Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân - Toán lớp 11

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 3 PP QUY NẠP - DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG, NHÂN A. LÝ THUYẾ T 1. Nguyên lý quy nạp toán học: Giả sử   Pn là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n . Nếu cả hai điều kiện   i và   ii dưới đây được thỏa mãn thì   Pn đúng với mọi nm  (m là số tự nhiên cho trước).     i Pm đúng.   ii Với mỗi số tự nhiên , km  nếu   1 Pk  đúng. Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp). Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi 1 n  nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với 1 1 2. n    Vì nó đúng với 2 n  nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với 2 1 3,... n    Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên * . n  2. Phương pháp giải toán. Để chứng minh một mệnh đề   Pn phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi nm  (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng   Pn đúng khi 1 n  . Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, km  .  Giả sử   Pn đúng khi nk  , ta sẽ chứng minh   Pn cũng đúng khi 1 nk  .  Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng   Pn đúng với mọi số tự nhiên . nm  B. PHÂN DẠNG VÀ CÁC BÀI TẬP MINH HỌA. DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 1. Bài tập minh họa: Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n , ta có: a).     2 1.4 2.7 3 1 1 n n n n          b).           3 1 1 1 1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2 nn n n n n n             Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... §B À I 1. PH ƯƠNG PHÁP QUY N ẠP TOÁN H ỌC Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 2 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:       2 2 2 2 2 41 1 3 5 2 1 1 3 nn n           Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 3 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:         2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 6 2 1 3 n n n n          Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:     2 2 3 3 3 3 1 1 2 3 1 4 nn n          Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: ( 1)( 2) 1.2 2.3 3.4 ( 1) 3 n n n nn           (1) Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 4 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:     2 1.2 2.5 3.8 3 1 1 n n n n           (1) Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:           1 2 3 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 4 n n n n n n n              (1) Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:       2 2 3 4 2 1 3 2 1.2 2.3 3.4 1 , 2 12 n n n n n n            (1) Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 5 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 , 2 4 9 16 2 n n nn                                (1) Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1 2 1 2 4 8 2 2 n nn          (1) Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 6 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:   1 2 3 3 2 3 1 3 9 27 3 4 4.3 nn nn           Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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DẠNG 2. CHỨNG MINH CHIA HẾT 1. Bài tập minh họa: Bài tập 12. Chứng minh rằng * n  ta có: 3 11 nn  chia hết cho 6. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 13. Chứng minh rằng * n  ta có: 32 35 n n n  chia hết cho 3 Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 7 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 14. Chứng minh rằng * n  ta có: 3 nn  chia hết cho 3 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 15. Chứng minh rằng * n  ta có: 32 23 n n n  chia hết cho 6 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 16. Với mỗi số nguyên dương n , gọi 91 n n u . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n u luôn chia hết cho 8 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 8 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 17. Chứng minh rằng * n  ta có:13 1 n  chia hết cho 6 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 18. Chứng minh rằng * n  ta có: 4 15 1 n n  chia hết cho 9 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 19. Chứng minh rằng * n  ta có: 4 6 8 n n  chia hết cho 9 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 20. Chứng minh rằng * n  ta có: 2 2 2 1 7.2 3 nn   chia hết cho 5 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 9 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 21. Chứng minh rằng * n  ta có: 2 1 2 32 nn   chia hết cho 7 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 22. Chứng minh rằng * n  ta có: 1 2 1 11 12 nn   chia hết cho 133. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 23. Chứng minh * n  thì 16 15 1 n n  chia hết cho 225. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 24. Chứng minh n  thì 22 4.3 32 36 n n   chia hết cho 32 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 10 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 25. Chứng minh rằng * n  ta có: 33 3 26 27 169, * n nn      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 26. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 2 n  , ta luôn có: 1 2 2 3 n n   (*) Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... DẠNG 3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Bài tập minh họa: Bài tập 27. Chứng minh rằng * n  , ta có:   1 3 2 (*) 4, . n n n n n       Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 28. Chứng minh rằng * n  , ta có: 2 3 4 5 (*), 3 n n n n      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 11 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 29. Chứng minh rằng * n  , ta có: 2 2 1 (*) 3, . n n n n      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 30. Chứng minh rằng * n  , ta có: 2 2 , 5, n n n n     Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 31. Chứng minh rằng * n  , ta có:   1 1 1 13 * , 2, 1 2 24 nn n n n n              Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 12 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 32. Chứng minh rằng * n  , ta có:     1 1 * * n n n n n      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Chứng minh rằng * n  , ta có:     2 ! * * n n n n    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 34. Chứng minh 5 4 3 5 2 3 30 n n n n    luôn là số nguyên với mọi * n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 13 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 35. Chứng minh rằng * n  , ta có:   1 1 1 1 1 2 1 234 n n          Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 36. Cho   \0 xR  và 1 x x  là số nguyên. Chứng minh: 1 n n x x  là số nguyên * nN  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 14 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến   An đúng với mọi số tự nhiên np  ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. 1. n  B. . np  C. . np  D. . np  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến   An đúng với mọi số tự nhiên np  ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề   An đúng với nk  . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. . kp  B. . kp  C. . kp  D. . kp  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến   An đúng với mọi số tự nhiên np  ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề   An đúng với . np   Bước 2, giả thiết mệnh đề   An đúng với số tự nhiên bất kỳ n k p  và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với 1. nk  Trogn hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 4. Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 1 n  chia hết cho * 7, '' n    * như sau:  Giả sử   * đúng với nk  , tức là 81 k  chia hết cho 7.  Ta có:   1 8 1 8 8 1 7 kk      , kết hợp với giả thiết 81 k  chia hết cho 7 nên suy ra được 1 81 k   chia hết cho 7. Vậy đẳng thức   * đúng với mọi * . n  Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 15 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 5. Cho   1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 . 1 n S nn          với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 1 . 12 S  B. 2 1 . 6 S  C. 2 2 . 3 S  D. 3 1 . 4 S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 6. Cho   1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 . 1 n S nn          với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . n n S n   B. . 1 n n S n   C. 1 . 2 n n S n    D. 2 . 3 n n S n    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Câu 7. Cho     1 1 1 ... 1 3 3 5 2 1 2 1 n S nn          với * . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 21 n n S n    B. . 21 n n S n   C. . 32 n n S n   D. 2 . 25 n n S n    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 16 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 8. Cho 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 1 23 n P n                       với 2 n  và . n  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 2 n P n    B. 1 . 2 n P n   C. 1 . n P n   D. 1 . 2 n P n   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 9. Với mọi * n  , hệ thức nào sau đây là sai? A.   1 1 2 ... 2 nn n      B.   2 1 3 5 ... 2 1 nn       . C.     2 2 2 1 2 1 1 2 ... 6 n n n n      D.       2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 6 2 6 n n n n       . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 10. Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi * , n  số 32 35 n n n  chia hết cho 3. II) Với mọi * , n  ta có 1 1 1 13 ... 1 2 2 24 n n n      . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 17 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. LÝ THUYẾ T 1. Định nghĩa. Một hàm số u xác định trên tập * được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số):   :* u n u n       Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số,    1 u được gọi là số hạng thứ nhất ( hay số hạng đầu),    2 u được gọi là số hạng thứ hai… Người ta thường kí hiệu các giá trị   1 u ,   2 u …tương ứng bởi 12 , ..... uu Ta thường kí hiệu dãy số   u u n  bởi   n u và gọi n u là số hạng tổng quát của dãy số đó. Ta cũng thường viết dãy số   n u dưới dạng khai triển: 12 , ,..., n u u u . Chú ý:  Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên (m tùy ý thuộc *) là một dãy số.  Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng (m số hạng: 12 , ,..., m u u u ).  Vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn, 1 u gọi là số hạng đầu và m u là số hạng cuối.  Ví dụ 1. Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số   n u cho bởi a). 2 2 21 1 n n u n    . b).   1 21 n n n u n    . c). 2 cos n u n n  . d).   1! 2 n n n u   . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Ví dụ 2. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số   n u cho bởi a).   1 1 2 1 1 3 nn u uu         . b). 1 1 2 0 2 1 n n u u u          . c). 12 21 15, 9 n n n uu u u u       . d). 12 21 1, 2 2 n n n uu u u u         . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... §B À I 2. DÃY S Ố Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 18 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Ví dụ 3. a). Cho dãy số   n u có 1 1 1 3 47 nn u uu         với 1 n  . Chứng minh rằng 21 27 3 n n u    với 1 n  . b). Cho dãy số   n u có 1 1 2 3 2 1 nn u u u n         với 1 n  . Chứng minh rằng 3 n n un  với 1 n  . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 2. Cách cho một dãy số. Có 3 cách thông dụng Cách 1. Cho bằng công thức tổng quát n u .  Ví dụ 4. cho dãy số   n u có 2 cos n u n n  hoặc 2 2 3 2. n u n n    Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp): 1 1 ... theo nn u uu        Cho số hạng thứ nhất 1 u ( hoặc một vài số hạng đầu).  Với 2 n  cho một công thức tính   n u nếu biết 1 n u  (hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó).  Ví dụ 5. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 3 1 1 1. nn u n u u n        hoặc   1 1 2 1 1 3 nn u uu         Cách 3. Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.  Ví dụ 6. Cho đường tròn   O bán kính R . Cho dãy   n u với n u là độ dài cung tròn có số đo là 2 n  của đường tròn   O 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số   n u được gọi là dãy số tăng 1nn uu   với * n  1 0 nn uu     với * n  1 1 n n u u   với * n  và   0 n u  . Dãy số   n u được gọi là dãy số giảm 1nn uu   với * n  1 0 nn uu     với * n  1 1 n n u u   với * n  và   0 n u  . Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 19 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Ví dụ 7. Xét tính tăng giảm của các dãy số   n u sau: 1). Dãy số với 3 2 5 1 n u n n    2). Dãy số   n u với 3. n n un  3). Dãy số   n u với 1 3 2 n n n u   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Nhận xét: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu . Tính chất tăng, giảm của một dãy số được gọi chung là tính chất đơn điệu của dãy số đó. 4. Dãy số bị chặn Dãy số   n u được gọi là bị chặn trên M    : n uM  , * n  . Dãy số   n u được gọi là bị chặn dưới m    : n um  , * n  . Dãy số   n u được gọi là bị chặn , mM    : n m u M  , * n  .  Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số   n u , với 2 2 1 23 n n u n    là một dãy số bị chặn. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 20 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 DẠNG 1. Thiết lập công thức tính số hạng tổng quát   n u theo n . 1. Phương pháp. Nếu   n u có dạng 12 ... ... n k n u a a a a       (kí hiệu 1 n nk k ua    ) thì biến đổi k a thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn   n u . Nếu dãy số   n u được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính 12 , ,..., m u u u ), từ đó dự đoán công thức tính   n u theo n , rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu 1nn uu   dựa vào đó để tìm công thức tính   n u theo   .. n na 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 1. Cho dãy số đặt 1 n nk k ua    . Tính 1 2 3 4 , , , u u u u và xác định công thức tính n u theo n trong các trường hợp sau: a).   1 1 k a kk   b).   1 4 k a kk   c). 2 1 41 k a k   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 21 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 2. Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát n u theo n của các dãy số sau : a). 1 1 3 2 nn u uu       b). 1 1 2 2. nn u uu       Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Dãy số   n u được xác định bằng cộng thức: 1 3 1 1 1. nn u n u u n        a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 22 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 4. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số   n u , dự đoán công thức số hạng tổng quát n u và chứng minh công thức đó bằng qui nạp a). 1 1 1 23 nn u uu       . b). 1 2 1 3 1 nn u uu         . c). 1 1 5 4 1 2 n n u u u            . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Bài tập rèn luyện. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 23 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Bài 1. Cho dãy số   n u xác định bởi: 1 2 u  và 1 5 nn uu   với mọi 1. n  a). Hãy tính 24 , uu và 6 . u b). Chứng minh rằng 1 2.5 n n u   với mọi 1. n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 2. Cho dãy số   n u xác định bởi: 1 1 u  và 1 7 nn uu   với mọi 1 n  a). Hãy tính 24 , uu và 6 . u b). Chứng minh rằng:   7 6 1 n un  với mọi 1 n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 3. Cho dãy số   n u với 1 1 u  và 1 3 10 nn uu   với mọi 1. n  Chứng minh rằng: 2.3 5 1. n n un     Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 4. Cho dãy số   n u , biết 2 11 3, 1 nn u u u     với 1, nn  a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số. b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát n u và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 24 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 5. Cho tổng   1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 1 n S nn          a). Tính 1 2 3 ,, S S S . b). Dự đoán công thức tính tổng n S và chứng minh bằng quy nạp. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát n u theo n của các dãy số sau : a). 1 1 1 , * 1 n n n u n u u u           b). 1 1 1 3 nn u uu       với 1, nn  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 25 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Cho dãy số   n u xác định bởi: 1 n u  và 2 1 35 1 1. 22 n n n u u u n        a). Hãy tính 23 , uu và 4 u b). Chứng minh rằng: 3 nn uu   với mọi 1. n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 8. Cho dãy số   n u với 1 1 5.4 3. n n u    a). Chứng minh rằng: 1 49 nn uu   với mọi 1. n  b). Dựa vào kết quả câu a) , hãy cho dãy số   n u bởi hệ thức truy hồi. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 26 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài 9. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1 11 10 1 9 , nn u u u n n           . Tìm số hạng tổng quát n u . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 1. Cho dãy số   n u , biết . 1 n n u n    Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1 2 3 4 5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6  B. 2 3 4 5 6 ; ; ; ; . 3 4 5 6 7      C. 1 2 3 4 5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 D. 2 3 4 5 6 ; ; ; ; . 3 4 5 6 7 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 2. Cho dãy số   n u , biết 31 n n n u   . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1 1 1 ; ; . 2 4 8 B. 1 1 3 ; ; . 2 4 26 C. 1 1 1 ; ; . 2 4 16 D. 1 2 3 ; ; . 234 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 3. Cho dãy số   n u , biết 1 1 1 3 nn u uu       với 0 n  . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1;2;5.  B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. 1;3;7.  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 4. Cho dãy số  , n u biết 2 2 21 . 3 n n u n    Tìm số hạng 5 . u A. 5 1 . 4 u  B . 5 17 . 12 u  C. 5 7 . 4 u  D. 5 71 . 39 u  Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 27 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 5. Cho dãy số  , n u biết   1 .2 . n n un  Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 2. u  B. 2 4. u  C. 3 6. u  D. 4 8. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 6. Cho dãy số  , n u biết   2 1 . . n n n u n  Tìm số hạng 3 . u A. 3 8 . 3 u  B. 3 2. u  C. 3 2. u  D. 3 8 . 3 u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 7. Cho dãy số   n u xác định bởi   1 1 2 . 1 1 3 nn u uu         Tìm số hạng 4 . u A. 4 5 . 9 u  B . 4 1. u  C. 4 2 . 3 u  D. 4 14 . 27 u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 8. Cho dãy   n u xác định bởi 1 1 3 . 2 2 n n u u u         Mệnh đề nào sau đây sai? A. 2 5 . 2 u  B. 3 15 . 4 u  C. 4 31 . 8 u  D. 5 63 . 16 u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 9. Cho dãy số  , n u biết 1 21 n n u n    . Số 8 15 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 28 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 10. Cho dãy số  , n u biết 25 . 54 n n u n    Số 7 12 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 11. Cho dãy số  , n u biết 2. n n u  Tìm số hạng 1 . n u  A. 1 2 .2. n n u   B. 1 2 1. n n u   C.   1 2 1 . n un   D. 1 2 2. n n u   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 12. Cho dãy số   n u , biết 3. n n u  Tìm số hạng 21 . n u  A. 2 21 3 .3 1. n n u   B. 1 21 3 .3 . nn n u    C. 2 21 3 1. n n u   D.   21 21 3. n n u    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 13. Cho dãy số  , n u với 1 5. n n u   Tìm số hạng 1 . n u  A. 1 1 5. n n u    B. 1 5. n n u   C. 1 1 5.5 . n n u    D. 1 1 5.5 . n n u    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 14. Cho dãy số  , n u với 23 1 . 1 n n n u n        Tìm số hạng 1 . n u  A.   2 1 3 1 1 . 1 n n n u n         B.   2 1 3 1 1 . 1 n n n u n         C. 23 1 . 2 n n n u n        D. 25 1 . 2 n n n u n        Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 1 2 3 4 0; ; ; ; ; . 2 3 4 5 có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. 1 . n n u n   B. . 1 n n u n   C. 1 . n n u n   D. 2 . 1 n nn u n    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1;1; 1;1; 1; .  có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. 1. n u  B. 1. n u  C.   1. n n u  D.   1 1. n n u   Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 29 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6; .  Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. 2. n un  B. 2. n un  C.   2 1 . n un    D. 2 4. n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 18. Cho dãy số  , n u được xác định 1 1 2 . 2 nn u uu       Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 . n n un   B. 2. n n u  C. 1 2. n n u   D. 2. n u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 19. Cho dãy số  , n u được xác định 1 1 1 . 2 2 nn u uu         Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A.   1 2 1 . 2 n un    B.   1 2 1 . 2 n un    C. 1 2. 2 n un  D. 1 2. 2 n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 20. Cho dãy số  , n u được xác định 1 1 2 . 21 nn u u u n         Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A.   2 2 1 . n un    B. 2 2. n un  C.   2 2 1 . n un    D.   2 2 1 . n un    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 30 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 21. Cho dãy số  , n u được xác định 1 2 1 1 . nn u u u n       Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. ( 1)(2 1) 1. 6 n n n n u   B. ( 1)(2 2) 1. 6 n n n n u   C. ( 1)(2 1) 1. 6 n n n n u   D. ( 1)(2 2) 1. 6 n n n n u   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 22. Cho dãy số  , n u được xác định 1 1 2 . 1 2 n n u u u           Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1 . n n u n   B. 1 . n n u n   C. 1 . n n u n   D. . 1 n n u n   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 23. Cho dãy số  , n u được xác định   1 2 1 1 . 1 n nn u uu           Số hạng tổng quát n u của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 1. n un  B. 1. n un  C.   2 1 1 . n n u    D. . n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 24. Cho dãy số   n u có số hạng tổng quát là   23 n n u  với * . n  Công thức truy hồi của dãy số đó là: A. 1 1 6 . 6 , 1 nn u u u n       B. 1 1 6 . 3 , 1 nn u u u n       C. 1 1 3 . 3 , 1 nn u u u n       D. 1 1 3 . 6 , 1 nn u u u n       Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 31 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 25. Cho dãy số  , n a được xác định 1 1 3 . 1 , 1 2 nn a a a n         Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 2 3 4 5 93 . 16 a a a a a      B. 10 3 . 512 a  C. 1 9 . 2 nn n aa   D. 3 . 2 n n a  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... VẤN ĐỀ 2. TÍNH TĂNG GIẢM CỦA DÃY SỐ. 1. Phương Pháp. Cách 1: Khi chưa biết dãy số   n u dương hay âm thì ta xét dấu của biểu thức 1 . nn uu   Nếu 1 0 nn uu   với * n  thì   n u là dãy số tăng; Nếu 1 0 nn uu   thì   n u là dãy số giảm. Dấu hiệu nhận biết: thường hàm đa thức, phân thức hữu tỉ. Cách 2: Khi * n  và   0 n u  thì có thể so sánh 1 n n u u  với 1. Nếu 1 1 n n u u   thì   n u là dãy số tăng; Nếu 1 1 n n u u   thì   n u là dãy số giảm. Dấu hiệu nhận xét: thường hàm căn thức, hàm mũ. Cách 3: Nếu dãy số   n u được cho bởi một hệ thức truy hồi 1 1 ... theo nn u uu       thì ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh 1nn uu   (hoặc 1nn uu   ) Chú ý: Nếu 1 : nk k u u      thì dãy số   n u không giảm. Nếu 1 : nk k u u      thì dãy số   n u không tăng. 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 5. Xét tính tăng giảm của các dãy số   n u sau: 1). Dãy số   n u với 2 1 n n u n   . 2). Dãy số   n u với 2 3 2 1 1 n nn u n    Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 32 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 3). Dãy số   n u với 2 2 1 21 n nn u n    4). Dãy số   n u với 2 1 n u n n    5). Dãy số   n u với 11 n n u n   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 33 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Bài tập 6. Xét tính tăng giảm của   n u các dãy số sau: 1). Dãy số   n u với 2 n n n u  2). Dãy số   n u với 2 3 n n u n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Xét tính tăng giảm của dãy số   n u biết: a). 1 2 n u n  b). 1 1 n n u n    c).   ( 1) 2 1 nn n u    e). 2 2 4 1 n u n n    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 34 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 8. Xét tính tăng giảm của các dãy số   n u được cho bởi hệ thức truy hồi sau: a). 2 1 2 2 3, nn u u u n N             b). 1 1 3 2 3 n n n u u u u          Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Cho dãy số   n u xác định bởi: 1 1 5 3 2. nn u u u n         a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Chứng minh dãy số tăng. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 35 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 10. Cho dãy số   n u biết 2 2 .2 1 3 n tn u n    , với t là tham số thực. Xác định t để a).   n u là dãy số giảm. b).   n u là dãy số tăng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 11. Cho dãy số () n u định bởi: 4 4 .2 ;* 25 n an u n N n    . Định a để dãy số () n u tăng. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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.......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 3. Bài tập rèn luyện.  Bài 10. Xét tính tăng, giảm của các dãy số   n u cho bởi a). 2 2 1 1 n nn u n    . b). 41 45 n n n u    . Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 36 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 c). 1 1 3 2 3 n n n u u u u          . d). 1 1 6 6 nn u uu         . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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.......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 11. Xét tính tăng, giảm của các dãy số   n u cho bởi a). 3 n u n n    . b). 11 n n u n   . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 26. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; B . 1 1 1 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16  C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1 1 1 1 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 37 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 27. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. 1 . 2 n n u  B. 1 . n u n  C. 5 . 31 n n u n    D. 21 . 1 n n u n    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 28. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. 2 . 3 n n u  B. 3 . n u n  C. 2. n n u  D.   2. n n u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 29. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. 1 . 2 n n u  B. 31 . 1 n n u n    C. 2 . n un  D. 2. n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 30. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. sin . n un  B. 2 1 . n n u n   C. 1. n u n n    D.     1 . 2 1 . n n n u    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 31. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số 1 2 n u n  là dãy tăng. B. Dãy số     1 2 1 n n n u    là dãy giảm. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 38 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 C. Dãu số 1 1 n n u n    là dãy giảm. D. Dãy số 1 2 cos n un n  là dãy tăng. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Dãy số 1 n n u n   là dãy giảm. B. Dãy số 2 25 n un  là dãy tăng. C. Dãy số 1 1 n n u n     là dãy giảm. D. Dãy số 2 sin n u n n  là dãy tăng. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... DẠNG 3. Dãy số bị chặn. 1. Phương pháp.  Nếu 1 . n nk k ua    thì: Thu gọn n u , dựa vào biểu thức thu gọn để chặn n u . Ta cũng có thể chặn tổng 1 n k k a   bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.  Nếu dãy số   n u cho bởi một hệ thức truy hồi thì: Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp. Ta cũng có thể xét tính đơn điệu ( nếu có) sau đó giải bất phương trình 1nn uu   dựa vào đó chặn   n u . 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 12. Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : 21 ;* 3 n n u n N n    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 39 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 13. Chứng minh dãy số   n u , với 75 57 n n u n    là một dãy số tăng và bị chặn. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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.......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 14. Cho dãy số   n u với   1 1 .2 n n un    a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b). Tìm công thức truy hồi. c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 40 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 15. Cho dãy số   n u với 2 4 3. n u n n    a). Viết công thức truy hồi của dãy số. b). Chứng minh dãy số bị chặn dưới. c). Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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.......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 16. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a).   1 1 1 ... 1.2 2.3 1 n u nn      b). 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 2 3 n u n      c).     1 1 1 ... 1.3 2.5 2 1 2 1 n u nn      d).   1 1 1 ... 1.4 2.5 3 n u nn      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 41 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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.......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 17. Cho dãy số   n u định bởi 1 1 1 2 5 3 nn u uu         * nN  a). Chứng minh 15, * n u n N    . b). Chứng minh dãy số   n u tăng và bị chặn dưới Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 18. Xét tính đơn điệu của dãy số   n U với   0,3 . ; * n n U n n N    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 19. Cho 5 5 5 1 1 1 1 ... *. 23 n U n N n        Chứng minh   n U bị chặn trên. Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 42 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 20. Cho 2 a  . Xét dãy   n U xác định bởi   2 1 2 1 * nn ua u u a n N            . Xét tính đơn điệu của dãy   n U Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 21. Cho dãy số   n a định bởi:   1 0 1; * 1 1 ; n N* 4 n nn a n N aa               a). Chứng minh:   11 , * 1 22 n a n N n     b). Xét tính đơn điệu của dãy số   n a . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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.......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 43 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 22. Xét tính bị chặn của dãy số: 1 1 ; * n n u n N n       Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 5. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 33. Cho dãy số   n u , biết 31 . 31 n n u n    Dãy số   n u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 1 . 3 B. 1. C. 1 . 2 D. 0. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 34. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào bị chặn trên? A. 2 . n un  B. 2. n n u  C. 1 . n u n  D. 1. n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 35. Cho dãy số   n u , biết cos sin . n u n n  Dãy số   n u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 36. Cho dãy số   n u , biết sin cos . n u n n  Dãy số   n u bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 44 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. 0. B. 1.  C. 2.  D.Không bị chặn dưới. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 37. Cho dãy số   n u , biết 3 cos sin . n u n n  Dãy số   n u bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? A. 2; 2. mM    B. 1 ; 3 1. 2 mM     C. 3 1; 3 1. mM      D. 11 ; . 22 mM    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 38. Cho dãy số  , n u biết   25 1 .5 . n n n u   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số   n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số   n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số   n u bị chặn. D. Dãy số   n u không bị chặn. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 39. Cho dãy số  , n u với   1 1 1 ... , 1; 2; 3 . 1.4 2.5 3 n un nn        Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số   n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số   n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số   n u bị chặn. D. Dãy số   n u không bị chặn. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 40. Cho dãy số  , n u với 2 2 2 1 1 1 ... , 2; 3; 4; . 23 n un n       Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số   n u bị chặn trên và không bị chặn dưới. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 45 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 B. Dãy số   n u bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số   n u bị chặn. D. Dãy số   n u không bị chặn. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 41. Trong các dãy số   n u sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? A. 2 1. n un  B. 1 . n un n  C. 2 1. n n u D. . 1 n n u n   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 42. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào bị chặn? A. 1 . 2 n n u  B. 3. n n u  C. 1. n un  D. 2 . n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 43. Cho dãy số  , n u xác định bởi 1 * 1 6 . 6 , nn u u u n            Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 6. 2 n u  B. 6 3. n u  C. 6 2. n u  D. 6 2 3. n u   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 44. Cho dãy số  , n u với sin 1 n u n    . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 1 n  của dãy là 1 sin . 1 n u n     B. Dãy số   n u là dãy số bị chặn. C. Dãy số   n u là một dãy số tăng. D. Dãy số   n u không tăng không giảm. Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 46 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 45. Cho dãy số  , n u với   1. n n u  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số   n u là dãy số tăng. B. Dãy số   n u là dãy số giảm. C. Dãy số   n u là dãy số bị chặn. D. Dãy số   n u là dãy số không bị chặn. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP TỔNG ÔN TẬP  Bài 12 . Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số   n u cho bởi a). 23 2 n n u n    . b).   1 1 n u nn   . c). 2 4 n un  . d). 2 2 2 1 n nn u nn    . e). 2 2 n n u n n n   . f).   1 cos 2 n n u n   . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số 47 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 13. Xét tính bị chặn của các dãy số   n u cho bởi a).     1 1 1 ... 1.3 3.5 2 1 2 1 n u nn      . b). 2 2 2 1 1 1 ... 12 n u n n n n        . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 48 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. LÝ THUYẾ T 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là: ( n u ) là cấp số cộng 1 1, nn n u u d       Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Ví dụ 1. Trong các dãy số   n u sau, dãy nào là cấp số cộng a). 21 n un  . b).  12 n n un    . c). 1 1 3 1 nn u uu       với 1 n  . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 2. Các định lý cơ bản. a).Định lý 1:(tính chất của số hạng) Nếu ( n u ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 11 2 kk k uu u    Hệ quả: Ba số ,, abc (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng 2 a c b    . Ví dụ 2. Định x để 3 số 2 10 3 , 2 3,7 4 x x x    theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... b).Định lý 2:(số hạng tổng quát) Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tổng quát n u của nó được xác định bởi công thức sau:   1 1 n u u n d    §B À I 3. C ẤP S Ố C ỘNG Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 49 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Ví dụ 3. Cho cấp số cộng   n u với 5 21 43 171 u u      . a). Tìm d và 1 u . b). Tìm 29 u . c). 16123  là số hạng thứ bao nhiêu. d). 35  có thuộc cấp số cộng trên hay không? Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Định lý 3:(tổng của n số hạng) Giả sử   n u là một cấp số cộng có công sai d . Gọi 12 1 ... n n k n k S u u u u        ( n S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có :     1 1 21 22 n n n u n d n u u S      . Ví dụ 4. Cho dãy số   n u với 52 n un  . a). Chứng minh   n u là một cấp số cộng. b). Tìm 50 S . c). Biết 2576 n S  , tìm n . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 50 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA. DẠNG 1. Chứng minh một dãy số   n u là cấp số cộng. 1. Phương pháp. Để chứng minh dãy số   n u là một cấp số cộng, ta xét 1nn A u u   Nếu A là hằng số thì   n u là một cấp số cộng với công sai dA  . Nếu A phụ thuộc vào n thì   n u không là cấp số cộng. 2. Bài tập minh họa. Bài tập 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó: a). Dãy số   n u với 19 5 n un  b). Dãy số   n u với 31 n un    c). Dãy số   n u với 2 1 n u n n    d). Dãy số   n u với   1 10 n n un    d). 1 n n n u v v   với   2 21 n vn  . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 3. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A.1 ; 3; 7; 11; 15;     B. 1; 3; 6; 9; 12;     C. 1; 2; 4; 6; 8;  D. 1; 3; 5; 7; 9;     Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 51 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 2. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? A. 2 1 1 2 4 ; ;0; ; ;1; .... 3 3 3 3 3  B. 15 2;12 2;9 2;6 2;.... C. 4 7 9 11 ;1; ; ; ;.... 5 5 5 5 D. 1 2 3 4 3 5 ; ; 3; ; ;... 33 33 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 3. Cho dãy số 1 1 3 ;0; ; 1; ;..... 2 2 2    là cấp số cộng với: A. Số hạng đầu tiên là 1 2 , công sai là 1 . 2 B. Số hạng đầu tiên là 1 2 , công sai là 1 . 2  C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2  Lời giải: .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 4. Cho cấp số cộng có số hạng đầu 1 1 , 2 u  công sai 1 . 2 d  Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là: A. 11 ;0;1; ;1. 22  B. 111 ;0; ;0; . 222  C. 1 3 5 ;1; ;2; . 2 2 2 D. 1 1 3 ;0; ;1; . 2 2 2  Lời giải: .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 52 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 5. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17. B. 6;10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 6. Cho hai số 3  và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai 2. d  Tìm . n A. 12. n  B. 13. n  C. 14. n  D. 15. n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 7. Cho cấp số cộng   n u có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số cộng. A. 5 1. n un  B. 5 1. n un  C. 4 1. n un  D. 4 1. n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 8. Cho cấp số cộng   n u có 1 3 u  và 1 . 2 d  Khẳng định nào sau đây đúng? A.   1 3 1 . 2 n un     B. 1 3 1. 2 n un     C.   1 3 1 . 2 n un     D.   1 3 1 . 4 n un     Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 9. Cho cấp số cộng   n u có 3 15 u  và 2 d  . Tìm . n u A. 2 21. n un    B. 3 12. 2 n un    C. 3 17. n un    D. 2 3 4. 2 n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 53 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 10. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. 7 3 . n un  B. 7 3 . n n u  C. 7 . 3 n u n  D. 7.3 . n n u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 11. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A.     1 2 1 . n n un    B. sin . n u n   C. 1 1 1 . 1 nn u uu       D. 1 1 1 . 2 nn u uu       Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 12. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? A. 4 9. n un    B. 2 19. n un    C. 2 21. n un    D. 2 15. n n u    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... DẠNG 2: Tìm số hạng đầu tiên 1 u , công sai d của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên. 1. Phương pháp. Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn 1 u và d . Sau đó giải hệ phương trình này tìm được 1 u và d . Khi tìm số hạng thứ k , trước tiên ta tìm 1 u và d . Rồi áp dụng công thức:   1 1 k u u k d    Khi tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm 1 u và d . Sau đó áp dụng công thức:     1 1 2 ( 1) 22 k k k u k d k u u S    2. Bài tập minh họa.  Bài tập 2. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng: a). 5 9 19 35 u u      b). 2 3 5 46 10 26 u u u uu        c). 35 12 14 129 uu s      d). 6 22 24 8 16 u uu      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 54 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 55 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Bài tập 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: 1). 3 5 12 35 S S      2). 1 2 3 2 2 2 1 2 3 9 35 u u u u u u            3). 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 16 84 u u u u u u u u              4). 5 1 2 3 4 5 5 . . . . 45 S u u u u u      5). 4 1 2 3 4 20 1 1 1 1 25 24 S u u u u           6). 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 20 170 u u u u u u u u u u                7). 1 2 3 1 2 3 12 . . 8 u u u u u u         8). 15 34 5 3 65 . 72 uu uu          Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 56 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Bài tập rèn luyện.  Bài 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: a). 7 15 27 59 u u      b). 92 13 6 5 25 uu uu      c). 2 4 6 8 7 4 7 2 u u u u u u         d). 37 27 8 . 75 uu uu        e). 7 15 22 4 12 60 1170 uu uu      f). 2 2 2 1 2 3 3 155 21 u u u s          Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 57 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 2. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau, biết rằng: a). 12 18 34 45 S S      b). 5 10 10 5 u S      c). 20 10 5 5 3 2 S S S  d). 20 10 15 5 2 3 SS SS      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 58 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 59 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 13. Cho cấp số cộng   n u có 1 5 u  và 3. d  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 15 34. u  B. 15 45. u  C. 13 31. u  D. 10 35. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 14. Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? A. 4. d  B. 5. d  C. 6. d  D. 7. d  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 15. Cho cấp số cộng   n u có 1 4 u  và 5. d  Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. A. 100 24350. S  B. 100 24350. S  C. 100 24600. S  D. 100 24600. S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 16. Cho cấp số cộng   n u có 1 1 4 u  và 1 . 4 d  Gọi 5 S là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 5 . 4 S  B. 5 4 . 5 S  C. 5 5 . 4 S  D. 5 4 . 5 S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 17. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là 34 n un  với * n  . Gọi n S là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 31 . 2 n n S   B.   7 3 1 . 2 n n S   C. 2 35 . 2 n nn S   D. 2 3 11 . 2 n nn S   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 18. Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng: Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 60 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. 7650. B. 7500. C. 3900. D. 3825. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 19. Cho cấp số cộng   n u có 2 d  và 8 72. S  Tìm số hạng đầu tiên 1 . u A. 1 16. u  B. 1 16 . u  C. 1 1 . 16 u  D. 1 1 . 1 6 u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 20. Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là n u có giá trị là bao nhiêu? A. 57. n u  B. 61. n u  C. 65. n u  D. 69. n u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 21. Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? A. 2. d  B. 3. d  C. 4. d  D. 5. d  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 22. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 3 19 4 n nn S   với * n  . Tìm số hạng đầu tiên 1 u và công sai d của cấp số cộng đã cho. A. 1 1 2; . 2 ud    B. 1 3 4; . 2 ud    C. 1 3 ; 2. 2 ud     D. 1 51 ; . 22 ud  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 61 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 23. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 4 n S n n  với * n  . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số cộng đã cho. A. 2 3. n un  B. 3 2. n un  C. 1 5.3 . n n u   D. 1 8 5. . 5 n n u      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 24. Cho cấp số cộng   n u thỏa mãn 2 8 9 15 100. u u u u     Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. 16 100. S  B. 16 200. S  C. 16 300. S  D. 16 400. S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 25. Cho cấp số cộng   n u có 4 12 u  và 14 18. u  Tìm số hạng đầu tiên 1 u và công sai d của cấp số cộng đã cho. A. 1 21; 3. ud    B. 1 20; 3. ud     C. 1 22; 3. ud    D. 1 21; 3. ud     Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 26. Cho cấp số cộng   n u có 2 2001 u  và 5 1995 u  . Khi đó 1001 u bằng: A. 1001 4005. u  B. 1001 4003. u  C. 1001 3. u  D. 1001 1. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 27. Cho cấp số cộng   n u , biết: 1 1, 8 nn uu     . Tính công sai d cảu cấp số cộng đó. A. 9. d  B. 7. d  C. 7. d  D. 9. d  Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 62 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 28. Cho cấp số cộng  . n u Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: A. 10 20 5 10 . 2 uu uu   B. 90 210 150 2. u u u  C. 10 30 20 .. u u u  D. 10 30 20 . . 2 uu u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 29. Cho cấp số cộng   n u thỏa mãn 2 23 60. uu  Tính tổng 24 S của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. 24 60. S  B. 24 120. S  C. 24 720. S  D. 24 1440. S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 30. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. 2. d  B. 3. d  C. 4. d  D. 5. d  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 31. Cho cấp số cộng   n u thỏa mãn 73 27 8 . 75 uu uu      Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. 2 . 1 d  B. 1 . 3 d  C. 2. d  D. 3. d  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 63 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 32. Cho cấp số cộng   n u thỏa mãn 17 22 26 26 . 466 uu uu        Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 13 . 3 u d      B. 1 10 . 3 u d      C. 1 1 . 4 u d      D. 1 13 . 4 u d      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 33. Cho cấp số cộng   n u thỏa mãn 1 3 5 16 15 . 27 u u u uu        Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. 1 21 . 3 u d      B. 1 21 . 3 u d      C. 1 18 . 3 u d      D. 1 21 . 4 u d      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 34. Cho cấp số cộng   n u thỏa 2 4 6 23 36 . 54 uuu uu        Tìm công sai d của cấp số cộng   n u biết 10. d  A. 3. d  B. 4. d  C. 5. d  D. 6. d  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 35. Cho cấp số cộng   n u thỏa 1 2 3 222 1 2 3 27 275 u u u uuu            . Tính 2 . u A. 2 3. u  B. 2 6. u  C. 2 9. u  D. 2 12. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 64 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng, chứng minh đẳng thức: 1. Phương pháp. Định lý 1:(tính chất của số hạng) Nếu ( n u ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 11 2 kk k uu u    Hệ quả: Ba số ,, abc (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng 2 a c b    . 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 4. Cho ,, abc là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng: a). 22 22 a bc c ab    b).   2 2 82 a bc b c    c). 2 2 2 2 2 2 ,, a ab b a ac c b bc c       là cấp số cộng. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 5. Cho ,, abc là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh: a). 222 ,, a bc b ac c ab  cũng là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. b).         3 2 2 2 29 a b c a b c b a c c a b           Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 65 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 6. Cho 2 2 2 ,, abc lập thành 1 cấp số cộng có công sai khác không. Chứng minh rằng 1 1 1 ;; b c c a a b    cũng lập thành một cấp số cộng. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 7. Cho cấp số cộng : ,, abc . Chứng minh rằng:   1 1 1 ; ; , 0; 0; 0 abc b c c a a b       theo thứ tự đó cũng lập thành CSC. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 66 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... DẠNG 4. Tính tổng và tìm . x 1. Phương pháp. Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát   1 1 n u u n d    để tìm 1 u và công sai . d Sau đó áp dụng công thức tính tổng     1 1 21 22 n n n u n d n u u S      2. Bài tập minh họa.  Bài tập 8. Cho cấp số cộng: 1 2 3 ; ; ;.... u u u có công sai d . 1). Biết 2 22 40. uu  Tính 23 S 2). Biết 1 4 7 10 13 16 147. u u u u u u       Tính 6 11 uu  và 1 6 11 16 u u u u    3). Biết 4 8 12 16 224. u u u u     Tính: 19 S 4). Biết 23 57 29 uu  . Tính: 10 70 157 1 3 u u u u    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 67 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 9. Tính các tổng sau: a). 1 3 5 (2 1) (2 1) S n n            b). 1 4 7 (3 2) (3n 1) (3 4) S n n              c). 2 2 2 2 2 2 100 99 98 97 ... 2 1 S        Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Tính các tổng sau a). 15 20 25 ... 7515 A      . b). 2 2 2 2 2 2 1000 999 998 997 ... 2 1 B        . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 68 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 11 a). Cho phương trình 1 6 11 16 970 x        . Tìm x biết 1, 6, 11, , x  là một cấp số cộng. b). Giải phương trình         1 4 7 28 155 x x x x           , biết 1, 4, 7, , 28  là một cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Câu 36. Cho các số 4; 1; 6; x  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm . x A. 7. x  B. 10. x  C. 11. x  D. 12. x  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 37. Biết các số 1 2 3 ; ; n n n C C C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với 3. n  Tìm . n A. 5. n  B. 7. n  C. 9. n  D. 11. n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 69 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 38. Nếu các số 5 ; 7 2 ; 17 m m m    theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? A. 2. m  B. 3. m  C. 4. m  D. 5. m  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 39. Với giá trị nào của x và y thì các số 7; ; 11; xy  theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? A. 1; 21. xy  B. 2; 20. xy  C. 3; 19. xy  D. 4; 18. xy  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 40. Cho cấp số cộng   n u có 1 5 u  và 3. d  Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... DẠNG 5. Tìm các số hạng của cấp số cộng. 1. Phương pháp. Gọi 1 u là số hạng đầu là cấp số cộng, d là công sai thì cấp số cộng có dạng 1 1 1 1 ; ; 2 ; 3 .... u u d u d u d    Đặt biệt: Nếu dãy của cấp số cộng có 3 số hạng, 5 số hạng, 7 số hạng thì ta gọi như sau: 1 1 1 1 1 2 ; ; ; ; 2 u d u d u u d u d     Nếu dãy của cấp số cộng có 4 số hạng, 6 số hạng, 8 số hạng thì ta gọi như sau: 1 1 1 1 3 ; ; ; 3 u d u d u d u d     2. Bài tập minh họa.  Bài tập 12. Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm sáu số nữa để được một cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 70 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Bài tập 13. Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 14. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của chúng là 384. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 71 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a , và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 16. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng15 và tổng bình phương của chúng bằng 83 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 72 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 17. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng bằng 480 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 18. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 10 và tổng bình phương của chúng bằng 30 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 18. Một CSC có 7 số hạng với công sai d dương và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn lại của CSC đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 73 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Bài tập 19. Một CSC có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28 , tổng số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm CSC đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 20. Viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 để được CSC có tám số hạng. Tìm CSC đó Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 3. Bài tập rèn luyện.  Bài 3. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 4. Bốn số nguyên lập thành CSC, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch đảo của chúng bằng 25 24 . Tìm bốn số đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 5. Trong một cấp số cộng, đặt: 1 2 3 kk S u u u u         a). Biết m Sn  và n Sm  (với mn  ). Hãy tính mn S  . b). Biết mn SS  (với mn  ). Hãy tính mn S  Lời giải Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 74 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 6. Cho cấp số cộng 12 , ,..., ,... n u u u với công sai 0 d  và tất cả các số hạng đều dương. Chứng minh: 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 n n n n u u u u u u u u              Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 7. Một cấp số cộng có tính chất với mọi số nguyên dương m và n khác nhau, có các tổng m S và n S thỏa hệ thức: 2 2 m n S m Sn  . Chứng minh: 21 21 m n u m un    Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 8. Cho tam giác ABC có tan , tan , tan 2 2 2 A B C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Chứng minh cos ,cos ,cos A B C theo thứ tự cũng lập thành cấp số cộng. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 75 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 9. Cho ABC  có cot ,cot ,cot 2 2 2 A B C theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh: Ba cạnh ,, abc theo thứ tự cũng tạo thành một cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài 10. Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số ,, x y z cũng lập thành một cấp số cộng, với: 2 x a bc  , 2 y b ca  , 2 z c ab  . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 76 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Bài 11. Cho cấp số cộng: 12 ; ;... aa có công sai d .CMR: a).   32 3 n n n S S S  b). 4 2 6 1 3 n n n S S S  Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 5. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 41. Tính tổng   1 2 3 4 5 ... 2 1 2 S n n          với 1 n  và . n  A. 0. S  B. 1. S  C. . Sn  D. . Sn  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 42. Tính tổng 15 20 25 ... 7515. T      A. 5651265. T  B. 5651256. T  C. 5651625. T  D. 5651526. T  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 43. Tính tổng 2 2 2 2 2 2 1000 999 998 997 ... 2 1 . T        A. 500500. T  B. 500005. T  C. 505000. T  D. 500050. T  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 77 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 44. Cho cấp số cộng 1 2 3 ; ; ; ; n u u u u có công sai , d các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số 1 2 3 1 1 1 1 ; ; ; ; n u u u u là một cấp số cộng? A. 1. d  B. 0. d  C. 1. d  D. 2. d  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 45. Nếu ; ; a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2 2 2 2 ; ; . b a c B. 2 ; 2 ; 2 . bac    C. 2 ; ; . b a c D. 2 ; ; . bac  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 46. Nếu 1 1 1 ; ; b c c a a b    theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2 2 2 ; ; . b a c B. 2 2 2 ; ; . c a b C. 2 2 2 ; ; . a b c D. 2 2 2 ; ; . a c b Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 47. Cho ; ; a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 2 2 2 4 . a c ac b    B. 22 2 2 . a c ab bc    C. 22 . a c ab bc    D. 22 2 2 . a c ab bc    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 78 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 48. Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20  và 70 .  B. 45  và 45 .  C. 20  và 45 .  D. 30  và 60 .  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 49. Ba góc   ,, A B C A B C  của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng: A. 40 .  B. 45 .  C. 60 .  D. 80 .  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 50. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: A. 13 ; 1; . 22 B. 15 ; 1; . 33 C. 35 ; 1; . 44 D. 17 ; 1; . 44 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 51. Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế? A. 1635. B. 1792. C. 2055 . D. 3125 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 79 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 52. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,...Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 73. B. 75. C. 77 . D.79 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 53. Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông? A. 78. B. 156. C. 300 . D. 48 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 54. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? A. 98. B. 100. C. 102. D. 104. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 55. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 80 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 56. (Quỳnh Lưu Nghệ An) Một cơ sở khoan giếng đưa ra đinh mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 8800000. B. 7700000. C. 9980000. D. 6670000. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 57. (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Một vườn trồng cây giống có dạng tam giác. Biết rằng hàng đầu tiên trồng 5 cây giống và cứ hàng sau được trồng nhiều hơn hàng đứng liền trước nó là 3 cây. Hỏi hàng thứ 10 có bao nhiêu cây giống được trồng? A. 53. B. 48. C. 35. D. 32. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 58. (Đặng Thành Nam) Sinh nhật lần thứ 18 của An vào ngày 01 tháng 05 năm 2019. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2019. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau An bỏ ống heo nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 04 năm 2019)? A. 4095000 đồng. B. 89000 đồng. C. 4005000 đồng. D. 3960000 đồng. Lời giải Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 81 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 80. (THPT Kim Liên 2018) Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho người lao động theo phương thức sau: Người lao động sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm. Hãy tính tổng số tiền lương một người lao động được nhận sau 5 năm làm việc cho công ty. A. 210 triệu đồng. B. 100 triệu đồng. C. 120 triệu đồng. D. 420 triệu đồng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... TỔNG ÔN TẬP CẤP SỐ CỘNG Bài 12. Cho cấp số cộng   n u với 1 1 9 5 nn u uu       . Tìm 25 u . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 13. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp sống cộng   n u , biết a). 92 13 6 5 25 uu uu      . b). 1 3 5 16 10 7 u u u uu        . c). 37 27 8 75 uu uu        . d). 53 26 4 11 uu uu      . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 82 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Bài 14. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp sống cộng   n u , biết a). 2 4 6 23 36 54 uuu uu        . b). 1 2 3 1 2 3 9 21 u u u uu u        . c). 17 22 37 4 122 uu uu        . d). 1 2 3 222 1 2 3 27 275 u u u uuu            . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 83 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Bài 15. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp sống cộng   n u , biết a). 35 12 14 129 uu S      . b). 16 21 10 152 2 3 3 S SS        c). 1 5 10 1 5 u SS      . d). 5 2 5 47 0,1 0,1 S S u Su        . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 84 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Bài 16. Cho cấp số cộng   n u , biết 2015 2016 500 uu  . Tính tổng 4030 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 17. Cho một cấp số cộng có bảy số hạng với công sai dương và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 18. Tính tổng của tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 105và số hạng cuối bằng 999. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 85 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 19. Cho dãy số   n u xác định bởi   1 1 2 3 2 1 nn u u u n n            . Xét dãy số   n v , biết 1 n n n v u u   ,   1 n  . a). Chứng minh   n v là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b). Tìm số hạng tổng quát của dãy số   n u . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 20. Cho cấp số cộng 12 , , , n u u u , trong đó 0 i u  với mọi 1, 2, , in  . Chứng minh rằng a). 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 n n n n uu u u u u uu       . b). 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n n uu u u u u u u u u u u u              . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 86 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Bài 21. Cho cấp số cộng 12 , , , n u u u , trong đó 0 i u  với mọi 1, 2, , in  . Chứng minh rằng 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 ... n n n n u u u u u u u u           . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 22. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình a). 32 30 x x mx b     có ba nghiệm lập thành cấp số cộng. b).   42 2 1 2 1 0 x m x m      có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Cấp Số Cộng 87 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 88 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. LÝ THUYẾ T 1. Định nghĩa. Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:   n u là cấp số nhân   1 .1 nn u u q n     Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Đặt biệt  Khi 0, q  cấp số nhân có dạng 1 ,0,0,...,0,... u  Khi 1, q  cấp số nhân có dạng 1 1 1 1 , , ,..., ,... u u u u  Khi 1 0, u  thì với mọi q , cấp số nhân có dạng 0,0,0,...,0,...  Ví dụ 1. Trong các dãy số   n u sau, dãy số nào là cấp số nhân a).   31 1 .3 n n n u   . b). 3 n un  . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 2. Số hạng tổng quát. Định lý 1: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu 1 u và công bội 0 q  thì số hạng tổng quát   n u của nó được tính bởi công thức:   1* 1 , .2 n n u u q n n       Ví dụ 2. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp sống nhân   n u , biết a). 51 42 15 6 uu uu      . b). 20 17 35 8 240 uu uu      . c). 1 3 5 17 65 325 u u u uu        . d). 2 4 5 3 5 6 10 20 u u u u u u          . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... §B À I 4. C ẤP S Ố NHÂN Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 89 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Tính chất các số hạng. Định lý 2: Nếu   n u là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: 2 11 . k k k u u u   với   * , 2 nn    Hệ quả: Nếu là ba số ,, abc khác 0 , thì “ba số ,, abc (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi 2 . b ac   Ví dụ 3. Các số 6 , 5 2 , 8 x y x y x y  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số 1, 2, 3 x y x y    theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm x và y . Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 90 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 4. Tổng n số hạng đầu tiên. Định lý 3: Giả sử   n u là một cấp số nhân có công bội 0 q  . Gọi 12 1 ... n n k n k S u u u u        ( n S là tổng cuả n số hạng đầu tiên của cấp số nhân). Ta có: 1 1 ;1 1 ;1 1 n n n S nu q q S u q q             Ví dụ 4. Cho cấp số nhân có 15 26 51 102 uu uu      . a). Tìm số hạng đầu tiên và công bội. b). Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên. c). Tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 765. d). Số 12288 là số hạng thứ mấy? Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA. DẠNG 1: Chứng minh một dãy   n u là cấp số nhân. 1. Phương pháp. Cách 1. Chứng minh   1 .1 nn u u q n     trong đó q là một số không đổi. Cách 2. Nếu 0 n u  với mọi nN   thì ta lập tỉ số 1 n n u T u    T là hằng số thì 0 n u  là cấp số nhân có công bội qT  .  T phụ thuộc vào n thì   n u không là cấp số nhân. 2. Bài tập minh họa. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 91 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 1. Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bội của cấp số nhân đó: a). 21 ( 3) n n u   b). 32 ( 1) .5 nn n u   c). 1 2 1 2 nn u uu       d). 1 1 3 9 n n u u u         Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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.........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 2. Cho dãy số   n u xác định bởi   1 1 2 4 9, 1 nn u u u n           . a). Chứng minh dãy số   n v với 3 nn vu  , 1 n  là một cấp số nhân. b). Tìm công thức tổng quát của dãy số   n u . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 92 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Bài tập 3. Cho dãy số   n u xác định bởi     1 1 1 3 1 , 1 3 n n u nu un n            . a). Chứng minh dãy số   n v với n n u v n  là một cấp số nhân. b). Tìm công thức tổng quát của dãy số   n u . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 4. Cho dãy số   n u xác định bởi   1 1 0 23 , 1 4 n n n u u un u           . a). Chứng minh dãy số   n v với 1 3 n n n u v u    là một cấp số nhân. b). Tìm công thức tổng quát của dãy số   n u . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 93 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 5. Cho dãy số   n u xác định bởi   12 1 1 2004, 2005 2 , 2 3 nn n uu uu un           . a). Chứng minh dãy số   n v với 1 n n n v u u   là một cấp số nhân. b). Tìm công thức tổng quát của dãy số   n v . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 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Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 128; 64; 32; 16; 8; ...  B. 2; 2; 4; 4 2; .... C. 5; 6; 7; 8; ... D. 1 15; 5; 1; ; ... 5 Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 94 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A. 2; 4; 8; 16; B. 1; 1; 1; 1;  C. 2 2 2 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; D.   35 ; ; ; 0 . a a a a  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 3. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2; 4; 8; B. 234 3; 3 ; 3 ; 3 ; C. 11 4; 2; ; ; 24 D. 24 1 1 1 ; ; ;    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 4. Dãy số 3 3 . n n u  là một cấp số nhân với: A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1. C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2. D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 5. Cho cấp số nhân   n u với 1 2 u  và 5. q  Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 95 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. 2; 10; 50; 250.  B. 2; 10; 50; 250.  C. 2; 10; 50; 250.     D. 2; 10; 50; 250.  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 6. Cho cấp số nhân 1 1 1 1 ; ; ; ; . 2 4 8 4096 Hỏi số 1 4096 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho? A. 11. B. 12 . C. 10 . D. 13 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36 . Số hạng tiếp theo là: A. 720 . B. 81. C. 64 . D. 56 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 8. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A. 1 1 1 . 1, 1 nn u u u n         B. 1 1 1 . 3 , 1 nn u u u n         C. 1 1 2 . 2 3, 1 nn u u u n         D. 1 2 . sin , 1 1 n u un n                Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 9. Cho dãy số   n u với 3 .5 . 2 n n u  Khẳng định nào sau đây đúng? Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 96 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A.   n u không phải là cấp số nhân. B.   n u là cấp số nhân có công bội 5 q  và số hạng đầu 1 3 . 2 u  C.   n u là cấp số nhân có công bội 5 q  và số hạng đầu 1 15 . 2 u  D.   n u là cấp số nhân có công bội 5 2 q  và số hạng đầu 1 3. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 10. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 2 1 . 3 n n u   B. 1 1. 3 n n u C. 1 . 3 n un  D. 2 1 . 3 n un  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 11. Trong các dãy số   n u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 7 3 . n un  B. 7 3 . n n u  C. 7 . 3 n u n  D. 7.3 . n n u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 12. Cho dãy số   n u là một cấp số nhân với * 0, . n un  Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1 3 5 ; ; ; ... u u u B. 1 2 3 3 ; 3 ; 3 ; ... u u u C. 1 2 3 1 1 1 ; ; ; ... u u u D. 1 2 3 2; 2; 2; ... u u u    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 97 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 13. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số nhân đã cho. A. 1 3. n n u   B. 3. n n u  C. 1 3. n n u   D. 3 3 . n n u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 14. Tìm x để các số 2; 8; ; 128 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 14. x  B. 32. x  C. 64. x  D. 68. x  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 15. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; ; 9 x  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? A. 36. x  B. 13 . 2 x  C. 6. x  D. 36. x  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 16. Tìm 0 b  để các số 1 ; ; 2 2 b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1. b  B. 1. b  C. 2. b  D. 2. b  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 17. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 1; ; 2 1 x x x  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1 . 3 x  B. 1 . 3 x  C. 3. x  D. 3. x  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 98 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 18. Tìmx để ba số 1 ; 9 ; 33 x x x    theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. 1. x  B. 3. x  C. 7. x  D. 3; 7. xx  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 19. Với giá trị , xy nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; ; 18; xy  theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? A. 6 . 54 x y      B. 10 . 26 x y      C. 6 . 54 x y      D. 6 . 54 x y      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 20. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192. xy Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1; 144. xy  B. 2; 72. xy  C. 3; 48. xy  D. 4; 36. xy  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 21. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; ; ; 320 xy theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 25 . 125 x y      B. 20 . 80 x y      C. 15 . 45 x y      D. 30 . 90 x y      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 22. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 6; xx  và . y Tìm y , biết rằng công bội của cấp số nhân là 6. A. 216. y  B. 324 . 5 y  C. 1296 . 5 y  D. 12. y  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 99 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 23. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 21 x  và 2 4 1. x  Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A. 2 1. x  B. 2 1. x  C. 32 8 4 2 1. x x x    D. 32 8 4 2 1. x x x    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 24. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho. A. 3. q  B. 3. q  C. 2. q  D. 2. q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 25. Cho cấp số nhân   n u có 1 3 u  và 2 . 3 q  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5 27 . 16 u  B. 5 16 . 27 u  C. 5 16 . 27 u  D. 5 27 . 16 u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 26. Cho cấp số nhân   n u có 1 2 u  và 2 8 u  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 6 130. S  B. 5 256. u  C. 5 256. S  D. 4. q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 100 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 27. Cho cấp số nhân   n u có 1 3 u  và 2 q  . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 28. Cho cấp số nhân   n u có 1 1 u  và 1 10 q  . Số 103 1 10 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 29. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A. 18. B. 17 . C. 16 . D. 9 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 30. Cho cấp số nhân   n u có 81 n u  và 1 9. n u   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 9 q  B. 9. q  C. 9. q  D. 1 . 9 q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 31. Một dãy số được xác định bởi 1 4 u  và 1 1 , 2. 2 nn u u n     Số hạng tổng quát n u của dãy số đó là: Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 101 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. 1 2. n n u   B.   1 2. n n u   C.   1 4 2 . n n u   D. 1 1 4. 2 n n u        Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 32. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng 1 2 , công bội bằng 1 4 . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu? A. 4096 . B. 2048 . C. 1024. D. 1 512 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 33. Cho cấp số nhân   n u có 2 6 u  và 6 486. u  Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho, biết rằng 3 0. u  A. 3. q  B. 1 . 3 q  C. 1 . 3 q  D. 3. q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 34. Cho cấp số nhân 1 2 3 ; ; ; u u u với 1 1. u  Tìm công bội q để 2 4u + 3 5u đạt giá trị nhỏ nhất? A. 2 . 5 q  B. 0. q  C. 2 . 5 q  D. 1. q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 35. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 2. n n u   B. 2 n n u  C. 1 2. n n u   D. 2. n un  Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 102 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 36. Cho cấp số nhân   n u có công bội . q Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 1 .. k k u u q   B. 11 . 2 kk k uu u    C. 12 .. k k k u u u   D.   1 1. k u u k q    Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 37. Cho cấp số nhân   n u có 1 0 u  và 0. q  Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 3 74 .. u u q  B. 4 74 .. u u q  C. 5 74 .. u u q  D. 6 74 .. u u q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 38. Cho cấp số nhân   n u có 1 0 u  và 0. q  Với 1, km  đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. .. k mk u u q  B. .. m mk u u q  C. .. mk mk u u q   D. .q . mk mk uu   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 39. Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. 1 15 2 14 . . . u u u u  B. 1 15 5 11 . . . u u u u  C. 1 15 6 9 . . . u u u u  D. 1 15 12 4 . . . u u u u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 40. Cho một cấp số nhân có n số hạng   55 . nk  Đẳng thức nào sau đây sai? A. 1 2 1 . . . nn u u u u   B. 1 5 4 . . . nn u u u u   C. 1 55 55 . . . nn u u u u   D. 11 . . . n k n k u u u u   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 41. Một cấp số nhân có ba số hạng là , , a b c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội 0. q  Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2 11 . a bc  B. 2 11 . b ac  C. 2 11 . c ba  D. 1 1 2 . a b c  Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 103 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... DẠNG 2: Xác định số hạng đầu, công bội, xác định số hạng thứ k , tính tổng của n số hạng đầu tiên: 1. Phương pháp. Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu 1 u , giải hệ phương trình này tìm được q và 1 u . Để xác định số hạng thứ k , ta sử dụng công thức: 1 1 . k k u u q   . Để tính tổng của n số hạng , ta sử dụng công thức: 1 1 . , 1 1 n n q S u q q    . Nếu 1 q  thì 1 2 3 ... u n u u u     , do đó 1 n S nu  . 2. Bài tập minh họa. Bài tập 6. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: a). 1 2 3 4 5 6 135 40 u u u u u u          b). 2 3 6 43. u S      Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Tìm số hạng đầu và công bội của cấp sống nhân   n u , biết a). 1 8 8 1 31 2 u S         . b). 4 8 40 680 S S      . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 104 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 8. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp sống nhân   n u , biết a). 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 1 1 1 1 1 49 35 u u u u u u u u u u uu                   . b). 1 2 3 1 2 3 14 . . 64 u u u u u u        . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 105 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 9. Tìm công bội của cấp sống nhân   n u , biết a). 1 2 3 222 1 2 3 26 364 u u u uuu            . b). 1 2 3 4 2222 1 2 3 4 15 85 u u u u uuuu              . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 106 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 10. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: a). 42 53 72 144 uu uu      b). 1 3 5 17 65 325 u u u uu        c). 35 26 90 240 uu uu      d). 1 2 3 1 2 3 14 . . 64 u u u u u u        e). 1 2 3 1 2 3 21 1 1 1 7 12 u u u u u u            f). 1 2 3 4 2222 1 2 3 4 30 340 u u u u uuuu              Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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......................................................................................................................................................................................................... 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 42. Tìm số hạng đầu 1 u và công bội q của cấp số nhân  , n u biết 6 7 192 . 384 u u      Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 107 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A. 1 5 . 2 u q      B. 1 6 . 2 u q      C. 1 6 . 3 u q      D. 1 5 . 3 u q      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 43. Cho cấp số nhân   n u thỏa mãn 42 53 36 . 72 uu uu      Chọn khẳng định đúng? A. 1 4 . 2 u q      B. 1 6 . 2 u q      C. 1 9 . 2 u q      D. 1 9 . 3 u q      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 44. Cho cấp số nhân   n u thỏa mãn 20 17 15 8 . 272 uu uu      Chọn khẳng định đúng? A. 2. q  B. 4. q  C. 4. q  D. 2. q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 45. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 1 . 16 Tìm số hạng đầu 1 u và công bội q của cấp số nhân đã cho. A. 1 1 . 2 2 u q        B. 1 2 . 1 2 u q        C. 1 2 . 1 2 u q        D. 1 1 . 2 2 u q        Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 108 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 46. Cho cấp số nhân   n u thỏa 1 3 5 17 65 325 u u u uu        . Tính 3 . u A. 3 10. u  B. 3 15. u  C. 3 20. u  D. 3 25. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 47. Cho cấp số nhân   n u thỏa 1 2 3 1 2 3 14 . . . 64 u u u u u u        Tính 2 . u A. 2 4. u  B. 2 6. u  C. 2 8. u  D. 2 10. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 48. Cho cấp số nhân   n u có công bội q và thỏa 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 1 1 1 1 1 49 35 u u u u u u u u u u uu                   . Tính 2 1 4. P u q  A. 24. P  B. 29. P  C. 34. P  D. 39. P  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 109 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Câu 49. Cho cấp số nhân   n u có công bội q và thỏa 1 2 3 222 1 2 3 26 364 u u u uuu            . Tìm q biết rằng 1. q  A. 5 . 4 q  B. 4. q  C. 4 . 3 q  D. 3. q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Dạng 3: Tìm cấp số nhân   n u dựa vào các tính chất. 1. Phương pháp. Gọi 2 1 1 1 , , ..... u uq uq là cấp số nhân cần tìm hoặc , , ... abc là cấp số nhân cần tìm. Dựa vào tính chất 2 . b ac  để thiết lập phương trình. 2. Bài tập minh họa. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 110 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 11. Tìm , ab biết rằng: 1, , ab là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và 22 1, , ab là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 12. Tìm số hạng đầu của CSN biết công bội bằng 3 , tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 13. Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21 . Nếu thêm 2,3,9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 14. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 111 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 15. Cho ,3, xy theo thứ tự lập thành cấp số nhân và 4 3. xy  Tìm , xy . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 16. a). Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm 4 số đó. b). Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 17. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216 . Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 112 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 18. Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 19. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35 , còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560 . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 20. Tìm các số dương a và b sao cho , 2 ,2 a a b a b  lập thành một cấp số cộng và     22 1 , 5, 1 b ab a    lập thành một cấp số nhân. Lời giải Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 113 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 21. Cho một cấp số nhân có bảy số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng thứ hai của cấp số nhân đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 22. Tìm ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng. Tìm các số đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 23. Tìm ba số khác nhau tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6 , biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 114 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 24. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối bằng 37 , tổng của hai số hạng giữa bằng 36 . Tìm bốn số đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Cho ba số khác nhau lập thành cấp số cộng, bình phương các số đó lập thành cấp số nhân. Tìm các số đó. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 115 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 26. Tìm các số dương x , y sao cho 2 1, 2 , 2 1 x x y y    theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số   2 3 , 4 y xy  ,   2 1 x  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm x và y . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 5. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 50. Các số 6 , 5 2 , 8 x y x y x y  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số 1, 2, 3 x y x y    theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 22 . xy  A. 22 40. xy  B. 22 25. xy  C. 22 100. xy  D. 22 10. xy  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 51. Ba số ; ; x y z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số ; 2 ; 3 x y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q . A. 1 . 3 q  B. 1 . 9 q  C. 1 . 3 q  D. 3. q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 116 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 52. Cho dãy số tăng   , , a b c c  theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời , 8, a b c  theo thứ tự lập thành cấp số cộng và , 8, 64 a b c  theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức 2. P a b c    A. 184 . 9 P  B. 64. P  C. 92 . 9 P  D. 32. P  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 53. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm . q A. 2. q  B. 2. q  C. 3 . 2 q  D. 3 . 2 q  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 54. Cho bố số , , , a b c d biết rằng ,, abc theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội 1 q  ; còn ,, b c d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng 14 ad  và 12. bc  A. 18 73 . 24 q   B. 19 73 . 24 q   C. 20 73 . 24 q   D. 21 73 . 24 q   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 117 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 55. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng: A. 0 56 . B. 0 102 . C. 0 252 . D. 0 168 . Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Dạng 4: Tính tổng của một dãy   n u là cấp số nhân. 1. Phương pháp. Tìm số hạng đầu 1 u và công bội q . Áp dụng công thức tổng   1 1 .1 1 n n q S u q q    Đặc biệt : Đối với dãy số ... ... n so a S a aa aaa aa a      ta làm như sau. Nếu 10 a  thì áp dụng trực tiếp   1 1 .1 1 n n q S u q q    với 1 10, 10 uq  Nếu   10 1,2....9,11 aa  thì ta tách về số 10 bằng cách 9 10 1  2 99 100 1 10 1     3 999 1000 1 10 1     Hoặc   88 8 .9 10 1 99        2 8 8 8 88 .99 100 1 10 1 9 9 9      … 2. Bài tập minh họa. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 118 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 27. Tính các tổng sau a). 2 100 1 S          . b). 2 1 1 1 1 ... 2 2 2 n S      . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 28. Tính các tổng sau a). n so 9 9 99 999 ... 99...9 S      . b). n so 7 7 77 777 ... 77...7 S      . c). n so 5 15 155 1555 ... 1555...5 S      Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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.......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 29. Tính các tổng sau a).   2 1 2.3 3.3 ... 1 .3 n Sn       . b).   2 1 4.5 7.5 ... 3 2 .5 n Sn       . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 119 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 30. Tính tổng 2 2 2 2 2 1 1 1 ... n n S x x x x x x                          với 0 x  . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 31. Tính các tổng sau: a). 23 2 2 2 2 n n S         b). 23 1 1 1 1 2 2 2 2 n n S         c). 2 2 2 1 1 1 3 9 3 3 9 3 n n n S                             d). so 6 6 66 666 666...6 n n S         Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 120 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 3. Bài tập rèn luyện Bài 1. Cho tổng 1 11 111 111...1 n A         . Chứng minh rằng   1 10 9 1 1 81 n n A      Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 2. Tính tổng 7 77 777 777...7 n B         Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài 3. Cho cấp số nhân có số hạng đầu 1 0 u  và 0, 1 qq    . Gọi n S là tổng của n số hạng đầu tiên. Chứng minh:     2 3 2 2 n n n n n S S S S S  Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 121 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... 6. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 56. Cho cấp số nhân   n u có 1 3 u  và 2. q  Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. 10 511. S  B. 10 1025. S  C. 10 1025. S  D. 10 1023. S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 57. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64; Gọi n S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 4. n n S   B.   1 14 . 2 n n n S    C. 41 . 3 n n S   D.   4 4 1 . 3 n n S   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 58. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 11 ; ; 1; ; 2048. 42 Tính tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho. A. 2047,75. S  B. 2049,75. S  C. 4095,75. S  D. 4096,75. S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 59. Tính tổng     1 2 4 8 16 32 64 ... 2 2 nn S              với 1, . nn  A. 2. Sn  B. 2. n S  C.   2 1 2 . 12 n S    D.   12 2. . 3 n S   Lời giải. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 122 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 60. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối 6 u của cấp số nhân đã cho. A. 6 32. u  B. 6 104. u  C. 6 48. u  D. 6 96. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 61. Cho cấp số nhân   n u có 1 6 u  và 2. q  Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm . n A. 9. n  B. 10. n  C. 11. n  D. 12. n  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 62. Cho cấp số nhân   n u có tổng n số hạng đầu tiên là 5 1. n n S  Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho. A. 4 100. u  B. 4 124. u  C. 4 500. u  D. 4 624. u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 63. Cho cấp số nhân   n u có tổng n số hạng đầu tiên là 1 31 . 3 n n n S    Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho. A. 5 4 2 . 3 u  B. 5 5 1 . 3 u  C. 5 5 3. u  D. 5 5 5 . 3 u  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 123 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 64. Cho cấp số nhân   n u có 2 2 u  và 5 54. u  Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. 1000 1000 13 . 4 S   B. 1000 1000 31 . 2 S   C. 1000 1000 31 . 6 S   D. 1000 1000 13 . 6 S   Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 65. Cho cấp số nhân   n u có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 13 . Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của cấp số nhân là một số dương. A. 5 181 . 16 S  B. 5 141. S  C. 5 121. S  D. 5 35 . 16 S  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 66. Gọi 9 99 999 ... 999...9 S      (n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. 10 1 . 9 n S   B. 10 1 10 . 9 n S      C. 10 1 10 . 9 n Sn      D. 10 1 10 . 9 n Sn      Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 67. Gọi 1 11 111 ... 111...1 S      (n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. 10 1 . 81 n S   B. 10 1 10 . 81 n S      C. 10 1 10 . 81 n Sn      D. 1 10 1 10 . 99 n Sn         Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 68. Biết rằng 2 10 21.3 1 2.3 3.3 ... 11.3 . 4 b Sa        Tính . 4 b Pa  A. 1. P  B. 2. P  C. 3. P  D. 4. P  Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 124 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Vấn đề 5: Chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân 1. Phương pháp. Dựa vào tính chất ,, abc là cấp số nhân 2 . b ac  Biến đổi vế trái thành vế phải. Hoặc biến đổi tương đương 0 A B A B     2. Ví dụ minh họa.  Bài tập 32. Cho , , , a b c d là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: a).     33 ab bc ca abc a b c      b).       2 2 2 2 2 a b b c ab bc     c).     2 2 2 a b c a b c a b c        d).         2 2 2 2 b c c a d b a d        e). 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c a b c abc         Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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.........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 33. Cho ba số dương ,, abc lập thành CSN. Chứng minh:     3 11 ,, 33 a b c ab bc ca abc     cũng lập thành CSN. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 125 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 34. Cho 3 số ,, abc là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a b b c ab bc     Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................  Bài tập 35. Cho ,, abc là CSC thỏa 3 4 abc     . Chứng minh tan , tan , tan abc theo thứ tự đó lập thành CSN. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 36. Chứng minh rằng nếu , , a b c lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi 1 1 1 , , abc lập thành một cấp số nhân. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 37. Cho , , a b c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 126 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 a).       2 2 2 2 2 a b b c ab bc     . b).   2 22 4 8 4 2 2 a ab bc c a b c       . c).     2 2 2 a b c a b c a b c        . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Cho , , , a b c d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng a).         2 2 2 2 b c c a d b a d        . b).       2 2 2 2 2 2 2 ab bc cd a b c b c d        . c). 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c a b c abc         . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 127 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 39. Cho ba số 2 1 2 , , b a b b c  ( 0, , b b a b c    ) tạo thành cấp số cộng. Chứng minh , , a b c tạo thành cấp số nhân. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 40. Trong tam giác ABC có , , AB c BC a CA b  . Các cạnh , , a b c theo thứ tự lập thành cấp cố cộng. Chứng minh rằng a). sin sin 2sin A C B  . b). 1 tan .tan 2 2 3 AC  . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... 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Cho , , A B C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng nếu tan , tan , t an 2 2 2 A B C lập thành một cấp số cộng thì cos , cos , cos A B C cũng lập thành một cấp số cộng. Lời giải Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 128 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 42. Trong tam giác ABC có , , AB c BC a CA b  . Chứng minh rằng nếu cot , cot , cot 2 2 2 A B C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh , , a b c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 43. Cho tam giác ABC thỏa mãn tan , tan , tan A B C theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng a). tan .tan 3 AC  . b).   cos 2cos A C B  . Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 129 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Bài tập 44. Trong tam giác ABC có , , AB c BC a CA b  . Chứng minh rằng nếu cot , cot , cot A B C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh 2 2 2 , , a b c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng. Lời giải .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... TOÁN THỰC TẾ 7. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 69. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 2 12 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 2 6. m B. 2 8. m C. 2 10 . m D. 2 12 . m Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... Câu 70. Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng. C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng. Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III. Bài 4. Cấp Số Nhân 130 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải. .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................