Chuyên đề phương trình đường thẳng - lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

Trang 1/42 CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Phương trình đường thẳng: • Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 0 0 00 ;; M x yz và nhận vectơ ( ) 12 3 ;; a aa a =  với 2 22 12 3 0 aa a ++ ≠ làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là : ( ) 01 02 02 ; x x at y y at t z z at = +   =+ ∈   = +   • Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 0 0 00 ;; M x yz và nhận vectơ ( ) 12 3 ;; a aa a =  sao cho 12 3 0 aa a ≠ làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là : 0 00 1 23 x x y y zz aa a − −− = = II. Góc: 1. Góc giữa hai đường thẳng: 1 ∆ có vectơ chỉ phương 1 a  2 ∆ có vectơ chỉ phương 2 a  Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ . Ta có: 12 12 . cos . a a aa =     ϕ 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: ∆ có vectơ chỉ phương a ∆  ( ) α có vectơ chỉ phương n α  Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và () α . Ta có: . sin . an an ∆ ∆ =         α α ϕ III. Khoảng cách: 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : ∆ đi qua điểm 0 M và có vectơ chỉ phương a ∆  ( ) 0 , , a MM dM a ∆ ∆   ∆=      2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 1 ∆ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương 1 a  2 ∆ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương 2 a  ( ) 12 12 12 ,. ,= , a a MN d aa   ∆ ∆        IV. Các dạng toán thường gặp: 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt , AB . Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là AB   . 2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d . Cách giải: Trong trường hợp đặc biệt: Trang 2/42 • Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là ( ) 1;0;0 ai ∆ = =   • Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là ( ) 0;1;0 aj ∆ = =   • Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là ( ) 0;1;0 ak ∆ = =   Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là d aa ∆ =     , với d a  là vectơ chỉ phương của d 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( ) α . Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là an α ∆ =     , với n α  là vectơ pháp tuyến của ( ) α . 4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng 12 , dd (hai đường thẳng không cùng phương). Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là 12 , a aa ∆  =      , với 12 , aa   lần lượt là vectơ chỉ phương của 12 , dd . 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( ) α . Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là , d a an α ∆   =         , với d a  là vectơ chỉ phương của d , n α  là vectơ pháp tuyến của ( ) α . 6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng ( ) ( ) , αβ ; ( ( ) ( ) , αβ là hai mặt phẳng cắt nhau) Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là , a nn α β ∆  =        , với , nn α β     lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( ) ( ) , αβ . 7. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β . Cách giải: • Lấy một điểm bất kì trên ∆ , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý. • Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là , a nn α β ∆  =        , với , nn α β     lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( ) ( ) , αβ . 8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng ( ) 12 1 2 ,, d d Ad Ad ∉∉ . Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là 12 , a nn ∆  =      , với 12 , nn   lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( ) ( ) 12 ,, , mp A d mp A d . 9. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( ) α và cắt hai đường thẳng 12 , dd . Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a AB ∆ =     , với ( ) ( ) 12 , A d B d αα =∩=∩ 10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc và cắt d . Cách giải: • Xác định Bd = ∆∩ . • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua , AB . 11. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc với 1 d và cắt 2 d , với 2 Ad ∉ . Cách giải: Trang 3/42 • Xác định 2 Bd = ∆∩ . • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua , AB . 12. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( ) α . Cách giải: • Xác định Bd = ∆∩ . • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua , AB . 13. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( ) α cắt và vuông góc đường thẳng d . Cách giải: • Xác định ( ) A d α = ∩ . • Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là , d a an α ∆   =         , với d a  là vectơ chỉ phương của d , n α  là vectơ pháp tuyến của ( ) α . 14. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) α , nằm trong ( ) α và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với ( ) α ) . Cách giải: • Xác định ( ) A d α = ∩ . • Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là , d a an α ∆   =         , với d a  là vectơ chỉ phương của d , n α  là vectơ pháp tuyến của ( ) α . 15. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 12 , dd . Cách giải: • Xác định 12 , A dB d = ∆∩ = ∆∩ sao cho 1 2 AB d AB d ⊥   ⊥  • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm , AB . 16. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng 12 , dd . Cách giải: • Xác định 12 , A dB d = ∆∩ = ∆∩ sao cho , d AB a     cùng phương, với d a  là vectơ chỉ phương của d . • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương d aa ∆ =     . 17. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( ) α và cắt cả hai đường thẳng 12 , dd . Cách giải: • Xác định 12 , A dB d = ∆∩ = ∆∩ sao cho , AB n α     cùng phương, với n α  là vectơ pháp tuyến của ( ) α . • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương d an α =     . 18. Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( ) α . Cách giải : Xác định H ∈∆ sao cho d AH a ⊥     ,với d a  là vectơ chỉ phương của d . • Viết phương trình mặt phẳng ( ) β chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( ) α . • Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β 19. Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng ( ) α theo phương ' d . Trang 4/42 Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng ( ) β chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương u d'   . • Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β . B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình. 2. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại. 3. Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số. 4. Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : 22 32 13 xt yt zt = −   = −   = −  và d’: 6 2 ' 3 2 ' 7 9 ' xt yt zt = +   = +   = +  . Xét các mệnh đề sau: (I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương ( ) 2;2;3 a  (II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương ( ) ' 2;2;9 a   (III) a  và ' a   không cùng phương nên d không song song với d’ (IV) Vì ;' . ' 0 a a AA   =            nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận: A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai. B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai. C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai. D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng d có phương trình tham số 2 3 15 xt yt zt = +   = −   =−+  . Phương trình chính tắc của đường thẳng d là? A. 2 1. x yz − = = + B. 21 . 1 35 x yz − + = = − C. 21 . 13 5 x y z +− = = − − D. 21 . 1 35 x yz +− = = − Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc 31 2 31 x yz −+ = = − . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là? A. 32 1 3. xt yt zt = +   =−−   =  B. 23 3. xt yt zt = +   =−−   =  C. 32 13 . x t yt zt =−+   = −   =  D. 32 13 . xt y t zt =−−   = +   =  Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 13 : 2 1 3 x yz d + −− = = − . Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương d a  có tọa độ là: A. ( ) ( ) 2; 1;3 , 2;1;3 . d Ma −= −  B. ( ) ( ) 2; 1; 3 , 2; 1;3 . d M a −− = −  C. ( ) ( ) 2;1;3 , 2; 1;3 . d Ma −=−  D. ( ) ( ) 2; 1;3 , 2; 1; 3 . d Ma − = −−  Trang 5/42 Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 : 23 1 xt dy t zt = −   = +   = +  . Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương d a  có tọa độ là: A. ( ) ( ) 2;2;1 , 1;3;1 . d M a − =  B. ( ) ( ) 1;2;1 , 2;3;1 . d Ma = −  C. ( ) ( ) 2; 2; 1 , 1;3;1 . d Ma −− =  D. ( ) ( ) 1;2;1 , 2; 3;1 . d Ma = −  Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm ( ) 2;3;1 M − và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2;2 a = −  ? A. 2 3 2. 1 2 xt y t zt = +   =−−   =−+  B. 1 2 2 3. 2 xt yt zt = +   =−−   = −  C. 12 2 3. 2 xt yt zt = −   =−+   = +  D. 2 3 2 . 1 2 xt yt zt =−+   = −   = +  Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của đường thẳng đi qua hai điểm ( ) 1; 2;5 A − và ( ) 3;1;1 B ? A. 1 25 . 23 4 xy z −+ − = = − B. 3 11 . 1 25 x yz − −− = = − C. 1 25 . 23 4 xy z + − + = = − D. 1 25 . 31 1 xy z −+ − = = Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 1;3;2 , 2;0;5 , 0; 2;1 A B C −− . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là. A. 1 32 . 2 4 1 xy z −+ + = = −− B. 1 32 . 2 41 xy z −+ + = = − C. 1 32 . 2 41 xy z + − − = = − D. 2 41 . 1 13 x yz − ++ = = − Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( ) 1;4; 1 , 2;4;3 , 2;2; 1 A BC −− . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là A. 1 4. 1 2 x yt zt =   = +   =−+  B. 1 4. 1 2 x yt zt =   = +   = +  C. 1 4. 12 x yt zt =   = +   =−−  D. 1 4. 1 2 x yt zt =   = −   =−+  Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm ( ) 1;3;4 M và song song với trục hoành là. A. 1 3. 4 xt y y = +   =   =  B. 1 3. 4 x yt y =   = +   =  C. 1 3. 4 x y yt =   =   = −  D. 1 3. 4 x y yt =   =   = +  Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : 32 xt d y t zt = −   =   =−+  . Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 3;1; 1 A − và song song với d là A. 3 11 . 21 2 x yz + +− = = − B. 3 11 . 21 2 x yz − −+ = = − C. 2 1 2 . 31 1 x yz + −− = = − D. 2 12 . 31 1 x yz − ++ = = − Trang 6/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 13 : 2 13 x yz d − −− = = − . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 1;3; 4 M − và song song với d là A. 2 1 3. 34 xt yt zt = +   =−+   = −  B. 1 2 3. 43 x t yt zt =−+   =−−   = +  C. 1 2 3. 43 x t yt zt =−+   =−−   = +  D. 1 2 3. 43 xt yt zt = +   = −   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 3 0 P x yz − +− =. Phương trình chính tắc của của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;1;1 M − và vuông góc với ( ) P là A. 2 11 . 2 11 x yz + −− = = − B. 2 11 . 2 11 x yz − −− = = − C. 2 11 . 2 11 x yz + −− = = D. 2 11 . 2 11 x yz + −− = = −− Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 2 30 x yz α − + −=.Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua ( ) 2;1; 5 A − và vuông góc với ( ) α là A. 2 1 2. 52 xt y t zt =−+   =−−   = +  B. 2 1 2. 52 x t yt zt =−−   =−+   = −  C. 2 12 . 52 xt yt zt = +   = −   =− +  D. 1 2 2. 25 xt yt zt = +   =−+   = −  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2; 1;3 A − và vuông góc với mặt phẳng ( ) Oxz là. A. 2 1. 3 x yt z =   = −   =  B. 2 1 . 3 x yt z =   = +   =  C. 2 1 . 3 x y t z =   =−+   =  D 2 1. 3 xt y zt = +   = −   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 2;1; 2 , 4; 1;1 , 0; 3;1 A BC − − − . Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC là A. 2 1 2. 2 xt y t zt = +   =−−   = −  B. 2 1 2. 2 xt y t zt =−+   =−−   = −  C. 2 1 2. 2 xt yt zt = +   = −   = −  D. 2 1 2. 2 xt yt zt = +   = +   =  (ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm ( ) 1;4;2 A và ( ) 1;2;4 B − . Phương trình d đi qua trọng tâm của OAB ∆ và vuông góc với mặt phẳng ( ) OAB là A. 22 . 21 1 xy z −− = = − B. 22 . 21 1 xy z ++ = = − C. 22 . 21 1 xy z −− = = D. 22 . 21 1 xy z ++ = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 0;1;2 , 2; 1; 2 , 2; 3; 3 A B C − −− − − . Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d . A. 2 1 3. 22 x t yt zt =−−   =−−   =−+  B. 2 1 3. 22 xt yt zt =−+   =−+   =−−  C. 26 1 18 . 2 12 x t y t zt =−−   =−−   =−+  D. 2 1 3. 22 x t yt zt =−−   =−−   =−−  Trang 7/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;1; 5 , M − đồng thời vuông góc với hai vectơ ( ) 1;0;1 a =  và ( ) 4;1; 1 b = −  là A. 2 15 . 15 1 x yz − −+ = = − B. 2 15 . 15 1 x yz + +− = = − C. 2 15 . 1 51 x yz + +− = = − − D. 1 51 . 21 5 xy z + − − = = − (ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm ( ) ( ) 1;1;1, 1;2;3 AB −− và đường thẳng 1 23 : 2 1 3 xy z +− − ∆= = − . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ là A. 7 24 . 1 11 x y z − −− = = − B. 1 11 . 7 24 x yz − +− = = C. 1 11 . 7 24 x yz + −+ = = − D. 1 11 . 7 24 x yz + −+ = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 21 : 23 1 x y z d −+ = = − và 2 1 : 32 52 xt dy t zt = +   = −   = −  . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;3; 1 A − và vuông góc với hai đường thẳng 12 , dd là A. 82 13 . 7 xt y t zt =− +   = +   =−−  B. 28 33 . 17 xt y t zt = −   = +   =−−  C. 28 3. 17 x t y t zt =−−   =−+   = −  D. 28 3. 17 xt yt zt =−+   =−−   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 P xy z + + −= và đường thẳng 13 : 2 13 x yz +− ∆== − . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 2; 1;5 B − song song với ( ) P và vuông góc với ∆ là A. 2 15 . 52 4 x yz − +− = = − B. 2 15 . 52 4 x yz + −+ = = − C. 2 15 . 5 24 x yz + −+ = = −− D. 5 24 . 2 15 xy z − ++ = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : 2 2 30 x y z α − + += và ( ) : 3 5 2 1 0 xy z β − − −= . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 1;3; 1 M − , song song với hai mặt phẳng ( ) ( ) , αβ là A. 1 14 3 8. 1 xt y t zt = +   = +   =−+  B. 1 14 3 8 . 1 xt y t zt =−+   = +   =−+  C. 1 3 8. 1 xt y t zt =−+   = +   = +  D. 1 3. 1 xt yt zt =−+   = −   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 2 3 0 xy z α − + −=. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 2; 3; 1 A − − , song song với hai mặt phẳng ( ) ( ) , Oyz α là. A. 2 3. 1 x t y zt = −   = −   =−+  B. 2 3 2. 1 x yt zt =   =−+   =−+  C. 2 3 2. 1 x y t zt =   =−−   =−+  D. 2 2 3. 1 xt yt zt =   = −   = −  Trang 8/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) :3 0 x yz α − += và ( ) : 4 00 x yz β + −+ = = . Phương trình tham số của đường thẳng d là A. 2 . 22 xt yt zt = +   =   = +  B. 2 . 22 xt yt zt = +   =   =−+  C. 2 . 22 x t yt zt = −   = −   =−−  D. 2 . 22 xt yt zt =−+   =   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 1 0 x y z α − − + = và ( ) :2 2 3 4 0 x y z β + − − =. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm (1; 1;0) M − và song song với đường thẳng ∆ là A. 11 . 8 16 x yz −− = = B. 11 . 8 16 x yz + − = = C. 1 1 . 8 16 x yz −+ = = D. 81 . 1 16 x yz −− = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 13 : 2 12 xy z d −+ = = − . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2; 1; 3 , A −− vuông góc với trục Oz và d là A. 2 1 2. 3 x t yt y = −   =−+   = −  B. 2 1 2. 3 x t yt y =−−   = +   =  C. 2 1 2. 3 xt yt y = −   = −   =  D. 2 1 2. 3 x t yt y = −   =−+   = −  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 3 5 4 0 P x yz − + − =. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;1; 3 , A−− song song với ( ) P và vuông góc với trục tung là A. 25 1. 32 xt y yt =−+   =   =−+  B. 25 1. 32 xt y yt =−+   =   =−+  C. 25 1. 32 xt yt yt =−−   = −   =−+  D. 25 1. 32 xt y y t =−+   =   =−−  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 39 Sx y z − + + +− = . Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( ) S , song song với ( ) :2 2 4 0 x y z α + −− = và vuông góc với đường thẳng 1 6 2 : 3 11 x y z + − − ∆= = − là. A. 1 2 5. 38 xt y t zt = −   =−+   = −  B. 1 2 5. 38 xt yt zt =−+   = −   =−−  C. 1 2 5. 38 xt yt zt = −   =−−   = −  D. 1 2 5. 3 8 xt y t zt = −   =−+   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 :1 2 xt dy t zt = +   =−+   = +  . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( ) Oxy có phương trình là. A. 1 2 1 . 0 xt y t z = +   =−+   =  B. 1 2 1. 0 x t y t z =−+   =−+   =  C. 1 2 1. 0 x t yt z =−+   = +   =  D. 0 1. 0 x yt z =   =−−   =  Trang 9/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : 23 3 xt dy t zt = +   =− +   = +  . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( ) Oxz có phương trình là. A. 1 2 0. 3 x t y zt =−+   =   = +  B. 0 0. 3 x y zt =   =   = +  C. 1 2 0. 3 xt y zt = +   =   = +  D. 1 2 0. 3 xt y zt = +   =   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 9 1 :, 4 31 x yz d − −− = = và mặt thẳng ( ):3 5 2 0 P x yz + −− =. Gọi ' d là hình chiếu của d lên ( ). P Phương trình tham số của ' d là A. 62 25 . 2 61 xt yt zt = −   =   = −  B. 62 25 . 2 61 x t yt zt =   = −   = +  C. 62 25 . 2 61 x t yt zt =   = −   =−+  D. 62 25 . 2 61 x t yt zt =   = −   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 1 2 : 24 3 xt dy t zt = +   =−+   = +  . Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng ( ) Oxz theo phương 162 : 1 1 1 xy z + − − ∆ = = − − có phương trình là: A. 32 0. 14 xt y zt = +   =   = −  B. 3 0. 1 2 xt y zt = +   =   = +  C. 12 0 . 54 xt y zt =−−   =   = −  D. 32 0. 1 xt y zt = −   =   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 11 : 13 2 x yz d − −− = = − và 2 13 :2 1 xt dy t zt = −   =− +   =−−  . Phương trình đường thẳng nằm trong ( ) : 2 3 20 x yz α + − − = và cắt hai đường thẳng 12 , dd là: A. 3 21 . 5 11 x y z + −− = = − B. 3 21 . 51 1 x y z + −− = = −− C. 3 21 . 51 1 xy z − ++ = = − − D. 8 3 . 1 34 xy z + − = = − (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 22 : 1 11 xy z + − ∆= = − và mặt phẳng ( ) : 2 3 40 P x y z + − +=. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong ( ) P , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là: A. 13 2 3. 1 xt yt zt = −   =−+   =−+  B. 32 1. 1 x t yt zt =−+   = −   = +  C. 3 3 1 2 . 1 xt yt zt =−−   = +   = +  D. 3 1 2. 1 xt y t zt =− +   = −   = −  (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 23 : 2 11 x yz d − + − = = − và 2 1 11 : 12 1 x yz d − −+ = = − . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 1;2;3 A vuông góc với 1 d và cắt 2 d là: Trang 10/42 A. 1 23 . 1 35 xy z −− − = = −− B. 1 23 . 1 35 xy z −+ + = = −− C. 1 2 3 . 1 3 5 x y z + + + = = − D. 1 35 . 1 23 xy z − + + = = −− (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 32 :1 14 xt dy t zt =−+   = −   =−+  . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm ( ) 4; 2;4 A −− , cắt và vuông góc với d là: A. 3 21 4 24 xy z − −+ = = −− B. 4 24 32 1 x yz − −+ = = − C. 4 24 3 2 1 x yz − −+ = = −− D. 4 24 32 1 x yz + + − = = − (ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 1 33 : 12 1 xy z d − +− = = − và mặt phẳng ( ) :2 2 9 0 P xy z + − + =. Gọi A là giao điểm của d và ( ) P . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong ( ) P , đi qua điểm A và vuông góc với d là: A. 1 1. 4 x yt zt =   =−+   =− +  B. 1. xt y zt =   = −   =  C. 1. 4 xt y zt =   = −   = +  D. 1 1. xt y zt = +   =   =  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm ( ) 1;2; 1 A − và đường thẳng 33 : 1 32 x yz d −− = = . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng ( ) : 30 Q x yz + −+ = là: A. 1 21 . 1 21 xy z −− + = = −− B. 1 21 . 1 21 x y z + + − = = C. 1 21 . 12 1 x y z + + − = = − D. 1 21 . 12 1 xy z −− + = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 21 : 3 12 xy z +− − ∆= = và 2 11 : 1 23 x y z −+ ∆ == . Phương trình đường thẳng song song với 3 :1 4 x dy t zt =   =−+   = +  và cắt hai đường thẳng 12 ; ∆ ∆ là: A. 2 3. 3 x yt zt =   = −   = −  B. 2 3. 3 x yt zt = −   =− −   =− −  C. 2 3. 3 x yt z t = −   =− +   =− +  D. 2 3. 3 x yt zt =   =− +   = +  (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 21 1 xy z d −+ = = − và 2 12 :1 3 xt dy t z =−+   = +   =  . Phương trình đường thẳng vuông góc với ( ) :7 4 0 P xy z +− = và cắt hai đường thẳng 12 , dd là: Trang 11/42 A. 74 . 2 11 x yz − + = = B. 21 . 71 4 x yz −+ = = − C. 21 . 7 14 x y z +− = = − − D. 21 . 7 14 x y z −+ = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : 1 21 xy z d −− = = − . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;3; 1 A − cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) : 1 0 x yz α + + −= bằng 23 . A. 3 62 . 13 1 x yz − −+ = = − B. 74 . 2 11 x yz − + = = C. 3 62 . 2 32 xy z − −+ = = −− D. 3 6 2 5 95 x yz + + − = = −− và 3 62 . 13 1 x yz − −+ = = − Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;2;1 A − cắt trục tung tại B sao cho 2. OB OA = A. 6 . 2 81 xy z + = = −− B. 6 . 24 1 xy z − = = − C. 3 6 2 . 5 93 x yz + + − = = −− D. 6 24 1 xy z − = = − và 6 . 2 81 xy z + = = −− Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 1;1;2 B cắt đường thẳng 2 31 : 1 21 x y z d − −+ = = − tại C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 83 2 . A. 1 12 . 3 21 x yz − −− = = − − B. 6 . 24 1 xy z − = = − C. 1 12 3 21 x yz − −− = = − − và 11 2 . 31 78 109 xy z − − − = = − D. 11 2 . 31 78 109 xy z − − − = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 12 : 1 11 x yz d − −− = = −− và 2 :3 2 xt dy zt =   =   =− +  . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 12 , dd là. A. 2 1 2. 2 xt yt zt = +   = +   = −  B. 3 3 2. 1 xt yt zt = +   = −   = −  C. 23 1 2. 25 xt yt zt = +   = −   = −  D. 3 3. 1 xt y zt = +   =   = −  (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : , 21 1 x y z d +− = = mặt phẳng ( ) : 2 50 P xy z + − += và ( ) 1; 1;2 A − . Đường thẳng ∆ cắt d và ( ) P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là. Trang 12/42 A. 1 1 2 . 23 2 x yz − +− = = B. 11 2 . 23 2 x yz + −+ = = C. 1 42 . 23 2 xy z + + + = = − D. 2 32 . 1 12 x yz − −− = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 11 : , 12 1 x yz d − −− = = − mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 3 1 29 Sx y z − + + ++ = và ( ) 1; 2;1 A − . Đường thẳng ∆ cắt d và ( ) S lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là A. 1 21 25 1 xy z −+ − = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z + − + = = − B. 1 21 25 1 xy z +− + = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z −+ − = = − C. 1 21 25 1 xy z −+ − = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z −+ − = = − D. 1 21 25 1 xy z +− + = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z + − + = = − (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 2 50 P x y z − + −= và hai điểm ( ) ( ) 3;0;1, 1; 1;3. AB −− Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( ) P , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. A. 31 . 26 11 2 x yz + − = = − B. 2 13 . 26 11 2 x yz − +− = = − C. 31 . 26 11 2 x yz −+ = = − D. 2 13 . 26 11 2 x yz + −+ = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 3 21 : 21 1 xy z d − ++ = = − , mặt phẳng ( ) : 20 P x yz + ++ = . Gọi M là giao điểm của d và ( ) P . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong ( ) P vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là. A. 5 2 5 2 31 xy z − ++ = = − và 3 45 . 2 31 xy z + +− = = − B. 5 25 . 2 31 xy z − ++ = = − C. 3 45 . 2 31 xy z + +− = = − D. 3 45 2 31 x y z + +− = = và 3 45 . 2 31 xy z + +− = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm ( ) 1;1;2 I , hai đường thẳng 1 3 : 12 4 xt yt z = +   ∆ =−+   =  và 2 22 : 1 12 x yz +− ∆== . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng 12 , ∆ ∆ là. A. 11 2 . 1 11 x yz − −− = = − B. 1 2 1. 2 xt yt zt = +   = −   = +  Trang 13/42 C. 11 2 . 11 1 x yz − −− = = − D. 1 2 1. 2 xt yt zt = +   = +   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 1 : 2 11 x yz d −+ = = , 2 12 : 1 21 xy z d −− = = và mặt phẳng ( ) : 2 30 P xy z + − +=. Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( ) P và cắt 12 , dd lần lượt tại hai điểm , AB sao cho 29 AB = . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là A. ∆ : 34 2 13 xt yt zt = +   =   = +  hoặc ∆ : 1 2 2 4. 13 x t yt zt =−+   =−+   =−+  B. ∆ : 34 2. 13 xt yt zt = +   =   = +  C. ∆ : 34 2. 13 xt yt zt = +   = −   = +  D. ∆ : 1 2 2 4. 13 x t yt zt =−+   =−+   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 21 1 x yz d − + = = − và 2 1 2 2 : 13 2 xy z d −+ − = = − . Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( ) : 70 P xy z + +− = và cắt 12 , dd lần lượt tại hai điểm , AB sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là. A. 12 5. 9 xt y zt = −   =   =−+  B. 6 5 . 2 9 2 xt y zt   = −   =    = −+   C. 6 5 . 2 9 2 x y t zt   =   = −    = −+   D. 62 5 . 2 9 2 x t yt zt   = −   = +    = −+   Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 1 21 xy z ++ ∆= = và 2 2 11 : 2 11 x yz − −− ∆== . Đường thẳng d song song với ( ) : 2 50 P xy z + − += và cắt hai đường thẳng 12 ; ∆ ∆ lần lượt tại , AB sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 1 2 2. xy z −= − = − B. 1 22 . 21 1 xy z −− − = = C. 1 2 2. xy z += + = + D. 1 22 . 21 1 xy z + + + = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 22 : , 2 11 x y z d −+ = = mặt phẳng ( ) :2 5 0 P x yz − −+ = và ( ) 1; 1;0 M − . Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt d và tạo với ( ) P một góc 0 30 . Phương trình đường thẳng ∆ là. A. 22 11 2 x y z + − = = − và 4 35 . 5 25 x yz + ++ = = B. 22 11 2 x y z −+ = = − và 4 35 . 5 25 x yz − −− = = C. 1 1 1 12 xy z −+ = = − và 1 1 . 23 14 1 xy z −+ = = − Trang 14/42 D. 22 11 2 x y z + − = = − và 4 35 . 5 25 x yz − −− = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua ( ) 3; 1;1 A − , nằm trong mặt phẳng ( ) : 50 P x yz − +− =, đồng thời tạo với 2 : 1 22 xy z − ∆ = = một góc 0 45 . Phương trình đường thẳng d là A. 37 1 8. 1 15 xt yt zt = +   =−−   =−−  B. 3 1. 1 xt yt z = +   =−−   =  C. 37 1 8. 1 15 xt yt zt = +   =−−   = −  D. 3 1 1 xt yt z = +   =−−   =  và 37 1 8. 1 15 xt yt zt = +   =−−   = −  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua điểm ( ) 1; 1;2 A − , song song với ( ) :2 3 0 P x y z − −+ =, đồng thời tạo với đường thẳng 11 : 1 22 x y z + − ∆= = − một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là. A. 1 1 2 . 1 57 x yz − +− = = − B. 1 1 2 . 4 5 7 x yz − ++ = = − C. 1 1 2 . 45 7 x yz − +− = = D. 1 1 2 . 1 57 x yz − +− = = −− Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua ( ) 1;0; 1 A− − , cắt 1 1 22 : 21 1 xy z −− + ∆ = = − , sao cho góc giữa d và 2 3 23 : 12 2 xy z − −+ ∆= = − là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 11 . 22 1 x y z ++ = = − B. 11 . 45 2 x y z ++ = = − C. 11 . 4 52 x yz ++ = = −− D. 11 . 2 21 x y z ++ = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho ba đường thẳng 1 : 4 12 xt dy t zt =   = −   =−+  2 2 : 1 33 xy z d − = = − − và 2 1 1 1 : 5 21 x y z d + −+ = = . Gọi ∆ là đường thẳng cắt 12 3 , , dd d lần lượt tại các điểm ,, ABC sao cho AB BC = . Phương trình đường thẳng ∆ là A. 22 . 1 11 x y z − − = = B. 2 . 1 11 xy z − = = C. 31 . 11 1 xy z −− = = − D. 31 . 1 11 xy z −− = = − Trang 15/42 D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A A B II –HƯỚNG DẪN GIẢI Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : 22 32 13 xt yt zt = −   = −   = −  và d’: 6 2 ' 3 2 ' 7 9 ' xt yt zt = +   = +   = +  . Xét các mệnh đề sau: (V) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương ( ) 2;2;3 a  (VI) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương ( ) ' 2;2;9 a   (VII) a  và ' a   không cùng phương nên d không song song với d’ (VIII) Vì ;' . ' 0 a a AA   =            nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận: A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai. B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai. C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai. D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng d có phương trình tham số 2 3 15 xt yt zt = +   = −   =−+  . Phương trình chính tắc của đường thẳng d là? A. 2 1. x yz − = = + B. 21 . 1 35 x yz − + = = − C. 21 . 13 5 x y z +− = = − − D. 21 . 1 35 x yz +− = = − Hướng dẫn giải Cách 1: d đi qua điểm ( ) 2;0; 1 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 3;5 d a = −  Vậy phương trình chính tắc của d là 21 1 35 x yz −+ = = − Cách 2: 2 2 3 3 15 1 5 xt xt y yt t zt z t   − = = +    = − ⇔ =  −  =−+  +  =   Vậy phương trình chính tắc của d là 21 1 35 x yz −+ = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc 31 2 31 x yz −+ = = − . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là? Trang 16/42 A. 32 1 3. xt yt zt = +   =−−   =  B. 23 3. xt yt zt = +   =−−   =  C. 32 13 . x t yt zt =−+   = −   =  D. 32 13 . xt y t zt =−−   = +   =  Hướng dẫn giải Cách 1: ∆ đi qua điểm ( ) 3; 1;0 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 2; 3;1 a ∆ = −  Vậy phương trình tham số của ∆ là 32 13 xt yt zt = +   =−−   =  Cách 2: 3 2 31 1 2 31 3 1 x t x yz y tt z t −  =   −+ +  ===⇔=  −−   =   Vậy phương trình tham số của ∆ là 32 13 xt yt zt = +   =−−   =  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 13 : 2 1 3 x yz d + −− = = − . Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương d a  có tọa độ là: A. ( ) ( ) 2; 1;3 , 2;1;3 . d Ma −= −  B. ( ) ( ) 2; 1; 3 , 2; 1;3 . d M a −− = −  C. ( ) ( ) 2;1;3 , 2; 1;3 . d Ma −=−  D. ( ) ( ) 2; 1;3 , 2; 1; 3 . d Ma − = −−  Hướng dẫn giải d đi qua điểm ( ) 2;1;3 M − và có vectơ chỉ phương ( ) 2; 1;3 d a = −  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 : 23 1 xt dy t zt = −   = +   = +  . Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương d a  có tọa độ là: A. ( ) ( ) 2;2;1 , 1;3;1 . d M a − =  B. ( ) ( ) 1;2;1 , 2;3;1 . d Ma = −  C. ( ) ( ) 2; 2; 1 , 1;3;1 . d Ma −− =  D. ( ) ( ) 1;2;1 , 2; 3;1 . d Ma = −  Hướng dẫn giải d đi qua ( ) 2;2;1 M − và có vectơ chỉ phương ( ) 1;3;1 d a =  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm ( ) 2;3;1 M − và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2;2 a = −  ? A. 2 3 2. 1 2 xt y t zt = +   =−−   =−+  B. 1 2 2 3. 2 xt yt zt = +   =−−   = −  C. 12 2 3. 2 xt yt zt = −   =−+   = +  D. 2 3 2 . 1 2 xt yt zt =−+   = −   = +  Hướng dẫn giải Trang 17/42 Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm ( ) 2;3;1 M − và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2;2 a = −  là 2 32 12 xt yt zt =− +   = −   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của đường thẳng đi qua hai điểm ( ) 1; 2;5 A − và ( ) 3;1;1 B ? A. 1 25 . 23 4 xy z −+ − = = − B. 3 11 . 1 25 x yz − −− = = − C. 1 25 . 23 4 xy z + − + = = − D. 1 25 . 31 1 xy z −+ − = = Hướng dẫn giải ∆ đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương ( ) 2;3; 4 AB = −   Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 1 25 23 4 xy z −+ − = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 1;3;2 , 2;0;5 , 0; 2;1 A B C −− . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là. A. 1 32 . 2 4 1 xy z −+ + = = −− B. 1 32 . 2 41 xy z −+ + = = − C. 1 32 . 2 41 xy z + − − = = − D. 2 41 . 1 13 x yz − ++ = = − Hướng dẫn giải M là trung điểm ( ) 1; 1;3 BC M ⇒ − AM đi qua điểm ( ) 1;3;2 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 2; 4;1 AM = −   Vậy phương trình chính tắc của AM là 1 32 2 41 x y z + −− = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( ) 1;4; 1 , 2;4;3 , 2;2; 1 A BC −− . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là A. 1 4. 1 2 x yt zt =   = +   =−+  B. 1 4. 1 2 x yt zt =   = +   = +  C. 1 4. 12 x yt zt =   = +   =−−  D. 1 4. 1 2 x yt zt =   = −   =−+  Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cẩn tìm. ( ) ( ) 0; 2; 4 2 0;1;2 BC= − − =−   Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương ( ) 0;1;2 d a =  d qua ( ) 1;4; 1 A − và có vectơ chỉ phương d a  Vậy phương trình tham số của d là 1 4 12 x yt zt =   = +   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm ( ) 1;3;4 M và song song với trục hoành là. A. 1 3. 4 xt y y = +   =   =  B. 1 3. 4 x yt y =   = +   =  C. 1 3. 4 x y yt =   =   = −  D. 1 3. 4 x y yt =   =   = +  Trang 18/42 Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cẩn tìm. Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương ( ) 1;0;0 d ai = =   d đi qua ( ) 1;3;4 M và có vectơ chỉ phương d a  Vậy phương trình tham số của d là 1 3 4 xt y y = +   =   =  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : 32 xt d y t zt = −   =   =−+  . Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 3;1; 1 A − và song song với d là A. 3 11 . 21 2 x yz + +− = = − B. 3 11 . 21 2 x yz − −+ = = − C. 2 1 2 . 31 1 x yz + −− = = − D. 2 12 . 31 1 x yz − ++ = = − Hướng dẫn giải d có vectơ chỉ phương ( ) 2;1;2 d a = −  Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2;1;2 d aa ∆ = = −     ∆ đi qua điểm ( ) 3;1; 1 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 2;1;2 a ∆ = −  Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 3 11 21 2 x yz − −+ = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 13 : 2 13 x yz d − −− = = − . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 1;3; 4 M − và song song với d là A. 2 1 3. 34 xt yt zt = +   =−+   = −  B. 1 2 3. 43 x t yt zt =−+   =−−   = +  C. 1 2 3. 43 x t yt zt =−+   =−−   = +  D. 1 2 3. 43 xt yt zt = +   = −   =−+  Hướng dẫn giải d có vectơ chỉ phương ( ) 2; 1;3 d a = −  Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2; 1;3 d aa ∆ = = −     ∆ đi qua điểm ( ) 1;3; 4 M − và có vectơ chỉ phương a ∆  Vậy phương trình tham số của ∆ là 12 3 43 xt yt zt = +   = −   =− +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 3 0 P x yz − +− =. Phương trình chính tắc của của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;1;1 M − và vuông góc với ( ) P là A. 2 11 . 2 11 x yz + −− = = − B. 2 11 . 2 11 x yz − −− = = − C. 2 11 . 2 11 x yz + −− = = D. 2 11 . 2 11 x yz + −− = = −− Hướng dẫn giải ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 2; 1;1 P n = −  Vì ∆ vuông góc với ( ) P nên d có vectơ chỉ phương ( ) 2; 1;1 P an ∆ = = −     Trang 19/42 ∆ đi qua điểm ( ) 2;1;1 M − và có vectơ chỉ phương a ∆  Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 2 11 2 11 x yz + −− = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 2 30 x yz α − + −=.Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua ( ) 2;1; 5 A − và vuông góc với ( ) α là A. 2 1 2. 52 xt y t zt =−+   =−−   = +  B. 2 1 2. 52 x t yt zt =−−   =−+   = −  C. 2 12 . 52 xt yt zt = +   = −   =− +  D. 1 2 2. 25 xt yt zt = +   =−+   = −  Hướng dẫn giải ( ) α có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 2;2 n α = −  Vì d vuông góc với ( ) α nên d có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2;2 d an α = = −     d đi qua ( ) 2;1; 5 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2;2 d a = −  Vậy phương trình tham số của d là 2 12 52 xt yt zt = +   = −   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2; 1;3 A − và vuông góc với mặt phẳng ( ) Oxz là. A. 2 1. 3 x yt z =   = −   =  B. 2 1 . 3 x yt z =   = +   =  C. 2 1 . 3 x y t z =   =−+   =  D 2 1. 3 xt y zt = +   = −   = +  Hướng dẫn giải ( ) Oxz có vectơ pháp tuyến ( ) 0;1;0 j =  Vì ∆ vuông góc với ( ) Oxz nên ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 0;1;0 aj ∆ = =   ∆ đi qua điểm ( ) 2; 1;3 A − và có vectơ chỉ phương a ∆  Vậy phương trình tham số của ∆ là 2 1 3 x yt z =   =−+   =  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 2;1; 2 , 4; 1;1 , 0; 3;1 A BC − − − . Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC là A. 2 1 2. 2 xt y t zt = +   =−−   = −  B. 2 1 2. 2 xt y t zt =−+   =−−   = −  C. 2 1 2. 2 xt yt zt = +   = −   = −  D. 2 1 2. 2 xt yt zt = +   = +   =  Hướng dẫn giải Gọi G là trọng tâm ABC ∆ , ta có ( ) 2; 1;0 G − Gọi d a  là vectơ chỉ phương của d ( ) ( ) 2; 2;3 2; 4;3 AB AC = − =− −     ( ) ( ) ( ) , 6; 12; 12 6 1; 2; 2 d d d a AB d AB d ABC a AB AC d AC a AC  ⊥ ⊥    ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ = = − − = − −   ⊥ ⊥                  Trang 20/42 d đi qua ( ) 2; 1;0 G − và có vectơ chỉ phương là ( ) 1; 2; 2 d a = − −  Vậy phương trình tham số của d là 2 12 2 xt yt zt = +   =−−   = −  (ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm ( ) 1;4;2 A và ( ) 1;2;4 B − . Phương trình d đi qua trọng tâm của OAB ∆ và vuông góc với mặt phẳng ( ) OAB là A. 22 . 21 1 xy z −− = = − B. 22 . 21 1 xy z ++ = = − C. 22 . 21 1 xy z −− = = D. 22 . 21 1 xy z ++ = = Hướng dẫn giải Gọi G là trọng tâm OAB ∆ , ta có (0;2;2) G ( ) ( ) 1;4;2 1;2;4 OA OB = = −    Gọi d a  là vectơ chỉ phương của d ( ) ( ) ( ) , 12; 6;6 6 2; 1;1 d d d a OA d OA d OAB a OA OB d OB a OB  ⊥ ⊥    ⊥ ⇒ ⇒ ⇒= = − = −   ⊥ ⊥                    Vậy phương trình của d là 22 21 1 xy z −− = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 0;1;2 , 2; 1; 2 , 2; 3; 3 A B C − −− − − . Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d . A. 2 1 3. 22 x t yt zt =−−   =−−   =−+  B. 2 1 3. 22 xt yt zt =−+   =−+   =−−  C. 26 1 18 . 2 12 x t y t zt =−−   =−−   =−+  D. 2 1 3. 22 x t yt zt =−−   =−−   =−−  Hướng dẫn giải ( ) ( ) 2; 2; 4 2; 4; 5 AB AC =− − − = − −     Đường thẳng d đi qua điểm ( ) 2; 1; 2 B − −− và có vectơ chỉ phương là ( ) , 6; 18;12 6(1;3; 2) d a AB AC  = =−− =− −        Đáp án sai là câu A Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;1; 5 , M − đồng thời vuông góc với hai vectơ ( ) 1;0;1 a =  và ( ) 4;1; 1 b = −  là A. 2 15 . 15 1 x yz − −+ = = − B. 2 15 . 15 1 x yz + +− = = − C. 2 15 . 1 51 x yz + +− = = − − D. 1 51 . 21 5 xy z + − − = = − Hướng dẫn giải ∆ đi qua điểm ( ) 2;1; 5 , M − và có vectơ chỉ phương ( ) , 1;5;1 a ab ∆   = = −      Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 2 15 15 1 x yz − −+ = = − Trang 21/42 (ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm ( ) ( ) 1;1;1, 1;2;3 AB −− và đường thẳng 1 23 : 2 1 3 xy z +− − ∆= = − . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ là A. 7 24 . 1 11 x y z − −− = = − B. 1 11 . 7 24 x yz − +− = = C. 1 11 . 7 24 x yz + −+ = = − D. 1 11 . 7 24 x yz + −+ = = Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương d a  ( ) 2;3;2 AB = −   ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2;1;3 a ∆ = −  ( ) ; 7;2;4 d d d a AB d AB a AB a d aa ∆ ∆  ⊥ ⊥     ⇒ ⇒= =    ⊥∆ ⊥                  Vậy phương trình chính tắc của d là 1 11 7 24 x yz − +− = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 21 : 23 1 x y z d −+ = = − và 2 1 : 32 52 xt dy t zt = +   = −   = −  . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;3; 1 A − và vuông góc với hai đường thẳng 12 , dd là A. 82 13 . 7 xt y t zt =− +   = +   =−−  B. 28 33 . 17 xt y t zt = −   = +   =−−  C. 28 3. 17 x t y t zt =−−   =−+   = −  D. 28 3. 17 xt yt zt =−+   =−−   = +  Hướng dẫn giải 1 d có vectơ chỉ phương ( ) 1 2;3; 1 a = −  2 d có vectơ chỉ phương ( ) 2 1; 2; 2 a = −−  Gọi a ∆  là vectơ chỉ phương ∆ ( ) 11 12 2 2 ; 8;3; 7 d a a a aa d aa ∆ ∆ ∆  ∆ ⊥ ⊥    ⇒ ⇒= =− −   ∆ ⊥ ⊥             Vậy phương trình tham số của ∆ là 28 33 17 xt yt zt = −   = +   =−−  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 2 1 0 P xy z + + −= và đường thẳng 13 : 2 13 x yz +− ∆== − . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 2; 1;5 B − song song với ( ) P và vuông góc với ∆ là A. 2 15 . 52 4 x yz − +− = = − B. 2 15 . 52 4 x yz + −+ = = − C. 2 15 . 5 24 x yz + −+ = = −− D. 5 24 . 2 15 xy z − ++ = = − Hướng dẫn giải ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2; 1;3 a ∆ = −  Trang 22/42 ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 2;1;2 P n =  Gọi d a  là vectơ chỉ phương d ( ) ( ) / / ; 5;2;4 dP d P d an dP a an d aa ∆ ∆  ⊥    ⇒ ⇒= =−   ⊥∆ ⊥                 Vậy phương trình chính tắc của d là 2 15 52 4 x yz − +− = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : 2 2 30 x y z α − + += và ( ) : 3 5 2 1 0 xy z β − − −= . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 1;3; 1 M − , song song với hai mặt phẳng ( ) ( ) , αβ là A. 1 14 3 8. 1 xt y t zt = +   = +   =−+  B. 1 14 3 8 . 1 xt y t zt =−+   = +   =−+  C. 1 3 8. 1 xt y t zt =−+   = +   = +  D. 1 3. 1 xt yt zt =−+   = −   = +  Hướng dẫn giải ( ) α có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 2;2 n α = −  ( ) β có vectơ pháp tuyến ( ) 3; 5; 2 n β = − −  d đi qua điểm ( ) 1;3; 1 M − và có vectơ chỉ phương là ( ) , 14;8;1 d a nn α β  = =        Vậy phương của d là 1 14 38 1 xt y t zt = +   = +   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 2 3 0 xy z α − + −=. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 2; 3; 1 A − − , song song với hai mặt phẳng ( ) ( ) , Oyz α là. A. 2 3. 1 x t y zt = −   = −   =−+  B. 2 3 2. 1 x yt zt =   =−+   =−+  C. 2 3 2. 1 x y t zt =   =−−   =−+  D. 2 2 3. 1 xt yt zt =   = −   = −  Hướng dẫn giải ( ) α có vectơ pháp tuyến ( ) 2; 1;2 n α = −  ( ) Oyz có vectơ pháp tuyến ( ) 1;0;0 i =  d đi qua điểm ( ) 2; 3; 1 A − − và có vectơ chỉ phương là ( ) , 0;2;1 d a ni α  = =       Vậy phương của d là 2 32 1 x yt zt =   =− +   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) :3 0 x yz α − += và ( ) : 4 00 x yz β + −+ = = . Phương trình tham số của đường thẳng d là A. 2 . 22 xt yt zt = +   =   = +  B. 2 . 22 xt yt zt = +   =   =−+  C. 2 . 22 x t yt zt = −   = −   =−−  D. 2 . 22 xt yt zt =−+   =   = +  Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt y t = , ta có 32 4 22 xz t x t x z t z t + = =− +  ⇒  − =− − = +  Trang 23/42 Vậy phương trình tham số của d là 2 22 xt y t zt =− +   =   = +  Cách 2: Tìm một điểm thuộc d , bằng cách cho 0 y = Ta có hệ ( ) 02 2;0;2 4 2 xz x Md xz z += =−  ⇒ ⇒− ∈  −=− =  ( ) α có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 3;1 n α = −  ( ) β có vectơ pháp tuyến ( ) 1;1; 1 n β = −   d có vectơ chỉ phương ( ) ; 2;2;4 d a nn α β  = =        d đi qua điểm ( ) 2;0;2 M − và có vectơ chỉ phương là d a  Vậy phương trình tham số của d là 2 22 xt y t zt =− +   =   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 1 0 x y z α − − + = và ( ) :2 2 3 4 0 x y z β + − − =. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm (1; 1;0) M − và song song với đường thẳng ∆ là A. 11 . 8 16 x yz −− = = B. 11 . 8 16 x yz + − = = C. 1 1 . 8 16 x yz −+ = = D. 81 . 1 16 x yz −− = = Hướng dẫn giải ( ) α có vec tơ pháp tuyến ( ) 1; 2; 1 n α = − −  ( ) β có vec tơ pháp tuyến ( ) 2;2; 3 n β = −  d đi qua điểm (1; 1;0) M − và có vectơ chỉ phương là ( ) , 8;1;6 d a nn α β  = =        Vậy phương trình của d là 1 1 8 16 x yz −+ = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 13 : 2 12 xy z d −+ = = − . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2; 1; 3 , A −− vuông góc với trục Oz và d là A. 2 1 2. 3 x t yt y = −   =−+   = −  B. 2 1 2. 3 x t yt y =−−   = +   =  C. 2 1 2. 3 xt yt y = −   = −   =  D. 2 1 2. 3 x t yt y = −   =−+   = −  Hướng dẫn giải Oz có vectơ chỉ phương ( ) 0;0;1 k =  d có vectơ chỉ phương ( ) 2;1; 2 d a = −  ∆ đi qua điểm ( ) 2; 1; 3 , A −− và có vectơ chỉ phương là ( ) , 1;2;0 d a k a ∆   = = −        Vậy phương của ∆ là 2 12 3 xt yt y = −   =−+   = −  Trang 24/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) :2 3 5 4 0 P x yz − + − =. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;1; 3 , A−− song song với ( ) P và vuông góc với trục tung là A. 25 1. 32 xt y yt =−+   =   =−+  B. 25 1. 32 xt y yt =−+   =   =−+  C. 25 1. 32 xt yt yt =−−   = −   =−+  D. 25 1. 32 xt y y t =−+   =   =−−  Hướng dẫn giải Oy có vectơ chỉ phương ( ) 0;1;0 j =  ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 2; 3;5 P n = −  ∆ đi qua điểm ( ) 2;1; 3 , A−− và có vectơ chỉ phương là ( ) , 5;0; 2 P a j n ∆  = = −       Vậy phương của ∆ là 25 1 32 xt y y t =− +   =   =− −  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 39 Sx y z − + + +− = . Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( ) S , song song với ( ) :2 2 4 0 x y z α + −− = và vuông góc với đường thẳng 1 6 2 : 3 11 x y z + − − ∆= = − là. A. 1 2 5. 38 xt y t zt = −   =−+   = −  B. 1 2 5. 38 xt yt zt =−+   = −   =−−  C. 1 2 5. 38 xt yt zt = −   =−−   = −  D. 1 2 5. 3 8 xt y t zt = −   =−+   = +  Hướng dẫn giải Tâm của mặt cầu ( ) S là ( ) 1; 2;3 I − ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 3; 1;1 a ∆ = −  ( ) α có vectơ pháp tuyến ( ) 2;2; 1 n α = −  d đi qua điểm ( ) 1; 2;3 I − và có vectơ chỉ phương là ( ) , 1;5;8 d a an α ∆  = = −        Vậy phương của d là 1 25 38 xt y t zt = −   =− +   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 :1 2 xt dy t zt = +   =−+   = +  . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( ) Oxy có phương trình là. A. 1 2 1 . 0 xt y t z = +   =−+   =  B. 1 2 1. 0 x t y t z =−+   =−+   =  C. 1 2 1. 0 x t yt z =−+   = +   =  D. 0 1. 0 x yt z =   =−−   =  Hướng dẫn giải Cho 0 z = , phương trình của ' d là 12 1 0 xt yt z = +   =−+   =  Trang 25/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : 23 3 xt dy t zt = +   =− +   = +  . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( ) Oxz có phương trình là. A. 1 2 0. 3 x t y zt =−+   =   = +  B. 0 0. 3 x y zt =   =   = +  C. 1 2 0. 3 xt y zt = +   =   = +  D. 1 2 0. 3 xt y zt = +   =   =−+  Hướng dẫn giải Cho 0 y = , phương trình của d lên mặt phẳng ( ) Oxz là 12 0 3 xt y zt = +   =   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 9 1 :, 4 31 x yz d − −− = = và mặt thẳng ( ):3 5 2 0 P x yz + −− =. Gọi ' d là hình chiếu của d lên ( ). P Phương trình tham số của ' d là A. 62 25 . 2 61 xt yt zt = −   =   = −  B. 62 25 . 2 61 x t yt zt =   = −   = +  C. 62 25 . 2 61 x t yt zt =   = −   =−+  D. 62 25 . 2 61 x t yt zt =   = −   = +  Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi ( ) Ad P = ∩ ( ) ( ) ( ) 12 4 ;9 3 ;1 3 0;0; 2 A dA a aa AP a A ∈⇒ + + + ∈ ⇒ =−⇒ − d đi qua điểm ( ) 12;9;1 B Gọi H là hình chiếu của B lên ( ) P ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 3;5; 1 P n = −  BH đi qua ( ) 12;9;1 B và có vectơ chỉ phương ( ) 3;5; 1 BH P an = = −     ( ) ( ) 12 3 : 95 1 12 3 ;9 5 ;1 78 186 15 113 ;; 35 35 7 35 186 15 183 ;; 35 7 35 xt BH y t zt H BH H t t t HP t H AH = +   = +   = −  ∈ ⇒ + +−  ∈ ⇒ =− ⇒ −    = −     ' d đi qua ( ) 0;0; 2 A − và có vectơ chỉ phương ( ) ' 62; 25;61 d a = −  Vậy phương trình tham số của ' d là 62 25 2 61 xt yt zt =   = −   =− +  Cách 2: • Gọi ( ) Q qua d và vuông góc với ( ) P Trang 26/42 d đi qua điểm ( ) 12;9;1 B và có vectơ chỉ phương ( ) 4;3;1 d a =  ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 3;5; 1 P n = −  ( ) Q qua ( ) 12;9;1 B có vectơ pháp tuyến ( ) , 8;7;11 Q dP n an  = = −        ( ) : 8 7 11 22 0 Qx y z − − − = • ' d là giao tuyến của ( ) Q và ( ) P Tìm một điểm thuộc ' d , bằng cách cho 0 y = Ta có hệ ( ) 32 0 0;0; 2 ' 8 11 22 2 xz x Md xz y −= =  ⇒ ⇒ −∈  −= = −  ' d đi qua điểm ( ) 0;0; 2 M − và có vectơ chỉ phương ( ) ; 62; 25;61 d PQ a nn  = = −        Vậy phương trình tham số của ' d là 62 25 2 61 xt yt zt =   = −   =− +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 1 2 : 24 3 xt dy t zt = +   =−+   = +  . Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng ( ) Oxz theo phương 162 : 1 1 1 xy z + − − ∆ = = − − có phương trình là: A. 32 0. 14 xt y zt = +   =   = −  B. 3 0. 1 2 xt y zt = +   =   = +  C. 12 0 . 54 xt y zt =−−   =   = −  D. 32 0. 1 xt y zt = −   =   = +  Hướng dẫn giải Giao điểm của d và mặt phẳng ( ) Oxz là : 0 (5;0;5) M . Trên 1 2 : 24 3 xt dy t zt = +   =−+   = +  chọn M bất kỳ không trùng với 0 (5;0;5) M ; ví dụ: (1; 2;3) M − . Gọi A là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng ( ) Oxz theo phương 162 : 1 1 1 xy z + − − ∆ = = − − . +/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với 162 : 1 1 1 xy z + − − ∆ = = − − . +/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và ( ) Oxz +/ Ta tìm được (3;0;1) A Hình chiếu song song của 1 2 : 24 3 xt dy t zt = +   =−+   = +  lên mặt phẳng ( ) Oxz theo phương 162 : 1 1 1 xy z + − − ∆ = = − − là đường thẳng đi qua 0 (5;0;5) M và (3;0;1) A . Vậy phương trình là: 3 0 1 2 xt y zt = +   =   = +  Trang 27/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 11 : 13 2 x yz d − −− = = − và 2 13 :2 1 xt dy t zt = −   =− +   =−−  . Phương trình đường thẳng nằm trong ( ) : 2 3 20 x yz α + − − = và cắt hai đường thẳng 12 , dd là: A. 3 21 . 5 11 x y z + −− = = − B. 3 21 . 51 1 x y z + −− = = −− C. 3 21 . 51 1 xy z − ++ = = − − D. 8 3 . 1 34 xy z + − = = − Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm • Gọi ( ) 1 Ad α = ∩ ( ) ( ) ( ) 1 2 ;1 3 ;1 2 1 3; 2; 1 Ad A a a a A aA α ∈⇒ − + + ∈ ⇒ =−⇒ − − • Gọi ( ) 2 B d α = ∩ ( ) ( ) ( ) 2 1 3 ; 2 ; 1 1 2; 1; 2 B d B b b b B bB α ∈ ⇒ − − + −− ∈ ⇒ = ⇒ − − − • d đi qua điểm ( ) 3; 2; 1 A −− và có vectơ chỉ phương ( ) 5;1; 1 AB=−−   Vậy phương trình chính tắc của d là 3 21 . 51 1 xy z − ++ = = −− (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 22 : 1 11 xy z + − ∆= = − và mặt phẳng ( ) : 2 3 40 P x y z + − +=. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong ( ) P , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là: A. 13 2 3. 1 xt yt zt = −   =−+   =−+  B. 32 1. 1 x t yt zt =−+   = −   = +  C. 3 3 1 2 . 1 xt yt zt =−−   = +   = +  D. 3 1 2. 1 xt y t zt =− +   = −   = −  Hướng dẫn giải Gọi ( ) MP = ∆∩ ( ) 2;2; M M t tt ∈∆ ⇒ − + + − ( ) ( ) 1 3;1;1 MP t M ∈ ⇒ =−⇒ − ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 1;2; 3 P n = −  ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 1;1; 1 a ∆ = −  Có ( ) () , 1;2; 1 dP dP d d P an a na d aa ∆ ∆  ⊂ ⇒ ⊥    ⇒ = = −−    ⊥ ∆⇒ ⊥                 d đi qua điểm ( ) 3;1;1 M − và có vectơ chỉ phương là d a  Vậy phương trình tham số của d là 3 1 2. 1 xt y t zt =− +   = −   = −  Trang 28/42 (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 23 : 2 11 x yz d − + − = = − và 2 1 11 : 12 1 x yz d − −+ = = − . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 1;2;3 A vuông góc với 1 d và cắt 2 d là: A. 1 23 . 1 35 xy z −− − = = −− B. 1 23 . 1 35 xy z −+ + = = −− C. 1 2 3 . 1 3 5 x y z + + + = = − D. 1 35 . 1 23 xy z − + + = = −− Hướng dẫn giải Gọi 2 Bd = ∆∩ ( ) ( ) 2 1 ;1 2 ; 1 ;2 1; 4 B d B t t t AB t t t ∈ ⇒ − + −+ =− −−   1 d có vectơ chỉ phương ( ) 1 2; 1;1 a = −  11 1 .0 1 d AB a AB a t ∆⊥ ⇔ ⊥ ⇔= ⇔=−         ∆ đi qua điểm ( ) 1;2;3 A và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 3; 5 AB= − −   Vậy phương trình của ∆ là 1 23 . 1 35 xy z −− − = = −− (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 32 :1 14 xt dy t zt =−+   = −   =−+  . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm ( ) 4; 2;4 A −− , cắt và vuông góc với d là: A. 3 21 4 24 xy z − −+ = = −− B. 4 24 32 1 x yz − −+ = = − C. 4 24 3 2 1 x yz − −+ = = −− D. 4 24 32 1 x yz + + − = = − Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Gọi Bd = ∆∩ ( ) ( ) 3 2 ;1 ; 1 4 1 2 ;3 ; 5 4 B d B t t t AB t t t ∈ ⇒ − + − −+ = + − −+   d có vectơ chỉ phương ( ) 2; 1;4 d a = −  . 0 1 d d d AB a AB a t ∆⊥ ⇔ ⊥ ⇔= ⇔=         ∆ đi qua điểm ( ) 4; 2;4 A −− và có vectơ chỉ phương ( ) 3;2; 1 AB = −   Vậy phương trình của ∆ là 4 24 32 1 x yz + + − = = − Trang 29/42 (ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 1 33 : 12 1 xy z d − +− = = − và mặt phẳng ( ) :2 2 9 0 P xy z + − + =. Gọi A là giao điểm của d và ( ) P . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong ( ) P , đi qua điểm A và vuông góc với d là: A. 1 1. 4 x yt zt =   =−+   =− +  B. 1. xt y zt =   = −   =  C. 1. 4 xt y zt =   = −   = +  D. 1 1. xt y zt = +   =   =  Hướng dẫn giải Gọi ( ) Ad P = ∩ ( ) ( ) ( ) 1 ; 3 2 ;3 1 0; 1;4 Ad A t t t AP t A ∈ ⇒ − −+ + ∈ ⇒ = ⇒ − ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 2;1; 2 P n = −  d có vectơ chỉ phương ( ) 1;2;1 d a = −  Gọi vecto chỉ phương của ∆ là a ∆  Ta có : ( ) () , 5;0;5 P P d d P an a n a d aa ∆ ∆ ∆  ∆⊂ ⇒ ⊥   ⇒= =   ⊥ ∆⇒ ⊥                ∆ đi qua điểm ( ) 0; 1;4 A − và có vectơ chỉ phương là ( ) 5;0;5 a ∆ =  Vậy phương trình tham số của ∆ là 1 4 xt y zt =   = −   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm ( ) 1;2; 1 A − và đường thẳng 33 : 1 32 x yz d −− = = . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng ( ) : 30 Q x yz + −+ = là: A. 1 21 . 1 21 xy z −− + = = −− B. 1 21 . 1 21 x y z + + − = = C. 1 21 . 12 1 x y z + + − = = − D. 1 21 . 12 1 xy z −− + = = − Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Gọi Bd = ∆∩ ( ) ( ) 3 ;3 3 ;2 2;3 1;2 1 B d B t t t AB t t t ∈⇒ + + =+ ++   ( ) Q có vectơ pháp tuyến ( ) 1;1 1 Q n = −  ( ) / / .0 1 Q Q Q AB n AB n t ∆ ⇒⊥ ⇔ = ⇔=−         ∆ đi qua điểm ( ) 1;2; 1 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2; 1 AB= −−   Vậy phương trình của ∆ là 1 21 1 21 xy z −− + = = − − Trang 30/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 21 : 3 12 xy z +− − ∆= = và 2 11 : 1 23 x y z −+ ∆ == . Phương trình đường thẳng song song với 3 :1 4 x dy t zt =   =−+   = +  và cắt hai đường thẳng 12 ; ∆ ∆ là: A. 2 3. 3 x yt zt =   = −   = −  B. 2 3. 3 x yt zt = −   =− −   =− −  C. 2 3. 3 x yt z t = −   =− +   =− +  D. 2 3. 3 x yt zt =   =− +   = +  Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Gọi 12 , AB = ∆ ∩∆ = ∆ ∩∆ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 ;2 ;1 2 1 ;2 ; 1 3 3 2; 2 2; 2 3 2 A A aa a B B bb b AB a b a b a b ∈∆ ⇒ − + + + ∈∆ ⇒ + − + = − + + − + − − + −   d có vectơ chỉ phương ( ) 0;1;1 d a =  / / , d d AB a ∆⇔     cùng phương ⇔ có một số k thỏa d AB ka =     3 20 3 2 1 2 2 2 2 1 23 2 23 2 1 ab ab a ab k ab k b ab k ab k k − + + = − + = − =   ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ =   − + − = − + − = = −  Ta có ( ) ( ) 2;3;3 ; 2;2;2 A B ∆ đi qua điểm ( ) 2;3;3 A và có vectơ chỉ phương ( ) 0; 1; 1 AB= − −   Vậy phương trình của ∆ là 2 3 3 x yt zt =   = −   = −  (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 21 1 xy z d −+ = = − và 2 12 :1 3 xt dy t z =−+   = +   =  . Phương trình đường thẳng vuông góc với ( ) :7 4 0 P xy z +− = và cắt hai đường thẳng 12 , dd là: A. 74 . 2 11 x yz − + = = B. 21 . 71 4 x yz −+ = = − C. 21 . 7 14 x y z +− = = − − D. 21 . 7 14 x y z −+ = = Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm Gọi 1 2 , A dd B dd =∩=∩ Trang 31/42 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ;1 ; 2 1 2 ;1 ;3 2 2 1; ; 5 Ad A a a a B d B b b AB a b a b a ∈ ⇒ − − + ∈ ⇒ −+ + = − + − + − +   ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 7;1; 4 P n = −  ( ) , p d P AB n ⊥⇔     cùng phương ⇔ có một số k thỏa p AB kn =     22 1 7 22 7 1 1 02 54 4 5 1 ab k ab k a ab k ab k b a k ak k − + − = − + − = =   ⇔+ = ⇔+ − = ⇔ = −   − + =− − + =− =−  d đi qua điểm ( ) 2;0; 1 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 7;1 4 dP an = = −     Vậy phương trình của d là 21 71 4 x y z −+ = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : 1 21 xy z d −− = = − . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;3; 1 A − cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) : 1 0 x yz α + + −= bằng 23 . A. 3 62 . 13 1 x yz − −+ = = − B. 74 . 2 11 x yz − + = = C. 3 62 . 2 32 xy z − −+ = = −− D. 3 6 2 5 95 x yz + + − = = −− và 3 62 . 13 1 x yz − −+ = = − Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ;2 2 ; 3;6;2, 1;3;1 2 , 2 3 4 3;6;4, 5;9;5 B d B t tt B AB t dB t B AB α ∈⇒ + + −  − =− =   =⇔ ⇒  = −  −− =− −       ∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB   Vậy phương trình của ∆ là 3 62 5 95 xy z + +− = = −− và 3 62 . 13 1 x yz − −+ = = − Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 2;2;1 A − cắt trục tung tại B sao cho 2. OB OA = A. 6 . 2 81 xy z + = = −− B. 6 . 24 1 xy z − = = − C. 3 6 2 . 5 93 x yz + + − = = −− D. 6 24 1 xy z − = = − và 6 . 2 81 xy z + = = −− Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0; ;0 0;6;0, 2;4;1 6 2 6 0;6;0, 2;8;1 B Oy B b B AB b OB OA b B AB ∈⇒  = − =  =⇔⇒   = − − = − −        Trang 32/42 ∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB   Vậy phương trình của ∆ là 6 24 1 xy z − = = − và 6 . 2 81 xy z + = = −− Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 1;1;2 B cắt đường thẳng 2 31 : 1 21 x y z d − −+ = = − tại C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 83 2 . A. 1 12 . 3 21 x yz − −− = = − − B. 6 . 24 1 xy z − = = − C. 1 12 3 21 x yz − −− = = − − và 11 2 . 31 78 109 xy z − − − = = − D. 11 2 . 31 78 109 xy z − − − = = − Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ;3 2 ; 1 2 ;3 2 ; 1 1;1;2 , 5 7; 5;1 3 2 3; 2; 1 1 , 4 31 78 109 2 ;; 35 35 35 35 OBC Cd C t t t OC t t t OB OB OC t t t t BC S OB OC t BC ∆ ∈ ⇒ + − −+ = + − −+ =  = − +−   = ⇒ = − −   = ⇔ −    = ⇒= −                     ∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC   Vậy phương trình của ∆ là 1 12 3 21 x yz − −− = = − − và 11 2 . 31 78 109 xy z − − − = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 12 : 1 11 x yz d − −− = = −− và 2 :3 2 xt dy zt =   =   =− +  . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 12 , dd là. A. 2 1 2. 2 xt yt zt = +   = +   = −  B. 3 3 2. 1 xt yt zt = +   = −   = −  C. 23 1 2. 25 xt yt zt = +   = −   = −  D. 3 3. 1 xt y zt = +   =   = −  Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm Gọi 1 2 , A dd B dd =∩=∩ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ;1 ;2 ;3; 2 2; 2; 4 Ad A a a a B d Bb b AB ab a ab ∈⇒ + − − ∈ ⇒ − + =− +− + +−   1 d có vectơ chỉ phương ( ) 1 1; 1; 1 a = − −  2 d có vectơ chỉ phương ( ) 2 1;0;1 a =  Trang 33/42 ( ) ( ) 1 11 2 22 . 0 0 2;1;2 ; 3;3;1 3 .0 d d AB a AB a a AB dd b AB a AB a  ⊥⊥ = =    ⇔ ⇔ ⇔⇒    ⊥= ⊥=                       d đi qua điểm ( ) 2;1;2 A và có vectơ chỉ phương ( ) 1;2; 1 d a AB = = −     Vậy phương trình của d là 2 1 2. 2 xt yt zt = +   = +   = −  (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 : , 21 1 x y z d +− = = mặt phẳng ( ) : 2 50 P xy z + − += và ( ) 1; 1;2 A − . Đường thẳng ∆ cắt d và ( ) P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là. A. 1 1 2 . 23 2 x yz − +− = = B. 11 2 . 23 2 x yz + −+ = = C. 1 42 . 23 2 xy z + + + = = − D. 2 32 . 1 12 x yz − −− = = − Hướng dẫn giải ( ) 1 2; ; 2 M d M ttt ∈ ⇒ −+ + A là trung điểm ( ) 3 2 ; 2 ;2 MN N t t t ⇒ − − − − ( ) ( ) 2 3;2;4 NP t M ∈ ⇒ = ⇒ ∆ đi qua điểm ( ) 3;2;4 M và có vectơ chỉ phương ( ) 2;3;2 a AM ∆ = =     Vậy phương trình của ∆ là 1 12 23 2 x yz − +− = = Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 2 11 : , 12 1 x yz d − −− = = − mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 3 1 29 Sx y z − + + ++ = và ( ) 1; 2;1 A − . Đường thẳng ∆ cắt d và ( ) S lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là A. 1 21 25 1 xy z −+ − = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z + − + = = − B. 1 21 25 1 xy z +− + = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z −+ − = = − C. 1 21 25 1 xy z −+ − = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z −+ − = = − D. 1 21 25 1 xy z +− + = = − và 1 21 . 7 11 10 xy z + − + = = − Hướng dẫn giải ( ) 2 ;1 2 ;1 Md M t t t ∈⇒ + + − A là trung điểm ( ) ; 5 2 ;1 MN N t t t ⇒ − −− + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4; 10;2 2 2;5; 1 6 14 20 0 10 14 22 20 2 ; ; 7;11; 10 3 33 3 3 t MN N S t t t MN  =⇒ =− − =− −  ∈ ⇒ +− =⇒   = −⇒ = − = −           ∆ đi qua điểm ( ) 1; 2;1 A − và có vectơ chỉ phương a MN ∆ =      Vậy phương trình của ∆ là 1 21 25 1 xy z −+ − = = − và 1 21 7 11 10 xy z −+ − = = − Trang 34/42 (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 2 50 P x y z − + −= và hai điểm ( ) ( ) 3;0;1, 1; 1;3. AB −− Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( ) P , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. A. 31 . 26 11 2 x yz + − = = − B. 2 13 . 26 11 2 x yz − +− = = − C. 31 . 26 11 2 x yz −+ = = − D. 2 13 . 26 11 2 x yz + −+ = = − Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Gọi mặt phẳng ( ) Q qua ( ) 3;0;1 A − và song song với ( ) P . Khi đó: ( ) : 2 2 10 Qx y z − + + = Gọi , KH lần lượt là hình chiếu của B lên ( ) , Q ∆ . Ta có ( ) , d B BK BH ∆= ≥ . Do đó AH là đường thẳng cần tìm. ( ) Q có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 2;2 Q n = −  BH qua B và có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2;2 BH Q an = = −     ( ) ( ) 1 : 12 32 1 ; 1 2 ;3 2 10 1 11 7 ;; 9 999 xt BH y t zt H BH H t t t HP t H = +   =−−   = +  ∈ ⇒ + −− +   ∈ ⇒ =− ⇒ −     ∆ đi qua điểm ( ) 3;0;1 A − và có vectơ chỉ phương ( ) 26 11 2 1 ; ; 26;11; 2 99 9 9 a AH ∆  = = −= −       Vậy phương trình của ∆ là 31 : 26 11 2 x yz + − ∆== − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 3 21 : 21 1 xy z d − ++ = = − , mặt phẳng ( ) : 20 P x yz + ++ = . Gọi M là giao điểm của d và ( ) P . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong ( ) P vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là. A. 5 2 5 2 31 xy z − ++ = = − và 3 45 . 2 31 xy z + +− = = − B. 5 25 . 2 31 xy z − ++ = = − C. 3 45 . 2 31 xy z + +− = = − D. 3 45 2 31 x y z + +− = = và 3 45 . 2 31 xy z + +− = = Hướng dẫn giải Gọi ( ) Md P = ∩ ( ) ( ) ( ) 3 2 ; 2 ; 1 1 1; 3;0 Md M t t t MP t M ∈ ⇒ + − + −− ∈ ⇒ =− ⇒ − ( ) P có vecttơ pháp tuyến ( ) 1;1;1 P n =  d có vecttơ chỉ phương ( ) 2;1; 1 d a = −  Trang 35/42 ∆ có vecttơ chỉ phương ( ) , 2; 3;1 dP a an ∆  = = −        Gọi ( ) ; ; N x yz là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó ( ) 1; 3; MN x y z = − +    . Ta có: ( ) ( ) ( ) 22 2 2 3 11 0 20 1 3 42 42 MN a x yz N P x yz x yz MN ∆   ⊥ − +− =   ∈ ⇔ + ++ =   − + + += =        Giải hệ ta tìm được hai điểm ( ) 5; 2; 5 N − − và ( ) 3; 4;5 N − − Với ( ) 5; 2; 5 N − − , ta có 5 2 5 : 2 31 xy z − ++ ∆ = = − Với ( ) 3; 4;5 N − − , ta có 3 45 : 2 3 1 x y z + +− ∆= = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm ( ) 1;1;2 I , hai đường thẳng 1 3 : 12 4 xt yt z = +   ∆ =−+   =  và 2 22 : 1 12 x yz +− ∆== . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng 12 , ∆ ∆ là. A. 11 2 . 1 11 x yz − −− = = − B. 1 2 1. 2 xt yt zt = +   = −   = +  C. 11 2 . 11 1 x yz − −− = = − D. 1 2 1. 2 xt yt zt = +   = +   = +  Hướng dẫn giải • Gọi ( ) 1 α là mặt phẳng qua I và 1 ∆ 1 ∆ đi qua ( ) 1 3; 1;4 M − và có vectơ chỉ phương ( ) 1 1;2;0 a =  ( ) 1 2; 2;2 IM = −    ( ) 1 α có vectơ pháp tuyến ( ) 1 11 , 4; 2; 6 n a IM  = = − −         • Gọi ( ) 2 α là mặt phẳng qua I và 2 ∆ 2 ∆ đi qua ( ) 2 2;0;2 M − và có vectơ chỉ phương ( ) 2 1;1;2 a =  ( ) 2 3; 1;0 IM = − −   ( ) 2 α có vectơ pháp tuyến ( ) 2 22 , 2; 6;2 n a IM  = = −          • d đi qua điểm ( ) 1;1;2 I và có vectơ chỉ phương ( ) 12 , 40; 20; 20 d a nn  = =− − −      Vậy phương trình đường thẳng d là 12 1 2 xt yt zt = +   = +   = +  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 1 : 2 11 x yz d −+ = = , 2 12 : 1 21 xy z d −− = = và mặt phẳng ( ) : 2 30 P xy z + − +=. Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( ) P và cắt 12 , dd lần lượt tại hai điểm , AB sao cho 29 AB = . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là Trang 36/42 A. ∆ : 34 2 13 xt yt zt = +   =   = +  hoặc ∆ : 1 2 2 4. 13 x t yt zt =−+   =−+   =−+  B. ∆ : 34 2. 13 xt yt zt = +   =   = +  C. ∆ : 34 2. 13 xt yt zt = +   = −   = +  D. ∆ : 1 2 2 4. 13 x t yt zt =−+   =−+   =−+  Hướng dẫn giải ( ) ( ) 1 2 1 2; 1 ; 1 ;2 2 ; A d A a aa B d B b b b ∈ ⇒ + −+ ∈⇒ + + ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2 ;3 2 ; AB b a ba ba = − +− −   ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 1;1; 2 P n = −  Vì ( ) // P ∆ nên 3 P AB n b a ⊥ ⇔= −     .Khi đó ( ) 3; 3; 3 AB a a = − − − −   Theo đề bài: ( ) ( ) ( ) ( ) 3;0;1 , 4; 2; 3 1 29 1 1; 2; 1 , 2; 4; 3 A AB a AB a A AB  =− − − =  =⇔⇒   = − − − − =− − −        Vậy phương trình đưởng thẳng ∆ là 34 2 13 xt yt zt = +   =   = +  và 12 24 13 xt yt zt =−+   =− +   =−+  Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 21 1 x yz d − + = = − và 2 1 2 2 : 13 2 xy z d −+ − = = − . Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( ) : 70 P xy z + +− = và cắt 12 , dd lần lượt tại hai điểm , AB sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là. A. 12 5. 9 xt y zt = −   =   =−+  B. 6 5 . 2 9 2 xt y zt   = −   =    = −+   C. 6 5 . 2 9 2 x y t zt   =   = −    = −+   D. 62 5 . 2 9 2 x t yt zt   = −   = +    = −+   Hướng dẫn giải ( ) ( ) 1 2 1 2; ; 2 1 ; 23 ;22 A d A aa a B d B b b b ∈ ⇒ + − − ∈ ⇒ + − + − ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2 ;3 2; 2 4 AB b a b a b a = − − − − + +   ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 1;1;1 P n =  Vì ( ) // P ∆ nên .0 1 PP AB n AB n b a ⊥ ⇔ = ⇔= −         .Khi đó ( ) 1;2 5;6 AB a a a = −− − −   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 25 6 6 30 62 5 49 7 2 6 ; 2 22 AB a a a aa aa = − − + − + − = −+   = − + ≥ ∀∈      Trang 37/42 Dấu "" = xảy ra khi 5 59 7 7 6; ; , ;0; 2 22 2 2 a A AB     =⇒− = −           Đường thẳng ∆ đi qua điểm 59 6; ; 22 A   −     và vec tơ chỉ phương ( ) 1;0;1 d u = −  Vậy phương trình của ∆ là 6 5 2 9 2 xt y zt  = −    =    =− +   Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 1 21 xy z ++ ∆= = và 2 2 11 : 2 11 x yz − −− ∆== . Đường thẳng d song song với ( ) : 2 50 P xy z + − += và cắt hai đường thẳng 12 ; ∆ ∆ lần lượt tại , AB sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 1 2 2. xy z −= − = − B. 1 22 . 21 1 xy z −− − = = C. 1 2 2. xy z += + = + D. 1 22 . 21 1 xy z + + + = = Hướng dẫn giải Gọi 12 , A d B d = ∩∆ = ∩∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 ; 2 2; 2 2 ;1 ;1 2 3; 2 3; 1 / / . 0 4 5; 1; 3 2 2 27 3 3; P A A a aa B B bbb AB a b ab ab d P AB n b a AB a a AB a a ∈∆ ⇒ − + − + ∈∆ ⇒ + + + = − + + − + + − + + ⇒ = ⇔= − = − − − − = − + ≥ ∀∈          Dấu "" = xảy ra khi ( ) ( ) 2 1;2;2 , 2; 1; 1 aA B = ⇒ − − − ( ) 3; 3; 3 AB= − − −   d đi qua điểm ( ) 1;2;2 A và có vectơ chỉ phương ( ) 1;1;1 d a =  Vậy phương trình của d là 1 22 xy z −= − = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 22 : , 2 11 x y z d −+ = = mặt phẳng ( ) :2 5 0 P x yz − −+ = và ( ) 1; 1;0 M − . Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt d và tạo với ( ) P một góc 0 30 . Phương trình đường thẳng ∆ là. A. 22 11 2 x y z + − = = − và 4 35 . 5 25 x yz + ++ = = B. 22 11 2 x y z −+ = = − và 4 35 . 5 25 x yz − −− = = C. 1 1 1 12 xy z −+ = = − và 1 1 . 23 14 1 xy z −+ = = − Trang 38/42 D. 22 11 2 x y z + − = = − và 4 35 . 5 25 x yz − −− = = Hướng dẫn giải Gọi Nd = ∆∩ ( ) 2 2; ; 2 N d N t t t ∈ ⇒ + − + ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 1 2 ;1 ; 2 MN t t t = + + − +    ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 2; 1; 1 P n = − −  ( ) ( ) 0 1;1 2 . sin , 9 23 14 1 . ; ; 5 55 5 P P t MN MN n dP MN n t MN  =⇒=−  = ⇔     =⇒= −                     ∆ đi qua điểm ( ) 1; 1;0 M − và có vectơ chỉ phương d a MN =      Vậy phương trình của ∆ là 1 1 1 12 xy z −+ = = − và 1 1 23 14 1 xy z −+ = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua ( ) 3; 1;1 A − , nằm trong mặt phẳng ( ) : 50 P x yz − +− =, đồng thời tạo với 2 : 1 22 xy z − ∆ = = một góc 0 45 . Phương trình đường thẳng d là A. 37 1 8. 1 15 xt yt zt = +   =−−   =−−  B. 3 1. 1 xt yt z = +   =−−   =  C. 37 1 8. 1 15 xt yt zt = +   =−−   = −  D. 3 1 1 xt yt z = +   =−−   =  và 37 1 8. 1 15 xt yt zt = +   =−−   = −  Hướng dẫn giải ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 1;2;2 a ∆ =  d có vectơ chỉ phương ( ) ; ; d a a bc =  ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 1;1 P n = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 2 22 2 2 22 ; 1 , 45 cos , cos45 22 2 2 3 2 2 2 9 ; 2 dP d P a n b ac dd a bc a b c a b c a b c ⊂ ⇒ ⊥ ⇔= + ∆= ⇔ ∆= ++ ⇔= ++ ⇔ + + = ++     Từ ( ) 1 và ( ) 2 , ta có: 2 0 14 30 0 15 7 0 c c ac ac =  +=⇔  +=  Với 0 c = , chọn 1 a b = = , phương trình đường thẳng d là 3 1 1 xt yt z = +   =−−   =  Với 15 7 0 ac += , chọn 7 15; 8 a c b =⇒=− =− , phương trình đường thẳng d là 37 18 1 15 x t y t zt = +   =−−   = −  Trang 39/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua điểm ( ) 1; 1;2 A − , song song với ( ) :2 3 0 P x y z − −+ =, đồng thời tạo với đường thẳng 11 : 1 22 x y z + − ∆= = − một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là. A. 1 1 2 . 1 57 x yz − +− = = − B. 1 1 2 . 4 5 7 x yz − ++ = = − C. 1 1 2 . 45 7 x yz − +− = = D. 1 1 2 . 1 57 x yz − +− = = −− Hướng dẫn giải ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 1; 2;2 a ∆ = −  d có vectơ chỉ phương ( ) ; ; d a a bc =  ( ) P có vectơ pháp tuyến ( ) 2; 1; 1 P n = −−  Vì ( ) // dP nên . 02 0 2 d P dP a n a n ab c c ab ⊥ ⇔ = ⇔ −− = ⇔ = −         ( ) ( ) 2 22 22 54 54 1 cos , 35 4 2 35 4 2 ab ab d a ab b a ab b − − ∆= = −+ −+ Đặt a t b = , ta có: ( ) ( ) 2 2 54 1 cos , 35 4 2 t d tt − ∆= − + Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 54 5 42 t ft tt − = − + , ta suy ra được: ( ) 1 53 max 53 ft f   = − =     Do đó: ( ) 53 1 1 max cos , 27 5 5 a dt b ∆ = ⇔=− ⇒ =−     Chọn 1 5, 7 a bc =⇒ =− = Vậy phương trình đường thẳng d là 1 12 1 57 x yz − + − = = − Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua ( ) 1;0; 1 A− − , cắt 1 1 22 : 21 1 xy z −− + ∆ = = − , sao cho góc giữa d và 2 3 23 : 12 2 xy z − −+ ∆= = − là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 11 . 22 1 x y z ++ = = − B. 11 . 45 2 x y z ++ = = − C. 11 . 4 52 x yz ++ = = −− D. 11 . 2 21 x y z ++ = = Hướng dẫn giải Gọi ( ) 1 1 2 ;2 ; 2 Md M t t t = ∩∆ ⇒ + + − − d có vectơ chỉ phương ( ) 2 2; 2; 1 d a AM t t t = = + + −−     2 ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2 1;2;2 a = −  ( ) 2 2 2 2 cos ; 3 6 14 9 t d tt ∆= ++ Xét hàm số ( ) 2 2 6 14 9 t ft tt = ++ , ta suy ra được ( ) ( ) min 0 0 0 ft f t = = ⇔= Do đó ( ) ( ) min cos , 0 0 2;2 1 d t AM ∆ = ⇔= ⇒ = −       Vậy phương trình đường thẳng d là 11 22 1 x yz ++ = = − Trang 40/42 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho ba đường thẳng 1 : 4 12 xt dy t zt =   = −   =−+  2 2 : 1 33 xy z d − = = − − và 2 1 1 1 : 5 21 x y z d + −+ = = . Gọi ∆ là đường thẳng cắt 12 3 , , dd d lần lượt tại các điểm ,, ABC sao cho AB BC = . Phương trình đường thẳng ∆ là A. 22 . 1 11 x y z − − = = B. 2 . 1 11 xy z − = = C. 31 . 11 1 xy z −− = = − D. 31 . 1 11 xy z −− = = − Hướng dẫn giải Gọi 12 3 ,, A dB d C d ∈∈ ∈ Ta có: ( ) ( ) ( ) ;4 ; 1 2 , ;2 3 ; 3 , 1 5 ;1 2 ; 1 Aa a a B b b b C c c c − −+ − − −+ + −+ Yêu cầu bài toán ,, ABC ⇔ thẳng hàng và AB BC = B ⇔ là trung điểm AC ( ) ( ) 15 2 1 4 1 2 22 3 0 0 12 2 3 a cb a a c bb c aa c b  −+ = =    ⇔ − ++ = − ⇔ =   = −+ − + = −   Suy ra ( ) ( ) ( ) 1;3;1 , 0;2;0, , 1;1; 1 AB C− − ∆ đi qua điểm ( ) 0;2;0, B và có vectơ chỉ phương là ( ) 1;1;1 CB =  Vậy phương trình đường thẳng ∆ là 2 1 11 xy z − = =