Chuyên đề phương trình mặt phẳng - lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

Trang 1/40 CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng • Vectơ 0 n ≠  là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n  vuông góc với mặt phẳng () α • Chú ý:  Nếu n  là một VTPT của mặt phẳng () α thì kn  ( 0) k ≠ cũng là một VTPT của mặt phẳng () α .  Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.  Nếu , uv  có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng () α thì [, ] n uv =   là một VTPT của () α . II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng  Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 0 Ax By Cz D + + + =với 22 2 0 A BC ++ ≠  Nếu mặt phẳng () α có phương trình 0 Ax By Cz D + + + =thì nó có một VTPT là (; ; ) n A BC  .  Phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0 0 00 (; ; ) M x yz và nhận vectơ (; ; ) n A BC  khác 0  là VTPT là: 0 00 ( ) ( ) ( )0 Ax x B y y C z z −+ − + − = . • Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng () α : 0 Ax By Cz D + + + =với 22 2 0 A BC ++ ≠  Nếu 0 D = thì mặt phẳng () α đi qua gốc tọa độ O.  Nếu 0, 0, 0 ABC = ≠ ≠ thì mặt phẳng () α song song hoặc chứa trục Ox .  Nếu 0, 0, 0 A BC ≠= ≠ thì mặt phẳng () α song song hoặc chứa trục Oy .  Nếu 0, 0, 0 A BC ≠≠ = thì mặt phẳng () α song song hoặc chứa trục Oz .  Nếu 0, 0 AB C = = ≠ thì mặt phẳng () α song song hoặc trùng với ( ) Oxy .  Nếu 0, 0 A C B = = ≠ thì mặt phẳng () α song song hoặc trùng với ( ) Oxz .  Nếu 0, 0 B C A = = ≠ thì mặt phẳng () α song song hoặc trùng với ( ) Oyz . Trang 2/40 Chú ý:  Nếu trong phương trình () α không chứa ẩn nào thì () α song song hoặc chứa trục tương ứng.  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) :1 x yz ab c + += α . Ở đây () α cắt các trục tọa độ tại các điểm ( ) ;0;0 a , ( ) 0; ;0 b , ( ) 0;0;c với 0 abc ≠ . III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. • Trong không gian Oxyz , cho điểm 0 0 00 (x ; ; ) M yz và mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D α + + + = Khi đó khoảng cách từ điểm 0 M đến mặt phẳng () α được tính: 0 00 0 22 2 || ( ,( )) Ax By Cz D dM A BC     IV. Góc giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) 11 1 1 :0 Ax B y C z D α + + += và ( ) 22 2 2 : 0. Ax B y C z D β + + + = Góc giữa ( ) α và ( ) β bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT , n n αβ    . Tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 2 1 2 22 2 22 2 11 1 22 2 . cos , cos , . . nn AA BB C C n n nn A BC A BC αβ αβ αβ ++ α β= = = ++ ++          V. Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 1 điểm ( ) 0 0 00 ;; M x yz và song song với 1 mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D + + + = β cho trước. Phương pháp giải Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: 1. VTPT của ( ) β là ( ) ;; . n A BC =  β 2. ( ) α // ( ) β nên VTPT của mặt phẳng ( ) α là ( ) ;; . n n A BC = =      α β 3. Phương trình mặt phẳng ( ) α : ( ) ( ) ( ) 0 00 0. A x x B y y C z z −+ − + − = Cách 2: 1. Mặt phẳng ( ) α // ( ) β nên phương trình ( ) P có dạng: 0 Ax By Cz D ′ + + += (*), với DD ′ ≠ . 2. Vì ( ) P qua 1 điểm ( ) 0 0 00 ;; M x yz nên thay tọa độ ( ) 0 0 00 ;; M x yz vào (*) tìm được D ′. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng. Phương pháp giải 1. Tìm tọa độ các vectơ: ,. AB AC     Trang 3/40 2. Vectơ pháp tuyến của ( ) α là : ,. n AB AC α  =        3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C ). 4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT . n α  Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ∆ Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của ∆ là . u ∆  2. Vì ( ) α ⊥ ∆ nên ( ) α có VTPT . nu ∆ =      α 3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT . n α  Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng ∆ , vuông góc với mặt phẳng ( ). β Phương pháp giải 1. Tìm VTPT của ( ) β là . n  β 2. Tìm VTCP của ∆ là . u ∆  3. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ;. n nu ∆   =          α β 4. Lấy một điểm M trên . ∆ 5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng ( ). β Phương pháp giải 1. Tìm VTPT của ( ) β là . n  β 2. Tìm tọa độ vectơ . AB   3. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ,. n n AB  =         α β 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng ∆ và song song với ′ ∆ ( ∆ , ′ ∆ chéo nhau). Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của ∆ và ′ ∆ là u ∆  và ' . u ∆  2. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ,. n uu ′ ∆∆  =        α 3. Lấy một điểm M trên . ∆ 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng ∆ và 1 điểm M Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của ∆ là u ∆  , lấy 1 điểm N trên ∆ . Tính tọa độ . MN    2. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ; . n u MN ∆  =         α 3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa 2 đường thẳng cắt nhau ∆ và . ′ ∆ Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của ∆ và ′ ∆ là u ∆  và ' . u ∆  2. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ' ;. n uu ∆∆   =         α Trang 4/40 3. Lấy một điểm M trên . ∆ 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa 2 song song ∆ và . ′ ∆ Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của ∆ và ′ ∆ là u ∆  và u ′ ∆  , lấy ,. MN ′ ∈∆ ∈∆ 2. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ; . n u MN ∆  =         α 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng ∆ và ′ ∆ chéo nhau cho trước. Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của ∆ và ∆ ’ là u ∆  và ' . u ∆  2. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ;. n uu ′ ∆∆  =        α 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) ( ) , P Q cho trước. Phương pháp giải 1. Tìm VTPT của ( ) P và ( ) Q là P n  và . Q n  2. VTPT của mặt phẳng ( ) α là: ; . PQ n nn   =         α 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α song song với mặt phẳng ( ) β và cách ( ) : 0 Ax By Cz D β + + + = một khoảng k cho trước. Phương pháp giải 1. Trên mặt phẳng ( ) β chọn 1 điểm . M 2. Do ( ) α // ( ) β nên ( ) α có phương trình 0 Ax By Cz D ′ + + += ( DD ′ ≠ ). 3. Sử dụng công thức khoảng cách ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, d dM k α β= β= để tìm D ′ . Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α song song với mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D β + + + = cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước. Phương pháp giải 1. Do ( ) α // ( ) β nên ( ) α có phương trình 0 Ax By Cz D ′ + + += ( DD ′ ≠ ). 2. Sử dụng công thức khoảng cách ( ) ( ) , dM k α= để tìm D ′ . Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu ( ) S . Phương pháp giải 1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu ( ). S 2. Nếu mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu ( ) S tại ( ) MS ∈ thì mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M và có VTPT là . MI   3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: 0 Ax By Cz D + + + = ( D chưa biết). Sử dụng điều kiện tiếp xúc: ( ) ( ) , dI R α = để tìm D. Trang 5/40 Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa một đường thẳng ∆ và tạo với một mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D + + + = β cho trước một góc ϕ cho trước. Phương pháp giải 1. Tìm VTPT của ( ) β là . n  β 2. Gọi ( ; ; ). n A B C ′′ ′  α 3. Dùng phương pháp vô định giải hệ: (; ) nn n nu αβ α α∆  = ϕ  ⇒  ⊥           4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. VI. Các ví dụ Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P đi qua điểm (1;0; 2) A − và có vectơ pháp tuyến (1; 1;2) n −  . Lời giải Mặt phẳng () P đi qua điểm (1;0; 2) A − và có vectơ pháp tuyến (1; 1;2) n −  có phương trình là: 1( 1) 1( 0) 2( 2) 0 xy z −− − + + = 2 30 x y z ⇔ − + +=. Vậy phương trình mặt phẳng () P là: 2 30 x y z − + +=. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P đi qua điểm (0;1;3) M và song song với mặt phẳng ( ): 2 3 1 0 Q xz − +=. Lời giải Mặt phẳng () P song song với mặt phẳng ( ): 2 3 1 0 Q xz − += nên mặt phẳng () P có phương trình dạng: 2 3 0 ( 1) x zD D − + = ≠ . Mặt phẳng () P đi qua điểm (0;1;3) M nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.0 3.3 0 9 DD − + = ⇔ = (thỏa mãn 1 D ≠ ). Vậy phương trình mặt phẳng () P là: 2 3 90 xz − +=. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (1;0; 2), A − (1;1;1), B (0; 1;2) C − . Lời giải Ta có: (0;1;3), ( 1; 1: 4) AB AC = =−−     , (7; 3;1) AB AC   ⇒ =−       . Gọi n  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () ABC ta có n AB n AC  ⊥   ⊥           nên n  cùng phương với , AB AC         . Chọn (7; 3;1) n = −  ta được phương trình mặt phẳng () ABC là: 7( 1) 3( 0) 1( 2) 0 xy z −− − + + = 7 3 50 x yz ⇔ − +− =. Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () α đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng : 12 2. xt dy t zt =   =−+   = +  Lời giải Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: (1;2;1). d u =  Mặt phẳng () α vuông góc với đường thẳng d nên () α có một vectơ pháp tuyến là: (1;2;1) d nu α = =      . Trang 6/40 Đồng thời () α đi qua điểm O nên có phương trình là: 20 x yz + + =. Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () α chứa đường thẳng : 1 2 2. xt dy t zt = −   =−+   = +  và vuông góc với ( ) : 2 1 0. x yz + − += β Lời giải Đường thẳng d đi qua điểm ( ) 0; 1;2 A − và có VTCP là: ( 1;2;1). d u = −  Mặt phẳng ( ) β có VTPT là ( ) 1;2; 1 n β = −  . Mặt phẳng () α chứa đường thẳng d và vuông góc với ( ) β nên () α có một vectơ pháp tuyến là: ( ) ( ) , 4;0; 4 4 1;0;1 d n un  = =− − = −         αβ . Phương trình mặt phẳng ( ) α là: 20 xz +− =. Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () α đi qua điểm (1;2; 2), (2; 1;4) AB −− và vuông góc với ( ) : 2 1 0. x yz − − += β Lời giải Có ( ) 1; 3;6 AB = −   Mặt phẳng ( ) β có VTPT là ( ) 1; 2; 1 n β = −−  . Mặt phẳng () α chứa A , B và vuông góc với ( ) β nên () α có một vectơ pháp tuyến là: ( ) , 15;7;1 n AB n  = =         αβ . Phương trình mặt phẳng ( ) α là: 15 7 1 27 0 xz + +− =. Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P chứa đường thẳng 1 1 : 12 1 x dy t zt =   = −   = +  và song song với đường thẳng 2 1 1 : 1 22 x y z d − − = = . Lời giải Đường thẳng 1 d đi qua điểm 1 (1;1;1) M vectơ chỉ phương 1 (0; 2;1) u −  . Đường thẳng 2 d đi qua điểm 2 (1;0;1) M vectơ chỉ phương 2 (1;2;2) u  . Ta có 12 , ( 6;1;2) uu  = −    . Gọi n  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () P , ta có: 1 2 nu nu  ⊥   ⊥       nên n  cùng phương với 12 , uu     . Chọn ( 6;1;2) n = −  . Mặt phẳng () P đi qua điểm 1 (1;1;1) M và nhận vectơ pháp tuyến ( 6;1;2) n = −  có phương trình: 6( 1) 1( 1) 2( 1) 0 xy z − −+ −+ − = 6 2 30 xy z ⇔− + + + = . Thay tọa độ điểm 2 M vào phương trình mặt phẳng () P thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng () P là: 6 2 30 xy z − + + +=. Trang 7/40 Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () α chứa đường thẳng 1 : 12 1 x dy t zt =   = −   = +  và điểm ( 4;3;2). M − Lời giải Đường thẳng d đi qua điểm (1;1;1) N vectơ chỉ phương (0; 2;1) d u −  . ( ) 5; 2; 1 . MN= −−    Mặt phẳng () α chứa đường thẳng d và điểm M nên () α có một vectơ pháp tuyến là: ( ) , 4;5;10 d n u MN  = =          α . Phương trình mặt phẳng ( ) α là: 4 5 10 19 0 xy z + + −= . Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P chứa đường thẳng 1 1 : 12 1 x dy t zt =   = −   = +  và 2 13 : 1 2. 1 xt dy t zt = +   = −   = +  Lời giải Đường thẳng 1 d đi qua điểm 1 (1;1;1) M vectơ chỉ phương 1 (0; 2;1) u −  . Đường thẳng 2 d đi qua điểm 2 (1;1;1) M vectơ chỉ phương 2 (3; 2;1) u −  . Ta có ( ) 12 , 0;3;6 uu  =    , ( ) 12 0;0;0 MM =    Do 1 2 12 , 0 MM u u  =          nên đường thẳng 12 , dd cắt nhau. Mặt phẳng () α chứa đường thẳng 12 , dd cắt nhau nên () α có một vectơ pháp tuyến là: ( ) ( ) 12 , 0;3;6 3 0;1;2 n uu  = = =      α . Phương trình mặt phẳng ( ) α là: 2 30 y z + −=. Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () α chứa đường thẳng 1 1 : 12 1 x dy t zt =   = −   = +  và 2 4 : 34 12 x dy t zt =   = −   = +  Lời giải Đường thẳng 1 d đi qua điểm 1 (1;1;1) M vectơ chỉ phương 1 (0; 2;1) u −  . Đường thẳng 2 d đi qua điểm ( ) 2 4;3;1 M vectơ chỉ phương ( ) 2 0; 4;2 u −  . Ta có 12 , 0 uu  =     , ( ) 12 3;2;0 . MM =    Do 12 , 0 uu  =     nên đường thẳng 12 , dd song song Mặt phẳng () α chứa đường thẳng 12 , dd song song nên () α có một vectơ pháp tuyến là: ( ) ( ) 1 12 , 2;3;6 2; 3; 6 n u MM  = =− =− −−         α . Phương trình mặt phẳng ( ) α là: 23 67 0 xy z − − +=. Trang 8/40 Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P đi qua điểm (1;0; 2) A − và () P song song với hai đường thẳng 1 1 : 12 1 x dy t zt =   = −   = +  và 2 1 1 : 1 22 x y z d − − = = . Lời giải Đường thẳng 1 d đi qua điểm 1 (1;1;1) M vectơ chỉ phương 1 (0; 2;1) u −  . Đường thẳng 2 d đi qua điểm 2 (1;0;1) M vectơ chỉ phương 2 (1;2;2) u  . Ta có 12 , ( 6;1;2) uu  = −    . Gọi n  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () P , ta có: 1 2 nu nu  ⊥   ⊥       nên n  cùng phương với 12 , uu     . Chọn ( 6;1;2) n = −  ta được phương trình mặt phẳng () P là: 6( 1) 1( 0) 2( 2) 0 xy z − − + − + + = 6 2 10 0 xy z ⇔− + + + = . Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P đi qua điểm 1 2 5 − − M( ; ;) và vuông góc với hai mặt phẳng ( ): 2 3 1 0 Qx y z + − += và ( ): 2 3 1 0 R x yz − + +=. Lời giải VTPT của () Q là (1;2; 3) Q n −  , VTPT của () R là (2; 3;1). R n −  Ta có , ( 7; 7; 7) QR n n  =−−−      nên mặt phẳng () P nhận (1;1;1) n  là một VTPT và () P đi qua điểm 1 2 5 − − M( ; ;) nên có phương trình là: 20 x y z + + − =. Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P song song với mặt phẳng ( ): 2 2 1 0 Qx y z + − += và cách () Q một khoảng bằng 3. Lời giải Trên mặt phẳng ( ): 2 2 1 0 Qx y z + − += chọn điểm 10 0 − M( ;; ). Do () P song song với mặt phẳng () Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 22 0 x y zD + − + = với 1 D  . Vì (( ),( )) 3 dP Q  ( ,( )) 3 dM P   22 2 |1 | 3 1 2 ( 2) D     | 1 |9 D    8 10 D D        Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2 2 80 x yz + − −=và 2 2 10 0 x yz + − += . Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P song song với mặt phẳng ( ): 2 2 1 0 Qx y z + − += và () P cách điểm 1 21 − M(; ; ) một khoảng bằng 3. Lời giải Do () P song song với mặt phẳng () Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 22 0 x y zD + − + = với 1 D  . Vì ( ,( )) 3 dM P  22 2 |1 4 2 | 3 1 2 ( 2) D      | 5 |9 D    4 14 D D        Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2 2 40 x yz + − − =và 2 2 14 0 x yz + − += . Trang 9/40 Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () P song song với mặt phẳng ( ): 2 2 1 0 Qx y z + − += và tiếp xúc với mặt cầu 2 22 2 4 2 30 + + + − − − = S x yz x yz ( ): Lời giải Mặt cầu S ()có tâm ( 1;2;1) I  và bán kính 2 22 ( 1) 213 3 R     Do () P song song với mặt phẳng () Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 22 0 x y zD + − + = với 1 D  . Vì () P tiếp xúc với mặt cầu S () nên ( ,( )) 3 dI P R  22 2 |1 4 2 | 3 1 2 ( 2) D      |1 | 9 D   10 8 D D        Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2 2 10 0 x yz + − −= và 2 2 80 x yz + − +=. Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P và đường thẳng d lần lượt có phương trình ( ) : 2 50 P x yz + − + = và 1 : 13 2 x d y z + = += − . Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng ( ) P một góc 0 60 . Lời giải Giả sử mặt phẳng () Q có dạng 0 Ax By Cz D + + + = ( ) 22 2 0. A BC ++ ≠ Chọn hai điểm ( ) ( ) 1; 1;3 , 1;0;4 . M Nd −− ∈ Mặt phẳng ( ) Q chứa d nên ( ) , MN Q ∈ ( ) ( ) . 1 1 .3 0 2 74 .1 .0 .4 0 A B CD C AB D AB AB C D  −+ −+ + = = −−   ⇒⇒  = + + + + =    Suy ra mặt phẳng có phương trình là ( ) 2 74 0 Ax By A B z A B + +− − + + = và có VTPT ( ) ; ; 2 . Q n A B A B = −−  ( ) Q tạo với mặt phẳng ( ) P một góc 0 60 22 2 0 22 2 22 1 cos(60 ) 2 (2 ) 1 2 ( 1) (4 2 3) B A B AB A B AB A +++ ⇒= = + + + + +− ⇔ = ± Cho 1 B = ta được (4 2 3). A = ± Vậy có 2 phương trình mặt phẳng ( ) ( ) (4 2 3) 9 4 3 32 14 3 0 (4 2 3) 9 4 3 32 14 3 0 xy z xy z − + +− + + − = + + +− − + + = Trang 10/40 B. BÀI TẬP Câu 1. Chọn khẳng định sai A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (P thì () kn k ∈   cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (P . B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó. C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng: 22 2 0 ( 0) Ax By Cz D A B C + + + = + + ≠ . D. Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình dạng: 22 2 0 ( 0) Ax By Cz D A B C + + + = + + ≠ đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó. Câu 2. Chọn khẳng định đúng A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song. B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương. C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau. D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Câu 3. Chọn khẳng định sai A. Nếu hai đường thẳng CD AB, song song thì vectơ , AB CD       là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (ABCD . B. Cho ba điểm C B A , , không thẳng hàng, vectơ , AB AC       là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (ABC . C. Cho hai đường thẳng CD AB, chéo nhau, vectơ , AB CD        là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD. D. Nếu hai đường thẳng CD AB, cắt nhau thì vectơ , AB CD       là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (ABCD . Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D α + + + = . Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau: A. 0, 0, 0, 0 ABC D = ≠ ≠ ≠ khi và chỉ khi ( ) α song song với trục Ox. B. 0 D = khi và chỉ khi ( ) α đi qua gốc tọa độ. C. 0, 0, 0, 0 A BC D ≠= ≠ = khi và chỉ khi ( ) α song song với mặt phẳng ( ) Oyz D. 0, 0, 0, 0 A BC D = = ≠≠ khi và chỉ khi ( ) α song song với mặt phẳng ( ) Oxy . Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ( ) ;0;0 Aa , ( ) 0; ;0 Bb , ( ) 0;0; Cc , ( ) 0 abc ≠ . Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) ABC là: A. 1 x yz ab c + += . B. 1 x yz ba c + += . C. 1 x yz a cb + += . D. 1 x y z c ba ++ = . Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :3 0 xz α −=. Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau: A. ( )//Ox α . B. ( ) ( ) // xOz α . C. ( )//Oy α . D. ( ) Oy α ⊃ . Trang 11/40 Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) là 3 20 x z −+ − = có phương trình song song với: A. Trục Oy. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox. Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 3 2 10 x yz + − += . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. (3;2;1) n  . B. ( 2;3;1) n −  . C. (3;2; 1) n −  . D. (3; 2; 1) n −−  . Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 2 2 30 x yz − + − − =. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. (4; 4;2) n −  . B. ( 2;2; 3) n−−  . C. ( 4;4;2) n −  . D. (0;0; 3) n −  . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ( ) 1; 2;1 A − , ( ) 1;3;3 B − , ( ) 2; 4;2 C − . Một vectơ pháp tuyến n  của mặt phẳng ( ) ABC là: A. ( ) 9;4; 1 n = −  . B. ( ) 9;4;1 n =  . C. ( ) 4;9; 1 n = −  . D. ( ) 1;9;4 n = −  . Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) 2 50 xy − + −= A. ( 2;1;0) − . B. ( 2;1; 5) −− . C. (1;7;5). D. ( 2;2; 5) −− . Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm ( 1;2;0) A − và nhận ( 1;0;2) n −  là VTPT có phương trình là: A. 2 50 xy −+ − = B. 2 50 xz −+ − = C. 2 50 xy −+ − = D. 2 10 xz −+ −= Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ( ) 3; 2; 2 A −− , ( ) 3;2;0 B , ( ) 0;2;1 C . Phương trình mặt phẳng ( ) ABC là: A. 2 3 6 0 xy z −+ = . B. 4 2 30 y z + −=. C. 3 2 10 xy + +=. D. 2 30 yz +−=. Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm ) 1 ; 1 ; 2 ( ), 1 ; 0 ; 1 ( − − B A . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. 0 2 = − − y x . B. 0 1 = + − y x . C. 20 x y −+=. D. 0 2 = + + − y x . Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) đi qua các điểm ( 1;0;0) A − , (0;2;0) B , (0;0; 2) C − có phương trình là: A. 2 20 x yz − + +− =. B. 2 20 x yz − −− +=. C. 2 20 x yz − + − − =. D. 2 20 x yz − + − + =. Câu 16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 1;2;1 A − và hai mặt phẳng ( ) : 2 4 6 5 0 x yz α + − −= và ( ) : 2 3 0 x y z β + −= . Tìm khẳng định đúng? A. Mặt phẳng ( ) β đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ( ) α ; B. Mặt phẳng ( ) β đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ( ) α ; C. Mặt phẳng ( ) β không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ( ) α ; D. Mặt phẳng ( ) β không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ( ) α ; Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 2; 1;3 M − và các mặt phẳng: ( ) : 20 x α − =, ( ) : 10 y β +=, ( ) : 30 z γ −=. Tìm khẳng định sai. A. ( )//Ox α . B. ( ) β đi qua M . Trang 12/40 C. ( ) ( ) // xOy γ . D. ( ) ( ) βγ ⊥ . Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng qua ( ) 2;5;1 A và song song với mặt phẳng ( ) Oxy là: A. 25 0 x yz + + =. B. 20 x− =. C. 50 y−=. D. 10 z−=. Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng đi qua ( ) 1;4;3 M và vuông góc với trục Oy có phương trình là: A. 40 y− =. B. 10 x−=. C. 30 z−=. D. 430 x yz + += . Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :6 3 2 6 0 xy z α − − −=. Khẳng định nào sau đây sai? A. Mặt phẳng ( ) α có một vectơ pháp tuyến là ( ) 6,3,2 u −  . B. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) α bằng 6 8 . C. Mặt phẳng ( ) α chứa điểm ( ) 1,2, 3 A − . D. Mặt phẳng ( ) α cắt ba trục ,, Ox Oy Oz. Câu 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Biết ,, A BC là số thực khác 0 , mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là: A. 0 Ax Bz C + += . B. 0 Ax By += C. 0 By Az C + += . D. 0 Ax By C + +=. Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm ) 6 ; 0 ; 4 ( ), 4 ; 0 ; 5 ( ), 6 ; 2 ; 1 ( ), 3 ; 1 ; 5 ( D C B A . Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song với mặt phẳng ) (ABC . A. 0 10 = − + + z y x . B. 0 9 = − + + z y x . C. 0 8 = − + + z y x . D. 0 10 2 = − + + z y x . Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm ) 6 ; 0 ; 4 ( ), 4 ; 0 ; 5 ( ), 6 ; 2 ; 1 ( ), 3 ; 1 ; 5 ( D C B A . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD. A. 2 5 18 0 x yz + +− =. B. 0 6 3 2 = + + − z y x . C. 0 4 2 = + + − z y x . D. 90 x yz + +− =. Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ) (P là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng 0 3 : ) ( = − + + z y x Q . Phương trình mặt phẳng ) (P là: A. 0 = + z y . B. 0 = − z y . C. 0 1 = − − z y . D. 0 2 = − z y . Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm ( ) 2; 3;1 I − là: A. 30 yz + =. B. 30 xy +=. C. 30 y z −= . D. 30 yz += . Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm     2; 1;1 , 1;0;4 A B  và   0; 2; 1 C  . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC là: A.2 2 50 x y z    . B. 2 3 70 x yz     . C. 2 5 50 x yz    . D. 2 5 50 x yz    . Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 2; 1;4 A − , ( ) 3;2; 1 B − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 30 Q xy z + + −=. Phương trình mặt phẳng ( ) α là: Trang 13/40 A. 5 3 4 90 xy z + − +=. B. 3 5 21 0 x yz + −+ = . C. 2 30 xy z + + −=. D. 53 4 0 xy z +− = . Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 0; 2;3 M − , song song với đường thẳng 21 : 23 xy dz − + = = − và vuông góc với mặt phẳng ( ) :0 x yz β + −= có phương trình: A. 2 3 5 90 x yz − − −=. B. 2 3 5 90 xyz − + −=. C. 2 3 5 90 x yz + + +=. D. 2 3 5 90 x yz + + −=. Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Tọa độ giao điểm M của mặt phẳng ( ) : 2 3 4 0 P x yz + +− = với trục Ox là ? A. ( ) 0,0,4 M . B. 4 0, ,0 3 M    . C. ( ) 3,0,0 M . D. ( ) 2,0,0 M . Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi    là mặt phẳng qua các hình chiếu của   5;4;3 A lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng    là: A. 12 15 20 60 0 xy z   B.12 15 20 60 0 xy z    . C. 0 5 43 x y z   . D. 60 0 5 43 x y z    . Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) α đi qua hai điểm   5; 2;0 A  ,   3;4;1 B  và có một vectơ chỉ phương là   1;1;1 a  . Phương trình của mặt phẳng ( ) α là: A. 5 9 14 0 xy z   . B. 70 xy    . C. 5 9147 0 xy z     . D. 5914 7 0 xy z     . Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ): 6 0 P x yz + +− = và tiếp xúc với mặt cầu 12 : ) ( 2 2 2 = + + z y x S ? A. 2 B. Không có. C. 1. D. 3. Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 mặt phẳng ( ) : 2 4 30 P x y x − + −=, ( ) 248 5 0 Q x y z − + − +=, ( ) : 3 6 12 10 0 Rx y z − + −= , ( ) W : 4 8 8 12 0 x yz − +−= . Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau. A.2. B. 3. C.0. D.1. Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) ( ) :3 1 4 2 0 xm y z α + − + − =, ( ) ( ) : 2 2 40 nx m y z β + + + +=. Với giá trị thực của , mn bằng bao nhiêu để ( ) α song song ( ) β A. 3; 6 mn = = − . B. 3; 6 mn = = . C. 3; 6 mn = − = D. 3; 6 mn = − = − . Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 1 20 P x my m z + + − +=, ( ) : 2 3 4 0 Q x y z − + − =. Giá trị số thực m để hai mặt phẳng ( ) ( ) , PQ vuông góc A. 1 m = B. 1 2 m = − C. 2 m = D. 1 2 m = Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 2 30 x y z α − + −=, ( ) : 2 2 80 x y z β − + −=. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) , αβ là bao nhiêu ? A. ( ) ( ) ( ) 5 , 3 d αβ = B. ( ) ( ) ( ) 11 , 3 d αβ = C. ( ) ( ) ( ) ,5 d αβ = D. ( ) ( ) ( ) 4 , 3 d αβ = Trang 14/40 Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 10 P x yz + − +=. Gọi mặt phẳng ( ) Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng ( ) P qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) Q là ? A. 2 10 x yz + − −= B. 2 10 x yz − − += C. 2 10 x yz + + += D. 2 10 x yz − − −= Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 3 5 4 0 P xyz − + − =. Gọi mặt phẳng ( ) Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng ( ) P qua mặt phẳng () Oxz . Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) Q là ? A. ( ) : 2 3 5 4 0 P x yz − − − = B. ( ) : 2 3 5 4 0 P xyz − + − = C. ( ) : 2 3 5 4 0 P x yz + + − = D. ( ) : 23 54 0 P xyz − + += Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,    là mặt phẳng đi qua điểm   2; 1;5 A  và vuông góc với hai mặt phẳng  :3 2 7 0 P x yz    và  :5 4 3 1 0 Qx y z    . Phương trình mặt phẳng    là: A. 2 50 x yz    . B. 2 4 2 10 0 x yz    . C. 2 4 2 10 0 x yz    . D. 2 50 x yz    . Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: ( ) : 10 P x yz + − += và ( ) : 50 Q x yz − +− = là: A. ( ) 0; 3;0 M − . B. ( ) 0;3;0 M . C. ( ) 0; 2;0 M − . D. ( ) 0;1;0 M . Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( ) α là mặt phẳng qua ( ) 1;2;3 G và cắt các trục ,, Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm ,, A BC (khác gốc O ) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó mặt phẳng ( ) α có phương trình: A.3 6 2 18 0 x y z + + += . B. 6 3 2 18 0 xy z + + − = . C.2 3 90 xy z + + −=. D. 6 3 2 90 xy z + + +=. Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( ) α là mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : 2 4 4 3 0 x y z β − + += và cách điểm ( ) 2; 3;4 A − một khoảng 3 k = . Phương trình của mặt phẳng ( ) α là: A.2 4 4 50 x y z − + −= hoặc 2 4 4 13 0 x y z − + −= . B. 2 2 25 0 x y z − +− = . C. 2 2 70 x y z − + − =. D. 2 2 25 0 x y z − +− = hoặc 2 2 70 x y z − + − =. Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 12 , dd lần lượt có phương trình 1 2 23 : 2 13 x y z d − −− = = , 2 1 21 : 2 14 xy z d −− − = = − . Phương trình mặt phẳng ( ) α cách đều hai đường thẳng 12 , dd là: A. 72 4 0 x yz − − = . B. 7 2 4 30 x yz − − +=. C. 2 3 30 xy z + + +=. D.14 4 8 3 0 x y z − − +=. Trang 15/40 Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ( ) 1;0;0 A , ( ) 0; ;0 Bb , ( ) 0;0; Cc , ( ) 0, 0 bc >> và mặt phẳng ( ) : 10 P yz − +=. Xác định b và c biết mặt phẳng ( ) ABC vuông góc với mặt phẳng ( ) P và khoảng cách từ O đến ( ) ABC bằng 1 3 . A. 11 , 22 bc = = B. 1 1, 2 bc = = C. 11 , 22 bc = = D. 1 ,1 2 bc = = Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng    đi qua điểm   5;4;3 M và cắt các tia , Ox , Oy Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là: A. 12 0 x yz    B. 0 x yz   C.5 4 3 50 0 x yz    D. 0 xy z   Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ) (P là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng 0 1 = + + z y góc 0 60 . Phương trình mặt phẳng ) (P là: A.    = + = − 0 0 z x z x B.    = + = − 0 0 y x y x C.    = − = − − 0 0 1 z x z x D.    = + = − 0 0 2 z x z x Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 31 Sx y z − + −+ −= . Phương trình mặt phẳng ( ) α chứa trục Oz và tiếp xúc với ( ) S A. ( ) : 4 3 2 0. xy α − += B. ( ) : 3 4 0. xy α += C. ( ) : 3 4 0. xy α −= D. ( ) : 4 3 0. xy α −= Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có ( ) 1, 2, 1 A − , ( ) 2,1,0 B − , ( ) 2,3,2 C . Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) OGB bằng bao nhiêu ? A. 3 174 29 B. 174 29 C. 2 174 29 D. 4 174 29 Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 3 16 Sx y z − + −+ −= . Phương trình mặt phẳng ( ) α chứa Oy cắt hình cầu ( ) S theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8 π A. ( ) :3 0 xz α −= B. ( ) :3 0 xz α + = C. ( ) :3 2 0 xz α ++ = D. ( ) : 30 xz α −= Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ) (P là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu 12 ) 2 ( ) 1 ( 2 2 2 = + + + − z y x theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của ) (P là: A. 0 1 2 = + − y x . B. 0 2 = − y . C. 0 1 = + y . D. 0 2 = + y . Câu 51. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ). 3 ; 2 ; 1 ( M Gọi () α là mặt phẳng chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của () α là: A. 30 x z += . B. 20 xz += . C. 30 xz −= . D. 0 x = . Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 39 Sx y z − + −+ −= , điểm ( ) 0;0;2 A . Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A và cắt mặt cầu ( ) S theo thiết diện là hình tròn ( ) C có diện tích nhỏ nhất ? A. ( ) : 2 3 60 Px y z + + −=. B. ( ) : 2 20 P x yz + +− =. Trang 16/40 C. ( ) :3 2 2 4 0 Px y z + + − =. D. ( ) : 2 3 60 Px y z − + −=. Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 1;1;1 N . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P cắt các trục ,, Ox Oy Oz lần lượt tại ,, A BC (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A. ( ) : 30 P x yz + +−=. B. ( ) : 10 P x yz + − +=. C. ( ) : 10 P x yz − − +=. D. ( ) : 2 40 P x yz + +− =. Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm (1;1;1) A , ( ) 0;2;2 B đồng thời cắt các tia , Ox Oy lần lượt tại hai điểm , MN (không trùng với gốc tọa độO ) sao cho 2 OM ON = A. ( ) : 2 3 4 0 P x yz + − − =. B. ( ) : 2 20 P x yz + − − =. C. ( ) : 2 20 P x yz − − + =. D. ( ) :3 2 6 0 P xy z + + −=. Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( ) 1;2;1 A , ( ) 2;1;3 B − , ( ) 2; 1;3 C − và ( ) 0;3;1 D . Phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua , A B đồng thời cách đều , CD A. ( ) ( ) 12 : 4 2 7 15 0; : 5 y 10 0 P x y z P x z + + − = − − + = . B. ( ) ( ) 12 : 6 4 7 5 0; : 3 5 10 0 P x y z P xy z − + − = + ++= . C. ( ) ( ) 12 : 6 4 7 50; : 2 3 50 P x y z P x z − + −= + −= . D. ( ) ( ) 12 : 3 5 7 20 0; : 3 3 10 0 P x y z P x y z + + − = + +−= . Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;3 ; 3;0;2 ; 0; 2;1 AB C − . Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua , A B và cách C một khoảng lớn nhất ? A. ( ) : 3 2 11 0 P x yz + +− =. B. ( ) : 3 2 13 0 P xy z ++ − =. C. ( ) : 2 3 12 0 P x y z − +−= . D. ( ) : 30 P xy + −=. Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng    đi qua điểm   1;2;3 M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B ,C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng    có phương trình là: A. 2 3 14 0 x yz   . B. 1 0 1 23 x y z    . C.3 2 10 0 x yz    . D. 2 3 14 0 x yz   . Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ) 3 ; 4 ; 1 ( G . Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục Oz Oy Ox , , lần lượt tại C B A , , sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ? A. 0 4 16 12 xy z + + = . B. 1 12 16 4 = + + z y x . C. 1 9 12 3 = + + z y x . D. 0 9 12 3 = + + z y x . Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ). 3 ; 2 ; 1 ( M Mặt phẳng ) (P qua M cắt các tia Oz Oy Ox , , lần lượt tại ,, A BC sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất có phương trình là: A. 0 2 3 6 = + + z y x . B. 0 18 2 3 6 = − + + z y x . C. 0 14 3 2 = − + + z y x . D. 0 6 = − + + z y x . Trang 17/40 Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình ( ) P 2 2 10 x y z + + −= ( ) : 2 30 Q x yz + − − = và mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 :1 2 5 Sx y z − ++ + = .Mặt phẳng ( ) α vuông với mặt phẳng ( ) ( ) , P Q đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( ) S . A. 2 1 0;2 9 0 xy xy +− = ++ = . B. 2 1 0;2 9 0 x y x y −− = −+ = . C. 2 1 0; 2 9 0 xy xy −+ = −− = . D. 2 1 0; 2 9 0 x y x y −+ = −− = . Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 Px y z + − += , 2 điểm ( ) 1;0;0 , ( 1;2;0) AB − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 25 Sx y z − +− + =. Viết phương trình mặt phẳng ( ) α vuông với mặt phẳng ( ) P , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu ( ) S theo đường tròn có bán kính bằng 22 r = A. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz + ++ = + +− = . B. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz − ++ = − +− = . C. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz − +− = − ++ = . D. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz + +− = + ++ = . Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 3 điểm ( ) 1;1; 1 A − , ( ) 1;1;2 B , ( ) 1;2; 2 C− − và mặt phẳng ( ) : 2 2 10 Px y z − + += . Lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua A , vuông góc với mặt phẳng ( ) P cắt đường thẳng BC tại I sao cho 2 IB IC = biết tọa độ điểm I là số nguyên A. ( ) : 2 2 3 0 x y z α − − −=. B. ( ) : 4 3 2 9 0 xy z α + − −=. C. ( ) :6 2 9 0 x yz α + − − =. D. ( ) : 2 3 2 3 0 xy z α + + −=. Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) P 30 x yz + +−=, ( ) : 2 3 4 1 0 Q xy z + + −= . Lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 1;0;1 A và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , P Q ? A. ( ) : 2 3 3 0 x yz α + +−=. B. ( ) : 7 8 9 16 0 xyz α + + −= . C. ( ) : 7 8 9 17 0 xyz α + + −= . D. ( ) : 2 2 3 0 x yz α − +−=. Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 2 đường thẳng 1 1 : 2 1 1 xy z d − = = − 2 11 : 1 21 x yz d − + = = .Viết phương trình mặt phẳng ( ) α vuông góc với 1 d ,cắt Oz tại A và cắt 2 d tại B ( có tọa nguyên ) sao cho 3 AB = . A. ( ) :10 5 5 1 0 x yz α − + +=. B. ( ) : 4 2 2 1 0 x y z α − + +=. C. ( ) : 2 1 0 x yz α − + +=. D. ( ) : 2 2 0 x yz α −+ +=. Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm ( ) ( ) 1;1;1 , 2;0;2 A B , ( ) ( ) 1; 1;0 , 0;3;4 CD −− . Trên các cạnh ,, AB AC AD lần lượt lấy các điểm ', ', ' B C D thỏa : 4 '' ' AB AC AD AB AC AD ++ = . Viết phương trình mặt phẳng ( ) '' ' BC D biết tứ diện '' ' AB C D có thể tích nhỏ nhất ? A.16 40 44 39 0 x yz + − += . B.16 40 44 39 0 x y z + + −= . C.16 40 44 39 0 x yz − − += . D.16 40 44 39 0 x yz − − −= . Trang 18/40 Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho ( ) : 4 2 60 Px y z + − −= , ( ) : 2 4 60 Qx y z − + −=. Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa giao tuyến của ( ) ( ) , P Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm ,, A BC sao cho hình chóp . O ABC là hình chóp đều. A. 60 x yz + ++ =. B. 60 x yz + +− =. C. 60 x yz + − − =. D. 30 x yz + +−=. Trang 19/40 C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A A B C A B II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Chọn khẳng định sai A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (P thì () kn k ∈   cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (P . B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó. C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng: 22 2 0 ( 0) Ax By Cz D A B C + + + = + + ≠ . D. Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình dạng: 22 2 0 ( 0) Ax By Cz D A B C + + + = + + ≠ đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó. Câu 2. Chọn khẳng định đúng A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song. B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương. C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau. D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Câu 3. Chọn khẳng định sai A. Nếu hai đường thẳng CD AB, song song thì vectơ , AB CD       là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (ABCD . B. Cho ba điểm C B A , , không thẳng hàng, vectơ , AB AC       là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (ABC . C. Cho hai đường thẳng CD AB, chéo nhau, vectơ , AB CD        là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD. D. Nếu hai đường thẳng CD AB, cắt nhau thì vectơ , AB CD       là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (ABCD . Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D α + + + = . Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau: A. 0, 0, 0, 0 ABC D = ≠ ≠ ≠ khi và chỉ khi ( ) α song song với trục Ox. B. 0 D = khi và chỉ khi ( ) α đi qua gốc tọa độ. C. 0, 0, 0, 0 A BC D ≠= ≠ = khi và chỉ khi ( ) α song song với mặt phẳng ( ) Oyz D. 0, 0, 0, 0 A BC D = = ≠≠ khi và chỉ khi ( ) α song song với mặt phẳng ( ) Oxy . Trang 20/40 Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ( ) ;0;0 Aa , ( ) 0; ;0 Bb , ( ) 0;0; Cc , ( ) 0 abc ≠ . Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) ABC là: A. 1 x yz ab c + += . B. 1 x yz ba c + += . C. 1 x yz a cb + += . D. 1 x y z c ba ++ = . Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :3 0 xz α −=. Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau: A. ( )//Ox α . B. ( ) ( ) // xOz α . C. ( )//Oy α . D. ( ) Oy α ⊃ . Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) là 3 20 x z −+ − = có phương trình song song với: A. Trục Oy. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox. Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 3 2 10 x yz + − += . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. (3;2;1) n  . B. ( 2;3;1) n −  . C. (3;2; 1) n −  . D. (3; 2; 1) n −−  . Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 2 2 30 x yz − + − − =. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. (4; 4;2) n −  . B. ( 2;2; 3) n−−  . C. ( 4;4;2) n −  . D. (0;0; 3) n −  . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ( ) 1; 2;1 A − , ( ) 1;3;3 B − , ( ) 2; 4;2 C − . Một vectơ pháp tuyến n  của mặt phẳng ( ) ABC là: A. ( ) 9;4; 1 n = −  . B. ( ) 9;4;1 n =  . C. ( ) 4;9; 1 n = −  . D. ( ) 1;9;4 n = −  . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Ta có ( ) 2;5;2 AB = −   , ( ) 1; 2;1 AC = −   ( ) , 9;4; 1 n AB AC  ⇒= = −       . Phương pháp trắc nghiệm Sử dụng MTBT tính tích có hướng. Có ( ) 2;5;2 AB = −   , ( ) 1; 2;1 AC = −   . Chuyển sang chế độ Vector: Mode 8. Ấn tiếp 1 – 1: Nhập tọa độ AB   vào vector A. Sau đó ấn AC. Shift – 5 – 1 – 2 – 1 Nhập tọa độ AC   vào vector B. Sau đó ấn AC. Để nhân , AB AC       ấn Shift – 5 –3 – X Shift - 5 – 4 - = Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) 2 50 xy − + −= A. ( 2;1;0) − . B. ( 2;1; 5) −− . C. (1;7;5). D. ( 2;2; 5) −− . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Trang 21/40 Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu điểm nào làm cho vế trái bằng 0 thì đó là điểm thuộc mặt phẳng. Phương pháp trắc nghiệm Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính dạng sau: 2 0 50 X Y A − + + −=, sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ ( ; y; ) xz của các điểm vào. Nếu bằng 0 thì điểm đó thuộc mặt phẳng. Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm ( 1;2;0) A − và nhận ( 1;0;2) n −  là VTPT có phương trình là: A. 2 50 xy −+ − = B. 2 50 xz −+ − = C. 2 50 xy −+ − = D. 2 10 xz −+ −= Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) đi qua điểm ( 1;2;0) A − và nhận ( 1;0;2) n −  là VTPT có phương trình là: 1( 1) 0( 2) 2( 0) 0 xy z − ++ − + − = 1 2 0 x z ⇔− − + = 2 10 xz ⇔−+ −=. Vậy 2 10 xz −+ −=. Phương pháp trắc nghiệm (nên có) Từ tọa độ VTPT suy ra hệ số B=0, vậy loại ngay đáp án 2 50 xy −+ − = và 2 50 xy −+ − = Chọn 1 trong 2 PT còn lại bằng cách thay tọa độ điểm A vào Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ( ) 3; 2; 2 A −− , ( ) 3;2;0 B , ( ) 0;2;1 C . Phương trình mặt phẳng ( ) ABC là: A. 2 3 6 0 xy z −+ = . B. 4 2 30 y z + −=. C. 3 2 10 xy + +=. D. 2 30 yz +−=. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận ( ) 0;4;2 AB =   , ( ) 3;4;3 AC = −   ( ) ABC qua ( ) 3; 2; 2 A −− và có vectơ pháp tuyến ( ) ( ) , 4; 6;12 2 2; 3;6 AB AC  =− = −      ( ) :2 3 6 0 ABC x y z ⇒ −+ = Phương pháp trắc nghiệm Sử dụng MTBT tính tích có hướng. Hoặc thay tọa độ cả 3 điểm A, B, C vào mặt phẳng xem có thỏa hay không? Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm ) 1 ; 1 ; 2 ( ), 1 ; 0 ; 1 ( − − B A . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. 0 2 = − − y x . B. 0 1 = + − y x . C. 20 x y −+=. D. 0 2 = + + − y x . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) ( 1;1;0) AB = −   . +) Trung điểm I của đoạn AB là 31 ( ; ;1) 22 I − Mặt phẳng trung trực của đọan AB là 31 ( )( ) 0 2 2 x y −+ + − = hay 20 x y −+=. Phương pháp trắc nghiệm Do ( ) α là mặt phẳng trung trực của AB nên ( ) AB α ⊥ Kiểm tra mặt phẳng ( ) α nào có n k AB α =     và chứa điểm I Cả 4 đáp án đều thỏa điều kiện n k AB α =     . Trang 22/40 Cả 4 PT đều chung dạng: x–y+0z+D=0, nên để kiếm tra PT nào thỏa tọa độ điểm I ta bấm máy tính: trong đó nhập A, B, C là tọa độ I, còn D là số hạng tự do từng PT, nếu cái nào làm bằng 0 thì chọn. Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) đi qua các điểm ( 1;0;0) A − , (0;2;0) B , (0;0; 2) C − có phương trình là: A. 2 20 x yz − + +− =. B. 2 20 x yz − −− +=. C. 2 20 x yz − + − − =. D. 2 20 x yz − + − + =. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Theo công thức phương trình mặt chắn ta có: 1 12 2 xy z ++ = −− 2 20 x yz ⇔− + − − = . Vậy 2 20 x yz − + − − =. Phương pháp trắc nghiệm Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính, sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ ( ; y; ) xz của các điểm vào. Nếu tất cả các điểm đều cho kết quả bằng 0 thì đó đó là mặt phẳng cần tìm. Chỉ cần 1 điểm làm cho phương trình khác 0 đều loại. Câu 16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 1;2;1 A − và hai mặt phẳng ( ) : 2 4 6 5 0 x yz α + − −= và ( ) : 2 3 0 x y z β + −= . Tìm khẳng định đúng? A. Mặt phẳng ( ) β đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ( ) α ; B. Mặt phẳng ( ) β đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ( ) α ; C. Mặt phẳng ( ) β không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ( ) α ; D. Mặt phẳng ( ) β không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ( ) α ; Hướng dẫn giải Có ( ) 2;4; 6 n α = −  , ( ) 1;2; 3 n β = −  ( ) ( ) // αβ ⇒ Và ( ) A β ∈ Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 2; 1;3 M − và các mặt phẳng: ( ) : 20 x α − =, ( ) : 10 y β +=, ( ) : 30 z γ −=. Tìm khẳng định sai. A. ( )//Ox α . B. ( ) β đi qua M . C. ( ) ( ) // xOy γ . D. ( ) ( ) βγ ⊥ . Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng qua ( ) 2;5;1 A và song song với mặt phẳng ( ) Oxy là: A. 25 0 x yz + + =. B. 20 x− =. C. 50 y−=. D. 10 z−=. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng qua ( ) 2;5;1 A và có vectơ pháp tuyến ( ) 0;0;1 k =  có phương trình: 10 z−=. Phương pháp trắc nghiệm Mặt phẳng qua A và song song với ( ) Oxy có phương trình A zz = . Trang 23/40 Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng đi qua ( ) 1;4;3 M và vuông góc với trục Oy có phương trình là: A. 40 y− =. B. 10 x−=. C. 30 z−=. D. 430 x yz + += . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng qua ( ) 1;4;3 M và có vectơ pháp tuyến ( ) 0;1;0 j =  có phương trình 40 y− =. Phương pháp trắc nghiệm Mặt phẳng qua M và vuông góc với trục Oy có phương trình M yy = . Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :6 3 2 6 0 xy z α − − −=. Khẳng định nào sau đây sai? A. Mặt phẳng ( ) α có một vectơ pháp tuyến là ( ) 6,3,2 u −  . B. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) α bằng 6 8 . C. Mặt phẳng ( ) α chứa điểm ( ) 1,2, 3 A − . D. Mặt phẳng ( ) α cắt ba trục ,, Ox Oy Oz. Hướng dẫn giải: Do ( ) ( ) 66 , 7 36 9 4 dO α = = + + . Câu 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Biết ,, A BC là số thực khác 0 , mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là: A. 0 Ax Bz C + += . B. 0 Ax By += C. 0 By Az C + += . D. 0 Ax By C + +=. Hướng dẫn giải Trục Oz là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) ( ) , Ozx Oyz nên mặt phẳng chứa Oz thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi 2 mặt ( ) ( ) , Ozx Oyz 0 Ax By ⇒ += Vậy 0 Ax By += . Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm ) 6 ; 0 ; 4 ( ), 4 ; 0 ; 5 ( ), 6 ; 2 ; 1 ( ), 3 ; 1 ; 5 ( D C B A . Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song với mặt phẳng ) (ABC . A. 0 10 = − + + z y x . B. 0 9 = − + + z y x . C. 0 8 = − + + z y x . D. 0 10 2 = − + + z y x . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) ( 4;1;3), (0; 1;1) AB AC = −= −     ⇒ , (4;4;4) AB AC  =      . +) Mặt phẳng đi qua D có VTPT (1;1;1) n =  có phương trình: 0 10 = − + + z y x . +) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0 10 = − + + z y x . Phương pháp trắc nghiệm Gọi phương trình mặt phẳng ) (ABC có dạng 0 Ax By Cz D + + + = . Trang 24/40 Sử dụng MTBT giải hệ bậc nhất 3 ẩn, nhập tọa độ 3 điểm ,, A BC vào hệ, chọn 1 D = ta được 11 1 ,, 99 9 A BC = = = . (Trong trường hợp chọn 1 D = vô nghiệm ta chuyển sang chọn 0 D = ). Suy ra mặt phẳng ) (ABC có VTPT (1;1;1) n =  Mặt phẳng đi qua D có VTPT (1;1;1) n =  có phương trình: 0 10 = − + + z y x . Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn. Vậy chọn A. Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm ) 6 ; 0 ; 4 ( ), 4 ; 0 ; 5 ( ), 6 ; 2 ; 1 ( ), 3 ; 1 ; 5 ( D C B A . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD. A. 2 5 18 0 x yz + +− =. B. 0 6 3 2 = + + − z y x . C. 0 4 2 = + + − z y x . D. 90 x yz + +− =. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) ( 4;1;3), ( 1;0;2) AB CD = −= −     , (2;5;1) AB CD  ⇒=      . +) Mặt phẳng đi qua A có VTPT (2;5;1) n =  có phương trình là: 2 5 18 0 x yz + +− =. +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2 5 18 0 x yz + +− = Phương pháp trắc nghiệm +) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay không? thấy đáp án B, C không thỏa mãn. +) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng cần tìm vuông góc với véctơ CD   ta loại được đáp D. Vậy chọn A. Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ) (P là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng 0 3 : ) ( = − + + z y x Q . Phương trình mặt phẳng ) (P là: A. 0 = + z y . B. 0 = − z y . C. 0 1 = − − z y . D. 0 2 = − z y . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Trục Ox véctơ đơn vị (1;0;0) i =  . Mặt phẳng () Q có VTPT () (1;1;1) Q n =  . Mặt phẳng ) (P chứa trục Ox và vuông góc với 0 3 : ) ( = − + + z y x Q nên ) (P có VTPT () , (0; 1;1) Q n in  = = −      . Phương trình mặt phẳng ) (P là: 0 = − z y . Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng ) (P chứa trục Ox nên loại đáp án C. +) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng () Q vuông góc với VTPT của ) (P ta loại tiếp được đáp án B, D. Vậy chọn A. Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm ( ) 2; 3;1 I − là: A. 30 yz + =. B. 30 xy +=. C. 30 y z −= . D. 30 yz += . Hướng dẫn giải Trang 25/40 Trục Ox đi qua ( ) 1;0;0 A và có ( ) 1;0;0 i =  Mặt phẳng đi qua ( ) 2; 3;1 I − và có vectơ pháp tuyến ( ) , 0;1;3 n i AI  = =     có phương trình 30 yz += . Vậy 30 yz += . Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm     2; 1;1 , 1;0;4 A B  và   0; 2; 1 C  . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC là: A.2 2 50 x y z    . B. 2 3 70 x yz     . C. 2 5 50 x yz    . D. 2 5 50 x yz    . Hướng dẫn giải Ta có:   1;2;5 CB  . Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC có một VTPT là   1;2;5 CB  nên có phương trình là: 2 5 50 x yz    . Vậy 2 5 50 x yz    . Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 2; 1;4 A − , ( ) 3;2; 1 B − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 30 Q xy z + + −=. Phương trình mặt phẳng ( ) α là: A. 5 3 4 90 xy z + − +=. B. 3 5 21 0 x yz + −+ = . C. 2 30 xy z + + −=. D. 53 4 0 xy z +− = . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận ( ) 1;3; 5 AB = −   , ( ) 1;1;2 Q n =  Mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 2; 1;4 A − và có vectơ pháp tuyến ( ) ( ) , 10; 6;8 2 5;3; 4 Q AB n   =−− = − −       có phương trình: 5 3 4 90 xy z + − +=. Vậy 5 3 4 90 xy z + − +=. Phương pháp trắc nghiệm Do ( ) ( ) . 0 Q Q nn α α⊥⇒ =     , kiểm tra mp ( ) α nào có . 0 Q nn α =     . Vậy chọn A. Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 0; 2;3 M − , song song với đường thẳng 21 : 23 xy dz − + = = − và vuông góc với mặt phẳng ( ) :0 x yz β + −= có phương trình: A. 2 3 5 90 x yz − − −=. B. 2 3 5 90 xyz − + −=. C. 2 3 5 90 x yz + + +=. D. 2 3 5 90 x yz + + −=. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Ta có ( ) 2; 3;1 d u = −  , ( ) 1;1; 1 n β = −  Mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 0; 2;3 M − và có vectơ pháp tuyến ( ) , 2;3;5 d n un α β  = =        ( ) : 2 3 5 9 0 x yz α ⇒ + + −=. Phương pháp trắc nghiệm Trang 26/40 Do ( ) ( ) ( ) ( ) // . 0 Q Q n kn d Q nn α α α α  =   ⇔  ⊥ =             kiểm tra mp ( ) α nào thỏa hệ Vậy chọn A. Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Tọa độ giao điểm M của mặt phẳng ( ) : 2 3 4 0 P x yz + +− = với trục Ox là ? A. ( ) 0,0,4 M . B. 4 0, ,0 3 M    . C. ( ) 3,0,0 M . D. ( ) 2,0,0 M . Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ,0,0 Ma là điểm thuộc trục Ox . Điểm ( ) 2 40 2 MP a a ∈ ⇒ − = ⇔ = . Vậy ( ) 2,0,0 M là giao điểm của ( ), P Ox. Phương pháp trắc nghiệm Giải hệ PT gồm PT của (P) và của (Ox): 2 3 40 0 0 x yz y z + +− =   =   =  ; bấm máy tính. Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi    là mặt phẳng qua các hình chiếu của   5;4;3 A lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng    là: A. 12 15 20 60 0 xy z   B.12 15 20 60 0 xy z    . C. 0 5 43 x y z   . D. 60 0 5 43 x y z    . Hướng dẫn giải Gọi , , M NP lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục ,, Ox Oy Oz. Ta có:   5;0;0 M ,   0;4;0 N ,   0;0;3 P . Phương trình mặt phẳng    qua   5;0;0 M ,   0;4;0 N ,   0;0;3 P là: 1 12 15 20 60 0 5 43 x y z xy z      . Vậy 12 15 20 60 0 xy z   . Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) α đi qua hai điểm   5; 2;0 A  ,   3;4;1 B  và có một vectơ chỉ phương là   1;1;1 a  . Phương trình của mặt phẳng ( ) α là: A. 5 9 14 0 xy z   . B. 70 xy    . C. 5 9147 0 xy z     . D. 5914 7 0 xy z     . Hướng dẫn giải Ta có:   8;6;1 AB   . Mặt phẳng ( ) α đi qua hai điểm   5; 2;0 A  ,   3;4;1 B  và có một vectơ chỉ phương là   1;1;1 a  nên có một VTPT là:   , 5;9; 14 n AB a         . Mặt phẳng ( ) α đi qua điểm   5; 2;0 A  và có một VTPT   5;9; 14 n  có phương trình là: 5 9147 0 xy z     . Vậy 5 9147 0 xy z     . Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ): 6 0 P x yz + +− = và tiếp xúc với mặt cầu 12 : ) ( 2 2 2 = + + z y x S ? A. 2 B. Không có. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải Trang 27/40 Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng () Q song song với mặt phẳng () P có dạng: 0 ( 6) x y zD D + + + = ≠− . +) Do mặt phẳng () Q tiếp xúc với mặt cầu 12 : ) ( 2 2 2 = + + z y x S nên ( ;( )) dI Q R = với I là tâm cầu, R là bán kính mặt cầu. Tìm được 6 D = hoặc 6 D = − (loại) Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn. Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 mặt phẳng ( ) : 2 4 30 P x y x − + −=, ( ) 248 5 0 Q x y z − + − +=, ( ) : 3 6 12 10 0 Rx y z − + −= , ( ) W : 4 8 8 12 0 x yz − +−= . Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau. A.2. B. 3. C.0. D.1. Hướng dẫn giải: Hai mặt phẳng song song khi ' '' ' abc d abc d = = ≠ Xét ( ) P và ( ) Q : 1 24 3 2 4 85 −− = = ≠ −− ( ) ( ) PQ ⇒  Xét ( ) P và ( ) R : 1 24 3 3 6 12 10 −− = = ≠ −− ( ) ( ) P R ⇒  ( ) ( ) QR ⇒  Xét ( ) P và ( ) W : 1 24 4 88 − = ≠ − Xét ( ) Q và ( ) W : 24 8 4 88 −− = ≠ − Xét ( ) R và ( ) W : 3 6 12 4 88 − = ≠ − . Vậy có 3 cặp mặt phẳng song song. Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) ( ) :3 1 4 2 0 xm y z α + − + − =, ( ) ( ) : 2 2 40 nx m y z β + + + +=. Với giá trị thực của , mn bằng bao nhiêu để ( ) α song song ( ) β A. 3; 6 mn = = − . B. 3; 6 mn = = . C. 3; 6 mn = − = D. 3; 6 mn = − = − . Hướng dẫn giải: Để ( ) α song song ( ) β 3 14 4 3; 6 22 2 m mn nm − ⇒ = =≠ ⇔ = − = + − . Vậy 3; 6 mn = − = . Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 1 20 P x my m z + + − +=, ( ) : 2 3 4 0 Q x y z − + − =. Giá trị số thực m để hai mặt phẳng ( ) ( ) , PQ vuông góc A. 1 m = B. 1 2 m = − C. 2 m = D. 1 2 m = Hướng dẫn giải: Để 2 mặt phẳng ( ) ( ) , PQ vuông góc ( ) ( ) 1 . 0 1.2 . 1 1 .3 0 2 p Q n n m m m ⇒ = ⇔ + −+ − = ⇔ =   . Vậy 1 2 m = . Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 2 30 x y z α − + −=, ( ) : 2 2 80 x y z β − + −=. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) , αβ là bao nhiêu ? Trang 28/40 A. ( ) ( ) ( ) 5 , 3 d αβ = B. ( ) ( ) ( ) 11 , 3 d αβ = C. ( ) ( ) ( ) ,5 d αβ = D. ( ) ( ) ( ) 4 , 3 d αβ = Hướng dẫn giải: Lấy ( ) 1,0,1 M thuộc mặt phẳng ( ) α .Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 55 , , 3 1 22 d dM αβ β = = = +− + . Vậy ( ) ( ) ( ) 5 , 3 d αβ = . Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 10 P x yz + − +=. Gọi mặt phẳng ( ) Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng ( ) P qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) Q là ? A. 2 10 x yz + − −= B. 2 10 x yz − − += C. 2 10 x yz + + += D. 2 10 x yz − − −= Hướng dẫn giải: Gọi (, , ) M x yz là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ( ) P . Điểm ( ) ' , , M xy z −− là điểm đối xứng của M qua trục tung ( ) : 2 10 Q x yz ⇒ −+ + + = là mặt phẳng đi qua ' M và là mặt phẳng đối xứng của ( ) P Vậy 2 10 x yz − − −=. Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 3 5 4 0 P xyz − + − =. Gọi mặt phẳng ( ) Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng ( ) P qua mặt phẳng () Oxz . Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) Q là ? A. ( ) : 2 3 5 4 0 P x yz − − − = B. ( ) : 2 3 5 4 0 P xyz − + − = C. ( ) : 2 3 5 4 0 P x yz + + − = D. ( ) : 23 54 0 P xyz − + += Hướng dẫn giải Gọi (, , ) M x yz là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ( ) P . Điểm ( ) ', , M x yz − là điểm đối xứng của M qua trục tung ( ) : 2 3 5 4 0 Q x yz ⇒ + + − = là mặt phẳng đi qua ' M và là mặt phẳng đối xứng của ( ) P . Vậy ( ) : 2 3 5 4 0 P x yz + + − =. Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,    là mặt phẳng đi qua điểm   2; 1;5 A  và vuông góc với hai mặt phẳng  :3 2 7 0 P x yz    và  :5 4 3 1 0 Qx y z    . Phương trình mặt phẳng    là: A. 2 50 x yz    . B. 2 4 2 10 0 x yz    . C. 2 4 2 10 0 x yz    . D. 2 50 x yz    . Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) có một VTPT là ( ) 3; 2;1 P n = −  Mặt phẳng (Q) có một VTPT là ( ) 5; 4;3 Q n = −  Mặt phẳng    vuông góc với 2 mặt phẳng  :3 2 7 0 P x yz    ,  :5 4 3 1 0 Qx y z    nên có một VTPT là ( ) , 2; 4; 2 P PQ n n n   = =−−−          . Phương trình mặt phẳng    là: 2 50 x yz    Trang 29/40 Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: ( ) : 10 P x yz + − += và ( ) : 50 Q x yz − +− = là: A. ( ) 0; 3;0 M − . B. ( ) 0;3;0 M . C. ( ) 0; 2;0 M − . D. ( ) 0;1;0 M . Hướng dẫn giải Ta có ( ) 0; ;0 M Oy M m ∈⇒ Giả thiết có ( ) ( ) ( ) ( ) ,, dM P dM Q = 15 33 mm + −− ⇔= 3 m ⇔= − Vậy ( ) 0; 3;0 M − Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( ) α là mặt phẳng qua ( ) 1;2;3 G và cắt các trục ,, Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm ,, A BC (khác gốc O ) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó mặt phẳng ( ) α có phương trình: A.3 6 2 18 0 x y z + + += . B. 6 3 2 18 0 xy z + + − = . C.2 3 90 xy z + + −=. D. 6 3 2 90 xy z + + +=. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Gọi ( ) ;0;0 Aa , ( ) 0; ;0 Bb , ( ) 0;0; Cc là giao điểm của mặt phẳng ( ) α các trục ,, Ox Oy Oz Phương trình mặt phẳng ( ) α : 1 x y z ab c + += ( ) ,, 0 abc ≠ . Ta có G là trọng tâm tam giác ABC 1 3 3 26 3 9 3 3 a a b b c c  =  =    ⇒ =⇔=   =   =   ( ) : 1 6 3 2 18 0 3 69 x yz xy z α ⇒ + +=⇔ + + − = Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( ) α là mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : 2 4 4 3 0 x y z β − + += và cách điểm ( ) 2; 3;4 A − một khoảng 3 k = . Phương trình của mặt phẳng ( ) α là: A.2 4 4 50 x y z − + −= hoặc 2 4 4 13 0 x y z − + −= . B. 2 2 25 0 x y z − +− = . C. 2 2 70 x y z − + − =. D. 2 2 25 0 x y z − +− = hoặc 2 2 70 x y z − + − =. Hướng dẫn giải Vì ( ) ( ) ( ) / / : 2 4 4 0 x y zm αβ α ⇒ − + + = ( ) 3 m ≠ Giả thiết có ( ) ( ) , 3 dA α = 32 3 6 m + ⇔ = 14 50 m m = −  ⇔  = −  Vậy ( ) : 2 2 70 x y z α − + − =, ( ) : 2 2 25 0 x y z α − +− = Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 12 , dd lần lượt có phương trình 1 2 23 : 2 13 x y z d − −− = = , 2 1 21 : 2 14 xy z d −− − = = − . Phương trình mặt phẳng ( ) α cách đều hai đường thẳng 12 , dd là: Trang 30/40 A. 72 4 0 x yz − − = . B. 7 2 4 30 x yz − − +=. C. 2 3 30 xy z + + +=. D.14 4 8 3 0 x y z − − +=. Hướng dẫn giải Ta có 1 d đi qua ( ) 2;2;3 A và có ( ) 1 2;1;3 d u =  , 2 d đi qua ( ) 1;2;1 B và có ( ) 2 2; 1;4 d u = −   ( ) ( ) 12 1;1; 2 ; ; 7; 2; 4 dd AB u u  =− − = −−        ; 12 ; 10 dd u u AB  ⇒ =− ≠         nên 12 , dd chéo nhau. Do ( ) α cách đều 12 , dd nên ( ) α song song với 12 , dd ( ) 12 ; 7; 2; 4 dd n uu α  ⇒ = = −−        ( ) α ⇒ có dạng 72 4 0 x y zd − − + = Theo giả thiết thì ( ) ( ) ( ) ( ) , , d A dB α α = 21 3 2 69 69 d d d −− ⇔ = ⇔= ( ) :14 4 8 3 0 x y z α ⇒ − − += Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ( ) 1;0;0 A , ( ) 0; ;0 Bb , ( ) 0;0; Cc , ( ) 0, 0 bc >> và mặt phẳng ( ) : 10 P yz − +=. Xác định b và c biết mặt phẳng ( ) ABC vuông góc với mặt phẳng ( ) P và khoảng cách từ O đến ( ) ABC bằng 1 3 . A. 11 , 22 bc = = B. 1 1, 2 bc = = C. 11 , 22 bc = = D. 1 ,1 2 bc = = Hướng dẫn giải Phương trình mặt phẳng ( ) ABC có dạng 10 1 x yz bcx cy bz bc bc + + =⇔ ++− = Theo giả thiết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 4 2 0 1 1 1 , 3 3 3 2 c b bc ABC P bc b d O ABC bc c b bb −=  =  ⊥    − ⇔⇔   = = =   ++  +   2 4 2 32 b bb ⇔= + 42 1 82 2 b b b ⇔ = ⇔= 1 2 c ⇒= Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng    đi qua điểm   5;4;3 M và cắt các tia , Ox , Oy Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là: A. 12 0 x yz    B. 0 x yz   C.5 4 3 50 0 x yz    D. 0 xy z   Hướng dẫn giải Gọi       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; Aa B a C a ( ) 0 a ≠ là giao điểm của mặt phẳng    và các tia , Ox , Oy Oz . Phương trình mặt phẳng    qua A, B, C là: 1 x yz aaa  . Mặt phẳng    qua điểm   5;4;3 12 Ma  Ta có 1 12 0 12 12 12 x yz x yz       Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ) (P là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng 0 1 = + + z y góc 0 60 . Phương trình mặt phẳng ) (P là: Trang 31/40 A.    = + = − 0 0 z x z x B.    = + = − 0 0 y x y x C.    = − = − − 0 0 1 z x z x D.    = + = − 0 0 2 z x z x Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng ) (P chứa trục Oy nên có dạng: 22 0 ( 0) Ax Cz A C += + ≠ . +) Mặt phẳng ) (P tạo với mặt phẳng 0 1 = + + z y góc 0 60 nên () ( ) 0 () ( ) . cos 60 . PQ PQ nn nn =          . 22 22 1 2 2 .2 C AC C AC ⇔= ⇔ + = + 22 0 A C AC AC =  ⇔ − =⇔  = −  Phương trình mặt phẳng ) (P là:    = + = − 0 0 z x z x Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng ) (P chứa trục Oy nên loại đáp án B, C. +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện về góc đối với phương trình thứ nhất của đáp án A thấy thỏa mãn. Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 31 Sx y z − + −+ −= . Phương trình mặt phẳng ( ) α chứa trục Oz và tiếp xúc với ( ) S A. ( ) : 4 3 2 0. xy α − += B. ( ) : 3 4 0. xy α += C. ( ) : 3 4 0. xy α −= D. ( ) : 4 3 0. xy α −= Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( ) α chứa trục Oz có dạng : 0 Ax By += ( ) 22 0 AB + ≠ Ta có : ( ) ( ) 22 2 ,3 1 AB dI AB α + = ⇔= + 2 4 04 0 AB B A B ⇔ + = ⇔ += . Chọn ( ) 3, 4 : 3 4 0 A B xy α = =− ⇒ − = Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có ( ) 1, 2, 1 A − , ( ) 2,1,0 B − , ( ) 2,3,2 C . Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) OGB bằng bao nhiêu ? A. 3 174 29 B. 174 29 C. 2 174 29 D. 4 174 29 Hướng dẫn giải Do G là trọng tâm tam giác 11 ,2, 33 ABC G   ∆⇒     Gọi n  là một vtpt của mặt phẳng ( ) OGB 1 2 13 ,, 3 33 n OG OB  ⇒= ∧ =− −         Phương trình mặt phẳng ( ) : 2 13 0 OGB x y z + − = ⇒ ( ) ( ) 3 174 , 29 d A OGB = Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 3 16 Sx y z − + −+ −= . Phương trình mặt phẳng ( ) α chứa Oy cắt hình cầu ( ) S theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8 π Trang 32/40 A. ( ) :3 0 xz α −= B. ( ) :3 0 xz α + = C. ( ) :3 2 0 xz α ++ = D. ( ) : 30 xz α −= Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng ( ) ( ) 22 :0 0 Ax Cz A C α += + ≠ Ta có : 28 4 rr ππ = ⇔= . Mà ( ) S có tâm ( ) 1, 2,3 , 4 IR = Do ( ) 4 30 Rr I A C α = = ⇒ ∈ ⇔ + = Chọn ( ) 3, 1 : 3 0 A C xz α = =−⇒ − = Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ) (P là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu 12 ) 2 ( ) 1 ( 2 2 2 = + + + − z y x theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của ) (P là: A. 0 1 2 = + − y x . B. 0 2 = − y . C. 0 1 = + y . D. 0 2 = + y . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng ) (P cắt mặt cầu 12 ) 2 ( ) 1 ( 2 2 2 = + + + − z y x theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng ) (P đi qua tâm (1; 2;0) I − . Phương trình mặt phẳng () P song song với mặt phẳng Oxz có dạng : 0 Ay B += Do () P đi qua tâm (1; 2;0) I − có phương trình dạng: 0 2 = + y . Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng ) (P song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D. +) Mặt phẳng ) (P đi qua tâm (1; 2;0) I − nên thay tọa độ điểm I vào các phương trình loại được đáp án B,C. Câu 51. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ). 3 ; 2 ; 1 ( M Gọi () α là mặt phẳng chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của () α là: A. 30 x z += . B. 20 xz += . C. 30 xz −= . D. 0 x = . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Gọi , HK lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng () α và trục Oy. Ta có : (0;2;0) K ( ,( )) d M MH MK α = ≤ Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng () α lớn nhất khi mặt phẳng () α qua K và vuông góc với MK . Phương trình mặt phẳng: 30 x z += Oy M K H Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 1 2 39 Sx y z − + −+ −= , điểm ( ) 0;0;2 A . Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A và cắt mặt cầu ( ) S theo thiết diện là hình tròn ( ) C có diện tích nhỏ nhất ? A. ( ) : 2 3 60 Px y z + + −=. B. ( ) : 2 20 P x yz + +− =. C. ( ) :3 2 2 4 0 Px y z + + − =. D. ( ) : 2 3 60 Px y z − + −=. Hướng dẫn giải: Trang 33/40 Mặt cầu ( ) S có tâm ( ) 1,2,3 , 3 IR = . Ta có IA R < nên điểm A nằm trong mặt cầu. Ta có : ( ) ( ) 2 2 , dI P R r = − Diện tích hình tròn ( ) C nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ( ) ( ) , dI P ⇔ lớn nhất. Do ( ) ( ) , d I P IA ≤ ( ) ( ) max , d I P IA ⇒ = Khi đó mặt phẳng ( ) P đi qua A và nhận IA  làm vtpt ( ) : 2 20 P x yz ⇒ + +− = Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 1;1;1 N . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P cắt các trục ,, Ox Oy Oz lần lượt tại ,, A BC (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A. ( ) : 30 P x yz + +−=. B. ( ) : 10 P x yz + − +=. C. ( ) : 10 P x yz − − +=. D. ( ) : 2 40 P x yz + +− =. Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; Aa B b C c lần lượt là giao điểm của ( ) P với các trục ,, Ox Oy Oz ⇒ ( ) ( ) : 1 ,, 0 x y z P abc ab c + += ≠ Ta có: ( ) 1 11 1 1 1 3 30 1 1 NP abc NA NB a b a b c x y z NA NC a c  ++ =   ∈   = ⇔ − = − ⇔ = = = ⇒ + +−=   = − = −    Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm (1;1;1) A , ( ) 0;2;2 B đồng thời cắt các tia , Ox Oy lần lượt tại hai điểm , MN (không trùng với gốc tọa độO ) sao cho 2 OM ON = A. ( ) : 2 3 4 0 P x yz + − − =. B. ( ) : 2 20 P x yz + − − =. C. ( ) : 2 20 P x yz − − + =. D. ( ) :3 2 6 0 P xy z + + −=. Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 Ma N b lần lượt là giao điểm của ( ) P với các tia , Ox Oy ( ) ,0 ab > Do 2 OM ON = 2 ab ⇔= ( ) ( ) 2 ; ;0 2; 1;0 MN b b b ⇒ − = −−    .Đặt ( ) 2; 1;0 u −  Gọi n  là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P ⇒ ( ) , 1;2;1 n u AB  = = −      Phương trình măt phẳng ( ) : 2 20 P x yz − − + =. Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( ) 1;2;1 A , ( ) 2;1;3 B − , ( ) 2; 1;3 C − và ( ) 0;3;1 D . Phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua , A B đồng thời cách đều , CD A. ( ) ( ) 12 : 4 2 7 15 0; : 5 y 10 0 P x y z P x z + + − = − − + = . B. ( ) ( ) 12 : 6 4 7 5 0; : 3 5 10 0 P x y z P xy z − + − = + ++= . C. ( ) ( ) 12 : 6 4 7 50; : 2 3 50 P x y z P x z − + −= + −= . D. ( ) ( ) 12 : 3 5 7 20 0; : 3 3 10 0 P x y z P x y z + + − = + +−= . Hướng dẫn giải: Trang 34/40 M C O A B K H Trường hợp 1: ( ) CD P  ( ) ( ) 6; 10; 14 2 3;5;7 P n AB CD = ∧ =−− − =−         ( ) : 3 5 7 20 0 P xy z ⇒ + + − = Trường hợp 2: ( ) P đi qua trung điểm ( ) 1;1;2 I của CD ( ) ( ) 1;3;3 : 3 3 10 0 P n AB AI P x y z = ∧ = ⇒ + +−=        . P P C D C D I Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;3 ; 3;0;2 ; 0; 2;1 AB C − . Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua , A B và cách C một khoảng lớn nhất ? A. ( ) : 3 2 11 0 P x yz + +− =. B. ( ) : 3 2 13 0 P xy z ++ − =. C. ( ) : 2 3 12 0 P x y z − +−= . D. ( ) : 30 P xy + −=. Hướng dẫn giải: Gọi , HK lần lượt là hình chiếu C của lên mp ( ) P và doạn thẳng AB Ta có : ( ) ( ) , CH d I P CK = ≤ ( ) ( ) , dC P ⇒ lớn nhất khi HK ≡ . Khi đó mặt phẳng ( ) P đi qua , A B và vuông với mặt phẳng ( ) ABC Ta có ( ) , 9, 6, 3 p n AB AC AB  = ∧ =−−−             ( ) : 3 2 11 0 P x yz ⇒ + +− = Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng    đi qua điểm   1;2;3 M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B ,C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng    có phương trình là: A. 2 3 14 0 x yz   . B. 1 0 1 23 x y z    . C.3 2 10 0 x yz    . D. 2 3 14 0 x yz   . Hướng dẫn giải Cách 1:Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB , K là hình chiếu vuông góc B trên AC . M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M BK CH  Ta có :   (1) AB CH AB COH AB OM AB CO            (1) Chứng minh tương tự, ta có: AC OM  (2). Từ (1) và (2), ta có:   OM ABC  Ta có:   1;2;3 OM     .   1;2;3 OM     nên Mặt phẳng    đi qua điểm   1;2;3 M và có một VTPT là P K A B C H Trang 35/40 có phương trình là:       1 2 2 3 3 0 2 3 14 0 x y z x yz          . Cách 2: +) Do C B A , , lần lượt thuộc các trục Oz Oy Ox , , nên ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) Aa B b C c ( ,, 0 abc ≠ ). Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ) (ABC là: 1 x yz ab c + += . +) Do M là trực tâm tam giác ABC nên .0 .0 () AM BC BM AC M ABC  =   =   ∈              . Giải hệ điều kiện trên ta được ,, abc Vậy phương trình mặt phẳng: 2 3 14 0 x yz + +−= . Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ) 3 ; 4 ; 1 ( G . Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục Oz Oy Ox , , lần lượt tại C B A , , sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ? A. 0 4 16 12 xy z + + = . B. 1 12 16 4 = + + z y x . C. 1 9 12 3 = + + z y x . D. 0 9 12 3 = + + z y x . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Do C B A , , lần lượt thuộc các trục Oz Oy Ox , , nên ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) Aa B b C c . +) Do G là trọng tâm tứ diện OABC nên 4 4 4 O A BC G O A BC G O A BC G x xxx x y yyy y y yyy z +++  =   + + +  =   + + +  =   suy ra 4, 16, 12 ab c = = = . +) Vậy phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ) (ABC là: 1 12 16 4 = + + z y x . Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ). 3 ; 2 ; 1 ( M Mặt phẳng ) (P qua M cắt các tia Oz Oy Ox , , lần lượt tại ,, A BC sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất có phương trình là: A. 0 2 3 6 = + + z y x . B. 0 18 2 3 6 = − + + z y x . C. 0 14 3 2 = − + + z y x . D. 0 6 = − + + z y x . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng ) (P cắt các tia Oz Oy Ox , , lần lượt tại ,, A BC nên ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) Aa B b C c ( ,, 0 abc > ). Phương trình mặt phẳng ) (P 1 x yz ab c + += . +) Mặt phẳng ) (P qua M nên 1 23 1 abc ++ = . Ta có 3 1 23 6 1 3 162 abc a b c abc = ++≥ ⇔ ≥ +) Thể tích khối tứ diện OABC bằng 1 27 6 V abc = ≥ . Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi 1 2 31 3 abc = = = suy ra 3, 6, 9 ab c = = = . Trang 36/40 Phương trình mặt phẳng ) (P 1 3 69 x yz + += hay 0 18 2 3 6 = − + + z y x . Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình ( ) P 2 2 10 x y z + + −= ( ) : 2 30 Q x yz + − − = và mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 :1 2 5 Sx y z − ++ + = .Mặt phẳng ( ) α vuông với mặt phẳng ( ) ( ) , P Q đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( ) S . A. 2 1 0;2 9 0 xy xy +− = ++ = . B. 2 1 0;2 9 0 x y x y −− = −+ = . C. 2 1 0; 2 9 0 xy xy −+ = −− = . D. 2 1 0; 2 9 0 x y x y −+ = −− = . Hướng dẫn giải Mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 :1 2 5 Sx y z − ++ + = có tâm ( ) 1; 2;0 I − và bán kính 5 R = Gọi n α  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α Ta có : ( ) ( ) 1 6;3;0 3 2; 1;0 3 Q P n nn n n α α =∧⇒ =− = − − = −         Lúc đó mặt phẳng ( ) α có dạng :20 x ym −+ =. Do mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu ( ) S ( ) ( ) 4 ,5 5 5 m dI α + ⇒ =⇔= 1 9 m m =  ⇔  = −  Vậy phương trình mặt phẳng ( ) α : 2 10 x y − += hoặc 2 90 x y − −=. Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 Px y z + − += , 2 điểm ( ) 1;0;0 , ( 1;2;0) AB − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 25 Sx y z − +− + =. Viết phương trình mặt phẳng ( ) α vuông với mặt phẳng ( ) P , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu ( ) S theo đường tròn có bán kính bằng 22 r = A. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz + ++ = + +− = . B. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz − ++ = − +− = . C. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz − +− = − ++ = . D. 2 2 3 11 0; 2 2 3 23 0 x yz x yz + +− = + ++ = . Hướng dẫn giải Mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 :1 2 5 Sx y z − +− + = có tâm ( ) 1;2;0 I và bán kính 5 R = Gọi n α  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α Ta có : ( ) ( ) 1 , 4;4;6 2 2;2;3 2 P n n AB n n α α  = ⇒= = =            Lúc đó mặt phẳng ( ) α có dạng :22 3 0 x y zm + + + = Gọi J là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( ) α Ta có : 22 2 2 17 R r IJ IJ =+⇒ = ( ) ( ) , 17 6 17 11 dI m m α ⇒ = ⇔+ = ⇔ = hoặc 23 m = − Vậy phương trình mặt phẳng ( ) α : 2 2 3 11 0 x yz + + += hoặc 2 2 3 23 0 x yz + +− = Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 3 điểm ( ) 1;1; 1 A − , ( ) 1;1;2 B , ( ) 1;2; 2 C− − và mặt phẳng ( ) : 2 2 10 Px y z − + += . Lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua A , vuông góc với mặt phẳng ( ) P cắt đường thẳng BC tại I sao cho 2 IB IC = biết tọa độ điểm I là số nguyên A. ( ) : 2 2 3 0 x y z α − − −=. B. ( ) : 4 3 2 9 0 xy z α + − −=. C. ( ) :6 2 9 0 x yz α + − − =. D. ( ) : 2 3 2 3 0 xy z α + + −=. Hướng dẫn giải : Trang 37/40 Do ,, I BC thẳng hàng và 2 IB IC = ( ) 3;3; 6 2 1 5 2 ; ; 2 33 3 I IB IC I IB IC  −−  =  ⇒⇒    −− = −               Vì tọa độ điểm I là số nguyên nên ( ) 3;3; 6 I−− Lúc đó mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) , 3;3; 6 A I−− và vuông góc với mặt phẳng ( ) P ( ) : 2 2 3 0 x y z α ⇒ − − −=. Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) P 30 x yz + +−=, ( ) : 2 3 4 1 0 Q xy z + + −= . Lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 1;0;1 A và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , P Q ? A. ( ) : 2 3 3 0 x yz α + +−=. B. ( ) : 7 8 9 16 0 xyz α + + −= . C. ( ) : 7 8 9 17 0 xyz α + + −= . D. ( ) : 2 2 3 0 x yz α − +−=. Hướng dẫn giải: Gọi , MN là các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , P Q . , MN thỏa hệ phương trình : 30 2 3 4 10 x yz xy z + +−=   + + −=  Cho 43 7 3 4 13 1 yz y x y z z + =− =−  = ⇒⇔  += − = −  (7; 3; 1) M ⇒ −− . Cho 3 6 3 4 11 yz x y z + =−  = ⇒  += −  1 2 y z = −  ⇔  = −  ( ) 6; 1; 2 N ⇒ −− . Lúc đó mặt phẳng ( ) α chứa 3 điểm ( ) , , : 7 8 9 16 0 A N M xyz α ⇒ + + −= . Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 2 đường thẳng 1 1 : 2 1 1 xy z d − = = − 2 11 : 1 21 x yz d − + = = .Viết phương trình mặt phẳng ( ) α vuông góc với 1 d ,cắt Oz tại A và cắt 2 d tại B ( có tọa nguyên ) sao cho 3 AB = . A. ( ) :10 5 5 1 0 x yz α − + +=. B. ( ) : 4 2 2 1 0 x y z α − + +=. C. ( ) : 2 1 0 x yz α − + +=. D. ( ) : 2 2 0 x yz α −+ +=. Hướng dẫn giải Do mặt phẳng ( ) α vuông góc với 1 d 20 x y zm ⇒ − ++ =. Mặt phẳng ( ) α cắt Oz tại ( ) 0;0; Am − , cắt 2 d tại ( ) 1, 2 , 1 B m mm +− ( ) 1,2 ,2 1 AB m m m ⇒= + −   22 7 9 2 2 3 9 2 7 0 1, 9 mm mm m m ⇒ −+ =⇔ −− =⇔ == − . Vậy mặt phẳng ( ) : 2 1 0 x yz α − + +=. Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm ( ) ( ) 1;1;1 , 2;0;2 A B , ( ) ( ) 1; 1;0 , 0;3;4 CD −− . Trên các cạnh ,, AB AC AD lần lượt lấy các điểm ', ', ' B C D thỏa : 4 '' ' AB AC AD AB AC AD ++ = . Viết phương trình mặt phẳng ( ) '' ' BC D biết tứ diện '' ' AB C D có thể tích nhỏ nhất ? A.16 40 44 39 0 x yz + − += . B.16 40 44 39 0 x y z + + −= . C.16 40 44 39 0 x yz − − += . D.16 40 44 39 0 x yz − − −= . Trang 38/40 Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức AM GM − ta có : 3 .. 43 ' ' ' '. '. ' AB AC AD AB AC AD AB AC AD AB AC AD = ++ ≥ '. '. ' 27 . . 64 AB AC AD AB AC AD ⇒ ≥ ⇒ '' ' '. '. ' 27 . . 64 AB C D ABCD V AB AC AD V AB AC AD = ≥ '' ' 27 64 AB C D ABCD VV ⇒ ≥ Để '' ' AB C D V nhỏ nhất khi và chỉ khi ' ' '3 4 AB AC AD AB AC AD = = = 3 717 ' ' ; ; 4 444 AB AB B   ⇒= ⇒          Lúc đó mặt phẳng ( ) '' ' BC D song song với mặt phẳng ( ) BCD và đi qua 717 ' ; ; 444 B       ( ) ' ' ' :16 40 44 39 0 BC D x y z ⇒ + − += . Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho ( ) : 4 2 60 Px y z + − −= , ( ) : 2 4 60 Qx y z − + −=. Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa giao tuyến của ( ) ( ) , P Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm ,, A BC sao cho hình chóp . O ABC là hình chóp đều. A. 60 x yz + ++ =. B. 60 x yz + +− =. C. 60 x yz + − − =. D. 30 x yz + +−=. Hướng dẫn giải Chọn ( ) ( ) 6;0;0 , 2;2;2 MN thuộc giao tuyến của ( ) ( ) , P Q Gọi ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; Aa B b C c lần lượt là giao điểm của ( ) α với các trục ,, Ox Oy Oz ⇒ ( ) ( ) : 1 ,, 0 x y z abc ab c α + += ≠ ( ) α chứa , MN 6 1 2 22 1 a ab c  =   ⇒   + + =   Hình chóp . O ABC là hình chóp đều OA OB OC a b c ⇒ = = ⇒= = Vây phương trình 60 x yz + +− =.