MỤCLỤC I ĐẠISỐVÀGIẢITÍCH 1 Chương3. NGUYÊNHÀM-TÍCHPHÂNVÀỨNGDỤNG 2 x1 – NGUYÊN HÀM 2 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1. Nguyên hàm và tính chất............................................................ 2 1.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Phương pháp tính nguyên hàm ...................................................... 3 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số . . . . . . . . . . . 3 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 | Dạng 1.1: Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 | Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 | Dạng 1.3: Nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 C C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 1. Mức độ nhận biết ................................................................. 116 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 2. Mức độ thông hiểu................................................................ 134 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 3. Mức độ vận dụng thấp ............................................................ 151 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 4. Mức độ vận dụng cao.............................................................. 165 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 x2 – TÍCH PHÂN 171 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 1. Khái niệm tích phân............................................................... 171 1.1 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171MỤC LỤC ii | Page 1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2. Phương pháp tính tích phân....................................................... 171 2.1 Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 172 B B CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 | Dạng 2.4: Tích phân cơ bản và tính chất tính phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 | Dạng 2.5: Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 | Dạng 2.6: Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190 | Dạng 2.7: Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Z a |f(x)| dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220 | Dạng 2.8: Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 | Dạng 2.9: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303 C C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340 1. Mức độ nhận biết ................................................................. 340 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352 2. Mức độ thông hiểu................................................................ 353 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385 3. Mức độ vận dụng thấp ............................................................ 386 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423 4. Mức độ vận dụng cao.............................................................. 425 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444 x3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 445 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành............................ 446 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong........................................... 448 3. Tính thể tích khối tròn xoay....................................................... 450 B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452 | Dạng 3.10: Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452 | Dạng 3.11: Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462 | Dạng 3.12: Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470 | Dạng 3.13: Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474 C C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484 1. Mức độ nhận biết ................................................................. 484 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa iiMỤC LỤC iii | Page Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504 2. Mức độ thông hiểu................................................................ 505 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516 3. Mức độ vận dụng thấp ............................................................ 517 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .528 4. Mức độ vận dụng cao.............................................................. 528 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .535 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa iiiPHẦN ĐẠISỐVÀ GIẢITÍCH I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50NGUYÊNHÀM-TÍCH PHÂNVÀỨNGDỤNG CHƯƠNG 3 NGUYÊNHÀM NGUYÊNHÀM 1 Chủ đề A.KIẾNTHỨCTRỌNGTÂM 1. Nguyên hàm và tính chất 1.1. Nguyên hàm c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trênK. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trênK nếu F 0 (x) =f(x) với mọi x∈K. d Định lí 1.1. NếuF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênK thì với mỗi hằng sốC, hàm số G(x) =F (x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trênK. d Định lí 1.2. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trênK thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trênK đều có dạng F (x) +C, với C là một hằng số. d Định lí 1.3. Mọi hàm số f(x) liên tục trênK đều có nguyên hàm trênK. 1.2. Tính chất c Tính chât 1.1. Z f 0 (x) dx =f(x) +C c Tính chât 1.2. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx (k là một hằng số khác 0).1. NGUYÊN HÀM 3 | Page c Tính chât 1.3. Z f(x)±g(x) dx = Z f(x) dx± Z g(x) dx 2. Phương pháp tính nguyên hàm 2.1. Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số d Định lí 1.4. Nếu Z f(u) du =F (u) +C và u =u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f(u(x))u 0 (x) dx =F (u(x)) +C. 2.2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần d Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u =u(x) và v =v(x) có đạo hàm liên tục trênK thì Z u(x)·v 0 (x) dx =u(x)v(x)− Z u 0 (x)v(x) dx. Nhận xét. Vìv 0 (x) dx = dv,u 0 (x) dx = dunênđẳngthứctrêncònđượcviếtởdạng Z u dv =uv− Z v du. Để tính nguyên hàm Z f (x) dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1: Chọn u,v sao cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v 0 (x) dx). Sau đó tính v = Z dv và du =u 0 · dx. Bước 2:Thay vào công thức (∗) và tính Z v du. Chú ý. Cần phải lựa chọnu vàdv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân Z v du dễ tính hơn Z u dv. Ta thường gặp các dạng sau Dạng 1: I = Z P (x) 2 4 sinx cosx 3 5 dx. Với dạng này, ta đặt 8 > > > < > > > : u =P (x) dv = 2 4 sinx cosx 3 5 dx Dạng 2: I = Z P (x) e ax+b dx, trong đó P (x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt 8 < : u =P (x) dv = e ax+b dx. Dạng3: I = Z P (x) ln (mx +n) dx,trongđóP (x)làđathức.Vớidạngnày,tađặt 8 < : u = ln (mx +n) dv =P (x) dx. Dạng 4: I = Z 2 4 sinx cosx 3 5 e x dx. Với dạng này ta đặt 8 > > > < > > > : u = 2 4 sinx cosx 3 5 dx = e x dx Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm hợp u =u(x) ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 31. NGUYÊN HÀM 4 | Page 1 Z 0 dx =C 1 Z 0 du =C 2 Z 1 dx =x +C 2 Z 1 du =u +C 3 Z x α dx = x α+1 α + 1 +C 3 Z u α du = u α+1 α + 1 +C 4 Z 1 x dx = ln|x| +C 4 Z 1 u du = ln|u| +C 5 Z e x dx = ee x +C 5 Z e u du = e u +C 6 Z a x dx = a x lna +C 6 Z a u du = a u lna +C 7 Z cosx dx = sinx +C 7 Z cosu du = sinu +C 8 Z sinx dx =− cosx +C 8 Z sinu du =− cosu +C 9 Z 1 cos 2 x dx = tanx +C 9 Z 1 cos 2 u du = tanu +C 10 Z 1 sin 2 x dx =− cotx +C 10 Z 1 sin 2 u du =− cotu +C 11 Z 1 2 √ x dx = √ x +C 11 Z 1 2 √ u du = √ u +C 2.3. Bảng nguyên hàm cơ bản 1 Z (ax +b) α dx = 1 a (ax +b) α+1 α + 1 +C(α6=−1) 10 Z 1 ax +b dx = 1 a ln|ax +b| +C 2 Z e ax+b dx = 1 a e ax+b +C 11 Z cos(ax +b)dx = 1 a sin(ax +b) +C 3 Z sin(ax +b)dx =− 1 a cos(ax +b) +C 12 Z 1 cos 2 (ax +b) dx = 1 a tan(ax +b) +C 4 Z 1 sin 2 (ax +b) dx =− 1 a cot(ax +b) +C 13 Z tan(ax +b)dx =− 1 a ln|cos(ax +b)| +C 5 Z cot(ax +b)dx = 1 a ln|sin(ax +b)| +C 14 Z dx a 2 +x 2 = 1 a arctan x a +C ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 41. NGUYÊN HÀM 5 | Page 6 Z dx a 2 −x 2 = 1 2a ln a +x a−x +C 15 Z dx √ x 2 +a 2 = ln x + √ x 2 +a 2 +C 7 Z dx √ a 2 −x 2 = arcsin x |a| =C 16 Z dx x. √ x 2 −a 2 = 1 a arccos x a +C 8 Z ln(ax +b)dx = x + b a ln(ax +b)−x +C 17 Z √ a 2 −x 2 dx = x √ a 2 −x 2 2 + a 2 2 arcsin x a +C 9 Z e ax cosbxdx = e ax (a cosbx) +b sinbx a 2 +b 2 +C 18 Z e ax sinbxdx = e ax (a sinbx)−b cosbx a 2 +b 2 +C 2.4. Bảng nguyên hàm mở rộng B.CÁCDẠNGTOÁNVÀBÀITẬP p Dạng 1.1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải a) Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP −−−−−−−→ khai triển. b) Tích các hàm mũ PP −−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. c) Chứa căn PP −−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. d) Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP −−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng. • sina cosb = 1 2 [sin(a +b) + sin(a−b)] • sina sinb = 1 2 [cos(a−b)− cos(a +b)] • cosa cosb = 1 2 [cos(a +b) + cos(a−b)] e) Bậc chẵn của sin và cosin⇒ Hạ bậc: sin 2 x = 1 2 − 1 2 cos 2a, cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos 2a. f) Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I = Z P (x) Q(x) dx, với P (x), Q(x) là các đa thức. • Nếu bậc của tử số P (x)≥ bậc của mẫu số Q(x) PP −−−−−−−→ Chia đa thức. • Nếu bậc của tử số P (x) < bậc của mẫu số Q(x) PP −−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q(x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che). 1 (x−m)(ax 2 +bx +c) = A x−m + Bx +C ax 2 +bx +c , với Δ =b 2 − 4ac. 1 (x−a) 2 (x−b) 2 = A x−a + B (x−a) 2 + C x−b + D (x−b) 2 . Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến. Vídụ1 d Tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 1 3 x = ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 51. NGUYÊN HÀM 6 | Page |Lờigiải. Ta có F (x) = Z 3x 2 + 1 3 x dx =x 3 + x 2 6 +C. Bài1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định), biết a) f(x) = 2x 3 − 5x 2 − 4x + 7 = |Lờigiải. ...................................................................................................... b) f(x) = 6x 5 − 12x 3 +x 2 − 8 = |Lờigiải. ...................................................................................................... c) f(x) = (x 2 − 3x)(x + 1) |Lờigiải. ...................................................................................................... d) f(x) = (x− 1)(x 2 + 2) |Lờigiải. ...................................................................................................... e) f(x) =x(x 2 + 1) 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = (3−x) 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... g) f(x) = (2x + 1) 5 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = (2x− 10) 2018 |Lờigiải. ...................................................................................................... i) f(x) = (3− 4x) 2019 |Lờigiải. ...................................................................................................... j) f(x) = (2x 2 − 1) 2 |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 61. NGUYÊN HÀM 7 | Page ...................................................................................................... k) f(x) = (x 2 + 1) 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... Vídụ2 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4x 3 − 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 |Lờigiải. Ta có F (x) = Z f(x)dx = Z 4x 3 − 4x + 5 dx =x 4 − 2x 2 + 5x +C. Vì F (1) = 3⇔ 1− 2 + 5 +C = 3⇔C =−1. Suy ra F (x) =x 4 − 2x 2 + 5x− 1. Bài2. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =−x 3 + 3x 2 − 2x thỏa mãn F (1) = 0 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3x 3 − 2x 2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =−5x 4 + 4x 2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm số f(x) =x 3 + 3x 2 + 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 71. NGUYÊN HÀM 8 | Page ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (1−x) 9 thỏa 10F (2) = 9 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Hàm số f(x) = (2x + 1) 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F 1 2 = 4. Tính F 3 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Hàm số f(x) = (1− 2x) 5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − 1 2 = 2 3 . Tính F (1) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x− 3) 2 thỏa F (0) = 1 3 . Tính giá trị của biểu thức P = log 2 [3F (1)− 2F (2)] |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Gọi F 1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 (x) =x(x + 2) 2 thỏa F 1 (0) = 1 và F 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 3 + 4x 2 + 5 thỏa F 2 (0) =−2. Tìm nghiệm của phương trình F 1 (x) =F 2 (x) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 81. NGUYÊN HÀM 9 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) GọiF 1 (x) là một nguyên hàm của hàm sốf 1 (x) = (x + 1)(x + 2) thỏaF 1 (0) = 0 vàF 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 2 +x− 2 thỏa F 2 (0) = 0. Biết phương trình F 1 (x) =F 2 (x) có hai nghiệm là x 1 , x 2 . Tính 2 x 1 + 2 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ3 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4x 3 − 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3. |Lờigiải. Ta có F (x) = Z f(x)dx = Z 4x 3 − 4x + 5 dx =x 4 − 2x 2 + 5x +C. Vì F (1) = 3⇔ 1− 2 + 5 +C = 3⇔C =−1. Suy ra F (x) =x 4 − 2x 2 + 5x− 1. Bài3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =−x 3 + 3x 2 − 2x thỏa mãn F (1) = 0 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 91. NGUYÊN HÀM 10 | Page b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3x 3 − 2x 2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =−5x 4 + 4x 2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm số f(x) =x 3 + 3x 2 + 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (1−x) 9 thỏa 10F (2) = 9 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Hàm số f(x) = (2x + 1) 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F 1 2 = 4. Tính F 3 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Hàm số f(x) = (1− 2x) 5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − 1 2 = 2 3 . Tính F (1) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 101. NGUYÊN HÀM 11 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x− 3) 2 thỏa F (0) = 1 3 . Tính giá trị của biểu thức P = log 2 [3F (1)− 2F (2)] |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Gọi F 1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 (x) =x(x + 2) 2 thỏa F 1 (0) = 1 và F 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 3 + 4x 2 + 5 thỏa F 2 (0) =−2. Tìm nghiệm của phương trình F 1 (x) =F 2 (x) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) GọiF 1 (x) là một nguyên hàm của hàm sốf 1 (x) = (x + 1)(x + 2) thỏaF 1 (0) = 0 vàF 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 2 +x− 2 thỏa F 2 (0) = 0. Biết phương trình F 1 (x) =F 2 (x) có hai nghiệm là x 1 , x 2 . Tính 2 x 1 + 2 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 111. NGUYÊN HÀM 12 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ4 d Tìm nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) (giả sử điều kiện được xác định).f(x) =x 2 −3x+ 1 x |Lờigiải. Ta có F (x) = Z x 2 − 3x + 1 x dx = x 3 3 − 3 2 x 2 + ln|x| +C. Bài4. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định). a) f(x) = 3x 2 + 1 x − 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 3x 2 − 2 x − 1 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = x 2 − 3x + 1 x = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = 2x 4 −x 2 − 3x x 2 = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = 1 2x− 1 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = 1 3− 4x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 121. NGUYÊN HÀM 13 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) f(x) = 5 3x + 1 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = 3 2− 4x |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) f(x) = 2 5− 2x + 2 x + 3 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) f(x) = 4 2x + 1 + 5 x − 2 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) f(x) = 12 (x− 1) 2 + 2 2x− 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) f(x) = 6 (3x− 1) 2 − 9 3x− 1 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 131. NGUYÊN HÀM 14 | Page Vídụ5 d Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định). f(x) = 1 x + 1 (2−x) 2 − 2x |Lờigiải. Ta có F (x) = Z 1 x + 1 (2−x) 2 − 2 dx = ln|x|− 1 x− 2 −x 2 +C. Bài5. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định). a) f(x) = 1 x 3 − 2 x 2 + 4 x 4 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 2 (2x− 1) 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài6. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 2x− 5 thỏa mãn F (1) = 2 ln √ 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 5 2− 10x thỏa mãn F (2) = 3 ln 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x− 1 và F (2) = 1. Tính F (3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x + 1 và F (0) = 2. Tính F (e) ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 141. NGUYÊN HÀM 15 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) cho hàm số y =f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 1 2x− 1 và f(1) = 1. Tính f(5) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 2 2x− 1 , f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức P =f (−1) +f (3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 2 x− 1 , f (0) = 3 và f (2) = 4. Giá trị của biểu thức P =f (−2) +f (5) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 151. NGUYÊN HÀM 16 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 6 3x− 1 , f (−2) = 2 và f (1) = 1. Giá trị của biểu thức P =f (−1) +f (4) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ6 d Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa f(x) = n √ ax +b. |Lờigiải. Đặt t = n √ ax +b⇒t n =ax +b⇒n·t n−1 dt =a·dx. Suy ra F (x) = Z n·t n−1 ·t a dt = n (n + 1)a ·t n+1 +C = n (n + 1)a · (ax +b) n √ ax +b +C. Nhận xét. Z n √ ax +b dx = n (n + 1)a · (ax +b) n √ ax +b +C. • Với n = 2, suy ra F (x) = Z √ ax +b dx = 2 3a (ax +b) √ ax +b +C. • Với n = 3, suy ra F (x) = Z 3 √ ax +b dx = 3 4a (ax +b) 3 √ ax +b +C. Bài7. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ x thỏa mãn F (4) = 19 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 161. NGUYÊN HÀM 17 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 2x− 1 thỏa mãn F (1) = 4 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 4x− 5 thỏa mãn F 9 4 = 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 5− 2x thỏa mãn F 1 2 =− 7 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 1−x thỏa mãn F (−3) = 5 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3 √ 2x− 4 thỏa mãn F (−2) = 1 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 171. NGUYÊN HÀM 18 | Page ...................................................................................................... g) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 √ x− 2 thỏa mãn F (3) = 7 4 . Tính giá trị biểu thức T = 2 log 13 [F(10)] + 3 log 13 [F(−6)] . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3 √ 3− 5x thỏa mãn F (−1) =− 8 5 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Cho f(x) = 1 n √ ax +b . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Nhận xét. Z 1 n √ ax +b dx = n (n− 1)a · ax +b n √ ax +b +C . • Với n = 2, suy ra F (x) = Z 1 √ ax +b dx = 2 a · √ ax +b +C. • Với n = 3, suy ra F (x) = Z 1 3 √ ax +b dx = 3 2a · 3 p (ax +b) 2 +C. j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 √ 4x− 1 thỏa mãn F (3) = 3 √ 11. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 181. NGUYÊN HÀM 19 | Page k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 √ 3x− 1 thỏa mãn F (2) = √ 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 √ 1− 2x thỏa mãn F − 3 2 = 2018. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Biết Z dx √ x + 2 + √ x + 1 =a(x + 2) √ x + 2 +b(x + 1) √ x + 1 +C với a,b là các số hữu tỷ và C là hằng số bất kỳ. Tính S = 3a +b. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 √ x + √ x + 1 thỏa F (0) = 2 3 . Tính giá trị của biểu thức T = 3 [F (3) +F (2)] + 4 √ 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 191. NGUYÊN HÀM 20 | Page ...................................................................................................... Vídụ7 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3 √ 2x + 1− √ 2x− 2 thỏa F (1) = √ 2. |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z 3 √ 2x + 1− √ 2x− 2 dx = Z 3 √ 2x + 1 + √ 2x− 2 √ 2x + 1− √ 2x− 2 √ 2x + 1 + √ 2x− 2 dx = Z 3 √ 2x + 1 + √ 2x− 2 3 dx = Z √ 2x + 1 + √ 2x− 2 dx = Z √ 2x + 1 dx + Z √ 2x− 2 dx = 1 2 Z √ 2x + 1 d(2x + 1) + 1 2 Z √ 2x− 2 d(2x− 2) = 1 3 (2x + 1) √ 2x− 1 + 1 3 (2x− 2) √ 2x− 2 +C. Vì F (1) = √ 2 nên suy ra √ 3 +C = √ 2⇒C = √ 2− √ 3. Vậy F (x) = 1 3 (2x + 1) √ 2x + 1 + 1 3 (2x− 2) √ 2x− 2 + √ 2− √ 3. Bài8. a) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 9x √ x + 10 + √ 10− 8x thỏaF (0) = √ 10. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 201. NGUYÊN HÀM 21 | Page ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x √ 3x + 7− √ 7− 3x thỏa F (2) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsốf(x) = 1 (x + 1) √ x−x √ x + 1 thỏaF (2) = 2 √ 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 211. NGUYÊN HÀM 22 | Page d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 (x + 2) √ x + 1 + (x + 1) √ x + 2 thỏa F (3) = 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 (x + 2) √ x−x √ x + 2 thỏaF (1) = √ 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 221. NGUYÊN HÀM 23 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ8 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =x + sinx thỏa mãn điều kiện F (0) = 19. |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z (x + sinx) dx = 1 2 x 2 − cosx +C. Vì F (0) = 19 nên suy ra 0− 1 +C = 19⇒C = 20. Vậy F (x) = 1 2 x 2 − cosx + 20. Bài9. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k a) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = sinx−cosx thỏa mãn điều kiệnF π 4 = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x− 3 cosx và F π 2 = π 2 4 . Tính F (π). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin x 2 − cos x 2 2 thỏa mãn điều kiện F π 2 = 3π 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 231. NGUYÊN HÀM 24 | Page d) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 2 cos 2 x thỏa mãn điều kiệnF − π 4 = 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 sin 2 x thỏa mãn điều kiệnF − π 6 = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x 2 + 1 x sin 2 x thỏa mãn điều kiện F π 4 =−1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx + 1 cos 2 x thỏa mãn điều kiện F − π 4 = √ 2 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 + tan 2 x thỏa mãn điều kiệnF 5π 6 = √ 3 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 241. NGUYÊN HÀM 25 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = tan 2 x thỏa mãn điều kiện F (0) = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (tanx + cotx) 2 thỏa mãn điều kiện F π 4 = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = cos 2x sin 2 x cos 2 x thỏa mãn điều kiệnF π 4 = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 2 x 2 thỏa mãn F π 2 = 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 2 x 2 thỏa mãn F π 2 = π 4 . |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 251. NGUYÊN HÀM 26 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ9 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 2x thỏa mãn điều kiện F π 4 = 5 2 . |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z cos 2x dx = 1 2 sin 2x +C. Vì F π 4 = 5 2 nên suy ra 1 2 +C = 5 2 ⇒C = 2. Vậy F (x) = 1 2 sin 2x + 2. Bài10. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k a) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = sin(1− 2x) thỏa mãn điều kiệnF 1 2 = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 4 x− sin 4 x thỏa mãn điều kiện F π 4 = 3 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 4 x + sin 4 x thỏa mãn điều kiện F π 4 = 3π 16 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 261. NGUYÊN HÀM 27 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx(2 + cosx) thỏa mãn điều kiện 4F (0) = 11. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 3x + π 6 thỏa mãn điều kiện F π 3 = 5 6 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 6x− cos 4x thỏa mãn điều kiện F π 8 = √ 2 12 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsốf(x) = sin 2x+3x 2 thỏamãnđiềukiệnF (0) = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 271. NGUYÊN HÀM 28 | Page ...................................................................................................... h) TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsốf(x) = 1+tan 2 x 2 thỏamãnđiềukiệnF π 2 = 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 sin 2 x cos 2 x thỏa mãn điều kiệnF π 4 = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 (cosx− sinx) 2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 (cosx + sinx) 2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 281. NGUYÊN HÀM 29 | Page ...................................................................................................... l) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = a +b cos 2x thỏa mãn điều kiện F (0) = π 2 , F π 2 = π 6 và F π 12 = π 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 sin 5x + √ x + 3 5 thỏa mãn điều kiện đồ thị của hai hàm số F (x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Tìm hàm số F (x). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ10 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 2 x thỏa mãn F (0) = 10. |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z cos 2 x dx = Z 1 + cos 2x 2 dx = 1 2 x + 1 4 sin 2x +C. Vì F (0) = 10 nên suy ra C = 10. Vậy F (x) = 1 2 x + 1 4 sin 2x + 10. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 291. NGUYÊN HÀM 30 | Page Bài11. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 2 2x, biết rằng đồ thị của hàm số y =F (x) đi qua điểm π 2 ; π 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (1 + sinx) 2 thỏa mãn F (0) = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 4m π +sin 2 x thỏa mãnF (0) = 1 vàF π 4 = π 8 . Tìm giá thực của tham số m. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho hàm số f(x) = a π + cos 2 x Tìm tất cả các giá trị của a để f(x) có một nguyên hàm ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 301. NGUYÊN HÀM 31 | Page F (x) thỏa mãn đồng thời F (0) = 1 4 và F π 4 = π 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm hàm số f(x), biết rằng f 0 (x) = cos 2 x + π 4 và f(0) = 13 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ11 d Gọi F 1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 (x) = sin 2 x thỏa F 1 (0) = 0 và F 2 (x) là một nguyên hàm của hàm sốf 2 (x) = cos 2 x thỏa mãnF 2 (0) = 0. Giải phương trìnhF 1 (x) =F 2 (x). |Lờigiải. Ta có, F 1 (x) = Z sin 2 xdx = 1 2 Z (1− cos 2x) dx = 1 2 x− 1 2 sin 2x +C mà F 1 (0) = 0⇒ 1 2 0− 1 2 sin 0 +C = 0⇒C = 0 Khi đó, F 1 (x) = 1 2 x− 1 2 sin 2x Tương tự, F 2 (x) = Z cos 2 xdx = 1 2 Z (1 + cos 2x) dx = 1 2 x + 1 2 sin 2x +C mà F 2 (0) = 0⇒ 1 2 0 + 1 2 sin 0 +C = 0⇒C = 0 Khi đó, F 2 (x) = 1 2 x + 1 2 sin 2x Theo đề bài, ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 311. NGUYÊN HÀM 32 | Page F 1 (x) =F 2 (x) ⇒ 1 2 x− 1 2 sin 2x = 1 2 x + 1 2 sin 2x ⇒ sin 2x = 0 ⇒ 2x =kπ ⇒ x =k π 2 Bài12. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 4 x thỏa mãn F π 4 = √ 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 4 2x thỏa mãn F (0) = 3 8 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 321. NGUYÊN HÀM 33 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ12 d Hàm số f(x) = sin 3x cosx có 1 nguyên hàm là F (x) thỏa F π 6 = 15 16 . Tính F π 4 . |Lờigiải. F (x) = Z (sin 3x cosx)dx = 1 2 Z (sin 4x + sin 2x)dx = 1 2 − 1 4 cos 4x− 1 2 cos 2x +C Theo giả thuyết, F π 6 = 15 16 ⇒ 1 2 − 1 4 cos 2π 3 − 1 2 cos π 3 +C = 15 16 ⇒C = 1. Vậy có 1 nguyên hàm cần tìm là F (x) = 1 2 − 1 4 cos 4x− 1 2 cos 2x + 1. Bài13. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 sinx cos 3x thỏa mãn F π 2 =−3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 4x cosx thỏa mãn F (π) = 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 331. NGUYÊN HÀM 34 | Page c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 5x cosx thỏa mãn F π 4 = 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 6x cos 2x thỏa mãn F π 6 =−2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = cos 2x cos 8x thỏa mãnF π 8 = 2018. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 341. NGUYÊN HÀM 35 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 7x sinx thỏa mãn F π 3 =−7. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx sin 3x thỏa mãn F π 4 = 1 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 351. NGUYÊN HÀM 36 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 10x sin 5x thỏa mãn F π 2 = 9. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ13 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e 3x thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. F (x) = Z e 3x dx = 1 3 e 3x +C. F (0) = 1⇔ 1 3 e 0 +C = 1⇔C = 2 3 . Vậy F (x) = 1 3 e 3x + 2 3 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 361. NGUYÊN HÀM 37 | Page Bài14. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = e 3x+1 thỏa mãn F (0) = e 3 . Tính ln 3 [3F (1)]. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (2 +e 3x ) 2 thỏa mãn F (0) = 3 2 . Tính F 1 3 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e −x (2e x + 1) thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e x (3 +e −x ) thỏa mãn F (ln 2) = 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ e 4x−2 thỏa mãn F 1 2 = 1 |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 371. NGUYÊN HÀM 38 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e 3x−1 − 1 x 2 thỏa mãn F (1) = 2 + e 2 3 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2017 x thỏa mãn F (1) = ln −1 2017. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 3 x −2 x ·3 x thỏa mãnF (0) =− 1 ln 6 +2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 9 x − 3x 2 thỏa mãn F (0) = 1 ln 9 + 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4 x 2 2x+3 thỏa mãn F (0) = 2 ln 2 . Tính ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 381. NGUYÊN HÀM 39 | Page A = [ln 2·F (1)] 3 2 10 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 2x 3 x 7 x thỏa mãn F (1) = 1 ln 84 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 x 3 −2x thỏa mãn F (1) = 2 9 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ14 d f(x) = 2x + 1 x− 1 ⇒F (x) = Z 2x + 1 x− 1 dx =. |Lờigiải. F (x) = Z 2x + 1 x− 1 dx = Z 2 + 3 x− 1 dx = 2x + 3 ln|x− 1| +C Bài15. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) a) f(x) = 3x + 1 x− 2 ⇒F (x) = Z 3x + 1 x− 2 dx = |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 391. NGUYÊN HÀM 40 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = x + 1 2x + 3 ⇒F (x) = Z x + 1 2x + 3 dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = x− 1 3x + 1 ⇒F (x) = Z x− 1 3x + 1 dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = x 2 +x + 1 x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = 4x 2 + 6x + 1 2x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = x 2 −x + 2 2x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) f(x) = 4x 3 + 4x 2 − 1 2x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = x 3 − 2x 2 + 3x− 5 2x + 3 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 401. NGUYÊN HÀM 41 | Page Vídụ15 d Tìm nguyên của hàm số f(x) = 1 x 2 −a 2 ⇒F (x) = Z f(x)dx = Lời giải: F (x) = Z 1 x 2 −a 2 dx = 1 2a Z 1 x−a − 1 x +a dx = ln x−a x +a 2a +C. Bài16. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) a) f(x) = 1 x 2 − 4 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 1 x(x + 1) ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = 3 x 2 + 3x ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = 4 x 2 − 4x ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = 1 x 2 − 6x + 5 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = 1 x 2 + 4x− 5 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 411. NGUYÊN HÀM 42 | Page ...................................................................................................... g) f(x) = 1 2x 2 −x− 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = 1 2x 2 − 3x− 9 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) f(x) = 4x− 5 x 2 −x− 2 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) f(x) = 4x + 11 x 2 + 5x + 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 421. NGUYÊN HÀM 43 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) f(x) = x + 1 x 2 −x− 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) f(x) = 5x− 3 x 2 − 3x + 2 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) f(x) = 2x 2 + 6x− 4 x(x 2 − 4) ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 431. NGUYÊN HÀM 44 | Page n) f(x) = 2x 2 − 6x− 6 x 3 − 6x 2 + 11x− 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) f(x) = 1 x 2 − 6x + 9 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) f(x) = 3x + 2 4x 2 − 4x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) f(x) = 3x + 1 (x + 1) 3 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 441. NGUYÊN HÀM 45 | Page Vídụ16 d Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x− 1 (x− 1) 3 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... Lời giải: F (x) = Z 2x− 1 (x− 1) 3 dx = Z 2(x− 1) + 1 (x− 1) 3 dx = Z 2 (x− 1) 2 + 1 (x− 1) 3 dx = − 2 x− 1 − 1 2(x− 1) 2 +C. Bài17. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) a) f(x) = 1 x 2 (x− 1) ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 2 (x− 1)(x + 2) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 451. NGUYÊN HÀM 46 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = 3 x(x− 1) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = 4 (x 2 −x)(x− 2) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 461. NGUYÊN HÀM 47 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = x + 1 x(x− 1) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = x 2 + 10x− 6 x 3 − 2x 2 − 7x− 4 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 471. NGUYÊN HÀM 48 | Page ...................................................................................................... g) f(x) = 3x + 6 x(x− 1)(x− 2) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ17 d Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) = x x + 1 thỏa F (2) = 3− ln 3. Lời giải: Ta có F (x) = Z f(x) dx = Z x x + 1 dx = Z 1− 1 x + 1 dx = x− ln|x + 1| +C. Ta lại có F (2) = 3− ln 3⇔ 2− ln 3 +C = 3− ln 3⇔C = 1. Vậy F (x) =x− ln|x + 1| + 1. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 481. NGUYÊN HÀM 49 | Page Bài18. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k. a) Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) = x 2 x− 1 biết đồ thị hàm số y =F (x) đi qua điểm M(2; 5). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) = x 2 x + 2 biết F (−1) = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Hàm số f(x) = x 3 x 2 + 2x + 1 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 6. Tính F (0). |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 491. NGUYÊN HÀM 50 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm sốf(x) = x (x + 1) 3 có một nguyên hàm làF (x) thỏaF − 3 2 = 5. TínhF − 1 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 501. NGUYÊN HÀM 51 | Page e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3x + 1 (x + 1) 3 biết F (−2) = 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Hàm số f(x) = x (2x + 1) 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − 1 4 = 1 9 . Tính F − 1 8 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 511. NGUYÊN HÀM 52 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x 3 x− 1 biết F (2) = 5 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x 3 − 1 x + 1 biết F (1) = 5 6 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 521. NGUYÊN HÀM 53 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Hàm số f(x) = x 3 x + 2 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−3) = 0. Tính F (−1). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Biết f 0 (x) = 2x + 3 x + 1 và f(2) = 6. Tính giá trị của e f(0) . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 531. NGUYÊN HÀM 54 | Page k) Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) = x− 3 x 2 + 2x− 3 thỏa F (0) = 0. Tính F (−2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) = (x + 1) 2 x + 2 thỏa F (−1) = 1 2 . Tính F (2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 541. NGUYÊN HÀM 55 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 4x 2 + 4x + 1 ; biết rằng đồ thị hàm số y =F (x) đi qua điểm M −1; 1 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Hàm số f(x) = 2x + 9 x + 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 0. Biết phương trình F (x) = 2x + 4 có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tính tổng 1 2 x 1 + 1 2 x 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 551. NGUYÊN HÀM 56 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2x 2 + 2x + 3 2x + 1 , biết đồ thị của hàm số y =F (x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9 8 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 x 2 + 3x thỏa mãn F (1) =− 5 3 ln 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 561. NGUYÊN HÀM 57 | Page q) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 x 2 +x− 2 ; biết rằng đồ thị của hàm số y =F (x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 3 ln 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 x 2 −x− 6 ; biết F (−1) = 6 5 ln 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Hàm số f(x) = 1 x 2 − 3x + 2 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (3) = 0. Tính F 2 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 571. NGUYÊN HÀM 58 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Hàm số f(x) = 2x + 3 2x 2 −x− 1 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−1) = 11 3 ln 2. Tìm e F(0) . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 581. NGUYÊN HÀM 59 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... u) Hàm sốf(x) = 4x + 11 x 2 + 5x + 6 có một nguyên hàm làF (x) thỏaF (−1) = ln 2. Tìm e F(−4) . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... v) Hàm số f(x) = 5x + 3 x 2 + 7x + 12 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 18 ln 2. Tìm F (−5). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 591. NGUYÊN HÀM 60 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... w) Hàm số f(x) = 9x− 10 6x 2 − 11x + 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (1) = ln 2. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình F (x) = ln|3x− 1| + 1 2 ln 3. Tính 3 x 1 + 3 x 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 601. NGUYÊN HÀM 61 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... x) Hàm số f(x) = 1 x 2 (x + 1) có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (1) = ln 2. Tính F (−2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 611. NGUYÊN HÀM 62 | Page p Dạng 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Cho Z f(u) du =F (u) +C và u =u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f [u(x)]u 0 (x) dx =F [u(x)] +C. Một số dạng đổi biến thường gặp a) 2 6 6 6 6 6 4 I = Z f(ax +b) n ·x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =ax +b⇒ dt =a dx. I = Z f x n ax n+1 + 1 m dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =ax n+1 + 1⇒ dt =a(n + 1)x n dx, với m,n∈Z. I = Z f(ax 2 +b) n ·x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =ax 2 +b⇒ dt = 2ax dx. b) I = Z n p f(x)·f 0 (x) dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = n p f(x)⇒t n =f(x)⇒nt n−1 dt =f 0 (x) dx. c) 2 6 4 I = Z f(lnx)· 1 x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. I = Z f(a +b lnx)· 1 x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +b lnx⇒ dt = b x dx. d) 2 6 4 I = Z f(e x )· e x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx. I = Z f(a +be x )· e x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +be x ⇒ dt =be x dx e) 2 6 4 I = Z f(cosx)· sinx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = cosx⇒ dt =− sinx dx. I = Z f(a +b cosx)· sinx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +b cosx⇒ dt =−b sinx dx. f) 2 6 4 I = Z f(sinx)· cosx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = sinx⇒ dt = cosx dx. I = Z f(a +b sinx)· cosx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +b sinx⇒ dt =b cosx dx. g) I = Z f(tanx)· dx cos 2 x phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = tanx⇒ dt = 1 cos 2 x dx = (1 + tan 2 x) dx. h) I = Z f(cotx)· dx sin 2 x phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = cotx⇒ dt =− 1 sin 2 x dx =−(1 + cot 2 x) dx. i) I = Z f(sin 2 x; cos 2 x)· sin 2x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt 2 4 t = sin 2 x⇒ dt = sin 2x dx; t = cos 2 x⇒ dt =− sin 2x dx. j) I = Z f(sinx± cosx)· (sinx∓ cosx) dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = sinx± cosx⇒ dt = (cosx∓ sinx) dx. Chú ý Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x. Bài tập áp dụng Vídụ1 d Tính I = Z x(1−x) 2018 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 621. NGUYÊN HÀM 63 | Page |Lờigiải. Đặt t = 1−x⇒x = 1−t⇒ dx =− dt. Suy ra I = − Z (1−t)t 2018 dt = Z t 2019 −t 2018 dt = t 2020 2020 − t 2019 2019 +C = (1−x) 2020 2020 − (1−x) 2019 2019 +C. Vậy I = Z x(1−x) 2018 dx = (1−x) 2020 2020 − (1−x) 2019 2019 +C. Bài1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z x(1 +x) 2017 dx. I = (1 +x) 2019 2019 − (1 +x) 2018 2018 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z x(x 2 + 1) 5 dx. I = (x 2 + 1) 6 12 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x 2 (x− 1) 9 dx. I = (x− 1) 12 12 + 2 (x− 1) 11 11 + (x− 1) 10 10 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 631. NGUYÊN HÀM 64 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z 2 x 1−x 2 5 dx. I =− (1−x 2 ) 6 6 + 2 (1−x 2 ) 7 7 − (1−x 2 ) 8 8 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x 5 1−x 3 6 dx. I =− (1−x 3 ) 7 21 + (1−x 3 ) 8 24 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z x 3 2− 3x 2 8 dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 641. NGUYÊN HÀM 65 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ2 d Tính I = Z x dx x 2 + 2 . I = 1 2 ln(x 2 + 2) +C |Lờigiải. Đặt t =x 2 + 2⇒x 2 =t− 2⇒ 2x dx = dt⇒x dx = 1 2 dt. Suy ra I = Z 1 2 · 1 t dt = 1 2 ln|t| +C = 1 2 ln|x 2 + 2| +C = 1 2 ln(x 2 + 2) +C. Vậy I = Z x dx x 2 + 2 = 1 2 ln(x 2 + 2) +C. Bài2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z x dx (x + 1) 5 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 651. NGUYÊN HÀM 66 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z x 3 dx (1 +x 2 ) 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z 4x 3 dx (x 4 + 2) 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x 5 dx x 2 + 1 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 661. NGUYÊN HÀM 67 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x 4 dx x 10 − 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z 1 + 1 x 3 dx x 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ3 d Tính I = Z (x + 1) 2017 (2x + 3) 2019 dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 671. NGUYÊN HÀM 68 | Page Ta có I = Z (x + 1) 2017 (2x + 3) 2019 dx = Z x + 1 2x + 3 2017 · 1 (2x + 3) 2 dx. Đặt t = x + 1 2x + 3 ⇒ dt = 1 (2x + 3) 2 dx. Suy ra I = Z t 2017 dt = t 2018 2018 +C = 1 2018 · x + 1 2x + 3 2018 +C. Vậy I = Z (x + 1) 2017 (2x + 3) 2019 dx = 1 2018 · x + 1 2x + 3 2018 +C. Bài3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z x 5 (x + 1) 7 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z (7x− 1) 99 (2x + 1) 101 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x 9 dx (x 2 + 1) 6 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 681. NGUYÊN HÀM 69 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x 2001 dx (x 2 + 1) 1002 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ4 d Tính I = Z (x + 1) dx √ x 2 + 2x− 4 . |Lờigiải. Đặt t = √ x 2 + 2x− 4⇒t 2 =x 2 + 2x− 4 ⇒ 2t dt = (2x + 2) dx⇒ (x + 1) dx =t dt. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 691. NGUYÊN HÀM 70 | Page Suy ra I = Z t t dt = Z dt =t +C = √ x 2 + 2x− 4 +C. Vậy I = Z (x + 1) dx √ x 2 + 2x− 4 = √ x 2 + 2x− 4 +C. Bài4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z (2x− 3) dx √ x 2 − 3x− 5 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z x √ 2017−x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x √ x 2 + 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 701. NGUYÊN HÀM 71 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x √ 2019−x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x 3 √ x 2 − 2018 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z 2x 3 √ x 2 + 4 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z 5x 3 √ 1−x 2 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 711. NGUYÊN HÀM 72 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z x 2 √ 1−x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z x 3 √ 4−x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 721. NGUYÊN HÀM 73 | Page j) Tính I = Z dx x √ x 2 + 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z dx x √ x 2 + 9 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tính I = Z x 5 3 È (1− 2x 2 ) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 731. NGUYÊN HÀM 74 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tính I = Z 2x 3 − 3x 2 +x √ x 2 −x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ5 d Tính I = Z lnx dx x √ 1 + lnx . |Lờigiải. Đặt t = √ 1 + lnx⇒t 2 = 1 + lnx⇒ lnx =t 2 − 1⇒ dx x = 2t dt. Suy ra I = Z t 2 − 1 t · 2t dt = Z 2t 2 − 2 dt = 2t 3 3 − 2t +C = 2 (1 + lnx) √ 1 + lnx 3 − 2 √ 1 + lnx +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 741. NGUYÊN HÀM 75 | Page Vậy I = Z lnx dx x √ 1 + lnx = 2 (1 + lnx) √ 1 + lnx 3 − 2 √ 1 + lnx +C. Bài5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z lnx √ 1 + 3 lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z dx x 3 √ 1 + lnx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z ln 2 x dx x √ 1 + lnx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 751. NGUYÊN HÀM 76 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z e x √ 5− e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z dx √ e x + 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z cosx √ 3 sinx + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z sinx √ 2018 + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z 1 x lnx p 6 + 3 ln 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 761. NGUYÊN HÀM 77 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = Z x x + √ x 2 − 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = Z x 3 √ x 4 + 1−x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = Z 3x √ x 2 + 2 + √ x 2 − 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 771. NGUYÊN HÀM 78 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ6 d I = Z lnx x dx. |Lờigiải. Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. Suy ra I = Z t dt = t 2 2 +C = ln 2 x 2 +C. Bài6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I = Z ln 2 x x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = Z 1 + lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = Z 1 + ln 4 x x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z 3 lnx + 1 x lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 781. NGUYÊN HÀM 79 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z lnx x(2 + lnx) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z √ 4 + lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z √ 1 + 3 lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z lnx x √ 1 + lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ7 d I = Z e x dx e x − 1 . |Lờigiải. Đặt t = e x − 1⇒ dt = e x dx. Suy ra I = Z e x dx e x − 1 = Z 1 t dt = ln|t| +C = ln|e x − 1| +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 791. NGUYÊN HÀM 80 | Page Bài7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I = Z dx e x + 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = Z dx e x + 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = Z dx e x + e −x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z e x dx e x + e −x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z dx e x + 2e −x − 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 801. NGUYÊN HÀM 81 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z dx e x − 4· e −x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z (1 + e x ) 3 e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z e 2x + 3e x e 2x + 3e x + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = Z e x (1 + e x ) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = Z 2e x − 1 e x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 811. NGUYÊN HÀM 82 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = Z e 2x √ e x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = Z e 2x dx √ 3 + e x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = Z dx √ e x + 1 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ8 d I = Z tanx dx. |Lờigiải. Ta có I = Z sinx cosx dx. Đặt t = cosx⇒ dt =− sinx dx. Suy ra I = Z − 1 t dt =− ln|t| +C =− ln| cosx| +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 821. NGUYÊN HÀM 83 | Page Bài8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I = Z sin 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = Z sin 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = Z cos 2017 x· sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z sinx cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z sin 2x cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z sinx 2 + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z 5 sin 3 x 1− cosx dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 831. NGUYÊN HÀM 84 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z sin 2 x tanx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = Z sin 2x cosx 1− cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = Z sin 2x 4− cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = Z sin 4x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = Z 1 + tanx tan x 2 sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 841. NGUYÊN HÀM 85 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = Z sinx cos 2x + 3 cosx + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) I = Z sinx cos 2x− cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) I = Z sinx + sin 3x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... p) I = Z 2 sinx √ 1 + 4 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) Tính I = Z sin 2x + sinx √ 1 + 3 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 851. NGUYÊN HÀM 86 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tính I = Z dx sinx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Tính I = Z dx sin 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Tính I = Z dx sinx + √ 3 cosx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 861. NGUYÊN HÀM 87 | Page Vídụ9 d Tính I = Z cotx dx. |Lờigiải. Ta có I = Z cotx dx = Z cosx sinx dx = ln| sinx| +C. Bài9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z cos 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z cos 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z sin 2019 x cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... d) Tính I = Z (1 + 2 sinx) cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z cosx 4 + sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... f) Tính I = Z cosx 9− 2 sinx dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 871. NGUYÊN HÀM 88 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z sin 2x 1− sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z sin 2x (2 + sinx) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z (1 + sinx) 9 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tính I = Z sin 2x sin 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z (1 + 2 sinx) 7 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tính I = Z (2 sinx− 3) cosx 2 sinx + 1 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 881. NGUYÊN HÀM 89 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tính I = Z cos 2x 1 + 2 sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Tính I = Z 1− 2 sin 2 x 1 + sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Tính I = Z cosx dx 6− 5 sinx + sin 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Tính I = Z cosxe sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... q) Tính I = Z cosx √ 1 + sinx dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 891. NGUYÊN HÀM 90 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tính I = Z cosx √ 3 sinx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Tính I = Z cosx dx 2 + √ 3 sinx + 1 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Tính I = Z dx cosx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... u) Tính I = Z dx cos 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 901. NGUYÊN HÀM 91 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ10 d Tính I = Z tanx cos 2 x dx. |Lờigiải. Đặt t = tanx⇒ dt = dx cos 2 x . Khi đó I = Z t dt = t 2 2 +C = tan 2 x 2 +C. Bài10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z sin 2 x cos 4 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z (1 + tanx) 2 cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z 2 + 3 tanx 1 + cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z tan 2 x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 911. NGUYÊN HÀM 92 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z dx sin 2 x− 4 cos 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z dx sin 2 x + 3 sinx cosx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z dx 5 cos 2 x− 8 sinx cosx + 3 sin 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 921. NGUYÊN HÀM 93 | Page ...................................................................................................... h) Tính I = Z dx sinx cos 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z dx cos 4 x sin 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tính I = Z dx cos 4 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z (1 + sin 2x) dx 2 sinx cos 3 x + cos 4 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 931. NGUYÊN HÀM 94 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ11 d Tính I = Z cotx sin 2 x dx. |Lờigiải. Đặt t = cotx⇒ dt =− 1 sin 2 x dx. Do đó I = Z −t dt =− t 2 2 +C =− cot 2 x 2 +C. Bài11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z (2− cotx) 2 sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z cos 2 x sin 4 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z 3− cotx 1− cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 941. NGUYÊN HÀM 95 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z cos 4 x sin 6 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z dx sin 4 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z cot 2 x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z cot 4 x cos 2x dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 951. NGUYÊN HÀM 96 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z dx cosx sin 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z sinx (sinx + cosx) 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 961. NGUYÊN HÀM 97 | Page Vídụ12 d Tính I = Z sin 2x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. Đặt t = 1 + cos 2 x⇒ dt =− sin 2x dx. Do đó I = Z − 1 t dt =− ln|t| +C =− ln|1 + cos 2 x| +C. Bài12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z sin 2x 1 + sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z sin 2x 3 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z sin 2x 1 + sin 2 x 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z e sin 2 x sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z e cos 2 x sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z sin 4x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 971. NGUYÊN HÀM 98 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z sin 2x √ cos 2 x + 4 sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z sinx cosx √ 4 cos 2 x + 9 sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ13 d Tính I = Z sinx− cosx sinx + cosx dx. |Lờigiải. Đặt t = sinx + cosx⇒ dt =−(sinx− cosx) dx. Do đó I =− Z 1 t dt =− ln|t| +C =− ln| sinx + cosx| +C. Bài13. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z sinx− cosx sinx + cosx + 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z cos 2x sinx + cosx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 981. NGUYÊN HÀM 99 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z cos 2x (sinx + cosx + 4) 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z sinx + cosx 3 + sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z 1 + sin 2x + cos 2x sinx + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z sinx− cosx sin 2x + 2(1 + sinx + cosx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z cos 2x 2− √ 1 + sinx− cosx dx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 991. NGUYÊN HÀM 100 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z 4(sinx + cosx)− cos 2x 2(sinx− cosx− 1)− sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z cos 2x (1 + sin 2x) cos x− π 4 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u =u(x) và v =v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì I = Z u(x)v 0 (x) dx =u(x)v(x)− Z u 0 (x)v(x) dx hay I = Z u dv− Z v du. Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhau. Ví dụ: Z e x sinx dx, Z x lnx dx, ... a) Đặt: 8 > < > : u =... vi phân −−−−→ du =... dx dv =... dx nguyên hàm −−−−−−→v =... Suy ra: I = Z u dv =uv− Z v du. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1001. NGUYÊN HÀM 101 | Page b) Thứ tự ưu tiên chọn u: nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ và dv = phần còn lại. c) Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. d) Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Ví dụ và bài tập Vídụ1 d Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) Tính I = Z lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. Đặt 8 < : u = lnx dv = dx ⇒ 8 > < > : du = 1 x dx v =x Ta có: I =x lnx− Z x 1 x dx =x lnx−x +C. Bài1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tính I = Z x lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z (2x + 1) lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x ln(1−x) dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1011. NGUYÊN HÀM 102 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x sinx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x cosx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z (x + 1) sin 2x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1021. NGUYÊN HÀM 103 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z x sin x 2 dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z x sinx cosx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z x(2 cos 2 x− 1) dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1031. NGUYÊN HÀM 104 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tính I = Z xe x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z (1− 2x)e x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tính I = Z xe 3x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1041. NGUYÊN HÀM 105 | Page m) Tính I = Z xe −x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Tính I = Z (4x− 1)e −2x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Tính I = Z x sin 2 x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1051. NGUYÊN HÀM 106 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Tính I = Z x cos 2 x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) Tính I = Z 2x− 1 1 + cos 2x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tính I = Z 2x 1− cos 4x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1061. NGUYÊN HÀM 107 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Tính I = Z lnx x 3 dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Tính I = Z x 2 − 1 x 2 lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1071. NGUYÊN HÀM 108 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... u) Tính I = Z e x cosx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... v) Tính I = Z e x sinx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1081. NGUYÊN HÀM 109 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ2 d Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =xe −x thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. Theo đề ta tính Z f(x) dx = Z xe −x dx. Đặt 8 < : u =x ⇒ du = dx dv = e −x dx ⇒v =−e −x . Suy ra Z xe −x dx =−xe −x + Z e −x dx =−xe −x − e −x +C =F (x). Mà F (0) = 1⇒C = 1. Vậy F (x) =−xe −x − e −x + 1. Bài2. Tìm một nguyên hàm của hàm sốF (x) của hàm sốf(x) thỏa mãn điều kiện cho trước. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =x cos 3x thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho F (x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) x 3 . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1091. NGUYÊN HÀM 110 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Cho F (x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) x 2 . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho F (x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số xf(x). Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1101. NGUYÊN HÀM 111 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Cho F (x) =x 2 + 1 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho F (x) = 1 x 2 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)(x 4 −x 3 ). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1111. NGUYÊN HÀM 112 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Cho F (x) =x 2 là một nguyên hàm của f(x)e 2x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)e 2x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Cho F (x) = 1 x 2 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)(x 3 + 1). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Cho F (x) = 1 x là một nguyên hàm của x 2 f(x). Tìm nguyên hàm của f 0 (x)x 3 lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1121. NGUYÊN HÀM 113 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Đặt 8 > < > : u = lnx ⇒ du = 1 x dx dv = 4 x 2 dx ⇒v =− 4 x . Suy ra Z 4x 2 lnx dx =− 4 x lnx + Z 4 x 2 dx =− 4 x lnx− 4 x +C. j) Cho F (x) = 1 x 2 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)x lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Cho F (x) = 1 x 3 là một nguyên hàm của f(x) x 2 . Tìm nguyên hàm của f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1131. NGUYÊN HÀM 114 | Page l) Cho F (x) = x 4 16 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) ChoF (x) =−xe x là một nguyên hàm của hàm sốf(x)e 2x . Tìm nguyên hàm củaf 0 (x)e 2x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Cho F (x) = 2(x− 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e x thỏa f(0) = 0. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)e x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1141. NGUYÊN HÀM 115 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Cho F (x) = 1− x 2 2 cosx +x sinx là một nguyên hàm của hàm số f(x) sinx. Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) cosx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Cho F (x) = x 2 2 − 1 sinx +x cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) cosx. Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) sinx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1151. NGUYÊN HÀM 116 | Page q) ChoF (x) =x tanx + ln| cosx| là một nguyên hàm của hàm số f(x) cos 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) tanx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) ChoF (x) =−x cotx + ln|sinx| là một nguyên hàm của hàm số f(x) sin 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) cotx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Cho F (x) = x 2 2 −x + 1 e x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... C.CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1. Mức độ nhận biết Câu1. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x là A. e x +x 2 +C. B. e x + 1 2 x 2 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1161. NGUYÊN HÀM 117 | Page C. 1 x + 1 e x + 1 2 x 2 +C. D. e x + 1 +C. Câu2. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x là A. x 4 +x 2 +C. B. 3x 2 + 1 +C. C. x 3 +x +C. D. 1 4 x 4 + 1 2 x 2 +C. Câu3. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 4 +x 2 là A. 4x 3 + 2x +C. B. 1 5 x 5 + 1 3 x 3 +C. C. x 4 +x 2 +C. D. x 5 +x 3 +C. Câu4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. Z 2e x dx = 2 (e x +C). B. Z x 3 dx = x 4 +C 4 . C. Z 1 x dx = lnx +C. D. Z sinx dx =− cosx +C. Câu5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 2x ? A. Z 5 2x dx = 2.5 2x ln 5 +C. B. Z 5 2x dx = 2. 5 2x ln 5 +C. C. Z 5 2x dx = 25 x 2 ln 5 +C. D. Z 5 2x dx = 25 x+1 x + 1 +C. Câu6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 3 x là A. x 3 + 3 x ln 3 +C. B. x 3 + 3 x ln 3 +C. C. x 3 + 3 x +C. D. x 3 + ln 3 3 x +C. Câu7. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 2x là A. 4 x · ln 4 +C. B. 1 4 x · ln 4 +C. C. 4 x +C. D. 4 x ln 4 +C. Câu8. Với C là hằng số, họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 cos 2x là A.− sin 2x +C. B. −2 sin 2x +C. C. 2 sin 2x +C. D. sin 2x +C. Câu9. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e −x 2 + e x cos 2 x . A. F (x) =− 2 e x + tanx +C. B. F (x) = 2e x − tanx +C. C. F (x) =− 2 e x − tanx +C. D. F (x) = 2e −x + tanx +C. Câu10. Cho biếtF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênR. TìmI = Z [2f(x)− 1] dx. A. I = 2xF (x)−x +C. B. I = 2xF (x)− 1 +C. C. I = 2F (x)− 1 +C. D. I = 2F (x)−x +C. Câu11. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x là A. 1 5 cos 5x +C. B. cos 5x +C. C. − cos 5x +C. D.− 1 5 cos 5x +C. Câu12. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 1 là A. log|1 +x| +C. B. ln(1 +x) +C. C. − 1 (1 +x) 2 +C. D. ln|1 +x| +C. Câu13. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x 2 là A. 1 x e x + x 3 3 +C. B. e x + 2x +C. C. e x + x 3 3 +C. D. e x + 3x 3 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1171. NGUYÊN HÀM 118 | Page Câu14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x. A. Z cos 3x dx = 3 sin 3x +C. B. Z cos 3x dx = sin 3x 3 +C. C. Z cos 3x dx =− sin 3x 3 +C. D. Z cos 3x dx = sin 3x +C. Câu15. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 5x− 2 . A. Z dx 5x− 2 = 1 5 ln|5x− 2| +C. B. Z dx 5x− 2 =− 1 2 ln(5x− 2) +C. C. Z dx 5x− 2 = 5 ln|5x− 2| +C. D. Z dx 5x− 2 = ln|5x− 2| +C. Câu16. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 7 x . A. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. B. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. C. Z 7 x dx = 7 x+1 +C. D. Z 7 x dx = 7 x+1 x + 1 +C. Câu17. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x. A. Z f(x)dx = 1 2 sin 2x +C. B. Z f(x)dx =− 1 2 sin 2x +C. . C. Z f(x)dx = 2 sin 2x +C. . D. Z f(x)dx =−2 sin 2x +C. Câu18. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 + 2 x 2 . A. Z f(x)dx = x 3 3 − 2 x +C. B. Z f(x)dx = x 3 3 − 1 x +C. C. Z f(x)dx = x 3 3 + 2 x +C. D. Z f(x)dx = x 3 3 + 1 x +C. Câu19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 1 là A. x 3 +C. B. x 3 3 +x +C. C. 6x +C. D. x 3 +x +C. Câu20. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x là A. x 4 +x 2 +C. B. 3x 2 + 1 +C. C. x 3 +x +C. D. 1 4 x 4 + 1 2 x 2 +C. Câu21. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4 x · 2 2x+3 . A. F (x) = 2 4x+3 ln 2 . B. F (x) = 2 4x+1 · ln 2. C. F (x) = 2 4x+1 ln 2 . D. F (x) = 2 4x+3 · ln 2. Câu22. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. R [f(x) +g(x)]dx = R f(x)dx + R g(x)dx, với mọi hàm số f(x), g(x)liên tục trênR. B. R f 0 (x)dx =f(x) +C với mọi hàm f(x) có đạo hàm trênR. C. R kf(x)dx =k R f(x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f(x) liên tục trênR. D. R [f(x)−g(x)]dx = R f(x)dx− R g(x)dx, với mọi hàm số f(x), g(x) liên tục trênR. Câu23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = π 2 cos 2x. A. Z f(x)dx = π 4 sin 2x +C. B. Z f(x)dx =− π 2 sin 2x +C . C. Z f(x)dx =π sin 2x +C. D. Z f(x)dx = π 2 sin 2x +C. Câu24. Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trênR. Khẳng định nào sau đây đúng? ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1181. NGUYÊN HÀM 119 | Page A. Z f(x)·g(x) dx =f(x) dx· Z g(x) dx. B. Z f 0 (x)·g 0 (x) dx =f(x)·g(x) +C. C. Z k·f(x) dx =k Z f(x) dx. D. Z f(x)·f 0 (x) dx = f 2 (x) 2 +C. Câu25. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4 x là A. Z f(x) dx = 4 x+1 x + 1 +C. B. Z f(x) dx = 4 x+1 +C. C. Z f(x) dx = 4 x ln 4 +C. D. Z f(x) dx = 4 x ln 4 +C. Câu26. Họ các nguyên hàm của hàm số y = e −3x+1 là A. 1 3 e −3x+1 +C. B. − 1 3 e −3x+1 +C. C. 3e −3x+1 +C. D.−3e −3x+1 +C. Câu27. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f(x) liên tục trênR. B. Z f 0 (x) dx =f(x) +C với mọi hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trênR. C. Z (f(x)−g(x)) dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x); g(x) liên tục trênR. D. Z (f(x) +g(x)) dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x); g(x) liên tục trênR. Câu28. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? A. Z [f(x)·g(x)] dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx. B. Z 0 dx = 0. C. Z f(x) dx =f 0 (x) +C. D. Z f 0 (x) dx =f(x) +C. Câu29. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 5x− 2 . A. Z f(x) dx =− 1 2 ln(5x− 2) +C. B. Z f(x) dx = 1 5 ln|5x− 2| +C. C. Z f(x) dx = ln|5x− 2| +C. D. Z f(x) dx = 5 ln|5x− 2| +C. Câu30. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x là A. Z f(x) dx = sin 3x +C. B. Z f(x) dx =− sin 3x 3 +C. C. Z f(x) dx = 3 sin 3x +C. D. Z f(x) dx = sin 3x 3 +C. Câu31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx với k∈R. B. Z [f(x) +g(x)] dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx với f(x); g(x) liên tục trênR. C. Z x α dx = 1 α + 1 x α+1 với α6=−1. D. Z f(x) dx 0 =f(x). Câu32. Tính Z (x− sin 2x) dx. A. x 2 2 + sinx +C. B. x 2 2 + cos 2x +C. C. x 2 + cos 2x 2 +C. D. x 2 2 + cos 2x 2 +C. Câu33. Khẳng định nào sau đây sai? A. Z 0 dx =C. B. Z x 4 dx = x 5 5 +C. C. Z 1 x dx = lnx +C. D. Z e x dx = e x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1191. NGUYÊN HÀM 120 | Page Câu34. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x− sin 2x là A. x 2 2 + cos 2x +C. B. x 2 2 + 1 2 cos 2x +C. C. x 2 + 1 2 cos 2x +C. D. x 2 2 − 1 2 cos 2x +C. Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3 cosx− 2 x là A.−3 sinx− 2 x ln 2 +C. B. 3 sinx− 2 x +C. C. 3 sinx− 2 x ln 2 +C. D. 3 sinx− 2 x ln 2 +C. Câu36. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x 2 là A. 3x 2 + 2x +C. B. 1 4 x 4 + 1 3 x 3 +C. C. x 4 +x 3 +C. D. 4x 4 + 3x 3 +C. Câu37. Tìm một họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 7 x . A. Z f(x) dx = 3 x ln 3 + 7 x ln 7 +C. B. Z f(x) dx = 3 x ln 3 + 7 x ln 7 +C. C. Z f(x) dx = 3 x+1 x + 1 + 7 x x + 1 +C. D. Z f(x) dx = 3 x+1 + 7 x+1 +C. Câu38. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x là A. F (x) =− 1 x 2 +C. B. F (x) = 2 x 2 +C. C. F (x) = ln|x| +C. D. F (x) = √ x +C. Câu39. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x + 3x là A.− 1 2 sin 2x + 3 2 x 2 +C. B. 1 2 sin 2x + 3x 2 +C. C.−2 sin 2x + 3 +C. D. 1 2 sin 2x + 3 2 x 2 +C. Câu40. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x− 1 là A. ln|2x− 1| +C. B. 2 ln|2x− 1| +C. C. 1 2 ln|2x− 1| +C. D. 1 2 ln(2x + 1) +C. Câu41. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 + 2 x 2 A. Z f(x) dx = x 3 3 + 2 x +C. B. Z f(x) dx = x 3 3 − 2 x +C. C. Z f(x) dx = x 3 3 + 1 x +C. D. Z f(x) dx = x 3 3 − 1 x +C. Câu42. Hàm số f(x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là A.− sin(4x + 7) +x. B. 1 4 sin(4x + 7)− 3. C. sin(4x + 7)− 1. D.− 1 4 sin(4x + 7) + 3. Câu43. Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx +x là A. cosx + 1 2 x 2 +C. B. cosx +x 2 +C. C. − cosx + 1 +C. D.− cosx + 1 2 x 2 +C. Câu44. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 + sin 2x là A. x 4 4 − 1 2 cos 2x +C. B. x 4 4 − cos 2x +C. C. x 4 4 + 1 2 cos 2x +C. D. x 4 4 + cos 2x +C. Câu45. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 1 là A.− 1 (x + 1) 2 +C. B. − ln|x + 1| +C. C. − 1 2 ln(x + 1) 2 +C. D. ln|2x + 2| +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1201. NGUYÊN HÀM 121 | Page Câu46. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Z [f 1 (x) +f 2 (x)] dx = Z f 1 (x) dx + Z f 2 (x) dx. B. Nếu F (x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F (x) =G(x). C. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx (k là hằng số và k6= 0). D. Nếu Z f(x) dx =F (x) +C thì Z f(u) du =F (u) +C. Câu47. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x A. Z sin 2x dx =− cos 2x +C. B. Z sin 2x dx = 2 cos 2x +C. C. Z sin 2x dx =− cos 2x 2 +C. D. Z sin 2x dx = cos 2x 2 +C. Câu48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2019x . A. Z f(x) dx = 1 2019 · e 2019x +C. B. Z f(x) dx = 2019· e 2019x +C. C. Z f(x) dx = e 2019x +C. D. Z f(x) dx = e 2019x ln 2019 +C. Câu49. Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x là A. cos 3x +C. B. − 1 3 cos 3x +C. C. − cos 3x +C. D. 1 3 cos 3x +C. Câu50. Tính Z sinx dx. A. sin(π−x) +C. B. cosx +C. C. cos(π−x) +C. D. cos π 2 −x +C. Câu51. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx là A. F (x) = tanx +C. B. F (x) = cotx +C. C. F (x) =− sinx +C. D. F (x) = sinx +C. Câu52. Tìm nguyên hàm F (x) = Z cosx dx A. F (x) = cosx +C. B. F (x) =− cosx +C. C. F (x) = sinx +C. D. F (x) =− sinx +C. Câu53. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1. A. Z f(x) dx = 2x 2 +x +C. B. Z f(x) dx = x 2 2 +x +C. C. Z f(x) dx =x 2 +x +C. D. Z f(x) dx = 2x +C. Câu54. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số y =x 3 ? A. y = x 4 4 + 3. B. y = x 4 4 + 1. C. y = x 4 4 + 2. D. y = 3x 2 . Câu55. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Z cosx dx =− cosx +C. B. Z cosx dx =− sinx +C. C. Z cosx dx = cosx +C. D. Z cosx dx = sinx +C. Câu56. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =e −x + 2x là A. Z f(x) dx = e −x +x 2 +C. B. Z f(x) dx =−xe −x +x 2 +C. C. Z f(x) dx =−e −x +x 2 +C. D. Z f(x) dx =xe −x +x 2 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1211. NGUYÊN HÀM 122 | Page Câu57. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? A. Z e x dx = x e+1 e + 1 +C. B. Z x 2 dx = 1 3 x 3 +C. C. Z e x dx = e x+1 x + 1 +C. D. Z x 7 dx = 1 8 x 8 +C. Câu58. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là A. F (x) =− cosx. B. F (x) =− cosx +C. C. F (x) = cosx +C. D. F (x) = cosx. Câu59. Z dx 2− 3x bằng A. 1 3 ln|2− 3x| +C. B. 1 (2− 3x) 2 +C. C. − 3 (2− 3x) 2 +C. D.− 1 3 ln|3x− 2| +C. Câu60. Cho 5 Z 1 dx 2x− 1 = lnC. Khi đó giá trị của C là A. 3. B. 8. C. 9. D. 81. Câu61. Khi tính Z sinax· cosbx dx, biến đổi nào dưới đây là đúng? A. Z sinax· cosbx dx = Z sinax dx· Z cosbx dx. B. Z sinax· cosbx dx = 1 2 Z [sin (a +b)x + sin (a−b)x] dx. C. Z sinax· cosbx dx = 1 2 Z sin a +b 2 x + sin a−b 2 x dx. D. Z sinax· cosbx dx =ab Z sinx· cosx dx. Câu62. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx + 1 là A.− cosx +x +C. B. sin 2 x 2 +x +C. C. cosx +x +C. D. sin 2x +x +C. Câu63. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 2x là A. 2 ln|x| +x 2 + C. B. ln|x| + 2x 2 + C. C. ln|x| +x 2 + C. D. ln|x 2 | + 2x + C. Câu64. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 1− 2x . A.−6 ln|1− 2x| +C. B. 3 ln|1− 2x| +C. C. − 3 2 ln|1− 2x| +C. D. 3 2 ln|1− 2x| +C. Câu65. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x + 1 ? A. F (x) = ln|2x + 1| + 1. B. F (x) = 1 2 ln|2x + 1| + 2. C. F (x) = 1 2 ln|4x + 2| + 3. D. F (x) = 1 4 ln(4x 2 + 4x + 1) + 3. Câu66. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x là A. Z f(x) dx = 3 x +C. B. Z f(x) dx = 3 x ln 3 +C. C. Z f(x) dx = 3 x+1 x + 1 +C. D. Z f(x) dx = 3 x ln 3 +C. Câu67. Cho hàm số f(x) = 2017 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Z f(x) dx = 2017 x ln 2018 +C. B. Z f(x) dx = 2017 x ln 2017 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1221. NGUYÊN HÀM 123 | Page C. Z f(x) dx = 2017 x ln 2017 +C. D. Z f(x) dx = 2017 x 2017 +C. Câu68. Tính Z cos 2x dx. A. Z cos 2x dx =− sin 2x +C. B. Z cos 2x dx = 1 2 sin 2x +C. C. Z cos 2x dx = sin 2x +C. D. Z cos 2x dx =− 1 2 sin 2x +C. Câu69. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + sinx là A. sinx− cosx +C. B. sinx + cosx +C. C.− sinx + cosx +C. D.− sinx− cosx +C. Câu70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (x− 1) 3 . A. 3(x− 1) +C. B. 1 4 (x− 1) 4 +C. C. 4(x− 1) 4 +C. D. 1 4 (x− 1) 3 +C. Câu71. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x) = e 1−4x . A. y = 1 4 e 1−4x . B. y =−4e 1−4x . C. y = e 1−4x . D. y =− 1 4 e 1−4x . Câu72. Cho bốn mệnh đề sau I. Z cos 2 x dx = cos 3 x 3 +C. II. Z 3 x dx = 3 x · ln 3 +C. III. Z x α dx = x α+1 α + 1 +C với α∈R. IV. Nếu F (x),G(x) là các nguyên hàm của f(x) thì F (x) =G(x). Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Câu73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x(x + 1). A. x(x + 1) +C. B. 2x + 1 +C. C. x 3 +x 2 +C. D. x 3 3 + x 2 2 +C. Câu74. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Z 0 dx =C. B. Z 1 x dx = ln|x| +C. C. Z x a dx = x a+1 a + 1 +C. D. Z dx =x +C. Câu75. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx− cosx. A. Z f(x) dx =− sinx + cosx +C. B. Z f(x) dx = sinx + cosx +C. C. Z f(x) dx =− sinx− cosx +C. D. Z f(x) dx = sinx− cosx +C. Câu76. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 1 x 2 . A. Z f(x) dx = 3 x + 1 x +C. B. Z f(x) dx = 3 x ln 3 + 1 x +C. C. Z f(x) dx = 3 x − 1 x +C. D. Z f(x) dx = 3 x ln 3 − 1 x +C. Câu77. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x e 3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1231. NGUYÊN HÀM 124 | Page A. 3 x e 3 ln 3 e +C. B. 3 x −2 ln 3· e 2 +C. C. 3 x ln 3 e 3 +C. D. 3 x e 3 ln 3 +C. Câu78. Cho hai hàm số f(x), g(x) là hai hàm số liên tục có F (x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x), g(x). Xét các mệnh đề sau: (I). F (x) +G(x) là một nguyên hàm của f(x) +g(x). (II). kF (x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x), (k∈R). (III). F (x)·G(x) là một nguyên hàm của f(x)·g(x). Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. (I) và (III). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (III). Câu79. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x 3 + sinx− 2 là A. x 4 + cosx− 2x +C. B. x 4 4 + cosx +C. C. 12x + cosx +C. D. x 4 − cosx− 2x +C. Câu80. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x là A. F (x) =− 1 2 cos 2x +C. B. F (x) = cos 2x +C. C. F (x) = 1 2 cos 2x +C. D. F (x) =− cos 2x +C. Câu81. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 5 x là A. 5 x ln 5 +C. B. 5 x · ln 5 +C. C. 5 x+1 x + 1 +C. D. 5 x+1 +C. Câu82. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = e 2x . A. F (x) = e x +C. B. F (x) = e x 2 +C. C. F (x) = e 2x +C. D. F (x) = e 2x 2 +C. Câu83. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 x − 1 x 2 +x trên khoảng (0; +∞). A. F (x) = 2 ln|x| + 1 x + x 2 2 +C. B. F (x) = lnx− lnx 2 + x 2 2 +C. C. F (x) = lnx− 1 x + x 2 2 +C. D. F (x) = ln|x| + 1 x + x 2 2 +C. Câu84. Tìm nguyên hàm I = Z e −x + 2x dx. A. I =−e −x +x 2 +C. B. I = e −x +x 2 +C. C. I =−e −x −x 2 +C. D. I = e −x −x 2 +C. Câu85. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx là A.− sinx +C. B. sinx +C. C. cosx +C. D.− cosx +C. Câu86. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = cosx? A. y = tanx. B. y = cotx. C. y = sinx. D. y =− sinx. Câu87. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Z f 0 (x) dx =f(x) +C với mọi hàm f(x) có đạo hàm trênR. B. Z [f(x) +g(x)] dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x), g(x) có đạo hàm trênR. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1241. NGUYÊN HÀM 125 | Page C. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f(x) có đạo hàm trênR. D. Z [f(x)−g(x)] dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x), g(x) có đạo hàm trênR. Câu88. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(3ax + 1) (với a là tham số khác 0). A. cos(3ax + 1) +C. B. 1 3a cos(3ax + 1) +C. C.− 1 3a cos(3ax + 1) +C. D.− cos(3ax + 1) +C. Câu89. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 2 trên khoảng (−∞;−2) là A. ln|x + 2| +C. B. 1 2 ln|x + 2| +C. C. ln(x + 2) +C. D. 1 2 ln(x + 2) +C. Câu90. Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức SAI? A. Z a x dx = a x lna +C (a> 0;a6= 1). B. Z sinx dx = cosx +C. C. Z cosx dx = sinx +C. D. Z x α dx = x α+1 α + 1 +C (α6=−1). Câu91. Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin(x− 1). A. Z sin(x− 1) dx =− cos(x− 1) +C. B. Z sin(x− 1) dx = cos(x− 1) +C. C. Z sin(x− 1) dx = (x− 1) cos(x− 1) +C. D. Z sin(x− 1) dx = (1−x) cos(x− 1) +C. Câu92. Tìm nguyên hàm của hàm số y =x 3 . A. Z x 3 dx = 3x 4 +C. B. Z x 3 dx = 1 4 x 4 +C. C. Z x 3 dx = 4x 4 +C. D. Z x 3 dx = 1 3 x 4 +C. Câu93. Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos(3x− 2). A. Z cos(3x− 2)dx =− 1 3 sin(3x− 2) +C. B. Z cos(3x− 2)dx =− 1 2 sin(3x− 2) +C. C. Z cos(3x− 2)dx = 1 2 sin(3x− 2) +C. D. Z cos(3x− 2)dx = 1 3 sin(3x− 2) +C. Câu94. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là A. sinx +C. B. cosx +C. C. − sinx +C. D.− cosx +C. Câu95. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x là biểu thức nào sau đây? A. ln|x| +C. B. −e x +C. C. e x +C. D. 1 x +C. Câu96. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 là họ hàm số nào sau đây? A. x 2 +x +C. B. x 2 + 1 +C. C. 2x 2 + 1 +C. D. 4x 2 +x +C. Câu97. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng? A. Z 1 cos 2 x dx = tanx +C. B. Z a x dx = a x lna +C (0
0,a6= 1). Câu112. BiếtrằngF (x)làmộtnguyênhàmcủahàmsốf(x) = sin(1−2x)vàthỏamãnF 1 2 = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. F (x) = cos(1− 2x). B. F (x) = cos(1− 2x) + 1. C. F (x) =− 1 2 cos(1− 2x) + 3 2 . D. F (x) = 1 2 cos(1− 2x) + 1 2 . Câu113. Hàm số f(x) = √ x + 3 là một nguyên hàm của hàm số nào bên dưới? A. g(x) = 2 3 (x + 3) 3 2 +C. B. g(x) = 1 2 √ x + 3 . C. g(x) = −1 √ x + 3 . D. g(x) = 3 2 (x + 3) 3 2 +C. Câu114. Tìm F (x) = Z cosx dx. A. sinx +C. B. cosx +C. C. − cosx +C. D.− sinx +C. Câu115. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Z 2 x dx = 2 x ln2 +C. B. Z lnx dx = 1 x +C. C. Z e x dx =−e x +C. D. Z x 3 dx = x 4 4 +C. Câu116. ChoF (x) vàf 0 (x) lần lượt là một nguyên hàm và đạo hàm của hàm sốf(x). Khẳng định nào sau đây là sai? A. b R a f(x) dx =F (a)−F (b). B. a Z b f(x) dx = c Z a f(x) dx + c Z b f(x) dx. C. b Z a dx =b−a. D. b Z a f 0 (x) dx =f(b)−f(a). Câu117. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Z e x dx = e x+1 x + 1 +C. B. Z x e dx = x e+1 e + 1 +C. C. Z cos 2xdx = 1 2 sin 2x +C. D. Z 1 x dx = ln|x| +C. Câu118. Tính tích phân I = 1 Z 0 3 x dx. A. I = 2 ln 3 . B. I = 3 ln 3 . C. I = 1 2 . D. I = 2. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1271. NGUYÊN HÀM 128 | Page Câu119. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 1 là A. 3 x lnx +x +C. B. 3 x ln 3 +x +C. C. 3 x ln 3 +C. D. 3 x +x +C. Câu120. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. Z cosx dx = sinx +C. B. Z sinx dx =− cosx +C. C. Z e x dx = e x +C. D. Z 1 sin 2 x dx =− tanx +C. Câu121. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos(2x + 3). A. F (x) =− sin(2x + 3) +C. B. F (x) = 1 2 sin(2x + 3) +C. C. F (x) =− 1 2 sin(2x + 3) +C. D. F (x) = sin(2x + 3) +C. Câu122. Tính Z 4 sin 2x + π 3 dx, kết quả nào sau đây là đúng? A.−2 cos 2x + π 3 +C. B.− 1 2 cos 2x + π 3 +C. C.−4 cos 2x + π 3 +C. D. 2 cos 2x + π 3 +C. Câu123. Nguyên hàm I = Z 1 2x + 1 dx bằng A.− 1 2 ln|2x + 1| +C. B. − ln|2x + 1| +C. C. 1 2 ln|2x + 1| +C. D. ln|2x + 1| +C. Câu124. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 2 +x + 1 là A. 2x 3 3 +x 2 +x +C. B. 4x + 1. C. 2x 3 3 + x 2 2 +x. D. 2x 3 3 + x 2 2 +x +C. Câu125. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx− 1 là A. cosx−x +C. B. − cosx +C. C. − cosx−x +C. D. cosx−x +C. Câu126. Tính nguyên hàm Z cos 3x dx. A.−3 sin 3x +c. B. 1 3 sin 3x +c. C. 3 sin 3x +c. D.− 1 3 sin 3x +c. Câu127. Công thức nguyên hàm nào sau đây là sai? A. Z dx x = lnx +C. B. Z x α dx = x α+1 α + 1 +C. C. Z a x dx = a x lna +C (<α6=−1). D. Z 1 cos 2 x dx = tanx +C. Câu128. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trênK và a,b∈K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. b Z a [f(x) +g(x)] dx = b Z a f(x) dx + b Z a g(x) dx. B. b Z a kf(x) dx =k b Z a f(x) dx. C. b Z a [f(x)g(x)] dx = b Z a f(x) dx· b Z a g(x) dx. D. b Z a [f(x)−g(x)] dx = b Z a f(x) dx− b Z a g(x) dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1281. NGUYÊN HÀM 129 | Page Câu129. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2x+3 là A. Z f(x) dx = 1 3 e 2x+3 +C. B. Z f(x) dx = e 2x+3 +C. C. Z f(x) dx = 1 2 e 2x+3 +C. D. Z f(x) dx = 2e 2x+3 +C. Câu130. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x + 3 là A. 1 2 ln(2x + 3) +C. B. 1 2 ln|2x + 3| +C. C. ln|2x + 3| +C. D. 1 ln 2 ln|2x + 3| +C. Câu131. Họ nguyên hàm của hàm số y = sin 2x là A. y =− 1 2 cos 2x +C . B. y =− 1 2 cos 2x. C. y = 1 2 cos 2x +C . D. y =− cos 2x +C . Câu132. Tích phân π 2 Z 0 e cosx · sinx dx bằng A. 1− e. B. e + 1. C. e− 1. D. e. Câu133. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7 x . A. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. B. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. C. Z 7 x dx = 7 x+1 x + 1 +C. D. Z 7 x dx = 7 x+1 +C. Câu134. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Z sinx dx = cosx +C. B. Z 2x dx =x 2 +C. C. Z e x dx = e x +C. D. Z 1 x dx = ln|x| +C. Câu135. Kết luận nào sau đây đúng? A. Z sinx dx =− sinx +C. B. Z sinx dx = sinx +C. C. Z sinx dx =− cosx +C. D. Z sinx dx = cosx +C. Câu136. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Z (f(x) +g(x)) dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx với mọi hàm số f(x),g(x) liên tục trênR. B. Z (f(x)−g(x)) dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx với mọi hàm số f(x),g(x) liên tục trênR. C. Z (f(x)·g(x)) dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx với mọi hàm số f(x),g(x) liên tục trênR. D. Z f 0 (x) dx =f(x) +C với mọi hàm số f(x) có đạo hàm trênR. Câu137. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 2x 3 x − √ x 4 x . A. F (x) = 12 x ln 12 − 2x √ x 3 +C. B. F (x) = 12 x +x √ x +C. C. F (x) = 2 2x ln 2 3 x ln 3 − x √ x 4 x +C. D. F (x) = 2 2x ln 2 3 x ln 3 − x √ x ln 4 4 x +C. Câu138. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x 5 − 1 x + 2018 là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1291. NGUYÊN HÀM 130 | Page A. 4 6 x 6 + ln|x| + 2018x +C. B. 2 3 x 6 − lnx + 2018x +C. C. 20x 4 + 1 x 2 +C. D. 2 3 x 6 − ln|x| + 2018x +C. Câu139. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x + 2 là A. 5 cos 5x +C. B.− 1 5 cos 5x + 2x +C. C. 1 5 cos 5x + 2x +C. D. cos 5x + 2x +C. Câu140. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx là A. cosx +C. B. sinx +C. C. − cosx +C. D.− sinx +C. Câu141. Khẳng định nào sau đây sai (C là hằng số)? A. Z 1 cos 2 x dx = tanx +C. B. Z 1 sin 2 x dx =− cotx +C. C. Z sinx dx = cosx +C. D. Z cosx dx = sinx +C. Câu142. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 3 + 2 sinx và f(0) = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f(x) = 3x− 2 cosx + 5. B. f(x) = 3x + 2 cosx + 3. C. f(x) = 3x− 2 cosx + 3. D. f(x) = 3x + 2 cosx + 5. Câu143. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x . A. Z 3 x dx = 3 x +C. B. Z 3 x dx = 3 x ln 3 +C. C. Z 3 x dx = 3 x ln 3 +C. D. Z 3 x dx = 3 x+1 x + 1 +C. Câu144. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Z sinx dx = cosx +C. B. Z 1 x dx =− 1 x 2 +C. C. Z e x dx = e x +C. D. Z lnx dx = 1 x +C. Câu145. Tính nguyên hàm A = Z 1 x lnx dx bằng cách đặt t = lnx. Mệnh đề nào dưới dây đúng? A. A = Z dt. B. A = Z 1 t 2 dt. C. A = Z t dt. D. A = Z 1 t dt. Câu146. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1. A. Z (2x + 1) dx = x 2 2 +x +C. B. Z (2x + 1) dx =x 2 +x +C. C. Z (2x + 1) dx = 2x 2 + 1 +C. D. Z (2x + 1) dx =x 2 +C. Câu147. Họ các nguyên hàm của hàm số y = 10 2x là A. 10 x 2 ln 10 +C. B. 10 2x 2 ln 10 +C. C. 10 2x 2 ln 10 +C. D. 10 2x ln 10 +C. Câu148. Họ nguyên hàm Z sinx dx bằng A. cosx +C. B. − sinx +C. C. − cosx +C. D. sinx +C. Câu149. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1301. NGUYÊN HÀM 131 | Page A. sin 2x +C. B. 1 2 sin 2x +C. C. − 1 2 sin 2x +C. D. 2 sin 2x +C. Câu150. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2018x . A. Z f(x) dx = e 2018x +C. B. Z f(x) dx = 1 2018 · e 2018x +C. C. Z f(x) dx = 2018· e 2018x +C. D. Z f(x) dx = e 2018x · ln 2018 +C. Câu151. Họ nguyên hàm của hàm số y = cos 3x là A. sin 3x 3 +C. B. − sin 3x 3 +C. C. sin 3x +C. D.− sin 3x +C. Câu152. Họ nguyên hàm của hàm số ex e + 4 là A. ex e+1 + 4x +C. B. e 2 x e−1 +C. C. ex e+1 e + 1 + 4x +C. D. x e+1 e + 1 + 4x +C. Câu153. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 cosx + 1 x 2 trên (0; +∞). A. 3 cosx + lnx +C. B. 3 sinx− 1 x +C. C. −3 sinx + 1 x +C. D. 3 cosx + 1 x +C. Câu154. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm sốf(x) =x 3 ? A. y = x 4 4 − 1. B. y = x 4 4 + 1. C. y = x 4 4 . D. y = 3x 2 . Câu155. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y =x 2 . Giá trị của biểu thức F 0 (4) là A. 2. B. 4. C. 8. D. 16. Câu156. Nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3− 1 sin 2 x là A. F (x) = 3x− tanx +C. B. F (x) = 3x + tanx +C. C. F (x) = 3x + cotx +C. D. F (x) = 3x− cotx +C. Câu157. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e x − e −x . A. Z f(x) dx = e x + e −x +C. B. Z f(x) dx = e x − e −x +C. C. Z f(x) dx =−e x − e −x +C. D. Z f(x) dx =−e x + e −x +C. Câu158. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x. A. F (x) = 2 sin 2x +C. B. F (x) =− 1 2 sin 2x +C. C. F (x) = 1 2 sin 2x +C. D. F (x) =−2 sin 2x +C. Câu159. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Z f 0 (x)dx =f(x) +C. B. Z f 0 (ax +b)dx = 1 a ·f(x) +C. C. Z f 0 (x)dx =f 00 (x) +C. D. Z f 0 (x)dx =a·f(ax +b) +C. Câu160. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = 12x 5 . A. y = 12x 6 + 5. B. y = 2x 6 + 3. C. y = 12x 4 . D. y = 60x 4 . Câu161. Tính nguyên hàm I = Z (2 x + 3 x ) dx. A. I = 2 x ln 2 + 3 x ln 3 +C. B. I = ln 2 2 x + ln 3 3 x +C. C. I = ln 2 2 + ln 3 3 +C. D. I =− ln 2 2 − ln 3 3 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1311. NGUYÊN HÀM 132 | Page Câu162. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. Z [f(x)·g(x)] dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx . B. Z [f(x)±g(x)] dx = Z f(x) dx± Z g(x) dx . C. Z f 0 (x) dx =f(x) +C . D. Z [k·f(x)] dx =k· Z f(x) dx . Câu163. Tìm H = Z 4 √ 2x− 1 dx. A. H = 2 5 (2x− 1) 5 4 +C. B. H = (2x− 1) 5 4 +C. C. H = 1 5 (2x− 1) 5 4 +C. D. H = 8 5 (2x− 1) 5 4 +C. Câu164. Cho hai hàm sốf(x),g(x) liên tục trênR. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai? A. Z [f(x) +g(x)] dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx. B. Z [f(x)·g(x)] dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx. C. Z [f(x)−g(x)] dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx. D. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx. Câu165. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e 1 2 x . A. Z f(x) dx = 2e 1 2 x +C. B. Z f(x) dx = 1 2 e 1 2 x +C. C. Z f(x) dx = e 1 2 x +C. D. Z f(x) dx = 2 3 e 1 2 x +C. Câu166. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x. A. Z sin 3x dx =− cos 3x 3 +C. B. Z sin 3x dx = cos 3x 3 +C. C. Z sin 3x dx =− sin 3x 3 +C. D. Z sin 3x dx =− cos 3x +C. Câu167. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 3x + 1 . A. ln|3x + 1| +C. B. 1 3 ln|3x + 1| +C. C. 1 3 ln(3x + 1) +C. D. ln(3x + 1) +C. Câu168. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x. A.−3 sin 3x +C. B. − 1 3 sin 3x +C. C. − sin 3x +C. D. 1 3 sin 3x +C. Câu169. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + x 2 . A. Z f(x) dx = x 3 3 + x 2 4 +C. B. Z f(x) dx =x 3 + x 2 2 +C. C. Z f(x) dx =x 3 + x 2 4 +C. D. Z f(x) dx =x 3 + x 2 4 . Câu170. Nguyên hàm Z sin 2x dx bằng A.− 1 2 cos 2x +C. B. cos 2x +C. C. 1 2 cos 2x +C. D.− cos 2x +C. Câu171. Nguyên hàm của hàm số y = e −3x+1 là A. 1 3 e −3x+1 +C. B. −3e −3x+1 +C. C. − 1 3 e −3x+1 +C. D. 3e −3x+1 +C. Câu172. Cho hàm số f(x) = e 2x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Z f(x) dx = e 2x +C . B. Z f(x) dx = 1 2 e 2x +C . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1321. NGUYÊN HÀM 133 | Page C. Z f(x) dx =− 1 2 e 2x +C . D. Z f(x) dx = 1 2x e 2x +C . Câu173. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 . A. Z x 2 dx = x 2 2 +C . B. Z x 2 dx = 2x +C . C. Z x 2 dx = x 3 3 +C . D. Z x 2 dx = x 3 3 . Câu174. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai? A. Z kf(x)dx =k Z f(x)dx với k∈R. B. Z [f(x) +g(x)]dx = Z f(x)dx + Z g(x)dx với f(x),g(x) liên tục trênR. C. Z x α dx = 1 α + 1 x α+1 +C với α6=−1. D. Z f(x)dx 0 =f(x). Câu175. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 2 +x− 1 x 2 . A. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx = 2 + 1 x − 1 x 2 + C. B. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx = 2x + 1 x + ln|x| + C. C. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx =x 2 + ln|x| + 1 x + C. D. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx =x 2 − 1 x + ln|x| + C. Câu176. Nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + sinx là A. F (x) = e x + cosx +C. B. F (x) = e x − sinx +C. C. y = e x + sinx +C. D. y = e x − cosx +C. Câu177. Nguyên hàm của hàm số y =x 2 − 3x + 1 x là A. x 3 3 − 3x 2 2 − ln|x| +C. B. x 3 3 − 3x 2 2 + 1 x 2 +C. C. x 3 3 − 3x 2 2 + lnx +C. D. x 3 3 − 3x 2 2 + ln|x| +C. Câu178. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng? A. Z a x dx = a x lna +C(0