Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta luôn có: + + + + + = n(n 1) 1 2 3 ... n 2 Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta luôn có: + + + + − = 2 1 3 5 ... 2n 1 n Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ∀≥ n 1 , ta có bất đẳng thức: ( ) − < + 1.3.5... 2n 1 1 2.4.6.2n 2n 1 Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ∀ ≥ ∀ > n 1, x 0 ta có bất đẳng thức: + + +  + ≤   + 2n 1 n n1 n x (x 1) x 1 2 x1 . Đẳng thức xảy ra khi nào? Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với = n1 và = k n2 Bước 2: Giả sử P(n) đúng với = + n k1, ta chứng minh P(n) đúng với = nk . Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 , ta luôn có 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho là một số nguyên dương và là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên . Nếu (1) là đúng và (2) Nếu đúng, thì cũng đúng với mọi số tự nhiên ; thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên . Khi ta bắt gặp bài toán: Chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau Bư ớc 1: Kiểm tra có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai Bư ớc 2: Với , giả sử đúng ta cần chứng minh cũng đúng. Kết luận: đúng với . Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề đúng gọi là giả thiết quy nạp. A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT Phương pháp . Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức (hoặc ) đúng với ta thực hiện các bước sau: Bư ớc 1: Tính rồi chứng minh Bư ớc 2: Giả sử , ta cần chứng minh . Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 2 1. + + + ++ − + = 22 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 ... (n 1) n 6 2. + + ++ = − 2n n 1 2 n 3 2n 3 ... 34 3 3 4.3 Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau 1. ( ) ( ) ++ + ++ + = nn 1 n 2 1.2 2.3 ... n(n 1) 3 với ∀≥ n 1 2. ( ) ( ) + + ++ = + − + 11 1 1 n ... 1.5 5.9 9.13 4n 1 4n 3 4n 1 3. ( )   + + + ++ =      3 33 3 2 nn 1 1 2 3 ... n 2 4. ( )      +  −−− − =      −      −  2 4 4 4 4 1 2n 1 1 1 ... 1 1 9 25 1 2n 2n 1 5. + ++ = + + 11 1 n ... 1.2 2.3 n(n 1) n 1 6. −+ + + + + − = ∀≥ 2 22 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n , n 2 12 7. + + + ++ = 22 2 2n(n 1)(2n 1) 2 4 ... (2n) 3 8. ++ + + ++ + + = n(n 1)(n 2)(n 3) 1.2.3 2.3.4 ... n(n 1)(n 2) 4 Với mọi ∈  n* . 9. −+ + + ++ − = 2 22 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n 12 với ∀≥ n2 . 10. + + ++ = ++ ++ 1 1 1 n(n 3) ... 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) Với mọi ∈  n* . Bài 3 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta có: + π +++ ++ = n1 222 ... 22 2cos 2 (n dấu căn) 2. Chứng minh các đẳng thức + + + = nx (n 1)x sin sin 22 sin x sin 2x ...sin nx x sin 2 với ≠π x k2 với ≥ n 1 . Bài 4 Chứng minh rằng với mọi ≥ n 1 ta có bất đẳng thức: ≤ sin nx n sin x ∀∈  x Bài 5 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 , ta có :  + <   n 1 13 n 2. >+ n 3 3n 1 với mọi số tự nhiên ≥ n2 ; 3. ( ) >+ − 2.4.6.2n 2n 1 1.3.5... 2n 1 với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ; Bài 6 Cho hàm số f xác định với mọi ∈  x và thoả mãn điều kiện : +≥ ∀ ∈  f(x y) f(x).f(y), x,y (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có : ( )    ≥       2n n x fx f 2 Bài 7 Chứng minh các bất đẳng thức sau 1. ++ ++ < − 2 11 1 1 1 ... 2 49 n n ∀≥ n2 2. <+ + + ≤ 11 1 n 1 .... 2 n 23 n 3. α> α tan n n tan với ( ) π <α < − 0 4n 1 4. > + ∀≥ n 2 2n 1 n 3 5. + > + ∀∈  n2 * 2 2n 5, ( n ) 6. − > + ∀∈ ≥  n 1 * 3 n(n 2); ( n ,n 4) 7. − > − ∀∈ ≥  n3 * 2 3n 1; ( n ,n 8) 8. ππ + −≥ + (n 1)cos n cos 1 n1 n với ∀≥ n 1 9. + < + + 1 3 5 2n 1 1 . . .... 2 4 6 2n 2 3n 4 10. ++ ++ < ∀ ∈ ≥ −  * n 11 1 1 ... n ;( n ,n 2) 23 21 . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 Bài 8 Cho tổng: = + + ++ − + n 11 1 1 S ... 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 1. Tính 12 3 4 S ;S ;S ;S 2. Dự đoán công thức tính n S và chứng minh bằng phương pháp qui nạp. Bài 9 Cho hàm số →  f : , ≥ n2 là số nguyên . Chứng minh rằng nếu  +  + ≥ ∀≥     xy f(x) f(x) f x,y 0 22 (1) thì ta có + ++  + ++  ≥     1 2 n 12 n f(x ) f(x ) ... f(x ) x x ... x f nn ∀≥ i x0 , = i 1,n (2). 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: =  n n a 16 – 15n – 1 225 Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 thì = + − n A(n) 7 3n 1 luôn chia hết cho 9 Ví dụ 3. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) = + + +…  n n B n 1 n 2 n 3 . 3n 3 Ví dụ 4. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi ≥ (n 3) bằng − 0 (n 2)180 . 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng: 1. − + 2 n(2n 3n 1) chia hết cho 6. 2. +− + n 1 2n 1 11 12 chia hết cho 133 3. − 7 nn chia hết cho 7 4. − n 13 1chia hết cho 6 5. − 5 nn chia hết cho 5 với mọi ≥ n 1 6. −− n 16 15n 1 chia hết cho 225 với mọi ≥ n 1 7. + +− 2n 1 4.3 32n 36 chia hết cho 64 với mọi ≥ n 1 . Bài 2 1. Chứng minh rằng với ∀≥ n2 , ta luôn có ( ) ( ) ( ) =++ + n a n 1 n 2 ... n n chia hết cho n 2 . 2. Cho a,b là nghiệm của phương trình − + = 2 x 27x 14 0 Đặt ( ) = + nn Sn a b . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S(n) là một số nguyên không chia hết cho 715. 3. Cho hàm số →  f : thỏa = = f(1) 1,f(2) 2 và + = + + f(n 2) 2f(n 1) f(n) . Chứng minh rằng: + − + =− 2n f (n 1) f(n 2)f(n) ( 1) 4. Cho n p là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: > n 2 n 2p . 5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n! đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n!. Bài 3 Gọi 12 x ,x là hai nghiệm của phương trình : − += 2 x 6x 1 0 . Đặt = + nn n1 2 a xx . Chứng minh rằng : 1. −− = − ∀≥ n n 1 n 2 a 6a a n 2 . 2. n a là một số nguyên và n a không chia hết cho 5 với mọi ≥ n 1 . Bài 4 1. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( ≥ n 1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? 2. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đó hai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành + + 2 n n 2 2 miền. Bài 5 Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 4 1. Cho a,b,c,d,m là các số tự nhiên sao cho + ad , − (b 1)c , − + ab a c chia hết cho m . Chứng minh rằng = ++ n n x a.b cn d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n . 2. Chứng minh rằng từ + n1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến An đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. 1. n B. . n p C. . n p D. . n p Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến An đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề An đúng với nk . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. . kp B. . kp C. . kp D. . kp Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến An đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: Bước 1, kiểm tra mệnh đề An đúng với . n p Bước 2, giả thiết mệnh đề An đúng với số tự nhiên bất kỳ nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với 1. nk Trogn hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai. Câu 4. Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 1 n chia hết cho * 7, '' n  * như sau: Giả sử * đúng với nk , tức là 81 k chia hết cho 7. Ta có: 1 8 1 88 1 7 kk , kết hợp với giả thiết 81 k chia hết cho 7 nên suy ra được 1 81 k chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi * . n  Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bư ớc 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Câu 5. Cho 1 1 1 1 ... 1 2 23 34 . 1 n S nn   với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 1 . 12 S B. 2 1 . 6 S C. 2 2 . 3 S D. 3 1 . 4 S Câu 6. Cho 1 1 1 1 ... 1 2 23 34 . 1 n S nn   với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . n n S n B. . 1 n n S n C. 1 . 2 n n S n D. 2 . 3 n n S n Câu 7. Cho 1 1 1 ... 1 3 3 5 2 1 2 1 n S nn    với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 2 1 n n S n B. . 21 n n S n C. . 32 n n S n D. 2 . 2 5 n n S n Câu 8. Cho 22 2 11 1 1 1 ... 1 2 3 n P n                  với 2 n và . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 2 n P n B. 1 . 2 n P n C. 1 . n P n D. 1 . 2 n P n Câu 9. Với mọi * n  , hệ thức nào sau đây là sai? A. 1 1 2 ... 2 nn n B. 2 1 3 5 ... 2 1 nn . C. 22 2 1 2 1 1 2 ... 6 nn n n Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 D. 2 2 22 2 1 2 1 246 2 6 nn n n  . Câu 10. Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi * , n  số 32 35 nn n chia hết cho 3. II) Với mọi * , n  ta có 1 1 1 13 ... 1 2 2 24 nn n . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 1.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho 0 n là một số nguyên dương và P(n) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên ≥ 0 nn . Nếu (1) 0 P(n ) là đúng và (2) Nếu P(k) đúng, thì + P(k 1) cũng đúng với mọi số tự nhiên ≥ 0 kn ; thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên ≥ 0 nn . Khi ta bắt gặp bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên ≥ 0 n n, ∈  0 n ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau Bư ớc 1: Kiểm tra 0 P(n ) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai Bư ớc 2: Với ≥ 0 kn , giả sử P(k) đúng ta cần chứng minh + P(k 1) cũng đúng. Kết luận: P(n) đúng với ∀≥ 0 nn . Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề P(k) đúng gọi là giả thiết quy nạp. Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức Phương pháp . Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức = P(n) Q(n) (hoặc > P(n) Q(n) ) đúng với ∀≥ ∈  00 n n , n ta thực hiện các bước sau: Bư ớc 1: Tính 00 P(n ), Q(n ) rồi chứng minh = 00 P(n ) Q(n ) Bư ớc 2: Giả sử = ∈≥  0 P(k) Q(k); k ,k n , ta cần chứng minh += + P(k 1) Q(k 1) . Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta luôn có: + + + + + = n(n 1) 1 2 3 ... n 2 Lời giải. Đặt = + + + + P(n) 1 2 3 ... n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : + = n(n 1) Q(n) 2 Ta cần chứng minh = ∀∈ ≥  P(n) Q(n) n ,n 1 . Bư ớc 1: Với = n1 ta có + = = = 1(1 1) P(1) 1, Q(1) 1 2 ⇒= ⇒ P(1) Q(1) (1) đúng với = n1 . Bư ớc 2: Giả sử = P(k) Q(k) với ∈≥  k ,k 1 tức là: + + + + + = k(k 1) 1 2 3 ... k 2 (1) Ta cần chứng minh += + P(k 1) Q(k 1) , tức là: ++ + + + + + + = (k 1)(k 2) 1 2 3 ... k (k 1) 2 (2) Thật vậy: = + + + +++ VT(2) (1 2 3 ... k) (k 1) + = ++ k(k 1) (k 1) 2 (Do đẳng thức (1)) ++ = + += = k (k 1)(k 2) (k 1)( 1) VP(2) 2 2 Vậy đẳng thức cho đúng với mọi ≥ n 1 . Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta luôn có: + + + + − = 2 1 3 5 ... 2n 1 n Lời giải. • Với = n1 ta có = = = 2 VT 1, VP 1 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 2 Suy ra = ⇒ VT VP đẳng thức cho đúng với = n1 . • Giả sử đẳng thức cho đúng với = nk với ∈≥  k ,k 1 tức là: + + + + − = 2 1 3 5 ... 2k 1 k (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1 , tức là: ( ) + + + + − + + = + 2 1 3 5 ... (2k 1) (2k 1) k 1 (2) Thật vậy: = + + + + − + + VT(2) (1 3 5 ... 2k 1) (2k 1) = ++ 2 k (2k 1) (Do đẳng thức (1)) = += 2 (k 1) VP(1.2) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi ≥ n 1 . Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ∀≥ n 1 , ta có bất đẳng thức: ( ) − < + 1.3.5... 2n 1 1 2.4.6.2n 2n 1 Lời giải. * Với = n1 ta có đẳng thức cho trở thành : < ⇔> 11 23 2 3 đúng. ⇒ đẳng thức cho đúng với = n1 . * Giả sử đẳng thức cho đúng với = ≥ n k1 , tức là : ( ) − < + 1.3.5... 2k 1 1 2.4.6...2k 2k 1 (1) Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1, tức là : ( ) ( ) ( ) − + < + + 1.3.5... 2k 1 2k 1 1 2.4.6....2k 2k 2 2k 3 (2) Thật vậy, ta có : −+ + + = <= + + + + 1.3.5...(2k 1) 2k 1 1 2k 1 2k 1 VT(2) . 2.4.6...2k 2k 2 2k 2 2k 2 2k 1 Ta chứng minh: + < ⇔ + +< + + + 2 2k 1 1 (2k 1)(2k 3) (2k 2) 2k 2 2k 3 ⇔> 31 (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 . Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ∀ ≥ ∀ > n 1, x 0 ta có bất đẳng thức: + + +  + ≤   + 2n 1 n n1 n x (x 1) x 1 2 x1 . Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải. • Với = n1 ta cần chứng minh: +  + ≤ ⇔ + ≤ +  +  3 2 24 x(x 1) x 1 8x(x 1) (x 1) x1 2 Tức là: − + − +≥ ⇔ − ≥ 4 32 4 x 4x 6x 4x 1 0 (x 1) 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi = x1. • Giả sử + + +  + ≤   + 2k 1 k k1 k x (x 1) x 1 2 x1 , ta chứng minh + ++ + +  + ≤   + 2k 3 k1 k 2 k1 x (x 1) x 1 2 x1 (*) Thật vậy, ta có: ++ +  +  +  +  + + = ≥       + 2k 3 2 2k 1 2 k k1 k x1 x 1 x 1 x 1 x (x 1) 2 22 2 x1 Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 + ++ +  + + + ≥   ++ 2 k k1 k1 k 2 k k1 x 1 x (x 1) x (x 1) 2 x1 x 1 Hay + +  + +≥ + +   2 k1 2 k 2 k x1 (x 1) x(x 1)(x 1) 2 (**) Khai triển (**) , biến đổi và rút gọn ta thu được + + − − − + − ≥ 2k 2 2 k 1 2 2 x (x 1) 2x (x 1) (x 1) 0 + ⇔− − ≥ 2 k1 2 (x 1) (x 1) 0 BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng thức có ⇔= x1 . Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với = n1 và = k n2 Bước 2: Giả sử P(n) đúng với = + n k1 , ta chứng minh P(n) đúng với = nk . Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 , ta luôn có 1. + + + ++ − + = 22 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 ... (n 1) n 6 2. + + ++ = − 2n n 1 2 n 3 2n 3 ... 34 3 3 4.3 Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau 1. ( ) ( ) ++ + ++ + = nn 1 n 2 1.2 2.3 ... n(n 1) 3 với ∀≥ n 1 2. ( ) ( ) + + ++ = + − + 11 1 1 n ... 1.5 5.9 9.13 4n 1 4n 3 4n 1 3. ( )   + + + ++ =      3 33 3 2 nn 1 1 2 3 ... n 2 4. ( )      +  −−− − =      −      −  2 4 4 4 4 1 2n 1 1 1 ... 1 1 9 25 1 2n 2n 1 5. + ++ = + + 11 1 n ... 1.2 2.3 n(n 1) n 1 6. −+ + + + + − = ∀≥ 2 22 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n , n 2 12 7. + + + ++ = 22 2 2n(n 1)(2n 1) 2 4 ... (2n) 3 8. ++ + + ++ + + = n(n 1)(n 2)(n 3) 1.2.3 2.3.4 ... n(n 1)(n 2) 4 Với mọi ∈  n* . 9. −+ + + ++ − = 2 22 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n 12 với ∀≥ n2 . 10. + + ++ = ++ ++ 1 1 1 n(n 3) ... 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) Với mọi ∈  n* . Bài 3 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta có: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 4 + π +++ ++ = n1 222 ... 22 2cos 2 (n dấu căn) 2. Chứng minh các đẳng thức + + + = nx (n 1)x sin sin 22 sin x sin 2x ...sin nx x sin 2 với ≠π x k2 với ≥ n 1 . Bài 4 Chứng minh rằng với mọi ≥ n 1 ta có bất đẳng thức: ≤ sin nx n sin x ∀∈  x Bài 5 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 , ta có :  + <   n 1 13 n 2. >+ n 3 3n 1 với mọi số tự nhiên ≥ n2 ; 3. ( ) >+ − 2.4.6.2n 2n 1 1.3.5... 2n 1 với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ; Bài 6 Cho hàm số f xác định với mọi ∈  x và thoả mãn điều kiện : +≥ ∀ ∈  f(x y) f(x).f(y), x,y (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có : ( )    ≥       2n n x fx f 2 Bài 7 Chứng minh các bất đẳng thức sau 1. ++ ++ < − 2 11 1 1 1 ... 2 49 n n ∀≥ n2 2. <+ + + ≤ 11 1 n 1 .... 2 n 23 n 3. α> α tan n n tan với ( ) π <α < − 0 4n 1 4. > + ∀≥ n 2 2n 1 n 3 5. + > + ∀∈  n2 * 2 2n 5, ( n ) 6. − > + ∀∈ ≥  n 1 * 3 n(n 2); ( n ,n 4) 7. − > − ∀∈ ≥  n3 * 2 3n 1; ( n ,n 8) 8. ππ + −≥ + (n 1)cos n cos 1 n1 n với ∀≥ n 1 9. + < + + 1 3 5 2n 1 1 . . .... 2 4 6 2n 2 3n 4 10. ++ ++ < ∀ ∈ ≥ −  * n 11 1 1 ... n ;( n ,n 2) 23 21 . Bài 8 Cho tổng: = + + ++ − + n 11 1 1 S ... 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 1. Tính 12 3 4 S ;S ;S ;S 2. Dự đoán công thức tính n S và chứng minh bằng phương pháp qui nạp. Bài 9 Cho hàm số →  f : , ≥ n2 là số nguyên . Chứng minh rằng nếu  +  + ≥ ∀≥     xy f(x) f(x) f x,y 0 22 (1) thì ta có + ++  + ++  ≥     1 2 n 12 n f(x ) f(x ) ... f(x ) x x ... x f nn ∀≥ i x0 , = i 1,n (2). ĐÁP ÁN Bài 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 1. Bư ớc 1: Với = n1 ta có: ++ == = =⇒ = 2 1(1 1)(2.1 1) VT 1 1, VP 1 VT VP 6 ⇒ đẳng thức cho đúng với = n1 . Bư ớc 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với = ≥ n k1 , tức là: ++ + ++ − + = 22 2 2 k(k 1)(2k 1) 1 2 ... (k 1) k 6 (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1 , tức là cần chứng minh: ++ + + + +− + ++ = 22 2 2 2 (k 1)(k 1)(2k 3) 1 2 ... (k 1) k (k 1) 6 (2). Thật vây:   = + ++ + +   22 2 2 VT(2) 1 2 ... k (k 1) ++ = ++ do (1) 2 k(k 1)(2k 1) (k 1) 6  + + + + = + ++ = 22 2k k (k 1)(2k 7k 6) (k1) k1 6 6 ++ + = = (k 1)(k 2)(2k 3) VP(2) 6 ⇒ (2) đúng ⇒ đẳng thức cho đúng với mọi ≥ n 1 . 2. * Với = n1 ta có = = ⇒ VT 1 VP đẳng thức cho đúng với = n1 * Giả sử đẳng thức cho đúng với = ≥ n k1 , tức là: + + ++ = − 2k k 1 2 k 3 2k 3 ... 34 3 3 4.3 (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1, tức là cần chứng minh ++ ++ + ++ + = − 2 k k1 k1 1 2 k k 1 3 2k 5 ... 34 3 3 3 4.3 (2). Thật vậy: ++ ++ + =− + =− = k k1 k1 3 2k 3 k 1 3 2k 5 VT(2) VP(2) 44 4.3 3 4.3 ⇒ (2) đúng ⇒ đẳng thức cho đúng. Bài 2 1. + ++ + + + + = 1.2 2.3 ... k(k 1) (k 1)(k 2) ++ = ++ + k(k 1)(k 2) (k 1)(k 2) 3 ++ + = (k 1)(k 2)(k 3) 3 . 2. ( ) ( ) + + ++ + = ++ −+ 11 1 1 1 ... 1.5 5.9 9.13 (4k 1)(4k 5) 4k 3 4k 1 + =+= + ++ + k 1 k1 4k 1 (4k 1)(4k 5) 4k 5 3.  +  + +  ++ =     22 3 k(k 1) (k 1)(k 2) (k 1) 33 . 4.  + + − + + −= − =   − − + + + −  22 4 1 2k (2k 3)(2k 1)(1 2k) 2k 3 1 1 2k (2k 1) (2k 1) (2k 1) (1 2k) 5,6,7. Bạn đọc tự làm 8. ++ + + + + + = k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3) 4 ++ + + = (k 1)(k 2)(k 3)(k 4) 4 . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 6 9. −+ −+  + += + +     2 2 k(k 1)(3k 2) (k 1)(3k 2) k(k 1) k(k 1) 1 12 12 + −− + + + = = 2 k(k 1)(3k k 10) (k 1)k(k 2)(3k 5) 12 12 . 10. + + = ++ ++ + k(k 3) 1 4(k 1)(k 2) (k 1)(k 2)(k 3) + + + + = = ++ + ++ + 22 k(k 3) 4 (k 1) (k 4) 4(k 1)(k 2)(k 3) 4(k 1)(k 2)(k 3) ++ = ++ (k 1)(k 4) 4(k 2)(k 3) . Bài 3 1. * Với π =⇒= = = n 1 VT 2, VP 2cos 2 4 ⇒= ⇒ VT VP đẳng thức cho đúng với = n1 . * Giả sử đẳng thức cho đúng với = nk , tức là: + π +++ ++ = k1 222 ... 22 2cos 2 (k dấu căn) (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1, tức là: + π +++ ++ = k2 222 ... 22 2cos 2 ( + k1 dấu căn) (2). Thật vậy: + π = +++ ++ = +       k1 k dau can VT(2) 222 ... 22 2 2cos 2 + + + π ππ =+= = = 2 k 1 k2 k2 2(1 cos ) 4cos 2cos VP(2) 2 22 (Ở trên ta đã sử đụng công thức += 2 a 1 cosa 2cos 2 ). ⇒ (2) đúng ⇒ đẳng thức cho đúng. 2. • Với = n1 ta có = = = x sin sin x 2 VT sin x, VP sin x x sin 2 nên đẳng thức cho đúng với = n1 • Giả sử đẳng thức cho đúng với = ≥ n k1 , tức là: + + + = kx (k 1)x sin sin 2 2 sin x sin 2x ...sin kx x sin 2 (1) Ta chứng minh (4) đúng với = + n k1 , tức là + + + + += (k 1)x (k 2)x sin sin 22 sin x sin 2x ...sin(k 1)x x sin 2 (2) Thật vậy: + = ++ kx (k 1)x sin sin 2 2 VT(2) sin(k 1)x x sin 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 7  +  + + = kx (k 1)x x sin 2cos sin (k 1)x 2 22 sin x 2 sin 2 + + = = (k 1)x (k 2)x sin sin 22 VP(2) x sin 2 Nên (2) đúng. Suy ra đẳng thức cho đúng với mọi ≥ n 1 . Bài 4 * Với = n1 ta có: = α= α= VT sin1. 1. sin VP nên đẳng thức cho đúng. * Giả sử đẳng thức cho đúng với = ≥ n k1 , tức là : ≤ sin kx k sin x (1) Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1 ,tức là : ( ) + α≤ + α sin(k 1) k 1 sin (2) Thật vậy: ( ) + α = α α+ α α sin k 1 sin k cos cos k sin ≤ α α+ α α ≤ α+ α sin k . cos cos k . sin sin k sin ( ) ≤ α+ α = + α k sin sin k 1 . sin Vậy đẳng thức cho đúng với = + n k1, nên đẳng thức cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n . Bài 5 1. Ta chứng minh  + < + + ≤ ≤   k 2 2 1 nn 1 1 ,1 k n nk k (1) bằng phương pháp quy nạp theo k . Sau đó cho = kn ta có (7). * Với = ⇒ = + < + += 2 1 11 k 1 VT(1) 1 1 VP(1) nn n ⇒ (1) đúng với = k1 . * Giải sử (1) đúng với = ≤ ≤ k p, 1 p n , tức là:  + < ++   p 2 2 pp 1 11 nn n (2). Ta chứng minh (1) đúng với = + k p1 , tức là + ++  + < ++   p1 2 2 (p1) p1 1 11 nn n (3). Thật vậy: +      + = + + < ++ +         p1 p 2 2 pp 1 11 1 1 1 .1 1 1 n nn n n n ++ ++ =+ + +≤ + + + 22 2 32 2 2 p p p p1 p p p p1 11 nn nn n n + + + + + < ++= + + 2 2 22 p 2p1 p1 (p1) p1 11 nn nn ⇒ (3) đúng ⇒ đpcm. Cách khác: Khi = ⇒ < n1 2 3 (đúng) dễ thấy khi >⇒ 1 n1 n tiến dần về  ⇒ +   n 1 01 n tiến gần về 1 .Vậy ∀≥ n 1 ta luôn có  + <   n 1 13 n 2. Với = n2 ta có: = = > = += 2 VT 3 9 VP 3.2 1 7 nên đẳng thức cho đúng với = n1 • Giả sử đẳng thức cho đúng với = ≥ n k2 , tức là: > + k 3 3k 1 (1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1 , tức là : Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 + ≥ + += + k1 3 3(k 1) 1 3k 4 (2) Thật vậy: + = > + = ++ − > + k1 k 3 3.3 3(3k 1) 3k 4 (6k 1) 3k 4 nên (2) đúng. Vậy bài tóan được chứng minh. 3. Với = n1 ta có: = = = ⇒ 2 VT 2, VP 3 1 đẳng thức cho đúng với = n1 • Giả sử đẳng thức cho đúng với = ≥ n k1 , tức là: ( ) >+ − 2.4.6.2k 2k 1 1.3.5... 2k 1 (1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1 , tức là: ( ) + >+ −+ 2.4.6.2k(2k 2) 2k 3 1.3.5... 2k 1 (2k 1) (2) Thật vậy: ( ) + + + >+ = + −+ + 2.4.6.2k(2k 2) 2k 2 2k 2 2k 1. 2k 1 1.3.5... 2k 1 (2k 1) 2k 1 Nên ta chứng minh ( ) + > + ⇔ + > + + + 2 2k 2 2k 3 2k 2 (2k 1)(2k 3) 2k 1 ⇔> 43 hiển nhiên đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 6 1. Trong BĐT +≥ f(x y) f(x).f(y) thay x và y bằng x 2 , ta được: ( )       +≥ ⇒ ≥             2 xx x x x f f .f f x f( ) 22 2 2 2 Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với = n1 . Giả sử bất đẳng thức đúng với = ≥ n k1 . Ta có ( )   ≥   2k k x fx f 2 (1) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với = + n k1 , tức là : ( ) + +   ≥   2k 1 k1 x fx f 2 (2) Thật vậy ta có :       = + ≥           ++ +      2 x xx x ff f k k1 k1 k1 2 22 2            ⇒≥             +                k 2 k 22 xx ff k k1 22 +       ⇒≥          +          k k1 22 xx f f k k1 2 2 Do tính chất bắc cầu ta có được : ( ) + +   ≥   2k 1 k1 x fx f 2 Bất đẳng thức đúng với = + n k1 nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n. Bài 7 1. − + <− ⇔ < ++ + 2 1 1 1 11 22 k k1 k1 k (k 1) (hiển nhiên đúng) Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 9 2. + > +⇔ + > + 1 k k1 k(k1) k k1 (hiển nhiên) + < +⇔ + < + + 1 2k 2k 1 2k(k 1) 2k 1 k1 ⇔ + < + = + + 2 4k(k 1) (2k 1) 4k(k 1) 1 (hiển nhiên). 3. α+ α + α= > + α − αα tan n tan tan(n 1) (n 1)tan 1 tan n .tan ⇔ α+ α > + α− + α α 2 tan n tan (n 1)tan (n 1)tan .tan n  ⇔ α + + α > α 2 tan n 1 (n 1)tan n tan (đúng) 4. + > + = + + −> + k1 2 2(2k 1) 2k 3 2k 1 2k 3 . 5. ++ = > + = + + + + > + + k3 k2 2 2.2 2(2k 5) 2(k 1) 5 2k 7 2(k 1) 5 6. − = > + = + ++ + − k k1 2 3 3.3 3k(k 2) (k 1)(k 2) 2k 3k 2 >+ + (k 1)(k 2) . 7. −− = > − = ++ − > + k2 k3 2 2.2 2(3k 1) 3k 2 3k 4 3k 2 8. • Với = n1 thì bđt hiển nhiên đúng • Giả sử π π −− ≥ − kcos (k 1)cos 1 k k1 . Ta cần chứng minh π π  π π π + − ≥⇔ − ≥   + ++   2 (k 1)cos kcos 1 k cos cos 2sin k1 k k1 k 2(k1) +π π π ⇔≥ ++ + 2 (2k 1) ksin sin sin 2k(k 1) 2k(k 1) 2(k 1) (1) Ta có: π +π π +π π > > >⇒ > ++ + + (2k 1) (2k 1) 0 sin sin 2 2k(k 1) 2(k 1) 2k(k 1) 2(k 1) Mặt khác: ππ ≤⇒ ≥ + + sin nx n sin x ksin sin 2k(k 1) 2(k 1) Từ đó ta có được (1) luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. 9. + + + < ++ + + 1 3 5 2k 1 2k 3 1 2k 3 . . .... . . 2 4 6 2k 2 2k 4 2k 4 3k 4 Và + < + ++ 1 2k 3 1 . 2k 4 3k 4 3k 7 ⇔ + + < + + 2 2 (3k 7)(2k 3) (3k 4)(2k 4) ⇔ +> k1 0 (đúng). 10. ++ + < +⇔ < − − k1 k1 11 k k1 1 21 21 (đúng). Bài 8 1. Ta có = = = = 12 3 4 12 3 4 S ,S ;S ,S 3 57 9 2. Dự đoán công thức = + n n S 2n 1 . Bài 9 • Ta chứng minh (2) đúng với = k n2 , ≥ k1 * Với = k1 thì (8.2) đúng (do (1)) * Giả sử (2) đúng với = k n2 , ta chứng minh (2) đúng với + = k1 n2 Thật vậy:  ++   +≥   1k k 2 1k k 2 x ... x f(x ) ...f(x ) 2 f 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 10 + + + +  ++   + ≥   k k1 k 21 2 k k1 k 21 2 x ... x f(x ) ...f(x ) 2 f 2 Do đó: + + +  ++   ++     + ≥ +       1 k k k1 kk 2 21 2 1 k1 kk 2 x ... x x ... x f(x ) ...f(x ) 2 f 2 f 22 + + + +  ++ + ++    ≥     1 k k k1 k1 2 21 2 k1 x ... x x ... x 2f 2 . Do vậy (2) đúng với mọi = k n2 . • Giả sử (2) đúng với mọi = +≥ n k1 3 , tức là + + + ++  + ++  ≥  ++  1 2 k1 1 2 k1 f(x ) f(x ) ... f(x ) x x ... x f k1 k1 (3) Ta chứng minh (8.2) đúng với = nk , tức là + ++  + ++  ≥     1 2 k 12 k f(x ) f(x ) ... f(x ) x x ... x f kk (4) Thật vậy: đặt + + ++ = = 12 k k1 x x ... x x x kk , áp dụng (3) ta có    + ++ + + ++     ≥  ++       12 k 12 x x f(x ) f(x ) ... f(x ) f x x ... k k f k1 k1 Hay + ++  + ++  ≥     1 2 k 12 k f(x ) f(x ) ... f(x ) x x ... x f kk . Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Chứng minh tương tự ta cũng có bài toán sau Nếu + ≥ f(x) f(y) f( xy) 2 ∀≥ x,y 0 (a) thì ta có ( ) + ++ ≥ 12 n n 12 n f(x ) f(x ) ... f(x ) f x x ...x n với ∀≥ = i x 0, i 1,n (b). Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học Các ví dụ Ví dụ 1. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: =  n n a 16 – 15n – 1 225 Lời giải. • Với = n1 ta có: = ⇒  11 a 0 a 225 . • Giả sử = −−  k k a 16 15k 1 225 , ta chứng minh + + = − + −  k1 k1 a 16 15(k 1) 1 225 Thậ vậy: ( ) + = −− = −−− − kk k k1 a 16.16 15k 16 16 15k 1 15 16 1 ( ) =−− k k a 15 16 1 Vì ( ) −− −= + + +  k k1 k 2 16 1 15. 16 16 ... 1 15 và  k a 225 Nên ta suy ra +  k1 a 225 . Vậy bài toán được chứng minh Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 thì = + − n A(n) 7 3n 1 luôn chia hết cho 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 11 Lời giải. * Với = ⇒ = + −= ⇒  1 n 1 A(1) 7 3.1 1 9 A(1) 9 * Giả sử ∀≥  A(k) 9 k 1, ta chứng minh +  A(k 1) 9 Thật vậy: + + = + + −= +−−+ k1 k A(k 1) 7 3(k 1) 1 7.7 21k 7 18k 9 ⇒ += − − A(k 1) 7A(k) 9(2k 1) Vì  ⇒+  −     A(k) 9 A(k 1) 9 9(2k 1) 9 Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên ≥ n 1 . Ví dụ 3. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) = + + +…  n n B n 1 n 2 n 3 . 3n 3 Lời giải. • Với = n1 , ta có : =  1 B 2.3 3 • Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là : ( ) ( ) ( ) ( ) = + + +…  k k B k 1 k2 k3 3k 3 Ta chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) + +  = + + + … +  k1 k1 B k2 k3 k4 3 k 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + +… + + k1 B 3 k 1 k 2 k 3 3k 3k 1 3k 2 ( ) ( ) = + + k 3B 3k 1 3k 2 Mà  k k B 3 nên suy ra + +  k1 k1 B3 . Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n. Lời giải. Giả sử mệnh đề đúng với = ≥ n k3 điểm. Ta chứng minh nó cũng đúng cho = + n k1 điểm. Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm n A và + n1 A là + n n1 A A . Nếu những điểm 12 n A ,A ,...,A nằm trên một đường thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là + n1: Gồm n đường thẳng nối + n1 A với các điểm 12 n A ,A ,...,A và đường thẳng chúng nối chung. Nếu 12 n A ,A ,...,A không nằm trên một đường thẳng thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối + n1 A với các điểm 12 n A ,A ,...,A . Vì đường thẳng + n n1 A A không chứa một điểm nào trong − 1 2 n 1 A ,A ,...,A , nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi 12 n A ,A ,...,A . Như vậy số đường thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn + n1. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi ≥ (n 3) bằng − 0 (n 2)180 . Lời giải. • Với = n3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 0 180 • Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với < kn , ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n- giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là ( ) − 0 k 1 180 và ( ) −− 0 n k 1 180 . Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là ( ) ( ) +− = − 00 k–1 n k–1 180 n 2 180 . Suy ra mệnh đề đúng với mọi ≥ n3 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 12 1. − + 2 n(2n 3n 1) chia hết cho 6. 2. +− + n 1 2n 1 11 12 chia hết cho 133 3. − 7 nn chia hết cho 7 4. − n 13 1chia hết cho 6 5. − 5 nn chia hết cho 5 với mọi ≥ n 1 6. −− n 16 15n 1 chia hết cho 225 với mọi ≥ n 1 7. + +− 2n 1 4.3 32n 36 chia hết cho 64 với mọi ≥ n 1 . Bài 2 1. Chứng minh rằng với ∀≥ n2 , ta luôn có ( ) ( ) ( ) =++ + n a n 1 n 2 ... n n chia hết cho n 2 . 2. Cho a,b là nghiệm của phương trình − + = 2 x 27x 14 0 Đặt ( ) = + nn Sn a b . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S(n) là một số nguyên không chia hết cho 715. 3. Cho hàm số →  f : thỏa = = f(1) 1,f(2) 2 và + = + + f(n 2) 2f(n 1) f(n) . Chứng minh rằng: + − + =− 2n f (n 1) f(n 2)f(n) ( 1) 4. Cho n p là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: > n 2 n 2p . 5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n! đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n!. Bài 3 Gọi 12 x ,x là hai nghiệm của phương trình : − += 2 x 6x 1 0 . Đặt = + nn n1 2 a xx . Chứng minh rằng : 1. −− = − ∀≥ n n 1 n 2 a 6a a n 2 . 2. n a là một số nguyên và n a không chia hết cho 5 với mọi ≥ n 1 . Bài 4 1. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( ≥ n 1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? 2. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đó hai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành + + 2 n n 2 2 miền. Bài 5 1. Cho a,b,c,d,m là các số tự nhiên sao cho + ad , − (b 1)c , − + ab a c chia hết cho m . Chứng minh rằng = ++ n n x a.b cn d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n . 2. Chứng minh rằng từ + n1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. ĐÁP ÁN Bài 1 1. Đặt = − += − + 2 32 n a n(2n 3n 1) 2n 3n n Ta có: + = + − + + += + 32 2 n1 n a 2(n1) 3(n1) n1 a 6n . 2. Đặt +− = + n 1 2n 1 n a 11 12 Ta có: +− − + =+ =+ n 1 2 2n 1 2n 1 n1 n a 11.11 12 .12 11.a 133.12 3. Đặt = − 7 n a nn Ta có − ++ = = + − += = + ∑ 7 7 k 7k n1 n1 n 7 i1 a (n 1) (n 1) a a C n Mà = ≤ ≤ − k 7 7! C ,1 k 7 k!(7 k)! luôn chia hết cho 7 . 4. Đặt + = −⇒ = + n n n1 n a 13 1 a 13a 12 5. Đặt = − 5 n a nn thì ta có: + − = + − −= + + + 55 3 2 k1 k a a (k 1) k 1 5k(k 2k 2k 1) . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 13 6. Đặt = −− n n a 16 15n 1 thì ta có: ( ) + + = − − = + − k1 k k1 k a 16 15k 16 a 15. 16 1 7. Đặt + = +− 2n 1 n a 4.3 32n 36 thì ta có: + + + = + + − = + + 2k 3 2k 1 k1 k a 4.3 32(k 1) 36 a 32(3 1) Bài 2 1. * Với = n2 , ta có : ( ) ( ) = + += ⇒ =  2 22 a 2 1 2 2 12 a 4 2 . * Giả sử  k k a2 ta chứng minh + +  k1 k1 a2 . Thật vậy: ( ) ( ) ( ) + = ++ ++ + ++ k1 a k1 1 k1 2 ... k k1 1 ( ) ( ) ( ) = + + ++ k2 k3 ... kk2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + ++ ++ k2 k3 ... kk kk 1 kk2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = + + + + ++        k k 1 k 2 k 3 ... k k .2. k k 1 a = ++ 2 k 2a .(k k 1) Do ++ + ⇒⇒   k k1 k1 k k k1 a2 2a2 a 2 đpcm. 2. Ta có: = −− − S(n) 27S(n 1) 14S(n 2) rồi dùng quy nạp để chứng minh S(n) chia hết cho 751 . 3. • Ta có: = + = f(3) 2f(2) f(1) 5 , nên − =−=− 2 21 f (2) f(3)f(1) 2 5.1 ( 1) Suy ra đẳng thức cho đúng với = n1 . • Giả sử đẳng thức cho đúng với = nk , tức là: + − + =− 2k f (k 1) f(k 2)f(k) ( 1) (1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với = + n k1 , tức là: + + − + +=− 2 k1 f (k 2) f(k 3)f(k 1) ( 1) (2) Ta có: +− + + = +− ++ +  +   2 2 f (k 2) f(k 3)f(k 1) f (k 2) 2f(n 2) f(n 1) f(k 1) = +  + −+−+ 2 f(k 2) f(k 2) 2f(k 1) f (k 1) + = + − + =−− = − 2 k k1 f(k 2)f(k) f (k 1) ( 1) ( 1) Vậy bài toán được chứng minh. 4. Trước hết ta có nhận xét: + +> 1 2 n n1 p .p ...p 1 p • Với = n1 ta có: =>= 1 2 1 2 4p 2 • Giả sử > ∀≤ k 2 k 2 p k n , ta cần chứng minh + + > k1 2 k1 2p Thật vậy, ta có: + +> +> p 12 k 22 2 1 2 k k1 2 .2 ...2 1 p .p ...p 1 p Suy ra + −+ + + + + ++ > ⇒ +> ⇒ > k1 1 2 k 2 1 k1 2 2 ... 2 2 2 k1 k1 k1 2 p2 1 p2 p Vậy bài toán được chứng minh 5. • Với = n1 bài toán hiển nhiên đúng. • Giả sử bài toán đúng với = nk , ta chứng minh bài toán đúng với = + n k1 Nếu = + a (k 1)! thì bài toán hiển nhiên đúng Ta xét <+ a (k 1)! , ta có: = ++ a (k 1)d r với < <+ d k!,r k 1 Vì < d k! nên = + ++ 12 k d d d ... d với = i d (i 1,k) là các ước đôi một khác nhau của k! Khi đó: = + ++ + ++ + 12 k a (k 1)d (k 1)d ... (k 1)d r Vì + i (k 1)d ,r là các ước đôi một khác nhau của + (k 1)! Vậy bài toán được chứng minh. Bài 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 14 1. Ta có: −− − − =+ + − + n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 2 1 2 12 1 1 a (x x )(x x ) x x (x x ) Theo định lí Viét: + =   =   12 12 xx 6 xx 1 nên ta có: −− − − −− = + − + = − n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 2 1 1 n 1 n 2 a 6(x x ) (x x ) 6a a . 2. * Với =⇒ = + =⇒∈  1 12 1 n1 a x x 6 a Và 1 a không chia hết cho 5 * Giả sử ∈  k a và k a không chia hết cho 5 với mọi ≥ k1 . Ta chứng minh + ∈  k1 a và + k1 a không chia hết cho 5. Do + − = − k 1 k k1 a 6a a Mà − + ∈⇒ ∈  k k1 k 1 a ,a a . Mặt khác: + − −− = +− = + − k 1 k k k1 k k1 k 2 a 5a (a a ) 5a 5a a Vì − k2 a không chia hết cho 5 và −        k k1 5a 5 5a 5 nên suy ra + k1 a không chia hết cho 5. Bài 4 1. Giả sử n mặt phẳng chia không gian thành n a miền Ta chứng minh được: + + + = + 2 n1 n n n 2 aa 2 Từ đó ta tính được: + −+ = 2 n (n 1)(n n 6) a 6 . 2. Gọi n a là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Ta có: = 1 a2 . Ta xét đường thẳng thứ + n1 (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểm và bị n đường thẳng chia thành + n1phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của n a . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của n a sẽ chia miền đó thành 2 miền, nên số miền có thêm là + n1. Do vậy, ta có: + = + + n1 n a a n1 Từ đây ta có: + + = 2 n n n 2 a 2 . Bài 5 1. • Với = n0 ta có = +  0 x a dm • Giả sử = ++  k k x a.b ck d m với ≥∈  k 0,k , ta chứng minh + + = + + +  k1 k1 x a.b c(k 1) d m . Thật vậy: ( ) + + − = − + = − + − + k1 k k k k1 k x x a.b a.b c b ab a c c.b c ( ) ( ) −− = − + − − + + + k k1 k 2 b ab a c c(b 1) b b ... 1 Mà + − + − ⇒  k k1 x ,ab a c,c(b 1) m x m Vậy bài toán được chứng minh. 2. • Với = n1 ta thấy bài toán hiển nhiên đúng • Giả sử bài toán đúng với − n1, có nghĩa là: từ n số bất kì trong − 2n 2 số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. Ta chứng minh bài toán đúng với n , tức là: từ + n1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. Ta chứng minh bằng phản chứng: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 15 Giả sử tồn tại một tập con X có + n1 phần tử của tập { } = A 1,2,...,2n sao cho hai số bất kì trong X không là bội của nhau. Ta sẽ chứng minh rằng có một tập con X' gồm n phần tử của tập { } − 1,2,...,2n 2 sao cho hai phần tử bất kì của X' không là bội của nhau Để chứng minh điều này ta xét các trường hợp sau đây TH 1: X không chứa 2n và − 2n 1 Ta bỏ đi một phần tử bất kì của tập X ta được một tập X' gồm n phần tử và là tập con của { } − 1,2,...,2n 2 mà hai phần tử bất kì thuộc X' không là bội của nhau. TH 2: X chứa 2n mà không chứa − 2n 1 Ta bỏ đi phần tử 2n thì ta thu được tập X' gồm n phần tử và là tập con của { } − 1,2,...,2n 2 mà hai phần tử bất kì thuộc X' không là bội của nhau. TH 3: X chứa − 2n 1 mà không chứa 2n Ta bỏ đi phần tử − 2n 1 thì ta thu được tập X' gồm n phần tử và là tập con của { } − 1,2,...,2n 2 mà hai phần tử bất kì thuộc X' không là bội của nhau. TH 2: X chứa 2n và − 2n 1 Vì X không chứa hai số là bội của nhau nên X không chứa n và ước của n (Vì nếu chứa ước của n thì số đó là ước của 2n ) Bây giờ trong X , ta bỏ đi hai phần tử − 2n 1 và 2n rồi bổ sung thêm n vào thì ta thu được tập X' gồm n phần tử và là tập con của { } − 1,2,...,2n 2 mà hai phần tử bất kì thuộc X' không là bội của nhau. Như vậy ta luôn thu được một tập con X' gồm n phần tử của tập { } − 1,2,...,2n 2 mà các phần tử không là bội của nhau. Điều này trái với giả thiết quay nạp. Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến An đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. 1. n B. . n p C. . n p D. . n p Lời giải. Chọn B. Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến An đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề An đúng với nk . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. . kp B. . kp C. . kp D. . kp Lời giải. Chọn B. Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến An đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: Bước 1, kiểm tra mệnh đề An đúng với . n p Bước 2, giả thiết mệnh đề An đúng với số tự nhiên bất kỳ nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với 1. nk Trogn hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai. Lời giải. Chọn C. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 16 Câu 4. Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 1 n chia hết cho * 7, '' n  * như sau: Giả sử * đúng với nk , tức là 81 k chia hết cho 7. Ta có: 1 8 1 88 1 7 kk , kết hợp với giả thiết 81 k chia hết cho 7 nên suy ra được 1 81 k chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi * . n  Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Lời giải. Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với 1 n , khi đó ta có 1 8 1 9 không chi hết cho 7. Câu 5. Cho 1 1 1 1 ... 1 2 23 34 . 1 n S nn   với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 1 . 12 S B. 2 1 . 6 S C. 2 2 . 3 S D. 3 1 . 4 S Lời giải. Nhìn vào đuôi của n S là 1 . 1 nn  cho 2 n , ta được 11 . 2. 2 1 2 3  Do đó với 2 n , ta có 2 1 1 2 . 12 2 3 3 S   Chọn C. Câu 6. Cho 1 1 1 1 ... 1 2 23 34 . 1 n S nn   với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . n n S n B. . 1 n n S n C. 1 . 2 n n S n D. 2 . 3 n n S n Lời giải. Cách trắc nghiệm: Ta tính được 12 3 1 2 3 , , 2 34 SS S . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B. Cách tự luận. Ta có 12 3 1 2 3 , , 2 34 SS S  dự đoán . 1 n n S n Với 1 n , ta được 1 1 1 1.2 1 1 S : đúng. Giả sử mệnh đề đúng khi nk 1 k , tức là 11 1 ... 1.2 2.3 1 1 k kk k . Ta có 11 1 ... 1.2 2.3 1 1 k kk k Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 17 2 11 1 1 1 ... 1.2 2.3 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 21 ... 1.2 2.3 1 1 2 1 2 k k k kk k kk kk k k kk kk 11 1 1 1 ... . 1.2 2.3 1 1 2 2 k kk k k k Suy ra mệnh đề đúng với 1 nk . Câu 7. Cho 1 1 1 ... 1 3 3 5 2 1 2 1 n S nn    với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 2 1 n n S n B. . 21 n n S n C. . 32 n n S n D. 2 . 2 5 n n S n Lời giải. Cho 1 2 3 1 1 3 6 2. 15 3 3 7 n S nS nS     Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa. Chọn B. Câu 8. Cho 22 2 11 1 1 1 ... 1 2 3 n P n                  với 2 n và . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 2 n P n B. 1 . 2 n P n C. 1 . n P n D. 1 . 2 n P n Lời giải. Vì 2 n nên ta cho 2 2 3 2 2 13 21 4 2 . 1 12 3 1 .1 3 2 3 nP n P                    Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D. Câu 9. Với mọi * n  , hệ thức nào sau đây là sai? A. 1 1 2 ... 2 nn n B. 2 1 3 5 ... 2 1 nn . C. 22 2 1 2 1 1 2 ... 6 nn n n D. 2 2 22 2 1 2 1 246 2 6 nn n n  . Lời giải. Bẳng cách thử với 1 n , 2 n , 3 n là ta kết luận được. Chọn D. Câu 10. Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi * , n  số 32 35 nn n chia hết cho 3. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 18 II) Với mọi * , n  ta có 1 1 1 13 ... 1 2 2 24 nn n . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. Lời giải. Chọn A. Ta chứng minh I) đúng. Với 1 n , ta có 32 1 1 3.1 5.1 9 3 u  : đúng. Giả sử mệnh đề đúng khi nk 1 k , tức là 32 3 5 3 k uk k k  . Ta có 32 2 2 1 3 5 3 9 9 3 3 3 3. kk u k kk k k u kk  Kết thúc chứng minh. Mệnh đề II) sai vì với 1, n ta có 1 1 12 13 VT 1 1 2 24 24 : Vô lý. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. Ví dụ 2. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi + + = + 2 n n 3n 7 u n1 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. Ví dụ 3. Cho dãy số n (u ) xác định bởi: − =   = + ∀≥   1 n n 1 u1 u 2u 3 n 2 . 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng + = − n1 n u2 3 ; 3. Số hạng thứ 2012 2012 của dãy số có chia hết cho 7 không? Ví dụ 4. Cho hai dãy số nn (u ),(v ) được xác định như sau = = 11 u 3,v 2 và + +  = +   =   22 n1 n n n1 n n u u 2v v 2u .v với ≥ n2 . 1. Chứng minh : − = 22 nn u 2v 1 và ( ) −=− n 2 nn u 2v 2 1 với ∀≥ n 1 ; 2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy n (u ) và n (v ) . 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän 2. DÃY SỐ 1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên : Ta kí hiệu bởi và gọi là s ố h ạng th ứ n hay số h ạng t ổng quát của dãy số, được gọi là số hạng đầu của dãy số. Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển hoặc dạng rút gọn . 2. Người ta thường cho dãy số theo các cách: Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó Cho bằng công thức truy hồi, tức là: * Cho một vài số hạng đầu của dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số gọi là dãy tăng nếu Dãy số gọi là dãy giảm nếu 4. Dãy số bị chặn Dãy số gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho . Dãy số gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho . Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương sao cho . A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 2 Bài 1 Cho dãy số n (u ) có số hạng tổng quát + = + n 2n 1 u n 2 . 1. Viết năm số hạng đầu của dãy số. 2. Tìm số hạng thứ 100 và 200 3. Số 167 84 có thuộc dãy số đã cho hay không 4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên. Bài 2 Cho dãy số n (a ) xác định bởi: +− = − =   = − ∀≥   12 n 1 n n 1 u 1,u 3 u 5u 6u n 2 . 1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy 2. Chứng minh rằng: − − = − n 1 n 1 n u 5.3 6.2 , ∀≥ n 1 . Bài 3 Cho dãy số n (u ) có số hạng tổng quát: =++ 2 n u 2n n 4 1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số 2. Tính 20 2010 u ,u 3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên. Bài 4 Cho dãy số n (u ) xác định bởi: − =   = + − ≥   1 n n 1 u2 u 2u 3n 1, n 2 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy 2. Chứng minh rằng = − − ∀= n n u 5.2 3n 5 n 1,2,3,... 3. Tìm số dư của 2010 u khi chia cho 3 Bài 5 Cho dãy số n (u ) : ++ = =  ≥  = +   12 n 1nn 2 u 2008; u 2009 n 1 2u u u 1. Chứng minh rằng dãy − = − n n n n 1 (v ) : v u u là dãy không đổi 2. Biểu thị n u qua − n 1 u và tìm CTTQ của dãy số n (u ) Bài 6 Cho dãy số n (u ) : + − = =  ≥  =   12 2 n n1 n 1 u 1; u 2 n2 u u u 1. Chứng minh rằng dãy − = n nn n 1 u (v ) : v u là dãy không đổi 2. Tìm công thức tổng quát của dãy n (u ) . Bài 7. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi − =   = +≥   1 n n 1 u2 u 2u 3, n 2 . 1. Tìm 6 số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng − = − n 1 n u 5.2 3 với ∀≥ n2 ; 3. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu? Bài 8. Cho dãy số n (u ) có 4 số hạng đầu là : = = 12 u 1,u 3, = = 3 4 u 6,u 10 . 1. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên; 2. Tìm ba số hạng tiếp theo của dãy số theo quy luật vừa tìm trên. Bài 9 1. Cho dãy  = + +− nn nn 1 (u ) : u (2 5) (2 5) 2 .Chứng minh rằng 2n u là số tự nhiên chẵn và + 2n 1 u là số tự nhiên lẻ. 2. Cho dãy số = − ++ nn nn (u ) : u (4 2 3) (4 2 3) . Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều là số nguyên. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 3. Cho dãy số + =    = ≥   1 n n1 n u1 (u ) : 3 u u ,n 1 2 . Chứng minh rằng dãy n (u ) có vô hạn các số chẵn và vô hạn các số lẻ. 4. Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương n (u ) thỏa: = = 01 u 1,u 2 và ++ −= 2 n 2 n n1 u .u u 1. Bài 10. (Dãy Fibonacci) Cho dãy số n (F ) được xác định bởi = = 12 F 1,F 1 và −− = + n n 1 n 2 FF F Chứng minh rằng: 1.      +−   = −                nn n 11 5 1 5 F 22 5 2. + + + = 22 n n1 2n1 FF F và + ++ + += n n1 n1 n 2 2n 2 FF F F F với mọi ≥ n2 . 3. ⇔  kk n F 5 n5 . 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Câu 1. Cho dãy số n u , biết . 1 n n u n Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1 23 45 ; ;;; . 2 3 4 5 6 B. 23 45 6 ;;; ; . 3 4 5 6 7 C. 1 23 45 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 D. 23 45 6 ; ; ; ; . 3 4 5 6 7 Câu 2. Cho dãy số n u , biết 31 n n n u . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1 11 ; ; . 2 48 B. 11 3 ; ; . 2426 C. 11 1 ; ; . 2 4 16 D. 12 3 ;;. 2 3 4 Câu 3. Cho dãy số n u , biết 1 1 1 3 n n u uu  với 0 n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1;2;5. B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. 1;3;7. Câu 4. Cho dãy số , n u biết 2 2 2 1 . 3 n n u n Tìm số hạng 5 . u A. 5 1 . 4 u B . 5 17 . 12 u C. 5 7 . 4 u D. 5 71 . 39 u Câu 5. Cho dãy số , n u biết 1 .2 . n n u n Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 2. u B. 2 4. u C. 3 6. u D. 4 8. u Câu 6. Cho dãy số , n u biết 2 1. . n n n u n Tìm số hạng 3 . u A. 3 8 . 3 u B. 3 2. u C. 3 2. u D. 3 8 . 3 u Câu 7. Cho dãy số n u xác định bởi 1 1 2 . 1 1 3 nn u u u  Tìm số hạng 4 . u A. 4 5 . 9 u B . 4 1. u C. 4 2 . 3 u D. 4 14 . 27 u Câu 8. Cho dãy n u xác định bởi 1 1 3 . 2 2 n n u u u  Mệnh đề nào sau đây sai? A. 2 5 . 2 u B. 3 15 . 4 u C. 4 31 . 8 u D. 5 63 . 16 u Câu 9. Cho dãy số , n u biết 1 21 n n u n . Số 8 15 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Câu 10. Cho dãy số , n u biết 2 5 . 54 n n u n Số 7 12 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Câu 11. Cho dãy số , n u biết 2. n n u Tìm số hạng 1 . n u A. 1 2 .2. n n u B. 1 2 1. n n u Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 4 C. 1 2 1 . n un D. 1 2 2. n n u Câu 12. Cho dãy số n u , biết 3. n n u Tìm số hạng 21 . n u A. 2 21 3 .3 1. n n u B. 1 21 3 .3 . nn n u C. 2 21 3 1. n n u D. 2 1 21 3. n n u Câu 13. Cho dãy số , n u với 1 5 . n n u Tìm số hạng 1 . n u A. 1 1 5. n n u B. 1 5. n n u C. 1 1 5.5 . n n u D. 1 1 5.5 . n n u Câu 14. Cho dãy số , n u với 23 1 . 1 n n n u n       Tìm số hạng 1 . n u A. 2 13 1 1 . 1 n n n u n       B. 2 13 1 1 . 1 n n n u n       C. 23 1 . 2 n n n u n       D. 25 1 . 2 n n n u n       Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 12 3 4 0;;; ; ; . 2 3 4 5  có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. 1 . n n u n B. . 1 n n u n C. 1 . n n u n D. 2 . 1 n n n u n Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1;1; 1;1; 1; .  có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. 1. n u B. 1. n u C. 1. n n u D. 1 1 . n n u Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6; .  Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. 2. n un B. 2. n u n C. 2 1 . n un D. 2 4. n u n Câu 18. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 2 . 2 n n u u u  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 . n n u n B. 2. n n u C. 1 2 . n n u D. 2. n u Câu 19. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 1 . 2 2 n n u uu  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 2 1 . 2 n u n B. 1 2 1 . 2 n un C. 1 2. 2 n u n D. 1 2. 2 n un Câu 20. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 2 . 2 1 nn u uu n  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 2 2 1 . n un B. 2 2 . n u n C. 2 2 1 . n un D. 2 2 1 . n un Câu 21. Cho dãy số , n u được xác định 1 2 1 1 . n n u u un  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. ( 1)(2 1) 1. 6 n nn n u B. ( 1)(2 2) 1 . 6 n nn n u C. ( 1)(2 1) 1. 6 n nn n u D. ( 1)(2 2) 1 . 6 n nn n u Câu 22. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 2 . 1 2 n n u u u  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 . n n u n B. 1 . n n u n Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 C. 1 . n n u n D. . 1 n n u n Câu 23. Cho dãy số , n u được xác định 1 2 1 1 . 1 n n n u uu  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 . n un B. 1. n u n C. 2 1 1 . n n u D. . n u n Câu 24. Cho dãy số n u có số hạng tổng quát là 2 3 n n u với * . n  Công thức truy hồi của dãy số đó là: A. 1 1 6 . 6 , 1 n n u u u n  B. 1 1 6 . 3 , 1 n n u u u n  C. 1 1 3 . 3 , 1 nn u u un  D. 1 1 3 . 6 , 1 n n u u u n  Câu 25. Cho dãy số , n a được xác định 1 1 3 . 1 , 1 2 nn a a an  Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 23 4 5 93 . 16 a a a a a B. 10 3 . 512 a C. 1 9 . 2 nn n aa D. 3 . 2 n n a 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho dãy số − =   + = ∀≥   1 n n 1 n u2 (u ) : u1 u n2 2 . Chứng minh rằng dãy n (u ) là dãy giảm và bị chặn. Ví dụ 2. Cho dãy số +−  = =   = + ∀≥   12 n n 1 n n 1 u 1,u 2 (u ) : u u u n2 . Chứng minh rằng dãy n (u ) là dãy tăng và bị chặn 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau 1. − + = + 2 n 3n 2n 1 u n1 2. =−− 2 n u n n1 3. − = n n n 31 u 2 4. ( ) +− = n n 2 n1 u n Bài 2 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số n (u ) , biết: 1. − = − n 2n 13 u 3n 2 2. + + = + 2 n n 3n 1 u n1 3. = + + n 2 1 u 1n n Phương pháp: Để xét tính đơn điệu của dãy số ta xét : * Nếu dãy tăng * Nếu dãy giảm. Khi ta có thể xét * Nếu dãy tăng * Nếu dãy giảm. Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp. Vấn đề 2. Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 6 4. = n n 2 u n! 5. = + + ++ n 22 2 11 1 u 1 ... 23 n . Bài 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1. + = + n 2n 1 u n 2 2. = − n n u ( 1) 3. = − n u 3n 1 4. =− − 2 n u 4 3n n 5. + + = −+ 2 n 2 n n1 u n n1 6. + = + n 2 n1 u n1 Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1. = + ++ + n 11 1 u ... 1.3 2.4 n.(n 2) 2. ( ) ( ) = + ++ −+ n 11 1 u ... 1.3 3.5 2n 1 2n 1 3. − −  =  +  = ≥  +  1 n 1 n n 1 u1 u2 u ,n 2 u1 Bài 5 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau 1. + =   = + ≥   1 3 3 n1 n u1 u u 1, n 1 2. +  =   + = ≥   1 2 n n1 u2 u1 u n 1 4 Bài 6 1. Chứng minh rằng dãy số n (u ) xác định bởi = + ++ n u 2010 2010 ... 2010 (n dấu căn). Là một dãy tăng. 2. Cho dãy số n (u ) : −−  = =   =+ ≥   12 33 n n 1 n 2 u 1,u 2 u u u ,n 3 . Chứng minh rằng dãy n (u ) tăng và bị chặn. 3. Cho dãy số + = ≥ − nn an 2 (u ) : u , n 1 2n 1 a) Khi = a4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. 4. Cho dãy số − =   = −=   1 n n n 1 u2 (u ) : u 3u 2, n 2,3.. a) Viết 6 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh − = += n 1 n u 3 1, n 1,2,... 5. Cho dãy số − = − + + + n 1 n n u 5.2 3 n 2 , = n 1,2,... a) Viết 5 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh rằng: − − = + − n 1 n n 1 u 2u 3 n . Bài 7 1. Cho dãy số n (u ) : = − ++ nn n u (1 a) (1 a) ,trong đó ∈ a (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số b)Xét tính đơn điệu của dãy số 2. Cho dãy số n (u ) được xác định như sau: − −  =   = + −≥   1 n n 1 n 1 u1 1 u 3u 2, n 2 2u . a) Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng >∀ n u 0, n b) Chứng minh dãy n (u ) là dãy tăng. 3. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi : + =   = ∀=  +  0 2 n n1 n u 2011 u u , n 1,2,... u1 a) Chứng minh rằng dãy n (u ) là dãy giảm Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 7 b) Tìm phần nguyên của n u với ≤≤ 0 n 1006 . 4. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi: + + = =   = + ∀=   12 n 2 n n1 u 2,u 6 u u 2u , n 1,2,... a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình − −= 2 x 2x 1 0 . Chứng minh rằng: = + nn n u ab b) Chứng minh rằng: − ++ −= − 2 n 1 n1 n 2 n u u u ( 1) .8 . Bài 8 Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau 1. + = + nn n1 (u ) : u n 2 2. = ++ 3 nn (u ) : u n 2n 1 3. + =   + = ∀≥   1 n n n1 u2 (u ) : u1 u , n 2 2 4. +−  = =   = + ∀≥   12 n 1 n n 1 u 2,u 3 u u u , n 2 . Bài 9 1. Cho dãy số − = =   = =  −  ∑ 0 n 1 n ni 2 i1 x1 (x ) : 2n x x , n 2,3,... (n 1) Xét dãy số + = − n n1 n yx x . Chứng minh rằng dãy n (y ) là một tăng và bị chặn. 2. Cho dãy số nguyên dương n (u ) thỏa : + + = =     = +≥    01 2 n1 n2 n u 1,u 3 u u 1 , n 0 u . Chứng minh rằng: + + −= 2n n 2 n n1 uu u 2 với mọi số tự nhiên n . 3. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi: + =   = + +=   0 2 n1 n n u0 u 5u 24u 1, n 0,1,.. . Chứng minh rằng dãy số n (u ) là dãy số nguyên. 4. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi:  = + +− nn n 1 u (2 5) (2 5) 2 Chứng minh rằng 2n u là số tự nhiên chẵn và + 2n 1 u là số tự nhiên lẻ. 5. Cho hai dãy số nn (x );(y ) xác định :  =   =   1 1 x3 y3 và −− − −  = ++    =  ++   2 n n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 x x 1x y y 1 1y , ∀≥ n2 . Chứng minh rằng < < ∀≥ nn 2 x y 3, n 2 . 6. Cho dãy số số n (u ) được xác định bởi: + =     = +         0 n1 n n u1 1 1 u u 2 3u . Chứng minh rằng: = − n 2 n 3 a 3u 1 là một số chính phương. 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Câu 26. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? A. 1; 1; 1; 1; 1; 1;  B . 11 1 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16  C. 1; 3; 5; 7; 9;  D. 1 1 1 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16  Câu 27. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số tăng? Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 A. 1 . 2 n n u B. 1 . n u n C. 5 . 3 1 n n u n D. 2 1 . 1 n n u n Câu 28. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. 2 . 3 n n u B. 3 . n u n C. 2. n n u D. 2. n n u Câu 29. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. 1 . 2 n n u B. 31 . 1 n n u n C. 2 . n u n D. 2. n u n Câu 30. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. sin . n u n B. 2 1 . n n u n C. 1. n u n n D. 1 . 2 1 . n n n u Câu 31. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số 1 2 n u n là dãy tăng. B. Dãy số 12 1 n n n u là dãy giảm. C. Dãu số 1 1 n n u n là dãy giảm. D. Dãy số 1 2 cos n un n là dãy tăng. Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Dãy số 1 n n u n là dãy giảm. B. Dãy số 2 25 n un là dãy tăng. C. Dãy số 1 1 n n u n       là dãy giảm. D. Dãy số 2 sin n u n n là dãy tăng. Câu 33. Cho dãy số n u , biết 31 . 3 1 n n u n Dãy số n u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 1 . 3 B. 1. C. 1 . 2 D. 0. Câu 34. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào bị chặn trên? A. 2 . n u n B. 2. n n u C. 1 . n u n D. 1. n u n Câu 35. Cho dãy số n u , biết cos sin . n u nn Dãy số n u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. Câu 36. Cho dãy số n u , biết sin cos . n u nn Dãy số n u bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn dưới. Câu 37. Cho dãy số n u , biết 3 cos sin . n u nn Dãy số n u bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? A. 2; 2. mM B. 1 ; 31. 2 mM C. 31; 31. m M D. 11 ; . 22 mM Câu 38. Cho dãy số , n u biết 25 1 .5 . n n n u Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số n u bị chặn. D. Dãy số n u không bị chặn. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 9 Câu 39. Cho dãy số , n u với 1 1 1 ... , 1; 2; 3 . 1.4 2.5 3 n un nn  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số n u bị chặn. D. Dãy số n u không bị chặn. Câu 40. Cho dãy số , n u với 2 2 2 1 1 1 ... , 2; 3; 4; . 23 n u n n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số n u bị chặn. D. Dãy số n u không bị chặn. Câu 41. Trong các dãy số n u sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? A. 2 1. n u n B. 1 . n u n n C. 2 1. n n u D. . 1 n n u n Câu 42. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào bị chặn? A. 1 . 2 n n u B. 3. n n u C. 1. n u n D. 2 . n u n Câu 43. Cho dãy số , n u xác định bởi 1 * 1 6 . 6 , nn u u un   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 6. 2 n u  B. 6 3. n u  C. 6 2. n u  D. 6 2 3. n u   Câu 44. Cho dãy số , n u với sin 1 n u n  . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 1 n của dãy là 1 sin . 1 n u n  B. Dãy số n u là dãy số bị chặn. C. Dãy số n u là một dãy số tăng. D. Dãy số n u không tăng không giảm. Câu 45. Cho dãy số , n u với 1. n n u Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u là dãy số tăng. B. Dãy số n u là dãy số giảm. C. Dãy số n u là dãy số bị chặn. D. Dãy số n u là dãy số không bị chặn. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 DÃY SỐ Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. Lời giải. Xét dãy n (u ) có dạng: = + ++ 32 n u an bn cn d Ta có hệ: + + + =−  + + + =   + + + =   + + + =  a b cd 1 8a 4b 2c d 3 27a 9b 3c d 19 64a 16b 4c d 53 Giải hệ trên ta tìm được: === −= a 1,b 0,c 3,d 1 ⇒ = − + 3 n u n 3n 1 là một quy luật . Số hạng thứ 10: = 10 u 971. Ví dụ 2. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi + + = + 2 n n 3n 7 u n1 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. Lời giải. 1. Ta có năm số hạng đầu của dãy ++ = = + 2 1 1 3.1 7 11 u 11 2 , = = = = 2 3 45 17 25 47 u ,u ,u 7,u 34 6 2. Ta có: = ++ + n 5 u n 2 n1 , do đó n u nguyên khi và chỉ khi + 5 n1 nguyên hay + n1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi += ⇔ = n1 5 n 4 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là = 4 u7 . Ví dụ 3. Cho dãy số n (u ) xác định bởi: − =   = + ∀≥   1 n n 1 u1 u 2u 3 n 2 . 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng + = − n1 n u2 3 ; 3. Số hạng thứ 2012 2012 của dãy số có chia hết cho 7 không? Lời giải. 1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: = 1 u 1; = += 21 u 2u 3 5 ; = += = += 3 2 4 3 u 2u 3 13; u 2u 3 29 = += 5 4 u 2u 3 61 . 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp * Với + = ⇒ = −= ⇒ 11 1 n 1 u 2 31 bài toán đúng với = N1 * Giả sử + = − k1 k u2 3 , ta chứng minh + + = − k2 k1 u2 3 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có: + + + = += − += − k1 k 2 k1 k u 2u 32(2 3) 32 3 đpcm. 3. Ta xét phép chia của n cho 3 * = ⇒ = −− 3k n n 3k u 2(2 1) 1 Do −= −= ⇒  3k k n 2 1 8 1 7.A 7 u không chia hết cho 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 2 * = +⇒ = − +⇒ 3k nn n 3k 1u 4(2 1) 1u không chia hết cho 7 * = + ⇒ = − + ⇒ 3k nn n 3k 2 u 8(2 1) 5 u không chia hết cho 7 Vậy số hạng thứ 2012 2012 của dãy số không chia hết cho 7. Ví dụ 4. Cho hai dãy số nn (u ),(v ) được xác định như sau = = 11 u 3,v 2 và + +  = +   =   22 n1 n n n1 n n u u 2v v 2u .v với ≥ n2 . 1. Chứng minh : − = 22 nn u 2v 1 và ( ) −=− n 2 nn u 2v 2 1 với ∀≥ n 1 ; 2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy n (u ) và n (v ) . Lời giải. 1. Ta chứng minh bài toán theo quy nạp a) Chứng minh: − = 22 nn u 2v 1 (1) • Ta có −=− = 2 22 2 11 u 2v 3 2.2 1 nên (1) đúng với = n1 • Giả sử −= 22 kk u 2v 1 , khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ++ −=+ − =− = 22 2 2 2 2 22 k1 k1 k k k k k k u 2v u 2v 2 2u v u 2v 1 Từ đó suy ra (1) đúng với ∀≥ n 1 . b) Chứng minh ( ) −=− n 2 nn u 2v 2 1 (2) Ta có: ( ) − − −− − − −= + − = − 2 22 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 u 2v u 2v 2 2u v u 2v • Ta có: ( ) − =−=− 2 11 u 2v 3 2 2 2 1 nên (2) đúng với = n1 • Giả sử ( ) −=− k 2 kk u 2v 2 1 , ta có: ( ) ( ) + + + −=− =− k1 22 k1 k1 k k u 2v u 2v 2 1 Vậy (2) đúng với ∀≥ n 1 . 2. Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: ( ) +=+ n 2 nn u 2v 2 1 Do đó ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( )   = + +−    = + −−   nn 22 n n n 2 2 n 2u 2 1 2 1 2 2v 2 1 2 1 Hay ( ) ( ) ( ) ( )     = + +−        = + −−    nn 22 n n n 2 2 n 1 u 2 1 21 2 1 v 2 1 21 22 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho dãy số n (u ) có số hạng tổng quát + = + n 2n 1 u n 2 . 1. Viết năm số hạng đầu của dãy số. 2. Tìm số hạng thứ 100 và 200 3. Số 167 84 có thuộc dãy số đã cho hay không 4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 Bài 2 Cho dãy số n (a ) xác định bởi: +− = − =   = − ∀≥   12 n 1 n n 1 u 1,u 3 u 5u 6u n 2 . 1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy 2. Chứng minh rằng: − − = − n 1 n 1 n u 5.3 6.2 , ∀≥ n 1 . Bài 3 Cho dãy số n (u ) có số hạng tổng quát: =++ 2 n u 2n n 4 1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số 2. Tính 20 2010 u ,u 3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên. Bài 4 Cho dãy số n (u ) xác định bởi: − =   = + − ≥   1 n n 1 u2 u 2u 3n 1, n 2 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy 2. Chứng minh rằng = − − ∀= n n u 5.2 3n 5 n 1,2,3,... 3. Tìm số dư của 2010 u khi chia cho 3 Bài 5 Cho dãy số n (u ) : ++ = =  ≥  = +   12 n 1nn 2 u 2008; u 2009 n 1 2u u u 1. Chứng minh rằng dãy − = − n n n n 1 (v ) : v u u là dãy không đổi 2. Biểu thị n u qua − n 1 u và tìm CTTQ của dãy số n (u ) Bài 6 Cho dãy số n (u ) : + − = =  ≥  =   12 2 n n1 n 1 u 1; u 2 n2 u u u 1. Chứng minh rằng dãy − = n nn n 1 u (v ) : v u là dãy không đổi 2. Tìm công thức tổng quát của dãy n (u ) . Bài 7. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi − =   = +≥   1 n n 1 u2 u 2u 3, n 2 . 1. Tìm 6 số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng − = − n 1 n u 5.2 3 với ∀≥ n2 ; 3. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu? Bài 8. Cho dãy số n (u ) có 4 số hạng đầu là : = = 12 u 1,u 3, = = 3 4 u 6,u 10 . 1. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên; 2. Tìm ba số hạng tiếp theo của dãy số theo quy luật vừa tìm trên. Bài 9 1. Cho dãy  = + +− nn nn 1 (u ) : u (2 5) (2 5) 2 .Chứng minh rằng 2n u là số tự nhiên chẵn và + 2n 1 u là số tự nhiên lẻ. 2. Cho dãy số = − ++ nn nn (u ) : u (4 2 3) (4 2 3) . Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều là số nguyên. 3. Cho dãy số + =    = ≥   1 n n1 n u1 (u ) : 3 u u ,n 1 2 . Chứng minh rằng dãy n (u ) có vô hạn các số chẵn và vô hạn các số lẻ. 4. Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương n (u ) thỏa: = = 01 u 1,u 2 và ++ −= 2 n 2 n n1 u .u u 1. Bài 10. (Dãy Fibonacci) Cho dãy số n (F ) được xác định bởi = = 12 F 1,F 1 và −− = + n n 1 n 2 FF F Chứng minh rằng: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 4 1.      +−   = −                nn n 11 5 1 5 F 22 5 2. + + + = 22 n n1 2n1 FF F và + ++ + += n n1 n1 n 2 2n 2 FF F F F với mọi ≥ n2 . 3. ⇔  kk n F 5 n5 . ĐÁP ÁN Bài 1: 1. Năm số hạng đầu của dãy là: = = = = = 1 2 3 4 5 5 7 3 11 u 1,u ,u ,u ,u 4 5 2 7 . 2. Số hạng thứ 100: + = = + 100 2.100 1 67 u 100 2 34 Số hạng thứ 200: + = = + 200 2.200 1 401 u 200 2 202 3. Giả sử + = ⇒ = ⇔ += + + n 167 2n 1 167 u 84(2n 1) 167(n 2) 84 n 2 84 ⇔= n 250 . Vậy 167 84 là số hạng thứ 250 của dãy số n (u ) . 4. Ta có: +− = = − ++ n 2(n 2) 3 3 u2 n 2 n 2 ⇒ ∈⇔ ∈ ⇔ + ⇔ = +   n 3 u 3n 2 n 1 n 2 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên. Bài 2 1. Bốn số hạng đầu của dãy: = − = 3 21 u 5u 6u 21 ; = −= 4 32 u 5u 6u 87 ; = −= 5 43 u 5u 6u 309 = −= 6 54 u 5u 6u 1023 ; =−= 7 65 u 5u 6u 3261. 2. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp * =−= − 00 1 u 5.3 6.2 1 (đúng). * Giả sử −− = − k1 k1 k u 5.3 6.2 , ∀≥ k2 . Khi đó, theo công thức truy hồi ta có: ( ) ( ) −− − − + − = −= − − − k1 k1 k 2 k 2 k 1 k k1 u 5.u 6u 5 5.3 6.2 6 5.3 6.2 ( ) ( ) −− − − = −− − k1 k 2 k1 k 2 5 5.3 6.3 6 5.2 6.2 = − kk 5.3 6.2 đpcm. Chú ý: Ta có bài toán tổng quát sau Cho dãy +−    + + = ∀≥   12 n n 1 n n 1 u ,u (u ) : a.u bu cu 0 n 2 , với − > 2 b 4ac 0 Khi đó: −− = α +β n 1 n 1 n1 2 u .x .x với 12 x ,x là hai nghiệm của phương trình + + = 2 ax bx c 0 (*) và α +β =  αβ  α +β =   1 21 22 1 22 .x .x u ,: .x .x u . Phương trình (*) gọi là phương trình đặc trưng của dãy. Bài 3 1. Ta có: =+=+ =+ =+ 12 3 4 u 2 5;u 4 2 2;u 6 13;u 8 2 5 =+=+ 56 u 10 29; u 12 2 10 . 2. Ta có: = + 20 u 40 2 101 ; =++ 2 2010 u 4020 2010 4 3. Ta có: n u nguyên ⇔ + = ∈ ⇔ − =  2 22 n 4k k n 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 ⇔− + = (k n)(k n) 4 phương trình này vô nghiệm Vậy không có số hạng nào của dãy nhận giá trị nguyên. Bài 4 1 Ta có: = = = = = 12 3 4 5 u 2; u 9; u 26; u 63; u 140 2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 3. Ta có: ≡− = 2010 2010 5.2 1.( 1) 1(mod 3) Suy ra ≡ 2010 u 2(mod 3) . Bài 5 1. Ta có: + + + + + − = −⇒ = == = n 2 n1 n1 n n 2 n1 2 u u u u v v ... v 1 2. Ta có: −− − =⇒= + n n 1 n n 1 u u 1u u 1 Suy ra ( ) ( ) ( ) − −− = − + − ++ − + n n n 1 n 1 n 2 2 1 1 u u u u u ... u u u = ++ ++ = − + = + 1 1 1 ... 1 u n 1 2008 n 2007 . Bài 6 1. Ta có: + − = = = = n1 n 2 n n 1 1 uu u ... 2 uu u 2. Ta có −− − = = = n 1 n 1 n n 1 1 u 2u ...2 u 2 Bài 7. 1. Ta có 6 số hạng đầu của dãy là: = += = = = = 21 3 4 5 6 u 2u 3 7,u 17,u 37,u 77,u 157 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp Với = n2 ta có: = −= 2 u 5.2 3 7 (đúng) Giả sử − = − k1 k u 5.2 3 , khi đó ta có: ( ) − + = += − += − k1 k k1 k u 2u 3 2 5.2 3 3 5.2 3 Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp. 3. Ta có − < ⇔< n 1 n 1003 u 1000 2 5 . Mà 9 2 là lũy thừa lớn nhất của 2 lớn nhất có 3 chữ số nên ta có: − = ⇒ = n 1 9 2 2 n 10 . Vậy 10 u là số hạng cần tìm. Bài 8. 1. Vì dãy số cho giá trị của 4 số hạng đầu ứng với 4 giá trị tương ứng của = n 1,2,3,4 nên ta chỉ cần xác định một hàm số theo n mà ta phải tìm 4 ẩn là được. Chẳng hạn ta xét = + ++ 32 n u an bn cn d Theo bài ra ta có hệ phương trình : + + + = + + + =   + + + = + + = = = =   ⇔ ⇔  ++ + = ++ =   =   + + + = + + =  a b cd 1 a b cd 1 1 8a4b 2c d 3 7a3b c 2 a 0,b c 2 27a 9b 3c d 6 26a 8b 2c 5 d0 64a 16b 4c d 10 21a 5b c 3 Nên + = n n(n 1) u 2 là một dãy thỏa đề bài. 2. Ta có ba số hạng tiếp theo của dãy là: = = = 567 u 15,u 21,u 28 . Bài 9 1. Đặt + = =+ =− ⇒  = −  ab 4 a 2 5,b 2 5 ab 1 . Khi đó: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 6 −− − −  = += + + − + n n n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 1 u (a b ) (a b)(a b ) ab(a b ) 2 2 −− − − −− ++ = +=+ n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 ab a b 4. 4u u 22 Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp * = 1 u2 là số chẵn và = 2 u9 là số lẻ * Giả sử 2k u là số lẻ và − 2k 1 u là số chẵn. Khi đó: +− = + 2k 1 2k 2k 1 u 4u u là số chẵn, ++ = + 2k 2 2k 1 2k u 4u u là số lẻ Từ đó ta có đpcm. 2. Ta chứng minh được: − − = − n n 1 n 2 u 8u 4u . Từ đây suy ra đpcm. 3. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng • Giả sử dãy n (u ) có hữu hạn các số chẵn, giả sử k u là số hạng lớn nhất của dãy là số chẵn. Khi đó n u lẻ với ∀≥ + n k1 . Đặt + = + m k1 u 2 .p 1 với ∈  m,p ,p lẻ. Khi đó: −− +  = += + m1 m1 k1 3 u 3p.2 3p.2 1 2 − + = + m2 k2 u 3p.2 1 ,…, + = += + 0 km u 3p.2 1 3p 1 là số lẻ, suy ra vô lí. Nên dãy n (u ) chứa vô hạn số chẵn. • Chứng minh tương tự ta cũng có dãy n (u ) chứa vô hạn số lẻ. 4. Ta có: =⇒ = = −= ⇒  =⇒ = =  2 33 2 2 33 u 5 u 12,u 13 u 41 u 3 u4,u5 a) Ta chứng minh tồn tại duy nhất dãy số nguyên dương n (u ) thỏa = = = = 01 2 3 u 1,u 2,u 3,u 5 và ++ − = ∀≥ 2 n 2 n n1 u .u u 1, n 4 (1) • Chứng minh tồn tại: Xét dãy +− = =   =+=   01 n n 1nn 1 v 1,v 2 (v ) : v v v , n 2,3,... Bằng quy nạp ta chứng minh được n (v ) thỏa mãn (1). Thật vậy: ( ) ++ + + − = +− 22 n 2 n n1 n n1 n n1 v .v v v v v v ( ) + + −+ = − += − = 22 n1 n n1 n n n 1 n1 v vv v vv v 1 • Chứng minh duy nhất. Trước hết ta chứng minh nếu dãy n (u ) thỏa (1) thì n (u ) là dãy tăng. Giả sử ++ > ⇒ −≥ n1 n n1 n a a a 1a Từ ++ + + + + + + ±± − = ⇒ = ≥ > +> − 22 2 n1 n1 n 2 n n1 n 2 n1 n1 n n1 a1 a1 a a a 1 a a 1a a a 1 Nên theo quy nạp ta có đpcm. Giả sử tồn tại k để ≠ kk v u và = ∀< nn v u , n k . Khi đó Ta giả sử < kk vu , suy ra: −− −−  = +   = −   2 k k 2 k1 2 k k 2 k1 u .u u 1 v .v v 1 ( ) − − ⇒ −=⇒  k2 k k k2 u u v 2 2u điều này vô lí. Do vậy tồn tại duy nhất dãy nguyên dương n (u ) (đó chính là dãy n (v ) ) thỏa mãn (1). b) Tương tự ta chứng minh được tồn tại dũy nhất các dãy nguyên dương thỏa: + + = = = = −= 2 0 1 2 3 n 2 n n1 u 1,u 2,u 3,u 4, u u u 1 + + = = = = −= 2 0 1 2 3 n 2 n n1 u 1,u 2,u 5,u 12, u u u 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 7 + + = = = = −= 2 0 1 2 3 n 2 n n1 u 1,u 2,u 5,u 13, u u u 1. Đó là các dãy tương ứng là: ++ = = = − 0 1 n1 n1 n u 1,u 2,u 2u u ++ = = = + 0 1 n1 n1 n u 1,u 2,u 2u u ++ = = = − 0 1 n1 n1 n u 1,u 2,u 3u u . Vậy tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương thỏa yêu cầu bài toán. Bài 10. 1. Trước hết ta thấy dãy n (F ) tồn tại và duy nhất. Xét ( )      +−   = −=−                nn nn n 11 5 1 5 1 x ab 22 55 Với + = + − = = ⇒  = −  a b1 1 5 1 5 a ,b ab 1 22 Ta có: = = 12 xx 1 và ( ) − −− − −− + = −+ − n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 1 x x a ba b 5 − −  = + − + n2 n2 1 a (a 1) b (b 1) 5 − −  +− = − n2 n2 1 3 5 35 a . b. 22 5 ( ) −−     + − = − = −=          22 n2 n2 n n n 1 1 5 1 5 1 a . b. a b x 22 55 Vậy ta có: = ∀≥ nn F x , n 1 . 2. Ta chứng minh đồng thời hai tính chất trên theo quy nạp Với = n2 ta có: + = +== 2 22 2 23 5 F F 1 2 5F Và + = +== 2 3 34 6 F F F F 1.2 2.3 8 F Giả sử ++ += 22 k k1 2k1 FF F và + + + + += k k1 k1 k 2 2k 2 FF F F F với ≥ k2 Ta có: ( ) + + + + + + + + = + + = ++ + 2 22 2 22 2 k1 k 2 k1 k k1 k1 k k1 k k1 FF F F F FF F 2F F ( ) ( ) ++ + = + ++ 22 k1 k1 k k k1 F F 2F F F ( ) + + ++ ++ = + + = + = k 1 k 2 k 2k 1 2k 2 2k 1 2k 3 F F F FF FF . Và: ( ) ( ) + + + − + + + = ++ + k k1 k1 k 2 k k k 1 k1 k1 k F FF F F F F F FF − + + = ++ + 22 k k 1 k k1 k1 k FF F F F F ( ) ( ) −+ + = + ++ 22 k k 1 k k1 k k1 FF FF F F + + + = += 2k 2 2k 3 2k 5 FF F . Từ đó ta có điều phải chứng minh. 3. • Trước hết ta chứng minh: = 5n n n F 5F q với n q không chia hết cho 5 (1) Ta có : = − 5n 5n 5n 5F a b Đặt = = nn x a ,y b , như vậy ta có ( ) ( ) = = − nn xy ab 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 Do đó : ( ) ( )   =− + + + +     4 22 2 24 5n 5F x y x xy x y x y y (2) Mặt khác : ( ) ( ) + = − + = +− 2n 22 2 n x y x y 2xy 5F 2 1 ( ) ( )  + = + − = +− − 2 2 n 44 22 2 2 2 n xy xy 2x y 5F 2 1 2 ( ) = +− + n 42 nn 25F 20 1 F 2 (3). Từ đó, ta có:  = + − ++ − ++ 4 n2 n2 5n n n n n F 5F 25F 20( 1) F 2 5( 1) F 2 1 Hay ( )  = + − += 2 42 5n n n n n n F 5F 5F 5F 1 1 5F q , trong đó: ( ) = + −+ n 42 n nn q 5F 5F 1 1. Rõ ràng ta thấy n q không chia hết cho 5. • Với số tự nhiên n , ta phân tích = s n 5t với ( ) = t,5 1 . Khi đó từ (1) ta có = s n tn F 5 FA trong đó n A không là bội của 5. Nếu t không là bội của 5 thì t F không là bội của 5, do đó ⇔≥ ⇔  kk n F 5 s k n5 (đpcm). ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho dãy số n u , biết . 1 n n u n Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1 23 45 ; ;;; . 2 3 4 5 6 B. 23 45 6 ;;; ; . 3 4 5 6 7 C. 1 23 45 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 D. 23 45 6 ; ; ; ; . 3 4 5 6 7 Lời giải. Ta có 1 23 45 1 2 3 4 5 ;; ;; . 2 3 4 56 u uu uu Chọn A. Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh. (ii) Ta thấy dãy n u là dãy số âm nên loại các phương án C, D. Đáp án đúng là A hoặc B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được. Chẳng hạng kiểm tra 1 u thì thấy 1 1 2 u nên chọn A. Câu 2. Cho dãy số n u , biết 31 n n n u . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1 11 ; ; . 2 48 B. 11 3 ; ; . 2426 C. 11 1 ; ; . 2 4 16 D. 12 3 ;;. 2 3 4 Lời giải. Dùng MTCT chức năng CALC: ta có 12 3 23 1 2 21 3 3 ; ;. 2 8 4 26 3 1 31 uu u Chọn B. Câu 3. Cho dãy số n u , biết 1 1 1 3 n n u uu  với 0 n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1;2;5. B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. 1;3;7. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 9 Lời giải. Ta có 1 2 1 3 2 1; 3 2; 3 5. u u u u u Chọn A. Nhận xét: (i) Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: Nhập vào màn hình: 3. XX Bấm CALC và cho 1 X (ứng với 1 1) u Để tính n u cần bấm “=” ra kết quả liên tiếp 1 n lần. Ví dụ để tính 2 u ta bấm “=” ra kết quả lần đầu tiên, bấm “=” ra kết quả thứ hai chính là 3 ,... u (ii) Vì 1 1 u nên loại các đáp án B, C. Còn l ại các đáp án A, C; để biết đáp án nào ta chỉ cần kiểm tra 2 u (vì 2 u ở hai đáp án là khác nhau): 2 1 3 2 uu nên chọn A. Câu 4. Cho dãy số , n u biết 2 2 2 1 . 3 n n u n Tìm số hạng 5 . u A. 5 1 . 4 u B . 5 17 . 12 u C. 5 7 . 4 u D. 5 71 . 39 u Lời giải. Thế trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: 2 5 2 2.5 1 49 7 . 28 4 53 u Chọn C. Câu 5. Cho dãy số , n u biết 1 .2 . n n u n Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 2. u B. 2 4. u C. 3 6. u D. 4 8. u Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: 23 4 12 3 4 2.1 2; 1 .2.2 4, 1 2.3 6; 1 2.4 8 u u u u . Chọn D. Nhận xét: Dễ thấy 0 n u khi n chẵn và ngược lại nên đáp án D sai. Câu 6. Cho dãy số , n u biết 2 1. . n n n u n Tìm số hạng 3 . u A. 3 8 . 3 u B. 3 2. u C. 3 2. u D. 3 8 . 3 u Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: 3 3 3 28 1. . 33 u Chọn D. Câu 7. Cho dãy số n u xác định bởi 1 1 2 . 1 1 3 nn u u u  Tìm số hạng 4 . u A. 4 5 . 9 u B . 4 1. u C. 4 2 . 3 u D. 4 14 . 27 u Lời giải. Ta có 21 3 2 4 3 1 1 1 2 1 12 5 1 2 1 1;1 ;1 1 . 3 3 3 3 3 33 9 uu u u uu       Chọn A. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 10 Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. Câu 8. Cho dãy n u xác định bởi 1 1 3 . 2 2 n n u u u  Mệnh đề nào sau đây sai? A. 2 5 . 2 u B. 3 15 . 4 u C. 4 31 . 8 u D. 5 63 . 16 u Lời giải. Ta có 12 23 3 4 45 3 7 7 15 22 ; 22 2 22 2 4 4 15 31 31 63 2 2; 2 2 . 2 8 8 2 16 16 u u uu u u u u  Chọn A. Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. Câu 9. Cho dãy số , n u biết 1 21 n n u n . Số 8 15 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải. Ta cần tìm n sao cho 18 15 15 16 8 7. 2 1 15 n n u n n n n Chọn D. Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh. Câu 10. Cho dãy số , n u biết 2 5 . 54 n n u n Số 7 12 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải. Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau: 2 5 7 24 60 35 28 11 88 8. 5 4 12 n n u n n nn n Chọn A. Câu 11. Cho dãy số , n u biết 2. n n u Tìm số hạng 1 . n u A. 1 2 .2. n n u B. 1 2 1. n n u C. 1 2 1 . n un D. 1 2 2. n n u Lời giải. Thay n bằng 1 n trong công thức n u ta được: 1 1 2 2.2 nn n u . Chọn A. Câu 12. Cho dãy số n u , biết 3. n n u Tìm số hạng 21 . n u A. 2 21 3 .3 1. n n u B. 1 21 3 .3 . nn n u C. 2 21 3 1. n n u D. 2 1 21 3. n n u Lời giải. Ta có 21 21 1 21 3 3 3 .3 . n n n n nn nn uu   Chọn B. Câu 13. Cho dãy số , n u với 1 5 . n n u Tìm số hạng 1 . n u A. 1 1 5. n n u B. 1 5. n n u C. 1 1 5.5 . n n u D. 1 1 5.5 . n n u Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 11 Lời giải. 1 1 11 1 5 5 5 . n n nn n nn uu   Chọn B. Câu 14. Cho dãy số , n u với 23 1 . 1 n n n u n       Tìm số hạng 1 . n u A. 2 13 1 1 . 1 n n n u n       B. 2 13 1 1 . 1 n n n u n       C. 23 1 . 2 n n n u n       D. 25 1 . 2 n n n u n       Lời giải. 2 13 23 25 1 1 11 1 . 1 11 2 n nn nn nn n nn uu n nn                     Chọn D. Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 12 3 4 0;;; ; ; . 2 3 4 5  có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. 1 . n n u n B. . 1 n n u n C. 1 . n n u n D. 2 . 1 n n n u n Lời giải. Vì 1 0 u nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra 2 1 2 u ở các đáp án C, D: Xét đáp án C: 2 11 2 n n uu n   Chọn C. Xét đáp án D: 2 2 21 1 32 n nn uu n     loại D. Nhận xét: 12 3 11 1 2 1 2 3 1 0 ; ; ,... 1 2 2 33 uu u nên đoán 1 . n n u n Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1;1; 1;1; 1; .  có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. 1. n u B. 1. n u C. 1. n n u D. 1 1 . n n u Lời giải. Vì dãy số đa cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra 1 1 u ở các đáp án C, D: Xét đáp án C: 1 11 n n uu   Chọn C. Xét đáp án D: 12 1 1 1 11 n n uu    loại D. Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6; .  Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. 2. n un B. 2. n u n C. 2 1 . n un D. 2 4. n u n Lời giải. Kiểm tra 1 2 u ta loại các đáp án B, C. Ta kiểm tra 2 0 u ở các đáp án A, D: Xét đáp án A: 2 4 0 2 n u nu   loại A. Xét đáp án D: 2 4 2.2 4 0 n un   Chọn D. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 12 Nhận xét: Dãy 2;4;6;... có công thức là * 2n n  nên dãy 2;0;2;4;6; .  có được bằng cách “tịnh tiến” 2n sang trái 4 đớn vị, tức là 2 4. n Câu 18. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 2 . 2 n n u u u  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 . n n u n B. 2. n n u C. 1 2 . n n u D. 2. n u Lời giải. Từ công thức 1 1 21 1 32 2 2 2 2.2 4. 2 2 2.4 8 n n u u u u u u u u    Xét đáp án A với 11 0 1 1 1 1 1 nu   A loại. Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B. Xét đáp án C với 11 2 1 1 2 24 nu   C loại. Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn. Câu 19. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 1 . 2 2 n n u uu  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 2 1 . 2 n u n B. 1 2 1 . 2 n un C. 1 2. 2 n u n D. 1 2. 2 n un Lời giải. Từ công thức 1 1 21 1 32 1 2 1 1 3 22 . 2 22 2 37 22 22 n n u u u u uu uu     Xét đáp án A với 2 1 5 2 22 1 2 2 n u   A loại. Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B. Xét đáp án C với 2 11 7 2 2.2 4 22 2 n u   C loại. Xét đáp án D với 1 15 1 2.1 2 2 nu   D loại. Câu 20. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 2 . 2 1 nn u uu n  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 2 2 1 . n un B. 2 2 . n u n Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 13 C. 2 2 1 . n un D. 2 2 1 . n un Lời giải. Kiểm tra 1 2 u ta loại các đáp án B và C. Ta có 2 1 2.1 1 3. uu Xét đáp án A: 2 2 21 3 n un u   Chọn A. Hoặc kiểm tra: 2 2 1 1 2 1. nn u u n n n Xét đáp án D: 2 2 21 1 n un u   loại D. Hoặc kiểm tra: 2 2 1 11 1 2 2. nn n u un n n  Câu 21. Cho dãy số , n u được xác định 1 2 1 1 . n n u u un  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. ( 1)(2 1) 1. 6 n nn n u B. ( 1)(2 2) 1 . 6 n nn n u C. ( 1)(2 1) 1. 6 n nn n u D. ( 1)(2 2) 1 . 6 n nn n u Lời giải. Kiểm tra 1 1 u ta loại đáp án A. Ta có 2 2 1 1 2. uu Xét đáp án B: 2 ( 1)(2 2) 2.1.6 11 2 3 66 n nn n u u     B loại. Xét đáp án C: 2 ( 1)(2 1) 2.1.3 1 12 66 nn nn n uu u   Chọn C. Xét đáp án D: 2 ( 1)(2 2) 2.3.2 1 . 13 66 2 n nn n uu    D loại. Câu 22. Cho dãy số , n u được xác định 1 1 2 . 1 2 n n u u u  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 . n n u n B. 1 . n n u n C. 1 . n n u n D. . 1 n n u n Lời giải. Kiểm tra 1 2 u ta loại các đáp án A, B. Ta có 2 1 13 2. 2 u u Xét đáp án C: 2 13 2 n n uu n   Chọn C. Xét đáp án D. 2 2 13 n n uu n   D loại. Câu 23. Cho dãy số , n u được xác định 1 2 1 1 . 1 n n n u uu  Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 14 A. 1 . n un B. 1. n u n C. 2 1 1 . n n u D. . n u n Lời giải. Kiểm tra 1 1 u ta loại đáp án A, B và C nên chọn D. Câu 24. Cho dãy số n u có số hạng tổng quát là 2 3 n n u với * . n  Công thức truy hồi của dãy số đó là: A. 1 1 6 . 6 , 1 n n u u u n  B. 1 1 6 . 3 , 1 n n u u u n  C. 1 1 3 . 3 , 1 nn u u un  D. 1 1 3 . 6 , 1 n n u u u n  Lời giải. Vì 1 1 2.3 6 u nên ta loại các đáp án C và D. Ta có 2 2 2.3 18. u Xét đáp án A: 1 21 1 6 6 6.6 36 6 , 1 nn u uu u un    A loại. Xét đáp án B: 1 21 1 6 3 3.6 18 3 , 1 nn u uu u un    chọn B. Câu 25. Cho dãy số , n a được xác định 1 1 3 . 1 , 1 2 nn a a an  Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 23 4 5 93 . 16 a a a a a B. 10 3 . 512 a C. 1 9 . 2 nn n aa D. 3 . 2 n n a Lời giải. Ta có 3 1 2 1 1 1 12 3 4 2 3 11 3 3; ; ; ,... 2 2 2 2 2 22 n nn u u uu u u aa a a u  nên suy ra đáp án D sai. Chọn D. Xét đáp án A: 5 1 23 45 23 4 1 1 1 1 1 1 93 2 3 1 3. 1 2 16 2 22 1 2 a aa aa               A đúng. Xét đáp án B: 10 9 33 512 2 a  B đúng. Xét đáp án C. 1 1 3 3 3 3.2 9 22 2 2 nn nn n n aa  C đúng. Vấn đề 2. Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn Các ví dụ Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 15 Ví dụ 1. Cho dãy số − =   + = ∀≥   1 n n 1 n u2 (u ) : u1 u n2 2 . Chứng minh rằng dãy n (u ) là dãy giảm và bị chặn. Lời giải. Ta có: − − − −= n 1 n n 1 1u uu 2 Do đó, để chứng minh dãy (u n ) giảm ta chứng minh > ∀≥ n u 1 n 1 Thật vậy: Với =⇒=> 1 n 1 u 21 Giả sử + + + >⇒ = > = k k k1 u1 11 u 1u 1 22 Theo nguyên lí quy nạp ta có > ∀≥ n u 1 n 1 Suy ra −− − < ⇔ < ∀≥ n n 1 n n 1 u u 0 u u n2 hay dãy (u n ) giảm Theo chứng minh trên, ta có: < < = ∀≥ n1 1 u u 2 n 1 Vậy dãy (u n ) là dãy bị chặn. Ví dụ 2. Cho dãy số +−  = =   = + ∀≥   12 n n 1 n n 1 u 1,u 2 (u ) : u u u n2 . Chứng minh rằng dãy n (u ) là dãy tăng và bị chặn Lời giải. Ta chứng minh dãy n (u ) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp * Dễ thấy: << 12 3 u u u . * Giả sử − < ∀≥ k1 k u u k 2 , ta chứng minh + < k1 k uu . Thật vậy: + − −− = + > + = k 1 k k1 k1 k 2 k u uu u u u Vậy n (u ) là dãy tăng. Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được < ∀ n u 4 n , hơn nữa > n u0 Nên dãy n (u ) là dãy bị chặn. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau 1. − + = + 2 n 3n 2n 1 u n1 2. =−− 2 n u n n1 3. − = n n n 31 u 2 4. ( ) +− = n n 2 n1 u n Bài 2 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số n (u ) , biết: 1. − = − n 2n 13 u 3n 2 2. + + = + 2 n n 3n 1 u n1 3. = + + n 2 1 u 1n n 4. = n n 2 u n! 5. = + + ++ n 22 2 11 1 u 1 ... 23 n . Bài 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1. + = + n 2n 1 u n 2 2. = − n n u ( 1) 3. = − n u 3n 1 4. =− − 2 n u 4 3n n 5. + + = −+ 2 n 2 n n1 u n n1 6. + = + n 2 n1 u n1 Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1. = + ++ + n 11 1 u ... 1.3 2.4 n.(n 2) 2. ( ) ( ) = + ++ −+ n 11 1 u ... 1.3 3.5 2n 1 2n 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 16 3. − −  =  +  = ≥  +  1 n 1 n n 1 u1 u2 u ,n 2 u1 Bài 5 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau 1. + =   = + ≥   1 3 3 n1 n u1 u u 1, n 1 2. +  =   + = ≥   1 2 n n1 u2 u1 u n 1 4 Bài 6 1. Chứng minh rằng dãy số n (u ) xác định bởi = + ++ n u 2010 2010 ... 2010 (n dấu căn) Là một dãy tăng. 2. Cho dãy số n (u ) : −−  = =   =+ ≥   12 33 n n 1 n 2 u 1,u 2 u u u ,n 3 . Chứng minh rằng dãy n (u ) tăng và bị chặn. 3. Cho dãy số + = ≥ − nn an 2 (u ) : u , n 1 2n 1 a) Khi = a4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. 4. Cho dãy số − =   = −=   1 n n n 1 u2 (u ) : u 3u 2, n 2,3.. a) Viết 6 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh − = += n 1 n u 3 1, n 1,2,... 5. Cho dãy số − = − + + + n 1 n n u 5.2 3 n 2 , = n 1,2,... a) Viết 5 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh rằng: − − = + − n 1 n n 1 u 2u 3 n . Bài 7 1. Cho dãy số n (u ) : = − ++ nn n u (1 a) (1 a) ,trong đó ∈ a (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số b)Xét tính đơn điệu của dãy số 2. Cho dãy số n (u ) được xác định như sau: − −  =   = + −≥   1 n n 1 n 1 u1 1 u 3u 2, n 2 2u . a) Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng >∀ n u 0, n b) Chứng minh dãy n (u ) là dãy tăng. 3. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi : + =   = ∀=  +  0 2 n n1 n u 2011 u u , n 1,2,... u1 a) Chứng minh rằng dãy n (u ) là dãy giảm b) Tìm phần nguyên của n u với ≤≤ 0 n 1006 . 4. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi: + + = =   = + ∀=   12 n 2 n n1 u 2,u 6 u u 2u , n 1,2,... a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình − −= 2 x 2x 1 0 . Chứng minh rằng: = + nn n u ab b) Chứng minh rằng: − ++ −= − 2 n 1 n1 n 2 n u u u ( 1) .8 . Bài 8 Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 17 1. + = + nn n1 (u ) : u n 2 2. = ++ 3 nn (u ) : u n 2n 1 3. + =   + = ∀≥   1 n n n1 u2 (u ) : u1 u , n 2 2 4. +−  = =   = + ∀≥   12 n 1 n n 1 u 2,u 3 u u u , n 2 . Bài 9 1. Cho dãy số − = =   = =  −  ∑ 0 n 1 n ni 2 i1 x1 (x ) : 2n x x , n 2,3,... (n 1) Xét dãy số + = − n n1 n yx x . Chứng minh rằng dãy n (y ) là một tăng và bị chặn. 2. Cho dãy số nguyên dương n (u ) thỏa : + + = =     = +≥    01 2 n1 n2 n u 1,u 3 u u 1 , n 0 u . Chứng minh rằng: + + −= 2n n 2 n n1 uu u 2 với mọi số tự nhiên n . 3. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi: + =   = + +=   0 2 n1 n n u0 u 5u 24u 1, n 0,1,.. . Chứng minh rằng dãy số n (u ) là dãy số nguyên. 4. Cho dãy số n (u ) được xác định bởi:  = + +− nn n 1 u (2 5) (2 5) 2 Chứng minh rằng 2n u là số tự nhiên chẵn và + 2n 1 u là số tự nhiên lẻ. 5. Cho hai dãy số nn (x );(y ) xác định :  =   =   1 1 x3 y3 và −− − −  = ++    =  ++   2 n n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 x x 1x y y 1 1y , ∀≥ n2 . Chứng minh rằng < < ∀≥ nn 2 x y 3, n 2 . 6. Cho dãy số số n (u ) được xác định bởi: + =     = +         0 n1 n n u1 1 1 u u 2 3u . Chứng minh rằng: = − n 2 n 3 a 3u 1 là một số chính phương. ĐÁP ÁN Bài 1 1. Ta có: ( ) ( ) + ++ − = > ++ 2 n1 n 5n 10n 2 uu 0 n 1n 2 nên dãy n (u ) là dãy tăng 2. Ta có: ( ) ( ) + − = − < +− ++ + − n1 n 2 2 11 uu 0 n n1 n1 n1 1 Nên dãy n (u ) giảm. 3. Ta có: + + + + − = − = > ⇒ n n1 n n1 n n1 31 uu uu 0 2 dãy n (u ) tăng. 4. Ta có: >  ===⇒⇒  <   21 12 3 32 uu 12 u 0;u ;u uu 29 Dãy số không tăng không giảm. Bài 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 18 1. Ta có: + − − − = − = > + − +− n1 n 2n 11 2n 13 34 uu 0 3n 1 3n 2 (3n 1)(3n 2) với mọi ≥ n 1 . Suy ra + > ∀≥ ⇒ n1 n u u n 1 dãy n (u ) là dãy tăng. Mặt khác: = − ⇒− ≤ < ∀ ≥ − nn 2 35 2 u 11 u n 1 3 3(3n 2) 3 Vậy dãy n (u ) là dãy bị chặn. 2. Ta có: + + + ++ + + − = − ++ 22 n1 n (n1) 3(n1) 1 n 3n1 uu n 2 n1 + + + + = − ++ 2 2 n 5n 5 n 3n 1 n 2 n1 + + + − + + + = ++ 22 (n 5n 5)(n 1) (n 3n 1)(n 2) (n 1)(n 2) + + = > ∀≥ ++ 2 n 3n 3 0 n 1 (n 1)(n 2) + ⇒ > ∀≥ ⇒ n1 n u u n 1 dãy n (u ) là dãy số tăng. ++ > = +≥ ⇒ + 2 n n 2n 1 u n1 2 n1 dãy n (u ) bị chặn dưới. 3. Ta có: > ∀≥ n u 0 n 1 + + + + + = = < ∀∈ + + + + + +  22 n1 2 2 n u n n1 n n1 1 n * u n 3n 3 (n 1) (n 1) 1 + ⇒ < ∀≥ ⇒ n1 n u u 1 dãy n (u ) là dãy số giảm. Mặt khác: < <⇒ n 0u 1 dãy n (u ) là dãy bị chặn. 4. Ta có: ++ + = = = < ∀≥ + ++ n1 n n1 n1 n n u 2 2 2 n! 2 : . 1 n 1 u (n1)! n! (n1)! n1 2 Mà + > ∀⇒ < ∀ ≥ ⇒ n n1 n u 0 n u u n 1 dãy n (u ) là dãy số giảm. Vì < ≤ = ∀≥ ⇒ n1 0 u u 2 n 1 dãy n (u ) là dãy bị chặn. 5. Ta có: + − = >⇒ + n1 n 2 1 uu 0 (n 1) dãy n (u ) là dãy số tăng. Do <+ + + + = + − n 11 1 1 u 1 ... 2 1.2 2.3 (n 1)n n ⇒ < < ∀≥ ⇒ n 1 u 3 n 1 dãy n (u ) là dãy bị chặn. Bài 3 1. Ta có < < ∀ n 0 u 2 n nên dãy n (u ) bị chặn 2. Ta có: − ≤ ≤ ⇒ nn 1 u 1 (u ) là dãy bị chặn 3. Ta có: ≥ ∀⇒ nn u 2 n (u ) bị chặn dưới; dãy n (u ) không bị chặn trên. 4. Ta có: = −+ < ⇒ 2 nn 25 3 25 u (n ) (u ) 4 24 bị chặn trên; dãy n (u ) không bị chặn dưới. 5. Ta có: < < ∀⇒ nn 1 u 2 n (u ) bị chặn 6. Ta có: < < ∀⇒ nn 0 u 2 n (u ) bị chặn Bài 4 1. Ta có: < < + ++ = − < ++ n 11 1 1 0 u ... 1 1 1.2 2.3 n.(n 1) n 1 Dãy n (u ) bị chặn. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 19 2. Ta có: = ⇒< < + nn n u 0u 1 2n 1 , dãy n (u ) bị chặn. 3. Bằng quy nạp ta chứng minh được << n 1u 2 nên dãy n (u ) bị chặn. Bài 5 1. Ta có: ++ = + ⇒ > = ∀ ⇒ 33 33 n1 n n1 n n uu 1 uu u n dãy số tăng 2. Ta có: + − + − = 2 nn n1 n u 4u 1 uu 4 Bằng quy nạp ta chứng minh được − < < ∀ n 2 3 u 2 n + ⇒ − < n1 n u u0 . Dãy n (u ) giảm. Bài 6 1. Ta có + = + 2 n1 n u 2010 u + ++ ⇒ − = − + + 2 n1 n n1 n1 u u u u 2010 Bằng quy nạp ta chứng minh được + <∀ n 1 8041 u n 2 Suy ra + − >⇒ n1 n u u0 dãy n (u ) là dãy tăng. 2. Chứng minh bằng quy nạp : + − −− =+ > + = 33 3 3 k 1 k k2 k 1 k2 k u uu u u u Ta chứng minh: << n 0u 3 . 3. a) Với = a4 ta có: + = − n 4n 2 u 2n 1 . Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là = = = = = 1 23 45 10 14 18 22 u 6,u ,u ,u ,u 3 57 9 . b) Ta có dãy số n (u ) tăng khi và chỉ khi: + −− − = > ∀∈ + −  n1 n a4 u u 0, n * (2n 1)(2n 1) ⇔ − − > ⇔ <− a4 0 a 4 . 4. a) Ta có: = = = = = = 12 3 4 5 6 u 2,u 4,u 10,u 28,u 82,u 244 b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau Ta có: − −− − = − = − = = − 2 n 1 n n 1 n 2 1 u 1 3(u 1) 3 (u 1) ... 3 (u 1) Suy ra: − − −= ⇒ = + n 1 n 1 nn u 13 u 3 1 . 5. a) Ta có: = = = = = 12 3 4 5 u 1,u 3,u 12,u 47,u 170 b) Ta có: −− − = − + + + n 2 n 1 n 1 u 5.2 3 n 1 Nên ( ) −− − − + −=− + ++ + − n n 2 n 1 n 1 n 1 2u 3 n 2 5.2 3 n 1 3 n − = − + + += n 1 n n 5.2 3 n 2 u . Bài 7 1. a) Ta có: ( ) ( ) + =     = + + −−       1 n n n1 n u2 u u a 1 a 1a b) Dãy n (u ) là dãy số tăng. 2. a) Ta có: = = = = 12 3 4 3 17 227 u 1,u ,u ,u 2 6 34 . Ta chứng minh >∀ n u 0, n bằng quy nạp. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 20 Giả sử > n u0 , khi đó: +≥ = nn nn 11 2u 2 2u . 2 2u 2u Nên +   = + + −> >       n1 n n n n 1 u u 2u 2 u 0 2u . b) Theo chứng minh trên ta có: + >∀ n1 n u u , n nên dãy n (u ) là dãy tăng. 3. a) Ta có: + − − = < ∀ + n n1 n n u u u 0, n u1 nên dãy n (u ) là dãy giảm b) Ta có: − − − − = − > −> > − + n 1 n n 1 n 1 0 n 1 u u u u 1 ... u n u1 Suy ra: − > − − = − n 1 0 u u (n 1) 2012 n Mặt khác: ( ) − −− = − + − ++ − + n n n 1 n 1 n 2 1 0 0 u u u (u u ) ... (u u ) u − −  = − + ++   ++ +  0 1 n 1 0 0 1 n 1 u uu u ... u 1 u 1 u 1 −  = −+ + + +   ++ +  0 0 1 n 1 11 1 u n ... u 1 u 1 u 1 Mà: −− < + ++ < < < ++ + + − 0 1 n 1 n 1 11 1 n n 0 ... 1 u 1 u 1 u 1 u 1 2013 n Với mọi = n 2,1006 . Suy ra < − += − n0 u u n 1 2012 n Do đó: − < < − ⇒  = −   nn 2011 n u 2012 n u 2011 n với = n 2,1006 . Vì = 0 u 2011 và = = 2 1 2011 u 2010,000497 2012 nên  = −  = = −   01 u 2011 0, u 2010 2011 1 Vậy  = − ∀ =   n u 2011 n, n 0,1006 . 4. a) Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp Với = ⇒ = + = 1 n1 u a b 2 Giả sử = + ∀≤ nn n u a b , n k Khi đó: ( ) −− +− = + = ++ + k k k1 k1 k 1 k k1 u 2u u 2 a b a b ( ) −− =+ ++ + k k k1 k1 (a b) a b a b + + −− −− = + + + + + k 1 k 1 k1 k1 k1 k1 a b ab(ab ) ab + + −− −− = + − + + + k 1 k 1 k1 k1 k1 k1 a b (ab ) ab + + = + k1 k1 ab . b) Ta có: ( ) ++ + + − =−+ 22 n1 n 2 n n1 n1 n n u u u u 2u u .u ( ) + + +− = − − = − − 22 n1 n1 n n n n1 n 1 u u 2u u (u u u ) ( ) − == − −= − n 1 2 n 2 31 ... ( 1) u u u ( 1) .8 . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 21 Bài 8 1. Ta có + + + + −+ + − = − = + + ++ 2 n1 n n 2 n 1 (n 2) (n 3)(n 1) uu n 3 n 2 (n 2)(n 3) = >∀ ++ 1 0, n (n 2)(n 3) . Mặt khác: = − ⇒ < < ∀ + nn 1 u 1 0 u 1, n n 2 Vậy dãy n (u ) là dãy tăng và bị chặn. 2. Ta có: + − = + + +− − 33 n1 n u u (n 1) 2(n 1) n 2n = + +> ∀ 2 3n 3n 3 0, n Mặt khác: > ∀ n u 1, n và khi n càng lớn thì n u càng lớn. Vậy dãy n (u ) là dãy tăng và bị chặn dưới. 3. Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: < ≤ ∀ n 1 u 2, n Điều này đúng với = n1 , giả sử << n 1u 2 ta có: + + <= < n n1 u1 1u 2 2 nên ta có đpcm. Mà + − − = < ∀ n n1 n 1u u u 0, n 2 . Vậy dãy n (u ) là dãy giảm và bị chặn. 4. Trước hết ta chứng minh < < ∀ n 1 u 4, n Điều này hiển nhiên đúng với = n1 . Giả sử << n 1u 4 , ta có: +− < = + <+ = n 1 n n 1 1u u u 4 4 4 Ta chứng minh n (u ) là dãy tăng Ta có: < 12 u u , giả sử − < ∀≤ n 1 n u u , n k . Khi đó: − − − −+ −−  <  ⇒ + < + ⇒ <  <   k k1 k k1 k1 k 2 k 1 k k1 k 2 uu uu u u u u uu Vậy dãy n (u ) là dãy tăng và bị chặn. Bài 9 Ta có: − + = =  ++ = = +    ∑∑ n n 1 n1 i n i 22 i1 i1 2(n 1) 2(n 1) x x xx nn  + − + + = +=    2 2 nn n 23 2(n 1) (n 1) (n 1)(n 1) xx x 2n nn . Do đó: + + + = −= 2 n n1 n n 3 n n1 yx x x n • Ta chứng minh dãy n (y ) tăng. Ta có: + + + + + + + + −= − + 2 22 n1 n n n 33 3 (n 1) n 2 (n 1)(n 1) n n 1 y y . x x (n 1) n n + + + − + + + + = + 2 22 2 n 32 (n 3n 3)(n 1) (n n 1)(n 2n 1) x n (n 1) = > + n 32 2x 0 n (n 1) , ∀= n 1,2,.. • Ta chứng minh dãy n (y ) bị chặn. Trước hết ta chứng minh: ≤ − n x 4(n 1) (1) với ∀= n 2,3... * Với = n2 , ta có: = = 21 x 4x 4 nên (1) đúng với = n2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 22 * Giả sử (1) đúng với n , tức là: ≤ − n x 4(n 1) , ta có + + + − = ≤ < 24 n1 n 33 (n 1)(n 1) 4(n 1) x x 4n nn Nên (1) đúng với + n1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng Ta có: + + − + + − =≤ =< 2 23 nn 3 33 n n 1 4(n 1)(n n 1) 4(n 1) yx 4 n n n Vậy bài toán được chứng minh. 2. Từ cách cho dãy số, ta thấy dãy n (u ) luôn tồn tại và duy nhất. Xét dãy ++ = =   = − ≥   01 n n 2 n1 n v 1,v 3 (v ) : v 4v 2v , n 0 . • Ta chứng minh: ++ − = 2n n 2 n n1 v .v v 2 (1) Ta có: + + + + − = − − 22 n 2 n n1 n1 n n n1 v .v v (4v 2v )v v ++ = −− 22 n1 n n1 n 4v v v 2v ( ) ++ = − − 2 n1 n n1 n v 4v v 2v ( ) + − +− = − = − 22 n 1 n 1 n n 1 n 1 n v .2v 2v 2 v v v ( ) = = −= ⇒ n 2n 20 1 ....... 2 v v v 2 (1) được chứng minh. • Ta chứng minh > n n v2 (2) bằng quy nạp Trước hết ta thấy dãy n (v ) là dãy tăng Với = n1 ta thấy (2) đúng Giả sử > n n v2 ta có: ( ) + +− = + − >= n1 n 1 n n n 1 n v 2v 2 v v 2v 2 Do đó (2) đúng. • Dựa vào các kết quả trên ta có: ++ ++ + = − ⇒ −< < 22 n n1 n1 n2 n2 n2 nn n vv 2 v v1 v vv v Hay + + + −< −< 2 2 n1 n1 n1 n n v v 1v 1 v v Do đó: ++ ++   −= ⇔ =+ 22 n1 n1 n2 n2 nn vv v1 v 1 vv Vì tính duy nhất nên ta có: = ∀≥ nn u v , n 0 . Vậy bài toán được chứng minh. 3. Ta có ∈  01 u ,u ( ) + ++ − = + ⇔ − + −= 2 22 2 n1 n n n1 n1 n n u 5u 24u 1 u 10u u u 1 0 (1) Ở (1) thay + n1 bởi n ta được: −− − + −= 22 n n n 1 n 1 u 10u .u u 1 0 −− ⇔ − + −= 22 n 1 n 1 n n u 10u .u u 1 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra +− n 1 n 1 u ,u là hai nghiệm của phương trình − + −= 22 nn t 10tu u 1 0 Theo định lí Viet ta có: +− += n 1 n 1 n u u 10u Hay + − = − n 1 n n 1 u 10u u Từ đó ta có: ∈∀  n u , n . 4. Đặt + = =+ =− ⇒  = −  ab 4 a 2 5,b 2 5 ab 1 . Khi đó: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 23 −− − −  = += + + − + n n n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 1 u (a b ) (a b)(a b ) ab(a b ) 2 2 −− − − −− ++ = +=+ n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 ab a b 4. 4u u 22 . Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp • Với = n1 ta có: = 1 u2 là số chẵn và = 2 u9 là số lẻ • Giả sử 2k u là số lẻ và − 2k 1 u là số chẵn. Khi đó: +− = + 2k 1 2k 2k 1 u 4u u là số chẵn ++ = + 2k 2 2k 1 2k u 4u u là số lẻ Từ đó ta có đpcm. 5. Ta có: π + ππ π π = = ⇒ = ++ = = π 2 12 cos 1 6 x 3 cot x cot 1 cot cot 6 6 6 2.6 sin 6 Bằng quy nạp ta chứng minh được: − π = n n 1 x cot 2 .6 . Tương tự, ta cũng có: − π = n n 1 y tan 2 .3 Đặt π α = ⇒ = α = α ⇒ = α α n n n n n n nn n n x cot ; y tan 2 x .y tan 2 .cot 2 .3 Đặt = α ⇒ α α = = −− n n n 22 2t 1 2 t tan tan 2 .cot . t 1t 1t . Vì ππ ≥⇒<α < ⇒< < = ⇒ ≤ − < 2 n 12 n 2 0 0 t tan 1 t 1 6 63 3 ⇒ < < ⇒ < < ∀ ≥ ⇒ − nn 2 2 2 3 2 x y 3, n 2 1t đpcm. 6. Vì ∈⇒ =  n nn n b uu c với ∈   =    nn nn b ,c (b ,c ) 1 Khi đó: + +  + = + =    22 n1 n n n n n1 n n n n b b c 3b c 1 c 2 c 3b 6b c Bằng quy nạp ta chứng minh được ( ) += 22 n n nn 3b c ,6b c 3 Suy ra + +  = +   =   22 n1 n n n1 n n b 3b c c 2b c Bằng quy nạp ta chứng minh được: −= 22 nn 3b c 3 Do đó: = = − 2 nn 2 n 2 n 3 ac 3b 1 c (đpcm). ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 26. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? A. 1; 1; 1; 1; 1; 1;  B . 11 1 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16  C. 1; 3; 5; 7; 9;  D. 1 1 1 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16  Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 24 Lời giải. Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1;  đây là dãy hằng nên không tăng không giảm. Xét đáp án B: 12 3 1 1 1 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 uu u    loại B. Xét đáp án C: * 1 1; 3; 5; 7; 9; , nn uu n     Chọn C. Xét đáp án D: 12 3 1 11 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 n u uu u     loại D. Câu 27. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. 1 . 2 n n u B. 1 . n u n C. 5 . 3 1 n n u n D. 2 1 . 1 n n u n Lời giải. Vì 2; n n là các dãy dương và tăng nên 11 ; 2 n n là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và B. Xét đáp án C: 1 12 2 3 5 2 7 31 6 n u n u uu n u     loại C. Xét đáp án D: 1 21 3 1 1 2 30 1 1 12 n nn n u uu n n nn        Chọn D. Câu 28. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. 2 . 3 n n u B. 3 . n u n C. 2. n n u D. 2. n n u Lời giải. Xét đáp án C: 1 1 2 2 2 20 n n n n n nn u uu   Chọn C. Vì 2; n n là các dãy dương và tăng nên 11 ; 2 n n là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và B. Xét đáp án D: 2 2 3 3 4 2 8 n n u u uu u     loại D. Câu 29. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. 1 . 2 n n u B. 31 . 1 n n u n C. 2 . n u n D. 2. n u n Lời giải. Vì 2 n là dãy dương và tăng nên 1 2 n là dãy giảm  Chọn A. Xét B: 1 12 2 1 3 1 5 1 3 n u n u uu n u     loại B. Hoặc 1 3 23 1 4 0 2 1 12 nn nn uu n n nn nên n u là dãy tăng. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 25 Xét C: 2 22 1 1 2 10 n nn u n u u n n n   loại C. Xét D: 1 1 2 32 0 32 n nn un u un n nn   loại D. Câu 30. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. sin . n u n B. 2 1 . n n u n C. 1. n u n n D. 1 . 2 1 . n n n u Lời giải. A. 1 1 1 sin 2 cos sin 2 2 n nn u nu u n       có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A sai. Hoặc dễ thấy sinn có dấu thay đổi trên *  nên dãy sinn không tăng, không giảm. B. 22 1 1 1 11 1 10 11 n nn n nn u n uu n n n n nn nên dãy đã cho tăng nên B sai. C. 1 1, 1 n u n n nn dãy 1 0 nn là dãy tăng nên suy ra n u giảm. Chọn C. D. 12 1 n n n u là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. Cách trắc nghiệm. A. sin n u n có dấu thay đổi trên *  nên dãy này không tăng không giảm. B. 2 1 n n u n , ta có 2 1 1 2 2 1 2 1 5 2 2 n nu n uu u n nu      không giảm. C. 1 n u n n , ta có 1 1 2 2 11 2 2 1 nu uu nu     nên dự đoán dãy này giảm. D. 12 1 n n n u là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. Cách CASIO. Các dãy sin ; 1 2 1 n n n có dấu thay đổi trên *  nên các dãy này không tăng không giảm nên loại các đáp án A, D. Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE. Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập 2 1 X FX X với thiết lập Start 1, End 10, Step 1. Nếu thấy cột FX các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột FX các giá trị giảm dần thị chọn B và loại C. Câu 31. Mệnh đề nào sau đây đúng? Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 26 A. Dãy số 1 2 n u n là dãy tăng. B. Dãy số 12 1 n n n u là dãy giảm. C. Dãu số 1 1 n n u n là dãy giảm. D. Dãy số 1 2 cos n un n là dãy tăng. Lời giải. Xét đáp án A: 1 1 11 20 1 n nn u uu n nn   loại A. Xét đáp án B: 12 1 n n n u là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B. Xét đáp án C: 1 1 2 11 1 20 1 1 12 n nn n u uu n n nn         loại C. Xét đáp án D: 1 1 11 2 cos 2 cos cos 0 12 n nn u n uu n nn        nên Chọn D. Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Dãy số 1 n n u n là dãy giảm. B. Dãy số 2 25 n un là dãy tăng. C. Dãy số 1 1 n n u n       là dãy giảm. D. Dãy số 2 sin n u n n là dãy tăng. Lời giải. Xét A: 1 1 1 11 10 1 n nn n u n u u nn nn n n  nên dãy n u là dãy giảm nên C đúng. Xét đáp án B: 2 25 n un là dãy tăng vì 2 n là dãy tăng nên B đúng. Hoặc 1 22 1 0 nn uu n nên n u là dãy tăng. Xét đáp án C: 1 1 1 22 1 0 .1 1 n n n n nn n u n nn u u n n un n                 là dãy tăng nên Chọn C. Xét đáp án D: 2 22 1 sin 1 sin 1 sin 0 n nn u n n u u n n  nên D đúng. Câu 33. Cho dãy số n u , biết 31 . 3 1 n n u n Dãy số n u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 1 . 3 B. 1. C. 1 . 2 D. 0. Lời giải. Ta có 3 1 2 1 1. 31 31 n n u nn Mặt khác: 2 51 1 0 7 22 u nên suy ra dãy n u bị chặn trên bởi số 1. Chọn B. Câu 34. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào bị chặn trên? A. 2 . n u n B. 2. n n u C. 1 . n u n D. 1. n u n Lời giải. Các dãy số 2 ;2 ; 1 n nn là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra). Chọn C. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 27 Nhận xét: 1 1 n u n  với mọi * n  nên dãy n u bị chặn trên bởi 1. Câu 35. Cho dãy số n u , biết cos sin . n u nn Dãy số n u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. Lời giải. Ta có 1 sin1 cos1 1 0 MTCT n uu   nên loại các đáp án A và B (dùng TABLE c ủa MTCT để kiểm tra, chỉ cần 1 số hạn nào đó của dãy số lớn hơn thì dãy số đó không thể bị chặn trên bởi . ) Ta có cos sin 2 sin 4 2 n u n n n          Chọn C. Câu 36. Cho dãy số n u , biết sin cos . n u nn Dãy số n u bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn dưới. Lời giải. 5 sin 5 cos5 1 0 MTCT n uu    loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn thì dãy số đó không thể bị chặn dưới với số . ) Ta có 2 sin 4 2 n un         Chọn C. Câu 37. Cho dãy số n u , biết 3 cos sin . n u nn Dãy số n u bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? A. 2; 2. mM B. 1 ; 31. 2 mM C. 31; 31. m M D. 11 ; . 22 mM Lời giải. 1 1 31 2 MTCT TABLE n uu     loại C và D. 4 1 2 MTCT TABLE n uu     loại B. Vậy Chọn A. Nhận xét: 3 1 2 sin cos 2sin 2 22 6 2. n n u nn u n                        Câu 38. Cho dãy số , n u biết 25 1 .5 . n n n u Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số n u bị chặn. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 28 D. Dãy số n u không bị chặn. Lời giải. Nếu n chẵn thì 21 50 n n u tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy n u không bị chặn trên. Nếu n lẻ thì 21 50 n n u giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy n u không bị chặn dưới. Vậy dãy số đã cho không bị chặn. Chọn D. Câu 39. Cho dãy số , n u với 1 1 1 ... , 1; 2; 3 . 1.4 2.5 3 n un nn  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số n u bị chặn. D. Dãy số n u không bị chặn. Lời giải. Ta có 0 nn uu  bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác * 1 1 11 31 1 k kk kk k k  nên suy ra: 11 1 1.2 2.3 3.4 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 2 23 2 4 1 1 n nn u n nn  nên dãy n u bị chặn trên, do đó dãy n u bị chặn. Chọn C. Câu 40. Cho dãy số , n u với 2 2 2 1 1 1 ... , 2; 3; 4; . 23 n u n n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số n u bị chặn. D. Dãy số n u không bị chặn. Lời giải. Ta có 0 nn uu  bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác 2 * 1 1 11 , 11 2 k k k kk k k  nên suy ra: 11 1 1.2 2.3 3.4 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 2 23 2 4 1 1 n nn u n nn  nên dãy n u bị chặn trên, do đó dãy n u bị chặn. Chọn C. Câu 41. Trong các dãy số n u sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? A. 2 1. n u n B. 1 . n u n n C. 2 1. n n u D. . 1 n n u n Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 29 Lời giải. Các dãy số 2 ; ;2 n nn dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn, nên các dãy 2 1 1; ; 2 1 n nn n cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Chọn D. Nhận xét: 1 0 1 1. 11 n n u nn Câu 42. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào bị chặn? A. 1 . 2 n n u B. 3. n n u C. 1. n u n D. 2 . n u n Lời giải. Các dãy số 2 ; ;3 n nn dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên các dãy 2 ; 1; 3 n nn cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Chọn A. Nhận xét: 11 . 2 2 0 n n u  Câu 43. Cho dãy số , n u xác định bởi 1 * 1 6 . 6 , nn u u un   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 6. 2 n u  B. 6 3. n u  C. 6 2. n u  D. 6 2 3. n u   Lời giải. Ta có 2 5 12 3 2 2 u nên loại các đáp án A, B, C. Chọn D. Nhận xét: Ta có 1 1 1 1 1 1 6 0 6. 0 6 6 6 6 6 n n n nn n n u u u u u u uu uu        Ta chứng minh quy nạp 2 3. n u  1 11 2 3; 6 2 3 6 2 3 6 6 2 3. k kk uu u u      Câu 44. Cho dãy số , n u với sin 1 n u n  . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 1 n của dãy là 1 sin . 1 n u n  B. Dãy số n u là dãy số bị chặn. C. Dãy số n u là một dãy số tăng. D. Dãy số n u không tăng không giảm. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 30 Lời giải. 1 sin sin sin 1 11 2 nn uu n nn    A sai. si 1 1 n 1 n n u n u      B đúng. Chọn B. 1 sin sin 0 0 2 1 2 12 nn uu n n nn            C, D sai. Câu 45. Cho dãy số , n u với 1. n n u Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số n u là dãy số tăng. B. Dãy số n u là dãy số giảm. C. Dãy số n u là dãy số bị chặn. D. Dãy số n u là dãy số không bị chặn. Lời giải. 1 n n u là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm  A, B sai. Tập giá trị của dãy 1 n n u là   1;1 1 1 n u    C đúng. Chọn C. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 3. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1. Cấp số cộng 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi gọi là cấp số cộng; gọi là công sai. 2.1. Các tính chất: Số hạng thứ n được cho bởi công thức: . Ba số hạng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi . Tổng số hạng đầu tiên được xác định bởi công thức : . 2. Cấp số nhân 1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi gọi là cấp số cộng; gọi là công bội. 2.2. Các tính chất: Số hạng thứ n được cho bởi công thức: . Ba số hạng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi . Tổng số hạng đầu tiên được xác định bởi công thức : . A. LÝ THUYẾT Phương pháp: • Dãy số n (u ) là một cấp số cộng + ⇔ − = n1 n u ud không phụ thuộc vào n và d là công sai. • Dãy số n (u ) là một cấp số nhân + ⇔= n1 n u q u không phụ thuộc vào n và q là công bội. • Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⇔ + = a c 2b . • Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ⇔= 2 ac b . • Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua 1 u và d . • Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua 1 u và q . Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 2 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai = dx , là chẵn thì gọi công sai = d 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng. * Nếu cấp số cộng n (a ) thỏa:  + ++ =   + ++ =   12 n 22 2 2 12 n a a ... a p a a ... a s thì: ( )  − = − 1 nn 1 1 a p .d n 2 và ( ) ( ) − = ± − 22 22 12 ns p d nn 1 . Ví dụ 2. Cho CSC n (u ) thỏa : − + =   +=   23 5 46 u u u 10 u u 26 1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số; 2. Tính = +++ + 1 4 7 2011 S u u u ... u . Ví dụ 3. Cho cấp số cộng n (u ) thỏa: + − = −   −= −   5 3 2 74 u 3u u 21 3u 2u 34 . 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; 3. Tính = + ++ 4 5 30 S u u ... u . Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn − + =   +=   23 5 46 u u u 10 u u 26 1. Xác định cấp số cộng 2. Tính tổng = + + …+ 5 7 2011 Su u u Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng n (u ) có = 1 u1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính = + ++ 2 3 49 50 12 11 1 S ... uu u u uu Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (u n ) có các số hạng khác không, tìm 1 u biết: 1.  + ++ =   +++ =   12 3 4 2222 1 234 u u u u 15 uuuu 85 2.  ++ ++ =   +=   1 23 45 15 u uu uu 11 82 uu 11 Ví dụ 7. Cho cấp số nhân n (u ) thỏa:  =    =  4 38 2 u 27 u 243u . 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 3. Số 2 6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Dãy số n (u ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 1. = + n u 2n 3 2. = −+ n u 3n 1 3. = + 2 n u n1 4. = n 2 u n Bài 2 . Dãy số n (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 1. = n u 2n 2. = n n u 4.3 3. = n 2 u n . Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 1. = + n u 3n 1 2. = − n u 4 5n 3. + = n 2n 3 u 5 4. + = n n1 u n 5. = n n n u 2 6. = + 2 n u n1 Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 1. = n n u2 2. − = − n 1 n 3 u 5 3. = − n u 3n 1 4. − = n n 21 u 3 5. = 3 n un . Bài 5. 1. Tam giác ABC có ba góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và = C 5A . Xác định số đo các góc A,B,C . 2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và + ++ = 33 sin A sin B sin C 2 tính các góc của tam giác Bài 6. Cho dãy số n (u ) với + = n 1 2 n u3 1. Chứng minh dãy số (u n ) là cấp số nhân 2. Tính tổng = + + + …+ 2 4 6 20 S uuu u 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. Bài 7. 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. 3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. Bài 8. 1. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn − =   =   73 27 uu 8 u .u 75 . Tìm 1 u ,d ? 2. Cho cấp số cộng (u n ) có công sai > d0 ;  +=   +=   31 34 22 31 34 u u 11 u u 101 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. 3. Gọi 12 3 S ;S ;S là tổng 12 3 n ;n ;n số hạng đầu của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) − + −+ − = 3 12 2 3 31 12 1 23 S SS n n n n nn 0 nnn Bài 9. Cho CSN n (u ) thỏa:  ++ ++ =   +=   1 23 45 15 u uu uu 11 82 uu 11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 2. Tính tổng 2011 S 3. Trên khoảng    1 ;1 2 có bao nhiêu số hạng của cấp số. Bài 10. 1. Cho dãy số = = nn 1 (x ) : x , n 1,2,3... n . Chứng minh rằng luôn tồn tại một CSC gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số trên. Phương pháp: Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội. Sử dụng tính chất của cấp số: theo thứ tự đó lập thành CSC theo thứ tự đó lập thành CSN Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 4 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số: 1. 1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC; 2. 2,3,5 không thể cùng thuộc một CSN. Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số n (u ) là: 1. CSC khi và chỉ khi = + n u an b 2. CSN khi và chỉ khi = n n u a.q . Ví dụ 3. Chứng minh rằng : 1. Nếu phương trình − + −= 32 x ax bx c 0 có ba nghiệm lập thành CSC thì = + 3 9ab 2a 27c 2. Nếu phương trình − + −= 32 x ax bx c 0 có ba nghiệm lập thành CSN thì −= 33 c(ca b ) 0 Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập { } = X 1,2,3,...,9 thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng. Ví dụ 5. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: + − −< + n m m n 1 x x x mn ∀∈  * m,n . Chứng minh rằng: (xn) là một cấp số cộng. 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 1. Cho ba số a,b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : +=+ 22 a 2bc c 2ab . 2. Cho > a,b,c 0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng : += + ++ 1 12 a b b c ca . 3. Cho (u n ) là cấp số cộng. Chứng minh rằng : ( ) − + = + n nk n k 1 u uu 2 , ≤ ≤ − 1 k n1 Bài 2 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng AB tan ; tan ; 22 C tan 2 lập thành cấp số cộng ⇔ cos A;cos B;cosC lập thành cấp số cộng. 2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng A B C cot ;cot ;cot 2 22 lập thành cấp số cộng ⇔ sin A;sin B;sin C lập thành cấp số cộng. Bài 3 Cho a,b,c lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng : 1. ( ) ( ) + + −+ = + + 2 22 a bc a bc a b c 2. ( ) ( ) ( ) + += + 2 2 2 22 a b b c ab bc 3. ( ) ( ) + + = ++ 33 ab bc ca abc a b c 4. ( ) ( ) + + −+ = + + ∈  n n n n n n 2n 2n 2n * a bc a bc a b c ; n Bài 4 Cho (u n ) là cấp số nhân .Chứng minh rằng : 1. −+ = = 1 n k n k1 a a a .a , k 1; n 2. ( ) ( ) −=− 2 n 3n 2n 2n n SS S S S . Bài 5 1. Điều cần và đủ để ba số khác không a,b,c là ba số hạng của một CSN là tồn tại ba số nguyên khác không p,t,r sao cho  + + =   =   p tr pt r 0 a .b .c 1 . 2. Cho cấp số cộng (a n ) với các số hạng khác không và công sai khác không.Chứng minh rằng: − − + ++ = 12 2 3 n 1n 1n 1 1 1 n1 ... aa a a a a aa . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 3. Cho bốn số thực 12 3 4 a ;a ;a ;a .Biết rằng :  +=     ++ =   12 2 3 13 12 2 3 3 4 14 1 1 2 aa a a aa 1 1 1 3 aa a a a a aa Chứng minh rằng : 12 3 4 a ;a ;a ;a lập thành cấp số cộng. 4. Cho a,b,c lần lượt là ba số hạng thứ m,n,p của một cấp số cộng. Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) −+ − + − = a.n p b.p m c.m n 0 . 5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a,b,c là ba số hạng của một CSC là tồn tại ba số nguyên khác không p,q,r thỏa:  + + =  + +=  pa qb rc 0 pq r 0 . 6.Cho CSC n (u ) thỏa = mn SS ( ≠ m n ). Chứng minh + = m n S0 . 7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội của CSN đó nằm trong khoảng  −+    5 11 5 ; 22 . Bài 6 1. Chứng minh ba số > a,b,c 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số + + ++ + + 2 22 2 2 2 a ab b ;c ca a ; b bc c cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. 2. Cho n (u ) là cấp số nhân. Kí hiệu = + ++ 12 n S u u ... u ; = + ++ = 12 n 12 n 11 1 T ... ; P u u ...u uu u . Hãy tính P theo S,T và n. Bài 7 Cho hai số tự nhiên n,k thỏa +≤ k3 n . 1. Chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho k n C , + k1 n C và + k2 n C là ba số hạng liên tiếp của một CSC. 2. Chứng minh rằng không tồn tại k để k n C , + k1 n C , + k2 n C và + k3 n C là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Bài 8 1. Cho n (u ) là CSC. Chứng minh rằng: + + + + = = + + = ∑∑ k n n1 k1 1 n1 k n1 k 0 k1 n u uu n1 2 . 2k C2 2. Cho k là một số nguyên dương cho trước. Giả sử 1 2 3 s ,s ,s ,... là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss s 12 3 s ,s ,s ,... và + + + s ks ks k 12 3 s ,s ,s ,... đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng 1 2 3 s ,s ,s ,... cũng là một cấp số cộng 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Tìm x biết : 1. + −− 2 x 1,x 2,1 3x lập thành cấp số cộng ; 2. − 22 1,x ,6 x lập thành cấp số nhân. Ví dụ 2. Cho các số − ++ 5xy, 2x3y, x2y lập thành cấp số cộng ; các số ( ) ( ) + +− 22 y1 ,xy1, x 1 lập thành cấp số nhân.Tính x,y Phương pháp: theo thứ tự đó lập thành CSC theo thứ tự đó lập thành CSN . Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 6 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng 1. 3 1;x;x 2. π  −   1;sin x ; 4sin x 6 Bài 2. Tìm x,y biết: 1. Các số ++ + x 5y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số ( ) ( ) − −+ 22 y1 ,xy1, x 1 lập thành cấp số nhân. 2. Các số ++ + x 6y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số + −− 5 x y,y 1,2x 3y 3 lập thành cấp số nhân. Bài 3. Xác định a,b để phương trình + + = 3 x ax b 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Bài 4 Tìm m để phương trình: 1. ( ) − − + −= 42 mx 2 m 1 x m 1 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 2. − + + −= 32 x 3mx 4mx m 2 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Bài 5 Xác định m để: 1. Phương trình − − += 32 x 3x 9x m 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 2. Phương trình ( ) − + + += 42 x 2 m 1 x 2m 1 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 3. Phương trình ( ) ( ) + + + + += 32 x 2x m 1 x 2 m 1 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến cấp số cộng Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1 ;3;7;11;15;  B. 1;3;6;9;12;  C. 1;2;4;6;8;  D. 1;3;5;7;9;  Câu 2. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? A. 2 1 12 4 ; ;0; ; ;1; .... 3 3 33 3 B. 15 2;12 2;9 2;6 2;.... C. 4 7 9 11 ;1; ; ; ;.... 5 5 5 5 D. 1 23 4 3 5 ; ; 3; ; ;... 33 33 Câu 3. Cho dãy số 1 1 3 ;0; ; 1; ;..... 2 2 2 là cấp số cộng với: A. Số hạng đầu tiên là 1 2 , công sai là 1 . 2 B. Số hạng đầu tiên là 1 2 , công sai là 1 . 2 C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 Câu 4. Cho cấp số cộng có số hạng đầu 1 1 , 2 u công sai 1 . 2 d Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là: A. 1 1 ;0;1; ;1. 2 2 B. 1 1 1 ;0; ;0; . 2 2 2 C. 1 3 5 ;1; ;2; . 22 2 D. 1 1 3 ;0; ;1; . 2 22 Câu 5. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17, B.6;10;14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Câu 6. Cho hai số 3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai 2. d Tìm . n A. 12. n B. 13. n C. 14. n D. 15. n Câu 7. Cho các số 4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm . x A. 7. x B. 10. x C. 11. x D. 12. x Câu 8. Biết các số 12 3 ; ; nn n CC C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với 3. n Tìm . n Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 7 A. 5. n B. 7. n C. 9. n D. 11. n Câu 9. Nếu các số 5 ; 7 2 ; 17 m mm theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? A. 2. m B. 3. m C. 4. m D. 5. m Câu 10. Với giá trị nào của x và y thì các số 7; ; 11; xy theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? A. 1; 21. xy B. 2; 20. xy C. 3; 19. xy D. 4; 18. xy Câu 11. Cho cấp số cộng n u có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;  . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số cộng. A. 5 1. n un B. 5 1. n un C. 4 1. n un D. 4 1. n un Câu 12. Cho cấp số cộng n u có 1 3 u và 1 . 2 d Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 3 1 . 2 n un B. 1 3 1. 2 n u n C. 1 3 1 . 2 n un D. 1 3 1 . 4 n un Câu 13. Cho cấp số cộng n u có 3 15 u và 2 d . Tìm . n u A. 2 21. n un B. 3 12. 2 n un C. 3 17. n un D. 2 3 4. 2 n un Câu 14. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy s ố nào là cấp số cộng? A. 7 3 . n un B. 7 3. n n u C. 7 . 3 n u n D. 7.3 . n n u Câu 15. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy s ố nào là cấp số cộng? A. 1 2 1 . n n un B. sin . n u n  C. 1 1 1 . 1 n n u uu  D. 1 1 1 . 2 n n u uu  Câu 16. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? A. 4 9. n u n B. 2 19. n un C. 2 21. n un D. 2 15. n n u Câu 17. Cho cấp số cộng n u có 1 5 u và 3. d Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36. Câu 18. Cho cấp số cộng n u có 1 5 u và 3. d Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 15 34. u B. 15 45. u C. 13 31. u D. 10 35. u Câu 19. Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? A. 4. d B. 5. d C. 6. d D. 7. d Câu 20. Cho cấp số cộng n u có 1 4 u và 5. d Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. A. 100 24350. S B. 100 24350. S C. 100 24600. S D. 100 24600. S Câu 21. Cho cấp số cộng n u có 1 1 4 u và 1 . 4 d Gọi 5 S là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 5 . 4 S B. 5 4 . 5 S C. 5 5 . 4 S D. 5 4 . 5 S Câu 22. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là 3 4 n un với * n  . Gọi n S là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 31 . 2 n n S B. 7 3 1 . 2 n n S C. 2 35 . 2 n nn S D. 2 3 11 . 2 n n n S Câu 23. Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 A. 7650. B. 7500. C. 3900. D. 3825. Câu 24. Cho cấp số cộng n u có 2 d và 8 72. S Tìm số hạng đầu tiên 1 . u A. 1 16. u B. 1 16 . u C. 1 1 . 16 u D. 1 1 . 1 6 u Câu 25. Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là n u có giá trị là bao nhiêu? A. 57. n u B. 61. n u C. 65. n u D. 69. n u Câu 26. Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? A. 2. d B. 3. d C. 4. d D. 5. d Câu 27. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 3 19 4 n nn S với * n  . Tìm số hạng đầu tiên 1 u và công sai d của cấp số cộng đã cho. A. 1 1 2; . 2 ud B. 1 3 4; . 2 ud C. 1 3 ; 2. 2 u d D. 1 51 ; . 22 u d Câu 28. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 4 n Sn n với * n  . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số cộng đã cho. A. 2 3. n u n B. 3 2. n un C. 1 5.3 . n n u D. 1 8 5. . 5 n n u       Câu 29. Tính tổng 1 2 3 4 5 ... 2 1 2 S nn với 1 n và . n  A. 0. S B. 1. S C. . Sn D. . Sn Câu 30. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 289 15 100. uu uu Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. 16 100. S B. 16 200. S C. 16 300. S D. 16 400. S Câu 31. Cho cấp số cộng n u có 4 12 u và 14 18. u Tìm số hạng đầu tiên 1 u và công sai d của cấp số cộng đã cho. A. 1 21; 3. ud B. 1 20; 3. ud C. 1 22; 3. ud D. 1 21; 3. ud Câu 32. Cho cấp số cộng n u có 2 2001 u và 5 1995 u . Khi đó 1001 u bằng: A. 1001 4005. u B. 1001 4003. u C. 1001 3. u D. 1001 1. u Câu 33. Cho cấp số cộng n u , biết: 1 1, 8 nn u u . Tính công sai d cảu cấp số cộng đó. A. 9. d B. 7. d C. 7. d D. 9. d Câu 34. Cho cấp số cộng . n u Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: A. 10 20 5 10 . 2 uu uu B. 90 210 150 2. uu u C. 10 30 20 . . uu u D. 10 30 20 . . 2 uu u Câu 35. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 2 23 60. uu Tính tổng 24 S của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. 24 60. S B. 24 120. S C. 24 720. S D. 24 1440. S Câu 36. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. 2. d B. 3. d C. 4. d D. 5. d Câu 37. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 7 3 27 8 . 75 uu uu  Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. 2 . 1 d B. 1 . 3 d C. 2. d D. 3. d Câu 38. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 17 22 26 26 . 466 u u u u  Mệnh đề nào sau đây đúng? Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 9 A. 1 13 . 3 u d  B. 1 10 . 3 u d  C. 1 1 . 4 u d  D. 1 13 . 4 u d  Câu 39. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 13 5 16 15 . 27 uu u u u  Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. 1 21 . 3 u d  B. 1 21 . 3 u d  C. 1 18 . 3 u d  D. 1 21 . 4 u d  Câu 40. Cho cấp số cộng n u thỏa 2 46 23 36 . 54 u u u uu  Tìm công sai d của cấp số cộng n u biết 10. d A. 3. d B. . 4 d C. 5. d D. 6. d Câu 41. Cho cấp số cộng n u thỏa 12 3 222 1 2 3 27 275 uu u uuu  . Tính 2 . u A. 2 3. u B. 2 6. u C. 2 9. u D. 2 12. u Câu 42. Tính tổng 15 20 25 ... 7515. T A. 5651265. T B. 5651256. T C. 5651625. T D. 5651526. T Câu 43. Tính tổng 2 2 2 2 22 1000 999 998 997 ... 2 1 . T A. 500500. T B. 500005. T C. 505000. T D. 500050. T Câu 44. Cho cấp số cộng 12 3 ; ; ; ; n u u u u  có công sai , d các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số 1 2 3 11 1 1 ; ; ; ; n uu u u  là một cấp số cộng? A. 1. d B. 0. d C. 1. d D. 2. d Câu 45. Nếu ; ; ab c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2 22 2 ; ; . b ac B. 2 ;2 ;2 . b ac C. 2 ; ; . b ac D. 2 ; ; . b ac Câu 46. Nếu 11 1 ; ; b c c a ab theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2 22 ; ; . b ac B. 2 22 ; ; . c ab C. 2 22 ; ; . ab c D. 22 2 ; ; . ac b Câu 47. Cho ; ; ab c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 22 2 2 4. a c ac b B. 22 2 2 . a c ab bc C. 22 . a c ab bc D. 22 2 2 . a c ab bc Câu 48. Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20  và 70 .  B. 45  và 45 .  C. 20  và 45 .  D. 30  và 60 .  Câu 49. Ba góc ,, A BC A B C của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng: A. 40 .  B. 45 .  C. 60 .  D. 80 .  Câu 50. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: A. 13 ; 1; . 22 B. 15 ; 1; . 33 C. 35 ; 1; . 44 D. 1 7 ; 1; . 44 Câu 51. Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế? A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125. Câu 52. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,...Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 73. B. 75. C. 77. D. 79. Câu 53. Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông? A. 78. B. 156. C. 300. D. 48. Câu 54. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? A. 98. B. 100. C. 102. D. 104. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 10 Câu 55. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng. Phần 2. Câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến cấp số nhân Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 128; 64; 32; 16; 8; ... B. 2; 2; 4; 4 2; .... C. 5; 6; 7; 8; ... D. 1 15; 5; 1; ; ... 5 Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A. 2; 4; 8; 16;  B. 1; 1; 1; 1;  C. 2 22 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;  D. 3 57 ; ; ; ; 0 . a aaa a   Câu 3. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2; 4; 8;  B. 2 34 3; 3 ; 3 ; 3 ;  C. 11 4; 2; ; ; 24  D. 246 1 111 ; ; ; ;    Câu 4. Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32;  là một cấp số nhân với: A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1. C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2. D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2. Câu 5. Cho cấp số nhân n u với 1 2 u và 5. q Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. 2; 10; 50; 250. B. 2; 10; 50; 250. C. 2; 10; 50; 250. D. 2; 10; 50; 250. Câu 6. Cho cấp số nhân 1 11 1 ; ; ; ; . 2 4 8 4096  Hỏi số 1 4096 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho? A. 11. B. 12. C. 10. D. 13. Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là: A. 720. B. 81. C. 64. D. 56. Câu 8. Tìm x để các số 2; 8; ; 128 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 14. x B. 32. x C. 64. x D. 68. x Câu 9. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; ; 9 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? A. 36. x B. 13 . 2 x C. 6. x D. 36. x Câu 10. Tìm 0 b để các số 1 ; ; 2 2 b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1. b B. 1. b C. 2. b D. 2. b Câu 11. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 1; ; 2 1 x xx theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1 . 3 x  B. 1 . 3 x  C. 3. x  D. 3. x  Câu 12. Tìmx để ba số 1 ; 9 ; 33 xx x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1. x B. 3. x C. 7. x D. 3; 7. xx Câu 13. Với giá trị , x y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; ; 18; x y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? A. 6 . 54 x y  B. 10 . 26 x y  C. 6 . 54 x y  D. 6 . 54 x y  Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192. xy Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1; 144. xy B. 2; 72. xy C. 3; 48. xy D. 4; 36. xy Câu 15. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; ; ; 320 xy theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 25 . 125 x y  B. 20 . 80 x y  C. 15 . 45 x y  D. 30 . 90 x y  Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 11 Câu 16. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 6; xx và . y Tìm y , biết rằng công bội của cấp số nhân là 6. A. 216. y B. 324 . 5 y C. 1296 . 5 y D. 12. y Câu 17. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 21 x và 2 4 1. x Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A. 2 1. x B. 2 1. x C. 32 8 4 2 1. x xx D. 32 8 4 2 1. x xx Câu 18. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A. 1 1 1 . 1, 1 n n u uu n  B. 1 1 1 . 3 , 1 nn u u u n  C. 1 1 2 . 2 3, 1 n n u u un  D. 1 2 . sin , 1 1 n u un n          Câu 19. Cho dãy số n u với 3 .5 . 2 n n u Khẳng định nào sau đây đúng? A. n u không phải là cấp số nhân. B. n u là cấp số nhân có công bội 5 q và số hạng đầu 1 3 . 2 u C. n u là cấp số nhân có công bội 5 q và số hạng đầu 1 15 . 2 u D. n u là cấp số nhân có công bội 5 2 q và số hạng đầu 1 3. u Câu 20. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 2 1 . 3 n n u B. 1 1. 3 n n u C. 1 . 3 n u n D. 2 1 . 3 n u n Câu 21. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 7 3 . n un B. 7 3. n n u C. 7 . 3 n u n D. 7.3 . n n u Câu 22. Cho dãy số n u là một cấp số nhân với * 0, . n un   Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1 3 5 ; ; ; ... uu u B. 1 2 3 3 ; 3 ; 3 ; ... uu u C. 1 2 3 11 1 ; ; ; ... uu u D. 12 3 2; 2; 2; ... u u u Câu 23. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số nhân đã cho. A. 1 3. n n u B. 3. n n u C. 1 3 . n n u D. 3 3. n n u Câu 24. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho. A. 3. q B. 3. q C. 2. q D. 2. q Câu 25. Cho cấp số nhân n u có 1 3 u và 2 . 3 q Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 27 . 16 u B. 5 16 . 27 u C. 5 16 . 27 u D. 5 27 . 16 u Câu 26. Cho cấp số nhân n u có 1 2 u và 2 8 u . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 6 130. S B. 5 256. u C. 5 256. S D. 4. q Câu 27. Cho cấp số nhân n u có 1 3 u và 2 q . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Câu 28. Cho cấp số nhân n u có 1 1 u và 1 10 q . Số 103 1 10 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 12 Câu 29. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A. 18. B. 17. C. 16. D. 9. Câu 30. Cho cấp số nhân n u có 81 n u và 1 9. n u Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 9 q B. 9. q C. 9. q D. 1 . 9 q Câu 31. Một dãy số được xác định bởi 1 4 u và 1 1 , 2. 2 n n u u n Số hạng tổng quát n u của dãy số đó là: A. 1 2. n n u B. 1 2. n n u C. 1 42 . n n u D. 1 1 4. 2 n n u       Câu 32. Cho cấp số nhân n u có 1 3 u và 2. q Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. 10 511. S B. 10 1025. S C. 10 1025. S D. 10 1023. S Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi n S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 4. n n S B. 1 1 4 . 2 n n n S C. 4 1 . 3 n n S D. 4 4 1 . 3 n n S Câu 34. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 11 ; ; 1; ; 2048. 42  Tính tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho. A. 2047,75. S B. 2049,75. S C. 4095,75. S D. 4096,75. S Câu 35. Tính tổng 1 2 4 8 16 32 64 ... 2 2 nn S với 1, . n n  A. 2. Sn B. 2. n S C. 21 2 . 1 2 n S D. 12 2. . 3 n S Câu 36. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối 6 u của cấp số nhân đã cho. A. 6 32. u B. 6 104. u C. 6 48. u D. 6 96. u Câu 37. Cho cấp số nhân n u có 1 6 u và 2. q Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm . n A. 9. n B. 10. n C. 11. n D. 12. n Câu 38. Cho cấp số nhân n u có tổng n số hạng đầu tiên là 5 1. n n S Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho. A. 4 100. u B. 4 124. u C. 4 500. u D. 4 624. u Câu 39. Cho cấp số nhân n u có tổng n số hạng đầu tiên là 1 31 . 3 n n n S Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho. A. 5 4 2 . 3 u B. 5 5 1 . 3 u C. 5 5 3 . u D. 5 5 5 . 3 u Câu 40. Cho cấp số nhân n u có 2 2 u và 5 54. u Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. 1000 1000 13 . 4 S B. 1000 1000 31 . 2 S C. 1000 1000 31 . 6 S D. 1000 1000 13 . 6 S Câu 41. Cho cấp số nhân n u có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 13 . Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của cấp số nhân là một số dương. A. 5 181 . 16 S B. 5 141. S C. 5 121. S D. 5 35 . 16 S Câu 42. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng 1 2 , công bội bằng 1 4 . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu? A. 4096. B. 2048. C. 1024. D. 1 512 . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 13 Câu 43. Cho cấp số nhân n u có 2 6 u và 6 486. u Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho, biết rằng 3 0. u A. 3. q B. 1 . 3 q C. 1 . 3 q D. 3. q Câu 44. Cho cấp số nhân 12 3 ; ; ; u u u  với 1 1. u Tìm công bội q để 2 4u + 3 5u đạt giá trị nhỏ nhất? A. 2 . 5 q B. 0. q C. 2 . 5 q D. 1. q Câu 45. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 2. n n u B. 2 n n u C. 1 2 . n n u D. 2. n u n Câu 46. Cho cấp số nhân n u có công bội . q Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 1 .. k k u uq B. 11 . 2 kk k u u u C. 12 .. k kk u u u D. 1 –1 . k uu k q Câu 47. Cho cấp số nhân n u có 1 0 u  và 0. q  Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 3 7 4 .. u uq B. 4 7 4 .. u uq C. 5 74 .. u uq D. 6 7 4 . . u uq Câu 48. Cho cấp số nhân n u có 1 0 u  và 0. q  Với 1 , k m đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. .. k m k u uq B. . . m m k u uq C. . . m k m k u uq D. .q . mk m k u u Câu 49. Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. 1 15 2 14 . .. uu u u B. 1 15 5 11 . .. uu u u C. 1 15 6 9 . .. uu u u D. 1 15 12 4 . . . uu u u Câu 50. Cho một cấp số nhân có n số hạng 55 . nk Đẳng thức nào sau đây sai? A. 1 21 . .. nn uu u u B. 1 54 . . . n n uu u u C. 1 55 55 . . . nn uu u u D. 11 . . . n k nk uu u u Câu 51. Tìm số hạng đầu 1 u và công bội q của cấp số nhân , n u biết 6 7 192 . 384 u u  A. 1 5 . 2 u q  B. 1 6 . 2 u q  C. 1 6 . 3 u q  D. 1 5 . 3 u q  Câu 52. Cho cấp số nhân n u thỏa mãn 42 53 36 . 72 uu u u  Chọn khẳng định đúng? A. 1 4 . 2 u q  B. 1 6 . 2 u q  C. 1 9 . 2 u q  D. 1 9 . 3 u q  Câu 53. Cho cấp số nhân n u thỏa mãn 20 17 15 8 . 272 uu u u  Chọn khẳng định đúng? A. 2. q B. 4. q C. 4. q D. 2. q Câu 54. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 1 . 16 Tìm số hạng đầu 1 u và công bội q của cấp số nhân đã cho. A. 1 1 . 2 2 u q  B. 1 2 . 1 2 u q  C. 1 2 . 1 2 u q  D. 1 1 . 2 2 u q  Câu 55. Cho cấp số nhân n u thỏa 13 5 17 65 325 uu u u u  . Tính 3 . u A. 3 10. u B. 3 15. u C. 3 20. u D. 3 25. u Câu 56. Cho cấp số nhân n u thỏa 12 3 12 3 14 . . . 64 u u u uu u  Tính 2 . u A. 2 4. u B. 2 6. u C. 2 8. u D. 2 10. u Câu 57. Cho cấp số nhân n u có công bội q và thỏa 1 234 5 1 234 5 13 1 1 1 1 1 49 35 u u u u u u u u u u u u          . Tính 2 1 4. Pu q Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 14 A. 24. P B. 29. P C. 34. P D. 39. P Câu 58. Cho cấp số nhân n u có công bội q và thỏa 12 3 222 1 23 26 364 u u u uuu  . Tìm q biết rằng 1. q A. 5 . 4 q B. 4. q C. 4 . 3 q D. 3. q Câu 59. Các số 6 , 5 2 , 8 x y x y x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số 1, 2, 3 x y xy theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 22 . xy A. 22 40. xy B. 22 25. xy C. 22 100. xy D. 22 10. xy Câu 60. Ba số ; ; x yz theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số ; 2 ; 3 x yz theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q . A. 1 . 3 q B. 1 . 9 q C. 1 . 3 q D. 3. q Câu 61. Cho dãy số tăng , , ab cc  theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời , 8, ab c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và , 8, 64 ab c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức 2. P ab c A. 184 . 9 P B. 64. P C. 92 . 9 P D. 32. P Câu 62. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm . q A. 2. q B. 2. q C. 3 . 2 q D. 3 . 2 q Câu 63. Cho bố số , ,, abc d biết rằng ,, abc theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội 1 q ; còn ,, bc d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng 14 ad và 12. bc A. 18 73 . 24 q B. 19 73 . 24 q C. 20 73 . 24 q D. 21 73 . 24 q Câu 64. Gọi 9 99 999 ... 999...9 S (n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. 10 1 . 9 n S B. 10 1 10 . 9 n S         C. 10 1 10 . 9 n Sn         D. 10 1 10 . 9 n Sn         Câu 65. Gọi 1 11 111 ... 111...1 S (n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. 10 1 . 81 n S B. 10 1 10 . 81 n S         C. 10 1 10 . 81 n Sn         D. 1 10 1 10 . 99 n Sn             Câu 66. Biết rằng 2 10 21.3 1 2.3 3.3 ... 11.3 . 4 b Sa Tính . 4 b P a A. 1. P B. 2. P C. 3. P D. 4. P Câu 67. Một cấp số nhân có ba số hạng là , , a bc (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội 0. q  Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2 11 . bc a B. 2 11 . ac b C. 2 11 . ba c D. 11 2 . ab c Câu 68. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng: A. 0 56 . B. 0 102 . C. 0 252 . D. 0 168 . Câu 69. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 2 12 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 2 6. m B. 2 8. m C. 2 10 . m D. 2 12 . m Câu 70. Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng. C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồnTµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . Lời giải. Giả sử bốn số hạng đó là − −+ + a 3x;a x;a x;a 3x với công sai là = d 2x .Khi đó, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  − + − + + + + =   − + − + + + + =   22 2 2 a 3xa xa xa 3x 20 a 3xa xa xa 3x 120  = =  ⇔⇔ = ± + =    22 4a 20 a5 x1 4a 20x 120 Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai = dx , là chẵn thì gọi công sai = d 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng. * Nếu cấp số cộng n (a ) thỏa:  + ++ =   + ++ =   12 n 22 2 2 12 n a a ... a p a a ... a s thì: ( )  − = − 1 nn 1 1 a p .d n 2 và ( ) ( ) − = ± − 22 22 12 ns p d nn 1 . Ví dụ 2. Cho CSC n (u ) thỏa : − + =   +=   23 5 46 u u u 10 u u 26 1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số; 2. Tính = +++ + 1 4 7 2011 S u u u ... u . Lời giải. Gọi d là công sai của CSC, ta có:  +− + + + =   + ++ =   11 1 11 (u d) (u 2d) (u 4d) 10 (u 3d) (u 5d) 26 + = =  ⇔⇔ += =     1 1 1 u 3d 10 u1 u 4d 13 d3 1. Ta có công sai = d3 và số hạng tổng quát : = +− = − n1 u u (n 1)d 3n 2 . 2. Ta có các số hạng 1 4 7 2011 u ,u ,u ,...,u lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai = d' 3d , nên ta có: ( ) = += 1 670 S 2u 669d' 673015 2 Ví dụ 3. Cho cấp số cộng n (u ) thỏa: + − = −   −= −   5 3 2 74 u 3u u 21 3u 2u 34 . 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; 3. Tính = + ++ 4 5 30 S u u ... u . Lời giải. Từ giả thiết bài toán, ta có: + + + − + = −   +− + = −   1 11 11 u 4d 3(u 2d) (u d) 21 3(u 6d) 2(u 3d) 34 + = − =  ⇔⇔ + = − = −     1 1 1 u 3d 7 u2 u 12d 34 d3 . 1. Số hạng thứ 100 của cấp số: =+= − 100 1 u u 99d 295 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 2 2. Tổng của 15 số hạng đầu: =  + = −   15 1 15 S 2u 14d 285 2 3. Ta có: = + ++ =  +  4 5 30 4 27 S u u ... u 2u 26d 2 ( ) =+ = − 1 27 u 16d 1242 . Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau: ( ) ( ) =−= + − + = − 30 3 1 1 3 S S S 15 2u 29d 2u 2d 1242 2 . Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn − + =   +=   23 5 46 u u u 10 u u 26 1. Xác định cấp số cộng 2. Tính tổng = + + …+ 5 7 2011 Su u u Lời giải. 1. Ta có: + − + + + = + =  ⇔ + ++ = + =   11 1 1 11 1 u d (u 2d) u 4d 10 u 3d 10 u 3d u 5d 26 u 4d 13 ⇔= = 1 u 1,d 3 ; = + =+ = 51 u u 4d 1 12 13 2. Ta có 5 7 2011 u ,u ,...,u lập thành CSC với công sai = d6 và có 1003 số hạng nên ( ) = + = 5 1003 S 2u 1002.6 3028057 2 . Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng n (u ) có = 1 u1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính = + ++ 2 3 49 50 12 11 1 S ... uu u u uu Lời giải. Gọi d là công sai của cấp số đã cho Ta có: ( ) − = + = ⇒= = 1 100 1 497 2u S 50 2u 99d 24850 d 5 99 ⇒ = + ++ 1 2 2 3 49 50 5 5 5 5S ... uu u u u u −− − = + ++ 3 2 50 49 21 1 2 2 3 49 50 uu u u uu ... uu u u u u = − + − + +− +− 1 2 2 3 48 49 49 50 1 1 1 1 11 11 ... u u u u uu uu = −= − = + 1 50 1 1 1 1 1 1 245 u u u u 49d 246 ⇒= 49 S 246 . Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (u n ) có các số hạng khác không, tìm 1 u biết: 1.  + ++ =   +++ =   12 3 4 2222 1 234 u u u u 15 uuuu 85 2.  ++ ++ =   +=   1 23 45 15 u uu uu 11 82 uu 11 Lời giải. 1. Ta có: ( )  − =   ++ + = −   ⇔ + + + = −   =  −  4 23 1 1 2 2 4 6 8 2 1 1 2 q1 u 15 u (1 q q q ) 15 q1 u 1 q q q 85 q1 u 85 q1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 =    − − −+     ⇒ =⇔=⇔     − = − −+      2 42 4 84 q2 q1 q1 (q1)(q 1) 45 45 1 q 1 17 17 q q 1 (q 1)(q 1) 2 Từ đó ta tìm được = = 11 u 1,u 8 . 2. Ta có: ( )   ++ + + = ++ =    ⇔  += +=    2 3 4 2 1 1 4 4 1 1 39 u 1 q q q q 11 u q(1 q q ) 11 82 82 u (1 q ) u (1 q ) 11 11 + ⇒ = ⇔= = + + 4 3 2 q1 82 1 q 3,q 39 3 qq q . Ví dụ 7. Cho cấp số nhân n (u ) thỏa:  =    =  4 38 2 u 27 u 243u . 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 3. Số 2 6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? Lời giải. Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:    =  = =   ⇔⇔    = = =     3 3 1 1 5 27 1 11 2 2 1 uq uq q 27 27 3 1 u2 q u q 243.u q 243 1. Năm số hạng đầu của cấp số là: = = = = = 12 3 4 5 22 2 2 u 2,u ,u ; u ,u 3 9 27 81 . 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số  −    −     = = =− =  −    −   10 10 10 10 1 1 1 q1 3 1 59048 S u 2. 3 1 1 q 1 3 19683 1 3 . 3. Ta có: − − = ⇒ = ⇔ = = ⇒ = n 1 8 nn n 1 22 u u 3 6561 3 n 9 6561 3 Vậy 2 6561 là số hạng thứ 9 của cấp số. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Dãy số n (u ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 1. = + n u 2n 3 2. = −+ n u 3n 1 3. = + 2 n u n1 4. = n 2 u n Bài 2 . Dãy số n (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: 1. = n u 2n 2. = n n u 4.3 3. = n 2 u n . Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 1. = + n u 3n 1 2. = − n u 4 5n 3. + = n 2n 3 u 5 4. + = n n1 u n 5. = n n n u 2 6. = + 2 n u n1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 4 Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 1. = n n u2 2. − = − n 1 n 3 u 5 3. = − n u 3n 1 4. − = n n 21 u 3 5. = 3 n un . Bài 5. 1. Tam giác ABC có ba góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và = C 5A . Xác định số đo các góc A,B,C . 2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và + ++ = 33 sin A sin B sin C 2 tính các góc của tam giác Bài 6. Cho dãy số n (u ) với + = n 1 2 n u3 1. Chứng minh dãy số (u n ) là cấp số nhân 2. Tính tổng = + + + …+ 2 4 6 20 S uuu u 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. Bài 7. 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. 3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. Bài 8. 1. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn − =   =   73 27 uu 8 u .u 75 . Tìm 1 u ,d ? 2. Cho cấp số cộng (u n ) có công sai > d0 ;  +=   +=   31 34 22 31 34 u u 11 u u 101 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. 3. Gọi 12 3 S ;S ;S là tổng 12 3 n ;n ;n số hạng đầu của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) − + −+ − = 3 12 2 3 31 12 1 23 S SS n n n n nn 0 nnn Bài 9. Cho CSN n (u ) thỏa:  ++ ++ =   +=   1 23 45 15 u uu uu 11 82 uu 11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 2. Tính tổng 2011 S 3. Trên khoảng    1 ;1 2 có bao nhiêu số hạng của cấp số. Bài 10. 1. Cho dãy số = = nn 1 (x ) : x , n 1,2,3... n . Chứng minh rằng luôn tồn tại một CSC gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số trên. ĐÁP ÁN Bài 1 1. Ta có: + − = + + − + = n1 n u u 2(n 1) 3 (2n 3) 2 là hằng số Suy ra dãy n (u ) là cấp số cộng với công sai = d2 . 2. Ta có: + − =− + + − − + =− n1 n u u 3(n 1) 1 ( 3n 1) 3 là hằng số Suy ra dãy n (u ) là cấp số cộng với công sai = − d3 . 3. Ta có: + − = + +− + = + 2 2 n1 n u u (n 1) 1 (n 1) 2n 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy n (u ) không phải là cấp số cộng. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 4. Ta có: + − − = −= ++ n1 n 22 2 uu n1 n n(n1) phụ thuộc vào n Vậy dãy n (u ) không phải là cấp số cộng. Bài 2 . 1. Ta có: + + = n1 n u n1 un phụ thuộc vào n suy ra dãy n (u ) không phải là cấp số nhân. 2. Ta có: + + = = n1 n1 n n u 4.3 3 u 4.3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy n (u ) là một cấp số nhân với công bội = q3 . 3. Ta có: + = = ++ n1 n u 2 2 n : u n1 n n1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy n (u ) không phải là cấp số nhân. Bài 3. 1. Ta có: + − = + +− − = n1 n u u 3(n 1) 1 3n 1 3 Dãy n (u ) là CSC có công sai = d3 . 2. Ta có: + − = − n1 n u u5 Dãy n (u ) là CSC có công sai = − d5 3. Ta có: + − = n1 n 2 uu 5 . Dãy n (u ) là CSC có công sai = 2 d 5 4. Ta có: + − = − ⇒ + n1 n n 1 u u (u ) n(n 1) không là CSC 5. Tương tự ý 4 dãy n (u ) không là CSC 6. Tương tự ý 4 dãy n (u ) không là CSC. Bài 4 1. Ta có: + = ⇒ n1 n n u 2 (u ) u là CSN với công bội = q2 2. Ta có: + = ⇒ n1 n n u 3 (u ) u là CSN với công bội = q3 3. Ta có: + + = ⇒ − n1 n n u 3n 2 (u ) u 3n 1 không phải là CSN 4. Ta có: + + − = ⇒ − n1 n1 n n n u 21 (u ) u 21 không phải là CSN 5. Ta có: + + = ⇒ 3 n1 n 3 n u (n 1) (u ) u n không phải là CSN . Bài 5. 1. Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :  =  + + = =     + = ⇔= ⇔=    = = =      0 0 0 00 A 20 A B C 180 C 5A A C 2B B 3A B 60 C 5A 9A 180 C 100 . 2. Ba góc của tam giác: 000 30 ,60 ,90 Bài 6. 1. Ta có: + + + + = = ∀∈ ⇒ n1 1 2 * n1 n 1 n 2 u 3 3, n N u 3 Dãy số là cấp số nhân với = = 1 u 3 3;q 3 . 2. Ta có … 2 4 6 20 u ;u ;u ; ;u lập thành cấp số nhân số hạng đầu = = 2 u 9;q 3 và có 10 số hạng nên Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 6 −− = = = − − 10 10 10 2 13 3 1 9 S u . 9. (3 1) 13 2 2 3. Ta có : + = ⇔ = ⇔ += ⇔ = n 1 9 2 n n u 19683 3 3 1 9 n 16 2 Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số. Bài 7. 1. Gọi CSN đó là (u n ), = n 1,7 . Theo đề bài ta có :   = = =   ⇔⇔  =  =    =  3 4 1 1 6 72 11 2 u 6 u .q 6 u 9 u 243u u .q 243u .q q3 Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là = = = = = = 1 2 35 6 7 2 2 u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 93 2. Gọi ba số hạng của CSC là −+ a 2x;a;a 2x với = d 2x Ta có: =−  − + + + =−  ⇔ = ± − + ++ =     22 2 a3 a 2x a a 2x 9 1 x (a 2x) a (a 2x) 29 2 . 3. Gọi bốn số đó là a,b,c,d ta có hệ :  + = = −  + = = −  ⇔ + = = −   = −= −  22 a d 37 a 37 d c b 36 c 36 b a c 2b d 73 3b bd c b(73 3b) (36 b) ⇔= = = = b 16,c 20,d 25,a 12 . Bài 8. 1. Ta có: + − − = =  ⇔ = = − + +=     11 11 11 u 6d u 2d 8 d2 u 3,u 17 (u d)(u 6d) 75 2. Ta có:  += = −  ⇔ = + ++ =     1 1 22 11 2u 63d 11 u 89 d3 (u 30d) (u 33d) 101 Vậy = −− = − n u 3(n 1) 89 3n 92 . 3. Thay công thức ( ) = + − 1 1 11 n S 2u (n 1)d 2 ( ) = +− 2 2 22 n S 2u (n 1)d 2 ; ( ) = +− 3 3 33 n S 2u (n 1)d 2 Ta có điều phải chứng minh. Bài 9. 1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có: ( ) ( )  + + = + + =   ⇔  += + =   23 2 34 1 4 15 1 39 39 u u u u q q q 11 11 82 82 u u u 1q 11 11 Suy ra: + = ⇔ − − − += + + 4 4 32 3 2 q1 82 39q 82q 82q 82q 39 0 39 qq q ⇔ − − + + = ⇔= = 2 1 (3q 1)(q 3)(13q 16q 13) 0 q ,q 3 3 • − =⇒= ⇒ = 1n n 1 1 81 81 1 q u u. 3 11 11 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 7 • − =⇒= ⇒ = n 1 1n 13 q3 u u 11 11 . 2. Ta có: − = − 2011 2011 1 q1 Su q1 •  =⇒= −   2011 2011 1 243 1 qS 1 3 22 3 • ( ) =⇒= − 2011 2011 1 q3 S 3 1 22 3. Với = q3 ta có: −  = ∈ ⇔=   n 1 n 31 u ;1 n 3 11 2 nên có một số hạng của dãy Với = 1 q 3 ta có: −  = ∈ ⇔=   n n5 11 u ;1 n 3 2 11.3 nên có một số hạng của dãy. Bài 10. 1. Xét dãy số = = nk k (u ) : u , k 1,2011 2011! Ta có: + + = = +=+ k1 k k1 k 1 1 uu 2011! 2011! 2011! 2011! Nên dãy n (u ) là CSC có 2011 số hạng. Hơn nữa − + = = −+ k 1.2...(k 1)(k 1)...2011 1 ux 1.2...(k 1)(k 1)...2011 Từ đó ta có đpcm. Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số: 1. 1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC; 2. 2,3,5 không thể cùng thuộc một CSN. Lời giải. 1. Giả sử 1, 3,3 là số hạng thứ m,n,p của một CSC n (u ) . Ta có: − − − − = = = = − − − − pn 1 nm 1 uu u (p n) pn 33 3 u u u (nm) nm 31 vô lí vì 3 là số vô tỉ, còn − − pn nm là số hữu tỉ. 2. Giả sử 2,3,5 là ba số hạng thứ m,n,p của CSN n (v ) có công bội q Ta có: − − = = = pn mn m n u 25 q ;q 3u 3 , suy ra −− −−    = =       pn m n (p n)(m n) 2 5 p 33 −− − ⇒ = pn m p nm 2 .3 .5 1 vô lí. Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số n (u ) là: 1. CSC khi và chỉ khi = + n u an b 2. CSN khi và chỉ khi = n n u a.q . Lời giải. 1. Giả sử n (u ) là một CSC công sai d , khi đó : = + − = + − = + n1 1 u u (n 1)ddn u dan b . Giả sử: ++ = +⇒ − = ⇒ = + ∀ n n1 n n1 n uan b u ua u u a, n Suy ra n (u ) là một CSC với công sai a . 2. Giả sử n (u ) là CSN với công bội q , khi đó: = n n1 u u .q Giả sử = n n u a.q , suy ra + + =⇒= ∀ n1 n1 n n u q u q.u , n u Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 Suy ra dãy n (u ) là CSN với công bội q . Ví dụ 3. Chứng minh rằng : 1. Nếu phương trình − + −= 32 x ax bx c 0 có ba nghiệm lập thành CSC thì = + 3 9ab 2a 27c 2. Nếu phương trình − + −= 32 x ax bx c 0 có ba nghiệm lập thành CSN thì −= 33 c(ca b ) 0 Lời giải. 1. Giả sử phương trình có ba nghiệm 12 3 x ,x ,x lập thành CSC Suy ra: += 13 2 x x 2x (1) Mặt khác: − + −= − − − 32 12 3 x ax bx c (x x )(x x )(x x ) = − ++ + + + − 32 1 2 3 12 2 3 31 12 3 x (x x x )x (x x x x x x )x x x x Suy ra ++ = 12 3 xx x a (2) Từ (1) và (2), ta suy ra = 2 3x a hay = 2 a x 3 Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm = 2 a x 3 , tức là:    − + −= ⇔− + −= ⇔ = +       32 3 3 a a a 2a ba a b c 0 c 0 9ab 2a 27c 3 3 3 27 3 Ta có đpcm. 2. Giả sử ba nghiệm 12 3 x ,x ,x lập thành CSN, suy ra = 2 13 2 xx x Theo phân tích bài trên, ta có: =⇒=⇒= 3 3 12 3 2 2 x x x cx cx c Hay phương trình đã cho có nghiệm = 3 2 xc , tức là: ( ) ( ) − + −= ⇔ = ⇔ − = 32 3 2 33 3 33 3 c a c bc c 0 bc a c c(ca b ) 0 Bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập { } = X 1,2,3,...,9 thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng. Lời giải. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng Giả sử X được chia thành hai tập con A và B đồng thời trong A và B không có ba số nào lập thành CSC. Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7) Ta thấy số 3, 5 không thể cùng nằm trong một tập hợp, vì nếu hai số này thuộc A thì 1,4,7 phải thuộc B, tuy nhiên các số 1,4,7 lại lập thành CSC. Tương tự bằng cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) thì ta có hai số 5,7 không thể cũng nằm trong một tập. Vì cặp (3;5) và (5;7) hkoogn cùng thuộc một tập nên ta suy ra (3;7) thuộc A, 5 thuộc B. Khi đó ta xét các trường hợp sau • ∈ 4A , vì ∈ ⇒∉ ⇒∈ 3,4A 2A 2 B , do 1,4,7 lập thành CSC nên ∈ 1B ; 2,5,8 lập thành CSC nên ∈ ⇒ ∈ 8A 9 B Do đó ∈ 1,5,9 B lập thành CSC vô lí • ∈ 4B , do ∈ ⇒ ∈ 4,5B 6A mà ∈ ⇒ ∈ 6,7 A 8 B ∈ ⇒∈ 5,8 B 2 A , vì ∈ ⇒∈ 2,3 A 1 B , vì ∈ ⇒ ∈ 1,5B 9A Do đó: ∈ 3,6,9 B vô lí. Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 5. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: + − −< + n m m n 1 x x x mn ∀∈  * m,n . Chứng minh rằng: (xn) là một cấp số cộng. Lời giải. Đặt = − nn 1 a x nx , khi đó ta có = 1 a0 và + − − < ∀ ∈ +  m n m n 1 |a a a | , m,n mn . Ở đây ta sẽ chứng minh = ∀∈  n a 0, n . Thật vậy, ta có: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 9 + − < ∀∈ +  n1 n 1 a a ,n n1 , nên + − = n1 n lim|a a | 0 hay + − = ∀∈  nk n lim|a a | 0, k . Mà + −− < + nk n k 1 a aa n k nên + −− = nk n k n lim|a a a | 0 . Từ đây suy ra = ∀∈  k a 0, k . Vậy ta có điều phải chứng minh. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Cho ba số a,b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : +=+ 22 a 2bc c 2ab . 2. Cho > a,b,c 0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng : += + ++ 1 12 a b b c ca . 3. Cho (u n ) là cấp số cộng. Chứng minh rằng : ( ) − + = + n nk n k 1 u uu 2 , ≤ ≤ − 1 k n1 Bài 2 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng AB tan ; tan ; 22 C tan 2 lập thành cấp số cộng ⇔ cos A;cos B;cosC lập thành cấp số cộng. 2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng A B C cot ;cot ;cot 2 22 lập thành cấp số cộng ⇔ sin A;sin B;sin C lập thành cấp số cộng. Bài 3 Cho a,b,c lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng : 1. ( ) ( ) + + −+ = + + 2 22 a bc a bc a b c 2. ( ) ( ) ( ) + += + 2 2 2 22 a b b c ab bc 3. ( ) ( ) + + = ++ 33 ab bc ca abc a b c 4. ( ) ( ) + + −+ = + + ∈  n n n n n n 2n 2n 2n * a bc a bc a b c ; n Bài 4 Cho (u n ) là cấp số nhân .Chứng minh rằng : 1. −+ = = 1 n k n k1 a a a .a , k 1; n 2. ( ) ( ) −=− 2 n 3n 2n 2n n SS S S S . Bài 5 1. Điều cần và đủ để ba số khác không a,b,c là ba số hạng của một CSN là tồn tại ba số nguyên khác không p,t,r sao cho  + + =   =   p tr pt r 0 a .b .c 1 . 2. Cho cấp số cộng (a n ) với các số hạng khác không và công sai khác không.Chứng minh rằng: − − + ++ = 12 2 3 n 1n 1n 1 1 1 n1 ... aa a a a a aa . 3. Cho bốn số thực 12 3 4 a ;a ;a ;a .Biết rằng :  +=     ++ =   12 2 3 13 12 2 3 3 4 14 1 1 2 aa a a aa 1 1 1 3 aa a a a a aa Chứng minh rằng : 12 3 4 a ;a ;a ;a lập thành cấp số cộng. 4. Cho a,b,c lần lượt là ba số hạng thứ m,n,p của một cấp số cộng. Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) −+ − + − = a.n p b.p m c.m n 0 . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 10 5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a,b,c là ba số hạng của một CSC là tồn tại ba số nguyên khác không p,q,r thỏa:  + + =  + +=  pa qb rc 0 pq r 0 . 6.Cho CSC n (u ) thỏa = mn SS ( ≠ m n ). Chứng minh + = m n S0 . 7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội của CSN đó nằm trong khoảng  −+    5 11 5 ; 22 . Bài 6 1. Chứng minh ba số > a,b,c 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số + + ++ + + 2 22 2 2 2 a ab b ;c ca a ; b bc c cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. 2. Cho n (u ) là cấp số nhân. Kí hiệu = + ++ 12 n S u u ... u ; = + ++ = 12 n 12 n 11 1 T ... ; P u u ...u uu u . Hãy tính P theo S,T và n. Bài 7 Cho hai số tự nhiên n,k thỏa +≤ k3 n . 1. Chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho k n C , + k1 n C và + k2 n C là ba số hạng liên tiếp của một CSC. 2. Chứng minh rằng không tồn tại k để k n C , + k1 n C , + k2 n C và + k3 n C là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Bài 8 1. Cho n (u ) là CSC. Chứng minh rằng: + + + + = = + + = ∑∑ k n n1 k1 1 n1 k n1 k 0 k1 n u uu n1 2 . 2k C2 2. Cho k là một số nguyên dương cho trước. Giả sử 1 2 3 s ,s ,s ,... là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss s 12 3 s ,s ,s ,... và + + + s ks ks k 12 3 s ,s ,s ,... đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng 1 2 3 s ,s ,s ,... cũng là một cấp số cộng ĐÁP ÁN Bài 1 1. Vì a,b,c lập thành cấp số cộng nên + = a c 2b . Do đó : ( ) ( ) ( ) + − − = − +− − 2 2 a 2bc c 2ab a c a c 2b a c ( ) ( ) = − +− = a c a c 2b 0 Suy ra +=+ 22 a 2bc c 2ab . 2. Gọi d là công sai của cấp số, suy ra −= − = −= b a c b d,c a 2d Do đó: −− − + = += ++ 1 1 ba c b c a d dd a b bc − = = ++ ca 2 d( ca) ca . 3. Gọi d là công sai của cấp số. Ta có: − +  = + −−   = + +−   nk 1 nk 1 u u (n k 1)d u u (n k 1)d ( ) − + − + + ⇒ + = + − = ⇒= nk n k nk n k 1 n n uu u u 2u 2n 2 d 2u u 2 Bài 2 1. Ta có: A BC tan ; tan ; tan 2 22 lập thành cấp số cộng + ⇔ += ⇔ = AC B sin( ) sin A C B 22 2 tan tan 2 tan 2 A C B 22 2 cos cos cos 2 2 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 11      ⇔ = ++ −           2 B B A C AC cos sin cos cos 2 2 2 2 22 + − ⇔ = +  +  1 cos B 1 cos B 1 cos A cosC 2 22 + ⇔ = ⇔ cos A cosC cos B cos A,cos B,cosC 2 lập thành CSC. 2. Ta có: − = − A B BC cot cot cot cot 2 2 22 −− ⇔= A B B A BC C B cos sin cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 22 22 A B CB sin sin sin sin 2 2 22 −+ − + ⇔= BA B A C B C B sin cos sin .cos 22 2 2 ⇔ − = −⇔ + = sin B sin A sin C sin B sin A sin C 2sin B . Bài 3 Vì a,b,c lập thành cấp số nhân nên ta có = 2 b ac . 1. Ta có: ( ) ( ) ( ) + + −+ = + − = + + − 2 22 2 2 a b c a b c a c b a 2ac c b = + + − = + + 2 22 2 2 22 a 2bc b a bc 2. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + += + += + 2 2 2 22 2 2 a b b c a ac ac c ac a c ( ) ( ) = += + 22 2 b a c ab bc . 3. = 2 b ac Ta có: ( ) ( ) ++ = ++ = + + 3 3 23 3 ab bc ca ab bc b b (a b c) = ++ 3 abc(a b c) . 4. Ta có: = + − = ++ + − n n 2 2n 2n 2n 2n n n 2n VT (a c ) b a c b 2(a c b ) = ++ 2n 2n 2n a bc . Bài 4 Gọi q là công bội của cấp số 1. Ta có: −− = = n 1 2 n 1 1n 1 1 1 a a a .a q a q −− − −+ = = k1 n k 2 n 1 k n k1 1 1 1 a .a a .q .a .q a .q Suy ra : −+ = 1 n k n k1 a a a .a . 2. Ta có: ( )  − −− −  −= − =  − −− −  n 3n 2n 2n n 2 2 n 3n 2n 1 1 1 2 q1 q 1 q 1 q (q1) S S S u .u u q1 q1 q1 (q 1) ( )   −− −   −= − =   −− −   2 2n n 2n n 2 2 2 2n n 1 1 1 2 q 1 q1 q (q1) SS u u u q1 q1 (q 1) Suy ra ( ) ( ) −=− 2 n 3n 2n 2n n SS S S S . Bài 5 1. • Giải sử a,b,c là ba số hạng thứ ++ + k 1;l 1; m 1 của cấp số nhân có công bội q , khi đó ta có : − − = = = ⇒= = k l m k l l m 1 11 ab a u .q ; b u .q ;c u .q q ; q bc −−   ⇒ =     l m kl ab bc − −− + − ⇒= l m m l k 1 k 1 a .b .c 1 Đặt = − = −− + = − p lm; t m lk 1;r k 1 . Khi đó ta có ba số p,t,r thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 12 • Giả sử ta có +  + + =    ⇒= ⇒ =    =     pr p pr r p tr pt r 0 a b a .c b bc a .b .c 1 (*) Do + + = pt r 0 nên tồn tại ít nhất một số dương và một số âm. Giải sử >< r 0,t 0 . Đặt = ⇒= rr b q b a.q a kết hợp với (*) ta có +     = ⇒=     pr r r p r a.q a c a.q c a.q . Vậy ba số a,b,c là ba số hạng của cấp số nhân với a là số hạng đầu,b là số hạng thứ + r1;c là số hạng thứ ++ r p1 . 2. Ta có ++   = −       k k1 k k1 1 11 1 aa d a a Suy ra −  − + ++ = − =    12 2 3 n 1n 1 n 1n 1 1 1 1 1 1 n1 ... aa a a a a d a a aa 3. Ta có + = ⇔ + = ⇒− = − = 3 1 2 1 2 2 3 12 2 3 13 1 1 2 a a 2a a a a a d aa a a aa + += ⇔ += 12 2 3 3 4 14 13 3 4 14 1 1 13 2 13 aa a a a a aa aa a a aa ⇔ + = ⇔ = + −⇒ = + 41 3 4 1 1 4 1 2a a 3a 2a 3(a 2d) a a a 3d . 4. Ta có: =+ − =+− b a (n m)d; c a (p m)d Suy ra = − + + −  − + + −  −    VT a(n p) a (n m)d (p m) a (p m)d (m n) =  − − + − − = d (n m)(p m) (p m)(m n) 0 . 5. • Giả sử a,b,c là ba số hạng thứ + + + m 1,n 1,k 1 của một CSC n (u ) Ta có: − =  = +  − ⇒ =+ − −    = −=   − − 1 1 1 ab d a u md mn b u nd m(a b) mb an ua mn mn Mặt khác: =+ ⇒ − = −+ − 1 c u kd (m n)c mb nak(ab) ⇒ − + − + − = (k n)a (m k)b (n m)c 0 Đặt  + + = = − = − = −⇒  + +=  pa qb rc 0 p k n,q m k,r n m pq r 0 • Giả sử tồn tại ba số nguyên khác không p,q,r sao cho  + + =  + +=  pa qb rc 0 pq r 0 Không mất tính tổng quát ta giả sử ≥ ≥ a bc và > p,q,r 0 Ta có: =−− p qr nên −− + + = ⇔ − = − ( q r)a qb rc 0 (a b)p (c a)r Đặt − = ⇒ = + = + = + + ab d a b rd,c a pd b (p r)d r Vậy b,a,c là ba số hạng + 1 r pr u ,u ,u của một CSC. 6. Ta có = ⇔ −+ − − − = 22 mn 1 S S 2u (m n) (m n )d (m n)d 0 ⇔ + + − = 1 2u (m n 1)d 0 Suy ra + + =  + + − = m n 1 n m S 2u (m n 1)d 0 2 . 7. Giả sử a,b,c là ba cạnh tam giác theo thứ tự đó lập thành CSN với công bội q . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 13 Ta có:  + > − −<  ⇔ + > + −>   22 22 a aq aq q q 1 0 aq aq a q q 1 0  −+ ∈     −+  ⇔ ⇔∈      − − − +   ∈ −∞ ∪ +∞            1 51 5 q; 22 51 5 1 q; 22 1 5 1 5 q; ; 22 . Bài 6 1. Ta có: + + ++ + = + + 2 22 2 2 2 a ab bb bc c 2(a ca c ) ⇔ ++ = + + 2 22 2b ab bc a 2ac c ⇔ ++ + − + = 22 b(a b c) b (a c) 0 ⇔ ++ + ++ − − = b(a b c) (a b c)(b a c) 0 ⇔ − −= ⇔ = + 2b a c 0 2b a c . 2. Ta có: −  −  − −  = = = − − − n nn 1 n 1 11 1 1 q q1 q1 11 S u ; T 1 q1 u u q (q 1) 1 q − ++ + − = = n(n 1) n 1 2 ... n 1 n 2 11 P uq uq . Suy ra:  =   n S P T Bài 7 1. Ta có: + + += k k 2 k1 nn n C C 2C ⇔+ = − + −− + −− n! n! n! 2 k!(n k)! (k 2)!(n k 2)! (k 1)!(n k 1)! ⇔ + + + − −− = + − (k 1)(k 2) (n k)(n k 1) 2(k 2)(n k) Đây là phương trình bậc hai ẩn k nên có nhiều nhất hai nghiệm. 2. Giả sử tồn tại k để k n C , + k1 n C , + k2 n C và + k3 n C là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Do − = k nk nn C C nên suy ra: − −− −− −− nk nk 1 nk 2 nk 3 nn n n C ,C ,C ,C cũng tạo thành bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Vậy ta có các bộ sau là ba số hạng liên tiếp của một CSC: ++ k k1 k 2 nn n C ,C ,C k n C , + k1 n C , + k2 n C , + k3 n C −− −− −− nk 3 nk 2 nk 1 nn n C ,C ,C −− −− − nk 2 nk 1 nk n nn C ,C ,C Ta chứng minh tập { } + −− −− k,k 1,n k 3,n k 2 chứa không quá hai số khác nhau. Thật vậy, giả sử + −− k,k 1,n k 3 là ba số khác nhau. Khi đó, tồn tại ba CSC: ++ k k1 k 2 nn n C ,C ,C + k1 n C , + k2 n C , + k3 n C −− −− −− nk 3 nk 2 nk 1 nn n C ,C ,C Điều này trái với kết quả câu 1) Do + k,k 1 và −− −− kk3,n k2 là các số tự nhiên liên tiếp nên ta có: + −− + = − − ⇒= =  += − −  k1 n k 2 k 2 nn n k n k3 CC C k1 n k 2 Suy ra ++ = = k k1 k 2 nn n C C C (1). Xét phương trình : + = k k1 nn C C (2) Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 14 ⇔= − + −− n! n! k!(n k)! (k 1)!(n k 1)! − ⇔ += − ⇒ = n1 k1 n k k 2 Suy ra phương trình (2) có không quá một nghiệm k , điều này dẫn tới (1) mâu thuẫn. Vậy không tồn tại k để k n C , + k1 n C , + k2 n C và + k3 n C là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Bài 8 1. Ta có + + −+ −  += +  ∀=  =   1 n 1 k1 n k1 k nk nn uu u u , k 0,1,2,...,n C C Nên + + −+ + −+ + − = = = =   +   = + = =+     ∑ ∑ ∑ ∑ nn n n k1 k1 n k1 k1 n k1 1 n1 k k nk k k k0 k0 k0 k0 n nn n n u u u uu 1 2 (uu) C CC C C Do đó, để chứng minh đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh + + = = + = ∑ ∑ k n n1 k n1 k 0 k1 n 1 n1 2 k C2 (1). Ta chứng minh (1) bằng quy nạp • Với = n1 ta có: = += 01 11 11 VT(1) 2 CC và ( ) = += 2 VP(1) 2 2 2 4 Nên (1) đúng với = n1 . • Giả sử + + = = + = ∑ ∑ k n n1 k n1 k 0 k1 n 1 n1 2 k C2 , ta chứng minh ++ + = = + + = ∑∑ k n1 n 2 k n2 k 0 k1 n1 1 n 2 2 k C 2 (2) Thật vậy: + + + = = = ++ + + =+= + ∑ ∑∑ n1 n n k 0 k1 k1 k0 k0 k0 n1 n1 n1 n1 11 1 1 1 CC C C Mà + + + + = = +− + k1 k n1 n (n1)! n1 CC (k 1)!(n k)! k 1 Suy ra + − = = = +  + + −+  = = +  ++  ∑∑ ∑ nn n k1 k k n k k0 k0 k0 n1 n n n 1 1 k1 1 k1 n k1 n1 2(n1) C C CC ++ ++ = = = + ++ + = = = + + ∑ ∑∑ kk n n1 n1 k n1 n 2 k 0 k1 k1 n n 2 1 n 2 n 1 2 n 2 2 2(n 1) 2(n 1) k k C 2 2 Suy ra + ++ ++ = = = + ++ = += ∑ ∑∑ kk n1 n1 n 2 k n2 n2 k 0 k1 k1 n1 1 n 2 2 n 2 2 1 kk C2 2 dẫn tới (2) được chứng minh 2. Gọi p và q lần lượt là công sai của các cấp số cộng ss s 12 3 s ,s ,s ,... và + + + s ks ks k 12 3 s ,s ,s ,... . Đặt = − s 1 as p và + = − sk 1 bs q . Theo công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số cộng và với số nguyên dương n ta có: ++ = +− =+ = +− =+ s s s k sk n1 n 1 s s (n 1)p a np, s s (n 1)q b nq. Từ dãy 1 2 3 s ,s ,s ,... là một dãy tăng ngặt, nên với mọi số nguyên dương n và với chú ý + +≤ n nk s ks ta có + + + −< ≤ s sk s n n nk s k1 s s , từ đó ta thu được + + −< + ≤ + + a np k 1 b nq a (n 1)p, điều này tương đương với < −+ − + − ≤ 0 k 1 b a n(q p) kp, nếu ≠ pq thì ta thấy bất đẳng thức trên mâu thuẫn khi cho n cằng lớn. Nên suy ra = pq và do đó ≤ −+ − ≤ 0 k 1 b a kp (1) Đặt { } + = −= n1 n m min s s : n 1,2,... . Khi đó + + −= − − − = − ≥ sk s sk s 1 1 11 b a (s q) (s p) s s km (2) và ++ + = + + −+ = − = − ≥ − 1 1 s s bp a q sk s 1 1 kp a (s k)p (a s ) s s ssm(b p a) (3) Ta xét hai trường hợp: Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 15 • −= b a kp . Khi đó, với mỗi số nguyên dương n , + + =+ =++ = sk s n nk s b np a (n k)p s , từ đây kết hợp với dãy 1 2 3 s ,s ,s ,... là một dãy tăng ngặt ta có + = + nk n s sk . Mặt khác do ++ < << = + n n1 n k n s s ... s s k nên + = + n1 n s s 1 và do đó 1 2 3 s ,s ,s ,... là một cấp số cộng với công sai bằng 1. • − < b a kp . Chọn số nguyên dương N sao cho + −= N 1 N s sm . Khi đó −+ − = + + − + + m(a b p k) m((a (N 1)p) (b Np k)) ++ + + + + + ≤ −= − a (N 1)p b Np k s s k s s k N 1 N s s ss ++ = + − + + = − + − − N 1 N N 1 N (a s ) (b (s k)p) (s s )p a b p kp = + − − mp a b kp, do vậy: − − + − − ≤ (b a km) (kp m(b a)) 0. (4) Từ các bất đẳng thức (2), (3) và (4) ta thu được các đẳng thức sau: −= b a km và = − kp m(b a) . Giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho + >+ n1 n s sm . Khi đó + + + ≤ − ≤ − = + + − + n1 n s s n1 n m(m 1) m(s s ) s s (a (n 1)p) (a np) − = = = 2 m(b a) pm k , vô lý. Vì vậy điều giả sử là sai nên + = + n1 n s sm với mọi ∈  n hay dãy 1 2 3 s ,s ,s ,... là một cấp số cộng có công sai bằng m . Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Ví dụ 1. Tìm x biết : 1. + −− 2 x 1,x 2,1 3x lập thành cấp số cộng ; 2. − 22 1,x ,6 x lập thành cấp số nhân. Lời giải. 1. Ta có: + −− 2 x 1,x 2,1 3x lập thành cấp số cộng ⇔ ++− = − ⇔ − + = ⇔ = = 22 x 1 1 3x 2(x 2) x 5x 6 0 x 2; x 3 Vậy = = x2,x3 là những giá trị cần tìm. 2. Ta có: − 22 1,x ,6 x lập thành cấp số nhân ⇔ =− ⇔= ± 42 x 6x x 2 . Ví dụ 2. Cho các số − ++ 5xy, 2x3y, x2y lập thành cấp số cộng ; các số ( ) ( ) + +− 22 y1 ,xy1, x 1 lập thành cấp số nhân.Tính x,y Lời giải. Ta có các số − ++ 5xy, 2x3y, x2y lập thành CSC nên suy ra ( ) + = − ++ 2 2x3y 5xy x2y hay = 2x 5y (1) Các số ( ) ( ) + +− 22 y1 ,xy1, x 1 lập thành CSN suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + − ⇔+ − + − = 2 22 xy 1 y 1 x 1 4 2y 2x 4xy 2x 2y 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được : ( ) ( ) + − + − = 2 4 2y 5y 10y 5y 2y 0 ( ) ( ) ⇔ − + =⇔= = = − 43 y 4 3y 10y 3 0 y 0,y ,y 3 10 . Vậy ( )     = − −         10 4 3 3 (x; y) 0;0 ; ; ; ; 3 3 4 10 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng 1. 3 1;x;x 2. π  −   1;sin x ; 4sin x 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 16 Bài 2. Tìm x,y biết: 1. Các số ++ + x 5y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số ( ) ( ) − −+ 22 y1 ,xy1, x 1 lập thành cấp số nhân. 2. Các số ++ + x 6y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số + −− 5 x y,y 1,2x 3y 3 lập thành cấp số nhân. Bài 3. Xác định a,b để phương trình + + = 3 x ax b 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Bài 4 Tìm m để phương trình: 1. ( ) − − + −= 42 mx 2 m 1 x m 1 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 2. − + + −= 32 x 3mx 4mx m 2 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Bài 5 Xác định m để: 1. Phương trình − − += 32 x 3x 9x m 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 2. Phương trình ( ) − + + += 42 x 2 m 1 x 2m 1 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 3. Phương trình ( ) ( ) + + + + += 32 x 2x m 1 x 2 m 1 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. ĐÁP ÁN Bài 2 1 Ta có hệ:  + + + = +   + −= −   22 2 x 5y 8x y 2(5x 2y) (x 1) (y 1) (xy 1) giải hệ này ta tìm được     =− −             33 (x; y) 3; ; 3; 22 . 2. Ta có hệ:  + + + = +   + −=−   2 x 6y 8x y 2(5x 2y) 5 (x y)(2x 3y) (y 1) 3 giải hệ này ta tìm được ( )  =−−   31 (x; y) 3; 1 ; ; 88 . Bài 3 Đáp số: = < b 0,a 0 . Khi đó phương trình có ba nghiệm lập thành CSC là = =±− x 0,x a . Bài 4. 1. Đáp số : = − 9 m 16 2. Giả sử phương trình có ba nghiệm a,b,c lập thành CSN Suy ra  = −  ⇒=−  =   3 2 abc 2 m m 2b b ac thay vào phương trình ta có  =⇒= −  − − = ⇔   = ⇒=  3 3 4 10 bm (3b 4)(b 2) 0 3 27 b 2 m0 Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán. Bài 5: 1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Khi đó: += + +=⇒ = 13 2 12 3 2 xx 2x ,xx x 3 x 1 Thay vào phương trình ta có : = m 11 . Với = m 11 ta có phương trình : − − += 32 x 3x 9x 11 0 ( ) ( ) ⇔− − − =⇔ =− = =+ 2 1 23 x 1 x 2x 11 0 x 1 12,x 1,x 1 12 Ba nghiệm này lập thành CSC. Vậy = m 11 là giá trị cần tìm. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 17 2. Đặt = ≥ 2 t x ,t 0 . Phương trình trở thành: ( ) − + + += 2 t 2 m 1 t 2m 1 0 (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt > > 21 t t 0 . ( ) ( ) ( )  + − +> ∆ >   ⇔ > ⇔ + > ⇔− < ≠  > +>    2 m 1 2m 1 0 '0 1 P 0 2m 1 0 m 0 2 S 0 2m 1 0 Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là: −− 2 11 2 t ; t; t; t Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :  −+ = −  ⇔ = ⇔=  − + =   21 1 2 1 21 12 1 t t 2t t 3 t t 9t t t 2t Theo định lý viet thì : ( )  += +   = +   1 2 12 t t 2m 1 t t 2m 1 ( )  =  + = +   ⇒ ⇒ − − =⇔   = − = +     2 11 11 m4 t 9t 2 m 1 9m 32m 16 0 4 m t 9t 2m 1 9 . Vậy = m4 hoặc = − 4 m 9 là những giá trị cần tìm. 3. Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó :  =  +  + + = − ⇒= −   + + =+   2 13 2 12 3 2 12 2 3 31 xx x m 1 xx x 2 x 2 xx x x x x m 1 thay vào phương trình ta có : = −== − m 1,m 3,m 4 . Bằng cách thay từng giá trị của m vào phương trình ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN 1. CẤP SỐ CỘNG Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1 ;3;7;11;15;  B. 1;3;6;9;12;  C. 1;2;4;6;8;  D. 1;3;5;7;9;  Lời giải. Ta lần lượt kiểm tra: 21 3 2 4 3 ? uu u u uu  Xét đáp án A: 21 3 2 4 3 1 ; 3; 7; 11; 15; uu u u uu    Chọn A. Xét đáp án B: 21 3 2 1; 3; 6; 9; 12; 4 3 u u uu     loại B. Xét đáp án C: 21 3 2 1; 2; 4; 6; 8; 3 2 u u uu       loại C. Xét đáp án D: 21 3 2 1; 3; 5; 7; 9; 4 2 u u uu     loại D. Câu 2. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? A. 2 1 12 4 ; ;0; ; ;1; .... 3 3 33 3 B. 15 2;12 2;9 2;6 2;.... C. 4 7 9 11 ;1; ; ; ;.... 5 5 5 5 D. 1 23 4 3 5 ; ; 3; ; ;... 33 33 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 18 Lời giải. Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: 1 1 mm k k u u u u  thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng. Xét đáp án A: 21 3 2 4 3 2 1 12 4 1 ; ;0; ; ;1; .... 3 3 33 3 3 uu u u uu     loại A. Xét đáp án B: 21 3 2 4 3 15 2;12 2;9 2;6 2;.... 3 3 uu u u uu     loại B. Xét đáp án C: 1 3 2 2 4 7 9 11 1 ;1; ; ; ;.... 5 55 5 2 5 5 uu uu    Chọn C. Xét đáp án D: 21 3 2 4 3 1 2 3 4 3 5 3 ; ; 3; ; ;... 3 3 3 33 uu u u uu   loại D. Câu 3. Cho dãy số 1 1 3 ;0; ; 1; ;..... 2 2 2 là cấp số cộng với: A. Số hạng đầu tiên là 1 2 , công sai là 1 . 2 B. Số hạng đầu tiên là 1 2 , công sai là 1 . 2 C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 Lời giải: Nếu dãy số n u là một cấp số cộng thị công sai d của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó. Ta có 1 1 3 ;0; ; 1; ;..... 2 2 2 là cấp số cộng 1 21 1 2 1 2 u uu d    Chọn B. Câu 4. Cho cấp số cộng có số hạng đầu 1 1 , 2 u công sai 1 . 2 d Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là: A. 1 1 ;0;1; ;1. 2 2 B. 1 1 1 ;0; ;0; . 2 2 2 C. 1 3 5 ;1; ;2; . 22 2 D. 1 1 3 ;0; ;1; . 2 22 Lời giải: Ta dùng công thức tổng quát 1 11 1 11 2 22 n n uu n d n , hoặc 1 1 2 nn n u u du để tính các số hạng của một cấp số cộng. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 19 Ta có 1 2 1 1 3 2 43 54 1 2 0 11 1 ; 22 2 1 3 2 u u ud u d uu d u ud u ud    Chọn D. Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: Nhập: 1 2 XX (nhập X Xd ). Bấm CALC: nhập 1 2 (nhập 1 u ). Để tính 5 số hạng đầu ta bấm dấu “=” liên tiếp để ra kết quả 4 lần nữa! Câu 5. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17, B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Lời giải. Giữa 2 và 22 có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có 5 số hạng với 15 2; 22; uu ta cần tìm 23 4 ,, . u uu Ta có 2 1 51 5 1 3 1 4 1 7 22 2 4 5 2 12 44 3 17 u ud uu u ud d u ud uu d    Chọn A. Câu 6. Cho hai số 3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai 2. d Tìm . n A. 12. n B. 13. n C. 14. n D. 15. n Lời giải. Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có 2 n số hạng với 12 3, 23. n uu Khi đó 21 2 1 23 3 1 1 13 12 2 n n uu u u n dn n d  Chọn A. Câu 7. Cho các số 4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm . x A. 7. x B. 10. x C. 11. x D. 12. x Lời giải. Vì các số 4; 1; 6; x theo thứ tự 12 3 4 , ,, uu u u lập thành cấp số cộng nên 43 3 2 6 6 1 11 u u uu x x   Chọn C. Câu 8. Biết các số 12 3 ; ; nn n CC C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với 3. n Tìm . n A. 5. n B. 7. n C. 9. n D. 11. n Lời giải. Ba số 12 3 ; ; nn n CC C theo thứ tự 12 3 ,, uu u lập thành cấp số cộng nên Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 20 13 2 1 3 2 21 1 2 2 2. 3 62 nn n n nn nn u u u C C Cn n 2 2 2 32 1 1 9 14 3 7. 7 6    n nn n nn n n n Chọn B. Nhận xét: Nếu 1 1 ,, k k k u uu là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có 11 2. kk k uu u Câu 9. Nếu các số 5 ; 7 2 ; 17 m mm theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? A. 2. m B. 3. m C. 4. m D. 5. m Lời giải. Ba số 5 ; 7 2 ; 17 m mm theo thứ tự 12 3 ,, uu u lập thành cấp số cộng nên 1 3 2 2 5 17 2 7 2 4 uu u m m m m  Chọn C. Nhận xét: Ta có thể dùng tính chất 3 2 2 1 . u uuu Câu 10. Với giá trị nào của x và y thì các số 7; ; 11; xy theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? A. 1; 21. xy B. 2; 20. xy C. 3; 19. xy D. 4; 18. xy Lời giải. Bốn số 7; ; 11; xy theo thứ tự 12 3 4 , ,, uu u u lập thành cấp số cộng nên 43 3 2 4 3 21 11 11 22 2 11 7 18 20 u u uu y x xy x uu uu y x x y y     Chọn B. Câu 11. Cho cấp số cộng n u có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;  . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số cộng. A. 5 1. n un B. 5 1. n un C. 4 1. n un D. 4 1. n un Lời giải. Các số 5; 9; 13; 17;  theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng n u nên 1 1 21 5 1 54 1 4 1 4 CTTQ n u uu n d n n du u     Chọn C. Câu 12. Cho cấp số cộng n u có 1 3 u và 1 . 2 d Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 3 1 . 2 n un B. 1 3 1. 2 n u n C. 1 3 1 . 2 n un D. 1 3 1 . 4 n un Lời giải. Ta có 1 1 3 1 13 1 1 2 2 CTTQ n u uu n d n d     Chọn C. Câu 13. Cho cấp số cộng n u có 3 15 u và 2 d . Tìm . n u A. 2 21. n un B. 3 12. 2 n un C. 3 17. n un D. 2 3 4. 2 n un Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 21 Lời giải. Ta có 3 1 1 1 15 2 19 1 2 21. 2 2    n u u d u uu n d n d d Chọn A. Câu 14. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. 7 3 . n un B. 7 3. n n u C. 7 . 3 n u n D. 7.3 . n n u Lời giải. Dãy n u là cấp số cộng n u an b ( , ab là hằng số). Chọn A. Câu 15. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. 1 2 1 . n n un B. sin . n u n  C. 1 1 1 . 1 n n u uu  D. 1 1 1 . 2 n n u uu  Lời giải. Dãy n u là một cấp số cộng 1 nn uu d ( d là hằng số). Chọn C. Câu 16. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? A. 4 9. n u n B. 2 19. n un C. 2 21. n un D. 2 15. n n u Lời giải. Dãy số 2 15 n n u không có dạng an b nên có không phải là cấp số cộng. Chọn D. Câu 17. Cho cấp số cộng n u có 1 5 u và 3. d Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36. Lời giải. 1 100 1 5 100 1 3 8 36 3 n nu n u uu n d n n d       Chọn D. Câu 18. Cho cấp số cộng n u có 1 5 u và 3. d Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 15 34. u B. 15 45. u C. 13 31. u D. 10 35. u Lời giải. 15 1 13 10 37 5 3 8 31 3 22 n u u un u d u      Chọn C. Câu 19. Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? A. 4. d B. 5. d C. 6. d D. 7. d Lời giải. 1 81 5 5 40 7 u d uu d    Chọn B. Câu 20. Cho cấp số cộng n u có 1 4 u và 5. d Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 22 A. 100 24350. S B. 100 24350. S C. 100 24600. S D. 100 24600. S Lời giải. 1 100 1 1 100.99 100 24350 2 2 n nn S nu d S u d   Chọn B. Câu 21. Cho cấp số cộng n u có 1 1 4 u và 1 . 4 d Gọi 5 S là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 5 . 4 S B. 5 4 . 5 S C. 5 5 . 4 S D. 5 4 . 5 S Lời giải. 1 51 1 5.4 1 1 5 4 5 5. 10. 1 2 4 44 5 u Su d d          Chọn A. Câu 22. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là 3 4 n un với * n  . Gọi n S là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 31 . 2 n n S B. 7 3 1 . 2 n n S C. 2 35 . 2 n nn S D. 2 3 11 . 2 n n n S Lời giải. Câp số cộng 1 . n u ab u an b da   2 2 1 1 3 7 1 3 11 34 7 . 3 2 22    nn nn u nn nn u n S nu d n d Chọn D. Câu 23. Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng: A. 7650. B. 7500. C. 3900. D. 3825. Lời giải. Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng * 3n n  nên chúng lập thành cấp số cộng 1 50 1 50 50 3 50 3 3825 150 2 n u u n S uu u     Chọn D. Chú ý: 11 1 . 22 nn nn n S u u nu d Câu 24. Cho cấp số cộng n u có 2 d và 8 72. S Tìm số hạng đầu tiên 1 . u A. 1 16. u B. 1 16 . u C. 1 1 . 16 u D. 1 1 . 1 6 u Lời giải. 11 81 2 72 8 28. 2 16 8.7 72 8 2 d uu Su d    Chọn A. Câu 25. Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là n u có giá trị là bao nhiêu? A. 57. n u B. 61. n u C. 65. n u D. 69. n u Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 23 Lời giải. 1 2 2 1 1, 4 561 .4 2 561 0 17. 1 2 561 2 n ud nn n nn n nn S nu d   17 1 16 1 16.4 65 n uu u d  Chọn C. Câu 26. Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? A. 2. d B. 3. d C. 4. d D. 5. d Lời giải. 1 1 12 1 12 1 12 1 11 23 23 23 12 144 144 2 2 11 u u d u u S uu d      Chọn A. Câu 27. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 3 19 4 n nn S với * n  . Tìm số hạng đầu tiên 1 u và công sai d của cấp số cộng đã cho. A. 1 1 2; . 2 ud B. 1 3 4; . 2 ud C. 1 3 ; 2. 2 u d D. 1 51 ; . 22 u d Lời giải. Ta có 22 22 11 3 19 3 19 4 44 2 2 2       n n n nn d d n n S nu d n u n 1 1 3 4 24 . 3 19 2 24   d u d d u Chọn B. Câu 28. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 4 n Sn n với * n  . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số cộng đã cho. A. 2 3. n u n B. 3 2. n un C. 1 5.3 . n n u D. 1 8 5. . 5 n n u       Lời giải. Ta có 22 1 1 1 2 4 22 4 2        n d dd n nS n u n d u 1 5 23 2    n u un d Chọn A. Câu 29. Tính tổng 1 2 3 4 5 ... 2 1 2 S nn với 1 n và . n  A. 0. S B. 1. S C. . Sn D. . Sn Lời giải. Với mọi * n  thì 2 12 1 nn . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 24 Ta có 1 2 34 56 2 12 S nn  . Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng 1 nên . Sn Chọn D. Nhận xét: Ta có 1;3;5; ;2 1 n  và 2;4;6; ;2n  là các cấp số cộng có n số hạng nên 13 5 2 4 2 6 1 2  n S n 22 12 1 2 2 . 22 nn n n n nn n Câu 30. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 289 15 100. uu uu Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. 16 100. S B. 16 200. S C. 16 300. S D. 16 400. S Lời giải. Ta có 289 15 1 1 100 4 30 100 2 15 50. u uu u u d u d Khi đó 16 1 16 1 16 8 2 15 8.50 400 2 S uu u d  Chọn D. Câu 31. Cho cấp số cộng n u có 4 12 u và 14 18. u Tìm số hạng đầu tiên 1 u và công sai d của cấp số cộng đã cho. A. 1 21; 3. ud B. 1 20; 3. ud C. 1 22; 3. ud D. 1 21; 3. ud Lời giải. 4 1 1 14 1 12 3 21 18 13 3 uu d u uu d d     Chọn A. Câu 32. Cho cấp số cộng n u có 2 2001 u và 5 1995 u . Khi đó 1001 u bằng: A. 1001 4005. u B. 1001 4003. u C. 1001 3. u D. 1001 1. u Lời giải. 2 1 1 1001 1 51 2001 2003 1000 3 1995 4 2 u ud u uu d uu d d     Chọn C. Câu 33. Cho cấp số cộng n u , biết: 1 1, 8 nn u u . Tính công sai d cảu cấp số cộng đó. A. 9. d B. 7. d C. 7. d D. 9. d Lời giải. 1 8 19 nn du u  Chọn D. Câu 34. Cho cấp số cộng . n u Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: A. 10 20 5 10 . 2 uu uu B. 90 210 150 2. uu u C. 10 30 20 . . uu u D. 10 30 20 . . 2 uu u Lời giải. Xét đáp án A: 10 30 11 1 5 10 1 1 2 9 29 19 22 4 9 2 13 uu u d u d ud u u u d u d u d   loại A. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 25 Xét đáp án B: 90 210 2 1 150 1 2 298 2 149 2 2 159 uu u d u d u ud   Chọn B. Nhận xét: Có thể lấy một cấp số cộng cụ thể để kiểm tra, ví dụ * . n u n n  Câu 35. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 2 23 60. uu Tính tổng 24 S của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. 24 60. S B. 24 120. S C. 24 720. S D. 24 1440. S Lời giải. 2 23 1 1 1 60 22 60 2 23 60. u u ud u d u d Khi đó 24 1 24 1 1 1 24 12 23 12 2 23 12.60 720. 2 S u u u ud ud Chọn C. Câu 36. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. 2. d B. 3. d C. 4. d D. 5. d Lời giải. 16 1 1 1 24 17 2 5 17 16 2 6 14 14 3 uu ud u ud u u d     Chọn B. Câu 37. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 7 3 27 8 . 75 uu uu  Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. 2 . 1 d B. 1 . 3 d C. 2. d D. 3. d Lời giải. 11 73 11 27 11 6 28 2 8 2 12 75 75 6 75 u du d d uu uu uu u du d     Chọn C. Câu 38. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 17 22 26 26 . 466 u u u u  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 13 . 3 u d  B. 1 10 . 3 u d  C. 1 1 . 4 u d  D. 1 13 . 4 u d  Lời giải. Ta có 11 17 22 22 22 26 11 11 2 6 26 13 3 (1) 26 . 466 5 466 5 466 2 ud u d u u u u ud u d ud u d   Thay (1) và (2) ta được: 22 2 13 2 13 2 466 8 338 466 dd d 1 1 41 4 25     du du Chọn C. Câu 39. Cho cấp số cộng n u thỏa mãn 13 5 16 15 . 27 uu u u u  Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 26 A. 1 21 . 3 u d  B. 1 21 . 3 u d  C. 1 18 . 3 u d  D. 1 21 . 4 u d  Lời giải. Ta có 11 1 13 5 16 11 2 4 15 15 27 5 27   u ud ud uu u uu u u d 1 1 1 2 15 21 . 2 5 27 3   ud u ud d Chọn B. Câu 40. Cho cấp số cộng n u thỏa 2 46 23 36 . 54 u u u uu  Tìm công sai d của cấp số cộng n u biết 10. d A. 3. d B. . 4 d C. 5. d D. 6. d Lời giải. Ta có 1 1 1 246 23 11 3 5 36 36 54 2 54 u du du d uu u uu u du d   1 11 3 12 1 2 4 . 52 u d u du d  Từ 1 suy ra 1 12 3 ud . Thay vào 2 , ta được 2 12 2 12 54 18 45 0 3 d d dd d hoặc 15 d . Chọn A. Câu 41. Cho cấp số cộng n u thỏa 12 3 222 1 2 3 27 275 uu u uuu  . Tính 2 . u A. 2 3. u B. 2 6. u C. 2 9. u D. 2 12. u Lời giải. Ta có 1 1 1 12 3 22 222 2 1 23 1 1 1 2 27 27 275 2 275 u ud u d u u u uuu u ud u d   1 22 2 1 1 1 2 . 9 1 275 2 ud u ud u d  Từ 1 suy ra 1 9 du . Thay vào 2 , ta được 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 9 275 18 65 0 13 u u u u u u u u   hoặc 1 5 u . Vậy 1 13 4 u d  hoặc 1 2 1 5 9 4 u u ud d    Chọn C. Câu 42. Tính tổng 15 20 25 ... 7515. T A. 5651265. T B. 5651256. T C. 5651625. T D. 5651526. T Lời giải. Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu 1 15 u và công sai 5. d Giả sử tổng trên có n số hạng thì 7515 n u 1 1 7515 15 1 5 7515 1501 u n d n n . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 27 Vậy 1 1501 2 1500 .1501 2.15 1500.5 .1501 5651265 22 ud TS  Chọn A. Câu 43. Tính tổng 2 2 2 2 22 1000 999 998 997 ... 2 1 . T A. 500500. T B. 500005. T C. 505000. T D. 500050. T Lời giải. Ta có 1. 1000 999 1. 998 997 ... 1. 2 1 1999 1995 ... 3. T Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu 1 1999 u và công sai 4. d Giả sử tổng trên có n số hạng thì 1 3 1 3 1999 1 4 3 500. n u un d n n Vậy 1 500 500 .500 1999 3 .500 500500 22 uu TS  Chọn A. Câu 44. Cho cấp số cộng 12 3 ; ; ; ; n u u u u  có công sai , d các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số 1 2 3 11 1 1 ; ; ; ; n uu u u  là một cấp số cộng? A. 1. d B. 0. d C. 1. d D. 2. d Lời giải. Ta có 2 1 2 1 12 3 2 3 2 23 11 . 1 1 d u u d u u uu uu d d u u uu   Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có 21 3 2 11 1 1 u u uu 1 3 1 13 0 0 0 11 2          d d d u u u d uu Chọn B. Câu 45. Nếu ; ; ab c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2 22 2 ; ; . b ac B. 2 ;2 ;2 . b ac C. 2 ; ; . b ac D. 2 ; ; . b ac Lời giải. Ta có 2 2 22 2 2 2 2 . ca b ca b c a b Chọn B. Câu 46. Nếu 11 1 ; ; b c c a ab theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2 22 ; ; . b ac B. 2 22 ; ; . c ab C. 2 22 ; ; . ab c D. 22 2 ; ; . ac b Lời giải. Theo giả thiết ta có 2 1 1 2 2 bc ba ca c a bc a b ba c 2 2 2 2 a c b c a b ab bc ac 22 2 22 2 2 2 2 2 2 . a c ac bc bc b ab bc ac a c b Chọn C. Câu 47. Cho ; ; ab c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng? Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 28 A. 22 2 2 4. a c ac b B. 22 2 2 . a c ab bc C. 22 . a c ab bc D. 22 2 2 . a c ab bc Lời giải. Ta có: 2 2 22 2 2 4 24 ac b ac b a c ac b  Chọn A. Câu 48. Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20  và 70 .  B. 45  và 45 .  C. 20  và 45 .  D. 30  và 60 .  Lời giải. Ba góc ,, A BC của một tam giác vuông theo thứ tự đó ( A BC ) lập thánh cấp số cộng nên 90, 2 C CA B . Ta có 180 3 180 60 2 2 30 90 90 90 A BC B B AC B AC B A C CC     Chọn D. Câu 49. Ba góc ,, A BC A B C của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng: A. 40 .  B. 45 .  C. 60 .  D. 80 .  Lời giải. Ba góc ,, A BC của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, thì 2, 2 C AC A B . Ta có 0 0 00 00 0 0 60 40 180 3 180 2 2 120 60 40 2 22 80 B A A BC B AC B AC B AC B C A CA CA CA C       . Chọn A. Câu 50. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: A. 13 ; 1; . 22 B. 15 ; 1; . 33 C. 35 ; 1; . 44 D. 1 7 ; 1; . 44 Lời giải. Ba cạnh ,, abc a b c của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa yêu cầu thì 22 2 22 2 22 2 3 33 1 . 2 2 22 ab c ab c ab c abc b b ac b ac b a b c c   Ta có 2 22 2 1 2 2 3 4 5 2 1 4 5 0 1. 4 5 4    b ac a ab c c c c c b c Chọn C. Câu 51. Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế? A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125. Lời giải. Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai 3 d và 1 25. u Tổng số ghế là 12 1 30 30 30.29 30 2055 2    uu u d Su Chọn C. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 29 Câu 52. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,...Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 73. B. 75. C. 77. D. 79. Lời giải. Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng n u có 1 1, 1. ud Giả sử có n hàng cây thì 12 3003 . nn uu uS  Ta có 2 1 1 3003 6006 0 77 2 n nn S nu d n n n  Chọn C. Câu 53. Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông? A. 78. B. 156. C. 300. D. 48. Lời giải. Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với 1 1, u công sai 1. d Vậy số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là: 24 1 24 24 12 1 24 300 2 SS u u  Chọn C. Câu 54. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? A. 98. B. 100. C. 102. D. 104. Lời giải. Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng n u có 1 7, 5. ud Gọi n là số ô trên bàn cờ thì 12 25450 . n n uS uu  Ta có 2 1 1 25450 7 .5 22 n nn nn S nu d n 2 5 9 50900 0 100  nn n Chọn B. Câu 55. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đ ầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng. Lời giải. Giá tiền khoang mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng n u có 1 80000, 5000. ud Do cần khoang 50 mét nên tổng số tiền cần trả là 0 1 05 2 5 1 50.49 50 50.80000 1225.5000 10125000 2 u Su d u u   Chọn B. PHẦN 2. CẤP SỐ NHÂN Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 128; 64; 32; 16; 8; ... B. 2; 2; 4; 4 2; .... Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 30 C. 5; 6; 7; 8; ... D. 1 15; 5; 1; ; ... 5 Lời giải. Dãy n u là cấp số nhân 3 24 1 1 23 * 0, nn n u uu u qu n uu u qu   q gọi là công bội. Xét đáp án A: 3 24 1 23 1 128; 64; 32; 16; 8; ... 2 u uu u uu   Chọn A. Xét đáp án B: 2 3 2 1 1 2; 2; 4; 4 2; ... 2 2 . u u u u     loại B. Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D. Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A. 2; 4; 8; 16;  B. 1; 1; 1; 1;  C. 2 22 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;  D. 3 57 ; ; ; ; 0 . a aaa a   Lời giải. Xét đáp án C: 2 2 2 1 3 2 2 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4 9 4 u u u u     Chọn C. Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân. Nhận xét: Dãy n u với 0 n u  là cấp số nhân . n n u aq , tức là các số hạng của nó đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số q (công bội), các số hạng liên tiếp (kể từ số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ 2; 4; 8; 16;   là cấp số nhân và 2. n n u 1; 1; 1; 1;   là cấp số nhân và 1. n n u 35 7 ; ; ; ; 0 aa a a a   là cấp số nhân và 21 2 1 . . n n n u a a a Câu 3. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2; 4; 8;  B. 2 34 3; 3 ; 3 ; 3 ;  C. 11 4; 2; ; ; 24  D. 246 1 111 ; ; ; ;    Lời giải. Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là 1 2;3; . 2 Xét đáp án D: 2 2 46 2 1 3 2 11 1 1 1 ; ; ; ; 1 u u u u         Chọn D. Câu 4. Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32;  là một cấp số nhân với: A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 31 B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1. C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2. D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2. Lời giải. Cấp số nhân: 1 2 1 1; 2; 4; 8; 16; 2 2; 1 3 u u q u    Chọn B. Câu 5. Cho cấp số nhân n u với 1 2 u và 5. q Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. 2; 10; 50; 250. B. 2; 10; 50; 250. C. 2; 10; 50; 250. D. 2; 10; 50; 250. Lời giải. 1 2 1 1 32 43 2 10 2 50 5 250 u u u q u u uq q u u q     Chọn B. Câu 6. Cho cấp số nhân 1 11 1 ; ; ; ; . 2 4 8 4096  Hỏi số 1 4096 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho? A. 11. B. 12. C. 10. D. 13. Lời giải. Cấp số nhân: 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 11 1 ; ; ; ; . . 1 2 4 8 4096 2 2 2 2 n n n u u u q u          12 1 11 12 4096 22 n n un  Chọn B. Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là: A. 720. B. 81. C. 64. D. 56. Lời giải. Ta có cấp số nhân n u có: 1 2 1 1 16 9 81 36 4 k k kk k k u u q u uq u u    Chọn B. Câu 8. Tìm x để các số 2; 8; ; 128 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 14. x B. 32. x C. 64. x D. 68. x Lời giải. Cấp số nhân 2; 8; ; 128 x theo thứ tự đó sẽ là 12 3 4 ; ;; uu u u , ta có 3 2 12 2 3 4 23 8 32 32 28 32 32 128 1024 32 8 u u x x x uu x x u x u x x x uu         Chọn B. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 32 Câu 9. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; ; 9 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? A. 36. x B. 13 . 2 x C. 6. x D. 36. x Lời giải. Cấp số nhân: 2 9 4; ; 9 36 6 4 x x xx x    Chọn C. Nhận xét: ba số ;; ab c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân 2 . ac b Câu 10. Tìm 0 b để các số 1 ; ; 2 2 b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1. b B. 1. b C. 2. b D. 2. b Lời giải. Cấp số nhân 2 11 ; ; 2 . 2 1 22 b bb   Chọn B. Câu 11. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 1; ; 2 1 x xx theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1 . 3 x  B. 1 . 3 x  C. 3. x  D. 3. x  Lời giải. Cấp số nhân 22 1 2 1; ; 2 1 2 1 2 1 3 1 . 3 x xx x x x x x   Chọn A. Câu 12. Tìmx để ba số 1 ; 9 ; 33 xx x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1. x B. 3. x C. 7. x D. 3; 7. xx Lời giải. Cấp số nhân 2 1 ; 9 ; 33 1 33 9 3. xx x x x x x  Chọn B. Câu 13. Với giá trị , x y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; ; 18; x y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? A. 6 . 54 x y  B. 10 . 26 x y  C. 6 . 54 x y  D. 6 . 54 x y  Lời giải. Cấp số nhân: 6 324 18 2 2; ; 18; . 18 4 18 5 x x x x y y y x x      Vậy ; 6;54 xy hoặc ; 6; 54 xy  Chọn C. Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192. xy Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1; 144. xy B. 2; 72. xy C. 3; 48. xy D. 4; 36. xy Lời giải. Câp số nhân: 2 12 144 12 ; 12; ; 192 . 3 48 192 2304 12 y x x x y xy y y y y       Chọn C. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 33 Câu 15. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; ; ; 320 xy theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 25 . 125 x y  B. 20 . 80 x y  C. 15 . 45 x y  D. 30 . 90 x y  Lời giải. Cấp số nhân: 1 2 2 3 1 3 3 4 1 5 5 20 5; ; ; 320 . 80 5 320 25 u x q x xy x y y u u q x u u q    Chọn B. Câu 16. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 6; xx và . y Tìm y , biết rằng công bội của cấp số nhân là 6. A. 216. y B. 324 . 5 y C. 1296 . 5 y D. 12. y Lời giải. Cấp số nhân 6; xx và y có công bội 6 q nên ta có 1 2 1 2 32 36 6, 6 5 66 36 1296 36. 36 55 ux q x x u u q x y y u uq x    Chọn C. Câu 17. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 21 x và 2 4 1. x Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A. 2 1. x B. 2 1. x C. 32 8 4 2 1. x xx D. 32 8 4 2 1. x xx Lời giải. Công bội của cấp số nhân là: 2 4 1 2 1. 21 x qx x Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là: 2 32 4 12 1 8 4 2 1 x x x x x  Chọn C. Câu 18. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A. 1 1 1 . 1, 1 n n u uu n  B. 1 1 1 . 3 , 1 nn u u u n  C. 1 1 2 . 2 3, 1 n n u u un  D. 1 2 . sin , 1 1 n u un n          Lời giải. n u là cấp số nhân 1 n n u qu  Chọn B. Câu 19. Cho dãy số n u với 3 .5 . 2 n n u Khẳng định nào sau đây đúng? A. n u không phải là cấp số nhân. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 34 B. n u là cấp số nhân có công bội 5 q và số hạng đầu 1 3 . 2 u C. n u là cấp số nhân có công bội 5 q và số hạng đầu 1 15 . 2 u D. n u là cấp số nhân có công bội 5 2 q và số hạng đầu 1 3. u Lời giải. 3 .5 2 n n u là cấp số nhân công bội 5 q và 1 15 2 u  Chọn C. Câu 20. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 2 1 . 3 n n u B. 1 1. 3 n n u C. 1 . 3 n u n D. 2 1 . 3 n u n Lời giải. Dãy 2 11 9. 3 3 n n n u       là cấp số nhân có 1 3 1 3 u q   Chọn A. Câu 21. Trong các dãy số n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 7 3 . n un B. 7 3. n n u C. 7 . 3 n u n D. 7.3 . n n u Lời giải. Dãy 7.3 n n u là cấp số nhân có 1 21 3 u q   Chọn D. Câu 22. Cho dãy số n u là một cấp số nhân với * 0, . n un   Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1 3 5 ; ; ; ... uu u B. 1 2 3 3 ; 3 ; 3 ; ... uu u C. 1 2 3 11 1 ; ; ; ... uu u D. 12 3 2; 2; 2; ... u u u Lời giải. Giả sử n u là cấp số nhân công bội , q thì Dãy 1 3 5 ; ; ; ... uu u là cấp số nhân công bội 2 . q Dãy 1 2 3 3 ; 3 ; 3 ; ... uu u là cấp số nhân công bội 2. q Dãy 1 2 3 11 1 ; ; ; ... uu u là cấp số nhân công bội 1 . q Dãy 12 3 2; 2; 2; ... u u u không phải là cấp số nhân. Chọn D. Nhận xét: Có thể lấy một cấp số nhân cụ thể để kiểm tra, ví dụ 2. n n u Câu 23. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số nhân đã cho. A. 1 3. n n u B. 3. n n u C. 1 3 . n n u D. 3 3. n n u Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 35 Lời giải. Câp số nhân 1 11 1 3 3; 9; 27; 81; ... 3.3 3 9 3 3 n nn n u u u q q   . Chọn B. Câu 24. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho. A. 3. q B. 3. q C. 2. q D. 2. q Lời giải. Theo giải thiết ta có: 1 5 55 6 1 6 2 486 2 243 3. 486 u u u q q q q u   Chọn A. Câu 25. Cho cấp số nhân n u có 1 3 u và 2 . 3 q Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 27 . 16 u B. 5 16 . 27 u C. 5 16 . 27 u D. 5 27 . 16 u Lời giải. 4 1 4 51 3 2 16 16 3. 3. . 2 3 81 27 3 u u u q q          Chọn B. Câu 26. Cho cấp số nhân n u có 1 2 u và 2 8 u . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 6 130. S B. 5 256. u C. 5 256. S D. 4. q Lời giải. 1 5 5 1 51 2 1 6 6 4 4 51 2 4 2 14 1 . 2. 410 82 1 14 14 2. 1638 14 2. 4 512. u q u q Su u u q q q S u u q    Chọn D. Câu 27. Cho cấp số nhân n u có 1 3 u và 2 q . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Lời giải. 11 6 1 16 1 192 3. 2 1 .2 64 1 .2 7. nn nn n u u q n Chọn C. Câu 28. Cho cấp số nhân n u có 1 1 u và 1 10 q . Số 103 1 10 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 36 Lời giải. 1 1 1 103 1 1 11 1. 104. 1 103 10 10 10 n n n n n n chan u u q n n        Chọn B. Câu 29. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A. 18. B. 17. C. 16. D. 9. Lời giải. 1 11 8 1 32805 5.3 3 6561 3 9. n nn n u u q n Vậy 9 u là số hạng chính giữa của cấp số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng. Chọn B. Câu 30. Cho cấp số nhân n u có 81 n u và 1 9. n u Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 9 q B. 9. q C. 9. q D. 1 . 9 q Lời giải. Công bội 1 91 81 9 n n u q u  Chọn A. Câu 31. Một dãy số được xác định bởi 1 4 u và 1 1 , 2. 2 n n u u n Số hạng tổng quát n u của dãy số đó là: A. 1 2. n n u B. 1 2. n n u C. 1 42 . n n u D. 1 1 4. 2 n n u       Lời giải. 1 11 1 1 1 44 1 4. . 11 2 22 n n n nn uu u u q u uq         Chọn D. Câu 32. Cho cấp số nhân n u có 1 3 u và 2. q Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. 10 511. S B. 10 1025. S C. 10 1025. S D. 10 1023. S Lời giải. 10 10 1 10 1 3 12 1 . 3. 1023. 2 1 12 u q Su q q   Chọn D. Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi n S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 4. n n S B. 1 1 4 . 2 n n n S C. 4 1 . 3 n n S D. 4 4 1 . 3 n n S Lời giải. Cấp số nhân đã cho có 1 1 1 1 14 4 1 . 1. . 4 1 14 3 n nn n u q Su q q   Chọn C. Câu 34. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 11 ; ; 1; ; 2048. 42  Tính tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho. A. 2047,75. S B. 2049,75. S C. 4095,75. S D. 4096,75. S Lời giải. Cấp số nhân đã cho có Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 37 11 1 1 2 1 1 1 1 2048 2 .2 2 13. 4 2 2 n nn u u q n q   Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy 13 13 13 1 1 11 2 . . 2047,75 1 4 1 2 q Su q  Chọn A. Câu 35. Tính tổng 1 2 4 8 16 32 64 ... 2 2 nn S với 1, . n n  A. 2. Sn B. 2. n S C. 21 2 . 1 2 n S D. 12 2. . 3 n S Lời giải. Các số hạng 1 2; 4; 8; 16; 32; 64;...; 2 ; 2 nn trong tổng S gồm có n số hạng theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân có 1 2, 2. uq Vậy 1 12 12 1 . 2. 2. 1 12 3 nn n n q SS u q   Chọn D. Câu 36. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối 6 u của cấp số nhân đã cho. A. 6 32. u B. 6 104. u C. 6 48. u D. 6 96. u Lời giải. Theo giả thiết: 55 66 6 1 1 6 1 1 2 2 3.2 96. 1 12 3 189 . 1 12 q q u u q q u S uu q   Chọn D. Câu 37. Cho cấp số nhân n u có 1 6 u và 2. q Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm . n A. 9. n B. 10. n C. 11. n D. 12. n Lời giải. Ta có 1 12 1 2046 . 6. 2 2 1 2 1024 10. 1 12 n n nn n q Su n q Chọn B. Câu 38. Cho cấp số nhân n u có tổng n số hạng đầu tiên là 5 1. n n S Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho. A. 4 100. u B. 4 124. u C. 4 500. u D. 4 624. u Lời giải. Ta có 11 1 1 1 14 1 51 . 1 . 55 11 n n n n uq u u q Su q qq qq  Khi đó 33 4 1 4.5 500 u u q  Chọn C. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 38 Câu 39. Cho cấp số nhân n u có tổng n số hạng đầu tiên là 1 31 . 3 n n n S Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho. A. 5 4 2 . 3 u B. 5 5 1 . 3 u C. 5 5 3 . u D. 5 5 5 . 3 u Lời giải. Ta có 1 1 1 1 31 2 31 1 31 1 . 1 1 31 3 3 3 n n n n n uq u u Sq q q q                  Khi đó 4 51 4 2 3 u u q  Chọn A. Câu 40. Cho cấp số nhân n u có 2 2 u và 5 54. u Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. 1000 1000 13 . 4 S B. 1000 1000 31 . 2 S C. 1000 1000 31 . 6 S D. 1000 1000 13 . 6 S Lời giải. Ta có 2 1 1 4 33 51 1 2 2 . 3 54 . 2 3 u u q u u u q u q q q q   Khi đó 100 100 100 100 1 13 1 2 1 3 .. 1 31 3 6 q Su q  Chọn D. Câu 41. Cho cấp số nhân n u có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 13 . Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của cấp số nhân là một số dương. A. 5 181 . 16 S B. 5 141. S C. 5 121. S D. 5 35 . 16 S Lời giải. 2 1 2 1 2 1 2 3 1 41 4 1 13 1 3 0 1. 13 1 S uu u q qq q q q u S u qq  Khi đó 55 51 1 1 3 . 1. 121 1 1 3 q Su q  Chọn C. Câu 42. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng 1 2 , công bội bằng 1 4 . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu? A. 4096. B. 2048. C. 1024. D. 1 512 . Lời giải. Ta có 6 1 6 1 71 6 1 4 4 2048 1 2 2 4 q u u u u q   Chọn B. Câu 43. Cho cấp số nhân n u có 2 6 u và 6 486. u Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho, biết rằng 3 0. u Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 39 A. 3. q B. 1 . 3 q C. 1 . 3 q D. 3. q Lời giải. 2 1 44 54 4 6 1 1 6 81 3 3. 486 . 6. u u q qq u u q u q q q  Chọn D. Câu 44. Cho cấp số nhân 12 3 ; ; ; u u u  với 1 1. u Tìm công bội q để 2 4u + 3 5u đạt giá trị nhỏ nhất? A. 2 . 5 q B. 0. q C. 2 . 5 q D. 1. q Lời giải. Ta có 2 22 23 1 1 24 4 5 4 5 5 45 4 . 5 55 u u u q u q q q q       Vậy 23 4 min 4 5 5 uu khi 2 5 q  Chọn A. Câu 45. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 2. n n u B. 2 n n u C. 1 2 . n n u D. 2. n u n Lời giải. Ta có 2 1 1 11 1 5 44 6 1 1 4 2 2.2 2 . 2 64 . 4 n nn n u u q u u u q q u u q u q q q   Chọn B. Câu 46. Cho cấp số nhân n u có công bội . q Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 1 .. k k u uq B. 11 . 2 kk k u u u C. 12 .. k kk u u u D. 1 –1 . k uu k q Lời giải. Chọn A. Câu 47. Cho cấp số nhân n u có 1 0 u  và 0. q  Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 3 7 4 .. u uq B. 4 7 4 .. u uq C. 5 74 .. u uq D. 6 7 4 . . u uq Lời giải. 3 4 1 33 3 71 4 6 71 . u u q u u q q u q u u q    Chọn A. Câu 48. Cho cấp số nhân n u có 1 0 u  và 0. q  Với 1 , k m đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. .. k m k u uq B. . . m m k u uq C. . . m k m k u uq D. .q . mk m k u u Lời giải. 1 11 1 11 . k m k mk mk km k u u q u u q u q q u q   Chọn C. Câu 49. Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. 1 15 2 14 . .. uu u u B. 1 15 5 11 . .. uu u u C. 1 15 6 9 . .. uu u u D. 1 15 12 4 . . . uu u u Lời giải. 14 1 1 115 11 1 1 . .. . . mn mn u u u u q u q uq u u với 16. mn Chọn C. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 40 Câu 50. Cho một cấp số nhân có n số hạng 55 . nk Đẳng thức nào sau đây sai? A. 1 21 . .. nn uu u u B. 1 54 . . . n n uu u u C. 1 55 55 . . . nn uu u u D. 11 . . . n k nk uu u u Lời giải. 1 11 1 11 1 1 . .. n km n km u u u u q u q u q u u với 1. km n Chọn C. Câu 51. Tìm số hạng đầu 1 u và công bội q của cấp số nhân , n u biết 6 7 192 . 384 u u  A. 1 5 . 2 u q  B. 1 6 . 2 u q  C. 1 6 . 3 u q  D. 1 5 . 3 u q  Lời giải. 5 6 1 65 1 5 71 1 2 192 . 192 6 384 192 q u u q u u u q u q q q q   Chọn B. Câu 52. Cho cấp số nhân n u thỏa mãn 42 53 36 . 72 uu u u  Chọn khẳng định đúng? A. 1 4 . 2 u q  B. 1 6 . 2 u q  C. 1 9 . 2 u q  D. 1 9 . 3 u q  Lời giải. 2 4 2 1 22 2 1 2 53 1 1 2 36 1 36 . 6 72 1 1 36 1 q u u u q q u u u u q q u q q q q qq      Chọn B. Câu 53. Cho cấp số nhân n u thỏa mãn 20 17 15 8 . 272 uu u u  Chọn khẳng định đúng? A. 2. q B. 4. q C. 4. q D. 2. q Lời giải. 3 19 16 11 20 17 4 1 1 1 5 1 4 8 8 8 2 . 272 16 272 1 272 1 q u q u q u u q u u uu uq q     Chọn A. Câu 54. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 1 . 16 Tìm số hạng đầu 1 u và công bội q của cấp số nhân đã cho. A. 1 1 . 2 2 u q  B. 1 2 . 1 2 u q  C. 1 2 . 1 2 u q  D. 1 1 . 2 2 u q  Lời giải. 1 1 2 22 13 1 1 26 2 2 4 4 35 11 0, , 1 0 0 2 . .1 1 1 2 1 1 . 16 16 u u q q u uu uq u q uu uq uq q q    Chọn B. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 41 Câu 55. Cho cấp số nhân n u thỏa 13 5 17 65 325 uu u u u  . Tính 3 . u A. 3 10. u B. 3 15. u C. 3 20. u D. 3 25. u Lời giải. Ta có 2 4 24 1 13 5 11 1 6 6 17 11 1 1 65 1 65 65 325 325 1 325 2 u qq uu u u uq uq u u u uq uq    . Lấy 2 chia 1 , ta được 6 2 2 4 1 325 15 2 65 1 q q q qq  . Vậy 1 5 2 u q  hoặc 1 2 3 1 5 5.4 20. 2 u u u q q   Chọn C. Câu 56. Cho cấp số nhân n u thỏa 12 3 12 3 14 . . . 64 u u u uu u  Tính 2 . u A. 2 4. u B. 2 6. u C. 2 8. u D. 2 10. u Lời giải. Từ 3 2 1 2 3 11 1 1 1 . . 64 . . 64 64 4 u u u u uquq uq uq hay 2 4 u . Thay vào hệ ban đầu ta được 1 3 13 1 3 1 3 13 4 14 10 8 2 .4. 64 . 16 u u u u u u u u uu   hoặc 1 3 2 8 u u  . Vậy 1 8 1 2 u q  hoặc 1 2 1 2 4. 2 u u u q q   Chọn A. Câu 57. Cho cấp số nhân n u có công bội q và thỏa 1 2 34 5 1 234 5 13 1 1 1 1 1 49 35 u u u u u u u u u u u u          . Tính 2 1 4. Pu q A. 24. P B. 29. P C. 34. P D. 39. P Lời giải. Nhận xét: Nếu 1 2 3 4 5 , , , , u u u u u là một cấp số nhân với công bội q thì 1 234 5 11 1 1 1 , , , , uu u u u cũng tạo thành cấp số nhân với công bội 1 q . Do đó từ giả thiết ta có 5 5 1 1 2 11 1 1 11 . 49 . 1 1 1 1 35 2 . q q u qu q u uq                       Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 42 Phương trình 5 5 24 2 1 11 4 1 1 49 1 1 . 49 7 1 1 qq u u q uq q u qq           . Với 2 1 7 uq . Thay vào 2 , ta được 11 7 35 42 u u . Suy ra 2 7 42 q : vô lý. Với 2 1 7 uq . Thay vào 2 , ta được 11 7 35 28 uu . Vậy 1 28 1 2 u q  hoặc 1 28 1 2 u q  . Khi đó 2 1 4 29. uq Chọn B. Câu 58. Cho cấp số nhân n u có công bội q và thỏa 12 3 222 1 23 26 364 u u u uuu  . Tìm q biết rằng 1. q A. 5 . 4 q B. 4. q C. 4 . 3 q D. 3. q Lời giải. Ta có 2 1 12 3 222 2 2 4 1 23 1 1 26 26 364 1 364 u qq u u u uuu u qq   2 2 22 1 2 2 4 1 1 26 1 1 3 4 . 62 u qq u qq  Lấy 1 chia 2 , ta được 2 2 2 2 43 2 4 2 2 26 1 1 3 7 4 7 30 3 7 4 1 6 1 40 3 q q qq q q q q q q q q                 . Đặt 1 tq q , 2 t . Phương trình trở thành 2 1 3 7 10 10 3 0. t t t t      loaïi Với 10 3 t , suy ra 2 1 10 3 10 3 0 3 3 q qq q q hoặc 1 3 q . Vì 1 q nên 3. q Chọn D. Câu 59. Các số 6 , 5 2 , 8 x y x y x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số 1, 2, 3 x y xy theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 22 . xy A. 22 40. xy B. 22 25. xy C. 22 100. xy D. 22 10. xy Lời giải. Theo giả thiết ta có 2 6 8 2 5 2 13 2 x y x y x y x xy y  22 33 6 . 2 3 13 3 2 0 2 xy xy x y y yy y y   Suy ra 22 40. xy Chọn A. Câu 60. Ba số ; ; x yz theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số ; 2 ; 3 x yz theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q . Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 43 A. 1 . 3 q B. 1 . 9 q C. 1 . 3 q D. 3. q Lời giải. 2 2 2 2 0 ; 3 4 3 4 10 . 3 22 3 4 10 x y xq z xq x xq xq x q q xz y q q     Nếu 00 x yz công sai của cấp số cộng: ; 2 ;3 x yz bằng 0 (vô lí). Nếu 2 1 1 3 4 10 . 1 3 3 1 q q q q q q       Chọn A. Câu 61. Cho dãy số tăng , , ab cc  theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời , 8, ab c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và , 8, 64 ab c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức 2. P ab c A. 184 . 9 P B. 64. P C. 92 . 9 P D. 32. P Lời giải. Ta có 2 2 22 1 2 8 2 16 2 . 64 8 64 8 3 ac b ac b ac b a b c a c b ac a b  Thay (1) vào (3) ta được: 22 64 16 64 4 4 4 . b a b b ab Kết hợp (2) với (4) ta được: 8 2 16 7 5 4 4 4 60 7 c a a b c ab c b   Thay (5) vào (1) ta được: 2 2 36 7 8 4 60 9 424 3600 0 36 . 100 9 c cc c c c c c c       Với 36 4, 12 4 12 72 64. c ab P Chọn B. Câu 62. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm . q A. 2. q B. 2. q C. 3 . 2 q D. 3 . 2 q Lời giải. Giả sử ba số hạng ;; abc lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó ;; b a c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội . q Ta có 2 22 20 2. ; 20 ac b b bq bq b a bq c bq q q    Nếu 00 b abc nên ;; abc là cấp số cộng công sai 0 d (vô lí). Nếu 2 20 1 qq q hoặc 2. q Nếu 1 q abc (vô lí), do đó 2. q Chọn B. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 44 Câu 63. Cho bố số , ,, abc d biết rằng ,, abc theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội 1 q ; còn ,, bc d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng 14 ad và 12. bc A. 18 73 . 24 q B. 19 73 . 24 q C. 20 73 . 24 q D. 21 73 . 24 q Lời giải. Giả sử ,, abc lập thành cấp số cộng công bội . q Khi đó theo giả thiết ta có: 2 2 2 , 21 2 14 2 14 12 3 12 b aq c aq aq d aq bd c ad ad aq q bc   Nếu 00 q bc d (vô lí) Nếu 1; 0 q b ac a b c (vô lí). Vậy 0, 1, q q  từ (2) và (3) ta có: 14 da và 2 12 a qq thay vào (1) ta được: 23 32 2 2 2 2 12 14 14 12 24 12 7 13 6 0 19 1 12 19 6 73 0 24 q qq q qq q qq qq qq q qq q  Vì 1 q nên 19 73 . 24 q Chọn B. Câu 64. Gọi 9 99 999 ... 999...9 S (n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. 10 1 . 9 n S B. 10 1 10 . 9 n S         C. 10 1 10 . 9 n Sn         D. 10 1 10 . 9 n Sn         Lời giải. Ta có  2 n so 9 9 99 999 ... 99...9 10 1 10 1 ... 10 1 n S 2 1 10 10 10 ... 10 10. . 1 10 n n n n Chọn C. Câu 65. Gọi 1 11 111 ... 111...1 S (n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. 10 1 . 81 n S B. 10 1 10 . 81 n S         C. 10 1 10 . 81 n Sn         D. 1 10 1 10 . 99 n Sn             Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 45 Lời giải. Ta có  n so 9 1 1 1 10 9 99 999 ... 99...9 . 10. 9 9 1 10 n Sn           . Chọn D. Câu 66. Biết rằng 2 10 21.3 1 2.3 3.3 ... 11.3 . 4 b Sa Tính . 4 b P a A. 1. P B. 2. P C. 3. P D. 4. P Lời giải. Từ giả thiết suy ra 2 3 11 3 3 2.3 3.3 ... 11.3 S . Do đó 11 11 2 10 11 11 11 1 3 1 21.3 1 21 2 3 1 3 3 ... 3 10.3 11.3 .3 . 1 3 2 2 4 4 SS S S Vì 11 1 21.3 21.3 1 1 11 , 11 3. 4 4 4 4 44 b S a ab P   Chọn C. Câu 67. Một cấp số nhân có ba số hạng là , , a bc (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội 0. q  Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2 11 . bc a B. 2 11 . ac b C. 2 11 . ba c D. 11 2 . ab c Lời giải. Ta có 2 2 11 ac b ac b  Chọn B. Câu 68. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng: A. 0 56 . B. 0 102 . C. 0 252 . D. 0 168 . Lời giải. Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A BC D ) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội . q Ta có 2 3 3 3 3 1 360 360 9 252. 27 27 243 q A qq q A BC D A A D DA Aq A D Aq    Chọn C. Câu 69. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 2 12 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 2 6. m B. 2 8. m C. 2 10 . m D. 2 12 . m Lời giải. Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội 1 2 q và 1 12288 6 144. 2 u Khi đó diện tích mặt trên cùng là 10 11 1 10 6144 6 2 u u q  Chọn A. Câu 70. Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng. Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 46 C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng. Lời giải. Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có 1 20 000 u và công bội 2. q Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là: 9 1 9 12 9 1 ... 10220000 1 u p S u u u p Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là 9 10 1 . 10240000 u up Ta có 10 9 20 000 0 uS nên du khách thắng 20 000. Chọn C.