Chuyên đề phương trình và bất phương trình mũ - lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

Trang 1/13 CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương trình mũ cơ bản ( ) 0, 1 x a b a a = >≠ . ● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi 0 b > . ● Phương trình vô nghiệm khi 0 b ≤ . 2. Biến đổi, quy về cùng cơ số ( ) ( ) 1 f x g x aa a = ⇔= hoặc ( ) ( ) 01 a f x gx <≠    =   . 3. Đặt ẩn phụ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 g x g x ta f a a ft  = >   = <≠ ⇔   =   . Ta thường gặp các dạng: ● ( ) ( ) 2 .. 0 fx fx ma n a p + + = ● ( ) ( ) .. 0 fx fx m a nb p + + = , trong đó .1 ab = . Đặt ( ) , 0 fx ta t = > , suy ra ( ) 1 fx b t = . ● ( ) ( ) ( ) ( ) 22 . .. . 0 fx fx fx m a n ab pb + += . Chia hai vế cho ( ) 2 fx b và đặt ( ) 0 fx a t b   = >     . 4. Logarit hóa ● Phương trình ( ) ( ) 0 1, 0 log fx a ab ab f x b <≠ >   = ⇔  =   . ● Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log .log f x g x f x g x aa a a b a b f x gx b = ⇔ = ⇔= hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) log log .log . f x g x bb b a b f x a gx = ⇔= 5. Giải bằng phương pháp đồ thị o Giải phương trình: ( ) x a f x = ( ) 01 a <≠ . ( ) ∗ o Xem phương trình ( ) ∗ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đ ồ thị x y a = ( ) 01 a <≠ và ( ) y f x = . Khi đó ta thực hiện hai bước:  Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số x y a = ( ) 01 a <≠ và ( ) y f x = .  Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. 6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số o Tính chất 1. Nếu hàm số ( ) y f x = luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( ) ; ab thì số nghiệm của phương trình ( ) f x k = trên ( ) ; ab không nhiều hơn một và ( ) ( ) , fu f v u v = ⇔= ( ) ,; u v ab ∀∈ . o Tính chất 2. Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số ( ) y gx = liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình ( ) ( ) f x gx = không nhiều hơn một. o Tính chất 3. Nếu hàm số ( ) y f x = luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình ( ) ( ) ( ) hoac , , f u f v u v u v uv D > ⇔> < ∀ ∈ . Trang 2/13 đồng biến trênD thì: ( ) ( ) fu f v u v < ⇒ < nghịch biến trênD thì: ( ) ( ) fu f v u v < ⇒> 7. Sử dụng đánh giá o Giải phương trình ( ) ( ) f x gx = . o Nếu ta đánh giá được ( ) ( ) f x m gx m ≥    ≤   thì ( ) ( ) ( ) ( ) f x m f x gx gx m =   = ⇔  =   . 8. Bất phương trình mũ • Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 01 f x g x a f x gx aa a f x gx >     >   >⇔  <<      <    . Tương tự với bất phương trình dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x gx f x gx f x gx a a a a a a  ≥  <   ≤   • Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: ( ) ( ) 10 MN a a a MN > ⇔− − > . • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ. + Sử dụng tính đơn điệu: ( ) ( ) y f x y f x =    =   B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Cho phương trình 2 45 39 xx −+ = tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là: A. 28. B. 27. C. 26. D. 25. Hướng dẫn giải Ta có: 22 45 45 2 2 2 1 3 9 3 3 45 2 43 0 3 xx xx x xx xx x −+ −+ =  =⇔ = ⇔− + =⇔− + =⇔  =  Suy ra 3 3 1 3 28 += . Chọn đáp án A Câu 2. Cho phương trình : 2 3 8 2x 1 39 xx −+ − = , khi đó tập nghiệm của phương trình là: A. { } 2;5 S = B. 5 61 5 61 ; 2 2 S   − − − +   =       C. 5 61 5 61 ; 22 S  −+  =    D. { } 2; 5 S=−− . Hướng dẫn giải 2 2 3 8 2x 1 3 8 4x 2 2 2 39 5 3 3 3 84x 2 7 100 2 xx xx x xx x x x −+ − −+ − = =  ⇔ = ⇔ −+ = − ⇔ − +=⇔  =  Vậy { } 2;5 S = Câu 3. Phương trình 1 1 32 9 x x −  = +   có bao nhiêu nghiệm âm? A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải Trang 3/13 Phương trình tương đương với 2 31 1 1 2 3. 2 39 3 3 xx x x       =+⇔ =+             . Đặt 1 3 x t   =     , 0 t > . Phương trình trở thành 22 1 3 2 3 20 2 t t t tt t =  = + ⇔ − += ⇔  =  . ● Với 1 t = , ta được 1 1 0 3 x x   = ⇔=     . ● Với 2 t = , ta được 13 3 1 2 log 2 log 2 0 3 x x   =⇔= = − <     . Vậy phương trình có một nghiệm âm. Câu 4. Số nghiệm của phương trình 22 2 1 9 9. 4 0 3 x x +  + − =   là: A. 2. B. 4. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với 1 1 3 9. 4 0 3 x x +   + − =     2 11 3 3. 4 0 3 3. 4 0 3 4.3 3 0 33 x x x xx x   ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − + =     . Đặt 3 x t = , 0 t > . Phương trình trở thành 2 1 4 30 3 t tt t =  − += ⇔  =  . ● Với 1 t = , ta được 31 0 x x = ⇔= . ● Với 3 t = , ta được 33 1 x x = ⇔= . Vậy phương trình có nghiệm 0 x = , 1 x = . Câu 5. Cho phương trình : 2 28 4 x1 3 2 16 x + − = . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên . C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. D. Phương trình vô nghiệm. Hướng dẫn giải ( ) 2 28 4 x1 2 3 2 2 11 11 3 2 28 3 2 16 4 4 x 1 7 3 3x 3 7 3 3 7 7 3 3x 3 3 0 3 x xx xx x xx x x x x x x + − ≤− ∨ ≥   ≤− ∨ ≥  =     =∨=−   = ⇔ += − ⇔ ⇔ ⇔  += −   = −    +=− +      =∨=−    . Nghiệm của phương trình là : 7 ;3 3 S  = −   . Vì 7 .3 7 0 3 − =−< . Chọn đáp án A Câu 6. Phương trình ( ) 22 1 88 5 2 .5 0,001. 10 x xx − −− = có tổng các nghiệm là: A. 5. B. 7. C. 7 − . D. – 5 . Hướng dẫn giải ( ) 2 2 8 3 55 8 2 5 2 2.5 10 .10 10 10 8 2 5 1; 6 x xx x x xx x − −− − − = ⇔ = ⇔− =− ⇔ =− = Ta có : 16 5 −+ = . Chọn đáp án A Câu 7. Phương trình 9 5.3 6 0 xx − + = có nghiệm là: A. 3 1, log 2 x x = = . B. 3 1, log 2 xx = − = . C. 2 1, log 3 x x = = . D. 3 1, log 2 xx = − = − . Trang 4/13 Hướng dẫn giải Đặt 3 x t = ( 0 t > ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 3 2 log 2 2 5 60 3 1 x t tt t x = =   − + = ⇔ ⇔   = =   Câu 8. Cho phương trình 1 4.4 9.2 8 0 xx + − +=. Gọi 12 , x x là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích 12 . xx bằng : A. 2 − . B. 2 . C. 1 − . D. 1. Hướng dẫn giải Đặt 2 x t = ( 0 t > ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 1 2 2 4 2 4 18 8 0 1 1 2 t x tt x t =  =   − += ⇔ ⇔   = − =   Vậy 12 . 1.2 2 xx= −= − . Chọn đáp án A Câu 9. Cho phương trình 1 44 3 xx − −= . Khẳng định nào sau đây sai? A. Phương trình vô nghiệm. B. Phương trình có một nghiệm. C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0. D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2x 4 3.4 4 0 x − − =. Hướng dẫn giải Đặt 4 x t = ( 0 t > ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 4 3 40 1 1( ) t tt x tL =  − − = ⇔ ⇔ =  = −  Chọn đáp án A Câu 10. Cho phương trình 22 12 9 10.3 1 0. xx xx +− +− − += Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: A. 2 − . B. 2 . C. 1. D. 0 . Hướng dẫn giải Đặt 2 1 3 xx t +− = ( 0 t > ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 2 1 2 1 2 3 33 1 3 10 3 0 1 1 0 3 3 3 1 xx xx x t x tt x t x +− +− = −   =  =  =    − += ⇔ ⇔ ⇔    = = =     = −  Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 2. − Câu 11. Nghiệm của phương trình 11 2 2 33 x x x x ++ + =+ là: A. 3 2 3 log 4 x = . B. 1 x = . C. 0 x = . D. 4 3 2 log 3 x = . Hướng dẫn giải 11 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3.2 4.3 log 2 4 4 x x x x x x x x ++  + = + ⇔ = ⇔ = ⇔=   Câu 12. Nghiệm của phương trình 22 2 3.2 32 0 xx + − += là: A. { } 2;3 x ∈ . B. { } 4;8 x ∈ . C. { } 2;8 x ∈ . D. { } 3;4 x ∈ . Hướng dẫn giải 22 2 28 2 2 3.2 32 0 2 12.2 32 0 3 24 x xx x x x x x +  = =  − +=⇔ − +=⇔ ⇔   = =   Câu 13. Nghiệm của phương trình 6.4 13.6 6.9 0 x xx − += là: Trang 5/13 A. { } 1; 1 x∈− . B. 23 ; 32 x   ∈     . C. { } 1;0 x∈− . D. { } 0;1 x ∈ . Hướng dẫn giải 2 33 6.4 13.6 6.9 0 6 13 6 0 22 xx x xx   − + = ⇔ − + =     3 3 2 2 3 2 2 3 x x   =     ⇔    =     1 1 x x =  ⇔  = −  Câu 14. Nghiệm của phương trình 1 12.3 3.15 5 20 x xx + + −= là: A. 3 log 5 1 x = − . B. 3 log 5 x = . C. 3 log 5 1 x = + . D. 5 log 3 1 x = − . Hướng dẫn giải 1 12.3 3.15 5 20 x xx + + −= ( ) ( ) 3.3 5 4 5 5 4 0 xx x ⇔ +− + = ( ) ( ) 1 5 43 5 0 xx + ⇔ + −= 1 35 x + ⇔ = 3 log 5 1 x ⇔= − Câu 15. Phương trình 9 5.3 6 0 xx − + = có tổng các nghiệm là: A. 3 log 6 . B. 3 2 log 3 . C. 3 3 log 2 . D. 3 log 6 − . Hướng dẫn giải 9 5.3 6 0 xx − + = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 5.3 6 0 3 5.3 6 0 1' x x xx ⇔ − + = ⇔ − + = Đặt 30 x t = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 1' 5 6 0 3 tN tt tN =  ⇔ − + = ⇔  =   Với 3 2 3 2 log 2 x t x = ⇒ = ⇔= . Với 3 3 3 3 log 3 1 x t x =⇒ =⇔= = . Suy ra 33 33 1 log 2 log 3 log 2 log 6 + = + = Câu 16. Cho phương trình 12 2 15.2 8 0 xx + + −=, khẳng định nào sau dây đúng? A. Có một nghiệm. B. Vô nghiệm. C. Có hai nghiệm dương. D. Có hai nghiệm âm. Hướng dẫn giải 12 2 15.2 8 0 xx + + −= ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2.2 15.2 8 0 2. 2 15.2 8 0 2' xx x x ⇔ + −= ⇔ + −= Đặt 20 x t = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2' 2 15 8 0 8 tN tt tL  =  ⇔ + −= ⇔  = −   Với 2 11 1 2 log 1 22 2 x t xx =⇒ =⇔= ⇔ = − Câu 17. Phương trình 1 5 25 6 xx − += có tích các nghiệm là : A. 5 1 21 log 2   +       . B. 5 1 21 log 2  −    . C. 5. D. 5 1 21 5log 2   +       . Hướng dẫn giải ( ) 1 5 25 6 1 xx − += Trang 6/13 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 25 25 25 1 5 60 5 60 5 60 6' 25 55 x x x x x x ⇔ + −= ⇔ + −= ⇔ + −= . Đặt 50 x t = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 5 25 1 21 6' 6 0 6 25 0 5 5 0 2 1 21 2 tN t t t t tt t N t tL  =   +  ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ =   −  =   Với 55 5 1 x t x =⇒ =⇔= . Với 5 1 21 1 21 1 21 5 log 2 2 2 x tx   + + + = ⇒ = ⇔=       . Suy ra: 55 1 21 1 21 1.log log 22     + + =             Câu 18. Phương trình ( ) ( ) 7 4 3 2 3 6 xx + ++ = có nghiệm là: A. ( ) 23 log 2 x + = . B. 2 log 3 x = . C. ( ) 2 log 2 3 x = + . D. 1 x = . Hướng dẫn giải Đặt ( ) 2 3 x t = + ( 0 t > ), khi đó phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 23 2 6 0 log 2 3( ) t tt x tL + =  +− = ⇔ ⇔ =  = −  Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình 1 32 2 x  >   là: A. ( ) ; 5 x ∈ −∞ − . B. ( ) ;5 x ∈ −∞ . C. ( ) 5; x ∈ − +∞ . D. ( ) 5; x ∈ +∞ . Hướng dẫn giải 1 32 2 x  >   5 11 22 x −   ⇔>     5 x ⇔ <− Câu 20. Cho hàm số ( ) 2 2 sin 2 .3 xx f x = . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. ( ) 2 1 ln 4 sin x ln 3 0 f x x < ⇔ + < . B. ( ) 2 1 2 2sin log 3 0 f x x x < ⇔ + < . C. ( ) 2 3 1 log 2 sin 0 f x x x < ⇔ + < . D. ( ) 2 2 1 2 log 3 0 f x x < ⇔ + < . Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 11 2 2 33 x x xx +− + ≤+ A. [ ) 2; x ∈ +∞ . B. ( ) 2; x ∈ +∞ . C. ( ) ;2 x ∈ −∞ . D. ( ) 2; +∞ . Hướng dẫn giải 11 2 2 33 x x xx +− + ≤+ 4 3.2 .3 3 x x ⇔≤ 39 24 x  ⇔≥   2 x ⇔≥ Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 1 3 9 x x x +  >   là: A. 2 10 x x <−   −< <  . B. 2 x <− . C. 10 x −< < . D. 10 x −≤ < . Hướng dẫn giải ( ) ( ) 2 2x sin 2 1 ln 2 .3 ln1 ln 4 sin x ln 3 0 x f x x < ⇔ < ⇔ + < Trang 7/13 Điều kiện: 1 x ≠− 2 2 1 22 1 3 3 2 2 0 2 10 11 1 x x x xx pt x x x xx x − +  ⇔ > ⇔− > ⇔ + < ⇔ + <  ++ +  ( ) 2 22 0 10 1 x x x x x <− +  ⇔ < ⇔  −< < +  . Kết hợp với điều kiện 2 10 x x <−  ⇒  −< <  Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình 16 4 6 0 xx − −≤ là A. 4 log 3. x ≤ B. 4 log 3. x > C. x 1. ≥ D. 3 x ≥ Hướng dẫn giải Đặt 4 x t = ( 0 t > ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 2 4 6 0 2 3 0 3 log 3. tt t t x − − ≤ ⇔− ≤≤ ⇔ <≤ ⇔ ≤ Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 3 3 32 x x < − là: A. 3 1 log 2 x x >   <  . B. 3 log 2 x > . C. 1 x < . D. 3 log 2 1 x << . Hướng dẫn giải 3 1 33 3 33 30 log 2 32 32 32 x xx xx x x x  > >  − < ⇔ > ⇔ ⇔   < −− <   Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình 6 11 11 xx + ≥ là: A. 6 3. x −≤ ≤ B. 6 x <− . C. 3 x > . D. ∅ . Hướng dẫn giải 6 2 0 60 60 11 11 6 6 3 0 0 23 6 xx x x x xx x x x x xx + <  −≤ <    +≥    ≥ ⇔ +≥ ⇔ ⇔ ⇔− ≤≤ ≥    ≥     −≤ ≤   +≥    Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình 1 11 3 53 1 x x + ≤ +− là: A. 1 1. x −< ≤ B. 1. x ≤− C. 1. x > D. 1 2. x << Hướng dẫn giải Đặt 3 x t = ( 0 t > ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 3 10 11 1 3 1 1. 3 1 5 5 3 1 3 t tx t t tt −>  ≤ ⇔ ⇔ < ≤ ⇔− < ≤  − ≤ + +−  Câu 27. Cho bất phương trình 2 1 2x 1 55 77 xx −+ −   >     , tập nghiệm của bất phương trình có dạng ( ) ; S ab = . Giá trị của biểu thức A ba = − nhận giá trị nào sau đây? A.1. B. 1. − C. 2. D. 2. − Hướng dẫn giải 2 1 2x 1 22 55 1 2x 1 3 2 0 1 2 77 xx xx x x x −+ −   > ⇔ − +< −⇔ − + < ⇔ < <     Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) 1;2 S = . Chọn đáp án A Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình 4 3.2 2 0 xx − +> là: A. ( ) ( ) ;0 1; . x ∈ −∞ ∪ +∞ B. ( ) ( ) ;1 2; . x ∈ −∞ ∪ +∞ C. ( ) 0;1 . x ∈ D. ( ) 1;2 . x ∈ Hướng dẫn giải Trang 8/13 22 4 3.2 2 0 21 x xx x  > − +> ⇔  <  1 0 x x >  ⇔  <  Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình 1 3 .2 72 x x + ≥ là: A. [ ) 2; . x ∈ +∞ B. ( ) 2; . x ∈ +∞ C. ( ) ;2 . x ∈ −∞ D. ( ] ;2 . x ∈ −∞ Hướng dẫn giải 1 3 .2 72 2.6 72 x x x + ≥ ⇔ ≥ 2 x ⇔≥ Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình 1 21 2 3 2 12 0 x xx ++ − −< là: A. ( ) 0; . x ∈ +∞ B. ( ) 1; . x ∈ +∞ C. ( ) ;0 . x ∈ −∞ D. ( ) ;1 . x ∈ −∞ Hướng dẫn giải 1 21 2 3 2 12 0 x xx ++ − −< 2 2 2 3.9 2.16 12 0 x x x ⇔ − −< 22 16 4 3. 2. 0 93 xx    ⇔− − <       2 4 1 3 x  ⇔>   0 x ⇔> Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình 2 2.3 2 1 32 xx xx + − ≤ − là: A. 3 2 0;log 3 . x  ∈    B. ( ) 1;3 . x ∈ C. ( ] 1;3 . x ∈ D. 3 2 0;log 3 . x  ∈   Hướng dẫn giải 2 2.3 2 1 32 xx xx + − ≤ − 3 2. 4 2 1 3 1 2 x x  −   ⇔ ≤  −   3 2. 4 2 10 3 1 2 x x  −   ⇔ − ≤  −   3 3 2 0 3 1 2 x x  −   ⇔≤  −   3 1 3 2 x  ⇔ < ≤   3 2 0 log 3 x ⇔< ≤ Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình 1 3 22 55 x     ≤         là: A. 1 0; . 3     B. 1 0; . 3       C. 1 ;. 3  −∞    D. ( ) 1 ; 0; . 3  −∞ ∪ +∞    Hướng dẫn giải Vì 2 1 5 < nên bất phương trình tương đương với 1 13 1 3 00 3 x x xx − ≥ ⇔ ≥ ⇔ < ≤ . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 0; 3     Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình 2 4.5 4 10 xx x + −< là: A. 0 . 2 x x <   >  B. 0. x < C. 2. x > D. 0 2. x << Hướng dẫn giải 2 4.5 4 10 xx x + −< ( ) ( ) ( ) ( ) 2 10 4.5 4 0 2 1 5 4 1 5 0 1 5 2 4 0 x x x x x x xx ⇔ − + − < ⇔ − − − < ⇔ − − < Trang 9/13 ( ) ( ) 15 0 5 1 2 40 2 4 2 ;0 2; 0 15 0 5 1 2 40 2 4 xx x x xx x x x x x   −< >    − > > >     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞   <  − > <      −< <    Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình 1 22 1 x x − − < là: A. 1 1. x −≤ ≤ B. ( ) 8;0 . − C. ( ) 1;9 . D. ( ] 0;1 . Hướng dẫn giải 1 22 1 x x − − < ( ) 1 . Điều kiện: 0 x ≥ ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 x x ⇔− < . Đặt 2 . Do 0 1 x t x t = ≥ ⇒ ≥ ( ) 2 1 1 2 1 2 12 2 0 1 2 1 20 x t t tx t tt t ≥  ≥   ⇔ ⇔ ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ <  −< − − <    VẬN DỤNG Câu 35. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 22 2 32 65 2 3 7 44 4 1 xx x x x x −+ + + + + += + . A. { } 5; 1;1;2 . x∈− − B. { } 5; 1;1;3 . x∈− − C. { } 5; 1;1; 2 . x∈− − − D. { } 5; 1;1;2 . x∈− Hướng dẫn giải 22 2 32 65 2 3 7 44 4 1 xx x x x x −+ + + + + += + 2 2 22 32 65 32 65 4 4 4 .4 1 xx x x xx x x −+ + + −+ + + ⇔ + = + ( ) ( ) 22 2 32 65 65 4 14 14 0 x x xx xx − + ++ ++ ⇔ − −− = ( ) ( ) 22 32 65 4 11 4 0 xx x x −+ + + ⇔ − − = 2 2 32 65 4 10 14 0 xx xx −+ ++  −= ⇔  − =  2 2 3 20 6 50 xx xx  − += ⇔  + +=  15 12 xx xx =− ∨ =−  ⇔  =∨=  Câu 36. Phương trình ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 10 x xx − ++ = có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 10 x xx − ++ = 32 3 2 1 10 10 x x    −+ ⇔+ =          Xét hàm số ( ) 32 3 2 10 10 x x f x    −+ = +          Ta có: ( ) 21 f = Hàm số ( ) f x nghịch biến trên  do các cơ số 32 3 2 1; 1 10 10 − + << Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 2 x = . Câu 37. Phương trình ( ) 2 3 2 3 1 4.3 5 0 xx x x + + − −= có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Hướng dẫn giải ( ) 2 3 2 3 1 4.3 5 0 xx x x + + − −= ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 1 4.3 4 0 x xx x ⇔ −+ + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 31 2 4 31 0 xx x x ⇔ − + + − + = ( ) ( ) 3 2 5 3 1 0 xx x ⇔ + − += 3 2 50 x x ⇔ + −= Xét hàm số ( ) 32 5 x f x x = +− , ta có : ( ) 10 f = . ( ) ' 3 ln 3 2 0; x fx x = + > ∀∈  . Do đó hàm số ( ) f x đồng biến trên  . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 1 x = Trang 10/13 Câu 38. Phương trình 2 3 56 23 x xx − −+ = có hai nghiệm 12 , x x trong đó 12 x x < , hãy chọn phát biểu đúng? A. 12 3 3 2 log 8 xx −= . B. 12 3 2 3 log 8 xx − = . C. 12 3 2 3 log 54. xx += D. 12 3 3 2 log 54. xx += Hướng dẫn giải Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: ( ) 2 3 56 22 3 log 2 log 3 x xx − −+ ⇔= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 log 2 5 6 log 3 3 2 3 log 3 0 x xx x x x ⇔− = −+ ⇔− − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 3 30 3 3 . 1 2 log 3 0 1 2 1 2 log 3 2 log 3 1 log 3 x x x xx x xx =  −= =    ⇔ − − − = ⇔ ⇔ ⇔        − = − − − =     3 33 3 33 3 log 2 2 log 2 log 9 log 18 xx x xx x = = =   ⇔⇔ ⇔   = += + =   Câu 39. Cho phương trình ( ) ( ) 7 4 3 2 3 6 xx + ++ = . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ. B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ. C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. Tích của hai nghiệm bằng 6 − . Hướng dẫn giải ( ) ( ) 7 4 3 2 3 6 xx + ++ = ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 2 3 2 3 6 0 2 3 2 3 6 0 8' x x xx    ⇔ + + + −= ⇔ + + + −=       Đặt ( ) 2 3 0 x t=+> . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 8' 6 0 3 tN tt tL =  ⇔ +− = ⇔  = −   . Với ( ) ( ) 23 2 2 3 2 log 2 x tx + = ⇒ + = ⇔= Chọn đáp án A Câu 40. Phương trình 3 3 33 4 4 3 3 3 3 3 10 x x xx + − +− + + + = có tổng các nghiệm là ? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4 . Hướng dẫn giải 3 3 33 4 4 3 3 3 3 3 10 x x xx + − +− + + + = ( ) 7 ( ) ( ) 3 33 3 33 27 81 1 1 7 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7' 33 3 3 x x x x x x x x     ⇔ + + + = ⇔ + + + =         Đặt 11 3 2 3. 2 33 xx x x Côsi t=+≥ = 3 3 32 3 3 23 3 1 1 1 1 1 3 3 3.3 . 3.3 . 3 3 3 3 33 3 x xx x x x x xx x t tt  ⇒ = + = + + +⇔ +=−   Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 3 33 10 10 7 ' 27 3 81 10 2 27 3 tt t t t N ⇔ − + = ⇔ = ⇔= > Với ( ) 10 1 10 3 7'' 3 33 x x t= ⇒+ = Đặt 30 x y = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 10 7'' 3 10 3 0 1 3 3 yN y yy y y N =   ⇔ + = ⇔ − += ⇔  =   Với 33 3 1 x yx =⇒ =⇔= Với 11 31 33 x yx =⇒ =⇔= − Trang 11/13 Câu 41. Phương trình 2 2 sin cos 99 6 x x += có họ nghiệm là ? A. ( ) , . 42 π k π xk =+ ∈  B. ( ) , . 22 π k π xk =+ ∈  C. ( ) , . 62 π k π xk =+ ∈  D. ( ) , . 32 π k π xk =+ ∈  Hướng dẫn giải 2 2 sin cos 99 6 x x += ( ) 2 2 2 2 1 cos cos cos cos 9 9 9 6 9 6 0 * 9 x x x x − ⇔ + = ⇔ + −= Đặt ( ) 2 cos 9 , 1 9 x tt = ≤≤ . Khi đó: ( ) 2 9 * 60 6 90 3 tt tt t ⇔ + −= ⇔ − += ⇔ = Với ( ) 22 cos 2cos 1 2 3 9 3 3 3 2cos 1 0 cos 2 0 , 42 xx π k π t x x x k = ⇒ = ⇔ = ⇔ −= ⇔ = ⇔ = + ∈  Câu 42. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình ( ) ( ) 2 3 23 x x m + +− = vô nghiệm? A. 2 m < . B. 2 m > . C. 2 m = . D. 2 m ≤ . Câu 43. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình ( ) ( ) 2 3 23 x x m + +− = có hai nghiệm phân biệt? A. 2 m > . B. 2 m < . C. 2 m = . D. 2 m ≤ . Hướng dẫn giải câu 8 & 9 Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 23 1 2 3 23 1 xx + − =⇔+ − = . Đặt ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 , 0, x x tt t = + ⇒ − = ∀ ∈ +∞ . ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1' , 0, tm f t tm t tt ⇔ += ⇔ = += ∀ ∈ +∞ . Xét hàm số ( ) 1 ft t t = + xác định và liên tục trên ( ) 0, +∞ . Ta có: ( ) 2 22 11 '1 t ft tt − =−= . Cho ( ) '0 1 ft t =⇔=± . Bảng biến thiên: t 1 − 0 1 +∞ ( ) ' ft − 0 + ( ) ft +∞ +∞ 2 Dựa vào bảng biến thiên: + Nếu 2 m < thì phương trình ( ) 1' vô nghiệm ( ) 1 pt ⇒ vô nghiệm. Câu 8 chọn đáp án A + Nếu 2 m = thì phương trình ( ) 1' có đúng một nghiệm 1 t = ( ) 1 pt ⇒ có đúng một nghiệm ( ) 2 3 1 0 x tx = + = ⇒= . + Nếu 2 m > thì phương trình ( ) 1' có hai nghiệm phân biệt ( ) 1 pt ⇒ có hai nghiệm phân biệt. Câu 9 chọn đáp án A Câu 44. Gọi 12 , x x là hai nghiệm của phương trình ( ) ( ) 22 22 21 2 2 43 2 2 2 21 xx xx ++ ++ = + −+ . Khi đó, tổng hai nghiệm bằng? Trang 12/13 A. 0. B. 2. C. 2. − D. 1. Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 22 2 21 2 2 21 21 4 31 1 2 2 2 2 1 8.2 2 4.2 4.2 1 xx x x x xx x ++ + + + ++ + = + − +⇔ = + − + Đặt ( ) 2 1 22 x tt + = ≥ , phương trình trên tương đương với 22 2 8 4 4 1 6 1 0 3 10 t t t t t t t = + − + ⇔ − −= ⇔ = + (vì 2 t ≥ ). Từ đó suy ra 2 12 1 22 3 10 log 2 2 3 10 3 10 log 2 x x x +  +  =  =+⇔  +  = −   Vậy tổng hai nghiệm bằng 0 . Câu 45. Với giá trị của tham số m thì phương trình ( ) ( ) 1 162 2 3 46 5 0 xx m mm + − − + += có hai nghiệm trái dấu? A. 4 1. m − < <− B. Không tồn tại m . C. 3 1 2 m −< < . D. 5 1 6 m − < <− . Hướng dẫn giải Đặt 40 x t = > . Phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 6 5 0. ft m t m t m + − − + +=        ( ) * Yêu cầu bài toán ( ) * ⇔ có hai nghiệm 12 , tt thỏa mãn 1 2 01 tt < << ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 1 1 0 1 3 12 0 4 1. 16 5 0 16 5 0 mm mf m m m mm mm  +≠ +≠  ⇔+ < ⇔+ + <⇔−< <−   + +> + +>  Câu 46. Cho bất phương trình: 1 11 5 1 55 x x + ≥ −− . Tìm tập nghiệm của bất phương trình. A. ( ] ( ) 1;0 1; . S = − ∪ +∞ B. ( ] ( ) 1;0 1; . S = − ∩ +∞ C. ( ] ;0 . S = −∞ D. ( ) ;0 . S = −∞ Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) 1 61 5 11 0 (1) 5 1 55 5.5 1 5 5 x xx xx + − ≥ ⇔ ≥ −− −− . Đặt 5 x t = , BPT ( ) ( ) ( ) 61 (1) 0 5 15 t tt − ⇔≥ −− . Đặt ( ) ( ) ( ) 61 () 5 15 t ft tt − = −− . Lập bảng xét dấu ( ) ( ) ( ) 61 () 5 15 t ft tt − = −− , ta được nghiệm: 5 5 5 1 1 1 10 1 51 5 5 x x t x x t  <  < <    ⇔⇔    −< ≤ <≤ < ≤     . Vậy tập nghiệm của BPT là ( ] ( ) 1;0 1; S = − ∪ +∞ . Câu 47. Bất phương trình 22 2 21 21 2 25 9 34.15 xx xx xx −+ + −+ + −+ + ≥ có tập nghiệm là: A. ( [ ] ) ;1 3 0;2 1 3; . S   = −∞ − ∪ ∪ + +∞   B. ( ) 0; . S = +∞ C. ( ) 2; . S = +∞ D. ( ) 1 3;0 . S = − Hướng dẫn giải Trang 13/13 ( ) ( ) 22 22 2 2 21 21 21 21 2 02 5 34 5 25 9 34.15 1 . 1 3 3 15 3 13 xx xx xx xx xx x x x −+ + −+ + −+ + −+ + −+ ≤≤     + ≥ ⇔ +≥ ⇔ ≤−       ≥+  Câu 48. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 1 4 .2 2 0 xx mm + − += có hai nghiệm 1 2 , xx thoả mãn 12 3 xx += ? A. 4 m = . B. 2 m = . C. 1 m = . D. 3 m = . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 1 4 .2 2 0 2 2 .2 2 0 * xx x x m m mm + − +=⇔ − += Phương trình ( ) * là phương trình bậc hai ẩn 2 x có: ( ) 2 2 ' 22 m mm m ∆= − − = − . Phương trình ( ) * có nghiệm ( ) 2 2 2 0 20 0 m m m mm m ≥  ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔  ≤  Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 1 2 1 2 2 .2 2 2 2 x x x x mm + =⇔ = Do đó 3 12 3 22 4 xx m m + =⇔ = ⇔= . Thử lại ta được 4 m = thỏa mãn. Chọn A. Câu 49. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình 22 2 sin cos sin 2 3 .3 x x x m + ≥ có nghiệm? A. 4. m ≤ B. 4. m ≥ C. 1. m ≤ D. 1. m ≥ Hướng dẫn giải Chia hai vế của bất phương trình cho 2 sin 30 x > , ta được 22 sin sin 21 3. 39 xx m    + ≥       Xét hàm số 22 sin sin 21 3. 39 xx y    = +       là hàm số nghịch biến. Ta có: 2 0 sin 1 x ≤≤ nên 14 y ≤ ≤ Vậy bất phương trình có nghiệm khi 4 m ≤ . Chọn đáp án A Câu 50. Cho bất phương trình: ( ) ( ) 9 1 .3 0 1 xx mm + − + > . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ( ) 1 nghiệm đúng 1 x ∀> . A. 3 . 2 m ≥− B. 3 . 2 m >− C. 3 2 2. m>+ D. 3 2 2. m≥+ Hướng dẫn giải Đặt 3 x t = Vì 13 xt >⇒ > Bất phương trình đã cho thành: ( ) 2 1. 0 t m t m + − + > nghiệm đúng 3 t ∀≥ 2 1 tt m t − ⇔ >− + nghiệm đúng 3 t ∀> . Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 22 2 ,3, ' 1 0,3 1 1 gt t t g t t t t = − + ∀> = − > ∀> + + . Hàm số đồng biến trên [ ) 3; +∞ và ( ) 3 3 2 g = . Yêu cầu bài toán tương đương 33 22 mm − ≤ ⇔ ≥− .