Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

MỤCLỤC I ĐẠISỐVÀGIẢITÍCH 1 Chương3. NGUYÊNHÀM-TÍCHPHÂNVÀỨNGDỤNG 2 x1 – NGUYÊN HÀM 2 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1. Nguyên hàm và tính chất............................................................ 2 1.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Phương pháp tính nguyên hàm ...................................................... 3 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số . . . . . . . . . . . 3 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 | Dạng 1.1: Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 | Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 | Dạng 1.3: Nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 C C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 1. Mức độ nhận biết ................................................................. 116 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 2. Mức độ thông hiểu................................................................ 134 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 3. Mức độ vận dụng thấp ............................................................ 151 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 4. Mức độ vận dụng cao.............................................................. 165 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 x2 – TÍCH PHÂN 171 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 1. Khái niệm tích phân............................................................... 171 1.1 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171MỤC LỤC ii | Page 1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2. Phương pháp tính tích phân....................................................... 171 2.1 Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 172 B B CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 | Dạng 2.4: Tích phân cơ bản và tính chất tính phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 | Dạng 2.5: Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 | Dạng 2.6: Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190 | Dạng 2.7: Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Z a |f(x)| dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220 | Dạng 2.8: Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 | Dạng 2.9: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303 C C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340 1. Mức độ nhận biết ................................................................. 340 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352 2. Mức độ thông hiểu................................................................ 353 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385 3. Mức độ vận dụng thấp ............................................................ 386 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423 4. Mức độ vận dụng cao.............................................................. 425 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444 x3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 445 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành............................ 446 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong........................................... 448 3. Tính thể tích khối tròn xoay....................................................... 450 B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452 | Dạng 3.10: Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452 | Dạng 3.11: Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462 | Dạng 3.12: Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470 | Dạng 3.13: Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474 C C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484 1. Mức độ nhận biết ................................................................. 484 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa iiMỤC LỤC iii | Page Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504 2. Mức độ thông hiểu................................................................ 505 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516 3. Mức độ vận dụng thấp ............................................................ 517 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .528 4. Mức độ vận dụng cao.............................................................. 528 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .535 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa iiiPHẦN ĐẠISỐVÀ GIẢITÍCH I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50NGUYÊNHÀM-TÍCH PHÂNVÀỨNGDỤNG CHƯƠNG 3 NGUYÊNHÀM NGUYÊNHÀM 1 Chủ đề A.KIẾNTHỨCTRỌNGTÂM 1. Nguyên hàm và tính chất 1.1. Nguyên hàm c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trênK. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trênK nếu F 0 (x) =f(x) với mọi x∈K. d Định lí 1.1. NếuF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênK thì với mỗi hằng sốC, hàm số G(x) =F (x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trênK. d Định lí 1.2. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trênK thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trênK đều có dạng F (x) +C, với C là một hằng số. d Định lí 1.3. Mọi hàm số f(x) liên tục trênK đều có nguyên hàm trênK. 1.2. Tính chất c Tính chât 1.1. Z f 0 (x) dx =f(x) +C c Tính chât 1.2. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx (k là một hằng số khác 0).1. NGUYÊN HÀM 3 | Page c Tính chât 1.3. Z  f(x)±g(x)  dx = Z f(x) dx± Z g(x) dx 2. Phương pháp tính nguyên hàm 2.1. Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số d Định lí 1.4. Nếu Z f(u) du =F (u) +C và u =u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f(u(x))u 0 (x) dx =F (u(x)) +C. 2.2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần d Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u =u(x) và v =v(x) có đạo hàm liên tục trênK thì Z u(x)·v 0 (x) dx =u(x)v(x)− Z u 0 (x)v(x) dx. Nhận xét. Vìv 0 (x) dx = dv,u 0 (x) dx = dunênđẳngthứctrêncònđượcviếtởdạng Z u dv =uv− Z v du. Để tính nguyên hàm Z f (x) dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1: Chọn u,v sao cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v 0 (x) dx). Sau đó tính v = Z dv và du =u 0 · dx. Bước 2:Thay vào công thức (∗) và tính Z v du. Chú ý. Cần phải lựa chọnu vàdv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân Z v du dễ tính hơn Z u dv. Ta thường gặp các dạng sau Dạng 1: I = Z P (x) 2 4 sinx cosx 3 5 dx. Với dạng này, ta đặt 8 > > > < > > > : u =P (x) dv = 2 4 sinx cosx 3 5 dx Dạng 2: I = Z P (x) e ax+b dx, trong đó P (x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt 8 < : u =P (x) dv = e ax+b dx. Dạng3: I = Z P (x) ln (mx +n) dx,trongđóP (x)làđathức.Vớidạngnày,tađặt 8 < : u = ln (mx +n) dv =P (x) dx. Dạng 4: I = Z 2 4 sinx cosx 3 5 e x dx. Với dạng này ta đặt 8 > > > < > > > : u = 2 4 sinx cosx 3 5 dx = e x dx Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm hợp u =u(x) ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 31. NGUYÊN HÀM 4 | Page 1 Z 0 dx =C 1 Z 0 du =C 2 Z 1 dx =x +C 2 Z 1 du =u +C 3 Z x α dx = x α+1 α + 1 +C 3 Z u α du = u α+1 α + 1 +C 4 Z 1 x dx = ln|x| +C 4 Z 1 u du = ln|u| +C 5 Z e x dx = ee x +C 5 Z e u du = e u +C 6 Z a x dx = a x lna +C 6 Z a u du = a u lna +C 7 Z cosx dx = sinx +C 7 Z cosu du = sinu +C 8 Z sinx dx =− cosx +C 8 Z sinu du =− cosu +C 9 Z 1 cos 2 x dx = tanx +C 9 Z 1 cos 2 u du = tanu +C 10 Z 1 sin 2 x dx =− cotx +C 10 Z 1 sin 2 u du =− cotu +C 11 Z 1 2 √ x dx = √ x +C 11 Z 1 2 √ u du = √ u +C 2.3. Bảng nguyên hàm cơ bản 1 Z (ax +b) α dx = 1 a (ax +b) α+1 α + 1 +C(α6=−1) 10 Z 1 ax +b dx = 1 a ln|ax +b| +C 2 Z e ax+b dx = 1 a e ax+b +C 11 Z cos(ax +b)dx = 1 a sin(ax +b) +C 3 Z sin(ax +b)dx =− 1 a cos(ax +b) +C 12 Z 1 cos 2 (ax +b) dx = 1 a tan(ax +b) +C 4 Z 1 sin 2 (ax +b) dx =− 1 a cot(ax +b) +C 13 Z tan(ax +b)dx =− 1 a ln|cos(ax +b)| +C 5 Z cot(ax +b)dx = 1 a ln|sin(ax +b)| +C 14 Z dx a 2 +x 2 = 1 a arctan x a +C ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 41. NGUYÊN HÀM 5 | Page 6 Z dx a 2 −x 2 = 1 2a ln a +x a−x +C 15 Z dx √ x 2 +a 2 = ln € x + √ x 2 +a 2 Š +C 7 Z dx √ a 2 −x 2 = arcsin x |a| =C 16 Z dx x. √ x 2 −a 2 = 1 a arccos x a +C 8 Z ln(ax +b)dx =  x + b a ‹ ln(ax +b)−x +C 17 Z √ a 2 −x 2 dx = x √ a 2 −x 2 2 + a 2 2 arcsin x a +C 9 Z e ax cosbxdx = e ax (a cosbx) +b sinbx a 2 +b 2 +C 18 Z e ax sinbxdx = e ax (a sinbx)−b cosbx a 2 +b 2 +C 2.4. Bảng nguyên hàm mở rộng B.CÁCDẠNGTOÁNVÀBÀITẬP p Dạng 1.1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải a) Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP −−−−−−−→ khai triển. b) Tích các hàm mũ PP −−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. c) Chứa căn PP −−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. d) Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP −−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng. • sina cosb = 1 2 [sin(a +b) + sin(a−b)] • sina sinb = 1 2 [cos(a−b)− cos(a +b)] • cosa cosb = 1 2 [cos(a +b) + cos(a−b)] e) Bậc chẵn của sin và cosin⇒ Hạ bậc: sin 2 x = 1 2 − 1 2 cos 2a, cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos 2a. f) Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I = Z P (x) Q(x) dx, với P (x), Q(x) là các đa thức. • Nếu bậc của tử số P (x)≥ bậc của mẫu số Q(x) PP −−−−−−−→ Chia đa thức. • Nếu bậc của tử số P (x) < bậc của mẫu số Q(x) PP −−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q(x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che). † 1 (x−m)(ax 2 +bx +c) = A x−m + Bx +C ax 2 +bx +c , với Δ =b 2 − 4ac. † 1 (x−a) 2 (x−b) 2 = A x−a + B (x−a) 2 + C x−b + D (x−b) 2 . Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến. Vídụ1 d Tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 1 3 x = ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 51. NGUYÊN HÀM 6 | Page |Lờigiải. Ta có F (x) = Z  3x 2 + 1 3 x ‹ dx =x 3 + x 2 6 +C.  Bài1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định), biết a) f(x) = 2x 3 − 5x 2 − 4x + 7 = |Lờigiải. ...................................................................................................... b) f(x) = 6x 5 − 12x 3 +x 2 − 8 = |Lờigiải. ...................................................................................................... c) f(x) = (x 2 − 3x)(x + 1) |Lờigiải. ...................................................................................................... d) f(x) = (x− 1)(x 2 + 2) |Lờigiải. ...................................................................................................... e) f(x) =x(x 2 + 1) 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = (3−x) 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... g) f(x) = (2x + 1) 5 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = (2x− 10) 2018 |Lờigiải. ...................................................................................................... i) f(x) = (3− 4x) 2019 |Lờigiải. ...................................................................................................... j) f(x) = (2x 2 − 1) 2 |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 61. NGUYÊN HÀM 7 | Page ...................................................................................................... k) f(x) = (x 2 + 1) 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... Vídụ2 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4x 3 − 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 |Lờigiải. Ta có F (x) = Z f(x)dx = Z 4x 3 − 4x + 5
dx =x 4 − 2x 2 + 5x +C. Vì F (1) = 3⇔ 1− 2 + 5 +C = 3⇔C =−1. Suy ra F (x) =x 4 − 2x 2 + 5x− 1.  Bài2. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =−x 3 + 3x 2 − 2x thỏa mãn F (1) = 0 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3x 3 − 2x 2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =−5x 4 + 4x 2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm số f(x) =x 3 + 3x 2 + 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 71. NGUYÊN HÀM 8 | Page ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (1−x) 9 thỏa 10F (2) = 9 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Hàm số f(x) = (2x + 1) 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F  1 2 ‹ = 4. Tính F  3 2 ‹ |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Hàm số f(x) = (1− 2x) 5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F  − 1 2 ‹ = 2 3 . Tính F (1) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x− 3) 2 thỏa F (0) = 1 3 . Tính giá trị của biểu thức P = log 2 [3F (1)− 2F (2)] |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Gọi F 1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 (x) =x(x + 2) 2 thỏa F 1 (0) = 1 và F 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 3 + 4x 2 + 5 thỏa F 2 (0) =−2. Tìm nghiệm của phương trình F 1 (x) =F 2 (x) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 81. NGUYÊN HÀM 9 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) GọiF 1 (x) là một nguyên hàm của hàm sốf 1 (x) = (x + 1)(x + 2) thỏaF 1 (0) = 0 vàF 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 2 +x− 2 thỏa F 2 (0) = 0. Biết phương trình F 1 (x) =F 2 (x) có hai nghiệm là x 1 , x 2 . Tính 2 x 1 + 2 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ3 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4x 3 − 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3. |Lờigiải. Ta có F (x) = Z f(x)dx = Z 4x 3 − 4x + 5
dx =x 4 − 2x 2 + 5x +C. Vì F (1) = 3⇔ 1− 2 + 5 +C = 3⇔C =−1. Suy ra F (x) =x 4 − 2x 2 + 5x− 1.  Bài3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =−x 3 + 3x 2 − 2x thỏa mãn F (1) = 0 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 91. NGUYÊN HÀM 10 | Page b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3x 3 − 2x 2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =−5x 4 + 4x 2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm số f(x) =x 3 + 3x 2 + 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (1−x) 9 thỏa 10F (2) = 9 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Hàm số f(x) = (2x + 1) 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F  1 2 ‹ = 4. Tính F  3 2 ‹ |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Hàm số f(x) = (1− 2x) 5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F  − 1 2 ‹ = 2 3 . Tính F (1) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 101. NGUYÊN HÀM 11 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x− 3) 2 thỏa F (0) = 1 3 . Tính giá trị của biểu thức P = log 2 [3F (1)− 2F (2)] |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Gọi F 1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 (x) =x(x + 2) 2 thỏa F 1 (0) = 1 và F 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 3 + 4x 2 + 5 thỏa F 2 (0) =−2. Tìm nghiệm của phương trình F 1 (x) =F 2 (x) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) GọiF 1 (x) là một nguyên hàm của hàm sốf 1 (x) = (x + 1)(x + 2) thỏaF 1 (0) = 0 vàF 2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 (x) = x 2 +x− 2 thỏa F 2 (0) = 0. Biết phương trình F 1 (x) =F 2 (x) có hai nghiệm là x 1 , x 2 . Tính 2 x 1 + 2 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 111. NGUYÊN HÀM 12 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ4 d Tìm nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) (giả sử điều kiện được xác định).f(x) =x 2 −3x+ 1 x |Lờigiải. Ta có F (x) = Z  x 2 − 3x + 1 x ‹ dx = x 3 3 − 3 2 x 2 + ln|x| +C.  Bài4. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định). a) f(x) = 3x 2 + 1 x − 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 3x 2 − 2 x − 1 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = x 2 − 3x + 1 x = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = 2x 4 −x 2 − 3x x 2 = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = 1 2x− 1 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = 1 3− 4x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 121. NGUYÊN HÀM 13 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) f(x) = 5 3x + 1 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = 3 2− 4x |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) f(x) = 2 5− 2x + 2 x + 3 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) f(x) = 4 2x + 1 + 5 x − 2 x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) f(x) = 12 (x− 1) 2 + 2 2x− 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) f(x) = 6 (3x− 1) 2 − 9 3x− 1 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 131. NGUYÊN HÀM 14 | Page Vídụ5 d Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định). f(x) = 1 x + 1 (2−x) 2 − 2x |Lờigiải. Ta có F (x) = Z  1 x + 1 (2−x) 2 − 2 ‹ dx = ln|x|− 1 x− 2 −x 2 +C.  Bài5. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định). a) f(x) = 1 x 3 − 2 x 2 + 4 x 4 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 2 (2x− 1) 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài6. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 2x− 5 thỏa mãn F (1) = 2 ln √ 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 5 2− 10x thỏa mãn F (2) = 3 ln 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x− 1 và F (2) = 1. Tính F (3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x + 1 và F (0) = 2. Tính F (e) ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 141. NGUYÊN HÀM 15 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) cho hàm số y =f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 1 2x− 1 và f(1) = 1. Tính f(5) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 2 2x− 1 , f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức P =f (−1) +f (3) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 2 x− 1 , f (0) = 3 và f (2) = 4. Giá trị của biểu thức P =f (−2) +f (5) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 151. NGUYÊN HÀM 16 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 6 3x− 1 , f (−2) = 2 và f (1) = 1. Giá trị của biểu thức P =f (−1) +f (4) |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ6 d Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa f(x) = n √ ax +b. |Lờigiải. Đặt t = n √ ax +b⇒t n =ax +b⇒n·t n−1 dt =a·dx. Suy ra F (x) = Z n·t n−1 ·t a dt = n (n + 1)a ·t n+1 +C = n (n + 1)a · (ax +b) n √ ax +b +C.  Nhận xét. Z n √ ax +b dx = n (n + 1)a · (ax +b) n √ ax +b +C. • Với n = 2, suy ra F (x) = Z √ ax +b dx = 2 3a (ax +b) √ ax +b +C. • Với n = 3, suy ra F (x) = Z 3 √ ax +b dx = 3 4a (ax +b) 3 √ ax +b +C. Bài7. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ x thỏa mãn F (4) = 19 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 161. NGUYÊN HÀM 17 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 2x− 1 thỏa mãn F (1) = 4 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 4x− 5 thỏa mãn F  9 4 ‹ = 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 5− 2x thỏa mãn F  1 2 ‹ =− 7 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ 1−x thỏa mãn F (−3) = 5 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3 √ 2x− 4 thỏa mãn F (−2) = 1 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 171. NGUYÊN HÀM 18 | Page ...................................................................................................... g) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 √ x− 2 thỏa mãn F (3) = 7 4 . Tính giá trị biểu thức T = 2 log 13 [F(10)] + 3 log 13 [F(−6)] . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3 √ 3− 5x thỏa mãn F (−1) =− 8 5 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Cho f(x) = 1 n √ ax +b . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Nhận xét. Z 1 n √ ax +b dx = n (n− 1)a · ax +b n √ ax +b +C . • Với n = 2, suy ra F (x) = Z 1 √ ax +b dx = 2 a · √ ax +b +C. • Với n = 3, suy ra F (x) = Z 1 3 √ ax +b dx = 3 2a · 3 p (ax +b) 2 +C. j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 √ 4x− 1 thỏa mãn F (3) = 3 √ 11. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 181. NGUYÊN HÀM 19 | Page k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 √ 3x− 1 thỏa mãn F (2) = √ 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 √ 1− 2x thỏa mãn F  − 3 2 ‹ = 2018. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Biết Z dx √ x + 2 + √ x + 1 =a(x + 2) √ x + 2 +b(x + 1) √ x + 1 +C với a,b là các số hữu tỷ và C là hằng số bất kỳ. Tính S = 3a +b. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 √ x + √ x + 1 thỏa F (0) = 2 3 . Tính giá trị của biểu thức T = 3 [F (3) +F (2)] + 4 √ 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 191. NGUYÊN HÀM 20 | Page ...................................................................................................... Vídụ7 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3 √ 2x + 1− √ 2x− 2 thỏa F (1) = √ 2. |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z 3 √ 2x + 1− √ 2x− 2 dx = Z 3 √ 2x + 1 + √ 2x− 2
√ 2x + 1− √ 2x− 2
√ 2x + 1 + √ 2x− 2
dx = Z 3 √ 2x + 1 + √ 2x− 2
3 dx = Z € √ 2x + 1 + √ 2x− 2 Š dx = Z √ 2x + 1 dx + Z √ 2x− 2 dx = 1 2 Z √ 2x + 1 d(2x + 1) + 1 2 Z √ 2x− 2 d(2x− 2) = 1 3 (2x + 1) √ 2x− 1 + 1 3 (2x− 2) √ 2x− 2 +C. Vì F (1) = √ 2 nên suy ra √ 3 +C = √ 2⇒C = √ 2− √ 3. Vậy F (x) = 1 3 (2x + 1) √ 2x + 1 + 1 3 (2x− 2) √ 2x− 2 + √ 2− √ 3.  Bài8. a) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 9x √ x + 10 + √ 10− 8x thỏaF (0) = √ 10. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 201. NGUYÊN HÀM 21 | Page ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x √ 3x + 7− √ 7− 3x thỏa F (2) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsốf(x) = 1 (x + 1) √ x−x √ x + 1 thỏaF (2) = 2 √ 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 211. NGUYÊN HÀM 22 | Page d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 (x + 2) √ x + 1 + (x + 1) √ x + 2 thỏa F (3) = 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 (x + 2) √ x−x √ x + 2 thỏaF (1) = √ 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 221. NGUYÊN HÀM 23 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ8 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =x + sinx thỏa mãn điều kiện F (0) = 19. |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z (x + sinx) dx = 1 2 x 2 − cosx +C. Vì F (0) = 19 nên suy ra 0− 1 +C = 19⇒C = 20. Vậy F (x) = 1 2 x 2 − cosx + 20.  Bài9. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k a) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = sinx−cosx thỏa mãn điều kiệnF  π 4  = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x− 3 cosx và F  π 2  = π 2 4 . Tính F (π). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =  sin x 2 − cos x 2  2 thỏa mãn điều kiện F  π 2  = 3π 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 231. NGUYÊN HÀM 24 | Page d) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 2 cos 2 x thỏa mãn điều kiệnF  − π 4  = 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 sin 2 x thỏa mãn điều kiệnF  − π 6  = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x  2 + 1 x sin 2 x ‹ thỏa mãn điều kiện F  π 4  =−1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx + 1 cos 2 x thỏa mãn điều kiện F  − π 4  = √ 2 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 + tan 2 x thỏa mãn điều kiệnF  5π 6 ‹ = √ 3 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 241. NGUYÊN HÀM 25 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = tan 2 x thỏa mãn điều kiện F (0) = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (tanx + cotx) 2 thỏa mãn điều kiện F  π 4  = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = cos 2x sin 2 x cos 2 x thỏa mãn điều kiệnF  π 4  = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 2 x 2 thỏa mãn F  π 2  = 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 2 x 2 thỏa mãn F  π 2  = π 4 . |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 251. NGUYÊN HÀM 26 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ9 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 2x thỏa mãn điều kiện F  π 4  = 5 2 . |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z cos 2x dx = 1 2 sin 2x +C. Vì F  π 4  = 5 2 nên suy ra 1 2 +C = 5 2 ⇒C = 2. Vậy F (x) = 1 2 sin 2x + 2.  Bài10. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k a) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = sin(1− 2x) thỏa mãn điều kiệnF  1 2 ‹ = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 4 x− sin 4 x thỏa mãn điều kiện F  π 4  = 3 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 4 x + sin 4 x thỏa mãn điều kiện F  π 4  = 3π 16 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 261. NGUYÊN HÀM 27 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx(2 + cosx) thỏa mãn điều kiện 4F (0) = 11. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos  3x + π 6  thỏa mãn điều kiện F  π 3  = 5 6 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 6x− cos 4x thỏa mãn điều kiện F  π 8  = √ 2 12 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsốf(x) = sin 2x+3x 2 thỏamãnđiềukiệnF (0) = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 271. NGUYÊN HÀM 28 | Page ...................................................................................................... h) TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsốf(x) = 1+tan 2 x 2 thỏamãnđiềukiệnF  π 2  = 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 1 sin 2 x cos 2 x thỏa mãn điều kiệnF  π 4  = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 (cosx− sinx) 2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 (cosx + sinx) 2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 281. NGUYÊN HÀM 29 | Page ...................................................................................................... l) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = a +b cos 2x thỏa mãn điều kiện F (0) = π 2 , F  π 2  = π 6 và F  π 12  = π 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 sin 5x + √ x + 3 5 thỏa mãn điều kiện đồ thị của hai hàm số F (x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Tìm hàm số F (x). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ10 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 2 x thỏa mãn F (0) = 10. |Lờigiải. Ta có: F (x) = Z cos 2 x dx = Z 1 + cos 2x 2 dx = 1 2 x + 1 4 sin 2x +C. Vì F (0) = 10 nên suy ra C = 10. Vậy F (x) = 1 2 x + 1 4 sin 2x + 10.  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 291. NGUYÊN HÀM 30 | Page Bài11. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 2 2x, biết rằng đồ thị của hàm số y =F (x) đi qua điểm  π 2 ; π 4  . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (1 + sinx) 2 thỏa mãn F (0) = 0. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 4m π +sin 2 x thỏa mãnF (0) = 1 vàF  π 4  = π 8 . Tìm giá thực của tham số m. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho hàm số f(x) = a π + cos 2 x Tìm tất cả các giá trị của a để f(x) có một nguyên hàm ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 301. NGUYÊN HÀM 31 | Page F (x) thỏa mãn đồng thời F (0) = 1 4 và F  π 4  = π 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm hàm số f(x), biết rằng f 0 (x) = cos 2  x + π 4  và f(0) = 13 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ11 d Gọi F 1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 (x) = sin 2 x thỏa F 1 (0) = 0 và F 2 (x) là một nguyên hàm của hàm sốf 2 (x) = cos 2 x thỏa mãnF 2 (0) = 0. Giải phương trìnhF 1 (x) =F 2 (x). |Lờigiải. Ta có, F 1 (x) = Z sin 2 xdx = 1 2 Z (1− cos 2x) dx = 1 2  x− 1 2 sin 2x ‹ +C mà F 1 (0) = 0⇒ 1 2  0− 1 2 sin 0 ‹ +C = 0⇒C = 0 Khi đó, F 1 (x) = 1 2  x− 1 2 sin 2x ‹ Tương tự, F 2 (x) = Z cos 2 xdx = 1 2 Z (1 + cos 2x) dx = 1 2  x + 1 2 sin 2x ‹ +C mà F 2 (0) = 0⇒ 1 2  0 + 1 2 sin 0 ‹ +C = 0⇒C = 0 Khi đó, F 2 (x) = 1 2  x + 1 2 sin 2x ‹ Theo đề bài, ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 311. NGUYÊN HÀM 32 | Page F 1 (x) =F 2 (x) ⇒ 1 2  x− 1 2 sin 2x ‹ = 1 2  x + 1 2 sin 2x ‹ ⇒ sin 2x = 0 ⇒ 2x =kπ ⇒ x =k π 2  Bài12. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 4 x thỏa mãn F  π 4  = √ 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 4 2x thỏa mãn F (0) = 3 8 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 321. NGUYÊN HÀM 33 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ12 d Hàm số f(x) = sin 3x cosx có 1 nguyên hàm là F (x) thỏa F  π 6  = 15 16 . Tính F  π 4  . |Lờigiải. F (x) = Z (sin 3x cosx)dx = 1 2 Z (sin 4x + sin 2x)dx = 1 2  − 1 4 cos 4x− 1 2 cos 2x ‹ +C Theo giả thuyết, F  π 6  = 15 16 ⇒ 1 2  − 1 4 cos 2π 3 − 1 2 cos π 3 ‹ +C = 15 16 ⇒C = 1. Vậy có 1 nguyên hàm cần tìm là F (x) = 1 2  − 1 4 cos 4x− 1 2 cos 2x ‹ + 1.  Bài13. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 sinx cos 3x thỏa mãn F  π 2  =−3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 4x cosx thỏa mãn F (π) = 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 331. NGUYÊN HÀM 34 | Page c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 5x cosx thỏa mãn F  π 4  = 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos 6x cos 2x thỏa mãn F  π 6  =−2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = cos 2x cos 8x thỏa mãnF  π 8  = 2018. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 341. NGUYÊN HÀM 35 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 7x sinx thỏa mãn F  π 3  =−7. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx sin 3x thỏa mãn F  π 4  = 1 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 351. NGUYÊN HÀM 36 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sin 10x sin 5x thỏa mãn F  π 2  = 9. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ13 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e 3x thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. F (x) = Z e 3x dx = 1 3 e 3x +C. F (0) = 1⇔ 1 3 e 0 +C = 1⇔C = 2 3 . Vậy F (x) = 1 3 e 3x + 2 3 .  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 361. NGUYÊN HÀM 37 | Page Bài14. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x ◦ ) =k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = e 3x+1 thỏa mãn F (0) = e 3 . Tính ln 3 [3F (1)]. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (2 +e 3x ) 2 thỏa mãn F (0) = 3 2 . Tính F  1 3 ‹ · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e −x (2e x + 1) thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e x (3 +e −x ) thỏa mãn F (ln 2) = 3 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = √ e 4x−2 thỏa mãn F  1 2 ‹ = 1 |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 371. NGUYÊN HÀM 38 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =e 3x−1 − 1 x 2 thỏa mãn F (1) = 2 + e 2 3 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2017 x thỏa mãn F (1) = ln −1 2017. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàmF (x) của hàm sốf(x) = 3 x −2 x ·3 x thỏa mãnF (0) =− 1 ln 6 +2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 9 x − 3x 2 thỏa mãn F (0) = 1 ln 9 + 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4 x 2 2x+3 thỏa mãn F (0) = 2 ln 2 . Tính ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 381. NGUYÊN HÀM 39 | Page A = [ln 2·F (1)] 3 2 10 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 2x 3 x 7 x thỏa mãn F (1) = 1 ln 84 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 x 3 −2x thỏa mãn F (1) = 2 9 · |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ14 d f(x) = 2x + 1 x− 1 ⇒F (x) = Z 2x + 1 x− 1 dx =. |Lờigiải. F (x) = Z 2x + 1 x− 1 dx = Z 2 + 3 x− 1 dx = 2x + 3 ln|x− 1| +C  Bài15. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) a) f(x) = 3x + 1 x− 2 ⇒F (x) = Z 3x + 1 x− 2 dx = |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 391. NGUYÊN HÀM 40 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = x + 1 2x + 3 ⇒F (x) = Z x + 1 2x + 3 dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = x− 1 3x + 1 ⇒F (x) = Z x− 1 3x + 1 dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = x 2 +x + 1 x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = 4x 2 + 6x + 1 2x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = x 2 −x + 2 2x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) f(x) = 4x 3 + 4x 2 − 1 2x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = x 3 − 2x 2 + 3x− 5 2x + 3 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 401. NGUYÊN HÀM 41 | Page Vídụ15 d Tìm nguyên của hàm số f(x) = 1 x 2 −a 2 ⇒F (x) = Z f(x)dx = Lời giải: F (x) = Z 1 x 2 −a 2 dx = 1 2a Z  1 x−a − 1 x +a ‹ dx = ln x−a x +a 2a +C. Bài16. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) a) f(x) = 1 x 2 − 4 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 1 x(x + 1) ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = 3 x 2 + 3x ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = 4 x 2 − 4x ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = 1 x 2 − 6x + 5 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = 1 x 2 + 4x− 5 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 411. NGUYÊN HÀM 42 | Page ...................................................................................................... g) f(x) = 1 2x 2 −x− 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f(x) = 1 2x 2 − 3x− 9 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) f(x) = 4x− 5 x 2 −x− 2 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) f(x) = 4x + 11 x 2 + 5x + 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 421. NGUYÊN HÀM 43 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) f(x) = x + 1 x 2 −x− 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) f(x) = 5x− 3 x 2 − 3x + 2 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) f(x) = 2x 2 + 6x− 4 x(x 2 − 4) ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 431. NGUYÊN HÀM 44 | Page n) f(x) = 2x 2 − 6x− 6 x 3 − 6x 2 + 11x− 6 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) f(x) = 1 x 2 − 6x + 9 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) f(x) = 3x + 2 4x 2 − 4x + 1 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) f(x) = 3x + 1 (x + 1) 3 ⇒F (x) = Z f(x)dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 441. NGUYÊN HÀM 45 | Page Vídụ16 d Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x− 1 (x− 1) 3 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... Lời giải: F (x) = Z 2x− 1 (x− 1) 3 dx = Z • 2(x− 1) + 1 (x− 1) 3 ˜ dx = Z • 2 (x− 1) 2 + 1 (x− 1) 3 ˜ dx = − 2 x− 1 − 1 2(x− 1) 2 +C. Bài17. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) a) f(x) = 1 x 2 (x− 1) ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f(x) = 2 (x− 1)(x + 2) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx = |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 451. NGUYÊN HÀM 46 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f(x) = 3 x(x− 1) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) f(x) = 4 (x 2 −x)(x− 2) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 461. NGUYÊN HÀM 47 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) f(x) = x + 1 x(x− 1) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f(x) = x 2 + 10x− 6 x 3 − 2x 2 − 7x− 4 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 471. NGUYÊN HÀM 48 | Page ...................................................................................................... g) f(x) = 3x + 6 x(x− 1)(x− 2) 2 ⇒F (x) = Z f(x) dx =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ17 d Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) = x x + 1 thỏa F (2) = 3− ln 3. Lời giải: Ta có F (x) = Z f(x) dx = Z x x + 1 dx = Z  1− 1 x + 1 ‹ dx = x− ln|x + 1| +C. Ta lại có F (2) = 3− ln 3⇔ 2− ln 3 +C = 3− ln 3⇔C = 1. Vậy F (x) =x− ln|x + 1| + 1. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 481. NGUYÊN HÀM 49 | Page Bài18. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F (x 0 ) =k. a) Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) = x 2 x− 1 biết đồ thị hàm số y =F (x) đi qua điểm M(2; 5). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) = x 2 x + 2 biết F (−1) = 3. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Hàm số f(x) = x 3 x 2 + 2x + 1 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 6. Tính F (0). |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 491. NGUYÊN HÀM 50 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm sốf(x) = x (x + 1) 3 có một nguyên hàm làF (x) thỏaF  − 3 2 ‹ = 5. TínhF  − 1 2 ‹ . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 501. NGUYÊN HÀM 51 | Page e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3x + 1 (x + 1) 3 biết F (−2) = 5. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Hàm số f(x) = x (2x + 1) 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F  − 1 4 ‹ = 1 9 . Tính F  − 1 8 ‹ . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 511. NGUYÊN HÀM 52 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x 3 x− 1 biết F (2) = 5 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x 3 − 1 x + 1 biết F (1) = 5 6 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 521. NGUYÊN HÀM 53 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Hàm số f(x) = x 3 x + 2 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−3) = 0. Tính F (−1). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Biết f 0 (x) = 2x + 3 x + 1 và f(2) = 6. Tính giá trị của e f(0) . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 531. NGUYÊN HÀM 54 | Page k) Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) = x− 3 x 2 + 2x− 3 thỏa F (0) = 0. Tính F (−2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) = (x + 1) 2 x + 2 thỏa F (−1) = 1 2 . Tính F (2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 541. NGUYÊN HÀM 55 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 4x 2 + 4x + 1 ; biết rằng đồ thị hàm số y =F (x) đi qua điểm M  −1; 1 2 ‹ . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Hàm số f(x) = 2x + 9 x + 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 0. Biết phương trình F (x) = 2x + 4 có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tính tổng 1 2 x 1 + 1 2 x 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 551. NGUYÊN HÀM 56 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2x 2 + 2x + 3 2x + 1 , biết đồ thị của hàm số y =F (x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9 8 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 x 2 + 3x thỏa mãn F (1) =− 5 3 ln 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 561. NGUYÊN HÀM 57 | Page q) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 x 2 +x− 2 ; biết rằng đồ thị của hàm số y =F (x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 3 ln 2. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 1 x 2 −x− 6 ; biết F (−1) = 6 5 ln 4. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Hàm số f(x) = 1 x 2 − 3x + 2 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (3) = 0. Tính F  2 3 ‹ . |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 571. NGUYÊN HÀM 58 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Hàm số f(x) = 2x + 3 2x 2 −x− 1 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−1) = 11 3 ln 2. Tìm e F(0) . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 581. NGUYÊN HÀM 59 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... u) Hàm sốf(x) = 4x + 11 x 2 + 5x + 6 có một nguyên hàm làF (x) thỏaF (−1) = ln 2. Tìm e F(−4) . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... v) Hàm số f(x) = 5x + 3 x 2 + 7x + 12 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 18 ln 2. Tìm F (−5). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 591. NGUYÊN HÀM 60 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... w) Hàm số f(x) = 9x− 10 6x 2 − 11x + 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (1) = ln 2. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình F (x) = ln|3x− 1| + 1 2 ln 3. Tính 3 x 1 + 3 x 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 601. NGUYÊN HÀM 61 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... x) Hàm số f(x) = 1 x 2 (x + 1) có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (1) = ln 2. Tính F (−2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 611. NGUYÊN HÀM 62 | Page p Dạng 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Cho Z f(u) du =F (u) +C và u =u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f [u(x)]u 0 (x) dx =F [u(x)] +C. Một số dạng đổi biến thường gặp a) 2 6 6 6 6 6 4 I = Z f(ax +b) n ·x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =ax +b⇒ dt =a dx. I = Z f  x n ax n+1 + 1 ‹ m dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =ax n+1 + 1⇒ dt =a(n + 1)x n dx, với m,n∈Z. I = Z f(ax 2 +b) n ·x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =ax 2 +b⇒ dt = 2ax dx. b) I = Z n p f(x)·f 0 (x) dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = n p f(x)⇒t n =f(x)⇒nt n−1 dt =f 0 (x) dx. c) 2 6 4 I = Z f(lnx)· 1 x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. I = Z f(a +b lnx)· 1 x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +b lnx⇒ dt = b x dx. d) 2 6 4 I = Z f(e x )· e x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx. I = Z f(a +be x )· e x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +be x ⇒ dt =be x dx e) 2 6 4 I = Z f(cosx)· sinx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = cosx⇒ dt =− sinx dx. I = Z f(a +b cosx)· sinx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +b cosx⇒ dt =−b sinx dx. f) 2 6 4 I = Z f(sinx)· cosx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = sinx⇒ dt = cosx dx. I = Z f(a +b sinx)· cosx dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t =a +b sinx⇒ dt =b cosx dx. g) I = Z f(tanx)· dx cos 2 x phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = tanx⇒ dt = 1 cos 2 x dx = (1 + tan 2 x) dx. h) I = Z f(cotx)· dx sin 2 x phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = cotx⇒ dt =− 1 sin 2 x dx =−(1 + cot 2 x) dx. i) I = Z f(sin 2 x; cos 2 x)· sin 2x dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt 2 4 t = sin 2 x⇒ dt = sin 2x dx; t = cos 2 x⇒ dt =− sin 2x dx. j) I = Z f(sinx± cosx)· (sinx∓ cosx) dx phương pháp −−−−−−−→ Đặt t = sinx± cosx⇒ dt = (cosx∓ sinx) dx. Chú ý Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x. Bài tập áp dụng Vídụ1 d Tính I = Z x(1−x) 2018 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 621. NGUYÊN HÀM 63 | Page |Lờigiải. Đặt t = 1−x⇒x = 1−t⇒ dx =− dt. Suy ra I = − Z (1−t)t 2018 dt = Z t 2019 −t 2018
dt = t 2020 2020 − t 2019 2019 +C = (1−x) 2020 2020 − (1−x) 2019 2019 +C. Vậy I = Z x(1−x) 2018 dx = (1−x) 2020 2020 − (1−x) 2019 2019 +C.  Bài1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z x(1 +x) 2017 dx. I = (1 +x) 2019 2019 − (1 +x) 2018 2018 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z x(x 2 + 1) 5 dx. I = (x 2 + 1) 6 12 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x 2 (x− 1) 9 dx. I = (x− 1) 12 12 + 2 (x− 1) 11 11 + (x− 1) 10 10 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 631. NGUYÊN HÀM 64 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z 2  x 1−x 2
 5 dx. I =− (1−x 2 ) 6 6 + 2 (1−x 2 ) 7 7 − (1−x 2 ) 8 8 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x 5 1−x 3
6 dx. I =− (1−x 3 ) 7 21 + (1−x 3 ) 8 24 +C |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z x 3 2− 3x 2
8 dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 641. NGUYÊN HÀM 65 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ2 d Tính I = Z x dx x 2 + 2 . I = 1 2 ln(x 2 + 2) +C |Lờigiải. Đặt t =x 2 + 2⇒x 2 =t− 2⇒ 2x dx = dt⇒x dx = 1 2 dt. Suy ra I = Z 1 2 · 1 t dt = 1 2 ln|t| +C = 1 2 ln|x 2 + 2| +C = 1 2 ln(x 2 + 2) +C. Vậy I = Z x dx x 2 + 2 = 1 2 ln(x 2 + 2) +C.  Bài2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z x dx (x + 1) 5 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 651. NGUYÊN HÀM 66 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z x 3 dx (1 +x 2 ) 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z 4x 3 dx (x 4 + 2) 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x 5 dx x 2 + 1 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 661. NGUYÊN HÀM 67 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x 4 dx x 10 − 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z  1 + 1 x ‹ 3 dx x 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ3 d Tính I = Z (x + 1) 2017 (2x + 3) 2019 dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 671. NGUYÊN HÀM 68 | Page Ta có I = Z (x + 1) 2017 (2x + 3) 2019 dx = Z  x + 1 2x + 3 ‹ 2017 · 1 (2x + 3) 2 dx. Đặt t = x + 1 2x + 3 ⇒ dt = 1 (2x + 3) 2 dx. Suy ra I = Z t 2017 dt = t 2018 2018 +C = 1 2018 ·  x + 1 2x + 3 ‹ 2018 +C. Vậy I = Z (x + 1) 2017 (2x + 3) 2019 dx = 1 2018 ·  x + 1 2x + 3 ‹ 2018 +C.  Bài3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z x 5 (x + 1) 7 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z (7x− 1) 99 (2x + 1) 101 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x 9 dx (x 2 + 1) 6 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 681. NGUYÊN HÀM 69 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x 2001 dx (x 2 + 1) 1002 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ4 d Tính I = Z (x + 1) dx √ x 2 + 2x− 4 . |Lờigiải. Đặt t = √ x 2 + 2x− 4⇒t 2 =x 2 + 2x− 4 ⇒ 2t dt = (2x + 2) dx⇒ (x + 1) dx =t dt. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 691. NGUYÊN HÀM 70 | Page Suy ra I = Z t t dt = Z dt =t +C = √ x 2 + 2x− 4 +C. Vậy I = Z (x + 1) dx √ x 2 + 2x− 4 = √ x 2 + 2x− 4 +C.  Bài4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z (2x− 3) dx √ x 2 − 3x− 5 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z x √ 2017−x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x √ x 2 + 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 701. NGUYÊN HÀM 71 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x √ 2019−x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x 3 √ x 2 − 2018 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z 2x 3 √ x 2 + 4 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z 5x 3 √ 1−x 2 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 711. NGUYÊN HÀM 72 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z x 2 √ 1−x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z x 3 √ 4−x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 721. NGUYÊN HÀM 73 | Page j) Tính I = Z dx x √ x 2 + 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z dx x √ x 2 + 9 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tính I = Z x 5 3 È (1− 2x 2 ) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 731. NGUYÊN HÀM 74 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tính I = Z 2x 3 − 3x 2 +x √ x 2 −x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ5 d Tính I = Z lnx dx x √ 1 + lnx . |Lờigiải. Đặt t = √ 1 + lnx⇒t 2 = 1 + lnx⇒ lnx =t 2 − 1⇒ dx x = 2t dt. Suy ra I = Z t 2 − 1 t · 2t dt = Z 2t 2 − 2
dt = 2t 3 3 − 2t +C = 2 (1 + lnx) √ 1 + lnx 3 − 2 √ 1 + lnx +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 741. NGUYÊN HÀM 75 | Page Vậy I = Z lnx dx x √ 1 + lnx = 2 (1 + lnx) √ 1 + lnx 3 − 2 √ 1 + lnx +C.  Bài5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) Tính I = Z lnx √ 1 + 3 lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z dx x 3 √ 1 + lnx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z ln 2 x dx x √ 1 + lnx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 751. NGUYÊN HÀM 76 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z e x √ 5− e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z dx √ e x + 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z cosx √ 3 sinx + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z sinx √ 2018 + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z 1 x lnx p 6 + 3 ln 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 761. NGUYÊN HÀM 77 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = Z x x + √ x 2 − 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = Z x 3 √ x 4 + 1−x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = Z 3x √ x 2 + 2 + √ x 2 − 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 771. NGUYÊN HÀM 78 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ6 d I = Z lnx x dx. |Lờigiải. Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. Suy ra I = Z t dt = t 2 2 +C = ln 2 x 2 +C.  Bài6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I = Z ln 2 x x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = Z 1 + lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = Z 1 + ln 4 x x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z 3 lnx + 1 x lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 781. NGUYÊN HÀM 79 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z lnx x(2 + lnx) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z √ 4 + lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z √ 1 + 3 lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z lnx x √ 1 + lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ7 d I = Z e x dx e x − 1 . |Lờigiải. Đặt t = e x − 1⇒ dt = e x dx. Suy ra I = Z e x dx e x − 1 = Z 1 t dt = ln|t| +C = ln|e x − 1| +C.  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 791. NGUYÊN HÀM 80 | Page Bài7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I = Z dx e x + 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = Z dx e x + 4 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = Z dx e x + e −x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z e x dx e x + e −x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z dx e x + 2e −x − 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 801. NGUYÊN HÀM 81 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z dx e x − 4· e −x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z (1 + e x ) 3 e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z e 2x + 3e x e 2x + 3e x + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = Z e x (1 + e x ) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = Z 2e x − 1 e x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 811. NGUYÊN HÀM 82 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = Z e 2x √ e x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = Z e 2x dx √ 3 + e x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = Z dx √ e x + 1 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ8 d I = Z tanx dx. |Lờigiải. Ta có I = Z sinx cosx dx. Đặt t = cosx⇒ dt =− sinx dx. Suy ra I = Z − 1 t dt =− ln|t| +C =− ln| cosx| +C.  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 821. NGUYÊN HÀM 83 | Page Bài8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I = Z sin 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = Z sin 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = Z cos 2017 x· sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = Z sinx cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = Z sin 2x cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = Z sinx 2 + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = Z 5 sin 3 x 1− cosx dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 831. NGUYÊN HÀM 84 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = Z sin 2 x tanx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = Z sin 2x cosx 1− cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = Z sin 2x 4− cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = Z sin 4x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = Z  1 + tanx tan x 2  sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 841. NGUYÊN HÀM 85 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = Z sinx cos 2x + 3 cosx + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) I = Z sinx cos 2x− cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) I = Z sinx + sin 3x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... p) I = Z 2 sinx √ 1 + 4 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) Tính I = Z sin 2x + sinx √ 1 + 3 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 851. NGUYÊN HÀM 86 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tính I = Z dx sinx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Tính I = Z dx sin 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Tính I = Z dx sinx + √ 3 cosx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 861. NGUYÊN HÀM 87 | Page Vídụ9 d Tính I = Z cotx dx. |Lờigiải. Ta có I = Z cotx dx = Z cosx sinx dx = ln| sinx| +C.  Bài9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z cos 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z cos 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z sin 2019 x cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... d) Tính I = Z (1 + 2 sinx) cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z cosx 4 + sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... f) Tính I = Z cosx 9− 2 sinx dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 871. NGUYÊN HÀM 88 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z sin 2x 1− sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z sin 2x (2 + sinx) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z (1 + sinx) 9 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tính I = Z sin 2x sin 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z (1 + 2 sinx) 7 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tính I = Z (2 sinx− 3) cosx 2 sinx + 1 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 881. NGUYÊN HÀM 89 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tính I = Z cos 2x 1 + 2 sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Tính I = Z 1− 2 sin 2 x 1 + sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Tính I = Z cosx dx 6− 5 sinx + sin 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Tính I = Z cosxe sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... q) Tính I = Z cosx √ 1 + sinx dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 891. NGUYÊN HÀM 90 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tính I = Z cosx √ 3 sinx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Tính I = Z cosx dx 2 + √ 3 sinx + 1 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Tính I = Z dx cosx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... u) Tính I = Z dx cos 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 901. NGUYÊN HÀM 91 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ10 d Tính I = Z tanx cos 2 x dx. |Lờigiải. Đặt t = tanx⇒ dt = dx cos 2 x . Khi đó I = Z t dt = t 2 2 +C = tan 2 x 2 +C.  Bài10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z sin 2 x cos 4 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z (1 + tanx) 2 cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z 2 + 3 tanx 1 + cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z tan 2 x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 911. NGUYÊN HÀM 92 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z dx sin 2 x− 4 cos 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z dx sin 2 x + 3 sinx cosx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z dx 5 cos 2 x− 8 sinx cosx + 3 sin 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 921. NGUYÊN HÀM 93 | Page ...................................................................................................... h) Tính I = Z dx sinx cos 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z dx cos 4 x sin 2 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tính I = Z dx cos 4 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z (1 + sin 2x) dx 2 sinx cos 3 x + cos 4 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 931. NGUYÊN HÀM 94 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ11 d Tính I = Z cotx sin 2 x dx. |Lờigiải. Đặt t = cotx⇒ dt =− 1 sin 2 x dx. Do đó I = Z −t dt =− t 2 2 +C =− cot 2 x 2 +C.  Bài11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z (2− cotx) 2 sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z cos 2 x sin 4 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z 3− cotx 1− cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 941. NGUYÊN HÀM 95 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z cos 4 x sin 6 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z dx sin 4 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z cot 2 x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z cot 4 x cos 2x dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 951. NGUYÊN HÀM 96 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z dx cosx sin 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z sinx (sinx + cosx) 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 961. NGUYÊN HÀM 97 | Page Vídụ12 d Tính I = Z sin 2x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. Đặt t = 1 + cos 2 x⇒ dt =− sin 2x dx. Do đó I = Z − 1 t dt =− ln|t| +C =− ln|1 + cos 2 x| +C.  Bài12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z sin 2x 1 + sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z sin 2x 3 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z sin 2x 1 + sin 2 x
3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z e sin 2 x sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z e cos 2 x sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z sin 4x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 971. NGUYÊN HÀM 98 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z sin 2x √ cos 2 x + 4 sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z sinx cosx √ 4 cos 2 x + 9 sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ13 d Tính I = Z sinx− cosx sinx + cosx dx. |Lờigiải. Đặt t = sinx + cosx⇒ dt =−(sinx− cosx) dx. Do đó I =− Z 1 t dt =− ln|t| +C =− ln| sinx + cosx| +C.  Bài13. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z sinx− cosx sinx + cosx + 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z cos 2x sinx + cosx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 981. NGUYÊN HÀM 99 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z cos 2x (sinx + cosx + 4) 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z sinx + cosx 3 + sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z 1 + sin 2x + cos 2x sinx + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z sinx− cosx sin 2x + 2(1 + sinx + cosx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z cos 2x 2− √ 1 + sinx− cosx dx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 991. NGUYÊN HÀM 100 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z 4(sinx + cosx)− cos 2x 2(sinx− cosx− 1)− sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z cos 2x (1 + sin 2x) cos  x− π 4  dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u =u(x) và v =v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì I = Z u(x)v 0 (x) dx =u(x)v(x)− Z u 0 (x)v(x) dx hay I = Z u dv− Z v du. Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhau. Ví dụ: Z e x sinx dx, Z x lnx dx, ... a) Đặt: 8 > < > : u =... vi phân −−−−→ du =... dx dv =... dx nguyên hàm −−−−−−→v =... Suy ra: I = Z u dv =uv− Z v du. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1001. NGUYÊN HÀM 101 | Page b) Thứ tự ưu tiên chọn u: nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ và dv = phần còn lại. c) Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. d) Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Ví dụ và bài tập Vídụ1 d Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định) Tính I = Z lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. Đặt 8 < : u = lnx dv = dx ⇒ 8 > < > : du = 1 x dx v =x Ta có: I =x lnx− Z x 1 x dx =x lnx−x +C.  Bài1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tính I = Z x lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = Z (2x + 1) lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = Z x ln(1−x) dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1011. NGUYÊN HÀM 102 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính I = Z x sinx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tính I = Z x cosx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = Z (x + 1) sin 2x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1021. NGUYÊN HÀM 103 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = Z x sin x 2 dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = Z x sinx cosx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính I = Z x(2 cos 2 x− 1) dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1031. NGUYÊN HÀM 104 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tính I = Z xe x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tính I = Z (1− 2x)e x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Tính I = Z xe 3x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1041. NGUYÊN HÀM 105 | Page m) Tính I = Z xe −x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Tính I = Z (4x− 1)e −2x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Tính I = Z x sin 2 x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1051. NGUYÊN HÀM 106 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Tính I = Z x cos 2 x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) Tính I = Z 2x− 1 1 + cos 2x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tính I = Z 2x 1− cos 4x dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1061. NGUYÊN HÀM 107 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Tính I = Z lnx x 3 dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Tính I = Z x 2 − 1 x 2 lnx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1071. NGUYÊN HÀM 108 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... u) Tính I = Z e x cosx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... v) Tính I = Z e x sinx dx. Chọn 8 < : u =...−→ du =... dv =...−→v =... |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1081. NGUYÊN HÀM 109 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ2 d Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =xe −x thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. Theo đề ta tính Z f(x) dx = Z xe −x dx. Đặt 8 < : u =x ⇒ du = dx dv = e −x dx ⇒v =−e −x . Suy ra Z xe −x dx =−xe −x + Z e −x dx =−xe −x − e −x +C =F (x). Mà F (0) = 1⇒C = 1. Vậy F (x) =−xe −x − e −x + 1.  Bài2. Tìm một nguyên hàm của hàm sốF (x) của hàm sốf(x) thỏa mãn điều kiện cho trước. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =x cos 3x thỏa mãn F (0) = 1. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho F (x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) x 3 . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1091. NGUYÊN HÀM 110 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Cho F (x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) x 2 . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho F (x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số xf(x). Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1101. NGUYÊN HÀM 111 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Cho F (x) =x 2 + 1 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho F (x) = 1 x 2 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)(x 4 −x 3 ). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1111. NGUYÊN HÀM 112 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Cho F (x) =x 2 là một nguyên hàm của f(x)e 2x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)e 2x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Cho F (x) = 1 x 2 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)(x 3 + 1). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Cho F (x) = 1 x là một nguyên hàm của x 2 f(x). Tìm nguyên hàm của f 0 (x)x 3 lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1121. NGUYÊN HÀM 113 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Đặt 8 > < > : u = lnx ⇒ du = 1 x dx dv = 4 x 2 dx ⇒v =− 4 x . Suy ra Z 4x 2 lnx dx =− 4 x lnx + Z 4 x 2 dx =− 4 x lnx− 4 x +C. j) Cho F (x) = 1 x 2 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)x lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Cho F (x) = 1 x 3 là một nguyên hàm của f(x) x 2 . Tìm nguyên hàm của f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1131. NGUYÊN HÀM 114 | Page l) Cho F (x) = x 4 16 là một nguyên hàm của f(x) x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x) lnx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) ChoF (x) =−xe x là một nguyên hàm của hàm sốf(x)e 2x . Tìm nguyên hàm củaf 0 (x)e 2x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Cho F (x) = 2(x− 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e x thỏa f(0) = 0. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)e x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1141. NGUYÊN HÀM 115 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) Cho F (x) =  1− x 2 2 ‹ cosx +x sinx là một nguyên hàm của hàm số f(x) sinx. Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) cosx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Cho F (x) =  x 2 2 − 1 ‹ sinx +x cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) cosx. Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) sinx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1151. NGUYÊN HÀM 116 | Page q) ChoF (x) =x tanx + ln| cosx| là một nguyên hàm của hàm số f(x) cos 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) tanx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) ChoF (x) =−x cotx + ln|sinx| là một nguyên hàm của hàm số f(x) sin 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x) cotx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) Cho F (x) =  x 2 2 −x + 1 ‹ e x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... C.CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1. Mức độ nhận biết Câu1. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x là A. e x +x 2 +C. B. e x + 1 2 x 2 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1161. NGUYÊN HÀM 117 | Page C. 1 x + 1 e x + 1 2 x 2 +C. D. e x + 1 +C. Câu2. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x là A. x 4 +x 2 +C. B. 3x 2 + 1 +C. C. x 3 +x +C. D. 1 4 x 4 + 1 2 x 2 +C. Câu3. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 4 +x 2 là A. 4x 3 + 2x +C. B. 1 5 x 5 + 1 3 x 3 +C. C. x 4 +x 2 +C. D. x 5 +x 3 +C. Câu4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. Z 2e x dx = 2 (e x +C). B. Z x 3 dx = x 4 +C 4 . C. Z 1 x dx = lnx +C. D. Z sinx dx =− cosx +C. Câu5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 2x ? A. Z 5 2x dx = 2.5 2x ln 5 +C. B. Z 5 2x dx = 2. 5 2x ln 5 +C. C. Z 5 2x dx = 25 x 2 ln 5 +C. D. Z 5 2x dx = 25 x+1 x + 1 +C. Câu6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 3 x là A. x 3 + 3 x ln 3 +C. B. x 3 + 3 x ln 3 +C. C. x 3 + 3 x +C. D. x 3 + ln 3 3 x +C. Câu7. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 2x là A. 4 x · ln 4 +C. B. 1 4 x · ln 4 +C. C. 4 x +C. D. 4 x ln 4 +C. Câu8. Với C là hằng số, họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 cos 2x là A.− sin 2x +C. B. −2 sin 2x +C. C. 2 sin 2x +C. D. sin 2x +C. Câu9. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e −x  2 + e x cos 2 x ‹ . A. F (x) =− 2 e x + tanx +C. B. F (x) = 2e x − tanx +C. C. F (x) =− 2 e x − tanx +C. D. F (x) = 2e −x + tanx +C. Câu10. Cho biếtF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênR. TìmI = Z [2f(x)− 1] dx. A. I = 2xF (x)−x +C. B. I = 2xF (x)− 1 +C. C. I = 2F (x)− 1 +C. D. I = 2F (x)−x +C. Câu11. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x là A. 1 5 cos 5x +C. B. cos 5x +C. C. − cos 5x +C. D.− 1 5 cos 5x +C. Câu12. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 1 là A. log|1 +x| +C. B. ln(1 +x) +C. C. − 1 (1 +x) 2 +C. D. ln|1 +x| +C. Câu13. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x 2 là A. 1 x e x + x 3 3 +C. B. e x + 2x +C. C. e x + x 3 3 +C. D. e x + 3x 3 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1171. NGUYÊN HÀM 118 | Page Câu14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x. A. Z cos 3x dx = 3 sin 3x +C. B. Z cos 3x dx = sin 3x 3 +C. C. Z cos 3x dx =− sin 3x 3 +C. D. Z cos 3x dx = sin 3x +C. Câu15. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 5x− 2 . A. Z dx 5x− 2 = 1 5 ln|5x− 2| +C. B. Z dx 5x− 2 =− 1 2 ln(5x− 2) +C. C. Z dx 5x− 2 = 5 ln|5x− 2| +C. D. Z dx 5x− 2 = ln|5x− 2| +C. Câu16. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 7 x . A. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. B. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. C. Z 7 x dx = 7 x+1 +C. D. Z 7 x dx = 7 x+1 x + 1 +C. Câu17. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x. A. Z f(x)dx = 1 2 sin 2x +C. B. Z f(x)dx =− 1 2 sin 2x +C. . C. Z f(x)dx = 2 sin 2x +C. . D. Z f(x)dx =−2 sin 2x +C. Câu18. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 + 2 x 2 . A. Z f(x)dx = x 3 3 − 2 x +C. B. Z f(x)dx = x 3 3 − 1 x +C. C. Z f(x)dx = x 3 3 + 2 x +C. D. Z f(x)dx = x 3 3 + 1 x +C. Câu19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 1 là A. x 3 +C. B. x 3 3 +x +C. C. 6x +C. D. x 3 +x +C. Câu20. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x là A. x 4 +x 2 +C. B. 3x 2 + 1 +C. C. x 3 +x +C. D. 1 4 x 4 + 1 2 x 2 +C. Câu21. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4 x · 2 2x+3 . A. F (x) = 2 4x+3 ln 2 . B. F (x) = 2 4x+1 · ln 2. C. F (x) = 2 4x+1 ln 2 . D. F (x) = 2 4x+3 · ln 2. Câu22. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. R [f(x) +g(x)]dx = R f(x)dx + R g(x)dx, với mọi hàm số f(x), g(x)liên tục trênR. B. R f 0 (x)dx =f(x) +C với mọi hàm f(x) có đạo hàm trênR. C. R kf(x)dx =k R f(x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f(x) liên tục trênR. D. R [f(x)−g(x)]dx = R f(x)dx− R g(x)dx, với mọi hàm số f(x), g(x) liên tục trênR. Câu23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = π 2 cos 2x. A. Z f(x)dx = π 4 sin 2x +C. B. Z f(x)dx =− π 2 sin 2x +C . C. Z f(x)dx =π sin 2x +C. D. Z f(x)dx = π 2 sin 2x +C. Câu24. Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trênR. Khẳng định nào sau đây đúng? ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1181. NGUYÊN HÀM 119 | Page A. Z f(x)·g(x) dx =f(x) dx· Z g(x) dx. B. Z f 0 (x)·g 0 (x) dx =f(x)·g(x) +C. C. Z k·f(x) dx =k Z f(x) dx. D. Z f(x)·f 0 (x) dx = f 2 (x) 2 +C. Câu25. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4 x là A. Z f(x) dx = 4 x+1 x + 1 +C. B. Z f(x) dx = 4 x+1 +C. C. Z f(x) dx = 4 x ln 4 +C. D. Z f(x) dx = 4 x ln 4 +C. Câu26. Họ các nguyên hàm của hàm số y = e −3x+1 là A. 1 3 e −3x+1 +C. B. − 1 3 e −3x+1 +C. C. 3e −3x+1 +C. D.−3e −3x+1 +C. Câu27. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f(x) liên tục trênR. B. Z f 0 (x) dx =f(x) +C với mọi hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trênR. C. Z (f(x)−g(x)) dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x); g(x) liên tục trênR. D. Z (f(x) +g(x)) dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x); g(x) liên tục trênR. Câu28. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? A. Z [f(x)·g(x)] dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx. B. Z 0 dx = 0. C. Z f(x) dx =f 0 (x) +C. D. Z f 0 (x) dx =f(x) +C. Câu29. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 5x− 2 . A. Z f(x) dx =− 1 2 ln(5x− 2) +C. B. Z f(x) dx = 1 5 ln|5x− 2| +C. C. Z f(x) dx = ln|5x− 2| +C. D. Z f(x) dx = 5 ln|5x− 2| +C. Câu30. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x là A. Z f(x) dx = sin 3x +C. B. Z f(x) dx =− sin 3x 3 +C. C. Z f(x) dx = 3 sin 3x +C. D. Z f(x) dx = sin 3x 3 +C. Câu31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx với k∈R. B. Z [f(x) +g(x)] dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx với f(x); g(x) liên tục trênR. C. Z x α dx = 1 α + 1 x α+1 với α6=−1. D. Z f(x) dx  0 =f(x). Câu32. Tính Z (x− sin 2x) dx. A. x 2 2 + sinx +C. B. x 2 2 + cos 2x +C. C. x 2 + cos 2x 2 +C. D. x 2 2 + cos 2x 2 +C. Câu33. Khẳng định nào sau đây sai? A. Z 0 dx =C. B. Z x 4 dx = x 5 5 +C. C. Z 1 x dx = lnx +C. D. Z e x dx = e x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1191. NGUYÊN HÀM 120 | Page Câu34. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x− sin 2x là A. x 2 2 + cos 2x +C. B. x 2 2 + 1 2 cos 2x +C. C. x 2 + 1 2 cos 2x +C. D. x 2 2 − 1 2 cos 2x +C. Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3 cosx− 2 x là A.−3 sinx− 2 x ln 2 +C. B. 3 sinx− 2 x +C. C. 3 sinx− 2 x ln 2 +C. D. 3 sinx− 2 x ln 2 +C. Câu36. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x 2 là A. 3x 2 + 2x +C. B. 1 4 x 4 + 1 3 x 3 +C. C. x 4 +x 3 +C. D. 4x 4 + 3x 3 +C. Câu37. Tìm một họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 7 x . A. Z f(x) dx = 3 x ln 3 + 7 x ln 7 +C. B. Z f(x) dx = 3 x ln 3 + 7 x ln 7 +C. C. Z f(x) dx = 3 x+1 x + 1 + 7 x x + 1 +C. D. Z f(x) dx = 3 x+1 + 7 x+1 +C. Câu38. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x là A. F (x) =− 1 x 2 +C. B. F (x) = 2 x 2 +C. C. F (x) = ln|x| +C. D. F (x) = √ x +C. Câu39. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x + 3x là A.− 1 2 sin 2x + 3 2 x 2 +C. B. 1 2 sin 2x + 3x 2 +C. C.−2 sin 2x + 3 +C. D. 1 2 sin 2x + 3 2 x 2 +C. Câu40. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x− 1 là A. ln|2x− 1| +C. B. 2 ln|2x− 1| +C. C. 1 2 ln|2x− 1| +C. D. 1 2 ln(2x + 1) +C. Câu41. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 + 2 x 2 A. Z f(x) dx = x 3 3 + 2 x +C. B. Z f(x) dx = x 3 3 − 2 x +C. C. Z f(x) dx = x 3 3 + 1 x +C. D. Z f(x) dx = x 3 3 − 1 x +C. Câu42. Hàm số f(x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là A.− sin(4x + 7) +x. B. 1 4 sin(4x + 7)− 3. C. sin(4x + 7)− 1. D.− 1 4 sin(4x + 7) + 3. Câu43. Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx +x là A. cosx + 1 2 x 2 +C. B. cosx +x 2 +C. C. − cosx + 1 +C. D.− cosx + 1 2 x 2 +C. Câu44. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 + sin 2x là A. x 4 4 − 1 2 cos 2x +C. B. x 4 4 − cos 2x +C. C. x 4 4 + 1 2 cos 2x +C. D. x 4 4 + cos 2x +C. Câu45. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 1 là A.− 1 (x + 1) 2 +C. B. − ln|x + 1| +C. C. − 1 2 ln(x + 1) 2 +C. D. ln|2x + 2| +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1201. NGUYÊN HÀM 121 | Page Câu46. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Z [f 1 (x) +f 2 (x)] dx = Z f 1 (x) dx + Z f 2 (x) dx. B. Nếu F (x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F (x) =G(x). C. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx (k là hằng số và k6= 0). D. Nếu Z f(x) dx =F (x) +C thì Z f(u) du =F (u) +C. Câu47. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x A. Z sin 2x dx =− cos 2x +C. B. Z sin 2x dx = 2 cos 2x +C. C. Z sin 2x dx =− cos 2x 2 +C. D. Z sin 2x dx = cos 2x 2 +C. Câu48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2019x . A. Z f(x) dx = 1 2019 · e 2019x +C. B. Z f(x) dx = 2019· e 2019x +C. C. Z f(x) dx = e 2019x +C. D. Z f(x) dx = e 2019x ln 2019 +C. Câu49. Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x là A. cos 3x +C. B. − 1 3 cos 3x +C. C. − cos 3x +C. D. 1 3 cos 3x +C. Câu50. Tính Z sinx dx. A. sin(π−x) +C. B. cosx +C. C. cos(π−x) +C. D. cos  π 2 −x  +C. Câu51. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx là A. F (x) = tanx +C. B. F (x) = cotx +C. C. F (x) =− sinx +C. D. F (x) = sinx +C. Câu52. Tìm nguyên hàm F (x) = Z cosx dx A. F (x) = cosx +C. B. F (x) =− cosx +C. C. F (x) = sinx +C. D. F (x) =− sinx +C. Câu53. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1. A. Z f(x) dx = 2x 2 +x +C. B. Z f(x) dx = x 2 2 +x +C. C. Z f(x) dx =x 2 +x +C. D. Z f(x) dx = 2x +C. Câu54. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số y =x 3 ? A. y = x 4 4 + 3. B. y = x 4 4 + 1. C. y = x 4 4 + 2. D. y = 3x 2 . Câu55. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Z cosx dx =− cosx +C. B. Z cosx dx =− sinx +C. C. Z cosx dx = cosx +C. D. Z cosx dx = sinx +C. Câu56. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =e −x + 2x là A. Z f(x) dx = e −x +x 2 +C. B. Z f(x) dx =−xe −x +x 2 +C. C. Z f(x) dx =−e −x +x 2 +C. D. Z f(x) dx =xe −x +x 2 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1211. NGUYÊN HÀM 122 | Page Câu57. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? A. Z e x dx = x e+1 e + 1 +C. B. Z x 2 dx = 1 3 x 3 +C. C. Z e x dx = e x+1 x + 1 +C. D. Z x 7 dx = 1 8 x 8 +C. Câu58. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là A. F (x) =− cosx. B. F (x) =− cosx +C. C. F (x) = cosx +C. D. F (x) = cosx. Câu59. Z dx 2− 3x bằng A. 1 3 ln|2− 3x| +C. B. 1 (2− 3x) 2 +C. C. − 3 (2− 3x) 2 +C. D.− 1 3 ln|3x− 2| +C. Câu60. Cho 5 Z 1 dx 2x− 1 = lnC. Khi đó giá trị của C là A. 3. B. 8. C. 9. D. 81. Câu61. Khi tính Z sinax· cosbx dx, biến đổi nào dưới đây là đúng? A. Z sinax· cosbx dx = Z sinax dx· Z cosbx dx. B. Z sinax· cosbx dx = 1 2 Z [sin (a +b)x + sin (a−b)x] dx. C. Z sinax· cosbx dx = 1 2 Z • sin a +b 2 x + sin a−b 2 x ˜ dx. D. Z sinax· cosbx dx =ab Z sinx· cosx dx. Câu62. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx + 1 là A.− cosx +x +C. B. sin 2 x 2 +x +C. C. cosx +x +C. D. sin 2x +x +C. Câu63. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 2x là A. 2 ln|x| +x 2 + C. B. ln|x| + 2x 2 + C. C. ln|x| +x 2 + C. D. ln|x 2 | + 2x + C. Câu64. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 1− 2x . A.−6 ln|1− 2x| +C. B. 3 ln|1− 2x| +C. C. − 3 2 ln|1− 2x| +C. D. 3 2 ln|1− 2x| +C. Câu65. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x + 1 ? A. F (x) = ln|2x + 1| + 1. B. F (x) = 1 2 ln|2x + 1| + 2. C. F (x) = 1 2 ln|4x + 2| + 3. D. F (x) = 1 4 ln(4x 2 + 4x + 1) + 3. Câu66. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x là A. Z f(x) dx = 3 x +C. B. Z f(x) dx = 3 x ln 3 +C. C. Z f(x) dx = 3 x+1 x + 1 +C. D. Z f(x) dx = 3 x ln 3 +C. Câu67. Cho hàm số f(x) = 2017 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Z f(x) dx = 2017 x ln 2018 +C. B. Z f(x) dx = 2017 x ln 2017 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1221. NGUYÊN HÀM 123 | Page C. Z f(x) dx = 2017 x ln 2017 +C. D. Z f(x) dx = 2017 x 2017 +C. Câu68. Tính Z cos 2x dx. A. Z cos 2x dx =− sin 2x +C. B. Z cos 2x dx = 1 2 sin 2x +C. C. Z cos 2x dx = sin 2x +C. D. Z cos 2x dx =− 1 2 sin 2x +C. Câu69. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + sinx là A. sinx− cosx +C. B. sinx + cosx +C. C.− sinx + cosx +C. D.− sinx− cosx +C. Câu70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (x− 1) 3 . A. 3(x− 1) +C. B. 1 4 (x− 1) 4 +C. C. 4(x− 1) 4 +C. D. 1 4 (x− 1) 3 +C. Câu71. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x) = e 1−4x . A. y = 1 4 e 1−4x . B. y =−4e 1−4x . C. y = e 1−4x . D. y =− 1 4 e 1−4x . Câu72. Cho bốn mệnh đề sau I. Z cos 2 x dx = cos 3 x 3 +C. II. Z 3 x dx = 3 x · ln 3 +C. III. Z x α dx = x α+1 α + 1 +C với α∈R. IV. Nếu F (x),G(x) là các nguyên hàm của f(x) thì F (x) =G(x). Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Câu73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x(x + 1). A. x(x + 1) +C. B. 2x + 1 +C. C. x 3 +x 2 +C. D. x 3 3 + x 2 2 +C. Câu74. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Z 0 dx =C. B. Z 1 x dx = ln|x| +C. C. Z x a dx = x a+1 a + 1 +C. D. Z dx =x +C. Câu75. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx− cosx. A. Z f(x) dx =− sinx + cosx +C. B. Z f(x) dx = sinx + cosx +C. C. Z f(x) dx =− sinx− cosx +C. D. Z f(x) dx = sinx− cosx +C. Câu76. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 1 x 2 . A. Z f(x) dx = 3 x + 1 x +C. B. Z f(x) dx = 3 x ln 3 + 1 x +C. C. Z f(x) dx = 3 x − 1 x +C. D. Z f(x) dx = 3 x ln 3 − 1 x +C. Câu77. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x e 3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1231. NGUYÊN HÀM 124 | Page A. 3 x e 3 ln 3 e +C. B. 3 x −2 ln 3· e 2 +C. C. 3 x ln 3 e 3 +C. D. 3 x e 3 ln 3 +C. Câu78. Cho hai hàm số f(x), g(x) là hai hàm số liên tục có F (x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x), g(x). Xét các mệnh đề sau: (I). F (x) +G(x) là một nguyên hàm của f(x) +g(x). (II). kF (x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x), (k∈R). (III). F (x)·G(x) là một nguyên hàm của f(x)·g(x). Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. (I) và (III). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (III). Câu79. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x 3 + sinx− 2 là A. x 4 + cosx− 2x +C. B. x 4 4 + cosx +C. C. 12x + cosx +C. D. x 4 − cosx− 2x +C. Câu80. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x là A. F (x) =− 1 2 cos 2x +C. B. F (x) = cos 2x +C. C. F (x) = 1 2 cos 2x +C. D. F (x) =− cos 2x +C. Câu81. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 5 x là A. 5 x ln 5 +C. B. 5 x · ln 5 +C. C. 5 x+1 x + 1 +C. D. 5 x+1 +C. Câu82. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = e 2x . A. F (x) = e x +C. B. F (x) = e x 2 +C. C. F (x) = e 2x +C. D. F (x) = e 2x 2 +C. Câu83. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 x − 1 x 2 +x trên khoảng (0; +∞). A. F (x) = 2 ln|x| + 1 x + x 2 2 +C. B. F (x) = lnx− lnx 2 + x 2 2 +C. C. F (x) = lnx− 1 x + x 2 2 +C. D. F (x) = ln|x| + 1 x + x 2 2 +C. Câu84. Tìm nguyên hàm I = Z e −x + 2x
dx. A. I =−e −x +x 2 +C. B. I = e −x +x 2 +C. C. I =−e −x −x 2 +C. D. I = e −x −x 2 +C. Câu85. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx là A.− sinx +C. B. sinx +C. C. cosx +C. D.− cosx +C. Câu86. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = cosx? A. y = tanx. B. y = cotx. C. y = sinx. D. y =− sinx. Câu87. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Z f 0 (x) dx =f(x) +C với mọi hàm f(x) có đạo hàm trênR. B. Z [f(x) +g(x)] dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x), g(x) có đạo hàm trênR. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1241. NGUYÊN HÀM 125 | Page C. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f(x) có đạo hàm trênR. D. Z [f(x)−g(x)] dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x), g(x) có đạo hàm trênR. Câu88. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(3ax + 1) (với a là tham số khác 0). A. cos(3ax + 1) +C. B. 1 3a cos(3ax + 1) +C. C.− 1 3a cos(3ax + 1) +C. D.− cos(3ax + 1) +C. Câu89. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x + 2 trên khoảng (−∞;−2) là A. ln|x + 2| +C. B. 1 2 ln|x + 2| +C. C. ln(x + 2) +C. D. 1 2 ln(x + 2) +C. Câu90. Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức SAI? A. Z a x dx = a x lna +C (a> 0;a6= 1). B. Z sinx dx = cosx +C. C. Z cosx dx = sinx +C. D. Z x α dx = x α+1 α + 1 +C (α6=−1). Câu91. Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin(x− 1). A. Z sin(x− 1) dx =− cos(x− 1) +C. B. Z sin(x− 1) dx = cos(x− 1) +C. C. Z sin(x− 1) dx = (x− 1) cos(x− 1) +C. D. Z sin(x− 1) dx = (1−x) cos(x− 1) +C. Câu92. Tìm nguyên hàm của hàm số y =x 3 . A. Z x 3 dx = 3x 4 +C. B. Z x 3 dx = 1 4 x 4 +C. C. Z x 3 dx = 4x 4 +C. D. Z x 3 dx = 1 3 x 4 +C. Câu93. Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos(3x− 2). A. Z cos(3x− 2)dx =− 1 3 sin(3x− 2) +C. B. Z cos(3x− 2)dx =− 1 2 sin(3x− 2) +C. C. Z cos(3x− 2)dx = 1 2 sin(3x− 2) +C. D. Z cos(3x− 2)dx = 1 3 sin(3x− 2) +C. Câu94. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là A. sinx +C. B. cosx +C. C. − sinx +C. D.− cosx +C. Câu95. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x là biểu thức nào sau đây? A. ln|x| +C. B. −e x +C. C. e x +C. D. 1 x +C. Câu96. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 là họ hàm số nào sau đây? A. x 2 +x +C. B. x 2 + 1 +C. C. 2x 2 + 1 +C. D. 4x 2 +x +C. Câu97. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng? A. Z 1 cos 2 x dx = tanx +C. B. Z a x dx = a x lna +C (0 0,a6= 1). Câu112. BiếtrằngF (x)làmộtnguyênhàmcủahàmsốf(x) = sin(1−2x)vàthỏamãnF  1 2 ‹ = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. F (x) = cos(1− 2x). B. F (x) = cos(1− 2x) + 1. C. F (x) =− 1 2 cos(1− 2x) + 3 2 . D. F (x) = 1 2 cos(1− 2x) + 1 2 . Câu113. Hàm số f(x) = √ x + 3 là một nguyên hàm của hàm số nào bên dưới? A. g(x) = 2 3 (x + 3) 3 2 +C. B. g(x) = 1 2 √ x + 3 . C. g(x) = −1 √ x + 3 . D. g(x) = 3 2 (x + 3) 3 2 +C. Câu114. Tìm F (x) = Z cosx dx. A. sinx +C. B. cosx +C. C. − cosx +C. D.− sinx +C. Câu115. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Z 2 x dx = 2 x ln2 +C. B. Z lnx dx = 1 x +C. C. Z e x dx =−e x +C. D. Z x 3 dx = x 4 4 +C. Câu116. ChoF (x) vàf 0 (x) lần lượt là một nguyên hàm và đạo hàm của hàm sốf(x). Khẳng định nào sau đây là sai? A. b R a f(x) dx =F (a)−F (b). B. a Z b f(x) dx = c Z a f(x) dx + c Z b f(x) dx. C. b Z a dx =b−a. D. b Z a f 0 (x) dx =f(b)−f(a). Câu117. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Z e x dx = e x+1 x + 1 +C. B. Z x e dx = x e+1 e + 1 +C. C. Z cos 2xdx = 1 2 sin 2x +C. D. Z 1 x dx = ln|x| +C. Câu118. Tính tích phân I = 1 Z 0 3 x dx. A. I = 2 ln 3 . B. I = 3 ln 3 . C. I = 1 2 . D. I = 2. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1271. NGUYÊN HÀM 128 | Page Câu119. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 1 là A. 3 x lnx +x +C. B. 3 x ln 3 +x +C. C. 3 x ln 3 +C. D. 3 x +x +C. Câu120. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. Z cosx dx = sinx +C. B. Z sinx dx =− cosx +C. C. Z e x dx = e x +C. D. Z 1 sin 2 x dx =− tanx +C. Câu121. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos(2x + 3). A. F (x) =− sin(2x + 3) +C. B. F (x) = 1 2 sin(2x + 3) +C. C. F (x) =− 1 2 sin(2x + 3) +C. D. F (x) = sin(2x + 3) +C. Câu122. Tính Z 4 sin  2x + π 3  dx, kết quả nào sau đây là đúng? A.−2 cos  2x + π 3  +C. B.− 1 2 cos  2x + π 3  +C. C.−4 cos  2x + π 3  +C. D. 2 cos  2x + π 3  +C. Câu123. Nguyên hàm I = Z 1 2x + 1 dx bằng A.− 1 2 ln|2x + 1| +C. B. − ln|2x + 1| +C. C. 1 2 ln|2x + 1| +C. D. ln|2x + 1| +C. Câu124. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 2 +x + 1 là A. 2x 3 3 +x 2 +x +C. B. 4x + 1. C. 2x 3 3 + x 2 2 +x. D. 2x 3 3 + x 2 2 +x +C. Câu125. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx− 1 là A. cosx−x +C. B. − cosx +C. C. − cosx−x +C. D. cosx−x +C. Câu126. Tính nguyên hàm Z cos 3x dx. A.−3 sin 3x +c. B. 1 3 sin 3x +c. C. 3 sin 3x +c. D.− 1 3 sin 3x +c. Câu127. Công thức nguyên hàm nào sau đây là sai? A. Z dx x = lnx +C. B. Z x α dx = x α+1 α + 1 +C. C. Z a x dx = a x lna +C (<α6=−1). D. Z 1 cos 2 x dx = tanx +C. Câu128. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trênK và a,b∈K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. b Z a [f(x) +g(x)] dx = b Z a f(x) dx + b Z a g(x) dx. B. b Z a kf(x) dx =k b Z a f(x) dx. C. b Z a [f(x)g(x)] dx = b Z a f(x) dx· b Z a g(x) dx. D. b Z a [f(x)−g(x)] dx = b Z a f(x) dx− b Z a g(x) dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1281. NGUYÊN HÀM 129 | Page Câu129. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2x+3 là A. Z f(x) dx = 1 3 e 2x+3 +C. B. Z f(x) dx = e 2x+3 +C. C. Z f(x) dx = 1 2 e 2x+3 +C. D. Z f(x) dx = 2e 2x+3 +C. Câu130. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x + 3 là A. 1 2 ln(2x + 3) +C. B. 1 2 ln|2x + 3| +C. C. ln|2x + 3| +C. D. 1 ln 2 ln|2x + 3| +C. Câu131. Họ nguyên hàm của hàm số y = sin 2x là A. y =− 1 2 cos 2x +C . B. y =− 1 2 cos 2x. C. y = 1 2 cos 2x +C . D. y =− cos 2x +C . Câu132. Tích phân π 2 Z 0 e cosx · sinx dx bằng A. 1− e. B. e + 1. C. e− 1. D. e. Câu133. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7 x . A. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. B. Z 7 x dx = 7 x ln 7 +C. C. Z 7 x dx = 7 x+1 x + 1 +C. D. Z 7 x dx = 7 x+1 +C. Câu134. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Z sinx dx = cosx +C. B. Z 2x dx =x 2 +C. C. Z e x dx = e x +C. D. Z 1 x dx = ln|x| +C. Câu135. Kết luận nào sau đây đúng? A. Z sinx dx =− sinx +C. B. Z sinx dx = sinx +C. C. Z sinx dx =− cosx +C. D. Z sinx dx = cosx +C. Câu136. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Z (f(x) +g(x)) dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx với mọi hàm số f(x),g(x) liên tục trênR. B. Z (f(x)−g(x)) dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx với mọi hàm số f(x),g(x) liên tục trênR. C. Z (f(x)·g(x)) dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx với mọi hàm số f(x),g(x) liên tục trênR. D. Z f 0 (x) dx =f(x) +C với mọi hàm số f(x) có đạo hàm trênR. Câu137. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 2x  3 x − √ x 4 x ‹ . A. F (x) = 12 x ln 12 − 2x √ x 3 +C. B. F (x) = 12 x +x √ x +C. C. F (x) = 2 2x ln 2  3 x ln 3 − x √ x 4 x ‹ +C. D. F (x) = 2 2x ln 2  3 x ln 3 − x √ x ln 4 4 x ‹ +C. Câu138. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x 5 − 1 x + 2018 là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1291. NGUYÊN HÀM 130 | Page A. 4 6 x 6 + ln|x| + 2018x +C. B. 2 3 x 6 − lnx + 2018x +C. C. 20x 4 + 1 x 2 +C. D. 2 3 x 6 − ln|x| + 2018x +C. Câu139. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x + 2 là A. 5 cos 5x +C. B.− 1 5 cos 5x + 2x +C. C. 1 5 cos 5x + 2x +C. D. cos 5x + 2x +C. Câu140. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx là A. cosx +C. B. sinx +C. C. − cosx +C. D.− sinx +C. Câu141. Khẳng định nào sau đây sai (C là hằng số)? A. Z 1 cos 2 x dx = tanx +C. B. Z 1 sin 2 x dx =− cotx +C. C. Z sinx dx = cosx +C. D. Z cosx dx = sinx +C. Câu142. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 3 + 2 sinx và f(0) = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f(x) = 3x− 2 cosx + 5. B. f(x) = 3x + 2 cosx + 3. C. f(x) = 3x− 2 cosx + 3. D. f(x) = 3x + 2 cosx + 5. Câu143. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x . A. Z 3 x dx = 3 x +C. B. Z 3 x dx = 3 x ln 3 +C. C. Z 3 x dx = 3 x ln 3 +C. D. Z 3 x dx = 3 x+1 x + 1 +C. Câu144. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Z sinx dx = cosx +C. B. Z 1 x dx =− 1 x 2 +C. C. Z e x dx = e x +C. D. Z lnx dx = 1 x +C. Câu145. Tính nguyên hàm A = Z 1 x lnx dx bằng cách đặt t = lnx. Mệnh đề nào dưới dây đúng? A. A = Z dt. B. A = Z 1 t 2 dt. C. A = Z t dt. D. A = Z 1 t dt. Câu146. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1. A. Z (2x + 1) dx = x 2 2 +x +C. B. Z (2x + 1) dx =x 2 +x +C. C. Z (2x + 1) dx = 2x 2 + 1 +C. D. Z (2x + 1) dx =x 2 +C. Câu147. Họ các nguyên hàm của hàm số y = 10 2x là A. 10 x 2 ln 10 +C. B. 10 2x 2 ln 10 +C. C. 10 2x 2 ln 10 +C. D. 10 2x ln 10 +C. Câu148. Họ nguyên hàm Z sinx dx bằng A. cosx +C. B. − sinx +C. C. − cosx +C. D. sinx +C. Câu149. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1301. NGUYÊN HÀM 131 | Page A. sin 2x +C. B. 1 2 sin 2x +C. C. − 1 2 sin 2x +C. D. 2 sin 2x +C. Câu150. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2018x . A. Z f(x) dx = e 2018x +C. B. Z f(x) dx = 1 2018 · e 2018x +C. C. Z f(x) dx = 2018· e 2018x +C. D. Z f(x) dx = e 2018x · ln 2018 +C. Câu151. Họ nguyên hàm của hàm số y = cos 3x là A. sin 3x 3 +C. B. − sin 3x 3 +C. C. sin 3x +C. D.− sin 3x +C. Câu152. Họ nguyên hàm của hàm số ex e + 4 là A. ex e+1 + 4x +C. B. e 2 x e−1 +C. C. ex e+1 e + 1 + 4x +C. D. x e+1 e + 1 + 4x +C. Câu153. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 cosx + 1 x 2 trên (0; +∞). A. 3 cosx + lnx +C. B. 3 sinx− 1 x +C. C. −3 sinx + 1 x +C. D. 3 cosx + 1 x +C. Câu154. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm sốf(x) =x 3 ? A. y = x 4 4 − 1. B. y = x 4 4 + 1. C. y = x 4 4 . D. y = 3x 2 . Câu155. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y =x 2 . Giá trị của biểu thức F 0 (4) là A. 2. B. 4. C. 8. D. 16. Câu156. Nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3− 1 sin 2 x là A. F (x) = 3x− tanx +C. B. F (x) = 3x + tanx +C. C. F (x) = 3x + cotx +C. D. F (x) = 3x− cotx +C. Câu157. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e x − e −x . A. Z f(x) dx = e x + e −x +C. B. Z f(x) dx = e x − e −x +C. C. Z f(x) dx =−e x − e −x +C. D. Z f(x) dx =−e x + e −x +C. Câu158. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x. A. F (x) = 2 sin 2x +C. B. F (x) =− 1 2 sin 2x +C. C. F (x) = 1 2 sin 2x +C. D. F (x) =−2 sin 2x +C. Câu159. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Z f 0 (x)dx =f(x) +C. B. Z f 0 (ax +b)dx = 1 a ·f(x) +C. C. Z f 0 (x)dx =f 00 (x) +C. D. Z f 0 (x)dx =a·f(ax +b) +C. Câu160. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = 12x 5 . A. y = 12x 6 + 5. B. y = 2x 6 + 3. C. y = 12x 4 . D. y = 60x 4 . Câu161. Tính nguyên hàm I = Z (2 x + 3 x ) dx. A. I = 2 x ln 2 + 3 x ln 3 +C. B. I = ln 2 2 x + ln 3 3 x +C. C. I = ln 2 2 + ln 3 3 +C. D. I =− ln 2 2 − ln 3 3 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1311. NGUYÊN HÀM 132 | Page Câu162. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. Z [f(x)·g(x)] dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx . B. Z [f(x)±g(x)] dx = Z f(x) dx± Z g(x) dx . C. Z f 0 (x) dx =f(x) +C . D. Z [k·f(x)] dx =k· Z f(x) dx . Câu163. Tìm H = Z 4 √ 2x− 1 dx. A. H = 2 5 (2x− 1) 5 4 +C. B. H = (2x− 1) 5 4 +C. C. H = 1 5 (2x− 1) 5 4 +C. D. H = 8 5 (2x− 1) 5 4 +C. Câu164. Cho hai hàm sốf(x),g(x) liên tục trênR. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai? A. Z [f(x) +g(x)] dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx. B. Z [f(x)·g(x)] dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx. C. Z [f(x)−g(x)] dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx. D. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx. Câu165. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e 1 2 x . A. Z f(x) dx = 2e 1 2 x +C. B. Z f(x) dx = 1 2 e 1 2 x +C. C. Z f(x) dx = e 1 2 x +C. D. Z f(x) dx = 2 3 e 1 2 x +C. Câu166. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x. A. Z sin 3x dx =− cos 3x 3 +C. B. Z sin 3x dx = cos 3x 3 +C. C. Z sin 3x dx =− sin 3x 3 +C. D. Z sin 3x dx =− cos 3x +C. Câu167. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 3x + 1 . A. ln|3x + 1| +C. B. 1 3 ln|3x + 1| +C. C. 1 3 ln(3x + 1) +C. D. ln(3x + 1) +C. Câu168. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x. A.−3 sin 3x +C. B. − 1 3 sin 3x +C. C. − sin 3x +C. D. 1 3 sin 3x +C. Câu169. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + x 2 . A. Z f(x) dx = x 3 3 + x 2 4 +C. B. Z f(x) dx =x 3 + x 2 2 +C. C. Z f(x) dx =x 3 + x 2 4 +C. D. Z f(x) dx =x 3 + x 2 4 . Câu170. Nguyên hàm Z sin 2x dx bằng A.− 1 2 cos 2x +C. B. cos 2x +C. C. 1 2 cos 2x +C. D.− cos 2x +C. Câu171. Nguyên hàm của hàm số y = e −3x+1 là A. 1 3 e −3x+1 +C. B. −3e −3x+1 +C. C. − 1 3 e −3x+1 +C. D. 3e −3x+1 +C. Câu172. Cho hàm số f(x) = e 2x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Z f(x) dx = e 2x +C . B. Z f(x) dx = 1 2 e 2x +C . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1321. NGUYÊN HÀM 133 | Page C. Z f(x) dx =− 1 2 e 2x +C . D. Z f(x) dx = 1 2x e 2x +C . Câu173. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 . A. Z x 2 dx = x 2 2 +C . B. Z x 2 dx = 2x +C . C. Z x 2 dx = x 3 3 +C . D. Z x 2 dx = x 3 3 . Câu174. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai? A. Z kf(x)dx =k Z f(x)dx với k∈R. B. Z [f(x) +g(x)]dx = Z f(x)dx + Z g(x)dx với f(x),g(x) liên tục trênR. C. Z x α dx = 1 α + 1 x α+1 +C với α6=−1. D. Z f(x)dx  0 =f(x). Câu175. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 2 +x− 1 x 2 . A. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx = 2 + 1 x − 1 x 2 + C. B. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx = 2x + 1 x + ln|x| + C. C. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx =x 2 + ln|x| + 1 x + C. D. Z 2x 2 +x− 1 x 2 dx =x 2 − 1 x + ln|x| + C. Câu176. Nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + sinx là A. F (x) = e x + cosx +C. B. F (x) = e x − sinx +C. C. y = e x + sinx +C. D. y = e x − cosx +C. Câu177. Nguyên hàm của hàm số y =x 2 − 3x + 1 x là A. x 3 3 − 3x 2 2 − ln|x| +C. B. x 3 3 − 3x 2 2 + 1 x 2 +C. C. x 3 3 − 3x 2 2 + lnx +C. D. x 3 3 − 3x 2 2 + ln|x| +C. Câu178. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng? A. Z a x dx = a x lna +C(0 0,∀x∈R và f (0) = 1. Giá trị củaf (1) bằng A. 1 √ e . B. 1 e . C. √ e. D. e. Câu15. Cho hàm sốf (x) = sin 2 2x·sinx. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàmf (x). A. y = 4 3 cos 3 − 4 5 sin 5 x +C. B. y =− 4 3 cos 3 x + 4 5 cos 5 x +C. C. y = 4 3 sin 3 x− 4 5 cos 5 x +C. D. y =− 4 3 sin 3 x + 4 5 sin 5 x +C. Câu16. Tìm họ nguyên hàm F (x) = Z 1 (2x + 1) 3 dx. A. F (x) =− 1 4(2x + 1) 2 +C. B. F (x) =− 1 6(2x + 1) 2 +C. C. F (x) =− 1 4(2x + 1) 3 +C. D. F (x) =− 1 6(2x + 1) 3 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1351. NGUYÊN HÀM 136 | Page Câu17. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + 2x thỏa mãn F (0) = 3 2 . F (x) bằng A. F (x) = e x +x 2 + 5 2 . B. F (x) = e x +x 2 − 1 2 . C. F (x) = e x +x 2 + 3 2 . D. F (x) = e x +x 2 + 1 2 . Câu18. ChoF (x) là nguyên hàm củaf(x) = 1 √ x + 2 thỏa mãnF (2) = 4. Giá trịF (−1) bằng A. √ 3. B. 1. C. 2 √ 3. D. 2. Câu19. Chobiết Z 2x− 13 (x + 1)(x− 2) dx =a ln|x+1|+b ln|x−2|+C.Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. a + 2b = 8. B. a +b = 8. C. 2a−b = 8. D. a−b = 8. Câu20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 √ 1− 2x là A. 2 √ 1− 2x +C. B. −2 √ 1− 2x +C. C. √ 1− 2x +C. D.− √ 1− 2x +C. Câu21. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 3 √ 3x + 1 là A. 3 √ 3x + 1 +C. B. 1 3 3 √ 3x + 1 +C. C. 1 2 3 p (3x + 1) 2 +C. D. 3 2 3 p (3x + 1) 2 +C. Câu22. Cho hàm sốf(x) thỏaf 0 (x) = 3− 5 sinx vàf(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f(x) = 3x + 5 cosx + 5. B. f(x) = 3x + 5 cosx + 2. C. f(x) = 3x− 5 cosx + 2. D. f(x) = 3x− 5 cosx + 15. Câu23. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn F  π 2  = 2. A. F (x) = cosx− sinx + 3. B. F (x) =− cosx + sinx + 3. C. F (x) =− cosx + sinx− 1. D. F (x) =− cosx + sinx + 1. Câu24. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = √ 2x− 1. A. Z f(x) dx = 2 3 (2x− 1) √ 2x− 1 +C. B. Z f(x) dx = 1 3 (2x− 1) √ 2x− 1 +C. C. Z f(x) dx =− 1 3 (2x− 1) √ 2x− 1 +C. D. Z f(x) dx = 1 2 (2x− 1) √ 2x− 1 +C. Câu25. Cho hàm số f(x) xác định trênR\ § 1 2 ª thỏa mãn f 0 (x) = 2 2x− 1 , f(0) = 1 và f(1) = 2. Giá trị của biểu thức f(−1) +f(3) bằng A. 4 + ln 15. B. 2 + ln 15. C. 3 + ln 15. D. ln 15. Câu26. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 4 +x là A. x 4 +x 2 +C. B. 4x 3 + 1 +C. C. x 5 +x 2 +C. D. 1 5 x 5 + 1 2 x 2 +C. Câu27. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x 2 là A. x 4 +x 3 +C. B. 1 4 x 4 + 1 3 x 3 +C. C. 3x 2 + 2x +C. D. x 3 +x 2 +C. Câu28. Giả sử Z e 2x 2x 3 + 5x 2 − 2x + 4
dx = ax 3 +bx 2 +cx +d
e 2x +C. Khi đóa +b +c +d bằng A.−2. B. 3. C. 2. D. 5. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1361. NGUYÊN HÀM 137 | Page Câu29. Khẳng định nào sau đây sai? A. Z cos 4x dx = sin 4x 4 +C. B. Z 1 cos 2 2x dx = tan 2x 2 +C. C. Z 1 ex dx = ln|x| e +C. D. Z cos 2x dx = 2 sin 2x +C. Câu30. Tìm nguyên hàm I = Z 1 √ 5x + 2 dx. A. I = 1 5 3 p (5x + 2) 3 +C. B. I = 2 5 √ 5x + 2 +C. C. I = 1 5 √ 5x + 2 +C. D. I = 2 5 p (5x + 2) 3 +C. Câu31. BiếtF (x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = sinx + cosx, thỏa mãnF  π 2  = 2. Tính giá trị của S =F (0) + 2F (π). A. S = 4. B. S = 5. C. S =−1. D. S = 0. Câu32. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x √ x + √ x x 2 là A. F (x) = 2 (x− 1) √ x +C. B. F (x) = 2 ( √ x + 1) x 2 +C. C. F (x) = 1 + 2 √ x x +C. D. F (x) = 2− 3 √ x √ x +C. Câu33. Z 3 cosx 2 + sinx dx bằng A. 3 sinx (2 + sinx) 2 +C. B.−3 ln|2 + sinx| +C. C. 3 ln (2 + sinx) +C. D. 3 sinx (2 + sinx) 2 +C. Câu34. Công thức nào dưới đây là sai? A. Z 1 x 2 −a 2 dx = 1 2 ln x−a x +a +C. B. Z sinx dx = cosx +C. C. Z e ax+b dx = 1 a e ax+b +C. D. Z a x dx = a x lna +C, (0 0) bằng A. x + ln 2 x +C. B. ln 2 x + lnx +C. C. 1 2 ln 2 x + lnx +C. D. x + 1 2 ln 2 x +C. Câu101. Họ nguyên hàm của hàm số y =x 2 − 3x + 1 x là A. F (x) = x 3 3 − 3 2 x 2 + lnx +C. B. F (x) = x 3 3 − 3 2 x 2 + ln|x| +C. C. F (x) = x 3 3 + 3 2 x 2 + lnx +C. D. F (x) = 2x− 3− 1 x +C. Câu102. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 2 A. Z f(x) dx = 3x 2 + 2x +C . B. Z f(x) dx = 3 2 x 2 − 2x +C . C. Z f(x) dx = 3x 2 − 2x +C . D. Z f(x) dx = 3 2 x 2 + 2x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1431. NGUYÊN HÀM 144 | Page Câu103. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = √ 2x + 3. A. Z f(x) dx = 2 3 x √ 2x + 3 +C. B. Z f(x) dx = 1 3 (2x + 3) √ 2x + 3 +C. C. Z f(x) dx = 2 3 (2x + 3) √ 2x + 3 +C. D. Z f(x) dx = √ 2x + 3 +C. Câu104. Cho F (x) = cos 2x− sinx +C là nguyên hàm của hàm số f(x). Tính f(π). A. f(π) =−3. B. f(π) = 1. C. f(π) =−1. D. f(π) = 0. Câu105. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(2x + 3). A. Z f(x) dx =− sin(2x + 3) +C. B. Z f(x) dx =− 1 2 sin(2x + 3) +C. C. Z f(x) dx = sin(2x + 3) +C. D. Z f(x) dx = 1 2 sin(2x + 3) +C. Câu106. Biết Z f(2x) dx = sin 2 x + lnx +C, tìm nguyên hàm Z f(x) dx. A. Z f(x) dx = sin 2 x 2 + lnx +C. B. Z f(x) dx = 2 sin 2 x 2 + 2 lnx +C. C. Z f(x) dx = 2 sin 2 x + 2 lnx− ln 2 +C. D. Z f(x) dx = 2 sin 2 2x + 2 lnx− ln 2 +C. Câu107. Tìm hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =− sinx(4 cosx + 1) thỏa mãn F  π 2  =−1. A. F (x) = cos 2x + cosx− 1. B. F (x) =−2 cos 2x + cosx− 3. C. F (x) = cos 2x + cosx. D. F (x) =− cos 2x− cosx− 2. Câu108. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai? A. Z 1 x dx = lnx +C . B. Z 0 dx =C. C. Z e x dx = e x +C. D. Z cosx dx = sinx +C. Câu109. Nguyên hàm của hàm số y = 1 2− 3x là A. 1 3 ln|2− 3x| +C. B. −3 ln|2− 3x| +C. C. − 1 3 ln|2− 3x| +C. D. ln|2− 3x| +C. Câu110. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x , biết F (0) = 4. Tìm F (x). A. F (x) = e x + 2. B. F (x) = e x + 3. C. F (x) = e x + 4. D. F (x) = e x + 1. Câu111. Biết e 4 Z e f (lnx) 1 x dx = 4. Tính tích phân I = 4 Z 1 f(x) dx. A. I = 8. B. I = 16. C. I = 2. D. I = 4. Câu112. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Z [f(x)−g(x)] dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x), g(x) liên tục trênR. B. Z f 0 (x) dx =f(x) +C với mọi hàm số f(x) có đạo hàm trênR. C. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx với mọi hằng số k và mọi hàm số f(x) liên tục trênR. D. Z [f(x) +g(x)] dx = Z f(x) dx + Z g(x) dx, với mọi hàm số f(x), g(x) liên tục trênR. Câu113. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Z 1 1− 2x dx = 1 2 ln|1− 2x| +C. B. Z 1 1− 2x dx = ln|1− 2x| +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1441. NGUYÊN HÀM 145 | Page C. Z 1 1− 2x dx =− 1 2 ln|4x− 2| +C. D. Z 1 1− 2x dx = 2 ln 1 |1− 2x| +C. Câu114. Cho hàm số f(x) = sin 3x. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Z f(x) dx = 1 3 cos 3x +C. B. Z f(x) dx =− 1 3 cos 3x +C. C. Z f(x) dx = 3 cos 3x +C. D. Z f(x) dx =−3 cos 3x +C. Câu115. Cho số thực a> 0, a6= 1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. Z a x dx =a x lna +C. B. Z a x dx = a x+1 x + 1 +C. C. Z a x dx = a x loga +C. D. Z a x dx = a x lna +C. Câu116. Cho x> 0. Tìm hàm số f(x) biết rằng Z f(x) dx = 1 x + lnx +C. A. f(x) = lnx + 1 x . B. f(x) = lnx− 1 x 2 . C. f(x) = 1 x 2 + 1 x . D. f(x) =− 1 x 2 + 1 x . Câu117. Tìm nguyên hàm của hàm số y =xe x . A. Z xe x dx =xe x +C. B. Z xe x dx =xe x − e x +C. C. Z xe x dx = e x +C. D. Z xe x dx =xe x + e x +C. Câu118. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x lnx là A. x 2 (2 lnx + 1) +C. B. 4x 2 (2 lnx− 1) +C. C. x 2 (2 lnx− 1) +C. D. x 2 (8 lnx− 16) +C. Câu119. Xác định f(x) biết Z f(x) dx = 1 x + e x +C. A. f(x) = ln|x| + e x . B. f(x) = 1 x 2 + e x . C. f(x) =− 1 x 2 + e x . D. f(x) = lnx + e x . Câu120. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 98 (2x + 1) 50 là A.− 1 (2x + 1) 49 +C. B. − 2 (2x + 1) 49 +C. C. 1 51(2x + 1) 51 +C. D. 2 (2x + 1) 51 +C. Câu121. Cho f (x) = 3 √ x · ln 3 √ x . Hàm số nào dưới đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x)? A. F (x) = 3 √ x +C. B. F (x) = 2· 3 √ x +C. C. F (x) = 2· € 3 √ x − 1 Š +C. D. F (x) = 2· € 3 √ x + 1 Š +C. Câu122. Hàm số F (x) nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x + 3 x 2 + 4x + 3 ? A. F (x) = 2 ln|x + 3|− ln|x + 1| +C. B. F (x) = ln (2|x + 1|). C. F (x) = ln x + 1 x + 3 + 2. D. F (x) = ln [(x + 1) (x + 3)]. Câu123. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x là A.− 1 3 · sin 3x +C. B. 1 3 · sin 3x +C. C. 3 sin 3x +C. D.−3 sin 3x +C. Câu124. BiếtF (x) là một nguyên hàm của hàm sốy =f(x) = 4 1 + 2x vàF (0)=2. TìmF (2). A. 4 ln 5 + 2. B. 5 (1 + ln 2). C. 2 ln 5 + 4. D. 2(1 + ln 5). ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1451. NGUYÊN HÀM 146 | Page Câu125. F (x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3x + 4 x 2 , (x6= 0), biết rằngF (1) = 1.F (x) là biểu thức nào sau đây A. F (x) = 2x + 4 x − 5. B. F (x) = 3 ln|x|− 4 x + 5. C. F (x) =F (3x− 4 x + 3. D. F (x) = 3 ln|x|− 4 x + 3. Câu126. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 10 x . A. Z 10 x dx = 10 x ln 10 +C. B. Z 10 x dx = 10 x ln 10 +C. C. Z 10 x dx = 10 x+1 +C. D. Z 10 x dx = 10 x+1 x + 1 +C. Câu127. Tính Z x(x 2 + 7) 15 dx. A. Z x(x 2 + 7) 15 dx = 1 2 x 2 + 7
16 +C. B. Z x(x 2 + 7) 15 dx = 1 32 x 2 + 7
16 +C. C. Z x(x 2 + 7) 15 dx =− 1 32 x 2 + 7
16 +C. D. Z x(x 2 + 7) 15 dx = 1 16 x 2 + 7
16 +C. Câu128. Tính F (x) = Z x cos 2x dx. A. F (x) = 1 2 x sin 2x + 1 2 cos 2x +C. B. F (x) = 1 2 x sin 2x + 1 4 cos 2x +C. C. F (x) = x 2 sin 2x 4 +C. D. F (x) = sin 2x +C. Câu129. Cho f(x) = 4m π + sin 2 x. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tìm m để F (0) = 1 và F  π 4  = π 8 . A. m =− 3 4 . B. m = 3 4 . C. m =− 4 3 . D. m = 4 3 . Câu130. Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos 4x là A.− 1 4 sin 4x +C. B. 1 4 sin 4x +C. C. sin 4x +C. D. 1 4 sinx +C. Câu131. Hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) =xe x là A. (x− 1)e x +C. B. x 2 + e x+1 x + 1 +C. C. x 2 e x +C. D. (x + 1)e x +C. Câu132. Nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx− cosx thỏa mãn F  π 4  = 0 là A.− cosx− sinx + √ 2 2 . B.− cosx− sinx− √ 2. C. cosx− sinx. D.− cosx− sinx + √ 2. Câu133. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =xe x . A. Z f(x) dx = (x + 1)e x +C. B. Z f(x) dx = (x− 1)e x +C. C. Z f(x) dx =xe x +C. D. Z f(x) dx =x 2 e x +C. Câu134. Tìm hàm số F (x) biết F 0 (x) = sin 2x và F  π 2  = 1. A. F (x) = 1 2 cos 2x + 3 2 . B. F (x) = 2x−π + 1. C. F (x) =− 1 2 cos 2x + 1 2 . D. F (x) =− cos 2x. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1461. NGUYÊN HÀM 147 | Page Câu135. BiếtF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = sinx và đồ thị hàm sốy =F (x) đi qua điểm M(0; 1). Tính F  π 2  . A. F  π 2  = 2. B. F  π 2  = 0. C. F  π 2  = 1. D. F  π 2  =−1. Câu136. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = lnx x . Tính I =F (e)−F (1). A. I = 1. B. I = 1 e . C. I = e. D. I = 1 2 . Câu137. Cho bốn mệnh đề sau (I) Z cos 2 x dx = cos 3 x 3 +C. (II) Z 2x + 1 x 2 +x + 2018 dx = ln(x 2 +x + 2018) +C. (III) Z 3 x (2 x + 3 −x ) dx = 6 x ln 6 +C. (IV) Z 3 x dx = 3 x ln 3 +C. Có bao nhiêu mệnh đề sai? A.−2− √ 3. B. −2 + √ 3. C. 0. D.−2. Câu138. Tìm nguyên hàm I = Z x lnx dx? A. I = x 2 2  lnx− 1 2 ‹ +C. B. I = x 2 2 lnx− x 2 2 +C. C. I =x 2 lnx− x 2 4 +C. D. I =x 2 lnx− x 2 2 +C. Câu139. BiếtF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = sin x 2 vàF (π) = 1. TínhF  2π 3 ‹ . A. F  2π 3 ‹ = 2. B. F  2π 3 ‹ = 0. C. F  2π 3 ‹ = 3. D. F  2π 3 ‹ =−1. Câu140. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = 2 3 . A. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 + 2 3 . B. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 − 1. C. V =F (x) = 3x 2 + cos 3x 3 + 1. D. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 + 1. Câu141. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =x· e 2x . A. F (x) = 2e 2x (x− 2) +C. B. F (x) = 1 2 e 2x (x− 2) +C. C. F (x) = 2e 2x  x− 1 2 ‹ +C. D. F (x) = 1 2 e 2x  x− 1 2 ‹ +C. Câu142. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 6 3− 2x và f(2) = 0. A. f(x) =−3 ln|3− 2x|. B. f(x) = 2 ln|3− 2x|. C. f(x) =−2 ln|3− 2x|. D. f(x) = 3 ln|3− 2x|. Câu143. ChoF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 8(1− 2x) 3 . TínhI =F (1)−F (0). A. I = 2. B. I =−2. C. I = 0. D. I =−16. Câu144. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x ln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1). ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1471. NGUYÊN HÀM 148 | Page A. F (1) = 12· ln 2 3. B. F (1) = 3. C. F (1) = 6. D. F (1) = 4. Câu145. Biết hàm số F (x) =ax 3 + (a +b)x 2 + (2a−b +c)x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 6x + 2. Tổng a +b +c là A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Câu146. Đặt t = √ 1 + tanx thì Z √ 1 + tanx cos 2 x dx trở thành nguyên hàm nào? A. Z 2t dt. B. Z t 2 dt. C. Z dt. D. Z 2t 2 dt. Câu147. Biết Z  1 2x +x 5 ‹ dx =a ln|x| +bx 6 +C với (a,b∈Q,C∈R). Tính a 2 +b? A. 7 6 . B. 7 13 . C. 9. D. 5 12 . Câu148. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x. A. Z f(x) dx = 3 cos 3x +C. B. Z f(x) dx = 1 3 cos 3x +C. C. Z f(x) dx =− 1 3 cos 3x +C. D. Z f(x) dx =−3 cos 3x +C. Câu149. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là mệnh đề sai? A. Z x lnx dx =x 2 lnx− x 2 2 +C. B. Z lnx dx =x lnx−x +C. C. Z x lnx dx = x 2 2 lnx− x 2 4 +C. D. Z 2x lnx dx =x 2 lnx− x 2 2 +C. Câu150. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x− 1 và F (2) = 3 + 1 2 ln 3. Tính F (3). A. F (3) = 1 2 ln 5 + 5. B. F (3) = 1 2 ln 5 + 3. C. F (3) =−2 ln 5 + 5. D. F (3) = 2 ln 5 + 3. Câu151. Họ nguyên hàm của hàm số y = 2x(1 + 3x 3 ) là A. F (x) =x 2 (x +x 3 ) +C. B. F (x) = 2x(x +x 3 ) +C. C. F (x) =x 2 (1 + 3x 2 ) +C. D. F (x) =x 2  1 + 6x 3 5 ‹ +C. Câu152. Nếu F (x) +C là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x− 3 x 2 + 2x− 3 và F (0) = 0 thì hằng số C bằng A. 3 2 ln 3. B. − 2 3 ln 3. C. 2 3 ln 3. D.− 3 2 ln 3. Câu153. Họ nguyên hàm của hàm số y = (1 + sinx) 2 là A. F (x) = 2 3 x− 2 cosx− 1 4 sin 2x +C. B. F (x) = 3 2 x− 2 cosx + 1 4 sin 2x +C. C. F (x) = 3 2 x + 2 cosx− 1 4 sin 2x +C. D. F (x) = 3 2 x− 2 cosx− 1 4 sin 2x +C. Câu154. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Z sinx dx =− cosx +C. B. Z sinx dx = sin  x− π 2  +C. C. Z sinx dx =− sin  x + π 2  +C. D. Z sinx dx = sinx +C. Câu155. ChoF (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =xe x 2 . Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f(x)? ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1481. NGUYÊN HÀM 149 | Page A. F (x) =− 1 2 e x 2 +C. B. F (x) =− 1 2 (2− e x 2 ). C. F (x) = 1 2 (e x 2 + 2). D. F (x) = 1 2 (e x 2 + 5). Câu156. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = 2 3 . A. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 + 2 3 . B. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 − 1. C. F (x) = 3x 2 + cos 3x 3 + 1. D. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 + 1. Câu157. Tìm nguyên hàm I = Z sin 4 x cosx dx. A. sin 5 x 5 +C. B. cos 5 x 5 +C. C. − sin 5 x 5 +C. D.− cos 5 x 5 +C. Câu158. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x− 1 x 2 , biết đồ thị hàm số y = F (x) đi qua điểm (1;−2). A. F (x) = ln|x| + 1 x + 3. B. F (x) = ln|x|− 1 x + 1. C. F (x) = ln|x|− 1 x − 1. D. F (x) = ln|x| + 1 x − 3. Câu159. Cho a∈ R, hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx? A. F (x) = sinx. B. F (x) = 2 cos x +a 2 cos x−a 2 . C. F (x) = 2 sin  x 2 +a  cos  x 2 −a  . D. F (x) = 2 sin x +a 2 cos x−a 2 . Câu160. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 − 2 x . A. Z f(x) dx = x 3 3 + 2 x ln 2 +C. B. Z f(x) dx = 2x− 2 x ln 2 +C. C. Z f(x) dx = x 3 3 − 2 x ln 2 +C. D. Z f(x) dx = 2x− 2 x ln 2 +C. Câu161. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = (e x − 1) 2 . A. F (x) = 2e x (e x − 1). B. F (x) = 1 2 e 2x − 2e x +x +C. C. F (x) = e 2x − 2e x +x +C. D. F (x) = 2e 2x − 2e x +C. Câu162. Tìm Z 1 x 2 dx. A. Z 1 x 2 dx = 1 x +C. B. Z 1 x 2 dx =− 1 x +C. C. Z 1 x 2 dx = 1 2x +C. D. Z 1 x 2 dx = lnx 2 +C. Câu163. Hàm số F (x) =x 2 + sinx là một nguyên hàm của hàm số A. f(x) = 1 3 x 3 + cosx. B. f(x) = 2x + cosx. C. f(x) = 1 3 x 3 − cosx. D. f(x) = 2x− cosx. Câu164. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 10] thỏa mãn 10 Z 0 f(x) dx = 7, 6 Z 2 f(x) dx = 3. Tính P = 2 Z 0 f(x) dx + 10 Z 6 f(x) dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1491. NGUYÊN HÀM 150 | Page A. P = 4. B. P = 5. C. P = 7. D. P =−4. Câu165. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Z ln|x| dx = 1 x +C. B. Z (x + 1) −3 dx = 1 2 (x + 1) −2 +C. C. Z (x + 1) 3 dx = 1 4 (x + 1) 4 +C. D. Z dx 2x + 1 = ln|2x + 1| +C. Câu166. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x. A. Z f(x) dx = 3 cos 3x +C. B. Z f(x) dx =−3 cos 3x +C. C. Z f(x) dx =− 1 3 cos 3x +C. D. Z f(x) dx = 1 3 cos 3x +C. Câu167. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + 2x thỏa mãn F (0) = 3 2 . Tìm F (x). A. F (x) = e x +x 2 + 1 2 . B. F (x) = e x +x 2 + 5 2 . C. F (x) = e x +x 2 + 3 2 . D. F (x) = 2e x +x 2 − 1 2 . Câu168. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e x (1 + e −x ). A. Z f(x) dx = e x + 1 +C. B. Z f(x) dx = e x +x +C. C. Z f(x) dx =−e x +x +C. D. Z f(x) dx = e x +C. Câu169. Cho biết F (x) = 1 3 x 3 + 2x− 1 x là một nguyên hàm của f(x) = (x 2 +a) 2 x 2 . Tìm nguyên hàm của g(x) =x cosax. A. x sinx− cosx +C. B. 1 2 x sin 2x− 1 4 cos 2x +C. C. x sinx + cosx +C. D. 1 2 x sin 2x + 1 4 cos 2x +C. Câu170. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x là A. Z cos 2x dx = 2 sin 2x +C. B. Z cos 2x dx =− 1 2 sin 2x +C. C. Z cos 2x dx = sin 2x +C. D. Z cos 2x dx = 1 2 sin 2x +C. Câu171. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x 3 + 2x + 1 2 √ x . A. Z f(x)dx = x 4 4 +x 2 + √ x +C. B. Z f(x)dx = x 4 4 + 2x + √ x +C. C. Z f(x)dx =x 4 +x 2 + √ x +C. D. Z f(x)dx = 12x 2 + 2− 1 4x √ x +C. Câu172. ChoF (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x + 3x 2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính F (0) +F (−1). A.−3. B. −4. C. 3. D. 4. Câu173. Tìm Z  3 √ x 2 + 4 x ‹ dx A. 3 5 3 √ x 5 + 4 ln|x| +C. B. 3 5 3 √ x 5 − 4 ln|x| +C. C.− 3 5 3 √ x 5 + 4 ln|x| +C. D. 5 3 3 √ x 5 + 4 ln|x| +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1501. NGUYÊN HÀM 151 | Page Câu174. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x 2 là A.− 1 x +C. B. x 3 +C. C. − 1 3x 2 . D. 1 x +C. Câu175. Nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 5x 4 − 3x 2 trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là A. x 5 −x 3 + 2x + 1. B. x 5 −x 3 + 3. C. x 5 −x 3 + 5. D. x 5 −x 3 . BẢNGĐÁPÁN 1. A 2. A 3. D 4. D 5. B 6. A 7. A 8. A 9. A 10. C 11. B 12. D 13. C 14. C 15. B 16. A 17. D 18. D 19. D 20. D 21. C 22. A 23. D 24. B 25. C 26. D 27. B 28. B 29. D 30. B 31. A 33. C 35. B 36. A 37. D 38. A 39. A 40. C 41. B 42. C 43. C 44. B 45. A 46. C 47. A 48. C 49. A 50. B 51. A 52. B 53. A 54. A 55. B 56. B 57. B 58. D 59. C 60. D 61. B 62. B 63. A 64. A 65. C 66. C 67. D 68. D 69. C 70. D 71. A 72. A 73. B 74. A 75. D 76. B 77. B 78. B 79. A 80. B 81. A 82. D 83. A 84. D 85. B 86. B 87. D 88. C 89. A 90. B 91. D 92. C 93. D 94. C 95. D 96. B 97. C 98. B 99. C 100. C 101. B 102. D 103. B 104. B 105. D 106. B 107. C 108. A 109. C 110. B 111. D 112. C 113. C 114. B 115. D 116. D 117. B 118. C 119. C 120. A 121. B 122. B 123. B 124. D 125. B 126. A 127. B 128. B 129. A 130. B 131. A 132. D 133. B 134. C 135. A 136. D 137. B 138. A 139. B 140. D 141. D 142. A 143. C 144. C 145. A 146. D 147. D 148. C 149. A 150. B 151. D 152. D 153. D 154. D 155. A 156. D 157. A 158. D 159. B 160. C 161. B 162. B 163. B 164. A 165. C 166. C 167. A 168. B 169. C 170. D 171. C 172. A 173. A 174. A 175. B 3. Mức độ vận dụng thấp Câu1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 sinx sinx− cosx . A. F (x) =x + ln| sinx + cosx| +C. B. G(x) =x + 1 | sinx− cosx| +C. C. H(x) = ln| sinx− cosx| +C. D. T (x) =x + ln| sinx− cosx| +C. Câu2. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 x , thỏa mãn F (0) = 1 ln 2 . Tính giá trị của biểu thức T =F (0) +F (1) +F (2) +··· +F (2017) +F (2018) +F (2019). A. T = 1009· 2 2019 + 1 ln 2 . B. T = 2 2019·2020 . C. T = 2 2019 − 1 ln 2 . D. T = 2 2020 − 1 ln 2 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1511. NGUYÊN HÀM 152 | Page Câu3. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =e 3 √ x và F (0) = 2. Hãy tính F (−1). A. 6− 15 e . B. 4− 10 e . C. 15 e − 4. D. 10 e . Câu4. Biết rằng xe x là một nguyên hàm của f(1−x) trên khoảng (−∞; +∞). Gọi F (x) là một nguyên hàm của f 0 (x)e x thỏa mãn F (3) = 1, giá trị của F (1) bằng A. 2e− 1. B. 2e + 1. C. e + 1. D. 4e + 1. Câu5. Biết rằng e x là một nguyên hàm củaf(2x) trên khoảng (−∞; +∞). GọiF (x) là một nguyên hàm của [f 0 (x)] 2 thỏa mãn F (0) = 1, giá trị của F (1) bằng A. 1. B. 4e− 3. C. e + 1 4 . D. e + 3 4 . Câu6. Cho F (x) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)e 2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e 2x . A. Z f 0 (x)e 2x dx =−x 2 + 2x +C. B. Z f 0 (x)e 2x dx =−x 2 +x +C. C. Z f 0 (x)e 2x dx =x 2 − 2x +C. D. Z f 0 (x)e 2x dx =−2x 2 + 2x +C. Câu7. Cho F (x) = (x− 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e 2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e 2x . A. Z f 0 (x)e 2x dx = (4− 2x)e x +C. B. Z f 0 (x)e 2x dx = 2−x 2 e x +C. C. Z f 0 (x)e 2x dx = (2−x)e x +C. D. Z f 0 (x)e 2x dx = (x− 2)e x +C. Câu8. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 1 + 8 x . A. Z f(x) dx = 1 (1 + 8 x ) 2 +C. B. Z f(x) dx = 8 x ln 8 1 + 8 x +C. C. Z f(x) dx =x + ln(1 + 8 x ) ln 8 +C. D. Z f(x) dx =x− ln(1 + 8 x ) ln 8 +C. Câu9. Tính nguyên hàm Z x 2 −x + 3 x + 1 dx. A. 2x + 5 ln|x + 1| +C. B. x 2 2 − 2x− 5 ln|x− 1| +C. C. x 2 2 − 2x + 5 ln|x + 1| +C. D. x + 5 ln|x + 1| +C. Câu10. Gọi F (x) là họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 8 sin 3x cosx. Biết rằng F (x) có dạng F (x) =a cos 4x +b cos 2x +C. Khi đó, a−b bằng A. 3. B. −1. C. 1. D. 2. Câu11. Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương trênR; thỏa mãn f(0) = 1 và f 0 (x) = x x 2 + 1 f(x). Khi đó hiệu T =f 2 √ 2
− 2f(1) thuộc khoảng nào? A. (2; 3). B. (7; 9). C. (0; 1). D. (9; 12). Câu12. Cho 3 Z 2 5x + 12 x 2 + 5x + 6 dx =a ln 2 +b ln 5 +c ln 6 vớia,b,c là các số hữu tỷ. Giá trị 3a + 2b +c bằng A. 3. B. −14. C. −2. D.−11. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1521. NGUYÊN HÀM 153 | Page Câu13. Cho f(x) = x cos 2 x trên  − π 2 ; π 2  và F (x) là một nguyên hàm của x·f 0 (x) thỏa mãn F (0) = 0. Tính F  π 3  ? A. π 2 36 − π √ 3 3 + ln 2. B. 4π 2 9 − π √ 3 3 − ln 2. C. 4π 2 9 − π √ 3 3 + ln 2. D. π 2 36 − π √ 3 3 − ln 2. Câu14. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x 9 + 3x 5 . A. Z f(x) dx =− 1 3x 4 + 1 36 ln x 4 x 4 + 3 +C. B. Z f(x) dx =− 1 12x 4 − 1 36 ln x 4 x 4 + 3 +C. C. Z f(x) dx =− 1 3x 4 − 1 36 ln x 4 x 4 + 3 +C. D. Z f(x) dx =− 1 12x 4 + 1 36 ln x 4 x 4 + 3 +C. Câu15. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x lnx thỏa mãn F  1 e ‹ = 2 và F (e) = ln 2. Giá trị của biểu thức F  1 e 2 ‹ +F (e 2 ) bằng A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1. Câu16. Cho biếtF (x) = 1 3 x 3 + 2x− 1 x là một nguyên hàm củaf(x) = (x 2 +a) 2 x 2 . Tìm nguyên hàm của hàm số g(x) =x cosax. A. x sinx− cosx +C. B. 1 2 x sin 2x− 1 4 cos 2x +C. C. x sinx + cosx +C. D. 1 2 x sin 2x + 1 4 cos 2x +C. Câu17. BiếtF (x) = log 2 2 x +a 2 x − 2 +b (a,b∈Z) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 2 x + 6· 2 −x − 5 thỏa mãn F (2) = 2018. Tính P =a +b. A. P = 2017. B. P = 2019. C. P = 2016. D. P = 2022. Câu18. ChoF (x) = (ax 2 +bx +c) √ 2x− 1làmộtnguyênhàmcủahàmsố 4x 2 √ 2x− 1 trên  1 2 ; +∞ ‹ . Tính S =a +b +c. A. S = 2. B. S = 9 5 . C. S = 28 15 . D. S = 1. Câu19. Biết Z x 2 + 1 x 3 − 6x 2 + 11x− 6 dx = ln|(x− 1) m (x− 2) n (x− 3) p | +C. Tính 4(m +n +p). A. 5. B. 0. C. 2. D. 4. Câu20. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x− 1 thoả mãn F (5) = 2 và F (0) = 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. F (−1) = 2− ln 2. B. F (2) = 2− 2 ln 2. C. F (3) = 1 + ln 2. D. F (−3) = 2. Câu21. Cho hàm sốf(x) xác định trênR\{0; 2} và thỏa mãnf 0 (x) = 1 x 2 − 2x . Biết rằngf(−2) + f(4) = 0 và f  1 2 ‹ +f  3 2 ‹ = 2018. Tính T =f(−1) +f(1) +f(5). A. T = 1 2 ln 5 + 1009. B. T = 1 2 ln 9 5 + 1009. C. T = 1 2 ln 9 5 + 2018. D. T = 1 2 ln 9 5 . Câu22. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn Z f √ x + 1
√ x + 1 dx = 2 √ x + 1 + 3
x + 5 +C. Nguyên hàm của hàm số f(2x) trên tậpR + là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1531. NGUYÊN HÀM 154 | Page A. x + 3 2 (x 2 + 4) +C. B. x + 3 x 2 + 4 +C. C. 2x + 3 4 (x 2 + 1) +C. D. 2x + 3 8 (x 2 + 1) +C. Câu23. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) = ln(x + 3) x 2 sao cho F (−2) +F (1) = 0. Giá trị của F (−1) +F (2) bằng A. 7 3 ln 2. B. 2 3 ln 2 + 3 6 ln 5. C. 10 3 ln 2− 5 6 ln 5. D. 0. Câu24. Biết Z (sin 2x− cos 2x) 2 dx =x + a b cos 4x +C, vớia,b là các số nguyên dương, a b là phân số tối giản và C∈R. Giá trị của a +b bằng A. 5. B. 4. C. 2. D. 3. Câu25. Tính I = 2018 Z 0 ln (1 + 2 x ) (1 + 2 −x ) log 4 e dx. A. I = ln 2 (1 + 2 2018 )− ln 2 2. B. I = ln 2 (1 + 2 2018 )− ln 4. C. I = ln (1 + 2 2018 )− ln 2. D. I = ln 2 (1 + 2 −2018 )− ln 2 2. Câu26. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số y = 4 cos 4 x− 3 cos 2 x. F (x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. F (x) = cos 4x 8 + cos 2x 4 +C. B. F (x) = sin 3 x cosx +C. C. F (x) =− sinx cos 3 x +C. D. F (x) = sin 4x 8 + sin 2x 4 +C. Câu27. ChoF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf (x) = e 3 √ x vàF (0) = 2. Hãy tínhF (−1). A. 6− 15 e . B. 4− 10 e . C. 15 e − 4. D. 10 e . Câu28. Cho hàm sốf(x) xác định trênR\{−1; 1} thỏa mãnf 0 (x) = 1 x 2 − 1 . Biếtf(3)+f(−3) = 4 và f  1 3 ‹ +f  − 1 3 ‹ = 2. Tính giá trị của biểu thức T =f(−5) +f(0) +f(2). A. T = 5− 1 2 ln 2. B. T = 6− 1 2 ln 2. C. T = 5 + 1 2 ln 2. D. T = 6 + 1 2 ln 2. Câu29. ChoF (x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = x 2 +x + 1 x + 1 vàF (0) = 2018. TínhF (−2). A. F (−2) không xác định. B. F (−2) = 2. C. F (−2) = 2018. D. F (−2) = 2020. Câu30. Biết F (x) = (ax 2 +bx +c)e x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (x 2 + 5x + 5)e x . Giá trị của 2a + 3b +c là A. 10. B. 6. C. 8. D. 13. Câu31. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x− 1 thỏa mãn F (0) =−1. Đồ thị của hai hàm số y =f(x) và y =F (x) có bao nhiêu điểm chung? A. Không có. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu32. Đặt A = Z cos 2 x dx, B = Z sin 2 x dx. Xác định A−B. A. A−B =− 1 2 · sin 2x +C. B. A−B =− cos 2x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1541. NGUYÊN HÀM 155 | Page C. A−B =−2 cos 2x +C. D. A−B = 1 2 · sin 2x +C. Câu33. Cho F (x) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)e 2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e 2x . A. Z f 0 (x)e 2x dx = 2x 2 − 2x +C. B. Z f 0 (x)e 2x dx =−x 2 + 2x +C. C. Z f 0 (x)e 2x dx =−2x 2 + 2x +C. D. Z f 0 (x)e 2x dx =−x 2 +x +C. Câu34. Xét hàm số f(x) xác định trên R\{−2; 2} và thỏa mãn f 0 (x) = 4 x 2 − 4 , f(−3) +f(3) = f(−1) +f(1) = 2. Giá trị của biểu thức f(−4) +f(0) +f(4) bằng A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu35. BiếtF (x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 cos 2 x +m thoả mãnF (0) = 0 vàF  π 4  = 2. Giá trị của m bằng A. 4 π . B. − 4 π . C. − π 4 . D. π 4 . Câu36. BiếtF (x) = (ax 2 +bx +c) √ x (a,b,c∈R) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2x 2 − 3x + 2 √ x trên khoảng (0; +∞). Tính tổng S = 5a + 4b + 3c. A. S = 14. B. S = 12. C. S = 7. D. S = 8. Câu37. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2 x· cos 3 x có dạng là F (x) =− a b sin 5 x + c d sin 3 x, với a b và c d là phân số tối giản và a,b,c,d là các số nguyên dương. Tính T =a +b +c +d. A. Đáp án khác. B. T = 11. C. T = 10. D. T = 9. Câu38. Xét hàm số f(x) =x 2 +ax + ln|bx + 1| +c với a, b, c∈R. Biết f 0 (x) = 4x 2 + 4x + 3 2x + 1 và f(0) = 1. Tính giá trị S =c(2a−b) 2 . A. 2 3 . B. 1. C. 4. D. 0. Câu39. Tìm F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + e x − 1, biết F (0) = 2. A. F (x) = 6x + e x −x− 1. B. F (x) =x 3 + 1 e x −x + 1. C. F (x) =x 3 + e x −x + 1. D. F (x) =x 3 + e x −x− 1. Câu40. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x 2 +x− 2 là A. Z f(x) dx = ln x + 2 x− 1 +C. B. Z f(x) dx = 1 3 ln x + 2 x− 1 +C. C. Z f(x) dx = ln x− 1 x + 2 +C. D. Z f(x) dx = 1 3 ln x− 1 x + 2 +C. Câu41. Cho hàm số f(x)6= 0 thỏa mãn điều kiện f 0 (x) = (2x + 3)f 2 (x) và f(0) =− 1 2 . Biết rằng tổng f(1) +f(2) +f(3) +··· +f(2017) +f(2018) = a b với (a∈Z,b∈N ∗ ) và a b là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b <−1. B. a b > 1. C. a +b = 1010. D. b−a = 3029. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1551. NGUYÊN HÀM 156 | Page Câu42. Biết F (x) là một nguyên hàm của f(x) = 1− sin 3 x sin 2 x và F  π 4  = √ 2 2 . Có bao nhiêu số thực x∈ (0; 2018π) để F (x) = 1. A. 2018. B. 1009. C. 2017. D. 2016. Câu43. Biết Z x cos 2x dx =ax sin 2x +b cos 2x +C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. A. ab = 1 8 . B. ab = 1 4 . C. ab =− 1 8 . D. ab =− 1 4 . Câu44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1. A. Z f(x) dx = (2x + 1) 2 +C. B. Z f(x) dx = 1 2 (2x + 1) 2 +C. C. Z f(x) dx = 1 4 (2x + 1) 2 +C. D. Z f(x) dx = 2(2x + 1) 2 +C. Câu45. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sinx cos 3x và F (0) = 0, khi đó A. F (x) = cos 4x− cos 2x. B. F (x) = cos 2x 4 − cos 4x 8 − 1 8 . C. F (x) = cos 2x 2 − cos 4x 4 − 1 4 . D. F (x) = cos 4x 4 − cos 2x 2 + 1 4 . Câu46. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3 x − 2x là A. F (x) = 3 x ln 3 −x 2 − 1. B. F (x) = 3 x ln 3 − 2. C. F (x) = 3 x ln 3 − x 2 2 . D. F (x) = 3 x ln 3−x 2 . Câu47. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + sinx là A. x 3 + cosx +C. B. x 3 + sinx +C. C. x 3 − cosx +C. D. x 3 − sinx +C. Câu48. Cho f(x),g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Z [2f(x) + 3g(x)] dx = 2 Z f(x) dx + 3 Z g(x) dx. B. Z [f(x)−g(x)] dx = Z f(x) dx− Z g(x) dx. C. Z 2f(x) dx = 2 Z f(x) dx. D. Z f(x)g(x) dx = Z f(x) dx· Z g(x) dx. Câu49. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e 4x . A. Z e 4x dx = 1 4 e 4x +C. B. Z e 4x dx = 4e x +C. C. Z e 4x dx = e 4x +C. D. Z e 4x dx = 4e 4x +C. Câu50. Biết Z (x−2) sin 3x dx =− (x−a) cos 3x b + 1 c sin 3x+2017, trong đóa,b,c là các số nguyên dương. Khi đó S =ab +c bằng A. S = 15. B. S = 10. C. S = 14. D. S = 3. Câu51. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x 4 − 6x 2 + 1 là A. 20x 3 − 12x +C. B. x 5 − 2x 3 +x +C. C. 20x 5 − 12x 3 +x +C. D. x 4 4 + 2x 2 − 2x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1561. NGUYÊN HÀM 157 | Page Câu52. Cho số thực x> 0. Chọn đẳng thức đúng trong các khẳng định sau A. Z lnx x dx = 2 lnx +C. B. Z lnx x dx = 2 ln 2 x +C. C. Z lnx x dx = ln 2 x +C. D. Z lnx x dx = 1 2 ln 2 x +C. Câu53. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx + 2 cosx biết F  π 2  = 0 là A. F (x) = 2 sinx− cosx + 2. B. F (x) = 2 sinx− cosx− 2. C. F (x) =−2 sinx− cosx + 2. D. F (x) = sinx− 2 cosx− 2. Câu54. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(2x + 1) là A. 2 sin(2x + 1) +C. B. sin(2x + 1) +C. C. 1 2 sin(2x + 1) +C. D.− 1 2 sin(2x + 1) +C. Câu55. Khẳng định nào sau đây sai? A. Z cosx dx = sinx−C. B. Z 1 sin 2 x dx =− cotx + 3C. C. Z sinx dx = cosx +C. D. Z 1 cos 2 x dx = tanx− 5 +C. Câu56. Xét nguyên hàm I = Z x √ x + 2 dx. Nếu đặt t = √ x + 2 thì ta được A. I = Z t 4 − 2t 2
dt. B. I = Z 4t 4 − 2t 2
dt. C. I = Z 2t 4 − 4t 2
dt. D. I = Z 2t 4 −t 2
dt. Câu57. Họ các nguyên hàm của hàm số y =x sinx là A.−x cosx +C. B.−x cosx + sinx +C. C.−x sinx + cosx +C. D. x 2 sin x 2 +C. Câu58. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + cos 4x 2 là A. x 2 + 1 8 sin 2x +C. B. x 2 + 1 2 sin 4x +C. C. x 2 + 1 8 sin 4x +C. D. x 2 + 1 4 sin 4x +C. Câu59. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Z e x 2 dx = 2 √ e x +C. B. Z sin 2x dx =−2 cos 2x +C. C. Z dx x = lnx +C. D. Z 2 x dx = 2 x · ln 2 +C. Câu60. ChoF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 4 1− 4x trên khoảng  −∞; 1 4 ‹ thỏa mãn F (0) = 10. Tính F (−1). A. F (−1) = 10− 4 ln 5. B. F (−1) = 10 + 4 ln 5. C. F (−1) = 10 + ln 5. D. F (−1) = 10− ln 5. Câu61. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e 3x (1− 3e −5x ). A. Z f(x) dx = 1 3 e 3x + 3 2 e −2x +C. B. Z f(x) dx = 1 3 e 3x − 3 2 e −2x +C. C. Z f(x) dx = e 3x − 3e −2x +C. D. Z f(x) dx = 3e 3x + 6e −2x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1571. NGUYÊN HÀM 158 | Page Câu62. Xét trên khoảng (0; +∞), hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 − 1 x 2 ? A. F 1 (x) = x 2 −x + 1 x . B. F 2 (x) = x 2 + 1 x . C. F 3 (x) = x 2 + 2x + 1 x . D. F 4 (x) = x 2 − 1 x . Câu63. Hàm số F (x) = e x 2 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f(x) =x 2 e x 2 + 3. B. f(x) = 2x 2 e x 2 +C. C. f(x) = 2xe x 2 . D. f(x) =xe x 2 . Câu64. Nguyên hàm của hàm số y = e −3x+1 là A. 1 3 e −3x+1 +C. B. − 1 3 e −3x+1 +C. C. 3e −3x+1 +C. D.−3e −3x+1 +C. Câu65. Họ nguyên hàm của f(x) = 2x 4 + 3 x 2 là A. 2x 3 3 − 3 ln|x| +C. B. 2x 3 3 + 3 lnx +C. C. 2x 3 3 − 3 x +C. D. 2x 3 3 + 3 x +C. Câu66. Để hàm số F (x) = mx 3 + (3m + 2)x 2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 10x− 4 thì giá trị của m là A. m =−1. B. m = 2. C. m = 0. D. m = 1. Câu67. Họ nguyên hàm Z x 3 √ x 2 + 1 dx bằng A. 1 8 3 √ x 2 + 1 +C. B. 3 8 3 √ x 2 + 1 +C. C. 3 8 3 p (x 2 + 1) 4 +C. D. 1 8 3 p (x 2 + 1) 4 +C. Câu68. Tính I = Z 8 sin 3x cosx dx =a cos 4x +b cos 2x +C. Khi đó a−b bằng A. 3. B. −1. C. 1. D. 2. Câu69. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 3x + 1 là A. ln|3x + 1| +C. B. 1 3x + 1 +C. C. 9 (3x + 1) 2 +C. D. 3 ln|3x + 1| +C. Câu70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = 1 (x + 1) 2 . A. Z 1 (x + 1) 2 dx = 2 (x + 1) 3 +C. B. Z 1 (x + 1) 2 dx = −1 x + 1 +C. C. Z 1 (x + 1) 2 dx = 1 x + 1 +C. D. Z 1 (x + 1) 2 dx = −2 (x + 1) 3 +C. Câu71. Cho hàm sốf(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm sốu =u(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] vàu(x)∈ [α;β],∀x∈ [a;b], hơn nữaf(u) liên tục trên đoạn [α;β]. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. b Z a f(u(x))·u 0 (x) dx = b Z a f(u) du. B. u(b) Z u(a) f(u(x))·u 0 (x) dx = b Z a f(u) du. C. b Z a f(u(x))·u 0 (x) dx = u(b) Z u(a) f(u) du. D. b Z a f(u(x))·u 0 (x) dx = b Z a f(x) du. Câu72. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 2 2x . A. F (x) = 2 2x · ln 2. B. F (x) = 2 2x ln 2 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1581. NGUYÊN HÀM 159 | Page C. F (x) = 4 x ln 4 +C. D. F (x) = 4 x · ln 4 +C. Câu73. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 1− 2x là A. Z f(x)dx = ln|1− 2x| +C. B. Z f(x)dx =−2 ln|1− 2x| +C. C. Z f(x)dx = 2 ln|1− 2x| +C. D. Z f(x)dx =− 1 2 ln|1− 2x| +C. Câu74. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x + 1) là A. Z f(x) dx =− 1 2 cos(2x + 1) +C. B. Z f(x) dx = 1 2 cos(2x + 1) +C. C. Z f(x) dx =− 1 2 cos(2x + 1). D. Z f(x) dx = cos(2x + 1). Câu75. Chọn công thức đúng trong các công thức dưới đây. A. Z lnx x dx = 2 lnx +C. B. Z lnx x dx = 2 ln 2 x +C. C. Z lnx x dx = ln 2 x +C. D. Z lnx x dx = 1 2 ln 2 x +C. Câu76. F (x) = (ax 3 +bx 2 +cx +d)e −x + 2018e là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (−2x 3 + 3x 2 + 7x− 2)e −x . Khi đó A. a +b +c +d = 4. B. a +b +c +d = 6. C. a +b +c +d = 5. D. a +b +c +d = 7. Câu77. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2018 là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. F (x) = 2017·x 2018 +C, (C∈R). B. F (x) = 1 2019 x 2019 +C, (C∈R). C. F (x) =x 2019 +C, (C∈R). D. F (x) = 2018·x 2017 +C, (C∈R). Câu78. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + 2x thỏa mãn F (0) = 3 2 . Tìm F (x). A. F (x) = e x +x 2 + 5 2 . B. F (x) = 2e x +x 2 − 1 2 . C. F (x) = e x +x 2 + 3 2 . D. F (x) = e x +x 2 + 1 2 . Câu79. Hàm sốF (x) = 1 4 ln 4 x+C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. f(x) = ln 3 x x . B. f(x) = 1 x ln 3 x . C. f(x) = x ln 3 x . D. f(x) = x ln 3 x 3 . Câu80. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + cosx + 2018 là A. F (x) = e x + sinx + 2018x +C. B. F (x) = e x − sinx + 2018x +C. C. F (x) = e x + sinx + 2018x. D. F (x) = e x + sinx + 2018 +C. Câu81. Tìm hàm sốF (x) biếtF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = √ x vàF (1) = 1. A. F (x) = 2 3 x √ x. B. F (x) = 2 3 x √ x + 1 3 . C. F (x) = 1 2 √ x + 1 2 . D. F (x) = 2 3 x √ x− 5 3 . Câu82. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 √ x +x. A. Z 3 √ x +x
dx =x √ x + x 2 2 +C. B. Z 3 √ x +x
dx = 3 2 x √ x + x 2 2 +C. C. Z 3 √ x +x
dx = 2x √ x + x 2 2 +C. D. Z 3 √ x +x
dx = 2 3 x √ x + x 2 2 +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1591. NGUYÊN HÀM 160 | Page Câu83. Cho bốn mệnh đề sau I) Z cos 2 x dx = cos 3 x 3 +C. II) Z 2x + 1 x 2 +x + 2018 dx = ln(x 2 +x + 2018) +C. III) Z 3 x 2 x + 3 −x
dx = 6 x ln 6 +x +C. IV) Z 3 x dx = 3 x · ln 3 +C. Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu84. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số: f(x) =x 2 − 3x. A. F (x) =x 3 − 3 2 x 2 +C. B. F (x) =x 3 − 3x 2 +C. C. F (x) = x 3 3 − 3 2 x 2 +C. D. F (x) = 2x− 3 +C. Câu85. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu Z f(x) dx =F (x) +C thì Z f(u) du =F (u) +C. B. Nếu F (x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F (x) =G(x). C. Z [f 1 (x) +f 2 (x)] dx = Z f 1 (x) dx + Z f 2 (x) dx. D. Z kf(x) dx =k Z f(x) dx (k là hằng số và k6= 0). Câu86. Cho hàm số f(x) = x 3 −x 2 + 2x− 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F (1) = 4. Tìm F (x). A. F (x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x. B. F (x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x + 1. C. F (x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x + 2. D. F (x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x + 49 12 . Câu87. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = ax + b x 2 (x6= 0) biết rằng F (−1) = 1; F (1) = 4; f(1) = 0. A. F (x) = 3x 2 4 + 3 2x + 7 4 . B. F (x) = 3x 2 4 − 3 2x − 7 4 . C. F (x) = 3x 2 2 + 3 4x − 7 4 . D. F (x) = 3x 2 2 − 3 2x − 1 2 . Câu88. Một nguyên hàm của f(x) = (2x− 1)e 1 x là F (x) =  ax 2 +bx +c + d x ‹ e 1 x . Tính tổng a +b +c +d. A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. Câu89. Nếu Z f(x) dx = 1 x + ln|5x| +C với x∈ (0; +∞) thì hàm số f(x) là A. f(x) = √ x + 1 5x . B. f(x) =− 1 x 2 + 1 5x . C. f(x) =− 1 x 2 + 1 x . D. f(x) = 1 x 2 + ln(5x). Câu90. Tìm m để hàm số F (x) = mx 3 + (3m + 2)x 2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 10x− 4. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1601. NGUYÊN HÀM 161 | Page A. m = 3. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 0. Câu91. Tính Z 1 2x 2 + 5x + 2 dx. A. 1 3 ln x + 2 2x + 1 +C. B. ln x + 2 2x + 1 +C. C. 1 3 ln 2x + 1 x + 2 +C. D. ln|2x 2 + 5x + 2| +C. Câu92. Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x + 1) là A. cos(2x + 1) +C. B.− cos(2x + 1) +C. C. 1 2 cos(2x + 1) +C. D.− 1 2 cos(2x + 1) +C. Câu93. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Z cos 2x dx =−2 sin 2x +C. B. Z cos 2x dx = 2 sin 2x +C. C. Z cos 2x dx =− 1 2 sin 2x +C. D. Z cos 2x dx = 1 2 sin 2x +C. Câu94. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Z e x sinx dx = e x cosx− Z e x cosx dx. B. Z e x sinx dx =−e x cosx + Z e x cosx dx. C. Z e x sinx dx = e x cosx + Z e x cosx dx. D. Z e x sinx dx =−e x cosx− Z e x cosx dx. Câu95. Khi tính nguyên hàm Z x− 3 √ x + 1 dx, bằng cách đặt u = √ x + 1 ta được nguyên hàm nào dưới đây? A. Z 2(u 2 − 4)u du. B. Z (u 2 − 4) du. C. Z 2(u 2 − 4) du. D. Z (u 2 − 3) du. Câu96. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = tan 2x. A. Z tan 2x dx = 2 1 + tan 2 2x
+C. B. Z tan 2x dx =− ln|cos 2x| +C. C. Z tan 2x dx = 1 2 1 + tan 2 2x
+C. D. Z tan 2x dx =− 1 2 ln|cos 2x| +C. Câu97. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 5 2x . A. Z 5 2x dx = 2· 5 2x ln 5 +C. B. Z 5 2x dx = 25 x 2 ln 5 +C. C. Z 5 2x dx = 2· 5 2x +C. D. Z 5 2x dx = 2· 25 x+1 x + 1 +C. Câu98. Tìm nguyên hàm của hàm số F (x) = Z (4x + 1) lnx dx. A. F (x) = (2x 2 +x) lnx +x 2 +x +C. B. F (x) = (3x 2 + 2x) lnx +C. C. F (x) = (2x 2 +x) lnx−x 2 −x +C. D. F (x) =x 2 lnx +C. Câu99. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 cos 2x là A. F (x) =−4 sin 2x. B. F (x) = 4 sin 2x. C. F (x) =− sin 2x. D. F (x) = sin 2x. Câu100. Nguyên hàm Z e x (e x − 1) 3 dx = a b (e x − 1) m +C (vớia,b∈Z, a b là phân số tối giản). Tìm H =a 2 +b−m. A. H =−4. B. H =−1. C. H = 4. D. H = 1. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1611. NGUYÊN HÀM 162 | Page Câu101. ChoF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3x 2 + 8 sinx và thỏa mãnF (0) = 2010. Tìm F (x). A. F (x) = 6x− 8 cosx + 2018. B. F (x) = 6x + 8 cosx. C. F (x) =x 3 − 8 cosx + 2018. D. F (x) =x 3 − 8 cosx + 2019. Câu102. Một nguyên hàm của hàm số f(x) =x √ 1 +x 2 là A. F (x) = 1 3 √ 1 +x 2
3 . B. F (x) = 1 3 √ 1 +x 2
2 . C. F (x) = x 2 2 √ 1 +x 2
2 . D. F (x) = 1 2 √ 1 +x 2
2 . Câu103. Tính nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = e 2x , biết F (0) = 1. A. F (x) = e 2x . B. F (x) = e 2x − 1. C. F (x) = e x . D. F (x) = e 2x 2 + 1 2 . Câu104. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x sinx là A. F (x) =−x cosx− sinx +C. B. F (x) =x cosx− sinx +C. C. F (x) =−x cosx + sinx +C. D. F (x) =x cosx + sinx +C. Câu105. Hàm số F (x) = cos 3x là nguyên hàm của hàm số A. f(x) = sin 3x 3 . B. f(x) =−3 sin 3x. C. f(x) = 3 sin 3x. D. f(x) = sin 3x. Câu106. Cho nguyên hàm I = Z x √ 1 + 2x 2 dx, khi thực hiện đổi biến u = √ 1 + 2x 2 thì ta được nguyên hàm theo biến mới u là A. I = 1 2 Z u 2 du. B. I = Z u 2 du. C. I = 2 Z u du. D. I = Z u du. Câu107. Tìm m để hàm số F (x) = mx 3 + (3m + 2)x 2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 10x− 4. A. m = 3. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2. Câu108. Tính F (x) = Z x sin 2xdx. Chọn kết quả đúng? A. F (x) = 1 4 (2x cos 2x + sin 2x) +C. B. F (x) =− 1 4 (2x cos 2x + sin 2x) +C. C. F (x) =− 1 4 (2x cos 2x− sin 2x) +C. D. F (x) = 1 4 (2x cos 2x− sin 2x) +C. Câu109. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x− 1 và F (2) = 1. Tính F (3). A. F (3) = ln 2− 1. B. F (3) = ln 2 + 1. C. F (3) = 1 2 . D. F (3) = 7 4 . Câu110. Cho hàm sốf(x) = 4m π +sin 2 x. Tìmm để nguyên hàmF (x) củaf(x) thỏa mãnF (0) = 1 và F  π 4  = π 8 . A. m =− 4 3 . B. m =− 3 4 . C. m = 4 3 . D. m = 3 4 . Câu111. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 sin 2x. A. Z 2 sin 2x dx = sin 2 x +C. B. Z 2 sin 2x dx =− cos 2x +C. C. Z 2 sin 2x dx = cos 2x +C. D. Z 2 sin 2x dx =−2 cos 2x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1621. NGUYÊN HÀM 163 | Page Câu112. Họ nguyên hàm Z x 3 − 2x 2 + 5 x 2 dx bằng A. x 2 2 − 2x− 5 x +C. B. −2x + 5 x +C. C. x 2 − 2x− 5 x +C. D. x 2 −x− 5 x +C. Câu113. Họ nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) =x 2 − 1 là A. F (x) = x 3 3 +C. B. F (x) = x 3 3 +x +C. C. F (x) = x 3 3 −x +C. D. F (x) = 2x +C. Câu114. Cho hàm số y =f(x) liên tục trênR và có đạo hàm là hàm số f 0 (x). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Z f(x) dx =−f 0 (x) +C. B. Z f 0 (x) dx =−f(x) +C. C. Z f 0 (x) dx =f(x) +C. D. Z f(x) dx =f 0 (x) +C. Câu115. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x− 1 và F (3) = 1. Tính giá trị của F (2). A. F (2) =−1− ln 2. B. F (2) = 1− ln 2. C. F (2) =−1 + ln 2. D. F (2) = 1 + ln 2. Câu116. Cho hàm sốF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = cos 3x vàF  π 2  = 14 3 thì A. F (x) = 1 3 sin 3x + 13 3 . B. F (x) =− 1 3 sin 3x + 5. C. F (x) = 1 3 sin 3x + 5. D. F (x) =− 1 3 sin 3x + 13 3 . Câu117. Nếu Z f 0 (x)dx = 1 x + ln|2x| +C với x∈ (0; +∞) thì hàm số f(x) là A. f(x) =− 1 x 2 + 1 x . B. f(x) = √ x + 1 2x . C. f(x) = 1 x 2 + ln (2x). D. f(x) =− 1 x 2 + 1 2x . Câu118. Tính F (x) = Z x cosx dx ta được kết quả A. F (x) =x sinx− cosx +C. B. F (x) =−x sinx− cosx +C. C. F (x) =x sinx + cosx +C. D. F (x) =−x sinx + cosx +C. Câu119. BiếtF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = sinx và đồ thị hàm sốy =F (x) đi qua điểm M (0; 1). Tính F  π 2  . A. F  π 2  = 0. B. F  π 2  = 1. C. F  π 2  = 2. D. F  π 2  =−1. Câu120. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định đúng. A. Z 3 2x dx = 3 2x ln 3 +C. B. Z 3 2x dx = 9 x ln 3 +C. C. Z 3 2x dx = 3 2x ln 9 +C. D. Z 3 2x dx = 3 2x+1 2x + 1 +C. Câu121. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 3 − 9 là A. 1 2 x 4 − 9x +C. B. 4x 4 − 9x +C. C. 1 4 x 4 − 9x +C. D. 4x 3 − 9x +C. Câu122. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2 √ 2x + 1 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1631. NGUYÊN HÀM 164 | Page A. Z f(x) dx = √ 2x + 1 +C. B. Z f(x) dx = 2 √ 2x + 1 +C. C. Z f(x) dx = 1 (2x + 1) √ 2x + 1 +C. D. Z f(x) dx = 1 2 √ 2x + 1 +C. Câu123. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =e 2018x . A. Z f(x) dx =e 2018x +C. B. Z f(x) dx = 1 2018 · e 2018x +C. C. Z f(x) dx = 2018e 2018x +C. D. Z f(x) dx = e 2018x · ln 2018 +C. Câu124. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = 2 3 . A. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 + 2 3 . B. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 − 1. C. F (x) = 3x 2 + cos 3x 3 + 1. D. F (x) = 3x 2 − cos 3x 3 + 1. Câu125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 · e x 4 +1 . A. Z f(x) dx = e x 4 +1 +C. B. Z f(x) dx = 4e x 4 +1 +C. C. Z f(x) dx = x 4 4 e x 4 +1 +C. D. Z f(x) dx = 1 4 e x 4 +1 +C. Câu126. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Z e x dx = e x +C. B. Z 2x dx =x 2 +C. C. Z 1 x dx = ln|x| +C. D. Z sinx dx = cosx +C. Câu127. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + sin 2x. A. x 2 − 1 2 cos 2x +C. B. x 2 + 1 2 cos 2x +C. C. x 2 − 2 cos 2x +C. D. x 2 + 2 cos 2x +C. Câu128. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x cos 2x. A. x sin 2x 2 − cos 2x 4 +C. B. x sin 2x− cos 2x 2 +C. C. x sin 2x + cos 2x 2 +C. D. x sin 2x 2 + cos 2x 4 +C. Câu129. Nguyên hàm của hàm số f(x) =x.e 2x là: A. F (x) = 1 2 e 2x  x− 1 2 ‹ +C. B. F (x) = 2e 2x  x− 1 2 ‹ +C. C. F (x) = 2e 2x (x− 2) +C. D. F (x) = 1 2 e 2x (x− 2) +C. Câu130. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = √ x lnx. A. Z f(x) dx = 1 9 x 3 2 (3 lnx− 2) +C. B. Z f(x) dx = 2 3 x 3 2 (3 lnx− 2) +C. C. Z f(x) dx = 2 9 x 3 2 (3 lnx− 1) +C. D. Z f(x) dx = 2 9 x 3 2 (3 lnx− 2) +C. Câu131. Trong các hàm số sau: (I) f(x) = tan 2 x + 2, (II) f(x) = 2 cos 2 x , (III) f(x) = tan 2 x + 1. Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III). Câu132. Cho F (x) là một nguyên hàm của f(x) = 2 x + 2 . Biết F (−1) = 2. Tính F (1) kết quả là A. ln 8 + 1. B. 4 ln 2 + 1. C. 2 ln 3 + 2. D. 2 ln 4. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1641. NGUYÊN HÀM 165 | Page Câu133. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (3x + 1) 2019 là A. (3x + 1) 2018 6054 +C. B. (3x + 1) 2018 2018 +C. C. (3x + 1) 2020 6060 +C. D. (3x + 1) 2020 2020 +C. BẢNGĐÁPÁN 1. D 2. D 3. C 4. B 5. D 6. D 7. C 8. D 9. C 10. C 11. C 12. D 13. C 14. B 15. A 16. C 17. C 18. C 19. D 20. B 21. B 22. C 23. C 24. A 25. A 26. D 27. C 28. A 29. D 30. D 31. C 32. D 33. C 34. D 35. A 36. D 37. C 38. D 39. C 40. D 41. D 42. A 43. A 44. C 45. C 46. A 47. C 48. D 49. A 50. A 51. B 52. D 53. B 54. C 55. C 56. C 57. B 58. C 59. A 60. D 61. A 62. D 63. C 64. B 65. C 66. D 67. C 68. C 69. A 70. B 71. C 72. C 73. D 74. A 75. D 76. C 77. B 78. D 79. A 80. A 81. B 82. C 83. C 84. C 85. B 86. D 87. A 88. A 89. C 90. B 91. C 92. D 93. D 94. B 95. C 96. D 97. B 98. C 99. D 100. D 101. C 102. A 103. D 104. C 105. B 106. A 107. C 108. C 109. B 110. B 111. B 112. A 113. C 114. C 115. B 116. C 117. A 118. C 119. C 120. C 121. A 122. D 123. B 124. D 125. D 126. D 127. A 128. D 129. D 130. D 131. B 132. C 133. C 4. Mức độ vận dụng cao Câu1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = xf 0 (x)− 2x 3 − 3x 2 . Tính f(2). A. 5. B. 20. C. 10. D. 15. Câu2. Cho hàm số f(x) xác định trên R\{kπ,k∈Z} thỏa mãn f 0 (x) = cotx,f  π 4  = 2 và f  − 5π 3 ‹ = 1. Giá trị của biểu thức f  π 6  −f  − 7π 4 ‹ bằng A. 1 + ln √ 3 2 . B. 3 + ln 1 2 − ln √ 3 2 . C. 1− ln √ 3 2 . D. ln 1 2 − ln √ 2 2 . Câu3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R , thỏa mãn f(x) > 0,∀x∈R và f 0 (x) + 2f(x) = 0. Tính f(0) , biết rằng f(3) = 1. A. e 6 . B. e 3 . C. 1. D. e 4 . Câu4. Cho nguyên hàm Z dx √ x + 2018 + √ x + 2017 =m(x + 2018) √ x + 2018 +n(x + 2017) √ x + 2017 +C. Khi đó 4m−n bằng A. 4 3 . B. 8 3 . C. 2 3 . D. 10 3 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1651. NGUYÊN HÀM 166 | Page Câu5. Cho hàm số f(x) xác định trênR\ § 1 2 ª thỏa mãn f 0 (x) = 2 2x− 1 và f(0) = 1. Giá trị của biểu thức f(−1) +f(3) bằng A. 4 + ln 15. B. 3 + ln 15. C. 2 + ln 15. D. ln 15. Câu6. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f(x) =|2x− 4| trên khoảng (−∞; +∞), ở đó C,C 0 là các hằng số tùy ý? A. F (x) =|x 2 − 4x| +C. B. F (x) = 8 < : x 2 − 4x + 2C khi x≥ 2 −x 2 + 4x + 2C− 8 khi x< 2 . C. F (x) =|x 2 − 4x +C|. D. F (x) = 8 < : x 2 − 4x +C khi x≥ 2 −x 2 + 4x +C 0 khi x< 2 . Câu7. Cho hàm sốf(x) xác định trên đoạn [−1; 2] thỏa mãnf(0) = 1 vàf 2 (x)·f 0 (x) = 3x 2 +2x−2. Số nghiệm của phương trình f(x) = 1 trên đoạn [−1; 2] là A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. Câu8. Biết Z f(x) dx =−x 2 + 2x +C. Tính Z f(−x) dx. A. x 2 + 2x +C 0 . B. −x 2 + 2x +C 0 . C. −x 2 − 2x +C 0 . D. x 2 − 2x +C 0 . Câu9. Một nguyên hàm của hàm số y = cos 5x cosx là A. 1 2  1 6 sin 6x + 1 4 sin 4x ‹ . B. 1 2  1 6 cos 6x + 1 4 cos 4x ‹ . C.− 1 2  sin 6x 6 + sin 4x 4 ‹ . D. 1 5 sin 5x sinx. Câu10. Hàm số f(x) =x √ x + 1 có một nguyên hàm là F (x). Nếu F (0) = 2 thì F (3) bằng A. 116 15 . B. 146 15 . C. 886 105 . D. 3. Câu11. Cho f(x) = x cos 2 x trên  − π 2 ; π 2  và F (x) là một nguyên hàm của x·f 0 (x) thỏa mãn F (0) = 0. Biết α∈  − π 2 ; π 2  và tanα = 3. Tính F (α)− 10α 2 + 3α. A.− 1 2 ln 10. B. − 1 4 ln 10. C. 1 2 ln 10. D. ln 10. Câu12. Cho hàm sốf(x) xác định trênR\{−2; 1} thỏa mãnf 0 (x) = 1 x 2 +x− 2 ,f(−3)−f(3) = 0 và f(0) = 1 3 . Giá trị của biểu thức f(−4) +f(−1)−f(4) bằng A. 1 3 ln 2 + 1 3 . B. ln 80 + 1. C. 1 3 ln 4 5 + ln 2 + 1. D. 1 3 ln 8 5 + 1. Câu13. Cho hàm số f(x) xác định trên R\{−1} thỏa mãn f 0 (x) = 3 x + 1 ; f(0) = 1 và f(1) + f(−2) = 2. Giá trị f(−3) bằng A. 1 + 2 ln 2. B. 1− ln 2. C. 1. D. 2 + ln 2. Câu14. Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương trênR, thỏa mãn f(0) = 1 và f 0 (x) f(x) = x x 2 + 1 . Khi đó giá trị của biểu thức T =f(2 √ 2)− 2f(1) thuộc khoảng A. (2; 3). B. (7; 9). C. (0; 1). D. (9; 12). ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1661. NGUYÊN HÀM 167 | Page Câu15. Tìm nguyên hàm J = Z (x + 1)e 3x dx. A. J = 1 3 (x + 1)e 3x − 1 9 e 3x +C. B. J = 1 3 (x + 1)e 3x − 1 3 e 3x +C. C. J = (x + 1)e 3x − 1 3 e 3x +C. D. J = 1 3 (x + 1)e 3x + 1 9 e 3x +C. Câu16. Cho F (x) = a x (lnx +b) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + lnx x 2 , trong đó a, b là các số nguyên. Tính S =a +b. A. S =−2. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0. Câu17. Biết Z f(x) dx = 2x ln(3x− 1) +C với x∈  1 3 ; +∞ ‹ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Z f(3x) dx = 2x ln(9x− 1) +C. B. Z f(3x) dx = 6x ln(3x− 1) +C. C. Z f(3x) dx = 6x ln(9x− 1) +C. D. Z f(3x) dx = 3x ln(9x− 1) +C. Câu18. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx 1 + 3 cosx và F  π 2  = 2. Khi đó F (0) là A.− 2 3 ln 2 + 2. B. − 1 3 ln 2− 2. C. − 1 3 ln 2 + 2. D.− 2 3 ln 2− 2. Câu19. Cho hàm số y =f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 2018 x ln 2018− cosx và f(0) = 2. Phát biểu nào sau đây đúng? A. f(x) = 2018 x + sinx + 1. B. f(x) = 2018 x ln 2018 + sinx + 1. C. f(x) = 2018 x ln 2018 − sinx + 1. D. f(x) = 2018 x − sinx + 1. Câu20. Biết F (x) là một nguyên hàm trênR của hàm số f(x) = 2017x (x 2 + 1) 2018 thỏa mãn F (1) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F (x). A. m =− 1 2 . B. m = 1− 2 2017 2 2018 . C. m = 2 2017 + 1 2 2018 . D. m = 1 2 . Câu21. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số y = x (2 +x) (x + 1) 2 ? A. y = x 2 +x− 1 x + 1 . B. y = x 2 −x− 1 x + 1 . C. y = x 2 +x + 1 x + 1 . D. y = x 2 x + 1 . Câu22. Cho F (x) là một nguyên hàm của f(x) =x lnx. Tính F ”(x). A. F ”(x) = 1− lnx. B. F ”(x) = 1 x . C. F ”(x) = 1 + lnx. D. F ”(x) =x + lnx. Câu23. Cho các hàm số f(x) = 20x 2 − 30x + 7 √ 2x− 3 , F (x) = (ax 2 +bx +c) √ 2x− 3 với x > 3 2 . Gọi (a;b;c) là bộ số thỏa mãn F (x) là một nguyên hàm của f(x). Khi đó a +b +c bằng A. 1. B. 5. C. 3. D. 7. Câu24. Tìm Z x cos 2x dx. A. 1 2 x sin 2x− 1 4 cos 2x +C. B. x sin 2x + cos 2x +C. C. 1 2 x sin 2x + 1 2 cos 2x +C. D. 1 2 x sin 2x + 1 4 cos 2x +C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1671. NGUYÊN HÀM 168 | Page Câu25. Biết Z f(x) dx = 2x ln (3x− 1)+C vớix∈  1 9 ; +∞ ‹ . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Z f(3x) dx = 2x ln (9x− 1) +C. B. Z f(3x) dx = 6x ln (3x− 1) +C. C. Z f(3x) dx = 6x ln (9x− 1) +C. D. Z f(3x) dx = 3x ln (9x− 1) +C. Câu26. Tìm các họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 sin 2 x cos 4 x . A. Z f(x) dx = 1 3 tan 3 x− 2 tanx− 1 tan 2 x +C. B. Z f(x) dx = 1 4 tan 4 x + 2 tanx− 1 tanx +C. C. Z f(x) dx = 1 3 tan 3 x + 2 tan 2 x− 1 tanx +C. D. Z f(x) dx = 1 3 tan 3 x + 2 tanx− 1 tanx +C. Câu27. ChoF (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2x + 1 x 4 + 2x 3 +x 2 trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn F (1) = 1 2 . Giá trị của biểu thức S =F (1) +F (2) +F (3) +··· +F (2019) bằng A. 2019 2020 . B. 2019· 2021 2020 . C. 2018 1 2020 . D.− 2019 2020 . Câu28. Cho hàm số f(x) có đồ thị (C). Biết rằng f 0 (x + 2) = 2x + √ x + 3− √ 3x + 1− 1 và tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểmM(a; 1) thuộc (C) song song với đường thẳngy =x + 1. Có bao nhiêu hàm số f(x) thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. vô số. B. 2. C. 0. D. 1. Câu29. Cho hàm sốf(x) thỏa mãnf(2) =− 1 3 vàf 0 (x) =x [f(x)] 2 với mọix∈R. Giá trị củaf(1) bằng A.− 11 6 . B. − 2 3 . C. − 2 9 . D.− 7 6 . Câu30. Cho hàm sốf(x) thỏa mãnf(2) =− 1 3 vàf 0 (x) =x [f(x)] 2 với mọix∈R. Giá trị củaf(1) bằng A.− 11 6 . B. − 2 3 . C. − 2 9 . D.− 7 6 . Câu31. Chohàmsốf(x)thỏamãnf 00 (x)·f 2 (x)+2[f 0 (x)] 2 ·f(x) = 2x−3,∀x∈R,f(0) =f 0 (0) = 1. Tính giá trị P =f 3 (2). A. P =− 11 3 . B. P =−6. C. P =−3. D. P =− 23 3 . Câu32. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn 2xf 0 (x)−f(x) = 6x 3 √ x. Biết f(1) =a, hãy tìm f(4) theo a. A. 2a + 126. B. 4a + 252. C. 2a + 63. D. a + 63. Câu33. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x 2 +1 (x 3 + 3x). Hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1681. NGUYÊN HÀM 169 | Page Câu34. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục và f(x) > 0 trên đoạn [0; 2] đồng thời thỏa mãn f 0 (0) = 1, f(0) = 2 và f(x)·f 00 (x) + • f(x) x + 2 ˜ 2 = [f 0 (x)] 2 . Tính f 2 (1) +f 2 (2)? A. 20. B. 10. C. 15. D. 25. Câu35. Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] và f 0 (x)− 2018f(x) =x· e 2019x . Biết f(0) =−1, tính f(1). A. e 2018 . B. e 2019 . C. 0. D.−1. Câu36. Biết F (x) = (ax 2 +bx +c)· e x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (x 2 + 5x + 5) e x . Giá trị của 2a + 3b +c là A. 6. B. 13. C. 8. D. 10. Câu37. ChoI n = Z tan n x dx vớin∈N. Khi đóI 0 +I 1 + 2(I 2 +I 3 +··· +I 8 ) +I 9 +I 10 bằng A. 9 X r=1 (tanx) r r +C. B. 9 X r=1 (tanx) r+1 r + 1 +C. C. 10 X r=1 (tanx) r r +C. D. 10 X r=1 (tanx) r+1 r + 1 +C. Câu38. Chohàmsốf(x)xácđịnhtrênR\{0}vàthỏamãnf 0 (x) = 1 x 2 +x 4 ,f(1) =avàf(−2) =b. Giá trị của biểu thức f(−1)−f(2) bằng A. a +b. B. b−a. C. a−b. D.−a−b. Câu39. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn Z f √ x + 1
√ x + 1 dx = 2 √ x + 1 + 3
x + 5 +C. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(2x) trên tậpR + . A. x + 3 2 (x 2 + 4) +C. B. x + 3 x 2 + 4 +C. C. 2x + 3 4 (x 2 + 1) +C. D. 2x + 3 8 (x 2 + 1) +C. Câu40. Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f(1) = 1, f(x) =f 0 (x) √ 3x + 1, với mọi x> 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 0 với mọi x> 0 và f(1) = 1 6 . Tính giá trị của P = 1 +f(1) +f(2) +··· +f(2017) A. 6059 4038 . B. 6055 4038 . C. 6053 4038 . D. 6047 4038 . Câu47. Cho hàm sốf(x) xác định trênR\{−1; 1} và thỏa mãnf 0 (x) = 1 x 2 − 1 · Biết rằngf (−3)+ f(3) = 0 và f  − 1 2 ‹ +f  1 2 ‹ = 2. Tính T =f (−2) +f(0) +f(4). A. T = 1 + ln 9 5 . B. T = 1 + ln 6 5 . C. T = 1 + 1 2 ln 9 5 . D. T = 1 + 1 2 ln 6 5 . Câu48. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(x) > 0,∀x∈ R. Biết f(0) = 1 và f 0 (x) f(x) = 2− 2x, hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Câu49. Cho hàm sốf(x) có đạo hàm liên tục trênR và thỏa mãnf(x)> 0,∀x∈R. Biếtf(0) = 1 và f 0 (x) f(x) = 2− 2x. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt. A. m>e. B. 0 0. Tính S =a 2 +b. b) Biết 2 Z 0 x 2 x + 1 dx =a + lnb với a,b∈Q. Tính S = 2a +b + 2 b . |Lờigiải. a) Ta có 2 Z 1 dx 3x− 1 = 1 3 2 Z 1 d(3x− 1) 3x− 1 = 1 3 ln|3x− 1|| 2 1 = 1 3 (ln 5− ln 2) = 1 3 ln 5 2 . Suy ra a = 3,b = 5 2 . Do đó S = 1 9 + 5 2 = 47 18 . b) Ta có 2 Z 0 x 2 x + 1 dx = 2 Z 0  x− 1 + 1 x + 1 ‹ dx = • x 2 2 −x + ln|x + 1| ˜ 2 0 = ln 3 = 0 + ln 3. Suy ra a = 0,b = 3 nên S = 2· 0 + 3 + 2 3 = 11.  Bài1. Tính các tích phân sau a) Biết 1 Z 0 2x + 3 2−x dx =a ln 2 +b với a,b∈Q. Tính P =a + 2b + 2 a − 2 b . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1852. TÍCH PHÂN 186 | Page b) Biết 1 Z 0 2x− 1 x + 1 dx =a +b ln 2 với a,b∈Q. Tính P =ab−a +b. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài2. Tính các tích phân sau a) Tính 1 Z 0 3x− 1 x 2 + 6x + 9 dx = 3 ln a b − 5 6 với a,b∈Z + và a b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = 2 a + 2 b −ab. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Biết 1 Z 0  1 x + 1 − 1 x + 2 ‹ dx =a ln 2 +b ln 3 với a,b∈Z. Tính S =a +b−ab 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài3. Tính các tích phân sau a) Biết 1 Z 0 x 3 x + 2 dx = a 3 +b ln 3 +c ln 2, với a,b,c∈Q. Tính S = 2a + 4b 2 + 3c 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1862. TÍCH PHÂN 187 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Biết 0 Z −1 3x 2 + 5x− 1 x− 2 dx =a ln 2 3 +b với a,b∈Q. Tính giá trị của S =a + 4b. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Biết 5 Z 3 dx x 2 −x =a ln 5 +b ln 3 +c ln 2 với a,b,c∈Q. Tính S =−2a +b + 3c 2 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tính 5 Z 1 3 x 2 + 3x dx =a ln 5 +b ln 2 với a,b∈Z. Tính S =a +b−ab. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1872. TÍCH PHÂN 188 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Biết 2 Z 1 x (x + 1)(2x + 1) dx =a ln 2 +b ln 3 +c ln 5 với a,b,c∈Q. Tính S =a +b +c. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Biết 1 Z 0 dx x 2 − 5x + 6 =a ln 2 +b ln 3 với a,b∈Z. Tính S =a +b. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính 3 Z 2 dx −2x 2 + 3x− 1 =a ln 2 +b ln 3 +c ln 5 với a,b,c∈Z. Tính S = 2a +b 2 + 2 c . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1882. TÍCH PHÂN 189 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính 1 Z 0 5− 2x x 2 + 3x + 2 dx =a ln 2 +b ln 3 với a,b∈Z. Tính S = 2 a − 3ab. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính 2 Z 0 x− 1 x 2 + 4x + 3 dx =a ln 5 +b ln 3 với a,b∈Q. Tính S =ab + 3 a −a. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Biết 2 Z 1 1 x 2 (x + 1) dx = 1 2 + ln a b với a,b∈Z + và a b là phân số tối giản. Tính S =a + 2 b . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1892. TÍCH PHÂN 190 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 2.6. Tính chất của tích phân a) b Z a f(x) dx = c Z a f(x) dx + b Z c f(x) dx, b Z a f(x) dx =− a Z b f(x) dx. b) b Z a f(x) dx = f(x)| b a =f(b)−f(a), b Z a f 00 (x) dx = f 0 (x)| b a =f(b)−f(a),.... Vídụ1 d Tính các tích phân sau: a) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn 10 Z 0 f(x) dx = 7 và 6 Z 2 f(x) dx = 3. Tính 2 Z 0 f(x) dx + 10 Z 6 f(x) dx. b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn b Z a f(x) dx = 2 và b Z c f(x) dx = 3 với a 0,∀x∈ [1; 2]. Tính f(2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài6. Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến hàm ẩn: a) Cho hàm sốf(x) có đạo hàm trên [1; 2],f(2) = 2 vàf(4) = 2018. TínhI = 2 Z 1 f 0 (2x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho hàm số f(x) liên tục trênR và có π 2 Z 0 f(x) dx = 4. Tính I = π 4 Z 0 [f(2x)− sinx] dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1962. TÍCH PHÂN 197 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Cho tích phân 2 Z 1 f(x) dx =a. Hãy tính tích phân I = 1 Z 0 xf  x 2 + 1  dx theo a. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho f(x) liên tục trên R thỏa 9 Z 1 f ( √ x) √ x dx = 4 và π 2 Z 0 f(sinx)· cosx dx = 2. Tính tích phân I = 3 Z 0 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1972. TÍCH PHÂN 198 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Cho hàm số f(x) liên tục trênR và có π 4 Z 0 f(tanx) dx = 4 và 1 Z 0 x 2 f(x) x 2 + 1 dx = 2. Tính tích phân I = 1 Z 0 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho f(x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x∈ [0;a] ta có f(x) > 0 và f(x)·f(a−x) = 1. Tính I = a Z 0 dx 1 +f(x) . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1982. TÍCH PHÂN 199 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài7. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần của hàm ẩn: a) Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa f(1) = 0, f(2) = 2 và 2 Z 1 f(x) dx = 1. Tính I = 2 Z 1 xf 0 (x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F (x) trên [1; 2], F (2) = 1 và 2 Z 1 F (x) dx = 5. Tính I = 2 Z 1 (x− 1)f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Cho hàm số f(x) liên tục trênR vàf(2) = 16, 2 Z 0 f(x) dx = 4. TínhI = 1 Z 0 xf 0 (2x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 1992. TÍCH PHÂN 200 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Chohàmsốf(x)cóđạohàmliêntụctrênđoạn [0; 2]thỏamãn 2 Z 0 f(x) dx = 3vàf(2) = 2. Tính tích phân I = 4 Z 0 f 0 √ x
dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa 2 Z 1 f 0 (x) ln [f(x)] dx = 1 và f(1) = 1, f(2)> 1. Tính f(2). |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2002. TÍCH PHÂN 201 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa 1 Z 0 (x + 1)f 0 (x)dx = 10 và 2f(1)−f(0) = 2. Tính tích phân I = 1 Z 0 f(x)dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Cho hàm sốf(x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn các điều kiện 1 Z 0 x 2 f 00 (x)dx = 12 và 2f(1)−f 0 (1) =−2. tính tích phân I = 1 Z 0 f(x)dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2012. TÍCH PHÂN 202 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Cho hàm số f(x) thỏa mãn 3 Z 0 xe f(x) f 0 (x)dx = 8 và f(3) = ln 3. Tính I = 3 Z 0 e f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Cho hàm sốf(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãnf(1) = 4, 1 Z 0 xf(x) dx = 223 10 . Tính tích phân I = 1 Z 0 x 2 f 0 (x)dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Chohàmsốf(x)cóđạohàmvàliêntụctrênđoạn [0; 1]thỏamãnf(1) = 0, 1 Z 0 x 2 f(x) dx = 1 3 . Tính tích phân I = 1 Z 0 x 3 f 0 (x)dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2022. TÍCH PHÂN 203 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Chohàmsốf(x)cóđạohàmvàliêntụctrênđoạn [0; 3]thỏamãnf(3) = 2, 3 Z 0 x 3 f(x) dx = 5461 120 . Tính tích phân I = 3 Z 0 x 4 f 0 (x)dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Cho hàm sốf(x) thỏa mãn b Z a xf 00 (x)dx = 4,f 0 (a) =−2,f 0 (b) = 3 vớia,b là các số thực dương và f(a) =f(b). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4a 2 3b + 1 + 9b 2 2a + 3 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2032. TÍCH PHÂN 204 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài8. a) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f(1) = 0, 1 Z 0 [f 0 (x)] 2 dx = 7 và 1 Z 0 x 2 f(x) dx = 1 3 . Tính 1 Z 0 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2042. TÍCH PHÂN 205 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f(1) = 4, 1 Z 0 [f 0 (x)] 2 dx = 36 và 1 Z 0 xf(x) dx = 1 5 . Tính tích phân 1 Z 0 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Chohàmsốf(x)cóđạohàmliêntụctrênđoạn [0; 1]thỏamãnf(1) = 1, 1 Z 0 [f 0 (x)] 2 dx = 9 và 1 Z 0 x 3 f(x) dx = 1 2 . Tích phân 1 Z 0 f(x) dx bằng |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2052. TÍCH PHÂN 206 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1, 1 Z 0 [f 0 (x)] 2 dx = 9 5 và 1 Z 0 f √ x
dx = 2 5 . Tính tích phân I = 1 Z 0 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2062. TÍCH PHÂN 207 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(0) = 1, 1 Z 0 [f 0 (x)] 2 dx = 1 30 , 1 Z 0 (2x− 1)f(x)dx =− 1 30 .Tính 1 Z 0 f(x)dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài9. Cho hàm sốf(x) liên tục và lẻ trên đoạn [−a;a]. Chứng minh rằngI = a Z −a f(x) dx = 0. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2072. TÍCH PHÂN 208 | Page |Lờigiải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. a) Cho f(x) là hàm số lẻ thỏa mãn 0 Z −2 f(x) dx = 2. Tính tích phân I = 2 Z 0 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính tích phân I = 2017 Z −2017 x 2019 √ x 4 + 2018 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính tích phân I = π 4 Z − π 4 sinx √ 1 +x 2018 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2082. TÍCH PHÂN 209 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Biết π 4 Z − π 4 sinx √ 1 +x 2 +x dx = π √ b− √ a 4 với a, b là các số nguyên dương. Tính T =ab. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài10. Cho hàm số y =f(x) liên tục và chẵn trên đoạn [−a;a]. Chứng minh rằng a Z −a f(x) dx = 2 0 Z −a f(x) dx = 2 a Z 0 f(x) dx (1) và a Z −a f(x) 1 +b x dx = 1 2 a Z −a f(x) dx = a Z 0 f(x) dx (2) Chứng minh 1. Ta đi chứng minh công thức (1): a Z −a f(x) dx = 2 0 Z −a f(x) dx = 2 a Z 0 f(x) dx. Ta có I = a Z −a f(x) dx = 0 Z −a f(x) dx + a Z 0 f(x) dx =A +B. Xét A = 0 Z −a f(x) dx. Đặt x =−t⇒ dx =− dt. Đổi cận 8 < : x =−a⇒t =a. x = 0⇒t = 0. Do f (x) là hàm chẵn và liên tục trên [−a;a] nên f (−x) =f (x)⇒f (−t) =f (t). Khi đó: A =− 0 Z a f(−t) dt = a Z 0 f(−t) dt = a Z 0 f(−x) dx = a Z 0 f(x) dx =B. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2092. TÍCH PHÂN 210 | Page Suy ra A =B = 1 2 I nên I = a Z −a f(x) dx = 2 0 Z −a f(x) dx = 2 a Z 0 f(x) dx. 2. Ta đi chứng minh công thức (2) : a Z −a f(x) 1 +b x dx = 1 2 a Z −a f(x) dx = a Z 0 f(x) dx với 0 0. Tính a + 9b−c. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2142. TÍCH PHÂN 215 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Biết π Z 0 x· sin 6 x dx = a·π 6 c với a,b,c∈R. Tìm phần nguyên của a + 2π + 10b−c. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Biết π Z 0 xf(sinx) dx = 2π. Tính tích phân I = π Z 0 f(sinx) dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Biết π Z 0 f(sinx) dx = 2 3 . Tính tích phân I = π Z 0 xf(sinx) dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Chứng minh rằng π 2 Z 0 sin n x dx sin n x + cos n x = π 4 với n∈R + |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2152. TÍCH PHÂN 216 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tính tích phân π Z 0 x dx sinx + 1 . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài12. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trênR và thỏa mãn: mf(−x) +nf(x) =g(x) thì a Z −a f(x) dx = 1 m +n a Z −a g(x) dx. c Hệ quả 2.1. Nếu f(x) liên tục trên [0; 1] thì 1) π−α Z α x·f(sinx) dx = π 2 π−α Z α f(sinx) dx 2) 2π−α Z α x·f(cosx) dx =π 2π−α Z α f(cosx) dx a) Cho f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(−x) + 2017f(x) = cosx. Tính tích phân I = π 2 Z − π 2 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2162. TÍCH PHÂN 217 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho hàm f(x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f(x) + 5f(−x) = 1 4 +x 2 . Tính tích phân 2 Z −2 f(x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2172. TÍCH PHÂN 218 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Cho hàm sốf(x) liên tục trênR thỏa mãnf(x) +f(−x) = √ 2 + 2 cos 2x,∀x∈R. Tính tích phân I = 3π 2 Z − 3π 2 f(x) dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài13. Cho tích phân a+T Z a f(x) dx =k vớif(x) là hàm xác định, liên tục trênR và tuần hoàn với chu kỳ T thì tích phân T Z 0 f(x) dx = a+T Z a f(x) dx =k. Chứng minh Ta có I = a+T Z a f(x) dx = 0 Z a f(x) dx + T Z 0 f(x) dx + a+T Z T f(x) dx. Xét tích phân J = a+T Z a f(x) dx. Đặt t =x−T. Đổi cận 8 < : x =T⇒t = 0 x =a +T⇒t =a. Khi đó: J = a+T Z T f(x) dx = a Z 0 f(t +T ) dt = a Z 0 f(t) dt = a Z 0 f(x) dx ⇒ a+T Z a f(x) dx = 0 Z a f(x) dx + T Z 0 f(x) dx + a Z 0 f(x) dx = T Z 0 f(x) dx =k Chú ý Hàm số f(x) có chu kỳ T thì f(x +T ) =f(x) với T là số nguyên dương nhỏ nhất ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2182. TÍCH PHÂN 219 | Page a) Cho tích phânI = a+π Z a f(x) dx = 2018, vớif(x) là hàm xác định, liên tục trênR và tuần hoàn với chu kỳ π. Tính tích phân I = π Z 0 f(x) dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính tích phân I = 5π 4 Z π sin 2x dx cos 4 x + sin 4 x |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính tích phân I = 2017π Z 0 √ 1− cos 2x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2192. TÍCH PHÂN 220 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 2.7. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Z a |f(x)| dx Phương pháp giải Sử dụng tính chất của tích phân b Z a |f(x)| dx = c Z a |f(x)| dx + b Z c |f(x)| dx đến đây ta có 2 cách để phá dấu giá trị tuyệt đối • Cách 1. Xét dấu biểu thức f(x) để khử dấu trị tuyệt đối. • Cách 2. Giải phương trình f(x) = 0 trên (a;b). Giả sử trên khoảng (a;b) phương trình có nghiệm a < > : lnx =t 2 − 1 2t dt = dx x . Đổi cận: 8 < : x = 1⇒t = 1 x = e⇒t = √ 2 . I = √ 2 Z 1 (t 2 − 1)· 2t t dt = 2 √ 2 Z 1 t 2 − 1
dt = 2  t 3 3 −t ‹ √ 2 1 = 2 ‚ 2 √ 2 3 − √ 2− 1 3 + 1 Œ = 2 2− √ 2 3 = 4− 2 √ 2 3 .  Vídụ6 d Tính tích phân I = e 3 Z 1 ln 2 x x √ lnx + 1 dx |Lờigiải. Đặt t = √ lnx + 1⇒t 2 = lnx + 1⇒ 8 > < > : lnx =t 2 − 1 2t dt = dx x . Đổi cận: 8 < : x = 1⇒t = 1 x = e 3 ⇒t = 2 . I = 2 Z 1 (t 2 − 1) 2 · 2t t dt = 2 2 Z 1 t 4 − 2t 2 + 1
dt = 2  t 5 5 − 2 t 3 3 +t ‹ 2 1 = 76 15 .  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2392. TÍCH PHÂN 240 | Page Vídụ7 d Tính tích phân I = 2 Z 0 cosx √ 3 sinx + 1 dx |Lờigiải. Đặt t = √ 3 sinx + 1⇒t 2 = 3 sinx + 1⇒ 2t dt = 3 cosx dx. Đổi cận: 8 < : x = 0⇒t = 1 x = π 2 ⇒t = 2 . I = 2 Z 1 t· 2 3 t dt = 2 3  t 3 3 ‹ 2 1 = 2 3  8 3 − 1 3 ‹ = 14 9 .  Vídụ8 d Tính tích phân I = ln2 Z 0 e 2x √ e x + 1 dx |Lờigiải. Đặt t = √ e x + 1⇒t 2 = e x + 1⇒ 8 < : e x =t 2 − 1 2t dt = e x dx. Đổi cận: 8 < : x = 0⇒t = √ 2 x = ln 2⇒t = √ 3 . I = √ 3 Z √ 2 (t 2 − 1)· 2t t dt = 2 √ 3 Z √ 2 t 2 − 1
dt = 2  t 3 3 −t ‹ √ 3 √ 2 = 2 ‚ 3 √ 3 3− √ 3 − 2 √ 2 3 + √ 2 Œ = 2 √ 2 3 .  Bài14. Tính tích phân a) I = e Z 1 lnx √ 1 + 3 lnx x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2402. TÍCH PHÂN 241 | Page b) I = ln2 Z 0 e x √ 5− e x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = π 2 Z 0 sinx √ 1 + cosx dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 2 Z 0 sin 2x + sinx √ 1 + 3 cosx dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài15. Tính tích phân a) I = e √ e Z 1 3− 2 lnx x √ 1 + 2 lnx dx ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2412. TÍCH PHÂN 242 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = e Z 1 ln 3 x x p 1 + 3 ln 2 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = e Z 1 lnx 3 p 2 + ln 2 x x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = e Z 1 1 x 3 √ 1 + lnx dx |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2422. TÍCH PHÂN 243 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = ln6 Z 0 1 √ e x + 3 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = ln5 Z ln2 e 2x √ e x − 1 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = √ 3 Z 0 e x È (e x + 1) 3 dx ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2432. TÍCH PHÂN 244 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = 1 Z 0 5 x 2 (5 x − 9) √ 6− 5 1−x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 2 Z 0 sin 2x √ cos 2 x + 4 sin 2 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2442. TÍCH PHÂN 245 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = π 2 Z 0 sinx cosx √ 4 cos 2 x + 9 sin 2 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = π 2 Z 0 cosx 2 + √ 3 sinx + 1 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = π 4 Z 0 √ 2 + 3 tanx 1 + cos 2x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2452. TÍCH PHÂN 246 | Page m) I = π 2 Z 0 sinx cosx √ b 2 cos 2 x +c 2 sin 2 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: Đổi biến biểu thức chứa hàm ln không nằm trong căn I = b Z a f(lnx) 1 x dx . Phương pháp giải: 2 6 4 t = lnx⇒ dt = 1 x dx t =m +n lnx⇒dt = n x dx. Vídụ9 d Tính tích phân I = e Z 1 lnx x dx |Lờigiải. Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. Đổi cận: x = e⇒t = 1;x = 1⇒t = 0. Khi đó I = 1 Z 0 t dt = t 2 2 1 0 = 1 2 .  Vídụ10 d Tính tích phân I = e Z 1 1 + ln 2 x x dx |Lờigiải. Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. Đổi cận: x = e⇒t = 1;x = 1⇒t = 0. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2462. TÍCH PHÂN 247 | Page Khi đó I = 1 Z 0 1 +t 2
dt =  t + t 3 3 ‹ 1 0 = 1 + 1 3 = 4 3 .  Bài16. Tính các tích phân a) I = e Z 1 ln 2 x x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = e Z 1 1 + lnx x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = e Z 1 1 + 2 lnx x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = e Z 1 1 + ln 4 x x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = e Z 1 lnx x(2 + lnx) 2 dx ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2472. TÍCH PHÂN 248 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = e Z 1 lnx− 2 x lnx +x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài17. Tính các tích phân a) I = e Z 1 ln 2 x x(1 + 2 lnx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = e Z 1 lnx + 1 x lnx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = e Z 1 1 + lnx 2 +x lnx dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2482. TÍCH PHÂN 249 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = e 2 Z e 1 x lnx· ln ex dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = e Z 1 2x + lnx + 1 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2492. TÍCH PHÂN 250 | Page f) I = 2 Z 1 1 +x lnx x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = e Z 1 √ 4 + lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = e Z 1 √ 1 + 3 lnx x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài18. Tính các tích phân a) I = e Z 1 lnx p 1 + ln 2 x x dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2502. TÍCH PHÂN 251 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = √ e Z 1 1 x p 1− ln 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = e Z 1 lnx 3 p 2 + ln 2 x x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2512. TÍCH PHÂN 252 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = e Z 1 ln 3 x− 2 log 2 x x p 1 + 3 ln 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = e Z 1 log 3 2 x x p 3 + ln 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2522. TÍCH PHÂN 253 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = e Z 1 xe x + 1 x(e x + lnx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = e 2 Z e (x 2 + 1) lnx + 1 x lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = e 2 Z 1 2 lnx− 1 x(8 ln 2 x− 8 lnx + 3) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2532. TÍCH PHÂN 254 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = 5 Z 2 ln √ x− 1 + 1
x− 1 + √ x− 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = 1 Z 0 ln(3 +x)− ln(3−x) 9−x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2542. TÍCH PHÂN 255 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I = b Z a f (e x ) e x dx. Đặt 2 4 t = e x ⇒ dt = e x dx t =m +ne x ⇒ dt =ne x dx. Vídụ11 d Tính tích phân I = 1 Z 0 xe x 2 dx. |Lờigiải. Đặt t = e x 2 ⇒ dt = 2xe x 2 dx⇒xe x 2 dx = dt 2 . Với x = 0⇒t = 1 và x = 1⇒t = e. Khi đó I = e Z 1 dt 2 = t 2 e 1 = e− 1 2 .  Vídụ12 d Tính I = 2 Z 0 (2x− 1) e x−x 2 dx. |Lờigiải. Đặt t = e x−x 2 ⇒ dt = (1− 2x)e x−x 2 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2552. TÍCH PHÂN 256 | Page Với x = 0⇒t = 1 và x = 2⇒t = e −2 . Khi đó I = 1 Z e −2 dt =t 1 e −2 = 1− e −2 .  Bài19. Tính các tích phân a) I = ln2 Z 0 e x (e x + 1) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 3 Z 1 1 e x − 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = ln3 Z 0 1 e x + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = ln2 Z 0 2e x − 1 e x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2562. TÍCH PHÂN 257 | Page ...................................................................................................... e) I = 1 Z 0 e x e x + e −x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài20. Tính các tích phân a) I = ln5 Z ln3 1 e x + 2e −x − 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 1 Z 0 (1 + e x ) 3 e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = 1 Z 0 e −2x 1 + e −x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2572. TÍCH PHÂN 258 | Page d) I = ln2 Z 0 e 2x + 3e x e 2x + 3e x + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = ln5 Z ln2 e 2x √ e x − 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: b Z a f (sinx) cosx dx Đặt 2 4 t = sinx⇒ dt = cosx dx t =m +n sinx⇒ dt =n cosx dx. Vídụ13 d Tính I = π 4 Z π 6 cotx dx. |Lờigiải. Ta có I = π 4 Z π 6 cotx dx = π 4 Z π 6 cosx sinx dx. Đặt t = sinx⇒ dt = cosx dx. Có 8 > < > : x = π 6 ⇒t = 1 2 x = π 4 ⇒t = √ 2 2 . Khi đó I = √ 2 2 Z 1 2 dt t = ln|t| √ 2 2 1 2 = 1 2 ln 2.  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2582. TÍCH PHÂN 259 | Page Vídụ14 d Tính I = π 2 Z 0 sin 2 x cosx dx. |Lờigiải. Đặt t = sinx⇒ dt = cosx dx. Có 8 < : x = 0⇒t = 0 x = π 2 ⇒t = 1. Khi đó I = 1 Z 0 t 2 dt = t 3 3 1 0 = 1 3 .  Vídụ15 d Tính I = π 2 Z 0 (1− 3 sinx) cosx dx. |Lờigiải. Đặt t = sinx⇒ dt = cosx dx. Có 8 < : x = 0⇒t = 0 x = π 2 ⇒t = 1. Khi đó I = 1 Z 0 (1− 3t) dt =  t− 3 2 t 2 ‹ 1 0 =− 1 2 .  Bài21. Tính các tích phân a) I = π 4 Z 0 cos 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2592. TÍCH PHÂN 260 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 3 Z 0 cos 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = π 6 Z 0 1 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 6 Z 0 1 cos 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2602. TÍCH PHÂN 261 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = π 2 Z 0 (1 + sinx) 2 cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = π 2 Z 0 (1 + 2 sinx) 3 cosx dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2612. TÍCH PHÂN 262 | Page ...................................................................................................... g) I = π 2 Z 0 sin 2x sin 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = π 2 Z 0 sin 2x(1 + sin 2 x) 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 2 Z 0 cosx 1 + sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = π 2 Z 0 cosx 5− 2 sinx dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2622. TÍCH PHÂN 263 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài22. Tính các tích phân a) I = π 2 Z 0 sin 2x 1 + sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 0 Z − π 2 sin 2x (2 + sinx) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = π 2 Z 0 (2 sinx− 3) cosx 2 sinx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2632. TÍCH PHÂN 264 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 4 Z 0 cos 2x 1 + 2 sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = π 2 Z π 6 cos 3 x sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = π 2 Z π 4 cos 3 x 1 + sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = π 2 Z 0 cos 2x sin 4 x + cos 4 x
dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2642. TÍCH PHÂN 265 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = π 6 Z 0 cosx 6− 5 sinx + sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 2 Z 0 e sinx + cosx
cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = π 2 Z 0 cos 3 x− 1
cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2652. TÍCH PHÂN 266 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = π 2 Z 0 √ 1 + sinx cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = π 2 Z 0 cosx √ 3 sinx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = π 2 Z 0 cosx 2 + √ 3 sinx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I = b Z a f(cosx) sinx dx. Phương pháp giải: Đặt 2 4 t = cosx⇒ dt =− sinx dx. t =m +n cosx⇒ dt =−n sinx dx . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2662. TÍCH PHÂN 267 | Page Vídụ16 d Tính I = π 3 Z 0 tanx dx. |Lờigiải. Ta có I = π 3 Z 0 sinx cosx dx. Đặt cosx =t⇒− sinx dx = dt. Đổi cận x = π 3 ⇒t = 1 2 ;x = 0⇒t = 1. Khi đó I = 1 2 Z 1 − 1 t dt = (− ln|t|) 1 2 1 =− ln 1 2 .  Vídụ17 d Tính I = π 4 Z 0 cos 2 x sinx dx. |Lờigiải. Đặt cosx =t⇒− sinx dx = dt. Đổi cận x = π 4 ⇒t = √ 2 2 ;x = 0⇒t = 1. Khi đó I = √ 2 2 Z 1 −t 2 dt =  − t 3 3 ‹ √ 2 2 1 = 1 3 − √ 2 12 .  Vídụ18 d Tính I = π 3 Z 0 sinx cos 4 x dx. |Lờigiải. Đặt cosx =t⇒− sinx dx = dt. Đổi cận x = π 3 ⇒t = 1 2 ;x = 0⇒t = 1. Khi đó I = 1 2 Z 1 −t 4 dt =  − t 5 5 ‹ 1 2 1 = 31 160 .  Bài23. Tính các tích phân a) I = π 3 Z 0 sin 3 x dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2672. TÍCH PHÂN 268 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 6 Z 0 sin 5 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = π 2 Z 0 sinx 1 + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 3 Z 0 sinx cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = π Z 0 sin 2x cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2682. TÍCH PHÂN 269 | Page ...................................................................................................... f) I = π 2 Z 0 sinx cosx(1 + cosx) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = π 2 Z 0 4 sin 3 x 1 + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = π 3 Z 0 sin 2 x tanx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 2 Z 0 sin 2x cosx 1 + cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2692. TÍCH PHÂN 270 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài24. Tính các tích phân a) I = π 2 Z 0 sin 2x 3 cos 2 x + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 2 Z 0 sin 2x 4− cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tính I = π 2 Z 0 sin 4x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2702. TÍCH PHÂN 271 | Page d) I = π 2 Z 0 sin 3 x 1 + cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tính I = π 4 Z 0  1 + tanx tan x 2  sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tính I = π 2 Z 0 sinx cos 2x + 3 cosx + 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2712. TÍCH PHÂN 272 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tính I = π 2 Z π 3 sinx cos 2x− cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 3 Z 0 sinx cos 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I = b Z a f(tanx) 1 cos 2 x dx. Phương pháp giải: Đặt t = tanx⇒ dt = 1 cos 2 x dx = (1 + tan 2 x) dx. Tính I = b Z a f(cotx) 1 sin 2 x dx. Phương pháp giải: Đặt t = cotx⇒ dt =− 1 sin 2 x dx =− (1 + cot 2 x) dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2722. TÍCH PHÂN 273 | Page Vídụ19 d Tính I = π 4 Z 0 (1 + tanx) 2 cos 2 x dx. loigiai I = π 4 Z 0 (1 + tanx) 2 cos 2 x dx = π 4 Z 0 (1 + tanx) 2 d(1 + tanx) = 1 3 (1 + tanx) 3 π 4 0 = 7 3 . Vídụ20 d Tính I = π 4 Z 0 √ 2 + 3 tanx 1 + cos 2x dx. |Lờigiải. Ta có I = π 4 Z 0 √ 2 + 3 tanx 1 + cos 2x dx = π 4 Z 0 √ 2 + 3 tanx 2 cos 2 x dx. Đặt √ 2 + 3 tanx =t⇒ 2 + 3 tanx =t 2 ⇒ 1 cos 2 x dx = 2 3 t dt. Đổi cận x = 0⇒t = √ 2;x = π 4 ⇒t = √ 5. Khi đó I = √ 5 Z √ 2 t 2 · 2 3 t dt = 1 3 √ 5 Z √ 2 t 2 dt = 1 9 t 3 √ 5 √ 2 = 5 √ 5− 2 √ 2 9 .  Vídụ21 d Tính I = π 4 Z 0 (cosx +e tanx ) sinx cos 3 x dx. |Lờigiải. Ta có I = π 4 Z 0 cosx sinx cos 3 x dx + π 4 Z 0 e tanx sinx cos 3 x dx = π 4 Z 0 sinx cos 2 x dx + π 4 Z 0 tanxe tanx cos 2 x dx. I 1 = π 4 Z 0 sinx cos 2 x dx = π 4 Z 0 − d(cosx) cos 2 x = 1 cosx π 4 0 = √ 2− 1. Tính I 2 = π 4 Z 0 tanxe tanx cos 2 x dx. Đặt tanx =t⇒ 1 cos 2 x dx = dt. Đổi cận x = 0⇒t = 0;x = π 4 ⇒t = 1. Khi đó I 2 = 1 Z 0 te t dt = (te t −e t ) 1 0 = 1. Vậy I =I 1 +I 2 = √ 2.  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2732. TÍCH PHÂN 274 | Page Bài25. Tính các tích phân a) I = π 6 Z 0 tan 4 x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tính I = π 3 Z π 4 dx sinx cos 3 x . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2742. TÍCH PHÂN 275 | Page Bài26. Tính các tích phân a) I = π 6 Z 0 1 5 cos 2 x− 8 sinx cosx + 3 sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 2 Z π 4 1 sin 2 x + 3 sinx cosx + 1 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2752. TÍCH PHÂN 276 | Page c) I = π 4 Z π 6 sinx 2 cosx + 5 cos 2 x sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 4 Z − π 4 sinx(2− sin 2x) cos 3 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài27. Tính các tích phân a) I = π 4 Z 0 tan 3 x− 3 sin 2 x− sin 2x− 3 cos 2 x dx |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2762. TÍCH PHÂN 277 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 4 Z 0 1 + sin 2x 2 sinx cos 3 x + cos 4 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2772. TÍCH PHÂN 278 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = π 4 Z 0 sin 4 x + 1 cos 4 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2782. TÍCH PHÂN 279 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 4 Z π 6 1 cos 4 x sin 2 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = π 6 Z 0 1 cosx cos x + π 4
dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = π 3 Z π 6 1 sinx sin x + π 6
dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2792. TÍCH PHÂN 280 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = π 2 Z π 4 sinx (sinx + cosx) 3 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I = b Z a f(sinx± cosx) dx Phương pháp: Đặt t = sinx± cosx⇒ dt = (cosx± sinx) dx Vídụ22 d Tính các tích phân I = π 2 Z π 4 sinx− cosx sinx + cosx dx. a) I = π 4 Z 0 sinx− cosx sinx + cosx + 3 dx. b) 2 |Lờigiải. a) Đặt t = sinx + cosx⇒ dt =− (sinx− cosx) dx Đổi cận x = π 4 ⇒t = √ 2, x = π 2 ⇒t = 1 Khi đó I = √ 2 Z 1 1 t dt = ln|t|| √ 2 1 = 1 2 ln 2. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2802. TÍCH PHÂN 281 | Page b) Đặt t = sinx + cosx + 3⇒ dt =− (sinx− cosx) dx Đổi cận x = 0⇒t = 4, x = π 4 ⇒t = 3 + √ 2 Khi đó I = 4 Z 3+ √ 2 1 t dt = ln|t|| 4 3+ √ 2 = ln 4 3 + √ 2 .  Vídụ23 d Tính các tích phân I = π 4 Z 0 cos 2x sinx + cosx + 2 dx. a) I = π 2 Z 0 cos 2x (sinx− cosx + 3) 3 dx. b) |Lờigiải. a) Ta có cos 2x sinx + cosx + 2 = (cosx + sinx) (cosx− sinx) sinx + cosx + 2 . Đặt t = sinx + cosx + 2⇒ dt = (cosx− sinx) dx. Đổi cận x = 0⇒t = 3, x = π 4 ⇒t = 2 + √ 2. Khi đó I = 2+ √ 2 Z 3 t− 2 t dt = (t− 2 ln|t|)| 2+ √ 2 3 = √ 2− 1 + 2 ln 3 2 + √ 2 . Vậy I = √ 2− 1 + 2 ln 3 2 + √ 2 . b) Ta có cos 2x (sinx− cosx + 3) 3 = (cosx + sinx) (cosx− sinx) (sinx− cosx + 3) 3 . Đặt t = sinx− cosx + 3⇒ dt = (cosx + sinx) dx. Đổi cận x = 0⇒t = 2, x = π 2 ⇒t = 4. Khi đó I =− 4 Z 2 t− 3 t 3 dt =− 4 Z 2  1 t 2 − 3 t 3 ‹ dt =−  − 1 t + 3 2 · 1 t 2 | ‹ 4 2 = 1 32 . Vậy I = 1 32 .  Vídụ24 d Tính I = π 4 Z 0 cos 2x (1 + sin 2x) cos  x− π 4  dx. |Lờigiải. Ta có cos2x (1 + sin 2x) cos  x− π 4  = √ 2(cosx− sinx) (sinx + cosx) 2 Khi đó I = π 4 Z 0 d (sinx + cosx) (sinx + cosx) 2 =− √ 2 sinx + cosx π 4 0 = √ 2− 1. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2812. TÍCH PHÂN 282 | Page Vậy I = √ 2− 1.  Bài28. Tính các tích phân a) I = π 2 Z π 4 1 + sin 2x + cos 2x sinx + cosx dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 4 Z 0 √ 2(sinx− cosx) sin 2x + 2(1 + sinx + cosx) dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài29. Tính các tích phân a) I = π 4 Z 0 cos 2x (sinx + cosx + 2) 3 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2822. TÍCH PHÂN 283 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) π 4 Z 0 sinx + cosx 3 + sin 2x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài30. Tính I = π 4 Z 0 sin 4x √ 5− 4 sinx− cos 2 x + cosx dx |Lờigiải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2832. TÍCH PHÂN 284 | Page ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Bài31. Tính các tích phân a) I = π 4 Z 0 cos 2 x(1 + cosx)− sin 2 x(1 + sinx) sinx + cosx dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) π 4 Z 0 cos 2x 2− √ 1 + sinx− cosx dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2842. TÍCH PHÂN 285 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài32. Tính các tích phân a) π 4 Z 0 3 cos 2x− sin 4x 2− sinx− cosx dx . |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2852. TÍCH PHÂN 286 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 4 Z 0 4(sinx + cosx)− cos 2x 2(sinx− cosx− 1)− sin 2x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: b Z a f sin 2 x, cos 2 x
sin 2x dx ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2862. TÍCH PHÂN 287 | Page Phương pháp: Đặt 2 4 t = sin 2 x⇒ dt = sin 2x dx t = cos 2 x⇒ dt =− sin 2x dx Vídụ25 d Tính π 2 Z 0 sin 2x 1 + cos 2 x dx |Lờigiải. Đặt t = 1 + cos 2 x⇒ dt =− sin 2x dx Đổi cận x = 0⇒t = 2; x = π 2 ⇒t = 1. Khi đó I = 2 Z 1 1 t dt = ln|t|| 2 1 = ln 2. Vậy I = ln 2.  Vídụ26 d Tính I = π 2 Z 0 e sin 2 x sin 2x dx |Lờigiải. Đặt t = sin 2 x⇒ dt = sin 2x dx Đổi cận x = 0⇒t = 0; x = π 2 ⇒t = 1. Khi đó I = 1 Z 0 e t dt = e t 1 0 = e− 1. Vây I = e− 1.  Bài33. Tính I = π 2 Z 0 sin 2x(1 + sin 2 x) 3 dx |Lờigiải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2872. TÍCH PHÂN 288 | Page Bài34. Tính các tích phân a) I = π 4 Z 0 sin 4x 1 + cos 2 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 2 Z 0 sin 2x √ cos 2 x + 4 sin 2 x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài35. Tính I = π 2 Z 0 sinx cosx √ 4 cos 2 x + 9 sin 2 x dx |Lờigiải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2882. TÍCH PHÂN 289 | Page ............................................................................................................. Bài36. Tính I = π 2 Z 0 sinx cosx √ b 2 cos 2 x +c 2 sin 2 x dx |Lờigiải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Dạng: I = b Z a f € √ a 2 −x 2 Š x 2n dx Phương pháp: Đặt x =a sint⇒ dx =a cost dt. Vídụ27 d Tính các tích phân I = 1 Z 0 √ 1−x 2 dx. a) I = 1 Z − 1 2 √ 1−x 2 dx. b) I = 2 Z 0 x 2 √ 4−x 2 dx c) |Lờigiải. a) Đặt x = sint⇒ dx = cost dt. Đổi cận x = 0⇒t = 0;x = 1⇒t = π 2 . Khi đó I = π 2 Z 0 cos 2 t dt = π 2 Z 0 1 2 (1 + cos 2t) dt = 1 2  t + 1 2 sin 2t ‹ π 2 0 = π 4 . Vậy I = π 4 . b) Đặt x = sint⇒ dx = cost dt. Đổi cận x =− 1 2 ⇒t =− π 6 ;x = 1⇒t = π 2 . Khi đó I = π 2 Z − π 6 cos 2 t dt = π 2 Z − π 6 1 2 (1 + cos 2t) dt = 1 2  t + 1 2 sin 2t ‹ π 2 − π 6 = π 3 + √ 3 8 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2892. TÍCH PHÂN 290 | Page Vậy I = π 3 + √ 3 8 . c) Đặt x = 2 sint⇒ dx = 2 cost dt. Đổi cận x = 0⇒t = 0;x = 2⇒t = π 2 . Khi đó I = π 2 Z 0 4 sin 2 t· p 4− 4 sin 2 t·2 cost dt = π 2 Z 0 4 sin 2 2t dt = 2 π 2 Z 0 (1−cos 4t) dt = 2  t− 1 4 sin 4t ‹ π 2 0 =π Vậy I =π.  Bài37. Tính các tích phân a) I = 1 Z 0 x 2 √ 1−x 2 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = √ 2 2 Z 0 x 2 √ 1−x 2 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = 1 Z 0 x 2 √ 4−x 2 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2902. TÍCH PHÂN 291 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài38. Tính các tích phân a) I = 2 Z 0 √ 2x−x 2 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 1 Z 1 2 √ x−x 2 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = 1 Z 0 x 2 √ 3 + 2x−x 2 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2912. TÍCH PHÂN 292 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I = β Z α f €€ √ x 2 +a 2 Š m Š x 2n dx Phương pháp giải: Đặt x =a tant⇒ dx =a (1 + tan 2 t) dt. Vídụ28 d Tính các tích phân sau I = 1 Z 0 1 1 +x 2 dx a) I = 2 √ 3 Z 2 3 √ 3 x 2 + 4 dx b) |Lờigiải. a) Đặt x = tant⇒ dx = (1 + tan 2 t) dt. Đổi cận: x = 0⇒t = 0 x = 1⇒t = π 4 I = π 4 Z 0 1 1 + tan 2 t · (1 + tan 2 t) dt = π 4 Z 0 dt =t π 4 0 = π 4 . b) Đặt x = 2 tant⇒ dx = 2(1 + tan 2 t) dt. Đổi cận: x = 2 √ 3⇒t = π 3 x = 2⇒t = π 4 I = π 3 Z π 4 3 √ 3 4 + 4 tan 2 t · 2(1 + tan 2 t) dt = π 3 Z π 4 3 √ 3 2 dt = 3 √ 3 2 t π 3 π 4 = √ 3π 8 .  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2922. TÍCH PHÂN 293 | Page Bài39. Tính các tích phân sau a) I = 4 Z 2 1 x 2 − 2x + 4 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 1 Z 0 1 x 2 +x + 1 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = 1 Z 0 x 3 1 +x 8 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2932. TÍCH PHÂN 294 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = 2 Z 0 dx √ x 2 + 4 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài40. Tính các tích phân sau a) I = 1 Z 0 √ x 2 + 1dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2942. TÍCH PHÂN 295 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = √ 3 Z 0 dx √ 3 +x 2 |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = 1 Z 0 1 √ x 2 +x + 1 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2952. TÍCH PHÂN 296 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = 2 Z 0 √ 3 √ x 2 + 2x + 4 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2962. TÍCH PHÂN 297 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = √ 3 Z √ 3 3 1 p (1 +x 2 ) 3 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài41. Tính các tích phân sau a) I = 2 Z 0 x 2 √ x 2 + 4dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2972. TÍCH PHÂN 298 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = √ 3 Z 0 x 2 √ 3 +x 2 dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2982. TÍCH PHÂN 299 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: β Z α f  É a±x a∓x ‹ dx; β Z α dx (a +bx n ) n √ a +bx n ; Phương pháp giải: a) β Z α f  É a±x a∓x ‹ dx đặt x =a cos 2t. b) β Z α dx (a +bx n ) n √ a +bx n đặt x = 1 t . c) β Z α R ” s 1 √ ax +b,··· , s k √ ax +b — dx đặt t n =ax +b, với n là bội chung nhỏ nhất{s 1 ,s 2 ,··· ,s k }. d) β Z α dx p (ax +b)(cx +d) đặt t = √ ax +b + √ cx +d Vídụ29 d Tính các tích phân sau I = 64 Z 1 1 3 √ x + √ x dx a) I = 2 Z 0 É 2−x x + 2 dx b) I = 1 Z 0 1 √ x 2 + 4x + 3 dx c) |Lờigiải. a) Đặt t = 6 √ x⇒x =t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt. Với x = 1⇒t = 1 và x = 64⇒t = 2. I = 2 Z 1 6t 5 dt t 3 +t 2 = 2 Z 1 6t 3 t + 1 dt = 6 2 Z 1  t 2 −t + 1− 1 t + 1 ‹ dt = 6  t 3 3 − t 2 2 +t− ln|t + 1| ‹ 2 1 = 11 + 6 ln 2 3 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 2992. TÍCH PHÂN 300 | Page b) Đặt x = 2 cos 2t⇒ dx =−4 sin 2tdt. Với x = 0⇒t = π 4 và x = 2⇒t = 0. I = π 4 Z 0 É 2− 2 cos 2t 2 + 2 cos 2t 4 sin 2tdt = π 4 Z 0 tant· 4 sin 2tdt = π 4 Z 0 8 sin 2 tdt = π 4 Z 0 4(1− cos 2t)dt = 4  t− 1 2 sin 2t ‹ π 4 0 = π− 2. c) Đặt t = √ x + 1 + √ x + 3⇒ dt = 1 2 p (x + 1)(x + 3) dt⇔ 2 t dt = dx p (x + 1)(x + 3) . Với x = 0⇒t = 1 + √ 3 và x = 1⇒t = 2 + √ 2 I = 2+ √ 2 Z 1+ √ 3 2 t dt = 2 ln|t| 2+ √ 2 1+ √ 3 = 2 ln 2 + √ 2 1 + √ 3 .  Bài42. Tính các tích phân sau a) I = 1 Z 0 4 √ x 1 + √ x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 27 Z 1 √ x− 2 x + 3 √ x 2 dx ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3002. TÍCH PHÂN 301 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = 1 Z 0 1 x 2 É 2−x 2 +x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3012. TÍCH PHÂN 302 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài43. Tính tích phân I = 2 Z 1 1 3 √ x 2 + 4 √ x dx |Lờigiải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Bài44. Tính các tích phân sau a) I = 1 Z 0 Ê 1− √ x 1 + √ x dx |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 1 Z 0 É 3−x 1 +x dx |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3022. TÍCH PHÂN 303 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 2.9. Tích phân từng phần d Định lí 2.1. Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a;b] thì I = b Z a u(x)v 0 (x) dx = [u(x)v(x)]| b a − b Z a u 0 (x)v(x) dx hay I = b Z a u dv = uv| b a − b Z a v du. Thực hành: ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3032. TÍCH PHÂN 304 | Page a) Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác, ... b) Đặt: 8 < : u =······ VP −→ du =······ dx dv =··· dx NH −→ v =······ . Suy ra I = b Z a u dv = uv| b a − b Z a v du. c) Thứ tự ưu tiên chọn u: loga - đa - lượng - mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có lnx hay log a x thì chọnu = lnx hayu = log a x = 1 lna · lnx và dv = còn lại. Nếu không có ln, log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác, ... Chú ý Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. d) Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Vídụ1 d Tính I = 1 Z 0 (x− 3)e x dx. |Lờigiải. Chọn 8 < : u =x− 3⇒ du = dx dv = e x dx⇒v = e x . Khi đó I = (x− 3)e x 1 0 − 1 Z 0 e x dx =−2e + 3− e x 1 0 = 4− 3e.  Vídụ2 d Tính I = 1 Z 0 (x 2 + 2x)e x dx. |Lờigiải. Chọn 8 < : u =x 2 + 2x⇒ du = 2(x + 1) dx dv = e x dx⇒v = e x . Khi đó I = (x 2 + 2x)e x 1 0 − 2 1 Z 0 (x + 1)e x dx = 3e− 2 1 Z 0 (x + 1)e x dx = 3e− 2J. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3042. TÍCH PHÂN 305 | Page Tính J: Chọn 8 < : u 1 =x + 1⇒ du 1 = dx dv = e x dx⇒v = e x . Khi đó J = (x + 1)e x 1 0 − 1 Z 0 e x dx = 2e− 1− e x 1 0 = e. Vậy I = 3e− 2e = e.  Vídụ3 d Tính I = π Z 0 e x cosx dx. |Lờigiải. Chọn 8 < : u = cosx⇒ du =− sinx dx dv = e x dx⇒v = e x . Khi đó I = e x cosx π 0 + π Z 0 sinxe x dx =−e π − 1 +J. Tính J. Chọn 8 < : u 1 = sinx⇒ du 1 = cosx dx dv = e x dx⇒v = e x . Khi đó J = sinxe x π 0 −I =−I. Vậy I =− 1 2 (e π + 1).  Bài1. Tính các tích phân sau: a) I = 1 Z 0 xe x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 2 Z 0 (2x− 1)e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3052. TÍCH PHÂN 306 | Page ...................................................................................................... c) I = 1 Z 0 (2x + 1)e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = 1 Z 0 (4x− 1)e 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = 1 Z 0 (x− 1)e 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = 3 Z 1 xe −x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = 2 Z 0 (1− 2x)e −x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3062. TÍCH PHÂN 307 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = 3 Z 1 x 2 e −x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 4 Z 0 5e x sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3072. TÍCH PHÂN 308 | Page j) I = π 2 Z 0 e −x cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = π 4 Z 0 e 3x sin 4x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = π 2 Z 0 e x cos 2x dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3082. TÍCH PHÂN 309 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = 1 Z 0 3x + 1 e 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ4 d Tính I = 3 Z 1 lnx dx. |Lờigiải. Chọn 8 > < > : u = lnx⇒ du = 1 x dx dv = dx⇒v =x. Khi đó I =x lnx 3 1 − 1 Z 0 dx = 3 ln 3−x 3 1 = 3 ln 3− 2.  Vídụ5 d Tính I = e Z 1 x 2 lnx dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3092. TÍCH PHÂN 310 | Page Chọn 8 > < > : u = lnx⇒ du = 1 x dx dv =x 2 dx⇒v = x 3 3 . Khi đó I = x 3 3 lnx e 1 − 1 3 e Z 1 x 2 dx = e 3 3 − 1 9 x 3 e 1 = e 3 3 − e 3 9 + 1 9 = 2e 3 9 + 1 9 .  Vídụ6 d Tính I = e Z 1 x ln 2 x dx. |Lờigiải. Chọn 8 > < > : u = ln 2 x⇒ du = 2 x lnx dx dv =x dx⇒v = x 2 2 . Khi đó I = x 2 2 ln 2 x e 1 − e Z 1 x lnx dx = e 2 2 −J. Tính J. Chọn 8 > < > : u = lnx⇒ du = 1 x dx dv =x dx⇒v = x 2 2 . Khi đó J = x 2 2 lnx e 1 − 1 2 e Z 1 x dx = e 2 2 − 1 4 x 2 e 1 = e 2 2 − e 2 4 + 1 4 = e 2 4 + 1 4 . Vậy I = e 2 2 − e 2 4 − 1 4 ⇒I = e 2 4 − 1 4 ..  Vídụ7 d Tính I = 1 Z 0 (2x− 1) ln(x + 1) dx. |Lờigiải. Chọn 8 > < > : u = ln(x + 1)⇒ du = 1 x + 1 dx dv = (2x− 1) dx⇒v =x 2 −x. KhiđóI = (x 2 −x) ln(x+1) 1 0 − 1 Z 0 x 2 −x x + 1 dx =− 1 Z 0  x− 2 + 2 x + 1 ‹ dx =−  x 2 2 − 2x + 2 ln|x + 1| ‹ 1 0 = 3 2 − ln 4.  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3102. TÍCH PHÂN 311 | Page Vídụ8 d Tính I = π 4 Z 0 ln(sinx + 2 cosx) cos 2 x dx. |Lờigiải. Với mọi x∈ h 0; π 4 i , ta có ln(sinx + 2 cosx) cos 2 x = ln[cosx(tanx + 2)] cos 2 x = ln cosx cos 2 x + ln(tanx + 2) cos 2 x . Tính I 1 = π 4 Z 0 ln cosx cos 2 x dx. Chọn 8 > < > : u = ln cosx⇒ du = 1 cosx · (− sinx) dx dv = 1 cos 2 x dx⇒v = tanx. Khi đó I 1 = tanx ln cosx π 4 0 + π 4 Z 0 tan 2 x dx = ln √ 2 2 + π 4 Z 0  1 cos 2 x − 1 ‹ dx = ln √ 2 2 + (tanx−x) π 4 0 = ln √ 2 2 + 1− π 4 . Tính I 2 = π 4 Z 0 ln(tanx + 2) cos 2 x dx. Chọn 8 > < > : u = ln(tanx + 2)⇒ du = 1 tanx + 2 d(tanx) dv = 1 cos 2 x dx⇒v = tanx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3112. TÍCH PHÂN 312 | Page Khi đó I 2 = tanx ln(tanx + 2) π 4 0 − π 4 Z 0 tanx tanx + 2 d(tanx) = ln 3− π 4 Z 0  1− 2 tanx + 2 ‹ d(tanx) = ln 3− (tanx− 2 ln| tanx + 2|) π 4 0 = 3 ln 3− 2 ln 2− 1. Vậy I =I 1 +I 2 = ln √ 2 2 + 1− π 4 + 3 ln 3− 2 ln 2− 1 = ln 27 √ 2 8 − π 4 .  Bài2. Tính các tích phân sau: a) I = 2 Z 1 x lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = 2 Z 1 (2x− 1) lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = e Z 1 (1 +x) lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3122. TÍCH PHÂN 313 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = e Z 1 (x + 2) lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = e Z 1 x(lnx + 1) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = 2 Z 1 x 3 − 2 lnx x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3132. TÍCH PHÂN 314 | Page ...................................................................................................... g) I = 2 Z 1 ln(xe x ) (x + 2) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = e Z 1 2x(1− lnx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = e 2 Z e (1 + lnx)x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3142. TÍCH PHÂN 315 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = 3 Z 1 1 + ln(x + 1) x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = 3 Z 2 2x ln(x− 1) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = 1 Z −1 (4x− 5) ln(2x + 3) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3152. TÍCH PHÂN 316 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = 1 Z 0 x ln(2 +x 2 ) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) I = 1 Z 0 (x− 5) ln(2x + 1) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) I = ln2 Z 0 e x ln(e x + 1) dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3162. TÍCH PHÂN 317 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) I = 1 Z 0 ln(x + 1) (x + 2) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) I = 3 Z 2 ln[2 +x(x 2 − 3)] dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3172. TÍCH PHÂN 318 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) I = 1 Z 0 ln(4x 2 + 8x + 3) (x + 1) 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... s) I = π 2 Z π 4 log(3 sinx + cosx) sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3182. TÍCH PHÂN 319 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3192. TÍCH PHÂN 320 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Vídụ9 d Tính I = π 2 Z 0 (2x− 1) cos 2x dx. |Lờigiải. Đặt 8 < : u = 2x− 1 dv = cos 2x dx ⇒ 8 > < > : du = 2 dx v = sin 2x 2 . Do đó I = (2x− 1) sin 2x 2 π 2 0 − π 2 Z 0 sin 2x dx = cos 2x 2 π 2 0 =−1.  Vídụ10 d Tính I = π 2 Z 0 e 2x 1 +xe −2x cosx
dx. |Lờigiải. Có I = π 2 Z 0 e 2x 1 +xe −2x cosx
dx = π 2 Z 0 e 2x dx + π 2 Z 0 x cosx dx = e 2x 2 π 2 0 +J = e π − 1 2 +J. Đặt 8 < : u =x dv = cosx dx ⇒ 8 < : du = dx v = sinx. Do đó J =x sinx π 2 0 − π 2 Z 0 sinx dx = π 2 + cosx π 2 0 = π 2 − 1. Vậy I = e π − 1 2 + π 2 − 1 = e π − 3 2 + π 2 .  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3202. TÍCH PHÂN 321 | Page Vídụ11 d Tính I = 2 Z 1 2x 3 + lnx
x dx. |Lờigiải. Có I = 2 Z 1 2x 4 dx + 2 Z 1 x lnx dx =I 1 +I 2 . + I 1 = 2x 5 5 2 1 = 62 5 . + I 2 = 2 Z 1 x lnx dx. Đặt 8 < : u = lnx dv =x dx ⇒ 8 > < > : du = 1 x dx v = x 2 2 . Suy ra I 2 = x 2 lnx 2 2 1 − 2 Z 1 x 2 dx = 2 ln 2− x 2 4 2 1 = 2 ln 2− 3 4 . Vậy I = 2 ln 2 + 233 20 .  Vídụ12 d Tính I = π 2 Z π 4 log 2 (3 sinx + cosx) sin 2 x dx. |Lờigiải. Có I = 1 ln 2 π 2 Z π 4 ln (3 sinx + cosx) sin 2 x dx. Đặt 8 > < > : u = ln (3 sinx + cosx) dv = 1 sin 2 x dx ⇒ 8 > < > : du = 3 cosx− sinx 3 sinx + cosx dx v =− cotx. Suy ra ln 2·I =− cotx· ln (3 sinx + cosx) π 2 π 4 +J = ln 2 √ 2 +J. VớiJ = π 2 Z π 4 3 cos 2 x− sinx cosx 3 sin 2 x + sinx cosx dx = π 2 Z π 4 3 3 sin 2 x + sinx cosx dx− π 2 Z π 4 dx = π 2 Z π 4 3 (3 + cotx) sin 2 x dx− π 4 =−3 ln|3 + cotx| π 2 π 4 − π 4 = 3 ln 4 3 − π 4 . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3212. TÍCH PHÂN 322 | Page Vậy I = 1 ln 2  ln 2 √ 2 + 3 ln 4 3 − π 4 ‹ .  Bài3. Tính các tích phân sau: a) I = π 2 Z 0 x sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 4 Z 0 2x cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = π 4 Z 0 (x + 1) sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 2 Z 0 (x− 2) cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3222. TÍCH PHÂN 323 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = π 2 Z 0 (x + 1) cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = π 2 Z 0 (x− 1) sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = π 2 Z 0 (2x + 1) sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = π 2 Z 0 x cos 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3232. TÍCH PHÂN 324 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài4. Tính các tích phân sau: a) I = π 4 Z 0 (3− 2x) sin 2x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π 2 Z 0 3x cosx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = π 2 Z 0 x sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3242. TÍCH PHÂN 325 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = π 2 Z 0 x cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = π 3 Z 0 x + 2 cos 2 x
x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3252. TÍCH PHÂN 326 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = π 4 Z 0 ln (cosx) cos 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = π 2 Z 0 x 2 + 1
sinx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3262. TÍCH PHÂN 327 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = π Z 0 x (x− sinx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 2 Z 0 (x + cos 3x)x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = π 4 Z 0 x (1 + sin 2x) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3272. TÍCH PHÂN 328 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = π 2 Z 0 cosx (x− 2 sinx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = π 2 Z 0 (x− sinx) 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3282. TÍCH PHÂN 329 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) I = π 2 4 Z 0 cos √ x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) I = π 2 Z 0 sin √ x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) I = π 2 Z 0 sin 2x ln (1 + cosx) dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3292. TÍCH PHÂN 330 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) I = π 2 Z 0 sin 2x ln 1 + cos 2 x
dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài5. Tính các tích phân sau: a) I = 1 Z 0 (1−x) 2 + e 2x
dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3302. TÍCH PHÂN 331 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) I = π Z 0 x (x− sinx) dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) I = 2 Z 1 x 3 − 2 lnx x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3312. TÍCH PHÂN 332 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) I = 2 Z 1 1 +x 2 e x x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) I = 1 Z 0 e x +x e x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3322. TÍCH PHÂN 333 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) I = 3 Z 1 1 + ln (x + 1) x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) I = 1 Z 0 x  e x + 2 x + 1 ‹ dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3332. TÍCH PHÂN 334 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) I = 1 Z 0 € e x + √ 3x 2 + 1 Š x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) I = π 2 Z 0 x + cos 2 x
sinx dx. |Lờigiải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3342. TÍCH PHÂN 335 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) I = e Z 1  x + 1 x ‹ lnx dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3352. TÍCH PHÂN 336 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) I = 1 Z 0 x 3 e x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = 1 Z 0 x 5 e x 3 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3362. TÍCH PHÂN 337 | Page ...................................................................................................... m) I = 1 Z 0 8x 3 − 2x
e x 2 dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) I = 1 Z 0 √ xe √ x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3372. TÍCH PHÂN 338 | Page ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... o) I = π 3 27 Z 0 sin 3 √ x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3382. TÍCH PHÂN 339 | Page p) I = 1 Z 1− π 2 4 cos √ 1−x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... q) I = π 2 Z π 6 cosx ln (sinx) sin 2 x dx. |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) I = π 3 Z π 4 ln (tanx) cos 2 x dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3392. TÍCH PHÂN 340 | Page |Lờigiải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... C.CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1. Mức độ nhận biết Câu1. Cho hàm sốf (x) liên tục trênR và thỏa mãn 6 Z 0 f (x) dx = 7, 10 Z 3 f (x) dx = 8, 6 Z 3 f (x) dx = 9. Giá trị của I = 10 Z 0 f (x) dx bằng A. I = 5. B. I = 6. C. I = 7. D. I = 8. Câu2. Cho các hàm số y = f (x) và y = g (x) liên tục trên [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. a Z a kf (x) dx = 0. B. b Z a xf (x) dx =x b Z a f (x) dx. C. b Z a [f (x) +g (x)] dx = b Z a f (x) dx + b Z a g (x) dx. D. b Z a f (x) dx =− a Z b f (x) dx. Câu3. Cho I = π 3 Z 0 sinx cos 2 x dx, khẳng định nào sau đây đúng? A. 0