gửi thêm
100 triệu đồng với hình thức và lãi suất như trên. Hỏi sau 1 năm tính từ lần gửi đầu tiền
người đó nhận số tiền gần với kết quả nào nhất?
A. 239 triệu đồng. B. 230 triệu đồng. C. 243 triệu đồng. D. 236 triệu đồng.
Câu 23. Tỷ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam là 1,07%. Năm 2016, dân số của Việt Nam là
93.422.000 người. Hỏi với tỷ lệ tăng dân số như vậy thì năm 2026 dân số Việt Nam gần
với kết quả nào nhất?
A. 115 triệu người. B. 118 triệu người C. 122 triệu người. D. 120 triệu người.
Câu 24. Theo thể thức lãi kép, nghĩa là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được
tính vào vốn của kì kế tiếp. Nêu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì sau N
kì, số tiền người ẩy thu được cà vổn lẫn lãi là C = A(1 + r)
N
(triệu đồng). Nếu bạn gửi 20
triệu đồng vào ngân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% một quý thì sau 3 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 328
năm (vẫn tính lãi suất kì hạn theo quý), bạn sẽ thu được số tiền cả vốn lẫn lãi gần với
giá trị nào nhất sau đây(già sử lãi suất hằng năm của ngân hàng X là không đổi) ?
A. 54,34 triệu đồng. B. 54,12 triệu đồng, C. 25,65 triệu đồng. D. 25,44 triệu đồng.
Đề bài dùng chung cho câu 25, câu 26
Peter dùng 80 mg thuốc để điều chỉnh huyết
áp của mình. Đồ thị dưới đây là đồ thị của
hàm số mũ có đạng 80.
x
y r (với x thời gian
(ngày) sau khi tiêm thuốc, r tỉ lệ về lượng
thuốc của ngày hôm trước còn lại họat động
trong máu của Peter, y lượng thuốc còn tác
dụng sau x ngày tiêm thuốc), chỉ số lượng
thuốc đầu tiên và số lượng thuốc còn lại hoạt
động trong máu của Peter sau một, hai, ba và
bốn ngày.
Câu 25. Lượng thuốc còn lại là bao nhiêu vào cuối
ngày thứ nhất?
A. 6mg B. 12 mg C. 26mg D. 32mg
Câu 26. Tính tỉ lệ về lượng thuốc của ngày hôm trước còn lại hoạt động trong máu của Peter.
A. 40% B. 80% C. 30% D. 10%
Câu 27. Năng lượng giải tòa E của một trận động đất tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác
định bời công thức:
log 11,4 1,5 E M . Vào năm 1995, Thành phố X xảy ra một trận
động đất 8 độ Richte và năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn của nó gấp 14 lần trận động
đất ra tại thành phố Y vào năm 1997. Hỏi khi đó độ lớn của trận động đất tại thành phố
Y là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
A. 7,2 độ Richte B. 7,8 độ Richte. C. 8,3 độ Richte. D. 6,8 độ Richte.
Câu 28. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi đơn, kì hạn 3 tháng với lãi
suất 3% một quý. Hỏi người đó phải gửi trong ngân hàng ít nhất bao lâu, số tiền thu về
hơn gấp hai số tiền vốn ban đầu?
A. 102 tháng. B. 103 tháng. C. 100 tháng. D. 101 tháng.
Câu 29. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1 quý với lãi
suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng cả vốn lẫn
lãi từ số vốn ban đầu?
A. Sau khoảng 4 năm 3 tháng. B. Sau khoảng 4 năm 6 tháng,
C. Sau khoảng 4 năm 2 tháng. D. Sau khoảng 4 năm 9 tháng.
Câu 30. Một sinh viên được gia đinh gửi tiết kiệm số tiền vào ngân hàng với số tiền là 20 triệu
đồng theo mức kì hạn 1 tháng với lãi suất tiết kiệm là 0,4%/tháng. Nếu mỗi tháng anh
sinh viện rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng anh
ta rút ra bao nhiêu tiền để sau 5 năm, số tiền vừa hết?
A. 573.594,84 đồng. B. 357.549,84 đồng,
C. 537.594,84 đồng. D. 375.594,84 đồng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 329
Câu 31. Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý
theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người
đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn và lãi suất thu trước đó. Cho biết số tiền cà gốc và
lãi được tính theo công thúc T = A(1 + r)", trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là
số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền.
A. 176.676 triệu đồng. B. 52 178,676 triệu đồng.
C. 177.676 triệu đồng. D. 52 179,676 triệu đồng.
Câu 32. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là
1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức .
Nr
S A e (trong đó A: là
dân số của năm lấy làm mốc tính, s là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm),
cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người.
A. 2022. B. 2026. C. 2020. D. 2025.
Câu 33. Cường độ một trận động đất M được cho bởi công thức
0
l o g l o g M A A , với A là biên
độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20 một trận động
đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Trong cùng năm đó trận động đất khác
ở gần đó đo được 7,1 độ Richter. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao
nhiêu trận động đất này.
A. 1,17. B. 2,2. C. 15,8. D. 4.
Câu 34. Nam định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo phương thức này sau
một tháng kể từ khi nhận xe phải trả đều đặn mỗi tháng một lượng tiền nhất định nào
đó, liên tiếp trong vòng 24 tháng. Giả sử giá xe máy thời điểm Nam mua là 16 triệu
(đồng) và già sử lãi suất công ty tài chính cho vay tiền là 1% một tháng trên số tiền chưa
trả. Với mức phải trả hàng tháng gần với kết quà nào sau đây nhất thì việc mua trả góp
là chấp nhận được?
A. 755 ngàn mỗi tháng. B. 751 ngàn mỗi tháng,
C. 826 ngàn mỗi tháng. D. 861 ngàn mỗi tháng.
Câu 35. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:
0
1
2
t
T
m t m
trong đó
0
m là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t =
0); T là chu kì bán rả (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị
biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon
14
C là khoảng 5730 năm. Người ta tìm
được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác đinh được nó đã mất khoảng 25%
lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?
A. 2300 năm. B. 2378 năm. C. 2387 năm. D. 2400 năm.
Câu 36. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các
loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả
năng nhớ trưng bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức
75 20 ln 1 , 0 M t t t (đon vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ
được danh sách đó dưới 10%? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 330
A. 24.79 tháng. B. 23 tháng. C. 24 tháng. D. 22 tháng.
Câu 37. Một công ty vừa tung ra thị trường sàn phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền
hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì
số % người xem mua sản phẩm là
0 , 01 5
1 0 0
, 0
1 4 9
x
P x x
e
. Hãy tính số quảng cáo được
phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%.
A. 323. B. 343. C. 330. D. 333.
Câu 38. Một người gửi tiết kiệm số tiền 100.000.000 VNĐ vào ngân hàng với lãi suất 8% một
năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau 15 năm, số tiền người ấy nhận về là
bao nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)
A. 117.217.000 VNĐ. B. 417.217.000 VNĐ.
C. 317.217.000 VNĐ. D. 217.217.000 VNĐ.
Câu 39. Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5% một năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi được nhập vào vốn
ban đầu. Sau n năm (n N*), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi
suất không thay đổi, người đó nhận được
A. 100.(1,05)
n-1
triệu đồng. B. 100.(l,05)
2n
triệu đồng.
C. 100.(1.05)
n
triệu đồng. D. 100.(1,05)
n+1
triệu đồng.
Câu 40. Bà A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kì hạn mà người gửi
không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp) với lãi suất 7% một năm.
Hỏi sau 2 năm bà A thu được lãi là bao nhiêu (giả sử lãi suất không thay đổi)?
A. 15 (triệu đồng). B. 14,49 (triệu đồng),
C. 20 (triệu đồng). D. 14,50 (triệu đồng).
Câu 41. Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi
suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số
tiền gửi ban đầu? (giả sử lãi suất không thay đổi)
A. 10 năm. B. 9 năm. C. 8 năm. D. 15 năm.
Câu 42. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi
suất 7,56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đối, hỏi số tiền người đó thu được (cả
vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?
A. 22,59 triệu đồng. B. 20,59 triệu đồng,
C. 19,59 triệu đồng. D. 21,59 triệu đồng.
Câu 43. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép
1%/tháng. Gửi được hai năm 3 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và
lãi về. Số tiền người đó rút được là:
A.
26
100. 1,01 1
(triệu đồng). B.
27
101. 1,01 1
(triệu đồng).
C.
27
100. 1,01 1
(triệuđồng). D.
26
101. 1,01 1
(triệu đồng). Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 331
Câu 44. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép
1%/tháng. Gửi được hai năm 6 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và
lãi về. Số tiền người đó rút được là:
A.
30
101. 1,01 1
(triệu đồng). B.
29
101. 1,01 1
(triệu đồng).
C.
30
100. 1,01 1
(triệu đồng). D.
30
100. 1,01 1
(triệu đồng).
Câu 45. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép
1%/tháng. Gửi được hai năm 4 tháng người đó có công việc nen đã rút toàn bộ gốc và
lãi về. Số tiền người đó rút được là:
A. 100.[(1.01)
27
-1](triệu đồng). B. 101.[(1,01)
27
-1] (triệu đồng),
C. 100.[(1,01)
28
-1] (triệu đồng). D. 101.[1,01)
28
-1] (triệu đồng).
Câu 46. Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng có kì hạn là quý, theo hình thức lãi kép với lãi
suất 2% một quý. Hỏi sau 2 năm người đó lấy lại được tổng là bao nhiêu tiền?
A. 171 triệu. B. 117,1 triệu. C. 160 triệu. D. 116 triệu.
Câu 47. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức
.
rt
f t A e trong đó A
là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng (r > 0), t (tính theo giờ) là thời gian
tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sao bao
lâu thì số lượng vi khuấn tăng gấp 10 lần.
A. 5ln20 (giờ) B. 5ln10 (giờ) C. 101og510 (giờ) D. log520 (giờ)
Câu 48. Trong kinh tế vĩ mô (macroeconomics), lạm phát là sự tăng mức giá chung của hàng
hóa và dịch vụ theo thời gian và sự mất giá trị của một loại tiền tệ. Khi so sánh với các
nước khác thì lạm phát là sự giảm giá trị tiền tệ của một quốc gia này so với các loại tiền
tệ của quốc gia khác. Theo nghĩa đầu tiền thì người ta hiểu lạm phát của một loại tiền
tệ tác động đến phạm vi nền kinh tế một quốc gia, còn theo nghĩa thứ hai thì người ta
hiểu lạm phát của một loại tiền tệ tác động đến phạm vi nền kinh tế sử dụng loại tiền tệ
đó. Phạm vi ảnh hưởng của hai thành phần này vẫn là một vấn đề gây tranh cãi giữa
các nhà kinh tế học vĩ mô. Ngược lại với lạm phát là giảm phát. Một chỉ số lạm phát
bằng 0 hay một chỉ số dương nhỏ thì được người ta gọi là sự "ổn định giá cả".
Hình minh họa: Tỷ lệ lạm phát của 5 thành viên chính của G8 từ l950 tới 1994
(Theo https://vi.wikipedia.org/wiki/L%E1%BA%A1m ph%C3%Alt)
Giả sử tỉ lệ lạm phát cua Trung Quốc trong năm 2016 dự báo vào khoảng là 2,5 % và tỉ
lệ này không thay đối trong 10 năm tiếp theo. Hỏi nếu năm 2016, giá xăng là 10.000 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 332
NDT/ lít thì năm 2025 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít? (kết quả làm tròn đến hàng
đơn vị)
A. 12488 NDT/ lít. B. 12480 NDT/ lít.
C. 12490 NDT/lít. D. 12489 NDT/lít.
Câu 49. Ông B đến siêu thị điện máy để mua một cái laptop với giá 15,5 triệu đồng theo hình
thức trả góp với lãi suất 2,5% một tháng. Để mua trả góp ông B phải trả trước 30% số
tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 6 tháng kể từ ngày mua, mỗi lần trả
cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông B phải trả là như nhau và tiền lãi được tính
theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi, nếu ông B mua theo hình thức trả góp như
trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá niêm yết là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất
không đối trong thời gian ông B hoàn nợ và hàng tháng ông B đều trả tiền đúng hạn.
(Kết quả làm tròn đến chữ số hàng chục nghìn)
A. 1.628.000 đồng. B. 1.628.000 đồng,
C. 1.628.000 đồng. D. 1.628.000 đồng.
Câu 50. Anh An vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối
tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh An trả 5,5 triệu đồng (trừ tháng cuối) và chịu lãi
số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao nhiêu lâu
anh An trả hết số tiền trên? Biết rằng số tiền tháng cuối anh An trả phải nhỏ hơn 5,5
triệu đồng.
A. 64 tháng. B. 63 tháng. C. 54 tháng. D. 55 tháng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 333
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1D 2A 3B 4C 5A 6A 7C 8A 9B 10B
11C 12B 13D 14A 15B 16A 17C 18A 19B 20D
21D 22A 23A 24B 25D 26A 27A 28A 29B 30D
31A 32B 33C 34A 35B 36A 37D 38C 39C 40B
41A 42D 43B 44A 45A 46B 47C 48D 49D 50A
Câu 1. Chọn D.
Áp dụng công thức (2):
0
1
n
n
P P r
Với P0 = 15, Pn = 20, r = 1,65%. Tính n
Theo yêu cầu bài toán, ta có:
1,0165
20
20 15 1 1,65% 20 log 17,5787 18
15
n
n
P n n
Câu 2. Chọn A.
Áp dụng công thức (2) tính số tiền lĩnh sau n năm gởi tiết kiệm với lãi suất như trên là
0
1 0,084 1,084
n n
n
P P P
Theo yêu cầu bài toán đặt ra, ta có:
1,084
2 1,084 2 1,084 2 log 2 8,59 9
n n
n
P P P P n n
Câu 3. Chọn B.
Áp dụng công thức (2)
0
1
n
n
P P r
Với P0 = 500, Pn = 561, r =
5,2%
4
= 1,3% một quý. Tính n
Theo yêu cầu bài toán ta có:
1,013
561
561 500 1,013 log 8,9122 9
500
n
n
P n n
Do đó cần gửi 3.9 = 27 tháng
Câu 4. Chọn C.
Áp dụng công thức (2)
0
1
n
n
P P r
Với P0 = 200000000, P2 = 228980000, r = n = 2. Tính r
Khi đó:
2 2
2
2 2 8.9 8 0. 00 0 2 00 .0 00 .0 00 1 2 28 .9 8 0.0 0 0 1 1 , 14 9 9 P r r
1,1499 1 0,07 7% r
Câu 5. Chọn A.
Gọi n là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng và m là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng.
Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là:
6
5.000.000 1 0,07 . 1 0,115 . 1 0,09 5747 478,359
n m
Do , 1;12 n n
nên ta thử lần lượt các giá trị là 2, 3, 4, 5, … đến khi tìm được m Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 334
Sử dụng MTCT ta tìm được 5 4 n m . Do đó số tháng bạn Hùng đã gửi là 15.
Câu 6. Chọn A.
Áp dụng công thức (4):
1 1
1 , 4
n
n
n
r
P a r x
r
Với a = 11000 USD, x = 60 USD, r = 0,73%, Pn+1 = ?
Số tiền trong ngân hàng sau 1 năm (12 tháng) là
12
12
1 0,73% 1
11000 1 0,73% 60 11254
0,73%
USD
Số tiền còn lại sau 1 năm là: 11.254USD
Câu 7. Chọn C.
Áp dụng công thức (4):
1 1 1
1 1
1
n n
n
n
n n
ar r x r
r
P a r x P
r r
Hết tiền trong ngân hàng suy ra Pn = 0
11.000 0,73% 1 0,73% 60 1 0,73% 1
0
0,73%
n n
200
ln
11.000 0,0073 200
71
ln 1,0073
n
Vậy sau 71 tháng Hùng sẽ hết tiền trong ngân hàng.
Câu 8. Chọn A.
Áp dụng công thức
.
0
.
n r
n
P P e
Với
0
2 1 2 . 9 4 2 .0 0 0 , 1 , 5 % , 2 0 0 6 1 9 9 8 8 P r n
Ta có
1,5% 5
8
212.942.000 240091434,6 P e
Câu 9. Chọn B.
Áp dụng công thức
.
0
.
n r
n
P P e
Với
0
146861000, 0,5%, 2008 1998 10 P r n
Ta có
0,5% 10
19
146861000 139527283,2 P e
Câu 10. Chọn B.
Áp dụng công thức
.
0
.
n r
n
P P e
Với P0 = 56783000, r = -0,1%, n = 2020 -1998 = 22
Ta có
0,1% 22
8
56783000 55547415,27 P e
Câu 11. Chọn C.
Áp dụng công thức
.
0
.
n r
n
P P e
Với P0 = 125932000, r = 0,2%, Pn = 140000000. Tính n?
Ta có
0,2%
140000000
125932000 14000000 0,2%. ln 52,95
125932000
n
n
P e n n
Câu 12. Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 335
Áp dụng công thức
.
0
n r
n
P P e
Với
6 6
0
984.10 , 0 1 , 7% , 150 0.10
n
P r P . Tính n?
Ta có
6 01,7% 6
1500
984.10 1500.10 1,7%. ln 24,80
984
n
n
P e n n
Câu 13. Chọn D.
Ta có
3
0 0 0
1000 10 log 3 10log 30
I I I
L dB dB
I I I
Câu 14. Chọn A.
Áp dụng công thức
.
0
n i
P P e
Ở độ cao 1000m ta có : P0 =760 mmHg, n = 1000m, P = 672,71mmHg, từ giả thiết này ta
tìm được hệ số suy giảm i.
Ta có
1000
672,71
672,71 760 1000 ln 0,00012
760
i
e i i
Khi đó ở độ cao 3000m, áp suất của không khí là:
0,00012 3000
760 530,2340078 P e
Câu 15. Chọn B.
Áp dụng công thức
.
0
.
n r
n
P P e
Với P0 = 4.10
5
, r = 4%, n = 5
Ta có P8 = 4.10
5
e
4%x5
488561
Câu 16. Chọn A.
Áp dụng công thức
0
1
2
t
T
m t m
Với m0 = 250, T = 24 giờ = 1 ngày đêm, t = 3,5 ngày đêm.
Ta có
3,5
1
1
3,5 250 22,097
2
m gam
Câu 17. Chọn C.
Áp dụng công thức
.
0
.
n r
n
P P e
Với
0 6
358
, 0,4%, 2004 1994 10
10
P r n
Ta có
0,4% 10 6
10 6
358
372,6102572.10
10
P e
Câu 18. Chọn A.
Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này. Từ giả thiết
5 5
ln 3
300 100. 3 5 ln 3 0,2197
5
r r
e e r r
Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 336
Từ 100 con, để có 200 con thì thời gian cần thiết là bao nhiêu? Từ công thức
. .
ln 2 ln 2
200 100 2 ln 2 3,15
ln 3
5
r t r t
e e rt t t
r
(giờ) = 3 giờ 9 phút
Câu 19. Chọn B.
• Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức
1 0 0
l o g l o g 8 l o g l o g M A A A A với
• Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cường độ của trận động đất ở
Nam Mỹ là:
2 0 2 0 2
log 4 log log 4 log log log 4 8 8,6 M A A M A A M độ Richte
Câu 20. Chọn D.
Cách 1: Từ giả thiết và quan sát đồ thị ta có bảng sau
Thời điểm t (ngày) Số lượng của đàn vi khuẩn
0 250
1
2
1
2
2
500 250.2
1
2.1
100250.4 250.2
3
2
3
2
2
2000 250.8 250.2
Từ đó ta thấy được công thức thể hiện sự tăng trưởng về số lượng của đàn vi khuẩn N
tại thời điểm t có đạng: N = 250.2
2t
.
Cách 2:
Từ đồ thị ta thấy sau thời gian t = 0,5 ngày số lượng của đàn vi khuẩn là: 500 con.
Từ đồ thị ta thấy sau thời gian t = 1 ngày số lượng của đàn vi khuẩn là: 1000 con.
Từ đó thay t = 1, t =0,5 lần lượt vào các công thức ở các đáp án A, B, C, D thì ta thấy chỉ
có công thức ở đáp án D thoả mãn, từ đó suy ra chọn đáp án D.
Câu 21. Chọn D.
Trận động đất 7 độ Richte : Áp dụng công thức trên ta có:
0
7 log
1 1 0 1 0 1 0 1
log log 7 log log log 7 log 10
A
M A A A A A A A
Trận động đất 5 độ Richte : Áp dụng công thức trên ta có:
0
5 log
2 2 0 2 0 2 0 2
log log 5 log log log 5 log 10
A
M A A A A A A A
Khi đó ta có:
1
2
7 log
2 1
1 2 7 log
2
10
10 100 100
10
A
A
A
A A
A
. Chọn đáp án D.
Câu 22. Chọn A.
Áp dụng công thức (2)
0
1
n
n
P P r
Giai đoạn 1: Gửi 100 triệu : Áp dụng công thức trên với P0 = 100, r = 6% = 0.06; n = 4.
Số tiền thu được sau 1 năm là: P = 100(1 x 0.06)
4
triệu đồng.
Giai đoạn 2: Sau đúng 6 tháng gửi thêm 100 triệu:
Áp dụng công thức trên với P0 = 100, r = 6% = 0.06; n = 2. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 337
Số tiền thu được sau 2 quí cuối năm là: P2 = 100(l + 0.06)
2
triệu đồng.
Vậy tổng số tiền người đó thu được sau một năm là: P = P4 + P0 = 238,307696 triệu đồng
Câu 23. Chọn A.
Áp dụng công thức
.
0
.
n r
n
P P e
Với P0 = 93422000, r = 1,07%, n = 2026 - 2016 = 10
Ta có dân số của Việt Nam đến năm 2026 là: P10 = 93422000e
10x1,07%
=103972543,9
Câu 24. Chọn B.
Áp dụng công thức C = A (l + r)
N
với A = 20, r = 8,65%, n = 3 năm = 12 quí.
Vậy số tiền thu được sau 3 năm là: C = 20 (l + 8,65%)
12
= 54,12361094 triệu đồng.
Câu 25. Chọn D.
Dựa vào đồ thị, ta thấy cuối ngày thứ nhất lượng thuốc còn lại phải lớn hơn 30mg. Vậy
thấy đáp án D thỏa mãn.
Câu 26. Chọn A.
Theo câu 25 sau thời gian t = 1 ngày lượng thuốc còn hại là 32mg. Áp dụng công thức
8 0 3 2 8 0 0 , 4 4 0 %
t
y r r r
Câu 27. Chọn A.
Ta có năng luợng giải tỏa của trận động đất ở thành phố X tại tâm địa chấn là:
23,4
1 1 1 1
log 11,4 1,5 log 11,4 1,5.8 10 E M E E
Khi đó theo giả thiết năng lượng giải tỏa của trận động đất ở thành phố Y tại tâm địa
chấn là:
23,4
1
2 2
10
14 14
E
E E
Gọi M2 độ lớn của trận động đất tại thành phố Y, áp dụng công thức
log(E) = 11,4 + 1,5M ta được phương trình sau:
23,4
2 2 2 2
10
log 11,4 1,5 log 11,4 1,5 7,2
14
E M M M
độ Richte
Câu 28. Chọn A.
Áp dụng công thức lãi đơn ta có: Pn = P0(l + nr) , số tiền thu về hơn gấp hai lần số vốn
ban đầu ta có:
0 0 0
100
2 1 .3% 2
3
n
P P P n P n quý = 100 tháng
Suy ra để số tiền thu về hơn gấp hai số tiền vốn ban đầu cần gửi ít nhất 102 tháng
Câu 29. Chọn B.
Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau n quý là
15 1 1,65% 15.1,0165
n
n
n
P ( triệu đồng)
Từ đó ta có
1 , 0165
l o g
1 5
n
P
n
Để có số tiền Pn = 20 triệu đồng thì phải sau một thời gian là:
1,0165
log 17,58
15
n
P
n (quý) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 338
Vậy sau khoảng 4 năm 6 tháng (4 năm 2 quý), người gửi sẽ có ít nhất 20 triệu đồng từ
số vốn ban đầu 15 triệu đồng (vì hết quý thứ hai, người gửi mới được nhận lãi của quý
đó.
Câu 30. Chọn D.
Áp dụng công thức đã thiết lập, với k = r +1 = 1,004, n = 60, M = 2.10
6
Sau 5 năm (60 tháng) ta có
60
60
6
60
1,004 1
0 20.10 1 0,004 0 375594,8402
1,004 1
B X X
Câu 31. Chọn A.
Bài toán chia làm 2 giai đoạn
Giai đoạn 1 (6 tháng đầu tiên) ta có: A1 = 100 (triệu đồng), n = 2 (6 tháng = 2 kỳ, với mỗi
kỳ 3 tháng) và r = 0,05.
Áp dụng công thức T1 = A(1 + r)
n
= 100(1 + 0,05)
2
= 110.25 (triệu đồng).
Giai đoạn 2 (6 tháng cuối của 1 năm) A2 = T1 = 110,25 + 50 (triệu đồng), n = 2 (6 tháng =
2 kỳ, với mỗi kỳ 3 tháng) và r = 0.05 .
Áp dụng công thức T2 = A2(1+r)
n
= 160.25(1+0.05)
2
=176,67 (triệu đồng).
Câu 32. Chọn B.
Theo bài ta có r = 0.017, A = 78.685.800
Và yêu cầu bài toán là SN 120.000.000 78.685.800e
0,017N
120.000.000 N 24,85
min N = 25 .
Do đó đến năm 2001 + 25 = 2026 thì thỏa yêư cầu bài toán.
Câu 33. Chọn C.
Ta có
8,3 8,3 8,3 7 ,1
8,3 7 ,1
7 ,1 7 ,1
log 10 15,8
A A
M M
A A
Câu 34. Chọn A.
Áp dụng công thức 5b:
24
24
1 . 16 1 1% 1%
753175,5556
1 1 1 1% 1
n
n
a r r
x x
r
(đồng)
Câu 35. Chọn B.
Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là m0, tại thời điểm t tính từ thời
điểm ban đầu ta có:
ln2 ln2
0 5370 5370
0 0
3
5370 ln
3 4
2378
4 ln 2
t m
m t m e m e t
(năm)
Câu 36. Chọn A.
Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn:
75 20ln 1 10 ln 1 3,25 1 25,79 24,79 t t t t
Câu 37. Chọn D.
Theo giả thiết ta phải tìm x thoà Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 339
0,015 0,015
0,015
100 1
75 100 75 3675
147 1 49
x x
x
e e
e
1
0,015 ln 332,6955058
147
x x
Câu 38. Chọn C.
Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền ca vốn lẫn lãi người gửi sau 15 năm là:
P15 = 100.10
6
(1 + 8%)
15
= 317217000 (đồng)
Câu 39. Chọn C.
Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau n năm là: Pn = 100(1
+ 5%)
n
= 100.(1,05)
n
(triệu đồng)
Câu 40. Chọn B.
Áp dụng công thức (2) Pn = P0(1 + r)
n
với P0 = 100, r = 7%, n = 2. Ta có tổng số tiền bà A
thu được sau 2 năm gửi ngân hàng là: P2 =100(1 +7%)
2
=114,49 (triệu đồng)
Tù đó tính được số tiền lãi thu được sau 2 năm là:
P2 – P0 = 114,49 - 100 = 14,49 triệu đồng.
Câu 41. Chọn A.
Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau n năm là: Pn =6(1
+7,56%)
n
=6.1,0756
n
(triệu đồng)
Từ đó ta có
1,0756
log
6
n
P
n
Đỏ có số tiền p =12 triệu đồng thì phải sau một thời gian là:
1,0756
log
6
n
P
n = 9,5 (năm)
Vậy sau 10 năm, người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số vốn ban đầu 6 triệu đồng.
Câu 42. Chọn D.
Áp dụng công thúc lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau 5 năm là:
P5 = 15(1 +7,56%)
5
= 21,59 ( triệu đồng)
Câu 43. Chọn B.
Áp dụng công thức 3:
1 1
1
n
n
r
P a r
r
với a = l, r = 1%, n = 2 năm 3 tháng = 27
tháng.
Từ đó suy ra số tiền rút được là:
27
27
27
1 1% 1
1 1 1% 101 1 1% 1
1%
P
Câu 44. Chọn A.
Áp dụng công thức 3
1 1
1
n
n
r
P a r
r
với a = 1, r = 1%, n = 2 năm 6 tháng = 30
tháng.
Từ đó suy ra số tiền rút được là:
30
30
30
1 1% 1
1 1 1% 101 1 1% 1
1%
P
Câu 45. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 340
Áp dụng công thức 3
1 1
1
n
n
r
P a r
r
với a = 1, r = 1%, n = 2 năm 4 tháng = 28
tháng.
Từ đó suy ra số tiền rút được là:
28
28
30
1 1% 1
1 1 1% 101 1 1% 1
1%
P
Câu 46. Chọn B.
2 năm =8 quý.
Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau 8 quý là
P8 =100(1 + 2%)
8
= 117,1659381 (triệu đồng)
Câu 47. Chọn C.
Số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Áp dụng công thức f(t) =
Ae
rt
, ta có: 5000 = 1000e
10r
e
10r
= 5
ln 5
10
r
Gọi t là thời gian cần tìm để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.
Do đó, 10000 = 1000e
rt
e
rt
= 10 rt = ln10
5
ln10 10 ln10
10 log 10
ln 5
t t t
r
giờ
nên chọn câu C.
Câu 48. Chọn D.
Tỉ lệ lạm phát của nước ta trong năm 2016 là 2,5 %, nghĩa là cứ sau một năm giá sản
phẩm B sẽ tăng thêm 2,5% so với giá của sản phẩm đó ở năm trưóc. Ví dụ như giá xăng
năm 2016 là 10.000 NDT/lít thì giá xăng năm 2017 sẽ tăng thêm 10000 x 2,5% = 250
NDT/lít, khi đó giá xăng năm 2017 là: 10000 + 250 = 10250 NDT/lít. Để tính giá xăng năm
2025 , ta có thể áp dụng công thức (2) trong hình thức lãi kép Pn = P0(1 + r)
n
với P0 = 10000,
r = 2,5%, n = 2025 - 2016 = 9
Ta có giá xăng năm 2025 là: P9 = 10000(1 + 2,5%)
9
= 12489 NDT/lít
Câu 49. Chọn D.
Ông B phải trả trước 30% số tiền nên số tiền ông B cần phải vay là:
15,5-15,5 x 30% = 10,85 triệu đồng.
Áp dụng công thức 5b: Ta tính được số tiền háng tháng ông B phải trả là:
6
6
1 . 10,85 1 2,5% 2,5%
1 1 1 2,5% 1
n
n
a r r
x x
r
1,969817186 (triệu đồng)
Từ đó ta tính được tổng số tiền ông B phải trả sau 6 tháng là:
1,969817186 x 6 = 11,81890312 triệu đồng.
Vậy ông B mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá
niêm yết là: 11,81890312 - 10,85 = 0,9689031161 triệu đồng = 970000 đồng.
Câu 50. Chọn A.
Áp dụng công thức (5b) cho: a = 300, x = 5,5, r = 10,5%,Pn = 0 . Tìm n?
Từ công thức (5b) ta có: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 341
1 .
1 1
1 1
n
n n
n
a r r
x x r x ar r
r
1 1
n n x
x ar r x r
x ar
1 1 0,5%
5,5
log log 63,84
5,5 300 0,5%
r
x
n n n
x ar
Ở đây ta thấy n không là số nguyên, lúc này ta có hai cách làm chọn
Nếu chọn n = 64 (chọn số nguyên cao hơn gần nhất)
Số tiền anh An còn nợ sau tháng thứ 63 là:
63
63
63
1 0,5% 1
300 1 0,5% 5,5. 4,652610236
0,5%
P
(Lưu A máy tính casio)
Số tiền anh An phải trả tháng cuối là: A(1+0,5%) = 4,678 triệu
Nếu chọn n – 63 (chọn số nguyên nhỏ hơn gần nhất)
Số tiền anh An còn nợ sau tháng thứ 63 là:
62
62
62
1 0,5% 1
300 1 0,5% 5,5. 10,10209974
0,5%
P
(Lưu B máy tính casio)
Số tiền anh An phải trả tháng cuối là: B(1+0,5%) = 10,1526 triệu
Vì tháng cuối anh An phải trả số tiền nhỏ hơn 5,5 triệu nên chọn phương án n = 64.
Đề xuất cho bạn
Tài liệu
33961 lượt tải
16094 lượt tải
9681 lượt tải
8530 lượt tải
7110 lượt tải
154187 lượt xem
115091 lượt xem
103451 lượt xem
81141 lượt xem
79277 lượt xem
