Chuyên đề Phương pháp hệ tọa độ trong không gian

MỤCLỤC 1 H› TÅA Ë TRONG KHÆNG GIAN 1 A KI˜N THÙC TRÅNG T M 1 1 H» tåa ë trong khæng gian 1 2 Tåa ë mët iºm 1 3 Tåa ë cõa mët v²c-tì 1 4 Biºu thùc to¤ ë cõa c¡c ph²p to¡n v²c-tì 1 5 Biºu thùc to¤ ë cõa t½ch væ h÷îng v mët sè ùng döng 2 6 T½ch câ h÷îng cõa hai v²c-tì v ùng döng 2 6.1 T½ch câ h÷îng 2 6.2 Ùng döng 3 7 C¡c b§t ¯ng thùc vectì 3 8 Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u 3 B CC D„NG TON 4 1 T¼m tåa ë cõa vectì v cõa iºm 4 2 Chùng minh ba vectì çng ph¯ng ho°c khæng çng ph¯ng 5 3 T½ch væ h÷îng v c¡c ùng döng 6 4 Chùng minh c¡c t½nh ch§t h¼nh håc 9 5 Chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc 11 6 M°t c¦u 12 C B€I TŠP R‘N LUY›N 13 D C U HÄI TRC NGHI›M 17 1 Nhªn bi¸t 17 1.1 P N 41 2 Thæng hiºu 42 2.1 P N 58 3 Vªn döng th¡p 58 3.1 P N 72 4 Vªn döng th¡p 73 4.1 P N 80 2 PH×ÌNG TRœNH MT PHNG 82 A KI˜N THÙC TRÅNG T M 82 1 V²c-tì ph¡p tuy¸n 82 2 Ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t cõa m°t ph¯ng 82 2.1 i·u ki»n º hai m°t ph¯ng song song, vuæng gâc 82 2.2 Kho£ng c¡ch tø mët iºm ¸n mët m°t ph¯ng 83 2.3 Gâc giúa hai m°t ph¯ng 83 B CC D„NG TON 83 1 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng trung trüc cõa o¤n th¯ng AB cho tr÷îc 83 1.1 B i tªp ¡p döng 84 2 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng i qua mët iºm v câ c°p v²c-tì ch¿ ph÷ìng cho tr÷îc. 84 2.1 B i tªp r±n luy»n 85https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 3 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) i qua M v vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng d i qua hai iºm A v B 88 3.1 B i tªp r±n luy»n 88 4 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) i qua A, B v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (Q) 90 4.1 B i tªp r±n luy»n 90 5 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) i qua iºm M v chùa ÷íng th¯ng ¢ 92 5.1 B i tªp r±n luy»n 92 6 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) chùa hai ÷íng th¯ng song song ¢ 1 v ¢ 2 93 6.1 B i tªp r±n luy»n 93 7 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) chùa hai ÷íng th¯ng c­t nhau ¢ 1 v ¢ 2 94 7.1 B i tªp r±n luy»n 95 8 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) chùa ÷íng th¯ng ¢ 1 v song song vîi ÷íng th¯ng ¢ 2 vîi¢ 1 v ¢ 2 ch²o nhau 95 8.1 B i tªp r±n luy»n 96 9 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) i qua M, çng thíi vuæng gâc vîi hai m°t ph¯ng (®) v (¯) 98 9.1 B i tªp r±n luy»n 99 10 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) i qua iºm M v giao tuy¸n cõa hai m°t ph¯ng (®), (¯) 101 11 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) t¤o vîi m°t ph¯ng (Q) cho tr÷îc mët gâc ® 105 11.1 B i tªp r±n luy»n 106 12 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (P) li¶n quan ¸n kho£ng c¡ch 108 12.1 B i tªp r±n luy»n 109 C C U HÄI TRC NGHI›M 111 1 Nhªn bi¸t 111 1.1 P N 130 2 Thæng hiºu 131 2.1 P N 169 3 Vªn döng th¡p 171 3.1 P N 191 4 Vªn döng th¡p 192 4.1 P N 203 3 PH×ÌNG TRœNH ×ÍNG THNG 204 A KI˜N THÙC TRÅNG T M 204 1 Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ng 204 2 i·u ki»n º hai ÷íng th¯ng song song, tròng nhau, c­t nhau ho°c ch²o nhau 204 3 i·u ki»n º mët ÷íng th¯ng song song, c­t ho°c vuæng gâc vîi mët m°t ph¯ng 204 4 Kho£ng c¡ch 205 4.1 Kho£ng c¡ch tø mët iºm ¸n mët ÷íng th¯ng 205 4.2 Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau 205 B CC D„NG TON 205 1 ÷íng th¯ng i qua mët iºm v v²c-tì ch¿ ph÷ìng cho tr÷îc. 205 1.1 B i tªp r±n luy»n 206 2 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng giao tuy¸n cõa hai m°t ph¯ng 209 2.1 B i tªp r±n luy»n 209 Th.sNguyễnChínEm 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 3 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng i qua iºm M v vuæng gâc vîi hai ÷íng th¯ng cho tr÷îc. 211 3.1 B i tªp ¡p r±n luy»n 211 4 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng i qua iºm M, c­t v vuæng gâc vîi mët ÷íng th¯ng cho tr÷îc. 212 4.1 B i tªp r±n luy»n 213 5 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng i qua iºm M, vuæng gâc vîi (d 1 ) v c­t (d 2 ). 214 5.1 B i tªp r±n luy»n 214 6 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng i qua iºm M c­t c£ hai ÷íng th¯ng (d 1 ) v (d 2 ) 215 6.1 B i tªp r±n luy»n 216 7 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng (d) n¬m trong m°t ph¯ng (P) c­t c£ hai ÷íng th¯ng (d 1 ), (d 2 ). 218 7.1 B i tªp r±n luy»n 219 8 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng (d) song song vîi (¢) c­t c£ hai ÷íng th¯ng (a) v (b). 221 8.1 B i tªp r±n luy»n 221 9 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng vuæng gâc chung cõa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau (a) v (b). 222 9.1 B i tªp r±n luy»n 223 10 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng (d) l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa (a) l¶n m°t ph¯ng (P)225 10.1 B i tªp r±n luy»n 225 11 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng (d) èi xùng vîi (a) qua m°t ph¯ng (P) 226 11.1 B i tªp r±n luy»n 227 12 T¼m h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa mët iºm tr¶n mët ÷íng th¯ng 228 12.1 B i tªp r±n luy»n 229 13 T¼m h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa mët iºm tr¶n mët m°t ph¯ng 232 13.1 B i tªp r±n luy»n 233 14 Và tr½ t÷ìng èi giúa hai m°t c¦u 236 14.1 B i tªp r±n luy»n 237 15 X²t và tr½ t÷ìng èi giúa hai m°t ph¯ng 240 15.1 B i tªp r±n luy»n 241 16 X²t và tr½ t÷ìng èi giúa m°t ph¯ng v m°t c¦u 245 16.1 B i tªp r±n luy»n 246 C D„NG TON TÊNG HÑP 253 D C U HÄI TRC NGHI›M 286 1 Nhªn bi¸t 286 1.1 P N 304 2 Thæng hiºu 305 2.1 P N 344 3 Vªn döng th¡p 345 3.1 P N 389 4 Vªn döng th¡p 390 4.1 P N 410 4 MT C†U 411 A KI˜N THÙC TRÅNG T M 411 1 Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u 411 Th.sNguyễnChínEm 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebraB CC D„NG TON 411 1 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u 411 1.1 B i tªp r±n luy»n 414 2 D¤ng to¡n têng hñp 419 C C U HÄI TRC NGHI›M 422 1 P N 426 D C U HÄI TÊNG HÑP 427 1 P N 438https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 BÀI1. HỆTỌAĐỘTRONGKHÔNGGIAN A KIẾNTHỨCTRỌNGTÂM 1 HỆTỌAĐỘTRONGKHÔNGGIAN Hệ trục toạ độ Đề - các vuông góc trong không gian gồm ba trục x 0 Ox,y 0 Oy, z 0 Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi #  i; #  j; #  k lần lượt là các véc-tơ đơn vị trên cáctrục x 0 Ox,y 0 Oy,z 0 Oz.ĐiểmOđượcgọilàgốctoạđộ. Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz),(Oxz) được gọi là các mặt phẳngtoạđộ. Không gian gắn với hệ toạ độ Oxyz được gọi là không gianOxyz. y z O #  k #  j x #  i z 0 y 0 x 0 2 TỌAĐỘMỘTĐIỂM Trong không gian Oxyz, cho một điểm tuỳ ý M. Khiđótồntạiduynhấtbộsố(x;y;z)thoảmãn #  OMÆx #  i Åy #  j Åz #  k. Ta nói rằng điểm M có toạ độ là (x;y;z) và viết MÆ(x;y;z)hoặc M(x;y;z). ! 1 Nếu điểm A thuộc trục Ox thì toạ độcủa A códạng A(a;0;0). 2 Nếu điểm B thuộc trục Oy thì toạ độcủa B códạng B(0;b;0). 3 Nếu điểm C thuộc trục Oz thì toạ độcủa C códạng C(0;0;c). y z O #  k #  j x #  i M 3 TỌAĐỘCỦAMỘTVÉC-TƠ Trong không gian Oxyz cho véc-tơ #  a bất kì. Khi đó tồn tại duy nhất bộ số (x;y;z) thoả mãn #  a Æx. #  i Åy. #  j Åz. #  k. Ta nói rằng véc-tơ #  a có toạ độ là (x;y;z) và viết là #  a Æ(x;y;z) hoặc #  a(x;y;z). 4 BIỂUTHỨCTOẠĐỘCỦACÁCPHÉPTOÁNVÉC-TƠ Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(x;y;z), #  b Æ(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và một số thực k. Khi đó tacó: #  aÅ #  b Æ(xÅx 0 ;yÅy 0 ;zÅz 0 ) 1 #  a¡ #  b Æ(x¡x 0 ;y¡y 0 ;z¡z 0 ) 2 k #  aÆ(kx;ky;kz). 3 #  aÆ #  b , ½ xÆx 0 yÆy 0 zÆz 0 . 4 5 Cho véc-tơ #  a 6Æ #  0. Khi đó véc-tơ #  b cùng phương với véc-tơ #  a khi và chỉ khi tồn tại Th.sNguyễnChínEm 1 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 mộtsốthực k saocho #  b Æk #  a,điềuđótươngđươngvới ½ x 0 Ækx y 0 Æky z 0 Ækz. 6 Nếu A(x A ;y A ;z A ),B(x B ;y B ;z B )thì #  ABÆ(x B ¡x A ;y B ¡y A ;z B ¡z A ). 7 Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng khi và chỉ hai véc-tơ #  AB, #  AC cùng phương, nghĩalàtồntạimộtsốthực k saocho #  ABÆk #  AC. 5 BIỂUTHỨCTOẠĐỘCỦATÍCHVÔHƯỚNGVÀMỘTSỐỨNGDỤNG TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  aÆ(x;y;z), #  b Æ(x 0 ;y 0 ;z 0 ).Tacó: 1 Biểuthứctoạđộcủatíchvôhướngcủahaivéc-tơ #  a, #  b là #  a. #  b Æx.x 0 Åy.y 0 Åz.z 0 . Đặcbiệt #  a? #  b ,x.x 0 Åy.y 0 Åz.z 0 Æ0. 2 Độdàicủavéc-tơ: ¯ ¯ #  a ¯ ¯ Æ p #  a. #  aÆ p x 2 Åy 2 Åz 2 . 3 Gọi'làgócgiữahaivéc-tơ #  a, #  b,với #  a và #  b khác #  0.Khiđó cos'Æ #  a. #  b j #  aj. ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ Æ xx 0 Åyy 0 Åzz 0 p x 2 Åy 2 Åz 2 . p x 02 Åy 02 Åz 02 . 4 Khoảngcáchgiữahaiđiểm A(x A ;y A ;z A ),B(x B ;y B ;z B )là: ABÆ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p (x B ¡x A ) 2 Å(y B ¡y A ) 2 Å(z B ¡z A ) 2 . 5 Điểm M chiađoạnthẳng AB theotỉsố k6Æ1. #  MAÆk. #  MB, 8 > > > > > > < > > > > > > : x M Æ x A ¡k.x B 1¡k y M Æ y A ¡k.y B 1¡k z M Æ z A ¡k.z B 1¡k 6 Nếu M làtrungđiểmcủa AB thìtoạđộcủa M đượcxácđịnhbởicôngthức: M ³ x A Åx B 2 ; y A Åy B 2 ; z A Åz B 2 ´ . 7 NếuG làtrọngtâmcủatamgiác ABCthìtoạđộcủaG đượcxácđịnhbởicôngthức: M ³ x A Åx B Åx C 3 ; y A Åy B Åy C 3 ; z A Åz B Åz C 3 ´ . 6 TÍCHCÓHƯỚNGCỦAHAIVÉC-TƠVÀỨNGDỤNG 6.1 TÍCHCÓHƯỚNG Cho hai véc-tơ #  u Æ(x 1 ;y 1 ;z 1 ), #  v Æ(x 2 ;y 2 ;z 2 ). Khi đó tích có hướng của hai véc-tơ #  u, #  v kí hiệulà £ #  u, #  v ¤ xácđịnhbởi: Th.sNguyễnChínEm 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 £ #  u, #  v ¤ Æ ¡¯ ¯ y 1 z 1 y 2 z 2 ¯ ¯ ; ¯ ¯ z 1 x 1 z 2 x 2 ¯ ¯ ; ¯ ¯ x 1 y 1 x 2 y 2 ¯ ¯ ¢ . Tínhchất1. 1 £ #  u, #  v ¤ ? #  u, £ #  u, #  v ¤ ? #  v 2 ¯ ¯ £ #  u, #  v ¤¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ . ¯ ¯ #  v ¯ ¯ sin ¡ #  u, #  v ¢ 3 #  u, #  v cùngphương, £ #  u, #  v ¤ Æ #  0 4 #  u, #  v, #  w đồngphẳng, £ #  u, #  v ¤ . #  wÆ0. £ #  u, #  v ¤ #  u #  v 6.2 ỨNGDỤNG 1 Diệntíchhìnhbìnhhành ABCD: S ABCD Æ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AD i¯ ¯ ¯ 2 Diệntíchtamgiác ABC: S ABC Æ 1 2 ¢ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯ 3 Thể tích khối hộp có đáy là hình bình hành ABCD vàcạnhbên AA 0 : VÆ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AD i ¢ #  AA 0 ¯ ¯ ¯ A 0 D 0 B 0 D C C 0 B A 4 Thểtíchkhốitứdiện S.ABC:VÆ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  SA ¯ ¯ ¯ 7 CÁCBẤTĐẲNGTHỨCVECTƠ TrongkhônggianOxyz,cho #  aÆ(a 1 ;a 2 ;a 3 ); #  b Æ(b 1 ;b 2 ;b 3 ). 1 ¯ ¯ ¯ #  aÅ #  b ¯ ¯ ¯· ¯ ¯ #  a ¯ ¯ Å ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ Dấu"="xảyrakhi #  a và #  b cùngphương. , p (a 1 Åb 1 ) 2 Å(a 2 Åb 2 ) 2 Å(a 3 Åb 3 ) 2 · È a 2 1 Åa 2 2 Åa 2 3 Å È b 2 1 Åb 2 2 Åb 2 3 2 ¯ ¯ ¯ #  a. #  b ¯ ¯ ¯· ¯ ¯ #  a ¯ ¯ . ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ Dấu"="xảyrakhi #  a và #  b cùngphương. ,(a 1 b 1 Åa 2 b 2 Åa 3 b 3 )· ¡ a 2 1 Åa 2 2 Åa 2 3 ¢¡ b 2 1 Åb 2 2 Åb 2 3 ¢ 8 PHƯƠNGTRÌNHMẶTCẦU Th.sNguyễnChínEm 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của mặt cầu (S)cótâm I(a;b;c),bánkính R là (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 Phươngtrìnhtổngquátcủamặtcầu (S)códạng: x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 vớiđiềukiện a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0.Khiđó (S)cótâmlà I(a;b;c) vàcóbánkính RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡d I M r B CÁCDẠNGTOÁN 1 TÌMTỌAĐỘCỦAVECTƠVÀCỦAĐIỂM Phươngpháp: 1 Muốn tìm tọa độ của vectơ #  x trong hệ trục Oxyz, ta tìm cách biến đổi đưa về dạng: #  x Æx 1 #  i Åx 2 #  j Åx 3 #  k.Bôbasốthực (x 1 ;x 2 ;x 3 )làtọađộcủavectơ #  x. 2 Tọađộcủamộtđiểm M làtọađộcủavectơ #  OM đốivớihệtrụcOxyz,nghĩalàtabiểu thịvectơ #  OM dướidạng: #  OMÆx #  i Åy #  j Åz #  k 3 Trongquátrìnhbiếnđổitacầnchúýsửdụngcáctínhchấtcủacácphéptoánđãnêu trongphầnlýthuyết. Vídụ1. TrongkhônggianOxyz chobađiểm: A(1;0;¡2),B(2;1;¡1),C(1;¡2¡2). 1 Tìmtọađộcủa #  BC vàtìnhđộdàiđoạnthẳng BC. 2 TìmtrọngtâmG củatamgiác ABC. -Lờigiải. 1 #  BCÆ(1¡2;¡2¡1;¡2Å1)Æ(¡1;¡3;¡1) j #  BCjÆ p (¡1) 2 Å(¡3) 2 Å(¡1) 2 Æ p 11 2 GọiG làtrọngtâmcủatamgiác ABC:, #  GAÅ #  GBÅ #  GCÆ #  0 x G Æ x A Åx B Åx C 3 Æ 1Å2Å1 3 Æ 4 3 y G Æ y A Åy B Åy C 3 Æ 0Å1¡2 3 Æ¡ 1 3 z G Æ z A Åz B Åz C 3 Æ ¡2¡1¡2 3 Æ¡ 5 3 VậyG µ 4 3 ;¡ 1 3 ;¡ 5 3 ¶ ä Vídụ2. Chobavectơ #  aÆ(2;¡5;3), #  b Æ(0;2;¡1), #  c Æ(1;7;2). 1 Tìmtọađộcủavectơ #  dÆ4 #  a¡ 1 3 #  bÅ3 #  c 2 Tìmtọađộcủavectơ #  e Æ #  a¡4 #  b¡2 #  c -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 4 #  aÆ(8;¡20;12);¡ 1 3 #  b Æ µ 0;¡ 2 3 ; 1 3 ¶ ; 3 #  c Æ(3;21;6)) #  dÆ µ 11; 1 3 ;18 1 3 ¶ 2 #  aÆ(2;¡5;3);¡4 #  b Æ(0;¡8;4);¡2 #  c Æ(¡2;¡4;4)) #  e Æ(0;¡27;3) ä Vídụ3. Tìmtọađộcủa #  x,biếtrẳng: 1 #  aÅ #  x Æ #  0 với #  aÆ(1;¡2;1). 2 #  bÅ #  x Æ4 #  b với #  b Æ(0;¡2;1). 3 #  mÅ2 #  x Æ #  n với #  mÆ(5;4;¡1), #  nÆ(2;¡5;3) -Lờigiải. 1 #  x Æ¡ #  a, dođó #  x Æ(¡1;2;¡1). 2 #  x Æ3 #  b, dođó #  x Æ(0;¡6;3). 3 #  x Æ #  n¡ #  m 2 .Tacó #  n¡ #  mÆ(¡3;¡9;4).Vậy #  x Æ 1 2 ( #  n¡ #  m)Æ µ ¡ 3 2 ;¡ 9 2 ;2 ¶ ä 2 CHỨNGMINHBAVECTƠĐỒNGPHẲNGHOẶCKHÔNGĐỒNGPHẲNG Phươngpháp: 1 Muốnchứngminhbavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳngtachứngminhcóhệthức: #  a Æm #  bÅ n #  c trongđó #  b và #  c khôngcùngphương. 2 Muốn chứng minh ba vectơ #  a, #  b, #  c đồng phẳng ta dùng phương pháp phản chứng, giả sử chúng đồng phẳng nghĩa là có hệ thức #  a Æm #  bÅn #  c trong đó #  b và #  c không cùngphương. Sauđóchứngtỏrằngkhôngtồntạiđẳngthứctrên(tồntạilàvôlý). Vídụ4. TrongkhônggianOxyz chobavectơ: #  aÆ(2;3;1), #  b Æ(5;7;0), #  c Æ(3;¡2;4). 1 Hãychứngtỏrằngbavectơ #  a, #  b, #  c khôngđồngphẳng. 2 Cho vectơ #  d Æ (4;12;¡3). Hãy phân tích vectơ #  d theo ba vectơ không đồng phẳng #  a, #  b, #  c đãcho. -Lờigiải. 1 Tadùngphươngphápphảnchứng.Theogiảthiết #  b và #  c khôngđồngphẳngvì 5 3 6Æ 7 ¡2 6Æ 0 4 . Giảsử #  a, #  b, #  c đồngphẳng,nghĩalà #  aÆm #  bÅn #  c. Thaytọađộcủacácvectơ #  a, #  b, #  c vàotađượchệ3phươngtrìnhvới2ẩn m,n: ( 2Æ5mÅ3n (1) 3Æ7m¡2n (2) 1Æ4n (3) Từ(2)và(3)) 8 > > < > > : nÆ 1 4 mÆ¡ 1 2 .Thaycácgiátrịcủa m,nvào(1)tacó: 26Æ 5 2 Å 3 4 .Vậyhệphương trình vô nghiệm, nghĩa là không tồn tại hệ thức #  a Æm #  bÅn #  c. Do đó, ba vectơ: #  a, #  b, #  c khôngđồngphẳng. Th.sNguyễnChínEm 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 Tatìmcácsố p,q,r saocho #  dÆp #  aÅq #  bÅr #  c.Tacó: ( 4Æ2pÅ5qÅ3r 12Æ3pÅ7qÅ2r ¡3ÆpÅ0Å4r , ( pÆ1 qÆ1 rÆ¡1 ) #  dÆ #  aÅ #  b¡ #  c . ä Vídụ5. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ: #  a Æ(1;2;3), #  b Æ(4;5;6), #  c Æ(2;1;0). Chứng tỏrằngbavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng. -Lờigiải. Tanhậnthấyhaivectơ #  a và #  b khôngcùngphươngvì 1 4 6Æ 2 5 6Æ 3 6 . Đểchứngminh #  a, #  b, #  c đồngphẳngtacầntìmhaisố m,nsaocho #  c Æm #  aÅn #  b. Theogiảthiếttacó: ( 2ÆmÅ4n 1Æ2mÅ5n 0Æ3mÅ6n , n mÆ¡2 nÆ1 . Dođó #  c Æ2 #  aÅ #  b,nghĩalàbavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng. ä Vídụ6. TrongkhônggianOxyzchobốnđiểm A(1;1;02),B(4;0;¡1),C(¡1;7;0),D(0;¡2;¡4). Chứngtỏrằngbốnđiểm A,B,C,D cùngnằmtrênmộtmặtphẳn. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡1;1), #  ACÆ(¡2;6)) #  AB và #  AC khôngcùngphươngvì 3 2 6Æ¡ 1 6 6Æ 1 2 . Tacó #  ADÆ(¡1;¡3;¡2).Muốnchứngminh A,B,C,D cùngnằmtrênmộtphẳng,tachứngminh bavectơ #  AB, #  AC, #  AD đồngphẳngnghĩalàtồntạihaisố m,nsaocho #  ADÆm. #  ABÅn #  AC. Tacó ( ¡1Æ3m¡2n ¡3Æ¡mÅ6n ¡2ÆmÅ2n ) 8 > > < > > : nÆ ¡5 8 mÆ¡ 6 5 .Dođó #  ADÆ¡ 6 8 #  AB¡ 5 8 #  AC)3vectơ #  AD, #  AB, #  AC đồngphẳng. Tasuyra4điểm A,B,C,D cùngnằmtrênmộtmặtphẳng. ä 3 TÍCHVÔHƯỚNGVÀCÁCỨNGDỤNG Phươngpháp: 1 #  u, #  v cùngphương, £ #  u, #  v ¤ Æ #  0 2 #  u, #  v, #  w đồngphẳng, £ #  u, #  v ¤ . #  wÆ0. 3 Diệntíchhìnhbìnhhành ABCD: S ABCD Æ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AD i¯ ¯ ¯ 4 Diệntíchtamgiác ABC: S ABC Æ 1 2 ¢ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯ 5 Thểtíchkhốihộpcóđáylàhìnhbìnhhành ABCD vàcạnhbên AA 0 : VÆ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AD i ¢ #  AA 0 ¯ ¯ ¯ Vídụ7. TrongkhônggianOxyz cho A(1;2;¡1),B(2;¡1;3),C(¡4;7;5). Th.sNguyễnChínEm 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 Chứngminh A,B,C thẳnghàng. 2 Tínhdiệntíchtamgiác ABC.Suyrađộdàiđườngcaohạtừ A. 3 Tínhđộdàiđườngphângiáctrongvẽtừ B. -Lờigiải. 1 Tacó: #  ABÆ(1,¡3,4); #  BCÆ(¡6,8,2); #  ACÆ(¡5,5,6))[ #  AB, #  AC]Æ(¡38,¡26,¡1)6Æ #  0 Vậy #  AB khôngcùngphương #  AC nên A,B,C khôngthẳnghàng. 2 Tacó: SÆS DeltaABC Æ 1 2 [ #  AB, #  AC]Æ 1 2 p 38 2 Å26 2 Å10 2 Æ p 554 Mà SÆS ¢ABC Æ 1 2 AH.BC)AHÆ 2S BC Æ 2 p 554 p 104 Æ p 554 p 26 Æ p 277 p 13 3 Gọi D làchânđườngphângiáctrongvẽtừ B,tacó: DA DC Æ BA BC Æ p 26 p 104 Æ 1 2 Mà D nằmgiữa A và C nên: #  DAÆ¡ 1 2 #  DC,2 #  DAÆ #  CD , 8 > > < > > : 2(1¡x D )Æx D Å4 2(2¡y D )Æy D ¡7 2(¡1¡z D )Æz D ¡5 , 8 > > < > > : x D Æ¡ 2 3 y D Æ 11 3 z D Æ1 .Vậy D µ ¡ 2 3 , 11 3 ,1 ¶ A C D B ä ! Nhậnxét. Chúng ta nên né tránh dùng công thức điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k vì thườngxácđịnh k sai,vàmấtcôngnhớcôngthức. Vídụ8. TrongkhônggianOxyz chobađiểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)với abcÈ0. 1 Chứngtỏ4ABC khôngthểlàtamgiácvuông. 2 TínhthểtíchhìnhchópOABC vàdiệntích4ABC theo a,b,c? -Lờigiải. 1 Tacó #  ABÆ(¡a;b;0)và #  ACÆ(¡a;0;c).Vậy #  AB. #  ACÆa 2 È0.Dođó ƒ BAC làgócnhọn. Tươngtự #  BA. #  BCÈ0, #  CA. #  CBÈ0. Vậy ƒ ABC và ƒ ACB làgócnhọnnên4ABC khôngthểvuông. 2 Tacó h #  AB. #  AC i Æ(bc;ac;ba) Vậy S 4ABC Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p b 2 c 2 Åa 2 c 2 Åb 2 a 2 . Tacó #  AOÆ(¡a;0;0)) h #  AB, #  AC i #  AOÆ¡abc. Vậy:V OABC Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i #  AO ¯ ¯ ¯Æ abc 6 . ä Vídụ9. TrongkhônggianOxyzchotứdiện ABCD có A(2;1;¡1),B(3;0;1),C(2;¡1;3)và D nằmtrêntrụctung.BiếtthểtíchV của ABC bằng 5.Tìmtọađộđiểm D. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi D(0;d;0)2Oy. Tacó #  ABÆ(1;¡1;2), #  ADÆ(¡2;d¡1;1), #  ACÆ(0;2;4). ) h #  AB, #  AC i Æ(0;¡4;¡2)) h #  AB, #  AC i #  ADÆ¡4(d¡1)¡2Æ¡4dÅ2. Tacó:V ABCD Æ5, 1 6 j¡4dÅ2jÆ5,¡4dÅ2Ƨ30, h dÆ¡7 dÆ8 . Dođócó2điểm D là D(0;¡7;0)và D(0;8;0). ä Vídụ10. TrongkhônggianOxyz cho A(2;¡1;6), B(¡3;¡1;¡4); C(5;¡1;0), D(1;2;1). 1 Chứngminh4ABC vuông.Tínhbánkínhđườngtrònngoạinộitiếp4ABC. 2 Tínhthểtíchtứdiện ABCD. -Lờigiải. 1 Tacó #  BAÆ(5;0;10), #  ACÆ(¡3;0;6); #  CBÆ(¡8;0;¡4). Do #  CA. #  CBÆ24¡20Æ0nên4ABC vuôngtại C. Vậy § 4ABC Æ 1 2 CA.CBÆ 1 2 .3 p 5.4 p 5Æ30. Tacó pÆ 1 2 (ABÅACÅCB)Æ 1 2 ¡ 5 p 5Å3 p 5Å4 p 5 ¢ Æ6 p 5. Mà SÆpr,nênbánkínhđườngtrònnộitiếp4ABC: rÆ S p Æ 30 6 p 5 Æ p 5. 2 Tacó: h #  BA, #  CA i Æ(0;¡60;0); #  DCÆ(¡4;3;1). VậyV ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  BA, #  DC i . #  DC ¯ ¯ ¯Æ 1 6 j¡60jÆ10(đvtt). ä Vídụ11. TrongkhônggianOxyz cho A(¡1;¡2;4);B(¡4;¡2;0);C(3;¡2;1);D(1;1;1) TínhthểtíchV củatứdiện ABCD vàđộdàiđườncaohạtừ D. -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(¡3,0,¡4); #  ADÆ(2,3,¡3); #  ACÆ(4,0,¡3))[ #  AB, #  AC]Æ(0,¡25,0) VậyV ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i #  AD ¯ ¯ ¯Æ j¡75j 6 Æ 25 2 Dođóđộdàiđườngcaohạtừ D: DHÆ 3V S Æ3. ä Vídụ12. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(1;2;4); B(2;¡1;0); C(¡2;3;¡1). 1 Tìmtọađộđiểm D biếtrằng ABCD làhìnhbìnhhành. 2 Tìmdiệntíchhìnhbìnhhành ABCD. -Lờigiải. 1 Vì ABCD làhìnhbìnhhànhnên #  ABÆ #  DC. Gọi D(x;y;z).Tacó #  DCÆ(¡2¡x;3¡y;¡1¡z); #  ABÆ(1;¡3;¡4). Từ #  ABÆ #  DC, ( 1Æ¡2¡x ¡3Æ3¡y ¡4Æ¡1¡z )D(¡3;6;3) 2 Tacó: S ABCD Æ2S 4ABC . Tacó #  ABÆ(1;¡3;¡4); #  ACÆ(¡3;1;¡5)) h #  AB, #  AC i Æ(19;17;¡8). S 4ABC Æ 1 2 h #  AB, #  AC i Æ 1 2 p 19 2 Å17 2 Å(¡8) 2 Æ p 714 2 .Suyra S ABCD Æ p 714(đvdt). ä Th.sNguyễnChínEm 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 4 CHỨNGMINHCÁCTÍNHCHẤTHÌNHHỌC ç Chứngminhbađiểm A,B,C thẳnghàng. ç Chứngmìnhhaiđườngthẳngsongsong. ç Chứngmìnhhaiđườngthẳngvuônggóc. Phươngpháp: 1 Muốnchứngminhbađiểm A,B,C thẳnghàng,tachứngminh: #  ABÆk. #  AC 2 MuốnchứngminhhaiđườngthẳngaÒb,trênatalấyvectơ #  ABvàtrên btalấyvectơ #  CD rồichứngminh #  ABÆk. #  CD. 3 Muốnchứngminhhaiđườngthẳng a?b,trên alấyvectơ #  AB vàtrên b lấyvectơ #  CD rồichứngminh #  AB. #  CDÆ0. Vídụ13. Trong không gian Oxyz, cho A(¡1;6;6) và B(3;¡6;¡2). Tìm điểm M thuộc mặt phẳngOxysaocho AMÅMB ngắnnhất. -Lờigiải. Haiđiểm A,B nằmvềhaiphíakhácnhaucủamặtphẳngOxyvì z A Æ6và z B Æ¡2.Dođó,khi bađiểm A,M,B thẳnghàngtacó AMÅMB ngắnnhất. A,M,B thẳnghàng, #  AMÆk. #  AB: Tacó: M(x;y;0)vì M2(Oxy); #  AMÆ(xÅ1;y¡6;¡6); #  ABÆ(4;¡12;¡8). #  AMÆk. #  AB, xÅ1 4 Æ y¡6 ¡12 Æ ¡6 ¡8 Æ 3 4 , ( xÆ2 yÆ¡3 zÆ0 .Vậy M(2;¡3;0). ä Vídụ14. Cho hình hộp xiên ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Hãy tìm điểm M trên đường chéo AC của mặt đáy ABCD và điểm N trên đường chéo C 0 D của mặt CDD 0 C 0 sao cho MNÒBD 0 . Khi đótính MN BD 0 . -Lờigiải. Đặt: #  BAÆ #  a; #  BB 0 Æ #  b; #  BCÆ #  c. Tacó: #  BD 0 Æ #  aÅ #  bÅ #  c. Vì MNÒBD 0 nêntacó: #  MNÆk #  BD 0 hay #  MNÆk ³ #  aÅ #  bÅ #  c ´ Æk. #  aÅk. #  bÅk. #  c (1) Mặtkháctacó: #  MNÆ #  MCÅ #  CC 0 Å #  C 0 N. Giảsử: #  MCÆn. #  ACÆn. ¡ #  c¡ #  a ¢ ; #  C 0 NÆm. #  C 0 DÆm. ³ #  a¡ #  b ´ . Dođó: #  MNÆn. #  ACÅ #  CC 0 Åm #  C 0 D với #  CC 0 Æ #  BB 0 Æ #  b. #  a #  c #  b B C A C 0 N D 0 M A 0 B 0 ) #  MNÆn ¡ #  c¡ #  a ¢ Å #  bÅm ³ #  a¡ #  b ´ Æ(m¡n) #  aÅ(1¡m) #  bÅn #  c (2) Sosánh(1)và(2),tacóhệ3phươngtrình3ẩn. ( m¡nÆk 1¡mÆk nÆk , 8 > > > > > > < > > > > > > : kÆ 1 3 nÆ 1 3 nÆ 2 3 . Th.sNguyễnChínEm 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậy: #  MCÆn #  ACÆ 1 3 #  AC; #  C 0 NÆm #  C 0 DÆ 2 3 #  C 0 D. Nhưvậycácđiểm M,N đãđượcxácđịnhtrên AC và C 0 D. Do #  MNÆk #  BD 0 nêntacó #  MN #  BD 0 Æ 1 3 hay #  MN BD 0 Æ 1 3 . ä Vídụ15. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cạnh a.Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểm của AD và AB 0 .Chứngminh MN?AC. -Lờigiải. Chọnhệtrụcnhưhìnhvẽ. Tacó: A(0;0;0); B(0;a;0); C(a;a;0); D(a;0;0); A 0 (0;0;a); B 0 (0;0;a) M làtrungđiểmcủa AD nên M ³ a 2 ;0;0 ´ , N làtrungđiểmcủa AB 0 nên N ³ 0; a 2 ; a 2 ´ . Dođó #  MNÆ ³ ¡ a 2 ; a 2 ; a 2 ´ ;) #  ACÆ(a;a;0). Tacó: #  MN. #  ACÆ¡ a 2 2 Å a 2 2 Æ0. Vậy MN?AC. z y x C M A B A 0 N C 0 D 0 B 0 D ä Vídụ16. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AD và BB 0 . 1 Chứngminhrằng MN?A 0 C. 2 Tínhcosingóctạobởi #  MN và #  AC 0 . -Lờigiải. 1 Chọnhệtrụcnhưhìnhvẽ. A(0;0;0); B(a;0;0); C(a;a;0); D(0;a;0); A 0 (0;0;a); B 0 (a;0;a). ) #  ADÆ(0;a;0), #  DCÆ(a;0;0), #  AA 0 Æ(0;0;a). Suyra M ³ a 2 ;0; a 2 ´ ; N ³ a;0; a 2 ´ ) #  MNÆ ³ a 2 ;0; a 2 ´ ; #  A 0 CÆ(¡a;a;¡a) #  MN. #  A 0 CÆ a 2 2 Å0¡ a 2 2 Æ0. Vậy MM?A 0 C. 2 Tacó C 0 (a;a;a)) #  AC 0 Æ(a;a;a). cos ³ #  MN; #  AC 0 ´ Æ #  MN. #  AC 0 MN.AC 0 Æ a 2 ¡ a 2 2 Å a 2 2 Ê 3a 2 2 . p 3a 2 Æ a 2 p 2 3a 2 Æ p 2 3 . z y x C B N C 0 D 0 M A 0 B 0 D ä ! Nhậnxét. Chúng ta cần quan tâm đến dạng toán phải gắn trong hệ trục tọa độ và xác địnhđúngtọađộcácđỉnhcủacáckhốiđadiệnquenthuộc,điềunàysẽgặptrongcácđề thi. Th.sNguyễnChínEm 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 5 CHỨNGMINHCÁCBẤTĐẲNGTHỨC Phươngpháp: Sửdụngcáctínhchất ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Å ¯ ¯ #  v ¯ ¯ ¸ ¯ ¯ #  uÅ #  v ¯ ¯ 1 ¯ ¯ #  u. #  v ¯ ¯ · ¯ ¯ #  u ¯ ¯ . ¯ ¯ #  v ¯ ¯ 2 Vídụ17. Chứng minh bất đẳng thức: aÅbÅc· È 3 ¡ a 2 Åb 2 Åc 2 ¢ , với a,b,c là ba số thực chotrước. -Lờigiải. Đặt #  uÆ(a;b;c), #  v Æ(1;1;1)tronghệtrụctọađộOxyz. Tacó: #  u. #  v · ¯ ¯ #  u ¯ ¯ . ¯ ¯ #  v ¯ ¯ .hay aÅbÅc· p a 2 Åb 2 Åc 2 . p 1 2 Å1 2 Å1 2 . Vậy aÅbÅc· È 3 ¡ a 2 Åb 2 Åc 2 ¢ ä Vídụ18. Với xlàmộtsốthực.Chứngminhrằng: ¯ ¯ ¯sinxÅ p 2¡sin 2 xÅsinx p 2¡sin 2 x ¯ ¯ ¯·3 -Lờigiải. TrongkhônggianOxyz,chocácvectơ: #  aÆ ³ sinx;1; p 2¡sin 2 x ´ , #  b Æ ³ 1; p 2¡sin 2 x;sinx ´ . Tacó #  a. #  b ÆsinxÅ p 2¡sin 2 xÅsinx p 2¡sin 2 x. và ¯ ¯ #  a ¯ ¯ . ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ p sin 2 xÅ1Å2¡sin 2 x. p 1Å2¡sin 2 xÅsin 2 Æ3. Vì ¯ ¯ ¯ #  a. #  b ¯ ¯ ¯· ¯ ¯ #  a ¯ ¯ . ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯nên ¯ ¯ ¯sinxÅ p 2¡sin 2 xÅsinx p 2¡sin 2 x ¯ ¯ ¯·3. ä Vídụ19. Với a,b,c làcácsốthức,chứngminhrằng: 1 p a 2 Åb 2 Åc 2 Å p 3¸ p (1¡a) 2 Å(1¡b) 2 Å(1¡c) 2 . 2 (aÅbÅc) 2 ·3(a 2 Åb 2 Åc 2 ). -Lờigiải. 1 TrongkhônggianOxyz chocácvectơ: #  uÆ #  OMÆ(a;b;c) #  v Æ #  ONÆ(1;1;1) ¾ ) #  v¡ #  uÆ #  MNÆ(1¡a;1¡b;1¡c). Tacó ¯ ¯ ¯ #  OM ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  ON ¯ ¯ ¯¸ ¯ ¯ ¯ #  MN ¯ ¯ ¯. Dođó: p a 2 Åb 2 Åc 2 Å p 3¸ p (1¡a) 2 Å(1¡b) 2 Å(1¡c) 2 . 2 Với #  uÆ(a;b;c), #  v Æ(1;1;1),tacó: ¡ #  u. #  v ¢ 2 · #  u 2 . #  v 2 hay (aÅbÅc) 2 ·3(a 2 Åb 2 Åc 2 ). ä Th.sNguyễnChínEm 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 6 MẶTCẦU Phươngpháp: Sửdụngcáccôngthức: Mặtcầu (S)cótâm I(a;b;c),bánkính R là (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 Mặtcầu (S)códạng: x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 với điều kiện a 2 Åb 2 Åc 2 ¡d È 0. Khi đó (S) có tâm là I(a;b;c) và có bán kính R Æ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡d Vídụ20. TrongkhônggianOxyz,tìmtâmvàbánkínhcủamặtcầusauđây: 1 (x¡4) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ16 2 3x 2 Å3y 2 Å3z 2 ¡6xÅ8yÅ15z¡3Æ0 -Lờigiải. 1 Phươngtrìnhmặtcầuviếtdướidạng: (x¡4) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ16 Vậymặtcầucótâm I(4;1;0),bánkính RÆ4 2 Phươngtrìnhmặtcầuđãchocóthểviếtlại: x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ 8 3 yÅ5z¡1Æ0,(x¡1) 2 Å µ yÅ 4 3 ¶ 2 Å µ zÅ 5 2 ¶ 2 Æ µ 19 6 ¶ 2 . Vậymặtcầucótâm: I µ 1;¡ 4 3 ;¡ 5 2 ¶ ,bánkính RÆ 19 6 . ä Vídụ21. TrongkhônggianOxyz.Viếtphươngtrìnhmặtcầutrongcáctrườnghợpsau: 1 Cóđườngkính AB với A(4;¡3;7), B(2;1;3). 2 Điquađiểm A(5;¡2;1)vàcótâm I(3;¡3;1). -Lờigiải. 1 Tâm I củamặtcầulàtrungđiểmcủa AB,suyra I(3;¡1;5),bánkínhcủamặtcầuRÆ AB 2 nên RÆ 1 2 p (2¡4) 2 Å(1Å3) 2 Å(3¡7) 2 Æ3 Phươngtrìnhmặtcầu: (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡5) 2 Æ9. 2 Bánkínhcủamặtcầu IAÆR ,R 2 ÆIA 2 Æ(5¡3) 2 Å(¡2Å3) 2 Å(1¡1) 2 Æ5. Vậyphươngtrìnhmặtcầu: (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. ä Vídụ22. Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1;0;0), B(0;¡2;0), C(0;0;4) và gốc tọa tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầuđó. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S)códạng: x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0. Vì A(1;0;0)2(S)nêntacó: 1¡2aÅdÆ0 (1) Th.sNguyễnChínEm 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì B(0;¡2;0)2(S)nêntacó: 4Å4bÅdÆ0 (2) Vì C(0;0;4)2(S)nêntacó: 16¡8cÅdÆ0 (3) VìO(0;0;0)2(S)nêntacó: dÆ0 (4) Giảihệ4phươngtrìnhtađược: dÆ0;aÆ 1 2 ;bÆ¡1;cÆ2. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡xÅ2y¡4zÆ0. Phươngtrìnhmặtcầucóthểviếtlại: µ x¡ 1 2 ¶ 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ 21 4 Vậymặtcầucótâm I µ 1 2 ;¡1;2 ¶ ,bánkính RÆ p 21 2 . ä C BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài1. Chocácđiểm A(1;1;¡1),B(2;0;0),C(1;0;1), D(0;1;0)và S(1;1;1). Chứngminh ABCD làhìnhchữnhật. 1 Chứngminh S62(ABCD). 2 Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD vàsuyrakhoảngcáchtừ S đếnmặtphẳng (ABCD). 3 -Lờigiải. 1 Ta có #  ABÆ(1;¡1;1), #  DCÆ(1;¡1;1), #  BCÆ(¡1;0;1). Khi đó ½ #  ABÆ #  DC #  AB¢ #  BCÆ0 , suy ra ABCD là hìnhbìnhhànhcó b BÆ90 ± nênlàhìnhchữnhật. 2 Ta có #  ABÆ(1;¡1;1), #  BCÆ(¡1;0;1) và #  SAÆ(0;0;¡2) thì [ #  AB; #  BC]¢ #  SAÆ26Æ0 nên 4 điểm A,B,C,S khôngđồngphẳng,dođó S62(ABC)´(ABCD). 3 Ta có #  SAÆ(0;0;¡2), #  SBÆ(1;¡1;¡1), #  SCÆ(0;¡1;0) thì V S.ABC Æ 1 6 j[ #  SA; #  SB] #  SCjÆ 1 3 , do vậy V S.ABCD Æ 2 3 (đvtt). Diệntíchhìnhchữnhật S ABCD ÆAB¢BCÆ p 3¢ p 2Æ p 6nên V S.ABCD Æ 1 3 ¢d[S;(ABCD)]¢S ABCD ,d[S;(ABCD)]Æ 3V S Æ 2 p 6 Æ p 6 3 ä Bài2. Chotứdiện ABCD với A(2;1;¡1),B(3;0;1),C(2;¡1;3)vàD2Oy.Biếtthểtíchcủatứdiện ABCD bằng 5(đvtt).Tìmtọađộđỉnh D. -Lờigiải. Gọi D(0,b,0)2 Oy. Ta có V ABCD Æ 1 6 j[ #  AB; #  AC] #  ADj và #  ABÆ (1;¡1;2), #  AC Æ (0;¡2;4), và #  AD Æ (¡2;b¡1;1).Khiđó [ #  AB; #  AC]Æ(0;¡4;¡2)và [ #  AB; #  AC] #  ADÆ¡4(b¡1)¡2Æ¡4bÅ2.Theođềthì 1 6 j¡4bÅ2jÆ5, h ¡4bÅ2Æ30 ¡4bÅ2Æ¡30 , h bÆ¡7 bÆ8. Suyra D(0;¡7;0)hoặc D(0;8;0). ä Bài3. Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại và tính thể tích của khối hộpđãcho. 1 A(0;0;1),B(0;2;1),D(3;0;1),A 0 (0;0;0). 2 A(0;2;2),B(0;1;2),C(¡1;1;1),C 0 (1;¡2;¡1). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A B D 0 C 0 A 0 D B 0 C 1 Tacó #  ABÆ(0;2;0), #  AA 0 (0;0;¡1).Do ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhhộpnêncácmặtbênvàmặt đáylàcáchìnhbìnhhành. Do #  DCÆ(x C ¡3;y C ;z C ¡1), #  ABÆ #  DC, ( x C ¡3Æ0 y C Æ2 z C ¡1Æ0 , ( x C Æ3 y C Æ2 z C Æ1 )C(3;2;1). Do #  AA 0 Æ #  BB 0 (x B 0;y B 0¡2;z B 0¡1), ( x B 0Æ0 y B 0¡2Æ0 z B 0¡1Æ¡1 , ( x B 0Æ0 y B 0Æ2 z B 0Æ0 )B 0 (0;2;0). Do #  AA 0 Æ #  CC 0 (x C 0¡3;y C 0¡2;z C 0¡1), ( x C 0¡3Æ0Æ y C 0¡2Æ0 z C 0¡1Æ¡1 , ( x C 0Æ3 y C 0Æ2 z C 0Æ0 )C 0 (3;2;0). Do #  AA 0 Æ #  DD 0 (x D 0¡3;y D 0;z D 0¡1), ( x D 0¡3Æ0 y D 0Æ0 z D 0¡1Æ¡1 , ( x D 0Æ3 y D 0Æ0 z D 0Æ¡1 )D 0 (3;0;0). Tacó #  AB(0;2;0), #  AD(3;0;0)) h #  AB; #  AD i Æ(0;0;¡6). Thểtíchcủakhốihộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là V ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0Æ ¯ ¯ ¯ #  AA 0 ¢ h #  AB; #  AD i¯ ¯ ¯Æj0Å0Å(¡6)¢(¡1)jÆ6. 2 Tacó #  AB(0;¡1;0), #  CC 0 (2;¡3;¡2).Do ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhhộpnêncácmặtbênvàmặt đáylàcáchìnhbìnhhành. Do #  CD(x D Å1;y D ¡1;z D ¡1)Æ¡ #  AB, ( x D Å1Æ0 y D ¡1Æ1 z D ¡1Æ0 , ( x D Æ¡1 y D Æ2 z D Æ1 )D(¡1;2;1). Do #  AA 0 (x A 0;y A 0¡2;z A 0¡2)Æ #  CC 0 , ( x A 0Æ2 y A 0¡2Æ¡3 z A 0¡2Æ¡2 , ( x A 0Æ2 y A 0Æ¡1 z A 0Æ0 )A 0 (2;¡1;0). Do #  BB 0 (x B 0;y B 0¡1;z B 0¡2)Æ #  CC 0 , ( x B 0Æ2 y B 0¡1Æ¡3 z B 0¡2Æ¡2 , ( x B 0Æ2 y B 0Æ¡2 z B 0Æ0 )B 0 (2;¡2;0). Do #  DD 0 (x D 0Å1;y D 0¡2;z D 0¡1)Æ #  CC 0 , ( x D 0Å1Æ2 y D 0¡2Æ¡3 z D 0¡1Æ¡2 , ( x D 0Æ1 y D 0Æ¡1 z D 0Æ¡1 )D 0 (1;¡1;¡1). Tacó #  AB(0;¡1;0), #  AD(¡1;0;¡1)) h #  AB; #  AD i Æ(1;0;¡1). Thểtíchcủakhốihộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là V ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0Æ ¯ ¯ ¯ #  AA 0 ¢ h #  AB; #  AD i¯ ¯ ¯Æj1¢2Å0¢(¡3)Å(¡2)¢(¡1)jÆ4. ä Bài4. TrongkhônggianOxyz,chobốnđiểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) 1 Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện đó? Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện. Tínhthểtíchcủatứdiệnnày? 2 Tínhgóctạobởicáccạnhđốidiệncủatứdiện ABCD? 3 Tínhdiệntíchtamgiác BCD?Từđósuyrađộdàiđườngcaocủatứdiệnvẽtừ A? Th.sNguyễnChínEm 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 4 Tìmtọađộhìnhchiếuvuônggóc H củađiểm D trênmặtphẳng (ABC)? 5 Tìmtọađộđiểm M saocho #  MAÅ2 #  MB¡2 #  MCÅ3 #  MDÆ #  0? 1 Tacó #  ABÆ(¡1;1;1), #  ACÆ(0;¡1;2)và #  ADÆ(0;0;1). Khiđó h #  AB, #  AC i Æ(3;2;1)nên h #  AB, #  AC i ¢ #  ADÆ3¢0Å2¢0Å1¢1Æ16Æ0. Dođó A, B, C, D làbốnđỉnhcủatứdiện. GọiG(x 0 ;y 0 ;z 0 )làtrọngtâmcủatứdiện. Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x 0 Æ 1 4 (x A Åx B Åx C Åx D ) y 0 Æ 1 4 (y A Åy B Åy C Åy D ) z 0 Æ 1 4 (z A Åz B Åz C Åz D ) , 8 > > > > > > < > > > > > > : x 0 Æ 1 4 (1Å0Å1Å1) y 0 Æ 1 4 (1Å2Å0Å1) z 0 Æ 1 4 (0Å1Å2Å1) , 8 > > < > > : x 0 Æ 3 4 y 0 Æ1 z 0 Æ1. SuyratọađộđiểmG µ 3 4 ;1;1 ¶ . GọiV làthểtíchcủatứdiệntacóVÆ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯Æ 1 6 j1jÆ 1 6 . Vậythểtíchcủatứdiệnlà 1 6 . 2 Gọi ®, ¯, ° (®, ¯, °2[0 ± ;90 ± ])lần lượt là góc giữa các cặp cạnh AB và CD; AD và BC; AC và BD. Mà #  CDÆ(0;1;¡1), #  BCÆ(1;¡2;1)và #  BDÆ(1;¡1;0). Dođó cos®Æ ¯ ¯ ¯cos ³ #  AB, #  CD ´¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  AB¢ #  CD ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ ¯ #  CD ¯ ¯ ¯ Æ j1¢0Å1¢1Å1¢(¡1)j p (¡1) 2 Å1 2 Å1 2 ¢ p 0 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Æ0. Vì®2[0 ± ;90 ± ],từ cos®Æ0,®Æ90 ± . Tươngtự cos¯Æ p 6 6 ,¯¼66 ± và cos°Æ p 10 10 ,°¼72 ± . 3 Tacó S 4BCD Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  BC, #  BD i¯ ¯ ¯mà h #  BC, #  BD i Æ(1;1;1). Dođó S 4BCD Æ 1 2 p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3. Gọi hlàđộdàiđườngcaocủatứdiệnvẽtừ A. TacóVÆ 1 3 ¢h¢S 4BCD , 1 6 Æ 1 3 ¢h¢ p 3,hÆ p 3 6 . 4 Giảsửđiểm H(x;y;z)thỏamãnbàitoán. Khiđó #  AHÆ(x¡1;y¡1;z)mà H2(ABC)nên h #  AB, #  AC i ¢ #  AHÆ0,3¢(x¡1)Å2¢(y¡1)Å1¢zÆ0,3xÅ2yÅz¡5Æ0 (1). Mặtkháctacó #  AHÆ(x¡1;y;z); #  BHÆ(x;y¡2;z¡1); #  CHÆ(x¡1;y;z¡2)và #  DHÆ(x¡1;y¡1;z¡1) Dogiảthiếtnên 8 < : #  CH¢ #  DHÆ0 #  BH¢ #  DHÆ0 #  AH¢ #  DHÆ0 , 8 > < > : (x¡1) 2 Åy(y¡1)Å(z¡2)(z¡1)Æ0 x(x¡1)Å(y¡2)(y¡1)Å(z¡1) 2 Æ0 (x¡1) 2 Åy(y¡1)Åz(z¡1)Æ0 , 8 > < > : x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡y¡3zÅ3Æ0 x 2 Åy 2 Åz 2 ¡x¡3y¡2zÅ3Æ0 x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡y¡zÅ1Æ0 , 8 < : 2z¡2Æ0 (2) ¡xÅ2yÅz¡2Æ0 (3) x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡y¡zÅ1Æ0 (¤) . Th.sNguyễnChínEm 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Từ (1), (2)và (3)tacóhệphươngtrình ( 2z¡2Æ0 ¡xÅ2yÅz¡2Æ0 3xÅ2yÅz¡5Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆ 3 4 yÆ 7 8 zÆ1 thayvào (¤)thỏamãn.Vậytọađộđiểm H µ 3 4 ; 7 8 ;1 ¶ . 5 Giả sử tọa độ điểm M(x 1 ;y 1 ;z 1 ), khi đó #  MAÆ(1¡x 1 ;1¡y 1 ;¡z 1 ); #  MBÆ(¡x 1 ;2¡y 1 ;1¡z 1 ); #  MCÆ(1¡x 1 ;¡y 1 ;2¡z 1 ) và #  MDÆ(1¡x 1 ;1¡y 1 ;1¡z 1 )Đểthỏamãnbàitoán #  MAÅ2 #  MB¡2 #  MCÅ3 #  MDÆ #  0. Suyrahệphươngtrình ( (1¡x 1 )Å2(¡x 1 )¡2(1¡x 1 )Å3(1¡x 1 )Æ0 (¡y 1 )Å2(2¡y 1 )¡2(¡y 1 )Å3(1¡y 1 )Æ0 (¡z 1 )Å2(1¡z 1 )¡2(2¡z 1 )Å3(1¡z 1 )Æ0 , ( 4x 1 Æ2 4y 1 Æ7 4z 1 Æ1 , 8 > > > > > > < > > > > > > : x 1 Æ 1 2 y 1 Æ 7 4 z 1 Æ 1 4 Suyratọađộđiểm M µ 1 2 ; 7 4 ; 1 4 ¶ . Bài5. TrongkhônggianOxyz,chobốnđiểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(¡2;1;¡1) 1 Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện đó? Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện. Tínhthểtíchcủatứdiệnnày? 2 Tínhgóctạobởicáccạnhđốidiệncủatứdiện ABCD? 3 Tínhdiệntíchtamgiác BCD?Từđósuyrađộdàiđườngcaocủatứdiệnvẽtừ A? 4 Tìmtọađộhìnhchiếuvuônggóc H củađiểm D trênmặtphẳng (ABC)? 5 Tìmtọađộđiểm M saocho #  MAÅ2 #  MB¡2 #  MCÅ3 #  MDÆ #  0? -Lờigiải. 1 Tacó #  ABÆ(¡1;1;0), #  ACÆ(¡1;0;1)và #  ADÆ(¡3;1;¡1). Khiđó h #  AB, #  AC i Æ(1;1;1)nên h #  AB, #  AC i ¢ #  ADÆ1¢(¡3)Å1¢1Å1¢(¡1)Æ¡36Æ0. Dođó A, B, C, D làbốnđỉnhcủatứdiện. GọiG(x 0 ;y 0 ;z 0 )làtrọngtâmcủatứdiện. Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x 0 Æ 1 4 (x A Åx B Åx C Åx D ) y 0 Æ 1 4 (y A Åy B Åy C Åy D ) z 0 Æ 1 4 (z A Åz B Åz C Åz D ) , 8 > > > > > > < > > > > > > : x 0 Æ 1 4 (1Å0Å0Å(¡2)) y 0 Æ 1 4 (0Å1Å0Å1) z 0 Æ 1 4 (0Å0Å1Å(¡1)) , 8 > > > > < > > > > : x 0 Æ¡ 1 4 y 0 Æ 1 2 z 0 Æ0. SuyratọađộđiểmG µ ¡ 1 4 ; 1 2 ;0 ¶ . GọiV làthểtíchcủatứdiệntacóVÆ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯Æ 1 6 j¡3jÆ 1 2 . Vậythểtíchcủatứdiệnlà 1 2 . 2 Gọi ®, ¯, ° (®, ¯, °2[0 ± ;90 ± ])lần lượt là góc giữa các cặp cạnh AB và CD; AD và BC; AC và BD. Mà #  CDÆ(¡2;1;¡2), #  BCÆ(0;¡1;1)và #  BDÆ(¡2;0;¡1). Th.sNguyễnChínEm 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dođó cos®Æ ¯ ¯ ¯cos ³ #  AB, #  CD ´¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  AB¢ #  CD ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ ¯ #  CD ¯ ¯ ¯ Æ j(¡1)¢(¡2)Å1¢1Å0¢(¡2)j p (¡1) 2 Å1 2 Å0 2 ¢ p (¡2) 2 Å1 2 Å(¡2) 2 Æ 1 p 2 . Vì®2[0 ± ;90 ± ],từ cos®Æ 1 p 2 ,®Æ45 ± . Tươngtự cos¯Æ p 22 11 ,¯¼65 ± và cos°Æ p 10 10 ,°¼72 ± . 3 Tacó S 4BCD Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  BC, #  BD i¯ ¯ ¯mà h #  BC, #  BD i Æ(¡1;¡2;¡2). Dođó S 4BCD Æ 1 2 p (¡1) 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ p 5. Gọi hlàđộdàiđườngcaocủatứdiệnvẽtừ A. TacóVÆ 1 3 ¢h¢S 4BCD , 1 2 Æ 1 3 ¢h¢ p 5,hÆ 3 p 5 10 . 4 Giảsửđiểm H(x;y;z)thỏamãnbàitoán. Khiđó #  AHÆ(x¡1;y;z)mà H2(ABC)nên h #  AB, #  AC i ¢ #  AHÆ0,1¢(x¡1)Å1¢yÅ1¢zÆ0,xÅyÅz¡1Æ0 (1). Mặtkháctacó #  AHÆ(x¡1;y;z); #  BHÆ(x;y¡1;z); #  CHÆ(x;y;z¡1)và #  DHÆ(xÅ2;y¡1;zÅ1) Dogiảthiếtnên 8 < : #  CH¢ #  DHÆ0 #  BH¢ #  DHÆ0 #  AH¢ #  DHÆ0 , 8 < : x(xÅ2)Åy(y¡1)Å(z¡1)(zÅ1)Æ0 x(xÅ2)Å(y¡1) 2 Åz(zÅ1)Æ0 (x¡1)(xÅ2)Åy(y¡1)Åz(zÅ1)Æ0 , 8 > < > : x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡y¡1Æ0 x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡2yÅzÅ1Æ0 x 2 Åy 2 Åz 2 Åx¡yÅz¡2Æ0 , 8 < : y¡z¡2Æ0 (2) x¡zÅ1Æ0 (3) x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡y¡1Æ0 (¤) . Từ (1), (2)và (3)tacóhệphươngtrình ( y¡z¡2Æ0 x¡zÅ1Æ0 xÅyÅz¡1Æ0 , ( xÆ¡1 yÆ2 zÆ0 thayvào (¤)thỏamãn.Vậytọađộđiểm H(¡1;2;0). 5 Giảsửtọađộđiểm M(x 1 ;y 1 ;z 1 ),khiđó #  MAÆ(1¡x 1 ;¡y 1 ;¡z 1 ); #  MBÆ(¡x 1 ;1¡y 1 ;¡z 1 ); #  MCÆ (¡x 1 ;¡y 1 ;1¡z 1 ) và #  MDÆ(¡2¡x 1 ;1¡y 1 ;¡1¡z 1 )Đểthỏamãnbàitoán #  MAÅ2 #  MB¡2 #  MCÅ3 #  MDÆ #  0. Suyrahệphươngtrình ( 1¡x 1 Å2(¡x 1 )¡2(¡x 1 )Å3(¡2¡x 1 )Æ0 ¡y 1 Å2(1¡y 1 )¡2(¡y 1 )Å3(1¡y 1 )Æ0 ¡z 1 Å2(¡z 1 )¡2(1¡z 1 )Å3(¡1¡z 1 )Æ0 , ( 4x 1 Æ¡5 4y 1 Æ5 4z 1 Æ¡5 , 8 > > > > > > < > > > > > > : x 1 Æ¡ 5 4 y 1 Æ 5 4 z 1 Æ¡ 5 4 Suyratọađộđiểm M µ ¡ 5 4 ; 5 4 ;¡ 5 4 ¶ . ä D CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1 NHẬNBIẾT Câu1. Trong không gian Oxyz, cho #  OAÆ3 #  i ¡2 #  j ¡2 #  k và điểm B(0;1;¡4). Tìm tọa độ trọng tâmtamgiácOAB. Th.sNguyễnChínEm 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. (1;¡1;¡2). B. (¡1;¡1;¡2). C. µ 1;¡ 1 3 ;¡2 ¶ . D. µ 1;¡ 1 3 ;¡ 2 3 ¶ . Câu2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;¡6). Tìm tọa độtrọngtâmG củatamgiác ABC. A. G(0;3;¡3). B. G(3;2;¡2). C. G(1;2;¡2). D. G(1;3;¡3). Câu3. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho A(1;¡1;2),B(¡1;0;¡1),C(¡2;1;3).Tìmtọađộ điểm D để ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(0;0;4). B. D(¡4;2;0). C. D(0;0;¡6). D. D(0;0;6). Câu4. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(¡2;1;0),B(¡3;0;4)vàC(0;7;3).Tínhcos ³ #  AB, #  BC ´ . A. cos ³ #  AB, #  BC ´ Æ p 798 57 . B. cos ³ #  AB, #  BC ´ Æ 14 p 118 354 . C. cos ³ #  AB, #  BC ´ Æ¡ p 798 57 . D. cos ³ #  AB, #  BC ´ Æ¡ 7 p 118 177 . Câu5. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm M(2;3;1),N(3;1;5).Tìmtọađộvéc-tơ #  MN. A. #  MNÆ(¡1;2;¡4). B. #  MNÆ(¡1;2;4). C. #  MNÆ(1;¡2;4). D. #  MNÆ(6;3;5). Câu6. TrongkhônggianOxyz,tìmtọađộcủavéc-tơ #  u biết #  uÆ #  i ¡2 #  k. A. #  uÆ(0;1;¡2). B. #  uÆ(1;0;¡2). C. #  uÆ(1;¡2;0). D. #  uÆ(1;0;2). Câu7. Trong không gian Oxyz, cho A(1;¡3;2),B(3;¡1;4). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. A. I(2;2;2). B. I(2;¡2;3). C. I(1;1;1). D. I(4;¡4;6). Câu8. Trong không gian Oxyz, cho 2 véc-tơ #  a Æ(3;¡2;m) và #  b Æ(2;m;¡1). Tìm giá trị của m đểhaivéc-tơ #  a và #  b vuônggócvớinhau. A. mÆ2. B. mÆ1. C. mÆ¡2. D. mÆ¡1. -Lờigiải. #  a. #  b Æ6¡3m)mÆ2. Chọnđápán A ä Câu9. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(0;¡2;3),B(1;0;¡1).Gọi M làtrungđiểmđoạn AB.Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng? A. #  BAÆ(¡1;¡2;¡4). B. ABÆ p 21. C. M(1;¡1;1). D. #  ABÆ(¡1;¡2;4). Câu10. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;4;¡3) và trọng tâm G của tam giáccótoạđộlà (2;1;0).Khiđó #  ABÅ #  AC cótọađộlà A. (0;¡9;9). B. (0;¡4;4). C. (0;4;¡4). D. (0;9;¡9). Câu11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;¡1;4), B(¡2;2;¡6). Tính AB. A. ABÆ5 p 5. B. ABÆ p 21Å p 44. C. ABÆ p 65. D. ABÆ p 5. Câu12. TrongkhônggianOxyz,thểtíchkhốitứdiện ABCD đượcchobởicôngthức: A. V ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  CA, #  CB i . #  AB ¯ ¯ ¯. B. V ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i . #  BC ¯ ¯ ¯. C. V ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  BA, #  BC i . #  AC ¯ ¯ ¯. D. V ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  DA, #  DB i . #  DC ¯ ¯ ¯. Câu13. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chotamgiác ABC với A(1;0;0),B(0;0;1)và C(2;1;1).Tínhdiệntích S củatamgiác ABC. A. SÆ p 6 2 . B. SÆ p 3 2 . C. SÆ p 6 4 . D. SÆ p 6. Câu14. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(1;2;0),B(3;¡2;2).Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S) tâm A vàđiqua B. A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ24. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ20. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ16. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ4. Câu15. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(2;0;0),B(0;4;0)vàC(0;0;6).Viếtphươngtrình mặtcầungoạitiếptứdiệnOABC. A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ56. B. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ28. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ14. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ28. Th.sNguyễnChínEm 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu16. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;¡3) và đi qua A(1;0;4). A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ p 53. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ53. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ53. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ53. -Lờigiải. RÆ p 53 Chọnđápán B ä Câu17. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(¡1;2;0), bán kính R Æ 3. Viết phươngtrìnhcủamặtcầu (S). A. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ3. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ p 3. Câu18. Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ81.Tìmtọađộtâm I vàbánkính R của (S). A. I(2;¡1;0), RÆ81. B. I(¡2;1;0), RÆ9. C. I(2;¡1;0), RÆ9. D. I(¡2;1;0), RÆ81. Câu19. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡3) 2 Æ3.Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(¡1;1;3), RÆ3. B. I(¡1;1;3), RÆ p 3. C. I(1;¡1;¡3), RÆ p 3. D. I(1;¡1;¡3), RÆ3. Câu20. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡xÅ2yÅ1Æ0.Tìmtọađộtâm I vàbánkính R của (S). A. I µ ¡ 1 2 ;1;0 ¶ và RÆ 1 4 . B. I µ 1 2 ;¡1;0 ¶ và RÆ 1 2 . C. I µ 1 2 ;¡1;0 ¶ và RÆ 1 p 2 . D. I µ ¡ 1 2 ;1;0 ¶ và RÆ 1 2 . Câu21. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,tìmtọađộđiểm H làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;1;¡1)lêntrụctung. A. H(2;0;¡1). B. H(0;1;0). C. H(0;1;¡1). D. H(2;0;0). -Lờigiải. Tọađộhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;1;¡1)lêntrụcOylà H(0;1;0). Chọnđápán B ä Câu22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(2;¡1;3), C(¡3;5;1). Tìmtọađộđiểm D saochotứgiác ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(¡2;8;¡3). B. D(¡4;8;¡5). C. D(¡2;2;5). D. D(¡4;8;¡3). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡3;4), #  DCÆ(¡3¡x D ;5¡y D ;1¡z D ). ABCD làhìnhbìnhhànhkhivàchỉkhi #  ABÆ #  DC, ( 1Æ¡3¡x D ¡3Æ5¡y D 4Æ1¡z D , ( x D Æ¡4 y D Æ8 z D Æ¡3. Vậy D(¡4;8;¡3). B A C D Chọnđápán D ä Câu23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(1;2;3), #  b Æ(2;2;¡1), #  c Æ (4;0¡4).Tọađộvéc-tơ #  dÆ #  a¡ #  bÅ2 #  c là A. #  dÆ(¡7;0;¡4). B. #  dÆ(¡7;0;4). C. #  dÆ(7;0;¡4). D. #  dÆ(7;0;4). -Lờigiải. Tacó #  dÆ #  a¡ #  bÅ2 #  c Æ(1¡2Å2¢4;2¡2Å2¢0;3Å1¡2¢4)Æ(7;0;¡4). Chọnđápán C ä Câu24. TrongmặtphẳngvớihệtọađộOxyz,chovéc-tơ #  aÆ(2;¡2;¡4), #  b Æ(1;¡1;1).Mệnhđề nàodướiđâysai? A. #  aÅ #  b Æ(3;¡3;¡3). B. #  a và #  b cùngphương. Th.sNguyễnChínEm 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ p 3. D. #  a? #  b. -Lờigiải. Với #  aÆ(2;¡2;¡4), #  b Æ(1;¡1;1)tacó: #  aÅ #  b Æ(3;¡3;¡3). ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ p 1 2 Å(¡1) 2 Å1 2 Æ p 3. #  a¢ #  b Æ2¢1Å(¡2)¢(¡1)Å(¡4)¢1Æ0) #  a? #  b. 2 1 Æ ¡2 ¡1 6Æ ¡4 1 ) #  a và #  b khôngcùngphương. Chọnđápán B ä Câu25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;¡1) và B(2;3;2). Véc-tơ #  AB có tọa độ là A. (1;2;3). B. (¡1;¡2;3). C. (3;5;1). D. (3;4;1). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2¡1;3¡1;2Å1)Æ(1;2;3). Chọnđápán A ä Câu26. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm I(1;1;1)và A(1;2;3).Phươngtrìnhcủamặtcầu tâm I vàđiqua A là A. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ29. B. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. C. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ25. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ5. -Lờigiải. Mặtcầutâm I(1;1;1),bánkính RÆIAÆ p 5cóphươngtrìnhlà (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. Chọnđápán B ä Câu27. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Tâm của mặt cầu (S)cótọađộlà A. (¡3;1;¡1). B. (3;¡1;1). C. (3;¡1;¡1). D. (3;1;¡1). -Lờigiải. Tâmcủamặtcầu (S)cótọađộlà (3;¡1;1). Chọnđápán B ä Câu28. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡4;3) và B(2;2;9). Trung điểm của đoạn thẳng AB cótọađộlà A. (0;3;3). B. (4;¡2;12). C. (2;¡1;6). D. (0; 3 2 ; 3 2 ). -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmđoạnthẳng AB.Tacó 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ2 y I Æ y A Åy B 2 Æ¡1 z I Æ z A Åz B 2 Æ6 .TọađộđiểmIlà (2;¡1;6). Chọnđápán C ä Câu29. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(1;2;3),B(¡3;0;1),C(5;¡8;8).Tìm tọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC. A. G(3;¡6;12). B. G(¡1;2;¡4). C. G(1;¡2;¡4). D. G(1;¡2;4). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 VìG làtrọngtâmcủa4ABC nên 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 Æ 1¡3Å5 3 Æ1 y G Æ y A Åy B Åy C 3 Æ 2Å0¡8 3 Æ¡2 z G Æ z A Åz B Åz C 3 Æ 3Å1Å8 3 Æ4. SuyraG(1;¡2;4). Chọnđápán D ä Câu30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4 cóbánkínhbằng A. 4. B. 2. C. p 2. D. 16. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cóbánkính RÆ2. Chọnđápán B ä Câu31. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(¡1;5;3)và M(2;1;¡2).Tìmtọa độđiểm B biết M làtrungđiểmcủađoạn AB. A. B µ 1 2 ;3; 1 2 ¶ . B. B(¡4;9;8). C. B(5;3;¡7). D. B(5;¡3;¡7). -Lờigiải. M làtrungđiểmcủađoạn AB , 8 > > > > > < > > > > > : x M Æ x A Åx B 2 y M Æ y A Åy B 2 z M Æ z A Åz B 2 ) ( x B Æ2x M ¡x A Æ5 y B Æ2y M ¡y A Æ¡3 z B Æ2z M ¡z A Æ¡7. Vậytọađộđiểm B(5;¡3;¡7). Chọnđápán D ä Câu32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  a Æ¡3 #  j Å4 #  k. Tọa độ của véc-tơ #  a là A. (0;3;4). B. (0;¡3;4). C. (0;¡4;3). D. (¡3;0;4). -Lờigiải. Véc-tơ #  aÆ0¢ #  i Å(¡3)¢ #  j Å4¢ #  k nêntọađộvéc-tơ #  aÆ(0;¡3;4). Chọnđápán B ä Câu33. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ6z¡1Æ0.Tâmcủamặt cầulàđiểm A. J(2;¡1;¡3). B. I(2;¡1;3). C. K(¡2;1;3). D. G(¡2;1;¡3). -Lờigiải. Đồng nhất hệ số của phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ6z¡1Æ0 với phương trình mặt cầu x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0tađược aÆ2, bÆ¡1, cÆ¡3, dÆ¡1và a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ15. Vậy (S)làmặtcầucótâm J(2;¡1;¡3)vàbánkính RÆ p 15. Chọnđápán A ä Câu34. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz chovéc-tơ #  aÆ2 #  i ¡3 #  j Å #  k,với #  i, #  j, #  k là cácvéc-tơđơnvị.Tọađộcủavéc-tơ #  a là A. (1;2;¡3). B. (2;¡3;1). C. (2;3;1). D. (1;¡3;2). -Lờigiải. #  aÆ2 #  i ¡3 #  j Å #  k , #  aÆ(2;¡3;1). Chọnđápán B ä Câu35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho #  a Æ¡ #  i Å2 #  j ¡3 #  k. Tọa độ của véc-tơ #  a là A. (2;¡1;¡3). B. (¡3;2;¡1). C. (2;¡3;¡1). D. (¡1;2;¡3). -Lờigiải. Tacó #  aÆ¡ #  i Å2 #  j ¡3 #  k ) #  aÆ(¡1;2;¡3). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu36. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặtphẳng (Oxy)làđiểm A. P(1;0;0). B. N(1;2;0). C. Q(0;2;0). D. M(0;0;3). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(1;2;3)trênmặtphẳng (Oxy)làđiểm N(1;2;0). Chọnđápán B ä Câu37. Mặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4cótâm I vàbánkính R là A. I(1;¡2;¡3);RÆ4. B. I(1;2;¡3);RÆ2. C. I(¡1;¡2;3);RÆ2. D. I(¡1;¡2;3);RÆ4. -Lờigiải. Mặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4cótâm I(1;¡2;¡3);RÆ2. Chọnđápán B ä Câu38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;¡1;3). Hình chiếu của A trêntrụcOz là A. Q(2;¡1;0). B. P(0;0;3). C. N(0;¡1;0). D. M(2;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A(2;¡1;3)trêntrụcOz cótọađộlà (0;0;3). Chọnđápán B ä Câu39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3 2 )Æ9. Mặtcầu (S)cótâm I vàbánkính R là: A. I(2;¡1;3),RÆ3. B. I(2;¡1;3),RÆ9. C. I(¡2;1;¡3),RÆ9. D. I(¡2;1;¡3),RÆ3. -Lờigiải. Từphươngtrìnhmặtcầu (S)suyratâm I(2;¡1;3)vàbánkính RÆ3. Chọnđápán A ä Câu40. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(3;¡1;1).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A trên mặtphẳng (Oyz)làđiểm A. M(3;0;0). B. N(0;¡1;1). C. P(0;¡1;0). D. Q(0;0;1). -Lờigiải. Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng (Oyz), ta giữ lại các thành phầntungđộvàcaođộnênhìnhchiếucủađiểm A(3;¡1;1)lên (Oyz)làđiểm N(0;¡1;1). Chọnđápán B ä Câu41. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;¡1;3). Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oz làđiểm A. Q(2;¡1;0). B. P(0;0;3). C. N(0;¡1;0). D. M(2;0;0). -Lờigiải. Tacó:cácđiểmthuộctrụcOz cótọađộ (0;0;a). Vậyhìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrụcOz làđiểm P(0;0;3). Chọnđápán B ä Câu42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Mặtcầu (S)cótâm I vàbánkính R là A. I(2;¡1;3),RÆ3. B. I(2;¡1;3),RÆ9. C. I(¡2;1;¡3),RÆ9. D. I(¡2;1;¡3),RÆ3. -Lờigiải. (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ9)(S)cótâm I(2;¡1;3),bánkính RÆ3. Chọnđápán A ä Câu43. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(3;1;0)và #  MNÆ(¡1;¡1;0).Tìmtọa độcủađiểm N. A. N(4;2;0). B. N(¡4;¡2;0). C. N(¡2;0;0). D. N(2;0;0). -Lờigiải. Từ M(3;1;0)và #  MNÆ(¡1;¡1;0)tacó ( x N ¡3Æ¡1 y N ¡1Æ¡1 z N ¡0Æ0 , ( x N Æ2 y N Æ0 z N Æ0 .Vậy N(2;0;0). Chọnđápán D ä Câu44. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(3;1;0)và #  MNÆ(¡1;¡1;0).Tìmtọa độcủađiểm N. Th.sNguyễnChínEm 22 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. N(4;2;0). B. N(¡4;¡2;0). C. N(¡2;0;0). D. N(2;0;0). -Lờigiải. Gọi N(x;y;z).Tacó #  MNÆ(x¡3;y¡1;z)) ( x¡3Æ¡1 y¡1Æ¡1 zÆ0 , ( xÆ2 yÆ0 zÆ0. Vậy N(2;0;0). Chọnđápán D ä Câu45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡6zÅ4Æ0 có bánkính R là A. RÆ p 53. B. RÆ4 p 2. C. RÆ p 10. D. RÆ3 p 7. -Lờigiải. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡6zÅ4Æ0,(x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ10. Vậybánkínhmặtcầu (S)là RÆ p 10. Chọnđápán C ä Câu46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;2), B(¡2;1;3), C(3;2;4) và D(6;9;¡5).Tọađộtrọngtâmcủatứdiện ABCD là A. (2;3;1). B. (2;3;¡1). C. (¡2;3;1). D. (2;¡3;1). -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmcủatứdiện ABCD,suyra 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C Åx D 4 Æ 1¡2Å3Å6 4 Æ2 y G Æ y A Åy B Åy C Åy D 4 Æ 0Å1Å2Å9 4 Æ3 z G Æ z A Åz B Åz C Åz D 4 Æ 2Å3Å4¡5 4 Æ1. VậytọađộG(2;3;1). Chọnđápán A ä Câu47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho #  a Æ¡ #  i Å2 #  j ¡3 #  k. Tọa độ của véc-tơ #  a là A. (¡3;2;¡1). B. (2;¡1;¡3). C. (¡1;2;¡3). D. (2;¡3;¡1). -Lờigiải. Tọađộvéc-tơ #  aÆ(¡1;2;¡3). Chọnđápán C ä Câu48. Trongkhônggian Oxyz,hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(¡3;¡1;0)trênmặtphẳng (Oyz)cótoạđộlà A. (0;0;¡3). B. (0;¡3;0). C. (0;0;¡1). D. (0;¡1;0). -Lờigiải. Điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 )cóhìnhchiếuvuônggóctrênmặtphẳngOyz là (0;y 0 ;z 0 ). Dođó,hìnhchiếuvuônggóccủa A(¡3;¡1;0)lên (Oyz)cótọađộlà (0;¡1;0). Chọnđápán D ä Câu49. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;3),B(¡1;0;1).TrọngtâmG củatamgiác OAB cótọađộlà A. (0;1;1). B. µ 0; 2 3 ; 4 3 ¶ . C. (0;2;4). D. (¡2;¡2;¡2). -Lờigiải. ToạđộtrọngtâmG của4OAB là 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ 0Å1Å(¡1) 3 y G Æ 0Å2Å0 3 z G Æ 0Å3Å1 3 ,G µ 0; 2 3 ; 4 3 ¶ . VậytrọngtâmG củatamgiácOAB cótoạđộlà µ 0; 2 3 ; 4 3 ¶ . Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 23 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu50. Trong không gian toạ độ Oxyz, mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ4y¡2z¡3Æ0 có bán kínhbằng A. p 3. B. 1. C. 3. D. 9. -Lờigiải. Mặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2axÅ2byÅ2czÅdÆ0, a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0có Tâm I(¡a;¡b;¡c))I(¡1;¡2;1). Bánkính RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ p (¡1) 2 Å(¡2) 2 Å1 2 ¡(¡3)Æ p 9Æ3. Chọnđápán C ä Câu51. TrongkhônggianvớihệtrụcOxyz,chohaivectơ #  uÆ(1;0;¡3)và #  v Æ(¡1;¡2;0).Tính cos ¡ #  u; #  v ¢ . A. cos ¡ #  u; #  v ¢ Æ¡ 1 5 p 2 . B. cos ¡ #  u; #  v ¢ Æ¡ 1 p 10 . C. cos ¡ #  u; #  v ¢ Æ 1 p 10 . D. cos ¡ #  u; #  v ¢ Æ 1 5 p 2 . -Lờigiải. Tacó cos ¡ #  u; #  v ¢ Æ #  u¢ #  v ¯ ¯ #  u ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  v ¯ ¯ Æ ¡1 p 10¢ p 5 Æ¡ 1 5 p 2 . Chọnđápán A ä Câu52. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2;3;4) và B(3;0;1). Khi đó độ dài véc-tơ #  AB là A. p 19. B. 19. C. p 13. D. 13. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡3;¡3)) ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p 1 2 Å(¡3) 2 Å(¡3) 2 Æ p 19. Chọnđápán A ä Câu53. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(¡1;1;0),B(1;3;2).Gọi I làtrung điểmđoạnthẳng AB.Tọađộcủa I là A. (0;4;2). B. (2;2;2). C. (¡2;¡2;¡2). D. (0;2;1). -Lờigiải. Tọađộcủa I là I µ ¡1Å1 2 ; 1Å3 2 ; 0Å2 2 ¶ hay I(0;2;1). Chọnđápán D ä Câu54. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(a;b;c),tọađộcủavéc-tơ #  MO là A. (a;b;c). B. (¡a;b;c). C. (¡a;¡b;¡c). D. (¡a;b;¡c). -Lờigiải. #  MOÆ¡ #  OMÆ(¡a;¡b;¡c). Chọnđápán C ä Câu55. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho #  a Æ(1;2;¡3), #  b Æ(¡2;¡4;6). Khẳng định nào sau đâyđúng? A. #  aÆ2 #  b. B. #  b Æ¡2 #  a. C. #  aÆ¡2 #  b. D. #  b Æ2 #  a. -Lờigiải. Tacó:¡2 #  aÆ(¡2;¡4;6)Æ #  b. Chọnđápán B ä Câu56. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡1;5;2) và B(3;¡3;2). Tọa độ trung điểm M củađoạnthẳng AB là A. M(1;1;2). B. M(2;2;4). C. M(2;¡4;0). D. M(4;¡8;0). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm M củađoạnthẳng AB là M(1;1;2). Chọnđápán A ä Câu57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(5;¡2;0), B(¡2;3;0) và C(0;2;3).TrọngtâmG củatamgiác ABC cótọađộlà A. (1;2;1). B. (2;0;¡1). C. (1;1;1). D. (1;1;¡2). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dựavàocôngthứctínhtọađộtrọngtâmtacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ 5Å(¡2)Å0 3 Æ1 y G Æ ¡2Å3Å2 3 Æ1 z G Æ 0Å0Å3 3 Æ1 .VậyG(1;1;1). Chọnđápán C ä Câu58. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(2;3;¡1)vàB(¡4;1;9).Trungđiểm I củađoạn thẳng AB cótọađộlà A. (¡1;2;4). B. (¡2;4;8). C. (¡6;¡2;10). D. (1;¡2;¡4). -Lờigiải. Côngthứctọađộtrungđiểm: 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ 2¡4 2 Æ¡1 y I Æ y A Åy B 2 Æ 3Å1 2 Æ2 z I Æ z A Åz B 2 Æ ¡1Å9 2 Æ4 )I(¡1;2;4). Chọnđápán A ä Câu59. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;¡1;2),B(2;1;2).Véc-tơ #  ABcótọađộlà A. #  ABÆ(1;¡2;0). B. #  ABÆ(3;0;4). C. #  ABÆ(1;0;0). D. #  ABÆ(1;2;0). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(x B ¡x A ;y B ¡y A ;z b ¡z A )Æ(1;2;0). Chọnđápán D ä Câu60. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;3), B(¡1;2;3). Tọa độ trung điểm của đoạnthẳng AB là A. (¡2;1;0). B. µ 0; 3 2 ;3 ¶ . C. (2;¡1;0). D. (0;3;6). -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB.Khiđó 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ 1Å(¡1) 2 Æ0 y I Æ y A Åy B 2 Æ 1Å2 2 Æ 3 2 z I Æ z A Åz B 2 Æ 3Å3 2 Æ3 )I µ 0; 3 2 ;3 ¶ . Chọnđápán B ä Câu61. TrongkhônggianhệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25.Tọa độtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S)là A. I(2;3;¡1), RÆ25. B. I(¡2;¡3;1), RÆ25. C. I(2;3;¡1), RÆ5. D. I(¡2;¡3;1), RÆ5. -Lờigiải. Tacótọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S)là I(2;3;¡1), RÆ5. Chọnđápán C ä Câu62. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 véc-tơ #  a Æ (¡1;10), #  b Æ (1;1;0), #  c Æ(1;1;1).Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. j #  ajÆ p 2. B. #  c ? #  b. C. j #  cjÆ p 3. D. #  a? #  b. -Lờigiải. #  c ? #  b saivì #  b¢ #  c Æ1¢1Å1¢1Å0¢1Æ26Æ0. Chọnđápán B ä Câu63. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho #  a Æ¡ #  i Å2 #  j ¡3 #  k. Tìm tọa độ của véc-tơ #  a. A. (2;¡3;¡1). B. (¡3;2;¡1). C. (¡1;2;¡3). D. (2;¡1;¡3). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  aÆ¡ #  i Å2 #  j ¡3 #  k ) #  aÆ(¡1;2;¡3). Chọnđápán C ä Câu64. Trongkhônggian Oxyz,hìnhchiếuvuônggóc củađiểm M(13;2;15)trênmặtphẳng tọađộ (Oxy)làđiểm H(a;b;c).Tính PÆ3aÅ15bÅc. A. PÆ48. B. PÆ54. C. PÆ69. D. PÆ84. -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(13;2;15)trênmặtphẳngtọađộ (Oxy)làđiểm H(13;2;0). Dođó aÆ13, bÆ2, cÆ0)PÆ3aÅ15bÅcÆ3¢13Å15¢2Å0Æ69. Chọnđápán C ä Câu65. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;3)vàB(3;0;¡5).Tọađộtrungđiểm I của đoạnthẳng AB là A. I(2;1;¡1). B. I(2;2;¡2). C. I(4;2;¡2). D. I(¡1;1;4). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I µ 1Å3 2 ; 2Å0 2 ; 3¡5 2 ¶ )I(2;1;¡1). Chọnđápán A ä Câu66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;3), B(2;3;¡4), C(¡3;1;2). Tìmtọađộđiểm D saochotứgiác ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(¡4;¡2;9). B. D(¡4;2;9). C. D(4;¡2;9). D. D(4;2;¡9). -Lờigiải. Giảsử D(x;y;z),tacó ABCD làhìnhbìnhhành, #  ADÆ #  BC. Tacó #  ADÆ(x¡1;y;z¡3), #  BC(¡5;¡2;6). Dođó #  ADÆ #  BC, ( x¡1Æ¡5 yÆ¡2 z¡3Æ6 , ( xÆ¡4 yÆ¡2 zÆ9 ,D(¡4;¡2;9). Vậytọađộcầntìmcủa D là D(¡4;¡2;9). Chọnđápán A ä Câu67. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chotamgiác ABCvới A(1;3;4), B(2;¡1;0), C(3;1;2). TọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC là A. G(2;1;2). B. G(6;3;6). C. G µ 3; 3 2 ;3 ¶ . D. G(2;¡1;2). -Lờigiải. TọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC làG ³ x A Åx B Åx C 3 ; y A Åy B Åy C 3 ; z A Åz B Åz C 3 ´ )G(2;1;2). Chọnđápán A ä Câu68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;7), B(¡3;8;¡1). Mặt cầu đườngkính AB cóphươngtrìnhlà A. (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 45. B. (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Å(zÅ3) 2 Æ45. C. (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ3) 2 Æ p 45. D. (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡3) 2 Æ45. -Lờigiải. Mặtcầuđườngkính AB cótâmlàtrungđiểm I(¡1;3;3)của AB vàbánkính RÆIAÆ3 p 5. Phươngtrìnhcủamặtcầucầntìmlà (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡3) 2 Æ45. Chọnđápán D ä Câu69. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaivéc-tơ #  x Æ(2;1;¡3)và #  yÆ(1;0;¡1). Tìmtọađộcủavéc-tơ #  aÆ #  xÅ2 #  y. A. #  aÆ(4;1;¡1). B. #  aÆ(3;1;¡4). C. #  aÆ(0;1;¡1). D. #  aÆ(4;1;¡5). -Lờigiải. Tacó #  aÆ #  xÅ2 #  yÆ(2Å2;1Å0;¡3¡2)Æ(4;1;¡5). Chọnđápán D ä Câu70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;¡2) và B(3;¡1;1). Tìm tọa độđiểm M saocho #  AMÆ3 #  AB. A. M(9;¡5;7). B. M(9;5;7). C. M(¡9;5;¡7). D. M(9;¡5;¡5). Th.sNguyễnChínEm 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Xétđiểm M(x;y;z).Tacó ( x¡0Æ3¢3 y¡1Æ3¢(¡2) zÅ2Æ3¢3 ,từđócó M(9;¡5;7). Chọnđápán A ä Câu71. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB cótọađộlà A. (1;3;2). B. (2;¡1;5). C. (2;¡1;¡5). D. (2;6;4). -Lờigiải. Trungđiểm I củađoạnthẳng AB cótọađộlà 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ 2Å2 2 Æ2 y I Æ y A Åy B 2 Æ ¡4Å2 2 Æ¡1 z I Æ z A Åz B 2 Æ 3Å7 2 Æ5. Vậy I(2;¡1;5). Chọnđápán B ä Câu72. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. Xác định tọa độtâm I củamặtcầu (S). A. I(¡3;1;¡1). B. I(3;1;¡1). C. I(¡3;¡1;1). D. I(3;¡1;1). -Lờigiải. Mặtcầu (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 cótâm I(a;b;c). Dođómặtcầuđãchocótâm I(¡3;¡1;1). Chọnđápán C ä Câu73. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;¡2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trêntrụcOx.Phươngtrìnhnàosauđâylàphươngtrìnhcủamặtcầutâm I bánkính IM? A. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ p 13. B. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ13. C. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ13. D. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ17. -Lờigiải. Do I làhìnhchiếucủa M(1;¡2;3)trênOxnên I(1;0;0). Vậymặtcầutâm I bánkính IMÆ p (1¡1) 2 Å(¡2¡0) 2 Å(3¡0) 2 Æ p 13cóphươngtrìnhlà (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ13. Chọnđápán B ä Câu74. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;¡1;2)vàB(3;1;0).Tọađộtrungđiểm I của đoạn AB là A. I(2;0;1). B. I(1;1;¡1). C. I(2;2;¡2). D. I(4;0;2). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I của AB là I µ 1Å3 2 ; ¡1Å1 2 ; 2Å0 2 ¶ hay I(2;0;1). Chọnđápán A ä Câu75. TrongkhônggianOxyzchobốnđiểm A(¡1;2;0),B(3;1;0),C(0;2;1)và D(1;2;2).Trong đócóbađiểmthẳnghànglà A. A, C, D. B. A, B, D. C. B, C, D. D. A, B, C. -Lờigiải. Tacó #  ACÆ(1;0;1)và #  ADÆ(2;0;2). Từđótađược #  ADÆ(2;0;2)Æ2 #  ACÆ(1;0;1)dođó 3điểm A, C, D thẳnghàng. Chọnđápán A ä Câu76. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1;¡2) và B(¡1;3;2). Trung điểm đoạn AB cótọađộlà A. (1;2;0). B. (2;¡1;¡2). C. (2;4;0). D. (4;¡2;¡4). -Lờigiải. Trungđiểmđoạn AB cótọađộlà µ 3Å(¡1) 2 ; 1Å3 2 ; ¡2Å2 2 ¶ Æ(1;2;0). Th.sNguyễnChínEm 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu77. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(¡3;4;0), #  b Æ(5;0;12). Tínhcô-singócgiữahaivéc-tơ #  a và #  b. A. 3 13 . B. ¡ 3 13 . C. ¡ 5 6 . D. 5 6 . -Lờigiải. Tacó cos ³ #  a, #  b ´ Æ #  a¢ #  b ¯ ¯ #  a ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ Æ ¡3¢5Å4¢0Å0¢12 p (¡3) 2 Å4 2 Å0 2 ¢ p 5 2 Å0 2 Å12 2 Æ¡ 3 13 . Chọnđápán B ä Câu78. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;¡1), B(1;4;3). Độ dài đoạn thẳng AB là A. 2 p 13. B. p 6. C. 3. D. 2 p 3. -Lờigiải. Độdàiđoạnthẳng AB là ABÆ p (1¡1) 2 Å(4Å2) 2 Å(3Å1) 2 Æ p 52Æ2 p 13. Chọnđápán A ä Câu79. TrongkhônggianOxyz,cho #  aÆ(2;1;3), #  b Æ(4;¡3;5)và #  c Æ(¡2;4;6).Tọađộcủavectơ #  uÆ #  aÅ2 #  b¡ #  c là A. (10;9;6). B. (12;¡9;7). C. (10;¡9;6). D. (12;¡9;6). -Lờigiải. Tacó #  aÆ(2;1;3), 2 #  b Æ(8;¡6;10), #  c Æ(¡2;4;6). ) #  uÆ #  aÅ2 #  b¡ #  c Æ(12;¡9;7). Chọnđápán B ä Câu80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  u Æ(3;0;1) và #  v Æ(2;1;0). Tích vôhướng #  u¢ #  v bằng A. 8. B. 6. C. 0. D. ¡6. -Lờigiải. Tacó #  u¢ #  v Æ6Å0Å0Æ6. Chọnđápán B ä Câu81. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(1;¡2;3).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A trên mặtphẳng (Oyz)làđiểm M.Tọađộđiểm M là A. M(0;¡2;3). B. M(1;¡2;0). C. M(1;0;3). D. M(1;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếucủa A(1;¡2;3)trên (Oyz)là M(0;¡2;3). Chọnđápán A ä Câu82. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;¡2;1), B(1;¡1;3). Tọa độ của véc-tơ #  AB là A. (3;¡3;4). B. (1;¡1;¡2). C. (¡3;3;¡4). D. (¡1;1;2). -Lờigiải. Tọađộcủavéc-tơ #  AB là #  ABÆ(¡1;1;2). Chọnđápán D ä Câu83. Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡2z¡3Æ0.Tọađộtâm I củamặtcầu (S)là A. (1;¡2;¡1). B. (2;¡4;¡2). C. (¡2;4;2). D. (¡1;2;1). -Lờigiải. Phươngtrìnhcủamặtcầu (S)là x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡2z¡3Æ0,(xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Dođómặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;1). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu84. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;¡1). Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trêntrụcOylà A. (1;0;¡1). B. (0;0;¡1). C. (0;2;0). D. (1;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A trêntrụcOylàđiểm (0;2;0). Chọnđápán C ä Câu85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(¡3;1;2). Tọa độ điểm A 0 đối xứng vớiđiểm A quatrụcOylà A. (¡3;¡1;2). B. (3;1;¡2). C. (3;¡1;¡2). D. (3;¡1;2). -Lờigiải. Gọi M làhìnhchiếucủađiểm A lêntrụcOy)M(0;1;0). Tacó A 0 đốixứngvớiđiểm A quatrụcOynên M làtrungđiểmcủa AA 0 ) ( x A 0Æ2x M ¡x A y A 0Æ2y M ¡y A z A 0Æ2z M ¡z A ) ( x A 0Æ0Å3Æ3 y A 0Æ2.1¡1Æ1 z A 0Æ0¡2Æ¡2 )A 0 (3;1;¡2). Chọnđápán B ä Câu86. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chobađiểm A(0;2;¡1), B(¡5;4;2)và C(¡1;0;5). Tọađộtrọngtâmtamgiác ABC là A. (¡1;1;1). B. (¡3;3;3). C. (¡6;6;6). D. (¡2;2;2). -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC,tacó: 8 > > > > > < > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 Æ¡2 y G Æ y A Åy B Åy C 3 Æ2 z G Æ z A Åz B Åz C 3 Æ2 )G(¡2;2;2). Vậytọađộtrọngtâmtamgiác ABC là (¡2;2;2). Chọnđápán D ä Câu87. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phươngtrìnhcủamộtmặtcầu? A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡4zÅ10Æ0.. B. 2x 2 Å2y 2 Å2z 2 ¡x¡y¡zÆ0. C. 2x 2 Å2y 2 Å2z 2 Å4xÅ8yÅ6zÅ3Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Åx¡2yÅ4z¡3Æ0. -Lờigiải. Phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 là phương trình mặt cầu nếu thỏa điều kiện a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0. Phươngtrình: x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡4zÅ10Æ0có 1 2 Å(¡2) 2 Å(2) 2 ¡10Æ¡1Ç0. Dođóphươngtrìnhnàykhônglàphươngtrìnhcủamặtcầu Chọnđápán A ä Câu88. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  x Æ3 #  j ¡2 #  kÅ #  i. Tìm tọa độ của véc-tơ #  x. A. #  x Æ(1;¡2;3). B. #  x Æ(3;¡2;1). C. #  x Æ(1;3;¡2). D. #  x Æ(1;2;3). -Lờigiải. Tacó #  x Æ3 #  j ¡2 #  kÅ #  i Æ #  i Å3 #  j ¡2 #  k ) #  x Æ(1;3;¡2). Chọnđápán C ä Câu89. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hình chiếu của điểm M(1;¡3;¡5) trên mặt phẳng (Oyz)cótoạđộlà A. (0;¡3;0). B. (0;¡3;¡5). C. (0;¡3;5). D. (1;¡3;0). -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng (Oyz) là xÆ0 và hình chiếu của điểm I(a;b;c) lên mặt phẳng (Oyz) là (0;b;c). Chọnđápán B ä Câu90. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡4z¡25Æ0. Tìmtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;2);RÆ6. B. I(¡1;2;¡2);RÆ5. Th.sNguyễnChínEm 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. I(¡2;4;¡4);RÆ p 29. D. I(1;¡2;2);RÆ p 34. -Lờigiải. Mặtcầu (S):(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡2) 2 Æ34.Khiđó (S)cótâm I(1;¡2;2),bánkính RÆ p 34. Chọnđápán D ä Câu91. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn AB cótọađộlà A. (1;3;2). B. (2;6;4). C. (2;¡1;5). D. (4;¡2;10). -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB.Khiđó 8 > > > > > < > > > > > : x M Æ x A Åx B 2 Æ2 y M Æ y A Åy B 2 Æ¡1 z M Æ z A Åz B 2 Æ5 )M(2;¡1;5). Chọnđápán C ä Câu92. Chovéc-tơ #  uÆ(1;3;4),tìmvéc-tơcùngphươngvớivới #  u. A. #  dÆ(¡2;6;8). B. #  aÆ(2;¡6;¡8). C. #  c Æ(¡2;¡6;8). D. #  b Æ(¡2;¡6;¡8). -Lờigiải. Tacó #  b Æ(¡2;¡6;¡8)Æ¡2(1;3;4)Æ¡2 #  u. Chọnđápán D ä Câu93. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ4y¡8zÅ4Æ0. Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(3;¡2;4), RÆ5. B. I(¡3;2;¡4), RÆ25. C. I(3;¡2;4), RÆ25. D. I(¡3;2;¡4), RÆ5. -Lờigiải. (S)cótâm I(3;¡2;4)vàbánkính RÆ p 3 2 Å(¡2) 2 Å4 2 ¡4Æ5. Chọnđápán A ä Câu94. TrongkhônggiantọađộOxyz,chođiểm A(2;¡2;1).TínhđộdàiđoạnthẳngOA. A. OAÆ9. B. OAÆ3. C. OAÆ1. D. OAÆ p 3. -Lờigiải. Tacó #  OAÆ(2;¡2;1))OAÆ p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ3. Chọnđápán B ä Câu95. TrongkhônggiantọađộOxyz,chohaiđiểm A(2;1;¡2)vàB(4;3;2).Phươngtrìnhmặt cầucóđườngkính AB là A. (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ24. B. (xÅ3) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ24. C. (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ6. D. (xÅ3) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ6. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB)I(3;2;0). Tacó #  ABÆ(2;2;4))ABÆ2 p 6) AB 2 Æ p 6. Mặtcầutâm I,bánkính RÆ AB 2 Æ p 6cóphươngtrình (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ6. Chọnđápán C ä Câu96. TrongkhônggianOxyz,cho A(1;¡2;3)và B(2;0;1).Độdàiđoạnthẳng AB bằng A. ABÆ9. B. ABÆ p 3. C. ABÆ3. D. ABÆ p 29. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;¡2))ABÆ p 1Å4Å4Æ3. Chọnđápán C ä Câu97. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, trong các mặt cầu dưới đây mặt cầu nào cóbánkính RÆ2? A. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2z¡3Æ0. B. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2z¡10Æ0. C. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2zÅ2Æ0. D. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2zÅ5Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dễthấycảbốnmặtcầuđềucótâm I(2;¡1;¡1). Bánkính RÆ2,4Å1Å1¡dÆ4,dÆ2. Vậymặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2zÅ2Æ0cóbánkính RÆ2. Chọnđápán C ä Câu98. Trong không gian Oxyz, cho véc-tơ #  a biểu diễn qua các véc-tơ đơn vị như sau #  a Æ 2 #  i Å #  k¡3 #  j.Tínhtọađộcủavéc-tơ #  a. A. (1;¡3;2). B. (1;2;¡3). C. (2;¡3;1). D. (2;1;¡3). -Lờigiải. Vì #  aÆ2 #  i ¡3 #  j Å #  k nêntọađộ #  a là (2;¡3;1). Chọnđápán C ä Câu99. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;¡2;3) và B(¡1;2;5). Tìm tọa độtrungđiểm I củađoạnthẳng AB. A. I(¡2;2;1). B. I(1;0;4). C. I(2;0;8). D. I(2;¡2;¡1). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I là 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ1 y I Æ y A Åy B 2 Æ0 z I Æ z A Åz B 2 Æ4. Chọnđápán B ä Câu100. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ25. Tìm tọa độ tâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;0),RÆ5. B. I(¡1;2;0),RÆ25. C. I(1;¡2;0),RÆ25. D. I(¡1;2;0),RÆ5. -Lờigiải. Mặtcầuđãchocótâm I cótọađộlà (1;¡2;0)vàbánkính RÆ p 25Æ5. Chọnđápán A ä Câu101. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(0;3;¡2).Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. #  OMÆ3 #  i ¡2 #  k. B. #  OMÆ3 #  i ¡2 #  j. C. #  OMÆ3 #  i ¡2 #  j Å #  k. D. #  OMÆ3 #  j ¡2 #  k. -Lờigiải. Tacó #  OMÆ(0;3;¡2)Æ3 #  j ¡2 #  k. Chọnđápán D ä Câu102. TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABC.Biết A(1;0;¡3),B(2;4;¡1),C(2;¡2;0),tọa độtrọngtâmG của4ABC là A. µ 5 2 ;¡1;¡2 ¶ . B. µ 5 3 ; 2 3 ; 4 3 ¶ . C. (5;2;¡4). D. µ 5 3 ; 2 3 ;¡ 4 3 ¶ . -Lờigiải. GọiG(x G ;y G ;z G )làtrọngtâmcủa4ABC. Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ 1Å2Å2 3 y G Æ 0Å4¡2 3 z G Æ ¡3¡1Å0 3 ) 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ 5 3 y G Æ 2 3 z G Æ¡ 4 3 . VậyG µ 5 3 ; 2 3 ;¡ 4 3 ¶ làtrọngtâmcủa4ABC. Chọnđápán D ä Câu103. TrongkhônggianOxyz,chohìnhbìnhhành ABCD.Biết A(1;1;1),B(2;3;4),C(7;7;5). Tọađộcủađiểm D là A. D(¡6;¡5;¡2). B. D(6;5;2). C. D(6;¡5;2). D. D(¡6;5;2). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 31 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ABCD làhìnhbìnhhành, #  ABÆ #  DC, ( 7¡x D Æ1 7¡y D Æ2 5¡z D Æ3 , ( x D Æ6 y D Æ5 z D Æ2. Vậy D(6;5;2)làđiểmcầntìm. Chọnđápán B ä Câu104. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4yÅ1Æ0 có tọa độ tâm I và bánkính R lầnlượtlà A. I(2;0;0), RÆ3. B. I(0;2;0), RÆ p 3. C. I(0;¡2;0), RÆ p 3. D. I(¡2;0;0), RÆ3. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(0;2;0),bánkính RÆ p 2 2 ¡1Æ p 3. Chọnđápán B ä Câu105. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,giảsử #  uÆ2 #  i Å3 #  j ¡ #  k.Tọađộvéc-tơ #  u là A. (¡2;3;¡1). B. (2;3;¡1). C. (2;¡3;¡1). D. (2;3;1). -Lờigiải. Tacó #  uÆ2 #  i Å3 #  j ¡ #  k,suyra #  uÆ(2;3;¡1). Chọnđápán B ä Câu106. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz mặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4 cótâmvàbánkínhlà A. Tâm I(¡1;2;¡3),bánkính RÆ2. B. Tâm I(¡1;2;¡3),bánkính RÆ4. C. Tâm I(1;¡2;3),bánkính RÆ2. D. Tâm I(1;¡2;3),bánkính RÆ4. -Lờigiải. Tacómặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4cótâm I(1;¡2;3),bánkính RÆ2. Chọnđápán C ä Câu107. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ16. Tọađộtâm I vàbánkính r củamặtcầu (S)là A. I(¡1;0;2), rÆ4. B. I(1;0;¡2), rÆ16. C. I(1;0;¡2), rÆ4. D. I(¡1;0;2), rÆ16. -Lờigiải. Tọađộtâm I(1;0;¡2)vàbánkính rÆ4. Chọnđápán C ä Câu108. TìmtọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC biết A(1;2;4), B(0;¡5;0), C(2;0;5). A. G(¡1;1;3). B. G(1;¡1;¡3). C. G(1;1;¡3). D. G(1;¡1;3). -Lờigiải. Tacó GÆ ³ x A Åx B Åx C 3 ; y A Åy B Åy C 3 ; z A Åz B Åz C 3 ´ Æ(1;¡1;3). Chọnđápán D ä Câu109. TrongkhônggianOxyz,điểmnàodướiđâythuộcmặtphẳng (Oxy)? A. M(2;2;0). B. Q(3;¡1;3). C. N(3;¡1;2). D. P(0;0;¡2). -Lờigiải. PhươngtrìnhmặtphẳngOxylà zÆ0.Vậyđiểm M(2;2;0)thuộcmặtphẳng (Oxy). Chọnđápán A ä Câu110. TrongkhônggianOxyz,chovéc-tơ #  OAÆ #  j ¡2 #  k.Tọađộđiểm A là A. (0;1;¡2). B. (1;¡2;0). C. (1;0;¡2). D. (0;¡1;2). -Lờigiải. Tacó #  OAÆ0¢ #  i Å1¢ #  j ¡2¢ #  k.Vậytọađộđiểm A là (0;1;¡2). Chọnđápán A ä Câu111. Trongkhônggian Oxyz,chohaivéc-tơ #  a Æ(4;¡2;¡4), #  b Æ(6;¡3;2).Giátrịcủabiểu thức ¯ ¯ ¯ ³ 2 #  a¡3 #  b ´ ¢ ³ #  aÅ2 #  b ´¯ ¯ ¯bằng A. ¡200. B. p 200. C. 200 2 . D. 200. -Lờigiải. Tacó 2 #  a¡3 #  b Æ(¡10;5;¡14)và #  aÅ2 #  b Æ(16;¡8;0). Vậy ¯ ¯ ¯ ³ 2 #  a¡3 #  b ´ ¢ ³ #  aÅ2 #  b ´¯ ¯ ¯Æj(¡10)¢16Å5¢(¡8)Å(¡14)¢0jÆj¡200jÆ200. Th.sNguyễnChínEm 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu112. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(¡1;¡2;3), B(0;3;1), C(4;2;2). Cô-sin của góc ƒ BAC là A. 9 p 35 . B. ¡ 9 p 35 . C. ¡ 9 2 p 35 . D. 9 2 p 35 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;5;¡2)và #  ACÆ(5;4;¡1). Vậy cos ƒ BACÆcos ³ #  AB, #  AC ´ Æ #  AB¢ #  AC ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ ¯ #  AC ¯ ¯ ¯ Æ 1¢5Å5¢4Å(¡2)¢(¡1) p 1 2 Å5 2 Å(¡2) 2 ¢ p 5 2 Å4 2 Å(¡1) 2 Æ 9 2 p 35 . Chọnđápán D ä Câu113. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(2;¡3;5).Hoànhđộcủađiểm M là A. ¡3. B. (2;¡3;5). C. 5. D. 2. -Lờigiải. Hoànhđộcủađiểm M là 2. Chọnđápán D ä Câu114. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(2;¡1;1).Tìmtọađộcủavéc-tơ #  OM. A. (2;¡1;¡1). B. (2;0;1). C. (1;¡1;2). D. (2;¡1;1). -Lờigiải. Tacó #  OMÆ(2;¡1;1). Chọnđápán D ä Câu115. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4z¡1Æ0.Tìmtọađộtâm của (S). A. I(1;0;¡2). B. I(¡1;0;2). C. I(¡1;0;¡2). D. I(¡2;4;¡1). -Lờigiải. Tâmmặtcầu I(1;0;¡2). Chọnđápán A ä Câu116. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4;20;2038) và điểm B(2;6;2000). Tọa độ trung điểm M củađoạnthẳng AB là A. M(6;26;4036). B. M(3;13;2019). C. M(2;14;38). D. M(¡3;13;2019). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm M củađoạnthẳng AB là M(3;13;2019). Chọnđápán B ä Câu117. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(3;3;7), B(2;3;2)và C(¡2;¡3;3).Tọađộtrọng tâmG củatamgiác ABC là A. G(1;1;4). B. G(2;¡1;3). C. G(1;2;3). D. G(1;¡1;1). -Lờigiải. TọađộtrọngtâmG đượcxácđịnhnhưsau 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 Æ 3Å2Å(¡2) 3 Æ1 y G Æ y A Åy B Åy C 3 Æ 3Å3Å(¡3) 3 Æ1 z G Æ z A Åz B Åz C 3 Æ 7Å2Å3 3 Æ4. Chọnđápán A ä Câu118. TrongkhônggiantọađộOxyz,chotamgiác ABCcó A(1;0;¡2),B(2;3;¡1),C(0;¡3;6). TìmtọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC. A. G(1;1;0). B. G(3;0;1). C. G(3;0;¡1). D. G(1;0;1). -Lờigiải. Tọađộtrọngtâmtamgiác ABC làG µ 1Å2Å0 3 ; 0Å3¡3 3 ; ¡2¡1Å6 3 ¶ )G(1;0;1). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu119. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;¡1;2) và B(2;1;¡4). Véc-tơ #  AB có tọa độ là A. (3;0;¡2). B. (1;0;¡6). C. (¡1;¡2;6). D. (1;2;¡6). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;¡6). Chọnđápán D ä Câu120. TrongkhônggianOxyz,chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 biết A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;¡1;1), C 0 (4;5;¡5).Tọađộđỉnh A 0 là A. A 0 (4;6;¡5). B. A 0 (¡3;4;¡1). C. A 0 (3;5;¡6). D. A 0 (3;5;6). -Lờigiải. Giảsử A 0 (x;y;z). Tacó #  AA 0 Æ(x¡1;y;z¡1), #  ABÆ(1;1;1), #  ADÆ(0;¡1;0), #  AC 0 Æ(3;5;¡6). A 0 B 0 C 0 D 0 A B C D Theoquytắchìnhhộp,tacó #  ABÅ #  ADÅ #  AA 0 Æ #  AC 0 , ( x¡1Å1Å0Æ3 yÅ1¡1Æ5 z¡1Å1Å0Æ¡6 , ( xÆ3 yÆ5 zÆ¡6. Vậy A 0 (3;5;¡6). Chọnđápán C ä Câu121. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;0;1)vàB(2;¡1;3).Véc-tơ #  AB cótọađộlà A. (1;¡1;2). B. (3;¡1;4). C. (¡1;¡1;2). D. (¡1;1;¡2). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(x B ¡x A ;y B ¡y A ;z B ¡z A )Æ(1;¡1;2). Chọnđápán A ä Câu122. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(3;2;¡1).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M lên trụcOz làđiểm A. M 3 (3;0;0). B. M 4 (0;2;0). C. M 1 (0;0;¡1). D. M 2 (3;2;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(3;2;¡1)lêntrụcOz làđiểm M 1 (0;0;¡1). Chọnđápán C ä Câu123. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm A(2;1;¡2).ĐộdàiđoạnthẳngOA là A. 2. B. 3. C. 9. D. 1. -Lờigiải. TacóOAÆ p (x A ¡x O ) 2 Å(y A ¡y O ) 2 Å(z A ¡z O ) 2 Æ3. Chọnđápán B ä Câu124. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡6y¡6Æ0.Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầuđó. A. I(1;¡3;0); RÆ4. B. I(¡1;3;0); RÆ4. C. I(¡1;3;0); RÆ16. D. I(1;¡3;0); RÆ16. -Lờigiải. Mặtcầuđãchocótâm I(¡1;3;0)và RÆ p (¡1) 2 Å3 2 Å0 2 ¡(¡6)Æ4. Chọnđápán B ä Câu125. TrongkhônggianOxyz,tâmcủamặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6z¡2Æ0làđiểm cótọađộ Th.sNguyễnChínEm 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. (¡2;¡4;¡6). B. (1;2;3). C. (¡1;¡2;¡3). D. (2;4;6). -Lờigiải. Tâmcủamặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6z¡2Æ0làđiểm I(1;2;3). Chọnđápán B ä Câu126. TrongkhônggianOxyz,chođiểmM(1;2;¡3),hìnhchiếuvuônggóccủađiểmMtrên mặtphẳng (Oxy)làđiểm A. M 0 (1;0;¡3). B. M 0 (0;2;¡3). C. M 0 (1;2;0). D. M 0 (1;2;3). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(1;2;¡3)trênmặtphẳng (Oxy)làđiểm M 0 (1;2;0) Chọnđápán C ä Câu127. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(¡2;1;3).Hìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrục Oxcótoạđộlà A. (0;1;0). B. (¡2;0;0). C. (0;0;3). D. (0;1;3). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrụcOxcótoạđộlà (¡2;0;0). Chọnđápán B ä Câu128. Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai véc-tơ #  a Æ(3;2;1) và #  b Æ(¡5;2;¡4) bằng A. ¡15. B. ¡10. C. ¡7. D. 15. -Lờigiải. Tacó #  a¢ #  b Æ3¢(¡5)Å2¢2Å1¢(¡4)Æ¡15. Chọnđápán A ä Câu129. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2), D(2;2;2). Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB và CD.Tọađộtrungđiểmcủađoạn MN là A. (1;¡1;2). B. (1;1;0). C. (1;1;1). D. µ 1 2 ; 1 2 ;1 ¶ . -Lờigiải. Vì M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB và CD nên M(1;1;0); N(1;1;2). Khiđótrungđiểmcủa MN là I(1;1;1). Chọnđápán C ä Câu130. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaivéc-tơ #  aÆ(¡4;5¡3), #  b Æ(2;¡2;1). Tìmtọađộcủavéc-tơ #  x Æ #  aÅ2 #  b. A. #  x Æ(2;3;¡2). B. #  x Æ(0;1;¡1). C. #  x Æ(0;¡1;1). D. #  x Æ(¡8;9;1). -Lờigiải. Tacó #  x Æ #  aÅ2 #  b Æ(¡4;5;¡3)Å2(2;¡2;1)Æ(0;1;¡1). Chọnđápán B ä Câu131. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;¡4;3) và B(¡1;2;5). Tìm tọa độ trung điểm I củađoạnthẳng AB. A. I(2;¡3;¡1). B. I(2;¡2;8). C. I(1;¡1;4). D. I(¡2;3;1). -Lờigiải. Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ 3¡1 2 Æ1 y I Æ y A Åy B 2 Æ ¡4Å2 2 Æ¡1 z I Æ z A Åz B 2 Æ 3Å5 2 Æ4 )I(1;¡1;4). Chọnđápán C ä Câu132. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ81. Tìm tọa độ tâm I vàtínhbánkính R của (S). A. I(2;1;0), RÆ81. B. I(¡2;¡1;0), RÆ81. C. I(2;1;0), RÆ9. D. I(¡2;¡1;0), RÆ9. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡2;¡1;0),bánkính RÆ9. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu133. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,tìmtâmvàbánkínhcủamặtcầucóphương trình (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡3) 2 Æ18. A. I(¡1;¡4;3), RÆ p 18. B. I(1;¡4;¡3), RÆ p 18. C. I(1;4;3), RÆ p 18. D. I(1;¡4;3), RÆ p 18. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(1;¡4;3), RÆ p 18. Chọnđápán D ä Câu134. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;¡1) và B(2;3;4). Véc-tơ #  AB có tọa độ là A. (1;2;5). B. (3;5;1). C. (3;4;1). D. (1;2;3). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;5). Chọnđápán A ä Câu135. TrongkhônggianOxyz,hìnhchiếucủađiểmM(2;3;¡2)trêntrụcOycótọađộlà A. (0;0;¡2). B. (2;0;¡2). C. (0;3;0). D. (2;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm M(2;3;¡2)trêntrụcOycótọađộlà (0;3;0). Chọnđápán C ä Câu136. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0.Tọađộtâm củamặtcầulà I(a;b;c).Tính aÅbÅc. A. 2. B. 6. C. ¡2. D. ¡1. -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0,(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. Dođó (S)cótâm I(1;¡2;3),suyra aÅbÅcÆ1Å(¡2)Å3Æ2. Chọnđápán A ä Câu137. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S)cóphươngtrình(x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. Tọađộtâm I vàbánkính R của (S)là A. I(1;2;3)và RÆ5. B. I(¡1;¡2;¡3)và RÆ5. C. I(1;2;3)và RÆ25. D. I(¡1;¡2;¡3)và RÆ25. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ5. Chọnđápán A ä Câu138. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;5). Hình chiếu của điểm M lêntrụcOxcótọađộlà A. (0;1;5). B. (2;0;0). C. (0;1;0). D. (0;0;5). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm M(2;1;5)lêntrụcOxlàđiểmcótọađộ (2;0;0). Chọnđápán B ä Câu139. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡4) 2 Æ4. Tọa độ của tâm I vàbánkính R củamặtcầulà A. I(¡1;3;¡4);RÆ2. B. I(1;¡3;4);RÆ2. C. I(1;¡3;4);RÆ4. D. I(¡1;3;¡4);RÆ4. -Lờigiải. Theođịnhnghĩaphươngtrìnhmặtcầu,tasuyramặtcầucótâm I(1;¡3;4)vàbánkính RÆ2. Chọnđápán B ä Câu140. Trong không gian Oxyz, cho các véc-tơ #  a(¡2;2;0), #  b(2;2;0), #  c(2;2;2). Giá trị của ¯ ¯ ¯ #  aÅ #  bÅ #  c ¯ ¯ ¯bằng A. 6. B. 11. C. 2 p 11. D. 2 p 6. -Lờigiải. Tacó #  aÅ #  bÅ #  c Æ(2;6;2).Dođó ¯ ¯ ¯ #  aÅ #  bÅ #  c ¯ ¯ ¯Æ2 p 11. Chọnđápán C ä Câu141. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho #  OAÆ3 #  i Å #  j ¡2 #  k và B(m;m¡1;¡4).Tìm tấtcảgiátrịcủathamsố mđểđộdàiđoạn ABÆ3. Th.sNguyễnChínEm 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. mÆ2hoặc mÆ3. B. mÆ1hoặc mÆ4. C. mÆ1hoặc mÆ2. D. mÆ3hoặc mÆ4. -Lờigiải. Tacó #  OAÆ3 #  i Å #  j ¡2 #  k ,A(3;1;¡2)) #  ABÆ(m¡3;m¡2;¡2). Theobàira ABÆ3nên (m¡3) 2 Å(m¡2) 2 Å4Æ9,m 2 ¡5mÅ4Æ0, h mÆ1 mÆ4. Chọnđápán B ä Câu142. TrongkhônggiantọađộOxyz,gócgiữahaivéctơ #  i và #  uÆ(¡ p 3;0;1)là A. 30 ± . B. 120 ± . C. 60 ± . D. 150 ± . -Lờigiải. Tacó cos ³ #  i, #  u ´ Æ #  i ¢ #  u ¯ ¯ ¯ #  i ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ ¡ p 3 1¢2 Æ¡ p 3 2 ) ³ #  i, #  u ´ Æ150 ± . Chọnđápán D ä Câu143. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(1;¡1;2) và #  b Æ(2;1;¡1). Tính #  a¢ #  b. A. #  a¢ #  b Æ(2;¡1;2). B. #  a¢ #  b Æ(¡1;5;3). C. #  a¢ #  b Æ1. D. #  a¢ #  b Æ¡1. -Lờigiải. Ápdụngbiểuthứctọađộcủatíchvôhướng,tacó #  a¢ #  b Æ1¢2Å(¡1)¢1Å2¢(¡1)Æ¡1. Chọnđápán D ä Câu144. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;¡3;1), B(3;0;¡2). Tính độ dài đoạnthẳng AB. A. 26. B. 22. C. p 26. D. p 22. -Lờigiải. Tacó ABÆ p (3¡1) 2 Å(0Å3) 2 Å(¡2¡1) 2 Æ p 22. Chọnđápán D ä Câu145. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chobađiểm A(10;¡4;0),B(¡4;6;0)vàC(0;4;6). TrọngtâmG củatamgiác ABC cótọađộlà A. (4;0;¡2). B. (2;2;¡4). C. (2;2;2). D. (2;4;2). -Lờigiải. GọiG(x;y;z)làtrọngtâmtamgiác ABC,tacó 8 > > > > > < > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 y G Æ y A Åy B Åy C 3 z G Æ z A Åz B Åz C 3 , 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 10¡4Å0 3 yÆ ¡4Å6Å4 3 zÆ 0Å0Å6 3 , ( xÆ2 yÆ2 zÆ2. VậyG(2;2;2). Chọnđápán C ä Câu146. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. Tâm I vàbánkính R củamặtcầulà A. I(¡2;¡1;3); RÆ4. B. I(¡2;1;¡3); RÆ4. C. I(2;¡1;¡3); RÆ4. D. I(2;¡1;3); RÆ4. -Lờigiải. Tâmcủamặtcầu (S)là I(2;¡1;3)vàbánkính RÆ p 16Æ4. Chọnđápán D ä Câu147. TrongkhônggianOxyz,cho A(1;1;¡3),B(3;¡1;1).GọiG làtrọngtâm4OAB, #  OG có độdàibằng A. 2 p 5 3 . B. 2 p 5 5 . C. 3 p 5 3 . D. 3 p 5 2 . -Lờigiải. TacóGÆ µ 4 3 ;0;¡ 2 3 ¶ ) #  OGÆ µ 4 3 ;0;¡ 2 3 ¶ ) ¯ ¯ ¯ #  OG ¯ ¯ ¯Æ Ê µ 4 3 ¶ 2 Å0 2 Å µ ¡ 2 3 ¶ 2 Æ 2 p 5 3 . Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu148. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;3),B(¡3;2;¡1).Tọađộtrungđiểmcủa đoạnthẳng AB là A. (¡1;0;¡2). B. (¡4;4;2). C. (¡2;2;2). D. (¡2;2;1). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I củađoạnthẳng AB là 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ¡2 y I Æ y A Åy B 2 Æ2 z I Æ z A Åz B 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu149. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ9.Tọađộtâm I vàbánkính R của (S)lầnlượtlà A. I(1;¡1;2), RÆ3. B. I(¡1;1;¡2), RÆ3. C. I(1;¡1;2), RÆ9. D. I(¡1;1;¡2), RÆ9. -Lờigiải. Phương trình mặt cầu viết lại như sau (S): (x¡1) 2 Å[y¡(¡1)] 2 Å(z¡2) 2 Æ3 2 . Vậy tọa độ tâm I vàbánkính R của (S)lầnlượtlà I(1;¡1;2), RÆ3. Chọnđápán A ä Câu150. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I(1;¡2;3), bán kính RÆ2 là A. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. C. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ2. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầucótâm I(1;¡2;3),bánkính RÆ2là (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4. Chọnđápán D ä Câu151. TrongkhônggianvớihệtrụcOxyz,chotamgiác ABCcó A(3;3;2),B(¡1;2;0),C(1;1;¡2). GọiG(x 0 ;y 0 ;z 0 )làtrọngtâmcủatamgiácđó.Tổng x 0 Åy 0 Åz 0 bằng A. 9. B. 3. C. ¡ 2 3 . D. 1 3 . -Lờigiải. TacóG(x 0 ;y 0 ;z 0 )làtrọngtâm4ABC) 8 > > > > > > < > > > > > > : x 0 Æ x A Åx B Åx C 3 Æ 3¡1Å1 3 Æ1 y 0 Æ y A Åy B Åy C 3 Æ 3Å2Å1 3 Æ2 z 0 Æ z A Åz B Åz C 3 Æ 2Å0¡2 3 Æ0 )G(1;2;0))x 0 Åy 0 Åz 0 Æ3. Chọnđápán B ä Câu152. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(3;0;¡2), B(1;4;2).Tọađộ củavéc-tơ #  AB là A. (4;4;0). B. (¡2;4;4). C. (2;2;0). D. (¡1;2;2). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;4;4). Chọnđápán B ä Câu153. TrongkhônggianOxyz chođiểm A(1;¡3;2), B(4;1;2).Độdàiđoạn AB bằng A. 3 p 5 2 . B. 5. C. ¡5. D. 25. -Lờigiải. Độdàiđoạn AB là ABÆ p 3 2 Å4 2 Å0 2 Æ5. Chọnđápán B ä Câu154. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡4zÅ5Æ0.Tọađộtâm vàbánkínhmặtcầu (S)là Th.sNguyễnChínEm 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. I(2;4;4)và RÆ2. B. I(1;¡2;¡2)và RÆ p 14. C. I(¡1;2;2)và RÆ2. D. I(1;¡2;¡2)và RÆ2. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(¡1;2;2)vàbánkính RÆ2. Chọnđápán C ä Câu155. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(3;¡1;1).Hìnhchiếuvuônggóccủa A trênmặt phẳng (Oyz)làđiểm A. M(0;¡1;0). B. N(3;0;0). C. P(0;¡1;1). D. Q(0;0;1). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủa A trênmặtphẳng (Oyz)là P(0;¡1;1). Chọnđápán C ä Câu156. Tíchvôhướngcủahaivéc-tơ #  aÆ(¡2;2;5), #  b Æ(0;1;2)trongkhônggianbằng A. 14. B. 13. C. 10. D. 12. -Lờigiải. Tacó #  a¢ #  b Æ¡2¢0Å2¢1Å5¢2Æ12. Chọnđápán D ä Câu157. TrongkhônggianOxyz,mặtcầu(S): (xÅ4) 2 Å(y¡5) 2 Å(zÅ6) 2 Æ9cótâmvàbánkính lầnlượtlà A. I(4;¡5;6), RÆ81. B. I(¡4;5;¡6), RÆ81. C. I(4;¡5;6), RÆ3. D. I(¡4;5;¡6), RÆ3. -Lờigiải. Tọađộtâmvàbánkínhmặtcầulà I(¡4;5;¡6), RÆ3. Chọnđápán D ä Câu158. Trongkhônggian Oxyz,cho #  aÆ(1;2;1)và #  b Æ(¡1;3;0).Véc-tơ #  c Æ2 #  aÅ #  b cótọađộ là A. (1;7;2). B. (1;5;2). C. (3;7;2). D. (1;7;3). -Lờigiải. Tacó #  c Æ2 #  aÅ #  b Æ(2;4;2)+(¡1;3;0)=(1;7;2). Chọnđápán A ä Câu159. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;¡1;0),B(1;0;¡1)vàC(¡3;0;0). tọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC là A. µ 0;¡ 1 3 ;¡ 1 3 ¶ . B. (0;¡1;¡1). C. (0;1;1). D. µ 0; 1 3 ; 1 3 ¶ . -Lờigiải. G làtrọngtâm4ABC, 8 > > > > > < > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 y G Æ y A Åy B Åy C 3 z G Æ z A Åz B Åz C 3 , 8 > > > > < > > > > : x G Æ0 y G Æ¡ 1 3 z G Æ¡ 1 3 . Chọnđápán A ä Câu160. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;0;2).Mệnhđềnàosauđâylàđúng? A. M2(Oyz). B. M2(Oxz). C. M2(Oxy). D. M2Oy. -Lờigiải. Do y M Æ0nên M2(Oxz). Chọnđápán B ä Câu161. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡5) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ16. Bánkínhcủamặtcầu (S)là A. 7. B. 4. C. 5. D. 16. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầucódạng (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 thìcóbánkínhlà R. Ápdụngvàobàitoánnàytacóbánkính RÆ4. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu162. TrongkhônggianOxyz,hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;3;1)lêntrụcx 0 Oxlà A. Q(¡2;0;0). B. R(0;0;1). C. S(0;3;1). D. P(2;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A(2;3;1)lêntrục x 0 Oxlàđiểm P(2;0;0). Chọnđápán D ä Câu163. TrongkhônggianOxyz,chovéc-tơ #  OMÆ¡ #  j Å5 #  k.Khiđótọađộđiểm M là A. M(¡1;0;5). B. M(¡1;¡5;0). C. M(0;1;¡5). D. M(0;¡1;5). -Lờigiải. Tacó #  OMÆ0¢ #  i Å(¡1)¢ #  j Å5¢ #  k ) #  OMÆ(0;¡1;5). Vậy M(0;¡1;5). Chọnđápán D ä Câu164. TrongkhônggianOxyz,tọađộtâmcủamặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6Æ0là A. I(2;4;0). B. I(1;2;0). C. I(1;2;3). D. I(2;4;6). -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmlà I(1;2;0). Chọnđápán B ä Câu165. Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ #  u Æ(1;2;log 2 3) và #  v Æ(2;¡2;log 3 2). Tích vô hướngcủa #  u và #  v là A. #  u¢ #  v Æ0. B. #  u¢ #  v Æ1. C. #  u¢ #  v Æ2. D. #  u¢ #  v Æ¡1. -Lờigiải. Tacó #  u¢ #  v Æ1¢2Å2¢(¡2)Ålog 2 3¢log 3 2Æ2¡4Å1Æ¡1. Chọnđápán D ä Câu166. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(1;¡2;4).Hìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrục Oylàđiểmnàodướiđây? A. Q(1;0;0). B. M(0;¡2;4). C. N(0;¡2;0). D. P(0;0;4). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrụcOylà N(0;¡2;0). Chọnđápán C ä Câu167. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho #  aÆ2 #  i Å #  k¡3 #  j.Tọađộcủavéc-tơ #  a là A. (1;¡3;2). B. (1;2;¡3). C. (2;1;¡3). D. (2;¡3;1). -Lờigiải. Tacó #  aÆ2 #  i Å #  k¡3 #  j Æ2 #  i ¡3 #  j Å #  k.Tọađộ #  aÆ(2;¡3;1). Chọnđápán D ä Câu168. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Tìmtọađộtâm I vàtínhbánkính R của (S). A. I(¡1;2;1)và RÆ3. B. I(1;¡2;¡1)và RÆ3. C. I(¡1;2;1)và RÆ9. D. I(1;¡2;¡1)và RÆ9. -Lờigiải. Tacómặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;1)vàbánkính RÆ3. Chọnđápán A ä Câu169. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chovéc-tơ #  a biểudiễncủacácvéc-tơđơn vịlà #  aÆ2 #  i ¡3 #  j Å #  k.Tìmtọađộcủavec-tơ #  a là A. (1;2;¡3). B. (2;¡3;1). C. (2;1;¡3). D. 91;¡3;2). -Lờigiải. Theođịnhnghĩathì #  uÆx #  i Åy #  j Åz #  k , #  uÆ(x;y;z). Dođóvéc-tơ #  aÆ(2;¡3;1). Chọnđápán B ä Câu170. Cho điểm M(1;2;¡3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm A. M 0 (1;2;0). B. M 0 (1;0;¡3). C. M 0 (0;2;¡3). D. M 0 (1;2;3). -Lờigiải. Theođịnhnghĩatacó M 0 (1;2;0). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu171. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9.Tọađộtâm I vàbánkính R của (S)là A. I(¡1;2;1)và RÆ3. B. I(¡1;2;1)và RÆ9. C. I(1;¡2;¡1)và RÆ3. D. I(1;¡2;¡1)và RÆ9. -Lờigiải. Mặtcầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9cótâm I(¡1;2;1)vàbánkính RÆ3. Chọnđápán A ä Câu172. Trong không gian Oxyz, Cho hai điểm A(2;0;1) và B(3;¡1;2). Véctơ #  AB có tọa độ là A. (1;¡1;1). B. (¡1;1;¡1). C. (1;1;¡1). D. (¡1;1;1). -Lờigiải. #  ABÆ(3¡2;¡1¡0;2¡1)Æ(1;¡1;1). Chọnđápán A ä Câu173. Chocácvéc-tơ #  aÆ(1;2;3), #  b Æ(0;¡1;2).Véc-tơ #  v Æ3 #  a¡ #  b cótọađộlà A. #  v Æ(3;9;7). B. #  v Æ(3;9;11). C. #  v Æ(3;7;11). D. #  v Æ(3;7;7). -Lờigiải. Tacó #  v Æ3 #  a¡ #  b Æ(3¡0;6Å1;9¡2)Æ(3;7;7). Chọnđápán D ä Câu174. Trongkhônggiantoạđộ Oxyz,chođiểm A(1;2;3).Hìnhchiếucủađiểm A đếnmặt phẳng (Oyz)là A. (0;2;3). B. (1;0;3). C. (1;2;0). D. (1;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A xuốngmặtphẳng (Oyz)làđiểm H(0;2;3). Chọnđápán A ä Câu175. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;¡1;2) và B(3;¡3;¡2). Véc-tơ #  AB có tọa độ là A. (¡2;¡2;4). B. (2;¡2;4). C. (1;¡1;¡2). D. (2;¡2;¡4). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡2;¡4). Chọnđápán D ä Câu176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy biết phương trình mặt cầu đường kính AB với A(2;3;¡1), B(0;¡1;3). A. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. B. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ36. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ36. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểm AB)I(1;1;1), ABÆ6. Mặtcầu (S)đườngkính AB cótâm I(1;1;1),bánkính RÆ AB 2 Æ3cóphươngtrìnhlà: (S): (x¡ 1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Chọnđápán A ä Câu177. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn AB cótọađộlà A. (1;3;2). B. (2;6;4). C. (2;¡1;5). D. (4;¡2;10). -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB.Khiđó 8 > > > > > < > > > > > : x M Æ x A Åx B 2 Æ2 y M Æ y A Åy B 2 Æ¡1 z M Æ z A Åz B 2 Æ5 )M(2;¡1;5). Chọnđápán C ä Câu178. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;¡2) và B(2;2;1). Véc-tơ #  AB có toạ độ là A. (3;3;¡1). B. (¡1;¡1;¡3). C. (3;1;1). D. (1;1;3). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 41 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  ABÆ(2¡1;2¡1;1¡(¡2))Æ(1;1;3). Chọnđápán D ä Câu179. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. Tâm của (S) cótọađộlà A. (3;1;¡1). B. (3;¡1;1). C. (¡3;¡1;1). D. (¡3;1;¡1). -Lờigiải. Tâmcủa (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2cótọađộlà (¡3;¡1;1). Chọnđápán C ä Câu180. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): (x¡5) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ 3 có bán kính bằng A. p 3. B. 2 p 3. C. 3. D. 9. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu RÆ p 3. Chọnđápán A ä Câu181. TrongkhônggianOxyz,tìmtọađộcủavéc-tơ #  a biết #  aÆ3 #  i ¡5 #  k. A. #  aÆ(0;3;¡5). B. #  aÆ(3;0;5). C. #  aÆ(3;¡5;0). D. #  aÆ(3;0;¡5). -Lờigiải. Tacó #  aÆ3 #  i ¡5 #  k ) #  aÆ(3;0;¡5). Chọnđápán D ä Câu182. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a(2;1;¡3), #  b(2;5;1). Mệnh đề nàodướiđâyđúng? A. #  a¢ #  b Æ4. B. #  a¢ #  b Æ12. C. #  a¢ #  b Æ6. D. #  a¢ #  b Æ9. -Lờigiải. Tacó #  a¢ #  b Æ4Å5¡3Æ6. Chọnđápán C ä Câu183. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I(3;¡6;4) và bánkínhlà RÆ5là A. (x¡3) 2 Å(yÅ6) 2 Å(z¡4) 2 Æ25. B. (xÅ3) 2 Å(y¡6) 2 Å(zÅ4) 2 Æ5. C. (xÅ3) 2 Å(y¡6) 2 Å(zÅ4) 2 Æ25. D. (x¡3) 2 Å(yÅ6) 2 Å(z¡4) 2 Æ5. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầucótâm I(3;¡6;4)vàbánkínhlà RÆ5là (x¡3) 2 Å(yÅ6) 2 Å(z¡4) 2 Æ25. Chọnđápán A ä Câu184. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(3;0;¡5) và #  b Æ(¡1;4;¡3). Tìmtọavéc-tơ #  a¡2 #  b A. #  a¡2 #  b Æ(2;4;¡8). B. #  a¡2 #  b Æ(1;8;¡11). C. #  a¡2 #  b Æ(5;¡8;1). D. #  a¡2 #  b Æ(4;¡4;¡2). -Lờigiải. #  a Æ(3;0;¡5) #  b Æ(¡1;4;¡3) ) #  a¡2 #  b Æ(5;¡8;1). Chọnđápán C ä Câu185. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3), B(0;2;1). Tìm tọa độ trungđiểm I củađoạn AB. A. I µ ¡ 1 2 ;0;2 ¶ . B. I(¡1;0;4). C. I(1;4;¡2). D. I µ 1 2 ;2;¡1 ¶ . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 42 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tọađộtrungđiểm I của AB thỏa 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ 1 2 y I Æ y A Åy B 2 Æ2 z I Æ z A Åz B 2 Æ¡1. Vậy I µ 1 2 ;2;¡1 ¶ . Chọnđápán D ä Câu186. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;3) và N(0;1;3). Tọa độ của vectơ #  MN bằng A. #  MNÆ(1;3;6). B. #  MNÆ(1;1;0). C. #  MNÆ(1;¡1;1). D. #  MNÆ(¡1;¡1;0). -Lờigiải. Tọađộcủavectơ #  MN là #  MNÆ(¡1;¡1;0). Chọnđápán D ä Câu187. TrongkhônggianOxyz,mặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ2z¡3Æ0cótọađộtâm I vàbánkính R là A. I(2;¡1;1);RÆ9. B. I(¡2;1;¡1);RÆ3. C. I(2;¡1;1);RÆ3. D. I(¡2;1;¡1);RÆ9. -Lờigiải. Mặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ2z¡3Æ0cótâmlàI(¡2;1;¡1)vàbánkínhRÆ p (¡2) 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Å3Æ 3. Chọnđápán B ä Câu188. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(¡2;3;¡1). Gọi A 0 là điểm đối xứng với A qua trụchoành.Tìmtọađộđiểm A 0 . A. A 0 (2;¡3;1). B. A 0 (0;¡3;1). C. A 0 (¡2;¡3;1). D. A 0 (¡2;0;0). -Lờigiải. Điểmđốixứngcủađiểm A(x;y;z)quatrụchoànhlàđiểmcódạng A 0 (x;¡y;¡z). Suyrađiểmđốixứngcủađiểm A(¡2;3;¡1)quatrụchoànhlàđiểm A 0 (¡2;¡3;1). Chọnđápán C ä Câu189. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(1;¡1;2), #  b Æ(3;0;¡1), #  c Æ (¡2;5;1),đặt #  mÆ #  aÅ #  b¡ #  c.Tìmtọađộcủa #  m. A. (¡6;6;0). B. (6;0;¡6). C. (6;¡6;0). D. (0;6;¡6). -Lờigiải. Tacó: #  mÆ #  aÅ #  b¡ #  c Æ(6;¡6;0). Chọnđápán C ä Câu190. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S)cóphươngtrình(x¡1) 2 Å (yÅ2) 2 Åz 2 Æ9.Xácđịnhtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;0); RÆ3. B. I(¡1;2;0); RÆ3. C. I(1;¡2;0); RÆ9. D. I(¡1;2;0); RÆ9. -Lờigiải. Mặtcầu S cótọađộtâm I(1;¡2;0)vàbánkính RÆ3. Chọnđápán A ä Câu191. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1;2;¡3) và N(¡3;0;7). Gọi I làtrungđiểmcủađoạn MN.Xácđịnhtọađộcủađiểm I. A. I(¡2;2;4). B. I(¡1;1;2). C. I(¡4;¡2;10). D. I(¡2;¡1;5). -Lờigiải. Điểm I làtrungđiểmcủađoạnthẳng MN nên I(¡1;1;2). Chọnđápán B ä Câu192. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(5;¡6;7). Hình chiếu vuông góc của A trênmặtphẳng (Oxz)làđiểm A. P(5;¡6;0). B. Q(5;0;0). C. N(0;¡6;0). D. M(5;0;7). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A(a;b;c)trênmặtphẳng (Oxz)làđiểm M(a;0;c). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu193. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. n I(¡1;2;1) RÆ9 . B. n I(1;¡2;¡1) RÆ9 . C. n I(1;¡2;¡1) RÆ3 . D. n I(¡1;2;1) RÆ3 . -Lờigiải. Mặtcầu (S): (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 có ½ I(a;b;c) RÆ p R 2 . Vậymặtcầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9có n I(¡1;2;1) RÆ3. Chọnđápán D ä Câu194. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡6zÅ4Æ0có bánkính R là A. RÆ p 53. B. RÆ p 10. C. RÆ4 p 2. D. RÆ3 p 7. -Lờigiải. Tacó RÆ p 2 2 Å(¡1) 2 Å3 2 ¡4Æ p 10. Chọnđápán B ä Câu195. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(5;¡6;7). Hình chiếu vuông góc của A trênmặtphẳng (Ozx)làđiểm A. Q(5;0;0). B. M(5;0;7). C. N(0;¡6;0). D. P(5;¡6;0). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A(a;b;c)trênmặtphẳng (Oxz)làđiểm M(a;0;c). Ápdụng,tacóđápán M(5;0;7). Chọnđápán B ä Câu196. Chođiểm M(3;2;¡1),điểm M 0 (a;b;c)làđiểmđốixứngcủađiểm M quatrụcOy.Khi đó aÅbÅc bằng A. 6. B. 4. C. 0. D. 2. -Lờigiải. M 0 làđiểmđốixứngcủa M quaOynên aÆ¡3,bÆ2,cÆ1. Vậy aÅbÅcÆ0. Chọnđápán C ä Câu197. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz chođiểm A(1;2;3).Hìnhchiếuvuônggóc củađiểm A trênmặtphẳng (Oxy)làđiểm A. Q(0;2;0). B. M(0;0;3). C. P(1;0;0). D. . -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(1;2;3)trênmặtphẳng (Oxy)làđiểm N(1;2;0). Chọnđápán D ä Câu198. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡1;2), B(2;1;1). Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. p 6. B. 6. C. 2. D. p 2. -Lờigiải. Tacó ABÆ p (2¡1) 2 Å(1Å1) 2 Å(1¡2) 2 Æ p 6. Chọnđápán A ä Câu199. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡1;2;3), B(1;0;2). Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. p 5. B. 3. C. 9. D. p 29. -Lờigiải. ABÆ p (1Å1) 2 Å(0¡2) 2 Å(2¡3) 2 Æ p 4Å4Å1Æ3. Chọnđápán B ä Câu200. Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ (2;¡3;1) và #  b Æ (¡1;0;4). Tìm tọa độ véc-tơ #  uÆ¡2 #  aÅ3 #  b. A. #  uÆ(¡7;6;¡10). B. #  uÆ(¡7;¡6;10). C. #  uÆ(7;6;10). D. #  uÆ(¡7;6;10). -Lờigiải. Do #  uÆ¡2 #  aÅ3 #  b suyra #  uÆ(¡7;6;10). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu201. TrongkhônggianOxyz,cho #  aÆ¡ #  i Å2 #  j ¡3 #  k.Tọađộcủavéc-tơ #  a là A. (¡3;2;¡1). B. (2;¡3;¡1). C. (¡1;2;¡3). D. (2;¡1;¡3). -Lờigiải. Chọnđápán C ä Câu202. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Å y 2 Å z 2 ¡2xÅ4yÅ2zÅ3 Æ 0. Tìmtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;¡1)và RÆ p 3. B. I(1;¡2;¡1)và RÆ3. C. I(¡1;2;1)và RÆ p 3. D. I(¡1;2;1)và RÆ3. -Lờigiải. Lưu ý: Điều kiện để (S): x 2 Åy 2 Å2axÅ2byÅ2czÅdÆ0 là phương trình của một mặt cầu là µ 2a ¡2 ¶ 2 Å µ 2b ¡2 ¶ 2 Å µ 2c ¡2 ¶ 2 ¡dÈ0. Khiđó, (S)cótâmlà I µ 2a ¡2 ; 2b ¡2 ; 2c ¡2 ¶ ,bánkính RÆ Ê µ 2a ¡2 ¶ 2 Å µ 2b ¡2 ¶ 2 Å µ 2c ¡2 ¶ 2 ¡d. Ápdụngcho (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ2zÅ3Æ0,tatìmđược I(1;¡2;¡1)và RÆ p 3. Chọnđápán A ä Câu203. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡2z¡3Æ0.Tìmtọađộ tâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;¡1)và RÆ9. B. I(1;¡2;¡1)và RÆ3. C. I(¡1;2;1)và RÆ9. D. I(¡1;2;1)và RÆ3. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0sẽcótâm I(a;b;c)vàbánkính RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡d. Ápdụngvàomặtcầucủađềcho,tađược I(¡1;2;1)vàbánkính RÆ3. Chọnđápán D ä Câu204. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(4;2;1)và B(2;0;5).Tọađộvéc-tơ #  AB là A. (2;2;¡4). B. (1;1;¡2). C. (¡1;¡1;2). D. (¡2;¡2;4). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(x B ¡x A ;y B ¡y A ;z B ¡z A ).Ápdụngtađược #  ABÆ(¡2;¡2;4). Chọnđápán D ä Câu205. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;¡3;2). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. #  OMÆ¡3 #  i Å2 #  j Å #  k. B. #  OMÆ¡3 #  i Å2 #  j. C. #  OMÆ¡3 #  j Å2 #  k. D. #  OMÆ¡3 #  i Å2 #  k. -Lờigiải. #  OMÆ¡3 #  j Å2 #  k. Chọnđápán C ä Câu206. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ9.Tìmtọađộtâmvàbánkínhcủamặtcầu (S). A. (¡1;3;2),RÆ3. B. (1;3;2),RÆ3. C. (1;¡3;¡2),RÆ9. D. (¡1;3;2),RÆ9. -Lờigiải. Tâmmặtcầu (S)là (¡1;3;2),bánkính RÆ p 9Æ3. Chọnđápán A ä Câu207. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(¡2;5;1).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A lên trụcOxlàđiểm A. H(¡2;0;0). B. H(2;0;0). C. H(¡2;5;0). D. H(0;5;1). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A lêntrụcOxlàđiểm H(¡2;0;0). Chọnđápán A ä Câu208. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;3;5), B(2;0;1), C(0;9;0). Tìm tọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC. A. G(3;12;6). B. G(1;5;2). C. G(1;0;5). D. G(1;4;2). Th.sNguyễnChínEm 45 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ 1Å2Å0 3 Æ1 y G Æ 3Å0Å9 3 Æ4 z G Æ 5Å1Å0 3 Æ2. Chọnđápán D ä Câu209. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(2;1;¡2)và B(4;3;2).Viết phươngtrìnhmặtcầu (S)nhậnđoạn AB làmđườngkính. A. (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ24. B. (S): (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ6. C. (S): (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ24. D. (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ6. -Lờigiải. Trungđiểmcủa AB là I(3;2;0). Bánkínhcủamặtcầu (S)là RÆIAÆ p (3¡2) 2 Å(2¡1) 2 Å(0Å2) 2 Æ p 6. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (S): (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ6. Chọnđápán B ä Câu210. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(1;¡2;0) và #  b Æ(¡2;3;1). Khẳngđịnhnàosauđâylàsai? A. #  a¢ #  b Æ¡8. B. ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ p 14. C. 2 #  aÆ(2;¡4;0)). D. #  aÅ #  b Æ(¡1;1;¡1). -Lờigiải. Tacó #  aÅ #  b Æ(¡1;1;1). Chọnđápán D ä Câu211. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầu (S): (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ8. Khiđótâm I vàbánkính R củamặtcầulà A. I(3;¡1;¡2),RÆ2 p 2. B. I(¡3;1;2),RÆ4. C. I(3;¡1;¡2),RÆ4. D. I(¡3;1;2),RÆ2 p 2. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡1;¡2)vàbánkính RÆ2 p 2. Chọnđápán A ä Câu212. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(¡2;4;1), B(1;1;¡6), C(0;¡2;3).TìmtọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC. A. G µ 1 3 ;¡1; 2 3 ¶ . B. G µ ¡ 1 3 ;1;¡ 2 3 ¶ . C. G(¡1;3;¡2). D. G µ ¡ 1 2 ; 5 2 ;¡ 5 2 ¶ . -Lờigiải. Trọngtâmcủatamgiác ABC làG µ ¡2Å1Å0 3 ; 4Å1¡2 3 ; 1¡6Å3 3 ¶ hayG µ ¡ 1 3 ;1;¡ 2 3 ¶ . Chọnđápán B ä Câu213. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ2z¡3Æ0. Tính bán kính R củacủamặtcầu (S). A. RÆ9. B. RÆ3. C. RÆ3 p 3. D. RÆ p 3. -Lờigiải. Đồngnhấthệsốphươngtrìnhcủamặtcầu(S)vớiphươngtrìnhx 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 tađược aÆ1, bÆ¡2, cÆ¡1, dÆ¡3. Vì a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ9nênbánkínhcủamặtcầulà RÆ p 9Æ3. Chọnđápán B ä Câu214. Hình chiếu vuông góc của điểm M(1;2;¡4) trên mặt phẳng Oxy là điểm có tọa độ? A. (1;2;0). B. (1;2;¡4). C. (0;2;¡4). D. (1;0;¡4). -Lờigiải. Điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng (Oxy) khi và chỉ khi M(x;y;0). Vậy hình chiếu vuông góc của điểm M(1;2;¡4)trênmặtphẳngOxylàđiểmcótọađộlà (1;2;0). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 46 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu215. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ 8.Khiđótâm I vàbánkính R củamặtcầulà A. I(3;¡1;¡2),RÆ2 p 2. B. I(3;¡1;¡2),RÆ4. C. I(¡3;1;2),RÆ2 p 2. D. I(¡3;1;2),RÆ4. -Lờigiải. Tâm I vàbánkính R củamặtcầulà I(3;¡1;¡2),RÆ2 p 2. Chọnđápán A ä Câu216. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2) và B(3;3;6). Tọa độ véc-tơ #  AB là A. (¡2;¡2;¡4). B. (2;2;4). C. (4;4;8). D. (¡4;¡4;¡8). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3¡1;3¡1;6¡2)Æ(2;2;4). Chọnđápán B ä Câu217. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,chođiểm M thoảmãnhệthức #  OMÆ2 #  i Å #  j. Toạđộđiểm M là A. M(2;1;0). B. M(0;1;2). C. M(0;2;1). D. M(2;0;1). -Lờigiải. Tathấy #  OMÆ2 #  i Å #  j )M(2;1;0). Chọnđápán A ä Câu218. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(2;¡1;3).Hìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrục Oz làđiểm A. Q(2;¡1;0). B. N(0;¡1;0). C. P(0;0;3). D. M(2;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(x;y;z)trêntrụcOz cótọađộlà (0;0;z). Vậyhìnhchiếuvuônggóccủa A(2;¡1;3)trêntrụcOz làđiểm P(0;0;3). Chọnđápán C ä Câu219. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,tọađộđiểm AđốixứngvớiđiểmB(3;¡1;4) quamặtphẳng (xOz)là A. A(¡3;¡1;¡4). B. A(3;¡1;¡4). C. A(3;1;4). D. A(¡3;¡1;4). -Lờigiải. A đốixứng B qua (xOz)khivàchỉkhi ( x A Æx B Æ3 y A Æ¡y B Æ1 z A Æz B Æ4 .Vậytọađộ B là B(3;1;4). Chọnđápán C ä Câu220. Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. Tọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S)là A. I(¡2;1;¡3)và RÆ4. B. I(2;1;3)và RÆ4. C. I(2;¡1;3)và RÆ16. D. I(2;¡1;3)và RÆ4. -Lờigiải. Tọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S)là: I(2;¡1;3)và RÆ4. Chọnđápán D ä Câu221. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ16. Tọađộtâm I vàbánkính R của (S)là A. I(¡1;¡2;1); RÆ16. B. I(1;2;¡1); RÆ16. C. I(¡1;¡2;1); RÆ4. D. I(1;2;¡1); RÆ4. -Lờigiải. Từphươngtrìnhmặtcầu (S)tacótọađộtâm I là (1;2;¡1)vàbánkính RÆ4. Chọnđápán D ä Câu222. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;¡2;3). Hình chiếu vuông góc của A trêntrụcOylàđiểm A. N(0;¡2;0). B. A(0;¡2;3). C. P(1;0;3). D. M(1;¡2;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(1;¡2;3)lêntrụcOylàđiểm N(0;¡2;0). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 47 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu223. Tọađộtâm I vàbánkínhmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡20Æ0là A. I(1;¡2),RÆ5. B. I(1;2;0),RÆ5. C. I(¡1;2;0),RÆ5. D. I(1;¡2;0),RÆ5. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ25. Khiđómặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;0)vàbánkính RÆ5. Chọnđápán D ä Câu224. TrongkhônggiantọađộOxyzcho A(1;2;¡1),B(3;1;¡2),C(2;3;¡3)vàGlàtrọngtâm tamgiác ABC.Xácđịnhvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳngOG. A. #  u(1;2;¡2). B. #  u(1;2;¡1). C. #  u(2;1;¡2). D. #  u(2;2;¡2). -Lờigiải. G làtrọngtâm4ABC tọađộcủaG là (2;2;¡2). Tacó #  OGÆ(2;2;¡2).Dođó #  u(2;2;¡2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳngOG. Chọnđápán D ä Câu225. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,xácđịnhphươngtrìnhmặtcầucótâm I(3;¡1;2)và tiếpxúcmặtphẳng (P): xÅ2y¡2zÆ0. A. (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ2. B. (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ1. C. (xÅ3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ1. D. (xÅ3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4. -Lờigiải. Tacó d(I,(P))Æ j3Å2¢(¡1)¡2¢2j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ1. Phươngtrìnhmặtcầucótâm I vàtiếpxúcmặtphẳng (P)là (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ1. Chọnđápán B ä Câu226. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S):(xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ1.Mặtcầu S có tâm I là A. I(1;¡2;3). B. I(1;2;¡3). C. I(¡1;2;¡3). D. I(¡1;2;3). -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;¡3). Chọnđápán C ä Câu227. TrongkhônggianOxyz chođiểm M(0;¡3;2).Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. #  OMÆ¡3 #  i Å2 #  j. B. #  OMÆ¡3 #  i Å2 #  j Å #  k. C. #  OMÆ¡3 #  j Å2 #  k. D. #  OMÆ¡3 #  i Å2 #  k. -Lờigiải. Theođịnhnghĩavéc-tơtrongkhônggianOxyz,điểm M(0;¡3;2)nên #  OMÆ¡3 #  j Å2 #  k. Chọnđápán C ä Câu228. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(2;1;0), #  b Æ(¡1;0;2). Tính cos( #  a, #  b). A. cos( #  a, #  b)Æ 2 25 . B. cos( #  a, #  b)Æ¡ 2 25 . C. cos( #  a, #  b)Æ¡ 2 5 . D. cos( #  a, #  b)Æ 2 5 . -Lờigiải. cos( #  a, #  b)Æ #  a¢ #  b j #  aj¢j #  bj Æ 2¢(¡1)Å1¢0Å0¢2 p 2 2 Å1 2 Å0 2 ¢ p (¡1) 2 Å0 2 Å2 2 Æ¡ 2 5 . Chọnđápán C ä Câu229. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ6yÅ8zÅ4Æ0. Xác định tọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(2;¡3;¡4), RÆ25. B. I(¡2;3;4), RÆ5. C. I(2;¡3;¡4), RÆ5. D. I(2;¡3;¡4), RÆ p 5. -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ6yÅ8zÅ4Æ0,(x¡2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(zÅ4) 2 Æ25. Vậymặtcầu (S)cótâm I(2;¡3;¡4)vàbánkính RÆ5. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 48 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu230. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;¡2;3), I(1;0;4). Tìm tọa độ điểm N saochođiểm I làtrungđiểmcủađoạnthẳng MN. A. N(5;¡4;2). B. N(0;1;2). C. N µ 2;¡1; 7 2 ¶ . D. N(¡1;2;5). -Lờigiải. Vì I làtrungđiểmcủađoạnthẳng MN nên 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x M Åx N 2 y I Æ y M Åy N 2 z I Æ z M Åz N 2 , ( x N Æ2x I ¡x M y N Æ2y I ¡y M z N Æ2z I ¡z M , ( x N Æ2¢1¡3 y N Æ2¢0Å2 z N Æ2¢4¡3 , ( x N Æ¡1 y N Æ2 z N Æ5. Vậy N(¡1;2;5). Chọnđápán D ä Câu231. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm M(2;¡1;4).Gọi H làhìnhchiếu vuônggóccủa M lênmặtphẳng (Oxy).Tọađộđiểm H là A. H(0;¡1;0). B. H(0;¡1;4). C. H(2;¡1;0). D. H(2;0;4). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủa M(2;¡1;4)lênmặtphẳng (Oxy)làđiểm H(2;¡1;0). Chọnđápán C ä Câu232. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(¡2;1;2). Tìm tọa độ điểm M thỏamãn #  MBÆ2 #  MA. A. M(4;3;1). B. M(¡1;3;5). C. M µ ¡ 1 2 ; 3 2 ; 5 2 ¶ . D. M(4;3;4). -Lờigiải. Gọi M(x;y;z)làđiểmthỏađiềukiện #  MBÆ2 #  MA. #  MBÆ(¡2¡x;1¡y;2¡z), #  MAÆ(1¡x;2¡y;3¡z). Tacó #  MBÆ2 #  MA, ( ¡2¡xÆ2(1¡x) 1¡yÆ2(2¡y) 2¡zÆ2(3¡z) , ( xÆ4 yÆ3 zÆ4 .Vậy M(4;3;4). Chọnđápán D ä Câu233. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(2;4;¡2) và #  b Æ(3;¡1;6). Tínhgiátrịcủa PÆ #  a¢ #  b. A. PÆ¡10. B. PÆ¡40. C. PÆ16. D. PÆ¡34. -Lờigiải. Tacó #  a¢ #  b Æ2£3Å4£(¡1)Å(¡2)£6Æ¡10. Chọnđápán A ä Câu234. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;¡4;¡5).Tìmtọađộđiểm A 0 đối xứngvới A quamặtphẳng (Oxz)là A. (1;¡4;5). B. (¡1;4;5). C. (1;4;5). D. (1;4;¡5). -Lờigiải. Dễ thấy phương trình mặt phẳng (Oxz): yÆ0 nên suy ra điểm đối xứng với A(1;¡4;¡5) qua (Oxz)làđiểm A 0 (1;4;¡5). Chọnđápán D ä Câu235. TrongkhônggiantoạđộOxyz,chođiểm A(2;4;3).Khoảngcáchtừđiểm A đếnmặt phẳng (Oyz)là A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. -Lờigiải. Hình chiếu của điểm A xuống mặt phẳng (Oyz) là H(0;4;3) nên khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng (Oyz)là AHÆ2. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 49 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu236. TrongkhônggiantoạđộOxyz,chohaiđiểm A(1;¡2;3),B(2;3;¡4).Gọi(S)làmặtcầu cótâm A vàbánkínhbằng AB.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ75. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ11. C. (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ4) 2 Æ75. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ75. -Lờigiải. Vì #  ABÆ(1;5;¡7) nên bán kính của mặt cầu (S) là ABÆ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p 75. Suy ra phương trình mặt cầu (S)là (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ75. Chọnđápán A ä Câu237. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ25. Tìm tọa độ tâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;0), RÆ5. B. I(¡1;2;0), RÆ25. C. I(1;¡2;0), RÆ25. D. I(¡1;2;0), RÆ5. -Lờigiải. Mặtcầu (S): (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 cótâmlà I(a;b;c)vàbánkínhlà R. Dođó,mặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ25cótâm I(1;¡2;0)vàbánkính RÆ5. Chọnđápán A ä Câu238. Mặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ6z¡2Æ0cótâm I vàbánkính R lầnlượtlà A. I(¡1;2;¡3), RÆ16. B. I(¡1;2;¡3), RÆ4. C. I(¡1;2;¡3), RÆ p 12. D. I(1;¡2;3), RÆ4. -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ6z¡2Æ0,(xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ16. Vậymặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;¡3)vàbánkính RÆ4. Chọnđápán B ä Câu239. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S)cóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 Å 2x¡4yÅ6z¡2Æ0.Tìmtọađộtâm I vàtínhbánkính R của (S). A. Tâm I(¡1;2;¡3)vàbánkính RÆ4. B. Tâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ4. C. Tâm I(¡1;2;3)vàbánkính RÆ4. D. Tâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ16. -Lờigiải. Tacó (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ16. Dođómặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;¡3)vàbánkính RÆ4. Chọnđápán A ä Câu240. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm A(3;¡1;5), B(m;2;7).Tìmtấtcảcác giátrịcủa mđểđộdàiđoạn ABÆ7. A. mÆ9hoặc mÆ¡3. B. mÆ¡3hoặc mÆ¡9. C. mÆ9hoặc mÆ3. D. mÆ3hoặc mÆ¡3. -Lờigiải. ABÆ7, È (m¡3) 2 Å3 2 Å2 2 Æ7,(m¡3) 2 Æ36, h m¡3Æ6 m¡3Æ¡6 , h mÆ9 mÆ¡3. Chọnđápán A ä Câu241. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S)cóphươngtrìnhx 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6zÅ9Æ 0.Tìmtọađộtâm I vàtínhbánkính R củamặtcầu (S). A. I(¡1;2;3), RÆ p 5. B. I(1;¡2;3), RÆ p 5. C. I(1;¡2;3), RÆ5. D. I(¡1;2;¡3), RÆ5. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(1;¡2;3)và RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ p 1 2 Å(¡2) 2 Å3 2 ¡9Æ p 5. Chọnđápán B ä Câu242. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chobađiểm A(1;2;0), B(2;1;1), C(0;3;¡1).Xét bốnkhẳngđịnhsau (I). BCÆ2AB. (II).Điểm B thuộcđoạn AC. (III).Bađiểm A,B,C tạothànhmộttamgiác. (IV).Bađiểm A, B, C thẳnghàng. Trongbốnkhẳngđịnhtrêncáckhẳngđịnhsailà A. (I)và(II). B. (II)và(III). C. (II)và(IV). D. (III)và(IV). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 50 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  ABÆ(1;¡1;1), #  ACÆ(¡1;1;¡1)Æ¡ #  ABnênđiểm A làtrungđiểmcủaBCvà A,B,C thẳng hàng.Từđótathấykếtluận(II)và(III)làsai. Chọnđápán B ä Câu243. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(3;¡1;1).Điểmđốixứngcủa A quamặtphẳng (Oyz)làđiểm A. M(¡3;¡1;1). B. N(0;¡1;1). C. P(0;¡1;0). D. Q(0;0;1). -Lờigiải. Giữnguyên y,z vàđổidấu xnêntasuyrađiểmđốixứngcủa A quamặtphẳng (Oyz)làđiểm M(¡3;¡1;1). Chọnđápán A ä Câu244. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho #  a Æ(1;2;3), #  b Æ(¡2;3;¡1). Khi đó #  aÅ #  b cótọađộlà A. (¡1;5;2). B. (3;¡1;4). C. (1;5;2). D. (1;¡5;¡2). -Lờigiải. Tacó #  aÅ #  b Æ(¡1;5;2). Chọnđápán A ä Câu245. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tâmIcủamặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8x¡2yÅ1Æ0 cótọađộlà A. I(4;1;0). B. I(4;¡1;0). C. I(¡4;1;0). D. I(¡4;¡1;0). -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8x¡2yÅ1Æ0,(x¡4) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ16.Dođómặtcầu (S)cótọađộtâmlà I(4;1;0). Chọnđápán A ä Câu246. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;¡1), B(1;2;3). Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. p 3. B. p 22. C. 18. D. 3 p 2. -Lờigiải. ABÆ p (x 2 ¡x 1 ) 2 Å(y 2 ¡y 1 ) 2 Å(z 2 ¡z 1 ) 2 Æ p (1¡2) 2 Å(2¡1) 2 Å(3Å1) 2 Æ3 p 2. Chọnđápán D ä Câu247. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ4) 2 Æ4. Tìmtoạđộtâm I vàbánkính R củamặtcầuđãcho. A. I(3;1;¡4),RÆ2. B. I(¡3;¡1;4),RÆ2. C. I(3;1;¡4),RÆ4. D. I(¡3;¡1;4),RÆ4. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(3;1;¡4)vàbánkính RÆ2. Chọnđápán A ä Câu248. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(¡3;2;¡1).Tọađộđiểm A 0 đốixứng vớiđiểm A quagốctọađộO là A. A 0 (3;¡2;1). B. A 0 (3;2;¡1). C. A 0 (3;¡2;¡1). D. A 0 (3;2;1). -Lờigiải. Tacó ( x A 0Æ2x O ¡x A Æ3 y A 0Æ2y O ¡y A Æ¡2 z A 0Æ2z O ¡z A Æ1 .Vậy A 0 (3;¡2;1). Chọnđápán A ä Câu249. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Tọađộtâm I vàbánkính R của (S)là A. I(¡1;2;1), RÆ9. B. I(1;¡2;¡1), RÆ9. C. I(1;¡2;¡1), RÆ3. D. I(¡1;2;1), RÆ3. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;¡1),bánkính RÆ3. Chọnđápán C ä Câu250. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hình chiếu của điểm M(1;¡3;¡5) trên mặt phẳng (Oyz)cótoạđộlà A. (0;¡3;0). B. (0;¡3;¡5). C. (0;¡3;5). D. (1;¡3;0). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 51 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Phương trình mặt phẳng (Oyz) là xÆ0 và hình chiếu của điểm I(a;b;c) lên mặt phẳng (Oyz) là (0;b;c). Chọnđápán B ä Câu251. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ (¡1;1;0), #  b Æ (1;1;0) và #  c Æ(1;1;1).Mệnhđềnàodướiđâysai? A. #  c ? #  b. B. ¯ ¯ #  c ¯ ¯ Æ p 3. C. #  a? #  b. D. ¯ ¯ #  a ¯ ¯ Æ p 2. -Lờigiải. Tacó #  c¢ #  b Æ1¢1Å1¢1Å1¢0Æ26Æ0nênmệnhđề #  c ? #  b làsai. Chọnđápán A ä Câu252. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tínhbánkínhR củamặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 2x¡2yÆ0. A. RÆ p 2. B. RÆ2. C. RÆ p 3. D. RÆ1. -Lờigiải. Với hình cầu x 2 Åy 2 Åz 2 Å2axÅ2byÅ2czÅdÆ0 thì bán kính là RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡d. Nên bán kínhcủa (S)là RÆ p 2. Chọnđápán A ä Câu253. TrongkhônggianOxyz,cho A(¡1;0;1)và B(1;¡1;2).Tọađộcủa #  AB là A. (2;¡1;1). B. (0;¡1;¡1). C. (¡2;1;¡1). D. (0;¡1;3). -Lờigiải. Tọađộcủa #  ABÆ(2;¡1;1). Chọnđápán A ä Câu254. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ2z¡3Æ0 có tâm và bán kínhlà A. I(2;¡1;1), RÆ9. B. I(¡2;1;¡1), RÆ3. C. I(2;¡1;1), RÆ3. D. I(¡2;1;¡1), RÆ9. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡2;1;¡1)vàbánkính RÆ p (¡2) 2 Å1 2 Å(¡1) 2 ¡(¡3)Æ3. Chọnđápán B ä Câu255. TrongkhônggianOxyz,điểmnàosauđâythuộctrụctungOy? A. Q(0;¡10;0). B. P(10;0;0). C. N(0;0;¡10). D. M(¡10;0;10). -Lờigiải. ĐiểmthuộctrụctungOysuyra xÆ0và zÆ0. Chọnđápán A ä Câu256. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(2;¡2;3) đi qua điểm A(5;¡2;1)cóphươngtrình A. (x¡5) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ p 13. B. (xÅ2) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ13. C. (x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ13. D. (x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 13. -Lờigiải. Mặtcầucóbánkính RÆIAÆ p 13. Mặtcầutâm I(2;¡2;3)bánkính RÆ p 13là (x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ13. Chọnđápán C ä Câu257. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(¡2;5;1). Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng A. p 29. B. 2. C. p 5. D. p 26. -Lờigiải. d(M,Ox)Æ È y 2 M Åz 2 M Æ p 26. Chọnđápán D ä Câu258. Trongkhônggian Oxyz,chobavéc-tơ #  a Æ(1;2;3), #  b Æ(¡2;0;1), #  c Æ(¡1;0;1).Tọađộ củavéc-tơ #  nÆ #  aÅ #  bÅ2 #  c¡3 #  i là A. (¡6;2;6). B. (0;2;6). C. (6;2;¡6). D. (6;2;6). -Lờigiải. #  nÆ #  aÅ #  bÅ2 #  c¡3 #  i Æ(1;2;3)Å(¡2;0;1)Å2¢(¡1;0;1)¡3¢(1;0;0)Æ(¡6;2;6). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 52 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu259. TrongkhônggianOxyz,véc-tơ #  v Æ2 #  i Å5 #  j ¡ #  k cótọađộbằngbaonhiêu? A. (¡2;¡5;1). B. µ 1; 5 2 ;¡ 1 2 ¶ . C. µ 2 3 ; 5 3 ;¡ 1 3 ¶ . D. (2;5;¡1). -Lờigiải. Tacó #  v Æ2 #  i Å5 #  j ¡ #  k Æ(2;5;¡1). Chọnđápán D ä Câu260. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;4), B(¡1;1;2).Tínhđộdàiđoạnthẳng AB. A. ABÆ5. B. ABÆ p 5. C. ABÆ3. D. ABÆ p 3. -Lờigiải. Tacó ABÆ p (¡1Å1) 2 Å(1¡2) 2 Å(2¡4) 2 Æ p 5. Chọnđápán B ä Câu261. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  a Æ(1;3;4). Tìm véc-tơ #  b cùng phươngvới #  a. A. #  b=(2;-6;-8). B. #  b=(-2;-6;-8). C. #  b=(-2;-6;8). D. #  b=(-2;6;8). -Lờigiải. Véc-tơ #  b cùngphươngvới #  a khi #  b Æk #  a.Vậy #  b Æ(¡2;¡6;¡8). Chọnđápán B ä Câu262. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vec-tơ #  a Æ(0;1;3); #  b Æ(¡2;3;1). Tìm tọađộcủavec-tơ #  x biết #  x Æ3 #  aÅ2 #  b. A. #  x Æ(¡2;4;4). B. #  x Æ(4;¡3;7). C. #  x Æ(¡4;9;11). D. #  x Æ(¡1;9;11). -Lờigiải. 3 #  aÆ(0;3;9);2 #  b Æ(¡4;6;2)) #  x Æ3 #  aÅ2 #  b Æ(¡4;9;11). Chọnđápán C ä Câu263. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(3;¡1;2), C(6;0;1). Tìmtọađộđiểm D đểtứgiác ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(4;3;¡2). B. D(8;¡3;4). C. D(¡4;¡3;2). D. D(¡2;1;0). -Lờigiải. Gọi D(x;y;z).Tacó #  DCÆ(6¡x;¡y;1¡z), #  ABÆ(2;¡3;3). Dotứgiác ABCD làhìnhbìnhhànhnên #  DCÆ #  AB, ( 6¡xÆ2 ¡yÆ¡3 1¡zÆ3 , ( xÆ4 yÆ3 zÆ¡2 )D(4;3;¡2). Chọnđápán A ä Câu264. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ4.Tìmtâm I vàbán kính r củamặtcầu (S). A. I(1;0;¡3), rÆ4. B. I(¡1;0;3), rÆ2. C. I(¡1;0;3), rÆ4. D. I(1;0;¡3), rÆ2. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmlàđiểm I(¡1;0;3)vàbánkính rÆ2. Chọnđápán B ä Câu265. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(2;¡1;3)vàB(3;1;2).Tọađộ #  ABlàbộsốnào sauđây? A. (1;0;¡1). B. (1;¡2;¡1). C. (1;2;¡1). D. (¡1;¡2;1). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;¡1). Chọnđápán C ä Câu266. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmM(1;0;¡2)vàN(4;3;0).Tínhđộdàiđoạnthẳng MN. A. MNÆ p 14. B. MNÆ(3;3;2). C. NMÆ p 22. D. NMÆ(¡3;¡3;¡2). -Lờigiải. Tacó MNÆ p (4¡1) 2 Å(3¡0) 2 Å(0Å2) 2 Æ p 22. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu267. TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  uÆ(1;¡3;4)và #  v Æ(1;3;0).Tính #  u¢ #  v. A. (1;¡3;4). B. ¡8. C. ¡5. D. (1;¡9;0). -Lờigiải. Tacó #  u¢ #  v Æ1¢1Å(¡3)¢3Å4¢0Æ¡8. Chọnđápán B ä Câu268. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với A(4;¡3;5), B(2;1;3)là A. x 2 Åy 2 Åz 2 Å6xÅ2y¡8z¡26Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡8zÅ20Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Å6x¡2yÅ8z¡20Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡8zÅ26Æ0. -Lờigiải. Tacó ABÆ p (2¡4) 2 Å(1Å4) 2 Å(3¡5) 2 Æ2 p 6.Gọi I, R làtâmvàbánkínhcủamặtcầu (S)suy ra RÆ AB 2 Æ p 6và I(3;¡1;4).Khiđóphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ6,x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡8zÅ20Æ0 Chọnđápán B ä Câu269. TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  uÆ #  i p 3Å #  k và #  v Æ #  j p 3Å #  k.Khiđótíchvô hướngcủa #  u¢ #  v bằng A. 2. B. 1. C. ¡3. D. 3. -Lờigiải. Dogiảthiếtnên #  u ¡p 3;0;1 ¢ và #  v ¡ 0; p 3;1 ¢ .Khiđó #  u¢ #  v Æ p 3¢0Å0¢ p 3Å1¢1Æ1. Chọnđápán B ä Câu270. TrongkhônggianOxyz,cho A(1;5;¡2);B(2;1;1).TọađộtrungđiểmIcủađoạnthẳng AB là A. I µ 3 2 ;3;¡ 1 2 ¶ . B. I µ 3 2 ;3; 1 2 ¶ . C. I µ 3 2 ;2;¡ 1 2 ¶ . D. I(3;6;¡1). -Lờigiải. Tacó 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 y I Æ y A Åy B 2 z I Æ z A Åz B 2 , 8 > > > > < > > > > : x I Æ 3 2 y I Æ3 z I Æ¡ 1 2 . Suyra I µ 3 2 ;3;¡ 1 2 ¶ . Chọnđápán A ä Câu271. Trongkhônggian Oxyz chocácvectơ #  aÆ(1;¡1;2), #  b Æ(3;0;¡1), #  c Æ(¡2;5;1).Tọađộ củavectơ #  uÆ #  aÅ #  b¡ #  c là A. #  uÆ(¡6;6;0). B. #  uÆ(6;¡6;0). C. #  uÆ(6;0;¡6). D. #  uÆ(0;6;¡6). -Lờigiải. Dễdàngtínhđược #  uÆ #  aÅ #  b¡ #  c Æ(6;¡6;0). Chọnđápán B ä Câu272. TrongkhônggianvớiOxyz,chocácvéc-tơ #  aÆ(¡5;3;¡1), #  b Æ(1;2;1)và #  c Æ(m;3;¡1) Giátrịcủa msaocho #  aÆ[ #  b, #  c] A. mÆ¡1. B. mÆ¡2. C. mÆ1. D. mÆ2. -Lờigiải. Tacó #  aÆ[ #  b, #  c]Æ(¡5;mÅ1;3¡2m)) n mÅ1Æ3 3¡2mÆ¡1 ,mÆ2. Chọnđápán D ä Câu273. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;3) và B(5;4;7). Phươngtrìnhmặtcầunhận AB làmđườngkínhlà A. (x¡6) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡10) 2 Æ17. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ17. C. (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡5) 2 Æ17. D. (x¡5) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡7) 2 Æ17. Th.sNguyễnChínEm 54 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tọađộtâmvàbánkínhmặtcầulà I µ 1Å5 2 ; ¡2Å4 2 ; 3Å7 2 ¶ Æ(3;1;5); RÆIAÆ p (3¡1) 2 Å(1Å2) 2 Å(5¡3) 2 Æ p 17. Vậyphươngtrìnhmặtcầunhận AB làmđườngkínhlà (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡5) 2 Æ17. Chọnđápán C ä Câu274. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,điểmnàodướiđâythuộctrụcOy? A. N(2;0;0). B. Q(0;3;2). C. P(2;0;3). D. M(0;¡3;0). -Lờigiải. Điểm A(x;y;z)2Oy, n xÆ0 zÆ0 .Suyra,trong 4điểmđãcho,điểm M(0;¡3;0)2Oy. Chọnđápán D ä Câu275. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;¡1;0), B(0;2;0) và C(2;1;3). Tọa độ điểm M thỏamãn #  MA¡ #  MBÅ #  MCÆ #  0 là A. MÆ(3;2;¡3). B. MÆ(3;¡2;3). C. MÆ(3;¡2;¡3). D. MÆ(3;2;3). -Lờigiải. Giảsử MÆ(x;y;z).Khiđó #  MA¡ #  MBÅ #  MCÆ #  0 , ( (1¡x)¡(0¡x)Å(2¡x)Æ0 (¡1¡y)¡(2¡y)Å(1¡y)Æ0 (0¡z)¡(0¡z)Å(3¡z)Æ0 , ( xÆ3 yÆ¡2 zÆ3. Vậy MÆ(3;¡2;3). Chọnđápán B ä Câu276. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;¡3;1). Viết phương trình mặt cầutâm A vàcóbánkính RÆ5. A. (xÅ2) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ5. B. (x¡2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ25. C. (x¡2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. D. (xÅ2) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25. -Lờigiải. Mặtcầutâm A(2;¡3;1)vàbánkính RÆ5cóphươngtrìnhlà (x¡2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ25. Chọnđápán B ä Câu277. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđiểm M(1;¡2;3)và N(3;1;4).Tínhđộ dàivéc-tơ #  MN. A. j #  MNjÆ6. B. j #  MNjÆ p 66. C. j #  MNjÆ2. D. j #  MNjÆ p 14. -Lờigiải. Ápdụngcôngthứckhoảngcách,j #  MNjÆMNÆ p (3¡1) 2 Å(1¡(¡2)) 2 Å(4¡3) 2 Æ p 14. Chọnđápán D ä Câu278. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;3), B(2;3;¡4),C(¡3;1;2). Tìmtọađộđiểm D saochotứgiác ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(¡2;4;¡5). B. D(4;2;9). C. D(6;2;¡3). D. (¡4;¡2;9). -Lờigiải. Gọi D(x;y;z)) #  CDÆ(xÅ3;y¡1;z¡2)và #  BAÆ(¡1;¡3;7). Đểtứgiác ABCD làhìnhbìnhhànhtacó #  BAÆ #  CD ) ( xÅ3Æ¡1 y¡1Æ¡3 z¡2Æ7 )D(¡4;¡2;9). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu279. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;1;¡2), N(4;¡5;1). Tìm độ dàiđoạnthẳng MN. A. 49. B. 7. C. p 7. D. p 41. -Lờigiải. Tacó #  MNÆ(2;¡6;3))MNÆ p 4Å36Å9Æ7. Chọnđápán B ä Câu280. Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu có tâm I(¡1;0;0) và bán kính RÆ9. A. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ3. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ81. C. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ3. D. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ9. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡(¡1)) 2 Å(y¡0) 2 Å(z¡0) 2 Æ9 2 ,(xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ81. Chọnđápán B ä Câu281. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtcầu? A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡xÅ1Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ9Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Å9Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2Æ0. -Lờigiải. Ta có x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2Æ0,(x¡0) 2 Å(y¡0) 2 Å(z¡0) 2 Æ ¡p 2 ¢ 2 . Mặt cầu có tâm O(0;0;0), bán kính RÆ p 2. Chọnđápán D ä Câu282. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ 9.Tìmtọađộtâm I vàtínhbánkính R củamặtcầu (S). A. I(¡1;2;1)và RÆ3. B. I(¡1;2;1)và RÆ9. C. I(1;¡2;¡1)và RÆ3. D. I(1;¡2;¡1)và RÆ9. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;1)vàbánkính RÆ p 9Æ3. Chọnđápán A ä Câu283. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chovéc-tơ #  uÆ2 #  iÅ3 #  j¡5 #  k.Tọađộvéc-tơ #  u là A. #  uÆ(2;¡3;¡5). B. #  uÆ(¡2;¡3;5). C. #  uÆ(¡2;3;¡5). D. #  uÆ(2;3;¡5). -Lờigiải. Chúýrằngnếu #  uÆa #  i Åb #  j Åc #  k thì #  uÆ(a;b;c). Chọnđápán D ä Câu284. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tínhđộdàiđoạn ABvới A(1;¡1;0),B(2;0;¡2). A. ABÆ2. B. ABÆ p 2. C. ABÆ6. D. ABÆ p 6. -Lờigiải. #  ABÆ(1;1;¡2))ABÆ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p 1 2 Å1 2 Å(¡2) 2 Æ p 6. Chọnđápán D ä Câu285. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho #  OAÆ #  i¡2 #  jÅ3 #  k.Tìmtọađộđiểm A. A. A(¡1;¡2;¡3). B. A(1;2;3). C. A(1;¡2;3). D. A(2;¡4;6). -Lờigiải. #  OAÆ #  i ¡2 #  j Å3 #  k Æ(1;¡2;3))A(1;¡2;3). Chọnđápán C ä Câu286. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4yÅ2zÅ2Æ0. A. I(¡1;¡2;1),RÆ2. B. I(1;2;¡1),RÆ2 p 2. C. I(¡1;¡2;1),RÆ2 p 2. D. I(1;2;¡1),RÆ2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;¡1)vàbánkính RÆ p 1 2 Å2 2 Å(¡1) 2 ¡2Æ2. Chọnđápán D ä Câu287. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC với A(1;¡1;0), B(2;0;¡2), C(0;¡2;¡4)là A. G(1;¡1;¡2). B. G(1;¡1;2). C. G(¡1;¡1;¡2). D. G(¡1;1;2). -Lờigiải. TọađộđiểmG là 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 Æ 1Å2Å0 3 Æ1 y G Æ y A Åy B Åy C 3 Æ ¡1Å0¡2 3 Æ¡1 z G Æ z A Åz B Åz C 3 Æ 0¡2¡4 3 Æ¡2 )G(1;¡1;¡2). Chọnđápán A ä Câu288. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm M(¡2;6;1)và M 0 (a;b;c)đối xứngnhauquamặtphẳng (Oyz).Tính SÆ7a¡2bÅ2017c¡1. A. SÆ2017. B. SÆ2042. C. SÆ0. D. SÆ2018. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa M lên (Oyz),suyra H(0;6;1). Do M 0 đốixứngvới M qua (Oyz)nên MM 0 nhận H làmtrungđiểm,suyra M 0 (2;6;1). Vậy TÆ7£2¡2£6Å2017£1¡1Æ2018. Chọnđápán D ä Câu289. Trongkhônggianvớihệtọađộ ³ O; #  i; #  j; #  k ´ ,chovéc-tơ #  OMÆ #  j¡ #  k.Tìmtọađộđiểm M. A. M(0;1;¡1). B. M(1;1;¡1). C. M(1;¡1). D. M(1;¡1;0). -Lờigiải. Có #  OMÆ #  j ¡ #  k Æ0¢ #  i Å1¢ #  j ¡1¢ #  k,suyra M(0;1;¡1). Chọnđápán A ä Câu290. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu tâm I(1;3;2), bán kính R Æ 4 có phươngtrình A. (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ8. B. (x¡1)Å(y¡3)Å(z¡2)Æ16. C. (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ16. D. (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ4. -Lờigiải. Phươngtrìnhcủamặtcầulà (S):(x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ4 2 Æ16. Chọnđápán C ä Câu291. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho #  uÆ(¡2;3;0), #  v Æ(2;¡2;1).Độdàicủa véc-tơ #  wÆ #  u¡2 #  v là A. 3 p 7. B. p 83. C. p 89. D. 3 p 17. -Lờigiải. Tacó #  wÆ #  u¡2 #  v Æ(¡2;3;0)¡2(2;¡2;1)Æ(¡6;7;¡2). Vậymô-đuncủavéc-tơ #  w là ¯ ¯ #  w ¯ ¯ Æ p 89. Chọnđápán C ä Câu292. Tìmđộdàiđườngkínhcủamặtcầu(S)cóphươngtrìnhx 2 Åy 2 Åz 2 ¡2yÅ4zÅ2Æ0. A. 2 p 3. B. 2. C. 1. D. p 3. -Lờigiải. Mặt cầu có tâm I(0;1;¡2) và bán kính R Æ p 0 2 Å1 2 Å2 2 ¡2Æ p 3 nên độ dài đường kính là `Æ2RÆ2 p 3. Chọnđápán A ä Câu293. Chohaiđiểm A(5;1;3), H(3;¡3;¡1).Tọađộcủađiểm A 0 đốixứngvới Aqua H là A. (¡1;7;5). B. (1;7;5). C. (1;¡7;¡5). D. (1;¡7;5). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 57 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do A 0 đốixứngvới A qua H nên AA 0 nhận H làmtrungđiểm) ( x A 0Æ2x H ¡x A Æ1 y A 0Æ2y H ¡y A Æ¡7 z A 0Æ2z H ¡z A Æ¡5. Chọnđápán C ä Câu294. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu của điểm M(1;¡3;¡5) trên mặt phẳngOxycótọađộlà A. (1;¡3;5). B. (1;¡3;2). C. (1;¡3;0). D. (1;¡3;1). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm M(1;¡3;¡5)trênmặtphẳngOxycótọađộlà (1;¡3;0). Chọnđápán C ä Câu295. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(¡1;1;0), #  b Æ(1;1;0), #  c Æ (1;1;1).Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàolàsai? A. #  b ? #  c. B. #  a? #  b. C. j #  ajÆ p 2. D. j #  cjÆ p 3. -Lờigiải. Tacó #  b¢ #  c Æ1¢1Å1¢1Å1¢0Æ2.Dođó #  b khôngvuônggócvới #  c. Chọnđápán A ä Câu296. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(¡1;1;0), #  b Æ(1;1;0), #  c Æ (1;1;1).Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. #  a¢ #  c Æ1. B. cos( #  b, #  c)Æ 2 p 6 . C. #  a, #  b cùngphương. D. #  aÅ #  bÅ #  c Æ #  0. -Lờigiải. Tacó 1 cos( #  b, #  c)Æ 2 p 2¢ p 3 Æ 2 p 6 . 2 #  a¢ #  c Æ0. 3 Dễthấy #  a, #  b khôngcùngphươngvì ¡1 1 6Æ 1 1 . 4 #  aÅ #  bÅ #  c Æ(1;2;1). Chọnđápán B ä Câu297. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,phươngtrìnhmặtcầutâmK(0;2;2 p 2)vàtiếp xúcvớimặtphẳng (Oxy)là A. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2 p 2) 2 Æ4. B. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2 p 2) 2 Æ8. C. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2 p 2) 2 Æ2 p 2. D. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2 p 2) 2 Æ2. -Lờigiải. Bán kính mặt cầu tâm K và tiếp xúc với (Oxy) là RÆd(K,(Oxy))Æ2 p 2) phương trình mặt cầulà x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2 p 2) 2 Æ8. Chọnđápán B ä Câu298. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡2Æ0. Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;3)và RÆ p 12. B. I(1;¡2;3)và RÆ4. C. I(¡1;2;¡3)và RÆ16. D. I(¡1;2;¡3)và RÆ4. -Lờigiải. Tacó aÆ1, bÆ¡2, cÆ3, dÆ¡2. Tâmmặtcầu I(1;¡2;3),bánkính RÆ p 1 2 Å(¡2) 2 Å3 2 ¡(¡2)Æ4. Chọnđápán B ä Câu299. Trong không gian Oxyz, cho điểm A thỏa mãn #  OAÆ2 #  i ¡3 #  j Å7 #  k. Khi đó tọa độ điểm A là A. (¡2;3;7). B. (2;¡3;7). C. (¡3;2;7). D. (2;7;¡3). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  i Æ(1;0;0), #  j Æ(0;1;0), #  k Æ(0;0;1). Vậy #  OAÆ2 #  i ¡3 #  j Å7 #  k Æ(2;¡3;7). Chọnđápán B ä Câu300. Trong không gian Oxyz, cho véc-tơ #  u thỏa #  u Æ¡4 #  i Å5 #  j Å6 #  k. Khi đó véc-tơ #  u có tọađộlà A. (¡4;5;6). B. (4;¡5;¡6). C. (5;¡4;6). D. (¡4;6;5). -Lờigiải. Tacó #  i Æ(1;0;0), #  j Æ(0;1;0), #  k Æ(0;0;1). #  uÆ¡4 #  i Å5 #  j Å6 #  k Æ(¡4;5;6). Chọnđápán A ä Câu301. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0. Tìmtọađộtâm I vàbánkính R của (S). A. I(1;¡2;3),RÆ p 3. B. I(1;¡2;3),RÆ5. C. I(¡1;2;¡3),RÆ p 3. D. I(¡1;2;¡3),RÆ5. -Lờigiải. Tacó: aÆ1,bÆ¡2,cÆ3,dÆ¡11.Vậytâm I(1;¡2;3),RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ5. Chọnđápán B ä Câu302. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;0;2).Mệnhnàosauđâyđúng? A. M2(Oxz). B. M2(Oyz). C. M2Oy. D. M2(Oxy). -Lờigiải. Mọi điểm có thành phần tung độ bằng 0 đều thuộc mặt phẳng (Oxz). Do đó điểm M(1;0;2) thuộcmặtphẳng (Oxz). Chọnđápán A ä Câu303. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;¡4;5). Hình chiếu vuông góc củađiểm A trênmặtphẳng (Oxz)làđiểm A. M(3;0;5). B. M(3;0;0). C. M(0;¡4;5). D. M(0;0;5). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(3;¡4;5)trênmặtphẳng (Oxz)làđiểm M(3;0;5). Chọnđápán A ä Câu304. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;3;¡1) và B(1;¡1;9). Tọa độ trung điểm I củađoạn AB là A. I(3;1;4). B. I(2;2;¡5). C. I(2;6;¡10). D. I(¡1;¡3;¡5). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I củađoạn AB là 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ 5Å1 2 Æ3 y I Æ 3¡1 2 Æ1 z I Æ ¡1Å9 2 Æ4. Chọnđápán A ä Câu305. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ #  a Æ(2;¡5;3), #  b Æ(0;2;¡1). Tọa độvectơ #  x thỏamãn 2 #  aÅ #  x Æ #  b là A. (¡4;2;3). B. (¡4;2;¡7). C. (¡4;12;¡3). D. (¡4;12;¡7). -Lờigiải. Tacó 2 #  aÆ(4;¡10;6)) #  x Æ #  b¡2 #  aÆ(¡4;12;¡7). Chọnđápán D ä Câu306. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  u Æ(3;0;6), #  v Æ(¡2;¡1;0). Tính tích vô hướng #  u¢ #  v. A. #  u¢ #  v Æ0. B. #  u¢ #  v Æ¡6. C. #  u¢ #  v Æ8. D. #  u¢ #  v Æ6. -Lờigiải. Tacó #  u¢ #  v Æ3¢(¡2)Å0¢(¡1)Å6¢0Æ¡6. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 59 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu307. Phươngtrìnhnàosauđâylàphươngtrìnhmặtcầutâm I(1;¡2;0)vàbánkínhbằng 2? A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ2. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ4. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ4. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ2. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡1) 2 Å(y¡(¡2)) 2 Å(z¡0) 2 Æ2 2 ,(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu308. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3) và B(3;¡2;¡1). Tọa độ trung điểm củađoạnthẳng AB làđiểm A. I(1;¡2;1). B. I(1;0;¡2). C. I(4;0;¡4). D. I(2;0;¡2). -Lờigiải. Tacó I µ 1Å3 2 ; 2¡2 2 ; ¡3¡1 2 ¶ Æ(2;0;¡2). Chọnđápán D ä Câu309. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(2;¡3;1) và #  b Æ(¡1;0;4). Tìmtọađộcủavéc-tơ #  uÆ¡2 #  aÅ3 #  b. A. #  uÆ(¡7;6;10). B. #  uÆ(¡7;6;¡10). C. #  uÆ(¡7;¡6;10). D. #  uÆ(7;6;10). -Lờigiải. Tacó¡2 #  aÆ(¡4;6;¡2)và 3 #  b Æ(¡3;0;12)) #  uÆ¡2 #  aÅ3 #  b Æ(¡7;6;10). Chọnđápán A ä Câu310. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4zÅ1Æ0. Tâmcủamặtcầulàđiểm A. I(1;¡2;0). B. I(1;0;¡2). C. I(¡1;2;0). D. I(0;1;2). -Lờigiải. Tacó (S):(x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ4)(S)cótâm I(1;0;¡2). Chọnđápán B ä Câu311. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz cho A(1;2;3), B(5;2;0).Khiđó A. ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ5. B. ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ2 p 3. C. ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p 61. D. ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ3. -Lờigiải. ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p (5¡1) 2 Å(2¡2) 2 Å(0¡3) 2 Æ5. Chọnđápán A ä Câu312. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(2;3;¡1)vàB(¡4;1;9).Tìmtọađộcủavéc-tơ #  AB. A. #  ABÆ(¡6;¡2;10). B. #  ABÆ(¡1;2;4). C. #  ABÆ(6;2;¡10). D. #  ABÆ(1;¡2;¡4). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡4¡2;1¡3;9Å1)Æ(¡6;¡2;10). Chọnđápán A ä Câu313. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;¡1;0)lênmặtphẳng (Oxz)là A. (0;0;0). B. (2;¡1;0). C. (2;0;0). D. (0;¡1;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;¡1;0)lênmặtphẳng (Oxz)làđiểmcótọađộ (2;0;0). Chọnđápán C ä Câu314. Trong không gian Oxyz cho #  OMÆ2 #  i ¡3 #  j Å #  k (ở đó #  i, #  j, #  k lần lượt là các véc-tơ đơnvịtrêntrụcOx,Oy,Oz).Tìmtọađộđiểm M. A. M(¡2;¡3;1). B. M(2;¡3;1). C. M(2;¡1;3). D. M(2;3;1). -Lờigiải. Tacó #  OMÆ(2;¡3;1))M(2;¡3;1). Chọnđápán B ä Câu315. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;¡1;2). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M quamặtphẳng (Oyz). A. N(0;¡1;2). B. N(3;1;¡2). C. N(¡3;¡1;2). D. N(0;1;1). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Lấyđốixứngquamặt (Oyz)thì xđổidấucòn y,z giữnguyênnên N(¡3;¡1;2). Chọnđápán C ä Câu316. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ6zÅ5Æ0. Mặt cầu (S)cóbánkínhbằng A. 3. B. 5. C. 2. D. 7. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu RÆ p 2 2 Å1 2 Å3 2 ¡5Æ3. Chọnđápán A ä Câu317. TrongkhônggiantọađộOxyz,chođiểm A(3;¡2;5).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A trênmặtphẳngtọađộ (Oxz)là A. M(3;0;5). B. M(3;¡2;0). C. M(0;¡2;5). D. M(0;2;5). -Lờigiải. Do M làhìnhchiếuvuônggóccủa A trênmặtphẳngtọađộ (Oxz)tasuyra M(3;0;5). Chọnđápán A ä Câu318. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S)cóphươngtrình (xÅ4) 2 Å(y¡ 3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9.Tọađộtâm I củamặtcầu (S)là A. I(4;¡3;1). B. I(¡4;3;1). C. I(¡4;3;¡1). D. I(4;3;1). -Lờigiải. Dạng phương trình mặt cầu (S) là (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 . Khi đó mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c).Vậy I(¡4;3;¡1). Chọnđápán C ä Câu319. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tìmtọađộ #  u biết #  uÆ2 #  i ¡3 #  j Å5 #  k. A. #  uÆ(5;¡3;2). B. #  uÆ(2;¡3;5). C. #  uÆ(2;5;¡3). D. #  uÆ(¡3;5;2). -Lờigiải. #  uÆ2 #  i ¡3 #  j Å5 #  k ) #  uÆ(2;¡3;5). Chọnđápán B ä Câu320. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S):(xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ4 có tâm I vàbánkính R bằng A. I(2;¡1;0),RÆ4. B. I(2;¡1;0),RÆ2. C. I(¡2;1;0),RÆ2. D. I(¡2;1;0),RÆ4. -Lờigiải. Phương trình mặt cầu có dạng (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 . Tâm I(a,b,c), bán kính R. Tâm I(¡2;1;0),bánkính RÆ2. Chọnđápán C ä Câu321. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6zÆ0 và ba điểm O(0;0;0), A(1;2;3), B(2;¡1;¡1). Trong số ba điểm trên số điểm nằm trên mặt cầu là A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. -Lờigiải. LầnlượtthaytọađộcácđiểmO,A,Bvàophươngtrìnhmặtcầu (S)tachỉthấyduynhấtđiểm O thuộcmặtcầu (S). Chọnđápán D ä Câu322. Chobađiểm A(2;1;4), B(¡2;2;¡6), C(6;0;¡1).Tích #  AB. #  AC bằng A. ¡67. B. 65. C. 33. D. 67. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡4;1;¡10)và #  ACÆ(4;¡1;¡5).Khiđótíchvôhướng #  AB. #  ACÆ33. Chọnđápán C ä Câu323. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡2Æ0có tâm I vàbánkính R là A. I(¡1;2;¡3),RÆ4. B. I(2;¡4;6),RÆ p 58. C. I(1;¡2;3),RÆ4. D. I(¡2;4;¡6),RÆ p 58. -Lờigiải. Tacó (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. Suyra I(1;¡2;3)và RÆ4. Th.sNguyễnChínEm 61 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu324. TrongkhônggiantọađộOxyz,điểmnàosauđâylàhìnhchiếucủađiểm M(2;1;¡3) lênmặtphẳngOxz? A. M 1 (2;1;0). B. M 2 (0;1;0). C. M 3 (0;1;¡3). D. M 1 (2;0;¡3). -Lờigiải. Dễthấy M 1 (2;0;¡3). Chọnđápán D ä Câu325. TrongkhônggiantọađộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡6z¡11Æ0.Tính bánkính R củamặtcầu. A. RÆ p 3. B. RÆ25. C. RÆ3. D. RÆ5. -Lờigiải. Viếtlạiphươngtrìnhmặtcầudướidạng (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ25.Vậy, RÆ5. Chọnđápán D ä Câu326. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2y¡2z¡1Æ0.Tâmvàbán kínhcủamặtcầu (S)là A. I(2;¡2;2), RÆ p 11. B. I(¡2;2;¡2),RÆ p 13. C. I(1;¡1;1), RÆ2. D. I(1;¡1;1), RÆ p 2. -Lờigiải. Ta có aÆ1, bÆ¡1, cÆ1, dÆ¡1 và a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ4È0. Vậy phương trình đã cho là phương trìnhmặtcầucótâmlà I(1;¡1;1)vàbánkínhlà RÆ p 4Æ2. Chọnđápán C ä Câu327. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtcầu? A. x 2 Åy 2 ¡z 2 Å4x¡2yÅ6zÅ5Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ6zÅ15Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅz¡1Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2xyÅ6z¡5Æ0. -Lờigiải. Phươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅz¡1Æ0làphươngtrìnhmặtcầuvìcódạnglà x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 2ax¡2by¡2czÅdÆ0vàthỏa a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0(dễnhậnbiếtvì dÆ¡1Ç0). Chọnđápán C ä Câu328. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chovéc-tơ #  uÆ(x;2;1)vàvéc-tơ #  v Æ(1;¡1;2x). Tínhtíchvôhướngcủa #  u và #  v. A. xÅ2. B. 3x¡2. C. 3xÅ2. D. ¡2¡x. -Lờigiải. Tacó #  u¢ #  v Æx¡2Å2xÆ3x¡2. Chọnđápán B ä Câu329. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: ( xÆt yÆ1¡t zÆ2Åt .Đườngthẳng d điquađiểm nàosauđây A. K(1;¡1;1). B. F(0;1;2). C. E(1;1;2). D. H(1;2;0). -Lờigiải. Đườngthẳng d điqua F(0;1;2). Chọnđápán B ä Câu330. TrongkhônggianOxyz,mặtcầutâm I(1;2;3)điquađiểm A(1;1;2)cóphươngtrình là A. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ2. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 2. D. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ p 2. -Lờigiải. Bánkính RÆIAÆ p 2nênphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. Chọnđápán B ä Câu331. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;¡2;5). Hình chiếu vuông góc củađiểm A trênmặtphẳngtọađộ (Oxz)là A. M(3;0;5). B. M(3;¡2;0). C. M(0;¡2;5). D. M(0;2;5). -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxz): yÆ0)hìnhchiếucủa A(3;¡2;5)trên (Oxz)là M(3;0;5). Th.sNguyễnChínEm 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu332. TrongkhônggianOxyz cho #  a(1;¡2;3); #  b Æ2 #  i ¡3 #  k.Khiđótọađộ #  aÅ #  b là A. (3;¡2;0). B. (3;¡5;¡3). C. (3;¡5;0). D. (1;2;¡6). -Lờigiải. #  b Æ2 #  i ¡3 #  k Æ(2;0;¡3).Khiđó #  aÅ #  b Æ(3;¡2;0). Chọnđápán A ä Câu333. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1;2;3); N(3;4;7). Tọa độ củavéctơ #  MN là A. (4;6;10). B. (2;3;5). C. (2;2;4). D. (¡2;¡2;¡4). -Lờigiải. Tacó #  MNÆ(2;2;4). Chọnđápán C ä Câu334. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡4z¡25Æ0. Tìmtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;2);RÆ6. B. I(¡1;2;¡2);RÆ5. C. I(¡2;4;¡4);RÆ p 29. D. I(1;¡2;2);RÆ p 34. -Lờigiải. Mặtcầu (S):(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡2) 2 Æ34.Khiđó (S)cótâm I(1;¡2;2),bánkính RÆ p 34. Chọnđápán D ä Câu335. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tìmtọađộđiểmMthỏamãn #  OMÆ2 #  jÅ #  k. A. M(2;1;0). B. M(2;0;1). C. M(0;2;1). D. M(1;2;0). -Lờigiải. Tacó #  OMÆ0 #  i Å2 #  j Å1 #  k nên M(0;2;1). Chọnđápán C ä Câu336. Viếtphươngtrìnhmặtcầutâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ2. A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ2. -Lờigiải. Mặtcầutâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ2cóphươngtrìnhlà (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4. Chọnđápán A ä Câu337. TronghệtọađộOxyz,cho #  OAÆ3 #  k¡ #  i.Tìmtọađộcủađiểm A. A. (3;0;¡1). B. (¡1;0;3). C. (¡1;3;0). D. (3;¡1;0). -Lờigiải. Tacó #  OAÆ3 #  k¡ #  i Æ¡1 #  i Å0 #  j Å3 #  k.Dođótọađộđiểm A(¡1;0;3). Chọnđápán B ä Câu338. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(¡2;3;1) và N(0;¡1;5). Tìm tọa độ véc-tơ #  MN. A. #  MNÆ(¡2;4;¡4). B. #  MNÆ(2;¡4;4). C. #  MNÆ(¡2;¡2;6). D. #  MNÆ(¡1;¡1;3). -Lờigiải. Tacó #  MNÆ(2;¡4;4). Chọnđápán B ä Câu339. Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ (2;0;¡1) và #  b Æ (3;¡2;1). Tìm tọa độ véc-tơ #  uÆ2 #  a¡ #  b. A. #  uÆ(1;2;¡3). B. #  uÆ(¡4;4;¡3). C. #  uÆ(5;¡2;¡1). D. #  uÆ(7;¡2;¡1). -Lờigiải. #  uÆ2 #  a¡ #  b Æ2(2;0;¡1)¡(3;¡2;1)Æ(1;2;¡3). Chọnđápán B ä Câu340. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ bất kỳ #  a Æ (x 1 ;y 1 ;z 1 ) và #  b Æ(x 2 ;y 2 ;z 2 ).Chọnkhẳngđịnhđúng. A. #  a¢ #  b Æ x 1 x 2 Åy 1 y 2 Åz 1 z 2 È x 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 È x 2 2 Åy 2 2 Åz 2 2 . B. #  a¢ #  b Æ p (x 1 ¡x 2 ) 2 Å(y 1 ¡y 2 ) 2 Å(z 1 ¡z 2 ) 2 . Th.sNguyễnChínEm 63 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. #  a¢ #  b Æ p x 1 x 2 Åy 1 y 2 Åz 1 z 2 . D. #  a¢ #  b Æx 1 x 2 Åy 1 y 2 Åz 1 z 2 . -Lờigiải. Côngthứctíchvôhướngcủahaivéc-tơ. Chọnđápán D ä Câu341. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;¡3;5),N(6;¡4;¡1) và đặt LÆ ¯ ¯ ¯ #  MN ¯ ¯ ¯.Mệnhđềnàosauđâylàmệnhđềđúng? A. LÆ(4;¡1;¡6). B. LÆ p 53. C. LÆ3 p 11. D. LÆ(¡4;1;6). -Lờigiải. Tacó #  MNÆ(4;¡1;¡6)) ¯ ¯ ¯ #  MN ¯ ¯ ¯Æ p 4 2 Å(¡1) 2 Å(¡6) 2 Æ p 53. Chọnđápán B ä Câu342. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;3), B(¡4;4;6). Tọa độ trọng tâm G củatamgiácOAB là A. G(1;¡2;¡3). B. G(¡1;2;3). C. G(¡3;6;9). D. G µ ¡ 3 2 ;3; 9 2 ¶ . -Lờigiải. GiảsửG(x G ;y G ;z G )) 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ x O Åx A Åx B 3 Æ 0Å1Å(¡4) 3 Æ¡1 y G Æ y O Åy A Åy B 3 Æ 0Å2Å4 3 Æ2 z G Æ z O Åz A Åz B 3 Æ 0Å3Å6 3 Æ3 . VậyG(¡1;2;3). Chọnđápán B ä Câu343. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho #  u Æ2 #  i Å #  k. Khi đó tọa độ #  u với hệ Oxyz là A. (1;0;2). B. (0;2;1). C. (2;0;1). D. (2;1). -Lờigiải. Tacó #  i Æ(1;0;0), #  k Æ(0;0;1). Suyra #  uÆ2 #  i Å #  k Æ(2;0;1). Chọnđápán C ä Câu344. Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8xÅ10y¡6zÅ49Æ0.Tìmtọa độtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(¡4;5;¡3)và RÆ1. B. I(4;¡5;3)và RÆ7. C. I(¡4;5;¡3)và RÆ7. D. I(4;¡5;3)và RÆ1. -Lờigiải. (S):(x¡4) 2 Å(yÅ5) 2 Å(z¡3) 2 Æ1)I(4;¡5;3)và RÆ1. Chọnđápán D ä Câu345. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho #  u Æ(1;0;1), #  v Æ(0;1;¡2). Tích vô hướng của #  u và #  v là A. #  u #  v Æ¡2. B. #  u #  v Æ2. C. #  u #  v Æ(0;0;¡2). D. #  u #  v Æ0. -Lờigiải. Tacó #  u #  v Æ1¢0Å0¢1Å1¢(¡2)Æ¡2. Chọnđápán A ä Câu346. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4yÅ4z¡7Æ0.Xácđịnhtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(¡1;¡2;2), RÆ3. B. I(1;2;¡2), RÆ p 2. C. I(¡1;¡2;2), RÆ4. D. I(1;2;¡2), RÆ4. -Lờigiải. Tacó aÆ1, bÆ2, cÆ¡2và p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ4nên I(1;2;¡2)và RÆ4. Chọnđápán D ä Câu347. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ #  a Æ(2;1;¡1), #  b Æ(1;3;m). Tìm mđể ³ #  a; #  b ´ Æ90 ± . A. mÆ¡5. B. mÆ5. C. mÆ1. D. mÆ¡2. Th.sNguyễnChínEm 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó ³ #  a; #  b ´ Æ90 ± , #  a¢ #  b Æ0,5¡mÆ0,mÆ5. Chọnđápán B ä Câu348. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;3;¡1), B(2;1;2). Độ dài của đoạn thẳng AB bằngbaonhiêu? A. ABÆ26. B. ABÆ14. C. ABÆ p 26. D. ABÆ p 14. -Lờigiải. ABÆ p (2¡1) 2 Å(1¡3) 2 Å(2Å1) 2 Æ p 14. Chọnđápán D ä Câu349. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6zÅ5Æ0.Tínhdiệntíchmặtcầu (S). A. 42¼. B. 36¼. C. 9¼. D. 12¼. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ3.Diệntíchmặtcầu (S)là SÆ4¼R 2 Æ36¼. Chọnđápán B ä Câu350. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Biết A(2;4;0), B(4;0;0), C(¡1;4;¡7)và D 0 (6;8;10).Tọađộđiểm B 0 là A. B 0 (8;4;10). B. B 0 (6;12;0). C. B 0 (10;8;6). D. B 0 (13;0;17). -Lờigiải. Tacó: #  ADÆ #  BCÆ(¡5;4;¡7))D(¡3;8;¡7). Lạicó: #  BDÆ #  B 0 D 0 Æ(¡7;8;¡7))B 0 (13;0;17). C C 0 D 0 D A B A 0 B 0 Chọnđápán D ä Câu351. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(¡1;2;3), N(0;2;¡1). Tọa độ trọngtâmcủatamgiácOMN là A. µ ¡ 1 3 ; 4 3 ; 2 3 ¶ . B. µ ¡ 1 2 ;2;1 ¶ . C. (1;0;¡4). D. (¡1;4;2). -Lờigiải. TọađộtrọngtâmcủatamgiácOMN là µ ¡1Å0Å0 3 ; 2Å2Å0 3 ; 3Å(¡1)Å0 3 ¶ Æ µ ¡ 1 3 ; 4 3 ; 2 3 ¶ . Chọnđápán A ä Câu352. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho A(0;¡1;1),B(¡2;1;¡1),C(¡1;3;2).Biết rằng ABCD làhìnhbìnhhành,khiđótọađộđiểm D là A. D µ ¡1;1; 2 3 ¶ . B. D(1;3;4). C. D(1;1;4). D. D(¡1;¡3;¡2). -Lờigiải. Gọi D(x;y;z),tacó ABCD làhìnhbìnhhànhnên #  BAÆ #  CD, ( xÅ1Æ2 y¡3Æ¡2 z¡2Æ2 , ( xÆ1 yÆ1 zÆ4. Vậy D(1;1;4). Chọnđápán C ä Câu353. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầu (S):(x¡5) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. Tínhbánkính R củamặtcầu (S). A. RÆ18. B. RÆ9. C. RÆ3. D. RÆ6. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(a;b;c)vàbánkính R thìcóphươngtrình (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 . Theođềbàitacó R 2 Æ9)RÆ3. Th.sNguyễnChínEm 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu354. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(4;2;1)và B(2;0;5).Tìmtọađộvéc-tơ #  AB. A. (2;2;¡4). B. (¡2;¡2;4). C. (¡1;¡1;2). D. (1;1;¡2). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2¡4;0¡2;5¡1)Æ(¡2;¡2;4). Chọnđápán B ä Câu355. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  a Æ(1;0;¡2). Trong các véc-tơ sau đây,véc-tơnàokhôngcùngphươngvớivéc-tơ #  a? A. #  c Æ(2;0;¡4). B. #  b Æ(1;0;2). C. #  dÆ µ ¡ 1 2 ;0;1 ¶ . D. #  0 Æ(0;0;0). -Lờigiải. Tacó #  0 cùngphươngvớimọivéc-tơ. #  c Æ2 #  a và #  dÆ¡ 1 2 #  a nên #  c và #  d cùngphươngvới #  a. Chọnđápán B ä Câu356. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  u Æ(1;2;0). Mệnh đề nào sau đây làđúng? A. uÆ2 #  i Å #  j. B. uÆ #  i Å2 #  j. C. uÆ #  j Å2 #  k. D. uÆ #  i Å2 #  k. -Lờigiải. Tacó: #  uÆx #  i Åy #  j Åz #  k , #  uÆ(x;y;z). Suyra #  uÆ(1;2;0), #  uÆ #  i Å2 #  j. Chọnđápán B ä Câu357. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz chomặtcầucóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6zÅ9Æ0. Tìmtọađộtâm I vàđộdàibánkính R củamặtcầu. A. I(¡1;2;¡3)và RÆ p 5. B. I(1;¡2;3)và RÆ p 5. C. I(1;¡2;3)và RÆ5. D. I(¡1;2;¡3)và RÆ5. -Lờigiải. Tâm I(1;¡2;3); RÆ p 1Å4Å9¡9Æ p 5. Chọnđápán B ä Câu358. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho I(1;0;¡1), A(2;2;¡3). Viết phương trình mặtcầu (S)tâm I vàđiquađiểm A. A. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. C. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ9. D. (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu RÆIAÆ p 1Å4Å4Æ3,nênphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu359. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầucóphươngtrình(xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Å z 2 Æ16.Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầuđó. A. I(¡1;3;0), RÆ4. B. I(1;¡3;0), RÆ4. C. I(¡1;3;0), RÆ16. D. I(1;¡3;0), RÆ16. -Lờigiải. Tọađộtâmvàbánkínhcủamặtcầulà I(¡1;3;0), RÆ4. Chọnđápán A ä Câu360. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(2;3;4)và B(5;1;1).Tìmtọađộ vectơ #  AB. A. #  ABÆ(3;2;3). B. #  ABÆ(3;¡2;¡3). C. #  ABÆ(¡3;2;3). D. #  ABÆ(3;¡2;3). Th.sNguyễnChínEm 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu361. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ #  a Æ(2;¡3;1) và #  b Æ(¡1;0;4). Tìmtọađộvéctơ #  uÆ¡2 #  aÅ3 #  b. A. #  uÆ(¡7;6;¡10). B. #  uÆ(¡7;6;10). C. #  uÆ(7;6;10). D. #  uÆ(¡7;¡6;10). -Lờigiải. Tacó¡2 #  aÅ3 #  b Æ(¡7;6;10),nên #  uÆ(¡7;6;10). Chọnđápán B ä Câu362. TrongkhônggianOxyz,chovéc-tơ #  a biểudiễncủacácvéctơđơnvịlà #  aÆ2 #  i Å #  k¡ 3 #  j.Tọađộcủavéctơ #  a là A. (1;2;¡3). B. (2;¡3;1). C. (2;1;¡3). D. (1;¡3;2). -Lờigiải. Tacó #  aÆ2 #  i ¡3 #  j Å #  k ) #  aÆ(2;¡3;1). Chọnđápán B ä Câu363. Chohaiđiểm A(1;3;5), B(1;¡1;1),khiđótrungđiểm I của AB cótọađộlà A. I(0;¡4;¡4). B. I(2;2;6). C. I(0;¡2;¡4). D. I(1;1;3). -Lờigiải. Tacó I ³ x A Åx B 2 ; y A Åy B 2 ; z A Åz B 2 ´ Æ(1;1;3). Chọnđápán D ä Câu364. Cho 3điểm A(1;0;1), B(2;1;¡2), C(¡1;3;2).Điểm D cótọađộbaonhiêuđể ABCD là hìnhbìnhhành? A. D(¡2;2;5). B. D(1;¡1;¡2). C. D(0;4;¡1). D. D(¡1;¡1;1). -Lờigiải. Tứgiác ABCDlàhìnhbìnhhànhkhivàchỉkhi ACvàBDcắtnhautạitrungđiểmmỗiđường. Dođótacótọađộđiểm D là (x A Åx C ¡x B ;y A Åy C ¡y B ;z A Åz C ¡z B )Æ(¡2;2;5). Chọnđápán A ä Câu365. Mặt cầu S(I;R) có phương trình (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ3. Tâm và bán kính của mặt cầulà A. I(¡1;0;2),RÆ p 3. B. I(1;0;¡2),RÆ p 3. C. I(1;0;¡2),RÆ3. D. I(¡1;0;2),RÆ3. -Lờigiải. Dựavàophươngtrìnhmặtcầu,tacó I(1;0;¡2)và RÆ p 3. Chọnđápán B ä Câu366. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc-tơ #  a Æ(3;4;¡4), #  b Æ(3;0;4), #  c Æ (¡6;1;¡1).Tìmtọađộcủavéc-tơ #  mÆ3 #  a¡2 #  bÅ #  c. A. #  mÆ(3;22;¡3). B. #  mÆ(3;22;3). C. #  mÆ(¡3;22;¡3). D. #  mÆ(3;¡22;3). -Lờigiải. Tacó #  mÆ(3.3¡2.3¡6;3.4¡2.0Å1;3.(¡4)¡2.4¡1)Æ(3;22;¡3); Chọnđápán A ä . Câu367. TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  aÆ(1;¡1;2)và #  b Æ(2;1;¡1).Tính #  a¢ #  b. A. #  a¢ #  b Æ(2;¡1;¡2). B. #  a¢ #  b Æ(1;¡1;2). C. #  a¢ #  b Æ1. D. #  a¢ #  b Æ¡1. -Lờigiải. Tacó: #  a¢ #  b Æ1¢2Å(¡1)¢1Å2(¡1)Æ¡1. Chọnđápán D ä Câu368. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;¡1) và B(2;3;2). Véc-tơ #  AB có tọa độ là A. (1;2;3). B. (¡1;¡2;3). C. (3;5;1). D. (3;4;1). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;3). Chọnđápán A ä Câu369. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(1;2;4) và F(¡3;2;2). Tìm tọa độtrungđiểm I củađoạnthẳng EF. A. I(¡1;2;3). B. I(2;2;3). C. I(1;2;3). D. I(¡4;4;6). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I củađoạnthẳng EF là I(¡1;2;3). Th.sNguyễnChínEm 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu370. TronghệtọađộOxy,cho #  uÆ #  i Å3 #  j và #  v Æ(2;¡1).Tính #  u¢ #  v. A. #  u¢ #  v Æ¡1. B. #  u¢ #  v Æ1. C. #  u¢ #  v Æ(2;¡3). D. #  u¢ #  v Æ5 p 2. -Lờigiải. Tacó #  uÆ(1;3)) #  u¢ #  v Æ1¢2Å3¢(¡1)Æ¡1. Chọnđápán A ä Câu371. TrongkhônggianOxyz,chovéc-tơ #  OAÆ #  j ¡2 #  k.Tọađộđiểm A là. A. (0;1;¡2). B. (1;¡2;0). C. (1;0;¡2). D. (0;¡1;2). -Lờigiải. Tacó #  j Æ(0;1;0), #  k Æ(0;0;1)) #  OAÆ #  j ¡2 #  k Æ(0;1;¡2))A(0;1;¡2). Chọnđápán A ä Câu372. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho #  x Æ2 #  i Å3 #  j ¡ #  k.Tìmtọađộcủa #  x. A. #  x Æ(2;3;¡1). B. #  x Æ(¡2;¡3;1). C. #  x Æ(2;¡3;1). D. #  x Æ(1;¡3;0). -Lờigiải. Theođịnhnghĩatacó #  x Æ(2;3;¡1). Chọnđápán A ä Câu373. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. Tâm I vàbánkính R củamặtcầulà A. I(¡2;1;¡3);RÆ4. B. I(2;¡1;3);RÆ4. C. I(2;¡1;¡3);RÆ4. D. I(¡2;¡1;3);RÆ4. -Lờigiải. Dựavàophươngtrìnhmặtcầu (S)tathấymặtcầu (S)cótâm I(2;¡1;3)vàbánkính RÆ4. Chọnđápán B ä Câu374. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(10;¡4;0),B(¡4;6;0)vàC(0;4;6). TrọngtâmG củatamgiác ABC cótọađộlà A. G(2;2;¡4). B. G(2;2;2). C. G(4;0;¡2). D. G(2;4;2). -Lờigiải. Ápdụngcôngthứctínhtọađộtrọngtâmtamgiác.Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x G Æ 10¡4Å0 3 Æ2 y G Æ ¡4Å6Å4 3 Æ2 z G Æ 0Å0Å6 3 Æ2 .VậyG(2;2;2). Chọnđápán B ä Câu375. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡1;¡2;3),B(¡3;2;¡1). Tọa độ trung điểm củađoạnthẳng AB là A. (¡1;2;¡2). B. (¡4;0;2). C. (¡2;0;2). D. (¡2;0;1). -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB.Tacó 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 y I Æ y A Åy B 2 z I Æ z A Åz B 2 , ( x I Æ¡2 y I Æ0 z I Æ1 )I(¡2;0;1). Chọnđápán D ä Câu376. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4.Tọađộtâm I vàbánkính R của (S)lầnlượtlà A. I(1;1;¡2),RÆ2. B. I(¡1;¡1;2),RÆ2. C. I(1;1;¡2),RÆ4. D. I(¡1;¡1;2),RÆ4. -Lờigiải. Mặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4cótâm I(1;1;¡2)vàbánkínhbằng RÆ2. Chọnđápán A ä Câu377. TrongkhônggianOxyz,chovéc-tơ #  aÆ2 #  i ¡ #  j ¡2 #  k.Độdàicủavéc-tơ #  a bằng A. p 5. B. 9. C. 5. D. 3. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 68 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  aÆ(2;¡1;¡2)) ¯ ¯ #  a ¯ ¯ Æ3. Chọnđápán D ä Câu378. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(3;¡1;1).Hìnhchiếuvuônggóccủa A trênmặt phẳng (Oxz)làđiểm A. P(0;¡1;0). B. M(3;0;0). C. N(0;¡1;1). D. Q(0;0;1). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A(a;b;c)lênmặtphẳng (Oyz): xÆ0là H(0;b;c). Vậyhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(3;¡1;1)lênmặtphẳng (Oyz)là N(0;¡1;1). Chọnđápán C ä Câu379. TrongkhônggianOxyzchocácvéc-tơ #  uÆ2 #  i¡2 #  jÅ #  k; #  v Æ(m;2;mÅ1)vớimlàtham sốthực.Cóbaonhiêugiátrịcủa mđể ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  v ¯ ¯ . A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Tacó #  uÆ(2;¡2;1). Tacó ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  v ¯ ¯ ,2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æm 2 Å2 2 Å(mÅ1) 2 ,m 2 Åm¡2Æ0, h mÆ1 mÆ¡2 . Chọnđápán C ä Câu380. TrongkhônggianOxyz,toạđộcủavéc-tơ #  uÆ2 #  i ¡3 #  j Å4 #  k là A. (2;¡3;4). B. (¡3;2;4). C. (2;3;4). D. (2;4;¡3). -Lờigiải. Tacó #  i Æ(1;0;0), #  j Æ(0;1;0), #  k Æ(0;0;1))2 #  i Æ(2;0;0), 3 #  j Æ(0;3;0), 4 #  k Æ(0;0;4). Vậy #  uÆ2 #  i ¡3 #  j Å4 #  k Æ(2;¡3;4). Chọnđápán A ä 1.1 ĐÁPÁN 1. C 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 7. B 8. A 9. B 10. A 11. A 12. D 13. A 14. A 15. C 16. B 17. B 18. C 19. B 20. B 21. B 22. D 23. C 24. B 25. A 26. B 27. B 28. C 29. D 30. B 31. D 32. B 33. A 34. B 35. D 36. B 37. B 38. B 39. A 40. B 41. B 42. A 43. D 44. D 45. C 46. A 47. C 48. D 49. B 50. C 51. A 52. A 53. D 54. C 55. B 56. A 57. C 58. A 59. D 60. B 61. C 62. B 63. C 64. C 65. A 66. A 67. A 68. D 69. D 70. A 71. B 72. C 73. B 74. A 75. A 76. A 77. B 78. A 79. B 80. B 81. A 82. D 83. D 84. C 85. B 86. D 87. A 88. C 89. B 90. D 91. C 92. D 93. A 94. B 95. C 96. C 97. C 98. C 99. B 100.A 101.D 102.D 103.B 104.B 105.B 106.C 107.C 108.D 109.A 110.A 111.D 112.D 113.D 114.D 115.A 116.B 117.A 118.D 119.D 120.C 121.A 122.C 123.B 124.B 125.B 126.C 127.B 128.A 129.C 130.B 131.C 132.D 133.D 134.A 135.C 136.A 137.A 138.B 139.B 140.C 141.B 142.D 143.D 144.D 145.C 146.D 147.A 148.D 149.A 150.D 151.B 152.B 153.B 154.C 155.C 156.D 157.D 158.A 159.A 160.B 161.B 162.D 163.D 164.B 165.D 166.C 167.D 168.A 169.B 170.A 171.A 172.A 173.D 174.A 175.D 176.A 177.C 178.D 179.C 180.A 181.D 182.C 183.A 184.C 185.D 186.D 187.B 188.C 189.C 190.A 191.B 192.D 193.D 194.B 195.B 196.C 197.D 198.A 199.B 200.D 201.C 202.A 203.D 204.D 205.C 206.A 207.A 208.D 209.B 210.D 211.A 212.B 213.B 214.A 215.A 216.B 217.A 218.C 219.C 220.D 221.D 222.A 223.D 224.D 225.B 226.C 227.C 228.C 229.C 230.D 231.C 232.D 233.A 234.D 235.A 236.A 237.A 238.B 239.A 240.A 241.B 242.B 243.A 244.A 245.A 246.D 247.A 248.A 249.C 250.B Th.sNguyễnChínEm 69 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 251.A 252.A 253.A 254.B 255.A 256.C 257.D 258.A 259.D 260.B 261.B 262.C 263.A 264.B 265.C 266.C 267.B 268.B 269.B 270.A 271.B 272.D 273.C 274.D 275.B 276.B 277.D 278.D 279.B 280.B 281.D 282.A 283.D 284.D 285.C 286.D 287.A 288.D 289.A 290.C 291.C 292.A 293.C 294.C 295.A 296.B 297.B 298.B 299.B 300.A 301.B 302.A 303.A 304.A 305.D 306.B 307.C 308.D 309.A 310.B 311.A 312.A 313.C 314.B 315.C 316.A 317.A 318.C 319.B 320.C 321.D 322.C 323.C 324.D 325.D 326.C 327.C 328.B 329.B 330.B 331.A 332.A 333.C 334.D 335.C 336.A 337.B 338.B 339.B 340.D 341.B 342.B 343.C 344.D 345.A 346.D 347.B 348.D 349.B 350.D 351.A 352.C 353.C 354.B 355.B 356.B 357.B 358.D 359.A 360.B 361.B 362.B 363.D 364.A 365.B 366.A 367.D 368.A 369.A 370.A 371.A 372.A 373.B 374.B 375.D 376.A 377.D 378.C 379.C 380.A 2 THÔNGHIỂU Câu1. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;1).Tìmtọađộtrựctâm H củatamgiác ABC. A. H µ 1 2 ; 1 2 ;1 ¶ . B. H µ 1 3 ; 1 3 ; 2 3 ¶ . C. H µ 1 3 ; 2 3 ; 2 3 ¶ . D. H µ 2 3 ; 1 3 ; 2 3 ¶ . Câu2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(0;1;2), N(1;¡1;3), P(¡1;0;2). Nhận dạng tam giác MNP. A. Tamgiác MNP vuông. B. Tamgiác MNP cân. C. Tamgiác MNP đều. D. Tamgiác MNP vuôngcân. Câu3. Trong không gian Oxyz, cho ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ2, ¯ ¯ #  v ¯ ¯ Æ1 và góc giữa hai véc-tơ #  u, #  v bằng 2¼ 3 . Tìm k đểvéc-tơ #  pÆk #  uÅ #  v vuônggócvớivéc-tơ #  qÆ #  u¡ #  v. A. kÆ 2 5 . B. kÆ 5 2 . C. kÆ2. D. kÆ¡ 2 5 . -Lờigiải. Tacó: #  p. #  qÆk ¯ ¯ #  u ¯ ¯ 2 ¡ ¯ ¯ #  v ¯ ¯ 2 Å(1¡k). #  u. #  v Æ0()4k¡1Å(1¡k) ¯ ¯ #  u ¯ ¯ . ¯ ¯ #  v ¯ ¯ .cos ¡ #  u, #  v ¢ Æ0. ()4k¡1¡(1¡k)Æ0()kÆ 2 5 . Chọnđápán A ä Câu4. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmM(3;¡2;5),N(¡1;6;¡3).MặtcầuđườngkínhMN cóphươngtrìnhlà A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ6. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ36. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ6. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ36. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa MN thì I(1;2;1)và I làtâmmặtcầuđườngkính MN. Bánkínhmặtcầulà RÆIMÆ p 2 2 Å4 2 Å4 2 Æ6. Vậymặtcầuđườngkính MN cóphươngtrình (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ36. Chọnđápán B ä Câu5. Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡2azÅ10aÆ0. Tập hợp tấtcảcácgiátrịthựccủa ađể (S)cóchuviđườngtrònlớnbằng 8¼là A. {¡1;11}. B. {¡10;2}. C. {1;10}. D. {1;¡11}. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(2;¡1;a); RÆ p a 2 ¡10aÅ5. Theogiảthiếtchuviđườngtrònlớnbằng 8¼tacó 2¼RÆ8¼, p a 2 ¡10aÅ5Æ4)a 2 ¡10a¡11Æ0)aÆ{¡1;11}. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 70 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu6. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(5;2;¡3) và mặt phẳng (P): 2xÅ2yÅzÅ1Æ0. Mặt cầu (S)tâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P)cóphươngtrìnhlà A. (x¡5) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ16. B. (xÅ5) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. C. (x¡5) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4. D. (xÅ5) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4. -Lờigiải. Vìmặtcầu (S)tâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P)nênbánkínhlà RÆd[I;(P)]Æ j2.5Å2.2Å1.(¡3)Å1j p 2 2 Å2 2 Å1 1 Æ4. Vậyphươngtrìnhmặtcầu S(I;RÆ4)là (x¡5) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ16. Chọnđápán A ä Câu7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(3;¡3;1) và đi qua điểm A(5;¡2;1)cóphươngtrìnhlà A. (x¡5) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. B. (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ25. C. (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ p 5. D. (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. -Lờigiải. Gọi R làbánkínhcủamặtcầu (S). Domặtcầu (S)cótâmlà I(3;¡3;1)vàđiqua A nên RÆIA hay RÆ p (5¡3) 2 Å(¡2Å3) 2 Å(1¡1) 2 Æ p 5. Dođóphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. Chọnđápán D ä Câu8. Tronghệtọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(1;2;3), B(¡1;4;1).Phươngtrìnhmặtcầuđường kính AB là A. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡1) 2 Æ12. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ12. C. x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. D. x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ12. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB)I(0;3;2). Mặtcầucầntìmcótâm I(0;3;2)vàbánkính RÆ AB 2 Æ p 3nêncóphươngtrình x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. Chọnđápán C ä Câu9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2(mÅ2)xÅ4my¡2mzÅ5m 2 Å9Æ0làphươngtrìnhmặtcầu. A. ¡5ÇmÇ1. B. h mÇ¡5 mÈ1 . C. mÇ¡5. D. mÈ1. -Lờigiải. Gọiphươngtrìnhđãchocódạng x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0vớiaÆmÅ2, bÆ¡2m, cÆm, dÆ5m 2 Å9. Đểphươngtrìnhđãcholàphươngtrìnhmặtcầuthì a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0,m 2 Å4mÅ4Å4m 2 Åm 2 ¡5m 2 ¡9È0,m 2 Å4m¡5È0, h mÇ¡5 mÈ1. Chọnđápán B ä Câu10. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(3;2;1),B(1;¡1;2),C(1;2;¡1). Tìmtọađộđiểm M thỏamãn #  OMÆ2 #  AB¡ #  AC. A. M(¡2;6;¡4). B. M(2;¡6;4). C. M(¡2;¡6;4). D. M(5;5;0). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;¡3;1), #  ACÆ(¡2;0;¡2)nên #  OMÆ2 #  AB¡ #  AC, 8 < : x M Æ2£(¡2)¡(¡2) y M Æ2£(¡3)¡0 z M Æ2£(1)¡(¡2) , ( x M Æ¡2 y M Æ¡6 z M Æ4. Vậy M(¡2;¡6;4). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), A 0 (0;0;2a)với a6Æ0Độdàiđoạnthẳng AC 0 là A. 3jaj. B. 3jaj 2 . C. 2jaj. D. jaj. -Lờigiải. Hìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0), A 0 (0;0;2a)nênC(a;2a;0),C 0 (a;2a;2a). Vậy AC 0 Æ p a 2 Å4a 2 Å4a 2 Æ3jaj. Chọnđápán A ä Câu12. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(¡2;2;¡3). Phương trình mặt cầu đườngkính AB là A. x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡1) 2 Æ36. B. x 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. C. x 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. x 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ36. -Lờigiải. Mặtcầuđườngkính AB cótâm I(0;3;¡1)làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB. Bánkínhmặtcầulà RÆ AB 2 Æ p (¡2¡2) 2 Å(2¡4) 2 Å(¡3¡1) 2 2 Æ3. Phươngtrìnhmặtcầucầntìmlà x 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu13. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(1;3;2). Phương trình của mặt cầuđườngkính AB là A. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡0) 2 Æ2. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. C. (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ5. D. (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ2. -Lờigiải. Mặtcầuđườngkính AB cótâm IÆ(1;2;1)(I trungđiểm AB)vàbánkính RÆ AB 2 Æ p 2. Phươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. Chọnđápán B ä Câu14. Chotứdiện ABCD có O làtrungđiểmcủađoạnthẳngnốitrungđiểmcủahaicạnh đốidiệnvà alàsốthựcdươngkhôngđổi.Tậphợpcácđiểm M trongkhônggianthỏamãnhệ thức ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MD ¯ ¯ ¯Æalà A. MặtcầutâmO bánkính rÆ a 2 . B. MặtcầutâmO bánkính rÆ a 3 . C. MặtcầutâmO bánkính rÆa. D. MặtcầutâmO bánkính rÆ a 4 . -Lờigiải. Theotínhchấttrọngtâmcủatứdiệntacó ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MD ¯ ¯ ¯Æa, ¯ ¯ ¯4 #  MO ¯ ¯ ¯Æa,MOÆ a 4 . Vậytậphợpcácđiểm M làmặtcầutâmO bánkính rÆ a 4 . Chọnđápán D ä Câu15. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàosauđâykhôngphảilàphươngtrìnhmặt cầu? A. 2x 2 Å2y 2 Å2z 2 Å2x¡4yÅ6zÅ5Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅy¡zÆ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡3xÅ7yÅ5z¡1Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Å3x¡4yÅ p 3zÅ7Æ0. -Lờigiải. Chúýrằngphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0làphươngtrìnhmặtcầukhivàchỉ khithỏamãnđiềukiện a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0.Từđósuyra x 2 Åy 2 Åz 2 Å3x¡4yÅ p 3zÅ7Æ0không phảilàphươngtrìnhmặtcầuvì a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ µ ¡ 3 2 ¶ 2 Å2 2 Å Ã ¡ p 3 2 ! 2 ¡7Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có #  ABÆ (¡3;0;4), #  ACÆ (5;¡2;4).Độdàiđườngtrungtuyến AM là A. 4 p 2. B. 3 p 2. C. 5 p 3. D. 2 p 3. -Lờigiải. Do M làtrungđiểmcủa BC nên #  ABÅ #  ACÆ2 #  AM,4AM 2 Æ ³ #  ABÅ #  AC ´ 2 ,4AM 2 ÆAB 2 ÅAC 2 Å2 #  AB #  AC,AMÆ3 p 2. Chọnđápán B ä Câu17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;a;1) và mặt cầu (S) có phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2yÅ4z¡9Æ0.Tậphợpcácgiátrịcủaađểđiểm Anằmtrongkhốicầulà A. (¡1;¡1)[(3;Å1). B. (¡3;1). C. [¡1;3]. D. (¡1;3). -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2yÅ4z¡9Æ0,x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ14. Điểm A(1;a;1)nằmtrongkhốicầukhivàchỉkhi 1Å(a¡1) 2 Å9Ç14,(a¡1) 2 Ç4,¡2Ça¡1Ç2,¡1ÇaÇ3. Chọnđápán D ä Câu18. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(¡3;0;4), đi qua điểm A(¡3;0;0) có phương trìnhlà A. (x¡3) 2 Åy 2 Å(zÅ4) 2 Æ4. B. (x¡3) 2 Åy 2 Å(zÅ4) 2 Æ16. C. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ16. D. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ4. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cóbánkínhlà RÆIAÆ4. Phươngtrìnhmặtcầutâm I(¡3;0;4),bánkính RÆ4là (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ16. Chọnđápán C ä Câu19. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3) và B(7;4;5). Phương trình mặt cầu đườngkính AB là A. (x¡4) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡1) 2 Æ104. B. (x¡4) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡1) 2 Æ26. C. (xÅ4) 2 Å(yÅ3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ26. D. (xÅ4) 2 Å(yÅ3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ104. -Lờigiải. Tacó ABÆ p (7¡1) 2 Å(4¡2) 2 Å(5Å3) 2 Æ p 104Æ2 p 26. Gọi I làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB suyra I(4;3;1). Mặt cầu đường kính AB là mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính RÆ 1 2 ABÆ p 26. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (x¡4) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡1) 2 Æ26. Chọnđápán B ä Câu20. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;0;2),B(¡1;2;¡4).Phươngtrình mặtcầuđườngkính AB là A. x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ44. B. x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ11. C. x 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ44. D. x 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ11. -Lờigiải. Mặtcầuđườngkính AB cótâmlàtrungđiểm I(0;1;¡1)của AB vàbánkính RÆIAÆ p 11. Dođóphươngtrìnhcủamặtcầulà (S): x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ11. Chọnđápán B ä Câu21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡2;4;1) và B(4;5;2). Điểm C thỏamãn #  OCÆ #  BA cótọađộlà A. (¡6;¡1;¡1). B. (¡2;¡9;¡3). C. (6;1;1). D. (2;9;3). -Lờigiải. Giảsử C(x;y;z)) #  OCÆ(x;y;z). Tacó #  BAÆ(¡6;¡1;¡1)) #  OCÆ #  BA, ( xÆ¡6 yÆ¡1 zÆ¡1. Vậy C(¡6;¡1;¡1). Th.sNguyễnChínEm 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu22. Trongkhônggian oxyz chocácvéc-tơ #  uÆ2 #  i ¡2 #  j Å #  k; #  v Æ(m;2;mÅ1)với mlàtham sốthực.Cóbaonhiêugiátrịcủa mđể ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  v ¯ ¯ ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Tacó #  uÆ(2;¡2;1); #  v Æ(m;2;mÅ1). Theogiảthiết ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  v ¯ ¯ ,3Æ p m 2 Å4Å(mÅ1) 2 , h mÆ1 mÆ¡2. Vậycóhaigiátrị mthỏamãnđềbài. Chọnđápán C ä Câu23. Trong không gian Oxyz, cho hai các A(5;1;5), B(4;3;2), C(¡3;¡2;1). Điểm I(a;b;c) là tâmđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC.Tính aÅ2bÅc. A. 1. B. 3. C. 6. D. ¡9. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;2;¡3), #  ACÆ(¡8;¡3;¡4)) h #  AB, #  AC i Æ(¡17;20;19). Vì A, B, C, I đồngphẳngnên h #  AB, #  AC i #  AIÆ(¡17;20;19)(a¡5;b¡1;c¡5)Æ0,¡17aÅ20bÅ19cÆ30. Tacó ½ IA 2 ÆIB 2 IA 2 ÆIC 2 , ½ (a¡5) 2 Å(b¡1) 2 Å(c¡5) 2 Æ(a¡4) 2 Å(b¡3) 2 Å(c¡2) 2 (a¡5) 2 Å(b¡1) 2 Å(c¡5) 2 Æ(aÅ3) 2 Å(bÅ2) 2 Å(c¡1) 2 , n ¡10a¡2b¡10cÅ25Å1Å25Æ¡8a¡6b¡4cÅ16Å9Å4 ¡10a¡2b¡10cÅ25Å1Å25Æ6aÅ4b¡2cÅ9Å4Å1 , n 2a¡4bÅ6cÆ22 16aÅ6bÅ8cÆ37. Suyratacóhệ ( 17a¡20b¡19cÆ¡30 a¡2bÅ3cÆ11 16aÅ6bÅ8cÆ37 , 8 > < > : aÆ1 bÆ¡ 1 2 cÆ3. Vậy aÅ2bÅcÆ3. Chọnđápán B ä Câu24. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2yÅ4z¡ m 2 Å5Æ0với mlàthamsốthực.Tìm msaochomặtcầu (S)cóbánkính RÆ3. A. mƧ2 p 3. B. mƧ3 p 2. C. mƧ2 p 2. D. mƧ p 2. -Lờigiải. Tacó 8 > < > : aÆ1 bÆ1 cÆ¡2 dÆ¡m 2 Å5 )a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆm 2 Å1È0,8m2R. Bánkínhcủamặtcầu (S)là RÆ p m 2 Å1. Khiđó RÆ3, p m 2 Å1Æ3,m 2 Æ8,mƧ2 p 2. Chọnđápán C ä Câu25. Phươngtrìnhx 2 Åy 2 Åz 2 ¡2mxÅ4yÅ2mzÅm 2 Å5mÆ0làphươngtrìnhmặtcầukhi A. mÇ4. B. mÈ1. C. h mÇ1 mÈ4 . D. h m·1 m¸4 . -Lờigiải. Phươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2mxÅ4yÅ2mzÅm 2 Å5mÆ0làphươngtrìnhmặtcầukhivàchỉkhi m 2 Å2 2 Åm 2 ¡(m 2 Å5m)È0,m 2 ¡5mÅ4È0, h mÇ1 mÈ4. Chọnđápán C ä Câu26. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3;4) và B(4;¡5;0). Phương trình của mặt cầuđườngkính AB là Th.sNguyễnChínEm 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. (xÅ3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Æ84. B. (xÅ3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Æ21. C. (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Æ21. D. (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Æ84. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểm AB tacó I(3;¡1;2), RÆ AB 2 Æ p 2 2 Å(¡8) 2 Å(¡4) 2 2 Æ p 21. Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Æ21. Chọnđápán C ä Câu27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(¡1;2;4). Mặt cầu (S) có bán kính bằng 9,điqua A vàcótâm I thuộctiađốitiaOy.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là A. x 2 Å(y¡10) 2 Åz 2 Æ81. B. x 2 Å(yÅ10) 2 Åz 2 Æ81. C. x 2 Å(y¡6) 2 Åz 2 Æ81. D. x 2 Å(yÅ6) 2 Åz 2 Æ81. -Lờigiải. Vìtâm I thuộctiađốitiaOynên I(0;a;0),với aÇ0.Tacó IAÆR,1 2 Å(a¡2) 2 Å4 2 Æ81,(a¡2) 2 Æ64, h aÆ10 , loạivì aÇ0 aÆ¡6. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I(0;¡6;0)và RÆ9là x 2 Å(yÅ6) 2 Åz 2 Æ81. Chọnđápán D ä Câu28. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡1;3) và B(3;1;2). Véc-tơ ¡ #  AB có tọa độ là A. (¡1;¡2;1). B. (1;2;¡1). C. (5;0;5). D. (1;¡2;1). -Lờigiải. Tacó¡ #  ABÆ #  BAÆ(¡1;¡2;1). Chọnđápán A ä Câu29. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm I(1;2;3)vàB(3;2;1).Phươngtrìnhcủamặtcầu cótâm I điqua B là A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ8. B. (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ8. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2 p 2. D. (x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ2 p 2. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầulà RÆIBÆ p (x B ¡x I ) 2 Å(y B ¡y I ) 2 Å(z B ¡z I ) 2 Æ2 p 2. Phươngtrìnhcầntìmlà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ8. Chọnđápán A ä Câu30. Trong không gian Oxyz, gọi ' là góc tạo bởi hai véc-tơ #  a Æ(3;¡1;2) và #  b Æ(1;1;¡1). Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. 'Æ30 ± . B. 'Æ45 ± . C. 'Æ90 ± . D. 'Æ60 ± . -Lờigiải. Tacó cos'Æ ¯ ¯ ¯ #  a #  b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  a ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ Æ j3¢1Å(¡1)¢1Å2¢(¡1)j p 3 2 Å(¡1) 2 Å2 2 ¢ p 1 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Æ0nên'Æ90 ± . Chọnđápán C ä Câu31. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết C(1;1;1) và trọng tâm G(2;5;8). Tìm tọađộcácđỉnh A và B biết A thuộcmặtphẳng (Oxy)vàđiểm B thuộctrụcOz. A. A(3;9;0)và B(0;0;15). B. A(6;15;0)và B(0;0;24). C. A(7;16;0)và B(0;0;25). D. A(5;14;0)và B(0;0;23). -Lờigiải. Vì A2(Oxy)và B2Oz nên A(x;y;0), B(0;0;z). DoG làtrọngtâmtamgiác ABC nêntacó 8 > > > > > > < > > > > > > : xÅ0Å1 3 Æ2 yÅ0Å1 3 Æ5 0ÅzÅ1 3 Æ8 ) ( xÆ5 yÆ14 zÆ23 . Vậy A(5;14;0), B(0;0;23). Th.sNguyễnChínEm 75 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu32. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(7;¡2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào dưới đâylàphươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB? A. (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ2 p 14. B. (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ14. C. (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ56. D. (x¡7) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡2) 2 Æ14. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủađoạn AB khiđó I(4;0;3)làtâmmặtcầu. Tacóbánkính RÆ AB 2 Æ 1 2 p (1¡7) 2 Å(2Å2) 2 Å(4¡2) 2 Æ p 56 2 . Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ14. Chọnđápán B ä Câu33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x¡yÅ 2zÅ1Æ0.Phươngtrìnhmặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P)là A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. B. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. C. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. D. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. -Lờigiải. Tacó d(I,(P))Æ j2¢2¡1Å2¢1Å1j p 4Å4Å1 Æ2. Suyra,phươngtrìnhmặtcầutâm I tiếpxúcvới (P)códạng (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu34. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S)cótâm I(¡1;4;2)vàcóthểtích làVÆ36¼.Khiđóphươngtrìnhmặtcầu (S)là A. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ3. D. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. -Lờigiải. TacóVÆ 4 3 ¼R 3 Æ36¼,RÆ3. Phươngtrìnhmặtcầu (S)códạng (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu35. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtphẳng (Oyz)cắtmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å 2x¡2yÅ4z¡3Æ0theogiaotuyếnlàmộtđườngtròn.Tìmtoạđộtâmđườngtrònđó. A. (0;¡1;2). B. (0;1;¡2). C. (¡1;0;0). D. (0;2;¡4). -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;1;¡2).Tâmcủađườngtròngiaotuyến I 0 làhìnhchiếuvuônggóccủa I lênmặtphẳngOyz,suyratâm I 0 (0;1;¡2). Chọnđápán B ä Câu36. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S)cóphươngtrình(x¡6) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ4.Tâm mặtcầu (S)làđiểm A. I(6;3;0). B. I(¡6;¡3;0). C. I(6;3;4). D. I(¡6;¡3;4). -Lờigiải. Dễthấytâmmặtcầulàđiểm I(6;3;0). Chọnđápán A ä Câu37. Th.sNguyễnChínEm 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohìnhhộpchữnhật OABC.EFGH có các cạnh OAÆ5,OCÆ8,OEÆ7 (xem hình vẽ).HãytìmtọađộđiểmG. A. G(5;8;7). B. G(7;8;5). C. G(5;7;8). D. G(8;5;7). 5 8 7 O A B E H C G F x z y -Lờigiải. VớihệtrụcđãchọntacóO(0;0;0),A(5;0;0),C(0;8;0),E(0;0;7). Suyra #  OGÆ #  OAÅ #  OCÅ #  OEÆ(5;8;7))G(5;8;7). Chọnđápán A ä Câu38. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm I(1;¡2;3).Phươngtrìnhmặtcầutâm I vàtiếpxúcvớitrụcOylà A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ10. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ8. -Lờigiải. Bán kính mặt cầu là RÆd(I,Oy)Æ p 1 2 Å3 2 Æ p 10, suy ra phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúcvớitrụcOylà (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ10. Chọnđápán B ä Câu39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;2;3), N(2;¡3;1), P(3;1;2). Tìm tọa độ điểmQ saocho MNPQ làhìnhbìnhhành. A. Q(2;6;4). B. Q(4;¡4;0). C. Q(2;¡6;4). D. Q(¡4;¡4;0). -Lờigiải. MNPQ làhìnhbìnhhànhsuyra #  MNÆ #  QP, 8 < : x Q Æx M Åx P ¡x N Æ2 x Q Æy M Åy P ¡y N Æ6 z Q Æz M Åz P ¡z N Æ4. N P M Q Chọnđápán A ä Câu40. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchomặtcầu (P): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ6zÅ5Æ0. Mặtcầu (S)cóbánkínhlà A. 3. B. 5. C. 2. D. 7. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầu (S)là RÆ p (¡2) 2 Å1 2 Å3 2 ¡5Æ3. Chọnđápán A ä Câu41. TrongkhônggianhệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;1;0)và I(3;1;4).Tìmtọađộđiểm B saocho A làtrungđiểmđoạn BI. A. B(2;1;2). B. B(5;1;8). C. B(0;1;4). D. B(¡1;1;¡4). -Lờigiải. Do A làtrungđiểmđoạn BI nêntacó 8 > > > > > < > > > > > : x A Æ x B Åx I 2 y A Æ y B Åy I 2 z A Æ z B Åz I 2 ) ( x B Æ2x A ¡x I y B Æ2y A ¡y I z B Æ2z A ¡z I ) ( x B Æ5 y B Æ1 z B Æ8. Vậytọađộđiểm B(5;1;8). Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu42. TrongkhônggianOxyz,gọi(S)làmặtcầuđiqua4điểm A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;¡2) và D(2;4;¡2).Tínhbánkính r của (S). A. rÆ p 6. B. rÆ3. C. rÆ2 p 2. D. rÆ6. -Lờigiải. Giảsử I(a;b;c)làtâmmặtcầu (S).Tacó 8 < : IA 2 ÆIB 2 IA 2 ÆIC 2 IA 2 ÆID 2 , 8 < : (a¡2) 2 Åb 2 Åc 2 Æa 2 Å(b¡4) 2 Åc 2 (a¡2) 2 Åb 2 Åc 2 Æa 2 Åb 2 Å(cÅ2) 2 (a¡2) 2 Åb 2 Åc 2 Æ(a¡2) 2 Å(b¡4) 2 Å(cÅ2) 2 , ( ¡4aÅ8bÆ12 ¡4a¡4cÆ0 8b¡4cÆ20 , ( aÆ1 bÆ2 cÆ¡1. Suyra rÆIAÆ p 6. Chọnđápán A ä Câu43. Cho2véc-tơ #  a và #  b tạovớinhaumộtgóc 120 ± .Tìm ¯ ¯ ¯ #  a¡ #  b ¯ ¯ ¯,biếtj #  ajÆ3, ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ5. A. p 34¡8 p 3. B. 2. C. p 19. D. 7. -Lờigiải. Tacó ³ #  a¡ #  b ´ 2 Æj #  aj 2 Åj #  bj 2 ¡2¢j #  aj¢j #  bj¢cos ³ #  a, #  b ´ Æ49. Dođó ¯ ¯ ¯ #  a¡ #  b ¯ ¯ ¯ 2 Æ49) ¯ ¯ ¯ #  a¡ #  b ¯ ¯ ¯Æ7. Chọnđápán D ä Câu44. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. A. I(0;1;¡2),RÆ3. B. I(0;1;¡2),RÆ9. C. I(1;1;¡2),RÆ3. D. I(1;1;¡2),RÆ9. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 cótâm I(a;b;c),bánkính R. Chọnđápán A ä Câu45. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;3) cắt mặt phẳng (®): 2x¡y¡2zÅ18Æ0 theomộtđườngtròncóchuvibằng 10¼cóphươngtrìnhlà A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ41. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacóđườngtròncóchuvi CÆ10¼)rÆ5. Gọi d(I;(®))Æ4)RÆ p d 2 År 2 Æ p 41. Phươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ41. I O Chọnđápán C ä Câu46. Trongkhônggian Oxyz,viếtphươngtrìnhmặtcầucótâm I(1;¡4;3)vàđiquađiểm A(5;¡3;2). A. (x¡1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ18. B. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. C. (x¡1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. D. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡3) 2 Æ18. -Lờigiải. Tacó #  IAÆ(4;1;¡1).Khiđóbánkínhcủamặtcầu: RÆIAÆ p 4 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Æ3 p 2. Phươngtrìnhmặtcầucótâm I(1;¡4;3)vàđiquađiểm A(5;¡3;2)là (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡3) 2 Æ18. Th.sNguyễnChínEm 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu47. Trong không gian Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(2;¡1;0), #  b Æ(1;2;3), #  c Æ(4;2;¡1) và các mệnhđềsau: 1 #  a? #  b. 2 #  b¢ #  c Æ5. 3 #  a cùngphươngvới #  c. 4 j #  bjÆ p 14 Trongcácmệnhđềtrêncóbaonhiêumệnhđềđúng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lờigiải. Tacó 1 #  a¢ #  b Æ2¢1¡1¢2Å0¢3Æ0, #  a? #  b. 2 #  b¢ #  c Æ1¢4Å2¢2Å3¢(¡1)Æ5. 3 2 4 6Æ ¡1 2 6Æ 0 ¡1 nên #  a khôngcùngphươngvới #  c. 4 j #  bjÆ p 1 2 Å2 2 Å3 2 Æ p 14. Vậycó 3mệnhđềđúng. Chọnđápán C ä Câu48. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(0;¡2;2), C(1;0;¡1). Biết m,n,p là các số thực thỏa mãn m #  OAÅn #  OBÅp #  OCÆ #  u với #  u Æ(1;¡1;3). Đặt TÆmÅ3nÅp, tính giá trị của T. A. ¡1. B. 7. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Tacó #  OAÆ(1;2;¡1), #  OBÆ(0;¡2;2)và #  OCÆ(1;0;¡1),khiđó m #  OAÅn #  OBÅp #  OCÆ #  u) ( mÅpÆ1 2m¡2nÆ¡1 ¡mÅ2n¡pÆ3 , 8 > > > < > > > : mÆ 3 2 nÆ2 pÆ¡ 1 2 )TÆ7. Chọnđápán B ä Câu49. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡2z¡3Æ0. Tìmtọađộtâm I vàbánkính R của (S). A. I(2;¡1;1)và RÆ3. B. I(¡2;1;¡1)và RÆ9. C. I(2;¡1;1)và RÆ9. D. I(¡2;1;¡1)và RÆ3. -Lờigiải. Tacó (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9)(S)cótâm I(2;¡1;1)vàbánkính RÆ3. Chọnđápán A ä Câu50. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;1), N(2;3;0). Đẳng thức nào sau đây đúng? A. #  MNÆ #  i Å #  k¡ #  j. B. #  MNÆ #  j Å #  k¡ #  i. C. #  MNÆ¡ #  i ¡ #  j Å #  k. D. #  MNÆ #  i Å #  j ¡ #  k. -Lờigiải. Tacó #  MNÆ(1;1;¡1)Æ #  i Å #  j ¡ #  k. Chọnđápán D ä Câu51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4). Điểm D thỏamãn ABCD làhìnhbìnhhành.Tọađộcủađiểm D là A. (1;7;1). B. (1;5;3). C. (0;4;1). D. (9;¡5;5). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tứgiác ABCD làhìnhbìnhhànhthì #  ABÆ #  DC. Tacó #  ABÆ(¡4;5;¡1), #  DCÆ(5¡x D ;¡y D ;4¡z D ).Từđósuyra ( 5¡x D Æ¡4 ¡y D Æ5 4¡z D Æ¡1 , ( x D Æ9 y D Æ¡5 z D Æ5. Chọnđápán D ä Câu52. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm I(1;2;¡5)vàmặtphẳng(P): 2x¡2yÅ z¡8Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtcầucótâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P). A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ25. B. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡5) 2 Æ25. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ5. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡5) 2 Æ36. -Lờigiải. Domặtcầutiếpxúcvớimặtphẳng (P)nên RÆd(I;(P))Æ j2¢1¡2¢2¡5¡8j p 4Å4Å1 Æ5. Phươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ25. Chọnđápán A ä Câu53. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(1;2;¡1),B(2;3;4),C(3;5;¡2).Tìmtọađộđiểm I làtâmcủađườngtrònngoạitiếptamgiác ABC. A. I µ 2; 7 2 ;¡ 3 2 ¶ . B. I µ 37 2 ;¡7;0 ¶ . C. I µ 5 2 ;4;1 ¶ . D. I µ ¡ 27 2 ;15;2 ¶ . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;1;5)và #  ACÆ(2;3;¡1). Vì #  AB¢ #  ACÆ1¢2Å1¢3¡5¢1Æ0nên AB?AC haytamgiác ABC vuôngtại A. Suyra I làtrungđiểmcủa BC.Vậy I µ 5 2 ;4;1 ¶ . Chọnđápán C ä Câu54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(¡1;4;1). Phương trìnhmặtcầuđườngkính AB là A. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡1) 2 Æ12. B. x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ12. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ12. D. x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. -Lờigiải. Gọi I làtâmmặtcầuđườngkính AB,suyra I làtrungđiểmcủa AB.Vậy I(0;3;2). Bánkínhmặtcầulà RÆ AB 2 Æ p (1Å1) 2 Å(2¡4) 2 Å(3¡1) 2 2 Æ p 3. Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. Chọnđápán D ä Câu55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;¡2;0), B(2;1;¡2), C(0;3;4).Tìmtọađộđiểm D đểtứgiác ABCD làhìnhbìnhhành. A. (¡1;0;6). B. (1;6;2). C. (1;6;¡2). D. (1;0;¡6). -Lờigiải. Tứgiác ABCD làhìnhbìnhhành, #  ABÆ #  DC, ( x D Æx A ¡x B Åx C Æ1¡2Å0Æ¡1 y D Æy A ¡y B Åy C Æ¡2¡1Å3Æ0 z D Æz A ¡z B Åz C Æ0Å2Å4Æ6. Vậy D(¡1;0;6). Chọnđápán A ä Câu56. Trong không gian Oxyz, cho 3 véc-tơ #  a Æ(¡1;1;0), #  b Æ(1;1;0), #  c Æ(1;1;1). Trong các mệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. j #  ajÆ p 2. B. j #  cjÆ p 3. C. #  a? #  b. D. #  b¢ #  c Æ0. -Lờigiải. Tacój #  ajÆ p (¡1) 2 Å1 2 Å0 2 Æ p 2vàj #  cjÆ p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3. Mặtkhác #  a¢ #  b Æ(¡1)¢1Å1¢1Å0¢0Æ0nên #  a? #  b.Trongkhiđó #  b¢ #  c Æ1¢1Å1¢1Å0¢1Æ26Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 80 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(1;1;¡2), #  b Æ(¡2;1;4). Tìmtọađộcủavéc-tơ #  uÆ #  a¡2 #  b. A. (0;3;0). B. (5;¡1;10). C. (¡3;3;6). D. (5;¡1;¡10). -Lờigiải. #  uÆ #  a¡2 #  b Æ(5;¡1;¡10). Chọnđápán D ä Câu58. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(4;6;12),B(2;7;6),C(¡2;5;7).Tamgiác ABC là tamgiác A. vuông(khôngcân). B. cân(khôngvuông). C. đều. D. vuôngcân. -Lờigiải. Ta có #  BAÆ(¡2;1;¡6), #  BCÆ(4;2;¡1) nên #  BA¢ #  BCÆ0, hay tam giác ABC vuông tại B. Lại có BAÆ p 41, BCÆ p 21nêntamgiác ABC vuôngnhưngkhôngcân. Chọnđápán A ä Câu59. TrongkhônggiantọađộOxyz,chođiểm A(¡2;3;4).Khoảngcáchtừđiểm A đếntrục Oxlà A. 3. B. 2. C. 4. D. 5. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A lêntrụcOx,có H(¡2;0;0). Khoảngcáchtừ A(¡2;3;4)đếnOxlà AHÆ È y 2 A Åz 2 A Æ p 3 2 Å4 2 Æ5. Chọnđápán D ä Câu60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(2;1;¡3), B(0;¡2;5)và C(1;1;3).Diệntíchhìnhbìnhhành ABCD là A. p 349 2 . B. p 87. C. p 349. D. 2 p 87. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;¡3;8), #  ACÆ(¡1;0;6).Nên h #  AB, #  AC i Æ(¡18;4;¡3). Diệntíchhìnhbìnhhành ABCD là S ABCD Æ2S ABC Æ2¢ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ p 349. Chọnđápán C ä Câu61. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho A(2;1;¡3).Điểm A 0 đốixứngvới Aquamặt phẳng (Oyz)cótọađộlà A. A 0 (¡2;1;¡3). B. A 0 (2;¡1;¡3). C. A 0 (2;1;¡3). D. A 0 (¡2;1;3). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A trênmặtphẳng(Oyz)làđiểm H(0;1;¡3). Gọi A 0 làđiểmđốixứngvới A qua(Oyz)suyra H làtrungđiểmcủa AA 0 . Dođótacó A 0 Æ(2x H ¡x A ;2y H ¡y A ;2z H ¡z A )Æ(¡2;1;¡3). Chọnđápán A ä Câu62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  u Æ (1;¡2;2). Tính độ dài véc-tơ #  u. A. ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ1. B. ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ3. C. ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ2. D. ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ4. -Lờigiải. ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ3. Chọnđápán B ä Câu63. Trongkhônggian0xyz,cho2véc-tơ #  u(1;a;2), #  v(¡3;9;b)cùngphương.Tínha 2 Åb. A. 15. B. 3. C. 0. D. Khôngtínhđược. -Lờigiải. #  u và #  v cùngphương, 1 ¡3 Æ a 9 Æ 2 b , n aÆ¡3 bÆ¡6 . )a 2 ÅbÆ9¡6Æ3. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu64. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chođiểm M(¡3;2;¡1).Toạđộđiểm M 0 đốixứng với M quaOxylà A. M 0 (3;2;¡1). B. M 0 (3;2;1). C. M 0 (3;¡2;¡1). D. M 0 (¡3;2;1). -Lờigiải. M 0 đốixứng M(¡3;2;¡1)qua (Oxy)cótoạđộ (¡3;2;1). Chọnđápán D ä Câu65. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #  a(2;1;¡3), #  b(2;5;1). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. #  a¢ #  b Æ4. B. #  a¢ #  b Æ12. C. #  a¢ #  b Æ6. D. #  a¢ #  b Æ9. -Lờigiải. Tacó #  a¢ #  b Æ2¢2Å1¢5Å(¡3)¢1Æ6. Chọnđápán C ä Câu66. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;¡2). Bán kínhmặtcầungoạitiếphìnhchópOABC là A. 7 2 . B. 1 2 . C. 3 2 . D. 5 2 . -Lờigiải. Gọi I(a;b;c)làtâmmặtcầungoạitiếphìnhchópOABC.Khiđó 8 < : OI 2 ÆAI 2 OI 2 ÆBI 2 OI 2 ÆCI 2 , 8 < : a 2 Åb 2 Åc 2 Æ(a¡1) 2 Åb 2 Åc 2 a 2 Åb 2 Åc 2 Æa 2 Å(b¡2) 2 Åc 2 a 2 Åb 2 Åc 2 Æa 2 Åb 2 Å(cÅ2) 2 , 8 > < > : aÆ 1 2 bÆ1 cÆ¡1. Suyrabánkính RÆOIÆ 3 2 . Chọnđápán C ä Câu67. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M(3;2;¡1). Gọi A, B lần lượt là hình chiếuvuônggóccủađiểm M lêntrụcOy,Oz.TínhdiệntíchtamgiácOAB. A. 3 2 . B. 1 2 . C. 1. D. 2. -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(3;2;¡1)lêntrụcOylàđiểm A(0;2;0). Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(3;2;¡1)lêntrụcOz làđiểm B(0;0;¡1). VậydiệntíchtamgiácvuôngOAB là SÆ 1 2 ¢OA¢OBÆ 1 2 ¢2¢1Æ1. Chọnđápán C ä Câu68. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chocácđiểm A(3;3;0),B(3;0;3)vàC(0;3;3).Tìm tọađộđiểm I làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC. A. I(2;3;2). B. I(2;2;0). C. I(2;2;2). D. I(0;2;2). -Lờigiải. Vì ABÆBCÆACÆ3 p 2 nên tam giác ABC đều. Do đó, tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cũnglàtrọngtâmtamgiác ABC.Suyra I(2;2;2). Chọnđápán C ä Câu69. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ4yÅ2z¡5Æ0. Tínhbánkính r củamặtcầutrên. A. rÆ p 3. B. rÆ1. C. rÆ p 11. D. rÆ3 p 3. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu (S)là rÆ p 1 2 Å2 2 Å1 2 Å5Æ p 11. Chọnđápán C ä Câu70. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;1;0),B(¡2;3;2) và đường thẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ z ¡2 . Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua hai điểm A;B. Tìm tọa độ tâm I củamặtcầu (S). Th.sNguyễnChínEm 82 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. I(1;1;2). B. I(¡1;¡1;2). C. I(2;1;¡1). D. I(0;2;1). -Lờigiải. Gọi I(2tÅ1;t;¡2t)làtâmcủamặtcầu (S). Tacó IAÆIB, p (1¡2t) 2 Å(1¡t) 2 Å4t 2 Æ p (¡3¡2t) 2 Å(3¡t) 2 Å(2Å2t) 2 ,tÆ¡1. Vậy I(¡1;¡1;2). Chọnđápán B ä Câu71. TrongkhônggianOxyz,điểm N đốixứngvớiđiểm M(3;¡1;2)quatrụcOylà A. N(¡3;1;¡2). B. N(3;1;¡2). C. N(¡3;¡1;¡2). D. N(3;¡1;¡2). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(3;¡1;2)trêntrục Oylà H(0;¡1;0).Tọađộđiểm N đốixứng vớiđiểm M(3;¡1;2)quatrụcOylà ( x N Æ2x H ¡x M Æ2¢0¡3Æ¡3 y N Æ2y H ¡y M Æ2¢(¡1)¡(¡1)Æ¡1 z N Æ2z H ¡z M Æ2¢0¡2Æ¡2 )N(¡3;¡1;¡2). Chọnđápán C ä Câu72. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;¡3) và đi qua điểm A(1;0;4). Phươngtrìnhcủamặtcầu (S)là A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ53. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ53. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ53. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ53. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầulà RÆIAÆ p (1¡1) 2 Å(0¡2) 2 Å(4Å3) 2 Æ p 53. Phươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ53. Chọnđápán B ä Câu73. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡2;1;0), B(2;¡1;2). Phương trình của mặt cầucóđườngkính AB là A. x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ24. B. x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ p 6. C. x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ6. D. x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ p 24. -Lờigiải. Mặtcầuđườngkính AB cótâmlà I(0;0;1)(trungđiểmcủa AB). Bánkínhcủamặtcầulà RÆ AB 2 Æ p 4 2 Å(¡2) 2 Å2 2 2 Æ p 6. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ6. Chọnđápán C ä Câu74. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;3) và N(¡1;2;¡1). Mặt cầu đường kính MN cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ20. B. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ p 5. C. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. D. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ p 20. -Lờigiải. Mặtcầuđườngkính MN cótâm I(0;2;1)làtrungđiểm MN vàbánkính RÆIMÆ p 5. Dođómặtcầunàycóphươngtrình x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. Chọnđápán C ä Câu75. Trongkhônggian Oxyz,mặtcầucótâm A(2;1;1)vàtiếpxúcvớimặtphẳng 2x¡yÅ 2zÅ1Æ0cóphươngtrìnhlà A. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ16. B. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. C. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. D. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. -Lờigiải. Vìmặtcầutâm A tiếpxúcvớimặtphẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ1Æ0nên RÆd(A,(P))Æ2. Suyra (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu76. Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt cầu có tâm I(1;2;¡1) và tiếp xúc với mặtphẳng (P): x¡2y¡2z¡8Æ0là A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. Th.sNguyễnChínEm 83 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacó RÆd(I,(P))Æ j¡9j 3 Æ3.Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu77. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(6;¡3;¡1)và B(2;¡1;7).Phương trìnhmặtcầuđườngkính AB là A. (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ42. B. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡4) 2 Æ21. C. (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ21. D. (x¡8) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡6) 2 Æ42. -Lờigiải. Gọi I làtâmmặtcầu,suyra I làtrungđiểmcủa AB,vậytọađộ I là (4;¡2;3). Mặtcầunhận AB làmđườngkínhnêncóbánkínhlà RÆ AB 2 Æ p 21. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ21. Chọnđápán C ä Câu78. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(¡1;2;3). Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua mặtphẳng (Oyz). A. B(1;2;3). B. B(¡1;¡2;¡3). C. B(1;¡2;3). D. B(1;2;¡3). -Lờigiải. Tacóđiểm A(¡1;2;3)đốixứngquamặtphẳng(Oyz)tađượcđiểmB(1;2;3)(giữnguyên y A , z A , đổidấu x A ). Chọnđápán A ä Câu79. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;1). Viết phươngtrìnhmặtcầuđiquabốnđiểmO,A,B,C. A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡3yÅzÆ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡3y¡zÆ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡3y¡zÆ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ3y¡zÆ0. -Lờigiải. PhươngtrìnhmặtcầuđiquabốnđiểmO,A,B,C códạng: (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0. (S)điquabốnđiểmO,A,B,C nêntathuđược 8 > < > : dÆ0 4¡4aÅdÆ0 9¡6bÅdÆ0 1¡2cÅdÆ0 , 8 > > > > > < > > > > > : aÆ1 bÆ 3 2 cÆ 1 2 dÆ0. Vậyphươngtrìnhmặtcầucầntìmlà x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡3y¡zÆ0. Chọnđápán C ä Câu80. Cho #  aÆ(¡1;2;3), #  b Æ(2;1;0)với #  c Æ2 #  a¡ #  b thìtọađộcủa #  c là A. (¡4;3;3). B. (¡4;3;6). C. (¡4;1;3). D. (¡1;3;5). -Lờigiải. Tacó 2 #  aÆ(¡2;4;6)dođó 2 #  a¡ #  b Æ(¡4;3;6). Chọnđápán B ä Câu81. Cho #  aÆ(¡2;1;3), #  b Æ(1;2;m).Véc-tơ #  a vuônggócvớivéc-tơ #  b khi A. mÆ1. B. mÆ¡1. C. mÆ2. D. mÆ0. -Lờigiải. #  a? #  b , #  a¢ #  b Æ0,¡2Å2Å3mÆ0,mÆ0. Chọnđápán D ä Câu82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A trùngvớigốctọađộ.Cho B(a;0;0), D(0;a;0), A 0 (0;0;b)với aÈ0,bÈ0.Gọi M làtrungđiểmcủa cạnh CC 0 .Xácđịnhtỉsố a b đểmặtphẳng (A 0 BD)vuônggócvớimặtphẳng (BDM). Th.sNguyễnChínEm 84 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. a b Æ1. B. a b Æ2. C. a b Æ 1 2 . D. a b Æ¡1. -Lờigiải. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy A(0;0;0), M µ a;a; b 2 ¶ ,O ³ a 2 ; a 2 ;0 ´ . Tacó (A 0 BD)\(MBD)ÆBD và n BD?AC BD?A 0 A )BD?(AA 0 C 0 C)) n BD?A 0 O BD?OM. ) ¡ (A 0 BD),(MBD) ¢ Æ ¡ A 0 O,MO ¢ Æ90 ± . Tacó #  OA 0 Æ ³ ¡ a 2 ;¡ a 2 ;b ´ , #  OMÆ µ a 2 ; a 2 ; b 2 ¶ C D C 0 D 0 M O A 0 B B 0 A x y z #  OA 0 ? #  OM, #  OA 0 ¢ #  OMÆ0,¡ a 2 4 ¡ a 2 4 Å b 2 2 Æ0,a 2 Æb 2 , a b Æ1. Chọnđápán A ä Câu83. Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡3;1)vàđiquađiểm A(5;¡2;1)cóphươngtrìnhlà A. (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ25. B. (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. C. (x¡5) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ p 5. D. (x¡5) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. -Lờigiải. Bánkính RÆIAÆ p 2 2 Å1 2 Å0 2 Æ p 5.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. Chọnđápán B ä Câu84. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(1;¡2;3).Gọi I làhìnhchiếuvuông góccủa M trêntrục Ox.Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtcầutâm I,bánkính IM? A. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ p 13. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ17. C. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ13. D. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ13. -Lờigiải. I làhìnhchiếucủa M lêntrụcOxsuyra I(1;0;0).Dođó,tacó #  IMÆ(0;¡2;3)suyraj #  IMjÆ p 13. Phươngtrìnhmặtcầutâm I,bánkính IM cóphươngtrìnhlà (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ13. Chọnđápán D ä Câu85. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(¡2;¡1;3)và B(2;¡5;1),điểm M thỏamãn MAÆ2MB.Khiđó M sẽthuộcmặtcầunàosauđây? A. µ xÅ 10 3 ¶ 2 Å µ y¡ 19 3 ¶ 2 Å µ zÅ 1 3 ¶ 2 Æ16. B. x 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. C. µ x¡ 10 3 ¶ 2 Å µ yÅ 19 3 ¶ 2 Å µ z¡ 1 3 ¶ 2 Æ16. D. x 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. -Lờigiải. Gọi M(x;y;z). Tacó MAÆ2MB,MA 2 Æ4MB 2 , (xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ4 £ (x¡2) 2 Å(yÅ5) 2 Å(z¡1) 2 ¤ , x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 20 3 xÅ 38 3 y¡ 2 3 zÅ 106 3 Æ0 , µ x¡ 10 3 ¶ 2 Å µ yÅ 19 3 ¶ 2 Å µ z¡ 1 3 ¶ 2 Æ16. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 85 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu86. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtcầutâm I(2;1;3)vàtiếp xúcvớimặtphẳng (P): xÅ2yÅ2zÅ2Æ0. A. (xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4. B. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. C. (xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ16. D. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu RÆd(I,(P))Æ j2Å2¢1Å2¢3Å2j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ4. Phươngtrìnhmặtcầucầntìm: (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. Chọnđápán D ä Câu87. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I(1;¡1;4) và cắtmặtphẳng (P): 2xÅ2y¡zÅ1Æ0theomộtđườngtròncóchuvi 2 p 3¼. A. (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ ¡ 1Å2 p 3 ¢ 2 . B. (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ2. C. (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ4. D. (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ4) 2 Æ4. -Lờigiải. Khoảngcáchtừtâmmặtcầuđếnmặtphẳng (P)là IOÆd(I,(P))Æ1. Gọirlàbánkínhđườngtròngiaotuyếntacó2¼rÆ2 p 3¼)rÆOAÆ p 3. Bánkínhmặtcầu RÆIAÆ p 3Å1Æ2. Phươngtrìnhmặtcầucầntìm: (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ4. I O A Chọnđápán C ä Câu88. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho #  aÆ(1;2;0), #  b Æ(¡1;2;1), #  b Æ(¡2;1;5).Tìm mệnhđềsaitrongcácmệnhđềchodướiđây. A. ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ p 6. B. #  a? #  c. C. #  b¢ #  c Æ9. D. #  a? #  b. -Lờigiải. Tacó: #  a¢ #  b Æ36Æ0) #  a khôngvuônggócvới #  b. Chọnđápán D ä Câu89. Trong không gian Oxyz cho vec-tơ #  u(1;1;2) và #  v(2;0;m). Tìm giá trị của tham số m biết cos( #  u; #  v)Æ 4 p 30 . A. mÆ1. B. mÆ¡11. C. mÆ1;mÆ¡11. D. mÆ0. -Lờigiải. Tacó cos( #  u; #  v)Æ 1¢2Å1¢0Å2¢m p 1 2 Å1 2 Å2 2 ¢ p 2 2 Åm 2 Æ 4 p 30 , p 5¢(2mÅ2)Æ4 p 4Åm 2 ,mÆ1. Chọnđápán A ä Câu90. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0); B(0;3;0); C(2;3;6). Thể tích khối cầu ngoạitiếptứdiệnO.ABC là A. 49¼. B. 1372¼ 3 . C. 341¼ 6 . D. 343¼ 6 . -Lờigiải. Chú ý bốn đỉnh O,A,B,C là bốn đỉnh của hình hộp chữ nhật có các kích thước 2;3;6. Vậy RÆ 1 2 p 2 2 Å3 2 Å6 2 Æ 7 2 . TừđósuyraVÆ 4 3 ¼¢R 3 Æ 343¼ 6 . Chọnđápán D ä Câu91. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3;2;1) trên Oxcótọađộlà A. (0;0;1). B. (3;0;0). C. (¡3;0;0). D. (0;2;0). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 86 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(3;2;1)trênOxcótọađộlà (3;0;0). Chọnđápán B ä Câu92. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,cho3điểm A(2;0;0),B(0;3;1),C(¡3;6;4).Gọi M làđiểmnằmtrênđoạn BC saocho MCÆ2MB.Tínhđộdàiđoạn AM. A. AMÆ3 p 3. B. AMÆ2 p 7. C. AMÆ p 29. D. AMÆ p 30. -Lờigiải. Gọitọađộđiểm M(a;b;c),do M thuộcđoạn BC và MCÆ2MB) #  CMÆ2 #  MB (¤). Tacó #  CMÆ(aÅ3;b¡6;c¡4)và #  MBÆ(¡a;3¡b;1¡c). Dođó (¤), ( aÅ3Æ¡2a b¡6Æ6¡2b c¡4Æ2¡2c , ( aÆ¡1 bÆ4 cÆ2 )M(¡1;4;2)) #  AMÆ(¡3;4;2))AMÆ p 29. Chọnđápán C ä Câu93. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(2;1;¡3), #  b Æ(2;5;1). Mệnh đềnàodướiđâyđúng? A. #  a¢ #  b Æ4. B. #  a¢ #  b Æ12. C. #  a¢ #  b Æ6. D. #  a¢ #  b Æ9. -Lờigiải. Tacó #  a¢ #  b Æ2¢2Å1¢5¡3¢1Æ6. Chọnđápán C ä Câu94. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ1. Xácđịnhtọađộtâm I củamặtcầu (S). A. I(1;¡2;3). B. I(1;2;¡3). C. I(¡1;2;¡3). D. I(¡1;2;3). -Lờigiải. Tọađộtâmmặtcầulà I(¡1;2;¡3). Chọnđápán C ä Câu95. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;¡1;1). Tìm tọa độ điểm M 0 là hìnhchiếuvuônggóccủa M lênmặtphẳng (Oxy). A. M 0 (2;¡1;0). B. M 0 (0;0;1). C. M 0 (¡2;1;0). D. M 0 (2;1;¡1). -Lờigiải. Hìnhchiếucủa M(2;¡1;1)lên (Oxy)làđiểm M 0 cótọađộ M 0 (2,¡1,0). Chọnđápán A ä Câu96. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)cótâm I(0;1;¡1) vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P): 2x¡yÅ2z¡3Æ0. A. x 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. B. x 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. C. x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. D. x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ2. -Lờigiải. ² d(I,(P))Æ j2¢0¡1Å2¢(¡1)¡3j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ2. ² (S): x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu97. TrongkhônggianOxyz,khoảngcáchtừđiểm A(1;2;3)đếntrụcOybằng A. 1. B. p 10. C. p 5. D. p 13. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A(1;2;3)lêntrụcOy)H(0;2;0). Tacó d(A,Oy)ÆAHÆ p (0¡1) 2 Å(2¡2) 2 Å(0¡3) 2 Æ p 10. Chọnđápán B ä Câu98. Tứgiác ABCD làhìnhbìnhhành,biết A(1;0;1),B(2;1;2), D(1;¡1;1).Tìmtọađộđiểm C. A. (0;¡2;0). B. (2;2;2). C. (2;0;2). D. (2;¡2;2). -Lờigiải. Tứgiác ABCD làhìnhbìnhhànhkhi #  ABÆ #  DC, ( x C ¡1Æ2¡1 y C Å1Æ1¡0 z C ¡1Æ2¡1 , ( x C Æ2 y C Æ0 z C Æ2 . Th.sNguyễnChínEm 87 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tọađộđiểm C(2;0;2). Chọnđápán C ä Câu99. TrongkhônggiantọađộOxyz,chomặtphẳng (Q)songsongvớimặtphẳng (P): 2x¡ 2yÅz¡17Æ0vàcắtmặtcầu (S): x 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ25theomộtđườngtròncóchuvibằng 6¼.Phươngtrìnhcủamặtphẳng (Q)là A. 2x¡2yÅzÅ7Æ0. B. x¡yÅ2z¡7Æ0. C. 2x¡2yÅzÅ17Æ0. D. 2x¡2yÅz¡17Æ0. -Lờigiải. Đường tròn giao tuyến của (Q) và mặt cầu (S) có chu vi bằng 6¼ nên có bán kính rÆ3. Gọi d làkhoảngcáchtừtâm I củamặtcầuđến(Q)thì dÆ p R 2 ¡r 2 Æ4(I cótọađộ(0;¡2;1), R làbán kínhcủamặtcầu (S)). Mặt khác, (Q) song song với (P) nên phương trình có dạng 2x¡2yÅzÅmÆ0 (m6Æ¡17). Từ d(I,(Q))Æ4tasuyra jmÅ5j 3 Æ4;dođó mÆ7. Chọnđápán A ä Câu100. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;3), B(2;¡3;1) và C(3;1;2). Tìm tọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC. A. G(2;0;2). B. G(3;0;3). C. G(3;2;1). D. G(6;0;6). -Lờigiải. Tacó GÆ µ 1Å2Å3 3 ; 2¡3Å1 3 ; 3Å1Å2 3 ¶ Æ(2;0;2). VậyG(2;0;2). Chọnđápán A ä Câu101. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I(1;1;0) và đi qua điểm A(1;1; p 5). A. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡ p 5) 2 Æ p 5. B. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ5. C. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡ p 5) 2 Æ5. D. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ5. -Lờigiải. Mặtcầutâm I(1;1;0)vàđiquađiểm A(1;1; p 5)cóbánkính RÆIAÆ È (1¡1) 2 Å(1¡1) 2 Å( p 5¡0) 2 Æ p 5. Vậymặtcầucóphươngtrình (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ5. Chọnđápán D ä Câu102. TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  aÆ(1;2;3), #  b Æ(1;m¡1;m)thỏamãn #  a¢ #  b Æ1. Giátrị mbằngbaonhiêu? A. mÆ 1 5 . B. mÆ 5 2 . C. mÆ¡ 2 5 . D. mÆ 2 5 . -Lờigiải. Tacó #  a¢ #  b Æ1 , 1¢1Å2¢(m¡1)Å3¢mÆ1 , 5m¡1Æ1,mÆ 2 3 . Chọnđápán D ä Câu103. TrongkhônggianOxyz,chotứdiện ABCDcótọađộcácđỉnhlà A(0;2;0), B(2;0;0), C(0;0;2) và D(0;¡2;0).Sốđogócgiữahaiđườngthẳng AB và CD bằngbaonhiêu? A. 30 ± . B. 45 ± . C. 60 ± . D. 90 ± . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡2;0)và #  CDÆ(0;¡2;¡2). Mà cos ³ #  AB, #  CD ´ Æ #  AB¢ #  CD AB¢CD Æ 2¢0Å(¡2)¢(¡2)Å0¢(¡2) p 8¢ p 8 Æ 1 2 . Th.sNguyễnChínEm 88 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Suyra ³ #  AB, #  CD ´ Æ60 ± ,haygócgiữahaiđườngthẳng AB và CD bằng 60 ± . Chọnđápán C ä Câu104. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S)cóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 2x¡6yÅ4z¡2Æ0.Tìmtọađộtâm I vàtínhbánkính R của (S). A. Tâm I(¡1;¡3;2)vàbánkính RÆ4. B. Tâm I(1;3;¡2)vàbánkính RÆ2 p 3. C. Tâm I(1;3;¡2)vàbánkính RÆ4. D. Tâm I(¡1;¡3;2)vàbánkính RÆ16. -Lờigiải. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4z¡2Æ0 , (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ16. Vậymặtcầu (S)cótâm I(1;3;¡2)vàbánkính RÆ4. Chọnđápán C ä Câu105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2;¡1);B(¡4;2;¡9). Viết phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB. A. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(zÅ4) 2 Æ5. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ25. C. (xÅ6) 2 Åy 2 Å(zÅ8) 2 Æ5. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ5. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB)I(¡1;2;¡5). Độdài AB là ABÆ p (¡4¡2) 2 Å(2¡2) 2 Å(¡9Å1) 2 Æ10. Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính ABcótâmlà I(¡1;2;¡5)vàbánkính RÆ AB 2 Æ5cóphương trìnhlà (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ25. Chọnđápán B ä Câu106. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)cótâmI(1;2;¡3) biếtrằngmặtcầu (S)điquađiểm A(1;0;4). A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ53. B. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 53. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ p 53. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ53. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầu (S)là RÆIAÆ p (1¡1) 2 Å(0¡2) 2 Å(4Å3) 2 Æ p 53. Phươngtrìnhcủamặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ53. Chọnđápán D ä Câu107. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I(3;¡1;4) và đi qua điểm M(1;¡1;2)là A. (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ4. B. (xÅ3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ4) 2 Æ8. C. (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ2 p 2. D. (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ8. -Lờigiải. Tacóbánkínhmặtcầu (S)điqua M vàtâm I là IMÆ p 8. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ8. Chọnđápán D ä Câu108. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(0;¡2;¡1),B(1;¡1;2).TìmđiểmMtrênđoạn AB saocho MAÆ2MB A. µ 1 2 ; 3 2 ; 1 2 ¶ . B. (2;0;5). C. µ 2 3 ;¡ 4 3 ;1 ¶ . D. (¡1;¡3;¡4). -Lờigiải. Dogiảthiếtsuyra #  AMÆ2 #  MB (¤).Giảsửtọađộđiểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )suyra #  AM(x 0 ;y 0 Å2;z 0 Å1) và #  MB(1¡x 0 ;¡1¡y 0 ;2¡z 0 ).Từ (¤)tacó ( x 0 Æ2(1¡x 0 ) y 0 Å2Æ2(¡1¡y 0 ) z 0 Å1Æ2(2¡z 0 ) , ( 3x 0 Æ2 3y 0 Æ¡4 3z 0 Æ3 , 8 > > > > < > > > > : x 0 Æ 2 3 y 0 Æ¡ 4 3 z 0 Æ1 Th.sNguyễnChínEm 89 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Suyratọađộđiểm M µ 2 3 ;¡ 4 3 ;1 ¶ . Chọnđápán C ä Câu109. TrongkhônggianOxyz,tìmđiềukiệncủathamsố mđểphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 2mxÅ4yÅ2mzÅm 2 Å5mÆ0làphươngtrìnhmặtcầu A. mÇ4. B. h m·1 m¸4 . C. mÈ1. D. h mÇ1 mÈ4 . -Lờigiải. Tacóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2mxÅ4yÅ2mzÅm 2 Å5mÆ0,(x¡m) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅm) 2 Æm 2 ¡5mÅ4 Đểthỏamãnbàitoánkhi m 2 ¡5mÅ4È0, h mÇ1 mÈ4. Chọnđápán D ä Câu110. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;1); B(0;¡1;2). Tính độ dài đoạnthẳng AB. A. ABÆ2 p 3. B. ABÆ p 14. C. ABÆ p 13. D. ABÆ p 6. -Lờigiải. ABÆ p (¡2) 2 Å(¡3) 2 Å1 2 Æ p 14. Chọnđápán B ä Câu111. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểmM(2;3;1),N(3;1;1)vàP(1;m¡1;2). Tìm mđể MN?NP. A. mÆ¡4. B. mÆ2. C. mÆ1. D. mÆ0. -Lờigiải. #  MNÆ(1;¡2;0)và #  NPÆ(¡2;m¡2;1).Để MN?NP thì 1¢(¡2)Å(¡2)¢(m¡2)Æ0,mÆ1. Chọnđápán C ä Câu112. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S)cóphươngtrìnhx 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4yÅ6z¡2Æ 0.Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S). A. I(1;2;¡3)và RÆ4. B. I(¡1;¡2;3)và RÆ4. C. I(1;2;¡3)và RÆ16. D. I(¡1;¡2;3)và RÆ16. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;¡3)vàbánkính RÆ p 1 2 Å2 2 Å(¡3) 2 Å2Æ4. Chọnđápán A ä Câu113. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;1;1); B(0;0;1)vàcótâmnằmtrêntrụcOx. A. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ4. B. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ2. C. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ2. D. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ4. -Lờigiải. Vìtâm I củamặtcầu (S)nằmtrêntrụcOxnêntọađộđiểm I códạng I(a;0;0). Vìmặtcầu (S)điquahaiđiểm A(1;1;1); B(0;0;1)nên IAÆIB.Dođó p (1¡a) 2 Å1Å1Æ p a 2 Å1,2aÆ2,aÆ1. Suyra I(1;0;0)và RÆIAÆ p 2. Mặtcầu (S)cótâm I(1;0;0)vàbánkính RÆ p 2nêncóphươngtrình (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ2. Chọnđápán B ä Câu114. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I nằm trên mặt phẳng (Oxy) đi qua bađiểm A(1;2;¡4), B(1;¡3;1), C(2;2;3).Tìmtọađộđiểm I. A. I(2;¡1;0). B. I(0;0;1). C. I(0;0;¡2). D. I(¡2;1;0). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì I2(Oxy))I(a;b;0).Tacó #  AIÆ(a¡1;b¡2;4); #  BIÆ(a¡1;bÅ3;¡1); #  CIÆ(a¡2;b¡2;¡3). Do I làtâmcầunên n IAÆIB IAÆIC , ½ (a¡1) 2 Å(b¡2) 2 Å4 2 Æ(a¡1) 2 Å(bÅ3) 2 Å1 (a¡1) 2 Å(b¡2) 2 Å4 2 Æ(a¡2) 2 Å(b¡2) 2 Å9 , n ¡4bÅ20Æ6bÅ10 ¡2aÅ17Æ¡4aÅ13 , n bÆ1 aÆ¡2 ) I(¡2;1;0). Chọnđápán D ä Câu115. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡1;2;6), B(5;¡4;2), đường thẳng AB cắt mặtphẳng (Oxz)tại M và #  MAÆk¢ #  MB.Tính k. A. kÆ¡ 1 2 . B. kÆ 1 2 . C. kÆ2. D. kÆ¡2. -Lờigiải. M2Ox)M(a;0;0). #  MAÆ(¡1¡a;2;6¡c); #  MBÆ(5¡a;¡4;2¡c); #  ABÆ(6;¡6;¡4). #  MAÆk¢ #  MB, ( ¡1¡aÆk(5¡a) 2Æ¡4k 6¡cÆk(2¡c) )kÆ¡ 1 2 . Chọnđápán A ä Câu116. Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I(¡1;1;¡2)vàđiquađiểm A(2;;1;2). A. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ5. B. (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ25. C. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ25. D. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡2yÅ4zÅ1Æ0. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầulà RÆIAÆ p 9Å0Å16Æ5. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ25. Chọnđápán C ä Câu117. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4yÅ4z¡mÆ0(mlàtham số).Biếtmặtcầucóbánkínhbằng 5.Tìm m. A. mÆ25. B. mÆ11. C. mÆ16. D. mÆ¡16. -Lờigiải. RÆ5, p 1Å4Å4ÅmÆ5,mÆ16. Chọnđápán C ä Câu118. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ6y¡8zÅ1Æ0.Tâmvàbán kínhcủa (S)lầnlượtlà A. I(¡1;3;¡4),RÆ5. B. I(1;¡3;4),RÆ5. C. I(2;¡6;8),RÆ p 103. D. I(1;¡3;4),RÆ25. -Lờigiải. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ6y¡8zÅ1Æ0)(x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡4) 2 Æ5 2 . Vậytâmmặtcầu I(1;¡3;4)vàbánkính RÆ5. Chọnđápán B ä Câu119. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;3) và đi qua điểm A(1;1;2) có phương trìnhlà A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 2. B. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ p 2. C. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ2. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. -Lờigiải. RÆ p 2.Vậy (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. Chọnđápán D ä Câu120. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):xÅyÅ2z¡5Æ0 và các điểm A(1;2;3), B(¡1,1,¡2), C(3,3,2). Gọi M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MAÆMBÆMC. Giátrịcủa x 0 Åy 0 Åz 0 bằng Th.sNguyễnChínEm 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 6. B. 4. C. 7. D. 5. -Lờigiải. Tacó #  MAÆ(x 0 ¡1,y 0 ¡2,z 0 ¡3) #  MBÆ(x 0 Å1,y 0 ¡1,z 0 Å2) #  MCÆ(x 0 ¡3,y 0 ¡3,z 0 ¡2) Vì MAÆMBÆMC nên: ½ MA 2 ÆMB 2 MA 2 ÆMC 2 ) ½ (x 0 ¡1) 2 Å(y 0 ¡2) 2 Å(z 0 ¡3) 2 Æ(x 0 Å1) 2 Å(y 0 ¡1) 2 Å(z 0 Å2) 2 (x 0 ¡1) 2 Å(y 0 ¡2) 2 Å(z 0 ¡3) 2 Æ(x 0 ¡3) 2 Å(y 0 ¡3) 2 Å(z 0 ¡2) 2 , ½ 4x 0 Å2y 0 Å10z 0 Æ8(1) 4x 0 Å2y 0 ¡2z 0 Æ8(2) . Vì M2(P)nên x 0 Åy 0 Å2z 0 ¡5Æ0(3).Từ (1),(2),(3)tacóhệphươngtrình: ( 4x 0 Å2y 0 Å10z 0 Æ8 4x 0 Å2y 0 ¡2z 0 Æ8 x 0 Åy 0 Å2z 0 ¡5Æ0 , ( x 0 Æ¡1 y 0 Æ6 z 0 Æ0 )x 0 Åy 0 Åz 0 Æ¡1Å6Å0Æ5. Vậy x 0 Åy 0 Åz 0 Æ5 Chọnđápán D ä Câu121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình củamặtcầucótâm I(1;2;¡1)vàtiếpxúcvới (P): x¡2y¡2z¡8Æ0? A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(1;2;¡1)vàtiếpxúcvới (P): x¡2y¡2z¡8Æ0sẽcóbánkínhlà RÆd(I,(P))Æ j1¡2¢2¡2¢(¡1)¡8j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ3. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán B ä Câu122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1;3;¡1), B(2;1;¡2)và C(¡2;1;¡2).Tìmtọađộcủađỉnh D. A. D(¡3;3;1). B. D(¡3;3;¡1). C. D(¡1;¡1;¡3). D. D(5;3;1). -Lờigiải. Tacó #  ADÆ(x D ¡1;y D ¡3;z D Å1), #  BCÆ(¡4;0;0). ABCD làhìnhbìnhhành) #  ADÆ #  BC, ( x D Æ¡3 y D Æ3 z D Æ¡1. Vậy D(¡3;3;¡1). A D B C Chọnđápán B ä Câu123. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(¡4;2;1) và mặt phẳng (P): 2xÅy¡ 2z¡1Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtcầutâm A vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P). A. (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. B. (xÅ4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. C. (xÅ4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. D. (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. -Lờigiải. Mặtcầucótâm A(¡4;2;1)vàbánkính RÆd(A,(P))Æ j2¢(¡4)Å2¡2¢1¡1j p 2 2 Å1 2 Å(¡2) 2 Æ3.Mặtcầucầntìm cóphươngtrìnhlà (xÅ4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Chọnđápán B ä Câu124. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm I(0;2;3).Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)tâm I tiếpxúcvớitrụcOy. A. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ2. B. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. Th.sNguyễnChínEm 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4. D. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacó RÆd(I;Oy)Æ p 0 2 Å3 2 Æ3. Phươngtrìnhmặtcầu (S)là x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu125. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Biếttọađộcác đỉnh A(¡3;2;1),C(4;2;0),B 0 (¡2;1;1),D 0 (3;5;4).Tìmtọađộđiểm A 0 củahìnhhộp. A. A 0 (¡3;3;3). B. A 0 (¡3;¡3;¡3). C. A 0 (¡3;3;1). D. A 0 (¡3;¡3;3). -Lờigiải. Gọi I,I 0 lần lượt là tâm của ABCD và A 0 B 0 C 0 D 0 . Khiđó: I làtrungđiểm AC nên I µ 1 2 ;2; 1 2 ¶ . I 0 làtrungđiểm B 0 D 0 nên I 0 µ 1 2 ;3; 5 2 ¶ . C C 0 D 0 D A B A 0 B 0 I I 0 Hơnnữa #  AA 0 Æ #  II 0 ,(x A 0Å3;y A 0¡2;z A 0¡1)Æ(0;1;2)hay A 0 (¡3;3;3). Chọnđápán A ä Câu126. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;¡2;3). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuônggóccủađiểm M trênmặtphẳng (Oxz). A. H(0;0;3). B. H(1;0;0). C. H(1;0;3). D. H(0;¡2;0). -Lờigiải. Do #  OMÆ #  i¡2 #  jÅ3 #  k,lạicóHlàhìnhchiếuvuônggóccủađiểm Mtrênmặtphẳng(Oxz): yÆ0 nên #  OHÆ #  i Å3 #  k.Vậy H(1;0;3). Chọnđápán C ä Câu127. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,tìmtấtcảcácgiátrị mđểphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡4zÅmÆ0làphươngtrìnhcủamộtmặtcầu. A. mÈ6. B. m·6. C. mÇ6. D. m¸6. -Lờigiải. Phươngtrìnhđãcholàphươngtrìnhmặtcầu,1 2 Å1 2 Å2 2 ¡mÈ0,mÇ6. Chọnđápán C ä Câu128. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;¡1). Gọi H là điểm đối xứngvới M quatrụcOx.Tọađộđiểm H là A. H(¡1;¡2;1). B. H(1;¡2;¡1). C. H(1;¡2;1). D. H(1;2;1). -Lờigiải. Gọi K làhìnhchiếuvuônggóccủa M trêntrụcOx,tacó K(1;0;0). Do H làđiểmđốixứngcủa M quatrụcOxnên K làtrungđiểm MH. Suyra H(1;¡2;1). Chọnđápán C ä Câu129. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho 3điểm A(2;3;0), B(0;¡4;1), C(3;1;1).Mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oxz), biết I(a;b;c). Tính tổng TÆ aÅbÅc. A. TÆ3. B. TÆ¡3. C. TÆ¡1. D. TÆ2. -Lờigiải. Gọiphươngtrìnhmặtcầucódạng (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0. Mặtcầucótâm I(a;b;c).Vì I2(Oxz)và A,B,C2(S)nêntacóhệ 8 > < > : 13¡4a¡6bÅdÆ0 17Å8b¡2cÅdÆ0 11¡6a¡2b¡2cÅdÆ0 bÆ0 , 8 > < > : 13¡4a¡6bÅdÆ0 4aÅ14b¡2cÆ¡4 ¡2aÅ4b¡2cÆ2 bÆ0 , 8 < : aÆ¡1 bÆ0 cÆ0 dÆ¡17. Vậy TÆaÅbÅcÆ¡1Å0Å0Æ¡1. Th.sNguyễnChínEm 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu130. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho A(2;3;¡1),B(¡1;1;1), C(1;m¡1;2).Tìm m đểtamgiác ABC vuôngtại B. A. mÆ1. B. mÆ0. C. mÆ2. D. mÆ¡3. -Lờigiải. #  BAÆ(3;2;¡2), #  BCÆ(2;m¡2;1). Đểtamgiác ABC vuôngtại B thì BA?BC, #  BA¢ #  BCÆ0,3¢2Å2¢(m¡2)Å(¡2)¢1Æ0,mÆ0. Chọnđápán B ä Câu131. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2;3;¡1), N(¡2;¡1;3). Tìm tọa độ điểm E thuộctrụchoànhsaochotamgiác MNE vuôngtại M. A. (¡2;0;0). B. (0;6;0). C. (6;0;0). D. (4;0;0). -Lờigiải. Gọi E(x;0;0)2Ox.Tacó #  MNÆ(¡4;¡4;4), #  MEÆ(x¡2;¡3;1). 4MNE vuôngtại M khivàchỉkhi #  MN¢ #  MEÆ0,x¡2¡3¡1Æ0,xÆ6. Vậytọađộđiểm E là (6;0;0). Chọnđápán C ä Câu132. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ #  a Æ(1;¡2;0), #  b Æ(¡1;1;2), #  c Æ(4;0;6)và #  uÆ µ ¡2; 1 2 ; 3 2 ¶ .Khẳngđịnhnàosauđâylàkhẳngđịnhđúng? A. #  uÆ 1 2 #  aÅ 3 2 #  b¡ 1 4 #  c. B. #  uÆ¡ 1 2 #  aÅ 3 2 #  b¡ 1 4 #  c. C. #  uÆ 1 2 #  aÅ 3 2 #  bÅ 1 4 #  c. D. #  uÆ 1 2 #  a¡ 3 2 #  b¡ 1 4 #  c. -Lờigiải. Giảsửtacó #  uÆm #  aÅn #  bÅk #  c , 8 > > > < > > > : m¡nÅ4kÆ¡2 ¡2mÅnÆ 1 2 2nÅ6kÆ 3 2 , 8 > > > > > > < > > > > > > : mÆ 1 2 nÆ 3 2 kÆ¡ 1 4 . Vậytasuyra #  uÆ 1 2 #  aÅ 3 2 #  b¡ 1 4 #  c. Chọnđápán A ä Câu133. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(¡3;4;2),B(¡5;6;2),C(¡4;6;¡1). Tọađộđiểm D thỏamãn #  ADÆ2 #  ABÅ3 #  AC là A. (10;17;¡7). B. (¡10;¡17;7). C. (10;¡17;7). D. (¡10;14;¡7). -Lờigiải. Giảsử D cótọađộ (x;y;z).Tacó #  ADÆ(xÅ3;y¡4;z¡2), #  ABÆ(¡2;2;0), #  ACÆ(¡1;2;¡3). Suyra 2 #  ABÅ3 #  ACÆ(¡7;10;¡9). Khiđó #  ADÆ2 #  ABÅ3 #  AC, ( xÅ3Æ¡7 y¡4Æ10 z¡2Æ¡9 , ( xÆ¡10 yÆ14 zÆ¡7. Chọnđápán D ä Câu134. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;4;3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A vàcắttrụcOxtạihaiđiểm B,C saocho BCÆ6. A. (S):(x¡1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ19. B. (S):(x¡1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ28. C. (S):(x¡1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ26. D. (S):(x¡1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ34. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọn M(1;0;0)thuộcOx, #  MAÆ(0;4;3); vec-tơchỉphươngcủaOxlà #  i Æ(1;0;0). Gọi hlàkhoảngcáchtừ A đếnOx,tacó hÆd[A,Ox]Æ j[ #  i, #  MA]j j #  ij Æ j(0;¡3;4)j j(1;0;0)j Æ5. Bánkínhmặtcầu RÆ p CI 2 Åh 2 Æ p 34. Phươngtrìnhmặtcầulà (S):(x¡1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ34. 3 h C B A I Chọnđápán D ä Câu135. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;3),B(¡2;1;5).Phươngtrìnhmặtcầu(S) điqua A,B vàtâmthuộctrụcOz cóphươngtrìnhlà A. x 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ9. B. x 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ14. C. x 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ16. D. x 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ6. -Lờigiải. Tâm I thuộctrụcOz nên I(0;0;c),khiđó IAÆIB,(1¡0) 2 Å(2¡0) 2 Å(3¡c) 2 Æ(¡2¡0) 2 Å(1¡0) 2 Å(5¡c) 2 ,cÆ4. Bánkính RÆIAÆ p (1¡0) 2 Å(2¡0) 2 Å(3¡4) 2 Æ p 6. Phươngtrìnhmặtcầulà (S): x 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ6. Chọnđápán D ä Câu136. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;3),B(¡3;0;5).Phươngtrìnhmặtcầu(S) đườngkính AB là A. (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡4) 2 Æ6. B. (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ14. C. (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ26. D. (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡4) 2 Æ24. -Lờigiải. Tâm I làtrungđiểm AB nên I(¡1;1;4),bánkính RÆIAÆ p (1Å1) 2 Å(2¡1) 2 Å(3¡4) 2 Æ p 6. Phươngtrìnhmặtcầulà (S): (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡4) 2 Æ6. Chọnđápán A ä Câu137. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;¡1), B(0;3;4), C(2;1;¡1).Tínhđộdàiđườngcaokẻtừđỉnh A củatamgiác ABC. A. É 33 50 . B. p 6. C. 5 p 3. D. É 50 33 . -Lờigiải. Tacó #  BAÆ(1;¡1;¡5), #  BCÆ(2;¡2;¡5), h #  BA, #  BC i Æ(¡5;¡5;0). Diệntíchtamgiác ABC là S ABC Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  BA, #  BC i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p (¡5) 2 Å(¡5) 2 Å0 2 Æ 1 2 p 50. Độdàiđườngcao AHÆ 2¢S ABC BC Æ p 50 p 33 Æ É 50 33 . Chọnđápán D ä Câu138. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(2;¡1;3) vàđiquađiểm A(3;¡4;4). A. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ11. B. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ p 11. C. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ11. D. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 11. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầu (S)là RÆIAÆ p (3¡2) 2 Å(¡4Å1) 2 Å(4¡3) 2 Æ p 11. Phươngtrìnhmặtcầu (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ11. Chọnđápán C ä Câu139. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡4zÆ0. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tạiđiểm A(3;4;3). A. 4xÅ4y¡2z¡22Æ0. B. 2xÅ2yÅz¡17Æ0. C. 2xÅ4y¡z¡25Æ0. D. xÅyÅz¡10Æ0. Th.sNguyễnChínEm 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;2).Mặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tạiđiểm A(3;4;3)cóvéc-tơ pháptuyếnlà #  IAÆ(2;2;1). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2(x¡3)Å2(y¡4)Åz¡3Æ0hay 2xÅ2yÅz¡17Æ0. Chọnđápán B ä Câu140. Trong không gian Oxyz, hai véc-tơ #  u Æ(1;2;¡3) và #  v Æ(m¡1;2m;3) vuông góc với nhaukhivàchỉkhi A. mÆ1. B. mÆ¡1. C. mÆ2. D. mÆ¡2. -Lờigiải. Tacó #  u? #  v , #  u¢ #  v Æ0,m¡1Å4m¡9Æ0,mÆ2. Chọnđápán C ä Câu141. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6zÅ5Æ0cóbánkính bằng A. 5. B. 3. C. 4. D. 9. -Lờigiải. Tacó aÆ1, bÆ¡2và cÆ3,nênbánkính RÆ p 1 2 Å2 2 Å3 2 ¡5Æ3. Chọnđápán B ä Câu142. TrongkhônggianOxyz,phươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2mxÅ6yÅ4mzÅ6m 2 ¡4mÅ12Æ0 làphươngtrìnhmặtcầukhivàchỉkhi A. 1·m·3. B. ¡3ÇmÇ¡1. C. ¡1ÇmÇ3. D. 1ÇmÇ3. -Lờigiải. Tacó aÆm, bÆ¡3, cÆ¡2mvà dÆ6m 2 ¡4mÅ12. Phươngtrìnhđãcholàphươngtrìnhmặtcầukhivàchỉkhi a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆm 2 Å9Å4m 2 ¡(6m 2 ¡4mÅ12)È0,m 2 ¡4mÅ3Ç0,1ÇmÇ3. Chọnđápán D ä Câu143. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(¡2;3;1), B(4;2;¡1), C(5;¡2;0). Biết D(a;b;c)làđiểmsaocho ABCD làhìnhbìnhhành,khiđó 2aÅbÅc bằng A. 0. B. 1. C. ¡1. D. 2. -Lờigiải. #  ABÆ(6;¡1;¡2); #  DCÆ(5¡a;¡2¡b;¡c). Tứgiác ABCD làhìnhbìnhhànhkhivàchỉkhi #  ABÆ #  DC, ( 5¡aÆ6 ¡2¡bÆ¡1 ¡cÆ¡2 , ( aÆ¡1 bÆ¡1 cÆ2 . Vậy 2aÅbÅcÆ2(¡1)¡1Å2Æ¡1. Chọnđápán C ä Câu144. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chobốnđiểm A(1;0;0),B(0;¡2;0),C(0;0;3)và D(1;¡2;3). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tọa độ của trung điểm G của MN. A. G µ 1 3 ;¡ 2 3 ;1 ¶ . B. G µ 1 4 ;¡ 2 4 ; 3 4 ¶ . C. G µ 2 3 ;¡ 4 3 ;2 ¶ . D. G µ 1 2 ;¡1; 3 2 ¶ . -Lờigiải. Vì M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB và CD nên M µ 1 2 ;¡1;0 ¶ ,N µ 1 2 ;¡1;3 ¶ . G làtrungđiểmcủa MN nêntọađộđiểmG là µ 1 2 ;¡1; 3 2 ¶ . Chọnđápán D ä Câu145. TrongkhônggianOxyz,chođiểm P(a;b;c).Khoảngcáchtừđiểm P đếntrụctọađộ Oybằng A. p a 2 Åc 2 . B. b. C. jbj. D. a 2 Åc 2 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó d(P;Oy)ÆPK. Tamgiác PHK vuôngtại H,có PHÆjcj, HKÆjaj )PKÆ p PH 2 ÅHK 2 Æ p c 2 Åa 2 . Chúý: Cóthểsửdụngứngdụngcủatíchcóhướng. H K O x y z P a b c Chọnđápán A ä Câu146. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(4;¡3;2).Hìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrục Oxlàđiểm A. M(0;¡3;0). B. M(0;0;2). C. M(4;0;0). D. M(4;¡3;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủa A trêntrụcOxlàđiểm M(4;0;0). Chọnđápán C ä Câu147. Trong không gian với hệ tọa độ ³ O; #  i, #  j, #  k ´ , cho hai véc-tơ #  a Æ (2;¡1;4) và #  b Æ #  i ¡3 #  k.Tính #  a¢ #  b. A. #  a¢ #  b Æ¡11. B. #  a¢ #  b Æ¡13. C. #  a¢ #  b Æ5. D. #  a¢ #  b Æ¡10. -Lờigiải. Tacó #  aÆ(2;¡1;4)và #  b Æ #  i ¡3 #  k nên #  b Æ(1;0;¡3).Suyra #  a¢ #  b Æ2¢1¡1¢0Å4¢(¡3)Æ¡10. Chọnđápán D ä Câu148. Mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P):xÅ2y¡2z¡6Æ0 có phương trình là A. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ16. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ9. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ6. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ4. -Lờigiải. Tacó RÆd(O,(P))Æ j¡6j p 1Å2 2 Å2 2 Æ2. Dođóphươngtrìnhmặtcầulà x 2 Åy 2 Åz 2 Æ4. Chọnđápán D ä Câu149. Phươngtrìnhmặtcầutâm I(1;3;¡2)vàtiếpxúcvớimặtphẳng(P):2x¡y¡2zÅ3Æ0 là A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ10Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ14Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ6y¡4zÅ10Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ12Æ0. -Lờigiải. Mặtcầutâm I(1;3;¡2)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P):2x¡y¡2zÅ3Æ0 Suyra RÆd(I;(P))Æ j2¢1¡(¡2)¡2¢2Å3j p 2 2 Å(¡1) 2 Å(¡2) 2 Æ2. Phươngtrìnhmặtcầulà x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ10Æ0. Chọnđápán A ä Câu150. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ2z¡3Æ0. Hãyxácđịnhbánkính R củamặtcầuđãcho. A. RÆ p 6. B. RÆ p 3. C. RÆ9. D. RÆ3. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;¡1),suyrabánkính RÆ p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 ¡(¡3)Æ3. Chọnđápán D ä Câu151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B(0;2;3). Tìm tọa độ điểm M saocho #  AMÆ 2 3 #  AB. A. M µ ¡ 4 3 ; 2 3 ; 4 3 ¶ . B. M µ 2 3 ; 5 3 ; 7 3 ¶ . C. M(2;3;4). D. M µ 1; 3 2 ;1 ¶ . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi M(x;y),theobàiratacó #  AMÆ 2 3 #  AB,3 #  AMÆ2 #  AB ,3(x¡2;y¡1;z¡1)Æ2(¡2;1;2) , ( 3x¡6Æ¡4 3y¡3Æ2 3z¡3Æ4 , 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 2 3 yÆ 5 3 zÆ 7 3 Chọnđápán B ä Câu152. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(1;¡2;3).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A lên mặtphẳng (Oxy)làđiểm M cótọađộ A. M(1;¡2;0). B. M(0;¡2;3). C. M(1;0;3). D. M(2;¡1;0). -Lờigiải. Gọi M(a;b;0)làđiểmthuộcmặtphẳng (Oxy).Tacó #  AMÆ(a¡1;bÅ2;¡3). Mặtphẳng (Oxy)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  k Æ(0;0;1). Vì M là hình chiếu của A lên mặt phẳng (Oxy) nên hai véc-tơ #  AM và #  k cùng phương. Do đó, tacó n a¡1Æ0 bÅ2Æ0 , n aÆ1 bÆ¡2. Vậy M(1;¡2;0). Chọnđápán A ä Câu153. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(¡2;3;4), B(8;¡5;6).Hình chiếuvuônggóccủatrungđiểm I củađoạnthẳng AB trênmặtphẳng (Oyz)làđiểmnàodưới đây? A. M(0;¡1;5). B. Q(0;0;5). C. P(3;0;0). D. N(3;¡1;5). -Lờigiải. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là IÆ(3;¡1;5). Do đó, hình chiếu của I trên mặt phẳng (Oyz)làđiểm M(0;¡1;5). Chọnđápán A ä Câu154. TrongkhônggianOxyz,cho #  aÆ(¡3;2;1)vàđiểm A(4;6;¡3).TìmtọađộđiểmBthỏa mãn #  ABÆ #  a. A. (7;4;¡4). B. (1;8;¡2). C. (¡7;¡4;4). D. (¡1;¡8;2). -Lờigiải. Gọi B(x;y;z),suyra #  ABÆ(x¡4;y¡6;zÅ3). #  ABÆ #  a, ( x¡4Æ¡3 y¡6Æ2 zÅ3Æ1 , ( xÆ1 yÆ8 zÆ¡2. Vậy B(1;8;¡2). Chọnđápán B ä Câu155. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0;¡3;0) và C(0;0;6). Bán kính mặt cầungoạitiếphìnhchópOABC là A. p 11. B. 7 2 . C. 7 3 . D. 11. -Lờigiải. Giảsửphươngtrìnhmặtcầulà x 2 Åy 2 Åz 2 Å2axÅ2byÅ2czÅdÆ0.Từgiảthiếttacóhệsau 8 > > < > > : 2 2 Å4aÅdÆ0 (¡3) 2 ¡6bÅdÆ0 6 2 Å12cÅdÆ0 dÆ0 , 8 > > > < > > > : aÆ¡1 bÆ 3 2 cÆ¡3 dÆ0 Vậy RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ 7 2 . Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu156. TrongkhônggianOxyzchođiểm A(3;¡4;3).Tổngkhoảngcáchtừ Ađếnbatrụctọa độbằng A. 10. B. 10Å3 p 2. C. p 34 2 . D. p 34. -Lờigiải. d(A;Ox)Æ È y 2 A Åz 2 A Æ5. d(A;Oy)Æ È x 2 A Åz 2 A Æ3 p 2. d(A;Oz)Æ È x 2 A Åy 2 A Æ5. Vậytổngkhoảngcáchlà 10Å3 p 2. Chọnđápán B ä Câu157. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(¡1;2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trêntrụcOz làđiểm A. Q(¡1;0;3). B. M(0;0;3). C. P(0;2;3). D. N(¡1;0;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(¡1;2;3)lêntrụcOz làđiểm M(0;0;3). Chọnđápán B ä Câu158. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véc-tơ #  a Æ(2;3;1), #  b Æ(5;7;0), #  c Æ (3;¡2;4), #  dÆ(4;12;¡3).Mệnhđềnàosauđâysai? A. #  dÆ #  aÅ #  b¡ #  c. B. #  a, #  b, #  c làbavéc-tơkhôngđồngphẳng. C. j #  aÅ #  bjÆj #  dÅ #  cj. D. 2 #  aÅ3 #  b Æ #  d¡2 #  c. -Lờigiải. Tanhậnthấy #  aÅ #  b Æ #  bÅ #  dÆ(7;10;1).Từđósuyra #  dÆ #  aÅ #  b¡ #  c vàj #  aÅ #  bjÆj #  dÅ #  cj. Dễthấy [ #  a, #  b]¢ #  c 6Æ #  0,nên #  a, #  b, #  c làbavéc-tơkhôngđồngphẳng. Dễ thấy 2 #  aÅ3 #  b 6Æ #  d¡2 #  c, nên trong 4 mệnh đề trên thì chỉ có mệnh đề 2 #  aÅ3 #  b Æ #  d¡2 #  c là sai. Chọnđápán D ä Câu159. TrongkhônggianOxyz,hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;3;4)lêntrụcOxlàđiểm nàodướiđây? A. M(2;0;0). B. M(0;3;0). C. M(0;0;4). D. M(0;2;3). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;3;4)làđiểm M(2;0;0). Chọnđápán A ä Câu160. Trong khônggian Oxyz, chođiểm A(1;2;3). Hìnhchiếu vuông góccủa điểm A trên trụcOz làđiểm A. P(1;0;3). B. Q(0;2;3). C. N(1;2;0). D. M(0;0;3). -Lờigiải. Hìnhchiếucủa A sẽcóhoànhđộvàtungđộbằng 0,caođộgiữnguyên,nênhìnhchiếucủa A lênOz là (0;0;3) Chọnđápán D ä Câu161. Chocácvéc-tơ #  u(1;¡2;3), #  v (¡1;2;¡3).Tínhđộdàicủavéc-tơ #  wÆ #  u¡2 #  v. A. ¯ ¯ #  w ¯ ¯ Æ p 26. B. ¯ ¯ #  w ¯ ¯ Æ p 126. C. ¯ ¯ #  w ¯ ¯ Æ p 85. D. ¯ ¯ #  w ¯ ¯ Æ p 185. -Lờigiải. #  wÆ #  u¡2 #  v Æ(3;¡6;9). Vậy ¯ ¯ #  w ¯ ¯ Æ p 3 2 Å(¡6) 2 Å9 2 Æ p 126. Chọnđápán B ä Câu162. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Åz 2 Æ5. Tọa độtâmvàbánkínhmặtcầulà A. I(1;¡3;0), RÆ p 5. B. I(1;¡3;0), RÆ5. C. I(¡1;3;0), RÆ p 5. D. I(1;3;0), RÆ p 5. -Lờigiải. Tọađộtâm I(1;¡3;0)vàbánkính RÆ p 5. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 99 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu163. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chotứdiện ABCDcótọađộđỉnh A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6) và D(2;4;6). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu (S 0 ) có tâmtrùngvớitâmcủamặtcầu (S)vàcóbánkínhgấp2lầnbánkínhcủamặtcầu (S). A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ56. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6zÆ0. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ14. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ6z¡12Æ0. -Lờigiải. Gọi (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0. Tacó: 8 > < > : A2(S) B2(S) C2(S) D2(S) , 8 > < > : ¡4aÅdÆ¡4 ¡8bÅdÆ¡16 ¡12cÅdÆ¡36 ¡4a¡8b¡12cÅdÆ¡56 , 8 < : aÆ1 bÆ2 cÆ3 dÆ0. Từđósuyra (S)cótâm I(1;2;3),RÆ p 14. Phươngtrìnhmặtcầu (S 0 )cótâm I 0 ´I(1;2;3),R 0 Æ2RÆ2 p 14là (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ56. Chọnđápán A ä Câu164. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm A(3;¡1;1).Gọi A 0 làhìnhchiếu vuônggóccủa A lêntrụcOy.TínhđộdàiđoạnOA 0 . A. OA 0 Æ¡1. B. OA 0 Æ p 10. C. OA 0 Æ p 11. D. OA 0 Æ1. -Lờigiải. Điểm A 0 làhìnhchiếuvuônggóccủa A(3;¡1;1)trêntrụcOy)A 0 (0;¡1;0))OA 0 Æ1. Chọnđápán D ä Câu165. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(3;1;¡4),B(2;1¡2),C(1;1;¡3). Tìmtọađộđiểm M2Oxsaocho ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhất. A. M(2;0;0). B. M(¡2;0;0). C. M(6;0;0). D. M(0;2;0). -Lờigiải. Giảsử M(m;0;0).Tacó #  MAÆ(3¡m;1;¡4), #  MBÆ(2¡m;1;¡2), #  MCÆ(1¡m;1;¡3). ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯ Æ p (6¡3m) 2 Å3 2 Å(¡9) 2 Æ p 9m 2 ¡36mÅ126 Æ p 9(m¡2) 2 Å90 ¸ 3 p 10,8m2R. Vậy ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhấtbằng 3 p 10khi m¡2Æ0,mÆ2.Hay M(2;0;0). Chọnđápán A ä Câu166. TìmđộdàiđườngkínhcủamặtcầuScóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2yÅ4zÅ2Æ0. A. p 3. B. 2. C. 1. D. 2 p 3. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầu: RÆ p 1 2 Å(¡2) 2 ¡2Æ p 3)Đườngkínhcủamặtcầulà 2RÆ2 p 3. Chọnđápán D ä Câu167. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ #  a Æ(2;¡3;1) và #  b Æ(¡1;0;4). Tìmtọađộvéctơ #  uÆ¡2 #  aÅ3 #  b. A. #  uÆ(¡7;¡6;10). B. #  uÆ(¡7;6;10). C. #  uÆ(7;6;10). D. #  uÆ(¡7;6;¡10). -Lờigiải. ½ ¡2 #  aÆ(¡4;6;¡2) 3 #  b Æ(¡3;0;12) ) #  uÆ¡2 #  aÅ3 #  b Æ(¡7;6;10). Chọnđápán B ä Câu168. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầu x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4yÅ6z¡2Æ0cắtmặt phẳngOxytheogiaotuyếnlàmộtđườngtròn.Tìmtâmvàbánkínhcủađườngtrònnày. A. I(1;¡2;0),rÆ p 5. B. I(1;2;0),rÆ2 p 5. Th.sNguyễnChínEm 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. I(1;2;0),rÆ p 7. D. I(¡1;¡2;0),rÆ2 p 7. -Lờigiải. Mặtcầucótâm A(1;2;¡3),bánkính RÆ p 1 2 Å2 2 Å(¡3) 2 Å2Æ4. Tâm I của đường tròn là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) nên I(1;2;0), và bán kính rÆ p R 2 ¡d 2 (A,(Oxy))Æ p 7. Chọnđápán C ä Câu169. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầutâm I(2;1;¡3)vàtiếpxúcvớitrụcOy cóphươngtrìnhlà A. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4. B. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ13. C. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. D. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ10. -Lờigiải. MặtcầutiếpxúcvớitrụcOynênbánkínhmặtcầu RÆ p 2 2 Å(¡3) 2 Æ p 13. Vậyphươngtrìnhmặtcầutâm I(2;1,¡3)tiếpxúcvớitrụcOycóphươngtrình (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ13. Chọnđápán B ä Câu170. Cho tam giác ABC với A(2;4;¡3), B(¡1;3;¡2), C(4;¡2;3). Tọa độ trọng tâm G của 4ABC là A. µ 5 3 , 5 3 , ¡2 3 ¶ . B. µ 5 3 , 5 3 , 2 3 ¶ . C. µ ¡5 3 , ¡5 3 , 2 3 ¶ . D. µ ¡5 3 , 5 3 , ¡2 3 ¶ . -Lờigiải. Tacó 8 > > > > > < > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 y G Æ y A Åy B Åy C 3 z G Æ z A Åz B Åz C 3 suyraG µ 5 3 , 5 3 , ¡2 3 ¶ . Chọnđápán A ä Câu171. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡1Æ0. Tọađộtâm I vàbánkính R của (S)là A. I(1;¡2;3)và RÆ15. B. I(1;¡2;3)và RÆ13. C. I(1;¡2;3)và RÆ p 13. D. I(1;¡2;3)và RÆ p 15. -Lờigiải. Ta có x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡1Æ0,(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ15, do đó mặt cầu (S) có tâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ p 15. Chọnđápán D ä Câu172. Trong không gian với hệ tọa dộ Oxyz cho #  a Æ(¡1;2;2) và #  b Æ(1;¡2;2). Gọi ® là góc giữa #  a và #  b thì cos®bằng A. ¡ 1 18 . B. 1 18 . C. 1 9 . D. ¡ 1 9 . -Lờigiải. Tacó cos®Æ #  a #  b j #  aj¢j #  bj Æ¡ 1 9 . Chọnđápán D ä Câu173. TrongkhônggiantọađộOxyz,tọađộđiểmG 0 đốixứngvớiđiểmG(5;¡3;7)quatrục Oylà A. G 0 (¡5;0;¡7). B. G 0 (¡5;¡3;¡7). C. G 0 (5;3;7). D. G 0 (¡5;3;¡7). -Lờigiải. HìnhchiếuvuônggóccủađiểmG(5;¡3;7)lêntrụcOylà H(0;¡3;0). Vì G 0 đối xứng với G qua trục Oy nên H là trung điểm của đoạn GG 0 nên tọa độ của điểm G 0 là ( x G 0Æ2x H ¡x G Æ¡5 y G 0Æ2y H ¡y G Æ¡3 z G 0Æ2z H ¡z G Æ¡7. VậytọađộđiểmG 0 (¡5;¡3;¡7). Th.sNguyễnChínEm 101 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu174. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm M(2;¡1;2).Tínhđộdàiđoạnthẳng OM. A. OMÆ p 5. B. OMÆ9. C. OMÆ p 3. D. OMÆ3. -Lờigiải. Tacó #  OMÆ(2;¡1;2))j #  OMjÆ p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ p 9Æ3. Chọnđápán D ä Câu175. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầutâm I(2;¡1;3)tiếpxúcvớimặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà A. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. B. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ4. C. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. D. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ3. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrình zÆ0. Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng (Oxy)là dÆ3ÆR. Mặtcầuthỏayêucầubàitoáncóphươngtrìnhlà (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Chọnđápán A ä Câu176. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tọađộhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;¡1;0) lênmặtphẳng (P):3x¡2yÅzÅ6Æ0là A. (1;1;1). B. (¡1;1;¡1). C. (3;¡2;1). D. (5;¡3;1). -Lờigiải. GọiH(x;y;¡6¡3xÅ2y)làhìnhchiếucủa Alênmặtphẳng(P).Tacó #  AHÆ(x¡2;yÅ1;¡6¡3xÅ2y). Do #  AH?(P)nênhaivéc-tơ #  AHvà #  n P cùngphương.Suyratacóhệphươngtrình x¡2 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ ¡6¡3xÅ2y 1 . (1) Giảihệ (1)tathuđượcmộtnghiệmlà (¡1;1;¡1). Chọnđápán B ä Câu177. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm B(1;2;¡3) và C(7;4;¡2). Nếu điểm E thỏamãnđẳngthức #  CEÆ2 #  EB thìtọađộđiểm E là A. µ 8 3 ;3;¡ 8 3 ¶ . B. µ 3;3;¡ 8 3 ¶ . C. µ 3; 8 3 ;¡ 8 3 ¶ . D. µ 1;2; 1 3 ¶ . -Lờigiải. GiảsửđiểmcầntìmcótọađộE(x,y,z)khiđótacó #  CEÆ(x¡7;y¡4;zÅ2)và #  EBÆ(1¡x;2¡y;¡3¡z). Theogiảthiết #  CEÆ2 #  EB nêntacóhệphươngtrình ( x¡7Æ2¡2x y¡4Æ4¡4y zÅ2Æ¡6¡2z . Giải hệ phương trình ta thu được nghiệm (x;y;z)Æ µ 3; 8 3 ;¡ 8 3 ¶ . Vậy điểm E có tọa độ là ) E µ 3; 8 3 ;¡ 8 3 ¶ . Chọnđápán C ä Câu178. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;3;¡2), biết diện tíchmặtcầubằng 100¼.Khiđóphươngtrìnhmặtcầu (S)là A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4z¡86Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ4Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ9Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4z¡11Æ0. -Lờigiải. Gọi R là bán kính của mặt cầu, áp dụng công thức diện tích mặt cầu ta có: 4¼R 2 Æ 100¼. )RÆ p 25Æ5.Suyraphươngtrìnhcủamặtcầucầntìmcódạng (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ25. Hay x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4z¡11Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 102 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu179. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tọađộgiaođiểmMcủađườngthẳngd: x¡12 4 Æ y¡9 3 Æ z¡1 1 vàmặtphẳng (P): 3xÅ5y¡z¡2Æ0là A. (12;9;1). B. (1;1;6). C. (0;0;¡2). D. (1;0;1). -Lờigiải. Phươngtrìnhchínhtắccủadcódạngd: ( xÆ12Å4t yÆ9Å3t zÆ1Åt .Gọi M(12Å4t;9Å3t;1Åt)làgiaođiểmcủa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó ta có phương trình 3(12Å4t)Å5(9Å3t)¡(1Åt)¡2Æ0. Giảiphươngtrìnhnàytathuđượcnghiệm tÆ¡3. Vậytọađộđiểmcầntìmlà M(0;0;¡2). Chọnđápán C ä Câu180. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầucóphươngtrìnhlà (S): x 2 Åy 2 Å z 2 ¡2xÅ6yÅ4zÆ0.Biết OA (O làgốctọađộ)làđườngkínhcủamặtcầu (S).Tọađộcủađiểm A là A. A(¡2;6;4). B. A(2;¡6;¡4). C. A(¡1;3;2). D. A(¡1;¡3;2). -Lờigiải. Phương trình mặt cầu được viết lại thành (S): (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ14. Suy ra tâm của đườngtrònlà I(1;¡3;¡2).Dođiểm I làtrungđiểmcủađườngkínhOA nênđiểm A phảicótọa độ A(2;¡6;¡4). Chọnđápán B ä Câu181. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm M(2;¡3;5), N(4;7;¡9), E(3;2;1), F(1;¡8;12). Bộbađiểmnàosauđâythẳnghàng? A. M, N, E. B. M, E, F. C. N, E, F. D. M, N, F. -Lờigiải. Tacó #  MNÆ(2;10;¡14), #  MEÆ(1;5;¡4), #  MFÆ(¡1;¡5;7), #  NEÆ(¡1;¡5;10), #  NFÆ(¡3;¡15;21). Từđósuyrahaivéctơ #  MN và #  MF cùngphươngvì #  MNÆ¡ 2 3 #  NF,dođóbađiểm M, N, F thẳng hàng. Chọnđápán D ä Câu182. Trong không gian Oxyz, cho các véctơ #  a Æ (3;¡2;1), #  b Æ (¡1;1;¡2), #  c Æ (2;1;¡3), #  uÆ(11;¡6;5).Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. #  uÆ3 #  a¡2 #  bÅ #  c. B. #  uÆ2 #  aÅ3 #  bÅ #  c. C. #  uÆ2 #  a¡3 #  bÅ #  c. D. #  uÆ3 #  a¡2 #  b¡2 #  c. -Lờigiải. Giảsử #  uÆx #  aÅy #  bÅz #  c.Tacóhệphươngtrình ( 11Æ3x¡yÅ2z ¡6Æ¡2xÅyÅz 5Æx¡2y¡3z , ( xÆ2 yÆ¡3 zÆ1. Vậy #  uÆ2 #  a¡3 #  bÅ #  c. Chọnđápán C ä Câu183. TrongkhônggianOxyzchobađiểm A(1;¡1;1);B(0;1;2)vàC(1;0;1).Trongcácmệnh đềsau,hãychọnmệnhđềđúng. A. Tamgiác ABC vuôngtại A. B. Bađiểm A, B, C thẳnghàng. C. Bađiểm A, B, C khôngthẳnghàng. D. B làtrungđiểmcủa AC. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 103 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó ( #  ABÆ(¡1;2;1) #  ACÆ(0;1;0) )Øk2Rsaocho #  ABÆk #  AC dođóbađiểm A, B, C khôngthẳnghàng. Chọnđápán C ä Câu184. TrongkhônggianOxyzchođiểm A(¡2;3;1)vàB(2;1;3).Điểmnàodướiđâylàtrung điểmcủađoạn AB? A. M(0;2;2). B. N(2;2;2). C. P(0;2;0). D. Q(2;2;0). -Lờigiải. Trungđiểm AB là M(0;2;2). Chọnđápán A ä Câu185. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình mặt cầu? A. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ4y¡4z¡21Æ0. B. 2x 2 Å2y 2 Å2z 2 Å4xÅ4y¡8z¡11Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ1. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ2y¡4zÅ11Æ0. -Lờigiải. Phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ2y¡4zÅ11Æ0 có (¡1) 2 Å(¡1) 2 Å(2) 2 ¡11Æ¡5Ç0 không phải là phươngtrìnhcủamặtcầu. Chọnđápán D ä Câu186. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm A. S(0;0;3). B. R(1;0;0). C. Q(0;2;0). D. P(1;0;3). -Lờigiải. Hìnhchiếucủa M(1;2;3)lêntrụcOylàđiểmQ(0;2;0). Chọnđápán C ä Câu187. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầucóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡ 6y¡6Æ0.Tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầuđó. A. I(¡1;3;0); RÆ4. B. I(1;¡3;0); RÆ4. C. I(¡1;3;0); RÆ16. D. I(1;¡3;0); RÆ16. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(¡1;3;0);bánkính RÆ p 1Å9¡(¡6)Æ p 16Æ4. Chọnđápán A ä Câu188. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchophươngtrình:x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2(mÅ2)xÅ4my¡ 2mzÅ5m 2 Å9Æ0.Tìm mđểphươngtrìnhtrênlàphươngtrìnhcủamộtmặtcầu A. ¡5ÇmÇ1. B. mÇ¡5hoặc mÈ1. C. mÇ¡5. D. mÈ1. -Lờigiải. Để phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2(mÅ2)xÅ4my¡2mzÅ5m 2 Å9Æ0 là phương trình của một mặt cầuthì: (mÅ2) 2 Å(2m) 2 Åm 2 ¡5m 2 ¡9È0,m 2 Å4m¡5È0,mÇ¡5hoặc mÈ1. Chọnđápán B ä Câu189. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình chính tắc của mặt cầu có đườngkính AB với A(2;1;0), B(0;1;2). A. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. B. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ2. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. D. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. -Lờigiải. Tâmmặtcầulàtrungđiểm ABlà I(1;1;1),bánkínhmặtcầulàR,tacóR 2 ÆIA 2 Æ1Å0Å1Æ2. Dođóphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. Chọnđápán D ä Câu190. Trongkhônggian Oxyz chođiểm M(1;2;3).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M trên mặtphẳng (Oxz)làđiểmnàosauđây? A. H(1;2;0). B. F(0;2;0). C. E(1;0;3). D. K(0;2;3). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm M(a,b,c)lênmặtphẳng (Oxz)là M 0 (a,0,c). Dođó,điểmcầntìmlà E(1;0;3). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu191. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;¡2;3). Gọi (S) là mặt cầu chứa A cótâm I thuộctiaOxvàbánkínhbằng 7.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là A. (x¡3) 2 Åy 2 Åz 2 Æ49. B. (xÅ7) 2 Åy 2 Åz 2 Æ49. C. (x¡7) 2 Åy 2 Åz 2 Æ49. D. (xÅ5) 2 Åy 2 Åz 2 Æ49. -Lờigiải. Dotâm I thuộctiaOxnên I(a;0;0),với aÈ0.Khiđó IAÆR,(a¡1) 2 Å2 2 Å(¡3) 2 Æ49, h aÆ7 aÆ¡5 (loại) . Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I(7;0;0)và RÆ7là (x¡7) 2 Åy 2 Åz 2 Æ49. Chọnđápán C ä Câu192. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(¡2;3;4). Khoảng cách từ điểm A đếntrụcOxlà A. 4. B. 3. C. 5. D. 2. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủađiểm A lêntrụcOx,suyra H(¡2;0;0).Khiđó d (A,Ox) ÆAHÆ p 0 2 Å3 2 Å4 2 Æ5. Chọnđápán C ä Câu193. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,hãyviếtphươngtrìnhmặtcầutâm I(2;¡3;4) vàđiquađiểm A(4;¡2;2). A. (x¡2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(x¡4) 2 Æ9. B. (xÅ2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(x¡4) 2 Æ9. C. (x¡2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(x¡4) 2 Æ3. D. (xÅ2) 2 Å(y¡3) 2 Å(xÅ4) 2 Æ9. -Lờigiải. Theobàira,tacóbánkínhmặtcầu RÆIAÆ p (4¡2) 2 Å(¡2Å3) 2 Å(2¡4) 2 Æ3. Từđótacóphươngtrìnhmặtcầutâm I bánkính RÆ3là (x¡2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. Chọnđápán A ä Câu194. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(2;3;¡5), #  b Æ(0;¡3;4) và #  c Æ(1;¡2;3).Hãytínhtọađộcủavéc-tơ #  nÆ3 #  aÅ2 #  b¡ #  c. A. #  nÆ(5;1;¡10). B. #  nÆ(7;1;¡4). C. #  nÆ(5;5;¡10). D. #  nÆ(5;¡5;¡10). -Lờigiải. Tacó #  nÆ3 #  aÅ2 #  b¡ #  c Æ3(2;3;¡5)Å2(0;¡3;4)¡(1;¡2;3)Æ(5;5;¡10). Chọnđápán C ä Câu195. Cho tam giác ABC, biết A(1;¡2;4), B(0;2;5), C(5;6;3). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là A. G(2;2;4). B. G(4;2;2). C. G(3;3;6). D. G(6;3;3). -Lờigiải. G làtrọngtâmtamgiác ABC nên 8 > > > > > < > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 y G Æ y A Åy B Åy C 3 z G Æ z A Åz B Åz C 3 .VậyG(2;2;4). Chọnđápán A ä Câu196. Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;¡3), B(3;¡1;1). Gọi M là trung điểm của AB, đoạnOM cóđộdàibằng A. p 5. B. p 6. C. 2 p 5. D. 2 p 6. -Lờigiải. Tacó M làtrungđiểm AB nên M(2;0;¡1))OMÆ p 4Å0Å1Æ p 5. Chọnđápán A ä Câu197. TrongkhônggianOxyz,cho A(1;2;¡1),B(0;¡2;3).TínhdiệntíchtamgiácOAB. A. p 29 6 . B. p 29 2 . C. p 78 2 . D. 2. Th.sNguyễnChínEm 105 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. DiệntíchtamgiácOAB đượcxácđịnhbởicôngthức SÆ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  OA, #  OB i¯ ¯ ¯. Tacó #  OAÆ(1;2;¡1), #  OBÆ(0;¡2;3)) h #  OA, #  OB i Æ(4;¡3;¡2). Vậy SÆ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  OA, #  OB i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p 4 2 Å(¡3) 2 Å(¡2) 2 Æ p 29 2 . Chọnđápán B ä Câu198. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ2z¡3Æ0 có bán kính bằng A. 3. B. p 3. C. p 6. D. 9. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;¡1)vàbánkính RÆ p 1 2 Å2 2 Å1 2 Å3Æ3. Chọnđápán A ä Câu199. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(¡1;¡2;3), B(0;3;1), C(4;2;2). Côsin của góc ƒ BAC bằng A. 9 p 35 . B. 9 2 p 35 . C. ¡ 9 2 p 35 . D. ¡ 9 p 35 . -Lờigiải. Tacó cos ƒ BACÆcos ³ #  AB, #  AC ´ Æ #  AB¢ #  AC ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  AC ¯ ¯ ¯ ,với #  ABÆ(1;5;¡2), #  ACÆ(5;4;¡1). Dođó cos ³ ƒ BAC ´ Æ 1¢5Å5¢4Å(¡2)¢(¡1) p 1 2 Å5 2 Å(¡2) 2 ¢ p 5 2 Å4 2 Å(¡1) 2 Æ 27 p 30¢ p 42 Æ 9 2 p 35 . Chọnđápán B ä Câu200. TrongkhônggianOxyz,chohìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A(3;1;¡2),C(1;5;4). Biết rằng tâm hình chữ nhật A 0 B 0 C 0 D 0 thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . A. p 91 2 . B. 5 p 3 2 . C. p 74 2 . D. 7 p 3 2 . -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AC)Tọađộđiểm I(2;3;1) Gọi I 0 làtâmhìnhchữnhật A 0 B 0 C 0 D 0 )I 0 (a;0;0). Ta có: II 0 ?(ABCD))II 0 ?AC) #  II 0 . #  ACÆ0,(a¡2)(¡2)Å (¡3).4Å(¡1).6Æ0,aÆ¡7)I 0 (¡7;0;0). Gọi E là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 )Elàtrungđiểmcủa AC)E µ ¡5 2 ; 3 2 ; 1 2 ¶ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là RÆAIÆ 7 p 3 2 . E A D C B I A 0 B 0 C 0 D 0 I 0 Chọnđápán D ä Câu201. Trongkhônggian Oxyz,cho M(3;¡2;1),N(1;0;¡3).Gọi M 0 ,N 0 lầnlượtlàhìnhchiếu của M và N lênmặtphẳngOxy.Khiđóđộdàiđoạn M 0 N 0 là A. M 0 N 0 Æ8. B. M 0 N 0 Æ4. C. M 0 N 0 Æ2 p 6. D. M 0 N 0 Æ2 p 2. -Lờigiải. Tacó M 0 (3;¡2;0)và N 0 (1;0;0)suyra #  M 0 N 0 Æ(¡2;2;0))M 0 N 0 Æ2 p 2. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 106 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu202. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 vectơ #  a Æ(2;¡5;3), #  b Æ(0;2;¡1), #  c Æ (1;7;2).Tìmtọađộ #  dÆ #  a¡4 #  b¡2 #  c. A. (0;¡27;3). B. (1;2;¡7). C. (0;27;3). D. (0;27;¡3). -Lờigiải. Tacó #  aÆ(2;¡5;3),4 #  b Æ(0;8;¡4),2 #  c Æ(2;14;4). Suyra #  dÆ(2¡4¢0¡2¢1;¡5¡4¢2¡2¢7;3¡4¢(¡1)¡2¢2)Æ(0;¡27;3). Chọnđápán A ä Câu203. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobavectơ #  a(¡1;1;0), #  b(1;1;0), #  c (1;1;1). Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. ¯ ¯ #  a ¯ ¯ Æ p 2. B. ¯ ¯ #  c ¯ ¯ Æ p 3. C. #  a? #  b. D. #  c ? #  b. -Lờigiải. Tacó: ¯ ¯ #  a ¯ ¯ Æ p (¡1) 2 Å1 2 Å0 2 Æ p 2. ¯ ¯ #  c ¯ ¯ Æ p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3. #  a¢ #  b Æ¡1¢1Å1¢1Å0¢0Æ0) #  a? #  b. #  b¢ #  c Æ1¢1Å1¢1Å0¢1Æ2. Vậy #  c ? #  b làmệnhđềsai. Chọnđápán D ä Câu204. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A(¡1;¡2;4),B(¡4;¡2;0) và C(3;¡2;1).Tínhsốđocủagóc B. A. 45 ± . B. 60 ± . C. 30 ± . D. 120 ± . -Lờigiải. Tacó #  BAÆ(3;0;4)và #  BCÆ(7;0;1). Suyra cosBÆcos ³ #  BA, #  BC ´ Æ #  BA¢ #  BC ¯ ¯ ¯ #  BA ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ ¯ #  BC ¯ ¯ ¯ Æ 3¢7Å0¢0Å4¢1 p 3 2 Å0 2 Å4 2 ¢ p 7 2 Å0 2 Å1 2 Æ 1 p 2 . Từđósuyra BÆ45 ± . Chọnđápán A ä Câu205. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(3;2;¡1).Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M lên trụcOz làđiểm A. M 3 (3;0;0). B. M 4 (0;2;0). C. M 1 (0;0;¡1). D. M 2 (3;2;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(3;2;¡1)lêntrụcOz làđiểm M 1 (0;0;¡1). Chọnđápán C ä Câu206. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho M(1;2;3), N(2;¡3;1), P(3;1;2).Tìmtọađộ điểmQ saocho MNPQ làhìnhbìnhhành. A. Q(2;¡6;4). B. Q(4;¡4;0). C. Q(2;6;4). D. Q(¡4;¡4;0). -Lờigiải. GiảsửQ(x;y;z).Tacó #  PQÆ(x¡3;y¡1;z¡2), #  NMÆ(¡1;5;2). MNPQ làhìnhbìnhhành, #  QPÆ #  MN, ( x¡3Æ¡1 y¡1Æ5 z¡2Æ2 , ( xÆ2 yÆ6 zÆ4 .VậyQ(2;6;4). Chọnđápán C ä Câu207. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡8zÅ12Æ0. Biết (S)cótâm I(a;b;c).Tính TÆaÅbÅc. A. TÆ3. B. TÆ¡3. C. TÆ6. D. TÆ¡6. -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡8zÅ12Æ0,(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. Khiđósuyra (S)cótâm I(1;¡2;4))aÆ1,bÆ¡2,cÆ4. Vậy TÆaÅbÅcÆ3. Th.sNguyễnChínEm 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu208. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,mặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡6zÅ4Æ0 cóbánkính r là A. rÆ p 53. B. rÆ4 p 2. C. rÆ p 10. D. rÆ3 p 7. -Lờigiải. Tacó (S),(x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ10,dođómặtcầu (S)cóbánkính rÆ p 10. Chọnđápán C ä Câu209. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(¡1;2;1). Hình chiếu vuông góc củađiểm A trêntrụcOylàđiểm A. N(¡1;2;0). B. M(0;2;0). C. Q(0;0;1). D. P(¡1;0;1). -Lờigiải. Hìnhchiếucủa A(¡1;2;1)lêntrụcOylà M(0;2;0). Chọnđápán B ä Câu210. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầu (S):(xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Tìmtọađộtâm I vàbánkính R của (S). A. I(¡1;2;1)và RÆ2. B. I(1;¡2;¡1)và RÆ2. C. I(¡1;2;1)và RÆ4. D. I(1;¡2;¡1)và RÆ4. -Lờigiải. Tọađộtâm I(¡1;2;1). Bánkính RÆ2. Chọnđápán A ä Câu211. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #  a Æ(1;¡2;3). Tìm tọa độ của véc-tơ #  b biếtrằng #  b ngượchướngvớivéc-tơ #  a và ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ2 ¯ ¯ #  a ¯ ¯ . A. #  b Æ(2;¡2;3). B. #  b Æ(2;¡4;6). C. #  b Æ(¡2;4;¡6). D. #  b Æ(¡2;¡2;3). -Lờigiải. Vì #  b ngượchướngvớivéc-tơ #  a và ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯Æ2 ¯ ¯ #  a ¯ ¯ nên #  b Æ¡2 #  a.Suyra #  b Æ(¡2;4;¡6). Chọnđápán C ä Câu212. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(¡3;0;0),B(0;0;3),C(0;¡3;0) và mặt phẳng (P):xÅyÆz¡3Æ0.Tìmtrên (P)điểm M saochoj #  MAÅ #  MB¡ #  MCjnhỏnhất. A. M(3;3;¡3). B. M(¡3;¡3;3). C. M(3;¡3;3). D. M(¡3;3;3). -Lờigiải. Gọi M(x,y,z). Tacój #  MAÅ #  MB¡ #  MCjÆ p (xÅ3) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡3) 2 Ê0. Dấu"Æ"xảyra, xÆ¡3,yÆ3,zÆ3. )M(¡3;3;3) Chọnđápán D ä Câu213. TrongkhônggianvớihệtrụctoạđộOxyz,cho #  aÆ(2;3;1), #  b Æ(¡1;5;2), #  c Æ(4;¡1;3) và #  x Æ(¡3;22;5).Đẳngthứcnàođúngtrongcácđẳngthứcsau? A. #  x Æ2 #  a¡3 #  b¡ #  c. B. #  x Æ¡2 #  aÅ3 #  bÅ #  c. C. #  x Æ2 #  aÅ3 #  b¡ #  c. D. #  x Æ2 #  a¡3 #  bÅ #  c. -Lờigiải. Đặt: #  x Æm¢ #  aÅn¢ #  bÅp¢ #  c,m,n,p2R. ) ( 2m¡nÅ4pÆ¡3 3mÅ5n¡pÆ22 mÅ2nÅ3pÆ5 . Giảihệphươngtrìnhtađược: ( mÆ2 nÆ3 pÆ¡1 . Vậy #  x Æ2 #  aÅ3 #  b¡ #  c. Chọnđápán C ä Câu214. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,tìmtọađộtâm I vàbánkính R củamặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ2zÆ0. A. I(¡1;2;¡1), RÆ p 6. B. I(¡1;2;¡1), RÆ6. C. I(1;¡2;1), RÆ p 6. D. I(1;¡2;1), RÆ6. Th.sNguyễnChínEm 108 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tọađộtâm I(¡1;2;¡1)vàbánkính RÆ p (¡1) 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ p 6. Chọnđápán A ä Câu215. TrongkhônggianOxyz,chohìnhbìnhhành ABCDcó A(1;0;0),B(0;0;1)vàC(2;1;1). Tìmtọađộđiểm D. A. D(1;3;0). B. D(¡3;1;0). C. D(3;¡1;0). D. D(3;1;0). -Lờigiải. Tứgiác ABCD làhìnhbìnhhànhkhivàchỉkhi #  ABÆ #  DC. Tacó #  ABÆ(¡1;0;1), #  DCÆ(2¡x D ;1¡y D ;1¡z D ). Suyra ( ¡1Æ2¡x D 0Æ1¡y D 1Æ1¡z D , ( x D Æ3 y D Æ1 z D Æ0. Vậy D(3;1;0). Chọnđápán D ä Câu216. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(0;¡2;1), C(1;0;1). Gọi D là điểmsaocho C làtrọngtâmtamgiác ABD.Tínhtổngcáctọađộcủađiểm D. A. 1. B. 0. C. 7 3 . D. 7. -Lờigiải. Gọi D(x;y;z).Vì C làtrọngtâmtamgiác ABD nên 8 > > > > > > < > > > > > > : 1Æ 1Å0Åx 3 0Æ 2¡2Åy 3 1Æ 3Å1Åz 3 , ( xÆ2 yÆ0 zÆ¡1 )xÅyÅzÆ2Å0¡1Æ1. Chọnđápán A ä Câu217. Chohaiđiểm A(0;2;1)và B(2;¡2;¡3),phươngtrìnhmặtcầuđườngkính ABlà A. (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ6. C. (x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ36. D. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. -Lờigiải. Tâmcủamặtcầulàtrungđiểm I của AB cótọađộ I(1;0;¡1). Bánkínhcủamặtcầu RÆIAÆ p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ3. Phươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán A ä Câu218. TrongkhônggianOxyz chohaiđiểm A(1;¡1;2)và B(2;1;1).Tínhđộdài AB. A. 2. B. p 6. C. p 2. D. 6. -Lờigiải. Tacó ABÆ p (2¡1) 2 Å(1Å1) 2 Å(1¡2) 2 Æ p 6 Chọnđápán B ä Câu219. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chophươngtrình (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2(mÅ2)xÅ 4my¡2mzÅ5m 2 Å9Æ0.Tìm mđểphươngtrìnhđólàphươngtrìnhcủamộtmặtcầu. A. ¡5ÇmÇ1. B. mÇ¡5hoặc mÈ1. C. mÇ¡5. D. mÈ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhđãcholàphươngtrìnhmặtcầu,a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0 ,(mÅ2) 2 Å(2m) 2 Åm 2 ¡5m 2 ¡9È0 ,m 2 Å4m¡5È0, h mÈ1 mÇ¡5 . Chọnđápán B ä Câu220. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình của mặt cầucótâm I vàđiqua A là A. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ29. B. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. C. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ25. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ5. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 109 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  IAÆ(0;1;2))IAÆ p 1Å4Æ p 5. Phươngtrìnhmặtcầutâm I(1;1;1)vàcóbánkính RÆIAÆ p 5là (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ5. Chọnđápán B ä Câu221. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phươngtrìnhmặtcầu? A. 2x 2 Å2y 2 Å2z 2 Å2x¡4yÅ6zÅ5Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅy¡zÆ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡3xÅ7yÅ5z¡1Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Å3x¡4yÅ p 3zÅ7Æ0. -Lờigiải. Kiểmtrađiềukiện a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0củatừngphươngtrìnhtathấyphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 Å 3x¡4yÅ p 3zÅ7Æ0 có a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ µ ¡ 3 2 ¶ 2 Å2 2 Å Ã ¡ p 3 2 ! 2 ¡7Æ0 nên không là phương trình mặtcầu. Chọnđápán D ä Câu222. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡4zÅ5Æ0.Tọađộtâm vàbánkínhcủamặtcầu (S)là A. I(2;4;4)và RÆ2. B. I(1;¡2;¡2)và RÆ p 14. C. I(¡1;2;2)và RÆ2. D. I(1;¡2;¡2)và RÆ2. -Lờigiải. Tacó (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡4zÅ5Æ0)(S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ4. Khiđó (S)cótâm I(¡1;2;2)vàbánkính RÆ2. Chọnđápán C ä Câu223. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình củamặtcầucótâm I(1;0;3)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P): ¡xÅ2y¡2z¡2Æ0? A. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ3. D. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacóbánkínhmặtcầuđãchobằng RÆd(I,(P))Æ j¡1¡6¡2j p 1Å4Å4 Æ3. Dođómặtcầuđãchocóphươngtrìnhlà (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu224. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz có tọa độ các điểm A(1;2;1), B(1;0;1), C(¡1;¡1;0), D(¡2;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B 0 , C 0 , D 0 sao cho AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 Æ6 và thể tích tứ diện AB 0 C 0 D 0 nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (B 0 C 0 D 0 ) là A. y¡zÆ0. B. x¡z¡2Æ0. C. y¡z¡2Æ0. D. x¡zÆ0. -Lờigiải. TheocôngthứctỉsốthểtíchvàbấtđẳngthứcCô-sitacó V ABCD Æ AB AB 0 ¢ AC AC 0 ¢ AD AD 0 ¢V AB 0 C 0 D 0· 0 B B @ AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 3 1 C C A 3 ¢V AB 0 C 0 D 0. ,V ABCD Æ AB AB 0 ¢ AC AC 0 ¢ AD AD 0 ¢V AB 0 C 0 D 0·8¢V AB 0 C 0 D 0. Từ đó V AB 0 C 0 D 0¸ 1 8 V ABCD , thể tích tứ diện AB 0 C 0 D 0 nhỏ nhất khi và chỉkhi A D D 0 B B 0 C C 0 Th.sNguyễnChínEm 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 AB AB 0 Æ AC AC 0 Æ AD AD 0 Æ2, 8 > > > > > > < > > > > > > : #  AB 0 Æ 1 2 #  AB #  AC 0 Æ 1 2 #  AC #  AD 0 Æ 1 2 #  AD .Từđótìmđượctọađộ 8 > > > > > < > > > > > : B 0 Æ(1;1;1) C 0 Æ µ 0; 1 2 ; 1 2 ¶ D 0 Æ µ ¡ 1 2 ; 5 2 ; 5 2 ¶ . Dễthấyphươngtrìnhmặtphẳng (B 0 C 0 D 0 )là y¡zÆ0. Chọnđápán A ä Câu225. TrongkhônggianOxyz,mặtcầucótâm I(1;2;¡1)vàtiếpxúcvớimặtphẳng(P): x¡ 2y¡2z¡8Æ0cóphươngtrìnhlà A. (S): (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. C. (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. (S): (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacó RÆd(I;(P))Æ j1¡2¢2¡2(¡1)¡8j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ3. Vậy (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu226. Trongkhônggian oxyzchođiểm I(1;¡2;3)vàmặtphẳng (P): 2x¡yÅ2z¡1Æ0.Mặt cầu (S)tâm I tiếpxúcvới(P)cóphươngtrìnhlà A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ3. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu RÆd(I;(P))Æ3. Mặtcầu (S)tâm I tiếpxúcvới(P)cóphươngtrìnhlà (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Chọnđápán A ä Câu227. TrongkhônggianOxyz chohaiđiểm A(1;0;¡1), B(1;¡1;2).DiệntíchtamgiácOAB bằng? A. p 11. B. p 6 2 . C. p 11 2 . D. p 6. -Lờigiải. Tacó h #  OA, #  OB i Æ(¡1;¡3;¡1))S 4OAB Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  OA, #  OB i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p (¡1) 2 Å(¡3) 2 Å(¡1) 2 Æ p 11 2 . Chọnđápán C ä Câu228. Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ #  a Æ(4;¡2;¡4), #  b Æ(6;¡3;2) Giá trị của biểu thức ¯ ¯ ¯ ³ 2 #  a¡3 #  b ´³ #  aÅ2 #  b ´¯ ¯ ¯bằng A. ¡200. B. p 200. C. 200 2 . D. 200. -Lờigiải. Tacó 2 #  a¡3 #  b Æ(¡10;5;¡14); #  aÅ2 #  b Æ(16;¡8;0). Khiđó ³ 2 #  a¡3 #  b ´³ #  aÅ2 #  b ´ Æ¡200. Vậy ¯ ¯ ¯ ³ 2 #  a¡3 #  b ´³ #  aÅ2 #  b ´¯ ¯ ¯Æ200. Chọnđápán D ä Câu229. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(¡1;¡2;3), B(0;3;1), C(4;2;2). Cosin của góc ƒ BAC là A. 9 p 35 . B. ¡ 9 p 35 . C. ¡ 9 2 p 35 . D. 9 2 p 35 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;5;¡2), #  ACÆ(5;4;¡1). )cos ƒ BACÆ j #  AB¢ #  ACj AB¢AC Æ 27 p 30¢ p 42 Æ 9 2 p 35 . Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu230. TrongkhônggianOxyz,mặtcầutâm I(1;1;1)vàdiệntíchbằng 4¼cóphươngtrình là A. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. B. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ1. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. D. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ1. -Lờigiải. DiệntíchmặtcầuSÆ4¼R 2 )RÆ1,dođómặtcầucóphươngtrình:(x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ1. Chọnđápán D ä 2.1 ĐÁPÁN 1. B 2. B 3. A 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. A 12. C 13. B 14. D 15. D 16. B 17. D 18. C 19. B 20. B 21. A 22. C 23. B 24. C 25. C 26. C 27. D 28. A 29. A 30. C 31. D 32. B 33. C 34. D 35. B 36. A 37. A 38. B 39. A 40. A 41. B 42. A 43. D 44. A 45. C 46. D 47. C 48. B 49. A 50. D 51. D 52. A 53. C 54. D 55. A 56. D 57. D 58. A 59. D 60. C 61. A 62. B 63. B 64. D 65. C 66. C 67. C 68. C 69. C 70. B 71. C 72. B 73. C 74. C 75. C 76. C 77. C 78. A 79. C 80. B 81. D 82. A 83. B 84. D 85. C 86. D 87. C 88. D 89. A 90. D 91. B 92. C 93. C 94. C 95. A 96. C 97. B 98. C 99. A 100.A 101.D 102.D 103.C 104.C 105.B 106.D 107.D 108.C 109.D 110.B 111.C 112.A 113.B 114.D 115.A 116.C 117.C 118.B 119.D 120.D 121.B 122.B 123.B 124.D 125.A 126.C 127.C 128.C 129.C 130.B 131.C 132.A 133.D 134.D 135.D 136.A 137.D 138.C 139.B 140.C 141.B 142.D 143.C 144.D 145.A 146.C 147.D 148.D 149.A 150.D 151.B 152.A 153.A 154.B 155.B 156.B 157.B 158.D 159.A 160.D 161.B 162.A 163.A 164.D 165.A 166.D 167.B 168.C 169.B 170.A 171.D 172.D 173.B 174.D 175.A 176.B 177.C 178.D 179.C 180.B 181.D 182.C 183.C 184.A 185.D 186.C 187.A 188.B 189.D 190.C 191.C 192.C 193.A 194.C 195.A 196.A 197.B 198.A 199.B 200.D 201.D 202.A 203.D 204.A 205.C 206.C 207.A 208.C 209.B 210.A 211.C 212.D 213.C 214.A 215.D 216.A 217.A 218.B 219.B 220.B 221.D 222.C 223.D 224.A 225.C 226.A 227.C 228.D 229.D 230.D 3 VẬNDỤNGTHÁP Câu1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3;¡2),B(0;¡1;3),C(m;n;8) (với m,n là tham số).Tìmtấtcảcácgiátrịcủa m,nđểbađiểm A,B,C thẳnghàng. A. mÆ3,nÆ11. B. mÆ¡1,nÆ¡5. C. mÆ¡1,nÆ5. D. mÆ1,nÆ5. Câu2. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có toạ độ các đỉnh A(1;1;1), B(2;¡1;3), D(5;2;0), A 0 (¡1;3;1).Toạđộđỉnh C 0 là A. (6;2;2). B. (6;0;2). C. (0;1;3). D. (4;2;2). Câu3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡3;2) và B(3;5;4). Tìm tọa độ điểm M trên trụcOz saocho MA 2 ÅMB 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. M(0;0;49). B. M(0;0;0). C. M(0;0;67). D. M(0;0;3). -Lờigiải. Gọi M(0;0;z)Æ) #  MAÆ(2;¡3;2¡z)và #  MBÆ(3;5;4¡z). Æ)MA 2 ÅMB 2 Æ47Å(2¡z) 2 Å(4¡z) 2 Æf(z) Khảosáthàm f(z),tathấyhàmđạtgiátrịnhỏnhấttại zÆ3Æ)M(0;0;3) Chọnđápán D ä Câu4. TrongkhônggianOxyz,chotứdiện ABCDvới A(0;0;3),B(0;0;¡1),C(1;0;¡1)vàD(0;1;¡1). Mệnhđềnàodướiđâysai? A. AB?BC. B. AB?BD. C. AB?CD. D. AB?AC. Th.sNguyễnChínEm 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu5. TrongkhônggianOxyz,chobavéc-tơ #  aÆ(¡1;1;0), #  b Æ(1;1;0), #  c Æ(1;1;1).Khẳngđịnh nàodướiđâysai? A. ¯ ¯ #  c ¯ ¯ Æ p 3. B. #  a? #  b. C. ¯ ¯ #  a ¯ ¯ Æ p 2. D. #  b ? #  c. Câu6. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M thỏamãnhệthức #  OMÆ2 #  iÅ #  j.Hãyxácđịnhtọa độcủađiểm M. A. M(0;2;1). B. M(1;2;0). C. M(2;0;1). D. M(2;1;0). Câu7. Trong không gian Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(¡1;1;0), #  b Æ(1;1;0), #  c Æ(1;1;1). Trong các mệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. #  b ? #  c. B. j #  cjÆ p 3. C. j #  ajÆ p 2. D. #  b ? #  a. Câu8. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(2;1;1), B(¡1;2;3).Tìmtọađộđiểm M saocho #  AMÆ2 #  BM. A. M(¡4;3;5). B. M µ 1 2 ; 3 2 ;2 ¶ . C. M(1;3;4). D. M(5;0;¡1). Câu9. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(2;¡1;5),B(5;¡5;7)vàđiểm M(x;y;1).Vớigiátrị nàocủa x,ythì A,B,M thẳnghàng? A. xÆ4,yÆ¡7. B. xÆ4,yÆ7. C. xÆ¡4,yÆ¡7. D. xÆ¡4,yÆ7. Câu10. ChọnhệtọađộOxyz,saochobốnđỉnh A,B,D,A 0 củahìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A 0 (0;0;1).Tìmtọađộđiểm C 0 . A. C 0 Æ(1;1;1). B. C 0 Æ(0;1;1). C. C 0 Æ(1;1;0). D. C 0 Æ(0;1;0). Câu11. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;1),B(5;1;¡2) và C(a;5;1). Tìm aÈ0biết cos ƒ BACÆ 12 25 . A. aÆ4. B. aÆ3. C. aÆ5. D. aÆ1. Câu12. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;¡1),B(3;2;¡1) và C(2;4;0). Tính sốđocủagóc ƒ BAC. A. 60 ± . B. 150 ± . C. 120 ± . D. 30 ± . Câu13. Trongkhônggian Oxyz,cho3véc-tơ #  a(1;0;0), #  b(0;1;0), #  c(0;0;1).véc-tơnàosauđây khôngvuônggócvớivéc-tơ #  uÆ2 #  a¡ #  bÅ3 #  c? A. #  a¡ #  b¡ #  c. B. 2 #  aÅ #  b¡ #  c. C. #  aÅ2 #  b. D. #  aÅ3 #  b¡ #  c. -Lờigiải. Tacó (2 #  a¡ #  bÅ3 #  c). ( #  aÅ3 #  b¡ #  c)Æ¡46Æ0 Chọnđápán D ä Câu14. Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ #  u Æ(1;0;1), #  v Æ(0;1;¡2). Tính tích vô hướng của #  u và #  v. A. #  u. #  v Æ0. B. #  u. #  v Æ2. C. #  u. #  v Æ¡2. D. #  u. #  v Æ(0;0;¡2). Câu15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;2),B(1;1;1),C(2;3;0). Tính diệntích S củatamgiác ABC. A. SÆ p 3 2 . B. SÆ 3 2 . C. SÆ 1 2 . D. SÆ3. Câu16. Chohìnhbìnhhành ABCD với A(2;4;¡4), B(1;1;¡3), C(¡2;0;5), D(¡1;3;4).Diệntích củahìnhbìnhhành ABCD bằng A. p 245đvdt. B. p 615đvdt. C. p 618đvdt. D. p 345đvdt. Câu17. Trongkhônggian Oxyz,chobốnđiểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)và D(1;1;1).Trong cácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. Bốnđiểm A,B,C và D tạothànhmộttứdiện. B. Tamgiác ABD làmộttamgiácđều. C. AB?CD. D. Tamgiác BCD làtamgiácvuông. Câu18. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡3;1;¡4), B(1;¡1;2). Tìm phương trình mặt cầu (S)nhận AB làmđườngkính. A. (S): (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ14. B. (S): (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ14. C. (S): (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ56. D. (S): (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡6) 2 Æ14. Th.sNguyễnChínEm 113 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu19. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(1;2;¡3), B(¡5;¡2;7).Phươngtrìnhnàodưới đâylàphươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB? A. (x¡2) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ38. B. (xÅ2) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æ p 38. C. (x¡2) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ p 38. D. (xÅ2) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æ38. Câu20. Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4mxÅ4yÅ2zÅ12mÆ0làphươngtrìnhmặtcầu. A. m2 µ 1 2 ; 5 2 ¶ . B. m2 µ ¡ 5 2 ;¡ 1 2 ¶ . C. m2 µ ¡1;¡ 5 2 ¶ [ µ ¡ 1 2 ;Å1 ¶ . D. m2 µ ¡1; 1 2 ¶ [ µ 5 2 ;Å1 ¶ . Câu21. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;0;¡3) và đi qua điểm M(2;2;¡1). A. (S): (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. B. (S): (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. C. (S): (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ9. D. (S): (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ3. Câu22. TrongkhônggianOxyz,chophươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2mx¡4yÅ2zÅm 2 Å3mÆ0,với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình đã cho là phương trình của mộtmặtcầu. A. 8m2R. B. mÈ 5 3 . C. m6Æ 5 3 . D. mÇ 5 3 . -Lờigiải. Điềukiệnđểphươngtrìnhtrênlàphươngtrìnhmặtcầu: m 2 Å4Å1¡m 2 ¡3mÈ0 ()¡3mÅ5È0()mÇ 5 3 . Chọnđápán D ä Câu23. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å6x¡4yÅ2z¡2Æ0. Tìm tọa độ tâm I vàbánkính R của (S). A. I(3;¡2;1)và RÆ16. B. I(¡3;2;¡1)và RÆ16. C. I(¡3;2;¡1)và RÆ4. D. I(3;¡2;1)và RÆ4. Câu24. TrongkhônggianOxyz,nếu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ8y¡2azÅ6aÆ0làphươngtrìnhcủa mặtcầucóđườngkínhbằng12thìgiátrịcủa alàbaonhiêu? A. h aÆ2 aÆ¡4 . B. h aÆ¡2 aÆ4 . C. h aÆ2 aÆ¡8 . D. h aÆ¡2 aÆ8 . Câu25. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểmB(1;2;¡3),C(7;4;¡2).Nếuđiểm E thỏamãnđẳngthức #  CEÆ2 #  EB thìtọađộđiểm E là A. µ 3; 8 3 ;¡ 8 3 ¶ . B. µ 8 3 ;3;¡ 8 3 ¶ . C. µ 3;3;¡ 8 3 ¶ . D. µ 1;2; 1 3 ¶ . -Lờigiải. Tacó #  CEÆ2 #  EB, 8 < : x E ¡7Æ2(1¡x E ) y E ¡4Æ2(2¡y E ) z E Å2Æ2(¡3¡z E ) , 8 > > > > < > > > > : x E Æ3 y E Æ 8 3 z E Æ¡ 8 3 .Vậy E µ 3; 8 3 ;¡ 8 3 ¶ . Chọnđápán A ä Câu26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;¡3;3), B(2;¡4;5), C(a;¡2;b)nhậnđiểmG(1;c;3)làmtrọngtâmcủanóthìgiátrịcủatổng aÅbÅc bằng A. ¡5. B. 3. C. 2. D. ¡2. -Lờigiải. VìG làtrọngtâm4ABC nên 8 > > > > > > < > > > > > > : 1Æ 1Å2Åa 3 cÆ ¡3¡4¡2 3 3Æ 3Å5Åb 3 , ( aÆ0 bÆ1 cÆ¡3. Vậy aÅbÅcÆ¡2. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 114 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;¡1;5),B(5;¡5;7),M(x;y;1). Với giátrịnàocủa x,ythì A,B,M thẳnghàng? A. xÆ4;yÆ7. B. xÆ¡4;yÆ¡7. C. xÆ4;yÆ¡7. D. xÆ¡4;yÆ7. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡4;2), #  AMÆ(x¡2;yÅ1;¡4). Bađiểm A,B,M thẳnghàng,9k2R ¤ : #  AMÆk #  AB, ( x¡2Æ3k yÅ1Æ¡4k ¡4Æ2k , ( kÆ¡2 xÆ¡4 yÆ7. Vậyvới xÆ¡4;yÆ7thìbađiểm A,B,M thẳnghàng. Chọnđápán D ä Câu28. TrongkhônggianOxyz,chohìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A(3;1;¡2),C(1;5;4). Biết rằng tâm hình chữ nhật A 0 B 0 C 0 D 0 thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . A. p 91 2 . B. 5 p 3 2 . C. p 74 2 . D. 7 p 3 2 . -Lờigiải. Gọi O,O 0 lần lượt là tâm của các hình chữ nhật ABCD,A 0 B 0 C 0 D 0 khiđótrungđiểmIcủaOO 0 làtâmmặt cầungoạitiếphìnhhộp. TacóO làtrungđiểm AC vàO(2;3;1), #  ACÆ(¡2;4;6), O 0 2Ox,)O 0 (a;0;0)) #  OO 0 Æ(a¡2;¡3;¡1) #  OO 0 ¢ #  ACÆ0)O 0 (¡7;0;0), Suyra I µ ¡ 5 2 ; 3 2 ; 1 2 ¶ )IAÆ 7 p 3 2 . A 0 B 0 O 0 C D O A D 0 I B C 0 Chọnđápán D ä Câu29. Phươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;3)vàtiếpxúcvớitrụcOylà A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6zÅ9Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ6zÅ9Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6zÅ4Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ6zÅ4Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)tiếpxúcvớitrụcOynênbánkính RÆd(I,Oy). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa I trênOysuyra H(0;¡2;0). Đođóbánkính RÆd(I,Oy)ÆIHÆ p 10. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ10 hay x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6zÅ4Æ0. Chọnđápán C ä Câu30. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)cótâm I(1;¡2;3) và (S)điquađiểm A(3;0;2). A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ3. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. -Lờigiải. Tacó IAÆ p (3¡1) 2 Å(0Å2) 2 Å(2¡3) 2 Æ3. Do A2(S)và I làtâmnên RÆIAÆ3. Mặtcầu (S)có n tâm I(1;¡2;3) bánkính RÆ3 suyra (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(¡1;4;1). Phương trìnhmặtcầuđườngkính AB là A. x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ12. C. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡1) 2 Æ12. D. x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ12. -Lờigiải. Trungđiểmcủa AB là I(0;3;2),mặtkhác R 2 ÆIA 2 Æ1Å1Å1Æ3. Phươngtrìnhmặtcầucầntìmlà x 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. Chọnđápán A ä Câu32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;¡1;2) và B(3;1;4). Viết phươngtrìnhmặtcầu (S)cóđườngkính AB. A. (x¡2) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ3. B. (x¡2) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ p 3. C. (xÅ2) 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. D. (xÅ2) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ p 3. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB,suyra I(2;0;3)và #  ABÆ(2;2;2)nên ABÆ2 p 3. Phươngtrìnhmặtcầu (S),tâm I vàbánkính RÆ AB 2 là (x¡2) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ3. Chọnđápán A ä Câu33. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,mặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡6zÅ4Æ0 cóbánkínhbằng A. p 53. B. 4 p 2. C. p 10. D. 3 p 7. -Lờigiải. (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ10.Vậybánkínhmặtcầulà RÆ p 10. Chọnđápán C ä Câu34. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm I(1;0;¡1)và A(2;2;¡3).Mặt cầutâm I,điquađiểm A cóphươngtrìnhlà A. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. C. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ9. D. (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacó IAÆ p (2¡1) 2 Å2 2 Å(¡3Å1) 2 Æ9.Vậy (S): (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu35. TrongkhônggianOxy,cho A(1;¡1;2)và B(¡1;0;1).Tọađộvéc-tơ #  AB là A. (2;¡1;1). B. (¡2;¡1;¡1). C. (¡2;1;¡1). D. (0;¡1;3). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1¡1;0¡(¡1);1¡2)Æ(¡2;1;¡1). Chọnđápán C ä Câu36. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡2z¡3Æ0 có tâm và bán kínhlà A. I(¡2;1;¡1), RÆ9. B. I(2;¡1;1), RÆ3. C. I(¡2;1;¡1), RÆ3. D. I(2;¡1;1), RÆ9. -Lờigiải. Mặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2y¡2z¡3Æ0cótâm I(2;¡1;1)vàbánkínhRÆ p 2 2 Å(¡1) 2 Å1 2 Å3Æ 3. Chọnđápán B ä Câu37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2;¡1), B(¡4;2;¡9). Viết phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB. A. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(zÅ4) 2 Æ5. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ25. C. (xÅ6) 2 Åy 2 Å(zÅ8) 2 Æ25. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ5. -Lờigiải. Mặt cầu đường kính AB có tâm I(¡1;2;¡5) là trung điểm của AB và bán kính R Æ IA Æ p 9Å0Å16Æ5.Vậyphươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ25. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 116 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu38. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chocácđiểm A(¡3;4;2),B(¡5;6;2)vàC(¡10;17;¡7). Viếtphươngtrìnhmặtcầutâm C bánkính AB. A. (xÅ10) 2 Å(y¡17) 2 Å(z¡7) 2 Æ8. B. (xÅ10) 2 Å(y¡17) 2 Å(zÅ7) 2 Æ8. C. (x¡10) 2 Å(y¡17) 2 Å(zÅ7) 2 Æ8. D. (xÅ10) 2 Å(yÅ17) 2 Å(zÅ7) 2 Æ8. -Lờigiải. Tacó ABÆ p 4Å4Å0Æ2 p 2.Phươngtrìnhmặtcầutâm C,bánkính AB là (xÅ10) 2 Å(y¡17) 2 Å(zÅ7) 2 Æ8. Chọnđápán B ä Câu39. Phươngtrìnhnàosauđâykhôngphảilàphươngtrìnhmặtcầu? A. (x¡1) 2 Å(2y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ6. B. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ6. C. (2x¡1) 2 Å(2y¡1) 2 Å(2zÅ1) 2 Æ6. D. (xÅy) 2 Æ2xy¡z 2 Å3¡6x. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S)cóhaidạnglà (1) (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR 2 ; (2) x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0,vớia 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0. Từđây,tacódấuhiệunhậnbiếtnhanhchónghoặcthựchiệnphépbiếnđổiđưaphươngtrình chotrướcvềmộttronghaidạngtrên. Chọnđápán A ä Câu40. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặtphẳng (Oxy)làđiểm A. N(1;2;0). B. M(0;0;3). C. P(1;0;0). D. Q(0;2;0). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A lênmặtphẳng (Oxy)làđiểm N(1;2;0). Chọnđápán A ä Câu41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(1;0;¡1) và A(2;2;¡3). Mặt cầu (S)tâm I vàđiquađiểm A cóphươngtrìnhlà A. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. C. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. -Lờigiải. Mặtcầu (S)tâm I códạng (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 ÆR 2 . Vìmặcầu (S)điqua A nên R 2 Æ(2¡1) 2 Å2 2 Å(¡3Å1) 2 Æ9)RÆ3. Vậyphươngtrìnhcầntìmlà (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu42. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtcầucóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ 4y¡6zÅ9Æ0.Tọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầulà A. I(1;¡2;3)và RÆ5. B. I(¡1;2;¡3)và RÆ5. C. I(1;¡2;3)và RÆ p 5. D. I(¡1;2;¡3)và RÆ p 5. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầutươngđươngvới x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2¢1¢x¡2¢(¡2)¢y¡2¢3¢zÅ9Æ0. Từđó,suyratọađộtâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ p 1 2 Å(¡2) 2 Å3 2 ¡9Æ p 5. Chọnđápán C ä Câu43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các véc-tơ #  a Æ(2;m¡1;3), #  b Æ(1;3;¡2n). Tìm m; nđểcácvéc-tơ #  a, #  b cùnghướng. A. mÆ7;nÆ¡ 3 4 . B. mÆ1;nÆ0. C. mÆ7;nÆ¡ 4 3 . D. mÆ4;nÆ¡3. -Lờigiải. Để #  a, #  b cùnghướngkhivàchỉkhi 2 1 Æ m¡1 3 Æ 3 ¡2n , n m¡1Æ6 ¡4nÆ3 , ( mÆ7 nÆ¡ 3 4 . Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu44. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(¡1;1;2), B(0;1;¡1), C(xÅ2;y;¡2) thẳng hàng. Tổng xÅybằng A. 7 3 . B. ¡ 8 3 . C. ¡ 2 3 . D. ¡ 1 3 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;0¡3), #  ACÆ(xÅ3;y¡1;¡4). Cácđiểm A, B, C thẳnghàng,cósốthực tthỏamãn #  ACÆt #  AB. (1) Tacó (1), ( xÅ3Æt y¡1Æ0 ¡4Æ¡3t , 8 > > > > < > > > > : xÆ¡ 5 3 yÆ1 tÆ 4 3 )xÅyÆ¡ 2 3 . Vậytổng xÅyÆ¡ 2 3 . Chọnđápán C ä Câu45. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;0;4) và N(0;2;3). Mặt cầu tâm A(2;¡2;1),bánkính MN cóphươngtrìnhlà A. (x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. C. (xÅ2) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. (xÅ2) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. -Lờigiải. Tacó MNÆ p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ3. Mặtcầutâm A(2;¡2;1),bánkính RÆ3cóphươngtrìnhlà (x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Chọnđápán B ä Câu46. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm B(0;3;1), C(¡3;6;4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC saocho MCÆ2MB.Tìmtọađộđiểm M. A. M(¡1;4;¡2). B. M(¡1;4;2). C. M(1;¡4;¡2). D. M(¡1;¡4;2). -Lờigiải. Vì M nằmtrênđoạn BC và MCÆ2MB nên #  MCÆ¡2 #  MB. Gọi M(a;b;c),khiđó #  MCÆ¡2 #  MB, ( ¡3¡aÆ¡2(¡a) 6¡bÆ¡2(3¡b) 4¡cÆ¡2(1¡c) , ( aÆ¡1 bÆ4 cÆ2. Vậy M(¡1;4;2). Chọnđápán B ä Câu47. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;2;1). Phương trình mặt cầu đườngkính AB là A. (x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ2. B. (x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ4. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ2. D. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ4. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;0;¡2))ABÆ2 p 2. Mặtcầuđườngkính AB cótâm I(2;2;2)vàbánkính RÆ AB 2 Æ p 2. Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là (x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ2. Chọnđápán A ä Câu48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡1;1;2), B(1;3;4). Mặt cầu đườngkính AB cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. B. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 3. C. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ p 3. D. x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ3. -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I của AB là I(0;2;3)và IAÆ p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3. Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là x 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ3. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 118 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu49. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chotamgiác ABC trọngtâmG.Biết A(0;2;1), B(1;¡1;2),G(1;1;1).Khiđóđiểm C cótọađộlà A. (2;2;4). B. (¡2;0;2). C. (¡2;¡3;¡2). D. (2;2;0). -Lờigiải. Giảsửtọađộ C là C(a;b;c)khiđó 8 > > > > > > < > > > > > > : 0Å1Åa 3 Æ1 2¡1Åb 3 Æ1 1Å2Åc 3 Æ1 , ( aÆ2 bÆ2 cÆ0. Vậyđiểm C cótọađộlà (2;2;0). Chọnđápán D ä Câu50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;2), B(¡3;0;1), C(8;2;¡6).TìmtọađộtrọngtâmG củatamgiác ABC. A. G(2;¡1;1). B. G(2;1;1). C. G(2;1;¡1). D. G(6;3;¡3). -Lờigiải. Tacó 8 > > > > > < > > > > > : x G Æ x A Åx B Åx C 3 Æ2 y G Æ y A Åy B Åy C 3 Æ1 z G Æ z A Åz B Åz C 3 Æ¡1 )G(2;1;¡1). Chọnđápán C ä Câu51. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡4z¡25Æ0. Tìmtọađộtâm I vàbánkínhcủamặtcầu (S). A. I(1;¡2;2), RÆ p 34. B. I(1;2;¡2), RÆ5. C. I(¡2;4;¡4), RÆ p 29. D. I(1;¡2;2), RÆ6. -Lờigiải. Ta có x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡4z¡25Æ0,(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡2) 2 Æ34. Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1;¡2;2)vàbánkính RÆ p 34. Chọnđápán A ä Câu52. TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  aÆ(¡2;¡3;1), #  b Æ(1;0;1).Tínhcos( #  a, #  b). A. ¡ 1 2 p 7 . B. 1 2 p 7 . C. ¡ 3 2 p 7 . D. 3 2 p 7 . -Lờigiải. Tacó cos( #  a, #  b)Æ #  a¢ #  b j #  aj¢j #  bj Æ ¡2Å1 p 14¢ p 2 Æ¡ 1 2 p 7 . Chọnđápán A ä Câu53. TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABCvới A(1;2;1),B(¡3;0;3),C(2;4;¡1).Tìmtọa độđiểm D saochotứgiác ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(6;¡6;3). B. D(6;6;3). C. D(6;¡6;¡3). D. D(6;6;¡3). -Lờigiải. Gọi D(x;y;z), ta có #  ABÆ(¡4;¡2;2), #  DCÆ(2¡x;4¡y;¡1¡z). Tứ giác ABCD là hình bình hành suyra #  ABÆ #  DC, ( 2¡xÆ¡4 4¡yÆ¡2 ¡1¡zÆ2 , ( xÆ6 yÆ6 zÆ¡3 )D(6;6;¡3). Chọnđápán D ä Câu54. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,gócgiữahaivéc-tơ #  i và #  uÆ ¡ ¡ p 3;0;1 ¢ là A. 120 ± . B. 30 ± . C. 60 ± . D. 150 ± . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 cos ³ #  i, #  u ´ Æ #  i ¢ #  u ¯ ¯ ¯ #  i ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ ¡ p 3 p 3Å1 Æ¡ p 3 2 ) ³ #  i, #  u ´ Æ150 ± . Chọnđápán D ä Câu55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), A 0 (0;0;2a),a6Æ0.Tínhđộdàiđoạnthẳng AC 0 . A. jaj. B. 2jaj. C. 3jaj. D. 3jaj 2 . -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(a;0;0); #  ADÆ(0;2a;0); #  AA 0 Æ(0;0;2a). #  AC 0 Æ #  ABÅ #  ADÅ #  AA 0 ) #  AC 0 Æ(a;2a;2a). Suyra AC 0 Æ p a 2 Å4a 2 Å4a 2 Æ3jaj. A B D 0 C 0 D B 0 A 0 C Chọnđápán C ä Câu56. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1;¡2), B(2;¡3;5). Điểm M thuộc đoạn AB saocho MAÆ2MB,tọađộđiểm M là A. M µ 7 3 ;¡ 5 3 ; 8 3 ¶ . B. M(4;5;¡9). C. M( µ 3 2 ;¡5; 17 2 ¶ . D. M(1;¡7;12). -Lờigiải. Vì M thuộcđoạn AB saocho MAÆ2MB nêntacó #  MAÆ¡2 #  MB.Dođó,tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M Æ x A Å2x B 3 Æ 7 3 y M Æ y A Å2y B 3 Æ¡ 5 3 z M Æ z A Å2z B 3 Æ 8 3 . Chọnđápán A ä Câu57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(¡1;4;2) và bán kính RÆ9.Phươngtrìnhcủamặtcầu (S)là A. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ81. B. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. D. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ81. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;4;2)vàbánkính RÆ9nên (S)cóphươngtrình (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ81. Chọnđápán A ä Câu58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, để hai véc-tơ #  a Æ(m;2;3) và #  b Æ(1;n;2) cùng phươngthì mÅnbằng A. 11 6 . B. 13 6 . C. 17 6 . D. 2. -Lờigiải. Nhậnthấy #  b 6Æ #  0.Để #  a và #  b cùngphươngvớinhauthìtồntạimộtsốthực k saocho #  aÆk #  b. Điềunàytươngđươngvới: ( mÆ1¢k 2Æn¢k 3Æ2¢k , 8 > > > > > > < > > > > > > : kÆ 3 2 mÆ 3 2 nÆ 4 3 . Th.sNguyễnChínEm 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Suyra mÅnÆ 3 2 Å 4 3 Æ 17 6 . Chọnđápán C ä Câu59. TrongkhônggianhệtọađộOxyz,chosáuđiểm A(1;2;3),B(2;¡1;1),C(3;3;¡3), A 0 ,B 0 , C 0 thỏamãn #  A 0 AÅ #  B 0 BÅ #  C 0 CÆ #  0.GọiG 0 (a;b;c)làtrọngtâmtamgiác A 0 B 0 C 0 .Giátrị 3(aÅbÅc) bằng A. 6. B. 1. C. 11. D. ¡3. -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC)G µ 2; 4 3 ; 1 3 ¶ . Ta có G và G 0 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A 0 B 0 C 0 nên #  GAÅ #  GBÅ #  GCÆ #  0, #  A 0 G 0 Å #  B 0 G 0 Å #  C 0 G 0 Æ #  0. Tacó #  A 0 AÅ #  B 0 BÅ #  C 0 CÆ #  0 , #  A 0 G 0 Å #  B 0 G 0 Å #  C 0 G 0 Å3 #  G 0 GÅ #  GAÅ #  GBÅ #  GCÆ #  0 , #  G 0 GÆ #  0 ,G´G 0 . VậyG 0 µ 2; 4 3 ; 1 3 ¶ )aÆ2,bÆ 4 3 ,cÆ 1 3 )3(aÅbÅc)Æ11. Chọnđápán C ä Câu60. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;2;¡3).Gọi M làhìnhchiếuvuông góccủađiểm A trêntrụchoành.Tìmtọađộđiểm M . A. M(0;2;¡3). B. M(0;2;0). C. M(0;0;¡3). D. M(1;0;0). -Lờigiải. Do M làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A trêntrụchoànhnên M(1;0;0). Chọnđápán D ä Câu61. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohìnhbìnhhành ABCEvới A(3;1;2),B(1;0;1), C(2;3;0).Tọađộđỉnh E là A. E(4;4;1). B. E(0;2;¡1). C. E(1;1;2). D. E(1;3;¡1). -Lờigiải. Gọitọađộđiểm E là E(x;y;z). ABCE làhìnhbìnhhành,tacó #  BAÆ #  CE, ( 2Æx¡2 1Æy¡3 1Æz , ( xÆ4 yÆ4 zÆ1. Chọnđápán A ä Câu62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(¡1;0;0), B(0;0;2), C(0;¡3;0). Tính bán kínhmặtcầungoạitiếptứdiệnOABC là A. p 14 4 . B. p 14. C. p 14 3 . D. p 14 2 . -Lờigiải. PhươngtrìnhmặtcầuđiquagốcO códạng x 2 Åy 2 Åz 2 Å2axÅ2byÅ2czÆ0. (¤) Do mặt cầu đi qua các điểm A(¡1;0;0), B(0;0;2), C(0;¡3;0) nên thay lần lượt tọa độ các điểm vàophươngtrình (¤)tacóhệ ( 1¡2aÆ0 4Å4cÆ0 9¡6bÆ0 , 8 > > > < > > > : aÆ 1 2 cÆ¡1 bÆ 3 2 .Suyrabánkínhmặtcầulà RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ p 14 2 . Chọnđápán D ä Câu63. Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OCÆ1. Trên hai tia Ox, Oy lầnlượtlấyhaiđiểm A, B thayđổisaocho OAÅOBÆOC.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabánkính mặtcầungoạitiếptứdiệnO.ABC? A. p 6 4 . B. p 6. C. p 6 3 . D. p 6 2 . Th.sNguyễnChínEm 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. ĐặtOAÆa;OBÆb với a,bÈ0. Từgiảthiếttacó aÅbÆ1. BánkínhmặtcầungoạitiếptứdiệnOABC (OA, OB, OC đôimộtvuônggóc)là R Æ p OA 2 ÅOB 2 ÅOC 2 2 Æ p a 2 Åb 2 Å1 2 Æ 1 2 p a 2 Å(1¡a) 2 Å1Æ 1 2 p 2a 2 ¡2aÅ2. Lạicó a 2 ¡aÅ1Æ µ a¡ 1 2 ¶ 2 Å 3 4 ¸ 3 4 ) p a 2 ¡aÅ1¸ p 3 2 )R¸ p 2 2 ¢ p 3 2 Æ p 6 4 . Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi aÆbÆ 1 2 . Vậygiátrịnhỏnhấtcầntìmlà p 6 4 . Chọnđápán A ä Câu64. TrongkhônggianOxyz,cho #  OAÆ #  iÅ #  j¡3 #  k,B(2;2;1).Tìmtọađộđiểm M thuộctrục tungsaocho MA 2 ÅMB 2 nhỏnhất. A. M(0;¡3;0). B. M(0;¡2;0). C. M µ 0; 3 2 ;0 ¶ . D. M(0;¡4;0). -Lờigiải. Do #  OAÆ #  i Å #  j ¡3 #  k )A(1;1;¡3)và M thuộctrụctung)M(0;m;0). Tacó: MA 2 ÅMB 2 Æ1Å(m¡1) 2 Å9Å4Å(2¡m) 2 Å1Æ2m 2 ¡6mÅ20Æ2 µ m¡ 3 2 ¶ 2 Å 31 2 ¸ 31 2 . Dấu“=”xảyratại mÆ 3 2 . Vậy M µ 0; 3 2 ;0 ¶ . Chọnđápán C ä Câu65. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;3;5), B(2;0;1) và G(1;4;2) là trọng tâm.Tìmtọađộđiểm C. A. C(0;0;9). B. C µ 4 3 ; 7 3 ; 8 3 ¶ . C. C(0;¡9;0). D. C(0;9;0). -Lờigiải. DoG(1;4;2)làtọađộtrọngtâmtamgiác ABC,tacó 8 < : x C Æ3x G ¡(x A Åx B )Æ0 y C Æ3y G ¡(y A Åy B )Æ9 z C Æ3z G ¡(z A Åz B )Æ0. Vậy C(0;9;0). Chọnđápán D ä Câu66. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(1;2;¡4)vàdiệntíchcủamặtcầuđóbằng 36¼. A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ3. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacódiệntíchcủamặtcầulà SÆ36¼,4¼R 2 Æ36¼,RÆ3. Vậyphươngtrìnhmặtcầutâm I(1;2;¡4)bánkính RÆ3là (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 122 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu67. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(1;2;¡1),B(2;¡1;3),C(¡3;5;1). Tìmtọađộđiểm D saochotứgiác ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(¡4;8;¡5). B. D(¡4;8;¡3). C. D(¡2;8;¡3). D. D(¡2;2;5). -Lờigiải. Gọi D(x D ;y D ;z D ). Tacó ABCD làhìnhbìnhhànhkhivàchỉkhi #  ABÆ #  DC (1), trongđó #  ABÆ(1;¡3;4), #  DCÆ(¡3¡x D ;5¡y D ;1¡z D ). Dođótừ (1)có ( ¡3¡x D Æ1 5¡y D Æ¡3 1¡z D Æ4 , ( x D Æ¡4 y D Æ8 z D Æ¡3. Vậy D(¡4;8;¡3). C D A B Chọnđápán B ä Câu68. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;¡2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trụcOxtạihaiđiểm A và B saocho ABÆ2 p 3. A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ20. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. -Lờigiải. Do A,B2Oxnên A(a,0,0)và B(b,0,0), aÇb. Theogiảthiếttacóhệphươngtrình ½ ABÆ2 p 3 IAÆIB , ½ (b¡a) 2 Æ12 (a¡1) 2 Æ(b¡1) 2 , 8 < : (b¡a) 2 Æ12 h aÆb (loại) aÆ2¡b , ½ aÆ2¡b (1¡b) 2 Æ3 , 2 6 6 6 4 ½ aÆ1¡ p 3 bÆ1Å p 3 ½ aÆ1Å p 3 bÆ1¡ p 3 . Suyra A ¡ 1¡ p 3;0;0 ¢ và B ¡ 1Å p 3;0;0 ¢ . Bánkínhmặtcầu IAÆ È ¡ ¡ p 3 ¢ 2 Å(¡2) 2 Å3 2 Æ4. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ16. Chọnđápán A ä Câu69. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(¡1;2;0) và B(1;¡2;2). Phương trình mặt cầu đườngkính AB là A. x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ6. B. x 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æ9. C. x 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ6. D. (x¡2) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡2) 2 Æ24. -Lờigiải. I(0;0;1)làtrungđiểm AB cũnglàtâmcủamặtcầu. ABÆ p 2 2 Å(¡4) 2 Å2 2 Æ p 24)RÆ p 24 2 . Vậyphươngtrìnhmặtcầulà x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ6. Chọnđápán A ä Câu70. Cho #  uÆ(¡1;1;0), #  v Æ(0;¡1;0),gócgiữahaivectơ #  u và #  v là A. 120 ± . B. 45 ± . C. 135 ± . D. 60 ± . -Lờigiải. Tacó cos( #  u, #  v)Æ #  u¢ #  v j #  uj¢j #  vj Æ ¡1 p 2 . Suyra ( #  u, #  v)Æ135 ± . Chọnđápán C ä Câu71. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(¡1;0;2), B(2;1;¡3) và C(1;¡1;0). Tìm tọa độ điểm D saocho ABCD làhìnhbìnhhành. A. D(0;2;¡1). B. D(¡2;¡2;5). C. D(¡2;2;6). D. D(2;2;¡5). -Lờigiải. Gọi D(x;y;z).Tacó #  ABÆ(3;1;¡5)và #  DCÆ(1¡x;¡1¡y;¡z). Để ABCD làhìnhbìnhhànhthì #  ABÆ #  DC, ( xÆ¡2 yÆ¡2 zÆ5. Th.sNguyễnChínEm 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu72. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3) và B(1;2;5). Phương trình của mặt cầuđườngkính AB là A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ16. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ16. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(1;2;1)làtrungđiểm AB vàbánkính RÆ AB 2 Æ4,nêncóphươngtrìnhlà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ16. Chọnđápán B ä Câu73. TrongkhônggianOxyz,chohìnhbìnhhành ABCD.Biết A(1;0;1),B(2;1;2)vàD(1;¡1;1), tọađộđiểm C là A. (2;0;2). B. (2;2;2). C. (2;¡2;2). D. (0;¡2;0). -Lờigiải. Gọi C(x;y;z),tacó #  BCÆ(x¡2;y¡1;z¡2)và #  ADÆ(0;¡1;0). Vì ABCD làhìnhbìnhhànhnên #  BCÆ #  AD, ( x¡2Æ0 y¡1Æ¡1 z¡2Æ0 , ( xÆ2 yÆ0 zÆ2. A B C D Vậy C(2;0;2). Chọnđápán A ä Câu74. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,phươngtrìnhnàosauđâylàphươngtrình củamộtmặtcầu? A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4z¡1Æ0. B. x 2 Åz 2 Å3x¡2yÅ4z¡1Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xy¡4yÅ4z¡1Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2y¡4zÅ8Æ0. -Lờigiải. Mộtmặtcầuluôncóphươngtrìnhđưađượcvềdạng x 2 Åy 2 Åz 2 Å2axÅ2byÅ2czÅdÆ0.Ngược lại,phươngtrìnhcódạng x 2 Åy 2 Åz 2 Å2axÅ2byÅ2czÅdÆ0làphươngtrìnhcủamộtmặtcầu khivàchỉkhi a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0. Phươngtrình x 2 Åz 2 Å3x¡2yÅ4z¡1Æ0và x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xy¡4yÅ4z¡1Æ0khôngthểlàphương trìnhcủamộtmặtcầuvìnókhôngđưađượcvềdạngnhưtrên. Phươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2y¡4zÅ8Æ0códạngnhưtrênnhưnglạicóa 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ¡3Ç0 nêncũngkhôngthểlàphươngtrìnhcủamộtmặtcầu. Phươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4z¡1Æ0cóa 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ6È0nênnólàphươngtrìnhcủamột mặtcầu. Chọnđápán A ä Câu75. Trong không gian Oxyz cho điểm A(4;¡2;1) và véc-tơ #  v Æ(1;1;¡2). Tìm tọa độ điểm A 0 là ảnh của A qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Oxvàphéptịnhtiếntheo #  v. A. A 0 (5;1;1). B. A 0 (5;3;¡1). C. A 0 (5;¡1;¡3). D. A 0 (5;3;¡3). -Lờigiải. Gọi A 0 (a;b;c)làđiểmcầntìm, P làđiểmđốixứngvới A quatrụcOx.Khiđó P(4;2;¡1)và #  PA 0 Æ #  v , ( a¡4Æ1 b¡2Æ1 cÅ1Æ¡2 , ( aÆ5 bÆ3 cÆ¡3. VậyA’(5;3;-3)làđiểmcầntìm. Chọnđápán D ä Câu76. Điềukiệncầnvàđủđểphươngtrìnhx 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ4y¡6zÅm 2 ¡9mÅ4Æ0làphương trìnhmặtcầulà A. ¡1·m·10. B. mÇ¡1hoặc mÈ10. C. mÈ0. D. ¡1ÇmÇ10. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ4y¡6zÅm 2 ¡9mÅ4Æ0làphươngtrìnhmặtcầu ,(¡1) 2 Å(¡2) 2 Å3 2 ¡ ¡ m 2 ¡9mÅ4 ¢ È0 ,¡m 2 Å9mÅ10È0 ,¡1ÇmÇ10. Chọnđápán D ä Câu77. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặtcầutâm I(1;2;¡4)vàthểtíchcủakhốicầutươngứngbằng 36¼. A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ9. -Lờigiải. TacóVÆ 4 3 ¼R 3 )36¼Æ 4 3 ¼R 3 )RÆ3. Dođóphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu78. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6zÅ5Æ0.Thểtíchcủa (S)bằng A. 12¼. B. 9¼. C. 36¼. D. 36. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cóbánkínhbằng RÆ p 1 2 Å2 2 Å3 2 ¡5Æ3nêncóthểtíchbằng VÆ 4 3 ¼R 3 Æ36¼. Chọnđápán C ä Câu79. TrongkhônggianOxyz,chođiểm I(1;¡2;3).Phươngtrìnhmặtcầutâm I vàtiếpxúc vớitrụcOylà A. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ p 10. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ10. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 10. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ10. -Lờigiải. OyquaO(0;0;0)cóvectorchỉphương #  j Æ(0;1;0).Khiđótacó d(I,Oy)Æ ¯ ¯ ¯ #  j ^ #  IO ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  j ¯ ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯ #  k ¯ ¯ ¯ 1 Æ p 10. Với #  k Æ(¡3;0;1). Vậyphươngtrìnhmặtcầutâm I tiếpxúcvớitrụcOylà (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ10. Chọnđápán D ä Câu80. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;¡3;7), B(0;4;1), C(3;0;5), D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MD ¯ ¯ ¯ đạt giá trị nhỏ nhất.Khiđótọađộ M là A. (0;1;¡4). B. (0;1;4). C. (0;¡1;4). D. (0;¡1;¡4). -Lờigiải. Tacó M2(Oyz))M(0;a;b).Khiđótacó 8 > > > > < > > > > : #  MAÆ(2;¡3¡a;7¡b) #  MBÆ(0;4¡a;1¡b) #  MCÆ(3;¡a;5¡b) #  MDÆ(3;3¡a;3¡b) ) #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MDÆ(8;4¡4a;16¡4b). Th.sNguyễnChínEm 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dođó ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MD ¯ ¯ ¯Æ p 64Å(4¡4a) 2 Å(16¡4b) 2 ¸8. Dấu“Æ” xảyra, n aÆ1 bÆ4. Vậy M(0;1;4). Chọnđápán B ä Câu81. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(1;1;2) và B(3;2;¡3). Mặt cầu (S) có tâm I thuộctrụcOxvàđiquahaiđiểm A, B cóphươngtrìnhlà A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8xÅ2Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å8xÅ2Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8x¡2Æ0. -Lờigiải. Tâm I2Oxnên I(x;0;0).Vìmặtcầu (S)điqua A, B nên IAÆIB (vìcùngbằngbánkính). Suyra IA 2 ÆIB 2 ,(x¡1) 2 Å1Å4Æ(x¡3) 2 Å4Å9,4xÆ16,xÆ4)I(4;0;0). Khiđómặtcầu (S)cóbánkínhlà RÆIAÆ p 9Å1Å4Æ p 14. Dođóphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡4) 2 Åy 2 Åz 2 Æ14,x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8xÅ2Æ0. Chọnđápán A ä Câu82. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #  u Æ(1;1;¡2) và #  v Æ(1;0;m). Gọi S là tập hợp cácgiátrị mđểhaivectơ #  u và #  v tạovớinhaumộtgóc 45 ± .Sốphầntửcủa S là A. 4. B. 2. C. 1. D. Vôsố. -Lờigiải. Tacó cos45 ± Æ #  u¢ #  v j #  uj¢j #  vj ,1¡2mÆ p 3Å3m 2 , 8 < : m· 1 2 m 2 ¡4m¡2Æ0 ,mÆ2¡ p 6. Vậy SÆ{2¡ p 6}. Chọnđápán C ä Câu83. Tìmtâm I vàbánkính R củamặtcầucóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ6z¡7Æ 0. A. I(1;¡1;¡3), RÆ3 p 2. B. I(1;¡1;3), RÆ3 p 2. C. I(1;¡1;¡3), RÆ18. D. I(¡1;1;¡3), RÆ3. -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ6z¡7Æ0,(x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ18. Vậymặtcầucótâm I(1;¡1;¡3)vàbánkính RÆ3 p 2. Chọnđápán A ä Câu84. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz cho A(x;y;¡3); B(6;¡2;4); C(¡3;7;¡5).Giátrị x; yđể A, B, C thẳnghànglà A. xÆ1;yÆ¡5. B. xÆ¡1;yÆ¡5. C. xÆ¡1;yÆ5. D. xÆ1;yÆ5. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(6¡x;¡2¡y;7)và #  BCÆ(¡9;9;¡9). Để A, B, C thẳnghàngthì #  AB cùngphương #  BC, 6¡x ¡9 Æ ¡2¡y 9 Æ 7 ¡9 , n xÆ¡1 yÆ5. Chọnđápán C ä Câu85. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(7;¡2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào dưới đâylàphươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB? A. (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ14. B. (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ2 p 14. C. (x¡7) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡2) 2 Æ14. D. (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ56. -Lờigiải. +Mặtcầuđườngkính AB cótâm I làtrungđiểm AB suyra I(4;0;3). +Bánkính RÆIAÆ p (x A ¡x I ) 2 Å(y A ¡y I ) 2 Å(x A ¡z I ) 2 Æ p 14. +Vậy (S): (x¡4) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ14. Chọnđápán A ä Câu86. TrongkhônggianOxyz,cho A(3;0;0), B(0;0;4).ChuvitamgiácOAB bằng A. 14. B. 7. C. 6. D. 12. -Lờigiải. TacóOAÆ p 3 2 Æ3,OBÆ p 4 2 Æ4và ABÆ p (0¡3) 2 Å(0¡0) 2 Å(4¡0) 2 Æ p 25Æ5. VậychuvitamgiácOAB bằngOAÅOBÅABÆ3Å4Å5Æ12. Th.sNguyễnChínEm 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu87. TrongkhônggianOxyz,cótấtcảbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsố mđểphương trình x 2 Åy 2 Åz 2 Å4mxÅ2my¡2mzÅ9m 2 ¡28Æ0làphươngtrìnhcủamặtcầu? A. 7. B. 8. C. 9. D. 6. -Lờigiải. Phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 Å4mxÅ2my¡2mzÅ9m 2 ¡28Æ0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉkhi (¡2m) 2 Å(¡m) 2 Åm 2 ¡(9m 2 ¡28)È0,m 2 Ç 28 3 ,¡ É 28 3 ÇmÇ É 28 3 . Vì m2Znên m2{¡3;¡2;¡1;0;1;2;3}. Chọnđápán A ä Câu88. TrongkhônggianOxyz,lậpphươngtrìnhmặtcầutâm I(1;¡2;3)vàtiếpxúcvớitrục Oy. A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ p 10. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ10. C. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ10. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. -Lờigiải. Gọi M làhìnhchiếucủa I(1;¡2;3)lênOy,tacó: M(0;¡2;0). #  IMÆ(¡1;0;¡3))RÆd(I,Oy)ÆIMÆ p 10làbánkínhmặtcầucầntìm. Phươngtrìnhmặtcầulà: (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ10. Chọnđápán B ä Câu89. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chobađiểmM(1;2019;¡1),N(2;1;1)vàP(0;1;2). Gọi H làtrựctâmtamgiác MNP.Giátrị xÅyÅz là A. 4. B. 2019. C. 2020. D. 3. -Lờigiải. Tacó ½ #  NMÆ(¡1;2018;¡2) #  NPÆ(¡2;0;1). Tathấy #  NM¢ #  NPÆ0)NM?NP)H´N)xÅyÅzÆ4. Chọnđápán A ä Câu90. Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB với A(¡1;2;5), B(3;¡2;1)là A. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ12. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. C. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ12. D. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ48. -Lờigiải. Tacó,mặtcầutâm I(1;0;3),bánkính RÆ É 1 4 AB 2 Æ2 p 3. Vậyphươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡1) 2 Å(y¡0) 2 Å(z¡3) 2 Æ12,(x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ12. Chọnđápán C ä Câu91. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;¡2;2) và N(1;0;4). Điểm nào sau đây là trungđiểmcủađoạnthẳng MN? A. I(1;¡1;3). B. J(0;2;2). C. G(2;¡2;6). D. H(1;0;3). -Lờigiải. Tacó x M Åx N 2 Æ1, y M Åy N 2 Æ¡1, z M Åz N 2 Æ3nênđiểm I(1;¡1;3)làtrungđiểmcủađoạnthẳng MN. Chọnđápán A ä Câu92. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(1;¡1;3). Phương trình mặt cầu có đườngkính AB là A. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æ8. B. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æ2. C. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ2. D. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ8. -Lờigiải. Mặtcầucóđườngkính AB thìcótâmlàtrungđiểm I(1;0;2)củađoạnthẳng AB vàbánkính RÆ AB 2 Æ p (0¡0) 2 Å(¡1¡1) 2 Å(3¡1) 2 2 Æ p 2. Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æ2. Th.sNguyễnChínEm 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu93. Cho 2véc-tơ #  aÆ(1;¡2;3), #  b Æ(¡2;1;2).Khiđótíchvôhướng ³ #  aÅ #  b ´ ¢ #  b bằng A. 12. B. 2. C. 11. D. 10. -Lờigiải. Tacó #  aÅ #  b Æ(¡1;¡1;5). Suyra ³ #  aÅ #  b ´ ¢ #  b Æ¡1¢(¡2)¡1¢1Å5¢2Æ11. Chọnđápán C ä Câu94. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;¡1), B(1;2;2). Phương trình mặt cầu tâm A,bánkính AB là A. (x¡1) 2 (yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ5. B. (x¡1) 2 (y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ25. C. (x¡1) 2 (yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25. D. (x¡1) 2 (y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ5. -Lờigiải. Tacóbánkínhmặtcầu RÆABÆ p 0 2 Å4 2 Å3 2 Æ5. Phươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25. Chọnđápán C ä Câu95. TrongkhônggianOxyz,mặtcầucótâm I(1;2;¡3)vàtiếpxúcvớitrụcOycóbánkính bằng A. p 10. B. 2. C. p 5. D. p 13. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủatâm I(1;2;¡3)trêntrụcOy.Suyra H(0;2;0)và IHÆ p 10. Vậybánkínhmặtcầucótâm I(1;2;¡3)trêntrụcOylà IHÆ p 10. Chọnđápán A ä Câu96. Bánkínhcủamặtcầucóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ6y¡2zÅ5Æ0là A. RÆ4. B. RÆ5. C. RÆ3. D. RÆ2. -Lờigiải. Tacó aÆ2, bÆ¡3, cÆ1, dÆ5nên RÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ3. Chọnđápán C ä Câu97. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3) và B(3;¡2;¡1). Tọa độ trung điểm đoạnthẳng AB làđiểm A. I(2;0;¡2). B. I(1;¡2;1). C. I(1;0;¡2). D. I(4;0;¡4). -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I củađoạnthẳng AB thỏa 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ2 y I Æ y A Åy B 2 Æ0 z I Æ z A Åz B 2 Æ¡2 )I(2;0;¡2). Chọnđápán A ä Câu98. TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABCvớitrọngtâmG.Biết A(1;¡1;¡2),B(2;1;¡3), G(1;¡2;¡3).Khiđó,tọađộđiểm C là A. µ 4 3 ;¡ 2 3 ;¡ 8 3 ¶ . B. (0;¡6;¡4). C. (4;¡2;¡8). D. (¡1;¡4;¡1). Câu99. Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;1), B(2;1;¡1), C(0;4;6). Điểm M di động trên trục hoànhOx.Tọađộđiểm M để PÆ ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhấtlà A. M(1;2;2). B. M(1;0;0). C. M(0;1;0). D. M(¡1;0;0). Câu100. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm P(1;2;1),Q(1;2;5).Tìmtoạđộđiểm M đểbiểu thức MP 2 ÅMQ 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. M(1;¡2;¡3). B. M(1;2;3). C. M µ 1; 5 2 ; 3 2 ¶ . D. M(1;3;2). Câu101. TrongkhônggianOxyz,chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A 0 (0;0;2), B(2;0;0), D(0;¡2;0). Gọi I là tâm của hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Tìm tọa độ điểm I biết OI lớn nhất. Th.sNguyễnChínEm 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. I µ 4 3 ;¡ 4 3 ; 4 3 ¶ . B. I(1;¡1;1). C. I µ 2 3 ;¡ 2 3 ; 2 3 ¶ . D. I µ 1 3 ;¡ 1 3 ; 1 3 ¶ . Câu102. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(0;¡2;¡3),B(¡4;¡4;1),C(2;¡3;3).Tìmtọađộcủa điểm M trongmặtphẳngOxz saocho MA 2 ÅMB 2 Å2MC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. (0;0;3). B. (0;0;2). C. (0;0;1). D. (0;0;¡1). -Lờigiải. Xét M(a;0,b)2(Oxz),khiđó MA 2 Æa 2 Å4Å(bÅ3) 2 , MB 2 Æ(aÅ4) 2 Å16Å(b¡1) 2 , MC 2 Æ(a¡2) 2 Å9Å(b¡3) 2 . Dođó MA 2 ÅMB 2 Å2MC 2 Æ4a 2 Å4b 2 ¡8bÅ68 Æ4a 2 Å4(b¡1) 2 Å64 ¸64. Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi aÆ0và bÆ1.Vậytọađộđiểm M là M(0;0;1). Chọnđápán C ä Câu103. TrongkhônggianOxyz,chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Biếttọađộcácđỉnh A(¡3;2;1), C(4;2;0), B 0 (¡2;1;1), D 0 (3;5;4).Tìmtọađộđiểm A 0 củahìnhhộp. A. (¡3;3;1). B. (¡3;¡3;3). C. (¡3;¡3;¡3). D. (¡3;3;3). Câu104. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;0;¡1),B(1;0;¡1),C(0;1;0). Gọi M là điểm thuộcmặtphẳngOxysaocho AM 2 ¡5BM 2 Å2CM 2 đạtgiátrịlớnnhất.Tínhđộdàiđoạnthẳng OM. A. p 13 2 . B. p 29 2 . C. p 26 2 . D. p 6 2 . -Lờigiải. Gợiý.Chọnđiểm M thỏamãn #  AM¡5 #  BMÅ2 #  CMÆ #  0. Chọnđápán B ä Câu105. Trong không gian Oxyz, cho A(2;0;0),B(0;3;1),C(¡3;6;4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC saocho MCÆ2MB.Tínhđộdàiđoạn AM. A. 3 p 3. B. p 30. C. 2 p 7. D. p 29. Câu106. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ¡ 4;2;¡1 ¢ , B ¡ 1;2;¡4 ¢ , C ¡ 0;1;1 ¢ . Khẳng định nàosauđâylàđúng? A. ¢ABC làtamgiáctù. B. ¢ABC làtamgiácđều. C. ¢ABC làtamgiáccân. D. ¢ABC làtamgiácvuông. Câu107. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchobađiểm A(m;¡3;17),B(2;0;¡1),C(¡1;4;0). Tìm mđểbađiểm A,B,C tạothànhmộttamgiácvuôngtại C. A. mÆ¡ 14 3 . B. mÆ4. C. mÆ¡ 11 3 . D. mÆ1. Câu108. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho #  uÆ(x;0;1), #  v Æ ¡p 2;¡ p 2;0 ¢ .Tìm x đểgóc giữa #  u và #  v bằng 60 ± ? A. xÆ¡1. B. xƧ1. C. xÆ0. D. xÆ1. Câu109. TrongkhônggianOxyz,chohìnhchópS.ABCcóS(2;2;6), A(4;0;0),B(4;4;0),C(0;4;0). Thểtíchkhốichóp S.ABC là A. 48. B. 16. C. 8. D. 24. Câu110(THPTKimLiên,HàNội,lần3). Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(3;1;¡1), B(1;0;2), C(5;0;0). Tính diện tích tam giác ABC. A. p 21. B. p 21 3 . C. p 42. D. 2 p 21. Câu111. TrongkhônggianOxyz,chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A(2;1;3),B(0;¡1;¡1),C(¡1;¡2;0), D 0 (3;¡2;1).Tínhthểtíchkhốihộp. A. 24. B. 12. C. 36. D. 18. Câu112. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nằm trong mặt phẳng (Oxy), AC\DBÆO (O là gốc tọa độ) và A à ¡ p 2 2 ;0;0 ! , S(0;0;9). Tính thể tích khốichóp S.ABCD. Th.sNguyễnChínEm 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 3(đvtt). B. 3 p 2(đvtt). C. 4(đvtt). D. 9(đvtt). Câu113. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;5),B(¡1;5;5).TìmđiểmCthuộctrụcOz saochotamgiác ABC códiệntíchnhỏnhất. A. C(0;0;6). B. C(0;0;5). C. C(0;0;4). D. C(0;0;2). Câu114. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;¡2), B(1;2;1), C(4;3;m). Tìm m để 4 điểmO, A, B, C đồngphẳng. A. mÆ¡7. B. mÆ¡14. C. mÆ14. D. mÆ7. Câu115. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(5;3;¡4),B(1;3;4).TìmtọađộđiểmC2(Oxy) saochotamgiác ABC cântại C vàcódiệntíchbằng 8 p 5.Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. C(3;7;0)hoặc C(3;1;0). B. C(¡3;¡7;0)hoặc C(3;¡1;0). C. C(3;7;0)hoặc C(3;¡1;0). D. C(¡3;¡7;0)hoặc C(¡3;¡1;0). Câu116. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3;¡2), B(2;1;3), C(m;n;8). Tìm tất cả các giátrịcủa m,nđểbađiểm A,B,C thẳnghàng. A. mÆ3,nÆ¡1. B. mÆ3,nÆ1. C. mÆ¡3,nÆ¡1. D. mÆ¡3,nÆ1. Câu117. Trong không gian Oxyz, cho A(4;0;0), B(6;b;0) (với bÈ0) và ABÆ2 p 10. Điểm C thuộctiaOz saochothểtíchtứdiệnOABC bằng 8,tọađộđiểm C là A. (0;1;2). B. (0;0;¡2). C. (0;0;2). D. (0;0;3). Câu118. TrongkhônggianOxyz,chohìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cóđỉnh Atrùngvới gốc tọa độ O, các đỉnh B ¡ m;0;0 ¢ , D ¡ 0;m;0 ¢ , A 0 ¡ 0;0;n ¢ , với m, nÈ0 và mÅnÆ4. Gọi M là trung điểmcủacạnh CC 0 ,khiđóthểtíchtứdiện BDA 0 M đạtgiátrịlớnnhấtbằng A. 75 32 . B. 64 27 . C. 245 108 . D. 9 4 . Câu119. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;¡1;¡2), B(1;1;2)vàcótâmthuộctrụcOz. A. x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ10. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2z¡10Æ0. C. x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ12. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2z¡10Æ0. Câu120. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;8;0), B(¡4;6;2) và C(0;12;4). Viết phương trìnhmặtcầuđiquabađiểm A, B, C vàcótâmthuộcmặtphẳng (Oyz). A. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8y¡2zÆ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4y¡6z¡64Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡12y¡2z¡8Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡14y¡10zÅ48Æ0. Câu121. Trong không gian Oxyz, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC với A(2;1;3), B(1;0;¡1), C(0;¡1;1)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4xÅ2yÆ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4xÅ2zÆ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡2yÆ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡2zÆ0. Câu122. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c). Viết phương trìnhmặtcầungoạitiếptứdiệnOABC. A. ³ xÅ a 2 ´ 2 Å µ yÅ b 2 ¶ 2 Å ³ zÅ c 2 ´ 2 Æa 2 Åb 2 Åc 2 . B. ³ x¡ a 2 ´ 2 Å µ y¡ b 2 ¶ 2 Å ³ z¡ c 2 ´ 2 Æ a 2 Åb 2 Åc 2 2 . C. ³ x¡ a 2 ´ 2 Å µ y¡ b 2 ¶ 2 Å ³ z¡ c 2 ´ 2 Æ a 2 Åb 2 Åc 2 4 . D. ³ x¡ a 2 ´ 2 Å µ y¡ b 2 ¶ 2 Å ³ z¡ c 2 ´ 2 Æ a 2 Åb 2 Åc 2 4 . Câu123. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có ABÆa, ADÆ2a và AA 0 Æ3a. Tính bán kính R củamặtcầungoạitiếptứdiện ACB 0 D 0 . A. RÆ a p 14 2 . B. RÆ a p 6 2 . C. RÆ a p 3 2 . D. RÆ a p 3 4 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ thỏa đề bài,có A(0;0;0),B(a;0;0), D(0;2a;0), A 0 (0;0;3a). Suy ra tọa độ C(a;2a;0), B 0 (a;0;3a), D 0 (0;2a;3a). Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACB 0 D 0 códạng:x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2mx¡2ny¡2kzÆ0. Tacó: ( ¡2m¡4nÆ¡5a ¡2m¡6kÆ¡10a ¡4n¡6kÆ¡13a , 8 > > > < > > > : mÆ 1 2 a nÆa kÆ 3 2 a Bánkínhmặtcầu RÆ p m 2 Ån 2 Åk 2 Æ a p 14 2 . z y x A B D C a 2a 3a A 0 B 0 C 0 D 0 Chọnđápán A ä Câu124. Trong không gian Oxyz, tính bán kính R của mặt cầu đi qua O(0;0;0), A(¡1;0;0), B(0;1;0)và C(0;0;¡1). A. RÆ3. B. RÆ p 3 2 . C. RÆ1. D. RÆ p 3. Câu125. TrongkhônggianOxyz,cótấtcảbaonhiêugiátrịnguyêncủaađể x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ 4y¡4azÅ9aÆ0làphươngtrìnhmặtcầucóchuviđườngtrònlớnbằng 2 p 3¼? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu126. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtcầucótâm I(1;2;¡4)vàthểtíchcủakhốicầutươngứngbằng 36¼? A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ9. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. D. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ3. Câu127. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A(¡1;2;3),B(6;¡5;8) và #  OM Æ a #  i Åb #  k trongđóa,blàcácsốthựcluônthayđổi.Nếu ¯ ¯ ¯ #  MA¡2 #  MB ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhấtthìgiá trịcủa a¡b bằng A. ¡25. B. ¡13. C. 0. D. 26. -Lờigiải. M(a;0;b)) ½ #  MAÆ(¡a¡1;2;¡bÅ3) #  MBÆ(¡aÅ6;¡5;¡bÅ8) ) #  MA¡2 #  MBÆ(a¡13;12;b¡13). )PÆ ¯ ¯ ¯ #  MA¡2 #  MB ¯ ¯ ¯Æ p (a¡13) 2 Å12 2 Å(b¡13) 2 . P min ,aÆbÆ13)a¡bÆ0. Chọnđápán C ä Câu128. Chohìnhchóp S.ABC có SAÆSBÆSCÆABÆACÆa,BCÆa p 2.Sốđogócgiữahai đườngthẳng AB và SC bằng A. 90 ± . B. 60 ± . C. 45 ± . D. 30 ± . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 131 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do giả thiết ta có BC 2 Æ2a 2 suy ra BC 2 Æ AB 2 ÅAC 2 nêntamgiác ABC vuôngtại A. Gọi M làhìnhchiếuvuônggóccủa S trênmặtphẳng (ABC). Do SAÆSBÆSC suy ra MAÆMBÆMC nên M làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên M là trung điểm của BC và AMÆ BC 2 ,AMÆ a p 2 2 . Do SM?(ABC) suy ra SM? AM. Khi đó trong tam giác SAM tacó SM 2 ÆSA 2 ¡AM 2 , SM 2 Æa 2 ¡ à a p 2 2 ! 2 , SM 2 Æa 2 ¡ a 2 2 , SM 2 Æ a 2 2 ,SMÆ a p 2 2 . A S B M C Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho điểm M(0;0;0); C à a p 2 2 ;0;0 ! ; B à ¡ a p 2 2 ;0;0 ! ; A à 0;¡ a p 2 2 ;0 ! và S à 0;0; a p 2 2 ! . Khiđó #  ABÆ Ã ¡ a p 2 2 ; a p 2 2 ;0 ! và #  SCÆ Ã a p 2 2 ;0;¡ a p 2 2 ! . Gọi®làgócgiữa AB và SC tacó cos® Æ ¯ ¯ ¯cos ³ #  AB, #  SC ´¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  AB¢ #  SC ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ ¯ #  SC ¯ ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ à ¡ a p 2 2 ! ¢ à a p 2 2 !¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Ì Ã ¡ a p 2 2 ! 2 Å Ã a p 2 2 ! 2 ¢ Ì Ã a p 2 2 ! 2 Å Ã ¡ a p 2 2 ! 2 Æ 1 2 Vì 0 ± ·®·90 ± nên cos®Æ 1 2 suyra®Æ60 ± . Chọnđápán B ä Câu129. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0;¡1), B(¡1;1;0), C(1;0;1). Tìm điểm M saocho 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. M µ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . B. M µ ¡ 3 4 ; 3 2 ;¡1 ¶ . C. M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . D. M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;2 ¶ . -Lờigiải. Gọi I(x;y;z)làđiểmthỏamãn 3 #  IAÅ2 #  IB¡ #  ICÆ #  0. Tacó ( 3(¡x)Å2(¡1¡x)¡(1¡x)Æ0 3(¡y)Å2(1¡y)¡(¡y)Æ0 3(¡1¡z)Å2(¡z)¡(1¡z)Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆ¡ 3 4 yÆ 1 2 zÆ¡1. Nhưvậy I µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . Th.sNguyễnChínEm 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 Æ 3 ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 Å2 ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 ¡ ³ #  MIÅ #  IC ´ 2 Æ 4 #  MI 2 Å3 #  IA 2 Å2 #  IB 2 ¡ #  IC 2 Å3 #  MI¢ ³ 3 #  IAÅ2 #  IA¡ #  IA ´ Æ 4MI 2 Å3IA 2 Å2IB 2 ¡IC 2 ¸ 3IA 2 Å2IB 2 ¡IC 2 . Dođó 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 đạtgiátrịnhỏnhấtkhivàchỉkhi M´I µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . Chọnđápán C ä Câu130. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(0;0;¡1),B(¡1;1;0),C(1;0;1). Tìmtọađộđiểm M saocho 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. M µ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . B. M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;2 ¶ . C. M µ ¡ 3 4 ; 3 2 ;¡1 ¶ . D. M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . -Lờigiải. Gọi M(x;y;z),theobàiratacó 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 Æ 3 £ x 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 ¤ Å2 £ (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 ¤ ¡ £ (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 ¤ Æ 4x 2 Å4y 2 Å4z 2 Å6x¡4yÅ8zÅ6 Æ µ 2xÅ 3 2 ¶ 2 Å(2y¡1) 2 Å(2zÅ2) 2 ¡ 9 4 ¸ ¡ 9 4 . Dấu“=”xảyrakhivàchỉkhi xÆ¡ 3 4 , yÆ 1 2 , zÆ¡1)M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . Vậy max ¡ 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 ¢ Æ¡ 9 4 khi M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . Chọnđápán D ä Câu131. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(1;0;¡1), B(¡3;¡2;1).Gọi (S)làmặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng (Oxy), bán kính bằng p 11 và đi qua hai điểm A, B. Biết I có tungđộâm,phươngtrìnhcủa (S)là A. x 2 Åy 2 Åz 2 Å6y¡2Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4y¡7Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4yÅ7Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Å6yÅ2Æ0. -Lờigiải. Domặtcầu (S)điqua A, B nêntâm I củamặtcầuthuộcmặtphẳngtrungtrựccủa AB. Gọi (Q) là mặt phẳng trungtrực của AB, ta có (Q) nhận #  AB(¡4;¡2;2) là véc-tơ pháp tuyếnvà điquatrungđiểm M(¡1;¡1;0)của AB. Phươngtrìnhcủa (Q)là¡4(xÅ1)¡2(yÅ1)Å2(z¡0)Æ0,2xÅy¡zÅ3Æ0. Theogiảthiết I2(Oxy))I thuộcgiaotuyến¢của (Q)và (Oxy). Đặt #  nÆ(2;1;¡1), #  k Æ(0;0;1),tacó¢nhận #  uÆ h #  n; #  k i Æ(1;¡2;0)làvéc-tơchỉphươngvàđiqua N(0;¡3;0). Phươngtrìnhcủa¢là ( xÆt yÆ¡3¡2t zÆ0 ,(t2R))I(t;¡3¡2t;0),(y I Æ¡3¡2tÇ0). Tacóbánkính RÆIAÆ p 11 , (t¡1) 2 Å(2tÅ3) 2 Å1Æ11 , 5t 2 Å10tÆ0 , · tÆ0 ¡ thỏamãn ¢ tÆ¡2(loại). Th.sNguyễnChínEm 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Với tÆ0)I(0;¡3;0))(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å6y¡2Æ0. Chọnđápán A ä Câu132. Cho tứ diện OABC có OAÆOBÆOCÆa; OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một.Gọi I làtrungđiểm BC.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng AB vàOI. A. 45 ± . B. 30 ± . C. 90 ± . D. 60 ± . -Lờigiải. VìOA,OB,OC đôimộtvuônggócnêntachọngốctọađộtạiO.Cácđiểm A,B,C nằmtrêncác tiaOx,Oy,Oz. KhiđótacóO(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a). I làtrungđiểmcủa BC nên I ³ 0; a 2 ; a 2 ´ . Khiđó #  OIÆ ³ 0; a 2 ; a 2 ´ và #  ABÆ(¡a;a;0). Dođó cos(AB;OI)Æ ¯ ¯ ¯ #  OI¢ #  AB ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  OI ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯ Æ 1 2 a 2 p 2 2 a¢ p 2a Æ 1 2 ,(AB;OI)Æ60 ± . Chọnđápán D ä Câu133. TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABC với A(1;2;0), B(3;2;¡1), C(¡1;¡4;4).Tìm tậphợptấtcảcácđiểm M saocho MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 Æ52. A. Mặtcầutâm I(¡1;0;¡1),bánkính rÆ2. B. Mặtcầutâm I(¡1;0;¡1),bánkính rÆ p 2. C. Mặtcầutâm I(1;0;1),bánkính rÆ p 2. D. Mặtcầutâm I(1;0;1),bánkính rÆ2. -Lờigiải. Gọi M(x;y;z).Khiđó MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 Æ3x 2 Å3y 2 Å3z 2 ¡6x¡6zÅ52Æ52 , (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ2. Vậy M thuộcmặtcầutâm I(1;0;1),bánkính rÆ p 2. Chọnđápán C ä Câu134. TrongkhônggiantọađộOxyz,cho A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2).Cótấtcảbaonhiêu điểm M trong không gian không trùng với các điểm A,B,C thỏa mãn ƒ AMBÆ ƒ BMCÆ ƒ CMAÆ 90 ± ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Giảsử M(x;y;z).Tacó: #  AMÆ(x¡2;y;z) #  BMÆ(x;y¡2;z) #  CMÆ(x;y;z¡2). Từgiảthiết,tacó: ƒ AMBÆ ƒ BMCÆ ƒ CMAÆ90 ± , #  AM¢ #  BMÆ #  BM¢ #  CMÆ #  CM¢ #  AMÆ0 , 8 > < > : (x¡2)xÅy(y¡2)Åz 2 Æ0 x 2 Å(y¡2)yÅz(z¡2)Æ0 (x¡2)xÅy 2 Å(z¡2)zÆ0 , 8 > < > : x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2yÆ0 (1) x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2y¡2zÆ0 (2) x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2zÆ0. (3) Trừphươngtrình (1)chophươngtrình (2)theovế,tađược xÆz. Trừphươngtrình (1)chophươngtrình (3)theovế,tađược yÆz. Thay xÆyÆz vào (1),tađược 3z 2 ¡4zÆ0, " zÆ0 zÆ 4 3 . Th.sNguyễnChínEm 134 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Khiđó " xÆyÆzÆ0 xÆyÆzÆ 4 3 . Vậycó 2điểmthỏamãn. Chọnđápán C ä Câu135. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0;1;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tập hợp các điểm M(x;y;z)thỏamãn MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 làmặtcầucóbánkính A. 2. B. p 2. C. 3. D. p 3. -Lờigiải. Tacó MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 , (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æx 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Åx 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 , x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡6zÅ12Æ0 , (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2. Vậytậphợpcácđiểm M(x;y;z)thỏamãn MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 làmặtcầucóbánkính RÆ p 2. Chọnđápán B ä Câu136. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(1;1;1),B(¡1;1;0),C(3;1;¡1). Điểm M(a;b;c)trênmặtphẳng (Oxz)cáchđều 3điểm A, B, C.Giátrị 3(aÅbÅc)bằng A. 6. B. 1. C. ¡3. D. ¡1. -Lờigiải. Do M(a;b;c)trênmặtphẳng (Oxz)nên bÆ0)M(a;0;c). Tacó MAÆMBÆMC , ½ (a¡1) 2 Å1Å(c¡1) 2 Æ(aÅ1) 2 Å1Åc 2 (a¡1) 2 Å1Å(c¡1) 2 Æ(a¡3) 2 Å1Å(cÅ1) 2 , n 4aÅ2cÆ1 4a¡4cÆ8 , 8 > > < > > : aÆ 5 6 cÆ¡ 7 6 . Dođó 3(aÅbÅc)Æ¡1. Chọnđápán D ä Câu137. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;¡1), B(2;¡1;3), C(¡4;7;5). Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC. Giá trị của aÅbÅ2c bằng A. 5. B. 4. C. 14. D. 15. -Lờigiải. Tacó ABÆ p 26, BCÆ p 104Æ2 p 26. Theotínhchấtphângiáctacó DA DC Æ BA BC Æ 1 2 ,suyra #  DAÆ¡ 1 2 #  DC. (¤) Tacó #  DAÆ(1¡a;2¡b;¡1¡c)và #  DCÆ(¡4¡a;7¡b;5¡c). B D A C Dođó (¤)) 8 > > > > > > < > > > > > > : 1¡aÆ¡ 1 2 (¡4¡a) 2¡bÆ¡ 1 2 (7¡b) ¡1¡cÆ¡ 1 2 (5¡c) , 8 > > > < > > > : aÆ¡ 2 3 bÆ 11 3 cÆ1 )D µ ¡ 2 3 ; 11 3 ;1 ¶ )aÅbÅ2cÆ5. Chọnđápán A ä Câu138. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;2;2), B µ 9 4 ;¡1;2 ¶ , C(4;¡1;2).Tìmtọađộ D làchânđườngphângiáctrongvẽtừđỉnh A củatamgiác ABC. A. D(3;¡1;¡2). B. D(3;¡1;2). C. D(¡3;1;2). D. D(¡3;¡1;2). Th.sNguyễnChínEm 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó 8 < : ABÆ É 81 16 Å9Å0Æ 15 4 ACÆ p 16Å9Å0Æ5. Theotínhchấtchânđườngphângiáctacó DB DC Æ AB AC Æ 3 4 . Vậynêntacó A D B C DBÆ 3 4 DC) #  DBÆ¡ 3 4 #  DC, 8 > > > > > > < > > > > > > : x B ¡x D Æ¡ 3 4 (x C ¡x D ) y B ¡y D Æ¡ 3 4 (y C ¡y D ) z B ¡z D Æ¡ 3 4 (z C ¡z D ) ,D(3;¡1;2). Chọnđápán B ä Câu139. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2;¡1;3). Điểm M(a;b;c)làđiểmthuộcmặtphẳng (Oxy)saocho MA 2 ¡2MB 2 lớnnhất.Tính PÆaÅbÅc. A. PÆ¡1. B. PÆ7. C. PÆ5. D. PÆ2. -Lờigiải. Gọi I làđiểmthỏamãn #  IA¡2 #  IBÆ #  0. (1) Giảsử I(x;y;z)) #  IA(1¡x;2¡y;1¡z), #  IB(2¡x;¡1¡y;3¡z). Tacó (1), ( 1¡x¡2(2¡x)Æ0 2¡y¡2(¡1¡y)Æ0 1¡z¡2(3¡z)Æ0 , ( xÆ3 yÆ¡4 zÆ5 )I(3;¡4;5). Tacó MA 2 ¡2MB 2 Æ ³ #  IA¡ #  IM ´ 2 ¡2 ³ #  IB¡ #  IM ´ 2 Æ ¡MI 2 ÅIA 2 ¡2IB 2 ¡2 #  IM ³ #  IA¡2 #  IB ´ Æ ¡IM 2 Å ¡ IA 2 ¡2IB 2 ¢ . Do I,B,A cố định nên biểu thức trên đạt giá trị lớn nhất ,IM nhỏ nhất ,M là hình chiếu vuônggóccủa I lênmặtphẳng (P). Đườngthẳng (±)qua I vàvuônggócvới (Oxy)cóphươngtrình ( xÆ3 yÆ¡4 zÆ5Åt. Phươngtrìnhmặtphẳng (Oyz): zÆ0)5ÅtÆ0)tÆ¡5)M(3;¡4;0)) ( aÆ3 bÆ¡4 cÆ0. Vậytacó PÆaÅbÅcÆ3¡4Å0Æ¡1. ²Cáchkhác:Cáchđạisố Do M2(Oxy))cÆ0. Tacó MA 2 ¡2MB 2 Æ (a¡1) 2 Å(b¡2) 2 Å(0¡1) 2 ¡2 £ (a¡2) 2 Å(bÅ1) 2 Å(0¡3) 2 ¤ Æ ¡a 2 ¡b 2 Å6a¡8b¡22 Æ ¡(a¡3) 2 ¡(bÅ4) 2 Å3·3. Dầubằngxảyra, n aÆ3 bÆ¡4. Vậytacó aÅbÅcÆ3¡4Å0Æ¡1. Chọnđápán A ä Câu140. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(¡1;1;1), B(9;11;6)và C(5;10;7).Giảsửđiểm M(a;b;c)thuộcđườngthẳng AB saochotíchvôhướng #  AB¢ #  MCÆ45.Khiđó aÅbÅc bằng A. 19. B. 32. C. 16. D. 24. Th.sNguyễnChínEm 136 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Do M thuộcđườngthẳng AB nên #  AMÆk #  AB với k làsốthực. Theogiảthiết #  ABÆ(10;10;5), #  ACÆ(6;9;6)) #  AB¢ #  ACÆ180,AB 2 Æ225. Tacó #  AB¢ #  MCÆ #  AB( #  AC¡ #  AM)Æ #  AB¢ #  AC¡k #  AB 2 Æ180¡225kÆ45,suyra kÆ 3 5 . Dođó #  AMÆ(6;6;3))M(5;7;4).Vậy aÅbÅcÆ16. Chọnđápán C ä Câu141. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(2;1;4), N(5;0;0), P(1;¡3;1). Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) đồng thời đi qua các điểm M,N,P. Tìm c biết aÅbÅcÇ5. A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. -Lờigiải. Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz), đồng thời đi qua các điểm M,N,P,suyra ( IMÆIN IMÆIP d(I,(Oyz))ÆIN. IMÆIN, p (2¡a) 2 Å(1¡b) 2 Å(4¡c) 2 Æ p (5¡a) 2 Åb 2 Åc 2 ,3a¡b¡4cÆ2. IMÆIP, p (2¡a) 2 Å(1¡b) 2 Å(4¡c) 2 Æ p (1¡a) 2 Å(bÅ3) 2 Å(1¡c) 2 ,aÅ4bÅ3cÆ5. d(I,(Oyz))ÆIN,jajÆ p (5¡a) 2 Åb 2 Åc 2 ,¡10aÅb 2 Åc 2 Æ¡25. Khiđótađượchệphươngtrình ( 3a¡b¡4cÆ2 aÅ4bÅ3cÆ5 ¡10aÅb 2 Åc 2 Æ¡25 , ( bÆ1¡c aÆ1Åc c 2 ¡6cÅ8Æ0 , ( cÆ2 bÆ¡1 aÆ3 hoặc ( cÆ4 bÆ¡3 aÆ5. Vì aÅbÅcÇ5nêntachọn ( cÆ2 bÆ¡1 aÆ3. Chọnđápán C ä Câu142. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm hai điểm A(1;2;1),B(2;¡1;3) và điểm M(a;b;0) saocho MA 2 ÅMB 2 nhỏnhất.Giátrịcủa aÅb bằng A. ¡2. B. 2. C. 3. D. 1. -Lờigiải. Tacó MA 2 Æ(1¡a) 2 Å(2¡b) 2 Å1Æa 2 Åb 2 ¡2a¡4bÅ6. MB 2 Æ(2¡a) 2 Å(¡1¡b) 2 Å9Æa 2 Åb 2 ¡4aÅ2bÅ14. Suyra MA 2 ÅMB 2 Æ2a 2 Å2b 2 ¡6a¡2bÅ20Æ2 ·µ a¡ 3 2 ¶ 2 Å µ b¡ 1 2 ¶ 2 ¸ Å15Ê15,8a,b. Dođógiátrịnhỏnhấtcủa MA 2 ÅMB 2 là min(MA 2 ÅMB 2 )Æ15khi aÆ 3 2 và bÆ 1 2 . Vậy aÅbÆ2. Chọnđápán B ä Câu143. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡2;2;¡2),B(3;¡3;3). Điểm M trongkhônggianthỏamãn MA MB Æ 2 3 .KhiđóđộdàiOM lớnnhấtbằng A. 6 p 3. B. 12 p 3. C. 5 p 3 2 . D. 5 p 3. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 137 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Với M(x;y;z)tacó MA MB Æ 2 3 , 9¢MA 2 Æ4¢MB 2 , 9 £ (xÅ2) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ2) 2 ¤ Æ4 £ (x¡3) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡3) 2 ¤ , x 2 Åy 2 Åz 2 Å12x¡12yÅ12zÆ0 , (xÅ6) 2 Å(y¡6) 2 Å(zÅ6) 2 Æ3¢36. Tathấy M thuộcmặtcầu I(¡6;6;¡6)cóbánkính RÆ6 p 3vàđiquagốctọađộO. TathấyOM lớnnhấtkhiOMÆ2RÆ12 p 3. Chọnđápán B ä Câu144. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(¡1;1;1), C(1;0;1). Hỏicótấtcảbaonhiêuđiểm S đểtứdiện S.ABC làmộttứdiệnvuôngđỉnh S (tứdiệncó SA, SB, SC đôimộtvuônggóc)? A. Chỉcómộtđiểm S. B. Cóhaiđiểm S. C. Cóbađiểm S. D. Khôngtồntạiđiểm S. -Lờigiải. Do S.ABC làmộttứdiệnvuôngđỉnh S nên S thuộcmặtcầuđườngkính AB, BC, CA. Mặtcầuđườngkính AB là x 2 Åy 2 Åz 2 ¡3yÆ0. (1) Mặtcầuđườngkính BC là x 2 Åy 2 Åz 2 ¡y¡2zÆ0. (2) Mặtcầuđườngkính AB là x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2yÆ0. (3) Lấy (1)trừ (2)theovếtacó¡2yÅ2zÆ0,yÆz. Lấy (1)trừ (3)theovếtacó 2x¡yÆ0,yÆ2x. Thay zÆyÆ2xvào (1)tacó x 2 Å4x 2 Å4x 2 ¡6xÆ0, " xÆ0 xÆ 2 3 . Từđótacó xÆyÆzÆ0hoặc xÆ 2 3 , yÆzÆ 4 3 . Vậy S(0;0;0)và S µ 2 3 ; 4 3 ; 4 3 ¶ Chọnđápán B ä Câu145. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chomặtcầu (S)cóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 2(aÅ4b)xÅ2(a¡bÅc)yÅ2(b¡c)zÅdÆ0, tâm I nằm trên mặt phẳng (®) cố định. Biết rằng 4aÅb¡2cÆ4,tìmkhoảngcáchtừđiểm D(1;2;¡2)đếnmặtphẳng (®). A. 15 p 23 . B. 1 p 915 . C. 9 p 15 . D. 1 p 314 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(aÅ4b;¡aÅb¡c;¡bÅc). Dotâm I củamặtcầuthuộcmặtphẳng (®)cốđịnhnên ( xÆaÅ4b yÆ¡aÅb¡c zÆ¡bÅc , 8 > > > < > > > : aÆ¡y¡z bÆ xÅyÅz 4 cÆ xÅyÅ5z 4 . Mà 4aÅb¡2cÆ4,4(¡y¡z)Å xÅyÅz 4 ¡ 5zÅxÅy 2 Æ4,xÅ17yÅ25zÅ16Æ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®)là xÅ17yÅ25zÅ16Æ0. Khoảngcáchtừđiểm D(1;2;¡2)đếnmặtphẳng (®)là d(D,(®))Æ j1Å34¡50Å16j p 1Å17 2 Å25 2 Æ 1 p 915 . Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu146. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ 12 và hai điểm A(2;¡3;2), B(¡2;1;4).Điểm M(a;b;c)thuộc (S)saocho #  MA¢ #  MB nhỏnhất,tính aÅbÅc. A. 7 3 . B. ¡4. C. 1. D. 4. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;0;4),bánkính RÆ2 p 3. Gọi C(0;¡1;3)làtrungđiểmcủa AB. Tacó #  MA¢ #  MB Æ ³ #  IA¡ #  IM ´³ #  IB¡ #  IM ´ Æ #  IA¢ #  IBÅIM 2 ¡ #  IM ³ #  IAÅ #  IB ´ Æ #  IA¢ #  IBÅR 2 ¡2¢ #  IM¢ #  IC Æ #  IA¢ #  IBÅR 2 ¡2¢R¢ICcos ³ #  IM, #  IC ´ . Vì I, A, B, R, C khôngđổinên #  MA¢ #  MB nhỏnhấtkhi #  IM, #  IC cùnghướng. Gọi d là đường thẳng qua I(¡1;0;4) và có véc-tơ chỉ phương là #  IC, suy ra phương trình tham sốcủađườngthẳng d là ( xÆ¡1Åt yÆ0¡t zÆ4¡t. Vì MÆd\(S)nên (¡1ÅtÅ1) 2 Å(¡t) 2 Å(4¡t¡4) 2 Æ12,3t 2 ¡12Æ0,tƧ2. KhitÆ2,tọađộM(1;¡2;2)) #  IMÆ2¢ #  ICnênhaivéc-tơ #  IMvà #  ICcùnghướng,suyraaÅbÅcÆ1. Khi tÆ¡2,tọađộ M(¡3;2;6)) #  IMÆ¡2¢ #  IC nênhaivéc-tơ #  IM và #  IC ngượchướng.Trườnghợp nàyloại. Chọnđápán C ä Câu147. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡1;3;4), B(9;¡7;2). Tìm trêntrụcOxtọađộđiểm M saocho MA 2 ÅMB 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. M(5;0;0). B. M(¡2;0;0). C. M(4;0;0). D. M(9;0;0). -Lờigiải. Gọitọađộđiểmcầntìmlà M(a;0;0). Khiđó MA 2 ÅMB 2 Æ(aÅ1) 2 Å9Å16Å(9¡a) 2 Å49Å4Æ2a 2 ¡16aÅ160. Đặt yÆ2x 2 ¡16xÅ160)y 0 Æ4x¡16,Tacóbảngbiếnthiên x y 0 y ¡1 4 Å1 ¡ 0 Å Å1 Å1 128 128 Å1 Å1 DựavàobảngbiếnthiêntacóMA 2 ÅMB 2 đạtgiátrịnhỏnhấtbằng128khiaÆ4.VậyM(4;0;0). Chọnđápán C ä Câu148. Chohìnhchóp S.ABC cóđáy ABC làtamgiácvuôngcâncó ABÆBCÆa.Cạnhbên SAvuônggócvớiđáy,  SBAÆ60 ± .Gọi Mlàđiểmnằmtrên ACsaocho #  ACÆ2 #  CM.Tínhkhoảng cáchgiữa SM và AB. A. dÆ 6a p 7 7 . B. dÆ a p 7 7 . C. dÆ a p 7 21 . D. dÆ 3a p 7 7 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi hệ trục tọa độ Oxyz với O´B, Bx´BA, By´BC, BzÒSA. Khiđótacó B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0)và S(a;0;a p 3). Từ #  ACÆ2 #  CM)M µ ¡ a 2 ; 3a 2 ;0 ¶ . Nên #  ABÆ(¡a;0;0), #  SMÆ µ ¡ 3a 2 ; 3a 2 ;¡a p 3 ¶ , #  ASÆ(0;0;a p 3), h #  AB, #  SM i Æ µ 0;¡a 2 p 3;¡ 3a 2 2 ¶ . Dođó d(AB,SM)Æ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  SM i ¢ #  AS ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  SM i¯ ¯ ¯ Æ 3a 3 p 3 a 2 p 21 Æ 3a p 7 7 . A C S B M Chọnđápán D ä Câu149. Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với O(0;0;0), A(6;0;0), B(0;8;0). Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P):xÅ2yÅ3z¡2Æ0 đồng thời cách đều các đỉnh O, A, B. Giá trị củatổng aÅb¡c là A. ¡2. B. 2. C. 4. D. 10. -Lờigiải. Theogiảthiếttacó 8 < : M2(P) OM 2 ÆAM 2 OM 2 ÆBM 2 , 8 < : aÅ2bÅ3c¡2Æ0 a 2 Åb 2 Åc 2 Æ(a¡6) 2 Åb 2 Åc 2 a 2 Åb 2 Åc 2 Æa 2 Å(b¡8) 2 Åc 2 , ( aÆ3 bÆ4 cÆ¡3. Chọnđápán D ä Câu150. Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25và M(4;6;3). Qua M kẻ các tia Mx, My, Mz đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ haitươngứnglà A, B, C.Biếtmặtphẳng (ABC)luônđiquamộtđiểmcốđịnh H(a;b;c).Tính aÅ3b¡c. A. 9. B. 14. C. 11. D. 20. -Lờigiải. Ta thấy M nằm trên mặt cầu (S) tâm I(1;2;3) nên (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MABC. Gọi P, Q, R là trung điểm các cạnh AB, AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng hình hộp chữ nhật MADB.CA 0 D 0 B 0 , khi đó I là tâm hình hộp chữ nhật MADB.CA 0 D 0 B 0 nênG làtrọngtâmtamgiác CMD. Dođó #  GMÆ¡2 #  GI) 8 < : 4¡x G Æ¡2(1¡x G ) 6¡y G Æ¡2(2¡y G ) z G Æ3 ) 8 > > < > > : x G Æ2 y G Æ 10 3 z G Æ3. )G µ 2; 10 3 ;3 ¶ . A 0 D 0 B 0 C I M B P Q R A D Vậymặtphẳng(ABC)luônđiquađiểmcốđịnhH´G µ 2; 10 3 ;3 ¶ )aÆ2,bÆ 10 3 ,cÆ3)aÅ3b¡cÆ 9. Chọnđápán A ä Câu151. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;3;2), B(¡2;¡1;4) và hai điểm M, N thay đổitrênmặtphẳngOxysaocho MNÆ1.Giátrịnhỏnhấtcủa AM 2 ÅBN 2 là: A. 28. B. 25. C. 36. D. 20. -Lờigiải. Gọi A 0 , B 0 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên mặtphẳngOxy. Tacó A 0 (1;3;0), B 0 (¡2;¡1;0),suyra A 0 B 0 Æ5. Xét trường hợp đặc biệt là A 0 , B 0 , M, N thẳng hàng, đặt A 0 MÆx,thì A B A 0 B 0 M N Th.sNguyễnChínEm 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 AM 2 ÆAA 02 ÅA 0 M 2 Æ4Åx 2 , BN 2 ÆBB 02 ÅB 0 N 2 Æ4 2 Å(4¡x) 2 . Khiđó AM 2 ÅBN 2 Æ2x 2 ¡8xÅ36Æ2(x¡2) 2 Å28¸28. Vậygiátrịnhỏnhấtcủa AM 2 ÅBN 2 là28. Chọnđápán A ä Câu152. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàđiquađiểm A(5;¡2;¡1). Xét các điểm B,C,D thuộc (S) sao cho AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khốitứdiện ABCD cógiátrịlớnnhấtbằng A. 256. B. 128. C. 256 3 . D. 128 3 . -Lờigiải. Đặt ABÆa, ACÆb, ADÆc thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A,nộitiếpmặtcầu (S)bánkính R. Khi đó ABCD là tứ diện đặt ở góc A của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AN là đườngkínhcủacầu.Tacó a 2 Åb 2 Åc 2 Æ4R 2 . XétVÆV ABCD Æ 1 6 abc,V 2 Æ 1 36 a 2 b 2 c 2 . D P A B E I M N C a b c Mà a 2 Åb 2 Åc 2 Ê3 3 p a 2 b 2 c 2 , µ a 2 Åb 2 Åc 2 3 ¶ 3 Êa 2 b 2 c 2 , µ 4R 2 3 ¶ 3 Ê36V 2 ,VÉR 3 ¢ 4 p 3 27 . Do RÆIAÆ4 p 3nêntacóVÉ 256 3 (Dấu“=”xảyra,aÆbÆcÆ8). Vậy maxV ABCD Æ 256 3 . Chọnđápán C ä Câu153. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(1;2;¡4),B(1;¡3;1),C(2;2;3). Tínhđườngkínhlcủamặtcầu(S)điqua3điểmtrênvàcótâmnằmtrêmmặtphẳng(Oxy) A. lÆ2 p 41. B. lÆ2 p 13. C. lÆ2 p 11. D. lÆ2 p 26. -Lờigiải. Gọi I(x;y;0)làtâmmặtcầu,tacó n IAÆIB IBÆIC , ½ (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å16Æ(x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Å1 (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Å1Æ(x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å9 , ½ ¡10yÆ¡10 2xÅ10yÆ6 , n xÆ¡2 yÆ1. I(¡2;1;0), RÆOAÆ p 3 2 Å1 2 Å4 2 Æ p 26.Vậyđườngkínhcủamặtcầulà 2 p 26. Chọnđápán D ä Câu154. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;2;1), B(5;2;1), C(1;¡2;4).Gọi D làđiểmđốixứngvớiđiểmBquađườngphângiáctrongcủagócBAC.Tọađộ củađiểm D là A. µ 1;¡ 6 5 ; 17 5 ¶ . B. µ ¡1;¡ 26 5 ; 7 5 ¶ . C. µ ¡1; 6 5 ;¡ 17 5 ¶ . D. µ 1; 26 5 ;¡ 7 5 ¶ . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(4;0;0)và #  ACÆ(0;¡4;3).Suyra ABÆ4và ACÆ p 4 2 Å3 2 Æ5. Điểm D đối xứng với B qua đường phân giác trong của ƒ BAC nên D nằm trên tia AC và ADÆAB. Dođó #  ADÆ AB AC ¢ #  ACÆ 4 5 ¢ #  ACÆ µ 0;¡ 16 5 ; 12 5 ¶ . Vậy DÆ µ 1;¡ 6 5 ; 17 5 ¶ . Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu155. Cho mặt cầu (S) có phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ2zÅ3Æ0. Đường thẳng d đi quaO vàcắtmặtcầutạihaiđiểmphânbiệt A,B.GiátrịlớnnhấtcủaOAÅOB bằng A. 3 p 6. B. 2 p 3. C. 2 p 6. D. p 6. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;¡1)vàbánkính RÆ p 3. TacóOIÆ p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ p 6ÈR nênO nằmngoàimặtcầu (S). Gọi M làtrungđiểmcủa AB thì IM?AB vàdođóOM·IO. TacóOAÅOBÆ2OM·2OI·2 p 6. Dấuđẳngthứcxảyrakhi d điquatâm I củamặtcầu (S). A B O I M Chọnđápán C ä Câu156. Cho điểm I(2;3;4). Mặt cầu có tâm I và cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt AB sao chodiệntíchcủatamgiác IAB bằng 10cóphươngtrìnhlà A. (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡4) 2 Æ26. B. (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡4) 2 Æ25. C. (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡4) 2 Æ50. D. (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡4) 2 Æ29. -Lờigiải. ĐườngthẳngchứatrụcOxcóvéc-tơchỉphương #  i Æ(1;0;0). Tacó #  OIÆ(2;3;4).Dođó h #  OI, #  i i Æ ¡¯ ¯3 4 0 0 ¯ ¯ ; ¯ ¯4 2 0 1 ¯ ¯ ; ¯ ¯2 3 1 0 ¯ ¯ ¢ Æ(0;4;¡3). Khoảngcáchtừđiểm I đếnOxđượctínhbởicôngthức d(I,Ox)Æ ¯ ¯ ¯ h #  OI, #  i i¯ ¯ ¯ j #  ij Æ ¯ ¯ ¯ h #  OI, #  i i¯ ¯ ¯Æ p 0 2 Å4 2 Å(¡3) 2 Æ5. I A B M Dođó ABÆ 2S 4IAB d(I,Ox) Æ 20 5 Æ4. Gọi M làtrungđiểm AB thì IM?AB. Suyra RÆ Ê (d(I,Ox)) 2 Å µ AB 2 ¶ 2 Æ p 5 2 Å2 2 Æ p 29. Vậyphươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡4) 2 Æ29. Chọnđápán D ä Câu157. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 Æ9 và điểm M(2;3;6).Hìnhnón (N)cóđỉnhlà M,đáylàhìnhtròntạobởicáctiếpđiểmcủacáctiếptuyến kẻtừ M đếnmặtcầu (S).ThểtíchV củakhốinónlà A. 4800¼ 343 . B. 50 p 7¼ 7 . C. 280¼ 9 . D. 100¼ 7 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 r h R M O A B H Mặtcầu (S)cótâmO(0;0;0)bánkính RÆ3.Gọi r làbánkínhđườngtrònđáy, AB làmột đườngkínhcủađườngtròn.Khiđógiaođiểm H củaOM và AB làtâmđườngtrònđáy. TacóOMÆ p 2 2 Å3 2 Å6 2 Æ7, MAÆ p OM 2 ¡OA 2 Æ p 7 2 ¡3 2 Æ p 40. Suyra 1 r 2 Æ 1 R 2 Å 1 MA 2 Æ 1 9 Å 1 40 Æ 49 360 )rÆ 6 p 10 7 . Lạicó h¢MOÆMA 2 )hÆ MA 2 MO Æ 40 7 . VậyVÆ 1 3 ¼r 2 hÆ 1 3 ¼ 360 49 ¢ 40 7 Æ 4800¼ 343 . Chọnđápán A ä Câu158. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(¡1;2;2),B(3;¡1;¡2),C(¡4;0;3). Tìm tọa độ I trênmặtphẳng (Oxz)saochobiểuthức ¯ ¯ ¯ #  IA¡2 #  IBÅ5 #  IC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhất. A. I µ ¡ 37 4 ;0; 19 4 ¶ . B. I µ ¡ 27 4 ;0; 21 4 ¶ . C. I µ 37 4 ;0;¡ 23 4 ¶ . D. I µ 25 4 ;0;¡ 19 4 ¶ . -Lờigiải. Gọiđiểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )thỏamãn #  MA¡2 #  MBÅ5 #  MCÆ #  0 ,M µ ¡ 27 4 ;1; 21 4 ¶ . Tacó ¯ ¯ ¯ #  IA¡2 #  IBÅ5 #  IC ¯ ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯ #  IMÅ #  MA¡2 #  IM¡2 #  MBÅ5 #  IMÅ5 #  MC ¯ ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯4 #  IMÅ ³ #  MA¡2 #  MBÅ5 #  MC ´¯ ¯ ¯ Æ 4 ¯ ¯ ¯ #  IM ¯ ¯ ¯Æ4MI Biểuthức ¯ ¯ ¯ #  IA¡2 #  IBÅ5 #  IC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhất,MI nhỏnhất. ,I làhìnhchiếucủa M lên (Oxz),I µ ¡ 27 4 ;0; 21 4 ¶ . Chọnđápán B ä Câu159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡1;3;4),B(3;1;0). Gọi M là điểm trên mặt phẳng (Oxz) sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là ngắn nhất. Tìm hoànhđộ x 0 củađiểm M. A. x 0 Æ4. B. x 0 Æ3. C. x 0 Æ2. D. x 0 Æ1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó y A È0;y B È0nên A,B nằmcùngphíavớimặtphẳngOxz. Gọi A 0 làđiểmđốixứngcủađiểm A qua (Oxz)thì A 0 (¡1;¡3;4). Tacó MAÅMBÆMA 0 ÅMB¸A 0 B. Mà A 0 B khôngđổi. Dođó MA 0 ÅMB ngắnnhấtkhi M,A 0 ,B thẳnghàng.(M làgiaođiểmcủa A 0 B và (Oxz)) Đườngthằng A 0 B: ½ #  uÆ(4;4;¡4) điqua B(3;1;0) códạng ( xÆ3Åt yÆ1Åt zÆ¡t . Vì MÆA 0 B\(Oxz))y M Æ0,tÆ¡1. Suyra M(2;0;1).Vậy x 0 Æ2. Chọnđápán C ä Câu160. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ9vàđiểm M(2;3;6).Hìnhnón (N) có đỉnh là M, đáy là hình tròn tạo bởi các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến mặt cầu (S).ThểtíchV củakhốinón (N)là A. 4800¼ 343 . B. 280¼ 9 . C. 50 p 7¼ 7 . D. 100¼ 7 . -Lờigiải. r h R M O A B H Mặtcầu (S)cótâmO(0;0;0)bánkính RÆ3.Gọi r làbánkínhđườngtrònđáy, AB làmột đườngkínhcủađườngtròn.Khiđógiaođiểm H củaOM và AB làtâmđườngtrònđáy. TacóOMÆ p 2 2 Å3 2 Å6 2 Æ7, MAÆ p OM 2 ¡OA 2 Æ p 7 2 ¡3 2 Æ p 40. Suyra 1 r 2 Æ 1 R 2 Å 1 MA 2 Æ 1 9 Å 1 40 Æ 49 360 )rÆ 6 p 10 7 . Lạicó h¢MOÆMA 2 )hÆ MA 2 MO Æ 40 7 . VậyVÆ 1 3 ¼r 2 hÆ 1 3 ¼ 360 49 ¢ 40 7 Æ 4800¼ 343 . Chọnđápán A ä Câu161. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(2;¡1;1),B(3;¡2;2).Điểm M di chuyển trong không gian sao cho MA MB Æ 3 4 . Độ dài đoạn thẳng OM lớn nhất bằng a p 3Åb p 33 7 (a,b2Z).Khiđó A. aÅbÆ11. B. aÅbÆ12. C. aÅbÆ10. D. aÅbÆ13. -Lờigiải. Gọi M(x;y;z),tacó MA MB Æ 3 4 ,4MAÆ3MB , 16MA 2 Æ9MB 2 , 16 £ (2¡x) 2 Å(¡1¡y) 2 Å(1¡z) 2 ¤ Æ9 £ (3¡x) 2 Å(¡2¡y) 2 Å(2¡z) 2 ¤ , x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 10 7 x¡ 4 7 yÅ 4 7 z¡ 57 7 Æ0. Th.sNguyễnChínEm 144 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Suyra,điểm M nằmtrênmặtcầu (S)tâm I µ 5 7 ; 2 7 ;¡ 2 7 ¶ vàbánkính RÆ 12 p 3 7 . TathấyđiểmO nằmtrongmặtcầu (S),nênđộdàiOM lớnnhấtbằng IOÅRÆ 12 p 3Å p 33 7 . Bởivậy aÆ12, bÆ1.Thếnên aÅbÆ12Å1Æ13. Chọnđápán D ä Câu162. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;3),B(¡3;¡2;¡5). Biết rằng tập hợp các điểm M trongkhônggianthoảnmãnđẳngthức AM 2 ÅBM 2 Æ30làmộtmặtcầu (S).Tínhtọa độtâm I vàtínhbánkính R củamặtcầu (S). A. I(¡1;¡1;¡4);RÆ3. B. I(¡1;¡1;¡4);RÆ p 30 2 . C. I(¡2;¡2;¡8);RÆ3. D. I(¡1;¡1;¡4);RÆ p 6. -Lờigiải. Giảsử M(x;y;z).Tacó AM 2 ÅBM 2 Æ30 ) (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Å(xÅ3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ30 , 2x 2 Å2y 2 Å2z 2 Å4xÅ4yÅ16zÅ48Æ30 , x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ2yÅ8z¡9Æ0. Phươngtrìnhnhậnđượclàphươngtrìnhmặtcầutâm I(¡1;¡1;¡4)vàbánkính RÆ3. Chọnđápán A ä Câu163. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 0 (x;1;2),B(2;y;1),C(1;2;3). Với giá trị nào của xvà ythìbađiểm A,B,C thẳnghàng? A. xÆ 3 2 và yÆ0. B. xÆ0và yÆ 3 2 . C. xÆ2và yÆ 1 2 . D. xÆ 1 2 và yÆ2. -Lờigiải. Tọađộcácvéc-tơ #  AB và #  AC là #  AB(2¡x;y¡1;¡1); #  AC(1¡x;1;1). A,B,C thẳnghàng, 2¡x 1¡x Æ y¡1 1 Æ ¡1 1 . , n 2¡xÆ¡1Åx y¡1Æ¡1 , ( xÆ 3 2 yÆ0. Chọnđápán A ä Câu164. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S)điquahaiđiểm A(1;1;2),B(3;0;1) vàcótâmnằmtrêntrụcOx.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là A. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ p 5. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ5. C. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ5. D. (xÅ1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ p 5. -Lờigiải. Gọi I làtâmmặtcầu (S).Do I2Ox)I(x;0;0). Haiđiểm A(1;1;2),B(3;0;1)thuộcmặtcầu (S)nên IAÆIB,IA 2 ÆIB 2 ,(1¡x) 2 Å1 2 Å2 2 Æ(3¡x) 2 Å0 2 Å1 2 ,4xÆ4,xÆ1. Nhưthế I(1;0;0)và R 2 ÆIA 2 Æ(1¡1) 2 Å1 2 Å2 2 Æ5. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ5. Chọnđápán C ä Câu165. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(2;¡1;3), B(4;0;1), C(¡10;5;3). Độ dài đường phângiáctrongcủagóc B là A. p 5 2 . B. p 7. C. p 5. D. 2 p 5. -Lờigiải. Gọi D(x;y;z)làchânđườngphângiáctrongcủagóc B. Tacó #  BAÆ(¡2;¡1;2), #  BCÆ(¡14;5;2), BAÆ3, BCÆ15. #  CDÆ BC BA ¢ #  DAÆ5 #  DA) ( xÅ10Æ5(2¡x) y¡5Æ5(¡1¡y) z¡3Æ5(3¡z) ) ( xÆ0 yÆ0 zÆ3 )D(0;0;3). Th.sNguyễnChínEm 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậy #  BDÆ(¡4;0;2), BDÆ p (¡4) 2 Å0 2 Å2 2 Æ2 p 5. Chọnđápán D ä Câu166. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;1), B(2;0;¡1), C(1;3;4), D(0;¡2;2).Biếtrằngtậphợpcácđiểm M thỏamãn MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 Æ4MD 2 làmộtmặtcầu. Tìmbánkínhcủamặtcầuđó. A. p 46. B. p 33. C. p 125. D. p 206. -Lờigiải. Giảsử M(x;y;z).Tacó MA 2 Æ(x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 , MB 2 Æ(x¡2) 2 Å(y¡0) 2 Å(zÅ1) 2 , MC 2 Æ(x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡4) 2 , MD 2 Æ(x¡0) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡2) 2 . Dođó MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 Æ4MD 2 ,x 2 Åy 2 Åz 2 Å8xÅ26y¡8z¡5Æ0. Suyramặtcầucóbánkính RÆ p 4 2 Å13 2 Å4 2 Å5Æ p 206. Chọnđápán D ä Câu167. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chobađiểm A(1;0;0), C(0;0;3), B(0;2;0). Tậphợpcácđiểm M thỏamãn MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 làmặtcầucóbánkínhlà A. RÆ2. B. RÆ p 2. C. RÆ3. D. RÆ p 3. -Lờigiải. Gọi M(x;y;z)làđiểmthỏamãnbàitoán.Tacó MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 , (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æx 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Åx 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 , x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡6zÅ12Æ0. Tacó RÆ p (¡1) 2 Å2 2 Å3 2 ¡12Æ p 2. Chọnđápán B ä Câu168. Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;¡2). Lập phương trình mặt cầutâm I vàtiếpxúcvớitrụcOz. A. (S): (x¡3) 2 Å(y¡4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ25. B. (S): (x¡3) 2 Å(y¡4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ5. C. (S): (x¡3) 2 Å(y¡4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4. D. (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡2) 2 Æ20. -Lờigiải. PhươngtrìnhtrụcOz: ( xÆ0 yÆ0 zÆt , #  u Oz Æ(0;1;1). Tacó #  OIÆ(3;4;¡2)) h #  OI; #  u Oz i Æ(4;¡3;0). Khoảngcáchtừtâm I xuốngOz là d(I;Oz)Æ ¯ ¯ ¯ h #  OI; #  u Oz i¯ ¯ ¯ j #  u Oz j Æ p 3 2 Å4 2 Æ5ÆR. Vì (S)tiếpxúcvớitrụcOz nênphươngtrìnhcầntìmlà (S): (x¡3) 2 Å(y¡4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ25. Chọnđápán A ä Câu169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(¡1;4;2) và thể tích 36¼.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là A. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. C. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ3. D. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. -Lờigiải. Giảsửmặtcầu S cóbánkính R,tacó 36¼Æ 3 4 ¼R 3 ,RÆ3. Phươngtrìnhmặtcầu (S)là (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu170. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho A(m;0;0),B(0;2mÅ1;0),C(0;0;2mÅ5)khác O. D là một điểm nằm khác phía với O so với mặt phẳng (ABC) sao cho tứ diện ABCD có các cặpcạnhđốidiệnbằngnhau.TìmkhoảngcáchngắnnhấttừO đếntâm I mặtcầungoạitiếp tứdiện ABCD. Th.sNguyễnChínEm 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. p 11. B. p 10. C. p 6. D. p 10 2 . -Lờigiải. Tadựnghìnhhộpchữnhậtngoạitiếptứdiện ABCD nhưhìnhvẽbên. TừđósuyratọađộđiểmD(m;2mÅ1;2mÅ5)vàtọađộtâmcủamặtcầu ngoạitiếptứdiệnnằmtrêntrungđiểmcủaOD. TacóOD 2 Æ9m 2 Å24mÅ26Æ(3mÅ4) 2 Å10¸10)OD¸ p 10. Mặtkhác RÆ OD 2 ¸ p 10 2 . D C B A O Chọnđápán D ä Câu171. Trong không gian Oxyz cho véc-tơ #  uÆ(1;1;2) và #  v Æ(2;0;m). Tìm giá trị của tham số mbiết cos ¡ #  u; #  v ¢ Æ 4 p 30 . A. mÆ1. B. mÆ1,mÆ¡11. C. mÆ¡11. D. mÆ0. -Lờigiải. Tacó cos ¡ #  u; #  v ¢ Æ 1¢2Å1¢0Å2¢m p 1 2 Å1 2 Å2 2 ¢ p 2 2 Åm 2 Æ 4 p 30 , p 5(2mÅ2)Æ4 p 4Åm 2 , ½ m¸¡1 16 ¡ 4Åm 2 ¢ Æ20(mÅ1) 2 , n m¸¡1 4m 2 Å40m¡44Æ0 , ( m¸¡1 h mÆ1(n) mÆ¡11(l) ,mÆ1. Chọnđápán A ä Câu172. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P):2xÅ3yÅz¡11Æ0vàmặtphẳngcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡2z¡8Æ0tiếpxúcvớinhautạiđiểmH(x o ;y o ;z o ).TínhtổngTÆx o Åy o Åz o . A. TÆ2. B. TÆ0. C. TÆ6. D. TÆ4. -Lờigiải. Phươngtrìnhđườngthẳng¢điquatâm I(1;¡2;1)vànhậnvéc-tơ #  uÆ(2;3;1)làmvtcp. ( xÆ1Å2t yÆ¡2Å3t zÆ1Åt )giaođiểmcủađườngthẳng¢vớimặtphẳng (P)là H(3;1;2). Suyra TÆx o Åy o Åz o Æ6. Chọnđápán C ä Câu173. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0). Giả sử B và C là các điểm thay đổi nằm trên các trục Ox và Oz. Gọi M là trung điểm của AC. Biết rằng khi B và C thay đổi nhưng nằm trên các trục Ox và Oz thì hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng AB luônnằmtrênmộtđườngtròncốđịnh.Tínhbánkínhcủađườngtrònđó. A. RÆ 1 4 . B. RÆ 1 2 . C. RÆ p 2 2 . D. RÆ p 2 4 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi I làtrungđiểmcủaOA,tacó IMÒOC)IM?(Oxy). Tacó n AB?MH AB?IM )AB?(IMH))AB?IH. ) H thuộc đường tròn (C) cố định có đường kính IA và nằm trongmặtphẳng (Oxy). Vậybánkínhcủađườngtròn (C)là RÆ OA 4 Æ p 2 4 . A O I C M H x y z Chọnđápán D ä Câu174. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ16 vàđiểm A(1;2;3).Bamặtphẳngthayđổiđiqua A vàđôimộtvuônggócvớinhau,cắtmặtcầu theobađườngtròn.Tínhtổngdiệntíchcủabađườngtròntươngứngđó. A. 33¼. B. 10¼. C. 38¼. D. 36¼. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;2)vàbánkính RÆ4. Gọi r 1 , r 2 , r 3 lầnlượtlàbánkínhbađườngtrònvà H, K, T là hìnhchiếucủatâm I củamặtcầu (S)lênbamặtphẳngtương ứng. Khiđó,tổngdiệntíchcủabađườngtròntươngứnglà SƼ(r 2 1 År 2 2 År 2 3 )Ƽ £ (R 2 ¡IH 2 )Å(R 2 ¡IK 2 )Å(R 2 ¡IT 2 ) ¤ Ƽ £ 3R 2 ¡(IH 2 ÅIK 2 ÅIT 2 ) ¤ Ƽ(3R 2 ¡IA 2 )Æ38¼. I H A K T r 1 r 2 r 3 Chọnđápán C ä Câu175. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;¡1;1), M(5;3;1), N(4;1;2)và mặt phẳng (P): yÅzÆ27. Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM, điểm C trên (P) và điểm D trêntia AN saochotứgiác ABCD làhìnhthoi.Tọađộđiểm C là A. (¡15;21;6). B. (21;21;6). C. (¡15;7;20). D. (21;19;8). -Lờigiải. Dogiảthiếtsuyra C làgiaođiểmcủađườngphângiáctronggóc ƒ BAD vàmặtphẳng (P). Đặt #  e 1 Æ #  AM ¯ ¯ ¯ #  AM ¯ ¯ ¯ và #  e 2 Æ #  AN ¯ ¯ ¯ #  AN ¯ ¯ ¯ .Mà #  AMÆ(3;4;0)suyra ¯ ¯ ¯ #  AM ¯ ¯ ¯Æ p 3 2 Å4 2 Æ5. Tươngtựtacó #  ANÆ(2;2;1)suyra ¯ ¯ ¯ #  AN ¯ ¯ ¯Æ p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ3. Khiđótọađộ #  e 1 µ 3 5 ; 4 5 ;0 ¶ và #  e 2 µ 2 3 ; 2 3 ; 1 3 ¶ suyra #  e 1 Å #  e 2 Æ µ 19 15 ; 22 15 ; 1 3 ¶ .Gọi #  u làvéc-tơchỉphương củađườngthângiácgóc ƒ BAD,dễthấy #  u cùngphươngvới #  e 1 Å #  e 2 ,tachọn #  u(19;22;5). Khiđóphươngtrìnhthamsốcủađườngphângiáctronggóc ƒ BAD là ( xÆ2Å19t yÆ¡1Å22t zÆ1Å5t ,(t2R). Dogiảthiếttọađộđiểm C tươngứngvớigiátrị tlànghiệmcủaphươngtrình ¡1Å22tÅ1Å5tÆ27,tÆ1.Tasuyratọađộđiểm C(21;21;6). Chọnđápán B ä Câu176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S 1 ): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å (z¡2) 2 Æ25, (S 2 ): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2y¡2z¡14Æ0.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? Th.sNguyễnChínEm 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. (S 1 )và (S 2 )khôngcắtnhau. B. (S 1 )và (S 2 )cắtnhautheogiaotuyếnlàđườngtròncóbánkính rÆ1. C. (S 1 )và (S 2 )cắtnhautheogiaotuyếnlàđườngtròncóbánkính rÆ É 76 10 . D. (S 1 )và (S 2 )cắtnhautheogiaotuyếnlàđườngtròncóbánkính rÆ 5 p 77 11 . -Lờigiải. Từgiảthiết:(S 1 )cótâm IÆ(1;¡2;2)vàbánkínhR 1 Æ 5. (S 2 )cótâm JÆ(0;1;1)vàbánkính R 2 Æ4. Khi đó R 1 ¡R 2 Æ1Ç IJÆ p 11ÇR 1 ÅR 2 Æ9 nên hai mặtcầucắtnhautheomộtgiaotuyếnlàđườngtròn cótâm H vàbánkính rÆ AB 2 và H nằmgiữa IJ. Khiđó IHÆ p IA 2 ¡AH 2 Æ p 25¡r 2 và JHÆ p JA 2 ¡AH 2 Æ p 16¡r 2 . Dođó I J B H A IHÅJHÆIJ , p 25¡r 2 Å p 16¡r 2 Æ p 11 ) p 25¡r 2 Æ p 11¡ p 16¡r 2 ) 25¡r 2 Æ11Å16¡r 2 ¡2 È 11 ¡ 16¡r 2 ¢ ) È 11 ¡ 16¡r 2 ¢ Æ1 ) rÆ 5 p 77 11 . Vậy (S 1 )và (S 2 )cắtnhautheogiaotuyếnlàđườngtròncóbánkính rÆ 5 p 77 11 . Chọnđápán D ä Câu177. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;0;¡1) và cắt mặt phẳng (P): 2xÅy¡2z¡16Æ0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3. Phương trìnhcủamặtcầu (S)là A. (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ25. B. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ25. C. (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Tacó d(I,(P))Æ j2Å0Å2¡16j p 4Å1Å4 Æ4. Bánkínhmặtcầu (S)là RÆ p 4 2 Å3 2 Æ5. Phươngtrìnhcủamặtcầu (S)là (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ25. Chọnđápán A ä Câu178. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S)cóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ (4m¡2)xÅ2myÅ(4mÅ2)z¡7Æ0.Giátrịnhỏnhấtcủathểtíchkhốicầulà A. 8 p 2 3 ¼. B. 972¼. C. 36¼. D. 300¼. -Lờigiải. Khốicầuđãchocóbánkínhlà RÆ p (2m¡1) 2 Åm 2 Å(2mÅ1) 2 Å7Æ p 9m 2 Å9¸3. Đẳngthứcxảyrakhi mÆ0.Dođógiátrịnhỏnhấtcủabánkínhkhốicầuđãcholà 3.Vậygiá trịnhỏnhấtcủathểtíchkhốicầulà 4 3 ¢¼¢3 3 Æ36¼. Th.sNguyễnChínEm 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu179. Cho hình chóp S.ABCD có A(1;0;0), B(¡1;1;¡2), C(¡2;0;3), D(0;¡1;¡1). Gọi H là trungđiểmcủaCD,SH?(ABCD).Biếtrằngthểtíchcủakhốichópbằng4vàđỉnhS(x 0 ;y 0 ;z 0 ) với x 0 È0.Tìm x 0 . A. x 0 Æ2. B. x 0 Æ3. C. x 0 Æ1. D. x 0 Æ4. -Lờigiải. ² H µ ¡1;¡ 1 2 ;¡ 3 2 ¶ , #  ABÆ(¡2;1;¡2), #  ACÆ(¡3;0;¡3). ²Tacó #  AB^ #  ACÆ(¡3;0;3)nên S ABCD Æ ¯ ¯ ¯ #  AB^ #  AC ¯ ¯ ¯Æ3 p 2.Suyra SHÆ 3V S ABCD Æ3 p 2. ² SH?(ABCD)nên #  SHÆ(t;0;¡t).Dođó SHÆ3 p 2,2t 2 Æ8,tƧ2.Suyra S µ 1;¡ 1 2 ;¡ 7 2 ¶ hoặc S µ ¡3;¡ 5 2 ; 1 2 ¶ .Do x 0 È0nên x 0 Æ1. Chọnđápán C ä Câu180. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡3;2;2); B(¡5;3;7) và mặt phẳng (P): xÅyÅzÆ0.Điểm M(a;b;c)thuộc (P)saochoj2 #  MA¡ #  MBjcógiátrịnhỏnhất.Tính TÆ2aÅb¡c. A. TÆ¡1. B. TÆ¡3. C. TÆ4. D. TÆ3. -Lờigiải. Gọi I(x;y;z)làđiểmthỏamãn 2 #  IA¡ #  IBÆ #  0 , #  IBÆ2 #  IA , ( ¡5¡xÆ2(¡3¡x) 3¡yÆ2(2¡y) 7¡zÆ2(2¡z) , ( xÆ¡1 yÆ1 zÆ¡3 ) I(¡1;1;¡3). Tacój2 #  MA¡ #  MBjÆj2 #  MIÅ2 #  IA¡ #  MI¡ #  IBjÆMI. Vậyj2 #  MA¡ #  MBj có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góccủa I lên (P). Phươngtrìnhđườngthẳng d điqua I(¡1;1;¡3)vàvuônggócvớimặtphẳng (P)nênnhậnvec- tơ #  n P Æ(1;1;1)làmvec-tơchỉphươngnêncóphươngtrình ( xÆ¡1Åt yÆ1Åt zÆ¡3Åt. Tọađộ M thỏahệ 8 > < > : xÆ¡1Åt yÆ1Åt zÆ¡3Åt xÅyÅzÆ0 , 8 > < > : tÆ1 xÆ0 yÆ2 zÆ¡2. Vậy TÆ2aÅb¡cÆ4. Chọnđápán C ä Câu181. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(9;¡3;5), B(a;b;c).Gọi M,N,P lầnlượtlàgiaođiểmcủađườngthẳng ABvớicácmặtphẳngtọađộOxy,Oxz,Oyz.Biết M,N,P nằmtrênđoạnthẳng AB saocho AMÆMNÆNPÆPB.Tínhtổng TÆaÅbÅc. A. TÆ21. B. TÆ¡15. C. TÆ13. D. TÆ14. -Lờigiải. Do M,N,P nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AMÆ MNÆ NPÆPB nên N,M,P lần lượt là trungđiểmcủa AB,AN,NB. Suyra N µ aÅ9 2 ; b¡3 2 ; cÅ5 2 ¶ , M µ aÅ27 4 ; b¡9 4 ; cÅ15 4 ¶ , P µ 3aÅ9 4 ; 3b¡3 4 ; 3cÅ5 4 ¶ . Do M,N,P lầnlượtnằmtrêncácmặtphẳngtọađộOxy,Oxz,Oyz nên 8 > > > > > > < > > > > > > : cÅ15 4 Æ0 b¡3 2 Æ0 3aÅ9 4 Æ0. Suyra aÆ¡3, bÆ3, cÆ¡15.Dođó TÆaÅbÅcÆ¡15. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu182. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(¡2;3;1), B(2;1;0), C(¡3;¡1;1). Tìmtấtcảcácđiểm D saocho ABCD làhìnhthangcóđáy AD và S ABCD Æ3S 4ABC . A. D(8;7;¡1). B. · D(¡8;¡7;1) D(12;1;¡3) . C. · D(8;7;¡1) D(¡12;¡1;3) . D. D(¡12;¡1;3). -Lờigiải. Tacó S ABCD Æ 1 2 ¢d(A;BC)¢(BCÅAD) Æ 3S 4ABC Æ 3¢ 1 2 ¢d(A;BC)¢BC ) ADÆ2BC. Mặtkhác BCÒAD) #  ADÆ2 #  BC. Gọi D(x;y;z). Tacó #  ADÆ(xÅ2;y¡3;z¡1)và #  BCÆ(¡5;¡2;1). Suyra ( xÅ2Æ¡10 y¡3Æ¡4 z¡1Æ2 ) ( xÆ¡12 yÆ¡1 zÆ3. C D A B Chọnđápán D ä Câu183. Cho A(2;1;¡1), B(3;0;1), C(2;¡1;3), điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5.Tọađộđiểm D là A. (0;8;0). B. (0;¡7;0)hoặc (0;8;0). C. (0;7;0)hoặc (0;¡8;0). D. (0;¡7;0). -Lờigiải. Có #  ABÆ(1;¡1;2), #  ACÆ(0;¡2;4),suyra h #  AB, #  AC i Æ(0;¡4;¡2). Gọiđiểm D(0;y;0)2Oy,có #  ADÆ(¡2;y¡1;1). V ABCD Æ5 , 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯Æ5, ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯Æ30 , j¡4(y¡1)¡2jÆ30, · 2¡4yÆ30 2¡4yÆ¡30 , · yÆ¡7 yÆ8. Vậycóhaiđiểm D là (0;¡7;0)và (0;8;0). Chọnđápán B ä Câu184. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(1;1;1), B(5;1;¡2), C(7;9;1). Tính độdàiđườngphângiáctrong AD củagóc A. A. 3 p 74 2 . B. 2 p 74. C. 3 p 74. D. 2 p 74 3 . -Lờigiải. Có ABÆ p 4 2 Å0 2 Å(¡3) 2 Æ5, ACÆ p 6 2 Å8 2 Å0 2 Æ10. Có DB DC Æ AB AC Æ 1 2 )DCÆ2DB. Mà D nằmgiữa A và B nêntasuyra #  DCÆ¡2 #  DB, ( x C ¡x D Æ¡2(x B ¡x D ) y C ¡y D Æ¡2(y B ¡y D ) z C ¡z D Æ¡2(z B ¡z D ) , 8 > > > > < > > > > : x D Æ 17 3 y D Æ 11 3 z D Æ¡1. Vậytacó D µ 17 3 ; 11 3 ;¡1 ¶ nênsuyra ADÆ Ê µ 14 3 ¶ 2 Å µ 8 3 ¶ 2 Å2 2 Æ 2 p 74 3 . Chọnđápán D ä Câu185. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;0;¡1), N(1;¡2;3), P(0;1;2). Tínhbánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiác MNP. A. 7 p 11 10 . B. 7 p 7 10 . C. 7 p 7 5 . D. 7 p 11 5 . Th.sNguyễnChínEm 151 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó MNÆ p 21, MPÆ p 14, NPÆ p 11. Lạicó #  MNÆ(¡1;¡2;4), #  MPÆ(¡2;1;3))S 4MNP Æ 1 2 ¢ ¯ ¯ ¯ h #  MN, #  MP i¯ ¯ ¯Æ 5 p 6 2 . Mà S 4MNP Æ MN¢NP¢PM 4R )RÆ p 21¢ p 11¢ p 14 4¢ 5 p 6 2 Æ 7 p 11 10 . Chọnđápán A ä Câu186. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;1;¡2),B(5;3;¡1),C(2,3,¡4). Tọa độ trực tâm H của4ABC là A. H(7;6;¡3). B. H(3;1;¡2). C. H(4;2;¡2). D. H(1;¡2;2). -Lờigiải. Nhậnxét:Đểý #  ABÆ(2,2,1); #  ACÆ(¡1;2;¡2),dođó #  AB¢ #  ACÆ0nên4ABC vuôngtại A.Suyra HÆ(3;1;¡2). Cáchgiảikhác Gọitọađộtrựctâmlà H(a;b;c),tacó #  BCÆ(¡3;0;¡3); #  ACÆ(¡1;2;¡2); #  AHÆ(a¡3;b¡1;cÅ2), #  BHÆ(a¡5;b¡3;cÅ1); [ #  BC; #  AC]Æ(6;¡3;¡6). Vì H làtrựctâmnên 8 > < > : #  AH¢ #  BCÆ0 #  BH¢ #  ACÆ0 [ #  BC, #  AC]¢ #  AHÆ0 , ( ¡3(a¡3)Å0(b¡1)¡3(cÅ2)Æ0 ¡1(a¡5)Å2(b¡3)¡2(cÅ1)Æ0 6(a¡3)¡3(b¡1)¡6(cÅ2)Æ0 , ( ¡3aÅ0b¡3cÅ3Æ0 ¡aÅ2b¡2c¡3Æ0 6a¡3b¡6c¡27Æ0 ) ( aÆ3 bÆ1 cÆ¡2 Vậy H(3;1;¡2). Chọnđápán B ä Câu187. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm M(1;1;0)vàmặtphẳng (P): xÅy¡2zÅ4Æ0.Tìm tọađộcủađiểm N đốixứngvới M quamặtphẳng (P). A. N(¡1;¡1;4). B. N(0;0;2). C. N(¡2;¡2;2). D. N(1;1;4). -Lờigiải. Gọi¢ là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (P), suy ra #  u ¢ Æ #  n P Æ(1,1,¡2). Khi đóphươngtrìnhđườngthẳng¢là ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ¡2t ) ½ x¡yÆ0 2yÅzÆ2. Gọi I làgiaođiểmcủa¢vớimặtphẳng (P),suyratọađộđiểm I lànghiệmcủahệ: ( x¡yÆ0 2yÅzÆ2 xÅy¡2zÅ4Æ0 )I(0;0;2). Tọađộđiểm N đượcxácđịnhnhưsau: ( x N Æ2x I ¡x M y N Æ2x I ¡y M z N Æ2x I ¡z M )N(¡1;¡1;4). Chọnđápán A ä Câu188. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0),B(5;3;¡1),C(2;3;¡4). Tọa độ tâm K củađườngtrònnộitiếp4ABC là A. K µ 3; 3 5 ,¡ 1 2 ¶ . B. K µ 8 3 ; 8 3 ; 5 3 ¶ . C. K µ 8 3 ; 8 3 ;¡ 5 3 ¶ . D. K µ 7 2 ;3;¡ 5 3 ¶ . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó ABÆ3 p 2;BCÆ3 p 2;CAÆ3 p 2. Với K làtâmđườngtrònnộitiếp4ABC,tacó BC¢ #  KAÅCA¢ #  KBÅAB¢ #  KCÆ #  0 Tọađộtâm K củađườngtrònnộitiếp4ABC là 8 > > > > > > < > > > > > > : x K Æ BC¢x A ÅCA¢x B ÅAB¢x C BCÅCAÅAB y K Æ BC¢y A ÅCA¢y B ÅAB¢y C BCÅCAÅAB z K Æ BC¢z A ÅCA¢z B ÅAB¢z C BCÅCAÅAB ) 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : x K Æ 3 p 2¢1Å3 p 2¢5Å3 p 2¢2 3 p 2Å3 p 2Å3 p 2 Æ 8 3 y K Æ 3 p 2¢2Å3 p 2¢3Å3 p 2¢3 3 p 2Å3 p 2Å3 p 2 Æ 8 3 z K Æ 3 p 2¢0Å3 p 2¢(¡1)Å3 p 2¢(¡4) 3 p 2Å3 p 2Å3 p 2 Æ¡ 5 3 . Vây KÆ µ 8 3 ; 8 3 ;¡ 5 3 ¶ . Chọnđápán C ä Câu189. TrongkhônggianOxyz,gócgiữahaivéc-tơ #  uÆ(1;1;¡2)và #  v Æ(¡2;1;1)bằng A. 150 ± . B. 45 ± . C. 60 ± . D. 120 ± . -Lờigiải. Tacó: cos ¡ #  u, #  v ¢ Æ 1¢(¡2)Å1¢1Å(¡2)¢1 p 1 2 Å1 2 Å(¡2) 2 ¢ p (¡2) 2 Å1 2 Å1 2 Æ¡ 1 2 ) ¡ #  u, #  v ¢ Æ120 ± . Chọnđápán D ä 3.1 ĐÁPÁN 1. B 2. D 3. D 4. D 5. D 6. D 7. A 8. A 9. D 10. A 11. A 13. D 14. C 15. A 16. C 17. D 18. A 19. D 20. D 21. A 22. D 23. C 24. D 25. A 26. D 27. D 28. D 29. C 30. C 31. A 32. A 33. C 34. D 35. C 36. B 37. B 38. B 39. A 40. A 41. C 42. C 43. A 44. C 45. B 46. B 47. A 48. D 49. D 50. C 51. A 52. A 53. D 54. D 55. C 56. A 57. A 58. C 59. C 60. D 61. A 62. D 63. A 64. C 65. D 66. D 67. B 68. A 69. A 70. C 71. B 72. B 73. A 74. A 75. D 76. D 77. D 78. C 79. D 80. B 81. A 82. C 83. A 84. C 85. A 86. D 87. A 88. B 89. A 90. C 91. A 92. B 93. C 94. C 95. A 96. C 97. A 98. B 99. B 100.B 101.C 102.C 103.D 104.B 105.D 106.A 107.A 108.D 109.B 110.A 111.A 112.A 113.B 114.C 115.C 116.A 117.C 118.B 119.D 120.D 121.D 122.C 123.A 124.B 125.B 126.A 127.C 128.B 129.C 130.D 131.A 132.D 133.C 134.C 135.B 136.D 137.A 138.B 139.A 140.C 141.C 142.B 143.B 144.B 145.B 146.C 147.C 148.D 149.D 150.A 151.A 152.C 153.D 154.A 155.C 156.D 157.A 158.B 159.C 160.A 161.D 162.A 163.A 164.C 165.D 166.D 167.B 168.A 169.D 170.D 171.A 172.C 173.D 174.C 175.B 176.D 177.A 178.C 179.C 180.C 181.B 182.D 183.B 184.D 185.A 186.B 187.A 188.C 189.D 4 VẬNDỤNGTHÁP Câu1(THPTQuốchọcQuyNhơn,lần1). TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABC,biết A(1;1;1),B(5;1;¡2),C(7;9;1).Tínhđộdàiđường phângiáctrong AD củagóc A. A. 3 p 74 2 . B. 2 p 74. C. 3 p 74. D. 2 p 74 3 . Th.sNguyễnChínEm 153 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;0). Mặt phẳng (ABC) cắtcáctrụcOx,Oy,Oz lại M,N,P.TínhthểtíchkhốitứdiệnOMNP. A. 4a 3 . B. 8a 3 3 . C. 8a 3 . D. 4a 3 3 . Câu3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3;1) và B(1;¡2;5). M là điểm thay đổi trên mặtphẳng (Oxy).Tínhgiátrịnhỏnhấtcủachuvitamgiác MAB. A. p 42Å7. B. p 42Å5 p 2. C. p 42Å p 62. D. p 42Å2 p 13. Câu4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng (P) thay đổi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C khác O. Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 27. B. 162. C. 54. D. 6. Câu5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®) trùng với mặt phẳng (Oxy), đoạn SO?(®),SOÆa,(aÈ0). Các điểm M,N chuyển động trên Ox,Oy sao cho OMÅONÆa. Tínhgiátrịlớnnhấtcủathểtíchtứdiện SOMN. A. 24a 3 . B. 4a 3 . C. 2a 3 . D. a 3 24 . -Lờigiải. Thểtíchtứdiện SOMN là:V SOMN Æ 1 6 OS.OM.ONÆ 1 6 a.OM(a¡OM) ĐặtOMÆx,xéthàm f(x)Æ 1 6 ax(a¡x),x2(0;a)tađượcGTLNbằng a 3 24 . Chọnđápán D ä Câu6. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có A(0;0;0), B(2;0;0), C(0;2;0), A 1 (0;0;m) (mÈ0)và A 1 C vuônggócvới BC 1 .Thểtíchkhốitứdiện A 1 CBC 1 là A. 4 3 . B. 8 3 . C. 4. D. 8. -Lờigiải. Diện tích tam giác ABC là S ¢ABC Æ 1 2 [ #  AB; #  AC]. Vì A 1 C?BC 1 ) ACC 1 A 1 là hình vuông ) A 1 AÆACÆ2)mƧ2 ) · A 1 (0;0;2) A 1 (0;0;2) ) · C(0;2;2) C(0;2;¡2) )V A 1 CBC 1 Æ 1 6 [ #  A 1 B; #  A 1 C]. #  A 1 C 1 Æ 4 3 Chọnđápán A ä Câu7. TrongkhônggianOxyz,chobốnđiểm A(7;2;3), B(1;4;3), C(1;2;6), D(1;2;3)vàđiểm M tùyý.TínhđộdàiđoạnOM khibiểuthứcPÆMAÅMBÅMCÅ p 3MD đạtgiátrịnhỏnhất. A. OMÆ p 26. B. OMÆ 5 p 17 4 . C. OMÆ p 14. D. OMÆ 3 p 21 4 . -Lờigiải. Tacó #  DAÆ(6;0;0), #  DBÆ(0;2;0), #  DCÆ(0;0;3)nêntứdiện ABCD có DA, DB, DC đôimộtvuông gócvớinhau.Giảsử M(xÅ1;yÅ2;zÅ3).Khiđó MAÆ p (x¡6) 2 Åy 2 Åz 2 ¸jx¡6j¸6¡x; MBÆ p x 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 ¸jy¡2j¸2¡y; MCÆ p x 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 ¸jz¡3j¸3¡z; p 3MDÆ È 3 ¡ x 2 Åy 2 Åz 2 ¢ ¸ È (xÅyÅz) 2 ¸xÅyÅz. Dođó P¸(6¡x)Å(2¡y)Å(3¡z)Å(xÅyÅz)Æ11. Vậy P đạtgiátrịnhỏnhấtbằng 11khivàchỉkhi 8 > > > < > > > : xÆyÆzÆ0 6¡x¸0 2¡y¸0 3¡z¸0 xÅyÅz¸0 ,xÆyÆzÆ0. Khiđó M(1;2;3),nênOMÆ p 1 2 Å2 2 Å3 2 Æ p 14. Th.sNguyễnChínEm 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(sin®sin¯;0;0), B(0;sin®cos¯;0), C(0;0;cos®), trong đó ®, ¯ là hai số thực thay đổi. Biết rằng tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp củahìnhchópO.ABC làmộtmặtcầu (S)cóbánkính R khôngđổi.Tìm R. A. 1. B. p 2 2 . C. 1 4 . D. 1 2 . -Lờigiải. Gọi H, M lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,OC. Suyra H µ sin®sin¯ 2 ; sin®cos¯ 2 ;0 ¶ và M ³ 0;0; cos® 2 ´ . Vì4OAB vuôngtạiO nên H làtâmđườngtrònngoạitiếp4OAB. Trong (OCH), qua H dựng đường thẳng d song song với OC, dựng đườngthẳngtrungtrựccủaOC cắt d tại I. Khiđó I làtâmmặtcầungoạitiếphìnhchópO.ABC C M O A B H I d VìOMHI làhìnhchữnhậtnên OIÆ p OM 2 ÅOH 2 Æ Ê µ sin®sin¯ 2 ¶ 2 Å µ sin®cos¯ 2 ¶ 2 Å ³ cos® 2 ´ 2 Æ 1 2 . Suyra I thuộcmặtcầutâmO cốđịnh,bánkính RÆ 1 2 khôngđổi. Chọnđápán D ä Câu9. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm M thuộcmặtcầu(S): (x¡3) 2 Å(y¡ 3) 2 Å(z¡2) 2 Æ9 và ba điểm A(1;0;0), B(2;1;3), C(0;2;¡3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA 2 Å2 #  MB¢ #  MCÆ8làđườngtròncốđịnh,tínhbánkính r đườngtrònnày. A. rÆ p 3. B. rÆ6. C. rÆ3. D. rÆ p 6. -Lờigiải. RÆ3 R 0 Æ3 M I I 0 H Mặtcầu (S): (x¡3) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ9cótâm I(3;3;2)vàbánkính RÆ3. Gọi M(x;y;z)tađược MA 2 Æx 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ1; #  MB¢ #  MCÆx 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡3y¡7. Tacó MA 2 Å2 #  MB¢ #  MCÆ8,3x 2 Å3y 2 Å3z 2 ¡6x¡6y¡21Æ0,x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡7Æ0.Suyra M thuộcmặtcầu (S 0 )cótâm I 0 (1;1;0),bánkính R 0 Æ3nên M2(S)\(S 0 )làmộtđườngtròn (C) cótâm H làtrungđiểmcủađoạn II 0 (vì RÆR 0 Æ3). Vậybánkínhđườngtròn (C)là rÆ p R 2 ¡IH 2 Æ p 6. Chọnđápán D ä Câu10. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaimặtphẳng(P): x¡yÅ3Æ0,(Q): x¡2yÅ 2z¡5Æ0vàmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0.Gọi M làđiểmdiđộngtrên (S)và N làđiểmdiđộngtrên (P)saocho MN luônvuônggócvới (Q).Giátrịlớnnhấtcủađộdàiđoạn thẳng MN bằng A. 14. B. 3Å3 p 5. C. 28. D. 9Å5 p 3. Th.sNguyễnChínEm 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Gọicácđiểm A, B, C, D, H, K nhưhìnhvẽbên. Mặtcầu (S)tâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ5, d(I;(P))Æ3 p 3, d(I;(Q))Æ 14 3 . Gọi®làgócgiữahaimặtphẳng,suyra cos®Æ 1 p 3 )tan®Æ p 2. Dođó DKÈNKÆMI)CD¸MN. Tacó sin®Æ IH IB )IBÆ 9 p 2 )BCÆ 9Å5 p 2 p 2 . tan®Æ CD BC )CDÆBC¢tan®Æ9Å5 p 2. Vây MN max Æ9Å5 p 2. A B H N D K C I M (Q) ® ® Chọnđápán D ä Câu11. TrongkhônggiantọađộOxyz,chocácđiểm A(1;1;2), B(0;¡1;¡3).Xétcácđiểmthay đổitrênmặtphẳng (Oxz),giátrịnhỏnhấtcủa PÆ ¯ ¯ ¯ #  OMÅ2 #  MAÅ3 #  MB ¯ ¯ ¯bằng A. 1. B. 3 2 . C. 1 2 . D. 1 4 . -Lờigiải. Tatìmđiểm I(x;y;z)thỏamãn #  OIÅ2 #  IAÅ3 #  IBÆ #  0. (1) Tacó #  OIÆ(x;y;z), #  IAÆ(1¡x;1¡y;2¡z), #  IBÆ(¡x;¡1¡y;¡3¡z). Tacó (1), ( 2¡4xÆ0 ¡4y¡1Æ0 ¡5¡4zÆ0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 1 2 yÆ¡ 1 4 zÆ¡ 5 4 . Tacó #  OMÅ2 #  MAÅ3 #  MB Æ ³ #  OIÅ #  IM ´ Å2 ³ #  MIÅ #  IA ´ Å3 ³ #  MIÅ #  IB ´ Æ 4 #  MI. ) ¯ ¯ ¯ #  OMÅ2 #  MAÅ3 #  MB ¯ ¯ ¯ Æ 4MI. Dođó P đạtgiátrịnhỏnhấtkhivàchỉkhi M làhìnhchiếuvuônggóccủa I lên (Oxz). Theođó M µ 1 2 ;0;¡ 5 4 ¶ . Khiđó minPÆ4¢d(I;(Oxz))Æ4IMÆ4¢ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ 1 4 ¯ ¯ ¯ ¯ Æ1. Chọnđápán A ä Câu12. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1), N µ ¡ 8 3 ; 4 3 ; 8 3 ¶ . Tìm tọa độ tâm đường trònnộitiếptamgiác4OMN. A. I(1;1;1). B. I(0;1;1). C. I(0;¡1;¡1). D. I(1;0;1). -Lờigiải. Cách1: Th.sNguyễnChínEm 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  OMÆ(2;2;1), #  ONÆ µ ¡ 8 3 ; 4 3 ; 8 3 ¶ . Gọi OD là phân giác trong góc O có vectơ chỉ phương là #  uÆ 1 OM ¢ #  OMÅ 1 ON ¢ #  ONÆ(0;1;1). SuyraOD cóphươngtrìnhthamsố: ( xÆ0 yÆt zÆt. D O I M N Đặt #  v Æ 1 MO ¢ #  MOÅ 1 MN ¢ #  MNÆ 1 3 (¡2;¡2;¡1)Å 1 5 µ ¡ 14 3 ;¡ 2 3 ; 5 3 ¶ Æ µ ¡ 8 5 ;¡ 4 5 ;0 ¶ . Gọi MI làphângiáctronggóc M cóvectơchỉphươnglà¡ 5 2 #  v Æ(2;1;0). Suyra MI cóphươngtrìnhthamsố: ( xÆ2Å2t 0 yÆ2Åt 0 zÆ1. Gọi I là giao điểm của OD và MI ta suy ra tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình 8 < : x I Æ2Å2t 0 Æ0 y I Æ2Åt 0 Æt z I Æ1Æt ) n tÆ1 t 0 Æ¡1. Vậy I(0;1;1). Cách2:Khilàmbàitrắcnghiệm,họcsinhcóthểsửdụngluôntínhchất. Với I làtâmđườngtrònnộitiếptamgiác4OMN tachứngminh: MN¢ #  IOÅOM¢ #  INÅON¢ #  IMÆ #  0. Thậtvậy,theotínhchấtđườngphângiáctacó OM ON Æ DM DN ) OM OMÅON Æ DM DMÅDN ) OM OMÅON Æ DM MN ) MO MD Æ OMÅON MN (1). Tacũngcó OM ON Æ DM DN ) #  DMÆ¡ OM ON #  DN ) #  IM¡ #  IDÆ¡ OM ON ³ #  IN¡ #  ID ´ ) µ 1Å OM ON ¶ #  IDÆ #  IMÅ OM ON #  IN ) #  IDÆ ON OMÅON #  IMÅ OM OMÅON #  IN (2). Mặtkhác IO ID Æ MO MD ) #  IOÆ¡ MO MD #  ID (3). Thay (1), (2)vàp (3)tađược #  IOÆ¡ MO MD #  ID ) #  IOÆ¡ OMÅON MN µ ON OMÅON #  IMÅ OM OMÅON #  IN ¶ ) #  IOÆ¡ ON MN #  IM¡ OM MN #  IN ) MN¢ #  IOÅOM¢ #  INÅON¢ #  IMÆ #  0. Áp dụng tính chất cho tam giác4OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp có MNÆ5, OMÆ3, Th.sNguyễnChínEm 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ONÆ4tađược: MN¢ #  IOÅOM¢ #  INÅON¢ #  IMÆ #  0 , 5 #  IOÅ3 #  INÅ4 #  IMÆ #  0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ 1 12 (5x O Å3x N Å4x M ) y I Æ 1 12 (5y O Å3y N Å4y M ) z I Æ 1 12 (5z O Å3z N Å4z M ) , 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ 1 12 (¡8Å8) y I Æ 1 12 (4Å8) z I Æ 1 12 (8Å4) , I(0;1;1). Chọnđápán B ä Câu13. TrongkhônggianOxyz,cho A(0;1;2),B(0,1,0),C(3,1,1)vàmặtphẳng(Q): xÅyÅz¡5Æ 0.Xétđiểm M thayđổithuộc (Q).Giátrịnhỏnhấtcủabiểuthức MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 bằng A. 0. B. 12. C. 8. D. 10. -Lờigiải. Đặt TÆMA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 .GọiG làđiểmthỏamãn #  GAÅ #  GBÅ #  GCÆ #  0 )G(1,1,1). Khiđó #  GAÆ(¡1;0;1))GA 2 Æ2; #  GBÆ(¡1;0;¡1))GB 2 Æ2; #  GCÆ(2;0;0))GC 2 Æ4.Tacó T Æ #  MA 2 Å #  MB 2 Å #  MC 2 Æ ³ #  MGÅ #  GA ´ 2 Å ³ #  MGÅ #  GB ´ 2 Å ³ #  MGÅ #  GC ´ 2 Æ 3MG 2 ÅGA 2 ÅGB 2 ÅGC 2 Æ3MG 2 Å8 )T nhỏnhấtkhi MG nhỏnhất,MGÆd(G,(Q))Æ 2 p 3 . Khiđó TÆ12. Chọnđápán B ä Câu14. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm B(2;¡1;¡3)và C(¡6;¡1;3).Trongcáctamgiác ABC thỏamãncácđườngtrungtuyếnkẻtừ B và C vuônggócvớinhau,điểm A(a;b;0),(bÈ0) saochogóc A lớnnhất,giátrịcủa aÅb cosA bằng A. 10. B. ¡20. C. 15. D. ¡5. -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC. GB?GC,GB 2 ÅGC 2 ÆBC 2 ,AB 2 ÅAC 2 Æ5BC 2 . cosAÆ AB 2 ÅAC 2 ¡BC 2 2AB¢AC Æ 4BC 2 2AB¢AC ¸ 4BC 2 AB 2 ÅAC 2 Æ 4BC 2 5BC 2 Æ 4 5 . Dođógóc A lớnnhấtkhi cosAÆ 4 5 ,ABÆACÆ5 p 10. Tacóhệphươngtrình ½ (a¡2) 2 Å(bÅ1) 2 Å9Æ(aÅ6) 2 Å(bÅ1) 2 Å9 (a¡2) 2 Å(bÅ1) 2 Å9Æ250 , n aÆ¡2 bÆ14 (vì bÈ0). Vậy aÅb cosA Æ15. Chọnđápán C ä Câu15. Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;¡2) và B(3;4;1). Gọi (P) là mặtphẳngchứađườngtròngiaotuyếncủahaimặtcầu (S 1 ): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ25và (S 2 ): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡14Æ0. M,N làhaiđiểmthuộc (P)saocho MNÆ1.Giátrịnhỏnhất của AMÅBN là A. p 34¡1. B. 5. C. p 34. D. 3. Th.sNguyễnChínEm 158 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Từ ½ (S 1 ): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ25 (1) (S 2 ): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡14Æ0 (2) Lấy (1)trừ (2)(vếtheovế),tađược 6zÆ0hay (P): zÆ0tứclà (P)´(Oxy). Dễ thấy A,B nằm khác phía đối với (P), hình chiếu của A trên (P)làO,hìnhchiếucủa B trên (P)là H(3;4;0). Lấy A 0 saocho #  AA 0 Æ #  MN. O M I B A A 0 H N Khiđó AMÅBNÆA 0 NÅBNÊA 0 B vàcựctrịchỉxảyrakhi #  MN cùngphương #  OH. Lấy #  MNÆ #  OH ¯ ¯ ¯ #  OH ¯ ¯ ¯ Æ µ 3 5 ; 4 5 ;0 ¶ . Khiđóvì #  AA 0 Æ #  MN nên A 0 µ 3 5 ; 4 5 ;¡2 ¶ .Dođó AMÅBNÆA 0 NÅBNÊA 0 BÆ5. Chọnđápán B ä Câu16. Trongkhônggian Oxyz,cho A(1;¡1;2), B(¡2;0;3)và C(0;1;¡2).Gọi M(a;b;c)làđiểm thuộcmặtphẳng (Oxy)saochobiểuthức SÆ #  MA¢ #  MBÅ2¢ #  MB¢ #  MCÅ3¢ #  MC¢ #  MA đạtgiátrịnhỏ nhất.Khiđó TÆ12aÅ12bÅc cógiátrịlà A. TÆ3. B. TÆ¡3. C. TÆ1. D. TÆ¡1. -Lờigiải. Với I làđiểmbấtkỳ,tacó #  MA #  MBÅ2 #  MB #  MCÅ3 #  MC #  MA Æ ³ #  IA¡ #  IM ´³ #  IB¡ #  IM ´ Å2 ³ #  IB¡ #  IM ´³ #  IC¡ #  IM ´ Å3 ³ #  IC¡ #  IM ´³ #  IA¡ #  IM ´ Æ #  IA #  IBÅ2 #  IB #  ICÅ3 #  IC #  IA¡ #  IM ³ 4 #  IAÅ3 #  IBÅ5 #  IC ´ Å6IM 2 . Chọn I(x;y;z)saocho 4 #  IAÅ3 #  IBÅ5 #  ICÆ #  0. ) ( 4(1¡x)Å3(¡2¡x)Å5(0¡x)Æ0 4(¡1¡y)Å3(0¡y)Å5(1¡y)Æ0 4(2¡z)Å3(3¡z)Å5(¡2¡z)Æ0 , ( ¡12xÆ2 ¡12yÆ¡1 ¡12zÆ¡7. Suyra I µ ¡ 1 6 ; 1 12 ; 7 12 ¶ . Khiđó, #  IA #  IBÅ2 #  IB #  ICÅ3 #  IC #  IA làhằngsốvà #  IM ³ 4 #  IAÅ3 #  IBÅ5 #  IC ´ Æ0nên S min ,IM nhỏnhất ,M làhìnhchiếucủa I trên (Oxy))M µ ¡ 1 6 ; 1 12 ;0 ¶ . Vậy TÆ12¢ (¡1) 6 Å12¢ 1 12 Å0Æ¡1. Chọnđápán D ä Câu17. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(3;2;1)vàB(¡1;4;¡3).Tìmđiểm M thuộcmặt phẳng (Oxy)saochojMA¡MBjlớnnhất. A. M(¡5;1;0). B. M(5;1;0). C. M(5;¡1;0). D. M(¡5;¡1;0). -Lờigiải. Ta có z A Æ1, z B Æ¡3 do đó A và B nằm ở hai phía đối với mặtphẳng (Oxy). Gọi B 0 làđiểmđốixứngvới B quamặtphẳng (Oxy),tacó jMA¡MBjÆ ¯ ¯ MA¡MB 0 ¯ ¯ . (Oxy) B M A B 0 Th.sNguyễnChínEm 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Màtacó MA·MB 0 ÅAB 0 )MA¡MB 0 ·AB 0 MB 0 ·MAÅAB 0 )MB 0 ¡MA·AB 0 ) ¯ ¯ MA¡MB 0 ¯ ¯ ·AB 0 . DođójMA¡MBjlớnnhấtlà AB 0 khiB 0 , A,MthẳnghànghayMlàgiaođiểmcủađườngthẳng AB 0 vàmặtphẳng (Oxy). Tacó B(¡1;4;¡3))B 0 (¡1;4;3).Suyra #  AMÆ(x M ¡3;y M ¡2;¡1), #  AB 0 Æ(¡4;2;2). Tacó B 0 , A, M thẳnghàng, #  AM và #  AB 0 cùngphương , x M ¡3 ¡4 Æ y M ¡2 2 Æ ¡1 2 , ½ x M Æ5 y M Æ1. Vậytọađộ M(5;1;0). Chọnđápán B ä Câu18. TrongkhônggianOxyz,chobốnđiểm A(7;2;3),B(1;4;3),C(1;2;6),D(1;2;3)vàđiểmM tùyý.TínhđộdàiđoạnOM khibiểuthứcPÆMAÅMBÅMCÅ p 3MD đạtgiátrịnhỏnhất. A. OMÆ 3 p 21 4 . B. OMÆ p 26. C. OMÆ p 14. D. OMÆ 5 p 17 4 . -Lờigiải. Tacó #  DAÆ(6;0;0), #  DBÆ(0;2;0), #  DCÆ(0;0;3). Gọi M(xÅ1;yÅ2;zÅ3),tacó MAÆ p (x¡6) 2 Åy 2 Åz 2 ¸jx¡6j¸6¡x MBÆ p x 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 ¸jy¡2j¸2¡y MCÆ p x 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 ¸jz¡3j¸3¡z p 3MDÆ È 3 ¡ x 2 Åy 2 Åz 2 ¢ ¸ p (xÅyÅz) 2 ¸xÅyÅz. Dođó P¸(6¡x)Å(2¡y)Å(3¡z)Å(xÅyÅz)Æ11. Vậy P đạtgiátrịnhỏnhấtlà 11khivàichỉkhi xÆyÆzÆ0. Khiđó M(1;2;3),suyraOMÆ p 14. Chọnđápán C ä Câu19. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x¡3) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ4 và hai điểm A(¡1;2;0),B(2;5;0).Gọi K(a;b;c)làđiểmthuộc (S)saocho KAÅ2KBnhỏnhất.Giátrị a¡bÅc bằng A. 4¡ p 3. B. ¡ p 3. C. p 3. D. 4Å p 3. -Lờigiải. Do K2(S))(a¡3) 2 Å(b¡2) 2 Åc 2 Æ4. Tacó KA Æ p (aÅ1) 2 Å(b¡2) 2 Åc 2 Æ p a 2 Åb 2 Åc 2 Å2a¡4bÅ12¡7 Æ È (aÅ1) 2 Å(b¡2) 2 Åc 2 Å3 £ (a¡3) 2 Å(b¡2) 2 Åz 2 ¤ ¡7 Æ 2 p (a¡2) 2 Å(a¡2) 2 Åz 2 Æ 2KM,vớiM(2;2;0). Dễthấy B nằmngoàimặtcầu (S)và M nằmtrongmặtcầu (S). )KAÅ2KBÆ2(KMÅKB)¸2MB. Dấu“Æ” xảyrakhi K làgiaođiểmcủađoạnthẳng MB vớimặtcầu (S). Phươngtrìnhcủa MB: ( xÆ2 yÆ5Å3t zÆ0 )K(2;5Å3t;0). K2(S))1Å(9(1Åt) 2 Æ4,tÆ¡1§ 1 p 3 )K(2;2¡ p 3;0)và K(2;2Å p 3;0). Do K nằmgiữa B,M nên K(2;2Å p 3;0))a¡bÅcÆ¡ p 3. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu20. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,cho 4điểm A(2;4;¡1), B(1;4;¡1), C(2;4;3), D(2;2;¡1),biết M(x;y;z)để MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 ÅMD 2 đạtgiátrịnhỏnhấtthì xÅyÅzbằng A. 6. B. 21 4 . C. 8. D. 9. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;0;0), #  ACÆ(0;0;4), #  ADÆ(0;¡2;0). Suyra h #  AB, #  AC i #  ADÆ86Æ0nênbốnđiểm A ,B, C, D lậpthànhtứdiện. Gọi I làtrọngtrọngtâmtứdiện ABCD thì #  OIÆ 1 4 ³ #  OAÅ #  OBÅ #  OCÅ #  OD ´ và I µ 7 4 ; 7 2 ;0 ¶ . Tacó T Æ MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 ÅMD 2 Æ #  MA 2 Å #  MB 2 Å #  MC 2 Å #  MD 2 Æ ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 Å ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 Å ³ #  MIÅ #  IC ´ 2 Å ³ #  MIÅ #  ID ´ 2 Æ 4¢ #  MI 2 Å #  IA 2 Å #  IB 2 Å #  IC 2 Å #  ID 2 Å2 #  MI ³ #  IAÅ #  IBÅ #  ICÅ #  IBD ´ Æ 4¢ #  MI 2 Å #  IA 2 Å #  IB 2 Å #  IC 2 Å #  ID 2 Æ 4. #  MI 2 Å #  IA 2 Å #  IB 2 Å #  IC 2 Å #  ID 2 ¸ #  IA 2 Å #  IB 2 Å #  IC 2 Å #  ID 2 . Suyra T min Æ #  IA 2 Å #  IB 2 Å #  IC 2 Å #  ID 2 khi M´I tứclà M µ 7 4 ; 7 2 ;0 ¶ . Khiđó xÅyÅzÆ 7 4 Å 7 2 Å0Æ 21 4 . Chọnđápán B ä Câu21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, cÈ0saochoOAÅOBÅOCÅABÅBCÅCAÆ1Å p 2.GiátrịlớnnhấtcủaV O.ABC bằng A. 1 108 . B. 1 486 . C. 1 54 . D. 1 162 . -Lờigiải. TacóOAÆa;OBÆb;OCÆc; ABÆ p a 2 Åb 2 ; BCÆ p b 2 Åc 2 ; CAÆ p c 2 Åa 2 . V OABC Æ 1 6 OA¢OB¢OCÆ 1 6 a¢b¢c. Tacó OAÅOBÅOCÅABÅBCÅCAÆ1Å p 2 , aÅbÅcÅ p a 2 Åb 2 Å p b 2 Åc 2 Å p c 2 Åa 2 Æ1Å p 2 ÁpdụngbấtđẳngthứcCôsitacó aÅbÅc¸3 3 p abc. p a 2 Åb 2 Å p b 2 Åc 2 Å p c 2 Åa 2 ¸3 6 È ¡ a 2 Åb 2 ¢¡ b 2 Åc 2 ¢¡ c 2 Åa 2 ¢ ¸3 6 p 2ab¢2bc¢2ac Æ3 p 2¢ 3 p abc. Suyra aÅbÅcÅ p a 2 Åb 2 Å p b 2 Åc 2 Å p c 2 Åa 2 ¸3 3 p abcÅ3 p 2¢ 3 p abc , 1Å p 2¸3 3 p abc(1Å p 2), 3 p abc· 1 3 , abc· 1 27 , 1 6 abc· 1 162 ,V OABC · 1 162 . Dấubằngxảyra, 8 < : aÈ0;bÈ0;cÈ0 aÆbÆc aÅbÅcÅ p a 2 Åb 2 Å p b 2 Åc 2 Å p c 2 Åa 2 Æ1Å p 2 ,aÆbÆcÆ 1 3 . VậygiátrịlớnnhấtcủaV OABC bằng 1 162 . Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu22. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (x¡4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ1.Điểm M(a;b;c) thuộc (S).Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa a 2 Åb 2 Åc 2 . A. 25. B. 29. C. 24. D. 26. -Lờigiải. Vì M(a;b;c)2(S): (x¡4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ1nên (a¡4) 2 Å(b¡2) 2 Å(c¡4) 2 Æ1.Suyra a 2 Åb 2 Åc 2 Å35Æ8aÅ4bÅ8c· p 8 2 Å4 2 Å8 2 ¢ p a 2 Åb 2 Åc 2 ,5· p a 2 Åb 2 Åc 2 ·7. Vậy a 2 Åb 2 Åc 2 ¸25,dấu 00 Æ 00 xảyrakhivàchỉkhi 8 > > < > > : a 8 Æ b 4 Æ c 8 a 2 Åb 2 Åc 2 Æ25 (a¡4) 2 Å(b¡2) 2 Å(c¡4) 2 Æ1. , 8 > > > > > > < > > > > > > : aÆ 10 3 bÆ 5 3 cÆ 10 3 . Chọnđápán A ä Câu23. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡3) 2 Æ3 và hai điểm A(2;¡2;4), B(¡3;3;¡1). Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị nhỏ nhất của 2MA 2 Å 3MB 2 bằng A. 103. B. 108. C. 105. D. 100. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;3;3),bánkính RÆ p 3. Giảsửđiểm N(x;y;z)thỏamãn 2 #  NAÅ3 #  NBÆ #  0 , ( 2(2¡x)Å3(¡3¡x)Æ0 2(¡2¡y)Å3(3¡y)Æ0 2(4¡z)Å3(¡1¡z)Æ0 , ( xÆ¡1 yÆ1 zÆ1. Suyra N(¡1;1;1), INÆ2 p 3, NAÆ3 p 3, NBÆ2 p 3. Talạicó 2MA 2 Å3MB 2 Æ 2 ³ #  MNÅ #  NA ´ 2 Å3 ³ #  MNÅ #  NB ´ 2 Æ 5MN 2 Å2 #  MN¢ ³ 2 #  NAÅ3 #  NB ´ Å2NA 2 Å3NB 2 Æ 5MN 2 Å2NA 2 Å3NB 2 . Dovậy 2MA 2 Å3MB 2 nhỏnhấtkhivàchỉkhi MN nhỏnhất. Talạicó INÆ2 p 3ÈR nên MN nhỏnhấtkhivàchỉkhi MNÆIN¡RÆ2 p 3¡ p 3Æ p 3. Vậygiátrịnhỏnhấtcủa 2MA 2 Å3MB 2 Æ5¢3Å2¢27Å3¢12Æ105. Chọnđápán C ä Câu24. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,gọiđiểmM(a;b;c)(vớia;b;ctốigiản)thuộc mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡4z¡7Æ0 sao cho biểu thức TÆ2aÅ3bÅ6c đạt giá trị lớn nhất.Tínhgiátrịbiểuthức PÆ2a¡bÅc. A. 12 7 . B. 8. C. 6. D. 51 7 . -Lờigiải. Tacó x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡4z¡7Æ0,(x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ16. Gọi M(a;b;c)2(S),(a¡1) 2 Å(b¡2) 2 Å(c¡2) 2 Æ16. Tacó j2(a¡1)Å3(b¡2)Å6(c¡2)j · È ¡ 2 2 Å3 2 Å6 2 ¢£ (a¡1) 2 Å(b¡2) 2 Å(c¡2) 2 ¤ , j2aÅ3bÅ6c¡20j·28 ) 2aÅ3bÅ6c¡20·28 ) 2aÅ3bÅ6c·48. Dấu“=”xảyrakhi 8 > > > > < > > > > : 2aÅ3bÅ6cÆ48 a¡1 2 Æ b¡2 3 a¡1 2 Æ c¡2 6 , ( 2aÅ3bÅ6cÆ48 3a¡2bÆ¡1 3a¡cÆ1 , 8 > > > > > > < > > > > > > : aÆ 15 7 bÆ 26 7 cÆ 38 7 . Vậy TÆ2a¡bÅcÆ6. Th.sNguyễnChínEm 162 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2t;2t;0), B(0;0;t) với (tÈ0). Điểm P di độngthỏamãn #  OP¢ #  APÅ #  OP¢ #  BPÅ #  AP¢ #  BPÆ3.Biếtrằngcógiátrị tÆ a b với a, b nguyêndương và a b tốigiảnsaochoOP đạtgiátrịlớnnhấtbằng 3.KhiđógiátrịcủaQÆ2aÅb bằng A. 5. B. 13. C. 11. D. 9. -Lờigiải. Từgiảthiếttacó ( #  OAÆ(2t;2t;0) #  OBÆ(0;0;t) ) ½ #  OA¢ #  OBÆ0 #  OAÅ #  OBÆ(2t;2t;t). Suyra #  OP¢ #  APÅ #  OP¢ #  BPÅ #  AP¢ #  BPÆ3 , #  OP ³ #  OP¡ #  OA ´ Å #  OP ³ #  OP¡ #  OB ´ Å ³ #  OP¡ #  OA ´³ #  OP¡ #  OB ´ Æ3 , 3OP 2 ¡2 ³ #  OP¢ #  OAÅ #  OP¢ #  OB ´ Å #  OA¢ #  OBÆ3 , 3OP 2 Æ2 #  OP ³ #  OAÅ #  OB ´ Å3, (¤). Giảsửđiểm PÆ(x 0 ;y 0 ;z 0 ). Khiđó(*),3 ¡ x 2 0 Åy 2 0 Åz 2 0 ¢ Æ4x 0 tÅ4y 0 tÅ2z 0 tÅ3,x 2 0 Åy 2 0 Åz 2 0 ¡ 4t 3 x 0 ¡ 4t 3 y 0 ¡ 2t 3 z 0 ¡1Æ0. Vậy P thuộcmặtcầucótâm I µ 2t 3 ; 2t 3 ; t 3 ¶ ,bánkính RÆ p t 2 Å1. SuyraOP lớnnhấtbằngOIÅRÆtÅ p t 2 Å1Æ3,tÆ 4 3 )QÆ2¢4Å3Æ11. Chọnđápán C ä Câu26. TrongkhônggianOxyz,chohìnhlăngtrụtamgiácđều ABC.A 1 B 1 C 1 có A 1 ¡p 3;¡1;1 ¢ , hai đỉnh B,C thuộc trục Oz và AA 1 Æ1 (C không trùng với O). Biết #  u(a;b;2) là một véc-tơ chỉ phươngcủađườngthẳng A 1 C.Tính TÆa 2 Åb 2 . A. TÆ4. B. TÆ5. C. TÆ16. D. TÆ9. -Lờigiải. Mặtphẳng (A 1 B 1 C 1 )qua A 1 ¡p 3;¡1;1 ¢ vàsongsongvớiOz. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,B 1 C 1 )A 1 M?BC)M làhìnhchiếuvuônggóccủa A 1 lênOz)M(0;0;1)và MNÆ1. Ta có A 1 NÆ p A 1 M 2 ¡MN 2 Æ p 3, do tam giác A 1 B 1 C 1 đều ) ta có A 1 NÆ p 3 2 B 1 C 1 Æ p 3,B 1 C 1 Æ2. Suyra MCÆ1,jn¡1jÆ1, h nÆ2 nÆ0. Với nÆ0)C(0;0;0)´O khôngthỏamãn. Với nÆ2)C(0;0;2)thỏamãn. Dođó #  A 1 CÆ ¡ ¡ p 3;1;1 ¢ ) #  u A 1 C Æ ¡ ¡ p 3t;t;t ¢ ,với tÆ2) ½ aÆ¡2 p 3 bÆ2. Vậytacó TÆa 2 Åb 2 Æ ¡ ¡2 p 3 ¢ 2 Å2 2 Æ16. A B C A 1 B 1 C 1 M N Chọnđápán C ä Câu27. Cho các tia Ox, Oy, Oz cố định đôi một vuông góc với nhau. Trên các tia đó lần lượt lấycácđiểm A,B,CthayđổithỏamãnOAÅOBÅOCÅABÅBCÅCAÆ1trongđó A,B,Ckhông trùng với O. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC bằng 1 m ¡ 1Å p n ¢ 3 ,(m,n2Z). Giá trị củabiểuthức PÆmÅnbằng A. 164. B. 111. C. 192. D. 150. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọn hệ trục tọa độ sao cho các tia Ox, Oy, Oz là chiều dương các trục tọa độ, gọi A(x;0;0), B(0;y;0), C(0;0;z), (x,y,zÈ0). TacóV OABC Æ 1 6 xyz.Theogiảthiết OAÅOBÅOCÅABÅBCÅCAÆ1 , xÅyÅzÅ p x 2 Åy 2 Å p y 2 Åz 2 Å p z 2 Åx 2 Æ1 TheobấtđẳngthứcCô-sitacó xÅyÅzÅ p x 2 Åy 2 Å p y 2 Åz 2 Å p z 2 Åx 2 ¸ 3 3 p xyzÅ3 3 È 2 p 2xyz ,1 ¸ 3 3 p xyz ³ 1Å p 2 ´ ) 1 6 xyz · 1 162 ¡ 1Å p 2 ¢ 3 ,V OABC · 1 162 ¡ 1Å p 2 ¢ 3 . Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi xÆyÆzÆ 1 3Å3 p 2 . Vậy n mÆ162 nÆ2 )PÆmÅnÆ164. Chọnđápán A ä Câu28. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M à 1 2 ; p 3 2 ;0 ! vàmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ8.Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính diện tích lớnnhất S củatamgiácOAB. A. SÆ4. B. SÆ p 7. C. SÆ2 p 2. D. SÆ2 p 7. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmO(0;0;0)vàbánkính RÆ2 p 2. Vì OMÆ1ÇR nên M nằm bên trong mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếuvuônggóccủaO lên d. Tadùngmôhìnhnhưhìnhbênđểgiảibàitoán. Đặt xÆOH,tacó 0Çx·OM,đồngthời HAÆ p R 2 ¡OH 2 Æ p 8¡x 2 . O A B M H d VậydiệntíchtamgiácOAB là S OAB Æ 1 2 OH¢ABÆOH¢HAÆx p 8¡x 2 . Xéthàmsố f(x)Æx p 8¡x 2 trên (0;1].Tacó f 0 (x)Æ¡ 2(x 2 ¡4) p 8¡x 2 È08x2(0;1]. Suyra max (0;1] f(x)Æf(1)Æ p 7. Vậy diện tích lớn nhất S của tam giác OAB bằng p 7 khi H trùng với điểm M, hay M là hình chiếuvuônggóccủaO lên d. Chọnđápán B ä Câu29. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡8yÅ9Æ 0 và hai điểm A(5;10;0),B(4;2;1).Gọi Mlàđiểmthuộcmặtcầu(S).Giátrịnhỏnhấtcủa MAÅ3MBbằng A. 11 p 2 3 . B. 22 p 2 3 . C. 22 p 2. D. 11 p 2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi M(x;y;z)2(S).Tacó MAÅ3MB Æ p (x¡5) 2 Å(y¡10) 2 Åz 2 Å3 p (x¡4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ 3 " Ê µ xÅ 1 3 ¶ 2 Å µ y¡ 14 3 ¶ 2 Åz 2 Å p (x¡4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 # ¸ Ê µ 4Å 1 3 ¶ 2 Å µ 2¡ 14 3 ¶ 2 Å1 2 Æ 11 p 2 3 . Chọnđápán A ä Câu30. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;0;6),B(2;4;0)vàC(0;4;6).Biết M làđiểmđểbiểuthức MAÅMBÅMCÅMO đạtgiátrịnhỏnhất,phươngtrìnhđườngthẳng (¢)điquahaiđiểm H(3;0;¡1)và M là A. (¢): x¡3 2 Æ y 1 Æ zÅ1 ¡3 . B. (¢): x¡3 1 Æ y 1 Æ zÅ1 3 . C. (¢): x¡3 1 Æ y 3 Æ zÅ1 ¡1 . D. (¢): x¡3 1 Æ y ¡1 Æ zÅ1 ¡2 . -Lờigiải. Gọi I làtrọngtâmtứdiệnOABC,tađược I(1;2;3). Khiđó,tacó ½ #  IAÅ #  IBÅ #  ICÅ #  IOÆ #  0 IAÆIBÆICÆIOÆ p 14. Tathấy MA Æ 1 p 14 ¢ ¯ ¯ ¯ #  MA ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ ¯ #  IA ¯ ¯ ¯ ¸ 1 p 14 ¢ #  MA¢ #  IA Æ 1 p 14 ³ #  MIÅ #  IA ´ ¢ #  IA Æ 1 p 14 #  MI¢ #  IAÅ p 14. Tươngtự,tacó MB ¸ 1 p 14 #  MI¢ #  IBÅ p 14 MC ¸ 1 p 14 #  MI¢ #  ICÅ p 14 MO ¸ 1 p 14 #  MI¢ #  IOÅ p 14. Dovậy,tađược MAÅMBÅMCÅMO ¸ 1 p 14 ¢ #  MI¢ ³ #  IAÅ #  IBÅ #  ICÅ #  IO ´ Æ 4 p 14. (¤) Đẳngthức (¤)xảyra,M´I.Khiđótacó #  MHÆ(2;¡2;¡4). Vậy (¢): x¡3 1 Æ y ¡1 Æ zÅ1 ¡2 . Chọnđápán D ä Câu31. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S)cótâm I(¡2;1;2)vàđiquađiểm A(1;¡2;¡1). Xétcácđiểm B, C, D thuộc (S)saocho AB, AC, AD đôimộtvuônggócvớinhau.Thểtíchcủa khốitứdiện ABCD cógiátrịlớnnhấtbằng A. 72. B. 216. C. 108. D. 36. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đặt ABÆa, ACÆb, ADÆc thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A,nộitiếpmặtcầu (S). Khi đó ABCD là tứ diện đặt ở góc A của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA 0 là đườngkínhcủacầu.Tacó a 2 Åb 2 Åc 2 Æ4R 2 . XétVÆV ABCD Æ 1 6 abc,V 2 Æ 1 36 a 2 b 2 c 2 . D P A B E I M N C a b c Mà a 2 Åb 2 Åc 2 Ê3 3 p a 2 b 2 c 2 , µ a 2 Åb 2 Åc 2 3 ¶ 3 Êa 2 b 2 c 2 , µ 4R 2 3 ¶ 3 Ê36¢V 2 ,VÉR 3 ¢ 4 p 3 27 Với RÆIAÆ3 p 3. VậyV max Æ36. Chọnđápán D ä Câu32. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(¡1;0;2) và đi qua điểm A(0;1;1). Xétcácđiểm B, C, D thuộc (S)saocho AB, AC, AD đôimộtvuônggócvớinhau.Thểtíchcủa khốitứdiện ABCD cógiátrịlớnnhấtbằng A. 8 3 . B. 4. C. 4 3 . D. 8. -Lờigiải. Đặt ADÆa, ABÆb, ACÆc,GọiM,Nlầnlượtlàtrungđiểm BC, AD.Qua M kẻđườngthẳng dsongsongvới AD,qua N dựngđườngthẳngvuônggócvới AD cắt d tại I.Khiđó I là tâmmặtcầungoạitiếptứdiện ABCD. Tacó RÆIAÆ p 3. AMÆ p b 2 Åc 2 2 ; IMÆ a 2 )R 2 ÆIA 2 Æ a 2 Åb 2 Åc 2 4 Æ3. A N D B M I C ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchytacó a 2 Åb 2 Åc 2 ¸3 3 p a 2 b 2 c 2 )abc·8. SuyraV ABCD Æ 1 6 abc· 1 6 ¢8Æ 4 3 . Chọnđápán C ä Câu33. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho #  OAÆ2 #  iÅ2 #  jÅ2 #  k,B(¡2;2;0),C(4;1;¡2). TrênmặtphẳngOxyz,điểmnàodướiđâycáchđềubađiểm A, B, C? A. M µ 3 4 ;0; 1 2 ¶ . B. M µ ¡3 4 ;0; ¡1 2 ¶ . C. M µ 3 4 ;0; ¡1 2 ¶ . D. M µ ¡3 4 ;0; 1 2 ¶ . -Lờigiải. A(2;2;2), B(¡2;2;0), C(4;1;¡1), M(x,0,z)2(Oxz)vàcáchđều3điểm A, B, C nêntacó n MAÆMB MBÆMC , ½ (x¡2) 2 Å4Å(z¡2) 2 Æ(xÅ2) 2 Å4Åz 2 (x¡4) 2 Å1Å(zÅ1) 2 Æ(xÅ2) 2 Å4Åz 2 , n ¡8x¡4zÆ¡4 ¡12xÅ2zÆ¡10 , 8 > > < > > : xÆ 3 4 zÆ ¡1 2 . Vậy MÆ µ 3 4 ;0; ¡1 2 ¶ . Th.sNguyễnChínEm 166 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu34. Trongkhônggian Oxyz chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ2z¡3Æ0tâm I vàhai điểm A(¡1;0;0), B(0;0;¡3).Xétcáctiếptuyếncủa (S)tại A và B cắtnhautại MÆ(x M ;y M ;z M ). Tìm y M khiđoạn IM đạtgiátrịnhỏnhất. A. y M Æ¡ 14 13 . B. y M Æ 14 13 . C. y M Æ¡ 22 13 . D. y M Æ 10 13 . -Lờigiải. (S)cótâm I(1;¡2;¡1)và RÆ3. Mặtphẳngtiếpxúcvới (S)tại A cóphươngtrình (P A ): (¡1¡1)(xÅ1)Å(0Å2)yÅ(0Å1)zÆ0,¡2xÅ2yÅz¡2Æ0. Mặtphẳngtiếpxúcvới (S)tại B cóphươngtrình (P B ): (0¡1)xÅ(0Å2)yÅ(¡3Å1)(zÅ3)Æ0,¡xÅ2y¡2z¡6Æ0. M nằm trên đường d là giao của (P A ) và (P B ), IM ngắn nhất khi M là hình chiếu của I trên d. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ h #  IA; #  IB i Æ(¡6;¡5;¡2).Tacó M nằmtrên (P A ), (P B )và #  IM? #  u nêncótọađộ M lànghiệmcủahệ 8 < : ¡2xÅ2yÅz¡2Æ0 ¡xÅ2y¡2z¡6Æ0 ¡6(x¡1)¡5(yÅ2)¡2(zÅ1)Æ0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ ¡14 13 yÆ 10 13 zÆ ¡22 13 . Chọnđápán D ä Câu35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25 vàđiểm A(3;1;5).Bamặtphẳngthayđổiđiqua A vàđôimộtvuônggócvớinhau,cắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàbađườngtròncóchuvilầnlượtlà p 1 ,p 2 ,p 3 .Tính TÆp 2 1 Åp 2 2 Åp 2 3 . A. TÆ132¼ 2 . B. TÆ66¼ 2 . C. TÆ264¼ 2 . D. TÆ36¼ 2 . -Lờigiải. (S)cótâm I(1;2;3); RÆ5. Gọi H 1 ; H 2 ; H 3 làhìnhchiếucủa I đến 3mặtphẳngđó. Tacó I , H 1 , H 2 , H 3 và A tạo thành một hình hộp chữnhậtvớiđườngchéo IAvàcáccạnh IH 1 , IH 2 , IH 3 nhưhìnhvẽ. Từđó IH 2 1 ÅIH 2 2 ÅIH 2 3 ÆIA 2 Æ9. Gọi r 1 , r 2 , r 3 là bán kính 3 đường tròn là giaotuyếncủa 3mặtphẳngđóvớimặtcầu. Tacó r 2 1 ÆR 2 ¡IH 2 1 ; r 2 2 ÆR 2 ¡IH 2 2 ; r 2 3 ÆR 2 ¡IH 2 3 .Suyra r 2 1 År 2 2 År 2 3 Æ3R 2 ¡ ¡ IH 2 1 ÅIH 2 2 ÅIH 2 3 ¢ Æ66. Từđó p 2 1 Åp 2 2 Åp 2 3 Æ4¼ 2 ¡ r 2 1 År 2 2 År 2 3 ¢ Æ264¼ 2 . A I H 1 H 2 H 3 Th.sNguyễnChínEm 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là các số thực dương thay đổi sao cho a 2 Åb 2 Åc 2 Æ3. Tính khoảng cách lớn nhất từ O đếnmặtphẳng (ABC). A. 1 3 . B. 3. C. 1 p 3 . D. 1. -Lờigiải. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Dễ thấy tứ diện OABC là hìnhchóptamdiệnvuôngtạiO. Tacó CH?AB, CO?AB)AB?(CHO))AB?OH. Mà BH?AC, BO?AC)AC?(BHO))AC?OH. TừđótasuyraOH?(ABC))d(O,(ABC))ÆOH. Xéttamgiác AOB vuôngtạiO,cóđườngcaoOK 1 OK 2 Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Æ 1 a 2 Å 1 b 2 . O A B C K H Xéttamgiác COK vuôngtạiO,cóđườngcaoOH 1 OH 2 Æ 1 OC 2 Å 1 OK 2 Æ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¸ 3 3 p a 2 b 2 c 2 )OH 2 · 3 p a 2 b 2 c 2 3 . Mà 3Æa 2 Åb 2 Åc 2 ¸3 3 p a 2 b 2 c 2 )abc·1)OH· 1 3 . VậykhoảngcáchtừO mặtphẳng (ABC)lớnnhấtbằng 1 3 . Chọnđápán A ä Câu37. TrongkhônggiancớihệtrụctọađộOxyz,chođườngthẳng d: x¡2 2 Æ y¡1 2 Æ zÅ1 ¡1 và điểm I(2;¡1;1).Viếtphươngtrìnhmặtcầutâm I cắtđườngthẳng d tạihaiđiểm A,B saocho 4IAB vuôngtại I. A. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ8. B. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ 80 9 . C. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. D. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. -Lờigiải. Mặtcầutâm I cắtđườngthẳng d tại A,B nên A,B2d. Khiđó A(2Å2t;1Å2t;¡1¡t),B(2Å2u;1Å2u;¡1¡u)với t6Æu. Suyra #  IAÆ(2t;2Å2t;¡2¡t), #  IBÆ(2u;2Å2u;¡2¡u). Theogiảthiếttacó ½ #  IA¢ #  IBÆ0(do4IABvuông) IAÆIB(doIlàtâmhìnhcầu) , ½ 4tuÅ(2Å2t)(2Å2u)Å(2Åt)(2Åu)Æ0 4t 2 Å(2Å2t) 2 Å(2Åt) 2 Æ4u 2 Å(2Å2u) 2 Å(2Åu 2 ) , n 9tuÅ6uÅ6tÅ8Æ0 9t 2 Å12tÆ9u 2 Å12u , n 9tuÅ6uÅ6tÅ8Æ0 (t¡u)(9tÅ9uÅ12)Æ0 , ( 9tuÅ6uÅ6tÅ8Æ0 tÆ¡u¡ 4 3 (vìt6Æu) , 8 > > < > > : 9u µ ¡u¡ 4 3 ¶ Å6 µ ¡u¡ 4 3 ¶ Å6uÅ8Æ0 tÆ¡u¡ 4 3 , 8 < : ¡9u 2 ¡12uÆ0 tÆ¡u¡ 4 3 , 2 6 6 4 uÆ0;tÆ ¡4 3 uÆ¡ 4 3 ;tÆ0. Nhận xét A,B có vai trò như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp u Æ 0;tÆ¡ 4 3 . Khi đó B(2;1;¡1), #  IBÆ(0;2;¡2). Bánkínhhìnhcầulà RÆIBÆ2 p 2.Vậyphươngtrìnhmặtcầuthỏamãnyêucầubàitoánlà (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ8. Th.sNguyễnChínEm 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu38. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ25vàhai điểm A(7;9;0),B(0;8;0). Tìm giá trị nhỏ nhất của PÆMAÅ2MB với M là điểm bất kỳ thuộc mặtcầu (S). A. 10. B. 5 p 5. C. 5 p 2. D. 5 p 5 2 . -Lờigiải. Gọi I(1;1;0),RÆ5làtâmvàbánkínhcủamặtcầu (S). Tacó IAÆ10Æ2R,IBÆ p 50È5nênđiểm B nằmngoàimặtcầu. Gọi E(4;5;0) là giao điểm của AI và mặt cầu (S) và F µ 5 2 ;3;0 ¶ là trung điểmcủa IE. Khiđó IMÆ2IF. Xéthaitamgiác MIF và AIM,tacó 8 < : ƒ AIM(gócchung) IF IM Æ 1 2 Æ IM IA )4AIMv4MIF(c.g.c) ) MA FM Æ AI MI Æ2)MAÆ2MF. Suyra MAÅ2MBÆ2MFÅ2MB¸2FBÆ5 p 5. Dấubằngxảyrakhi M làgiaođiểmcủa FB vàmặtcầu (S). Vậygiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức PÆMAÅ2MB là 5 p 5. F E A M I Chọnđápán B ä Câu39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt cầu (S 1 ), (S 2 ), (S 3 ) có cùng bán kính rÆ1vàlầnlượtcótâmlàcácđiểm A(0;3;¡1), B(¡2;1;¡1), C(4;¡1;¡1).Gọi (S)làmặtcầu tiếpxúcvớicảbamặtcầutrên.Mặtcầu (S)cóbánkínhnhỏnhấtlà A. RÆ p 10Å1. B. RÆ p 10¡1. C. RÆ2 p 2¡1. D. RÆ p 10. -Lờigiải. Mặtcầu (S)làmặtcầutiếpxúcngoàivớicảbamặtcầu (S 1 ), (S 2 )và (S 3 ).Gọi I làtâmvà R là bánkínhmặtcầu (S). Vì IAÆIBÆIC nên I làtâmmặtcầungoạitiếptamgiác ABC. Tacó ABÆ2 p 2, ACÆ4 p 2vàBCÆ2 p 10.SuyraBC 2 ÆAB 2 ÅAC 2 haytamgiác ABC vuôngtại A.Dođó I làtrungđiểmcủa BC vàbánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC là IAÆIBÆICÆ BC 2 Æ p 10. Vậy RÆIA¡1ÆIB¡1ÆIC¡1Æ p 10¡1. Chọnđápán B ä Câu40. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ9và điểm A(¡1;¡1;1).Bamặtphẳngthayđổiqua A vàđôimộtvuônggócvớinhaucắt (S)theoba đườngtròn.Tínhtổngdiệntíchcủacáchìnhtrònđó. A. 18¼. B. 17¼. C. 26¼. D. 11¼. -Lờigiải. Vìtổngdiệntíchcủabađườngtrònkhôngđổinêntacóthểchọnbamặtphẳngđôimộtvuông gócvớinhaucóphươngtrìnhlà xÆ¡1, yÆ¡1và zÆ1. Mặtphẳng xÆ¡1cắtmặtcầu(S)theogiaotuyếnlàđườngtròn(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ9cóbánkính R 1 Æ3. Mặtphẳng yÆ¡1cắtmặtcầu(S)theogiaotuyếnlàđườngtròn(xÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ9cóbánkính R 2 Æ3. Mặtphẳng zÆ1cắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàđườngtròn (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Æ8cóbánkính R 3 Æ2 p 2. Tổngdiệntíchcủabahìnhtrònlà¼(R 2 1 ÅR 2 2 ÅR 2 3 )Æ26¼. Chọnđápán C ä Câu41. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtcầu (S 1 ): (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ25, (S 2 ): (x¡2) 2 Å (y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25.TínhphầnthểtíchV giớihạnbởihaimặtcầutrên. Th.sNguyễnChínEm 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. VÆ 1127 6 ¼. B. VÆ 1135 6 ¼. C. VÆ 1127 24 ¼. D. VÆ 1127 12 ¼. -Lờigiải. Mặtcầu S 1 cótâm I(1;0;1)bánkính RÆ5. Mặtcầu S 2 cótâm I 0 (2;2;3)bánkính R 0 Æ5. #  II 0 Æ(1;2;2), II 0 Æ3. Giảisửtacócácđiểmnhưhìnhvẽ. Khiđó hÆHFÆR¡IHÆR¡ 1 2 II 0 Æ 7 2 . Do hai mặt cầu có cùng bán kính nên phần giới hạn bởihaimặtcầulàhaichỏmcầucócùngthểtích. Vậythểtíchgiớihạnbởihaimặtcầulà VÆ2¼¢h 2 ¢ µ R¡ h 3 ¶ Æ 1127 12 ¼. D I 0 C I F H Chọnđápán D ä Câu42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡2;2;¡3), B(4;5;¡3). M(a;b;c) làđiểmtrênmặtphẳngOxysaocho MA 2 Å2MB 2 đạtgiátrịnhỏnhất.Tínhtổng aÅbÅc. A. 3. B. 6. C. 1. D. ¡1. -Lờigiải. Lấyđiểm I đoạnthẳng AB saocho #  IAÅ2 #  IBÆ #  0,khiđótacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ x A Å2x B 3 Æ ¡2Å2¢4 3 Æ2 y I Æ y A Å2y B 3 Æ 2Å2¢5 3 Æ4 z I Æ z A Å2z B 3 Æ ¡3Å2¢(¡3) 3 Æ¡3, từđósuyra I(2;4;¡3). Talạicó MA 2 ÅMB 2 Æ #  MA 2 Å #  MB 2 Æ ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 Å ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 Æ #  MI 2 Å2 #  MI¢ #  IAÅ #  IA 2 Å #  MI 2 Å2 #  MI¢ #  IBÅ #  IB 2 Æ2 #  MI 2 Å2 #  MI ³ #  IAÅ #  IB ´ Å #  IA 2 Å #  IB 2 Æ2MI 2 ÅIA 2 ÅIB 2 . Từđó,kếthợpvới A, B và I cốđịnh,suyra MA 2 ÅMB 2 nhỏnhấtkhivàchỉkhi MI nhỏnhất, khiđó M làhìnhchiếucủa I trênmặtphẳngOxy,suyra M(2;4;0). Vậy aÅbÅcÆ6. Chọnđápán B ä Câu43. TrongkhônggiantọađộOxyzcho A(1;3;10),B(4;6;5)và M làđiểmthayđổitrênmặt phẳng (Oxy) sao cho MA,MB cùng tạo với mặt phẳng (Oxy) các góc bằng nhau. Tìm giá trị nhỏnhấtcủa AM. A. 6 p 3. B. 10. C. p 10. D. 8 p 2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên mặtphẳng (Oxy). Khiđó (MA,(Oxy))Æ ƒ AMD và (MB,(Oxy))Æ ƒ BME. Do đó MA,MB cùng tạo với mặt phẳng (Oxy) các góc bằng nhaukhivàchỉkhi4AMDv4BME. Khiđó AM BM Æ AD BE . Tacó ADÆd(A,(Oxy))Æ10và BEÆd(B,(Oxy))Æ5. Dođó AM BM Æ2. (1) M E A B D Gọitọađộcủa M là (x,y,0).Tacó AM 2 Æ(x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å100và MB 2 Æ(x¡4) 2 Å(y¡6) 2 Å25. Từ (1)suyra AM 2 Æ4BM 2 ,(x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Æ4(x¡4) 2 Å4(y¡6) 2 . Đặt x¡1Æavà y¡3Æb.Tacó a 2 Åb 2 Æ4(a¡3) 2 Å4(b¡3) 2 ,3(a 2 Åb 2 )¡24(aÅb)Å72Æ0. Sửdụngbấtđẳngthức (aÅb) 2 ·2(a 2 Åb 2 )tacó 3 2 (aÅb) 2 ¡24(aÅb)Å72·0,4·aÅb·12. Dođó a 2 Åb 2 ¸ (aÅb) 2 2 ¸ 4 2 2 Æ8.Vậy AM 2 Æa 2 Åb 2 Å100¸108,AM¸6 p 3. Dấuđẳngthứcxảyrakhi aÆbÆ2,xÆ3;yÆ5.Khiđóđiểm M cótọađộ (3;5;0). Chọnđápán A ä Câu44. Trong không gian Oxyz, cho điểm M à 1 2 ; p 3 2 ;0 ! và mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ8. Một đườngthẳngđiquađiểm M vàcắt(S)tạihaiđiểmphânbiệt A,B.Diệntíchlớnnhấtcủatam giácOAB bằng A. 4. B. 2 p 7. C. 2 p 2. D. p 7. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmO(0;0;0)vàbánkính RÆ2 p 2. Tacó: #  OMÆ Ã 1 2 ; p 3 2 ;0 ! )OMÆ1ÇR)điểm M nằmtrongmặtcầu (S). Gọi H làtrungđiểm AB)OHÉOM. ĐặtOHÆx)0ÉxÉ1. Đặt ƒ AOHÆ®)sin®Æ AH OA Æ p OA 2 ¡OH 2 OA Æ p 8¡x 2 2 p 2 ; cos®Æ OH OA Æ x 2 p 2 . Suyra sin ƒ AOBÆ2sin®cos®Æ x p 8¡x 2 4 . Tacó: S 4OAB Æ 1 2 OA.OB.sin ƒ AOBÆx p 8¡x 2 với 0ÉxÉ1. Xéthàmsố f(x)Æx p 8¡x 2 trênđoạn [0;1]. f 0 (x)Æ p 8¡x 2 ¡ x 2 p 8¡x 2 Æ 8¡2x 2 p 8¡x 2 È0,8x2[0;1])max [0;1] f(x)Æf(1)Æ p 7. VậydiệntíchlớnnhấtcủatamgiácOAB bằng p 7. Chọnđápán D ä Câu45. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(m;0;0), B(0;m¡1;0), C(0;0;mÅ4) thỏa mãn BCÆAD, CAÆBD và ABÆCD. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứdiện ABCD bằng Th.sNguyễnChínEm 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. p 7 2 . B. p 14 2 . C. p 7. D. p 14. -Lờigiải. ĐặtBCÆa;CAÆb; ABÆc.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểm của AB và CD. Theo giả thiết ta có tam giác 4ABCÆ4CDA theo trường hợp (c-c-c), suy ra CMÆDM hay tam giác CMD cân tại M, dẫnđến MN?CD. Chứng minh tương tự ta cũng có MN?AB. Gọi I là trung điểmcủa MN thì IAÆIB và ICÆID. Mặt khác ta lại có ABÆCD nên 4BMIÆ4CNI)IBÆIC hay I làtâmmặtcầungoạitiếptứdiện ABCD. D C I B A N M Tacó IA 2 ÆIM 2 ÅAM 2 Æ MN 2 4 Å AB 2 4 Æ MN 2 Åc 2 4 . Mặtkhác CM làđườngtrungtuyếncủatamgiác ABC nên CM 2 Æ 2a 2 Å2b 2 ¡c 2 4 . )MN 2 ÆCM 2 ¡CN 2 Æ 2a 2 Å2b 2 ¡c 2 4 ¡ c 2 4 Æ a 2 Åb 2 ¡c 2 2 . Vậy IA 2 Æ a 2 Åb 2 Åc 2 8 . Với a 2 Åb 2 Åc 2 Æ2m 2 Å2(m¡1) 2 Å2(mÅ4) 2 Æ6(mÅ1) 2 Å28. Vậy IA 2 Æ 6(mÅ1) 2 Å28 8 Ê 7 2 .Suyra minIAÆ É 7 2 Æ p 14 2 . Chọnđápán B ä Câu46. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6).Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM¢ONÆ12. Biết rằng khi M thayđổi,điểm N luônthuộcmộtmặtcầucốđịnh.Tínhbánkínhmặtcầuđó. A. 7 2 . B. 3 p 2. C. 2 p 3. D. 5 2 . -Lờigiải. Dogiảthiếtphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x 2 Å y 4 Å z 6 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡12Æ0. Giảsửđiểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )và N(x 1 ;y 1 ;z 1 )thỏamãnbàitoán. MàOM¢ONÆ12,OMÆ 12 ON ,OMÆ 12 ON 2 ¢ON. Vì N thuộctiaOM nênhaivéc-tơ #  OM và #  ON cùngchiềusuyra #  OMÆ 12 ON 2 #  ON (¤). Mà #  OM(x 0 ;y 0 ;z 0 ); #  ON(x 1 ;y 1 ;z 1 )vàON 2 Æx 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 . Th.sNguyễnChínEm 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Từ (¤)suyra 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : x 0 Æ 12x 1 x 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 y 0 Æ 12y 1 x 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 z 0 Æ 12z 1 x 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 .Vì M thuộcphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)nên 6x 0 Å3y 0 Å2z 0 ¡12Æ0,6 12x 1 x 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 Å3 12y 1 x 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 Å2 12z 1 x 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 ¡12Æ0 ,6x 1 Å3y 1 Å2z 1 Æx 2 1 Åy 2 1 Åz 2 1 ,(x 1 ¡3) 2 Å µ y 1 ¡ 3 2 ¶ 2 Å(z 1 ¡1) 2 Æ 49 4 Dođótậphợpđiểm N thuộcmặtcầu (S): (x¡3) 2 Å µ y¡ 3 2 ¶ 2 Å(z¡1) 2 Æ 49 4 . Gọi R làbánkínhmặtcầutacó RÆ 7 2 . Chọnđápán A ä Câu47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;2); B(¡1;0;4); C(0;¡1;3) và điểm M thuộcmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ1.Khibiểuthức MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 đạtgiátrịnhỏ nhấtthìđộdàiđoạn MA bằng A. p 2. B. p 6. C. 6. D. 2. -Lờigiải. Giảsử M(a;b;c)thuộcmặtcầu (S),khiđótacó a 2 Åb 2 Å(c¡1) 2 Æ1. Vì a 2 Åb 2 ¸0nên (c¡1) 2 ·1,0·c·2. Tacó MA 2 Æ(a¡1) 2 Å(b¡1) 2 Å(c¡2) 2 , MB 2 Æ(aÅ1) 2 Åb 2 Å(c¡4) 2 , MC 2 Æa 2 Å(bÅ1) 2 Å(c¡3) 2 nên MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 Æ 3a 2 Å3b 2 Å3c 2 ¡18cÅ33 Æ 3 ¡ 1¡(c¡1) 2 ¢ Å3c 2 ¡18cÅ33 Æ 33¡12c¸33¡12¢2Æ9. Vậy MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi aÆbÆ0,cÆ2 hay M(0;0;2). Khi đó MAÆ p 2. Chọnđápán A ä Câu48. TrongkhônggianOxyz,chođiểmM à p 2 2 ; p 2 2 ;0 ! vàmặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ8.Đường thẳng d thay đổi đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính diện tích lớnnhất S max củatamgiácOAB. A. S max Æ4. B. S max Æ2 p 7. C. S max Æ p 7. D. S max Æ2 p 2. -Lờigiải. (S)cótâmO(0;0;0)vàcóbánkính RÆ2 p 2. Gọi tlàkhoảngcáchtừtâmO đếnđườngthẳng d (t·OMÆ1).DiệntíchtamgiácOAB là SÆ 1 2 t¢ABÆt p R 2 ¡t 2 Æt p 8¡t 2 Æ 1 p 7 ³ p 7t ´ ¢ p 8¡t 2 · 7t 2 Å8¡t 2 2 p 7 Æ 6t 2 Å8 2 p 7 · 14 2 p 7 Æ p 7. Dấubằngxảyrakhi d vuônggócvớiOM. Chọnđápán C ä Câu49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;1;¡1) và B(0;3;1) và mặt phẳng (P): xÅy¡zÅ3Æ0. Điểm M thuộc (P) thỏa mãn ¯ ¯ ¯2 #  MA¡ #  MB ¯ ¯ ¯ nhỏ nhất có hoành độ bằng A. 4. B. 1. C. ¡1. D. ¡4. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tìmđiểm I(x,y,z)saocho 2 #  IA¡ #  IBÆ0, ( 2(2¡x)¡(0¡x)Æ0 2(1¡y)¡(3¡y)Æ0 2(¡1¡z)¡(1¡z)Æ0 , ( xÆ4 yÆ¡1 zÆ¡3. Vì 2 #  IA¡ #  IBÆ0)2 #  MA¡ #  MBÆ #  MI,nêntacó ¯ ¯ ¯2 #  MA¡ #  MB ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  MI ¯ ¯ ¯. Để ¯ ¯ ¯2 #  MA¡ #  MB ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhấtthì M làchânđườngcaohạtừ I xuốngmặtphẳng (P). Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(1;1;¡1). Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngqua I(4;¡1;¡3)vàvuônggócvới (P)là ( xÆ4Åt yÆ¡1Åt zÆ¡3¡t. Chânđườngcaohạtừ I xuốngmặtphẳng (P)cótọađộlànghiệmcủahệphươngtrình 8 > < > : xÅy¡zÅ3Æ0 xÆ4Åt yÆ¡1Åt zÆ¡3¡t. Thếbaphươngtrìnhsauvàophươngtrìnhđầutiêntacó (4Åt)Å(¡1Åt)¡(¡3¡t)Å3Æ0,3tÅ9Æ0,tÆ¡3. Dođó xÆ1,yÆ¡4,zÆ0. Chọnđápán B ä Câu50. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(¡1;0;1), B(1;¡2;3)vàmặt cầu(S):(xÅ1) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æ4.TậphợpcácđiểmMdiđộngtrênmặtcầu(S)saocho #  MA¢ #  MBÆ2 làmộtđườngtròncốđịnh.Tínhbánkínhcủađườngtrònđó. A. 4 p 5 5 . B. 3 p 11 4 . C. p 41 2 . D. p 62 4 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm J(¡1;0;2)vàbánkính RÆ2. Gọi I làtrungđiểmcủa AB,tacó ½ #  IAÅ #  IBÆ #  0 I(0;¡1;2) . Dễthấy IJÆ2nên I thuộcmặtcầu (S). Từgiảthiếttacó: #  MA¢ #  MBÆ( #  IA¡ #  IM)( #  IB¡ #  IM)ÆIM 2 ¡IA 2 . Mặtkhác IA 2 Æ3nên IM 2 Æ5. Dovậytacóđiểm M thuộcmặtcầu (S 0 ):x 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ5. Gọi (C)làđườngtròngiaotuyếncủahaimặtcầu (S)và (S 0 ),suyra (C)làđườngtròncốđịnh mà M dichuyểntrênđó. Gọi (P)làmặtphẳngchứa (C))(P):2x¡2yÅ1Æ0. Gọi H làhìnhchiếucủa I lên (P))H làtâmcủađườngtròn (C). IHÆd(I,(P))Æ 3 2 p 2 )rÆHMÆ p IM 2 ¡IH 2 Æ p 62 4 . Chọnđápán D ä Câu51. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(0;0;6),B(0;4;0),C(¡2;0;0).Gọi I(a;b;c)làtâm củamặtcầungoạitiếptứdiệnOABC vớiO làgốctọađộ.Giátrịcủa aÅbÅc bằng A. 8. B. 2. C. 4. D. 6. -Lờigiải. Dựng hình hộp chữ nhật có ba chiều là OA, OB, OC như hình vẽbên.RõràngtâmcủamặtcầungoạitiếptứdiệnOABCcũng chínhlàtâmcủamặtcầungoạitiếphìnhhộpchữnhật.Suyra I làtrungđiểmcủađườngchéo AD củahìnhhộp. Vì A(0;0;6), D(¡2;4;0)nêntọađộcủa I là (¡1;2;3).Từđó aÅbÅ cÆ4. A B C O I D Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 174 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu52. Chođiểm A(2;1;2)vàmặtcầu(S):x 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9.Mặtphẳng(P)điqua A và cắt (S)theothiếtdiệnlàđườngtròncóbánkínhnhỏnhất.Bánkínhnhỏnhấtđólà A. 2. B. 3 2 . C. 3. D. 1 2 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(0;1;1),bánkính RÆ3. Ta có 2 2 Å(1¡1) 2 Å(2¡1) 2 Æ5Ç9 nên A(2;1;2) nằm trong mặt cầu.Gọi r làbánkínhđườngtrònthiếtdiện,tacó rÆ p R 2 ¡d 2 (I;(P)).Dođó r nhỏnhấtkhi d(I,(P))lớnnhất. I A R r P (S) Tacó d(I,(P))·IA.Dấubằngxảyrakhi IA?(P).Vậy r nhỏnhấtkhi d(I,(P))ÆIAÆ p 5. Khiđóthiếtdiệncóbánkínhnhỏnhấtbằng p R 2 ¡IA 2 Æ2. Chọnđápán A ä Câu53. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho 3điểm A(1;2;¡3), B(2;0;1), C(3;¡1;1), M là điểmdiđộngtrênmặtphẳng (Oyz).Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức PÆ3 ¯ ¯ ¯ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯Å2 ¯ ¯ ¯ #  MAÅ2 #  MB ¯ ¯ ¯. A. p 42 6 . B. p 42. C. 3 p 82. D. p 82 2 . -Lờigiải. Gọi E lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC.Suyra E µ 5 2 ;¡ 1 2 ;1 ¶ . Gọi F(x;y)làđiểmthỏamãn #  FAÅ2 #  FBÆ #  0. ) ( 1¡xÅ2(2¡x)Æ0 2¡yÅ2(0¡y)Æ0 ¡3¡zÅ2(1¡z)Æ0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 5 3 yÆ 2 3 zÆ¡ 1 3 )F µ 5 3 ; 2 3 ;¡ 1 3 ¶ . ) #  EFÆ µ ¡ 5 6 ; 7 6 ;¡ 4 3 ¶ . Tacó: #  MBÅ #  MCÆ2 #  ME và #  MAÅ2 #  MBÆ #  MIÅ #  IAÅ2 ³ #  MIÅ #  IB ´ Æ3 #  MF. Suyra PÆ3j2 #  MEjÅ2.j3 #  MFjÆ6(MEÅMF). Tacó: (Oyz): xÆ0)E,F nằmcùngmộtphíacủa (Oyz).Gọi E 0 đốixứngvới E quamặtphẳng (Oyz).Khiđó MEÆME 0 và E 0 µ ¡ 5 2 ;¡ 1 2 ;1 ¶ ) #  E 0 FÆ µ 25 6 ; 7 6 ;¡ 4 3 ¶ )E 0 FÆ p 82 2 . Suyra PÆ6(MEÅMF)Æ6(ME 0 ÅMF)¸6E 0 F. Khiđógiátrịnhỏnhấtcủa P bằng 6E 0 FÆ3 p 82. Chọnđápán C ä Câu54. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(5;0;0)vàB(3;4;0).VớiC làmột điểm trên trục Oz, gọi H là trực tâm tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộcmộtđườngtròncốđịnh.Tínhbánkínhđó. A. p 5 4 . B. p 3 2 . C. p 5 2 . D. p 3. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 175 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Ta có A,B thuộc mặt phẳng zÆ0, C thuộc Oz do đó CO?(OAB). Hơnnữa,OAÆOBÆ5nêntamgiácOAB cântạiO. KẻcácđườngcaoOM,AN,BP củatamgiác ABC;các đường cao AM,BF,AE của tam giác OAB. Gọi K là trựctâmcủatamgiácOAB. Tathấy AE?OB và AE?OC suyra AE?CB. Kết hợp với AN?CB ta có CB?(ANE), suy ra CB? KH. Chứngminhtươngtự,tacó AC?KH. Vậy KH?(ABC).Nên à KHMÆ90 ± . Mà K và M cốđịnhnên H dichuyểntrênđườngtròn đườngkính KM. C N E O P M B A H K F Tađitính KM. Tacó KMÆMBtan ƒ KBM.Chúýrằng ƒ KBMÆ ƒ OAM. Tacó ABÆ2 p 5và sin ƒ OAMÆ AM OA Æ p 5 5 suyra tan ƒ OAMÆ 1 2 . Vậy KMÆ2 p 5¢ 1 2 Æ p 5. Dođóbánkínhcủađườngtrònlà KM 2 Æ p 5 2 . Chọnđápán C ä Câu55. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chocácđiểm A(0;0;2),B(3;4;1).Tìmgiátrịnhỏ nhấtcủa AXÅBY với X,Y làcácđiểmthuộcmặtphẳngOxysaocho XYÆ1. A. 3. B. 5. C. 2Å p 17. D. 1Å2 p 5. -Lờigiải. Đặt X(a;b;0),Y(c;d;0)thì (a¡c) 2 Å(b¡d) 2 Æ1. TheobấtđẳngthứcMinkowski,tacó p a 2 Åb 2 Å p (3¡c) 2 Å(4¡d) 2 Å p (c¡a) 2 Å(d¡b) 2 ¸5. Suyra p a 2 Åb 2 Å p (3¡c) 2 Å(4¡d) 2 ¸4.LạiápdụngbấtđẳngthứcMinkowski,tacó AXÅBYÆ p a 2 Åb 2 Å4Å p (3¡c) 2 Å(4¡d) 2 Å1Å p (c¡a) 2 Å(d¡b) 2 ¸5 Chọnđápán B ä Câu56. Chomặtcầu (S)cótâm O,bánkính RÆ2a vàđiểm M thỏamãn OMÆa p 3.Bamặt phẳng thay đổi qua điểm M và đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu theo giao tuyến lần lượtlàcácđườngtrònvớibánkính r 1 , r 2 , r 3 .Giátrịlớnnhấtcủabiểuthức r 1 År 2 År 3 là A. 3a. B. 3a p 2. C. 3a p 3. D. a p 6. -Lờigiải. Từ điểm M và ba mặt phẳng qua điểm M đôi một vuông góc với nhau ta dựng hệ trục tọa độ Mxyz. Giả sử O(x 0 ,y 0 ,z 0 ) và r 1 , r 2 , r 3 lần lượt là bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặtcầuvớimặt Myz, Mzxvà Mxy.Khiđótacó: 8 > < > : r 2 1 Æ4a 2 ¡x 2 0 r 2 2 Æ4a 2 ¡y 2 0 r 2 3 Æ4a 2 ¡z 2 0 vàOM 2 Æx 2 0 Åy 2 0 Åz 2 0 Æ3a 2 . TheobấtđẳngthứcBuinhiacopski: (r 1 År 2 År 3 ) 2 É3(r 2 1 År 2 2 År 2 3 ). Dấubằngxảyrakhi r 1 Ær 2 Ær 3 . Vậy r 1 År 2 År 3 É p 3(12a 2 ¡3a 2 )Æ3a p 3,dấubằngxảyrakhivàchikhi r 1 Ær 2 Ær 3 Æa p 3. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu57. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ8 và điểm M à 1 2 ; p 3 2 ;0 ! . Xét đườngthẳng¢thayđổiqua M,cắt(S)tạihaiđiểmphânbiệt A,B.Diệntíchlớnnhấtcủatam giácOAB bằng A. 4. B. p 7. C. 2 p 7. D. 8. -Lờigiải. TacóOMÆ1.Gọi H làtrungđiểm AB)OH?AB. ĐặtOHÆxÉOMÆ1.Khiđó ABÆ2AHÆ2 p 8¡x 2 S OAB Æx p 8¡x 2 Æ p 8x 2 ¡x 4 Æ p 7¡(x 2 ¡1)(x 2 ¡7)É p 7. Chọnđápán B ä Câu58. Trongkhônggiantọađộ Oxyz chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡6yÅmÆ0vàđường thẳng¢làgiaotuyếncủahaimặtphẳng (®): xÅ2y¡2z¡4Æ0và ¡ ¯ ¢ : 2x¡2y¡zÅ1Æ0.Đường thẳng¢cắtmặtcầu (S)tạihaiđiểmphânbiệt A, B thỏamãn ABÆ8khi A. mÆ12. B. mÆ¡12. C. mÆ¡10. D. mÆ5. -Lờigiải. Giả sử #  n 1 , #  n 2 lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (®) và ¡ ¯ ¢ , ta chọn #  n 1 (1;2;¡2) và #  n 2 (2;¡2;¡1). Khi đó £ #  n 1 ; #  n 2 ¤ Æ(¡6;¡3;¡6), gọi #  v là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ¢ ta chọn #  v (2;1;2)vàđiểm M 0 µ 1; 3 2 ;0 ¶ thuộc¢. Suyraphươngtrìnhthamsốcủa¢là 8 > < > : xÆ2tÅ1 yÆtÅ 3 2 zÆ2t. Mặtkháctacó (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡6yÅmÆ0,(xÅ2) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ13¡m. Để (S)làmặtcầusuyra 13¡mÈ0,mÇ13. Khiđógọi I, R làtâmvàbánkínhmặtcầutacó I(¡2;3;0)và RÆ p 13¡m. Hạ IH ?¢ suy ra HA Æ HB Æ 4 ta có IH Æ ¯ ¯ ¯ h #  IM 0 ; #  v i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  v ¯ ¯ . Mà #  IM 0 µ 3;¡ 3 2 ;0 ¶ nên h #  IM 0 ; #  v i Æ (¡3;¡6;6)suyra IHÆ p (¡3) 2 Å(¡6) 2 Å6 2 p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ3. Xéttamgiácvuông HIA tacó IA 2 ÆIH 2 ÅHA 2 ,13¡mÆ3 2 Å4 2 ,mÆ¡12. Chọnđápán B ä Câu59. Cho Z x 2 p x 3 Å2dxÆk ¡ x 3 Å2 ¢ 3 2 ÅC.Tínhgiátrị k. A. ¡ 2 9 . B. 2 9 . C. 2 3 . D. ¡ 2 3 . -Lờigiải. Z x 2 p x 3 Å2dxÆ Z 1 3 ¡ x 3 Å2 ¢ 0 p x 3 Å2dxÆ 2 9 ¡ x 3 Å2 ¢ 3 2 ÅC. Khiđó kÆ 2 9 . Chọnđápán B ä Câu60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡3 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ zÅ1 4 . Điểm nàosauđâykhôngthuộcđườngthẳng d? A. M(1;¡1;¡3). B. N(3;¡2;¡1). C. P(1;¡1;¡5). D. Q(5;¡3;3). -Lờigiải. Tacó: 1¡3 2 Æ ¡1Å2 2 6Æ ¡3Å1 4 nênđiểm M(1;¡1;¡3)khôngthuộcđườngthẳng d. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 177 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu61. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(0;1;1), B(¡1;0;2), C(¡1;1;0) và D(2;1;¡2). Thểtíchkhốitứdiện ABCD bằng A. 5 6 . B. 5 3 . C. 6 5 . D. 3 2 . -Lờigiải. Cách1.Tacó #  ABÆ(¡1;¡1;1), #  ACÆ(¡1;0;¡1)) h #  AB, #  AC i Æ(1;¡2;¡1). Diệntíchmặtđáy ABC SÆ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ p 6 2 . Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC): x¡2y¡zÅ3Æ0. Chiềucaotứdiện hÆd(D,(ABC))Æ j2¡2¢1¡(¡2)Å3j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ 5 p 6 . Vậythểtíchkhốitứdiện ABCD là VÆ 1 3 ShÆ 1 3 ¢ p 6 2 ¢ 5 p 6 Æ 5 6 . Cách2.Tacó #  ABÆ(¡1;¡1;1), #  ACÆ(¡1;0;¡1), #  ADÆ(2;0;¡3) ) h #  AB, #  AC i Æ(1;¡2;¡1), #  AD¢ h #  AB, #  AC i Æ5. Vậythểtíchkhốitứdiện ABCD là VÆ 1 6 ¯ ¯ ¯ #  AD¢ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ 5 6 . Chọnđápán A ä Câu62. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ8y¡2mzÅ6mÆ0.Biếtđường kínhcủa (S)bằng 12,tìm m. A. h mÆ¡2 mÆ8 . B. h mÆ2 mÆ¡8 . C. h mÆ¡2 mÆ4 . D. h mÆ2 mÆ¡4 . -Lờigiải. Ta có aÆ2, bÆ¡4, cÆm, dÆ6m. Do (S) có đường kính bằng 12 nên có bán kính bằng 6, suy ra a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ6 2 ,4Å16Åm 2 ¡6mÆ36,m 2 ¡6m¡16Æ0, h mÆ¡2 mÆ8. Chọnđápán A ä Câu63. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chobađiểm A(1;2;¡1), B(2;1;1), C(0;1;2).Gọi H(x;y;z)làtrựctâmcủatamgiác ABC.Giátrịcủa SÆxÅyÅz là A. 4. B. 5. C. 7. D. 6. -Lờigiải. #  ABÆ(1;¡1;2), #  BCÆ(¡2;0;1), #  ACÆ(¡1;¡1;3). #  AB^ #  BCÆ(¡1;¡5;¡2) ) #  n (ABC) Æ(¡1;¡5;¡2). )(ABC): ¡1(x¡1)¡5(y¡2)¡2(zÅ1)Æ0 ,¡x¡5y¡2zÅ9Æ0,xÅ5yÅ2z¡9Æ0. Gọi H(x;y;z)làtrựctâmtacó: 8 < : #  AH¢ #  BCÆ0 #  BH¢ #  ACÆ0 H2(ABC) Mà #  AHÆ(x¡1;y¡2;zÅ1), #  BHÆ(x¡2;y¡1;z¡1). ) ( ¡2xÅzÆ¡3 ¡x¡yÅ3zÆ0 xÅ5yÅ2zÆ9 , ( zÆ2 yÆ1 zÆ1 )H(2;1;1))xÅyÅzÆ4. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 178 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu64. Trongkhônggian Oxyz,gọi I(a;b;c)làtâmmặtcầuđiqua A(1;¡1;4)vàtiếpxúcvới tấtcảcácmặtphẳngtọađộ.Tính PÆa¡bÅc. A. PÆ6. B. PÆ¡4. C. PÆ¡2. D. PÆ9. -Lờigiải. Goi I(a;b;c)làtâmmặtcầu.Domặtcầutiếpxúcvớibatrụtọađộvàđiqua A(1;¡1;4)nên ½ aÈ0,bÇ0,cÈ0 jajÆjbjÆjcj. Do đó I(a;¡a;a). Vì IAÆR nên (a¡1) 2 Å(¡aÅ1) 2 Å(a¡4) 2 Æa 2 ,aÆ3. Ta có aÆ3,bÆ¡3,cÆ3 nên PÆa¡bÅcÆ9. Chọnđápán D ä Câu65. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm M(2;2;1), N µ ¡ 8 3 ; 4 3 ; 8 3 ¶ .Viếtphươngtrìnhmặt cầucótâmlàtâmcủađườngtrònnộitiếptamgiácOMN vàtiếpxúcvớimặtphẳng(Oxz). A. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ1. B. x 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ1. C. x 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ1. D. (x¡1) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ1. -Lờigiải. Gọi I làtâmđườngtrònnộitiếptamgiácOMN. Tacó:OMÆ3,ONÆ4, MNÆ5. Ápdụngcôngthức: 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ ON¢x M ÅOM¢x N ÅMN¢x O OMÅONÅMN Æ0 y I Æ ON¢y M ÅOM¢y N ÅMN¢y O OMÅONÅMN Æ1 z I Æ ON¢z M ÅOM¢z N ÅMN¢z O OMÅONÅMN Æ1 )I(0;1;1). Và d(I,(Oxz))Æ1. Vậy,phươngtrìnhmặtcầucầnlập: x 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ1. Chọnđápán B ä Câu66. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầu (S)điquađiểmO(0;0;0)vàcắtcáctia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(2;4;8).Tọađộtâmmặtcầu (S)là A. (3;6;12). B. µ 2 3 ; 4 3 ; 8 3 ¶ . C. (1;2;3). D. µ 4 3 ; 8 3 ; 16 3 ¶ . -Lờigiải. Gọi A(x A ;0;0),B(0;y B ;0),C(0;0;z C ). Do G(2;4;8) là trọng tâm tam giác ABC nên x A Æ6,y B Æ12 và z C Æ24.Suyra A(6;0;0),B(0;12;0),C(0;0;24). Gọiphươngtrìnhmặtcầu (S)códạng x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 (a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0), trongđó I(a;b;c)làtâmcủamặtcầu.Do (S)điquabốnđiểm A,B,C,O nêntacóhệ 8 > < > : dÆ0 36¡12aÅdÆ0 144¡24bÅdÆ0 576¡48cÅdÆ0 , 8 < : dÆ0 aÆ3 bÆ6 cÆ12 )I(3;6;12). Chọnđápán A ä Câu67. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(1;2;3).Tìmtọađộđiểm A 1 làhìnhchiếuvuông góccủa A lênmặtphẳng (Oyz). A. A 1 (1;0;0). B. A 1 (0;2;3). C. A 1 (1;0;3). D. A 1 (1;2;0). -Lờigiải. Mặt phẳng (Oyz) có phương trình xÆ0. Từ đó suy ra điểm A 1 (0;2;3) là hình chiếu vuông góc củađiểm A(1;2;3)lênmặtphẳng (Oyz). Chọnđápán B ä Câu68. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(0;1;¡1). Hai điểm D, E thay đổi trên các đoạn OA, OB sao cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tíchbằngnhau.Khi DE ngắnnhấtthìtrungđiểm I củađoạn DE cótọađộlà Th.sNguyễnChínEm 179 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. I à p 2 4 ; p 2 4 ; 0 ! . B. I à p 2 3 ; p 2 3 ; 0 ! . C. I µ 1 4 ; 1 4 ; 0 ¶ . D. I µ 1 3 ; 1 3 ; 0 ¶ . -Lờigiải. TheođềbàitacóOAÆOBÆ p 2và S ODE Æ 1 2 S OAB , 1 2 ¢OD¢OE¢sin ƒ DOEÆ 1 2 ¢ 1 2 ¢OA¢OB¢sin ƒ AOB ,OD¢OEÆ 1 2 OA¢OBÆ1. O D A I M E B Mặtkhác DE 2 ÆOD 2 ÅOE 2 ¡2OD.OE.cos ƒ AOB¸2OD.OE¡2OD.OE.cos ƒ AOBÆ2 ³ 1¡cos ƒ AOB ´ . Suyra DE nhỏnhấtkhiODÆOEÆ1. Gọi M làtrungđiểmcủa AB,tacó M µ 1 2 ; 1 2 ;0 ¶ . Khiđó, #  OIÆ OI OM ¢ #  OMÆ OD OA ¢ #  OMÆ Ã p 2 4 ; p 2 4 ; 0 ! .Suyra I à p 2 4 ; p 2 4 ; 0 ! Chọnđápán A ä Câu69. Cho tam giác ABC biết A(2;¡1;3) và trọng tâm G(2;1;0). Khi đó #  ABÅ #  AC có toạ độ là A. (0;6;9). B. (0;9;¡9). C. (0;¡9;9). D. (0;6;¡9). -Lờigiải. Tacó #  AGÆ(0;2;¡3),theotínhchấttrọngtâmtamgiáctacó #  ABÅ #  ACÆ3 #  AGÆ(0;6;¡9). Chọnđápán D ä Câu70. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;¡3;7),B(0;4;¡3),C(4;2;5).Biết điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )nằmtrênmặtphẳng (Oxy)saocho ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯cógiátrịnhỏnhất.Khi đótổng PÆx 0 Åy 0 Åz 0 bằng A. PÆ0. B. PÆ6. C. PÆ3. D. PÆ¡3. -Lờigiải. Vì M2(Oxy)nên M(x 0 ;y 0 ;0).GọiG làtrọngtâmcủatamgiác ABC. TacóG(2;1;3). Khiđó ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  MGÅ #  GAÅ #  MGÅ #  GBÅ #  MGÅ #  GC ¯ ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯3 #  MG ¯ ¯ ¯Æ3MGÆ3 p (x 0 ¡2) 2 Å(y 0 ¡1) 2 Å3 2 ¸9. Dấu“Æ”xảyrakhi x 0 Æ2và y 0 Æ1hay M(2;1;0). Vậy PÆx 0 Åy 0 Åz 0 Æ3. Chọnđápán C ä Câu71. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;2;1), B µ ¡ 8 3 ; 4 3 ; 8 3 ¶ . Biết I(a;b;c) là tâm đườngtrònnộitiếpcủatamgiácOAB.Tính SÆaÅbÅc. A. SÆ1. B. SÆ0. C. SÆ¡1. D. SÆ2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 180 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi C là chân đường phân giác trong góc O của tam giácOAB. TacóOAÆ3,OBÆ4. #  CAÆ¡ OA OB #  CB, 8 > > > > > > > < > > > > > > > : 2¡x C Æ¡ 3 4 µ ¡ 8 3 ¡x C ¶ 2¡y C Æ¡ 3 4 µ 4 3 ¡y C ¶ 1¡z C Æ¡ 3 4 µ 8 3 ¡z C ¶ , 8 > > > > < > > > > : x C Æ0 y C Æ 12 7 z C Æ 12 7 . Vậy C µ 0; 12 7 ; 12 7 ¶ . Khiđó ACÆ Ê (0¡2) 2 Å µ 12 7 ¡2 ¶ 2 Å µ 12 7 ¡1 ¶ 2 Æ 15 7 . A B C O I Talạicó #  ICÆ¡ AC AO #  IO, 8 > > > > > > < > > > > > > : ¡aÆ 5 7 a 12 7 ¡bÆ 5 7 b 12 7 ¡cÆ 5 7 c , ( aÆ0 bÆ1 cÆ1. Dođó SÆaÅbÅcÆ2. Chọnđápán D ä Câu72. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;0;¡3),B(¡3;¡2;¡5).Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức AM 2 ÅBM 2 Æ30 là mặt cầu (S).Tọađộtâm I vàbánkính R củamặtcầu (S)là A. I(¡2;¡2;¡8);RÆ3. B. I(¡1;¡1;¡4);RÆ p 6. C. I(¡1;¡1;¡4);RÆ3. D. I(¡1;¡1;¡4);RÆ p 30 2 . -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB,tacó IÆ(¡1;¡1;¡4). Khiđó AM 2 ÅBM 2 Æ #  AM 2 Å #  BM 2 Æ ³ #  AIÅ #  IM ´ 2 Å ³ #  BIÅ #  IM ´ 2 Æ #  AI 2 Å #  BI 2 Å2 #  IM 2 Å2 #  IM ³ #  AIÅ #  BI ´ ÆAI 2 ÅBI 2 Å2IM 2 Æ AB 2 2 Å2IM 2 Æ12Å2IM 2 . Nên AM 2 ÅBM 2 Æ 30, 12Å2IM 2 Æ 30, IMÆ 3. Vậy, tập hợp điểm M là mặt cầu (S) tâm I(¡1;¡1;¡4),bánkính RÆ3. Chọnđápán C ä Câu73. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2;¡4), B(¡3;5;2). Tìm tọađộđiểm M saochobiểuthức MA 2 Å2MB 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. M(¡1;3;¡2). B. M(¡2;4;0). C. M(¡3;7;¡2). D. M µ ¡ 3 2 ; 7 2 ;¡1 ¶ . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 181 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tatìmđiểm I saocho #  IAÅ2 #  IBÆ #  0. Tacó #  IAÅ2 #  IBÆ #  0 , ( 0¡x I Å2(¡3¡x I )Æ0 2¡y I Å2(5¡y I )Æ0 ¡4¡z I Å2(2¡z I )Æ0 , ( x I Æ¡2 y I Æ4 z I Æ0. Nhưvậy I(¡2;4;0). Từđó MA 2 Å2MB 2 Æ #  MA 2 Å2 #  MB 2 Æ ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 Å2 ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 Æ3MI 2 ÅIA 2 Å2IB 2 Å #  MI ³ #  IAÅ2 #  IB ´ Æ3MI 2 ÅIA 2 Å2IB 2 ¸IA 2 Å2IB 2 Æ30. Do đó MA 2 Å2MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất là bằng 30 khi và chỉ khi MIÆ0,M´I. Hay MÆ (¡2;4;0). Chọnđápán B ä Câu74. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SAÆABÆa và SA?(ABCD). Gọi M làtrungđiểm AD,tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng SC và BM. A. a p 14 6 . B. 6a p 14 . C. a p 14 2 . D. 2a p 14 . -Lờigiải. Đặt hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz với O´ A,B2Oy,D2 Ox,S2Oz. Tacó: A(0;0;0),S(0;0;a),B(0;a;0),D(a;0;0),C(a;a;0),M ³ a 2 ;0;0 ´ . Dođó dÆ ¯ ¯ ¯ h #  SC, #  BM i ¢ #  BC ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h #  SC, #  BM i¯ ¯ ¯ . (¤) Mà #  SCÆ(a;a;¡a), #  BMÆ ³ a 2 ;¡a;0 ´ , #  BCÆ(a;0;0). Suyra h #  SC, #  BM i Æ µ ¡a 2 ;¡ a 2 2 ;¡ 3a 2 2 ¶ ,thayvào (¤)tađược dÆ ¯ ¯ ¡a 3 ¯ ¯ Ê a 4 Å a 4 4 Å 9a 4 4 Æ 2a p 14 . y z x B S A D M C Chọnđápán D ä Câu75. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm A(1;¡2;1),B(0;2;¡1),C(2;¡3;1).Điểm M thỏamãn TÆMA 2 ¡MB 2 ÅMC 2 nhỏnhất.Tínhgiátrịcủa PÆx 2 M Å2y 2 M Å3z 2 M . A. PÆ134. B. PÆ162. C. PÆ101. D. PÆ114. -Lờigiải. Giảsử I(x;y;z)thỏamãn #  IA¡ #  IBÅ #  ICÆ #  0. Khiđótacó ( 1¡x¡(0¡x)Å(2¡x)Æ0 ¡2¡y¡(2¡y)Å(¡3¡y)Æ0 1¡z¡(¡1¡z)Å(1¡z)Æ0 , ( xÆ3 yÆ¡7 zÆ3 )I(3;¡7;3). Tacó TÆ #  MA 2 ¡ #  MB 2 Å #  MC 2 Æ ³ #  IA¡ #  IM ´ 2 ¡ ³ #  IB¡ #  IM ´ 2 Å ³ #  IC¡ #  IM ´ 2 ÆIA 2 ¡IB 2 ÅIC 2 ¡2 ³ #  IA¢ #  IM¡ #  IB¢ #  IMÅ #  IC¢ #  IM ´ ÅIM 2 ÆIA 2 ¡IB 2 ÅIC 2 ¡2 #  IM ³ #  IA¡ #  IBÅ #  IC ´ ÅIM 2 ÆIA 2 ¡IB 2 ÅIC 2 ÅIM 2 . Do IA 2 ¡IB 2 ÅIC 2 là số không đổi nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi IM nhỏ nhất ,M´I.Suyra M(3;¡7;3). Vậy PÆ3 2 Å2¢(¡7) 2 Å3¢3 2 Æ134. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu76. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD 0 , điểm N thuộc đoạn BD sao cho AMÆDNÆx, à 0ÇxÇ a p 2 2 ! . Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất. A. xÆ a p 2 3 . B. xÆ a p 2 4 . C. xÆ a 3 . D. xÆ a 2 . -Lờigiải. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O´ A 0 , A 0 D 0 ´Ox, A 0 B 0 ´Oy, A 0 A´Oz. A 0 (0;0;0), D 0 (a;0;0), B 0 (0;a;0), A(0;0;a), D(a;0;a), B(0;a;a), C 0 (a;a;0), C(a;a;a). M à x p 2 ;0; a p 2¡x p 2 ! , N à a p 2¡x p 2 ; x p 2 ;a ! . C C 0 B 0 B M N A D A 0 D 0 )MN 2 Æ( p 2x¡a) 2 Å x 2 2 Å x 2 2 Æ3x 2 ¡2 p 2axÅa 2 Æ3 à x 2 ¡2 p 2 3 axÅ 2a 2 9 ! Å a 2 3 . )MN 2 Æ3 à x¡ p 2a 3 ! 2 Å a 2 3 .Vậy MN ngắnnhất,xÆ a p 2 3 . Chọnđápán A ä Câu77. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(¡1;0;0), B(0;0;2), C(0;¡3;0). Bán kính mặtcầungoạitiếptứdiệnOABC là A. p 14 3 . B. p 14 4 . C. p 14 2 . D. p 14. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S)ngoạitiếptứdiệnOABC códạng: x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 (S)với a 2 Åb 2 Åc 2 Èd. O(0;0;0)2(S))dÆ0)(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÆ0. A(¡1;0;0)2(S))(¡1) 2 ¡2a(¡1)Æ0)aÆ¡ 1 2 B(0;0;2)2(S))2 2 ¡2c¢2Æ0)cÆ1 C(0;¡3;0)2(S))(¡3) 2 ¡2b¢(¡3)Æ0)bÆ¡ 3 2 Suyramặtcầucótâm I µ ¡ 1 2 ;¡ 3 2 ;1 ¶ . #  OIÆ µ ¡ 1 2 ;¡ 3 2 ;1 ¶ BánkínhcủamặtcầungoạitiếptứdiệnOABC: RÆOIÆ Ê µ ¡ 1 2 ¶ 2 Å µ ¡ 3 2 ¶ 2 Å1 2 Æ p 14 2 . Chọnđápán C ä Câu78. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;¡2), B(4;0;0). Mặt cầu (S) cóbánkínhnhỏnhất,điquaO,A,B cótâmlà A. I(2;0;¡1). B. I(0;0;¡1). C. I(2;0;0). D. I µ 4 3 ;0;¡ 2 3 ¶ . -Lờigiải. Gọitọađộtâm I củamặtcầu (S)là I(a;b;c). Phươngtrìnhcủamặtcầu (S)là (x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆR Th.sNguyễnChínEm 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 O(0;0;0)2(S))a 2 Åb 2 Åc 2 ÆR (1) A(0;0;¡2)2(S))a 2 Åb 2 Å(¡2¡c) 2 ÆR (2) B(4;0;0)2(S))(4¡a) 2 Åb 2 Åc 2 ÆR (3) Từ(1)và(2))c 2 Æ(¡2¡c) 2 ,c 2 Æc 2 Å4cÅ4)cÆ¡1. Từ(1)và(3))a 2 Æ(4¡a) 2 ,a 2 Æa 2 ¡8aÅ16)aÆ2. Thay aÆ2;cÆ¡1vào(1)tađược: RÆ5Åb 2 ¸5. Suyrađểmặtcầu (S)cóbánkínhnhỏnhấtthì bÆ0)I(2;0;¡1). Vậy I(2;0;¡1). Chọnđápán A ä Câu79. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0). Tậphợpcácđiểm M thỏamãn MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 làmặtcầucóbánkínhlà A. RÆ2. B. RÆ p 3. C. RÆ3. D. RÆ p 2. -Lờigiải. Giảsử M(x;y;z). Tacó: MA 2 Æ(x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 ; MB 2 Æx 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 ; MC 2 Æx 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 . MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 ,(x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æx 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Åx 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 ,¡2xÅ1Æ(y¡2) 2 Åx 2 Å(z¡3) 2 ,(xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ2 Vậytậphợpcácđiểm M thỏamãn MA 2 ÆMB 2 ÅMC 2 làmặtcầucóbánkínhlà RÆ p 2. Chọnđápán D ä Câu80. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,cho A(1;1;1), B(2;1;¡1), C(0;4;6).Điểm M dichuyểntrêntrụcOx.Tìmtọađộđiểm M để PÆ ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯cógiátrịnhỏnhất. A. M(¡2;0;0). B. M(2;0;0). C. M(¡1;0;0). D. M(1;0;0). -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC.Khiđó,G(1;2;2). PÆ ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯Æ3 ¯ ¯ ¯ #  MG ¯ ¯ ¯Æ3MG. P nhỏnhấtkhivàchỉkhi MG nhỏnhất. Điềunàyxảyrakhivàchỉkhi M làhìnhchiếucủaG lênOx.Vậy M(1;0;0). Chọnđápán D ä Câu81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;¡1) và mặt phẳng (P): xÅy¡ z¡3Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtcầucótâm I nằmtrên (P),điquađiểm A vàgốctọađộ O sao chochuvitamgiácOIA bằng 6Å p 2. A. (xÅ2) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9và (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. B. (x¡3) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡3) 2 Æ9và (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. C. (x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9và x 2 Åy 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9và (x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Gọi (Q)làmặtphẳngtrungtrựccủa OA.Lúcđó (Q)điquađiểm B µ 1 2 ;0;¡ 1 2 ¶ (trungđiểm OA) vànhậnvéc-tơ #  OAÆ(1;0;¡1)làmvéc-tơpháptuyến,nêncóphươngtrình x¡z¡1Æ0. Theo giả thiết, tâm I nằm trên (P) và cách đều O,A nên I nằm trên giao tuyến d của (P) và (Q)nêncótọađộ I(tÅ1;2;t). ChuvitamgiácOIA là 2p OIA ÆOAÅOIÅIAÆ p 2Å p t 2 Å4Å(tÅ1) 2 Å p t 2 Å4Å(tÅ1) 2 Æ p 2Å6 ,2 p t 2 Å4Å(tÅ1) 2 Æ6, h tÆ1 tÆ¡2. Với tÆ1,tacó I(2;2;1)vàphươngtrìnhmặtcầulà (x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Với tÆ¡2,tacó I(¡1;2;¡2)vàphươngtrìnhmặtcầulà (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0;0), B(3;2;4), C(0;5;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho TÆ ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ2 #  MC ¯ ¯ ¯ nhỏ nhất. A. M(1;¡3;0). B. M(1;3;0). C. M(3;1;0). D. M(2;6;0). -Lờigiải. Gọi I là điểm thỏa mãn #  IAÅ #  IBÅ2 #  ICÆ #  0. Tọa độ I là I(1;3;3). Khi đó TÆ ¯ ¯ ¯4 #  MI ¯ ¯ ¯Æ4MI. Để P nhỏnhấtthì MI nhỏnhất,tứclà M làhìnhchiếucủa I lên (Oxy).Vậytọađộ M là M(1;3;0). Chọnđápán B ä Câu83. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(¡2;3;1), B(2;1;0), C(¡3;¡1;1).Tìmtấtcảcác điểm D saocho ABCD làhìnhthangcóđáy AD và S ABCD Æ3S ABC . A. D(8;7;¡1). B. · D(8;7;¡1) D(¡12;¡1;3) . C. · D(¡8;¡7;1) D(12;1;¡3) . D. D(¡12;¡1;3). -Lờigiải. Tacó S ABCD Æ3S ABC , 1 2 ¢h¢(ADÅBC)Æ3¢ 1 2 ¢h¢BC ,ADÅBCÆ3BC,ADÆ2BC) #  ADÆ2 #  BC , 8 < : x D ¡x A Æ2(x C ¡x B ) y D ¡y A Æ2(y C ¡y B ) z D ¡z A Æ2(z C ¡z B ) ,D(¡12;¡1;3). A D B C h Chọnđápán D ä Câu84. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(0;0;¡1),B(¡1;1;0),C(1;0;1).Tìmđiểm M sao cho 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. M µ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . B. M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;2 ¶ . C. M µ ¡ 3 4 ; 3 2 ;¡1 ¶ . D. M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . -Lờigiải. Gọi I làđiểmthỏa 3 #  IAÅ2 #  IB¡ #  ICÆ #  0 )4 #  OIÆ3 #  OAÅ2 #  OB¡ #  OC. Từđósuyra I µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 Æ3( #  MIÅ #  IA) 2 Å2( #  MIÅ #  IB) 2 ¡( #  MIÅ #  IC) 2 Æ4MI 2 Å2 #  MI(3 #  IAÅ2 #  IB¡ #  IC)Å3IA 2 Å2IB 2 ÅIC 2 Æ4MI 2 Å3IA 2 Å2IB 2 ÅIC 2 . Vậyđể 3MA 2 Å2MB 2 ¡MC 2 đạtgiátrịnhỏnhấtthì M´I,M µ ¡ 3 4 ; 1 2 ;¡1 ¶ . Chọnđápán D ä Câu85. 3Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡8yÅ9Æ0 và hai điểm A(3;0;0),B(4;2;1).Gọi M làđiểmthuộcmặtcầu (S).Giátrịnhỏnhấtcủa MAÅ2MBbằng A. 6 p 2. B. 3 p 2. C. 5 p 2. D. 4 p 2. -Lờigiải. M I A E F Tacó (S)cótâm I(¡1;4;0)vàbánkính RÆ2 p 2.Đồngthời IAÆ4 p 2Æ2R. Gọi EÆIA\(S))E làtrungđiểmcủa IA và E(1;2;0). Gọi F làtrungđiểm IE)F(0;3;0). Th.sNguyễnChínEm 185 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó4AIM đồngdạng4MIF) MA FM Æ AI MI Æ2)MAÆ2MF. Dođ1o MAÅ2MBÆ2(MFÅMB)Ê2BFÆ6 p 2. Chọnđápán A ä Câu86. TrongkhônggianOxyzchocácđiểm A(5;1;5);B(4;3;2);C(¡3;¡2;1).Điểm I(a, b, c)là tâmđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC.Tính aÅ2bÅc ? A. 1. B. 3. C. 6. D. ¡9. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;2;¡3), #  BCÆ(¡7;¡5;¡1). Mặtphẳngtrungtrựccủa AB là¡1 µ x¡ 9 2 ¶ Å2(y¡2)¡3 µ z¡ 7 2 ¶ Æ0,¡xÅ2y¡3zÅ11Æ0. Mặtphẳngtrungtrựccủa BC là 7 µ x¡ 1 2 ¶ Å5 µ y¡ 1 2 ¶ Å1 µ z¡ 3 2 ¶ Æ0,7xÅ5yÅz¡ 15 2 Æ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ h #  AB, #  BC i Æ(17;¡20;¡19)là 17(x¡5)¡20(y¡1)¡19(z¡5)Æ17x¡20y¡19zÅ30Æ0. Từđâytasuyratọađộtâm I(a,b,c)củađườngtrònngoạitiếplànghiệmcủahệsau 8 > > < > > : ¡xÅ2y¡3zÅ11Æ0 7xÅ5yÅz¡ 15 2 Æ0 17x¡20y¡19zÅ30Æ0 , 8 > < > : xÆ1 yÆ¡ 1 2 yÆ3. Vậy aÅ2bÅcÆ1¡1Å3Æ3. Chọnđápán B ä Câu87. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A,B,C (không trùng O) lần lượt thay đổi trên các trục Ox,Oy,Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích của tam giác ABC và thể tích khốitứdiệnOABCbằng 3 2 .Biếtrằngmặtphẳng(ABC)luôntiếpxúcvớimộtmặtcầucốđịnh, bánkínhcủamặtcầuđóbằng A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Diệntíchtamgiác ABC là: S ABC Æ S OBC cos((OBC),(ABC)) Æ OA d(O,(ABC)) ¢S OBC Æ jabcj 2d(O,(ABC)) . ThểtíchtứdiệnOABC là:VÆ jabcj 6 Theobàira,tacó: jabcj 2d(O,(ABC)) Æ 3 2 ¢ jabcj 6 )d(O,(ABC))Æ2. Vậymặtphẳng (ABC)luôntiếpxúcvớimặtcầutâmO bánkínhbằng 2. Chọnđápán B ä Câu88. TrongkhônggianOxyz,chohìnhlăngtrụtamgiácđều ABC.A 1 B 1 C 1 có A 1 ¡p 3;¡1;1 ¢ , hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và AA 1 Æ1, (C không trùng với O). Biết #  uÆ(a;b;2) là một véc-tơ chỉphươngcủađườngthẳng A 1 C.Tính TÆa 2 Åb 2 . A. 4. B. 9. C. 16. D. 5. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi M là trung điểm của BC. Vì B, C thuộc trục Oz nên M(0;0;m) và #  k Æ(0;0;1)làvéc-tơchỉphươngcủa BC. Tacó n BC?AM BC?A 1 A )BC?(A 1 AM))BC?A 1 M. Mặtkhác #  A 1 MÆ(¡ p 3;1;m¡1) ) #  A 1 M¢ #  k Æ0)m¡1Æ0,mÆ1 ) M(0;0;1). Gọi C(0;0;z) và ABÆ xÈ 0. Vì ABC là tam giác đều cạnhbằng xnên AMÆ x p 3 2 . Tacó #  A 1 MÆ(¡ p 3;1;0))A 1 MÆ2. A A 1 C C 1 B 1 B M Xéttamgiác A 1 AM vuôngtại A)A 1 M 2 ÆA 1 A 2 ÅAM 2 ,2 2 Æ1 2 Å 3x 2 4 ,xÆ2. Tacó #  A 1 CÆ(¡ p 3;1;z¡1))A 1 C 2 Æ4Å(z¡1) 2 . Xéttamgiác A 1 AC vuôngtại A )A 1 C 2 ÆA 1 A 2 ÅAC 2 ,4Å(z¡1) 2 Æ1Å4,(z¡1) 2 Æ1, h zÆ2 zÆ0. Với zÆ0)C(0;0;0)´O)C(0;0;0)(loại). Với zÆ2)C(0;0;2)(thỏamãn). Suyra #  A 1 CÆ(¡ p 3;1;1). Vì #  uÆ(a;b;2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa A 1 C nên a ¡ p 3 Æ b 1 Æ 2 1 , ½ aÆ¡2 p 3 bÆ2. Vậy TÆ ¡ ¡2 p 3 ¢ 2 Å2 2 Æ16. Chọnđápán C ä Câu89. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(1;2;¡1)vàmặtphẳng (P):xÅyÅ2z¡13Æ0.Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tính giá trị của biểuthức TÆa 2 Å2b 2 Å3c 2 khi (S)cóbánkínhnhỏnhất. A. TÆ35. B. TÆ20. C. TÆ25. D. TÆ30. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa A lênmặtphẳng (P):xÅyÅ2z¡13Æ0. Khiđótọađộđiểm H lànghiệmcủahệphươngtrình ( x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ zÅ1 2 xÅyÅ2z¡13Æ0 , ( xÆ3 yÆ4 zÆ3 )H(3;4;3). Gọi R làbánkínhmặtcầu (S). Do (S)cótâm I,điquađiểm A,tiếpxúcvớimặtphẳng (P)tạiđiểm K nêntacó 2RÆIAÅd(I;(P))¸AK¸AH. Suy ra bán kính R nhỏ nhất bằng AH 2 ) I là trung điểm của AH) I(2;3;1). Khiđó TÆa 2 Å2b 2 Å3c 2 Æ25. I M H P K Chọnđápán C ä Câu90. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chobốnđiểm A(0;1;1), B(¡1;0;2), C(¡1;1;0)và D(2;1;¡2).Hỏicótấtcảbaonhiêumặtphẳngcáchđềutấtcảbốnđiểmđó? A. 7mặtphẳng. B. Cóvôsốmặtphẳng. C. 3mặtphẳng. D. 6mặtphẳng. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡1;1), #  ACÆ(¡1;0;¡1), #  ADÆ(2;0;¡2). [ #  AB, #  AC]Æ(1;¡2;¡1))[ #  AB, #  AC] #  ADÆ46Æ0. Nên 4điểm A,B,C, D khôngđồngphẳng.Gọi (P)làmặtphẳngcáchđềubốnđỉnh A,B,C, D; cóhaitrườnghợpsau. Cómộtđiểmnằmkhácphíasovới 3điểmcònlạisovới (P))có 4mặtphẳngthỏamãn. Mỗiphíamặtphẳng (P)cóhaiđiểm:)có 3mặtphẳngthỏamãn. Vậycó7mặtphẳngthỏamãn. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 187 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu91. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chohaiđườngthẳngd 1 : ( xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ¡3¡t vàd 2 : ( xÆ4Å3t xÆ3Å2t zÆ1¡t . Trên đường thẳng d 1 lấy hai điểm A,B thoả mãn ABÆ3. Trên đường thẳng d 2 lấy hai điểm C,D thoảmãn CDÆ4.TínhthểtíchV củatứdiện ABCD. A. VÆ7. B. VÆ2 p 21. C. VÆ 4 p 21 3 . D. VÆ 5 p 21 6 . -Lờigiải. Đườngthẳng d 1 điqua M(1;2;¡3)vàcóVTCP #  n 1 Æ(1;¡2;¡1),đườngthẳng d 2 điqua N(4;3;1) vàcóVTCP #  n 2 Æ(3;2;¡1). Tacó: #  n 1 ¢ #  n 2 Æ0nênsuyra: AB?CD. Lạicó: d[AB,CD]Æ ¯ ¯ ¯ #  MN¢ £ #  n 1 , #  n 2 ¤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ £ #  n 1 , #  n 2 ¤¯ ¯ Æ4 p 21. DẫntớiV ABCD Æ 1 6 ¢AB¢CD¢d[AB,CD]¢sin(AB,CD)Æ2 p 21. Chọnđápán B ä Câu92. Cóbaonhiêumặtcầuđiquađiểm M(2;¡2;5)vàtiếpxúcvớicảbamặtphẳng(P): x¡ 1Æ0, (Q): yÅ1Æ0và (R): z¡1Æ0? A. 7. B. 1. C. 8. D. 3. -Lờigiải. Gọi I(a;b;c)và r lầnlượtlàtâmvàbánkínhcủamặtcầu. Tacó d(I,(P))Æd(I,(Q))Æd(I,(R))suyra rÆja¡1jÆjbÅ1jÆjc¡1j. Do điểm M(2;¡2;5) thuộc miền xÈ1; yÇ¡1; zÈ1 nên I(a;b;c) cũng thuộc miền aÈ1; bÇ¡1; cÈ1. Do các mặt phẳng (P), (Q), (R) là các mặt phẳng song song lần lượt với các mặt phẳng (Oyz), (Oxz), (Oxy)nên I(1År;¡1¡r;1År). Mặtkhác IMÆr,(r¡1) 2 Å(r¡1) 2 Å(r¡4) 2 Ær 2 ,rÆ3.Khiđó I(4;¡4;4). Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (x¡4) 2 Å(yÅ4) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. Chọnđápán B ä Câu93. TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  uÆ(1;1;¡2)và #  v Æ(1;0;m).Tìmmđểgócgiữa haivéc-tơ #  u, #  v cósốđobằng 45 ± .Mộthọcsinhgiảinhưsau: Bước1:Tính cos ¡ #  u, #  v ¢ Æ 1¡2m p 6¢ p m 2 Å1 ¢ Bước2:Gócgiữa #  u, #  v cósốđobằng 45 ± nên 1¡2m p 6¢ p m 2 Å1 Æ 1 p 2 ,1¡2mÆ p 3(m 2 Å1).(¤) Bước3:Phươngtrình (¤),(1¡2m) 2 Æ3(m 2 Å1),m 2 ¡4m¡2Æ0, · mÆ2¡ p 6 mÆ2Å p 6. Bàigiảiđúnghaysai?Nếusaithìsaiởbướcnào? A. Saiởbước2. B. Saiởbước3. C. Đúng. D. Saiởbước1. -Lờigiải. Tacó cos ¡ #  u, #  v ¢ Æcos45 ± , 1¡2m p 6¢ p m 2 Å1 Æ 1 p 2 ,1¡2mÆ p 3(m 2 Å1) , n 1¡2m¸0 (1¡2m) 2 Æ3(m 2 Å1) , n 2m·1 m 2 ¡4m¡2Æ0 , 8 > < > : m· 1 2 · mÆ2¡ p 6 mÆ2Å p 6 ,mÆ2¡ p 6. Chọnđápán B ä 4.1 ĐÁPÁN 1. D 2. D 3. C 4. A 5. D 6. A 7. C 8. D 9. D 10. D 11. A 12. B 13. B 14. C 15. B 16. D 17. B 18. C 19. B 20. B 21. D 22. A 23. C 24. C 25. C 26. C 27. A 28. B 29. A 30. D 31. D 32. C 33. C 34. D 35. C 36. A 37. A 38. B 39. B 40. C Th.sNguyễnChínEm 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 41. D 42. B 43. A 44. D 45. B 46. A 47. A 48. C 49. B 50. D 51. C 52. A 53. C 54. C 55. B 56. C 57. B 58. B 59. B 60. A 61. A 62. A 63. A 64. D 65. B 66. A 67. B 68. A 69. D 70. C 71. D 72. C 73. B 74. D 75. A 76. A 77. C 78. A 79. D 80. D 81. D 82. B 83. D 84. D 85. A 86. B 87. B 88. C 89. C 90. A 91. B 92. B 93. B Th.sNguyễnChínEm 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 BÀI2. PHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG A KIẾNTHỨCTRỌNGTÂM 1 VÉC-TƠPHÁPTUYẾN Địnhnghĩa1. Chomặtphẳng(P).Véc-tơ #  n6Æ #  0 vàcógiávuông gócvớimặtphẳng(P)đượcgọilàmộtvéc-tơpháp tuyếncủamặtphẳng (P). 1 Giá của một véc-tơ là đường thẳng chứa véc-tơđó. 2 Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thườngđượckíhiệulà #  n p #  n (P) P 3 Mộtmặtphẳng(P)cóvôsốvéc-tơpháptuyến.Nếu #  n p làmộtvéc-tơpháptuyếncủa mặtphẳng (P)thì k¢ #  n p (k6Æ0)cũnglàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). 2 PHƯƠNGTRÌNHTỔNGQUÁTCỦAMẶTPHẲNG Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận véc-tơ #  n p Æ(A;B;C) khác #  0 làmvéc-tơpháptuyếnlà A(x¡x 0 )ÅB(y¡y 0 )ÅC(z¡z 0 )Æ0. 1 Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là AxÅByÅCzÅDÆ0 thì nó có một véc-tơpháptuyếnlà #  n p Æ(A;B;C). 2 Phươngtrìnhcủamặtphẳngchắn:Chomặtphẳng (P)cắtcáctrục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm phân biệt A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c). Khi đó phương trình của mặt phẳng (P)theođoạnchắnlà x a Å y b Å z c Æ1. 2.1 ĐIỀUKIỆNĐỂHAIMẶTPHẲNGSONGSONG,VUÔNGGÓC TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P)và(Q)cóphươngtrìnhtổngquátlầnlượt là: A 1 xÅB 1 yÅC 1 zÅD 1 Æ0;A 2 xÅB 2 yÅC 2 zÅD 2 Æ0. Gọi #  n p Æ(A 1 ;B 1 ;C 1 ), #  n q Æ(A 2 ;B 2 ;C 2 )lầnlượtlàvéc-tơpháptuyếncủa (P)và (Q).Tacó: 1 (P)Ò(Q), n #  n p Æk. #  n q D 1 6Æk.D 2 (1) Khicácsố A 2 ;B 2 ;C 2 ;D 2 đềukhác 0,hệ(1)tươngđươngvớiđiềukiện: A 1 A 2 Æ B 1 B 2 Æ C 1 C 2 6Æ D 1 D 2 . 2 (P)?(Q), #  n p ? #  n q , #  n p ¢ #  n q Æ0,A 1 A 2 ÅB 1 B 2 ÅC 1 C 2 Æ0. Th.sNguyễnChínEm 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ! ç (P)cắt (Q)khivàchỉkhihaivéc-tơpháptuyếncủachúngkhôngsongsong. ç (P)´(Q), n #  n p Æk¢ #  n q D 1 Æk¢D 2 (2) ç Khicácsố A 2 ;B 2 ;C 2 ;D 2 đềukhác 0,hệ(2)tươngđươngvớiđiềukiện: A 1 A 2 Æ B 1 B 2 Æ C 1 C 2 Æ D 1 D 2 . 2.2 KHOẢNGCÁCHTỪMỘTĐIỂMĐẾNMỘTMẶTPHẲNG Khoảng cách từ điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (P): AxÅByÅCzÅDÆ0 được tính bởi côngthức: d(M,(P))Æ jAx 0 ÅBy 0 ÅCz 0 ÅDj p A 2 ÅB 2 ÅC 2 . Mộtsốápdụng: 1 Khoảngcáchgiữahaimặtphẳngsongsong: (P)Ò(Q).Khiđótacó: d((P),(Q))Æd(M,(Q))Æd(N,(P)) trongđó M làmộtđiểmbấtkìthuộc (P), N làmộtđiểmbấtkìthuộc (Q). 2 Khoảngcáchtừmộtđườngthẳngđếnmộtmặtphẳng(songsong):¢Ò(P).Khiđóta có: d(¢,(P))Æ d(M,(P)) trongđó M làmộtđiểmbấtkìthuộc¢. 2.3 GÓCGIỮAHAIMẶTPHẲNG Gọi #  n p Æ(A 1 ;B 1 ;C 1 ), #  n q Æ(A 2 ;B 2 ;C 2 )lầnlượtlàvéc-tơpháptuyếncủa (P)và (Q). Gọi®làgócgiữahaimặtphẳng (P), (Q). Tacó: cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n p , #  n q ¢¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  n p ¢ #  n q ¯ ¯ ¯ ¯ #  n p ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n q ¯ ¯ Æ jA 1 ¢A 2 ÅB 1 ¢B 2 ÅC 1 ¢C 2 j È A 2 1 ÅB 2 1 ÅC 2 1 ¢ È A 2 2 ÅB 2 2 ÅC 2 2 B CÁCDẠNGTOÁN 1 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNGTRUNGTRỰCCỦAĐOẠNTHẲNG ABCHOTRƯỚC Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạnthẳngđó.Dođótacó (P): 8 < : ĐiquaI ³ x A Åx B 2 ; y A Åy B 2 ; z A Åz B 2 ´ VTPT #  n P Æ #  ABÆ(x B ¡x A ;y B ¡y A ;z B ¡z A ). Vídụ1. Viếtphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A(2;0;1), B(0;¡2;3) 1 A(1;3;¡4), B(¡1;2;2) 2 Th.sNguyễnChínEm 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. 1 Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I(1;¡1;2) và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ #  ABÆ (¡2;¡2;2)Æ¡2(1;1;¡1). Dođó (P): (x¡1)Å(yÅ1)¡(z¡2)Æ0,(P): xÅy¡zÅ2Æ0. 2 Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I µ 0; 5 2 ;¡1 ¶ và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ #  ABÆ (¡2;¡1;6). Dođó (P): ¡2(x¡0)¡ µ y¡ 5 2 ¶ Å6(zÅ1)Æ0,(P): 4xÅ2y¡12z¡17Æ0. ä 1.1 BÀITẬPÁPDỤNG Bài1. Viếtphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A(2;1;1), B(2;¡1;¡1) 1 A(2;¡5;6), B(¡1;¡3;2) 2 -Lờigiải. 1 Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I(2;0;0) và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ #  ABÆ (0;¡2;¡2)Æ¡2(0;1;1). Dođó (P): 0(x¡2)Å1(y¡0)Å1(z¡0)Æ0,(P): yÅzÆ0. 2 Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I µ 1 2 ;¡4;4 ¶ và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ #  ABÆ (¡3;2;¡4). Dođó (P): ¡3 µ x¡ 1 2 ¶ Å2(yÅ4)¡4(z¡4)Æ0,(P): 6x¡4yÅ8z¡51Æ0. ä Bài2. Viếtphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A(2;3;¡4), B(4;¡1;0) 1 A(1;¡1;¡4), B(2;0;5) 2 -Lờigiải. 1 Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I(3;1;¡2) và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ #  ABÆ (2;¡4;4)Æ2(1;¡2;2). Dođó (P): 1(x¡3)¡2(y¡1)Å2(zÅ2)Æ0,(P): x¡2yÅ2zÅ3Æ0. 2 Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I µ 3 2 ;¡ 1 2 ; 1 2 ¶ và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ #  ABÆ (1;1;9). Dođó (P): 1 µ x¡ 3 2 ¶ Å1 µ yÅ 1 2 ¶ Å9 µ z¡ 1 2 ¶ Æ0,(P): 2xÅ2yÅ18z¡11Æ0. ä 2 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNGĐIQUAMỘTĐIỂMVÀCÓCẶPVÉC-TƠCHỈPHƯƠNG CHOTRƯỚC. Phươngpháp: Mặtphẳngcầntìmcóvéc-tơpháptuyếnchínhlàtíchcóhướngcủacặpvéc-tơchỉphương. Dođótacó (P): ( Điquađiểm M chotrước VTPT #  n P Æ h #  a; #  b i . Vídụ2. Viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm M vàcócặpvéc-tơchỉphươngsau: Th.sNguyễnChínEm 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 M(1;2;¡3), #  aÆ(2;1;2), #  b Æ(3;2;¡1) 2 M(1;¡2;3), #  aÆ(3;¡1;¡2), #  b Æ(0;3;4) -Lờigiải. 1 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;¡3) và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ h #  a; #  b i Æ (¡5;8;1)là (P): ¡5(x¡1)Å8(y¡2)Å1(zÅ3)Æ0,(P): 5x¡8y¡zÅ8Æ0. 2 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;¡2;3) và có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ h #  a; #  b i Æ (2;¡12;9)là (P): 2(x¡1)¡12(yÅ2)Å9(z¡3)Æ0,(P): 2x¡12yÅ9z¡53Æ0. ä Vídụ3. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquabađiểm A, B, C sau: 1 A(2;¡5;1), B(3;4;¡2), C(0;0;¡1) 2 A(1;¡2;4), B(3;2;¡1), C(¡2;1;¡3) 3 A(3;¡5;2), B(1;¡2;0), C(0;¡3;7) -Lờigiải. 1 Tacó #  ABÆ(1;9;¡3)và #  ACÆ(¡2;5;¡1)) h #  AB; #  AC i Æ(6;7;23). Mặtphẳng (P)điquađiểm C(0;0;¡1)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(6;7;23)là (P): 6(x¡0)Å7(y¡0)Å23(zÅ1)Æ0,(P): 6xÅ7yÅ23zÅ23Æ0. 2 Tacó #  ABÆ(2;4;¡5)và #  ACÆ(¡3;3;¡7)) h #  AB; #  AC i Æ(¡13;29;18). Mặtphẳng (P)điquađiểm A(1;¡2;4)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(¡13;29;18)là (P): ¡13(x¡1)Å29(yÅ2)Å18(z¡4)Æ0,(P): 13x¡29y¡18zÅ1Æ0. 3 Tacó #  ABÆ(¡2;3;¡2)và #  ACÆ(¡3;2;5)) h #  AB; #  AC i Æ(19;16;5). Mặtphẳng (P)điquađiểm C(0;¡3;7)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(19;16;5)là (P): 19(x¡0)Å16(yÅ3)Å5(z¡7)Æ0,(P): 19xÅ16yÅ5zÅ13Æ0. ä 2.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài3. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquabađiểm A, B, C sau: 1 A(¡1;2;3), B(2;¡4;3), C(4;5;6) 2 A(3;0;0), B(0;¡5;0), C(0;0;¡7) 3 A(2;¡4;0), B(5;1;7), C(¡1;¡1;¡1) -Lờigiải. 1 Tacó #  ABÆ(3;¡6;0)và #  ACÆ(5;3;3)) h #  AB; #  AC i Æ(¡18;¡9;20). Mặtphẳng (P)điquađiểm A(¡1;2;3)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(¡18;¡9;39)là (P): ¡18(xÅ1)¡9(y¡2)Å39(z¡3)Æ0,(P): 18xÅ9y¡39zÅ60Æ0. 2 Tacó #  BAÆ(3;5;0)và #  BCÆ(0;5;¡7)) h #  BA; #  BC i Æ(¡35;21;15). Mặtphẳng (P)điquađiểm A(3;0;0)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(¡35;21;15)là (P): ¡35(x¡3)Å21(y¡0)Å15(z¡0)Æ0,(P): 35x¡21y¡15z¡105Æ0. 3 Tacó #  ABÆ(3;5;7)và #  CAÆ(3;¡3;1)) h #  AB; #  CA i Æ(26;18;¡24)Æ2(13;9;¡12). Mặtphẳng (P)điquađiểm C(¡1;¡1;¡1)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(13;9;¡12)là (P): 13(xÅ1)Å9(yÅ1)¡12(zÅ1)Æ0,(P): 13xÅ9y¡12zÅ10Æ0. Th.sNguyễnChínEm 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ä Bài4. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(0;0;3), B(¡1;¡2;1), C(¡1;0;2). Viết phương trìnhmặtphẳng (ABC).Tínhđộdàiđườngcaocủatamgiác ABC tínhtừ A. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡2;¡2)và #  ACÆ(¡1;0;¡1)) h #  AB; #  AC i Æ(2;1;¡2). Mặtphẳng (P)điquađiểm A(0;0;3)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(2;1;¡2)là (P): 2(x¡0)Å1(y¡0)¡2(z¡3)Æ0,(P): 2xÅy¡2zÅ6Æ0. Tacó S 4ABC Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB; #  AC i¯ ¯ ¯Æ 3 2 và #  BCÆ(0;2;1))BCÆ p 5. Vậyđộdàiđườngcao AHÆ 2S 4ABC BC Æ 3 p 5 . ä Bài5. Cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡4y¡4zÆ0 và điểm A(4;4;0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB),biết B2(S)vàtamgiácOAB đều. -Lờigiải. Gọi B(x B ;y B ;z B ),theođềbàitacó ½ AB 2 ÆOA 2 OB 2 ÆOA 2 , ( (x B ¡4) 2 Å(y B ¡4) 2 Åz 2 B Æ32 x 2 B Åy 2 B Åz 2 B Æ32 , ½ x B Åy B Æ4 (1) x 2 B Åy 2 B Åz 2 B Æ32 (2) Talạicó B2(S)nên x 2 B Åy 2 B Åz 2 B ¡4x B ¡4y B ¡4z B Æ0)x B Åy B Åz B Æ8)z B Æ4. Khiđótừ (1)và (2)tacó ½ x 2 B Åy 2 B Æ16 x B Åy B Æ4 ) · x B Æ0;y B Æ4;z B Æ4 x B Æ4;y B Æ0;z B Æ4. Dođóđiểm B cầntìmlà B(0;4;4)hoặc B(4;0;4). ÁpdụngphươngphápviếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểmO,A,B tađược (P): x¡y¡zÆ0hoặc (P): x¡yÅzÆ0. ä Bài6. TrongkhônggianvớihệtrụcOxyz cho A(0;1;2), B(2;¡2;1), C(¡2;0;1). 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm A, B, C. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡3;¡1), #  ACÆ(¡2;¡1;¡1). Gọi #  n làmộtVTPTcủa (ABC),suyra ½ #  n? #  AB #  n? #  AC ) #  nÆ h #  AC, #  AB i Æ(2;4;¡8). Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua A, nhận #  n Æ(2;4;¡8) làm VTPT có phương trìnhlà: 2(x¡0)Å4(y¡1)¡8(z¡2)Æ0,xÅ2y¡4zÅ6Æ0. ä 2 Tìmtọađộđiểm M2(P): 2xÅ2yÅz¡3Æ0saocho MAÆMBÆMC. -Lờigiải. Gọi M(x;y;z)làđiểmcầntìm,theogiảthiếttacóphươngtrình 2xÅ2yÅz¡3Æ0. (1) Tacó MA 2 Æx 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 ,MB 2 Æ(x¡2) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 ,MC 2 Æ(xÅ2) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 . MA 2 ÆMB 2 ,2x¡3y¡zÆ2. (2) MA 2 ÆMC 2 ,2xÅyÅzÆ0. (3) Từ(1),(2)và(3)tacóhệ ( 2xÅ2yÅz¡3Æ0 2x¡3y¡zÆ2 2xÅyÅzÆ0 , ( xÆ2 yÆ3 zÆ¡7. Vậy M(2;3;¡7). ä Th.sNguyễnChínEm 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài7. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm M,vuônggócvớimặtphẳng (Q)vàsong songvớiđườngthẳng¢với: 1 M(1;1;1),(Q): 2x¡yÅz¡1Æ0,¢: x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 ¡3 . -Lờigiải. Tacó #  n Q Æ(2;¡1;1)và #  u ¢ Æ(2;1;¡3). Vì (P)?(Q)và (P)Ò¢,nên #  n P Æ £ #  n Q , #  u ¢ ¤ Æ(2;8;4). Suyra (P)cóphươngtrìnhlà 2(x¡1)Å8(y¡1)Å4(z¡1)Æ0,xÅ4yÅ2z¡7Æ0. ä 2 M(3;2;1),(Q): 2xÅ3y¡zÆ0,¢: ( xÆ1¡3t yÆ2¡t zÆ3¡3t (t2R). -Lờigiải. Tacó #  n Q Æ(2;3;¡1)và #  u ¢ Æ(¡3;¡1;¡3). Vì (P)?(Q)và (P)Ò¢,nên #  n P Æ £ #  n Q , #  u ¢ ¤ Æ(¡10;8;7). Suyra (P)cóphươngtrìnhlà¡10(x¡1)Å9(y¡1)Å7(z¡1)Æ0,¡10xÅ9yÅ7z¡6Æ0. ä Bài8. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )vàsongsongvớimặtphẳng (Q)với: 1 M(3;3;3)và (Q): 2x¡3yÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Ta có #  n P Æ(2;¡3;1) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2(x¡3)¡3(y¡3)Å(z¡3)Æ 0,2x¡3yÅzÆ0. ä 2 M(1;¡2;1)và (Q): 2x¡yÅ3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(2;¡1;0)nênphươngtrìnhmặtphẳng(P)códạng2(x¡1)¡(yÅ2)Æ0,2x¡y¡4Æ 0. ä 3 M(¡1;1;0)và (Q): x¡2yÅz¡10Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(1;¡2;1)nênphươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng (xÅ1)¡2(y¡1)Å(z¡0)Æ0, x¡2yÅzÅ3Æ0. ä 4 M(2;1;5)và (Q)´(Oxy). -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(0;0;1)nênphươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng z¡5Æ0. ä 5 M(¡1;2;3)và (Q): 2x¡3yÅ2z¡1Æ0. -Lờigiải. Ta có #  n P Æ(2;¡3;2) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2(xÅ1)¡3(y¡2)Å2(z¡3)Æ 0,2x¡3yÅ2zÅ2Æ0. ä 6 M(3;6;¡5)và (Q): ¡xÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Ta có #  n P Æ(¡1;0;1) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng ¡(x¡3)Å0(y¡6)Å(zÅ5)Æ 0,¡xÅzÅ8Æ0. ä Bài9. TrongkhônggianvớihệtrụcOxyz,chođiểm A(¡1;3;¡2)vàmặtphẳng(P): x¡2y¡2zÅ 5Æ0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A vàsongsongvới (P). -Lờigiải. Khoảngcáchtừ A đến (P)là d(A,(P))Æ j¡1¡2¢3¡2¢(¡2)Å5j p 1Å2 2 Å2 2 Æ 2 3 . Vì (Q)Ò(P)nên #  n Q Æ(1;¡2;¡2),suyraphươngtrìnhmặtphẳng (Q)là (Q): (xÅ1)¡2(y¡3)¡2(zÅ2)Æ0,x¡2y¡2zÅ3Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 3 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG(P)ĐIQUAMVÀVUÔNGGÓCVỚIĐƯỜNGTHẲNG DĐIQUAHAIĐIỂM AVÀ B Phươngpháp: Mặtphẳng (P): ½ Điqua M VTPT: #  n P Æ #  u d Æ #  AB Vídụ4. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquaM(¡1;2;3)vàvuônggócvớiđườngthẳng d biết d điquahaiđiểm A(2;¡4;3), B(4;5;6). -Lờigiải. Mặtphẳng(P)nhận #  ABÆ(2;9;3)làmmộtvéc-tơpháptuyếnvà(P)điquađiểm M(¡1;2;3)nên cóphươngtrình 2(xÅ1)Å9(y¡2)Å3(z¡3)Æ0,2xÅ9yÅ3z¡25Æ0. ä 3.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài10. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đi qua haiđiểm A và B với 1 M(0;0;0), A(¡2;¡1;3), B(4;¡2;1). -Lờigiải. Mặt phẳng (P) nhận #  AB Æ (6;¡1;¡2) làm một véc-tơ pháp tuyến và (P) đi qua điểm M(0;0;0)nêncóphươngtrình 6x¡y¡2zÆ0. ä 2 M(2;¡4;0), A(5;1;7), B(¡1;¡1;¡1). -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(¡6;¡2;¡8) nên mặt phẳng (P) nhận #  nÆ¡ 1 2 #  ABÆ(3;1;4) làm một véc-tơ pháp tuyếnvà (P)điquađiểm M(2;¡4;0)nêncóphươngtrình 3(x¡2)Å(yÅ4)Å4zÆ0,3xÅyÅ4z¡2Æ0. ä 3 M(3;0;0), A(0;¡5;0), B(0;0;¡7). -Lờigiải. Mặtphẳng(P)nhận #  ABÆ(0;5;¡7)làmmộtvéc-tơpháptuyếnvà(P)điquađiểm M(3;0;0) nêncóphươngtrình 0(x¡3)Å5(y¡0)¡7(z¡0)Æ0,5y¡7zÆ0. ä 4 M(3;¡5;2), A(1;¡2;0), B(0;¡3;7). -Lờigiải. Mặt phẳng (P) nhận #  AB Æ (¡1;¡1;7) làm một véc-tơ pháp tuyến và (P) đi qua điểm M(3;¡5;2)nêncóphươngtrình ¡(x¡3)¡(yÅ5)Å7(z¡2)Æ0,xÅy¡7zÅ16Æ0. ä 5 M(1;¡2;4), A(3;2;¡1), B(¡2;1;¡3). -Lờigiải. Mặt phẳng (P) nhận #  ABÆ (¡5;¡1;¡2) làm một véc-tơ pháp tuyến và (P) đi qua điểm M(1;¡2;4)nêncóphươngtrình ¡5(x¡1)¡(yÅ2)¡2(z¡4)Æ0,5xÅyÅ2z¡11Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài11. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(1;0;0), B(0;2;0)và C(0;0;3). 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng BC. -Lờigiải. Mặtphẳng(P)nhận #  BCÆ(0;¡2;3)làmmộtvéc-tơpháptuyếnvà(P)điquađiểm A(1;0;0) nêncóphươngtrình¡2yÅ3zÆ0. ä 2 Tìmtọađộtâm I mặtcầungoạitiếptứdiệnOABC. -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểmcủa AB. TrụccủatamgiácOABlàđườngthẳng¢qua M vàvuông gócvới (OAB). Trongmp(OC,¢)kẻđườngtrungtrựccủađoạnthẳngOC, cắt¢tại I thì I làtâmmặtcầungoạitiếptứdiệnOABC. Tacó M µ 1 2 ;1;0 ¶ và N µ 0;0; 3 2 ¶ nên I µ 1 2 ;1; 3 2 ¶ . C A B N O M I ä Bài12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(¡1;1;0) và đường thẳng d : x¡1 1 Æ y ¡2 Æ zÅ1 1 . 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquagốctọađộvàvuônggócvới d. -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;¡2;1). Vì(P)?dnên(P)nhận #  uÆ(1;¡2;1)làmmộtvéc-tơpháptuyếnvà(P)điquađiểmO(0;0;0) nêncóphươngtrình x¡2yÅzÆ0. ä 2 Tìmtọađộđiểm M2d saocho AMÆ p 6. -Lờigiải. Vì M2d nên M(tÅ1;¡2t;t¡1)(t2R).Tacó AMÆ p 6 , AM 2 Æ6 , (tÅ2) 2 Å(¡2t¡1) 2 Å(t¡1) 2 Æ6 , 6t 2 Å6tÅ6Æ6 , t 2 ÅtÆ0 , h tÆ0 tÆ¡1. Vậy M(1;0;¡1)hoặc M(0;2;¡2). ä Bài13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d: x 1 Æ y ¡1 Æ z¡1 2 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)qua A vàvuônggócvới d. -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;¡1;2). Vì(P)?dnên(P)nhận #  uÆ(1;¡1;2)làmmộtvéc-tơpháptuyếnvà(P)điquađiểm A(1;1;3) nêncóphươngtrình (x¡1)¡(y¡1)Å2(z¡3)Æ0,x¡yÅ2z¡6Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 Tìmtọađộđiểm M2d saochotamgiác MOA cântạiO. -Lờigiải. Vì M2d nên M(t;¡t;2tÅ1)(t2R). Tamgiác MOA cântạiO khivàchỉkhiOMÆOA,khiđó t 2 Å(¡t) 2 Å(2tÅ1) 2 Æ1 2 Å1 2 Å3 2 , 6t 2 Å4t¡10Æ0 , " tÆ1 tÆ¡ 5 3 . Với tÆ1thì M(1;¡1;3),với tÆ¡ 5 3 thì M µ ¡ 5 3 ; 5 3 ;¡ 7 3 ¶ . ä 4 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG(P)ĐIQUA A,BVÀVUÔNGGÓCVỚIMẶTPHẲNG (Q) Mặtphẳng (P): ( Điqua M VTPT: #  n P Æ h #  AB, #  n Q i Vídụ5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;2;¡2) và vuông gócvớimặtphẳng (Q):2x¡yÅ3zÅ13Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;1;¡2)vàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n Q Æ(2;¡1;3). Suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ h #  AB, #  n Q i Æ(1;¡7;¡3). Vì (P)điqua A nên (P):x¡7(y¡1)¡3zÆ0,x¡7y¡3zÅ7Æ0. ä 4.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài14. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A, B vàvuônggócvớimặtphẳng (Q)với 1 A(3;1;¡1), B(2;¡1;4)và (Q):2x¡yÅ3z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡2;5)vàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n Q Æ(2;¡1;3). Suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ h #  AB, #  n Q i Æ(¡1;13;5). Vì (P)điqua A nên (P):¡(x¡3)Å13(y¡1)Å5(zÅ1)Æ0,¡xÅ13yÅ5z¡5Æ0. ä 2 A(2;¡1;3), B(¡4;7;¡9)và (Q):3xÅ4y¡8z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡6;8;¡12)vàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n Q Æ(3;4;¡8). Suyra h #  AB, #  n Q i Æ(¡16;¡84;¡48)dođómộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(4;21;12). Vì (P)điqua A nên (P):4(x¡2)Å21(yÅ1)Å12(z¡3)Æ0,4xÅ21yÅ12z¡23Æ0. ä 3 A(3;¡1;¡2), B(¡3;1;2)và (Q):2x¡2y¡2zÅ5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡6;2;4)vàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n Q Æ(2;¡2;¡2). Suyra h #  AB, #  n Q i Æ(4;¡4;8)dođómộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(1;¡1;2). Vì (P)điqua A nên (P):(x¡3)¡(yÅ1)Å2(zÅ2)Æ0,x¡yÅ2zÆ0. ä 4 A(¡2;¡1;3), B(4;¡2;1)và (Q):2xÅ3y¡2zÅ5Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 198 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  ABÆ(6;¡1;¡2)vàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n Q Æ(2;3;¡2). Suyra h #  AB, #  n Q i Æ(8;8;20)dođómộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(2;2;5). Vì (P)điqua A nên (P):2(xÅ2)Å2(yÅ1)Å5(z¡3)Æ0,2xÅ2yÅ5z¡9Æ0. ä 5 A(1;2;0), B(0;2;0)và (Q):xÅyÅzÅ1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;0;0)vàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n Q Æ(1;1;1). Suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ h #  AB, #  n Q i Æ(0;1;¡1). Vì (P)điqua A nên (P):(y¡2)¡zÆ0,y¡z¡2Æ0. ä Bài15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 1 Æ y ¡2 Æ zÅ3 3 và mặtphẳng (P):2xÅy¡2z¡1Æ0. 1 Tìmtọađộgiaođiểm M của d và (P). -Lờigiải. Vì M2d nên M(tÅ2;¡2t;3t¡3)(t2R).Hơnnữa, M2(P)dođó 2(tÅ2)Å(¡2t)¡2(3t¡3)¡1Æ0,tÆ 3 2 . Vậy M µ 7 2 ;¡3; 3 2 ¶ . ä 2 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)chứa d vàvuônggócvới (P). -Lờigiải. Đường thẳng d có một véc-tơ chỉ phương là #  u d Æ(1;¡2;3) và mặt phẳng (P) có một véc- tơ pháp tuyến là #  n P Æ (2;1;¡2) nên mặt phẳng (Q) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n Q Æ £ #  u d , #  n P ¤ Æ(1;8;5). Vì (Q)chứa d nênđiqua A(2;0;¡3)dođó (Q):(x¡2)Å8yÅ5(zÅ3)Æ0,xÅ8yÅ5zÅ13Æ0. ä Bài16. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chođườngthẳng d: x ¡2 Æ y¡1 1 Æ z 1 vàmặt phẳng (P):2x¡yÅ2z¡2Æ0. 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)chứa d vàvuônggócvới (P). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(¡2;1;1)vàmặtphẳng (P)cómộtvéc-tơ pháp tuyến là #  n P Æ(2;¡1;2) suy ra £ #  u d , #  n P ¤ Æ(3;6;0) nên mặt phẳng (Q) có một véc-tơ pháptuyếnlà #  n Q Æ(1;2;0). Vì (Q)chứa d nênđiqua A(0;1;0)dođó (Q):xÅ2(y¡1)Æ0,xÅ2y¡2Æ0. ä 2 Tìmtọađộđiểm M2d saocho M cáchđềuO và (P). -Lờigiải. Vì M2d nên M(¡2t;tÅ1;t)(t2R).Theođềbàitacó OMÆd(O,(P)) , p (¡2t) 2 Å(tÅ1) 2 Åt 2 Æ j2(¡2t)¡(tÅ1)Å2t¡2j p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 , p 6t 2 Å2tÅ1Æ j¡3t¡3j 3 ÆjtÅ1j , 6t 2 Å2tÅ1Æt 2 Å2tÅ1 , 5t 2 Æ0 , tÆ0. Vậy M(0;1;0). ä Th.sNguyễnChínEm 199 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 5 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG (P)ĐIQUAĐIỂM MVÀCHỨAĐƯỜNGTHẲNG¢ Phươngpháp: Xácđịnhđiểm A2¢vàVTCP #  u ¢ . Khiđómặtphẳng (P): ( Điqua M VTPT: #  n P Æ h #  AM, #  u ¢ i Vídụ6. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm M(2;¡3;1)vàchứađườngthẳng¢ cóphươngtrình ¢: ( xÆ4Å2t yÆ2¡3t zÆ3Åt . -Lờigiải. Tacó A(4;2;3)2¢suyra #  AMÆ(¡2;¡5;¡2)vàmộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là #  u ¢ Æ(2;¡3;1). Suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ h #  AM, #  u ¢ i Æ(¡11;¡2;16). Và (P)điqua M nên (P):¡11(x¡2)¡2(yÅ3)Å16(z¡1)Æ0,¡11x¡2yÅ16zÆ0. ä 5.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài17. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm M vàchứađườngthẳng¢với 1 M(1;4;¡3)và¢: ( xÆ2¡t yÆ¡1Å2t zÆ1¡3t . -Lờigiải. Ta có A(2;¡1;1)2¢ suy ra #  AM Æ (¡1;5;¡4) và một véc-tơ chỉ phương của ¢ là #  u ¢ Æ (¡1;2;¡3). Suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ h #  AM, #  u ¢ i Æ(¡7;1;3). Và (P)điqua M nên (P):¡7(x¡1)Å(y¡4)Å3(zÅ3)Æ0,¡7xÅyÅ3zÅ12Æ0. ä 2 M(4;¡2;3)và¢: x¡1 3 Æ yÅ2 4 Æ z¡5 2 . -Lờigiải. Tacó A(1;¡2;5)2¢suyra #  AMÆ(3;0;¡2)vàmộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là #  u ¢ Æ(3;4;2). Tacó h #  AM, #  u ¢ i Æ(8;¡12;12)suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(2;¡3;3). Và (P)điqua A nên (P):2(x¡1)¡3(yÅ2)Å3(z¡5)Æ0,2x¡3yÅ3z¡23Æ0. ä 3 M(2;¡3;5)và¢: xÅ3 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 3 . -Lờigiải. Tacó A(¡3;¡2;1)2¢suyra #  AMÆ(5;¡1;4)vàmộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là #  u ¢ Æ(2;1;3). Tacó h #  AM, #  u ¢ i Æ(¡7;¡7;7)suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(1;1;¡1). Và (P)điqua M nên (P):(x¡2)Å(yÅ3)¡(z¡5)Æ0,xÅy¡zÅ6Æ0. ä 4 M(¡2;1;4)và¢: ½ x¡yÅ2z¡1Æ0 xÅyÅ2zÅ5Æ0 . -Lờigiải. Tacó¢: ( x¡yÆ1¡2t xÅyÆ¡5¡2t zÆt , ( xÆ¡2¡2t yÆ¡3 zÆt . Tacó A(¡2;¡3;0)2¢suyra #  AMÆ(0;4;4)vàmộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là #  u ¢ Æ(¡2;0;1). Tacó h #  AM, #  u ¢ i Æ(4;¡8;8)suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(1;¡2;2). Và (P)điqua M nên (P):(xÅ2)¡2(y¡1)Å2(z¡4)Æ0,x¡2yÅ2z¡4Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 5 M(3;¡2;4)và¢: ½ xÅy¡2z¡1Æ0 2xÅ3y¡5z¡1Æ0 . -Lờigiải. Tacó¢: ( xÅyÆ1Å2t 2xÅ3yÆ1Å5t zÆt , ( xÆ2Åt yÆ¡1Åt zÆt . Tacó A(2;¡1;0)2¢suyra #  AMÆ(1;¡1;4)vàmộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là #  u ¢ Æ(1;1;1). Suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ h #  AM, #  u ¢ i Æ(¡5;3;2). Và (P)điqua M nên (P):¡5(x¡3)Å3(yÅ2)Å2(z¡4)Æ0,¡5xÅ3yÅ2zÅ13Æ0. ä Bài18. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođườngthẳng¢: x 2 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡1 1 1 TínhkhoảngcáchtừO đếnđườngthẳng¢. -Lờigiải. Gọi M(0;¡1;1)2¢. Ta có #  MOÆ(0;1;¡1) và đường thẳng ¢ có một véc-tơ chỉ phương là #  u ¢ Æ(2;¡2;1). Khiđó, h #  MO, #  u ¢ i Æ(¡1;¡2;¡2).Suyra d(O,¢)Æ ¯ ¯ ¯ h #  MO, #  u ¢ i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¢ ¯ ¯ Æ p (¡1) 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ1. ä 2 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứađiểmO vàchứađườngthẳng¢. -Lờigiải. Tacó M(0;¡1;1)2¢suyra #  MOÆ(0;1;¡1)vàmộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là #  u ¢ Æ(2;¡2;1). Suyramộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ h #  MO, #  u ¢ i Æ(¡1;¡2;¡2). Và (P)điquaO nên (P):¡x¡2y¡2zÆ0,xÅ2yÅ2zÆ0. ä 6 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG(P)CHỨAHAIĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG¢ 1 VÀ ¢ 2 Phươngpháp: Mặtphẳng (P): ( Điqua A2¢ 1 và B2¢ 2 VTPT: #  n P Æ h #  AB, #  u ¢ 1 i Vídụ7. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứahaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 với ¢ 1 : ( xÆ2Å3t yÆ4Å2t zÆ¡1Åt (t2R) vࢠ2 : xÅ2 3 Æ y¡1 2 Æ zÅ3 1 . -Lờigiải. Tathấy¢ 1 Ò¢ 2 . Xét A(2;4;¡1)2¢ 1 và B(¡2;1;¡3)2¢ 2 tacó #  ABÆ(¡4;¡3;¡2). Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(3;2;1). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ h #  AB, #  u ¢ 1 i Æ(1;¡2;1). Và (P)điqua A nên (P):(x¡2)¡2(y¡4)Å(zÅ1)Æ0,x¡2yÅzÅ7Æ0. ä 6.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài19. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứahaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 với Th.sNguyễnChínEm 201 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 ¢ 1 : x¡1 2 Æ yÅ3 3 Æ z¡2 4 vࢠ2 : xÅ2 2 Æ y¡1 3 Æ z¡4 4 . -Lờigiải. Tathấy¢ 1 Ò¢ 2 . Xét A(1;¡3;2)2¢ 1 và B(¡2;1;4)2¢ 2 tacó #  ABÆ(¡3;4;2). Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(2;3;4). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ h #  AB, #  u ¢ 1 i Æ(10;16;¡17). Và (P)điqua A nên (P):10(x¡1)Å16(yÅ3)¡17(z¡2)Æ0,10xÅ16y¡17zÅ72Æ0. ä 2 ¢ 1 : x¡1 2 Æ yÅ2 ¡6 Æ z¡3 8 vࢠ2 : xÅ2 ¡3 Æ y¡3 9 Æ zÅ1 ¡12 . -Lờigiải. Tathấy¢ 1 Ò¢ 2 . Xét A(1;¡2;3)2¢ 1 và B(¡2;3;¡1)2¢ 2 tacó #  ABÆ(¡3;5;¡4). Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(1;¡3;4). Tacó h #  AB, #  u ¢ 1 i Æ(8;8;4).Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(2;2;1) Và (P)điqua A nên (P):2(x¡1)Å2(yÅ2)Å(z¡3)Æ0,2xÅ2yÅz¡1Æ0. ä 3 ¢ 1 : x¡3 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 3 vࢠ2 : xÅ1 4 Æ yÅ5 2 Æ z¡1 6 . -Lờigiải. Tathấy¢ 1 Ò¢ 2 . Xét A(3;1;¡2)2¢ 1 và B(¡1;¡5;1)2¢ 2 tacó #  ABÆ(¡4;¡6;3). Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(2;1;3). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ h #  AB, #  u ¢ 1 i Æ(¡21;18;8). Và (P)điqua A nên (P):¡21(x¡3)Å18(y¡1)Å8(zÅ2)Æ0,¡21xÅ18yÅ8zÅ61Æ0. ä 4 ¢ 1 : x¡1 2 Æ yÅ1 3 Æ z¡2 1 vࢠ2 : x¡4 6 Æ y¡1 9 Æ z¡3 3 . -Lờigiải. Tathấy¢ 1 Ò¢ 2 . Xét A(1;¡1;2)2¢ 1 và B(4;1;3)2¢ 2 tacó #  ABÆ(3;2;1). Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(2;3;1). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ h #  AB, #  u ¢ 1 i Æ(¡1;¡1;5). Và (P)điqua A nên (P):¡(x¡1)¡(yÅ1)Å5(z¡2)Æ0,xÅy¡5zÅ10Æ0. ä 7 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG(P)CHỨAHAIĐƯỜNGTHẲNGCẮTNHAU¢ 1 VÀ¢ 2 Phươngpháp: Mặtphẳng (P): ½ Điqua M2¢ 1 VTPT: #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Vídụ8. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứahaiđườngthẳngcóphươngtrình ¢ 1 : ( xÆ¡t yÆ¡1Å2t zÆ3t (t2R) và ¢ 2 : 8 < : xÆt 0 yÆ1Å2t 0 zÆ4Å5t 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 202 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó ( ¡tÆt 0 ¡1Å2tÆ1Å2t 0 3tÆ4Å5t 0 , 8 > > < > > : tÆ 1 2 t 0 Æ¡ 1 2 .Vậy¢ 1 cắt¢ 2 . Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(¡1;2;3). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(1;2;5). Suyra £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(4;8;¡4).Dođómặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;2;¡1). Và (P)điquađiểm M(0;¡1;0)2¢ 1 nên (P):xÅ2(yÅ1)¡zÆ0,xÅ2y¡zÅ2Æ0. ä 7.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài20. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứahaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 với 1 ¢ 1 : ( xÆ3t yÆ1¡2t zÆ3Åt (t2R)vࢠ2 : 8 < : xÆ1Åt 0 yÆ¡t 0 zÆ4Åt 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Tacó ( 3tÆ1Åt 0 1¡2tÆ¡t 0 3ÅtÆ4Åt 0 , n tÆ0 t 0 Æ¡1 .Vậy¢ 1 cắt¢ 2 . Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(3;¡2;1). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(1;¡1;1). Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(¡1;¡2;¡1). Và (P)điquađiểm M(0;1;3)2¢ 1 nên (P):¡x¡2(y¡1)¡(z¡3)Æ0,xÅ2yÅz¡5Æ0. ä 2 ¢ 1 : ( xÆ1Åt yÆ3Å2t zÆ¡7¡3t (t2R)vࢠ2 : 8 < : xÆ1Åt 0 yÆ¡2Åt 0 zÆ3¡t 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Tacó ( 1ÅtÆ1Åt 0 3Å2tÆ¡2Åt 0 ¡7¡3tÆ3¡t 0 , n tÆ¡5 t 0 Æ¡5 .Vậy¢ 1 cắt¢ 2 . Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(1;2;¡3). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(1;1;¡1). Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(1;¡2;¡1). Và (P)điquađiểm M(1;3;¡7)2¢ 1 nên (P):(x¡1)¡2(y¡3)¡(zÅ7)Æ0,x¡2y¡z¡2Æ0. ä 3 ¢ 1 : ( xÆ¡2¡t yÆ2 zÆ2Å5t (t2R)vࢠ2 : 8 < : xÆ2Åt 0 yÆ¡4¡2t 0 zÆt 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Tacó ( ¡2¡tÆ2Åt 0 2Æ¡4¡2t 0 2Å5tÆt 0 , n tÆ¡1 t 0 Æ¡3 .Vậy¢ 1 cắt¢ 2 . Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(¡1;0;5). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(1;¡2;1). Suyra £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(10;6;2).Dođómặtphẳng(P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(5;3;1). Và (P)điquađiểm M(¡2;2;2)2¢ 1 nên (P):5(xÅ2)Å3(y¡2)Å(z¡2)Æ0,5xÅ3yÅzÅ2Æ0. ä 8 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG(P)CHỨAĐƯỜNGTHẲNG¢ 1 VÀSONGSONGVỚI ĐƯỜNGTHẲNG¢ 2 VỚI¢ 1 VÀ¢ 2 CHÉONHAU Phươngpháp: Mặtphẳng (P): ½ Điqua M2¢ 1 VTPT: #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Th.sNguyễnChínEm 203 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vídụ9. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng¢ 1 và song song với đường thẳng¢ 2 với ¢ 1 : ( xÆ1¡2t yÆ3Åt zÆ¡2¡3t (t2R)và ¢ 2 : 8 < : xÆ2t 0 yÆ1Åt 0 zÆ3¡2t 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(¡2;1;¡3). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(2;1;¡2). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(1;¡10;¡4). Và(P)điquađiểm M(1;3;¡2)2¢ 1 nên(P):(x¡1)¡10(y¡3)¡4(zÅ2)Æ0,x¡10y¡4zÅ21Æ0. ä 8.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài21. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứađườngthẳng¢ 1 vàsongsongvớiđườngthẳng ¢ 2 với 1 ¢ 1 : ( xÆ1Å2t yÆ2¡2t zÆ¡t (t2R)vࢠ2 : ( xÆ2t 0 yÆ5¡3t 0 zÆ4 (t 0 2R). -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(2;¡2;¡1). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(2;¡3;0). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(¡3;¡2;¡2). Và(P)điquađiểm M(1;2;0)2¢ 1 nên(P):¡3(x¡1)¡2(y¡2)¡2zÆ0,3xÅ2yÅ2z¡7Æ0. ä 2 ¢ 1 : ( xÆ3¡t yÆ1Å2t zÆ¡2Å2t (t2R)vࢠ2 : 8 < : xÆ2Å3t 0 yÆ4¡t 0 zÆ1¡2t 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(¡1;2;2). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(3;¡1;¡2). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(¡2;4;¡5). Và(P)điquađiểmM(3;1;¡2)2¢ 1 nên(P):¡2(x¡3)Å4(y¡1)¡5(zÅ2)Æ0,2x¡4yÅ5zÅ8Æ0. ä 3 ¢ 1 : x¡2 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ z 2 vࢠ2 : x 1 Æ y¡1 2 Æ zÅ1 4 . -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(3;¡2;2). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(1;2;4). Suy ra £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(¡12;¡10;8) do đó mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n P Æ (6;5;¡4). Và(P)điquađiểm M(2;¡1;0)2¢ 1 nên(P):6(x¡2)Å5(yÅ1)¡4zÆ0,6xÅ5y¡4z¡7Æ0. ä 4 ¢ 1 : x¡7 1 Æ y¡3 2 Æ z¡9 ¡1 vࢠ2 : x¡3 ¡7 Æ y¡1 2 Æ z¡1 3 . -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(1;2;¡1). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(¡7;2;3). Suyra £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(8;4;16)dođómặtphẳng(P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(2;1;4). Th.sNguyễnChínEm 204 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Và (P)điquađiểm M(7;3;9)2¢ 1 nên (P):2(x¡7)Å(y¡3)Å4(z¡9)Æ0,2xÅyÅ4z¡53Æ0. ä Bài22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình ¢ 1 : ( xÆ2Å2t yÆ1Å3t zÆ4Å4t (t2R) và ¢ 2 : ( xÆ1Åt yÆ2Åt zÆ1Å2t (t2R). 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứa¢ 1 vàsongsongvới¢ 2 . -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(2;3;4). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(1;1;2). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(2;0;¡1). Và (P)điquađiểm M(2;1;4)2¢ 1 nên (P):2(x¡2)¡(z¡4)Æ0,2x¡zÆ0. ä 2 Cho M(2;1;4)2¢ 1 .Tìm H2¢ 2 saocho MH cóđộdàinhỏnhất. -Lờigiải. Gọi H(1Åt;2Åt;1Å2t)2¢ 2 .Tacó MH 2 Æ(t¡1) 2 Å(tÅ1) 2 Å(2t¡3) 2 Æ6t 2 ¡12tÅ11Æ6(t¡1) 2 Å5¸5. Suyra MH¸ p 5.Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi tÆ1,khiđó H(2;3;3). ä Bài23. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứađườngthẳng¢ 1 vàsongsongvớiđườngthẳng ¢ 2 với 1 ¢ 1 : x¡2 2 Æ y¡1 1 Æ z¡3 ¡2 vࢠ2 : x¡3 2 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡1 1 . -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(2;1;¡2). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(2;¡2;1). Suy ra £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ(¡3;¡6;¡6) do đó mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n P Æ (1;2;2). Và (P)điquađiểm M(2;1;3)2¢ 1 nên (P):(x¡2)Å2(y¡1)Å2(z¡3)Æ0,xÅ2yÅ2z¡10Æ0. ä 2 ¢ 1 : ( xÆ1Åt yÆ2Åt zÆ1Å2t (t2R)vࢠ2 : 8 < : xÆ¡1¡t 0 yÆ1Åt 0 zÆ2t 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(1;1;2). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(¡1;1;2). Suy ra £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ (0;¡4;2) do đó mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n P Æ (0;2;¡1). Và (P)điquađiểm M(1;2;1)2¢ 1 nên (P):2(y¡2)¡(z¡1)Æ0,2y¡z¡3Æ0. ä 3 ¢ 1 : ( xÆ¡2Åt yÆ2Å3t zÆ¡1Å2t (t2R)vࢠ2 : 8 < : xÆ¡t 0 yÆ2Åt 0 zÆ1Å2t 0 (t 0 2R). -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 chéonhau. Đườngthẳng¢ 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 1 Æ(1;3;2). Đườngthẳng¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ 2 Æ(¡1;1;2). Suy ra £ #  u ¢ 1 , #  u ¢ 2 ¤ Æ (4;¡4;4) do đó mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n P Æ (1;¡1;1). Và (P)điquađiểm M(¡2;2;¡1)2¢ 1 nên (P):(xÅ2)¡(y¡2)Å(zÅ1)Æ0,x¡yÅzÅ5Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 205 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng có phươngtrình d 1 : x 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ1 ¡1 và d 1 : ( xÆ1Åt yÆ¡1¡2t zÆ2Åt (t2R). 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A đồngthờisongsongvới d 1 và d 2 . -Lờigiải. Dễthấyhaiđườngthẳng d 1 và d 2 chéonhau. Đườngthẳng d 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(2;1;¡1). Đườngthẳng d 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 2 Æ(1;¡2;1). Suyramặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(¡1;¡3;¡5). Và (P)điquađiểm A(0;1;2)nên (P):¡x¡3(y¡1)¡5(z¡2)Æ0,xÅ3yÅ5z¡13Æ0. ä 2 Tìmtọađộcácđiểm M2d 1 và N2d 2 saochobađiểm A, M, N thẳnghàng. -Lờigiải. Gọi M(2a;aÅ1;¡a¡1)2d 1 và N(bÅ1;¡2b¡1;bÅ2)2d 2 . Tacó #  AMÆ(2a;a;¡a¡3)và #  ANÆ(bÅ1;¡2b¡2;b). Bađiểm A, M, N thẳnghàngkhivàchỉkhi #  AM và #  AN cùngphương. Nếu aÆ0thì #  AMÆ(0;0;¡3),khiđóphảicó bÅ1Æ0,bÆ¡1,lúcnày #  ANÆ(0;0;¡1). Dễthấy #  AM và #  AN cùngphương.Vậy aÆ0và bÆ¡1.Khiđó, M(0;1;¡1)và N(0;1;1). Nếu a6Æ0và b6Æ¡1thìphảicó 2a bÅ1 Æ a ¡2b¡2 Æ ¡a¡3 b , 8 > > < > > : 2a bÅ1 Æ a ¡2b¡2 2a bÅ1 Æ ¡a¡3 b , n aÆ0 bÆ¡1 (loại). Vậy M(0;1;¡1)và N(0;1;1) ä 9 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG (P)ĐIQUA M,ĐỒNGTHỜIVUÔNGGÓCVỚIHAI MẶTPHẲNG (®)VÀ (¯) Phươngpháp: #  n (P) P #  n (®) #  n (¯) £ #  n (®) , #  n (¯) ¤ Æ #  n (P) Vì (P)vuônggócvớihaimặtphẳng (®)và (¯)nên ½ #  n (P) ? #  n (®) #  n (P) ? #  n (¯) . Dovậy #  n (P) Æ £ #  n (®) , #  n (¯) ¤ . Khiđótaviếtphươngtrìnhmặtphẳng (P): ½ điquađiểm M cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) . Vídụ10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1;¡3;2) và (®): xÅ2y¡ 5zÅ1Æ0,(¯): 2x¡3y¡zÅ4Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm M,đồngthời Th.sNguyễnChínEm 206 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 vuônggócvớihaimặtphẳng (®)và (¯). -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(1;2;¡5), #  n (¯) Æ(2;¡3;¡1). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (¯) , #  n (®) ¤ Æ(17;9;7). Tacó: ½ (P)điquađiểm M(1;¡3¡2) (P)cóvec-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(17;9;7) )(P):17(x¡1)Å9(yÅ3)Å7(z¡2)Æ0 Vậy: (P): 17xÅ9yÅ7z¡4Æ0 ä Vídụ11. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyzchođiểm M(2;¡1;1)và(®): 2x¡zÅ1Æ 0, (¯): yÆ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm M,đồngthờivuônggócvớihai mặtphẳng (®)và (¯). -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(2;0;¡1), #  n (¯) Æ(0;1;0). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (®) , #  n (¯) ¤ Æ(1;0;2). Tacó ½ (P)điquađiểm M(2;¡1;1) (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(1;0;2) suyra (P): 1(x¡2)Å0(yÅ1)Å2(z¡1)Æ0 ,(P): xÅ2z¡4Æ0. ä 9.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M,đồngthờivuônggócvới (®)và (¯)biết 1 M(1;0;¡2), (®): 2xÅy¡z¡2Æ0, (¯): x¡y¡z¡3Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(2;1;¡1), #  n (¯) Æ(1;¡1;¡1). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (¯) , #  n (®) ¤ Æ(2;¡1;3). Tacó ½ (P)điquađiểm M(1;0;¡2) (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(2;¡1;3) suyra (P): 2(x¡1)¡1(y¡0)Å3(zÅ2)Æ0 ,(P): 2x¡yÅ3zÅ4Æ0. ä 2 M(2;¡4;0), (®): 2xÅ3y¡2zÅ5Æ0, (¯): 3xÅ4y¡8z¡5Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(2;3;¡2), #  n (¯) Æ(3;4;¡8). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (¯) , #  n (®) ¤ Æ(16;¡10;1). Tacó ½ (P)điquađiểm M(2;¡4;0) (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(16;¡10;1) suyra (P): 16(x¡2)¡10(yÅ4)Å1(z¡0)Æ0 ,(P): 16x¡10yÅz¡72Æ0. ä Bài26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P 1 ): xÅ2yÅ3zÅ4Æ0 và (P 2 ): 3xÅ2y¡zÅ1Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;1), đồng thời vuông gócvớihaimặtphẳng (P 1 )và (P 2 ). Th.sNguyễnChínEm 207 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Mặtphẳng (P 1 ), (P 2 )cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (P 1 ) Æ(1;2;3), #  n (P 2 ) Æ(3;2;¡1). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(P 1 ) (P)?(P 2 ) suyra #  n (P) Æ £ #  n (P 2 ) , #  n (P 1 ) ¤ Æ(8;¡10;4). Tacó ½ (P)điquađiểm A(1;1;1) (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(8;¡10;4) suyra (P): 8(x¡1)¡10(y¡1)Å4(z¡1)Æ0 ,(P): 4x¡5yÅ2z¡1Æ0. ä Bài27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M vàđồngthờivuônggócvới (®), (¯)biết M(¡1;¡2;5), (®): xÅ2y¡3zÅ1Æ0, (¯): 2x¡3yÅ zÅ1Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(1;2;¡3), #  n (¯) Æ(2;¡3;1). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (¯) , #  n (®) ¤ Æ(7;7;7). Tacó ½ (P)điquađiểm M(¡1;¡2;5) (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(7;7;7) suyra (P): 7(xÅ1)Å7(yÅ2)Å7(z¡5)Æ0 ,(P): xÅyÅz¡2Æ0. ä Bài28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M,đồngthờisongsongvới (®)và (¯)biết 1 M(5;1;7), (®): 3x¡4yÅ3zÅ6Æ0, (¯): 3x¡2yÅ5z¡3Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(3;¡4;3), #  n (¯) Æ(3;¡2;5). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (¯) , #  n (®) ¤ Æ(14;6;¡6). Tacó ½ (P)điquađiểm M(5;1;7) (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(14;6;¡6) suyra (P): 14(x¡5)Å6(y¡1)¡6(z¡7)Æ0 ,(P): 7xÅ3y¡3z¡17Æ0. ä 2 M(¡1;2;3), (®): x¡2Æ0, (¯): y¡z¡1Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(1;0;0), #  n (¯) Æ(0;1;¡1). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (®) , #  n (¯) ¤ Æ(0;1;1). Tacó ½ (P)điquađiểm M(¡1;2;3) (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(0;1;1) suyra (P): 0(xÅ1)Å1(y¡2)Å1(z¡3)Æ0 ,(P): yÅz¡5Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 208 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 10 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG(P)ĐIQUAĐIỂM MVÀGIAOTUYẾNCỦAHAIMẶT PHẲNG (®), (¯) Phươngpháp: Lấyhaiđiểm A, B thuộcgiaotuyếncủahaimặtphẳng (®)và (¯)bằngcáchsau Cho xÆx 0 sauđógiảihệphươngtrìnhhaiẩn y, z đểthuđượctọađộđiểm A. Tươngtựcho xÆx 1 6Æx 0 tađượctọađộđiểm B. Khiđóbàitoánquayvềviếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểmphânbiệt A, B, M. Khiđó (P): ( điquađiểm M cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ h #  AB, #  AM i . Vídụ12. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)đi quađiểm M vàgiaotuyếncủahaimặtphẳng (®), (¯)biết M(2;1;0), (®): xÅ2yÅz¡4Æ0và (¯): 2xÅyÅz¡4Æ0. -Lờigiải. Cho xÆ1tacó ½ 1Å2yÅz¡4Æ0 2ÅyÅz¡4Æ0 , n yÆ1 zÆ1. Suyra A(1;1;1)2(®)\(¯). Cho xÆ2tacó ½ 2Å2yÅz¡4Æ0 4ÅyÅz¡4Æ0 , n yÆ2 zÆ¡2. Suyra B(2;2;¡3)2(®)\(¯). Do (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Tacó #  ABÆ(1;1;¡4), #  MAÆ(1;0;¡1)) h #  MA, #  AB i Æ(1;3;1). Vì A, B, M2(P)nên #  n (P) Æ h #  MA, #  AB i Æ(1;3;1). Tacó (P): ½ điquađiểm M(2;1;0) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(1;3;1) )(P): 1(x¡2)Å3(y¡1)Å1(z¡0)Æ0 ,(P): xÅ3yÅz¡5Æ0. ä Vídụ13. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)đi quađiểm M vàgiaotuyếncủahaimặtphẳng (®), (¯)biết M(1;2;¡3), (®): 2x¡3yÅz¡5Æ0 và (¯): 3x¡2yÅ5z¡1Æ0. -Lờigiải. Cho zÆ1tacó ½ 2x¡3yÅ1¡5Æ0 3x¡2yÅ5¡1Æ0 , n xÆ¡4 yÆ¡4. Suyra A(¡4;¡4;1)2(®)\(¯). Cho zÆ¡4tacó ½ 2x¡3y¡4¡5Æ0 3x¡2y¡20¡1Æ0 , n xÆ9 yÆ3. Suyra B(9;3;¡4)2(®)\(¯). Do (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Tacó #  ABÆ(13;7;¡5), #  AMÆ(5;6;¡4)) h #  AB, #  AM i Æ(2;27;43). Vì A, B, M2(P)nên #  n (P) Æ h #  AB, #  AM i Æ(2;27;43). Tacó (P): ½ điquađiểm M(1;2;¡3) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(2;27;43) )(P): 2(x¡1)Å27(y¡2)Å43(zÅ3)Æ0 ,(P): 2xÅ27yÅ43zÅ73Æ0. ä Vídụ14. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho(®): yÅ2z¡4Æ0,(¯): xÅy¡z¡3Æ Th.sNguyễnChínEm 209 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 0, (°): xÅyÅz¡2Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (®) và (¯), đồngthờisongsongvới (°). -Lờigiải. Cho yÆ2tacó n 2Å2z¡4Æ0 xÅ2¡z¡3Æ0 , n xÆ2 zÆ1. Suyra B(2;2;1)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên B2(P). (°)cóvéc-tơpháptuyến #  n (°) Æ(1;1;1). Tacó (P)Ò(°)suyra #  n (P) Æ #  n (°) Æ(1;1;1). Tacó (P): ½ điquađiểm B(2;2;1) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(1;1;1) )(P): 1(x¡2)Å1(y¡2)Å1(z¡1)Æ0 ,(P): xÅyÅz¡5Æ0. ä Vídụ15. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho(®): 2xÅ3y¡4Æ0,(¯): 2y¡3z¡5Æ 0 và (°): 2xÅy¡3z¡2Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (®) và (¯),đồngthờivuônggócvới (°). -Lờigiải. Cho yÆ¡2tacó n 2x¡6¡4Æ0 ¡4¡3z¡5Æ0 , n xÆ5 zÆ¡3. Suyra A(5;¡2;¡3)2(®)\(¯). Cho yÆ4tacó n 2xÅ12¡4Æ0 8¡3z¡5Æ0 , n xÆ¡4 zÆ1. Suyra B(¡4;4;1)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Suyra #  n (P) ? #  BAÆ(9;¡6;¡4) (1). (°)cóvéc-tơpháptuyến #  n (°) Æ(2;1;¡3). Vì (P)Ò(°)nên #  n (P) ? #  n (°) (2). Từ (1), (2)suyra #  n (P) Æ h #  BA, #  n (°) i Æ(22;19;21). Tacó (P): ½ điquađiểm B(¡4;4;1) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(22;19;21) )(P): 22(xÅ4)Å19(y¡4)Å21(z¡1)Æ0 ,(P): 22xÅ19yÅ21z¡9Æ0. ä Bài29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M vàgiaotuyếncủahaimặtphẳng (®), (¯)biết 1 M(2;1;¡1), (®): x¡yÅz¡4Æ0và (¯): 3x¡yÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Cho yÆ0tacó n xÅz¡4Æ0 3xÅz¡1Æ0 , 8 > > < > > : xÆ¡ 3 2 zÆ 11 2 . Suyra A µ ¡ 3 2 ;0; 11 2 ¶ 2(®)\(¯). Cho yÆ1tacó n x¡1Åz¡4Æ0 3x¡1Åz¡1Æ0 , 8 > > < > > : xÆ¡ 3 2 zÆ 13 2 . Suyra B µ ¡ 3 2 ;1; 13 2 ¶ 2(®)\(¯). Do (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Tacó #  ABÆ(0;1;1), #  AMÆ µ 7 2 ;1;¡ 13 2 ¶ ) h #  AM, #  AB i Æ µ 15 2 ;¡ 7 2 ; 7 2 ¶ . Vì A, B, M2(P)nên #  n (P) Æ2 h #  MA, #  AB i Æ(15;¡7;7). Th.sNguyễnChínEm 210 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó (P): ½ điquađiểm M(2;1;¡1) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(15;7;¡7) )(P): 15(x¡2)Å7(y¡1)¡7(zÅ1)Æ0 ,(P): 15xÅ7y¡7z¡44Æ0. ä 2 M(3;4;1), (®): 19x¡6y¡4zÅ27Æ0và (¯): 42x¡8yÅ3zÅ11Æ0. -Lờigiải. Cho xÆ¡1tacó ½ ¡19¡6y¡4zÅ27Æ0 ¡42¡8yÅ3zÅ11Æ0 , n yÆ¡2 zÆ5. Suyra A(¡1;¡2;5)2(®)\(¯). Cho xÆ1tacó ½ 19¡6y¡4zÅ27Æ0 42¡8yÅ3zÅ11Æ0 , n yÆ7 zÆ1. Suyra B(1;7;1)2(®)\(¯). Do (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Tacó #  ABÆ(2;9;¡4), #  BMÆ(2;¡3;0)) h #  BM, #  AB i Æ(12;8;24). Vì A, B, M2(P)nên #  n (P) Æ 1 4 h #  MA, #  AB i Æ(3;2;6). Tacó (P): ½ điquađiểm M(3;4;1) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(3;2;6) )(P): 3(x¡3)Å2(y¡4)Å6(z¡1)Æ0 ,(P): 3xÅ2yÅ6z¡23Æ0. ä 3 M(0;0;1), (®): 5x¡3yÅ2z¡5Æ0và (¯): 2x¡y¡z¡1Æ0. -Lờigiải. Cho zÆ0tacó ½ 5x¡3y¡5Æ0 2x¡y¡1Æ0 , n xÆ¡2 yÆ¡5. Suyra A(¡2;¡5;0)2(®)\(¯). Cho zÆ1tacó ½ 5x¡3yÅ2¡5Æ0 2x¡y¡1¡1Æ0 , n xÆ3 yÆ4. Suyra B(3;4;1)2(®)\(¯). Do (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Tacó #  ABÆ(5;9;1), #  AMÆ(2;5;1)) h #  AB, #  AM i Æ(4;¡3;7). Vì A, B, M2(P)nên #  n (P) Æ 1 4 h #  AB, #  AM i Æ(4;¡3;7). Tacó (P): ½ điquađiểm M(0;0;1) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(1;¡3;7) )(P): 4(x¡0)¡3(y¡0)Å7(z¡1)Æ0 ,(P): 4x¡3yÅ7z¡7Æ0. ä Bài30. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,cho (®): x¡4yÅ2z¡5Æ0, (¯): yÅ4z¡5Æ0 và (°): 2x¡yÅ19Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (®) và (¯), đồng thờisongsongvới (°). -Lờigiải. Cho yÆ1tacó n x¡4Å2z¡5Æ0 1Å4z¡5Æ0 , n xÆ7 zÆ1. Suyra B(7;1;1)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên B2(P). (°)cóvéc-tơpháptuyến #  n (°) Æ(2;¡1;0). Tacó (P)Ò(°)suyra #  n (P) Æ #  n (°) Æ(2;¡1;0). Tacó (P): ½ điquađiểm B(7;1;1) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(2;¡1;0) )(P): 2(x¡7)¡1(y¡1)Å0(z¡1)Æ0 ,(P): 2x¡y¡13Æ0. ä Bài31. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho (®): yÅ2z¡4Æ0, (¯): xÅy¡zÅ3Æ0và (°): xÅyÅz¡2Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquagiaotuyếncủa(®)và(¯),đồngthời vuônggócvới (°). Th.sNguyễnChínEm 211 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Cho zÆ1tacó ½ yÅ2¡4Æ0 xÅy¡1Å3Æ0 , n xÆ¡4 yÆ2. Suyra A(¡4;2;1)2(®)\(¯). Cho zÆ2tacó ½ yÅ4¡4Æ0 xÅy¡2Å3Æ0 , n xÆ¡1 yÆ0. Suyra B(¡1;0;2)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Suyra #  n (P) ? #  ABÆ(3;¡2;1) (1). (°)cóvéc-tơpháptuyến #  n (°) Æ(1;1;1). Vì (P)Ò(°)nên #  n (P) ? #  n (°) (2). Từ (1), (2)suyra #  n (P) Æ h #  n (°) , #  BA i Æ(3;2;¡5). Tacó (P): ½ điquađiểm B(¡1;0;2) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(3;2;¡5) )(P): 3(xÅ1)Å2(y¡0)¡5(z¡2)Æ0 ,(P): 3xÅ2y¡5zÅ13Æ0. ä Bài32. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho(®): xÅ2y¡z¡4Æ0,(¯): 2xÅyÅzÅ5Æ0 và(°): x¡2y¡3zÅ6Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquagiaotuyếncủa(®)và(¯),đồng thờivuônggócvới (°). -Lờigiải. Cho xÆ0tacó ½ 2y¡z¡4Æ0 yÅzÅ5Æ0 , 8 > > < > > : yÆ¡ 1 3 zÆ¡ 14 3 . Suyra A µ 0;¡ 1 3 ;¡ 14 3 ¶ 2(®)\(¯). Cho xÆ1tacó ½ 1Å2y¡z¡4Æ0 2ÅyÅzÅ5Æ0 , 8 > > < > > : yÆ¡ 4 3 zÆ¡ 17 3 . Suyra B µ 1;¡ 4 3 ;¡ 17 3 ¶ 2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Suyra #  n (P) ? #  ABÆ(1;¡1;¡1) (1). (°)cóvéc-tơpháptuyến #  n (°) Æ(1;¡2;¡3). Vì (P)Ò(°)nên #  n (P) ? #  n (°) (2). Từ (1), (2)suyra #  n (P) Æ h #  AB, #  n (°) i Æ(1;2;¡1). Tacó (P): 8 < : điquađiểm A µ 0;¡ 1 3 ;¡ 14 3 ¶ cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(1;2;¡1) )(P): 1(x¡0)Å2 µ yÅ 1 3 ¶ ¡ µ zÅ 14 3 ¶ Æ0 ,(P): xÅ2y¡z¡4Æ0. ä Bài33. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho(®): 3x¡yÅz¡2Æ0,(¯): xÅ4y¡5Æ0và (°): 2x¡zÅ7Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (®) và (¯), đồng thời songsongvới (°). -Lờigiải. Cho yÆ1tacó n 3x¡1Åz¡2Æ0 xÅ4¡5Æ0 , n xÆ1 zÆ0. Suyra B(1;1;0)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên B2(P). (°)cóvéc-tơpháptuyến #  n (°) Æ(2;0;¡1). Tacó (P)Ò(°)suyra #  n (P) Æ #  n (°) Æ(2;0;¡1). Th.sNguyễnChínEm 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó (P): ½ điquađiểm B(1;1;0) cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(2;0;¡1) )(P): 2(x¡1)Å0(y¡1)¡1(z¡0)Æ0 ,(P): 2x¡z¡2Æ0. ä 11 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (P) TẠO VỚI MẶT PHẲNG (Q) CHO TRƯỚC MỘT GÓC® Phươngphápgiải: Mặtphẳng (P)và (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (P) và #  n (Q) . Tacó cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n (P) , #  n (Q) ¢¯ ¯ . Sau đó kết hợp giả thiết tìm ra véc-tơ pháp tuyến #  n (P) và một điểm thuộc (P) ta sẽ thu đượcphươngtrình (P). Vídụ16. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)chứatrụcOzvàtạovới(Q): 2x¡yÅ p 11zÅ3Æ0 mộtgóc®Æ60 ± . -Lờigiải. (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ ¡ 2;¡1; p 11 ¢ .Lấy A(1;0;0),O(0;0;0)2Oz) #  OAÆ(0;0;1). Gọi #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). VìOz½(P)nên #  n? #  OA,a¢0Åb¢0Åc¢1Æ0,cÆ0. Suyra #  nÆ(a;b;0). cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n, #  n 1 ¢¯ ¯ , ¯ ¯ #  n¢ #  n 1 ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n 1 ¯ ¯ Æ 1 2 , j2a¡bj 4 p a 2 Åb 2 Æ 1 2 , (2a¡b) 2 Æ4(a 2 Åb 2 ) , " bÆ0 aÆ¡ 3 4 b. +) bÆ0.Chọn aÆ1tacó #  nÆ(1;0;0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểmO(0;0;0)(vìOz½(P)) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;0;0) )(P): xÆ0. +) aÆ¡ 3 4 b.Chọn bÆ¡4)aÆ3.Suyra #  nÆ(3;¡4;0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểmO(0;0;0)(vìOz½(P)) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(3;¡4;0) )(P): 3x¡4yÆ0. ä Vídụ17. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(3;0;1), B(6;¡2;1) và mặt phẳng (P) tạovới (Oyz)mộtgóc®thỏamãn cos®Æ 2 7 . -Lờigiải. (Oyz)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(1;0;0). Gọi #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Vì A, B2(P)nên #  n? #  ABÆ(3;¡2;0),3a¡2bÆ0,bÆ 3 2 a. Suyra #  nÆ µ a; 3 2 a;c ¶ . Th.sNguyễnChínEm 213 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n, #  n 1 ¢¯ ¯ , ¯ ¯ #  n¢ #  n 1 ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n 1 ¯ ¯ Æ 2 7 , jaj É a 2 Å 9 4 a 2 Åc 2 Æ 2 7 ,36a 2 Æ4c 2 , h cÆ3a cÆ¡3a. +) cÆ3a.Chọn aÆ2)cÆ6.Suyra #  nÆ(2;3;6)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểm A(3;0;1) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;3;6) )(P): 2xÅ3yÅ6z¡12Æ0. +) cÆ¡3a.Chọn aÆ2)cÆ¡6.Suyra #  nÆ(2;3;¡6)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểm A(3;0;1) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;3;¡6) )(P): 2xÅ3y¡6zÆ0. ä 11.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài34. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (®), (¯) có phương trình lần lượt là (®): x¡yÅz¡4Æ0, (¯): 3x¡yÅz¡1Æ0, đồng thời (P) tạo với mặt phẳng (°): xÅ2y¡2zÅ1Æ0mộtgóc®với cos®Æ p 33 33 . -Lờigiải. Cho yÆ0tacó n 3x¡0Åz¡4Æ0 3x¡0Åz¡1Æ0 , 8 > > < > > : xÆ¡ 3 2 zÆ 11 2 . Suyra B µ ¡ 3 2 ;0; 11 2 ¶ 2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên B2(P). (®), (¯)và (°)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(1;¡1;1), #  n (¯) Æ(3;¡1;1)và #  n (°) Æ(1;2;¡2). Suyra £ #  n (®) , #  n (¯) ¤ Æ(0;2;2). Gọi¢cóvéc-tơchỉphươnglà #  u làgiaotuyếncủamặtphẳng (®)và (¯). Suyra #  uÆ 1 2 £ #  n (®) , #  n (¯) ¤ Æ(0;1;1). Gọi #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Do¢½(P)nên #  n? #  u,bÅcÆ0,cÆ¡b. Suyra #  nÆ(a;b;¡b). cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n, #  n (°) ¢¯ ¯ , ¯ ¯ #  n¢ #  n (°) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (°) ¯ ¯ Æ p 33 33 , jaÅ4bj 3 p a 2 Å2b 2 Æ p 33 33 ,11(aÅ4b) 2 Æ3(a 2 Å2b 2 ), 2 6 6 4 aÆ¡ 5 2 b aÆ¡ 17 2 b. +) aÆ¡ 5 2 b.Chọn bÆ¡4)aÆ10.Suyra #  nÆ(10;¡4;4)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): 8 < : điquađiểm B µ ¡ 3 2 ;0; 11 2 ¶ cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(10;¡4;4) )(P): 10x¡4yÅ4z¡7Æ0. +) aÆ¡ 17 2 b.Chọn bÆ¡4)aÆ34.Suyra #  nÆ(34;¡4;4)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): 8 < : điquađiểm B µ ¡ 3 2 ;0; 11 2 ¶ cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(34;¡4;4) )(P): 34x¡4yÅ4zÅ29Æ0. ä Bài35. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A(1;0;0), B(0;¡2;0)vàmặtphẳng (P)tạovới mặtphẳng (Q): y¡zÅ7Æ0mộtgóc®Æ60 ± . -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (Q) Æ(0;1;¡1). Gọi #  nÆ(a;b;c)(a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó #  BAÆ(1;2;0). Th.sNguyễnChínEm 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do A, B2(P)nên #  n? #  BA,aÅ2bÆ0,aÆ¡2b. Suyra #  nÆ(¡2b;b;c). cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n, #  n (Q) ¢¯ ¯ , ¯ ¯ #  n¢ #  n (Q) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (Q) ¯ ¯ Æ 1 2 , jb¡cj p 2¢ p c 2 Å5b 2 Æ 1 2 , 2(b¡c) 2 Æ5b 2 Åc 2 , · cÆ(2Å p 7)b cÆ(2¡ p 7)b. +) cÆ(2Å p 7)b.Chọn bÆ1)cÆ2Å p 7.Suyra #  nÆ ¡ ¡2;1;2Å p 7 ¢ làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ( điquađiểm A(1;0;0) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ ³ ¡2;1;2Å p 7 ´ )(P): ¡2xÅyÅ(2Å p 7)zÅ2Æ0. +) cÆ(2¡ p 7)b.Chọn bÆ1)cÆ2¡ p 7.Suyra #  nÆ ¡ ¡2;1;2¡ p 7 ¢ làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ( điquađiểm A(1;0;0) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ ³ ¡2;1;2¡ p 7 ´ )(P): ¡2xÅyÅ(2¡ p 7)zÅ2Æ0. ä Bài36. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điqua A(1;0;0),B(0;2;0)vàđồngthờitạovới(Q): 3x¡ yÆ0mộtgóc®saocho cos®Æ p 15 6 . -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (Q) Æ(3;¡1;0). Gọi #  nÆ(a;b;c)(a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó #  BAÆ(1;¡2;0). Do A, B2(P)nên #  n? #  BA,a¡2bÆ0,aÆ2b. Suyra #  nÆ(2b;b;c). cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n, #  n (Q) ¢¯ ¯ , ¯ ¯ #  n¢ #  n (Q) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (Q) ¯ ¯ Æ p 15 6 , j5bj p 10¢ p c 2 Å5b 2 Æ p 15 6 , b 2 Æc 2 , h bÆc bÆ¡c. +) bÆc.Chọn bÆ1)1.Suyra #  nÆ(2;1;1)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểm A(1;0;0) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;1;1) )(P): 2xÅyÅz¡2Æ0. +) bÆ¡c.Chọn bÆ1)cÆ¡1.Suyra #  nÆ(2;1;¡;1)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểm A(1;0;0) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;1;¡1) )(P): 2xÅy¡z¡2Æ0. ä Bài37. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (®), (¯) có phươngtrìnhlầnlượtlà(®): 2xÅy¡1Æ0,(¯): x¡zÆ1,đồngthời(P)tạovới(°): x¡yÅ3Æ0một góc±với cos±Æ p 7 14 . Th.sNguyễnChínEm 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Mặtphẳng (°)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (°) Æ(1;¡1;0). Gọi #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Cho xÆ0tacó n y¡1Æ0 ¡zÆ1 , n yÆ1 zÆ¡1. Suyra A(0;1;¡1)2(®)\(¯). Cho xÆ1tacó n 2Åy¡1Æ0 1¡zÆ1 , n yÆ¡1 zÆ0. Suyra B(1;¡1;0)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Dođó #  n? #  ABÆ(1;¡2;1),a¡2bÅcÆ0,cÆ¡aÅ2b. Suyra #  nÆ(a;b;¡aÅ2b). cos®Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n, #  n (°) ¢¯ ¯ , ¯ ¯ #  n¢ #  n (°) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (°) ¯ ¯ Æ p 7 14 , ja¡bj p 2¢ p a 2 Åb 2 Å(a¡2b) 2 Æ p 7 14 , 14(a¡b) 2 Æ2a 2 ¡4abÅ5b 2 , 2 6 6 4 aÆ 3 2 b aÆ 1 2 b. +) aÆ 3 2 b.Chọn bÆ2)aÆ3.Suyra #  nÆ(3;2;1)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểm A(0;1;¡1) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(3;2;1) )(P): 3xÅ2yÅz¡1Æ0. +) aÆ 1 2 b.Chọn bÆ2)aÆ1.Suyra #  nÆ(1;2;3)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó (P): ½ điquađiểm A(0;1;¡1) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;2;3) )(P): xÅ2yÅ3zÅ1Æ0. ä 12 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG (P)LIÊNQUANĐẾNKHOẢNGCÁCH Phươngphápgiải: (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(a;b;c))(P): axÅbyÅczÅdÆ0. d(M;(P))Æ jax 0 Åby 0 Åcz 0 Ådj p a 2 Åb 2 Åc 2 . Sauđókếthợpgiảthiếtđểtìmđượcphươngtrìnhmặtphẳng (P). 4 ! Trườnghợp M2(P)thì kÆ0. Khi mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H thì #  IH là véc-tơ pháp tuyến của (P)(trongđó I làtâmcủamặtcầu (S))và d(I;(P))ÆR. Vídụ18. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)songsongvớimặtphẳng(Q): 2x¡3y¡6z¡14Æ 0vàkhoảngcáchtừgốctọađộđếnmặtphẳng (P)bằng 5. -Lờigiải. Vì (P)Ò(Q)nên (P): 2x¡3y¡6zÅmÆ0 (m6Æ¡14). Th.sNguyễnChínEm 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó d(O;(P))Æ5 , jmj p 2 2 Å(¡3) 2 Å(¡6) 2 Æ5 ,jmjÆ35 ,mƧ35(thỏamãn). Suyra (P): 2x¡3y¡6z§35Æ0. ä Vídụ19. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)tiếpxúcvớimặtcầu(S): (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ 2) 2 Æ24tại H(¡1;3;0). -Lờigiải. (S)cótâm I(3;1;¡2). Vìmặt phẳng (P)tiếpxúc vớimặt cầu (S)nên #  HIÆ(4;¡2;¡2)làvéc-tơ pháptuyếncủa (P)và H2(P). Tacó (P): ½ điquađiểm H(¡1;3;0) cóvéc-tơpháptuyến #  HIÆ(4;¡2;¡2) )(P): 2x¡y¡zÅ5Æ0. ä 12.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài38. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tạiđiểm H biết 1 (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡2yÅ4zÅ5Æ0và H(4;3;0). -Lờigiải. (S)cótâm I(3;1;¡2). Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên #  IHÆ(1;2;2) là véc-tơ pháp tuyến của (P) và H2(P). Tacó (P): ½ điquađiểm H(4;3;0) cóvéc-tơpháptuyến #  IHÆ(1;2;2) )(P): xÅ2yÅ2z¡10Æ0. ä 2 (S): (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡2) 2 Æ49và H(7;¡1;5). -Lờigiải. (S)cótâm I(1;¡3;2). Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên #  IHÆ(6;2;3) là véc-tơ pháp tuyến của (P) và H2(P). Tacó (P): ½ điquađiểm H(7;¡1;5) cóvéc-tơpháptuyến #  IHÆ(6;2;3) )(P): 6xÅ2yÅ3z¡55Æ0. ä Bài39. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (®): x¡3z¡2Æ0 và (¯): y¡ 2zÅ1Æ0,đồngthờicáchđiểm M µ 0;0; 1 2 ¶ mộtkhoảng kÆ 7 p 3 18 . -Lờigiải. Gọi #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Cho zÆ0tacó n x¡2Æ0 yÅ1Æ0 , n xÆ2 yÆ¡1. Suyra A(2;¡1;0)2(®)\(¯). Cho zÆ1tacó n x¡3¡2Æ0 y¡2Å1Æ0 , n xÆ5 yÆ1. Suyra B(5;1;1)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Dođótacó #  n? #  ABÆ(3;2;1),3aÅ2bÅcÆ0,cÆ¡3a¡2b. Suyra #  nÆ(a;b;¡3a¡2b). Tacó (P): ½ điquađiểm A(2;¡1;0) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(a;b;¡3a¡2b) )(P): a(x¡2)Åb(yÅ1)¡(3aÅ2b)zÆ0. Th.sNguyễnChínEm 217 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó d(M;(P))Æ 7 p 3 18 , ¯ ¯ ¯ ¯ 7 2 a ¯ ¯ ¯ ¯ p a 2 Åb 2 Å(3aÅ2b) 2 Æ 7 p 3 18 ,9¢j7ajÆ7 È 3 ¡ 10a 2 Å12abÅ5b 2 ¢ ,81¢(7a) 2 Æ147 ¡ 10a 2 Å12abÅ5b 2 ¢ , " aÆb aÆ¡ 5 17 b. +) aÆb.Chọn bÆ1)aÆ1. Suyra (P): xÅy¡5z¡1Æ0. +) aÆ¡ 5 17 b.Chọn bÆ¡17)aÆ5. Suyra (P): 5x¡17yÅ19z¡27Æ0. ä Bài40. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (®): x¡y¡2Æ0 và (¯): 5x¡ 13yÅ2zÆ0;đồngthờicáchđiểm M(1;2;3)mộtkhoảng kÆ2. -Lờigiải. Gọi #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 È0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Cho yÆ0tacó n x¡2Æ0 5xÅ2zÆ0 , n xÆ2 zÆ¡5. Suyra A(2;0;¡5)2(®)\(¯). Cho yÆ¡2tacó n xÆ0 5xÅ26Å2zÆ0 , n xÆ0 zÆ¡13. Suyra B(0;¡2;¡13)2(®)\(¯). Vì (®)\(¯)½(P)nên A, B2(P). Dođótacó #  n? #  BAÆ(2;2;8),aÅbÅ4cÆ0,bÆ¡a¡4c. Suyra #  nÆ(a;¡a¡4c;c). Tacó (P): ½ điquađiểm A(2;0;¡5) cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(a;¡a¡4c;c) )(P): a(x¡2)¡(aÅ4c)yÅc(zÅ5)Æ0. Tacó d(M;(P))Æ2 , j3aj p a 2 Åc 2 Å(aÅ4c) 2 Æ2 ,j3ajÆ2 p 2a 2 Å8acÅ17c 2 ,(3a) 2 Æ4 ¡ 2a 2 Å8acÅ17c 2 ¢ , h aÆ¡2c aÆ34c. +) aÆ¡2c.Chọn cÆ¡1)aÆ2. Suyra (P): 2xÅ2y¡z¡9Æ0. +) aÆ34c.Chọn cÆ1)aÆ34. Suyra (P): 34x¡38yÅz¡63Æ0. ä Bài41. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (®): xÅyÅzÅ1Æ0, (¯): 2x¡yÅ3z¡4Æ0vàkhoảngcáchtừgốctọađộO đến (P)bằng p 26. -Lờigiải. Mặtphẳng (®), (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (®) Æ(1;1;1), #  n (¯) Æ(2;¡1;3). Gọi #  n (P) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì ½ (P)?(®) (P)?(¯) suyra #  n (P) Æ £ #  n (®) , #  n (¯) ¤ Æ(4;¡1;¡3). Suyra (P): 4x¡y¡3zÅcÆ0. Tacó d(O;(P))Æ jcj p 4 2 Å(¡1) 2 Å(¡3) 2 Æ jcj p 26 . Kếthợpgiảthiếttacó jcj p 26 Æ p 26,jcjÆ26,cƧ26. Dođó (P): 4x¡y¡3z§26Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài42. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0 và (Q): x¡yÅz¡1Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (R)saocho (R)vuônggócvớihaimặtphẳng (P), (Q)và d(O;(R))Æ2. -Lờigiải. Mặtphẳng (P), (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n (P) Æ(1;1;1), #  n (Q) Æ(1;¡1;1). Gọi #  n (R) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (R). Tacó £ #  n (P) ; #  n (Q) ¤ Æ(2;0;¡2). Vì ½ (R)?(P) (R)?(Q) suyra #  n (R) Æ 1 2 £ #  n (P) ; #  n (Q) ¤ Æ(1;0;¡1). Suyra (R): x¡zÅcÆ0. Tacó d(O;(R))Æ jcj p 1 2 Å1 2 Æ jcj p 2 . Kếthợpgiảthiếttacó jcj p 2 Æ2,jcjÆ2 p 2,cƧ2 p 2. Dovậy (R): x¡z§2 p 2Æ0. ä C CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1 NHẬNBIẾT Câu1. TrongkhônggianOxyz,chobađiểmM(1;0;2),N(¡3;¡4;1),P(2;5;3).Mặtphẳng(MNP) cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(1;3;¡16). B. #  nÆ(3;¡16;1). C. #  nÆ(¡16;1;3). D. #  nÆ(1;¡3;16). Câu2. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): xÅyÅ2z¡1Æ0.Điểmnàodướiđâythuộc mặtphẳng (P)? A. A(1;2;1). B. B(1;¡2;1). C. C(¡1;1;1). D. D(1;¡2;¡1). Câu3. TrongkhônggianOxyz,tìmtọađộmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q): xÅ2y¡ 3z¡2Æ0. A. (¡1;2;3). B. (1;2;¡3). C. (1;¡2;¡3). D. (1;2;3). Câu4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x¡y¡4Æ0. Véc-tơ nào sauđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(2;¡1;¡4). B. #  nÆ(2;¡1;1). C. #  nÆ(¡2;1;0). D. #  nÆ(2;0;¡1). Câu5. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): 2xÅ2y¡z¡5Æ0.Điểmnào trongcácđiểmsaođâythuộcmặtphẳng (P)? A. M(2;2;¡1). B. M(2;1;¡1). C. M(1;2;¡1). D. M(1;1;¡1). Câu6. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): ¡5xÅy¡3Æ0.Tìmtọađộmộtvéc-tơpháp tuyếncủa (P). A. #  nÆ(¡5;1;¡3). B. #  nÆ(5;¡1;0). C. #  nÆ(¡5;0;1). D. #  nÆ(5;1;0). -Lờigiải. Theotínhchấtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng. Chọnđápán B ä Câu7(THPTQG2017). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2yÅz¡5Æ0. Điểm nàodướiđâythuộc (P)? A. Q(2;¡1;5). B. P(0;0;¡5). C. N(¡5;0;0). D. M(1;1;6). -Lờigiải. SửdụngchứcnăngCALCcủaMTCTtìmđược M(1;1;6). Chọnđápán D ä Câu8. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;¡1) và nhậnvéc-tơ #  nÆ(2;3;5)làmvéc-tơpháptuyến. A. (P): 2xÅ3yÅ5z¡2Æ0. B. (P): 2xÅ3yÅ5zÅ1Æ0. C. (P): 2xÅ3yÅ5z¡3Æ0. D. (P): 2xÅ3yÅ5zÅ2Æ0. Câu9. Trong không gian Oxyz, cho véc-tơ #  n Æ(1;¡2;¡3). Véc-tơ #  n là véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳngnào? A. xÅ2y¡3zÅ5Æ0. B. x¡2yÅ3zÆ0. C. ¡xÅ2yÅ3zÅ1Æ0. D. ¡x¡y¡3zÅ1Æ0. Câu10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A(a;0;0), B(0;b;0)và C(0;0;c)với abc6Æ0. Th.sNguyễnChínEm 219 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. x a Å y b Å z c Å1Æ0. B. axÅbyÅcz¡1Æ0. C. x a Å y b Å z c ¡1Æ0. D. x a Å y b Å z c Æ0. Câu11. Trongkhônggian Oxyz,chobađiểm A(1;2;0), B(3;¡2;1)và C(¡2;1;3).Phươngtrình nàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳng (ABC)? A. ¡11x¡9yÅ14z¡29Æ0. B. ¡11x¡9yÅ14z¡29Æ0. C. 11xÅ9yÅ14zÅ29Æ0. D. 11xÅ9yÅ14z¡29Æ0. Câu12. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(0;2;0),B(1;0;0),C(0;0;¡3).Viếtphươngtrình mặtphẳng (ABC). A. x 2 Å y 1 Å z ¡3 Æ1. B. x 1 Å y 2 ¡ z ¡3 Æ0. C. x 1 Å y 2 ¡ z 3 Æ1. D. x 1 Å y 2 ¡ z 3 Æ0. Câu13. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm A(1;1;¡3)vàsong songvớimặtphẳng (Oxz). A. yÅ1. B. xÅzÅ2Æ0. C. x¡zÅ4Æ0. D. y¡1Æ0. Câu14. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): xÅy¡zÅ5Æ0và(Q): 2xÅ2y¡2zÅ3Æ0. Khẳngđịnhnàonàosauđâyđúng? A. (P)songsongvới (Q). B. (P)vuônggócvới (Q). C. (P)cắt (Q). D. (P)trùngvới (Q). Câu15. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): xÅ(mÅ1)y¡2zÅmÆ0 và (Q): 2x¡ yÅ3Æ0,với mlàthamsốthực.Để (P)và (Q)vuônggócthìgiátrịcủa mbằngbaonhiêu? A. mÆ¡5. B. mÆ1. C. mÆ3. D. mÆ¡1. Câu16. TrongkhônggianOxyz,chotứdiện ABCD,biết A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;4;0),D(0;0;4). Khi đó, viết phương trình mặt phẳng (BCD) và tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD). A. 3xÅ4yÅ3zÅ12Æ0; dÆ 6 p 34 17 . B. 3xÅ3yÅ4z¡12Æ0; dÆ 6 p 34 7 . C. 3xÅ4yÅ3z¡12Æ0; dÆ 6 p 34 17 . D. 4xÅ3yÅ3z¡12Æ0; dÆ 6 p 34 17 . Câu17. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): x¡2yÅ2z¡6Æ0vàđiểm M(1;2;¡1).Tính khoảngcáchtừđiểm M đếnmặtphẳng (P). A. 11 3 . B. 11 9 . C. 5 3 . D. 13 3 . Câu18. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;2;0)vàmặtphẳng (®): xÅ2y¡2zÅ1Æ0.Tính khoảngcách d từ M đếnmặtphẳng (®). A. dÆ1. B. dÆ2. C. dÆ3. D. dÆ4. Câu19. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(¡1;¡2;3) và hai mặt phẳng (P): xÅy¡2Æ0, (Q): xÅzÅ2Æ0.Gọi h 1 và h 2 lầnlượtlàkhoảngcáchtừ M đến (P)và (Q).Đẳngthứcnàosau đâyđúng? A. h 1 Æh 2 . B. h 1 Æ 4 5 h 2 . C. h 1 Æ2h 2 . D. h 1 Æ 4 5 h 2 . Câu20. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình (P): x¡yÅ4z¡2Æ0 và (Q): 2x¡2zÅ7Æ0.Gócgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)bằng A. 90 ± . B. 45 ± . C. 60 ± . D. 30 ± . Câu21. Trongkhônggian Oxyz,cho #  a Æ(1;1;¡1), #  b Æ(0;¡1;2).Mặtphẳng (P)songsongvới giácủahaivéc-tơđãcho.Véc-tơnàosauđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(¡1;2;1). B. #  nÆ(¡1;2;¡1). C. #  nÆ(1;2;¡1). D. #  nÆ(3;2;¡1). Câu22. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 5x¡3yÅ2z¡7Æ0.Tìmtọađộvéc-tơpháp tuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(5;2;1). B. #  nÆ(5;3;2). C. #  nÆ(5;¡3;2). D. #  nÆ(5;¡3;1). Câu23. TrongkhônggianOxyz,véc-tơnàodướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Oxy)? A. #  i Æ(1;0;0). B. #  k Æ(0;0;1). C. #  j Æ(0;1;0). D. #  mÆ(1;1;1). -Lờigiải. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oxy)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  k Æ(0;0;1). Th.sNguyễnChínEm 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu24. Trongkhônggian Oxyz,chỉramộtvéc-tơpháptuyến #  n củamặtphẳng (P): 4x¡y¡ 3zÅ2Æ0. A. #  nÆ(¡1;¡3;2). B. #  nÆ(4;0;¡3). C. #  nÆ(4;¡1;¡3). D. #  nÆ(4;¡3;2). Câu25(THPTQG2017). Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trìnhmặtphẳngđiquađiểm M(1;2;¡3)vàcómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡2;3)? A. x¡2yÅ3z¡12Æ0. B. x¡2y¡3zÅ6Æ0. C. x¡2yÅ3zÅ12Æ0. D. x¡2y¡3z¡6Æ0. -Lờigiải. Ápdụngcôngthức A(x¡x 0 )ÅB(y¡y 0 )ÅC(z¡z 0 )Æ0tađược: (x¡1)¡2(y¡2)Å3(zÅ3)Æ0,x¡2yÅ3zÅ12Æ0. Chọnđápán C ä Câu26. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): xÅ3y¡zÅ1Æ0. Véc-tơ nào dưới đây khôngphảilàvéc-tơpháptuyếncủamặt (®)? A. #  n 1 Æ(¡1;¡3;1). B. #  n 2 Æ(1;3;¡1). C. #  n 3 Æ(3;9;¡3). D. #  n 4 Æ(1;3;1). Câu27. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquaM(1;1;0)vàcóvéc-tơ pháptuyến #  nÆ(1;1;1). A. (P): xÅyÅz¡3Æ0. B. (P): xÅyÅz¡2Æ0. C. (P): xÅyÅzÆ0. D. (P): xÅy¡2Æ0. Câu28. Trong không gian Oxyz, công thức tính khoảng cách từ điểm A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (P): axÅbyÅczÅdÆ0là A. d(A,(P))Æ jax 0 Åby 0 Åcz 0 Ådj a 2 Åb 2 Åc 2 . B. d(A,(P))Æ ax 0 Åby 0 Åcz 0 Åd È x 2 0 Åy 2 0 Åz 2 0 . C. d(A,(P))Æ ax 0 Åby 0 Åcz 0 Åd p a 2 Åb 2 Åc 2 . D. d(A,(P))Æ jax 0 Åby 0 Åcz 0 Ådj p a 2 Åb 2 Åc 2 . Câu29. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): ¡3xÅ2z¡1Æ0.Toạđộvéc-tơpháptuyến #  n củamặtphẳng (P)là A. #  nÆ(¡2;2;¡1). B. #  nÆ(3;2;¡1). C. #  nÆ(¡3;0;2). D. #  nÆ(3;0;2). Câu30. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅ7y¡3zÅ2016Æ0.véc-tơnàosauđây làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(2;7;¡3). B. #  nÆ(¡2;¡7;¡3). C. #  nÆ(2;7;3). D. #  nÆ(¡2;7;3). Câu31. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(Q): x¡yÅ3z¡18Æ0vàđiểm M(1;2¡3).Viết phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua M vàsongsongvới (Q). A. (P): ¡xÅy¡3zÅ10Æ0. B. (P): ¡x¡yÅ3z¡10Æ0. C. (P): x¡yÅ3zÅ10Æ0. D. (P): ¡xÅyÅ3zÅ10Æ0. Câu32. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;1;¡2) và B(6;9;2). Viết phương trình mặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A. x¡4yÅ2zÅ25Æ0. B. x¡4yÅ2z¡25Æ0. C. xÅ4yÅ2z¡25Æ0. D. xÅ4y¡2z¡25Æ0. Câu33. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;5) và B(0;¡2;3). Viết phương trình mặt phẳngđiqua A,B vàsongsongvớitrụcOy. A. 2xÅzÅ3Æ0. B. 2x¡zÅ3Æ0. C. ¡2x¡zÅ3Æ0. D. 4x¡4y¡zÅ5Æ0. Câu34. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;¡1;5), B(1;2;¡3), C(1;0;2). Giả sử mặt phẳng(ABC)cóphươngtrìnhlàxÅayÅbzÅcÆ0.Hỏicácgiátrịcủaa, b, cbằngbaonhiêu? A. aÆ¡5, bÆ2, cÆ¡3. B. aÆ¡5, bÆ¡2, cÆ3. C. aÆ5, bÆ¡2, cÆ3. D. aÆ5, bÆ2, cÆ¡3. Câu35. Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đi qua điểm A(1;2;3). A. 2x¡yÆ0. B. xÅy¡zÆ0. C. 3x¡zÆ0. D. 3y¡2zÆ0. Câu36. TrongkhônggianOxyz,cho A(0;0;2), B(0;¡1;0), C(3;0;0).Phươngtrìnhnàodướiđây làphươngtrìnhcủamặtphẳng (ABC)? A. x 3 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. B. x 2 Å y ¡1 Å z 3 Æ1. C. x ¡1 Å y 2 Å z 3 Æ1. D. x 3 Å y 2 Å z ¡1 Æ1. Th.sNguyễnChínEm 221 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu37. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;¡2;3) và mặt phẳng (P): 2x¡y¡2z¡3Æ0. Khoảngcách dtừđiểm M đếnmặtphẳng (P)là A. dÆ 5 3 . B. dÆ 2 3 . C. dÆ3. D. dÆ p 5. Câu38. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oxz)cóphươngtrìnhlà A. zÆ0. B. xÅyÅzÆ0. C. yÆ0. D. xÆ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0) và nhận #  j Æ (0;1;0) là một véc-tơ pháp tuyến nên phươngtrìnhcủamặtphẳng (Oxz)là yÆ0. Chọnđápán C ä Câu39. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng(P): 2xÅz¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  n 3 (2;1;0). B. #  n 2 (0;2;1). C. #  n 1 (2;1;¡1). D. #  n 4 (2;0;1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2xÅz¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 4 (2;0;1). Chọnđápán D ä Câu40. Trong không gian Oxyz, điểm nào trong các điểm dưới đây nằm trên mặt phẳng (P): 2x¡yÅz¡2Æ0? A. Q(1;¡2;2). B. P(2;¡1;¡1). C. M(1;1;¡1). D. N(1;¡1;¡1). -Lờigiải. LầnlượtthaytọađộcácđiểmQ, P, M, N vàovếtráiphươngtrìnhmặtphẳng (P)tacó ĐiểmQ: 2¢1¡(¡2)Å2¡2Æ46Æ0. Điểm P: 2¢2¡(¡1)Å(¡1)¡2Æ26Æ0. Điểm M: 2¢1¡1Å(¡1)¡2Æ¡26Æ0. Điểm N: 2¢1¡(¡1)Å(¡1)¡2Æ0. Vậyđiểm N(1;¡1;¡1)nằmtrênmặtphẳng (P). Chọnđápán D ä Câu41. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng(P): x¡yÅ3Æ0.Véc-tơnào dướiđâykhôngphảilàvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. (3;¡3;0). B. (1;¡1;3). C. (1;¡1;0). D. (¡1;1;0). -Lờigiải. Véc-tơ #  nÆ(1;¡1;3)khônglàvéc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán B ä Câu42. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡zÅ1Æ0.Mộtvéc-tơpháptuyếncủa mặtphẳng (P)là A. #  nÆ(2;¡1;0). B. #  nÆ(2;0;1). C. #  nÆ(2;¡1;1). D. #  nÆ(2;0;¡1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(2;0;¡1). Chọnđápán D ä Câu43. Tọađộgiaođiểmcủamặtphẳng (P): x¡2yÅz¡2Æ0vớitrụchoànhlà A. (2;0;0). B. (¡2;0;0). C. (0;0;2). D. (0;¡1;0). -Lờigiải. Gọi M(a;0;0) là giao điểm của mặt phẳng (P) và trục hoành, suy ra a¡2¢0Å0¡2Æ0,aÆ2. Vậy M(2;0;0). Chọnđápán A ä Câu44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2y¡3zÅ3Æ0 có mộtvec-tơpháptuyếnlà A. (1;¡2;3). B. (1;2;¡3). C. (¡1;2;¡3). D. (1;2;3). -Lờigiải. Theolýthuyết. Chọnđápán B ä Câu45. Trong không gian Oxy, cho mặt phẳng (P): 2xÅ3yÅ4zÅ5Æ0. Véc-tơ nào sau đây là mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  uÆ(4;3;2). B. #  v Æ(3;4;5). C. #  wÆ(2;3;4). D. #  uÆ(5;4;3). Th.sNguyễnChínEm 222 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Dựavàocáchệsốđivớicácbiến x, y, z. Chọnđápán C ä Câu46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅy¡1Æ0. Véc-tơ nàosauđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(¡2;¡1;1). B. #  nÆ(2;1;¡1). C. #  nÆ(1;2;0). D. #  nÆ(2;1;0). -Lờigiải. Chọnđápán D ä Câu47. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0.Mặtphẳng (P)cómột véc-tơpháptuyếnlà A. #  n 1 Æ(2;¡1;3). B. #  n 2 Æ(2;1;3). C. #  n 3 Æ(2;3;¡2). D. #  n 4 Æ(1;¡1;3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(2;¡1;3). Chọnđápán A ä Câu48. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2x¡yÅ2z¡6Æ0.Điểmnàosauđâythuộc mặtphẳng (P)? A. I(2;0;¡2). B. N(1;0;¡2). C. M(1;¡1;1). D. P(3;0;0). -Lờigiải. Vì 2¢3¡0Å2¢0¡6Æ0nên P2(P). Chọnđápán D ä Câu49. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho(P): 3x¡y¡2Æ0.Trongcácvectơsau,vectơ nàolàvectơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. (3;1;2). B. (3;¡1;¡2). C. (3;1;0). D. (3;¡1;0). -Lờigiải. Từphươngtrìnhmặtphẳng (P)tacómộtvectơpháptuyếncủa (P)là (3;¡1;0). Chọnđápán D ä Câu50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), (abc6Æ0). Khi đóphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. x a Å y b Å z c Æ1. B. x b Å y a Å z c Æ1. C. x a Å y c Å z b Æ1. D. x c Å y b Å z a Æ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhđoạnchắncủamặtphẳng (ABC)là x a Å y b Å z c Æ1. Chọnđápán A ä Câu51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x¡zÅ2Æ0. Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvectơpháptuyếncủa (P)? A. #  n 1 Æ(3;¡1;2). B. #  n 2 Æ(3;0;¡1). C. #  n 3 Æ(3;¡1;0). D. #  n 4 Æ(¡1;0;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3x¡zÅ2Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 Æ(3;0;¡1). Chọnđápán B ä Câu52. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P):3x¡y¡2Æ0.Trongcácvéc-tơsau,véc-tơ nàolàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. (3;1;2). B. (3;¡1;¡2). C. (3;1;0). D. (3;¡1;0). -Lờigiải. Tọa độ của một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là các hệ số của x,y,z trong phương trình.Dođó,mộtvéc-tơpháptuyếncủamp(P)là (3;¡1;0). Chọnđápán D ä Câu53. Trongkhônggian (Oxyz),cho (P): 2x¡yÅz¡2Æ0.Điểmnàodướiđâynằmtrênmặt phẳng (P). A. Q(1;¡2;2). B. N(1;1;1). C. P(2;¡1;¡1). D. M(1;1;¡1). -Lờigiải. Tacó 2¢1¡1Å1¡2Æ0nên N(1;¡1;1)2(P). Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 223 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu54. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0.Mặtphẳng (P)cómột véc-tơpháptuyếnlà A. #  n 4 Æ(1;¡1;3). B. #  n 1 Æ(2;¡1;3). C. #  n 2 Æ(2;1;3). D. #  n 3 Æ(2;3;¡2). -Lờigiải. Ta có phương trình 2x¡yÅ3z¡2Æ0,2¢xÅ(¡1)¢yÅ3¢z¡2Æ0 nên có véc-tơ pháp tuyến là #  n 1 Æ(2;¡1;3). Chọnđápán B ä Câu55. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(¡1;3;¡2) và mặt phẳng (®): x¡2y¡2zÅ5Æ0. Khoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (®)bằng A. 1. B. 1 3 . C. 2 3 . D. 2 p 5 5 . -Lờigiải. Khoảngcách d[A,(®)]Æ j¡1¡2¢3¡2¢(¡2)Å5j 3 Æ 2 3 . Chọnđápán C ä Câu56. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2y¡3z¡1Æ0. Véc-tơ nào sau đây là véc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(1;2;3). B. #  nÆ(2;¡3;¡1). C. #  nÆ(1;2;¡3). D. #  nÆ(3;1;2). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(1;2;¡3). Chọnđápán C ä Câu57. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,mặtphẳng (P): xÅ2y¡3zÅ3Æ0cómộtvéc-tơ pháptuyếnlà A. (1;¡2;3). B. (1;2;¡3). C. (¡1;2;¡3). D. (1;2;3). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(1;2;¡3). Chọnđápán B ä Câu58. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà A. xÆ0. B. yÆ0. C. zÆ0. D. xÅyÆ0. -Lờigiải. Tacó (Oxy): zÆ0, (Oxz): yÆ0, (Oyz): xÆ0. Chọnđápán C ä Câu59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(¡1;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4). Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhcủa (ABC)? A. x 1 Å y 3 Å z 4 Æ1. B. x 1 ¡ y 3 ¡ z 4 Æ1. C. x 4 Å y 3 Å z ¡1 Æ1. D. x 1 ¡ y 3 ¡ z 4 Æ¡1. -Lờigiải. (ABC): x ¡1 Å y 3 Å z 4 Æ1, x 1 ¡ y 3 ¡ z 4 Æ¡1. Chọnđápán D ä Câu60. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,hìnhchiếucủađiểmM(1;¡3;5)trênmặtphẳng (Oxy)cótọađộlà A. (1;¡3;5). B. (1;¡3;0). C. (1;¡3;1). D. (1;¡3;2). -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(1;¡3;5)trênmặtphẳng (Oxy)là (1;¡3;0). Chọnđápán B ä Câu61. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1 không đi qua điểm nào dưới đây? A. P(0;2;0). B. N(1;2;3). C. M(1;0;0). D. Q(0;0;3). -Lờigiải. Xétđiểm P(0;2;0): 0 1 Å 2 2 Å 0 3 Æ1(đúng))P2(P). Xétđiểm N(1;2;3): 1 1 Å 2 2 Å 3 3 Æ1(sai))NÝ(P). Th.sNguyễnChínEm 224 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Xétđiểm M(1;0;0): 1 1 Å 0 2 Å 0 3 Æ1(đúng))M2(P). XétđiểmQ(0;0;3): 0 1 Å 0 2 Å 3 3 Æ1(đúng))Q2(P). Chọnđápán B ä Câu62. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm A(1;¡1;2)vàmặtphẳng(P): 2x¡ yÅzÅ1Æ0. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với (P). Phương trình mặt phẳng (Q) là A. (Q): 2x¡yÅz¡5Æ0. B. (Q): 2x¡yÅzÆ0. C. (Q): xÅyÅz¡2Æ0. D. (Q): 2xÅy¡zÅ1Æ0. -Lờigiải. Do (Q)Ò(P)nênvéc-tơpháptuyến #  n P của (P)cũnglàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q). Dođó (Q): 2(x¡1)¡(yÅ1)Å(z¡2)Æ0,2x¡yÅz¡5Æ0. Chọnđápán A ä Câu63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x¡4yÅ6z¡1Æ0. Mặt phẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(1;¡2;3). B. #  nÆ(2;4;6). C. #  nÆ(1;2;3). D. #  nÆ(¡1;2;3). -Lờigiải. Mặt phẳng (P) nhận #  v Æ(2;¡4;6) làm véc-tơ pháp tuyến. Do đó véc-tơ #  nÆ(1;¡2;3)Æ 1 2 #  v cũng làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán A ä Câu64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡3yÅ1Æ0. Mặt phẳng (P)điquađiểmnàosauđây? A. (3;1;1). B. (1;¡3;1). C. (¡1;0;0). D. (1;0;0). -Lờigiải. Xétmặtphẳng (P): x¡3yÅ1Æ0. Cácđiểm (3;1;1),(1;¡3;1),(1;0;0)cótọađộkhôngthỏamãnphươngtrìnhmặtphẳng (P)dođó cácđiểmnàykhôngthuộcmặtphẳng. Điểm (¡1;0;0)thỏamãnphươngtrìnhcủa (P)nênđiểmnàythuộc (P). Vậy (P)điqua (¡1;0;0). Chọnđápán C ä Câu65. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrình A. xÆ0. B. zÆ0. C. xÅyÅzÆ0. D. yÆ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (Oyz) đi qua O(0;0;0) và có véc-tơ pháp tuyến #  i(1;0;0)) phương trình của mặt phẳnglà xÆ0. Chọnđápán A ä Câu66. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính bằng 1, tiếp xúc với mặtphẳng (Oxz).Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. jajÆ1. B. aÅbÅcÆ1. C. jbjÆ1. D. jcjÆ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (Oxz): yÆ0. Mặtcầu (S)tiếpxúcvới (Oxz),d(I,(Oxz))Æ1,jbjÆ1. Chọnđápán C ä Câu67. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng(P)qua M(1;2;3)vànhận #  nÆ(1;1;¡1)làmvéc-tơ pháptuyếncóphươngtrìnhlà A. xÅ2yÅ3zÆ0. B. xÅyÅzÆ0. C. xÅy¡zÆ0. D. xÅyÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóphươngtrìnhlà (x¡1)Å(y¡2)¡(z¡3)Æ0,xÅy¡zÆ0. Chọnđápán C ä Câu68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm đối xứng của M(1;2;3) qua mặt phẳng (Oyz)là A. (0;2;3). B. (¡1;¡2;¡3). C. (¡1;2;3). D. (1;2;¡3). Th.sNguyễnChínEm 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacóđiểm M 0 (¡1;2;3)làđiểmđốixứngcủa M(1;2;3)quamặtphẳng (Oyz). Chọnđápán C ä Câu69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;¡1;4) đồng thờivuônggócvớigiácủavéc-tơ #  aÆ(1;¡1;2)cóphươngtrìnhlà A. x¡yÅ2zÅ12Æ0. B. x¡yÅ2z¡12Æ0. C. 3x¡yÅ4z¡12Æ0. D. 3x¡yÅ4zÅ12Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;¡1;4) và có một véc-tơ pháp tuyến #  a Æ(1;¡1;2) nên phương trìnhlà 1(x¡3)¡1(yÅ1)Å2(z¡4)Æ0,x¡yÅ2z¡12Æ0. Chọnđápán B ä Câu70. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm A(¡3;0;0),B(0;4;0), C(0;0;¡2)là A. 4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. B. 4xÅ3yÅ6zÅ12Æ0. C. 4xÅ3y¡6zÅ12Æ0. D. 4x¡3yÅ6z¡12Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhtheođoạnchắncủamặtphẳng (ABC)là x ¡3 Å y 4 Å z ¡2 Æ1,4x¡3yÅ6zÆ¡12,4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm A, B, C là 4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. Chọnđápán A ä Câu71. Tronghệtọađộ Oxyz,chođiểm I(2;¡1;¡1)vàmặtphẳng (P): x¡2y¡2zÅ3Æ0.Viết phươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P). A. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅyÅz¡3Æ0. B. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2z¡3Æ0. C. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅyÅzÅ1Æ0. D. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu (S)là RÆ j2Å2Å2Å3j p 1Å4Å4 Æ3.Suyraphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9,x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ2z¡3Æ0. Chọnđápán B ä Câu72. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(1;¡1;2)vàmặtphẳng (P): 2x¡yÅzÅ1Æ0.Mặt phẳng (Q)điquađiểm A vàsongsongvới (P).Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)là A. xÅyÅz¡2Æ0. B. 2x¡yÅz¡5Æ0. C. 2xÅy¡zÅ1Æ0. D. 2x¡yÅzÆ0. -Lờigiải. Tacó (Q)Ò(P),suyra #  n (Q) Æ #  n (P) Æ(2;¡1;1). Lạicó (Q)điqua A(1;¡1;2)nêncóphươngtrình 2(x¡1)¡(yÅ1)Å(z¡2)Æ0,2x¡yÅz¡5Æ0. Chọnđápán B ä Câu73. TrongkhônggianOxyzchomặtphẳng(P): 2x¡2yÅz¡1Æ0.KhoảngcáchtừM(1;¡2;0) đếnmặtphẳng (P)bằng A. 2. B. 5 3 . C. 4 3 . D. 5. -Lờigiải. Khoảngcáchtừ M(1;¡2;0)đếnmặtphẳng (P)là d(M;(P))Æ j2¢1¡2¢(¡2)Å1¢0¡1j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ 5 3 . Chọnđápán B ä Câu74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0), N(0;¡1;0) và P(0;0;2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. B. x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. C. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. Th.sNguyễnChínEm 226 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngquabađiểm M(2;0;0), N(0;¡1;0)và P(0;0;2)là x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán A ä Câu75. TrongkhônggianOxyzchomặtphẳng(P): 2x¡2yÅzÅ5Æ0.KhoảngcáchtừM(¡1;2;¡3) đếnmặtphẳng (P)bằng A. 4 9 . B. 4 3 . C. 2 3 . D. ¡ 4 3 . -Lờigiải. d(M;(P))Æ j2¢(¡1)¡2¢2Å(¡3)Å5j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ 4 3 . Chọnđápán B ä Câu76. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P):x¡2yÅz¡1Æ0.Mộtvéc-tơpháp tuyếncủamặtphẳng (P)là A. #  n 1 Æ(1;1;¡2). B. #  n 2 Æ(¡2;1;¡1). C. #  n 3 Æ(1;¡2;1). D. #  n 4 Æ(¡2;1;1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(1;¡2;1). Chọnđápán C ä Câu77. TrongkhônggiantọađộOxyz,mặtphẳngđiquabađiểmM(¡1;0;0),N(0;2;0),P(0;0;¡3) cóphươngtrìnhlà A. x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. B. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. C. x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ¡1. D. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ¡1. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm M(¡1;0;0),N(0;2;0),P(0;0;¡3)là x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. Chọnđápán A ä Câu78. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): xÅ2yÅ2z¡3Æ0.Véc-tơnàodướiđâylà véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(1;2;2). B. #  nÆ(2;2;¡3). C. #  nÆ(1;¡2;2). D. #  nÆ(1;2;¡2). -Lờigiải. TacómộtVTPTcủamặtphẳnglà #  nÆ(1;2;2). Chọnđápán A ä Câu79. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2) và B(2;0;1). Mặt phẳng đi qua A và vuônggócvới AB cóphươngtrìnhlà A. xÅy¡zÆ0. B. x¡y¡z¡2Æ0. C. xÅyÅz¡4Æ0. D. x¡y¡zÅ2Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡1;¡1)làVTPTcủamặtphẳng,suyraphươngtrìnhmặtphẳngqua Avàvuông gócvới AB là 1¢(x¡1)¡1¢(y¡1)¡1¢(z¡2)Æ0,x¡y¡zÅ2Æ0. Chọnđápán D ä Câu80. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): xÅ2y¡2zÅ1Æ0 và điểm M(1;¡2;1). Khoảngcáchtừđiểm M đếnmặtphẳng (Q)bằng A. 4 3 . B. 1 3 . C. 2 3 . D. 2 p 6 3 . -Lờigiải. Tacó dÆ j1¡4¡2Å1j p 1Å4Å4 Æ 4 3 . Chọnđápán A ä Câu81. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 3 Å y 2 Å z 1 Æ1. Véc-tơ nàodướiđâylàvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ µ 1; 1 2 ; 1 3 ¶ . B. #  nÆ(2;3;6). C. #  nÆ(6;3;2). D. #  nÆ(3;2;1). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó (P): x 3 Å y 2 Å z 1 Æ1.Suyra (P): 2xÅ3yÅ6zÆ6. Dođótacóvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ(2;3;6). Chọnđápán B ä Câu82. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhmặtphẳng (Oxz)là A. xÆy. B. yÆz. C. zÆ0. D. yÆ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (Oxz) qua điểm O(0;0;0) và có véc-tơ pháp tuyến #  j Æ(0;1;0) nên có phương trình yÆ0. Chọnđápán D ä Câu83. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchođiểm M(1;0;6)vàmặtphẳng (®)cóphương trình xÅ2yÅ2z¡1Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (¯)điquađiểm M vàsongsongvớimặt phẳng (®). A. (¯): xÅ2yÅ2z¡13Æ0. B. (¯): xÅ2yÅ2z¡15Æ0. C. (¯): xÅ2yÅ2zÅ15Æ0. D. (¯): xÅ2yÅ2zÅ13Æ0. -Lờigiải. Do (¯)Ò(®)nênphươngtrìnhmặtphẳng (¯)códạng xÅ2yÅ2zÅcÆ0(c6Æ¡1). Do (¯)điquađiểm M nên 1Å0Å12ÅcÆ0)cÆ¡13. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (¯)là xÅ2yÅ2z¡13Æ0. Chọnđápán A ä Câu84. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm A(1;0;0), B(0;3;0), C(0;0;5)cóphươngtrìnhlà A. 15xÅ5yÅ3zÅ15Æ0. B. x 1 Å y 3 Å z 5 Å1Æ0. C. xÅ3yÅ5zÆ1. D. x 1 Å y 3 Å z 5 Æ1. -Lờigiải. Mặtphẳngquađiểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)cóphươngtrìnhlà x a Å y b Å z c Æ1. Chọnđápán D ä Câu85. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P): x¡2zÅ1Æ0.Vectơnàodướiđâylàmột vectơpháptuyếncủa (P)? A. #  n 1 Æ(1;0;¡2). B. #  n 2 Æ(1;¡2;1). C. #  n 3 Æ(1;¡2;0). D. #  n 4 Æ(¡1;2;0). -Lờigiải. Vectơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ(1;0;¡2). Chọnđápán A ä Câu86. Tínhkhoảngcáchtừđiểm M(1;¡1;3)đếnmặtphẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ1Æ0. A. 3. B. 2 p 5. C. 10 p 3 . D. 10 3 . -Lờigiải. Tacó d[M,(P)]Æ j2¢1¡(¡1)Å2¢3Å1j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ 10 3 . Chọnđápán D ä Câu87. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(8;¡2;4). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trêncáctrụcOx,Oy,Oz.Phươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm A, B và C là A. x¡4yÅ2z¡8Æ0. B. x¡4yÅ2z¡18Æ0. C. xÅ4yÅ2z¡8Æ0. D. xÅ4y¡2z¡8Æ0. -Lờigiải. Tacó A(8;0;0), B(0;¡2;0), C(0;0;4). Phươngtrìnhtheođoạnchắncủamặtphẳng (ABC)là x 8 Å y ¡2 Å z 4 Æ1,x¡4yÅ2z¡8Æ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x¡4yÅ2z¡8Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 228 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu88. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(®): x¡2yÅ2z¡3Æ0.Điểmnàosauđâynằm trênmặtphẳng (®)? A. M(2;0;1). B. Q(2;1;1). C. P(2;¡1;1). D. N(1;0;1). -Lờigiải. Tacó 1¡2¢0Å2¢1¡3Æ0nên N(1;0;1)nằmtrênmặtphẳng (®) Chọnđápán D ä Câu89. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): x¡yÅ2zÅ1Æ0. Trong những điểm có tọađộchoởcácđápán A, B, C, D sauđây,điểmnàokhôngthuộc (®)? A. (0;0;2). B. (0;1;0). C. (¡1;2;1). D. (¡1;0;0). -Lờigiải. Điểm (0;0;2)khôngthuộc (®). Chọnđápán A ä Câu90. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳngOxycóphươngtrìnhlà A. xÆ0. B. yÅxÆ0. C. yÆ0. D. zÆ0. -Lờigiải. MặtphẳngOxycóphươngtrìnhlà zÆ0. Chọnđápán D ä Câu91. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P):2x¡3z¡2Æ0.Mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)cótọađộlà A. #  nÆ(2;¡3;¡2). B. #  nÆ(¡2;3;2). C. #  nÆ(2;¡3;0). D. #  nÆ(2;0;¡3). -Lờigiải. Tacómộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳnglà #  nÆ(2;0;¡3). Chọnđápán D ä Câu92. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm A(¡1;2;0) và nhận #  nÆ(¡1;0;2) làmmộtvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà A. ¡xÅ2y¡5Æ0. B. xÅ2z¡5Æ0. C. ¡xÅ2y¡5Æ0. D. x¡2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm A(¡1;2;0)vànhận #  nÆ(¡1;0;2)làmmộtvéc-tơpháp tuyếncóphươngtrìnhlà¡1(xÅ1)Å0(y¡2)Å2(z¡0)Æ0,x¡2zÅ1Æ0. Chọnđápán D ä Câu93. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): xÅy¡zÅ3Æ0, (P) đi qua điểm nào dưới đây? A. M(1;1;¡1). B. N(¡1;¡1;1). C. P(1;1;1). D. Q(¡1;1;1). -Lờigiải. Xétcáctrườnghợpsau x M Åy M ¡z M Å3Æ1Å1¡(¡1)Å3Æ66Æ0suyra MÝ(P). x N Åy N ¡z N Å3Æ¡1Å(¡1)¡1Å3Æ0suyra N2(P). x P Åy P ¡z P Å3Æ1Å1¡1Å3Æ46Æ0suyra PÝ(P). x Q Åy Q ¡z Q Å3Æ¡1Å1¡1Å3Æ26Æ0suyraQÝ(P). Chọnđápán B ä Câu94. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm A(1;0;0),B(0;¡2;0) và C(0;0;3)là A. x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. B. x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ¡1. C. x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ0. D. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(1;0;0), B(0;¡2;0) và C(0;0;3)là x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 229 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu95. TrongkhônggianOxyz,véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P): x¡2yÅz¡3Æ0cótọa độlà A. (1;¡2;¡3). B. (1;¡2;1). C. (1;1;¡3). D. (¡2;1;¡3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): x¡2yÅz¡3Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡2;1). Chọnđápán B ä Câu96. TrongkhônggiantọađộOxyz,chomặtphẳng(P)cóphươngtrình2x¡4z¡5Æ0.Một véc-tơpháptuyếncủa (P)là A. #  nÆ(1;0;¡2). B. #  nÆ(2;¡4;¡5). C. #  nÆ(0;2;¡4). D. #  nÆ(1;¡2;0). -Lờigiải. Tacó (P): 2x¡4z¡5Æ0)(P): x¡2z¡ 5 2 Æ0. Mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ(1;0;¡2). Chọnđápán A ä Câu97. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrìnhlà A. zÆ0. B. yÆ0. C. yÅzÆ0. D. xÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrìnhlà xÆ0. Chọnđápán D ä Câu98. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng 3x¡5yÅz¡2Æ0điquađiểmnàosauđây? A. M(1;2;¡1). B. N(1;1;¡1). C. P(2;0;¡3). D. Q(1;0;¡1). -Lờigiải. Thaytọađộcácđiểmởcácđápánvàophươngtrìnhmặtphẳng 3x¡5yÅz¡2Æ0đểkiểmtra thìtathấymặtphẳngđãchođiquađiểmQ(1;0;¡1). Chọnđápán D ä Câu99. TrongkhônggianOxyz,khoảngcáchtừđiểm A(1;¡1;2)đếnmặtphẳng(P): 2xÅ3y¡ zÅ2Æ0bằng A. 5 p 14 . B. 1 p 14 . C. 3 p 14 . D. 2 p 14 . -Lờigiải. Tacó d(A,(P))Æ j2¢1Å3¢(¡1)¡2Å2j p 2 2 Å3 2 Å(¡1) 2 Æ 1 p 14 . Chọnđápán B ä Câu100. Trongkhônggian Oxyz,véc-tơnàosauđâylàvéc-tơpháptuyến #  n củamặtphẳng (P): 2xÅ2yÅz¡1Æ0? A. #  nÆ(2;2;¡1). B. #  nÆ(4;4;2). C. #  nÆ(4;4;1). D. #  nÆ(4;2;1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2xÅ2yÅz¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(4;4;2). Chọnđápán B ä Câu101. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trụcOz? A. (®): zÆ0. B. (P): xÅyÆ0. C. (Q): xÅ11yÅ1Æ0. D. (¯): zÆ1. -Lờigiải. TrụcOz cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  v Æ(0;0;1).Taxét (®): zÆ0 có véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ(0;0;1) nên #  v¢ #  nÆ1. Do đó Oz không song song với (®). (P): xÅyÆ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;1;0)nên n #  v¢ #  nÆ0 O(0;0;0;)2(P) .DođóOzkhôngsong songvới (P). (Q): xÅ11yÅ1Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(0;0;1)nên n #  v¢ #  nÆ0 O(0;0;0;)Ý(P) .DođóOzÒ(Q). (¯): zÆ1 có véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ(0;0;1) nên #  v¢ #  nÆ1. Do đó Oz không song song với (¯). Th.sNguyễnChínEm 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậymặtphẳng (Q): xÅ11yÅ1Æ0songsongvớitrụcOz. Chọnđápán C ä Câu102. TrongkhônggianOxyz,khoảngcáchtừđiểm A(1;¡2;3)đếnmặtphẳng(P): xÅ3y¡ 4zÅ9Æ0là A. p 26 13 . B. p 8. C. 17 p 26 . D. 4 p 26 13 . -Lờigiải. d(A,(P))Æ j1Å3¢(¡2)¡4¢3Å9j p 1 2 Å3 2 Å(¡4) 2 Æ 8 p 26 Æ 4 p 26 13 . Chọnđápán D ä Câu103. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2;¡2;1), C(¡2;0;1). Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới BC là A. 2x¡y¡1Æ0. B. ¡yÅ2z¡3Æ0. C. 2x¡yÅ1Æ0. D. yÅ2z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó A(0;1;2), #  BCÆ(¡4;2;0). Mặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới BC nhận #  BC làmvéc-tơpháptuyến.Phươngtrìnhmặt phẳngcầntìmlà ¡4(x¡0)Å2(y¡1)Æ0,2x¡yÅ1Æ0. Chọnđápán C ä Câu104. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) có một véc-tơ pháp tuyếnlà A. (1;1;1). B. (0;1;0). C. (1;0;0). D. (0;0;1). -Lờigiải. MặtphẳngOxyvuônggócvớitrụcOz cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  i Æ(0;0;1). Chọnđápán D ä Câu105. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (®)là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tạibađiểm M(8;0;0); N(0;¡2;0); P(0;0;4).Phươngtrìnhcủamặtphẳng (®)là A. x 8 Å y ¡2 Å z 4 Æ0. B. x¡4yÅ2z¡8Æ0. C. x 4 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. D. x¡4yÅ2zÆ0. -Lờigiải. Phươngtrình (®)qua M, N, P là x 8 Å y ¡2 Å z 4 Æ1,x¡4yÅ2z¡8Æ0. Chọnđápán B ä Câu106. TrongkhônggianOxyz,điểm M(3;4;¡2)thuộcmặtphẳngnàotrongcácmặtphẳng sau? A. (Q): x¡1Æ0. B. (R): xÅy¡7Æ0. C. (P): z¡2Æ0. D. (S): xÅyÅzÅ5Æ0. -Lờigiải. Lầnlượtthaytọađộ M vàotừngmặtphẳng,tacó M2(R): xÅy¡7Æ0. Chọnđápán B ä Câu107. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): 2xÅy¡2zÅ1Æ0.Véc-tơnàosauđâylà véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  n 3 Æ(¡2;1;2). B. #  n 2 Æ(1;¡2;1). C. #  n 4 Æ(2;¡2;1). D. #  n 1 Æ(2;1;¡2). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(2;1;¡2). Chọnđápán D ä Câu108. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1;¡2;3) đến (P): xÅ3y¡4zÅ9Æ0 là A. 17 p 26 . B. 4 p 26 13 . C. p 26 13 . D. p 8. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 231 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Khoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (P)là dÆ j1¡6¡12Å9j p 1 2 Å3 2 Å4 2 Æ 4 p 26 13 . Chọnđápán B ä Câu109. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡zÅ1Æ0. Tọa độ một véc-tơpháptuyếncủa (P)là A. #  nÆ(2;0;1). B. #  nÆ(2;0;¡1). C. #  nÆ(2;¡1;1). D. #  nÆ(2;¡1;0). -Lờigiải. Viếtlại (P)dướidạng (P): 2¢xÅ0¢yÅ(¡1)¢zÅ1Æ0.Dođó,mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)cóthể chọnlà #  nÆ(2;0;¡1). Chọnđápán B ä Câu110. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm M(1;0;0), N(0;2;0), P(0;0;3).Tìm mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (MNP). A. #  nÆ(6;3;2). B. #  nÆ(1;2;3). C. #  nÆ(¡6;1;3). D. #  nÆ(¡1;¡2;6). -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng (MNP) là x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1 hay 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0 nên #  nÆ(6;3;2) là một véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (MNP). Chọnđápán A ä Câu111. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(®)điquaM(1;2;3)vàcóvéc-tơ pháptuyếnlà #  nÆ(1;2;¡1).Tìmphươngtrìnhmặtphẳng (®). A. xÅ2y¡z¡2Æ0. B. xÅ2yÅ3z¡2Æ0. C. xÅ2y¡zÆ0. D. xÅ2yÅ3zÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cóphươngtrìnhlà 1¢(x¡1)Å2¢(y¡2)¡1¢(z¡3)Æ0hay xÅ2y¡z¡2Æ0. Chọnđápán A ä Câu112. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;¡2;3). Viết phương trình mặt cầutâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P): xÅ2y¡2z¡6Æ0. A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ5. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ3. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầucầntìmlà RÆd(I,(P))Æ j1Å2¢(¡2)¡2¢3¡6j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ5. Vậyphươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. Chọnđápán C ä Câu113. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (®): 2xÅyÅmz¡2Æ0 và (¯): xÅnyÅ2zÅ8Æ0.Tính SÆmÅnđể (®)songsongvới (¯). A. 9 2 . B. 17 4 . C. 9 4 . D. 5 2 . -Lờigiải. Mặt phẳng (®) có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ(2;1;m) và mặt phẳng (¯) có véc-tơ pháp tuyến #  mÆ (1;n;2).Haimặtphẳngnàysongsongvớinhaukhi 2 1 Æ 1 n Æ m 2 6Æ ¡2 8 , ( mÆ4 nÆ 1 2 . Suyra mÅnÆ 9 2 . Chọnđápán A ä Câu114. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng(®): x¡yÅ2z¡3Æ0điquađiểmnàodướiđây? A. M µ 1;1; 3 2 ¶ . B. N µ 1;¡1;¡ 3 2 ¶ . C. P(1;6;1). D. Q(0;3;0). -Lờigiải. Tacó 1¡1Å 2¢3 2 ¡3Æ0nên M µ 1;1; 3 2 ¶ 2(®). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu115. TrongkhônggianOxyz,tìmphươngtrìnhmặtphẳng(®)cắtbatrụcOx,Oy,Ozlần lượttạibađiểm A(¡3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;¡2). A. 4x¡3yÅ6z¡12Æ0. B. 4xÅ3y¡6zÅ12Æ0. C. 4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. D. 4xÅ3yÅ6z¡12Æ0. -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng (®) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A(¡3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;¡2)códạng x ¡3 Å y 4 Å z ¡2 Æ1,(®): 4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. Chọnđápán C ä Câu116. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 3x¡zÅ2Æ0.Véc-tơnàodướiđâylàmột véc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(3;0;¡1). B. #  nÆ(3;¡1;2). C. #  nÆ(¡1;0;¡1). D. #  nÆ(3;¡1;0). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3x¡zÅ2Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(3;0;¡1). Chọnđápán A ä Câu117. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x¡2yÅzÅ2Æ0. Véc-tơ nào dưới đây làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(3;2;1). B. #  nÆ(1;¡2;3). C. #  nÆ(6;¡4;1). D. #  nÆ(¡3;2;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng(P)cómộtvéc-tơphăptuyến #  n 0 Æ(3;¡2;1),dođóvéc-tơ #  nÆ¡ #  n 0 Æ(¡3;2;¡1)cũnglà véc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán D ä Câu118. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (®) đi qua điểm A(0;¡1;0), B(2;0;0), C(0;0;3)là A. x 2 Å y 1 Å z 3 Æ1. B. x 2 Å y ¡1 Å z 3 Æ0. C. x ¡1 Å y 2 Å z 3 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 3 Æ1. -Lờigiải. Theocôngthứclýthuyếttacóphươngtrìnhmặtphẳng (®)là x 2 Å y ¡1 Å z 3 Æ1. Chọnđápán B ä Câu119. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;¡1;1), B(1;2;4). Viết phương trình mặt phẳng (P)điqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB. A. (P): 2x¡3y¡3z¡16Æ0. B. (P): 2x¡3y¡3z¡6Æ0. C. (P): ¡2xÅ3yÅ3z¡6Æ0. D. (P): ¡2xÅ3yÅ3z¡16Æ0. -Lờigiải. Tacó #  BAÆ(2;¡3;¡3)làvéctơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Suyraphươngtrìnhmặtphẳng (P): 2x¡3y¡3z¡6Æ0. Chọnđápán B ä Câu120. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): 2xÅ3yÅ6z¡6Æ0.Véc-tơ nàodướiđâylàvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(3;2;1). B. #  nÆ(2;3;6). C. #  nÆ µ 1; 1 2 ; 1 3 ¶ . D. #  nÆ(6;3;2). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;3;6). Chọnđápán B ä Câu121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình củamặtphẳng (Ozx)? A. xÆ0. B. y¡1Æ0. C. yÆ0. D. zÆ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (Ozx)là yÆ0. Chọnđápán C ä Câu122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): 2x¡3zÅ5Æ0 có một véc-tơ pháptuyếnlà Th.sNguyễnChínEm 233 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. #  n 1 (2;¡3;5). B. #  n 2 (2;¡3;0). C. #  n 3 (2;0;¡3). D. #  n 4 (0;2;¡3). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P): 2x¡3zÅ5Æ0là #  n 3 (2;0;¡3). Chọnđápán C ä Câu123. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrìnhlà A. zÆ0. B. xÅyÅzÆ0. C. xÆ0. D. yÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng(Oyz)điquađiểmO(0;0;0)nhận #  i Æ(1;0;0)làmvéc-tơpháptuyếncóphươngtrình là xÆ0. Chọnđápán C ä Câu124. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (®): 3x¡4y¡zÅ3Æ0 có 1 vectơ pháptuyếnlà A. #  aÆ(¡6;8;2). B. #  mÆ(3;4;¡1). C. #  nÆ(3;4;1). D. #  b Æ(¡3;4;¡1). -Lờigiải. Tacó #  nÆ(3;¡4;¡1)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®). Nên #  aÆ(¡6;8;2)cũnglàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®). Chọnđápán A ä Câu125. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;¡1;2) và mặt phẳng (®): 3x¡ yÅzÅ4Æ0.Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳngđiqua M vàsongsong với (®)? A. 3x¡yÅzÅ11Æ0. B. 3x¡yÅzÅ12Æ0. C. 3x¡yÅz¡12Æ0. D. 3x¡yÅz¡11Æ0. -Lờigiải. Domặtphẳng (¯)songsongvớimặtphẳng (®): 3x¡yÅzÅ4Æ0nênphươngtrìnhmặtphẳng (¯)códạng 3x¡yÅzÅcÆ0với c6Æ4. Vìmặtphẳng (¯)điqua M(3;¡1;2)nên cÆ¡12. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (¯): 3x¡yÅz¡12Æ0. Chọnđápán C ä Câu126. Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua cácđiểm A(2;0;0), B(0;¡3;0), C(0;0;2). A. x 2 Å y 3 Å z 2 Æ1. B. x 2 Å y ¡3 Å z 2 Æ1. C. x ¡3 Å y 2 Å z 2 Æ1. D. x 2 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm A(2;0;0), B(0;¡3;0), C(0;0;2)là x 2 Å y ¡3 Å z 2 Æ1. Chọnđápán B ä Câu127. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P)cóphươngtrình3x¡4zÅ7Æ0.Mộtvéc-tơ pháptuyếncủa (P)cótọađộlà A. (3;¡4;7). B. (¡3;0;4). C. (3;¡4;¡7). D. (3;0;7). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3x¡4zÅ7Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà (¡3;0;4). Chọnđápán B ä Câu128. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅyÅz¡2Æ0điểmnàosauđâythuộc mặtphẳng (P)? A. P(2;¡1;1). B. M(¡1;1;¡1). C. Q(1;¡1;¡1). D. N(1;¡1;1). -Lờigiải. Thaytọađộcácđiểmvàophươngtrìnhmặtphẳng,tathấychỉcótọađộđiểm N thỏamãn. Chọnđápán D ä Câu129. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;¡1)vàcótiếpdiện làmặtphẳng (P): 2xÅyÅ2zÅ5Æ0cóphươngtrìnhlà A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ1. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cóbánkính RÆd(I,(P))Æ j2¢1Å1¢(¡2)Å2¢(¡1)Å5j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ1vàtâm I(1;¡2;¡1). Vậy (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu130. TrongkhônggianOxyz.Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua3điểm A(¡3;0;0),B(0;4;0), C(0;0;¡2)là A. x ¡3 Å y ¡4 Å z 2 Æ1. B. x ¡3 Å y 4 Å z ¡2 Æ1. C. x ¡3 ¡ y 4 Å z ¡2 Æ1. D. x 3 Å y ¡4 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngquabađiểm A(¡3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;¡2)là x ¡3 Å y 4 Å z ¡2 Æ1. Chọnđápán B ä Câu131. Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): ¡xÅ3yÅ2zÅ11Æ0 có một véc-tơ pháptuyếnlà A. #  n 3 Æ(3;2;11). B. #  n 1 Æ(1;3;2). C. #  n 4 Æ(¡1;2;11). D. #  n 2 Æ(¡1;3;2). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 Æ(¡1;3;2). Chọnđápán D ä Câu132. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0.Phươngtrìnhnàosau đâylàphươngtrìnhcủamặtphẳngvuônggócvớimặtphẳng (P)? A. 4x¡2yÅ6zÅ1Æ0. B. x¡7yÅ3zÅ1Æ0. C. ¡xÅ7y¡3zÅ1Æ0. D. x¡7y¡3zÅ1Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(2;¡1;3). Mặtphẳng 4x¡2yÅ6zÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(4;¡2;6).Tacó #  n (P) ¢ #  n 1 Æ8Å2Å186Æ0. Suy ra hai mặt phẳng (P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0 và 4x¡2yÅ6zÅ1Æ0 không vuông góc với nhau. Mặtphẳng x¡7yÅ3zÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 Æ(1;¡7;3).Tacó #  n (P) ¢ #  n 2 Æ2Å7Å96Æ0. Suyrahaimặtphẳng(P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0và x¡7yÅ3zÅ1Æ0khôngvuônggócvớinhau. Mặtphẳng¡xÅ7y¡3zÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 3 Æ(¡1;7;¡3).Tacó #  n (P) ¢ #  n 3 Æ¡2¡7¡96Æ0. Suy ra hai mặt phẳng (P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0 và ¡xÅ7y¡3zÅ1Æ0 không vuông góc với nhau. Mặtphẳng x¡7y¡3zÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 4 Æ(1;¡7;¡3).Tacó #  n (P) ¢ #  n 4 Æ2Å7¡9Æ0. Suyrahaimặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡2Æ0và x¡7y¡3zÅ1Æ0vuônggócvớinhau. Chọnđápán D ä Câu133. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với (Oxz)? A. (P): x¡3Æ0. B. (Q): y¡2Æ0. C. (R): zÅ1Æ0. D. (S): xÅzÅ3Æ0. -Lờigiải. Tathấymặtphẳng (Q): y¡2Æ0songsongvớimặtphẳng (Oxz). Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 235 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu134. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): x¡4yÅ3z¡2Æ0.Mộtvéc-tơpháptuyến củamặtphẳng (P)là A. #  nÆ(1;¡4;3). B. #  nÆ(1;4;3). C. #  nÆ(0;¡4;3). D. #  nÆ(¡4;3;¡2). -Lờigiải. Dựa vào định nghĩa phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta suy ra véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳng (P)là #  nÆ(1;¡4;3). Chọnđápán A ä Câu135. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x¡2y¡2z¡4Æ 0 đi qua điểm nào dưới đây? A. Q(1;¡2;¡2). B. N(8;0;¡2). C. P(8;0;4). D. M(8;0;2). -Lờigiải. Lầnlượtthaytọađộtừngđiểmởđápánvàophươngtrìnhmặtphẳng (P): x¡2y¡2z¡4Æ0. Vì 8¡2¢0¡2¢2¡4Æ0nênđiểm M(8;0;2)thuộcmặtphẳng (P). Chọnđápán D ä Câu136. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅ3y¡zÅ4Æ0.Biết #  nÆ(1;b;c)làmột véc-tơpháptuyếncủa (P).Tổng bÅc bằng A. 2. B. 1. C. 4. D. 0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(2;3;¡1)Æ2 µ 1; 3 2 ;¡ 1 2 ¶ . Dođó #  nÆ µ 1; 3 2 ;¡ 1 2 ¶ ,suyra bÆ 3 2 ,cÆ¡ 1 2 .Vậy bÅcÆ 3 2 ¡ 1 2 Æ1. Chọnđápán B ä Câu137. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳng songsongvớitrụcOz? A. xÆ1. B. xÅyÆ0. C. yÅzÆ1. D. zÆ1. -Lờigiải. MặtphẳngsongsongvớitrụcOz khuyết z nênloạicácphươngán yÅzÆ1và zÆ1. Mặtphẳng xÅyÆ0điquagốctọađộO nênkhôngsongsongvớitrụcOz. Mặtphẳng xÆ1songsongvớimặtphẳng (Oyz)nênsongsongvớitrụcOz. Chọnđápán A ä Câu138. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅz¡1Æ0 đi quađiểmnàodướiđây? A. P(1;¡2;0). B. M(2;¡1;1). C. N(0;1;¡2). D. Q(1;¡3;¡4). -Lờigiải. Thaytọađộcácđiểmvàophươngtrìnhmặtphẳng (P)tathấy 2¢1¡(¡3)¡4¡1Æ0)Q2(P). Chọnđápán D ä Câu139. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): xÅ2yÅ2zÅ4Æ0vàđiểm A(1;¡2;3).Tínhkhoảngcách dtừ A đến (P). A. dÆ 7 3 . B. dÆ 7 9 . C. dÆ p 14 2 . D. dÆ1. -Lờigiải. Khoảngcách dtừ A đến (P)là dÆ j(1)Å2¢(¡2)Å2¢(3)Å4j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ 7 3 . Chọnđápán A ä Câu140. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(¡2;0;0)vàvéc-tơ #  nÆ(0;1;1).Phươngtrìnhmặt phẳng (®)cóvéc-tơpháptuyến #  n vàđiquađiểm A là A. (®): yÅzÆ0. B. (®): 2x¡y¡zÆ0. C. (®): xÆ0. D. (®): yÅzÅ2Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(0;1;1)vàđiquađiểm A(¡2;0;0)là 0(xÅ2)Å1(y¡0)Å1(z¡0)Æ0,yÅzÆ0. Th.sNguyễnChínEm 236 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậy (®): yÅzÆ0. Chọnđápán A ä Câu141. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà A. zÆ0. B. xÅyÅzÆ0. C. yÆ0. D. xÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà zÆ0. Chọnđápán A ä Câu142. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrìnhlà A. zÆ0. B. yÆ0. C. yÅzÆ0. D. xÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrìnhlà xÆ0. Chọnđápán D ä Câu143. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng x¡z¡2Æ0điquađiểmnàosauđây? A. M(¡1;¡3;¡1). B. N(¡4;6;¡2). C. P(2;0;¡3). D. Q(1;4;¡1). -Lờigiải. Thaytọađộcácđiểmởcácđápánvàophươngtrìnhmặtphẳng x¡z¡2Æ0đểkiểmtrathìta thấymặtphẳngđãchođiquađiểmQ(1;4;¡1). Chọnđápán D ä Câu144. Cóbaonhiêucáchchọnhaihọcsinhtừmộtnhómgồm 34họcsinh? A. 2 34 . B. A 2 34 . C. 34 2 . D. C 2 34 . -Lờigiải. Mỗicáchchọnhaihọcsinhtừmộtnhómgồm 34họcsinhlàmộttổhợpchập 2của 34phầntử nênsốcáchchọnlà C 2 34 . Chọnđápán D ä Câu145. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (P): xÅ2yÅ3z¡5Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến là A. #  n 1 Æ(3;2;1). B. #  n 3 Æ(¡1;2;3). C. #  n 4 Æ(1;2;¡3). D. #  n 2 Æ(1;2;3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): xÅ2yÅ3z¡5Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 Æ(1;2;3). Chọnđápán D ä Câu146. Trongkhônggian Oxyz,mặtphẳng (P): 3xÅ2yÅz¡4Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến là A. #  n 3 Æ(¡1;2;3). B. #  n 4 Æ(1;2;¡3). C. #  n 2 Æ(3;2;1). D. #  n 1 Æ(1;2;3). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(3;2;1). Chọnđápán C ä Câu147. Trongkhônggian Oxyz,mặtphẳng (P): 2xÅ3yÅz¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến là A. #  n 1 Æ(2;3;¡1). B. #  n 3 Æ(1;3;2). C. #  n 4 Æ(2;3;1). D. #  n 2 Æ(¡1;3;2). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2xÅ3yÅz¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;3;1). Chọnđápán C ä Câu148. Trongkhônggian Oxyz,mặtphẳng (P): 2xÅyÅ3z¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến là A. #  n 4 Æ(1;3;2). B. #  n 1 Æ(3;1;2). C. #  n 3 Æ(2;1;3). D. #  n 2 Æ(¡1;3;2). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2xÅyÅ3z¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 3 Æ(2;1;3). Chọnđápán C ä Câu149. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P): 5xÅ3y¡2zÅ1Æ0.Tìmtọađộcủamột véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). A. #  aÆ(5;3;¡2). B. #  b Æ(5;3;2). C. #  c Æ(5;¡3;¡2). D. #  dÆ(¡5;¡3;1). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 237 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dựavàophươngtrìnhmặtphẳng (P): 5xÅ3y¡2zÅ1Æ0,tacótọađộcủavéc-tơpháptuyếnlà (5;3;¡2). Chọnđápán A ä Câu150. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): x¡3yÅz¡2Æ0.Điểmnào trongcácđiểmsauthuộcmặtphẳng (P). A. M(2;1;3). B. N(2;3;1). C. H(3;1;¡2). D. E(3;2;1). -Lờigiải. Kiểmtracácđápánchỉcóđiểm M(2;1;3)2(P). Chọnđápán A ä Câu151. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chomặtphẳng (®): xÅy¡zÅ2Æ0.Mộtvéc-tơ pháptuyếncủamặtphẳng (®)là A. #  nÆ(¡1;1;0). B. #  nÆ(¡1;¡1;1). C. #  nÆ(¡1;1;¡1). D. #  nÆ(1;1;¡2). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®)là #  nÆ(¡1;¡1;1). Chọnđápán B ä Câu152. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x¡yÅ2Æ0. Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  n 4 Æ(¡1;0;¡1). B. #  n 3 Æ(3;¡1;0). C. #  n 2 Æ(3;0;¡1). D. #  n 1 Æ(3;¡1;2). -Lờigiải. Véc-tơ #  n 3 Æ(3;¡1;0)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán B ä Câu153. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): x¡2yÅ3z¡7Æ0.Mặtphẳng(P)cómột véc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(¡1;2;¡3). B. #  nÆ(1;2;¡3). C. #  nÆ(¡1;2;3). D. #  nÆ(1;¡4;3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)nhận #  nÆ(¡1;2;¡3)làmộtvéc-tơpháptuyến. Chọnđápán A ä Câu154. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (¯) đi qua gốc O và có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ (2;¡7;5)thìphươngtrìnhcủa (¯)là A. ¡2x¡7yÅ5zÆ0. B. 2x¡7yÅ5zÆ0. C. 2x¡7y¡5zÆ0. D. 2xÅ7yÅ5zÆ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (¯): 2(x¡0)¡7(y¡0)Å5(z¡0)Æ0,2x¡7yÅ5zÆ0. Chọnđápán B ä Câu155. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,chođiểm A(¡5;¡3;¡4).Khoảngcáchtừđiểm A đến mặtphẳngOxylà A. 3. B. 4. C. 5. D. 5 p 2. -Lờigiải. MặtphẳngOxycóphươngtrình zÆ0.Dođó d(A,Oxy)Æj¡4jÆ4. Chọnđápán B ä Câu156. Trongkhônggianvớihệtọa Oxyz,chomặtphẳng (P): 3xÅ2y¡zÅ1Æ0.Véc-tơnào trongcácvéc-tơsauđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(3;2;1). B. #  nÆ(¡2;3;1). C. #  nÆ(3;2;¡1). D. #  nÆ(3;¡2;¡1). -Lờigiải. Véc-tơ #  nÆ(3;2;¡1)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Chọnđápán C ä Câu157. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x¡y¡1Æ0.Véc-tơnàosauđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(2;¡1;¡1). B. #  nÆ(2;0;¡1). C. #  nÆ(2;¡1;0). D. #  nÆ(¡2;1;1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;¡1;0). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 238 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu158. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x¡3yÅz¡4Æ0. Véc-tơ nàotrongsốcácvéc-tơsaulàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(2;1;1). B. #  nÆ(1;¡3;1). C. #  nÆ(1;¡3;4). D. #  nÆ(0;¡3;1). -Lờigiải. Tathấyvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(1;¡3;1). Chọnđápán B ä Câu159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(3;0;0), N(0;1;0) và P(0;0;¡2). Mặtphẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 3 Å y 1 Å z ¡2 Æ0. B. x 3 Å y 1 Å z ¡2 ¡1Æ0. C. x 3 Å y 1 Å z 2 ¡1Æ0. D. x 3 Å y 1 Å z ¡2 Å1Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua3điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)với a,b,c6Æ0là x a Å y b Å z c Æ1 (phươngtrìnhtheomặtchắn). Chọnđápán B ä Câu160. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡3;5;1) và B(1;¡3;¡5). Mặt phẳng trung trựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrình A. 2x¡4y¡3zÅ12Æ0. B. 2x¡4y¡3zÆ0. C. 2x¡4y¡3zÅ29Æ0. D. 2x¡4y¡3z¡12Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng ABđiquatrungđiểm I(¡1;1;¡2)của ABvànhậnvéc-tơ #  ABÆ(4;¡8;¡6)làmvéc-tơpháptuyếnnêncóphươngtrình 4(xÅ1)¡8(y¡1)¡6(zÅ2)Æ0,2x¡4y¡3zÆ0. Chọnđápán B ä Câu161. Trongkhônggian Oxyz,chocácđiểm A(1;¡2;1),B(2;¡2;0),C(7;2;¡1).Mặtphẳngđi quabađiểm A,B,C nhậnvéc-tơnàotrongcácvéc-tơsauđâylàmvéc-tơpháptuyến? A. #  nÆ(1;1;1). B. #  nÆ(¡1;1;1). C. #  nÆ(1;¡1;1). D. #  nÆ(1;1;¡1). -Lờigiải. Tacó h #  AB, #  AC i Æ ¯ ¯ ¯ ¯ #  i #  j #  k 1 0 ¡1 6 4 ¡2 ¯ ¯ ¯ ¯ Æ(4;¡4;4). Vậymặtphẳng (ABC)nhận #  nÆ 1 4 h #  AB, #  AC i Æ(1;¡1;1)làmvéc-tơpháptuyến. Chọnđápán C ä Câu162. TrongkhônggianOxyz,mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(P):3xÅ6yÅ2018z¡ 2019Æ0là A. #  nÆ(3;¡6;2018). B. #  nÆ(3;6;¡2018). C. #  nÆ(¡3;6;2018). D. #  nÆ(3;6;2018). -Lờigiải. #  nÆ(3;6;2018). Chọnđápán D ä Câu163. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡y¡2z¡3Æ0. Điểm nàodướiđâythuộcmặtphẳng (P)? A. M(2;¡1;¡3). B. N(2;¡1;¡2). C. P(2;¡1;¡1). D. Q(3;¡1;2). -Lờigiải. NhậnthấytọađộQ thuộc (P)vì 2¢3¡(¡1)¡2¢2¡3Æ0. Chọnđápán D ä Câu164. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;1)vàB(2;1;0).Mặtphẳng qua A vàvuônggócvới AB cóphươngtrìnhlà A. 3x¡y¡z¡6Æ0. B. xÅ3yÅz¡5Æ0. C. 3x¡y¡zÅ6Æ0. D. xÅ3yÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)qua A vàvuônggócvới AB cóvéc-tơpháptuyến #  ABÆ(3;¡1;¡1).Phươngtrình mặtphẳng (P)là 3¢(xÅ1)¡1¢(y¡2)¡1¢(z¡1)Æ0,3x¡y¡zÅ6Æ0. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 239 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu165. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2yÅ4Æ0. Một véc-tơ pháp tuyến của (P)là A. #  n 4 Æ(1;2;0). B. #  n 2 Æ(1;4;2). C. #  n 1 Æ(1;0;2). D. #  n 3 Æ(1;2;4). -Lờigiải. Theokháiniệmvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng. Chọnđápán A ä Câu166. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡3;2), B(3;5;¡2). Phương trình mặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB códạng xÅayÅbzÅcÆ0.Tínhtổng aÅbÅc. A. ¡2. B. ¡4. C. ¡3. D. 2. -Lờigiải. Gọi I là trung điểm AB suy ra tọa độ điểm I(4;1;0). Mặt khác ta có #  AB(2;8;¡4), do giả thiết mặt phẳng trung trực của đoạn AB nhận #  AB là véc-tơ pháp tuyến và đi qua điểm I. Suy ra phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựclà 2¢(x¡4)Å8¢(y¡1)Å(¡4)¢(z¡0)Æ0,xÅ4y¡2z¡6Æ0. Dođó aÆ4, bÆ¡2và cÆ¡6nên aÅbÅcÆ¡4. Chọnđápán B ä Câu167. TrongkhônggianOxyz,điểmnàodướiđâynằmtrênmặtphẳng (P):2x¡yÅz¡2Æ 0? A. Q(1;¡2;2). B. N(1;¡1;¡1). C. P(2;¡1;¡1). D. M(1;1;¡1). -Lờigiải. Thaytọađộđiểm N vàophươngtrình (P),tađược 2¡(¡1)Å(¡1)¡2Æ0(đúng). Vậy N2(P). Chọnđápán B ä Câu168. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P):x¡2yÅ3Æ0.Tìmmộtvéc-tơpháptuyến #  n (P) củamặtphẳng (P). A. #  n (P) Æ(1;¡2;0). B. #  n (P) Æ(1;¡2;3). C. #  n (P) Æ(1;0;¡2). D. #  n (P) Æ(0;1;¡2). -Lờigiải. Lưu ý: Nếu mặt phẳng (P) có phương trình là axÅbyÅczÅdÆ0 thì nó có một véc-tơ pháp tuyếnlà #  nÆ(a;b;c).Vàkhiđó,mọivéc-tơpháptuyếncủa (P)đềucódạng k #  n. Viết lại phương trình của (P) như sau x¡2yÅ0zÅ3Æ0, suy ra #  n (P) Æ(1;¡2;0) là một véc-tơ pháptuyếncủa (P). Chọnđápán A ä Câu169. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ (¡1;1;0), #  b Æ (1;1;0), #  c Æ(1;1;1).Tìmmệnhđềđúng. A. Haivéc-tơ #  a và #  c cùngphương. B. Haivéc-tơ #  a và #  b cùngphương. C. Haivéc-tơ #  b và #  c khôngcùngphương. D. #  a¢ #  c Æ1. -Lờigiải. Tacó h #  b, #  c i Æ(1;¡1;0)6Æ #  0 nênhaivéc-tơ #  b và #  c khôngcùngphương. Chọnđápán C ä Câu170. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P): 2x¡zÅ3Æ0 có một véc-tơ pháptuyếnlà A. #  n 1 Æ(2;0;¡1). B. #  n 2 Æ(2;¡1;3). C. #  n 3 Æ(2;¡1;0). D. #  n 4 Æ(¡1;0;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2x¡zÅ3Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(2;0;¡1). Chọnđápán A ä Câu171. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳngnàodướiđâyđiquagốctọađộ? A. x¡2yÅ3zÆ0. B. x¡2018Æ0. C. yÅ1Æ0. D. zÅ12Æ0. -Lờigiải. TọađộO(0;0;0)chỉthỏamãnphươngtrình x¡2yÅ3zÆ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 240 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu172. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2y¡3Æ0. Một véc-tơ pháp tuyến của (P)là A. #  nÆ(0;1;2). B. #  nÆ(1;2;0). C. #  nÆ(1;2;¡3). D. #  nÆ(1;2;3). -Lờigiải. Nếuphươngtrìnhmặtphẳng(P)códạng AxÅByÅCzÅDÆ0với A 2 ÅB 2 ÅC 2 6Æ0thì (P)cómột véc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(A;B;C). Chọnđápán B ä Câu173. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;0;1) và mặt phẳng (P): 2xÅyÅ2zÅ5Æ0.Khoảngcáchtừđiểm M đếnmặtphẳng (P)là A. 9 p 2 2 . B. 3 p 2. C. 3. D. p 3. -Lờigiải. d(M,(P))Æ j2¢1Å0Å2¢1Å5j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ3. Chọnđápán C ä Câu174. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;¡1;1). Tính khoảng cách từ điểm A đếnmặtphẳng (Oyz). A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (Oyz)là xÆ0.Khiđó,khoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (Oyz) đượctínhbởi d(A,(Oyz))Æ jx A j 1 Æ3. Chọnđápán B ä Câu175. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): 2x¡3y¡zÅ1Æ0. Mặt phẳng (®)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(2;¡3;1). B. #  nÆ(¡2;¡3;¡1). C. #  nÆ(2;¡3;¡1). D. #  nÆ(2;3;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (®): 2x¡3y¡zÅ1Æ0cócómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;¡3;¡1). Chọnđápán C ä Câu176. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: x ¡1 Æ y¡1 2 Æ z¡1 ¡5 vàmặtphẳng(P): x¡ 2yÅ5z¡1Æ0.Sốmặtphẳngchứa d vàvuônggócvớimặtphẳng (P)là A. 2. B. 0. C. 1. D. Vôsố. -Lờigiải. Đường thẳng d có một véc-tơ chỉ phương là #  u Æ(¡1;2;¡5), mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyếnlà #  nÆ(1;¡2;5). Khiđótacó #  u và #  n cùngphươngnêncóvôsốmặtphẳngchứa d vàvuônggócvớimặtphẳng (P). Chọnđápán D ä Câu177. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅ3y¡4z¡1Æ0. Một véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P)là A. #  nÆ(¡2;3;¡4). B. #  nÆ(¡2;¡3;4). C. #  nÆ(2;¡3;4). D. #  nÆ(2;3;4). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(¡2;¡3;4). Chọnđápán B ä Câu178. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x¡zÅ2Æ0. Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(¡1;0;¡1). B. #  nÆ(3;¡1;2). C. #  nÆ(3;¡1;0). D. #  nÆ(3;0;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3x¡zÅ2Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(3;0;¡1). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 241 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu179. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): 2x¡yÅ3z¡1Æ0 có một véc-tơpháptuyếnlà A. #  n 1 Æ(2;¡1;3). B. #  n 2 Æ(2;¡1;¡1). C. #  n 3 Æ(¡1;3;¡1). D. #  n 4 Æ(2;¡1;¡3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(2;¡1;3). Chọnđápán A ä Câu180. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): 2x¡3y¡z¡1Æ0. Điểmnàodướiđâykhôngthuộcmặtphẳng (®)? A. M(¡2;1;¡8). B. Q(1;2;¡5). C. P(3;1;3). D. 4;2;1. -Lờigiải. Thaytọađộđiểm P vàophươngtrìnhmặtphẳng(®),tađược2¢3¡3¢1¡3¡1Æ¡16Æ0nênđiểm P khôngthuộc (®). Chọnđápán C ä Câu181. Cho mặt phẳng (®) có phương trình 2xÅ4y¡3zÅ1Æ0, một véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳng (®)là A. #  nÆ(2;¡4;¡3). B. #  nÆ(¡3;4;2). C. #  nÆ(2;4;3). D. #  nÆ(2;4;¡3). -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;4;¡3). Chọnđápán D ä Câu182. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): x¡4yÅ3z¡2Æ0.Mộtvéc-tơpháptuyến củamặtphẳng (P)là? A. #  n 2 Æ(1;4;3). B. #  n 3 Æ(¡1;4;¡3). C. #  n 4 Æ(¡4;3;¡2). D. #  n 1 Æ(0;¡4;3). -Lờigiải. Tacó #  n 3 Æ(¡1;4;¡3)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán B ä Câu183. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;¡1;0) và nhậnvéc-tơ #  v Æ(2;1;¡1)làvéc-tơpháptuyến. A. 2xÅy¡zÅ3Æ0. B. 2xÅy¡z¡3Æ0. C. 2x¡y¡3Æ0. D. 2x¡yÅ3Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳnglà 2(x¡2)Å1(yÅ1)¡1(z¡0)Æ0,2xÅy¡z¡3Æ0. Chọnđápán B ä Câu184. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡3yÅz¡2Æ0. Điểm nào trong các điểmsauthuộcmặtphẳng (P). A. M(2;1;3). B. N(2;3;1). C. H(3;1;¡2). D. K(3;2;1). -Lờigiải. Xétmặtphẳng (P): x¡3yÅz¡2Æ0vàđiểm M(2;1;3)tathấy 2¡3¢1Å3¡2Æ0.Dođó M2(P). Chọnđápán A ä Câu185. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ1Æ0.Phươngtrìnhmặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P)là A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. B. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. C. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. D. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. -Lờigiải. Tacó d(I,(P))Æ j2¢2¡1Å2¢1Å1j p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ 6 p 9 Æ 6 3 Æ2. Vậyphươngtrìnhmặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng(P)là(x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2 2 hay (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu186. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P): 4x¡3yÅ12z¡6Æ0.Tínhkhoảngcách d từđiểm M(1;1;1)đếnmặtphẳng (P). A. dÆ 11 13 . B. dÆ 7 13 . C. dÆ 13 7 . D. dÆ1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 242 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Khoảngcáchtừđiểm M(1;1;1)đếnmặtphẳng (P)là dÆd(M,(P))Æ j4¢1¡3¢1Å12¢1¡6j p 4 2 Å(¡3) 2 Å12 2 Æ 7 13 . Chọnđápán B ä Câu187. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;¡5;6). Gọi H là hình chiếu vuônggóccủa M trênmặtphẳng (Oxz).Tọađộđiểm H là A. H(1;0;6). B. H(0;¡5;0). C. H(6;0;1). D. H(1;0;0). -Lờigiải. H(x H ;y H ;z H )làhìnhchiếucủa M lênmặtphẳng (Oxz)nên x H Æ1,y H Æ0,z H Æ6. Chọnđápán A ä Câu188. TrongkhônggianOxyz,khoảngcáchtừđiểm M(2;4;26)đếnmặtphẳng(P): x¡2yÅ 1Æ0là A. 2 p 5. B. 2. C. p 5. D. 1. -Lờigiải. d(M,(P))Æ j2¡2¢4Å1 p 1 2 Å(¡2) 2 Æ 5 p 5 Æ p 5. Chọnđápán C ä Câu189. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng (P): 2xÅ3z¡5Æ0.Tọađộmột véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là A. (2;3;¡5). B. (2;3;0). C. (2;0;3). D. (0;2;3). -Lờigiải. Tọađộmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n P Æ(2;0;3). Chọnđápán C ä Câu190. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (®): 2xÅ3y¡zÅ2Æ 0, (¯): 2xÅ3y¡zÅ16Æ0.Khoảngcáchgiữahaimặtphẳng (®)và (¯)là A. 15. B. p 14. C. p 23. D. 0. -Lờigiải. Tathấy (®)Ò(¯))d((®);(¯))Æd(M;(¯))Æ j16¡2j p 2 2 Å3 2 Å(¡1) 2 Æ p 14với M(0;0;2)2(®). Chọnđápán B ä Câu191. TrongkhônggianvớihệtrụctoạđộOxyz,cho #  a, #  b, #  c 6Æ #  0.Chọnđápánsai? A. [ #  a, #  b]¢ #  aÆ0. B. [ #  a, #  b]Æ #  0 , #  a? #  b. C. j[ #  a, #  b]jlàmộtsố. D. [ #  a, #  b]¢ #  c làmộtsố. -Lờigiải. Tathấy [ #  a, #  b]Æ #  0 , #  a và #  b cùngphương.Dovậy #  a6? #  b. Chọnđápán B ä Câu192. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x¡yÅzÅ1Æ0. Trong các véc-tơ sau, véc-tơnàokhôngphảilàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  n 1 Æ(¡3;¡1;¡1). B. #  n 4 Æ(6;¡2;2). C. #  n 3 Æ(¡3;1;¡1). D. #  n 2 Æ(3;¡1;1). -Lờigiải. (P): 3x¡yÅzÅ1Æ 0 có một véc-tơ pháp tuyến có tọa độ là #  n 2 Æ (3;¡1;1) cùng phương với #  n 4 Æ(6;¡2;2),cùngphươngvới #  n 3 Æ(¡3;1;¡1)vàkhôngcùngphươngvới #  n 1 Æ(¡3;¡1;¡1). Chọnđápán A ä Câu193. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡5yÅ3Æ0. Véc-tơ #  n nàodướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). A. #  nÆ(2;¡5;3). B. #  nÆ(2;0;¡5). C. #  nÆ(2;¡5;0). D. #  nÆ(2;5;0). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(2;¡5;0). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 243 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu194. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P): 2x¡yÅz¡3Æ0? A. N(2;0;1). B. M(1;¡2;¡1). C. P(1;2;¡3). D. Q(2;¡1;1). -Lờigiải. Thaycácđiểmvàophươngtrìnhmặtphẳng (P)tacó 2¢2¡0Å1¡3Æ0(vôlý),suyra N62(P). 2¢1¡(¡2)Å(¡1)¡3Æ0(đúng),suyra M2(P). 2¢1¡2Å(¡3)¡3Æ0(vôlý),suyra P62(P). 2¢2¡(¡1)Å1¡3Æ0(vôlý),suyraQ62(P). Chọnđápán B ä Câu195. TrongkhônggianOxyzmặtphẳngđiquađiểm A(1;2;3)vàsongsongvớimặtphẳng (Q): 2xÅ3y¡4z¡5Æ0cóphươngtrìnhlà A. 2xÅ3yÅ4z¡14Æ0. B. 2x¡3y¡4zÅ6Æ0. C. 2xÅ3y¡4z¡4Æ0. D. 2xÅ3y¡4zÅ4Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngsongsongvớimặtphẳng(Q): 2xÅ3y¡4z¡5Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  uÆ(2;3;¡4). Màmặtphẳngđóqua A(1;2;3)nênnócóphươngtrìnhlà 2(x¡1)Å3(y¡2)¡4(z¡3)Æ0,2xÅ3y¡4zÅ4Æ0. Chọnđápán D ä Câu196. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;¡1;2), B(4;¡1;¡1), C(2;0;2). Mặtphẳngđiquabađiểm A, B, C cóphươngtrình A. 3xÅ3yÅz¡8Æ0. B. 3x¡3yÅz¡14Æ0. C. 3x¡2yÅz¡8Æ0. D. 2xÅ3y¡zÅ8Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;0;¡3), #  ACÆ(¡1;1;0)nên #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(3;3;1). Mặt phẳng (ABC) đi qua C(2;0;2) và nhận #  nÆ(3;3;1) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình 3(x¡2)Å3yÅ(z¡2)Æ0,3xÅ3yÅz¡8Æ0. Chọnđápán A ä Câu197. Cho điểm H(¡3;¡4;6) và mặt phẳng (Oxz). Hỏi khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (Oxz)bằngbaonhiêu? A. d(H;(Oxz))Æ4. B. d(H;(Oxz))Æ3. C. d(H;(Oxz))Æ6. D. d(H;(Oxz))Æ8. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxz): yÆ0. Khoảngcáchtừđiểm H đếnmặtphẳng (Oxz)là d(H;(Oxz))Æjy H jÆ4. Chọnđápán A ä Câu198. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà A. zÆ0. B. xÅyÅzÆ0. C. yÆ0. D. xÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxy)điquaO,véc-tơpháptuyến #  k Æ(0;0;1)cóphươngtrình 1(z¡0)Æ0,zÆ0. Chọnđápán A ä Câu199. TrongkhônggianOxyz,mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(®): x¡2yÅ3zÅ1Æ0 là A. #  nÆ(1;¡2;3). B. #  mÆ(1;2;¡3). C. #  v Æ(1;¡2;¡3). D. #  uÆ(3;¡2;1). -Lờigiải. Mặtphẳng (®): x¡2yÅ3zÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡2;3). Chọnđápán A ä Câu200. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(3;2;¡1)vàB(¡5;4;1).Phương trìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB là A. 4x¡yÅzÅ7Æ0. B. 4xÅy¡zÅ1Æ0. C. 4x¡y¡zÅ7Æ0. D. 4xÅyÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 244 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi I là trung điểm của AB suy ra tọa độ I(¡1;3;0) và #  ABÆ(8;¡2;¡2). Gọi #  n là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn AB ta chọn #  n(4;¡1;¡1). Khi đó phương trình mặt phẳngtrungtrựclà 4¢(xÅ1)Å(¡1)¢(y¡3)Å(¡1)¢(z¡0)Æ0,4x¡y¡zÅ7Æ0 Chọnđápán C ä Câu201. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡3yÅz¡10Æ0. Trongcácđiểmsau,điểmnàonằmtrênmặtphẳng (P)? A. (1;2;0). B. (2;2;0). C. (2;¡2;0). D. (2;1;2). -Lờigiải. ²Thaytọađộcácđiểmđãchovàophươngtrìnhmặtphẳng (P)tacóđiểm (2;¡2;0)thuộcmặt phẳng (P). Chọnđápán C ä Câu202. TrongkhônggiantoạđộOxyz,chomặtphẳng(P): 3x¡zÅ6Æ0.Véc-tơnàodướiđây làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  n 2 Æ(3;0;¡1). B. #  n 1 Æ(3;¡1;2). C. #  n 3 Æ(3;¡1;0). D. #  n 4 Æ(¡1;0;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3x¡zÅ6Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 Æ(3;0;¡1). Chọnđápán A ä Câu203. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,véc-tơnàodướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyến củamặtphẳng (Oxy)? A. #  j(¡5;0;0). B. #  k(0;0;1). C. #  i Æ(1;0;0). D. #  mÆ(1;1;1). -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxy): zÆ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  k Æ(0;0;1). Chọnđápán B ä Câu204. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyzchomặtphẳng(P): 2xÅy¡2z¡6Æ0.Tính khoảngcáchtừO đến (P). A. 3. B. 2 3 . C. ¡2. D. 2. -Lờigiải. Tacó d(O,(P))Æ j¡6j p 4Å1Å4 Æ2. Chọnđápán D ä Câu205. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): xÅy¡2zÅ1Æ0. Tìm một véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P). A. #  nÆ(¡1;1;2). B. #  nÆ(1;¡1;2). C. #  nÆ(¡1;¡1;2). D. #  nÆ(1;1;2). -Lờigiải. (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 0 Æ(1;1;¡2)nên #  nÆ¡ #  n 0 Æ(¡1;¡1;2)cũnglàmộtvéc-tơpháp tuyếncủa (P). Chọnđápán C ä Câu206. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 3xÅ4yÅ2zÅ4Æ0vàđiểm A(1;¡2;3).Tínhkhoảngcách dtừ A đến (P). A. dÆ 5 9 . B. dÆ 5 29 . C. dÆ 5 p 29 . D. dÆ p 5 3 . -Lờigiải. Tacó d(A,(P))Æ j3¢1Å4¢(¡2)Å2¢3Å4j p 3 2 Å4 2 Å2 2 Æ 5 p 29 . Chọnđápán C ä Câu207. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  n 1 Æ(3;2;1). B. #  n 2 Æ(2;3;6). C. #  n 3 Æ(1;2;3). D. #  n 4 Æ(6;3;2). Th.sNguyễnChínEm 245 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)cótọađộlà µ 1 1 ; 1 2 ; 1 3 ¶ Æ 1 6 (6;3;2). Chọnđápán D ä Câu208. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): xÅ2y¡5Æ 0 nhận vec-tơ nào trong các vec-tơsaulàmvec-tơpháptuyến? A. #  n(1;2;¡5). B. #  n(0;1;2). C. #  n(1;2;0). D. #  n(1;2;5). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)nhận #  n(1;2;0)làmvec-tơpháptuyến. Chọnđápán C ä Câu209. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 3 Å y 2 Å z 1 Æ1. Véc-tơ nào sauđâylàvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(6;3;2). B. #  nÆ(2;3;6). C. #  nÆ(1; 1 2 ; 1 3 ). D. #  nÆ(3;2;1). -Lờigiải. x 3 Å y 2 Å z 1 Æ1,2xÅ3yÅ6z¡6Æ0. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳnglà #  nÆ(2;3;6). Chọnđápán B ä Câu210. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2x¡zÅ5Æ0.Mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là A. #  n 1 Æ(2;1;5). B. #  n 2 Æ(2;0;1). C. #  n 3 Æ(2;¡1;5). D. #  n 4 Æ(2;0;¡1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(2;0;¡1). Chọnđápán D ä Câu211. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): x¡3yÅ4zÅ2018Æ0.Véc-tơ nàodướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  n 1 Æ(1;3;4). B. #  n 2 Æ(¡1;3;4). C. #  n 3 Æ(¡1;3;¡4). D. #  n 4 Æ(¡1;¡3;4). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n 3 Æ(¡1;3;¡4). Chọnđápán C ä Câu212. Gócgiữa2mặtphẳng (P): 8x¡4y¡8z¡11Æ0và (Q): p 2x¡ p 2yÅ7Æ0bằng A. 90 ± . B. 30 ± . C. 45 ± . D. 60 ± . -Lờigiải. ² cos((P),(Q))Æ j8¢ p 2Å4¢ p 2¡8¢0j p 8 2 Å(¡4) 2 Å(¡8) 2 ¢ p ( p 2) 2 Å(¡ p 2) 2 Æ 1 p 2 . ²Suyragócgiữa (P)và (Q)bằng 45 ± . Chọnđápán C ä Câu213. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;¡2;¡1),B(1;4;3).Độdàicủa đoạn AB là A. 3. B. p 6. C. 2 p 3. D. 2 p 13. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(0;6;4).Khiđóđộdàiđoạn AB là ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p 6 2 Å4 2 Æ p 56Æ2 p 13. Chọnđápán D ä Câu214. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình củamặtphẳngOxz? A. yÆ0. B. xÆ0. C. zÆ0. D. y¡1Æ0. -Lờigiải. PhươngtrìnhmặtphẳngOxz là yÆ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 246 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu215. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): 2xÅy¡3z¡1Æ0. Véc-tơ nàosauđâylàvéc-tơpháptuyếncủa (®)? A. #  nÆ(2;¡1;3). B. #  nÆ(¡2;1;3). C. #  nÆ(¡4;¡2;6). D. #  nÆ(2;1;3). -Lờigiải. (®)cómộtVTPTlà #  n 0 Æ(2;¡1;3)nên #  nÆ¡2 #  n 0 Æ(¡4;¡2;6)cũnglàmộtVTPTcủa (®). Chọnđápán C ä Câu216. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡3zÅ2Æ0. Véc-tơ nào sauđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  wÆ(1;0;¡3). B. #  v Æ(2;¡6;4). C. #  uÆ(1;¡3;0). D. #  nÆ(1;¡3;2). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): x¡3zÅ2Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;0;¡3). Chọnđápán A ä Câu217. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(¡1;0;¡2) đến mặt phẳng (P): x¡2y¡2zÅ9Æ0bằng A. 2 3 . B. 4. C. 10 3 . D. 4 3 . -Lờigiải. Tacó d(A,(P))Æ j¡1¡2¢0¡2¢(¡2)Å9j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ 12 3 Æ4. Chọnđápán B ä Câu218. TrongkhônggianOxyzcho A(2;0;0),B(0;¡2;0)vàC(0;0;¡1).Viếtphươngtrìnhmặt phẳng (ABC). A. x ¡2 Å y 2 Å z 1 Æ0. B. x ¡2 Å y 2 Å z 1 Æ1. C. x 2 Å y 2 Å z 1 Æ1. D. x 2 Å y ¡2 Å z ¡1 Æ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x 2 Å y ¡2 Å z ¡1 Æ1. Chọnđápán D ä Câu219. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây nhận #  nÆ(1;2;3) làm véc-tơ pháp tuyến? A. x¡2yÅ3zÅ1Æ0. B. 2xÅ4yÅ6zÅ1Æ0. C. 2x¡4zÅ6Æ0. D. xÅ2y¡3z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacómặtphẳng 2xÅ4yÅ6zÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;4;6)Æ2(1;2;3). Chọnđápán B ä Câu220. Trong không gian Oxyz, véc-tơ nào sau đây là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 3x¡zÅ1Æ0? A. #  n 1 Æ(3;¡1;1). B. #  n 2 Æ(3;¡1;0). C. #  n 3 Æ(3;0;¡1). D. #  n 4 Æ(0;3;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3x¡zÅ1Æ0cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ #  n 3 Æ(3;0;¡1). Chọnđápán C ä Câu221. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(¡1;2;¡5). Tính khoảng cách từ điểm M đếnmặtphẳng (Oxy). A. p 30. B. p 5. C. 25. D. 5. -Lờigiải. Khoảngcáchtừđiểm M tới (Oxy)làjz M jÆj¡5jÆ5. Chọnđápán D ä Câu222. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3xÅ2y¡zÅ2Æ0. Véc-tơ nàodướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(3;2;1). B. #  nÆ(3;1;¡2). C. #  nÆ(3;2;¡1). D. #  nÆ(2;¡1;2). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(3;2;¡1). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 247 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu223. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2yÅ5z¡4Æ0. Điểm nào sau đây thuộcmặtphẳng (P)? A. A(0;0;4). B. B(¡1;2;3). C. C(1;¡2;5). D. D(¡5;¡2;1). -Lờigiải. Với D(¡5;¡2;1),thayvàophươngtrình (P),tacó¡5¡2¢(¡2)Å5¢(1)¡4Æ0.Suyra D2(P). Chọnđápán D ä Câu224. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x¡y¡3zÅ7Æ0. Véc-tơ nào dưới đây làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(4;¡1;3). B. #  nÆ(¡4;¡1;3). C. #  nÆ(4;¡3;7). D. #  nÆ(4;¡1;¡3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(4;¡1;¡3). Chọnđápán D ä Câu225. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng xÅ2y¡3zÅ1Æ0cóphươngtrìnhlà A. xÅ2y¡3zÅ2Æ0. B. xÅ2y¡3zÅ5Æ0. C. xÅ2y¡3zÅ4Æ0. D. xÅ2y¡3zÅ3Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngqua M(1;2;3)vànhận #  nÆ(1;2;¡3)làvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà 1(x¡1)Å2(y¡2)¡3(z¡3)Æ0,xÅ2y¡3zÅ4Æ0. Chọnđápán C ä Câu226. Chosốphức zthỏamãn jzj 2 z ¡ z¡i 1¡i Æ3i.TrênhệtọađộOxy,khoảngcáchtừgốctọa độđếnđiểmbiểudiễnsốphức z là A. 3. B. 4. C. ¡5. D. 5. -Lờigiải. Giảsử zÆaÅbivới a,b2R,dogiảthiếttacó jzj 2 z ¡ z¡i 1¡i Æ3i , z¢z z ¡ z¡i 1¡i Æ3i,z¡ z¡i 1¡i Æ3i , (a¡bi)¢(1¡i)¡(aÅbi¡i)Æ3i¢(1¡i) , ¡bÅ(1¡a¡b)iÆ3Å3i , n ¡bÆ3 1¡a¡bÆ3 , n aÆ4 bÆ¡3 . Suyra zÆ4¡3inênđiểmbiểudiễnsốphứclà M(4;¡3).KhiđóOMÆ p 4 2 Å(¡3) 2 Æ5. Chọnđápán D ä Câu227. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(¡2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;2).Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳng (ABC)? A. x 3 Å y 2 Å z ¡2 Æ1. B. x 2 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. C. x 2 Å y 3 Å z ¡2 Æ1. D. x ¡2 Å y 3 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Ápdụngcôngthứcphươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắntađược (ABC): x ¡2 Å y 3 Å z 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu228. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2zÅ3Æ0. Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(1;¡2;0). B. #  nÆ(1;0;¡2). C. #  nÆ(3;¡2;1). D. #  nÆ(1;¡2;3). -Lờigiải. Chọnđápán B ä Câu229. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặtphẳngđiquađiểm M(1;2;¡3)vàcómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;¡2;3)? A. x¡2y¡3zÅ6Æ0. B. x¡2yÅ3z¡12Æ0. C. x¡2y¡3z¡6Æ0. D. x¡2yÅ3zÅ12Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngđiquađiểm M(1;2;¡3)vàcómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;¡2;3)cóphươngtrình 1¢(x¡1)¡2¢(y¡2)Å3¢(zÅ3)Æ0,x¡2yÅ3zÅ12Æ0. Th.sNguyễnChínEm 248 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu230. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :3x¡4yÅ5z¡2Æ0. Véc-tơ nàodướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng P? A. #  nÆ(3;¡5;¡2). B. #  nÆ(¡4;5;¡2). C. #  nÆ(3;¡4;5). D. #  nÆ(3;¡4;2). -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng P là #  nÆ(3;¡4;5). Chọnđápán C ä Câu231. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅ3yÅ4z¡5Æ0vàđiểm A(1;¡3;1).Tínhkhoảngcách d từđiểm A đếnmặtphẳng (P). A. dÆ 8 9 . B. dÆ 8 29 . C. dÆ 8 p 29 . D. dÆ 3 p 29 . -Lờigiải. Khoảngcách dÆd(A,(P))Æ j2¢1Å3¢(¡3)Å4¢1¡5j p 2 2 Å3 2 Å4 2 Æ 8 p 29 . Chọnđápán C ä Câu232. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (®) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tạibađiểm A(4;0;0), B(0;¡2;0)và C(0;0;6).Phươngtrìnhcủa (®)là A. x 4 Å y ¡2 Å z 6 Æ0. B. x 2 Å y ¡1 Å z 3 Æ1. C. x 4 Å y ¡2 Å z 6 Æ1. D. 3x¡6yÅ2z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacóphươngtrìnhtheođoạnchắncủa (®)là x 4 Å y ¡2 Å z 6 Æ1. Chọnđápán C ä Câu233. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,phươngtrìnhmặtphẳng (Oxz)là A. xÆ0. B. xÅzÆ0. C. zÆ0. D. yÆ0. -Lờigiải. Do mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0) và nhận #  j Æ(0;1;0) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phươngtrìnhtổngquátlà yÆ0. Chọnđápán D ä Câu234. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;¡2;0), C(0;0;3). Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳng (ABC)? A. x 3 Å y 1 Å z ¡2 Æ1. B. x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ0. C. x ¡2 Å y 1 Å z 3 Æ1. D. x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1(phươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắn). Chọnđápán D ä Câu235. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặtphẳngđiquađiểm A(1;¡1;2)vàcó 1véc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(4;2;¡6)? A. (P): 2xÅy¡3z¡5Æ0. B. (P): 2xÅy¡3zÅ2Æ0. C. (P): 2xÅy¡3zÅ5Æ0. D. (P): 4xÅ2y¡6zÅ5Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng đi qua điểm A(1;¡1;2) và có 1 véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ(4;2;¡6) thì phương trình códạng: 4(x¡1)Å2(yÅ1)¡6(z¡2)Æ0,4xÅ2y¡6zÅ10Æ0,2xÅy¡3zÅ5Æ0. Chọnđápán C ä Câu236. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0),N(0;1;0) và P(0;0;2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. B. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. C. x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Mặtphẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 249 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu237. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểmM(2;0;1)vàmặtphẳng(P): 16x¡ 12y¡15z¡4Æ0.Tínhkhoảngcách dtừđiểm M đếnmặtphẳng (P). A. dÆ 11 25 . B. dÆ55. C. dÆ 22 5 . D. dÆ 13 25 . -Lờigiải. Ápdụngcôngthứckhoảngcáchtađược dÆ j16¢2¡12¢0¡15¢1¡4j p 16 2 Å(¡12) 2 Å(¡15) 2 Æ 13 25 . Chọnđápán D ä Câu238. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;¡2;0),C(0;0;3). Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)? A. x 3 Å y ¡2 Å z 1 Æ1. B. x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. C. x ¡2 Å y 1 Å z 3 Æ1. D. x 3 Å y 1 Å z ¡2 Æ1. -Lờigiải. Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. Chọnđápán B ä Câu239. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3xÅ2y¡zÅ1Æ0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)? A. N(0;0;¡1). B. M(¡10;15;¡1). C. E(1;0;¡4). D. F(¡1;¡2;¡6). -Lờigiải. Tacó 3¢x F Å2¢y F ¡z F Å1Æ3¢(¡1)Å2¢(¡2)¡(¡6)Å1Æ0nên F(¡1;¡2;¡6)2(P). Chọnđápán D ä Câu240. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡2zÅ1Æ0. Véc-tơ nào dưới đây là mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(2;¡2;1). B. #  v Æ(2;¡2;0). C. #  mÆ(1;0;¡1). D. #  uÆ(2;0;2). -Lờigiải. Do (P): 2x¡2zÅ1Æ0nên (P)cómộtvéc-tơpháptuyếncótọađộlà (2;0;¡2)hay #  mÆ(1;0;¡1)là mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Chọnđápán C ä Câu241. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng(P): ¡3xÅ2z¡1Æ0.Véc-tơ nàodướiđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(6;0;¡2). B. #  nÆ(¡3;2;0). C. #  nÆ(¡6;0;4). D. #  nÆ(¡3;0;¡2). -Lờigiải. Từphươngtrìnhcủa (P)tacómộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)cótọađộlà (¡3;0;2). Rõràngvéc-tơcótọađộ (¡3;0;2)cùngphươngvới #  nÆ(¡6;0;4). Chọnđápán C ä Câu242. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng (P): 3xÅ4yÅ2zÅ4Æ0và điểm A(1;¡2;3).Tínhkhoảngcách dtừ A đếnmặtphẳng (P). A. dÆ p 5 3 . B. dÆ 5 9 . C. dÆ 5 29 . D. dÆ 5 p 29 . -Lờigiải. Tacó d(A,(P))Æ j3¢1Å4¢(¡2)Å2¢3Å4j p 3 2 Å4 2 Å2 2 Æ 5 p 29 . Chọnđápán D ä Câu243. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): 2xÅy¡3zÅ1Æ0. Véc-tơ nàosauđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®)? A. #  nÆ(1;2;3). B. #  nÆ(¡2;¡1;¡3). C. #  nÆ(2;1;¡3). D. #  nÆ(¡2;1;¡3). -Lờigiải. Mặtphẳng AxÅByÅCzÅDÆ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(A;B;C). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 250 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu244. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )vànhận #  n(A;B;C)làmvéc-tơpháptuyến. A. A(x¡x 0 )ÅB(y¡y 0 )ÅC(z¡z 0 )Æ0. B. A(xÅx 0 )ÅB(yÅy 0 )ÅC(zÅz 0 )Æ0. C. A(x¡x 0 )ÅB(y¡y 0 )ÅC(z¡z 0 )Æ1. D. A(xÅx 0 )ÅB(yÅy 0 )ÅC(zÅz 0 )Æ1. -Lờigiải. Ápdụngcôngthứcvềphươngtrìnhmặtphẳngkhibiếtvéc-tơpháptuyếnvàmộtđiểmthuộc mặtphẳng. Chọnđápán A ä Câu245. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡2y¡zÅ3Æ0vàđiểm M(1;¡2;13).Tínhkhoảngcách d từ M đến (P). A. dÆ 4 3 . B. dÆ 7 3 . C. dÆ 10 3 . D. dÆ4. -Lờigiải. Khoảngcáchtừ M đến (P)là dÆ j2Å4¡13Å3j p 4Å4Å1 Æ 4 3 . Chọnđápán A ä Câu246. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (®):2x¡3y¡z¡1Æ0. Điểmnàodướiđâykhôngthuộcmặtphẳng (®)? A. Q(1;2;¡5). B. P(3;1;3). C. M(¡2;1;¡8). D. N(4;2;1). -Lờigiải. Lầnlượtthaytọađộcácđiểmvàophươngtrìnhmặtphẳngthìtanhậnđiểm P(3;1;3). Chọnđápán B ä Câu247. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chovéc-tơ #  nÆ(2;¡4;6).Trongcácmặtphẳng cóphươngtrìnhsauđây,mặtphẳngnàonhậnvéc-tơ #  n làmvéc-tơpháptuyến? A. 2xÅ6y¡4zÅ1Æ0. B. x¡2yÅ3Æ0. C. 3x¡6yÅ9z¡1Æ0. D. 2x¡4yÅ6zÅ5Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng axÅbyÅczÅdÆ0 nhận véc-tơ #  n Æ(a;b;c) làm véc-tơ pháp tuyến nên mặt phẳng cầntìmlà 2x¡4yÅ6zÅ5Æ0. Chọnđápán D ä Câu248. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ và nhận #  nÆ(3;2;1)làvéctơpháptuyến.Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là A. 3xÅ2yÅz¡14Æ0. B. 3xÅ2yÅzÆ0. C. 3xÅ2yÅzÅ2Æ0. D. xÅ2yÅ3zÆ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là 3(x¡0)Å2(y¡0)Å1(z¡0)Æ0,3xÅ2yÅzÆ0. Chọnđápán B ä Câu249. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho (P): 3x¡4yÅ2zÅ4Æ0vàđiểm A(1;¡2;3). Tínhkhoảngcáchtừ A đến (P). A. p 5 3 . B. 5 p 29 . C. 21 p 29 . D. 5 9 . -Lờigiải. d(A,(P))Æ j3¢1¡4¢(¡2)Å2¢3Å4j p 3 2 Å(¡4) 2 Å2 2 Æ 21 p 29 . Chọnđápán C ä Câu250. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtphẳng (P)điquađiểmG(1;1;1)vàvuông gócvớiđườngthẳngOG cóphươngtrìnhlà A. xÅyÅz¡3Æ0. B. x¡yÅzÆ0. C. xÅy¡z¡3Æ0. D. xÅyÅzÆ0. -Lờigiải. #  OGÆ(1;1;1).Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là xÅyÅz¡3Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 251 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu251. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtphẳng (P): 2x¡3yÅ5zÆ0cóvéc-tơpháp tuyếnlà A. (2;3;5). B. (¡2;¡3;¡5). C. (2;¡3;5). D. (5;¡3;2). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;¡3;5). Chọnđápán C ä Câu252. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2yÅ3Æ0. Một véc-tơ pháptuyến #  n P củamặtphẳng (P)là A. #  n P Æ(1;¡2;0). B. #  n P Æ(0;1;¡2). C. #  n P Æ(1;0;¡2). D. #  n P Æ(1;¡2;3). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n P Æ(1;¡2;0). Chọnđápán A ä Câu253. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng(P): x¡2y¡zÅ1Æ0.Véc-tơ nàodướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(1;¡2;¡1). B. #  nÆ(1;2;¡1). C. #  nÆ(1;¡2;1). D. #  nÆ(1;0;1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(1;¡2;¡1). Chọnđápán A ä Câu254. TrongkhônggianOxyz,véc-tơnàosauđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng ¡ ¯ ¢ : 3xÅ2y¡7zÆ0? A. #  v Æ(¡7;2;3). B. #  aÆ(¡3;¡2;7). C. #  b Æ(¡3;¡2;¡7). D. #  nÆ(3;2;7). -Lờigiải. Mặt phẳng ¡ ¯ ¢ : 3xÅ2y¡7zÆ0 ) ¡ ¯ ¢ nhận #  n Æ(3;2;¡7) là một véc-tơ pháp tuyến nên #  a Æ (¡3;¡2;7)cũnglàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng ¡ ¯ ¢ . Chọnđápán B ä Câu255. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (®) là mặt phẳng đi qua điểm M(1;¡2;4) vàcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;3;5).Phươngtrìnhmặtphẳng (®)là A. 2xÅ3yÅ5z¡16Æ0. B. x¡2yÅ4z¡16Æ0. C. 2xÅ3yÅ5zÅ16Æ0. D. x¡2yÅ4zÆ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (®): 2(x¡1)Å3(yÅ2)Å5(z¡4)Æ0,2xÅ3yÅ5z¡16Æ0. Chọnđápán A ä Câu256. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅy¡zÅ2Æ0. Một véc-tơ pháp tuyến củamặtphẳng (P)cótọađộlà A. (1;¡2;1). B. (1;2;1). C. (1;1;¡1). D. (2;1;1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ(1;1;¡1). Chọnđápán C ä Câu257. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,cho 3điểm M(3;0;0), N(0;¡2;0), P(0;0;1).Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrình A. x 3 Å y ¡2 Å z 1 Æ¡1. B. x 3 Å y 2 Å z 1 Æ1. C. x 3 Å y ¡2 Å z 1 Æ1. D. x 3 Å y 2 Å z ¡1 Æ1. -Lờigiải. Tacó M,N,P lầnlượtlàgiaođiểmcủa (MNP)với 3trụctọađộ )(MNP): x 3 Å y ¡2 Å z 1 Æ1. Chọnđápán C ä Câu258. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡zÅ1Æ0. Mặt phẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  n 3 Æ(2;0;¡1). B. #  n 4 Æ(2;1;0). C. #  n 1 Æ(2;¡1;1). D. #  n 2 Æ(2;¡1;0). -Lờigiải. (P): 2x¡zÅ1Æ0có1véc-tơpháptuyến #  n P Æ(2;0;¡1). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 252 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu259. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡4yÅ3z¡2Æ0. Một véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là A. #  n 1 Æ(0;¡4;3). B. #  n 2 Æ(1;4;3). C. #  n 3 Æ(¡1;4;¡3). D. #  n 4 Æ(¡4;3;¡2). -Lờigiải. Tacómộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n 3 Æ(¡1;4;¡3). Chọnđápán C ä Câu260. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(¡1;2;1). Mặt phẳng qua A và vuông góc với trụcOxlà A. xÅ1Æ0. B. z¡1Æ0. C. xÅyÅz¡3Æ0. D. y¡2Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox có véc-tơ pháp tuyến là #  i Æ(1;0;0)) phương trình mặt phẳnglà xÅ1Æ0. Chọnđápán A ä Câu261. TrongkhônggianOxyz,tìmphươngtrìnhmặtphẳng(®)cắtbatrụcOx,Oy,Ozlần lượttạibađiểm A(¡3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;¡2). A. 4xÅ3y¡6zÅ12Æ0. B. 4xÅ3yÅ6zÅ12Æ0. C. 4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. D. 4x¡3yÅ6z¡12Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (®): x ¡3 Å y 4 Å z ¡2 Æ1)(®): 4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. Chọnđápán C ä Câu262. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chobađiểm A(2;¡1;1), B(1;0;4), C(0;¡2;¡1). Mặtphẳngqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng BC cóphươngtrìnhlà A. 2xÅyÅ5z¡8Æ0. B. xÅ2yÅ5zÅ5Æ0. C. 2x¡yÅ5z¡5Æ0. D. xÅ2yÅ5z¡5Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (®) qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận #  CBÆ(1;2;5) làm véc-tơ pháp tuyến. Dođó (®)cóphươngtrìnhlà x¡2Å2(yÅ1)Å5(z¡1)Æ0,xÅ2yÅ5z¡5Æ0. Chọnđápán D ä Câu263. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): ¡2xÅyÅz¡5Æ 0.Điểm nàodướiđâythuộcmặtphẳng (P)? A. (1;7;5). B. (¡2;1;0). C. (¡2;0;0). D. (¡2;2;¡5). -Lờigiải. Xétđiểm (¡2;1;0)có¡2¢(¡2)Å1Å0¡5Æ0nênđiểmcótọađộ (¡2;1;0)thuộcmặtphẳng (P). Chọnđápán B ä Câu264. TrongkhônggianOxyz,điểm M(3;4;¡2)thuộcmặtphẳngnàotrongcácmặtphẳng sau? A. (R): xÅy¡7Æ0. B. (S): xÅyÅzÅ5Æ0. C. (Q): x¡1Æ0. D. (P): z¡2Æ0. -Lờigiải. Tacó: 3Å4¡7Æ0)M2(R). Chọnđápán A ä Câu265. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (®): x¡2yÅ3zÅ2018Æ0 có một véc-tơpháptuyến #  n là A. #  nÆ(¡1;¡2;3). B. #  nÆ(1;¡2;3). C. #  nÆ(1;2;3). D. #  nÆ(¡1;2;3). -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡2;3). Chọnđápán B ä Câu266. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x¡zÅ2Æ0. Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(¡1;0;¡1). B. #  nÆ(3;¡1;2). C. #  nÆ(3;¡1;0). D. #  nÆ(3;0;¡1). -Lờigiải. Véc-tơ #  nÆ(3;0;¡1)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 253 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu267. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3xÅ4yÅ2zÅ4Æ0 và điểm M(1;¡2;3).Tínhkhoảngcách dtừ M đến (P). A. dÆ 5 p 29 . B. dÆ 5 29 . C. dÆ p 5 3 . D. dÆ 5 9 . -Lờigiải. Tacó dÆ j3¢1¡4¢2Å2¢3Å4j p 3 2 Å4 2 Å2 2 Æ 5 p 29 . Chọnđápán A ä Câu268. TronghệtọađộOxyzđiểm M(1;¡2;4)thuộcmặtphẳng(P)cóphươngtrìnhnàosau đây? A. 3xÅ2yÅ4Æ0. B. xÅ2yÅ3Æ0. C. xÅ2y¡4Æ0. D. 3x¡2yÅ3Æ0. -Lờigiải. Dễthấy M thuộcmặtphẳng (P): xÅ2yÅ3Æ0. Chọnđápán B ä Câu269. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P)cóphươngtrình 2xÅ3y¡4z¡1Æ0.Mặt phẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  n 2 Æ(2;3;4). B. #  n 3 Æ(¡4;2;3). C. #  n 4 Æ(2;3;¡4). D. #  n 1 Æ(2;¡3;4). -Lờigiải. Mặt phẳng (P): axÅbyÅczÅdÆ0 nhận véc-tơ #  n Æ(a,b,c) làm véc-tơ pháp tuyến, nên véc-tơ cầntìmlà #  n 4 Æ(2;3;¡4). Chọnđápán C ä Câu270. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng (P) : x¡2yÅ3Æ0.Véc-tơpháp tuyếncủa (P)là A. #  n(1;¡2;3). B. #  n(1;¡2;0). C. #  n(1;¡2). D. #  n(1;3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P) : x¡2yÅ3Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n(1;¡2;0). Chọnđápán B ä Câu271. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P): 2x¡yÅz¡3Æ0. Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. 2aÆbÆ3. B. 2a¡bÆ2. C. 2a¡bÆ¡2. D. 2a¡bÆ4. -Lờigiải. Điểm M(a;b;1)thuộcmặtphẳng (P): 2x¡yÅz¡3Æ0nêntacó 2a¡bÅ1¡3Æ0 , 2a¡bÆ2. Chọnđápán B ä Câu272. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,tínhthểtíchtứdiện OABC,biết A, B, C lần lượtlàgiaođiểmcủamặtphẳng 2x¡3yÅ4zÅ24Æ0vớitrụcOx,Oy,Oz. A. 192. B. 288. C. 96. D. 78. -Lờigiải. Theogiảthiếttacó A(¡12;0;0), B(0;8;0), C(0;0;¡6).Suyra V OABC Æ 1 6 ¢OA¢OB¢OCÆ 1 6 ¢12¢8¢6Æ96. Chọnđápán C ä Câu273. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;¡1;2), N(3;1;¡4). Viết phương trình mặtphẳngtrungtrựccủa MN. A. xÅyÅ3zÅ5Æ0. B. xÅy¡3z¡5Æ0. C. xÅyÅ3zÅ1Æ0. D. xÅy¡3zÅ5Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng trung trực của MN nhận 1 2 #  MNÆ(1;1;¡3) làm véc-tơ pháp tuyến và đi qua trung điểm I(2;0;¡1)của MN nênnócóphươngtrình xÅy¡3z¡5Æ0. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 254 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu274. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P: y¡2zÅ1Æ0. Véc-tơ nàodướidâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng P? A. #  nÆ(1;¡2;1). B. #  nÆ(1;¡2;0). C. #  nÆ(0;1;¡2). D. #  nÆ(0;2;4). -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng P là #  nÆ(0;1;¡2). Chọnđápán C ä Câu275. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P)cóphươngtrình¡xÅ2yÅ3z¡4Æ0.Mặt phẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(¡1;3;4). B. #  nÆ(2;3;¡4). C. #  nÆ(¡1;2;3). D. #  nÆ(¡1;2;¡4). -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P): ¡xÅ2yÅ3z¡4Æ0là #  nÆ(¡1;2;3). Chọnđápán C ä Câu276. Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;3) và có véc-tơ pháptuyến #  nÆ(¡2;0;1)là A. ¡2xÅzÅ1Æ0. B. ¡2yÅz¡1Æ0. C. ¡2xÅz¡1Æ0. D. ¡2xÅy¡1Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhcủamặtphẳngcầntìmlà¡2(x¡1)Å0(y¡2)Å1(z¡3)Æ0,¡2xÅz¡1Æ0. Chọnđápán C ä Câu277. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm O(0;0;0) và tiếp xúc với mặt phẳng (®): 2xÅyÅ2z¡6Æ0.Tínhbánkínhcủa (S). A. 1. B. 3. C. 2. D. 6. -Lờigiải. Tacóbánkínhcủa (S)là RÆd(O;(®))Æ j2¢0Å0Å2¢0¡6j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ2. Chọnđápán C ä Câu278. TrongkhônggianOxyz chohaiđiểm A(2;0;¡1), B(1;1;0)và (®)làmặtphẳngtrung trựccủađoạnthẳng AB.Véc-tơnàosauđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (®)? A. #  n(1;¡1;¡1). B. #  n(1;1;¡1). C. #  n(1;¡1;1). D. #  n(1;1;1). -Lờigiải. Do (®)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB nên (®)nhận #  AB(¡1;1;1)làmvéc-tơpháp tuyến. Suyra #  n(1;¡1;¡1)Æ¡ #  AB cũnglàvéc-tơpháptuyếncủa (®). Chọnđápán A ä Câu279. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3xÅy¡2zÅ1Æ0. Véc-tơnàosauđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(3;1;¡2). B. #  nÆ(1;¡2;1). C. #  nÆ(¡2;1;3). D. #  nÆ(3;¡2;1). -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(3;1;¡2). Chọnđápán A ä Câu280. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng x¡2yÅ3zÅ2017Æ0là A. #  nÆ(¡1;¡2;3). B. #  nÆ(1;¡2;3). C. #  nÆ(1;2;3). D. #  nÆ(¡1;2;3). -Lờigiải. Từđịnhnghĩavéc-tơpháptuyếncủamặtphẳngtasuyra #  nÆ(1;¡2;3). Chọnđápán B ä Câu281. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtphẳng(®)điquađiểmM(1;2;¡3)vànhận #  nÆ(1;¡2;3)làmvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà A. x¡2y¡3zÅ6Æ0. B. x¡2y¡3z¡6Æ0. C. x¡2yÅ3z¡12Æ0. D. x¡2yÅ3zÅ12Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (®) đi qua điểm M(1;2;¡3) và nhận #  nÆ(1;¡2;3) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trìnhlà 1(x¡1)¡2(y¡2)Å3(zÅ3)Æ0,x¡2yÅ3zÅ12Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 255 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu282. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng (P): xÅy¡2zÅ3Æ0.Một véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là A. #  nÆ(1;1¡2). B. #  nÆ(0;0;¡2). C. #  nÆ(1;¡2;1). D. #  nÆ(¡2;1;1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P):xÅy¡2zÅ3Æ0.Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(1;1;¡2). Chọnđápán A ä Câu283. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng x¡3yÅ2zÅ1Æ0? A. N(0;1;1). B. Q(2;0;¡1). C. M(3;1;0). D. P(1;1;1). -Lờigiải. Tacó 0¡3¢1Å2¢1Å1Æ0.Vậy N(0;1;1)thuộcmặtphẳng x¡3yÅ2zÅ1Æ0. Chọnđápán A ä Câu284. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (®): xÅ2y¡z¡1Æ0 và ¡ ¯ ¢ : 2xÅ4y¡mz¡2Æ0.Tìm mđểhaimặtphẳng (®)và ¡ ¯ ¢ songsongvớinhau. A. mÆ1. B. Khôngtồntại m. C. mÆ¡2. D. mÆ2. -Lờigiải. Mặtphẳng (®)songsongvớimặtphẳng ¡ ¯ ¢ khivàchỉkhi 2 1 Æ 4 2 Æ ¡m ¡1 6Æ ¡2 ¡1 ) n mÆ2 m6Æ2. Hệnàyvônghiệmnênkhôngcógiátrịcủa mthỏamãn. Chọnđápán B ä Câu285. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhmặtphẳng (Oyz)là A. yÅzÆ1. B. zÆ0. C. xÆ0. D. yÆ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (Oyz)là xÆ0. Chọnđápán C ä Câu286. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): 2xÅy¡zÅ1Æ0. Véc-tơ nào sau đây khônglàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®)? A. #  n 4 Æ(4;2;¡2). B. #  n 2 Æ(¡2;¡1;1). C. #  n 3 Æ(2;1;1). D. #  n 1 Æ(2;1;¡1). -Lờigiải. Một véc-tơ pháp tuyến của (®) là #  n Æ(2;1;¡1). Ta thấy #  n 3 Æ(2;1;1) không cùng phương với #  n nênkhônglàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®). Chọnđápán C ä Câu287. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ(2;¡1;1).Véc-tơnàosauđâycũnglàvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. (4;¡2;2). B. (¡4;2;3). C. (4;2;¡2). D. (¡2;1;1). -Lờigiải. Véc-tơ 2 #  nÆ(4;¡2;2)cũnglàvéc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán A ä Câu288. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M(1;¡1;2)vàvuônggócvớiđườngthẳng¢: xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z 3 . A. 2x¡yÅ3z¡9Æ0. B. 2x¡yÅ3zÅ9Æ0. C. 2x¡yÅ3z¡6Æ0. D. 2xÅyÅ3z¡9Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngđiqua M(1;¡1;2)vàvuônggócvớiđườngthẳng¢nêncóVTPTlà #  n(2;¡1;3). Phươngtrìnhmặtphẳnglà: 2(x¡1)¡(yÅ1)Å3(z¡2)Æ0hay 2x¡yÅ3z¡9Æ0. Chọnđápán A ä Câu289. Cho mặt phẳng (®) có phương trình: 2xÅ4y¡3zÅ1Æ0, một véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳng (®)là A. #  nÆ(2;4;3). B. #  nÆ(2;4;¡3). C. #  nÆ(2;¡4;¡3). D. #  nÆ(¡3;4;2). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtphẳng (®): AxÅByÅCzÅDÆ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(A;B;C). Vậy (®): 2xÅ4y¡3zÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;4;¡3). Chọnđápán B ä Câu290. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua A(2;6;¡3) và song song với mặt phẳng (Oyz). A. xÆ2. B. xÅzÆ12. C. yÆ6. D. zÆ¡3. -Lờigiải. Mặtphẳngsongsongvới (Oyz)códạng xÅdÆ0(d6Æ0). Mặtphẳngđiqua A nên dÆ¡2)mặtphẳngcầntìmlà x¡2Æ0hay xÆ2. Chọnđápán A ä Câu291. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P):2x¡3yÅ4zÅ5Æ0.Véc-tơ nàosauđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(¡3;4;5). B. #  nÆ(¡4;¡3;2). C. #  nÆ(2;¡3;5). D. #  nÆ(2;¡3;4). -Lờigiải. Véc-tơ #  nÆ(2;¡3;4)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Chọnđápán D ä Câu292. TrongkhônggianOxyz,tìmmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡ 1Æ0. A. #  n 1 Æ(2;¡1;3). B. #  n 2 Æ(2;¡1;¡1). C. #  n 3 Æ(¡1;3;¡1). D. #  n 4 Æ(2;¡1;¡3). -Lờigiải. Hệ số của x, y, z tương ứng là 2,¡1, 3 nên véc-tơ #  n 1 Æ(2;¡1;3) là một véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡1Æ0. Chọnđápán A ä Câu293. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chobađiểm A(2;¡1;1),B(1;0;4)vàC(0;¡2;¡1). Phươngtrìnhmặtphẳngqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng BC là A. 2xÅyÅ2z¡5Æ0. B. xÅ2yÅ5zÅ5Æ0. C. x¡2yÅ3z¡7Æ0. D. xÅ2yÅ5z¡5Æ0. -Lờigiải. #  BCÆ(¡1;¡2;¡5). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC, nhận véc-tơ #  BC làm một véc-tơ pháptuyếncủanó.Suyraphươngtrìnhmặtphẳnglà xÅ2yÅ5z¡5Æ0. Chọnđápán D ä Câu294. Tronghệtrụctọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P)cóphươngtrình 3x¡zÅ1Æ0.Véc-tơ pháptuyếncủamặtphẳng (P)cótọađộlà A. (3;0;¡1). B. (3;¡1;1). C. (3;¡1;0). D. (¡3;1;1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(3;0;¡1). Chọnđápán A ä Câu295. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxy,chohaiđiểm A(2;3;1), B(0;1;2).Phươngtrình mặtphẳng (P)điqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB là A. (P): 2xÅ2y¡zÆ0. B. (P): 2xÅ2y¡z¡9Æ0. C. (P): 2xÅ4yÅ3z¡19Æ0. D. (P): 2xÅ4yÅ3z¡10Æ0. -Lờigiải. #  ABÆ(¡2¡2;1)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là¡2(x¡2)¡2(y¡3)Å(z¡1)Æ0hay 2xÅ2y¡z¡9Æ0. Chọnđápán B ä Câu296. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohìnhbìnhhành ABCD.Biết A(2;1;¡3), B(0;¡2;5)và C(1;1;3).Diệntíchhìnhbìnhhành ABCD là A. 2 p 87. B. p 349 2 . C. p 349. D. p 87. -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(¡2;¡3;8), #  ACÆ(¡1;0;6)) h #  AB, #  AC i Æ(¡18;4;¡3). Suyra: S ABCD Æ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ p 349. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 257 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu297. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (®):xÅyÅz¡6Æ0.Điểmnào dướiđâykhôngthuộcmặtphẳng (®)? A. M(1;¡1;1). B. Q(3;3;0). C. N(2;2;2). D. P(1;2;3). -Lờigiải. Ta có 1Å(¡1)Å1¡66Æ0) Tọa độ điểm M không thỏa mãn phương trình mặt phẳng (®) nên điểm M khôngthuộcmặtphẳng (®). Chọnđápán A ä Câu298. Trongkhônggian Oxyz,mặtphẳng (P): xÅ2y¡3zÅ3Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến làvéc-tơnàosauđây? A. (1;¡2;3). B. (1;2;¡3). C. (¡1;2;¡3). D. (1;2;3). -Lờigiải. Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): AxÅByÅCzÅDÆ0 là (A;B;C). Do đó ta có một véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P): xÅ2y¡3zÅ3Æ0là (1;2;¡3). Chọnđápán B ä Câu299. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡2yÅzÅ5Æ0.Tínhkhoảngcáchtừ điểm M(¡1;2;¡3)đếnmặtphẳng (P). A. 4 3 . B. - 4 3 . C. 2 3 . D. 4 9 . -Lờigiải. Khoảngcáchtừđiểm M đếnmặtphẳng (P)là j¡2¡4¡3Å5j p 9 Æ 4 3 . Chọnđápán A ä Câu300. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): 2x¡3zÅ5Æ0 có một véc-tơ pháp tuyến là A. #  n 1 Æ(2;¡3;5). B. #  n 2 Æ(2;¡3;0). C. #  n 3 Æ(2;0;¡3). D. #  n 4 Æ(0;2;¡3). -Lờigiải. Mặtphẳng AxÅByÅCzÅDÆ0cómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(A;B;C))(P)cómộtvéc-tơpháp tuyếnlà: #  nÆ(2;0;¡3). Chọnđápán C ä Câu301. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3y¡zÅ2Æ0. Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(¡1;¡1;2). B. #  nÆ(3;0;2). C. #  nÆ(3;¡1;2). D. #  nÆ(0;3;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3y¡zÅ2Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(0;3;¡1). Chọnđápán D ä Câu302. TrongkhônggianOxyz,điểmnàodướiđâythuộcmặtphẳng (Oxy)? A. M(2;2;0). B. Q(3;¡1;3). C. N(3;¡1;2). D. P(0;0;¡2). -Lờigiải. Điểmthuộcmặtphẳng (Oxy)cócaođộbằng 0,vậy M(2;2;0). Chọnđápán A ä Câu303. TrongkhônggianOxyz,điểmnàosauđâythuộcmặtphẳng(P): 2xÅyÅz¡2Æ0? A. PÆ(¡2;¡1;¡1). B. MÆ(¡1;1;¡1). C. QÆ(1;¡1;¡1). D. NÆ(1;¡1;1). -Lờigiải. Thaylầnlượttọađộcácđiểmvàophươngtrìnhmặtphẳng (P),tathấy 2¢1Å(¡1)Å1¡2Æ0)N(1;¡1;1)2(P). Chọnđápán D ä Câu304. Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ3y¡zÅ1Æ0. Một véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P)là A. #  nÆ(1;3;1). B. #  nÆ(1;3;1). C. #  nÆ(1;3;¡1). D. #  nÆ(¡1;3;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): xÅ3y¡zÅ1Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;3;¡1). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 258 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu305. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): 3x¡4y¡zÅ3Æ0 có một véc-tơpháptuyếnlà A. #  mÆ(3;4;¡1). B. #  mÆ(3;4;1). C. #  mÆ(¡6;8;2). D. #  mÆ(¡3;4;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳngcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(3;¡4;¡1)Æ¡ 1 2 (¡6;8;2)Æ¡ 1 2 #  m. Vậy #  mÆ(¡6;8;2)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (®). Chọnđápán C ä Câu306. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng2x¡2y¡zÅ2Æ0.Khoảngcáchtừ M(1;¡1;3) đếnmặtphẳng (P)bằng: A. 3. B. 1 3 . C. 1 9 . D. 1. -Lờigiải. Khoảngcáchtừ M(1;¡1;3)đếnmặtphẳng (P)bằng d(M;(P))Æ j2¢1¡2¢(¡1)¡3Å2j p 2 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ 3 p 9 Æ1. Chọnđápán D ä Câu307. Tronghệtrụctọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): 3x¡zÅ2Æ0.Véc-tơnàodướiđâylà mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). A. #  n 1 Æ(3;0;¡1). B. #  n 2 Æ(3;¡1;2). C. #  n 3 Æ(3;¡1;0). D. #  n 4 Æ(¡1;0;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(3;0;¡1). Chọnđápán A ä Câu308. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(8;¡2;4).Gọi A,B,C lầnlượtlàhìnhchiếucủa M trêncáctrụcOx,Oy,Oz.Phươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm A, B và C là A. xÅ4y¡2z¡8Æ0. B. x¡4yÅ2z¡18Æ0. C. xÅ4yÅ2z¡8Æ0. D. x¡4yÅ2z¡8Æ0. -Lờigiải. Tọađộcáchìnhchiếulà A(8;0;0), B(0;¡2;0)và C(0;0;4). Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrình x 8 Å y ¡2 Å z 4 Æ1,x¡4yÅ2z¡8Æ0. Chọnđápán D ä Câu309. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng(P): xÅyÅz¡3Æ0điquađiểmnàodướiđây? A. M(¡1;¡1;¡1). B. N(1;1;1). C. P(¡3;0;0). D. Q(0;0;¡3). -Lờigiải. Thaylầnlượttọađộcácđiểmvàophươngtrìnhmặtphẳngtacóđiểm“N(1;1;1)” thỏamãn. Chọnđápán B ä 1.1 ĐÁPÁN 1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. D 8. C 9. C 10. C 11. D 12. C 13. D 14. A 15. B 16. C 17. A 18. B 19. D 20. C 21. A 22. C 23. B 24. C 25. C 26. D 27. B 28. D 29. C 30. A 31. C 32. C 33. B 34. B 35. A 36. A 37. A 38. C 39. D 40. D 41. B 42. D 43. A 44. B 45. C 46. D 47. A 48. D 49. D 50. A 51. B 52. D 53. B 54. B 55. C 56. C 57. B 58. C 59. D 60. B 61. B 62. A 63. A 64. C 65. A 66. C 67. C 68. C 69. B 70. A 71. B 72. B 73. B 74. A 75. B 76. C 77. A 78. A 79. D 80. A 81. B 82. D 83. A 84. D 85. A 86. D 87. A 88. D 89. A 90. D 91. D 92. D 93. B 94. A 95. B 96. A 97. D 98. D 99. B 100.B 101.C 102.D 103.C 104.D 105.B 106.B 107.D 108.B 109.B 110.A 111.A 112.C 113.A 114.A 115.C 116.A 117.D 118.B 119.B 120.B 121.C 122.C 123.C 124.A 125.C 126.B 127.B 128.D 129.D 130.B Th.sNguyễnChínEm 259 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 131.D 132.D 133.B 134.A 135.D 136.B 137.A 138.D 139.A 140.A 141.A 142.D 143.D 144.D 145.D 146.C 147.C 148.C 149.A 150.A 151.B 152.B 153.A 154.B 155.B 156.C 157.C 158.B 159.B 160.B 161.C 162.D 163.D 164.C 165.A 166.B 167.B 168.A 169.C 170.A 171.A 172.B 173.C 174.B 175.C 176.D 177.B 178.D 179.A 180.C 181.D 182.B 183.B 184.A 185.C 186.B 187.A 188.C 189.C 190.B 191.B 192.A 193.C 194.B 195.D 196.A 197.A 198.A 199.A 200.C 201.C 202.A 203.B 204.D 205.C 206.C 207.D 208.C 209.B 210.D 211.C 212.C 213.D 214.A 215.C 216.A 217.B 218.D 219.B 220.C 221.D 222.C 223.D 224.D 225.C 226.D 227.D 228.B 229.D 230.C 231.C 232.C 233.D 234.D 235.C 236.C 237.D 238.B 239.D 240.C 241.C 242.D 243.C 244.A 245.A 246.B 247.D 248.B 249.C 250.A 251.C 252.A 253.A 254.B 255.A 256.C 257.C 258.A 259.C 260.A 261.C 262.D 263.B 264.A 265.B 266.D 267.A 268.B 269.C 270.B 271.B 272.C 273.B 274.C 275.C 276.C 277.C 278.A 279.A 280.B 281.D 282.A 283.A 284.B 285.C 286.C 287.A 288.A 289.B 290.A 291.D 292.A 293.D 294.A 295.B 296.C 297.A 298.B 299.A 300.C 301.D 302.A 303.D 304.C 305.C 306.D 307.A 308.D 309.B 2 THÔNGHIỂU Câu1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (®) đi qua M(2;2;1) và song song với mặt phẳng (¯): 2x¡3yÅzÅ5Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(2;3;1). B. #  nÆ(¡2;3;1). C. #  nÆ(2;¡3;1). D. #  nÆ(2;3;2). Câu2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;1;1),N(3;4;3). Một véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳng (OMN)cótoạđộlà A. (¡1;0;1). B. (1;1;2). C. (4;5;4). D. (2;3;2). Câu3(THPTQG2017). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): xÅyÅz¡6Æ0. Điểm nàodướiđâykhôngthuộc (®)? A. N(2;2;2). B. Q(3;3;0). C. P(1;2;3). D. M(1;¡1;1). -Lờigiải. Thaytọađộcủa M vàophươngtrìnhmặtphẳng (®)tađược 1¡1Å1¡6Æ¡56Æ0)MÝ(®). Chọnđápán D ä Câu4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;1;¡2) và B(5;9;3). Viết phương trình mặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A. 2xÅ6y¡5zÅ40Æ0. B. xÅ8y¡5z¡41Æ0. C. x¡8y¡5z¡35Æ0. D. xÅ8yÅ5z¡47Æ0. -Lờigiải. Tacóđiểm I µ 9 2 ;5; 1 2 ¶ làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB và #  ABÆ(1;8;5). Chọnđápán D ä Câu5. TrongkhônggianOxyz,cho A(1;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (ABC). A. 6xÅ3yÅ2zÅ1Æ0. B. 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. C. 6xÅ2yÅ3z¡6Æ0. D. xÅyÅz¡6Æ0. Câu6. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với abc6Æ 0. Viết phươngtrìnhmặtphẳng (ABC). A. x a Å y b Å z c ¡abcÆ0. B. x a Å y b Å z c ÅabcÆ0. C. x a Å y b Å z c ¡1Æ0. D. x a Å y b Å z c Æ0. Câu7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm M(1;2;1). A. 2x¡yÆ0. B. x¡2yÆ0. C. x¡zÆ0. D. y¡2zÆ0. Th.sNguyễnChínEm 260 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu8. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua C(¡2;3;1) và vuông góc với haimặtphẳng (P)và (Q)biết (P): 2xÅyÅ2z¡10Æ0, (Q): 3xÅ2yÅzÅ8Æ0là A. ¡3xÅ4y¡zÅ19Æ0. B. 3xÅ4y¡zÅ19Æ0. C. 3x¡4y¡zÅ19Æ0. D. 3xÅ4y¡z¡19Æ0. Câu9. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng(®)chứatrụcOzvàđiquađiểm Q(2;¡3;1). A. x¡2zÆ0. B. yÅ3zÆ0. C. 3xÅ2yÆ0. D. 2xÅyÅ1Æ0. -Lờigiải. Có h #  k, #  OQ i Æ(3;2;0). Mặt phẳng (®) đi qua điểm Q và có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ (3;2;0) nên có phương trình là 3xÅ2yÆ0. Chọnđápán C ä Câu10. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(3;¡2;1),B(4;5;¡2)vàmặtphẳng(Q): 2xÅy¡3zÅ 5Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiqua A,B vàvuônggócvớimặtphẳng (Q). A. 18x¡3y¡13z¡16Æ0. B. 18x¡3y¡13zÅ16Æ0. C. 18xÅ3yÅ13z¡61Æ0. D. 18xÅ3yÅ13zÅ61Æ0. Câu11. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3;1;¡1), B(2;¡1;4)vàsongsongvớitrụcOx. A. y¡zÆ0. B. 5yÅ2z¡3Æ0. C. 3yÅz¡2Æ0. D. yÅz¡3Æ0. Câu12. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu của điểm A(4;2;6)trêncáctrụctọađộlà A. x 4 Å y 2 Å z 6 Æ1. B. 4xÅ2yÅ6zÆ0. C. x 2 Å y 1 Å z 3 Æ0. D. x 4 Å y 2 Å z 6 Æ0. Câu13. Trong không gian Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3), D(1;¡1;2). Gọi H là chân đườngvuônggóckẻtừ D củatứdiện DABC.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (ADH). A. 3xÅ2yÅ2z¡6Æ0. B. x¡y¡2Æ0. C. 6x¡8y¡z¡12Æ0. D. ¡7xÅ5y¡zÅ14Æ0. -Lờigiải. #  uÆ 1 3 h #  AB, #  AC i Æ(3;2;2). #  u, #  AD làcặpvéc-tơchỉphương.)VTPTcủa (ADH)là #  nÆ h #  AD, #  u i Æ(6;¡8;¡1). Chọnđápán C ä Câu14. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(¡1;2;2) và song song vớitrụcOxcóphươngtrìnhlà A. xÅ2z¡3Æ0. B. y¡2zÅ2Æ0. C. 2y¡zÅ1Æ0. D. xÅy¡zÆ0. Câu15. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(®): 2xÅy¡z¡3Æ0,(¯): 2x¡yÅ5Æ0.Viết phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)songsongvớitrụcOz vàchứagiaotuyếncủa (®)và (¯). A. (P): x¡2yÅ5Æ0. B. (P): 2x¡yÅ5Æ0. C. (P): 2x¡y¡5Æ0. D. (P): 2xÅyÅ5Æ0. Câu16. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (®) qua I(1;0;0) và vuông góc với 2mặtphẳng (P): x¡yÅz¡7Æ0và (Q): 3xÅ2y¡12zÅ5Æ0. A. (®): 10x¡15yÅ5zÅ2Æ0. B. (®): 2xÅ3yÅzÅ6Æ0. C. (®): 2xÅ3yÅz¡2Æ0. D. (®): 2xÅ3yÅzÆ0. Câu17. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhmătphẳngchứahaiđiểm A(1;0;1),B(¡1;2;2) vàsongsongvớitrụcOx. A. xÅ2z¡3Æ0. B. y¡2zÅ2Æ0. C. 2y¡zÅ1Æ0. D. xÅy¡zÆ0. Câu18. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(¡4;3;¡1) và songsongvớimặtphẳng (P): 2xÅy¡zÅ1Æ0là A. (Q): 2xÅy¡zÅ4Æ0. B. (Q): 2xÅy¡z¡6Æ0. C. (Q): 2xÅy¡zÅ3Æ0. D. (Q): 2xÅy¡zÆ0. Câu19. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡3yÅ6zÅ19Æ0 và điểm A(¡2;4;3). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)điqua A vàsongsongvớimặtphẳng (P)là A. 2x¡3yÅ6zÅ12Æ0. B. 2x¡3yÅ6z¡9Æ0. C. 2x¡3yÅ6z¡2Æ0. D. 2x¡3yÅ6zÅ5Æ0. Th.sNguyễnChínEm 261 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu20. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểmM(3;0;¡1)vàsong songvớimặtphẳng (P): x¡3y¡5zÅ8Æ0. A. 3x¡zÅ8Æ0. B. 3x¡z¡8Æ0. C. x¡3y¡5zÅ8Æ0. D. x¡3y¡5z¡8Æ0. Câu21. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(3;1;¡1),B(2;¡1;4) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x¡yÅ3z¡1Æ0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của (P)? A. x¡13y¡5zÅ5Æ0. B. x¡13yÅ5zÅ5Æ0. C. xÅ13y¡5zÅ5Æ0. D. x¡13y¡5zÅ12Æ0. Câu22. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;¡2),B(2;¡1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P)điqua A,B vàvuônggócvớimặtphẳng (Q): 3x¡2yÅzÅ1Æ0. A. 4xÅ5y¡z¡2Æ0. B. 9x¡3y¡7z¡14Æ0. C. 5xÅ7y¡z¡2Æ0. D. 5xÅ7y¡zÅ2Æ0. Câu23. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(3;4;¡2) và mặt phẳng (P): x¡yÅ z¡4Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P). A. (Q): yÅz¡2Æ0. B. (Q): y¡z¡2Æ0. C. (Q): xÅz¡2Æ0. D. (Q): xÅy¡z¡3Æ0. Câu24. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là 2xÅ6y¡4zÅ8Æ0; 5xÅ15y¡10zÅ20Æ0và 6xÅ18y¡12z¡24Æ0.Chọnmệnhđềđúngtrong bốnmệnhđềsau: A. (P)Ò(Q). B. (P) cắt (Q). C. (Q) cắt (R). D. (R)Ò(P). Câu25. Trongkhônggian Oxyz,chohaimặtphẳng (P)và (Q)tươngứngcóphươngtrìnhlà 3x¡6yÅ12z¡3Æ0và 2x¡myÅ8zÅ2Æ0,với mlàthamsốthực.Tìm mđểmặtphẳng (P)song songvớimặtphẳng (Q)vàkhiđótínhkhoảngcách d giữahaimặtphẳng (P)và (Q). A. mÆ¡4và dÆ 2 p 21 . B. mÆ4và dÆ 1 p 21 . C. mÆ2và dÆ 2 p 21 . D. mÆ4và dÆ 2 p 21 . Câu26. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(2;0;0), B(0;¡1;0), C(0;0;3).Mặtphẳng (P)vuônggócvớimặtphẳngnàosauđây? A. 2xÅ2y¡3zÅ1Æ0. B. 2xÅ2yÅ3zÅ1Æ0. C. 2x¡2yÅ3zÅ1Æ0. D. ¡2xÅ3yÅ3z¡1Æ0. Câu27. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): 2xÅbyÅ4z¡3Æ0và(Q): axÅ3y¡2zÅ 1Æ0,(a,b2R).Vớigiátrịnàocủa avà bthìhaimặtphẳng (P)và (Q)songsongvớinhau? A. aÆ1,bÆ¡6. B. aÆ¡1,bÆ¡6. C. aÆ¡ 3 2 ,bÆ9. D. aÆ¡1,bÆ6. -Lờigiải. Để (P)và (Q)songsongvớinhauthì 2 a Æ b 3 Æ 4 ¡2 6Æ ¡3 1 . Suyra aÆ¡1,bÆ¡6. Chọnđápán B ä Câu28. TrongkhônggianOxyz,khẳngđịnhnàosauđâysai? A. Mặtphẳng x¡y¡zÆ0điquagốctọađộ. B. Mặtphẳng 3x¡2zÅ1Æ0cótọađộvéc-tơpháptuyếnlà (3;0;¡2). C. Mặtphẳng (P): 2xÅ4yÅ6zÅ1Æ0songsongvớimặtphẳng (Q): xÅ2yÅ3zÅ5Æ0. D. Khoảngcáchtừđiểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )đếnmặtphẳng(P): 2xÅyÅ2zÅ1Æ0là 2x 0 Åy 0 Å2z 0 Å1 3 . Câu29. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳngsong songvớimặtphẳng (Oyz)? A. x¡yÆ0. B. y¡2Æ0. C. x¡2Æ0. D. y¡zÆ0. Câu30. Trong không gian Oxyz, ba mặt phẳng xÅ2y¡z¡6Æ0, 2x¡yÅ3zÅ13Æ0, 3x¡2yÅ 3zÅ16Æ0cắtnhautạiđiểm A.Tọađộcủađiểm A là A. A(¡1;2;¡3). B. A(1;¡2;3). C. A(¡1;¡2;3). D. A(1;2;3). Th.sNguyễnChínEm 262 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu31. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là xÅ2y¡4zÅ1Æ0 và điểm M(1;0;¡2). Tính khoảng cách d 1 từ điểm M đến mặt phẳng (P) và tính khoảng cách d 2 từđiểm M đếnmặtphẳngOxy. A. d 1 Æ 10 p 21 và d 2 Æ1. B. d 1 Æ 10 p 21 và d 2 Æ3. C. d 1 Æ 10 p 20 và d 2 Æ2. D. d 1 Æ 10. p 21 21 và d 2 Æ2. Câu32. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡2y¡zÅ3Æ0 và điểm M(1;¡2;13). Tínhkhoảngcách d từ M đến (P). A. dÆ 4 3 . B. dÆ 7 3 . C. dÆ 10 3 . D. dÆ¡ 4 3 . Câu33. Trongkhônggian Oxyz,tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố ađểkhoảngcáchtừ điểm M(1;¡4;a)đếnmặtphẳng (P): xÅ2yÅ2z¡5Æ0bằng 8. A. aÆ¡6hoặc aÆ18. B. aÆ¡6. C. aÆ¡18hoặc aÆ18. D. aÆ18. Câu34. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): 2x¡yÅ2zÅ5Æ0;đồngthời,khoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)bằngkhoảngcách từđiểm A(3;¡1;2)đếnmặtphẳng (P). A. (P): 2x¡yÅ2zÅ3Æ0. B. (P): 2x¡yÅ2zÅ6Æ0. C. (P): 2x¡yÅ2z¡3Æ0. D. (P): 2x¡yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Chọnđápán B ä Câu35. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 4yÅ2z¡9Æ0vàmặtphẳng(Q): 2yÅz¡3Æ 0.Tínhkhoảngcách d giữahaimặtphẳng (P)và (Q). A. dÆ 9 p 5 10 . B. dÆ 3 p 5 2 . C. dÆ 3 p 5 10 . D. dÆ p 5 10 . Câu36. TrongkhônggianOxyz,cho 3điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;1).Tínhkhoảngcáchtừ gốctọađộO đếnmặtphẳng (ABC). A. 37 36 . B. 6 7 . C. 43 36 . D. 7 6 . Câu37. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): x¡yÅ4z¡2Æ0và(Q): 2x¡2zÅ7Æ0. Tínhgócgiữahaimặtphẳng (P)và (Q). A. 90 ± . B. 45 ± . C. 60 ± . D. 30 ± . Câu38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): p 2xÅ p 2z¡2Æ0, (Q): p 2y¡ p 2z¡1Æ0.Gócgiữahaimặtphẳng (P),(Q)bằng A. 30 ± . B. 90 ± . C. 60 ± . D. 45 ± . Câu39. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(®): x¡yÅ2z¡1Æ0và(¯): xÅ2y¡zÅ2Æ0. Tínhgóc'giữahaimặtphẳng (®)và (¯). A. 'Æ120 ± . B. 'Æ30 ± . C. 'Æ90 ± . D. 'Æ60 ± . Câu40. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)vàmặtphẳng(P): xÅ yÅz¡2Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)điquabađiểm A, B, C vàcótâmthuộcmặtphẳng (P). A. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡xÅ2zÅ1Æ0. B. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡x¡2yÅ1Æ0. C. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2zÅ1Æ0. D. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ1Æ0. Câu41. Trong không gian Oxyz, tính thể tích tứ diện OABC biết A, B, C lần lượt là giao điểmcủamặtphẳng 2x¡3yÅ5z¡30Æ0vớitrụcOx,Oy,Oz. A. 78. B. 120. C. 91. D. 150. Câu42(THPTQG2017). Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trìnhcủamặtphẳng (Oyz)? A. yÆ0. B. xÆ0. C. y¡zÆ0. D. zÆ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 263 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặt phẳng (Oyz) vuông góc với trục Ox do đó nó nhận (1,0,0) là véc-tơ pháp tuyến, hơn nữa (Oyz)điquađiểmO(0,0,0).Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (Oyz)là 1(x¡0)Å0(y¡0)Å0(z¡0)Æ0 hay xÆ0. Chọnđápán B ä Câu43(THPTQG2017). TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(4;0;1)vàB(¡2;2;3).Phương trìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB? A. 3x¡y¡zÆ0. B. 3xÅyÅz¡6Æ0. C. 3x¡y¡zÅ1Æ0. D. 6x¡2y¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  AB(¡6;2;2),trungđiểmcủa AB là I(1;1;2). Mặt phẳng trung trực của AB nhận véc-tơ #  n(3;¡1;¡1) làm véc-tơ pháp tuyến và đi qua điểm I(1;1;2).Vậyphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủa AB là 3(x¡1)¡(y¡1)¡(z¡2)Æ0,3x¡y¡zÆ0. Chọnđápán A ä Câu44. TrongkhônggianOxyz,gọi(®)làmặtphẳngđiquađiểm M(2;¡1;2)vàsongsongvới mặtphẳng (Q): 2x¡yÅ3zÅ4Æ0.Phươngtrìnhmặtphẳng (®)là A. 2x¡yÅ2z¡11Æ0. B. 2x¡yÅ3zÅ11Æ0. C. 2x¡yÅ3z¡11Æ0. D. 2x¡yÅ3z¡4Æ0. Câu45. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3) và B(3;2;9). Mặt phẳng trung trực củađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. xÅ3z¡8Æ0. B. ¡x¡3z¡10Æ0. C. ¡4xÅ12z¡10Æ0. D. ¡xÅ3z¡10Æ0. Câu46. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 16x¡12y¡15z¡4Æ0vàđiểm A(2;¡1;¡1). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A trênmặtphẳng (P).Độdàiđoạn AH là A. 11 5 . B. 22 5 . C. 11 25 . D. 55. Câu47. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 3xÅ4yÅ2zÅ4Æ0vàhaiđiểm A(1;¡2;3), B(1;1;2). Gọi h 1 , h 2 lần lượt là khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng (P). Trong các khẳngđịnhsaukhẳngđịnhnàođúng? A. h 2 Æh 1 . B. h 2 Æ2h 1 . C. h 2 Æ3h 1 . D. h 2 Æ4h 1 . Câu48. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;0;0) và M(1;1;1). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M,cắtcáctrụcOy, OzlầnlượttạiB(0;b;0)vàC(0;0;c)với bÈ0, cÈ0.Hỏihệthứcnào dướiđâylàđúng? A. bcÆ2(bÅc). B. bcÆbÅc. C. 2bcÆbÅc. D. bcÆbÅ2c. Câu49. Trongkhônggian Oxyz,tínhkhoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ7Æ0 và (Q): 2x¡yÅ2z¡5Æ0. A. 13 3 . B. 11 3 . C. 4. D. 3. Câu50. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmP(0;8;¡2),Q(1;0;2)vàmặtphẳng(¯): ¡xÅ5yÅ 2z¡3Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (®)điqua P, Q vàvuônggócvớimặtphẳng (¯). A. (®): ¡20xÅyÅ7zÅ6Æ0. B. (®): 12xÅ2yÅz¡14Æ0. C. (®): 12xÅ2y¡z¡14Æ0. D. (®): yÅ2z¡4Æ0. Câu51. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(2;¡1;2)vàmặtphẳng(®): 2x¡yÅ3zÅ4Æ0.Mặt phẳng(P)điquađiểm M,songsongvớitrụcOyvàvuônggócvớimặtphẳng(®).Phươngtrình mặtphẳng (P)là A. 2x¡yÅ3z¡11Æ0. B. 3x¡2z¡2Æ0. C. 2xÅ2z¡8Æ0. D. yÅ1Æ0. Câu52. Trong không gian Oxyz, tìm giá trị m để hai mặt phẳng (®): 7x¡3yÅmz¡3Æ0 và (¯): x¡3yÅ4zÅ5Æ0vuônggócvớinhau. A. 6. B. ¡4. C. 1. D. 2. Câu53. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;0;1), N(1;¡1;0). Viết phương trình mặt phẳngđiquahaiđiểm M,N vàvuônggócvớimặtphẳng x¡2y¡zÅ1Æ0. A. xÅy¡zÆ0. B. x¡yÅ3z¡4Æ0. C. 3xÅyÅz¡4Æ0. D. xÅy¡z¡1Æ0. Câu54. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3;¡1;¡4) lên mặt phẳng (P): 2x¡2y¡z¡3Æ0làđiểm H(a;b;c).Khiđókhẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. aÅbÅcÆ¡1. B. aÅbÅcÆ3. C. aÅbÅcÆ5. D. aÅbÅcÆ¡ 5 3 . Th.sNguyễnChínEm 264 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu55. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm M(¡2;6;1)và N(a;b;c)đốixứngnhauquamặt phẳng (Oyz).Tính SÆ7a¡2bÅ2017c¡1. A. SÆ2017. B. SÆ2042. C. SÆ0. D. SÆ2018. Câu56. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(2;¡1;2) và C(3;4;¡4). Giao điểm M củatrụcOxvớimặtphẳng (ABC)là A. M(1;0;0). B. M(2;0;0). C. M(3;0;0). D. M(¡1;0;0). Câu57. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(2;¡1;6), B(¡1;2;4)vàI(¡1;¡3;2).Viếtphương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ điểm I đến (P) là nhỏ nhất. A. (P): 16xÅ6y¡15zÅ64Æ0. B. (P): 7xÅ59yÅ78z¡423Æ0. C. (P): 16xÅ6y¡15z¡64Æ0. D. (P): 7xÅ59yÅ78zÅ423Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A, B, I. Chọnđápán A ä Câu58. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm M(¡1;0;0), N(0;2;0)vàP(0;0;2).Mặtphẳngnào dướiđâykhôngđồngthờiđiquacảbađiểm M, N và P? A. 2x¡y¡zÅ2Æ0. B. 2xÅyÅzÅ2Æ0. C. x ¡1 Å y 2 Å z 2 Æ1. D. x 1 ¡ y 2 ¡ z 2 Å1Æ0. Câu59. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;4) và cắt chiều dương của các trục tọa độ lần lượt tại A,B,C khác gốc O sao cho tứ diện OABC có thể tíchnhỏnhất. A. x 3 Å y 6 Å z 12 Æ1. B. x 3 Å y 6 Å z 12 Æ0. C. x 3 Å y 4 Å z 10 Æ1. D. x 3 Å y 4 Å z 1 Æ1. Câu60. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho A(1;¡1;2);B(2;1;1)vàmặtphẳng(P): xÅyÅ zÅ1Æ0.Mặtphẳng (Q)chứa A, B vàvuônggócvớimặtphẳng (P).Mặtphẳng (Q)cóphương trìnhlà A. 3x¡2y¡z¡3Æ0. B. xÅyÅz¡2Æ0. C. ¡xÅyÆ0. D. 3x¡2y¡zÅ3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;¡1). (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;1;1). Lại có (Q) chứa A,B và vuông góc với (P) nên nhận #  nÆ h #  AB, #  n P i Æ(3;¡2;¡1) làm véc-tơ pháp tuyến. Suyraphươngtrình (Q)là 3(x¡1)¡2(yÅ1)¡(z¡2)Æ0,3x¡2y¡z¡3Æ0. Chọnđápán A ä Câu61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2zÅ1Æ0. Chọn câu đúngnhấttrongcácnhậnxétsau. A. (P)điquagốctọađộO. B. (P)songsongvới (Oxy). C. (P)vuônggócvớitrụcOz. D. (P)songsongvớitrụcOy. -Lờigiải. Tacóvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ(1;0;¡2)vàtrụcOycóvéc-tơchỉphươnglà #  j Æ(0;1;0). Vì #  n¢ #  j Æ0nên · Oy½(P) OyÒ(P) .MặtkhácO62(P),dođóOyÒ(P). Chọnđápán D ä Câu62. Trongkhônggianvớihệtọađộ (Oxyz),mặtphẳng (P)quađiểm A(1;¡3;2)vàvuông gócvớihaimặtphẳng (®): xÅ3Æ0, (¯): z¡2Æ0cóphươngtrìnhlà A. yÅ3Æ0. B. y¡2Æ0. C. 2y¡3Æ0. D. 2x¡3Æ0. -Lờigiải. Tacóvéc-tơpháptuyếncủa (®), (¯)lầnlượtlà #  n 1 Æ(1;0;0), #  n 2 Æ(0;0;1). Vì (P)vuônggócvới (®)và (¯)nên #  nÆ £ #  n 2 ; #  n 1 ¤ Æ(0;1;0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Khiđó (P): yÅ3Æ0. Chọnđápán A ä Câu63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;¡1;5), B(0;0;1). Mặt phẳng chứa A, B vàsongsongvớiOycóphươngtrìnhlà A. 2xÅz¡3Æ0. B. x¡4zÅ2Æ0. C. 4x¡zÅ1Æ0. D. 4x¡z¡1Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 265 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  ABÆ(¡1;1;¡4), #  j Æ(0;1;0)) h #  AB; #  j i Æ(4;0;¡1). Mặtphẳngđiqua A, B vàsongsongvớiOycóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(4;0;¡1). Phươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà 4x¡zÅ1Æ0(thỏamãnsongsongvớiOy). Chọnđápán C ä Câu64. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho #  u(1;1;2), #  v(¡1;m;m¡2).Khiđó ¯ ¯ £ #  u, #  v ¤¯ ¯ Æ p 14thì A. mÆ1, mÆ¡ 11 5 . B. mÆ¡1, mÆ¡ 11 5 . C. mÆ1, mÆ¡3. D. mÆ1. -Lờigiải. Tacó £ #  u, #  v ¤ Æ(¡m¡2;¡m;mÅ1).Theođềbàitacó ¯ ¯ £ #  u, #  v ¤¯ ¯ Æ p 14,(mÅ2) 2 Åm 2 Å(mÅ1) 2 Æ14,3m 2 Å6m¡9Æ0, h mÆ1 mÆ¡3. Chọnđápán C ä Câu65. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm H(2;¡1;2).Biếtrằng H làhìnhchiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P). Tính số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q): x¡y¡11Æ0. A. 60 ± . B. 30 ± . C. 45 ± . D. 90 ± . -Lờigiải. Vì H làhìnhchiếucủaO trên (P)nên #  n (P) Æ #  OHÆ(2;¡1;2)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). (Q): x¡y¡11Æ0) #  n (Q) Æ(1;¡1;0). Tacó cos ³ á (P),(Q) ´ Æ ¯ ¯ ¯cos ³ á #  n (P) , #  n (Q) ´¯ ¯ ¯Æ j2¢1Å(¡1)¢(¡1)Å2¢0j p 2 2 Å1 2 Å2 2 ¢ p 1 2 Å(¡1) 2 Æ 1 p 2 . Vậygócgiữamặtphẳng (P)vàmặtphẳng (Q)là 45 ± . Chọnđápán C ä Câu66. Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): xÅ2yÅ2z¡10Æ0 và (Q): xÅ2yÅ2z¡3Æ0bằng A. 8 3 . B. 7 3 . C. 3. D. 4 3 . -Lờigiải. Xétthấy (P)Ò(Q). Trên (P)lấy M(0;0;5).Khiđó,khoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)là: d((P),(Q))Æd(M,(Q))Æ j0Å2¢0Å2¢5¡3j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ 7 3 . Chọnđápán B ä Câu67. Chotứdiện ABCD có A(0;1;¡1),B(1;1;2),C(1;¡1;0),D(0;0;1).Tínhđộdàiđườngcao AH củahìnhchóp A.BCD. A. 3 p 2. B. 2 p 2. C. p 2 2 . D. 3 p 2 3 . -Lờigiải. Tacó #  BA(¡1;0;¡3); #  BC(0;¡2;¡2); #  BD(¡1;¡1;¡1). h #  BC, #  BD i Æ(0;¡2;¡2)) h #  BC, #  BD i ¢ #  BAÆ6. V ABCD Æ 1 6 ¢ ¯ ¯ ¯ h #  BC, #  BD i ¢ #  BA ¯ ¯ ¯Æ 1 6 ¢6Æ1(đvtt). S BCD Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  BC, #  BD i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p 0 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ p 2(đvdt). TacóV ABCD Æ 1 3 ¢AH¢S BCD )AHÆ 3V ABCD S BCD Æ 3 p 2 Æ 3 p 2 2 . Chọnđápán D ä Câu68. Bamặtphẳng xÅ2y¡z¡6Æ0,2x¡yÅ3zÅ13Æ0,3x¡2yÅ3zÅ16Æ0cắtnhautạiđiểm A.Tọađộcủa A là Th.sNguyễnChínEm 266 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. A(¡1;2;¡3). B. A(1;¡2;3). C. A(¡1;¡2;3). D. A(1;2;3). -Lờigiải. Tọađộđiểm A lànghiệmcủahệphươngtrình: ( xÅ2y¡z¡6Æ0 2x¡yÅ3zÅ13Æ0 3x¡2yÅ3zÅ16Æ0 , ( xÆ¡1 yÆ2 zÆ¡3 )A(¡1;2;¡3). Chọnđápán A ä Câu69. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các véc tơ pháp tuyến là #  a Æ (a 1 ;b 1 ;c 1 ); #  b Æ(a 2 ;b 2 ;c 2 ).Góc®làgócgiữahaimặtphẳngđócos®làbiểuthứcnàosauđây A. a 1 a 2 Åb 1 b 2 Åc 1 c 2 ¯ ¯ #  a ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ . B. ja 1 a 2 Åb 1 b 2 Åc 1 c 2 j È a 2 1 Åa 2 2 Åa 2 3 ¢ È b 2 1 Åb 2 2 Åb 2 3 . C. a 1 a 2 Åb 1 b 2 Åc 1 c 2 ¯ ¯ ¯ h #  a; #  b i¯ ¯ ¯ . D. ja 1 a 2 Åb 1 b 2 Åc 1 c 2 j ¯ ¯ #  a ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ . -Lờigiải. Theocôngthứcgócgiữahaimặtphẳngtacó cos®Æ ¯ ¯ ¯cos ³ #  a; #  b ´¯ ¯ ¯Æ ja 1 a 2 Åb 1 b 2 Åc 1 c 2 j ¯ ¯ #  a ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯ Chọnđápán D ä Câu70. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(5;¡4;2)và B(1;2;4).Mặtphẳngđiqua A và vuônggócvớiđườngthẳng AB là? A. 3x¡yÅ3z¡25Æ0. B. 2x¡3y¡zÅ8Æ0. C. 3x¡yÅ3z¡13Æ0. D. 2x¡3y¡z¡20Æ0. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngđiqua A(5;¡4;2)vàvuônggócvớiđườngthẳng AB. Do (®)vuônggócvới AB nênvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®)là #  n ® Æ #  ABÆ(¡4;6;2). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®)là: ¡4(x¡5)Å6(yÅ4)Å2(z¡2)Æ0,2x¡3y¡z¡20Æ0. Chọnđápán D ä Câu71. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;4;1) và điểm B(¡1;1;3) và mặtphẳng (P): x¡3yÅ2z¡5Æ0.Mộtmặtphẳng (Q)điquahaiđiểm A,Bvàvuônggócvới (P) códạng axÅbyÅcz¡11Æ0.Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng? A. aÅbÅcÆ5. B. aÅbÅcÆ15. C. aÅbÅcÆ¡5. D. aÅbÅcÆ¡15. -Lờigiải. Vì (Q)vuônggócvới (P)nên (Q)nhậnvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(1;¡3;2)làmvéc-tơchỉphương. Mặtkhácdo (Q)điquahaiđiểm A,B nênnhận #  ABÆ(¡3;¡3;2)làmvéc-tơchỉphương. Vậy (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (Q) Æ[ #  n (P) , #  AB]Æ(0;8;12). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (Q)là: 0(x¡2)Å8(y¡4)Å12(z¡1)Æ0,2yÅ3z¡11Æ0. Vậy aÅbÅcÆ5. Chọnđápán A ä Câu72. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅ2yÅz¡m 2 ¡3mÆ0 vàmặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9.Tìmtấtcảcácgiátrịcủa mđể(P)tiếpxúcvớimặt cầu (S). A. h mÆ¡2 mÆ5 . B. h mÆ2 mÆ¡5 . C. mÆ2. D. mÆ¡5. -Lờigiải. Tacómặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;1)vàbánkính RÆ3. Mặtphẳng (P)tiếpxúcvới (S)khivàchỉkhi d[I,(P)]ÆR, j1¡m 2 ¡3mj 3 Æ3, · m 2 Å3m¡10Æ0 m 2 Å3mÅ8Æ0 , h mÆ2 mÆ¡5. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 267 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x¡3yÅz¡4Æ 0; (Q): 5x¡3y¡2z¡7Æ0.Vịtrítươngđốicủa (P), (Q)là A. songsong. B. cắtnhaunhưngkhôngvuônggóc. C. vuônggóc. D. trùngnhau. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(2;¡3;1), #  n Q Æ(5;¡3;¡2)suyra #  n P 6Æk #  n Q (k6Æ0)dođó (P)và (Q)khôngsongsong, khôngtrùngnhau. #  n P ¢ #  n Q 6Æ0dođó (P)và (Q)khôngvuônggóc. Vậy (P)và (Q)cắtnhưngkhôngvuônggóc. Chọnđápán B ä Câu74. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ5 tại điểm M(3;¡1;3)là A. xÅ4yÅ1Æ0. B. 2x¡y¡7Æ0. C. xÅ3y¡5Æ0. D. 2xÅy¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó M(3;¡1;3)thuộcmặtcầu (S).Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;3). Gọi (®)làmặtphẳngtiếpxúcvớimặtcầu (S)tạiđiểm M. Mặtphẳng (®)nhận #  IMÆ(2;1;0)làmvéc-tơpháptuyến. Phươngtrìnhcủamặtphẳng (®)là 2(x¡3)Å(yÅ1)Å0(z¡3)Æ0hay 2xÅy¡5Æ0. Chọnđápán D ä Câu75. TrongkhônggianOxyz,khoảngcáchtừ A(1;0;¡1)đếnmặtphẳng(P): x¡2y¡2zÅ6Æ0 bằng A. 1. B. 3. C. 7 3 . D. 7 9 . -Lờigiải. Tacó d(A,(P))Æ j1¡2¢0¡2¢(¡1)Å6j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ3. Chọnđápán B ä Câu76. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm A(¡1;2;1)vàmặtphẳng(P): 2x¡ yÅz¡3Æ0. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P). Điểm nào trong cácđiểmsauđâykhôngthuộcmặtphẳng (Q)? A. K(3;1;¡8). B. N(2;1;¡1). C. I(0;2;¡1). D. M(1;0;¡5). -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)quađiểm A vàsongsongvớimặtphẳng (P)nêncóphươngtrình 2(xÅ1)¡(y¡2)Å(z¡1)Æ0,2x¡yÅzÅ3Æ0. Thaylầnlượttọađộcácđiểm I, K, M, N vàophươngtrìnhmặtphẳng (Q)tathấytọađộđiểm N khôngthỏamãnphươngtrình.Vậy NÝ(Q). Chọnđápán B ä Câu77. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): x¡2y¡2zÅ5Æ0 và điểm A(¡1;3;¡2). Khoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (®)bằng A. 2 9 . B. 1. C. 2 3 . D. 2 p 5 5 . -Lờigiải. Tacó d(A,(®))Æ j¡1¡2¢3¡2¢(¡2)Å5j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ 2 3 . Chọnđápán C ä Câu78. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(2;¡1;1).Phươngtrìnhmặtphẳng (®)điquacác hìnhchiếucủađiểm A trêncáctrụctọađộlà A. x 2 Å y 1 Å z 1 Æ1. B. x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ¡1. C. x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ0. -Lờigiải. Gọi M 1 , M 2 , M 3 lầnlượtlàhìnhchiếucủađiểm A lêncáctrục Ox, Oy, Oz thìtacó M 1 (2;0;0), M 2 (0;¡1;0), M 3 (0;0;1). Khiđóphươngtrìnhmặtphẳngđiquacácđiểm M 1 , M 2 , M 3 là x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ1. Th.sNguyễnChínEm 268 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu79. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;1)và B(2;1;0).Mặtphẳng (®)qua A và vuônggócvới AB cóphươngtrìnhlà A. 3x¡y¡z¡6Æ0. B. 3x¡y¡zÅ6Æ0. C. xÅ3yÅz¡5Æ0. D. xÅ3yÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (®) đi qua A(¡1;2;1) và nhận véc-tơ #  ABÆ(3;¡1;¡1) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phươngtrìnhlà (®): 3(xÅ1)¡(y¡2)¡(z¡1)Æ0,3x¡y¡zÅ6Æ0. Chọnđápán B ä Câu80. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm N(1;1;¡2).Gọi A,B,Clầnlượtlàhình chiếucủa N trêncáctrụctọađộOx,Oy,Oz.Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà A. x 1 Å y 1 ¡ z 2 Æ0. B. x 1 Å y 1 ¡ z 2 Æ1. C. xÅy¡3zÆ0. D. xÅy¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;¡2). Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà x 1 Å y 1 ¡ z 2 Æ1. Chọnđápán B ä Câu81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặtcầucótâm I(1;2;¡1)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P): x¡2y¡2z¡8Æ0. A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầucầnlập RÆd(I;(P))Æ j(1)¡2¢(2)¡2¢(¡1)¡8j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ3. Phươngtrìnhmặtcầucótâm I(1;2;¡1)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P)là (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;1), B(0;1;2). Phương trình mặtphẳng (P)điqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB là A. (P): 2xÅ2y¡zÆ0. B. (P): 2xÅ2y¡z¡9Æ0. C. (P): 2xÅ4yÅ3z¡19Æ0. D. (P): 2xÅ4yÅ3z¡10Æ0. -Lờigiải. Vì AB?(P)nên (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ #  BAÆ(2;2;¡1). Mặtkhác, (P)điqua A(2;3;1)nên (P): 2(x¡2)Å2(y¡3)¡(z¡1)Æ0,2xÅ2y¡z¡9Æ0. Chọnđápán B ä Câu83. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặtcầucótâm I(1;2;¡1)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P): x¡2y¡2z¡8Æ0? A. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Mặtcầutiếpxúcvớimặtphẳng (P)nên RÆd(I,(P))Æ j1¡2¢2¡2¢(¡1)¡8j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ3. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu84. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;¡1;1). Phương trình mặt phẳng (®) qua các hìnhchiếucủađiểm A trêncáctrụctọađộlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ0. B. x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ1. C. x 2 Å y 1 Å z 1 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ¡1. -Lờigiải. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy, Oz. Ta có M(2;0;0), N(0;¡1;0), P(0;0;1). Theo cách viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có, phương trình mặt phẳng (MNP)là x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ1. Th.sNguyễnChínEm 269 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu85. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;1;1)và B(3;3;¡1).Lậpphươngtrìnhmặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A. xÅ2y¡5Æ0. B. 2xÅy¡zÅ2Æ0. C. 2xÅy¡z¡4Æ0. D. 2xÅy¡z¡10Æ0. -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB là #  v (P) Æ #  ABÆ(4;2;¡2). Mặtphẳngtrungtrựcđiquatrungđiểm I(1;2;0)củađoạnthẳng AB.Dođómặtphẳngtrung trựccóphươngtrìnhlà (P): 4(x¡1)Å2(y¡2)¡2zÆ0hay (P): 2xÅy¡z¡4Æ0. Chọnđápán C ä Câu86. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(¡1;2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x¡2y¡2z¡2Æ0cóphươngtrìnhlà A. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. B. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. C. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. D. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầulàkhoảngcáchtừđiểm S đến (P),dođó RÆ j¡1¡4¡2¡2j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ3. Suyraphươngtrìnhmặtcầulà (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. Chọnđápán D ä Câu87. TrongkhônggianOxyzchohaimặtphẳng(P): 3x¡yÅ4zÅ2Æ0và(Q): 3x¡yÅ4zÅ8Æ 0.Lậpphươngtrìnhmặtphẳng (®)songsongvàcáchđều (P)và (Q). A. (®): 3x¡yÅ4zÅ10Æ0. B. (®): 3x¡yÅ4zÅ5Æ0. C. (®): 3x¡yÅ4z¡10Æ0. D. (®): 3x¡yÅ4z¡5Æ0. -Lờigiải. Vì(P)và(Q)songsongvớinhaunênmặtphẳng(®)songsongvàcáchđều(P)và(Q)cóphương trình (®): 3x¡yÅ4zÅ 2Å8 2 Æ0hay (®): 3x¡yÅ4zÅ5Æ0. Chọnđápán B ä Câu88. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaimặtphẳng (P): xÅ(mÅ1)y¡2zÅmÆ0 và (Q): 2x¡yÅ3Æ0, với m là tham số thực. Để (P) và (Q) vuông góc với nhau thì giá trị thực của mbằngbaonhiêu? A. mÆ¡5. B. mÆ1. C. mÆ3. D. mÆ¡1. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(1;mÅ1;¡2). Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 Æ(2;¡1;0). Để (P)và (Q)vuônggócvớinhauthìtacó #  n 1 ? #  n 2 , #  n 1 ¢ #  n 2 Æ0,1¢2Å(mÅ1)¢(¡1)Å(¡2)¢0Æ0,1¡mÆ0,mÆ1. Chọnđápán B ä Câu89. Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(¡2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;¡3). Mặt phẳng (P) vuônggócvớimặtphẳngnàotrongcácmặtphẳngsau? A. 3x¡2yÅ2zÅ6Æ0. B. 2xÅ2y¡z¡1Æ0. C. xÅyÅzÅ1Æ0. D. x¡2y¡z¡3Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhdạngchắncủamặtphẳng (P)là x ¡2 Å y 3 Å z ¡3 Æ1,3x¡2yÅ2zÅ6Æ0. Suyra (P)vuônggócvớimặtphẳng 2xÅ2y¡z¡1Æ0vì 3¢2Å(¡2)¢2Å2¢(¡1)Æ0. Chọnđápán B ä Câu90. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (T ): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ9 cắt mặt phẳng (Oyz)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròncóbánkínhbằng Th.sNguyễnChínEm 270 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. p 11. B. p 3. C. p 5. D. p 7. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(2;¡1;0)vàbánkính RÆ3. Hìnhchiếuvuônggóccủa I lên (Oyz)là H(0;¡1;0). Khoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng (Oyz)là dÆIHÆ2. Gọi r làbánkínhcủađườnggtròngiaotuyếntacó R 2 Ær 2 Åd 2 )rÆ p R 2 ¡d 2 Æ p 3 2 ¡2 2 Æ p 5. Vậybánkínhcủađườngtròngiaotuyếnlà rÆ p 5. Chọnđápán C ä Câu91. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2yÅ2z¡10Æ0. Phương trình mặt phẳng (Q) với (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 7 3 là A. xÅ2yÅ2zÅ3Æ0; xÅ2yÅ2zÅ17Æ0. B. xÅ2yÅ2zÅ3Æ0; xÅ2yÅ2z¡17Æ0. C. xÅ2yÅ2z¡3Æ0; xÅ2yÅ2zÅ17Æ0. D. xÅ2yÅ2z¡3Æ0; xÅ2yÅ2z¡17Æ0. -Lờigiải. Vì (Q)songsongvới (P)nên (Q): xÅ2yÅ2zÅcÆ0với c6Æ¡10. Lấy M(0;0;5)2(P)) d(M;(P))Æ 7 3 , j10Åcj 3 Æ 7 3 , h cÅ10Æ7 cÅ10Æ¡7 , · cÆ¡3(thỏamãn) cÆ¡17(thỏamãn). Chọnđápán D ä Câu92. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,hãyviếtphươngtrìnhmặtcầucótâmlà I(2;1;¡4)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (®): x¡2yÅ2z¡7Æ0. A. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4xÅ2y¡8z¡4Æ0. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ8z¡4Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡2yÅ8z¡4Æ0. D. x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡2y¡8z¡4Æ0. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(2;1;¡4)vàbánkính RÆd(I;(®))Æ5. Vậynócóphươngtrìnhlà (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ4) 2 Æ5 2 ,x 2 Åy y Åz 2 ¡4x¡2yÅ8z¡4Æ0. Chọnđápán C ä Câu93. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æm 2 Å4. Tậpcácgiátrịcủa mđểmặtcầu (S)tiếpxúcvớimặtphẳng (Oyz)là A. { p 5}. B. {§ p 5}. C. {0}. D.?. -Lờigiải. Tacó m 2 Å4È0vớimọi mthuộcR,nênphươngtrìnhđãcholuônlàphươngtrìnhcủamặtcầu vớitâm I(¡3;0;2),bánkính RÆ p m 2 Å4. Mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrình xÆ0. Đểmặtcầu (S)tiếpxúcvớimặtphẳng (Oyz)thì d(I,(Oyz))ÆR. Suyra p m 2 Å4Æ3,m 2 Å4Æ9,m 2 Æ5,mƧ p 5. Chọnđápán B ä Câu94. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chobađiểm A(2;0;0), B(0;¡3;0), C(0;0;6).Viết phươngtrìnhmặtphẳng (ABC). A. (ABC): z¡6Æ0. B. (ABC): 3x¡2yÅz¡6Æ0. C. (ABC): yÅ3Æ0. D. (ABC): x¡2Æ0. -Lờigiải. Tacó (ABC): x 2 Å y ¡3 Å z 6 Æ1,3x¡2yÅz¡6Æ0. Chọnđápán B ä Câu95. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;2), B(3;5;¡4). Phương trình mặt phẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB là A. xÅy¡3z¡9Æ0. B. xÅy¡3zÅ9Æ0. C. xÅy¡3zÅ2Æ0. D. x¡3 1 Æ y¡5 1 Æ zÅ4 ¡3 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 271 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọitrungđiểmcủa AB là I)I(2;4;¡1). Mặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB điqua I(2;4;¡1)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  ABÆ(2;2;¡6) nêncóphươngtrìnhlà: 2(x¡2)Å2(y¡4)¡6(zÅ1)Æ0,xÅy¡3z¡9Æ0. Chọnđápán A ä Câu96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2xÅmy¡zÅ1Æ0 và (Q): xÅ3yÅ(2mÅ3)z¡2Æ0.Giátrịcủa mđể (P)?(Q)là A. mÆ¡1. B. mÆ1. C. mÆ0. D. mÆ2. -Lờigiải. (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(2;m;¡1), (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 Æ(1;3;2mÅ3). (P)?(Q), #  n 1 ¢ #  n 2 Æ0,2¢1Åm¢3Å(¡1)¢(2mÅ3)Æ0,mÆ1. Chọnđápán B ä Câu97. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡1), B(2;1;0) mặt phẳng (P): 2xÅy¡3zÅ1Æ0.Gọi (Q)làmặtphẳngchứa A, B vàvuônggócvới (P).Phươngtrìnhmặt phẳng (Q)là A. 2xÅ5yÅ3z¡9Æ0. B. 2xÅy¡3z¡7Æ0. C. 2xÅy¡z¡5Æ0. D. x¡2y¡z¡6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)chứa AB vàvuônggócvới (P)nêncócặpvéc-tơchỉphươnglà #  ABÆ(1;¡1;1)và #  n P Æ(2;1;¡3).Suyra #  n Q Æ h #  AB, #  n P i Æ(2;5;3). Mặtphẳng (Q)điquađiểm A(1;2;¡1)nêntacóphươngtrìnhmặtphẳng (Q)là 2(x¡1)Å5(y¡2)Å3(zÅ1)Æ0,2xÅ5yÅ3¡9Æ0. Chọnđápán A ä Câu98. TrongkhônggianOxyz,chocácvectơ #  aÆ(m;1;0), #  b Æ(2;m¡1;1), #  c Æ(1;mÅ1;1).Tìm mđểbavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng. A. mÆ 3 2 . B. mÆ¡2. C. mÆ¡ 1 2 . D. mÆ¡1. -Lờigiải. Tacó: h #  a, #  b i Æ(1;¡m;m 2 ¡m¡2). Để #  a, #  b, #  c đồngphẳngthì h #  a, #  b i ¢ #  c Æ0,¡2m¡1Æ0,mÆ¡ 1 2 . Chọnđápán C ä Câu99. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(¡2;0;0),B(0;0;7),C(0;3;0).Phươngtrìnhmặt phẳng (ABC)là A. x ¡2 Å y 7 Å z 3 Æ1. B. x ¡2 Å y 3 Å z 7 Æ0. C. x ¡2 Å y 3 Å z 7 Æ1. D. x ¡2 Å y 3 Å z 7 Å1Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngđoạnchắn (ABC): x ¡2 Å y 3 Å z 7 Æ1. Chọnđápán C ä Câu100. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).Diệntíchcủatamgiác ABC bằng A. p 11 2 . B. p 7 2 . C. p 6 2 . D. p 5 2 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;0;1)và #  ACÆ(1;1;1)) h #  AB; #  AC i Æ(¡1;2;¡1)) ¯ ¯ ¯ h #  AB; #  AC i¯ ¯ ¯Æ p 6. Diệntíchtamgiác ABC là SÆ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB; #  AC i¯ ¯ ¯Æ p 6 2 . Chọnđápán C ä Câu101. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(¡3;0;1). Mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P): x¡2y¡2z¡1Æ0 theo một thiết diện là một hình tròn. Diện tích của hình trònnàybằng¼.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là A. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ4. B. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ25. Th.sNguyễnChínEm 272 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ5. D. (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ2. -Lờigiải. Gọimặtcầu (S)cótâm I vàbánkính R. Tacó hÆ d(I;(P))Æ j¡3¡0¡2¡1j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ2. Giả sử r là bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng (P)vàmặtcầu (S). Diệntíchhìnhtrònlà¼r 2 Ƽ,r 2 Æ1,rÆ1. Tacó R 2 Æh 2 År 2 Æ2 2 Å1 2 Æ5. Phươngtrìnhmặtcầu (S)là (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ5. I r h R Chọnđápán C ä Câu102. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chophươngtrìnhhaimặtphẳng (P): 2x¡y¡ 2zÅ1Æ0và (Q): 2x¡y¡2zÅ6Æ0.Khoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)bằng A. 5 3 . B. 4 3 . C. 2. D. 3 5 . -Lờigiải. Lấy M(0;1;0)2(P)) d((P);(Q))Æ d(M;(Q))Æ j2¢0¡1¡2¢0Å6j p 2 2 Å(¡1) 2 Å(¡2) 2 Æ 5 3 . Chọnđápán A ä Câu103. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Diện tích của tam giác ABC là A. p 6 2 . B. p 5 2 . C. p 10 2 . D. p 15 2 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;0;1)và #  ACÆ(1;1;1). Suyra S 4ABC Æ 1 2 j[ #  AB, #  AC]jÆ 1 2 j(¡1;2;¡1)jÆ p 6 2 . Chọnđápán A ä Câu104. Trongkhônggian Oxyz,khoảngcáchtừtâm I củamặtcầu (S): x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ4 đếnmặtphẳng (P): 2xÅ2y¡zÅ3Æ0bằng A. 2 9 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 2. -Lờigiải. Theogiảthiết I(0;0;1)nênkhoảngcách d (I,(P)) Æ j2¢0Å2¢0¡1Å3j p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ 2 3 . Chọnđápán B ä Câu105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu ba điểm A,B,C lần lượt là hình chiếu vuônggóccủađiểm M(1;2;3)lêncáctrụctọađộthìphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. 1 x Å 2 y Å 3 z Æ1. B. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. C. 1 x Å 2 y Å 3 z Æ0. D. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. -Lờigiải. Tacó 8 < : A(1;0;0) B(0;2;0) C(0;0;3) )(ABC): x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. Chọnđápán B ä Câu106. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,gọibađỉnh A,B,C lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóc của điểm M(1;¡2;¡2) lên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC)bằng Th.sNguyễnChínEm 273 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. p 6 3 . B. 2 p 3 3 . C. p 6 6 . D. p 3 2 . -Lờigiải. Tacó 8 < : A(1;0;0) B(0;¡2;0) C(0;0;¡2) .VìO.ABC làtamdiệnvuôngtạiO nêntacó 1 d 2 (O,(ABC)) Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 Æ 3 2 )d(O,(ABC))Æ p 6 3 . Chọnđápán A ä Câu107. Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A(2;¡3;1)lêncácmặtphẳngtọađộ.Phươngtrìnhmặtphẳng (MNP)là A. x 2 Å y 3 Å z 1 Æ1. B. 3x¡2yÅ6zÆ6. C. x 2 ¡ y 3 Å z 1 Æ0. D. 3x¡2yÅ6z¡12Æ0. -Lờigiải. Tacó 8 < : M(2;¡3;0) N(2;0;1) P(0;¡3;1) ) ½ #  MNÆ(0;3;1) #  MPÆ(¡2;0;1) ) #  n (MNP) Æ(3;¡2;6). Tađược (MNP): 3x¡2yÅ6z¡12Æ0. Chọnđápán D ä Câu108. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x¡3yÅ2z¡1Æ0, (Q): x¡zÅ2Æ0. Mặt phẳng (®) vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độbằng 3.Phươngtrìnhcủa (®)là A. xÅyÅz¡3Æ0. B. xÅyÅzÅ3Æ0. C. ¡2xÅzÅ6Æ0. D. ¡2xÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;¡3;2). Mặtphẳng (Q)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n Q Æ(1;0;¡1). Vìmặtphẳng (®)vuônggócvớihaimặtphẳng (P)và (Q)nên (®)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n ® Æ £ #  n P , #  n Q ¤ Æ3(1;1;1). Màmặtphẳng (®)điqua A(3;0;0),nênsuyraphươngtrìnhlà (®): xÅyÅz¡3Æ0. Chọnđápán A ä Câu109. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3;¡4) và B(¡1;2;2). Viết phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrực (®)củađoạnthẳng AB. A. (®): 4xÅ2yÅ12zÅ7Æ0. B. (®): 4x¡2yÅ12zÅ17Æ0. C. (®): 4xÅ2y¡12z¡17Æ0. D. (®): 4x¡2y¡12z¡17Æ0. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa ABthì I µ 0; 5 2 ;¡1 ¶ .Mặtphẳngtrungtrực (®)củađoạnthẳng ABchứa điểm I vànhận #  BAÆ(2;1;¡6)làvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà 2(x¡0)Å1 µ y¡ 5 2 ¶ ¡6(zÅ1)Æ0,4xÅ2y¡12z¡17Æ0. Chọnđápán C ä Câu110. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;0),B(2;3;¡1).Phươngtrìnhmặtphẳng qua A vàvuônggócvới AB là A. 2xÅy¡z¡3Æ0. B. xÅy¡zÅ3Æ0. C. xÅy¡z¡3Æ0. D. x¡y¡z¡3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;1;¡1)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳngcầntìm. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới AB là 1(x¡1)Å1(y¡2)¡1(z¡0)Æ0,xÅy¡z¡3Æ0. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 274 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu111. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhmặtphẳngđiquahaiđiểm A(0;1;0),B(2;0;1) vàvuônggócvớimặtphẳng (P): x¡y¡1Æ0là A. xÅy¡3z¡1Æ0. B. 2xÅ2y¡5z¡2Æ0. C. x¡2y¡6zÅ2Æ0. D. xÅy¡z¡1Æ0. -Lờigiải. Mạtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;¡1;0). Tacó #  ABÆ(2;¡1;1)và [ #  n P , #  AB]Æ(¡1;¡1;1). Gọi (Q)làmặtphẳngcầntìm,mộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n Q Æ(1;1;¡1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (Q)là 1¢(x¡0)Å1¢(y¡1)¡1¢(z¡0)Æ0,xÅy¡z¡1Æ0. Chọnđápán D ä Câu112. Trong không gian Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6), D(2;4;6). Gọi (P) là mặt phẳngsongsongvớimặtphẳng(ABC),(P)cáchđềuDvàmặtphẳng(ABC).Phươngtrìnhcủa (P)là A. 6xÅ3yÅ2z¡24Æ0. B. 6xÅ3yÅ2z¡12Æ0. C. 6xÅ3yÅ2zÆ0. D. 6xÅ3yÅ2z¡36Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC): x 2 Å y 4 Å z 6 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡12Æ0. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên phương trình có dạng 6xÅ3yÅ2zÅdÆ0, d6Æ¡12. Mặtphẳng (P)cáchđều D vàmặtphẳng (ABC)khivàchỉkhi d((ABC),(P))Æd(D,(P)),d(A,(P))Æd(D,(P)) , j6¢2Ådj p 6 2 Å3 2 Å2 2 Æ j6¢2Å3¢4Å2¢6Ådj p 6 2 Å3 2 Å2 2 , jdÅ12jÆjdÅ36j,dÆ¡24(thỏamãn). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P): 6xÅ3yÅ2z¡24Æ0. Chọnđápán A ä Câu113. Tronghệtọađộ Oxyz,chobađiểm A(1;0;0), B(0;¡1;0), C(0;0;2).Phươngtrìnhmặt phẳng (ABC)là A. 2x¡yÅzÆ0. B. xÅ y 2 ¡zÆ1. C. x¡2yÅzÆ0. D. x¡yÅ z 2 Æ1. -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(¡1;¡1;0), #  ACÆ(¡1;0;2). Suy ra véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là #  n Æ [ #  AB, #  AC]Æ(¡2;2;¡1).Dođóphươngtrìnhmặtphẳng (P)là ¡2(x¡1)Å2y¡zÆ0,x¡yÅ z 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu114. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;¡1;6), B(¡3;¡1;¡4), C(5;¡1;0), D(1;2;1). TínhthểtíchV củatứdiện ABCD. A. 40. B. 60. C. 50. D. 30. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡5;0;¡10), #  ACÆ(3;0;¡6), #  ADÆ(¡1;3;¡5)và h #  AB; #  AC i Æ(0;¡60;0). Từđósuyra)VÆ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB; #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯Æ30. Chọnđápán D ä Câu115. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;¡1;4) và nhận #  uÆ(3;2;1), #  v Æ(¡3;0;1)làmvéc-tơchỉphươnglà A. x¡y¡z¡12Æ0. B. xÅyÅz¡3Æ0. C. 3xÅ3y¡zÆ0. D. x¡3yÅ3z¡15Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n (P) Æ £ #  u, #  v ¤ Æ(2;¡6;6)Æ2(1;¡3;3). Lạicó (P)điqua M(0;¡1;4)nêncóphươngtrình x¡3(yÅ1)Å3(z¡4)Æ0,x¡3yÅ3z¡15Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 275 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu116. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2xÅmy¡zÅ1Æ0 và (Q): xÅ3yÅ (2mÅ3)z¡2Æ0.Giátrịcủa mđể (P)?(Q)là A. mÆ¡1. B. mÆ0. C. mÆ2. D. mÆ1. -Lờigiải. Tacó #  n (P) Æ(2;m;¡1), #  n (Q) Æ(1;3;2mÅ3). Khiđó (P)?(Q), #  n (P) ¢ #  n (Q) Æ0,2Å3m¡2m¡3Æ0,mÆ1. Chọnđápán D ä Câu117. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(4;2;5), B(3;1;3), C(2;6;1).Phươngtrìnhmặt phẳng (ABC)là A. 2x¡z¡6Æ0. B. 2xÅy¡10Æ0. C. 4xÅ4y¡3z¡5Æ0. D. 2x¡z¡3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡1;¡2), #  ACÆ(¡2;4;¡4),suyra #  n (ABC) Æ h #  AB, #  AC i Æ(12;0;¡6)Æ6(2;0;¡1). Vậy (ABC)cóphươngtrình 2(x¡4)¡(z¡5)Æ0,2x¡z¡3Æ0. Chọnđápán D ä Câu118. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;¡1),B(2;1;0)vàmặtphẳng (P): 2xÅy¡ 3zÅ1Æ0. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P). Phương trình mặt phẳng (Q) là A. 2xÅy¡z¡5Æ0. B. 2xÅ5yÅ3z¡9Æ0. C. xÅ2y¡z¡6Æ0. D. 2xÅy¡3z¡7Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡1;1), #  n (P) Æ(2;1;¡3),suyra h #  AB, #  n (P) i Æ(2;5;3). Mặtphẳng (Q)chứa A, B vàvuônggócvới (P)nêncóvéc-tơpháptuyến #  n (Q) Æ(2;5;3). Vậy (Q)cóphươngtrình 2(x¡1)Å5(y¡2)Å3(zÅ1)Æ0,2xÅ5yÅ3z¡9Æ0. Chọnđápán B ä Câu119. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có thể tích bằng p 35. Biết B(1;¡1;2), C(0;1;1), D(¡1;0;¡1).Đườngcao AH củatứdiệnbằng A. 3. B. 6. C. 12. D. 2. -Lờigiải. Tacó #  BCÆ(¡1;2;¡1), #  BDÆ(¡2;1;¡3). Suyra h #  BC, #  BD i Æ(5;¡1;3))S 4BCD Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  BC, #  BD i¯ ¯ ¯Æ p 35 2 . Vậyđộdàiđườngcao AH là AHÆ 3V ABCD S 4BCD Æ6. Chọnđápán B ä Câu120. Trongkhông gian Oxyz,cho mặtphẳng (P): xÅ2yÅz¡4Æ0vàđiểm D(1;0;3). Mặt phẳng (Q)songsongvới (P)vàcách D mộtkhoảngbằng p 6cóphươngtrìnhlà A. xÅ2yÅzÅ2Æ0. B. · xÅ2yÅzÅ2Æ0 xÅ2yÅz¡10Æ0 . C. · xÅ2y¡z¡10Æ0 xÅ2y¡zÅ2Æ0 . D. xÅ2yÅz¡10Æ0. -Lờigiải. Vì (Q)Ò(P)nên (Q)cóphươngtrìnhdạng (Q): xÅ2yÅzÅDÆ0 (D6Æ¡4). Lạicó d(D,(Q))Æ p 6, j1Å3ÅDj p 1Å1Å4 Æ p 6,jDÅ4jÆ6, h DÆ2 DÆ¡10 . Vậy (Q): xÅ2yÅzÅ2Æ0hoặc (Q): xÅ2yÅz¡10Æ0. Chọnđápán B ä Câu121. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa điểm H(1;2;2) và cắt Ox, Oy, Oz lầnlượttại A, B, C saocho H làtrựctâmtamgiác ABC.Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là A. 2xÅyÅz¡6Æ0. B. xÅ2y¡2z¡9Æ0. C. 2xÅyÅz¡2Æ0. D. xÅ2yÅ2z¡9Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 276 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó n BC?OA BC?AH )BC?(OAH))BC?OH. (1) Lạicó n AC?OB AC?BH )AC?(OBH))AC?OH. (2) Từ(1)và(2)suyraOH?(ABC). Dođó (P)nhận #  OHÆ(1;2;2)làmmộtvéc-tơpháptuyến. Mặtkhác (P)điđiểm H(1;2;2)nêncóphươngtrình 1(x¡1)Å2(y¡2)Å2(z¡2)Æ0,xÅ2yÅ2z¡9Æ0. A B O x y C z H Chọnđápán D ä Câu122. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(3;¡2;1). Viết phương trình mặt phẳngtrungtrựccủađoạn AB. A. ¡x¡2yÅzÆ0. B. xÅ2yÅzÆ0. C. ¡xÅ2yÅzÆ0. D. ¡xÅ2y¡zÆ0. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểm AB,tacó I(2;0;2). Mặtphẳngtrungtrựccủa AB điqua I vànhận #  ABÆ(2;¡4;¡2)làmmộtvéc-tơpháptuyến. Vậymặtphẳngtrungtrựccủa AB cóphươngtrình 2(x¡2)¡4y¡2(z¡2)Æ0,¡xÅ2yÅzÆ0. Chọnđápán C ä Câu123. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;¡1;1),B(3;3;¡1). Lập phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB. A. xÅ2y¡zÅ2Æ0. B. xÅ2y¡z¡4Æ0. C. xÅ2y¡z¡3Æ0. D. xÅ2yÅz¡4Æ0. -Lờigiải. (P)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng ABnên (P)điquatrungđiểm I(2;1;0)của ABvà vuônggócvới AB. Suyraphươngtrìnhmặtphẳng (P)qua I(2;1;0)cóvéc-tơpháptuyến #  ABÆ(2;4;¡2)là (P): xÅ 2y¡z¡4Æ0. Chọnđápán B ä Câu124. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡6zÅ m¡3Æ0. Tìm số thực m để (¯): 2x¡yÅ2z¡8Æ0 cắt (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 8¼. A. mÆ¡4. B. mÆ¡1. C. mÆ¡2. D. mÆ¡3. -Lờigiải. (S)cótâm I(¡1;2;3)vàbánkính RÆ p 17¡m. d(I;(¯))Æ j¡2¡2Å6¡8j 3 Æ2. Bánkínhđườngtròngiaotuyếngiữa (S)và (¯)là rÆ 8¼ 2¼ Æ4. Tacó R 2 Ær 2 Åd 2 (I;(¯)))17¡mÆ4Å16)mÆ¡3. Vậy mÆ¡3. Chọnđápán D ä Câu125. TrongkhônggianOxyz,chophươngtrìnhmặtcầu(S)tâm I(¡1;2;5)vàtiếpxúcvới mặtphẳng (P): x¡2yÅ2zÅ4Æ0là A. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡10zÅ21Æ0. B. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ10zÅ21Æ0. C. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡10z¡21Æ0. D. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Åx¡2y¡5z¡21Æ0. -Lờigiải. Tacó,bánkínhmặtcầulà RÆd(I,(P))Æ j¡1¡4Å10Å4j p 1Å4Å4 Æ3. Phươngtrìnhmặtcầu (S)códạng: (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡5) 2 Æ9,x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡10zÅ21Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 277 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu126. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;3)vàB(3;¡2;1).Mặtphẳngtrungtrực củađoạn AB cóphươngtrìnhlà A. 2x¡2y¡zÅ4Æ0. B. 2xÅ2y¡zÆ0. C. 2xÅ2y¡zÅ4Æ0. D. 2x¡2y¡zÆ0. -Lờigiải. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I(1;0;2) của đoạn AB và nhận véc-tơ #  ABÆ(4;¡4;¡2)làmvéc-tơpháptuyếnnêncóphươngtrình 4(x¡1)¡4y¡2(z¡2)Æ0,2x¡2y¡zÆ0. Chọnđápán D ä Câu127. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;¡2;¡2), B(3;2;0), C(0;2;1). Phương trình mặtphẳng (ABC)là A. 2x¡3yÅ6zÅ12Æ0. B. 2xÅ3y¡6z¡12Æ0. C. 2x¡3yÅ6zÆ0. D. 2xÅ3yÅ6zÅ12Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(0;4;2), #  ACÆ(¡3;4;3). Gọi #  n làvectorpháptuyếncủa (ABC).Khiđótacó #  n? #  AB và #  n? #  AC. Nênchọn #  nÆ #  AB^ #  ACÆ(4;¡6;12). (ABC)qua A(3;¡2;¡2)cóvectorpháptuyến #  n )(ABC): 4(x¡3)¡6(yÅ2)Å12(zÅ2)Æ0 )(ABC): 2x¡3yÅ6zÆ0. Chọnđápán C ä Câu128. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B(¡1;2;0), C(1;1;¡2). H là trực tâm củatamgiác ABC,độdàiđoạnOH bằng A. p 870 12 . B. p 870 14 . C. p 870 15 . D. p 870 16 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;¡1;¡1), #  ACÆ(¡1;¡2;¡3), #  BCÆ(2;¡1;¡2). Giảsử H(a;b;c)làtrựctâmcủa4ABC.Khiđótacó 8 > < > : #  AH? #  BC #  BH? #  AC ³ #  AB^ #  AC ´ #  AHÆ0 , ( 2(a¡2)¡(b¡3)¡2(c¡1)Æ0 ¡(aÅ1)¡2(b¡2)¡3cÆ0 a¡2¡8(b¡3)Å5(c¡1)Æ0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : aÆ 2 15 bÆ 29 15 cÆ¡ 1 3 . ) ¯ ¯ ¯ #  OH ¯ ¯ ¯Æ Ê µ 2 15 ¶ 2 Å µ 29 15 ¶ 2 Å µ ¡ 1 3 ¶ 2 Æ p 870 15 . Chọnđápán C ä Câu129. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchomặtphẳng(®)cóphươngtrình2xÅy¡z¡1Æ 0vàmặtcầu (S)cóphươngtrình (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4.Xácđịnhbánkính r củađường tròngiaotuyếncủamặtphẳng (®)vàmặtcầu (S). A. rÆ 2 p 42 3 . B. rÆ 2 p 3 3 . C. rÆ 2 p 15 3 . D. rÆ 2 p 7 3 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;¡2)vàbánkính RÆ2. Tacó d(I,(®))Æ j2Å1Å2¡1j p 2 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Æ 2 p 6 3 ÇR. Khiđómặtphẳng (®)cắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròncóbánkính r là r 2 ÆR 2 ¡d 2 (I,(®))Æ4¡ 8 3 Æ 4 3 )rÆ 2 p 3 3 . Th.sNguyễnChínEm 278 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu130. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(0;1;¡1) và B(2;1;3). Phương trình nàosauđâylàphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB? A. xÅ2z¡3Æ0. B. 2xÅy¡3Æ0. C. xÅyÅz¡3Æ0. D. xÅ2y¡3Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm M(1;1;1) của đoạn AB và nhận #  nÆ #  MBÆ(1;0;2)làmvec-tơpháptuyếnnêncóphươngtrình xÅ2z¡3Æ0. Chọnđápán A ä Câu131. Trongkhônggian Oxyz,phươngtrìnhmặtphẳngchứatrục Oyvàđiểm M(1;¡1;1) là A. xÅzÆ0. B. x¡yÆ0. C. xÅyÆ0. D. x¡zÆ0. -Lờigiải. MặtphẳngchứatrụcOycódạng (®): AxÅCzÆ0. Do M2(®)nên A¢1ÅC¢1Æ0,CÆ¡A. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà (®): x¡zÆ0. Chọnđápán D ä Câu132. Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;1)vàmặtphẳng (P): xÅyÅ z¡4Æ0. Biết thiết diện của mặt phẳng (P) với khối cầu (S) là hình tròn có diện tích bằng ¼. Viếtphươngtrìnhcủamặtcầu (S). A. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ8. B. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. C. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. D. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. -Lờigiải. Bánkínhcủahìnhtrònlà¼Æ¼r 2 )rÆ1. Khoảngcáchtừ I đến (P)là dÆd[I,(P)]Æ jx I Åy I Åz I Å4j p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3. Bánkínhkhốicầu (S)là RÆ p d 2 År 2 Æ2. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S)là (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu133. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm A(1;1;¡1) có phươngtrìnhlà A. zÅ1Æ0. B. x¡yÆ0. C. xÅzÆ0. D. yÅzÆ0. -Lờigiải. Gọi #  n làvec-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)chứatrụcOxvàđiquađiểm A(1;1;¡1). Tacó ½ #  n? #  OAÆ(1;1;¡1) #  n? #  i Æ(1;0;0). Chọnmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ h #  i, #  OA i Æ(0;1;1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳnglà yÅzÆ0. Chọnđápán D ä Câu134. Trongkhônggian Oxyz,mặtcầutâm I(1;2;¡1)tiếpxúcvớimặtphẳng (P):x¡2yÅ 2z¡1Æ0cóbánkínhbằng A. 4 3 . B. 4. C. 2. D. 9. -Lờigiải. Domặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P)nên RÆd(I,(P))Æ j1¡2¢2Å2¢(¡1)¡1j p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ2. Vậybánkínhmặtcầubằng 2. Chọnđápán C ä Câu135. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;2), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ? Th.sNguyễnChínEm 279 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 3xÅ5yÅ2z¡60Æ0. B. 10xÅ6yÅ15z¡60Æ0. C. 10xÅ6yÅ15z¡90Æ0. D. x 3 Å y 5 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Hìnhchiếucủa A(3;5;2)trênmặtphẳngtọađộOxylà A 1 (3;5;0). Hìnhchiếucủa A(3;5;2)trênmặtphẳngtọađộOxz là A 2 (3;0;2). Hìnhchiếucủa A(3;5;2)trênmặtphẳngtọađộOyz là A 3 (0;5;2). Tacó #  A 1 A 2 Æ(0;¡5;2)và #  A 1 A 3 Æ(¡3;0;2). Suyra h #  A 1 A 2 , #  A 1 A 3 i Æ(¡10;¡6;¡15). Phươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà 10(x¡3)Å6(y¡5)Å15zÆ0,10xÅ6yÅ15z¡60Æ0. Chọnđápán B ä Câu136. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;0;¡1),B(1;¡1;2).DiệntíchtamgiácOAB bằng A. p 11. B. p 6 2 . C. p 11 2 . D. p 6. -Lờigiải. Tacó #  OAÆ(1;0;¡1), #  OBÆ(1;¡1;2)và h #  OA, #  OB i Æ(¡1;¡3;¡1). VậydiệntíchtamgiácOAB là S OAB Æ 1 2 ¢ ¯ ¯ ¯ h #  OA, #  OB i¯ ¯ ¯Æ p 11 2 . Chọnđápán C ä Câu137. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x¡2yÅ2z¡3Æ0 và (Q): mxÅy¡ 2zÅ1Æ0.Vớigiátrịnàocủa mthìhaimặtphẳngđóvuônggócvớinhau? A. mÆ1. B. mÆ¡1. C. mÆ¡6. D. mÆ6. -Lờigiải. Haimặtphẳng (P), (Q)lầnlượtcóvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;¡2;2)và #  n Q Æ(m;1;¡2). Dođó, (P)?(Q), #  n P ¢ #  n Q Æ0,m¡2¡4Æ0,mÆ6. Vậygiátrị mcầntìmlà mÆ6. Chọnđápán D ä Câu138. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (®): ax¡yÅ2zÅbÆ0điquagiaotuyếncủa haimặtphẳng (P): x¡y¡zÅ1Æ0và (Q): xÅ2yÅz¡1Æ0.Tính aÅ4b. A. ¡16. B. ¡8. C. 0. D. 8. -Lờigiải. Tacóhaiđiểm M(0;0;1)và N(1;¡2;4)thuộcgiaotuyếncủa (P), (Q). Suyrahaiđiểm M, N thuộcmặtphẳng (®).Tacóhệphươngtrìnhsau n 2ÅbÆ0 aÅ2Å8ÅbÆ0 , n bÆ¡2 aÆ¡8. Vậy aÅ4bÆ¡8Å4¢(¡2)Æ¡16. Chọnđápán A ä Câu139. Trongkhônggian Oxyz,cho (P): xÅy¡2zÅ5Æ0và (Q): 4xÅ(2¡m)yÅmz¡3Æ0, m làthamsốthực.Tìmthamsố msaochomặtphẳng (Q)vuônggócvớimặtphẳng (P). A. mÆ¡3. B. mÆ¡2. C. mÆ3. D. mÆ2. -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n 1 Æ(1;1;¡2). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q)là #  n 2 Æ(4;2¡m;m). Haimặtphẳng (P), (Q)vuônggócvớinhaukhivàchỉkhi #  n 1 ¢ #  n 2 Æ0,4Å2¡m¡2mÆ0,mÆ2. Chọnđápán D ä Câu140. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡y¡2z¡1Æ0 và điểm M(1;¡2;0). Mặt cầu tâm M, bán kính bằng p 3 cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kínhbằngbaonhiêu? A. 2. B. p 2. C. 2 p 2. D. p 3¡1. Th.sNguyễnChínEm 280 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Khoảngcáchtừ M đếnmặtphẳng (P)là d(M,(P))Æ 3 3 Æ1. Bánkínhđườngtrònbằng rÆ p 3¡1Æ p 2. Chọnđápán B ä Câu141. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và B(3;4;7). Phương trình mặt phẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB là A. ¡x¡y¡2zÅ15Æ0. B. xÅyÅ2z¡9Æ0. C. xÅyÅ2zÆ0. D. xÅyÅ2zÅ15Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngtrungtrựcđiquatrungđiểm I(2;3;5)của AB vànhận #  ABÆ(2;2;4)Æ2¢(1;1;2)làm véc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà (x¡2)Å(y¡3)Å2(z¡5)Æ0,xÅyÅ2z¡15Æ0,¡x¡y¡2zÅ15Æ0. Chọnđápán A ä Câu142. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4yÅ2zÅ2Æ0vàchomặt phẳng (P): 2xÅy¡2z¡3Æ0Chọnkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau: A. Giaocủa (S)và (P)làmộtđườngtròn. B. Giaocủa (S)và (P)làmộtđoạnthẳng. C. Giaocủa (S)và (P)làmộtđiểm. D. Giaocủa (S)và (P)làtậprỗng. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(1;2;¡1)vàbánkính RÆ2. Khoảngcáchtừtâm I đến (P)là dÆ1ÇR. Vậygiaocủa (S)và (P)làmộtđườngtròn. Chọnđápán A ä Câu143. Chomặtphẳng (®): 3x¡2y¡zÅ5Æ0vàđườngthẳng¢: x¡1 2 Æ y¡7 1 Æ z¡3 4 .Gọi (¯) làmặtphẳngchứa¢vàsongsongvới (®).Khoảngcáchgiữa (®)và (¯)là A. 3 p 14 . B. ¡ 9 p 21 . C. 9 21 . D. 9 p 14 . -Lờigiải. Lấy A(1;7;3)2¢.Vì (¯)Ò(®)nên d ¡ (®),(¯) ¢ Æ d(A,(®))Æ j3¢1¡2¢7¡3Å5j p 3 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ 9 p 14 . Chọnđápán D ä Câu144. TrongkhônggianOxyz,trụcOxsongsongvớimặtphẳngcóphươngtrìnhnào? A. xÅbyÅczÅdÆ0với (b 2 Åc 2 6Æ0). B. yÅzÆ0. C. byÅczÅ1Æ0với (b 2 Åc 2 6Æ0). D. xÅ1Æ0. -Lờigiải. Gọiphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà (P): AxÅByÅCzÅDÆ0với A 2 ÅB 2 ÅC 2 6Æ0. DoO(0;0;0)Ý(P)nên D6Æ0. Mặtkhác (P)ÒOxnên #  n P ¢ #  i Æ0,suyra A¢1ÅB¢0ÅC¢0Æ0,AÆ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng ByÅCzÅDÆ0) B D yÅ C D zÅ1Æ0. Đặt bÆ B D , cÆ C D , vì B 2 ÅC 2 6Æ0 nên b 2 Åc 2 6Æ0. Phương trình mặt phẳng (P) viết lại như sau byÅczÅ1Æ0với b 2 Åc 2 6Æ0. Chọnđápán C ä Câu145. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng (P)điquahaiđiểm A(0;1;0), B(2;3;1)vàvuông gócvớimặtphẳng (Q): xÅ2y¡zÆ0cóphươngtrìnhlà A. 4x¡3yÅ2zÅ3Æ0. B. 4x¡3y¡2zÅ3Æ0. C. 2xÅy¡3z¡1Æ0. D. 4xÅy¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;2;1). Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (Q) Æ(1;2;¡1). Th.sNguyễnChínEm 281 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtphẳng (P)điquahaiđiểm A, B vàvuônggócvới (Q)nêncóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ h #  n (Q) , #  AB i Æ(4;¡3;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm A vàcóvéc-tơpháptuyến #  n (P) là 4x¡3y¡2zÅ3Æ0. Chọnđápán B ä Câu146. Tọađộmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(®)điquabađiểmM(2;0;0),N(0;¡3;0), P(0;0;4)là A. (2;¡3;4). B. (¡6;4;¡3). C. (¡6;¡4;3). D. (¡6;4;3). -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (®)điquabađiểm M, N, P là x 2 Å y ¡3 Å z 4 Æ1,6x¡4yÅ3z¡12Æ0,¡6xÅ4y¡3zÅ12Æ0. Suyravéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®)là (¡6;4;¡3). Chọnđápán B ä Câu147. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;2;1), B(6;0;3) và điểm C(2;1;1).Khoảngcáchtừđiểm C đếnmặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB bằng A. 7 p 11 . B. 6 p 11 . C. 5 p 11 . D. 4 p 11 . -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB)I(3;1;2); #  ABÆ(6;¡2;2). Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó (P) qua I và nhận #  n Æ(3;¡1;1) làm véc-tơpháptuyến. )(P): 3x¡yÅz¡10Æ0. Vậy d[C,(P)]Æ j3¢2¡1Å1¡10j p 3 2 Å(¡1) 2 Å1 2 Æ 4 p 11 . Chọnđápán D ä Câu148. TrongkhônggiantọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡2) 2 Åy 2 Å(zÅ1) 2 Æ9vàmặtphẳng (P): 2x¡y¡2z¡3Æ0.Biếtmặtcầu(S)cắt(P)theogiaotuyếnlàđườngtròn(C).Tínhbánkính r củađườngtròn (C). A. rÆ2 p 2. B. rÆ p 2. C. rÆ2. D. rÆ p 5. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(2;0;¡1),bánkính RÆ3. Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng (P)là hÆd(I;(P))Æ j4¡0Å2¡3j 3 Æ1. Tacó h 2 År 2 ÆR 2 ,1År 2 Æ9,rÆ2 p 2. I R r h Chọnđápán A ä Câu149. Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt cầu có tâm I(1;¡2;¡3) và tiếp xúc vớimặtphẳng (Oyz)là A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ1. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ4. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ1. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oyz)cóphươngtrình xÆ0. Mặtcầu (S)tâm I(1;¡2;¡3),bánkính R tiếpxúcvới (Oyz)khivàchỉkhi d(I,(Oyz))ÆR. Suyra RÆ j1j p 1 2 Æ1. Vậyphươngtrình (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ1. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 282 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu150. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;¡1).Phươngtrìnhcủa mặtphẳng (P)điquađiểm D(1;1;1)vàsongsongvớimặtphẳng (ABC)là A. 2xÅ3y¡6zÅ1Æ0. B. 3xÅ2y¡6zÅ1Æ0. C. 3xÅ2y¡5zÆ0. D. 6xÅ2y¡3z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;3;0), #  ACÆ(¡2;0;¡1). Suyra h #  AB, #  AC i Æ(¡3;¡2;6). Phươngtrình (ABC): ¡3(x¡2)¡2(y¡0)Å6(z¡0)Æ0,3xÅ2y¡6z¡6Æ0. Do (P)Ò(ABC)nên (P): 3xÅ2y¡6zÅEÆ0,(E6Æ¡6). D(1;1;1)2(P))3Å2¡6ÅEÆ0,EÆ1. Vậyphươngtrình (P): 3xÅ2y¡6zÅ1Æ0. Chọnđápán B ä Câu151. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S)cótâm I(1;1;¡2)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P): xÅ2y¡2zÅ5Æ0.Tínhbánkính R củamặtcầu (S). A. RÆ2. B. RÆ4. C. RÆ3. D. RÆ6. -Lờigiải. Domặtcầutiếpxúcvới (P))bánkínhcủamặtcầulà RÆd(I,(P))Æ j1Å2Å4Å5j 3 Æ4. Chọnđápán B ä Câu152. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): xÅy¡2z¡1Æ0.Viếtphươngtrìnhmặt phẳng (Q)điquagốctọađộvàsongsongvới (P). A. (Q): xÅy¡zÆ0. B. (Q): xÅyÅ2zÆ0. C. (Q): xÅy¡2zÆ0. D. (Q): xÅy¡2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Do (Q)Ò(P))(Q): xÅy¡2zÅmÆ0,m6Æ¡1. DoO(0;0;0)2(Q))mÆ0)(Q): xÅy¡2zÆ0. Chọnđápán C ä Câu153. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4vàmặtphẳng (P): 4x¡3y¡mÆ0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng 1điểmchung. A. mÆ1. B. mÆ¡1hoặc mÆ¡21. C. mÆ1hoặc mÆ21. D. mÆ¡9hoặc mÆ31. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(2;¡1;¡2),bánkính RÆ2. Mặtcầu (S)vàmặtphẳng (P)cóđúngmộtđiểmchungkhi d(I,(P))ÆR , j8Å3¡mj 5 Æ2,j11¡mjÆ10 , h 11¡mÆ10 11¡mÆ¡10 , h mÆ1 mÆ21. Chọnđápán C ä Câu154. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng(P): 2x¡2yÅz¡17Æ0.Biếtmặtphẳng(Q)cắtmặtcầu(S): x 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ25theo giaotuyếnlàmộtđườngtròncóchuvibằng 6¼.Khiđómặtphẳng (Q)cóphươngtrìnhlà A. 2x¡2yÅzÅ7Æ0. B. 2x¡2yÅzÅ17Æ0. C. x¡yÅ2z¡7Æ0. D. 2x¡2yÅz¡17Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(0;¡2;1),bánkính RÆ5. Chuviđườngtròngiaotuyếnbằng 6¼)bánkínhlà rÆ3. Suyrakhoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng (Q)bằng 4. Mặtphẳng (Q)songsongvớimặtphẳng (P)nênphươngtrìnhcódạng 2x¡2yÅzÅDÆ0,(D6Æ¡17). Có d(I,(Q))Æ4, jDÅ5j 3 Æ4,jDÅ5jÆ12, · DÆ7(nhận) DÆ¡17(loại). Vậy (Q): 2x¡2yÅzÅ7Æ0. Th.sNguyễnChínEm 283 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu155. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chomặtcầu (S)cótâm I(2;1;¡1)vàtiếp xúcvớimặtphẳng (®)cóphươngtrình 2x¡2y¡zÅ3Æ0.Bánkínhcủamặtcầu (S)là A. 2 9 . B. 4 3 . C. 2. D. 2 3 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)tiếpxúcvớimặtphẳng (®)nên RÆd(I,(®))Æ j2¢2¡2¢1¡(¡1)Å3j p 2 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ 6 3 Æ2. Chọnđápán C ä Câu156. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(2;4;1),B(¡1;1;3)vàmặtphẳng (P): x¡3yÅ2z¡5Æ0.Mộtmặtphẳng (Q)điquahaiđiểm A, Bvàvuônggócvới (P)códạnglà axÅbyÅcz¡11Æ0.Tính SÆa¡bÅc. A. SÆ¡1. B. SÆ5. C. SÆ1. D. SÆ10. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;¡3;2)và #  n P Æ(1;¡3;2). Véc-tơphéptuyếncủamặtphẳng (Q)là #  n Q Æ h #  AB, #  n P i Æ(0;8;12). Suyramặtphẳng (Q)cóphươngtrìnhlà 8(y¡4)Å12(z¡1)Æ0,2yÅ3z¡11Æ0. Vậy aÆ0, bÆ2, cÆ3nên SÆa¡bÅcÆ1. Chọnđápán C ä Câu157. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;¡2;3). Tọa độ điểm A là hình chiếuvuônggóccủađiểm M trênmặtphẳng (Oyz)là A. A(1;¡2;3). B. A(1;¡2;0). C. A(1;0;3). D. A(0;¡2;3). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm M trên (Oyz): xÆ0là A(0;¡2;3). Chọnđápán D ä Câu158. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(0;1;1)vàB(1;2;3).Viếtphương trìnhmặtphẳng (P)điqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB. A. (P): xÅ3yÅ4z¡26Æ0. B. (P): xÅyÅ2z¡3Æ0. C. (P): xÅyÅ2z¡6Æ0. D. (P): xÅ3yÅ4z¡7Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có véc-tơ pháp tuyến #  AB(1;1;2). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 1¢(x¡0)Å1¢(y¡1)Å2¢(z¡1)Æ0,(P): xÅyÅ2z¡3Æ0. Chọnđápán B ä Câu159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ4y¡12Æ0. Mặtphẳngnàosauđâycắt (S)theomộtđườngtròncóbánkính rÆ3? A. 2xÅ2y¡zÅ12Æ0. B. 3x¡4yÅ5z¡17Å20 p 2Æ0. C. xÅyÅzÅ p 3Æ0. D. 4x¡3y¡z¡4 p 26Æ0. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(3;¡2;0)vàbánkính RÆ5. Dođómặtphẳngcắt (S)theomộtđườngtròncóbánkính rÆ3khikhoảngcáchtừtâm I đến mặtphẳngbằng 4.Kiểmtracácđápántađượcmặtphẳng. Chọnđápán B ä Câu160. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng (P): xÅ3zÅ2Æ0, (Q): xÅ3z¡4Æ0.Mặt phẳngsongsongvàcáchđều (P)và (Q)cóphươngtrìnhlà A. xÅ3z¡1Æ0. B. xÅ3z¡2Æ0. C. xÅ3z¡6Æ0. D. xÅ3zÅ6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngcầntìmcódạng (®): xÅ3xÅmÆ0điềukiện m6Æ2,m6Æ¡4. Tathấy A(¡2;0;0)2(P)và B(4;0;0)2(Q)nên d[A,(®)]Æd[B,(®)], jm¡2j p 10 Æ j4Åmj p 10 ,jm¡2jÆjmÅ4j,mÆ1. Th.sNguyễnChínEm 284 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậymặtphẳngcầntìmlà (®): xÅ3z¡1Æ0. Chọnđápán A ä Câu161. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(¡1;¡2;4), B(¡4;¡2;0), C(3;¡2;1), D(1;1;1).Độdàiđườngcaocủatứdiện ABCD kẻtừđỉnh D bằng A. 3. B. 1. C. 2. D. 1 2 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;0;¡4); #  ACÆ(4;0;¡3); #  ADÆ(2;3;¡3). Khiđó h #  AB; #  AC i Æ(0;¡25;0)) #  AD¢ h #  AB; #  AC i Æ¡75. Chiềucaocủatứdiện ABCD kẻtừ D là d(D;(ABC))Æ ¯ ¯ ¯ #  AD¢ h #  AB; #  AC i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h #  AB; #  AC i¯ ¯ ¯ Æ 75 25 Æ3. Chọnđápán A ä Câu162. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;1;3), B(¡1;3;2), C(¡1;2;3). Khoảng cáchtừgốctọađộđếnmặtphẳng (ABC)bằng A. p 3. B. 3 2 . C. p 3 2 . D. 3. -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(¡2;2;¡1) và #  ACÆ(¡2;1;0) nên mặt phẳng (ABC) nhận #  n Æ[ #  AB, #  AC]Æ(1;2;2) là véc-tơpháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là (x¡1)Å2(y¡1)Å2(z¡3)hay xÅ2yÅ2z¡9Æ0. Khiđó d(O,(ABC))Æ j¡9j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ3. Chọnđápán D ä Câu163. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0;¡1;2), song song với trục Ox và vuônggócvớimặtphẳng (Q): xÅ2y¡2zÅ1Æ0. A. (P): 2yÅ2z¡1Æ0. B. (P): yÅz¡1Æ0. C. (P): y¡zÅ3Æ0. D. (P): 2xÅz¡2Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(1;2;¡2). Tacó h #  i, #  n Q i Æ(0;2;2)Æ2(0;1;1). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)qua A(0;¡1;2),nhận #  nÆ(0;1;1)làmvéc-tơpháptuyếncódạng (yÅ1)Å(z¡2)Æ0,yÅz¡1Æ0. Chọnđápán B ä Câu164. Chomặtphẳng(Q): x¡yÅ2z¡2Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)songsongvới mặtphẳng(Q),đồngthờicắtcáctrụcOx,OylầnlượttạicácđiểmM,N saochoMNÆ2 p 2. A. (P): x¡yÅ2zÅ2Æ0. B. (P): x¡yÅ2zÆ0. C. (P): x¡yÅ2z§2Æ0. D. (P): x¡yÅ2z¡2Æ0. -Lờigiải. Tacó (P)Ò(Q)suyraphươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng x¡yÅ2zÅDÆ0 (D6Æ¡2). Khiđómặtphẳng (P)cắtcáctrụcOx,Oylầnlượttạicácđiểm M(¡D;0;0), N(0;D;,0). Từgiảthiết MNÆ2 p 2, p 2D 2 Æ2 p 2, DÆ2(do D6Æ¡2). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P): x¡yÅ2zÅ2Æ0. Chọnđápán A ä Câu165. TrongkhônggianOxyz,chohaivéc-tơ #  uÆ(a;b;c), #  v Æ(x;y;z).Tíchcóhướng £ #  u; #  v ¤ cótọađộlà A. (bz¡cy;cx¡az;ay¡bx). B. (bzÅcy;cxÅaz;ayÅbx). C. (byÅcz;axÅcz;byÅcz). D. (bz¡cy;az¡cx;ay¡bx). -Lờigiải. Tacó £ #  u; #  v ¤ Æ(bz¡cy;cx¡az;ay¡bx). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 285 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu166. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): zÅ2Æ0. Khẳng định nào sau đâysai ? A. (P)vuônggócvớimặtphẳng (Oxz). B. (P)vuônggócvớimặtphẳng (Oyz). C. (P)vuônggócvớimặtphẳng (Oxy). D. (P)songsongvớimặtphẳng (Oxy). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): zÅ2Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(0;0;1). Tacó Mặtphẳng (Oxz)cóvéc-tơpháptuyến #  n 1 Æ(0;1;0).Tacó #  n 1 ¢ #  n P Æ0,dođó (P)vuônggóc vớimặtphẳng (Oxz). Mặtphẳng (Oyz)cóvéc-tơpháptuyến #  n 2 Æ(1;0;0).Tacó #  n 2 ¢ #  n P Æ0,dođó (P)vuônggóc vớimặtphẳng (Oyz). (P): zÅ2Æ0,zÆ¡2,dođó (P)Ò(Oxy). Chọnđápán C ä Câu167. Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6y¡10z¡14Æ0.Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại điểm A(¡5;1;2) được viết dưới dạng axÅbyÅczÅ22Æ0. Giátrịcủatổng aÅbÅc là A. 7. B. ¡11. C. 11. D. 22. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;3;5),bánkính RÆ7. Mặtphẳng (®)tiếpxúcvới (S)tại A(¡5;1;2)nhận #  AIÆ(6;2;3)làmvéc-tơpháptuyến,dođócó phươngtrình 6xÅ2yÅ3zÅ22Æ0. Vậy aÆ6, bÆ2, cÆ3)aÅbÅcÆ11. Chọnđápán C ä Câu168. Trong không gian Oxyz, số mặt cầu có bán kính bằng 2 và tiếp xúc với cả ba mặt phẳngtọađộlà A. bốn. B. mườisáu. C. tám. D. mườihai. -Lờigiải. Cótámmặtcầubánkínhbằng 2tiếpxúcvớicảbamặtphẳngtọađộ. Chọnđápán C ä Câu169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3xÅ2y¡z¡6Æ0 và hai điểm A(5;7;¡3), B(¡1;¡2;0).Gọi M làgiaođiểmcủa AB và (P).Tínhtỉsố MA MB . A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 286 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó MA MB Æ d[A,(P)] d[B,(P)] Æ j3¢5Å2¢7¡(¡3)¡6j p 3 2 Å2 2 Å(¡1) 2 : j3¢(¡1)Å2¢(¡2)¡(0)¡6j p 3 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ2. Chọnđápán B ä Câu170. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ12.Mặt phẳngnàosauđâycắtmặtcầutheogiaotuyếnlàmộtđườngtròn? A. (R 1 ): xÅy¡zÅ2Æ0. B. (R 2 ): xÅy¡z¡2Æ0. C. (R 3 ): xÅy¡zÅ10Æ0. D. (R 4 ): xÅy¡z¡10Æ0. -Lờigiải. Để mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn thì khoảng cách từ tâm I(¡2;¡1;1)củamặtcầuđếnmặtphẳngphảinhỏhơnbánkính RÆ2 p 3. Tacó d(I,(R 1 ))Æ j¡2¡1¡1Å2j p 3 Æ 2 p 3 3 ÇR.Suyramặtphẳng (R 1 )thỏamãn. Chọnđápán A ä Câu171. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳngsongsong(P)và(Q)lầnlượtcóphương trình 2x¡yÅzÆ0và 2x¡yÅz¡7Æ0.Khoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)bằng A. 7. B. 7 p 6. C. 6 p 7. D. 7 p 6 . -Lờigiải. Tathấymặtphẳng (P): 2x¡yÅzÆ0điquađiểmO(0;0;0). Vì (P)Ò(Q)nên d((P),(Q))Æd(O,(Q))Æ j2¢0¡0Å0¡7j p 2 2 Å(¡1) 2 Å1 2 Æ 7 p 6 . Chọnđápán D ä Câu172. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(1;1;1),B(3;0;¡1),C(2;0;3).Mặtphẳng (®)đi quahaiđiểm A, B vàsongsongvớiđườngthẳngOC cóphươngtrìnhlà A. 3xÅ10yÅ2z¡5Æ0. B. 3xÅ10y¡2zÅ11Æ0. C. 3xÅ10y¡2z¡5Æ0. D. 3xÅ10y¡2z¡11Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡1;¡2), #  OCÆ(2;0;3). Domặtphẳng (®)điquahai điểm A, B vàsongsong vớiđườngthẳng OC nên #  nÆ[ #  AB, #  OC]Æ (¡3;¡10;2)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®)là 3xÅ10y¡2x¡11Æ0. Chọnđápán D ä Câu173. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,khoảngcáchtừtâmmặtcầu x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 4x¡4y¡4z¡1Æ0đếnmặtphẳng(P) xÅ2yÅ2z¡10Æ0bằng A. 4 3 . B. 7 3 . C. 0. D. 8 3 . -Lờigiải. Tacómặtcầu x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡4y¡4z¡1Æ0cótâm I(2;2;2). Dođó d(I;(P))Æ j2Å2¢2Å2¢2¡10j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ0. Chọnđápán C ä Câu174. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡2y¡zÅ2Æ0.Khoảngcáchtừđiểm M(1;¡1;¡3)đến (P)bằng A. 3. B. 1. C. 5 3 . D. 5 9 . -Lờigiải. Khoảngcáchtừđiểm M(1;¡2;¡3)đếnmặtphẳng (P): 2x¡2y¡zÅ2Æ0là d[M,(P)]Æ j2¢1¡2¢(¡1)¡(¡3)j p 2 2 Å2 2 Å1 1 Æ j9j 3 Æ3. Th.sNguyễnChínEm 287 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu175. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;1), B(¡1;¡2;¡3)vàvuônggócvớimặtphẳng (Q): xÅyÅzÆ0. A. xÅy¡3Æ0. B. x¡y¡zÆ0. C. x¡y¡1Æ0. D. xÅyÅz¡4Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;¡3;¡4), #  n (Q) Æ(1;1;1). Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;1),B(¡1;¡2;¡3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ h #  AB, #  n (Q) i Æ(1;¡1;0). Vậyphươngtrìnhtổngquátcủamặtphẳng (P)là 1(x¡2)¡1(y¡1)Å0(z¡1)Æ0,x¡y¡1Æ0. Chọnđápán C ä Câu176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song songvớimặtphẳng (¯): xÅy¡zÅ3Æ0vàcách (¯)mộtkhoảngbằng p 3. A. x¡y¡zÅ6Æ0; x¡y¡zÆ0. B. x¡y¡zÅ6Æ0. C. xÅy¡zÅ6Æ0; xÅy¡zÆ0. D. xÅyÅzÅ6Æ0; xÅyÅzÆ0. -Lờigiải. Domặtphẳng (P)songsongvới (¯): xÅy¡zÅ3Æ0nên (P): xÅy¡zÅmÆ0với m6Æ3. Lấy A(0;0;3)2(¯).Tacó d[(P),(¯)]Æd[A,(P)]Æ p 3, h mÆ0 mÆ6. Chọnđápán C ä Câu177. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I(¡1;3;0) và tiếp xúc với mặtphẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ11Æ0. A. (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ4. B. (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Åz 2 Æ4. C. (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ2. D. (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Åz 2 Æ 4 9 . -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầu RÆd(I,(P))Æ j2¢(¡1)¡3Å2¢0Å11j p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ2. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ4. Chọnđápán A ä Câu178. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cóbaonhiêumặtphẳngquaM(2;1;3), A(0;0;4) vàcắthaitrụcOx,Oylầnlượttại B, C khácO thỏamãndiệntíchtamgiácOBC bằng 1? A. 0. B. 3. C. 2. D. 4. -Lờigiải. Giảsử B(b;0;0), C(0;c;0), (bc6Æ0).Khiđó (ABC): x b Å y c Å z 4 Æ1. Do M2(ABC)nên 2 b Å 1 c Å 3 4 Æ1, 2 b Å 1 c Æ 1 4 (¤). Vì S 4OBC Æ1nên 1 2 ¢OB¢OCÆ1,jbj¢jcjÆ2, 2 6 6 4 bÆ 2 c bÆ¡ 2 c . Thay bÆ 2 c vào (¤)tađược c 2 ¡ 1 4 cÅ1Æ0(vônghiệm). Thay bÆ¡ 2 c vào (¤)tađược c 2 Å 1 4 c¡1Æ0(cóhainghiệmphânbiệtkhác 0). Vậycóhaimặtphẳngthỏamãnđềbài. Chọnđápán C ä Câu179. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;3) và chứa trục hoànhcóphươngtrìnhlà A. 3yÅz¡4Æ0. B. x¡yÆ0. C. 3y¡zÆ0. D. x¡3yÆ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 288 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  OAÆ(1;1;3), #  i Æ(1;0;0), h #  OA, #  i i Æ(0;3;¡1). Mặtphẳng (P)qua A vàchứaOxnên (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(0;3;¡1). Suyra (P): 0(x¡1)Å3(y¡1)¡1(z¡3)Æ0,3y¡zÆ0. Chọnđápán C ä Câu180. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mặt phẳng (P): xÅyÅzÅ1Æ0 cắt mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6yÅ2(m¡2)zÅ4Æ0 theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 3¼. A. h mÆ¡2 mÆ1 . B. h mÆ¡3 mÆ3 . C. h mÆ3 mÆ1 . D. h mÆ¡3 mÆ¡1 . -Lờigiải. Gọi R,r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kínhđườngtròngiaotuyến.Suyra¼r 2 Æ3¼, r 2 Æ3. Mặtcầu (S)cótâm I(0;3;2¡m), R 2 Æ9Å(2¡m) 2 ¡4Æm 2 ¡4mÅ9. Khoảngcáchtừtâm I đến (P)là dÆd(I,(P))Æ j3Å2¡mÅ1j p 3 Æ j6¡mj p 3 . Tacó R 2 Ær 2 Åd 2 , m 2 ¡4mÅ9Æ3Å (6¡m) 2 3 , 2m 2 Æ18,mƧ3. M H r I R d P Chọnđápán B ä Câu181. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): xÅ2y¡z¡1Æ 0, (Q): 3x¡(mÅ2)yÅ(2m¡1)zÅ3Æ0.Tìm mđểhaimặtphẳng(P)và(Q)vuônggócvớinhau. A. mÆ0. B. mÆ2. C. mÆ¡1. D. mÆ¡2. -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủa (P), (Q)lầnlượtlà #  n P Æ(1;2;¡1)và #  n Q Æ(3;¡m¡2;2m¡1). (P)?(Q), #  n P ¢ #  n Q Æ0,3¡2(mÅ2)¡2mÅ1Æ0,mÆ0. Chọnđápán A ä Câu182. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0), N(0;¡1;0) và P(0;0;2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. B. x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. C. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. -Lờigiải. Cácđiểm M, N, P thuộccáctrụcOx,Oy,Oz nênmặtphẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán A ä Câu183. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): xÅ2y¡2z¡6Æ0và(Q): xÅ2y¡2zÅ3Æ 0.Khoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)bằng A. 1. B. 6. C. 3. D. 9. -Lờigiải. Chọnđiểm A(6;0;0)thuộc (P).Do (P)Ò(Q)suyra d((P),(Q))Æd(A,(Q))Æ j6Å3j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ3. Chọnđápán C ä Câu184. Mặt phẳng nào dưới đây cắt mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡4z¡3Æ0 theo thiết diệnlàmộtđườngtròn A. xÅ2yÅ2zÅ6Æ0. B. x¡yÅzÆ0. C. x¡yÅzÅ7Æ0. D. xÅ2yÅ3zÅ3Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;2),bánkính RÆ3. Tacó Th.sNguyễnChínEm 289 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Xét (P 1 ): xÅ2yÅ2zÅ6Æ0, d(I,(P 1 ))Æ j1Å2¢1Å2¢2Å6j p 1Å1Å4 Æ 13 p 6 ÈR. Xét (P 2 ): x¡yÅzÆ0, d(I,(P 2 ))Æ j1¡1Å2j p 1Å1Å1 Æ 2 p 3 ÇR. Xét (P 3 ): x¡yÅzÅ7Æ0, d(I,(P 2 ))Æ j1¡1Å2Å7j p 1Å1Å1 Æ3 p 3ÈR. Xét (P 4 ): xÅ2yÅ3zÅ3Æ0, d(I,(P 4 ))Æ j1Å2¢1Å2¢2Å3j p 1Å1Å4 Æ2 p 6ÈR. Chọnđápán B ä Câu185. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC là A. (P): 6xÅ3yÅ2zÅ18Æ0. B. (P): 6xÅ3yÅ2zÅ6Æ0. C. (P): 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. D. (P): 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Giảsử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Do M(1;2;3)làtrọngtâmtamgiác ABC nêntacó 8 > > > > > > < > > > > > > : aÅ0Å0 3 Æ1 0ÅbÅ0 3 Æ2 0Å0Åc 3 Æ3 )aÆ3,bÆ6,cÆ9. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. Chọnđápán C ä Câu186. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): xÅy¡z¡2Æ0và (Q): x¡yÅz¡1Æ0là A. xÅyÅz¡3Æ0. B. x¡2yÅzÆ0. C. xÅz¡2Æ0. D. yÅz¡2Æ0. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngđiqua A(1;1;1)vàvuônggócvớihaimặtphẳng (P)và (Q). Tacó #  n (P) Æ(1;1;¡1), #  n (Q) Æ(1;¡1;1)làcácvéc-tơchỉphươngcủamặtphẳng (P)và (Q). ) #  nÆ[ #  n (P) , #  n (Q) ]Æ(0;¡2;¡2)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®). Phươngtrìnhmặtphẳng (®)là 0(x¡1)¡2(y¡1)¡2(z¡1)Æ0,yÅz¡2Æ0. Chọnđápán D ä Câu187. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(a;b;c)với a, b, c2R\{0}.Xét (P)làmặtphẳng thayđổiđiquađiểm A.KhoảngcáchlớnnhấttừđiểmO đếnmặtphẳng (P)bằng A. p a 2 Åb 2 Åc 2 . B. 2 p a 2 Åb 2 Åc 2 . C. 3 p a 2 Åb 2 Åc 2 . D. 4 p a 2 Åb 2 Åc 2 . -Lờigiải. Xét (P) là một mặt phẳng đi qua A, gọi H là hình chiếu vuông góc của O lênmặtphẳng (P). Khiđó,tacó d(0,(P))ÆOH·OAÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 . O A H Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 290 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu188. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3). Khoảngcáchtừgốctọađộđếnmặtphẳng (ABC)bằng A. 3 5 . B. 1 3 . C. 6 11 . D. 6 7 . -Lờigiải. TathấyOABC làtamdiệnvuôngđỉnhO. Khiđó,tacó 1 d 2 (O,(ABC)) Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 Æ 49 36 . Vậy d(O,(ABC))Æ 6 7 . Chọnđápán D ä Câu189. Chobađiểm A(0;2;1),B(3;0;1),C(1;0;0).Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. 2xÅ3y¡4z¡2Æ0. B. 2x¡3y¡4zÅ2Æ0. C. 4xÅ6y¡8zÅ2Æ0. D. 2x¡3y¡4zÅ1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡2;0), #  ACÆ(1;¡2;¡1). Khiđómặtphẳng (P)nhậnvéc-tơ #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(2;3;¡4)làmvéc-tơpháptuyến. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là 2xÅ3(y¡2)¡4(z¡1)Æ0,2xÅ3y¡4z¡2Æ0. Chọnđápán A ä Câu190. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d): x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 2 . Mặt phẳng (P) vuônggócvới (d)cóvéc-tơpháptuyếnlà A. #  n(1;2;3). B. #  n(2;¡1;2). C. #  n(1;4;1). D. #  n(2;1;2). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng (d)là #  u d Æ(2;¡1;2). Mặtphẳng (P)vuônggócvớiđườngthẳng (d)nêncóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ #  u d Æ(2;¡1;2). Vậyvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n(2;¡1;2). Chọnđápán B ä Câu191. TrongkhônggianOxyz,chođiểm I(1;¡2;3)vàmặtphẳng(P): 2x¡yÅ2z¡1Æ0.Mặt cầu (S)tâm I tiếpxúcvới (P)cóphươngtrìnhlà A. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. B. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ3. C. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ3. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ9. -Lờigiải. Từgiảthiếttacó d(I,(P))Æ j2Å2Å6¡1j 3 Æ3. Vậyphươngtrìnhmặtcầulà (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Chọnđápán A ä Câu192. TrongkhônggianvớihệtrụctoạđộOxyz,chobađiểm A(1;¡2;1),B(¡1;3;3),C(2;¡4;2). Mộtvéc-tơpháptuyến #  n củamặtphẳng (ABC)là A. #  nÆ(¡1;9;4). B. #  nÆ(9;4;¡1). C. #  nÆ(4;9;¡1). D. #  nÆ(9;4;1). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;5;2), #  ACÆ(1;¡2;1)) h #  AB, #  AC i Æ(9;4;¡1). Vậymộtvéc-tơpháptuyếncủacủa (ABC)là #  nÆ(9;4;¡1). Chọnđápán B ä Câu193. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;4;3),B(3;¡6;5).Viếtphương trìnhmặtphẳngtrungtrực (P)củađoạnthẳng AB. A. xÅ5y¡z¡11Æ0. B. xÅ5y¡zÅ11Æ0. C. x¡5yÅzÅ16Æ0. D. x¡5yÅz¡11Æ0. -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm M củađoạnthẳng AB là M(2;¡1;4). Tacó #  ABÆ(2;¡10;2),nênsuyramặtphẳngtrungtrực (P)củađoạnthẳng AB cóvéc-tơpháp Th.sNguyễnChínEm 291 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 tuyến #  nÆ(1;¡5;1). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 1¢(x¡2)¡5¢(yÅ1)Å1¢(y¡4)Æ0hay(P): x¡5yÅz¡11Æ0. Chọnđápán D ä Câu194. TrôngkhônggianOxyz,phươngtrìnhmặtphẳng(P)điqua A(0;¡1;4)vàsongsong vớigiácủahaivéc-tơ #  uÆ(3;2;1), #  v Æ(¡3;0;1)là A. x¡2yÅ3z¡14Æ0. B. x¡y¡zÅ3Æ0. C. x¡3yÅ3z¡15Æ0. D. x¡3yÅ3z¡9Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến là £ #  u; #  v ¤ Æ (2;¡6;6). Hay (P) có véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ(1;¡3;3). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 1¢(x¡0)¡3¢(yÅ1)Å3¢(z¡4)Æ0hay(P): x¡3yÅ3z¡15Æ0. Chọnđápán C ä Câu195. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(3;¡2;4) và tiếp xúcvới (P): 2x¡yÅ2zÅ4Æ0là A. (xÅ3) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ 400 9 . B. (xÅ3) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ 20 3 . C. (x¡3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ 400 9 . D. (x¡3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ 20 3 . -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầutâm I(3;¡2;4)vàtiếpxúcvới (P): 2x¡yÅ2zÅ4Æ0là RÆd[I;(P)]Æ j2¢(3)¡(¡2)Å2¢(4)Å4j p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ 20 3 . Phươngtrìnhmặtcầutâm I vàtiếpxúcvới (P)là (x¡3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ 400 9 . Chọnđápán C ä Câu196. Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(¡2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;¡3). Mặt phẳng (P) vuônggócvớimặtphẳngnàotrongcácmặtphẳngsau? A. xÅyÅzÅ1Æ0. B. x¡2y¡z¡3Æ0. C. 2xÅ2y¡z¡1Æ0. D. 3x¡2yÅ2zÅ6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P): x ¡2 Å y 3 Å z ¡3 Æ1hay (P): 3x¡2yÅ2zÅ6Æ0cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(3;¡2;2). Tacó 3¢2¡2¢2¡2¢1Æ0nên (P)vuônggócvớimặtphẳng 2xÅ2y¡z¡1Æ0. Chọnđápán C ä Câu197. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2;¡5), B(¡4;0;7).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tại A. A. (P): 5xÅy¡6zÅ62Æ0. B. (P): 5xÅy¡6z¡62Æ0. C. (P): 5x¡y¡6z¡62Æ0. D. (P): 5xÅyÅ6zÅ62Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(10;2;¡12). Khiđómặtphẳng (P)điqua A(6;2;¡5),nhận #  nÆ(5;1;¡6)làmvéc-tơpháptuyến. )(P): 5(x¡6)Åy¡2¡6(zÅ5)Æ0hay (P): 5xÅy¡6z¡62Æ0. Chọnđápán B ä Câu198. Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): xÅyÅ2z¡1Æ0 và (Q): xÅyÅ2zÅ3Æ0bằng A. 2 3 . B. 2 p 3 3 . C. 2 p 6 3 . D. p 6 6 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 292 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tathấy (P)và (Q)làhaimặtphẳngsongsong.Tachọn M(1;0;0)2(P). Khiđó d((P),(Q))Æd(M,(Q)).Tathấy d(M,(Q))Æ j1Å0Å2¢0Å3j p 1Å1Å4 Æ 4 p 6 Æ 2 p 6 3 . Chọnđápán C ä Câu199. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(1;¡1;5),B(3;3;1).Tìmtấtcảcácgiátrịcủa thamsố msaochomặtcầuđườngkính ABtiếpxúcvớimặtphẳng (P): xÅ2yÅmz¡1Æ0. A. mÆ2. B. mÆ¡2. C. mÆ¡3. D. mƧ2. -Lờigiải. Tọa độ trung điểm I của AB là I(2;1;3) nên mặt cầu đường kính AB có tâm I(2;1;3) và bán kính RÆIAÆ3. Đểmặtcầuđườngkính AB tiếpxúcvớimặtphẳng (P)thìtacó d(I,(P))ÆR , j2Å2Å3m¡1j p 1 2 Å2 2 Åm 2 Æ3 , j3mÅ3jÆ3 p 5Åm 2 , (mÅ1) 2 Æ5Åm 2 ,mÆ2. Chọnđápán A ä Câu200. Trongkhônggian Oxyz,mặtphẳngsongsongvớimặtphẳng (Oxz)vàđiquađiểm A(1;2;3)cóphươngtrìnhlà A. yÆ2. B. zÆ3. C. xÆ1. D. xÅ2yÅ3zÆ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngsongsongvới (Oxz)vàđiquađiểm A(a;b;c)códạng yÆb. Vậyđápánlà yÆ2. Chọnđápán A ä Câu201. Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x¡2yÅ3z¡5Æ0 và (Q): x¡2yÅ3zÅ2Æ0bằng A. p 14 2 . B. p 7 2 . C. 7. D. 7 2 . -Lờigiải. Lấyđiểm A(0;¡1;1)2(P). Tacó (P)Ò(Q)nên d[(P),(Q)]Æd[A,(Q)]Æ jx A ¡2y A Å3z A Å2j p 1 2 Å(¡2) 2 Å3 2 Æ p 14 2 . Chọnđápán A ä Câu202. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(2;¡1;2) và song song với mặt phẳng (P): 2x¡yÅ3zÅ2Æ0cóphươngtrìnhlà A. 2x¡yÅ3z¡9Æ0. B. 2x¡yÅ3zÅ11Æ0. C. 2x¡y¡3zÅ11Æ0. D. 2x¡yÅ3z¡11Æ0. -Lờigiải. Gọimặtphẳng(Q)songsongvớimặtphẳng(P),mặtphẳng(Q)códạng2x¡yÅ3zÅDÆ0(D6Æ2). A(2;¡1;2)2(Q))DÆ¡11. Vậymặtphẳngcầntìmlà 2x¡yÅ3z¡11Æ0. Chọnđápán D ä Câu203. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(¡1;1;1), B(2;1;0), C(1;¡1;2). Mặt phẳng đi qua A vàvuônggócvớiđườngthẳng BC cóphươngtrìnhlà A. xÅ2y¡2zÅ1Æ0. B. xÅ2y¡2z¡1Æ0. C. 3xÅ2z¡1Æ0. D. 3xÅ2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  BCÆ(¡1;¡2;2)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)cầntìm. ) #  nÆ¡ #  BCÆ(1;2;¡2)cũnglàmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là 1(xÅ1)Å2(y¡1)¡2(z¡1),xÅ2y¡2zÅ1Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 293 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu204. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;¡4;2) và B(1;2;4). Mặt phẳng đi qua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. 2x¡3y¡zÅ8Æ0. B. 3x¡yÅ3z¡13Æ0. C. 2x¡3y¡z¡20Æ0. D. 3x¡yÅ3z¡25Æ0. -Lờigiải. Có #  ABÆ(¡4;6;2). Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB là ¡4(x¡5)Å6(yÅ4)Å2(z¡2)Æ0,2x¡3y¡z¡20Æ0. Chọnđápán C ä Câu205. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;5;2). Phương trình nào dưới đây là phương trìnhcủamặtphẳngđiquacácđiểmlàhìnhchiếucủađiểm Atrêncácmặtphẳngtọađộ? A. 10xÅ6yÅ15z¡90Æ0. B. 10xÅ6yÅ15z¡60Æ0. C. 3xÅ5yÅ2z¡60Æ0. D. x 3 Å y 5 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Gọi M, N, P lầnlượtlàhìnhchiếucủađiểm A lêncácmặtphẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz).Khiđó, tacó M(3;5;0), N(0;5;2),P(3;0;2).Phươngtrìnhmặtphẳng(MNP)làphươngtrìnhmặtphẳng cầntìm. Ta thấy #  MNÆ(¡3;0;2), #  MPÆ(0;¡5;2)) h #  MN, #  MP i Æ(10;6;15) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP). Phươngtrìnhmặtphẳng (MNP)códạng 10(x¡3)Å6(y¡5)Å15zÆ0,10xÅ6yÅ15z¡60Æ0. Chọnđápán B ä Câu206. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳng điquađiểm M(2;3;¡1)vàcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;¡2;5)? A. 2x¡2yÅ5zÅ15Æ0. B. 2x¡2yÅ5zÅ7Æ0. C. 2xÅ3y¡zÅ7Æ0. D. 2xÅ3y¡zÅ15Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhtổngquátcủamặtphẳnglà 2(x¡2)¡2(y¡3)Å5(zÅ1)Æ0,2x¡2yÅ5zÅ7Æ0. Chọnđápán B ä Câu207. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;0;4) và B(3;4;2). Phương trình nào dưới đâylàphươngtrìnhcủamặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB? A. 4xÅ2yÅ3z¡11Æ0. B. x¡2yÅz¡11Æ0. C. 4xÅ2yÅ3z¡3Æ0. D. x¡2yÅz¡3Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạn ABđiquatrungđiểm M(4;2;3)của ABvànhận #  ABÆ(¡2;4;¡2)làmvéc-tơpháptuyến.Phươngtrìnhtổngquátcủamặtphẳngtrungtrựcđoạn thẳng AB là¡2(x¡4)Å4(y¡2)¡2(z¡3)Æ0,¡2xÅ8Å4y¡8¡2zÅ6Æ0,x¡2yÅz¡3Æ0. Chọnđápán D ä Câu208. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;0;3) và C(0;5;0). Phương trình nàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳng (ABC)? A. x 2 Å y 5 Å z 3 Æ¡1. B. x 2 Å y 5 Å z 3 Æ1. C. x 2 Å y 3 Å z 5 Æ1. D. x 2 Å y 3 Å z 5 Æ0. -Lờigiải. Vì ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên Ox ,Oz, Oy nên mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chắn 3 trụctọađộ.Tacóphươngtrìnhtổngquátcủamặtphẳng (ABC)là x 2 Å y 5 Å z 3 Æ1. Chọnđápán B ä Câu209. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3), B(3;5;4) và C(3;0;5). Phương trình nàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)? A. xÅ2yÅ3zÅ13Æ0. B. 4xÅy¡5zÅ13Æ0. C. 4x¡yÅ5zÅ13Æ0. D. 4x¡y¡5zÅ13Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;3;1); #  ACÆ(2;¡2;2). Mặtphẳng(ABC)nhận h #  AB, #  AC i Æ(8;¡2;¡10)làmvéc-tơpháptuyến.Phươngtrìnhtổngquát củamặtphẳng (ABC)là 8(x¡1)¡2(y¡2)¡10(z¡3)Æ0,4x¡y¡5zÅ13Æ0. Th.sNguyễnChínEm 294 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu210. Cho 3 điểm A(2;1;¡1), B(¡1;0;4), C(0;¡2;¡1). Phương trình nào sau đây là phương trìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới BC? A. x¡2y¡5zÆ0. B. x¡2y¡5z¡5Æ0. C. x¡2y¡5zÅ5Æ0. D. 2x¡yÅ5z¡5Æ0. -Lờigiải. Ta có #  BCÆ(1;¡2;¡5). Phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với BC nhận #  BC làm véc-tơ pháptuyếnnêncóphươngtrình 1(x¡2)¡2(y¡1)¡5(zÅ1)Æ0hay x¡2y¡5z¡5Æ0. Chọnđápán B ä Câu211. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(1;2;3).Gọi A,B,Clầnlượtlàhình chiếucủa M trêncáctrụcOx,Oy,Oz.Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. B. xÅ2yÅ3z¡6Æ0. C. 6xÅ3yÅ2zÅ6Æ0. D. 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Ta có các điểm A,B,C có tọa độ: A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Áp dụng công thức về phương trìnhmặtphẳngchắn,tacóphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)códạng x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1hay 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. Chọnđápán D ä Câu212. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,gọi(®)làmặtphẳngđiquahaiđiểm A(3;¡1;0), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng Oyz. Điểm nào trong các điểm sau thuộc mặt phẳng (®)? A. M(1;2;¡2). B. N(2;¡1;4). C. P(¡3;2;¡1). D. Q(5;3;2). -Lờigiải. Mặt phẳng (®) nhận ½ #  n Oyz Æ(1;0;0) #  ABÆ(¡1;2;1) làm cặp véc-tơ chỉ phương nên có véc-tơ pháp tuyến là #  n (®) Æ(0;¡1;2). Mặtkhác A(3;¡1;0)2(®)nêntacóphươngtrìnhmặtphẳng (®)là ¡(yÅ1)Å2zÆ0,¡yÅ2z¡1Æ0. Thay tọa độ các điểm trong đáp án vào phương trình trên ta thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn. Chọnđápán D ä Câu213. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtphẳng(®)điquađiểm M(0;0;¡1)vàsong songvớigiácủahaivéc-tơ #  aÆ(1;¡2;3), #  b Æ(3;0;5).Phươngtrìnhcủamặtphẳng (®)là A. (®): 5x¡2y¡3z¡21Æ0. B. (®): ¡5xÅ2yÅ3zÅ3Æ0. C. (®): 5x¡2y¡3zÅ21Æ0. D. (®): 10x¡4y¡6zÅ21Æ0. -Lờigiải. Gọi #  n làvéc-tơpháptuyếncủa (P).Vì (P)songsongvớigiácủahaivéc-tơ #  a và #  b nên #  n? #  a và #  n? #  b.Suyra #  n cócùnggiávớitíchcóhướngcủa #  a và #  b. Có h #  a, #  b i Æ(¡10;4;6).Chọn #  nÆ(¡5;2;3). Phương trình mặt phẳng (®) đi qua M(0;0;¡1), nhận #  n làm véc-tơ pháp tuyến là (®): ¡5xÅ2yÅ3zÅ3Æ0. Chọnđápán B ä Câu214. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 2 và điểm A(¡2;1;0).Viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàchứa d. A. x¡7y¡4zÅ8Æ0. B. x¡y¡4zÅ3Æ0. C. x¡7y¡4zÅ9Æ0. D. x¡yÅ2zÅ3Æ0. -Lờigiải. Chọnđiểm B(2;1;1)2d,suyra #  ABÆ(4,0,1). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳngcầntìmlà #  nÆ h #  AB, #  u d i Æ(1;¡7;¡4). Phươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà (xÅ2)¡7(y¡1)¡4zÆ0,x¡7y¡4zÅ9Æ0. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 295 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu215. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;¡2;0) và C(0;0;3). Mặt phẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y 1 Å z 3 Æ1. B. x 1 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. C. x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. -Lờigiải. Ápdụngcôngthứcmặtphẳngtheođoạnchắn,tacó (ABC): x 1 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. Chọnđápán C ä Câu216. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(3;¡1;1).Hìnhchiếuvuônggóccủa A trênmặt phẳng (Oxy)làđiểm A. M(3;0;0). B. P(0;¡1;0). C. Q(0;0;1). D. N(3;¡1;0). -Lờigiải. Hìnhchiếucủa A(3;¡1;1)trênmặtphẳng (Oxy)cótọađộlà (3;¡1;0). Chọnđápán D ä Câu217. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡1;2;1) và B(2;1;0). Mặt phẳng qua B và vuônggócvới AB cóphươngtrìnhlà A. xÅ3yÅz¡5Æ0. B. 3x¡y¡zÅ6Æ0. C. xÅ3yÅz¡6Æ0. D. 3x¡y¡z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡1;¡1).Mặtphẳngđiqua B vàvuônggócvới AB cóphươngtrình 3(x¡2)¡(y¡1)¡(z¡0)Æ0,3x¡y¡z¡5Æ0. Chọnđápán D ä Câu218. Trongkhônggian vớihệtọađộ Oxyz,choba điểm A(0;6;0),B(0;0;¡2)và C(¡3;0;0). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. ¡2xÅy¡3zÅ6Æ0. B. x 6 Å y ¡2 Å z ¡3 Æ1. C. 2x¡yÅ3zÅ6Æ0. D. x 3 Å y ¡6 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Ápdụngcôngthứcphươngtrìnhmặtphẳngchắn,tađượcphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x ¡3 Å y 6 Å z ¡2 Æ1,2x¡yÅ3zÅ6Æ0. Chọnđápán C ä Câu219. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;1;¡1),B(¡1;0;4),C(0;¡2;¡1). Phươngtrìnhnàosauđâylàphươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng BC? A. x¡2y¡5zÆ0. B. x¡2y¡5z¡5Æ0. C. x¡2y¡5zÅ5Æ0. D. 2x¡yÅ5z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  BCÆ(1;¡2;¡5).Mặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới BC nênnhận #  BC làmvéc-tơpháp tuyến.Phươngtrìnhmặtphẳnglà 1(x¡2)¡2(y¡1)¡5(zÅ1)Æ0,x¡2y¡5z¡5Æ0. Chọnđápán B ä Câu220. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;2;3),B(3;4;4).Tìmtấtcảcácgiá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2xÅyÅmz¡1Æ0 bằng độ dàiđoạnthẳng AB. A. mÆ2. B. mÆ¡2. C. mÆ¡3. D. mƧ2. -Lờigiải. Có #  ABÆ(2;2;1))ABÆ3. d(A,(P))Æ j3mÅ3j p m 2 Å5 . d(A,(P))ÆAB, j3mÅ3j p m 2 Å5 Æ3,jmÅ1jÆ p m 2 Å5,m 2 Å2mÅ1Æm 2 Å5,mÆ2. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 296 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu221. Trong không gian Oxyz, cho điểm B(4;2;¡3) và mặt phẳng (Q):¡2xÅ4yÅz¡7Æ0. Gọi B 0 làđiểmđốixứngvới B quamặtphẳng (Q).Tínhkhoảngcáchtừ B 0 đến (Q). A. 10 p 21 21 . B. 6 p 13 13 . C. 10 p 13 13 . D. 2 p 21 7 . -Lờigiải. Dotínhchấtđốixứngnên d(B,(Q))Æd ¡ B 0 ,(Q) ¢ Æ j¡2¢4Å4¢2¡3¡7j p 21 Æ 10 p 21 21 . Chọnđápán A ä Câu222. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(2;1;3).Mặtphẳng(P)điqua A và songsongvớimặtphẳng (Q):xÅ2yÅ3zÅ2Æ0cóphươngtrìnhlà A. xÅ2yÅ3zÅ5Æ0. B. xÅ2yÅ3zÅ13Æ0. C. xÅ2yÅ3z¡13Æ0. D. xÅ2yÅ3z¡9Æ0. -Lờigiải. (P)Ò(Q)) #  n (P) Æ(1;2;3).Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là (P): x¡2Å2(y¡1)Å3(z¡3)Æ0,xÅ2yÅ3z¡13Æ0. Chọnđápán C ä Câu223. TrongkhônggiantọađộOxyz,mặtphẳngchứatrụcOycóphươngtrìnhdạng A. yÆ0. B. ayÅbzÆ0 (a 2 Åb 2 6Æ0). C. axÅbzÆ0 (a 2 Åb 2 6Æ0). D. axÅbyÆ0 (a 2 Åb 2 6Æ0). -Lờigiải. ĐườngthẳngOycóvéc-tơchỉphương #  j Æ(0;1;0). Gọivéc-tơpháptuyếncủamặtphẳngchứatrụcOylà #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0). Tacó #  n¢ #  j Æ0,bÆ0.Vậy #  nÆ(a;0;c). Chọnđápán C ä Câu224. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡ 11Æ0cắtmặtphẳng(P): 2xÅ2y¡z¡4Æ0theogiaotuyếnlàmộtđườngtròn(C).Tínhthểtích khốinóntrònxoaycóđỉnhlàtâmmặtcầu (S),đáylàđườngtròn (C). A. VÆ 80¼ 3 . B. VÆ16¼. C. VÆ75¼. D. VÆ25¼. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;3)bánkính RÆ5. Gọi A2(S)\(P)suyra IAÆ5, K làhìnhchiếucủa I trên (P). Khốinóncóchiềucao IKÆd(I,(P))Æ j2¢1Å2¢(¡2)¡3¡4j p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ3. Khốinóncóbánkính rÆ p IA 2 ¡IK 2 Æ4. VậyV nón Æ 1 3 ¼¢KA 2 ¢IKÆ 1 3 ¼¢4 2 ¢3Æ16¼. I K A B Chọnđápán B ä Câu225. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chođườngthẳng d: ( xÆ2Å2t yÆ1Åt zÆ4¡t .Mặtphẳngđi qua A(2;¡1;1)vàvuônggócvới d cóphươngtrìnhlà A. 2xÅy¡z¡2Æ0. B. xÅ3y¡2z¡3Æ0. C. x¡3y¡2zÅ3Æ0. D. xÅ3y¡2z¡5Æ0. -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngqua A(2;¡1;1)vàvuônggócvớiđườngthẳng d. Tacóvéc-tơpháptuyến #  n P Ævéc-tơchỉphương #  u d Æ(2;1;¡1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là: 2(x¡2)Å(yÅ1)¡(z¡1)Æ0,2xÅy¡z¡2Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 297 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu226. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡2;2;4) và B(2;¡4;2). Mặt phẳngtrungtrựccủa AB cóphươngtrìnhlà A. 2x¡3y¡zÆ0. B. x 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡3 ¡1 . C. 2x¡3y¡z¡6Æ0. D. 2x¡3y¡z¡14Æ0. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngtrungtrựccủa AB. Khi đó, (®) đi qua trung điểm I(0;¡1;3) của đoạn thẳng AB và có vec-tơ pháp tuyến #  ABÆ(4;¡6;¡2). Tacó (®): 4(x¡0)¡6(yÅ1)¡2(z¡3)Æ0 ) (®): 2x¡3y¡zÆ0. Chọnđápán A ä Câu227. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Mặt phẳng (ABCD) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt lại M(1;0;0), N(0;1;0), P(0;0;¡2). Mặt phẳng (A 0 B 0 C 0 D 0 ) cắt trục Oz tại điểm Q(0;0;10). Thể tích V của khối lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là A. 16. B. 32. C. 8. D. 64. -Lờigiải. Mặt phẳng (ABCD) đi qua M,N,P nên (ABCD) có phương trình là x 1 Å y 1 Å z ¡2 Æ1,2xÅ 2y¡z¡2Æ0. Độdàimộtcạnhcủahìnhlậpphươnglà d(Q,(ABCD))Æ j2¢0Å2¢0¡(10)¡2j p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ4. ThểtíchV cầntìmlàVÆ4 3 Æ64. Chọnđápán D ä Câu228. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(1;¡2;3)vàđiểmB(¡5;4;1).Mặtphẳng(®)chứa AB vàsongsongvớitrụcOz cóphươngtrìnhlà A. x¡2yÅ3zÅ10Æ0. B. x¡2yÅ3zÅ1Æ0. C. ¡5xÅ4yÅzÅ6Æ0. D. xÅyÅ1Æ0. -Lờigiải. TrụcOz cóvéc-tơđơnvịlà #  k Æ(0;0;1). Tacó #  ABÆ(¡6;6;¡2).Mặtphẳng(®)chứa ABvàsongsongvớitrụcOzcóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ h #  AB, #  k i Æ(6;6;0)nêncóphươngtrình 6(x¡1)Å6(yÅ2)Æ0,xÅyÅ1Æ0. Chọnđápán D ä Câu229. Cho #  aÆ(1;2;¡1), #  b Æ(¡2;¡1;3).Tính #  a^ #  b. A. #  a^ #  b Æ(¡5;1;¡3). B. #  a^ #  b Æ(5;1;3). C. #  a^ #  b Æ(¡5;¡1;¡3). D. #  a^ #  b Æ(5;¡1;3). -Lờigiải. Tacó #  a^ #  b Æ(5;¡1;3). Chọnđápán D ä Câu230. Tínhgócgiữahaimặtphẳng (P): xÅy¡1Æ0và (Q): x¡zÅ2Æ0. A. 45 ± . B. 30 ± . C. 90 ± . D. 60 ± . -Lờigiải. Lấy #  n 1 Æ(1;1;0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). #  n 2 Æ(1;0;¡1)làvéc-tơpháptuyếncủa (Q). Th.sNguyễnChínEm 298 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 cos((P);(Q))Æ ¯ ¯ #  n 1 ¢ #  n 2 ¯ ¯ ¯ ¯ #  n 1 ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n 2 ¯ ¯ Æ 1 p 2¢ p 2 Æ 1 2 )((P);(Q))Æ60 ± . Chọnđápán D ä Câu231. Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC. A. (P): 6xÅ3yÅ2zÅ18Æ0. B. (P): 6xÅ3yÅ2zÅ6Æ0. C. (P): 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. D. (P): 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Gọi 8 < : A(x;0;0)2Ox B(0;y;0)2Oy C(0;0;z)2Oz .Vì M(1;2;3)làtrọngtâm¢ABC) ( xÆ3 yÆ6 zÆ9 . Suyra ( #  ABÆ(¡3;6;0) #  ACÆ(¡3;0;9) ) h #  AB, #  AC i Æ(54;27;18)Æ9(6;3;2). Phươngtrình (P): ½ #  n ( P)Æ(6;3;2) qua M(1;2;3) códạng 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. Chọnđápán C ä Câu232. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi a,b,c lần lượt là khoảng cách từ điểm M(1;3;2)đếnbamặtphẳngtọađộ (Oxy),(Oyz),(Oxz).Tính PÆaÅb 2 Åc 3 . A. PÆ32. B. PÆ18. C. PÆ30. D. PÆ12. -Lờigiải. Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : aÆd(M;(Oxy))Æ j2j 1 Æ2 bÆd(M;(Oyz))Æ j1j 1 Æ1 cÆd(M;(Oxz))Æ j3j 1 Æ3 )PÆ2Å1 1 Å3 3 Æ30. Chọnđápán C ä Câu233. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, các điểm nào sau đây cùng thuộc một mặtphẳng? A. A(0;2;¡1),B(1;0;0),C(1;1;¡1),D(1;1;1). B. I(0;0;1),K(1;1;5),L(1;0;2),M(5;3;4). C. N(¡1;5;¡8),P(1;1;0),Q(0;1;¡2),R(5;3;6). D. E(3;0;1),F(0;2;1),G(3;2;0),H(¡1;¡1;1). -Lờigiải. Tacó #  NPÆ(2;¡4;8), #  NQÆ(1;¡4;6)và #  NRÆ(6;¡2;14). h #  NP, #  NQ i Æ(8;¡4;¡4).Suyra h #  NP, #  NQ i ¢ #  NRÆ0.Vậy N,P,Q,R thuộccùngmộtmặtphẳng. Chọnđápán C ä Câu234. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaimặtphẳng (P): xÅ(mÅ1)y¡2zÅ mÆ0 và (Q): 2x¡yÅ3Æ0 (với m là tham số thực). Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông gócvớinhau. A. mÆ1. B. mÆ¡1. C. mÆ3. D. mÆ¡5. -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(P)là #  n P Æ(1;mÅ1;¡2)vàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q)là #  n Q Æ(2;¡1;0).Để (P)?(Q)thì #  n P ¢ #  n Q Æ0,2¡m¡1Æ0,mÆ1. Chọnđápán A ä Câu235. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(3;0;0), N(0;1;0) và P(0;0;¡2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 3 Å y 1 Å z ¡2 ¡1Æ0. B. x 3 Å y 1 Å z ¡2 Æ0. C. x 3 Å y 1 Å z 2 ¡1Æ0. D. x 3 Å y 1 Å z ¡2 Å1Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 299 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Cáclựachọncódạngphươngtrìnhcủamặtphẳngtheođoạnchắn. Phươngtrìnhcủamặtphẳng (MNP)theođoạnchắnlà x 3 Å y 1 Å z ¡2 Æ1, x 3 Å y 1 Å z ¡2 ¡1Æ0. Chọnđápán A ä Câu236. Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I(1;5;2)vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P): 2xÅyÅ3zÅ1Æ0. A. (S): (x¡1) 2 Å(y¡5) 2 Å(z¡2) 2 Æ14. B. (S): (x¡1) 2 Å(y¡5) 2 Å(z¡2) 2 Æ10. C. (S): (x¡1) 2 Å(y¡5) 2 Å(z¡2) 2 Æ16. D. (S): (x¡1) 2 Å(y¡5) 2 Å(z¡2) 2 Æ12. -Lờigiải. Tacó d(I,(P))Æ j2¢1Å5Å3¢2Å1j p 2 2 Å1 2 Å3 2 Æ p 14làbánkínhcủa (S). Mặtcầu (S)cótâm I(1;5;2)bánkính p 14 )(S): (x¡1) 2 Å(y¡5) 2 Å(z¡2) 2 Æ14. Chọnđápán A ä Câu237. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅ2y¡z¡3Æ0 và mặt cầu(S)cóphươngtrình(x¡5) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ9.Mặtphẳng(P)tiếpxúcvớimặtcầu(S)tại điểm M(a;b;c).Khiđó aÅbÅc bằng A. 6. B. ¡6. C. ¡9. D. 12. -Lờigiải. (S)cótâm I(5;2;2)bánkính RÆ3. Gọi d làđườngthẳngđiqua I vàvuônggócvới (P))d: ( xÆ5Å2t yÆ2Å2t zÆ2¡t ,t2R. Tọađộ M làgiaođiểmcủa d vàmặtphẳng (P).Khiđótacó n M2d M2(P) , 8 < : aÆ5Å2t bÆ2Å2t cÆ2¡t 2aÅ2b¡c¡3Æ0 , 8 < : aÆ5Å2t bÆ2Å2t cÆ2¡t 9tÅ9Æ0 , 8 < : aÆ3 bÆ0 cÆ3 tÆ¡1. Vậy aÅbÅcÆ6. Chọnđápán A ä Câu238. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyzchohaiđiểm A(1;2;3)vàB(3;¡4;¡1).Mặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. xÅ3yÅz¡6Æ0. B. xÅ3yÅz¡5Æ0. C. x¡3y¡2z¡3Æ0. D. 2x¡6y¡4zÅ7Æ0. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB,tacó I(2;¡1;1). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I(2;¡1;1) và nhận #  IAÆ(¡1;3;2) làm véc-tơpháptuyếnnêncóphươngtrìnhlà 1(x¡2)¡3(yÅ1)¡2(z¡1)Æ0,x¡3y¡2z¡3Æ0. Chọnđápán C ä Câu239. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3). Phương trình mặt phẳng (®)điquahìnhchiếucủa A trêncáctrụctọađộlà A. x 1 Æ y 2 Æ z 3 Æ0. B. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. C. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 1 Æ1. -Lờigiải. Gọi M, N, P lầnlượtlàhìnhchiếucủađiểm A(1;2;3)trêncáctrục Ox, Oy, Oz,tacó M(1;0;0), N(0;2;0), P(0;0;3). Phươngtrìnhmặtphẳng (®)điquabađiểm M(1;0;0), N(0;2;0), P(0;0;3)là x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 300 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu240. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(0;¡2;¡1), B(1;0;5), C(1;¡1;3), D(5;0;4). Viết phươngtrìnhmặtcầutâm D tiếpxúcvớimặtphẳng (ABC). A. (x¡5) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ7. B. (x¡5) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ9. C. (xÅ5) 2 Åy 2 Å(zÅ4) 2 Æ9. D. (x¡5) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ3. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;6), #  ACÆ(1;1;4), h #  AB, #  AB i Æ(2;2;¡1). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là 2¢(x¡0)Å2¢(yÅ2)¡1¢(zÅ1)Æ0,2xÅ2y¡zÅ3Æ0. Bánkínhcầutâm D tiếpxúcvớimặtphẳng (ABC)là RÆd(D,(ABC))Æ j2¢5Å2¢0¡4Å3j p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ3. Phươngtrìnhmặtcầutâm D tiếpxúcvớimặtphẳng (ABC)là (x¡5) 2 Åy 2 Å(z¡4) 2 Æ9. Chọnđápán B ä Câu241. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡5) 2 Æ9.Phươngtrình nàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tạiđiểm A(2;¡4;3)? A. x¡6yÅ8z¡50Æ0. B. x¡2y¡2z¡4Æ0. C. x¡2y¡2zÅ4Æ0. D. 3x¡6yÅ8z¡54Æ0. -Lờigiải. Từphươngtrìnhmặtcầu (S)suyratọađộtâm I(1;¡2;5). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A(2;¡4;3)vàcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ #  IAÆ(1;¡2;¡2)là 1(x¡2)¡2(yÅ4)¡2(z¡3)Æ0hay x¡2y¡2z¡4Æ0. Chọnđápán B ä Câu242. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(¡1;2;¡3).GọiB,C,D lầnlượtlàhìnhchiếucủa A trêncáctrụcOx,Oy,Oz.Mặtphẳng (BCD)cóphươngtrìnhlà A. x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ0. B. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. C. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. D. x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. -Lờigiải. Tacó B(¡1;0;0),C(0;2;0),D(0;0;¡3). Phươngtrìnhmặtphẳng (BCD): x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. Chọnđápán D ä Câu243. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm A(0;0;2),B(1;0;0),C(0;3;0) có phươngtrìnhlà A. x 2 Å y 1 Å z 3 Æ¡1. B. x 1 Å y 3 Å z 2 Æ1. C. x 2 Å y 1 Å z 3 Æ1. D. x 1 Å y 3 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngcầntìm.Theogiảthiết, (P)lầnlượtcắtcáctrục Ox,Oy,Oz tạicácđiểm B,C,A nêntheocôngthứcphươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắn, (P)cóphươngtrình (P): x 1 Å y 3 Å z 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu244. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm G(1;2;3). Mặt phẳng (®) đi qua G, cắt Ox, Oy, Oz tại A,B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (®) là A. 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. B. 2xÅ3yÅ6z¡18Æ0. C. 6xÅ3yÅ3z¡18Æ0. D. 3xÅ2yÅ6z¡18Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 301 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Giảsử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c). VìG làtrọngtâmtamgiác ABC nêntacó 8 > > > > > < > > > > > : a 3 Æ1 b 3 Æ2 c 3 Æ3 , ( aÆ3 bÆ6 cÆ9. Suyraphươngtrìnhmặtphẳng (®)là x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. Chọnđápán A ä Câu245. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (®) đi qua điểm M(2;¡1;0) và vuông góc với đườngthẳng d: xÅ3 ¡2 Æ y¡1 3 Æ z ¡1 cóphươngtrìnhlà A. 6x¡5y¡zÅ3Æ0. B. 2x¡3yÅz¡7Æ0. C. 6x¡5y¡2zÅ11Æ0. D. 6xÅ5y¡zÅ3Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (®) vuông góc với đường thẳng d: xÅ3 ¡2 Æ y¡1 3 Æ z ¡1 nên (®) nhận #  u Æ(2;¡3;1) là véc-tơpháptuyến.Phươngtrình (®)là: 2x¡3yÅz¡7Æ0. Chọnđápán B ä Câu246. Chohàmsố yÆx 3 ¡3xcóđồthịnhưhìnhbên.Cóbaonhiêugiátrị nguyêncủa mđểphươngtrình x 3 ¡3x¡mÅ1Æ0có 3nghiệmphân biệt? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. O x y ¡1 2 ¡2 1 ¡2 2 -Lờigiải. Phươngtrìnhđãchotươngđương x 3 ¡3xÆm¡1 (1) Sốnghiệmcủaphươngtrình (1)chínhlàsốgiaođiểmcủađồthị (C)củahàmsố yÆx 3 ¡3xvà đườngthẳng¢: yÆm¡1. Dựavàođồthị (C),phươngtrìnhđãchocó 3nghiệmphânbiệtkhivàchỉkhi ¡2Çm¡1Ç2,¡1ÇmÇ3. Vậycó 3giátrịnguyêncủa mlà 0,1,2thỏamãnyêucầuđềbài. Chọnđápán B ä Câu247. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồthịhàmsố yÆ p xe x ,trụchoànhvàđườngthẳng xÆ1là A. ¼e 2 4 . B. ¼ 4 ¡ e 4 ¡1 ¢ . C. ¼ 4 ¡ e 2 Å1 ¢ . D. 1 4 ¡ e 2 Å1 ¢ . -Lờigiải. Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmgiữađồthịhàmsố yÆ p xe x vàtrụchoành yÆ0là p xe x Æ0, xÆ0. Khiđó,thểtíchkhốitrònxoay VƼ 1 Z 0 ¡p xe x ¢ 2 dxƼ 1 Z 0 xe 2x dxÆ ¼ 2 1 Z 0 xd(e 2x ) Æ ¼ 2 0 @ xe 2x ¯ ¯ ¯ 1 0 ¡ 1 Z 0 e 2x dx 1 A Æ ¼ 2 µ xe 2x ¡ e 2x 2 ¶ ¯ ¯ ¯ 1 0 Æ ¼ 4 ¡ e 2 Å1 ¢ . Th.sNguyễnChínEm 302 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu248. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;¡3)vàđiểmB(3;0;1).Viếtphươngtrình mặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB. A. 2xÅy¡z¡6Æ0. B. x¡yÅ2zÅ1Æ0. C. x¡yÅ2z¡5Æ0. D. 2xÅy¡zÅ1Æ0. -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB.Khiđó, (P)điquatrungđiểm I(2;1;¡1)của AB vànhận #  ABÆ(2;¡2;4)làmvéc-tơpháptuyến. Suyra, (P): x¡yÅ2zÅ1Æ0. Chọnđápán B ä Câu249. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Gọi A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy). Phương trình của mặt phẳng (A 1 A 2 A 3 )là A. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. B. x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1. C. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. D. x 2 Å y 4 Å z 6 Æ1. -Lờigiải. Tacó A 1 (0;2;3), A 2 (1;0;3), A 3 (1;2;0). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (A 1 A 2 A 3 )là #  nÆ h #  A 1 A 2 , #  A 1 A 3 i Æ(6;3;2). Phươngtrìnhmặtphẳng (A 1 A 2 A 3 )là 6xÅ3yÅ2z¡12Æ0, x 2 Å y 4 Å z 6 Æ1. Chọnđápán D ä Câu250. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡1;2;1),B(2;1;0). Mặt phẳng trungtrựccủađoạn AB cóphươngtrình A. 3x¡y¡zÅ1Æ0. B. xÅ3yÅz¡6Æ0. C. 6x¡2y¡2zÅ1Æ0. D. xÅ3yÅz¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡1;¡1).Trungđiểmcủa AB là I µ 1 2 ; 3 2 ; 1 2 ¶ . Mặtphẳngtrungtrựccủađoạn ABđiquađiểm I vàcóvéc-tơpháptuyếnlà #  ABnêncóphương trình 3 µ x¡ 1 2 ¶ ¡ µ y¡ 3 2 ¶ ¡ µ z¡ 1 2 ¶ Æ0 hay 6x¡2y¡2zÅ1Æ0. Chọnđápán C ä Câu251. Điểm M nào sau đây có khoảng cách đến mặt phẳng (P): 2x¡2y¡z¡9Æ0 bằng 2. A. M(1;1;¡1). B. M(1;¡1;1). C. M(¡1;1;1). D. M(1;1;1). -Lờigiải. Với M(1;¡1;1)tacó d(M,P)Æ j2¢1¡2¢(¡1)¡1¡9j p 4Å4Å1 Æ 6 3 Æ2. Chọnđápán B ä Câu252. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B(¡2;2;3). Phương trìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB? A. 3x¡y¡zÆ0. B. 3x¡y¡zÅ1Æ0. C. 3xÅyÅz¡6Æ0. D. 6x¡2y¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡6;2;2)và I(1;1;2)làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I và có véc-tơ pháp tuyến #  AB nêncóphươngtrìnhlà¡6(x¡1)Å2(y¡1)Å2(z¡2)Æ0,3x¡y¡zÆ0. Chọnđápán A ä Câu253. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;2;¡1) và N(0;¡2;5). Viết phươngtrìnhmặtphẳng (®)làmặttrungtrựccủađoạnthẳng MN. A. (®): xÅ2y¡3zÅ10Æ0. B. (®): xÅ2y¡3zÅ5Æ0. C. (®): 2xÅ2y¡zÅ9Æ0. D. (®): ¡2yÅ5zÅ9Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 303 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi I làtrungđiểmcủa MN.Khiđó, I(1;0;2). Mặtphẳng (®)điqua I vànhận #  MNÆ(¡2;¡4;6)làmvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà ¡2(x¡1)¡4(y¡0)Å6(z¡2)Æ0,xÅ2y¡3zÅ5Æ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®)là xÅ2y¡3zÅ5Æ0. Chọnđápán B ä Câu254. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm bán kính mặt cầu tâm I(4;2;¡2) và tiếpxúcvớimặtphẳng (®): 12x¡5z¡19Æ0. A. 3. B. 13. C. 39. D. 39 p 13 . -Lờigiải. RÆd(I,(®))Æ j12¢4¡5¢(¡2)¡19j p 12 2 Å(¡5) 2 Æ3. Chọnđápán A ä Câu255. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;¡1;1)và B(2;0;¡3).Tìmtấtcảcácgiátrị thựccủathamsố mđể 2điểm A vàBnằmvềcùngmộtphíasovớimặtphẳng xÅy¡3mzÅ5Æ 0. A. m2 µ ¡ 7 9 ; 5 3 ¶ . B. m2 µ ¡1;¡ 7 9 ¸ [ · 5 3 ;Å1 ¶ . C. m2 · ¡ 7 9 ; 5 3 ¸ . D. m2 µ ¡1;¡ 7 9 ¶ [ µ 5 3 ;Å1 ¶ . -Lờigiải. A,B nằmcùngmộtphíasovớimặtphẳng xÅy¡3mzÅ5Æ0khivàchỉkhi (1¡1¡3mÅ5)(2Å0Å9mÅ5)È0,(5¡3m)(7Å9m)È0,¡ 7 9 ÇmÇ 5 3 . Chọnđápán A ä Câu256. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;2;3), B(4;5;6), C(1;0;2) có phươngtrìnhlà A. x¡yÅ2z¡5Æ0. B. xÅ2y¡3zÅ4Æ0. C. 3x¡3yÅzÆ0. D. xÅy¡2zÅ3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;3;3), #  ACÆ(0;¡2;¡1). Mặtphẳng (ABC)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(3;3;¡6). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là 3(x¡1)Å3(y¡2)¡6(z¡3)Æ0,xÅy¡2zÅ3Æ0. Chọnđápán D ä Câu257. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(¡2;3;2)và B(2;1;0).Mặtphẳngtrungtrực của AB cóphươngtrìnhlà A. 4x¡2yÅ2z¡6Æ0. B. 2xÅyÅz¡3Æ0. C. 2x¡y¡zÅ3Æ0. D. 4x¡2y¡2zÅ3Æ0. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB)I(0;2;1). Gọi (P)làmặtphẳngtrungtrực AB)(P)điqua I vàcóvéc-tơpháptuyếnlà #  AIÆ(2;¡1;¡1). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2x¡y¡zÅ3Æ0. Chọnđápán C ä Câu258. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): xÅyÅzÆ0.Gọi d làgiaotuyếncủa (P) vớimặtphẳng (Oxy).Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d. A. ( xÆ0 yÆt zÆ¡t . B. ( xÆt yÆ¡t zÆ0 . C. ( xÆt yÆt zÆ¡2t . D. ( xÆt yÆ0 zÆ¡t . -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà zÆ0.Xéthệphươngtrình n xÅyÅzÆ0 zÆ0 . Dễ dàng thấy rằng (0;0;0) và (1;¡1;0) là các nghiệm của hệ. Từ đó suy ra hai mặt phẳng (P) và (Oxy)cóhaiđiểmchunglà O(0;0;0)và A(1;¡1;0).Vậyđườngthẳngđiquahaiđiểm O và A làgiaotuyếncủahaimặtphẳngcầntìm,cóphươngtrìnhlà Th.sNguyễnChínEm 304 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ( xÆt yÆ¡t zÆ0. Chọnđápán B ä Câu259. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;¡2;3), B(3;0;¡1). Mặt phẳng trung trực của đoạnthẳng AB cóphươngtrình A. x¡y¡2zÅ1Æ0. B. xÅy¡zÅ1Æ0. C. xÅy¡2zÅ7Æ0. D. xÅy¡2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. Tacó #  ABÆ(2;2;¡4)vàtọađộtrungđiểm I củađoạnthẳng AB là I(2;¡1;1). Mặtphẳng(P)điquađiểm I(2;¡1;1)vàcóvéc-tơpháptuyếnlà #  aÆ 1 2 #  ABÆ(1;1;¡2).Dođómặt phẳng (P)cóphươngtrìnhlà 1(x¡2)Å1(yÅ1)¡2(z¡1)Æ0hay xÅy¡2zÅ1Æ0. Chọnđápán D ä Câu260. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅyÅ2z¡1Æ0vàđường thẳng¢: xÅ1 2 Æ y ¡1 Æ z¡3 3 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm B(2;¡1;5) song song với (P)vàvuônggócvới¢là A. x¡2 5 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡5 ¡4 . B. xÅ2 5 Æ y¡1 ¡2 Æ zÅ5 ¡4 . C. x¡2 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡5 5 . D. x¡2 2 Æ yÅ1 1 Æ z¡5 5 . -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(2;1;2). Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  u ¢ Æ(2;¡1;3). Do n dÒ(P) d?¢ nênvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  u d Æ £ #  n, #  u ¢ ¤ Æ(5;¡2;¡4). Mà d điquađiểm B(2;¡1;5)nênphươngtrìnhđườngthẳng d là x¡2 5 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡5 ¡4 . Chọnđápán A ä Câu261. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm A(1;2;3)vàmặtphẳng (P): 2xÅyÅ z¡3Æ0.Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)điqua A vàsongsongvớimặtphẳng (P)là A. 2xÅyÅzÅ7Æ0. B. 2xÅyÅz¡7Æ0. C. 2xÅyÅzÆ0. D. xÅ2yÅ3z¡14Æ0. -Lờigiải. Vì (Q)Ò(P)nên (Q): 2xÅyÅzÅcÆ0. Vì (Q)điqua A(1;2;3)nêntacó 2¢1Å2Å3ÅcÆ0,cÆ¡7. Vậyphươngtrình (Q): 2xÅyÅz¡7Æ0. Chọnđápán B ä Câu262. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,đườngtròngiaotuyếncủamặtcầu (S): x 2 Å y 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6zÆ0vớimặtphẳng (Oxy)cóbánkínhlà A. p 5. B. 4. C. p 6. D. 2. -Lờigiải. Mặtcầucóbánkính RÆ p 1Å4Å9Æ p 14vàtâm I(1;2;3). Khoảngcáchtừtâm I củamặtcầuđếnmặtphẳng (Oxy)là dÆ3.Dođó,bánkínhđườngtròn giaotuyếnlà rÆ p R 2 ¡d 2 Æ p 5. Chọnđápán A ä Câu263. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(3;4;¡2), C(0;1;¡1). Vectơpháptuyếncủamặtphẳng (ABC)là A. #  n(¡1;¡1;1). B. #  n(1;2;¡1). C. #  n(¡1;1;0). D. #  n(¡1;1;¡1). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;2;¡1)và #  ACÆ(¡1;¡1;0).Suyra #  n (ABC) Æ[ #  AB, #  AC]Æ(¡1;1;0). Chọnđápán C ä Câu264. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). (abc6Æ0).Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là Th.sNguyễnChínEm 305 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. x a Å y b Å z c Æ1. B. x b Å y a Å z c Æ1. C. x a Å y c Å z b Æ1. D. x c Å y b Å z a Æ1. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắn. Chọnđápán A ä Câu265. Tìmm,nđểmặtphẳng(P): xÅmyÅ3zÅ2Æ0songsongmặtphẳng(Q): nxÅyÅzÅ7Æ 0. A. mÆ3,nÆ 1 2 . B. mÆ2,nÆ 1 3 . C. mÆnÆ1. D. mÆ3,nÆ 1 3 . -Lờigiải. Vì 26Æ7nên (P)Ò(Q)khi 1 n Æ m 1 Æ 3 1 , ( mÆ3 nÆ 1 3 . Chọnđápán D ä Câu266. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3),B(3;4;7). Phương trình mặt phẳng trungtrựccủa AB làphươngtrìnhnàodướiđây? A. xÅyÅ2z¡9Æ0. B. xÅyÅ2zÅ9Æ0. C. xÅyÅ2zÆ0. D. xÅyÅ2z¡15Æ0. -Lờigiải. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là (2;3;5). Mặt phẳng trung trực của AB đi qua M, nhận #  AB(2;2;4)làvéc-tơpháptuyếnnêncóphươngtrình 2(x¡2)Å2(y¡3)Å4(z¡5)Æ0,xÅyÅ2z¡15Æ0. Chọnđápán D ä Câu267. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(¡2;1;¡2). Thể tíchtứdiện ABCD bằng A. 4. B. 2 3 . C. 1 3 . D. 4 3 . -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng (ABC) là xÅyÅz¡1Æ0. Để ý rằng, tam giác ABC là tam giác đều cạnh p 2nênthểtíchtứdiện ABCD bằng 1 3 ¢d(D,(ABC))¢S ABC Æ 1 3 ¢ 4 p 3 ¢ 2 p 3 4 Æ 2 3 . Chọnđápán B ä Câu268. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, haiđườngchéo AC vàBD cắtnhautạigốctọađộO.Biết A(2;0;0),B(0;1;0),S ¡ 0;0;2 p 2 ¢ .Gọi M làtrungđiểmcủa SC.Gócgiữađườngthẳng SA và BM bằng A. 30 ± . B. 60 ± . C. 150 ± . D. 120 ± . -Lờigiải. Do O làtrungđiểmcủa AC nên C(¡2;0;0),mà M làtrungđiểmcủa SC nên M ¡ ¡1;0; p 2 ¢ .Suy ra #  MBÆ ¡ 1;1;¡ p 2 ¢ và #  SAÆ ¡ 2;0;¡2 p 2 ¢ .Dođó cos(SA,BM)Æ ¯ ¯ ¯ #  SA¢ #  MB ¯ ¯ ¯ SA¢BM Æ p 3 2 . Vậy (SA,BM)Æ30 ± . Chọnđápán A ä Câu269. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và đi qua điểm M(1;¡2;3). A. (P): 3xÅz¡6Æ0. B. (P): 3x¡zÆ0. C. (P): 3x¡z¡1Æ0. D. (P): xÅ3z¡10Æ0. -Lờigiải. (P)chứavéc-tơ #  j Æ(0;1;0)và #  OMÆ(1;¡2;3). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ h #  j; #  OM i Æ(3;0;¡1). Th.sNguyễnChínEm 306 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (P)là 3(x¡0)Å0(y¡0)¡1(z¡0)Æ0,3x¡zÆ0. Chọnđápán B ä Câu270. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅ3yÅ4zÆ0, biết #  nÆ(1;b;c) là một véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P).Tính 2bÅc. A. 5. B. 7. C. 10. D. 9. -Lờigiải. Vì #  n Æ(1;b;c) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên 2 #  n Æ(2;2b;2c) cũng là một véc-tơpháptuyếncủa (P). Suyra n 2bÆ3 2cÆ4 , n 2bÆ3 cÆ2. Vậy 2bÅcÆ3Å2Æ5. Chọnđápán A ä Câu271. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): 2x¡2yÅz¡1Æ 0 và (Q): 2x¡2yÅz¡7Æ0.Tínhkhoảngcáchgiữahaimặtphẳngđó. A. 2. B. 3. C. 4. D. 3 2 . -Lờigiải. Chọn A(0;0;1)2(P).Vì (P)và (Q)songsongnhaunên d((P);(Q))Æd(A;(Q))Æ j2¢0¡2¢0Å1¡7j 3 Æ2. Chọnđápán A ä Câu272. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cặp giá trị (a;b) để hai mặt phẳng (P): 2xÅayÅ3z¡5Æ0, (Q): bx¡6y¡6z¡2Æ0songsongvớinhaulà: A. (a;b)Æ(¡4;3). B. (a;b)Æ(3;¡4). C. (a;b)Æ(2;¡6). D. (a;b)Æ(4;¡3). -Lờigiải. Tacó (P)Ò(Q), 2 b Æ a ¡6 Æ 3 ¡6 6Æ ¡5 ¡2 với b6Æ0.Suyra n aÆ3 bÆ¡4 . Chọnđápán B ä Câu273. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): xÅy¡z¡2Æ0 và đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y¡1 1 Æ z¡2 1 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng chứađườngthẳng (d)vàvuônggócvớimặtphẳngvớimặtphẳng (®)? A. xÅy¡zÅ2Æ0. B. xÅyÅ2z¡4Æ0. C. 2x¡3y¡zÅ7Æ0. D. 2x¡3y¡z¡7Æ0. -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng (¯) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (®) đi qua M(¡1;1;2) và nhận hai véc-tơ chỉ phương là #  u d Æ(2;1;1) và #  n ® Æ(1;1;¡1). Khi đó véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng¯là #  n ¯ Æ[ #  u d ; #  n ® ]Æ(2;¡3;¡1). Phươngtrìnhmặtphẳng (¯): ¡2(xÅ1)Å3(y¡1)¡1(z¡2)Æ0,2x¡3y¡z¡7Æ0. Chọnđápán D ä Câu274. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (®): xÅ2y¡z¡1Æ0 và (¯):2xÅ4y¡mz¡2Æ0.Tìm mđểhaimặtphẳng (®)và (¯)songsongvớinhau. A. mÆ1. B. Khôngtồntại m. C. mÆ¡2. D. mÆ2. -Lờigiải. Haimặtphẳng (®)và (¯)songsongvớinhaukhivàchỉkhi 2 1 Æ 4 2 Æ ¡m ¡1 6Æ ¡2 ¡1 , vôlí.Vậykhôngtồntại mthỏamãnyêucầubàitoán. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 307 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu275. Trongkhônggian0xyz,véc-tơnàodướiđâyvuônggócvớicảhaivéc-tơ #  u(¡1;0;2), #  v(4;0;¡1)? A. #  w(0;7;1). B. #  w(1;7;1). C. #  w(0;¡1;0). D. #  ( ¡1;7;¡1). -Lờigiải. Tacó: £ #  u, #  v ¤ Æ(0;7;0). Véc-tơ #  w vuônggócvớicảhaivéc-tơ #  u và #  v ) #  wÆk¢ £ #  u, #  v ¤ (k6Æ0). Chọn kÆ¡ 1 7 ) #  wÆ(0;¡1;0). Chọnđápán C ä Câu276. Trong không gianvới hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặtphẳng (P): 2xÅayÅ3z¡5Æ0 và (Q): 4x¡y¡3zÅ1Æ0.Tìm ađể (P)và (Q)vuônggócvớinhau. A. aÆ0. B. aÆ1. C. aÆ¡1. D. aÆ 1 3 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(2;a;3). Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(4;¡1;¡3). Tacó (P)?(Q), #  n P ? #  n Q , #  n P ¢ #  n Q Æ0,2¢4Åa¢(¡1)Å3¢(¡3)Æ0,aÆ¡1. Chọnđápán C ä Câu277. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9 vàđiểm A(3;4;0)thuộc (S).Phươngtrìnhtiếpdiệnvới (S)tại A là A. 2x¡2y¡zÅ2Æ0. B. 2x¡2yÅzÅ2Æ0. C. xÅyÅz¡7Æ0. D. 2xÅ2yÅz¡14Æ0. -Lờigiải. Tacótoạđộtâm I củamặtcầu (S)là (1;2;¡1). Phươngtrìnhtiếpdiện (®)với (S)tại A(3;4;0)nhận #  IAÆ(2;2;1)làmmộtvéc-tơpháptuyến. Tacó (®): 2(x¡3)Å2(y¡4)ÅzÆ0,2xÅ2yÅz¡14Æ0. Chọnđápán D ä Câu278. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): xÅ2y¡5Æ0 nhận véc-tơ nào trong các véc-tơsaulàmvéc-tơpháptuyến? A. #  nÆ(1;2;5). B. #  nÆ(1;2;¡5). C. #  nÆ(0;1;2). D. #  nÆ(1;2;0). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)nhận #  nÆ(1;2;0)làmvéc-tơpháptuyến. Chọnđápán D ä Câu279. TrongkhônggianOxyz,chođiểm N(1;1;¡2).Gọi A, B, C lầnlượtlàhìnhchiếucủa N trêncáctrụctọađộOx,Oy,Oz.Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà A. x 1 Æ y 1 ¡ z 2 Æ0. B. xÅy¡2z¡1Æ0. C. xÅy¡2zÆ0. D. x 1 Æ y 1 ¡ z 2 Æ1. -Lờigiải. A, B, C lần lượt là hình chiếu của N(1;1;¡2) trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz nên A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắnđiqua A, B, C là x 1 Æ y 1 ¡ z 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu280. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;¡1;2)vàsongsongvớimặtphẳng (P): x¡2y¡zÅ1Æ0. A. xÅ2yÅz¡2Æ0. B. ¡xÅ2yÅzÅ1Æ0. C. 2xÅy¡z¡1Æ0. D. ¡xÅ2yÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®)điqua A vàsongsongvới (P)nên (®)cócùngvec-tơpháptuyếnvới (P).Dođó, phươngtrình (®)là (x¡1)¡2(yÅ1)¡(z¡2)Æ0,x¡2y¡z¡1Æ0. Chọnđápán B ä Câu281. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;4), B5;¡1;3), C(2;2;m), D(3;1;5). Tìm tấtcảcácgiátrịcủathamsố mđể A, B, C, D làbốnđỉnhcủamộthìnhtứdiện. A. mÈ6. B. mÇ6. C. m6Æ6. D. mÆ6. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 308 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  ABÆ(4;¡2;¡1), #  ADÆ(2;0;1)nên #  nÆ h #  AB, #  AD i Æ(¡2;¡6;4)làvéc-tơpháptuyếncủamặt phẳng (ABD). Từđósuyra (ABD): ¡x¡3yÅ2z¡4Æ0. Bốnđiểm A, B, C, D làbốnđỉnhcủamộthìnhtứdiệnkhivàchỉkhi CÝ(ABD),¡2¡6Å2m¡46Æ0,m6Æ6. Chọnđápán C ä Câu282. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(¡2;0;0), N(0;1;0), P(0;0;2). Tìm phương trìnhcủamặtphẳng (MNP). A. x ¡2 Å y 1 Å z 2 Æ1. B. x ¡2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. C. x ¡2 Å y 1 Å z 2 Æ0. D. x ¡2 Å y 1 Å z ¡2 Æ1. -Lờigiải. Ápdụngcôngthứcphươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắntacó (MNP): x ¡2 Å y 1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán A ä Câu283. Trong không gian cho mặt phẳng (P): xÅy¡2z¡mÆ0 và A(1;2;1). Tìm tất cả các giátrịcủa msaochokhoảngcáchtừ A đếnmặtphẳng (P)bằng p 6. A. h mÆ5 mÆ¡5 . B. h mÆ5 mÆ¡7 . C. · mÆ1¡ p 6 mÆ1Å p 6 . D. h mÆ¡5 mÆ7 . -Lờigiải. Tacó: d(A,(P))Æ p 6, ¯ ¯ ¯ ¯ 1Å2¡2¡m p 1Å4Å1 ¯ ¯ ¯ ¯ Æ p 6,j1¡mjÆ6, h mÆ¡5 mÆ7. Chọnđápán D ä Câu284. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchođiểm M(1;2;3).Gọi A,B,C lầnlượtlàhình chiếucủa M lêncáctrục x 0 Ox; y 0 Oy; z 0 Oz.Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. B. xÅ2yÅ3z¡6Æ0. C. 6xÅ3yÅ2zÅ6Æ0. D. 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Vì A,B,C lần lượt là hình chiếu của M lên các trục x 0 Ox; y 0 Oy; z 0 Oz nên tọa độ của chúng là A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)theomặtchắnlà x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1hay 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. Chọnđápán D ä Câu285. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3;2), B(5;7;¡4). Phương trìnhmặtphẳngtrungtrựccủa AB là A. x¡3 2 Æ y¡5 2 Æ zÅ1 ¡3 . B. 2xÅ2y¡3zÅ19Æ0. C. 2xÅ2y¡3z¡38Æ0. D. 2xÅ2y¡3z¡19Æ0. -Lờigiải. Đoạnthẳng AB cótrungđiểm I(3;5;¡1); #  ABÆ(4;4;¡6). Vậy mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I(3;5;¡1) và nhận #  n(2;2;¡3) làm véc-tơ pháp tuyếnnêncóphươngtrìnhlà 2(x¡3)Å2(y¡5)¡3(zÅ1)Æ0hay 2xÅ2y¡3z¡19Æ0. Chọnđápán D ä Câu286. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;¡2;1), C(¡2;0;1). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. x¡2y¡4zÅ6Æ0. B. xÅ2y¡4zÅ1Æ0. C. xÅyÅ2z¡5Æ0. D. xÅ2y¡4zÅ6Æ0. -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(2;¡3;¡1)và #  ACÆ(¡2;¡1;¡1)nên [ #  AB, #  AC]Æ(2;4;¡8). Véc-tơ pháp tuyến #  n của mặt phẳng (ABC) cùng vuông góc với #  AB, #  AC nên #  n cùng phương với [ #  AB, #  AC]. Chọn #  nÆ(1;2;¡4)nênphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là (x¡2)Å2(yÅ2)¡4(z¡1)Æ0,xÅ2y¡4zÅ6Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 309 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu287. TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABC với A(¡1;0;2), B(1;2;¡1), C(¡3;1;2).Mặt phẳng (P)điquatrọngtâmcủatamgiác ABC vàvuônggócvớiđườngthẳng AB là A. (P): 2xÅ2y¡3zÅ1Æ0. B. (P): 2xÅ2yÅ3z¡3Æ0. C. (P): 2xÅ2y¡3zÅ3Æ0. D. (P): xÅy¡z¡3Æ0. -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC,suyraG(¡1;1;1). Mặtphẳng (P)điqua G vàvuônggócvớiđườngthẳng AB nênnhậnvéc-tơ #  ABÆ(2;2;¡3)làm véc-tơpháptuyến,cóphươngtrìnhlà 2(xÅ1)Å2(y¡1)¡3(z¡1)Æ0,2xÅ2y¡3zÅ3Æ0. Chọnđápán C ä Câu288. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)điquađiểm B(2;1;¡3),đồngthờivuônggócvớihaimặtphẳng (Q):xÅyÅ3zÆ0, (R):2x¡yÅzÆ0là A. 4xÅ5y¡3zÅ22Æ0. B. 4x¡5y¡3z¡12Æ0. C. 2xÅy¡3z¡14Æ0. D. 4xÅ5y¡3z¡22Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n 1 Æ(1;1;3), #  n 2 Æ(2;¡1;1)lầnlượtlàvéc-tơpháptuyếncủacácmặtphẳng (Q),(R). Do mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q),(R) nên [ #  n 1 , #  n 2 ]Æ(4;5;¡3) là một véc-tơ pháptuyếncủa (P). Từđósuyramặtphẳng (P)cóphươngtrình 4xÅ5y¡3z¡22Æ0. Chọnđápán D ä Câu289. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(2;4;1), B(¡1;1;3)vàmặt phẳng (P):x¡3yÅ2z¡5Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)điquahaiđiểm A, B vàvuông gócvớimặtphẳng (P). A. 2yÅ3z¡11Æ0. B. 2yÅ3z¡1Æ0. C. 2yÅ3z¡12Æ0. D. 2xÅ3z¡11Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;¡3;2)vàVTPTcủa (P)là #  n P Æ(1;¡3;2). SuyraVTPTcủamặtphẳng (Q)là #  n Q Æ[ #  AB, #  n P ]Æ(0;8;12). Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (Q)là 8(y¡4)Å12(z¡1)Æ0,2yÅ3z¡11Æ0. Chọnđápán A ä Câu290. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng d 1 : ( xÆ1Åt yÆ¡1¡2t zÆ2Åt , d 2 : x 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ1 ¡1 . Viết phương trình mặt phẳng (®) đi qua A và song song với hai đường thẳng d 1 ,d 2 . A. (®):xÅ3y¡5z¡13Æ0. B. (®):3xÅyÅzÅ13Æ0. C. (®):xÅ2yÅz¡13Æ0. D. (®):xÅ3yÅ5z¡13Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (®)songsongvớihaiđườngthẳng d 1 ,d 2 suyra #  n (®) Æ £ #  n d 1 , #  n d 2 ¤ Æ(1;3;5). Vậy (®):1(x¡0)Å3(y¡1)Å5(z¡2)Æ0,xÅ3yÅ5z¡13Æ0. Chọnđápán D ä Câu291. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi N, P, Q là hình chiếu vuông góc của M trêncáctrụctọađộ.Mặtphẳng (NPQ)cóphươngtrìnhlà A. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. B. x 2 Å y 1 Å z 3 Æ0. C. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. D. 6xÅ2yÅ2zÅ6Æ0. -Lờigiải. Khôngmáttổngquáttagiảsử N,P,Q làhìnhchiếuvuônggóccủa M trêncáctrụctọađộOx, Oy, Oz.Khiđó N(1;0;0), P(0;1;0), Q(0;0;3).Phươngtrình (NPQ)làphươngtrìnhmặtchắncó dạng x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. Chọnđápán A ä Câu292. TrongkhônggianOxyz,cho2điểm A(1;2;3),B(¡3;¡2;¡1).Phươngtrìnhmặtphẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB là A. x¡y¡zÆ0. B. xÅyÅzÅ6Æ0. C. xÅyÅz¡6Æ0. D. xÅyÅzÆ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 310 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Trungđiểm M củađoạnthẳng AB cótọađộ MÆ(¡1;0;1). Ta có #  ABÆ(¡4;¡4;¡4), nên suy ra mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véc-tơ pháp tuyến #  nÆ(1;1;1). Phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB là 1¢(xÅ1)Å1¢(y¡0)Å1¢(z¡1)Æ0,xÅyÅzÆ0. Chọnđápán D ä Câu293. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;¡1;3), B(2;0;5), C(0;¡3;¡1). Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới BC? A. x¡yÅ2z¡9Æ0. B. 2xÅ3y¡6z¡19Æ0. C. 2xÅ3yÅ6z¡19Æ0. D. x¡yÅ2zÅ9Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng cần tìm đi qua A(2;¡1;3) và nhận #  BCÆ(¡2;¡3;¡6) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phươngtrình ¡2(x¡2)¡3(yÅ1)¡6(z¡3)Æ0,2xÅ3yÅ6z¡19Æ0. Chọnđápán C ä Câu294. TrongkhônggianOxyzchođiểm M(¡2;¡1;3).Tìmphươngtrìnhmặtphẳngđiqua cácđiểmlầnlượtlàhìnhchiếucủa M lêncáctrụctọađộ. A. x ¡2 Å y ¡1 Å z 3 Æ0. B. x ¡2 Å y ¡1 Å z 3 Æ1. C. x 2 Å y 1 Å z ¡3 Æ0. D. x 2 Å y 1 Å z ¡3 Æ1. -Lờigiải. Hìnhchiếucủa M lêncáctrụctọađộOx,Oy,Oz lầnlượtlà (¡2;0;0), (0;¡1;0), (0;0;3). Phươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà x ¡2 Å y ¡1 Å z 3 Æ1. Chọnđápán B ä Câu295. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm M(¡1;1;0)và N(3;3;6).Mặtphẳngtrungtrực củađoạnthẳng MN cóphươngtrìnhlà A. 2xÅyÅ3z¡13Æ0. B. 2xÅyÅ3zÅ13Æ0. C. 2xÅyÅ3z¡30Æ0. D. xÅ2yÅ3z¡1Æ0. -Lờigiải. Trungđiểmcủa MN là I(1;2;3). Mặt phẳng trung trực của MN đi qua I và nhận #  MNÆ(4;2;6) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phươngtrìnhlà: 4(x¡1)Å2(y¡2)Å6(z¡3)Æ0,2xÅyÅ3z¡13Æ0. Chọnđápán A ä Câu296. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳngđiquatâmcủamặtcầu(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Åz 2 Æ12 vàsongsongvớimặtphẳng (Oxz)cóphươngtrìnhlà A. yÅ1Æ0. B. y¡2Æ0. C. yÅ2Æ0. D. xÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(1;¡2;0). Mặtphẳngsongsongmặtphẳng (Oxz)nêncódạng yÅDÆ0,qua I(1;¡2;0)nên DÆ2. Vậymặtphẳngcầntìmlà yÅ2Æ0. Chọnđápán C ä Câu297. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2) và B(3;0;2). Mặt phẳng trung trực củađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. xÅy¡z¡1Æ0. B. xÅy¡3Æ0. C. x¡y¡zÅ1Æ0. D. x¡y¡1Æ0. -Lờigiải. Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn AB qua trung điểm I(2;1;2) của AB và nhận #  ABÆ (2;¡2;0)làmvéc-tơpháptuyếnnêncódạng 2x¡2y¡2Æ0hay x¡y¡1Æ0. Chọnđápán D ä Câu298. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng x¡2yÅ3z¡1Æ0cóphươngtrìnhlà A. x¡2yÅ3zÅ6Æ0. B. x¡2yÅ3z¡6Æ0. C. xÅ2y¡3z¡6Æ0. D. xÅ2y¡3zÅ6Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 311 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtphẳngcầntìmcódạng x¡2yÅ3zÅCÆ0, C6Æ¡1. Vìmặtphẳngcầntìmđiqua M(1;2;3)nên 1¡4Å9ÅCÆ0,CÆ¡66Æ¡1 Vậymặtphẳngcầntìmcóphươngtrình x¡2yÅ3z¡6Æ0. Chọnđápán B ä Câu299. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;¡1;3),B(4;0;1) và C(¡10;5;3). Một véc-tơ pháptuyếncủamặtphẳng (ABC)là A. #  nÆ(1;2;2). B. #  nÆ(1;¡2;2). C. #  nÆ(1;8;2). D. #  nÆ(1;2;0). -Lờigiải. Ta có: #  ABÆ(2;1;¡2), #  ACÆ(¡12;6;0). h #  AB, #  AC i Æ(12;24;24). Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)là #  nÆ(1;2;2). Chọnđápán A ä Câu300. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: x 1 Æ yÅ1 2 Æ zÅ2 3 vàmặtphẳng (P): xÅ 2y¡2zÅ3Æ0. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)bằng 2.Nếu M cóhoànhđộâmthìtungđộcủa M bằng A. ¡1. B. ¡3. C. ¡21. D. ¡5. -Lờigiải. Do M thuộc d nên M cótọađộdạng M(t;¡1Å2t;¡2Å3t). Theogiảthiết,tacó d(M,P)Æ2, jt¡2Å4tÅ4¡6tÅ3j 3 Æ2,j5¡tjÆ6, h tÆ¡1 tÆ11 . M cóhoànhđộ âmnên tÆ¡1)tungđộcủa M là¡3. Chọnđápán B ä Câu301. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S):(x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. Mặt phẳng (xOy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn có phương trình nào sau đây? A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Æ16. B. ½ (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Æ16 zÆ0 . C. ½ x 2 Åy 2 ¡2x¡4yÆ11 zÆ0 . D. ½ x 2 Åy 2 ¡2x¡4yÆ16 zÆ0 . -Lờigiải. Mặtphẳng (xOy)làmặtphẳng zÆ0chonênphươngtrìnhcủađườngtrònlà ½ (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Æ16 zÆ0 . Chọnđápán B ä Câu302. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 5 điểm M(1;2;3), N(¡1;2;0), P(¡1;4;3), Q(0;0;6), R(0;2;4).Hỏiđiểmnàosauđâykhôngthuộcmặtphẳngcủatứgiáctạobởibốnđiểm cònlại? A. M. B. N. C. P. D. R. -Lờigiải. Ta có #  MP Æ (¡2;2;0), #  MQÆ (¡1;¡2;3), #  MRÆ (¡1;0;1), ³ #  MP^ #  MQ ´ ¢ #  MRÆ 0, suy ra bốn điểm M,P,Q,Rđồngphẳng.Phươngtrìnhmặtphẳngchứabốnđiểm M,P,Q,Rlà(®): xÅyÅz¡6Æ0, dễthấy N khôngthuộc (®). Chọnđápán B ä Câu303. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(0;¡1;2), B(¡2;0;3)và C(1;2;0)là A. 7x¡5y¡3zÅ1Æ0. B. 7x¡5y¡3zÅ11Æ0. C. 5xÅ3yÅ7z¡17Æ0. D. 5xÅ3yÅ7z¡11Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;1;1), #  ACÆ(1;3;¡2). Mặtphẳng (ABC)điqua A(0;¡1;2)vànhậnvéc-tơ #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(¡5;¡3;¡7)làmvéc-tơpháp tuyến,suyraphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là ¡5(x¡0)¡3(yÅ1)¡7(z¡2)Æ0,5xÅ3yÅ7z¡11Æ0. Th.sNguyễnChínEm 312 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu304. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1;1;1) và B(1;3;¡5). Viết phương tình mặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A. y¡2zÅ2Æ0. B. y¡3zÅ4Æ0. C. y¡3z¡8Æ0. D. y¡2z¡6Æ0. -Lờigiải. ²Xétđiểm M(x;y;z)cáchđều A,B.Tacó MAÆMB,(x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ(x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ5) 2 ,y¡3z¡8Æ0. ²Vậyphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủa AB là (P): y¡3z¡8Æ0. Chọnđápán C ä Câu305. Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm M(3;0;¡1) và vuông góc với 2 mặtphẳng xÅ2y¡zÅ1Æ0và 2x¡yÅz¡2Æ0là A. x¡3yÅ5zÅ2Æ0. B. x¡3y¡5z¡8Æ0. C. xÅ3y¡5z¡8Æ0. D. xÅ3yÅ5zÅ2Æ0. -Lờigiải. ²Haimặtphẳngđãchocócácvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n 1 Æ(1;2;¡1)và #  n 2 Æ(2;¡1;1). ²Mặtphẳng (P)cầntìmcóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ #  n 1 ^ #  n 2 Æ(1;¡3;¡5). ²Tacó (P): (x¡3)¡3y¡5(zÅ1)Æ0.Suyra (P): x¡3y¡5z¡8Æ0. Chọnđápán B ä Câu306. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;2)và B(3;0;¡1).Gọi (P)làmặtphẳng chứađiểm B vàvuônggócvớiđườngthẳng AB.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P). A. (P): 4x¡2y¡3z¡9Æ0. B. (P): 4x¡2y¡3z¡15Æ0. C. (P): 4xÅ2y¡3z¡15Æ0. D. (P): 4x¡2yÅ3z¡9Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ #  ABÆ(4;¡2;¡3). Mặtphẳng (P)quađiểm B(3;0;¡1)cóphươngtrình (P): 4(x¡3)¡2(y¡0)¡3(zÅ1)Æ0 , 4x¡2y¡3z¡15Æ0. Chọnđápán B ä Câu307. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2yÅ4z¡20Æ0 và mặtphẳng (P): xÅy¡z¡mÆ0.Tìm mđể (P)cắt (S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròncóbán kínhlớnnhất. A. mÆ0. B. mÆ¡4. C. mÆ7. D. mÆ4. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;¡2).Mặtphẳng (P)cắt (S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròncóbán kínhlớnnhấtkhivàchỉkhimp(P)điqua I.Khiđó 1Å1¡(¡2)¡mÆ0,mÆ4. Chọnđápán D ä Câu308. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;¡1) và hai mặt phẳng (P): 2x¡yÅ3z¡4Æ0, (Q): xÅyÅz¡9Æ0. Mặt phẳng (R) đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q)cóphươngtrìnhlà A. 4xÅy¡3z¡7Æ0. B. 4x¡y¡3z¡5Æ0. C. 4xÅy¡3z¡5Æ0. D. 4x¡y¡3zÅ1Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ (2;¡1;3) và mặt phẳng (Q) có véc-tơ pháp tuyến #  n Q Æ(1;1;1) nên mặt phẳng (R) vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) có véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ £ #  n Q ; #  n P ¤ Æ(4;¡1;¡3). Khi đó, mặt phẳng (R) đi qua A(1;2;¡1) có phương trình là 4(x¡1)¡(y¡2)¡3(zÅ1)Æ0 hay 4x¡y¡3z¡5Æ0. Chọnđápán B ä Câu309. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(2;3;4).Gọi A,B,Clầnlượtlàhìnhchiếuvuông góccủa M lêncáctrụcOx,Oy,Oz.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (ABC). A. x 3 Å y 4 Å z 2 Æ1. B. x 3 Å y 2 Å z 4 Æ1. C. x 2 Å y 3 Å z 4 Æ1. D. x 4 Å y 4 Å z 3 Æ1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 313 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4). Suyra,phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)theođoạnchắnlà x 2 Å y 3 Å z 4 Æ1. Chọnđápán C ä Câu310. TrongkhônggianOxyz,chocácmặtphẳng(P): xÅyÅz¡1Æ0vàmặtphẳng(Q): x¡ 2yÅz¡2Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(®)điquađiểmM(1;2;3)vàvuônggócvớigiaotuyến củahaimặtphẳng (P)và (Q). A. x¡zÅ2Æ0. B. x¡2yÅzÆ0. C. x¡yÅ1Æ0. D. ¡2xÅyÅz¡3Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(1;1;1). Mặtphẳng (Q)cómộtvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(1;¡2;1). Mặtphẳng (®)điquađiểm M(1;2;3)vàvuônggócvớigiaotuyếncủahaimặtphẳng (P)và (Q) nênnhận £ #  n P , #  n Q ¤ Æ(3;0;¡3)làmvéc-tơpháptuyến) (®): x¡zÅ2Æ0. Chọnđápán A ä Câu311. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(¡2;4;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm M 1 ;M 2 ;M 3 lần lượt là hình chiếu của M trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. A. (P): x ¡2 Å y 4 Å z 2 Æ0. B. (P): x 2 Å y ¡4 Å z ¡2 Æ1. C. (P): x ¡1 Å y 2 Å z 1 Æ1. D. (P): x ¡2 Å y 4 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Tacó M 1 (¡2;0;0), M 2 (0;4;0), M 3 (0;0;2))(P): x ¡2 Å y 4 Å z 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu312. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (Q): x¡2yÅz¡5Æ0 và mặt cầu (S): (x¡ 1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ10.Mặtphẳng (P)songsongmặtphẳng (Q)cắtmặtcầu (S)theogiaotuyến làđườngtròncóchuvi 4¼điquađiểmnàosaođây? A. (¡2;2;¡1). B. (1;¡2;0). C. (2;¡2;1). D. (0;¡1;¡5). -Lờigiải. (P):x¡2yÅzÅmÆ0,m6Æ¡5.Đườngtròngiaotuyếncóbánkính rÆ3. Mặtcầu (S)cótâm I(1;0;¡2),bánkính RÆ p 15. d(I;(P))Æ p 15¡9Æ p 6, j1¡2Åmj p 6 Æ p 6, ½ mÆ¡5 (loại) mÆ7 (thỏamãn) . Chọnđápán C ä Câu313. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;¡1;3) và mặt phẳng (P): 2x¡ 3yÅz¡1Æ0.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d điqua A vàvuônggócvới (P). A. d: x¡2 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡3 1 . B. d: xÅ2 2 Æ y¡1 ¡3 Æ zÅ3 1 . C. d: x¡2 2 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡1 3 . D. d: x¡2 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡3 3 . -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua điểm A(2;¡1;3) và có véc-tơ chỉ phương #  u Æ(2;¡3;1) nên có phương trình d: x¡2 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡3 1 . Chọnđápán A ä Câu314. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡1;0;1), B(¡2;1;1). Phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB là A. ¡xÅyÅ2Æ0. B. x¡yÅ1Æ0. C. x¡y¡2Æ0. D. x¡yÅ2Æ0. -Lờigiải. Gọi I là trung điểm AB. Ta có mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I µ ¡ 3 2 ; 1 2 ;1 ¶ và có véc-tơpháptuyến #  ABÆ(¡1;1;0)nêncóphươngtrình x¡yÅ2Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 314 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu315. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;¡2;0), B(3;3;2), C(¡1;2;2), D(3;3;1).Độdàiđườngcaocủatứdiện ABCD hạtừđỉnhD xuốngmặtphẳng(ABC)bằng A. 9 7 p 2 . B. 9 7 . C. 9 p 2 . D. 9 14 . -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(2;5;2), #  ACÆ(¡2;4;2). Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A có véc-tơ pháp tuyến là 1 2 h #  AB, #  AC i Æ(1;¡4;9)nêncóphươngtrình x¡4yÅ9z¡9Æ0. Dođó d(D,(ABC))Æ j3¡4¢3Å9¢1¡9j p 1 2 Å4 2 Å9 2 Æ 9 7 p 2 . Chọnđápán A ä Câu316. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng (P): x¡2yÅz¡5Æ0.Điểmnào dướiđâythuộc (P)? A. M(1;1;6). B. N(¡5;0;0). C. P(0;0;¡5). D. Q(2;¡1;5). -Lờigiải. Tacó 1¡2(1)Å6¡5Æ0)M2(P). Chọnđápán A ä Câu317. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;2;0), B(2;3;1)vàsongsongvớitrụcOz cóphươngtrìnhlà A. x¡yÅ1Æ0. B. xÅy¡3Æ0. C. xÅz¡3Æ0. D. x¡y¡3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;1;1), #  k Æ(0;0;1). Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và song song với trục Oz nên mặt phẳng (P) có một véctơpháptuyếnlà #  nÆ h #  AB, #  k i Æ(1;¡1;0). Mặtphẳng (P)qua A nênphươngtrìnhlà 1(x¡1)¡(y¡2)Æ0,x¡yÅ1Æ0. Chọnđápán A ä Câu318. TrongkhônggianOxyzchohaimặtphẳng(P): x¡2yÅ3z¡4Æ0và(Q): 3xÅ2y¡5z¡ 4Æ0.Khiđóhaimặtphẳng (P)và (Q) A. vuônggóc. B. cắtnhaunhưngkhôngvuônggóc. C. songsong. D. trùngnhau. -Lờigiải. (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n 1 Æ(1;¡2;3)và(Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n 2 Æ(3;2;¡5).Tacó £ #  n 1 , #  n 2 ¤ Æ (4;14;8)6Æ #  0 và #  n 1 ¢ #  n 2 6Æ0nênhaimặtphẳng (P)và (Q)cắtnhaunhưngkhôngvuônggóc. Chọnđápán B ä Câu319. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x¡4yÅ5z¡6Æ 0 và đường thẳng d: x¡1 2 Æ y¡2 3 Æ z¡3 1 . Gọi ' là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm khẳng định đúng. A. sin'Æ 1 5 p 28 . B. cos'Æ¡ 1 5 p 28 . C. cos'Æ 1 5 p 28 . D. sin'Æ¡ 1 5 p 28 . -Lờigiải. (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(3;¡4;5)và d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;3;1).Khiđótacó sin'Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n, #  u ¢¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  n¢ #  u ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ 1 5 p 28 . Chọnđápán A ä Câu320. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;¡3) và vuônggócvớitrụcOz cóphươngtrìnhlà A. zÅ3Æ0. B. z¡3Æ0. C. xÅy¡3Æ0. D. xÅyÅzÆ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 315 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do mặt phẳng (P) vuông góc với trục Oz nên véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là #  n Æ (0;0;1). Mặtphẳng (P)điquađiểm M(1;2;¡3)nêncóphươngtrình zÅ3Æ0. Chọnđápán A ä Câu321. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,phươngtrìnhmặtphẳngquabađiểm A(¡1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)là A. ¡xÅyÅzÅ1Æ0. B. x¡y¡z¡1Æ0. C. x¡y¡zÅ1Æ0. D. x¡yÅzÅ1Æ0. -Lờigiải. Tacóphươngtrìnhmặtphẳngquabađiểm A(¡1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)là x ¡1 Å y 1 Å z 1 Æ1,x¡y¡zÅ1Æ0. Chọnđápán C ä Câu322. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtcầu(S)cótâm I(2;1;¡1),tiếpxúcvớimặt phẳngtọađộ (Oyz).Phươngtrìnhcủamặtcầu (S)là A. (xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. B. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ1. C. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. D. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ2. -Lờigiải. Bánkínhmặtcầu RÆd(I,(Oyz))Æjx I jÆ2. Dođóphươngtrìnhmặtcầucầntìmlà (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu323. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(3;¡1;2), B(4;¡1;¡1), C(2;0;2). Mặtphẳngđiquabađiểm A, B, C cóphươngtrìnhlà A. 3x¡3yÅz¡14Æ0. B. 3xÅ3yÅz¡8Æ0. C. 3x¡2yÅz¡8Æ0. D. 2xÅ3y¡zÅ8Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;0;¡3), #  ACÆ(¡1;1;0)suyra h #  AB, #  AC i Æ(3;3;1). Mặtphẳngđiquabađiểm A, B, C cóphươngtrìnhlà 3xÅ3yÅz¡8Æ0. Chọnđápán B ä Câu324. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P)cóphươngtrình2x¡2z¡5Æ 0. Tìm tọa độ điểm A nằm trên tia Oz sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 2 p 2. A. A µ 0;0; 13 2 ¶ . B. A µ 0;0; 3 2 ¶ . C. A µ 0;0; 3 2 ¶ hoặc A µ 0;0; ¡13 2 ¶ . D. A µ 0;0; ¡13 2 ¶ . -Lờigiải. Giảsử A(0;0;a)2Oz,tacó d(A;(P))Æ2 p 2 , j¡2a¡5j p 8 Æ2 p 2 , h ¡2a¡5Æ8 ¡2a¡5Æ¡8 , 2 6 6 4 aÆ ¡13 2 aÆ 3 2 ) 2 6 6 4 A µ 0;0; ¡13 2 ¶ A µ 0;0; 3 2 ¶ . Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 316 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu325. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P),biết(P)tiếp xúcmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡2x¡22Æ0tạiđiểm M(4;¡3;1). A. 3x¡4y¡7Æ0. B. 4x¡3yÅz¡26Æ0. C. 4x¡3yÅz¡8Æ0. D. 3x¡4y¡24Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;1)vàbánkính rÆ5. Vì (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M(4;¡3;1) nên (P)? IM )(P) nhận #  IMÆ(3;¡4;0) làm véc-tơpháptuyến. Vậyphươngtrìnhcủa (P)là 3x¡4y¡24Æ0. Chọnđápán D ä Câu326. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;2;1)và B(¡1;4;2)cắtmặtcầu (S): x 2 Åy 2 ¡2xÅ8yÅ6z¡3Æ0theomộtđườngtròn (C) cóbánkínhlớnnhất. A. (P): 2xÅ3yÅ4z¡10Æ0. B. (P): 2xÅ5y¡4z¡6Æ0. C. (P): 2xÅ3y¡4z¡2Æ0. D. (P): 2x¡3y¡4zÅ10Æ0. -Lờigiải. (P)cắt (S)theomộtđườngtròncóbánkínhlớnnhấtnên (P)điquatâm I(1;¡4;¡3)của (S). )(P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà h #  AB, #  AI i . Tacó #  ABÆ(¡1;2;1), #  AIÆ(1;¡6;¡4)) h #  AB, #  AI i Æ(¡2;¡3;4). )(P): ¡2(x¡0)¡3(y¡2)Å4(z¡1)Æ0,(P): 2xÅ3y¡4z¡2Æ0. Chọnđápán C ä Câu327. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. Véc-tơ nào sau đây là véc-tơpháptuyếncủa (P)? A. #  nÆ(2;3;6). B. #  nÆ(6;3;2). C. #  nÆ(1;2;3). D. #  nÆ µ 1 3 ; 2 3 ;1 ¶ . -Lờigiải. (P)nhận #  nÆ µ 1; 1 2 ; 1 3 ¶ Æ 1 6 ¢(6;3;2)là1véc-tơpháptuyến.Dođónhận(6;3;2)cũnglàvéc-tơpháp tuyến. Chọnđápán B ä Câu328. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các véc-tơ #  u Æ(x;y;z), #  v Æ(x 0 ;y 0 ;z 0 ). Xác địnhmệnhđềđúng. A. #  u¡ #  v Æ(x 0 ¡x;y 0 ¡y;z 0 ¡z). B. #  u¢ #  v Æxx 0 Åyy 0 Åzz 0 . C. #  uÅ #  v Æ(x 0 ¡x;y 0 ¡y;z 0 ¡z). D. £ #  u, #  v ¤ Æ(xx 0 ;yy 0 ;zz 0 ). -Lờigiải. Theocôngthứctíchvôhướngcủahaivéc-tơ. Chọnđápán B ä Câu329. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A(2;3;¡1)trênmặtphẳng (®): 16xÅ12y¡15zÅ7Æ0.Tínhđộdàiđoạnthẳng AH. A. 12 25 . B. 12 625 . C. 19 625 . D. 19 25 . -Lờigiải. Độdàiđoạnthẳng AH bằng d(A;(®))Æ j16¢2Å12¢(¡3)¡15¢1Å7j p 16 2 Å12 2 Å(¡15) 2 Æ 12 25 . Chọnđápán A ä Câu330. Viết phương trình mặt phẳng song song với trục Ox và chứa hai điểm C(2;0;3), D(¡1;4;6). A. 4yÅ3z¡9Æ0. B. 3y¡4z¡12Æ0. C. 4y¡3zÅ9Æ0. D. 3y¡4zÅ12Æ0. -Lờigiải. Tacó #  CDÆ(¡3;4;3). Gọi #  n làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®)cầntìm. Tacó ½ #  n? #  CD #  n? #  i ) #  nÆ h #  CD, #  i i Æ(0;3;¡4). Mặtphẳng (®): 3x¡4yÅ12Æ0. Th.sNguyễnChínEm 317 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu331. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): 2xÅy¡z¡6Æ0 cắt các trục tọađộlầnlượttại A,B,C.TínhthểtíchtứdiệnOABC. A. 18. B. 72. C. 24. D. 12. -Lờigiải. Tacó A(3;0;0),B(0;6;0),C(0;0;¡6).ThểtíchV OABC Æ OA¢OB¢OC 6 Æ18. Chọnđápán A ä Câu332. TrongkhônggianOxyzchocácđiểm A(2;0;0);B(0;3;0);C(0;0;1)vàM(2;1;2).Khoảng cáchtừ M đếnmặtphẳng (ABC)là A. 2. B. 15 7 . C. 13 7 . D. 3. -Lờigiải. Mặtphẳng (ABC): x 2 Å y 3 Å z 1 Æ1,3xÅ2yÅ6z¡6Æ0.Vậy d(M;(ABC))Æ j3¢2Å2¢1Å6¢2¡6j p 3 2 Å2 2 Å6 2 Æ2. Chọnđápán A ä Câu333. Trongmặtphẳngtọađộ Oxyz,chođiểm A(2;¡1;2).Gọi M, N và P lầnlượtlàhình chiếuvuônggóccủa A trênOx,Oy,Oz.Mặtphẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. B. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. C. x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Tọađộhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;¡1;2)lêntrục Ox,Oy,Oz cótọađộlầnlượtlà M(2;0;0),N(0;¡1;0),P(0;0;2). Phươngtrìnhmặtphẳng (MNP): x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu334. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;1)vàB(2;1;0).Mặtphẳng(P)tiếpxúc vớimặtcầu (S)cóđườngkính AB tại A cóphươngtrìnhlà A. 3x¡y¡z¡6Æ0. B. 3x¡y¡zÅ6Æ0. C. xÅ3yÅz¡5Æ0. D. xÅ3yÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Tacómặtphẳng (P)điquađiểm A(¡1;2;1)vàcóVTPT #  n P Æ #  ABÆ(3;¡1;¡1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P): 3x¡y¡zÅ6Æ0. Chọnđápán B ä Câu335. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;1), B(0;¡2;3), C(2;1;0). Phương trình mặt phẳng (®) đi qua điểm M(1;2;¡7) và song song với mặt phẳng (ABC)là A. 3xÅy¡3z¡26Æ0. B. 3xÅy¡3z¡32Æ0. C. 3xÅyÅ3zÅ16Æ0. D. 3xÅyÅ3z¡22Æ0. -Lờigiải. Tacó ( #  ABÆ(¡1;¡3;2) #  ACÆ(1;0;¡1) ) h #  AB, #  AC i Æ(3;1;3)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (ABC). Màmặtphẳng (®)qua M(1;2;¡7),suyra (®): 3(x¡1)Å(y¡2)Å3(zÅ7)Æ0,3xÅyÅ3zÅ16Æ0. Chọnđápán C ä Câu336. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. Mặt phẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tạiđiểm A(¡2;1;¡4)cóphươngtrìnhlà A. 3x¡4yÅ6zÅ34Æ0. B. x¡2y¡2z¡4Æ0. C. xÅ2yÅ2zÅ8Æ0. D. ¡xÅ2yÅ2zÅ4Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 318 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;3;¡2). Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A(¡2;1;¡4) nên có véc-tơ pháp tuyến là #  IAÆ(¡1;¡2;¡2)Æ¡(1;2;2).Dođó (P)cóphươngtrình 1(xÅ2)Å2(y¡1)Å2(zÅ4)Æ0,xÅ2yÅ2zÅ8Æ0. Chọnđápán C ä Câu337. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(3;¡1;1) và vuông gócvớiđườngthẳng¢: x¡1 3 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡3 1 cóphươngtrìnhlà A. 3x¡2yÅz¡12Æ0. B. 3x¡2yÅz¡8Æ0. C. 3xÅ2yÅz¡12Æ0. D. x¡2yÅ3z¡8Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng¢cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(3;¡2;1). Mặtphẳng(P)qua M vuônggócvới¢cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(3;¡2;1),suyraphươngtrình mặtphẳng (P)là 3(x¡3)¡2(yÅ1)Å(z¡1)Æ0,3x¡2yÅz¡12Æ0. Chọnđápán A ä Câu338. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,chocácđiểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;¡2 p 2). TínhkhoảngcáchtừO(0;0;0)đếnmặtphẳng (ABC). A. p 7 4 . B. 4 p 7 . C. 7 16 . D. 16 7 . -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng mp(ABC) là: x 2 Å y 4 Å z ¡2 p 2 Æ1, x 2 Å y 4 Å z ¡2 p 2 ¡1Æ0. Từ đây suy ra d(O;(ABC))Æ 1 Ê µ 1 2 ¶ 2 Å µ 1 4 ¶ 2 Å µ 1 ¡2 p 2 ¶ 2 Æ 4 p 7 . Chọnđápán B ä Câu339. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(Q): xÅ2y¡3z¡15Æ0vàđiểm E(1;2;¡3).Mặtphẳng (P)điqua E vàsongsongvới (Q)cóphươngtrìnhlà A. (P): xÅ2y¡3z¡14Æ0. B. (P): 2x¡yÅ5zÅ15Æ0. C. (P): xÅ2y¡3z¡15Æ0. D. (P): 2x¡yÅ5z¡15Æ0. -Lờigiải. Vì(P)songsongvới(Q)nênphươngtrìnhcủa(P)códạng xÅ2y¡3zÅcÆ0(c6Æ¡15).Do E2(P) nên 1Å2¢2¡3¢(¡3)ÅcÆ0)cÆ¡14. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà xÅ2y¡3z¡14Æ0. Chọnđápán A ä Câu340. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P): xÅy¡zÅ1Æ0 và (Q): x¡yÅz¡5Æ0.Cóbaonhiêuđiểmtrêntrục Oythỏamãnđiểm M cáchđều2mặtphẳng (P)và (Q). A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. -Lờigiải. ²Điểm M2Oy)M(0;m;0). ² d(M,(P))Æd(M,(Q)), jmÅ1j p 3 Æ jmÅ5j p 3 ,mÆ¡3.Vậycó1điểm M thỏamãnyêucầucủabài toán. Chọnđápán C ä Câu341. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,cho3điểm A(1;2;3), B(0;1;1), C(1;0;¡2). Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P): xÅyÅzÅ2Æ0 sao cho giá trị của biểu thức TÆMA 2 Å 2MB 2 Å3MC 2 nhỏnhất.Khiđó,giátrịcủabiểuthức aÅbÅc là A. ¡3. B. 2. C. ¡2. D. 3. -Lờigiải. Nhậnxét:Điểm M luôntồntại.Tacó M2(P)nên aÅbÅcÅ2Æ0,aÅbÅcÆ¡2. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 319 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu342. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2(xÅ2yÅ3z)Æ0. Gọi A,B,C lầnlượtlàgiaođiểm(khácgốctọađộO)củamặtcầu(S)vàcáctrụctọađộOx,Oy, Oz.Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. 6x¡3y¡2z¡12Æ0. B. 6xÅ3yÅ2z¡12Æ0. C. 6x¡3y¡2zÅ12Æ0. D. 6x¡3yÅ2z¡12Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu(S)giaovớitrụcOxtại A cótọađộ(x;0;0).Thaytọađộđiểm A vàophươngtrình của (S) ta có x 2 ¡2xÆ0,xÆ0 hoặc xÆ2. Do điểm A khác gốc tọa độ O nên xÆ2. Vậy A(2;0;0). Tươngtựtacũngtìmđượctọađộcácgiaođiểm B,C là B(0;4;0), C(0;0;6). Ta có #  ABÆ(¡2;4;0), #  ACÆ(¡2;0;6). Suy ra véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(24;12;8). Khiđóphươngtrình (ABC)là 24(x¡2)Å12yÅ8zÆ0,6xÅ3yÅ2z¡12Æ0. Chọnđápán B ä Câu343. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chobađiểm A(2;1;¡1);B(¡1;0;4);C(0;¡2;¡1). Phươngtrìnhnàosauđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳngđiqua A vàvuônggócvớiBC? A. x¡2y¡5zÆ0. B. x¡2y¡5z¡5Æ0. C. x¡2y¡5zÅ5Æ0. D. 2x¡yÅ5z¡5Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngđiqua A(2;1;¡1)vàvuônggócvới BC cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ #  BCÆ(1;¡2;¡5)nên nócóphươngtrìnhlà 1¢(x¡2)Å(¡2)¢(y¡1)Å(¡5)¢(zÅ1)Æ0,x¡2y¡5z¡5Æ0. Chọnđápán B ä Câu344. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(¡1;1;1),B(3;3;¡1).Lậpphương trìnhmặtphẳng (®)làtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A. (®): 2x¡yÅzÅ1Æ0. B. (®): 2xÅy¡z¡2Æ0. C. (®): 2xÅy¡z¡4Æ0. D. (®): 2xÅyÅzÅ4Æ0. -Lờigiải. Trungđiểmcủa AB là M(1;2;0), (®)nhận #  ABÆ(4;2;¡2)làmộtVTPTnên #  nÆ(2;1;¡1)cũnglà mộtVTPTcủa (®).Dođóphươngtrình (®)là 2xÅy¡z¡4Æ0. Chọnđápán C ä Câu345. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm M(0;1;0), N(0;0;2), A(3;2;1).Lập phươngtrìnhmặtphẳng (MNP),biếtđiểm P làhìnhchiếuvuônggóccủa A lêntrụcOx. A. x 1 Å y 1 Å z 2 Æ1. B. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. C. x 3 Å y 1 Å z 2 Æ0. D. x 3 Å y 1 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Hìnhchiếucủa A(3;2;1)lêntrụcOxlà P(3;0;0)nêntacó (MNP): x 3 Å y 1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu346. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡20Æ0 và mặtphẳng (®): xÅ2y¡2zÅ7Æ0cắtnhautheomộtđườngtròncóchuvibằng A. 6¼. B. 12¼. C. 3¼. D. 10¼. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;0)vàbánkính RÆ5. Tacó d(I,(®))Æ j1¢1Å2¢2¡2¢0Å7j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ4. Vì d(I,(®))ÇR nên (®)cắt (S)theogiaotuyếnlàđường tròn (C).Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa I trên (®) )H làtâmcủa (C). Lấy M2(C))M2(S).Tamgiác IHM vuôngtại M )MHÆ p IM 2 ¡IH 2 Æ p 5 2 ¡4 2 Æ3. Suyrachuvicủađườngtròn (C)bằng 2¼¢HMÆ6¼. I M H ® (S) (C) Th.sNguyễnChínEm 320 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu347. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡3;2;1) và B(5;¡4;1). Viết phương trình mặtphẳngtrungtrực (P)củađoạnthẳng AB. A. (P): 4x¡3y¡7Æ0. B. (P): 4x¡3yÅ7Æ0. C. (P): 4x¡3yÅ2z¡16Æ0. D. (P): 4x¡3yÅ2zÅ16Æ0. -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểm AB suyra M(1;¡1;1). #  ABÆ(8;¡6;0). Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng (AB) có một véc-tơ pháp tuyến #  nÆ(4;¡3;0) và qua M(1;¡1;1)cóphươngtrìnhlà (P): 4x¡3y¡7Æ0. Chọnđápán A ä Câu348. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4)cóphươngtrìnhlà A. x 1 Å y 2 Å z 2 Æ2. B. 2xÅ4yÅ4zÆ0. C. x 2 Å y 4 Å z 4 Æ0. D. x 1 Å y 2 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Mặtphẳngđiqua A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4)cóphươngtrình x 2 Å y 4 Å z 4 Æ1, x 1 Å y 2 Å z 2 Æ2. Chọnđápán A ä Câu349. Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): xÅyÅz¡3Æ0.Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là A. y¡z¡1Æ0. B. y¡2zÆ0. C. yÅzÆ0. D. y¡zÆ0. -Lờigiải. (Q) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n(1;1;1). Từ giả thiết, ta suy ra (P) có một véc-tơ pháp tuyến là [ #  n; #  i]Æ(0;1;¡1).Do (P)điquagốctọađộO nênphươngtrìnhcủa (P)là y¡zÆ0. Chọnđápán D ä Câu350. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm là điểm I(1;2;4) và tiếp xúcvớimặtphẳng (P): 2xÅ2yÅz¡1Æ0. A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ4. B. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡4) 2 Æ4. C. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ4) 2 Æ4. -Lờigiải. Bán kính R chính bằng khoảng cách từ I đến (P). Do đó, RÆ j9j 3 Æ3. Phương trình mặt cầu cầntìmlà (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡4) 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu351. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm M(¡4;2;1)vàcóvéc- tơpháptuyến #  nÆ(1;¡2;2)làphươngtrìnhnàodướiđây? A. x¡2yÅ2zÅ6Æ0. B. x¡2yÅ2zÅ8Æ0. C. x¡2yÅ2z¡6Æ0. D. xÅ2yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngqua M(¡4;2;1)vàcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;¡2;2)cóphươngtrìnhlà 1(xÅ4)¡2(y¡2)Å2(z¡1)Æ0 , x¡2yÅ2zÅ6Æ0. Chọnđápán A ä Câu352. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng lần lượt cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tạicácđiểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4). A. x 2 Å y 3 Å z 4 Æ0. B. x 3 Å y 2 Å z 4 Æ1. C. x 2 Å y 3 Å z 4 Æ1. D. x 4 Å y 3 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Mặtphẳngquabađiểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4)cóphươngtrìnhlà x 2 Å y 3 Å z 4 Æ1. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 321 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu353. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm M(¡1;2;3) đến mặt phẳng (P): 2x¡6yÅ3zÅ1Æ0. A. dÆ 6 7 . B. dÆ 4 7 . C. dÆ 4 49 . D. dÆ 6 49 . -Lờigiải. Tacó dÆd(M,(P)) Æ j2¢(¡1)¡6¢2Å3¢3Å1j p 2 2 Å(¡6) 2 Å3 2 Æ 4 7 . Chọnđápán B ä Câu354. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅ2y¡z¡1Æ0 và mặt cầu (S): x 2 Å y 2 Åz 2 ¡2x¡4yÅ6zÅ5Æ0.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. (P)điquatâmcủamặtcầu (S). B. (P)cắtmặtcầu (S). C. (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S). D. (P)khôngcắtmặtcầu (S). -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;¡3),bánkính RÆ p 1Å4Å9¡5Æ3. Tacó d(I,(P)) Æ j2¢1Å2¢2¡(¡3)¡1j p 4Å4Å1 Æ 8 3 ÇR. Dođó (P)cắtmặtcầu (S). Chọnđápán B ä Câu355. TrongkhônggianOxyz,biếtmặtphẳng(P): 3x¡2yÅ2z¡5Æ0vàmặtphẳng(Q): 4xÅ 5y¡zÅ1Æ0cắtnhautheogiaotuyếnlàđườngthẳngd.Véc-tơnàodướiđâylàvéc-tơchỉphương củađườngthẳng d? A. #  v 1 Æ(3;¡2;2). B. #  v 2 Æ(¡8;¡11;23). C. #  v 3 Æ(4;5;¡1). D. #  v 4 Æ(8;¡11;¡23). -Lờigiải. Mặtphẳng (P): 3x¡2yÅ2z¡5Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(3;¡2;2). Mặtphẳng (Q): 4xÅ5y¡zÅ1Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n Q Æ(4;5;¡1). Vì dÆ(P)\(Q)nênvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  u d Æ[ #  n Q , #  n P ]Æ(8;¡11;¡23). Chọnđápán D ä Câu356. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(Q): 2x¡yÅ5z¡15Æ0vàđiểm E(1;2;¡3).Mặtphẳng (P)qua E vàsongsongvới (Q)cóphươngtrìnhlà A. (P): xÅ2y¡3zÅ15Æ0. B. (P): xÅ2y¡3z¡15Æ0. C. (P): 2x¡yÅ5zÅ15Æ0. D. (P): 2x¡yÅ5z¡15Æ0. -Lờigiải. Tacó (P)Ò(Q)suyravéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n (P) Æ(2;¡1;5). Mặtphẳng (P)qua E cóphươngtrìnhlà (P): 2(x¡1)¡(y¡2)Å5(zÅ3)Æ0,(P): 2x¡yÅ5zÅ15Æ0. Chọnđápán C ä Câu357. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;¡1;2);B(3;1;¡1);C(2;0;2).Viết phươngtrìnhmặtphẳng (®)điquabađiểm A,B,C. A. (®): 3xÅz¡8Æ0. B. (®): 3xÅzÅ8Æ0. C. (®): 5x¡z¡8Æ0. D. (®): 2x¡yÅ2z¡8Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 322 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 #  ABÆ(1;2;¡3); #  ACÆ(0;1;0); [ #  AB, #  AC]Æ(3;0;1). Phương trình mặt phẳng (®) đi qua A(2;¡1;2) và có vec-tơ pháp tuyến #  n Æ[ #  AB, #  AC]Æ(3;0;1) nêncóphươngtrìnhlà 3(x¡2)Å0(yÅ1)Å1(z¡2)Æ0,3xÅz¡8Æ0. Chọnđápán A ä Câu358. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): (xÅ3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3và mặtphẳng(®):(m¡4)xÅ3y¡3mzÅ2m¡8Æ0.Vớigiátrịnàocủa mthì(®)tiếpxúcvới(S)? A. mÆ1. B. mÆ¡1. C. mÆ ¡7Å p 33 2 . D. mÆ ¡7§ p 33 2 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡3;1;¡1)vàbánkính RÆ p 3. Mặtphẳng (®)tiếpxúcvới (S)khivàchỉkhi d(I,(®))ÆR, j(m¡4)£(¡3)Å3£1¡3m£(¡1)Å2m¡8j p (m¡4) 2 Å3 2 Å(¡3m) 2 Æ p 3 , j2mÅ7j p 10m 2 ¡8mÅ25 Æ p 3 ,26m 2 ¡52mÅ26Æ0,mÆ1. Chọnđápán A ä Câu359. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 2x¡3yÅ2z¡15Æ0vàđiểm M(1;2;¡3).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)qua M vàsongsongvới (P). A. (Q): 2x¡3yÅ2z¡10Æ0. B. (Q): xÅ2y¡3z¡10Æ0. C. (Q): 2x¡3yÅ2zÅ10Æ0. D. (Q): xÅ2y¡3zÅ10Æ0. -Lờigiải. Domặtphẳng (Q)Ò(P)nên (Q)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;¡3;2). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q): 2(x¡1)¡3(y¡2)Å2(zÅ3)Æ0,2x¡3yÅ2zÅ10Æ0. Chọnđápán C ä Câu360. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(2;¡1;1),B(1;2;4).Viếtphương trìnhmặtphẳng (P)điqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB. A. (P): ¡xÅ3yÅ3z¡2Æ0. B. (P): x¡3y¡3z¡2Æ0. C. (P): 2x¡yÅzÅ2Æ0. D. (P): 2x¡yÅz¡2Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và có véc-tơ pháp tuyến #  ABÆ(¡1;3;3) nên có phương trình là ¡1(x¡2)Å3(yÅ1)Å3(z¡1)Æ0,¡xÅ3yÅ3zÅ2Æ0,x¡3y¡3z¡2Æ0. Chọnđápán B ä Câu361. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(®): 2x¡yÅ3zÅ4Æ0vàđiểm A(2;¡1;2).Mặt phẳngqua A songsongvớitrục Oyvàvuônggócvới (®)cóphươngtrìnhlàphươngtrìnhnào dướiđây? A. ¡3x¡2zÅ10Æ0. B. 3y¡2z¡2Æ0. C. 3x¡2z¡2Æ0. D. 3x¡2y¡8Æ0. -Lờigiải. Gọi (¯)làmặtphẳngcầntìm. Ta có mặt phẳng (®) nhận #  n ® Æ(2;¡1;3) làm véc-tơ pháp tuyến và trục Oy nhận #  j Æ(0;1;0) làmvéc-tơchỉphương. Đặt #  nÆ[ #  n ® , #  j]Æ(¡3;0;2). Mặt phẳng (¯) đi qua A(2;¡1;2) và nhận #  nÆ(¡3;0;2) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là (¡3)(x¡2)Å2(z¡2)Æ0,¡3zÅ2zÅ2Æ0. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 323 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu362. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): 3x¡2yÅ4zÅ4Æ0 và điểm M(4;¡1;2). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (®)? A. xÅ3 4 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ4 2 . B. xÅ4 3 Æ y¡1 ¡2 Æ zÅ2 4 . C. x¡4 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡2 4 . D. x¡3 4 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡4 2 . -Lờigiải. Tacó #  nÆ(3;¡2;4)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (®). Đườngthẳng (d)qua M vàvuônggócvới (®)nênnhận #  nÆ(3;¡2;4)làmvéc-tơchỉphương. Vậyphươngtrìnhchínhtắccủa (d)là x¡4 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡2 4 ¢ Chọnđápán C ä Câu363. TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳngd 1 : x¡1 2 Æ yÅ1 3 Æ z¡3 ¡5 vàd 2 : ( xÆ¡1Åt yÆ4Å3t zÆ1Åt . Tìmphươngtrìnhmặtphẳngchứađườngthẳng d 1 vàsongsongvớiđườngthẳng d 2 . A. 18xÅ7yÅ3zÅ20Æ0. B. 18x¡7yÅ3zÅ34Æ0. C. 18xÅ7yÅ3z¡20Æ0. D. 18x¡7yÅ3z¡34Æ0. -Lờigiải. Đường thẳng d 1 qua M(1;¡1;3) và nhận #  u 1 Æ(2;3;¡5) làm véc-tơ chỉ phương; d 2 có véc-tơ chỉ phương #  u 2 Æ(1;3;1). Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song d 2 nên nhận véc-tơ #  n Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(18;¡7;3) làm véc-tơ pháptuyến. Vậyphươngtrìnhtổngquátcủa (P)là 18(x¡1)¡7(yÅ1)Å3(z¡3)Æ0 , 18x¡7yÅ3z¡34Æ0. Chọnđápán D ä Câu364. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ6z¡11Æ0 và mặt phẳng(P): x¡2yÅ2zÅ1Æ0.Gọi(C)làđườngtròngiaotuyếncủa(P)và(S).Tínhchuviđường tròn (C). A. 6¼. B. 8¼. C. 10¼. D. 4¼. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S): (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ25. Gọi I, R là tâm và bán kính mặt cầu. Ta có I(¡2;1;¡3) và RÆ5. Gọi J, r là tâm và bán kính đườngtròn (C). Do IJ?(P)nên IJÆd(I;(P))Æ j¡2¡2¡6Å1j p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ3. Mà rÆ p R 2 ¡IJ 2 Æ p 5 2 ¡3 2 Æ4.Khiđóchuviđườngtròn (C)là 2¼rÆ8¼. Chọnđápán B ä Câu365. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P)điquađiểm M(2;¡4;1)vàchắntrêncác trụctọađộOx,Oy,Oztheobađoạncóđộdàiđạisốlầnlượtlàa, b, c.Phươngtrìnhtổngquát củamặtphẳng(P)khia, b, ctheothứtựtạothànhmộtcấpsốnhâncócôngbộibằng2là A. 4xÅ2y¡z¡1Æ0. B. 4x¡2yÅzÅ1Æ0. C. 16xÅ4y¡4z¡1Æ0. D. 4xÅ2yÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Do giả thiết suy ra a,b,c6Æ0 và bÆ2a, cÆ2b. Giả sử A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c) khi đó phươngtrìnhmặtphẳng (P): x a Å y b Å z c Æ1.Do M thuộc (P)nên 2 a ¡ 4 b Å 1 c Æ1, 2 a ¡ 4 2a Å 1 4a Æ1,aÆ 1 4 . Suyra bÆ 1 2 và cÆ1dođóphươngtrìnhmặtphẳng (P): 4xÅ2yÅz¡1Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 324 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu366. TrongkhônggianOxyz,chohìnhbìnhhành ABCD với A(1;1;0),B(1;1;2),D(1;0;2). Diệntíchhìnhbìnhhành ABCD bằng A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. -Lờigiải. Gọi S là diện tích hình bình hành ABCD khi đó SÆ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AD i¯ ¯ ¯. Mà #  AB(0;0;2) và #  AD(0;¡1;2) suyra h #  AB, #  AD i Æ(2;0;0)nên ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AD i¯ ¯ ¯Æ2.Vậy SÆ2. Chọnđápán D ä Câu367. Cho A(1;2;3),mặtphẳng(P): xÅyÅz¡2Æ0.Mặtphẳng(Q)songsongvớimặtphẳng (P)và (Q)cáchđiểm A mộtkhoảngbằng 3 p 3.Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)là A. xÅyÅzÅ3Æ0và xÅyÅz¡3Æ0. B. xÅyÅzÅ3Æ0và xÅyÅzÅ15Æ0. C. xÅyÅzÅ3Æ0và xÅyÅz¡15Æ0. D. xÅyÅzÅ3Æ0và xÅy¡z¡15Æ0. -Lờigiải. Do (Q)Ò(P))(Q): xÅyÅzÅdÆ0, d6Æ¡2. Mà d(A,(Q))Æ3 p 3,j6ÅdjÆ9, h dÆ3 dÆ¡15. Vậy (Q 1 ): xÅyÅzÅ3Æ0và (Q 2 ): xÅyÅz¡15Æ0. Chọnđápán C ä Câu368. TronghệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(2;¡3;¡1),B(4;¡1;2).Phươngtrìnhmặtphẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB là A. 2xÅ2yÅ3zÅ1Æ0. B. 4x¡4y¡6zÅ 15 2 Æ0. C. 4xÅ4yÅ6z¡7Æ0. D. xÅy¡zÆ0. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngtrungtrựccủa AB.Tọađộtrungđiểmcủa AB là I µ 3;¡2; 1 2 ¶ . Véc-tơpháptuyếncủa (®)là #  nÆ #  ABÆ(2;2;3). Phươngtrìnhmặtphẳng (®): 2(x¡3)Å2(yÅ2)Å3 µ z¡ 1 2 ¶ Æ0,4xÅ4yÅ6z¡7Æ0. Chọnđápán C ä Câu369. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (®):2x¡3y¡z¡1Æ0. Điểmnàodướiđâykhôngthuộcmặtphẳng (®)? A. M(¡2;1;¡8). B. N(4;2;1). C. P(3;1;3). D. Q(1;2;¡5). -Lờigiải. Vì 2¢3¡3¢1¡3¡1Æ¡16Æ0nênđiểm P(3;1;3)khôngthuộcmặtphẳng (P). Chọnđápán C ä Câu370. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P):x¡2yÅz¡5Æ0.Điểmnào dướiđâythuộcmặtphẳng (P)? A. P(0;0;¡5). B. N(¡5;0;0). C. Q(2;¡1;5). D. M(1;1;6). -Lờigiải. Vì 1¡2¢1Å6¡5Æ0nênđiểm M(1;1;6)thuộcmặtphẳng (P). Chọnđápán D ä Câu371. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1), B(1;¡2;3), C(4;1;0), phương trình mặtphẳng (ABC)là A. xÅ3yÅ4zÅ7Æ0. B. xÅ3yÅ4z¡7Æ0. C. 3xÅyÅ4z¡5Æ0. D. 4xÅyÅ3z¡4Æ0. -Lờigiải. #  ABÆ(1;¡3;2), #  ACÆ(4;0;¡1))[ #  AB, #  AC]Æ(3;9;12).Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là (x¡0)Å3(y¡1)Å4(z¡1)Æ0,xÅ3yÅ4z¡7Æ0. Chọnđápán B ä Câu372. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): (x¡3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25vàmặtphẳng (P): 4xÅ3z¡34Æ0.Cóbaonhiêumặtphẳngsongsongvới (P)vàtiếpxúc (S)? A. 0. B. 1. C. Vôsố. D. 2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 325 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡2;¡1),bánkính RÆ5. Mặtphẳng (P)Ò(®)códạng 4xÅ3zÅmÆ0,(m6Æ34). (P)tiếpxúc (S),d(I,(P))ÆR,jmÅ9jÆ25, · mÆ16(nhận) mÆ¡34(loại). Chọnđápán B ä Câu373. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng (P): 2xÅ4yÅ3z¡5Æ0và (Q): mx¡ny¡ 6zÅ2¡0.Giátrịcủa m,nsaocho (P)Ò(Q)là A. mÆ4;nÆ¡8. B. mÆnÆ4. C. mÆ¡4;nÆ8. D. mÆnÆ¡4. -Lờigiải. (P)cóvéc-tơchỉphương #  u (P) Æ(2;4;3), (Q)cóvéc-tơchỉphương #  u (Q) Æ(m;¡n;¡6). Đểhaimặtphẳngtrênsongsongthì #  u (Q) Æk #  u (P) (k6Æ0), ( mÆ2k ¡nÆ4k ¡6Æ3k ) ( kÆ¡2 mÆ¡4 nÆ8. Chọnđápán C ä Câu374. TrongkhônggianOxyz,mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng x ¡2 Å y ¡1 Å z 3 Æ1là A. #  nÆ(3;6;¡2). B. #  nÆ(2;¡1;3). C. #  nÆ(¡3;¡6;¡2). D. #  nÆ(¡2;¡1;¡3). -Lờigiải. Mặt phẳng trên đi qua các điểm A(¡2;0;0),B(0;¡1;0),C(0;0;3). Do đó véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳngcùngphươngvới h #  AB, #  AC i . Ta có #  ABÆ(2;¡1;0), #  ACÆ(2;0;3)) h #  AB, #  AC i Æ(¡3;¡6;2). Vậy chọn một véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳngđólà #  nÆ(3;6;¡2). Chọnđápán A ä Câu375. Trong không gian Oxyz, giá trị dương của m sao cho mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặtcầu (x¡3) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æm 2 Å1là A. mÆ5. B. mÆ p 3. C. mÆ3. D. mÆ p 5. -Lờigiải. MặtphẳngOxy:zÆ0. Mặtcầu (S): (x¡3) 2 Åy 2 Å(z¡2) 2 Æm 2 Å1cótâm I(3;0;2)bánkính RÆ p m 2 Å1. Để (Oxy)tiếpxúcvớimặtcầu (S)thì d(I,Oxy)ÆR) j2j p 1 2 Æ p m 2 Å1,m 2 Å1Æ4,m 2 Æ3 ,mƧ p 3.Vì mnhậngiátrịdươngnên mÆ p 3. Vậy mÆ p 3thỏayêucầuđềbài. Chọnđápán B ä Câu376. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡4 3 và xÅ1 1 Æ y ¡1 Æ zÅ2 3 cóphươngtrìnhlà A. ¡2x¡yÅ9z¡36Æ0. B. 2x¡y¡zÆ0. C. 6xÅ9yÅzÅ8Æ0. D. 6xÅ9yÅz¡8Æ0. -Lờigiải. Gọi d 1 : x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡4 3 và d 2 : xÅ1 1 Æ y ¡1 Æ zÅ2 3 . KhiđóVTCPcủa d 1 ,d 2 lầnlượtlà #  u 1 Æ(¡2;1;3), #  u 2 Æ(1;¡1;3). Mặtphẳng (®)chứahaiđườngthẳng d 1 và d 2 cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ[ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(6;9;1). Chọn M(1;¡2;4)2d 1 )M2(®) Suyraphươngtrìnhmặtphẳng (®)là: 6xÅ9yÅzÅ8Æ0. Chọnđápán C ä Câu377. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): xÅmyÅ(m¡1)zÅ1Æ0 và (Q): xÅ yÅ2zÆ0.Tậphợptấtcảcácgiátrị mđểhaimặtphẳngnàykhôngsongsonglà A. (0;Å1). B. R\{¡1;1;2}. C. (¡1;3). D. R. -Lờigiải. Tacó A(0;0;0)2(Q). Th.sNguyễnChínEm 326 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 (P)Ò(Q), 8 < : 1 1 Æ m 1 Æ m¡1 2 A(0;0;0)Ý(P) . Hệ này vô nghiệm. Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trịcủa m. Chọnđápán D ä Câu378. TrongkhônggianOxyzchođiểm H(1;2;3).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điqua điểm H vàcắtcáctrụctọađộtạibađiểmphânbiệt A,B,C saocho H làtrựctâmcủatamgiác ABC. A. (P): xÅ y 2 Å z 3 Æ1. B. (P): xÅ2yÅ3z¡14Æ0. C. (P): xÅyÅz¡6Æ0. D. (P): x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1. -Lờigiải. Giảsử (P)cắtcáctrụctọađộtại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c),abc6Æ0. Khiđó (P): x a Å y b Å z c Æ1. Tacó #  HAÆ(a¡1;¡2;¡3), #  HBÆ(¡1;b¡2;¡3), #  BCÆ(0;¡b;c)và #  ACÆ(¡a;0;c). H làtrựctâmcủa4ABC) ½ #  HA¢ #  BCÆ0 #  HB¢ #  ACÆ0 , n 2b¡3cÆ0 a¡3cÆ0 )aÆ2bÆ3c. Mặtkhác H2(P)) 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1. Suyra 1 3c Å 4 3c Å 3 c Æ1,14Æ3c,cÆ 14 3 )aÆ14,bÆ7. Vậy (P): x 14 Å y 7 Å z 14 3 Æ1hay (P): xÅ2yÅ3z¡14Æ0. Chọnđápán B ä Câu379. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;¡1) và đi qua điểm A(2;1;2).Mặtphẳngnàodướiđâytiếpxúcvới (S)tại A? A. xÅy¡3z¡8Æ0. B. xÅy¡3zÅ3Æ0. C. xÅyÅ3z¡9Æ0. D. x¡y¡3zÅ3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  IAÆ(¡1;¡1;3). Domặtphẳngtiếpxúcvới (S)tại A điqua A vànhận #  IA làvéc-tơpháptuyếnnêncóphương trìnhlà¡1(x¡2)¡1(y¡1)Å3(z¡2)Æ0,xÅy¡3zÅ3Æ0. Chọnđápán B ä Câu380. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(¡2;4;4), C(4;0;5). Gọi G là trọngtâmcủatamgiác ABC. M làđiểmnằmtrênmặtphẳng(Oxy)saochođộdàiđoạnthẳng GM ngắnnhất.TínhđộdàiđoạnthẳngGM. A. GMÆ4. B. GMÆ p 5. C. GMÆ1. D. GMÆ p 2. -Lờigiải. G làtrọngtâmcủa4ABC)G µ 1¡2Å4 3 ; 2Å4Å0 3 ; 3Å4Å5 3 ¶ Æ(1;2;4). Mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrình zÆ0. GM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó, tacó GMÆd(G,(Oxy))Æ j4j p 1 Æ4. Chọnđápán A ä Câu381. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1), B(4;3;2), C(5;2;1).Diệntíchcủatamgiác ABC là A. 2 p 42. B. p 42 4 . C. p 42. D. p 42 2 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;2;1), #  ACÆ(4;1;0), h #  AB, #  AC i Æ(¡1;4;¡5). Diệntíchtamgiác ABC là SÆ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p (¡1) 2 Å4 2 Å(¡5) 2 Æ p 42 2 . Th.sNguyễnChínEm 327 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu382. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(2;0;¡1),B(1;¡2;3),C(0;1;2). Viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquabađiểm A,B,C. A. 2xÅyÅz¡3Æ0. B. 10xÅ3yÅz¡19Æ0. C. 2x¡yÅz¡3Æ0. D. 10x¡3y¡z¡21Æ0. -Lờigiải. Tacó ( #  ABÆ(¡1;¡2;4) #  ACÆ(¡2;1;3). Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2;0;¡1) và nhận [ #  AB, #  AC]Æ(¡10;¡5;¡5)Æ¡5(2;1;1) làmvéc-tơpháptuyến. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngqua A,B,C là 2(x¡2)Å(y¡0)Å(zÅ1)Æ0,2xÅyÅz¡3Æ0. Chọnđápán A ä Câu383. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (®): x¡2y¡2zÅ4Æ0 và (¯): ¡xÅ2yÅ2z¡7Æ0.Tínhkhoảngcáchgiữahaimặtphẳng (®)và (¯) A. 3. B. ¡1. C. 0. D. 1. -Lờigiải. Tathấy (®)và (¯)songsongvớinhaunênvới A(0;2;0)2(®). Khiđó d[(®);(¯)]Æd(A;(¯))Æ j4¡7j p 1Å4Å4 Æ1. Chọnđápán D ä Câu384. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhcủamặtphẳng(P)điquađiểmM(¡3;¡2;3) vàvuônggócvớitrụcOx. A. (P): xÅ3Æ0. B. (P): xÅyÅ5Æ0. C. (P): yÅz¡1Æ0. D. (P): x¡3Æ0. -Lờigiải. Vìmặtphẳng (P)vuônggócvớiOxnêncómộtvéc-tơpháptuyếnlàvéc-tơ #  i Æ(1;0;0).Phương trìnhtổngquátcủamặtphẳng (P)là 1(x¡(¡3))Å0(y¡(¡2))Å0(z¡3)Æ0,xÅ3Æ0. Chọnđápán A ä Câu385. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhcủamặtphẳng điquađiểm E(1;2;3)vàsongsongvớimặtphẳngOxy? A. z¡3Æ0. B. xÅy¡3Æ0. C. xÅyÅz¡6Æ0. D. zÅ3Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà zÆ0nêncómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  k Æ(0;0;1).Phương trìnhcủamặtphẳngcầntìmcódạng 0(x¡1)Å0(y¡2)Å1(z¡3)Æ0,zÆ3. Chọnđápán A ä Câu386. Trongkhônggian Oxyz,chobamặtphẳng (P), (Q), (R)lầnlượtcóphươngtrìnhlà x¡4zÅ8Æ0, 2x¡8zÆ0, yÆ0.Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. (P)´(Q). B. (P)cắt (Q). C. (Q)Ò(R). D. (R)cắt (P). -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #  pÆ(1;0;¡4) và mặt phẳng (R) có một véc-tơ pháp tuyếnlà #  r Æ(0;1;0).Do #  p6Æk¢ #  r,8k2Rnênvéc-tơ #  p khôngcùngphươngvớivéc-tơ #  r.Vậymặt phẳng (R)cắtmặtphẳng (P). Chọnđápán D ä Câu387. TrongkhônggianOxyz,hãytính pvà qlầnlượtlàkhoảngcáchtừđiểm M(5;¡2;0) đếnmặtphẳng (Oxz)vàmặtphẳng (P): 3x¡4zÅ5Æ0. A. pÆ2và qÆ3. B. pÆ2và qÆ4. C. pÆ¡2và qÆ4. D. pÆ5và qÆ4. -Lờigiải. Domặtphẳng (Oxz)cóphươngtrình yÆ0nên pÆd(M,(Oxz))Æ j¡2j p 0 2 Å1 2 Å0 2 Æ2. Domặtphẳng (P)cóphươngtrình 3x¡4zÅ5Æ0nên qÆd(M,(P))Æ j3¢5¡4¢0Å5j p 3 2 Å0 2 Å(¡4) 2 Æ4. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 328 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu388. Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;¡1;0)vàvuônggócvớiđườngthẳngOM. A. (P): xÅyÅ1Æ0. B. (P): x¡y¡1Æ0. C. (P): y¡1Æ0. D. (P): yÅ1Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;¡1;0) và có một véc-tơ pháp tuyến là #  OMÆ(0;¡1;0) nên có phươnglà 0(y¡0)Å(¡1)(yÅ1)Å0(z¡0)Æ0,yÅ1Æ0. Chọnđápán D ä Câu389. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(0;1;0), N(2;0;0), P(0;0;¡3). Phương trình nàodướiđâylàphươngtrìnhmặtphẳng (MNP)? A. x 2 Å y 1 Å z ¡3 Æ1. B. x 2 Å y 1 Å z ¡3 Æ0. C. x 1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. D. x 1 Å y 2 Å z ¡3 Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhtheođoạnchắncủamặtphẳng (MNP)là x 2 Å y 1 Å z ¡3 Æ1. Chọnđápán A ä Câu390. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)cótâm I(0;¡5;0)biết(S)tiếp xúcvớimặtphẳng (P): xÅ2y¡2zÅ16Æ0. A. (S): x 2 Å(yÅ5) 2 Åz 2 Æ2. B. (S): x 2 Å(yÅ5) 2 Åz 2 Æ4. C. (S): x 2 Å(y¡5) 2 Åz 2 Æ2. D. (S): x 2 Å(y¡5) 2 Åz 2 Æ4. -Lờigiải. Bán kính của mặt cầu là d(I,(P))Æ j0Å2¢(¡5)¡2¢0Å16j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ j6j p 9 Æ2. Phương trình mặt cầu cần tìmlà (S): x 2 Å(yÅ5) 2 Åz 2 Æ4. Chọnđápán B ä Câu391. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): xÅ2y¡zÅ3Æ0 và (Q): x¡4yÅ(m¡1)zÅ1Æ0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để mặtphẳng (P)vuônggócvớimặtphẳng (Q). A. mÆ¡3. B. mÆ¡6. C. mÆ2. D. mÆ1. -Lờigiải. Gọi #  n P và #  n Q lầnlượtlàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)và (Q). Tacó #  n P Æ(1;2;¡1)và #  n Q Æ(1;¡4;m¡1). Tacó (P)?(Q), #  n P ¢ #  n Q Æ0,1¡8¡(m¡1)Æ0,mÆ¡6. Chọnđápán B ä Câu392. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (®): xÅ2yÅ4z¡1Æ0; ¡ ¯ ¢ : 2xÅ3y¡2zÅ5Æ0.Chọnkhẳngđịnhđúng. A. (®)? ¡ ¯ ¢ . B. (®), ¡ ¯ ¢ chéonhau. C. (®)Ò ¡ ¯ ¢ . D. (®)´ ¡ ¯ ¢ . -Lờigiải. Haimặtphẳng (®)và (¯)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n ® Æ(1;2;4)và #  n ¯ Æ(2;3;¡2). Tacó #  n ® ¢ #  n ¯ Æ1¢2Å2¢3Å4¢(¡2)Æ0)(®)? ¡ ¯ ¢ . Chọnđápán A ä Câu393. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính bán kính mặt cầu tâm I(1;0;0) và tiếp xúcvớimặtphẳng (P): x¡2yÅ2zÅ2Æ0. A. RÆ3. B. RÆ5. C. RÆ p 2. D. RÆ1. -Lờigiải. Mặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P)cóbánkính RÆ d(I,(P))Æ j1¡2¢0Å2¢0Å2j p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ1. Chọnđápán D ä Câu394. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz.Phươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm A(1;2;0) vàchứađườngthẳng d: xÅ1 2 Æ y 3 Æ z 1 cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n(1;a;b).Tính aÅb. A. aÅbÆ2. B. aÅbÆ0. C. aÅbÆ¡3. D. aÅbÆ3. Th.sNguyễnChínEm 329 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Lấy B(¡1;0;0)2d.Tacó #  ABÆ(¡2;¡2;0), #  u d Æ(2;3;1). Mặtphẳngđiqua A vàchứa d cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ h #  AB, #  u d i Æ(¡2;2;¡2). Mộttrongcácvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳnglà #  nÆ(1;¡1;1))aÆ¡1,bÆ1. Vậy aÅbÆ0. Chọnđápán B ä Câu395. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2y¡5z¡3Æ0 và hai điểm A(3;1;1),B(4;2;3). Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với (P). Phương trình nào làphươngtrìnhcủamặtphẳng (Q). A. 9x¡7y¡zÅ19Æ0. B. ¡9xÅ7yÅz¡19Æ0. C. ¡9x¡7yÅz¡19Æ0. D. 9x¡7y¡z¡19Æ0. -Lờigiải. Vì (Q)làmặtphẳngđiqua A, B vàvuônggócvới (P)nênmặtphẳng (Q)nhận #  ABÆ(1;1;2)và #  n (P) Æ(1;2;¡5)làmhaivéc-tơchỉphương. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q)là #  n (Q) Æ h #  AB, #  n (P) i Æ(¡9;7;1). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q): ¡9(x¡3)Å7(y¡1)Å1(z¡1)Æ0,9x¡7y¡z¡19Æ0. Chọnđápán D ä Câu396. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chobốnđiểm A(0;2;0), B(2;0;0), C(0;0; p 2)và D(0;¡2;0).Sốđogócgiữahaimặtphẳng (ABC)và (ACD)bằng A. 45 ± . B. 30 ± . C. 60 ± . D. 90 ± . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡2;0), #  ACÆ(0;¡2; p 2), #  ADÆ(0;4;0). Tacó h #  AB, #  AC i Æ ³¯ ¯ ¯ ¡2 0 ¡2 p 2 ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ 0 2 p 2 0 ¯ ¯ ¯; ¯ ¯2 ¡2 0 ¡2 ¯ ¯ ´ Æ ¡ ¡2 p 2;¡2 p 2;¡4 ¢ . Suyramặtphẳng (ABC)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n ABC Æ(1;1; p 2). Tacó h #  AC, #  AD i Æ ³¯ ¯ ¯ ¡2 p 2 4 0 ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ p 2 0 0 0 ¯ ¯ ¯; ¯ ¯0 ¡2 0 4 ¯ ¯ ´ Æ ¡ ¡4 p 2;0;0 ¢ . Suyramặtphẳng (ACD)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n ACD Æ(1;0;0). Tacó cos((ABC),(ACD))Æ j #  n ABC ¢ #  n ACD j j #  n ABC j¢j #  n ABC j Æ 1 2 . Chọnđápán C ä Câu397. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chotứdiện ABCDvới A(¡1;¡2;4),B(¡4;¡2;0), C(3;¡2;1), D(1;1;1).Đườngcaocủatứdiệnkẻtừđỉnh D bằng A. 1 2 . B. 1. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Tacó #  ADÆ(2;3;¡3), #  ABÆ(¡3;0;¡4), #  ACÆ(4;0;¡3). Khiđó h #  AB, #  AC i Æ ¡¯ ¯0 ¡4 0 ¡3 ¯ ¯ ; ¯ ¯¡4 ¡3 ¡3 4 ¯ ¯ ; ¯ ¯¡3 0 4 0 ¯ ¯ ¢ Æ(0;¡25;0). Đườngcaocủatứdiệnkẻtừđỉnh D bằng ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯ Æ j2¢0Å3¢(¡25)Å(¡3)¢0j p 0 2 Å(¡25) 2 Å0 2 Æ3. Chọnđápán D ä Câu398. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡3yÅ2zÅ1Æ 0 và (Q): (2m¡1)xÅm(1¡2m)yÅ(2m¡4)zÅ14Æ0 với m là tham số thực. Tổng các giá trị của m để (P)và (Q)vuônggócnhaubằng A. ¡ 7 2 . B. ¡ 5 2 . C. ¡ 3 2 . D. ¡ 1 2 . -Lờigiải. (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(1;¡3;2). (Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(2m¡1;m(1¡2m);2m¡4). (P)và (Q)vuônggócvớinhaukhivàchỉkhi #  n P ? #  n Q . Th.sNguyễnChínEm 330 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Điềunàytươngđươngvới #  n P ¢ #  n Q Æ0,6m 2 Å3m¡9Æ0, " mÆ1 mÆ¡ 3 2 . Tổngcácgiátrịcủa mđể (P)và (Q)vuônggócnhaubằng 1¡ 3 2 Æ¡ 1 2 . Chọnđápán D ä Câu399. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9 vàđiểm A(3;4;0)thuộc (S).Phươngtrìnhmặtphẳngtiếpdiệncủa (S)tại A là A. xÅyÅz¡7Æ0. B. 2x¡2yÅzÅ2Æ0. C. 2xÅ2yÅz¡14Æ0. D. 2x¡2y¡zÅ2Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;¡1).Khiđó #  IAÆ(2;2;1). Mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A nhận #  IA là véc-tơ pháp tuyến. Do đó phương trình mặt phẳngtiếpdiệnđólà 2(x¡3)Å2(y¡4)ÅyÆ0,2xÅ2yÅz¡14Æ0. Chọnđápán C ä Câu400. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(1;2;0), C(2;1;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. 4x¡2yÅzÅ8Æ0. B. 4xÅ2yÅzÅ8Æ0. C. 4x¡2yÅz¡8Æ0. D. 4xÅ2yÅz¡8Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;2;0), #  ACÆ(0;1;¡2)) h #  AB, #  AC i Æ(¡4;2;¡1) )phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là¡4(x¡2)Å2y¡zÆ0,4x¡2yÅz¡8Æ0. Chọnđápán C ä Câu401. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2y¡2z¡2Æ0 và điểm I(1;2;¡3).Mặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P)cóbánkínhlà A. 1. B. 11 3 . C. 1 3 . D. 3. -Lờigiải. Gọi r làbánkínhcủamặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P),tacó rÆd(I,(P))Æ j1Å2¢2¡2¢(¡3)¡2j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ3. Chọnđápán D ä Câu402. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0), N(0;1;0) và P(0;0;2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. B. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. C. x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Do (MNP) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại M(2;0;0), N(0;1;0) và P(0;0;2) nên mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhtheođoạnchắnlà x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán C ä Câu403. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡7Æ0vàđiểm A(¡1;2;5).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)điqua A vàsongsongvới (P). A. 2x¡yÅ3z¡11Æ0. B. 2x¡yÅ3zÅ11Æ0. C. 2x¡yÅ3zÅ15Æ0. D. 2x¡yÅ3z¡9Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)vàsongsongvới (P)nên (Q)códạng 2x¡yÅ3zÅDÆ0,với D6Æ¡7. Vì A2(Q)nên 2¢(¡1)¡2Å3¢5ÅDÆ0,DÆ¡11. Vậy (Q): 2x¡yÅ3z¡11Æ0. Chọnđápán A ä Câu404. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(2;7;¡9)vàmặtphẳng(P): xÅ2y¡ 3z¡1Æ0.Tìmtọađộhìnhchiếuvuônggóccủa M trênmặtphẳng (P). A. (2;1;1). B. (4;0;1). C. (1;0;0). D. (¡1;1;0). Th.sNguyễnChínEm 331 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Đườngthẳng d điqua M vuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆ2Åt yÆ7Å2t zÆ¡9¡3t (t2R). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm M trên (P)thì HÆd\(P). Xétphươngtrình: 2ÅtÅ2(7Å2t)¡3(¡9¡3t)¡1Æ0,14tÅ42Æ0,tÆ¡3. Với tÆ¡3) ( xÆ¡1 yÆ1 zÆ0 .Vậy H(¡1;1;0). Chọnđápán D ä Câu405. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1;1;0),B(1;0;0)và C(0;1;1). A. 2x¡yÅz¡1Æ0. B. xÅ2z¡1Æ0. C. xÅz¡1Æ0. D. 2x¡yÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(0;¡1;0), #  ACÆ(¡1;0;1). Véc-tơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(¡1;0;¡1). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là¡1(x¡1)Å0(y¡1)¡1(z¡0)Æ0,xÅz¡1Æ0. Chọnđápán C ä Câu406. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡2z¡5Æ0 vàmặtphẳng(P): x¡2y¡2zÅ6Æ0.Biếtmặtphẳng(P)cắtmặtcầu(S)theogiaotuyếnlàmột đườngtròn (C).Tínhbánkínhcủađườngtròn (C). A. 4. B. 2 p 3. C. p 7. D. 5. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡1;1),bánkính RÆ4. d(I,(P))Æ j3¡2¢(¡1)¡2¢1Å6j p 1 2 Å(¡2) 2 Å(¡2) 2 Æ 9 3 Æ3. Bánkínhđườngtròn (C)là rÆ p R 2 ¡d 2 (I,(P))Æ p 16¡9Æ p 7. Chọnđápán C ä Câu407. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho(P)làmặtphẳngđiquabađiểmI(8;0;0),J(0;¡2;0), K(0;0;4).Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là A. x 8 Å y ¡2 Å z 4 Æ0. B. x 4 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. C. x¡4yÅ2zÆ0. D. x¡4yÅ2z¡8Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là x 8 Å y ¡2 Å z 4 Æ1,x¡4yÅ2z¡8Æ0. Chọnđápán D ä Câu408. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (Q) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuônggócvớiđườngthẳng d: ( xÆ¡13Å2t yÆ¡16Åt zÆ¡2t .Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)là A. 2xÅy¡2zÆ0. B. 2xÅyÆ0. C. 2x¡yÅ2zÆ0. D. 2x¡y¡2zÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)quaO(0;0;0)vàcóVTPT #  n P Æ #  u d Æ(2;1;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q): 2xÅy¡2zÆ0. Chọnđápán A ä Câu409. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho ¡ ° ¢ làmặtphẳngđiquađiểm M(3;¡1;¡5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (®): 3x¡2yÅ2zÅ7Æ0, ¡ ¯ ¢ : 5x¡4yÅ3zÅ1Æ0. Phương trìnhcủa ¡ ° ¢ là A. 2xÅy¡2z¡15Æ0. B. 2xÅy¡2zÅ15Æ0. C. xÅyÅzÅ3Æ0. D. xÅ2yÅzÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng ¡ ° ¢ qua M(3;¡1;¡5)vàcóVTPT #  n P Æ £ #  n ® , #  n ¯ ¤ Æ(2;1;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng ¡ ° ¢ : 2(x¡3)Å1.(yÅ1)¡2(zÅ5)Æ0,2xÅy¡2z¡15Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 332 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu410. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(1;1;3),B(¡1;3;2),C(¡1;2;3). Hỏicóbaonhiêumặtphẳngcáchđềucảbađiểm A,B,C. A. 1. B. 2. C. 5. D. Vôsố. -Lờigiải. Ba điểm A,B,C thẳng hàng hay không thẳng hàng thì cũng có vô số mặt phẳng cách đều ba điểm A,B,C. Chọnđápán D ä Câu411. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡2yÅ4z¡3Æ0vàmặtphẳng (P): 2x¡2yÅzÆ0.Mặtphẳng (P)cắtkhốicầu (S)theothiếtdiệnlàmộthìnhtròncódiệntích bằng A. 5¼. B. 25¼. C. 2¼ p 5. D. 10¼. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;1;¡2),bánkính RÆ3. IKÆd(I,(P))Æ j2(¡1)¡2¢1Å(¡2)j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ2. Bánkínhcủađườngtrònthiếtdiện rÆKAÆ p R 2 ¡IK 2 Æ p 3 2 ¡2 2 Æ p 5. Vậydiệntíchcủahìnhtrònthiếtdiệnbằng SƼ¢r 2 Æ5¼. I K A Chọnđápán A ä Câu412. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,cho 2điểm A(¡2;3;2)và B(2;1;0).Mặtphẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrình A. 2xÅyÅz¡3Æ0. B. 2x¡y¡zÅ3Æ0. C. 4x¡2y¡2zÅ3Æ0. D. 4x¡2yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng trungtrựccủađoạn thẳng AB có 1véc-tơpháp tuyếnlà #  ABÆ(4;¡2;¡2)vàđi qua trungđiểm I củađoạnthẳng AB với I(0;2;1). Mặtphẳngtrungtrựccủa AB cóphươngtrình 2x¡y¡zÅ3Æ0. Chọnđápán B ä Câu413. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡4;0) và B(¡5;2;4). Viết phương trình mặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A. ¡3x¡3yÅ2z¡7Æ0. B. 3x¡3y¡2zÅ7Æ0. C. 3x¡3y¡2zÅ5Æ0. D. ¡3xÅ3yÅ2zÅ7Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nhận #  ABÆ(¡6;6;4) là véc-tơ pháp tuyến và đi qua trung điểm I(¡2;¡1;2) của AB nên có phương trình¡6(xÅ2)Å6(yÅ1)Å4(z¡2)Æ0,3x¡3y¡ 2zÅ7Æ0. Chọnđápán B ä Câu414. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;¡3;2) và B(3;1;4). Khi đó, mặt phẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. x¡2yÅz¡7Æ0. B. 2x¡yÅ3z¡4Æ0. C. 2xÅ4yÅ2z¡3Æ0. D. xÅ2yÅz¡3Æ0. -Lờigiải. Tacó ½ M(2;¡1;3)làtrungđiểmcảđoạnthẳngAB #  ABÆ(2;4;2). Mặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà xÅ2yÅz¡3Æ0. Chọnđápán D ä Câu415. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomătphẳng (P):xÅ2yÅ2zÅ6Æ0.Tìmtọa độđiểm M thuộctiaOxsaochokhoảngcáchtừ M đến (P)bằng 3. A. M(0;0;21). B. M(3;0;0). C. M(0;0;¡15). D. M(0;0;3),M(0;0;¡15). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 333 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi M(a;0;0)2Ox.Tacó d(M;(P))Æ3, jaÅ6j 3 Æ3, h xÆ3 xÆ¡15. Vậycóđiểm M(3;0;0). Chọnđápán B ä Câu416. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(¡1;2;1) và B(2;1;0). Viết phương trìnhmặtphẳngqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng AB. A. xÅ3yÅz¡5Æ0. B. 3x¡y¡zÅ6Æ0. C. xÅ3yÅz¡6Æ0. D. 3x¡y¡z¡6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngđiqua A, Bvàvuônggócvới ABnhận #  ABÆ(3;¡1;¡1)làvéc-tơpháptuyến,suyra phươngtrìnhmặtphẳngcầntìm 3(xÅ1)¡(y¡2)¡(z¡1)Æ0,3x¡y¡zÅ6Æ0. Chọnđápán B ä Câu417. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;1;1)vàB(1;3;5).Viếtphương trìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB. A. y¡2z¡6Æ0. B. y¡3zÅ4Æ0. C. yÅ2z¡8Æ0. D. y¡2zÅ2Æ0. -Lờigiải. Tacó I(1;2;3)làtrungđiểmcủađoạn AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và có véc-tơ pháp tuyến #  ABÆ(0;2;4)Æ 2(0;1;2),suyraphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccầntìmlà 0(x¡1)Å1(y¡2)Å2(z¡3)Æ0,yÅ2z¡8Æ0. Chọnđápán C ä Câu418. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): ¡xÅyÅ3z¡2Æ0.Phương trìnhmặtphẳng (®)điquađiểm A(2;¡1;1)vàsongsongvớimặtphẳng (P)là A. x¡yÅ3zÅ2Æ0. B. ¡xÅy¡3zÆ0. C. ¡xÅyÅ3zÆ0. D. ¡x¡yÅ3zÆ0. -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng (®) song song với mặt phẳng (P): ¡xÅyÅ3z¡2Æ0 có dạng¡xÅyÅ 3zÅmÆ0 (m6Æ¡2). Vìmặtphẳng (®)điquađiểm A(2;¡1;1)nêntacó¡2¡1Å3ÅmÆ0,mÆ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®)là¡xÅyÅ3zÆ0. Chọnđápán C ä Câu419. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm M(3;¡1;2).Điểm N đốixứngvới M quamặtphẳng (Oyz)là A. N(0;¡1;2). B. N(3;1;¡2). C. N(¡3;¡1;2). D. N(0;1;¡2). -Lờigiải. Toạđộhìnhchiếucủa M(3;¡1;2)lênmặtphẳng (Oyz)là H(0;¡1;2). Toạđộđiểmđốixứngcủa M(3;¡1;2)quamặtphẳng (Oyz)là N(¡3;¡1;2). Chọnđápán C ä Câu420. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chođiểm A(1;¡1;2).Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)điquacáchìnhchiếucủađiểm A trêncáctrụctoạđộlà A. (Q): x¡yÅ2z¡2Æ0. B. (Q): 2x¡2yÅz¡2Æ0. C. (Q): x ¡1 Å y 1 Å z ¡2 Æ1. D. (Q): x¡yÅ2z6Æ0. -Lờigiải. Gọi I,J,K lầnlượtlàhìnhchiếucủa A(1;¡1;2)lênOx,Oy,Oz. Tađược I(1;0;0),J(0;¡1;0),K(0;0;2). Phươngtrìnhđoạnchắncủamặtphẳng (Q): x 1 Å y ¡1 Å z 2 Æ1)(Q): 2x¡2yÅz¡2Æ0. Chọnđápán B ä Câu421. TrongkhônggiantoạđộOxyz,chođườngthẳng(d): xÅ3 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 2 .Mặtphẳng (P)điquađiểm M(2;0;¡1)vàvuônggócvới (d)cóphươngtrìnhlà A. (P): x¡y¡2zÆ0. B. (P): 2x¡zÆ0. Th.sNguyễnChínEm 334 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. (P): x¡yÅ2zÅ2Æ0. D. (P): x¡yÅ2zÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng(P)điquaM(2;0;¡1)cómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;¡1;2)códạng(P): x¡yÅ2zÆ0. Chọnđápán D ä Câu422. TrongkhônggianOxyzchomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡4y¡12zÆ0vàmặtphẳng (P): 2xÅy¡z¡2Æ0.Tínhdiệntíchthiếtdiệncủamặtcầu (S)cắtbởimặtphẳng (P). A. SÆ49¼. B. 25¼. C. 50¼. D. 36¼. -Lờigiải. Mặtcầu(S)cótâm I(3;2;6)vàbánkínhRÆ p 3 2 Å2 2 Å6 2 Æ7.Vì I thuộc(P)nên(P)cắt(S)theo thiếtdiệnlàđườngtròncóbánkínhbằng 7.Diệntíchthiếtdiệnbằng 49¼. Chọnđápán A ä Câu423. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡2;1;4), B(4;3;¡2). Viết phương trình mặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. A. 3xÅyÅ3z¡8Æ0. B. 3xÅy¡3z¡8Æ0. C. 3xÅy¡3z¡1Æ0. D. 3xÅy¡3z¡2Æ0. -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểmcủa AB)M(1;2;1).Gọi (P)làmặtphẳngtrungtrựccủa AB. Khiđó, (P)điqua M(1;2;1)vànhận #  AMÆ(3;1;¡3)làvéc-tơpháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 3¢(x¡1)Å1¢(y¡2)¡3¢(z¡1)Æ0)(P):3xÅy¡3z¡2Æ0. Chọnđápán D ä Câu424. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;¡1;4) và B(2;3;¡2). Mặt phẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB điquađiểmnàodướiđây? A. Q(2;2;1). B. M(1;1;¡1). C. P(¡2;1;0). D. N(5;¡2;1). -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB,tacó I(1;1;1). #  ABÆ(2;4;¡6). Khi đó, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận #  u Æ(1;2;¡3) làm véc-tơ pháptuyếnnêncóphươngtrình (x¡1)Å2(y¡1)¡3(z¡1)Æ0,xÅ2y¡3zÆ0. Khiđó,điểmnằmtrênmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB là P(¡2;1;0). Chọnđápán C ä Câu425. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0), N(0;¡2;0), P(0;0;3). Tìmphươngtrìnhmặtphẳng (MNP). A. x 2 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. B. x 2 Å y ¡2 Å z 3 Æ0. C. x 2 Å y 2 Å z 3 Æ1. D. x 2 Å y ¡2 Å z 3 Æ¡1. -Lờigiải. Mặtphẳng (MNP)điquabađiểm M(2;0;0), N(0;¡2;0), P(0;0;3)cóphươngtrình x 2 Å y ¡2 Å z 3 Æ1. Chọnđápán A ä Câu426. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(4;9;8), N(1;¡3;4), P(2;5;¡1). Mặt phẳng (®) đi qua ba điểm M, N, P có phương trình tổng quát AxÅByÅCzÅDÆ0. Biết AÆ92,tìmgiátrịcủa D. A. 101. B. ¡101. C. ¡63. D. 36. -Lờigiải. Do AÆ92 nên mặt phẳng (P) có phương trình 92xÅByÅCzÅDÆ0. Do (P) đi qua các điểm A,B,C nêntacóhệ ½ 92¢4ÅB¢9ÅC¢8ÅDÆ0 92¢1ÅB¢(¡3)ÅC¢4ÅDÆ0 92¢2ÅB¢5ÅC¢(¡1)ÅDÆ0. Từđósuyra DÆ¡101. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 335 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu427. TrongkhônggianOxyzchomặtphẳng(P):2xÅ2yÅzÅ10Æ0.Khoảngcáchtừđiểm A(¡2;3;0)đếnmặtphẳng (P)bằng A. 20 3 . B. 4. C. 4 3 . D. 3. -Lờigiải. d(A,(P))Æ j¡4Å6Å10j p 2 2 Å2 2 Å1 Æ4. Chọnđápán B ä Câu428. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P):2xÅ2yÅz¡10Æ0khẳngđịnhnàodưới đâysai? A. Điểm B(2;2;2)thuộcmặtphẳng (P). B. Điểm A(¡2;1;0)thuộcmặtphẳng (P). C. Mộtvectơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(2;2;1). D. Giaođiểmcủamặtphẳng (P)vớitrụcOz là C(0;0;10). -Lờigiải. Tacó 2¢(¡2)Å2Å0¡106Æ0suyra A(¡2;1;0)khôngthuộcmặtphẳng (P). Chọnđápán B ä Câu429. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(7;¡2;3). Mặt phẳng trung trực củađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. 3x¡2yÅz¡14Æ0. B. 3x¡2yÅz¡12Æ0. C. 3x¡2yÅz¡8Æ0. D. 3x¡2yÅz¡22Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ #  ABÆ(6;¡4;2) và đi qua điểm I(4;0;2)chonêncóphươngtrình 3(x¡4)¡2yÅz¡2Æ0,3x¡2yÅz¡14Æ0. Chọnđápán A ä Câu430. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): xÅy¡zÅ1Æ 0 và (Q): x¡yÅz¡5Æ0. Có bao nhiêu điểm M trên trục Oy thỏa mãn M cách đều hai mặt phẳng (P)và (Q)? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Vì M2Oynên M(0;y;0). Tacó d(M;(P))Æ jyÅ1j p 3 và d(M;(Q))Æ j¡y¡5j p 3 . Theogiảthiết d(M;(P))Æd(M;(Q)),jyÅ1jÆj¡y¡5j, · yÅ1Æ¡y¡5 yÅ1ÆyÆ5 , · yÆ¡3 0yÆ4(vônghiệm) )M(0;¡3;0). Vậycó 1điểm M thỏamãnbài. Chọnđápán B ä Câu431. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm M(1;1;3), N(3;3;1).Mặtphẳngtrungtrựccủa đoạnthẳng MN cóphươngtrìnhlà A. xÅy¡z¡6Æ0. B. ¡xÅyÅz¡2Æ0. C. x¡yÅz¡2Æ0. D. xÅy¡z¡2Æ0. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa MN,suyra I(2;2;2). Mặtphẳngtrungtrực (®)của MN điqua I vànhận #  MNÆ(2;2;¡2)làmvéc-tơpháptuyến. )(®): 2(x¡2)Å2(y¡2)¡2(z¡2)Æ0,xÅy¡z¡2Æ0. Chọnđápán D ä Câu432. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(¡3;0;0), N(0;4;0), P(0;0;¡2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. 4xÅ3yÅ6z¡12Æ0. B. 4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. C. 4xÅ3yÅ6zÅ12Æ0. D. 4x¡3yÅ6z¡12Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (MNP): x ¡3 Å y 4 Å z ¡2 Æ1,4x¡3yÅ6zÅ12Æ0. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 336 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu433. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;2;¡3).Gọi M 1 , M 2 , M 3 lầnlượtlàhìnhchiếu vuông góc của M lên trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M 1 , M 2 , M 3 là A. xÅ y 2 ¡ z 3 Æ1. B. x 3 Å y 2 Å z 1 Æ1. C. xÅ y 2 Å z 3 Æ1. D. xÅ y 2 Å z 3 Æ¡1. -Lờigiải. Tacó M 1 (1;0;0), M 2 (0;2;0), M 3 (0;0;¡3). Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua M 1 , M 2 , M 3 là xÅ y 2 ¡ z 3 Æ1. Chọnđápán A ä Câu434. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(¡1;3;1) và B(3;¡1;¡1). Viết phương trình mặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB. A. 2x¡2y¡zÆ0. B. 2x¡2y¡zÅ1Æ0. C. 2xÅ2y¡zÆ0. D. 2xÅ2yÅzÆ0. -Lờigiải. Tọađộtrungđiểmcủa AB là I(1;1;0).Tacó #  ABÆ(4;¡4;¡2))phươngtrìnhmặtphẳngtrung trựccủađoạn AB là 4(x¡1)¡4(y¡1)¡2(z¡0)Æ0,2x¡2y¡zÆ0. Chọnđápán A ä Câu435. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): ¡xÅyÅ3zÅ1Æ0.Mặtphẳngsongsong vớimặtphẳng (P)cóphươngtrìnhnàosauđây? A. 2x¡2y¡6zÅ7Æ0. B. ¡2xÅ2yÅ3zÅ5Æ0. C. x¡yÅ3z¡3Æ0. D. ¡x¡yÅ3zÅ1Æ0. -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(¡1;1;3)cùngphươngvớivéc-tơ #  nÆ(2;¡2;¡6).Vì 2 ¡1 6Æ 7 1 nênphươngtrìnhmặtphẳngsongsongvới (P)là 2x¡2y¡6zÅ7Æ0. Chọnđápán A ä Câu436. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,phươngtrìnhmặtphẳng (P)điquacáchình chiếucủađiểm M(¡1;3;4)lêncáctrụctoạđộlà A. x 1 ¡ y 3 ¡ z 4 Æ1. B. ¡ x 1 Å y 3 Å z 4 Æ0. C. ¡ x 1 Å y 3 Å z 4 Æ1. D. ¡ x 1 Å y 3 ¡ z 4 Æ1. -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm M(¡1;3;4)lêncáctrụcOx,Oy,Ozlầnlượtlà A(¡1;0;0),B(0;3;0),C(0,0,4). Phươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắnđiqua A,B,C là x ¡1 Å y 3 Å z 4 Æ1. Chọnđápán C ä Câu437. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm M(1;0;0), N(0;¡2;0), P(0;0;1). Tínhkhoảngcách htừgốctoạđộO đếnmặtphẳng (MNP). A. hÆ 1 3 . B. hÆ¡ 1 3 . C. hÆ 2 3 . D. hÆ 2 p 7 . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (MNP)viếttheođoạnchắnlà x 1 Å y ¡2 Å z 1 Æ1,2x¡yÅ2z¡2Æ0. KhoảngcáchtừgốctoạđộO(0;0;0)đến (MNP)là hÆ j¡2j p 4Å1Å4 Æ 2 3 . Chọnđápán C ä Câu438. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(¡1;2;1) và mặt phẳng (P):2x¡ yÅz¡3Æ0.Gọi (Q)làmặtphẳngđiqua A vàsongsongvớimặtphẳng (P).Điểmnàosauđây khôngnằmtrênmặtphẳng (Q)? A. K(3;1;¡8). B. N(2;1;¡1). C. I(¡1;2;1). D. M(1;0;¡5). -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)điqua A vàsongsongvớimặtphẳng (P)códạng (Q):2x¡yÅzÅ3Æ0 Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng (Q) ta có 3 điểm K,I,M thoả mãn, còn điểm N khôngthoảmãn. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 337 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu439. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅy¡1Æ0. Mặt phẳng (P)cómộtvectơpháptuyếnlà A. #  nÆ(¡2;¡1;1). B. #  nÆ(2;1;¡1). C. #  nÆ(1;2;0). D. #  nÆ(2;1;0). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvectơpháptuyếnlà #  nÆ(2;1;0). Chọnđápán D ä Câu440. Trongkhônggianvớihệtọađộ,Oxyzchođiểm A(1;1;1)vàhaimặtphẳng(Q): yÆ0, (P): 2x¡yÅ3z¡1Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(R)chứa A,vuônggócvớicảhaimặtphẳng (P), (Q). A. 3x¡yÅ2z¡4Æ0. B. 3xÅy¡2z¡2Æ0. C. 3x¡2zÆ0. D. 3x¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Gọi #  pÆ(2;¡1;3), #  q(0;1;0)lầnlượtlàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)và (Q).Khiđómặt phẳng (R)nhậnvéc-tơ #  wÆ¡ £ #  p, #  q ¤ Æ(3;0;¡2)làmmộtvéc-tơpháptuyến.Dođó (R)cóphương trình 3x¡2z¡1Æ0. Chọnđápán D ä Câu441. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳngtiếpxúcvớimặt cầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6z¡2Æ0vàsongsongvớimặtphẳng(®): 4xÅ3y¡12zÅ10Æ0. A. · 4xÅ3y¡12zÅ26Æ0 4xÅ3y¡12z¡78Æ0 . B. · 4xÅ3y¡12z¡26Æ0 4xÅ3y¡12z¡78Æ0 . C. · 4xÅ3y¡12z¡26Æ0 4xÅ3y¡12zÅ78Æ0 . D. · 4xÅ3y¡12zÅ26Æ0 4xÅ3y¡12zÅ78Æ0 . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)songsongvới (®)códạng 4xÅ3y¡12zÅcÆ0.Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3),bánkính rÆ4nên (P)tiếpxúcvới (S)khivàchỉkhi 4Æd(I,(P))Æ jc¡26j 13 , h cÆ78 cÆ¡26. Vậycóhaimặtphẳngthỏamãnbàitoánlà 4xÅ3y¡12zÅ78Æ0, 4xÅ2y¡12z¡26Æ0. Chọnđápán C ä Câu442. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M(1;3;¡2), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (A, B, C không trung O) sao cho OA 1 Æ OB 2 Æ OC 4 . A. 2x¡y¡z¡1Æ0. B. xÅ2yÅ4zÅ1Æ0. C. 4xÅ2yÅzÅ1Æ0. D. 4xÅ2yÅz¡8Æ0. -Lờigiải. Giả sử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), với a,b,cÈ0. Phương trình mặt phẳng (P) là x a Å y b Å z c Æ1. Theogiảthiếttacó 8 > > < > > : a 1 Æ b 2 Æ c 3 1 a Å 3 b ¡ 2 c Æ1 , ( aÆ2 bÆ4 cÆ8. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là 4xÅ2yÅz¡8Æ0. Chọnđápán D ä Câu443. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2;¡2) và B(3;¡1;0). Đường thẳng AB cắtmặtphẳng (P): xÅy¡zÅ2Æ0tạiđiểm I.Tỉsố IA IB bằng A. 2. B. 4. C. 6. D. 3. -Lờigiải. Tacó IA IB Æ d(A,(P)) d(B,(P)) Æ 8 p 3 : 4 p 3 Æ2. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 338 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu444. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ9 vàmặtphẳng (P): 2x¡y¡2zÅ1Æ0.Biết (P)cắt (S)theogiaotuyếnlàđườngtròncóbánkính r.Tính r. A. rÆ3. B. rÆ2 p 2. C. rÆ p 3. D. rÆ2. -Lờigiải. Tacó (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ9) n I(1;2;2) RÆ3 . dÆd(I,(®))Æ j2¢1¡2¡2¢2Å1j p 2 2 Å(¡1) 2 Å(¡2) 2 Æ1. Vậy rÆ p R 2 ¡d 2 Æ2 p 2. Chọnđápán B ä Câu445. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅ2y¡zÅ2Æ0 và điểm I(1;2;2).Phươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P)là A. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ4. B. (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ36. C. (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4. D. (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡2) 2 Æ25. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầu (S)là RÆd(I,(P))Æ j2¢1Å2¢2¡2Å2j p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ2. Phươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ4. Chọnđápán A ä Câu446. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B(¡2;2;3). Phương trình nào dưới đâylàphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB? A. 3x¡y¡zÅ1Æ0. B. 3xÅyÅz¡6Æ0. C. 3x¡y¡zÆ0. D. 6x¡2y¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Gọi(®)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB.Khiđó(®)điquađiểm M(1;1;2),làtrung điểmcủa AB,vànhận #  ABÆ(¡6;2;2)làmvéc-tơpháptuyến.Phươngtrìnhcủamặtphẳng (®) là ¡6(x¡1)Å2(y¡1)Å2(z¡2)Æ0,¡6xÅ2yÅ2zÆ0,3x¡y¡zÆ0. Chọnđápán C ä Câu447. TrongkhônggianOxyzchođiểmH(1;2;¡3).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(®)điqua H vàcắtcáctrụctọađộOx,Oy,Oz tại A,B,C saocho H làtrựctâmcủatamgiác ABC. A. x 1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. B. xÅ2yÅ3zÅ14Æ0. C. xÅ2y¡3z¡14Æ0. D. xÅyÅzÆ0. -Lờigiải. Giảsử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c),abc6Æ0. Khiđó (®): x a Å y b Å z c Æ1. Tacó #  HAÆ(a¡1;¡2;3), #  HBÆ(¡1;b¡2;3), #  BCÆ(0;¡b;c)và #  ACÆ(¡a;0;c). H làtrựctâmcủa4ABC) ½ #  HA¢ #  BCÆ0 #  HB¢ #  ACÆ0 , n 2bÅ3cÆ0 aÅ3cÆ0 )aÆ2bÆ¡3c. Mặtkhác H2(®)) 1 a Å 2 b ¡ 3 c Æ1. Suyra 1 ¡3c Å 4 ¡3c ¡ 3 c Æ1,14Æ¡3c,cÆ¡ 14 3 )aÆ14,bÆ7. Vậy (®): x 14 Å y 7 Å z ¡ 14 3 Æ1hay (®): xÅ2y¡3z¡14Æ0. Chọnđápán C ä Câu448. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2yÅ4z¡1Æ0 và mặt phẳng (P):xÅy¡z¡mÆ0. Tìm tất cả m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bánkínhlớnnhất. A. mÆ¡4. B. mÆ0. C. mÆ4. D. mÆ7. -Lờigiải. Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;¡2). Để (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính lớn nhất thì đó là đườngtrònlớn.Suyra I2(P),mÆ4. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 339 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu449. Chọnkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì songsongvớinhau. B. Trongkhônggianhaiđườngthẳngvuônggócvớinhaucóthểcắtnhauhoặcchéonhau. C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với nhau một đường thẳng thì song songvớinhau. D. Trongkhônggianhaiđườngthẳngkhôngcóđiểmchungthìsongsongvớinhau. -Lờigiải. Dựavàokiếnthứccơbảncủahìnhhọckhônggiantasuyrakhẳngđịnhđúnglà:Trongkhông gianhaiđườngthẳngvuônggócvớinhaucóthểcắtnhauhoặcchéonhau. Chọnđápán B ä Câu450. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡3yÅz¡6Æ0 cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C. Lúc đó thể tích V của khối tứ diện OABC là A. 6. B. 3. C. 12. D. 18. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) lần lượt là giao của mặt phẳng (P) với ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz.Khiđó A(3;0;0), B(0;¡2;0), C(0;0;6)vàtứdiện OABC có OA,OB,OC đôimộtvuônggóctại O. DođóV OABC Æ 1 6 OA¢OB¢OCÆ 1 6 3¢2¢6Æ6. Chọnđápán A ä Câu451. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): y¡zÅ2Æ0. Véc-tơ nào dướiđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)? A. #  nÆ(0;1;1). B. #  nÆ(1;¡1;0). C. #  nÆ(1;¡1;2). D. #  nÆ(0;1;¡1). -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ(0;1;¡1). Chọnđápán D ä Câu452. Cho A(¡1;2;1)vàhaimặtphẳng(P): 2xÅ4y¡6z¡5Æ0;(Q): xÅ2y¡3zÆ0.Khiđó A. mặtphẳng (Q)qua A và (Q)Ò(P). B. mặtphẳng (Q)khôngqua A vàkhôngsongsongvớimặtphẳng (P). C. mặtphẳng (Q)khôngqua A và (Q)Ò(P). D. mặtphẳng (Q)qua A vàmặtphẳng (Q)cắtmặtphẳng (P). -Lờigiải. Thaytọađộđiểm A vàophươngtrìnhmặtphẳng (Q)thỏamãn,dođó A2(Q). Vì #  n P Æ(2;4;¡6)Æ2(1;2;¡3)Æ #  n Q nên (P)Ò(Q). Chọnđápán A ä Câu453. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(1;¡2;3).Tọađộhìnhchiếuvuông góccủa M trênmặtphẳngtọađộOxylà A. (1;0;3). B. (1;¡2;0). C. (0;¡2;3). D. (1;0;0). -Lờigiải. Phươngtrìnhđườngthẳng d điqua M vàvuônggócvớimặtphẳng (Oxy): zÆ0là ( xÆ1 yÆ¡2 zÆ3Åt . Gọi H làtọađộhìnhchiếuvuônggóccủa M trênmặtphẳngtọađộOxy,suyra H làgiaođiểm củađườngthẳng d và (Oxy).Tacó 3ÅtÆ0)tÆ¡3)H(1;¡2;0). Chọnđápán B ä Câu454. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chomặtcầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4yÅ6z¡2Æ0và mặtphẳng (P):xÅy¡zÅ4Æ0.Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng. A. (P)tiếpxúc (S). B. (P)khôngcắt (S). C. (P)điquatâmcủa (S). D. (P)cắt (S). -Lờigiải. (S)cótâm I(0;2;¡3)vàbánkính RÆ p 15. Tacó d[I,(P)]Æ j2Å3Å4j p 1Å1Å1 Æ3 p 3È p 15ÆR nên (P)khôngcắt (S). Th.sNguyễnChínEm 340 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu455. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtphẳng (P)điqua M(¡1;2;4)vàchứatrục Oycóphươngtrình A. (P):4x¡zÆ0. B. (P):4xÅzÆ0. C. (P):x¡4zÆ0. D. (P):xÅ4zÆ0. -Lờigiải. (P) có cặp véc-tơ chỉ phương #  v Oy Æ(0;1;0) và #  OMÆ(¡1;2;4). Khi đó véc-tơ pháp tuyến của (P) là #  n (P) Æ(¡4;0;¡1),tachọn #  n (P) Æ(4;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua M(¡1;2;4) và có véc-tơ pháp tuyến #  n (P) Æ(4;0;1) nên có phương trình 4(xÅ1)Å(z¡4)Æ0hay 4xÅzÆ0. Chọnđápán B ä Câu456. TrongkhônggianhệtọađộOxyz,chophươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6z¡11Æ0. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (®),biết (®)songsongvới (P):2xÅy¡2zÅ11Æ0vàcắtmặtcầu (S)theotiếtdiệnlàmộtđườngtròncóchuvibằng 8¼. A. 2xÅy¡2x¡11Æ0. B. 2x¡y¡2z¡7Æ0. C. 2xÅy¡2z¡5Æ0. D. 2xÅy¡2z¡7Æ0. -Lờigiải. Vì (®)Ò(P)nênphươngtrìnhmặtphẳng (®)códạng 2xÅy¡2zÅcÆ0. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ5. Đườngtròncóchuvi 8¼nênbánkính rÆ4. Khoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng P bằng 3. Từđótacó d(I,(P))Æ j2¢1Å2¡2¢3Åcj p 2 2 Å1 2 Å(¡2) 2 Æ3,j¡2ÅcjÆ9, h cÆ11 cÆ¡7 . Vì (®)Ò(P)nênphươngtrìnhmặtphẳng (®)là 2xÅy¡2z¡7Æ0. Chọnđápán D ä Câu457. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): xÅ2y¡2zÅ3Æ0 và (Q): xÅ2y¡2z¡1Æ0.Khoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)là A. 4 9 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. ¡ 4 3 . -Lờigiải. Lấy M(¡3;0;0)2(P). Vì (P)Ò(Q) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cáchtừđiểm M đếnmặtphẳng (Q). Tacó d(M,(Q))Æ jx M Å2y M ¡2z M ¡1j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ 4 3 . Chọnđápán C ä Câu458. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;¡1;2) và N(2;1;4). Viết phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng MN. A. 3xÅy¡1Æ0. B. yÅz¡3Æ0. C. x¡3y¡1Æ0. D. 2xÅy¡2zÆ0. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủađoạnthẳng MN. 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x M Åx N 2 y I Æ y M Åy N 2 z I Æ z M Åz N 2 , ( x I Æ2 y I Æ0 z I Æ3 . Khiđó I(2;0;3). #  MNÆ(0;2;2). Phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng MN là 2yÅ2(z¡3)Æ0,yÅz¡3Æ0. Chọnđápán B ä Câu459. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobađiểm A(1;¡2;1),B(¡1;3;3),C(2;¡4;2). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là A. 4yÅ2z¡3Æ0. B. 2yÅz¡3Æ0. C. 3xÅ2yÅ1Æ0. D. 9xÅ4y¡zÆ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;5;2), #  ACÆ(1;¡2;1).Khiđó,véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(ABC)là h #  AB, #  AC i Æ (9;4;¡1). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 341 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu460. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®) đi qua điểm A(2;¡1;5) và vuônggócvớihaimặtphẳng (P):3x¡2yÅzÅ7Æ0và (Q):5x¡4yÅ3zÅ1Æ0.Phươngtrìnhcủa mặtphẳng (®)là A. xÅ2yÅz¡5Æ0. B. 2xÅ4yÅ2zÅ10Æ0. C. xÅ2y¡zÅ5Æ0. D. 2x¡4y¡2z¡10Æ0. -Lờigiải. Ta có các véc-tơ pháp tuyến của (P) và (Q) là #  n P Æ(3;¡2;1), #  n Q Æ(5;¡4;3). Theo giả thiết mặt phẳng (®) vuông góc với (P) và (Q) do đó #  n ® ?( #  n P , #  n Q ). ) #  n ® Æ £ #  n P ; #  n Q ¤ Æ(1;2;1). Suy ra, phươngtrìnhmặtphẳng (®)códạng 1(x¡2)Å2(yÅ1)Å1(z¡5)Æ0.Hay xÅ2yÅz¡5Æ0. Chọnđápán A ä Câu461. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(¡1;0;1), B(¡2;1;1). Phương trìnhmặttrungtrựccủađoạn AB là A. x¡yÅ2Æ0. B. x¡yÅ1Æ0. C. ¡xÅyÅ2Æ0. D. x¡y¡2Æ0. -Lờigiải. Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là I µ ¡3 2 ; 1 2 ;1 ¶ . Phương trình mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và nhận véc-tơ #  ABÆ(¡1;1;0) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình¡1 µ xÅ 3 2 ¶ Å 1 µ y¡ 1 2 ¶ Æ0,hay¡xÅy¡2Æ0. Chọnđápán A ä Câu462. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): (m¡1)xÅy¡2zÅmÆ0 và (Q): 2x¡zÅ3Æ0.Tìm mđể (P)vuônggócvới (Q). A. mÆ0. B. mÆ 3 2 . C. mÆ5. D. mÆ¡1. -Lờigiải. (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các véc-tơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là (m¡1;1;¡2)¢(2;0;¡1)Æ0,mÆ0. Chọnđápán A ä Câu463. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®) đi qua hai điểm A(1;¡1;2), B(3;0;¡1) và vuông góc với mặt phẳng (¯): x¡yÅ2zÅ1Æ0. Véc-tơ nào dưới đây là một véc- tơpháptuyếncủa (®)? A. #  n 1 (1;7;3). B. #  n 2 (1;¡7;3). C. #  n 3 (¡1;¡7;3). D. #  n 4 (1;¡1;3). -Lờigiải. Mặtphẳng (¯)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡1;2).Mặtphẳng (®)qua A,B vàvuônggóc với (¯)nêncómộtvéc-tơpháptuyếnlà h #  AB, #  n i Æ(¡1;¡7;¡3)Æ¡(1;7;3). Chọnđápán A ä Câu464. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm A(2;3;5), B(3;2;4) và C(4;1;2) có phươngtrìnhlà A. xÅyÅ5Æ0. B. xÅy¡5Æ0. C. y¡zÅ2Æ0. D. 2xÅy¡7Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡1;¡1), #  ACÆ(2;¡2;¡3) ) h #  AB, #  AC i Æ(1;1;0) Mặtphẳng (ABC)quađiểm A(2;3;5)vàcóvéctơpháptuyến h #  AB, #  AC i Æ(1;1;0)nêncóphương trình 1(x¡2)Å1(y¡3)Å0¢(z¡5)Æ0,xÅy¡5Æ0. Chọnđápán B ä Câu465. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (®): xÅyÅz¡1Æ0. Trong các mặt phẳng sautìmmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳng (®). Th.sNguyễnChínEm 342 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 2x¡y¡zÅ1Æ0. B. 2xÅ2yÅ2z¡1Æ0. C. x¡y¡zÅ1Æ0. D. 2x¡yÅzÅ1Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (®)có #  n (®) Æ(1;1;1). Mặt phẳng 2x¡y¡zÅ1Æ0 có vec-tơ pháp tuyến #  n 1 Æ(2;¡1;¡1)) #  n (®) ¢ #  n 1 Æ0 nên mặt phẳng (®)vuônggócvớimặtphẳng 2x¡y¡zÅ1Æ0. Chọnđápán A ä Câu466. Trong không gian Oxyz cho điểm A(4;¡3;7) và B(2;1;3). Viết phương trình mặt phẳngtrungtrựccủađoạn AB. A. xÅ2yÅ2zÅ15Æ0. B. x¡2yÅ2zÅ15Æ0. C. xÅ2yÅ2z¡15Æ0. D. x¡2yÅ2z¡15Æ0. -Lờigiải. Tacó #  AB(¡2;4;¡4)trungđiểm AB là M(3;¡1;5). Mặtphẳngtrungtrựccủa AB là¡2(x¡3)Å4(yÅ1)¡4(z¡5)Æ0,x¡2yÅ2z¡15Æ0. Chọnđápán D ä Câu467. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;0;¡1).Mặtphẳng (®)điqua M vàchứatrục Oxcóphươngtrìnhlà A. yÆ0. B. xÅzÆ0. C. yÅzÅ1Æ0. D. xÅyÅzÆ0. -Lờigiải. Domặtphẳng (®)điqua M vàchứatrục Ox nên (®)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ h #  i, #  OM i với #  i Æ(1;0;0)và #  OMÆ(1;0;¡1)) #  nÆ(0;1;0). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®)là yÆ0. Chọnđápán A ä Câu468. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡5yÅ1Æ0. Một véc-tơ pháp tuyến của (P)là A. #  n 1 Æ(2;¡5;1). B. #  n 2 Æ(2;¡5;0). C. #  n 3 Æ(2;5;0). D. #  n 4 Æ(¡2;5;1). -Lờigiải. Tacómặtphẳng (P): 2x¡5yÅ1Æ0cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(2;¡5;0). Chọnđápán B ä Câu469. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(¡1;¡2;5) và vuônggócvớihaimặtphẳng (Q): xÅ2y¡3zÅ1Æ0và (R): 2x¡3yÅzÅ1Æ0códạng A. xÅyÅz¡2Æ0. B. 7xÅ7yÅ7z¡5Æ0. C. x¡yÅz¡6Æ0. D. xÅyÅzÅ2Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n (Q) Æ(1;2;¡3). Mặtphẳng (R)cóvéc-tơpháptuyến #  n (R) Æ(2;¡3;1). Khiđómặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ[ #  n (Q) , #  n (R) ]Æ(¡7;¡7;¡7). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là ¡7(xÅ1)¡7(yÅ2)¡7(z¡5)Æ0,¡7x¡7y¡7zÅ14Æ0,xÅyÅz¡2Æ0. Chọnđápán A ä Câu470. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;¡3), đồng thờivuônggócvớihaimặtphẳng (Q): xÅyÅ3zÆ0và (R): 2x¡yÅzÆ0là A. 4xÅ5y¡3zÅ22Æ0. B. 4x¡5y¡3z¡12Æ0. C. 2xÅy¡3z¡14Æ0. D. 4xÅ5y¡3z¡22Æ0. -Lờigiải. Từ (Q): xÅyÅ3zÆ0,suyravéc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n (Q) Æ(1;1;3). Từ (R): 2x¡yÅzÆ0,suyravéc-tơpháptuyếncủa (R)là #  n (R) Æ(2;¡1;1). Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ #  n (Q) ^ #  n (R) Æ(4;5;¡3). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là 4(x¡2)Å5(y¡1)¡3(zÅ3)Æ0,4xÅ5y¡3z¡22Æ0. Chọnđápán D ä Câu471. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡1) và B(¡3;0;¡1). Mặt phẳng trung trựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. x¡yÅz¡3Æ0. B. 2xÅyÅ1Æ0. C. x¡yÅzÅ3Æ0. D. 2xÅy¡1Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 343 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tọađộtrungđiểm I của AB là I(¡1;1;¡1), #  ABÆ(¡4;¡2;0)Æ¡2(2;1;0). Mặt phẳng trung trực của AB qua điểm I và nhận #  AB làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trìnhlà: 2(xÅ1)Å1(y¡1)Æ0,2xÅyÅ1Æ0. Chọnđápán B ä Câu472. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (®): x¡yÅ2z¡1Æ0cóphươngtrìnhlà A. xÅyÆ0. B. xÅ2yÆ0. C. x¡yÆ0. D. xÅy¡1Æ0. -Lờigiải. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (®) là #  n (®) Æ (1;¡1;2), véc-tơ chỉ phương của trục Oz là #  k Æ(0;0;1). Mặt phẳng cần tìm có véc-tơ pháp tuyến #  nÆ h #  n (®) , #  k i Æ(¡1;¡1;0) và đi qua gốc tọa độ nên có phươngtrìnhlà xÅyÆ0. Chọnđápán A ä Câu473. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;4),B(0;0;1) và mặt cầu (S): (xÅ1) 2 Å (y¡1) 2 Åz 2 Æ4.Mặtphẳng(P): axÅbyÅczÅ3Æ0điqua A,Bvàcắtmặtcầu(S)theogiaotuyến làmộtđườngtròncóbánkínhnhỏnhất.Tính TÆaÅbÅc. A. TÆ 27 4 . B. TÆ 33 5 . C. TÆ¡ 3 4 . D. TÆ 31 5 . -Lờigiải. Tacó: (S)cótâm I(¡1;1;0)vàbánkính RÆ2. Nhậnthấy rÆ p 4¡(d(I,P)) 2 )r min khid(I,(P)) max (P): axÅbyÅczÅ3Æ0điqua A,B)P: (9¡2b)xÅby¡3zÅ3Æ0 d(I,(P))Æ 3jb¡2j p 5b 2 ¡36bÅ90 . Xéthàmsố yÆ 3jb¡2j p 5b 2 ¡36bÅ90 . Với bÇ2thìhàmsốkhôngcóGTLN. Với b¸2)y 0 Æ 3(¡8bÅ54) ¡ 5b 2 ¡36bÅ90 ¢p 5b 2 ¡36bÅ90 ) max [2;Å1) yÆy µ 27 4 ¶ Vậy bÆ 27 4 , aÆ¡ 9 2 , cÆ¡3)TÆ¡ 3 4 . Chọnđápán C ä Câu474. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;2) và các số a,b thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P): ayÅbzÆ0 bằng 2 p 2. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. aÆ¡b. B. aÆ2b. C. bÆ2a. D. aÆb. -Lờigiải. Tacó d (A,(P)) Æ2 p 2, j2aÅ2bj p a 2 Åb 2 Æ2 p 2,(aÅb) 2 Æ2(a 2 Åb 2 ),a 2 ¡2abÅb 2 Æ0,aÆb. Chọnđápán D ä Câu475. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2xÅyÅmz¡2Æ0 và (Q): xÅnyÅ2zÅ8Æ0songsongvớinhau.Giátrịcủa m,nlầnlượtlà A. 4và 1 2 . B. 2và 1 2 . C. 2và 1 4 . D. 4và 1 4 . -Lờigiải. Tacó (P)Ò(Q), 2 1 Æ 1 n Æ m 2 6Æ ¡2 8 , ( nÆ 1 2 mÆ4 . Chọnđápán A ä Câu476. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(0;1;¡1)vàB(1;0;1).Mặtphẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhtổngquátlà A. x¡yÅ2zÅ1Æ0. B. x¡yÅ2zÆ0. C. x¡yÅ2z¡1Æ0. D. xÅyÅ2zÆ0. Th.sNguyễnChínEm 344 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I µ 1 2 ; 1 2 ;0 ¶ và nhận #  ABÆ(1;¡1;2) làm véc-tơ pháp tuyến,cóphươngtrìnhlà 1¢ µ x¡ 1 2 ¶ ¡1¢ µ y¡ 1 2 ¶ Å2¢(z¡0)Æ0,x¡yÅ2zÆ0. Chọnđápán B ä Câu477. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm M(¡1;2;0)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n(4;0;¡5). A. 4x¡5yÅ4Æ0. B. 4x¡5y¡4Æ0. C. 4x¡5zÅ4Æ0. D. 4x¡5z¡4Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua M(¡1;2;0)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n(4;0;5)là (xÅ1)Å0(y¡2)¡5(z¡0)Æ0,4x¡5zÅ4Æ0. Chọnđápán C ä Câu478. Điểmnàosauđâythuộccả2mặtphẳng(Oxy)vàmặtphẳng(P): xÅyÅz¡3Æ0? A. M(1;1;0). B. N(0;2;1). C. P(0;0;3). D. Q(2;1;0). -Lờigiải. Điểmthuộcmặtphẳng (Oxy): zÆ0sẽcócaođộbằng 0.Dođóloạiđiểm N và P. Thay tọa độ điểm M(1;1;0) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1Å1Å0¡3Æ0 (sai) nên MÝ(P). ThaytọađộđiểmQ(2;1;0)vàophươngtrìnhmặtphẳng (P)tađược 2Å1Å0¡3Æ0(đúng)nên Q2(P). Chọnđápán D ä Câu479. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(5;4;3). Gọi (®) là mặt phẳng đi qua các hìnhchiếucủa A lêncáctrụctọađộ.Phươngtrìnhcủamặtphẳng (®)là A. 12xÅ15yÅ20z¡10Æ0. B. 12xÅ15yÅ20zÅ60Æ0. C. x 5 Å y 4 Å z 3 Æ1. D. x 5 Å y 4 Å z 3 ¡60Æ0. -Lờigiải. Gọi A 0 ,B 0 ,C 0 lầnlượtlàhìnhchiếucủa A,B,ClêncáctrụctọađộOx,Oy,Oz.Suyra A 0 (5;0;0), B 0 (0;4;0), C 0 (0;0;3). Phươngtrìnhmặtphẳng (®)điqua A 0 , B 0 , C 0 là x 5 Å y 4 Å z 3 Æ1. Chọnđápán C ä Câu480. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®):2x¡2yÅzÅ5Æ0. Khoảng cách h từ điểm A(1;1;1)đếnmặtphẳng (®)bằng A. hÆ2. B. hÆ 6 p 5 . C. hÆ 10 3 . D. hÆ6. -Lờigiải. hÆd(A,(®))Æ j2¢1¡2¢1Å1Å5j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ2. Chọnđápán A ä Câu481. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(2;1;1), B(3;0;¡1), C(2;0;3).Mặtphẳng(®)đi quahaiđiểm A, B vàsongsongvớiđườngthẳngOC cóphươngtrìnhlà A. 3xÅy¡2z¡5Æ0. B. x¡yÅz¡2Æ0. C. 4xÅ2yÅz¡11Æ0. D. 3xÅ7y¡2z¡11Æ0. -Lờigiải. Gọi #  n làvtptcủamặtphẳng (®). Tacó n AB½(®) OCÒ(®) ) ½ #  n? #  AB #  n? #  OC nên #  n cùngphươngvới #  AB^ #  OC. Tacó #  ABÆ(1;¡1;¡2), #  OCÆ(2;0;3)) #  AB^ #  OCÆ(¡3;¡7;2)Æ(¡1)¢(3;7;¡2).Tachọn #  nÆ(3;7;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng (®)là: 3xÅ7y¡2z¡11Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 345 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu482. Có bao nhiêu mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng ¢: x¡3 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 ¡2 , đồng thờitiếpxúcvớihaimặtphẳng (® 1 ):2xÅ2yÅz¡6Æ0và (® 2 ):x¡2yÅ2zÆ0. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vôsố. -Lờigiải. Gọi I làtâmcủamặtcầu (S).Do I2¢nên I(3Å2t;1¡t;1¡2t),tacó d(I,(® 1 ))Æd(I,(® 2 )),1Æ1 (đúng). Chọnđápán D ä Câu483. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;1;0), B(1;¡1;3), C(3;¡2;2) và D(¡1;2;2). Hỏicóbaonhiêumặtcầutiếpxúcvớitấtcảbốnmặtphẳng(ABC),(BCD),(CDA),(DAB). A. 6. B. 7. C. 8. D. vôsố. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡2;3), #  ACÆ(1;¡3;2)) #  AB^ #  ACÆ(5;5;5). Phương trình (ABC):xÅyÅz¡3Æ0. Ta thấy D2(ABC) nên có vô số mặt phẳng thỏa yêu cầu bàitoán. Chọnđápán D ä Câu484. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡4z¡16Æ0 và mặtphẳng (P): xÅ2y¡2z¡2Æ0.Mặtphẳng (P)cắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàmộtđường tròncóbánkínhlà A. rÆ p 6. B. rÆ2 p 2. C. rÆ4. D. rÆ2 p 3. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;2)vàbánkính RÆ5. Tađặt dÆd(I,(P))Æ j1Å2(¡2)¡2¢2¡2j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ3. Khiđó rÆ p R 2 ¡d 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu485. Chotamgiác ABC.Khiđósốmặtphẳngqua A vàcáchđềuhaiđiểmBvàC là A. 0. B. 1. C. 2. D. Vôsố. -Lờigiải. Mặtphẳngqua AvàsongsongvớiđườngthẳngBCthìcáchđềuhaiđiểmBvàC,cóvôsốmặt phẳngđiqua A vàsongsongvới BC. Chọnđápán D ä Câu486. TrongkhônggianOxyz,cho A(¡1;¡1;1);B(3;1;1).Tìmphươngtrìnhmặtphẳngtrung trựccủađoạn AB. A. 2xÅy¡z¡2Æ0. B. 2xÅy¡2Æ0. C. xÅ2y¡2Æ0. D. xÅ2y¡z¡2Æ0. -Lờigiải. #  ABÆ(4;2;0),trungđiểmcủađoạn AB là 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 y I Æ y A Åy B 2 z I Æ z A Åz B 2 , ( x I Æ1 y I Æ0 z I Æ1 . Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có VTPT là #  n Æ(2;1;0) và đi qua điểm I(1;0;1) nên có phươngtrình 2(x¡1)Å(y¡0)Æ0hay 2xÅy¡2Æ0. Chọnđápán B ä Câu487. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P):2xÅ2y¡zÅ16Æ0.Điểm M(0;1;¡3),khi đókhoảngcáchtừ M đến (P)là A. 21 9 . B. p 10. C. 7. D. 5. -Lờigiải. Khoảngcáchtừđiểm M đến (P)là d (M,(P)) Æ j2Å3Å16j p 4Å4Å1 Æ7. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 346 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu488. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (®) qua A(2;¡1;5) và chứa trục Ox có véc-tơ pháptuyến #  uÆ(a;b;c).Khiđótỉsố b c bằng A. 5. B. 1 5 . C. ¡1 5 . D. ¡5. -Lờigiải. Tacó #  uÆ[ #  OA; #  i]Æ(0;5;1),dođó b c Æ5. Chọnđápán A ä Câu489. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyzchocácđiểm A(0;1;2),B(2;¡2;1),C(¡2;0;1). Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới BC là A. 2x¡y¡1Æ0. B. ¡yÅ2z¡3Æ0. C. 2x¡yÅ1Æ0. D. yÅ2z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  nÆ 1 2 #  BCÆ(¡2;1;0). Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có dạng ¡2(x¡0)Å1(y¡1)Æ0, ¡2xÅy¡1Æ0,2x¡yÅ1Æ0. Chọnđápán C ä Câu490. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1;¡2;3) đến (P):xÅ3y¡4zÅ9Æ0 là A. p 26 13 . B. p 8. C. 17 p 26 . D. 4 p 26 13 . -Lờigiải. d(A,(P))Æ j1¡3¢2¡4¢3Å9j p 1 2 Å3 2 Å(¡4) 2 Æ 4 p 26 13 . Chọnđápán D ä Câu491. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;1;1)vàB(1;3;¡5).Viếtphươngtrìnhmặt phẳngtrungtrựccủa AB. A. y¡2zÅ2Æ0. B. y¡3zÅ4Æ0. C. y¡2z¡6Æ0. D. y¡3z¡8Æ0. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB)I(1;2;¡2). Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và nhận #  ABÆ (0;2;¡6) làm véc-tơ pháp tuyến nên phươngtrìnhcódạng: 0(x¡1)Å2(y¡2)¡6(zÅ2)Æ0,y¡3z¡8Æ0. Chọnđápán D ä Câu492. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0).Độdàiđườngcaocủatamgiác ABC kẻtừ C là A. p 26. B. p 26 2 . C. p 26 3 . D. 26. -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(¡1;2;2), #  ACÆ(1;1;¡1), h #  AB, #  AC i Æ(¡4;1;¡3), ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ3. S ¢ABC Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB; #  AC i¯ ¯ ¯Æ p 26 2 . Mà S ¢ABC Æ 1 2 d(C;AB)¢AB)d(C;AB)Æ p 26 3 . Chọnđápán C ä Câu493. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0), N(0;1;0) và P(0;0;2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. B. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. C. x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. -Lờigiải. Ta có mặt phẳng (MNP) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại M(2;0;0), N(0;1;0) và P(0;0;2)nênphươngtrìnhmặtphẳng (MNP)là x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. Th.sNguyễnChínEm 347 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu494. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (®) qua ba điểm A, B, C lần lượt là hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(2;3;¡5)lêncáctrụctoạđộ x 0 Ox, y 0 Oy, z 0 Oz. A. 15x¡10y¡6z¡30Æ0. B. 15x¡10y¡6zÅ30Æ0. C. 15xÅ10y¡6zÅ30Æ0. D. 15xÅ10y¡6z¡30Æ0. -Lờigiải. Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm M(2;3;¡5)lêncáctrục x 0 Ox, y 0 Oy, z 0 Oz lầnlượtlà A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;¡5) Phươngtrìnhmặtphẳng (®)điquabađiểm A, B, C là x 2 Å y 3 Å z ¡5 Æ1,15xÅ10y¡6z¡30Æ0. Chọnđápán D ä Câu495. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;¡1;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A vàsongsongvớimặtphẳng (Q):xÅ2y¡3zÅ2Æ0. A. (P):xÅ2y¡3zÅ9Æ0. B. (P):xÅ2y¡3z¡7Æ0. C. (P):xÅ2y¡3zÅ7Æ0. D. (P):xÅ2y¡3z¡9Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ #  n Q Æ(1;2;¡3). Vậy (P):1(x¡2)Å2(yÅ1)¡3(z¡3)Æ0,xÅ2y¡3zÅ9Æ0. Chọnđápán A ä Câu496. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1) và B(2;1;0). Phương trình nào dưới đâylàphươngtrìnhmặtphẳngqua ABvàvuônggócvớimặtphẳng(P):x¡3yÅ2z¡1Æ0? A. 3xÅ5yÅ6z¡19Æ0. B. xÅ2y¡3z¡2Æ0. C. 2xÅ3yÅ4z¡5Æ0. D. 5xÅ3yÅ2z¡13Æ0. -Lờigiải. Gọi (Q)làmặtphẳngcầntìm. Tacó #  ABÆ(1;¡1;¡1)vàvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(1;¡3;2). Véc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  nÆ h #  n P , #  AB i Æ(5;3;2). Mặtphẳng (Q)qua B(2;1;0)cóphươngtrình (Q):5(x¡2)Å3(y¡1)Å2(z¡0)Æ0 ,5xÅ3yÅ2z¡13Æ0. Chọnđápán D ä Câu497. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;1;1),N(2;¡1;0) và P(1;0;2). Mặtphẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x¡3yÅ2z¡1Æ0. B. 3x¡yÅ2z¡7Æ0. C. x¡2yÅ3z¡3Æ0. D. 2x¡yÅ3z¡6Æ0. -Lờigiải. Tacó #  MPÆ(¡1;¡1;1), #  MNÆ(0;¡2;¡1). Véc-tơpháptuyếncủa (MNP)là #  nÆ #  MP^ #  MNÆ(3;¡1;2). Mặtphẳng (MNP)điqua M(2;1;1)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n nêncóphươngtrình 3(x¡2)¡(y¡1)Å2(z¡1)Æ0,3x¡yÅ2z¡7Æ0. Chọnđápán B ä Câu498. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;2;¡1) và N(0;¡2;5). Viết phương trình mặtphẳng (®)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạn MN. A. (®): xÅ2y¡3zÅ10Æ0. B. (®): xÅ2y¡3zÅ15Æ0. C. (®): 2xÅ2y¡zÅ9Æ0. D. (®):¡2yÅ5zÅ9Æ0. -Lờigiải. Tọađộtrungđiểm I của MN là I(1;0;2). Tacó (®): ½ điqua I(1;0;2) VTPT #  nÆ #  MNÆ(¡2;¡4;6). Dođó (®):¡2(x¡1)¡4yÅ6(z¡2)Æ0,xÅ2y¡3zÅ5Æ0. Chọnđápán B ä Câu499. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaimặtphẳng (P): xÅ(mÅ1)y¡2zÅmÆ0 và (Q): 2x¡yÅ3Æ0, với m là tham số thực. Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. A. mÆ¡5. B. mÆ1. C. mÆ3. D. mÆ¡1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 348 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Haimặtphẳng (P);(Q)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n 1 (1;mÅ1;¡2)và #  n 2 (2;¡1;0). Dođó (P)?(Q), #  n 1 ¢ #  n 2 Æ0,2¡m¡1Æ0,mÆ1. Chọnđápán B ä Câu500. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): x¡2yÅ2z¡2Æ0vàđiểm I(¡1;2;¡1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm tại I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến làđườngtròncóbánkính rÆ5. A. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25. B. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ16. C. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ34. D. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ34. -Lờigiải. Tacó d(I;(P))ÆdÆ j¡1¡2¢2Å2(¡1)¡2j p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ3. Gọi R làbánkínhmặtcầu (S),tacó RÆ p d 2 År 2 Æ p 34. Vậymặtcầu (S)cóphươngtrìnhlà (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ34. Chọnđápán D ä Câu501. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,mặtphẳngchứahaiđiểm A(1;0;1),B(¡1;2;2) vàsongsongvớitrụcOxcóphươngtrìnhlà A. y¡2zÅ2Æ0. B. xÅ2z¡3Æ0. C. 2y¡zÅ1Æ0. D. xÅy¡zÆ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;2;1)vàvéc-tơchỉphươngcủatrụcOxlà #  i Æ(1;0;0).Gọi #  n làvéc-tơpháptuyến củamặtphẳng (P)cầntìm,do ½ #  n? #  AB #  n? #  i chọn #  nÆ h #  AB, #  i i Æ(0;1;¡2). Màmặtphẳng(P)điquađiểm A(1;0;1),suyramặtphẳng(P)cóphươngtrìnhlà y¡2zÅ2Æ0. Chọnđápán A ä Câu502. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2;¡2;0), C(¡2;0;1). Mặtphẳng (P)điqua A,trựctâm H củatamgiác ABC vàvuônggócvớimặtphẳng (ABC)có phươngtrìnhlà A. 4x¡2y¡zÅ4Æ0. B. 4x¡2yÅzÅ4Æ0. C. 4xÅ2yÅz¡4Æ0. D. 4xÅ2y¡zÅ4Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡3;¡2), #  ACÆ(¡2;¡1;¡1)nên h #  AB, #  AC i Æ(1;6;¡8). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là: xÅ6y¡8zÅ10Æ0. Phươngtrìnhmặtphẳngqua B vàvuônggócvới AC là: 2xÅyÅz¡2Æ0. Phươngtrìnhmặtphẳngqua C vàvuônggócvới AB là: 2x¡3y¡2zÅ6Æ0. Giaođiểmcủabamặtphẳngtrênlàtrựctâm H củatamgiác ABC nên H µ ¡ 22 101 ; 70 101 ; 176 101 ¶ . Mặtphẳng (P)điqua A, H nên #  n P ? #  AHÆ µ ¡ 22 101 ;¡ 31 101 ;¡ 26 101 ¶ Æ¡ 1 101 (22;31;26). Mặtphẳng (P)?(ABC)nên #  n P ? #  n (ABC) Æ(1;6;¡8). Vậy £ #  n (ABC) ; #  u AH ¤ Æ(404;¡202;¡101)làmộtvectơpháptuyếncủa (P). Chọn #  n P Æ(4;¡2;¡1)nênphươngtrìnhmặtphẳng (P)là 4x¡2y¡zÅ4Æ0. Chọnđápán A ä Câu503. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅ2yÅz¡2Æ0 và mặt cầu(S)tâm I(2;1;¡1)bánkínhRÆ2.Bánkínhđườngtròngiaocủamặtphẳng(P)vàmặtcầu (S)là A. rÆ p 3. B. rÆ3. C. rÆ p 5. D. rÆ1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 349 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọibánkínhđườngtròngiaocủamặtphẳng (P) vàmặtcầu (S)là r. Tacó hÆd(I,(P))Æ j2¢2Å2¢(¡1)¡1¡2j p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ1. Suyra rÆ p 2 2 ¡1 2 Æ p 3. I H R r (P) (S) Chọnđápán A ä Câu504. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;¡1;3), B(4;0;1), C(¡10;5;3). Véc-tơnàodướiđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (ABC)? A. #  n 3 Æ(1;8;2). B. #  n 1 Æ(1;2;0). C. #  n 4 Æ(1;¡2;2). D. #  n 2 Æ(1;2;2). -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(2;1;¡2), #  ACÆ(¡12;6;0))[ #  AB, #  AC]Æ(12;24;24)Æ2 #  n 2 . Vậy mặt phẳng (ABC) nhận #  n 2 Æ(1;2;2)làvéc-tơpháptuyến. Chọnđápán D ä Câu505. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(¡1;3;1), B(1;¡1;2), C(2;1;3) và D(0;1;¡1). Mặtphẳng (P)chứa AB vàsongsongvới CD cóphươngtrìnhlà A. (P):8xÅ3y¡4zÅ3Æ0. B. (P):xÅ2yÅ6z¡11Æ0. C. (P):xÅ2z¡4Æ0. D. (P):2xÅy¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡4;1), #  CDÆ(¡2;0;¡4))[ #  AB, #  CD]Æ(8;3;¡4). Mặtphẳng (P)điqua A(¡1;3;1),nhận #  nÆ[ #  AB, #  CD]Æ(8;3;¡4)làvéc-tơpháptuyến,cóphương trìnhlà 8(xÅ1)Å3(y¡3)¡4(z¡1)Æ0,8xÅ3y¡4zÅ3Æ0 (thỏamãnsongsong CD nênthỏamãnđềbài). Chọnđápán A ä Câu506. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x¡yÅ1Æ0. Trong các mệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. (P)vuônggócvớimặtphẳng (Q):xÅ2y¡5zÅ1Æ0. B. Điểm A(¡1;¡1;5)thuộc (P). C. (P)songsongvớitrụcOz. D. Véc-tơ #  nÆ(2;¡1;1)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến #  n P Æ(2;¡1;0). Ta có 2 2 Æ ¡1 ¡1 6Æ 0 1 nên #  n P không cùng phươngvới #  nÆ(2;¡1;1).Suyra #  nÆ(2;¡1;1)khônglàvéc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán D ä Câu507. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;¡3). Gọi M, N, P là hình chiếu vuông góc của điểm A trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (MNP). A. (MNP): 6xÅ3y¡2z¡6Æ0. B. (MNP): 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. C. (MNP): xÅ2y¡3z¡1Æ0. D. (MNP): 6xÅ3y¡2zÅ6Æ0. -Lờigiải. Có M(1;0;0), N(0;2;0), P(0;0;¡3) là hình chiếu của A lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìmlà (MNP): x 1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1,6xÅ3y¡2z¡6Æ0. Chọnđápán A ä Câu508. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(1;1;3),B(1;3;2),C(¡1;2;3).Viết phươngtrìnhmặtphẳng (ABC). A. (ABC): xÅ2yÅ4zÅ15Æ0. B. (ABC): x¡2yÅ4zÅ11Æ0. C. (ABC): x¡2yÅ4z¡11Æ0. D. (ABC): xÅ2yÅ4z¡15Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 350 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 #  ABÆ(0;2;¡1), #  ACÆ(¡2;1;0),VTPTcủa (ABC)là #  nÆ[ #  AB, #  AC]Æ(1;2;4). Vậy (ABC): x¡1Å2(y¡1)Å4(z¡3)Æ0,xÅ2yÅ4z¡15Æ0. Chọnđápán D ä Câu509. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P):xÅ2yÅz¡4Æ0.Trongcác véc-tơsauvectơnàokhôngphảilàvéc-tơpháptuyếncủa (P). A. #  nÆ(¡1;¡2;1). B. #  nÆ(1;2;1). C. #  nÆ(¡2;¡4;¡2). D. #  nÆ µ 1 2 ;1; 1 2 ¶ . -Lờigiải. Mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ(1;2;1). Tấtcảcácvéc-tơpháptuyếncủa (P)sẽcùngphươngvới #  n vàcódạng k #  n với k2R ¤ . Chọnđápán A ä Câu510. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(0;1;2), B(0;¡1;2). Viết phương trìnhmặtphẳngtrungtrựccủađoạn AB. A. z¡2Æ0. B. x¡zÅ2Æ0. C. xÆ0. D. yÆ0. -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểmcủa AB)M(0;0;2). Suy ra (P) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua M và nhận #  ABÆ(0;¡2;0) làm véc-tơ pháp tuyến. )(P): yÆ0. Chọnđápán D ä Câu511. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;¡1;2), B(2;1;1) và mặt phẳng P: xÅ yÅzÅ1Æ0.Mặtphẳng (Q)chứa A, B vàvuônggócvớimặtphẳng (P).Tìmphươngtrìnhmặt phẳng (Q). A. ¡xÅyÆ0. B. 3x¡2y¡xÅ3Æ0. C. xÅyÅz¡2Æ0. D. 3x¡2y¡x¡3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(1;1;1); #  ABÆ(1;2;¡1). DomặtphẳngQ chứaA,Bvàvuônggócvớimặtphẳng (P)) #  n Q Æ h #  n P ; #  AB i Æ(¡3;2;1). DođóQ: 3x¡2y¡z¡3Æ0. Chọnđápán D ä Câu512. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ4vàmặtphẳng (P): 4x¡3y¡mÆ0.Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố mđểmặtphẳng (P)vàmặtcầu (S) cóđúng1điểmchung. A. mÆ1. B. mÆ¡1hoặc mÆ¡21. C. mÆ1hoặc mÆ21. D. mÆ¡9hoặc mÆ31. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(2;¡1;¡2)vàbánkính RÆ2. Mặtphẳng (P)vàmặtcầu (S)cóđúng1điểmchungkhivàchỉkhi (P)tiếpxúc (S),từđósuy ra d(I,(P))ÆR. Tacó d(I,(P))ÆR, j4¢2¡3¢(¡1)¡mj p 4 2 Å3 3 Å0 2 Æ2,j11¡mjÆ10, h mÆ1 mÆ21. Chọnđápán C ä Câu513. Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;¡3), đồngthờivuônggócvớihaimặtphẳng (Q): xÅyÅ3zÆ0, (R): 2x¡yÅzÆ0là A. 4xÅ5y¡3zÅ22Æ0. B. 4x¡5y¡3z¡12Æ0. C. 2xÅy¡3z¡14Æ0. D. 4xÅ5y¡3z¡22Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n 1 Æ(1;1;3), #  n 2 Æ(2;¡1;1)lầnlượtlàvéc-tơpháptuyếncủacácmặtphẳng (Q),(R). Do mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q),(R) nên [ #  n 1 , #  n 2 ]Æ(4;5;¡3) là một véc-tơ pháptuyếncủa (P). Từđósuyramặtphẳng (P)cóphươngtrình 4xÅ5y¡3z¡22Æ0. Chọnđápán D ä Câu514. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P):2x¡yÅz¡2Æ0 Th.sNguyễnChínEm 351 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. Q(1;¡2;2). B. N(1;¡1;¡1). C. P(2;¡1;¡1). D. M(1;1;¡1). -Lờigiải. Thếtọađộđiểm N vàophươngtrìnhnặtphẳng (P)tađược 2¢1¡1¢(¡1)Å(¡1)¡2Æ0. Suyrađiểm N thuộcmặtphẳng (P). Chọnđápán B ä Câu515. TrongkhônggianOxyzchohaimặtphẳng(P):xÅ2y¡2z¡6Æ0và(Q):xÅ2y¡2zÅ3Æ 0.Tínhkhoảngcáchgiữahaimặtphẳng (P)và (Q). A. 1. B. 3. C. 9. D. 6. -Lờigiải. Lấy M(0;0;¡3)2(P).Do (P)Ò(Q)nên d((P),(Q))Æd(M,(Q))Æ j0Å0¡2(¡3)Å3j p 1Å2 2 Å2 2 Æ3. Chọnđápán B ä Câu516. Mặtphẳngcắtmặtcầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ6z¡1Æ0cóphươngtrìnhlà A. 2xÅ3y¡z¡16Æ0. B. 2xÅ3y¡zÅ12Æ0. C. 2xÅ3y¡z¡18Æ0. D. 2xÅ3y¡zÅ10Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;¡3)và RÆ2 p 3. Tacó:Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng 2xÅ3y¡z¡16Æ0là d 1 Æ 14 2 p 3 ÈR. Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng 2xÅ3y¡zÅ12Æ0là d 1 Æ 14 2 p 3 ÈR. Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng 2xÅ3y¡z¡18Æ0là d 1 Æ 16 2 p 3 ÈR. Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng 2xÅ3y¡zÅ10Æ0là d 1 Æ 12 2 p 3 ÆR. Chọnđápán D ä Câu517. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ12. Mặt phẳng nàosauđâycắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròn A. (P 1 ): xÅy¡zÅ2Æ0. B. (P 2 ): xÅy¡z¡2Æ0. C. (P 3 ): xÅy¡zÅ10Æ0. D. (P 4 ): xÅy¡z¡10Æ0. -Lờigiải. Mặt cầu (S) có tâm I(¡2;¡1;1) và bán kính rÆ p 12. Để mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyếnlàmộtđườngtrònthìkhoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳngđóphảinhỏhơn r. Tacó d(I;(P 1 ))Æ j¡2¡1¡1Å2j p 1 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Æ 2 p 3 3 Ç p 12.Vậymặtphẳngcầntìmlà (P 1 ). Chọnđápán A ä Câu518. TrongkhônggianOxyzchođiểm M(1;2;3).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điqua điểm M vàcắtcáctrụctọađộ Ox, Oy, Oz lầnlượttại A, B, C saocho M làtrọngtâmcủatam giác ABC. A. (P): 6xÅ3yÅ2zÅ18Æ0. B. (P): 6xÅ3yÅ2zÅ6Æ0. C. (P): 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. D. (P): 6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a,b,c6Æ0. Khiđó (P): x a Å y b Å z c Æ1. Vì M làtrọngtâmcủa4ABC nên 8 > > > > > < > > > > > : x M Æ x A Åx B Åx C 3 y M Æ y A Åy B Åy C 3 z M Æ z A Åz B Åz C 3 , ( aÆ3 bÆ6 cÆ9. Vậy (P): x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1hay (P): 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 352 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu519. Chomặtcầu (S)cóphươngtrình (x¡3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ100vàmặtphẳng (®)có phươngtrình2x¡2y¡zÅ9Æ0.Tínhbánkínhcủađườngtròn(C)làgiaotuyếncủamặtphẳng (®)vàmặtcầu (S). A. 8. B. 4 p 6. C. 10. D. 6. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡2;1),bánkính RÆ10. Gọi dÆd(I,(®))Æ j3¢2¡2¢(¡2)¡1¢1Å9j p 2 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ6. Vậybánkínhcủađườngtròngiaotuyếnlà rÆ p R 2 ¡d 2 Æ p 100¡36Æ8. Chọnđápán A ä Câu520. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm A(1;1;¡1) có phươngtrìnhlà A. zÅ1Æ0. B. x¡yÆ0. C. xÅzÆ0. D. yÅzÆ0. -Lờigiải. Gọi #  n làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng. Tacó: ½ #  n? #  OAÆ(1;1;¡1) #  n? #  i Æ(1;0;0) )Chọnmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳnglà #  nÆ h #  i; #  OA i Æ(0;1;1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳnglà: yÅzÆ0. Chọnđápán D ä Câu521. TrongkhônggianOxyz,mặtcầutâm I(1;2;¡1)tiếpxúcvớimặtphẳng (P): x¡2yÅ 2z¡1Æ0cóbánkínhbằng A. 4 3 . B. 4. C. 2. D. 9. -Lờigiải. Domặtcầutâm I tiếpxúcvớimặtphẳng (P)nên RÆd(I,(P)),RÆ j1¡2¢2Å2¢(¡1)¡1j p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 ,RÆ2. Vậybánkínhmặtcầutâm I bằng 2. Chọnđápán C ä Câu522. Trongkhônggian Oxyz,chobađiểm A(4;2;2), B(1;1;¡1)và C(2;¡2;¡2).Tìmtọađộ điểm M thuộcmặtphẳngOxz saocho ¯ ¯ ¯ #  MAÅ2 #  MB¡ #  MC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhất. A. M(2;0;3). B. M(2;0;1). C. M(2;3;1). D. M(¡2;0;3). -Lờigiải. Gọi I làđiểmthỏamãn: #  IAÅ2 #  IB¡ #  ICÆ #  0 , #  OIÆ 1 2 ³ #  OAÅ2 #  OB¡ #  OC ´ )I(2;3;1). Khiđó #  MAÅ2 #  MB¡ #  MCÆ2 #  MIÅ ³ #  IAÅ2 #  IB¡ #  IC ´ Æ2 #  MI Nên ¯ ¯ ¯ #  MAÅ2 #  MB¡ #  MC ¯ ¯ ¯nhỏnhất,MI nhỏnhất,M làhìnhchiếucủa I trênOxz. Vậy M(2;0;1). Chọnđápán B ä Câu523. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(3;¡1;2)vàmặtphẳng(®): 3x¡yÅ zÅ4Æ0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và song song với (®)? A. 3x¡yÅz¡11Æ0. B. 3x¡yÅzÅ11Æ0. C. 3x¡yÅzÅ12Æ0. D. 3x¡yÅz¡12Æ0. -Lờigiải. Tacómặtphẳng (P)Ò(®))(P): 3x¡yÅzÅmÆ0(với m6Æ4) Do M(3;¡1;2)2(P))3¢3Å1Å2ÅmÆ0)mÆ¡12(thỏamãn). Dođómặtphẳngcầntìmcóphươngtrìnhlà (P): 3x¡yÅz¡12Æ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 353 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu524. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;0;0), N(0;¡1;0) và P(0;0;2). Mặt phẳng (MNP)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. B. x 2 Å y 1 Å z 2 Æ1. C. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ0. D. x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ¡1. -Lờigiải. Vì mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M(2;0;0), N(0;¡1;0) và P(0;0;2) nên có phương trình là x 2 Å y ¡1 Å z 2 Æ1. Chọnđápán A ä Câu525. TrongkhônggianOxyz,cho2mặtphẳng(P): xÅ2y¡2z¡6Æ0và(Q): xÅ2y¡2zÅ3Æ0 Khoảngcáchgiữa2mặtphẳng (P)và (Q)bằng A. 1. B. 6. C. 3. D. 9. -Lờigiải. Hai mặt phẳng song song nên khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm trên mộtmặtphẳngtớimặtphẳngcònlại. Điểm M(6,0,0)2(P).Khoảngcáchtừ M đến (Q)bằng dÆ j1¢(6)Å2¢(0)¡2¢(0)Å3j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ3. Chọnđápán C ä Câu526. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): x¡2y¡zÅ3Æ0,(Q): 2xÅyÅz¡1Æ0. Mặtphẳng (R)điqua M(1;1;1)vàchứagiaotuyếncủa (P)và (Q);phươngtrìnhcủa (R): m(x¡ 2y¡zÅ3)Å(2xÅyÅz¡1)Æ0,khiđógiátrịcủa mlà A. 3. B. 16 3 . C. 1 3 . D. ¡3. -Lờigiải. Vìmặtphẳng (R)điqua M(1;1;1)nêntacó m(1¡2¡1Å3)Å(2Å1Å1¡1)Æ0,mÆ¡3. Chọnđápán D ä Câu527. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;¡2;3), C(1;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 2 p 3 . Phương trình mặt phẳng (P)là. A. · xÅyÅ2z¡1Æ0 ¡2xÅ3yÅ7zÅ23Æ0 . B. · xÅ2yÅz¡1Æ0 ¡2xÅ3yÅ6zÅ13Æ0 . C. · xÅyÅz¡1Æ0 ¡23xÅ37yÅ17zÅ23Æ0 . D. · 2xÅ3yÅz¡1Æ0 3xÅyÅ7zÅ6Æ0 . -Lờigiải. Gọi #  nÆ(a;b;c)với a 2 Åb 2 Åc 2 È0làvéc-tơpháptuyểncủamặtphẳngcầntìm. Tacó #  ABÆ(¡1;¡2;3). Vì (P)qua A, B nên #  AB¢ #  nÆ0,¡a¡2bÅ3cÆ0)aÆ¡2bÅ3c hay #  nÆ(¡2bÅ3c;b;c). Khiđó (P): (¡2bÅ3c)xÅbyÅczÅ2b¡3cÆ0 Mặtkhác d(C,(P))Æ 2 p 3 , jbÅcj p (¡2bÅ3c) 2 Åb 2 Åc 2 Æ 2 p 3 , p 3jbÅcjÆ2 p 5b 2 Å10c 2 ¡12bc , 17b 2 ¡54bcÅ37c 2 Æ0 , h bÆc 17bÆ37c. Với bÆc chọn #  nÆ(1;1;1)suyramặtphẳngcầntìmlà xÅyÅz¡1Æ0. Với 17bÆ37c chọn #  nÆ(¡23;37;17)suyramặtphẳngcầntìmlà¡23xÅ37yÅ17zÅ23Æ0. Chọnđápán C ä Câu528. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua ba điểm A(¡1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;¡3) có phươngtrìnhlà Th.sNguyễnChínEm 354 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ¡1. B. x ¡1 Å y 2 Å z 3 Æ1. C. x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. D. x 1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. -Lờigiải. Dựatrênphươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắntacó (ABC): x ¡1 Å y 2 Å z ¡3 Æ1. Chọnđápán C ä 2.1 ĐÁPÁN 1. C 2. A 3. D 4. D 5. C 6. C 7. A 8. C 9. C 10. C 11. B 12. A 13. C 14. B 15. B 16. C 17. B 18. A 19. C 20. D 21. A 22. C 23. A 24. D 25. D 26. B 27. B 28. D 29. C 30. A 31. D 32. A 33. A 34. B 35. C 36. B 37. C 38. C 39. D 40. C 41. D 42. B 43. A 44. C 45. D 46. A 47. C 48. A 49. C 50. B 51. B 52. B 53. A 54. A 55. D 56. C 57. A 58. B 59. A 60. A 61. D 62. A 63. C 64. C 65. C 66. B 67. D 68. A 69. D 70. D 71. A 72. B 73. B 74. D 75. B 76. B 77. C 78. C 79. B 80. B 81. C 82. B 83. C 84. B 85. C 86. D 87. B 88. B 89. B 90. C 91. D 92. C 93. B 94. B 95. A 96. B 97. A 98. C 99. C 100.C 101.C 102.A 103.A 104.B 105.B 106.A 107.D 108.A 109.C 110.C 111.D 112.A 113.D 114.D 115.D 116.D 117.D 118.B 119.B 120.B 121.D 122.C 123.B 124.D 125.A 126.D 127.C 128.C 129.B 130.A 131.D 132.C 133.D 134.C 135.B 136.C 137.D 138.A 139.D 140.B 141.A 142.A 143.D 144.C 145.B 146.B 147.D 148.A 149.D 150.B 151.B 152.C 153.C 154.A 155.C 156.C 157.D 158.B 159.B 160.A 161.A 162.D 163.B 164.A 165.A 166.C 167.C 168.C 169.B 170.A 171.D 172.D 173.C 174.A 175.C 176.C 177.A 178.C 179.C 180.B 181.A 182.A 183.C 184.B 185.C 186.D 187.A 188.D 189.A 190.B 191.A 192.B 193.D 194.C 195.C 196.C 197.B 198.C 199.A 200.A 201.A 202.D 203.A 204.C 205.B 206.B 207.D 208.B 209.D 210.B 211.D 212.D 213.B 214.C 215.C 216.D 217.D 218.C 219.B 220.A 221.A 222.C 223.C 224.B 225.A 226.A 227.D 228.D 229.D 230.D 231.C 232.C 233.C 234.A 235.A 236.A 237.A 238.C 239.C 240.B 241.B 242.D 243.D 244.A 245.B 246.B 247.C 248.B 249.D 250.C 251.B 252.A 253.B 254.A 255.A 256.D 257.C 258.B 259.D 260.A 261.B 262.A 263.C 264.A 265.D 266.D 267.B 268.A 269.B 270.A 271.A 272.B 273.D 274.B 275.C 276.C 277.D 278.D 279.D 280.B 281.C 282.A 283.D 284.D 285.D 286.A 287.C 288.D 289.A 290.D 291.A 292.D 293.C 294.B 295.A 296.C 297.D 298.B 299.A 300.B 301.B 302.B 303.D 304.C 305.B 306.B 307.D 308.B 309.C 310.A 311.D 312.C 313.A 314.D 315.A 316.A 317.A 318.B 319.A 320.A 321.C 322.C 323.B 324.C 325.D 326.C 327.B 328.B 329.A 330.D 331.A 332.A 333.D 334.B 335.C 336.C 337.A 338.B 339.A 340.C 341.C 342.B 343.B 344.C 345.D 346.A 347.A 348.A 349.D 350.C 351.A 352.C 353.B 354.B 355.D 356.C 357.A 358.A 359.C 360.B 361.C 362.C 363.D 364.B 365.D 366.D 367.C 368.C 369.C 370.D 371.B 372.B 373.C 374.A 375.B 376.C 377.D 378.B 379.B 380.A 381.D 382.A 383.D 384.A 385.A 386.D 387.B 388.D 389.A 390.B 391.B 392.A 393.D 394.B 395.D 396.C 397.D 398.D 399.C 400.C Th.sNguyễnChínEm 355 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 401.D 402.C 403.A 404.D 405.C 406.C 407.D 408.A 409.A 410.D 411.A 412.B 413.B 414.D 415.B 416.B 417.C 418.C 419.C 420.B 421.D 422.A 423.D 424.C 425.A 426.B 427.B 428.B 429.A 430.B 431.D 432.B 433.A 434.A 435.A 436.C 437.C 438.B 439.D 440.D 441.C 442.D 443.A 444.B 445.A 446.C 447.C 448.C 449.B 450.A 451.D 452.A 453.B 454.B 455.B 456.D 457.C 458.B 459.D 460.A 461.A 462.A 463.A 464.B 465.A 466.D 467.A 468.B 469.A 470.D 471.B 472.A 473.C 474.D 475.A 476.B 477.C 478.D 479.C 480.A 481.D 482.D 483.D 484.C 485.D 486.B 487.C 488.A 489.C 490.D 491.D 492.C 493.C 494.D 495.A 496.D 497.B 498.B 499.B 500.D 501.A 502.A 503.A 504.D 505.A 506.D 507.A 508.D 509.A 510.D 511.D 512.C 513.D 514.B 515.B 516.D 517.A 518.C 519.A 520.D 521.C 522.B 523.D 524.A 525.C 526.D 527.C 528.C 3 VẬNDỤNGTHÁP Câu1. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(1;0;¡1)vàmặtphẳng (P): xÅy¡z¡3Æ0.Gọi (S) làmặtcầucótâm I nằmtrênmặtphẳng (P),điquađiểm A vàgốctọađộ O saochodiệntích tamgiácOIA bằng p 17 2 .Tínhbánkính R củamặtcầu (S). A. RÆ3. B. RÆ9. C. RÆ5. D. RÆ1. -Lờigiải. Gọi H làtrungđiểmcủaOA,khiđó IH?OA. Tacó #  OAÆ(1;0;¡1))OAÆ p 2)OHÆ p 2 2 . Mặtcầu (S)cótâm I vàquaO, A nêntamgiácOIA cântại I. S 4OIA Æ 1 2 ¢IH¢OA, p 17 2 Æ 1 2 ¢IH¢ p 2,IHÆ p 34 2 . Xéttamgiác IOH vuôngtại H có RÆOIÆ p IH 2 ÅOH 2 Æ É 17 2 Å 1 2 Æ3. Chúý:NếukếtquảOIÇ p 3Æd(O,(P))thìkhôngtồntạiđiểmIthoả yêucầubàitoán. A O I H Chọnđápán A ä Câu2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;¡1;1), B(3;0;¡1), C(2;¡1;3), D2Oyvàcóthểtíchbằng 5.Tínhtổngtungđộcủacácđiểm D. A. ¡6. B. 2. C. 7. D. ¡4. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;1;¡2), #  ACÆ(0;0;2),dođó h #  AB, #  AC i Æ(2;¡2;0). Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC): 2(x¡2)¡2(yÅ1)Æ0,x¡y¡3Æ0. Vì D2Oynên D(0;m;0). Tứdiện ABCD cóthểtíchbằng 5nêntacóphươngtrình 1 3 ¢ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯¢d(D,(ABC))Æ5 , p 8¢ j¡m¡3j p 2 Æ30 , jmÅ3jÆ15 , h mÆ12 mÆ¡18. Vậytổngtungđộcácđiểm D là 12Å(¡18)Æ¡6. Th.sNguyễnChínEm 356 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡2;4), B(¡3;3;¡1) và mặt phẳng (P): 2x¡ yÅ2z¡8Æ0.Xét M làđiểmthayđổithuộc (P),giátrịnhỏnhấtcủa 2MA 2 Å3MB 2 bằng A. 135. B. 105. C. 108. D. 145. -Lờigiải. Gọi I làđiểmthỏamãnđẳngthức 2 #  IAÅ3 #  IBÆ #  0. ) 8 < : 2(x I ¡2)Å3(x I Å3)Æ0 2(y I Å2)Å3(y I ¡3)Æ0 2(z I ¡4)Å3(z I Å1)Æ0 , ( 5x 1 Å5Æ0 5y 1 ¡5Æ0 5z 1 ¡5Æ0 , ( x 1 Æ¡1 y 1 Æ1 z 1 Æ1 )I(¡1;1;1). Khiđó 2MA 2 Å3MB 2 Æ2 #  MA 2 Å3 #  MB 2 Æ2( #  MIÅ #  IA) 2 Å3( #  MIÅ #  IB) 2 Æ5 #  MI 2 Å2 #  MI¢(2 #  IAÅ3 #  IB)Å2 #  IA 2 Å3 #  IB 2 Æ5MI 2 Å2IA 2 Å3IB 2 . Vì A, B, I cốđịnhnên 2MA 2 Å3MB 2 nhỏnhấtkhi MI nhỏnhấthay M làhìnhchiếucủađiểm I trênmặtphẳng (P). )9k2R, #  IMÆk #  n (P) ) 8 < : x M Æ2k¡1 y M Æ¡kÅ1 z M Æ2kÅ1. Mà M2(P))2(2k¡1)¡(¡kÅ1)Å2(2kÅ1)¡8Æ0,9k¡9Æ0,kÆ1)M(1;0;3). Vậygiátrịnhỏnhấtcủa 2MA 2 Å3MB 2 Æ5MI 2 Å2IA 2 Å3IB 2 Æ135. Chọnđápán A ä Câu4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SDÆ a p 17 2 ,hìnhchiếuvuônggóc H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm đoạn AD (tham khảo hình vẽ). Khoảng cáchgiữahaiđườngthẳng HK và SD theo alà A. a p 3 5 . B. a p 3 45 . C. a p 3 15 . D. a p 3 25 . S K A B H C D -Lờigiải. Dogiảthiếtsuyra HKÒBD nên HKÒ(SBD). Dođó d(HK,SD)Æd(HK,(SBD))Æd(H,(SBD)). Xéttamgiácvuông HAD tacó HD 2 ÆAD 2 ÅAH 2 ,HD 2 Æa 2 Å ³ a 2 ´ 2 ,HD 2 Æ 5a 2 4 ,HDÆ a p 5 2 . Vì SH?(ABCD)nên SH?HD.Khiđótrongtamgiác SHD tacó SH 2 ÆSD 2 ¡HD 2 , SH 2 Æ Ã a p 17 2 ! 2 ¡ à a p 5 2 ! 2 , SH 2 Æ 17a 2 4 ¡ 5a 2 4 , SH 2 Æ3a 2 ,SHÆa p 3 ChọnhệOxyz saocho H(0;0;0), B ³ a 2 ;0;0 ´ , A ³ ¡ a 2 ;0;0 ´ , S ¡ 0;0;a p 3 ¢ . Suyra C ³ a 2 ;a;0 ´ và D ³ ¡ a 2 ;a;0 ´ . Th.sNguyễnChínEm 357 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Khiđó #  BSÆ ³ ¡ a 2 ;0;a p 3 ´ và #  BDÆ(¡a;a;0)nên h #  BS, #  BD i Æ µ ¡a 2 p 3;¡a 2 p 3;¡ a 2 2 ¶ . Gọi #  n làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(SBD)tachọn #  nÆ µ p 3; p 3; 1 2 ¶ ,khiđóphươngtrình mặtphẳng (SBD)là p 3 ³ x¡ a 2 ´ Å p 3yÅ 1 2 zÆ0,2 p 3xÅ2 p 3yÅz¡ p 3aÆ0. Nên d(H,(SBD))Æ ¯ ¯ ¡a p 3 ¯ ¯ È ¡ 2 p 3 ¢ 2 Å ¡ 2 p 3 ¢ 2 Å1 Æ p 3a 5 . Chọnđápán A ä Câu5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅy¡zÅ2Æ0 và hai điểm A(3;4;1), B(7;¡4;¡3). Điểm M(a;b;c), với aÈ2, thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABM vuôngtại M vàcódiệntíchnhỏnhất.Khiđógiátrịbiểuthức aÅbÅc bằng A. 6. B. 8. C. 4. D. 0. -Lờigiải. Tacó S ABM Æ 1 2 AB¢MH với H làhìnhchiếuvuônggóccủa M lên AB. Do AB khôngđổinên4ABM códiệntíchnhỏnhấtkhi MH nhỏnhất. Nhậnthấy #  ABÆ(4;¡8;¡4), #  n P Æ(1;1;¡1)nên #  AB¢ #  n P Æ0.Mà AÝ(P),suyra ABÒ(P). Do đó, MH nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc giao tuyến của (P) và (Q), với (Q) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P). Ta có #  AB^ #  n P Æ(12;0;12). Suy ra mặt phẳng (Q) đi qua A và nhận #  nÆ(1;0;1)làmvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà xÅz¡4Æ0. Điểm M nằmtrêngiaotuyếncủa (P)và (Q)nêncótọađộthỏamãnhệphươngtrình n xÅz¡4Æ0 xÅy¡zÅ2Æ0 ) ( xÆt yÆ2¡2t zÆ4¡t )M(t;2¡2t;4¡t), tÈ2. Tacó #  AMÆ(t¡3;¡2¡2t;3¡t)và #  BMÆ(t¡7;6¡2t;7¡t). Tamgiác ABM vuôngtại M khi #  AM¢ #  BMÆ0, " tÆ3 tÆ 5 3 . Vì tÈ2nênchọn tÆ3vàlúcđó M(3;¡4;1),suyra aÅbÅcÆ0. Chọnđápán D ä Câu6. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng(P): x¡2yÅ2z¡3Æ0vàmặt cầu (S) tâm I(5;¡3;5), bán kính RÆ2 p 5. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳngtiếpxúcvớimặtcầu (S)tại B.TínhOA biết ABÆ4. A. OAÆ p 11. B. OAÆ5. C. OAÆ3. D. OAÆ p 6. -Lờigiải. Khoảngcáchtừđiểm I đếnmặtphẳng (P)là d[I,(P)]Æ j5¡2¢(¡3)Å2¢5¡3j 3 Æ6. Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên tam giác AIB vuôngtại B,dođótacó IAÆ p IB 2 ÅAB 2 Æ p R 2 ÅAB 2 Æ6Æd[I,(P)]. Vậy,suyra A làhìnhchiếucủađiểm I lênmặt phẳng (P). I B A P Th.sNguyễnChínEm 358 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đường thẳng IA đi qua I(5;¡3;5) có véc-tơ chỉ phương là #  uÆ(1;¡2;2) nên có phương trình là ( xÆ5Åt yÆ¡3¡2t zÆ5Å2t. Do AÆIA\(P)nên 5Åt¡2(¡3¡2t)Å2(5Å2t)¡3Æ0,tÆ¡2. Vậy A(3;1;1)nênOAÆ p 11. Chọnđápán A ä Câu7. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mặtphẳngchứahaiđiểm A(1;0;1),B(¡1;2;2)và songsongvớitrụcOxcóphươngtrìnhlà A. y¡2zÅ2Æ0. B. xÅ2z¡3Æ0. C. 2y¡zÅ1Æ0. D. xÅy¡zÆ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;2;1).TrụcOxcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;0;0). Gọi (®) là mặt phẳng cần tìm. Do (®) qua hai điểm A(1;0;1), B(¡1;2;2) và song song với trục Oxnên (®)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ[ #  AB; #  u]Æ(0;1;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng (®)cầntìmlà 0(x¡1)Å1(y¡0)¡2(z¡1)Æ0,y¡2zÅ2Æ0. Chọnđápán A ä Câu8. Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (®) qua các điểm A, B, C lần lượtnằmtrêncáctrụcOx,Oy,Oz saocho H(1;2;¡2)làtrựctâmcủatamgiác ABC. A. (®): x¡2yÅ2z¡11Æ0. B. (®): xÅ2y¡2z¡11Æ0. C. (®): x¡2y¡2z¡9Æ0. D. (®): xÅ2y¡2z¡9Æ0. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a,b,c6Æ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (®)códạng x a Å y b Å z c Æ1. Vì H(1;2;¡2)thuộcmặtphẳng (®)nên 1 a Å 2 b ¡ 2 c Æ1. (1) Tacó #  AHÆ(1¡a;2;¡2), #  BCÆ(0;¡b;c), #  BHÆ(1;2¡b;¡2), #  ACÆ(¡a;0;c). Vì H làtrựctâmcủatamgiác ABC nên #  AH¢ #  BCÆ0,¡2b¡2cÆ0,bÆ¡c. (2) #  BH¢ #  ACÆ0,¡a¡2cÆ0,aÆ¡2c. (3) Thay (2)và (3)vào (1)tađược 1 ¡2c Å 2 ¡c ¡ 2 c Æ1,¡ 1 2c ¡ 4 2c ¡ 4 2c Æ1,cÆ¡ 9 2 . Khiđó aÆ9, bÆ 9 2 nênphươngtrìnhcủa (®)là x 9 Å 2y 9 ¡ 2z 9 Æ1hay xÅ2y¡2z¡9Æ0. Cáchkhác.Ápdụngnhanhtínhchấttứdiện OABC có OA, OB, OC đôimộtvuônggócvà H làtrựctâmcủatamgiác ABC thìOH?(ABC). Tacó #  OHÆ(1;2;¡2)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (®). Phươngtrìnhcủamặtphẳng (®)là (x¡1)Å2(y¡2)¡2(zÅ2)Æ0hay xÅ2y¡2z¡9Æ0. Chọnđápán D ä Câu9. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaimặtphẳng(P): xÅ(mÅ1)y¡2zÅmÆ0 và (Q): 2x¡yÅ3Æ0với mlàthamsốthực.Tìm mđể (P)vuônggócvới (Q). A. mÆ¡5. B. mÆ1. C. mÆ3. D. mÆ¡1. -Lờigiải. ² (P)cóvec-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;mÅ1;¡2)và (Q)cóvec-tơpháptuyến #  n Q Æ(2;¡1;0). ² (P)?(Q), #  n P ? #  n Q ,1¢2Å(mÅ1)¢(¡1)Å(¡2)¢0Æ0,mÆ1. Chọnđápán B ä Câu10. TrongkhônggianOxyz,mặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡20Æ0vàmặtphẳng(®): xÅ 2y¡2zÅ4Æ0cắtnhautheomộtđườngtròncóchuvibằng A. 10¼. B. 16¼. C. 4¼. D. 8¼. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 359 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;0)vàbánkính RÆ p 1 2 Å2 2 Å0 2 ¡(¡20)Æ5. Khoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng (®)là IHÆd(I,(®))Æ j1Å2¢2¡2¢0Å4j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ3. Dođó,bánkínhđườngtrònthiếtdiệnlà rÆ p R 2 ¡IH 2 Æ4. Vậychuvicủađườngtrònthiếtdiệnlà CÆ2¼rÆ8¼. I H M ® (S) R r Chọnđápán D ä Câu11. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,cho A(¡3;0;0),B(0;0;3),C(0;¡3;0)vàmặtphẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0.Tìmtrên (P)điểm M saocho ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MB¡ #  MC ¯ ¯ ¯nhỏnhất. A. M(3;3;¡3). B. M(¡3;¡3;3). C. M(3;¡3;3). D. M(¡3;3;3). -Lờigiải. Gọi I(a;b;c)làđiểmthoảmãn #  MAÅ #  MB¡ #  MCÆ #  0. Tacó #  IAÆ(¡3¡a;¡b;¡c), #  IBÆ(¡a;¡b;3¡c), #  ICÆ(¡a;3¡b;¡c). #  MAÅ #  MB¡ #  MCÆ #  0 , ( ¡3¡aÆ0 b¡3Æ0 3¡cÆ0 , ( aÆ¡3 bÆ3 cÆ3 ,I(¡3;3;3). Nhậnthấy I(¡3;3;3)2(P).Tacó ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MB¡ #  MC ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  MIÅ #  IAÅ #  IB¡ #  IC ¯ ¯ ¯ÆMI¸0. Từđósuyra ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MB¡ #  MC ¯ ¯ ¯nhỏnhấtbằng 0khi M(¡3;3;3). Chọnđápán D ä Câu12. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua điểmMvàcắtcáctrụcOx,Oy,Ozlầnlượttạicácđiểm A,B,CsaochoOAÆ2OBÆ3OC6Æ0? A. 3. B. 4. C. 2. D. 6. -Lờigiải. Xét (P): x a Å y b Å z c Æ1,vớijajÆ2jbjÆ3jcjÆkÈ0. Do M2(P)) 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1. Chúýrằng k a 2{¡1;1}, k b 2{¡2;2}, k c 2{¡3;3}. 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1 , k a Å2 k b Å3 k c Æk , (§1)Å2¢(§2)Å3¢(§3)Æk , 2 6 4 kÆ14 kÆ12 kÆ6 kÆ4. Có 4mặtphẳngthỏađềbài. Chọnđápán B ä Câu13. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm N(1;1;¡2).Gọi A,B,C lầnlượtlà hìnhchiếucủađiểm N trêncáctrụcOx,Oy,Oz.Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà A. x 1 Å y 1 ¡ z 2 Æ0. B. x 1 Å y 1 ¡ z 2 Æ1. C. xÅy¡3zÆ0. D. xÅy¡2z¡1Æ0. Th.sNguyễnChínEm 360 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;¡2). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x 1 Å y 1 ¡ z 2 Æ1. Chọnđápán B ä Câu14. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(¡2;4;¡1),B(1;1;3)vàmặtphẳng (P) có phương trình x¡3yÅ2z¡5Æ0. Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặtphẳng (P)cóphươngtrìnhlà A. 3x¡y¡3zÅ7Æ0. B. 3x¡y¡3z¡13Æ0. C. 3xÅy¡3z¡1Æ0. D. 3x¡y¡3z¡1Æ0. -Lờigiải. #  ABÆ(3;¡3;4) #  n (P) Æ(1;¡3;2) ¾ ) h #  AB, #  n (P) i Æ(6;¡2;¡6)Æ2(3;¡1;¡3). Mặtphẳng (Q)điquađiểm A vàcóvec-tơpháptuyến #  n (Q) Æ(3;¡1;¡3)cóphươngtrình 3(xÅ2)¡(y¡4)¡3(zÅ1)Æ0 , 3x¡y¡3zÅ7Æ0. Chọnđápán A ä Câu15. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M vàcắtcáctrục x 0 Ox, y 0 Oy, z 0 Ozlầnlượttạicácđiểm A,B,C saochoOAÆOBÆOC6Æ0? A. 3. B. 1. C. 4. D. 8. -Lờigiải. Mặtphẳng(P)điquaMvàcắtcáctrụcx 0 Ox, y 0 Oy,z 0 Ozlầnlượttạicácđiểm A(a;0;0),B(0;b;0), C(0;0;c). Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng x a Å y b Å z c Æ1. Theogiảthiết,mặtphẳng (P)điqua M(1;1;2)vàOAÆOBÆOC nêntacóhệ ( 1 a Å 1 b Å 2 c Æ1 jajÆjbjÆjcj , 8 > > > > > < > > > > > : 1 a Å 1 b Å 2 c Æ1 2 6 4 aÆbÆc aÆbÆ¡c aÆ¡bÆc aÆ¡bÆ¡c , " aÆbÆcÆ4 aÆ¡bÆcÆ2 aÆ¡bÆ¡cÆ¡2. Vậycóbamặtphẳngthỏamãnbàitoánlà (P 1 ): x 4 Å y 4 Å z 4 Æ1;(P 2 ): x 2 Å y ¡2 Å z 2 Æ1;(P 3 ): x ¡2 Å y 2 Å z 2 Æ1. Chọnđápán A ä Câu16. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): xÅ2y¡2zÅ2018Æ0, (Q): xÅmyÅ (m¡1)zÅ2017Æ0(với m làthamsốthực).Khihaimặtphẳng (P)và (Q)tạovớinhaumộtgóc nhỏnhấtthìđiểm M nàodướiđâynằmtrong (Q)? A. M(¡2017;1;1). B. M(0;0;2017). C. M(0;¡2017;0). D. M(2017;1;1). -Lờigiải. (P)có 1VTPT #  n P Æ(1;2;¡2), (Q)có 1VTPT #  n Q Æ(1;m;m¡1). Gọi®làgócgiữa (P)và (Q). Tacó cos®Æ ¯ ¯ #  n P ¢ #  n Q ¯ ¯ ¯ ¯ #  n P ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n Q ¯ ¯ Æ j1Å2m¡2mÅ2j 3 p 1Åm 2 Å(m¡1) 2 Æ 1 p 2m 2 ¡2mÅ2 Æ 1 Ê 2 µ m¡ 1 2 ¶ 2 Å 3 2 . Do 0·®·90 ± nên®nhỏnhấtkhi cos®lớnnhất, Ê 2 µ m¡ 1 2 ¶ 2 Å 3 2 nhỏnhất,mÆ 1 2 . )(Q): 2xÅy¡zÅ4034Æ0)M(¡2017;1;1)2(Q). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 361 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu17. TrongkhônggianOxyz,chođiểmM(1;2;3).Hỏicóbaonhiêumặtphẳng(P)điquaM vàcắtcáctrục x 0 Ox, y 0 Oy, z 0 Oz lầnlượttạicácđiểm A,B,C saochoOAÆ2OBÆ3OC6Æ0? A. 4. B. 6. C. 4. D. 2. -Lờigiải. Tacó: A(a;0;0),B(0;b;0), C(0;0;c),với abc6Æ0. Dođóphươngtrìnhmặtphẳng (P)là : x a Å y b Å z c Æ1. Do (P)điqua M nêntacó 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1. VớiđiềukiệnOAÆ2OBÆ3OC tađược jajÆ2jbjÆ3jcj , 2 6 4 aÆ2bÆ3c aÆ2bÆ¡3c aÆ¡2bÆ3c aÆ¡2bÆ¡3c , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 bÆ a 2 ;cÆ a 3 bÆ a 2 ;cÆ¡ a 3 bÆ¡ a 2 ;cÆ a 3 bÆ¡ a 2 ;cÆ¡ a 3 +Với bÆ a 2 ,cÆ a 3 )aÆ13. +Với bÆ a 2 ,cÆ¡ a 3 )aÆ¡4. +Với bÆ¡ a 2 ,cÆ a 3 )aÆ6. +Với bÆ¡ a 2 ,cÆ¡ a 3 )aÆ¡12. Vậycó4mặtphẳngthỏamãnyêucầubàitoán. Chọnđápán A ä Câu18. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(0;¡2;¡1),B(¡2;¡4;3),C(1;3;¡1). Tìmđiểm M2(Oxy)saocho ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ3 #  MC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhất. A. µ 1 5 ; 3 5 ;0 ¶ . B. µ ¡ 1 5 ; 3 5 ;0 ¶ . C. µ 1 5 ;¡ 3 5 ;0 ¶ . D. µ 3 5 ; 4 5 ;0 ¶ . -Lờigiải. Lấy điểm I sao cho #  IAÅ #  IBÅ3 #  ICÆ #  0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ x A Åx B Å3x c 5 Æ 1 5 y I Æ y A Åy B Å3y c 5 Æ 3 5 z I Æ z A Åz B Å3z c 5 Æ¡ 1 5 ) I( 1 3 ; 3 5 ;¡ 1 5 ). Khi đó ta có ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ3 #  MC ¯ ¯ ¯Æ5 #  MIÅ #  IAÅ #  IBÅ3 #  ICÆ5 #  MIÆ5MI. Từ đó, để ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ3 #  MC ¯ ¯ ¯ đạt giá trị nhỏ nhất, khi và chỉ khi MI nhỏ nhất, điều đó xảy ra khi M làhìnhchiếucủa I trênmặtphẳngOxy,suyra M( 1 5 ; 3 5 ;0). Chọnđápán A ä Câu19. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho H(2;1;1).Gọi (P)làmặtphẳngđiqua H và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết phương trìnhmặtphẳng (P). A. 2xÅyÅz¡6Æ0. B. xÅ2yÅz¡6Æ0. C. xÅ2yÅ2z¡6Æ0. D. 2xÅyÅzÅ6Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 362 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Trongtamgiác ABC,kẻcácđườngcao AK và BQ. Vì BC?AK và BC?AO nên BC?(AOK),suyra BC?OH. Hoàntoàntươngtự, AC?OH.SuyraOH?(ABC). Vậy (P) là mặt phẳng qua H(2;1;1) và nhận #  OHÆ(2;1;1) làm véc-tơ pháptuyến; (P): 2xÅyÅz¡6Æ0. A C K O B H Q Chọnđápán A ä Câu20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) cắtcáctiaOx,Oy,Oztại A, B, C (A, B, C khôngtrùngvớigốctọađộ).ThểtíchtứdiệnOABC đạtgiátrịnhỏnhấtlàbaonhiêu? A. 81 2 . B. 243 2 . C. 81 6 . D. 243. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c),(a,b,cÈ0). Khiđó (P): x a Å y b Å z c Æ1. Vì M2(P)nên 9 a Å 1 b Å 1 c Æ1. Tacó 1Æ 9 a Å 1 b Å 1 c ¸3 3 É 9 a ¢ 1 b ¢ 1 c )abc·243. SuyraV OABC Æ 1 6 abc· 243 6 Æ 81 2 . Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi 9 a Æ 1 b Æ 1 c Æ 1 3 hay aÆ27, bÆ3, cÆ3. Chọnđápán A ä Câu21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(¡1;¡1;0), B(3;1;¡1). Điểm M thuộctrụcOyvàcáchđềuhaiđiểm A, B cótọađộlà A. M µ 0;¡ 9 4 ;0 ¶ . B. M µ 0; 9 2 ;0 ¶ . C. M µ 0;¡ 9 2 ;0 ¶ . D. M µ 0; 9 4 ;0 ¶ . -Lờigiải. Tacótrungđiểm I của AB cótọađộlà I µ 1;0;¡ 1 2 ¶ và #  ABÆ(4;2;¡1). Phươngtrìnhmặttrungtrựccủađoạn ABlà 4(x¡1)Å2(y¡0)¡1 µ zÅ 1 2 ¶ Æ0,4xÅ2y¡z¡ 9 2 Æ0. Khiđó M làgiaođiểmcủaOyvàmặttrungtrực AB,dovậytọađộ M cầntìmlà M µ 0; 9 4 ;0 ¶ . Chọnđápán D ä Câu22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) chứa điểm H(1;2;2) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P)là A. xÅ2y¡2z¡9Æ0. B. 2xÅyÅz¡6Æ0. C. 2xÅyÅz¡2Æ0. D. xÅ2yÅ2z¡9Æ0. -Lờigiải. Tacó BC?OA (do BC½(Oyz)và A2Ox), BC?AH (do H làtrựctâmtamgiác ABC) )BC?(OAH))BC?OH,chứngminhtươngtựtacũngcó AC?OH)OH?(ABC). Dovậy (P)quađiểm H(1;2;2)vànhận #  OHÆ(1;2;2)làmvéc-tơpháptuyến.Tađược (P): (x¡1)Å2(y¡2)Å2(z¡2)Æ0)xÅ2yÅ2z¡9Æ0. Chọnđápán D ä Câu23. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;5), B(3;4;1), C(2;3;¡3). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mp(Oxz). Độ dài đoạn GM ngắn nhất bằng Th.sNguyễnChínEm 363 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. -Lờigiải. TacóG làtrọngtâmtamgiác ABC)G(2;3;1). Giảsử M(a;0;c)2(Oxz).Gọi H làhìnhchiếucủaG trên mp(Oxz))H(2;0;1). TacóGM¸GHÆd(G;(Oxz))Æ3vàGMÆGH,M´H,khiđó M(2;0;1). VâyđộdàiđoạnGM ngắnnhấtbằng 3. Chọnđápán C ä Câu24. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1), B(2;1;3), C(3;2;2), D(1;1;1). Độdàichiềucao DH củatứdiệnbằng A. p 14 14 . B. 3 p 14 14 . C. 3 p 14 7 . D. 4 p 14 7 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡1;2), #  ACÆ(2;0;1) ) h #  AB, #  AC i Æ(¡1;3;2). Mặtphẳng(ABC)nhận h #  AB, #  AC i Æ(¡1;3;2)làmvéc-tơpháptuyến vàđiqua A(1;2;1)cóphươngtrình: ¡1(x¡1)Å3(y¡2)Å2(z¡1)Æ0,¡xÅ3yÅ2z¡7Æ0 Độdàichiềucao DH củatứdiệnbằngkhoảngcáchtừ D đếnmặt phẳng (ABC). D B A H C Tacó: DHÆd(D,(ABC))Æ j¡1Å3Å2¡7j p 1Å9Å4 Æ 3 p 14 14 . Chọnđápán B ä Câu25. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;2), điểm H là hình chiếu vuông góc của gốctọađộOxuốngmặtphẳng(P),sốđogócgiữamặtphẳng(P)vàmặtphẳng(Q): xÅy¡11Æ0 là A. 90 ± . B. 30 ± . C. 60 ± . D. 45 ± . -Lờigiải. Vìđiểm H làhìnhchiếuvuônggóccủagốctọađộO xuốngmặtphẳng (P)nêntachọn #  OHÆ #  n (P) Æ(2;1;2). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng 2(x¡2)Å(y¡1)Å2(z¡2)Æ0,2xÅyÅ2z¡9Æ0. Dođó,gócgiữa2mặtphẳng (P),(Q)tínhnhưsau cos((P),(Q))Æ ¯ ¯ #  n (P) ¢ #  n (Q) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n (P) ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (Q) ¯ ¯ Æ j2¢1Å1¢1Å2¢0j p 9¢ p 2 Æ 3 3 p 2 Æ p 2 2 . Dođósốđogócgiữamặtphẳng (P)vàmặtphẳng (Q)bằng 45 ± . Chọnđápán D ä Câu26. TrongkhônggianvớihệtrụctoạđộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ25 cótâm I vàmặtphẳng (P): xÅ2yÅ2zÅ7Æ0.Thểtíchcủakhốinónđỉnh I vàđườngtrònđáy làgiaotuyếncủamặtcầu (S)vàmặtphẳng (P)bằng A. 12¼. B. 48¼. C. 36¼. D. 24¼. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 364 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;1)vàbánkính RÆ5. Gọi h là khoảng cách từ điểm I đến (P) và r là bán kính của đườngtròngiaotuyếngiữa (P)và (S). Tacó hÆ d(I;(P))Æ j1Å2Å2Å7j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ4. Mặtkhác r 2 Åh 2 ÆR 2 ,r 2 Å4 2 Æ5 2 ,rÆ3. Thểtíchkhốinónđỉnh I cầntìmlà VÆ 1 3 ¼r 2 hÆ 1 3 ¼¢3 2 ¢4Æ12¼. I r h R Chọnđápán A ä Câu27. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt cáctiaOx,Oy,Ozlầnlượttạicácđiểm A,B,C(A,B,CkhôngtrùngvớigốcO)saochotứdiện OABC cóthểtíchnhỏnhất.Mặtphẳng (P)điquađiểmnàotrongcácđiểmdướiđây? A. N(0;2;2). B. M(0;2;1). C. P(2;0;0). D. Q(2;0;¡1). -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a, b, cÈ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A, B, C là x a Å y b Å z c Æ1. Vì M2(P)nên 1 a Å 2 b Å 1 c Æ1. ÁpdụngbấtđẳngthứcAM-GM 1Æ 1 a Å 2 b Å 1 c ¸3 3 É 1 a ¢ 2 b ¢ 1 c ,1¸27¢ 2 abc ,abc¸54. ThểtíchtứdiệnOABC làVÆ 1 6 abc¸9. SuyrathểtíchtứdiệnOABC nhỏnhấtlàbằng 9, 1 a Æ 2 b Æ 1 c Æ 1 3 , ( aÆ3 bÆ6 cÆ3. Khiđó (P): x 3 Å y 6 Å z 3 Æ1. Thaytọađộcácđiểm M, N, P,Q vàophươngtrìnhmặtphẳng (P),tathấy N2(P). Chọnđápán A ä Câu28. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P): xÅ yÅz¡6Æ0vàcáchđềucácđiểm A(1;6;0), B(¡2;2;¡1), C(5;¡1;3).Tổng aÅbÅc bằng A. 6. B. ¡6. C. 0. D. 5. -Lờigiải. Vì M2(P)nên aÅbÅcÆ6. (1) Tacó #  AMÆ(a¡1;b¡6;c), #  BMÆ(aÅ2;b¡2;cÅ1), #  CMÆ(a¡5;bÅ1;c¡3). Vì M cáchđều A, B, C nên ½ AM 2 ÆBM 2 AM 2 ÆCM 2 , ½ (a¡1) 2 Å(b¡6) 2 Åc 2 Æ(aÅ2) 2 Å(b¡2) 2 Å(cÅ1) 2 (a¡1) 2 Å(b¡6) 2 Åc 2 Æ(a¡5) 2 Å(bÅ1) 2 Å(c¡3) 2 , n 3aÅ4bÅcÆ14 4aÅ7b¡3cÆ1. Kếthợpvới (1)suyra ( aÆ¡23 bÆ18 cÆ11. Tổng aÅbÅcÆ¡23Å18Å11Æ6. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 365 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu29. TrongkhônggiantọađộOxyz,chođiểmG(1;2;3).Gọi(P): pxÅqyÅrzÅ1Æ0(p,q,r2R) làmặtphẳngquaG vàcắtcáctrục Ox,Oy,Oz tại A,B,C saochoG làtrọngtâmcủatamgiác ABC.Tính TÆpÅqÅr. A. TÆ¡ 11 18 . B. TÆ 11 18 . C. TÆ18. D. TÆ¡18. -Lờigiải. Giảsử A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),tacóphươngtrìnhđoạnchắncủa (P)là x a Å y b Å z c Æ1. TọađộtrọngtâmG µ a 3 ; b 3 ; c 3 ¶ Æ(1;2;3)) ( aÆ3 bÆ6 cÆ9. Phươngtrìnhcủa (P): x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1)pÆ¡ 1 3 ,qÆ¡ 1 6 ,rÆ¡ 1 9 . Vậytacó pÅqÅrÆ¡ 11 18 Chọnđápán A ä Câu30. Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua M(2;1;9) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lầnlượttại A,B,C saochotamgiác ABC đều.Điểmcótọađộnàodướiđâythuộc (P)? A. (¡1;5;8). B. (3;2;¡7). C. (1;¡7;¡6). D. (5;5;5). -Lờigiải. Tam giác ABC đều, chứng minh được OAÆOBÆOCÆ aÈ 0. Do A,B,C lần lượt thuộc tia Ox,Oy,Oz nên A(a;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a).Theophươngtrìnhmặtphẳngchắn,phươngtrình (P)códạng x a Å y a Å z a Æ1,xÅyÅz¡aÆ0. Vì M2(P), suy ra 2Å1Å9¡aÆ0,aÆ12. Do đó (P): xÅyÅz¡12Æ0. Điểm có tọa độ (¡1;5;8) thuộc (P). Chọnđápán A ä Câu31. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz viếtphươngtrìnhmặtphẳngtiếpxúcvới mặtcầu (x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ6đồngthờisongsongvớihaiđườngthẳng d 1 : x¡2 3 Æ y¡1 ¡1 Æ z ¡1 , d 2 : x 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡2 ¡1 . A. · x¡yÅ2z¡3Æ0 x¡yÅ2zÅ9Æ0. B. · xÅyÅ2z¡3Æ0 xÅyÅ2zÅ9Æ0. C. xÅyÅ2zÅ9Æ0. D. x¡yÅ2zÅ9Æ0. -Lờigiải. Gọiphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà mp(P). Mặtcầucótâm I(1;0;¡2)vàcóbánkính RÆ p 6. Vì mặt phẳng cần tìm song song với d 1 ,d 2 nên véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướngcủahaivéc-tơchỉphươngcủahaiđườngthẳng d 1 ,d 2 .Vậy #  nÆ(2;2;4)nênphươngtrình mặtphẳng (P)códạng xÅyÅ2zÅDÆ0. Vì (P)tiếpxúcvớimặtcầunên d(I,(P))ÆR, j1Å0¡4ÅDj p 1Å1Å4 Æ p 6, h DÆ9 DÆ¡3. Chọnđápán B ä Câu32. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchohaimặtphẳng(P): xÅ2y¡2zÅ1Æ0,(Q): xÅ myÅ(m¡1)zÅ2019Æ0. Khi hai mặt phẳng (P), (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng (Q)điquađiểm M nàosauđây? A. M(2019;¡1;1). B. M(0;¡2019;0). C. M(¡2019;1;1). D. M(0;0;¡2019). -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)và (Q)lầnlượtlà #  n (P) Æ(1;2;¡2)và #  n (Q) Æ(1;m;m¡1). Gọi®làgócgiữahaimặtphẳng (P)và (Q)khiđó cos®Æ ¯ ¯ #  n (P) ¢ #  n (Q) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n (P) ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (Q) ¯ ¯ Æ 3 3 p 2¢ p m 2 ¡mÅ1 . Th.sNguyễnChínEm 366 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacógóc 0·®· ¼ 2 nhỏnhất, cos®lớnnhất, m 2 ¡mÅ1nhỏnhất. Tacó m 2 ¡mÅ1Æ µ m¡ 1 2 ¶ 2 Å 3 4 ¸ 3 4 dấubằngxảyra,mÆ 1 2 . Suyragiátrịlớnnhấtcủa cos®là cos®Æ p 6 3 khi mÆ 1 2 . Với mÆ 1 2 )(Q): xÅ 1 2 y¡ 1 2 zÅ2019Æ0. Dễthấyđiểm M(¡2019;1;1)thuộc (Q). Chọnđápán C ä Câu33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2yÅ2z¡2Æ0 và điểm I(¡1;2;¡1). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đườngtròncóbánkínhbằng 5. A. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ34. B. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ34. C. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ16. D. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25. -Lờigiải. Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, rÆ5 là bán kính đường tròn giao tuyến của (P) và mặt cầu (S). Tacó d(I,(P))Æ j¡1¡4¡2¡2j p 1Å4Å4 Æ 9 3 Æ3. Dođóbánkínhmặtcầu RÆ p r 2 Åd 2 (I,(P))Æ p 25Å9Æ p 34. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ34. Chọnđápán A ä Câu34. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6;¡2;3), B(0;1;6), C(2;0;¡1), D(4;1;0). Gọi (S)làmặtcầuđiquabốnđiểm A, B, C, D.Hãyviếtphươngtrìnhmặtphẳngtiếpxúcvớimặt cầu (S)tạiđiểm A. A. 4x¡y¡9Æ0. B. 4x¡y¡26Æ0. C. xÅ4yÅ3z¡1Æ0. D. xÅ4yÅ3zÅ1Æ0. -Lờigiải. Gọiphươngtrìnhmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0với a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÈ0. Tacó A, B, C, D nằmtrênmặtcầu (S),suyra 8 > > < > > : 6 2 Å(¡2) 2 Å3 2 ¡2a¢6¡2b¢(¡2)¡2c¢3ÅdÆ0 1 2 Å6 2 ¡2b¢1¡2c¢6ÅdÆ0 2 2 Å(¡1) 2 ¡2a¢2¡2c¢(¡1)ÅdÆ0 4 2 Å1 2 ¡2a¢4¡2b¢1ÅdÆ0 , 8 < : aÆ2 bÆ¡1 cÆ3 dÆ¡3. Tacó a 2 Åb 2 Åc 2 ¡dÆ17È0,dođó (S)làphươngtrìnhmặtcầu,tâm I(2;¡1;3). Vậy mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A sẽ qua điểm A và nhận #  IAÆ(4;¡1;0) làm véc-tơ pháptuyếnnêncóphươngtrình 4x¡y¡26Æ0. Chọnđápán B ä Câu35. Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1;4;3). Viết phương trình mặt phẳng cắt trục Ox,Oy,Oz lầnlượttại A, B, C saochoG làtrọngtâmtứdiệnOABC ? A. x 4 Å y 16 Å z 12 Æ1. B. x 4 Å y 16 Å z 12 Æ0. C. x 3 Å y 12 Å z 9 Æ0. D. x 3 Å y 12 Å z 9 Æ1. -Lờigiải. Gọi(®)làmặtphẳngcắtcáctrụcOx,Oy,Ozlầnlượttạibađiểm A(a;0;0),B(0;b;0)vàC(0;0;c) với abc6Æ0.Tacó (®): x a Å y b Å z c Æ1.TacóG(1;4;3)làtrọngtâmtứdiệnOABC khivàchỉkhi #  GAÅ #  GBÅ #  GCÅ #  GOÆ #  0 , ( a¡1¡1¡1¡1Æ0 ¡4Åb¡4¡4¡4Æ0 ¡3¡3Åc¡3¡3Æ0 , ( aÆ4 bÆ16 cÆ12 )(®): x 4 Å y 16 Å z 12 Æ1. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 367 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu36. Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng yÅzÅ1Æ0góc 60 ± .Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là A. · x¡yÆ0 xÅyÆ0 . B. h x¡z¡1Æ0 x¡zÆ0 . C. h x¡zÆ0 xÅzÆ0 . D. h x¡2zÆ0 xÅzÆ0 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)chứaOynêncódạng (P): axÅczÆ0,với a 2 Åc 2 6Æ0. Đặt (Q): yÅzÅ1Æ0,tacó #  n (P) Æ(a;0;c), #  n (Q) Æ(0;1;1). Gọi'làgócgiữa (P)và (Q),tacó cos'Æ ¯ ¯ #  n (P) ¢ #  n (Q) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n (P) ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (Q) ¯ ¯ Æ jcj È 2 ¡ a 2 Åc 2 ¢ . Theogiảthiếttacó jcj È 2 ¡ a 2 Åc 2 ¢ Æ 1 2 ,2c 2 Æa 2 Åc 2 ,cƧa. Với aÆc,tacó (P): xÅzÆ0;với aÆ¡c,tacó (P): x¡zÆ0. Chọnđápán C ä Câu37. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): 2x¡yÅz¡2Æ0và(Q): 2x¡yÅzÅ1Æ0. Sốmặtcầuđiqua A(1;¡2;1)vàtiếpxúcvớihaimặtphẳng (P),(Q)là A. 1. B. 2. C. 0. D. vôsố. -Lờigiải. Tacó (P): 2x¡yÅz¡2Æ0và (Q): 2x¡yÅzÅ1Æ0. Vì 2 2 Æ ¡1 ¡1 Æ 1 1 6Æ ¡2 1 nên (P)Ò(Q). Lấyđiểm M(0;0;2)2(P))d((P),(Q))Æd(M,(Q))Æ j3j p 6 Æ 3 p 6 . Lạicó d(A,(Q))Æ j2.1¡(¡2)Å1Å1j p 6 Æ 6 p 6 Æ2d((P),(Q)). Dođóđiểm A nằmngoàiphầnkhônggiangiớihạnbởihaimặtphẳng (P)và (Q). Vậykhôngcómặtcầunàođiqua A vàtiếpxúcvới2mặtphẳng (P),(Q). Chọnđápán C ä Câu38. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(0;0;3),B(¡2;0;1)vàmặtphẳng (®): 2x¡yÅ2zÅ8Æ0.Hỏicóbaonhiêuđiểm C nằmtrênmặtphẳng (®)saochotamgiác ABC đều? A. 2. B. 0. C. vôsố. D. 1. -Lờigiải. Vìtamgiác ABC đềunên ABÆACÆBC.Gọiđiểm C(x;y;z). Ta có ( C2(®) ACÆAB BCÆAB , 8 < : 2x¡yÅ2zÅ8Æ0 x 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ8 (xÅ2) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ8 , 8 < : 2x¡yÅ2zÅ8Æ0(1) x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6zÅ1Æ0(2) x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2z¡3Æ0.(3) Lấy (3)¡(2) ta được: 4xÅ4z¡4Æ0,zÆ1¡xthayvàophươngtrình (1)tađược yÆ10. Thay zÆ1¡xvà yÆ10vàophươngtrình (2)tađược: x 2 Å100Å(1¡x) 2 ¡6(1¡x)Å1Æ0,2x 2 Å4xÅ96Æ0(vônghiệm). Vậykhôngcóđiểm C thỏamãnđiềukiệnbàitoán. Chọnđápán B ä Câu39. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(2;¡2;2) và mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Å(zÅ 2) 2 Æ1. Điểm M di chuyển trên mặt cầu (S) đồng thời thỏa mãn #  OM¢ #  AMÆ6. Điểm M luôn thuộcmặtphẳngnàodướiđây? A. 2x¡2y¡6zÅ9Æ0. B. 2x¡2yÅ6z¡9Æ0. C. 2xÅ2yÅ6zÅ9Æ0. D. 2x¡2yÅ6zÅ9Æ0. -Lờigiải. Gọi M(x;y;z),tacó #  OMÆ(x;y;z), #  AMÆ(x¡2;yÅ2;z¡2). #  OM¢ #  AMÆ6,(T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2y¡2z¡6Æ0. Suyra,điểm M vừanằmtrênmặtcầu(S)tâm I(0;0;¡2)bánkínhR 1 Æ1vàvừanằmtrênmặt cầu (T)tâm J(1;¡1;1)bánkính R 2 Æ3.Dođó, M thuộcphầngiaocủahaimặtcầu (S)và (T). Mà (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4zÅ3Æ0,lấy (S)¡(T)tađược 2x¡2yÅ6zÅ9Æ0 Vậyđiểm M luônthuộcmặtphẳng 2x¡2yÅ6zÅ9Æ0. Th.sNguyễnChínEm 368 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu40. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;4;9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cắtbatiaOx,Oy,Ozlầnlượttạicácđiểm A,B,C(khácO)saochoOAÅOBÅOCđạtgiátrịnhỏ nhất.Tínhkhoảngcách dtừgốctọađộO đếnmặtphẳng (P). A. dÆ 36 7 . B. dÆ 24 5 . C. dÆ 8 3 . D. dÆ 26 p 14 . -Lờigiải. Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),với a,b,cÈ0khiđómặtphẳng (P)cóphươngtrình x a Å y b Å z c Æ1. Vì (P)qua M(1;4;9)nên 1 a Å 4 b Å 9 c Æ1. ÁpdụngbấtđẳngthứcBCSchohaibộ ³ p a p b; p c ´ và µ 1 p a ; 2 p b ; 3 p c ¶ tađược (1Å2Å3) 2 ·(aÅbÅc) µ 1 a Å 4 b Å 9 c ¶ ,aÅbÅc¸36. (1) Đẳngthứcxảyrakhi 8 > > < > > : 1 a Æ 2 b Æ 3 c 1 a Å 4 b Å 9 c Æ1 , ( aÆ6 bÆ12 cÆ18. Mặt khác OAÅOBÅOCÆaÅbÅc, từ (1) suy ra tổng OAÅOBÅOC nhỏ nhất bằng 36 khi aÆ6,bÆ12,cÆ18. Suyra (P): x 6 Å y 12 Å z 18 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡36Æ0,nên d(O,(P))Æ 36 p 6 2 Å3 2 Å2 2 Æ 36 7 . Chọnđápán A ä Câu41. Trong không gian Oxyz, cho điểm H(2;1;1). Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắtcáctrụcOx,Oy,Oz lầnlượttại A, B, C saocho H làtrựctâmtamgiác ABC. A. x¡y¡zÆ0. B. 2xÅyÅz¡6Æ0. C. 2xÅyÅzÅ6Æ0. D. x 2 Å y 1 Å z 1 Æ1. -Lờigiải. Vì tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc tại O và H là trực tâm tam giác ABC nên OH?(ABC). Do đó #  OHÆ(2;1;1) là một véc-tơ pháp tuyến của (ABC) và H(2;1;1) thuộc (ABC) nên phương trìnhmặtphẳng (ABC)là 2(x¡2)Å(y¡1)Å(z¡1)Æ0,2xÅyÅz¡6Æ0. Chọnđápán B ä Câu42. Trongkhônggianchođiểm M(1;¡3;2).Cóbaonhiêumặtphẳngđiqua M vàcắtcác trụctọađộtại A,B,C màOAÆOBÆOC6Æ0? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. -Lờigiải. Giảsửmặtphẳng(®)cầntìmcắtOx,Oy,Ozlầnlượttại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)vớia,b,c6Æ0. Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (®)là x a Å y b Å z c Æ1. Do (®)điqua M(1;¡3;2)nên 1 a ¡ 3 b Å 2 c Æ1. (¤) Mặtkhác,doOAÆOBÆOC6Æ0nênjajÆjbjÆjcj6Æ0) 2 6 4 aÆbÆc (1) aÆbÆ¡c (2) aÆ¡bÆc (3) aÆ¡bÆ¡c. (4) Thay (1)vào (¤),phươngtrìnhvônghiệm. Thay (2)vào (¤),tathuđược aÆ¡4. Thay (3)vào (¤),tathuđược aÆ6. Thay (4)vào (¤),tathuđược aÆ2. Vậycó3mặtphẳngthỏayêucầubàitoán. Chọnđápán B ä Câu43. Tìmphươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm M(1;4;¡3)vàchứatrụcOy? Th.sNguyễnChínEm 369 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 3yÅzÆ0. B. x¡y¡zÆ0. C. 3xÅzÆ0. D. xÅ3zÆ0. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngđiqua M vàchứatrụcOy,thì (®)điquađiểmO(0;0;0). Khiđó, (®)chứagiácủacácvectơ #  OM(1;4;¡3)và #  j(0;1;0)suyra #  n ® Æ h #  OM, #  j i Æ(3;0;1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®): 3xÅzÆ0. Chọnđápán C ä Câu44. Chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25vàhaiđiểm A(3;¡2;6),B(0;1;0).Giảsử (®): axÅbyÅcz¡2Æ0điqua A,Bvàcắt(S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròncóbánkínhnhỏ nhất.Tính aÅb 2 Åc 3 . A. 9. B. 12. C. 5. D. 3. -Lờigiải. Ta có (®) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn có bán kínhnhỏnhất,d[S,(®)]lớnnhất. Mà d[S,(®)]·d[S,AB](vì AB½(®)). Dấu “=” xảy ra khi (®) đi qua A, B và có vectơ pháp tuyếnlà #  SH (với H làhìnhchiếucủa S trên (AB)). Mặtkhác #  BAÆ(3;¡3;6)Æ3(1;¡1;2)suyra #  u AB (1;¡1;2). Suyraphươngtrìnhđườngthẳng (AB)là ( xÆt yÆ1¡t zÆ2t. )H(m;1¡m;2m)) #  SH(m¡1;¡m¡1;2m¡3). S H A B Do SH?AB nên #  SH¢ #  u AB Æm¡1ÅmÅ1Å2(2m¡3)Æ0,mÆ1. Suyra #  SHÆ(0;¡2;¡1) Æ ¡1(0;2;1) ) (®): 2yÅz¡2 Æ 0 ) aÆ0,bÆ2,cÆ1 ) TÆ5. Chọnđápán C ä Câu45. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;0;1), B(6;¡2;1). Phương trình mặt phẳng (P)điqua A, B vàtạovớimặtphẳng (Oyz)mộtgóc®thỏamãn cos®Æ 2 7 là A. · 2xÅ3yÅ6z¡12Æ0 2xÅ3y¡6zÆ0 . B. · 2x¡3yÅ6z¡12Æ0 2x¡3y¡6zÆ0 . C. · 2x¡3yÅ6z¡12Æ0 2x¡3y¡6zÅ1Æ0 . D. · 2xÅ3yÅ6zÅ12Æ0 2xÅ3y¡6z¡1Æ0 . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng axÅbyÅczÅdÆ0, ¡ a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0 ¢ . Khiđó, (P)và (Oyz)lầnlượtcóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(a;b;c)và #  i Æ(1;0;0). Từgiảthiếttacóhệ 8 > > < > > : 3aÅcÅdÆ0 6a¡2bÅcÅdÆ0 jaj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 2 7 , 8 > > < > > : 3aÅcÅdÆ0 aÆ 2b 3 7jajÆ2 p a 2 Åb 2 Åc 2 . Suyra 7 ¯ ¯ ¯ ¯ 2b 3 ¯ ¯ ¯ ¯ Æ2 Ê µ 2b 3 ¶ 2 Åb 2 Åc 2 ,49b 2 Æ13b 2 Å9c 2 , h cÆ2b cÆ¡2b. Với cÆ2b thì aÆ 2b 3 , dÆ¡4b.Nhưthế,phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2b 3 xÅbyÅ2bz¡4bÆ0,2xÅ3yÅ6z¡12Æ0 ¡ vì a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0 ¢ . Th.sNguyễnChínEm 370 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Với cÆ¡2b thì aÆ 2b 3 , dÆ0.Nhưthế,phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2b 3 xÅby¡2bzÆ0,2xÅ3y¡6zÆ0 ¡ vì a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0 ¢ . Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2xÅ3yÅ6z¡12Æ0hoặc 2xÅ3y¡6zÆ0. Chọnđápán A ä Câu46. TrongkhônggianOxyz,cho3điểm A(1;0;0),B(0;¡2;3),C(1;1;1).Gọi(P)làmặtphẳng chứa A, Bsaochokhoảngcáchtừ C tớimặtphẳng (P)bằng 2 p 3 .Phươngtrìnhmặtphẳng (P) là A. · 2xÅ3yÅz¡1Æ0 3xÅyÅ7zÅ6Æ0 . B. · xÅ2yÅz¡1Æ0 ¡2xÅ3yÅ6zÅ13Æ0 . C. · xÅyÅ2z¡1Æ0 ¡2xÅ3yÅ7zÅ23Æ0 . D. · xÅyÅz¡1Æ0 ¡23xÅ37yÅ17zÅ23Æ0 . -Lờigiải. Gọi (P): axÅbyÅczÅdÆ0, (a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0)làmặtphẳngthỏamãnbàitoán. Từgiảthiết,tacóhệphươngtrình 8 > > < > > : aÅdÆ0 ¡2bÅ3cÅdÆ0 jaÅbÅcÅdj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 2 p 3 )jbÅcj p 3Æ2 p (¡2bÅ3c) 2 Åb 2 Åc 2 (¤). Tacó (¤) , 3 ¡ b 2 Å2bcÅc 2 ¢ Æ4 ¡ 5b 2 ¡12bcÅ10c 2 ¢ , 17b 2 ¡54bcÅ37c 2 Æ0 , " bÆc bÆ 37 17 c. Với bÆc thì aÆc và dÆ¡c.Khiđó,phươngtrìnhmặtphẳng (P)là cxÅcyÅcz¡cÆ0,xÅyÅz¡1Æ0, (do a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0). Với bÆ 37 17 c thì aÆ¡ 23 17 c và dÆ 23 17 c.Khiđó,phươngtrìnhmặtphẳng (P)là ¡ 23 17 cxÅ 37 17 cyÅczÅ 23 17 cÆ0,¡23xÅ37yÅ17zÅ23Æ0, (do a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là xÅyÅz¡1Æ0hoặc¡23xÅ37yÅ17zÅ23Æ0. Chọnđápán D ä Câu47. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ1vàđiểm A(2;2;2). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với (S). Điểm M luôn thuộc mộtmặtphẳngcốđịnhcóphươngtrìnhlà A. xÅyÅz¡6Æ0. B. xÅyÅz¡4Æ0. C. 3xÅ3yÅ3z¡8Æ0. D. 3xÅ3yÅ3z¡4Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;1),bánkính RÆ1.Tacó #  IAÆ(1;1;1))IAÆ p 3. Do AM làtiếptuyếncủa (S)nên AM?IM)M2(S 0 ),với (S 0 )làmặtcầuđườngkính AI. Gọi J làtrungđiểmcủa AI,suyra J µ 3 2 ; 3 2 ; 3 2 ¶ làtâmmặtcầu (S 0 ). Phươngtrìnhmặtcầu (S 0 )là (S 0 ): µ x¡ 3 2 ¶ 2 Å µ y¡ 3 2 ¶ 2 Å µ z¡ 3 2 ¶ 2 Æ 3 4 . Tọađộ M lànghiệmcủahệphươngtrình 8 > < > : (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ1 (1) µ x¡ 3 2 ¶ 2 Å µ y¡ 3 2 ¶ 2 Å µ z¡ 3 2 ¶ 2 Æ 3 4 . (2) Th.sNguyễnChínEm 371 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Lấy(1)trừ(2)tađược xÅyÅz¡4Æ0. Vậyđiểm M luônthuộcmộtmặtphẳngcốđịnhcóphươngtrình xÅyÅz¡4Æ0. Chọnđápán B ä Câu48. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;¡1), B(3;0;3).Biếtmặtphẳng (P)điqua điểm A vàcách B mộtkhoảnglớnnhất.Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là A. x¡2yÅ2zÅ5Æ0. B. x¡yÅ2zÅ3Æ0. C. 2x¡2yÅ4zÅ3Æ0. D. 2x¡yÅ2zÆ0. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa B lênmặtphẳng (P). Khiđó, BH·AB)BH lớnnhấtkhi H trùngvới A. Vậy (P)qua A vàvuônggócvới AB. (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ #  ABÆ(2;¡2;4),chọn #  nÆ(1;¡1;2). (P)quađiểm A(1;2;¡1)cóphươngtrình (P): x¡yÅ2zÅ3Æ0. A H B P Chọnđápán B ä Câu49. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,haimặtphẳng4x¡4yÅ2z¡7Æ0và2x¡2yÅzÅ4Æ 0chứahaimặtcủahìnhlậpphương.Thểtíchkhốilậpphươngđólà A. VÆ 125 8 . B. VÆ 81 p 3 8 . C. VÆ 9 p 3 2 . D. VÆ 27 8 . -Lờigiải. Khoảngcáchgiữahaimặtphẳngtrênbằngđộdàicạnhcủahìnhlậpphương. Gọi (P): 4x¡4yÅ2z¡7Æ0và (Q): 2x¡2yÅzÅ4Æ0. Lây M(0;0;¡4)2(Q)và d(M,(P))Æ 5 2 . VậyVÆ 125 8 . Chọnđápán A ä Câu50. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6zÅ2Æ0vàmặtphẳng (P): 2xÅ2y¡z¡3Æ0.Gọi(Q)làmặtphẳngsongsongvới(P)vàcắt(S)theothiếtdiệnlàđường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi (C) có thểtíchlớnnhất.Phươngtrìnhcủamặtphẳng (Q)là A. 2xÅ2y¡z¡4Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ17Æ0. B. 2xÅ2y¡zÅ2Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ8Æ0. C. 2xÅ2y¡z¡1Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ11Æ0. D. 2xÅ2y¡z¡6Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ3Æ0. -Lờigiải. (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ12. Mặt cầu (S) có tâm I(1;¡2;3)vàbánkínhRÆ2 p 3.Gọi rlàbánkínhđường tròn (C)và E làhìnhchiếucủa I lên (Q).Đặt IEÆx,ta có rÆ p R 2 ¡x 2 Æ p 12¡x 2 . Vậythểtíchkhốinóntạođượclà VÆ 1 3 ¢IE¢S ((C)) Æ 1 3 ¢x¢¼ ³p 12¡x 2 ´ 2 Æ 1 3 ¼ ¡ 12x¡x 3 ¢ . Gọi f(x)Æ12x¡x 3 với x2 ¡ 0;2 p 3 ¢ .Thểtíchnónlớnnhất khi f(x)đạtgiátrịlớnnhất. I E Q r R Tacó f 0 (x)Æ12¡3x 2 ,f 0 (x)Æ0,12¡3x 2 Æ0,xƧ2.Đốichiếuđiềukiệnsuyra xÆ2. Bảngbiếnthiên Th.sNguyễnChínEm 372 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 x y 0 y ¡1 2 Å1 Å 0 ¡ 0 0 16 16 0 0 VậyV max Æ 1 3 ¼16Æ 16¼ 3 khi xÆIEÆ2. Mặtphẳng (Q)Ò(P)nên (Q): 2xÅ2y¡zÅaÆ0. d(I;(Q))ÆIH, j2.1Å2(¡2)¡3Åaj p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ2,ja¡5jÆ6, h aÆ11 aÆ¡1. Vậymặtphẳng (Q)cóphươngtrình 2xÅ2y¡z¡1Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ11Æ0. Chọnđápán C ä Câu51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện OABC biết toạ độ #  ABÆ(1;2;3) và #  ACÆ(¡1;4;¡2)vàđiểmG(3;¡3;6)làtrọngtâmtứdiệnOABC.ThểtíchtứdiệnOABCbằng A. p 3 2 . B. 1 p 2 . C. 1 p 3 . D. 2 3 . -Lờigiải. Tacó G trọngtâmcủatứdiệnOABC , #  GAÅ #  GBÅ #  GCÅ #  GOÆ #  0 , 3 #  GAÅ ³ #  GB¡ #  GA ´ Å ³ #  GC¡ #  GA ´ Å #  GOÆ #  0 , 3 #  GAÅ #  ABÅ #  ACÅ #  GOÆ #  0 , #  OAÆ #  BAÅ #  CAÅ4 #  OG 3 , #  AOÆ µ ¡4;6;¡ 23 3 ¶ TađượcV OABC Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AO ¯ ¯ ¯Æ2. Chọnđápán C ä Câu52. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng (P): x¡yÅ2z¡3Æ0, (Q): x¡yÅ2zÅ3Æ0 có bao nhiêu điểm M có hoành độ nguyên thuộc Ox sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai mặtphẳng (P), (Q)bằngkhoảngcáchgiữa (P)và (Q). A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. -Lờigiải. Vì (P)Ò(Q)nên d[(P),(Q)]Æd[N,(Q)]với N2(P). Chọn N(3;0;0),khiđó d[(P),(Q)]Æd[N,(Q)]Æ p 6. Gọi M(m;0;0)với m2Z.Khiđó d[M,(P)]Åd[M,(Q)]Æd[(P),(Q)], jm¡3j p 6 Å jmÅ3j p 6 Æ p 6,jm¡3jÅjmÅ3jÆ6. Taxétcáctrườnghợpsau Khi m¸3,suyra m¡3ÅmÅ3Æ6,mÆ3. Khi¡3ÇmÇ3,suyra¡mÅ3ÅmÅ3Æ6.Điềunàyđúngvớimọigiátrị m2(¡3;3). Khi m·¡3,suyra¡mÅ3¡m¡3Æ6,mÆ¡3. Do m nguyênsuyra m2{0;§1;§2;§3}.Vậycótấtcả 7giátrịnguyêncủa m thỏamãnyêucầu bàitoán. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 373 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu53. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(¡1;2;0), C(3;¡1;2) và M là điểm thuộcmặtphẳng(®): 2x¡yÅ2zÅ7Æ0.Tínhgiátrịnhỏnhấtcủa PÆ ¯ ¯ ¯3 #  MAÅ5 #  MB¡7 #  MC ¯ ¯ ¯. A. P min Æ20. B. P min Æ5. C. P min Æ25. D. P min Æ27. -Lờigiải. Với I làđiểmbấtkỳ,tacó 3 #  MAÅ5 #  MB¡7 #  MCÆ #  MIÅ3 #  IAÅ5 #  IB¡7 #  IC. Chọn I saocho 3 #  IAÅ5 #  IB¡7 #  ICÆ #  0.Khiđó,tacó PÆ ¯ ¯ ¯3 #  MAÅ5 #  MB¡7 #  MC ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  MI ¯ ¯ ¯. Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ¯ ¯ ¯ #  MI ¯ ¯ ¯ đạt giá trị nhỏ nhất, tương đương với M là hìnhchiếuvuônggóccủa I trên (®). Giảsử I(x;y;z).Khiđó,tacó 3 #  IAÅ5 #  IB¡7 #  ICÆ #  0 , ( 3(x¡1)Å5(xÅ1)¡7(x¡3)Æ0 3(y¡1)Å5(y¡2)¡7(yÅ1)Æ0 3(z¡1)Å5(z¡0)¡7(z¡2)Æ0 , ( xÆ¡23 yÆ20 zÆ¡11. Suyra I(¡23;20;¡11). Vậy P min Æd(I,(®))Æ j2(¡23)¡20Å2(¡11)Å7j p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ27. Chọnđápán D ä Câu54. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x¡y¡6Æ0 và (Q). Biết rằng điểm H(2;¡1;¡2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0;0;0) xuống mặt phẳng (Q). Số đo góc giữahaimặtphẳng (P)vàmặtphẳng (Q)bằng A. 45 ± . B. 60 ± . C. 30 ± . D. 90 ± . -Lờigiải. Tacó #  OH(2;¡1;¡2)làvéc-tơpháptuyếncủa (Q), #  n(1;¡1;0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Gọi®làgócgiữahaimặtphẳng (P)và (Q),tacó cos®Æ ¯ ¯ ¯ #  OH¢ #  n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  OH ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ Æ j2Å1j 3 p 2 Æ 1 p 2 )®Æ45 ± . Chọnđápán A ä Câu55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng cách đều hai mặtphẳng (P): xÅ2yÅ2z¡10Æ0và (Q): xÅ2yÅ2z¡2Æ0là A. xÅ2yÅ2z¡6Æ0. B. xÅ2yÅ2zÅ12Æ0. C. xÅ2yÅ2zÅ6Æ0. D. xÅ2yÅ2z¡12Æ0. -Lờigiải. Chọn M(10;0;0)2 (P) và N(2;0;0)2 (Q). Suy ra trung điểm của đoạn MN là I(6;0;0). Ta có (P)Ò(Q) nên phương trình mặt phẳng cách đều (P) và (Q) có dạng xÅ2yÅ2zÅdÆ0 và đi qua điểm I(6;0;0))dÆ¡6. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmcóphươngtrình xÅ2yÅ2z¡6Æ0. Chọnđápán A ä Câu56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, cÈ0. Biết rằng mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M µ 1 5 ; 2 5 ; 3 5 ¶ và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x¡ 1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ36.Tính TÆ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 . A. TÆ 3 2 . B. TÆ 2 3 . C. TÆ 9 4 . D. TÆ 4 9 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmlà I(1;2;3)vàbánkínhlà RÆ6. Tacómặtphẳng (ABC)là x a Å y b Å z c Æ1,do (ABC)qua M nên 1 5a Å 2 5b Å 3 5c Æ1, 1 a Å 2 b Å 3 c Æ5. Th.sNguyễnChínEm 374 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó (ABC)tiếpxúcvới (S)nên d(I,(ABC))ÆR, ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a Å 2 b Å 3 c ¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ6, 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ µ j5¡1j 6 ¶ 2 Æ 4 9 . Chọnđápán D ä Câu57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;¡1;2) và mặt cầu (S): (x¡ 1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ9. Mặt phẳng qua M cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhấtcóphươngtrìnhlà A. x¡yÅ2z¡5Æ0. B. x¡yÅ2z¡7Æ0. C. 2x¡yÅz¡7Æ0. D. xÅyÅ2z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó,mặtcầu (S)cótâm I(1;0;0),bánkính RÆ3. MIÆ p 6nên M làđiểmtrongcủamặtcầu (S). Gọi (P) là mặt phẳng bất kỳ đi qua M, N là hình chiếu của I trên (P), r làbánkínhđườngtròngiaotuyếncủamặtcầuvớimặt phẳng (P), dÆIN làkhoảngcáchtừtâm I tớimặtphẳng (P).Khi đó, r 2 ÆIN 2 ÆR 2 ¡d 2 ¸R 2 ¡IM 2 )r min ÆR 2 ¡IM 2 )IM?(P). Vậy #  IMÆ(1;¡1;2)làvéc-tơpháptuyếncủa (P).Phươngtrìnhmặt phẳngcầntìmlà x¡yÅ2z¡7Æ0. M N I Chọnđápán B ä Câu58. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2y¡2zÅ3Æ0 và mặt cầu (S) có tâm I(0;¡2;1). Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2¼.Mặtcầu (S)cóphươngtrìnhlà A. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ2. B. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. C. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. D. x 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ1. -Lờigiải. Khoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng (P)là d(I,(P))Æ j0¡4¡2Å3j p 1Å4Å4 Æ1. Giaotuyếnlàđườngtròncódiệntích 2¼Æ¼r 2 )rÆ p 2. Bánkínhmặtcầulà RÆ p [d(I,(P))] 2 År 2 Æ p 1Å2Æ p 3. Phươngtrìnhmặtcầu (S)là (S): x 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡1) 2 Æ3. Chọnđápán B ä Câu59. Chocácsốthực a, b, c, d, e, f thỏamãn ½ a 2 Åb 2 Åc 2 ¡2aÅ4bÅ2c¡6Æ0 2d¡eÅ2f¡14Æ0 .Giátrịnhỏ nhấtcủabiểuthức (a¡d) 2 Å(b¡e) 2 Å(c¡f) 2 bằng A. 4¡2 p 3. B. 7¡4 p 3. C. 28¡16 p 3. D. 1. -Lờigiải. Bài toán trở thành: Tìm điểm M trên (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4yÅ2z¡6Æ 0 và điểm N trên (P): 2x¡yÅ2z¡14Æ0saocho MN nhỏnhất. Tacómặtcầucótâm I(1;¡2;¡1)vàbánkính RÆ2 p 3. Vậy min(MN)Æjd(I;(P))¡RjÆ4¡2 p 3. Chọnđápán A ä Câu60. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2z¡2Æ 0 và các điểm A(0;1;1), B(¡1;¡2;¡3), C(1;0;¡3).Điểm D thuộcmặtcầu (S).Thểtíchtứdiện ABCD lớnnhất bằng A. 9. B. 8 3 . C. 7. D. 16 3 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 375 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 D H I R ABC Mặtcầu (S)cótâm I(1;0;¡1)vàbánkính RÆ2. Ta có #  ABÆ (¡1;¡3;¡4), #  ACÆ (1;¡1;¡4) nên mặt phẳng (ABC) có một véc-tơ pháp tuyến là #  AB^ #  ACÆ(8;¡8;4). Suy ra (ABC) nhận véc-tơ #  n Æ(2;¡2;1) làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trìnhmặtphẳng (ABC)là 2¢(x¡0)¡2¢(y¡1)Å1¢(z¡1)Æ0,2x¡2yÅzÅ1Æ0. Tacó d[I;(ABC)]Æ j2¢1¡2¢0Å(¡1)Å1j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ 2 3 Ç2ÆR nênmặtphẳng (ABC)cắtmặtcầu (S). Vì diện tích tam giác ABC không đổi nên thể tích tứ diện ABCD lớn nhất khi và chỉ khi d[D;(ABC)] lớn nhất. Khoảng cách này lớn nhất khi D là một trong hai giao điểm của đường thẳng¢điqua I vàvuônggócvớimặtphẳng (ABC).Khoảngcáclớnnhấtkhiđólà d max Æd[I;(ABC)]ÅRÆ 2 3 Å2Æ 8 3 . Diệntích4ABC là SÆ 1 2 ¯ ¯ ¯ #  AB^ #  AC ¯ ¯ ¯Æ 1 2 p 8 2 Å(¡8) 2 Å4 2 Æ6. Thểtíchtứdiện ABCD lớnnhấtbằngVÆ 1 3 S¢d max Æ 1 3 ¢6¢ 8 3 Æ 16 3 . Chọnđápán D ä Câu61. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;0;2),B(3;1;¡1)vàmặtphẳng (P): xÅyÅz¡1Æ0. Gọi M(a;b;c)2(P) sao cho ¯ ¯ ¯3 #  MA¡2 #  MB ¯ ¯ ¯ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính SÆ 9aÅ3bÅ6c. A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. -Lờigiải. Gọi N(x;y;z)saocho 3 #  NA¡2 #  NBÆ #  0 )N(¡3;¡2;8). ¯ ¯ ¯3 #  MA¡2 #  MB ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯3 #  NA¡2 #  NBÅ #  MN ¯ ¯ ¯ÆMN đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của N lên (P))M µ ¡ 11 3 ;¡ 8 3 ; 22 3 ¶ . Vậy SÆ9aÅ3bÅ6cÆ3. Chọnđápán D ä Câu62. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;¡2;5) và tiếp xúc với ba mặt phẳng (P): xÆ1; (Q): yÆ¡1và (R): zÆ1cóbánkínhbằng A. 1. B. 3 p 3. C. 3. D. 2 p 3. -Lờigiải. Đặt 8 < : x 0 Æx¡1 y 0 ÆyÅ1 z 0 Æz¡1. TronghệtọađộmớiOx 0 y 0 z 0 ,tacó: (P): x 0 Æ0; (Q): y 0 Æ0; (R): z 0 Æ0.Hay (P), (Q), (R)làcácmặt phẳngtọađộvới (R)´(Ox 0 y 0 ), (P)´(Oy 0 z 0 ), (Q)´(Oz 0 x 0 ). Khiđó: A(1;¡1;4). Nhậnthấy:(S)điqua A vàtiếpxúcvớicácmặtphẳngtọađộnên(S)nằmtronggócphầntám cóhoànhđộ,caođộdươngvàtungđộâm. Th.sNguyễnChínEm 376 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi I(a;b;c)làtâmcủa S)aÈ0,bÇ0,cÈ0. Tacó: RÆIAÆjajÆjbjÆjcj, ½ aÆ¡bÆcÈ0 (a¡1) 2 Å(bÅ1) 2 Å(c¡4) 2 Æa 2 , ½ aÆ¡bÆcÈ0 (a¡1) 2 Å(a¡1) 2 Å(a¡4) 2 Æa 2 , n aÆ¡bÆcÈ0 a 2 ¡6aÅ9Æ0 , ( aÆ3 bÆ¡3 cÆ3 )RÆ3. Chọnđápán C ä Câu63. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ9 và mặt phẳng (P): 4xÅ2yÅ 4zÅ7Æ0.Haimặtcầucóbánkínhlà R 1 và R 2 chứađườngtròngiaotuyếncủa(S)và(P)đồng thờicùngtiếpxúcvớimặtphẳng (Q): 3y¡4z¡20Æ0.Tổng R 1 ÅR 2 bằng A. 63 8 . B. 35 8 . C. 65 8 . D. 5. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầuchứagiaotuyếncủamặtcầu (S)vàmặtphẳng (P)códạng (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡9Åm(4xÅ2yÅ4zÅ7)Æ0. Mặtcầu (T)cótâm I(¡2m;¡m;¡2m)vàbánkính RÆ p 9m 2 ¡7mÅ9. Mặtcầu (T)tiếpxúcvớimặtphẳng (Q)khi d[I;(Q)]ÆR, j¡3mÅ8m¡20j 5 Æ p 9m 2 ¡7mÅ9 ,jm¡4jÆ p 9m 2 ¡7mÅ9 ,8m 2 Åm¡7Æ0 , " mÆ¡1)R 1 Æ5 mÆ 7 8 )R 2 Æ 25 8 . Vậy R 1 ÅR 2 Æ 65 8 . Chọnđápán C ä Câu64. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;¡3;2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắtcáctrụctọađộtại A, B, C màOAÆOBÆOC6Æ0? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cắtcáctrụctọađộtại A,B,C cóphươngtrình (P): x a Å y b Å z c Æ1. VìOAÆOBÆOC nênjajÆjbjÆjcj. Mặtphẳng (P)điqua M nên 1 a Å ¡3 b Å 2 c Æ1 (1). Xétcáctrườnghợp: 1 Nếu aÆbÆc,từ (1)suyra 0Æ1(vôlý). 2 Nếu aÆbÆ¡c,từ (1)suyra aÆ¡4,phươngtrìnhmặtphẳng (P): x ¡4 Å y ¡4 Å z 4 Æ1. 3 Nếu aÆ¡bÆc,từ (1)suyra aÆ6,phươngtrìnhmặtphẳng (P): x 6 Å y ¡6 Å z 6 Æ1. 4 Nếu aÆ¡bÆ¡c,từ (1)suyra aÆ2,phươngtrìnhmặtphẳng (P): x 2 Å y ¡2 Å z ¡2 Æ1. Th.sNguyễnChínEm 377 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậycó 3mặtphẳngthỏamãnbàitoán. Chọnđápán A ä Câu65. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(10;2;¡1)vàđườngthẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ z¡1 3 .Gọi (P)làmặtphẳngđiquađiểm A,songsongvớiđườngthẳng d saochokhoảngcáchgiữa d và (P)lớnnhất.Khoảngcáchtừđiểm M(¡1;2;3)đếnmặtphẳng (P)bằng A. 3 p 29 29 . B. 97 p 3 15 . C. 2 p 13 13 . D. 76 p 790 790 . -Lờigiải. Gọi A 0 (1Å2t;t;1Å3t)làhìnhchiếucủa A lên d,suyra #  AA 0 Æ(2t¡9;t¡2;3tÅ2). Vì AA 0 ?d nên #  AA 0 ¢ #  u d Æ0,2(2t¡9)Å(t¡2)Å3(3tÅ2)Æ0, tÆ1) #  AA 0 Æ(¡7;¡1;5). Ta có d(d,(P))Æd(A 0 ,(P))·AA 0 . Do đó khoảng cách giữa d và (P) lớn nhất khi AA 0 ?(P), hay (P) nhận véc-tơ #  AA 0 Æ(¡7;¡1;5) làmvéc-tơpháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (P): ¡7(x¡10)¡(y¡2)Å5(zÅ1)Æ0,¡7x¡yÅ5zÅ77Æ0. Khoảngcáchtừ M đến (P)là d(M,(P))Æ j7¡2Å15Å77j p (¡7) 2 Å(¡1) 2 Å5 2 Æ 97 p 3 15 . Chọnđápán B ä Câu66. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2xÅ4y¡6z¡mÅ4Æ0. Tìm số thực m để mặt phẳng (P): 2x¡2yÅzÅ1Æ0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. A. mÆ3. B. mÆ2. C. mÆ1. D. mÆ4. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;¡2;3)vàbánkính RÆ p mÅ10. Khoảngcáchtừ I đến (P)là dÆd[I,(P)]Æ j¡2Å4Å3Å1j 3 Æ2. Bánkính r củađườngtròngiaotuyếnlà rÆ p R 2 ¡d 2 Æ p mÅ6. Theođềbài,tacó: rÆ3, p mÅ6Æ3,mÅ6Æ9,mÆ3. Vậy mÆ3. R r I H A Chọnđápán A ä Câu67. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ9 và mặt phẳng (P): 2x¡2yÅzÅ14Æ0.Gọi M(a;b;c)làđiểmthuộcmặtcầu (S)saochokhoảngcáchtừ M đến mặtphẳng (P)lớnnhất.Tính TÆaÅbÅc. A. TÆ1. B. TÆ3. C. TÆ10. D. TÆ5. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;1;2)vàbánkính RÆ3. Tacó d(I,(P))Æ4È3)(P)khôngcắt (S). Gọi K là hình chiếu của M lên (P). Đường thẳng d qua I, vuông góc với (P) tại H, cắt mặt cầu tại hai điểm M 0 và M 1 trongđó M 1 nằmgiữa H và I. Tacó MK·MH·MIÅIHÆM 0 IÅIHÆM 0 H. Dođó maxMKÆM 0 H,M´M 0 . I M 0 M 1 P H K M Đườngthẳng d qua I,vuônggócvới (P),suyra d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;¡2;1). Phươngtrìnhđườngthẳng d: ( xÆ¡1Å2t yÆ1¡2t zÆ2Åt. Th.sNguyễnChínEm 378 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Điểm M2d)M(¡1Å2t;1¡2t;2Åt). Điểm M2(S),4t 2 Å4t 2 Åt 2 Æ9,t 2 Æ1,tƧ1. Với tÆ1)M(1;¡1;3))d(M,(P))Æ7. Với tÆ¡1)M(3;3;1))d(M,(P))Æ5. Vậyđiểm M(1;¡1;3)thỏamãnyêucầubàitoán)TÆ1¡1Å3Æ3. Chọnđápán B ä Câu68. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: x ¡1 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 1 vàmặtphẳng(P): 2x¡ y¡2zÅ4Æ0. Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) góc với số đo nhỏ nhấtcóphươngtrìnhlà A. x¡z¡2Æ0. B. xÅz¡2Æ0. C. 3xÅyÅz¡1Æ0. D. xÅy¡zÅ3Æ0. -Lờigiải. Gọi A làgiaođiểmcủa d và (P). Trên d lấyđiểm B. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa B lên (P). Gọi¢làgiaotuyếncủa (P)và (Q). Gọi K làhìnhchiếuvuônggóccủa H lên¢. Khi đó góc giữa mặt phẳng (Q) và (P) là ƒ BKHÆ®. A H K B Tathấy tan®Æ BH HK . Tathấy®nhỏnhấtkhi HK lớnnhất,tứclà AK?AB. Tacó ½ #  u d Æ(¡1;2;1) #  n (P) Æ(2;¡1;¡2) ) #  u ¢ Æ £ #  u d , #  n (P) ¤ Æ(¡3;0;¡3). Tađược #  n (Q) Æ £ #  u d , #  u ¢ ¤ Æ(¡6;¡6;6). Vậy (Q): xÅy¡zÅ3Æ0. Chọnđápán D ä Câu69. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(¡5;7;¡9), B(1;3;7), C(6;¡7;¡3). Gọi AH làchiềucaocủatamgiác ABC.Tỉsố BH CH là A. 4 3 . B. 3 2 . C. 2 3 . D. 3 4 . -Lờigiải. Mặtphẳng(P)qua Anhận #  BCÆ(5;¡10;¡10)làvéc-tơpháptuyếncó phươngtrìnhlà (xÅ5)¡2(y¡7)¡2(zÅ9)Æ0,x¡2y¡2zÅ1Æ0. Tacó BH CH Æ d(B,(P)) d(C,(P)) Æ 6 9 Æ 2 3 . P B A C H Chọnđápán C ä Câu70. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): xÅyÅx¡1Æ0, (Q): 2yÅz¡5Æ0 và (R): x¡yÅz¡2Æ0. Gọi (®) là mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời vuông góc với (R).Phươngtrìnhcủa (®)là A. 2xÅ3y¡5zÅ5Æ0. B. xÅ3yÅ2z¡6Æ0. C. xÅ3yÅ2zÅ6Æ0. D. 2xÅ3y¡5z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(1,1,1), #  n Q Æ(0,2,1)và #  n R Æ(1,¡1,1). Suyra #  uÆ[ #  n P , #  n Q ]Æ(¡1,¡1,2)làvéc-tơchỉphươngcủagiaotuyến. ) #  n ® Æ[ #  u, #  n R ]Æ(1,3,2)làvéc-tơpháptuyếncủa (®). Th.sNguyễnChínEm 379 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Nhậnxét M(¡4,0,5)làđiểmchungcủahaimặtphẳng (P)và (Q). (®)điqua M(¡4,0,5)vàcóvéc-tơpháptuyến #  n ® Æ(1,3,2)nêncóphươngtrình 1(xÅ5)Å3(y¡0)Å2(z¡5)Æ0,xÅ3yÅ2z¡6Æ0. Vậyphươngtrìnhcủa (®)là xÅ3yÅ2z¡6Æ0. Chọnđápán B ä Câu71. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) qua điểm M(2;3;5) và cắtcáctiaOx,Oy,Ozlầnlượttại A,B,CphânbiệtsaochoOA,OB,OC theothứtựlậpthành mộtcấpsốnhâncócôngbộibằng 3.KhoảngcáchtừO đếnmặtphẳng (P)là A. 18 p 91 . B. 24 p 91 . C. 16 p 91 . D. 32 p 91 . -Lờigiải. Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C phân biệt sao cho OA, OB, OC theothứtựlậpthànhmộtcấpsốnhâncócôngbộibằng 3nênOBÆ3OA,OCÆ9OA. Giảsửđiểm A(a;0;0)thì B(0;3a;0), C(0;0;9a)với aÈ0. Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (P)là x a Å y 3a Å z 9a Æ1,9xÅ3yÅzÆ9a. Do (P)điqua M(2;3;5),suyra 9aÆ32. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P): 9xÅ3yÅz¡32Æ0. KhoảngcáctừO đếnmặtphẳng (P)là d(O,(P))Æ j¡32j p 9 2 Å3 2 Å1 2 Æ 32 p 91 . Chọnđápán D ä Câu72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;¡1;0), C(0;0;1), D(1;¡1;1). Mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện có diện tích S.Chọnmệnhđềđúng. A. SÆ ¼ 3 . B. SÆ ¼ 6 . C. SÆ ¼ 4 . D. SÆ ¼ 5 . -Lờigiải. Tacó ABÆCDÆACÆBDÆADÆBCÆ p 2nên ABCD làtứdiệnđều. Gọi M, N, I lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB, CD, MN,khiđó MN?AB tại M, MN?CD tại N nênmặtcầu (S)tâm I,bánkính RÆ MN 2 làmặtcầutiếpxúcvới 6cạnhcủatứdiện ABCD. Tacó M µ 1 2 ;¡ 1 2 ;0 ¶ , N µ 1 2 ;¡ 1 2 ;1 ¶ , I µ 1 2 ;¡ 1 2 ; 1 2 ¶ , #  ACÆ(¡1;0;1), #  ADÆ(0;¡1;1). Mặtphẳng (ACD)nhận h #  AC, #  AD i Æ(1;1;1)làmvéc-tơpháptuyếnnêncóphươngtrình xÅyÅ z¡1Æ0. Mặtcầu (S)cóbánkính RÆ MN 2 Æ 1 2 . Khoảngcáchtừ I đến (ACD)là dÆd(I,(ACD))Æ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 ¡ 1 2 Å 1 2 ¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ p 1Å1Å1 Æ 1 2 p 3 ÇR. Dođó (ACD)cắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàđườngtrònbánkính rÆ p R 2 ¡d 2 Æ É 1 6 . Vậydiệntích S củathiếtdiệnlà SƼ¢r 2 Æ ¼ 6 . Chọnđápán B ä Câu73. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm M(1;2;4).Mặtphẳng (P)điqua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Khiđó (P)điquađiểmnàosauđây? A. (2;2;0). B. (1;1;2). C. (¡1;1;4). D. (0;1;3). -Lờigiải. Giảsử A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c), (a,b,cÈ0). Phươngtrìnhcủa (P): x a Å y b Å z c Æ1; M2(P), 1 a Å 2 b Å 4 c Æ1. ThểtíchcủakhốichópOABC làVÆ abc 6 . Th.sNguyễnChínEm 380 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó 1Æ 1 a Å 2 b Å 4 c Ê3 3 É 8 abc )abcÊ216. Dấu "Æ"xảyrakhi 8 > > < > > : 1 a Å 2 b Å 4 c Æ1 1 a Æ 2 b Æ 4 c , ( aÆ3 bÆ6 cÆ12. DođóthểtíchkhốichópOABC nhỏnhấtkhivàchỉkhi ( aÆ3 bÆ6 cÆ12. Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (P): 4xÅ2yÅz¡12Æ0. Chọnđápán A ä Câu74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1). Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thểtíchkhốitứdiệnOABC. A. 18. B. 9. C. 6. D. 54. -Lờigiải. Giảsử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c),với a,b,cÈ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng x a Å y b Å z c Æ1. Do M2(P)) 1 a Å 2 b Å 1 c Æ1. (¤) ÁpdụngbấtđẳngthứcCô-si,từđẳngthức (¤)tacó 1¸3 3 É 2 abc ) 1 27 ¸ 2 abc )abc¸54. ThểtíchtứdiệnOABC làVÆ 1 6 abc¸ 54 6 Æ9. VậygiátrịnhỏnhấtcủathểtíchtứdiệnOABC bằng 9khi 1 a Æ 2 b Æ 1 c Æ 1 3 )aÆcÆ3, bÆ6. Chọnđápán B ä Câu75. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;2;1)vàB(3;¡1;5).Mặtphẳng (P)vuônggócvớiđườngthẳng ABvàcắtcáctrụcOx,OyvàOztạicácđiểmD,EvàF.Biếtthể tíchcủatứdiệnODEF bằng 3 2 ,phươngtrìnhmặtphẳng (P)là A. 2x¡3yÅ4z§ 3 p 36Æ0. B. 2x¡3yÅ4zÅ 3 2 Æ0. C. 2x¡3yÅ4z§12Æ0. D. 2x¡3yÅ4z§6Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)códạng (P): 2x¡3yÅ4zÅmÆ0. Tađược 8 > > > > > < > > > > > : D ³ ¡ m 2 ;0;0 ´ E ³ 0; m 3 ;0 ´ F ³ 0;0;¡ m 4 ´ . TacóV ODEF Æ 1 6 OD¢OE¢OFÆ jmj 3 144 . Theogiảthiếttacó jmj 3 144 Æ 3 2 ,mƧ6. Vậy (P): 2x¡3yÅ4z§6Æ0. Chọnđápán D ä Câu76. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng (P)điquahaiđiểm A(1;2;3)và (3;¡1;1) đổng thời song song với đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 1 . Khoảng cách từ gốc tọa độđếnmặtphẳng (P)bằng A. 37 101 . B. 5 77 . C. 37 p 101 . D. 5 p 77 77 . Th.sNguyễnChínEm 381 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;¡3;¡2),véc-tơ #  uÆ(2;¡1;1)làvéc-tơchỉphươngcủa d. Mặtphẳng (P)chứa AB vàsongsongvới d nhận h #  u d ; #  AB i Æ(5;6;¡4)làvéc-tơpháptuyến. Mặtkhác A2(P))(P): 5xÅ6y¡4z¡5Æ0. KhoảngcáchtừO(0;0;0)đến (P)là d(O,(P))Æ j¡5j p 5 2 Å6 2 Å(¡4) 2 Æ 5 p 77 77 . Chọnđápán D ä Câu77. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M,N,P,Q lần lượt làtrungđiểmcủa AB,BC,C 0 D 0 ,DD 0 .Gọithểtíchkhốitứdiện MNPQ làphânsốtốigiản a b với a,b2N.Tính aÅb. A. 9. B. 25. C. 13. D. 11. -Lờigiải. Gắn vào hình lập phương hệ trục Oxyz có gốc tại điểm A, các tia Ox,Oy,Oz lần lượt chứa các điểm D,B,A 0 . Khi đó ta suy ra tọa độ các đỉnh hình lập phương và các điểm M,N,P,Q là B(1;0;0),C(1;1;0),C 0 (1;1;1),D(0;1;0), D 0 (0;1;1),M µ 1 2 ;0;0 ¶ ,N µ 1; 1 2 ;0 ¶ ,P µ 1 2 ;1;1 ¶ ,Q µ 0;1; 1 2 ¶ . Tacó #  MNÆ µ 1 2 ; 1 2 ;0 ¶ , #  MPÆ(0;1;1). Suyra h #  MN, #  MP i Æ µ 1 2 ;¡ 1 2 ; 1 2 ¶ , #  MQÆ µ ¡ 1 2 ;1; 1 2 ¶ . B A´O D C B 0 A 0 D 0 C 0 y x z M N P Q 1 1 1 Thểtíchkhốitứdiện MNPQ là V MNPQ Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  MN, #  MP i ¢ #  MQ ¯ ¯ ¯Æ 1 12 . Vậy aÅbÆ13. Chọnđápán C ä Câu78. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3), D(2;¡2;0). Có tất cảbaonhiêumặtphẳngphânbiệtđiqua 3trong 5điểmO, A, B, C, D? A. 10. B. 7. C. 5. D. 6. -Lờigiải. Bađiểm A, B, C lầnlượtthuộcOx,Oy,Oz nênphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. Tacó 2 1 Å ¡2 2 Å 0 3 Æ1nên D2(ABC). Tiếpđến,từtọađộcủa A, B, D suyra A làtrungđiểmcủa BD. Vậy có tất cả 5 mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D là (OAB), (OCA), (OCB),OCD và (ABC). Chọnđápán C ä Câu79. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ1.ĐiểmM2(S)cótọađộdương, mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhấtcủabiểuthức TÆ ¡ 1ÅOA 2 ¢¡ 1ÅOB 2 ¢¡ 1ÅOC 2 ¢ là A. 24. B. 27. C. 64. D. 8. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmO(0;0;0),bánkính RÆ1. Giảsử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là x a Å y b Å z c Æ1. Th.sNguyễnChínEm 382 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đểmặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)thì d(O,(P))Æ1, j¡1j É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ1, 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ1. Tacó 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¸ 9 a 2 Åb 2 Åc 2 )a 2 Åb 2 Åc 2 ¸9. Mặtkhác, 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¸ 3 3 p a 2 b 2 c 2 , 3 p a 2 b 2 c 2 ¸3,a 2 b 2 c 2 ¸27. Dođó TÆ(1ÅOA 2 )(1ÅOB 2 )(1ÅOC 2 ) Æ(1Åa 2 )(1Åb 2 )(1Åc 2 ) Æ1Åa 2 Åb 2 Åc 2 Åa 2 b 2 Åb 2 c 2 Åa 2 c 2 Åa 2 b 2 c 2 ¸1Åa 2 Åb 2 Åc 2 Å3( 3 p a 2 b 2 c 2 ) 2 Åa 2 b 2 c 2 ¸1Å9Å27Å27Æ64. Vậy T min Æ64đạtđượckhi aÆbÆcÆ p 3. Chọnđápán C ä Câu80. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2xÅ2y¡z¡7Æ0 và mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0. Mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S) theo mộtđườngtròncóchuvibằng 6¼cóphươngtrìnhlà A. (P): 2xÅ2y¡zÅ17Æ0. B. (P): 2xÅ2y¡zÅ7Æ0. C. (P): 2xÅ2y¡z¡19Æ0. D. (P): 2xÅ2y¡z¡17Æ0. -Lờigiải. Vì (P)Ò(Q)nên (P): 2xÅ2y¡zÅmÆ0 (m6Æ¡7). Tacó (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25 )(S)cótâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ5. Vìchuviđườngtrònbằng 6¼nên 2¼rÆ6¼,rÆ3. Khiđó d(I;(P))Æ p R 2 ¡r 2 Æ p 5 2 ¡3 2 Æ4. Mặtkhác d(I;(P))Æ j2¡4¡3Åmj p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ jm¡5j 3 .Suyra jm¡5j 3 Æ4,jm¡5jÆ12, · mÆ¡7 (loại) mÆ17 (thỏamãn). Vậy (P): 2xÅ2y¡zÅ17Æ0. I r R Chọnđápán A ä Câu81. Trông không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;¡3;4), B(¡1;4;3). Viết phương trình tổng quátcủamặtphẳng (®)vuônggócvới AB,cắtbatrục Ox, Oy, Oz tại P, Q, R saochothểtích khốichópOPQR bằng 3 14 . A. 3x¡7yÅz§27Æ0. B. 3x¡7yÅzÅ3Æ0. C. 3x¡7yÅz¡3Æ0. D. 3x¡7yÅz§3Æ0. -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(¡3;7;¡1). Do đó, mặt phẳng (®) vuông góc với AB có véc-tơ pháp tuyến là #  n Æ (3;¡7;1). Phươngtrìnhmặtphẳng (®)códạng (®): 3x¡7yÅzÅCÆ0. Mặtphẳng (®)cắtbatrụcOx,Oy,Oz tại P µ ¡ C 3 ;0;0 ¶ ,Q µ 0; C 7 ;0 ¶ , R(0;0;¡C). ThểtíchkhốichópOPQR là VÆ 1 6 ¢OP¢OQ¢ORÆ 1 6 ¢ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ C 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ ¯ ¯ C 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¢jCjÆ 1 126 jCj 3 . Th.sNguyễnChínEm 383 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Từđótacó 1 126 jCj 3 Æ 3 14 ,CƧ3. Vậy (®): 3x¡7yÅz¡3Æ0hoặc (®): 3x¡7yÅzÅ3Æ0. Chọnđápán D ä Câu82. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x¡y¡6Æ0 và (Q). Biết rằng điểm H(2;¡1;¡2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0;0;0) xuống mặt phẳng (Q). Số đo góc giữahaimặtphẳng (P)vàmặtphẳng (Q)bằng A. 45 ± . B. 60 ± . C. 30 ± . D. 90 ± . -Lờigiải. Tacó #  OH(2;¡1;¡2)làvéc-tơpháptuyếncủa (Q), #  n(1;¡1;0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Gọi®làgócgiữahaimặtphẳng (P)và (Q),tacó cos®Æ ¯ ¯ ¯ #  OH¢ #  n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  OH ¯ ¯ ¯¢ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ Æ j2Å1j 3 p 2 Æ 1 p 2 )®Æ45 ± . Chọnđápán A ä Câu83. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ1vàđiểm A(2;3;4). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng cóphươngtrìnhlà A. 2xÅ2yÅ2z¡15Æ0. B. xÅyÅz¡7Æ0. C. 2xÅ2yÅ2zÅ15Æ0. D. xÅyÅzÅ7Æ0. -Lờigiải. Từgiảthiếttacó I(1;2;3)làtâmcủamặtcầu (S);điểm A(2;3;4)nằmngoài (S). Do IA tiếpxúcvới (S)tại M nên IM?AM. Lấy M(x 0 ;y 0 ;z 0 )2(S)tacó #  IMÆ(x 0 ¡1;y 0 ¡2;z 0 ¡3); #  AMÆ(x 0 ¡2;y 0 ¡3;z 0 ¡4). Do n M2(S) IM?AM nên ½ (x 0 ¡1) 2 Å(y 0 ¡2) 2 Å(z 0 ¡3) 2 Æ1 (x 0 ¡1)(x 0 ¡2)Å(y 0 ¡2)(y 0 ¡3)Å(z 0 ¡3)(z 0 ¡4)Æ0 , ½ (x 0 ¡1) 2 Å(y 0 ¡2) 2 Å(z 0 ¡3) 2 Æ1 (x 0 ¡1) 2 ¡(x 0 ¡1)Å(y 0 ¡2) 2 ¡(y 0 ¡2)Å(z 0 ¡3) 2 ¡(z 0 ¡3)Æ0. (¤) Từ (¤)tacó x 0 ¡1Åy 0 ¡2Åz 0 ¡3Æ1,x 0 Åy 0 Åz 0 ¡7Æ0. Vậy M2(P): xÅyÅz¡7Æ0. Chọnđápán B ä Câu84. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Mặt phẳng (P) thay đổi đi cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c) (a, b, c là các số dương) sao cho OAÅOBÅOCÅABÅBCÅCAÆ1Å p 2. Viết phương trình của mặt phẳng (P) khi khối tứ diện OABC cóthểtíchđạtgiátrịlớnnhất. A. 3xÅ3yÅ3z¡1Æ0. B. x 3 Å y 3 Å z 3 Æ1. C. xÅyÅz¡1Æ0. D. xÅyÅz¡3Æ0. -Lờigiải. Thửđápántathấyphươngtrìnhmặtphẳng3xÅ3yÅ3z¡1Æ0cắtbatrụctọađộtại A µ 1 3 ;0;0 ¶ , B µ 0; 1 3 ;0 ¶ , C µ 0;0; 1 3 ¶ thỏamãnOAÅOBÅOCÅABÅBCÅCAÆ1Å p 2. Chọnđápán A ä Câu85. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M(1;2;5). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M vàcắtcáctrụctọađộ Ox, Oy, Oz tại A, B, C saocho M làtrựctâmtamgiác ABC.Phương trìnhmặtphẳng (P)là A. xÅ2yÅ5z¡30Æ0. B. xÅyÅz¡8Æ0. C. x 5 Å y 2 Å z 1 Æ0. D. x 5 Å y 2 Å z 1 Æ1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 384 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó n BC?AM BC?OA )BC?(AOM))BC?OM (1). Tươngtự n CM?AB OC?AB )AB?(OMC))AB?OM (2). Từ(1)và(2),suyraOM?(ABC).Khiđómặtphẳng(P)cóvéc-tơ pháptuyến #  OMÆ(1;2;5)nêncóphươngtrình xÅ2yÅ5y¡30Æ0 A O C B M Chọnđápán A ä Câu86. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2;¡1;3). Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy)saocho MA 2 ¡2MB 2 lớnnhất. A. M(3;¡4;0). B. M µ 1 2 ;¡ 3 2 ;0 ¶ . C. M(0;0;5). D. M µ 3 2 ; 1 2 ;0 ¶ . -Lờigiải. Gọi I(x;y)làđiểmthỏamãn #  IA¡2 #  IBÆ #  0.Tacó #  IAÆ2 #  IB, ( 1¡xÆ2(2¡x) 2¡yÆ2(¡1¡y) 1¡zÆ2(3¡z) , ( xÆ3 yÆ¡4 zÆ5 )I(3;¡4;5). Khiđó MA 2 ¡2MB 2 Æ ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 ¡2 ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 Æ¡MI 2 Å2 #  MI ³ #  IA¡2 #  IB ´ ÅIA 2 ¡2IB 2 Æ ¡MI 2 ÅIA 2 ¡2IB 2 . Do đó MA 2 ¡2MB 2 lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. Khi đó M là hình chiếu của I trên mặtphẳng (Oxy),hay M(3;¡4;0). Chọnđápán A ä Câu87. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;4;2)vàmặtphẳng (P): xÅyÅz¡1Æ0.Tọađộ điểm H làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm M trênmặtphẳng (P)là A. H(2;2;¡3). B. H(¡1;¡2;4). C. H(¡1;2;0). D. H(2;5;3). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)nhận #  nÆ(1;1;1)làmvéc-tơpháptuyến. Theogiảthiếtthì #  MHÆk #  n, #  OH¡ #  OMÆk #  n , #  OHÆ #  OMÅk #  n , #  OHÆ(1Åk;4Åk;2Åk). Từđósuyra H(1Åk;4Åk;2Åk),mặtkhác H thuộc (P)nêntacó (1Åk)Å(4Åk)Å(2Åk)¡1Æ0,kÆ¡2)H(¡1;2;0). Chọnđápán C ä Câu88. Cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là A. 3xÅ2yÅz¡14Æ0. B. xÅyÅz¡6Æ0. C. x 3 Å y 2 Å z 1 Æ1. D. x 3 Å y 2 Å z 1 Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 385 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do M làtrựctâmcủatamgiác ABC nên AM?BC. (1) DoOA?OB vàOA?OC nênOA?BC. (2) Từ (1),(2)suyra BC?OM.Tươngtự CA?OM,dođóOM?(ABC). Tacómặtphẳng (P)qua M(3;2;1)vànhận #  OMÆ(3;2;1)làmvéc-tơpháptuyến,phươngtrình mặtphẳng (P)là 3(x¡3)Å2(y¡2)Å(z¡1)Æ0,3xÅ2yÅz¡14Æ0. Chọnđápán A ä Câu89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2;3;¡4), B(1;2;3), C(¡2;1;2), D(¡1;2;3).Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)tâm A vàtiếpxúcvớimặtphẳng (BCD). A. (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ4) 2 Æ16. B. (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ4) 2 Æ32. C. (xÅ2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡4) 2 Æ16. D. (xÅ2) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡4) 2 Æ32. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmlà A vàbánkínhchínhlàkhoảngcáchtừ A đến (BCD). Ta có #  BCÆ(¡3;¡1;¡1), #  BDÆ(¡2;0;0). Mặt phẳng (BCD) qua B(1;2;3) và nhận #  n Æ[ #  BC, #  BD]Æ (0;2;¡2)Æ2(0;1;¡1)làmvéc-tơpháptuyến,nêncóphươngtrìnhlà (y¡2)¡(z¡3)Æ0,y¡zÅ1Æ0. Khoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (BCD)là d (A,(BCD)) Æ j3Å4Å1j p 1 2 Å(¡1) 2 Æ4 p 2. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S)là (x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ4) 2 Æ32. Chọnđápán B ä Câu90. TrongkhônggianOxyz,cho2điểmM(5;¡1;2)vàN(1;3;4).Mặtphẳngtrungtrựccủa đoạn NM cóphươngtrìnhlà A. ¡2xÅ2yÅzÅ10Æ0. B. 2x¡2yÅz¡7Æ0. C. 4x¡4y¡2zÅ8Æ0. D. 2x¡2y¡z¡1Æ0. -Lờigiải. #  MNÆ(¡4;4;2).Trungđiểmcủa MN là (3;1;3).Mặtphẳngtrungtrựccủa MN là: 2(x¡3)¡2(y¡1)¡(z¡3)Æ0,2x¡2y¡z¡1Æ0. Chọnđápán D ä Câu91. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2xÅy¡2zÅ1Æ0 và hai điểm A(1;¡2;3), B(3;2;¡1).Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)qua A, B vàvuônggócvới (P)là A. (Q): 2x¡2yÅ3z¡7Æ0. B. (Q): xÅ2yÅ3z¡7Æ0. C. (Q): 2xÅ2yÅ3z¡7Æ0. D. (Q): 2xÅ2yÅ3z¡9Æ0. -Lờigiải. #  ABÆ(2;4;¡4), uÆ(2;1;¡2)làVTPTcủa (P), [ #  AB, #  u]Æ(¡4;¡4;¡6).Phươngtrìnhmặtphẳng (Q) 2(x¡1)Å2(yÅ2)Å3(z¡3),2xÅ2yÅ3z¡7Æ0. Chọnđápán C ä Câu92. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,gọi (P)làmặtphẳngchứatrục Oyvàtạo vớimặtphẳng yÅzÅ1Æ0góc 60 ± .Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là A. h x¡zÆ0 xÅzÆ0 . B. · x¡yÆ0 xÅyÆ0 . C. h x¡z¡1Æ0 x¡zÆ0 . D. h x¡2zÆ0 xÅzÆ0 . -Lờigiải. Tacó (P)làmặtphẳngchứatrụcOynên (P)códạng: axÅczÆ0với a 2 Åc 2 6Æ0. (P)tạovớimặtphẳng yÅzÅ1Æ0góc 60 ± )cos60 ± Æ jcj p 2¢ p a 2 Åc 2 Æ 1 2 . , p a 2 Åc 2 Æ p 2jcj,a 2 Åc 2 Æ2c 2 ,a 2 Æc 2 , £ aÆc aÆ¡c. Chọn cÆ1) h aÆ1 aÆ¡1 )(P): h x¡zÆ0 xÅzÆ0 . Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 386 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu93. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(3;1;0), B(¡9;4;9)vàmặtphẳng (P) cóphươngtrình2x¡yÅzÅ1Æ0.Gọi I(a;b;c)làđiểmthuộcmặtphẳng(P)saochojIA¡IBjđạt giátrịlớnnhất.Khiđótổng aÅbÅc bằng A. 13. B. ¡13. C. 22. D. ¡4. -Lờigiải. Thaytọađộcủađiểmvàovếtráiphươngtrìnhmặtphẳng (P),tađượchaigiátrịlầnlượtlà 6 và¡12nênsuyra A, B nằmkhácphíavới (P). Gọi A 0 đốixứngvới A quamặtphẳng (P))IAÆIA 0 )jIA¡IBjÆ ¯ ¯ IA 0 ¡IB ¯ ¯ ÉA 0 B. Dấuđẳngthứcxảyra,IÆA 0 B\(P). Vì IA 0 IB Æ IA IB Æ 1 2 nênsuyra A 0 làtrungđiểmcủa IB. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A trên (P))AH: ( xÆ3Å2t yÆ1¡t zÆt . HÆAH\(P))6Å4t¡1ÅtÅtÅ1Æ0,tÆ¡1)H(1;2;¡1). Tacó: H làtrungđiểmcủa AA 0 )A 0 Æ(¡1;3;¡2). A 0 làtrungđiểmcủa IB)IÆ(7;2;¡13).Vậy aÅbÅcÆ7Å2¡13Æ¡4. Chọnđápán D ä Câu94. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình dạng AxÅByÅCzÅDÆ0vàcóƯCLN(jAj,jBj,jCj,jDj)Æ1.Đểmặtphẳng(P)điquađiểmB(1;2;¡1)và cáchgốctọađộO mộtkhoảnglớnnhấtthìđẳngthứcnàosauđâyđúng? A. A 2 ÅB 2 ÅC 2 ÅD 2 Æ42. B. A 2 ÅB 2 ÅC 2 ÅD 2 Æ46. C. A 2 ÅB 2 ÅC 2 ÅD 2 Æ54. D. A 2 ÅB 2 ÅC 2 ÅD 2 Æ24. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủaO trênmặtphẳng (P). Tacó d(O,(P))ÆOH·OB. Suy ra maxd(O,(P))ÆOB khi H´B hay #  OB là một véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P). Vậy (P) đi qua B(1;2;¡1) và nhận #  OBÆ(1;2;¡1) làm một véc-tơ pháptuyến (P): xÅ2y¡z¡6Æ0. Từđósuyra A 2 ÅB 2 ÅC 2 ÅD 2 Æ1 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Å(¡6) 2 Æ42. O H B P Chọnđápán A ä Câu95. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz biết mặt phẳng (P): 2xÅy¡2zÅ1Æ0 cắt mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9 theo thiết diện là đường tròn (C). Tính diện tích đường tròn (C). A. SÆ25¼. B. SÆ5¼. C. SÆ2¼. D. SÆ4¼. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;¡1)vàbánkính RÆ3ÆIA. Khoảngcáchtừtâm I tớimặtphẳng (P)là: IHÆd(I,(P))Æ j2¢1Å1¡2¢(¡1)Å1j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ2. Tacóbánkínhcủađườngtròn (C)là rÆ p R 2 ¡IH 2 Æ p 5. Vậydiệntíchcủađườngtròn (C)là SƼ¢r 2 Æ5¼(đvdt). I H A Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 387 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu96. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳngdcóphươngtrình ( xÆ¡1¡2t yÆt zÆ1Åt và điểm A(1;2;3). Mặt phẳng (P) chứa d sao cho d(A;(P)) lớn nhất. Khi đó tọa độ véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P)là A. (1;1;1). B. (1;2;3). C. (1;¡1;1). D. (0;1;1). -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa A lênđườngthẳng d)H(¡1¡2t;t;1Åt). Vì AH?d nên #  AH¢ #  uÆ0,6tÆ0,tÆ0. Suyra H(¡1;0;1). Vậy (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  AHÆ¡2(1;1;1)hay (1;1;1). Chọnđápán A ä Câu97. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao chobiểuthức 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 cógiátrịnhỏnhất. A. (P): xÅ2yÅz¡14Æ0. B. (P): xÅ2yÅ3z¡14Æ0. C. (P): xÅ2yÅ3z¡11Æ0. D. (P): xÅyÅ3z¡14Æ0. -Lờigiải. HìnhchiếucủaO lên (ABC)làtrựctâmcủatamgiác ABC. d(O;(ABC))ÆOH. 1 OH 2 Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 . Dođó 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 nhỏnhấtkhiOH lớnnhất. Mặtkhác OHÆd(O;(ABC))·OM)OH đạtgiátrịlớnnhất khi H´M. Vậy (P) đi qua M(1;2;3) và véc-tơ pháp tuyến #  OMÆ(1;2;3) là xÅ2yÅ3z¡14Æ0. A B O C H Chọnđápán B ä Câu98. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(C): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡8y¡10zÆ0. Gọi A,B,C lần lượt là giao điểm khác gốc tọa độ của mặt cầu với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Véc-tơnàosauđâylàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (ABC)? A. #  n µ 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ¶ . B. #  n µ ¡1 3 ; 1 4 ; ¡1 5 ¶ . C. #  n µ 1 4 ; 1 3 ; 1 5 ¶ . D. #  n µ 1 3 ; ¡1 4 ; 1 5 ¶ . -Lờigiải. Tacó A(6;0;0), B(0;8;0), C(0;0;10). Phươngtrìnhmặtphẳngquabađiểm A, B, C là x 6 Å y 8 Å x 10 Æ1. Mộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (ABC)là µ 1 6 ; 1 8 ; 1 10 ¶ . Suyra #  n µ 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ¶ cũnglàmộtvéc-tơpháptuyếncủa (ABC). Chọnđápán A ä Câu99. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(¡2;2;4)và B(2;¡4;2).Mặtphẳngtrungtrực của AB cóphươngtrìnhlà A. 2x¡3y¡z¡14Æ0. B. 2x¡3y¡z¡6Æ0. C. 2x¡3y¡zÆ0. D. x 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡3 ¡1 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 388 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Trungđiểm I của AB cótọađộthỏa 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 y I Æ y A Åy B 2 z I Æ z A Åz B 2 , ( x I Æ0 y I Æ¡1 z I Æ3 . Phương trình mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(0;¡1;3) có vectơ pháp tuyến #  AB Æ (4;¡6;¡2)là 4(x¡0)¡6(yÅ1)¡2(z¡3)Æ0 4x¡6y¡2zÆ0 2x¡3y¡zÆ0. Chọnđápán C ä Câu100. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có M, N, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh A 0 B 0 , A 0 D 0 , B 0 C 0 , C 0 D 0 (tham khảohìnhbên). Cosin của góc tạo giữa hai mặt phẳng (CMN) và (AEF) bằng A 0 D 0 N E A B C B 0 M C 0 D F A. 2 17 . B. 1 17 . C. 1 2 . D. 0. -Lờigiải. Xét hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A 0 (0;0;2). Ta có C(2;2;0), B 0 (2;0;2), C 0 (2;2;2), D 0 (0;2;2). Do M,N,E,F lần lượt là các trung điểm của A 0 B 0 ,A 0 D 0 ,B 0 C 0 ,C 0 D 0 nên M(1;0;2), N(0;1;2), E(2;1;2), F(1;2;2). Tacó #  CMÆ(¡1;¡2;2), #  CNÆ(¡2;¡1;2)nên #  u 1 Æ #  CM^ #  CNÆ(¡2;¡2;¡3). Tacó #  AEÆ(2;1;2), #  AFÆ(1;2;2)nên #  u 2 Æ #  AE^ #  AFÆ(¡2;¡2;3). Suyra cos((CMN),(AEF))Æjcos( #  u 1 , #  u 2 )jÆ #  u 1 ¢ #  u 2 j #  u 1 j¢j #  u 2 j Æ 1 17 . Chọnđápán B ä Câu101. Trongkhônggian Oxyz,chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Mặtphẳng (ABCD) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt lại M(1;0;0), N(0;1;0), P(0;0;¡2). Mặt phẳng (A 0 B 0 C 0 D 0 ) cắt trụcOz tạiđiểmQ(0;0;10).ThểtíchV củakhốilậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là A. 8. B. 32. C. 64. D. 16. -Lờigiải. #  MNÆ(¡1;1;0), #  MPÆ(¡1;0;¡2). VTPTcủamp (ABCD)là #  nÆ h #  MN, #  MP i Æ(¡2;¡2;1). Phươngtrìnhmp (ABCD)là¡2(x¡1)¡2yÅ1zÆ0,2xÅ2y¡z¡2Æ0. Độdàimộtcạnhcủahìnhlậpphươnglà d[Q,(ABCD)]Æ j2¢0Å2¢0¡(10)¡2j p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ4. Th.sNguyễnChínEm 389 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ThểtíchV cầntìmlàVÆ4 3 Æ64. Chọnđápán C ä Câu102. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0;0;3), M(1;2;0). Viết phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A vàcắtOx,Oylầnlượttại B, C saochotamgiác ABC có trọngtâmthuộcđườngthẳng AM. A. (P): 6xÅ3yÅ4zÅ2Æ0. B. (P): 6xÅ3yÅ4z¡2Æ0. C. (P): 6xÅ3yÅ4z¡12Æ0. D. (P): 6xÅ3yÅ4zÅ12Æ0. -Lờigiải. Giảsử B(b;0;0), C(0;c;0).Khiđótrọngtâmtamgiác ABC làG µ b 3 ; c 3 ;1 ¶ . Tacó #  AGÆ µ b 3 ; c 3 ;¡2 ¶ , #  AMÆ(1;2;¡3). VìG thuộcđườngthẳng AM nênhaivéc-tơ #  AG, #  AM cùngphương.Dođó,tacó b 3 Æ c 6 Æ 2 3 , n bÆ2 cÆ4. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là x 2 Å y 4 Å z 3 Æ1,6xÅ3yÅ4z¡12Æ0. Chọnđápán C ä Câu103. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(¡1;2;0),B(2;0;¡1)vàC(0;0;¡1). D làđiểmthuộctiaOyđểtứdiện ABCD cóthểtíchbằng 5.Tọađộđiểm D là A. D(0;3;0). B. D(0;17;0). C. D(0;¡13;0). D. D(0;¡3;0). -Lờigiải. Vì D làđiểmthuộctiaOynên D(0;y;0),với yÈ0. Tacó #  ABÆ(3;¡2;¡1), #  ACÆ(1;¡2;¡1), #  ADÆ(1;y¡2;0). h #  AB, #  AC i Æ(0;2;¡4), h #  AB, #  AC i ¢ #  ADÆ2(y¡2). BởivậyV ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯Æ jy¡2j 3 . DođóV ABCD Æ5, jy¡2j 3 Æ5, · yÆ¡13 yÆ17 )yÆ17. Vậy D(0;17;0). Chọnđápán B ä Câu104. Trongkhônggian Oxyz,phươngtrìnhmặtphẳngquahaiđiểm A(0;1;1), B(¡1;0;2) vàvuônggócvớimặtphẳng (P): x¡yÅzÅ1Æ0là A. ¡yÅz¡2Æ0. B. yÅz¡2Æ0. C. y¡z¡2Æ0. D. yÅzÅ2Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡1;1).Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(1;¡1;1). Mặtphẳng(Q)quahaiđiểm A(0;1;1),B(¡1;0;2)vàvuônggócvớimặtphẳng(P): x¡yÅzÅ1Æ0 cóvéc-tơpháptuyếnlà h #  AB, #  n P i Æ(0;2;2). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)cầnlậplà 0¢(x¡0)Å2¢(y¡1)Å2¢(z¡1)Æ0,yÅz¡2Æ0. Chọnđápán B ä Câu105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;11;¡5) và mặt phẳng (P) có phươngtrình 2mxÅ ¡ m 2 Å1 ¢ yÅ ¡ m 2 ¡1 ¢ z¡10Æ0.Biếtkhi mthayđổithìtồntạihaimặtcầucố địnhtiếpxúcvới (P)vàcùngđiqua A.Tổngbánkínhcủahaimặtcầuđólà A. 4 p 2. B. 5 p 3. C. 6 p 3. D. 12 p 2. -Lờigiải. Gọi I(a;b;c)làtâmmặtcầuthỏayêucầubàitoán. Khiđóbánkínhmặtcầulà RÆIAÆ p (a¡2) 2 Å(b¡11) 2 Å(cÅ5) 2 . Th.sNguyễnChínEm 390 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacómặtcầutiếpxúcvới (P)khivàchỉkhi d(I,(P))ÆR , ¯ ¯ 2maÅ ¡ m 2 Å1 ¢ bÅ ¡ m 2 ¡1 ¢ c¡10 ¯ ¯ È 4m 2 Å ¡ m 2 Å1 ¢ 2 Å ¡ m 2 ¡1 ¢ 2 ÆR , ¯ ¯ (bÅc)m 2 Å2amÅb¡c¡10 ¯ ¯ È 2 ¡ m 4 Å2m 2 Å1 ¢ ÆR , ¯ ¯ (bÅc)m 2 Å2amÅb¡c¡10 ¯ ¯ Æ p 2¢R ¡ m 2 Å1 ¢ , " (bÅc)m 2 Å2amÅb¡c¡10Æ p 2R¢ ¡ m 2 Å1 ¢ (1) (bÅc)m 2 Å2amÅb¡c¡10Æ¡ p 2R¢ ¡ m 2 Å1 ¢ (2). Khimthayđổithì(P)luôntiếpxúcvớimặtcầunên(1)và(2)luôncónghiệmvớimọigiátrịm. Phươngtrình(1)cónghiệmvớimọimchotahệphươngtrình: 8 < : bÅcÆ p 2R 2aÆ0 b¡c¡10Æ p 2R ) ( aÆ0 bÆ5Å p 2R cÆ5. Khiđó RÆ È (0¡2) 2 Å ¡ 5Å p 2R¡11 ¢ 2 Å(5Å5) 2 ,R 2 ¡12 p 2RÅ65Æ0, · RÆ p 7Å6 p 2 RÆ¡ p 7Å6 p 2. Suyra R 1 ÅR 2 Æ12 p 2. Phươngtrình (2)vônghiệm. Chọnđápán D ä Câu106. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): axÅbyÅczÅdÆ0 (với abcÈ0) đi qua haiđiểm A(1;0;0), B(0;1;0).Biết d(O,(P))Æ 2 3 vàđiểm C(¡3;1;0).Tính d(C,(P)). A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Vìmặtphẳng(P): axÅbyÅczÅdÆ0(vớiabcÈ0)điquahaiđiểm A(1;0;0),B(0;1;0)vàd(O,(P))Æ 2 3 nêntacóhệphươngtrình 8 > > < > > : aÅdÆ0)aÆ¡d (1) bÅdÆ0)bÆ¡d (2) jdj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 2 3 )9d 2 Æ4 ¡ a 2 Åb 2 Åc 2 ¢ (3) Thay (1), (2)vào (3)tađược d 2 Æ4c 2 )d6Æ0(vìnếu dÆ0thì aÆbÆcÆ0(vôlí)). Chọn dÆ¡2,tađược aÆ2, bÆ2, cÆ1(vì abcÈ0).Khiđó (P): 2xÅ2yÅz¡2Æ0. Vậy d(C,(P)Æ j2¢(¡3)Å2¢1Å1¢0¡2j p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ2. Chọnđápán C ä Câu107. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(¡12;¡1;1), B(1;0;0), C(0;2;0), D(0;0;3), E(¡2;4;3).Cóbaonhiêumặtphẳngcáchđềunămđiểm A, B, C, D, E? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 391 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó (BCD): x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. Dễthấy 6¢(¡2)Å3¢4Å2¢3¡6Æ0)E2(BCD). Vì #  BCÆ(¡1;2;0), #  DEÆ(¡2;4;0).Suyra #  DEÆ2 #  BC. Mặtkhác,vì 6¢(¡12)Å3¢(¡1)Å2¢1¡6Æ¡796Æ0)AÝ(BCD). Khiđó,cóbamặtphẳngthỏamãnbàitoánnhưsau: mp(P 1 )điquatrungđiểmcácđoạn AB, AC, AD, AE. mp(P 2 )điquahaitrungđiểmcủaBD,CEvàsongsong vớimp(ABC). mp(P 3 )điquahaitrungđiểmcủaBD,CEvàsongsong vớimp(ADE). A B C D E Chọnđápán C ä Câu108. Trong không gian Oxyz, điểm M 0 đối xứng với điểm M(1;2;4) qua mặt phẳng (®): 2xÅyÅ2z¡3Æ0cótọađộlà A. (¡3;0;0). B. (¡1;1;2). C. (¡1;¡2;¡4). D. (2;1;2). -Lờigiải. Gọi(d)làđườngthẳngquaMvàvuônggócvới(®)) #  uÆ(2;1;2)làvéc-tơchỉphươngcủađường thẳng (d). )phươngtrìnhđườngthẳng (d)là ( xÆ1Å2t yÆ2Åt zÆ4Å2t. Gọi HÆ(d)\(®))H(¡1;1;2). Do M 0 làđiểmđốixứngcủa M quamặtphẳng (®))H làtrungđiểmcủa MM 0 . )M 0 Æ(¡3;0;0). Chọnđápán A ä Câu109. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ 9 và đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 1 .Phươngtrìnhmặtphẳng (P)chứa d vàcắt (S)theomộtđườngtròn cóbánkínhbằng 3là A. x¡3yÅzÅ2Æ0. B. 2x¡6yÅ2zÅ3Æ0. C. ¡xÅ3y¡zÅ2Æ0. D. ¡2xÅ6y¡2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Gọi #  n P (A;B;C) ¡ A 2 ÅB 2 ÅC 2 È0 ¢ làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(P).Khiđóphươngtrình mặtphẳng (P)códạng AxÅByÅCzÅDÆ0. Gọi I,R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S))I(1;2;3) và RÆ3.Vì mặt phẳng (P) cắt (S) theomộtđườngtròncóbánkínhbằng 3nên I2(P))AÅ2BÅ3CÅDÆ0(1) Mà d½(P)nên ½ #  u d ¢ #  n P Æ0 M 0 (¡1;0;1)2(P) , n 2AÅBÅCÆ0 (2) ¡A¡CÅDÆ0. (3) Lấy (1)Å(3)tađược 2BÅ2CÅ2DÆ0,BÅCÅDÆ0,DÆ¡B¡C. (4) Thay (4)vào (1)vàkếthợpvới(2)có n AÅ2BÅ3C¡B¡CÆ0 2AÅBÅCÆ0 , n AÅBÅ2CÆ0 (5) 2AÅBÅCÆ0. (2) Lấy (5)¡(2)tađược:¡AÅCÆ0,AÆC. Chọn AÆCÆ1)BÆ¡3,DÆ2. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là x¡3yÅzÅ2Æ0. Chọnđápán A ä Câu110. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): (aÅb)x¡2ay¡bzÅbÆ0 ¡ a 2 Åb 2 6Æ0 ¢ và điểm M(1;1;1).Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M lênmặtphẳng (P).Khi a,bthayđổibiết quỹtíchcácđiểm H làmộtđườngtròncốđịnh,tínhbánkính r đườngtrònnày. A. 1 2 . B. 1. C. 2. D. p 2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 392 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Theogiảthiết,phươngtrìnhmặtphẳng(P): (aÅb)x¡2ay¡bzÅbÆ0,a(x¡2y)Å(x¡zÅ1)bÆ0. ) (P)luônchứađườngthẳngcốđịnh¢làgiaocủahaimặtphẳng n x¡2yÆ0 x¡zÅ1Æ0 .Suyrađường thẳng¢cóphươngtrìnhthamsố ¢: ( xÆ¡2Å2t yÆ¡1Åt zÆ¡1Å2t. Gọi K làhìnhchiếuvuônggóccủa M lên¢)K µ 2 3 ; 1 3 ; 5 3 ¶ . Mặtphẳng(®)điquađiểmMvàvuônggócvớiđườngthẳng¢cóphươngtrình:2xÅyÅ2z¡5Æ0. ) ½ H2(®)8a,b à MHKÆ90 ± 8a,b )H thuộcđườngtrònđườngkính MK nằmtrongmặtphẳng (®) )RÆ MK 2 Æ 1 2 . Chọnđápán A ä Câu111. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)(với b,cÈ0)và mặtphẳng (P): y¡zÅ1Æ0.Tính SÆbÅc biếtmặtphẳng (ABC)vuônggócvớimặtphẳng (P) vàkhoảngcáchtừO đến (ABC)bằng 1 3 . A. SÆ1. B. SÆ p 2. C. SÆ0. D. SÆ 3 2 . -Lờigiải. Phương trình mặt phẳng đi qua A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) là x 1 Å y b Å z c Æ1. Khi đó mặt phẳng (ABC)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (ABC) Æ µ 1; 1 b ; 1 c ¶ . Theođềbàitađược 8 < : #  n (ABC) ? #  n (P) d[O,(ABC)]Æ 1 3 , 8 > > > > < > > > > : 1 b ¡ 1 c Æ0 1 É 1Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 1 3 , ( bÆc 9Æ1Å 1 b 2 Å 1 c 2 hay bÆcÆ 1 2 . Vậy SÆ1. Chọnđápán A ä Câu112. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2yÅ2z¡6Æ0 tiếp xúc với mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡8y¡4zÅ12Æ0. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc vớimặtcầu (S)cóphươngtrìnhlà A. x¡2yÅ2z¡6Æ0. B. x¡2yÅ2zÅ24Æ0. C. x¡2yÅ2zÅ12Æ0. D. x¡2yÅ2z¡24Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;4;2)vàbánkính RÆ3. Mặtphẳng (Q)songsongvớimặtphẳng (P): x¡2yÅ2z¡6Æ0códạng (Q): x¡2yÅ2zÅdÆ0. Mặtphẳng (Q)tiếpxúcvới (S),d(I,(Q))ÆR, j1¡8Å4Ådj 3 Æ3,jd¡3jÆ9, h dÆ12 dÆ¡6. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (Q): x¡2yÅ2zÅ12Æ0. Chọnđápán C ä Câu113. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho biết A(0;¡2;2¡m), B(mÅ3;¡1;1), C(¡4;¡3;0),D(¡1;¡2;m¡1).Tậphợpcácgiátrị mđểbốnđiểm A,B,C,D đồngphẳnglàtậpcon củatậphợpnàosauđây? A. (¡7;¡2). B. (3;6). C. (5;8). D. (¡2;2). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 393 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  ABÆ(mÅ3;1;m¡1), #  ACÆ(¡4;¡1;m¡2), #  ADÆ(¡1;0;2m¡3). Tatínhđược h #  AB, #  AC i Æ(2m¡3;¡m 2 ¡6mÅ11;¡mÅ1)và h #  AB, #  AC i #  ADÆ¡2m 2 Å3m. Bốnđiểm A,B,C,D đồngphẳngkhivàchỉkhi h #  AB, #  AC i #  ADÆ0,¡2m 2 Å3mÆ0, " mÆ0 mÆ 3 2 . Vậytậphợpcácgiátrị mcầntìmlàtậpconcủa (¡2;2). Chọnđápán D ä Câu114. TrongkhônggianhệtrụctoạđộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9, điểm A(0;0;2).Phươngtrìnhmặtphẳng(P)điqua Avàcắtmặtcầu(S)theothiếtdiệnlàhình tròn (C)códiệntíchnhỏnhấtlà A. (P): xÅ2yÅz¡2Æ0. B. (P): x¡2yÅz¡6Æ0. C. (P): xÅ2yÅ3zÅ6Æ0. D. (P): 3xÅ2yÅ2z¡4Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ3. Tacó #  AIÆ(1;2;1))AIÆ p 6ÇRÆ3)Anằmtrongmặtcầu (S). Gọi r là bán kính của đường tròn (C) và d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Ta có r 2 Åd 2 Æ R 2 . Do đó r nhỏ nhất ,d lớn nhất ,dÆIA,(P) đi qua điểm A và nhận #  AIÆ(1;2;1)làvéc-tơpháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là xÅ2yÅz¡2Æ0. I H A d R r Chọnđápán A ä Câu115. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡2z¡22Æ0 và mặt phẳng (P): 2xÅ2yÅzÅ4Æ0. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đườngtròn.Tínhchuvicủađườngtrònđó. A. 16¼. B. 8¼. C. 9¼. D. 6¼. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;1;1)vàbánkính RÆ5. Tacó IHÆd(I,(P))Æ j2¢1Å2¢1Å1Å4j p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ 9 3 Æ3. Bánkínhđườngtròngiaotuyến rÆ p R 2 ¡IH 2 Æ p 5 2 ¡3 2 Æ4. Vậychuvicủađườngtròngiaotuyếnbằng PÆ2r¼Æ8¼. I H A Chọnđápán B ä Câu116. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;0) và hai đường thẳng ¢ 1 : ( xÆ1Å2t yÆ2¡2t zÆ¡1Åt (t2R); ¢ 2 : ( xÆ3Å2s yÆ¡1¡2s zÆs (s2R). Mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục Ox sao cho (P) cắt hai đường thẳng¢ 1 ,¢ 2 lần lượt tại A,B thỏa mãn ABÆ1. Khi đó mặt phẳng (P)điquađiểmnàotrongcácđiểmcótọađộsau? A. F(1;3;4). B. H(3;¡2;0). C. I(0;¡2;1). D. E(2;¡3;4). -Lờigiải. Gọi #  nÆ(a;b;c)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng(P),a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0.DoOxÒ(P)nên #  n? #  uÆ (1;0;0).Suyra #  n¢ #  uÆ0,aÆ0. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ(0;b;c) và đi qua điểm M(1;2;0) nên (P) có phương Th.sNguyễnChínEm 394 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 trìnhlà b(y¡2)Åc(z¡0)Æ0hay byÅcz¡2bÆ0. Do A2¢ 1 nên A(1Å2t;2¡2t;¡1Åt), t2R.Mà A2(P)nêntacó b(2¡2t)Åc(¡1Åt)¡2bÆ0,tÆ c c¡2b . Suyra A µ 3c¡2b c¡2b ; ¡4b c¡2b ; 2b c¡2b ¶ . Do B2¢ 2 nên B(3Å2s;¡1¡2s;s), s2R.Mà B2(P)nêntacó b(¡1¡2s)Åcs¡2bÆ0,sÆ 3b c¡2b . Suyra µ 3c c¡2b ; ¡4b¡c c¡2b ; 3b c¡2b ¶ .Dođó #  ABÆ µ 2b c¡2b ; ¡c c¡2b ; b c¡2b ¶ . Theogiảthiết ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯ 2 Æ1, 4b 2 Åc 2 Åb 2 (c¡2b) 2 Æ1,b 2 Æ¡4bc, h bÆ0 bÆ¡4c . Nếu bÆ0,chọn cÆ1tađượcphươngtrìnhcủa (P)là zÆ0. Nếu bÆ¡4c,chọn cÆ1suyra bÆ¡4,tađượcphươngtrìnhcủa (P)là¡4yÅz¡8Æ0. Vậytacó H(3;¡2;0)2(P). Chọnđápán B ä Câu117. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡4) 2 Æ10 vàmặtphẳng (P): ¡2xÅyÅ p 5zÅ9Æ0.Gọi (Q)làtiếpdiệncủa (S)tại M(5;0;4).Tínhgócgiữa (P)và (Q). A. 45 ± . B. 60 ± . C. 120 ± . D. 30 ± . -Lờigiải. Mặt cầu (S) có tâm I(2;¡1;4). Vì (Q) là tiếp diện của mặt cầu nên (Q) nhận #  IMÆ(3;1;0) làm véc-tơpháptuyến. Gọi®làgócgiữa (P)và (Q).Tacó cos®Æjcos( #  n (P) ; #  IM)jÆ j(¡2)¢3Å1¢1Å0¢ p 5j p (¡2) 2 Å1 2 Å( p 5) 2 ¢ p 3 2 Å1 2 Å0 2 Æ 1 2 . Vậy®Æ60 ± . Chọnđápán B ä Câu118. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa điểm M(1;¡2;4), cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho 2OAÆ3OBÆ4OC, có phương trình dạng xÅayÅbzÅcÆ0.Khiđótổng 2aÅbÅc bằng A. ¡7. B. ¡ 15 4 . C. 1 2 . D. ¡1. -Lờigiải. Giảsử A(m;0;0),B(0;n;0),C(0;0;p), (m,n,pÈ0)làgiaođiểmcủa(P)vớicáctiaOx,Oy,Oz.Khi đóOAÆm,OBÆn,OCÆp vàphươngtrìnhmặtphẳng (P) x m Å y n Å z p Æ1 (¤) Vì 2OAÆ3OBÆ4OC nên 2mÆ3nÆ4p,nÆ 2 3 m,pÆ m 2 .Lạicó (P)điquađiểm M(1;¡2;4),thay vào (¤)tacóphươngtrình 1 m ¡ 2 2m 3 Å 4 m 2 Æ1,mÆ6)nÆ4,pÆ3. Vậy (P): x 6 Å y 4 Å z 3 Æ1hay (P): xÅ 3 2 yÅ2z¡6Æ0.Vậy 2aÅbÅcÆ2¢ 3 2 Å2¡6Æ¡1. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 395 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu119. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 3xÅyÅz¡4Æ0vàbađiểm A(2;¡1;0),B(0;5;0),C(0;3;2).Gọi M(x 0 ;y 0 ;z 0 )làđiểmthuộcmặtphẳng (P)vàcáchđềubađiểm A,B,C.Khiđótích TÆx 0 ¢y 0 ¢z 0 bằng A. ¡2. B. ¡6. C. 4. D. ¡12. -Lờigiải. Vì M cách đều A,B,C nên M thuộc hai mặt phẳng (Q),(R) lần lượt là các mặt phẳng trung trựccủahaiđoạnthẳng AB và AC. Ta có #  ABÆ(¡2;6;0), I(1;2;0) là trung điểm của AB. Phương trình (Q) qua I và nhận #  AB làm véc-tơpháptuyếnlà¡xÅ3y¡5Æ0. Tacó #  ACÆ(¡2;4;2), J(1;1;1)làtrungđiểmcủa AC.Phươngtrình (R)qua J vànhận #  AC làm véc-tơpháptuyếnlà¡xÅ2yÅz¡2Æ0. Vì M cũngthuộc (P)nêntọađộ M lànghiệmcủahệ ( ¡xÅ3y¡5Æ0 ¡xÅ2yÅz¡2Æ0 3xÅyÅz¡4Æ0 , ( xÆ1 yÆ2 zÆ¡1. Vậy TÆ1¢2¢(¡1)Æ¡2. Chọnđápán A ä Câu120. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;¡2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25.Mặtphẳng (P): axÅbyÅcz¡2Æ0điqua A, Bvàcắt (S)theo giaotuyếnlàđườngtròncóbánkínhnhỏnhất.Tính TÆaÅbÅc. A. 5. B. 3. C. 2. D. 4. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ5. Vìđiểm B(0;1;0)2(P)nên bÆ2.Vìđiểm A(3;¡2;6)2(P)nên 3a¡2bÅ6c¡2Æ0,aÆ2¡2c.Khi đó (P): (2¡2c)xÅ2yÅcz¡2Æ0. Gọi rlàbánkínhđườngtròngiaotuyếnvà d làkhoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng(P).Khi đó rÆ p R 2 ¡d 2 .Dođó r nhỏnhấtkhivàchỉkhi d lớnnhất. Tacó dÆ j(2¡2c)Å4Å3c¡2j p 5c 2 ¡8cÅ8 Æ jcÅ4j p 5c 2 ¡8cÅ8 Æ Ê (cÅ4) 2 5c 2 ¡8cÅ8 . Xéthàmsố yÆf(c)Æ Ê (cÅ4) 2 5c 2 ¡8cÅ8 trênR.Tacó y 0 Æ ¡48(cÅ4)(c¡1) 2 Ê (cÅ4) 2 5c 2 ¡8cÅ8 Æ0,cÆ1. Bảngbiếnthiên c y 0 y ¡1 ¡4 1 Å1 ¡ Å 0 ¡ 1 p 5 1 p 5 0 0 p 5 p 5 1 p 5 1 p 5 Nêntacó d lớnnhấtbằng p 5khi cÆ1.Khiđó aÆ0,bÆ2,cÆ1hay TÆaÅbÅcÆ3. Chọnđápán B ä Câu121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅyÅ3z¡4Æ0. Mặt phẳng (Q): 2xÅbyÅcz¡dÆ0songsongvới (P)vàcắtcáctiaOx,Oy,Oz lầnlượttại A,B,C sao chothểtíchtứdiệnOABC bằng 6.Tính bÅcÅd. A. ¡14. B. 8. C. 10. D. ¡2. -Lờigiải. Vì (Q)Ò(P)nên (Q): 2xÅyÅ3z¡dÆ0. Nhậnthấy (Q)lầnlượtcắtcáctiaOx,Oy,Oz tại A µ d 2 ;0;0 ¶ , B(0;d;0)và C µ 0;0; d 3 ¶ với dÈ0. ThểtíchtứdiệnOABC làVÆ 1 6 ¢OA¢OB¢OCÆ d 3 36 Æ6,dÆ6. Vậy bÅcÅdÆ10. Th.sNguyễnChínEm 396 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,cÈ0thỏamãn 1 a Å 1 b Å 1 c Æ2018.Mặtphẳng (ABC)luônđiquamộtđiểmcốđịnhcótọađộ là A. (2;2;2). B. (2018;2018;2018). C. (1;1;1). D. µ 1 2018 ; 1 2018 ; 1 2018 ¶ . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC): x a Å y b Å z c Æ1. Thaytọađộđiểm M µ 1 2018 ; 1 2018 ; 1 2018 ¶ vàophươngtrìnhtrên,tacó 1 2018a Å 1 2018b Å 1 2018c Æ1, 1 a Å 1 b Å 1 c Æ2018. Vậymặtphẳng (ABC)luônđiquađiểm µ 1 2018 ; 1 2018 ; 1 2018 ¶ . Chọnđápán D ä Câu123. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho TÆ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. (P):xÅ2yÅ3z¡14Æ0. B. (P):6x¡3yÅ2z¡6Æ0. C. (P):6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. D. (P):3xÅ2yÅz¡10Æ0. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủaO lênmặtphẳng (P). XéthìnhchópO.ABC cóOA,OB,OC đôimộtvuônggóc,OH?(P)nêntađược TÆ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 Æ 1 OH 2 ¸ 1 OM 2 . Vậy T nhỏnhấtnếu (P)điqua M(1;2;3)vànhận #  OM(1;2;3)làmvéc-tơpháptuyến. Tacóphươngtrìnhmặtphẳng (P): 1(x¡1)Å2(y¡2)Å3(z¡3)Æ0,xÅ2yÅ3zÆ14. Chọnđápán A ä Câu124. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3), B(¡2;¡2;1) và mặt phẳng (P): 2xÅ2y¡zÅ9Æ0. Điểm M di động trên (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 ± .Biếtrằng M luônthuộcmộtđườngtròncốđịnh,tínhbánkính R củađườngtrònđó. A. RÆ p 2 2 . B. RÆ p 3 2 . C. RÆ p 5 2 . D. RÆ p 6 2 . -Lờigiải. Do M luônnhìnđoạn AB dướigóc 90 ± nên M thuộcmặtcầu (S)đườngkính AB. Tacó I µ ¡ 1 2 ;0;¡1 ¶ làtrungđiểmcủa AB, rÆ AB 2 Æ p 41 2 làbánkínhmặtcầu. Do M diđộngtrên (P)nên M thuộcgiaocủa (P)và (S). Do d(I,(P))Æ3Çr nêngiaocủa (P)và (S)làđườngtrònbánkính RÆ p r 2 ¡d 2 (I,(P))Æ p 5 2 . Chọnđápán C ä Câu125. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz vàđiểm M(1;2;1). A. (P):y¡2zÆ0. B. (P):2x¡yÆ0. C. (P):x¡zÆ0. D. (P):x¡2yÆ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 397 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặt phẳng (P) nhận véc-tơ #  OMÆ (1;2;1) và #  k Æ (0,0,1) làm véc-tơ chỉ phương, do đó nhận véc-tơ #  n Æ h #  OM, #  k i Æ(¡2;1;0) làm véc-tơ pháp tuyến. Mặt phẳng (P) đi qua O(0;0;0) và nhận #  n làmvéc-tơpháptuyếncóphươngtrình ¡2xÅyÆ0,2x¡yÆ0. Chọnđápán B ä Câu126. TronghệtoạđộOxyz,cho(P): xÅ4y¡2z¡6Æ0và(Q): x¡2yÅ4z¡6Æ0.Lậpphương trìnhmặtphẳng (®)chứagiaotuyếncủa(P), (Q)vàcắtcáctrụctoạđộtạicácđiểm A,B,C sao choO.ABC làhìnhchópđều. A. xÅyÅz¡6Æ0. B. xÅy¡z¡6Æ0. C. xÅyÅz¡3. D. xÅyÅzÅ6Æ0. -Lờigiải. VìO.ABC làchópđềunênmặtphẳng(ABC)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(a;b;c)trongđó a,b,c nhậngiátrị¡1hoặc 1. Đườngthẳnggiaotuyếncủamặtphẳng (P)và (Q)là¢: x¡6 2 Æ y ¡1 Æ z ¡1 . Tacó #  n¢ #  u ¢ Æ0,dovậytachọn #  nÆ(1;1;1). Vậymặtphẳngcầntìm xÅyÅz¡6Æ0. Chọnđápán A ä Câu127. TrongkhônggianOxyzchomặtcầu(S):(xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(zÅ3) 2 Æ36.Sốmặtphẳng (P)chứatrụcOxvàtiếpxúcvớimặtcầu (S)là A. 2. B. 1. C. Vôsố. D. 0. -Lờigiải. Gọi I(¡1;4;¡3)làtâmmặtcầu.Tacó d(I,Ox)Æ p 4 2 Å(¡3) 2 Æ5ÇRÆ6. Vậy mặt cầu cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Khi đó không có mặt phẳng (P) chứa Ox và tiếpxúcvớimặtcầu. Chọnđápán D ä Câu128. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođườngthẳng d: x 10 Æ yÅ2 8 Æ z¡1 1 vàmặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡6yÅ4z¡15Æ0.Mặtphẳngchứa d,tiếpxúcvới (S)vàcắttrục Oz tại điểmcócaođộlớnhơn 3cóphươngtrìnhlà A. 2x¡3yÅ4z¡10Æ0. B. 2x¡3yÅ4z¡12Æ0. C. 3x¡4yÅ2z¡12Æ0. D. 3x¡4yÅ2z¡10Æ0. -Lờigiải. (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡6yÅ4z¡15Æ0,(xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ29suyra (S)cótâm I(¡1;3;¡2), bánkính RÆ p 29.Đườngthẳng d điqua M(0;¡2;1)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(10;8;1). Gọi (P)làmặtphẳngcầnlập, #  n(a;b;c)làvéc-tơpháptuyếncủa (P)(a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0). (P)chứa d nên #  n¢ #  uÆ0,10aÅ8bÅcÆ0,cÆ¡10a¡8b (1) (P)chứa d nên (P)điqua M suyra (P)cóphươngtrình a(x¡0)Åb(yÅ2)Åc(z¡1)Æ0,axÅbyÅczÅ2b¡cÆ0. (P)tiếpxúc (S)nênd(I,d)ÆR, j¡aÅ3b¡2cÅ2b¡cj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ p 29 ,ja¡5bÅ3cjÆ p 29 p a 2 Åb 2 Åc 2 ,ja¡5b¡30a¡24bjÆ p 29 p a 2 Åb 2 Å(¡10a¡8b) 2 (theo (1)) ,36a 2 Å51abÅ18b 2 Æ0,(3aÅ2b)(4aÅ3b)Æ0, h 3aÅ2bÆ0 4aÅ3bÆ0. Với 3aÅ2bÆ0, ta chọn aÆ2,bÆ¡3)cÆ4, suy ra (P): 2x¡3yÅ4z¡12Æ0. Khi đó (P) cắt trục Oz tạiđiểmcócaođộ zÆ3,khôngthỏamãn. Với 4aÅ3bÆ0, ta chọn aÆ3,bÆ¡4)cÆ2, suy ra (P): 3x¡4yÅ2z¡10Æ0. Khi đó (P) cắt trục Oz tạiđiểmcócaođộ zÆ5,thỏamãn. Vậy (P): 3x¡4yÅ2z¡10Æ0. Chọnđápán D ä Câu129. TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABCcódiệntíchbằng6nằmtrênmặtphẳng (P): x¡2yÅzÅ2Æ0vàđiểm S(1;2;¡1).TínhthểtíchV củakhốichóp S.ABC. A. VÆ2 p 6. B. VÆ 2 p 6 3 . C. VÆ p 6. D. VÆ4 p 6. Th.sNguyễnChínEm 398 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Khoảngcáchtừ S tới (ABC)bằng d(S,(P))Æ 2 p 6 nênthểtíchkhốichóp S.ABC là VÆ 1 3 ¢6¢ 2 p 6 Æ 2 p 6 3 . Chọnđápán B ä Câu130. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;1;¡1).Phươngtrìnhmặtphẳng (P)qua A vàchứatrụcOxlà A. yÅzÆ0. B. xÅyÆ0. C. xÅzÆ0. D. y¡zÆ0. -Lờigiải. #  OAÆ(1;1;¡1),véc-tơđơnvịcủatrụcOxlà #  i Æ(1;0;0). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ[ #  OA, #  i]Æ(0;¡1;¡1). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là¡y¡zÆ0hay yÅzÆ0. Chọnđápán A ä Câu131. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3)vàcắtcáctia Ox, Oy, Oz lầnlượttạicácđiểm A, B, C saocho TÆ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 đạtgiátrịnhỏnhấtlà A. xÅ2yÅ3z¡14Æ0. B. 3xÅ2yÅz¡10Æ0. C. 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. D. 6x¡3yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Giảsử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a,b,c2R ¤ doOA,OB,OC khác0. Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (P)qua A, B, C cóphươngtrìnhlà x a Å y b Å z c Æ1. Mà M2(P)nên 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1,dođótheobấtđẳngthứcBunhiacopskitacó: TÆ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 1 14 (1 2 Å2 2 Å3 2 ) µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ ¸ 1 14 µ 1 a Å 2 b Å 3 c ¶ 2 Æ 1 14 . T đạtgiátrịnhỏnhấtnêntacódấubằngxảyra,tứclà 8 < : xÆ2yÆ3z 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1 , 8 > > > < > > > : aÆ14 bÆ 14 2 cÆ 14 3 . Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là xÅ2yÅ3z¡14Æ0. Chọnđápán A ä Câu132. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(¡1; p 3;0), B(1; p 3;0), C(0;0; p 3) và điểm M thuộc trục Oz sao cho hai mặt phẳng (MAB) và (ABC) vuông góc với nhau.Tínhgócgiữahaimặtphẳng (MAB)và (OAB). A. 30 ± . B. 60 ± . C. 45 ± . D. 15 ± . -Lờigiải. M(0;0;m)thuộctrụcOz. Tacó #  AMÆ(1;¡ p 3;m), #  ABÆ(2;0;0), #  ACÆ(1;¡ p 3; p 3). ) #  n 1 Æ h #  AB, #  AC i Æ(0;¡2 p 3;¡2 p 3), #  n 2 Æ h #  AB, #  AM i Æ(0;¡2m;¡2 p 3). Mặtphẳng(ABC)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 ,mặtphẳng(MAB)cómộtvéc-tơpháptuyến là #  n 2 . Haimặtphẳng (MAB)và (ABC)vuônggócvớinhaukhivàchỉkhi #  n 1 ? #  n 2 ,0¢0Å(¡2 p 3)¢(¡2m)Å(¡2 p 3)¢(¡2 p 3)Æ0,mÆ¡ p 3. Th.sNguyễnChínEm 399 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtphẳng (OAB)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 3 Æ h #  OA, #  OB i Æ(0;0;¡2 p 3). Gọi'làgócgiữahaimặtphẳng (MAB)và (OAB).Khiđó cos'Æ ¯ ¯ cos ¡ #  n 2 , #  n 3 ¢¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  n 2 ¢ #  n 3 ¯ ¯ ¯ ¯ #  n 2 ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n 3 ¯ ¯ Æ 12 2 p 6¢2 p 3 Æ 1 p 2 . Vậygócgiữahaimặtphẳng (MAB)và (OAB)là 45 ± . Chọnđápán C ä Câu133. Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1;1;¡1), B(2;3;1), C(5;5;1). Đường phân giác tronggóc A của4ABC cắtmặtphẳng (Oxy)tại M(a;b;0).Tính 3b¡a. A. 6. B. 5. C. 3. D. 0. -Lờigiải. Tacó ABÆ p (2¡1) 2 Å(3¡1) 2 Å(1Å1) 2 Æ3, ACÆ p (5¡1) 2 Å(5¡1) 2 Å(1Å1) 2 Æ6. Gọi D làchânđườngphângiáctronggóc A của4ABC.Tacó DB DC Æ AB AC Æ 1 2 . Gọitọađộcủa D là (x,y,z).Khiđó #  DBÆ(2¡x;3¡y;1¡z)và #  DCÆ(5¡x;5¡y;1¡z). Vì D nằmgiữa B và C nêntacó #  DCÆ¡2 #  DB, ( 5¡xÆ¡2(2¡x) 5¡yÆ¡2(3¡y) 1¡zÆ¡2(1¡z) , 8 > < > : xÆ3 yÆ 11 3 zÆ1. Tacó #  ADÆ µ 2; 8 3 ;2 ¶ và #  AMÆ(a¡1;b¡1;1). Điểm M thuộc vào đường thẳng AD khi và chi khi #  AM cùng phương với #  AD. Điều này tương đươngvới a¡1 2 Æ b¡1 8 3 Æ 1 2 , ( aÆ2 bÆ 7 3 . Vậy 3b¡aÆ7¡2Æ5. Chọnđápán B ä Câu134. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(0;1;2),mặtphẳng(®): x¡yÅz¡4Æ 0 và mặt cầu (S): (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (®) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọađộgiaođiểm M của (P)vàtrục x 0 Oxlà A. M µ ¡ 1 2 ;0;0 ¶ . B. M µ ¡ 1 3 ;0;0 ¶ . C. M(1;0;0). D. M µ 1 3 ;0;0 ¶ . -Lờigiải. Gọi (C)làgiaotuyếncủamặtphẳng (P)vàmặtcầu (S)và (C)cótâm H,bánkính r. Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi d(I,(P)) lớn nhất. Vì M2x 0 Oxnêngọi M(m;0;0).Suyramặtphẳng (P)chứa AM và (P)?(®). Khiđó #  n (P) Æ h #  MA, #  n (®) i Æ(3;2Åm;m¡1). Màmặtphẳng (P)điqua A nênphươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là: 3(x¡0)Å(2Åm)(y¡2)Å(m¡1)(z¡2)Æ0 hay 3xÅ(2Åm)yÅ(m¡1)z¡3mÆ0. Tacó d(I;(P))Æ 9 p 2m 2 Å2mÅ14 lớnnhấtkhivàchỉkhi 2m 2 Å2mÅ14nhỏnhất. Mà 2m 2 Å2mÅ14Æ2 µ mÅ 1 2 ¶ 2 Å 27 2 ¸ 27 2 . Dođó 2m 2 Å2mÅ14nhỏnhấtkhivàchỉkhi mÆ¡ 1 2 . Vậy M µ ¡ 1 2 ;0;0 ¶ . Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 400 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu135. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chocácđiểm A(2;¡1;6),B(¡1;2;4)vàI(¡1;¡3;2). Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquahaiđiểm A,B saochokhoảngcáchtừđiểm I đến (P) lànhỏnhất. A. (P):16xÅ6y¡15zÅ64Æ0. B. (P):7xÅ59yÅ78z¡423Æ0. C. (P):16xÅ6y¡15z¡64Æ0. D. (P):7xÅ59yÅ78zÅ423Æ0. -Lờigiải. Tacó #  IAÆ(3;2;4), #  IBÆ(0;5;2). Khoảngcáchtừ I đến (P)nhỏnhấtkhi I2(P). Gọi #  n làmộtVTPTcủa (P),suyra #  nÆ h #  IA, #  IB i Æ(¡16;¡6;15). Phươngtrình (P): 16(x¡2)Å6(yÅ1)¡15(z¡6)Æ0,16xÅ6y¡15zÅ64Æ0. Chọnđápán A ä Câu136. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;¡2;1), C(¡2;0;1) và mặt phẳng (P): 2xÅ2yÅz¡3Æ 0. Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc (P) sao cho MAÆ MBÆ MC, giá trị của a 2 Åb 2 Åc 2 bằng A. 39. B. 63. C. 62. D. 38. -Lờigiải. Gọi M(a;b;c),do M2(P)nên 2aÅ2bÅc¡3Æ0. (1) Theođềtacó ½ MA 2 ÆMB 2 MA 2 ÆMC 2 , ½ a 2 Å(b¡1) 2 Å(c¡2) 2 Æ(a¡2) 2 Å(bÅ2) 2 Å(c¡1) 2 a 2 Å(b¡1) 2 Å(c¡2) 2 Æ(aÅ2) 2 Åb 2 Å(c¡1) 2 , n 4a¡6b¡2cÆ4 ¡4a¡2b¡2cÆ0. Kếthợpvới (1)vàgiảihệtađược aÆ2, bÆ3, cÆ¡7nên a 2 Åb 2 Åc 2 Æ49. Chọnđápán C ä Câu137. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(2;¡1;1).Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm A vàcáchgốctọađộO mộtkhoảnglớnnhấtlà A. 2x¡yÅzÅ6Æ0. B. 2x¡yÅz¡6Æ0. C. 2xÅyÅz¡6Æ0. D. 2xÅy¡z¡6Æ0. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm O trênmặtphẳng (P).Khiđó,khoảngcáchtừ O đến mặt phẳng (P) bằng OH. Do đó, mặt phẳng (P) đi qua A và cách O một khoảng lớn nhất khi H´A,hayOA?(P). Mặt phẳng (P) đi qua A(2;¡1;1) và có véc-tơ pháp tuyến #  OAÆ (2;¡1;1). Phương trình mặt phẳng (P)là 2¢(x¡2)Å(¡1)¢(yÅ1)Å1¢(z¡1)Æ0,2x¡yÅz¡6Æ0. Chọnđápán B ä Câu138. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) di động trên các tia Ox, Oy, Oz luôn thỏa mãn aÅbÅcÆ2. Biết rằng quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC nằm trong mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm M(4;0;0) đến mặt phẳng (P). A. p 3. B. 3. C. 2. D. 2 p 3 3 . -Lờigiải. VìOA,OB,OC đôimộtvuônggócnêntọađộtâmmặtcầungoạitiếpcủatứdiệnlà I µ a 2 ; b 2 ; c 2 ¶ . Do aÅbÅcÆ2nên I2(P): xÅyÅz¡1Æ0. Khoảngcáchtừ M đến (P)là dÆ j4¡1j p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3. Chọnđápán A ä Câu139. TrongkhônggianOxy,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ6,tiếpxúcvớihai mặtphẳng(P): xÅyÅ2zÅ5Æ0,(Q): 2x¡yÅz¡5Æ0lầnlượttạicáctiếpđiểm A,B.Độdàiđoạn thẳng AB là A. 2 p 3. B. p 3. C. 2 p 6. D. 3 p 2. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;¡1)vàbánkính RÆ3.Từgiảthiếtsuyra A,Blầnlượtlàhìnhchiếu vuônggóccủa I lênmặtphẳng (P)và (Q). Th.sNguyễnChínEm 401 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi d làđườngthẳngđiqua I và d?(P),khiđó d cóvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(1;1;2)nên d có phươngtrình d: ( xÆ1Åt yÆ2Åt zÆ¡1Å2t ,t2R. A2d)A(1Åt;2Åt;¡1Å2t). A2(P),1ÅtÅ2ÅtÅ2(¡1Å2t)Å5Æ0,6tÅ6Æ0,tÆ¡1,nên A(0;1;¡3). Gọi d 0 làđườngthẳngđiqua I và d 0 ?(Q),khiđó d 0 cóvéc-tơchỉphươnglà #  u 0 d Æ(2;¡1;1)nên d 0 cóphươngtrình d 0 : 8 < : xÆ1Å2t 0 yÆ2¡t 0 zÆ¡1Åt 0 ,t 0 2R. B2d 0 )B ¡ 1Å2t 0 ;2¡t 0 ;¡1Åt 0 ¢ . B2(Q),2 ¡ 1Å2t 0 ¢ ¡ ¡ 2¡t 0 ¢ Å ¡ ¡1Åt 0 ¢ ¡5Æ0,6t 0 ¡6Æ0,t 0 Æ1,nên B(3;1;0). Vậy ABÆ p 3 2 Å0 2 Å3 2 Æ3 p 2. Chọnđápán D ä Câu140. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ12vàmặtphẳng (P): 2xÅ2y¡z¡3Æ0.Gọi(Q)làmặtphẳngsongsongvới(P)vàcắt(S)theothiếtdiệnlàđường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi (C) có thểtíchlớnnhất.Phươngtrìnhcủamặtphẳng (Q)là A. 2xÅ2y¡z¡4Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ17Æ0. B. 2xÅ2y¡zÅ2Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ8Æ0. C. 2xÅ2y¡z¡1Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ11Æ0. D. 2xÅ2y¡z¡6Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ3Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ2 p 3. Gọi rlàbánkínhđườngtròn(C)và H làhìnhchiếucủa I lên(Q). Đặt IHÆxtacó rÆ p R 2 ¡x 2 Æ p 12¡x 2 . Vậythểtíchkhốinóntạođượclà VÆ 1 3 ¢IH¢S ((C)) Æ 1 3 ¢x¢¼ ³ p 12¡x 2 ´ 2 Æ 1 3 ¼(12x¡x 3 ). Gọi f(x)Æ12x¡x 3 với x2 ¡ 0;2 p 3 ¢ . Thểtíchnónlớnnhấtkhi f(x)đạtgiátrịlớnnhất. Tacó f 0 (x)Æ12¡3x 2 . f 0 (x)Æ0,12¡3x 2 Æ0,xƧ2.Chỉcó xÆ22 ¡ 0;2 p 3 ¢ . I H M Bảngbiếnthiên: x f 0 (x) f(x) 0 2 2 p 3 Å 0 ¡ 0 0 16 16 0 0 VậyV max Æ 1 3 ¼16Æ 16¼ 3 khi xÆIHÆ2. Mặtphẳng (Q)Ò(P)nên (Q): 2xÅ2y¡zÅaÆ0 (a6Æ¡3) Và d(I,(Q))ÆIH, j2Å2(¡2)¡3Åaj p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ2,ja¡5jÆ6, h aÆ11 aÆ¡1. Vậymặtphẳng (Q)cóphươngtrình 2xÅ2y¡z¡1Æ0hoặc 2xÅ2y¡zÅ11Æ0. Chọnđápán C ä Câu141. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua H(2;1;1) và cắt cáctrụctọađộtạicácđiểm A, B, C saocho H làtrựctâmcủatamgiác4ABC.Phươngtrình của (P)là A. 2xÅyÅz¡6Æ0. B. xÅ2yÅz¡6Æ0. C. xÅ2yÅ2z¡6Æ0. D. 2xÅyÅzÅ6Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 402 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 B A O H C Tacó AH?BC,OA?BC)OH?BC. Tương tự: OH?AC suy ra OH?(ABC) nên #  OHÆ(2;1;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)vàđiqua H(2;1;1)dođómặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà 2xÅyÅz¡6Æ0. Chọnđápán A ä Câu142. ChohìnhchópS.ABCD cóđáylàhìnhthoicạnha, ƒ ABCÆ60 ± ,mặtbênSABlàtam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, SA, SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạnthẳng SP đếnmặtphẳng (HMN)bằng A. a p 15 30 . B. a p 15 20 . C. a p 15 15 . D. a p 15 10 . -Lờigiải. Xét hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz như hìnhvẽ.Khiđótacó H(0;0;0), A ³ ¡ a 2 ;0;0 ´ , B ³ a 2 ;0;0 ´ , S à 0;0; a p 3 2 ! , C à 0; a p 3 2 ;0 ! , D à ¡a; a p 3 2 ;0 ! . Có MNÒAD nênsuyra P làtrungđiểmcủa CD. Theocôngthứctrungđiểm,tasuyra M à ¡ a 4 ;0; a p 3 4 ! , N à ¡ a 2 ; a p 3 4 ; a p 3 4 ! , P à ¡ a 2 ; a p 3 2 ;0 ! , K à ¡ a 4 ; a p 3 4 ; a p 3 4 ! Tacó #  MNÆ Ã ¡ a 4 ; a p 3 4 ;0 ! , #  HMÆ Ã ¡ a 4 ;0; a p 3 4 ! . S A H M D N B K C P Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (HMN)là #  nÆ h #  MN, #  HM i Æ Ã 3a 2 16 ; a 2 p 3 16 ; a 2 p 3 16 ! . Phươngtrìnhmặtphẳng (HMN)là 3a 2 16 (x¡0)Å a 2 p 3 16 (y¡0)Å a 2 p 3 16 (z¡0)Æ0, p 3xÅyÅzÆ0. Vậykhoảngcáchcầntìmlà d[K,(HMN)]Æ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ a p 3 4 Å a p 3 4 Å a p 3 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p 3Å1Å1 Æ a p 15 20 . Chọnđápán B ä Câu143. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;¡2;3), B(¡4;0;¡1) và C(1;1;¡3).Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A,trọngtâmG củatamgiác ABC vàvuông gócvớimặtphẳng (ABC)là Th.sNguyễnChínEm 403 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 5xÅy¡2zÅ3Æ0. B. 2yÅz¡7Æ0. C. 5xÅy¡2z¡1Æ0. D. 2yÅzÅ1Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡5;2;¡4), #  ACÆ(0;3;¡6)vàG làtrọngtâmcủatamgiác ABC nênG µ ¡ 2 3 ;¡ 1 3 ;¡ 1 3 ¶ . Có #  AGÆ µ ¡ 5 3 ; 5 3 ;¡ 10 3 ¶ vàvéc-tơpháptuyếncủa (ABC)là #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(0;¡30;¡15). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n P Æ h #  AG, #  n P i Æ(¡125;¡25;50)nênphươngtrìnhmặt phẳng (P)là¡125(x¡1)¡25(yÅ2)Å50(z¡3)Æ0,5xÅy¡2zÅ3Æ0. Chọnđápán A ä Câu144. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(5;7;6) và B(2;4;3). Trên mặt phẳng (Oxy),lấyđiểm M(a;b;c)saocho MAÅMB bénhất.Tính PÆa 2 Åb 3 ¡c 4 . A. PÆ134. B. PÆ¡122. C. PÆ¡204. D. PÆ52. -Lờigiải. Dễthấy A và B nằmcùngphíavớimặtphẳng (Oxy). Gọi A 0 làđiểmđốixứngvới A qua (Oxy). Tacó: MAÅMBÆMA 0 ÅMB¸A 0 B,dấubằngxảyrakhi M´ M 0 làgiaođiểmcủa A 0 B với (Oxy). Có A(5;7;6), suy ra A 0 (5;7;¡6) và #  A 0 BÆ(3;3;¡9) nên phương trìnhđườngthẳng A 0 B: x¡2 3 Æ y¡4 3 Æ z¡3 ¡9 . A M B A 0 M 0 Điểm M 0 ÆA 0 B\(Oxy)nênlànghiệmcủahệ ( zÆ0 x¡2 3 Æ y¡4 3 Æ z¡3 ¡9 )M´M 0 (3;5;0). Từđósuyra PÆ3 2 Å5 3 ¡0 4 Æ134. Chọnđápán A ä Câu145. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với ABÆBCÆa, ADÆ2a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SAÆa p 5. Côsin của góc tạo bởi hai mặtphẳng (SBC)và (SCD)bằng A. 2 p 21 21 . B. p 21 12 . C. p 21 6 . D. p 21 21 . -Lờigiải. Xét hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz như hìnhvẽ.Khiđótacó A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), S ¡ 0;0;a p 5 ¢ , M(0;a;0), C(a;a;0) Tacó #  BCÆ(0;a;0), #  SBÆ ¡ a;0;¡a p 5 ¢ ) #  n (SBC) Æ h #  BC, #  SB i Æ ¡ ¡a 2 p 5;0;¡a 2 ¢ . Tacó #  CDÆ(¡a;a;0), #  SCÆ ¡ a;a;¡a p 5 ¢ ) #  n (SCD) Æ h #  CD, #  SC i Æ ¡ ¡a 2 p 5;¡a 2 p 5;¡2a 2 ¢ . z y x A S B D M C Tacó cos[(SBC),(SCD)]Æ ¯ ¯ #  n (SBC) ¢ #  n (SCD) ¯ ¯ ¯ ¯ #  n (SBC) ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (SCD) ¯ ¯ Æ ¯ ¯ 5a 4 Å2a 4 ¯ ¯ a 2 p 6¢a 2 p 14 Æ p 21 6 . Chọnđápán C ä Câu146. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x¡2 ¡1 Æ y 1 Æ z 1 và Th.sNguyễnChínEm 404 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 d 2 : x ¡2 Æ y¡1 1 Æ z¡2 1 .Phươngtrìnhmặtphẳng(P)songsongvàcáchđềuhaiđườngthẳng d 1 , d 2 là A. 2y¡2zÅ1Æ0. B. 2y¡2z¡1Æ0. C. 2x¡2zÅ1Æ0. D. 2x¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến #  n. Gọi #  v 1 , #  v 2 lần lượt là véc-tơ chỉ phươngcủa d 1 , d 2 ,tachọn #  v 1 (¡1;1;1)và #  v 2 (¡2;1;1). Tacó £ #  v 1 , #  v 2 ¤ Æ(0;¡1;1)khiđótachọn #  n(0;¡1;1) Trên d 1 , d 2 lần lượt chọn các điểm A(2;0;0) và B(0;1;2), gọi I là trung điểm của AB ta có I µ 1; 1 2 ;1 ¶ . Dogiảthiếtsuyramặtphẳng (P)điqua I vớivéc-tơpháptuyến #  n,tacóphươngtrình (¡1)¢ µ y¡ 1 2 ¶ Å(z¡1)Æ0,¡yÅzÅ 1 2 Æ0,2y¡2zÅ1Æ0. Chọnđápán A ä Câu147. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P)điqua A vàcáchgốctọađộmộtđoạnlớnnhất. A. xÅyÅ2z¡12Æ0. B. 2xÅyÅ3z¡19Æ0. C. 3xÅ2yÅ3z¡22Æ0. D. 3x¡2yÅ3z¡14Æ0. -Lờigiải. Tacó d(O,(P))·OA. Dođó d(O,(P))lớnnhấtbằngOA.KhiđóOA?(P)hay #  n (P) Æ #  OAÆ(3;2;3). Vậymặtphẳng (P)là 3(x¡3)Å2(y¡2)Å3(z¡3)Æ0,3xÅ2yÅ3z¡22Æ0. Chọnđápán C ä Câu148. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;5;¡3),B(¡2;1;1),C(2;0;1) và mặt phẳng (®): 3xÅ4yÅ5zÅ1Æ0.Gọi D(a;b;c)(với cÈ0)thuộc (®)saochocóvôsốmặtphẳng (P) chứa C,D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức SÆa 2 Åb 2 Åc 2 . A. SÆ18. B. SÆ32. C. SÆ20. D. SÆ26. -Lờigiải. Vì d(A,(P))Æ3d(B,(P))nên AB cắt (P)tạiđiểm I ) ½ #  AIÆ3 #  BI #  AIÆ¡3 #  BI ) ½ I(¡4;¡1;3) I(¡1;2;0) . Vìcóvôsốmặtphẳng (P)chứa C,D vàkhoảngcáchtừ A đến (P)gấp3lầnkhoảngcáchtừ B đến (P)nên I,C,D thẳnghànghay DÆIC\(®). Nếu I(¡4;¡1;3))(IC): ( xÆ2Å6t yÆt zÆ1¡2t )D(¡4;¡1;3)(thỏamãn cÈ0). Nếu I(¡1;2;0))(IC): ( xÆ2Å3t yÆ¡2t zÆ1Åt )D(¡4;4;¡1)(loại). Vậy D(¡4;¡1;3))SÆ16Å1Å9Æ26. Chọnđápán D ä Câu149. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)vàmặt phẳng (P): xÅyÅz¡2Æ0.Điểm M(a;b;c)nằmtrênmặtphẳng (P)thỏamãn MAÆMBÆMC. Tính TÆaÅ2bÅ3c. A. TÆ5. B. TÆ3. C. TÆ2. D. TÆ4. -Lờigiải. Tacó M(a;b;c)2(P),aÅbÅc¡2Æ0 (1) MA 2 Æ(a¡2) 2 Å(b¡0) 2 Å(c¡1) 2 Æa 2 Åb 2 Åc 2 ¡4a¡2cÅ5. MB 2 Æ(a¡1) 2 Åb 2 Åc 2 Æa 2 Åb 2 Åc 2 ¡2aÅ1. MC 2 Æ(a¡1) 2 Å(b¡1) 2 Å(c¡1) 2 Æa 2 Åb 2 Åc 2 ¡2a¡2b¡2cÅ3. Th.sNguyễnChínEm 405 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Với MAÆMB,tacó aÅc¡2Æ0 (2) Với MAÆMC,tacó a¡b¡1Æ0 (3) Từ (1), (2)và (3)tacóhệphươngtrình ( aÅbÅcÆ2 aÅcÆ2 a¡bÆ1 , ( aÆ1 bÆ0 cÆ1. Vậy TÆaÅ2bÅ3cÆ4. Chọnđápán D ä Câu150. TrongkhônggianOxyzchomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ9vàmặtphẳng(P): xÅyÅz¡3Æ 0.Gọi(S 0 )làmặtcầuchứađườngtròngiaotuyếncủa(S)và(P)đồngthời(S 0 )tiếpxúcvớimặt phẳng (Q): x¡yÅz¡5Æ0.Gọi I(a;b;c)làtâmcủamặtcầu (S) 0 .Tínhtích TÆabc. A. TÆ1. B. TÆ¡ 1 8 . C. TÆ¡1. D. TÆ 1 8 . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S 0 )códạng x 2 Åy 2 Åz 2 ¡9Åm(xÅyÅz¡3)Æ0 , x 2 Åy 2 Åz 2 ÅmxÅmyÅmz¡9¡3mÆ0. Mặtcầu (S 0 )cótâm I ³ ¡ m 2 ;¡ m 2 ;¡ m 2 ´ ,bánkính RÆ Ê 3m 2 4 Å3mÅ9. (S 0 )tiếpxúcvới (Q)nên d(I,(Q))ÆR , ¯ ¯ ¡ m 2 ¡5 ¯ ¯ p 3 Æ Ê 3m 2 4 Å3mÅ9 , jmÅ10jÆ p 9m 2 Å36mÅ108 , mÆ¡1)I µ 1 2 ; 1 2 ; 1 2 ¶ . Vậy TÆabcÆ 1 8 . Chọnđápán D ä Câu151. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S m ): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡m) 2 Æ m 2 4 (với mÈ0làthamsốthực)vàhaiđiểm A(2;3;5),B(1;2;4).Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa m đểtrên (S m )tồntạiđiểm M saocho MA 2 ¡MB 2 Æ9. A. mÆ1. B. mÆ3¡ p 3. C. mÆ8¡4 p 3. D. mÆ 4¡ p 3 2 . -Lờigiải. Gọi M(x;y;z),tacó MA 2 ¡MB 2 Æ9,(x¡2) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡5) 2 ¡(x¡1) 2 ¡(y¡2) 2 ¡(z¡4) 2 Æ9 ,xÅyÅz¡4Æ0. Mặtcầu (S m )cótâm I(1;1;m)vàbánkính RÆ m 2 .Gọi (®): xÅyÅz¡4Æ0.Khiđó, M(1;1;m)2(S m ),d[I,(®)]·R, jm¡2j p 3 · m 2 )m¡2¸¡ p 3 2 m)m¸8¡4 p 3. Vậygiátrịnhỏnhấtcủa mlà 8¡4 p 3. Chọnđápán C ä Câu152. Cho mặt phẳng (®): axÅbyÅczÅdÆ0 , ¡ a 2 Åb 2 Åc 2 È0 ¢ đi qua hai điểm B(1;0;2), C(5;2;6)vàcách A(2;5;3)mộtkhoảnglớnnhất.KhiđógiátrịcủabiểuthứcTÆ a bÅcÅd là Th.sNguyễnChínEm 406 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 3 4 . B. 1 6 . C. ¡ 1 6 . D. ¡2. -Lờigiải. Phươngtrìnhđườngthẳng BC: ( xÆ1Å2t yÆt zÆ2Å2t . Gọi I làhìnhchiếucủa A trên BC suyra I(3;1;4). Kẻ AH?(P), ta có AH đạt giá trị lớn nhất khi H trùng I hay AI?(P). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là x¡4yÅz¡3Æ0. Vậy TÆ a bÅcÅd Æ¡ 1 6 . A H I B C Chọnđápán C ä Câu153. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađườngthẳng d 1 : ( xÆ1 yÆ¡1 zÆt 1 , d 2 : ( xÆt 2 yÆ¡1 zÆ0 , d 3 : ( xÆ1 yÆt 3 zÆ0 .Gọi (P)làmặtphẳngđiqua M(1;2;3)vàcắtbađườngthẳng d 1 , d 2 , d 3 lầnlượttại A, B, C saocho M làtrựctâmcủatamgiác ABC.Tínhkhoảngcách dÆd(O,(P))(O làgốctọa độcủahệtrụcOxyz). A. dÆ2 p 2. B. dÆ 3 p 2 2 . C. dÆ p 2 2 . D. dÆ 5 p 2 2 . -Lờigiải. Gọivéc-tơchỉphươngcủacácđườngthẳng d 1 , d 2 , d 3 là #  u d 1 Æ(0;0;1), #  u d 2 Æ(1;0;0)và #  u d 3 Æ(0;1;0). Tacó #  u d 1 ¢ #  u d 2 Æ0, #  u d 1 ¢ #  u d 3 Æ0, #  u d 2 ¢ #  u d 3 Æ0và d 1 , d 2 và d 3 cắt nhau tại điểm I(1;¡1;0) nên IA, IB, IC đôi một vuônggócvớinhau. Từ n IA?IB IA?IC )IA?(IBC))IA?BC. Từ n IB?IA IB?IC )IB?(IAC))IB?AC. A B C I M Mặtkháctừ n AM?BC IA?BC )BC?(IAM))BC?IM (1) Mà n BM?AC IB?AC )AC?(IBM))AC?IM (2) Từ (1)và (2)suyra IM?(ABC).Mặtphẳng (ABC)điquađiểm M vànhận #  IMÆ(0;3;3)làm véc-tơpháptuyến. (ABC): 3(y¡2)Å3(z¡3)Æ0,yÅz¡5Æ0. KhoảngcáchtừgốctọađộO đếnmặtphẳng (ABC)là dÆ j¡5j p 0 2 Å1 2 Å1 2 Æ 5 p 2 2 . Chọnđápán D ä Câu154. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chocácđiểm A(0;1;1), B(1;0;1), C(1;1;0). Cóbaonhiêuđiểm M cáchđềucácmặtphẳng (ABC), (OBC), (OAC), (OAB)? A. Vôsốđiểm M. B. 3. C. 5. D. 1. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 407 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  OAÆ(0;1;1), #  OBÆ(1;0;1), #  OCÆ(1;1;0), #  ABÆ(1;¡1;0), #  ACÆ(1;0;¡1). Tacó h #  OA; #  OB i Æ(1;1;¡1))(OAB): xÅy¡zÆ0. Tacó h #  OB; #  OC i Æ(¡1;1;1))(OBC): ¡xÅyÅzÆ0. Tacó h #  OA; #  OC i Æ(¡1;1;¡1))(OAC): ¡xÅy¡zÆ0. Tacó h #  AB; #  AC i Æ(1;1;1))(ABC): xÅyÅz¡2Æ0. Gọiđiểm M(a;b;c)cáchđềucácmặtphẳng (OAB), (OBC), (OAC), (ABC). Từ d(M,(OAB))Æd(M,(OBC)), jaÅb¡cj p 3 Æ j¡aÅbÅcj p 3 , h aÆc (1) bÆc (2) Từ d(M,(OAB))Æd(M,(OAC)), jaÅb¡cj p 3 Æ j¡aÅb¡cj p 3 , h aÆ0 (3) bÆc (4) Từ d(M,(OAB))Æd(M,(ABC)), jaÅb¡cj p 3 Æ jaÅbÅcj p 3 , h cÆ0 (5) aÆ¡b (6) Từ (1), (3), (5)suyra aÆcÆ0, b khác 0tùyý.Nhưvậycóvôsốđiểmcáchđềubốnmặtphẳng. Chọnđápán A ä Câu155. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm M(1;3;¡2).Gọi (P)làmặtphẳngđi qua M vàcáchgốc tọađộ O mộtkhoảnglớn nhất,mặtphẳng (P)cắttrục Oytạiđiểm B.Tọa độcủađiểm B là A. B µ 0; 14 3 ;0 ¶ . B. B(0;14;0). C. B(0;¡14;0). D. B µ 0;¡ 14 3 ;0 ¶ . -Lờigiải. Dễ thấy, d(O;(P))·OM, nên mặt phẳng (P) đi qua M, cách O một khoảng lớn nhất khi (P) nhận #  OMÆ(1;3;¡2) làm véc-tơ pháp tuyến. Suy ra (P) có phương trình xÅ3y¡2z¡14Æ0. Do đógiaođiểmcủa (P)vớitrụcOylà B µ 0; 14 3 ;0 ¶ . Chọnđápán A ä Câu156. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;2), B(¡3;¡1;0) và mặt phẳng (P): xÅyÅ3z¡14Æ0.Điểm M(a;b;c)thuộcmặtphẳng (P)saocho4MABvuôngtại M. Tínhgiátrị aÅbÅ2c. A. 5. B. 12. C. 10. D. 11. -Lờigiải. ² #  MAÆ(x¡3;y¡1;z¡2), #  MBÆ(xÅ3;yÅ1;z). Tamgiác MAB vuôngtại M nên #  MA¢ #  MBÆ0,x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2z¡10Æ0. Dođó M thuộcmặtcầu (S)tâm I(0;0;1)bánkính RÆ p 11. ²Tacód(I,(P))Æ 11 p 11 Æ p 11nên(P)tiếpxúcvới(S).Dođóđiểm M làtiếpđiểmcủa(P)vàmặt cầu (S). ²Gọi¢làđườngthẳngđiqua I vàvuônggócvới (P),¢: ( xÆt yÆt zÆ1Å3t . Tacó tÅtÅ3(1Å3t)¡14Æ0,tÆ1nên M(1;1;4).Vậy aÅbÅ2cÆ10. Chọnđápán C ä Câu157. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(¡1;2;1), C(3;6;¡5). Điểm M thuộcmặtphẳng (Oxy)saocho MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 đạtgiátrịnhỏnhấtlà A. M(1;2;0). B. M(0;0;¡1). C. M(1;3;¡1). D. M(1;3;0). -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmcủatamgiác ABC.Tacó MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 Æ3MG 2 ÅGA 2 ÅGB 2 ÅGC 2 ,dễ thấy MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trênmặtphẳng (Oxy).DễthấyG(1;3;¡1))M(1;3;0). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 408 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu158. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchođiểmM(1;¡1;2)vàmặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ 9.MặtphẳngđiquaMcắtStheomộtđườngtròncóbánkínhnhỏnhấtcóphươngtrìnhlà A. x¡yÅ2z¡2Æ0. B. x¡yÅ2zÆ0. C. x¡yÅ2z¡6Æ0. D. x¡yÅ2z¡4Æ0. -Lờigiải. (S)có bánkính RÆ3 và tâm I(0;0;0), IMÆ p 6Ç3nên I nằm tronghình cầu (S). Gọi r là bán kínhcủađườngtròn,(P)làmặtphẳngquaM,tacór 2 ÆR 2 ¡d 2 (I,(P))Æ9¡d 2 (I,(P))¸9¡IM 2 Æ3, suy ra bán kính r min Æ p 3 khi #  IM là véc-tơ pháp tuyến của (P). Vậy phương trình của mặt phẳng (P): (x¡1)¡(yÅ1)Å2(z¡2)Æ0,x¡yÅ2z¡6Æ0. Chọnđápán C ä Câu159. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ 25.Đườngthẳng d cắtmặtcầu(S)tạihaiđiểm A,B.Biếttiếpdiệncủa(S)tại A,Bvuônggóc. Tínhđộdài AB. A. ABÆ 5 2 . B. ABÆ5. C. ABÆ5 p 2. D. ABÆ 5 p 2 2 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;¡1),bánkính RÆ5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.TacótứgiácOIAB làhìnhvuông.Suyra ABÆIA¢ p 2ÆR¢ p 2Æ5 p 2. B O I A Chọnđápán C ä Câu160. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,cho A(5;0;0),B(1;2;¡4),C(4;3;0),mp(®): xÅ 2yÅ2z¡10Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtcầuđiqua A,B,C vàtiếpxúcmp(®). A. (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. B. (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ9. C. (xÅ3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. D. (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Æ9. -Lờigiải. Gọi I(x;y;z)làtâmmặtcầucầnviết. Th.sNguyễnChínEm 409 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Theobàiratacó ( AIÆBI AIÆCI AIÆd(I,(®)) , 8 > > > < > > > : p (x¡5) 2 Åy 2 Åz 2 Æ p (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ4) 2 p (x¡5) 2 Åy 2 Åz 2 Æ p (x¡4) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 p (x¡5) 2 Åy 2 Åz 2 Æ jxÅ2yÅ2z¡10j p 1 2 Å2 2 Å2 2 , 8 < : 2x¡yÅ2zÆ1 x¡3yÆ0 3 p (x¡5) 2 Åy 2 Åz 2 ÆjxÅ2yÅ2z¡10j , 8 > > > > < > > > > : xÆ3y zÆ ¡5yÅ1 2 9 · (3y¡5) 2 Åy 2 Å µ ¡5yÅ1 2 ¶ 2 ¸ Æ · 3yÅ2yÅ2 ¡5yÅ1 2 ¡10 ¸ 2 , 8 > > < > > : xÆ3y zÆ ¡5yÅ1 2 65y 2 ¡130yÅ65Æ0 , ( xÆ3 yÆ1 zÆ¡2. Vậyphươngtrìnhmặtcầutâm I(3;1;¡2)bánkính RÆAIÆ3là (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. Chọnđápán A ä Câu161. Cho A(1;¡1;0)vàmp(P): 2x¡2yÅz¡1Æ0.Điểm M(a;b;c)2mp(P)saocho MA?OA vàđoạn AM bằng 3lầnkhoảngcáchtừ A đếnmp(P).Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. aÅbÅcÆ¡3. B. aÅbÅcÆ3. C. aÅbÅcÆ5. D. aÅbÅcÆ¡5. -Lờigiải. ( M2mp(P) AM?OA AMÆ3d(A,(P)) , 8 > > < > > : 2a¡2bÅc¡1Æ0 1(a¡1)¡1(bÅ1)Å0(c¡0)Æ0 p (a¡1) 2 Å(bÅ1) 2 Å(c¡0) 2 Æ3¢ j2¢1¡2¢(¡1)Å0¡1j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 , ( 2a¡2bÅc¡1Æ0 a¡b¡2Æ0 (a¡1) 2 Å(bÅ1) 2 Åc 2 Æ9 , ( bÆa¡2 cÆ¡3 (a¡1) 2 Å(a¡2Å1) 2 Å(¡3) 2 Æ9 , ( aÆ1 bÆ¡1 cÆ¡3. Vậy aÅbÅcÆ¡3. Chọnđápán A ä Câu162. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(¡1;0;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi quađiêm M vàcắtcáctrụcOx,Oy,Oz lầnlượttại A, B, C saocho 3OAÆ2OBÆOC6Æ0? A. 3. B. 8. C. 4. D. 2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 410 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Từ giả thiết, ta có thể coi A(2a;0;0), B(0;3b;0), C(0;0;6c) (vớijajÆjbjÆjcj6Æ0). Khi đó, phương trìnhmặtphẳng (P)là x 2a Å y 3b Å z 6c Æ1. Do (P)điqua M(¡1;0;3)nên¡ 1 2a Å 1 2c Æ1.Theotrên, cƧa,kếthợpvớiphươngtrìnhvừathu được,tasuyra aÆ¡1,cÆ1. Cũng theo trên, bƧa, nên có 2 giá trị của b. Suy ra có 2 bộ (a,b,c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳngthỏayêucầuđềbài. Chọnđápán D ä Câu163. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) và D µ 1;1; 1 2 ¶ . Có tấtcảbaonhiêumặtphẳngphânbiệtđiquabatrongnămđiểmO, A, B, C, D? A. 5. B. 6. C. 7. D. 10. -Lờigiải. Tacómặtphẳng (ABC): x 2 Å y 3 Å z 3 Æ1. Suyra D µ 1;1; 1 2 ¶ thuộcmặtphẳng (ABC). Sốmặtphẳngquabatrongbốnđiểm A, B, C, D là 1. Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là C 2 4 Æ6. Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm O, A, B, C, D là 1Å6Æ7. O A x y z C D B Chọnđápán C ä Câu164. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(¡1;2;¡5) cắt mặt phẳng (P):2x¡2y¡zÅ10Æ0theogiaotuyếnlàđườngtròncóchuvi 2¼ p 3.Viếtphươngtrình củamặtcầu (S). A. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ25. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ10zÅ18Æ0. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ10zÅ12Æ0. D. (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ16. -Lờigiải. Đườngtròngiaotuyếncóchuvi 2¼ p 3nênnócóbánkính rÆ p 3. Gọi hÆd(I,(P))Æ j2£(¡1)¡2£2¡1£(¡5)Å10j p 2 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ3. Suyrabánkính R củamặtcầu (S)đượctínhtheocôngthức RÆ p r 2 Åh 2 Æ p 12. Phươngtrìnhcủa (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ5) 2 Æ12,x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4yÅ10zÅ18Æ0. Chọnđápán B ä Câu165. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S)cóphươngtrình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ1Æ0. Viết phương trình (P) đi qua hai điểm A(0;¡1;1) và B(1;¡2;1) đồng thời cắt mặt cầu (S) theo giaotuyếnlàmộtđườngtròncóchuvibằng p 2¼. A. xÅyÅ3z¡2Æ0, xÅy¡5zÅ6Æ0. B. xÅyÅ3z¡2Æ0, xÅyÅzÆ0. C. xÅy¡3zÅ4Æ0, xÅy¡zÅ2Æ0. D. xÅyÅ1Æ0, xÅyÅ4z¡3Æ0. -Lờigiải. Giảsửmặtphẳng (P)códạng AxÅByÅCzÅDÆ0trongđó A 2 ÅB 2 ÅC 2 6Æ0. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;0);bánkính RÆ1.Đườngtròngiaotuyếncóbánkính rÆ p 2 2 . Suyra, d(I,(P))Æ p R 2 ¡r 2 Æ p 2 2 Domặtphẳng (P)điquahaiđiểm A và B nêntacó n ¡BÅCÅDÆ0 A¡2BÅCÅDÆ0 ) n AÆB BÆCÅD. Th.sNguyễnChínEm 411 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtkhác, d(I,(P))Æ jA¡BÅDj p A 2 ÅB 2 ÅC 2 Æ jA¡Cj p 2A 2 ÅC 2 ¢ Suyra, jA¡Cj p 2A 2 ÅC 2 Æ p 2 2 ,2C 2 ¡8ACÆ0, h CÆ0 CÆ4A. Với CÆ0)AÆBÆD. Chọn AÆ1,tađượcphươngtrìnhmặtphẳng (P 1 )là xÅyÅ1Æ0. Với CÆ4A: Chọn AÆ1)BÆ1,CÆ4,DÆ¡3tađượcphươngtrình (P 2 ): xÅyÅ4z¡3Æ0. Chọnđápán D ä Câu166. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2xÅ2y¡z¡7Æ 0 và mặt cầu (S) : x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0. Mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo giao tuyến là mộtđườngtròncóchuvibằng 6¼cóphươngtrìnhlà A. 2xÅ2y¡z¡19Æ0. B. 2xÅ2y¡zÅ17Æ0. C. 2xÅ2y¡z¡17Æ0. D. 2xÅ2y¡zÅ7Æ0. -Lờigiải. (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0,(S):(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. (S)cótâm I(1,¡2,3),bánkính RÆ p 25Æ5. Gọi r làbánkínhđườngtròn.Tacó 2¼rÆ6¼)rÆ3. Gọi (Q)làmặtphẳngcầntìm. Vì (Q)Ò(P)nên (Q)códạng: 2xÅ2y¡zÅcÆ0.(c6Æ¡7) Mặtphẳng (Q)cắt (S)theogiaotuyếnlàđườngtròncóchuvibằng 6¼nên d(I,(Q))Æ p R 2 ¡r 2 ) j2¢1Å2¢(¡2)¡3Åcj p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ p 5 2 ¡3 2 Æ4 )jc¡5jÆ12, h c¡5Æ12 c¡5Æ¡12 , h cÆ17 cÆ¡7.(loại) Suyra (Q): 2xÅ2y¡zÅ17Æ0hoặc (Q): 2xÅ2y¡z¡7Æ0. Vậy (Q): 2xÅ2y¡zÅ17Æ0. Chọnđápán B ä Câu167. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): x¡2yÅz¡4Æ0vàđườngthẳngd: x¡m 1 Æ yÅ2m 3 Æ z 2 .Nếugiaođiểmcủa d và (P)thuộcmặtphẳng (Oyz)thìgiátrịcủa mbằng A. 4 5 . B. 1 2 . C. 1. D. ¡ 1 2 . -Lờigiải. Gọi M(tÅm;3t¡2m;2t)làgiaođiểmcủa d và (P).Do M thuộc (Oyz)nêntacó n tÅmÆ0 (tÅm)¡2(3t¡2m)Å2t¡4Æ0 , n tÆ¡m ¡2(¡3m¡2m)¡2m¡4Æ0 , 8 > > < > > : tÆ¡ 1 2 mÆ 1 2 . Vậy mÆ 1 2 . Chọnđápán B ä Câu168. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;¡2;3), B(4;2;3), C(3;4;3). Gọi S 1 ,S 2 ,S 3 là cácmặtcầucótâm A,B,Cvàbánkínhlầnlượtlà3,2,3.Hỏicóbaonhiêumặtphẳngquađiểm I µ 14 5 ; 2 5 ;3 ¶ vàtiếpxúcvớicảbamặtcầu (S 1 ),(S 2 ),(S 3 )? A. 2. B. 7. C. 0. D. 1. -Lờigiải. Phươngtrìnhcủabamặtcầuđãcholà (S 1 ): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. (S 2 ): (x¡4) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ4. (S 3 ): (x¡3) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡3) 2 Æ9. Th.sNguyễnChínEm 412 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Thaytọađộđiểm I vàophươngtrìnhcácmặtcầu,tacó I2(S 1 ),I2(S 2 )và I nằmngoài S 3 . Suyrađiềukiệncầnđểmộtmặtphẳng (P)qua I vàtiếpxúcvớicảbamặtcầulà (P)tiếpxúc với (S 1 ),(S 2 )tại I.Dođó (P)qua I vànhận #  ABÆ(3;4;0)làmvéc-tơpháptuyến. Suyra (P): 3 µ x¡ 14 5 ¶ Å4 µ y¡ 2 5 ¶ Æ0,3xÅ4y¡10Æ0. Khoảngcáchtừ C(3;4;3)đến (P)là d(C,(P))Æ j3¢3Å4¢4¡10j p 3 2 Å4 2 Æ 15 5 Æ3. Suyra (P)tiếpxúcvới (S 3 ). Vậycóđúngmộtmặtphẳngqua I vàtiếpxúcvớicảbamặtcầuđãcho. Chọnđápán D ä Câu169. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): x¡y¡zÅ6Æ0và(Q): 2xÅ3y¡2zÅ1Æ 0.Gọi (S)làmặtcầucótâmthuộc (Q)vàcắt (P)theogiaotuyếnlàđườngtròntâm E(¡1;2;3), bánkính rÆ8.Phươngtrìnhmặtcầu (S)là A. x 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ64. B. x 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ67. C. x 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ3. D. x 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ64. -Lờigiải. Gọi I(x;y;z)làtâmmặtcầu(S),¢làđường thẳng qua E và vuông góc với (P). Khi đó, tacó IÆ¢\(Q). ¢ qua E(¡1;2;3) nhận #  n P Æ(1;¡1;¡1) làm véc-tơpháptuyến. Suyra¢: ( xÆ¡1Åt yÆ2¡t zÆ3¡t. E I R r P I2¢)I(¡1Åt;2¡t;3¡t). I2(Q))2(¡1Åt)Å3(2¡t)¡2(3¡t)Å1Æ0,tÆ1. Dođó I(0;1;2).Khoảngcáchtừ I đến (P)là d(I,(P))Æ j0¡1¡2Å6j p 1 2 Å(¡1) 2 Å(¡1) 2 Æ p 3. Bánkínhcủa (S)là RÆ p r 2 Åd 2 (I,(P))Æ È 8 2 Å p 3 2 Æ p 67. Vậy (S): x 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ67. Chọnđápán B ä Câu170. TrongkhônggianhệtrụctọađộOxyz,chocácđiểm A(2;0;0),B(2;3;0)vàmặtphẳng (P): xÅyÅz¡7Æ0.Tìmhoànhđộ x M củađiểm M thuộcmặtphẳng(P)saochoj #  MAÅ2 #  MBjđạt giátrịnhỏnhất. A. x M Æ¡3. B. x M Æ¡1. C. x M Æ1. D. x M Æ3. -Lờigiải. Tatìmđiểm I thỏamãn #  IAÅ2 #  IBÆ #  0,hay #  OA¡ #  OIÅ2( #  OB¡2 #  OI)Æ #  0 , #  OIÆ 1 3 ( #  OAÅ2 #  OB) , #  OIÆ µ 2Å2¢2 3 ; 0Å2¢3 3 ; 0Å2¢0 3 ¶ Æ(2;2;0) , I(2;2;0). Lúcnàytacó j #  MAÅ2 #  MBjÆj #  IA¡ #  IMÅ2( #  IB¡ #  IM)jÆj #  IAÅ2 #  IB¡3 #  IMjÆ3IM. Th.sNguyễnChínEm 413 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đểj #  MAÅ2 #  MBjđạtgiátrịnhỏnhấtthì IM phảinhỏnhất,điềuđóxảyrakhi M làhìnhchiếu của I lên (P). Lúc này, do #  IM cùng phương với #  nÆ(1;1;1) là véc-tơ pháp tuyến của (P) nên #  IMÆk #  n, trong đó k làmộtsốthực. Tacó #  IMÆk #  n , #  OM¡ #  OIÆk #  n , #  OMÆ #  OIÅk #  n , #  OMÆ(2Åk;2Åk;0Åk) , MÆ(2Åk;2Åk;k). Do M thuộcmặtphẳng (P),tacó (2Åk)Å(2Åk)Åk¡7Æ0,kÆ1)M(3;3;1). Vậy x M Æ3. Chọnđápán D ä Câu171. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm M(0;¡1;0), N(¡1;1;1)vàvuônggócvớimặtphẳng (Oxz). A. (P): xÅzÅ1Æ0. B. (P): x¡zÆ0. C. (P): zÆ0. D. (P): xÅzÆ0. -Lờigiải. Tacó #  MNÆ(¡1;2;1)và (Oxz)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  j Æ(0;1;0). Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n Æ h #  MN, #  j i Æ(¡1;0;¡1). Do đó, (P) có phương trìnhlà¡1(x¡0)Å0(yÅ1)¡1(z¡0)Æ0,xÅzÆ0. Chọnđápán D ä Câu172. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆt yÆ¡1 zÆ¡t (t2R)vàhai mặtphẳng(P): xÅ2yÅ2zÅ3Æ0,(Q): xÅ2yÅ2zÅ7Æ0.Mặtcầu(S)cótâm I(a;b;c)thuộcđường thẳng d và (S)tiếpxúcvớihaimặtphẳng (P)và (Q).Khiđó aÅbÅc bằng A. 1. B. ¡1. C. 2. D. ¡2. -Lờigiải. Tâm I2d)I(t;¡1;¡t).Do (S)tiếpxúcvới (P)và (Q)nêntacó d(I,(P))Æd(I,(Q)). Hayjt¡2¡2tÅ3jÆjt¡2¡2tÅ7j,tÆ3. Suyra I(3;¡1;¡3),từđótacó aÆ3,bÆ¡1,cÆ¡3)aÅbÅcÆ¡1. Chọnđápán B ä Câu173. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(¡3;1;¡1), B(1;2;m), C(0;2;¡1), D(4;3;0).Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủa mđểthểtíchkhốitứdiện ABCD bằng 10. A. mƧ30. B. mƧ120. C. mƧ20. D. mƧ60. -Lờigiải. Tacó #  ACÆ(3;1;0), #  ADÆ(7;2;1)) h #  AC, #  AD i Æ(1;¡3;¡1). Lạicó #  ABÆ(4;1;mÅ1)) h #  AC, #  AD i ¢ #  ABÆ¡m. TacóV ABCD Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AC, #  AD i ¢ #  AB ¯ ¯ ¯Æ jmj 6 .TheođềtacóV ABCD Æ10,mƧ60. Chọnđápán D ä Câu174. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,mặtphẳng(P)cắtbatrụcOx,Oy,Ozlần lượttại A, B, C;trựctâmtamgiác ABC là H(1;2;3).Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là A. xÅ2yÅ3z¡14Æ0. B. xÅ2yÅ3zÅ14Æ0. C. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. D. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. -Lờigiải. Domặtphẳng (P)cắtbatrụctọađộtạibađiểm A, B, C mà4ABC nhận H làmtrựctâmnên OH?(P). Vậy (P)điquađiểm H vànhậnvéc-tơ #  OHÆ(1;2;3)làmvéc-tơpháptuyến. Suyramặtphẳng (P): xÅ2yÅ3z¡14Æ0. Th.sNguyễnChínEm 414 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu175. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®) cắt các trục tọa độ tại A, B,C.Biếttrọngtâmcủatamgiác ABClàG(¡1;¡3;2).Mặtphẳng(®)songsongvớimặtphẳng nàosauđây? A. 6x¡2yÅ3z¡1Æ0. B. 6xÅ2y¡3zÅ18Æ0. C. 6xÅ2yÅ3z¡18Æ0. D. 6xÅ2y¡3z¡1Æ0. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)làgiaođiểmvớibatrụctọađộ. DoG làtrọngtâmtamgiác ABC nên ( x A Åx B Åx C Æ3x G y A Åy B Åy C Æ3y G z A Åz B Åz C Æ3z G , ( aÆ¡3 bÆ¡9 cÆ6. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (®)là x ¡3 Å y ¡9 Å z 6 Æ1,6xÅ2y¡3zÅ18Æ0. Vậymặtphẳngsongsongvới (®)trongcácđápánđãcholà 6xÅ2y¡3z¡1Æ0. Chọnđápán D ä Câu176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): mxÅ2y¡zÅ1Æ0 (m là thamsố)vàmặtcầu (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Åz 2 Æ9.Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố mđể mặtphẳng (P)cắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàđườngtròncóbánkínhbằng 2. A. mƧ1. B. mƧ2Å p 5. C. mÆ6§2 p 5. D. mƧ4. -Lờigiải. Tọa độ tâm mặt cầu là I(2;1;0), bán kính mặt cầu RÆ3. KhoảngcáchtừtâmIđến(P)làIKÆ j2mÅ3j p m 2 Å5 .Vìbán kínhđườngtròngiaotuyếnbằng 2nên 2 2 Å (2mÅ3) 2 m 2 Å5 Æ3 2 ,m 2 ¡12mÅ16Æ0,mÆ6§2 p 5. I K M Chọnđápán C ä Câu177. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;2;5), B(0;4;¡3), C(2;¡3;7). BiếtđiểmM(x 0 ;y 0 ;z 0 )nằmtrênmặtphẳng(Oxy)saocho ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯đạtgiátrịnhỏnhất. Tínhtổng PÆx 0 Åy 0 Åz 0 . A. PÆ0. B. PÆ6. C. PÆ3. D. PÆ¡3. -Lờigiải. Vì M2(Oxy)nên M(x 0 ;y 0 ;0).GọiG làtrọngtâmcủatamgiác ABC.TacóG(2;1;3). Khiđó ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  MGÅ #  GAÅ #  MGÅ #  GBÅ #  MGÅ #  GC ¯ ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯3 #  MG ¯ ¯ ¯Æ3MGÆ3 p (x 0 ¡2) 2 Å(y 0 ¡1) 2 Å3 2 ¸9. Dấu“Æ”xảyrakhi x 0 Æ2và y 0 Æ1hay M(2;1;0). Vậy PÆx 0 Åy 0 Åz 0 Æ3. Chọnđápán C ä Câu178. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(¡2;3;1) và vuônggócvớihaimặtphẳng (Q): x¡3yÅ2z¡1Æ0; (R): 2xÅy¡z¡1Æ0là A. ¡2xÅ3yÅz¡10Æ0. B. x¡3yÅ2z¡1Æ0. C. xÅ5yÅ7z¡20Æ0. D. xÅ5yÅ7zÅ20Æ0. -Lờigiải. Tacóvec-tơpháptuyếncủamặtphẳng(Q)vàmặtphẳng(R)là #  n Q Æ(1;¡3;2)và #  n R Æ(2;1;¡1). Vìmặtphẳng (P)vuônggócvớimặtphẳng (Q)vàmặtphẳng (R)nên1vec-tơpháptuyếncủa Th.sNguyễnChínEm 415 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 mặtphẳng (R)là #  n P Æ[ #  n Q , #  n R ]Æ(1;5;7). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là 1(xÅ2)Å5(y¡3)Å7(z¡1)Æ0,xÅ5yÅ7z¡20Æ0. Chọnđápán C ä Câu179. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): x¡yÅz¡7Æ0,(Q): 3xÅ2y¡12zÅ5Æ0. Phươngtrìnhmặtphẳng(R)điquagốctọađộOvàvuônggócvớihaimặtphẳngnóitrênlà A. xÅ3yÅzÆ0. B. 2xÅ3yÅzÆ0. C. xÅ2yÅzÆ0. D. 3xÅ2yÅzÆ0. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(1;¡1;1); #  n Q Æ(3;2;¡12). Mặt phẳng (R) vuông góc với hai mặt phẳng (P);(Q) nên #  n R Æ [ #  n P , #  n Q ]Æ (10;15;5)) #  n R Æ (2;3;1).Khiđómặtphẳng (R)cóphươngtrình 2xÅ3yÅzÆ0. Chọnđápán B ä Câu180. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡2;3;¡1),B(1;¡2;¡3)và(P): 3x¡2yÅz¡9Æ0. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)chứahaiđiểm A,B vàvuônggócvới (P). A. x¡5y¡2zÅ19Æ0. B. xÅy¡z¡2Æ0. C. xÅy¡zÅ2Æ0. D. 3x¡2yÅzÅ13Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡5;¡2); #  n P Æ(3;¡2;1). Mặtphẳng (Q)chứa AB vàvuônggócvới (P)nên #  n Q Æ[ #  AB, #  n P ]Æ(¡9;¡9;9). Khiđóphươngtrình (Q): ¡9(xÅ2)¡9(y¡3)Å9(zÅ1)Æ0,¡x¡yÅzÅ2Æ0,xÅy¡z¡2Æ0. Chọnđápán B ä Câu181. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có tâm I(¡1;3;0) và tiếp xúc với mặt phẳng (®): 2xÅy¡2zÅ14Æ0.Khiđómặtcầucóphươngtrìnhlà A. (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Åz 2 Æ25. B. (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ5. C. (x¡1) 2 Å(yÅ3) 2 Åz 2 Æ5. D. (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ25. -Lờigiải. Tacó RÆd(I,(®))Æ5. Vậyphươngtrình (S): (xÅ1) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ25. Chọnđápán D ä Câu182. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;¡3) và vuông góc với hai mặtphẳng (®): 2x¡yÅ4Æ0, ¡ ¯ ¢ : 3y¡zÅ5Æ0cóphươngtrìnhlà A. ¡xÅ2yÅ6zÅ15Æ0. B. xÅ2yÅ6zÅ13Æ0. C. xÅ2y¡6z¡23Æ0. D. x¡2yÅ6zÅ21Æ0. -Lờigiải. Gọimặtphẳng(P)điqua M(1;2;¡3)vàvuônggócvớihaimặtphẳng(®)và ¡ ¯ ¢ nênvéc-tơpháp tuyếncủa (P)là #  nÆ £ #  n ® , #  n ¯ ¤ Æ(1;2;6). Suyraphươngtrìnhmặtphẳng (P): xÅ2yÅ6zÅ13Æ0. Chọnđápán B ä Câu183. TrongkhônggiantọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9vàđiểm A(0;0;2).Phươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm A vàcắt(S)theothiếtdiệnlàhìnhtròn(C) diệntíchnhỏnhấtlà A. (P): xÅ2yÅ3zÅ6Æ0. B. (P): xÅ2yÅz¡2Æ0. C. (P): x¡2yÅz¡6Æ0. D. (P): 3xÅ2yÅ2z¡4Æ0. -Lờigiải. Tacó (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ3 AIÆ p 1 2 Å2 2 Å(3¡2) 2 Æ p 6ÇR)A nằmtrongmặtcầu (S). Để (P) đi qua điểm A và cắt (S) theo thiết diện là hình tròn (C) diện tích nhỏ nhất thì đường tròn (C)cóbánkínhnhỏnhất,hay d(I,(P))lớnnhất. Suyra (P)điqua A(0;0;2)vàvuônggócvới AI) #  AIÆ(1;2;1)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Vậy (P): xÅ2yÅz¡2Æ0. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 416 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu184. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6), D(1;1;1).Cótấtcảbaonhiêumặtphẳngphânbiệtđiqua 3trong 5điểmO,A,B,C,D? A. 6. B. 10. C. 7. D. 5. -Lờigiải. Tathấy3điểm A,B,C tạothànhmặtphẳngchắncáctrụctọađộcóphươngtrình: x 2 Å y 3 Å z 6 Æ1 Suyra D2(ABC).Nhưvậy4điểm A,B,C,D đồngphẳng. Màtheolýthuyết:qua3điểmphânbiệtkhôngthẳnghàngtaxácđịnhđược1mặtphẳng. Vậynênsốmặtphẳngphânbiệtđiqua 3trong 5điểmO,A,B,C,D là C 3 5 ¡3Æ7. Chọnđápán C ä Câu185. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm H(2;1;1)vàcắtcáctrụctọađộtạicác điểm A,B,C saocho H làtrựctâmcủatamgiác ABC. A. 2xÅyÅz¡6Æ0. B. 3xÅyÅ3z¡10Æ0. C. x¡yÅz¡2Æ0. D. 3x¡yÅ3z¡8Æ0. -Lờigiải. NếuOA,OB,OC đôimộtvuônggócthìtadễdàngnhậnthấy H làtrựctâmcủatamgiác ABC khivàchỉkhiOH?(ABC). Từđósuyra (P)điquađiểm H vànhậnvéc-tơ #  OHÆ(2;1;1)làmmộtvéc-tơpháptuyến. Suyramặtphẳng (P)cóphươngtrình 2(x¡2)Å1(y¡1)Å1(z¡1)Æ0hay (P): 2xÅyÅz¡6Æ0. Chọnđápán A ä Câu186. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): (xÅ3) 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ10.Mặt phẳngnàotrongcácmặtphẳngdướiđâycắtmặtcầu(S)theogiaotuyếnlàđườngtròncóbán kínhbằng 3? A. (P 1 ): xÅ2y¡2zÅ8Æ0. B. (P 2 ): xÅ2y¡2z¡8Æ0. C. (P 3 ): xÅ2y¡2z¡2Æ0. D. (P 4 ): xÅ2y¡2z¡4Æ0. -Lờigiải. (S)cótâm I(¡3;0;1),bánkínhRÆ p 10.Tacó(P)làmặtphẳngcắt(S)theogiaotuyếnlàđường tròn có bán kính r Æ 3 , d(I,(P)) Æ p R 2 ¡r 2 Æ p 10¡9 Æ 1. Mà d(I,(P 1 ))Æ j¡3Å2¢0¡2¢1Å8j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ1.Suyra (P 1 )thỏamãn. Chọnđápán A ä Câu187. Gọi (®) là mặt phẳng đi qua A(1;¡1;2) và chứa trục Ox. Điểm nào trong các điểm sauđâythuộcmặtphẳng (®)? A. M(0;4;¡2). B. N(2;2;¡4). C. P(¡2;2;4). D. Q(0;4;2). -Lờigiải. Mặtphẳng (®)chứatrục Ox)(®): byÅczÆ0 (b 2 Åc 2 6Æ0).Mà A(1;¡1;2)2(®)nên¡bÅ2cÆ0. Chọn cÆ1)bÆ2.Khiđó (®): 2yÅzÆ0.Tacó 2¢2¡4Æ0)N(2;2;¡4)2(®). Chọnđápán B ä Câu188. Trong không gian Oxyz cho hai điểm C(0;0;3) và M(¡1;3;2). Mặt phẳng (P) qua C,M đồng thời chắn trên các nửa trục dương Ox,Oy các đoạn thẳng bằng nhau. Mặt phẳng (P)cóphươngtrìnhlà A. xÅyÅ2z¡1Æ0. B. xÅyÅz¡6Æ0. C. xÅyÅz¡3Æ0. D. xÅyÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Giảsử (P)chắntrênnửatrụcdươngOx,Oycácđiểm A(a;0;0)và B(0;b;0)với a,bÈ0. TacóOAÆOB)aÆb.Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng P điqua A,B,C là (P): x a Å y a Å z 3 Æ1. Điểm M2(P)) ¡1 a Å 3 a Å 2 3 Æ1,aÆ6)(P): xÅyÅ2z¡6Æ0. Chọnđápán D ä Câu189. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 : x¡2 2 Æ y¡6 ¡2 Æ zÅ2 1 và d 2 : x¡4 1 Æ yÅ1 3 Æ zÅ2 ¡2 .Phươngtrìnhmặtphẳng(P)chứa d 1 và(P)songsongvớiđườngthẳng d 2 là A. (P): xÅ5yÅ8z¡16Æ0. B. (P): xÅ5yÅ8zÅ16Æ0. Th.sNguyễnChínEm 417 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. (P): xÅ4yÅ6z¡12Æ0. D. (P): 2xÅy¡6Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d 1 điqua A(2;6;¡2)vàcómộtvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(2;¡2;1). Đườngthẳng d 2 cómộtvéc-tơchỉphương #  u 2 Æ(1;3;¡2). Gọi #  n là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Do mặt phẳng (P) chứa d 1 và (P) song songvớiđườngthẳng d 2 nên #  nÆ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(1;5;8). Vậy phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2;6;¡2) và có một véc-tơ pháp tuyến #  n Æ(1;5;8) là xÅ5yÅ8z¡16Æ0. Chọnđápán A ä Câu190. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅ2yÅz¡12Æ0vàhaiđiểm A(5;10;21), B(1;3;16).Gọi¢làđườngthẳngđiquađiểm Ađồngthờivuônggócvớimặtphẳng(P).Khoảng cáchtừđiểm B đếnđườngthẳng¢bằng A. 3. B. 4. C. 13. D. 9. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;2;1). Vìđườngthẳng¢làđườngthẳngvuônggócvớimặtphẳng(P)nên¢cómộtvéc-tơchỉphương là #  uÆ(2;2;1))phươngtrìnhđườngthẳng¢là ( xÆ5Å2t yÆ10Å2t zÆ21Åt. (t2R). Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ¢ là d(B,¢)Æ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  u i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ ,với #  ABÆ(¡4;¡7;¡5), #  u Æ (2;2;1). Vậy d(B,¢)Æ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  u i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ3. Chọnđápán A ä Câu191. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(3;7;1), B(8;3;8) và C(¡2;5;6). Gọi (S 1 ) là mặt cầutâm A bánkínhbằng 3và (S 2 )làmặtcầutâmBbánkínhbằng 6.Hỏicótấtcảbaonhiêu mặtphẳngđiqua C vàtiếpxúcđồngthờicảhaimặtcầu (S 1 ), (S 2 )? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Lờigiải. Tacó ABÆ3 p 10. Gọi (P)làmặtphẳngđiqua C(¡2;5;6))(P): A(xÅ2)ÅB(y¡5)ÅC(z¡6)Æ0 (A 2 ÅB 2 ÅC 2 È0). Mặtphẳng (P)tiếpxúcvớihaimặtcầu (S 1 ), (S 2 )nêntacóhệ ½ d(A,(P))Æ3 d(B,(P))Æ6 , 8 > > > < > > > : ¯ ¯ 5AÅ2B¡5C ¯ ¯ p A 2 ÅB 2 ÅC 2 Æ3 ¯ ¯ 10A¡2BÅ2C ¯ ¯ p A 2 ÅB 2 ÅC 2 Æ6 , (¯ ¯ 5AÅ2B¡5C ¯ ¯ Æ3 p A 2 ÅB 2 ÅC 2 (1) ¯ ¯ 10A¡2BÅ2C ¯ ¯ Æ6 p A 2 ÅB 2 ÅC 2 ) ¯ ¯ 5AÅ2B¡5C ¯ ¯ Æ ¯ ¯ 5A¡BÅC ¯ ¯ , h 5AÅ2B¡5CÆ5A¡BÅC 5AÅ2B¡5CÆ¡5AÅB¡C , h BÆ2C BÆ¡10AÅ4C. Với BÆ2C,thayvào (1): ¯ ¯ 5A¡C ¯ ¯ Æ3 p A 2 Å5C 2 ,16A 2 ¡10AC¡44C 2 Æ0, " AÆ2C AÆ¡ 11 8 C ²Với AÆ2C,chọn CÆ1, AÆBÆ2)(P):2xÅ2yÅz¡12Æ0. ²Với AÆ¡ 11 8 C,chọn CÆ¡8, AÆ11, BÆ¡16)(P):11x¡16y¡8zÅ150Æ0. Với BÆ¡10AÅ4C,thayvào (1)tađược ¯ ¯ ¡5AÅC ¯ ¯ Æ p 101A 2 ¡80ACÅ17C 2 ,¡76A 2 Å70AC¡16C 2 Æ0, 2 6 6 4 AÆ 1 2 C AÆ 8 19 C. ²Với AÆ 1 2 C,chọn CÆ2, AÆ1, BÆ¡2)(P):x¡2yÅ2zÆ0. ²Với AÆ 8 19 C,chọn CÆ19, AÆ8, BÆ¡4)(P):8x¡4yÅ19z¡78Æ0. Vậycó 4mặtphẳngthỏayêucầubàitoán. Th.sNguyễnChínEm 418 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu192. Cho tam giác ABC không vuông, trong hệ trục tọa độ Oxyz với hai mặt phẳng có phương trình (P): x¢cosAÅy¢cosBÅz¢cosC¡1Æ0, (Q): x¢tanA¡y¢sinC¡z¢sinB¡1Æ0. Tìm mệnhđềđúng? A. (P)Ò(Q). B. (P)´(Q). C. (P)?(Q). D. M(cosA;cosB;cosC)2(P)\(Q). -Lờigiải. Xét #  n P Æ(cosA;cosB;cosC)và #  n Q Æ(tanA;¡sinC;¡sinB).Khiđó #  n P ¢ #  n Q ÆcosA¢tanAÅcosB¢(¡sinC)ÅcosC¢(¡sinB)ÆsinA¡sin(BÅC)ÆsinA¡sinAÆ0. Vậy, (P)?(Q). Chọnđápán C ä Câu193. TrongkhônggianOxyzchocácmặtphẳng(P): x¡yÅ2zÅ1Æ0,(Q): 2xÅyÅz¡1Æ0. Gọi(S)làmặtcầucótâmthuộctrụchoành,đồngthời(S)cắtmặtphẳng(P)theogiaotuyếnlà mộtđườngtròncóbánkínhbằng2và(S)cắtmặtphẳng(Q)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròn cóbánkínhbằng r.Xácđịnh r saochochỉcóđúngmộtmặtcầu (S)thỏamãnyêucầu. A. rÆ 3 p 2 2 . B. rÆ p 2. C. rÆ É 3 2 . D. rÆ p 3. -Lờigiải. Gọi R, I(m;0;0)lầnlượtlàbánkính,tâmcủamặtcầu; d 1 , d 2 lầnlượtlàkhoảngcáchtừ I đến mặtphẳng (P), (Q). Từđótacó R 2 Æd 2 1 Å4Æd 2 2 År 2 ,suyra (mÅ1) 2 1 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Å4Æ (2m¡1) 2 2 2 Å1 2 Å1 2 År 2 ,m 2 Å2mÅ1Å16Æ4m 2 ¡4mÅ1Å6r 2 ,3m 2 ¡6mÅ(6r 2 ¡16)Æ0 ,m 2 ¡2mÅ(2r 2 ¡8)Æ0 (¤) Đểtồntạiđúngmộtmặtcầutươngđươngphươngtrình (¤)cóđúngmộtnghiệm mhay ¢ 0 Æ1 2 ¡(2r 2 ¡8)Æ0,r 2 Æ 9 2 )rÆ 3 p 2 2 . Vậytacó rÆ 3 p 2 2 . Chọnđápán A ä Câu194. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (®)điquađiểm M(1;2;1)vàcắtcáctia Ox, Oy, Oz lầnlượttại A, B, C saochođộdàiOA, OB, OC theothứtựlậpthànhmộtcấpsốnhân cócôngbộibằng 2.TínhkhoảngcáchtừgốctọađộO đếnmặtphẳng (®). A. 4 p 21 . B. p 21 21 . C. 3 p 21 7 . D. 9 p 21. -Lờigiải. Giảsử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a, b, cÈ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (®)códạng x a Å y b Å z c Æ1. Tacó (®)điquađiểm M(1;2;1)nêntacó 1 a Å 2 b Å 1 c Æ1. (¤) VìOA,OB,OCtheothứtựlậpthànhmộtcấpsốnhâncócôngbộibằng2nên cÆ2bÆ4a.Thay vào (¤),tađược 1 a Å 2 2a Å 1 4a Æ1, 9 4a Æ1,aÆ 9 4 . Suyraphươngtrìnhmặtphẳng (®)là x 1 Å y 2 Å z 4 Æ 9 4 ,4xÅ2yÅz¡9Æ0. Vậy d(O,(®))Æ j¡9j p 4 2 Å2 2 Å1 2 Æ 3 p 21 7 . Th.sNguyễnChínEm 419 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu195. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;¡3), B(2;0;¡1) và mặtphẳng(P): 3x¡8yÅ7z¡1Æ0ĐiểmC(a;b;c)làđiểmnằmtrênmặtphẳng(P),cóhoànhđộ dươngđểtamgiác ABC đều.Tính a¡bÅ3c. A. ¡7. B. ¡9. C. ¡5. D. ¡3. -Lờigiải. Gọi (Q)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB,tacó (Q)điquađiểm I(1;0;¡2)làtrung điểmcủa AB vànhận #  IBÆ(1;0;1)làmvéc-tơpháptuyếnnên (Q)cóphươngtrìnhlà 1(x¡1)Å0(y¡0)Å1(zÅ2)Æ0,xÅzÅ1Æ0. Gọi d làgiaotuyếncủahaimặtphẳng (P)và (Q).Khiđó d điquađiểm M(0;¡1;¡1)vàcómột véc-tơchỉphương #  uÆ £ #  n (P) , #  n (Q) ¤ Æ(2;¡1;¡2)nên d cóphươngtrìnhlà ( xÆ2t yÆ¡1¡t zÆ¡1¡2t (t2R). Tacó C2d)C(2t;¡1¡t;¡1¡2t). Tamgiác ABC đềukhivàchỉkhi ABÆAC , p (2t) 2 Å(¡1¡t) 2 Å(2¡2t) 2 Æ2 p 2 ,9t 2 ¡6t¡3Æ0 , " tÆ1 tÆ¡ 1 3 )C(2;¡2;¡3). Vậy a¡bÅ3cÆ¡5. Chọnđápán C ä Câu196. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(¡3;1;4) và gọi A, B, C lần lượtlàhìnhchiếucủa M trêncáctrụcOx,Oy,Oz.Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrình củamặtphẳngsongsongvớimặtphẳng (ABC)? A. 4x¡12y¡3zÅ12Æ0. B. 3xÅ12y¡4zÅ12Æ0. C. 3xÅ12y¡4z¡12Æ0. D. 4x¡12y¡3z¡12Æ0. -Lờigiải. Tacó A(¡3;0;0), B(0;1;0), C(0;0;4).Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là: x ¡3 Å y 1 Å z 4 Æ1,4x¡12y¡3zÅ12Æ0. Do đó, trong các mặt phẳng đã cho, chỉ có mặt phẳng có phương trình 4x¡12y¡3z¡12Æ0 là songsongvớimặtphẳng (ABC). Chọnđápán D ä Câu197. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(2;4;1), B(¡1;1;3)vàmặt phẳng (P): x¡3yÅ2z¡5Æ0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)códạnglà axÅbyÅcz¡11Æ0.Tính aÅbÅc. A. aÅbÅcÆ10. B. aÅbÅcÆ3. C. aÅbÅcÆ5. D. aÅbÅcÆ¡7. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;¡3;2)vàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n P Æ(1;¡3;2). Mặtphẳng (Q)điquahaiđiểm A, Bvàvuônggócvớimặtphẳng (P)cómộtvéc-tơchỉphương là #  n Q Æ h #  AB, #  n P i Æ(0;8;12)Æ4(0;2;3). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)là 0¢(x¡2)Å2¢(y¡4)Å3¢(z¡1)Æ0. Hay (Q): 2yÅ3z¡11Æ0.Từđósuyra aÆ0, bÆ2, cÆ3.Dođó aÅbÅcÆ0Å2Å3Æ5. Chọnđápán C ä Câu198. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;3;¡2),B(¡3;7;¡18)vàmặtphẳng(P): 2x¡ yÅzÅ1Æ0.Điểm M(a;b;c)thuộc(P)saochomặtphẳng(ABM)?(P)và MA 2 ÅMB 2 Æ246.Tính SÆaÅbÅc. A. 0. B. ¡1. C. 10. D. 13. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 420 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Từgiảthiết (ABM)?(P)suyra M thuộc d làhìnhchiếucủađườngthẳng AB trên (P). Véc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ h #  n P , h #  AB, #  n P ii Æ(36;0;¡72)Æ36(1;0;¡2). Đườngthẳngqua A vuônggócvới (P): xÅ1 2 Æ y¡3 ¡1 Æ zÅ2 1 ,cắt (P)tại A 0 (1;2;¡1). Suyraphươngtrình d: ( xÆ1Åt yÆ2 zÆ¡1¡2t. Gọi M(1Åt;2;¡1¡2t),theobàiratacó MA 2 ÅMB 2 Æ246nên (1ÅtÅ1) 2 Å(2¡3) 2 Å(¡1¡2tÅ2) 2 Å(1ÅtÅ3) 2 Å(2¡7) 2 Å(¡1¡2tÅ18) 2 Æ246,tÆ3. Khiđó M(4;2;¡7),vậy aÅbÅcÆ¡1. Chọnđápán B ä Câu199. Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4z¡11Æ0vàmặtphẳng (®):xÅy¡zÅ3Æ0.Biếtmặtcầu(S)cắtmặtphẳng(®)theogiaotuyếnlàđườngtròn(T ).Tính chuvicủađườngtròn (T ). A. 2¼. B. 4¼. C. ¼. D. 6¼. -Lờigiải. Tacó (S):(x¡1) 2 Åy 2 Å(zÅ2) 2 Æ16 )(S)cótâm I(1;0;¡2)vàbánkính RÆ4. Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng (®)là dÆd(I,(®))Æ j1Å0Å2Å3j p 3 Æ2 p 3. Gọi r làbánkínhcủađườngtròn (T ) )rÆ p R 2 ¡d 2 Æ p 16¡12Æ2. Chuviđườngtròn (T )là 2¼rÆ4¼. I Chọnđápán B ä Câu200. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(2;0;0),M(1;1;1).Gọi (P)làmặtphẳngthayđổi qua A,M vàcắtcáctrục Oy,Oz lầnlượttại B(0;b;0),C(0;0;c)với bÈ0,cÈ0.Khidiệntíchtam giác ABC nhỏnhất,hãytínhgiátrịcủatích bc. A. bcÆ8. B. bcÆ64. C. bcÆ2. D. bcÆ16. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P): x 2 Å y b Å z c Æ1. Điểm M(1;1;1)2(P)) 1 2 Å 1 b Å 1 c Æ1,bÅcÆ 1 2 bc¸2 p bc) p bc¸4,bc¸16. Tacó #  ABÆ(¡2;b;0), #  ACÆ(¡2;0;c)) h #  AB, #  AC i Æ(bc;2c;2b). S ¢ABC Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p b 2 c 2 Å4b 2 Å4c 2 Æ 1 2 p 2b 2 c 2 ¡8bc. Vì bc¸16)2b 2 c 2 ¡8bc¸256)S ¢ABC ¸8. Vậydiệntíchtamgiác ABC nhỏnhấtkhi bcÆ16. Chọnđápán D ä Câu201. Mặt cầu (S) có tâm là điểm A(2;2;2), mặt phẳng (P):2xÅ2yÅzÅ8Æ0 cắt mặt cầu (S)theothiếtdiệnlàđườngtròncóbánkính rÆ8.Diệntíchcủamặtcầu (S)là A. 20¼. B. 200¼. C. 10¼. D. 400¼. -Lờigiải. Tacó d(A,(P))Æ j4Å4Å2Å8j p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ6, R 2 Æd 2 (A,(P))År 2 Æ100. Vậydiệntíchcủamặtcầu (S)là SÆ4¼R 2 Æ400¼. Chọnđápán D ä Câu202. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobốnđiểm A(¡1;¡2;1),B(¡4;2;¡2),C(¡1;¡1;¡2), D(¡5;¡5;2).Tínhkhoảngcáchtừđiểm D đếnmặtphẳng (ABC). A. dÆ 20 p 19 . B. dÆ 18 p 19 . C. dÆ3 p 3. D. dÆ4 p 3. Th.sNguyễnChínEm 421 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;4;¡3), #  ACÆ(0;1;¡3))[ #  AB, #  AC]Æ(¡9;¡9;¡3). Mặtphẳng (ABC)điqua A(¡1;¡2;1)vànhận #  nÆ(3;3;1)làvéc-tơpháptuyếncóphươngtrình tổngquátlà 3xÅ3yÅzÅ8Æ0. Khiđó dÆd(D,(ABC))Æ j¡15¡15Å2Å8j p 3 2 Å3 3 Å1 2 Æ 20 p 19 . Chọnđápán A ä Câu203. Tronghệtụctoạđộkhônggian Oxyz,cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c),biết b,cÈ0, phươngtrìnhmặtphẳng (P): y¡zÅ1Æ0.Tính MÆbÅc biết (ABC)?(P), d(O;(ABC))Æ 1 3 A. 2. B. 1 2 . C. 5 2 . D. 1. -Lờigiải. Tacó (ABC): x 1 Å y b Å z c Æ1)(ABC): bcxÅcyÅbz¡bcÆ0. (ABC)và (P)cóvéc-tơpháptuyếnlầnlượtlà #  n 1 Æ(bc;c;b), #  n 2 Æ(0;1;¡1). Vì (P)?(ABC)nên c¡bÆ0,bÆc. Theogiảthiết d(O;(ABC))Æ 1 3 , j¡bcj p b 2 c 2 Åc 2 Åb 2 Æ 1 3 ,3b 2 Æ p b 4 Å2b 2 ,3b 2 Æb p b 2 Å2 ,3bÆ p b 2 Å2,9b 2 Æb 2 Å2,bÆ 1 2 (vì bÈ0).Suyra cÆ2. Vậy MÆbÅcÆ1. Chọnđápán D ä Câu204. Trongkhônggianvớitọađộ Oxyz cho A(2;¡3;0)vàmặtphẳng (®): xÅ2y¡zÅ3Æ0. Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho (P) vuông góc với (®) và (P) song song với trụcOz? A. yÅ2zÅ3Æ0. B. 2xÅy¡1Æ0. C. xÅ2y¡zÅ4Æ0. D. 2x¡y¡7Æ0. -Lờigiải. Vì (P)?(®)nên #  n P ? #  n ® và (P)ÒOz nên #  n P ? #  k.Chọn #  n P Æ[ #  n ® , #  k]Æ(2;¡1;0). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2x¡y¡7Æ0. Chọnđápán D ä Câu205. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S)cótâm I(1;1;3)vàmặtphẳng (P) có phương trình 2xÅyÅ2zÅ3Æ0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là mộtđườngtrònbánkínhbằng 3.Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S). A. (S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡3) 2 Æ5. B. (S): (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ25. C. (S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. D. (S): (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ5. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa I lên (P),khiđótacó IHÆd(I,(P))Æ j2Å1Å6Å3j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ4. Mặtkháctacó R 2 ÆIH 2 År 2 Æ25 Nênphươngtrìnhmặtcầulà (S):(x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. Chọnđápán C ä Câu206. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;¡2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25.Mặtphẳng(P): axÅbyÅczÅdÆ0(vớia, b, clàcácsốnguyên dươngvà a, b, c, d nguyêntốcùngnhau)điqua A, B vàcắt (S)theogiaotuyếnlàđườngtròn cóbánkínhnhỏnhất.Tínhtổng TÆaÅbÅc. A. TÆ3. B. TÆ5. C. TÆ4. D. TÆ2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 422 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Ta có #  AB Æ (¡3;3;¡6) cùng phương với véc-tơ #  u Æ (1;¡1;2)) phươngtrìnhđườngthẳng AB: ( xÆt yÆ1¡t zÆ2t . Xétmặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25)I(1;2;3)vàRÆ5. Gọi H(t;1¡t;2t) là điểm trên AB sao cho AB ? IH ) #  IH Æ (t¡1;¡t¡1;2t¡3). Vì AB? IH ) t¡1ÅtÅ1Å4t¡6Æ 0) tÆ 1) H(1;0;2), #  IH Æ (0;¡2;¡1). Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hìnhchiếuvuônggóccủa I lên (P))IK·IH. Tacó rÆ p R 2 ¡IK 2 ¸ p R 2 ¡IH 2 . Dấubằngchỉxảyrakhi K´H. Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (P)nhận #  IHÆ(0;¡2;¡1)làvéc- tơpháptuyếnvàđiquađiểm H(1;0;2)là 2yÅz¡2Æ0)TÆ3. I K H Chọnđápán A ä Câu207. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm H(1;2;¡2).Gọi (P)làmặtphẳngđiqua H vàcắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. ViếtphươngtrìnhmặtcầutâmO vàtiếpxúcvới (P). A. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ9. B. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ25. C. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ81. D. x 2 Åy 2 Åz 2 Æ3. -Lờigiải. Vì H làtrựctâmtamgiác ABC nên AH?BC, CH?AB ) n AB?(OHC) BC?(AHO) ) n (ABC)?(OHC) (ABC)?(AHO) )OH?(ABC). Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính)phươngtrìnhmặtcầulà x 2 Åy 2 Åz 2 Æ9. C B H A O Chọnđápán A ä Câu208. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).Sốđiểmcáchđều bốnmặtphẳng (ABC), (BCO), (COA), (OAB)là A. 2. B. 4. C. 1. D. 8. -Lờigiải. Gọi I(m;n;p) là điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho. Dễ thấy các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) lần lượt là các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx). Mặt phẳng (ABC) có phương trình tổng quátlà xÅyÅzÆ1.Do I cáchđềucácmặtphẳngnàynêntacó jmjÆjnjÆjpjÆ jmÅnÅp¡1j p 3 . (1) Tacócáctrườnghợp 1 Trườnghợp1. mÆnÆp. Khiđó (1)tươngđương jmjÆ j3m¡1j p 3 ,mÆ 3§ p 3 6 . Tađượchaiđiểmthỏamãnbàitoán. 2 Trườnghợp2.Trongbasố m, n, p cóhaisốbằngnhauvàbằngsốđốicủasốcònlại. Khi đó, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử mÆnÆ¡p (các trường hợp còn lại tươngtự)và (1)tươngđương jmjÆ jm¡1j p 3 ,mÆ ¡1§ p 3 2 . Tađượchaiđiểmthỏamãnbàitoán. Th.sNguyễnChínEm 423 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậysốđiểmcáchđềubốnmặtphẳngđãcholà 2Å2¢3Æ8. Chọnđápán D ä Câu209. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;2;3).Gọi (P)làmặtphẳngđiquađiểm M và cáchgốctọađộ O mộtkhoảngcáchlớnnhất,khiđómặtphẳng (P)cắtcáctrụctọađộtạicác điểm A,B,C.TínhthểtíchV củakhốichópO.ABC. A. VÆ 1372 9 . B. VÆ 686 9 . C. VÆ 524 3 . D. VÆ 343 9 . -Lờigiải. Tacó #  OMÆ(1;2;3).Theođềbàimặtphẳng (P)qua M(1;2;3)vàcáchgốctọađộ O mộtkhoảng cáchlớnnhấtnênOM?(P)hayvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  OMÆ(1;2;3). Suyra (P): 1(x¡1)Å2(y¡2)Å3(z¡3)Æ0 , xÅ2yÅ3z¡14Æ0 , x 14 Å y 7 Å z 14 3 Æ1. Dođó (P)cắtcáctrụctọađộlầnlượttại A(14;0;0), B(0;7;0)và C µ 0;0; 14 3 ¶ . VậyV OABC Æ 1 6 OA¢OB¢OCÆ 1 6 ¢14¢7¢ 14 3 Æ 686 9 . Chọnđápán B ä Câu210. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): 2xÅy¡2zÅ10Æ0vàmặt cầu (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡3) 2 Æ25 cắt nhau theo giao tuyến đường tròn (C). Gọi V 1 là thể tíchkhốicầu (S),V 2 làthểtíchkhốinón (N)cóđỉnhlàgiaođiểmcủađườngthẳngđiquatâm mặtcầu(S)vàvuônggócvớimặtphẳng (P),đáylàđườngtròn(C).Biếtđộdàiđườngcaokhối nón (N)lớnhơnbánkínhcủakhốicầu (S).Tínhtỉsố V 1 V 2 . A. V 1 V 2 Æ 125 32 . B. V 1 V 2 Æ 125 8 . C. V 1 V 2 Æ 125 96 . D. V 1 V 2 Æ 375 32 . -Lờigiải. O S I R r P Mặtcầu (S)cótâm I(2;1;3)vàbánkính RÆ5,khoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng (P)là dÆd(I;(P))Æ j4Å1¡6Å10j 3 Æ3. Bánkínhđườngtròn (C)là rÆ p R 2 ¡d 2 Æ4. Thểtíchkhốicầu (S)là V 1 Æ 4 3 ¼R 3 Æ 500¼ 3 . Th.sNguyễnChínEm 424 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chiềucaohìnhnónlà hÆRÅdÆ8.Thểtíchkhốinónlà V 2 Æ 1 3 ¼r 2 hÆ 128¼ 3 . Vậy V 1 V 2 Æ 125 32 . Chọnđápán A ä Câu211. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;¡1) và mặt phẳng (P): xÅy¡z¡3Æ0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I nằm trên mặt phẳng P, đi qua điểm A và gốc tọa độO saochodiệntíchtamgiácOIA bằng p 17 2 .Tínhbánkính R củamặtcầu (S). A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. -Lờigiải. Gọi H làtrungđiểmcủaOA.TacóOAÆ p 2,OHÆ p 2 2 ,mặtkhác S OIA Æ 1 2 OA¢IH)IHÆ 2S OIA OA Æ É 17 2 . Từđótatínhđượcbánkínhmặtcầulà RÆOIÆ p OH 2 ÅIH 2 Æ3. Chọnđápán C ä Câu212. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chocácđiểm A(¡1;¡2;0),B(0;¡4;0),C(0;0;¡3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C? A. (P): 2x¡yÅ3zÆ0. B. (P): 6x¡3yÅ5zÆ0. C. (P): 2x¡y¡3zÆ0. D. (P): ¡6xÅ3yÅ4zÆ0. -Lờigiải. Vì (P) đi qua O nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng axÅbyÅczÆ0 (a 2 Åb 2 Åc 2 È0). Vì A2(P)và B, C cáchđều (P)nên n ¡a¡2bÆ0 j4bjÆj3cj Chọn aÆ¡6,tacó bÆ3,suyra cƧ4.Vậycóhaimặtphẳngthỏamãnlà¡6xÅ3y¡4zÆ0hoặc ¡6xÅ3yÅ4zÆ0. Chọnđápán D ä Câu213. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có điểm A trùng với gốc tọa độ O, B(a;0;0), D(0;a;0), A 0 (0;0;b) (aÈ0, bÈ0). Gọi M là trung điểmcủacạnhCC 0 .Giátrịcủatỉsố a b đểhaimặtphẳng(A 0 BD)và(MBD)vuônggócvớinhau là A. 1 3 . B. 1. C. 2. D. 1 2 . -Lờigiải. Gọi K làtrungđiểmcủa BD.Do A 0 BÆA 0 D nên A 0 K?BD.Lại có MBÆMD nên MK?BD. (A 0 BD)?(MBD)nên A 0 K?MK. Tacó K ³ a 2 ; a 2 ;0 ´ , M µ a;a; b 2 ¶ . Khiđó #  A 0 KÆ ³ a 2 ; a 2 ;¡b ´ , #  MKÆ µ ¡ a 2 ;¡ a 2 ;¡ b 2 ¶ . A 0 K?MK , #  A 0 K¢ #  MKÆ0,¡ a 2 4 ¡ a 2 4 Å b 2 2 Æ0 , a 2 2 Æ b 2 2 ,a 2 Æb 2 , a b Æ1.(vì aÈ0,bÈ0) D 0 C 0 C K A B 0 M x y z O D(0;a;0) B(a;0;0) A 0 (0;0;b) Th.sNguyễnChínEm 425 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu214. Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (®) đi qua M(1;¡3;8) và chắn trên tia Oz một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia Ox và Oy. Giả sử (P): axÅbyÅczÅdÆ0,với a,b,c,d làcácsốnguyênvà d6Æ0.Tính SÆ aÅbÅc d . A. SÆ¡ 5 4 . B. SÆ 5 4 . C. SÆ3. D. SÆ¡3. -Lờigiải. Từgiảthiết,tasuyracácgiaođiểmcủa (®)vớicáctiaOx,Oy,Oylầnlượtlà A(a;0;0),B(0;a;0) vàC(0;0;2a),với aÈ0.Suyraphươngtrình(đoạnchắn)của (®)là x a Å y a Å z 2a Æ1.Do (®)điqua M nên aÆ2.Suyra (®): 2xÅ2yÅz¡4Æ0.Từđó,tatínhđược SÆ aÅbÅc d Æ 2Å2Å1 ¡4 Æ¡ 5 4 . Chọnđápán A ä Câu215. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(¡1;4;2) và tiếp xúc mặt phẳng (P): ¡2xÅ2yÅzÅ15Æ0.Khiđóphươngtrìnhcủamặtcầu (S)là A. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ9. B. (x¡1) 2 Å(yÅ4) 2 Å(zÅ2) 2 Æ81. C. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. D. (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ81. -Lờigiải. Bánkínhcủamặtcầu (S)là RÆd(I,(P))Æ j¡2¢(¡1)Å2¢4Å2Å15j p (¡2) 2 Å2 2 Å1 2 Æ 27 3 Æ9. Vậymặtcầu (S)cótâmlà I(¡1;4;2)vàcóbánkính RÆ9nêncóphươngtrình (xÅ1) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡2) 2 Æ81. Chọnđápán D ä Câu216. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoạitiếptamgiác ABC? A. (P): xÅy¡zÅ1Æ0. B. (P): xÅyÅz¡3Æ0. C. (P): x¡y¡zÅ1Æ0. D. (P): xÅ2yÅz¡4Æ0. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).Xéttamgiác ABC có AB 2 Æa 2 Åb 2 , AC 2 Æa 2 Åc 2 , BC 2 Æb 2 Åc 2 . Khiđó cos b AÆ AC 2 ÅAB 2 ¡BC 2 2AB¢AC Æ a 2 AB¢AC È0 suy ra góc A nhọn. Chứng minh tương tự ta được góc b B, b C nhọn. Do đó, tam giác ABC có ba gócnhọn. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)qua A, B, C códạng x a Å y b Å z c Æ1. Tacó (P)qua I suyra 1 a Å 1 b Å 1 c Æ1.Suyra a, b, c lớnhơn 1. Xéttamgiác ABC có IAÆIBÆIC mà a, b, cÈ1.Dođó aÆbÆc suyratamgiác ABC đềuhay I làtrựctâmcủatamgiác ABC khiđóOI vuônggóc (ABC). Tacó #  OIÆ(1;1;1)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Suyramặtphẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0. Chọnđápán B ä Câu217. Cho hai điểm A(1;¡2;3), B(¡1;0;1) và mặt phẳng (P): xÅyÅzÅ4Æ0. Phương trình mặtcầu(S)cóbánkínhbằng AB 6 cótâmthuộcđườngthẳng ABvà(S)tiếpxúcvớimặtphẳng (P)là A. (x¡4) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡2) 2 Æ 1 3 . B. 2 6 6 4 (x¡4) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡2) 2 Æ 1 3 (x¡6) 2 Å(yÅ5) 2 Å(z¡4) 2 Æ 1 3 . Th.sNguyễnChínEm 426 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. (xÅ4) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ 1 3 . D. 2 6 6 4 (xÅ4) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ 1 3 (xÅ6) 2 Å(y¡5) 2 Å(zÅ4) 2 Æ 1 3 . -Lờigiải. #  ABÆ(¡2;2;¡2)suyra AB: ( xÆ1¡2t yÆ¡2Å2t zÆ3¡2t. Tacóbánkính RÆ AB 6 Æ 2 p 3 6 Æ p 3 3 . Tâm I thuộc AB suyra I(1¡2t,¡2Å2t,3¡2t). Mặtphẳng (P)tiếpxúcmặtcầunên d(I,(P))ÆR , j(1¡2t)Å(¡2Å2t)Å(3¡2t)Å4j p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3 3 ,j6¡tjÆ1 , · 6¡2tÆ1)2tÆ5)I(¡4;3;¡2) 6¡2tÆ¡1)2tÆ7)I(¡6;5;¡4) Tacóphươngtrìnhđườngtròn (C)tâm I(¡4;3;¡2),bánkính RÆ p 3 3 là (xÅ4) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ 1 3 . Phươngtrìnhđườngtròn (C)tâm I(¡6;5;¡4),bánkính RÆ p 3 3 là (xÅ6) 2 Å(y¡5) 2 Å(zÅ4) 2 Æ 1 3 . Chọnđápán D ä Câu218. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(1;2;3),B(1;0;¡1)vàC(2;¡1;2).ĐiểmDthuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng 3 p 30 10 có tọa độ là A. (0;0;1). B. (0;0;3). C. (0;0;2). D. (0;0;4). -Lờigiải. Tacó D thuộctiaOz nên D(0;0;d)với dÈ0. Tính #  ABÆ(0;¡2;¡4)và #  ACÆ(1;¡3;¡1). Mặtphẳng (ABC): ( cóvéc-tơpháptuyến #  n (ABC) Æ h #  AB, #  AC i Æ(¡10;¡4;2) điquađiểm A(1;2;3). )(ABC): ¡10(x¡1)¡4(y¡2)Å2(z¡3)Æ0,5xÅ2y¡y¡6Æ0. Tacó d[D,(ABC)]Æ 3 p 30 10 , jdÅ6j p 30 Æ 3 p 30 10 ,jdÅ6jÆ9, · dÆ3(nhận) dÆ¡15(loại) . Vậy D(0;0;3). Chọnđápán B ä Câu219. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng(Q): xÅyÅzÅ3Æ0,cáchđiểm M(3;2;1)mộtkhoảngbằng3 p 3biếtrằngtồntạimộtđiểm X(a;b;c)trênmặtphẳngđóthỏamãn aÅbÅcÇ¡2? A. 1. B. Vôsố. C. 2. D. 0. -Lờigiải. Mặtphẳngsongsongvới (Q)códạng (P): xÅyÅzÅmÆ0(m6Æ3)mà d(M,(P))Æ j3Å2Å1Åmj p 3 Æ3 p 3, h mÆ3 (loại) mÆ¡15. Th.sNguyễnChínEm 427 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Với mÆ¡15thìvớimọi X(a;b;c)2(P)tacó aÅbÅc¡15Æ0,aÅbÅcÆ15È¡2.Dođókhôngcó mặtphẳngnàothỏamãnđềbài. Chọnđápán D ä Câu220. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,cÈ0.Biếtrằng(ABC)điquađiểm M µ 1 7 ; 2 7 ; 3 7 ¶ vàtiếpxúcvớimặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å (z¡3) 2 Æ 72 7 .Tính 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 . A. 14. B. 1 7 . C. 7. D. 7 2 . -Lờigiải. Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrình x a Å y b Å z c Æ1. Tacó M µ 1 7 ; 2 7 ; 3 7 ¶ 2(ABC)nên 1 a Å 2 b Å 3 c Æ7. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ É 72 7 .Mà (ABC)tiếpxúcvới (S)nên d(I,(ABC))ÆR, ¯ ¯ 1 a Å 2 b Å 3 c ¡1 ¯ ¯ É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ É 72 7 , 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 7 2 . Chọnđápán D ä Câu221. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,cho M(2;0;0), N(1;1;1).Mặtphẳng (P)thayđổiqua M, N cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) (bÈ0,cÇ0). Hệ thức nào dưới đây là đúng? A. bcÆ2(bÅc). B. bcÆ 1 b Å 1 c . C. bÅcÆbc. D. bcÆb¡c. -Lờigiải. Cách1. Tacó #  MNÆ(¡1;1;1), #  MBÆ(¡2;b;0), #  MCÆ(¡2;0;c). Bốnđiểm M, N, B, C đềuthuộc (P)nêncácvéc-tơ #  MN, #  MB, #  MC đồngphẳng. Suyra h #  MB, #  MC i ¢ #  BCÆ0,¡bcÅ2cÅ2bÆ0,bcÆ2(bÅc). Cách2. Tacóphươngtrìnhmặtphẳng (P): x 2 Å y b Å z c Æ1. Mặtphẳng (P)qua N(1;1;1)nên 1 2 Å 1 b Å 1 c Æ1,bcÆ2(bÅc). Chọnđápán A ä Câu222. Trong không gian Oxyz, cho A(0;0;¡3), B(2;0;¡1) và (P): 3x¡8yÅ7z¡1Æ0. Có bao nhiêuđiểm C trênmặtphẳng (P)saocho4ABC đều? A. Vôsố. B. 1. C. 3. D. 2. -Lờigiải. 4ABC đềunênCAÆCBÆAB.SuyraC thuộcđườngtrònlàgiaocủamặtcầutâm A điquaB vàmặtcầutâm B điqua A. Đườngtrònnàylàđườngtròntâm I(1;0;¡2)vàcóbánkính RÆ AB p 3 2 Æ p 6. Cuốicùngvì C thuộc (P)nên C làgiaocủađườngtròntrênvà (P). Tachỉcầnsosánh d(I,(P))và R.Tacó d(I,(P))Æ j3¢1¡8¢0Å7¢(¡2)¡1j p 3 2 Å8 2 Å7 2 Æ 12 p 122 ÇR nênsẽcó2 điểm C thỏabàitoán. Chọnđápán D ä Câu223. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyzchohaimặtcầu(S 1 ):x 2 Åy 2 Åz 2 Å4xÅ2yÅ zÆ0; (S 2 ):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡y¡zÆ0 cắt nhau theo một đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng Th.sNguyễnChínEm 428 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 (P).Chocácđiểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3).Cóbaonhiêumặtcầutâmthuộc (P)vàtiếpxúc vớicảbađườngthẳng AB,BC,CA? A. 4mặtcầu. B. 2mặtcầu. C. 3mặtcầu. D. 1mặtcầu. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử x 2 ,y 2 ,z 2 trong phương trình hai mặtcầutađược 6xÅ3yÅ2zÆ0. Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡6Æ0.Dođó (P)Ò(ABC). Mặtcầu (S)tiếpxúcvớicảbađườngthẳng AB,BC,CA sẽgiaovớimặtphẳng (ABC)theomột đườngtròntiếpxúcvớibađườngthẳng AB,BC,CA. Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB,BC,CA đó là đường trònnộitiếptamgiác ABC vàbađườngtrònbàngtiếpcácgóc A,B,C. Dođócó 4mặtcầucótâmnằmtrên (P)vàtiếpxúcvớicảbađườngthẳng AB,BC,CA. Tâmcủa4mặtcầulàhìnhchiếucủatâm4đườngtròntiếpxúcvớibađườngthẳng AB,BC,CA lênmặtphẳng (P). Chọnđápán A ä Câu224. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P):axÅbyÅcz¡27Æ0 đi qua hai điểm A(3;2;1), B(¡3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3xÅyÅzÅ4Æ 0. Tính tổng SÆaÅbÅc. A. SÆ¡12. B. SÆ2. C. SÆ¡4. D. SÆ¡2. -Lờigiải. Từgiảthiếttacóhệ ( 3aÅ2bÅc¡27Æ0 ¡3aÅ5bÅ2c¡27Æ0 3aÅbÅcÆ0 , ( aÆ6 bÆ27 cÆ¡45 . Vìvậytacó SÆaÅbÅcÆ¡12. Chọnđápán A ä Câu225. TrongkhônggianvớihệtrụctoạđộOxyz,chođiểm M thoảmãnOMÆ7.Biếtrằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz), (Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặtphẳng (Oxy). A. 12. B. 5. C. 2. D. 6. -Lờigiải. (Oxz): yÆ0, (Oyz): xÆ0. Giảsử M(a;b;c)tacó ( OMÆ7 d(M,(Oxz))Æ2 d(M,(Oyz))Æ3 , 8 < : a 2 Åb 2 Åc 2 Æ49 b 2 Æ4 a 2 Æ9 )c 2 Æ36. Mà d(M,(Oxy))Æ p c 2 Æ6. Chọnđápán D ä Câu226. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chohaiđiểm A(¡1;2;4)vàB(0;1;5).Gọi (P)là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đếnmặtphẳng (P)bằngbaonhiêu? A. dÆ¡ p 3 3 . B. dÆ p 3. C. dÆ 1 3 . D. dÆ 1 p 3 . -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa B lên (P)tacó BH·BA,dấubằngxảyrakhivàchỉkhi H´A.Từđó suy ra khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi (P)?AB nên (P) nhận #  ABÆ(1;¡1;1) làmvéc-tơpháptuyến,suyra (P):x¡yÅz¡1Æ0.Từđótacó d(O,(P))Æ 1 p 3 . Chọnđápán D ä Câu227. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ6y¡4z¡2Æ0vàmặtphẳng (®):xÅ4yÅz¡11Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) song song với giá của véc-tơ #  v Æ(1;6;2),vuônggócvới (®)vàtiếpxúcvới (S). A. · (P): x¡2yÅzÅ3Æ0 (P): x¡2yÅz¡2Æ0 . B. · (P): 3xÅyÅ4zÅ1Æ0 (P): 3xÅyÅ4z¡2Æ0 . C. · (P): 4x¡3y¡zÅ5Æ0 (P): 4x¡3y¡z¡27Æ0 . D. · (P): 2x¡yÅ2zÅ3Æ0 (P): 2x¡yÅ2z¡21Æ0 . Th.sNguyễnChínEm 429 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡3;2)vàbánkính RÆ4.véc-tơpháptuyếncủa (®)là #  n ® Æ(1;4;1). Theogiảthiết,suyra (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ[ #  v, #  n ® ]Æ(2;¡1;2). Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)códạng 2x¡yÅ2zÅDÆ0. Vì (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)nêntacó d(I,(P))ÆR, j2Å3Å4ÅDj p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ4,j9ÅDjÆ12, h DÆ3 DÆ¡21 . Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình lần lượt là 2x¡yÅ2zÅ3Æ0 và 2x¡yÅ2z¡21Æ0. Chọnđápán D ä Câu228. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, ABÆBCÆa, ADÆ 2a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SAÆa. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và CD.Tínhcosincủagócgiữa MN và (SAC). A. 2 p 5 . B. p 55 10 . C. 3 p 5 10 . D. 1 p 5 . -Lờigiải. ChọnhệtrụcOxyz nhưhìnhvẽ,vớiO´A. Khi đó ta có: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;2a;0), S(0;0;a). Khiđó: M ³ a 2 ;0; a 2 ´ , N µ a 2 ; 3a 2 ;0 ¶ . Tacó:¡ 1 a #  SAÆ(0;0;1)Æ #  u; 1 a #  SCÆ(1;1;¡1)Æ #  v. Gọi #  n làvéctơpháptuyếncủamặtphẳng (SAC)tacó #  nÆ £ #  u, #  v ¤ Æ(¡1;¡1;0). Lạicó: 2 a #  MNÆ(0;3;¡1)Æ #  w. Gọi ® là góc giữa MN và (SAC) ta có: sin®Æ ¯ ¯ #  n. #  w ¯ ¯ ¯ ¯ #  n ¯ ¯ . ¯ ¯ #  w ¯ ¯ Æ 3 2 p 5 )cos®Æ p 55 10 . z y x A B C D N S M a a a 2a Chọnđápán B ä Câu229. Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho điểm M(1;2;4). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vàcắtcáctiaOx,Oy,Ozlầnlượttạicácđiểm A,B,CsaochothểtíchtứdiệnOABCnhỏ nhất. (P)điquađiểmnàodướiđây? A. (0;1;3). B. (2;2;0). C. (1;1;2). D. (¡1;1;4). -Lờigiải. Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),với a,b,cÈ0.Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là x a Å y b Å z c Æ1. Tacó M2(P)nên 1 a Å 2 b Å 4 c Æ1.ÁpdụngbấtđẳngthứcCositacó 1 a Å 2 b Å 4 c ¸3 3 É 1 a ¢ 2 b ¢ 4 c ,1¸27¢ 8 abc ,abc¸8¢27. MặtkhácthểtíchkhốitứdiệnOABC làV OABC Æ 1 6 abc¸ 1 6 ¢8¢27Æ36. Dấubằngxảyrakhi 1 a Æ 2 b Æ 4 c Æ 1 3 , ( aÆ3 bÆ6 cÆ12. Vậy phương trình của (P) là x 3 Å y 6 Å z 12 Æ1,4xÅ2yÅz¡12Æ0. Mặt phẳng (P) đi qua điểm (2;2;0). Chọnđápán B ä Câu230. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi N, P lần lượt là hình chiếucủaMtrêncácmặtphẳngtọađộ(Oxy),(Oxz).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(MNP). A. x¡1Æ0. B. y¡2Æ0. C. z¡3Æ0. D. xÅyÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 430 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó N(1;2;0), P(1;0;3)) #  MNÆ(0;0;¡3), #  MPÆ(0;¡2;0)) h #  MN, #  MP i Æ(¡6;0;0)là 1véc-tơ pháptuyếncủamặtphẳng (MNP). Vậyphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà¡6(x¡1)Æ0,x¡1Æ0. Chọnđápán A ä Câu231. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅyÅzÆ0 và các điểm A(1;1;2), B(0;¡1;1), C(2;0;0). Tìm tọa độ điểm M biết M thuộc mặt phẳng (P) và MAÆMBÆ MC. A. M µ ¡ 1 2 ; 3 2 ;¡ 1 2 ¶ . B. M µ 1 2 ; 3 2 ;¡ 1 2 ¶ . C. M µ 1 2 ;¡ 3 2 ; 1 2 ¶ . D. M µ 1 2 ; 3 2 ; 1 2 ¶ . -Lờigiải. TrongkhônggianOxyz,gọi M(a;b;c),(a,b,c2R). Theođềratacó ( M2(P) MAÆMB MBÆMC , 8 < : 2aÅbÅcÆ0 (a¡1) 2 Å(b¡1) 2 Å(c¡2) 2 Æa 2 Å(bÅ1) 2 Å(c¡1) 2 a 2 Å(bÅ1) 2 Å(c¡1) 2 Æ(a¡2) 2 Åb 2 Åc 2 , ( 2aÅbÅcÆ0 aÅ2bÅcÆ2 2aÅb¡cÆ1 , 8 > > > > > > < > > > > > > : aÆ¡ 1 2 bÆ 3 2 cÆ¡ 1 2 )M µ ¡ 1 2 ; 3 2 ;¡ 1 2 ¶ . Chọnđápán A ä Câu232. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;¡1), B(1;¡1;3) và mặt phẳng (P):3xÅ2y¡zÅ5Æ0. Gọi (®) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với (P), phươngtrìnhcủamặtphẳng (®)là A. (®):¡7xÅ11yÅzÅ15Æ0. B. (®):7x¡11y¡zÅ1Æ0. C. (®):7x¡11yÅz¡1Æ0. D. (®):¡7xÅ11yÅz¡3Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡1;4). Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n p Æ(3;2;¡1). Theobàira,mặtphẳng (®)cócặpvéc-tơchỉphương #  ABvà #  n p ,từđósuyra (®)cóvéc-tơpháp tuyếnlà #  n ® Æ[ #  AB, #  n p ]Æ(¡7;11;1). Phươngtrìnhmặtphẳng (®):¡7xÅ11yÅzÅ15Æ0. Chọnđápán A ä Câu233. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chocácđiểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;m).Để mặtphẳng (ABC)hợpvớimặtphẳng (Oxy)mộtgóc 60 ± thìgiátrịcủa mlà A. mƧ 12 5 . B. mƧ 2 5 . C. mƧ É 12 5 . D. mƧ 5 2 . -Lờigiải. MặtphẳngOxycóvéc-tơpháptuyếnlà #  k Æ(0;0;1). Ta có #  ABÆ (¡1;2;0) và #  ACÆ (¡1;0;m), suy ra véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(2m;m;2). Theobàiratacó cos60 ± Æ ¯ ¯ ¯ #  k¢ #  n ¯ ¯ ¯ j #  kj¢j #  nj , p 5m 2 Å4Æ4,m 2 Æ 12 5 ,mƧ É 12 5 . Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 431 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu234. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chocácđiểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(0;0;0).Hỏicóbaonhiêuđiểmcáchđều 4mặtphẳng (ABC), (BCD), (CDA), (DAB). A. 4. B. 5. C. 1. D. 8. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là: xÅyÅz¡1Æ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (BCD)là: xÆ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (CDA)là: yÆ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (DAB)là: zÆ0. Điểm M(a;b;c)cáchđều 4mặtphẳng (ABC), (BCD), (CDA), (DAB)khivàchỉkhi 8 < : d(M;(ABC))Æd(M;(BCD)) d(M;(CDA))Æd(M;(BCD)) d(M;(DAB))Æd(M;(BCD)) , 8 > > < > > : jaÅbÅc¡1j p 3 Æjaj jbjÆjaj jcjÆjaj. Cócáckhảnăngsau: ( bÆa cÆa j3a¡1jÆ p 3jaj ,bÆcÆaÆ 3§ p 3 6 . ( bÆ¡a cÆ¡a j¡a¡1jÆ p 3jaj , 8 > > > < > > > : bÆcÆ¡ p 3Å1 2 aÆ p 3Å1 2 hoặc 8 > > > < > > > : bÆcÆ¡ p 3¡1 2 aÆ 1¡ p 3 2 . ( bÆa cÆ¡a ja¡1jÆ p 3jaj , 8 > > > > > > > < > > > > > > > : bÆ¡ p 3Å1 2 cÆ p 3Å1 2 aÆ¡ p 3Å1 2 hoặc 8 > > > > > > > < > > > > > > > : bÆ p 3¡1 2 cÆ¡ p 3¡1 2 aÆ p 3¡1 2 . ( bÆ¡a cÆa ja¡1jÆ p 3jaj , 8 > > > > > > > < > > > > > > > : bÆ p 3Å1 2 cÆ¡ p 3Å1 2 aÆ¡ p 3Å1 2 hoặc 8 > > > > > > > < > > > > > > > : bÆ¡ p 3¡1 2 cÆ p 3¡1 2 aÆ p 3¡1 2 . Nhưvậy,có 8điểmcáchđều 4mặtphẳng (ABC), (BCD), (CDA), (DAB). Chọnđápán D ä Câu235. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobốnđiểm A(2;¡3;7),B(0;4;1),C(3;0;5) vàD(3;3;3).GọiMlàđiểmnằmtrênmặtphẳng(Oyz)saochobiểuthức ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MD ¯ ¯ ¯ đạtgiátrịnhỏnhất.Khiđótọađộcủa M là A. M(0;1;¡4). B. M(2;1;0). C. M(0;1;¡2). D. M(0;1;4). -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(¡2;7;¡6), #  ACÆ(1;3;¡2), #  ADÆ(1;6;¡4)nên h #  AB, #  AC i ¢ #  ADÆ¡46Æ0. Suyra: #  AB, #  AC, #  AD khôngđồngphẳng. GọiG làtrọngtâmtứdiện ABCD.KhiđóG(2;1;4). Tacó: ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MD ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯4 #  MG ¯ ¯ ¯Æ4MG. Dođó ¯ ¯ ¯ #  MAÅ #  MBÅ #  MCÅ #  MD ¯ ¯ ¯nhỏnhấtkhivàchỉkhi MG ngắnnhất. Vậy M làhìnhchiếuvuônggóccủaG lênmặtphẳng (Oyz)nên M(0;1;4). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 432 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu236. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm I(1;2;3)vàmặtphẳng (P):2x¡2y¡ z¡4Æ0.Mặtcầutâm I tiếpxúcmặtphẳng (P)tạiđiểm H.Tìmtọađộđiểm H. A. H(¡3;0;¡2). B. H(3;0;2). C. H(¡1;4;4). D. H(¡1;4;1). -Lờigiải. Tacó I62(P).Mặtcầutâm I tiếpxúcmặtphẳng(P)tạiđiểm H,H làhìnhchiếucủa I lên(P) , ½ H2(P) #  IHÆ(x H ¡1;y H ¡2;z H ¡3) cùngphương #  nÆ(2;¡2;¡1) , ( 2x H ¡2y H ¡z H ¡4Æ0 x H ¡1 2 Æ y H ¡2 ¡2 Æ z H ¡3 ¡1 Æt , 8 > < > : x H Æ2tÅ1 y H Æ¡2tÅ2 z H Æ¡tÅ3 2(2tÅ1)¡2(¡2tÅ2)¡(¡tÅ3)¡4Æ0 , 8 > < > : tÆ1 x H Æ3 y H Æ0 z H Æ2. Vậy H(3;0;2). Chọnđápán B ä Câu237. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết trình mặtphẳng (P). A. 2xÅyÅz¡6Æ0. B. xÅ2yÅz¡6Æ0. C. xÅ2yÅ2z¡6Æ0. D. 2xÅyÅzÅ6Æ0. -Lờigiải. Tacó n AB?OC AB?CH )AB?OH, tươngtự BC?OH. DođóOH?(ABC)) #  n ABC Æ #  OHÆ(2;1;1). Suyra (P): 2xÅyÅz¡6Æ0. A B H E C O Chọnđápán A ä Câu238. Chohìnhvuông ABCD cócạnh a.Trênhaitia Bt, Dsvuônggócvànằmcùngphía vớimặtphẳng (ABCD)lầnlượtlấyhaiđiểm E,F saocho BEÆ a 2 , DFÆa.Tínhgóc'giữahai mặtphẳng (AEF)và (CEF). A. 'Æ30 ± . B. 'Æ90 ± . C. 'Æ60 ± . D. 'Æ45 ± . -Lờigiải. Đặt hình vẽ vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với O(0;0;0), B thuộc Ox và có tọa độ B(a;0;0), D thuộc Oy và có thọađộ D(0;a;0).Khiđótađược E ³ a;0; a 2 ´ , C(a;a;0), F(0;a;a). (AEF)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 0 1 Æ h #  AE, #  AF i Æ µ ¡ a 2 2 ;¡a 2 ;a 2 ¶ , nên #  n 1 Æ(1;2;¡2)cũnglàvéc-tơpháptuyếncủa (AEF). (CEF)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n 0 2 Æ h #  CE, #  CF i Æ µ ¡a 2 ;¡ a 2 2 ;¡a 2 ¶ nên #  n 2 Æ(2;1;2)cũnglàvéc-tơpháptuyếncủa (CEF). B z x y E F A C D Tathấy #  n 1 ¢ #  n 2 Æ0nên'Æ90 ± . Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 433 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu239. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P)điquađiểm M(1;2;3)vàcắtcáctrụcOx, Oy, Oz lầnlượttại cácđiểm A, B, C (khác O).Viết phươngtrìnhmặtphẳng (P) saocho M là trựctâmcủatamgiác ABC. A. 6xÅ3y¡2z¡6Æ0. B. xÅ2yÅ3z¡14Æ0. C. xÅ2yÅ3z¡11Æ0. D. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ3. -Lờigiải. Tacó AM?BC vàOA?BC nên BC?OM. Tacó BM?AC vàOB?AC nên AC?OM. Vậy OM?(ABC)nên (P)nhận #  OMÆ(1;2;3)làmvéc- tơpháptuyến. Do (P)điqua M(1;2;3)nên (P): x¡1Å2(y¡2)Å3(z¡3)Æ0 ,xÅ2yÅ3z¡14Æ0 M B C y O A x z Chọnđápán B ä Câu240. TrongkhônggianvớihệtrụctoạđộOxyz,chomặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡2zÆ0 vàđiểm A(2;2;0).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(OAB),biếtrằngđiểmBthuộcmặtcầu(S),có hoànhđộdươngvàtamgiácOAB đều. A. x¡y¡2zÆ0. B. x¡yÅzÆ0. C. x¡y¡zÆ0. D. x¡yÅ2zÆ0. -Lờigiải. Gọi B(x;y;z)với xÈ0.TacóOA 2 Æ8vàtamgiácOAB đềunênOA 2 ÆOB 2 ÆAB 2 Æ8. Mà B2(S)) 8 > < > : x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡2zÆ0 (1) x 2 Åy 2 Åz 2 Æ8 (2) (x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Åz 2 Æ8 (3). Thay (2)vào (1)và (3)tađược ½ xÅyÅzÆ4 xÅyÆ2 , n zÆ2 yÆ2¡x. Thếlạivào (2)tađược x 2 Å(2¡x) 2 Æ4,2x 2 ¡4xÆ0, h xÆ0 xÆ2. Do xÈ0 nên ta chọn xÆ2) n yÆ0 zÆ2 )B(2;0;2)) #  n Æ h #  OA, #  OB i Æ(4;¡4;¡4) là một véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (OAB). Vậyphươngtrìnhtổngquátcủa (OAB)là x¡y¡zÆ0. Chọnđápán C ä Câu241. TrongkhônggianOxyz,chođiểm E(8;1;1).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (®)qua E vàcắtchiềudươngcáctrụcOx,Oy,Ozlầnlượttại A,B,C saochoOG nhỏnhấtvớiG làtrọng tâmtamgiác ABC. A. xÅ2yÅ2z¡12Æ0. B. xÅyÅ2z¡11Æ0. C. 2xÅyÅz¡18Æ0. D. 8xÅyÅz¡66Æ0. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), a, b, cÈ0làcácđiểmmặtphẳng (®)cắtchiềudươngcáctrục Ox,Oy,Oz.Vậytrọngtâmtamgiác ABC làG µ a 3 ; b 3 ; c 3 ¶ nênOGÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 3 . Khiđómặtphẳng (®)cóphươngtrìnhlà x a Å y b Å z c Æ1. Do (®)qua E(8;1;1)nên 8 a Å 1 b Å 1 c Æ1. Tatrởlạibàitoán:Cho a, b, c dương,thỏa 8 a Å 1 b Å 1 c Æ1.Tìmmin TÆa 2 Åb 2 Åc 2 . Tacó 1 b Å 1 c Æ a¡8 a (do a, b, cÈ0nên a¡8È0,aÈ8)mà Th.sNguyễnChínEm 434 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 b Å 1 c Ê 4 bÅc ) a¡8 a Ê 4 bÅc )bÅcÊ 4a ¡8Åa . Vậy TÆa 2 Åb 2 Åc 2 Êa 2 Å 1 2 (bÅc) 2 Êa 2 Å 8a 2 (a¡8) 2 Æg(a). Xét g(a)Æa 2 Å 8a 2 (a¡8) 2 với a2(8;Å1)có g 0 (a)Æ2a µ 1¡ 64 (a¡8) 3 ¶ . g 0 (a)Æ0,aÆ12(do aÈ8). Lậpbảngbiếnthiêntađược g(a)đạtgiátrịnhỏnhấttrên (8;Å1)khi aÆ12. Vậy T min ,aÆ12,bÆ6,cÆ6haymặtphẳng (®)là x 12 Å y 6 Å z 6 Æ1,xÅ2yÅ2z¡12Æ0. Cách2.Cáchtrắcnghiệm: Cả4phươngánđềuchotamặtphẳngqua E. xÅ2yÅ2z¡12Æ0, x 12 Å y 6 Å z 6 Æ1nênG(4;2;2))OGÆ2 p 6. xÅyÅ2z¡11Æ0 , x 11 Å y 11 Å z 11 2 Æ1nênG µ 11 3 ; 11 3 ; 11 6 ¶ )OGÆ 11 2 . 2xÅyÅz¡18Æ0, x 9 Å y 18 Å z 18 Æ1nênG(3;6;6))OGÆ9. 8xÅyÅz¡66Æ0, x 33 4 Å y 66 Å z 66 Æ1nênG µ 11 4 ;22;22 ¶ )OGÆ 11 4 p 129. Nhậnxét:chỉcóđápán xÅ2yÅ2z¡12Æ0chotađộdàiđoạnOG nhỏnhất. Chọnđápán A ä Câu242. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(1;1;1),B(3;0;¡1),C(2;0;3).Mặtphẳng (®)đi quahaiđiểm A, B vàsongsongvớiđườngthẳngOC cóphươngtrìnhlà A. 3xÅ20yÅ2z¡5Æ0. B. 3xÅ10yÅ2z¡5Æ0. C. 3xÅ10y¡2zÅ11Æ0. D. 3xÅ10y¡2z¡11Æ0. -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(2;¡1;¡2); #  OCÆ(2;0;3). Mặtphẳng (®)qua A(1;1;1)cóvtpt #  nÆ h #  AB, #  OC i Æ(¡3;¡10;2)Æ¡(3;10;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng (®)là: 3xÅ10y¡2z¡11Æ0. Chọnđápán D ä Câu243. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;4). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất điquađiểmnàosauđây? A. (2;2;0). B. (1;1;2). C. (¡1;1;4). D. (0;1;3). -Lờigiải. Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)với (a,b,cÈ0).Suyraphươngtrình (ABC): x a Å y b Å z c Æ1. Vì M(1;2;4)2(ABC)) 1 a Å 2 b Å 4 c Æ1. TacóV OABC Æ 1 6 abc. Lạicó 1Æ 1 a Å 2 b Å 4 c Ê3 3 É 1 a ¢ 2 b ¢ 4 c ,1Ê 27¢8 abc , abc 6 Ê36. Dấu“=”xảyrakhi 8 > > < > > : 1 a Å 2 b Å 4 c Æ1 1 a Æ 2 b Æ 4 c , ( aÆ3 bÆ6 cÆ12. Suyraphươngtrình (ABC): x 3 Å y 6 Å z 12 Æ1,4xÅ2yÅz¡12Æ0. Vậyđiểm (2;2;0)thuộcmặtphẳng(ABC). Chọnđápán A ä Câu244. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(3;0;1), B(6;¡2;1)Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A,B vàtạovớimặtphẳng (Oyz)mộtgóc®thỏamãn cos®Æ 2 7 là Th.sNguyễnChínEm 435 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. · 2xÅ3yÅ6z¡12Æ0 2xÅ3y¡6zÆ0 . B. · 2x¡3yÅ6z¡12Æ0 2x¡3y¡6zÆ0 . C. · 2x¡3yÅ6z¡12Æ0 2x¡3y¡6zÅ1Æ0 . D. · 2xÅ3yÅ6zÅ12Æ0 2xÅ3y¡6z¡1Æ0 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡2;0). Gọi #  nÆ(a;b;c)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Theogiảthiết,tacó 8 < : #  n? #  AB ¯ ¯ ¯cos ³ #  n, #  i ´¯ ¯ ¯Æ 2 7 , 8 < : 3a¡2bÆ0 jaj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 2 7 , ( bÆ 3a 2 (6a¡2c)(6aÅ2c)Æ0 , 2 6 6 6 6 4 ( aÆ2 bÆ3 cÆ6 ( aÆ2 bÆ3 cÆ¡6 . Với #  nÆ(2;3;6),mặtphẳng (P)cóphươngtrình 2xÅ3yÅ6z¡12Æ0. Với #  nÆ(2;3;¡6),mặtphẳng (P)cóphươngtrình 2xÅ3y¡6zÆ0. Chọnđápán A ä 3.1 ĐÁPÁN 1. A 2. A 3. A 4. A 5. D 6. A 7. A 8. D 9. B 10. D 11. D 12. B 13. B 14. A 15. A 16. A 17. A 18. A 19. A 20. A 21. D 22. D 23. C 24. B 25. D 26. A 27. A 28. A 29. A 30. A 31. B 32. C 33. A 34. B 35. A 36. C 37. C 38. B 39. D 40. A 41. B 42. B 43. C 44. C 45. A 46. D 47. B 48. B 49. A 50. C 51. C 52. D 53. D 54. A 55. A 56. D 57. B 58. B 59. A 60. D 61. D 62. C 63. C 64. A 65. B 66. A 67. B 68. D 69. C 70. B 71. D 72. B 73. A 74. B 75. D 76. D 77. C 78. C 79. C 80. A 81. D 82. A 83. B 84. A 85. A 86. A 87. C 88. A 89. B 90. D 91. C 92. A 93. D 94. A 95. B 96. A 97. B 98. A 99. C 100.B 101.C 102.C 103.B 104.B 105.D 106.C 107.C 108.A 109.A 110.A 111.A 112.C 113.D 114.A 115.B 116.B 117.B 118.D 119.A 120.B 121.C 122.D 123.A 124.C 125.B 126.A 127.D 128.D 129.B 130.A 131.A 132.C 133.B 134.A 135.A 136.C 137.B 138.A 139.D 140.C 141.A 142.B 143.A 144.A 145.C 146.A 147.C 148.D 149.D 150.D 151.C 152.C 153.D 154.A 155.A 156.C 157.D 158.C 159.C 160.A 161.A 162.D 163.C 164.B 165.D 166.B 167.B 168.D 169.B 170.D 171.D 172.B 173.D 174.A 175.D 176.C 177.C 178.C 179.B 180.B 181.D 182.B 183.B 184.C 185.A 186.A 187.B 188.D 189.A 190.A 191.D 192.C 193.A 194.C 195.C 196.D 197.C 198.B 199.B 200.D 201.D 202.A 203.D 204.D 205.C 206.A 207.A 208.D 209.B 210.A 211.C 212.D 213.B 214.A 215.D 216.B 217.D 218.B 219.D 220.D 221.A 222.D 223.A 224.A 225.D 226.D 227.D 228.B 229.B 230.A 231.A 232.A 233.C 234.D 235.D 236.B 237.A 238.B 239.B 240.C 241.A 242.D 243.A 244.A 4 VẬNDỤNGTHÁP Câu1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ¢: x¡1 1 Æ y¡1 2 Æ z 2 và mặt phẳng (®): x¡2yÅ2z¡5Æ0. Gọi (P) là mặt phẳng chứa¢ và tạo với mặt phẳng (®) một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng axÅbyÅczÅdÆ 0 (với a,b,c,d2Z và a,b,c,d2[¡5;5]).Khiđótích abcd bằngbaonhiêu? A. 120. B. 60. C. ¡60. D. ¡120. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 436 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacógiaođiểmcủa¢và(®)làđiểm N(7;13;12).Lấyđiểm H2¢ (H6´N).Gọidlàgiaotuyếncủa(P)và(®); M,K lầnlượtlàhình chiếuvuônggóccủa H trên d và (®).Tacó d?HM,d?HK)d?KM)((P),(®))Æ à HMK. tan((P),(®))Ætan à HMKÆ HK KM ¸ HK KN Ætan(¢,(®)). Dođó ((P),(®))nhỏnhấtkhivàchỉkhi d?¢tại N.Khiđó H K N M ® P ¢ d Đườngthẳng¢cóvéc-tơchỉphương #  u ¢ Æ(1;2;2). Mặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyến #  n ® Æ(1;¡2;2). Đườngthẳng d½(®)và d?¢nên d nhận [ #  u ¢ , #  n ® ]Æ(8;0;¡4)làmmộtvéc-tơchỉphương.Hay d nhận #  u d Æ(2;0;¡1)làmvéc-tơchỉphương. Mặt phẳng (P) chứa¢ và d nên nhận [ #  u ¢ , #  u d ]Æ(¡2;5;¡4) làm véc-tơ pháp tuyến. Mà N2(P) nênphươngtrìnhmặtphẳng (P)là ¡2(x¡7)Å5(y¡13)¡4(z¡12)Æ0,2x¡5yÅ4zÅ3Æ0. Suyra aÆ2, bÆ¡5, cÆ4, dÆ3hay abcdÆ¡120. Chọnđápán D ä Câu2. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng (P): xÅ2y¡2zÅ2018Æ0, (Q): xÅmyÅ(m¡ 1)zÅ2017Æ0(mlàthamsốthực).Khihaimặtphẳng(P)và(Q)tạovớinhaumộtgócnhỏnhất thìđiểm M nàodướiđâynằmtrong (Q)? A. M(¡2017;1;1). B. M(0;0;2017). C. M(0;¡2017;0). D. M(2017;1;1). -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủa (P)và (Q)lầnlượtlà #  n 1 Æ(1;2;¡2), #  n 2 Æ(1;m;m¡1). Gọi®làgócgiữahaimặtphẳng,tacó cos®Æ j1j p 2 p m 2 ¡mÅ1 Æ 1 p 2 Ê µ m¡ 1 2 ¶ Å 3 4 · É 2 3 . Khiđó®¸arccos p 2 3 ,(0 ± ·®·90 ± ),nên®nhỏnhấtkhi mÆ 1 2 . Lúcđó (Q): 2xÅy¡zÅ2¢2017Æ0.Suyrađiểm M(¡2017;1;1)thuộcmặtphẳng (Q). Chọnđápán A ä Câu3. Chohìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có ABÆ1,BCÆ2,AA 0 Æ3.Mặtphẳng (P)thay đổivàluônđiquaC 0 ,mặtphẳng (P)cắtcáctia AB,AD,AA 0 lầnlượttại E,F,G (khác A).Tính tổng TÆAEÅAFÅAG saochothểtíchkhốitứdiện AEFG nhỏnhất. A. 18. B. 15. C. 17. D. 16. -Lờigiải. ChọnhệtrụctọađộOxyz saocho A´O(0;0;0),B(1;0;0),D(0;2;0),A 0 (0;0;3). Khiđó E(AE;0;0),F(0;AF,0),G(0;0;AG),C 0 (1;2;3). Phươngtrìnhmặphẳng (P): x AE Å y AF Å z AG Æ1. Vì C 0 (1;2;3)2(P)) 1 AE Å 2 AF Å 3 AG Æ1. A 0 D 0 E A B C F B 0 G C 0 D Thểtíchkhốiđadiện AEFG là V AEFG Æ 1 6 AE¢AF¢AGÆ 1 1 AE ¢ 2 AF ¢ 3 AG ¸ 1 µ 1 AE Å 2 AF Å 3 AG ¶ 3 27 Æ27. Th.sNguyễnChínEm 437 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dodóthểtíchkhốitứdiện AEFG nhỏnhấtbằng 27khivàchỉkhi 1 AE Æ 2 AF Æ 3 AG Æ 1 3 , ( AEÆ3 AFÆ6 AGÆ9 .Suyra TÆAEÅAFÅAGÆ3Å6Å9Æ18. Chọnđápán A ä Câu4. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)vớia,b,clàcácsốthực dươngthayđổisaocho a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49.Tínhtổng FÆa 2 Åb 2 Åc 2 saochokhoảngcáchtừO đếnmặtphẳng (ABC)làlớnnhất. A. FÆ 51 5 . B. FÆ 51 4 . C. FÆ 49 4 . D. FÆ 49 5 . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x a Å y b Å z c Æ1. Nên d(O;(ABC))Æ j¡1j É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 1 É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 . ÁpdụngbấtđẳngthứcSchwarztacó 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 1 2 a 2 Å 2 2 4b 2 Å 4 2 16c 2 ¸ (1Å2Å4) 2 a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ 49 49 Æ1 (1)(vì a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49). KhiđókhoảngcáchtừO đếnmặtphẳng (ABC)lớnnhấtbằng 1khivàchỉkhidấuđẳngthức của(1)xảyrahay 8 < : a 2 1 Æ 4b 2 2 Æ 16c 2 4 a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49 , 8 > > > > < > > > > : c 2 Æ 7 4 b 2 Æ 7 2 a 2 Æ7. Vậy FÆa 2 Åb 2 Åc 2 Æ7Å 7 2 Å 7 4 Æ 49 4 . Chọnđápán C ä Câu5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d: x¡1 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z ¡2 vàtạovớitrụcOymộtgóccósốđolớnnhất.Điểmnàosauđâythuộcmặt phẳng (P)? A. E(¡3;0;4). B. M(3;0;2). C. N(¡1;¡2;¡1). D. F(1;2;1). -Lờigiải. Gọi #  nÆ(a;b;c), #  n6Æ #  0 làVTPTcủa (P)và ®làgóctạobởi (P)vàtrục Oy, ®lớnnhấtkhi sin® lớnnhất. Từ d cóVTCP #  u d Æ(1;¡1;¡2). Tacó #  n vuônggócvới #  u d nên #  nÆ(bÅ2c;b;c). Nên sin®Æ ¯ ¯ ¯cos ³ #  n, #  j ´¯ ¯ ¯Æ jbj p 2b 2 Å5c 2 Å4bc . TH1:Nếu bÆ0thì sin®Æ0. TH2:Nếu b6Æ0thì sin®Æ 1 Ì Ã p 5c b Å 2 p 5 ! 2 Å 6 5 . Khiđó, sin®lớnnhấtkhi p 5c b Å 2 p 5 Æ0, c b Æ¡ 2 5 )chọn bÆ5, cÆ¡2. Vậyphươngtrình (P)điqua A(1;¡2;0)2d vàcóVTPT #  nÆ(1;5;¡2)códạng xÅ5y¡2zÅ9Æ0. Dođó,tacó N2(P). Chọnđápán C ä Câu6. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(1;2;1),B(3;¡1;1)vàC(¡1;¡1;1).Gọi(S 1 )làmặt cầucótâm A,bánkínhbằng 2; (S 2 )và (S 3 )làhaimặtcầucótâmlầnlượtlàB,C vàbánkính đềubằng 1.Hỏicóbaonhiêumặtphẳngtiếpxúcvớicảbamặtcầu (S 1 ), (S 2 )và (S 3 ) Th.sNguyễnChínEm 438 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 5. B. 7. C. 6. D. 8. -Lờigiải. Gọiphươngtrìnhmặtphẳng(P)tiếpxúcvớicảbamặtcầuđãchocóphươngtrìnhlàaxÅbyÅ czÅdÆ0(Điềukiện: a 2 Åb 2 Åc 2 È0). Khiđótacóhệđiềukiện 8 < : d(A,(P))Æ2 d(B,(P))Æ1 d(C,(P))Æ1 , 8 > > > > > > > < > > > > > > > : jaÅ2bÅcÅdj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ2 j3a¡bÅcÅdj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ1 j¡a¡bÅcÅdj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ1 , 8 > > < > > : jaÅ2bÅcÅdjÆ2 p a 2 Åb 2 Åc 2 j3a¡bÅcÅdjÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 j¡a¡bÅcÅdjÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 . Suyra j3a¡bÅcÅdjÆj¡a¡bÅcÅdj, h 3a¡bÅcÅdÆ¡a¡bÅcÅd 3a¡bÅcÅdÆaÅb¡c¡d , h aÆ0 a¡bÅcÅdÆ0. Với aÆ0, ½ j2bÅcÅdjÆ2 p b 2 Åc 2 j2bÅcÅdjÆ2j¡bÅcÅdj , 8 < : j2bÅcÅdjÆ2 p b 2 Åc 2 h 4b¡c¡dÆ0 cÅdÆ0 , · cÅdÆ0)cÆdÆ0,b6Æ0 cÅdÆ4b,cƧ2 p 2b. Tacó 3mặtphẳngthỏamãn. Với a¡bÅcÅdÆ0, ( j3bjÆ2 p a 2 Åb 2 Åc 2 j2ajÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 , ½ j3bjÆ4jaj j2ajÆ p a 2 Åb 2 Åc 2 , 8 > > < > > : jbjÆ 4 3 jaj jcjÆ p 11 3 jaj. Tacó 4mặtphẳngthỏamãn. Vậycó 7mặtphẳngthỏamãnbàitoán. Chọnđápán B ä Câu7. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng (P): x¡2yÅ2z¡3Æ0vàmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡2zÅ5Æ0.Giảsử M2(P)và N2(S)saocho #  MN cùngphươngvớivectơ #  uÆ(1;0;1)vàkhoảngcáchgiữa M và N lớnnhất.Tính MN. A. MNÆ3. B. MNÆ1Å2 p 2. C. MNÆ3 p 2. D. MNÆ14. -Lờigiải. N I N 0 H H 0 M G Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ(1;¡2;2). Mặt cầu (S) có tâm I(¡1;2;1) và bán kính rÆ1. Nhận thấy rằng góc giữa #  u và #  n bằng 45 ± . Vì d(I,(P))Æ2È1Ær nên mặt phẳng (P) Th.sNguyễnChínEm 439 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 khôngcắtmặtcầu (S). Gọi H là hình chiếu của N lên (P) thì à NMHÆ45 ± và MNÆ NH sin45 ± ÆNH p 2 nên MN lớn nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất. Điều này xảy ra khi N´N 0 và H´H 0 với N 0 là giao điểm của đườngthẳng dđiqua I vàvuônggócvớimặtphẳng(P), H 0 làhìnhchiếucủa I mặtphẳng(P). Lúcđó NH max ÆN 0 H 0 ÆrÅd(I;(P))Æ3và MN max Æ NH max sin45 ± Æ3 p 2. Chọnđápán C ä Câu8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x¡yÅzÅ3Æ0, (Q): xÅ 2y¡2z¡5Æ0 và mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0. Gọi M là điểm di động trên (S) và N làđiểmdiđộngtrên (P)saocho MN luônvuônggócvới (Q).Giátrịlớnnhấtcủađộdài đoạnthẳng MN bằng A. 14. B. 3Å5 p 3. C. 28. D. 9Å5 p 2. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ5, d(I,(P))Æ 3 p 3,d(I,(Q))Æ 14 3 . Gọi®làgócgiữa (P)và (Q). Khiđó cos®Æ 1 p 3 )tan®Æ p 2. Dođó DKÈNKÆMI)CD¸MN. Tacó sin®Æ IH IB )IBÆ 9 p 2 )BCÆ 9Å5 p 2 p 2 . Mà tan®Æ CD CB )CDÆBCtan®Æ9Å5 p 2. VậygiátrịlớnnhấtcủađộdàiđoạnMN bằng9Å5 p 2. A I M C K D B N H ® Chọnđápán D ä Câu9. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số thực dương sao cho a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49. Tính FÆa 2 Åb 2 Åc 2 sao cho khoảng cách từ O đến mặtphẳng (ABC)làlớnnhất. A. FÆ 51 5 . B. FÆ 51 4 . C. FÆ 49 5 . D. FÆ 49 4 . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC): x a Å y b Å z c ¡1Æ0và d[O,(ABC)]Æ 1 Ê µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ Æd. Xét #  uÆ(a;2b;4c); #  v Æ µ 1 a ; 1 b ; 1 c ¶ . Tacó: ¡ #  u¢ #  v ¢ 2 · #  u 2 ¢ #  v 2 ) µ a¢ 1 a Å2b¢ 1 b Å4c¢ 1 c ¶ 2 · ¡ a 2 Å4b 2 Å16c 2 ¢ ¢ µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ ) 49·49¢ µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ ) 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¸1 ) d[O,(ABC)]·1. Dấu"="xảyrakhivàchỉkhi 8 > > < > > : a 1 a Æ 2b 1 b Æ 4c 1 c a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49 , ½ a 2 Æ2b 2 Æ4c 2 a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49 )28c 2 Æ49,c 2 Æ 7 4 )FÆ7c 2 Æ 49 4 . Th.sNguyễnChínEm 440 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 )maxd[O,(ABC)]Æ1,khiđó FÆ 49 4 . Chọnđápán D ä Câu10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;1), B(3;¡2;0), C(1;2;¡2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) lớn nhất, biếtrằng (P)khôngcắtđoạn BC.Khiđópháptuyếncủamặtphẳng (P)là A. #  nÆ(2;¡2;¡1). B. #  nÆ(1;0;2). C. #  nÆ(¡1;2;¡1). D. #  nÆ(1;0;¡2). -Lờigiải. Lấy M làtrungđiểmcủađoạn BC,suyra M(2;0;¡1). GọiBB 0 ,CC 0 , MM 0 lầnlượtlàkhoảngcáchtừB,C, M đếnmặt phẳng (P),từđósuyra BB 0 ÅCC 0 Æ2MM 0 . Xét tam giác vuông AMM 0 , ta có MM 0 · AM, từ đó suy ra để tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) thì MM 0 phải lớn nhất, điều này có nghĩa là M 0 trùng với A hay MA?(P). Từ đó suy ra véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là #  AMÆ (1;0;¡2). B C M A B 0 C 0 M 0 Chọnđápán D ä Câu11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi thỏa mãn a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49. Tính tổng SÆa 2 Åb 2 Åc 2 khi khoảngcáchtừO đếnmặtphẳng (ABC)đạtgiátrịlớnnhất. A. SÆ 51 5 . B. SÆ 49 4 . C. SÆ 49 5 . D. SÆ 51 4 . -Lờigiải. Dựng OH?(ABC);(H2(ABC)) vì OABC là tứ diện vuông nêntacó 1 OH 2 Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 Æ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 1 a 2 Å 2 2 4b 2 Å 4 2 16c 2 . ÁpdụngbấtđẳngthứcSchwarz 1 OH 2 Æ 1 a 2 Å 2 2 4b 2 Å 4 2 16c 2 ¸ (1Å2Å4) 2 a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ1)OH·1. VậykhoảngcáchtừOđếnmặtphẳng(ABC)đạtgiátrịlớn nhấtlà 1khi 1 a 2 Æ 2 4b 2 Æ 4 16c 2 Æ 1Å2Å4 a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ 1 7 , 8 > > > > < > > > > : a 2 Æ7 b 2 Æ 7 2 c 2 Æ 7 4 )SÆ 49 4 . B x A z O H C y Chọnđápán B ä Câu12. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ27. Gọi (®) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0;¡4), B(2;0;0) và cắt (S) theo một giao tuyến là đườngtròn (C)saochokhốinóncóđỉnhlàtâmcủa (S)vàđáylàđườngtròn (C)cóthểtíchlớn nhất.Biếtrằng (®): axÅby¡zÅcÆ0.Tính PÆa¡bÅc. A. PÆ8. B. PÆ0. C. PÆ2. D. PÆ¡4. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;3),bánkính RÆ3 p 3. Gọi H, r lầnlượtlàtâmvàbánkínhcủađườngtròngiaotuyến (C)của (S)và (®). Th.sNguyễnChínEm 441 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đặt hÆd(I,(®)),tacó R 2 Ær 2 Åh 2 . Thểtíchkhốinóicóđỉnh I vàđáy (C)làVÆ 1 3 ¼r 2 hÆ 1 3 ¼r 2 p 27¡r 2 . Xéthàmsố f(t)Æt p 27¡t,t2[0;27]. Tacó f 0 (t)Æ p 27¡t¡ t 2 p 27¡t ,f 0 (t)Æ0, p 27¡tÆ t 2 p 27¡t , n t2[0;27] 3tÆ54 ,tÆ18. Khiđó,tacó f(0)Æ0,f (27)Æ0,f (18)Æ54,maxf(t)Æf(18)Æ54. SuyragiátrịlớnnhấtcủaV đạtđượckhi r 2 Æ18,h 2 Æ9,hÆ3. Khiđótacó d(I,(®))Æ3, ja¡2b¡3Åcj p a 2 Åb 2 Å1 Æ3. (1) Mặtkhác A,B2(®)) n 4ÅcÆ0 2aÅcÆ0 , n cÆ¡4 aÆ2. (2) Từ (1)và (2)) j5Å2bj p 5Åb 2 Æ3,5b 2 ¡20bÅ20Æ0,(b¡2) 2 Æ0,bÆ2. Vậytacó aÆbÆ2,cÆ¡4)PÆa¡bÅcÆ¡4. Chọnđápán D ä Câu13. ChotứdiệnOABCcóOAÆa,OBÆb,OCÆcvàđôimộtvuônggócnhau.Gọi rlàbán kính mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt của tứ diện. Giả sử a¸b, a¸c. Giá trị nhỏ nhất của a r là A. 1Å p 3. B. 2Å p 3. C. p 3. D. 3Å p 3. -Lờigiải. TacóV O.ABC Æ abc 5 . Mặt khác V O.ABC Æ 1 3 r(S 4ABC Å S 4OAB Å S 4OAC Å S 4OBC ). Suyratacó a r Æ2 S 4ABC bc Å abÅacÅbc bc . Do a¸b, a¸c) abÅbcÅbc bc ¸3 (1). Dấubằngcủa (1)xảyrakhi aÆbÆc. Xét 2 S 4ABC bc Æ S 4ABC S 4OBC Æ 1 cos(®) (với ® là góc giữa (ABC)và (OBC)). Bài toán trở thành tìm min 1 cos® , hay tìm min p 1Åtan 2 ®. Ta có tan®Æ a OH ¸ a OM , với H là hình chiếu vuông góccủaO lên BC còn M làtrungđiểmcủa BC. M H O C B A Mặtkhác. a OM Æ 2a p b 2 Åc 2 Æ p 2Ætan®)cos®Æ p 1Åtan 2 ®Æ p 3. Kếthợpvới (1))min a r Æ3Å p 3,aÆbÆc. Chọnđápán D ä Câu14. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 Æ 9 và điểm A(0;¡1;2). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất.Phươngtrìnhcủa (P)là A. y¡2zÅ5Æ0. B. x¡yÅ2z¡5Æ0. C. ¡yÅ2zÅ5Æ0. D. y¡2z¡5Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 442 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacómặtcầu(S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ0cótâmO(0;0;0),bánkínhRÆ3. TacóOAÆ p 5ÇR,dođóđiểm A nằmbêntrongmặtcầu (S). Mặtphẳng (P)qua A vàcắtmặtcầutheomộthìnhtròncóbán kính r,cóchuvilà C đườngtròn Æ2¼r. Tacóchuviđườngtrònnhỏnhất,r nhỏnhất. Gọi H làhìnhchiếucủaO lênmặtphẳng (P),tacó MH 2 ÆOM 2 ¡OH 2 ,r 2 ÆR 2 ¡OH 2 ,r 2 Æ9¡d[O,(P)]. (P) O A H M Tacó r nhỏnhất, d[O,(P)]lớnnhất,H´A. Khiđómặtphẳng (P)qua A(0;¡1;2)nhận #  OA làmvéc-tơpháptuyến. Suyra (P): y¡2zÅ5Æ0. Chọnđápán A ä Câu15. Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1) và B(0;¡2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình xÅb 1 yÅc 1 zÅd 1 Æ0 và (Q) có phươngtrình xÅb 2 yÅc 2 zÅd 2 Æ0.Tínhgiátrịbiểuthức b 1 b 2 Åc 1 c 2 . A. ¡7. B. ¡9. C. 9. D. 7. -Lờigiải. TacóVì (P)cóphươngtrình xÅb 1 yÅc 1 zÅd 1 Æ0. (P)điquahaiđiểm A(1;1;1)và B(0;¡2;2). Nêntacó ½ 1Åb 1 Åc 1 Åd 1 Æ0 ¡2b 1 Å2c 1 Åd 1 Æ0 )1Å3b 1 ¡c 1 Æ0. (1) Vì (P)cắtcáctrụctọađộOx,Oytại A 1 (¡d 1 ;0;0),B 1 µ 0; ¡d 1 b 1 ;0 ¶ . VìhaiđiểmcáchđềuO nêntacójd 1 jÆ jd 1 j jb 1 j )jb 1 jÆ1. Chọn b 1 Æ1,thayvào (1)tađược c 1 Æ4. Vì (Q)cóphươngtrình xÅb 2 yÅc 2 zÅd 2 Æ0và (Q)điquahaiđiểm A(1;1;1)và B(0;¡2;2). Nêntacó ½ 1Åb 2 Åc 2 Åd 2 Æ0 ¡2b 2 Å2c 2 Åd 2 Æ0 )1Å3b 2 ¡c 2 Æ0. (2) Vì (Q)cắtcáctrụctọađộOx,Oytại A 2 (¡d 2 ;0;0),B 2 µ 0;¡ d 2 b 2 ;0 ¶ . VìhaiđiểmcáchđềuO nêntacójd 2 jÆ jd 2 j jb 2 j )jb 2 jÆ1. Vì b 1 6Æb 2 nêntachọn b 2 Æ¡1,thayvào (2)tađược c 2 Æ¡2. Vậy b 1 b 2 Åc 1 c 2 Æ¡9. Chọnđápán B ä Câu16. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm H(1;2;¡2).Mặtphẳng (®)điqua H vàcắtcáctrục Ox, Oy, Oz lầnlượttạicácđiểm A, B, C saocho H làtrựctâmcủatamgiác ABC.DiệntíchmặtcầungoạitiếptứdiệnOABC bằng A. 81¼. B. 243¼ 2 . C. 243¼. D. 81¼ 2 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 443 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặt phẳng (®) đi qua H và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượttạicácđiểm A,B,C. Vì tứ diện OABC đôi một vuông góc tại O và H là trực tâmtamgiác ABC nênOH?(ABC). Do đó #  OHÆ(1;2;¡2) là một véc-tơ pháp tuyến của (®) và H thuộc (®). Phươngtrìnhmặtphẳng (®): 1¢(x¡1)Å2¢(y¡2)¡2¢(zÅ2)Æ0 ,xÅ2y¡2z¡9Æ0. y z B A E x I O C M Mặt phẳng (®): xÅ2y¡2z¡9Æ 0 cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(9;0;0), B µ 0; 9 2 ;0 ¶ ,C µ 0;0;¡ 9 2 ¶ . )OAÆ9,OBÆ 9 2 ,OCÆ 9 2 . Gọi E, M lần lượt là trung điểm AB, OC. Khi đó, E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Dựnghìnhchữnhật OEIM.Tađược IAÆIBÆICÆIO hay IO làbánkínhmặtcầu (S)ngoại tiếptứdiệnOABC. Khiđó R Æ IOÆ p IN 2 ÅIM 2 Æ Ê µ AB 2 ¶ 2 Å µ OC 2 ¶ 2 Æ Ì Ã 9 p 5 4 ! 2 Å µ 9 4 ¶ 2 Æ 9 p 6 4 . VậydiệntíchmặtcầungoạitiếptứdiệnOABC bằng S c Æ4¼R 2 Æ4¼ à 9 p 6 4 ! 2 Æ 243¼ 2 . Chọnđápán B ä Câu17. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho A(2;0;0), M(1;1;1).Mặtphẳng (P)thayđổi qua AM cắtcáctiaOy,OzlầnlượttạiB,C.Khimặtphẳng (P)thayđổithìdiệntíchtamgiác ABC đạtgiátrịnhỏnhấtlàbaonhiêu? A. 5 p 5. B. 2 p 6. C. 4 p 6. D. 3 p 6. -Lờigiải. Gọi B(0;b;0)và C(0;0;c)lầnlượtlàgiaođiểmcủa (P)vớiOy,Oz. Tacó (ABC): x 2 Å y b Å z c Æ1.Điểm M(1;1;1)2(ABC)) 1 b Å 1 c Æ 1 2 . Tacó 1 2 Æ 1 b Å 1 c ¸2 É 1 bc )bc¸16. S 4ABC Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i¯ ¯ ¯Æ 1 2 p b 2 c 2 Å4(b 2 Åc 2 )¸ 1 2 p b 2 c 2 Å8bc¸ 1 2 p 16 2 Å8¢16Æ4 p 6 Dấu"Æ"xảyrakhi ( 1 b Å 1 c Æ 1 2 bÆc , n bÆ4 cÆ4. Vậy minS 4ABC Æ4 p 6. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 444 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu18. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(1;4;3) và mặt phẳng (P): 2y¡zÆ0. Biếtđiểm B thuộc (P),điểm C thuộc (Oxy)saochochuvitamgiác ABC nhỏnhất.Hỏigiátrị nhỏnhấtđólà A. 4 p 5. B. 6 p 5. C. 2 p 5. D. p 5. -Lờigiải. Gọi M, N lầnlượtlàđiểmđốixứngvới A quahaimặtphẳng (P)và (Oxy). Khiđó,tatìmđược M(1;0;5), N(1;4;¡3). #  MNÆ(0;4;¡8))MNÆ4 p 5. Tacó (P), (Oxy)lầnlượtlàmặtphẳngtrungtrựccủa AM, AN. Suyra BAÆBM, CAÆCN. Tacó ABÅBCÅCAÆMBÅBCÅCN¸MN Dấu"Æ"xảyrakhibốnđiểm M,B,C, N thẳnghànghay MN lầnlượtcắt(P),(Oxy)tạiBvàC. Vậychuvitamgiác ABC nhỏnhấtlà 4 p 5. Chọnđápán A ä Câu19. Cho x, y, z, a, b, c là ba số thực thay đổi thỏa mãn (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ1 và aÅbÅcÆ3.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa PÆ(x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 . A. p 3¡1. B. p 3Å1. C. 4¡2 p 3. D. 4Å2 p 3. -Lờigiải. Gọi M(x;y;z),N(a;b;c).Khiđó Mthuộcmặtcầutâm I(¡1;¡1;2)bánkính RÆ1và N thuộcmặtphẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0. Suyra PÆ(x¡a) 2 Å(y¡b) 2 Å(z¡c) 2 ÆMN 2 . (1) Tacó MNÆIN¡R,nên MN nhỏnhấtkhi N làhìnhchiếucủa I lên (P). Mà INÆd(I,(P))Æ j¡1¡1Å2¡3j p 1Å1Å1 Æ p 3. Suyra P min Æ(IN¡R) 2 Æ ¡p 3¡1 ¢ 2 Æ4¡2 p 3. I M N (P) Chọnđápán C ä Câu20. Trongkhônggian Oxyz,chotamgiác ABC có A(1;1;1), B(4;¡3;1)và C(1;1;2).Đường phângiáctrongcủagóc A cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ4Å3t yÆ¡3¡4t zÆ6Å5t . B. ( xÆ1Å3t yÆ1Å4t zÆ1Å5t . C. ( xÆ4Å3t yÆ¡3Å4t zÆ6Å5t . D. ( xÆ1Å3t yÆ1¡4t zÆ1¡5t . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(3;¡4;0), #  ACÆ(0;0;1)) #  AB¢ #  ACÆ0, #  AB? #  AC. Đặt #  uÆ(0;0;5).Tacó #  u cùnghướngvới #  AC và ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ5Æ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯. Gọi E làđiểmxácđịnhbởi D C A B E #  AEÆ #  ABÅ #  uÆ(3;¡4;5) thì AE chính là đường phân giác trong của góc A của 4ABC. Vậy phương trình của đường phângiáccầntìmlà ( xÆ1Å3t yÆ1¡4t zÆ1Å5t hay ( xÆ4Å3t yÆ¡3¡4t zÆ6Å5t. Chọnđápán A ä Câu21. Cho điểm A(¡3;5;¡5), B(5;¡3;7) và mặt phẳng (®): xÅyÅzÆ0. Xét điểm M thay đổi trên (®),giátrịlớnnhấtcủa MA 2 ¡2MB 2 bằng A. 398. B. 379. C. 397. D. 489. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 445 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Xét N làđiểmthỏamãn #  NA¡2 #  NBÆ0thếthì #  OA¡ #  ON¡2 #  OBÅ2 #  ONÆ0, #  ONÆ2 #  OB¡ #  OA hay N(13;¡11;19). Tacó MA 2 ¡2MB 2 Æ #  MA 2 ¡2 #  MB 2 Æ ³ #  MNÅ #  NA ´ 2 ¡2 ³ #  MNÅ #  NB ´ 2 Æ ¡ #  MN 2 Å #  NA 2 ¡2 #  NB 2 Å2 #  MN ³ #  NA¡2 #  NB ´ Æ ¡MN 2 ÅNA 2 ¡2NB 2 (do #  NA¡2 #  NBÆ0) · ¡HN 2 ÅNA 2 ¡2NB 2 (H làhìnhchiếucủa N lên (®)) Æ ¡d 2 [N,(®)]ÅNA 2 ¡2NB 2 Æ397. Dấu“=” xảyrakhi M làhìnhchiếucủa N lên (®). A B N H M Chọnđápán C ä Câu22. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(¡1;0;0),B(2;3;4).Gọi (P)làmặtphẳngchứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu (S 1 ): (x ¡ 1) 2 Å (y Å 1) 2 Å z 2 Æ 4 và (S 2 ): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2y¡2Æ0.Xéthaiđiểm M, N làhaiđiểmbấtkỳthuộcmặtphẳng (P)saocho MNÆ1.Giátrịnhỏnhấtcủa AMÅBN bằng A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. -Lờigiải. Mặtcầu (S 1 )cótâm I 1 (1;¡1;0)vàbánkính R 1 Æ2. Mặtcầu (S 2 )cótâm I 2 (0;¡1;0)vàbánkính R 2 Æ p 3. Đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu (S 1 ) và (S 2 ) là thỏamãnhệphươngtrình ½ (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ4 x 2 Åy 2 Åz 2 Å2y¡2Æ0 , ½ x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2y¡2Æ0 x 2 Åy 2 Åz 2 Å2y¡2Æ0 , xÆ0. B H N 0 A K M 0 A 0 M N P Phương trình mặt phẳng (P) là xÆ0 và tâm của đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu (S 1 ), (S 2 )là J´I 2 Æ(0;¡1;0),bánkính rÆ p 3. Tacó A, B nằmkhácphíađốivớimặtphẳng (P). Gọi H,K lầnlượtlàhìnhchiếucủađiểm A vàBtrên(P).Khiđó, H(0;0;0),K(0;3;4)và AHÆ1, BKÆ2, HKÆ5. Gọi M 0 , N 0 làhìnhchiếucủa M, N trên HK.Tacó ½ MH¸M 0 H)AM¸AM 0 NK¸N 0 K)BN¸BN 0 )AMÅBN¸AM 0 ÅBN 0 . Gọi A 0 làảnhcủađiểm A quaphéptịnhtiến #  MN)AM 0 ÆA 0 N 0 . Dođó AMÅBN¸A 0 N 0 ÅBN 0 .Khiđó, AMÅBN nhỏnhấtkhivàchỉkhi A 0 , N 0 vàBthẳnghàng. Đường thẳng AA 0 đi qua A và nhận #  HKÆ(0;3;4) làm véc-tơ chỉ phương nên có phương trình thamsốlà ( xÆ¡1 yÆ3t zÆ4t. Do A 0 2AA 0 và AA 0 Æ1nên (3t) 2 Å(4t) 2 Æ1)tƧ 1 5 .Suyra 2 6 6 4 A 0 µ ¡1; 3 5 ; 4 5 ¶ A 0 µ ¡1;¡ 3 5 ;¡ 4 5 ¶ . Với A 0 µ ¡1; 3 5 ; 4 5 ¶ tacó A 0 BÆ5. Th.sNguyễnChínEm 446 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Với A 0 µ ¡1;¡ 3 5 ;¡ 4 5 ¶ tacó A 0 BÆ3 p 5 (loại). Vậy AMÅBN ngắnnhấtlà 5. Chọnđápán A ä Câu23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x ¡1 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 1 và mặt phẳng (P): 2x¡y¡2z¡2Æ0, (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.Gọi #  n Q Æ(a;b;1)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (Q).Đẳngthứcnàođúng? A. a¡bÆ¡1. B. aÅbÆ¡2. C. a¡bÆ1. D. aÅbÆ0. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến là #  n P Æ(2;¡1;¡2) và đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương là #  uÆ(¡1;2;1). Vì d½(Q)nên #  u¢ #  n Q Æ0,¡aÅ2bÅ1Æ0,aÆ2bÅ1. Gọi®làgócgiữa (P)và (Q) )cos®Æ ¯ ¯ #  n P ¢ #  n Q ¯ ¯ ¯ ¯ #  n P ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n Q ¯ ¯ Æ j2a¡b¡2j 3 p a 2 Åb 2 Å1 Æ j3bj 3 p 5b 2 Å4bÅ2 Æ Ê b 2 5b 2 Å4bÅ2 . Góc®nhỏnhấtkhivàchỉkhi cos®lớnnhất. Xét f(b)Æ b 2 5b 2 Å4bÅ2 )f 0 (b)Æ 4b 2 Å4b (5b 2 Å4bÅ2) 2 . Giải f 0 (b)Æ0,b 2 Å4bÆ0, h bÆ0 bÆ¡1 .Bảngbiếnthiên b f 0 (b) f(b) ¡1 ¡1 0 Å1 Å 0 ¡ 0 Å 1 5 1 5 1 3 1 3 0 0 1 5 1 5 Tửbảngbiếnthiênsuyra f(b)lớnnhấtbằng 1 3 khi bÆ¡1. Vì f(b)lớnnhấtsuyra cos®lớnnhấtnên cos®lớnnhấtkhi bÆ¡1và aÆ¡1. Vậy aÅbÆ¡2. Chọnđápán B ä Câu24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S 1 ), (S 2 ) lần lượt có phương trìnhlà x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡2z¡22Æ0, x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ4yÅ2zÅ5Æ0.Xétcácmặtphẳng (P) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi A(a;b;c) là điểm mà tất cả các mặtphẳng (P)điqua.Tínhtổng SÆaÅbÅc. A. SÆ 5 2 . B. SÆ¡ 5 2 . C. SÆ 9 2 . D. SÆ¡ 9 2 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 447 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S 1 )cótâm I(1;1;1),bánkính R 1 Æ5. Mặtcầu(S 2 )cótâm J(3;¡2;¡1),bánkínhR 2 Æ3. Tacó #  IJÆ(2;¡3;¡2))IJÆ p 17. Vì R 1 ¡R 2 Æ2ÇIJÇR 1 ÅR 2 Æ8nên (S 1 ), (S 2 )cắt nhau. Gọi A làtâmtỉcựcủahaimặtcầu,tacó AI AJ Æ R 1 R 2 Æ 5 3 ) #  AIÆ 5 3 #  AJ (1). I J A R 1 R 2 Tacó #  AIÆ(1¡a;1¡b;1¡c), #  AJÆ(3¡a;¡2¡b;¡1¡c).Khiđó (1), 8 > > > > > > < > > > > > > : 1¡aÆ 5 3 (3¡a) 1¡bÆ 5 3 (¡2¡b) 1¡cÆ 5 3 (¡1¡c) , 8 > < > : aÆ6 bÆ¡ 13 2 cÆ¡4. Vậytổng aÅbÅcÆ¡ 9 2 . Chọnđápán D ä Câu25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) vớia; b; clànhữngsốthựcdươngthayđổisaochoa 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49.TínhtổngSÆa 2 Åb 2 Åc 2 saochokhoảngcáchtừO đếnmặtphẳng (ABC)lớnnhất. A. SÆ 49 5 . B. SÆ 49 4 . C. SÆ 53 5 . D. SÆ 53 4 . -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC): x a Å y b Å z c Æ1)d(O,(ABC))Æ 1 É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 . Dođó d(O,(ABC))max, µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ min. ÁpdụngbấtđẳngthứcBunyakovskytacó (1Å2Å4) 2 Æ µ a¢ 1 a Å2b¢ 1 b Å4c¢ 1 c ¶ 2 ·(a 2 Å4b 2 Å16c 2 ) µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ . )49·49¢ µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ hay µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ ¸1. Dấu“=” xảyrakhi ½ a 2 Æ2b 2 Æ4c 2 a 2 Å4b 2 Å16c 2 Æ49 , 8 > > > > < > > > > : a 2 Æ7 b 2 Æ 7 2 c 2 Æ 7 4 )a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 49 4 . Chọnđápán B ä Câu26. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểm A(0;8;2)vàmặtcầu(S):(x¡5) 2 Å (yÅ3) 2 Å(z¡7) 2 Æ72vàđiểmB(9;¡7;23).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điqua A vàtiếpxúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử #  u Æ(1;m;n) là một véc-tơ pháp tuyếncủa (P).Khiđó,hãytínhgiátrịcủa HÆn¡m. A. HÆ3. B. HÆ¡5. C. HÆ4. D. HÆ5. -Lờigiải. Tacó (S):(x¡5) 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡7) 2 Æ72cótâm I(5;¡3;7)vàbánkính RÆ p 72. Th.sNguyễnChínEm 448 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủaBlên(P),K làhìnhchiếu vuônggóccủa B lêngiaotuyếncủa (P)và (IAB). )BH·BK)BH max ÆBK. Khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất ) (P) vuông góc với mặtphẳng (IAB). Tacó: #  ABÆ(9;¡15;21), #  AIÆ(5;¡3;7)) #  n ABI Æ(13;5;¡2). A H B K I (P) (P)vuônggócvớimặtphẳng (IAB)) #  u¢ #  n ABI Æ0)13Å5m¡2nÆ0)nÆ 13 2 Å 5 2 m. (P)điqua A vànhận #  uÆ(1;m;n)làmộtvéc-tơpháptuyến. )(P): xÅmyÅnz¡8m¡2nÆ0. (P)tiếpxúcvới (S)nêntacó d(I,(P))Æ j5¡3mÅ7n¡8m¡2nj p 1Åm 2 Ån 2 Æ p 72 , (5¡11mÅ5n) 2 Æ72 ¡ 1Åm 2 Ån 2 ¢ , µ 5¡11mÅ5¢ 13Å5m 2 ¶ 2 Æ72 µ 1Åm 2 Å µ 13Å5m 2 ¶ 2 ¶ , (75Å3m) 2 Æ72¢ ¡ 29m 2 Å130mÅ173 ¢ , " mÆ¡1)nÆ4 mÆ ¡27 3 )nÆ¡16. Thửlạitacó TH1: mÆ¡1; nÆ4)(P): x¡yÅ4zÆ0)d(B;(P))Æ18 p 2. TH2: mÆ¡ 27 3 ; nÆ¡16)(P): x¡ 27 3 y¡16zÅ104Æ0)d(B;(P))Æ 96 p 2 13 Ç18 p 2. Suyra mÆ¡1; nÆ4.Vậy n¡mÆ5. Chọnđápán D ä Câu27. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;¡6;2) và mặt phẳng (P): xÅyÅ7Æ0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏnhất.Tọađộđiểm B là A. B(0;0;2). B. B(0;0;¡1). C. B(0;0;1). D. B(0;0;¡2). -Lờigiải. Gọi M, N lần lượt là hai điểm đối xứng với A qua Oz và mặt phẳng (P) (điểm A nằm giữa Oz và (P), vì O, A nằm cùngphíavới (P)và d(Oz,(P))Èd(A,(P))).Khiđótacóchu vitamgiác ABC là P min Æ(ABÅBCÅAC) min Æ(BMÅBCÅCN) min . Suyra(BMÅBCÅCN) min khiB,C, M, N thẳnghàng.Hay B làhìnhchiếucủa A(1;¡6;2)lênOz)B(0;0;2). Oz A M N B C (P) Chọnđápán A ä Câu28. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(¡1;2;0),B(0;0;¡2),C(1;0;1),D(2;1;¡1). Haiđiểm M, N lầnlượttrênđoạnBCvàBD saocho2 BC BM Å3 BD BN Æ10và V ABMN V ABCD Æ 6 25 .Phương trìnhmặtphẳng (AMN)códạng axÅbyÅczÅ32Æ0.Tính SÆa¡bÅc? Th.sNguyễnChínEm 449 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. SÆ98. B. SÆ26. C. SÆ27. D. SÆ97. -Lờigiải. Tacó V ABMN V ABCD Æ V B.AMN V B.ACD Æ BA BA ¢ BM BC ¢ BN BD Æ BM BC ¢ BN BD . Suyra BM BC ¢ BN BD Æ 6 25 ) BC BM ¢ BD BN Æ 25 6 . Đặt xÆ BC BM , yÆ BD BN ,với x, yÈ1,tacóhệphươngtrình ( 2xÅ3yÆ10 xyÆ 25 6 , 8 > > < > > : xÆ 5 2 yÆ 5 3 . Nhưvậy BC BM Æ 5 2 , BD BN Æ 5 3 .Hay BMÆ 2 5 BC, BNÆ 3 5 BD. A D M C B N Với BMÆ 2 5 BC) #  BMÆ 2 5 #  BC.Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M ¡0Æ 2 5 ¢(1¡0) y M ¡0Æ 2 5 ¢(0¡0) z M Å2Æ 2 5 ¢(1Å2) , 8 > > > > < > > > > : x M Æ 2 5 y M Æ0 z M Æ¡ 4 5 )M µ 2 5 ;0;¡ 4 5 ¶ . Với BNÆ 3 5 BD) #  BNÆ 3 5 #  BD.Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x N ¡0Æ 3 5 ¢(2¡0) y N ¡0Æ 3 5 ¢(1¡0) z N Å2Æ 3 5 ¢(¡1Å2) , 8 > > > > > > < > > > > > > : x N Æ 6 5 y N Æ 3 5 z N Æ¡ 7 5 )N µ 6 5 ; 3 5 ;¡ 7 5 ¶ . Tacó #  AMÆ µ 7 5 ;¡2;¡ 4 5 ¶ , #  ANÆ µ 11 5 ;¡ 7 5 ;¡ 7 5 ¶ . Véc-tơ #  u 1 (7;¡10;¡4) cùng phương với véc-tơ #  AM. Véc-tơ #  u 2 (11;¡7;¡7) cùng phương với véc-tơ #  AN.Mặtphẳng (AMN)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  u 1 ^ #  u 2 Æ(42;5;61). Phươngtrìnhmặtphẳng (AMN)là 42¢(xÅ1)Å5¢(y¡2)Å61¢(z¡0)Æ0,42xÅ5yÅ61zÅ32Æ0. Suyra aÆ42, bÆ5, cÆ61.Vậynên SÆa¡bÅcÆ42¡5Å61Æ98. Chọnđápán A ä Câu29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(3;4;0), mặt phẳng (P): axÅbyÅczÅ46Æ0. Biết rằng khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P) lần lượt bằng 6 và 3.Giátrịcủabiểuthức TÆaÅbÅc bằng A. ¡3. B. ¡6. C. 3. D. 6. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 450 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi H, K lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa A, B trênmặtphẳng (P). Ta có AHÆ6, BKÆ3, ABÆ3ÇAH, suy ra A, B nằmcùngphíavới (P). Mà AHÆ6· AK·BAÅBKÆ6, suy ra H´K và B, A, K thẳnghàng. Do đó B là trung điểm của AH, suy ra H(5;6;¡1)và AB vuônggócvới (P). P H B A Mặtphẳng (P)điqua H,cóvéc-tơpháptuyến #  ABÆ(2;2;¡1)cóphươngtrình 2(x¡5)Å2(y¡6)¡(zÅ1)Æ0,2xÅ2y¡z¡23Æ0,¡4x¡4yÅ2zÅ46Æ0. Suyra aÆ¡4, bÆ¡4, cÆ2)TÆaÅbÅcÆ¡6. Chọnđápán B ä Câu30. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtcầu(S): x 2 Åy 2 Å(z¡1) 2 Æ25và(S 0 ): (x¡1) 2 Å(y¡ 2) 2 Å(z¡3) 2 Æ1.Mặtphẳng (P)tiếpxúcvới (S 0 )vàcắt (S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròncó chuvibằng 6¼.KhoảngcáchtừO đến (P)bằng A. 14 3 . B. 17 7 . C. 8 9 . D. 19 2 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)tâm I(0;0;1),bánkính RÆ5. Mặtcầu (S 0 )tâm I 0 (1;2;3),bánkính R 0 Æ1. Gọi M,N lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa I,I 0 lên (P). Gọibánkínhcủađườngtròngiaotuyếncủa (P)và (S)là r. Tacó 2¼rÆ6¼,rÆ3. Tacó d(I,(P))ÆIMÆ p R 2 ¡r 2 Æ p 5 2 ¡3 2 Æ4. (1) Từ (1))M thuộcmặtcầu (C)tâm I bánkính R 00 Æ4. Mặtkhác II 0 ÆR 00 ¡R 0 Æ3,(C)và (S 0 )tiếpxúcngoài. Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán ,(P) đồng thời tiếpxúcvới (C)và (S 0 ). I I 0 M 0 Gọi M 0 làtiếpđiểmchungcủa (S 0 )và (C),tacó #  II 0 Æ3 #  I 0 M 0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : x 0 ¡1Æ 1 3 y 0 ¡2Æ 2 3 z 0 ¡3Æ 2 3 , 8 > > > > > > < > > > > > > : x 0 Æ 4 3 y 0 Æ 8 3 z 0 Æ 11 3 . Mặtphẳng (P)qua M 0 µ 4 3 ; 8 3 ; 11 3 ¶ cóvéc-tơpháptuyến #  II 0 Æ(1;2;2).Phươngtrìnhcủa (P)là xÅ2yÅ2z¡14Æ0. KhoảngcáchtừgốctọađộO đến (P)là d(O,(P))Æ 14 3 . ² Lưu ý: Nếu (C) và (S 0 ) không tiếp xúc trong thì hoặc không tồn tại (P) hoặc có vô số mặt phẳng(P)thỏamãn.Chínhđềbàiyêucầutínhkhoảngcáchtừ(O)đến(P)dẫnđếnnhậnđịnh vềtínhduynhấtcủa (P). Chọnđápán A ä Câu31. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): x¡zÅ6Æ0vàhaimặtcầu (S 1 ): x 2 Åy 2 Å z 2 Æ25, (S 2 ): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡4zÅ7Æ0.Biếtrằngtậphợptâm I cácmặtcầutiếpxúcvớicảhai Th.sNguyễnChínEm 451 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 mặtcầu (S 1 ), (S 2 )vànằmtrên (P)làmộtđườngcong.Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi đườngcongđó. A. 7 3 ¼. B. 7 9 ¼. C. 9 7 ¼. D. 7 6 ¼. -Lờigiải. Mặt cầu (S 1 ) có tâm O(0;0;0) bán kính R 1 Æ5, mặt cầu (S 2 ) có tâm J(¡2;0;2) bán kính R 2 Æ1. Giả sử điểm I(x;y;z)2(P) sao cho mặt cầu tâm I bán kính R tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S 1 ) và (S 2 ).Khiđótacó ( x¡zÅ6Æ0 (1) RÆjIO¡R 1 j (2) RÆjIJ¡R 2 j (3) Từ (2), (3)tacójIO¡5jÆjIJ¡1j ,IO 2 ¡10IOÅ25ÆIJ 2 ¡2IJÅ1 ,5 p x 2 Åy 2 Åz 2 Æ p x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡4yÅ8Å20 ,25(x 2 Åy 2 Åz 2 )Æx 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Å40 p x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Å400 ,24(x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16)¡40 p x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Æ0 , 2 4 p x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Æ0 p x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Æ 5 3 . Với p x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Æ0,x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Æ0,x 2 Åy 2 Åz 2 Æ16làphươngtrìnhmặtcầutâmO bán kính RÆ4. Ta thấy d(O,(P))Æ 6 p 2 Æ3 p 2ÈR nên mặt cầu không cắt (P) do đó không tồn tạiđiểm I. Với p x 2 Åy 2 Åz 2 ¡16Æ 5 3 , x 2 Åy 2 Åz 2 Æ 169 9 là phương trình mặt cầu (S 0 ) tâm O bán kính RÆ 13 3 .Tathấyd(O,(P))Æ 6 p 2 Æ3 p 2ÇR nênmặtcầu(S 0 )cắt(P)theogiaotuyếnlàđườngtròn (C)bánkính rÆ p R 2 ¡(d(O,(P))) 2 Æ É 169 9 ¡18Æ É 7 9 . Vậytậphợpđiểm I làđườngtròn (C),diệntíchhìnhtròngiớihạnbởi (C)là SƼr 2 Æ 7¼ 9 . Chọnđápán B ä Câu32. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chotứdiện ABCD cótọađộcácđiểm A(1;2;1), B(1;0;1), C(¡1;¡1;0), D(¡2;3;4).Trêncáccạnh AB, AC, AD lầnlượtlấycácđiểm B 0 , C 0 , D 0 sao cho AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 Æ6 và tứ diện AB 0 C 0 D 0 có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (B 0 C 0 D)là A. y¡zÆ0. B. y¡z¡2Æ0. C. x¡z¡2Æ0. D. x¡zÆ0. -Lờigiải. Tacó V ABCD V A 0 B 0 C 0 D 0 Æ AB AB 0 ¢ AC AC 0 ¢ AD AD 0 · à AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 3 ! 3 Æ µ 6 3 ¶ 3 Æ8. Dođóthểtíchcủa AB 0 C 0 D 0 nhỏnhấtkhivàchỉkhi AB AB 0 Æ AD AD 0 Æ AC AC 0 Æ2. Khiđó #  AB 0 Æ 1 2 #  AB hay B 0 làtrungđiểmcủa AB)B 0 (1;1;1). Tacó #  BCÆ(¡2;¡1;¡1); #  BDÆ(¡3;3;3)nên h #  BC, #  BD i Æ(0;9;¡9). Mặtkhác (B 0 C 0 D 0 )Ò(BCD)nên #  nÆ h #  BC, #  BD i Æ(0;9;¡9)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (B 0 C 0 D 0 ). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (B 0 C 0 D): 9(y¡1)¡9(z¡1)Æ0,y¡zÆ0. Chọnđápán A ä Câu33. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(¡1;0;0), B(0;¡1;0),C(0;0;1) và mặt phẳng (P): 2x¡2yÅzÅ7Æ0.Xét M2(P),giátrịnhỏnhấtcủa ¯ ¯ ¯ #  MA¡ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  MB ¯ ¯ ¯bằng A. p 22. B. p 2. C. p 6. D. p 19. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 452 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi I làđiểmthỏamãn #  IA¡ #  IBÅ #  ICÆ #  0,suyra I(¡1;1;1).Tacó ¯ ¯ ¯ #  MA¡ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯Åj #  MBjÆ ¯ ¯ ¯ #  MI ¯ ¯ ¯Åj #  MBjÆMIÅMB. Vì B và I cùng phía so với mặt phẳng (P): 2x¡2yÅzÅ7Æ0. Gọi B 0 là điểm đối xứng với điểm B quamặtphẳng (P),suyratọađộ B 0 (¡4;3;¡2). Vậy,tacó MIÅMBÆMIÅMB 0 ¸IB 0 . Dođó,giátrịnhỏnhấtcủabiểuthức ¯ ¯ ¯ #  MA¡ #  MBÅ #  MC ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  MB ¯ ¯ ¯bằng IB 0 Æ p 22. Chọnđápán A ä Câu34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;¡1;0) và mặtphẳng (P): 3xÅ3y¡2z¡29Æ0.Gọi M(a;b;c)làđiểmthuộc (P)saocho MA 2 ÅMB 2 Å3MC 2 đạtgiátrịnhỏnhất.Tínhtổng aÅbÅc. A. ¡10. B. 10. C. 8. D. ¡8. -Lờigiải. Gọi I(x I ;y I ;z I )là 1điểmtrongkhônggianthỏamãn #  IAÅ #  IBÅ3 #  ICÆ #  0 với: 8 > < > : A(1;4;5)) #  IAÆ(1¡x I ;4¡y I ;5¡z I ) B(3;4;0)) #  IBÆ(3¡x I ;4¡y I ,¡z I ) C(2;¡1;0)) #  ICÆ(2¡x I ;¡1¡y I ;¡z I ) ) #  IAÅ #  IBÅ3 #  ICÆ(10¡5x I ;5¡5y I ;5¡5z I ). #  IAÅ #  IBÅ3 #  ICÆ #  0 , ( 10¡5x I Æ0 5¡5y I Æ0 5¡5z I Æ0 , ( x I Æ2 y I Æ1 z I Æ1 )I(2;1;1). Tacó: MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 Æ ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 Å ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 Å3 ³ #  MIÅ #  IC ´ 2 Æ 5MI 2 Å2 #  MI¢ ³ #  IAÅ #  IBÅ3 #  IC ´ ÅIA 2 ÅIB 2 Å3IC 2 Æ 5MI 2 ÅIA 2 ÅIB 2 Å3IC 2 . Vì IA 2 ÅIB 2 Å3IC 2 làhằngsốnên ¡ MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 ¢ min ,MI 2 min )M làhìnhchiếucủa I lên (P).Gọi (d)làđườngthẳngqua I vàvuônggócvới (P)) #  u d Æ #  n P Æ(3;3;¡2). Mà I(2;1;1)nênphươngtrìnhđườngthẳng d: ( xÆ2Å3t yÆ1Å3t zÆ1¡2t ,suyratọađộ M(2Å3t;1Å3t;1¡2t). Vì M2(P))3(2Å3t)Å3(1Å3t)¡2(1¡2t)¡29Æ0)tÆ1. Suyratọađộ M(5;4;¡1))aÅbÅcÆ8. Chọnđápán C ä Câu35. Trong không gian Oxyz cho điểm E(8;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (®) đi qua E và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọngtâmtamgiác ABC. A. xÅ2yÅ2z¡12Æ0. B. xÅyÅ2z¡11Æ0. C. 2xÅyÅz¡18Æ0. D. 8xÅyÅz¡66Æ0. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a,b,cÈ0. Phươngtrìnhmặtphẳng (®): x a Å y b Å z c Æ1. Mặtphẳng (®)điqua E(8;1;1)nên 8 a Å 1 b Å 1 c Æ1. Mà OG 2 Æ a 2 Åb 2 Åc 2 9 nên ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của a 2 Åb 2 Åc 2 . TheobấtđẳngthứcBunhiacopxki (a 2 Åb 2 Åc 2 )(4Å1Å1)¸(2aÅbÅc) 2 ) 6(a 2 Åb 2 Åc 2 )¸(2aÅbÅc) 2 . A G O C M B Th.sNguyễnChínEm 453 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Lạicó p (a 2 Åb 2 Åc 2 )(4Å1Å1)¸(2aÅbÅc) , p (a 2 Åb 2 Åc 2 )(4Å1Å1)¸(2aÅbÅc) µ 8 a Å 1 b Å 1 c ¶ , p (a 2 Åb 2 Åc 2 )(4Å1Å1)¸(4Å1Å1) 2 Æ36. Từđósuyra a 2 Åb 2 Åc 2 ¸6 3 . Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi a 2 4 Æb 2 Æc 2 )aÆ2bÆ2c. Vậy a 2 Åb 2 Åc 2 đạtgiátrịnhỏnhấtbằng216khi aÆ12,bÆcÆ6. Vậyphươngtrìnhmặtphẳnglà x 12 Å y 6 Å z 6 Æ1hay xÅ2yÅ2z¡12Æ0. Chọnđápán A ä Câu36. Chođiểm A(4;¡4;2)vàmặtphẳng(P): 2x¡2yÅzÆ0.Gọi M nằmtrên(P), N làtrung điểm của OM, H là hình chiếu vuông góc của O lên AM. Biết rằng khi M thay đổi thì đường thẳng HN luôntiếpxúcvớimộtmặtcầucốđịnh.Tínhthểtíchcủamặtcầuđó. A. 36¼. B. 32 p 3¼. C. 32 p 2¼. D. 72 p 2¼. -Lờigiải. DễthấyO thuộc (P)và A khôngthuộc (P). Ta có #  n P Æ(2;¡2;1) và #  OAÆ(4;¡4;2) cùng phương nên điểm O là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P). Khoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (P)là AOÆ6. Gọi I là trung điểm của OA. Các tam giác IOH và OHN cân suyra  IHOÆ  IOH và ƒ OHNÆ ƒ NOH,dođó ƒ IHNÆ  IHOÅ ƒ NHOÆ  IONÆ90 ± . Vậy đường thẳng HN luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính RÆIOÆ3.ThểtíchcủamặtcầuđólàVÆ 4 3 ¼R 3 Æ36¼. I A O N M H Chọnđápán A ä Câu37. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;2;¡1),B(0;4;0),mặtphẳng(P) cóphươngtrình2x¡y¡2zÅ2017Æ0.Mặtphẳng(Q)điquahaiđiểm A,Bvàtạovớimặtphẳng (P)mộtgócnhỏnhất. (Q)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (Q) Æ(1;a;b),khiđó aÅb bằng A. 4. B. 0. C. 1. D. ¡2. -Lờigiải. Gọi IÆAB\(P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Gọi¢Æ(P)\(Q). Gọi K làhìnhchiếuvuônggóccủa A lên¢ ) ƒ AKH là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). K I A B H P Do4HKI vuôngtại K (K6ÆI))HK·HI )tan ƒ AKHÆ AH HK ¸ AH HI Ætan  AIH ) ƒ AHK¸  AIH. Vậygócnhỏnhấtgiữahaimặtphẳnglà  AIH. Khiđó K trùngvới I và #  uÆ[ #  AB, #  n (P) ]làmộtvéc-tơchỉphươngcủamặtphẳng (Q). Tacó #  ABÆ(¡1;2;1), #  n (P) Æ(2;¡1;¡2)) #  uÆ[ #  AB, #  n (P) ]Æ(¡3;0;¡3) Th.sNguyễnChínEm 454 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ) #  u 1 Æ(1;0;1)cũnglàmộtvéc-tơchỉphươngcủamặtphẳng (Q). Suyra #  n 2 Æ[ #  u 1 , #  AB]Æ(¡2;¡2;2)Æ¡2(1;1;¡1)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q) ) #  n (Q) Æ(1;1;¡1)cũnglàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q),suyra aÅbÆ0. Chọnđápán B ä Câu38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;¡1;¡1), B(¡1;¡3;1). Giả sử C,D làhaiđiểmdiđộngtrênmặtphẳng (P): 2xÅy¡2z¡1Æ0saocho CDÆ4và A,C,D thẳng hàng. Gọi S 1 ,S 2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng S 1 ÅS 2 cógiátrịbằng A. 34 3 . B. 37 3 . C. 11 3 . D. 17 3 . -Lờigiải. Kiểmtratathấy A2(P). Gọi H là hình chiếu của điểm B lên (P) và d là đường thẳng nằm trong (P),điqua A.Gọi K làhìnhchiếucủa B lên d.Khiđó: n d?BH d?BK )d?HK.Dođó S BCD Æ 1 2 CD¢BK. VìCDÆ4nênS BCD đạtgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtkhivàchỉkhiBK lớnnhất,nhỏnhất. S BCD đạtgiátrịnhỏnhấtkhivàchỉkhi BKÆBH,khiđó S 1 Æ 1 2 ¢4¢ 8 3 Æ 16 3 . S BCD đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi BKÆBA, khi đó S 2 Æ 1 2 ¢4¢3Æ6. Tổng S 1 ÅS 2 Æ 34 3 . B D H d C K A Chọnđápán A ä Câu39. Trong không gian Oxyz, cho điểm P(1;1;2). Mặt phẳng (®) đi qua P cắt các trục Ox, Oy,Ozlầnlượttại A,B,CkhácgốctọađộsaochoTÆ R 2 1 S 2 1 Å R 2 2 S 2 2 Å R 2 3 S 2 3 đạtgiátrịnhỏnhất,trong đó S 1 ,S 2 ,S 3 lần lượt là diện tích các tam giác OAB, OBC, OCA và R 1 , R 2 , R 3 lần lượt là diện tíchcáctamgiác PAB, PBC, PCA.Điểm M nàodướiđâythuộc (®)? A. M(4;0;1). B. M(5;0;2). C. M(2;1;4). D. M(2;0;5). -Lờigiải. Tacó #  OPÆ(1;1;2))OPÆ p 6.Lạicód(P,(Oxy))Æ2,d(P,(Oxz))Æ 1và d(P,(Oyz))Æ1. Đặt dÆd(O,(ABC)),tacó V P.OAB ÆV O.PAB ,d(P,(Oxy))¢S 4OAB Æd(O,(ABC))¢S 4PAB ,2S 1 ÆdR 1 , R 1 S 1 Æ 2 d . Tươngtự,tacó R 2 S 2 Æ 1 d và R 3 S 3 Æ 1 d . A B O x y C z P Khiđó TÆ R 2 1 S 2 1 Å R 2 2 S 2 2 Å R 2 3 S 2 3 Æ 6 d 2 ¸ 6 OP 2 Æ1. Dấu“Æ”xảyrakhivàchỉkhi dÆOP hayOP?(ABC). Từđósuyra (®)nhận #  OPÆ(1;1;2)làmvéc-tơpháptuyến. Dođó (®)cóphươngtrình 1(x¡1)Å1(y¡1)Å2(z¡2)Æ0,xÅyÅ2z¡6Æ0. Vậy M(4;0;1)làđiểmthuộc (®). Th.sNguyễnChínEm 455 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu40. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ4vàmặtphẳng (®): zÆ1.Biết rằng (®)chia (S)thànhhaiphần,khiđótỉsốtỉsốthểtíchcủaphầnnhỏvớiphầnlớnlà A. 5 27 . B. 1 6 . C. 7 25 . D. 2 11 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmO(0;0;0)vàbánkính RÆ2,suyra d(O,(®))Æ1. Thểtíchcủa (S)làVÆ 4 3 ¼R 3 Æ 32¼ 3 . Gắn vào mặt cầu hệ trục Oxy có tâm O là gốc tọa độ; mặt phẳng (®) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1. Khi đó mặt cầu (S) tạo thànhkhiquayđườngtròn x 2 Åy 2 Æ4quanhOx. Gọi V 1 ,V 2 lần lượt là thể tích của phần lớn và phần nhỏ khi chia (S) bởi (®).Tacó V 2 Ƽ 2 Z 1 ¡ 4¡x 2 ¢ dxÆ µ 4x¡ x 3 3 ¶¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 Æ 5¼ 3 . TừđósuyraV 1 ÆV¡V 2 Æ 32¼ 3 ¡ 5¼ 3 Æ 27¼ 3 .Vậy V 2 V 1 Æ 5 27 . x y O 1 2 Chọnđápán A ä Câu41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P)qua M cắtcáctrụcOx,Oy,Ozlầnlượttại A,B,C saocho 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 đạtgiá trịnhỏnhất. A. (P): xÅ2yÅ3z¡8Æ0. B. (P): x 1 Å y 2 Å z 1 Æ1. C. (P): xÅyÅz¡4Æ0. D. (P): xÅ2yÅz¡6Æ0. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủaO trên (ABC) )H làtrựctâmcủa4ABC. Tacó 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 Æ 1 OH 2 . Dođó 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 nhỏnhấtkhivàchỉkhi OH lớn nhất. MặtkhácOH·OM )OH lớnnhấtkhivàchỉkhiOHÆOM. Khiđó (P)điqua M(1;2;1)vànhận #  OMÆ(1;2;1)làvéc-tơ pháptuyến )(P): xÅ2yÅz¡6Æ0. y M A z H B O x C Chọnđápán D ä Câu42. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡1), B(0;4;0) và mặt phẳng (P): 2x¡y¡ 2zÅ2018Æ0. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và ® là góc nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng (P)và (Q).Giátrịcủa cos®là A. cos®Æ 1 6 . B. cos®Æ 2 3 . C. cos®Æ 1 9 . D. cos®Æ 1 p 3 . -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến #  n 1 Æ(2;¡1;¡2). Gọi #  n 2 Æ(a;b;c) là một véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (Q)( #  n 2 6Æ #  0). Do A,B2(Q)nên #  n 2 ¢ #  ABÆ0,¡aÅ2bÅcÆ0,aÆ2bÅc.Suyra #  n 2 Æ(2bÅc;b;c). Th.sNguyễnChínEm 456 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó cos®Æ j #  n 1 ¢ #  n 2 j j #  n 1 j¢j #  n 2 j Æ jbj p 5b 2 Å4bcÅ2c 2 Æ jbj p 3b 2 Å2(bÅc) 2 · jbj p 3b 2 Æ 1 p 3 . Dấu“Æ”xảyrakhi bÅcÆ0. Vậy®làgócnhỏnhấtthì cos®Æ 1 p 3 . Chọnđápán D ä Câu43. Trong không gian Oxyz cho (Q): 24x¡12yÅ9z¡36Æ 0 và hai điểm A µ ¡2;¡2; 5 2 ¶ ; B µ 2;¡4;¡ 5 2 ¶ .Tìmphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứa AB vàtạovới (Q)mộtgócnhỏnhất. A. 2x¡yÅ2z¡3Æ0. B. xÅ2yÆ0. C. xÅ2yÅ1Æ0. D. 2x¡yÅ2zÆ0. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa A trênmặtphẳng (Q)và ulàgiao tuyếncủa (P)và (Q).Hạ HM?u tại M.Vậygóctạobởi (P) và (Q)là à AMH. Tacó tan à AMHÆ AH HM . Để à AMH nhỏnhấtthì HM lớnnhất. H M K A B Gọi KÆAB\(Q).Khiđó u luônđiqua K nênđể HM lớnnhấtthì M´K. Khiđógọi #  aÆ[ #  n (P) , #  AB]thì #  n (Q) Æ[ #  a, #  AB]Æ(¡780;390;¡780). Dođócóthểchọn #  n (Q) Æ(2;¡1;2) mà (Q)điqua A nêncóphươngtrình 2x¡yÅ2z¡3Æ0. Chọnđápán A ä Câu44. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡1;1;2) và B(1;2;¡1). Gọi (P) là mặt phẳng chứađườngthẳng ABvàtạovớimặtthẳng (Q): xÅ2y¡2zÅ3Æ0mộtgócnhỏnhất.Điểmnào sauđâythuộcmặtphẳng (P)? A. (1;7;¡9). B. (0;1;¡7). C. (1;1;¡8). D. (2;5;4). -Lờigiải. Gọi #  nÆ(a;b;c)làvectorpháptuyếncủamặtphẳng (P). Khiđómặtphẳng (P)cóphươngtrình a(xÅ1)Åb(y¡1)Åc(z¡2)Æ0,axÅbyÅcz¡a¡b¡2cÆ0. Tacó 1aÅ2b¡1cÅa¡b¡2cÆ0,bÆ3c¡2a. cos á ((P),(Q))Æ j1aÅ2b¡2cj 3 p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ jaÅ6c¡4a¡2cj 3 p a 2 Å(3c¡2a) 2 Åc 2 Æ j4c¡3aj 3 p 5a 2 ¡12acÅ10c 2 . +Nếu aÆ0)cos á ((P),(Q))Æ 4jcj 3 p 10c 2 Æ 4 3 p 10 . +Nếu a6Æ0)cos á ((P),(Q))Æ ¯ ¯ ¯4 c a ¡3 ¯ ¯ ¯ 3 Ê 10 c 2 a 2 ¡12 c a Å5 . Xéthàmsố f(t)Æ j4t¡3j 3 p 10t 2 ¡12tÅ5 ,với tÆ c a . Để á ((P),(Q))nhỏnhấtthì cos á ((P),(Q))lớnnhất. Dễdàngchứngminhđược f(t)· 1 3 É 13 7 ,đẳngthứcxảyrakhi tÆ¡ 1 3 ,aÆ¡3c. Chọn aÆ3, cÆ¡1)bÆ¡9. Vậy (P): 3x¡9y¡zÅ14Æ0. Dođóđiểm (1;1;¡8)thuộc (P). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 457 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu45. TrongkhônggianOxyzchođườngthẳng d: ( xÆ1Å3t yÆ¡3 zÆ5Å4t .Gọi¢làđườngthẳngđiqua điểm A(1;¡3;5)vàcóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;2;¡2).Đườngphângiácgócnhọntạobởihai đườngthẳng d và¢là A. ( xÆ¡1Å2t yÆ2¡5t zÆ6Å11t . B. ( xÆ¡1Å2t yÆ2¡5t zÆ¡6Å11t . C. ( xÆ1Å7t yÆ3¡5t zÆ5Åt . D. ( xÆ1¡t yÆ¡3 zÆ5Å7t . -Lờigiải. Tacóđiểm A(1;¡3;5)thuộcđườngthẳng d nên A làgiaođiểmcủa d và¢. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  v Æ(¡3;0;¡4). Đặt #  u 0 Æ 1 j #  uj #  uÆ µ 1 3 ; 2 3 ;¡ 2 3 ¶ , #  v 0 Æ 1 j #  vj #  v Æ µ ¡ 3 5 ;0;¡ 4 5 ¶ .Tacó #  u 0 ¢ #  v 0 È0nêngóctạobởihaivéc-tơ #  u 0 , #  v 0 làgócnhọntạobởi d và¢. Suy ra #  wÆ #  u 0 Å #  v 0 Æ µ ¡ 4 15 ; 10 15 ;¡ 22 15 ¶ Æ¡ 2 15 (2;¡5;11) là véc-tơ chỉ phương của đường phân giác cầntìm.Phươngtrìnhđườngphângiáccầntìmlà ( xÆ1Å2t yÆ¡3¡5t zÆ5Å11t. Chọn tÆ¡2 suy ra điểm M(¡1;2;¡6) thuộc đường phân giác. Khi đó, đường phân giác có phươngtrình ( xÆ¡1Å2t yÆ2¡5t zÆ¡6Å11t. Chọnđápán B ä Câu46. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(¡1;¡4;4),B(1;7;¡2),C(1;4;¡2). Mặt phẳng (P): axÅbyÅczÅ62Æ0 đi qua A, đặt h 1 Æd(B,(P));h 2 Æ2d(C,(P)). Khi h 1 Åh 2 đạt giá trị lớn nhất,tính TÆaÅbÅc. A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. -Lờigiải. Lấy C 0 làđiểmđốixứngcủa A qua C. Tọađộcủa C 0 là C 0 (3;12;¡8). Vậy d(C 0 ,(P))Æ2d(C,(P))Æh 2 . Tachialàm2trườnghợp: NếuB,C 0 nằmcùngphíasovới(P)thìlấyIlàtrungđiểmBC 0 .TọađộcủaIlàI µ 2; 19 2 ;¡5 ¶ . Tacó h 1 Åh 2 Æd(B,(P))Åd(C 0 ,(P))Æ2d(I,(P))É2AI. Nếu B,C 0 nằmkhácphíasovới (P)thì h 1 Åh 2 ÉBC 0 . #  BC 0 Æ(2;5;¡6))j #  BC 0 jÆ p 65. #  AIÆ(¡3;¡ 27 2 ;9))j #  AIjÆ16.5. Tathấy AIÈBC 0 nênđộdài AI làgiátrịlớnnhấtcủa h 1 Åh 2 . Vậy (P)nhận #  AI làvéc-tơpháptuyến. Khiđó (P): ¡3(xÅ1)¡ 27 2 (yÅ4)Å9(z¡4)Æ0,2(xÅ1)Å9(yÅ4)¡6(z¡4)Æ0. Vậy TÆaÅbÅcÆ2Å9¡6Æ5. Chọnđápán D ä Câu47. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobốnđiểm A(2;0;0),B(0;4;0),C(2;4;0),D(0;0;6) và mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡6zÆ0. Có bao nhiêu mặt phẳng cắt (S) theo một đường tròncódiệntích 14¼vàcáchđềucảnămđiểmO,A,B,C,D (O làgốctọađộ)? A. 5. B. 3. C. 7. D. 1. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngthỏayêucầu.Từgiaotuyếncủa (®)và (S)suyra (®)điquatâmmặtcầu (S)là I(1;2;3). Th.sNguyễnChínEm 458 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 (®)cóphươngtrình A(x¡1)ÅB(y¡2)ÅC(z¡3)Æ0. Vì (®)cáchđều5điểm A,B,C,D,O nên jA¡2B¡3CjÆj¡AÅ2B¡3CjÆj¡A¡2BÅ3CjÆjAÅ2B¡3CjÆj¡A¡2B¡3Cj Với CÆ0.Khiđó jA¡2BjÆjAÅ2Bj, h AÆ0 BÆ0 Vậycó2mặtphẳng xÆ1hoặc yÆ2. Với C6Æ0,chọn CÆ1.Khiđó jA¡2B¡3jÆjA¡2BÆ3jÆjAÅ2B¡3jÅjAÅ2BÅ3j ) ½ jA¡2B¡3jÆjA¡2BÅ3j jAÅ2B¡3jÆjAÅ2BÅ3j ) n A¡2BÆ0 AÅ2BÆ0 ) AÆBÆ0 Thử lại AÆBÆ0 thỏa điều kiện. Do đó (®) có phương trình zÆ3. Vậy có 1 mặt phẳng thỏaycbt. Vậycótấtcả3mặtphẳngthỏađiềukiệnđềbài. Chọnđápán B ä Câu48. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;¡2;¡4), B(¡4;¡4;2), C(2;¡3;3). Biết tọa độ điểm M(a;b;c)trênmặtphẳng(Oxz)saochobiểuthức MA 2 ÅMB 2 Å2MC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. Khiđógiátrị PÆa 2 Åb 2 Åc 2 là A. PÆ1. B. PÆ2. C. PÆ9. D. PÆ4. -Lờigiải. Với I làđiểmbấtkỳtacó MA 2 ÅMB 2 Å2MC 2 Æ #  MA 2 Å #  MB 2 Å2 #  MC 2 Æ( #  MIÅ #  IA) 2 Å( #  MIÅ #  IB) 2 Å2( #  MIÅ #  IC) 2 Æ4 #  MI 2 Å #  IA 2 Å #  IB 2 Å2 #  IC 2 Å2 #  MI( #  IAÅ #  IBÅ2 #  IC) Æ4MI 2 ÅIA 2 ÅIB 2 Å2IC 2 Å2 #  MI( #  IAÅ #  IBÅ2 #  IC). Vớiđiểm I thỏamãn #  IAÅ #  IBÅ2 #  ICÆ #  0 )I µ 0; ¡5 2 ;1 ¶ . Do IA 2 ÅIB 2 Å2IC 2 khôngđổinên MA 2 ÅMB 2 Å2MC 2 nhỏnhấtkhi MI nhỏnhất,M làhình chiếucủa I trên (Oxz))M(0;0;1). Vậy PÆ1. Chọnđápán A ä Câu49. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡3) 2 Å(y¡4) 2 Å(z¡5) 2 Æ 49. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và cách tâm I của mặt cầu một đoạn lớn nhất. Khoảngcáchtừ A(10;5;10)đến (P)bằng A. 12 p 2. B. 10 p 2. C. 6 p 2. D. 8 p 2. -Lờigiải. MặtphẳngđiquaO(0;0;0)vàcáchtâm I(3;4;5)mộtđoạn lớn nhất sẽ nhận #  OIÆ(3;4;5) làm véctơ pháp tuyến. Suy ra (P): 3xÅ4yÅ5zÆ0.Khoảngcáchtừ A(10;5;10)đến (P) bằng hÆ j3.10Å4.5Å5.10j p 3 2 Å4 2 Å5 2 Æ10 p 2. O I Th.sNguyễnChínEm 459 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm S(0;0;1), M(m;0;0), N(0;n;0) với m, nÈ0và mÅnÆ1.Mặtphẳng (SMN)luôntiếpxúcvớimộtmặtcầucốđịnhcóbánkính làbaonhiêubiếtmặtcầuđóđiquađiểm A(1;1;1)? A. 2. B. p 2. C. 1. D. p 3. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (SMN)điquabađiểm S(0;0;1), M(m;0;0), N(0;n;0) x m Å y n Å z 1 Æ1,nxÅmyÅmnz¡mnÆ0. Gọi I làhìnhchiếuvuônggóccủa A(1;1;1)trênmặtphẳng (Oxy),tacó I(1;1;0)và IAÆ1. Tacó d(I,(SMN))Æ jnÅm¡mnj p m 2 Ån 2 Åm 2 n 2 Æ j1¡mnj p (mÅn) 2 ¡2mnÅm 2 n 2 Æ j1¡mnj p (1¡mn) 2 Æ1. Suyramặtphẳng (SMN)luôntiếpxúcvớimộtmặtcầutâm I(1;1;0),bánkính RÆ1. Chọnđápán C ä Câu51. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) và ba điểm A(1;2;1), B(0;1;2), C(0;0;3). ĐiểmM(x 0 ;y 0 ;z 0 )thuộc(P)saochoMA 2 Å3MB 2 Å2MC 2 đạtgiátrịnhỏnhất.Giátrịx 0 Å2y 0 ¡z 0 bằng A. 2 9 . B. 6 9 . C. 46 9 . D. 4 9 . -Lờigiải. Gọi I làđiểmthỏamãn #  IAÅ3 #  IBÅ2 #  ICÆ #  0 , #  OIÆ 1 6 ³ #  OAÅ3 #  OBÅ2 #  OC ´ )I µ 1 6 ; 5 6 ; 13 6 ¶ . Khiđó T Æ MA 2 Å3MB 2 Å2MC 2 Æ ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 Å3 ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 Å2 ³ #  MIÅ #  IC ´ 2 Æ 6MI 2 ÅIA 2 Å3IB 2 Å2IC 2 . Do IA 2 Å3IB 2 Å2IC 2 khôngđổinên T đạtgiátrịnhỏnhấtkhi MI nhỏnhất. Do M2(P)nên MI nhỏnhấtkhi M làhìnhchiếuvuônggóccủa I lên (P). Do MI?(P) nên phương trình đường thẳng MI đi qua I và có véc-tơ pháp tuyến #  u d Æ(1;1;1) là 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 1 6 Åt yÆ 5 6 Åt zÆ 13 6 Åt )M µ 1 6 Åt; 5 6 Åt; 13 6 Åt ¶ . Mặtkhác M2(P)nên 1 6 ÅtÅ 5 6 ÅtÅ 13 6 Åt¡4Æ0,tÆ 5 18 )M µ 4 9 ; 10 9 ; 22 9 ¶ . Suyra x 0 Å2y 0 ¡z 0 Æ 4 9 Å 20 9 ¡ 22 9 Æ 2 9 . Chọnđápán A ä Câu52. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 6OAÅ3OBÅ2OC cógiátrịnhỏnhất. A. 6xÅ2yÅ3z¡19Æ0. B. xÅ2yÅ3z¡14Æ0. C. 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. D. xÅ3yÅ2z¡13Æ0. -Lờigiải. Giảsửđiểm A(a;0;0), B(0;b;0)và C(0;0;c)dogiảthiếtsuyra aÈ0, bÈ0và cÈ0. Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng (P)là x a Å y b Å z c Æ1. Th.sNguyễnChínEm 460 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do M thuộc (P)nên 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1 (¤). ÁpdụngbấtđẳngthứcBunhiacốpskichohaibộsố µ É 1 a , É 2 b , É 3 c ¶ và ³ p 6a; p 3b, p 2c ´ tacó Ã É 1 a ¢ p 6aÅ É 2 b ¢ p 3bÅ É 3 c ¢ p 2c ! 2 · µ 1 a Å 2 b Å 3 c ¶ ¢(6aÅ3bÅ2c). Do (¤)tasuyra ³ p 6Å p 6Å p 6 ´ 2 ·(6aÅ3bÅ2c),6aÅ3bÅ2c¸54. Dấuđẳngthứcxảyrakhi 8 > > > > > < > > > > > : p 6a É 1 a Æ p 3b É 2 b Æ p 2c É 3 c 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1 , 8 > > < > > : p 6aÆ É 3 2 bÆ É 2 3 c 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1 , 8 > < > : bÆ2a cÆ3a 3 a Æ1 , ( bÆ2a cÆ3a aÆ3 , ( aÆ3 bÆ6 cÆ9 . Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. Chọnđápán C ä Câu53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c là các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho a 2 Åb 2 Åc 2 Æ1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)lớnnhấtlà A. 1 p 3 . B. 1. C. 1 3 . D. 3. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x a Å y b Å z c Æ1.Khiđó d(O,(ABC))Æ 1 É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 . ÁpdụngbấtđẳngthứcBunhhiatacó ¡ a 2 Åb 2 Åc 2 ¢ µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ ¸9) 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¸9. Suyra d(O,(ABC))· 1 3 . Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi aÆbÆcÆ 1 p 3 . Chọnđápán C ä Câu54. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaiđiểm A(2;1;3), B(6;5;5).Gọi (S)là mặtcầucóđườngkính AB.Mặtphẳng(P)vuônggócvớiđoạn ABtại H saochokhốinónđỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P): 2xÅbyÅczÅdÆ0với b,c,d2R.Tính SÆbÅcÅd. A. SÆ¡18. B. SÆ¡24. C. SÆ¡11. D. SÆ¡14. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 461 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 GọiR, r, hlầnlượtlàbánkínhcủamặtcầu(S),đườngtròntâm H vàchiềucaocủahìnhnón. #  ABÆ(4;4;2))RÆ AB 2 Æ3và r 2 Æh(6¡h). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)cùngphươngvới #  AB nên bÆ2,cÆ1. ThểtíchkhốinónVÆ 1 3 ¼r 2 hÆ 1 3 ¼h 2 (6¡h). Để V đạt giá trị lớn nhất thì hàm số f(h)Æh 2 (6¡h) đạt giá trị lớnnhấttrongkhoảng (0;6). A H B I K Tacó f 0 (h)Æ¡3h 2 Å12h, f 0 (h)Æ0, · hÆ0Ý(0;6) hÆ42(0;6). Bảngbiếnthiên h f 0 (h) f(h) 0 4 6 Å 0 ¡ 0 0 32 32 0 0 TừbảngbiếnthiêntacóV max khi hÆ4. Mà hÆd(A,(P)), jdÅ9j 3 Æ4, h dÆ¡21 dÆ¡3. Mặtkhác d(A,(P))Èd(B,(P))nêntaloại dÆ¡3.Vậy bÅcÅdÆ2Å1¡21Æ¡18. Chọnđápán A ä Câu55. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡2zÆ0và điểm A(2;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết rằng điểm B thuộc mặt cầu (S), có hoànhđộdươngvàtamgiácOAB đều. A. x¡y¡zÆ0. B. x¡yÅzÆ0. C. x¡y¡2zÆ0. D. x¡yÅ2zÆ0. -Lờigiải. Ta có #  OAÆ(2;2;0) và trung điểm của OA là J(1;1;0). Khi đó phương trình mặt phẳng trung trựccủaOA là xÅy¡2Æ0. GọitọađộđiểmBcódạng(a;b;c).VìđiểmBthuộcmặtcầu(S)vàtamgiácOABđềunênđiểm B cũng thuộc mặt phẳng trung trực OA. Ta suy ra hệ sau ( aÅb¡2Æ0 a 2 Åb 2 Åc 2 ¡2a¡2b¡2cÆ0 OA 2 ÆOB 2 , ( aÅb¡2Æ0 a 2 Åb 2 Åc 2 ¡2a¡2b¡2cÆ0 a 2 Åb 2 Åc 2 Æ8 , ( aÅb¡2Æ0 aÅbÅcÆ4 a 2 Åb 2 Åc 2 Æ8 , ( aÅbÆ2 cÆ2 a 2 Åb 2 Æ4 ( bÆ2¡a cÆ2 aÆ2_aÆ0. Vìđiểm B cóhoànhdộdươngnên aÆ2;bÆ0,cÆ2. #  OBÆ(2;0;2) và #  n Æ h #  OA; #  OB i Æ(4;¡4;¡4). Khi đó ta chọn véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng OAB là #  nÆ(1;¡1;¡1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng(OAB)điquađiểmO(0;0;0)vàcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;¡1;¡1) là x¡y¡zÆ0. Chọnđápán A ä Câu56. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(1;2;1),B(3;¡1;1)vàC(¡1;¡1;1).GọiS 1 làmặt cầucótâm A,bánkínhbằng 2,S 2 và S 3 làhaimặtcầucótâmlầnlượtlàB,C vàbánkínhđều bằng 1.Hỏicóbaonhiêumặtphẳngtiếpxúccảbamặtcầu (S 1 ),(S 2 ),(S 3 )? A. 6. B. 7. C. 5. D. 8. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 462 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C A B x y O ¡3 ¡2 ¡1 1 2 3 4 5 ¡2 ¡1 1 2 3 4 5 Nhậnxét A,B,C thuộcmặtphẳng zÆ1. Trênmặtphẳng zÆ1xétđườngtròn (C 1 )tâm A(1;2),RÆ2.Đườngtròn (C 2 )tâm B(3;¡1),(C 3 ) tâm C(¡1;¡1)cócùngbánkính RÆ1. Có 2mặtphẳngtiếpxúccả 3mặtcầusaocho (S 1 ),(S 2 ),(S 3 )nằmvềcùngmộtphíađốivớimặt phẳngđó. Có 1 mặt phẳng tiếp xúc cả 3 mặt cầu sao cho (S 2 ),(S 3 ) nằm về cùng một phía và (S 1 ) nằm phíabênkiađốivớimặtphẳng. Có 2 mặt phẳng tiếp xúc cả 3 mặt cầu sao cho (S 1 ),(S 2 ) nằm về cùng một phía và (S 3 ) nằm phíabênkiađốivớimặtphẳng. Có 2 mặt phẳng tiếp xúc cả 3 mặt cầu sao cho (S 1 ),(S 3 ) nằm về cùng một phía và (S 2 ) nằm phíabênkiađốivớimặtphẳng. Vậycó 2Å1Å2Å2Æ7mặtphẳngthỏamãnbàitoán. Chọnđápán B ä Câu57. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡1), B(0;4;0) và mặt phẳng (P): 2x¡y¡ 2zÅ2018Æ0. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và ® là góc nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng (P)và (Q).Giátrịcủa cos®là A. cos®Æ 1 6 . B. cos®Æ 2 3 . C. cos®Æ 1 9 . D. cos®Æ 1 p 3 . -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến #  n 1 Æ(2;¡1;¡2). Gọi #  n 2 Æ(a;b;c) là một véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (Q)( #  n 2 6Æ #  0). Do A,B2(Q)nên #  n 2 ¢ #  ABÆ0,¡aÅ2bÅcÆ0,aÆ2bÅc.Suyra #  n 2 Æ(2bÅc;b;c). Tacó cos®Æ j #  n 1 ¢ #  n 2 j j #  n 1 j¢j #  n 2 j Æ jbj p 5b 2 Å4bcÅ2c 2 Æ jbj p 3b 2 Å2(bÅc) 2 · jbj p 3b 2 Æ 1 p 3 . Dấu“Æ”xảyrakhi bÅcÆ0. Vậy®làgócnhỏnhấtthì cos®Æ 1 p 3 . Chọnđápán D ä Câu58. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(2;1;¡2), C(1;0;¡1) và mặt phẳng (P): xÅyÅzÅ3Æ0.Gọi M(a;b;c)2(P)saocho MA 2 ÅMB 2 ¡MC 2 Æ1.Tính TÆa 2 Å2b 2 Å3c 2 . A. TÆ41. B. TÆ8. C. TÆ4. D. TÆ2. -Lờigiải. Gọi I(x;y;z)làđiểmthỏamãn #  IAÅ #  IB¡ #  ICÆ #  0.Tacó #  IA Æ(1¡x;2¡y;¡1¡z) #  IB Æ(2¡x;1¡y;¡2¡z) #  IC Æ(1¡x;¡y;¡1¡z) ) ( 1¡xÅ2¡x¡(1¡x)Æ0 2¡yÅ(1¡y)ÅyÆ0 ¡1¡z¡2¡zÅ1ÅzÆ0 , ( xÆ2 yÆ3 zÆ¡2 )I(2;3;¡2). Th.sNguyễnChínEm 463 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  IAÆ(¡1;¡1;1))IA 2 Æ3, #  IBÆ(0;¡2;0))IB 2 Æ4, #  ICÆ(¡1;¡3;1))IC 2 Æ11. Theogiảthiết MA 2 ÅMB 2 ¡MC 2 Æ8 , #  MA 2 Å #  MB 2 ¡ #  MC 2 Æ1 , ³ #  MIÅ #  IA ´ 2 Å ³ #  MIÅ #  IB ´ 2 ¡ ³ #  MIÅ #  IC ´ 2 Æ1 , MI 2 ÅIA 2 ÅIB 2 ¡IC 2 Æ8 , MI 2 Å3Å4¡11Æ8 , MI 2 Æ12,MIÆ2 p 3. Tacó d(I,(P))Æ j2Å3¡2Å3j p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ 6 p 3 Æ2 p 3ÆMI. Suyra M làhìnhchiếuvuônggóccủa I trên (P). Gọi d làđườngthẳngđiqua I vàvuônggócvới (P). Khiđó d nhậnvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;1;1)của (P)làvéc-tơchỉphương. Phươngtrìnhđườngthẳng d là ( xÆ2Åt yÆ3Åt zÆ¡2Åt. Vì M2d nên M(2Åt;3Åt;¡2Åt).Mặtkhác M2(P))(2Åt)Å(3Åt)Å(¡2Åt)Å3Æ0,tÆ2. Vậy M(4;5;0))aÆ4,bÆ5,cÆ0)TÆ4 2 Å5 2 Å0 2 Æ41. Chọnđápán A ä Câu59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅyÅz¡2Æ0 cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Gọi D là điểm trong không gian sao cho DA, DB, DC vuông góc với nhau từng đôi một (D không trùng O). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC. Điểm M(a;b;c) thuộc (P) sao cho MIÅME đạt giá trị nhỏ nhất, biết E(1;1;¡2). Tính TÆ2a¡bÅc. A. TÆ¡1. B. TÆ1. C. TÆ2. D. TÆ¡3. -Lờigiải. Do DA, DB, DC vuông góc với nhau từng đôi một nên suy ra O và D đối xứng nhau qua mặt phẳng (ABC). Từđó,haikhốichópO.ABC và D.ABC đốixứngnhauqua (ABC).Gọi J làtâmmặtcầungoại tiếphìnhchópO.ABC thì I và J cũngđốixứngnhauqua (ABC). Ta có (P): xÅyÅz¡2Æ0, x 2 Å y 2 Å z 2 Æ1. Suy ra A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2), do đó J(1;1;1). Dễ dàngkiểmtrađược J và E khôngcùngphíađốivớimặtphẳng (ABC). Khiđó MIÅMEÆMJÅME¸JE. Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi MÆJE\(ABC),tađược M(1;1;0). Vậy TÆ2a¡bÅcÆ2£1¡1Å0Æ1 Chọnđápán B ä Câu60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) và gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (Q): xÅyÅzÅ5Æ0. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếuvuônggóccủa A, B, C lênmặtphẳng (P).Diệntíchlớnnhấtcủatamgiác DEF là A. É 13 6 . B. 7 2 . C. p 14. D. p 14 2 . -Lờigiải. Mặtphẳng (ABC)cóvéc-tơpháptuyến #  n 1 Æ h #  AB; #  AC i Æ(6;3;2). Gọi®làgócgiữamặtphẳng (P)và (ABC).Tacó S DEF ÆS ABC ¢cos®Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AB; #  AC i¯ ¯ ¯¢cos®Æ 7 2 ¢cos®. Gọi #  n 2 Æ(a;b;c), a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Tacó cos®Æ ¯ ¯ #  n 1 ¢ #  n 2 ¯ ¯ ¯ ¯ #  n 1 ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n 2 ¯ ¯ Æ j6aÅ3bÅ2cj 7¢ p a 2 Åb 2 Åc 2 Th.sNguyễnChínEm 464 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtkhácvì (P)?(Q)nên aÅbÅcÆ0)cÆ¡a¡b. Từđósuyra cos®Æ j4aÅbj 7¢ p 2a 2 Å2b 2 Å2ab Æ ¯ ¯ ¯4 a b Å1 ¯ ¯ ¯ 7¢ É 2 ³ a b ´ 2 Å2Å2 a b Æ 1 7 Î 16 ³ a b ´ 2 Å1Å8 a b 2 ³ a b ´ 2 Å2Å2 a b . Xéthàmsố f(t)Æ 16t 2 Å8tÅ1 2t 2 Å2tÅ2 ,tacó f 0 (t)Æ 16t 2 Å60tÅ14 ¡ 2t 2 Å2tÅ2 ¢ 2 . Tacóbảngbiếnthiên: t f 0 (t) f(t) ¡1 ¡ 7 2 ¡ 1 4 Å1 Å 0 ¡ 0 Å 8 8 26 3 26 3 0 0 8 8 Dựavàobảngbiếnthiêntacó maxcos®Æ 1 7 . É 26 3 Æ p 78 21 . Vậy maxS DEF Æ 7 2 ¢ p 78 21 Æ É 13 6 Chọnđápán A ä Câu61. TrongkhônggianOxyzchomặtphẳng(P):2xÅyÅz¡3Æ0vàhaiđiểm A(m;1;0),B(1;¡m;2). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A,B lên mặt phẳng (P). Biết EFÆ p 5. Tổng tất cả các giá trịcủathamsố mlà A. ¡6. B. 2. C. 3. D. ¡3. -Lờigiải. Gọi d 1 làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P). d 1 : ( xÆmÅ2t yÆ1Åt zÆt. E làhìnhchiếucủa A lên (P) )EÆd 1 \(P))E µ 2Åm 3 ; 4¡m 3 ; 1¡m 3 ¶ . Gọi d 2 làđườngthẳngđiqua B vàvuônggócvới (P). d 2 : ( xÆ1Å2t yÆ¡mÅt zÆ2Åt. F làhìnhchiếucủa B lên (P) )FÆd 2 \(P))F µ 2Åm 3 ; ¡5m¡1 6 ; 11Åm 6 ¶ . Tacó EF 2 Æ5 , µ 4¡m 3 Å 5mÅ1 6 ¶ 2 Å µ 1¡m 3 ¡ 11Åm 6 ¶ 2 Æ5 ,m 2 Å6m¡1Æ0. Phương trình trên có 2 nghiệm và tổng của chúng bằng¡ 6 1 Æ ¡6. A E B F Chọnđápán A ä Câu62. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaimặtphẳng (P): x¡yÅzÅ3Æ0, (Q): xÅ 2y¡2z¡5Æ0 và mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0. Gọi M là điểm di động trên (S) và N làđiểmdiđộngtrên (P)saocho MN luônvuônggócvới (Q).Giátrịlớnnhấtcủađộdài đoạnthẳng MN bằng Th.sNguyễnChínEm 465 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 9Å5 p 3. B. 28. C. 14. D. 3Å5 p 3. -Lờigiải. Ta có (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0,(x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. Suy ra (S) có tâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ5. Gọi (R) là mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S). Khi đó M là tiếp điểm của (S) với (R)và N làgiaođiểmcủađườngthẳng dđiqua M vuônggócvới(Q)vớimặtphẳng(P).Cóhai cặp M,N nhưthế,mộtcặpứng MN lớnnhất,mộtcặpứngvới MN nhỏnhất. Vì (R)Ò(P))(R): x¡yÅzÅDÆ0(D6Æ3). (R)tiếpxúcvới (S)nêncód(I,(R))ÆR, j1Å2Å3ÅDj p 1 2 Å(¡1) 2 Å1 2 Æ5, · DÆ5 p 3¡6 DÆ¡5 p 3¡6 (thỏamãn). Suyra (R 1 ):x¡yÅzÅ5 p 3¡6Æ0và (R 2 ):x¡yÅz¡5 p 3¡6Æ0. M 1 là tiếp điểm của (S) với (R 1 ) nên M 1 à 1¡ 5 p 3 3 ;¡2Å 5 p 3 3 ;3¡ 5 p 3 3 ! . Gọi d 1 là đường thẳng qua M 1 vuông góc với (Q). Khi đó N 1 Æ d 1 \(P)) N 1 à 4¡ 10 p 3 3 ;4¡ 5 p 3 3 ;¡3Å 5 p 3 3 ! . Ta được M 1 N 1 Æ9¡5 p 3. M 2 là tiếp điểm của (S) với (R 2 ) nên M 2 à 1Å 5 p 3 3 ;¡2¡ 5 p 3 3 ;3Å 5 p 3 3 ! . Gọi d 2 là đường thẳng qua M 2 vuông góc với (Q). Khi đó N 2 Æ d 2 \(P)) N 2 à 4Å 10 p 3 3 ;4Å 5 p 3 3 ;¡3¡ 5 p 3 3 ! . Ta được M 2 N 2 Æ9Å5 p 3. Thấy M 2 N 2 ÈM 1 N 1 nêngiátrịlớnnhấtcủa MN là 9Å5 p 3. Chọnđápán A ä Câu63. Trongkhônggianvới hệtoạđộ Oxyz,viếtphươngtrình mặtphẳng (P)điquađiểm M(1;2;3)vàcắtcáctia Ox, Oy, Oz lầnlượttạicácđiểm A, B, C saocho TÆ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. A. (P): 6x¡3yÅ2z¡6Æ0. B. (P): 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. C. (P): xÅ2yÅ3z¡14Æ0. D. (P): 3xÅ2yÅz¡10Æ0. -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0)và C(0;0;c)làbađiểmthuộcOxyz.Tacómặtphẳng (P)điquacácđiểm A, B, C cóphươngtrìnhlà x a Å y b Å z c Æ1. Mà (P)điquađiểm M(1;2;3)nên 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1. Dođó,ápdụngbấtđẳngthứcBunyakovskytađược µ 1 a Å 2 b Å 3 c ¶ 2 É ¡ 1 2 Å2 2 Å3 2 ¢ µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ , 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Ê 1 14 , 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 Ê 1 14 . Dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi 8 > > > > < > > > > : 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1 1 1 a Æ 2 1 b Æ 3 1 c , ( 1 a Å 2 b Å 3 c Æ1 aÆ2bÆ3c , 8 > < > : aÆ14 bÆ7 cÆ 14 3 ,(P): x 14 Å y 7 Å 3z 14 Æ1. Vậy minTÆ 1 14 ,(P): xÅ2yÅ3z¡14Æ0. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 466 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu64. TrongkhônggianOxyz,chotứdiện ABCDcó A(1;1;1),B(2;0;2),C(¡1;¡1;0)vàD(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B 0 , C 0 , D 0 sao cho thể tích của khối tứ diện AB 0 C 0 D 0 nhỏnhấtvà AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 Æ4.Tìmphươngtrìnhcủamặtphẳng (B 0 C 0 D 0 ). A. 16xÅ40y¡44zÅ39Æ0. B. 16x¡40y¡44zÅ39Æ0. C. 16xÅ40yÅ44zÅ39Æ0. D. 16xÅ40y¡44z¡39Æ0. -Lờigiải. Đặt bÆ AB AB 0 , cÆ AC AC 0 , dÆ AD AD 0 tacó b, c, d làcácsốthựcdươngvàthoảmãn bÅcÅdÆ4. GọiV vàV 0 lầnlượtlàthểtíchcủakhốitứdiện ABCDvà AB 0 C 0 D 0 tacó V V 0 ÆbcdnênV 0 Æ V bcd . Từđósuyrathểtíchkhốitứdiện AB 0 C 0 D 0 nhỏnhấtkhibcdđạtgiátrịlớnnhấtvớibÅcÅdÆ4. Màtacó 4ÆbÅcÅd¸3 3 p bcd nên bcd· µ 4 3 ¶ 3 ,đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi bÆcÆdÆ 4 3 . Vậyđiểm B 0 , C 0 , D 0 thoảmãnyêucầubàitoánkhi AB AB 0 Æ AC AC 0 Æ AD AD 0 Æ 4 3 . Khiđó (B 0 C 0 D 0 )Ò(BCD)vàtacó #  CDÆ(1;4;4), #  CBÆ(3;1;2), B 0 µ 7 4 ; 1 4 ; 7 4 ¶ . Mặtphẳng (B 0 C 0 D 0 )điquaB 0 vànhận #  nÆ h #  CD, #  CB i Æ(4;10;¡11)làmvéc-tơpháptuyếnnêncó phươngtrình 16xÅ40y¡44zÅ39Æ0. Chọnđápán A ä Câu65. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(1;2;7), B µ ¡5 7 ; ¡10 7 ; 13 7 ¶ .Gọi (S) làmặtcầutâm I điquahaiđiểm A,BsaochoOI nhỏnhất. M(a;b;c)làđiểmthuộc (S),giátrị lớnnhấtcủabiểuthức TÆ2a¡bÅ2c là A. 18. B. 7. C. 156. D. 6. -Lờigiải. Tacómặtcầu (S)điquahaiđiểm A,B nên I thuộcmặttrungtrực (P)củađoạnthẳng AB. Trungđiểm E của AB cótọađộlà µ 1 7 ; 2 7 ; 31 7 ¶ và #  BAÆ µ 12 7 ; 24 7 ; 36 7 ¶ . Vậy(P)điqua E vànhận #  BA làmvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà 12 7 µ x¡ 1 7 ¶ Å 24 7 µ y¡ 2 7 ¶ Å 36 7 µ z¡ 31 7 ¶ Æ0hay xÅ2yÅ3z¡14Æ0. LạicóOI nhỏnhất, I làhìnhchiếuvuônggóccủaOlên (P)hay I nằmtrênđườngthẳng (d) điquaO vàvuônggócvới (P). Phươngtrình (d)là x 1 Æ y 2 Æ z 3 hay I(t;2t;3t)(t2R). Mà I2(P))tÅ4tÅ9t¡14Æ0,tÆ1hay I(1;2;3).Khiđó RÆIAÆ4. Vì TÆ2a¡bÅ2c,2a¡bÅ2c¡TÆ0nênđiểm M(a;b;c)thuộcmặtphẳng (Q)cóphươngtrình là 2x¡yÅ2z¡TÆ0. Vậy M làgiaođiểmcủa (Q)và (S). Điềunàyxảyra,d(I,(Q))·R, j6¡Tj 3 ·4,¡6·T·18. Vậygiátrịlớnnhấtcủa T là 18. Chọnđápán A ä Câu66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;3)vàcắtbatia Ox, Oy, Oz lầnlượttại A, B, C (khác O)saochothểtíchtứdiện OABC nhỏnhất. A. 6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. B. 6xÅ3yÅ3z¡21Æ0. C. 6xÅ3yÅ2zÅ21Æ0. D. 6xÅ3yÅ2zÅ18Æ0. -Lờigiải. Giảsửmặtphẳng(P)điqua M vàcắtbatiaOx,Oy,Ozlầnlượttại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,cÈ0. Khiđó,thểtíchkhốitứdiệnOABC làVÆ abc 6 . Vàphươngtrìnhmặtphẳng (P): x a Å y b Å z c Æ1. Th.sNguyễnChínEm 467 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtkhác,do (P)điqua M nêntacó 1Æ 1 a Å 2 b Å 3 c ¸3 3 É 6 abc ) abc 6 ¸ 1 27 . VậyV min Æ 1 27 khi 1 a Æ 2 b Æ 3 c Æ 1 3 ,từđósuyra aÆ3, bÆ6và cÆ9. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)cầntìmlà x 3 Å y 6 Å z 9 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡18Æ0. Chọnđápán A ä Câu67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;¡3), B µ 3 2 ; 3 2 ;¡ 1 2 ¶ , C(1;1;4), D(5;3;0). Gọi (S 1 ) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3, (S 2 ) là mặt cầu tâm B bán kính bằng 3 2 . Có bao nhiêumặtphẳngtiếpxúcvới 2mặtcầu (S 1 ), (S 2 )đồngthờisongsongvớiđườngthẳngđiqua 2điểm C, D? A. Vôsố. B. 2. C. 4. D. 1. -Lờigiải. Ta có #  ABÆ µ 1 2 ;¡ 1 2 ; 5 2 ¶ ) ABÆ 3 p 3 2 Ç3 nên B nằm bên trongmặtcầu (S 1 ).Mộtmặtphẳngqua A vàBcắthai mặtcầutheohaiđườngtròngiaotuyếnnhưhìnhbên. Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến nàysẽcắtđườngthẳng AB tại M.Gọi N, E lầnlượtlà tiếpđiểmvớihaiđườngtrònnhưhìnhvẽ. Tam giác ANM đồng dạng tam giác BEM nên AM BM Æ AN BE Æ2.Suyra #  AMÆ2 #  AB)M(2;1;2). A B M N E Gọi (P)làmặtphẳngtiếpxúcvớicảhaimặtcầu (S 1 )và (S 2 ).Khiđó (P)sẽluônđiqua M. Gọi #  nÆ(m;n;p)với m 2 Ån 2 Åp 2 6Æ0làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Phươngtrình (P): m(x¡2)Ån(y¡1)Åp(z¡2)Æ0. Tacó: #  CDÆ(4;2;¡4). CDÒ(P)) #  n¢ #  CDÆ0)4mÅ2n¡4pÆ0)nÆ2p¡2m. d(A,(P))Æ3, j¡mÅn¡5pj p m 2 Ån 2 Åp 2 Æ3,j¡3m¡3pjÆ3 p m 2 Å(2p¡2m) 2 Åp 2 ,4m 2 ¡10mpÅ4p 2 Æ0, 2 6 6 4 m p Æ 1 2 m p Æ2. Trườnghợp m p Æ 1 2 :chọn mÆ1, pÆ2)nÆ2. Khiđó (P): xÅ2yÅ2z¡8Æ0 (nhận). Trườnghợp m p Æ2:chọn mÆ2, pÆ1)nÆ¡2. Khiđó (P): 2x¡2yÅz¡4Æ0(loạivìchứa C, D). Chọnđápán D ä Câu68. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,gọi (P)làmặtphẳngđiquađiểm M(4;1;1),cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho biểu thức OAÅOBÅOC đạt giá trị nhỏ nhất. Mặtphẳng (P)điquađiểmnàodướiđây? A. (2;0;2). B. (2;2;0). C. (2;1;1). D. (0;2;2). -Lờigiải. Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Mặtphẳng (P): x a Å y b Å z c Æ1. Th.sNguyễnChínEm 468 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Điểm M(4;1;1)2(P)nên 4 a Å 1 b Å 1 c Æ1. TacóOAÅOBÅOCÆaÅbÅc. ÁpdụngbấtđẳngthứcBu-nhi-a-xcốp-ki,tađược à p 4 p a ¢ p aÅ p 1 p b ¢ p bÅ p 1 p c ¢ p c ! 2 · µ 4 a Å 1 b Å 1 c ¶ (aÅbÅc) ,16 · aÅbÅc. Dấu “Æ"xảyrakhivàchỉkhi p 4 a Æ 1 b Æ 1 c , ( aÆ8 bÆ4 cÆ4. Khiđó (P): x 8 Å y 4 Å z 4 Æ1. Thaytọađộ (2;0;2)vàophươngtrình (P)tađược 2 8 Å 0 4 Å 2 4 6Æ1. Thaytọađộ (2;2;0)vàophươngtrình (P)tađược 2 8 Å 2 4 Å 0 4 6Æ1. Thaytọađộ (2;1;1)vàophươngtrình (P)tađược 2 8 Å 1 4 Å 1 4 6Æ1. Thaytọađộ (0;2;2)vàophươngtrình (P)tađược 0 8 Å 2 4 Å 2 4 Æ1. Vậymặtphẳng (P)điquađiểmcótọađộ (0;2;2). Chọnđápán D ä Câu69. Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(5;4;4), C µ 11 3 ; 22 3 ;¡ 16 3 ¶ . Gọi (S 1 ), (S 2 ), (S 3 ) là ba mặt cầu có tâm lần lượt là A,B,C và có cùng bán kính là 13 5 . Xác định số tiếp diện chungcủabamặtcầutrên. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. -Lờigiải. Tacó AB Æ p (5¡1) 2 Å(4¡2) 2 Å(4¡0) 2 Æ6. BC Æ Ê µ 11 3 ¡5 ¶ 2 Å µ 22 3 ¡4 ¶ 2 Å µ ¡ 16 3 ¡4 ¶ 2 Æ10. CA Æ Ê µ 1¡ 11 3 ¶ 2 Å µ 2¡ 22 3 ¶ 2 Å µ 0Å 16 3 ¶ 2 Æ8. A P C B N M SửdụngđịnhlýPi-ta-go,tacó4ABC vuôngtại A. Gọi M,N,P lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,BC,CA.Khiđó,tacó d(A,MN) Æ d(C,MN)Æd(B,MN)Æ 1 2 ABÆ3. d(A,NP) Æ d(C,NP)Æd(B,NP)Æ 1 2 ACÆ4. d(A,MP) Æ d(C,MP)Æd(B,MP)Æ 1 2 d(A,BC)Æ AB¢AC 2BC Æ 6¢8 20 Æ2,4. Mộtmặtphẳngchiakhônggianthànhhaiphần.Dođó,tacócáctrườnghợpsau: TH1: Cảbamặtcầunằmvềcùngmộtphíasovớitiếpdiệnchung.Mặtkhác,bamặtcầucóbán kính bằng nhau nên khi đó tiếp diện là mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và cách (ABC) một khoảng bằng bán kính. Do đó, ta nhận được hai tiếp diện trong trường hợpnày. Th.sNguyễnChínEm 469 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 TH2: Nếu (S 1 )nằmkhácphía (S 2 ), (S 3 )sovớitiếpdiện (T). Vì d(B,(T))Æd(A,(T))và A, B nằmkhácphíasovới (T)nên (T)điquatrungđiểm M của AB.Tươngtự (T)cũngđiquatrungđiểm P của AC. Tuynhiên, 2,4Æd(A,MP)¸d(A,(T))Æ 13 5 (vôlí).Dođótrườnghợpnàykhôngxảyra. TH3: Nếu (S 2 )nằmkhácphía (S 1 ), (S 3 )sovớitiếpdiện (T). Lập luận như trên, (T) chứa đường thẳng MN. Ta có d(A,MN)Æd(C,MN)Æd(B,MN)Æ 3È 13 5 nêntrongtrườnghợpnàycóhaitiếpdiện. TH4: Nếu (S 3 ) nằm khác phía (S 1 ), (S 2 ) so với tiếp diện (T). Tương tự TH3, ta có hai tiếp diện trongtrườnghợpnày. Chọnđápán A ä Câu70. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(2;1;1)vàđườngthẳngd: ( xÆ1Å2t yÆt zÆ¡2¡t .Mặtphẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất có phương trình là A. xÅ2yÅ4zÅ7Æ0. B. 4x¡7yÅz¡2Æ0. C. 4x¡5yÅ3zÅ2Æ0. D. xÅyÅ3zÅ5Æ0. -Lờigiải. Gọi H là hình chiếu của A trên d; K là hình chiếu của A trên (P). Tacó d(A; (P))ÆAK ÉAH (khôngđổi) )d(A; (P))lớnnhấtkhi K ´H. Vì H2d nên H(1Å2t;t;¡2¡t). Tacó #  AHÆ(2t¡1;t¡1;¡3¡t). Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;1;¡1). A K H d P Vì H làhìnhchiếucủa A trên d nên #  AH¢ #  uÆ #  0 ,2(2t¡1)Å1(t¡1)Å(3Åt)Æ0,tÆ0. Vậy HÆ(1;0;¡2)) #  AHÆ(¡1;¡1;¡3). Mặtphẳng (P)qua H vàvuônggócvới AH nên (P)cóphươngtrình xÅyÅ3zÅ5Æ0. Chọnđápán D ä Câu71. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Å(z¡3) 2 Æ8 và hai điểm A(4;4;3), B(1;1;1).Gọi (C)làtậphợpcácđiểm M2(S)để ¯ ¯ MA¡2MB ¯ ¯ đạtgiátrịnhỏnhất.Biếtrằng (C) làmộtđườngtrònbánkính r.Tính r. A. p 7. B. p 6. C. 2 p 2. D. p 3. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(0;0;3)vàbánkính RÆ2 p 2. Trongkhônggian Oxyz,tatìmtọađộđiểm D saocho khi M dichuyểntrên (S)taluôncó AMÆ2DM.Nhận thấy IAÆ4 p 2Æ2R, nên trên tia IA lấy điểm D sao cho IDÆ 1 2 R,suyra #  IDÆ 1 4 #  IA) D(1;1;3). Khiđó, ID.IAÆR 2 ÆIM 2 )4IAMv4IMD) AM MD Æ IM ID Æ2. Suyra, ¯ ¯ MA¡2MB ¯ ¯ Æ2 ¯ ¯ MD¡MB ¯ ¯ Ê0. I M B D K H ® (S) (C) Dấu“Æ”xảyrakhi MBÆMD,suyra M nằmtrênmặtphẳngtrungtrựccủa BD. Mặt phẳng (®) đi qua K(1;1;2) là trung điểm của BD và nhận #  BDÆ(0;0;2) làm véc-tơ pháp Th.sNguyễnChínEm 470 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 tuyếncóphươngtrìnhlà (®): z¡2Æ0. Khiđó,bánkínhcủađườngtròn (C)là rÆ p R 2 ¡d 2 (I,(®))Æ p 7. Chọnđápán A ä Câu72. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(¡2;0;1), C(0;0;2) và mặt phẳng (P): xÅ2yÅzÅ4Æ0. Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho SÆ #  MA¢ #  MBÅ #  MB¢ #  MCÅ #  MC¢ #  MA đạtgiátrịnhỏnhất.TínhtổngQÆaÅbÅ6c. A. QÆ2. B. QÆ¡2. C. QÆ0. D. QÆ1. -Lờigiải. GọiG làtrọngtâm4ABC tacóG µ ¡ 1 3 ; 1 3 ;1 ¶ .Lạicó A Æ #  MA¢ #  MBÅ #  MB¢ #  MCÅ #  MC¢ #  MA Æ 3MG 2 Å2 #  MG ³ #  GAÅ #  GBÅ #  GC ´ Å #  GA¢ #  GBÅ #  GB¢ #  GCÅ #  GC¢ #  GA Æ 3MG 2 Å #  GA¢ #  GBÅ #  GB¢ #  GCÅ #  GC¢ #  GA. Vì #  GA¢ #  GBÅ #  GB¢ #  GCÅ #  GC¢ #  GA làmộthằngsốnên S nhỏnhấtkhi MG nhỏnhất,hay M làhình chiếucủaG lên (P). Từđótatìmđược M µ ¡ 11 9 ;¡ 13 9 ; 1 9 ¶ vàQÆaÅbÅ6cÆ¡2. Chọnđápán B ä Câu73. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S 1 ): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ 1, (S 2 ): x 2 Å(y¡4) 2 Åz 2 Æ4vàcácđiểm A(4;0;0), B µ 1 4 ;0;0 ¶ , C(1;4;0), D(4;4;0).Gọi M làđiểmthay đổi trên (S 1 ), N là điểm thay đổi trên (S 2 ). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức QÆMAÅ2NDÅ 4MNÅ6BC là A. 2 p 265. B. 5 p 265 2 . C. 3 p 265. D. 7 p 265 2 . -Lờigiải. Mặt cầu (S 1 ) có tâm O(0;0;0) bán kính bằng 1; mặt cầu (S 2 )cótâm I(0;4;0)bánkínhbằng 2. Ta có 4 điểm O, A, D, I là 4 đỉnh của hình vuông cạnh bằng 4vàOBÆ 1 4 , ICÆ1. Tacó4OMAv4OBM (c.g.c) ) MA BM Æ OM OB )MAÆ4MB. Tacó4INDv4ICN (c.g.c) ) ND CN Æ IN IC Æ2)NDÆ2NC. y z x A B C D I O QÆ4MBÅ4NCÅ4MNÅ6BC Æ4(BMÅMNÅNC)Å6BC ¸4BCÅ6BCÆ10BCÆ10¢ p 265 4 Æ 5 p 265 2 VậyQ nhỏnhấtlàbằng 5 p 265 2 ,dấu“Æ”xảyrakhi M, N làgiaođiểmcủaBC vớicácmặtcầu. Chọnđápán B ä Câu74. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2xÅyÅz¡3Æ0 và hai điểm A(m;1;0); B(1;¡m;2).Gọi E,F lầnlượtlàhìnhchiếucủa A,B lênmặtphẳng (P).Biết EFÆ p 5.Tổngtất cảcácgiátrịcủathamsố mlà A. 2. B. 3. C. ¡6. D. ¡3. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 471 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 XéttrườnghợpmÆ1.Khiđócả A,Bđềuthuộc(P). Trongtrườnghợpnày EFÆABÆ2 p 2(loại). Khi m6Æ1.Tatínhtoáncácđạilượng d(A;(P))Æ j2m¡2j p 6 d(B;(P))Æ j1¡mj p 6 . Từ đó suy ra A,B khác phía với (P) và d(A;(P))Æ 2d(B;(P)). A E B F H Gọi H làgiaođiểmcủa AB với (P). TheoThalestacó EHÆ 2 p 5 3 , AHÆ 2 3 ABÆ 2 3 p (1¡m) 2 Å(mÅ1) 2 Å2 2 . ÁpdụngđịnhlýPythagorechotamgiác AEH tacó AE 2 ÅEH 2 ÆAH 2 , (2m¡2) 2 6 Å Ã 2 p 5 3 ! 2 Æ 4 9 ¡ (1¡m) 2 Å(mÅ1) 2 Å4 ¢ , 3¢(4m 2 ¡8mÅ4) 18 Å 40 18 Æ 8¢(2m 2 Å6) 18 , 4m 2 Å24m¡4Æ0. Phươngtrìnhnàycóhainghiệmvàtổnghainghiệmđóbằng¡ 24 4 Æ¡6. Chọnđápán C ä Câu75. Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) vàcóchiềucaolà h(hÈR).Hìnhtrụ(T)cóđáylàđườngtròn(C)vàcócùngchiềucaovớihình nón (N).TínhthểtíchV khốitrụđượctạonênbởi (T)theo R,biếtV cógiátrịlớnnhất. A. VÆ 32 27 ¼R 3 . B. VÆ 32 81 ¼R 3 . C. VÆ 16 27 ¼R 3 . D. VÆ 64 9 ¼R 3 . -Lờigiải. GọikhoảngcáchtừOđếnmặtphẳng(P)làdvới(0·d·R), đườngtròn (C)cóbánkínhlà r. VÆh¢¼¢r 2 Ƽ(RÅd) ¡ R 2 ¡d 2 ¢ Ƽ ¡ ¡d 3 ¡Rd 2 ÅR 2 dÅR 3 ¢ . V 0 (d)Ƽ ¡ ¡3d 2 ¡2RdÅR 2 ¢ Æ0) " dÆ¡1 dÆ R 3 )dÆ R 3 . TacóV(0)ƼR 3 ,V(R)Æ0vàV µ R 3 ¶ Æ 32 27 ¼R 3 . VậyVÆ 32 27 ¼R 3 I R S h d r Chọnđápán A ä Câu76. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P): 3x¡3yÅ2z¡15Æ0vàbađiểm A(1;2;0), B(1;¡1;3), C(1;¡1;¡1). Điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuộc (P) sao cho 2MA 2 ¡MB 2 ÅMC 2 nhỏ nhất. Giá trị 2x 0 Å3y 0 Åz 0 bằng A. 11. B. 15. C. 5. D. 10. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 472 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 GọiG(a;b;c)làđiểmthỏamãn 2 #  GA¡ #  GBÅ #  GCÆ #  0.Từhệthứcnày,suyra ( 2(1¡a)¡(1¡a)Å(1¡a)Æ0 2(2¡b)¡(¡1¡b)Å(¡1¡b)Æ0 2(0¡c)¡(3¡c)Å(¡1¡c)Æ0 , ( aÆ1 bÆ2 cÆ¡2 )G(1;2;¡2). Tacó 2MA 2 ¡MB 2 ÅMC 2 Æ 2 #  MA 2 ¡ #  MB 2 Å #  MC 2 Æ 2 ³ #  MGÅ #  GA ´ 2 ¡ ³ #  MGÅ #  GB ´ 2 Å ³ #  MGÅ #  GC ´ 2 Æ 2MG 2 Å2GA 2 ¡GB 2 ÅGC 2 Å2 #  MG ³ 2 #  GA¡ #  GBÅ #  GC ´ Æ 2MG 2 Å2GA 2 ¡GB 2 ÅGC 2 . Vì2GA 2 ¡GB 2 ÅGC 2 khôngđổinên2MA 2 ¡MB 2 ÅMC 2 nhỏnhấtkhivàchỉkhi MG nhỏnhất. Điềunàyxảyrakhi M làhìnhchiếucủaG lên (P). PhươngtrìnhđườngthẳngquaG vàvuônggócvới (P)là x¡1 3 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ2 2 . Xéthệ ( x¡1 3 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ2 2 3x¡3yÅ2z¡15Æ0 , ( xÅyÆ3 2x¡3zÆ8 3x¡3yÅ2zÆ15 , ( xÆ4 yÆ¡1 zÆ0. Vậy M(4;¡1;0)vàgiátrịcủabiểuthứccầntìmbằng 2¢4Å3¢(¡1)Å0Æ5. Chọnđápán C ä Câu77. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(0;1;2),mặtphẳng(®): x¡yÅz¡4Æ0 vàmặtcầu (S): (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ16.Gọi (P)làmặtphẳngđiqua A,vuônggócvới (®) vàđồngthời (P)cắtmặtcầu (S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròncóbánkínhnhỏnhất.Tìm tọađộgiaođiểm M của (P)vớitrụchoành. A. M µ ¡ 1 2 ;0;0 ¶ . B. M µ ¡ 1 3 ;0;0 ¶ . C. M(1;0;0). D. M µ 1 3 ;0;0 ¶ . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;1;2)vàbánkính RÆ4. Mặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n (®) Æ(1;¡1;1). Giả sử (P) cắt trục hoành tại điểm M(m;0;0), do (P)?(®), suy ra (P) có hai véc-tơ chỉ phương là #  AMÆ(m;¡1;¡2)và #  n (®) Æ(1;¡1;1). Suyra (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ h #  n (®) , #  AM i Æ(3;mÅ2;m¡1). Từđótacó,phươngtrìnhmặtphẳng (P) 3(x¡0)Å(mÅ2)(y¡1)Å(m¡1)(z¡2)Æ0,3xÅ(mÅ2)yÅ(m¡1)z¡3mÆ0. Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P), r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng (P)vàmặtcầu (S),khiđótacó R 2 Æd 2 År 2 . Suyra,để r nhỏnhấtkhivàchỉkhi dÆd(I,(P))lớnnhất. Tacó dÆd(I,(P))Æ j9Å(mÅ2)Å(m¡1)2¡3mj p 3 2 Å(mÅ2) 2 Å(m¡1) 2 Æ 9 p 2m 2 Å2mÅ14 Æ 9 Ê 2 µ mÅ 1 2 ¶ 2 Å 27 2 . Lạicó 2 µ mÅ 1 2 ¶ 2 Å 27 2 ¸ 27 2 ,suyra d· 9 É 27 2 Æ p 6,từđósuyra d lớnnhấtkhi mÆ¡ 1 2 . Vậy M µ ¡ 1 2 ;0;0 ¶ . Chọnđápán A ä Câu78. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chođiểm M(0;¡1;2)và N(¡1;1;3).Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M,N và tạo với mặt phẳng (Q): 2x¡y¡2z¡2Æ0 góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A(1;2;3)cáchmặtphẳng (P)mộtkhoảnglà A. 4 p 3 3 . B. 7 p 3 11 . C. p 3. D. 5 p 3 3 . Th.sNguyễnChínEm 473 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. ² (P) có VTPT #  n 1 Æ(a;b;c) với a 2 Åb 2 Åc 2 È0. Ta có M2(P) nên (P): axÅb(yÅ1)Åc(z¡2)Æ0. Điểm N2(P)nên¡aÅ2bÅcÆ0,aÆ2bÅc. (1) ² #  n 2 Æ(2;¡1;¡2)nên ¯ ¯ cos( #  n 1 , #  n 2 ) ¯ ¯ Æ j2a¡b¡2cj p a 2 Åb 2 Åc 2 ¢ p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ jbj p 5b 2 Å4bcÅ2c 2 . ²Với cÆ0thìjcos( #  n 1 , #  n 2 )jÆ 1 p 5 . ²Với c6Æ0thìjcos( #  n 1 , #  n 2 )jÆ ¯ ¯ ¯ ¯ b c ¯ ¯ ¯ ¯ Ê 5 b 2 c 2 Å4 b c Å2 . Đặt tÆ b c tacó cos 2 ( #  n 1 , #  n 2 )Æ t 2 p 5t 2 Å4tÅ2 Æf(t). ²Tacó f 0 (t)Æ 4t 2 Å4t 5t 2 Å4tÅ2 .Tacóbảngbiếnthiên x f 0 (t) f(t) ¡1 ¡1 0 Å1 Å 0 ¡ 0 Å 1 5 1 5 1 3 1 3 0 0 1 5 1 5 ² Từ bảng biến thiên, cos((P),(Q)) đạt GTLN khi tÆ¡1,bÆ¡c)aÆ¡c. Chọn cÆ¡1, ta có aÆbÆ1.Tacó (P): xÅy¡zÅ3Æ0.Suyra d(A,(P))Æ p 3. Chọnđápán C ä Câu79. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S): (x¡3) 2 Å(yÅ 1) 2 Åz 2 Æ9 và ba điểm A(1;0;0), B(2;1;3), C(0;2;¡3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA 2 Å2¢ #  MB¢ #  MCÆ8làđườngtròncốđịnh,tínhbánkính r đườngtrònnày. A. rÆ p 7. B. rÆ2 p 2. C. rÆ p 2. D. rÆ7. -Lờigiải. Tacó #  MAÆ(1¡x;¡y;¡z), #  MBÆ(2¡x;1¡y;3¡z), #  MCÆ(¡x;2¡y;¡3¡z). Khiđó MA 2 Å2¢ #  MB¢ #  MCÆ8 , (x¡1) 2 Åy 2 Åz 2 Å2[x(x¡2)Å(y¡1)(y¡2)Å(z¡3)(zÅ3)]Æ8 , 3 ¡ x 2 Åy 2 Åz 2 ¢ ¡6x¡6y¡21Æ0 )M2(S 0 ): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡2y¡7Æ0. Mà M2(S): (x¡3) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ9,x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2yÅ1Æ0. Suyra M2(P): 4x¡4y¡8Æ0.Nhưvậyquỹtíchđiểm M làđườngtròngiaotuyếncủa (S)tâm I(3;¡1;0),bánkính RÆ3và (P).Tacó d[I,(P)]Æ p 2)rÆ p R 2 ¡d 2 Æ p 7. Chọnđápán A ä Câu80. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S 1 ), (S 2 ) có phương trình lần lượt là (x¡ 2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ16 và (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡5) 2 Æ4. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S 1 ), (S 2 ). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P). A. 9 2 ¡ p 15. B. p 15. C. 9Å p 15 2 . D. 8 p 3Å p 5 2 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 474 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S 1 )cótâm I(2;1;1)vàbánkính R 1 Æ4. Mặtcầu (S 2 )cótâm J(2;1;5)vàbánkính R 2 Æ2. Gọi A, B lầnlượtlàhaitiếpđiểmcủa (S 1 ), (S 2 )vớimặtphẳng(P). Gọi M làgiaođiểmcủa IJ vớimặtphẳng (P).Tacó MI MJ Æ IA JB Æ2. A B M I J Suyra J làtrungđiểmcủa IM,dođó M(2;1;9). Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là #  nÆ(a;b;c) (a 2 Åb 2 Åc 2 È0), khi đó phương trình củamặtphẳng (P)là a(x¡2)Åb(y¡1)Åc(z¡9)Æ0. Tacó d(I,(P))Æ4 , j8cj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ4 , jcj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 1 2 , a 2 Åb 2 Æ3c 2 , ³ a c ´ Å µ b c ¶ 2 Æ3. (1) Mặtkhác, d(O,(P))Æ j2aÅbÅ9cj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ j2aÅbÅ9cj 2c Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ 2a c Å b c Å9 ¯ ¯ ¯ ¯ . (2) ÁpdụngbấtđẳngthứcBunhiacopxkitacó µ 2a c Å b c ¶ 2 · ¡ 2 2 Å1 2 ¢ · ³ a c ´ 2 Å µ b c ¶ 2 ¸ . (3) Từ(1)và(3)tacó µ 2a c Å b c ¶ 2 ·15,¡ p 15· 2a c Å b c · p 15. (4) Từ(2)và(4)suyra 9¡ p 15 2 ·d(O,(P))· 9Å p 15 2 . VậykhoảngcáchlớnnhấttừgốctọađộO đếnmặtphẳng (P)bằng 9Å p 15 2 . Chọnđápán C ä Câu81. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡4z¡7Æ0.Gọi M(a;b;c) làđiểmthuộc (S)saocho 2aÅ3bÅ6c đạtgiátrịlớnnhất.Tính aÅbÅc. A. TÆ 81 7 . B. TÆ¡ 12 7 . C. TÆ 11 7 . D. 79 7 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;2),bánkính RÆ4. Xétmặtphẳng (P)cóphươngtrình 2xÅ3yÅ6zÆ0. Tacó d(M,(P))Æ j2aÅ3bÅ6cj p 2 2 Å3 2 Å6 2 . Nhưvậy 2aÅ3bÅ6c đạtgiátrịlớnnhấtkhivàchỉkhi d(M,(P))lớnnhất. Đườngthẳng d điqua I vàvuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ2Å6t. Th.sNguyễnChínEm 475 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Khoảngcáchtừ M đến (P)lớnnhấtkhi M làmộttronghaigiaođiểmcủa d vớimặtcầu(S). Tọađộgiaođiểm M(x;y;z)của d và (S)lànghiệm x,y,z củahệphươngtrình 8 > < > : xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ2Å6t x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡4z¡7Æ0 , 8 > < > : xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ2Å6t 49t 2 ¡16Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ2Å6t tƧ 4 7 . Với tÆ 4 7 tađược M 1 Æ µ 15 7 ; 26 7 ; 38 7 ¶ .Khiđó, d(M 1 ,(P))Æ 48 7 ¢ Với tÆ¡ 4 7 tađược M 2 Æ µ ¡ 1 7 ; 2 7 ;¡ 10 7 ¶ .Khiđó, d(M 2 ,(P))Æ 8 7 ¢ Vậyđiểm M 1 thỏamãnyêucầubàitoánvà aÅbÅcÆ 79 7 ¢ Chọnđápán D ä Câu82. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chobađiểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c),trong đó aÈ0, bÈ0, cÈ0 và 1 a Å 2 b Å 3 c Æ7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å (y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ 72 7 .ThểtíchcủakhốitứdiệnOABC là A. 5 6 . B. 3 8 . C. 1 6 . D. 2 9 . -Lờigiải. Mặtphẳng (ABC)cóphươngtrìnhlà x a Å y b Å z c Æ1.Mặtcầu (S)cótâmlà I(1;2;3)vàbánkính RÆ É 72 7 .Khiđó d(I,(ABC))Æ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a Å 2 b Å 3 c ¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ p 72 p 7 , 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 7 2 . ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy-Schwarz,tacó: 49Æ µ 1 a Å 2 b Å 3 c ¶ 2 ·(1 2 Å2 2 Å3 2 ) µ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ Æ 7 2 ¢14Æ49. Dấuđẳngthứcxảyrakhi aÆ2bÆ3c.Thayvàogiảthiếttacó aÆ2;bÆ1;cÆ 2 3 . VìOABC làtứdiệnvuôngtạiO nênV OABC Æ abc 6 Æ 2 9 . Chọnđápán D ä Câu83. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 1 Æ y¡1 2 Æ z ¡1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại A, B sao chođườngthẳng AB vuônggócvới d. A. (P): xÅ2yÅ5z¡4Æ0. B. (P): xÅ2yÅ5z¡5Æ0. C. (P): xÅ2y¡z¡4Æ0. D. (P): 2x¡y¡3Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 476 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 #  u 1 #  u 2 d #  k x y z A O B Đườngthẳng d quađiểm M(2;1;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(1;2;¡1). Gọi #  u 2 làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Do #  u 2 ? #  u 1 và #  u 2 ? #  k Æ(0;0;1)nên #  u 2 Æ[ #  u 1 , #  k]Æ(2;¡1;0). Mặtphẳng (P)chứa d và AB nêncóvéc-tơpháptuyến #  nÆ[ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(¡1;¡2;¡5). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)qua M vànhận #  n làmvéc-tơpháptuyếnlà ¡1(x¡2)¡2(y¡1)¡5zÆ0,xÅ2yÅ5z¡4Æ0. Chọnđápán A ä Câu84. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O, vuông góc với (ABC) sao cho (P) cắt các cạnh AB,AC tại các điểm M và N.KhiOAMN cóthểtíchnhỏnhất,hãyviếtphươngtrìnhmặtphẳng (P). A. xÅy¡2zÆ0. B. xÅyÅ2zÆ0. C. x¡zÆ0. D. y¡zÆ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(0;¡3;3), #  ACÆ(¡3;0;3)) h #  AB, #  AC i Æ(¡9;¡9;¡9). Mặtphẳng (ABC)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;1;1). Phươngtrìnhcủađườngthẳng AB: ( xÆ3 yÆ3¡t zÆt vàcủađườngthẳng AC: ( xÆ3¡t yÆ3 zÆt. (P)cắtcáccạnh AB,AC tạicácđiểm M,N nên M(3;3¡m;m),N(3¡n;3;n),với m,n2[0;3] Tacó h #  OM, #  ON i Æ(3n¡3m¡mn;3m¡3n¡mn;3mÅ3n¡mn). Do (OMN)?(ABC)nên h #  OM, #  ON i #  nÆ0,3mÅ3n¡3mnÆ0,mnÆnÅm. Suyra h #  OM, #  ON i Æ(2n¡4m;2m¡4n;2mÅ2n). Do #  OAÆ(3;3;0)nênV OAMN Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  OM, #  ON i . #  OA ¯ ¯ ¯Æ 1 6 ¯ ¯ 6n¡12mÅ6m¡12n ¯ ¯ ÆmÅnÆV. Tacó mÅnÊ2 p mnÆ2 p mÅn) p mÅnÊ2)VÆmÅnÊ4. Dấu“=”xảyrakhivàchỉkhi mÆnÆ2. Vậy mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến h #  OM, #  ON i Æ(¡4;¡4;8) và đi qua O nên có phương trình xÅy¡2zÆ0. Chọnđápán A ä Câu85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0), B(0;¡1;2). Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm O, A và cùng cách B một khoảng bằng p 3. Véc-tơ nào trongcácvéc-tơdướiđâylàmộtvéc-tơpháptuyếncủamộttronghaimặtphẳngđó? A. #  n 1 Æ(1;¡1;¡1). B. #  n 2 Æ(1;¡1;¡3). C. #  n 3 Æ(1;¡1;5). D. #  n 4 Æ(1;¡1;¡5). -Lờigiải. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AO, d(B;(P))Æ p 3. Giả sử (P) có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ(a;b;c), a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0.VìO2(P)nên (P): axÅbyÅczÆ0.Tacó #  n¢ #  OAÆ0,aÅbÆ0,aÆ¡b. Th.sNguyễnChínEm 477 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Khiđó d(B;(P))Æ p 3 , j¡bÅ2cj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ p 3 , (¡bÅ2c) 2 Æ3(a 2 Åb 2 Åc 2 ) ) b 2 ¡4bcÅ4c 2 Æ3(b 2 Åb 2 Åc 2 ) , 5b 2 Å4bc¡c 2 Æ0, " bÆ¡c bÆ 1 5 c. ²Trườnghợp bÆ¡c,chọn cÆ1)bÆ¡1)aÆ1) #  nÆ(1;¡1;1). ²Trườnghợp bÆ 1 5 c,chọn cÆ¡5)bÆ¡1)aÆ1) #  nÆ(1;¡1;¡5). Chọnđápán D ä Câu86. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2y¡zÅ3Æ 0 và điểm A(2;0;0).Mặtphẳng (®)điqua A,vuônggócvới (P),cáchgốctọađộ O mộtkhoảngbằng 4 3 và cắtcáctiaOy,Oz lầnlượttạicácđiểm B,C khácO.ThểtíchkhốitứdiệnOABC bằng A. 8. B. 16. C. 8 3 . D. 16 3 . -Lờigiải. Gọi B(0;b;0),C(0;0;c)làgiaođiểmcủa (®)vớicáctiaOy,Oz,trongđó b,cÈ0. Khiđótacó (®): x 2 Å y b Å z c ¡1Æ0.Mà (®)?(P)) #  n (®) ¢ #  n (P) Æ0) 2 b ¡ 1 c Æ0,bÆ2c.Mặtkhác d(O;(®))Æ 4 3 , 1 É 1 4 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ 4 3 ,16 µ 1 4 Å 1 b 2 Å 1 c 2 ¶ Æ9 ) 16 µ 1 4 Å 1 4c 2 Å 1 c 2 ¶ Æ9,cÆ2)bÆ4. KhiđóV OABC Æ 1 6 OA¢OB¢OCÆ 1 6 ¢2¢4¢2Æ 8 3 . Chọnđápán C ä Câu87. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M(1;8;0), C(0;0;3)cắtcáctiaOx,Oylầnlượttại A, B saochoOG nhỏnhất,vớiG làtrọngtâmtamgiác ABC.BiếtG(a;b;c),hãytính TÆaÅbÅc. A. TÆ7. B. TÆ3. C. TÆ12. D. TÆ6. -Lờigiải. Gọi A(m;0;0), B(0;n;0)với m,nÈ0. Khiđóphươngtrìnhcủa (ABC): x m Å y n Å z 3 Æ1. Vì M2(ABC)nên 1 m Å 8 n Æ1.Kếthợpvớiđiềukiện mÈ0, nÈ0suyra mÈ1và nÈ8. Cũngtừtrêntacó mÆ n n¡8 . TrọngtâmG củatamgiác ABC cótọađộ ³ m 3 ; n 3 ;1 ´ . OG 2 Æ ¯ ¯ ¯ #  OG ¯ ¯ ¯ 2 Æ ³ m 3 ´ 2 Å ³ n 3 ´ 2 Å1 2 Æ 1 9 · ³ n n¡8 ´ 2 Ån 2 ¸ Å1. Xéthàmsố f(n)Æ ³ n n¡8 ´ 2 Ån 2 với nÈ8. Tacó f 0 (n)Æ2¢ n n¡8 ¢ ¡8 (n¡8) 2 Å2nÆ2n · ¡8 (n¡8) 3 Å1 ¸ . f 0 (n)Æ0, h nÆ0 nÆ10 ,nÆ10. Bảngbiếnthiên Th.sNguyễnChínEm 478 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 n f 0 (n) f(n) 8 10 Å1 ¡ 0 Å Å1 Å1 125 125 Å1 Å1 OG đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f(n) đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi nÆ10; lúcđó mÆ5vàG µ 5 3 ; 10 3 ;1 ¶ . Vậy TÆaÅbÅcÆ6. Chọnđápán D ä Câu88. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M(1;6;4) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C (khácgốctọađộ)saochoOAÆOBÆOC. A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. -Lờigiải. Gọi (®) là mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0),B(0;b;0) và C(0;0;c) với a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0.Khiđóphươngtrình (®): x a Å y b Å z c Æ1. VìOAÆOBÆOC nênjajÆjbjÆjcj, ½ jajÆjbj jbjÆjcj , 8 > < > : h aÆb aÆ¡b h bÆc bÆ¡c , 2 6 4 aÆbÆc aÆbÆ¡c aÆ¡bÆ¡c aÆ¡bÆc . VớiaÆbÆctacó(®): x a Å y a Å z a Æ1,xÅyÅz¡aÆ0.Vì(®)điqua M(1;6;4)nên1Å6Å4¡aÆ 0)aÆ11. Vậy (®): xÅyÅz¡11Æ0. Tươngtựbatrườnghợpcònlại. Với aÆbÆ¡c tacó (®): xÅy¡z¡3Æ0 Với aÆ¡bÆ¡c tacó (®): x¡y¡zÅ9Æ0 Với aÆ¡bÆc tacó (®): x¡yÅzÅ1Æ0 Vậycó 4mặtphẳngthỏamãnbàitoán. Chọnđápán D ä Câu89. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;2) và mặt phẳng (P): (m¡1)xÅyÅmz¡1Æ0 với mlàthamsố.Biếtkhoảngcáchtừ A đếnmặtphẳng (P)lớnnhất.Khẳngđịnhđúngtrong bốnkhẳngđịnhdướiđâylà A. ¡6ÇmÇ¡2. B. ¡2ÇmÇ2. C. 2ÇmÇ6. D. Khôngcó m. Câu90. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S):(x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25 và M(4;6;3).Qua M kẻcáctia Mx, My, Mzđôimộtvuônggócvớinhauvàcắtmặtcầutạiđiểm thứ hai tương ứng là A, B, C. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định H(a;b;c). Tính aÅ3bÅc. A. 21. B. 14. C. 20. D. 15. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 479 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cótâm I(1;2;3)vàbánkính RÆ5. Gọi D,E lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC, AM. Qua D dựng đường thẳng song song với AM, cắt mặt phẳngtrungtrựccủa AM tại I. Khiđó I làtâmmặtcầu (S)ngoạitiếp MABC. Gọi H làgiaođiểmcủa AD và MI. Tacó MH HI Æ AM ID Æ2 (vì AMÒDI). Suyra MHÆ2HI) #  MHÆ 2 3 #  MI. (1) A H M E C I B D Vì M,I cốđịnhnên H làđiểmcốđịnhmàmặtphẳng (ABC)luônđiqua. Tacó H(a;b;c)) #  MHÆ(a¡4;b¡6;c¡3), #  MIÆ(¡3;¡4;0). (1), 8 > < > : a¡4Æ¡2 b¡6Æ¡ 8 3 c¡3Æ0 , 8 > < > : aÆ2 bÆ 10 3 cÆ3 . Vậy aÅ3bÅcÆ2Å10Å3Æ15. Chọnđápán D ä Câu91. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểmM(1;2;3).Hỏicóbaonhiêumặtphẳng (P) đi qua M và cắt các trục x 0 Ox,y 0 Oy,z 0 Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OAÆOBÆ 2OC6Æ0? A. 3. B. 5. C. 4. D. 6. -Lờigiải. Đặt A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)vớiabc6Æ0.Phươngtrìnhmặtphẳng(P)điquabađiểm A,B,C códạng x a Å y b Å z c Æ1.DoOAÆOBÆ2OC nêntacójajÆjbjÆ2jcj.Suyra aƧ2c,bƧ2c. Nếu aÆ2c và bÆ2c thìmặtphẳng (P)códạng x 2c Å y 2c Å z c Æ1.Vì (P)điqua M nên 1 2c Å 2 2c Å 3 c Æ1, 9 2c Æ1,cÆ 9 2 . Tacó (P): xÅyÅ2z¡9Æ0. Nếu aÆ2c và bÆ¡2c thìmặtphẳng (P)códạng x 2c Å y ¡2c Å z c Æ1.Vì (P)điqua M nên 1 2c ¡ 2 2c Å 3 c Æ1, 5 2c Æ1)cÆ 5 2 . Tacó (P): x¡yÅ2z¡5Æ0. Nếu aÆ¡2c và bÆ2c thìmặtphẳng (P)códạng x ¡2c Å y 2c Å z c Æ1.Vì (P)điqua M nên ¡ 1 2c Å 2 2c Å 3 c Æ1, 7 2c Æ1)cÆ 7 2 . Tacó (P): ¡xÅyÅ2z¡7Æ0. Nếu aÆ¡2c và bÆ¡2c thìmặtphẳng (P)códạng x ¡2c Å y ¡2c Å z c Æ1.Vì (P)điqua M nên ¡ 1 2c ¡ 2 2c Å 3 c Æ1, 3 2c Æ1)cÆ 3 2 . Tacó (P): ¡x¡yÅ2z¡3Æ0. Th.sNguyễnChínEm 480 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậycóbốnmặtphẳngthỏayêucầubàitoán. Chọnđápán C ä Câu92. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P):x¡yÅ10Æ0,mộtmặtphẳng (Q)điqua điểm A(1;1;1)vuônggóc(P)vàkhoảngcáchtừđiểmB(2;1;3)đếnmặtphẳng(Q)bằng p 3,mặt phẳng (Q) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm M,N,P sao cho thể tích của tứ diện OMNP lớnhơn 1.ThểtíchcủatứdiệnOMNP bằng A. 5 3 . B. 1331 150 . C. 9 2 . D. 3 2 . -Lờigiải. Đường thẳng ¢ đi qua A và vuông góc (P) có phương trình ( xÆ1Åt yÆ1¡t zÆ1 , dễ thấy ¢ là giao của haimặtphẳngcóphươngtrìnhlầnlượtlà xÅy¡2Æ0và z¡1Æ0.Mặtphẳng (Q)điqua A và vuônggóc (P)nên¢½(Q),suyra (Q):a(xÅy¡2)Åb(z¡1)Æ0,(a 2 Åb 2 6Æ0). d(B,(Q))Æ p 3, jaÅ2bj p 2a 2 Åb 2 Æ p 3, 2 6 4 a b Æ1 a b Æ¡ 1 5 . V OMNP Æ 1 6 OM¢ON¢OPÆ ¯ ¯ ¯ ¯ (2aÅb) 3 6a 2 b ¯ ¯ ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ µ 2a b Å1 ¶ 3 6 ³ a b ´ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Æ 9 2 khi a b Æ1. Chọnđápán C ä Câu93. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;1;1), B(2;0;2), C(¡1;¡1;¡0), D(0;3;4).Trêncáccạnh AB,AC,AD lầnlượtlấycácđiểm B 0 ,C 0 ,D 0 saocho AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 Æ4. Viết phương trình mặt phẳng (B 0 C 0 D 0 ) biết tứ diện AB 0 C 0 D 0 có thể tích nhỏ nhất. A. 16xÅ40y¡44zÅ39Æ0. B. 16xÅ40yÅ44z¡115Æ0. C. 16xÅ40yÅ44zÅ39Æ0. D. 16xÅ40y¡44z¡39Æ0. -Lờigiải. NhậnthấyrằngV ABCD làhằngsố. ÁpdụngcôngthứctỷsốthểtíchvàbấtđẳngthứcCauchycho 3sốdương,tacó V ABCD V AB 0 C 0 D 0 Æ AB AB 0 ¢ AC AC 0 ¢ AD AD 0 · 0 B B @ AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 3 1 C C A 3 Æ µ 4 3 ¶ 3 . DođóV AB 0 C 0 D 0¸ 27 64 V ABCD . Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi AB AB 0 Æ AC AC 0 Æ AD AD 0 Æ 4 3 . Vì B 0 ,C 0 ,D 0 lầnlượtnằmtrêncáccạnh AB,AC,AD nên #  AB 0 Æ 3 4 #  AB)B 0 µ 7 4 ; 1 4 ; 7 4 ¶ . Lúcđómặtphẳng (B 0 C 0 D 0 )điqua B 0 vàsongsongmặtphẳng (BCD)nêncóphươngtrìnhlà 16xÅ40y¡44zÅ39Æ0. Chọnđápán A ä Câu94. Biếtrằngcó nmặtphẳngvớiphươngtrìnhtươngứnglà (P i ):xÅa i yÅb i zÅc i Æ0(iÆ 1,2,...n) đi qua M(1;2;3) (nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo thứ tự tại A,B,C saochohìnhchópO.ABC làhìnhchópđều.Tínhtổng SÆa 1 Åa 2 Å...Åa n Th.sNguyễnChínEm 481 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. SÆ3. B. SÆ1. C. SÆ¡4. D. SÆ¡1. -Lờigiải. Giả sử A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), với a,b,c 6Æ 0. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là G µ a 3 ; b 3 ; c 3 ¶ ,mặtphẳng (P i )códạng: x a Å y b Å z c Æ1,xÅ a b yÅ a c z¡aÆ0 Theobàira (P i )điqua M(1;2;3)nêntacó 1Å 2a b Å 3a c ¡aÆ0 (1). Mặtkhác,vìO.ABC làhìnhchópđềunêntamgiác ABC đềunên ABÆBCÆ AC, p a 2 Åb 2 Æ p a 2 Åc 2 Æ p b 2 Åc 2 ,a 2 Æb 2 Æc 2 , kết hợp với (1) ta có các trường hợpsau aÆbÆc)aÆ1Å2Å3Æ6nên (P 1 ):xÅyÅz¡6Æ0 aÆbÆ¡c)aÆ1Å2¡3Æ0khôngthỏayêucầu. aÆ¡bÆc)aÆ1¡2Å3Æ2nên (P 2 ):x¡yÅz¡2Æ0 aÆ¡bÆ¡c)aÆ1¡2¡3Æ¡5nên (P 3 ):x¡y¡zÅ5Æ0 ¡aÆ¡bÆc)aÆ1Å2¡3Æ0,khôngthỏayêucầu ¡aÆbÆ¡c)aÆ1¡2Å3Æ2nên (P):x¡yÅz¡2Æ0trùngvới (P 2 ) ¡aÆbÆc)aÆ1¡2¡3Æ¡5nên (P):x¡y¡zÅ5Æ0trùngvới (P 3 ) ¡aÆ¡bÆ¡c)aÆ1Å2Å3Æ6nên (P):xÅyÅz¡6Æ0trùngvới (P 1 ) Vậy SÆa 1 Åa 2 Åa 3 Æ1¡1¡1Æ¡1. Chọnđápán D ä Câu95. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ9 haihaiđiểm M(4;¡4;2),N(6;0;6).Gọi E làđiểmthuộcmặtcầu (S)saocho EMÅEN đạtgiátrị lớnnhất.Viếtphươngtrìnhtiếpdiệncủamặtcầu (S)tại E. A. x¡2yÅ2zÅ8Æ0. B. 2xÅy¡2z¡9Æ0. C. 2xÅ2yÅzÅ1Æ0. D. 2x¡2yÅzÅ9Æ0. -Lờigiải. Gọi I(1;2;2)làtâmcủa(S),P(5;¡2;4)làtrungđiểm MN.Theobất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được (EMÅEN) 2 ·2(EM 2 ÅEN 2 )Æ2 µ 2EP 2 Å MN 2 2 ¶ nên TÆEMÅEN đạtgiátrịlớnnhấtkhi EMÆEN và EP đạtgiá trị lớn nhất. Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S)(I nằmgiữa E và P).Đườngthẳng IP cóphươngtrình x¡1 2 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡2 1 . Tọađộ E thỏahệphươngtrình 8 < : (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡2) 2 Æ9 x¡1 2 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡2 1 . Tìmđược E(3;0;3)hoặc E(¡1;4;1),thửlạiđể EP lớnnhấttađược E(¡1;4;1). Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là 2x¡2yÅ zÅ9Æ0. I P M N E Chọnđápán D ä Câu96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (®) đi qua M(1;1;4) cắt các tia Ox, Oy,Ozlầnlượttại A,B,C phânbiệtsaochotứdiệnOABC cóthểtíchnhỏnhất.Tínhthểtích nhỏnhấtđó. A. 72. B. 108. C. 18. D. 36. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 482 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọiphươngtrìnhmặtphẳng (®)códạng x a Å y b Å z c Æ1với a,b,cÈ0. Điểm M2(®)nên 1 a Å 1 b Å 4 c Æ1. Ápdụngbấtđẳngthức Cauchytacó 1Æ 1 a Å 1 b Å 4 c ¸3 3 É 4 abc )abc¸27¢4Æ108. DođóthểtíchkhốichópO.ABC làVÆ 1 6 OA¢OB¢OCÆ 1 6 abc¸ 1 6 ¢107Æ18. Đẳngthứcxảyrakhi aÆbÆ3,cÆ12. Chọnđápán C ä Câu97. Tong không gian Oxyz cho điểm M(2;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vàcắtbatiaOx,Oy,Ozlầnlượttại A,B,C khácgốcO saochothểtíchkhốitứdiện ABCD làbénhất. A. 4x¡y¡z¡6Æ0. B. 2xÅyÅ2z¡6Æ0. C. 2x¡y¡2z¡3Æ0. D. xÅ2yÅ2z¡6Æ0. -Lờigiải. Gọi tọa độ của A, B, C lần lượt là (a;0;0),(0;b;0),(0;0;c), do A, B, C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên a,b,c làcácsốdương.Mặtphẳng (P)códạng x a Å y b Å z c Æ1. Vì M2(P) nên 2 a Å 1 b Å 1 c Æ1, sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương 2 a , 1 b , 1 c ta có 1Æ 2 a Å 1 b Å 1 c ¸3 3 É 2 abc )abc¸3 3 ¢2. Dấu "Æ"xảyra, 2 a Æ 1 b Æ 1 c Æ 1 3 ) ( aÆ6 bÆ3 cÆ3 . Thểtíchkhốitứdiện ABCD bénhất,abc bénhất,aÆ6,bÆ3,cÆ3. Phươngtrìnhmặtphẳng (P): xÅ2yÅ2z¡6Æ0. Chọnđápán D ä Câu98. TrongkhônggiantọađộOxyzchocácđiểm A(1;2;3),B(2;1;0),C(4;¡3;¡2),D(3;¡2;1), E(1;1;¡1).Hỏicóbaonhiêumặtphẳngcáchđều 5điểmtrên? A. 1. B. 4. C. 5. D. Khôngtồntại. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡1;¡3), #  DCÆ(1;¡1;¡3), #  ADÆ(2;¡4;¡2). Suyra ABCD làhìnhbìnhhành. #  AEÆ(0;¡1;¡4), h #  AB, #  AD i Æ(¡10;¡4;¡2). ) h #  AB, #  AD i ¢ #  AEÆ126Æ0nên E.ABCD làhìnhchópđỉnh E cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành. GọiG, H, I, K, M, N, P,Q lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh EA, EB, EC, ED, AB, BC, CD, AD. A G H M D I P B C N E Q K Dođócó 5mặtphẳngcáchđều 5điểmlà: Mặtphẳngqua 4trungđiểmcủa 4cạnhbên: (GHIK). Th.sNguyễnChínEm 483 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A G H D I B C E K Mặtphẳngqua 4trungđiểmlầnlượtcủa EC, ED, AD, BC: (IKQN). A D B C N E I K Q Mặtphẳngqua 4trungđiểmcủa EB, EA, AD, BC: (HGQN). A G H D B C N E Q Mặtphẳngqua 4trungđiểmcủa EA, ED, CD, AB: (GKPM). A G M D P B C E K Mặtphẳngqua 4trungđiểmcủa EB, EC, CD, AB: (HIPM). Th.sNguyễnChínEm 484 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A H M D P B C E I Chọnđápán C ä Câu99. TrongkhônggianOxyz,chobốnđiểm A(¡4;¡1;3),B(¡1;¡2;¡1),C(3;2;¡3)vàD(0;¡3;¡5). Gọi (®) là mặt phẳng đi qua D và tổng khoảng cách từ A, B, C đến (®) lớn nhất, đồng thời ba điểm A,B,Cnằmcùngphíasovới(®).Trongcácđiểmsau,điểmnàothuộcmặtphẳng(®) A. E 1 (7;¡3;¡4). B. E 2 (2;0;¡7). C. E 3 (¡1;¡1;¡6). D. E 4 (36;1;¡1). -Lờigiải. Gọi E là trung điểm BC, F là điểm đối xứng với D qua E và M là trung điểm AF. Ta có E(1;0;¡2), F(2;3;1) và M(¡1;1;2). Gọi A 0 , B 0 , C 0 , E 0 , F 0 , M 0 tương ứng là hình chiếu của A, B, C, E, F, M lênmặtphẳng (®). Ta có d(A,(®))Åd(B,(®))Åd(C,(®))Æ AA 0 ÅBB 0 Å CC 0 ÆAA 0 Å2EE 0 ÆAA 0 ÅFF 0 Æ2MM 0 ·2MD. Dođó(®)?MD.Mà #  MDÆ(1;¡4;¡7)nênphương trình (®):x¡4y¡7z¡47Æ0. A 0 D M 0 A M F E E 0 B C B 0 C 0 F 0 Chọnđápán A ä Câu100. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x¡2yÅz¡1Æ 0,(Q): x¡2yÅzÅ8Æ0,(R): x¡2yÅz¡4Æ0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P),(Q),(R)lầnlượttại A,B,C.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa TÆAB 2 Å 144 AC . A. 72 3 p 3. B. 96. C. 108. D. 72 3 p 4. -Lờigiải. Q R P B C B 0 C 0 A Th.sNguyễnChínEm 485 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó M(1;0;0)2(P)vàbamặtphẳng (P),(Q),(R)đôimộtsongsongvớinhau. Gọi B 0 ,C 0 lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa A trêncácmặtphẳng (Q),(R). Tacó AB 0 Æd(A;(Q))Æd(M;(Q))Æ j1¡2.0Å0Å8j p 1 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ 3 p 6 2 . AC 0 Æd(A;(R))Æd(M;(R))Æ j1¡2.0Å0¡4j p 1 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ p 6 2 . Tathấy AB 0 Æ3AC 0 nênđặt CC 0 Æa)BB 0 Æ3a. Tacó AB 2 ÆAB 02 ÅBB 02 Æ 27 2 Å9a 2 ; ACÆ p AC 02 ÅCC 02 Æ É 3 2 Åa 2 . )TÆAB 2 Å 144 AC Æ 27 2 Å9a 2 Å 144 É 3 2 Åa 2 Æ9 µ 3 2 Åa 2 ¶ Å 72 É 3 2 Åa 2 Å 72 É 3 2 Åa 2 Ê3 3 Í 9 µ 3 2 Åa 2 ¶ . 72 É 3 2 Åa 2 . 72 É 3 2 Åa 2 Æ108. . Dođó minTÆ108khi aÆ p 2 2 . Chọnđápán C ä Câu101. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) qua M cắtchiềudươngcủacáctrụcOx,Oy,Ozlầnlượttại A,B,C thõamãnOAÆ2OB.Tínhgiátrị nhỏnhấtcủathểtíchkhốichópOABC. A. 64 27 . B. 10 3 . C. 9 2 . D. 81 16 . -Lờigiải. Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,cÈ0. Khi đó mặt phẳng (P) có dạng x a Å y b Å z c Æ1. Vì (P)điqua M nên 1 a Å 1 b Å 1 c Æ1. VìOAÆ2OB)aÆ2b) 3 2b Å 1 c Æ1. ThểtíchkhốitứdiệnOABC làVÆ 1 6 abcÆ 1 3 b 2 c. Tacó 1Æ 3 2b Å 1 c Æ 3 4b Å 3 4b Å 1 c ¸3 3 É 9 16b 2 c ) 3 É 9 16b 2 c · 1 3 ) 16b 2 c 9 ¸27) b 2 c 3 ¸ 81 16 . V min Æ 81 16 khi 3 4a Æ 1 c Æ 1 3 ) 8 > > > < > > > : aÆ 9 2 bÆ 9 4 cÆ3 . Chọnđápán D ä Câu102. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và D khác phía với O so với (ABC); đồng thời A,B,C lần lượt là giao điểm của các trục tọa độ Ox,Oy,Oz với mặt phẳng (P): x m Å y mÅ2 Å z m¡5 Æ1, mÝ{0;¡2;¡5}. Tính khoảng cáchngắnnhấttừtâm I củamặtcầungoạitiếptứdiện ABCD đếnO. A. p 30. B. p 13 2 . C. p 26. D. p 26 2 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 486 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và D khác phía với O nên ta dựng được hình hộpchữnhật CEDF.OAMB nhưhìnhvẽ. Lúc đó mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật này cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên tâm I làtrungđiểmOD. Dễthấyrằng A(m;0;0),B(0;mÅ2;0)và C(0;0;m¡5). Khoảng cách từ tâm I đến O là bán kính mặt cầu ngoạitiếphìnhhộpchữnhật CEDF.OAMB nên O M B C D F A E I y x z IOÆRÆ p OA 2 ÅOB 2 ÅOC 2 2 Æ p 3m 2 ¡6mÅ29 2 Æ p 3(m¡1) 2 Å26 2 ¸ p 26 2 . Đẳngthứcxảyrakhi mÆ1. Chọnđápán D ä Câu103. TrongkhônggianOxyz,chocácmặtphẳng(P):x¡yÅ2zÅ1Æ0,(Q):2xÅyÅz¡1Æ0. Gọi(S)làmặtcầucótâmthuộctrụchoành,đồngthời(S)cắtmặtphẳng(P)theogiaotuyếnlà mộtđườngtròncóbánkínhbằng2và(S)cắtmặtphẳng(Q)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròn cóbánkínhbằng r.Xácđịnh r saochochỉcóđúngmộtmặtcầu (S)thỏamãnyêucầu. A. rÆ p 3. B. rÆ p 2. C. rÆ É 3 2 . D. rÆ 3 p 2 2 . -Lờigiải. Gọi¢Æ(P)\(Q), I làtâmcủa(S). Gọi (®) là mặt phẳng qua I và vuônggócvới¢. Khiđó(®)cắt(S)theođườngtròn lớn (C)và (C)cắtcácđườngtròn giaotuyếncủa (S)với (P),(Q)lần lượt theo các đường kính MN và EF (hìnhvẽ). (P) (Q) (C) M N H E F K I 2 r R R Do I2Oxnên I(x;0;0). Gọi R làbánkínhmặtcầu (S)và H,K lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa I trên (P),(Q). Tacó: Khoảngcáchtừ I đến (P)là IHÆd(I,(P))Æ jxÅ1j p 1 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ jxÅ1j p 6 . Suyra R 2 Æ2 2 ÅIH 2 ,R 2 Æ4Å (xÅ1) 2 6 (1). Khoảngcáchtừ I đến (Q)là IKÆd(I,(Q))Æ j2x¡1j p 2 2 Å1 2 Å1 2 Æ j2x¡1j p 6 . Suyra R 2 Ær 2 ÅIK 2 ,R 2 Ær 2 Å (2x¡1) 2 6 (2). Từ(1)và(2)suyra 4Å (xÅ1) 2 6 Ær 2 Å (2x¡1) 2 6 (*). Th.sNguyễnChínEm 487 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bàitoántrởthànhtìm r đểphươngtrình(*)cónghiệmduynhất. (¤),x 2 ¡2xÅ2r 2 ¡8Æ0. (*)cónghiệmduynhất,¢ 0 Æ1¡(2r 2 ¡8)Æ0,rÆ 3 p 2 2 . Chọnđápán D ä Câu104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1) và A(1;1;1). Hai điểm M(m;0;0),N(0;n;0) thay đổi sao cho mÅnÆ1 và mÈ0,nÈ0. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầucốđịnhđiqua A vàtiếpxúcvớimặtphẳng (SMN).Bánkínhcủamặtcầuđólà A. p 2. B. 2. C. 1. D. p 3. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (SMN)là x m Å y n Å z 1 Æ1,nxÅmyÅmnz¡mnÆ0. Gọi I(a;b;c)và R làtâmvàbánkínhcủamặtcầucốđịnh. Tacó RÆd(I;(SMN))Æ jnaÅmbÅmnc¡mnj p n 2 Åm 2 Åm 2 n 2 Æ j(1¡m)aÅmbÅm(1¡m)(c¡1)j p 1¡2mnÅm 2 n 2 Æ j(1¡m)aÅmbÅm(1¡m)(c¡1)j 1¡mn Æ j(1¡c)m 2 Å(bÅc¡a¡1)mÅaj m 2 ¡mÅ1 . Mà R khôngđổinên 1¡c 1 Æ bÅc¡a¡1 ¡1 Æ a 1 Æt) ( aÆt bÆt cÆ1¡t ,hay I(t;t;1¡t). Mặtkháctacó RÆIAÆ p 3t 3 ¡4tÅ2Æjtj)tÆ1.Vậy RÆ1. Chọnđápán C ä Câu105. Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau, được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhàđó.Biếtrằngtrênbềmặtcủamỗiquảbóngđềutồntạimộtđiểmcókhoảngcáchđếnhai bứctườngvànềnnhànótiếpxúclầnlượtbằng 1,2,3.Tínhtổngcácbìnhphươngcủahaibán kínhcủahaiquảbóngđó. A. 22. B. 26. C. 20. D. 24. -Lờigiải. Xétquảbóngtiếpxúcvớihaibứctường,nềncủacănnhà vàchọnhệtrụctọađộOxyznhưhìnhvẽ(tươngtựvớigóc tườngcònlại). GọiI(a;a;a)làtâmcủamặtcầucóbánkínhRÆa.Phương trìnhmặtcầulà: (S):(x¡a) 2 Å(y¡a) 2 Å(z¡a) 2 Æa 2 . (1) Xétđiểm M(x;y;z)nằmtrênmặtcầusaochod(M,(Oxz))Æ 2, d(M,(Oyz))Æ1, d(M,(Oxy))Æ3. Suyra M(2;1;3). Vì M thuộcmặtcầu (S)nêntừ (1)tacó: (2¡a) 2 Å(1¡a) 2 Å(3¡a) 2 Æa 2 ,a 2 ¡6aÅ7Æ0 , ½ a 1 Æ3Å p 2ÆR 1 a 2 Æ3¡ p 2ÆR 2 . Vậy R 2 1 ÅR 2 2 Æ22. I M 1 2 3 O x y z Chọnđápán A ä Câu106. TrongkhônggianOxyz,biếtmặtphẳng (P)điquahaiđiểm A(1;1;1),B(0;2;2)đồng thời (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm M, N (M, N đều không trùng với Th.sNguyễnChínEm 488 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 gốctọađộ)thỏamãnOMÆON.Biếtmặtphẳng(P)cóhaiphươngtrìnhlà xÅb 1 yÅc 1 zÅd 1 Æ0 và xÅb 2 yÅc 2 zÅd 2 Æ0.Tínhđạilượng TÆb 1 Åb 2 . A. TÆ2. B. TÆ0. C. TÆ4. D. TÆ¡4. -Lờigiải. #  ABÆ(¡1;1;1). Nếumặtphẳng (P)songsongvớitrụcOz. (P)điqua A(1;1;1)cóVTPT #  nÆ[ #  AB, #  k]Æ(1;1;0). Khiđó (P): xÅy¡2Æ0. Dễthấy (P)cắtOxtại M(2;0;0)cắtOytại M(0;2;0).TathấyOMÆON nên (P)thỏamãn. Nếumặtphẳng (P)cắttrụcOz.Ápdụngphươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắntacó (P): x a Å y b Å z c Æ1(a,b,c6Æ0) Do đó phương trình (P) có dạng xÅByÅCzÅDÆ0(B,C,D6Æ0). (P) đi qua hai điểm A, B nên n BÅCÅDÆ¡1 2BÅ2CÅDÆ0 , n 2BÅ2CÅ2DÆ¡2 2BÅ2CÅDÆ0 )DÆ¡2. (P)cắttrụcOxtại M(¡D;0;0),cắtOytại N(0; ¡D B ;0). VìOMÆON nênj¡DjÆj ¡D B j, 2 6 6 4 ¡DÆ¡ D B )BÆ1(loạivì C6Æ0) ¡DÆ D B )BÆ¡1)CÆ2. Dođó (P):x¡yÅ2z¡2Æ0.Vậy b 1 Åb 2 Æ1¡1Æ0. Chọnđápán B ä Câu107. TrongkhônggianOxyz,biếtmặtphẳng(P)điquahaiđiểm A(2;0;0), M(1;1;1)đồng thời (P)cắtcáctiaOy,OztheothứtựtạihaiđiểmB,C (B,C đềukhôngtrùngvớigốctọađộ). Khidiệntíchtamgiác ABC nhỏnhấtphươngtrìnhmặtphẳng (P)là A. y¡zÆ0. B. yÅz¡2Æ0. C. 2xÅyÅz¡4Æ0. D. xÅy¡2. -Lờigiải. Tathấy (P)cắttrụcOxtạiđiểm A(2;0;0).Gọi B(0;b;0), C(0;0;c) (b,c6Æ0). Khiđó (P): x 2 Å y b Å z c Æ1. M(1;1;1)2(P), 1 b Å 1 c Æ 1 2 . Suyra 1 2 ¸ 2 p bc ,bc¸16.Tacó: #  ABÆ(¡2;b;0), #  ACÆ(¡2;0;c). S ABC Æ 1 2 j[ #  AB, #  AC]jÆ 1 2 p b 2 c 2 Å4b 2 Å4c 2 ¸ 1 2 p b 2 c 2 Å8bc¸ 1 2 p 16 2 Å8¢16. Dấu "Æ"xảyrakhivàchỉkhi bÆcÆ4. Khiđó (P): x 2 Å y 4 Å z 4 Æ1hay 2xÅyÅz¡4Æ0. Chọnđápán C ä Câu108. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;¡1;2) và N(¡1;1;3). Một mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2). đến mặt phẳng P đạt giá trịlớnnhất.Tìmtọađộvéc-tơpháptuyến #  n củamặtphẳng (P). A. #  nÆ(1;¡1;1). B. #  nÆ(1;1;¡1). C. #  nÆ(2;¡1;1). D. #  nÆ(2;1;¡1). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 489 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó: #  MNÆ(¡1;2;1). Gọi d làđườngthẳngđiquahaiđiểm MN. Phươngtrìnhđườngthẳng d điqua M(0;¡1;2)vànhận #  MNÆ(¡1;2;1)làmvéc-tơchỉphươnglà: ½ xÆ¡1 yÆ¡1Å2t zÆ2Åt . K M N H P Gọi H làhìnhchiếucủa K lênđườngthẳng d. Tacó: d(K,(P))·KH.Dođó d(K,(P))lớnnhấtkhivàchỉkhi d(K,(P))ÆKH. Tacó H2d)H(¡t;¡1Å2t;2Åt); #  KHÆ(¡t;¡1Å2t;t). Tacó: KH?MN, #  KH¢ #  MNÆ0,(¡1)¢(¡t)Å2(¡1Å2t)Å1¢tÆ0,tÆ 1 3 . Lúcđó #  KHÆ µ ¡ 1 3 ;¡ 1 3 ; 1 3 ¶ Æ¡ 1 3 ¢ #  n,với #  nÆ(1;1;¡1). #  KH làvéc-tơpháptuyếncủamp(P)nên #  n cũnglàvéc-tơpháptuyếncủamp(P). Chọnđápán B ä Câu109. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), với a,b,clàcácsốthựcdươngthayđổithỏamãn a 2 Åb 2 Åc 2 Æ3.KhoảngcáchtừOđếnmặtphẳng (ABC)lớnnhấtlà A. 1 3 . B. 3. C. 1 p 3 . D. 1. -Lờigiải. Gọi(P)làmặtphẳngđiquabađiểm A,B,C,mặtphẳng(P)cóphươngtrìnhtheođoạnchắnlà x a Å y b Å z c Æ1, 1 a ¢xÅ 1 b ¢yÅ 1 c ¢z¡1Æ0. Tacó d(O;(P))Æ 1 É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 . Ápdụngbấtđẳngthức 1 x Å 1 y Å 1 z ¸ 9 xÅyÅz ,8x,y,zÈ0,tacó d(O;(P))· 1 É 9 a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 1 p 3 . Đẳngthứcxảyrakhi aÆbÆcÆ1. Vậy maxd(O;(P))Æ 1 p 3 . Chọnđápán C ä Câu110. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(1;¡6;1)vàmặtphẳng (P):xÅyÅ7Æ0.Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏnhất.Tọađộđiểm B là: A. B(0;0;1). B. B(0;0;¡2). C. B(0;0;¡1). D. B(0;0;2). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 490 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 z A B H O A 0 C Kiểmtrathấyhaiđiểm A, Bnằmcùngphíasovớibờlàmặtphẳng (P),trụcOzsongsongvới mặtphẳng (P). Lấyđiểm A 0 đốixứngvới A quamặtphẳng (P).Tacócácđánhgiá: + AB¸AB 0 với B 0 làhìnhchiếucủa A lêntrụcOz và AB 0 cóđộdàikhôngđổi. + BCÅCAÆBCÅCA 0 ¸A 0 B¸A 0 H, A 0 H cóđộdàikhôngđổi. Từđósuyra ABÅBCÅCA¸AB 0 ÅA 0 H. Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi B trùng B 0 (0;0;1). Chọnđápán A ä Câu111. Trong khônggian với hệtọa độ Oxyz, chocác điểm A(1;¡1;1),B(0;1;¡2) và điểm M thayđổitrênmặtphẳngtọađộOxy.TìmgiátrịlớnnhấtcủajMA¡MBj. A. 2 p 2. B. p 14. C. p 6. D. p 12. -Lờigiải. Thay tọa độ của A,B vào PT mặt phẳng (Oxy):zÆ0, ta có 1¢(¡2)Æ¡2Ç0) A,B nằm về hai phíacủa (Oxy). Gọi A 0 làđiểmđốixứngcủa A qua (Oxy).Khiđótacó: jMA¡MBjÆjMA 0 ¡MBj·A 0 B. Suy rajMA¡MBj lớn nhất bằng A 0 B khi và chỉ khi M là giao điểmcủa A 0 B và (Oxy). Tacó A 0 (1;¡1;¡1))A 0 BÆ p (¡1) 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ p 6. Chọnđápán C ä Câu112. Trong không gian, với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2;¡2;0), C(¡2;0;1). Mặtphẳng (P)điqua A,trựctâm H củatamgiác ABC vàvuônggócvớimặtphẳng (ABC)có phươngtrìnhlà A. 4xÅ2y¡zÅ4Æ0. B. 4xÅ2yÅz¡4Æ0. C. 4x¡2y¡zÅ4Æ0. D. 4x¡2yÅzÅ4Æ0. -Lờigiải. #  ABÆ(2,¡3,¡2); #  ACÆ(¡2;¡1;¡1); #  BCÆ(¡4;2;1). [ #  AB, #  AC]Æ(1;6;¡8). Gọitọađộtrựctâm H(a;b;c). #  AHÆ(a;b¡1;c¡2); #  BHÆ(a¡2;bÅ2,c). Theođềbàitacó 8 > < > : #  AH? #  BC #  BH? #  AC #  AH, #  AB, #  AC đồngphẳng ) 8 > < > : #  AH¢ #  BCÆ0 #  BH¢ #  ACÆ0 #  AH¢[ #  AB, #  AC]Æ0. ( ¡4aÅ2(b¡1)Åc¡2Æ0 ¡2(a¡2)¡1(bÅ2)¡cÆ0 aÅ6(b¡1)¡8(c¡2)Æ0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : aÆ¡ 22 101 bÆ 70 101 cÆ 176 101 )H µ ¡ 22 101 ; 70 101 ; 176 101 ¶ . #  AHÆ µ ¡ 22 101 ;¡ 31 101 ;¡ 26 101 ¶ . Gọi #  n làVTPTcủamặtphẳng (P). Th.sNguyễnChínEm 491 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó ½ #  n? #  AH #  n? #  n (ABC) ) #  nÆ[ #  AH, #  n (ABC) ]Æ(4;¡2;¡1) Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A(0;1;2)cómộtVTPTlà #  nÆ(4;¡2;¡1)là 4(x¡0)¡2(y¡1)¡1(z¡2)Æ0,4x¡2y¡zÅ4Æ0. Vậy (P):4x¡2y¡zÅ4Æ0. Chọnđápán C ä Câu113. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtcầu(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ1Æ0. Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquahaiđiểm A(0;¡1;1),B(1;¡2;1)vàcắtmặtcầu (S)theo giaotuyếnlàđườngtròncóchuvibằng p 2¼. A. xÅy¡3zÅ4Æ0, xÅy¡zÅ2Æ0. B. xÅyÅ3z¡2Æ0, xÅyÅzÆ0. C. xÅyÅ1Æ0, xÅyÅ4z¡3Æ0. D. xÅyÅ3z¡2Æ0, xÅy¡5zÅ6Æ0. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;0),bánkính RÆ1. Gọi r làbánkínhđườngtròncóchuvibằng p 2¼ )2¼rÆ p 2¼,rÆ 1 p 2 . Giảsử (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(a;b;c), a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0. Suyra (P)cóphươngtrình: a(x¡0)Åb(yÅ1)Åc(z¡1)Æ0,axÅbyÅczÅb¡cÆ0. B2(P))a¡2bÅcÅb¡cÆ0,aÆb. I R r P (S) Tacó d(I;(P))Æ p R 2 ¡r 2 Æ É 1¡ 1 2 Æ 1 p 2 .Suyra ja¡cj p a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 1 p 2 , (a¡c) 2 a 2 Åb 2 Åc 2 Æ 1 2 ,c 2 ¡4acÆ0, h cÆ0 cÆ4a. ²Với cÆ0,chọn aÆ1Æb tacó (P):xÅyÅ1Æ0. ²Với cÆ4a,chọn aÆ1Æb)cÆ4,tacó (P):xÅyÅ4z¡3Æ0. Chọnđápán C ä Câu114. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;1;1), B(2;0;2), C(¡1;¡1;0) và D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B 0 , C 0 , D 0 sao cho AB AB 0 Å AC AC 0 Å AD AD 0 Æ4. Viết phương trình mặt phẳng (B 0 C 0 D 0 ) biết tứ diện AB 0 C 0 D 0 có thể tích nhỏnhất. A. 16x¡40y¡44zÅ39Æ0. B. 16xÅ40y¡44zÅ39Æ0. C. 16xÅ40yÅ44z¡39Æ0. D. 16x¡40y¡44z¡39Æ0. -Lờigiải. Tacó V A.B 0 C 0 D 0 V A.BCD Æ AB 0 AB ¢ AC 0 AC ¢ AD 0 AD . Đặt xÆ AB 0 AB , yÆ AC 0 AC , zÆ AD 0 AD ; x,y,zÈ0. Tứdiện AB 0 C 0 D 0 cóthểtíchnhỏnhất,xyzđạtgiátrịnhỏnhất. Theođềbài,tacó 1 x Å 1 y Å 1 z Æ4. Mà 1 x Å 1 y Å 1 z ¸ 3 3 p xyz )4¸ 3 3 p xyz ,xyz¸ µ 3 4 ¶ 3 . Dấubằngxảyrakhi xÆyÆzÆ 3 4 . Vậytứdiện AB 0 C 0 D 0 cóthểtíchnhỏnhất,xÆyÆzÆ 3 4 . B B 0 A C 0 C D D 0 Khi đó BCÒ(B 0 C 0 D 0 ),BDÒ(B 0 C 0 D 0 ))[ #  BC, #  BD]Æ(4;10;¡11) là một véc-tơ pháp tuyến của Th.sNguyễnChínEm 492 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 (B 0 C 0 D 0 ); #  AD 0 Æ 3 4 #  AD) 8 > > > > > > < > > > > > > : x D 0¡1Æ 3 4 ¢(¡1) y D 0¡1Æ 3 4 ¢2 z D 0¡1Æ 3 4 ¢3 )D 0 µ 1 4 ; 10 4 ; 13 4 ¶ . Suyra (B 0 C 0 D 0 ):4 µ x¡ 1 4 ¶ Å10 µ y¡ 10 4 ¶ ¡11 µ z¡ 13 4 ¶ Æ0,16xÅ40y¡44zÅ39Æ0. Chọnđápán B ä Câu115. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(0;8;2),điểmB(9;¡7;23)vàmặtcầu(S):(x¡5) 2 Å (yÅ3) 2 Å(z¡7) 2 Æ72.Gọi (P)làmặtphẳngqua A vàtiếpxúcvới (S)saochokhoảngcáchtừ B đến (P)làlớnnhất.Biết #  nÆ(1;m;n)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P).Tính mn. A. mnÆ¡2. B. mnÆ¡4. C. mnÆ2. D. mnÆ4. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(5;¡3;7);bánkính RÆ6 p 2. Phươngtrìnhmặtphẳng (P):1(x¡0)Åm(y¡8)Ån(z¡2)Æ0. Vì (P)và (S)tiếpxúcnhaunên d(I;(P))ÆR, j5¡11mÅ5nj p 1Åm 2 Ån 2 Æ6 p 2,j5¡11mÅ5njÆ6 p 2 p 1Åm 2 Ån 2 (1). Tacó d(B,(P))Æ j9¡15mÅ21nj p 1Åm 2 Ån 2 . Tacój9¡15mÅ21njÆj5¡11mÅ5nÅ4¡4mÅ16nj·j5¡11mÅ5njÅj4¡4mÅ16nj (2). ÁpdụngBĐTBunhiacopxkitacó (4¡4mÅ16n) 2 ·(4 2 Å4 2 Å16 2 )(1Åm 2 Ån 2 )Æ288(1Åm 2 Ån 2 ) )j4¡4mÅ16nj·12 p 2 p 1Åm 2 Ån 2 (3). Từ (1),(2),(3)tacój9¡15mÅ21nj·18 p 2 p 1Åm 2 Ån 2 .Dấu“=”xảyra , 8 > > < > > : j5¡11mÅ5njÆ6 p 2 p 1Åm 2 Ån 2 (5¡11mÅ5n)(4¡4mÅ16n)¸0 1 4 Æ m ¡4 Æ n 16 ,mÆ¡1,nÆ4)mnÆ¡4. Chọnđápán B ä Câu116. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm M(4;9;1),phươngtrìnhmặtphẳng (®): x a Å y b Å z c Æ1quađiểm M vàcắtbatiaOx,Oy,Ozlầnlượttại A,B,CsaochoOAÅOBÅOC nhỏnhất.Tính PÆaÅbÅc. A. PÆ15. B. PÆ14. C. PÆ36. D. PÆ42. -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cắtbatrụctọađộlầnlượttại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a,b,cÈ0. Do (®)điquađiểm M(4;9;1)nên 1Æ 4 a Å 9 b Å 1 c Æ 2 2 a Å 3 2 b Å 1 2 c ¸ (2Å3Å1) 2 aÅbÅc Æ 36 aÅbÅc )aÅbÅc¸36. MàOAÅOBÅOCÆaÅbÅc nênOAÅOBÅOC nhỏnhấtkhi aÅbÅc nhỏnhấtvàbằng 36. Chọnđápán C ä Câu117. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;¡6;1) và mặt phẳng (P): xÅyÅ7Æ0. Điểm B thayđổithuộc Oz;điểm C thayđổithuộcmặtphẳng (P).Biếtrằngtamgiác ABC cóchuvi nhỏnhất.Tọađộđiểm B là A. B(0;0;1). B. B(0;0;¡2). C. B(0;0;¡1). D. B(0;0;2). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 493 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi B 1 làđiểmđốixứngvới B qua (P). P ABC ÆABÅBCÅCAÆABÅB 1 CÅCA¸ABÅAB 1 Gọi M là hình chiếu của A lên trục Oz, M 1 là điểm đối xứngcủa M qua (P) ABÅAB 1 ¸AMÅAB 1 ¸AMÅAM 1 (hằngsố). Vậy P ABC nhỏ nhất khi B´ M và C là giao điểm của AM 1 với (P). Từđósuyratọađộcủađiểm B là (0;0;1). P A B M 1 B 1 M N C Chọnđápán A ä Câu118. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(¡1;0;0),B(0;¡1;0),C(0;0;1) và mặt phẳng (P): 2x¡2yÅzÅ7Æ0.Xét M2(P),giátrịnhỏnhấtcủa ¯ ¯ ¯ #  MCÅ #  MB¡ #  MA ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  MB ¯ ¯ ¯bằng A. p 5. B. p 2. C. 5 p 2. D. 2 p 5. -Lờigiải. *Gọi I làđiểmthỏamãn #  ICÅ #  IB¡ #  IAÆ #  0 )I(1;¡1;1) *Tacó #  MCÅ #  MB¡ #  MAÆ #  IC¡ #  IMÅ #  IB¡ #  IM¡ #  IAÅ #  IMÆ #  IM ) ¯ ¯ ¯ #  MCÅ #  MB¡ #  MA ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  MB ¯ ¯ ¯Æ ¯ ¯ ¯ #  IM ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  MB ¯ ¯ ¯ÆMIÅMB *Do (I;(P))Æ2Å2Å1Å7È0,(B;(P))Æ0Å2Å0Å7È0nênđiểm I và Bnằmcùngphíasovớimặt phẳng (P) ¢ I B M B 0 H 2 H 1 *Gọi B 0 làđiểmđốixứngcủa B quamặtphẳng (P)tacó ¯ ¯ ¯ #  MCÅ #  MB¡ #  MA ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  MB ¯ ¯ ¯ÆMIÅMBÆMIÅMB 0 ÊIB 0 đạtminkhi I,M,I 0 thẳnghàng * Ta có (BH 2 ): ( xÆ2t yÆ¡1¡2t zÆt , H 2 ÆBH 2 \(P)) H 2 (¡2;1;¡1))B 0 (¡4;3;¡2)) #  IB 0 Æ(¡5;4;¡3)) min ³¯ ¯ ¯ #  MCÅ #  MB¡ #  MA ¯ ¯ ¯Å ¯ ¯ ¯ #  MB ¯ ¯ ¯ ´ ÆIB 0 Æ5 p 2. Chọnđápán C ä Câu119. TrongkhônggianOxyz,xétsốthựcm2(0;1)vàhaimặtphẳng(®): 2x¡yÅ2zÅ10Æ0 và (¯): x m Å y 1¡m Å z 1 Æ1. Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời vớicảhaimặtphẳng (®), (¯).Tổngbánkínhcủahaimặtcầuđóbằng Th.sNguyễnChínEm 494 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. 6. B. 3. C. 9. D. 12. -Lờigiải. Tacó:Giảsử I(a;b;c)tacó d ¡ I,(¯) ¢ Æ ¯ ¯ ¯ ¯ a m Å b 1¡m Åc¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ É 1 m 2 Å 1 (m¡1) 2 Å1 Æ ¯ ¯ ¯ ¯ a m Å b 1¡m Åc¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ Ê µ 1 m¡1 ¡ 1 m Å1 ¶ 2 Æ ¯ ¯ ¯ ¯ a m Å b 1¡m Åc¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 m¡1 ¡ 1 m Å1 ¯ ¯ ¯ ¯ Æjkj )(a;b;c¡1)tỉlệvớibộ (¡1;¡1;1)) ( aÆ¡k bÆ¡k c¡1Æk + d(I,(®))Æ j¡2kÅkÅ2kÅ2Å10j 3 Æjkj, h kÆ6 kÆ¡3. )R 1 Æ6;R 2 Æ3)R 1 ÅR 2 Æ9. Chọnđápán C ä Câu120. Chođiểm A(4;¡4;2)vàmặtphẳng(P): 2x¡2yÅzÆ0.GọiMnằmtrên(P),N làtrung điểm của OM, H là hình chiếu vuông góc của O lên AM. Biết rằng khi M thay đổi thì đường thẳng HN luôntiếpxúcvớimộtmặtcầucốđịnh.Tínhthểtíchcủamặtcầuđó? A. VÆ36¼. B. VÆ32 p 3¼. C. VÆ32 p 2¼. D. VÆ72 p 2¼. -Lờigiải. TacóO2(P).Mà #  OAÆ(4;¡4;2)vàVTPTcủamp(P) là #  nÆ(2;¡2;1)Æ 1 2 #  OA. Suy ra OA?(P). Lại có M2(P))OA?OM hay tamgiácOAMvuôngtạiO. GọiIlàtrungđiểmđoạnOA)I(2;¡2;1). Do OH ? AM ) ½  OHIÆ  IOH ƒ OHNÆ ƒ NOH ) ƒ IHN Æ  ION Æ ƒ AOMÆ90 ± . A H M O N P I )HN?IH)HN luôntiếpxúcvớimặtcầucốđịnhtâmIđườngkínhOA. Suyrabánkínhlà RÆ OA 2 Æ3)VÆ 4 3 ¼R 3 Æ36¼. Chọnđápán A ä Câu121. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ1. Điểm M2(S) có tọa độ dương; mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C. Giá trịnhỏnhấtcủabiểuthức TÆ ¡ 1ÅOA 2 ¢¡ 1ÅOB 2 ¢¡ 1ÅOC 2 ¢ là A. 24. B. 27. C. 64. D. 8. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâmO(0;0;0)vàbánkính RÆ1.Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với a, b, cÈ0. Khiđómặtphẳng (P)cóphươngtrinh x a Å y b Å z c Æ1. Theođề (P)tiếpxúcvới (S), ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a Å 0 b Å 0 c ¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ É 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ1, 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Æ1. ÁpdụngbấtđẳngthứcCô-si 1Æ 1 a 2 Å 1 b 2 Å 1 c 2 Ê3 3 É 1 a 2 ¢ 1 b 2 ¢ 1 c 2 ,a 2 b 2 c 2 Ê27. Tacó 1Åa 2 Æ1Å a 2 3 Å a 2 3 Å a 2 3 Ê4 4 Ê a 6 27 . Tươngtự 1Åb 2 Ê4 4 Ê b 6 27 ;1Åc 2 Ê4 4 Ê c 6 27 . )TÆ(1ÅOA 2 )(1ÅOB 2 )(1ÅOC 2 )Æ(1Åa 2 )(1Åb 2 )(1Åc 2 )Ê64 4 Ê a 6 b 6 c 6 27 3 Ê64. Th.sNguyễnChínEm 495 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dấu“Æ” xảyrakhi a 2 Æb 2 Æc 2 Æ3. Chọnđápán C ä 4.1 ĐÁPÁN 1. D 2. A 3. A 4. C 5. C 6. B 7. C 8. D 9. D 10. D 11. B 12. D 13. D 14. A 15. B 16. B 17. C 18. A 19. C 20. A 21. C 22. A 23. B 24. D 25. B 26. D 27. A 28. A 29. B 30. A 31. B 32. A 33. A 34. C 35. A 36. A 37. B 38. A 39. A 40. A 41. D 42. D 43. A 44. C 45. B 46. D 47. B 48. A 49. B 50. C 51. A 52. C 53. C 54. A 55. A 56. B 57. D 58. A 59. B 60. A 61. A 62. A 63. C 64. A 65. A 66. A 67. D 68. D 69. A 70. D 71. A 72. B 73. B 74. C 75. A 76. C 77. A 78. C 79. A 80. C 81. D 82. D 83. A 84. A 85. D 86. C 87. D 88. D 89. C 90. D 91. C 92. C 93. A 94. D 95. D 96. C 97. D 98. C 99. A 100.C 101.D 102.D 103.D 104.C 105.A 106.B 107.C 108.B 109.C 110.A 111.C 112.C 113.C 114.B 115.B 116.C 117.A 118.C 119.C 120.A 121.C Th.sNguyễnChínEm 496 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 BÀI3. PHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNG A KIẾNTHỨCTRỌNGTÂM 1 PHƯƠNGTRÌNHTHAMSỐCỦAĐƯỜNGTHẲNG Địnhnghĩa1. Cho đường thẳng ¢ đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) vànhận #  u ¢ Æ(a;b;c),với #  u ¢ 6Æ #  0,làmmộtvéc-tơ chỉphương. Phươngtrìnhthamsốcủa¢là: ( xÆx 0 Åat yÆy 0 Åbt zÆz 0 Åct. d #  u M 0 4 ! Nếu a,b,c đều khác 0 thì người ta còn viết phương trình của đường thẳng ¢ dưới dạngchínhtắcnhưsau: x¡x 0 a Æ y¡y 0 b Æ z¡z 0 c . 2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, TRÙNG NHAU, CẮT NHAU HOẶC CHÉONHAU Cho hai đường thẳng d và d 0 lần lượt đi qua hai điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), và M 0 0 ¡ x 0 0 ;y 0 0 ;z 0 0 ¢ có véc-tơchỉphươnglầnlượtlà #  u d Æ(a;b;c), #  u d 0Æ(a 0 ;b 0 ;c 0 ). 1 Đặt #  nÆ £ #  u d , #  u d 0 ¤ ,tacó: ç dÒd 0 , n #  nÆ #  0 M 0 Ýd 0 . ç d´d 0 , n #  nÆ #  0 M 0 2d 0 . ç d cắt d 0 , ½ #  n6Æ #  0 #  n¢ #  M 0 M 0 0 Æ0. ç d và d 0 chéonhau, #  n¢ #  M 0 M 0 0 6Æ0. 4 ! d?d 0 , #  u d ¢ #  u d 0Æ0. 2 Xéthệphươngtrìnhhaiẩn 8 > < > : x 0 ÅatÆx 0 0 Åa 0 t 0 y 0 ÅbtÆy 0 0 Åb 0 t 0 z 0 ÅctÆz 0 0 Åc 0 t 0 (1).Khiđó: ç d và d 0 cắtnhaukhivàchỉkhihệ(1)cóđúngmộtnghiệm. ç d và d 0 chéo nhau khi và chỉ khi hai véc-tơ #  u d , #  u d 0 không cùng phương và hệ (1)vônghiệm. 3 ĐIỀUKIỆNĐỂMỘTĐƯỜNGTHẲNGSONGSONG,CẮTHOẶCVUÔNGGÓCVỚIMỘT MẶTPHẲNG Cho đường thẳng d đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có véc-tơ chỉ phương #  u d Æ(a;b;c); cho mặtphẳng (P)cóphươngtrìnhlà: AxÅByÅCzÅDÆ0. Gọi #  n p Æ(A;B;C)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P).Tacó: ç dÒ(P), n #  u d ¢ #  n p Æ0 M 0 Ý(P) ; ç d½(P), n #  u d ¢ #  n p Æ0 M 0 2(P) ; Th.sNguyễnChínEm 497 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ç d cắt (P), #  u d ¢ #  n p 6Æ0; ç d?(P), #  n p Æk #  u d với k làmộtsốthựcnàođó. 4 KHOẢNGCÁCH 4.1 KHOẢNGCÁCHTỪMỘTĐIỂMĐẾNMỘTĐƯỜNGTHẲNG Trong không gian Oxyz, cho điểm A và đường thẳng ¢ đi qua điểm M và có véc-tơ chỉ phươnglà #  u ¢ Æ(a;b;c).Đểtínhkhoảngcáchtừ A đếnđườngthẳng¢tacó2cách: Cách1: Bước1:Tìmhìnhchiếuvuônggóc H của A trênđườngthẳng¢. Bước 2: Khoảng cách từ A đến¢ chính là khoảng cách giữa hai điểm A và H:d(A,¢)Æ AH. 4 ! Để tìm được H ta có thể làm như sau: Viết phương trình tham số của đường thẳng ¢ ,từ đó suy ra toạ độ của điểm H dưới dạng tham số. Sau đó ta tìm được toạ độ của H dựavàođiềukiện AH?¢, #  AH¢ #  u ¢ Æ0. Cách2:Sửdụngcôngthức: d(A,¢)Æ ¯ ¯ ¯ h #  u ¢ , #  AM i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¢ ¯ ¯ . Hệquả: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Cho hai đường thẳng song song ¢ và ¢ 0 . Gọi M,M 0 lần lượt là một điểm tùy ý trên ¢ và ¢ 0 . Khi đó ta có d(¢,¢ 0 )Æ d(M,¢ 0 )Æd(M 0 ,¢). 4.2 KHOẢNGCÁCHGIỮAHAIĐƯỜNGTHẲNGCHÉONHAU TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳngchéonhau¢vࢠ0 ,trongđó¢điquađiểm M và có véc-tơ chỉ phương là #  u ¢ Æ(a;b;c);¢ 0 đi qua điểm M 0 và có véc-tơ chỉ phương là #  u ¢ 0Æ ¡ a 0 ;b 0 ;c ¢ . Đểtínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng¢vࢠ0 tacó2cách: Cách1: Bước1:Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)chứađườngthẳng¢ 0 vàsongsongvới¢. Bước2:Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng¢vࢠ0 chínhlàkhoảngcáchgiữa¢vàmặt phẳng (Q):d(¢,¢ 0 )Æd(¢,(Q))Æd(M,(Q)). Cách2:Sửdụngcôngthức: d(¢,¢ 0 )Æ ¯ ¯ ¯ h #  u ¢ , #  u 0 ¢ i ¢ #  MM 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h #  u ¢ , #  u 0 ¢ i¯ ¯ ¯ . B CÁCDẠNGTOÁN 1 ĐƯỜNGTHẲNGĐIQUAMỘTĐIỂMVÀVÉC-TƠCHỈPHƯƠNGCHOTRƯỚC. Phươngphápgiải: Ởdạngnàyvéc-tơchỉphươngcóthểđượcchotrướchoặcẩntrongcácđặcđiểmtươngứng củađườngthẳng Đườngthẳng (d)điquahaiđiểm A, B,khiđóvéc-tơ #  AB làmộtchỉphươngcủa (d). Đườngthẳng (d)songsongvớiđườngthẳng (l),khiđóvéc-tơchỉphươngcủa (l)cũng làmộtchỉphươngcủa (d). Đươngthẳng(d)vuônggócvớimặtphẳng(®),khiđóvéc-tơpháptuyếncủa(®)làmột chỉphươngcủa (d). Th.sNguyễnChínEm 498 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vídụ1. Viết phương trình đường thẳng (d) khi biết (d) đi qua điểm M(1;2;¡3) và nhận véc-tơ #  uÆ(¡1;3;5)làmmộtvéc-tơchỉphương. -Lờigiải. Vì (d)điquađiểm M(1;2;¡3)vànhậnvéc-tơ #  uÆ(¡1;3;5)làmmộtvéc-tơchỉphươngnêntacó phươngtrìnhcủa (d)là ( xÆ1¡t yÆ2Å3t zÆ¡3Å5t với t2R. ä Vídụ2. Viếtphươngthamsốcủađườngthẳng (d)biết (d)điquahaiđiểm A(2;3;¡1)và B(1;2;4). -Lờigiải. Vì (d)điquahaiđiểm A, B nênnhậnvéc-tơ #  BAÆ(1;1;¡5)làmộtvéc-tơchỉphương. Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ2Åt yÆ3Åt zÆ¡1¡5t. ä Vídụ3. Viếtphươngthamsốcủađườngthẳng (d)biết (d)điquahaiđiểm A(3;2;¡4)và songsongvớiđườngthẳng (a): ( xÆ2¡3t yÆ3Å4t zÆ5¡2t. -Lờigiải. Vì (d) song song với (a) nên véc-tơ chỉ phương của (a) cũng là một véc-tơ chỉ phương của (d), suyra #  u d Æ(¡3;4;¡2). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ2¡3t yÆ3Å4t zÆ5¡2t. ä Vídụ4. Viếtphươngthamsốcủađườngthẳng (d)biết (d)điquahaiđiểm A(¡2;4;3)và vuônggócvớimặtphẳng (®): 2x¡3yÅ6zÅ19Æ0. -Lờigiải. Vì (d) vuông góc với (®) nên véc-tơ pháp tuyến của (®) cũng là một véc-tơ chỉ phương của (d), suyra #  u d Æ(2;¡3;6). Dođóphươngtrình (d)là (d): ( xÆ¡2Å2t yÆ4¡3t zÆ3Å6t. ä 1.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài1. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàcóvéc-tơchỉphương #  u. 1 M(0;¡2;5)và #  uÆ(0;1;4). -Lờigiải. Vì (d)điqua M vànhận #  u làmvéc-tơchỉphươngnêncóphươngtrìnhlà (d): ( xÆ0 yÆ¡2Åt zÆ5Å4t. ä 2 M(1;3;¡1)và #  uÆ(1;2;¡1) -Lờigiải. Vì (d)điqua M vànhận #  u làmvéc-tơchỉphươngnêncóphươngtrìnhlà (d): ( xÆ1Åt yÆ3Å2t zÆ¡1¡t. ä 3 M(3;¡1;¡3)và #  uÆ(1;¡2;¡1) -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 499 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì(d)điqua M vànhận #  u làmvéc-tơchỉphươngnêncóphươngtrìnhlà(d): ( xÆ3Åt yÆ¡1¡2t zÆ¡3¡t. ä Bài2. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàsongsongvớiđườngthẳng (l). 1 M(3;2;¡4)và (l): ( xÆ4Å2t yÆ¡1Å3t zÆ3Åt. -Lờigiải. Vì (d)Ò(l) nên véc-tơ chỉ phương của (l) cũng là một véc-tơ chỉ phương của (d), suy ra #  u d Æ(2;3;1). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ3Å2t yÆ2Å3t zÆ¡4Åt. ä 2 M(3;2;¡4)và (l)´Ox. -Lờigiải. Vì (d)ÒOxnênvéc-tơchỉphươngcủa (d)là #  u d Æ(1;0;0). Dođóphươngtrìnhcủa (d)là ( xÆ3Åt yÆ2 zÆ¡4. ä Bài3. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểmhaiđiểm A, B. 1 A(1;¡2;5)và B(0;1;4). -Lờigiải. Vì (d)quahaiđiểm A, B nênnhậnvéc-tơ #  BAÆ(1;¡3;1)làmvéc-tơchỉphương. Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ1Åt yÆ¡2¡3t zÆ5Åt. ä 2 A(1;1;5)và B(2;1;¡4). -Lờigiải. Vì (d)quahaiđiểm A, B nênnhậnvéc-tơ #  ABÆ(1;0;¡9)làmvéc-tơchỉphương. Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ1Åt yÆ1 zÆ5¡9t. ä 3 A(3;¡2;1)và B(0;1;4). -Lờigiải. Vì (d)quahaiđiểm A, B nênnhậnvéc-tơ #  ABÆ(¡3;3;3)làmvéc-tơchỉphương. Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ3¡3t yÆ¡2Å3t zÆ1Å3t. ä Bài4. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(3;2;1) và vuông góc mặt phẳng (P): 2x¡5yÅ4Æ0. -Lờigiải. Vì(d)?(P)nênvéc-tơpháptuyếncủa(P)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa(d),suyra #  u d Æ(2;¡5;0). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ3Å2t yÆ2¡5t zÆ1. ä Bài5. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàcóvéc-tơchỉphương #  u. 1 M(3;¡2;¡5)và #  uÆ(¡2;0;4). -Lờigiải. Vì(d)điqua Mvànhận #  u làmvéc-tơchỉphươngnêncóphươngtrìnhlà(d): ( xÆ3¡2t yÆ¡2 zÆ¡5Å4t. ä Th.sNguyễnChínEm 500 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 M(4;3;¡2)và #  uÆ(¡3;0;0) -Lờigiải. Vì (d)điqua M vànhận #  u làmvéc-tơchỉphươngnêncóphươngtrìnhlà (d): ( xÆ4¡3t yÆ3 zÆ¡2. ä Bài6. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàsongsongvớiđườngthẳng (l). 1 M(¡3;2;¡4)và (l): xÅ1 3 Æ y¡2 2 Æ zÅ3 6 . -Lờigiải. Vì (d)Ò(l) nên véc-tơ chỉ phương của (l) cũng là một véc-tơ chỉ phương của (d), suy ra #  u d Æ(3;2;6). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ¡3Å3t yÆ2Å2t zÆ¡4Å6t. ä 2 M(5;2;¡3)và (l): xÅ2 ¡3 Æ 2¡y 2 Æ zÅ3 5 . -Lờigiải. Vì (d)Ò(l)nênvéc-tơchỉphươngcủa (d)là #  u d Æ(¡3;¡2;5). Dođóphươngtrìnhcủa (d)là ( xÆ5¡3t yÆ2¡2t zÆ¡3Å5t. ä Bài7. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểmhaiđiểm A, B. 1 A(1;¡2;5)và B(2;0;4). -Lờigiải. Vì (d)quahaiđiểm A, B nênnhậnvéc-tơ #  ABÆ(1;2;¡1)làmvéc-tơchỉphương. Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ1Åt yÆ¡2Å2t zÆ5¡t. ä 2 A(2;1;5)và B(2;1;¡4). -Lờigiải. Vì (d)quahaiđiểm A, B nênnhậnvéc-tơ #  ABÆ(0;0;¡9)làmvéc-tơchỉphương. Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ2 yÆ1 zÆ5¡9t. ä Bài8. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàvuônggócmặtphẳng (P). 1 M(1;¡1;0)và (P)´(Oxy). -Lờigiải. Vì (d)?(Oxy)nênvéc-tơchỉphươngcủa (d)là #  u d Æ(0;0;1). Dođóphươngtrình (d): ( xÆ1 yÆ¡1 zÆt. ä 2 M(2;¡3;6)và (P): 2x¡3yÅ6zÅ19Æ0. -Lờigiải. Vì (d)?(P) nên véc-tơ pháp tuyến của (P) là một véc-tơ chỉ phương của (d), suy ra #  u d Æ (2;¡3;6). Dođóphươngtrình (d)là (d): ( xÆ2Å2t yÆ¡3¡3t zÆ6Å6t. ä Th.sNguyễnChínEm 501 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNGGIAOTUYẾNCỦAHAIMẶTPHẲNG Phươngphápgiải: Chohaimặtphẳng (P): A 1 xÅB 1 yÅC 1 zÅD 1 Æ 0, mặt phẳng (Q): A 2 xÅB 2 yÅC 2 zÅD 2 Æ0 để viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng trên ta cần xácđịnhhaiyếutố: ç Véc-tơchỉphươngcủa (d), #  uÆ £ #  n P , #  n Q ¤ . ç Điểm M mà (d) đi qua, tìm được bằng cách cho zÆ z 0 và khi đó x,y tìm từ hệ phươngtrìnhcủa (P), (Q). Q P #  u #  n P #  n Q 4 ! Đối với dạng này ta có thể tìm phương trình (d) bằng cách giải hệ phương trình ½ A 1 xÅB 1 yÅC 1 zÅD 1 Æ0 A 2 xÅB 2 yÅC 2 zÅD 2 Æ0 , nghiệm của hệ được viết ở dạng tham số là phương trình tham sốcủađườngthẳng (d). Vídụ5. Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 6xÅ 2yÅ2zÅ3Æ0và (Q): 3x¡5y¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Cách 1. Ta có véc-tơ pháp tuyến của (P) là #  n P Æ(6;2;2) và véc-tơ pháp tuyến của (Q) là #  n Q Æ (3;¡5;¡2) nên một véc-tơ chỉ phương của (d) là #  u Æ £ #  n P , #  n Q ¤ Æ (1;3;¡6). Điểm M µ ¡13 36 ; ¡5 12 ;0 ¶ nằmtrênđườngthẳng (d). Dođóphươngtrình (d): 8 > > > < > > > : xÆ ¡13 36 Åt yÆ ¡5 12 Å3t zÆ¡6t. Cách2.Tọađộcácđiểmchungcủa (P)và (Q)lànghiệmcủahệphươngtrìnhsau ½ 6xÅ2yÅ2zÅ3Æ0 3x¡5y¡2z¡1Æ0. Cho zÆtthayvàohệtađược 8 > > > < > > > : xÆ ¡13 36 ¡ 1 6 t yÆ ¡5 12 ¡ 1 2 t zÆt .Đâycũnglàphươngtrìnhthamsốcủa (d). ä 2.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài9. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làgiaotuyếncủahaimặtphẳng(P): 2x¡2y¡z¡4Æ0 và (Q): xÅ2y¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Tọađộcácđiểmchungcủa (P)và (Q)lànghiệmcủahệphươngtrìnhsau ½ 2x¡2y¡z¡4Æ0 xÅ2y¡2z¡1Æ0. Th.sNguyễnChínEm 502 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Cho zÆtthayvàohệtađược 8 > > > < > > > : xÆ 5 3 Åt yÆ ¡1 3 Å 1 2 t zÆt .Đâycũnglàphươngtrìnhthamsốcủa (d). ä Bài10. Viết phương trình đường thẳng giao tuyến chung (d) của hai mặt phẳng (P) và (Q) biết 1 ½ (P): 3xÅ3y¡4zÅ7Æ0 (Q): xÅ6y¡2zÅ6Æ0. -Lờigiải. Tọađộcácđiểmchungcủa (P)và (Q)lànghiệmcủahệphươngtrìnhsau ½ 3xÅ3y¡4zÅ7Æ0 xÅ6y¡2zÅ6Æ0. Cho zÆtthayvàohệtađược 8 > > > < > > > : xÆ ¡8 5 Å 6 5 t yÆ ¡14 15 Å 2 15 t zÆt .Đâycũnglàphươngtrìnhthamsốcủa (d). ä 2 ½ (P): xÅz¡1Æ0 (Q): y¡2Æ0. -Lờigiải. Tọađộcácđiểmchungcủa (P)và (Q)lànghiệmcủahệphươngtrìnhsau n xÅz¡1Æ0 y¡2Æ0. Cho zÆtthayvàohệtađược ( xÆ1¡t yÆ2 zÆt .Đâycũnglàphươngtrìnhthamsốcủa (d). ä 3 ½ (P): 2xÅyÅz¡1Æ0 (Q): xÅz¡1Æ0. -Lờigiải. Tọađộcácđiểmchungcủa (P)và (Q)lànghiệmcủahệphươngtrìnhsau n 2xÅyÅz¡1Æ0 xÅz¡1Æ0. Cho zÆtthayvàohệtađược ( xÆ1¡t yÆ¡1Åt zÆt .Đâycũnglàphươngtrìnhthamsốcủa (d). ä Th.sNguyễnChínEm 503 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 3 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM M VÀ VUÔNG GÓC VỚI HAI ĐƯỜNGTHẲNGCHOTRƯỚC. Phươngphápgiải: d #  u M d 1 d 2 Đường thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). Khi đó ta gọi #  u làmộtvéc-tơchỉphươngcủa (d)thì ½ #  u? #  u 1 #  u? #  u 2 với #  u 1 , #  u 2 lầnlượtlàchỉphươngcủa (d 1 ), (d 2 ) nêntachọn #  uÆ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ . Vídụ6. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;0;5) và vuông góc với (d 1 ): ( xÆ1Å2t yÆ3¡2t zÆ1Åt , (d 2 ): ( xÆ1¡t yÆ2Åt zÆ1Å3t. -Lờigiải. Vì (d) vuông góc với (d 1 ): ( xÆ1Å2t yÆ3¡2t zÆ1Åt , (d 2 ): ( xÆ1¡t yÆ2Åt zÆ1Å3t nên #  u Æ [ #  u 1 , #  u 2 ]Æ (¡7;¡7;0) (với #  u 1 Æ (2;¡2;1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 1 , #  u 2 Æ(¡1;1;3)làvéc-tơchỉphươngcủa d 2 ). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ1¡7t yÆ¡7t zÆ5. ä 3.1 BÀITẬPÁPRÈNLUYỆN Bài11. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàvuônggócvớihaiđườngthẳng (d 1 ), (d 2 ). 1 M(2;¡1;1)và (d 1 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ3 , (d 2 ): ( xÆ1Å3t yÆ¡2Åt zÆ3Åt. -Lờigiải. Vì (d) vuông góc với (d 1 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ3 , (d 2 ): ( xÆ1Å3t yÆ¡2Åt zÆ3Åt nên #  u Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ (1;¡1;¡2) (với #  u 1 Æ(1;1;0)làvéc-tơchỉphươngcủa d 1 , #  u 2 Æ(3;1;1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 2 ). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ2Åt yÆ¡1¡t zÆ1¡2t. ä 2 M(1;¡2;3)và (d 1 ): ( xÆ1Å2t yÆ¡2Åt zÆ3Åt , (d 2 ): ( xÆ1 yÆ¡2 zÆ3Åt. -Lờigiải. Vì (d) vuông góc với (d 1 ): ( xÆ1Å2t yÆ¡2Åt zÆ3Åt , (d 2 ): ( xÆ1 yÆ¡2 zÆ3Åt nên #  u Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(1;¡2;0) (với #  u 1 Æ Th.sNguyễnChínEm 504 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 (2;1;1), #  u 2 Æ(0;0;1)). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ1Åt yÆ¡2¡2t zÆ3. ä Bài12. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàvuônggócvớihaiđườngthẳng (d 1 ), (d 2 ). 1 M(4;1;4)và (d 1 ): ( xÆt yÆ1¡t zÆ¡2t , (d 2 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2Å2t zÆ3Åt. -Lờigiải. Vì (d)vuônggóc với (d 1 ): ( xÆt yÆ1¡t zÆ¡2t , (d 2 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2Å2t zÆ3Åt nên #  uÆ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(3;¡3;3) (với #  u 1 Æ (1;¡1;¡2)làvéc-tơchỉphươngcủa d 1 , #  u 2 Æ(1;2;1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 2 ). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ4Å3t yÆ1¡3t zÆ4Å3t. ä 2 M(0;¡2;3)và (d 1 ): ( xÆ1 yÆ¡2Åt zÆt , (d 2 ): ( xÆt yÆ¡2t zÆ3Åt. -Lờigiải. Vì (d) vuông góc với (d 1 ): ( xÆ1 yÆ¡2Åt zÆt , (d 2 ): ( xÆt yÆ¡2t zÆ3Åt nên #  u Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(3;1;¡1) (với #  u 1 Æ (0;1;1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 1 , #  u 2 Æ(1;¡2;1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 2 ). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ3t yÆ¡2Åt zÆ3¡t. ä 3 M(3;¡2;3)và (d 1 ): ( xÆ1Å7t yÆ¡2Åt zÆ1¡t , (d 2 ): ( xÆ3Åt yÆ¡2t zÆ3¡t. -Lờigiải. Vì (d) vuông góc với (d 1 ): ( xÆ1Å7t yÆ¡2Åt zÆ1¡t , (d 2 ): ( xÆ3Åt yÆ¡2t zÆ3¡t nên #  u Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ (¡3;6;¡16) (với #  u 1 Æ(7;1;¡1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 1 , #  u 2 Æ(1;¡2;¡1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 2 ). Dođóphươngtrình (d)là ( xÆ3¡3t yÆ¡2Å6t zÆ3¡16t. ä 4 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNGĐIQUAĐIỂMM,CẮTVÀVUÔNGGÓCVỚIMỘT ĐƯỜNGTHẲNGCHOTRƯỚC. Phươngphápgiải: d l H M Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng cho trước (l). Dựa vào điều kiện #  MH¢ #  u l Æ0tatìmđược H.Khiđóđườngthẳngđiquahaiđiểm M, H làđườngthẳngcần tìm. Th.sNguyễnChínEm 505 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vídụ7. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;¡2), vuông góc và cắt đườngthẳng (l): ( xÆt yÆ1¡t zÆ2t. -Lờigiải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (l). Vì H2(l) nên H(h;1¡h;2h) và do MH?(l)suyra #  MH¢ # u l Æ0(với # u l làvéc-tơchỉphươngcủa l). Tacó #  MHÆ(h¡1;¡h¡1;2hÅ2), # u l Æ(1;¡1;2)nên #  MH¢ # u l Æ0,h¡1ÅhÅ1Å4hÅ4Æ0,hÆ ¡2 3 hay #  MHÆ µ ¡5 3 ; ¡1 3 ; 2 3 ¶ . Vậyphươngtrình (d)códạng ( xÆ1¡5t yÆ2¡t zÆ¡2Å2t. ä Vídụ8. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(¡4;¡2;4), vuông góc và cắt đườngthẳng (l): ( xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t. -Lờigiải. GọiHlàhìnhchiếuvuônggóccủa Mlênđườngthẳng(l).VìH2(l)nênH(¡3Å2h;1¡h;¡1Å4h) vàdo MH?(l)suyra #  MH¢ # u l Æ0(với # u l làvéc-tơchỉphươngcủa l). Tacó #  MHÆ(2hÅ1;¡hÅ3;4h¡5), # u l Æ(2;¡1;4)nên #  MH¢ # u l Æ0,4hÅ2Åh¡3Å16h¡20Æ0,hÆ1 hay #  MHÆ(3;2;¡1). Vậyphươngtrình (d)códạng ( xÆ¡4Å3t yÆ¡2Å2t zÆ4¡t. ä 4.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài13. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M,vuônggócvàcắtđườngthẳng (l). 1 M(1;¡1;0)và (l): ( xÆ2¡t yÆ1Åt zÆ0. -Lờigiải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (l). Vì H2(l) nên H(2¡h;1Åh;0) vàdo MH?(l)suyra #  MH¢ # u l Æ0(với # u l làvéc-tơchỉphươngcủa l). Ta có #  MHÆ(¡hÅ1;hÅ2;0), # u l Æ(¡1;1;0) nên #  MH¢ # u l Æ0,h¡1ÅhÅ2Æ0,hÆ ¡1 2 hay #  MHÆ µ 3 2 ; 3 2 ;0 ¶ . Vậyphươngtrình (d)códạng ( xÆ1Åt yÆ¡1Åt zÆ0. ä 2 M(1;1;3)và (l): x¡1 1 Æ yÅ2 2 Æ z¡1 1 . -Lờigiải. GọiHlàhìnhchiếuvuônggóccủaMlênđườngthẳng(l).VìH2(l)nênH(hÅ1;¡2Å2h;1Å h)vàdo MH?(l)suyra #  MH¢ # u l Æ0(với # u l làvéc-tơchỉphươngcủa l). Ta có #  MHÆ(h;2h¡3;h¡2), # u l Æ(1;2;1) nên #  MH¢ # u l Æ0,hÅ4h¡6Åh¡2Æ0,hÆ 4 3 hay #  MHÆ µ 4 3 ; ¡1 3 ; ¡2 3 ¶ . Vậyphươngtrình (d)códạng ( xÆ1Å4t yÆ1¡t zÆ3¡2t. ä Th.sNguyễnChínEm 506 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài14. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M,vuônggócvàcắtđườngthẳng (l) 1 M(1;¡1;3)và (l): ( xÆ1¡t yÆ¡1Åt zÆ3Å2t. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M lênđườngthẳng(l).Vì H2(l)nên H(1¡h;¡1Åh;3Å 2h)vàdo MH?(l)suyra #  MH¢ # u l Æ0(với # u l làvéc-tơchỉphươngcủa l). Tacó #  MHÆ(¡h;h;2h), # u l Æ(¡1;1;2)nên #  MH¢ # u l Æ0,hÅhÅ4hÆ0,hÆ0hay H´M nên tồntạivôsốđườngthẳng (d)thỏayêucầubài. ä 2 M(2;¡1;1)và (l): ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ3. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M lênđườngthẳng (l).Vì H2(l)nên H(hÅ1;¡2Åh;3) vàdo MH?(l)suyra #  MH¢ # u l Æ0(với # u l làvéc-tơchỉphươngcủa l). Ta có #  MHÆ(h¡1;h¡1;2), # u l Æ(1;1;0) nên #  MH¢ # u l Æ0,h¡1Åh¡1Æ0,hÆ1 hay #  MHÆ (0;0;2). Vậyphươngtrình (d)códạng ( xÆ2 yÆ¡1 zÆ1Å2t. ä 5 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNGĐIQUAĐIỂMM,VUÔNGGÓCVỚI(D 1 )VÀCẮT (D 2 ). Phươngphápgiải: d 2 d d 1 K M Gọi K là giao điểm của (d) và (d 2 ). Ta có MK?(d 1 ) nên #  MK¢ #  u d 1 Æ0, từ đó ta tìm được véc-tơ #  MK chínhlàchỉphươngcủa (d). Vídụ9. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;1;1) vuông góc với (d 1 ): x¡1 3 Æ y¡2 1 Æ z 1 vàcắt (d 2 ): ( xÆ¡1 yÆt zÆ1Åt. -Lờigiải. Gọi K là giao điểm của (d) và (d 2 ), suy ra K(¡1;k;1Åk). Mà (d)?(d 1 ) nên #  MK¢ #  u d 1 Æ0 với #  MKÆ(¡1;k¡1;k), #  u d 1 Æ(3;1;1)làvéc-tơchỉphươngcủa(d 1 )dođó #  MK¢ #  u d 1 Æ0,¡3Åk¡1ÅkÆ 0,kÆ2.Suyra #  MKÆ(¡1;1;2)hay (d): ( xÆ¡t yÆ1Åt zÆ1Å2t. ä 5.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài15. Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquađiểm M,vuônggócvới (d 1 )vàcắt (d 2 ) Th.sNguyễnChínEm 507 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 M(1;1;1), (d 1 ): x¡1 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z 1 và (d 2 ): ( xÆ2 yÆ1Å2t zÆ¡1¡t. -Lờigiải. GọiK làgiaođiểmcủa(d)và(d 2 ),suyraK(2;1Å2k;¡1¡k).Mà(d)?(d 1 )nên #  MK¢ #  u d 1 Æ0 với #  MKÆ(1;2k;¡k¡2), #  u d 1 Æ(2;¡1;1) là véc-tơ chỉ phương của (d 1 ) do đó #  MK¢ #  u d 1 Æ0, 2¡2k¡k¡2Æ0,kÆ0.Suyra #  MKÆ(1;0;¡2)hay (d): ( xÆ1Åt yÆ1 zÆ1¡2t. ä 2 M(¡1;2;¡3), (d 1 ): xÅ1 6 Æ y¡4 ¡2 Æ z ¡3 và (d 2 ): x¡1 3 Æ yÅ1 2 Æ z¡3 ¡5 . -Lờigiải. Gọi K là giao điểm của (d) và (d 2 ), suy ra K(1Å3k;¡1Å2k;3¡5k). Mà (d)? (d 1 ) nên #  MK¢ #  u d 1 Æ 0 với #  MK Æ (3kÅ2;2k¡3;¡5kÅ6), #  u d 1 Æ (6;¡2;¡3) là véc-tơ chỉ phương của (d 1 ) do đó #  MK¢ #  u d 1 Æ0,18kÅ12¡4kÅ6Å15k¡18Æ0,kÆ0. Suy ra #  MKÆ(2;¡3;6) hay (d): ( xÆ¡1Å2t yÆ2¡3t zÆ¡3Å6t. ä 6 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNGĐIQUAĐIỂM M CẮTCẢHAIĐƯỜNGTHẲNG (D 1 )VÀ (D 2 ) Phươngphápgiải: a b M d 1 d 2 Gọi (a) là mặt phẳng chứa (d 1 ) và đi qua điểm M, (b) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và đi qua điểm M. Khi đó đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b) là đường thẳng (d) cầntìm. Vídụ10. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)điquađiểm M vàcắthaiđườngthẳng(d 1 ), (d 2 ). Với M(1;0;5), (d 1 ): x¡1 2 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡1 1 và (d 2 ): x¡1 ¡1 Æ y¡2 1 Æ z¡1 ¡3 . -Lờigiải. Gọi(a)làmặtphẳngchứa(d 1 )vàđiqua M,khiđóvéc-tơpháptuyếncủa(a)là #  n a Æ h #  u d 1 , #  MD i với #  u d 1 Æ(2;¡2;1), #  MDÆ(0;3;¡4)(ởđây D(1;3;1)2(d 1 )). Dođó #  n a Æ(5;8;6)nênphươngtrình (a)là 5xÅ8yÅ6z¡35Æ0. Th.sNguyễnChínEm 508 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi(b)làmặtphẳngchứa(d 2 )vàđiqua M,khiđóvéc-tơpháptuyếncủa(b)là #  n b Æ h #  u d 2 , #  MK i với #  u d 2 Æ(¡1;1;¡3), #  MKÆ(0;2;¡4)(ởđây K(1;2;1)2(d 2 )). Dođó #  n b Æ(2;¡4;¡2)nênphươngtrình (b)là x¡2y¡zÅ4Æ0. Khi đó, đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b). Tọa độ các điểm chung củahaimặtphẳngtrênlànghiệmcủahệ ½ 5xÅ8yÅ6z¡35Æ0 x¡2y¡zÅ4Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆt yÆ 11 4 t¡ 19 4 zÆ ¡9 2 tÅ 27 2 . Vậyphươngtrình (d)là 8 > > > < > > > : xÆt yÆ 11 4 t¡ 19 4 zÆ ¡9 2 tÅ 27 2 . ä Vídụ11. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)điquađiểm M vàcắthaiđườngthẳng(d 1 ), (d 2 ). Với M(¡4;¡5;3), (d 1 ): xÅ1 3 Æ yÅ3 ¡2 Æ z¡2 ¡1 và (d 2 ): x¡2 2 Æ yÅ1 3 Æ z¡1 ¡5 . -Lờigiải. Gọi(a)làmặtphẳngchứa(d 1 )vàđiqua M,khiđóvéc-tơpháptuyếncủa(a)là #  n a Æ h #  u d 1 , #  MD i với #  u d 1 Æ(3;¡2;1), #  MDÆ(3;2;¡1)(ởđây D(1;3;1)2(d 1 )). Dođó #  n a Æ(0;¡6;¡12)nênphươngtrình (a)là yÅ2z¡1Æ0. Gọi(b)làmặtphẳngchứa(d 2 )vàđiqua M,khiđóvéc-tơpháptuyếncủa(b)là #  n b Æ h #  u d 2 , #  MK i với #  u d 2 Æ(¡2;3;¡5), #  MKÆ(6;4;¡2)(ởđây K(2;¡1;1)2(d 2 )). Dođó #  n b Æ(¡13;17;13)nênphươngtrình (b)là¡13xÅ17yÅ13zÅ30Æ0. Khi đó, đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b). Tọa độ các điểm chung củahaimặtphẳngtrênlànghiệmcủahệ ½ yÅ2z¡1Æ0 ¡13xÅ17yÅ13zÅ30Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆt yÆ ¡26 21 t¡ 53 21 zÆ 13 21 tÅ 37 21 . Vậyphươngtrình (d)là 8 > > > < > > > : xÆt yÆ ¡26 21 t¡ 53 21 zÆ 13 21 tÅ 37 21 . ä 6.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài16. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàcắthaiđườngthẳng (d 1 ), (d 2 ). 1 M(2;¡1;1), (d 1 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ3 và (d 2 ): ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ¡1Å2t. -Lờigiải. Gọi (a) là mặt phẳng chứa (d 1 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (a) là #  n a Æ h #  u d 1 , #  MD i với #  u d 1 Æ(1;1;0), #  MDÆ(¡1;¡1;2)(ởđây D(1;¡2;3)2(d 1 )). Dođó #  n a Æ(¡2;2;0)nênphươngtrình (a)là x¡y¡3Æ0. Gọi (b) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (b) là #  n b Æ h #  u d 2 , #  MK i với #  u d 2 Æ(0;1;2), #  MKÆ(¡1;3;¡2)(ởđây K(1;2;¡1)2(d 2 )). Th.sNguyễnChínEm 509 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dođó #  n b Æ(8;2;¡1)nênphươngtrình (b)là 8xÅ2y¡z¡13Æ0. Khi đó, đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b). Tọa độ các điểm chungcủahaimặtphẳngtrênlànghiệmcủahệ ½ x¡y¡3Æ0 8xÅ2y¡z¡13Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆ 19 10 Å 1 10 t yÆ ¡11 10 Å 1 10 t zÆt. Vậyphươngtrình (d)là 8 > > > < > > > : xÆ 19 10 Å 1 10 t yÆ ¡11 10 Å 1 10 t zÆt. ä 2 M(1;¡1;1), (d 1 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ3 và (d 2 ): ( xÆ2¡t yÆ2Åt zÆ¡1Åt. -Lờigiải. Gọi (a) là mặt phẳng chứa (d 1 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (a) là #  n a Æ h #  u d 1 , #  MD i với #  u d 1 Æ(1;1;0), #  MDÆ(0;¡1;2)(ởđây D(1;¡2;3)2(d 1 )). Dođó #  n a Æ(¡2;2;1)nênphươngtrình (a)là¡2xÅ2yÅzÅ3Æ0. Gọi (b) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (b) là #  n b Æ h #  u d 2 , #  MK i với #  u d 2 Æ(¡1;1;1), #  MKÆ(1;3;¡2)(ởđây K(2;2;¡1)2(d 2 )). Dođó #  n b Æ(¡5;¡1;¡4)nênphươngtrình (b)là 5xÅyÅ4z¡8Æ0. Khi đó, đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b). Tọa độ các điểm chungcủahaimặtphẳngtrênlànghiệmcủahệ ½ ¡2xÅ2yÅzÅ3Æ0 5xÅyÅ4z¡8Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆt yÆ ¡20 7 Å 13 7 t zÆ 19 7 ¡ 12 7 . Vậyphươngtrình (d)là 8 > > > < > > > : xÆt yÆ ¡20 7 Å 13 7 t zÆ 19 7 ¡ 12 7 . ä Bài17. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)điquađiểm M vàcắthaiđườngthẳng (d 1 ), (d 2 ). 1 M(1;0;1), (d 1 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆt và (d 2 ): ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ¡1Åt. -Lờigiải. Gọi (a) là mặt phẳng chứa (d 1 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (a) là #  n a Æ h #  u d 1 , #  MD i với #  u d 1 Æ(1;1;1), #  MDÆ(0;¡2;¡1)(ởđây D(1;¡2;0)2(d 1 )). Dođó #  n a Æ(1;1;¡2)nênphươngtrình (a)là xÅy¡2zÅ1Æ0. Gọi (b) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (b) là #  n b Æ h #  u d 2 , #  MK i với #  u d 2 Æ(0;1;1), #  MKÆ(0;2;¡2)(ởđây K(1;2;¡1)2(d 2 )). Dođó #  n b Æ(¡4;0;0)nênphươngtrình (b)là x¡1Æ0. Khi đó, đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b). Tọa độ các điểm chungcủahaimặtphẳngtrênlànghiệmcủahệ n xÅy¡2zÅ1Æ0 x¡1Æ0 , ( xÆ1 yÆ¡2Å2t zÆt. Th.sNguyễnChínEm 510 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậyphươngtrình (d)là ( xÆ1 yÆ¡2Å2t zÆt. ä 2 M(1;¡1;0), (d 1 ): ( xÆ1Åt yÆ¡2 zÆ1¡t và (d 2 ): ( xÆ1¡t yÆ1Åt zÆ1. -Lờigiải. Gọi (a) là mặt phẳng chứa (d 1 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (a) là #  n a Æ h #  u d 1 , #  MD i với #  u d 1 Æ(1;0;¡1), #  MDÆ(0;¡1;1)(ởđây D(1;¡2;1)2(d 1 )). Dođó #  n a Æ(1;1;1)nênphươngtrình (a)là xÅyÅzÆ0. Gọi (b) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và đi qua M, khi đó véc-tơ pháp tuyến của (b) là #  n b Æ h #  u d 2 , #  MK i với #  u d 2 Æ(¡1;1;0), #  MKÆ(0;2;1)(ởđây K(1;1;1)2(d 2 )). Dođó #  n b Æ(1;1;¡2)nênphươngtrình (b)là xÅy¡2zÆ0. Khi đó, đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b). Tọa độ các điểm chungcủahaimặtphẳngtrênlànghiệmcủahệ ½ xÅyÅzÆ0 xÅy¡2zÆ0 , ( xÆt yÆ¡t zÆ0. Vậyphươngtrình (d)là ( xÆt yÆ¡t zÆ0. ä 7 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNG (D)NẰMTRONGMẶTPHẲNG (P)CẮTCẢHAI ĐƯỜNGTHẲNG (D 1 ), (D 2 ). Phươngphápgiải: M N d 1 d 2 d Để viết phương trình đường thẳng (d) ta cần tìm điểm M là giao điểm của (P) và (d 1 ), điểm N là giao điểm của (P) và (d 2 ). Khi đó đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, N là đườngthẳngcầntìm. Vídụ12. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)nằmtrongmặtphẳng (P): yÅ2zÆ0cắtcả haiđườngthẳng (d 1 ): x¡1 ¡1 Æ y 1 Æ z 4 và (d 2 ): ( xÆ2¡t yÆ4Å2t zÆ1. -Lờigiải. Gọi M làgiaođiểmcủa (P)và (d 1 )khiđótọađộ M lànghiệmcủahệ ( yÅ2zÆ0 x¡1 ¡1 Æ y 1 Æ z 4 , ( xÆ1 yÆ0 zÆ0. Th.sNguyễnChínEm 511 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi N làgiaođiểmcủa (P)và (d 2 )khiđótọađộ N lànghiệmcủahệ 8 > < > : yÅ2zÆ0 xÆ2¡t yÆ4Å2t zÆ1 , ( xÆ5 yÆ¡2 zÆ1. Khiđó, (d)´MN: ( xÆ1Å4t yÆ¡2t zÆt. ä 7.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài18. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)nằmtrongmặtphẳng (P)cắtcảhaiđườngthẳng (d 1 ), (d 2 ). 1 (P): xÅy¡1Æ0, (d 1 ): ( xÆt yÆ4Å2t zÆt và (d 2 ): ( xÆ1Åt yÆ3t zÆ1¡2t. -Lờigiải. Gọi M làgiaođiểmcủa (P)và (d 1 )khiđótọađộ M lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅy¡1Æ0 xÆt yÆ4Å2t zÆt ) ( xÆ¡1 yÆ2 zÆ¡1. Gọi N làgiaođiểmcủa (P)và (d 2 )khiđótọađộ N lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅy¡1Æ0 xÆ1Åt yÆ3t zÆ1¡2t ) ( xÆ1 yÆ0 zÆ1. Khiđó, (d)´MN: ( xÆ1Å2t yÆ¡2t zÆ1Å2t. ä 2 (P): xÅyÅ2z¡1Æ0, (d 1 ): ( xÆt yÆ5Åt zÆt và (d 2 ): ( xÆ1Åt yÆ2t zÆ2t. -Lờigiải. Gọi M làgiaođiểmcủa (P)và (d 1 )khiđótọađộ M lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅyÅ2z¡1Æ0 xÆt yÆ5Åt zÆt ) ( xÆ¡1 yÆ4 zÆ¡1. Gọi N làgiaođiểmcủa (P)và (d 2 )khiđótọađộ N lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅyÅ2z¡1Æ0 xÆ1Åt yÆ2t zÆ2t ) ( xÆ1 yÆ0 zÆ0. Khiđó, (d)´MN: ( xÆ1Å2t yÆ¡4t zÆt. ä Bài19. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)nằmtrongmặtphẳng (P)cắtcảhaiđườngthẳng (d 1 ), (d 2 ) Th.sNguyễnChínEm 512 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 (P): xÅyÅz¡1Æ0, (d 1 ): ( xÆt yÆ¡2Åt zÆt và (d 2 ): ( xÆ2Å3t yÆt zÆ¡1¡2t. -Lờigiải. Gọi M làgiaođiểmcủa (P)và (d 1 )khiđótọađộ M lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅyÅz¡1Æ0 xÆt yÆ¡2Åt zÆt ) ( xÆ1 yÆ¡1 zÆ1. Gọi N làgiaođiểmcủa (P)và (d 2 )khiđótọađộ N lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅyÅz¡1Æ0 xÆ2Å3t yÆt zÆ¡1¡2t ) ( xÆ2 yÆ0 zÆ¡1. Khiđó, (d)´MN: ( xÆ2Åt yÆt zÆ¡1¡2t. ä 2 (P): xÅ2z¡4Æ0, (d 1 ): ( xÆ2t yÆ5Åt zÆt và (d 2 ): ( xÆ0 yÆ2t zÆ2t. -Lờigiải. Gọi M làgiaođiểmcủa (P)và (d 1 )khiđótọađộ M lànghiệmcủahệ 8 < : xÅ2z¡4Æ0 xÆ2t yÆ5Åt zÆt ) ( xÆ2 yÆ6 zÆ1. Gọi N làgiaođiểmcủa (P)và (d 2 )khiđótọađộ N lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅ2z¡4Æ0 xÆ0 yÆ2t zÆ2t ) ( xÆ0 yÆ2 zÆ2. Khiđó, (d)´MN: ( xÆ0¡2t yÆ2¡4t zÆ2Åt. ä Th.sNguyễnChínEm 513 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 8 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNG (D)SONGSONGVỚI (¢)CẮTCẢHAIĐƯỜNG THẲNG (A)VÀ (B). Phươngphápgiải: Q P ¢ b a Taviếtphươngtrìnhhaimặtphẳng,(P)chứa(a)vàsongsongvới(¢),(Q)chứa(b)vàsong songvới(¢).Khiđóđườngthẳnggiaotuyếnchunggiữa(P)và(Q)làđườngthẳngcầntìm. Vídụ13. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (¢): x 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 2 cắt cả haiđườngthẳng (a): xÅ1 1 Æ y 2 Æ z¡1 ¡1 và (b): x¡2 3 Æ yÅ1 2 Æ zÅ3 1 . -Lờigiải. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (a) và song song với (¢), khi đó #  n P Æ £ #  u ¢ , #  u a ¤ với #  u ¢ Æ(2;¡1;2), #  u a Æ(1;2;¡1)suyra #  n P Æ(¡3;4;5).Dođóphươngtrình (P): ¡3xÅ4yÅ5z¡8Æ0. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (b) và song song với (¢), khi đó #  n Q Æ £ #  u ¢ , #  u b ¤ với #  u ¢ Æ(2;¡1;2), #  u b Æ(3;2;1)suyra #  n Q Æ(¡5;4;7).Dođóphươngtrình (Q): ¡5xÅ4yÅ7zÅ35Æ0. Khi đó đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tọa độ các điểm chung củahaimặtphẳnglànghiệmcủahệ ½ ¡3xÅ4yÅ5z¡8Æ0 ¡5xÅ4yÅ7zÅ35Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆtÅ 43 2 yÆ¡ 1 2 tÅ 145 8 zÆt. Vậyphươngtrình (d): 8 > > > < > > > : xÆtÅ 43 2 yÆ¡ 1 2 tÅ 145 8 zÆt. ä 8.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài20. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (¢): x 1 Æ y¡1 1 Æ z¡1 1 , cắt cả hai đườngthẳng (a): xÅ1 1 Æ y 2 Æ z¡1 1 và (b): x¡2 1 Æ yÅ1 1 Æ zÅ3 2 . -Lờigiải. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (a) và song song với (¢), khi đó #  n P Æ £ #  u ¢ , #  u a ¤ với #  u ¢ Æ (1;1;1), #  u a Æ(1;2;1)suyra #  n P Æ(¡1;0;1).Dođóphươngtrình (P): ¡xÅz¡2Æ0. Th.sNguyễnChínEm 514 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (b) và song song với (¢), khi đó #  n Q Æ £ #  u ¢ , #  u b ¤ với #  u ¢ Æ(1;1;1), #  u b Æ(1;1;2)suyra #  n Q Æ(1;¡1;0).Dođóphươngtrình (Q): x¡y¡3Æ0. Khi đó đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tọa độ các điểm chung củahaimặtphẳnglànghiệmcủahệ n ¡xÅz¡2Æ0 x¡y¡3Æ0 , ( xÆt yÆt¡3 zÆtÅ2. Vậyphươngtrình (d): ( xÆt yÆt¡3 zÆtÅ2. ä Bài21. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)songsongvới(¢): x 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 1 cắtcảhaiđường thẳng (a): xÅ3 1 Æ y 1 Æ z¡1 1 và (b): x¡2 1 Æ yÅ1 1 Æ zÅ3 2 . -Lờigiải. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (a) và song song với (¢), khi đó #  n P Æ £ #  u ¢ , #  u a ¤ với #  u ¢ Æ(1;¡1;1), #  u a Æ(1;1;1)suyra #  n P Æ(¡2;0;2).Dođóphươngtrình (P): ¡xÅz¡4Æ0. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (b) và song song với (¢), khi đó #  n Q Æ £ #  u ¢ , #  u b ¤ với #  u ¢ Æ(1;¡1;1), #  u b Æ(1;1;2)suyra #  n Q Æ(¡3;¡1;2).Dođóphươngtrình (Q): 3xÅy¡2z¡11Æ0. Khi đó đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tọa độ các điểm chung củahaimặtphẳnglànghiệmcủahệ n ¡xÅz¡4Æ0 3xÅy¡2z¡11Æ0 , ( xÆt¡4 yÆ¡tÅ23 zÆt. Vậyphươngtrình (d): ( xÆt¡4 yÆ¡tÅ23 zÆt. ä 9 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNGVUÔNGGÓCCHUNGCỦAHAIĐƯỜNGTHẲNG CHÉONHAU (A)VÀ (B). Phươngphápgiải: Gọi(®)làmặtphẳngchứa(a)songsongvới(b),khiđópháptuyếncủa(®)là #  n ® Æ £ #  u a , #  u b ¤ . Gọi (¯)làmặtphẳngchứa (a)vàvuônggócvới (®)nên #  n ¯ Æ £ #  u a , #  n ® ¤ . Gọi I là giao điểm của (¯) và (b) khi đó đường thẳng đi qua I và nhận #  n ® làm véc-tơ chỉ phươnglàđườngthẳng (d)cầntìm. 4 ! Để viết đường thẳng này ta có thể gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường vuông góc với (a), (b). Vì AB là đường vuông góc chung nên ta có hệ điều kiện ½ #  AB¢ #  u a Æ0 #  AB¢ #  u b Æ0 , từ hệ nàytatìmđượchaiđiểm A, B khiđótasẽviếtđượcphươngtrìnhđườngthẳngvuônggóc chung. Vídụ14. Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng (a): ( xÆ3¡2t yÆ1Å4t zÆ¡2Å4t và (b): ( xÆ2Å3t yÆ4¡t zÆ1¡2t. -Lờigiải. Gọi (®) là mặt phẳng chứa (a) và song song với (b), khi đó #  n ® Æ £ #  u a , #  u b ¤ Æ (2;¡4;5) (ở đây #  u a Æ(1;¡2;¡2), #  u b Æ(3;¡1;¡2)). Gọi (¯)làmặtphẳngchứa (a)vàvuônggócvới (®)nêncóvéc-tơpháptuyếnlà #  n ¯ Æ £ #  u a , #  n ® ¤ Æ (18;9;0).Dođóphươngtrình (¯): 2xÅy¡7Æ0. Th.sNguyễnChínEm 515 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi I làgiaođiểmcủa (¯)và (b),tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 > < > : 2xÅy¡7Æ0 xÆ2Å3t yÆ4¡t zÆ1¡2t ) 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 7 5 yÆ 21 5 zÆ 7 5 . Vậy đường vuông góc chung của (a) và (b) là đường thẳng qua (I) và nhận #  n ® làm véc-tơ chỉ phươngcóphươngtrìnhlà 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 7 5 Å2t yÆ 21 5 ¡4t zÆ 7 5 Å5t. ä Vídụ15. Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng (a): ( xÆ1Å2t yÆ¡3Åt zÆ2Å3t và (b): ( xÆ¡2Å3t yÆ1Å2t zÆ¡4Å4t. -Lờigiải. Gọi (®) là mặt phẳng chứa (b) và song song với (a), khi đó #  n ® Æ £ #  u a , #  u b ¤ Æ (¡2;1;1) (ở đây #  u a Æ(2;1;3), #  u b Æ(3;2;4)). Gọi (¯)làmặtphẳngchứa (b)vàvuônggócvới (®)nêncóvéc-tơpháptuyếnlà #  n ¯ Æ £ #  u b , #  n ® ¤ Æ (2;11;¡7).Dođóphươngtrình (¯): 2xÅ11y¡7z¡35Æ0. Gọi I làgiaođiểmcủa (¯)và (a),tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 > < > : 2xÅ11y¡7z¡35Æ0 xÆ1Å2t yÆ¡3Åt zÆ2Å3t ) 8 > > > < > > > : xÆ ¡77 3 yÆ ¡49 3 zÆ¡38. Vậy đường vuông góc chung của (a) và (b) là đường thẳng qua (I) và nhận #  n ® làm véc-tơ chỉ phươngcóphươngtrìnhlà 8 > > > < > > > : xÆ ¡77 3 ¡2t yÆ ¡49 3 Åt zÆ¡38Åt. ä 9.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài22. Viếtphươngtrìnhđườngthẳngvuônggócchungcủahaiđườngthẳng (a)và (b). 1 (a): ( xÆ1 yÆ¡3Åt zÆ2Åt và (b): ( xÆ¡2Åt yÆ1Åt zÆ¡4. -Lờigiải. Gọi(®)làmặtphẳngchứa(b)vàsongsongvới(a),khiđó #  n ® Æ £ #  u a , #  u b ¤ Æ(¡1;1;¡1)(ởđây #  u a Æ(0;1;1), #  u b Æ(1;1;0)). Gọi (¯) là mặt phẳng chứa (b) và vuông góc với (®) nên có véc-tơ pháp tuyến là #  n ¯ Æ £ #  u b , #  n ® ¤ Æ(¡1;1;2).Dođóphươngtrình (¯): ¡xÅyÅ2zÅ5Æ0. GọiIlàgiaođiểmcủa(¯)và(a),tọađộIlànghiệmcủahệ 8 > < > : ¡xÅyÅ2zÅ5Æ0 xÆ1 yÆ¡3Åt zÆ2Åt ) 8 > > > < > > > : xÆ1 yÆ ¡14 3 zÆ 1 3 . Vậyđườngvuônggócchungcủa (a)và (b)làđườngthẳngqua (I)vànhận #  n ® làmvéc-tơ chỉphươngcóphươngtrìnhlà 8 > > > < > > > : xÆ1¡t yÆ ¡14 3 Åt zÆ 1 3 ¡t. ä Th.sNguyễnChínEm 516 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 (a): ( xÆ1 yÆ¡1 zÆ2Åt và (b): ( xÆt yÆ1Åt zÆ¡1Åt. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngchứa (b)vàsongsongvới (a),khiđó #  n ® Æ £ #  u a , #  u b ¤ Æ(¡1;1;0)(ởđây #  u a Æ(0;0;1), #  u b Æ(1;1;1)). Gọi (¯) là mặt phẳng chứa (b) và vuông góc với (®) nên có véc-tơ pháp tuyến là #  n ¯ Æ £ #  u b , #  n ® ¤ Æ(¡1;¡1;2).Dođóphươngtrình (¯): ¡x¡yÅ2zÅ3Æ0. Gọi I làgiaođiểmcủa(¯)và(a),tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 > < > : ¡x¡yÅ2zÅ3Æ0 xÆ1 yÆ¡1 zÆ2Åt ) 8 > < > : xÆ1 yÆ¡1 zÆ ¡3 2 . Vậyđườngvuônggócchungcủa (a)và (b)làđườngthẳngqua (I)vànhận #  n ® làmvéc-tơ chỉphươngcóphươngtrìnhlà 8 > < > : xÆ1¡t yÆ¡1Åt zÆ ¡3 2 . ä Bài23. Viếtphươngtrìnhđườngthẳngvuônggócchungcủahaiđườngthẳng (a)và (b). 1 (a): ( xÆ0 yÆ¡t zÆ2Åt và (b): ( xÆt yÆ2Åt zÆ1Åt. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngchứa (b)vàsongsongvới (a),khiđó #  n ® Æ £ #  u a , #  u b ¤ Æ(¡2;1;1)(ởđây #  u a Æ(0;¡1;1), #  u b Æ(1;1;1)). Gọi (¯) là mặt phẳng chứa (b) và vuông góc với (®) nên có véc-tơ pháp tuyến là #  n ¯ Æ £ #  u b , #  n ® ¤ Æ(0;¡3;3).Dođóphươngtrình (¯): ¡yÅzÅ1Æ0. Gọi I làgiaođiểmcủa (¯)và (a),tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 > < > : ¡yÅzÅ1Æ0 xÆ0 yÆ¡t zÆ2Åt ) 8 > > > < > > > : xÆ0 yÆ 3 2 zÆ 1 2 . Vậyđườngvuônggócchungcủa (a)và (b)làđườngthẳngqua (I)vànhận #  n ® làmvéc-tơ chỉphươngcóphươngtrìnhlà 8 > > > < > > > : xÆ¡2t yÆ 3 2 Åt zÆ 1 2 Åt. ä 2 (a): ( xÆ1Åt yÆ¡1 zÆt và (b): ( xÆt yÆ1Åt zÆ¡1¡t. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngchứa (b)vàsongsongvới (a),khiđó #  n ® Æ £ #  u a , #  u b ¤ Æ(¡1;2;1)(ởđây #  u a Æ(1;0;1), #  u b Æ(1;1;¡1)). Gọi (¯) là mặt phẳng chứa (b) và vuông góc với (®) nên có véc-tơ pháp tuyến là #  n ¯ Æ £ #  u b , #  n ® ¤ Æ(3;0;3).Dođóphươngtrình (¯): xÅzÅ1Æ0. Gọi I làgiaođiểmcủa (¯)và (a),tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 < : xÅzÅ1Æ0 xÆ1Åt yÆ¡1 zÆt ) ( xÆ0 yÆ¡1 zÆ¡1. Vậyđườngvuônggócchungcủa (a)và (b)làđườngthẳngqua (I)vànhận #  n ® làmvéc-tơ chỉphươngcóphươngtrìnhlà ( xÆ¡t yÆ¡1Å2t zÆ¡1Åt. ä Th.sNguyễnChínEm 517 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 10 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNG(D)LÀHÌNHCHIẾUVUÔNGGÓCCỦA(A)LÊN MẶTPHẲNG (P) Phươngpháp: d a Gọi(®)làmặtphẳngchứa(a)vàvuônggócvới(P),khiđógiaotuyếnchunggiữa(®)và(P) làđườngthẳng (d)cầntìm. 4 ! Để viết phương trình đường thẳng (d) trong trường hợp này ta có thể tìm hai điểm A,B màđườngthẳngđiqua. A làgiaođiểmcủa (a)và (P)(nếucó). Lấymộtđiểm M trên (a)sauđótìmđiểm (B)làhìnhchiếuvuônggóccủa M lên (P). Vídụ16. Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của (a) lên mặt phẳng (P),với (a): xÅ2 2 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡1 3 và (P): 2x¡yÅ2zÅ3Æ0. -Lờigiải. Gọi (®) là mặt phẳng chứa (a) và vuông góc với (P) khi đó véc-tơ pháp tuyến của (®) là #  n ® Æ £ #  n P , #  u a ¤ Æ(¡1;¡2;0)với #  n P Æ(2;¡1;2), #  u a Æ(2;¡1;3).Suyraphươngtrình (®): xÅ2y¡4Æ0. Đường thẳng (d) là giao tuyến của (®) và (P), tọa độ các điểm chung của hai mặt phẳng là nghiệmcủahệ ½ xÅ2y¡4Æ0 2x¡yÅ2zÅ3Æ0 , 8 > < > : xÆ4¡2t yÆt zÆ ¡11 2 Å 5 2 t. Vậyphươngtrình (d): 8 > < > : xÆ4¡2t yÆt zÆ ¡11 2 Å 5 2 t. ä 10.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài24. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làhìnhchiếuvuônggóccủa(a)lênmặtphẳng(P), với (a): x¡3 ¡1 Æ y¡2 1 Æ zÅ2 1 và (P): 2xÅy¡zÅ3Æ0. -Lờigiải. Gọi (®) là mặt phẳng chứa (a) và vuông góc với (P) khi đó véc-tơ pháp tuyến của (®) là #  n ® Æ £ #  n P , #  u a ¤ Æ(2;¡1;3)với #  n P Æ(2;1;¡1), #  u a Æ(¡1;1;1).Suyraphươngtrình (®): 2x¡yÅ3zÅ2Æ0. Đường thẳng (d) là giao tuyến của (®) và (P), tọa độ các điểm chung của hai mặt phẳng là Th.sNguyễnChínEm 518 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 nghiệmcủahệ ½ 2x¡yÅ3zÅ2Æ0 2xÅy¡zÅ3Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆt yÆ¡4t¡ 11 2 zÆ¡2t¡ 5 2 . Vậyphươngtrình (d): 8 > > > < > > > : xÆt yÆ¡4t¡ 11 2 zÆ¡2t¡ 5 2 . ä Bài25. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làhìnhchiếuvuônggóccủa(a)lênmặtphẳng(P), với (a): xÅ1 1 Æ y¡1 2 Æ z¡3 ¡2 và (P): 2x¡2yÅz¡3Æ0. -Lờigiải. Gọi (®) là mặt phẳng chứa (a) và vuông góc với (P) khi đó véc-tơ pháp tuyến của (®) là #  n ® Æ £ #  n P , #  u a ¤ Æ(2;5;6)với #  n P Æ(2;¡2;1), #  u a Æ(1;2;¡2).Suyraphươngtrình (®): 2xÅ5yÅ6z¡21Æ0. Đường thẳng (d) là giao tuyến của (®) và (P), tọa độ các điểm chung của hai mặt phẳng là nghiệmcủahệ ½ 2xÅ5yÅ6z¡21Æ0 2x¡2yÅz¡3Æ0 , 8 > > > < > > > : xÆ 57 7 ¡ 17 7 t yÆ 18 7 ¡ 5 7 t zÆt. Vậyphươngtrình (d): 8 > > > < > > > : xÆ 57 7 ¡ 17 7 t yÆ 18 7 ¡ 5 7 t zÆt. ä Bài26. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làhìnhchiếuvuônggóccủa(a)lênmặtphẳng(P), với (a): xÅ1 1 Æ y¡1 1 Æ z¡3 1 và (P): x¡yÅz¡3Æ0. -Lờigiải. Gọi (®) là mặt phẳng chứa (a) và vuông góc với (P) khi đó véc-tơ pháp tuyến của (®) là #  n ® Æ £ #  n P , #  u a ¤ Æ(¡2;0;2)với #  n P Æ(1;¡1;1), #  u a Æ(1;1;1).Suyraphươngtrình (®): ¡xÅz¡4Æ0. Đường thẳng (d) là giao tuyến của (®) và (P), tọa độ các điểm chung của hai mặt phẳng là nghiệmcủahệ n ¡xÅz¡4Æ0Æ0 x¡yÅz¡3Æ0 , ( xÆt yÆ2tÅ1 zÆtÅ4. Vậyphươngtrình (d): ( xÆt yÆ2tÅ1 zÆtÅ4. ä 11 VIẾTPHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNG (D)ĐỐIXỨNGVỚI (A)QUAMẶTPHẲNG (P) Phươngpháp: Đểviếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)tacầntìmhaiđiểm A, B màđườngthẳngđiqua. ç A làgiaođiểmcủa (a)với (P)(nếucó). ç Lấymộtđiểm M nằmtrên (a)tìmđiểm B làđiểmđốixứngvới M qua (P). Vídụ17. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)đốixứngvớiđườngthẳng (a): x¡1 1 Æ y 1 Æ z 1 Th.sNguyễnChínEm 519 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 quamặtphẳng (P): xÅy¡z¡4Æ0. -Lờigiải. Gọi Alàgiaođiểmcủa(a)vàmặtphẳng(P),khiđótọađộ Alànghiệmcủahệ ( xÅy¡z¡4Æ0 x¡1 1 Æ y 1 Æ z 1 , ( xÆ4 yÆ3 zÆ3. Lấyđiểm M(1;0;0)2(a),đườngthẳng (l)qua M vuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆ1Åt yÆt zÆ¡t. Gọi I làgiaođiểmcủa (l)với (P)tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅy¡z¡4Æ0 xÆ1Åt yÆt zÆ¡t ) ( xÆ2 yÆ1 zÆ¡1 mà I là trungđiểm MB nênsuyra B(3;2;¡2). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng (d): ( xÆ4¡t yÆ3¡t zÆ3¡5t. ä 11.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài27. Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (a): x 2 Æ y 1 Æ z 1 qua mặt phẳng (P): xÅy¡z¡6Æ0. -Lờigiải. Gọi A làgiaođiểmcủa (a)vàmặtphẳng (P),khiđótọađộ A lànghiệmcủahệ ( xÅy¡z¡6Æ0 x 2 Æ y 1 Æ z 1 , ( xÆ6 yÆ1 zÆ1. Lấyđiểm M(0;0;0)2(a),đườngthẳng (l)qua M vuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆt yÆt zÆ¡t. Gọi I làgiaođiểmcủa (l)với (P)tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅy¡z¡6Æ0 xÆt yÆt zÆ¡t ) ( xÆ2 yÆ2 zÆ¡2 mà I là trungđiểm MB nênsuyra B(4;4;¡4). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng (d): ( xÆ6¡2t yÆ1Å3t zÆ1¡5t. ä Bài28. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)đốixứngvớiđườngthẳng (a): x 1 Æ y 1 Æ z ¡2 quamặt phẳng (P): xÅy¡8Æ0. -Lờigiải. Gọi A làgiaođiểmcủa (a)vàmặtphẳng (P),khiđótọađộ A lànghiệmcủahệ ( xÅy¡8Æ0 x 1 Æ y 1 Æ z ¡2 , ( xÆ4 yÆ4 zÆ¡8. Lấyđiểm M(0;0;0)2(a),đườngthẳng (l)qua M vuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆt yÆt zÆ0. Gọi I làgiaođiểmcủa(l)với(P)tọađộ I lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÅy¡8Æ0 xÆt yÆt zÆ0 ) ( xÆ4 yÆ4 zÆ0 mà I làtrung điểm MB nênsuyra B(8;8;0). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng (d): ( xÆ4Åt yÆ4Åt zÆ¡8Åt. ä Th.sNguyễnChínEm 520 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài29. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)đốixứngvớiđườngthẳng (a): x 1 Æ y 1 Æ z ¡2 quamặt phẳng (P): xÅ3y¡4Æ0. -Lờigiải. Gọi A làgiaođiểmcủa (a)vàmặtphẳng (P),khiđótọađộ A lànghiệmcủahệ ( xÅ3y¡4Æ0 x 1 Æ y 1 Æ z ¡2 , ( xÆ1 yÆ1 zÆ¡2. Lấyđiểm M(0;0;0)2(a),đườngthẳng (l)qua M vuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆt yÆ3t zÆ0. Gọi I là giao điểm của (l) với (P) tọa độ I là nghiệm của hệ 8 > < > : xÅ3y¡4Æ0 xÆt yÆ3t zÆ0 ) ( xÆ1 yÆ3 zÆ0 mà I là trungđiểm MB nênsuyra B(2;6;0). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng (d): ( xÆ1Åt yÆ1Å5t zÆ¡2Å2t. ä 12 TÌMHÌNHCHIẾUVUÔNGGÓCCỦAMỘTĐIỂMTRÊNMỘTĐƯỜNGTHẲNG Phươngphápgiải: Đểtìmhìnhchiếuvuônggóc H củađiểm M trênđườngthẳng d talàmnhưsau: Tìmvéc-tơchỉphương #  u d củađườngthẳng d. Viếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d: ( xÆx 0 Åat yÆy 0 Åbt zÆz 0 Åct (*). Sửdụng(*)đểghithànhtoạđộcho H,tứclà H(x 0 Åat;y 0 Åbt;z 0 Åct). Tính #  MH theo t.Cho #  MH¢ #  u d Æ0,tìm t.Sauđótìmđược H. M H d M H M 0 d 4 ! Nếuđềbàicóthêmyêucầutìmđiểm M 0 đốixứngvới M qua d: Tavẫnphảigiảibàitoántìmhìnhchiếuvuônggóc H của M trên d (nhưtrên). Tiếptụccho M 0 đốixứngvới M qua H vàtìmđược M 0 bởicôngthức: ( x M 0Æ2x H ¡x M y M 0Æ2y H ¡y M z M 0Æ2z H ¡z M . Vídụ18. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của điểm M(1;2;¡6)trênđườngthẳng d: ( xÆ2Å2t yÆ1¡t zÆt¡3 (t2R). Th.sNguyễnChínEm 521 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Xét M(1;2;¡6)vàđườngthẳng d: ( xÆ2Å2t yÆ1¡t zÆt¡3 (t2R). Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(2;¡1;1). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2Å2t;1¡t;t¡3), t2R) #  MHÆ(1Å2t;¡1¡t;tÅ3). Do #  MH¢ #  u d Æ0nên 2(1Å2t)¡(¡1¡t)Å(tÅ3)Æ0,tÆ¡1.Suyra H(0;2;¡4). Vậyhìnhchiếuvuônggóccủa M(1;2;¡6)trênđườngthẳng d: ( xÆ2Å2t yÆ1¡t zÆt¡3 là H(0;2;¡4). ä Vídụ19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm M 0 đối xứng với điểm M(2;3;1)quađườngthẳng d: ( xÆ1¡4t yÆ2Å2t zÆ4t¡1. -Lờigiải. Xét M(2;3;1)vàđườngthẳng d: ( xÆ1¡4t yÆ2Å2t zÆ4t¡1 (t2R). Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(¡4;2;4). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(1¡4t;2Å2t;4t¡1), t2R ) #  MHÆ(¡1¡4t;¡1Å2t;4t¡2). Do #  MH¢ #  u d Æ0nên¡4(¡1¡4t)Å2(¡1Å2t)Å4(4t¡2)Æ0,tÆ 1 6 .Suyra H µ 1 3 ; 7 3 ;¡ 1 3 ¶ . Gọi M 0 làđiểmđốixứngvớiđiểm M qua d.Khiđó M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M 0Æ2x H ¡x M Æ¡ 4 3 y M 0Æ2y H ¡y M Æ 5 3 z M 0Æ2z H ¡z M Æ¡ 5 3 .Suyra M 0 µ ¡ 4 3 ; 5 3 ;¡ 5 3 ¶ . Vậy M 0 µ ¡ 4 3 ; 5 3 ;¡ 5 3 ¶ làđiểmđốixứngvớiđiểm M(2;3;1)quađườngthẳng d: ( xÆ1¡4t yÆ2Å2t zÆ4t¡1. ä 12.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài30. Tìmtoạđộhìnhchiếu H củađiểm M trênđườngthẳng d vàđiểm M 0 đốixứngvới M qua d: 1 M(2;1;¡3), d: ( xÆ2t yÆ1¡t zÆ¡1Å2t (t2R). -Lờigiải. M(2;1;¡3), d: ( xÆ2t yÆ1¡t zÆ¡1Å2t (t2R). Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(2;¡1;2). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2t;1¡t;¡1Å2t), t2R) #  MHÆ(2t¡2;¡t;2Å2t). Do #  MH¢ #  u d Æ0nên 2(2t¡2)¡(¡t)Å2(2Å2t)Æ0,tÆ0.Suyra H(0;1;¡1). Th.sNguyễnChínEm 522 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi M 0 làđiểmđốixứngvớiđiểm M qua d.Khiđó M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó ( x M 0Æ2x H ¡x M Æ¡2 y M 0Æ2y H ¡y M Æ1 z M 0Æ2z H ¡z M Æ1 .Suyra M 0 (¡2;1;1). ä 2 M(1;2;¡1), d: ( xÆ2¡t yÆ1Å2t zÆ3t (t2R). -Lờigiải. M(1;2;¡1), d: ( xÆ2¡t yÆ1Å2t zÆ3t (t2R). Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(¡1;2;3). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2¡t;1Å2t;3t), t2R) #  MHÆ(1¡t;¡1Å2t;1Å3t). Do #  MH¢ #  u d Æ0nên¡(1¡t)Å2(¡1Å2t)Å3(1Å3t)Æ0,tÆ0.Suyra H(2;1;0). Gọi M 0 làđiểmđốixứngvớiđiểm M qua d.Khiđó M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó ( x M 0Æ2x H ¡x M Æ3 y M 0Æ2y H ¡y M Æ0 z M 0Æ2z H ¡z M Æ1 .Suyra M 0 (3;0;1). ä Bài31. Tìmtoạđộhìnhchiếu H củađiểm M trênđườngthẳng d vàđiểm M 0 đốixứngvới M qua d: 1 M(1;2;¡1), d: x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡2 2 . -Lờigiải. M(1;2;¡1), d: x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡2 2 . Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(2;1;2)vàphươngtrình ( xÆ1Å2t yÆ¡2Åt zÆ2Å2t. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(1Å2t;¡2Åt;2Å2t), t2R) #  MHÆ(2t;¡4Åt;3Å2t). Do #  MH¢ #  u d Æ0nên 2(2t)Å(¡4Åt)Å2(3Å2t)Æ0,tÆ¡ 2 9 .Suyra H µ 5 9 ;¡ 20 9 ; 14 9 ¶ . Gọi M 0 làđiểmđốixứngvớiđiểm M qua d.Khiđó M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M 0Æ2x H ¡x M Æ 1 9 y M 0Æ2y H ¡y M Æ¡ 58 9 z M 0Æ2z H ¡z M Æ 37 9 .Suyra M 0 µ 1 9 ;¡ 58 9 ; 37 9 ¶ . ä 2 M(2;5;2), d: xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡3 1 . -Lờigiải. M(2;5;2), d: xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡3 1 . Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(2;¡2;1)vàphươngtrình ( xÆ¡1Å2t yÆ¡2¡2t zÆ3Åt. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(¡1Å2t;¡2¡2t;3Åt), t2R ) #  MHÆ(¡3Å2t;¡7¡2t;1Åt). Th.sNguyễnChínEm 523 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Do #  MH¢ #  u d Æ0nên 2(¡3Å2t)¡2(¡7¡2t)Å(1Åt)Æ0,tÆ¡1.Suyra H(¡3;0;2). Gọi M 0 làđiểmđốixứngvớiđiểm M qua d.Khiđó M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó ( x M 0Æ2x H ¡x M Æ¡8 y M 0Æ2y H ¡y M Æ¡5 z M 0Æ2z H ¡z M Æ2 .Suyra M 0 (¡8;¡5;2). ä 3 M(2;1;¡3), d: ½ x¡2y¡zÆ0 2xÅy¡z¡5Æ0. -Lờigiải. M(2;1;¡3), d: ½ x¡2y¡zÆ0 2xÅy¡z¡5Æ0. Từ ½ x¡2y¡zÆ0 2xÅy¡z¡5Æ0. ,cho zÆ0tađược ½ x¡2yÆ0 2xÅy¡5Æ0 , n xÆ2 yÆ1 )d qua A(2;1;0). Đặt #  n 1 Æ(1;¡2;¡1)và #  n 2 Æ(2;1;¡1). Suyra #  uÆ £ #  n 1 ; #  n 2 ¤ Æ(3;¡1;5)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa d. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d: ( xÆ2Å3t yÆ1¡t zÆ5t. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2Å3t;1¡t;5t), t2R) #  MHÆ(3t;¡t;3Å5t). Do #  MH¢ #  u d Æ0nên 3(3t)¡(¡t)Å5(3Å5t)Æ0,tÆ¡ 3 7 .Suyra H µ 5 7 ; 10 7 ;¡ 15 7 ¶ . Gọi M 0 làđiểmđốixứngvớiđiểm M qua d.Khiđó M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M 0Æ2x H ¡x M Æ¡ 4 7 y M 0Æ2y H ¡y M Æ 13 7 z M 0Æ2z H ¡z M Æ¡ 9 7 .Suyra M 0 µ ¡ 4 7 ; 13 7 ;¡ 9 7 ¶ . ä 4 M(2;1;¡3), d: ½ yÅz¡4Æ0 2x¡y¡zÅ2Æ0. -Lờigiải. M(2;1;¡3), d: ½ yÅz¡4Æ0 2x¡y¡zÅ2Æ0. Từ ½ yÅz¡4Æ0 2x¡y¡zÅ2Æ0 ,cho zÆ0tađược ½ y¡4Æ0 2x¡yÅ2Æ0. , n xÆ1 yÆ4 )d qua A(1;4;0). Đặt #  n 1 Æ(0;1;1)và #  n 2 Æ(2;¡1;¡1). Suyra #  uÆ £ #  n 1 ; #  n 2 ¤ Æ(0;2;¡2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa d. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d: ( xÆ1 yÆ4Åt zÆ¡t. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên d.Khiđótacó ½ H2d #  MH¢ #  u d Æ0. Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(1;4Åt;¡t), t2R) #  MHÆ(¡1;3Åt;3¡t). Do #  MH¢ #  u d Æ0nên 0(¡1)Å(3Åt)¡(3¡t)Æ0,tÆ0.Suyra H(1;4;0). Gọi M 0 làđiểmđốixứngvớiđiểm M qua d.Khiđó M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó ( x M 0Æ2x H ¡x M Æ0 y M 0Æ2y H ¡y M Æ7 z M 0Æ2z H ¡z M Æ3 .Suyra M 0 (0;7;3). ä Th.sNguyễnChínEm 524 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 13 TÌMHÌNHCHIẾUVUÔNGGÓCCỦAMỘTĐIỂMTRÊNMỘTMẶTPHẲNG Phươngphápgiải: Đểtìmhìnhchiếuvuônggóc H củađiểm M trênmặtphẳng (P)talàmnhưsau: Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P). Viết phương trình tham số của d d: ( xÆx M Åat yÆy M Åbt zÆz M Åct (¤), trongđó #  nÆ(a;b;c)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Sửdụng(*)đểghithànhtoạđộcho H,tứclà H(x M Åat;y M Åbt;z M Åct). Thaytoạđộcủa H vàophươngtrìnhcủa (P)đểtìm t,từđótìmđược H. M H d P M 0 M H d P 4 ! Nếuđềbàicóthêmyêucầutìmđiểm M 0 đốixứngvới M qua (P): Tavẫnphảigiảibàitoántìmhìnhchiếuvuônggóc H của M trên (P)(nhưtrên). Tiếptụccho M 0 đốixứngvới M qua H vàtìmđược M 0 bởicôngthức: ( x M 0Æ2x H ¡x M y M 0Æ2y H ¡y M z M 0Æ2z H ¡z M . Vídụ20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của điểm M(2;¡3;5)trênmặtphẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Xétmặtphẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ1Æ0vàđiểm M(2;¡3;5). Gọi d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới (P).Phươngtrìnhcủa d: ( xÆ2Å2t yÆ¡3¡t zÆ5Å2t. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2Å2t;¡3¡t;5Å2t). Do H2(P)nên 2(2Å2t)¡(¡3¡t)Å2(5Å2t)Å1Æ0,tÆ¡2.Suyra H(¡2;¡1;1). VậyhìnhchiếuvuônggóccủađiểmM(2;¡3;5)trênmặtphẳng(P): 2x¡yÅ2zÅ1Æ0làH(¡2;¡1;1). ä Vídụ21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm M 0 đối xứng với điểm M(1;¡4;¡2)quamặtphẳng (P): xÅyÅ5z¡14Æ0. -Lờigiải. Xétmặtphẳng (P): xÅyÅ5z¡14Æ0vàđiểm M(1;¡4;¡2). Gọi d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới (P).Tacóphươngtrìnhcủa d: ( xÆ1Åt yÆ¡4Åt zÆ¡2Å5t. Th.sNguyễnChínEm 525 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(1Åt;¡4Åt;¡2Å5t). Do H2(P)nên (1Åt)Å(¡4Åt)Å5(¡2Å5t)¡14Æ0,tÆ1.Suyra H(2;¡3;3). Gọi M 0 làđiểmđốixứngvới M qua (P)thì M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó ( x M 0Æ2x H ¡x M Æ3 y M 0Æ2y H ¡x M Æ¡2 z M 0Æ2z H ¡z M Æ8 .Suyra M 0 (3;¡2;8). ä 13.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài32. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M 0 đối xứngvới M qua (P). 1 (P): 6x¡2yÅ3zÅ11Æ0, M(3;1;¡2). -Lờigiải. (P): 6x¡2yÅ3zÅ11Æ0, M(3;1;¡2). Gọi d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới (P).Phươngtrìnhcủa d: ( xÆ3Å6t yÆ1¡2t zÆ¡2Å3t. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(3Å6t;1¡2t;¡2Å3t). Do H2(P)nên 6(3Å6t)¡2(1¡2t)Å3(¡2Å3t)Å11Æ0,tÆ¡ 3 7 .Suyra H µ 3 7 ; 13 7 ;¡ 23 7 ¶ . Gọi M 0 làđiểmđốixứngvới M qua (P)thì M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M 0Æ2x H ¡x M Æ¡ 15 7 y M 0Æ2y H ¡x M Æ 19 7 z M 0Æ2z H ¡z M Æ¡ 32 7 .Suyra M 0 µ ¡ 15 7 ; 19 7 ;¡ 32 7 ¶ . ä 2 (P): x¡2yÅ2zÅ2Æ0, M(2;¡3;4). -Lờigiải. (P): x¡2yÅ2zÅ2Æ0, M(2;¡3;4). Gọi d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới (P).Phươngtrìnhcủa d: ( xÆ2Åt yÆ¡3¡2t zÆ4Å2t. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2Åt;¡3¡2t;4Å2t). Do H2(P)nên (2Åt)¡2(¡3¡2t)Å2(4Å2t)Å2Æ0,tÆ¡2.Suyra H(0;1;0). Gọi M 0 làđiểmđốixứngvới M qua (P)thì M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó ( x M 0Æ2x H ¡x M Æ¡2 y M 0Æ2y H ¡x M Æ5 z M 0Æ2z H ¡z M Æ¡4 .Suyra M 0 (¡2;5;¡4). ä Bài33(TN.THPT-2011-Chươngtrìnhcơbản). Chođiểm A(3;1;0)vàmặtphẳng (P): 2xÅ2y¡zÅ1Æ0.Tínhkhoảngcáchtừ A đếnmặtphẳng (P).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)qua A vàsongsongvới (P).Xácđịnhtoạđộhìnhchiếu củađiểm A trênmặtphẳng (P). -Lờigiải. Với A(3;1;0)và (P): 2xÅ2y¡zÅ1Æ0,tacó d(A,(P))Æ j2¢3Å2¢1¡0Å1j p 2 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ 9 3 Æ3. Mặtphẳng (Q)Ò(P): 2xÅ2y¡zÅ1Æ0nênphươngtrìnhcủa (Q): 2xÅ2y¡zÅCÆ0 (C6Æ1). Do (Q)qua A(3;1;0)nên 2¢3Å2¢1¡0ÅCÆ0,CÆ¡86Æ1) (Q): 2xÅ2y¡z¡8Æ0. Gọi d làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P).Tacóphươngtrìnhcủa d: ( xÆ3Å2t yÆ1Å2t zÆ¡t. Th.sNguyễnChínEm 526 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(3Å2t;1Å2t;¡t). Do H2(P)nên 2(3Å2t)Å2(1Å2t)¡(¡t)Å1Æ0,tÆ¡1.Suyra H(1;¡1;1). ä Bài34. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M 0 đối xứngvới M qua (P). 1 (P): x¡yÅz¡4Æ0, M(2;1;¡1). -Lờigiải. (P): x¡yÅz¡4Æ0, M(2;1;¡1). Gọi d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới (P).Phươngtrìnhcủa d: ( xÆ2Åt yÆ1¡t zÆ¡1Åt. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2Åt;1¡t;¡1Åt). Do H2(P)nên (2Åt)¡(1¡t)Å(¡1Åt)¡4Æ0,tÆ 4 3 .Suyra H µ 10 3 ;¡ 1 3 ; 1 3 ¶ . Gọi M 0 làđiểmđốixứngvới M qua (P)thì M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M 0Æ2x H ¡x M Æ 14 3 y M 0Æ2y H ¡x M Æ¡ 5 3 z M 0Æ2z H ¡z M Æ 5 3 .Suyra M 0 µ 14 3 ;¡ 5 3 ; 5 3 ¶ . ä 2 (P): 3x¡yÅz¡2Æ0, M(1;2;4). -Lờigiải. (P): 3x¡yÅz¡2Æ0, M(1;2;4). Gọi d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới (P).Phươngtrìnhcủa d: ( xÆ1Å3t yÆ2¡t zÆ4Åt. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(1Å3t;2¡t;4Åt). Do H2(P)nên 3(1Å3t)¡(2¡t)Å(4Åt)¡2Æ0,tÆ¡ 3 11 .Suyra H µ 2 11 ; 25 11 ; 41 11 ¶ . Gọi M 0 làđiểmđốixứngvới M qua (P)thì M 0 đốixứngvới M qua H. Dođó 8 > > > > > > < > > > > > > : x M 0Æ2x H ¡x M Æ¡ 7 11 y M 0Æ2y H ¡x M Æ 28 11 z M 0Æ2z H ¡z M Æ 38 11 .Suyra M 0 µ ¡ 7 11 ; 28 11 ; 38 11 ¶ . ä Bài35(Caođẳng-A,A1,B,D-2014). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;¡1), B(1;2;3) và mặt phẳng (P): xÅ2y¡2zÅ3Æ 0. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). -Lờigiải. Gọi d làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P).Tacóphươngtrìnhcủa d: ( xÆ2Åt yÆ1Å2t zÆ¡1¡2t. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(2Åt;1Å2t;¡1¡2t). Do H2(P)nên (2Åt)Å2(1Å2t)¡2(¡1¡2t)Å3Æ0,tÆ¡1.Suyra H(1;¡1;1). Với A(2;1;¡1), B(1;2;3),tacó #  ABÆ(¡1;1;4). Th.sNguyễnChínEm 527 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(1;2;¡2). Mặtphẳng (Q)qua A, B vàvuônggócvới (P)nênnhận #  nÆ h #  AB, #  n (P) i Æ(¡10;2;¡3)làmvéc-tơ pháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)là 10(x¡1)¡2(y¡2)Å3(z¡3)Æ0hay (Q): 10x¡2yÅ3z¡15Æ0. ä Bài36(Đạihọc-B-2014). TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chođiểm A(1;0;¡1)vàđường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 2 Æ z ¡1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. Tìm toạđộhìnhchiếuvuônggóccủa A trên d. -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphương #  u d Æ(2;2;¡1). Mặtphẳng (P)điqua A vàvuônggócvới d nênnhận #  u d làmmộtvéc-tơpháptuyếncho (P). Vậyphươngtrìnhcủa (Q)là 2(x¡1)Å2(y¡0)¡(zÅ1)Æ0hay (Q): 2xÅ2y¡z¡3Æ0. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A trênđườngthẳng d.Khiđótacó n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(1Å2t;¡1Å2t;¡t). Do H2(P)nên 2(1Å2t)Å2(¡1Å2t)¡(¡t)¡3Æ0,tÆ 1 3 .Suyra H µ 5 3 ;¡ 1 3 ;¡ 1 3 ¶ . ä Bài37(Đạihọc-D-2013-Chươngtrìnhchuẩn). Trong không gian với hệ trục toạ độ xxyz, cho các điểm A(¡1;¡1;¡2), B(0;1;1) và mặt phẳng (P): xÅyÅz¡1Æ0. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trìnhmặtphẳng (Q)điqua A, B vàvuônggócvới (P). -Lờigiải. Gọi d làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P).Tacóphươngtrìnhcủa d: ( xÆ¡1Åt yÆ¡1Åt zÆ¡2Åt. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A trên (P)thì n H2d H2(P). Do H2d nêntoạđộcủa H códạng H(¡1Åt;¡1Åt;¡2Åt). Do H2(P)nên (¡1Åt)Å(¡1Åt)Å(¡2Åt)¡1Æ0,tÆ 5 3 .Suyra H µ 2 3 ; 2 3 ;¡ 1 3 ¶ . Với A(¡1;¡1;¡2), B(0;1;1),tacó #  ABÆ(1;2;3). Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(1;1;1). Mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên nhận #  nÆ h #  AB, #  n (P) i Æ(¡1;2;¡1) làm một véc-tơpháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)là (xÅ1)¡2(yÅ1)Å(zÅ2)Æ0hay (Q): x¡2yÅzÅ1Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 528 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 14 VỊTRÍTƯƠNGĐỐIGIỮAHAIMẶTCẦU Phươngphápgiải: (S) (S 0 ) I I 0 R R 0 (S), (S 0 )nằmngoàinhau,II 0 ÇRÅR 0 (S) (S 0 ) I I 0 R R 0 (S), (S 0 )tiếpxúcngoài,II 0 ÆRÅR 0 (S) (S 0 ) I I 0 R R 0 (S), (S 0 )cắtnhautheogiaotuyếnlàđườngtròn,jR¡R 0 jÇII 0 ÇRÅR 0 (S) (S 0 ) I I 0 R 0 (S), (S 0 )tiếpxúctrong,II 0 ÆjR¡R 0 j (S) (S 0 ) I I 0 R 0 (S) 0 nằmgọntrong (S),II 0 ÇR¡R 0 4 ! Đểxétvịtrítươngđốigiữahaimặtcầu (S)và (S 0 ),talàmnhưsau: Xácđịnhtoạđộtâm I vàtínhbánkính R củamặtcầu (S). Xácđịnhtoạđộtâm I 0 vàtínhbánkính R 0 củamặtcầu (S 0 ). Tínhvàsosánh II 0 với RÅR 0 , R¡R 0 và R 0 ¡R đểkếtluậnvịtrítươngđốigiữa (S)và (S 0 ). Vídụ22. Xétvịtrítươngđốigiữahaimặtcầu (S)và (T)sauđây: (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8xÅ4y¡2z¡4Æ0và (T): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2y¡4zÅ5Æ0. -Lờigiải. Xéthaimặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8xÅ4y¡2z¡4Æ0và (T): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2y¡4zÅ5Æ0. Th.sNguyễnChínEm 529 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (S)cótâm I(4;¡2;1)vàbánkính RÆ p 4 2 Å(¡2) 2 Å1 2 ¡(¡4)Æ5. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (¡2;1;2)vàbánkính R 0 Æ p (¡2) 2 Å1 2 Å2 2 ¡5Æ2. Tacó #  II 0 Æ(¡6;3;1))II 0 Æ p (¡6) 2 Å3 2 Å1 2 Æ p 46. DojR¡R 0 jÇII 0 ÇRÅR 0 nên (S)và (T)cắtnhautheomộtđườngtròn. ä Vídụ23. Biệnluậnvịtrítươngđốigiữahaimặtcầusauđâytheo m: (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ16và (T): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ(mÅ3) 2 . -Lờigiải. Xéthaimặtcầu (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ16và (T): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ(mÅ3) 2 . Mặtcầu (S)cótâm I(¡3;¡2;¡1)vàbánkính RÆ4. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (1;2;3)vàbánkính R 0 ÆjmÅ3j. Tacó #  II 0 Æ(4;4;4))II 0 Æ p 4 2 Å4 2 Å4 2 Æ4 p 3. ² (S)và (T)nằmngoàinhau,RÅR 0 ÆjmÅ3jÅ4Ç4 p 3 ,jmÅ3jÇ4 p 3¡4,1¡4 p 3ÇmÇ4 p 3¡7. ² (S)và (T)tiếpxúcngoàivớinhau,RÅR 0 ÆjmÅ3jÅ4Æ4 p 3,mÆ4 p 3¡7_mÆ1¡4 p 3. ² (S)và (T)cắtnhautheođườngtròn, ( RÅR 0 ÆjmÅ3jÅ4È4 p 3 jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jmÅ3j¡4j ¯ ¯ Ç4 p 3 , 8 > < > : jmÅ3jÈ4 p 3¡4 jmÅ3jÇ4Å4 p 3 jmÅ3jÈ4¡4 p 3 , 8 < : mÈ4 p 3¡7_mÇ1¡4 p 3 ¡7¡4 p 3ÇmÇ1Å4 p 3 m2R , · ¡7¡4 p 3ÇmÇ1¡4 p 3 4 p 3¡7ÇmÇ1Å4 p 3. ² (S)và (T)tiếpxúctrongvớinhau,jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jmÅ3j¡4 ¯ ¯ Æ4 p 3 , · jmÅ3j¡4Æ4 p 3 jmÅ3j¡4Æ¡4 p 3 , · jmÅ3jÆ4Å4 p 3 jmÅ3jÆ4¡4 p 3 ,m2{1Å4 p 3;¡7¡4 p 3}. ² (S)nằmgọntrong (T),R 0 ¡RÆjmÅ3j¡4È4 p 3 ,jmÅ3jÈ4Å4 p 3,mÈ1Å4 p 3_mÇ¡7¡4 p 3. ² (T)nằmgọntrong (S),R¡R 0 Æ4¡jmÅ3jÈ4 p 3,jmÅ3jÇ4¡4 p 3,m2?. ä 14.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài38. Xétvịtrítươngđốigiữahaimặtcầusauđây: 1 ½ (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡10y¡6z¡21Æ0. -Lờigiải. ½ (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡10y¡6z¡21Æ0. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;3)vàbánkính RÆ3. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (3;5;3)vàbánkính R 0 Æ p 3 2 Å5 2 Å3 2 ¡(¡21)Æ8. Tacó #  II 0 Æ(3;3;0))II 0 Æ p 3 2 Å3 2 Å0 2 Æ3 p 2. Do II 0 ÇR 0 ¡R nên (S)nằmgọnbêntrong (T). ä 2 ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡10zÅ5Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡6yÅ2z¡2Æ0. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 530 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡10zÅ5Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡6yÅ2z¡2Æ0 Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;5)vàbánkính RÆ p 1 2 Å(¡2) 2 Å5 2 ¡5Æ5. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (2;3;¡1)vàbánkính R 0 Æ p 2 2 Å3 2 Å(¡1) 2 ¡(¡2)Æ4. Tacó #  II 0 Æ(1;5;¡6))II 0 Æ p 1 2 Å5 2 Å(¡6) 2 Æ p 62. DojR¡R 0 jÇII 0 ÇRÅR 0 nên (S)và (T)cắtnhautheogiaotuyếnlàmộtđườngtròn. ä Bài39. Biệnluậntheomvịtrítươngđốicủahaimặtcầu: ½ (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ64 (T): (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ(mÅ2) 2 . -Lờigiải. ½ (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ3) 2 Æ64 (T): (x¡4) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ(mÅ2) 2 . Mặtcầu (S)cótâm I(2;1;¡3)vàbánkính RÆ8. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (4;¡2;3)vàbánkính R 0 ÆjmÅ2j. Tacó #  II 0 Æ(2;¡3;6))II 0 Æ p 2 2 Å(¡3) 2 Å6 2 Æ7ÇRÅR 0 . ² (S)và (T)tiếpxúctrongvớinhau,jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jmÅ2j¡8 ¯ ¯ Æ7 , h jmÅ2j¡8Æ7 jmÅ2j¡8Æ¡7 , h jmÅ2jÆ15 jmÅ2jÆ1 ,m2{13;¡17;¡1;¡3}. ² (S)và (T)cắtnhautheomộtđườngtròn,jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jmÅ2j¡8 ¯ ¯ Ç7 , n jmÅ2j¡8Ç7 jmÅ2j¡8È¡7 , n jmÅ2jÇ15 jmÅ2jÈ1 , n ¡17ÇmÇ13 mÇ¡3_mÈ¡1 , h ¡17ÇmÇ¡3 ¡1ÇmÇ13. ² (S)nằmgọntrong (T),R 0 ¡RÆjmÅ2j¡8È7,jmÅ2jÈ15,mÈ13_mÇ¡17. ² (T)nằmgọntrong (S),R¡R 0 Æ8¡jmÅ2jÈ7,jmÅ2jÇ1,¡3ÇmÇ¡1. ä Bài40(TN.THPT-2012-Chươngtrìnhnângcao). TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chođiểm A(2;1;2)vàđườngthẳng¢: x¡1 2 Æ y¡3 2 Æ z 1 . 1 Viếtphươngtrìnhcủađườngthẳng d điquaO và A. -Lờigiải. Đườngthẳng d điquaO, A cómộtvéc-tơchỉphương #  u d Æ #  OAÆ(2;1;2). Dođóphươngtrìnhcủa d: x 2 Æ y 1 Æ z 2 . ä 2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua O. Chứng minh rằng¢ tiếp xúc với mặt cầu (S). -Lờigiải. Mặtcầu (S)tâm A(2;1;2)điquaO cóbánkính RÆOAÆ p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ3. Dođóphươngtrìnhcủa (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. Nếu¢và (S)cóđiểmchunglà H thì n H2¢ H2(S) )H(1Å2t;3Å2t;t) (t2R). Và H2(S)nên (1Å2t¡2) 2 Å(3Å2t¡1) 2 Å(t¡2) 2 Æ9, tÆ0. Vậy¢và (S)chỉcó 1điểmchunglà H(1;3;0)nên¢và (S)tiếpxúcnhautại H. ä Bài41. Xétvịtrítươngđốigiữahaimặtcầusauđây: 1 ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8xÅ4y¡2z¡15Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡12y¡2zÅ25Æ0. -Lờigiải. ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8xÅ4y¡2z¡15Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡12y¡2zÅ25Æ0 Mặtcầu (S)cótâm I(4;¡2;1)vàbánkính RÆ p 4 2 Å(¡2) 2 Å1 2 ¡(¡15)Æ6. Th.sNguyễnChínEm 531 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (T)cótâm I 0 (¡2;6;1)vàbánkính R 0 Æ p (¡2) 2 Å6 2 Å1 2 ¡25Æ4. Tacó #  II 0 Æ(¡6;8;0))II 0 Æ p (¡6) 2 Å8 2 Å0 2 Æ10. Do II 0 ÆRÅR 0 nên (S)và (T)tiếpxúcngoàivớinhau. ä 2 ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ5Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡4z¡2Æ0. -Lờigiải. ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡6yÅ4zÅ5Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡4z¡2Æ0 Mặtcầu (S)cótâm I(1;3;¡2)vàbánkính RÆ p 1 2 Å3 2 Å(¡2) 2 ¡5Æ3. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (3;¡1;2)vàbánkính R 0 Æ p 3 2 Å(¡1) 2 Å2 2 ¡(¡2)Æ4. Tacó #  II 0 Æ(2;¡4;4))II 0 Æ p 2 2 Å(¡4) 2 Å4 2 Æ6. DojR¡R 0 jÇII 0 ÇRÅR 0 nên (S)và (T)cắtnhautheogiaotuyếnlàmộtđườngtròn. ä 3 ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ2z¡3Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ4y¡2z¡2Æ0. -Lờigiải. ½ (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4x¡2yÅ2z¡3Æ0 (T): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ4y¡2z¡2Æ0 Mặtcầu (S)cótâm I(¡2;1;¡1)vàbánkính RÆ p (¡2) 2 Å1 2 Å(¡1) 2 ¡(¡3)Æ3. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (3;¡2;1)vàbánkính R 0 Æ p 3 2 Å(¡2) 2 Å1 2 ¡(¡2)Æ4. Tacó #  II 0 Æ(5;¡3;2))II 0 Æ p 5 2 Å(¡3) 2 Å2 2 Æ p 38. DojR¡R 0 jÇII 0 ÇRÅR 0 nên (S)và (T)cắtnhautheomộtđườngtròn. ä Bài42. Biệnluậntheo mvịtrítươngđốicủahaimặtcầusauđây: 1 ½ (S): (x¡3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ81 (T): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ(m¡3) 2 . -Lờigiải. ½ (S): (x¡3) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ81 (T): (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ(m¡3) 2 Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡2;¡1)vàbánkính RÆ9. Mặtcầu (T)cótâm I 0 (1;2;3)vàbánkính R 0 Æjm¡3j. Tacó #  II 0 Æ(¡2;4;4))II 0 Æ p (¡2) 2 Å4 2 Å4 2 Æ6ÇRÅR 0 . ² (S)và (T)tiếpxúctrongvớinhau,jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jm¡3j¡9 ¯ ¯ Æ6 , h jm¡3j¡9Æ6 jm¡3j¡9Æ¡6 , h jm¡3jÆ15 jm¡3jÆ3 ,m2{18;¡12;6;0}. ² (S)và (T)cắtnhautheomộtđườngtròn,jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jm¡3j¡9 ¯ ¯ Ç6 , n jm¡3j¡9Ç6 jm¡3j¡9È¡6 , n jm¡3jÇ15 jm¡3jÈ3 , n ¡12ÇmÇ18 mÇ0_mÈ6 , h ¡12ÇmÇ0 6ÇmÇ18. ² (S)nằmgọntrong (T),R 0 ¡RÆjm¡3j¡9È6,jm¡3jÈ15,mÈ18_mÇ¡12. ² (T)nằmgọntrong (S),R¡R 0 Æ9¡jm¡3jÈ6,jm¡3jÇ3,0ÇmÇ6. ä 2 ½ (S): (xÅ3) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ25 (T): (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ(m¡1) 2 . -Lờigiải. ½ (S): (xÅ3) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ25 (T): (xÅ1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(zÅ3) 2 Æ(m¡1) 2 . Mặtcầu (S)cótâm I(¡3;2;1)vàbánkính RÆ5. Th.sNguyễnChínEm 532 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtcầu (T)cótâm I 0 (¡1;¡2;¡3)vàbánkính R 0 Æjm¡1j. Tacó #  II 0 Æ(2;¡4;¡4))II 0 Æ p 2 2 Å(¡4) 2 Å(¡4) 2 Æ6. ² (S)và (T)nằmngoàinhau,RÅR 0 Æjm¡1jÅ5Ç6,jm¡1jÇ1,0ÇmÇ2. ² (S)và (T)tiếpxúcngoàivớinhau,RÅR 0 Æjm¡1jÅ5Æ6,mÆ0_mÆ2. ² (S)và (T)cắtnhautheođườngtròn, ½ RÅR 0 Æjm¡1jÅ5È6 jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jm¡1j¡5j ¯ ¯ Ç6 , ( jm¡1jÈ1 jm¡1jÇ11 jm¡1jÈ¡1 , ( mÈ2_mÇ0 ¡10ÇmÇ12 m2R , h ¡10ÇmÇ0 2ÇmÇ12. ² (S)và (T)tiếpxúctrongvớinhau,jR¡R 0 jÆ ¯ ¯ jm¡1j¡5 ¯ ¯ Æ6 , h jm¡1j¡5Æ6 jm¡1j¡5Æ¡6 , h jm¡1jÆ11 jm¡1jÆ¡1 ,m2{12;¡10}. ² (S)nằmgọntrong (T),R 0 ¡RÆjm¡1j¡5È6,jm¡1jÈ11,mÈ12_mÇ¡10. ² (T)nằmgọntrong (S),R¡R 0 Æ5¡jm¡1jÈ6,jm¡1jÇ¡1,m2?. ä 15 XÉTVỊTRÍTƯƠNGĐỐIGIỮAHAIMẶTPHẲNG Phươngphápgiải: Đểxétvịtrítươngđốigiữahaimặtphẳng (P)và (Q)tathựchiệnnhưsau: Tìmcácvéc-tơpháptuyến #  n (P) và #  n (Q) tươngứngcủa (P)và (Q). Nếu #  n (P) và #  n (Q) khôngcùngphươngthìkếtluận (P)và (Q)cắtnhau. Nếu #  n (P) và #  n (Q) cùngphương,talấyđiểm M (P) 2(P)xétsựphụthuộcvào (Q): – Nếu M (P) 2(Q)thìkếtluận (P)và (Q)trùngnhau. – Nếu M (P) Ý(Q)thìkếtluận (P)Ò(Q). Đặcbiệt: #  n (P) ¢ #  n (Q) Æ0,(P)?(Q). 4 ! Với (P): AxÅByÅCzÅDÆ0và (Q): A 0 xÅB 0 yÅC 0 zÅD 0 Æ0 (A 0 B 0 C 0 D 0 6Æ0). Nếu 3tỉsố A A 0 ; B B 0 ; C C 0 khôngbằngnhauthì (P)và (Q)cắtnhau. Nếu A A 0 Æ B B 0 Æ C C 0 6Æ D D 0 thì (P)Ò(Q). Nếu A A 0 Æ B B 0 Æ C C 0 Æ D D 0 thì (P)´(Q). Vídụ24. Xétvịtrítươngđốicủahaimặtphẳngsauđây: ½ (P): 2xÅ3y¡2zÅ5Æ0 (Q): 3xÅ4y¡8z¡5Æ0. 1 ½ (P): 5xÅ5y¡5z¡1Æ0 (Q): 3xÅ3y¡3zÅ7Æ0. 2 -Lờigiải. 1 ½ (P): 2xÅ3y¡2zÅ5Æ0 (Q): 3xÅ4y¡8z¡5Æ0. (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(2;3;¡2)và (Q)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (Q) Æ(3;4;¡8). Th.sNguyễnChínEm 533 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì 2 3 6Æ 3 4 nên #  n (P) và #  n (Q) khôngcùngphương,suyra (P)và (Q)cắtnhau. Ngoàira, #  n (P) ¢ #  n (Q) 6Æ0nên (P)và (Q)cắtnhau,nhưngkhôngvuônggócvớinhau. 2 ½ (P): 5xÅ5y¡5z¡1Æ0 (Q): 3xÅ3y¡3zÅ7Æ0. Vì 5 3 Æ 5 3 Æ ¡5 ¡3 6Æ ¡1 7 nên (P)và (Q)songsongvớinhau. ä Vídụ25. Tìm mvà nđểhaimặtphẳng (P): 3xÅmy¡2z¡7Æ0và (Q): nxÅ7y¡6zÅ4Æ0 songsongnhau. 1 trùngnhau. 2 cắtnhau. 3 -Lờigiải. Xéthaimặtphẳng ½ (P): 3xÅmy¡2z¡7Æ0 (Q): nxÅ7y¡6zÅ4Æ0. 1 Nếu nÆ0thì n 3 6Æ ¡6 ¡2 .Trườnghợpnày (P)và (Q)cắtnhau. (P)Ò(Q), ( 3 n Æ m 7 Æ ¡2 ¡6 6Æ ¡7 4 n6Æ0 , 8 > > < > > : 3 n Æ ¡2 ¡6 m 7 Æ ¡2 ¡6 , ( nÆ9 mÆ 7 3 . 2 (P)´(Q)khôngxảyrado ¡2 ¡6 6Æ ¡7 4 . 3 (P)cắt (Q), " n6Æ9 m6Æ 7 3 . ä Vídụ26. Tìmcácgiátrịcủathamsố mđểhaimặtphẳngsauđâyvuônggócvớinhau: ½ (P): 2x¡myÅ3z¡6ÅmÆ0 (Q): (mÅ3)x¡2yÅ(5mÅ1)z¡10Æ0. 1 ½ (P): 2x¡7yÅmzÅ2Æ0 (Q): 3xÅy¡2zÅ15Æ0. 2 -Lờigiải. 1 ½ (P): 2x¡myÅ3z¡6ÅmÆ0 (Q): (mÅ3)x¡2yÅ(5mÅ1)z¡10Æ0. Tacó (P)?(Q),2(mÅ3)¡2(¡m)Å3(5mÅ1)Æ0,mÆ¡ 9 19 . 2 ½ (P): 2x¡7yÅmzÅ2Æ0 (Q): 3xÅy¡2zÅ15Æ0. Tacó (P)?(Q),2¢3¡7¢1¡2mÆ0,mÆ¡ 1 2 . ä 15.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài43. Xétvịtrítươngđốicủahaimặtphẳngsauđây: 1 ½ (P): 3x¡4yÅ3zÅ6Æ0 (Q): 3x¡2yÅ5z¡3Æ0. -Lờigiải. (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(3;¡4;3)và (Q)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (Q) Æ(3;¡2;5). Th.sNguyễnChínEm 534 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì 3 3 6Æ ¡4 ¡2 nên #  n (P) và #  n (Q) khôngcùngphương,suyra (P)và (Q)cắtnhau. Ngoàira, #  n (P) ¢ #  n (Q) 6Æ0nên (P)và (Q)cắtnhau,nhưngkhôngvuônggócvớinhau. ä 2 ½ (P): 6x¡4y¡6zÅ5Æ0 (Q): 12x¡8y¡12z¡5Æ0. -Lờigiải. Vì 6 12 Æ ¡4 ¡8 Æ ¡6 ¡12 6Æ 5 ¡5 nên (P)và (Q)songsongvớinhau. ä Bài44. Xác định tham số m và n để các cặp mặt phẳng sau đây: song song, cắt nhau, trùng nhau 1 ½ (P): 5x¡2yÅmz¡11Æ0 (Q): 3xÅnyÅz¡5Æ0. -Lờigiải. Nếu nÆ0thì 3 5 6Æ n ¡2 .Trườnghợpnày (P)và (Q)cắtnhau. ² (P)Ò(Q), ( 5 3 Æ ¡2 n Æ m 1 6Æ ¡11 ¡5 n6Æ0 , 8 > > < > > : 5 3 Æ ¡2 n 5 3 Æ m 1 , 8 > > < > > : nÆ¡ 6 5 mÆ 5 3 . ² (P)´(Q)khôngxảyrado 5 3 6Æ ¡11 ¡5 . ² (P)cắt (Q), 2 6 6 4 n6Æ¡ 6 5 m6Æ 5 3 . ²Đặcbiệt: (P)?(Q),15¡2nÅmÆ0. ä 2 ½ (P): 2xÅmyÅ3z¡5Æ0 (Q): nx¡6y¡6zÅ2Æ0. -Lờigiải. Nếu nÆ0thì n 2 6Æ ¡6 3 .Trườnghợpnày (P)và (Q)cắtnhau. ² (P)Ò(Q), ( 2 n Æ m ¡6 Æ 3 ¡6 6Æ ¡5 2 n6Æ0 , 8 > > < > > : 2 n Æ 3 ¡6 m ¡6 Æ 3 ¡6 , n nÆ¡4 mÆ3. ² (P)´(Q)khôngxảyrado 3 ¡6 6Æ ¡5 2 . ² (P)cắt (Q), h n6Æ¡4 m6Æ3. ²Đặcbiệt: (P)?(Q),2n¡6m¡18Æ0. ä 3 ½ (P): 3x¡yÅmz¡9Æ0 (Q): 2xÅnyÅ2z¡3Æ0. -Lờigiải. Nếu nÆ0thì 2 3 6Æ n ¡1 .Trườnghợpnày (P)và (Q)cắtnhau. ² (P)Ò(Q), ( 3 2 Æ ¡1 n Æ m 2 6Æ ¡9 ¡3 n6Æ0 , 8 > > < > > : 3 2 Æ ¡1 n 3 2 Æ m 2 , ( nÆ¡ 2 3 mÆ3. ² (P)´(Q)khôngxảyrado 3 2 6Æ ¡9 ¡3 . Th.sNguyễnChínEm 535 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ² (P)cắt (Q), " n6Æ¡ 2 3 m6Æ3. ²Đặcbiệt: (P)?(Q),6¡nÅ2mÆ0. ä Bài45. Xácđịnhthamsố mđểcáccặpmặtphẳngsauđâyvuônggócvớinhau: 1 ½ (P): (2m¡1)x¡3myÅ2zÅ3Æ0 (Q): mxÅ(m¡1)yÅ4z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó (P)?(Q),m(2m¡1)¡3m(m¡1)Å8Æ0,¡m 2 Å2mÅ8Æ0,m2{4;¡2}. ä 2 ½ (P): mxÅ2yÅmz¡12Æ0 (Q): xÅmyÅzÅ7Æ0. -Lờigiải. Tacó (P)?(Q),m¢1Å2¢mÅm¢1Æ0,mÆ0. ä Bài46. Xétvịtrítươngđốicủahaimặtphẳngsauđây: 1 8 < : (P): 2x¡2y¡4zÅ5Æ0 (Q): 5x¡5y¡10zÅ 25 2 Æ0. -Lờigiải. Vì 2 5 Æ ¡2 5 Æ ¡4 ¡10 Æ 5 25 2 nên (P)và (Q)trùngnhau. ä 2 ½ (P): 3x¡2y¡6z¡23Æ0 (Q): 3x¡2y¡6zÅ23Æ0. -Lờigiải. Vì 3 3 Æ ¡2 ¡2 Æ ¡6 ¡6 6Æ ¡23 23 nên (P)và (Q)songsongvớinhau. ä Bài47. Xác định tham số m và n để các cặp mặt phẳng sau đây: song song, cắt nhau, trùng nhau 1 ½ (P): 2xÅyÅ3z¡5Æ0 (Q): mx¡6y¡6z¡2Æ0. -Lờigiải. ²Do 1 ¡6 6Æ 3 ¡6 nên (P)và (Q)luôncắtnhau. ²Đặcbiệt: (P)?(Q),2m¡6¡18Æ0,mÆ12. ä 2 ½ (P): 3x¡5yÅmz¡3Æ0 (Q): 2xÅy¡3zÅ1Æ0. -Lờigiải. ²Do 3 2 6Æ ¡5 1 nên (P)và (Q)luôncắtnhau. ²Đặcbiệt: (P)?(Q),6¡5¡3mÆ0,mÆ 1 3 . ä 3 ½ (P): xÅmy¡zÅ2Æ0 (Q): 2xÅyÅ4nz¡3Æ0. -Lờigiải. Nếu nÆ0thì 2 1 6Æ 4n ¡1 .Trườnghợpnày (P)và (Q)cắtnhau. Th.sNguyễnChínEm 536 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ² (P)Ò(Q), ( 1 2 Æ m 1 Æ ¡1 4n 6Æ 2 ¡3 n6Æ0 , 8 > > < > > : 1 2 Æ m 1 1 2 Æ ¡1 4n , 8 > > < > > : mÆ 1 2 nÆ¡ 1 2 . ² (P)´(Q)khôngxảyrado 1 2 6Æ 2 ¡3 . ² (P)cắt (Q), 2 6 6 4 m6Æ 1 2 n6Æ¡ 1 2 . ²Đặcbiệt: (P)?(Q),2Åm¡4nÆ0. ä 4 ½ (P): 3x¡(m¡3)yÅ2z¡5Æ0 (Q): (mÅ2)x¡2yÅmz¡10Æ0. -Lờigiải. Nếu mÆ3thì ¡(m¡3) ¡2 6Æ 2 m .Trườnghợpnày (P)và (Q)cắtnhau. ² (P)Ò(Q), 8 < : mÅ2 3 Æ ¡2 ¡(m¡3) Æ m 2 6Æ ¡10 ¡5 m6Æ3 , 8 > > > > < > > > > : mÅ2 3 Æ 2 m¡3 mÅ2 3 Æ m 2 m6Æ3, m6Æ4 ,m2?. ² (P)´(Q), 8 < : mÅ2 3 Æ ¡2 ¡(m¡3) Æ m 2 Æ ¡10 ¡5 m6Æ3 , 8 > > > > < > > > > : mÅ2 3 Æ 2 m¡3 mÅ2 3 Æ m 2 m6Æ3 ,mÆ4. ² (P)cắt (Q),m6Æ4. ²Đặcbiệt: (P)?(Q),3(mÅ2)Å2(m¡3)Å2mÆ0,mÆ0. ä Bài48. Xácđịnhthamsố mđểcáccặpmặtphẳngsauđâyvuônggócvớinhau: 1 ½ (P): 3x¡(m¡3)yÅ2z¡5Æ0 (Q): (mÅ2)x¡2yÅmz¡10Æ0. -Lờigiải. Tacó (P)?(Q),3(mÅ2)Å2(m¡3)Å2mÆ0,mÆ0. ä 2 ½ (P): 3x¡5yÅmz¡3Æ0 (Q): xÅ3yÅ2zÅ5Æ0. -Lờigiải. Tacó (P)?(Q),3¢1¡5¢3Åm¢2Æ0,mÆ6. ä Th.sNguyễnChínEm 537 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 16 XÉTVỊTRÍTƯƠNGĐỐIGIỮAMẶTPHẲNGVÀMẶTCẦU Phươngphápgiải: I H P R (S) (P)và (S)khônggiaonhau ,d(I,(P))ÈR I H P R (S) (P)và (S)tiếpxúcnhau ,d(I,(P))ÆR I H M P (S) (P)cắt (S)theo 1đườngtròn ,d(I,(P))ÈR R 2 Æd 2 År 2 4 ! Đểxétvịtrítươngđốigiữamặtphẳng (P)vàmặtcầu (S)tathựchiệnnhưsau: Tìmtoạđộtâm I vàtínhbánkính R củamặtcầu (S). Tínhkhoảngcách d(I,(P))từtâm I đếnmặtphẳng (P). Sosánhkếtquả d(I,(P))và R đểkếtluậnvịtrítươngđốigiữa (P)và (S). Vídụ27. Xétvịtrítươngđốigiữamặtphẳng (P)vàmặtcầu (S)sauđây: ½ (P): 2xÅ2yÅz¡1Æ0 (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡2yÅ4zÅ5Æ0. 1 ½ (P): x¡2yÅ2zÅ5Æ0 (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡4y¡8zÅ4Æ0 2 -Lờigiải. 1 Xétmặtphẳng (P): 2xÅ2yÅz¡1Æ0vàmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡2yÅ4zÅ5Æ0. Mặtcầu (S)cótâm I(3;1;¡2)vàbánkính RÆ p 3 2 Å1 2 Å(¡2) 2 ¡5Æ3. Tacó d(I,(P))Æ j2¢3Å2¢1Å(¡2)¡1j p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ 5 3 ÇR)(P)và (S)cắtnhautheomộtđườngtròn. 2 ½ (P): x¡2yÅ2zÅ5Æ0 (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡4y¡8zÅ4Æ0. Mặtcầu (S)cótâm I(3;2;4)vàbánkính RÆ p 3 2 Å2 2 Å4 2 ¡4Æ5. Tacó d(I,(P))Æ j3¡2¢2Å2¢4Å5j p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ4ÇR)(P)và (S)cắtnhautheomộtđườngtròn. ä Vídụ28. Biệnluậntheo mvịtrítươngđốigiữamặtphẳng (P): 2x¡2y¡zÅ6Æ0vàmặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2(m¡1)xÅ4myÅ4z¡8mÅ1Æ0. -Lờigiải. (P): 2x¡2y¡zÅ6Æ0, (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2(m¡1)xÅ4myÅ4z¡8mÅ1Æ0. Mặtcầu (S)cótâm I(m¡1;¡2m;¡2). Và (S)cóbánkính RÆ p (m¡1) 2 Å(¡2m) 2 Å(¡2) 2 ¡(¡8mÅ1)Æ p 5m 2 Å6mÅ4. Tacó d(I,(P))Æ j2(m¡1)¡2(¡2m)¡(¡2)Å6j p 2 2 Å(¡2) 2 Å(¡1) 2 Æ2jmÅ1j. ² (P)và (S)khônggiaonhau,d(I,(P))ÈR ,2jmÅ1jÈ p 5m 2 Å6mÅ4 ,4(mÅ1) 2 È(5m 2 Å6mÅ4),m 2 ¡2mÇ0,0ÇmÇ2. Th.sNguyễnChínEm 538 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ² (P)và (S)tiếpxúcnhau,d(I,(P))ÆR ,4(mÅ1) 2 Æ(5m 2 Å6mÅ4),m 2 ¡2mÆ0,m2{0;2}. ² (P)và (S)cắtnhautheo 1đườngtròn,d(I,(P))ÇR ,4(mÅ1) 2 Ç(5m 2 Å6mÅ4),m 2 ¡2mÈ0,mÇ0_mÈ2. ä 16.1 BÀITẬPRÈNLUYỆN Bài49. Xétvịtrítươngđốigiữamặtphẳng (P)vàmặtcầu (S)nhưsau: 1 ½ (P): 2x¡3yÅ6z¡9Æ0 (S): (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ16 -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;3;¡2)vàbánkính RÆ4. Tacó d(I,(P))Æ j2¢1¡3¢3Å6¢(¡2)¡9j p 2 2 Å(¡3) 2 Å6 2 Æ4ÆR)(P)và (S)tiếpxúcvớinhau. ä 2 ½ (P): xÅy¡2z¡11Æ0 (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡2zÅ2Æ0 -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(¡1;2;1)vàbánkính RÆ p (¡1) 2 Å2 2 Å1 2 ¡2Æ2. Tacó d(I,(P))Æ j(¡1)Å2¡2¢1¡11j p 1 2 Å1 2 Å(¡2) 2 Æ2 p 6ÈR)(P)và (S)khônggiaonhau. ä Bài50. Biệnluậntheo mvịtrítươngđốigiữamặtphẳng (P)vàmặtcầu (S): 1 (P): 4x¡2yÅ4z¡5Æ0, (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ(m¡1) 2 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;3)và (S)cóbánkính RÆjm¡1j. Tacó d(I,(P))Æ j4¢1¡2¢(¡2)Å4¢3¡5j p 4 2 Å(¡2) 2 Å4 2 Æ 5 2 . ² (P)và (S)khônggiaonhau,d(I,(P))ÈR , 5 2 Èjm¡1j,¡ 3 2 ÇmÇ 7 2 . ² (P)và (S)tiếpxúcnhau,d(I,(P))ÆR , 5 2 Æjm¡1j,m2 ½ ¡ 3 2 ; 7 2 ¾ . ² (P)và (S)cắtnhautheo 1đườngtròn,d(I,(P))ÇR,mÈ 7 2 _mÇ¡ 3 2 . ä 2 (P): 3xÅ2y¡6zÅ7Æ0, (S): (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ(mÅ2) 2 . -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(2;1;¡1)và (S)cóbánkính RÆjmÅ2j. Tacó d(I,(P))Æ j3¢2Å2¢1¡6(¡1)Å7j p 3 2 Å2 2 Å(¡6) 2 Æ3. ² (P)và (S)khônggiaonhau,d(I,(P))ÈR ,3ÈjmÅ2j,¡5ÇmÇ1. ² (P)và (S)tiếpxúcnhau,d(I,(P))ÆR ,3ÆjmÅ2j,m2{¡5;1}. ² (P)và (S)cắtnhautheo 1đườngtròn,d(I,(P))ÇR,mÈ1_mÇ¡5. ä Bài51(Đạihọc-D-2014). TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chomặtphẳng(P): 6xÅ3y¡ 2z¡1Æ0vàmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡4y¡2z¡11Æ0.Chứngminhrằngmặtphẳng (P)cắt mặtcầu (S)theogiaotuyếnlàmộtđườngtròn (C).Tìmtoạđộtâmcủađườngtròn (C). -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;2;1)vàbánkính RÆ p 3 3 Å2 2 Å1 2 ¡(¡11)Æ5. Tacó d(I,(P))Æ j6¢3Å3¢2¡2¢1¡1j 6 2 Å3 2 Å(¡2) 2 Æ3)d(I,(P))ÇR)(P)cắt (S)theomộtđườngtròn. Th.sNguyễnChínEm 539 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi d làđườngthẳngđiqua I vàvuônggócvới (P)thìphươngtrìnhcủa d: ( xÆ3Å6t yÆ2Å3t zÆ1¡2t (*). Gọi H làtâmcủađườngtròngiaotuyếngiữa (P)và (S)thì n H2d H2(P). Do H2d nên H(3Å6t;2Å3t;1¡2t). Do H2(P)nên 6(3Å6t)Å3(2Å3t)¡2(1¡2t)¡1Æ0,tÆ¡ 3 7 . Vậytâmcủađườngtròngiaotuyếncủa (P)và (S)là H µ 3 7 ; 5 7 ; 13 7 ¶ . ä Bài52. Xétvịtrítươngđốigiữamặtphẳng (P)vàmặtcầu (S)nhưsau: 1 ½ (P): xÅ2yÅ2zÆ0 (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡2zÅ10Æ0 -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡1;1)vàbánkính RÆ p 3 2 Å(¡1) 2 Å1 2 ¡10Æ1. Tacó d(I,(P))Æ j3Å2¢(¡1)Å2¢1j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ1ÆR)(P)và (S)tiếpxúcvớinhau. ä 2 ½ (P): z¡3Æ0 (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6xÅ2y¡16zÅ22Æ0 -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;¡1;8)vàbánkính RÆ p 3 2 Å(¡1) 2 Å8 2 ¡22Æ2 p 13. Tacó d(I,(P))Æ j8¡3j p 0 2 Å0 2 Å1 2 Æ5ÇR)(P)và (S)cắtnhautheomộtđườngtròn. ä Bài53. Biệnluậntheo mvịtrítươngđốigiữamặtphẳng (P): 2x¡3yÅ6z¡10Æ0vàmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4mx¡2(mÅ1)y¡2zÅ3m 2 Å5m¡5Æ0. -Lờigiải. (P): 2x¡3yÅ6z¡10Æ0, (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å4mx¡2(mÅ1)y¡2zÅ3m 2 Å5m¡5Æ0. Mặtcầu (S)cótâm I(¡2m;mÅ1;1). Và (S)cóbánkính RÆ p (¡2m) 2 Å(mÅ1) 2 Å1 2 ¡(3m 2 Å5m¡5)Æ p 2m 2 ¡3mÅ7. Tacó d(I,(P))Æ j2(¡2m)¡3(mÅ1)Å6¡10j p 2 2 Å(¡3) 2 Å6 2 ÆjmÅ1j. ² (P)và (S)khônggiaonhau,d(I,(P))ÈR ,jmÅ1jÈ p 2m 2 ¡3mÅ7 ,(mÅ1) 2 È2m 2 ¡3mÅ7,m 2 ¡5mÅ6Ç0,2ÇmÇ3. ² (P)và (S)tiếpxúcnhau,d(I,(P))ÆR ,jmÅ1jÆ p 2m 2 ¡3mÅ7 ,(mÅ1) 2 Æ2m 2 ¡3mÅ7,m 2 ¡5mÅ6Æ0,m2{2;3}. ² (P)và (S)cắtnhautheo 1đườngtròn,d(I,(P))ÇR ,jmÅ1jÇ p 2m 2 ¡3mÅ7 ,(mÅ1) 2 Ç2m 2 ¡3mÅ7,m 2 ¡5mÅ6È0,mÈ3_mÇ2. ä Bài54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(3;¡2;¡2), B(3;2;0), C(0;2;1)và D(¡1;1;2). 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứa AB,songsongvới CD. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(0;4;2)và #  CDÆ(¡1;¡1;1). Do (P)chứa AB vàsongsongvới CD nên #  n (P) Æ h #  AB, #  CD i Æ(6;¡2;4). Lạicó (P)chứa A(3;¡2;¡2)nêncóphươngtrìnhlà 6(x¡3)¡2(yÅ2)Å4(zÅ2)Æ0 Vậy (P): 3x¡yÅ2z¡7Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 540 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 Tìmtọađộhìnhchiếucủa C lênmặtphẳng (P). -Lờigiải. Gọi¢làđườngthẳngqua C vuônggócvới (P).Khiđó #  u ¢ Æ #  n (P) Æ(6;¡2;4),dođóphương trìnhthamsốcủa¢là ( xÆ6t yÆ2¡2t zÆ1Å4t .HìnhchiếucủaClên(P)làgiaođiểmcủa¢và(P)nên lànghiệmhệphươngtrình 8 > < > : xÆ6t yÆ2¡2t zÆ1Å4t 3x¡yÅ2z¡7Æ0 , 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : tÆ 1 4 xÆ 3 2 yÆ 3 2 zÆ2 .Vậy H µ 3 2 ; 3 2 ;2 ¶ . ä Bài55. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođườngthẳng d: x¡8 1 Æ y¡5 2 Æ z¡8 ¡1 vàmặt phẳng (P): xÅ2yÅ5zÅ1Æ0. 1 Chứngminhđườngthẳng d songsongvớimặtphẳng (P)vàtínhkhoảngcáchgiữa d và (P). -Lờigiải. Tacóvéc-tơchỉphươngcủadlà #  uÆ(1;2;¡1)vàvéc-tơpháptuyếncủa(P)là #  n (P) Æ(1;2;5). Tacó #  u¢ #  n (P) Æ1¢1Å2¢2Å(¡1)¢5Æ0nên d songsonghoặcnằmtrong (P). Mặtkháctacó A(8;5;8)2d và AÝ(P)nên d songsongvới (P). Vì dÒ(P)nên d(d,(P))Æd(A,(P))Æ j8Å2¢5Å5¢8Å1j p 1 2 Å2 2 Å5 2 Æ 59 p 30 . ä 2 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)chứa d vàvuônggócvới (P). -Lờigiải. Mặtphẳng (Q)chứa d vàvuônggócvới (P)nên #  n (Q) ? #  u và #  n (Q) ? #  n (P) . Dođócóthểchọn #  n (Q) Æ[ #  u, #  n (P) ]Æ(12;¡6;0). Mặtkhác, A(8;5;8)2d½(Q)nênphươngtrìnhcủa (Q)là 12(x¡8)¡6(y¡5)Æ0. Vậy (Q): 2x¡y¡11Æ0. ä Bài56. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;0;5)vàhaiđườngthẳngd 1 : x¡1 2 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡1 1 và d 2 : x¡1 ¡1 Æ y¡2 1 Æ z¡1 ¡3 . 1 Xétvịtrítươngđốicủahaiđườngthẳng d 1 và d 2 . -Lờigiải. Đườngthẳng d 1 có #  u 1 Æ(2;¡2;1)vàđiqua A(1;3;1). Đườngthẳng d 2 có #  u 2 Æ(¡1;1;¡3)vàđiqua B(1;2;1). Tacó [ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(5;5;0))[ #  u 1 , #  u 2 ]¢ #  ABÆ¡56Æ0nên d 1 và d 2 chéonhau. ä 2 Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d 1 và d 2 với mặt phẳng Oxy. Tính diện tích tam giác AMN. -Lờigiải. Giao điểm M của d 1 và Oxy là nghiệm hệ phương trình ( x¡1 2 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡1 1 zÆ0 , ( xÆ¡1 yÆ5 zÆ0 . Dođó M(¡1;5;0). Giao điểm N của d 2 và Oxy là nghiệm hệ phương trình ( x¡1 ¡1 Æ y¡2 1 Æ z¡1 ¡3 zÆ0 , 8 > > > < > > > : xÆ 2 3 yÆ 7 3 zÆ0 . Th.sNguyễnChínEm 541 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Dođó N µ 2 3 ; 7 3 ;0 ¶ . Diệntích S 4ANM Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  AM, #  AN i¯ ¯ ¯Æ p 2306 6 . ä Bài57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: xÅ7 3 Æ y¡5 ¡1 Æ z¡9 4 và d 0 : x 6 Æ yÅ4 ¡2 Æ zÅ18 8 . 1 Chứngminh d songsongvới d 0 .Vàviếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứa d và d 0 . -Lờigiải. Đườngthẳng d điqua M(¡7;5;9)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(3;¡1;4).Đườngthẳng d 0 đi qua M 0 (0;¡4;¡18) và có véc-tơ chỉ phương #  u 0 Æ(6;¡2;8). Vì #  u cùng phương với #  u 0 và M 0 khôngthuộc d nên d songsongvới d 0 . Mặtphẳng (P)nhậntíchcóhướng h #  u, #  MM 0 i Æ(63;109;¡20)làmvéc-tơpháptuyếnnêncó phươngtrìnhlà 63(x¡0)Å109(yÅ4)¡20(zÅ18)Æ0. Vậy (P): 63xÅ109y¡20zÅ76Æ0. ä 2 Tínhkhoảngcáchgiữa d và d 0 . -Lờigiải. Tacó d(d,d 0 )Æd(M,d 0 )Æ ¯ ¯ ¯ h #  u, #  MM 0 i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ25. ä Bài58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;¡1;1) và đường thẳng d: x¡1 3 Æ yÅ2 1 Æ z¡3 1 . 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứa A vàđườngthẳng d. -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(3;1;1)và M(1;¡2;3)2d. Mặtphẳng (P)chứa A và d nên (P)chứa #  AMÆ(¡1;¡1;2). Dođó #  n (P) Æ h #  u, #  AM i Æ(3;¡7;¡2). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 3(x¡2)¡7(yÅ1)¡2(z¡1)Æ0. Vậy (P): 3x¡7y¡2z¡11Æ0. ä 2 Tìmđiểm A 0 đốixứngvới A quađườngthẳng d. -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa A lên d. Tacó H2d nên H(1Å3t;¡2Åt;3Åt)) #  AHÆ(¡1Å3t;¡1Åt;2Åt). Hơnnữa #  AH? #  u,3(¡1Å3t)Å(¡1Åt)Å(2Åt)Æ0,tÆ 2 11 . Dođó H µ 17 11 ;¡ 20 11 ; 35 11 ¶ .Điểm A 0 đốixứngvới A qua d nêncũngđốixứngvới A qua H. Suyra A 0 µ 12 11 ;¡ 29 11 ; 59 11 ¶ . ä Bài59. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaimặtphẳng(P): xÅy¡zÅ5Æ0và(Q): 2x¡ zÆ0. Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau và tìm phương trình đường thẳng giao tuyếncủa (P)và (Q). -Lờigiải. Ta có #  n (P) Æ(1;1;¡1) không cùng phương với #  n (Q) Æ(2;0;¡1) nên (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến u. Véc-tơchỉphươngcủa u là #  uÆ £ #  n (P) , #  n (Q) ¤ Æ(¡1;¡1;¡2). Điểm M(0;¡5;0)làđiểmchungcủa (P)và (Q)nên M thuộcgiaotuyếncầntìm. Suyraphươngtrìnhđườnggiaotuyếnlà x 1 Æ yÅ5 1 Æ z 2 . ä Th.sNguyễnChínEm 542 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài60. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođườngthẳng d: x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 1 vàmặt phẳng (P): 2xÅyÅz¡3Æ0. 1 Tìmtọađộgiaođiểm A của d và (P). -Lờigiải. Phương trình tham số của đường thẳng d là ( xÆ1Å2t yÆ2¡t zÆ3Åt . Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta có 2(1Å2t)Å(2¡t)Å(3Åt)¡3Æ0,tÆ¡1. Suy ra giao điểm của d và (P) là A(¡1;3;2). ä 2 Viếtphươngtrìnhđườngthẳng¢làhìnhchiếuvuônggóccủa d lênmặtphẳng (P). -Lờigiải. LấyđiểmM(1;2;3)2d.Gọid 0 làđườngthẳngđiquaMvàvuônggócvới(P).Phươngtrình thamsốcủa d 0 là ( xÆ1Å2t yÆ2Åt zÆ3Åt (1).Hìnhchiếucủa M lên (P)làgiaođiểm B của d 0 và (P). Đểtìmtọađộđiểm B tathay (1)vàophươngtrìnhmặtphẳng (P)tacó 2(1Å2t)Å(2Åt)Å(3Åt)¡3Æ0,tÆ¡ 2 3 .Suyratọađộ B là µ ¡ 1 3 ; 4 3 ; 7 3 ¶ . Hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) là đường thẳng AB. Do đó¢ đi qua A(¡1;3;2) và có véc-tơchỉphươnglà #  ABÆ µ 2 3 ;¡ 5 3 ; 1 3 ¶ nêncóphươngtrìnhlà xÅ1 2 3 Æ y¡3 ¡ 5 3 Æ z¡2 1 3 , xÅ1 2 Æ y¡3 ¡5 Æ z¡2 1 . ä 3 Tính singócgiữa d và (P). -Lờigiải. Tacó sin(d,(P))Æ j2¢2Å1¢(¡1)Å1¢1j p 2 2 Å1 1 Å1 1 ¢ p 2 2 Å(¡1) 2 Å1 2 Æ 2 3 . ä Bài61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡3yÅ4z¡1Æ0 và đường thẳng d: x¡1 3 Æ yÅ1 1 Æ z 2 và điểm A(3;1;1). Viết phương trình đường thẳng ¢ đi qua A cắt đườngthẳng d vàsongsongvớimặtphẳng (P). -Lờigiải. Gọi B làgiaođiểmcủa¢và d.Tacó B(1Å3t;¡1Åt;2t)2d nên #  ABÆ(¡2Å3t;¡2Åt;¡1Å2t). Do¢songsongvới (P)nên #  AB? #  n (P) nên (¡2Å3t)¡3(¡2Åt)Å4(¡1Å2t)Æ0,tÆ0. Đường thẳng ¢ đi qua A(3;1;1) và có véc-tơ chỉ phương #  u Æ #  ABÆ(¡2;¡2;¡1) nên có phương trìnhlà x¡3 ¡2 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡1 ¡1 , x¡3 2 Æ y¡1 2 Æ z¡1 1 . ä Bài62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 3x¡3y¡3zÆ0,mặtphẳng (P): xÅyÅz¡6Æ0. 1 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tìm tâm và bánkínhcủađườngtròn (C). -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I µ 3 2 ; 3 2 ; 3 2 ¶ vàbánkính RÆ Ê µ 3 2 ¶ 2 Å µ 3 2 ¶ 2 Å µ 3 2 ¶ 2 ¡0Æ 3 p 3 2 . Khoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng(P)làdÆ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 2 Å 3 2 Å 3 2 ¡6 ¯ ¯ ¯ ¯ p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3 2 ÇR nênmặtphẳng(P)cắt mặtcầu (S)theomộtđườngtròn (C)cóbánkínhlà rÆ p R 2 ¡d 2 Æ p 6. Đểtìmtâmcủa (C)tatìmhìnhchiếucủa I lênmặtphẳng (P). Th.sNguyễnChínEm 543 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢điqua I vàvuônggócvới (P)là 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 3 2 Åt yÆ 3 2 Åt zÆ 3 2 Åt. HìnhchiếucủaIlên(P)làgiaođiểmMcủa¢và(P).TọađộđiểmMlànghiệmhệphương trình 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : xÆ 3 2 Åt yÆ 3 2 Åt zÆ 3 2 Åt xÅyÅz¡6Æ0 , 8 > > > < > > > : tÆ 1 2 xÆ2 yÆ2 zÆ2 )M(2;2;2). ä 2 Tínhthểtíchkhốinóncóđỉnhlàtâmmặtcầu (S)vàđáylàđườngtròn (C). -Lờigiải. Khối nón đã cho có bán kính đáy là rÆ p 6 và chiều cao là hÆdÆ p 3 2 . Do đó khối nón có thểtíchlàVÆ 1 3 ¼¢r 2 ¢hƼ p 3 ä Bài63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;3), B(2;¡2;¡3) và đường thẳng¢: x¡2 1 Æ yÅ1 2 Æ z 3 . 1 Chứng minh A, B, ¢ cùng nằm trong một mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng đó. -Lờigiải. Đườngthẳng¢điquađiểm M(2;¡1;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;2;3). Ta có #  ABÆ(0;¡2;¡6) và #  MAÆ(0;1;3). Khi đó h #  AB, #  u i ¢ #  MAÆ0 nên #  u, #  AB và #  MA đồng phẳng.Nghĩalà, A, B và¢cùngnằmtrongmộtmặtphẳng (®). Tacó #  n (®) Æ h #  AB, #  u i Æ(6;¡6;2)và (®)điqua A(2;0;3)nêncóphươngtrìnhlà 6(x¡2)¡6yÅ 2(z¡3)Æ0. Vậy (®): 3x¡3yÅz¡9Æ0. ä 2 Tìmđiểm I thuộc¢saochotamgiác IAB cântại I. -Lờigiải. Điểm I(2Åt;¡1Å2t;3t)2¢.Đểtamgiác IAB cântại I thì IA 2 ÆIB 2 , t 2 Å(¡1Å2t) 2 Å(3¡3t) 2 Æt 2 Å(1Å2t) 2 Å(3Å3t) 2 , tÆ0. Suyra I(2;¡1;0).Mặtkháctacó #  IAÆ(0;1;3)và #  IBÆ(0;¡1;¡3)nên I,A,B thẳnghàng. Vậykhôngtồntạiđiểm I thỏabàitoán. ä Bài64. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(5;3;¡4)và B(1;3;4).Tìmtọađộ điểm C2(Oxy)saochotamgiác ABC cântạiđỉnh C vàcódiệntích SÆ8 p 5. -Lờigiải. Do C2(Oxy)nên C(x;y;0).Tamgiác ABC cântạiđỉnh C nên CA 2 ÆCB 2 ,(5¡x) 2 Å(3¡y) 2 Å16Æ(1¡x) 2 Å(3¡y) 2 Å16,xÆ3. Suyra C(3;y;0).Tacó #  BAÆ(4;0;¡8)và #  BCÆ(2;y¡3;¡4)) h #  BA, #  BC i Æ(8y¡24;0;4y¡12). Th.sNguyễnChínEm 544 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó S ABC Æ 1 2 ¯ ¯ ¯ h #  BA, #  BC i¯ ¯ ¯ , S ABC Æ 1 2 p (8y¡24) 2 Å(4y¡12) 2 , 8 p 5 Æ 1 2 p (8y¡24) 2 Å(4y¡12) 2 , (4y¡12) 2 Æ16 , h xÆ7 xÆ¡1. Vậy C(3;7;0)hoặc C(3;¡1;0). ä Bài65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;¡2;3),cắtvàvuônggócvớiđườngthẳng¢: x¡1 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡1 ¡1 . -Lờigiải. Gọi B làgiaođiểmcủa d và¢.Khiđó B2¢)B(1Åt;¡1¡t;1¡t).Đườngthẳngcầntìmlà AB. Do AB?¢nên #  AB? #  u ¢ ,t¡(1¡t)¡(¡2¡t)Æ0,tÆ¡ 1 3 )B µ 2 3 ;¡ 2 3 ; 4 3 ¶ . Véc-tơchỉphươngcủa d là #  ABÆ µ ¡ 1 3 ; 4 3 ;¡ 5 3 ¶ .Dođóphươngtrìnhcủa d là x¡1 ¡ 1 3 Æ yÅ2 4 3 Æ z¡3 ¡ 5 3 . Vậy d: x¡1 1 Æ yÅ2 ¡4 Æ z¡3 5 . ä Bài66. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;2;3)vàhaiđườngthẳngd 1 : x¡2 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 1 và d 2 : x¡1 ¡1 Æ y¡1 2 Æ zÅ1 1 . Viết phương trình đường thẳng¢ đi qua A, vuông góc với d 1 vàcắt d 2 . -Lờigiải. Gọi B là giao điểm của d 2 và¢. Khi đó B2d 2 )B(1¡t;1Å2t;¡1Åt). Đường thẳng cần tìm là AB. Do AB?d 1 nên #  AB? #  u d 1 ,¡2t¡(¡1Å2t)Å(¡4Åt)Æ0,tÆ¡1)B(2;¡1;¡2). Véc-tơchỉphươngcủa d là #  ABÆ(1;¡3;¡5).Dođóphươngtrìnhcủa d là x¡1 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡5 . Vậy d: x¡1 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡5 . ä Bài67. Chomặtphẳng(P)vàđườngthẳng dcóphươngtrìnhlầnlượtlà(P): 2xÅy¡2zÅ9Æ0 và d: x¡1 ¡1 Æ yÅ3 2 Æ z¡3 1 . 1 Tìmtọađộđiểm I thuộc d saochokhoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng (P)bằng 2. -Lờigiải. Tacó I2d)I(1¡t;¡3Å2t;3Åt).Khoảngcáchtừ I đến (P)là dÆ j2(1¡t)Å(¡3Å2t)¡2(3Åt)Å9j p 2 2 Å1 2 Å(¡2) 2 , 2Æ j2¡2tj 3 , h tÆ¡2 tÆ4. Suyra I(¡3;5;7)hoặc I(3;¡7;1). ä 2 Tìmtọađộgiaođiểm A củađườngthẳng d vàmặtphẳng (P). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 545 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tọađộđiểm A lànghiệmhệphươngtrình ( x¡1 ¡1 Æ yÅ3 2 Æ z¡3 1 2xÅy¡2zÅ9Æ0 , ( xÆ0 yÆ¡1 zÆ4. Vậy A(0;¡1;4). ä 3 Viết phương trình của đường thẳng¢ đi qua giao điểm A của (P) và d, vuông góc với d vànằmtrong (P). -Lờigiải. Vì¢ nằm trong (P) và vuông góc với d nên #  u ¢ Æ £ #  n (P) , #  u d ¤ Æ(5;0;5). Do đó¢ có phương trìnhthamsốlà ( xÆ5t yÆ¡1 zÆ4Å5t. ä C DẠNGTOÁNTỔNGHỢP Bài68. Chomặtphẳng(P)vàđườngthẳng d cóphươngtrìnhlầnlượtlà(P):xÅ2y¡3zÅ4Æ0 và d: xÅ2 1 Æ y¡2 1 Æ z ¡1 . Viết phương trình đường thẳng ¢ nằm trong mặt phẳng (P), vuông gócvàcắtđườngthẳng d. -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d: ( xÆ¡2Åt yÆ2Åt zÆ¡t. Đườngthẳng d điquađiểm M(¡2;2;0)vàcóvec-tơchỉphương #  u d Æ(1;1;¡1). Đường thẳng ¢ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d nên ¢ có vec-tơ chỉ phương #  u ¢ Æ £ #  n P ; #  u d ¤ Æ(1;¡2;¡1). Đườngthẳng¢cắtđườngthẳng dkhivàchỉkhiđườngthẳng¢điquagiaođiểmcủa dvà(P). Phươngtrìnhgiaođiểmcủa d và (P): ¡2ÅtÅ2(2Åt)¡3(¡t)Å4Æ0,tÆ¡1 Dođótọađộgiaođiểmcủa d và (P)là N(¡3;1;1). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng¢: ( xÆ¡3Åt yÆ1¡2t zÆ1¡t (t2R). ä Bài69. Chođiểm M(1;1;0)vàhaiđườngthẳngd 1 : x¡1 1 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡1 1 ,d 2 : x¡1 ¡1 Æ yÅ3 2 Æ z¡2 ¡3 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d 1 và d 2 đồng thời cách M một khoảng bằng p 6. -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủa d 1 : ( xÆ1Åt 1 yÆ3¡t 1 zÆ1Åt 1 .Phươngtrìnhthamsốcủa d 2 : ( xÆ1¡t 2 yÆ¡3Å2t 2 zÆ2¡3t 2 . Đường thẳng d 1 có vec-tơ chỉ phương #  u 1 Æ (1;¡1;1). Đường thẳng d 2 có vec-tơ chỉ phương #  u 2 Æ(¡1;2;¡3). Mặtphẳng (P)songsongvới d 1 và d 2 nêntacóvec-tơpháptuyến #  n P Æ £ #  u 1 ; #  u 2 ¤ Æ(1;2;1).Vậy phươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng xÅ2yÅzÅdÆ0 Vì (P)Òd 1 và (P)Òd 2 nên n d6Æ¡8 d6Æ3 .Tacó d(M,(P))Æ p 6,nghĩalà j1Å2Å0Ådj p 1 2 Å2 2 Å1 2 Æ p 6, jdÅ3j p 6 Æ p 6,jdÅ3jÆ6, · dÆ3(loại) dÆ¡9(nhận) Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P):xÅ2yÅz¡9Æ0. ä Bài70. Chomặtcầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4z¡4y¡6zÅ13Æ0vàhaiđiểm A(1;2;¡1), B(0;2;1).Tìm điểm C trên trục Oz để cho mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S) và viết phương trình mặtphẳng (ABC)vớiđiểm C tìmđược. Th.sNguyễnChínEm 546 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Vì C2Oz nên C(0;0;m). Tacó #  ABÆ(¡1;0;2)và #  ACÆ(¡1;¡2;mÅ1).Dođó h #  AB; #  AC i Æ(4;m¡1;2). Từđóphươngtrìnhmặtphẳng (ABC):4xÅ(m¡1)(y¡2)Å2(z¡1)Æ0. Mặtcầu (S)cótâm I(2;2;3)và RÆ p 2 2 Å2 2 Å3 2 ¡13Æ2.Tacó: d(I,(ABC))Æ j4¢2Å(m¡1)(2¡2)Å2(3¡1)j p 4 2 Å(m¡1) 2 Å2 2 Æ 12 p m 2 ¡2mÅ21 Vìmặtphẳng (ABC)tiếpxúcvớimặtcầu (S)nên d(I,(ABC))Æ2,dođó: 12 p m 2 ¡2mÅ21 Æ2, p m 2 ¡2mÅ21Æ6,m 2 ¡2m¡15Æ0, h mÆ5 mÆ¡3. Vậy C(0;0;5)_C(0;0;¡3)và (ABC):4xÅ4yÅ2zÆ10hoặc (ABC):4x¡4yÅ2zÅ6Æ0. ä Bài71. TrongkhônggianOxyz,chocácmặtphẳng(P):3xÅ12y¡3z¡5Æ0;(Q):3x¡4yÅ9zÅ7Æ 0vàcácđườngthẳng d 1 : xÅ5 2 Æ y¡3 ¡4 Æ zÅ1 3 , d 2 : x¡3 ¡2 Æ yÅ1 3 Æ z¡2 4 .Viếtphươngtrìnhđường thẳng¢songsongvới (P)và (Q)cắtcả d 1 và d 2 . -Lờigiải. Gọi M2d 1 )M(¡5Å2t 1 ;3¡4t 1 ;¡1Å3t 1 ). Gọi N2d 2 )N(3¡2t 2 ;¡1Å3t 2 ;2Å4t 2 ). Phương trình đườngthẳng¢cóvec-tơchỉphươnglà #  MNÆ(¡2t 1 ¡2t 2 Å8;4t 1 Å3t 2 ¡4;¡3t 1 Å4t 2 Å3). Tacóvec-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ(3;12;¡3)và #  n Q Æ(3;¡4;9). Vì¢Ò(P)và¢Ò(Q)nêntacóhệ ½ 3(¡2t 1 ¡2t 2 Å8)Å12(4t 1 Å3t 2 ¡4)¡3(¡3t 1 Å4t 2 Å3)Æ0 3(¡2t 1 ¡2t 2 Å8)¡4(4t 1 Å3t 2 ¡4)Å9(¡3t 1 Å4t 2 Å3)Æ0 , n 51t 1 Å18t 2 Æ33 ¡49t 1 Å18t 2 Æ¡67 , n t 1 Æ1 t 2 Æ¡1. Vậy #  MNÆ(8;¡3;¡4)và M(3;¡1;2).Dođóphươngtrìnhđườngthẳng¢: xÅ3 8 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡2 ¡4 . ä Bài72. Trongkhônggian Oxyz,chotamgiác ABC có A(3;1;0), B nằmtrongmặtphẳng Oxy và C nằmtrêntrụcOz.Tìmtọađộcácđiểm B, C saocho H(2;1;1)làtrựctâmcủa4ABC. -Lờigiải. Gọi B(m;n;0), C(0;0;p). Tacó: #  AHÆ(¡1;0;1), #  BCÆ(¡m;¡n;p), #  ACÆ(¡3;¡1;p), #  CHÆ(2;1;1¡p), #  ABÆ(m¡3;n¡1;0). Vì H làtrựctâmcủatamgiác ABC nên 8 > < > : #  AH¢ #  BCÆ0 (1) #  CH¢ #  ABÆ0 (2) h #  AH, #  AC i ¢ #  ABÆ0 (3) . Giải (1)và (2)tađược n mÅpÆ0 2mÅn¡7Æ0 , n mÆ¡p nÆ7Å2p .Vậy #  ABÆ(¡pÅ3;2pÅ6;0). Tacó h #  AH, #  AC i Æ(1;p¡3;1). Giải (3)tađược h #  AH, #  AC i ¢ #  ABÆ0 , ¡p¡3Å(2pÅ6)(p¡3)Æ0 , 2p 2 Åp¡21Æ0 , " pÆ 7 2 pÆ¡3. Với pÆ 7 2 ) ( mÆ¡ 7 2 nÆ14 ) 8 > > < > > : B µ ¡ 7 2 ;14;0 ¶ C µ 0;0; 7 2 ¶ . Với pÆ¡3) n mÆ3 nÆ1 ) ½ B(3;1;0) C(0;0;¡3) (loại). ä Th.sNguyễnChínEm 547 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài73. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,lậpphươngtrìnhmặtphẳng(P)cắtbatrụcOx, Oy,Oz lầnlượttại A, B, C saocho H(2;1;1)làtrựctâmcủatamgiác ABC. -Lờigiải. Dễ thấy H là trực tâm của tam giác ABC thì OH?(ABC). Do đó (ABC) qua H(2;1;1) và có vec-tơpháptuyến #  nÆ #  OHÆ(2;1;1).Vậy (ABC):2(x¡2)Å1(y¡1)Å1(z¡1)Æ0,2xÅyÅz¡6Æ0 ä Bài74. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(0;1;2),B(2;¡2;1),C(¡2;0;1).Viết phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)vàtìm M2(P):2xÅ2yÅzÆ3saocho MAÆMBÆMC. -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(2;¡3;¡1), #  ACÆ(¡2;¡1;¡1). Do đó h #  AB, #  AC i Æ(2;4;¡8). Vậy ta chọn vec-tơ pháp tuyến #  n (ABC) Æ(1;2;¡4).Nênphươngtrìnhmặtphẳng (ABC):xÅ2y¡4zÅ6Æ0. GọiOlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC.Vì #  AB¢ #  ACÆ0nêntamgiác ABC vuôngtại A.VậytâmO làtrungđiểm BC.SuyraO(0;¡1;1). Phương trình đường thẳng¢ qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC): ( xÆt yÆ¡1Å2t zÆ1¡4t . Khi đó mọiđiểm M2¢tacó MAÆMBÆMC.Giảthiếtcho M2(P)nên 2tÅ2(¡1Å2t)Å1¡4tÆ3,tÆ2 Vậy M(2;3;¡7). ä Bài75. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(5;¡2;2),B(3;¡2;6).Tìmtọađộđiểm M thuộcmặtphẳng (P):2xÅyÅz¡5Æ0saocho MAÆMB và ƒ MABÆ45 ± . -Lờigiải. Tọa độ trung điểm P của AB:P(4;¡2;4). Ta có #  APÆ(¡1;0;2). Phương trình mặt phẳng trung trực(Q)của ABquaP vàcóvec-tơpháptuyến #  AP.Vậy(Q):¡(x¡4)Å2(z¡4)Æ0,¡xÅ2z¡4Æ0. Phươngtrìnhgiaotuyếncủa(P)và(Q)quađiểmN(2;¡2;3)vàcóvctochỉphương #  uÆ £ #  n P , #  n Q ¤ Æ (2;¡5;1).Vậyphươngtrìnhđườngthẳnggiaotuyến d: ( xÆ2Å2t yÆ¡2¡5t zÆ3Åt . Gọi M2d)M(2Å2t;¡2¡5t;3Åt).Vì MAÆMBvà ƒ MABÆ45 ± nên4MABvuôngtại M) #  MA? #  MB) #  MA¢ #  MBÆ0. Tacó #  MAÆ(3¡2t;5t;¡1¡t), #  MBÆ(1¡2t;5t;3¡t).Dođó #  MA¢ #  MBÆ0,(3¡2t)(1¡2t)Å5t¢5tÅ(¡1¡t)(3¡t)Æ0, " tÆ0 tÆ 1 3 . Vậycóhaiđiểm M(2,¡2,3)hoặc M µ 8 3 ;¡ 11 3 ; 10 3 ¶ . ä Bài76. Chohaiđườngthẳng d 1 , d 2 cóphươngtrìnhlà(d 1 ): ( xÆ1Åt yÆ3¡t zÆt , d 2 : x¡3 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 1 , d là đường thẳng qua I(2;2;¡1) cắt d 1 , d 2 tại A và B. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủa d 2 : 8 < : xÆ3Åt 0 yÆ1Åt 0 zÆ¡2Åt 0 . Gọi A2d 1 )A(1Åt;3¡t;t).Gọi B2d 2 )B(3Åt 0 ;1Åt 0 ;¡2Åt 0 ).Khiđótacó #  ABÆ(t 0 ¡tÅ2;t 0 Åt¡ 2;t 0 ¡t¡2)và #  AIÆ(1¡t;¡1Åt;¡1¡t). d qua I(2;2;¡1)cắt d 1 , d 2 tại A vàBnêntacóbađiểm I,A,Bthẳnghàng,nghĩalà #  ABÆk¢ #  AI. Điềunàytươngđươngvới 8 < : t 0 ¡tÅ2Æk(1¡t) t 0 Åt¡2Æk(¡1Åt) t 0 ¡t¡2Æk(¡1¡t) , ( t 0 Æ0 tÆ0 kÆ2. Th.sNguyễnChínEm 548 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậy A(1;3;0) và B(3;1;¡2). Từ đó trung điểm M của AB trùng với điểm I(2;2;¡1). Khi đó mặt cầuđườngkính ABcó RÆAIÆ p 3.Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S):(x¡2) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ3. ä Bài77. Chod 1 : xÅ3 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ3 1 ,d 2 : x¡1 2 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡3 1 vàmặtphẳng(P):xÅ2yÅ2zÅ7Æ0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc d 1 , tiếp xúc với đường thẳng d 2 và mặt phẳng (P). -Lờigiải. Gọi I2d 1 )I(¡3Å2t;1Åt;¡3Åt). Đườngthẳng d 2 quađiểm A(1;¡1;3)vàcóvec-tơchỉphương #  uÆ(2;¡2;1).Tacó #  AIÆ(2t¡4;tÅ 2;t¡6)và h #  AI, #  u i Æ(¡3tÅ10;8;6t¡4). Tatính d(I,d 2 )Æ ¯ ¯ ¯ h #  AI, #  u i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ 3 p 5t 2 ¡12tÅ20 3 Æ p 5t 2 ¡12tÅ20. Tatính d(I,(P))Æ j¡3Å2tÅ2(1Åt)Å2(¡3Åt)Å7j p 1 2 Å2 2 Å2 2 Æ j6tj 3 Æ2jtj. Mặtcầu (S)tiếpxúcvớiđườngthẳng d 2 vàmặtphẳng (P)khivàchỉkhi d(I,d 2 )Æd(I,(P)), p 5t 2 ¡12tÅ20Æ2jtj,t 2 ¡12tÅ20Æ0, h tÆ10 tÆ2. Với tÆ10, mặt cầu (S) tâm I(17;11;7) và bán kính RÆ20 có phương trình (S):(x¡17) 2 Å(y¡ 11) 2 Å(z¡7) 2 Æ400. Với tÆ2, mặt cầu (S) tâm I(1;3;¡1) và bán kính RÆ4 có phương trình (S):(x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å (zÅ1) 2 Æ16. ä Bài78. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(1;1;1),B(¡1;0;2),C(0;¡1;0).Tìm tọađộđiểm D trêntiaOxsaochothểtíchkhốitứdiện ABCD bằng 1.Khiđóhãyviếtphương trìnhmặtcầungoạitiếptứdiện ABCD. -Lờigiải. VìD2OxnênD(m;0;0).Tacó #  ABÆ(¡2;¡1;1), #  ACÆ(¡1;¡2;¡1), #  ADÆ(m¡1;¡1;¡1), h #  AB, #  AC i Æ (3;¡3;3).Theođềbài,tacó V ABCD Æ1, 1 6 ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  AC i ¢ #  AD ¯ ¯ ¯Æ1, 1 6 j3(m¡1)¡3(¡1)Å3(¡1)jÆ1,mÆ3 Vậy D(3;0;0).Phươngtrìnhmặtcầungoạitiếptứdiện ABCD códạng x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 Thaytọađộbốnđiểm A, B, C, D vàophươngtrình,tađược 8 > > < > > : 1 2 Å1 2 Å1 2 ¡2a¡2b¡2cÅdÆ0 (¡1) 2 Å0 2 Å2 2 Å2a¡4cÅdÆ0 0 2 Å(¡1) 2 Å0 2 Å2bÅdÆ0 3 2 Å0 2 Å0 2 ¡6aÅdÆ0 , 8 < : aÆ2 bÆ¡2 cÆ3 dÆ3. Vậyphươngtrìnhmặtcầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ4y¡6zÅ3Æ0 ä Bài79. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;3;2), B(¡1;3;2), C(3;3;¡2) và mặt phẳng (P) : 2x¡2y¡zÅ11Æ 0. Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và (S) tiếpxúcvớimặtphẳng (P). -Lờigiải. Gọiphươngtrìnhmặtcầu (S)códạng x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 vớitâm I(a;b;c).Thaytọađộbađiểm A, B, C vàophươngtrìnhmặtcầu,tađược 8 < : 3 2 Å3 2 Å2 2 ¡6a¡6b¡4cÅdÆ0 (¡1) 2 Å3 2 Å2 2 Å2a¡6b¡4cÅdÆ0 3 2 Å3 2 Å(¡2) 2 ¡6a¡6bÅ4cÅdÆ0 , 8 < : aÆ1 bÆb cÆ0 dÆ¡16Å6b. Th.sNguyễnChínEm 549 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Ta có IA 2 Æ(a¡3) 2 Å(b¡3) 2 Å(c¡2) 2 Æb 2 ¡6bÅ17. Ngoài ra ta có d(I,(P))Æ j2a¡2b¡cÅ11j p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ j¡2bÅ13j 3 . Mặtcầu (S)tiếpxúcvớimặtphẳng (P)khi IA 2 Æd 2 (I,(P)),b 2 ¡6bÅ17Æ (¡2bÅ13) 2 9 , " bÆ2 bÆ¡ 8 5 . Vậycóhaimặtcầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2x¡4y¡4Æ0và (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ 16 5 y¡ 128 5 Æ0. ä Bài80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x¡1 1 Æ yÅ2 1 Æ z 1 và mặt phẳng (P):2xÅy¡2zÅ2Æ0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P)vàđiquađiểm A(2;¡1;0). -Lờigiải. Gọitâm I(1Åt;¡2Åt;t)2d.Tacó IA 2 Æ3t 2 ¡4tÅ2và d(I,(P))Æ j2(1Åt)¡2Åt¡2tÅ2j p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ jtÅ2j 3 . Mặtcầu (S)tiếpxúcvớimặtphẳng (P)khi IA 2 Æd 2 (I,(P)),3t 2 ¡4tÅ2Æ (tÅ2) 2 9 , " tÆ1 tÆ 7 13 . Với tÆ1,tacóphươngtrìnhmặtcầu (S):(x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ1. Với tÆ 7 13 ,tacóphươngtrìnhmặtcầu (S): µ x¡ 20 13 ¶ 2 Å µ yÅ 19 13 ¶ 2 Å µ z¡ 7 13 ¶ 2 Æ µ 11 13 ¶ 2 . ä Bài81. Chohaimặtphẳng(P):¡xÅyÅz¡1Æ0,(Q):¡2x¡2yÅzÅ3Æ0.Viếtphươngtrìnhmặt cầutâmthuộcmặtphẳng (P)bánkínhbằng 3vàtiếpxúcmặtphẳng (Q)tạiđiểm M cótung độbằng 1. -Lờigiải. Gọi M(a;1;b)2(Q).Tacó¡2a¡2ÅbÅ3Æ0,bÆ2a¡1.Dođó M(a;1;2a¡1). Gọi I làtâmmặtcầucầntìm.Tacóphươngtrìnhđườngthẳng IM: ( xÆa¡2t yÆ1¡2t zÆ2a¡1Åt. Vì I2IM)I(a¡2t;1¡2t;2a¡1Åt).Ngoàiravì I2(P)nêntacó ¡(a¡2t)Å1¡2tÅ2a¡1Åt¡1Æ0,tÆ1¡a Vậy I(3a¡2;2a¡1;a).Tacó #  IMÆ(2¡2a;2¡2a;a¡1).Màbánkính RÆIMÆ3nên (2¡2a) 2 Å(2¡2a) 2 Å(a¡1) 2 Æ9, h aÆ0 aÆ2. Với aÆ0,tacótâm I(¡2;¡1;0)và RÆ3nênphươngtrìnhmặtcầu (S):(xÅ2) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ9. VớiaÆ0,tacótâm I(4;3;2)vàRÆ3nênphươngtrìnhmặtcầu(S):(x¡4) 2 Å(y¡3) 2 Å(z¡2) 2 Æ9. ä Bài82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;0) và đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ zÅ1 ¡4 .Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)cótâm I vàcắt d tại 2điểm A,Bsaochodiệntích củatamgiác IAB bằng 12. -Lờigiải. Đườngthẳng d điquađiểm M(1;2;¡1)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;1;¡4). #  MIÆ(2;2;1); h #  u, #  MI i Æ(9;¡9;0)) ¯ ¯ ¯ h #  u, #  MI i¯ ¯ ¯Æ9 p 2. Tacó d(I,d)Æ ¯ ¯ ¯ h #  u, #  MI i¯ ¯ ¯ juj Æ 9 p 2 3 p 2 Æ3. Th.sNguyễnChínEm 550 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 S ¢IAB Æ 1 2 d(I,d)¢ABÆ12,ABÆ8. Gọi R làbánkínhmặtcầu (S). RÆ Ê d 2 (I,d)Å µ AB 2 ¶ 2 Æ Ê 3 2 Å µ 8 2 ¶ 2 Æ5. Vây (S): (x¡3) 2 Å(y¡4) 2 Åz 2 Æ25. ä Bài83. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(2;¡5;¡6)vàđườngthẳng¢: x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ zÅ1 ¡3 . 1 Tìmtọađộhìnhchiếuvuônggóccủa A lên¢. 2 Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiqua A vàcắt¢tại B saocho ABÆ p 35. -Lờigiải. Đườngthẳng¢cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;1;¡3). 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng¢, suy ra H(1Å2t;¡2Åt;¡1¡3t), #  AHÆ(¡1Å2t;3Åt;5¡3t). Tacó #  AH¢ #  uÆ #  0 ,¡2Å14tÅ3Åt¡15Å9tÆ0,tÆ1)H(3;¡1;¡4). 2 B2¢)B(1Å2m;¡2Åm;¡1¡3m), #  ABÆ(¡1Å2m;3Åm;5¡3m). Tacó ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ p 35 ,(¡1Å2m) 2 Å(3Åm) 2 Å(5¡3m) 2 Æ35 ,14m 2 ¡28mÆ0 , h mÆ0 mÆ2. Với mÆ0: #  ABÆ(¡1;3;5);phươngtrình AB: x¡2 ¡1 Æ yÅ5 3 Æ zÅ6 5 . Với mÆ2: #  ABÆ(3;5;¡1);phươngtrình AB: x¡2 3 Æ yÅ5 5 Æ zÅ6 ¡1 . ä Bài84. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;3;2) và đường thẳng ¢: x¡1 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡2 ¡1 . 1 Tínhkhoảngcáchtừđiểm A đếnđườngthẳng¢. 2 Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d điqua A,cắtvàvuônggócvới¢. -Lờigiải. Đườngthẳng¢qua B(1;¡1;2)vàcómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;¡3;¡1). 1 #  ABÆ(¡3;4;0), h #  AB, #  u i Æ(¡4;¡3;1). Tacó d(A,¢)Æ ¯ ¯ ¯ h #  AB, #  u i¯ ¯ ¯ j #  uj Æ p 26 p 14 Æ p 91 7 . 2 Gọi H làgiaođiểmcủađườngthẳng d và¢.Vì H2¢nên H(1Å2t;¡1¡3t;2¡t). ² #  AHÆ(¡3Å2t;¡4¡3t;¡t). Vì d qua A,cắtvàvuônggócvới¢nên #  AH¢ #  uÆ0,14tÅ6Æ0,tÆ ¡3 7 . #  AHÆ µ ¡ 27 7 ;¡ 19 7 ; 3 7 ¶ . ²Đườngthẳng d qua A(4;3;2)vànhận #  v Æ(27;19;¡3)làmvéc-tơchỉphương. Vậyphươngtrìnhđườngthẳng d: x¡4 27 Æ y¡3 19 Æ z¡2 ¡3 . Th.sNguyễnChínEm 551 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ä Bài85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), đường thẳng d: x 2 Æ y ¡1 Æ zÅ1 2 vàmặtphẳng (P): xÅ2y¡zÅ1Æ0. 1 Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d 0 làđườngthẳngđốixứngvới d qua (P). 2 Tìmtọađộhìnhchiếuvuônggóccủa A lên d 0 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;2;¡1). 1 Xéthệphươngtrình ( x 2 Æ y ¡1 Æ zÅ1 2 xÅ2y¡zÅ1Æ0 , ( ¡x¡2yÆ0 2yÅzÆ¡1 xÅ2y¡zÆ¡1 , ( xÆ2 yÆ¡1 zÆ1 . Đườngthẳng d cắtmặtphẳng (P)tạiđiểm B(2;¡1;1). Lấy C(0;0;¡1)2d. Gọi¢ là đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (P). Phương trìnhđườngthẳng¢: x 1 Æ y 2 Æ zÅ1 ¡1 . Gọi H làgiaođiểmcủa¢và (P).Tọađộ H lànghiệmhệ ( x 1 Æ y 2 Æ zÅ1 ¡1 xÅ2y¡zÅ1Æ0 , ( 2x¡yÆ0 yÅ2zÆ¡2 xÅ2y¡zÆ¡1 , 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ¡ 1 3 yÆ¡ 2 3 zÆ¡ 2 3 )H µ ¡ 1 3 ;¡ 2 3 ;¡ 2 3 ¶ . Gọi C 0 làđiểmđốixứngcủa C quamặtphẳng (P),suyra C 0 µ ¡ 2 3 ;¡ 4 3 ;¡ 1 3 ¶ . #  BC 0 Æ µ ¡ 8 3 ;¡ 1 3 ;¡ 4 3 ¶ . Gọi d 0 là đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng (P). Đường thẳng d 0 qua B(2;¡1;1) vànhận #  uÆ(8;1;4)làmvéc-tơchỉphương. Vậyphươngtrìnhđườngthẳng d 0 : x¡2 8 Æ yÅ1 1 Æ z¡1 4 . 2 Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(1;2;3) và nhận #  u Æ(8;1;4) làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trìnhmặtphẳng (Q): 8xÅyÅ4z¡22Æ0. Gọi K làgiaođiểmcủa (Q)vàđườngthẳng d 0 .Tọađộ K lànghiệmhệ ( x¡2 8 Æ yÅ1 1 Æ z¡1 4 8xÅyÅ4z¡22Æ0 , ( x¡8yÆ10 4y¡zÆ¡5 8xÅyÅ4zÆ22 , 8 > > > > > > < > > > > > > : xÆ 62 27 yÆ¡ 26 27 zÆ 31 27 . Vậy K µ 62 27 ;¡ 26 27 ; 31 27 ¶ . ä Bài86. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡y¡2zÆ 0 và điểm M(2;¡3;1).Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)điqua M vuônggócvới (P)vàtạovớimặtphẳng (Oyz)mộtgóc 45 ± . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;¡1;¡2). Gọi #  n Q Æ(a;b;c) ¡ với a 2 Åb 2 Åc 2 6Æ0 ¢ . Vì (P)?(Q)nên #  n P ¢ #  n Q Æ0,a¡b¡2cÆ0,aÆbÅ2c) #  n Q Æ(bÅ2c;b;c). Th.sNguyễnChínEm 552 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtphẳng (Oyz)cóvéc-tơpháptuyến #  n 1 Æ(1;0;0). Tacó ¯ ¯ cos ¡ #  n P , #  n Q ¢ ) ¯ ¯ Æcos45 ± , jbÅ2cj p (bÅ2c) 2 Åb 2 Åc 2 Æ p 2 2 , 2(bÅ2c) 2 Æ(bÅ2c) 2 Åb 2 Åc 2 , (bÅ2c) 2 ¡b 2 ¡c 2 Æ0 , (3cÅ4b)¢cÆ0 , h cÆ0 3cÅ4bÆ0 . ²Với cÆ0chọn bÆ1)aÆ1,nên #  n Q Æ(1;1;0). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q): xÅyÅ1Æ0. ²Với 3cÅ4bÆ0,chọn bÆ3và cÆ¡4,suyra aÆ¡5. MặtphẳngQ qua A(2;¡3;1)vàcómộtvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(¡5;3;¡4). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q): ¡5xÅ3y¡4zÅ23Æ0. ä Bài87. Chomặtphẳng(P): x¡yÅ2zÅ6Æ0vàhaiđườngthẳngd 1 : ( xÆ2Åt yÆ¡1Å2t zÆ¡3 ,d 2 : 8 < : xÆ5Å9t 0 yÆ10¡2t 0 zÆ1¡t 0 . Lập phương trình đường thẳng¢ cắt d 1 tại A, cắt d 2 tại B sao cho đường thẳng¢ song song vớimặtphẳng (P)vàkhoảngcáchtừ (¢)đến (P)bằng 3 p 6 . -Lờigiải. Cóhaimặtphẳngsongsongvới(P)vàcách(P)mộtkhoảngbằng 3 p 6 là(Q 1 ): x¡yÅ2zÅ3Æ0và (Q 2 ): x¡yÅ2zÅ9Æ0. Giao của (Q 1 ) với (d 1 ) là A(2;¡1;¡3) và giao (d 2 ) tại B(5;10;1) nên đường thẳng ¢ là x¡2 3 Æ yÅ1 11 Æ zÅ3 4 . Giao của (Q 2 ) với (d 1 ) là A(8;11;¡3) và giao (d 2 ) tại B µ ¡1; 34 3 ; 5 3 ¶ nên đường thẳng¢ là x¡8 27 Æ y¡11 ¡1 Æ zÅ3 ¡14 . ä Bài88. Cho hai điểm A(1;1;1); B(2;3;¡1) và đường thẳng (¢): x¡1 1 Æ y 1 Æ zÅ1 2 , mặt phẳng (P)x¡y¡zÅ2Æ0.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d cắt (P)tạiC,cắt¢tại D để ABCD làhình thangvuôngtại A và B. -Lờigiải. ABCD làhìnhthangvuôngtại AvàBnênD làgiaođiểmcủamặtphẳng(Q)qua Avuônggóc AB vớiđườngthẳng¢. (Q): xÅ2y¡2z¡1Æ0. Giaocủa (Q)và¢là D(3;2;3). Lạicó ABCD làhìnhthangcóhaiđáylà AD,CBnênđườngthẳng CBqua Bvàsongsongvới AD nênphươngtrìnhđườngthẳng CB là x¡2 2 Æ y¡3 1 Æ zÅ1 2 . Vậy C(2tÅ2;tÅ3;2t¡1). Do C2(P)nên tÆ2.Suyra C(6;5;3). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng d: ( xÆ3Åt yÆ2Åt zÆ3. ä Bài89. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng (d): x¡3 2 Æ yÅ2 1 Æ zÅ1 ¡1 và mặt phẳng (P): xÅyÅzÅ2Æ0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng¢ nằm trongmặtphẳng (P),vuônggócvới d đồngthờikhoảngcáchtừ M tới¢bằng p 42. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 553 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 M làgiaođiểmcủa (d)và (P)nên M(1;¡3;0). Đườngthẳng¢nằmtrên (P)vàvuônggócvới d nênchọnvtcpcủa¢là #  uÆ(2;¡3;1). Mặtcầutâm M bánkính p 42là (S). Gọi (Q)làmặtphẳngchứa (¢),vuônggócvới (P)vàtiếpxúcvới (S). (Q)chứa (¢),vuônggócvới (P)nênchọnvectơpháptuyếnlà #  nÆ(4;1;¡5). Vậyphươngtrình (Q): 4xÅy¡5zÅdÆ0. KhoảngcáchtừMđến¢bằng p 42tứclàd(M,¢)Æ p 42hay(Q)tiếpxúcvới(S), j4¡3Ådj p 4 2 Å1 2 Å5 2 Æ p 42, h dÆ41 dÆ¡43. . Suyra (Q): 4xÅy¡5zÅ41Æ0hoặc (Q): 4xÅy¡5z¡43Æ0. Khiđó¢làgiaotuyếncủa (Q)và (P)nêncóhaiđườngthẳng¢là¢: xÅ13 2 Æ y¡11 ¡3 Æ z 1 hoặc ¢: x¡15 2 Æ yÅ17 ¡3 Æ z 1 . ä Bài90. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng (d): x¡2 ¡1 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡1 1 và mặt cầu (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡1) 2 Æ 25. Viết phương trình đường thẳng ¢ đi qua điểm M(¡1;¡1;¡2)cắtđườngthẳng (d)vàcắtmặtcầu (S)tạihaiđiểm A và B saocho ABÆ8. -Lờigiải. (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ1) 2 Æ25cótâm I(¡1;2;1)vàbánkính RÆ5. ABÆ8,d(I,¢)Æ3. Gọi N(2¡t;1¡2t;1Åt)làgiaođiểmcủa (d)và¢. Khiđómộtvtcpcủa¢là #  MNÆ(3¡t;2¡2t;3Åt). d(I,¢)Æ3, ¯ ¯ ¯ h #  IM. #  MN i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  MN ¯ ¯ ¯ Æ3, p (3¡3t) 2 Å(9¡3t) 2 Å(3t¡9) 2 p (3¡t) 2 Å(2¡2t) 2 Å(3Åt) 2 Æ3,tÆ¡1 Vậy #  MNÆ(4;4;2)nênchọnvtcpcủa¢là #  uÆ(2;2;1). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng¢: xÅ1 2 Æ xÅ1 2 Æ zÅ2 1 . ä Bài91. TrongkhônggianvớihệtrụcOxyz,cho A(2;0;¡1),B(1;¡2;3),C(0;1;2). 1 Chứngminhrằng3điểm A,B,Ckhôngthẳnghàng.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(ABC). 2 TìmtọađộhìnhchiếuvuônggóccủaO lênmặtphẳng (ABC). -Lờigiải. 1 Có #  ABÆ (¡1;¡2;4), #  ACÆ (¡2;1;3) nên hai véc tơ #  AB, #  AC không cùng phương, suy ra 3 điểm A,B,C khôngthẳnghàng. Chọnvtptcủamặtphẳng (ABC)là #  nÆ¡ 1 5 h #  AB. #  AC i Æ(2;1;1). Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là 2xÅyÅz¡3Æ0. 2 ĐườngthẳngquaO vàvuônggócvới (ABC)là d: x 2 Æ y 1 Æ z 1 . Hìnhchiếu H củaO lên (ABC)làgiaocủa d và (ABC).Vậy H µ 1; 1 2 ; 1 2 ¶ . ä Bài92. Chohaiđiểm A(¡5;0;1); B(7;4;¡5)vàmặtphẳng (P): xÅ2y¡2zÆ0. 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầuđếnmặtphẳng (P). 2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S) đồng thời vuông góc với mặtphẳng (P).Tìmtọađộgiaođiểmcủa d và (P). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 554 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 Gọi I làtrungđiểmcủa AB,thìmặtcầu (S)cótâm I vàbánkính rÆ AB 2 ,tacó #  ABÆ(12;4;¡6)) ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯Æ14)rÆ 14 2 Æ7. Vì I làtrungđiểmcủa AB nên I cótọađộ I(1;2;¡2). Thaytọađộcủatâm I vàbánkính rÆ7tacóphươngtrìnhmặtcầu (S) (x¡1) 2 Å(y¡2) 2 Å(zÅ2) 2 Æ49. Khoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng (P)là d(I,(P))Æ j1Å2¢2¡2¢(¡2)j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ 9 3 Æ3. 2 Vectopháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n P Æ(1;2;¡2). Vìđườngthẳng d vuônggócvớimặtphẳng (P)nên #  u d Æ #  n P Æ(1;2;¡2). Đườngthẳng d điqua I(1;2;¡2)vàcóVTCP #  u d Æ(1;2;¡2). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng d là d: ( xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ¡2¡2t. Tọađộgiaođiểm C của d và (P)lànghiệmcủahệphươngtrình 8 > < > : xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ¡2¡2t xÅ2y¡2zÆ0 . )(1Åt)Å2(2Å2t)¡2(¡2¡2t)Æ0,9tÆ9,tÆ1Vậytọađộ C là C(2;4;¡4). ä Bài93. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trìnhlà d: ( xÆ¡3Å2t yÆ¡1Åt zÆ¡t , (P): x¡3yÅ2zÅ6Æ0. 1 Tìm tọa độ điểm A giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặtphẳng (Q)điquađiểm A,đồngthờivuônggócvớiđườngthẳng d. 2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(2;1;1), tiếp xúc với mp(P). Viết phương trình mặt phẳngtiếpdiệncủamặtcầu (S)biếtnósongsongvớimp(P). -Lờigiải. 1 Tọađộgiaođiểm A củađườngthẳng d vàmặtphẳng (P)lànghiệmcủahệphươngtrình 8 > < > : xÆ¡3Å2t yÆ¡1Åt zÆ¡t x¡3yÅ2zÅ6Æ0 ) 8 > < > : tÆ2 xÆ1 yÆ1 zÆ¡2 )A(1;1;¡2). Mặtphẳng (Q)vuônggócvớiđườngthẳng d nênVTCPcủa d bằngVTPTcủa (Q)) #  u d Æ #  n Q Æ(2;1;¡1). Mặtphẳng (Q)có #  n Q Æ(2;1;¡1)vàchứađiểm A(1;1;¡2)cóphươngtrìnhlà 2¢(x¡1)Åy¡1¡2¢(zÅ2)Æ0,2xÅy¡2z¡7Æ0. 2 Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)tâm I(2;1;1),tiếpxúcvớimp(P). Vì (S)tiếpxúcvớimp(P) )rÆd(I;(P))Æ j1¢2¡3¢1Å2¢1Å6j p 1 2 Å(¡3) 2 Å2 2 Æ 7 p 14 . Phươngtrìnhmặtcầu (S)códạng (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ 7 2 . Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) biết nó song song với Th.sNguyễnChínEm 555 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 mp(P). Gọimặtphẳngtiếpdiệncủa (S)làmặtphẳng (®). Vì (®)Ò(P)suyraphươngtrìnhmặtphẳng (®): x¡3yÅ2zÅdÆ0, d6Æ6. Lạicó d(I;(®))Ær , j1¢2¡3¢1Å2¢1Ådj p 14 Æ 7 p 14 , jdÅ1jÆ7 , h dÅ1Æ7 dÅ1Æ¡7 , · dÆ6(loại) dÆ¡8(thỏamãn). Phươngtrìnhmặtphẳng (®): x¡3yÅ2z¡8Æ0. ä Bài94. TrongkhônggianOxyz,cho A(¡1;2;¡1), B(2;1;¡1), C(3;0;1). 1 ViếtphươngtrìnhmặtcầuđiquabốnđiểmO, A, B, C vàxácđịnhtọađộtâm I củanó. 2 Tìmtọađộđiểm M saocho 3 #  AMÆ¡2 #  MC.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng BM. -Lờigiải. 1 PhươngtrìnhmặtcầuđiquabốnđiểmO, A, B, C códạng (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2ax¡2by¡2czÅdÆ0 VìO,A,B,C2(S)nêntacóhệphươngtrình 8 > < > : dÆ0 1Å2Å1Å2a¡4bÅ2cÅdÆ0 4Å1Å1¡4a¡2bÅ2cÅdÆ0 9Å1¡6a¡2zÅdÆ0 , 8 > < > : 2a¡4bÅ2cÆ¡4 ¡4a¡2bÅ2cÆ¡6 ¡6a¡2zÆ¡10 dÆ0 , 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : aÆ 9 8 bÆ 19 8 cÆ 13 8 dÆ0 Phươngtrìnhmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡ 9 4 x¡ 19 4 y¡ 13 4 zÆ0. Tâm I củamặtcầucótọađộlà I µ 9 8 ; 19 8 ; 13 8 ¶ . 2 Gọi M(x,y,z)) #  AMÆ(xÅ1;y¡2;zÅ1); #  MCÆ(3¡x;¡y;1¡z). Tacó 3 #  AMÆ¡2 #  MC, ( 3(xÅ1)Æ¡2(3¡x) 3(y¡2)Æ2y 3(zÅ1)Æ¡2(1¡z) , ( xÆ¡9 yÆ6 zÆ¡5 . Viếtphươngtrìnhđườngthẳng BM biết B(2;1;¡1); M(¡9;6;5). x¡2 ¡9¡2 Æ y¡1 6¡1 Æ zÅ1 5Å1 , x¡2 ¡11 Æ y¡1 5 Æ zÅ1 6 . ä Bài95. Chohaiđiểm A(0;1;¡4), B(1;0;¡5)vàđườngthẳng¢: x¡1 1 Æ y¡4 ¡4 Æ z¡1 ¡2 . 1 Viếtphườngtrìnhđườngthẳng AB vàchứngminhrằng AB và¢chéonhau. 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B đồng thời song song với đường thẳng¢.Tínhkhoảngcáchgiữađườngthẳng¢vàmặtphẳng (P). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 556 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 Viếtphườngtrìnhđườngthẳng AB vàchứngminhrằng AB và¢chéonhau. Đường thẳng AB có VTCP là #  u AB Æ #  ABÆ(1;¡1;¡1) và đi qua A(0;1;¡4), do đó phương trìnhđườngthẳng AB là AB: ( xÆt yÆ1¡t zÆ¡4¡t .Chứngminhrằng AB và¢chéonhau. Tacó #  u AB Æ(1;¡1;¡1); #  u ¢ Æ(1;¡4;¡2). £ #  u AB ; #  u ¢ ¤ Æ(¡2;1;¡3). Chọn C(1;4;1)2¢; #  ACÆ(1;3;5). Xét £ #  u AB ; #  u ¢ ¤ . #  ACÆ¡2Å3¡15Æ¡146Æ0. Suyra, #  u AB ; #  u ¢ ; #  AC khôngđồngphẳnghay AB và¢chéonhau. 2 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P). Vì A,B2(P)nên #  ABÆ(1;¡1;¡1)làVTCPcủa (P). Lạicó, (P)Ò¢nên #  u ¢ Æ(1;¡4;¡2)làVTCPcủa (P). Suyra #  n P Æ £ #  u AB ; #  u ¢ ¤ Æ(¡2;1;¡3). Mặtphẳng (P)cóptlà ¡2(x¡0)Åy¡1¡3(zÅ4)Æ0 , ¡2xÅy¡3z¡13Æ0 , 2x¡yÅ3zÅ13Æ0. Tínhkhoảngcáchgiữađườngthẳng¢vàmặtphẳng (P). Vì (P)Ò¢nêntacó d(¢;(P))Æd(C;(P))Æ j2¢1¡1¢4Å3¢1Å13j p 2 2 Å1 2 Å3 2 Æ 14 p 14 Æ p 14. ä Bài96. TrongkhônggianOxyz cho 4điểm A(¡1;1;1),B(5;1;¡1),C(2;5;2),D(0;¡3;1). 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (ABC).Từđóchứngminh ABCD làmộttứdiện. 2 Viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)cótâmlàđiểmD,đồngthờitiếpxúcvớimặtphẳng(ABC). Viếtphươngtrìnhtiếpdiệnvớimặtcầu (S)songsongvớimặtphẳng (ABC). -Lờigiải. 1 Tacó #  ABÆ(6;0;¡2), #  ACÆ(3;4;1). Đặt #  nÆ[ #  AB, #  AC]Æ(8;¡12;24).Mặtphẳng(ABC)điqua Avànhận #  n làmmộtvéc-tơpháp tuyếnnêncóphươngtrình 8(xÅ1)¡12(y¡1)Å24(z¡1)Æ0,2x¡3yÅ6z¡1Æ0. Thaytọađộcủa D vàophươngtrình (ABC),tađược 14Æ0(sai). Suyra DÝ(ABC),suyra ABCD làmộttứdiện. 2 Tacó d(D,(ABC))Æ j14j p 2 2 Å(¡3) 2 Å6 2 Æ2. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (ABC) nên có bán kính rÆd(D,(ABC))Æ2, suy ra phương trình (S)là x 2 Å(yÅ3) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Gọi (®)làtiếpdiệncầntìm, (®)Ò(ABC)nên (®)códạng 2x¡3yÅ6zÅmÆ0 (m6Æ¡1). Vì (®)tiếpxúc (S)nên d(D,(®))Æ2, j15Åmj 7 Æ2,j15ÅmjÆ14, h mÆ¡1 mÆ¡29. Đốichiếuđiềukiện,tanhận mÆ¡29.Vậy (®):2x¡3xÅ6z¡29Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 557 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài97. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(7;2;1),B(¡5;¡4;¡3) và mặt phẳng (P):3x¡2y¡6zÅ38Æ0 1 Viếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng AB.Chứngminhrằng ABÒ(P). 2 Viếtphươngtrìnhmặtcầu (S)cóđườngkínhlà AB. 3 Chứngminh (P)làtiếpdiệncủamặtcầu (S).Tìmtọađộtiếpđiểmcủa (P)và (S). -Lờigiải. 1 Tacó #  ABÆ(¡12;¡6;¡4).Chọn #  v Æ(6;3;2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa AB.Dođó,đường thẳng AB cóphươngtrìnhthamsốlà ( xÆ7Å6t yÆ2Å3t zÆ1Å2t. (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(3;¡2;¡6).Tacó #  v¢ #  nÆ6¢3Å3¢(¡2)Å2¢(¡6)Æ0. Suyra #  v ? #  n)ABÒ(P). 2 Gọi I làtrungđiểm AB,khiđó I làtâmmặtcầuđườngkính AB.Tacó 8 > > > > > < > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ1 y I Æ y A Åy B 2 Æ¡1 z I Æ z A Åz B 2 Æ¡1 )I(1;¡1;¡1). Mặtcầu (S)tâm I vàcóbánkính RÆ AB 2 Æ p (¡12) 2 Å(¡6) 2 Å(¡4) 2 2 Æ7nên (S)cóphương trình (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(zÅ1) 2 Æ49. 3 Tacó d(I,(P))Æ j3Å2Å6Å38j p 3 2 Å(¡2) 2 Å(¡6) 2 Æ7ÆR. Suyra (P)làtiếpdiệncủamặtcầu (S). Gọi¢ là đường thẳng qua I và vuông góc (P). Khi đó,¢ nhận #  n P Æ(3;¡2;¡6) làm véc-tơ chỉphương,dođó¢cóphươngtrình ( xÆ1Å3t yÆ¡1¡2t zÆ¡1¡6t. Gọi H làgiaođiểmcủa (P)và¢thì H làtiếpđiểmcầntìm.Tọađộ H thỏamãn 3(1Å3t)¡2(¡1¡2t)¡6(¡1¡6t)Å38Æ0,tÆ¡1. Thay tÆ¡1tađược H(¡2;1;5)làtiếpđiểmcầntìm. ä Bài98. Chohaiđiểm A(3;1;¡1),B(2;¡1;4)vàmặtphẳng (P):2x¡yÅ3z¡1Æ0. 1 Viếtphươngtrìnhđườngthẳng AB vàphươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB. 2 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(Q)chứahaiđiểm A,B,đồngthờivuônggócvớimặtphẳng (P). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 558 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 Đường thẳng AB đi qua A(3;1;¡1) và nhận véc-tơ #  ABÆ(¡1;¡2;5) làm véc-tơ chỉ phương nêncóphươngtrìnhlà ( xÆ3¡1 yÆ1¡2t zÆ¡1Å5t Gọi I làtrungđiểm AB,khiđó I làtâmmặtcầuđườngkính AB.Tacó 8 > > > > > > < > > > > > > : x I Æ x A Åx B 2 Æ 5 2 y I Æ y A Åy B 2 Æ0 z I Æ z A Åz B 2 Æ 3 2 )I µ 5 2 ;0; 3 2 ¶ . Mặtcầu (S)tâm I,bánkính rÆ AB 2 Æ p (¡1) 2 Å(¡2) 2 Å5 2 2 Æ p 30 2 cóphươngtrìnhlà µ x¡ 5 2 ¶ 2 Åy 2 Å µ z¡ 3 2 ¶ 2 Æ 15 2 . 2 (P)cóvec-tơpháptuyến #  n P Æ(2;¡1;3). (Q) đi qua A(3;1;¡1) và nhận một véc-tơ pháp tuyến #  n Æ [ #  AB, #  n (P) ]Æ (¡1;13;5) nên có phươngtrìnhlà ¡(x¡3)Å13(y¡1)Å5(zÅ1)Æ0,x¡13y¡5zÅ5Æ0. ä Bài99. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A(¡1;1;2),B(0;1;1) và C(1;0;4). 1 Chứngminh4ABC làtamgiácvuông.Xácđịnhtọađộđiểm D để 4điểm A,B,C,D là 4 đỉnhcủamộthìnhchữnhật. 2 Gọi M làđiểmthỏamãn #  MBÆ2 #  MC.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm M và vuônggócvớiđườngthẳng BC.Viếtphươngtrìnhmặtcầutâm A,tiếpxúcvới (P). 1 Tacó #  ABÆ(1;0;¡1), #  ACÆ(2;¡1;2). #  AB¢ #  ACÆ1¢2Å0¢(¡1)Å(¡1)¢2Æ0) #  AB? #  AC. Suyra4ABC vuôngtại A. A,B,C,D là 4đỉnhcủahìnhchữnhậtkhivàchỉkhi ABDC làhìnhbìnhhành. , #  ABÆ #  CD, ( x D ¡x c Æ1 y D ¡y C Æ0 z D ¡z C Æ¡1 , ( x D Æ1Åx C y D Æy C z D Æ¡1Åz C , ( x D Æ2 y D Æ0 z D Æ3. Vậy D(2;0;3). 2 Từgiảthiếtsuyra C làtrungđiểm MB,suyra ½ x M Æ2x C ¡x B y M Æ2y C ¡y B , ( x M Æ2 y M Æ¡1 z M Æ7 )M(2;¡1;7). Ta có #  BCÆ(1;¡1;3). Mặt phẳng (P) qua M và nhận #  BC làm véc-tơ pháp tuyến nên có phươngtrình (x¡2)¡(yÅ1)Å3(z¡7)Æ0,x¡yÅ3z¡24Æ0. Tacó d(A,(P))Æ j¡1¡1Å6¡24j p 1 2 Å(¡1) 2 Å3 2 Æ 20 p 11 . Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc (P) nên có bán kính RÆd(A,(P))Æ 20 p 11 , do đó (S) có phương trình (xÅ1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡2) 2 Æ 400 11 . Th.sNguyễnChínEm 559 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài100. TrongkhônggianvớhệtoạđộOxyz,chođườngthẳng¢vàmặtphẳng®lầnlượtcó phươngtrình¢: x¡3 1 Æ y¡2 1 Æ zÅ3 3 ;(®):2xÅy¡zÅ1Æ0. 1 Chứng minh rằng đường thẳng¢ song song với mặt phẳng (®). Tính khoảng cách từ¢ đếnmặtphẳng (®). 2 Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng¢ và mặt phẳng (Oxy). Viết phương trình mặt cầutâm A,tiếpxúcvớimặtphẳng (®). -Lờigiải. 1 ¢cóvéc-tơchỉphương #  u ¢ Æ(1;1;3)vàđiqua M(3;2;¡3). (®)cóvéc-tơpháptuyến #  n (®) Æ(2;1;¡1).Tacó #  u ¢ ¢ #  n ® Æ1¢2Å1¢1Å3¢(¡1)Æ0) #  u ¢ ? #  n ® )¢Ò(®). Tacó d(¢,(®))Æd(M,(®))Æ j2¢3Å2Å3Å1j p 2 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Æ2 p 6. 2 Giaođiểm A của¢và (Oxy)cótọađộthỏamãn ( x¡3 1 Æ y¡2 1 Æ zÅ3 3 zÆ0 ) 8 > > > < > > > : x¡3 1 Æ1 y¡2 1 Æ1 zÆ0 ) ( xÆ4 yÆ3 zÆ0 )A(4;3;0). Mặtcầu (S)tâm A cóbánkính RÆd(A,(®))Æ2 p 6nêncóphươngtrình (x¡4) 2 Å(y¡3) 2 Åz 2 Æ24. ä Bài101. Trong không gian Oxyz, cho đường thằng d: x¡2 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡1 3 và mặt phẳng (P): x¡yÅ3zÅ2Æ0 1 Tìmgiaođiểmcủa d và (P). 2 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)chứađườngthẳng d vàvuônggócvới (P). -Lờigiải. 1 Đườngthẳng d cóphươngtrìnhthamsố ( xÆ2Åt yÆ¡1Å2t zÆ1Å3t. Giaođiểmcủa d và (P)cóthamsố tthỏamãn (2Åt)¡(¡1Å2t)Å3(1Å3t)Å2Æ0,tÆ¡1. Với tÆ¡1tađược xÆ1; yÆ¡3;zÆ¡2.Vậygiaođiểmcủa d và (P)là A(1;¡3;¡2). 2 d có véc-tơ chỉ phương #  u d Æ(1;2;3) và đi qua M(2;¡1;1), mặt phẳng (®) có véc-tơ pháp tuyến #  n (®) Æ(1;¡1;3). Vì (Q)chứa d vàvuônggóc (®)nên (Q)qua M vàcóvéc-tơpháptuyến #  n (Q) Æ[ #  u d , #  n (P) ]Æ(9;0;¡3). Dođó (P)cóphươngtrình 9(x¡2)¡3(z¡1)Æ0,3x¡z¡5Æ0. ä Bài102. Chođiểm A(1;2;¡3)vàhaimặtphẳng (P):2x¡yÅ2z¡1Æ0và (Q):xÅ6yÅ2zÅ5Æ0. 1 Xácđịnhgócgiữahaimặtphẳng. Th.sNguyễnChínEm 560 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 Lậpphươngtrìnhđườngthẳng d qua A vàsongsongvớihaimặtphẳng. -Lờigiải. 1 (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n (P) Æ(2;¡1;2), (Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n (Q) Æ(1;6;2).Tacó #  n (P) ¢ #  n (Q) Æ2¢1Å(¡1)¢6Å2¢2Æ0 Suyra (P)?(Q))((P),(Q))Æ90 ± . 2 Đặt #  uÆ[ #  n (P) , #  n (Q) ]Æ(¡14;¡2;13). Khiđó, d qua A vànhận #  u làmvéc-tơchỉphương,suyra d cóphươngtrình ( xÆ1¡14t yÆ2¡2t zÆ¡3Å13t. ä Bài103. Chomặtphẳng (P)cóphươngtrình 2x¡yÅ2z¡1Æ0vàđiểm A(1;3;¡2). 1 Tìmtọađộhìnhchiếucủa A trênmặtphẳng (P). 2 Viếtphươngtrìnhmặtcầutâm A vàđiquagốctọađộO. -Lờigiải. 1 Gọidlàđườngthẳngqua Avàvuônggócvới(P).Khiđódnhận #  n (P) Æ(2;¡1;2)làmvéc-tơ chỉphương.Suyra d cóphươngtrình ( xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ¡2Å2t. Gọi H làgiaođiểmcủa d và (P)thì H làhìnhchiếucủa A lên (P).Tọađộ H thỏamãn 2(1Å2t)¡(3¡t)Å2(¡2Å2t)¡1Æ0,tÆ 2 3 . Với tÆ 2 3 tađược xÆ 7 3 ; yÆ 7 3 ;zÆ¡ 2 3 .Vậy H µ 7 3 ; 7 3 ;¡ 2 3 ¶ . 2 Tacó #  OAÆ(1;3;¡2))OAÆ p 1 2 Å3 2 Å(¡2) 2 Æ p 14. Mặtcầu (S)tâm A vàđiquaO cóbánkínhbằngOA,dođó (S)cóphươngtrình (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ2) 2 Æ14. ä Bài104. TrongkhônggianOxyz chohaiđườngthẳng d: x¡1 9 Æ y¡6 6 Æ z¡3 3 ,d 0 : ( xÆ7Å6t yÆ6Å4t zÆ5Å2t. 1 Xétvịtrítươngđốicủahaiđườngthẳng d và d 0 . 2 Lậpphươngtrìnhmặtphẳngchứahaiđườngthằng d và d 0 . -Lờigiải. 1 dquađiểm A(1;6;3)vàcóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(9;6;3), d 0 quađiểmB(7;6;5)vàcóvéc-tơ chỉphương #  u 2 Æ(6;4;2).Tacó [ #  u 1 ; #  u 2 ]Æ #  0 Suyra #  u 1 và #  u 2 cùngphương.Mặtkhácthaytọađộ A vào d 0 tađược ( 1Æ7Å6t 6Æ6Å4t 3Æ5Å2t , ( tÆ¡1 tÆ0 tÆ¡1 (Vôlí). Suyra AÝd 0 .Vậy dÒd 0 . Th.sNguyễnChínEm 561 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 Tacó #  ABÆ(6;0;2).Đặt #  nÆ[ #  AB, #  u 1 ]Æ(¡12;0;36). Goi (®) là mặt phẳng chứa d và d 0 . Khi đó (®) qua A và nhận #  n làm véc-tơ pháp tuyến, dođó (®)cóphươngtrình¡12(x¡1)Å36(z¡3)Æ0,x¡3zÅ8Æ0. ä Bài105. Chomặtcầu(S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ4z¡3Æ0vàhaiđườngthẳng¢ 1 : n xÅ2y¡2Æ0 x¡2zÆ0 vࢠ2 : x¡1 ¡1 Æ y 1 Æ z ¡1 . 1 Chứngminh¢ 1 vࢠ2 chéonhau. 2 Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng¢ 1 vࢠ2 . -Lờigiải. 1 Đặt xÆ2tthìtađưa¢ 1 vềdạngthamsốlà ( xÆ2t yÆ1¡t zÆt . ¢ 1 qua A(0;1;0) và có véc-tơ chỉ phương #  u 1 Æ(2;¡1;1), ¢ 2 qua B(1;0;0) và có véc-tơ chỉ phương #  u 2 Æ(¡1;1;¡1).Tacó #  ABÆ(1;¡1;0).Xét [ #  u 1 , #  u 2 ]¢ #  ABÆ(0;1;1)¢(1;¡1;0)Æ¡16Æ0. Vậy¢ 1 vࢠ2 chéonhau. 2 Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;¡2)vàbánkính RÆ3. Gọi (®) là tiếp diện cần tìm. Vì (®) song song với¢ 1 vࢠ2 nên (®) nhận [ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(0;1;1) làmvéc-tơpháptuyến.Suyraphươngtrình (®)códạng yÅzÅmÆ0. Vì (®)tiếpxúcvới (S)nên d(I,(®))ÆR, j¡1Å(¡2)Åmj p 1 2 Å1 2 Æ3, jm¡3j p 2 Æ3, · mÆ3Å3 p 2 mÆ3¡3 p 2. Vậy (S)cóhaitiếpdiệnlà (® 1 ):yÅzÅ3Å3 p 2Æ0và (® 2 ):yÅzÅ3¡3 p 2Æ0. ä Bài106. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchođiểmB(¡1;2;¡3)vàmặtphẳng (®):xÅ2y¡ 2zÅ5Æ0. 1 Tínhkhoảngcáchtừđiểm B đếnmặtphẳng (®). 2 Viếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngđiqua B vàvuônggócvớimặtphẳng (®). -Lờigiải. 1 Tacó d(M;(®))Æ j¡1Å2¢2¡2¢(¡3)Å5j p 1 2 Å2 2 Å(¡2) 2 Æ 14 3 . 2 Đường thẳng¢ qua B và vuông góc (®) nên nhận #  n (®) Æ(1;2;¡2) làm véc-tơ chỉ phương. Dođó¢cóphươngtrình ( xÆ¡1Åt yÆ2Å2t zÆ¡3¡2t. ä Bài107. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchomặtcầu (S):x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4xÅ2yÅ4z¡7Æ0 vàmặtphẳng (®):x¡2yÅ2zÅ3Æ0. 1 Tínhkhoảngcáchtừtâm I củamặtcầu (S)tớimặtphẳng (®). Th.sNguyễnChínEm 562 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 2 Viết phương trình mặt phẳng (¯) song song với mặt phẳng (®) và tiếp xúc với mặt cầu (S). -Lờigiải. 1 Mặtcầu S cótâm I(2;¡1;¡2)vàbánkính RÆ4 d(I;(®))Æ j2¡2¢(¡1)Å2¢(¡2)Å3j p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ 3 3 Æ1. 2 Mặt phẳng (¯) song song với (®) có dạng x¡2yÅ3zÅmÆ0, (m6Æ3). Vì (¯) tiếp xúc (S) nên d(I;(¯))ÆR, j2¡2¢(¡1)Å2¢(¡2)Åmj p 1 2 Å(¡2) 2 Å2 2 Æ4, jmj 3 Æ4, h mÆ12 mÆ¡12. Vậycóhaimặtphẳngthỏamãnyêucầulà(¯ 1 ):x¡2yÅ2zÅ12Æ0và(¯ 2 ):x¡2yÅ2z¡12Æ0. ä Bài108. Trong không gian Oxyz cho đường thằng ¢: x¡2 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z ¡1 và mặt phẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0.Gọi I làgiaođiểmcủa¢và (P).Tìmtọađộđiểm M thuộc (P)saocho MI vuông góc¢và MIÆ4 p 14. -Lờigiải. ¢cóphươngtrìnhthamsốlà ( xÆ2Åt yÆ¡1¡2t zÆ¡t. Giaođiểm I của¢và (P)thỏamãn (2Åt)Å(¡1¡2t)Å(¡t)¡3Æ0,tÆ¡1. Với tÆ¡1,tađược xÆ1; yÆ1;zÆ1.Suyra I(1;1;1). Gọi d làđườngthẳngđiqua I,chứatrong (P)vàvuônggócvới¢. ¢cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ Æ(1;¡2;¡1), (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(1;1;1). Suyra d cóvéc-tơchỉphương #  u d Æ[ #  u ¢ , #  n (P) ]Æ(¡1;¡2;3).Từđótacóphươngtrình d nhưsau ( xÆ1¡t yÆ1¡2t zÆ1Å3t. Điểm M2d nêntaviết M(1¡t;1¡2t;1Å3t),(M2R).Tacó #  IMÆ(¡t;¡2t;3t))IMÆ p (¡t) 2 Å(¡2t) 2 Å(3t) 2 Æ p 14t 2 . Theođềbàitacó MIÆ4 p 14, p 14t 2 Æ4 p 14,jtjÆ4, h tÆ4 tÆ¡4. Với tÆ4,tađược M 1 (¡3;¡7;13),với tÆ¡4tađược M 2 (5;9;¡11). ä Bài109. Cho (P):2xÅy¡zÆ0;d : x¡4 1 Æ y 1 Æ z ¡3 ;¢: x¡3 1 Æ y 2 Æ zÅ1 2 . Tìm M2(P),N2d sao cho M và N đốixứngnhauqua¢. -Lờigiải. Gọi H là hình chiếu của N lên¢. Vì M và N đối xứng nhau qua¢ nên H là trung điểm của MN.Phươngtrìnhthamsốcủa d và¢lầnlượtlà d: ( xÆ4Åt yÆt zÆ¡3t , ¢: ( xÆ3Ås yÆ2s zÆ¡1Å2s. Vì N2d nên N(4Åt;t;¡3t), H2¢nên H(3Ås;2s;¡1Å2s).Vì H làtrungđiểm MN nên 8 > > > > > < > > > > > : x H Æ x M Åx N 2 y H Æ y M Åy N 2 z H Æ z M Åz N 2 , ( x M Æ2x H ¡x N y M Æ2y H ¡y N z M Æ2z H ¡z N , ( x M Æ2s¡tÅ2 y M Æ4s¡t z M Æ4sÅ3t¡2. Th.sNguyễnChínEm 563 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Suyra M cótọađộ M(2s¡tÅ2;4s¡t;4sÅ3t¡2).Theođềbàitacó ½ #  NH¢ #  u ¢ Æ0 M2(P) ) n s¡t¡1Å2(2s¡t)Å2(2sÅ3t¡1)Æ0 2(2s¡tÅ2)Å4s¡t¡(4sÅ3t¡2)Æ0 ) n 3sÅtÆ1 4s¡6tÆ¡6. Giảihệphươngtrìnhtađược sÆ0;tÆ1,suyra M(1;¡1;1)và N(5;1;¡3). ä Bài110. Cho đường thẳng (d): x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z ¡1 và mặt phẳng (P): xÅ2y¡2zÆ0. Gọi A là điểm trên d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1; B là điểm trên mặt phẳng (P) sao cho AB vuônggócvới d và AB cóđộdàinhỏnhất.Tìmtoạđộ A và B. -Lờigiải. Gọi I(1Å2t;¡2Åt;¡t)2(d). Khi I làgiaođiểmcủa (d)và (P),tađược (1Å2t)Å2(¡2Åt)¡2(¡t)Æ0,tÆ 1 2 )I µ 2;¡ 3 2 ;¡ 1 2 ¶ . Vì ( B2(P) AB?(d) AB nhỏnhất nên B2(¢)Æ(Q)\(P)trongđó ½ (Q)?(P) (d)½(Q). Tacó #  n (Q) Æ £ #  u (d) , #  n (P) ¤ Æ(0;1;1). Tacó #  u (¢) Æ £ #  n (P) , #  n (Q) ¤ Æ(4;¡1;1).Tađược B µ 2Å4t;¡ 3 2 ¡t;¡ 1 2 Åt ¶ . Gọi A(1Å2m;¡2Åm;¡m)2(d). Tacó d(A,(P))Æ1, j1Å2m¡4Å2mÅ2mj 3 Æ1, h mÆ0 mÆ1. ² Với mÆ0,tađược A(1;¡2;0). Tacó #  ABÆ(1Å4t;¡ 1 2 ¡t;¡ 1 2 Åt). Vì AB?(d)nên #  AB¢ #  u (d) Æ0,tÆ¡ 1 2 )B(0;¡1;¡1) ² Với mÆ1,tađược A(3;¡1;¡1). Tacó #  ABÆ(¡2Å4t; 3 2 ¡t; 1 2 Åt). Vì AB?(d)nên #  AB¢ #  u (d) Æ0,tÆ 1 2 )B(4;¡2;0). ä Bài111. Chocácđiểm A(¡1;¡1;¡2), B(0;1;1)vàmặtphẳng (P): xÅyÅz¡1Æ0. 1 Tìmtoạđộhìnhchiếuvuônggóccủa A trên (P). 2 Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (Q)điqua A,B vàvuônggócvới (P). -Lờigiải. 1 Gọi (¢)làđườngthẳngqua A vàvuônggócvới (P).Tađược (¢): ( xÆ¡1Åt yÆ¡1Åt zÆ¡2Åt. Gọi H làhìnhchiếucủa A lên (P).Tađược HÆ(¢)\(P). Khiđó,tacó 8 > < > : xÆ¡1Åt yÆ¡1Åt zÆ¡2Åt xÅyÅz¡1Æ0 , 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : xÆ 2 3 yÆ 2 3 zÆ¡ 1 3 tÆ 5 3 )H µ 2 3 ; 2 3 ;¡ 1 3 ¶ . 2 Gọi #  n (Q) làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q). Tacó ½ #  ABÆ(1;2;3) #  n (P) Æ(1;1;1) ) #  n (Q) Æ h #  AB, #  n (P) i Æ(¡1;2;¡1). Tađược (Q): x¡2yÅzÅ1Æ0. Th.sNguyễnChínEm 564 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ä Bài112. Cho đường thẳng ¢: x¡1 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡1 3 và hai điểm A(2;1;1),B(1;1;0). Tìm điểm M2(¢)saocho4AMB códiệntíchnhỏnhất. -Lờigiải. Tacó M(1Åt;¡1¡2t;1Å3t)2(¢). Tađược ( #  AMÆ(t¡1;¡2t¡2;3t) #  ABÆ(¡1;0;¡1) .Tađược h #  AM, #  AB i Æ(2tÅ2;¡2t¡1;¡2t¡2). Tacó S 4MAB Æ 1 2 p (2tÅ2) 2 Å(2tÅ1) 2 Å(2tÅ2) 2 Æ 1 2 Ê 12 µ tÅ 5 6 ¶ 2 Å 2 3 ¸ 1 p 6 . (1) Đẳngthức (1)xảyra,tÆ¡ 5 6 .Khiđó,tađược M µ 1 6 ; 2 3 ;¡ 3 2 ¶ . ä Bài113. Chođiểm M(¡1;4;1)vàđườngthẳng (¢): x¡2 4 Æ y¡1 1 Æ z¡1 1 .Viếtphươngtrìnhmặt phẳng (P)quađiểm M vàsongsongvớiđườngthẳng (¢).Biết d(¢;(P))Æ3. -Lờigiải. Gọi #  n (P) Æ(A;B;C), (A 2 ÅB 2 ÅC 2 È0)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Tacó (P)Ò(¢), #  n (P) ¢ #  u (¢) Æ0,4AÅBÅCÆ0,CÆ¡4A¡B. Tađược (P): AxÅBy¡(4AÅB)zÅ5A¡3BÆ0. Tacó N(2;1;1)2(¢).Vì (P)Ò(¢)nên d((¢);(P))Æd(N;(P))Æ3.Tađược j3A¡3Bj p A 2 ÅB 2 Å(4AÅB) 2 Æ3 , jA¡BjÆ p 17A 2 Å2B 2 Å8AB , 16A 2 Å10ABÅB 2 Æ0 , 2 6 6 4 AÆ¡ 1 2 B AÆ¡ 1 8 B. Với AÆ¡ 1 2 B,tađược (P): x¡2y¡2zÅ11Æ0. Với AÆ¡ 1 8 B,tađược (P): x¡8yÅ4zÅ29Æ0. ä Bài114. Cho(d): x¡2 4 Æ y¡3 2 Æ zÅ3 1 và(P): ¡xÅyÅ2zÅ5Æ0.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (¢)nằmtrong (P),songsongvới (d)vàcách (d)mộtkhoảngbằng p 14. -Lờigiải. Tacó ½ M(2;3;¡3)2(d) #  u (d) Æ(4;2;1). Tathấy ½ M(2;3;¡3)2(P) #  u (d) ¢ #  n (P) Æ0 )(d)½(P). Gọi (d 1 )làđườngthẳngqua M(2;3;¡3)vàvuônggóc (d). Tađược #  u (d 1 ) Æ £ #  u (d) , #  n (P) ¤ Æ(3;¡9;6). Tacó (d 1 ): ( xÆ2Åt yÆ3¡3t zÆ¡3Å2t. Tathấy A(2Åt;3¡3t;¡3Å2t)2(d 1 ).Tađược #  MAÆ(t;¡3t;t). Tacó AMÆ p 14,14t 2 Æ14,tÆ¡1_tÆ1. Tacó (¢)cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(4;2;1)vàđiquađiểm A. Với tÆ¡1,tađược A(1;6;¡5),khiđó (¢): ( xÆ1Å4t yÆ6Å2t zÆ¡5Åt. Với tÆ1,tađược A(3;0;¡1),khiđó (¢): ( xÆ3Å4t yÆ2t zÆ¡1Åt. ä Th.sNguyễnChínEm 565 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài115. Chohaiđườngthẳng(¢ 1 ): x¡4 ¡2 Æ y¡3 ¡1 Æ z 2 ;(¢ 2 ): x ¡2 Æ y¡3 1 Æ z¡3 1 vàđiểmM(4;5;¡1). Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(¢)quaMvàcắt(¢ 1 ),(¢ 2 )lầnlượttại A,BsaochoMAÆ2MB. -Lờigiải. Tacó ½ A(4¡2t 1 ;3¡t 1 ;t 1 )2(¢ 1 ) B(¡2t 2 ;3Åt 2 ;3Åt 2 )2(¢ 2 ) ) ½ #  MAÆ(¡2t 1 ;¡t 2 ¡2;2t 1 Å1) #  MBÆ(¡2t 2 ¡4;t 2 ¡2;t 2 Å4) . Tacó MAÆ2MB, · #  MAÆ2 #  MB (1) #  MAÆ¡2 #  MB. (2) Từ (1)tađược ( ¡2t 1 Æ¡4t 2 ¡8 ¡t 1 ¡2Æ2t 2 ¡4 2t 1 Å1Æ2t 2 Å8 , ( t 1 Æ3 t 2 Æ¡ 1 2 ) 8 < : A(¡2;0;6) B µ 1; 5 2 ; 5 2 ¶ ) #  MAÆ(¡6;¡5;7). Đườngthẳng (¢)qua M cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡6;¡5;7)códạng ( xÆ4¡6t yÆ5¡5t zÆ¡1Å7t. Từ (2)tađược ( ¡2t 1 Æ4t 2 Å8 ¡t 1 ¡2Æ¡2t 2 Å4 2t 1 Å1Æ¡2t 2 ¡8 , ( t 1 Æ¡5 t 2 Æ 1 2 ) 8 < : A(14;8;¡10) B µ ¡1; 7 2 ; 7 2 ¶ ) #  MAÆ(10;3;¡9). Đườngthẳng (¢)qua M cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(10;3;¡9)códạng ( xÆ4Å10t yÆ5Å3t zÆ¡1¡9t. ä Bài116. Chođiểm M(2;1;1)vàmặtphẳng (®): xÅyÅz¡4Æ0vàmặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡6x¡ 6y¡8zÅ18Æ0. Viết phương trình đường thẳng (¢) qua M, nằm trong mặt phẳng (®) và cắt mặtcầu (S)theomộtđoạnthẳngcóđộdàinhỏnhất. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(3;3;4)vàbánkính RÆ4. Tacó d(I;(®))Æ j3Å3Å4¡4j p 3 Æ2 p 3ÇR)(®)cắt (S)theođườngtròngiaotuyến (C). Gọi (d)làđườngthẳngqua I vàvuônggóc (®)códạng (d): ( xÆ3Åt yÆ3Åt zÆ4Åt. Gọi J làtâmđườngtròn (C),tađược JÆ(d)\(S))J(1;1;2). Tacó #  MIÆ(1;2;3))MIÆ p 14ÇR)M thuộcmiềntrongcủađườngtròn (C). Dovậy,tacó (¢)cắt (S)thoảđềbài , (¢)cắt (C)theodâycungngắnnhất , (¢)?MJ , #  u (¢) Æ h #  MJ, #  n (®) i , #  u (¢) Æ(¡1;2;¡1). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng (¢): ( xÆ2¡t yÆ1Å2t zÆ1¡t. ä Bài117. Chohaimặtphẳng(®): 2xÅyÅz¡9Æ0,(¯): ¡xÅy¡zÅ8Æ0vàmặtcầu(S): (x¡4) 2 Å (y¡3) 2 Åz 2 Æ10. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S). Biết rằng (P)?(¯) và tan((P);(®))Æ p 11. -Lờigiải. Gọi #  nÆ(A;B;C),(A 2 ÅB 2 ÅC 2 È0)làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Tacó (P)?(¯), #  n¢ #  n (P) Æ0,¡AÅB¡CÆ0,BÆAÅC) n A6Æ0 C6Æ0. Tacó tan((P);(®))Æ p 11 ) cos 2 ((P);(®))Æ 1 12 , (2AÅAÅCÅC) 2 6 £ A 2 Å(AÅC) 2 ÅC 2 ¤Æ 1 12 Th.sNguyễnChínEm 566 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 , 16A 2 Å20ACÅ6A 2 Æ0 , 2 6 6 4 A C Æ¡ 1 2 A C Æ¡ 3 4 . ² Với A C Æ¡ 1 2 ,tađược ( AÆ1 BÆ¡1 CÆ¡2 .Khiđó,tađược (P): x¡y¡2zÅDÆ0. Mặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tâm I(4;3;0)bánkính RÆ p 10tađược d(I,(P))ÆR , jDÅ1j p 6 Æ p 10 , DÆ¡1§2 p 15. Vậy (P): x¡y¡2z¡1§2 p 15Æ0. ² Với A C Æ¡ 3 4 ,tađược ( AÆ3 BÆ¡1 CÆ¡4 .Khiđó,tađược (P): 3x¡y¡4zÅDÆ0. Mặtphẳng (P)tiếpxúcvớimặtcầu (S)tâm I(4;3;0)bánkính RÆ p 10tađược d(I,(P))ÆR , jDÅ9j p 26 Æ p 10 , DÆ¡9§2 p 65. Vậy (P): 3x¡y¡4z¡9§2 p 65Æ0. ä Bài118. Cho A(1;1;0),B(1;1;1) và đường thẳng (d): xÅ1 2 Æ y¡2 1 Æ z¡1 ¡2 . Viết phương trình mặtcầu (S)cótâmnằmtrên (d),tiếpxúcvớiđườngthẳng (AB)vàcóthểtíchbằng 32¼ 3 . -Lờigiải. TacóV (S) Æ 32¼ 3 )RÆ2. Tâm I(¡1Å2t;2Åt;1¡2t)2(d). Tacó ( #  ABÆ(0;0;1) #  AIÆ(2t¡2;tÅ1;1¡2t) ) h #  AI, #  AB i Æ(tÅ1;2t¡2;0). Mặtcầu (S)tiếpxúcvớiđườngthẳng (AB)tacó d(I;(AB))ÆR , ¯ ¯ ¯ h #  AI, #  AB i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  AB ¯ ¯ ¯ ÆR , p (tÅ1) 2 Å(2t¡2) 2 Æ2 , 5t 2 ¡6tÅ1Æ0 , " tÆ1 tÆ 1 5 . ² Với tÆ1,tađược I(1;3;¡1).Khiđó,tacó (S): (x¡1) 2 Å(y¡3) 2 Å(zÅ1) 2 Æ4. ² Với tÆ 1 5 ,tađược I µ ¡ 3 5 ; 11 5 ; 3 5 ¶ .Khiđó,tacó (S): µ xÅ 3 5 ¶ 2 Å µ y¡ 11 5 ¶ 2 Å µ z¡ 3 5 ¶ 2 Æ4. ä Th.sNguyễnChínEm 567 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài119. Cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2yÅ4z¡1Æ0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứađườngthẳng (¢): x 1 Æ y 1 Æ zÅ5 ¡1 vàcắtmặtcầutheomộtđườngtròncóbánkínhbằng 1. -Lờigiải. Đườngthẳng (¢)qua M(0;0;¡5)vàcómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;1;¡1). Mặtcầu (S)cótâm I(1;¡1;¡2)vàbánkính RÆ p 7. Gọi #  nÆ(A;B;C),(A 2 ÅB 2 ÅC 2 È0)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). Vì (¢)2(P)nêntacó #  u¢ #  nÆ0)BÆ¡AÅC. Tađược (P): AxÅ(C¡A)yÅCzÅ5CÆ0. Mặtphẳng (P)cắtmặtcầu (S)theomộtđườngtròngiaotuyếncóbánkínhbằng 1tađược d(I;(P))Æ p 6 , jA¡(C¡A)¡2CÅ5Cj p A 2 Å(C¡A) 2 ÅC 2 Æ p 6 , j2(AÅC)jÆ p 6 p 2A 2 Å2B 2 ¡2AC , 2A 2 ¡5ACÅ2C 2 Æ0 , h AÆ2C 2AÆC. ² Với AÆ2C,tađược ( AÆ2 BÆ¡1 CÆ1 .Tađược (P): 2x¡yÅzÅ5Æ0. ² Với 2AÆC,tađược ( AÆ1 BÆ1 CÆ2 .Tađược (P): xÅyÅ2zÅ10Æ0. ä Bài120. Chohaiđườngthẳng (d 1 ): x¡2 3 Æ yÅ1 1 Æ zÅ3 2 và (d 2 ): ( xÆ3Åt yÆ7¡2t zÆ1¡t .Viếtphươngtrình đườngthẳng (¢)cắt (d 1 )và (d 2 )đồngthờiđiquađiểm K(3;10;1). -Lờigiải. Gọi M,N lầnlượtlàgiaođiểmcủa (¢)với (d 1 ), (d 2 ). Tacó ½ M(2Å3t 1 ;¡1Åt 1 ;¡3Å2t 1 )2(d 1 ) N(3Åt 2 ;7¡2t 2 ;1¡t 2 )2(d 2 ) tađược ½ #  KMÆ(3t 1 ¡1;t 1 ¡11;2t 1 ¡4) #  KNÆ(t 2 ;¡2t 2 ¡3;¡t 2 ). Tacó M,N,K thẳnghàng , #  KM, #  KN cùngphương , 3t 1 ¡1 t 2 Æ t 1 ¡11 ¡2t 2 ¡2 Æ 2t 1 ¡4 ¡t 2 ) n t 1 Æ1 t 2 Æ1. Vậy (¢)qua K(3;10;1)cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡1;5;1)códạng (¢): ( xÆ3¡t yÆ10Å5t zÆ1Åt. ä Bài121. Cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡8z¡20Æ0 và mặt phẳng (P): 2xÅ2y¡z¡5Æ0. Viết phươngtrìnhđườngthẳng (¢)nằmtrongmặtphẳng (P),điqua M(¡1;4;1)vàcắtmặtcầu (S) tạihaiđiểm A,B saochođoạnthẳng ABÆ6 p 3. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cótâm I(0;0;4)vàbánkính RÆ6. Gọi H làtrungđiểm AB,tađược HAÆ3 p 3. Trongtamgiácvuông IHA,tacó IHÆ p IA 2 ¡AH 2 Æ3. (1) Mặtkhác,tacó d(I,(P))Æ3. (2) Từ (1)và (2)tađược IH?(P). Gọi H(x;y;z)tacó H làhìnhchiếuvuônggóccủa I lên (P) Th.sNguyễnChínEm 568 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ) Toạđộ H thoả ½ H2(P) #  IH cùngphương #  n (P) , ( 2xÅ2y¡z¡5Æ0 x 2 Æ y 2 Æ z¡4 ¡1 , ( xÆ2 yÆ2 zÆ3. Đườngthẳng (¢)qua M cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(3;¡2;2)códạng (¢): ( xÆ¡1Å3t yÆ4¡2t zÆ1Å2t. ä Bài122. Cho (P): 2xÅy¡zÆ 0, (d): x¡4 1 Æ y 1 Æ z ¡3 và M(1;¡1;1). Viết phương trình đường thẳng (¢)điqua M vuônggócvới (d)vàtạovới (P)mộtgóc 30 ± . -Lờigiải. Gọi #  u (¢) Æ(A;B;C),(A 2 ÅB 2 ÅC 2 È0)làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng (¢). Tacó (¢)?(d), #  u (¢) ¢ #  u (d) Æ0,AÅB¡3CÆ0,AÆ¡BÅ3C. (1) Tacó (¢)hợpvớimặtphẳng (P)mộtgóc 30 ± , ¯ ¯ #  u (¢) ¢ #  n (P) ¯ ¯ ¯ ¯ #  u (¢) ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (P) ¯ ¯ Æ 1 2 , 2j2AÅB¡CjÆ È 6 ¡ A 2 ÅB 2 ÅC 2 ¢ (1) ) 2B 2 ÅBC¡10C 2 Æ0 , " BÆ2C BÆ¡ 5 2 . ² Với BÆ2C,tađược ( AÆ1 BÆ2 CÆ1 .Phươngtrìnhđườngthẳng (¢): ( xÆ1Åt yÆ¡1Å2t zÆ1Åt. ² Với BÆ¡ 5 2 C,tađược ( AÆ11 BÆ¡5 CÆ2 .Phươngtrìnhđườngthẳng (¢): ( xÆ1Å11t yÆ¡1¡5t zÆ1Å2t. ä Bài123. Cho mặt phẳng (P): x¡yÅz¡6Æ 0 và hai đường thẳng (d 1 ): x¡2 ¡1 Æ y¡3 1 Æ z¡4 1 , (d 2 ): z¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡2 ¡2 .Viếtphươngtrìnhđườngthẳng (d)biết (d)Ò(P)đồngthời (d)cắthai đườngthẳng (d 1 ),(d 2 )lầnlượttạihaiđiểm A,B saocho ABÆ3 p 6. -Lờigiải. Tacó ½ A(2¡t 1 ;3Åt 1 ;4Åt 1 ) B(1Å2t 2 ;¡2Åt 2 ;2¡2t 2 ) ) #  ABÆ(t 1 Å2t 2 ¡1;¡t 1 Åt 2 ¡5;¡t 1 ¡2t 2 ¡2). Tacó (d)Ò(P)) #  AB¢ #  n (P) Æ0,t 1 ¡t 2 Å2Æ0,t 2 Æt 1 Å2. (1) Tacó ABÆ3 p 6 , (t 1 Å2t 2 ¡1) 2 Å(¡t 1 Åt 2 ¡5) 2 Å(¡t 1 ¡2t 2 ¡2) 2 Æ54 (1) ) t 2 1 Å3t 1 Æ0 , h tÆ¡3 tÆ0. ² Với tÆ¡3tađược ½ A(2;3;4)62(P) B(5;0;¡2) .Tađược (d): ( xÆ2Åt yÆ3¡t zÆ4¡2t. Th.sNguyễnChínEm 569 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ² Với tÆ0tađược ½ A(5;0;1)2(P) B(¡1;¡3;4) (loạivì (d)thuộcmặtphẳng (P)). ä Bài124. Chođườngthẳngd: x¡1 3 Æ yÅ2 1 Æ z 1 vàhaimặtphẳng(P): xÅy¡zÅ2Æ0,(Q): xÅ1Æ 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(0;1;1), vuông góc với d, đồng thời cắt giao tuyến củahaimặtphẳng (P),(Q). -Lờigiải. Gọi (R) là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với d. Ta có (R) nhận véc tơ #  u d Æ(3;1;1) làmvéctơpháptuyến.Dođó,phươngtrình (R)códạng: (R): 3(x¡0)Å1(y¡1)Å1(z¡1)Æ0hay (R): 3xÅyÅz¡2Æ0. Gọi d 1 làgiaotuyếncủa (P)và (Q),suyra,phươngtrìnhcủa d 1 códạng: d 1 : n xÅy¡zÅ2Æ0 xÅ1Æ0 )d 1 : ( xÆ¡1 yÆt¡1 zÆt . Gọi N làgiaođiểmcủa (R)và d 1 ,suyra,tọađộcủađiểm N lànghiệmcủahệphươngtrình: 8 > < > : xÆ¡1 yÆt¡1 zÆt 3xÅyÅz¡2Æ0 , ( xÆ¡1 yÆ2 zÆ3 ,N(¡1;2;3). Suyra,tọađộcủa #  MN là (¡1;1;2). Phương trình đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm M(0;1;1) và N(¡1;2;3) có dạng: ( xÆ¡t yÆ1Åt zÆ1Å2t . ä Bài125. Cho (P): 2xÅyÅ2zÅ4Æ0; d: x¡2 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡1 ¡1 vàđườngthẳng¢làgiaotuyếncủa hai mặt phẳng: xÆ1;yÅz¡4Æ0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúcvới¢và (P),biếtrằngtâmcủamặtcầucótọađộnguyên. -Lờigiải. Phươngtrìnhđườngthẳng¢códạng: n xÆ1 yÅz¡4Æ0 ) ( xÆ1 yÆt zÆ4¡t . Gọi I2d làtâmcủahìnhcầucầntìmnêncótọađộ I(2iÅ2;¡i¡1;¡iÅ1).Tacó d(I;P)Æ j4iÅ4¡i¡1¡2iÅ2Å4j 3 Æ jiÅ9j 3 . Giảsử H(1;h;4¡h)2¢làhìnhchiếucủa I trênđườngthẳng¢.Từđây,tacóhệphươngtrình ½ IHÆd(I;P) #  IH¢ #  u ¢ Æ0 , 8 < : (2iÅ1) 2 Å(iÅhÅ1) 2 Å(¡hÅiÅ3) 2 Æ (iÅ9) 2 9 (¡2i¡1)¢0Å(iÅhÅ1)¢1Å(¡hÅiÅ3)¢(¡1)Æ0 , n 53a 2 Å90aÆ0 hÆ1 , 8 > > < > > : 2 4 iÆ0(TMĐK) iÆ¡ 90 53 (loại) hÆ1 . Suyra,tâmvàbánkínhcủahìnhcầucầntìmlầnlượtlà I(2;¡1;1)và RÆ3.Vậyhìnhcầucần tìmcóphươngtrình (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. ä Bài126. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 Æ y¡1 1 Æ z¡1 2 . Xét hình bình hành ABCD có A(1;0;0), C(2;2;2), D2d.Tìmtọađộcủađỉnh B viết S ABCD Æ3 p 2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 570 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi I làtrungđiểmcủa AC,tacó I µ 3 2 ;1;1 ¶ . Phươngtrìnhcủađườngthẳng AC códạng: ( xÆ1Åt yÆ2t zÆ2t. Vì D2d, nên ta giả sử D(t;tÅ1;2tÅ1). Vì I là trung điểm của BD nên ta suy ra, tọa độ của đỉnh B códạng B(3¡t;1¡t;1¡2t). Gọi H làhìnhchiếucủa D lên AC,do H2AC nêntacóthểgiảsử H(1Åh;2h;2h).Dodiệntích củahìnhbìnhhành ABCD bằng 3 p 2nên: AC¢d(D;AC)Æ3 p 2,3¢DHÆ3 p 2,DHÆ p 2,(h¡tÅ1) 2 Å(2h¡t¡1) 2 Å(2h¡2t¡1) 2 Æ2. Lạicó DH?AC nên 1(h¡tÅ1)Å2(2h¡t¡1)Å2(2h¡2t¡1)Æ0hay 9h¡7t¡3Æ0. Suyra,tathuđượchệphươngtrình ½ (h¡tÅ1) 2 Å(2h¡t¡1) 2 Å(2h¡2t¡1) 2 Æ2 9h¡7t¡3Æ0 , ½ (9h¡9tÅ9) 2 Å(18h¡9t¡9) 2 Å(18h¡18t¡9) 2 Æ162 9hÆ7tÅ3 , ½ (2t¡12) 2 Å(5t¡3) 2 Å(4tÅ3) 2 Æ162 9hÆ7tÅ3 , n 45t 2 ¡54tÆ0 9hÆ7tÅ3 , 8 > < > : " tÆ0 tÆ 6 5 9hÆ7tÅ3 . Vậycóhaiđiểm B thỏamãnbàitoánlà B(3;1;1)và B µ 9 5 ;¡ 1 5 ;¡ ¡7 5 ¶ . ä Bài127. Trong không gian Oxyz, cho d 1 : x¡1 2 Æ y¡1 2 Æ z¡1 1 , d 2 : ( xÆ2Åt yÆ1 zÆ¡t cắt nhau tại I(1;1;1).Viếtphươngtrìnhđườngthẳng¢điquađiểm M(4;5;4)vàcắthaiđườngthẳng d 1 ,d 2 tại A và B saocho4IAB cântại A. -Lờigiải. Gọi #  u 1 , #  u 2 theothứtựlàvéc-tơchỉphươngcủa d 1 ,d 2 ,tacó: #  u 1 Æ(2;2;1), #  u 2 Æ(1;0;¡1).Khiđó cos( #  u 1 ; #  u 2 )Æ ¯ ¯ #  u 1 ¢ #  u 2 ¯ ¯ ¯ ¯ #  u 1 ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  u 2 ¯ ¯ Æ 1 3 p 2 . Vì B2d 2 nêntagiảsử B(2Åb;1;¡b)) #  BMÆ(2¡b;4;4Åb).Dotamgiác AIB cântại A nên cos( #  BM; #  u 2 )Æcos( #  u 1 ; #  u 2 ), j(2¡b)¢(1)Å4¢0Å(4Åb)¢(¡1)j p 2 p 2b 2 Å4bÅ36 Æ 1 3 p 2 , j2bÅ2j p 2b 2 Å4bÅ36 Æ 1 3 ,34b 2 Å68bÆ0 , h bÆ0 bÆ¡2. Với bÆ0,tọađộđiểm B là (2;1;0).Phươngtrìnhđườngthẳng¢nhậnvéc-tơ #  BMÆ(2;4;4) làmvéc-tơchỉphươngvàđiqua M(4;5;4)nêncóphươngtrình x¡4 1 Æ y¡5 2 Æ z¡4 2 . VớibÆ¡2,tọađộđiểmBlà(0;1;2).Phươngtrìnhđườngthẳng¢nhậnvéc-tơ #  BMÆ(4;4;2) làmvéc-tơchỉphươngvàđiqua M(4;5;4)nêncóphươngtrình x¡4 2 Æ y¡5 2 Æ z¡4 1 . Kếtluận:Vậycóhaiphươngtrình¢thỏamãnbàitoánlà x¡4 1 Æ y¡5 2 Æ z¡4 2 và x¡4 2 Æ y¡5 2 Æ z¡4 1 . ä Th.sNguyễnChínEm 571 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài128. Chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ4y¡6z¡11Æ0vàmặtphẳng (P): 2xÅ2y¡z¡7Æ0. Chứng minh rằng mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Viết phươngtrìnhmặtcầu (S 0 )điquađiểm A(6;¡1;4)vàchứađườngtròn (C). -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S)đượcviếtlạithành: (S): (x¡1) 2 Å(yÅ2) 2 Å(z¡3) 2 Æ25. Suyra,mặtcầu (S)cótâm I(1;¡2;3)vàbánkính RÆ5. Khoảngcáchtừtâm I đếnmặtphẳng (P)là d(I;P)Æ j2¢1Å2¢(¡2)¡1¢3¡7j p 2 2 Å2 2 Å1 2 Æ 12 3 Æ4ÇR. Suyra,mặtcầu (S)cắtmặtphẳng (P)theogiaotuyếnlàđườngtròn (C). Tacó,phươngtrìnhđườngthẳngđiqua I vàvuônggócvới (P)códạng: d: x¡1 2 Æ yÅ2 2 Æ z¡3 ¡1 . Gọi I 0 làtâmcủamặtcầu(S 0 ).Dễcó I 0 2dnêngiảsử I 0 (1Å2t;¡2Å2t;3¡t).Theogiảthiết,tacó d(I 0 ;P)ÆI 0 A, j2Å4t¡4Å4t¡3Åt¡7j p 9 Æ p (5¡2t) 2 Å(2t¡1) 2 Å(tÅ1) 2 ,j3t¡4jÆ p 9t 2 ¡22tÅ27 ,9t 2 ¡24tÅ16Æ9t 2 ¡22tÅ27 ,¡2tÆ11 ,tÆ¡ 11 2 . Suyra,tọađộtâmvàbánkínhcủacủahìnhcầu (S 0 )lầnlượtlà I 0 µ ¡10;¡13; 17 2 ¶ và I 0 AÆ 41 2 . Suyra,phươngtrìnhmặtcầucầntìmcódạng (S 0 ): (xÅ10) 2 Å(yÅ13) 2 Å µ z¡ 17 2 ¶ 2 Æ 1681 4 . ä Bài129. Cho4ABC có B(1;4;3),phươngtrìnhđườngtrungtuyếnkẻtừ A vàđườngcaokẻtừ C lầnlượtlà AM: x 1 Æ y¡1 1 Æ z¡7 2 ; CH: x¡1 ¡2 Æ y¡3 1 Æ z¡4 1 .Tìmtọađộcủa A và C? -Lờigiải. Phươngtrìnhdạngtổngquátcủa AM và CD lầnlượtlà AM: ( xÆt yÆ1Åt zÆ7Å2t và CH: ( xÆ1¡2t yÆ3Åt zÆ4Åt . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm B và vuông góc với đường thẳng CH, phương trình mặt phẳng (P)códạng (P): ¡2(x¡1)Å1(y¡4)Å1(z¡3)Æ0hay (P): ¡2xÅyÅz¡5Æ0. Tọađộcủađiểm A (giaocủa AM và (P))lànghiệmcủahệphươngtrình: 8 > < > : xÆt yÆ1Åt zÆ7Å2t ¡2xÅyÅz¡5Æ0 , 8 > < > : tÆ¡3 xÆ¡3 yÆ¡2 zÆ1 ,A(¡3;¡2;1). Vìđiểm C2CH nêntacóthểgiảsử C(1¡2c;3Åc;4Åc).Từđâytacótọađộtrungđiểm M của BC có dạng M µ 1¡c; 7 2 Å c 2 ; 7 2 Å c 2 ¶ . Do M2AM nên thay tọa độ điểm M vào phương trình AM, tađược: 8 > > > < > > > : 1¡cÆt 7 2 Å c 2 Æ1Åt 7 2 Å c 2 Æ7Å2t , n tÆ¡6 cÆ7 )C(¡13;10;11). Vậytọađộcácđiểmcầntìmlà: A(¡3;¡2;1), C(¡13;10;11). ä Th.sNguyễnChínEm 572 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài130. Trong không gian Oxyz, tìm điểm M2d: x¡3 2 Æ y¡2 1 Æ z¡1 ¡2 sao cho mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d cắt mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡2xÅ2y¡4z¡19Æ0 theo mộtđườngtròncóchuvibằng 8¼. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtcầu (S)đượcviếtlạithành (S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ25.Suyra,tâmvà bánkínhcủa (S)lầnlượtlà I(1;¡1;2)và RÆ5. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, phương trình mặt phẳng (P) có dạng: (P): 2xÅy¡2zÅmÆ0. Gọi(C)làđườngtròntạothànhtừgiaocủa(S)và(P).Theođềbài,tatìmđượcbánkính rcủa (C)nhưsau: 2¼rÆ8¼,rÆ4. Suy ra, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng p R 2 ¡r 2 Æ p 5 2 ¡4 2 Æ3. Ta thu được hệ thức d(I;P)Æ3, j2¢1Å1¢(¡1)¡2¢2Åmj 3 Æ3 ,jm¡3jÆ9 , h mÆ12 mÆ¡6 . Với mÆ12,tọađộđiểm M lànghiệmcủahệ: 8 > < > : xÆ3Å2t yÆ2Åt zÆ1¡2t 2xÅy¡2zÅ12Æ0 , 8 > < > : tÆ¡2 xÆ¡1 yÆ0 zÆ5 )M(¡1;0;5). Với mÆ¡6,tọađộđiểm M lànghiệmcủahệ: 8 > < > : xÆ3Å2t yÆ2Åt zÆ1¡2t 2xÅy¡2z¡6Æ0 , 8 > < > : tÆ0 xÆ3 yÆ2 zÆ1 )M(3;2;1). Vậycóhaiđiểm M thỏamãnbàitoánlà M(¡1;0;5)và M(3;2;1). ä Bài131. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(3;0;1), N(6;¡2;1)và (P)tạovớimặtphẳng (Oyz)mộtgóc'thỏamãn sin'Æ 3 p 5 7 . -Lờigiải. Giảsửphươngtrìnhmặtphẳng P cómộtvéctơpháptuyếnlà #  n 1 Æ(a;b;c).Theogiảthiết,ta có #  n 1 ¢ #  MNÆ #  0 ,3a¡2bÆ0. Lạicó, (P)tạovớimặtphẳng (Oyz)(cómộtvéctơpháptuyến n 2 Æ(1;0;0))mộtgóc'thỏamãn sin'Æ 3 p 5 7 nêntacóhệthức cos'Æ 2 7 , j(a;b;c)¢(1;0;0)j p a 2 Åb 2 Åc 2 ¢ p 1 2 Å0 2 Å0 2 Æ 2 7 ,45a 2 ¡4b 2 ¡4c 2 Æ0. Suyra,tathuđượchệphươngtrình n 3a¡2bÆ0 45a 2 ¡4b 2 ¡4c 2 Æ0 , n 3aÆ2b 16b 2 ¡4c 2 Æ0 , ( 3aÆ2b h 2bÆc 2bÆ¡c . Taxéthaitrườnghợp: TH1: n 3aÆ2b 2bÆc .Chọn ( aÆ2 bÆ3 cÆ6 ,tacóphươngtrìnhmặtphẳng (P)là (P): 2(x¡3)Å3yÅ6(z¡1)Æ0hay 2xÅ3yÅ6z¡12Æ0. TH2: n 3aÆ2b 2bÆ¡c .Chọn ( aÆ2 bÆ3 cÆ¡6 ,tacóphươngtrìnhmặtphẳng (P)là (P): 2(x¡3)Å3y¡6(z¡1)Æ0hay 2xÅ3y¡6zÆ0. Th.sNguyễnChínEm 573 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Kếtluận:Vậycóhaiphươngtrìnhmặtphẳng (P)thỏamãnbàitoánlà (P): 2xÅ3y¡6zÆ0và (P): 2xÅ3yÅ6z¡12Æ0. ä Bài132. Chođườngthẳng d: x¡1 1 Æ y¡1 1 Æ z¡2 ¡2 vàmặtphẳng (P): xÅ2yÅz¡6Æ0.Mộtmặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng¢ cách gốc tọa độ O một khoảng ngắnnhất.Viếtphươngtrìnhcủamặtphẳng (Q). -Lờigiải. Để khoảng cách từ O đến ¢ là ngắn nhất thì hình chiếu của O lên đường thẳng ¢ chính là hìnhchiếucủaO lên (P). Tacó,phươngtrìnhđườngthẳngđiquaO vuônggócvới (P)códạng: ( xÆt yÆ2t zÆt. Suyra,tọađộhìnhchiếu H củaO lên (P)lànghiệmcủahệphươngtrình: 8 > < > : xÆt yÆ2t zÆt xÅ2yÅz¡6Æ0 , 8 > < > : tÆ1 xÆ1 yÆ2 zÆ1 )H(1;2;1). Suy ra, mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và đi qua điểm H. Ta chọn một điểm A trên d cótọađộ A(1;1;2)) #  AHÆ(0;1;¡1).Tacó #  n Q Æ h #  u d ; #  AH i Æ(¡3;1;1). Suy ra, phương trình mặt phẳng (Q) có một véc-tơ chỉ phương là (¡3;1;1) và đi qua điểm H(1;2;1)nêncóphươngtrình (Q): ¡3(x¡1)Å1(y¡2)Å1(z¡1)Æ0hay (Q): ¡3xÅyÅzÆ0. Kếtluận:Vậyphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà (Q): ¡3xÅyÅzÆ0. ä Bài133. Chomặtphẳng(P): 2x¡yÅz¡5Æ0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(Q)quagiaotuyến của(P)vàmặtphẳngOxyvà(Q)tạovới3mặtphẳngtọađộmộttứdiệncóthểtíchbằng 125 6 . -Lờigiải. Giaotuyếncủamặtphẳng (P)vớimặtphẳngOxylàđườngthẳng d: ( xÆt yÆ¡5Å2t zÆ0 . Gọi A,B,C theo thứ tự là giao điểm của (Q) với các trục Ox, Oy, Oz, trong đó tọa độ của hai điểm A,B,C lầnlượtlà A µ 5 2 ;0;0 ¶ , B(0;¡5;0)(A,B cũnglàgiaocủa d với Oxvà Oy)và C(0;0;c). Theogiảthiết,tacó 1 3 OA¢OB¢OCÆ 125 6 , 1 3 ¢ 5 2 ¢5¢jcjÆ 125 6 ,cƧ5. Taxéthaitrườnghợp: TH1: Với cÆ 5, ta tính được #  BCÆ (0;5;5) ) #  n Q Æ h #  BC; #  u d i Æ (¡10;5;¡5). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm C(0;0;5) và có một véc tơ chỉ phương là (2;¡1;1) nên có phương trình (Q): 2x¡yÅz¡5Æ0. TH2: Với cÆ¡5, ta tính được #  BCÆ (0;5;¡5) ) #  n Q Æ h #  BC; #  u d i Æ (10;5;¡5). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm C(0;0;5) và có một véc tơ chỉ phương là (2;1;¡1) nên có phương trình (Q): 2xÅy¡zÅ5Æ0. Vậycóhaiphươngtrìnhmặtphẳng (Q)thỏamãnbàitoánlà (Q): 2x¡yÅz¡5Æ0và (Q): 2xÅ y¡zÅ5Æ0. ä Th.sNguyễnChínEm 574 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Bài134. Chotứdiện ABCDcócácđỉnh A(1;2;1),B(¡2;1;3),C(2;¡1;1)vàD(0;3;1).Viếtphương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cáchtừ D đếnmặtphẳng (P). -Lờigiải. KhoảngcáchtừCđến(P)bằngkhoảngcáchtừDđến(P)nênmặtphẳng(P)phảiđiquatrung điểm I(1;1;1)củađoạnthẳng CD. Ta có các véc tơ #  ABÆ(¡3;¡1;2) và #  AIÆ(0;¡1;0). Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) được tínhbởi #  n P Æ h #  AI; #  AB i Æ(2;0;3). Mặtphẳng (P)điquađiểm A(1;2;1)vàcóvéctơpháptuyếnlà (2;0;3)nêncóphươngtrình (P): 2(x¡1)Å3(z¡1)Æ0hay (P): 2xÅ3z¡5Æ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà (P): 2xÅ3z¡5Æ0. ä Bài135. Cho điểm A(¡1;3;¡2) và mặt phẳng (P): x¡2y¡2zÅ5Æ0. Tính khoảng cách từ A đến (P).Viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàsongsongvới (P). -Lờigiải. Tacó d(A;(P))Æ j¡1¡2¢3¡2¢(¡2)j 3 Æ1. Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàsongsongvới (P)códạng (Q): 1(xÅ1)¡2(y¡3)¡2(zÅ2)Æ0hay (Q): x¡2y¡2zÅ3Æ0. ä Bài136. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2yÅ2z¡1Æ0 và hai đường thẳng¢ 1 : x¡4 1 Æ yÅ1 2 Æ z 2 ,¢ 2 : ( xÆ3 yÆ1Åt zÆ2Åt . Xác định tọa độ điểm M2¢ 1 sao cho khoảng cáchtừ M đếnđườngthẳng¢ 2 vàkhoảngcáchtừ M đếnmặtphẳng (P)bằngnhau. -Lờigiải. Giảsử M(mÅ4;2m¡1;2m)làđiểmcầntìmthuộcđườngthẳng¢ 1 .Tacó d(M;P)Æ jmÅ4¡4mÅ2Å4m¡1j 3 Æ jmÅ5j 3 . Gọi H(3;1Åh;2Åh)làhìnhchiếucủađiểm M trênđườngthẳng¢ 2 . Tacó #  MHÆ(¡1¡m;h¡2mÅ2;h¡2mÅ2),từđâytalậpđượchệphươngtrình ½ MHÆd(M;P) #  MH¢ #  u ¢ 2 Æ0 , 8 < : (mÅ1) 2 Å(h¡2mÅ2) 2 Å(h¡2mÅ2) 2 Æ (mÅ5) 2 9 2h¡4mÅ4Æ0 , 8 < : (mÅ1) 2 Æ (mÅ5) 2 9 hÆ2m¡2 , (h mÆ1 mÆ¡2 hÆ2m¡2. Vậytọađộđiểm M cầntìmlà M(5;1;2)và M(2;¡5;¡4). ä Bài137. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z 1 và hai điểm A(1;¡1;2), B(2;¡1;0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. -Lờigiải. Giảsử M(1Å2m;¡1¡m;m)làđiểmcầntìmthuộc d,tacó: #  AMÆ(2m;¡m;m¡2), #  BMÆ(2m¡1;¡m;m). Th.sNguyễnChínEm 575 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Theogiảthiết,tamgiác AMB vuôngtại M nên #  AM¢ #  BMÆ #  0 ,2m(2m¡1)Åm 2 Åm(m¡2)Æ0 ,6m 2 ¡4mÆ0 , " mÆ0 mÆ¡ 2 3 . Vậytacóhaiđiểm M thỏamãnbàitoánlà M(1;¡1;0)và M µ ¡ 1 3 ; 5 3 ; 2 3 ¶ . ä Bài138. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x ¡2 Æ y¡1 1 Æ z 1 và mặt phẳng (P): 2x¡yÅ2z¡2Æ0. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). Tìm tọađộđiểm M thuộc d saocho M cáchđềugốctọađộO vàmặtphẳng (P). -Lờigiải. Gọi (Q)làmặtphẳngcầntìm.Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)cómộtvéctơpháptuyếnlà #  u Q Æ £ #  u d ; #  n P ¤ Æ(3;6;0). Mặtphẳng (Q)điquađiểm (0;1;0)vàcómộtvéctơpháptuyếnlà (1;2;0)nêncóphươngtrình là (Q): xÅ2y¡2Æ0. Giảsử M(¡2m;mÅ1;m)làđiểmthuộcđườngthẳng d.Theogiảthiết,tacó MOÆd(M;P),6m 2 Å2mÅ1ÆjmÅ1j , · 6m 2 ÅmÆ0 6m 2 Å3mÅ2Æ0(phươngtrìnhvônghiệm) , " mÆ0 mÆ¡ 1 6 . Vậycóhaiđiểmthỏamãnyêucầubàitoánlà M(0;1;0)và M µ 1 3 ; 5 6 ;¡ 1 6 ¶ . ä Bài139. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chođườngthẳng¢: x¡2 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z ¡1 và mặt phẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0. Gọi I là giao điểm của¢ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) saocho MI vuônggócvới¢và MIÆ4 p 14. -Lờigiải. I2¢ nên I(2Åt;¡1;œ¡2t;¡t). Ta có I2(P),(2Åt)Å(¡1¡2t)Å(¡t)¡3Æ0,tÆ1. Suy ra I(1;1;1). Giảsử M(x;y;z).Đườngthẳng¢cóVTCP #  uÆ(1;¡2;¡1).Tacó #  IMÆ(x¡1;y¡1;z¡1). Theogiảthiết n M2(P) IM?¢ , ½ xÅyÅz¡3Æ0 (x¡1)¡2(y¡1)¡(z¡1)Æ0 , n yÆ2x¡1 zÆ4¡3x. Tacó IMÆ4 p 14,(x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ224,(x¡1) 2 Å4(x¡1) 2 Å9(x¡1) 2 Æ224 ,(x¡1) 2 Æ16, h xÆ5 xÆ¡3. Vậy M(5;9;¡11)hoặc M(¡3;¡7;13). ä Bài140. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(¡1;3;¡2), B(¡3;7;¡18)và mặtphẳng (P): 2x¡yÅzÅ1Æ0. 1 Viếtphươngtrìnhmặtphẳngchứa AB vàvuônggócvới (P). 2 Tìmtọađộđiểm M2(P)saocho MAÅMB nhỏnhất. Th.sNguyễnChínEm 576 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. 1 Tacó #  ABÆ(¡2;4;¡16).Mặtphẳng (P)cóVTPT #  n P Æ(2;¡1;1). Mặtphẳng (Q)điqua AB vàvuônggócvới (P)cóVTPT #  n Q Æ #  n P ^ #  ABÆ(12;30;6). Suyra (Q): 2(xÅ1)Å5(y¡3)Å(zÅ2)Æ0)(Q): 2xÅ5yÅz¡11Æ0. 2 Tacó A,B nằmcùngphíađốivới (P).Gọi A 0 làđiểmđốixứngcủa A quamặtphẳng (P). Khi đó MAÅMBÆMA 0 ÅMB¸ A 0 B. Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A 0 B và (P). Gọi¢làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P), H làhìnhchiếucủa A trên (P). Khiđó HÆ¢\(P).Tacó¢: ( xÆ¡1Å2t yÆ3¡t zÆ¡2Åt .Suyra H(¡3;4;¡3). A 0 làđiểmđốixứngcủa A qua (P)nên H làtrungđiểmcủa AA 0 .Suyra A 0 (¡5;5;8). Tacó A 0 B: ( xÆ¡3Åt yÆ7Åt zÆ¡18¡13t .Suyragiaođiểmcủa A 0 B và (P)là M µ ¡ 11 2 ; 19 2 ; 29 2 ¶ . ä Bài141. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(¡3;5;¡5) , B(5;¡3;7) và mặt phẳng (P): xÅyÅzÆ0. 1 Tìmgiaođiểm I củađườngthẳng AB vàmặtphẳng (P). 2 Tìmtọađộđiểm M thuộc (P)saocho MA 2 ÅMB 2 nhỏnhất. -Lờigiải. 1 #  ABÆ(8;¡8;12)nênVTCPcủađườngthẳng ABlà #  uÆ(2;¡2;3).Dođó AB: ( xÆ¡3Å2t yÆ5¡2t zÆ¡5Å3t. I2AB nên I(¡3Å2t;5¡2t;¡5Å3t).Tacó I2(P),(¡3Å2t)Å(5¡2t)Å(¡5Å3t)Æ0,tÆ1. Vậy I(¡1;3;¡2). 2 Gọi E làtrungđiểmcủa AB,suyra E(1;1;1). Tacó MA 2 ÅMB 2 ÆIA 2 ÅIB 2 Å2MI 2 nên MA 2 ÅMB 2 đạtGTNN,IM đạtGTNN, M làhìnhchiếucủa E trên (P). Gọi¢làđườngthẳngđiquaEvàvuônggócvới(P).Suyra¢cóVTCPlà #  u ¢ Æ(1;1;1). Suyra¢: ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ1Åt. M2¢nên M(1Åt;1Åt;1Åt).Tacó M2(P),(1Åt)Å(1Åt)Å(1Åt)Æ0,tÆ¡1. Vậy M(0;0;0). ä Bài142. Chomặtphẳng (P): xÅyÅz¡1Æ0vàhaiđiểm A(1;¡3;0), B(5;¡1;¡2). 1 Chứngminhrằngđườngthẳngđiqua A,Bcắtmặtphẳng (P)tạimộtđiểm I.Tìmtọađộ điểm I. 2 Tìmtọađộđiểm M thuộc (P)saochojMA¡MBjđạtgiátrịlớnnhất. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 577 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 1 #  ABÆ(4;2;¡2)nênđườngthẳng AB cóVTCP #  uÆ(2;1;¡1).Dođó AB: ( xÆ1Å2t yÆ¡3Åt yÆ¡t. Điểm I2AB nên I(1Å2t;¡3Åt;¡t).Tacó I2(P),(1Å2t)Å(¡3Åt)Å(¡t)¡1Æ0,tÆ 3 2 . Vậy AB cắt (P)tạiđiểm I µ 4;¡ 3 2 ;¡ 3 2 ¶ . 2 A,B thuộc2phíakhácnhaucủamặtphẳng (P). Gọi A 0 làđiểmđốixứngcủa Aqua(P).TacójMA¡MBjÆjMA 0 ¡MBj¸A 0 BnênjMA¡MBj đạtGTNN, M làgiaođiểmcủa A 0 B với (P). Gọi¢làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P), H làhìnhchiếucủa A trên (P).Suy ra H làgiaođiểmcủa¢và (P). Tacó¢: ( xÆ1Åt yÆ¡3Åt zÆt .Dođó H(2;¡2;1). A 0 làđiểmđốixứngcủa A qua (P)nên H làtrungđiểmcủa AA 0 .Suyra A 0 (3;¡1;2). #  AB 0 Æ(2;0;¡4)nên A 0 B: ( xÆ3Åt yÆ¡1 zÆ2¡3t. M làgiaođiểmcủa A 0 B và (P)nên M(6;¡1;¡4). ä Bài143. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chocácđiểm A(¡1;0;1),B(2;¡1;0),C(2;4;2) vàmặtphẳng (P): xÅyÅ2zÅ2Æ0.Tìmtọađộđiểm M thuộc (P)saochobiểuthức TÆMA 2 Å MB 2 ÅMC 2 đạtgiátrịnhỏnhất. -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmcủatamgiác ABC.SuyraG(1;1;1). Tacó MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 ÆGA 2 ÅGB 2 ÅGC 2 Å3MG 2 nên MA 2 ÅMB 2 ÅMC 2 đạtGTNN , MG đạtGTNN, M làhìnhchiếucủaG trên (P). Gọi¢làđườngthẳngđiquaG vàvuônggócvới (P).Tacó¢: ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ1Å2t M2¢nên M(1Åt;1Åt;1Å2t). M2(P),(1Åt)Å(1Åt)Å2(1Å2t)Å2Æ0,tÆ¡1. Vậy M(0;0;¡1). ä Bài144. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅyÅz¡1Æ0 và ba điểm A(2;1;3) , B(0;¡6;2), C(1;¡1;4). Tìm điểm M2(P) sao choj #  MAÅ #  MBÅ #  MCj đạt giá trị bé nhất. -Lờigiải. GọiG làtrọngtâmcủatamgiác ABC.SuyraG(1;¡2;3). Ta cój #  MAÅ #  MBÅ #  MCjÆj3 #  MGjÆ3MG. Do đój #  MAÅ #  MBÅ #  MCj đạt GTNN, M là hình chiếu củaG trên (P). Gọi¢làđườngthẳngđiquaG vàvuônggóc (P).Tacó¢: ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ3Åt. Điểm M2¢nên M(1Åt;¡2Åt;3Åt).Dođó M2(P),(1Åt)Å(¡2Åt)Å(3Åt)¡1Æ0,tÆ¡ 1 3 . Vậy M µ 2 3 ;¡ 7 3 ; 8 3 ¶ . ä Bài145. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chotọađộmặtphẳng(P): 3x¡3yÅ2zÅ37Æ 0 và các điểm A(2;1;3), B(3;0;1), C(¡1;2;0). Tìm tọa độ M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt đượcgiátrịnhỏnhất SÆ #  MA¢ #  MBÅ #  MB¢ #  MCÅ #  MC #  MA. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 578 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 GọiG làtrọngtâmcủatamgiác ABC.SuyraG(2;1;2).Tacó #  MA¢ #  MBÅ #  MB¢ #  MCÅ #  MC¢ #  MA Æ( #  MGÅ #  GA)( #  MGÅ #  GB)Å( #  MGÅ #  GB)( #  MGÅ #  GC)Å( #  MGÅ #  GC)( #  MGÅ #  GA) Æ3MG 2 Å2 #  MG( #  GAÅ #  GBÅ #  GC)Å #  GA¢ #  GBÅ #  GB¢ #  GCÅ #  GC¢ #  GA Æ3MG 2 Å #  GA¢ #  GBÅ #  GB¢ #  GCÅ #  GC¢ #  GA. S đạtGTNN,MG đạtGTNN, M làhìnhchiếucủaG trên (P). Gọi¢làđườngthẳngđiquaG vàvuônggócvới (P).Tacó¢: ( xÆ2Å3t yÆ1Å3t zÆ2Å2t. M làgiaođiểmcủa¢và (P)nên 3(2Å3t)¡3(1¡3t)Å2(2Å2t)Å37Æ0,tÆ¡2.Vậy M(¡4;7;¡2). ä Bài146. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅ2zÅ9Æ0 và hai điểm A(3;¡1;2), B(1;¡5;0). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho #  MA¢ #  MB đạt giá trị nhỏ nhất. -Lờigiải. Gọi I làtrungđiểmcủa AB.Khiđó I(2;¡3;1). Tacó #  MA¢ #  MBÆ ³ #  MIÅ #  IA ´ ( #  MI¡ #  IA)ÆMI 2 ¡IA 2 . Dođó, #  MA¢ #  MB đạtGTNN,MI đạtGTNN,M làhìnhchiếucủa I trên (P). Gọi¢làđườngthẳngđiqua I vàvuônggócvới (P).Tacó¢: ( xÆ2Å2t yÆ¡3¡t zÆ1Å2t. Điểm M làgiaođiểmcủa¢và (P),2(2Å2t)¡(¡3¡t)Å2(1Å2t)Å9Æ0,tÆ¡2. Vậy M(¡2;¡1;¡3). ä Bài147. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xÅzÆ0 và đường thẳngd: ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ¡t .Tìmtọađộđiểm AthuộcdvàtọađộđiểmBtrêntrụcOzsaocho ABÒ(P) vàđộdàiđoạn AB nhỏnhất. -Lờigiải. Điểm A2d nên A(1Åa;¡2Åa;¡a).Điểm B2Oxnên B(0;0;b).Tacó #  BAÆ(1Åa;a¡2;¡a¡b). Tacó ABÒ(P), #  AB¢ #  n P Æ0,2(1Åa)Å(¡a¡b)Æ0,a¡bÅ2Æ0,bÆaÅ2. AB 2 Æ(aÅ1) 2 Å(a¡2) 2 Å(aÅb) 2 Æ(aÅ1) 2 Å(a¡2) 2 Å(2aÅ2) 2 Æ6a 2 Å6aÅ9. Tacó AB đạtGTNN,aÆ¡1.Khiđó bÆ1.Vậy A(0;¡3;1)và B(0;0;1). ä D CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1 NHẬNBIẾT Câu1. Cho đường thẳng d có phương trình tham số n xÆ2¡t yÆ1Å2t . Trong các véc-tơ sau, véc-tơ nàolàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  aÆ(¡1;2;0). B. #  b Æ(2;1;0). C. #  c Æ(¡1;2;¡5). D. #  dÆ(2;1;¡5). Câu2. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ2 yÆ1Å2t zÆ5¡t .Véc-tơnàodướiđâylàvéc-tơ chỉphươngcủa d? A. #  u 1 Æ(0;2;¡1). B. #  u 2 Æ(2;1;5). C. #  u 3 Æ(2;2;¡1). D. #  u 4 Æ(0;2;1). Câu3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1¡t yÆ2Å3t zÆ2Åt (t2R). véc-tơ nào dưới đây là véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  uÆ(¡1;3;¡1). B. #  uÆ(1;2;2). C. #  uÆ(¡1;3;2). D. #  uÆ(¡1;3;1). Câu4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ3Åt . Điểm nào sau đây không thuộcđườngthẳng d? A. M(0;4;2). B. N(1;2;3). C. P(1;¡2;3). D. Q(2;0;4). Th.sNguyễnChínEm 579 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1Å3t yÆ¡2 zÆ1¡3t (t2R). Véc-tơ nào dưới đây là véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  mÆ(1;0;¡1). B. #  nÆ(3;0;3). C. #  pÆ(3;¡2;¡3). D. #  qÆ(1;¡2;2). Câu6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;3), B(2;4;¡1). A. xÅ2 1 Æ yÅ4 2 Æ zÅ1 4 . B. xÅ1 1 Æ yÅ2 2 Æ zÅ3 4 . C. x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡4 . D. x¡2 1 Æ y¡4 2 Æ zÅ1 ¡4 . Câu7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1Å5t yÆ3Å2t zÆ¡2Åt Trong các phương trình sau, phươngtrìnhnàolàphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng d? A. xÅ1 5 Æ yÅ3 2 Æ z¡2 1 . B. xÅ5 1 Æ yÅ2 3 Æ zÅ1 ¡2 . C. x¡5 1 Æ y¡2 3 Æ z¡1 ¡2 . D. x¡1 5 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 1 . Câu8. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(2;¡1;3),B(3;2;¡1).Phươngtrìnhnàosauđây làphươngtrìnhđườngthẳng AB? A. ( xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ¡4Å3t . B. ( xÆ2Åt yÆ¡1Å3t zÆ3¡4t . C. ( xÆ2Åt yÆ¡1Åt zÆ3¡4t . D. ( xÆ1Å2t yÆ1¡t zÆ¡4Å3t . Câu9. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;2;¡3)và B(3;¡1;1)là A. ½ xÆ1Åt yÆ¡2Å2t zÆ¡1¡3t . B. ½ xÆ1Å3t yÆ¡2¡t zÆ¡3Åt . C. ½ xÆ¡1Å2t yÆ¡2¡3t zÆ3Å4t . D. ½ xÆ¡1Å2t yÆ5¡3t zÆ¡7Å4t . Câu10. Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;¡1)cóvéc-tơchỉphương #  aÆ(4;¡6;2)là A. xÅ2 2 Æ y ¡3 Æ z¡1 1 . B. x¡4 2 Æ yÅ6 ¡3 Æ z¡2 1 . C. xÅ2 4 Æ y ¡6 Æ z¡1 2 . D. x¡2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ1 1 . Câu11. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3;¡1;0) và B(¡1;2;1) có phươngtrìnhthamsốlà A. ( xÆ3¡4t yÆ¡1Å3t zÆt . B. ( xÆ1Å3t yÆ2¡t zÆ¡t . C. ( xÆ3Åt yÆ¡1¡2t zÆ¡t . D. ( xÆ¡4Å3t yÆ3¡t zÆ1 . Câu12. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢: x¡4 1 Æ yÅ3 2 Æ z¡2 ¡1 . A. ¢: ( xÆ1¡4t yÆ2Å3t zÆ¡1¡2t . B. ¢: ( xÆ¡4Åt yÆ3Å2t zÆ¡2¡t . C. ¢: ( xÆ4Åt yÆ¡3Å2t zÆ2¡t . D. ¢: ( xÆ1Å4t yÆ2¡3t zÆ¡1Å2t . Câu13. TrongkhônggianOxyz,tìmvịtrítươngđốicủahaiđườngthẳng (d): ( xÆ6Å3t yÆ8Å4t zÆ11Å6t và ¡ d 0 ¢ : 8 < : xÆ7Å4t 0 yÆ10Å6t 0 zÆ6Åt 0 . A. Chéonhau. B. Songsong. C. Trùngnhau. D. Cắtnhau. -Lờigiải. BấmMTCTra tÆt 0 Æ¡1.Thayvàothoả)d\d 0 Æ(3;4;5). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 580 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu14. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d: x¡1 2 Æ y¡3 4 Æ z¡7 1 và d 0 : x¡6 3 Æ yÅ2 1 Æ zÅ1 ¡2 .Xácđịnhvịtrítươngđốicủahaiđườngthẳng d và d 0 . A. d và d 0 cắtnhau. B. d và d 0 chéonhau. C. d songsongvới d 0 . D. d vuônggócvới d 0 . Câu15. Trong không gian Oxyz, đường thẳng xÅ1 ¡3 Æ y 2 Æ z ¡1 vuông góc với mặt phẳng nào trongcácmặtphẳngsauđây? A. 6x¡4y¡2zÅ1Æ0. B. 6xÅ4y¡2zÅ1Æ0. C. 6x¡4yÅ2zÅ1Æ0. D. 6xÅ4yÅ2zÅ1Æ0. Câu16. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: xÅ3 2 Æ yÅ1 1 Æ z¡3 1 vàmặtphẳng(P): xÅ 2y¡zÅ5Æ0.Tìmtọađộgiaođiểm M củađườngthẳng d vàmặtphẳng (P). A. M(¡1;0;4). B. M(1;0;¡4). C. M µ 7 3 ; 5 3 ; 17 3 ¶ . D. M(¡5;¡2;2). Câu17. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(¡2;3;4). Tìm phương trình đường thẳng d qua M vàvuônggócvớimặtphẳng (Oxy). A. ( xÆ¡2 yÆ3Åt zÆ4 . B. ( xÆ¡2Åt yÆ3 zÆ4 . C. ( xÆ¡2 yÆ3 zÆ4Åt . D. ( xÆ¡2Åt yÆ3Åt zÆ4Åt . Câu18. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm G 0 đối xứng với điểm G(5;¡3;7) qua trục Oy. A. G 0 (¡5;3;¡7). B. G 0 (¡5;0;¡7). C. G 0 (¡5;¡3;¡7). D. G 0 (5;3;7). Câu19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): x¡yÅ2zÆ1. Trong các đườngthẳngsau,đườngthẳngnàovuônggócvới (®). A. d 1 : x 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z 2 . B. d 3 : x 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z ¡1 . C. d 2 : x 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z ¡1 . D. d 4 : ( xÆ2t yÆ0 zÆ¡t . -Lờigiải. Mặtphẳng (®): x¡yÅ2zÆ1cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (®) Æ(1;¡1;2). Đườngthẳng d 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u d 1 Æ(1;¡1;2)Æ #  n (®) .Suyra d 1 ?(®). Chọnđápán A ä Câu20. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 2 đi qua điểm nào dưới đây? A. Q(2;¡1;2). B. M(¡1;¡2;¡3). C. P(1;2;3). D. N(¡2;1;¡2). -Lờigiải. Thaylầnlượttọađộcácđiểmđãchovàophươngtrìnhcủađườngthẳng d,tacó Với M(¡1;¡2;¡3)thì ¡1¡1 2 6Æ ¡2¡2 ¡1 ,suyra d khôngđiquađiểm M. Với N(¡2;1;¡2)thì ¡2¡1 2 6Æ 1¡2 ¡1 ,suyra d khôngđiquađiểm N. Với P(1;2;3)thì 1¡1 2 Æ 2¡2 ¡1 Æ 3¡3 2 Æ0,suyra d điquađiểm P. VớiQ(2;¡1;2)thì 2¡1 2 6Æ ¡1¡2 ¡1 ,suyra d khôngđiquađiểmQ. Chọnđápán C ä Câu21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 1 Æ y¡2 3 Æ z ¡2 . Véc-tơnàodướiđâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủa d? A. (¡1;¡3;2). B. (1;3;2). C. (1;¡3;¡2). D. (¡1;3;2). -Lờigiải. Đườngthẳng d có #  uÆ(¡1;¡3;2)làvéc-tơchỉphương. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 581 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu22. Véc-tơ #  uÆ(1;2;¡5)làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳngnàosauđây? A. ( xÆ6¡t yÆ¡1¡2t zÆ5t . B. ( xÆt yÆ¡2t zÆ3¡5t . C. ( xÆ5Åt yÆ¡1Å2t zÆ5t . D. ( xÆ1Å2t yÆ2Å4t zÆ¡5Å6t . -Lờigiải. Đườngthẳng d: ( xÆ6¡t yÆ¡1¡2t zÆ5t cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  v Æ(¡1;¡2;5)cùngphươngvớivéc-tơ #  uÆ(1;2;¡5). Vậy #  uÆ(1;2;¡5)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d: ( xÆ6¡t yÆ¡1¡2t zÆ5t. Chọnđápán A ä Câu23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1¡t yÆ¡2Å2t zÆ1Åt . Vec-tơ nàodướiđâylàvec-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. A. (1;¡2;1). B. (1;2;1). C. (¡1;¡2;1). D. (¡1;2;1). -Lờigiải. Theolýthuyết. Chọnđápán D ä Câu24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1¡t yÆ¡2Å2t zÆ1Åt . Véc-tơ nào dướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  nÆ(1;¡2;1). B. #  nÆ(1;2;1). C. #  nÆ(¡1;¡2;1). D. #  nÆ(¡1;2;1). -Lờigiải. Dựavàophươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngdtacóvéc-tơchỉphươngcủadlà #  nÆ(¡1;2;1). Chọnđápán D ä Câu25. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: x¡2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z 1 .Đườngthẳng d cómột véc-tơchỉphươnglà A. #  u 1 Æ(¡1;2;1). B. #  u 2 Æ(2;1;0). C. #  u 3 Æ(2;1;1). D. #  u 4 Æ(¡1;2;0). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(¡1;2;1). Chọnđápán A ä Câu26. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(¡1;2;2). Đường thẳng đi qua M song song với Oycóphươngtrìnhlà: A. ( xÆ¡1 yÆ2Åt zÆ2 (t2R). B. ( xÆ¡1Åt yÆ2 zÆ2Åt (t2R). C. ( xÆ¡1Åt yÆ2 zÆ2 (t2R). D. ( xÆ¡1 yÆ2 zÆ2Åt (t2R). -Lờigiải. Oycóvéc-tơchỉphươnglà #  j Æ(0;1;0). Đườngthẳngđiqua M songsongvớiOycóphươngtrìnhlà ( xÆ¡1 yÆ2Åt zÆ2 (t2R). Chọnđápán A ä Câu27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1 yÆ2Å3t zÆ5¡t (t2R). Véc-tơ nàodướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  u 1 Æ(0;3;¡1). B. #  u 2 Æ(1;3;¡1). C. #  u 3 Æ(1;¡3;¡1). D. #  u 4 Æ(1;2;5). -Lờigiải. Véc-tơ #  u 1 Æ(0;3;¡1)làvéc-tơchỉphươngcủa d. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 582 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu28. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tọađộgiaođiểmMcủađườngthẳngd: x¡12 4 Æ y¡9 3 Æ z¡1 1 vàmặtphẳng (P): 3xÅ5y¡z¡2Æ0là A. M(0;2;3). B. M(0;0;¡2). C. M(0;0;2). D. M(0;¡2;¡3). -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d là ( xÆ12Å4t yÆ9Å3t zÆ1Åt (t2R). Tọađộgiaođiểmcủađườngthẳng d vàmặtphẳng (P)ứngvới tlànghiệmphươngtrình 3¢(12Å4t)Å5¢(9Å3t)¡(1Åt)¡2Æ0,tÆ¡3. Dođó,tọađộgiaođiểmcầntìmlà M(0;0;¡2). Chọnđápán B ä Câu29. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ1 yÆ2Å3t, (t2R) zÆ5¡t .Véc-tơ nàodướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  u 1 Æ(0;3;¡1). B. #  u 2 Æ(1;3;¡1). C. #  u 3 Æ(1;¡3;¡1). D. #  u 4 Æ(1;2;5). -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(0;3;¡1). Chọnđápán A ä Câu30. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tọađộgiaođiểmMcủađườngthẳngd: x¡12 4 Æ y¡9 3 Æ z¡1 1 vàmặtphẳng (P): 3xÅ5y¡z¡2Æ0là A. (0;2;3). B. (0;0;¡2). C. (0;0;2). D. (0;¡2;¡3). -Lờigiải. Tacó M2d nên M(12Å4t;9Å3t;1Åt)với t2R. Vì M2(P)nên 3(12Å4t)Å5(9Å3t)¡(1Åt)¡2Æ0,26tÅ78Æ0,tÆ¡3. Vậy M(0;0;¡2). Chọnđápán B ä Câu31. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,chođườngthẳng ( xÆ1¡t yÆ¡2Å2t 1Åt .Véc-tơnàodưới đâylàvéc-tơchỉphươngcủa d? A. (1;¡2;1). B. (1;2;1). C. (¡1;¡2;1). D. (¡1;2;1). -Lờigiải. Dựavàophươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngdtacóvéc-tơchỉphươngcủadlà #  nÆ(¡1;2;1). Chọnđápán D ä Câu32. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,chođườngthẳng ( xÆ1¡t yÆ¡2Å2t 1Åt .Véc-tơnàodưới đâylàvectơchỉphươngcủa d? A. (1;¡2;1). B. (1;2;1). C. (¡1;¡2;1). D. (¡1;2;1). -Lờigiải. Dựavàophươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngdtacóvéc-tơchỉphươngcủadlà #  nÆ(¡1;2;1). Chọnđápán D ä Câu33. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ z 3 điquađiểmnàodướiđây? A. (2;1;3). B. (3;1;2). C. (3;2;3). D. (3;1;3). -Lờigiải. Thaytọađộtừngđiểmvàophươngtrìnhđườngthẳng d.Tathấy M(3;1;3)2d. Chọnđápán D ä Câu34. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: x¡1 3 Æ y¡2 2 Æz¡3.Véc-tơnàodướiđây làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? Th.sNguyễnChínEm 583 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. #  u 1 Æ(3;2;1). B. #  u 2 Æ(3;2;0). C. #  u 3 Æ(3;2;3). D. #  u 4 Æ(1;2;3). -Lờigiải. Đườngthẳng d: x¡1 3 Æ y¡2 2 Æz¡3cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(3;2;1). Chọnđápán A ä Câu35. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;2) và vuông góc với đườngthẳng (d): x 2 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ2 3 cóphươngtrìnhlà A. 2x¡yÅ3zÅ8Æ0. B. 2xÅy¡3zÅ8Æ0. C. 2x¡yÅ3z¡8Æ0. D. 2xÅy¡3z¡8Æ0. -Lờigiải. Vì (d)?(P)nên #  u d Æ(2;¡1;3)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). Phươngtrìnhmặtphẳng (P): 2(x¡1)¡yÅ3(z¡2)Æ0,2x¡yÅ3z¡8Æ0. Chọnđápán C ä Câu36. Trongkhônggianvớihệtọađộ(Oxyz),đườngthẳngđiqua A(1;1;1)vàvuônggócvới mặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhthamsốlà A. ( xÆ1Åt yÆ1 zÆ1 . B. ( xÆ1 yÆ1 zÆ1Åt . C. ( xÆ1Åt yÆ¡1 zÆ1 . D. ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ1 . -Lờigiải. Đườngthẳngcầntìmđiqua A(1;1;1)cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(0;0;1)cóphươngtrìnhlà ( xÆ1 yÆ1 zÆ1Åt. Chọnđápán B ä Câu37. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,phươngtrìnhmặtphẳngđiquagốctọađộvà vuônggócvớiđườngthẳng (d): x 1 Æ y 1 Æ z 1 là A. xÅyÅzÅ1Æ0. B. x¡y¡zÆ1. C. xÅyÅzÆ1. D. xÅyÅzÆ0. -Lờigiải. Mặt phẳng cần tìm đi qua O(0;0;0) và có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ(1;1;1) có phương trình là xÅyÅzÆ0. Chọnđápán D ä Câu38. Trong không gian Oxyz, cho E(¡1;0;2) và F(2;1;¡5). Phương trình đường thẳng EF là A. x¡1 3 Æ y 1 Æ zÅ2 ¡7 . B. xÅ1 3 Æ y 1 Æ z¡2 ¡7 . C. x¡1 1 Æ y 1 Æ zÅ2 ¡3 . D. xÅ1 1 Æ y 1 Æ z¡2 3 . -Lờigiải. Đườngthẳng EF điquađiểm E(¡1;0;2)vàcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ #  EFÆ(3;1;¡7),nên cóphươngtrìnhchínhtắclà xÅ1 3 Æ y 1 Æ z¡2 ¡7 . Chọnđápán B ä Câu39. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,đườngthẳngd: x¡1 2 Æ y¡3 ¡4 Æ z¡7 1 nhậnvéc-tơ nàodướiđâylàmộtvéc-tơchỉphương? A. (¡2;¡4;1). B. (2;4;1). C. (1;¡4;2). D. (2;¡4;1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là (2;¡4;1). Chọnđápán D ä Câu40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. B. x 1 ¡ y 2 Å z 3 Æ1. C. x 1 Å y 2 Å z 3 Æ0. D. ¡ x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. -Lờigiải. Tacó A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).Khiđó,phươngtrìnhmặtphẳng (ABC)là x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1. Th.sNguyễnChínEm 584 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu41. Trong không gian Oxyz, véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d: ( xÆ1Åt yÆ4 zÆ3¡2t ? A. #  uÆ(1;4;3). B. #  uÆ(1;4;¡2). C. #  uÆ(1;0;¡2). D. #  uÆ(1;0;2). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  uÆ(1;0;¡2). Chọnđápán C ä Câu42. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 3 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡3 1 và điểm A(0;¡3;1). Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng d là A. 3x¡2yÅzÅ5Æ0. B. 3x¡2yÅz¡7Æ0. C. 3x¡2yÅz¡10Æ0. D. 3x¡2yÅz¡5Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(3;¡2;1). Mặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới d nhận #  u làmvéc-tơpháptuyến. Vậyphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà 3(x¡0)¡2(yÅ3)Å1(z¡1)Æ0,3x¡2yÅz¡7Æ0. Chọnđápán B ä Câu43. Tronghệtọađộ Oxyz,chođườngthẳng¢: x¡x 0 a Æ y¡y 0 b Æ z¡z 0 c .Điểm M nằmtrên ¢thìtọađộcủa M códạngnàosauđây? A. M(aÅx 0 t;bÅy 0 t;cÅz 0 t). B. M(at;bt;ct). C. M(x 0 Åat;y 0 Åbt;z 0 Åct). D. M(x 0 t;y 0 t;z 0 t). -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủa¢là ( xÆx 0 Åat yÆy 0 Åbt zÆz 0 Åat .Dođótọađộđiểmcódạng M(x 0 Åat;y 0 Åbt;z 0 Åct). Chọnđápán C ä Câu44. TronghệtọađộOxyz,chođườngthẳngd: x¡1 2 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡1 1 cắtmặtphẳng(P): 2x¡ 3yÅz¡2Æ0tạiđiểm I(a;b;c).Khiđó aÅbÅc bằng A. 7. B. 3. C. 9. D. 5. -Lờigiải. Tacó d: ( xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ1Åt .Thayvàophươngtrìnhmặtphẳng (P)tađược 2(1Å2t)¡3(3¡t)Å(1Åt)¡2Æ0,8t¡8Æ0,tÆ1. Suyratọađộđiểm I là (3;2;2))aÅbÅcÆ7. Chọnđápán A ä Câu45. Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d: xÅ2 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡3 ¡1 ? A. (¡2;1;¡3). B. (2;1;3). C. (¡3;2;1). D. (3;¡2;1). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d: xÅ2 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡3 ¡1 là #  u 1 Æ(3;¡2;¡1). Tacó #  u 2 Æ(¡3;2;1)cùngphươngvới #  u 1 nêncũnglàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳngđãcho. Chọnđápán C ä Câu46. Trong không gian với tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(1;¡2;3) và có véc-tơ chỉphương #  uÆ(2;¡1;¡2)cóphươngtrìnhlà A. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 2 . B. x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . Th.sNguyễnChínEm 585 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 ¡2 . D. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡3 ¡2 . -Lờigiải. Đường thẳng đi qua điểm A(1;¡2;3) và có véc-tơ chỉ phương #  uÆ(2;¡1;¡2) có phương trình là x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . Chọnđápán B ä Câu47. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và có véc-tơ chỉ phương #  uÆ(2;3;4)cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ1 yÆ3t zÆ4t . B. ( xÆ2 yÆ3 zÆ4 . C. ( xÆ2t yÆ4t zÆ3t . D. ( xÆ2t yÆ3t zÆ4t . -Lờigiải. ĐườngthẳngđiquagốctọađộO(0;0;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;3;4)cóphươngtrìnhlà ( xÆ0Å2t yÆ0Å3t zÆ0Å4t , ( xÆ2t yÆ3t zÆ4t. Chọnđápán D ä Câu48. Trongkhônggian Oxyz chođườngthẳng¢cóphươngtrìnhchínhtắc x¡3 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z 1 .Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢là A. ( xÆ2Å3t yÆ¡3¡t zÆt . B. ( xÆ3Å2t yÆ¡1¡3t zÆt . C. ( xÆ¡3Å2t yÆ1¡3t zÆt . D. ( xÆ¡3¡2t yÆ1Å3t zÆt . -Lờigiải. Từphươngtrìnhchínhtắccủa¢tacóvéc-tơchỉphương #  u ¢ Æ(2;¡3;1)vàđiquađiểm (3;¡1;0) nênphươngtrìnhthamsốcủa¢là ( xÆ3Å2t yÆ¡1¡3t zÆt. Chọnđápán B ä Câu49. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ zÅ2 ¡2 . Điểm nào dướiđâykhôngthuộcđườngthẳng d? A. M(3;¡2;¡4). B. N(1;¡1;¡2). C. P(¡1;0;0). D. Q(¡3;1;¡2). -Lờigiải. Thaytọađộđiểm M, N, P,Q vàophươngtrìnhđườngthẳng d,tathấyQ62d. Chọnđápán D ä Câu50. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;3)vàcóvéc-tơchỉphương #  aÆ(1;¡4;¡5)là A. x¡1 1 Æ y¡2 ¡4 Æ z¡3 ¡5 . B. ( xÆ1Åt yÆ¡4Å2t zÆ¡5Å3t . C. x¡1 1 Æ yÅ4 2 Æ zÅ5 3 . D. ( xÆ1¡t yÆ2Å4t zÆ3Å5t . -Lờigiải. Do d cóvéc-tơchỉphương #  aÆ(1;¡4;¡5)nên d cũngcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡1;4;5). Vậyphươngtrìnhthamsốcủa d: ( xÆ1¡t yÆ2Å4t zÆ3Å5t. Chọnđápán D ä Câu51. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng dđiquađiểm M,nhậnvéc-tơ #  a làmvéc-tơ chỉ phương và đường thẳng d 0 đi qua điểm M 0 , nhận véc-tơ #  a 0 làm véc-tơ chỉ phương. Điều kiệnđểđườngthẳng d songsongvới d 0 là A. ½ #  aÆk #  a 0 ,(k6Æ0) M62d 0 . B. ½ #  aÆk #  a 0 ,(k6Æ0) M2d 0 . C. ½ #  aÆ #  a 0 M2d 0 . D. ½ #  a6Æk #  a 0 ,(k6Æ0) M62d 0 . Th.sNguyễnChínEm 586 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Điềukiệnđể dÒd 0 là ½ #  aÆk #  a 0 ,(k6Æ0) M62d 0 . Chọnđápán A ä Câu52. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng¢vuônggócvớimặtphẳng(®): xÅ2zÅ3Æ0. Mộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là A. #  b(2;¡1;0). B. #  v(1;2;3). C. #  a(1;0;2). D. #  u(2;0;¡1). -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;0;2). ¢vuônggócvới (®)nêncóvéc-tơchỉphươnglà #  aÆ #  nÆ(1;0;2). Chọnđápán C ä Câu53. Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d): xÅ3 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 2 đi qua điểm nào dưới đây? A. (1;¡1;2). B. (¡3;2;1). C. (3;2;1). D. (3;¡2;¡1). -Lờigiải. Xétđiểm (1;¡1;2),tacó 1Å3 1 Æ26Æ ¡1¡2 ¡1 Æ3)điểmnàykhôngthuộcđườngthẳng (d). Xétđiểm (¡3;2;1),tacó ¡3Å3 1 Æ 2¡2 ¡1 Æ 1¡1 2 Æ0)điểmnàythuộc d. Xétđiểm (3;2;1),tacó 3Å3 1 Æ66Æ 0 ¡1 Æ0)điểmnàykhôngthuộc d. Xétđiểm (3;¡2;¡1),tacó 3Å3 1 Æ66Æ ¡2¡2 ¡1 Æ4)điểmnàykhôngthuộc d. Chọnđápán B ä Câu54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (®): xÅ3y¡5zÅ6Æ0và (¯): x¡yÅ3z¡6Æ0.Phươngtrìnhthamsốcủa d là A. ( xÆ¡3¡t yÆ3Å2t zÆt (t2R). B. ( xÆ1Åt yÆ1¡2t zÆ2¡t (t2R). C. ( xÆ3Åt yÆ¡3Å2t zÆ3t (t2R). D. ( xÆ¡1¡t yÆ¡1Å2t zÆ2¡t (t2R). -Lờigiải. Nhậnthấy A(1;1;2)và B(2;¡1;1)đềuthuộc (®)và (¯)nênchúngcũngthuộcđườngthẳng d. Tacó #  ABÆ(1;¡2;¡1)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa d. Khiđóphươngtrìnhthamsốcủa d là ( xÆ1Åt yÆ1¡2t zÆ2¡t (t2R). Chọnđápán B ä Câu55. Trongkhônggian Oxyz,đườngthẳngnàosauđâynhận #  uÆ(2;1;1)làmộtvéc-tơchỉ phương? A. x¡2 1 Æ y¡1 2 Æ z¡1 3 . B. x 2 Æ y¡1 1 Æ z¡2 ¡1 . C. x¡1 ¡2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z ¡1 . D. xÅ2 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ zÅ1 1 . -Lờigiải. Đường thẳng nhận #  u Æ(2;1;1) là một véc-tơ chỉ phương suy ra ¡ #  u Æ(¡2;¡1;¡1) cũng là một véc-tơchỉphương. Vậyđườngthẳng x¡1 ¡2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z ¡1 nhận #  uÆ(2;1;1)làmộtvéc-tơchỉphương. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 587 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu56. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng¢ đi qua điểm M(2;0;¡1) và có một véc-tơ chỉphương #  aÆ(4;¡6;2).Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢là A. ( xÆ¡2Å4t yÆ6t zÆ1Å2t . B. ( xÆ4Å2t yÆ¡6 zÆ2Åt . C. ( xÆ¡2Å2t yÆ3t zÆ1Åt . D. ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt . -Lờigiải. Phương trình đường thẳng¢ đi qua điểm M(2;0;¡1) và có một véc-tơ chỉ phương #  a Æ(4;¡6;2) cóphươngtrìnhthamsốlà ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt. Chọnđápán D ä Câu57. TrongkhônggianOxyz,điểmnàodướiđâythuộcđườngthẳng d: ( xÆ1Å2t yÆ¡3Åt zÆ4Å5t ? A. P(3;¡2;¡1). B. N(2;1;5). C. M(1;¡3;4). D. Q(4;1;3). -Lờigiải. Thaylầnlượttọađộcácđiểmvàophươngtrìnhđưởngthẳng d,tathấy M2d. Chọnđápán C ä Câu58. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳngd: x¡1 3 Æ y¡5 2 Æ zÅ2 ¡5 cómộtvéc-tơchỉphương là A. #  uÆ(1;5;¡2). B. #  uÆ(3;2;¡5). C. #  uÆ(¡3;2;¡5). D. #  uÆ(2;3;¡5). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ(3;2;¡5). Chọnđápán B ä Câu59. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1¡2t yÆ¡2Å2t zÆ1Åt . Véc-tơ nào dưới đây là véc-tơchỉphươngcủa d? A. #  uÆ(¡2;2;1). B. #  uÆ(1;¡2;1). C. #  uÆ(2;¡2;1). D. #  uÆ(¡2;¡2;1). -Lờigiải. Đườngthẳng d: ( xÆ1¡2t yÆ¡2Å2t zÆ1Åt cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡2;2;1). Chọnđápán A ä Câu60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ5¡t (t2R). Đườngthẳng d khôngđiquađiểmnàosauđây? A. Q(¡1;¡1;6). B. N(2;3;¡1). C. P(3;5;4). D. M(1;2;5). -Lờigiải. Đườngthẳng d códạngphươngtrìnhchínhtắclà x¡1 2 Æ y¡2 3 Æ z¡5 ¡1 . Đườngthẳng d khôngđiquađiểm N(2;3;¡1)vìthaytọađộđiểm N vàođườngthẳng d không thỏamãncácđẳngthức. Chọnđápán B ä Câu61. TronghệtọađộOxyz,chođườngthẳng d: x¡1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ2 3 .Phươngtrìnhnàosau đâylàphươngtrìnhthamsốcủa d? A. ( xÆ1 yÆ2¡t zÆ¡2Å3t . B. ( xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ1Å3t . C. ( xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ¡2Å3t . D. ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ1¡t . -Lờigiải. Đườngthẳng d điquađiểm A(1;2;¡2)vànhậnvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;¡2;3)códạngphương trìnhthamsốlà ( xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ¡2Å3t (với t2R). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 588 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu62. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng¢: ( xÆ1Å3t yÆ2t zÆ3Åt ,(t2R).Mộtvéc-tơchỉphương của¢cótọađộlà A. (¡3;¡2;¡1). B. (1;2;3). C. (3;2;1). D. (1;0;3). -Lờigiải. Từphươngtrìnhđườngthẳngcủa¢,tacómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(3;2;1). Chọnđápán C ä Câu63. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng d: xÅ3 1 Æ y¡2 ¡4 Æ zÅ1 2 .Đường thẳng d cómộtvéc-tơchỉphươngcótọađộlà A. (1;4;2). B. (¡4;1;2). C. (1;¡4;2). D. (¡3;2;¡1). -Lờigiải. Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta suy ra đường thẳng d có một véc-tơ chỉ phươngcótọađộlà (1;¡4;2). Chọnđápán C ä Câu64. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,đườngthẳng¢: ( xÆ2¡t yÆ1 zÆ¡2Å3t khôngđiquađiểm nàosauđây? A. M(2;1;¡2). B. P(4;1;¡4). C. Q(3;1;¡5). D. N(0;1;4). -Lờigiải. Kiểmtrathấyđiểm P(4;1;¡4)khôngthỏamãnphươngtrìnhđườngthẳng¢. Chọnđápán B ä Câu65. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ2 1 . Mặtphẳngnàotrongcácmặtphẳngsauđâyvuônggócvớiđườngthẳng d. A. (T): xÅyÅ2zÅ1Æ0. B. (P): x¡2yÅzÅ1Æ0. C. (Q): x¡2y¡zÅ1Æ0. D. (R): xÅyÅzÅ1Æ0. -Lờigiải. Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương #  u Æ(1;¡2;1). Mặt phẳng vuông góc với d nhận véc-tơ #  u làmvéc-tơpháptuyến.Dođó (P)làmặtphẳngthỏamãn. Chọnđápán B ä Câu66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi quađiểm M(2;¡1;3)vàcóvéc-tơchỉphương #  u(1;2;¡4)là A. xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡4 3 . B. x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ4 3 . C. xÅ2 1 Æ y¡1 2 Æ zÅ3 ¡4 . D. x¡2 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡3 ¡4 . -Lờigiải. Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;¡1;3) và có véc-tơ chỉ phương #  u(1;2;¡4)là x¡2 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡3 ¡4 . Chọnđápán D ä Câu67. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(3;¡2;1).Đườngthẳngnàosauđâyđiqua A? A. ¢ 1 : x¡3 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . B. ¢ 2 : x¡3 4 Æ yÅ2 ¡2 Æ zÅ1 ¡1 . C. ¢ 3 : xÅ3 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . D. ¢ 4 : x¡3 4 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡1 ¡1 . -Lờigiải. Vì 3¡3 1 Æ ¡2Å2 1 Æ 1¡1 2 Æ0nênđườngthẳng¢ 1 : x¡3 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 điqua A. Vì 3¡3 4 Æ ¡2Å2 ¡2 6Æ 1Å1 ¡1 nênđườngthẳng¢ 2 : x¡3 4 Æ yÅ2 ¡2 Æ zÅ1 ¡1 khôngđiqua A. Vì 3Å3 1 6Æ ¡2Å2 1 nênđườngthẳng¢ 3 : xÅ3 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 khôngđiqua A. Th.sNguyễnChínEm 589 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì 3¡3 4 6Æ ¡2¡2 ¡2 nênđườngthẳng¢ 4 : x¡3 4 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡1 ¡1 khôngđiqua A. Chọnđápán A ä Câu68. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳng ( xÆ2Åt yÆ3¡t zÆ¡2Åt điquađiểmnàosauđây? A. M(1;2;¡1). B. N(3;2;¡1). C. P(3;¡2;¡1). D. Q(¡3;¡2;1). -Lờigiải. Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng, suy ra điểm N(3;2;¡1) thuộc đường thẳng. Chọnđápán B ä Câu69. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng¢: xÅ1 ¡3 Æ y¡2 2 Æ zÅ1 1 . Tọa độ một véc-tơ chỉphươngcủađườngthẳng¢là A. (3;¡2;¡1). B. (¡3;2;0). C. (¡1;2;¡1). D. (1;¡2;1). -Lờigiải. ¢cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡3;2;1)Æ¡(3;¡2;¡1). Chọnđápán A ä Câu70. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): x¡2yÆ0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. (®)Ò(Oxy). B. (®)ÒOz. C. Oz½(®). D. Oy½(®). -Lờigiải. Mặt phẳng (®): x¡2yÆ0 đi qua hai điểm O(0;0;0) và A(0;0;1), mà đây là hai điểm nằm trên trụcOz nênmặtphẳng (®)chứatrụcOz. Chọnđápán C ä Câu71. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;¡2;0),B(3;2;¡8).Tìmmộtvéc-tơchỉphương củađườngthẳng AB. A. #  uÆ(1;2;¡4). B. #  uÆ(2;4;8). C. #  uÆ(¡1;2;¡4). D. #  uÆ(1;¡2;¡4). -Lờigiải. Một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng AB là #  ABÆ(2;4;¡8). Suy ra #  uÆ(1;2;¡4) cũng là một véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Chọnđápán A ä Câu72. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x¡2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z 1 . Đường thẳng d có một véc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(2;1;1). B. #  uÆ(¡1;2;0). C. #  uÆ(¡1;2;1). D. #  uÆ(2;1;0). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡1;2;1). Chọnđápán C ä Câu73. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : xÅ5 2 Æ y¡7 ¡8 Æ zÅ13 9 có một véc-tơ chỉ phươnglà A. #  u 1 Æ(2;¡8;9). B. #  u 4 Æ(2;8;9). C. #  u 2 Æ(¡5;7;¡13). D. #  u 3 Æ(5;¡7;¡13). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(2;¡8;9). Chọnđápán A ä Câu74. Trong không gian tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm I(1;¡1;¡1) và nhận #  u Æ (¡2;3;¡5)làmvéc-tơchỉphươngcóphươngtrìnhchínhtắclà A. xÅ1 ¡2 Æ y¡1 3 Æ z¡1 ¡5 . B. x¡1 ¡2 Æ yÅ1 3 Æ zÅ1 ¡5 . C. x¡1 ¡2 Æ yÅ1 3 Æ zÅ1 5 . D. x¡1 2 Æ yÅ1 3 Æ zÅ1 ¡5 . -Lờigiải. Phươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳngđiqua I(1;¡1;¡1)vànhận #  uÆ(¡2;3;¡5)làvéctơchỉ phươnglà x¡1 ¡2 Æ yÅ1 3 Æ zÅ1 ¡5 . Th.sNguyễnChínEm 590 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu75. Trongkhônggian Oxyz,tọađộnàosauđâylàtọađộcủamộtvéc-tơchỉphươngcủa đườngthẳng¢: ( xÆ2Å4t yÆ1¡6t zÆ9t , (t2R)? A. µ 1 3 ;¡ 1 2 ; 3 4 ¶ . B. µ 1 3 ; 1 2 ; 3 4 ¶ . C. (2;1;0). D. (4;¡6;0). -Lờigiải. Đườngthẳng¢: ( xÆ2Å4t yÆ1¡6t zÆ97 cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(4;¡6;9). Suyra 1 12 #  uÆ µ 1 3 ;¡ 1 2 ; 3 4 ¶ . Chọnđápán A ä Câu76. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): ( xÆ2 yÆ¡3Åt zÆ¡1Åt . Một véc-tơ chỉphươngcủađườngthẳng (d)là A. #  u 1 Æ(0;¡1;¡1). B. #  u 2 Æ(2;1;1). C. #  u 3 Æ(2;¡3;¡1). D. #  u 4 Æ(2;¡1;¡1). -Lờigiải. Tathấy #  u 1 Æ(0;¡1;¡1)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng (d). Chọnđápán A ä Câu77. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: xÅ4 ¡2 Æ y¡5 ¡1 Æ z 3 .Đườngthẳng d cómột vec-tơchỉphươnglà A. #  u 1 (2;1;¡3). B. #  u 1 (4;¡5;0). C. #  u 1 (¡2;1;3). D. #  u 1 (¡4;5;3). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 (2;1;¡3). Chọnđápán A ä Câu78. TrongkhônggiantọađộOxyz,đườngthẳngOz cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ0 yÆt zÆt . B. ( xÆ0 yÆ0 zÆ1Åt . C. ( xÆt yÆ0 zÆ0 . D. ( xÆ0 yÆt zÆ0 . -Lờigiải. MộtđiểmthuộcOz khivàchỉkhihoànhđộ,tungđộcủađiểmđóđồngthờibằng 0. Trongcácphươngtrìnhđãcho,phươngtrìnhcủaOz là ( xÆ0 yÆ0 zÆ1Åt. Chọnđápán B ä Câu79. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,đườngthẳng d: ( xÆ1¡2t yÆt zÆ3¡t khôngđiquađiểm nàodướiđây? A. (3;¡1;4). B. (¡1;1;2). C. (1;0;3). D. (3;¡1;2). -Lờigiải. Tacó d: x¡1 ¡2 Æ y 1 Æ z¡3 ¡1 . Điểm (3;¡1;4)có 3¡1 ¡2 Æ ¡1 1 Æ 4¡3 ¡1 Æ¡1)điểmnàythuộc d. Điểm (¡1;1;2)có ¡1¡1 ¡2 Æ 1 1 Æ 2¡3 ¡1 Æ1)điểmnàythuộc d. Điểm (1;0;3)có 1¡1 ¡2 Æ 0 1 Æ 3¡3 ¡1 Æ0)điểmnàythuộc d. Điểm (3;¡1;2)có 3¡1 ¡2 Æ¡16Æ ¡1 ¡1 Æ1)điểmnàykhôngthuộc d. Th.sNguyễnChínEm 591 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu80. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ1 yÆ2Å3t zÆ5¡t ,(t2R).Véc-tơnàosauđâylà véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  uÆ(1;2;5). B. #  uÆ(1;¡3;¡1). C. #  uÆ(0;3;¡1). D. #  uÆ(1;3;¡1). -Lờigiải. Dựa vào định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng, ta suy ra véc-tơ chỉ phương của đườngthẳng d là #  uÆ(0;3;¡1). Chọnđápán C ä Câu81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;1),B(¡1;¡2;0),C(2;1;¡1). Đườngthẳng¢điqua C vàsongsongvới AB cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ2Åt yÆ1Å2t zÆ¡1Åt ,(t2R). B. ( xÆ2Åt yÆ1¡2t zÆ¡1Åt ,(t2R). C. ( xÆ2Åt yÆ1Å2t zÆ¡1¡t ,(t2R). D. ( xÆ2¡t yÆ1Å2t zÆ¡1Åt ,(t2R). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  BAÆ(1;2;1). Vậyphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢là ( xÆ2Åt yÆ1Å2t zÆ¡1Åt ,(t2R). Chọnđápán A ä Câu82. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chophươngtrìnhđườngthẳng¢: ( xÆ1Å2t yÆ¡1Å3t zÆ2¡t. Trongcácđiểmcótọađộdướiđây,điểmnàothuộcđườngthẳng¢? A. (1;4;¡5). B. (¡1;¡4;3). C. (2;1;1). D. (¡5;¡2;¡8). -Lờigiải. Thaytọađộcácđiểmvàphươngtrìnhđườngthẳng¢,tathấy ( ¡1Æ1Å2t ¡4Æ¡1Å3t 3Æ2¡t ,tÆ¡1)M(¡1;¡4;3)2¢. Chọnđápán B ä Câu83. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;3) và B(0;1;2). Đường thẳng d đi qua haiđiểm A, B cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  u 1 Æ(1;3;1). B. #  u 2 Æ(1;¡1;¡1). C. #  u 3 Æ(1;¡1;5). D. #  u 4 Æ(1;¡3;1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủa d là #  BAÆ(1;¡3;1). Chọnđápán D ä Câu84. Trongkhônggian Oxyz,đườngthẳng d: xÅ2 3 Æ y¡3 2 Æ z¡1 1 khôngđiquađiểmnào dướiđây? A. Q(¡2;3;1). B. M(4;7;0). C. P(1;5;2). D. N(¡5;1;0). -Lờigiải. Tathấyđiểm M(4;7;0)khôngthuộcđườngthẳng d vì 4Å2 3 Æ 7¡3 2 6Æ 0¡1 1 . Chọnđápán B ä Câu85. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: x ¡1 Æ yÅ2 2 Æ z¡1 2 đi qua điểm nào dưới đây? A. M(¡1;2;2). B. M(¡1;0;3). C. M(0;2;¡1). D. M(1;¡2;¡2). Th.sNguyễnChínEm 592 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Tacó ¡1 ¡1 Æ 0Å2 2 Æ 3¡1 2 Æ1nênđiểm M(¡1;0;3)thuộcđườngthẳng d. Chọnđápán B ä Câu86. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳng d: ( xÆ2¡t yÆ1Å2t zÆ3Åt cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  u 3 Æ(2;1;3). B. #  u 4 Æ(¡1;2;1). C. #  u 2 Æ(2;1;1). D. #  u 1 Æ(¡1;2;3). -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  u 4 Æ(¡1;2;1). Chọnđápán B ä Câu87. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳngd: xÅ3 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡5 2 cómộtvéc-tơchỉphương là A. #  u 1 Æ(3;¡1;5). B. #  u 4 Æ(1;¡1;2). C. #  u 2 Æ(¡3;1;5). D. #  u 3 Æ(1;¡1;¡2). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủacủađườngthẳng d là #  uÆ(1;¡1;2). Chọnđápán B ä Câu88. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d: xÅ2 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 2 ? A. P(1;1;2). B. N(2;¡1;2). C. Q(¡2;1;¡2). D. M(¡2;¡2;1). -Lờigiải. Đườngthẳng d: xÅ2 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 2 điquađiểmQ(¡2;1;¡2). Chọnđápán C ä Câu89. TrongkhônggianOxyz,điểmnàodướiđâythuộcđườngthẳng d: ( xÆ1¡t yÆ5Åt zÆ2Å3t ? A. P(1;2;5). B. N(1;5;2). C. Q(¡1;1;3). D. M(1;1;3). -Lờigiải. Đườngthẳng d điquađiểm N(1;5;2). Chọnđápán B ä Câu90. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng thẳng d: x¡3 2 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ5 3 . Tìm tọa độ mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. A. #  aÆ(2;¡1;3). B. #  b Æ(2;1;3). C. #  c Æ(3;1;¡5). D. #  dÆ(¡3;1;5). -Lờigiải. Vìđườngthẳng d: x¡3 2 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ5 3 nêntọađộcủavéc-tơchỉphươnglà (2;¡1;3). Chọnđápán A ä Câu91. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x¡1 3 Æ y¡2 2 Æz¡3.Véc-tơnàolàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  uÆ(3;2;3). B. #  uÆ(1;2;3). C. #  uÆ(3;2;0). D. #  uÆ(3;2;1). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(3;2;1). Chọnđápán D ä Câu92. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi quahaiđiểmO và A(¡2;1;3)là A. ( xÆ¡2Å2t yÆ1¡t zÆ3Å3t . B. xÅ2 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡3 ¡3 . Th.sNguyễnChínEm 593 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. ( xÆ¡2t yÆt zÆ3t . D. x ¡2 Æ y ¡1 Æ z 3 . -Lờigiải. Véc-tơchỉphương #  uÆ #  AOÆ(2;¡1;¡3)vàđiqua A nênphươngtrìnhchínhtắclà xÅ2 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡3 ¡3 . Chọnđápán B ä Câu93. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x ¡2 Æ y¡2 1 Æ zÅ1 3 . Một véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là A. #  u 2 Æ(1;¡2;1). B. #  u 4 Æ(2;¡1;¡3). C. #  u 1 Æ(0;2;¡1). D. #  u 3 Æ(¡2;¡1;3). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  uÆ(¡2;1;3).Do #  u 4 Æ¡ #  u nêncũnglàmộtvéc-tơ chỉphươngcủađườngthẳng d. Chọnđápán B ä Câu94. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 1 Æ y¡1 3 Æ z ¡1 . Đường thẳng d có mộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  u 1 Æ(1;3;¡1). B. #  u 2 Æ(2;1;0). C. #  u 3 Æ(1;3;1). D. #  u 4 Æ(¡1;2;0). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủa d cótọađộlà (1;3;¡1). Chọnđápán A ä Câu95. TrongkhônggianvớihệtọaOxyz,tìmphươngtrìnhthamsốcủatrụcOz? A. ( xÆt yÆt zÆt . B. ( xÆt yÆ0 zÆ0 . C. ( xÆ0 yÆ0 zÆt . D. ( xÆ0 yÆt zÆ0 . -Lờigiải. TrụcOzquađiểmO(0;0;0)vànhậnvéc-tơđơnvị #  k Æ(0;0;1)làmvéc-tơchỉphương.Dođótrục Oz cóphươngtrìnhlà ( xÆ0 yÆ0 zÆt . Chọnđápán C ä Câu96. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ¢ có phương trình chính tắc là x¡2 ¡1 Æ y¡7 2 Æ zÅ4 5 .Véc-tơnàodướiđâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢? A. #  uÆ(¡2;¡7;4). B. #  uÆ(1;2;5). C. #  uÆ(¡1;2;5). D. #  uÆ(2;7;¡4). -Lờigiải. Dễthấymộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  uÆ(¡1;2;5). Chọnđápán C ä Câu97. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 ¡2 Æ y¡2 1 Æ z¡3 5 . Đường thẳng d có mộtvectơchỉphươnglà A. #  u 4 Æ(¡2;1;¡5). B. #  u 1 Æ(2;¡1;¡5). C. #  u 2 Æ(2;1;5). D. #  u 3 Æ(1;2;3). -Lờigiải. Theolýthuyết. Chọnđápán B ä Câu98. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: xÅ2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ zÅ3 1 . Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(¡2;1;¡3). B. #  uÆ(¡1;2;1). C. #  uÆ(2;1;1). D. #  uÆ(¡1;2;0). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡1;2;1). Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 594 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu99. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z 1 . Đường thẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(2;1;1). B. #  uÆ(2;1;0). C. #  uÆ(¡1;2;1). D. #  uÆ(¡1;2;0). -Lờigiải. Đườngthẳng d: x¡2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z 1 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡1;2;1). Chọnđápán C ä Câu100. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;¡2;3) và có vectơchỉphương #  uÆ(2;¡1;6)là A. x¡2 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡6 3 . B. xÅ2 1 Æ y¡1 ¡2 Æ zÅ6 3 . C. x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 6 . D. xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 6 . -Lờigiải. Phươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳngđiqua A(1;¡2;3)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;¡1;6) là x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 6 . Chọnđápán C ä Câu101. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình ( xÆ¡1Å2t yÆ2Å3t zÆ1¡t . Đường thẳng d 0 songsongvới d cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(¡2;3;0). B. #  uÆ(¡1;2;1). C. #  uÆ(2;3;1). D. #  uÆ(¡2;¡3;1). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  u d Æ(2;3;¡1)Æ¡(¡2;¡3;1). Do d 0 songsongvới d nên d 0 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;¡3;1). Chọnđápán D ä Câu102. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : ( xÆ1¡t yÆ¡2Å2t zÆ1Åt . Véc-tơ nào dưới đây là mộtvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  nÆ(¡1;¡2;1). B. #  nÆ(¡1;2;1). C. #  nÆ(1;¡2;1). D. #  nÆ(1;2;1). -Lờigiải. Đường thẳng¢: ( xÆx 0 Åat yÆy 0 Åbt zÆz 0 Åct có một vec-tơ chỉ phương là (a;b;c). Do đó, từ phương trình d, ta thấy #  nÆ(¡1;2;1)làmộtvec-tơchỉphươngcủa d. Chọnđápán B ä Câu103. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d: ( xÆ2Å3t yÆ5¡t zÆ2 có một véc-tơ chỉ phươnglà A. #  u 1 Æ(3;¡1;0). B. #  u 2 Æ(2;5;0). C. #  u 3 Æ(¡3;1;2). D. #  u 4 Æ(3;¡1;2). -Lờigiải. Đườngthẳng d: ( xÆ2Å3t yÆ5¡t zÆ2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(3;¡1;0). Chọnđápán A ä Câu104. TrongkhônggianOxyzchođườngthẳng d: x¡1 2 Æ yÅ2 3 Æz¡3.Véc-tơnàodướiđây làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d ? A. #  uÆ(2;3;1). B. #  uÆ(2;3;0). C. #  uÆ(1;2;3). D. #  uÆ(1;¡2;3). -Lờigiải. Theo định nghĩa về phương trình chính tắc ta có #  u Æ(2;3;1) là một véc-tơ chỉ phương của đườngthẳng d: x¡1 2 Æ yÅ2 3 Æ x¡3 1 . Th.sNguyễnChínEm 595 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu105. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z 3 . Điểm nào sau đây khôngthuộcđườngthẳng d? A. N(¡1;2;0). B. P(3;0;6). C. Q(1;1;3). D. M(2;¡1;3). -Lờigiải. Thaytọađộđiểm M(2;¡1;3)vào d tađược 3 2 6Æ ¡3 ¡1 6Æ 3 3 .Vậy MÝd. Chọnđápán D ä Câu106. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;¡1;3), B(1;0;1), C(¡1;1;2). Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳngđiquađiểm A vàsong songvớiđườngthẳng BC? A. ( xÆ¡2t yÆ¡1Åt zÆ3Åt . B. x ¡2 Æ yÅ1 1 Æ z¡3 1 . C. x¡2yÅzÆ0. D. x¡1 ¡2 Æ y 1 Æ z¡1 1 . -Lờigiải. Đường thẳng qua điểm A(0;¡1;3) và có véc-tơ chỉ phương #  BCÆ(¡2;1;1) có phương trình là x ¡2 Æ yÅ1 1 Æ z¡3 1 . Chọnđápán B ä Câu107. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ0 yÆ2Åt zÆ¡t . Tìm một véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. A. #  uÆ(0;1;¡1). B. #  uÆ(0;2;0). C. #  uÆ(0;1;1). D. #  uÆ(0;2;¡1). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtVTCPlà #  uÆ(0;1;¡1). Chọnđápán A ä Câu108. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ¢: x¡1 2 Æ yÅ3 4 Æ z ¡1 . Chọn khẳng định sai? A. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  uÆ µ ¡1;¡2; 1 2 ¶ . B. Đườngthẳng¢điquađiểm M(1;¡3;0). C. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  v Æ(2;4;¡1). D. Đườngthẳng¢điquađiểm N(1;¡3;1). -Lờigiải. Thay tọađộ N vào phươngtrình đường thẳng¢thấy khôngthỏa nên mệnh đềsai là “Đường thẳng¢điquađiểm N(1;¡3;1)”. Chọnđápán D ä Câu109. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ2 1 . Mặt phẳng nào sauđâyvuônggócvớiđườngthẳng d? A. (Q): x¡2y¡zÅ1Æ0. B. (P): x¡2yÅzÅ1Æ0. C. (R): xÅyÅzÅ1Æ0. D. (T): xÅyÅ2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  uÆ(1;¡2;1). Xétmặtphẳng (P): x¡2yÅzÅ1Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡2;1)Æ #  u.Dođó d?(P). Chọnđápán B ä Câu110. Đường thẳng đi qua điểm A(3;2;3) và có véc-tơ chỉ phương #  u Æ(1;¡2;1) có phương trìnhthamsốlà A. ( xÆ3Åt yÆ2¡2t zÆ3¡t. B. ( xÆ2¡t yÆ4Å2t zÆ2¡t. C. ( xÆ¡3Åt yÆ2¡2t zÆ3Åt. D. ( xÆ3¡2t yÆ1Å4t zÆ1¡2t. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 596 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Phươngtrìnhthamsốcầntìmlà ( xÆ3Ås yÆ2¡2s zÆ3Ås. Đặt sÆ¡1¡t,suyra ( xÆ2¡t yÆ4Å2t zÆ2¡t. Chọnđápán B ä Câu111. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d song song với trục Oy. Đường thẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  u 1 Æ(¡2;0;0). B. #  u 2 Æ(0;3;0). C. #  u 3 Æ(0;0;2018). D. #  u 4 Æ(1;0;1). -Lờigiải. TrụcOycóvéc-tơchỉphương (0;1;0).Quansátđápántathấychỉcóvéc-tơ #  u 2 thỏamãn. Chọnđápán B ä Câu112. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng (d)điquahaiđiểm A(1;2;¡3)và B(3;¡1;1). A. ( xÆ1Å3t yÆ¡2¡t zÆ¡3Åt . B. ( xÆ1Åt yÆ¡2Å2t zÆ¡1¡3t . C. ( xÆ¡1Å2t yÆ¡2¡3t zÆ3Å4t . D. ( xÆ1Å2t yÆ2¡3t zÆ¡3Å4t . -Lờigiải. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;¡3) và nhận véc-tơ #  ABÆ(2;¡3;4) làm véc-tơ chỉ phương nêncóphươngtrình ( xÆ1Å2t yÆ2¡3t zÆ¡3Å4t . Chọnđápán D ä Câu113. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d: x¡1 2 Æ y 3 Æ zÅ1 ¡1 cótọađộlà A. (¡1;0;1). B. (2;3;¡1). C. (¡2;¡3;¡1). D. (2;3;1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d: x¡1 2 Æ y 3 Æ zÅ1 ¡1 cótọađộlà (2;3;¡1). Chọnđápán B ä Câu114. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;3), B(2;4;¡1). A. xÅ1 1 Æ yÅ2 2 Æ zÅ3 4 . B. x¡2 1 Æ yÅ4 2 Æ zÅ1 ¡4 . C. x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡4 . D. xÅ2 1 Æ yÅ4 2 Æ zÅ1 4 . -Lờigiải. Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng AB là #  ABÆ(1;2;¡4). Suy ra phương trình chính tắc của AB là x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡4 Chọnđápán C ä Câu115. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình x¡1 3 Æ y¡2 2 Æz¡3.Véc-tơnàodướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng (d)? A. #  u 3 Æ(3;2;3). B. #  u 4 Æ(1;2;3). C. #  u 2 Æ(3;2;0). D. #  u 1 Æ(3;2;1). -Lờigiải. Từphươngtrìnhđườngthẳngtacótọađộcủavéc-tơchỉphươnglà (3;2;1). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 597 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu116. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;¡2;3)và B(3;1;1). A. x¡1 4 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 4 . B. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 ¡3 Æ z¡3 2 . C. 2(x¡1)Å3(yÅ2)¡2(z¡3)Æ0. D. x¡2 1 Æ y¡3 ¡2 Æ zÅ2 3 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;3;¡2)làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Từđótacóphươngtrìnhđườngthẳng AB: x¡1 2 Æ yÅ2 3 Æ z¡3 ¡2 . Chọnđápán B ä Câu117. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(3;0;1) và B(¡1;2;3). Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(2;¡1;¡1). B. #  uÆ(2;1;0). C. #  uÆ(¡1;2;0). D. #  uÆ(¡1;2;1). -Lờigiải. Do đường thẳng d đi qua hai điểm A, B nên nếu #  u là véc-tơ chỉ phương của d thì #  u cùng phươngvới #  ABÆ(¡4;2;2). Chọnđápán A ä Câu118. Trong khônggian vớihệ tọa độ Oxyz, chođường thẳng d: ( xÆ2¡t yÆ1Åt zÆt . Phươngtrình nàosauđâylàphươngtrìnhchínhtắccủa d? A. x¡2ÆyÆzÅ3. B. x¡2 ¡1 Æ y¡1 1 Æ z 1 . C. x¡2 ¡1 Æ y 1 Æ zÅ3 ¡1 . D. xÅ2 1 Æ y ¡1 Æ z¡3 1 . -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua điểm A(2;1;0) và nhận #  u Æ(¡1;1;1) làm véc-tơ chỉ phương, có phương trìnhchínhtắc x¡2 ¡1 Æ y¡1 1 Æ z 1 . Chọnđápán B ä Câu119. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x¡2 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ3 ¡1 . Một véc-tơ chỉ phươngcủađườngthẳng d là A. #  uÆ(2;3;1). B. #  uÆ(¡2;¡1;3). C. #  uÆ(2;1;¡1). D. #  uÆ(¡2;1;¡3). -Lờigiải. Phươngtrìnhđườngthẳngcódạng x¡x o a Æ y¡y o b Æ z¡z o c với (a;b;c)làmộtvéc-tơchỉphương. Vậy #  uÆ(2;1;¡1). Chọnđápán C ä Câu120. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ4Å8t yÆ¡6Å11t zÆ3Å2t . Véc-tơnàodướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  u 1 Æ(4;¡6;3). B. #  u 4 Æ(8;¡6;3). C. #  u 2 Æ(8;11;2). D. #  u 3 Æ(4;¡6;2). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủa d là #  u 2 Æ(8;11;2). Chọnđápán C ä Câu121. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng¢: x 3 Æ yÅ1 2 Æ z¡1 ¡1 . Đường thẳng d song songvới¢cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  u 1 Æ(0;2;¡1). B. #  u 2 Æ(3;2;1). C. #  u 3 Æ(0;¡1;1). D. #  u 4 Æ(3;2;¡1). -Lờigiải. Đường thẳng ¢ có một véc-tơ chỉ phương là #  u Æ(3;2;¡1) nên đường thẳng song song với ¢ nhận #  u làmvéc-tơchỉphương. Chọnđápán D ä Câu122. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;2) và mặt phẳng (P): 2x¡yÅ3zÅ1Æ 0. Đườngthẳngđiquađiểm M vàvuônggócvớimặtphẳng (P)cóphươngtrình Th.sNguyễnChínEm 598 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. xÅ1 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ zÅ2 3 . B. x¡1 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡2 3 . C. xÅ2 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ3 2 . D. x¡2 1 Æ yÅ1 1 Æ z¡3 2 . -Lờigiải. Đường thẳng (d) qua điểm M(1;1;2) và vuông góc (P) nên có một véc-tơ chỉ phương là #  u d Æ #  n P Æ(2;¡1;3). Vậy d cóphươngtrình: x¡1 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡2 3 . Chọnđápán B ä Câu123. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(¡2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng 2x¡3yÅ6zÅ19Æ0cóphươngtrìnhlà A. xÅ2 2 Æ y¡4 ¡3 Æ z¡3 6 . B. xÅ2 2 Æ yÅ3 4 Æ z¡6 3 . C. x¡2 2 Æ yÅ4 ¡3 Æ zÅ3 6 . D. xÅ2 2 Æ y¡3 4 Æ zÅ6 3 . -Lờigiải. Tacómộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng 2x¡3yÅ6zÅ19Æ0là #  nÆ(2;¡3;6). Đường thẳng đi qua điểm A(¡2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng 2x¡3yÅ6zÅ19Æ0 có một véc-tơchỉphươnglà #  uÆ #  nÆ(2;¡3;6)nêncóphươngtrìnhlà xÅ2 2 Æ y¡4 ¡3 Æ z¡3 6 . Chọnđápán A ä Câu124. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d: xÅ2 ¡5 Æ yÅ5 8 Æ z¡8 ¡2 . A. #  u 1 Æ(¡5;¡2;8). B. #  u 2 Æ(5;¡8;2). C. #  u 3 Æ(8;¡2;¡5). D. #  u 4 Æ(¡2;¡5;8). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng dlà #  v Æ(¡5;8;¡2)Æ¡(5;¡8;2),nênđápánlà #  u 2 Æ(5;¡8;2). Chọnđápán B ä Câu125. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song songvớitrụcOycóphươngtrìnhthamsốlà A. ( xÆ1Åt yÆ2 zÆ3. B. ( xÆ1¡t yÆ2Åt zÆ3¡t. C. ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ3. D. ( xÆ1 yÆ2 zÆ3Åt. -Lờigiải. Gọi d làđườngthẳngcầntìm.Tacó dÒOynên d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(0;1;0). Dođó d: ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ3. Chọnđápán C ä Câu126. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ y¡2 1 Æ z ¡2 . Điểm nào dưới đây thuộcđườngthẳng d? A. M(¡1;¡2;0). B. M(¡1;1;2). C. M(2;1;¡2). D. M(3;3;2). -Lờigiải. Tacó ¡1¡1 2 Æ 1¡2 1 Æ 2 ¡2 Æ¡1nên M(¡1;1;2)thuộcđườngthẳng d. Chọnđápán B ä Câu127. TrongkhônggiantoạđộOxyz,chomặtphẳng(P): x¡2yÅz¡3Æ0vàđiểm A(1;2;0). Viếtphươngtrìnhđườngthẳngqua A vàvuônggócvới (P). A. x¡1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ z 1 . B. x¡1 1 Æ yÅ2 2 Æ z 2 . C. x¡1 ¡2 Æ y¡2 1 Æ z 1 . D. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z 1 . -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến là #  n Æ(1;¡2;1) nên đường thẳng cần tìm có véc-tơ chỉ phươnglà #  nÆ(1;¡2;1). Vậyphươngtrìnhđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P)là x¡1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ z 1 . Th.sNguyễnChínEm 599 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu128. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;¡1) và B(1;0;2). Đường thẳng AB cóphươngtrìnhchínhtắclà A. x 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ1 1 . B. x 1 Æ yÅ1 1 Æ z¡1 1 . C. x 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡1 3 . D. x 1 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ1 3 . -Lờigiải. Đường thẳng AB có véc-tơ chỉ phương #  ABÆ(1;¡1;3) và đi qua A(0;1;¡1) có phương trình là x 1 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ1 3 . Chọnđápán D ä Câu129. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: x¡1 2 Æ y¡2 ¡3 Æ z 4 .Đườngthẳngdcómột véc-tơchỉphươnglà A. #  u 3 Æ(2;¡3;0). B. #  u 1 Æ(2;¡3;4). C. #  u 4 Æ(1;2;4). D. #  u 2 Æ(1;2;0). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;¡3;4). Chọnđápán B ä Câu130. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ¡1Å2t yÆ1 zÆ2¡t . Tìm một véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. A. #  u 2 Æ(2;0;¡1). B. #  u 4 Æ(2;1;2). C. #  u 3 Æ(2;0;2). D. #  u 1 Æ(¡1;1;2). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;0;¡1). Chọnđápán A ä Câu131. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;¡2;1), B(2;1;¡1), véc-tơ chỉ phương củađườngthẳng AB là A. #  uÆ(1;¡1;¡2). B. #  uÆ(3;¡1;0). C. #  uÆ(1;3;¡2). D. #  uÆ(1;3;0). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB là #  uÆ #  ABÆ(1;3;¡2). Chọnđápán C ä Câu132. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ2¡t yÆ1Åt zÆt. Phương trình nàosauđâylàphươngtrìnhchínhtắccủa d ? A. x¡2 ¡1 Æ y 1 Æ zÅ3 ¡1 . B. xÅ2 1 Æ y ¡1 Æ z¡3 1 . C. x¡2ÆyÆzÅ3. D. x¡2 ¡1 Æ y¡1 1 Æ z 1 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡1;1;1)vàđiquađiểm M(2;1;0).Dođóphươngtrình chínhtắccủa d là x¡2 ¡1 Æ y¡1 1 Æ z 1 . Chọnđápán D ä Câu133. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,phươngtrìnhđườngthẳng d điquahaiđiểm A(0;1;2), B(1;3;4)là A. d: ( xÆt yÆ¡1Åt zÆ2Å2t , t2R. B. d: ( xÆ1Åt yÆ3Å2t zÆ4Å2t , t2R. C. d: ( xÆt yÆ1Å3t zÆ2Å4t , t2R. D. d: ( xÆ1 yÆ3Å2t zÆ4Å2t , t2R. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;2;2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. dđiquađiểm B(1;3;4),nêncóphươngtrìnhlà: ( xÆ1Åt yÆ3Å2t zÆ4Å2t , t2R. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 600 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu134. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(®): z¡1Æ0.Mệnhđềnàosau đâysai? A. (®)Ò(Oxy). B. (®)?Oy. C. (®)ÒOx. D. (®)?Oz. -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(0;0;1). Oycóvéc-tơchỉphương #  j Æ(0;1;0). Suyra (®)khôngvuônggócvớiOy. Chọnđápán B ä Câu135. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  u và mặtphẳng(P)cóvéc-tơpháptuyến #  n.Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. #  u vuônggócvới #  n thì d songsongvới (P). B. #  u khôngvuônggócvới #  n thì d cắt (P). C. d songsongvới (P)thì #  u cùngphươngvới #  n. D. d vuônggócvới (P)thì #  u vuônggócvới #  n. -Lờigiải. #  u vuônggóc #  n thì d cóthểnằmtrong (P). d songsong (P)thì #  u vuônggóc #  n. d vuônggóc (P)thì #  u cùngphương #  n. Chọnđápán B ä Câu136. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;¡1;3), B(¡3;0;¡4). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B? A. xÅ3 4 Æ y ¡1 Æ z¡4 7 . B. xÅ3 1 Æ y ¡1 Æ zÅ4 3 . C. xÅ3 4 Æ y ¡1 Æ zÅ4 7 . D. x¡3 ¡4 Æ y 1 Æ z¡4 ¡7 . -Lờigiải. Tacó #  BAÆ(4;¡1;7)làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Phươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng AB là xÅ3 4 Æ y ¡1 Æ zÅ4 7 . Chọnđápán C ä Câu137. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: xÅ2 ¡3 Æ yÅ1 2 Æ z¡3 4 .Đườngthẳng d có mộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  u 1 Æ(¡3;2;4). B. #  u 2 Æ(¡2;¡1;3). C. #  u 3 Æ(3;2;4). D. #  u 4 Æ(¡2;¡1;3). -Lờigiải. Tacó #  u d Æ(¡3;2;4). Chọnđápán A ä Câu138. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳngđiquađiểm A(3;0;¡4)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(5;1;¡2)cóphươngtrìnhlà A. xÅ3 5 Æ y 1 Æ z¡4 ¡2 . B. x¡3 5 Æ y 1 Æ zÅ4 ¡2 . C. xÅ3 5 Æ y 1 Æ zÅ4 ¡2 . D. x¡3 5 Æ y 1 Æ z¡4 ¡2 . -Lờigiải. Đườngthẳngđiquađiểm A(3;0;¡4)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(5;1;¡2)cóphươngtrìnhlà x¡3 5 Æ y 1 Æ zÅ4 ¡2 . Chọnđápán B ä Câu139. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chínhtắccủađườngthẳngđiquahaiđiểm A(1;2;¡3)và B(7;0;¡1)? A. x¡7 6 Æ y ¡2 Æ zÅ1 1 . B. xÅ7 2 Æ y ¡3 Æ z¡1 4 . C. xÅ1 3 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 1 . D. x¡1 3 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 1 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 601 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đườngthẳng ABnhậnvéc-tơ 1 2 #  ABÆ(3;¡1;1)làmvéc-tơchỉphương.Dođóphươngtrìnhchính tắccủađườngthẳng AB là x¡1 3 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 1 . Chọnđápán D ä Câu140. Đườngthẳngđiqua A(2;¡1;3)vànhận #  aÆ(1;1;¡1)làmvéc-tơchỉphươngcóphương trình A. ( xÆ1Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å3t . B. ( xÆ2Åt yÆ¡1Åt zÆ3¡t . C. ( xÆ2Åt yÆ¡1Åt zÆ3Åt . D. ( xÆ2¡t yÆ¡1¡t zÆ3¡t . -Lờigiải. Đường thẳng đi qua A(2;¡1;3) và nhận #  a Æ(1;1;¡1) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình ( xÆ2Åt yÆ¡1Åt zÆ3¡t . Chọnđápán B ä Câu141. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳngd: x¡1 5 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡2 3 .Véc-tơ nàolàmộtvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  uÆ(1;¡1;2). B. #  uÆ(¡1;1;¡2). C. #  uÆ(5;¡2;3). D. #  uÆ(5;2;¡3). -Lờigiải. Mộtmộtvéc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ(5;¡2;3). Chọnđápán C ä Câu142. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng d: x¡2 1 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡3 ¡2 .Véc-tơnàosauđây làmộtvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  uÆ(1;3;¡2). B. #  uÆ(¡1;3;2). C. #  uÆ(2;¡1;3). D. #  uÆ(¡2;1;¡3). -Lờigiải. d cómộtvéc-tơchỉphươnglà d là #  uÆ(¡1;3;2). Chọnđápán B ä Câu143. Trong không gian Oxyz, cho A(1;¡2;1) và B(0;1;3). Phương trình đường thẳng đi quahaiđiểm A, B là A. xÅ1 ¡1 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡2 1 . B. x ¡1 Æ y¡1 3 Æ z¡3 2 . C. xÅ1 ¡1 Æ y¡2 3 Æ zÅ1 2 . D. x 1 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡3 1 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;3;2). Đườngthẳng AB cóphươngtrìnhchínhtắclà x ¡1 Æ y¡1 3 Æ z¡3 2 ¢ Chọnđápán B ä Câu144. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d): x¡2 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡4 4 có phương trình thamsốlà A. ( xÆ¡2Å3t yÆ1¡2t zÆ¡4Å4t. ; t2R. B. ( xÆ2¡3m yÆ¡1Å2m zÆ4¡4m. ; m2R. C. ( xÆ¡2Å3tant yÆ1¡2tant zÆ¡4Å4tant. ; t2R. D. ( xÆ2¡3cost yÆ¡1Å2cost zÆ¡4¡4cost. ; t2R. -Lờigiải. Gọi #  u véc-tơchỉphươngcủađườngthẳngd,tachọn #  u(¡3;2;¡4).GiảsửM 0 2d,chọnM 0 (2,¡1;4) suyraphươngtrìnhthamsố d là ( xÆ2¡3m yÆ¡1Å2m zÆ4¡4m ; m2R. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 602 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu145. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡5 4 vàmặtphẳng (P): x¡3yÅ2z¡5Æ0.Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. d cắtvàkhôngvuônggócvới (P). B. d vuônggócvới (P). C. d songsongvới (P). D. d nằmtrong (P). -Lờigiải. d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;¡3;4), (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡3;2). Do #  u khôngcùngphương #  n nên d cắt (P).Mặtkhác #  u¢ #  nÆ196Æ0nên d khôngvuônggóc (P). Vậy d cắtvàkhôngvuônggócvới (P). Chọnđápán A ä Câu146. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡3Å5t (t2R). Véc-tơnàodướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  uÆ(2;0;¡3). B. #  uÆ(2;¡3;5). C. #  uÆ(2;3;¡5). D. #  uÆ(2;0;5). -Lờigiải. Tacó d: ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡3Å5t (t2R)suyravéc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ(2;¡3;5). Chọnđápán B ä Câu147. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(1;1;0)và B(0;1;2).Véc-tơnào dướiđâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB? A. #  aÆ(¡1;0;¡2). B. #  b Æ(¡1;0;2). C. #  c Æ(1;2;2). D. #  dÆ(¡1;1;2). -Lờigiải. #  ABÆ(¡1;0;2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Chọnđápán B ä Câu148. Cho đường thẳng ¢ đi qua điểm M(2;0;¡1) và có véc-tơ chỉ phương #  a Æ(4;¡6;2). Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢là A. ( xÆ¡2Å2t yÆ¡3t zÆ1Åt ,t2R. B. ( xÆ¡2Å4t yÆ¡6t zÆ1Å2t ,t2R. C. ( xÆ4Å2t yÆ¡3t zÆ2Åt ,t2R. D. ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt ,t2R. -Lờigiải. Đường thẳng ¢ đi qua điểm M(2;0;¡1) và có véc-tơ chỉ phương #  u Æ(2;¡3;1) nên có phương trìnhthamsố ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt ,t2R. Chọnđápán D ä Câu149. Trongkhông Oxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ3 .Véc-tơnàotrongcácvéc-tơsau đâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. A. #  v Æ(1;2;3). B. #  aÆ(1;¡2;3). C. #  b Æ(¡2;4;6). D. #  uÆ(1;¡2;0). -Lờigiải. Đườngthẳngthẳng d có #  uÆ(1;¡2;0). Chọnđápán D ä Câu150. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆt yÆ3Å2t zÆ¡4Å4t . Véc-tơ nào dướiđâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủa d. A. #  uÆ(0;3;¡4). B. #  uÆ(1;2;4). C. #  uÆ(0;2;4). D. #  uÆ(1;3;¡4). -Lờigiải. Đườngthẳng d nhậnvéc-tơ #  uÆ(1;2;4)làmvéc-tơchỉphương. Chọnđápán B ä Câu151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 1 Æ y¡2 3 Æ z ¡2 , véc-tơ nàodướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? Th.sNguyễnChínEm 603 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. #  uÆ(¡1;¡3;2). B. #  uÆ(1;3;2). C. #  uÆ(1;¡3;¡2). D. #  uÆ(¡1;3;¡2). -Lờigiải. Tacó #  uÆ(1;3;¡2)hay #  uÆ(¡1;¡3;2). Chọnđápán A ä Câu152. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;¡1), B(1;2;4). Phương trìnhđườngthẳngnàođượcchodướiđâykhôngphảilàphươngtrìnhđườngthẳng AB? A. xÅ2 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡1 ¡5 . B. ( xÆ2¡t yÆ3¡t zÆ¡1Å5t . C. ( xÆ1¡t yÆ2¡t zÆ4Å5t . D. x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ z¡4 ¡5 . -Lờigiải. Tacó #  BAÆ(1;1;¡5). Vì điểm A(2;3;¡1)Ý xÅ2 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡1 ¡5 nên xÅ2 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡1 ¡5 không phải là phương trình đườngthẳng AB. Cácđườngthẳngcònlạiđềucóvéc-tơchỉphươnglà (1;1;¡5)vàđiquađiểm A(2;3;¡1)hoặcđi quađiểm B(1;2;4). Chọnđápán A ä Câu153. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡2 .Tínhkhoảngcáchtừ A đếnđườngthẳng d. A. 3 p 5 2 . B. p 5. C. 2 p 5. D. 3 p 5. -Lờigiải. Gọi M(1;2;3)2d) #  AMÆ(¡1;1;2))[ #  AM; #  u]Æ(¡6;0;¡3). Tacó d(A;d)Æ j[ #  AM; #  u]j j #  uj Æ 3 p 5 3 Æ p 5. Chọnđápán B ä Câu154. Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(¡1;0;0)vàvuônggócvớimặtphẳng (P): xÅ2y¡zÅ1Æ0. A. d: xÅ1 1 Æ y 2 Æ z ¡1 . B. d: x¡1 1 Æ y 2 Æ z ¡1 . C. d: xÅ1 1 Æ y 2 Æ z 1 . D. d: x¡1 1 Æ y 2 Æ z 1 . -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua điểm M(¡1;0;0) và có một véc-tơ chỉ phương là #  u Æ(1;2;¡1) nên d có phươngtrìnhchínhtắclà xÅ1 1 Æ y 2 Æ z ¡1 . Chọnđápán A ä Câu155. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1 yÆ2Å3t zÆ5¡t (t2R). Đườngthẳng d điquađiểmnàodướiđây? A. M 1 (1;5;4). B. M 2 (¡1;¡2;¡5). C. M 3 (0;3;¡1). D. M 4 (1;2;¡5). -Lờigiải. Với tÆ1tacómộtđiểmthuộc d là (1;5;4). Chọnđápán A ä Câu156. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaiđiểm A(1;1;0)và B(0;1;2).Véc-tơ nàodướiđâylàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB? A. #  aÆ(¡1;0;¡2). B. #  b Æ(¡1;0;2). C. #  c Æ(1;2;2). D. #  dÆ(¡1;1;2). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;0;2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 604 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu157. Điểmnàosauđâythuộcđườngthẳng¢: ( xÆ1Åt yÆ2¡t zÆt (t2R)? A. M(0;¡3;¡1). B. M(3;0;2). C. M(2;3;1). D. M(6;¡3;2). -Lờigiải. Cho tÆ2) ( xÆ1Å2Æ3 yÆ2¡2Æ0 zÆ2. Chọnđápán B ä Câu158. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véc-tơ nào là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 3 . A. #  uÆ(2;1;¡3). B. #  uÆ µ 1; 1 2 ; 2 3 ¶ . C. #  uÆ µ 1; 1 2 ; 3 2 ¶ . D. #  uÆ(¡4;¡2;6). -Lờigiải. Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương là #  u Æ (2;1;3)) 1 2 #  u Æ µ 1; 1 2 ; 3 2 ¶ cũng là một véc-tơ chỉ phươngcủa d. Chọnđápán C ä Câu159. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chođườngthẳng¢điquađiểm M(2;0;¡1)và cóvéc-tơchỉphương #  aÆ(4;¡6;2).Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢là A. ( xÆ¡2Å4t yÆ¡6t zÆ1Å2t. . B. ( xÆ¡2Å2t yÆ¡3t zÆ1Åt. . C. ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt. . D. ( xÆ4Å2t yÆ¡3t zÆ2Åt. . -Lờigiải. Do¢nhận #  aÆ(4;¡6;2)Æ2(2;¡3;1)làmvéc-tơchỉphươngnêntasuyraphươngtrìnhthamsố củađườngthẳng¢là ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt. Chọnđápán C ä Câu160. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,đườngthẳng d: ( xÆ2¡t yÆ1Åt zÆt ,t2R.Phươngtrình chínhtắccủađườngthẳng d là A. xÅ2 1 Æ y¡1 1 Æ z 1 . B. x¡2 ¡1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z 1 . C. x¡2 ¡1 Æ y¡1 1 Æ z 1 . D. xÅ2 ¡1 Æ yÅ1 1 Æ z 1 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡1;1;1)vàđiquađiểm M(2;1;0). Dođó d cóphươngtrìnhchínhtắclà x¡2 ¡1 Æ y¡1 1 Æ z 1 . Chọnđápán C ä Câu161. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,đườngthẳngđiqua M(1;2;3)vàsongsongvới trụcOycóphươngtrìnhlà A. ( xÆ1Åt yÆ2 zÆ3 ,t2R. B. ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ3 ,t2R. C. ( xÆ1 yÆ2 zÆ3Åt ,t2R. D. ( xÆ1¡t yÆ2Åt zÆ3¡t ,t2R. -Lờigiải. Đườngthẳngcầntìmcóvéc-tơchỉphươnglà (0;1;0). Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳnglà ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ3 ,t2R. Chọnđápán B ä Câu162. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: ( xÆ¡1Å3t yÆ¡t zÆ1¡2t ,t2R và d 0 : x¡1 ¡3 Æ y¡2 1 Æ z¡3 2 .Vịtrítươngđốicủa d và d 0 là A. songsong. B. trùngnhau. C. chéonhau. D. cắtnhau. Th.sNguyễnChínEm 605 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  u d Æ(3;¡1;¡2)vàđiquađiểm M(¡1;0;1). Đườngthẳng d 0 cóvéc-tơchỉphương #  u d 0Æ(¡3;1;2). Hai véc-tơ #  u d và #  u d 0 cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d 0 . Do đó hai đường thẳng d và d 0 songsongvớinhau. Chọnđápán A ä Câu163. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d: x¡1 5 Æ y¡2 ¡8 Æ zÅ3 7 là A. #  uÆ(1;2;¡3). B. #  uÆ(¡1;¡2;3). C. #  uÆ(5;¡8;7). D. #  uÆ(¡5;¡8;7). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  uÆ(5;¡8;7). Chọnđápán C ä Câu164. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡4 2 Æ y¡1 1 Æ z¡2 ¡1 . Một véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d cótọađộlà A. (¡2;¡1;1). B. (4;1;2). C. (¡1;1;¡1). D. (¡2;1;¡1). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là (2;1;¡1)cùngphươngvới (¡2;¡1;1). Chọnđápán A ä Câu165. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (P): 2x¡yÅ5zÅ4Æ0vàđiểm A(2;¡1;3).Tínhkhoảngcách d từ A đếnmặtphẳng (P). A. dÆ 24 p 30 . B. dÆ 23 p 11 . C. dÆ 20 p 30 . D. dÆ 24 p 14 . -Lờigiải. Tacó dÆ j2¢2¡1¢(¡1)Å5¢3Å4j p 2 2 Å(¡1) 2 Å5 2 Æ 24 p 30 . Chọnđápán A ä Câu166. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳngd: ( xÆ1¡2t yÆ1Åt zÆtÅ2 (t2R).Tìmmột véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. A. (¡2;1;2). B. (¡2;1;1). C. (1;1;1). D. (2;¡1;¡2). -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvectơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;1;1). Chọnđápán B ä Câu167. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng¢: x¡1 ¡5 Æ yÅ4 2 Æ z 1 .Véc-tơnàosauđâylà mộtvéc-tơchỉphươngcủa¢. A. #  aÆ(¡5;2;1). B. #  b Æ(1;2;¡5). C. #  nÆ(5;2;1). D. #  v Æ(5;¡2;1). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  aÆ(¡5;2;1). Chọnđápán A ä Câu168. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,cho¢làđườngthẳngđiquađiểm M(2;0;¡1) vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(4;¡6;2).Phươngtrìnhchínhtắccủa¢là A. xÅ2 4 Æ y ¡6 Æ z¡1 2 . B. xÅ2 2 Æ y ¡3 Æ z¡1 1 . C. x¡2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ1 1 . D. x¡4 2 Æ yÅ6 ¡3 Æ z¡2 1 . -Lờigiải. Tacó: #  uÆ(4;¡6;2)) #  u 0 Æ(2;¡3;1). Phươngtrìnhđườngthẳng¢là x¡2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ1 1 . Th.sNguyễnChínEm 606 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu169. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1¡2t yÆ2Å3t zÆ2 , (t2R). Tọa độ một véc-tơ chỉphươngcủa d là A. (¡2;3;0). B. (¡2;3;3). C. (1;2;3). D. (2;3;0). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ(¡2;3;0). Chọnđápán A ä Câu170. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ¡1Åt yÆ2t zÆ5 . Đường thẳng d có một vec-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(¡1;2;5). B. #  uÆ(1;2;0). C. #  uÆ(1;2;5). D. #  uÆ(¡1;0;5). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvec-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;2;0). Chọnđápán B ä Câu171. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(3;¡1;2) và có véc-tơ chỉ phương #  uÆ(4;5;¡7)là A. ( xÆ4Å3t yÆ5¡t zÆ¡7Å2t . B. ( xÆ¡4Å3t yÆ¡5¡t zÆ7Å2t . C. ( xÆ3Å4t yÆ¡1Å5t zÆ2¡7t . D. ( xÆ¡3Å4t yÆ1Å5t zÆ¡2¡7t . -Lờigiải. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(3;¡1;2) và có véc-tơ chỉ phương #  uÆ(4;5;¡7)là ( xÆ3Å4t yÆ¡1Å5t zÆ2¡7t . Chọnđápán C ä Câu172. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1Å2t yÆ¡t zÆ4Å5t . Đường thẳng d có một véc-tơchỉphươnglà A. #  u 1 Æ(1;0;4). B. #  u 4 Æ(1;¡1;4). C. #  u 3 Æ(1;¡1;5). D. #  u 2 Æ(2;¡1;5). -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;¡1;5). Chọnđápán D ä Câu173. Trong không gian Oxyz, cho véc-tơ #  u Æ(1;3;1), đường thẳng nào dưới đây nhận #  u làvéc-tơchỉphương? A. ( xÆ1Å2t yÆ3Å3t zÆ1¡4t . B. ( xÆ1Å2t yÆ2¡3t zÆ2¡4t . C. ( xÆ2Åt yÆ3Å3t zÆ¡4Åt . D. ( xÆ2Åt yÆ3Å5t zÆ¡4¡3t . -Lờigiải. Đườngthẳng ( xÆ2Åt yÆ3Å3t zÆ¡4Åt nhận #  u làmvéc-tơchỉphương. Chọnđápán C ä Câu174. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ¢: ( xÆ3Åt yÆ1¡2t zÆ2 . Một véc-tơ chỉphươngcủa d là A. #  uÆ(1;¡2;0). B. #  uÆ(3;1;2). C. #  uÆ(1;¡2;2). D. #  uÆ(¡1;2;2). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  uÆ(1;¡2;0). Chọnđápán A ä Câu175. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;¡1;¡2) và B(2;2;2). Véc-tơ #  a nàodướiđâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB? A. #  aÆ(2;1;0). B. #  aÆ(2;3;4). C. #  aÆ(¡2;1;0). D. #  aÆ(2;3;0). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 607 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  ABÆ(2;3;4).Suyravéc-tơ #  aÆ(2;3;4)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Chọnđápán B ä Câu176. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ( xÆ1 yÆ2Å3t zÆ5¡t (t2R). Véc-tơnàosauđâylàvéc-tơchỉphươngcủa d? A. #  u 4 Æ(1;2;5). B. #  u 3 Æ(1;¡3;¡1). C. #  u 1 Æ(0;3;¡1). D. #  u 2 Æ(1;3;¡1). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  u 1 Æ(0;3;¡1). Chọnđápán C ä Câu177. Trong khônggian Oxyz, chođường thẳng d đi quađiểm M(3;3;¡2) và cóvéc-tơ chỉ phương #  uÆ(1;3;1).Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d. A. d: xÅ3 1 Æ yÅ3 3 Æ z¡2 1 . B. d: x¡3 1 Æ y¡3 3 Æ zÅ2 1 . C. d: x¡1 3 Æ y¡3 3 Æ z¡1 ¡2 . D. d: xÅ1 3 Æ yÅ3 3 Æ zÅ1 ¡2 . -Lờigiải. Đườngthẳngdđiquađiểm M(3;3;¡2)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;3;1).Phươngtrìnhđường thẳng d là d: x¡3 1 Æ y¡3 3 Æ zÅ2 1 . Chọnđápán B ä Câu178. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,đườngthẳng d: x¡2 1 Æ yÅ2 2 Æ z 3 điquađiểm nàosauđây? A. A(¡2;2;0). B. B(2;2;0). C. C(¡3;0;3). D. D(3;0;3). -Lờigiải. Thaytoạđộcácđiểmvàophươngtrìnhđườngthẳng d thìchỉcóđiểm D(3;0;3)thoảmãn. Chọnđápán D ä Câu179. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chohaiđiểm A(1;1;2),B(2;¡1;3).Viếtphương trìnhđườngthẳng AB. A. x¡1 3 Æ y¡1 2 Æ z¡2 1 . B. x¡1 1 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡2 1 . C. x¡3 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . D. xÅ1 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ zÅ2 1 . -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB là #  ABÆ(1;¡2;1). Suyraphươngtrìnhđườngthẳng AB là: x¡1 1 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡2 1 . Chọnđápán B ä Câu180. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 1 Æ y ¡2 Æ z¡1 2 . Điểmnàodướiđâykhôngthuộc d? A. E(2;¡2;3). B. N(1;0;1). C. F(3;¡4;5). D. M(0;2;1). -Lờigiải. Thaytọađộcủa M vàophươngtrìnhtathấy ¡1 1 Æ 2 ¡2 6Æ 0 2 nên MÝd. Chọnđápán D ä Câu181. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: xÅ3 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 2 .Viếtphươngtrình mặtphẳng (P)điquađiểm M(2;0;¡1)vàvuônggócvới d. A. (P):x¡y¡2zÆ0. B. (P):x¡2y¡2Æ0. C. (P):xÅyÅ2zÆ0. D. (P):x¡yÅ2zÆ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P):1(x¡2)¡1(y¡0)Å2(zÅ1)Æ0,x¡yÅ2zÆ0. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 608 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu182. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,đườngthẳngđiquađiểm A(1;¡2;3)vàcóvéc-tơchỉ phương #  uÆ(2;¡1;¡2)cóphươngtrìnhlà A. x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . B. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 2 . C. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡3 ¡2 . D. xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 ¡2 . -Lờigiải. Dogiảthiếttasuyraphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳnglà x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . Chọnđápán A ä Câu183. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡1 ¡1 . Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d là A. ( xÆ2¡2t yÆ1¡t zÆ¡1¡t ,(t2R). B. ( xÆ2Å2t yÆ¡1¡t zÆ1¡t ,(t2R). C. ( xÆ2Å2t yÆ¡1¡t zÆ¡1Åt ,(t2R). D. ( xÆ2Å2t yÆ¡1¡t zÆ¡1¡t ,(t2R). -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d là ( xÆ2Å2t yÆ¡1¡t zÆ1¡t ,(t2R). Chọnđápán B ä Câu184. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;¡3) và B(2;¡3;1)cóphươngtrìnhthamsốlà A. ( xÆ1Åt yÆ2¡5t zÆ2Å4t ,(t2R). B. ( xÆ3¡t yÆ¡8Å5t zÆ5¡4t ,(t2R). C. ( xÆ1Åt yÆ2¡5t zÆ¡3¡2t ,(t2R). D. ( xÆ2Åt yÆ¡3Å5t zÆ1Å4t ,(t2R). -Lờigiải. #  ABÆ(1;¡5;4). Đườngthẳngđiquahaiđiểm A(1;2;¡3)vàB(2;¡3;1)cóphươngtrìnhthamsốlà ( xÆ1¡t yÆ2Å5t zÆ¡3¡4t ,t2 R. Với tÆ¡2,tađược M(3;¡8;5)thuộcđườngthẳng AB.Khiđó,đườngthẳng ABcóphươngtrình thamsố ( xÆ3¡t yÆ¡8Å5t zÆ5¡4t ,(t2R) Chọnđápán B ä ( xÆ1Åt yÆ2¡5t zÆ¡3¡2t ,(t2R). Câu185. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng ¢ đi qua A(2;¡1;2) và nhận #  uÆ(¡1;2;¡1)làmvéc-tơchỉphươngcóphươngtrìnhchínhtắclà A. ¢: x¡2 ¡1 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 ¡1 . B. ¢: xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ1 2 . C. ¢: xÅ2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ zÅ2 ¡1 . D. ¢: x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡1 2 . -Lờigiải. Đườngthẳng¢điqua A(2;¡1;2)vànhận #  uÆ(¡1;2;¡1)làmvéc-tơchỉphươngcóphươngtrình chínhtắclà ¢: x¡2 ¡1 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 ¡1 . Chọnđápán A ä Câu186. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1;2)và B(2;¡1;0)là A. x¡1 3 Æ y¡1 2 Æ z¡2 2 . B. x¡2 ¡1 Æ yÅ1 2 Æ z 2 . Th.sNguyễnChínEm 609 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. x 1 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡4 ¡2 . D. xÅ1 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ zÅ2 ¡2 . -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(1,¡2,¡2). Phương trình đường thẳng AB đi qua B(2;¡1;0) nhận véc-tơ #  AB làm véc-tơchỉphươngnêncóphươngtrìnhlà x¡2 ¡1 Æ yÅ1 2 Æ z 2 . Chọnđápán B ä Câu187. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuônggócvớimặtphẳng (®):4xÅ3y¡7zÅ1Æ0.Phươngtrìnhthamsốcủa d là A. ( xÆ1Å3t yÆ2Å4t zÆ3¡7t . B. ( xÆ¡1Å4t yÆ¡2Å3t zÆ¡3¡7t . C. ( xÆ4Åt yÆ3Å2t zÆ¡7Å3t . D. ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡7t . -Lờigiải. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (®) nên nhận véc-tơ #  n ® làm véc-tơ chỉ phương. Suy ra,phươngtrìnhđườngthẳng d: ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡7t . Chọnđápán D ä Câu188. Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;¡1) có véc-tơ chỉ phương #  a(4;¡6;2)là A. x¡2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ1 1 . B. xÅ2 4 Æ y 6 Æ z¡1 2 . C. xÅ2 2 Æ y ¡3 Æ z¡1 1 . D. x¡4 2 Æ yÅ6 ¡3 Æ z¡2 1 . -Lờigiải. Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;0;¡1) có véc-tơ chỉ phương #  a(4;¡6;2) nên có phươngtrình x¡2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ1 1 . Chọnđápán A ä Câu189. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡2 ¡3 . Véc-tơ nào dướiđâykhôngphảilàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  a(2;1;3). B. #  b(2;¡1;¡3). C. #  c(¡2;1;3). D. #  d(6;¡3;¡9). -Lờigiải. Dễthấy, #  a(2;1;3)khôngphảilàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. Chọnđápán A ä Câu190. Trong không gian Oxyz, một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ¢: ( xÆ2t yÆ¡1Åt zÆ1 là A. #  m(2;¡1;1). B. #  v (2;¡1;0). C. #  u(2;1;1). D. #  n(¡2;¡1;0). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  u ¢ Æ(2;1;0)Æ¡(¡2;¡1;0). Dođómộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  n(¡2;¡1;0). Chọnđápán D ä Câu191. TrongkhônggianOxyzcho M(¡1;2;3).Hìnhchiếuvuônggóccủa M trêntrụcOxlà điểmcótọađộ? A. P(¡1;0;0). B. Q(0;2;3). C. K(0;2;0). D. E(0;0;3). -Lờigiải. TrụcOxcóphươngtrìnhlà ( xÆt yÆ0 zÆ0 .Hìnhchiếucủa M lêntrụcOxlàđiểm P(¡1;0;0). Chọnđápán A ä Câu192. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng ¢điquađiểm A(1;2;0)vàvuônggócvớimặtphẳng (P): 2xÅy¡3zÅ5Æ0? Th.sNguyễnChínEm 610 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. ( xÆ1Å2t yÆ2¡t zÆ¡3t . B. ( xÆ1Å2t yÆ2Åt zÆ3t . C. ( xÆ3Å2t yÆ3Åt zÆ¡3¡3t . D. ( xÆ3Å2t yÆ3Åt zÆ3¡3t . -Lờigiải. Đườngthẳng¢vuônggócvớimặtphẳng (P): 2xÅy¡3zÅ5Æ0nên¢cómộtvectơchỉphương là #  uÆ #  n P Æ(2;1;¡3).Phươngtrình¢là: ( xÆ1Å2t yÆ2Åt zÆ¡3t (1). Kiểmtrađượcđiểm M(3;3;¡3)thỏamãnhệ (1). Vậyphươngtrình ( xÆ3Å2t yÆ3Åt zÆ¡3¡3t cũnglàphươngtrìnhcủa¢. Chọnđápán C ä Câu193. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳngd: x¡1 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 1 .Véc-tơ nàotrongcácvéc-tơsauđâykhônglàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  u 1 Æ(2;¡2;2). B. #  u 2 Æ(¡3;3;¡3). C. #  u 3 Æ(4;¡4;4). D. #  u 4 Æ(1;1;1). -Lờigiải. Đườngthẳngdcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;¡1;1).Tathấyvéc-tơ #  u 4 khôngcùngphương với #  u suyra #  u 4 khônglàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. Chọnđápán D ä Câu194. Cho đường thẳng ¢ đi qua điểm M(2;0;¡1) và có véc-tơ chỉ phương #  a Æ(4;¡6;2). Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢là A. ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt . B. ( xÆ¡2Å4t yÆ¡6t zÆ1Å2t . C. ( xÆ4Å2t yÆ¡6¡3t zÆ2Åt . D. ( xÆ¡2Å2t yÆ¡3t zÆ1Åt . -Lờigiải. Do (2;¡2;1)cũnglàvéc-tơchỉphươngnênphươngtrìnhthamsốlà ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt . Chọnđápán A ä Câu195. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(1;¡2;3) và có véc-tơchỉphương #  uÆ(2;¡1;¡2)cóphươngtrìnhlà A. x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . B. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 2 . C. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡3 ¡2 . D. xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 ¡2 . -Lờigiải. Đườngthẳngqua A(1;¡2;3)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;¡1;¡2)cóphươngtrình x¡1 2 Æ y¡(¡2) ¡1 Æ z¡3 ¡2 , x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . Chọnđápán A ä Câu196. Đườngthẳng¢: x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z ¡1 khôngđiquađiểmnàodướiđây? A. A(¡1;2;0). B. (¡1;¡3;1). C. (3;¡1;¡1). D. (1;¡2;0). -Lờigiải. Tacó ¡1¡1 2 6Æ 2Å2 1 6Æ 0 ¡1 nênđiểm A(¡1;2;0)khôngthuộcđườngthẳng¢. Chọnđápán A ä Câu197. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođườngthẳng d vuônggócvớimặtphẳng (P): 4x¡zÅ3Æ0.Véc-tơnàodướiđâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d ? A. #  u 1 (4;1;¡1). B. #  u 2 (4;¡1;3). C. #  u 3 (4;0;¡1). D. #  u 4 (4;1;3). -Lờigiải. Mặtphẳng(P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n(4;0;¡1),dođườngthẳng d?(P),nênvéc-tơpháp tuyếncủamặtphẳng (P)cũnglàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 611 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu198. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: x¡1 3 Æ yÅ2 ¡4 Æ z¡3 ¡5 đi qua điểm nào sau đây? A. (¡1;2;¡3). B. (1;¡2;3). C. (¡3;4;5). D. (3;¡4;¡5). -Lờigiải. Thay tọa độ điểm (1;¡2;3) vào phương trình đường thẳng d ta được 0 3 Æ 0 ¡4 Æ 0 ¡5 , do đó điểm nàythuộcđườngthẳng d. Chọnđápán B ä Câu199. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M(1;¡2;1), N(0;1;3). Phương trình đườngthẳngquahaiđiểm M, N là A. xÅ1 ¡1 Æ y¡2 3 Æ zÅ1 2 . B. xÅ1 1 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡2 1 . C. x ¡1 Æ y¡1 3 Æ z¡3 2 . D. x 1 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡3 1 . -Lờigiải. Đường thẳng MN đi qua N(0;1;3) và có một véc-tơ chỉ phương là #  MNÆ(¡1;3;2) có phương trìnhlà x ¡1 Æ y¡1 3 Æ z¡3 2 . Chọnđápán C ä Câu200. Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;¡1;3)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;2;¡4)là A. xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡4 3 . B. x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ4 3 . C. xÅ2 1 Æ y¡1 2 Æ zÅ3 ¡4 . D. x¡2 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡3 ¡4 . -Lờigiải. Đườngthẳngđiqua M(x 0 ;y 0 ;z 0 )vàcómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(a;b;c)với abc6Æ0cóphương trình x¡x 0 a Æ y¡y 0 b Æ z¡z 0 c . Suyađườngthẳngcầntìmcóphươngtrình: x¡2 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡3 ¡4 . Chọnđápán D ä Câu201. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;0) và B(3;2;¡8). Tìm một véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB A. #  uÆ(1;2;¡4). B. #  uÆ(2;4;8). C. #  uÆ(¡1;2;¡4). D. #  uÆ(1;¡2;¡4). -Lờigiải. Đườngthẳng AB nhậnvéc-tơ #  ABÆ(2;4;¡8)làmvéc-tơchỉphương. Nênvéc-tơ #  uÆ 1 2 #  ABÆ(1;2;¡4)cũnglàvéc-tơchỉphươngcủa AB. Chọnđápán A ä Câu202. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng¢cóphươngtrìnhchínhtắc xÅ1 ¡3 Æ y¡2 2 Æ zÅ1 1 .Tọađộcủamộtvéc-tơchỉphươnglà A. (3;¡2;¡1). B. (¡3;2;0). C. (¡1;2;¡1). D. (1;¡2;1). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là (¡3;2;1)vàcùngphươngvớivéc-tơ (3;¡2;¡1). Chọnđápán A ä Câu203. TrongkhônggianOxyz,trục y 0 Oycóphươngtrìnhlà A. ( xÆt yÆ0 zÆ0 . B. ( xÆ0 yÆt zÆ0 . C. ( xÆ0 yÆ0 zÆt . D. ( xÆt yÆ0 zÆt . -Lờigiải. TrụcOyquaO(0;0;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  j Æ(0;1;0)nêncóphươngtrình ( xÆ0 yÆt zÆ0 . Th.sNguyễnChínEm 612 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu204. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: x¡2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z 1 .Đườngthẳngdcómột véc-tơchỉphươnglà A. #  u 3 Æ(2;1;1). B. #  u 4 Æ(¡1;2;0). C. #  u 1 Æ(¡1;2;1). D. #  u 2 Æ(2;1;0). -Lờigiải. Tacóđườngthẳng d: x¡2 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z 1 )d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡1;2;1). Chọnđápán C ä Câu205. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅzÅ3Æ0 và điểm A(1;¡2;1)Phươngtrìnhđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P)là A. ¢ ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt . B. ¢ ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡2t zÆ1Å2t . C. ¢ ( Æ1Å2t yÆ¡2¡4t zÆ1Å3t . D. ¢ ( xÆ2Åt yÆ¡1¡2t zÆ1Åt . -Lờigiải. Do đường thẳng ¢ đi qua điểm A(1;¡2;1) và vuông góc với (P) nên đường thẳng cần tìm có véc-tơchỉphương #  uÆ #  n (P) Æ(2;¡1;1). Nênđườngthẳng¢cóphươngtrìnhthamsốlà: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt . Chọnđápán A ä Câu206. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 2 . Mặt phẳng (P) vuônggócvới d cómộtvéc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(1;2;3). B. #  nÆ(2;¡1;2). C. #  nÆ(1;4;1). D. #  nÆ(2;1;2). -Lờigiải. Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d là véc-tơpháptuyếncủa (P).Dođóvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  nÆ(2;¡1;2). Chọnđápán B ä Câu207. Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d): x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 2 có véc-tơ chỉ phương là A. #  u 1 Æ(1;2;3). B. #  u 2 Æ(2;1;2). C. #  u 3 Æ(2;¡1;2). D. #  u 4 Æ(¡1;¡2;¡3). -Lờigiải. (d): x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 2 ) #  u 3 Æ(2;¡1;2). Chọnđápán C ä 1.1 ĐÁPÁN 1. C 2. A 3. D 4. C 5. A 6. C 7. D 8. B 9. D 10. D 11. A 12. C 13. D 14. A 15. C 16. A 17. C 18. C 19. A 20. C 21. A 22. A 23. D 24. D 25. A 26. A 27. A 28. B 29. A 30. B 31. D 32. D 33. D 34. A 35. C 36. B 37. D 38. B 39. D 40. A 41. C 42. B 43. C 44. A 45. C 46. B 47. D 48. B 49. D 50. D 51. A 52. C 53. B 54. B 55. C 56. D 57. C 58. B 59. A 60. B 61. C 62. C 63. C 64. B 65. B 66. D 67. A 68. B 69. A 70. C 71. A 72. C 73. A 74. B 75. A 76. A 77. A 78. B 79. D 80. C 81. A 82. B 83. D 84. B 85. B 86. B 87. B 88. C 89. B 90. A 91. D 92. B 93. B 94. A 95. C 96. C 97. B 98. B 99. C 100.C 101.D 102.B 103.A 104.A 105.D 106.B 107.A 108.D 109.B 110.B 111.B 112.D 113.B 114.C 115.D 116.B 117.A 118.B 119.C 120.C 121.D 122.B 123.A 124.B 125.C 126.B 127.A 128.D 129.B 130.A 131.C 132.D 133.B 134.B 135.B 136.C 137.A 138.B 139.D 140.B Th.sNguyễnChínEm 613 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 141.C 142.B 143.B 144.B 145.A 146.B 147.B 148.D 149.D 150.B 151.A 152.A 153.B 154.A 155.A 156.B 157.B 158.C 159.C 160.C 161.B 162.A 163.C 164.A 165.A 166.B 167.A 168.C 169.A 170.B 171.C 172.D 173.C 174.A 175.B 176.C 177.B 178.D 179.B 180.D 181.D 182.A 183.B 184.B 185.A 186.B 187.D 188.A 189.A 190.D 191.A 192.C 193.D 194.A 195.A 196.A 197.C 198.B 199.C 200.D 201.A 202.A 203.B 204.C 205.A 206.B 207.C 2 THÔNGHIỂU Câu1(THPTQG2017). Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Véc-tơ nàodướiđâylàmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB? A. #  b Æ(¡1;0;2). B. #  c Æ(1;2;2). C. #  dÆ(¡1;1;2). D. #  aÆ(¡1;0;¡2). -Lờigiải. #  ABÆ(¡1;0;2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Chọnđápán A ä Câu2(THPTQG2017). Trong khônggian Oxyz, chođiểm M(1;2;3). Gọi M 1 , M 2 lần lượtlà hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy. Véc-tơ nào dưới đây là véc-tơ chỉ phương củađườngthẳng M 1 M 2 ? A. #  u 2 Æ(1;2;0). B. #  u 3 Æ(1;0;0). C. #  u 4 Æ(¡1;2;0). D. #  u 1 Æ(0;2;0). -Lờigiải. TacóM 1 (1;0;0)vàM 2 (0;2;0).Dođó, #  M 1 M 2 Æ(¡1;2;0)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng M 1 M 2 . Chọnđápán C ä Câu3. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng¢: ½ xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ3Åt ¡ t2R ¢ .Điểm M nàosauđây thuộcđườngthẳng¢? A. M ¡ 2;1;3 ¢ . B. M ¡ 2;0;4 ¢ . C. M ¡ 1;¡2;3 ¢ . D. M ¡ 1;2;¡3 ¢ . Câu4. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng d điquađiểm M(2;¡1;1)vàvuônggócvới 2 đườngthẳng d: ( xÆ1¡t yÆ¡1Åt zÆ¡2t ,d 0 : ( xÆ1Åt 0 yÆ3¡2t 0 zÆ1 .Tìmtoạđộvéc-tơchỉphương #  u của d. A. #  uÆ(¡4;2;¡1). B. #  uÆ(¡4;2;1). C. #  uÆ(¡4;¡2;1). D. #  uÆ(4;2;1). Câu5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ¢ đi qua điểm M(2;0;¡1) và có véc-tơ chỉ phương #  aÆ(4;¡6;2).Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢là A. ( xÆ¡2Å2t yÆ¡3t zÆ1Åt . B. ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt . C. ( xÆ¡2Å4t yÆ¡6t zÆ1Å2t . D. ( xÆ4Å2t yÆ¡3t zÆ2Åt . Câu6. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A ¡ 1;3;1 ¢ ,B ¡ 3;2;¡2 ¢ .Gọidlàđườngthẳngđiqua A, B.Phươngtrìnhnàosauđâykhôngphảilàphươngtrìnhcủađườngthẳng d? A. ½ xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ1¡3t . B. ½ xÆ3Å2t yÆ3¡t zÆ1¡3t . C. ½ xÆ5Å2t yÆ1¡t zÆ¡5¡3t . D. ½ xÆ3¡2t yÆ2Åt zÆ¡2Å3t . Câu7. Trongkhônggian Oxyz,viếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngđiquahaiđiểm A(1;2;¡3), B(2;¡3;1). A. ( xÆ1Åt yÆ2¡5t zÆ¡3¡2t . B. ( xÆ2Åt yÆ¡3Å5t zÆ1Å4t . C. ( xÆ1Åt yÆ2¡5t zÆ3Å4t . D. ( xÆ3¡t yÆ¡8Å5t zÆ5¡4t . Câu8. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳng d điquahaiđiểm M(2;3;4), N(3;2;5)cóphương trìnhchínhtắclà A. x¡3 ¡1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡5 1 . B. x¡3 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡5 1 . C. x¡3 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡4 ¡1 . D. x¡2 1 Æ y¡3 1 Æ z¡4 1 . Th.sNguyễnChínEm 614 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu9. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1;2) và B(2;¡1;0)là A. x¡1 3 Æ y¡1 2 Æ z¡2 2 . B. xÅ1 ¡1 Æ yÅ1 2 Æ zÅ2 2 . C. x¡2 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z ¡2 . D. x 1 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡4 ¡2 . Câu10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3;0;¡1) và songsongvớiđườngthẳng¢: ½ x Æ1Åt y Æ2¡t z Æ3. A. ½ x Æ1¡t 0 y Æ2¡t 0 z Æ¡1. . B. ½ x Æ2Åt 0 y Æ1¡t 0 z Æ3. . C. ½ x Æ3Åt 0 y Æt 0 z Æ¡1. . D. ½ x Æ3Åt 0 y Æ¡t 0 z Æ¡1. . Câu11. Trong khônggian Oxyz, viếtphương trìnhđường thẳng¢đi quađiểm A(2;¡1;3) và vuônggócvớimặtphẳng (P): yÅ3Æ0. A. ¢: ½ xÆ2 yÆ1Åt zÆ¡3. . B. ¢: ½ xÆ2Åt yÆ¡1Åt zÆ3. . C. ¢: ½ xÆ2 yÆ¡1Åt zÆ3. . D. ¢: ½ xÆ1 yÆ1¡t zÆ3. . Câu12. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;2;¡4),B(4;1;1) và C(2;6;¡3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). A. d: x¡3 3 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 ¡1 . B. d: xÅ12 3 Æ yÅ7 2 Æ z¡3 ¡1 . C. d: x¡3 7 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 ¡1 . D. d: xÅ7 3 Æ yÅ3 2 Æ z¡2 ¡1 . Câu13. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): 2x¡yÅzÅ3Æ0vàđiểm A(1;¡2;1).Phương trìnhđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P)là A. ¢: ½ xÆ1Å2t yÆ¡2¡4t zÆ1Å3t . B. ¢: ½ xÆ1Å2t yÆ¡2¡2t zÆ1Å2t . C. ¢: ½ xÆ2Åt yÆ¡1¡2t zÆ1Åt . D. ¢: ½ xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt . Câu14. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3). Viết phương trình thamsốcủađườngthẳng¢điquatrọngtâmGcủatamgiác ABCvàvuônggócvới(ABC). A. ¢: ( xÆ1¡3t yÆ2Åt zÆ2 . B. ¢: ( xÆ1¡3t yÆ2¡2t zÆ2¡t . C. ¢: ( xÆ1 yÆ2Å2t zÆ2¡t . D. ¢: ( xÆ1¡3t yÆ2 zÆ2 . -Lờigiải. TacóG(1;2;2)vàđườngthẳng¢cóVTCP #  uÆ[ #  AB, #  AC]Æ(¡3;0;0). Dođó¢: ( xÆ1¡3t yÆ2 zÆ2 . Chọnđápán D ä Câu15. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: x 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡2 1 .Phươngtrìnhnàosau đâycũnglàphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d? A. ( xÆ2t yÆ1Åt zÆ2Åt . B. ( xÆ4¡2t yÆ¡1Åt zÆ4¡t . C. ( xÆ4Å2t yÆ1¡t zÆ4Åt . D. ( xÆ2¡2t yÆ¡t zÆ3Åt . Câu16. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;4;1) và mặt phẳng (P):x¡3yÅ2z¡5Æ0. Viết phươngtrìnhđườngthẳng d điqua A vàvuônggócvới (P). A. x¡2 ¡1 Æ y¡4 3 Æ z¡1 2 . B. xÅ2 ¡1 Æ yÅ4 3 Æ zÅ1 2 . C. x¡2 ¡1 Æ y¡4 3 Æ z¡1 ¡2 . D. xÅ2 1 Æ yÅ4 ¡3 Æ zÅ1 2 . Câu17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;¡3), B(¡2;3;1), đường thẳng đi qua A(1;2;¡3)vàsongsongvớiOB cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ1¡2t yÆ2Å3t zÆ¡3¡t . B. ( xÆ¡2Åt yÆ3Å2t zÆ1¡3t . C. ( xÆ1¡2t yÆ2Å3t zÆ¡3Åt . D. ( xÆ1¡4t yÆ2¡6t zÆ¡3Åt . Th.sNguyễnChínEm 615 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu18. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d): x¡1 2 Æ yÅ1 3 Æ z¡5 1 và d 0 : x¡1 3 Æ yÅ2 2 Æ zÅ1 2 .Vịtrítươngđốicủahaiđườngthẳng d và d 0 là A. trùngnhau. B. cắtnhau. C. chéonhau. D. songsongvớinhau. Câu19. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ¢: ( xÆ1Åt yÆ2Åt zÆ13¡t . Đường thẳng d đi qua A(0;1;¡1) cắt và vông góc với đường thẳng ¢. Phương trình nào sau đây là phương trình củađườngthẳng d? A. d: ( xÆ5t 0 yÆ1Å5t; xÆ¡1Å8t 0 . B. d: 8 < : xÆt 0 yÆ1Åt 0 zÆ¡1Å2t 0 . C. d: ( xÆ5 yÆ5Åt 0 zÆ10¡t 0 . D. d: 8 < : xÆ5Å5t 0 yÆ6Å5t 0 zÆ9Å8t 0 . Câu20. TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳng d: ( xÆ1Åt yÆ2¡t zÆ3¡t và d 0 : 8 < : xÆ2t 0 yÆ¡1¡2t 0 zÆ5¡2t 0 .Chọn khẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau. A. d trùng d 0 . B. d cắt d 0 . C. d và d 0 chéonhau. D. d songsongvới d 0 . Câu21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ¢ 1 : x¡1 2 Æ yÅ1 3 Æ z ¡1 , ¢ 2 : x¡3 ¡2 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ1 1 .Vịtrítươngđốicủa¢ 1 vࢠ2 là A. trùngnhau. B. songsong. C. cắtnhau. D. chéonhau. Câu22. TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳngd 1 : x¡1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡3 1 vàd 2 ½ xÆ1Åkt yÆt yÆ¡1Å2t . Tìmtấtcảcácgiátrịcủa k để d 1 và d 2 cắtnhau. A. kÆ¡1. B. kÆ0. C. kÆ1. D. kÆ¡ 1 2 . Câu23. TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳng d 1 : ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡3t zÆ5Å4t và d 2 : ( xÆ7Å3m yÆ¡2Å2m zÆ1¡2m .Vị trítươngđốicủahaiđườngthẳngđãcholà A. songsong. B. chéonhau. C. trùngnhau. D. cắtnhau. Câu24. Cho đường thẳng d : x¡1 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡3 2 . Đường thẳng nào sau đây song song với d? A. ¢ 1 : xÅ1 ¡2 Æ y 1 Æ z¡1 ¡2 . B. ¢ 2 : x¡2 ¡2 Æ y 1 Æ z¡1 ¡2 . C. ¢ 3 : x¡2 2 Æ y 1 Æ z¡1 ¡2 . D. ¢ 4 : x¡3 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡5 ¡2 . Câu25. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0;1;¡1), vuônggócvàcắtđườngthẳng ( xÆ1¡4t yÆt zÆ¡1Å4t . A. x¡2 5 Æ yÅ1 ¡8 Æ z¡1 3 . B. x¡2 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z 1 . C. xÅ2 2 Æ y¡1 ¡1 Æ z 1 . D. x 13 Æ y¡1 ¡28 Æ zÅ1 20 . -Lờigiải. Chọnđápán D ä Câu26. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : xÅ1 2 Æ y¡1 ¡m Æ z¡2 ¡3 và d 2 : x¡3 1 Æ y 1 Æ z¡1 1 .Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủa mđể d 1 vuônggóc d 2 . A. mÆ5. B. mÆ1. C. mÆ¡5. D. mÆ¡1. Th.sNguyễnChínEm 616 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu27. TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳng d 1 : x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ z ¡1 và d 2 : x¡3 ¡1 Æ y 2 Æ zÅ1 3 .Xácđịnhvịtrítươngđốicủahaiđườngthẳng d 1 và d 2 . A. Chéonhau. B. Trùngnhau. C. Cắtnhau. D. Songsongnhau. Câu28. Trongkhônggian Oxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm A(1;2;3)vàchứa đườngthẳng d: x 3 Æ y¡1 4 Æ zÅ3 1 . A. 23xÅ17y¡zÅ14Æ0. B. 23x¡17y¡zÅ14Æ0. C. 23xÅ17yÅz¡60Æ0. D. 23x¡17y¡z¡14Æ0. -Lờigiải. Thaytọađộcủađiểm A vàocácphươngtrình,taloạiđượchaiphươngán. Lấyđiểm M(0;1;¡3)2d vàthayvàohaiphươngtrìnhcònlại,taloạiđượcmộtphươngán. Vậyphươngáncònlạilàphươngánđúng. Chọnđápán B ä Câu29. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) và vuônggócvớiđườngthẳngOA. A. 2xÅyÅ3z¡14Æ0. B. x 2 Å y 1 Å z 3 Æ1. C. x¡2 2 Æ y¡1 1 Æ z¡3 3 . D. 3x¡y¡2zÅ1Æ0. Câu30. Trong không gian Oxyz, tìm giao điểm của d: x¡3 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z 2 và (P): 2x¡y¡z¡7Æ 0. A. M(0;2;¡4). B. M(1;4;¡2). C. M(3;¡1;0). D. M(6;¡4;3). Câu31. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : xÅ1 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 ¡2 , mặt phẳng (P): x¡yÅzÅ4Æ0vàđiểm A(1;1;2).Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquađiểm A,songsongvới (P)vàvuônggócvới d. A. x¡1 1 Æ y¡1 ¡4 Æ z¡2 ¡3 . B. xÅ1 1 Æ yÅ1 4 Æ zÅ2 3 . C. x¡1 1 Æ y¡1 4 Æ z¡2 3 . D. x¡1 1 Æ yÅ1 ¡4 Æ zÅ2 ¡3 . Câu32. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x¡1 m Æ yÅ2 2m¡1 Æ zÅ3 2 và mặt phẳng (P):xÅ3y¡2z¡5Æ0.Đểđườngthẳng d vuônggócvớimặtphẳng (P)thì A. mÆ¡1. B. mÆ0. C. mÆ1. D. mÆ¡2. Câu33. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 2 và điểm A(¡2;1;0). Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A vàchứa d. A. x¡y¡4zÅ3Æ0. B. x¡7y¡4zÅ8Æ0. C. x¡6y¡4zÅ9Æ0. D. x¡7y¡4zÅ9Æ0. Câu34. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng dcóvéc-tơchỉphương #  u vàmặtphẳng(P) cóvéc-tơpháptuyến #  n.Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. Nếu #  u khôngvuônggócvới #  n thì d cắt (P). B. Nếu #  u vuônggócvới #  n thì d songsongvới (P). C. Nếu d vuônggócvới (P)thì #  u vuônggócvới #  n. D. Nếu d songsongvới (P)thì #  u cùngphươngvới #  n. Câu35. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳngnàosauđâysongsongvớimặtphẳng (P): 3x¡ 4yÅ2z¡2016Æ0? A. d 1 : x¡1 2 Æ y¡1 2 Æ z¡1 1 . B. d 2 : x¡1 4 Æ y¡1 ¡3 Æ z¡1 1 . C. d 3 : x¡1 3 Æ y¡1 5 Æ z¡1 ¡4 . D. d 1 : x¡1 3 Æ y¡1 ¡4 Æ z¡1 2 . Câu36. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : ( xÆ2Å2t yÆ2Åt zÆ2Åt và mặt phẳng (P):xÅ2y¡ 3zÅ1Æ0.Chọnkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau: Th.sNguyễnChínEm 617 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. d vuônggócvới (P). B. d songsongvới (P). C. d nằmtrong (P). D. d cắtvàkhôngvuônggócvới (P). Câu37. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng d: x 1 Æ y 1 Æ z¡4 ¡2 vàmặtphẳng (P): xÅmyÅ m 2 z¡1Æ0với mlàthamsốthực.Tìmtấtcảcácgiátrịcủa mđểmặtphẳng (P)songsongvới đườngthẳng d. A. mÆ0và mÆ 1 2 . B. mÆ¡ 1 2 . C. mÆ1. D. mÆ1và mÆ¡ 1 2 . Câu38. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm N(2;¡3;¡5) và vuônggócvớimặtphẳng (P): 2x¡3y¡zÅ2Æ0. A. x¡2 2 Æ yÅ3 ¡3 Æ zÅ5 ¡1 . B. xÅ2 2 Æ y¡3 ¡3 Æ z¡5 ¡1 . C. xÅ2 2 Æ y¡3 ¡3 Æ z¡1 ¡5 . D. x¡2 2 Æ yÅ3 ¡3 Æ zÅ1 ¡5 . Câu39. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: x¡1 ¡1 Æ yÅ3 2 Æ z¡3 1 vàmặtphẳng(P): 2xÅ y¡2zÅ9Æ0.Tìmtoạđộgiaođiểmcủa d và (P). A. (2;1;1). B. (0;¡1;4). C. (1;¡3;3). D. (2;¡5;1). Câu40. TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳng¢: x¡1 1 Æ y 2 Æ z¡2 3 và d: x¡1 2 Æ yÅ1 4 Æ z¡1 6 .Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. ¢và d cắtnhau. B. ¢và d songsong. C. ¢và d chéonhau. D. ¢và d vuônggócvớinhau. Câu41. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d 1 : ( xÆ1Å2t yÆ7Åt zÆ3Å4t , d 2 : 8 < : xÆ6Å3t 0 yÆ¡1¡2t 0 zÆ¡2Åt 0 . Khẳng địnhnàosauđâyđúng? A. d 1 trùngvới d 2 . B. d 1 và d 2 chéonhau. C. d 1 songsong d 2 . D. d 1 cắt d 2 . Câu42. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (®): yÅ2zÆ0vàđườngthẳng d: ( xÆ2¡t yÆ4Å2t zÆ1 . Tìmtọađộgiaođiểm M củamặtphẳng (®)vàđườngthẳng d. A. M(5;¡2;1). B. M(5;2;1). C. M(1;6;1). D. M(0;¡2;1). -Lờigiải. Tacó M(2¡t;4Å2t;1).Do M2(®)nêntacó: (4Å2t)Å2.1Æ0()tÆ¡3. Vậy M(5;¡2;1). Chọnđápán A ä Câu43. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x 5 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡4 1 . Hỏi đường thẳng d songsongvớimặtphẳngnàotrongcácmặtphẳngcóphươngtrìnhdướiđây? A. xÅy¡2zÅ2Æ0. B. xÅy¡2zÅ9Æ0. C. 5x¡3yÅz¡2Æ0. D. 5x¡3yÅz¡9Æ0. -Lờigiải. Kiểmtracácphươngán,tađượckếtquảđúnglà xÅy¡2zÅ2Æ0. Chọnđápán A ä Câu44. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(1;¡3;2)vàmặtphẳng (P): 2x¡yÅ3z¡1Æ0.Viết phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngđiquađiểm A vàvuônggócvớimặtphẳng (P). A. ( xÆ2Åt yÆ¡1¡3t zÆ3Å2t . B. ( xÆ1Å2t yÆ¡3Åt zÆ2Å3t . C. ( xÆ1Å2t yÆ¡3¡t zÆ2Å3t . D. ( xÆ1Å2t yÆ¡3¡t zÆ2¡3t . Câu45. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅzÅ1Æ0 và đường thẳng d: x 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ1 1 . véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đườngthẳng (d). Th.sNguyễnChínEm 618 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. #  nÆ(¡2;0;¡4). B. #  nÆ(1;0;¡2). C. #  nÆ(1;0;2). D. #  nÆ(0;2;0). Câu46. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: xÅ1 1 Æ y ¡3 Æ z¡5 ¡1 vàmặtphẳng(P): 3x¡ 3yÅ2zÅ6Æ0.Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. d vuônggócvới (P). B. d nằmtrong (P). C. d cắtvàkhôngvuônggócvới (P). D. d songsongvới (P). Câu47. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng ¢ 1 : x¡2 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z 4 ,¢ 2 : ( xÆ2Åt yÆ3Å2t zÆ1¡t .Tìmtoạđộvéc-tơpháptuyến #  n của (P). A. #  nÆ(5;¡6;7). B. #  nÆ(¡5;¡6;7). C. #  nÆ(¡5;6;¡7). D. #  nÆ(¡5;6;7). -Lờigiải. £ #  n 1 , #  n 2 ¤ Æ(¡5;6;7) Chọnđápán D ä Câu48. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y¡1 1 Æ z¡2 3 và mặt phẳng (P): x¡y¡z¡1Æ0.Phươngtrìnhđườngthẳngđiqua M(1;1;¡2)songsongvới (P)vàvuônggócvới d là A. xÅ1 2 Æ y 1 Æ zÅ5 3 . B. x¡1 2 Æ y¡1 5 Æ zÅ2 ¡3 . C. x¡1 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 3 . D. xÅ1 ¡2 Æ y¡2 1 Æ zÅ5 ¡3 . Câu49. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(4;5;¡2),B(2;¡1;7).Đườngthẳng ABcắtmặt phẳng (Oyz)tạiđiểm M.Tínhtỉsố MA MB . A. MA MB Æ 1 2 . B. MA MB Æ2. C. MA MB Æ 1 3 . D. MA MB Æ3. Câu50. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3)vàsongsongvớigiaotuyếncủahaimặtphẳng(P): 3xÅy¡3Æ0,(Q): 2xÅyÅz¡3Æ0. A. ( xÆ1Åt yÆ2Å3t zÆ3Åt . B. ( xÆ1Åt yÆ2¡3t zÆ3¡t . C. ( xÆ1¡t yÆ2¡3t zÆ3Åt . D. ( xÆ1Åt yÆ2¡3t zÆ3Åt . Câu51. Trong không gian Oxyz, cho A(1;3;¡2),B(3;5;¡12). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại N.Tínhtỉsố BN AN . A. BN AN Æ4. B. BN AN Æ2. C. BN AN Æ5. D. BN AN Æ3. Câu52. Trongkhông gian Oxyz,cho mặtphẳng (P): 2xÅyÅzÅ5Æ0,đường thẳng d: x¡1 3 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡2 ¡3 .Tìmtọađộgiaođiểmgiữa (P)và d. A. (17;9;20). B. (17;¡9;¡20). C. (¡17;9;20). D. (1;3;2). Câu53. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ3Å4t yÆ¡1¡t zÆ4Å2t vàmặtphẳng(P):xÅ2y¡zÅ 3Æ0.Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. d songsongvới (P). B. d vuônggócvới (P). C. d nằmtrên (P). D. d cắt (P). Câu54. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : ½ xÆ3Å4t yÆ¡1¡t zÆ4Å2t (t2R) và mặt phẳng (P): xÅ2y¡zÅ1Æ0.Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. d cắt (P)tạimộtđiểm. B. d nằmtrên (P). C. d songsongvới (P). D. d vuônggócvới (P). Câu55. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;0), B(2;0;¡1). Đường thẳng d đi qua haiđiểm A,B cắtmặtphẳng (P):xÅyÅz¡3Æ0tạiđiểm S(a;b;c).Tínhtổng TÆaÅbÅc. Th.sNguyễnChínEm 619 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. ¡3. B. 0. C. 2. D. 3. Câu56(THPTChuyênLamSơn,ThanhHóa,lần3). TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: x¡3 4 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡4 2 vàmặtphẳng(P): xÅ2y¡zÅ3Æ 0.Chọnmệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsau. A. Đườngthẳng d cắtmặtphẳng (P)tạiđúng1điểm. B. Đườngthẳng d songsongvớimặtphẳng (P). C. Đườngthẳng d nằmtrênmặtphẳng (P). D. Đườngthẳng d vuônggócvớimặtphẳng (P). Câu57. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,chomặtphẳng (P):x¡2yÅ3z¡1Æ0vàđường thẳng d: ( xÆ1 yÆ5Å3t zÆ4Å2t .Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. d?(P). B. dÒ(P). C. d½(P). D. d tạovới (P)mộtgócnhọn. Câu58(THPTKimLiên,HàNội,lần3). TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchođườngthẳngd: ( xÆ3Åt yÆ1¡2t zÆ4¡3t vàđườngthẳngd 0 : x¡1 ¡1 Æ y¡2 2 Æ z 3 .Cóbaonhiêumặtphẳngchứa d vàsongsongvới d 0 ? A. Vôsố. B. 2. C. 1. D. 0. Câu59. TrongkhônggianOxyz,chotứdiệnMNPQvớiM(1;0;0),N(0;1;0),P(0;0;1)vàQ(2;¡1;3). Gócgiữahaiđườngthẳng MN và PQ cósốđobằng A. 60 ± . B. 45 ± . C. 30 ± . D. 135 ± . Câu60. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobốnđiểm A(2;1;¡3),B(4;3;¡2),C(6;¡4;¡1), D(1;2;3).Chọnkhẳngđịnhsai. A. Cosincủagócgiữahaiđườngthẳng AB và CD bằng 2 p 5 . B. Bốnđiểm A,B,C,D khôngđồngphẳng. C. Tamgiác ABC vuông. D. Diệntíchtamgiác BCD bằng 3 p 206 2 . Câu61. TrongkhônggianOxyz,cholăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 có A(0;0;0),B(0;1;0),C(1;1;0), A 0 (0;0;1).Tínhgócgiữahaiđườngthẳng A 0 C và BC 0 . A. 45 ± . B. 60 ± . C. 30 ± . D. 30 ± . Câu62. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳngnàosauđâysongsongvớitrụcOx? A. (P 1 ):4x¡3zÆ0. B. (P 2 ):x¡y¡z¡4Æ0. C. (P 3 ):3y¡zÆ0. D. (P 4 ):2yÅz¡2Æ0. Câu63. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(2;1;¡1), B(2;0;2)vàsongsongvớiđườngthẳng CD,với C(3;2;0), D(1;2;1). A. x¡6yÅ2z¡6Æ0. B. xÅ6y¡2z¡6Æ0. C. x¡6y¡2z¡6Æ0. D. xÅ6yÅ2z¡6Æ0. Câu64. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x¡1 ¡1 Æ yÅ2 2m¡1 Æ zÅ3 2 µ m6Æ 1 2 ¶ và mặt phẳng (P):xÅ3y¡2z¡5Æ0.Tìmgiátrị mđểđườngthẳng d vuônggócvới (P). A. mÆ 4 3 . B. mÆ0. C. mÆ¡3. D. mÆ¡1. Câu65. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P):3xÅ4y¡5zÅ10Æ0vàđườngthẳng d đi quahaiđiểm M(¡1;0;2),N(3;2;0).Tínhgócgiữađườngthẳng d vàmặtphẳng (P). A. 90 ± . B. 45 ± . C. 60 ± . D. 30 ± . Câu66. TrongkhônggianOxyz,chocácđiểm A(2;3;¡1),B(1;2;¡3).Đườngthẳng ABcắtmặt phẳng (P):xÅyÅzÆ8tạiđiểm S.Tínhtỉsố SA SB . A. 1 2 . B. 2. C. 1. D. 1 3 . Th.sNguyễnChínEm 620 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu67. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: ½ xÆ2¡mt yÆ5Åt zÆ¡6Å3t (t2R). Mặt phẳng (P)cóphươngtrình 2xÅyÅ3z¡3Æ0.Mặtphẳng (P)vuônggócvới d khi A. mÆ¡1. B. mÆ¡3. C. mÆ¡2. D. mÆ1. Câu68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P):xÅ2yÅz¡5Æ0 và đường thẳng d : x 2 Æ y 1 Æ zÅ2 3 . Phương trình đường thẳng ¢ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuônggócvớiđườngthẳng d là A. x¡1 5 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 ¡3 . B. x¡1 5 Æ y¡1 2 Æ z¡1 3 . C. x¡1 5 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡1 2 . D. x¡2 5 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 ¡3 . Câu69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình là 2xÅy¡ 5zÅ6Æ0. Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(1;¡2;7) biết d vuông góc với (P). A. d: xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ7 ¡5 . B. d: x¡2 1 Æ y¡1 ¡2 Æ zÅ5 7 . C. d: x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡7 ¡5 . D. d: x¡1 2 Æ y¡2 1 Æ z¡7 ¡5 . Câu70. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặtphẳng (®):4xÅ3y¡7zÅ1Æ0.Phươngtrìnhthamsốcủa d là A. ( xÆ1Å3t yÆ2¡4t zÆ3¡7t . B. ( xÆ¡1Å8t yÆ¡2Å6t zÆ¡3¡14t . C. ( xÆ¡1Å4t yÆ¡2Å3t zÆ¡3¡7t . D. ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡7t . Câu71. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ¢: ( xÆ1¡t yÆ1Åt zÆ¡1Å2t (t2R) và mặt phẳng (P): 2x¡2y¡4zÅ1Æ0.Khiđó,tínhgóctạobởi¢vàmặtphẳng (P). A. 60 ± . B. 30 ± . C. 45 ± . D. 90 ± . Câu72. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : xÅ1 1 Æ y¡1 1 Æ z ¡2 , d 2 : ( xÆ1¡t yÆ0 zÆ2Åt .Gócgiữahaiđườngthẳng d 1 ,d 2 là A. 30 ± . B. 150 ± . C. 120 ± . D. 60 ± . Câu73. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng d: x¡1 2 Æ y ¡2 Æ z¡1 1 .Tìmtọa độgiaođiểm M củađườngthẳng d vớimặtphẳng(Oxy). A. M(¡1;2;0). B. M(1;0;0). C. M(2;¡1;0). D. M(3;¡2;0). Câu74. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, góc giữa đường thẳng d 1 : xÅ4 2 Æ y¡3 1 Æ zÅ1 ¡1 vàđườngthẳng d 2 : ( xÆ5¡2t yÆ7¡4t zÆ3¡2t bằng A. 45 ± . B. 90 ± . C. 60 ± . D. 30 ± . -Lờigiải. Chọnđápán C ä Câu75. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng(P):2x¡yÅ2zÅ1Æ0,đường thẳng d: x¡1 ¡1 Æ y ¡2 Æ zÅ2 2 .Gọi'làgócgiữađườngthẳng d vàmặtphẳng (P).Tính cos'. A. cos'Æ 5 9 . B. cos'Æ p 65 9 . C. cos'Æ 9 p 65 65 . D. cos'Æ 4 9 . Câu76. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chomặtphẳng(P):xÅy¡z¡3Æ0vàđiểm A(1;2;¡3).Tìmtọađộhìnhchiếuvuônggóccủa A lênmặtphẳng (P). A. (1;1;2). B. (0;1;¡2). C. (1;2;0). D. (2;1;0). Câu77. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(2;¡1;3) và mặt phẳng (®): xÅ2y¡z¡3Æ0.Xácđịnhtọađộhìnhchiếuvuônggóccủa A lênmặtphẳng (®). Th.sNguyễnChínEm 621 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. (3;1;2). B. (0;¡2;1). C. (4;3;1). D. (0;¡5;¡1). Câu78. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x 2 Æ y ¡1 Æ zÅ1 1 và mặt phẳng (®):x¡2y¡2zÅ5Æ0. Điểm A thuộc (d) sao cho khoảng cách từ A đến (®) bằng 3. Tìmtọađộđiểm A biết A cóhoànhđộdương. A. A(0;0;¡1). B. A(¡2;1;¡2). C. A(4;¡2;1). D. A(2;¡1;0). Câu79. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P):xÅyÅz¡4Æ0vàhaiđiểm A(3;3;1),B(0;2;1). Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng AB (I khác B) sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng khoảngcáchtừ B đến (P). A. I(¡3;1;1). B. I µ 3 2 ; 5 2 ;1 ¶ . C. I µ 2; 8 3 ;1 ¶ . D. I(3;3;1). Câu80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;¡2;3). Tọa độ hình chiếu vuông góccủa M trênmặtphẳng (Oxy)là A. (1;¡2;0). B. (0;0;3). C. (¡1;2;0). D. (¡1;2;3). Câu81. Cho đường thẳng d : ½ xÆ¡8Å4t yÆ5¡2t zÆt và điểm A(3;¡2;5). Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A trên d. A. (4;¡1;¡3). B. (4;¡1;3). C. (¡4;1;¡3). D. (¡4;¡1;3). Câu82. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng¢: xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z 2 . Tìm tọa độ điểm H là hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(2;¡3;1)trên¢. A. H(¡1;¡2;0). B. H(1;¡3;2). C. H(¡3;¡1;¡2). D. H(3;¡4;4). Câu83. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5;3;¡1),B(2;3;¡4) và C(1;2;0). Tìm tọa độ điểm D đốixứngvới C quađườngthẳng AB. A. (6;¡5;4). B. (¡5;6;4). C. (4;6;¡5). D. (6;4;¡5). Câu84. Trong không gian Oxyz, gọi B là điểm đối xứng với điểm A(1;2;1) qua mặt phẳng (P):y¡zÆ0.Tìmtọađộđiểm B. A. (1;¡2;1). B. (2;1;1). C. (¡1;1;2). D. (1;1;2). Câu85. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1;¡2;3) và đường thẳng d : xÅ1 2 Æ y¡2 1 Æ 3¡z 1 .Xácđịnhtọađộhìnhchiếuvuônggóc H của M lênđườngthẳng d. A. (2;0;5). B. (1;3;2). C. (3;5;1). D. (¡1;2;3). Câu86. Trong không gian Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y¡2 3 Æ zÅ3 1 trênmặtphẳngtọađộ (Oxy). A. ( xÆ3¡6t yÆ11¡9t zÆ0 . B. ( xÆ5Å6t yÆ11¡9t zÆ0 . C. ( xÆ5¡6t yÆ11Å9t zÆ0 . D. ( xÆ5¡6t yÆ11¡9t zÆ0 . -Lờigiải. ²Trênđườngthẳng d lấyhaiđiểm A(¡1;2;¡3)và B(1;5;¡2). ² Gọi A 0 ,B 0 lần lượt là hình chiếu của A,B xuống mặt phẳng (Oxy) suy ra A 0 (¡1;2;0) và B 0 (1;5;0). ²Khiđóhìnhchiếu d 0 của d xuống (Oxy)quahaiđiểm A 0 ,B 0 . Dễthấyhaiđiểm A 0 ,B 0 thuộcđườngthẳng ( xÆ5¡6t yÆ11¡9t zÆ0 Chọnđápán D ä Câu87. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x 1 Æ y 1 Æ z 1 , d 0 : ½ xÆt yÆ¡1 zÆ1¡t . Tính khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng d, d 0 . A. 1 p 6 . B. 2 p 3 . C. 2 p 6 . D. p 6 2 . Th.sNguyễnChínEm 622 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu88. Trongkhônggian Oxyz,đườngthẳng (d): x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ zÅ5 1 cắtmặtphẳng Oxz tại điểm A cáchgốctọađộO mộtkhoảngbằng A. 1. B. 3 p 5. C. p 26. D. 5. -Lờigiải. Điểm A thuộc (Oxz) cho nên A(x 0 ;0;z 0 ) thay vào (d) ta được x 0 Æ 3,z 0 Æ¡4 cho nên OA Æ p 3 2 Å4 2 Æ5. Chọnđápán D ä Câu89. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(4;¡2;2)vàđườngthẳng¢: x¡1 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z 1 .Tìm tọađộđiểm H thuộc¢saochođoạnthẳng MH cóđộdàinhỏnhất. A. (¡3;3;¡4). B. (3;¡3;2). C. (4;¡4;3). D. (3;3;2). Câu90. TrongkhônggianOxyzchomặtphẳng (P):x¡yÅ2z¡1Æ0,điểm A(1;¡1;0).Tìmtọa độhìnhchiếuvuônggóccủa A lên (P). A. H(¡10;¡3;4). B. H(7;2;¡2). C. H(¡ 10 3 ; 1 3 ; 7 3 ). D. H( 5 6 ;¡ 5 6 ;¡ 1 3 ). Câu91(SởGDvàĐTGiaLai). TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P):2x¡2yÅzÅ3Æ0 vàđườngthẳng¢: ( xÆ¡3Å2t, yÆ¡1Å3t, zÆ¡1Å2t. Tínhkhoảngcách d giữa¢và (P). A. dÆ 10 3 . B. dÆ 2 3 . C. dÆ0. D. dÆ2. Câu92. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y¡2 1 Æ z 3 và điểm M(3;5;1). Tìm tọađộđiểm N làđiểmđốixứngcủađiểm M quađườngthẳng d. A. N(¡1;1;5). B. N(¡9;¡3;¡7). C. N(¡5;¡1;¡1). D. N(1;6;2). -Lờigiải. Gọi I làhìnhchiếuvuônggóccủa M trênđườngthẳng d.Khiđó I(¡1Å2t;2Åt;3t)2d. Tacó #  MIÆ(2t¡4;t¡3;3t¡1).Do MI?d nêntacó 2(2t¡4)Å(t¡3)Å3(3t¡1)Æ0. Suyra tÆ1,vậy I(1;3;3).Vì N làđiểmđốixứngcủa M quađườngthẳng dnên I làtrungđiểm của MN.Vậy N(¡1;1;5). Chọnđápán A ä Câu93. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d 1 : x¡2 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡2 ¡1 và d 2 : ( xÆt yÆ3 zÆ¡2Åt . Lậpphươngtrìnhđườngvuônggócchungcủahaiđườngthẳng d 1 và d 2 . A. ( xÆ2Åt yÆ1Å2t zÆ2¡t . B. ( xÆ¡2Å3t yÆ1Å3t zÆ2Åt . C. ( xÆ¡2Å3t yÆ1¡3t zÆ2Åt . D. ( xÆ2Å3t yÆ1Å3t zÆ¡2¡t . Câu94. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chobađiểm A(3;¡1;2), B(4;¡1;¡1), C(2;0;2)và đườngthẳng d: x 1 Æ yÅ2 3 Æ z¡3 ¡1 .Gọi M làgiaođiểmcủađườngthẳng d vàmặtphẳng (ABC). ĐộdàiđoạnthẳngOM bằng A. 2 p 2. B. 3. C. p 6. D. p 3. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;0;¡3), #  ACÆ(¡1;1;0)) h #  AB; #  AC i Æ(3;3;1). Mặtphẳng (ABC)điqua A,nhận #  nÆ(3;3;1)làvéc-tơpháptuyếncóphươngtrìnhlà 3xÅ3yÅ z¡8Æ0. Do M2d nên M(t;¡2Å3t;3¡t). Mặtkhác M2(ABC)nên 3tÅ3(¡2Å3t)Å3¡t¡8Æ0,tÆ1)M(1;1;2))OMÆ p 6. Chọnđápán C ä Câu95. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;¡1), đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ z¡2 ¡1 và mặtphẳng(P):xÅyÅ2zÅ1Æ0.ĐiểmBthuộcmặtphẳng(P)thỏamãnđườngthẳng ABvuông gócvàcắtđườngthẳng d.Tọađộđiểm B là A. (6;¡7;0). B. (3;¡2;¡1). C. (¡3;8;¡3). D. (0;3;¡2). Th.sNguyễnChínEm 623 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Gọi H làgiaođiểmcủa ABvàđườngthẳng d,tacó H(2tÅ1;t¡1;¡tÅ2)) #  AHÆ(2t;t¡3;¡tÅ3). Do AH?d, #  AH¢ #  u d Æ0)6t¡6Æ0)tÆ1. Từđó #  AH(2;¡2;2))B(1Å2k;2¡2k;¡1Å2k). Tacó B2(P))B(0;3;¡2). Chọnđápán D ä Câu96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x¡1 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z 2 . Mặt phẳng (P)điquađiểm M(2;0;¡1)vàvuônggócvới d cóphươngtrìnhlà A. (P): x¡yÅ2zÆ0. B. (P): x¡2y¡2Æ0. C. (P): xÅyÅ2zÆ0. D. (P): x¡y¡2zÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)vuônggócvớiđườngthẳng d nêncómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;¡1;2).Do đó,phươngtrìnhtổngquátcủamặtphẳng (P)là 1(x¡2)Å(¡1)(y¡0)Å2(zÅ1)Æ0,x¡yÅ2zÆ0. Chọnđápán A ä Câu97. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;0)vàB(2;1;2).Phươngtrìnhthamsốcủa đườngthẳng AB là A. ( xÆ2Å2t yÆ1¡t zÆ2Åt . B. ( xÆ1Åt yÆ2Åt zÆ2t . C. ( xÆ1Åt yÆ2¡t zÆ2t . D. ( xÆ1Åt yÆ2¡t zÆ2 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(1;¡1;2)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng AB là ( xÆ1Åt yÆ2¡t zÆ2t. Chọnđápán C ä Câu98. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(3;¡2;0). Véc-tơ nào sauđâylàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB? A. #  uÆ(¡1;2;1). B. #  uÆ(1;2;¡1). C. #  uÆ(2;¡4;2). D. #  uÆ(2;4;¡2). -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(2;¡4;¡2) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng AB nên véc-tơ #  u Æ¡ 1 2 #  ABÆ (¡1;2;1)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Chọnđápán A ä Câu99. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđiểm A(2;3;¡1), B(1;2;4).Phương trìnhnàodướiđâykhôngphảiphươngtrìnhđườngthẳng AB? A. xÅ2 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡1 5 . B. ( xÆ2¡t yÆ3¡t zÆ¡1Å5t . C. ( xÆ1¡t yÆ2¡t zÆ4Å5t . D. x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ z¡4 ¡5 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡1;5)khôngcùngphươngvớivéc-tơ #  uÆ(1;1;5)nênđườngthẳng xÅ1 2 Æ yÅ3 1 Æ z¡1 5 khôngphảiphươngtrìnhđườngthẳng AB. Chọnđápán A ä Câu100. TrongkhônggianOxyz,tọađộgiaođiểm M củađườngthẳng d: x¡1 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z 4 và mặtphẳng (®): 3xÅ2yÅz¡1Æ0là A. M(1;¡1;0). B. M(¡1;0;1). C. M(¡1;1;0). D. M(1;0;¡1). -Lờigiải. Giảsử M làgiaođiểmcủa d và (P).Vì M2d nên M(1Åt,¡1¡2t,4t). Vì M2(P)nên 3(1Åt)Å2(¡1¡2t)Å4t¡1Æ0,tÆ0)M(1;¡1;0). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 624 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu101. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;¡7) và mặt phẳng (P): xÅ2y¡2zÅ5Æ0. Phươngtrìnhđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvớimặtphẳng (P)là A. xÅ1 1 Æ yÅ4 2 Æ z¡7 ¡2 . B. x¡1 1 Æ y¡4 2 Æ zÅ7 ¡7 . C. x¡1 1 Æ y¡4 2 Æ zÅ7 ¡2 . D. x¡1 1 Æ y¡4 ¡2 Æ zÅ7 ¡2 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến (1;2;¡2).Gọi d làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới mặt phẳng (P). Vì d nhận véc-tơ pháp tuyến của (P) làm véc-tơ chỉ phương nên (1;2;¡2) là véc-tơchỉphươngcủa d.Phươngtrìnhđườngthẳng d: x¡1 1 Æ y¡4 2 Æ zÅ7 ¡2 . Chọnđápán C ä Câu102. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm M(¡1;2;2).Đườngthẳngđiqua M songsongvới Oycóphươngtrìnhlà A. ( xÆ¡1 yÆt zÆ2 ,(t2R). B. ( xÆ¡1Åt yÆ2 zÆ2Åt ,(t2R). C. ( xÆ¡1Åt yÆ2 zÆ2 ,(t2R). D. ( xÆ¡1 yÆ2 zÆ2Åt ,(t2R). -Lờigiải. TrụcOycó 1véc-tơchỉphươnglà #  j(0;1;0). Đườngthẳngđiqua M,songsongvớiOycóphươngtrìnhlà ( xÆ¡1 yÆ2Åt zÆ2 ,(t2R). Chọnđápán A ä Câu103. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;¡2;1) và hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có phươngtrìnhlà x¡3zÅ1Æ0,2y¡zÅ1Æ0.Đườngthẳng dđiqua I vàsongsongvớimặtphẳng (P), (Q)cóphươngtrìnhlà A. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 5 . B. x¡1 6 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . C. x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 ¡5 . D. x¡1 6 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡1 2 . -Lờigiải. véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  u d Æ[ #  n P , #  n Q ]Æ(6,1,2). Đườngthẳng d điqua I vàsongsongvớimặtphẳng (P), (Q)cóphươngtrìnhlà x¡1 6 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . Chọnđápán B ä Câu104. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm A(1;2;0)vàvuônggócvớiđườngthẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 ¡1 . A. xÅ2y¡5Æ0. B. 2xÅy¡zÅ4Æ0. C. ¡2x¡yÅz¡4Æ0. D. ¡2x¡yÅzÅ4Æ0. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)điquađiểm A(1;2;0)vàvuônggócvớiđườngthẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 ¡1 là 2(x¡1)Å1(y¡2)¡1(z¡0)Æ0,¡2x¡yÅzÅ4Æ0. Chọnđápán D ä Câu105. Đườngthẳng d: x 2 Æ y¡2 1 Æ zÅ3 3 vuônggócvớimặtphẳngnàosauđây? A. (® 1 ): 4xÅ2yÅ6z¡2018Æ0. B. (® 2 ): 2xÅy¡3z¡2017Æ0. C. (® 3 ): 3xÅyÅ2z¡2017Æ0. D. (® 4 ): 2x¡yÅ3z¡2018Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;1;3). Mặtphẳng (® 1 )cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(4;2;6). Vì #  u cùngphươngvới #  n nên d?(® 1 ). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 625 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu106. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)điquađiểm A(1;2;0)vàvuônggócvớiđườngthẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 ¡1 . A. (P): xÅ2y¡5Æ0. B. (P): 2xÅy¡zÅ4Æ0. C. (P): ¡2x¡yÅz¡4Æ0. D. (P): ¡2x¡yÅzÅ4Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;1;¡1). Vì (P)?d nên #  u làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2(x¡1)Å1(y¡2)¡1(z¡0)Æ0,2xÅy¡z¡4Æ0,¡2x¡yÅzÅ4Æ0. Vậyphươngtrìnhmặtphẳng (P)là (P): ¡2x¡yÅzÅ4Æ0. Chọnđápán D ä Câu107. TrongkhônggianOxyz,lậpphươngtrìnhđườngthẳngdđiquaM(0;¡1;3)vàvuông gócvớimặtphẳng (P): xÅ3y¡1Æ0. A. d: ( xÆt yÆ¡1Å2t zÆ3Å2t . B. d: ( xÆ1 yÆ3¡t zÆ3t . C. d: ( xÆt yÆ¡1Å3t zÆ3¡t . D. d: ( xÆt yÆ¡1Å3t zÆ3 . -Lờigiải. Vìđườngthẳng d vuônggócvới (P)nênmộtvéc-tơchỉphươngcủa d làvéc-tơpháptuyếncủa (P),dođó #  a d Æ #  n (P) Æ(1;3;0). Vìđiểm M2d nênphươngtrìnhđườngthẳng d là d: ( xÆt yÆ¡1Å3t zÆ3. Chọnđápán D ä Câu108. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ¢: ( xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t và ¢ 0 : xÅ4 3 Æ yÅ2 2 Æ z¡4 ¡1 .Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng? A. ¢trùngvới¢ 0 . B. ¢vࢠ0 chéonhau. C. ¢vࢠ0 songsongvớinhau. D. ¢cắt¢ 0 . -Lờigiải. Đường thẳng ¢ có một vec-tơ chỉ phương #  a ¢ Æ (2;¡1;4), đường thẳng ¢ 0 có một vec-tơ chỉ phương #  a ¢ 0Æ(3;2;¡1).Vì #  a ¢ và #  a ¢ 0 khôngcùngphươngnên¢vࢠ0 chỉcóthểchéonhauhoặc cắtnhau. Xéthệphươngtrìnhgiaođiểmcủa¢vࢠ0 8 > > > < > > > : xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t xÅ4 3 Æ yÅ2 2 Æ z¡4 ¡1 , 8 > > > < > > > : xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t 2tÅ1 3 Æ ¡tÅ3 2 Æ 4t¡5 ¡1 , 8 < : tÆ1 xÆ¡t yÆ0 zÆ3. Dođó¢cắt¢ 0 . Chọnđápán D ä Câu109. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(2;0;0),B(0;3;1),C(¡1;4;2).Tínhkhoảngcách từ A đếnđườngthẳng BC. A. p 6. B. p 2. C. p 3 2 . D. p 3. Th.sNguyễnChínEm 626 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốđườngthẳng BC là ( xÆ¡t yÆ3Åt zÆ1Åt . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC, tọa độ điểm H có dạng H(¡t;3Å t;1Åt).Vì AH?BC nên #  AH¢ #  BC,suyra H(2;1;¡1). Khoảngcách d(A,BC)ÆAHÆ p 0 2 Å1 2 Å(¡1) 2 Æ p 2. Chọnđápán B ä Câu110. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d 1 : x ¡1 Æ y¡4 1 Æ zÅ1 ¡2 và d 2 : ( xÆ¡t yÆ2Å3t zÆ¡4Å3t. A. 2 p 110 55 . B. p 110 23 . C. p 55 7 . D. p 11 3 . -Lờigiải. Đườngthẳng d 1 điquađiểm A(0;4;¡1)vàcómộtvec-tơchỉphương #  u 1 Æ(¡1;1;¡2). Đườngthẳng d 2 điquađiểm B(0;2;¡4)vàcómộtvec-tơchỉphương #  u 2 Æ(¡1;3;3). Suyrakhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng d(d 1 ,d 2 )Æ ¯ ¯ ¯ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ ¢ #  AB ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ £ #  u 1 , #  u 2 ¤¯ ¯ Æ 2 p 110 55 . Chọnđápán A ä Câu111. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅ2z¡3Æ 0 và đường thẳng ¢: x¡1 2 Æ yÅ1 2 Æ z¡1 ¡1 .Khoảngcáchgiữa¢và (P)là A. 2 3 . B. 8 3 . C. 2 9 . D. 1. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà: #  nÆ(2;¡1;2). Đườngthẳng¢điquađiểm M(1;¡1;1)vàcómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;2;¡1). Do #  n¢ #  uÆ0và MÝ(P))¢Ò(P). Vậy d(¢,(P))Æd(M,(P))Æ j2¢1¡(¡1)Å2¢1¡3j p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ 2 3 . Chọnđápán A ä Câu112. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tọađộhìnhchiếuvuônggóccủađiểmM(1;0;1) lênđườngthẳng (¢): x 1 Æ y 2 Æ z 3 là A. (2;4;6). B. µ 1; 1 2 ; 1 3 ¶ . C. (0;0;0). D. µ 2 7 ; 4 7 ; 6 7 ¶ . -Lờigiải. Gọi H(t;2t;3t)2(¢).Tacó #  MHÆ(t¡1;2t;3t¡1). H làhìnhchiếucầntìm, #  MH¢ #  u (¢) Æ0,tÆ 2 7 )H µ 2 7 ; 4 7 ; 6 7 ¶ . Chọnđápán D ä Câu113. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,tọađộhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(3;2;¡1) lênmặtphẳng (®): xÅyÅzÆ0là A. (¡2;1;1). B. µ 5 3 ; 2 3 ;¡ 7 3 ¶ . C. (1;1;¡2). D. µ 1 2 ; 1 4 ; 1 4 ¶ . -Lờigiải. Đườngthẳng(¢)qua A(3;2;¡1),cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;1;1)cóphươngtrìnhlà ( xÆ3Åt yÆ2Åt zÆ¡1Åt. Tọađộhìnhchiếu H của A lên (®)làgiaođiểmcủa (¢)và (®). Tọađộ H(3Åt;2Åt;¡1Åt)2(®))tÆ¡ 4 3 )H µ 5 3 ; 2 3 ;¡ 7 3 ¶ . Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 627 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu114. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu của điểm M(¡1;0;3) theo phương véc-tơ #  v Æ(1;¡2;1)trênmặtphẳng (P): x¡yÅzÅ2Æ0cótọađộlà A. (2;¡2;¡2). B. (¡1;0;1). C. (¡2;2;2). D. (1;0;¡1). -Lờigiải. Đườngthẳng(¢)quaM(¡1;0;3)cóvéc-tơchỉphương #  v Æ(1;¡2;1)cóphươngtrìnhlà ( xÆ¡1Åt yÆ¡2t zÆ3Åt. Hìnhchiếucủa M(¡1;0;3)theophươngvéc-tơ #  v Æ(1;¡2;1)làgiaođiểm N của (¢)và (P). Tọađộ N(¡1Åt;¡2t;3Åt)2(P))tÆ¡1)N(¡2;2;2). Chọnđápán C ä Câu115. Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(0;1;0) và chứa đường thẳng (¢): x¡2 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡3 1 cóphươngtrìnhlà A. x¡yÅzÅ1Æ0. B. 3x¡yÅ2zÅ1Æ0. C. xÅyÅz¡1Æ0. D. 3xÅy¡2z¡1Æ0. -Lờigiải. Tacó ½ A(0;1;0)2(P) B(2;1;3)2(¢)½(P) ) #  n (P) Æ h #  AB, #  u (¢) i Æ(3;1;¡2). Tađược (P): 3xÅy¡2z¡1Æ0. Chọnđápán D ä Câu116. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d 0 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: xÅ1 2 Æ x¡2 3 Æ zÅ3 1 trênmặtphẳngtoạđộ Oxy.Véc-tơnàodướiđâylàmộtvéc-tơchỉ phươngcủa d 0 ? A. #  uÆ(2;3;0). B. #  uÆ(2;3;1). C. #  uÆ(¡2;3;0). D. #  uÆ(2;¡3;0). -Lờigiải. Tọađộgiaođiểmcủa d vàmặtphẳngOxylà I(5;11;0). Gọi A(¡1;2;¡3)2d. Gọi A 0 làhìnhchiếucủa A lênmặtphẳngOxysuyra A 0 (¡1;2;0)) #  A 0 IÆ(6;9;0). Vậyđườngthẳng d 0 cómộtvéc-tơchỉphươnglà (2;3;0). Chọnđápán A ä Câu117. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ1¡t yÆ2Å2t zÆ3Åt vàmặtphẳng (P): x¡yÅ3Æ0.Tínhsốđogócgiữađườngthẳng d vàmặtphẳng (P). A. 60 ± . B. 30 ± . C. 120 ± . D. 45 ± . -Lờigiải. Tacó #  uÆ(¡1;2;1)làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng dvà #  nÆ(1;¡1;0)làvéc-tơpháptuyến củamặtphẳng (P). Suyra sin(d;(P))Æ ¯ ¯ cos ¡ #  u; #  n ¢¯ ¯ Æ ¯ ¯ #  u¢ #  n ¯ ¯ j #  uj¢j #  nj Æ p 3 2 .Vậy (d;(P))Æ60 ± . Chọnđápán A ä Câu118. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaiđườngthẳng d 1 : x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ2 ¡2 và d 2 : xÅ2 ¡2 Æ y¡1 ¡1 Æ z 2 .Xétvịtrítươngđốicủahaiđườngthẳngđãcho. A. Chéonhau. B. Trùngnhau. C. Songsong. D. Cắtnhau. -Lờigiải. Tacó #  u(2;1;¡2)làvéc-tơchỉphươngcủa d 1 ; #  v(¡2;¡1;2)làvéc-tơchỉphươngcủa d 2 ; A(1;0;¡2) làmộtđiểmthuộc d 1 . Vì #  u và #  v cùngphương,đồngthời A2d 1 nhưng AÝd 2 nên d 1 và d 2 songsongvớinhau. Chọnđápán C ä Câu119. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyzviếtphươngtrìnhđườngthẳnggiaotuyến củahaimặtphẳng (P): xÅ3y¡zÅ1Æ0, (Q): 2x¡yÅz¡7Æ0. A. xÅ2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ3 ¡7 . B. x¡2 2 Æ y 3 Æ z¡3 ¡7 . Th.sNguyễnChínEm 628 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. x ¡2 Æ y¡3 ¡3 Æ z¡10 7 . D. x¡2 ¡2 Æ y 3 Æ z¡3 7 . -Lờigiải. Gọi (d)làđườngthẳnggiaotuyếncủahaimặtphẳng (P)và (Q). Xéthệphươngtrình ½ xÅ3y¡zÅ1Æ0 2x¡yÅz¡7Æ0. Cho xÆ2,tacó yÆ0,zÆ3,tacó A(2;0;3)2(d). Mặt khác #  u d Æ[ #  n (P) , #  n (Q) ]Æ(2;¡3;¡7) ta có thể chọn #  u 1 Æ(¡2;3;7) làm véc-tơ chỉ phương của (d). Vậy (d): x¡2 ¡2 Æ y 3 Æ z¡3 7 . Chọnđápán D ä Câu120. Đường thẳng ¢ là giao của hai mặt phẳng xÅz¡5Æ0 và x¡2y¡zÅ3Æ0 thì có phươngtrìnhlà A. xÅ2 1 Æ yÅ1 3 Æ z ¡1 . B. xÅ2 1 Æ yÅ1 2 Æ z ¡1 . C. x¡2 1 Æ y¡1 1 Æ z¡3 ¡1 . D. x¡2 1 Æ y¡1 2 Æ z¡3 ¡1 . -Lờigiải. (P): xÅz¡5Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến #  n 1 Æ(1;0;1). (Q): x¡2y¡zÅ3Æ0cómộtvéc-tơpháptuyến #  n 2 Æ(1;¡2;¡1). Tacó: £ #  n 1 , #  n 2 ¤ Æ(2;2;¡2). Gọi #  u làmộtvéc-tơchỉphươngcủa¢,thì #  u? #  n 1 và #  u? #  n 2 . Suyra #  u cùngphươngvới £ #  n 1 , #  n 2 ¤ .Chọn #  uÆ(1;1;¡1). Lấy M(2;1;3)thuộchaimặtphẳng (P)và (Q). Đườngthẳng¢điqua M(2;1;3)cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;1;¡1). Vậyphươngtrình¢là x¡2 1 Æ y¡1 1 Æ z¡3 ¡1 . Chọnđápán C ä Câu121. Mặt phẳng (P) đi qua A(3;0;0), B(0;0;4) và song song với trục Oy có phương trình là A. 4xÅ3z¡12Æ0. B. 3xÅ4z¡12Æ0. C. 4xÅ3zÅ12Æ0. D. 4xÅ3zÆ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡3;0;4);Oycómộtvéc-tơchỉphươnglà #  j Æ(0;1;0). Gọi #  n làmộtvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Do ½ #  n? #  j #  n? #  AB nêntacóthểchọn #  nÆ h #  j, #  AB i Æ(4;0;3). Khiđóphươngtrìnhmặtphẳngcầntìmquađiểm A(3;0;0)vàcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(4;0;3) là (P): 4(x¡3)Å3(z¡0)Æ0hay 4xÅ3z¡12Æ0. Chọnđápán A ä Câu122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;¡3;4), đường thẳng d: xÅ2 3 Æ y¡5 ¡5 Æ z¡2 ¡1 và mặt phẳng (P): 2xÅz¡2Æ0. Viết phương trình đường thẳng¢ qua M, vuông gócvới d vàsongsongvới (P). A. ¢: x¡1 1 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡4 ¡2 . B. ¢: x¡1 ¡1 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡4 ¡2 . C. ¢: x¡1 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡4 ¡2 . D. ¢: x¡1 1 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡4 2 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  u d Æ(3;¡5;¡1),mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ (2;0;1). Đường thẳng ¢ vuông góc với d và song song với (P) nên nhận [ #  u d , #  n P ]Æ(¡5;¡5;10) làmvéc-tơchỉphương. Dođó¢qua M vànhận #  uÆ(1;1;¡2)làmvéc-tơchỉphươngvàcóphươngtrình x¡1 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡4 ¡2 . Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 629 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu123. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x¡1 3 Æ yÅ2 2 Æ z¡3 ¡4 . Điểmnàosauđâykhôngthuộcđườngthẳng d? A. Q(¡2;¡4;7). B. N(4;0;¡1). C. M(1;¡2;3). D. P(7;2;1). -Lờigiải. Dễthấy M(1;¡2;3)2d. Với N(4;0;¡1)tacó 4¡1 3 Æ 0Å2 2 Æ ¡1¡3 ¡4 Æ1nên N2d. Với P(7;2;1)tacó 7¡1 3 Æ 2Å2 2 6Æ 1¡3 ¡4 nên PÝd. VớiQ(¡2;¡4;7)tacó ¡2¡1 3 Æ ¡4Å2 2 Æ 7¡3 ¡4 Æ¡1nênQ2d. Chọnđápán D ä Câu124. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y 1 Æ z¡2 1 , mặt phẳng (P): xÅy¡2zÅ5Æ0vàđiểm A(1;¡1;2).Đườngthẳng¢cắt d và (P)lầnlượttại M và N saocho A làtrungđiểmcủa MN.Mộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là. A. #  uÆ(2;3;2). B. #  uÆ(1;¡1;2). C. #  uÆ(¡3;5;1). D. #  uÆ(4;5;¡13). -Lờigiải. Tacó {M}Æ¢\d)M(¡1Å2t;t;2Åt). Do A(1;¡1;2)làtrungđiểmcủa MN nên N(3¡2t;¡2¡t;2¡t). Mặtkhác N2(P)nên 3¡2t¡2¡t¡4Å2tÅ5Æ0,tÆ2)M(3;2;4)) #  AMÆ(2;3;2)làmộtvéc-tơ chỉphươngcủa¢. Chọnđápán A ä Câu125. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: ( xÆ1 yÆ1Åt zÆ¡1Åt (t2R) và hai mặt phẳng (P): x¡yÅzÅ1Æ0, (Q): 2xÅy¡z¡4Æ0.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. dÒ(P). B. dÒ(Q). C. (P)\(Q)Æd. D. d?(P). -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua A(1;1;¡1) và có 1 véc-tơ chỉ phương là #  u Æ(0;1;1). Mặt phẳng (P), (Q) lầnlượtcó 1véc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(1;¡1;1), #  n Q Æ(2;1;¡1). Vì £ #  n P ; #  n Q ¤ Æ(0;3;3)Æ3¢ #  u, A2(P), A2(Q)nên (P)\(Q)Æd. Chọnđápán C ä Câu126. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 : x¡2 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡6 ¡2 và d 2 : x¡4 1 Æ yÅ2 ¡2 Æ zÅ1 3 .Phươngtrìnhmặtphẳng (P)chứa d 1 vàsongsongvới d 2 là A. (P): xÅ4yÅ3z¡12Æ0. B. (P): xÅ8yÅ5zÅ16Æ0. C. (P): xÅ8yÅ5z¡16Æ0. D. (P): 2xÅy¡6Æ0. -Lờigiải. Ta có véc-tơ chỉ phương của d 1 là #  u 1 Æ(2;1;¡2), véc-tơ chỉ phương của d 2 là #  u 2 Æ(1;¡2;3) và điểm M(2;¡2;6)2d 1 . Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là #  n Æ[ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(¡1;¡8;¡5), suy ra phương trình mặt phẳng (P)là ¡(x¡2)¡8(yÅ2)¡5(z¡6)Æ0,xÅ8yÅ5z¡16Æ0. Chọnđápán C ä Câu127. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;3) và hai mặt phẳng (P): 2xÅyÅ2z¡8Æ0, (Q): x¡4yÅz¡4Æ0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). A. d: ½ xÆ3Åt yÆ5¡t zÆ3 . B. d: ½ xÆ3Åt yÆ5 zÆ3¡t . C. d: ½ xÆ3Åt yÆ5 zÆ3Åt . D. d: ½ xÆ3 yÆ5Åt zÆ3¡t . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 630 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacóvéc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n 1 Æ(2;1;2),véc-tơpháptuyếncủa (Q)là #  n 2 Æ(1;¡4;1). Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  uÆ[ #  n 1 , #  n 2 ]Æ(9;0;¡9)Ò(1;0;¡1),suyraphươngtrình đườngthẳng d là d: ½ xÆ3Åt yÆ5 zÆ3¡t. Chọnđápán B ä Câu128. TronghệtọađộOxyz,chođiểm A(¡1;1;6)vàđườngthẳng¢: ( xÆ2Åt yÆ1¡2t zÆ2t .Hìnhchiếu vuônggóccủa A trên¢là A. M(3;¡1;2). B. H(11;¡17;18). C. K(2;1;0). D. N(1;3;¡2). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  uÆ(1;¡2;2).Gọi I(2Åt;1¡2t;2t)làhìnhchiếuvuông góccủa A lên¢,khiđó #  AI¢ #  uÆ0,(3Åt)¡2(¡2t)Å2(2t¡6)Æ0,9t¡9Æ0,tÆ1. Suyratọađộhìnhchiếucủa A lên¢là (3;¡1;2). Chọnđápán A ä Câu129. Cho hai đường thẳng d 1 : ( xÆ1Åt yÆ2¡t zÆ3Å2t và d 2 : x¡1 2 Æ y¡m 1 Æ zÅ2 ¡1 (với m là tham số). Tìm mđểhaiđườngthẳng d 1 , d 2 cắtnhau. A. mÆ9. B. mÆ4. C. mÆ5. D. mÆ7. -Lờigiải. Tacó M 1 (1;2;3)2d 1 vàvéc-tơchỉphươngcủa d 1 là #  u 1 Æ(1;¡1;2), M 2 (1;m;¡2)2d 2 vàvéc-tơchỉ phươngcủa d 2 là #  u 2 Æ(2;1;¡2).Suyra #  M 1 M 2 Æ(0;m¡2;¡5)và [ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(0;6;3). Để d 1 cắt d 2 thì [ #  u 1 , #  u 2 ]¢ #  M 1 M 2 Æ0,6(m¡2)¡15Æ0,mÆ5. Chọnđápán C ä Câu130. TronghệtọađộOxyz,chođiểmM(1;¡1;2)vàhaiđườngthẳngd 1 : ( xÆt yÆ1¡t zÆ¡1 ,d 2 : xÅ1 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 1 . Đường thẳng¢ đi qua M và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 có véc tơ chỉ phương là #  u ¢ (1;a;b).Tính aÅb. A. aÅbÆ1. B. aÅbÆ¡1. C. aÅbÆ¡2. D. aÅbÆ2. -Lờigiải. Giả sử ¢ cắt d 1 , d 2 lần lượt tại A, B. Ta có A(a;1¡a;¡1) và B(¡1Å2b;1Åb;¡2Åb), suy ra #  MAÆ(a¡1;2¡a;¡3), #  MBÆ(2b¡2;bÅ2;b¡4). Vì M2¢nên M, A, B thẳnghàng.Dovậy ( a¡1Æk(2b¡2) 2¡aÆk(bÅ2) ¡3Æk(b¡4) , ( a¡2kbÅ2kÆ1 aÅkbÅ2kÆ2 kb¡4kÆ¡3 , 8 > > > < > > > : aÆ0 kbÆ 1 3 kÆ 5 6 . VớiaÆ0suyra A(0;1;¡1).Dođómộtvéc-tơchỉphươngcủa¢là #  AMÆ(1;¡2;3),dođóaÆ¡2và bÆ3)aÅbÆ1. Chọnđápán A ä Câu131. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Å2x¡4y¡6zÅ5Æ0.Mặtphẳng tiếpxúcvới (S)vàsongsongvớimặtphẳng (P): 2x¡yÅ2z¡11Æ0cóphươngtrìnhlà A. 2x¡yÅ2zÅ7Æ0. B. 2x¡yÅ2z¡7Æ0. C. 2x¡yÅ2zÅ9Æ0. D. 2x¡yÅ2z¡9Æ0. -Lờigiải. Tacó (S): (xÅ1) 2 Å(y¡2) 2 Å(z¡3) 2 Æ9,suyra (S)cótâm I(¡1;2;3)vàbánkính RÆ3. Gọimặtphẳngcầntìmlà (Q). Vì (Q)Ò(P)nênphươngtrình (Q)códạng: 2x¡yÅ2zÅcÆ0,(c6Æ¡11). (Q)tiếpxúcvới (S)khivàchỉkhi: d(I,(Q))ÆR, j2¢(¡1)¡2Å2¢3Åcj p 2 2 Å1 2 Å2 2 Æ3, h cÆ7 cÆ¡11(loại). Th.sNguyễnChínEm 631 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậy (Q): 2x¡yÅ2zÅ7Æ0. Chọnđápán A ä Câu132. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (®) là mặt phẳng chứa đường thẳng d: x¡2 1 Æ y¡3 1 Æ z 2 và vuông góc với mặt phẳng (¯): xÅy¡2zÅ1Æ0. Hỏi giao tuyến của (®) và (¯)điquađiểmnàodướiđây? A. (2;3;3). B. (5;6;8). C. (0;1;3). D. (1;¡2;0). -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;1;2)vàđiquađiểm A(2;3;0). Mặtphẳng (¯)cóvéctơpháptuyến #  nÆ(1;1;¡2). Mặtphẳng (®)chứa d vàvuônggócvới (¯)nêncóvéctơpháptuyến #  v Æ[ #  u, #  n]Æ(¡4;4;0)vàđi quađiểm A. Dođó (®)cóphươngtrình: x¡yÅ1Æ0. Nhậnthấyđiểmcótọađộ (2;3;3)thuộc (®)vàthuộc (¯). Vậygiaotuyếncủa (®)và (¯)điquađiểmcótọađộ (2;3;3). Chọnđápán A ä Câu133. TrongkhônggiantọađộOxyz,khoảngcáchgiữatrụcOzvàmặtphẳng(P):x¡y¡2Æ 0bằng A. 1 2 . B. 1 p 2 . C. p 2. D. 2. -Lờigiải. VìOzÒ(P))d[Oz,(P)]Æd[O,(P)]Æ j¡2j p 2 Æ p 2. Chọnđápán C ä Câu134. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;6), B(¡3;1;¡2). Đường thẳng AB cắt mặtphẳng (Oxy)tạiđiểm M.Tínhtỉsố AM BM . A. 2. B. 3. C. 1 3 . D. 1 2 . -Lờigiải. Phươngtrìnhđườngthẳng AB cóvectơchỉphương #  ABÆ(¡4;3;¡8)là x¡1 ¡4 Æ yÅ2 3 Æ z¡6 ¡8 . M làgiaođiểmcủa AB với (Oxy)nênthỏahệ ( x¡1 ¡4 Æ yÅ2 3 Æ z¡6 ¡8 zÆ0 , 8 > < > : xÆ¡2 yÆ 1 4 zÆ0. Suyra AMÆ 3 p 89 4 và BMÆ p 89 4 .Vậy AM BM Æ3. Chọnđápán B ä Câu135. Điểmnàosauđâythuộcđườngthẳng (d): x 2 Æ yÅ3 1 Æ z ¡1 . A. (0;1;1). B. (2;1;2). C. (2;¡1;¡2). D. (2;¡2;¡1). -Lờigiải. Do 2 2 Æ ¡2Å3 1 Æ ¡1 ¡1 nên (2;¡2;¡1)làmộtđiểmthuộc (d): x 2 Æ yÅ3 1 Æ z ¡1 . Chọnđápán D ä Câu136. Trong khônggian Oxyz, chođiểm M(3;2;¡1) và mặtphẳng (P): xÅz¡2Æ0. Đường thẳngđiqua M vàvuônggócvới (P)cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ3Åt yÆ2 zÆ¡1Åt . B. ( xÆ3Åt yÆ2Åt zÆ¡1 . C. ( xÆ3Åt yÆ2t zÆ1¡t . D. ( xÆ3Åt yÆ1Å2t zÆ¡t . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 632 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  n (P) Æ(1;0;1). Đườngthẳngđiqua M(3;2;¡1)vànhận #  n (P) Æ(1;0;1)làvéc-tơchỉphươngcóphươngtrìnhlà ( xÆ3Åt yÆ2 zÆ¡1Åt. Chọnđápán A ä Câu137. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của A(1;1;1) lên đường thẳng d: ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆt . A. H µ 4 3 ; 4 3 ; 1 3 ¶ . B. H(1;1;1). C. H(0;0;¡1). D. H(1;1;0). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  uÆ(1;1;1). H thuộcđườngthẳng dnên H(1Åt;1Åt;t). Suyra #  AHÆ(t;t;t¡1). Do AH?dnên #  AH¢ #  uÆ0)tÅtÅt¡1Æ0)tÆ 1 3 . Vậy H µ 4 3 ; 4 3 ; 1 3 ¶ . Chọnđápán A ä Câu138. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquahaiđiểm P(1;1;¡1), Q(2;3;2). A. x¡1 2 Æ y¡1 3 Æ zÅ1 2 . B. x¡1 1 Æ y¡1 2 Æ zÅ1 3 . C. x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ z¡3 ¡1 . D. xÅ2 1 Æ yÅ3 2 Æ zÅ2 3 . -Lờigiải. Đườngthẳng PQ điqua P(1;1;¡1)vàcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  PQÆ(1;2;3). Phươngtrìnhđườngthẳng PQ là x¡1 1 Æ y¡1 2 Æ zÅ1 3 . Chọnđápán B ä Câu139. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: ( xÆ2Å3t yÆ¡2t zÆ1Åt .Véc-tơnàodướiđâykhông phảilàvectơchỉphươngcủađườngthẳng? A. (6;¡4;2). B. (3;¡2;1). C. (¡3;2;¡1). D. (¡3;2;1). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳnglà #  uÆ(3;¡2;1).Tacó 2 #  uÆ(6;¡4;2)và¡ #  uÆ(¡3;2;¡1). Chọnđápán D ä Câu140. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;4;2), B(¡1;2;4)vàđườngthẳng d: x¡1 ¡1 Æ yÅ2 1 Æ z 2 .Điểm M(a;b;c)2d saocho MA 2 ÅMB 2 Æ28.Tính aÅbÅc. A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. -Lờigiải. Tacó d: ( xÆ1¡t yÆ¡2Åt zÆ2t .Điểm M(1¡t;¡2Åt;2t); MA 2 Æ6t 2 ¡20tÅ40và MB 2 Æ6t 2 ¡28tÅ36. MA 2 ÅMB 2 Æ12t 2 ¡48tÅ76Æ28,12t 2 ¡48tÅ48Æ0,tÆ2. Vậy M(¡1;0;4)và aÅbÅcÆ3. Chọnđápán B ä Câu141. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 1 Æ yÅ3 2 Æ zÅ2 2 và điểm A(3;2;0). Tìmtọađộđiểmđốixứngcủađiểm A quađườngthẳng d. A. (¡1;0;4). B. (7;1;¡1). C. (2;1;¡2). D. (0;2;¡5). Th.sNguyễnChínEm 633 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng d. Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là 1(x¡3)Å2(y¡2)Å2(z¡0)Æ0,xÅ2yÅ2z¡7Æ0. Gọi H làhìnhchiếucủa A lênđườngthẳng d,khiđó HÆd\(P). Suyra H2d)H(¡1Åt;¡3Å2t;¡2Å2t),mà H2(P)nên¡1Åt¡6Å4t¡4Å4t¡7Æ0)tÆ2. Vậy H(1;1;2). Gọi A 0 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d, khi đó H là trung điểm của AA 0 ,suyra A 0 (¡1;0;4). Chọnđápán A ä Câu142. Trongkhônggianvớihệtoạđộ Oxyz,chomặtphẳng (P): xÅ2yÅz¡4Æ0vàđường thẳng (d): xÅ1 2 Æ y 1 Æ zÅ2 3 . Đường thẳng (¢) nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với (d)là A. x¡1 5 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ2 3 . B. x¡1 5 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 3 . C. x¡1 5 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 ¡3 . D. x¡1 5 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 2 . -Lờigiải. Gọi IÆ(d)\(P))I(1;1;1). Tacó n (¢)½(P) (¢)?(d) ) ½ #  u (¢) ? #  n (P) #  u (¢) ? #  u (d) ) #  u (¢) Æ £ #  u (P) , #  u (d) ¤ Æ(5;¡1;¡3). Vậy (¢): x¡1 5 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡1 ¡3 . Chọnđápán C ä Câu143. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chohaiđườngthẳng (d 1 ): x¡2 2 Æ y¡2 1 Æ z¡3 3 và (d 2 ): x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 4 .Mặtphẳngcáchđềuhaiđườngthẳng (d 1 )và (d 2 )cóphươngtrình là A. 14x¡4y¡8zÅ1Æ0. B. 14x¡4y¡8zÅ3Æ0. C. 14x¡4y¡8z¡3Æ0. D. 14x¡4y¡8z¡1Æ0. -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngcầntìm. Tathấy ½ M(2;2;3)2(d 1 ) N(1;2;1)2(d 2 ) )trungđiểmcủađoạn MN là I µ 3 2 ;2;2 ¶ . Vì (d 1 )và (d 2 )chéonhau,nêntacó #  n (P) Æ £ #  n (d 1 ) , #  n (d 2 ) ¤ Æ(7;¡2;¡4). Vậy (P): 14x¡4y¡8zÅ3Æ0. Chọnđápán B ä Câu144. Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng d: x¡1 1 Æ y 1 Æ z ¡2 và mặt phẳng (P): xÅyÅzÅ2Æ0bằng A. 2 p 3. B. p 3 3 . C. 2 p 3 3 . D. p 3. -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua điểm M(1;0;0) và có một véc-tơ chỉ phương là #  u Æ(1;1;¡2), mặt phẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;1;1). Vì #  u¢ #  nÆ0và MÝ(P)nên dÒ(P). Dođó, d(d,(P))Æd(M,(P))Æ j1Å0Å0Å2j p 1 2 Å1 2 Å1 2 Æ p 3. Chọnđápán D ä Câu145. Gọi M(a;b;c) là giao điểm của đường thẳng d: xÅ1 1 Æ y¡1 2 Æ z¡3 ¡2 và mặt phẳng (P): 2x¡2yÅz¡3Æ0.Khiđótổng TÆaÅbÅc bằng A. 5. B. 4. C. 6. D. 2. -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 634 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tọađộđiểm M lànghiệmcủahệphươngtrình ( xÅ1 1 Æ y¡1 2 Æ z¡3 ¡2 2x¡2yÅz¡3Æ0 , ( 2x¡yÅ3Æ0 2xÅz¡1Æ0 2x¡2yÅz¡3Æ0 , ( xÆ¡2 yÆ¡1 zÆ5 )M(¡2;¡1;5). Dođó aÆ¡2, bÆ¡1, cÆ5nên TÆ2. Chọnđápán D ä Câu146. TrongkhônggiantọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 2x¡2y¡zÅ7Æ0vàđiểm A(1;1;¡2). Điểm H(a;b;¡1)làhìnhchiếuvuônggóccủa A trênmặtphẳng (P).Tổng aÅb bằng A. 3. B. ¡1. C. ¡3. D. 2. -Lờigiải. Đườngthẳng AH điquađiểm A vànhậnvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;¡2;¡1)của (P)làmvéc-tơchỉphươngcóphươngtrìnhlà AH: ( xÆ1Å2t yÆ1¡2t zÆ¡2¡t. Vì H2AH nên H(1Å2t;1¡2t;¡2¡t). A H P Mặtkhác H2(P)nên 2(1Å2t)¡2(1¡2t)¡(¡2¡t)Å7Æ0,tÆ¡1)H(¡1;3;¡1). Dođó aÆ¡1, bÆ3)aÅbÆ2. Chọnđápán D ä Câu147. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng¢ đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phươnglà #  u(2;4;6).Phươngtrìnhnàosauđâykhôngphảilàcủađườngthẳng¢? A. ( xÆ¡5¡2t yÆ¡10¡4t zÆ¡15¡6t . B. ( xÆ2Åt yÆ4Å2t zÆ6Å3t . C. ( xÆ1Å2t yÆ2Å4t zÆ3Å6t . D. ( xÆ3Å2t yÆ6Å4t zÆ12Å6t . -Lờigiải. Thay tọa độ điểm M(1;2;3) vào các phương trình, dễ thấy M(1;2;3) không thỏa mãn phương trình ( xÆ3Å2t yÆ6Å4t zÆ12Å6t. Chọnđápán D ä Câu148. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng¢: x 1 Æ y 2 Æ z ¡1 vàmặtphẳng(®): x¡yÅ2zÆ 0.Gócgữađườngthẳng¢vàmặtphẳng (®)bằng A. 30 ± . B. 60 ± . C. 150 ± . D. 120 ± . -Lờigiải. Đườngthẳng¢: x 1 Æ y 2 Æ z ¡1 cóvéc-tơchỉphương #  v ¢ Æ(1;2;¡1).Mặtphẳng (®): x¡yÅ2zÆ0có véc-tơpháptuyến #  n (®) Æ(1;¡1;2).Tacó sin(¢,(®))Æ ¯ ¯ #  v ¢ ¢ #  n (®) ¯ ¯ ¯ ¯ #  v ¢ ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n (®) ¯ ¯ Æ j1¢1Å2¢(¡1)Å(¡1)¢2j p 1 2 Å2 2 Å(¡1) 2 ¢ p 1Å(¡1) 2 Å2 2 Æ 1 2 . Vậygócgữađườngthẳng¢vàmặtphẳng (®)bằng 30 ± . Chọnđápán A ä Câu149. Hình chiếu vuông góc của điểm M(0;¡1;¡2) trên mặt phẳng (®): x¡yÅz¡2Æ0 là M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ).Tính x 0 Åy 0 Åz 0 . A. x 0 Åy 0 Åz 0 Æ0. B. x 0 Åy 0 Åz 0 Æ¡2. C. x 0 Åy 0 Åz 0 Æ4. D. x 0 Åy 0 Åz 0 Æ¡4. -Lờigiải. Tacó MM 0 ?(®))MM 0 : ( xÆt yÆ¡1¡t zÆ¡2Åt. M 0 2MM 0 )M 0 (t;¡1¡t;¡2Åt). M 0 2(P),tÅ1Åt¡2Åt¡2Æ0,tÆ1)M 0 (1;¡2;¡1). Dođó x 0 Æ1, y 0 Æ¡2, z 0 Æ¡1)x 0 Åy 0 Åz 0 Æ¡2. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 635 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu150. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z 2 . Mặt phẳngđiquađiểm M(2;0;¡1)vàvuônggócvới d cóphươngtrìnhlà A. (P): x¡yÅ2zÆ0. B. (P): x¡2y¡2Æ0. C. (P): x¡y¡2zÆ0. D. (P): xÅyÅ2zÆ0. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)vuônggócvới d cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ #  u d Æ(1;¡1;2). Suyra (P): 1(x¡2)¡1(y¡0)Å2(zÅ1)Æ0hay (P): x¡yÅ2zÆ0. Chọnđápán A ä Câu151. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(2;¡4;¡1) tới đường thẳng ¢: ( xÆt yÆ2¡t zÆ3Å2t bằng A. p 6. B. 2 p 14. C. 2 p 6. D. p 14. -Lờigiải. Gọi H(t;2¡t;3Å2t)làhìnhchiếucủa M lên¢. Tacó #  MHÆ(t¡2;6¡t;4Å2t)và #  uÆ(1;¡1;2)làvéc-tơchỉphươngcủa¢. H làhìnhchiếucủa M lên¢khivàchỉkhi #  MH? #  u, #  MH¢ #  uÆ0,t¡2¡(6¡t)Å2(4Å2t)Æ0,tÆ0)H(0;2;3). Vậy d(M,¢)ÆMHÆ p (0¡2) 2 Å(2Å4) 2 Å(3Å1) 2 Æ2 p 14. Chọnđápán B ä Câu152. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1), B(¡1;1;0), C(1;3;2).Đườngtrungtuyếnxuấtpháttừđỉnh A củatamgiác ABC nhậnvéc-tơnàodướiđây làmộtvéc-tơchỉphương? A. #  aÆ(1;1;0). B. #  c Æ(¡1;2;1). C. #  b Æ(¡2;2;2). D. #  dÆ(¡1;1;0). -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểm BC,tacó M(0;2;1).Dođó #  AMÆ(¡1;1;0).Từđótacótrungtuyến AM có véc-tơchỉphươnglà #  dÆ(¡1;1;0). Chọnđápán D ä Câu153. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P): 3x¡4yÅ7zÅ2Æ0. Đườngthẳngđiqua A vàvuônggócmặtphẳng (P)cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ3Åt yÆ¡4Å2t zÆ7Å3t , t2R. B. ( xÆ1Å3t yÆ2¡4t zÆ3Å7t , t2R. C. ( xÆ1¡3t yÆ2¡4t zÆ3Å7t , t2R. D. ( xÆ1¡4t yÆ2Å3t zÆ3Å7t , t2R. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(3;¡4;¡7). Gọi d làđườngthẳngđiqua A vàvuônggócvới (P). Khiđó d điqua A vànhận #  nÆ(3;¡4;¡7)làvéc-tơchỉphương. Phươngtrìnhđườngthẳng d là ( xÆ1Å3t yÆ2¡4t zÆ3Å7t , t2R. Chọnđápán B ä Câu154. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;1)vàvuônggócvớimặtphẳng (P): x¡2yÅz¡1Æ0códạng A. d: xÅ1 1 Æ yÅ2 ¡2 Æ zÅ1 1 . B. d: xÅ2 1 Æ y ¡2 Æ zÅ2 1 . C. d: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡1 1 . D. d: x¡2 2 Æ y ¡4 Æ z¡2 2 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháp tuyếnlà #  nÆ(1;¡2;1).Đường thẳng d vuônggócvới mặtphẳng (P)nênnhận #  n làmvéc-tơchỉphươngnêncóphươngtrìnhlà x¡1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡1 1 . Nhậnthấyđườngthẳng d cũngđiquađiểm M(2;0;2)nêncóthểviếtlạilà d: x¡2 2 Æ y ¡4 Æ z¡2 2 . Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 636 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu155. Cho điểm A(1;2;3) và hai mặt phẳng (P): 2xÅ2yÅzÅ1Æ0, (Q): 2x¡yÅ2z¡1Æ0. Phươngtrìnhđườngthẳng d điqua A songsongvớicả (P)và (Q)là A. x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ z¡3 ¡4 . B. x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡6 . C. x¡1 1 Æ y¡2 6 Æ z¡3 2 . D. x¡1 5 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡3 ¡6 . -Lờigiải. Gọi #  n (P) Æ(2;2;1), #  n (Q) Æ(2;¡1;2)lầnlượtlàvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P), (Q). Do d songsongvớicả (P)và (Q)nên d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ £ #  n (P) , #  n (Q) ¤ Æ(5;¡2;¡6). Vậyphươngtrìnhcủa d là x¡1 5 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡3 ¡6 . Chọnđápán D ä Câu156. Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vuông góc chung¢ của hai đường thẳng d 1 : x¡1 1 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡2 2 và d 2 : ( xÆ¡3t yÆt zÆ¡1¡3t . A. x¡2 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡4 ¡2 . B. x¡3 ¡1 Æ yÅ1 1 Æ z¡2 1 . C. x¡1 3 Æ y¡3 1 Æ z¡2 ¡1 . D. x 1 Æ y 6 Æ zÅ1 1 . -Lờigiải. Gọi¢\d 1 ÆM(1Åt 0 ;3¡t 0 ;2Å2t 0 ),¢\d 2 ÆN(¡3t;t;¡1¡3t). ) #  MNÆ(¡3t¡1¡t 0 ;t¡3Åt 0 ;¡3¡3t¡2t 0 ). d 1 , d 2 lầnlượtcó 2vectơchỉphươnglà #  u 1 Æ(1;¡1;2), #  u 2 Æ(¡3;1;¡3). Vì¢làđườngvuônggócchungcủa d 1 , d 2 nên ½ #  MN¢ #  u 1 Æ0 #  MN¢ #  u 2 Æ0 , ½ ¡6t 0 ¡10tÆ4 10t 0 Å19tÆ¡9 , n t 0 Æ1 tÆ¡1. )M(2;2;4), N(3;¡1;2), #  MNÆ(1;¡3;¡2). Vậyphươngtrình¢: x¡2 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡4 ¡2 . Chọnđápán A ä Câu157. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅ2yÅ3Æ0. Đường thẳng ¢ đi qua A(1;2;¡3)vuônggócvớimặtphẳng (P)cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ3 . B. ( xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ¡3Å3t . C. ( xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ3Åt . D. ( xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ¡3 . -Lờigiải. Tacó¢?(P)nên #  u ¢ Æ #  n (P) Æ(1;2;0). Hơnnữa¢điqua A(1;2;¡3)nêncóphươngtrình ( xÆ1Åt yÆ2Å2t zÆ¡3 . Chọnđápán D ä Câu158. TrongkhônggianOxyz,chotamgiác ABC với A(1;2;3),B(¡10;¡5;¡1),C(¡3;¡9;10). Phươngtrìnhđườngphângiáckẻtừđỉnh A củatamgiác ABC là A. x¡1 3 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡3 3 . B. x¡1 ¡3 Æ y¡2 ¡2 Æ z¡3 7 . C. x¡1 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 ¡1 . D. x¡1 ¡5 Æ y¡2 ¡6 Æ z¡3 1 . -Lờigiải. Tacó ABÆACÆ p 186,dođótamgiác ABC cântại A. Phângiáckẻtừđỉnh A điquatrungđiểm M µ ¡ 13 2 ;¡7; 9 2 ¶ củacạnh BC. Ta có #  AMÆ µ ¡ 15 2 ;¡9; 3 2 ¶ , do đó đường phân giác kẻ từ đỉnh A nhận véc-tơ #  u Æ(¡5;¡6;1) là véc-tơchỉphương,suyrađườngphângiáccóphươngtrìnhlà x¡1 ¡5 Æ y¡2 ¡6 Æ z¡3 1 . Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 637 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu159. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,¡1,2) và hai đường thẳng d: ( xÆt yÆ¡1¡4t zÆ6Å6t , d 0 : x 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 ¡5 .Phươngtrìnhnàodướiđâylàphươngtrìnhđườngthẳngđiqua M,vuông gócvới d và d 0 ? A. x¡1 17 Æ yÅ1 14 Æ z¡2 9 . B. x¡1 14 Æ yÅ1 17 Æ zÅ2 9 . C. x¡1 17 Æ yÅ1 9 Æ z¡2 14 . D. x¡1 14 Æ yÅ1 17 Æ z¡2 9 . -Lờigiải. d cóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(1,¡4,6)và d 0 cóvéc-tơchỉphương #  u 2 Æ(2,1,¡5). Đường thẳng¢ đi qua M và vuông góc với d,d 0 nên véc-tơ chỉ phương của¢ là #  uÆ[ #  u 1 , #  u 2 ]Æ (14,17,9). Vậyphươngtrìnhdườngthẳng¢cầntìmlà x¡1 14 Æ yÅ1 17 Æ z¡2 9 . Chọnđápán D ä Câu160. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0 và đường thẳng d: x 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 ¡1 . Đường thẳng d 0 đối xứng với d qua mặt phẳng (P) có phương trình là A. xÅ1 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ zÅ1 7 . B. x¡1 1 Æ y¡1 2 Æ z¡1 7 . C. x¡1 1 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡1 7 . D. xÅ1 1 Æ yÅ1 2 Æ zÅ1 7 . -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến #  n Æ (1;1;1), đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương #  u d Æ (1;2;¡1).Vì #  n¢ #  u d 6Æ0nên d và (P)cắtnhau. Gọi A làgiaođiểmcủa d và (P),tacó A(t;¡1Å2t;2¡t)thỏamãn t¡1Å2tÅ2¡t¡3Æ0,tÆ1) A(1;1;1). Điểm B(0;¡1;2)2d, gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (P), ta có phương trình đường thẳng BH là 8 < : xÆt 0 yÆ¡1Åt 0 zÆ2Åt 0 . Khiđó H(t 0 ;¡1Åt 0 ;2Åt 0 )thỏamãn t 0 ¡1Åt 0 Å2Åt 0 ¡3Æ0,t 0 Æ 2 3 )H µ 2 3 ;¡ 1 3 ; 8 3 ¶ . Gọi B 0 làđiểmđốixứngcủa B qua (P),khiđó H làtrungđiểmcủa BB 0 nên B 0 µ 4 3 ; 1 3 ; 10 3 ¶ . Đườngthẳng d 0 đốixứngvới d nênđiqua A, B 0 vànhậnvéc-tơ #  AB 0 Æ µ 1 3 ;¡ 2 3 ; 7 3 ¶ làmvéc-tơchỉ phương.Khiđó #  v Æ(1;¡2;7)cũnglàmộtvéc-tơchỉphươngcủa d 0 . Vậyphươngtrình d 0 : x¡1 1 Æ y¡1 ¡2 Æ z¡1 7 . Chọnđápán C ä Câu161. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng d: x¡1 1 Æ y 1 Æ zÅ1 2 . Đườngthẳng¢điqua A,vuônggócvàcắt d cóphươngtrìnhlà A. x¡2 1 Æ y¡1 1 Æ z¡1 ¡1 . B. x¡1 1 Æ y 1 Æ z¡2 1 . C. x¡2 2 Æ y¡1 2 Æ z¡1 1 . D. x¡1 1 Æ y ¡3 Æ z¡2 1 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)qua A vàvuônggócđườngthẳng d cóphươngtrìnhlà 1(x¡1)Å1(y¡0)Å2(z¡2)Æ0,xÅyÅ2z¡5Æ0. Gọi BÆd\(P).Khiđótọađộcủa B thỏamãnhệphươngtrình ( x¡1 1 Æ y 1 Æ zÅ1 2 xÅyÅ2z¡5Æ0 , ( x¡yÆ1 2x¡zÆ3 xÅyÅ2zÆ5 , ( xÆ2 yÆ1 zÆ1. Th.sNguyễnChínEm 638 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Suyra B(2;1;1). Ta có d?(P) suy ra d? AB. Do vậy đường thẳng ¢ cũng chính là đường thẳng AB có #  ABÆ (1;1;¡1). Đườngthẳng¢điqua B vànhận #  ABÆ(1;1;¡1)làmvéc-tơchỉphươngnêncóphươngtrình x¡2 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ1 ¡1 . Chọnđápán A ä Câu162. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(¡3;2;3)vàđườngthẳngd: ( xÆ1Åt yÆt zÆ¡1Å2t . Phươngtrìnhđườngthẳng¢điqua A,vuônggócvàcắtđườngthẳng d là A. ¢: x¡3 5 Æ yÅ2 1 Æ zÅ3 ¡2 . B. ¢: xÅ3 5 Æ y¡2 1 Æ z¡3 ¡2 . C. ¢: x¡3 5 Æ yÅ2 ¡1 Æ zÅ3 ¡2 . D. ¢: xÅ3 5 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;1;2). Gọi M làgiaođiểmcủađườngthẳng d vàđườngthẳng¢.Khiđó M(1Åt;t;¡1Å2t). Dođó #  AMÆ(tÅ4;t¡2;2t¡4). Dođườngthẳng¢vuônggócvớiđườngthẳng d nên #  AM¢ #  uÆ0,tÅ4Åt¡2Å2(2t¡4)Æ0,tÆ1, #  AMÆ(5;¡1;¡2). Đường thẳng ¢ đi qua A(¡3;2;3) và có một véc-tơ chỉ phương là #  AMÆ(5;¡1;¡2) có phương trìnhlà¢: xÅ3 5 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 ¡2 . Chọnđápán D ä Câu163. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 ¡2 Æ y 3 Æ zÅ1 ¡1 . Phương trình nào dướiđâylàphươngtrìnhcủađườngthẳngvuônggócvới d? A. x 2 Æ y 3 Æ z 1 . B. x 2 Æ y 1 Æ zÅ2 ¡1 . C. x¡1 2 Æ y ¡3 Æ z 1 . D. x 2 Æ y¡2 1 Æ z 1 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;3;¡1). Tathấyđườngthẳng x 2 Æ y 1 Æ zÅ2 ¡1 cóvéc-tơchỉphươnglà #  v Æ(2;1;¡1),suyra #  u¢ #  v Æ(¡2)¢(2)Å3¢1Å(¡1)¢(¡1)Æ0. Chọnđápán B ä Câu164. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(®): 2x¡3y¡zÅ5Æ0.Phươngtrìnhnàodưới đâylàphươngtrìnhcủađườngthẳngsongsongvớimặtphẳng (®)? A. xÅ1 ¡2 Æ yÅ1 3 Æ z 1 . B. xÅ1 ¡2 Æ y¡1 3 Æ z 1 . C. xÅ1 ¡1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z 1 . D. xÅ1 ¡1 Æ y¡1 ¡1 Æ z 1 . -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;¡3;¡1). Xétcáctrườnghợpsau (d 1 )điquađiểmM 1 (¡1;¡2;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(¡2;3;1).Khiđó #  u 1 ¢ #  nÆ¡146Æ0. Vậy (d 1 )khôngsongsongvới (®). (d 2 )điquađiểm M 2 (¡1;1;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  u 2 Æ(¡2;3;1).Khiđó #  u 2 ¢ #  nÆ¡146Æ0. Vậy (d 2 )khôngsongsongvới (®). (d 3 )điquađiểm M 3 (¡1;¡1;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  u 3 Æ(¡1;¡1;1).Khiđó #  u 3 ¢ #  nÆ0và 2¢(¡1)¡3¢(¡1)¡0Å5Æ66Æ0.Vậy (d 3 )songsongvới (®). (d 4 ) đi qua điểm M 4 (¡1;1;0) và có véc-tơ chỉ phương #  u 4 Æ(¡1;1;1). Khi đó #  u 4 ¢ #  n Æ0 và 2¢(¡1)¡3¢1¡0Å5Æ0.Vậy (d 4 )nằmtrong (®). Th.sNguyễnChínEm 639 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu165. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡2yÅzÅ5Æ0 và đường thẳng¢ có phươngtrình ( xÆ¡1Åt yÆ2¡t zÆ¡3¡4t .Khoảngcáchgiữađườngthẳng¢vàmặtphẳng (P)bằng A. ¡ 4 3 . B. 4 3 . C. 2 3 . D. 4 9 . -Lờigiải. Mặtphẳng(P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;¡2;1)và¢điquaM(¡1;2;¡3)cóvéc-tơchỉphương là #  uÆ(1;¡1;¡4). Do #  n¢ #  uÆ0) #  n? #  u và MÝ(P)nên¢songsongvới (P). Vậy d(¢,(P))Æd(M,(P))Æ j2¢(¡1)¡2¢2Å1¢(¡3)Å5j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 2 Æ 4 3 . Chọnđápán B ä Câu166. TrongkhônggianOxyz,chođiểm A(1;¡2;3)vàhaiđườngthẳng d 1 : x¡1 2 Æ y ¡1 Æ zÅ3 1 , d 2 : ( xÆ1¡t yÆ2t zÆ1. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng¢điqua A,vuônggócvớicả d 1 và d 2 . A. ( xÆ1Åt yÆ¡2¡t zÆ3¡t . B. ( xÆ¡2Åt yÆ¡1¡2t zÆ3Å3t . C. ( xÆ1¡t yÆ¡2¡t zÆ3Åt . D. ( xÆ1Å2t yÆ¡2Åt zÆ3¡3t . -Lờigiải. Đường thẳng d 1 ,d 2 có véc-tơ chỉ phương lần lượt là #  u 1 Æ(2;¡1;1) và #  u 2 Æ(¡1;2;0). Do¢ vuông góc với cả d 1 và d 2 nên ¢ nhận véc-tơ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(¡2;¡1;3) làm véc-tơ chỉ phương. Hơn nữa ¢ quađiểm A(1;¡2;3)nênphươngtrìnhcủa¢là ( xÆ1Å2t yÆ¡2Åt zÆ3¡3t. Chọnđápán D ä Câu167. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 1 và điểm A(¡2;1;3).Phươngtrìnhmặtphẳngqua A và d là A. xÅy¡zÅ4Æ0. B. 2x¡yÅzÅ2Æ0. C. xÅy¡z¡6Æ0. D. xÅ2yÅ3z¡9Æ0. -Lờigiải. Tacó B(1;¡2;3)2d, #  ABÆ(3;¡3;0),véc-tơchỉphươngcủa d là #  u d Æ(2;¡1;1). Suyra h #  u d , #  AB i Æ(3;3;¡3). Suyravéc-tơpháptuyếncủa (P)qua A,d là #  n P Æ(1;1;¡1). Dođó (P): xÅy¡zÅDÆ0. Do A2(P)nên¡2Å1¡3ÅDÆ0,DÆ4. Vậy (P): xÅy¡zÅ4Æ0. Chọnđápán A ä Câu168. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x¡yÅzÅ3Æ0 và điểm A(1;¡2;1).Phươngtrìnhđườngthẳng d điqua A vàvuônggócvới (P)là A. d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt . B. d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡2t zÆ1Å2t . C. d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡4t zÆ1Å3t . D. d: ( xÆ2Åt yÆ¡1¡2t zÆ1Åt . -Lờigiải. Đườngthẳng d vuônggócvới (P)suyra #  u d Æ(2;¡1;1). Phươngtrìnhcủađườngthẳng d là d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 640 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡1 2 Æ z¡2 ¡3 và mặtphẳng (P): xÅyÅz¡4Æ0.Khẳngđịnhnàodướiđâylàđúng? A. d cắt (P). B. dÒ(P). C. d½(P). D. d?(P). -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;1;1). Đườngthẳng d điqua A(1;1;2),cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;2;¡3). Thaytọađộđiểm A(1;1;2)vàophươngtrìnhmặtphẳng (P),tacó 1Å1Å2¡4Æ0(đúng). (1) Lạicó #  u¢ #  nÆ1¢1Å2¢1Å(¡3)¢1Æ0. (2) Từ (1)và (2),suyra d½(P). Chọnđápán C ä Câu170. TrongkhônggianOxyz,khoảngcáchgiữađườngthẳng¢: ( xÆ2Åt yÆ5Å4t zÆ2Åt ,(t2R)vàmặt phẳng (P): 2x¡yÅ2zÆ0bằng A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Đườngthẳng¢cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;4;1)vàđiquađiểm M(2;5;2). Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyến #  nÆ(2;¡1;2). Tacó n #  u¢ #  nÆ0 MÝ(P) nên¢Ò(P). Suyra d(¢,(P))Æd(M,(P))Æ j4¡5Å4j p 4Å1Å4 Æ1. Chọnđápán A ä Câu171. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng (d): x¡1 2 Æ y¡2 3 Æ zÅ3 1 vàmặtphẳng (P): x¡yÅzÅ1Æ0bằng A. 3 p 14 . B. p 3. C. 1 p 3 . D. 0. -Lờigiải. Tathấy #  u (d) ¢ #  n (P) Æ0)(d)Ò(P). Dovậy d((d),(P))Æd(M,(P))Æ j1¡2¡3Å1j p 3 Æ p 3,trongđó M(1;2;¡3)2(d). Chọnđápán B ä Câu172. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,choE(¡1;0;2)vàF(2;1;¡5).Phươngtrình đườngthẳng EF là A. x¡2 3 Æ y¡1 1 Æ zÅ5 ¡7 . B. x¡1 3 Æ y 1 Æ zÅ2 ¡7 . C. x¡1 1 Æ y 1 Æ zÅ2 ¡3 . D. xÅ1 1 Æ y 1 Æ z¡2 3 . -Lờigiải. Tacó #  EFÆ(3;1;¡7)nênđườngthẳng EF cómộtvéctơchỉphương #  uÆ(3;1;¡7). Vậy phương trình đường thẳng EF đi qua F(2;1;¡5) và có véctơ chỉ phương #  u Æ(3;1;¡7) là x¡2 3 Æ y¡1 1 Æ zÅ5 ¡7 . Chọnđápán A ä Câu173. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđườngthẳng¢ 1 : ( xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t và ¢ 2 : xÅ4 3 Æ yÅ2 2 Æ z¡4 ¡1 .Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. ¢ 1 cắtvàvuônggócvới¢ 2 . B. ¢ 1 ,¢ 2 chéonhauvàvuônggócvớinhau. C. ¢ 1 vࢠ2 songsongvớinhau. D. ¢ 1 cắtvàkhôngvuônggócvới¢ 2 . Th.sNguyễnChínEm 641 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Véctơchỉphươngcủahaiđườngthẳng¢ 1 vࢠ2 lầnlượtlà #  u 1 Æ(2;¡1;4); #  u 2 Æ(3;2;¡1). Do #  u 1 ¢ #  u 2 Æ2¢3Å(¡1)¢2Å4¢(¡1)Æ0)¢ 1 ?¢ 2 . Xét A(¡3;1;¡1)thuộc¢ 1 và B(¡4;¡2;4)thuộc¢ 2 .Khiđó #  ABÆ(¡1;¡3;5). Mà £ #  u 1 , #  u 2 ¤ ¢ #  ABÆ0nên¢ 1 vࢠ2 đồngphẳng. Vậy¢ 1 cắtvàvuônggócvới¢ 2 . Chọnđápán A ä Câu174. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3;4;5) và mặt phẳng (P): x¡yÅ 2z¡3Æ0.Gọi N(x N ;y N ;z N )làđiểmđốixứngvới M quamặtphẳng (P).Tính x N Åy N ¡z N . A. 6. B. 8. C. 5. D. 54. -Lờigiải. Đườngthẳng¢điqua M vàvuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆ3Åt yÆ4¡t zÆ5Å2t. Giaođiểm H của¢và (P)ứngvớithamsố tlànghiệmcủaphươngtrình 3Åt¡(4¡t)Å2(5Å2t)¡3Æ0,tÆ¡1. Suyra H(2;5;3). Vì N làđiểmđốixứngvới M qua (P)nên H làtrungđiểmcủa MN.Dođósuyra N(1;6;1).Vậy x N Åy N ¡z N Æ6. Chọnđápán A ä Câu175. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x¡2y¡zÅ3Æ0 và (Q): 2xÅyÅz¡1Æ0. Mặt phẳng (R) đi qua điểm M(1;1;1) và chứa giao tuyến của (P) và (Q). Phươngtrìnhcủa (R): m(x¡2y¡zÅ3)Å(2xÅyÅz¡1)Æ0.Khiđógiátrịcủa mlà A. 3. B. 1 3 . C. ¡ 1 3 . D. ¡3. -Lờigiải. Vì M2(R)nên m(1¡2¡1Å3)Å(2Å1Å1¡1)Æ0,mÆ¡3. Chọnđápán D ä Câu176. TrongkhônggianOxyzchođườngthẳng(d)làgiaotuyếncủahaimặtphẳng(P): x¡ zsin®Åcos®Æ0, (Q): y¡zcos®¡sin®Æ0,®2 ³ 0; ¼ 2 ´ .Gócgiữa (d)vàtrụcOz là A. 30 ± . B. 45 ± . C. 60 ± . D. 90 ± . -Lờigiải. Mặtphẳng (P): x¡zsin®Åcos®Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 1 (1;0;¡sin®), mặtphẳng (Q): y¡zcos®¡sin®Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n 2 (0;1;¡cos®), vàđườngthẳng (d)cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ £ #  n 1 , #  n 2 ¤ Æ(sin®;cos®;1). TrụcOz cóvéc-tơchỉphươnglà #  k Æ(0;0;1). Gọi'làgócgiữa (d)vàtrụcOz. cos'Æ ¯ ¯ ¯ #  u¢ #  k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ ¯ #  k ¯ ¯ ¯ Æ jsin®¢0Åcos®¢0Å1¢1j p sin 2 ®Åcos 2 ®Å1 2 p 0 2 Å0 2 Å1 2 Æ 1 p 2 )'Æ45 ± . Chọnđápán B ä Câu177. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (®): ¡xÅm 2 yÅmzÅ1Æ0 và đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 3 Æ z¡1 ¡1 .Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố mđể d songsongvới (®). A. mÆ1hoặc mÆ¡ 2 3 . B. mÆ1. C. mÆ¡ 2 3 . D. Khôngtồntại m. -Lờigiải. Đườngthẳng d cóphươngtrìnhthamsố ( xÆ1Å2t yÆ¡1Å3t zÆ1¡t. Xétphươngtrình¡(1Å2t)Åm 2 (¡1Å3t)Åm(1¡t)Å1Æ0, ¡ 3m 2 ¡m¡2 ¢ t¡m 2 ÅmÆ0. (1) Tacó dÒ(®)khivàchỉkhi (1)vônghiệm, ½ 3m 2 ¡m¡2Æ0 ¡m 2 Åm6Æ0 ,mÆ¡ 2 3 . Th.sNguyễnChínEm 642 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu178. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: x 1 Æ y 1 Æ z 1 và d 0 : x 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ1 1 . Khoảngcáchgiữa d và d 0 bằng A. 3 2 . B. p 2. C. p 3. D. 2. -Lờigiải. Dễthấy dÒd 0 nên d(d,d 0 )Æd(O,d 0 )ÆOH,trongđóO2d và H làhìnhchiếucủaO trên d 0 . LấyO(0;0;0)2d và H(t;1Åt;¡1Åt)2d 0 ,suyra #  OHÆ(t;1Åt;¡1Åt), #  u d 0Æ(1;1;1). Tacó H làhìnhchiếucủaO trên d 0 khi #  OH¢ #  u d 0Æ0,tÅ1Åt¡1ÅtÆ0,tÆ0)H(0;1;¡1). Khiđó #  OHÆ(0;1;¡1))OHÆ p 2.Vậy d(d,d 0 )ÆOHÆ p 2. Chọnđápán B ä Câu179. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođườngthẳngcóphươngtrìnhd: x¡2 1 Æ y¡1 1 Æ z¡1 ¡1 .Xétmặtphẳng(P): xÅmyÅ ¡ m 2 ¡1 ¢ z¡7Æ0,với mlàthamsốthực.Tìmtấtcảcác giátrịcủathamsố msaochođườngthẳng d songsongvớimặtphẳng (P). A. mÆ1. B. mÆ¡1. C. h mÆ¡1 mÆ2 . D. mÆ2. -Lờigiải. Tacó M(2;1;1)2d và #  uÆ(1;1;¡1)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa d. Mặtkhác #  nÆ ¡ 1;m;m 2 ¡1 ¢ làmộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). Đườngthẳng dÒ(P), n #  u¢ #  nÆ0 MÝ(P) , ½ 1Åm¡(m 2 ¡1)Æ0 2ÅmÅm 2 ¡1¡76Æ0 , ½ ¡m 2 ÅmÅ2Æ0 m 2 Åm¡66Æ0 , 8 > < > : h mÆ¡1 mÆ2 m6Æ2 m6Æ¡3 ,mÆ¡1. Chọnđápán B ä Câu180. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x¡3yÅ2z¡5Æ 0 và đường thẳng d: ( xÆ¡1Å2t yÆ3Å4t zÆ3t (t2R).Trongcácmệnhđềsauđây,mệnhđềnàođúng? A. d cắt (P). B. d½(P). C. dÒ(P). D. d?(P). -Lờigiải. Xétphươngtrình 3(¡1Å2t)¡3(3Å4t)Å2¢3t¡5Æ0,0¢t¡17Æ0(vônghiệm). Vậy dÒ(P). Chọnđápán C ä Câu181. Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai đường thẳng d 1 : x¡1 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡3 2 và d 2 : ( xÆ¡1Åt yÆ1Åt zÆ2t (t2R).Khoảngcáchtừ A(¡1;1;1)đếnmặtphẳng (P)là A. 13 p 107 . B. 5 p 107 . C. p 15 3 . D. 13 p 15 . -Lờigiải. Tacó d 1 cóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(1;1;2)và d 2 cóvéc-tơchỉphương #  u 2 Æ(1;1;2). Tathấy d 1 và d 2 songsongnhau,chọn M(1;¡2;3)2d 1 và N(¡1;1;0)2d 2 ) #  MNÆ(¡2;3;¡3). Khiđóvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  nÆ h #  MN, #  u 1 i Æ(¡9;¡1;5). Mặtphẳng (P)qua N(¡1;1;0)cóphươngtrình (P): 9xÅy¡5zÅ8Æ0. Khiđó d(A,(P))Æ j9¢(¡1)Å1¡5¢1Å8j p 9 2 Å(¡1) 2 Å5 2 Æ 5 p 107 . Th.sNguyễnChínEm 643 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu182. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chohaiđườngthẳngd 1 ,d 2 lầnlượtcóphương trình d 1 : x 1 Æ y¡2 2 Æ z¡2 3 , d 2 : x¡1 2 Æ y ¡3 Æ zÅ2 1 .Phươngtrìnhmặtphẳngcáchđềuhaiđường thẳng d 1 , d 2 là A. 2x¡6yÅ3zÅ5Æ0. B. 2x¡6yÅ3z¡2Æ0. C. 2x¡6yÅ3zÅ1Æ0. D. 2x¡6yÅ3zÆ0. -Lờigiải. Tacó d 1 điqua A(0;2;2),cóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(1;2;3), d 2 điqua B(1;0;¡2)vàcóvéc-tơchỉ phương #  u 2 Æ(2;¡3;1). Do (P) cách đều hai đường thẳng d 1 , d 2 nên (P) song song với d 1 và song song với d 2 , khi đó véc-tơpháptuyếncủa (P)là #  n P Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(2;¡6;3). Phươngtrìnhmặtphẳng (P)códạng 2x¡6yÅ3zÅdÆ0. Do (P)cáchđều d 1 , d 2 nêntacó d(A,(P))Æd(B,(P)) , j2¢0¡6¢2Å3¢2Ådj 7 Æ j2¢1¡6¢0Å3¢(¡2)Ådj 7 , jd¡6jÆjd¡4j,dÆ5. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2x¡6yÅ3zÅ5Æ0. Chọnđápán A ä Câu183. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: xÅ1 1 Æ y¡4 ¡1 Æ zÅ2 3 đi qua điểm nào dưới đây? A. A(¡1;4;¡2). B. B(1;¡4;2). C. C(1;¡1;3). D. D(¡1;1;¡3). -Lờigiải. Lầnlượtthaytọađộcácđiểmvàophươngtrình d tathấyđiểm A(¡1;4;¡2)thỏamãn. Chọnđápán A ä Câu184. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): xÅyÅz¡7Æ0vàđườngthẳng(d): xÅ1 1 Æ y¡7 ¡2 Æ zÅ2 1 .Hìnhchiếuvuônggóccủa (d)trên (P)cóphươngtrìnhlà A. x 1 Æ y¡8 ¡2 Æ zÅ1 1 . B. x ¡1 Æ y¡8 2 Æ zÅ1 ¡1 . C. x 1 Æ yÅ8 ¡2 Æ z¡1 1 . D. x ¡1 Æ yÅ8 2 Æ z¡1 ¡1 . -Lờigiải. (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;1;1). (d)điquađiểm A(¡1;7;¡2)vàcóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;¡2;1). Gọi (d 0 )làhìnhchiếucủa (d)trên (P).Vì #  n¢ #  uÆ0nên (d)Ò(P).Suyra (d 0 )Ò(d). Gọi A 0 làhìnhchiếucủa A trên (P). AA 0 điqua A(¡1;7;¡2)vàcóvéc-tơchỉphương #  nÆ(1;1;1),suyra AA 0 : xÅ1 1 Æ y¡7 1 Æ zÅ2 1 . Tọađộđiểm A 0 thỏahệphươngtrình ( xÅyÅz¡7Æ0 xÅ1 1 Æ y¡7 1 Æ zÅ2 1 , ( xÅyÅzÆ7 x¡yÆ¡8 y¡zÆ9 , ( xÆ0 yÆ8 zÆ¡1. Phươngtrình (d 0 )là (d 0 ): x 1 Æ y¡8 ¡2 Æ zÅ1 1 . Chọnđápán A ä Câu185. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 1 Æ yÅ3 2 Æ zÅ2 2 và điểm A(3;2;0). Tìmtọađộđiểmđốixứngcủađiểm A quađườngthẳng d. A. (¡1;0;4). B. (7;1;¡1). C. (2;1;¡2). D. (0;2;¡5). -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng d. Phươngtrìnhcủamặtphẳng (P)là 1(x¡3)Å2(y¡2)Å2(z¡0)Æ0,xÅ2yÅ2z¡7Æ0. Th.sNguyễnChínEm 644 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi H làhìnhchiếucủa A lênđườngthẳng d,khiđó HÆd\(P). Suyra H2d)H(¡1Åt;¡3Å2t;¡2Å2t),mà H2(P)nên¡1Åt¡6Å4t¡4Å4t¡7Æ0)tÆ2. Vậy H(1;1;2). Gọi A 0 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d, khi đó H là trung điểm của AA 0 ,suyra A 0 (¡1;0;4). Chọnđápán A ä Câu186. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;¡2) và vuông góc với đường thẳng¢: xÅ1 2 Æ y¡2 1 Æ zÅ3 3 cóphươngtrìnhlà A. 3xÅ2yÅz¡5Æ0. B. 2xÅyÅ3zÅ2Æ0. C. xÅ2yÅ3zÅ1Æ0. D. 2xÅyÅ3z¡2Æ0. -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  uÆ(2;1;3). Vìmặtphẳngcầntìmvuônggócvớiđườngthẳng¢nêncóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ #  uÆ(2;1;3). Phươngtrìnhmặtphẳngcầntìmlà 2(x¡1)Å1(y¡2)Å3(zÅ2)Æ0,2xÅyÅ3zÅ2Æ0. Chọnđápán B ä Câu187. Trong không gian Oxyz, cho điểm P(3;1;3) và đường thẳng d: x¡3 1 Æ yÅ4 3 Æ z¡2 3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm P và vuông góc với đườngthẳng d? A. x¡4yÅ3zÅ3Æ0. B. xÅ3yÅ3z¡3Æ0. C. 3xÅyÅ3z¡15Æ0. D. xÅ3yÅ3z¡15Æ0. -Lờigiải. Gọi(Q)làmặtphẳngđiquađiểmP vàvuônggócvớiđườngthẳng d.Khiđóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;3;3)củadườngthẳng d làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (Q). Phươngtrìnhmặtphẳng (Q)là x¡3Å3(y¡1)Å3(z¡3)Æ0,xÅ3yÅ3z¡15Æ0. Chọnđápán D ä Câu188. Trongkhônggian (Oxyz),chođườngthẳng¢: ( xÆ3¡3t yÆ1Å2t zÆ5t .Điểmnàodướiđâythuộc đườngthẳng¢? A. N(0;3;5). B. M(¡3;2;5). C. (P(3;1;5). D. Q(6;¡1;5). -Lờigiải. Thếtọađộcủađiểm N(0;3;5)vàophươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng¢tađược ( 0Æ3¡3t 3Æ1Å2t 5Æ5t . Tathấy tÆ1thỏamãnhệphươngtrình.Vậyđiểm N(0;3;5)thuộcđườngthẳng¢. Chọnđápán A ä Câu189. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳngđiquađiểm A(0;¡3;2)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(3;¡2;1)? A. ( xÆ3t yÆ¡3¡2t zÆ2Åt . B. ( xÆ3 yÆ¡2¡3t zÆ1Å2t . C. ( xÆ¡3t yÆ¡3¡2t zÆ2Åt . D. ( xÆ3t yÆ¡3Å2t zÆ2Åt . -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngđiquađiểm A(0;¡3;2)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(3;¡2;1)là ( xÆ3t yÆ¡3¡2t zÆ2Åt. Chọnđápán A ä Câu190. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳngđiquađiểm M(1;2;¡3)vàvuônggócvớimặtphẳng (P): 3x¡yÅ5zÅ2Æ0? A. xÅ1 3 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 5 . B. x¡3 ¡1 Æ y¡1 2 Æ zÅ5 ¡3 . C. x¡3 1 Æ y¡1 ¡2 Æ zÅ5 3 . D. x¡1 ¡3 Æ y¡2 1 Æ zÅ3 ¡5 . -Lờigiải. Đường thẳng đi qua M(1;2;¡3) vuông góc với (P) nên nhận véc-tơ pháp tuyến của (P) là #  n P Æ (3;¡1;5)làmvéc-tơchỉphươngnên #  uÆ(¡3;1;¡5)cũnglàvéc-tơchỉphương. Phươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳngcầntìmlà x¡1 ¡3 Æ y¡2 1 Æ zÅ3 ¡5 . Th.sNguyễnChínEm 645 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán D ä Câu191. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình chínhtắccủađườngthẳngđiquahaiđiểm A(1;2;¡3)và B(3;¡1;1)? A. x¡1 3 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 1 . B. xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡3 Æ z¡3 4 . C. x¡1 2 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ3 4 . D. x¡3 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡1 ¡3 . -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳngđólà #  uÆ #  ABÆ(2;¡3;4).Phươngtrìnhchínhtắcđường thẳngđiquahaiđiểm A,B là x¡1 2 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ3 4 Chọnđápán C ä Câu192. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): xÅy¡z¡2Æ0 và đường thẳng d: xÅ1 2 Æ y¡1 1 Æ z¡2 1 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng chứa đườngthẳng (d)vàvuônggócvớimặtphẳng (®)? A. 2x¡3y¡z¡7Æ0. B. xÅy¡zÅ2Æ0. C. xÅyÅ2z¡4Æ0. D. 2x¡3y¡zÅ7Æ0. -Lờigiải. Tacó #  n ® Æ(1;1;¡1), #  u d Æ(2;1;1). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳngcầntìmlà #  nÆ[ #  n ® ; #  u d ]Æ(2;¡3;¡1). Phươngtìnhmặtphẳngcầntìmlà 2(xÅ1)¡3(y¡1)¡(z¡2)Æ0,2x¡3y¡zÅ7Æ0. Chọnđápán D ä Câu193. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng ¢: x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ z ¡1 . Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d điqua M,cắtvàvuônggócvớiđườngthẳng¢. A. d: x¡2 2 Æ y¡1 ¡4 Æ z 1 . B. d: x¡2 1 Æ y¡1 ¡4 Æ z ¡2 . C. d: x¡2 1 Æ y¡1 4 Æ z 1 . D. d: x¡2 1 Æ y¡1 ¡4 Æ z 1 . -Lờigiải. Đườngthẳng¢cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;1;¡1).Gọi H làhìnhchiếucủa M lên¢. Tacó H(1Å2t;¡1Åt;¡t)và #  MHÆ(2t¡1;¡2Åt;¡t). Tacó #  MH¢ #  uÆ0,2(2t¡1)¡2ÅtÅtÆ0,tÆ 2 3 ) #  MHÆ µ 1 3 ;¡ 4 3 ;¡ 2 3 ¶ . Khiđó d cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;¡4;¡2)nêncóphươngtrình d: x¡2 1 Æ y¡1 ¡4 Æ z ¡2 . Chọnđápán B ä Câu194. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: xÅ1 1 Æ y ¡1 Æ z¡1 ¡3 vàmặtphẳng(P): 3x¡ 3yÅ2zÅ1Æ0.Mệnhđềnàosauđâylàmệnhđềđúng? A. d songsongvới (P). B. d nằmtrong (P). C. d cắtvàkhôngvuônggócvới (P). D. d vuônggócvới (P). -Lờigiải. Đườngthẳng d nhậnvéc-tơ #  uÆ(1;¡1;¡3)làmvéc-tơchỉphương. Mặtphẳng (P)nhậnvéc-tơ #  nÆ(3;¡3;2)làmvéc-tơpháptuyến. Tacó #  u¢ #  nÆ0,thaytọađộđiểm M(¡1;0;1)thuộc d vàophươngtrìnhmặtphẳng (P)tađược 3¢(¡1)¡3¢0Å2¢1Å1Æ0,0Æ0, điềuđóchứngtỏ M thộc (P). Vậy d nằmtrong (P). Chọnđápán B ä Câu195. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chotamgiác ABCvới A(1;¡3;4),B(¡2;¡5;¡7), C(6;¡3;¡1).Phươngtrìnhđườngtrungtuyến AM củatamgiáclà Th.sNguyễnChínEm 646 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. ( xÆ1Åt yÆ¡3¡t (t2R) zÆ4¡8t . B. ( xÆ1Åt yÆ¡1¡3t (t2R) zÆ¡8¡4t . C. ( xÆ1Å3t yÆ¡3Å4t (t2R) zÆ4¡t . D. ( xÆ1¡3t yÆ¡3¡2t (t2R) zÆ4¡11t . -Lờigiải. Vì M làtrungđiểm BC nên M(2;¡4;¡4)) #  AMÆ(1;¡1;¡8). Phươngtrìnhđườngthẳng AM là ( xÆ1Åt yÆ¡3¡t zÆ4¡8t. Chọnđápán A ä Câu196. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,gọi H hìnhchiếuvuônggóccủa M(2;0;1)lên đườngthẳng¢: x¡1 1 Æ y 2 Æ z¡2 1 .Tìmtọađộđiểm H. A. H(1;0;2). B. H(¡1;¡4;0). C. H(2;2;3). D. H(0;¡2;1). -Lờigiải. H2¢)H(tÅ1;2t;tÅ2), #  MHÆ(t¡1;2t;tÅ1). H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trên¢suyra #  MH¢ #  u ¢ Æ0,t¡1Å4tÅtÅ1Æ0,tÆ0. Vậytọađộđiểm H(1;0;2). Chọnđápán A ä Câu197. Chocácmặtphẳng (P): xÅ2yÅ3z¡2Æ0; (Q): 2x¡yÅzÅ1Æ0; (R): axÅby¡zÅ2Æ0. Biết (R)điquagiaotuyếncủa (P)và (Q).Giátrịcủabiểuthức SÆaÅb là A. SÆ¡2. B. SÆ1. C. SÆ¡1. D. SÆ2. -Lờigiải. Lấy A(0;1;0)và B(¡1;0;1)làhaiđiểmthuộcgiaotuyếncủa (P)và (Q). Vì mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến của (P) và (Q) nên (R) cũng chứa hai điểm A và B, do đó tacóhệ n a¢0Åb¢1¡0Å2Æ0 a¢(¡1)Åb¢0¡1Å2Æ0 , n bÆ¡2 aÆ1 )aÅbÆ¡1. Chọnđápán C ä Câu198. TrongkhônggianvớihệtọađộOxy,chođiểm M(1;¡1;1)vàmặtphẳng(P): ¡xÅyÅ zÆ0.Đườngthẳngqua M vuônggócvớimặtphẳng (P)cóphươngtrìnhthamsốlà A. ( xÆ1¡t yÆ¡1Åt zÆ¡1Åt . B. ( xÆ1Åt yÆ¡1¡t zÆ1¡t . C. ( xÆ1¡t yÆ¡1Åt zÆ¡1Åt . D. ( xÆ1¡t yÆ1Åt zÆ1Åt . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(¡1;1;1). Đườngthẳngvuônggócvới (P)nhận #  nÆ(¡1;1;1)làvéc-tơchỉphương. Dođó, #  uÆ(1;¡1;¡1)Æ¡ #  n cũnglàvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳngvuônggócvới (P). Vậyphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới P là ( xÆ1Åt yÆ¡1¡t zÆ1¡t. Chọnđápán B ä Câu199. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ2 2 Æ y¡1 1 Æ z 1 và mặt phẳng (®)cóphươngtrình2xÅ(2m¡1)y¡m 2 z¡1Æ0với mlàthamsố.Tậphợpcácgiátrị mthỏamãn dÒ(®)là A. {¡1;3}. B. {¡1}. C. {3}. D.?. -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;1;1). Mặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;2m¡1;¡m 2 ). Để d Ò (®) thì véc-tơ chỉ phương của d phải vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của (®) và Th.sNguyễnChínEm 647 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 M(¡2;1;0)62(®). n #  u¢ #  nÆ0 ¡4Å(2m¡1)¡16Æ0 , ½ 2¢2Å1¢(2m¡1)¡1¢m 2 Æ0 m6Æ3 , ½ m 2 ¡2m¡3Æ0 m6Æ¡1 , mÆ¡1. Chọnđápán B ä Câu200. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;¡3;5) và đường thẳng d: ( xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ4Åt . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ¢ đi qua M và song song với d. A. ¢: 2¡x 1 Æ yÅ3 3 Æ z¡5 4 . B. ¢: xÅ2 2 Æ y¡3 ¡1 Æ zÅ5 1 . C. ¢: xÅ2 1 Æ y¡3 3 Æ zÅ5 4 . D. ¢: x¡2 2 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡5 1 . -Lờigiải. Đườngthẳng dÒ¢nên¢cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;¡1;1). Dođóphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng¢là¢: x¡2 2 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡5 1 . Chọnđápán D ä Câu201. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;¡1) và đường thẳng (d) cóphươngtrình x¡1 2 Æ yÅ3 ¡1 Æ z 3 .Mặtphẳng (P)điquađiểm M vàvuônggócvớiđườngthẳng (d)cóphươngtrìnhlà A. 2x¡yÅ3zÅ3Æ0. B. xÅ2y¡z¡3Æ0. C. xÅ2y¡zÅ3Æ0. D. 2x¡yÅ3z¡3Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng (d)cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;¡1;3). Vì mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;¡1) vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận #  uÆ(2;¡1;3) làm mộtvéc-tơpháptuyến. Phươngtrình (P): 2(x¡1)¡1(y¡2)Å3(zÅ1)Æ0,2x¡yÅ3zÅ3Æ0. Chọnđápán A ä Câu202. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chohaimặtphẳng (P): xÅy¡zÅ1Æ0và (Q): 2xÅy¡zÅ3Æ0 cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng (¢). Một véc-tơ chỉ phương của (¢)cótọađộlà A. #  uÆ(0;¡3;3). B. #  uÆ(1;1;¡1). C. #  uÆ(0;1;1). D. #  uÆ(2;¡1;1). -Lờigiải. Mặtphẳng P cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(1;1;¡1). MặtphẳngQ cóvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(2;1;¡1). (¢)làgiaotuyếncủa (P)và (Q)nên (¢)cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ £ #  n P , #  n Q ¤ Æ(0;¡1;¡1). Chọnđápán C ä Câu203. TrongkhônggianhệtọađộOxyz,phươngtrìnhđườngthẳngdđiquađiểm A(1;2;4) vàsongsongvớiđườngthẳng¢: x 1 Æ y¡1 2 Æ z 3 là A. d: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡4 3 . B. d: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 4 . C. d: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡4 1 . D. d: xÅ1 1 Æ yÅ2 2 Æ zÅ3 4 . -Lờigiải. Dođườngthẳng d điquađiểm A(1;2;4)vàsongsongvớiđườngthẳng¢: x 1 Æ y¡1 2 Æ z 3 . Tacóphươngtrìnhđườngthẳng d là : x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡4 3 . Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 648 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu204. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,hìnhchiếuvuônggóccủađiểm A(1;1;1)trên mặtphẳng xÅy¡zÅ2Æ0cótọađộ A. (0;2;0). B. (2;2;0). C. (2;0;0). D. (0;0;2). -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A(1;1;1)trênmặtphẳng (P): xÅy¡zÅ2Æ0.Suyrađường thẳng AH điqua A vàvuônggócvớimặtphẳng(P).Khiđóđườngthẳng AH cóphươngtrình ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ1¡t. Tọađộ H(1Åt;1Åt;1¡t)thỏa 1ÅtÅ1Åt¡(1¡t)Å2Æ0,tÆ¡1,H(0;0;2). Chọnđápán D ä Câu205. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(2;0;¡1) và có véc-tơchỉphương #  uÆ(4;¡6;2)cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ2Å4t yÆ¡1¡6t zÆ2t . B. ( xÆ2¡2t yÆ3t zÆ¡1¡t . C. ( xÆ¡2Å4t yÆ¡6t zÆ1Å2t . D. ( xÆ4Å2t yÆ¡6 zÆ2¡t . -Lờigiải. ĐườngthẳngđiquađiểmM(2;0;¡1)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(4;¡6;2)hayvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(¡2;3;¡1)nêncóphươngtrình ( xÆ2¡2t yÆ3t zÆ¡1¡t. Chọnđápán B ä Câu206. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng x¡1 1 Æ yÅ1 2 Æ z ¡1 vàđiquahaiđiểm A(¡1;2;1),B(1;3;0).Bánkínhcủamặtcầu (S)là A. RÆ 2 p 146 5 . B. RÆ 9 p 6 5 . C. RÆ p 326 5 . D. RÆ 2 p 66 5 . -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngđềcholà (d): ( xÆ1Åt yÆ¡1Å2t zÆ¡t (t2R). Gọi I làtâmmặtcầu (S),tacó I2(d)nên I(1Åt;¡1Å2t;¡t). Mặtcầu (S)quahaiđiểm A,B nên IA 2 ÆIB 2 , (¡2¡t) 2 Å(3¡2t) 2 Å(1Åt) 2 Æt 2 Å(4¡2t) 2 Åt 2 , ¡6tÅ14Æ¡16tÅ16 , tÆ 1 5 . Vậybánkính (S)là RÆIBÆ Ê µ 1 5 ¶ 2 Å µ 4¡2¢ 1 5 ¶ 2 Å µ 1 5 ¶ 2 Æ p 326 5 . Chọnđápán C ä Câu207. Trong không gian Oxyz, góc tạo bởi đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡1 2 Æ z 1 và mặt phẳng (P): x¡y¡2zÅ1Æ0cósốđobằng A. 30 ± . B. 60 ± . C. 90 ± . D. 45 ± . -Lờigiải. Tacó d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;2;1). (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;¡1;¡2). Th.sNguyễnChínEm 649 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó cos( #  u, #  n)Æ #  u¢ #  n j #  uj¢j #  nj Æ ¡1 2 )sin(d,(P))Æ 1 2 )(d,(P))Æ30 ± . Chọnđápán A ä Câu208. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3;2;1) trên mặt phẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0làđiểm A. M(¡1;2;2). B. M(0;1;2). C. M(2;1;0). D. M(1;1;1). -Lờigiải. Tacó (P)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(1;1;1). d: ½ Qua A(3;2;1) Cóvéc-tơchỉphương #  uÆ #  nÆ(1;1;1) ,d: ( xÆ3Åt yÆ2Åt zÆ1Åt (t2R). Gọi M làhìnhchiếucủa A trên (P),dođó MÆd\(P),tọađộ MÆ(3Åt,2Åt,1Åt)thỏa (3Åt)Å(2Åt)Å(1Åt)¡3Æ0,tÆ¡1. Vậy M(2;1;0). Chọnđápán C ä Câu209. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhhìnhchiếuvuônggóccủađườngthẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ z¡2 1 lênmặtphẳngOxy. A. ( xÆ¡1¡2t yÆ¡2¡t zÆ0 . B. ( xÆ¡1¡2t yÆ1¡t zÆ0 . C. ( xÆ¡1Å2t yÆt zÆ0 . D. ( xÆ¡1Å2t yÆ¡1Åt zÆ2 . -Lờigiải. Gọi¢làhìnhchiếuvuônggóccủađườngthẳng d lênmặtphẳngOxy.Đườngthẳng d cắtmặt phẳngOxytạiđiểmM(¡3;¡3;0)2¢.MặtkhácđiểmN(1;¡1;2)2dcóhìnhchiếuvuônggóctrên mặt phẳng Oxy là H(1;¡1;0)2¢. Vậy đường thẳng ¢ chính là đường thẳng đi qua hai điểm M,H.Kiểmtracácđápántathấychỉcóđườngthẳng ( xÆ¡1¡2t yÆ¡2¡t zÆ0 làđồngthờiđiqua M và H. Chọnđápán A ä Câu210. Trongkhônggian Oxyz,gọi M làgiaođiểmcủađườngthẳng d: x¡2 1 Æ y 2 Æ z¡3 3 và mặtphẳngOyz.TínhOM. A. OMÆ5. B. OMÆ7. C. OMÆ p 14. D. OMÆ3. -Lờigiải. Đườngthẳng d cắtmặtphẳngOyz tạiđiểm M(0;¡4;¡3).DođóOMÆ5. Chọnđápán A ä Câu211. TrongkhônggiantọađộOxyz,chohaiđườngthẳngd 1 : x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ z¡2 3 ,d 2 : x¡2 1 Æ y¡1 1 Æ z¡2 ¡1 .Chọnkhẳngđịnhđúng. A. d 1 và d 2 songsong. B. d 1 và d 2 cắtnhau. C. d 1 và d 2 trùngnhau. D. d 1 và d 2 chéonhau. -Lờigiải. Lấy A(1;¡1;2)2d 1 và #  u 1 Æ(2;1;3)làvéc-tơchỉphươngcủa d 1 .Lấy B(2;1;2)2d 2 và #  u 2 Æ(1;1;¡1)làvéc-tơchỉphươngcủa d 2 . Tacó #  ABÆ(1;2;0), [ #  u 1 ; #  u 2 ]Æ(¡4;5;1)và #  AB¢[ #  u 1 ; #  u 2 ]Æ66Æ0.Suyra d 1 , d 2 chéonhau. Chọnđápán D ä Câu212. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,lậpphươngtrìnhđườngthẳng¢điqua điểm M(1;2;3)vàsongsongvớiđườngthẳng d: xÆyÆz. A. ¢: x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ z¡3 1 . B. ¢: x¡1 2 Æ y¡1 2 Æ z¡2 2 . Th.sNguyễnChínEm 650 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. ¢: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 3 . D. ¢: x¡2 2 Æ y¡3 1 Æ z¡1 2 . -Lờigiải. Tacóvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  nÆ(1;2;3).Vậyphươngtrìnhđườngthẳng¢là ¢: x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ z¡3 1 . Chọnđápán A ä Câu213. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng d: x¡3 19 Æ y¡6 3 Æ z¡2018 1987 cómộtvéc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(3;¡6;2018). B. #  uÆ(19;¡3;1987). C. #  uÆ(3;6;2018). D. #  uÆ(19;3;1987). -Lờigiải. Mộtvéc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ(19;3;1987). Chọnđápán D ä Câu214. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: x¡1 ¡2 Æ y¡2 1 Æ z¡3 5 .Đườngthẳng d có mộtvectơchỉphươnglà A. #  uÆ(2;1;5). B. #  uÆ(1;2;3). C. #  uÆ(¡2;1;¡5). D. #  uÆ(2;¡1;¡5). -Lờigiải. Dựa vào dạng chính tắc của đường thẳng d, ta có vectơ chỉ phương là #  u Æ(¡2;1;5) hoặc #  u Æ (2;¡1;¡5). Vậytacóđápánđúnglà #  uÆ(2;¡1;¡5). Chọnđápán D ä Câu215. Cho đường thẳng d đi qua M(2;0;¡1) và có véc-tơ chỉ phương #  a Æ(4;¡6;2). Phương trìnhthamsốcủađườngthẳng d là A. ( xÆ¡2Å4t yÆ¡6t zÆ1Å2t . B. ( xÆ¡2Å2t yÆ¡3t zÆ1Åt . C. ( xÆ4Å2t yÆ¡6¡3t zÆ2Åt . D. ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt . -Lờigiải. Đườngthẳng d qua M(2;0;¡1)cóvéc-tơchỉphương #  a 0 Æ(2;¡3;1) )d: ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt ,t2R. Chọnđápán D ä Câu216. TrongkhônggianOxyzchomặtphẳng (P): x¡2yÅ2z¡5Æ0vàhaiđiểm A(¡3;0;1), B(1;¡1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P), gọi ¢ là đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng ¢ là nhỏ nhất. Hỏi ¢ đi qua điểm nào sau đây? A. (23;¡11;¡1). B. (23;11;¡1). C. (29;11;¡1). D. (29;11;1). -Lờigiải. Gọi (Q)làmặtphẳngqua A vàsongsongvới (P). )(Q): xÅ3¡2yÅ2(z¡1)Æ0)(Q): x¡2yÅ2zÅ1Æ0. Gọi H làhìnhchiếucủa B lên¢, K làhìnhchiếucủa B lên (Q). Tacó BH¸BK nên d(B,¢)nhỏnhấtkhivàchỉkhi BHÆBK. Tứclàđườngthẳng¢cầntìmlàđườngthẳng AK. Gọi d làđườngthẳngqua B vàvuônggócvới (Q). )d: ( xÆ1Åt yÆ¡1¡2t zÆ3Å2t ,t2R. Th.sNguyễnChínEm 651 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tọađộ K làgiaođiểmcủa d vàmặtphẳng (Q).Khiđótacó 8 > < > : xÆ1Åt yÆ¡1¡2t zÆ3Å2t x¡2yÅ2zÅ1Æ0 , 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : xÆ¡ 1 9 yÆ 11 9 zÆ 7 9 tÆ ¡10 9 . Dođó K µ ¡ 1 9 ; 11 9 ; 7 9 ¶ . ¢qua A cóvéc-tơchỉphương #  AKÆ µ 26 9 ; 11 9 ; ¡2 9 ¶ )¢: xÅ3 26 Æ y 11 Æ z¡1 ¡2 . Thay (23;11;¡1)vàophươngtrìnhđườngthẳng¢tathấythỏamãn. Chọnđápán B ä Câu217. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Đường thẳng d: x¡1 2 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡1 1 cắt mặt phẳng (P): 2x¡3yÅz¡2Æ0tạiđiểm I(a;b;c).Khiđó aÅbÅc bằng A. 7. B. 3. C. 9. D. 5. -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d là: ( xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ1Åt. Tọađộgiaođiểm I của d vàmặtphẳng (P)lànghiệm (x;y;z)củahệ 8 > < > : xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ1Åt 2x¡3yÅz¡2Æ0 , 8 > < > : xÆ3 yÆ2 zÆ2 tÆ1. Suyra I(3;2;2),hay aÅbÅcÆ3Å2Å2Æ7. Chọnđápán A ä Câu218. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3), điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (Oxz)cótọađộlà A. (1;2;¡3). B. (¡1;¡2;¡3). C. (1;¡2;3). D. (1;2;3). -Lờigiải. Hìnhchiếucủađiểm A(1;2;3)trênmặtphẳng (Oxz)làđiểm H(1;0;3). Vì H làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB nên ( x B Æ2x H ¡x A Æ1 y B Æ2y H ¡y A Æ¡2 z B Æ2z H ¡z A Æ3 )B(1;¡2;3). Chọnđápán C ä Câu219. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳngcắtnhau(P): 2x¡yÅ3zÅ1Æ0và(Q): x¡ yÅzÅ5Æ0.Đườngthẳng d làgiaotuyếncủa (P)và (Q)cóphươngtrìnhlà A. x¡4 2 Æ y¡9 1 Æ z¡1 ¡1 . B. x¡4 2 Æ y¡9 1 Æ z 1 . C. x¡4 2 Æ y¡9 1 Æ z ¡1 . D. x¡4 2 Æ yÅ9 1 Æ z ¡1 . -Lờigiải. Véc-tơpháptuyếncủa (P)và (Q)lầnlượtlà #  nÆ(2;¡1;3)và #  n 0 Æ(1;¡1;1).Dođómộtvéc-tơchỉ phươngcủađườngthẳng d là #  uÆ h #  n, #  n 0 i Æ(2;1;¡1). Cho zÆ0xéthệphươngtrình ½ 2x¡yÅ1Æ0 x¡yÅ5Æ0 , n xÆ4 yÆ9 .Suyrađiểm M(4;9;0)2d. Vậyphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng d là x¡4 2 Æ y¡9 1 Æ z ¡1 . Th.sNguyễnChínEm 652 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán C ä Câu220. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x¡2 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 1 và d 2 : ( xÆ1¡t yÆ1Å2t zÆ¡1Åt .Đườngthẳng¢điquađiểm A(1;2;3),vuônggócvới d 1 vàcắt d 2 cóphương trìnhlà A. x¡1 ¡1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡5 . B. x¡1 1 Æ y¡2 3 Æ z¡3 5 . C. x¡1 1 Æ y¡2 3 Æ z¡3 ¡5 . D. x¡1 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡5 . -Lờigiải. Giảsửđườngthẳng¢cắtđườngthẳng d 2 tại M(1¡t;1Å2t;¡1Åt). Tacóvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d 1 là #  uÆ(2;¡1;1)và #  AMÆ(¡t;2t¡1;¡4Åt). Vì¢?d 1 nêntacó #  u¢ #  AMÆ0,¡2t¡(2t¡1)¡4ÅtÆ0,tÆ¡1,nên #  AMÆ(1;¡3;¡5). Đường thẳng¢ đi qua điểm A(1;2;3) nhận #  AMÆ(1;¡3;¡5) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình x¡1 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡5 . Chọnđápán D ä Câu221. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhđườngthẳngđiquahaiđiểm A(1;2;3),B(5;4;¡1) là A. xÅ1 4 Æ yÅ2 2 Æ zÅ3 ¡4 . B. x¡1 4 Æ y¡2 2 Æ z¡3 4 . C. x¡5 2 Æ y¡4 1 Æ zÅ1 2 . D. x¡3 ¡2 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡1 2 . -Lờigiải. Phươngtrìnhđườngthẳng AB: x¡1 4 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡4 . , x¡1 ¡2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡3 2 , x¡3 ¡2 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡1 2 . Chọnđápán D ä Câu222. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng¢ 1 : xÅ4 3 Æ yÅ2 2 Æ z¡4 ¡1 và ¢ 2 : ( xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t .Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. ¢ 1 cắtvàkhôngvuônggócvới¢ 2 . B. ¢ 1 cắtvàvuônggócvới¢ 2 . C. ¢ 1 vࢠ2 songsongvớinhau. D. ¢ 1 ,¢ 2 chéonhauvàvuônggócvớinhau. -Lờigiải. ¢ 1 ,¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglầnlượtlà #  u 1 Æ(3;2;¡1), #  u 2 Æ(2;¡1;4). Tacó #  u 1 ¢ #  u 2 Æ3¢2Å2¢(¡1)Å(¡1)¢4Æ0)¢ 1 ?¢ 2 . Xéthệ ( ¡4Å3sÆ¡3Å2t ¡2Å2sÆ1¡t 4¡sÆ¡1Å4t , ( 3s¡2tÆ1 2sÅtÆ3 sÅ4tÆ5 , n sÆ1 tÆ1. )¢ 1 ,¢ 2 cắtnhautạiđiểm (¡1;0;3). Chọnđápán B ä Câu223. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm A(3;¡2;1)vàmặtphẳng (P): xÅyÅ 2z¡5Æ0.Đườngthẳngnàosauđâyđiqua A vàsongsongvớimặtphẳng (P)? A. x¡3 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . B. x¡3 4 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ1 ¡1 . C. xÅ3 1 Æ y¡2 1 Æ zÅ1 2 . D. x¡3 4 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡1 ¡1 . -Lờigiải. Ta loại đáp án x¡3 4 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ1 ¡1 và xÅ3 1 Æ y¡2 1 Æ zÅ1 2 vì các đường thẳng đó không đi qua A. Th.sNguyễnChínEm 653 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Gọi¢làđườngthẳngđiqua A vàsongsongvớimặtphẳng (P) Tacó #  n P Æ(1;1;2)và #  a ¢ ? #  n P . Tacó #  a ¢ Æ(1;1;2)nên #  a ¢ và #  n P cùngphương!loạiđápán x¡3 1 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . Tacó #  a ¢ Æ(4;¡2;¡1)nên #  a ¢ ? #  n P !chọnđápán x¡3 4 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡1 ¡1 . Chọnđápán D ä Câu224. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhđườngthẳng d điquađiểm A(¡1;0;2)và songsongvớihaimặtphẳng (P): 2x¡3yÅ6zÅ4Æ0và (Q): xÅy¡2zÅ4Æ0. A. ( xÆ¡1 yÆ2t (t2R) zÆ2Åt . B. ( xÆ¡1 yÆ2t (t2R) zÆ2¡t . C. ( xÆ¡1 yÆ2t (t2R) zÆ¡2Åt . D. ( xÆ1 yÆ2t (t2R) zÆ2¡t . -Lờigiải. Gọi #  u là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d, #  n P Æ(2;¡3;6), #  n Q Æ(1;1;¡2) lần lượt là véc-tơ pháptuyếncủamặtphẳng (P)vàmặtphẳng (Q). Tacó #  uÆ[ #  n P , #  n Q ]Æ(0;2;1)suyraphươngtrìnhcủađườngthẳng d là ( xÆ¡1 yÆ2t (t2R) zÆ2Åt. Chọnđápán A ä Câu225. Trongkhônggian Oxyz,viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquahaiđiểm A(3;¡2;1) và B(1;0;3). A. x¡1 1 Æ y ¡1 Æ z¡3 ¡1 . B. x¡3 ¡2 Æ y¡2 2 Æ z¡1 2 . C. x¡3 4 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡1 4 . D. x¡1 2 Æ y ¡1 Æ z¡3 2 . -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡2;2;2)) #  uÆ(1;¡1;¡1)làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. Khiđó,phươngtrìnhđườngthẳng AB là x¡1 1 Æ y ¡1 Æ z¡3 ¡1 . Chọnđápán A ä Câu226. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡2yÅ2z¡3Æ0 và điểm M(5;¡3;5). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm M trên (P).Tọađộđiểm H là A. H(¡1;¡1;1). B. H(3;0;0). C. H(3;1;1). D. H(3;¡1;¡1). -Lờigiải. #  nÆ(1;¡2;2)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Gọi d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvớimặtphẳng (P).Khiđó d nhận #  n làvéc-tơchỉ phương.Suyraphươngtrìnhđườngthẳng d là ( xÆ5Åt yÆ¡3¡2t (t2R). zÆ5Å2t Do H làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm M trên (P)nên HÆd\P,khiđótọađộ H(x,y,z)thỏa mãnhệphươngtrình 8 > < > : x¡2yÅ2z¡3Æ0 xÆ5Åt yÆ¡3¡2t zÆ5Å2t. Giảihệsuyra H(3;1;1). Chọnđápán C ä Câu227. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅ1Æ0. Trong các mệnhđềsau,mệnhđềnàosai. A. (P)songsongvớitrụcOz. Th.sNguyễnChínEm 654 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 B. (P)vuônggócvớimặtphẳng (Q): xÅ2y¡5zÅ1Æ0. C. Điểm A(¡1;¡1;5)2(P). D. #  nÆ(2;¡1;1)làmộtvéc-tơpháptuyếncủa P. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(2;¡1;0)làvéc-tơpháptuyếncủa (P). Tacó 2 2 Æ ¡1 ¡1 6Æ 0 1 nên #  nÆ(2;¡1;1)khôngcùngphươngvới #  n P .Hay #  nÆ(2;¡1;1)khôngphảilà mộtvéc-tơpháptuyếncủa (P). Chọnđápán D ä Câu228. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡3yÅz¡1Æ 0 và đường thẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 ¡1 .Trongcácmệnhđềdướiđây,mệnhđềnàođúng? A. d?(P). B. dÒ(P). C. d½(P). D. d hợpvới P mộtgóc 30 ± . -Lờigiải. Ta có #  n Æ(2;¡3;1) là véc-tơ pháp tuyến của (P), #  u Æ(2;1;¡1) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d. Nhậnxét #  n¢ #  uÆ2¢2¡3¢1¡1¢1Æ0suyra #  n và #  u cùngphương. (1) Mặtkhác M(1;0;¡1)2d và M(1;0;¡1)2(P). (2) Từ (1)và (2)suyra d½(P). Chọnđápán C ä Câu229. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;2;¡4), B(4;1;1) và C(2;6;¡3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông gócvớimặtphẳng (ABC). A. d: x¡3 7 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 ¡1 . B. d: x¡3 3 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 ¡1 . C. d: xÅ7 3 Æ yÅ3 2 Æ z¡2 ¡1 . D. d: xÅ12 3 Æ yÅ7 2 Æ z¡3 ¡1 . -Lờigiải. TrọngtâmG củatamgiác ABC làG(3;3;¡2). Tacó #  ABÆ(1;¡1;5), #  ACÆ(¡1;4;1)) h #  AB, #  AC i Æ(¡21;¡6;3). Do d vuônggócvớimặtphẳng (ABC)nêncóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(7;2;¡1). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng d là x¡3 7 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 ¡1 . Chọnđápán A ä Câu230. TrongkhônggianvớihệtrụcOxyz,phươngtrìnhđườngthẳngđiqua A(1;¡2;3)và cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;¡1;¡2)là A. x¡1 4 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡3 ¡4 . B. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 2 . C. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡3 ¡2 . D. xÅ1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 ¡2 . -Lờigiải. Đườngthẳngcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(2;¡1;¡2)thìcũngcóvéc-tơchỉphương #  u 0 Æ(4;¡2;¡4). Vậyphươngtrìnhđườngthẳngcầntìmlà x¡1 4 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡3 ¡4 . Chọnđápán A ä Câu231. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm H trên đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ z¡1 2 saochođộdàiđoạn MH làngắnnhất,biếtrằngđiểm M(2;1;4). A. H(1;3;3). B. H(2;3;4). C. H(2;2;3). D. H(2;3;3). -Lờigiải. Vì H2d nên H(1Åt;2Åt;1Å2t). Khiđó, #  MHÆ(t¡1;tÅ1;2t¡3). Độ dài đoạn MH ngắn nhất khi và chỉ khi MH?d, #  MH? #  u, trong đó #  u Æ(1;1;2) là véc-tơ chỉphươngcủa d. Điềukiệntươngđươnglà #  MH¢ #  uÆ0,t¡1ÅtÅ1Å2(2t¡3)Æ0,6tÆ6,tÆ1. Th.sNguyễnChínEm 655 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậy H(2;3;3). Chọnđápán D ä Câu232. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x¡7 1 Æ y¡3 2 Æ z¡9 ¡1 và d 2 : x¡3 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z¡1 3 .Chọnkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau. A. d 1 và d 2 chéonhau. B. d 1 và d 2 vuônggócvớinhau. C. d 1 và d 2 cắtnhau. D. d 1 và d 2 trùngnhau. -Lờigiải. Đườngthẳng d 1 ,d 2 cóvéc-tơchỉphươnglầnlượtlà #  u 1 Æ(1;2;¡1)và #  u 2 Æ(¡1;2;3). Tacó #  u 1 ¢ #  u 2 Æ¡1Å4¡3Æ0)d 1 ?d 2 . Chọnđápán B ä Câu233. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,gọi H hìnhchiếuvuônggóccủa M(2;0;1)lên đườngthẳng¢: x¡1 1 Æ y 2 Æ z¡2 1 .Tìmtọađộđiểm H. A. H(0;¡2;1). B. H(¡1;¡4;0). C. H(2;2;3). D. H(1;0;2). -Lờigiải. Tacó¢: ( xÆ1Åt yÆ2t zÆ2Åt )¢cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;2;1). Vì H2¢nên H(1Åt;2t;2Åt)) #  MHÆ(t¡1;2t;tÅ1). Tacó #  MH¢ #  uÆ0,t¡1Å4tÅtÅ1Æ0,tÆ0)H(1;0;2). Chọnđápán D ä Câu234. Trongcácđiểmsau,điểmnàokhôngthuộcđườngthẳngcóphươngtrình ( xÆ3¡t yÆ2Å3t zÆ¡1¡2t ? A. A(2;5;3). B. B(4;¡1;1). C. C(5;¡4;3). D. D(3;2;¡1). -Lờigiải. Điểm B(4;¡1;1)thuộcđườngthẳng(ứngvới tÆ¡1). Điểm C(5;¡4;3)thuộcđườngthẳng(ứngvới tÆ¡2). Điểm D(3;2;¡1)thuộcđườngthẳng(ứngvới tÆ0). Điểm A(2;5;3)khôngthuộcđườngthẳng. Chọnđápán A ä Câu235. Trong không gianvới hệ tọa độ Oxyz, cho đườngthẳng d có phương trìnhtham số ( xÆ2Åt yÆ¡3t zÆ¡1Å5t .Phươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng d là A. x¡2 1 Æ y ¡3 Æ zÅ1 5 . B. x¡2ÆyÆzÅ1. C. xÅ2 1 Æ y ¡3 Æ z¡1 5 . D. xÅ2 ¡1 Æ y 3 Æ z¡1 ¡5 . -Lờigiải. Đườngthẳng d điquađiểm M(2;0;¡1)vàcómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;¡3;5)nêncóphương trìnhchínhtắclà x¡2 1 Æ y ¡3 Æ zÅ1 5 . Chọnđápán A ä Câu236. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 ¡1 Æ yÅ3 2 Æ z¡3 1 và điểm A(1;2;1).Phươngtrìnhmặtphẳngđiqua A vàvuônggócvới d là A. x¡2y¡z¡3Æ0. B. x¡2y¡zÅ4Æ0. C. x¡2y¡zÅ1Æ0. D. ¡xÅ2yÅzÅ3Æ0. -Lờigiải. Gọi (®)làmặtphẳngcầntìm. Tacó #  uÆ(¡1;2;1)làvéc-tơchỉphươngcủa d.Vì (®)?d nên #  uÆ(¡1;2;1)làvéc-tơpháptuyến của (®). Phươngtrìnhtổngquátcủa (®)là¡1(x¡1)Å2(y¡2)Å1(z¡1)Æ0hay x¡2y¡zÅ4Æ0. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 656 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu237. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;2;3)vàhaimặtphẳng(P): 2xÅ3yÆ0 và (Q): 3xÅ4yÆ0. Đường thẳng qua A song song với hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình thamsốlà A. ( xÆ1 yÆ2t zÆ3t . B. ( xÆ1 yÆ2 zÆ1Å3t . C. ( xÆ1Åt yÆ2Åt zÆ3Åt . D. ( xÆt yÆ2 zÆ1Åt . -Lờigiải. Gọi d làđườngthẳngđiqua A vàsongsongvới (P), (Q). Khiđóvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  u d Æ £ #  n (P) ; #  n (Q) ¤ Æ(0;0;¡1)Æ¡1¢(0;0;1). Dođóphươngtrìnhđườngthẳngcầntìmlà ( xÆ1 yÆ2 zÆ3Åt. Đặt t 0 Æ tÅ2 3 ,phươngtrìnhtrởthành ( xÆ1 yÆ2 zÆ1Å3t 0 . Chọnđápán B ä Câu238. Trongkhônggian Oxyz,chođiểm A(1;¡1;1)vàđườngthẳng¢: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡1 1 . Đườngthẳngdđiqua Avuônggócvới¢vàsongsongvớimặtphẳng(Oxy)cóphươngtrình A. ( xÆ1¡2t yÆ¡1Åt zÆ1Åt. B. ( xÆ¡1¡2t yÆt zÆ1. C. ( xÆ¡1¡2t yÆt zÆ1Åt. D. ( xÆ¡1¡2t yÆ¡1¡t zÆ1. -Lờigiải. Ta có #  u Æ(1;2;1) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ¢, #  n(0;0;1) là véc-tơ pháp tuyến của mặtphẳng (Oxy).Dođó,đườngthẳng d nhậnvéc-tơ #  v Æ¡ £ #  u, #  n ¤ Æ(¡2;1;0) làm véc-tơ chỉ phương. Gọi B(¡1;0;1), dễ thấy #  BAÆ(2;¡1;0) nên #  BA và #  u cùng phương, hay B2d. Vậyphươngtrìnhđườngthẳng d là ( xÆ¡1¡2t yÆt zÆ1 . Chọnđápán B ä Câu239. TrongkhônggianOxyz,viếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d điquađiểm A(¡3;4;1)vàsongsongvớitrụcOz. A. d: ( xÆ¡3 yÆ4 zÆ1Å p 3t . B. d: ( xÆ¡3t yÆ4t zÆt . C. d: ( xÆ¡3Åt yÆ4 zÆ1 . D. d: ( xÆ¡3 yÆ4Åt zÆ1 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  k Æ(0;0;1)hay #  uÆ(0;0; p 3). Phươngtrìnhđườngthẳng d qua A(¡3;4;1)là d: ( xÆ¡3 yÆ4 zÆ1Å p 3t. Chọnđápán A ä Câu240. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: xÅ1 1 Æ y¡2 2 Æ zÅ3 ¡1 .Điểmnàosauđây thuộc d? A. N(0;2;¡4). B. P(¡1;2;0). C. M(¡2;0;¡2). D. Q(1;6;3). -Lờigiải. Tacó ¡2Å1 1 Æ 0¡2 2 Æ ¡2Å3 ¡1 Æ¡1 , M(¡2;0;¡2)2d. Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 657 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu241. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(3;4;¡2), C(0;1;¡1). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (ABC)là A. #  nÆ(1;1;¡1). B. #  nÆ(¡1;¡1;1). C. #  nÆ(¡1;1;0). D. #  nÆ(¡1;1;¡1). -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(2;2;¡1)và #  ACÆ(¡1;¡1;0). Véc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (ABC)là #  n (ABC) Æ[ #  AB, #  AC]Æ(¡1;1;0). Chọnđápán C ä Câu242. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3xÅyÅz¡5Æ0 và (Q): xÅ2yÅz¡4Æ0.Khiđógiaotuyếncủa (P)và (Q)cóphươngtrìnhlà A. d: ( xÆt yÆ¡1Å2t zÆ6Åt . B. d: ( xÆt yÆ1¡2t zÆ6¡5t . C. d: ( xÆt yÆ¡1Å2t zÆ6¡5t . D. d: ( xÆ3t yÆ¡1Åt zÆ6Åt . -Lờigiải. Chọnđiểm A(0;¡1;6)thuộcvềgiaotuyếncủa (P)và (Q). Véc-tơpháptuyếncủa (P)và (Q)là #  n P Æ(3;1;1)và #  n Q Æ(1;2;1). Khiđóvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng (d)giaotuyếncủa #  n P Æ[ #  n P ; #  n Q ]Æ(1;2;1). Vậyphươngtrìnhđườngthẳnggiaotuyếncủa (P)và (Q)là d: ( xÆt yÆ¡1Å2t zÆ6Åt . Chọnđápán A ä Câu243. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(¡1;0;2)vàvuônggócvớimặtphẳng xÅ2yÅzÅ4Æ0. A. xÅ1 1 Æ y 2 Æ z¡2 ¡1 . B. xÅ1 1 Æ y 2 Æ z¡2 1 . C. xÅ1 1 Æ y 2 Æ zÅ2 1 . D. x¡1 1 Æ y 2 Æ zÅ2 1 . -Lờigiải. Đườngthẳng d điqua A(¡1;0;2)vàcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;2;1)cóphươngtrình xÅ1 1 Æ y 2 Æ z¡2 1 . Chọnđápán B ä Câu244. Trong không gian 0xyz, phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đườngthẳngđiquahaiđiểm A(4;2;0),B(2;3;1)? A. x¡2 ¡2 Æ y¡3 1 Æ z¡1 1 . B. x ¡2 Æ y¡4 1 Æ z¡2 1 . C. ( xÆ1¡2t yÆ4Åt zÆ2Åt . D. ( xÆ4¡2t yÆ2Åt zÆt . -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(¡2;1;1)làmộtvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AB. )Haiphươngtrình ( xÆ4¡2t yÆ2Åt zÆt và x¡2 ¡2 Æ y¡3 1 Æ z¡1 1 đúng. Thay tÆ2vàophươngtrìnhthamsố)M(0;4;2)2AB. Dođó,phươngtrình x ¡2 Æ y¡4 1 Æ z¡2 1 đúng. Chọnđápán C ä Câu245. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(2;¡5;6), cắt Ox vàsongsongvớimặtphẳng xÅ5y¡6zÆ0cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ2Åt yÆ¡5Å5t zÆ6¡6t . B. ( xÆ2Åt yÆ¡5¡5t zÆ6Å6t . C. ( xÆ2¡71t yÆ¡5Å5t zÆ6¡6t . D. ( xÆ2¡61t yÆ¡5Å5t zÆ6¡6t . -Lờigiải. Gọi d làđườngthẳngđiqua A cắtOxtại M(m;0;0)vàsongsongvới (P): xÅ5y¡6zÆ0. Tacó #  AMÆ(m¡2;5;¡6)làvéc-tơchỉphươngcủa d. Th.sNguyễnChínEm 658 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Lạicó #  n P Æ(1;5;¡6)làvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P). Vì dÒ(P)nên #  AM¢ #  n P Æ0,(m¡2)Å5¢5Å(¡6)¢(¡6)Æ0,m¡2Æ¡61. Véctơchỉphươngcủađườngthẳng d là (¡61;5;¡6). Phươngtrìnhđườngthẳng d: ( xÆ2¡61t yÆ¡5Å5t zÆ6¡6t. Chọnđápán D ä Câu246. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: xÅ1 1 Æ y¡1 3 Æ z ¡2 vàmặtphẳng(P): 2xÅ (mÅ3)yÅ(4mÅ3)zÅ1Æ0.Tìmgiátrịcủa msaocho dÒ(P). A. mÆ1. B. mÆ¡1. C. m6Æ¡2. D. m2?. -Lờigiải. Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương là #  u d Æ(1;3;¡2). Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến là #  n P Æ(2;mÅ3;4mÅ3). Vì dÒ(P)nên #  u d ¢ #  n P Æ0,2Å3(mÅ3)¡2(4mÅ3)Æ0,mÆ1. Chọnđápán A ä Câu247. TrongkhônggianOxyzchobađiểm A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;1)vàM(2;1;2).Khoảng cáchtừ M đếnmặtphẳng (ABC)là A. 15 7 . B. 2. C. 13 7 . D. 3. -Lờigiải. Phươngtrìnhmp(ABC): x 2 Å y 3 Å z 1 Æ1,3xÅ2yÅ6z¡6Æ0.Vậy d(M,(ABC))Æ j3¢2Å2¢1Å6¢2¡6j p 3 2 Å2 2 Å6 2 Æ2. Chọnđápán B ä Câu248. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(¡1;2;2). Đường thẳng đi qua M và song song vớitrụcOycóphươngtrìnhlà A. ( xÆ¡1 yÆ2 zÆ2Åt (t2R). B. ( xÆ¡1Åt yÆ2 zÆ2 (t2R). C. ( xÆ¡1Åt yÆ2 zÆ2Åt (t2R). D. ( xÆ¡1 yÆ2Åt zÆ2 (t2R). -Lờigiải. Đườngthẳngcầnlậpđiqua M(¡1;2;2)vàcóvéc-tơchỉphương #  j Æ(0;1;0)nêncóphươngtrình ( xÆ¡1 yÆ2Åt zÆ2 (t2R). Chọnđápán D ä Câu249. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;¡2;1) và hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có phương trình là x¡3zÅ1Æ0, 2y¡zÅ1Æ0. Đường thẳng đi qua I và song song với hai mặt phẳng (P), (Q)cóphươngtrìnhlà A. x¡1 6 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡1 2 . B. x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 ¡5 . C. x¡1 6 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . D. x¡1 ¡2 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 5 . -Lờigiải. Gọi d làđườngthẳngcầnlập. (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(1;0;¡3), (Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(0;2;¡1). Dođó d cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ[ #  n P , #  n Q ]Æ(6;1;2). Đườngthẳng d điqua I nêncóphươngtrình x¡1 6 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 . Chọnđápán C ä Câu250. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng¢: ( xÆ1Åt yÆm¡2t zÆnt , t2R(m, nlà cáchằngsốchotrước)vàmặtphẳng (P): xÅy¡z¡2Æ0.Biết¢½(P),tính mÅn. Th.sNguyễnChínEm 659 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. mÅnÆ¡3. B. mÅnÆ0. C. mÅnÆ1. D. mÅnÆ¡1. -Lờigiải. Lấyđiểm M(0;mÅ2;¡n)2¢.Do¢½(P))M2(P).Thếtọađộ M vàophươngtrình (P)tađược 0Å(mÅ2)¡(¡n)¡2Æ0,mÅnÆ0. Chọnđápán B ä Câu251. Trong không gian Oxyz, tìm một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d: 3¡x 2 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ4 3 . A. #  v Æ(2;¡1;3). B. #  mÆ(3;1;¡4). C. #  nÆ(¡2;1;¡3). D. #  uÆ(¡2;¡1;3). -Lờigiải. Tacó 3¡x 2 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ4 3 , x¡3 ¡2 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ4 3 .Vậydcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;¡1;3). Chọnđápán D ä Câu252. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ¢: x¡1 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 2 và mặt phẳng (P): xÅ2yÅz¡5Æ0. Tọa độ giao điểm A của đường thẳng ¢ và mặt phẳng (P) là A. (3;0;¡1). B. (3;0;5). C. (1;1;2). D. (0;3;¡1). -Lờigiải. Do A2¢nên A(1Åt;2¡t;1Å2t). Mặtkhác A2(P)nên 1ÅtÅ2(2¡t)Å1Å2t¡5Æ0,tÆ¡1. Suyra A(0;3;¡1). Chọnđápán D ä Câu253. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;2;¡3)vàđườngthẳng d: x¡1 1 Æ y 2 Æ zÅ1 1 .Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)điqua A vàvuônggócvớiđườngthẳng d. A. (P): xÅ2yÅz¡2Æ0. B. (P): xÅ2y¡3z¡2Æ0. C. (P): xÅ2yÅzÅ2Æ0. D. (P): xÅ2y¡3zÅ2Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;2;1). Domặtphẳng(P)?dnên(P)nhậnvéc-tơ #  uÆ(1;2;1)làmvéc-tơpháptuyến,từđótacóphương trìnhmặtphẳng (P)là 1(x¡1)Å2(y¡2)Å1(zÅ3)Æ0,xÅ2yÅz¡2Æ0. Chọnđápán A ä Câu254. Trong không gian Oxyz cho điểm A(¡3;¡1;¡1). Hình chiếu vuông góc của A trên mặtphẳng (Oyz)làđiểm A 0 (a;b;c).Khiđógiátrịcủa 2aÅbÅc là A. -5. B. -4. C. -2. D. -3. -Lờigiải. Mặt phẳng (Oyz) có phương trình xÆ0 nên hình chiếu của điểm A(¡3;¡1;¡1) lên mặt phẳng (Oyz)làđiểm A 0 (0;¡1;¡1).Khiđó 2aÅbÅcÆ¡2. Chọnđápán C ä Câu255. Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d 1 : x¡3 ¡1 Æ y¡3 ¡2 Æ zÅ2 1 ; d 2 : x¡5 ¡3 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 1 và ¢: xÅ1 1 Æ y¡3 2 Æ z¡1 3 . Đường thẳng song song với ¢, cắt d 1 và d 2 có phương trìnhlà A. x¡1 3 Æ yÅ1 2 Æ z 1 . B. x¡2 1 Æ y¡3 2 Æ z¡1 3 . C. x¡3 1 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 3 . D. x¡1 1 Æ yÅ1 2 Æ z 3 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cắt d 1 tại M(3¡t;3¡2t;¡2Åt). Đườngthẳng d cắt d 2 tại N(5¡3s;¡1Å2s;2Ås). Th.sNguyễnChínEm 660 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đườngthẳng d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  MNÆ(2¡3sÅt;¡4Å2sÅ2t;4Ås¡t). Vì d songsong¢nên d cũngcóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;2;3). Khiđó #  MN cùngphương #  u,suyra 2¡3sÅt 1 Æ ¡4Å2sÅ2t 2 Æ 4Ås¡t 3 , n 4¡6sÅ2tÆ¡4Å2sÅ2t ¡12Å6sÅ6tÆ8Å2s¡2t , n sÆ1 tÆ2. Dođóđườngthẳng d qua M(1;¡1;0)vànhận #  uÆ(1;2;3)làmvéc-tơchỉphương. Vậyphươngtrìnhchínhtắccủa d là x¡1 1 Æ yÅ1 2 Æ z 3 . Chọnđápán D ä Câu256. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(3;¡1;1) và vuông gócvớiđườngthẳng¢: x¡1 3 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡3 1 cóphươngtrìnhlà A. 3x¡2yÅz¡12Æ0. B. 3x¡2yÅz¡8Æ0. C. 3xÅ2yÅz¡12Æ0. D. x¡2yÅ3z¡8Æ0. -Lờigiải. Mặtphẳngvuônggócvới¢cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ #  u ¢ Æ(3;¡2;1). Phươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm M(3;¡1;1)vàvuônggócvớiđườngthẳng¢là 3(x¡3)¡2(yÅ1)Å1(z¡1)Æ0 hay 3x¡2yÅz¡12Æ0. Chọnđápán A ä Câu257. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ¢: xÅ2 1 Æ y¡1 1 Æ z¡2 2 và mặt phẳng (P):xÅyÅzÆ0. Đường thẳng¢ 0 là hình chiếu của đường thẳng¢ lên mặt phẳng (P).Mộtvéc-tơchỉphương #  u củađườngthẳng¢ 0 là A. #  uÆ(1;1;¡2). B. #  uÆ(1;¡1;0). C. #  uÆ(1;0;¡1). D. #  uÆ(1;¡2;1). -Lờigiải. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ¢ và vuông góc với (P). Suy ra, véc-tơ pháp tuyến của (Q) là #  n Q Æ £ #  u ¢ , #  n P ¤ Æ(¡1;1;0). Gọi #  u làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢ 0 .Tacó ½ #  u? #  n P #  u? #  n Q ) #  uÆ £ #  n P , #  n Q ¤ Æ(1;1;¡2). Chọnđápán A ä Câu258. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(¡4;¡2;4) và đường thẳng d: ( xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t . Viết phươngtrìnhđườngthẳng¢điqua A cắtvàvuônggócvớiđườngthẳng d. A. ¢: ( xÆ¡4Å3t yÆ¡2Å2t zÆ4¡t . B. ¢: ( xÆ¡4Å3t yÆ¡2¡t zÆ4¡t . C. ¢: ( xÆ¡4¡3t yÆ¡2Å2t zÆ4¡t . D. ¢: ( xÆ¡4Åt yÆ¡2Åt zÆ4Åt . -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa A lênđườngthẳng d.Tacó H(¡3Å2t;1¡t;¡1Å4t). Suyra #  AH¢ #  u d Æ0,tÆ1. #  AHÆ(3;2;¡1).Vậyptdtlà¢: ( xÆ¡4Å3t yÆ¡2Å2t zÆ4¡t . Chọnđápán A ä Câu259. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ¢ đi qua A(1;2;¡1) và song song với đường thẳng d: x¡3 1 Æ y¡3 3 Æ z 2 cóphươngtrìnhlà A. x¡1 ¡2 Æ y¡2 ¡6 Æ zÅ1 ¡4 . B. xÅ1 1 Æ yÅ2 3 Æ z¡1 2 . C. x¡1 1 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ1 ¡2 . D. x¡1 2 Æ y¡2 3 Æ zÅ1 1 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 661 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Đườngthẳng d: x¡3 1 Æ y¡3 3 Æ z 2 điquađiểm M(3;3;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;3;2). Đường thẳng¢: x¡1 ¡2 Æ y¡2 ¡6 Æ zÅ1 ¡4 đi qua A(1;2;¡1) và có véc-tơ chỉ phương #  v Æ(¡2;¡6;¡4), mặtkhácvéc-tơ #  v cùngphươngvớivéc-tơ #  u,điểm A khôngthuộc d nênđườngthẳng¢song songvớiđườngthẳng d. Chọnđápán A ä Câu260. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d: xÅ3 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 2 vàsongsongvớiđườngthẳng d 0 : x¡3 1 Æ y¡3 3 Æ z 2 là A. x¡yÅ2z¡2Æ0. B. 2x¡z¡6Æ0. C. x ¡1 Å y 1 Å z ¡2 Æ1. D. 2x¡zÅ7Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d điquađiểm M(¡3;2;1)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;¡1;2).Đườngthẳng d 0 có véc-tơchỉphương #  u 0 Æ(1;3;2). Tacó h #  u, #  u 0 i Æ(¡8;0;4),suyramặtphẳng(P)chứađườngthẳng dvàsongsongvới d 0 cóvéc-tơ pháptuyến #  nÆ(2;0;¡1).Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 2¢(xÅ3)Å0¢(y¡2)Å(¡1)¢(z¡1)Æ0,2x¡zÅ7Æ0. Chọnđápán D ä Câu261. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;2;¡1) và mặt phẳng (P): xÅ2y¡zÅ5Æ0. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm I, song song với (P). Mặt cầu (S) có tâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P).Xétcácmệnhđềsau (1)Mặtphẳng (Q)điquađiểm M(1;3;0). (2)Mặtphẳng (Q)songsongvớiđườngthẳng d: ( xÆ1Å2t yÆ2¡t zÆ0. (3)Bánkínhmặtcầu (S)là RÆ3 p 6. Trongcácmệnhđềtrêncóbaonhiêumệnhđềsai? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. -Lờigiải. Vì (Q)songsongvới (P)nên (Q)códạng xÅ2y¡zÅdÆ0.Hơnnữa,do I(2;2;¡1)thuộc (Q)nên 2Å2¢2¡(¡1)ÅdÆ0hay dÆ¡7.Vậy (Q): xÅ2y¡z¡7Æ0. Vì 1Å2¢3¡0¡7Æ0nên (Q)điqua M(1;3;0). Vìhệphươngtrình 8 > < > : xÅ2y¡z¡7Æ0 xÆ1Å2t yÆ2¡t zÆ0 vônghiệmnên (Q)và d songsongvớinhau. Bánkínhmặtcầu (S)là RÆd(I,(P))Æ j2Å2¢2¡(¡1)Å5j p 1 2 Å2 2 Å(¡1) 2 Æ2 p 66Æ3 p 6. Chọnđápán D ä Câu262. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅzÅ3Æ0 và điểm A(1;¡2;1).Đườngthẳngđiquađiểm A vàvuônggócvới (P)cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡4t zÆ1Å3t . B. ( xÆ2Åt yÆ¡1¡2t zÆ1Å3t . C. ( xÆ2Åt yÆ¡1¡2t zÆ1Åt . D. ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt . -Lờigiải. Gọi¢làđườngthẳngcầntìm. Vì¢?(P)nên¢nhận #  uÆ(2;¡1;1)làmộtvéc-tơchỉphương. Phươngtrìnhthamsốcủa¢là ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt với t2R. Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 662 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu263. Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ Oxyz,chohaiđườngthẳng¢ 1 : ( xÆt yÆ¡1Å2t zÆ2¡3t và ¢ 2 : xÅ3 4 Æ y 1 Æ zÅ3 2 .Khẳngđinhnàosauđâyđúng? A. ¢ 1 cắtvàkhôngvuônggócvới¢ 2 . B. ¢ 1 songsong¢ 2 . C. ¢ 1 vࢠ2 chéonhauvàvuônggócvớinhau. D. ¢ 1 cắtvàvuônggócvới¢ 2 . -Lờigiải. ¢ 1 cóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(1;2;¡3)vࢠ2 cóvéc-tơchỉphương #  u 2 Æ(4;1;2). Tacó #  u 1 ¢ #  u 2 Æ0)¢ 1 ?¢ 2 . Hệ ( 4t¡3Æt 0 tÆ¡1Å2t 0 2t¡3Æ2¡3t 0 cónghiệm n tÆ1 t 0 Æ1 nên¢ 1 cắt¢ 2 . Chọnđápán D ä Câu264. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(¡1;1;6) và đường thẳng ¢: ( xÆ2Åt yÆ1¡2t zÆ2t . Hình chiếuvuônggóccủađiểm A trênđườngthẳng¢là A. K(2;1;0). B. N(1;3;¡2). C. H(11;¡17;18). D. M(3;¡1;2). -Lờigiải. Gọi B làhìnhchiếuvuônggóccủa A trên¢,suyra B(2Åt;1¡2t;2t)và #  AB(3Åt;¡2t;2t¡6). Tacó #  AB¢ #  uÆ0,3ÅtÅ4tÅ4t¡12Æ0,tÆ1. Vậyhìnhchiếuvuônggóccủađiểm A trênđườngthẳng¢là B(3;¡1;2). Chọnđápán D ä Câu265. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;¡1;3), song song với hai đườngthẳng d: x¡4 1 Æ yÅ2 4 Æ z¡1 ¡2 , d 0 : x¡2 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡1 1 cóphươngtrìnhlà A. 2x¡3y¡6zÅ15Æ0. B. 2x¡3y¡6z¡15Æ0. C. 2x¡3y¡5z¡10Æ0. D. 2x¡3y¡5zÅ10Æ0. -Lờigiải. Tacó ½ #  u d Æ(1;4;¡2) #  u d 0Æ(1;¡1;1) ) £ #  u d , #  u d 0 ¤ Æ(2;¡3;¡5). Mặtphẳng (P)điqua A(1;¡1;3)vànhận £ #  u d , #  u d 0 ¤ Æ(2;¡3;¡5)làmộtvéc-tơpháptuyến. )(P): 2(x¡1)¡3(yÅ1)¡5(z¡3)Æ0,2x¡3y¡5zÅ10Æ0. Chọnđápán D ä Câu266. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x¡2yÅ3zÅ4Æ0cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ1Åt yÆ1¡2t zÆ2¡3t . B. ( xÆ1Åt yÆ¡2Åt zÆ3Å2t . C. ( xÆ1¡t yÆ1¡2t zÆ2Å3t . D. ( xÆ1Åt yÆ1¡2t zÆ2Å3t . -Lờigiải. Đườngthẳng d vuônggócvới (P)) #  u d Æ #  n P Æ(1;¡2;3)làmộtvéc-tơchỉphươngcủa d. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d: ( xÆ1Åt yÆ1¡2t zÆ2Å3t. Chọnđápán D ä Câu267. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuônggócvớimặtphẳng 4xÅ3y¡3zÅ1Æ0cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ¡1Å4t yÆ¡2Å3t zÆ¡3¡3t . B. ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡t . C. ( xÆ1¡4t yÆ2¡3t zÆ3¡3t . D. ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡3t . -Lờigiải. Gọi¢làđườngthẳngcầntìmvàmặtphẳng (P)làmặtphẳngchotrước. Vì¢?(P))véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢là #  uÆ(4;3;¡3). Th.sNguyễnChínEm 663 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Phươngtrìnhthamsố¢là ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡3t. Chọnđápán D ä Câu268. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểm A(1;2;3)vàB(2;4;¡1).Phươngtrìnhchínhtắc củađườngthẳng d điqua A, B là A. xÅ2 1 Æ yÅ4 2 Æ zÅ1 4 . B. xÅ1 1 Æ yÅ2 2 Æ zÅ3 4 . C. x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡4 . D. xÅ2 1 Æ yÅ4 2 Æ z¡1 ¡4 . -Lờigiải. Ta có đường thẳng d đi qua A(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương #  ABÆ(1;2;¡4). Vậy phương trình chínhtắcđườngthẳng d là x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ z¡3 ¡4 ¢ Chọnđápán C ä Câu269. TrongkhônggianOxyz,chođiểm M(1;2;3)vàmặtphẳng (®): x¡2yÅz¡12Æ0.Tìm tọađộđiểm H làhìnhchiếuvuônggóccủađiểm M trênmặtphẳng (®). A. H(3;¡2;5). B. H(2;0;4). C. H(5;¡6;7). D. H(¡1;6;1). -Lờigiải. Gọi¢làđườngthẳngqua M vàvuônggócvớimặtphẳng (®).Phươngtrìnhthamsốcủa¢là ( xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ3Åt . Tacó HÆ¢\(®).Xétphươngtrình 1Åt¡2(2¡2t)Å(3Åt)¡12Æ0,tÆ2)H(3;¡2;5). Chọnđápán A ä Câu270. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3;4;1), B(¡3;¡2;¡2). Đường thẳng qua A và B cắtmặtphẳng (Oxy)tại M.Tínhtỉsố kÆ MA MB . A. kÆ¡ 1 2 . B. kÆ2. C. kÆ¡2. D. kÆ 1 2 . -Lờigiải. M2(Oxy))M(a;b;0).Điểm M thuộcđườngthẳngđiqua AB chonên a¡3 6 Æ b¡4 6 Æ 0¡1 3 )aÆ1;bÆ2 Tacó #  AMÆ(¡2;¡2;¡1), #  ABÆ(¡6;¡6;¡3), #  AMÆ 1 3 #  AB,suyra kÆ 1 2 . Chọnđápán D ä Câu271. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x¡y¡3zÅ2Æ0 và (Q): ¡4xÅyÅ2zÅ1Æ0. Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặtphẳng (P), (Q)là A. x 1 Æ y ¡1 Æ z 6 . B. x 1 Æ y ¡6 Æ z ¡1 . C. x 1 Æ y 1 Æ z 6 . D. x 1 Æ y 6 Æ z ¡1 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(3;¡1;¡3). Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  n Q Æ(¡4;1;2). Đườngthẳng d songsongvớicả (P)và (Q)nêncóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ £ #  n P , #  n Q ¤ Æ(1;6;¡1). Do d điquagốctọađộO nênphươngtrìnhcủa d là x 1 Æ y 6 Æ z ¡1 . Chọnđápán D ä Câu272. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(¡1;¡3;2) và mặt phẳng (P): x¡2y¡3z¡4Æ0. Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d điqua A vàvuônggócvớimặtphẳng (P). A. d: x¡1 ¡1 Æ y¡3 2 Æ zÅ2 3 . B. d: x¡1 1 Æ y¡3 ¡2 Æ zÅ2 ¡3 . C. d: xÅ1 1 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ3 ¡3 . D. d: xÅ1 1 Æ yÅ3 ¡2 Æ z¡2 ¡3 . Th.sNguyễnChínEm 664 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ #  n P Æ(1;¡2;¡3). Đườngthẳng d qua A(¡1;¡3;2)cóphươngtrình d: xÅ1 1 Æ yÅ3 ¡2 Æ z¡2 ¡3 . Chọnđápán D ä Câu273. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđườngthẳng d 1 : x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ z¡2 3 , d 2 : ( xÆ2Åt yÆ1Åt zÆ2¡t. .Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. d 1 và d 2 vuônggócnhau. B. d 1 và d 2 songsongnhau. C. d 1 và d 2 cắtnhau. D. d 1 và d 2 trùngnhau. -Lờigiải. Từgiảthiếtthì d 1 điquađiểm M(1;¡1;2)vàcóvec-tơchỉphương #  v 1 Æ(2;1;3). d 2 điquađiểm N(2;1;2)vàcóvec-tơchỉphương #  v 2 Æ(1;1;¡1). Tacó #  v 1 ¢ #  v 2 Æ2Å1¡3Æ0, #  v 1 ? #  v 2 hayhaiđườngthẳng d 1 và d 2 vuônggócvớinhau. Chọnđápán A ä Câu274. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 1 Æ y ¡1 Æ z 2 và điểm A(1;6;0). Tìm giátrịnhỏnhấtcủađộdài MA với M2d. A. 5 p 3. B. 6. C. 4 p 2. D. p 30. -Lờigiải. Tacó M2d ) M(1Åt;¡t;2t) ) #  AMÆ(t;¡t¡6;2t).Khiđó, MAÆ p t 2 Å(tÅ6) 2 Å(2t) 2 Æ p 6t 2 Å12tÅ36Æ p 6(tÅ1) 2 Å30Ê p 30. Suyra,giátrịnhỏnhấtcủa MA bằng p 30khi tÆ¡1haylà M(0;1;¡2). Chọnđápán D ä Câu275. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z 3 và mặt phẳng (P): xÅ3yÅzÆ0. Đường thẳng ¢ đi qua M(1;1;2), song song với mặt phẳng (P) đồng thờicắtđườngthẳng d cóphươngtrìnhlà A. x¡3 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡9 2 . B. xÅ2 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡6 2 . C. x¡1 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z¡2 1 . D. x¡1 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡2 2 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)có 1véc-tơpháptuyến #  n P Æ(1;3;1). Giảsửđườngthẳng¢cắt d tạiđiểm N. N2d) N(1Åt;1¡t;3t) ) #  MNÆ(t;¡t;3t¡2). ¢Ò(P)) #  MN¢ #  n P Æ0, 1¢tÅ3¢(¡t)Å1¢(3t¡2)Æ0, tÆ2. Dođó,¢có 1véc-tơchỉphươnglà #  MNÆ(2;¡2;4)Æ2(1;¡1;2). Suyra,¢: x¡1 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z¡2 2 . Chọnđápán D ä Câu276. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,choM(¡1;2;0)vàmặtphẳng(®): 2x¡3z¡5Æ0. Viếtphươngtrìnhđườngthẳngqua M vàvuônggócvớimặtphẳng (®)? A. ( xÆ1Å2t yÆ¡2 zÆ¡3t . B. ( xÆ¡1¡2t yÆ2 zÆ3t . C. ( xÆ¡1Å2t yÆ2¡3t zÆ¡5t . D. ( xÆ2¡t yÆ¡3Å2t zÆ¡5 . -Lờigiải. PhươngtrìnhđườngthẳngdđiquaM(¡1;2;0)cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;0;3)là ( xÆ¡1¡2t yÆ2 zÆ3t. Th.sNguyễnChínEm 665 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu277. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;1;¡1),B(¡2;3;1) và mặt cầu (S): x 2 Å y 2 Åz 2 Å2x¡4yÆ0.Đườngthẳng AB vàmặtcầu (S)cóbaonhiêuđiểmchung? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vôsố. -Lờigiải. Mặtcầucótâm I(¡1;2;0)vàphươngtrìnhđườngthẳng AB: ( xÆ¡t yÆ1Åt zÆ¡1Åt . Tathấy I thuộc AB,suyrađườngthẳng AB vàmặtcầu (S)có 2điểmchung. Chọnđápán C ä Câu278. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): (m 2 Å1)x¡(2m 2 ¡2mÅ1)yÅ (4mÅ2)z¡m 2 Å2mÆ0luônchứamộtđườngthẳng¢cốđịnhkhi mthayđổi.Đườngthẳng d đi qua M(1;¡1;1)vuônggóc(¢)vàcáchOmộtkhoảnglớnnhấtcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡1;b;c). Tính b 2 ¡c? A. 2. B. 23. C. 19. D. ¡1. -Lờigiải. Cho mÆ0cómặtphẳng (P 0 ): x¡yÅ2zÆ0,suyra #  nÆ(1;¡1;2). Cho mÆ1cómặtphẳng (P 1 ): 2x¡yÅ6zÅ1Æ0suyra #  n 0 Æ(2;¡1;6). Suyra¢cóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ h #  n; #  n 0 i Æ(¡4;¡2;1). Gọi H làhìnhchiếucủaO trên d thìOH làkhoảngcáchtừO đến d. TacóOH·OM. Dođóyêucầubàitoántươngđươngvới d?OM. Vậy d cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ h #  u 1 ; #  OM i Æ(¡1;5;6))b 2 ¡cÆ25¡6Æ19. Chọnđápán C ä Câu279. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(¡1;3;2), B(2;0;5), C(0;¡2;1).Phươngtrìnhđườngtrungtuyến AM củatamgiác ABC là A. xÅ1 ¡2 Æ y¡3 ¡2 Æ z¡2 ¡4 . B. x¡1 2 Æ yÅ3 ¡4 Æ zÅ2 1 . C. x¡2 ¡1 Æ yÅ4 3 Æ z¡1 2 . D. xÅ1 2 Æ y¡3 ¡4 Æ z¡2 1 . -Lờigiải. Tacó M(1;¡1;3)và #  AMÆ(2;¡4;1).Phươngtrìnhđườngthẳng AM là xÅ1 2 Æ y¡3 ¡4 Æ z¡2 1 . Chọnđápán D ä Câu280. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(¡1;1;3) và hai đường thẳng ¢: x¡1 3 Æ yÅ3 2 Æ z¡1 1 ,¢ 0 : xÅ1 1 Æ y 3 Æ z ¡2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳngđiqua M,vuônggócvới¢vࢠ0 . A. ( xÆ¡1¡t yÆ1Åt zÆ3Åt . B. ( xÆ¡t yÆ1Åt zÆ3Åt . C. ( xÆ¡1¡t yÆ1¡t zÆ3Åt . D. ( xÆ¡1¡t yÆ1Åt zÆ1Å3t . -Lờigiải. ¢cóvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(3;2;1),¢ 0 cóvéc-tơchỉphương #  u 2 Æ(1;3;¡2).Gọi dlàđườngthẳng cầntìm,khiđó d cóvéc-tơchỉphươnglà [ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(¡7;7;7)hay #  uÆ(¡1;1;1). Phươngtrìnhđườngthẳng d là ( xÆ¡1¡t yÆ1Åt zÆ3Åt . Chọnđápán A ä Câu281. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặtphẳngđiquađiểm M(3;¡1;1)vàvuônggócvớiđườngthẳng¢: x¡1 3 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡3 1 ? A. 3x¡2yÅzÅ12Æ0. B. x¡2yÅ3zÅ3Æ0. C. 3x¡2yÅz¡12Æ0. D. 3xÅ2yÅz¡8Æ0. Th.sNguyễnChínEm 666 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Mặt phẳng vuông góc đường thẳng (¢) nhận véc-tơ pháp tuyến là #  nÆ(3;¡2;1). Phương trình mặtphẳngquađiểm M códạng 3x¡2yÅz¡12Æ0. Chọnđápán C ä Câu282. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình củađườngthẳngđiquađiểm A(2;3;0)vàvuônggócvớimặtphẳng (P): xÅ3y¡zÅ5Æ0? A. ( xÆ1Åt yÆ3t zÆ1¡t . B. ( xÆ1Å3t yÆ3t zÆ1Åt . C. ( xÆ1Åt yÆ1Å3t zÆ1¡t . D. ( xÆ1Å3t yÆ3t zÆ1¡t . -Lờigiải. Gọi dlàđườngthẳngcầntìm.Đườngthẳng dvuônggócmặtphẳng(P)nhận #  uÆ(1;3;¡1)làm véc-tơchỉphương.Đườngthẳng d qua A cóphươngtrìnhlà ( xÆ2Åt yÆ3Å3t zÆ¡t. Với tÆ¡1,đườngthẳng d điquađiểm B(1;0;1).Suyrađườngthẳng d cóphươngtrình ( xÆ1Åt yÆ3t zÆ1¡t. Chọnđápán A ä Câu283. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,khoảngcách htừđiểm A(¡4;3;2)đếntrụcOx là A. hÆ4. B. hÆ p 13. C. hÆ3. D. hÆ2 p 5. -Lờigiải. Tacó H(¡4;0;0)làhìnhchiếucủađiểm A(¡4;3;2)trêntrụcOx. Khoảngcáchtừ A đếntrụcOxlà AHÆ p 13. Chọnđápán B ä Câu284. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng d: x¡2 ¡2 Æ y¡1 1 Æ z 1 songsongvớimặtphẳng (P): 2xÅ(1¡2m)yÅm 2 zÅ1Æ0 A. m2{¡1;3}. B. mÆ3. C. Khôngcógiátrịnàocủa m. D. mÆ¡1. -Lờigiải. Đườngthẳng d điquađiểm M(2;1;0)vànhận #  uÆ(¡2;1;1)làmvéc-tơchỉphương. Mặtphẳng (P)nhận #  nÆ ¡ 2;1¡2m;m 2 ¢ làmvéc-tơpháptuyến. Tacó dÒ(P), n MÝ(P) #  u¢ #  nÆ0 , ½ 2¢2Å(1¡2m)¢1Å16Æ0 m 2 ¡2m¡3Æ0 , ( m6Æ3 h mÆ¡1 mÆ3 ,mÆ¡1. Chọnđápán D ä Câu285. Cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ 3¡y 3 Æ zÅ1 ¡2 . Một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d là A. #  uÆ(2;3;¡2). B. #  uÆ(2;¡3;¡2). C. #  uÆ(¡2;¡3;¡2). D. #  uÆ(2;¡3;2). -Lờigiải. Tacó d: x¡1 2 Æ 3¡y 3 Æ zÅ1 ¡2 , x¡1 2 Æ y¡3 ¡3 Æ zÅ1 ¡2 . Dođó d cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;¡3;¡2). Chọnđápán B ä Câu286. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng ¢: ( xÆ2¡t yÆ1 zÆ¡2Å3t không đi qua điểmnàosauđây? A. P(4;1;¡4). B. Q(3;1;¡5). C. M(2;1;¡2). D. N(0;1;4). Th.sNguyễnChínEm 667 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 -Lờigiải. Điểm P(4;1;¡4)khôngthỏamãnphươngtrìnhđườngthẳng¢. Chọnđápán A ä Câu287. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chodlàđườngthẳngđiqua A(1;2;3)vàvuông gócvớimặtphẳng (®): 4xÅ3y¡7zÅ1Æ0.Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d là A. ( xÆ¡1Å4t yÆ¡2Å3t zÆ¡3¡7t. B. ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡7t. C. ( xÆ1Å3t yÆ2¡4t zÆ3¡7t. D. ( xÆ¡1Å8t yÆ¡2Å6t zÆ¡3¡14t. -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(4;3;¡7). Vìđườngthẳng d vuônggócvớimặtphẳng (®)nênvéc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ(4;3;¡7). Chọnđápán B ä Câu288. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 2xÅ3yÅ4z¡5Æ0vàđiểm A(1;¡3;1).Tínhkhoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (P). A. 8 9 . B. 8 29 . C. 3 p 29 . D. 8 p 29 . -Lờigiải. Khoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (P)là d[A,(P)]Æ j2¢1Å3¢(¡3)Å4¢1¡5j p 2 2 Å3 2 Å4 2 Æ 8 p 29 . Chọnđápán D ä Câu289. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm M(1;2;3)vàmặtphẳng (P): x¡2yÅ 5zÆ0.Gọi H(a;b;c)làhìnhchiếucủa M lênmặtphẳng (P).Tính 5bÅ2c. A. 5bÅ2cÆ16. B. 5bÅ2cÆ14. C. 5bÅ2cÆ13. D. 5bÅ2cÆ15. -Lờigiải. Đườngthẳng (¢)qua M(1;2;3)vuônggócvới (P)cóphươngtrình ( xÆ1Åt yÆ2¡2t zÆ3Å5t. Toạđộđiểm H làgiaođiểmcủa (¢)vàmặtphẳng (P).Khiđó,tacó (1Åt)¡2(2¡2t)Å5(3Å5t)Æ0,tÆ¡ 2 5 . Tađược H µ 3 5 ; 14 5 ;1 ¶ )5bÅ2aÆ16. Chọnđápán A ä Câu290. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x¡2 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡3 1 ; d 2 : ( xÆ1¡t yÆ1Å2t zÆ¡1Åt và điểm A(1;2;3). Đường thẳng¢ đi qua A vuông góc với d 1 và cắt d 2 có phươngtrìnhlà A. x¡1 1 Æ y¡2 3 Æ z¡3 1 . B. x¡1 ¡1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡1 . C. x¡1 1 Æ y¡2 3 Æ z¡3 5 . D. x¡1 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡5 . -Lờigiải. Gọi MÆ¢\d 2 , do M2d 2 )M(1¡t;1Å2t;¡1Åt)) #  AMÆ(¡t;2t¡1;t¡4) là véc-tơ chỉ phương củađườngthẳng¢. Đườngthẳng d 1 cóvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(2;¡1;1).Do d 1 ?¢) #  u 1 ¢ #  AMÆ0,tÆ¡1. Suyra #  AMÆ(1;¡3;¡5),dođó¢: x¡1 1 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡3 ¡5 . Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 668 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu291. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0, đường thẳng d: x¡2 ¡1 Æ y¡8 1 Æ zÅ1 ¡3 và điểm M(1;¡1;0). Điểm N thuộc (P) sao cho MN song song với d.Độdài MN là A. 3. B. p 59. C. p 11. D. 5. -Lờigiải. Đường thẳng đi qua M song song với d có phương trình x¡1 ¡1 Æ yÅ1 1 Æ z ¡3 . Khi đó tọa độ của N lànghiệmcủahệ ( x¡1 ¡1 Æ yÅ1 1 Æ z ¡3 xÅyÅzÆ3 , ( xÆ2 yÆ¡2 zÆ3. Vậy MNÆ p 11. Chọnđápán C ä Câu292. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với 2 đường thẳng ¢ 1 : x¡2 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z 4 vࢠ2 : ( xÆ2Åt yÆ3Å2t zÆ1¡t có1véc-tơpháptuyếnlà A. #  nÆ(¡5;6;¡7). B. #  nÆ(5;¡6;7). C. #  nÆ(¡5;6;7). D. #  nÆ(¡5;¡6;7). -Lờigiải. ² #  u 1 Æ(2;¡3;4)và #  u 2 Æ(1;2;¡1). ² (P)cóVTPTlà #  nÆ #  u 1 ^ #  u 2 Æ(¡5;6;7). Chọnđápán C ä Câu293. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng¢điquađiểm M(2;0;¡1)và véc-tơchỉphương #  aÆ(4;¡6;2).Phươngtrìnhthamsốcủa¢là A. ( xÆ¡2Å4t yÆ¡6t zÆ1Å2t . B. ( xÆ¡2Å2t yÆ¡3t zÆ1Åt . C. ( xÆ4Å2t yÆ¡6¡3t zÆ2Åt . D. ( xÆ2Å2t yÆ¡3t zÆ¡1Åt . -Lờigiải. ²¢: ( xÆ2Å4t yÆ¡6t zÆ¡1Å2t .Đặt 2tÆt 0 tacó¢: 8 < : xÆ2Å2t 0 yÆ¡3t 0 zÆ¡1Åt 0 . Chọnđápán D ä Câu294. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;¡1), B(¡3;4;3), C(3;1;¡3). Sốđiểm D saocho 4điểm A, B, C, D là 4đỉnhcủamộthìnhbìnhhànhlà A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. -Lờigiải. Ta có #  ABÆ(¡4;2;4), #  ACÆ(2;¡1;¡2). Suy ra A,B,C thẳng hàng. Do đó không có điểm D nào thỏamãn A,B,C,D là 4đỉnhcủahìnhbìnhhành. Chọnđápán D ä Câu295. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là x 1 Æ y¡6 ¡4 Æ z¡6 ¡3 . Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Véc-tơ nào sau đây là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng AC? A. #  u(1;2;3). B. #  u(0;¡2;6). C. #  u(0;1;¡3). D. #  u(0;1;3). -Lờigiải. ²Hìnhchiếu H của M trênđườngphângiáctronggóc A cótọađộ: H µ 1 2 ;4; 9 2 ¶ . ² M 0 làđiểmđốixứngcủa M qua H.Từđâytatìmđượctọađộ M 0 (1;3;6). ²Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng AC chínhlàvéc-tơ #  NM 0 Æ(0;2;6). Suyra,đườngthẳng AC cómộtvéc-tơchỉphươnglà (0;1;3). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 669 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu296. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chođườngthẳng d: xÅ3 2 Æ y¡1 1 Æ z¡1 ¡3 .Hình chiếuvuônggóccủa d trênmặtphẳng (Oyz)làmộtđườngthẳngcóvéc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(0;1;3). B. #  uÆ(0;1;¡3). C. #  uÆ(2;1;¡3). D. #  uÆ(2;0;0). -Lờigiải. Chọn A(¡3;1;1),B(¡1;2;¡2) thuộc d, ta có các điểm A 0 (0;1;1), B 0 (0;2;¡2) là hình chiếu vuông góccủa A,B trênmặtphẳng (Oxy),khiđó #  uÆ #  A 0 B 0 Æ(0;1;¡3). Chọnđápán B ä Câu297. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,tìmtấtcảgiátrịthamsố m đểđườngthẳng d: x¡1 1 Æ y 2 Æ z¡1 1 songsongvớimặtphẳng (P): 2xÅy¡m 2 zÅmÆ0. A. m2{¡2;2}. B. m2?. C. mÆ¡2. D. mÆ2. -Lờigiải. d quađiểm M(1;0;1)vàcóVTCPlà #  uÆ(1;2;1), (P)cóVTPTlà #  nÆ(2;1;¡m 2 ). Vì dÒ(P)nên #  u? #  n, #  u¢ #  nÆ0,mƧ2. Với mÆ2, (P): 2xÅy¡4zÅ2Æ0)M2(P)(loại). Với mÆ¡2, (P): 2xÅy¡4z¡2Æ0)MÝ(P)(thỏamãn). Chọnđápán C ä Câu298. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu(S): (x¡1) 2 Å(yÅ1) 2 Åz 2 Æ8vàhai đườngthẳng d 1 : xÅ1 1 Æ y¡1 1 Æ z¡1 2 , d 2 : xÅ1 1 Æ y 1 Æ z 1 .Viếtphươngtrìnhtấtcảcácmặtphẳng tiếpxúcvớimặtcầu (S)đồngthờisongsongvới d 1 , d 2 . A. x¡yÅ2Æ0. B. x¡yÅ2Æ0hoặc x¡yÅ6Æ0. C. x¡y¡6Æ0. D. x¡yÅ6Æ0. -Lờigiải. Tacó (S)cótâm I(1;¡1;0),bánkính RÆ2 p 2. d 1 qua M(¡1;1;1)vàcóVTCP #  u 1 Æ(1;1;2). d 2 qua N(¡1;0;0)vàcóVTCP #  u 2 Æ(1;1;1). Mặt phẳng (P) song song với d 1 , d 2 nên có VTPT #  nÆ[ #  u 1 , #  u 2 ]Æ(1;¡1;0), đo đó (P) có phương trình x¡yÅdÆ0. Lạicó (P)tiếpxúc (S)nên d(I,(P))Æ2 p 2, h dÆ2 dÆ¡6 . Với dÆ2, (P): x¡yÅ2Æ0)M2(P)(loại). Với dÆ¡6, (P): x¡y¡6Æ0)M,NÝ(P)(thỏamãn). Chọnđápán C ä Câu299. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz chođườngthẳng d: xÅ3 2 Æ y¡1 1 Æ z¡1 ¡3 .Hình chiếuvuônggóccủa d trênmặtphẳng (Oyz)làmộtđườngthẳngcóvéc-tơchỉphươnglà A. #  uÆ(0;1;3). B. #  uÆ(0;1;¡3). C. #  uÆ(2;1;¡3). D. #  uÆ(2;0;0). -Lờigiải. Chọn A(¡3;1;1),B(¡1;2;¡2) thuộc d, ta có các điểm A 0 (0;1;1), B 0 (0;2;¡2) là hình chiếu vuông góccủa A,B trênmặtphẳng (Oyz),khiđó #  uÆ #  A 0 B 0 Æ(0;1;¡3). Chọnđápán B ä Câu300. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngd: xÅ1 1 Æ y ¡1 Æ z¡1 ¡3 vàmặtphẳng(P): 3x¡ 3yÅ2zÅ1Æ0.Mệnhđềnàosauđâylàđúng? A. d songsongvới (P). B. d nằmtrong (P). C. d cắtvàkhôngvuônggócvới (P). D. d vuônggócvới (P). -Lờigiải. Tacó d có1véc-tơchỉphươnglà #  u d Æ(1;¡1;¡3)và (P)có1véc-tơpháptuyếnlà #  n P Æ(3;¡3;2). Nhậnthấy #  u d ¢ #  n P Æ1¢3Å(¡1)¢(¡3)Å(¡3)¢2Æ0)dÒ(P)hoặc d½(P). Lấy A(¡1;0;1)2d.Thayvàophươngtrìnhcủa (P)tađược 3¢(¡1)¡3¢0Å2¢1Å1Æ0 )A2(P).Suyra d nằmtrong (P). Cáchkhác. Th.sNguyễnChínEm 670 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Viếtlạiđườngthẳng d ởdạngthamsố ( xÆ¡1Åt yÆ¡t zÆ1¡3t . Xét phương trình 3¢(¡1Åt)¡3¢(¡t)Å2¢(1¡3t)Å1Æ0,0Æ0. Kết luận phương trình có vô số nghiệm)d½(P). Chọnđápán B ä Câu301. GọiH(a;b;c)làhìnhchiếucủa A(2;¡1;1)lênđườngthẳng(d): ( xÆ1 yÆ4Å2t zÆ¡2t .Đẳngthức nàodướiđâyđúng? A. aÅ2bÅ3cÆ10. B. aÅ2bÅ3cÆ5. C. aÅ2bÅ3cÆ8. D. aÅ2bÅ3cÆ12. -Lờigiải. Vì H2(d))H(1;4Å2t;¡2t), #  AHÆ(¡1;5Å2t;¡1¡2t). (d)cóvtcp #  uÆ(0;2;¡2). #  AH¢ #  uÆ0,(¡1)0Å(5Å2t)2Å(¡1¡2t)(¡2)Æ0,8tÅ12Æ0,tÆ ¡3 2 . Suyra H(1;1;3). Vậy aÅ2bÅ3cÆ12. Chọnđápán D ä Câu302. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng song song d: ( xÆ2¡t yÆ1Å2t zÆ4¡2t (t2R) và d 0 : x¡4 1 Æ yÅ1 ¡2 Æ z 2 . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d,d 0 ), đồng thời cáchđềuhaiđườngthẳng d và d 0 . A. x¡2 3 Æ y¡1 1 Æ z¡4 ¡2 . B. xÅ3 1 Æ yÅ2 ¡2 Æ zÅ2 2 . C. x¡3 1 Æ y ¡2 Æ z¡2 2 . D. xÅ3 ¡1 Æ y¡2 2 Æ zÅ2 ¡2 . -Lờigiải. Lấy M(2;1;4)2d, N(4;¡1;0)2d 0 . Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3;0;2),vàsongsongvới d và d 0 .Phươngtrìnhđườngthẳngcầntìmlà x¡3 1 Æ y ¡2 Æ z¡2 2 . Chọnđápán C ä Câu303. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ1Å5t yÆ2t zÆ¡3Åt .Điểmnàodướiđâykhông thuộcđườngthẳng d? A. M(¡4;¡2;¡4). B. N(1;0;¡3). C. P(6;2;2). D. Q(51;20;7). -Lờigiải. Thếtọađộ P(6;2;2)vàophươngtrìnhđườngthẳng d: ( xÆ1Å5t yÆ2t zÆ¡3Åt tađượchệphươngtrình ( 6Æ1Å5t 2Æ2t 2Æ¡3Åt , ( tÆ1 tÆ1 tÆ¡5 (vônghiệm). Vậy P(6;2;2)khôngthuộc d. Chọnđápán C ä Câu304. Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua điểm E(1;2;¡3)và F(3;¡1;1). A. x¡1 3 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 1 . B. x¡3 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡1 4 . C. x¡3 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡1 ¡3 . D. xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡3 Æ z¡3 4 . -Lờigiải. Đườngthẳngquađiểm E(1;2;¡3)và F(3;¡1;1)cóvéc-tơchỉphương #  uÆ #  EFÆ(2;¡3;4). Th.sNguyễnChínEm 671 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vậyphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng EF qua F(3;¡1;1)là x¡3 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡1 4 . Chọnđápán B ä Câu305. Trong không gian Oxyz, gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M(2;0;1) trên đườngthẳng d: x¡1 1 Æ y 2 Æ z¡2 1 .Tìmtọađộđiểm H. A. H(2;2;3). B. H(0;¡2;1). C. H(1;0;2). D. H(¡1;¡4;0). -Lờigiải. Gọi H(1Åt;2t;2Åt)thuộcđườngthẳng d,véc-tơchỉphươngcủa d là #  u d Æ(1;2;1). Vì H làhìnhchiếucủađiểm M lên d nêntacó #  MH¢ #  u d Æ0. (1) Mà #  MHÆ(t¡1;2t;tÅ1)nêntừ(1)tacóphươngtrình 1(t¡1)Å2¢2tÅ1(tÅ1)Æ0,6tÆ0,tÆ0. Với tÆ0tađượcđiểm H(1;0;2). Chọnđápán C ä Câu306. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ1 1 Æ z ¡1 . Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquađiểm M vàsongsongvớiđườngthẳng d. A. xÅ2 2 Æ yÅ1 1 Æ z ¡1 . B. x¡2 4 Æ y¡1 2 Æ z ¡2 . C. x¡2 2 Æ y¡1 1 Æ z 1 . D. x¡2 4 Æ y¡1 4 Æ z 2 . -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;1;¡1). Đườngthẳngqua M(2;1;0)vàsongsongvớiđườngthẳng d cũngnhận #  uÆ(2;1;¡1)làmvéc-tơ chỉphươngcủanó. Vậyphươngtrìnhđườngthẳngcầntìmlà x¡2 2 Æ y¡1 1 Æ z ¡1 , x¡2 4 Æ y¡1 2 Æ z ¡2 . Chọnđápán B ä Câu307. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhđườngthẳng¢điquađiểm A(2;¡1;3)vàvuônggócvớimặtphẳng (P):yÅ3Æ0. A. ¢: ( xÆ2 yÆ¡1Åt zÆ3 . B. ¢: ( xÆ2 yÆ1Åt zÆ¡3 . C. ¢: ( xÆ0 yÆ¡1Åt zÆ0 . D. ¢: ( xÆ2Åt yÆ¡1Åt zÆ3 . -Lờigiải. Do¢?(P)) #  u ¢ Ò #  n (P) nênchọn #  u ¢ Æ(0;1;0). Phươngtrìnhđườngthẳng¢là¢: ( xÆ2 yÆ¡1Åt zÆ3 . Chọnđápán A ä Câu308. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;2;1). Tính khoảng cách từ A đếntrụcOy. A. 2. B. p 10. C. 3. D. 10. -Lờigiải. Hìnhchiếucủa A lênOylà H(0;2;0).Vậykhoảngcáchtừ A đếntrụcOybằng AHÆ p (0¡3) 2 Å(2¡2) 2 Å(0¡1) 2 Æ p 10. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 672 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu309. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng d: ( xÆ2¡2t yÆ1Å3t zÆ3t. Phươngtrình nàosauđâylàphươngtrìnhchínhtắccủa d? A. x¡2 ¡2 Æ y¡1 3 Æ z 3 . B. xÅ2 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z ¡3 . C. x¡2Æy¡1Æz. D. x¡2 2 Æ y¡1 3 Æ z ¡3 . -Lờigiải. ĐườngthẳngdđiquađiểmM(2;1;0)vàcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;3;3)nêncóphương trìnhchínhtắclà x¡2 ¡2 Æ y¡1 3 Æ z 3 . Chọnđápán A ä Câu310. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡yÅzÅ3Æ0 và điểm A(1;¡2;1).Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d điqua A vàvuônggócvới (P). A. d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt . B. d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡4t zÆ1Å3t . C. d: ( xÆ2Åt yÆ¡1¡2t zÆ1Åt . D. d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Å3t . -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) nên d có một véc-tơ chỉ phương là #  u Æ(2;¡1;1) nêncóphươngtrìnhlà d: ( xÆ1Å2t yÆ¡2¡t zÆ1Åt. Chọnđápán A ä Câu311. Trongkhônggian Oxyz,chođườngthẳng d: x¡1 1 Æ y¡3 ¡2 Æ zÅ4 1 .Phươngtrìnhnào dướiđâylàphươngtrìnhcủađườngthẳngđiquađiểm M(1;¡3;6)vàsongsongvới d? A. x¡1 1 Æ yÅ3 3 Æ z¡6 ¡4 . B. x¡1 1 Æ yÅ3 ¡3 Æ zÅ4 6 . C. xÅ1 1 Æ y¡3 ¡2 Æ zÅ6 1 . D. x¡1 1 Æ yÅ3 ¡2 Æ z¡6 1 . -Lờigiải. Vìđườngthẳngcầntìmsongsongvới d nêncóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;¡2;1). Phươngtrìnhđườngthẳngđiquađiểm M(1;¡3;6)cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;¡2;1)là x¡1 1 Æ yÅ3 ¡2 Æ z¡6 1 . Chọnđápán D ä Câu312. TrongkhônggianOxyz,chohaiđườngthẳng (d 1 ): x¡7 1 Æ y¡3 2 Æ z¡9 ¡1 và (d 2 ): x¡3 ¡1 Æ y¡1 2 Æ z¡1 3 . A. (d 1 )và (d 2 )cắtnhau. B. (d 1 )và (d 2 )vuônggócnhau. C. (d 1 )và (d 2 )trùngnhau. D. (d 1 )và (d 2 )chéonhau. -Lờigiải. Gọi #  u 1 , #  u 2 lần lượt là véc-tơ chỉ phương của d 1 và d 2 ta chọn #  u 1 (1;2;¡1), #  u 2 (¡1;2;3). Giả sử M 1 2d 1 và M 2 2d 2 ,tachọn M 1 (7;3;9)và M 2 (¡1;2;3)suyra #  M 1 M 2 (¡8;¡1;¡6).Khiđó £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(2¢3¡2¢(¡1);(¡1)¢(¡1)¡3¢1;1¢2¡(¡1)¢2)Æ(8;¡2;4). và £ #  u 1 , #  u 2 ¤ ¢ #  M 1 M 2 Æ8¢(¡8)Å(¡2)¢(¡1)Å4¢(¡6)Æ¡866Æ0. Dođó d 1 , d 2 chéonhau. Chọnđápán D ä Câu313. TrongkhônggianOxyz,chobađiểm A(2;1;¡1), B(0;¡1;3), C(1;2;1).Mặtphẳng (P) qua B vàvuônggócvới AC cóphươngtrìnhlà A. xÅyÅ2zÅ5Æ0. B. x¡y¡2zÅ5Æ0. C. x¡yÅ2zÅ5Æ0. D. xÅy¡2zÅ5Æ0. -Lờigiải. Ta có #  AC(¡1;1;2) do giả thiết suy ra #  AC là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Khi đó phươngtrìnhcủa (P)là (¡1)(x¡0)Å(yÅ1)Å2(z¡3),x¡y¡2zÅ5Æ0 Th.sNguyễnChínEm 673 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu314. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(3;¡2;1), B(¡4;0;3), C(1;4;¡3), D(2;3;5).Phươngtrìnhcủamặtphẳngchứa AC vàsongsongvới BD là A. 12x¡10y¡21z¡35Æ0. B. 12xÅ10y¡21zÅ35Æ0. C. 12xÅ10yÅ21zÅ35Æ0. D. 12x¡10yÅ21z¡35Æ0. -Lờigiải. Ta có #  AC(¡2;6;¡4) và #  BD(6;3;2) khi đó h #  AC, #  BD i Æ(24;¡20;¡42). Gọi #  n là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AC và song song với BD suy ra h #  AC, #  BD i và #  n cùng phương. Khi đó ta chọn #  n(12;¡10;¡21).Dođóphươngtrìnhmặtphẳnglà 12(x¡3)¡10(yÅ2)¡21(z¡1),12x¡10y¡21z¡35Æ0 Chọnđápán A ä Câu315. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngđiquađiểm A(1;4;7)vàvuônggócvớimặt phẳng (P): xÅ2y¡2z¡3Æ0là A. ( xÆ1Å2t yÆ4Å4t zÆ7¡4t . B. ( xÆ¡4Åt yÆ3Å2t zÆ¡1¡2t . C. ( xÆ1Å4t yÆ4Å3t zÆ7Åt . D. ( xÆ1Åt yÆ2Å4t zÆ¡2Å7t . -Lờigiải. (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(1;2;¡2). Dođườngthẳng d songsongmặtphẳng (P)nên d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;2;¡2). Phươngtrìnhthamsố d: ( xÆ1Å2t yÆ4Å4t zÆ7¡4t . Chọnđápán A ä Câu316. Phươngtrìnhnàosauđâylàchínhtắccủađườngthẳngđiquahaiđiểm A(1;2;¡3) và B(3;¡1;1)? A. x¡1 3 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 1 . B. x¡3 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡1 ¡3 . C. x¡1 2 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ3 4 . D. xÅ1 2 Æ yÅ2 ¡3 Æ z¡3 4 . -Lờigiải. Gọi d làđườngthẳngqua A và B. Véc-tơchỉphươngcủa d là #  uÆ #  ABÆ(2;¡3;4). Phươngtrìnhchínhtắc d: x¡1 2 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ3 4 . Chọnđápán C ä Câu317. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng d: x¡4 2 Æ y¡5 3 Æ z¡6 4 .Điểm nàodướiđâythuộcđườngthẳng d? A. M(2;2;2). B. M(2;2;4). C. M(2;3;4). D. M(2;2;10). -Lờigiải. Vì 2¡4 2 Æ 2¡5 3 Æ 2¡6 4 Æ¡1nên M(2;2;2)thuộcđườngthẳng d. Chọnđápán A ä Câu318. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x¡1 3 Æ yÅ2 2 Æ z¡3 ¡4 .Điểmnàosauđâykhôngthuộcđườngthẳng d? A. Q(¡2;¡4;7). B. P(7;2;1). C. M(1;¡2;3). D. N(4;0;¡1). -Lờigiải. Vì 7¡1 3 Æ 2Å2 2 6Æ 1¡3 ¡4 nên P(7;2;1)khôngthuộcđườngthẳng d. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 674 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu319. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng d 1 : ( xÆ¡1 yÆ¡1Åt zÆt và d 2 : x¡1 3 Æ y¡2 1 Æ z 1 .Gọi d làđườngthẳngđiquađiểm A,cắtđườngthẳng d 1 vàvuônggócvới đườngthẳng d 2 .Đườngthẳng d điquađiểmnàotrongcácđiểmdướiđây? A. N(2;1¡5). B. Q(3;2;5). C. P(¡2;¡3;11). D. M(1;0;¡1). -Lờigiải. GọiBÆd 1 \d.B2d 1 )B(¡1;¡1Åt;t). #  ABÆ(¡1;t¡2;t¡1).d 2 cómộtvéc-tơchỉphương #  uÆ(3;1;1). Do d?d 2 nên #  u¢ #  ABÆ0,¡3Åt¡2Åt¡1Æ0,tÆ3) #  ABÆ(¡1;1;2). Có #  ANÆ(2;0;6), #  AQÆ(3;1;4), #  APÆ(¡2;¡4;10), #  AMÆ(1;¡1;¡2). Suyrađườngthẳng d điqua M. Chọnđápán D ä Câu320. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm M(¡1;0;0) và N(0;1;2) có phươngtrìnhlà A. x 1 Æ yÅ1 1 Æ z¡2 2 . B. x¡1 1 Æ y 1 Æ z 2 . C. x 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 2 . D. xÅ1 1 Æ y 1 Æ z 2 . -Lờigiải. Đường thẳng trên đi qua M(¡1;0;0) và có véc-tơ chỉ phương là #  MNÆ(1;1;2) nên có phương trìnhdạngchínhtắclà xÅ1 1 Æ y 1 Æ z 2 . Chọnđápán D ä Câu321. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm A(10;2;¡2)vàB(5;1;¡3).Tìmtất cảcácgiátrịcủathamsố mđểđườngthẳng AB vuônggócvớimặtphẳng (P): 10xÅ2yÅmzÅ 11Æ0. A. mÆ¡52. B. mÆ52. C. mÆ2. D. mÆ¡2. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡5;¡1;¡1). Mặtphẳng (P): 10xÅ2yÅmzÅ11Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(10;2;m). Đườngthẳng AB vuônggócvớimặtphẳng (P)khivàchỉkhi #  n cùngphươngvới #  AB ) 10 ¡5 Æ 2 ¡1 Æ m ¡1 )mÆ2. Chọnđápán C ä Câu322. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳngd: x¡2 ¡1 Æ y¡8 1 Æ zÅ4 ¡1 vàmặt phẳng (P): xÅyÅz¡3Æ0.Tọađộgiaođiểmcủađườngthẳng d vàmặtphẳng (P)là A. (2;8;¡4). B. (0;10;¡7). C. (¡1;11;¡7). D. (5;5;¡1). -Lờigiải. Tọađộgiaođiểmcủađườngthẳng d vàmặtphẳng (P)thỏahệ ( x¡2 ¡1 Æ y¡8 1 Æ zÅ4 ¡1 xÅyÅz¡3Æ0 , 8 > > > > < > > > > : x¡2 ¡1 Æ y¡8 1 y¡8 1 Æ zÅ4 ¡1 xÅyÅz¡3Æ0 , ( xÅyÆ10 ¡y¡zÆ¡4 xÅyÅzÆ3 , ( xÆ¡1 yÆ11 zÆ¡7. Vậytọađộgiaođiểmlà (¡1;11;¡7). Chọnđápán C ä Câu323. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(3;2;¡1)vàđườngthẳngd: ( xÆ1Åt yÆ3¡5t zÆ¡4Åt . Viếtphươngtrìnhmặtphẳngqua A vàvuônggócvới d. A. xÅ5yÅz¡11Æ0. B. x¡5yÅzÅ8Æ0. C. xÅ3y¡4z¡13Æ0. D. x¡5yÅz¡8Æ0. -Lờigiải. Mặt phẳng cần tìm qua A(3;2;¡1) và nhận #  uÆ(1;¡5;1) là véc-tơ chỉ phương của d làm véc-tơ pháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳnglà (x¡3)¡5(y¡2)Å(zÅ1)Æ0,x¡5yÅzÅ8Æ0. Th.sNguyễnChínEm 675 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán B ä Câu324. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;3),B(1;¡2;1)vàsongsongvớiđườngthẳng d: ( xÆ¡1Åt yÆ2t zÆ¡3¡2t. A. 2xÅyÅ3zÅ19Æ0. B. 10x¡4yÅz¡19Æ0. C. 2xÅyÅ3z¡19Æ0. D. 10x¡4yÅzÅ19Æ0. -Lờigiải. Tacó #  ABÆ(¡1;¡3;¡2),đườngthẳng d nhận #  uÆ(1;2;¡2)làmvéc-tơchỉphương. Theo giả thiết mặt phẳng (P) qua A(2;1;3) và nhận #  n Æ[ #  AB, #  u]Æ(10;¡4;1) làm véc-tơ pháp tuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (P)là 10(x¡2)¡4(y¡1)Å(z¡3)Æ0,10x¡4yÅz¡19Æ0. Chọnđápán B ä Câu325. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2xÅ 3y¡7zÅ1Æ0.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d điqua M vàvuônggócvới (P). A. d: x¡1 2 Æ y¡2 3 Æ z¡3 ¡7 . B. d: xÅ1 2 Æ yÅ2 3 Æ zÅ3 ¡7 . C. d: xÅ2 1 Æ yÅ3 2 Æ z¡7 3 . D. d: x¡2 1 Æ y¡3 2 Æ zÅ7 3 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)nhận #  nÆ(2;3;¡7)làmvéc-tơpháptuyến. Do d?(P)nên d nhận #  n làmvéc-tơchỉphương. Phươngtrìnhđườngthẳng d là x¡1 2 Æ y¡2 3 Æ z¡3 ¡7 . Chọnđápán A ä Câu326. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x¡yÅ2zÅ1Æ0 và đườngthẳng d: x¡1 1 Æ y 2 Æ zÅ1 ¡1 .Tínhgócgiữađườngthẳng d vàmặtphẳng (P). A. 60 ± . B. 120 ± . C. 150 ± . D. 30 ± . -Lờigiải. Tacó #  u d Æ(1;2;¡1)và #  n (P) Æ(1;¡1;2). Do đó cos( #  u d ; #  n (P) )Æ j1¡2¡2j p 6¢ p 6 Æ 1 2 , suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90 ± ¡60 ± Æ30 ± . Chọnđápán D ä Câu327. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;¡3;4), đường thẳng d: xÅ2 3 Æ y¡5 ¡5 Æ z¡2 ¡1 và mặt phẳng (P): 2xÅz¡2Æ0. Viết phương trình đường thẳng¢ qua M vuông gócvới d vàsongsongvới (P). A. ¢: x¡1 1 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡4 ¡2 . B. ¢: x¡1 ¡1 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡4 ¡2 . C. ¢: x¡1 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡4 ¡2 . D. ¢: x¡1 1 Æ yÅ3 ¡1 Æ z¡4 2 . -Lờigiải. Vì #  u ¢ ¢ #  n (P) Æ0và #  u ¢ ¢ #  u d Æ0nêntacóthểchọn #  u ¢ Æ £ #  n (P) ; #  u d ¤ Æ(¡5;¡5;10).Đểchogọntacó thểchọn #  u ¢ Æ(1;1;¡2). Phươngtrìnhđườngthẳng¢qua M cóvéc-tơchỉphương #  u ¢ là¢: x¡1 1 Æ yÅ3 1 Æ z¡4 ¡2 . Chọnđápán C ä Câu328. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtcầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 Æ1vàmặtphẳng (P): xÅ2y¡2zÅ1Æ0.Tìmbánkính r đườngtròngiaotuyếncủa (S)và (P). Th.sNguyễnChínEm 676 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 A. rÆ 1 3 . B. rÆ 2 p 2 3 . C. p 2 2 . D. 1 2 . -Lờigiải. Gọi I và R lầnlượtlàtâmvàbánkínhcủa (S))I(0;0;0), RÆ1. Tacó d(I;(P))Æ j1j p 1Å4Å4 Æ 1 3 )rÆ p R 2 ¡d 2 Æ 2 p 2 3 . Chọnđápán B ä Câu329. Trongkhônggian Oxyz,hãyviếtphươngtrìnhcủađườngthẳng d điquahaiđiểm M(0;¡2;0), N(1;¡3;1). A. d: x 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z 1 . B. d: x 1 Æ y¡2 1 Æ z 1 . C. d: x 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z 1 . D. d: x 1 Æ yÅ2 1 Æ z 1 . -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua hai điểm M(0;¡2;0), N(1;¡3;1) có một véc-tơ chỉ phương là #  MN Æ (1;¡1;1),suyraphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng d là x 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z 1 . Chọnđápán C ä Câu330. TrongkhônggianOxyz,hãyviếtphươngtrìnhđườngthẳngdđiquađiểmM(0;¡9;0) vàsongsongvớiđườngthẳng¢: x 1 Æ yÅ2 ¡2 Æ z 1 . A. d: x 1 Æ y¡9 ¡2 Æ z 1 . B. d: x 1 Æ yÅ9 ¡2 Æ z 1 . C. d: x 1 Æ y¡9 2 Æ z 1 . D. d: x 1 Æ yÅ9 2 Æ z 1 . -Lờigiải. Đường thẳng d đi qua điểm M(0;¡9;0) và có một véc-tơ chỉ phương là #  uÆ(1;¡2;1), do đó d có phươngtrìnhchínhtắclà x 1 Æ yÅ9 ¡2 Æ z 1 . Chọnđápán B ä Câu331. Trongkhônggian Oxyz,chomặtphẳng (P): 2xÅyÅzÅ3Æ0vàđườngthẳng d: x 2 Æ y 1 Æ zÅ2 m ,với m6Æ0.Tìm mđể d songsong (P). A. mÆ5. B. mÆ¡5. C. mÆ1. D. mÆ¡1. -Lờigiải. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến là #  n Æ(2;1;1) và đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương là #  uÆ(2;1;m). Vì M2d và MÝ(P)nên dÒ(P), #  n¢ #  uÆ0,mÆ¡5. Chọnđápán B ä Câu332. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;¡2;¡3), B(¡1;4;1) và đường thẳng d: xÅ2 1 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ3 2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳngđiquatrungđiểmđoạnthẳng AB vàsongsongvới d? A. x 1 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ1 2 . B. x 1 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ2 2 . C. x 1 Æ y¡1 1 Æ zÅ1 2 . D. x 1 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡1 2 . -Lờigiải. Gọi M làtrungđiểmđoạn AB,tacó M(0;1;¡1).Khiđóđườngthẳngđiqua M vàsongsongvới d cóphươngtrình x 1 Æ y¡1 ¡1 Æ zÅ1 2 . Chọnđápán A ä Câu333. %[HK2 (2017-2018), THPT Tân Hiệp, Kiên Giang]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,chođườngthẳng¢: ( xÆ¡1Å3t yÆ1Åt zÆ3t (t2R)vàhaiđiểm A(5;0;2),B(2;¡5;3).TìmđiểmMthuộc ¢saocho4ABM vuôngtại A. A. M(2;2;3). B. M(5;3;6). C. M(¡4;0;¡3). D. M(¡7;¡1;¡6). -Lờigiải. Điểm M thuộcđườngthẳng¢nên M(¡1Å3t;1Åt;3t). Tacó #  AMÆ(3t¡6;tÅ1;3t¡2)và #  ABÆ(¡3;¡5;1). Tamgiác ABM vuôngtại M khivàchỉkhi Th.sNguyễnChínEm 677 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 #  AB? #  AM, #  AB¢ #  AMÆ0,¡3(3t¡6)¡5(tÅ1)Å3t¡2Æ0,tÆ1. Khiđótọađộđiểm M(2;2;3). Chọnđápán A ä Câu334. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳngd 1 : ( xÆ1Åt yÆ2¡t zÆ3t (t2R)vàđường thẳng d 2 : ( xÆ2s yÆ1¡2s zÆ6s (s2R).Chọnkhẳngđịnhđúng. A. d 1 ,d 2 chéonhau. B. d 1 ,d 2 cắtnhau. C. d 1 Òd 2 . D. d 1 ´d 2 . -Lờigiải. Tacó #  u d 1 Æ(1;¡1;3), #  u d 2 Æ(2;¡2;6)Æ2 #  u d 1 ) · d 1 Òd 2 d 1 ´d 2 . Lấy A(0;1;0)2d 2 .Dễthấy AÝd 1 )d 1 Òd 2 . Chọnđápán C ä Câu335. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): xÅy¡2zÅ1Æ0 đi qua điểm M(1;¡2;0)vàcắtđườngthẳng d: ( xÆ11Å2t yÆ2t zÆ¡4t (t2R)tại N.Tínhđộdàiđoạn MN. A. 7 p 6. B. 3 p 11. C. p 10. D. 4 p 5. -Lờigiải. Điểm N2(d))N(11Å2t;2t;¡4t).Mặtkhác N2(®)nên 11Å2tÅ2t¡2(¡4t)Å1Æ0,tÆ¡1. Điểm N(9;¡2;4)) #  MNÆ(8;0;4))MNÆ4 p 5. Chọnđápán D ä Câu336. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ¢ 1 : ( xÆ3Åt yÆ1Åt zÆ1Å2t (t2R); ¢ 2 : xÅ2 2 Æ y¡2 5 Æ z ¡1 và điểm M(0;3;0). Đường thẳng d đi qua M, cắt ¢ 1 và vuông góc với ¢ 2 cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(4;a;b).Tính TÆaÅb A. TÆ¡2. B. TÆ4. C. TÆ¡4. D. TÆ2. -Lờigiải. Gọi (P)làmặtphẳngchứa M vࢠ1 . Lấy A(3;1;1)2¢ 1 . Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với cácvéc-tơ #  MAÆ(3;¡2;1)và #  u ¢ 1 Æ(1;1;2). Tacó h #  MA, #  u ¢ 1 i Æ(¡5;¡5;5). ¢ 1 ¢ 2 d P M Mộttrongcácvéc-tơpháptuyếncủamặtphẳng (P)là #  n (P) Æ(1;1;¡1). Đườngthẳng d nằmtrongmặtphẳng (P)vàvuônggócvới¢ 2 có #  u d Æ £ #  n (P) , #  u ¢ 2 ¤ Æ(4;¡1;3). Vậy aÆ¡1;bÆ3)TÆaÅbÆ2. Chọnđápán D ä Câu337. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡y¡zÅ3Æ0, và đườngthẳng¢: xÅ1 1 Æ y¡1 ¡2 Æ z 2 .Xétvịtrítươngđốicủa (P)và¢. A. (P)và¢chéonhau. B. (P)songsong¢. C. (P)chứa¢. D. (P)cắt¢. -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;¡1;¡1). Đườngthẳng¢điquađiểm M(¡1;1;0)vàcóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;¡2;2). Th.sNguyễnChínEm 678 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Tacó #  n¢ #  uÆ2Å2¡2Æ26Æ0,nênsuyra¢cắt (P). Chọnđápán D ä Câu338. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ3Å2t yÆ5¡3mt zÆ¡1Åt. và mặt phẳng (P): 4x¡4yÅ2z¡5Æ0. Giá trị nào của m để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). A. mÆ 3 2 . B. mÆ 2 3 . C. mÆ¡ 5 6 . D. mÆ 5 6 . -Lờigiải. Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(4;¡4;2). Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(2;¡3m;1). Đườngthẳng d vuônggócvớimặtphẳng (P)khivàchỉkhi #  n cùngphươngvới #  u , 2 4 Æ ¡3m ¡4 Æ 1 2 ,3mÆ2,mÆ 2 3 . Chọnđápán B ä Câu339. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: ( xÆ1¡t yÆt zÆ¡t ,t2R và d 0 : 8 < : xÆ2t 0 yÆ¡1Åt 0 zÆt 0 ,t 0 2R.Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng d và d 0 là A. 1 p 14 . B. p 7. C. p 14. D. 1 p 7 . -Lờigiải. Đườngthẳng d điquađiểm A(1;0;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  u d Æ(¡1;1;¡1). Đườngthẳng d 0 điquađiểm B(0;¡1;0)vàcóvéc-tơchỉphương #  u d 0Æ(2;1;1). #  ABÆ(¡1;¡1;0). £ #  u d , #  u d 0 ¤ Æ ¡¯ ¯1 ¡1 1 1 ¯ ¯ ; ¯ ¯¡1 ¡1 1 2 ¯ ¯ ; ¯ ¯¡1 1 2 1 ¯ ¯ ¢ Æ(2;¡1;¡3). Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng d và d 0 là d ¡ d,d 0 ¢ Æ ¯ ¯ ¯ £ #  u d , #  u d 0 ¤ ¢ #  AB ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ £ #  u d , #  u d 0 ¤¯ ¯ Æ j2¢(¡1)Å(¡1)¢(¡1)Å(¡3)¢0j p 2 2 Å(¡1) 2 Å(¡3) 2 Æ 1 p 14 . Chọnđápán A ä Câu340. TrongkhônggianvớihêtọađộOxyz,chođiểm A(1;2;3).Khoảngcáchtừ Ađếntrục Oybằng A. 10. B. p 10. C. 3. D. 2. -Lờigiải. TrụcOycóvéc-tơchỉphương #  uÆ(0;1;0).Tacó #  OAÆ(1;2;3). Dođó h #  OA, #  u i Æ ¡¯ ¯2 3 1 0 ¯ ¯ ; ¯ ¯3 1 0 0 ¯ ¯ ; ¯ ¯1 2 0 1 ¯ ¯ ¢ Æ(¡3;0;1). Khoảngcáchtừ A(1;2;3)đếntrụcOybằng ¯ ¯ ¯ h #  OA, #  u i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u ¯ ¯ Æ p (¡3) 2 Å0 2 Å1 2 1 Æ p 10. Chọnđápán B ä Câu341. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 2 Æ y ¡1 Æ zÅ1 1 và mặt phẳng (P): x¡2y¡2zÅ5Æ0.Điểm A nàodướiđâythuộc d vàthỏamãnkhoảngcáchtừ A đến mặtphẳng (P)bằng 3? A. A(4;¡2;1). B. A(2;¡1;0). C. A(¡2;1;¡2). D. A(0;0;¡1). -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 679 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì A2(d)nêntacótọađộđiểm A(2a;¡a;a¡1).Khoảngcáchtừ A đến (P)là j2aÅ2a¡2(a¡1)Å5j p 9 Æ3,j2aÅ9jÆ9, " aÆ0 aÆ¡ 9 2 . Với aÆ0)A(0;0;¡1). Chọnđápán D ä Câu342. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(¡1;2;4) và đường thẳng¢: ( xÆ1¡t yÆ¡2Åt zÆ2t .Điểm M2¢màtổng MA 2 ÅMB 2 cógiátrịnhỏnhấtcótọađộlà A. (¡1;0;4). B. (0;¡1;4). C. (1;0;4). D. (1;¡2;0). -Lờigiải. Vì M2(¢)nêntacótọađộđiểm M(1¡t;¡2Åt;2t).Tacó MA 2 ÅMB 2 Æ(¡t) 2 Å(t¡6) 2 Å(2t¡2) 2 Å(2¡t) 2 Å(t¡4) 2 Å(2t¡4) 2 Æ12t 2 ¡48tÅ76 Æ12(t¡2) 2 Å28 ¸28 Vậygiátrịnhỏnhấtcủa MA 2 ÅMB 2 là 28khi tÆ2)M(¡1;0;4). Chọnđápán A ä Câu343. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđườngthẳngd 1 : ( xÆt yÆ¡1¡4t zÆ6Å6t vàđường thẳngd 2 : x 2 Æ y¡1 1 Æ zÅ2 ¡5 .Viếtphươngtrìnhđườngthẳng¢điqua A(1;¡1;2),đồngthờivuông gócvớicảhaiđườngthẳng d 1 và d 2 . A. x¡1 14 Æ yÅ1 17 Æ z¡2 9 . B. x¡1 1 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 3 . C. x¡1 2 Æ yÅ1 ¡1 Æ z¡2 4 . D. x¡1 3 Æ yÅ1 ¡2 Æ z¡2 4 . -Lờigiải. Đườngthẳng d 1 và d 2 cóvéc-tơchỉphươnglầnlượtlà #  u 1 Æ(1;¡4;6)và #  u 2 Æ(2;1;¡5). Gọi #  u làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢. Do ½ ¢?d 1 ¢?d 2 ) ½ #  u? #  u 1 #  u? #  u 2 ,chọn #  uÆ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(14;17;9). Mà¢điqua A(1;¡1;2),dođó¢cóphươngtrìnhlà x¡1 14 Æ yÅ1 17 Æ z¡2 9 . Chọnđápán A ä Câu344. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳngdlàgiaotuyếncủahaimặtphẳng(®): xÅ yÆ0 và (® 0 ): 2x¡yÅz¡15Æ0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và d 0 , biết đường thẳng d 0 cóphươngtrình ( xÆ1¡t yÆ2Å2t zÆ3. A. I(0;0;¡1). B. I(0;0;2). C. I(1;2;3). D. I(4;¡4;3). -Lờigiải. Tọađộgiaođiểm I của d và d 0 thỏamãnhệphươngtrình 8 > > > < > > > : xÅyÆ0 2x¡yÅz¡15Æ0 xÆ1¡t yÆ2Å2t zÆ3 , 8 > > > < > > > : 1¡tÅ2Å2tÆ0 2(1¡t)¡(2Å2t)Å3¡15Æ0 xÆ1¡t yÆ2Å2t zÆ3 ) 8 > < > : tÆ¡3 xÆ4 yÆ¡4 zÆ3 . Suyra I(4;¡4;3). Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 680 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu345. Trongkhônggian Oxyz,tínhkhoảngcáchgiữađườngthẳng d: x¡1 2 Æ yÅ2 ¡4 Æ z¡4 3 vàtrụcOx. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. -Lờigiải. Đườngthẳng d cócóvec-tơchỉphương #  u d Æ(2;¡4;3)vàđiquađiểm M(1;¡2;4). TrụcOxcóvec-tơchỉphương #  u Ox Æ(1;0;0)vàđiquađiểm N(1;0;0). Khoảngcáchgiữađườngthẳng d vàtrụcOxlà d[d,Ox]Æ j[ #  u d , #  u Ox ]¢ #  MNj j[ #  u d , #  u Ox ]j Æ j(0;3;4)¢(0;2;¡4)j j(0;3;4)j Æ2. Chọnđápán D ä Câu346. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,viếtphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng d điquađiểm A(1;2;3)vàvuônggócvớimặtphẳng (P): 2xÅ2yÅzÅ2017Æ0. A. xÅ1 2 Æ yÅ2 2 Æ zÅ3 1 . B. x¡1 2 Æ y¡2 2 Æ z¡3 1 . C. x¡2 1 Æ y¡2 2 Æ z¡1 3 . D. xÅ2 1 Æ yÅ2 2 Æ zÅ1 3 . -Lờigiải. d vuônggócvới (P)nên d cóvéc-tơchỉphươnglà #  n P Æ(2;2;1). Dođó,phươngtrìnhchínhtắcđườngthẳng d là x¡1 2 Æ y¡2 2 Æ z¡3 1 . Chọnđápán B ä Câu347. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chomặtphẳng (®): 2xÅyÅzÅ5Æ0vàđường thẳng¢: ( xÆ1Å3t yÆ3¡t zÆ2¡3t (t2R).Tìmtọađộgiaođiểmcủa¢và (®). A. (¡2;¡1;0). B. (¡5;2;3). C. (1;3;2). D. (¡17;9;20). -Lờigiải. Xétphươngtrình 2(1Å3t)Å3¡tÅ2¡3tÅ5Æ0,2tÅ12Æ0,tÆ¡6. Với tÆ¡6) ( xÆ¡17 yÆ9 zÆ20 .Vậytọađộgiaođiểmcủa¢và (®)là (¡17;9;20). Chọnđápán D ä Câu348. Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođiểm M(2;0;1)vàđườngthẳng d: x¡1 1 Æ y 2 Æ z¡2 1 .Tìmtọađộhìnhchiếuvuônggóccủa M lênđườngthẳng d. A. (1;0;2). B. (¡1;¡4;0). C. (0;¡2;1). D. (1;1;2). -Lờigiải. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(2;0;1) và vuông góc với đường thẳng d. Suy ra (P) nhận #  u d Æ (1;2;1)làmvéc-tơpháptuyến. Phươngtrìnhmặtphẳng (P):(x¡2)Å2yÅz¡1Æ0,xÅ2yÅz¡3Æ0. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M lênđườngthẳng d,suyra HÆd\(P). Tọađộđiểm H lànghiệmcủahệ ( x¡1 1 Æ y 2 Æ z¡2 1 xÅ2yÅz¡3Æ0 , ( 2x¡yÆ2 y¡2zÆ¡4 xÅ2yÅz¡3Æ0 , ( xÆ1 yÆ0 zÆ2. Chọnđápán A ä Câu349. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(¡1;2;2) và B(3;¡2;¡4). Khi đó mặt phẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB cóphươngtrìnhlà A. 2x¡2y¡3z¡5Æ0. B. 2x¡2y¡3zÆ0. C. 2x¡2yÅ3zÅ1Æ0. D. 2xÅ2y¡3z¡5Æ0. -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(4;¡4;¡6). Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I(1;0;¡1) của AB và có véc-tơ pháp tuyến #  nÆ(2;¡2;¡3). Vậyphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủa AB: 2x¡2y¡3z¡5Æ0. Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 681 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu350. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(2;¡1;3) và nhận véc-tơ #  u Æ (¡5;3;4)làmvéc-tơchỉphươngcóphươngtrìnhchínhtắclà A. xÅ5 2 Æ y¡3 ¡1 Æ z¡4 3 . B. x¡2 ¡5 Æ yÅ1 3 Æ z¡3 4 . C. x¡2 ¡5 Æ yÅ1 ¡3 Æ z¡3 4 . D. xÅ2 ¡5 Æ y¡1 3 Æ zÅ3 4 . -Lờigiải. Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;¡1;3) và nhận véc-tơ #  u Æ(¡5;3;4) làmvéc-tơchỉphươnglà x¡2 ¡5 Æ yÅ1 3 Æ z¡3 4 ¢ Chọnđápán B ä Câu351. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) vàvuônggócvớimặtphẳng (P): 4xÅ3y¡7zÅ2Æ0.Phươngtrìnhthamsốcủa d là A. ( xÆ¡1Å4t yÆ¡2Å3t zÆ¡3¡7t . B. ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡7t . C. ( xÆ1Å3t yÆ2¡4t zÆ3¡7t . D. ( xÆ¡1Å4t yÆ¡2¡3t zÆ¡3¡7t . -Lờigiải. Tacó d qua M(1;2;3)vàcóVTCP #  u d Æ #  n P Æ(4;3;¡7).Vậy d: ( xÆ1Å4t yÆ2Å3t zÆ3¡7t . Chọnđápán B ä Câu352. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(0;¡3;1) và đường thẳng d: ( xÆ¡1Å3t yÆ1¡2t zÆ3Åt . Mặt phẳng (P)điquađiểm M vàvuônggócvớiđườngthẳng d cóphươngtrình A. 3x¡2yÅz¡5Æ0. B. 3x¡2yÅz¡10Æ0. C. 3x¡2yÅzÅ5Æ0. D. 3x¡2yÅz¡7Æ0. -Lờigiải. d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(3;¡2;1). Mặtphẳng (P)quađiểm M(0;¡3;1)vàcóvéc-tơpháptuyến #  nÆ #  u nêncóphươngtrình: 3(x¡0)¡2(yÅ3)Å1(z¡1)Æ0hay 3x¡2yÅz¡7Æ0. Chọnđápán D ä Câu353. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(3;4;2), B(5;¡1;0)và C(2;5;1).Mặtphẳngđiquabađiểm A, B, C cóphươngtrình A. 7xÅ4y¡3z¡31Æ0. B. xÅyÅz¡9Æ0. C. 7xÅ4y¡3zÅ31Æ0. D. xÅyÅz¡8Æ0. -Lờigiải. Tacó: #  ABÆ(2;¡5;¡2); #  ACÆ(¡1;1;¡1). Mặtphẳngđiquabađiểm A, B, C nhậnvéc-tơ #  nÆ h #  AB, #  AC i Æ(7;4;¡3)làmvéc-tơpháptuyến nêncóphươngtrình 7xÅ4y¡3z¡31Æ0. Chọnđápán A ä Câu354. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng (P): xÅ2y¡3z¡12Æ0vàđườngthẳng d có phương trình d: xÅ7 3 Æ yÅ10 4 Æ z¡4 ¡2 . Toạ độ giao điểm M của đường thẳng d với mặt phẳng (P)là A. M(2;2;¡2). B. M(¡7;¡10;4). C. M(1;2;¡3). D. M(2;¡1;¡3). -Lờigiải. Toạcủa d và (P)lànghiệmcủahệphươngtrình: 8 > > < > > : xÆ¡7Å3t (1) yÆ¡10Å4t (2) zÆ4¡2t (3) xÅ2y¡3z¡12Æ0 (4) Thay (1), (2), (3)vào (4)tađược tÆ3. Vậy M(2;2;¡2)làgiaođiểmcủađườngthẳng d vớimặtphẳng (P). Chọnđápán A ä Th.sNguyễnChínEm 682 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu355. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : ( xÆ1¡2t yÆ3Å4t zÆ¡2Å6t và d 2 : 8 < : xÆ1¡t 0 yÆ2Å2t 0 zÆ3t 0 . Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng? A. d 1 ?d 2 . B. d 1 ´d 2 . C. d 1 và d 2 chéonhau. D. d 1 Òd 2 . -Lờigiải. Haiđườngthẳng d 1 và d 2 lầnlượtcóvéc-tơchỉphươnglà #  u 1 Æ(¡2;4;6)và #  u 2 Æ(¡1;2;3). Suyrahaivéc-tơ #  u 1 , #  u 2 cùngphương. Lạicóđiểm M(1;3;¡2)2d 1 nhưngkhôngthuộc d 2 . Vậyhaiđườngthẳng d 1 và d 2 songsongvớinhau. Chọnđápán D ä Câu356. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểmH(2;¡1;¡2)làhìnhchiếuvuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P), số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q): x¡y¡11Æ0bằngbaonhiêu? A. 45 ± . B. 30 ± . C. 90 ± . D. 60 ± . -Lờigiải. Vì H(2;¡1;¡2)làhìnhchiếuvuônggóccủagốctọađộ O xuốngmặtphẳng (P)nênmặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ #  OHÆ(2;¡1;¡2). Mặtphẳng (Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(1;¡1;0). Gọi'làsốđogócgiữamặtphẳng (P)vàmặtphẳng (Q),tacó cos'Æ ¯ ¯ #  n P ¢ #  n Q ¯ ¯ ¯ ¯ #  n P ¯ ¯ ¢ ¯ ¯ #  n Q ¯ ¯ Æ j2¢1Å(¡1)¢(¡1)Å(¡2)¢0j p 2 2 Å(¡1) 2 Å(¡2) 2 ¢ p 1 2 Å(¡1) 2 Å0 2 Æ p 2 2 . Suyra'Æ45 ± . Chọnđápán A ä Câu357. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : x¡3 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡4 2 cắt mặt phẳng (Oxy) tạiđiểmcótọađộlà A. (¡3;2;0). B. (3;¡2;0). C. (¡1;0;0). D. (1;0;0). -Lờigiải. Tacótọađộgiaođiểmcủa d vàmặtphẳng (Oxy)lànghiệm (x;y;z)củahệphươngtrình ( x¡3 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡4 2 zÆ0 , ( xÆ1 yÆ0 zÆ0. Vậygiaođiểmcủađườngthẳng d vàmặtphẳng (Oxy)làđiểm (1;0;0). Chọnđápán D ä Câu358. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng(P): 2xÅ6yÅz¡3Æ0cắttrụcOzvàđườngthẳng d: x¡5 1 Æ y 2 Æ z¡6 ¡1 lầnlượttại A và B.Phươngtrìnhmặtcầuđườngkính AB là A. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ5) 2 Æ36. B. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡5) 2 Æ9. C. (xÅ2) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ5) 2 Æ9. D. (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡5) 2 Æ36. -Lờigiải. Theogiảthiếttacó A(0;0;3)và B(5Åt;2t;6¡t). Mặtkhác B2(P)nêntacó: 2(5Åt)Å6¢2tÅ(6¡t)¡3Æ0,tÆ¡1. Suyra B(4;¡2;7). Khiđómặtcầucótâm I(2;¡1;5), RÆAIÆ p 2 2 Å(¡1) 2 Å(5¡3) 2 Æ3. Vậyphươngtrìnhmặtcầu: (x¡2) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡5) 2 Æ9. Chọnđápán B ä Câu359. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;¡1) và mặt phẳng (P): x¡yÅ2z¡3Æ 0. Đườngthẳng d điqua A vàvuônggócvớimặtphẳng (P)cóphươngtrìnhlà A. d: x¡1 1 Æ y¡2 1 Æ zÅ1 2 . B. d: xÅ1 1 Æ yÅ2 ¡1 Æ z¡1 2 . Th.sNguyễnChínEm 683 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 C. d: x¡1 1 Æ 2¡y 1 Æ zÅ1 2 . D. d: x¡1 1 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 2 . -Lờigiải. Đườngthẳng d điqua A vàcóvéc-tơchỉphương #  u d Æ #  n (P) Æ(1;¡1;2)cóphươngtrìnhlà x¡1 1 Æ y¡2 ¡1 Æ zÅ1 2 . ĐốichiếuđápántacóđápánAthỏamãn. Chọnđápán C ä Câu360. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d: ( xÆ1¡2t yÆ¡2Å4t zÆ1 . Đường thẳng d có một véc-tơchỉphươnglà A. #  u 4 Æ(¡2;4;1). B. #  u 1 Æ(2;4;0). C. #  u 2 Æ(1;¡2;0). D. #  u 3 Æ(1;¡2;1). -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;4;0)nêncómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u 2 Æ(1;¡2;0). Chọnđápán C ä Câu361. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng¢: x¡1 1 Æ y¡2 3 Æ z¡3 ¡1 .Gọi¢ 0 làđường thẳngđối xứngvớiđường thẳng¢qua (Oxy). Tìmmộtvéc-tơ chỉphươngcủa đường thẳng¢ 0 . A. #  uÆ(¡1;3;¡1). B. #  uÆ(1;2;¡1). C. #  uÆ(1;3;0). D. #  uÆ(1;3;1). -Lờigiải. Đườngthẳng¢cắtmặtphẳng (Oxy)tạiđiểm A(4;11;0). Tathấy B(1;2;3)2¢và B 0 (1;2;¡3)làđiểmđốixứngcủađiểm B quamặtphẳng (Oxy). Đường thẳng¢ 0 đi qua các điểm A,B 0 . Ta có #  AB 0 Æ(¡3;¡9;¡3), từ đó suy ra #  uÆ(1;3;1) là một véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng¢ 0 . Chọnđápán D ä Câu362. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;4;5) và mặt phẳng (P): x¡yÅ2z¡3Æ0. Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M lên (P).Tìmtọađộđiểm H. A. H(1;2;2). B. H(2;5;3). C. H(6;7;8). D. H(2;¡3;¡1). -Lờigiải. Vì H làhìnhchiếuvuônggóccủa M lên (P)nên H(3Åt;4¡t;5Å2t). Điểm H thuộcmặtphẳng (P)nêntacóphươngtrình (3Åt)¡(4¡t)Å2(5Å2t)¡3Æ0 , tÆ¡1 , HÆ(2;5;3). Chọnđápán B ä Câu363. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,cho(P): x¡2yÅ2z¡5Æ0, A(¡3;0;1),B(1;¡1;3). Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d qua A,songsongvới (P)saochokhoảngcáchtừ B đến d là lớnnhất. A. xÅ3 1 Æ y ¡1 Æ z¡1 2 . B. xÅ3 3 Æ y ¡2 Æ z¡1 2 . C. x¡1 1 Æ y ¡2 Æ z¡1 2 . D. xÅ3 2 Æ y ¡6 Æ z¡1 ¡7 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 684 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Vì (¡3¡2¢0Å2¢1¡5)(1¡2¢(¡1)Å2¢3¡5)Ç0 nên hai điểm A,B khácphíasovới (P). Gọi H làhìnhchiếucủa B lên d. Ta có: BH·BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khivàchỉkhi H trùng A. Khiđó AB?d. VTPTcủa (P)là #  nÆ(1;¡2;2), #  ABÆ(4;¡1;2). VTCPcủa d là #  uÆ h #  n, #  AB i Æ(¡2;6;7). Mà d qua A(¡3;0;1) nên phương trình đường thẳng d là: xÅ3 2 Æ y ¡6 Æ z¡1 ¡7 . d H A B P Chọnđápán D ä Câu364. Trongkhônggian Oxyz chohaimặtphẳng (P): ¡x¡2yÅ5z¡2017Æ0, (Q): 2x¡yÅ 3zÅ2018Æ0. Gọi¢ là giao tuyến của (P) và (Q). Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ chỉ phương củađườngthẳng¢? A. #  u(¡1;3;5). B. #  u(¡1;13;15). C. #  u(1;13;5). D. #  u(¡1;13;5). -Lờigiải. (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n P Æ(¡1;¡2;5). (Q)cóvéc-tơpháptuyến #  n Q Æ(2;¡1;3). Suyra £ #  n P , #  n Q ¤ Æ(¡1;13;5)6Æ #  0. Vậy¢cóvéc-tơchỉphươnglà #  u ¢ Æ £ #  n P , #  n Q ¤ Æ(¡1;13;5). Chọnđápán D ä Câu365. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: ( xÆ2Åt yÆ¡3Å2t zÆ1Å3t t2R. Gọi d 0 là hình chiếu vuônggóccủa d trênmặtphẳngtọađộOxz.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d 0 . A. ( xÆ2Åt yÆ3¡2t zÆ1Å3t (t2R). B. ( xÆ0 yÆ¡3Å2t zÆ1Å3t (t2R). C. ( xÆ2Åt yÆ¡3Å2t zÆ0 (t2R). D. ( xÆ2Åt yÆ0 zÆ1Å3t (t2R). -Lờigiải. d điqua M(2;¡3;1)vàcóvéc-tơchỉphương #  uÆ(1;2;3). Mặtphẳng (Oxz)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ(0;1;0)vàcóphươngtrình yÆ0. Suyra £ #  u, #  n ¤ Æ(¡3;0;1). Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa M trênOxz)H(2;0;1). Suy ra d 0 là đường thẳng qua H(2;0;1) và nhận véc-tơ #  u 0 Æ £ #  n, £ #  u, #  n ¤¤ Æ(1;0;3) làm véc-tơ chỉ phương. Vậyphươngtrìnhcủa d 0 : ( xÆ2Åt yÆ0 zÆ1Å3t (t2R). Chọnđápán D ä Câu366. Trongkhônggian Oxyz,chohaiđiểm A(1;0;1),B(¡1;2;1).Viếtphươngtrìnhđường thẳng¢ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). A. ¢: ( xÆt yÆ1Åt zÆ1¡t . B. ¢: ( xÆt yÆ1Åt zÆ1Åt . C. ¢: ( xÆ3Åt yÆ4Åt zÆ1¡t . D. ¢: ( xÆ¡1Åt yÆt zÆ3¡t . -Lờigiải. TamgiácOABvuôngtạiOnêntâmđườngtrònngoạitiếplàtrungđiểm ABcótọađộ I(0;1;1). Mặtphẳng (OAB)cóvéc-tơpháptuyến #  nÆ h #  OA, #  OB i Æ(¡2;¡2;2). Th.sNguyễnChínEm 685 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Suy ra đường thẳng¢ có #  u Æ(1;1;¡1) và đi qua I(0;1;1). Vậy phương trình đường thẳng¢ là ¢: ( xÆt yÆ1Åt zÆ1¡t . Chọnđápán A ä Câu367. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ2Å2t yÆ1Åt zÆ4¡t . Mặt phẳngđiqua A(2;¡1;1)vàvuônggócvớiđườngthẳng d cóphươngtrìnhlà A. 2xÅy¡z¡2Æ0. B. xÅ3y¡2z¡3Æ0. C. x¡3y¡2zÅ3Æ0. D. xÅ3y¡2z¡5Æ0. -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủađườngthẳng (d)là #  uÆ(2;1;¡1). Mặtphẳng (P)điqua A(2;¡1;1)nhận #  u làvéc-tơpháptuyếncóphươngtrình 2(x¡2)Å1(yÅ1)¡1(z¡1)Æ0,2xÅy¡z¡2Æ0. Chọnđápán A ä Câu368. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 Åy 2 Åz 2 ¡4x¡2yÅ4zÆ0 vàmặtphẳng(P): xÅ2y¡2zÅ1Æ0.Gọi(Q)làmặtphẳngsongsongvới(P)vàtiếpxúcvớimặt cầu (S).Phươngtrìnhcủamặtphẳng (Q)là A. (Q):xÅ2y¡2z¡17Æ0. B. (Q):2xÅ2y¡2zÅ19Æ0. C. (Q):xÅ2y¡2z¡35Æ0. D. (Q):xÅ2y¡2zÅ1Æ0. -Lờigiải. Tagọi I và R lầnlượtlàtâmvàbánkínhmặtcầu (S).Khiđó I(2;1;¡2)và RÆ3. Mặtphẳng (Q)Ò(P)nên (Q)códạng xÅ2y¡2zÅdÆ0. Vì(Q)tiếpxúcvớimặtcầu(S)nên d(I,(Q))ÆR,suyra j2Å2Å4Ådj p 1Å2 2 Å(¡2) 2 Æ3)dÆ1(loạivìtrùng mặtphẳng (P))hoặc dÆ¡17. Vậy (Q):xÅ2y¡2z¡17Æ0. Chọnđápán A ä Câu369. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2xÅy¡z¡3Æ0 và (Q):xÅyÅz¡1Æ0.Phươngtrìnhchínhtắcđườngthẳnggiaotuyếncủahaimặtphẳng (P)và (Q)là A. xÅ1 ¡2 Æ y¡2 ¡3 Æ z¡1 1 . B. x 2 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ1 1 . C. x¡1 2 Æ yÅ2 3 Æ zÅ1 1 . D. x 2 Æ yÅ2 ¡3 Æ z¡1 ¡1 . -Lờigiải. Xét hệ phương trình ½ 2xÅy¡z¡3Æ0 xÅyÅz¡1Æ0 , n x¡2z¡2Æ0 xÅyÅz¡1Æ0 , n xÆ2zÅ2 yÆ¡3z¡1 . Đặt zÆ t ta suy ra xÆ2tÅ2,yÆ¡3t¡1.Từđótathuđượcphươngtrìnhđườngthẳngd: x¡2 2 Æ yÅ1 ¡3 Æ z 1 .Xétđiểm A(2;¡1;0)2d,tathấy A chỉthuộcđườngthẳng x 2 Æ y¡2 ¡3 Æ zÅ1 1 . Chọnđápán B ä Câu370. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc-tơ #  a Æ(¡1;1;0), #  b Æ(1;1;0), #  c Æ (1;1;1).Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. #  a. #  c Æ1. B. #  a và #  b cùngphương. C. cos ³ #  b, #  c ´ Æ 2 p 6 . D. #  aÅ #  bÅ #  c Æ #  0. -Lờigiải. Tacó cos ³ #  b, #  c ´ Æ ¯ ¯ ¯ #  b. #  c ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #  b ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ #  c ¯ ¯ Æ 2 p 6 . Chọnđápán C ä Câu371. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d 1 : ( xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ3Å4t và đường Th.sNguyễnChínEm 686 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 thẳng d 2 : 8 < : xÆ3Å4t 0 yÆ5Å6t 0 zÆ7Å8t 0 .Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. d 1 Òd 2 . B. d 1 và d 2 chéonhau. C. d 1 ´d 2 . D. d 1 ?d 2 . -Lờigiải. Tacócácvéc-tơchỉphương #  u 1 Æ(2;3;4), #  u 2 Æ(4;6;8).Dễdàngnhậnthấy 2 4 Æ 3 6 Æ 4 8 .Dođó #  u 1 và #  u 2 songsong.Lấybấtkìmộtđiểm A(1;2;3)2d 1 ,tathấy A2d 2 .Suyra d 1 và d 2 trùngnhau. Chọnđápán C ä Câu372. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;1;1)vàđườngthẳngd: ( 6¡4t ¡2¡t ¡1Å2t (t2 R).Hìnhchiếucủa A trên d cótọađộlà A. (¡2;3;1). B. (2;¡3;1). C. (2;3;1). D. (2;¡3;¡1). -Lờigiải. GọiH(6¡4t;¡2¡t;¡1Å2t)làhìnhchiếucủa Alênđườngthẳngd.Tacó #  AHÆ(5¡4t;¡3¡t;¡2Å2t) và #  u d Æ(4,1,¡2).Do AH?d nên #  AH. #  u d Æ0 ,4(5¡4t)Å1(¡3¡t)¡2(¡2Å2t)Æ0 ,tÆ1.Vậytọađộđiểm H là H(2;¡3;1). Chọnđápán B ä Câu373. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng (P)cóphươngtrình (P): ¡xÅ 3z¡2Æ0.Tìmđápánđúng A. (P)ÒOy. B. (P)ÒxOz. C. (P)¾Oy. D. (P)ÒOx. -Lờigiải. Tacó #  n P Æ(¡1;0;3), #  u Oy Æ(0;1;0).Dễcótíchvôhướng #  n P . #  u Oy Æ0.Suyra (P)ÒOy. Chọnđápán A ä Câu374. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyzchođườngthẳngd: ( xÆ1¡3t yÆ2t zÆ¡2¡mt vàmặtphẳng (P): 2x¡y¡2z¡6Æ0.Giátrịcủa mđể d½(P)là A. mÆ4. B. mÆ¡4. C. mÆ2. D. mÆ¡2. -Lờigiải. Để d½(P)thìphươngtrình 2(1¡3t)¡(2t)¡2(¡2¡mt)¡6Æ0đúngvới8t2R. ,t(¡8Å2m)Æ0đúngvới8t2R. ,mÆ4. Chọnđápán A ä Câu375. TrongkhônggiantọađộOxyz,chohaiđườngthẳng(d 1 ): ( xÆ2¡2t yÆ3 zÆt và(d 2 ): x¡2 1 Æ y¡1 ¡1 Æ z 2 .Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. (d 1 )và (d 2 )cắtnhau. B. (d 1 )và (d 2 )songsongvớinhau. C. (d 1 )và (d 2 )chéonhauvàvuônggócvớinhau. D. (d 1 )và (d 2 )chéonhauvàkhôngvuônggócvớinhau. -Lờigiải. Các véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng đã cho là #  u 1 (¡2;0;1), #  u 2 (1;¡1;2) và dễ thấy chúng vuônggócvớinhau. Chọnđápán C ä Câu376. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ¢: x¡1 ¡2 Æ yÅ1 2 Æ z¡2 ¡1 và mặt phẳng (P): 2x¡y¡2zÅ1Æ0. Gọi ® là góc giữa đường thẳng¢ và mặt phẳng (P). Khẳng định nàosauđâyđúng? A. cos®Æ 4 9 . B. cos®Æ¡ 4 9 . C. sin®Æ 4 9 . D. sin®Æ¡ 4 9 . -Lờigiải. Th.sNguyễnChínEm 687 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 ¢cómộtvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(¡2;2;¡1), (P)cómộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;¡1;¡2).Từ đó, sin®Æ ¯ ¯ cos( #  u, #  n) ¯ ¯ Æ ¯ ¯ ¯ ¯ #  u¢ #  n j #  ujj #  nj ¯ ¯ ¯ ¯ Æ 4 9 . Chọnđápán C ä Câu377. Trongkhônggiantọađộ Oxyz,chođiểm A(1;0;0)vàđườngthẳng d: x¡1 2 Æ yÅ2 1 Æ z¡1 2 .Viếtphươngtrìnhmặtphẳng (P)chứađiểm A vàđườngthẳng d. A. (P): 5xÅ2yÅ4z¡5Æ0. B. (P): 2xÅyÅ2z¡1Æ0. C. (P): 2xÅ2yÅz¡2Æ0. D. (P): 5x¡2y¡4z¡5Æ0. -Lờigiải. dđiquađiểm M(1;¡2;1)vàcómộtvéc-tơchỉphươnglà #  u(2;1;2).Do(P)chứa Avà dnên(P)có mộtvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ h #  AM, #  u i Æ(¡5;2;4).Suyraphươngtrìnhcủa(P)là5x¡2y¡4z¡5Æ 0. Chọnđápán D ä Câu378. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ¢: x¡1 ¡2 Æ yÅ1 1 Æ z¡2 3 và mặt phẳng (®): 4x¡2y¡6zÅ5Æ0.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. ¢songsongvới (®). B. ¢nằmtrên (®). C. ¢vuônggócvới (®). D. ¢cắtvàkhôngvuônggócvới (®). -Lờigiải. ¢ có một véc-tơ chỉ phương là #  u Æ(¡2;1;3), (®) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n Æ(2;¡1;¡3). Dễ thấy #  uÆ¡ #  n nên¢vuônggócvới (®). Chọnđápán C ä Câu379. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ z ¡2 và hai điểm A(2;1;0),B(¡2;3;2).Viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)cótâmthuộc dvàđiquahaiđiểm A,B. A. (S): (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ17. B. (S): (x¡1) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ17. C. (S): (x¡3) 2 Å(y¡1) 2 Å(zÅ2) 2 Æ5. D. (S): (xÅ3) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ33. -Lờigiải. Gọitâmmặtcầulà I(1Å2t;t;¡2t).Từ IAÆIB tasuyra (2t¡1) 2 Å(t¡1) 2 Å(¡2t) 2 Æ(2tÅ3) 2 Å(t¡3) 2 Å(¡2t¡2) 2 ,tÆ¡1. Suyra I(¡1;¡1;2)và AI 2 Æ17.Vậymặtcầucầntìmlà (S): (xÅ1) 2 Å(yÅ1) 2 Å(z¡2) 2 Æ17. Chọnđápán A ä Câu380. TrongkhônggiantọađộOxyz,tìmtọađộđiểm M 0 đốixứngvớiđiểm M(1;4;¡2)qua đườngthẳng (d): ( xÆ1Å2t, yÆ¡1¡t, zÆ2t. A. M 0 (¡1;0;¡2). B. M 0 (¡3;¡4;¡2). C. M 0 (3;¡2;2). D. M 0 (5;¡8;6). -Lờigiải. GọiHlàhìnhchiếucủaMlên(d)thìHchínhlàtrungđiểmcủaMM 0 .VìHthuộc(d)nêntọađộ H códạng H(1Å2t;¡1¡t;2t).Từ MH?(d)tasuyra tÆ¡1.Dođó, H(¡1;0;¡2)và M 0 (¡3;¡4;¡2). Chọnđápán B ä Câu381. Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A(1;2;¡1)vàvuônggócvớimặtphẳng (P): xÅ2y¡3zÅ1Æ0. A. d: xÅ1 1 Æ yÅ2 ¡2 Æ z¡1 ¡3 . B. d: xÅ1 1 Æ yÅ2 2 Æ z¡1 ¡3 . C. d: x¡1 1 Æ y¡2 2 Æ zÅ1 3 . D. d: x¡1 ¡1 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ1 3 . -Lờigiải. d đi qua A(1;2;¡1) và nhận véc-tơ pháp tuyến của (P) làm véc-tơ chỉ phương nên có phương trìnhlà x¡1 ¡1 Æ y¡2 ¡2 Æ zÅ1 3 . Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 688 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu382. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3xÅ5y¡z¡2Æ 0 và đường thẳng d: x¡12 4 Æ y¡9 3 Æ z¡1 1 .Tọađộgiaođiểm M của d và (P)là A. M(0;0;¡2). B. M(0;2;0). C. M(4;3;¡1). D. M(1;0;1). -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng d: ( xÆ12Å4t yÆ9Å3t zÆ1Åt . Tọađộgiaođiểm M của d và (P)lànghiệmcủahệ 8 > < > : xÆ12Å4t yÆ9Å3t zÆ1Åt 3xÅ5y¡z¡2Æ0 )3(12Å4t)Å5(9Å3t)¡(1Åt)¡2Æ0,26tÆ¡78,tÆ¡3 ) ( xÆ0 yÆ0 zÆ¡2. Vậytọađộđiểm M(0;0;¡2). Chọnđápán A ä Câu383. TrongkhônggianOxyz,phươngtrìnhcủađườngthẳng d điquađiểm A(1;2;¡5)và vuônggócvớimặtphẳng (P): 2xÅ3y¡4zÅ5Æ0là A. ( xÆ2Åt yÆ3Å2t zÆ¡4¡5t . B. ( xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ¡5Å4t . C. ( xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ¡5¡4t . D. ( xÆ2Åt yÆ3Å2t zÆ4Å5t . -Lờigiải. Đườngthẳng d vuônggócvớimặtphẳng (P)nênnhậnvéctơpháptuyếncủa (P)làmvéctơchỉ phương.Dođóphươngtrìnhcủa d là ( xÆ1Å2t yÆ2Å3t zÆ¡5¡4t. Chọnđápán C ä Câu384. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ yÅ2 ¡1 Æ zÅ1 1 . Trong các mặt phẳngdướiđâymặtphẳngnàovuônggócvớiđườngthẳng d? A. 4x¡2yÅ2zÅ4Æ0. B. 4xÅ2yÅ2zÅ4Æ0. C. 2x¡2yÅ2zÅ4Æ0. D. 4x¡2y¡2z¡4Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvec-tơchỉphương #  uÆ(2;¡1;1). Xétmặtphẳng 4x¡2yÅ2zÅ4Æ0cóvec-tơpháptuyến #  nÆ(4;¡2;2)) #  nÆ2 #  v. )d vuônggócvớimặtphẳngcóphươngtrình 4x¡2yÅ2zÅ4Æ0. Chọnđápán A ä Câu385. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡12 4 Æ y¡9 3 Æ z¡1 1 và mặt phẳng (P): 3xÅ5y¡z¡2Æ0cắtnhautạiđiểm M(a;b;c)khiđó aÅbÅc cógiátrịlà A. 5. B. ¡2. C. 2. D. 3. -Lờigiải. Tọađộgiaođiểmcủa d và (P)thỏahệ 8 > > > > < > > > > : x¡12 4 Æ y¡9 3 y¡9 3 Æ z¡1 1 3xÅ5y¡z¡2Æ0 , ( 3x¡4yÆ0 y¡3zÆ6 3xÅ5y¡zÆ2 , ( xÆ0 yÆ0 zÆ¡2 )M(0;0;¡2). Khiđó aÅbÅcÆ¡2. Chọnđápán B ä Th.sNguyễnChínEm 689 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu386. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (¢ 1 ): ( xÆ¡3Å2t yÆ1¡t zÆ¡1Å4t và (¢ 2 ): xÅ4 3 Æ yÅ2 2 Æ z¡4 ¡1 .Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A. (¢ 1 )và (¢ 2 )chéonhauvàvuônggócnhau. B. (¢ 1 )cắtvàkhôngvuônggócvới (¢ 2 ). C. (¢ 1 )cắtvàvuônggócvới (¢ 2 ). D. (¢ 1 )và (¢ 2 )songsongvớinhau. -Lờigiải. Phươngtrìnhthamsốcủa (¢ 2 ): 8 < : xÆ¡4Å3t 0 yÆ¡2Å2t 0 zÆ4¡t 0 . Véc-tơchỉphươngcủa (¢ 1 )và (¢ 2 )lầnlượtlà #  u 1 Æ(2;¡1;4)và #  u 2 Æ(3;2;¡1). Do #  u 1 ¢ #  u 2 Æ2¢3Å(¡1)¢2Å4¢(¡1)Æ0nên (¢ 1 )?(¢ 2 ). Xéthệphươngtrình ( ¡3Å2tÆ¡4Å3t 0 1¡tÆ¡2Å2t 0 ¡1Å4tÆ4¡t 0 , ( 2t¡3t 0 Æ¡1 tÅ2t 0 Æ3 4tÅt 0 Æ5 , n tÆ1 t 0 Æ1 . Vậy (¢ 1 )cắtvàvuônggócvới (¢ 2 ). Chọnđápán C ä Câu387. TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chohaiđườngthẳngd 1 ,d 2 lầnlượtcóphương trình d 1 : x¡2 2 Æ y¡2 1 Æ z¡3 3 , d 2 : x¡1 2 Æ y¡2 ¡1 Æ z¡1 4 . Phương trình mặt phẳng cách đều hai đườngthẳng d 1 , d 2 là A. 14x¡4y¡8zÅ3Æ0. B. 14x¡4y¡8z¡1Æ0. C. 14x¡4y¡8zÅ1Æ0. D. 14x¡4y¡8z¡3Æ0. -Lờigiải. Tacó d 1 điqua A(2;2;3),cóVTCP #  u 1 Æ(2;1;3), d 2 điqua B(1;2;1)vàcó #  u 2 Æ(2;¡1;4). Do (P)cáchđều d 1 ,d 2 nên (P)songsongvới d 1 , d 2 ) #  n P Æ £ #  u 1 , #  u 2 ¤ Æ(7;¡2;¡4) PTmặtphẳng (P)códạng: 7x¡2y¡4zÅDÆ0 Do (P)cáchđều d 1 , d 2 suyra d(A,(P))Æd(B,(P)) , j7¢2¡2¢2¡4¢3Ådj p 69 Æ j7¢1¡2¢2¡4¢1Ådj p 69 ,jD¡2jÆjD¡1j,DÆ 3 2 Phươngtrìnhmặtphẳng P: 14x¡4y¡8zÅ3Æ0 Chọnđápán A ä Câu388. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: xÅ1 1 Æ yÅ3 2 Æ zÅ2 2 và điểm A(3;2;0). Điểmđốixứngvớiđiểm A quađườngthẳng d cótọađộlà A. (¡1;0;4). B. (7;1;¡1). C. (2;1;¡2). D. (0;2;¡5). -Lờigiải. Gọi M(¡1Åt;¡3Å2t;¡2Å2t)2d) #  AHÆ(t¡4;2t¡5;2t¡2).Véc-tơchỉphươngcủadlà #  uÆ(1;2;2). Vì #  AH? #  u nên #  AH¢ #  uÆ0,1(t¡4)Å2(2t¡5)Å2(2t¡2)Æ0,tÆ2. Suyra M(1;1;2),gọi A 0 (x;y;z)làđiểmđốixứngcủa A qua d thì ( xÆ2¢1¡3Æ¡1 yÆ2¢1¡2Æ0 zÆ2¢2¡0Æ4. Dođó A 0 (¡1;0;4). Chọnđápán A ä Câu389. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2xÅy¡ 4zÅ1Æ0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng (d). A. ( xÆ1Å5t yÆ2¡6t zÆ3Åt . B. ( xÆt yÆ2t zÆ2Åt . C. ( xÆ1Å3t yÆ2Å2t zÆ3Åt . D. ( xÆ1¡t yÆ2Å6t zÆ3Åt . -Lờigiải. Gọi BÆd\Oz)B(0;0;b)) #  ABÆ(¡1;¡2;b¡3). Th.sNguyễnChínEm 690 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Lạicó dÒ(P)nên #  AB? #  n (P) Æ(2;1;¡4).Dođó #  AB¢ #  n (P) Æ0,¡2¡2¡4bÅ12Æ0,bÆ2. Suyra #  ABÆ(¡1;¡2¡1).Dođó, (d)làđườngthẳngqua B(0;0;2)vànhận #  uÆ(1;2;1)làmvéc-tơ chỉphương.Nên (d)cóphươngtrình ( xÆt yÆ2t zÆ2Åt . Chọnđápán B ä Câu390. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(¡1;1;2) và hai đường thẳng d: x¡2 3 Æ yÅ3 2 Æ z¡1 1 , d 0 : xÅ1 1 Æ y 3 Æ z ¡2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳngđiquađiểm M,cắt d vàvuônggócvới d 0 . A. ( xÆ¡1Å3t yÆ1Åt zÆ2 . B. ( xÆ¡1Å3t yÆ1¡t zÆ2 . C. ( xÆ1Å3t yÆ1¡t zÆ2 . D. ( xÆ¡1¡7t yÆ1Å7t zÆ2Å7t . -Lờigiải. Gọi¢làđườngthẳngđiquađiểm M,cắt d vàvuônggócvới d 0 . Giảsử¢\dÆA)A(2Å3t;¡3Å2t;1Åt). #  AMÆ(3Å3t;¡4Å2t;¡1Åt). ¢?d 0 ) #  AM¢ #  u d 0Æ0,3Å3tÅ3(¡4Å2t)¡2(¡1Åt)Æ0,7tÆ7,tÆ1. )A(5;¡1;2), #  AMÆ(6;¡2;0)Æ2(3;¡1;0). Vậyphươngtrìnhđườngthẳng¢: ( xÆ¡1Å3t yÆ1¡t zÆ2 . Chọnđápán B ä Câu391. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểm A(1;2;3)vàhaimặtphẳng (P): 2xÅ 3yÆ0,(Q): 3xÅ4yÆ0.Đườngthẳngđiqua Avàsongsongvớihaimặtphẳng(P),(Q)cóphương trìnhlà A. ( xÆt yÆ2 zÆ3Åt . B. ( xÆ1 yÆt zÆ3 . C. ( xÆ1Åt yÆ2Åt zÆ3Åt . D. ( xÆ1 yÆ2 zÆt . -Lờigiải. Gọi¢ là đường thẳng cần tìm. Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n 1 Æ(2;3;0) và (Q) có một véc-tơ pháp tuyến là #  n 2 Æ(3;4;0). Ta có £ #  n 1 , #  n 2 ¤ Æ(0;0;2). Khi đó,¢ đi qua điểm A và nhậnvéc-tơ #  uÆ(0;0;1)làmvéc-tơchỉphương.Phươngtrìnhđườngthẳng¢là ( xÆ1 yÆ2 zÆ3Åt ,t2R. Với tÆ¡3thìđiểm B(1;2;0)thuộc¢.Viếtlạiphươngtrìnhđườngthẳng¢: ( xÆ1 yÆ2 zÆt . Chọnđápán D ä Câu392. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi¢ là đường thẳng đi qua điểm M(2;0;¡3) vàvuônggócvớimặtphẳng (®):2x¡3yÅ5zÅ4.Viếtphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng ¢. A. ¢: xÅ2 1 Æ y ¡3 Æ z¡3 5 . B. ¢: xÅ2 2 Æ y ¡3 Æ z¡3 5 . C. ¢: x¡2 2 Æ y 3 Æ zÅ3 5 . D. ¢: x¡2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ3 5 . -Lờigiải. Mặtphẳng (®)cóvéc-tơpháptuyến #  n(2;¡3;5). Đường thẳng ¢ qua M(2;0;¡3) và vuông góc với mặt phẳng (®) nên ¢ có véc-tơ chỉ phương #  u ¢ Æ #  n(2;¡3;5). Từđótacóphươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng¢: x¡2 2 Æ y ¡3 Æ zÅ3 5 . Chọnđápán D ä Th.sNguyễnChínEm 691 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu393. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ( xÆ5Åt yÆ¡2Åt zÆ4Å p 2t ,(t2R) và mặtphẳng(P):x¡yÅ p 2z¡7Æ0.Hãyxácđịnhgócgiữađườngthẳng d vàmặtphẳng(P). A. 90 ± . B. 45 ± . C. 30 ± . D. 60 ± . -Lờigiải. Đườngthẳng d cóvéc-tơchỉphương #  u(1;1; p 2). Mặtphẳng (P)cóvéc-tơpháptuyến #  n(1;¡1; p 2). Gọi'làgócgiữađườngthẳngvàmặtphẳng,khiđótacó sin'Æ j #  u¢ #  nj j #  uj¢j #  nj Æ j1¢1Å1¢(¡1)Å p 2¢ p 2j È 1 2 Å1 2 Å p 2 2 ¢ È 1 2 Å(¡1) 2 Å p 2 2 Æ 1 2 . Từđósuyra'Æ30 ± . Chọnđápán C ä Câu394. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;3), B(1;¡2;1)vàsongsongvớiđườngthẳng d: ( xÆ¡1Åt yÆ2t zÆ¡3¡2t . A. 2xÅyÅ3zÅ19Æ0. B. 10x¡4yÅz¡19Æ0. C. 2xÅyÅ3z¡19Æ0. D. 10x¡4yÅzÅ19Æ0. -Lờigiải. #  ABÆ(¡1;¡3;¡2)và #  u d Æ(1;2;¡2). Do AB nằmtrong (P)và d songsongvới (P)nên #  n (P) Æ h #  AB, #  u d i Æ(10;¡4;1). Từđó (P): 10(x¡2)¡4(y¡1)Å(z¡3)Æ0,10x¡4yÅz¡19Æ0. Chọnđápán B ä Câu395. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng¢: x 1 Æ y¡1 1 Æ z¡2 ¡1 và mặt phẳng(P): xÅ2yÅ2z¡4Æ0.Phươngtrìnhđườngthẳngdnằmtrong(P)saochodcắtvàvuông gócvớiđườngthẳng¢là A. d: ( xÆ¡3Åt yÆ1¡2t zÆ1¡t (t2R). B. d: ( xÆ3t yÆ2Åt zÆ2Å2t (t2R). C. d: ( xÆ¡2¡4t yÆ¡1Å3t zÆ4¡t (t2R). D. d: ( xÆ¡1¡t yÆ3¡3t zÆ3¡2t (t2R). -Lờigiải. Véc-tơchỉphươngcủa d là #  u d Æ[ #  n (P) , #  u ¢ ]Æ(¡4;3;¡1). d điquagiaođiểmcủa¢và (P)là A cótọađộthỏamãnphươngtrìnhcủa¢và (P). Tọađộ A là (¡2;¡1;4).Nên d: ( xÆ¡2¡4t yÆ¡1Å3t zÆ4¡t (t2R). Chọnđápán C ä Câu396. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : ½ xÆ1¡2t yÆ3 zÆ5Å3t . Trong các vec-tơ sau, vec-tơnàolàmộtvec-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  a 1 Æ(1;3;5). B. #  a 2 Æ(2;3;3). C. #  a 3 Æ(¡2;0;3). D. #  a 1 Æ(¡2;3;3). -Lờigiải. Đườngthẳng d: ½ xÆx 0 Åat yÆy 0 Åbt zÆz 0 Åct nhận #  uÆ(a;b;c)làmmộtvec-tơchỉphương. Chọnđápán C ä Câu397. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : xÅ8 4 Æ y¡5 ¡2 Æ z 1 . Khi đó véc-tơ chỉ phươngcủađườngthẳng d cótọađộlà A. (4;¡2;1). B. (4;2;¡1). C. (4;¡2;¡1). D. (4;2;1). -Lờigiải. Tọađộvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d là #  uÆ(4;¡2;1). Th.sNguyễnChínEm 692 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Chọnđápán A ä Câu398. TronghệtọađộOxyz,chođiểm A(2;1;1)vàmặtphẳng(P):2x¡yÅ2zÅ1Æ0.Phương trìnhcủamặtcầutâm A vàtiếpxúcvớimặtphẳng (P)là A. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ9. B. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ2. C. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. D. (x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ36. -Lờigiải. Mặtcầu (S)cóbánkính RÆd(A;(P))Æ j2.2¡1Å2.1Å1j p 2 2 Å(¡1) 2 Å2 2 Æ2vàtâm A(2;1;1) )(S):(x¡2) 2 Å(y¡1) 2 Å(z¡1) 2 Æ4. Chọnđápán C ä Câu399. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡2 ¡1 Æ 1¡y 2 Æ z 1 . Véc-tơ nào dưới đây làvéc-tơchỉphươngcủađườngthẳng d? A. #  mÆ(¡1;2;1). B. #  nÆ(1;2;1). C. #  pÆ(¡1;2;¡1). D. #  qÆ(1;2;¡1). -Lờigiải. d cóvéc-tơchỉphương #  uÆ(¡1;¡2;1)Æ¡ #  q. Chọnđápán D ä Câu400. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song songvớitrụcOycóphươngtrìnhthamsốlà A. d: ( xÆ1Åt yÆ2 zÆ3 ,t2R. B. d: ( xÆ1 yÆ2Å2t zÆ3 ,t2R. C. d: ( xÆ1 yÆ2 zÆ3Åt ,t2R. D. d: ( xÆ1¡t yÆ2Åt zÆ3¡t ,t2R. -Lờigiải. Đườngthẳngqua M(1;2;3)songsongvớitrục Oycóvéc-tơchỉphươnglà #  j Æ(0;1;0)nênnócó phươngtrìnhthamsố d: ( xÆ1 yÆ2Åt zÆ3 ,t2R. Chọnđápán B ä Câu401. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có A(0;0;0), B(2;0;0), C(0;2;0), A 0 (0;0;2).Gócgiữa BC 0 và A 0 C bằng A. 90 ± . B. 60 ± . C. 30 ± . D. 45 ± . -Lờigiải. Từ hình ta có thể suy ra các điểm còn lại của lăng trụ là B 0 (2;0;2),C 0 (0;2;2). Tacó #  BC 0 Æ(¡2;2;2), #  A 0 CÆ(0;2;¡2) Và: #  BC 0 ¢ #  A 0 CÆ0. Vậy BC 0 ?AC 0 B A A 0 B 0 C C 0 Chọnđápán A ä Câu402. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : ( xÆ1¡t yÆ¡2¡2t zÆ1Åt. . Véc-tơ nào dưới đây là véc-tơchỉphươngcủa d? A. #  nÆ(1;¡2;1). B. #  nÆ(1;2;1). C. #  nÆ(¡1;¡2;1). D. #  nÆ(¡1;2;1). -Lờigiải. Từphươngtrìnhthamsố,suyravéc-tơchỉphươnglà #  nÆ(¡1;¡2;1). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 693 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu403. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1;3;2) đến đườngthẳng ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ¡t . A. p 2. B. 2. C. 2 p 2. D. 3. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm M(1;3;2)vàvuônggócvớiđườngthẳng ( xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ¡t là 1¢(x¡1)Å1¢(y¡3)Å(¡1)¢(z¡2)Æ0,xÅy¡z¡2Æ0. Hìnhchiếuvuônggóc H của M trênđườngthẳngđãchocótọađộlànghiệm (x;y;z)củahệ 8 > < > : xÆ1Åt yÆ1Åt zÆ¡t xÅy¡z¡2Æ0 , 8 > < > : xÆ1 yÆ1 zÆ0 tÆ0. Nhưvậy HÆ(1;1;0),dođókhoảngcáchtừđiểm M đếnđườngthẳngđãcholà dÆMHÆ p (1¡1) 2 Å(1¡3) 2 Å(0¡2) 2 Æ2 p 2. Chọnđápán C ä Câu404. TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,viếtphươngtrìnhđườngvuônggócchung củahaiđườngthẳng d: x¡2 2 Æ y¡3 3 Æ zÅ4 ¡5 và d 0 : xÅ1 3 Æ y¡4 ¡2 Æ z¡4 ¡1 . A. x 1 Æ y 1 Æ z¡1 1 . B. x¡2 2 Æ y¡2 3 Æ z¡3 4 . C. x¡2 2 Æ yÅ2 2 Æ z¡3 2 . D. x 2 Æ y¡2 3 Æ z¡3 ¡1 . -Lờigiải. Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương #  u Æ(2;3;¡5), đường thẳng d 0 có véc-tơ chỉ phương #  u 0 Æ (3;¡2;¡1). Gọi ¢ đường vuông góc chung của hai đường thẳng d và d 0 , gọi AÆ(2Å2a;3Å3a;¡4¡5a) và BÆ(¡1Å3b;4¡2b;4¡b)lầnlượtlàgiaođiểmcủa¢với d và d 0 . Ta có #  ABÆ(¡2aÅ3b¡3;¡3a¡2bÅ1;5a¡bÅ8). Vì ¢ đường vuông góc chung của hai đường thẳng d và d 0 nên ½ #  AB? #  u #  AB? #  u 0 , ½ #  AB¢ #  u #  AB¢ #  u 0 , n (¡2aÅ3b¡3)¢2Å(¡3a¡2bÅ1)¢3Å(5a¡bÅ8)¢(¡5)Æ0 (¡2aÅ3b¡3)¢3Å(¡3a¡2bÅ1)¢(¡2)Å(5a¡bÅ8)¢(¡1)Æ0 , n ¡38aÅ5bÆ43 ¡5aÅ14bÆ19 , n aÆ¡1 bÆ1. Như vậy AÆ(0;0;1) và BÆ(2;2;3), nên #  ABÆ(2;2;2). Do đó ¢ có một vé-tơ chỉ phương là #  wÆ (1;1;1),bởivậy¢cóphươngtrìnhlà x 1 Æ y 1 Æ z¡1 1 . Chọnđápán A ä Câu405. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: ( xÆ1Å2t yÆ3¡t zÆ1¡t ,t2R và mặt phẳng (P): xÅ2y¡3zÅ2Æ0. Tìm toạ độ của điểm A là giao điểm của đường thẳng d và mặtphẳng (P). A. A(3;5;3). B. A(1;3;1). C. A(¡3;5;3). D. A(1;2;¡3). -Lờigiải. Vì A làgiaođiểmcủa d và (P)nên A2d)A(1Å2t;3¡t;1¡t). Tiếpđến, A2(P)nên 1Å2tÅ2(3¡t)¡3(1¡t)Å2Æ0,tÆ¡2. Vậy A(¡3;5;3). Chọnđápán C ä Th.sNguyễnChínEm 694 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 Câu406. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (®): x¡2yÆ0. Mệnh đề nào dướiđâyđúng? A. (®)songsongvớimặtphẳng (Oxy). B. (®)songsongvớitrụcOz. C. Oz chứatrongmặtphẳng (®). D. Oychứatrongmặtphẳng (®). -Lờigiải. Tacó (®)códạng AxÅByÆ0,với A, B khác 0nênsuyra (®)chứatrụcOz. Chọnđápán C ä Câu407. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;¡2;3) và hai đường thẳng d 1 : x¡1 2 Æ y ¡1 Æ zÅ3 1 và d 2 : ( xÆ1¡t yÆ2t zÆ1 .Viếtphươngtrìnhđườngthẳng¢điqua A,vuônggócvới d 1 , d 2 . A. ( xÆ1Åt yÆ¡2¡t zÆ3¡t . B. ( xÆ¡2Åt yÆ¡1¡2t zÆ3Å3t . C. ( xÆ1¡t yÆ¡2¡t zÆ3Åt . D. ( xÆ1Å2t yÆ¡2Åt zÆ3¡3t . -Lờigiải. Ta có véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d 1 là #  u d 1 Æ(2;¡1;1), véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d 2 là #  u d 2 Æ(¡1;2;0).Vìđườngthẳng¢vuônggócvới d 1 , d 2 nên #  u ¢ Æ £ #  u d 1 , #  u d 2 ¤ Æ(¡2;¡1;3).Chọn #  u ¢ Æ(2;1;¡3)làvéc-tơchỉphươngcủa¢. Phươngtrìnhđườngthẳngqua A,nhận #  u ¢ làmvéc-tơchỉphươnglà ( xÆ1Å2t yÆ¡2Åt zÆ3¡3t . Chọnđápán D ä Câu408. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;2) và đường thẳng d: x¡6 2 Æ y¡1 1 Æ z¡5 1 .Tìmtọađộđiểm B đốixứngvới A qua d. A. B(¡3;4;¡4). B. B(2;¡1;3). C. B(3;4;¡4). D. B(3;¡4;4). -Lờigiải. Gọi H làhìnhchiếucủa A trên d,khiđó H(6Å2t;1Åt;5Åt)2d) #  AHÆ(5Å2t;t¡1;tÅ3) Tacó #  AH¢ #  u d Æ0,6tÅ12Æ0)tÆ¡2)HÆ(2;¡1;3))BÆ(3;¡4;4)(H trungđiểm AB). Chọnđápán D ä Câu409. Trong khônggian Oxyz, chođiểm M(3;2;¡1) và mặtphẳng (P): xÅz¡2Æ0. Đường thẳngđiqua M vàvuônggócvới (P)cóphươngtrìnhlà A. ( xÆ3Åt yÆ2 zÆ¡1Åt . B. ( xÆ3Åt yÆ2Åt zÆ¡1 . C. ( xÆ3Åt yÆ2t zÆ1¡t . D. ( xÆ3Åt yÆ1Å2t zÆ¡t . -Lờigiải. Do đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên véc-tơ chỉ phương của d là véc-tơ pháp tuyếncủamặtphẳng (P). Từđâytasuyraphươngtrìnhđườngthẳngcầntìm (d): ( xÆ3Åt yÆ2 zÆ¡1Åt . Chọnđápán A ä Câu410. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;0;¡1) và mặt phẳng (P): xÅy¡1Æ0. Đường thẳngđiqua A đồngthờisongsongvới (P)vàmặtphẳng (Oxy)cóphươngtrìnhlà: A. ( xÆ3Åt yÆ2t zÆ1¡t . B. ( xÆ2Åt yÆ¡t zÆ¡1 . C. ( xÆ1Å2t yÆ¡1 zÆ¡t . D. ( xÆ3Åt yÆ1Å2t zÆ¡t . -Lờigiải. Mặtphẳng (Oxy): zÆ0) #  n (Oxy) Æ(0;0;1). Mặtphẳng (P): xÅy¡1Æ0) #  n (P) Æ(1;1;0). Gọiđườngthẳng d điqua A(2;0;¡1)đồngthờisongsongvớihaimặtphẳng (P)và (Oxy). Tacó: ½ d?(P) d?(Oxy) ) ½ #  u d ? #  n (P) #  u d ? #  n (Oxy) Mà £ #  n (P) ; #  n (Oxy) ¤ Æ(1;¡1;0)) #  u d Æ(1;¡1;0). Phương trình đường thẳng d đi qua A(2;0;¡1) và có vec-tơ chỉ phương #  u d Æ(1;¡1;0) có dạng Th.sNguyễnChínEm 695 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương3-Họchọc12 d: ( xÆ2Åt yÆ¡t zÆ¡1 (t2R). Chọnđápán B ä Câu411. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x¡2yÅzÅ5Æ0 và đường thẳng¢ có phươngtrìnhthamsố ( xÆ¡1Åt yÆ2¡t zÆ¡3¡4t .Khoảngcáchgiữađườngthẳng¢vàmặtphẳng (P)là A. ¡ 4 3 . B. 4 3 . C. 2 3 . D. 4 9 . -Lờigiải. Đườngthẳng¢cóvéc-tơchỉphươnglà #  uÆ(1;¡1;¡4)và A(¡1;2;¡3)2d. Mặtphẳng (P): 2x¡2yÅzÅ5Æ0cóvéc-tơpháptuyếnlà #  nÆ(2;¡2;1). Tacó #  u¢ #  nÆ1¢2Å(¡1)¢(¡2)Å1¢(¡4)Æ0và AÝ(P)nên¢Ò(P). Dođó d(¢;(P))Æd(A;(P))Æ j2¢(¡1)¡2¢2Å1¢(¡3)Å5j p 2 2 Å(¡2) 2 Å1 Æ 4 3 . Chọnđápán B ä Câu412. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) và đườngthẳng d: ½ xÆ¡t yÆ2Åt zÆ3Åt .Gọi M(a;b;c)làtọađộgiaođiểmcủa dvàmặtphẳng(ABC).Tổng SÆ2aÅbÅc là: A. 6. B. ¡7. C. 5. D. 11. -Lờigiải. Phươngtrìnhmặtphẳng (ABC): x 1 Å y 2 Å z 3 Æ1,6xÅ3yÅ2z¡6Æ0. Tacó: M(a;b;c)2d) ( aÆ¡t bÆ2Åt cÆ3Åt )M(¡t;2Åt;3Åt). Mặtkhác: M2(ABC))6(¡t)Å3(2Åt)Å2(3Åt)¡6Æ0)tÆ6 ) ( aÆ¡6 bÆ8 cÆ9 )SÆ2aÅbÅcÆ5. Chọnđápán C ä Câu413. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 Æ y¡1 2 Æ z¡4 1 . Trong cácmặtphẳngsauđây,mặtphẳngnàosongsongvớiđườngthẳng d ? A. x¡2yÅz¡2Æ0. B. x¡2yÅzÅ1Æ0. C. 3xÅ2yÅz¡6Æ0. D. 3xÅ2yÅzÅ1Æ0. -Lờigiải. Đườngthẳng d: x 3 Æ y¡1 2 Æ z¡4 1 cómộtVTCPlà #  uÆ(3;2;1). Mặtphẳng (P): x¡2yÅzÅ1Æ0cómộtVTPTlà #  n 1 Æ(1;¡2;1). Khiđó #  u¢ #  n 1 Æ3¢1Å2¢(¡2)Å1¢1Æ0suyra #  u? #  n 1 Mặtkhác,điểm M(0;1;4)2d và 0¡2¢1Å4Å1Æ36Æ0suyra MÝ(P). Vậy dÒ(P).ĐápánB. Chọnđápán B ä Câu414. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(®): 2x¡3y¡z¡5Æ0.Phươngtrìnhnàodưới đâylàphươngtrìnhcủađườngthẳngsongsongvới (®)? A. xÅ1 ¡2 Æ y¡1 3 Æ z 1 . B. xÅ1 2 Æ yÅ1 1 Æ z 1 . C. xÅ1 ¡1 Æ y¡1 ¡1 Æ z 1 . D. xÅ1 2 Æ y¡1 ¡3 Æ z ¡1 . -Lờigiải. Gọi (¢) có vtcp #  u (¢) là đường thẳng cần tìm, và vtpt của mặt phẳng (®) là #  n (®) Æ(2;¡3;¡1). Vì (¢)Ò(®)nêntích #  u (¢) ? #  n (®) hay #  u (¢) ¢ #  n (®) Æ0. KiểmtrađápánCtathấythỏa: #  u (¢) ¢ #  n (®) Æ(¡1)¢2Å(¡1)¢(¡3)Å(1)(¡1)Æ0. Chọnđápán C ä Câu415. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x¡1 2 Æ y 1 Æ zÅ1 ¡3 . Phương trình nào dướiđâylàphươngtrìnhcủađườngthẳngvuônggócvới d? Th.sNguyễnChínEm 696 https://emncischool.wixsite.com/geogebra