Chuyên đề Số phức – Toán lớp 12

ctvtoan5 5 năm trước 187 lượt xem 5 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Chuyên đề Số phức – Toán lớp 12". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

MỤCLỤC CH×ÌNG 4 SÈ PHÙC 1 1 DNG I SÈ CÕA SÈ PHÙC V CC PHP TON 1 A TÂM TT LÞ THUYT 1 1 ành ngh¾a 1 2 Hai sè phùc b¬ng nhau 1 3 Biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc 1 4 Biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc 2 5 Mæ-un cõa sè phùc 2 6 Sè phùc li¶n hñp 2 7 Cëng, trø, nh¥n, chia sè phùc 3 B DNG TON V BI TP 4 D¤ng 1. B i to¡n quy v· gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh nghi»m thüc 4 1 C¡c v½ dö minh håa 4 2 B i tªp ¡p döng 5 D¤ng 2. X¡c ành c¡c y¸u tè cì b£n cõa sè phùc qua c¡c ph²p to¡n 10 1 C¡c v½ dö minh håa 10 2 B i tªp ¡p döng 11 D¤ng 3. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc 12 1 B i tªp ¡p döng 13 D¤ng 4. B i to¡n sû döng b§t ¯ng thùc trong sè phùc 14 1 C¡c v½ dö minh håa 14 2 B i tªp ¡p döng 16 C C U HÄI TRC NGHIM 20 1 NHN BIT 20https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 2 P N 51 3 THÆNG HIU 52 4 P N 63 5 VN DÖNG THP 63 6 P N 70 7 VN DÖNG CAO 70 8 P N 71 2 BIU DIN HNH HÅC CÕA SÈ PHÙC V BI TON LIN QUAN 72 A Ki¸n thùc cì b£n 72 B B i tªp vªn döng 72 D¤ng 1. Tªp hñp iºm cõa sè phùc l ÷íng th¯ng v c¡c b i to¡n li¶n quan 78 D¤ng 2. Tªp hñp iºm cõa sè phùc l ÷íng trán, h¼nh trán, h¼nh v nh kh«n 81 D¤ng 3. Tªp hñp iºm cõa sè phùc l el½p 89 C B i tªp vªn döng 89 D¤ng 4. B i to¡n li¶n quan ¸n gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t 90 D B i tªp vªn döng 91 D¤ng 5. Sû döng b¼nh ph÷ìng væ h÷îng 98 1 B i tªp ¡p döng 99 D¤ng 6. Sû döng h¼nh chi¸u v t÷ìng giao 102 1 C¡c v½ dö minh håa 102 2 B i tªp ¡p döng 104 E C U HÄI TRC NGHIM 108 1 NHN BIT 108 2 P N 117 3 THÆNG HIU 117 4 P N 156 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 5 VN DÖNG THP 157 6 P N 191 7 VN DÖNG CAO 191 8 P N 203 3 PH×ÌNG TRNH BC HAI TRN TP SÈ PHÙC 204 A Ki¸n thùc cì b£n 204 1 C«n bªc hai cõa sè phùc 204 2 C¡c v½ dö minh håa 204 3 B i tªp ¡p döng 204 4 C¡c d¤ng to¡n 206 D¤ng 1. Ph÷ìng tr¼nh bªc hai vîi h» sè phüc 206 1 B i tªp ¡p döng 206 D¤ng 2. T¼m c¡c thuëc t½nh cõa sè phùc thäa m¢n i·u ki»n K 210 1 C¡c v½ dö 210 2 B i tªp ¡p döng 211 D¤ng 3. Biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc v b i to¡n li¶n quan 226 D¤ng 4. Ph÷ìng tr¼nh bªc hai v bªc cao trong sè phùc 239 1 C¡c v½ dö 239 2 B i tªp ¡p döng 239 D¤ng 5. Ph÷ìng tr¼nh quy v· bªc hai 245 D¤ng 6. D¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc 248 B C U HÄI TRC NGHIM 253 1 NHN BIT 253 2 P N 257 3 THÆNG HIU 257 4 P N 274 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra5 VN DÖNG THP 274 6 P N 298 7 VN DÖNG CAO 298 8 P N 303CHƯƠNG4 SỐPHỨC BÀI1. DẠNGĐẠISỐCỦASỐPHỨCVÀCÁCPHÉP TOÁN A TÓMTẮTLÝTHUYẾT 1 ĐỊNHNGHĨA ành ngh¾a 1. Méi biºu thùc d¤ng a +bi, trong â a;b2R, i 2 =1 ÷ñc gåi l mët sè phùc. èi vîi sè phùc z = a +bi, ta nâi a l ph¦n thüc, b l ph¦n £o cõa z, i gåi l ìn và £o. Tªp sè phùcC =fa +bija;b2R;i 2 =1g. Tªp sè thücRC. V½ dö 1. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc: z = 2019 + 2020i. -Líi gi£i. Ph¦n thüc: a = 2019. Ph¦n £o: b = 2020. °c bi»t: 1 Khi ph¦n £o b = 0,z =a2R,z l sè thüc. 2 Khi ph¦n thüc a = 0,z =bi,z l sè thu¦n £o. 3 Sè 0 = 0 + 0i vøa l sè thüc, vøa l sè £o. 2 HAISỐPHỨCBẰNGNHAU Hai sè phùc l b¬ng nhau n¸u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa chóng t÷ìng ùng b¬ng nhau. a +bi =c +di, ¨ a =c b =d ; vîi a;b;c;d2R: V½ dö 2. T¼m c¡c sè thüc x, y bi¸t r¬ng (2x + 1) + (3y 2)i = (x + 2) + (y + 4)i. -Líi gi£i. Tø ành ngh¾a ta câ ¨ 2x + 1 =x + 2 3y 2 =y + 4 , ¨ x = 1 y = 3: 3 BIỂUDIỄNHÌNHHỌCCỦASỐPHỨC iºm M(a;b) trong h» tröc tåa ë vuæng gâc cõa m°t ph¯ng ÷ñc gåi l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =a +bi. 1https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Quan s¡t h¼nh v³ b¶n c¤nh, ta câ 1 iºm A biºu di¹n cho sè phùc: z = 3 + 2i 2 iºm B biºu di¹n cho sè phùc: z = 2 3i 3 iºm C biºu di¹n cho sè phùc: z =3 2i 4 iºm D biºu di¹n cho sè phùc: z = 3i x y 3 A 2 2 B 3 3 C 2 3 D O 4 BIỂUDIỄNHÌNHHỌCCỦASỐPHỨC iºm M(a;b) trong h» tröc tåa ë vuæng gâc cõa m°t ph¯ng ÷ñc gåi l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =a +bi. 5 MÔ-ĐUNCỦASỐPHỨC Gi£ sû sè phùc z =a +bi ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(a;b) tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. 1 ë d i cõa v²c-tì # OM ÷ñc gåi l mæ-un cõa sè phùc z v ÷ñc kþ hi»u l jzj. Khi â,jzj = # OM =ja +bij = p a 2 +b 2 . 2 K¸t qu£, vîi måi sè phùc z ta câ jzj 0 v jzj = 0,z = 0. z z =jzj 2 . jzj =j zj. jz 1 z 2 j =jz 1 jjz 2 j. z 1 z 2 = jz 1 j jz 2 j . x y a M b O V½ dö 3. T¼m mæ-un cõa c¡c sè phùc sau z = 3 2i 1 z = 1 +i p 3 2 -Líi gi£i. Ta câ jzj =j3 2ij = p 3 2 + (2) 2 = p 13. 1 jzj =j1 +i p 3j = È 1 2 + ( p 3) 2 = 2. 2 6 SỐPHỨCLIÊNHỢP ành ngh¾a 2. Cho sè phùc z =a +bi, (a;b2R). Ta gåi abi l sè phùc li¶n hñp cõa z v ÷ñc kþ hi»u l z =abi. V½ dö 4. T¼m c¡c sè phùc li¶n hñp cõa c¡c sè phùc sau: z =3 2i 1 z = 4 + 3i 2 -Líi gi£i. Cho z =3 2i) z =3 + 2i. 1 Cho z = 4 + 3i)z = 4 3i. 2 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, c¡c iºm biºu di¹nz v z èi xùng vîi nhau qua tröc Ox. Tø ành ngh¾a ta câ c¡c k¸t qu£ sau z =z;j zj =jzj. 1 z 1 z 2 = z 1 z 2 . 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 . 3 z 1 z 2 = z 1 z 2 . 4 z l sè thüc,z = z. 5 z l sè thu¦n £o,z = z. 6 x y a z =a +bi b z =abi b O 7 CỘNG,TRỪ,NHÂN,CHIASỐPHỨC Cho hai sè phùc z 1 =a +bi v z 2 =c +di. Ph²p cëng v ph²p trø hai sè phùc ÷ñc thüc hi»n theo quy tc cëng, trø a thùc. 1 Ph²p cëng: z 1 +z 2 = (a +bi) + (c +di) = (a +c) + (b +d)i. 2 Ph²p trø: z 1 z 2 = (a +bi) (c +di) = (ac) + (bd)i. 3 Sè phùc èi cõa cõa sè phùc: z =a +bi l z =abi. Do â, z + (z) = (z) +z = 0. 4 Ph²p nh¥n sè phùc ÷ñc thüc hi»n theo quy tc nh¥n a thùc, rçi thay i 2 =1 trong k¸t qu£ nhªn ÷ñc. Cö thº, z 1 z 2 = (acbd) + (ad +bc)i. 5 Ph²p chia: z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 = z 1 z 2 jz 2 j 2 = ac +bd c 2 +d 2 + bcad c 2 +d 2 i, (z 2 6= 0). 6 Sè phùc nghàch £o cõa z =a+bi 6= 0 l : 1 z = z jzj 2 = z a 2 +b 2 = abi a 2 +b 2 . V½ dö 5. Cho hai sè phùc z 1 = 5 + 2i v z 2 = 3 + 7i. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o v mæ-un cõa sè phùc w =z 1 +z 2 v sè phùc w 0 =z 2 z 1 . -Líi gi£i. Ta câ w = (5 + 2i) + (3 + 7i) = 8 + 9i v w 0 = (3 + 7i) (5 + 2i) =2 + 5i. Nh÷ th¸ w câ ph¦n thüc l 8, ph¦n £o l 9 v mæ-un l jwj = p 8 2 + 9 2 = p 145, w 0 câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 5 v mæ-un l jw 0 j = p (2) 2 + 5 2 = p 29. V½ dö 6. Cho hai sè phùc z 1 = 5 + 2i v z 2 = 4 + 3i. H¢y t½nh w =z 1 z 2 = 1 z 1 z 2 = 2 r = z 1 z 2 3 -Líi gi£i. Ta câ 1 w =z 1 z 2 = (5 + 2i)(4 + 3i) = 14 + 23i. 2 z 1 z 2 = (5 + 2i)(4 3i) = 26 7i = 26 + 7i. 3 r = z 1 z 2 = 5 + 2i 4 + 3i = (5 + 2i)(4 3i) (4 + 3i)(4 3i) = 26 7i 25 = 26 25 7 25 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B DẠNGTOÁNVÀBÀITẬP D¤ng 1. B i to¡n quy v· gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh nghi»m thüc Ph÷ìng ph¡p gi£i: Hai sè phùc l b¬ng nhau n¸u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa chóng t÷ìng ùng b¬ng nhau. a +bi =c +di, ¨ a =c b =d ; vîi a;b;c;d2R: Biºu di¹n sè phùc c¦n t¼m z =a +bi vîi a;b2R. Bi¸n êi thu gån ph÷ìng tr¼nh cõa b i to¡n v· d¤ng A +Bi =C +Di. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¨ A =C B =D: 1 CÁCVÍDỤMINHHỌA V½ dö 1. T¼m c¡c sè thüc x v y thäa c¡c i·u ki»n sau 2x + 1 + (1 2y)i = 2(2i) +yix. 1 (1 2i)x + (1 + 2y)i = 1 +i. 2 -Líi gi£i. 1 Ta câ 2x + 1 + (1 2y)i = 2(2i) +yix, 2x + 1 + (1 2y)i = 4x + (y 2)i , ¨ 2x + 1 = 4x 1 2y =y 2 , ¨ x = 1 y = 1: Vªy x = 1;y = 1. 2 Ta câ (1 2i)x + (1 + 2y)i = 1 +i,x + (2x + 1 + 2y)i = 1 +i, ¨ x = 1 2x + 1 + 2y = 1 , ¨ x = 1 y = 1: Vªy x = 1;y = 1. V½ dö 2. T¼m sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n b¶n d÷îi. Tø â x¡c ành ph¦n thüc, ph¦n £o, sè phùc li¶n hñp v mæ-un cõa z. (2 + 3i)z (1 + 2i)z = 7i: 1 jz (2 +i)j = p 10 v zz = 25. 2 -Líi gi£i. 1 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ (2 + 3i) (a +bi) (1 + 2i) (abi) = 7i , 2a + 2bi + 3ai + 3bi 2 a +bi 2ai + 2bi 2 = 7i , (a 5b) + (a + 3b)i = 7i , ¨ a 5b = 7 a + 3b =1 , ¨ a = 2 b =1: Suy ra z = 2i)jzj =j2ij = È 2 2 + (1) 2 = p 5. Vªy ph¦n thüc cõa sè phùc z l 2, ph¦n £o b¬ng1, sè phùc li¶n hñp z = 2 +i. Nhªn x²t. Khi b i to¡n y¶u c¦u t¼m c¡c thuëc t½nh cõa sè phùc (ph¦n thüc, ph¦n £o, mæ-un ho°c sè phùc li¶n hñp) m · b i cho gi£ thi¸t chùa hai th nh ph¦n trong ba th nh ph¦n z;z;jzj th¼ ta s³ gåi sè phùc z =a +bi)z =abi;jzj = p a 2 +b 2 vîi a;b2R, rçi sau â thu gån v sû döng k¸t qu£ hai sè phùc b¬ng nhau, gi£i h». Th.s Nguy¹n Ch½n Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 2 Gåi z =a +bi; (a;b2R). Ta câ ja +bi 2ij = p 10, È (a 2) 2 + (b 1) 2 = p 10, (a 2) 2 + (b 1) 2 = 10. (1) L¤i câ a 2 +b 2 = 25, (a 2) 2 + (b 1) 2 + 4a + 2b = 30. (2) Th¸ (1) v o (2) ta ÷ñc b = 10 2a. Khi â a 2 + (10 2a) 2 = 25, 5a 2 40a + 75 = 0) a = 3 a = 5: Vîi a = 3)b = 4: Vîi a = 5)b = 0: Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n · b i l z = 3 + 4i v z = 5. V½ dö 3. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz + 2ij = 2 p 2 v (z 1) 2 l sè thu¦n £o? -Líi gi£i. Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ (z 1) 2 =z 2 2z + 1 = (a +bi) 2 2 (a +bi) + 1 ) (z 1) 2 =a 2 + 2abi +b 2 i 2 2a 2bi + 1 = a 2 b 2 2a + 1 + (2ab 2b)i: V¼ (z 1) 2 l sèthu¦n£on¶nph¦nthüccõanâb¬ng0,ngh¾al câa 2 b 2 2a+1 = 0, (a 2) 2 b 2 = 0:(1) Tacâjz + 2ij = 2 p 2,ja +bi + 2ij = 2 p 2,j(a + 2) + (b 1)ij = 2 p 2, (a + 2) 2 +(b 1) 2 = 8:(2) Tø (1) v (2) ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ b 2 = (a 1) 2 (a + 2) 2 + (b 1) 2 = 8 , 2 6 6 6 6 4 ¨ b =a 1 (a + 2) 2 + (b 1) 2 = 8 ¨ b = 1a (a + 2) 2 + (b 1) 2 = 8 , 2 6 6 6 6 4 ¨ b =a 1 2a 2 = 0 ¨ b = 1a a 2 + 2a 2 = 0 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ¨ a = 0 b =1 ( a =1 + p 3 b = 2 p 3 ( a =1 p 3 b = 2 + p 3: Vªy câ ba sè phùc thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l z =i;z =1+ p 3+ 2 p 3 i;z =1 p 3+ 2 + p 3 i. Nhªn x²t. Sè phùc z = a +bi ÷ñc gåi l sè phùc thu¦n £o, ph¦n thüc a = 0 v z l sè thüc, ph¦n £o b = 0. 2 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. T¼m c¡c sè thüc x v y thäa c¡c i·u ki»n sau (nhâm sû döng hai sè phùc b¬ng nhau). 3x + 2iyix + 5y = 7 + 5i. 1 x +yi 1i = 3 + 2i. 2 x 3 3 +i + y 3 3i =i. 3 -Líi gi£i. 1 Ta câ 3x + 2iyix + 5y = 7 + 5i, 3x + 5y + (x + 2y)i = 7 + 5i, ¨ 3x + 5y = 7 x + 2y = 5 , ¨ x =1 y = 2: Vªy x =1;y = 2. 2 Ta câ x +yi 1i = 3 + 2i,x +yi = (3 + 2i)(1i),x +yi = 5i, ¨ x = 5 y =1: Vªy x = 5;y =1. 3 Tacâ x 3 3 +i + y 3 3i =i, (x 3)(3i) + (y 3)(3 +i) = (3 +i)(3i)i, 3x + 3y 18 + (x +y)i = 10i , ¨ 3x + 3y 18 = 0 x +y = 10 , ¨ x =2 y = 8: Vªy x =2;y = 8. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 2. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o, sè phùc li¶n hñp v mæ-un cõa z. 2ziz = 2 + 5i. 1 z + (2 +i)z = 3 + 5i. 2 2z + 3 (1i)z = 1 9i. 3 (3zz) (1 +i) 5z = 8i 1: 4 (2 3i)z + (4 +i)z = (1 + 3i) 2 . 5 (3 2i)z + 5 (1 +i)z = 1 + 5i. 6 (3 +i)z + (1 + 2i)z = 3 4i. 7 (1 + 2i) 2 z +z = 4i 20. 8 z 2 +jzj = 0. 9 jzj + (z 3)i = 1. 10 z +z = 10 v jzj = 13. 11 jz + 1 2ij =jz 2ij v jz 1j = p 5. 12 jzj 2 + 2zz +jzj 2 = 8 v z +z = 2. 13 w =z +iz +z 2 vîi z + (2i)z = 5 +i. 14 w =z + 2z vîi (1i)z + 2iz = 5 + 3i. 15 -Líi gi£i. 1 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ 2 (a +bi)i (abi) = 2 + 5i , 2a + 2biia +bi 2 = 2 + 5i , (2ab) + (2ba)i = 2 + 5i , ¨ 2ab = 2 a + 2b = 5 , ¨ a = 3 b = 4: Suy ra z = 3 + 4i. Vªy sè phùcz câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o b¬ng 4, sè phùc li¶n hñp l z = 3 4i, mæ-un b¬ngjzj = 5. 2 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ a +bi + (2 +i) (abi) = 3 + 5i , a +bi + 2a 2bi +aibi 2 = 3 + 5i , (3a +b) + (ab)i = 3 + 5i , ¨ 3a +b = 3 ab = 5 , ¨ a = 2 b =3: Suy ra z = 2 3i. Vªy sè phùcz câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o b¬ng3, sè phùc li¶n hñpz = 2+3i, mæ-un b¬ngjzj = p 13. 3 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ 2 (a +bi) + 3 (1i) (abi) = 1 9i , 2a + 2bi + 3a 3bi 3ai + 3bi 2 = 1 9i , (5a 3b) (3a +b)i = 1 9i , ¨ 5a 3b = 1 3a +b = 9 , ¨ a = 2 b = 3: Suy ra z = 2 + 3i. Vªy ph¦n thüc cõa sè phùcz l 2, ph¦n £o b¬ng 3, sè phùc li¶n hñpz = 23i, mæ-un b¬ngjzj = p 13. 4 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ [3 (a +bi) (abi)] (1 +i) 5 (a +bi) = 8i 1 , (2a + 4bi) (1 +i) 5 (a +bi) = 8i 1 , 2a + 2ai + 4bi + 4bi 2 5a 5bi = 8i 1 , (3a 4b) + (2ab)i = 8i 1 , ¨ 3a 4b =1 2ab = 8 , ¨ a = 3 b =2: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra z = 3 2i. Vªy ph¦n thüc cõa sè phùc z l 3, ph¦n £o b¬ng2, sè phùc li¶n hñp z = 3 + 2i, mæ-un b¬ng jzj = p 13. 5 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ (2 3i) (a +bi) + (4 +i) (abi) = 8 6i , 2a + 2bi 3ai 3bi 2 + 4a 4bi +aibi 2 = 8 6i , (6a + 4b) 2 (a +b)i = 8 6i , ¨ 6a + 4b = 8 2a + 2b = 6 , ¨ a =2 b = 5: Suy ra z =2 + 5i. Vªy ph¦n thüc cõa sè phùcz l 2, ph¦n £o b¬ng 5, sè phùc li¶n hñpz =2 5i, mæ-unjzj = p 29. 6 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ (3 2i) (a +bi) + 5 (1 +i) (abi) = 1 + 5i , 3a + 3bi 2ai 2bi 2 + 5a 5bi + 5ai 5bi 2 = 1 + 5i , (8a + 7b) + (3a 2b)i = 1 + 5i , ¨ 8a + 7b = 1 3a 2b = 5 , ¨ a = 1 b =1: Suy ra z = 1i: Vªy ph¦n thüc cõa sè phùc z l 1, ph¦n £o b¬ng1, sè phùc li¶n hñp z = 1 +i v mæ-unjzj = p 2. 7 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ (3 +i) (abi) + (1 + 2i) (a +bi) = 3 4i , 3a 3bi +aibi 2 +a +bi + 2ai + 2bi 2 = 3 4i , (4ab) + (3a 2b)i = 3 4i , ¨ 4ab = 3 3a 2b =4 , ¨ a = 2 b = 5: Suy ra z = 2 + 5i. Vªy ph¦n thüc cõa sè phùcz l 2, ph¦n £o b¬ng 5, sè phùc li¶n hñpz = 2 5i, v mæ-unjzj = p 29. 8 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ (1 + 2i) 2 (a +bi) +abi = 4i 20 , (3 + 4i) (a +bi) +abi = 4i 20 , 3a 3bi + 4ai + 4bi 2 +abi = 4i 20 , (2a 4b) + (4a 4b)i = 4i 20 , ¨ 2a 4b =20 4a 4b = 4 , ¨ a = 4 b = 3 )z = 4 + 3i: Vªy ph¦n thüc cõa sè phùc z l 4, ph¦n £o b¬ng 3, sè phùc li¶n hñp z = 4 3i, v mæ-unjzj = 5. 9 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ (a +bi) 2 + p a 2 +b 2 = 0,a 2 b 2 + p a 2 +b 2 + 2abi = 0, ¨ a 2 b 2 + p a 2 +b 2 = 0 2ab = 0 , 8 > < > : a 2 b 2 + p a 2 +b 2 = 0 a = 0 b = 0 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 0 b 2 + p b 2 = 0 ¨ b = 0 a 2 + p a 2 = 0 , 2 6 6 6 6 6 6 4 8 > < > : a = 0 b = 0 b =1 ¨ b = 0 a = 0: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra z = 0 z =i: Vªy câ 3 sè phùc thäa m¢n · b i l z = 0;z =i. 10 Gåi z =a +bi)z =abi; (a;b2R). Ta câ p a 2 +b 2 + (abi 3)i = 1, p a 2 +b 2 bi 2 + (a 3)i = 1, p a 2 +b 2 +b + (a 3)i = 1 , ¨p a 2 +b 2 +b = 1 a 3 = 0 , ( a = 3 p b 2 + 9 = 1b , ¨ a = 3 b =4 )z = 3 4i: Vªy ph¦n thüc cõa sè phùc z l 3, ph¦n £o b¬ng4, sè phùc li¶n hñp z = 3 + 4i. 11 Gåi z =a +bi; (a;b2R). Ta câ 2a = 10,a = 5) p b 2 + 25 = 13)b =12. Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n · b i l z = 5 12i. 12 Gåi z =a +bi, (a;b2R))z =abi. Ta câ jz + 1 2ij =jz 2ij,ja +bi + 1 2ij =jabi 2ij , (a + 1) 2 + (b 2) 2 = (a 2) 2 + (b + 1) 2 ,a =b. L¤i câjz 1j = p 5, (a 1) 2 +b 2 = 5. Thay a =b v o ta ÷ñc (b 1) 2 +b 2 = 5, b = 2 b =1: Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n · b i l z = 2 + 2i v z =1i. 13 Gåi z =a +bi, (a;b2R))z =abi. Ta câ z +z = 2) 2a = 2)a = 1. L¤i câjzj 2 + 2zz +jzj 2 = 8) 4 a 2 +b 2 = 8,a 2 +b 2 = 2)b 2 = 1) b = 1 b =1: Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n · b i l z = 1 +i v z = 1i. 14 Gåi z =a +bi, (a;b2R))z =abi. Ta câ z + (2i)z = 5 +i , a +bi + (2i) (abi) = 5 +i , ¨ 3ab = 5 ab = 1 , ¨ a = 1 b =2 ) w = 1 +i (1 2i) + (1 2i) 2 ,w =3i: Vªy sè phùc w c¦n t¼m l w =3i. 15 Gåi z =a +bi, (a;b2R))z =abi. Ta câ (1i)z + 2iz = 5 + 3i , (1i) (a +bi) + 2i (abi) = 5 + 3i , a +biaibi 2 + 2ai 2bi 2 = 5 + 3i , (a + 3b) + (a +b)i = 5 + 3i , ¨ a + 3b = 5 a +b = 3 , ¨ a = 2 b = 1: ) z = 2 +i)w = 2 +i + 2 (2i) = 6i: Vªy sè phùc w c¦n t¼m l w = 6i. B i 3. T¼m c¡c sè phùc z thäa m¢n biºu thùc sè phùc l sè thüc, sè thu¦n £o. jzj = p 5 v ph¦n thüc b¬ng 2 l¦n ph¦n £o. 1 jzj = p 2 v z 2 l sè thu¦n £o. 2 jzij = p 2 v (z 1) (z +i) l sè thüc. 3 j2zzj = p 13 v (1 + 2i)z l sè thu¦n £o. 4 jz 1j = p 5 v (z 1) (z + 2i) l sè thüc. 5 z +z = 6 v z 2 + 2z 8i l sè thüc. 6 jz 3ij =j1izj v z + 9 z l sè thu¦n £o. 7 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ ph¦n thüc b¬ng 2 l¦n ph¦n £o n¶n a = 2b. M°t kh¡cjzj = p 5,a 2 +b 2 = 5. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ a = 2b a 2 +b 2 = 5 , ¨ a = 2b (2b) 2 +b 2 = 5 , ¨ a = 2b b 2 = 1 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 2 b = 1 ¨ a =2 b =1 ) z = 2 +i z =2i: Vªy câ hai sè phùc thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l z = 2 +i;z =2i. Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ z 2 =a 2 b 2 + 2abi l sè thu¦n £o n¶n a 2 b 2 = 0. M°t kh¡cjzj = p 2,a 2 +b 2 = 2. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ a 2 b 2 = 0 a 2 +b 2 = 2 , ¨ a 2 = 1 b 2 = 1 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ¨ a = 1 b = 1 ¨ a =1 b = 1 ¨ a = 1 b =1 ¨ a =1 b =1 ) 2 6 6 6 4 z = 1 +i z =1 +i z = 1i z =1i: Vªy câ 4 sè phùc thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l z = 1 +i;z =1 +i;z = 1i;z =1i: Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ (z 1) (z +i) =zz +zizi =a 2 +b 2 + (a +bi)i (abi)i =a 2 +b 2 ab + (a +b 1)i. Do (z 1) (z +i) l sè thüc n¶n a +b 1 = 0. Ta l¤i câjzij = p 2,ja +biij = p 2,a 2 + (b 1) 2 = 2. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ a = 1b a 2 + (b 1) 2 = 2 , ¨ a = 1b 2 (b 1) 2 = 2 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a =1 b = 2 ¨ a = 1 b = 0 ) z = 1 z =1 + 2i: Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ (1 + 2i)z = (1 + 2i) (a +bi) = (a 2b) + (2a +b)i l sè thu¦n £o n¶n a 2b = 0)a = 2b. Ta l¤i câj2zzj = p 13,j2 (a +bi) (abi)j = p 13,ja + 3bij = p 13,a 2 + 9b 2 = 13. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ a = 2b a 2 + 9b 2 = 13 , ¨ a = 2b 4b 2 + 9b 2 = 13 , ¨ a = 2b b 2 = 1 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 2 b = 1 ¨ a =2 b =1 ) z = 2 +i z =2i: Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l z = 2 +i;z =2i. Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ (z 1) (z + 2i) =zz +2izz2i =a 2 +b 2 +2i (a +bi)(abi)2i =a 2 +b 2 a2b+(2a +b 2) l sè thüc n¶n 2a +b 2 = 0)b = 2 2a. Ta l¤i câjz 1j = p 5,ja 1 +bij = p 5, (a 1) 2 +b 2 = 5. Tacâh»ph÷ìngtr¼nh ¨ b = 2 2a (a 1) 2 +b 2 = 5 , ¨ b = 2 2a 5 (a 1) 2 = 5 , ¨ b = 2 2a (a 1) 2 = 1 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 0 b = 2 ¨ a = 2 b =2 ) z = 2i z = 2 2i: Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l z = 2i;z = 2 2i. Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ z +z = 6, 2a = 6,a = 3. Ta l¤i câ z 2 + 2z 8i = a 2 b 2 + 2abi + 2 (abi) 8i = a 2 b 2 + 2a (2ab 2b 8)i l sè thüc n¶n 2ab 2b 8 = 0. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra b = 2. Vªy sè phùc z thäa m¢n l z = 3 + 2i. Gåi z =a +bi; (a;b2R): Ta câ z + 9 z =a +bi + 9 a +bi =a +bi + 9 (abi) a 2 +b 2 l sè thu¦n £o n¶n a + 9a a 2 +b 2 = 0. Ta l¤i câjz 3ij =j1izj,ja +bi 3ij =j1i (abi)j,a 2 + (b 3) 2 = (1b) 2 +a 2 ,b = 2. Suy ra a + 9a a 2 + 4 = 0,a 3 + 13a = 0,a = 0. Vªy sè phùc z thäa m¢n l z = 2i. D¤ng 2. X¡c ành c¡c y¸u tè cì b£n cõa sè phùc qua c¡c ph²p to¡n Ph÷ìng ph¡p gi£i: 1 Sû döng hñp lþ c¡c ph²p to¡n cëng, trø, nh¥n, chia º t¼m ÷ñc sè phùc z. Tø â t¼m ÷ñc ph¦n thüc, ph¦n £o, mæ-un cõa z v t¼m ÷ñc z. 2 Hai sè phùc b¬ng nhau th¼ câ mæ-un b¬ng nhau. Sû döng c¡c k¸t qu£ jz 1 z 2 j =jz 1 jjz 2 j. z z =jzj 2 . jzj =j zj. z 1 z 2 = jz 1 j jz 2 j vîi z 2 6= 0. 1 CÁCVÍDỤMINHHỌA V½ dö 1. 1 Cho z thäa (2 +i)z + 1i 1 +i = 5i. T¼m c¡c thuëc t½nh cõa w = 1 + 2z +z 2 . 2 Cho z thäa z = 2 + 4i + 2i(1 3i). T¼m c¡c thuëc t½nh cõa z. 3 T½nh z = 1 + (1 +i) + (1 +i) 2 + (1 +i) 3 + + (1 +i) 20 . -Líi gi£i. 1 Ta câ (2 +i)z + 1i 1 +i = 5i, (2 +i)z + (1i)(1i) (1 +i)(1i) = 5i, (2 +i)z + 2i 2 = 5i , (2 +i)z = 5,z = 5 2 +i ,z = 5(2i) 5 = 2i: Do â, w = 1 + 2z +z 2 = 1 + 2(2i) + (2i) 2 = 1 + 4 2i + 4 4i +i 2 = 8 6i. Vªy w câ ph¦n thüc l 8, ph¦n £o l 6, mæ-un l jwj = p 8 2 + (6) 2 = 10 v w = 8 + 6i. Nhªn x²t. V· ph÷ìng ph¡p tü luªn, º thüc hi»n ph²p chia 2 sè phùc, ta c¦n nh¥n th¶m sè phùc li¶n hñp cõa m¨u sè. Ch¯ng h¤n, trong líi gi£i tr¶n ta câ 1i 1 +i = (1i) 2 (1 +i)(1i) . N¸u sû döng Casio, ta chuyºn v· ch¸ ë CMPLX (mode 2) (i t÷ìng ùng ENG). Chuyºn v¸ t¼m z v nhªp 5i 1i 1 +i 2 +i s³ ÷ñc k¸t qu£ 2i, ngh¾a l t¼m ÷ñc sè phùc z = 2i. C¡c ph²p to¡n cán l¤i thao t¡c t÷ìng tü tr¶n Casio. 2 Ta câ z = 2 + 4i + 2i(1 3i) = 2 + 4i + 2i 6i 2 = 8 + 6i. Vªy z câ ph¦n thüc l 8, ph¦n £o l 6, mæ-un l jzj = p 8 2 + 6 2 = 10 v z = 8 6i. 3 Ta câ sè phùcz l têng cõa 21 sè h¤ng ¦u ti¶n cõa mët c§p sè nh¥n vîi sè h¤ng ¦u u 1 = 1 v cæng bëi q = 1 +i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Khi â z = 1 + 20 X k=1 (1 +i) k = (1 +i) 21 1 i . Ta l¤i câ (1 +i) 21 = (1 +i) 2 10 (1 +i) = (2i) 10 (1 +i) =2 10 (1 +i). Vªy z = 2 10 (1 +i) 1 i = 2 10 + 1 i 2 10 . 2 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o, sè phùc li¶n hñp v mæ-un cõa z. (1 +i)z = 14 2i. 1 (1i)z + (2i) = 4 5i. 2 w =z 1 2z 2 bi¸t r¬ng z 1 = 1 + 2i, z 2 = 2 3i. 3 w =z 1 z 2 bi¸t r¬ng z 1 = 2 + 5i, z 2 = 3 4i. 4 (1 2i)z 9 + 7i 3i = 5 2i. 5 (1 +i) 2 (2i)z = 8 +i + (1 + 2i)z. 6 -Líi gi£i. 1 Ta câ z = 14 2i 1 +i = (14 2i)(1i) 2 = 12 16i 2 = 6 8i. Vªy z câ ph¦n thüc l 6, ph¦n £o l 8, mæ-un l jzj = p 6 2 + (8) 2 = 10 v z = 6 + 8i. 2 Ta câ (1i)z + (2i) = 4 5i, (1i)z = 2 4i, z = 2 4i 1i , z = (2 4i)(1 +i) 2 , z = 6 2i 2 ,z = 3i. Vªy z câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 1, mæ-un l jzj = p 3 2 + (1) 2 = p 10 v z = 3 +i. 3 Ta câ w = 1 + 2i 2(2 3i) =3 + 8i. Vªy w câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 8, mæ-un l jwj = p (3) 2 + 8 2 = p 73 v w =3 8i. 4 Ta câ w = (2 + 5i)(3 4i) = 26 + 7i. Vªy w câ ph¦n thüc l 26, ph¦n £o l 7, mæ-un l jwj = p 26 2 + 7 2 = 5 p 29 v w = 26 7i. 5 Ta câ (1 2i)z 9 + 7i 3i = 5 2i, (1 2i)z (2 + 3i) = 5 2i, (1 2i)z = 7 +i,z = 7 +i 1 2i , z = 1 + 3i. Vªy z câ ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 3, mæ-un l jzj = p 1 2 + 3 2 = p 10 v z = 1 3i. 6 Tacâ (1 +i) 2 (2i)z = 8 +i + (1 + 2i)z, 2i(2i)z = 8 +i + (1 + 2i)z, (2 + 4i)z = 8 +i + (1 + 2i)z , (1 + 2i)z = 8 +i,z = 8 +i 1 + 2i ,z = 2 3i: . Vªy z câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 3, mæ-un l jzj = p 2 2 + (3) 2 = p 13 v z = 2 + 3i. B i 2. T½nh mæun cõa c¡c sè phùc sau: 1 T¼m mæ-un cõa sè phùc z thäa m¢n 2z 2 = (1i)jzj + (2z p 2)i. 2 Cho sè phùc z6= 0 thäa m¢n z [(2 + 3i)jzj 3 + 2i] p 26 = 0. T½nh gi¡ trà cõajzj. 3 Cho sè phùc z6= 0 thäa m¢n 1i z = (2 3i)z jzj 2 + 2i. T½nh gi¡ trà cõajzj. 4 Cho sè phùc z6= 0 thäa m¢n (1 + 2i)jzj = p 10 z +i 2. T½nh gi¡ trà cõajzj. 5 Cho sè phùc z6= 0 thäa m¢n (2 + 3i)jzj = p 26 z + 3 2i. T½nh gi¡ trà cõajzj. 6 Cho sè phùc z6= 0 thäa m¢n (1 3i)jzj = 4 p 10 z + 3 +i. T½nh gi¡ trà cõa P =jzj 4 +jzj 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. 1 Tø gi£ thi¸t ta câ (2 +i p 2)z = (jzj + 2) + (2jzj)i. L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc p 6jzj = È (jzj + 2) 2 + (2jzj) 2 , 6jzj 2 = 2jzj 2 + 8, 6jzj 2 = 2jzj 2 + 8 , 4jzj 2 = 8,jzj 2 = 2,jzj = p 2: Vªyjzj = p 2. 2 Tø gi£ thi¸t ta câ z [(2jzj 3) + (3jzj + 2)i] = p 26. L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñcjzj È (2jzj 3) 2 + (3jzj + 2) 2 = p 26,jzj 2 13jzj 2 + 13 = 26 ,jzj 2 jzj 2 + 1 = 2 ,jzj 4 +jzj 2 2 = 0 , jzj 2 = 1 jzj 2 =2 (væ lþ) ,jzj = 1: Vªyjzj = 1. 3 Tø gi£ thi¸t ta câ 1i z = (2 3i)z zz + 2i, 1i z = 2 3i z + 2i, 1 + 2i z = 2i. L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc p 5 jzj = p 5,jzj = 1. Vªyjzj = 1. 4 Tø gi£ thi¸t ta câ (jzj + 2) + (2jzj 1)i = p 10 z . L§ymæ-unhaiv¸ta÷ñc È (jzj + 2) 2 + (2jzj 1) 2 = p 10 jzj ,jzj 2 5jzj 2 + 5 = 10,jzj 4 +jzj 2 2 = 0 , jzj 2 = 1 jzj 2 =2 (væ lþ) ,jzj = 1: Vªyjzj =jzj = 1. 5 Tø gi£ thi¸t ta câ (2jzj 3) + (3jzj + 2)i = p 26 z . L§ymæ-unhaiv¸ta÷ñc È (2jzj 3) 2 + (3jzj + 2) 2 = p 26 jzj , È 13jzj 2 + 13 = p 26 jzj ,jzj 2 jzj 2 + 1 = 2,jzj 4 +jzj 2 2 = 0 , jzj 2 = 1 jzj 2 =2 (væ lþ) ,jzj = 1: Vªyjzj = 1. 6 Tø gi£ thi¸t ta câ (jzj 3) + (3jzj 1)i = 4 p 10 z . L§ymæ-unhaiv¸ta÷ñc È (jzj 3) 2 + (3jzj 1) 2 = 4 p 10 jzj , È 10jzj 2 + 10 = 4 p 10 jzj ,jzj 2 jzj 2 + 1 = 16,jzj 4 +jzj 2 = 16 ,jzj 4 +jzj 2 = 16: Vªy P = 16. D¤ng 3. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc Ph÷ìng ph¡p gi£i: Chu©n hâa sè phùc, düa v o i·u ki»n ¢ cho º t¼m sè phùc z. V½ dö 1. Cho sè phùc z 1 6= 0, z 2 6= 0 thäa m¢njz 1 j =jz 2 j =jz 1 z 2 j. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc Th.s Nguy¹n Ch½n Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 P = z 1 z 2 4 + z 2 z 1 4 : -Líi gi£i. Chu©n hâa z 1 =1, suy rajz 1 j = 1, °t z 2 =a +bi (a;b2R), khi âjz 2 j = p a 2 +b 2 . Ta câ ¨ jz 1 j =jz 2 j = 1 jz 1 z 2 j = 1 , ¨p a 2 +b 2 = 1 j(1a)bij = 1 , ¨ a 2 +b 2 = 1 (1a) 2 +b 2 = 1 , ¨ a 2 +b 2 = 1 a 2 +b 2 2a = 0 , 8 > > < > > : a = 1 2 b = p 3 2 : Chån z 2 = 1 2 + p 3 2 i th¼ z 1 z 2 = 1 2 p 3 2 i. Ta th§yjz 1 j =jz 2 j =jz 1 z 2 j = 1, thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Do â P = z 1 z 2 2 2 + z 2 z 1 2 2 =1. 1 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. Cho hai sè phùcz 1 v z 2 thäa m¢njz 1 j = 3,jz 2 j = 4,jz 1 z 2 j = p 37. Bi¸t sè phùcz = z 1 z 2 =a +bi. T¼mjbj. -Líi gi£i. Ta câjzj = z 1 z 2 = jz 1 j jz 2 j = 3 4 n¶n p a 2 +b 2 = 3 4 hay a 2 +b 2 = 9 16 . L¤icâ jz 1 z 2 j jz 2 j = z 1 z 2 z 2 = z 1 z 2 1 =jz1j = p 37 4 .Suyra p (a 1) 2 +b 2 = p 37 4 haya 2 +b 2 2a = 21 16 . Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh 8 > < > : a 2 +b 2 = 9 16 a 2 +b 2 2a = 21 16 , 8 > < > : a 2 +b 2 = 9 16 2a = 3 4 , 8 > < > : a = 3 8 b 2 = 27 64 , 8 > > < > > : a = 3 8 jbj = 3 p 3 8 : Vªyjbj = 3 p 3 8 . B i 2. Cho hai sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢njz 1 j = 2,jz 2 j = p 2. Gåi M, N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n sè phùc z 1 v iz 2 . Bi¸t r¬ng Ö MON = 45 vîi O l gèc tåa ë. T½nh z 2 1 + 4z 2 2 . -Líi gi£i. Ta câ z 2 1 + 4z 2 2 =z 2 1 (2iz 2 ) 2 = (z 1 2iz 2 )(z 1 + 2iz 2 ). L¤i câ # OM; # ON = 45 v jz 2 1 + 4z 2 2 j =j(z 1 2iz 2 )(z 1 + 2iz 2 )j =jz 1 2iz 2 jjz 1 + 2iz 2 j. M°t kh¡c jz 1 2iz 2 j 2 =jz 1 j 2 + 4jiz 2 j 2 4jz 1 jjiz 2 j cos 45 = 2 2 + 4 ( p 2) 2 4 2 p 2 p 2 2 = 4: jz 1 + 2iz 2 j 2 =jz 1 j 2 + 4jiz 2 j 2 + 4jz 1 jjiz 2 j cos 45 = 2 2 + 4 ( p 2) 2 + 4 2 p 2 p 2 2 = 20: Do â z 2 1 + 4z 2 2 = p 4 20 = 4 p 5. B i 3. Cho ba sè phùc z 1 , z 2 , z 3 thäa m¢njz 1 j =jz 2 j =jz 3 j = 1 v z 1 +z 2 +z 3 = 0. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P =z 2 1 +z 2 2 +z 2 3 . -Líi gi£i. Ta câ P = z 2 1 +z 2 2 +z 2 3 = (z 1 +z 2 +z 3 ) 2 2(z 1 z 2 +z 2 z 3 +z 3 z 1 ) =2z 1 z 2 z 3 1 z 1 + 1 z 2 + 1 z 3 = 2z 1 z 2 z 3 z 1 z 1 z 1 + z 2 z 2 z 2 + z 3 z 3 z 3 =2z 1 z 2 z 3 z 1 jz 1 j 2 + z 2 jz 2 j 2 + z 3 jz 3 j 2 =2z 1 z 2 z 3 ( z 1 + z 2 + z 3 ) = 2z 1 z 2 z 3 z 1 +z 2 +z 3 = 0: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 D¤ng 4. B i to¡n sû döng b§t ¯ng thùc trong sè phùc Ph÷ìng ph¡p gi£i: V¼ sè phùc z = a +bi ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(a;b) tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. Do â ta câ thº xem v²c-tì # OM = (a;b) công biºu di¹n cho sè phùc z. Ngh¾a l câ thº sû döng b§t ¯ng thùc v²c-tì trong ph²p to¡n max min cõa sè phùc. Cho ba v²c-tì # u = (a;b), # v = (x;y), # w = (m;n), khi â 1 j # u # vjj # ujj # vj. D§u = x£y ra khi # u, # v còng chi·u, tùc l a x = b y hay x a = y b . 2 j # u + # vjj # uj +j # vj. D§u = x£y ra khi # u, # v còng chi·u, tùc l a x = b y hay x a = y b . 3 j # ujj # vj # u # v. D§u =x£y ra khi # u, # v còng chi·u, tùc l a x = b y hay x a = y b . 4 j # u + # v + # wjj # uj +j # vj +j # wj. D§u = x£y ra khi a b = x y = m n . C¡c b§t ¯ng thùc cê iºn th÷íng ÷ñc sû döng B§t ¯ng thùc Cauchy Vîi a 0, b 0 th¼ a +b 2 p ab. D§u = x£y ra khi v ch¿ khi a =b. Vîi a 0, b 0, c 0 th¼ a +b +c 3 3 p abc. D§u = x£y ra khi v ch¿ khi a =b =c. B§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz (Bunhiacæpxki) Vîi a> 0, b> 0 v x, y b§t ký ta luæn câ x 2 a + y 2 b (x +y) 2 a +b (d¤ng cëng m¨u sè). D§u = x£y ra khi a x = b y hay x a = y b . Vîi a, b, x, y b§t ký ta luæn câ ( (ax +by) 2 (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ) jax +byj È (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ) . D§u = x£y ra khi a x = b y hay x a = y b . Vîi a, b, c, x, y, z b§t ký ta luæn câ ( (ax +by +cz) 2 (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) jax +by +czj È (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) . D§u = x£y ra khi a x = b y = c z hay x a = y b = z c . L÷u þ 1 Ta câ thº sû döng ph÷ìng ph¡p h m sè (ho°c tam thùc) º t¼m max min. 2 Ngo i ra cán sû döng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc. 1 CÁCVÍDỤMINHHỌA V½ dö 1. Cho sè phùc z thäajz 3 + 4ij = 4. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa P =jzj. -Líi gi£i. C¡ch 1. p döng b§t ¯ng thùcj # u # vjj # ujj # vj (hayjz 1 z 2 jjz 1 jjz 2 j). Ta câ 4 =jz 3 + 4ij =jz (3 4i)jjzjj3 4ij) 4jzj 5)jzj 9: Vªy gi¡ trà lîn nh§t cõa P b¬ng 9. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¡ch 2. Sû döng l÷ñng gi¡c hâa. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ jz 3 + 4ij = 4,j(x 3) + (y + 4)ij = 4, (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 16, x 3 4 2 + y + 4 4 2 = 1: °t 8 > < > : x 3 4 = sin y + 4 4 = cos hay ¨ x = 4 sin + 3 y = 4 cos 4 , khi â P = jzj = p x 2 +y 2 = È (4 sin + 3) 2 + (4 cos 4) 2 = p 41 + 24 sin 32 cos = È 41 + p 24 2 + 32 2 sin( ) = È 41 + 40 sin( ); vîi 24 p 24 2 + 32 2 = cos , 32 p 24 2 + 32 2 = sin . L¤i câ 1 sin( ) 1,40 40 sin( ) 40, 1 41 + 40 sin( ) 81, 1 È 41 + 40 sin( ) 9: Suy ra P min = 1 v P max = 9. C¡ch kh¡c. p döng b§t ¯ng thùcjax +byj p (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ). Ta câ j24 sin 32 cos j È [24 2 + (32) 2 ] sin 2 + cos 2 = 40 , 40 24 sin 32 cos 40 , 1 41 + 24 sin 32 cos 81 , 1 p 41 + 24 sin 32 cos 9: Suy ra P min = 1 v P max = 9. C¡ch 3. Sû döng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ jz 3 + 4ij = 4,j(x 3) + (y + 4)ij = 4, (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 16: Do â tªp hñp biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán câ t¥m I(3;4) v b¡n k½nh R = 4. Tø h¼nh v³ ta câ ¨ jzj min =OM 1 =OIIM 1 =OIR = 1 jzj max =OM 2 =OM 1 + 2R = 9: º t¼m z câ mæ-un lîn nh§t v z câ mæ-un nhä nh§t ch½nh l tåa ë hai iºmM 1 ,M 2 công l tåa ë giao iºm cõa ÷íng th¯ng OI v ÷íng trán. ÷íng th¯ng OI qua O(0; 0) v câ v²c-tì ch¿ ph÷ìng l # OI = (3;4) câ d¤ng x 3 = y 4 hay y = 4 3 x. Ta t¼m ÷ñc c¡c giao iºm M 1 3 5 ; 4 5 , M 2 27 5 ; 36 5 . x y O I M 1 M 2 Nhªn x²t. C¡ch 2 v 3 têng qu¡t hìn, câ thº t¼m P max v P min còng mët lóc. Tòy v o y¶u c¦u cõa b i to¡n m ta chån ph÷ìng ph¡p cho phò hñp cho trc nghi»m ho°c tü luªn. V½ dö 2. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njiz + 4 3ij = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõajzj. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¡ch 1. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ jiz + 4 3ij = 1,j(4y) + (x 3)ij = 1, (x 3) 2 + (y 4) 2 = 1: °t ¨ x 3 = sin y 4 = cos hay ¨ x = 3 + sin y = 4 + cos , khi â jzj = p x 2 +y 2 = È (3 + sin ) 2 + (4 + cos ) 2 = p 6 sin + 8 cos + 26: M°t kh¡c j6 sin + 8 cos j È (6 2 + 8 2 )(sin 2 + cos 2 ) , j6 sin + 8 cos j 10 , 10 6 sin + 8 cos 10 , 16 6 sin + 8 cos + 26 36 , 4 p 6 sin + 8 cos + 26 6: Suy rajzj min = 4,jzj max = 6. C¡ch 2. p döng b§t ¯ng thùcj # u # vjj # ujj # vj (hayjz 1 z 2 jjz 1 jjz 2 j). Ta câ 1 =jiz + 4 3ij =j4 3i (iz)jj4 3ijjizj = 5jzj)jzj 4: Suy rajzj min = 4. 2 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. Cho sè phùc z thäa m¢njz 2 ij = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P =j zj. -Líi gi£i. Ta câ 1 =jz 2 ijjz 2 jjij, 1jzj 2 1,jzj 2 2)jzj p 2: L¤i câ P =j zj =jzj. Do â P max = p 2. B i 2. Trong c¡c sè phùc z thäa m¢njz 2 4ij =jz 2ij, t¼m sè phùc câ mæ-un nhä nh§t. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Tø gi£ thi¸t · b i ta câ jx +yi 2 4ij =jx +yi 2ij , j(x 2) + (y 4)ij =jx + (y 2)ij , È (x 2) 2 + (y 4) 2 = È x 2 + (y 2) 2 , x +y 4 = 0 , y = 4x: C¡ch 1. Sû döng ¡nh gi¡ h¬ng ¯ng thùc A 2 0. Ta câ jzj = p x 2 +y 2 = È x 2 + (4x) 2 = p 2x 2 8x + 16 = È 2(x 2) 2 + 8 2 p 2: D§u = x£y ra khi x 2 = 0 hay x = 2. Vªy sè phùc z câ mæ-un nhä nh§t b¬ng 2 p 2 khi z = 2 + 2i. C¡ch 2. B§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz d¤ng cëng m¨u x 2 a + y 2 b (x +y) 2 a +b . Ta câ jzj = p x 2 +y 2 = Ê x 2 1 + y 2 1 Ê (x +y) 4 1 + 1 )jzj 2 p 2: D§u = x£y ra khi x =y = 2. Vªy sè phùc z câ mæ-un nhä nh§t b¬ng 2 p 2 khi z = 2 + 2i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¡ch 3. Sû döng h¼nh håc. Tªp hñp biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng d: x +y 4 = 0. Sè phùc câ mæ-un nhä nh§t khi v ch¿ khijzj min =OH v sè phùc c¦n t¼m ch½nh l tåa ë iºm H h¼nh chi¸u cõa iºm O l¶n d. V¼ OH?d n¶n ph÷ìng tr¼nh cõa OH câ d¤ng xy +m = 0. L¤i câ O(0; 0) thuëc OH n¶n m = 0, suy ra ph÷ìng tr¼nh cõa OH l xy = 0. Tåa ë iºm H l nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¨ x +y = 4 xy = 0 , ¨ x = 2 y = 2: Vªy sè phùc z câ mæ-un nhä nh§t b¬ng 2 p 2 khi z = 2 + 2i. x y O M H B i 3. Trong c¡c sè phùc thäa m¢njzij =j z 2 3ij, t¼m sè phùc câ mæ-un nhä nh§t. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Tø gi£ thi¸t · b i ta câ jx + (y 1)ij =j(x 2) (y + 3)ij,x 2 + (y 1) 2 = (x 2) 2 + (y + 3) 2 , 4x 8y 12 = 0,x = 2y + 3: Ta câ jzj = p x 2 +y 2 = È (2y + 3) 2 +y 2 = p 5y 2 + 12y + 9 = Ê 5 y + 6 5 2 + 9 5 3 p 5 5 : D§u = x£y ra khi y = 6 5 , x = 3 5 . Vªyjzj min = 3 p 5 5 khi z = 3 5 6 5 i. B i 4. Trong c¡c sè phùc thäa m¢njiz 3j =jz 2ij, t¼m sè phùc câ mæ-un nhä nh§t. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Tø gi£ thi¸t · b i ta câ j(y 3) +xij =j(x 2) + (y 1)ij, (y 3) 2 +x 2 = (x 2) 2 + (y 1) 2 , 4x + 8y + 4 = 0,x =2y 1: Ta câ jzj = p x 2 +y 2 = È (2y 1) 2 +y 2 = p 5y 2 + 4y + 1 = Ê 5 y + 2 5 2 + 1 5 p 5 5 : D§u = x£y ra khi y = 2 5 , x = 1 5 . Vªyjzj min = p 5 5 khi z = 1 5 2 5 i. B i 5. Trong c¡c sè phùc thäa (z 1)( z + 2i) l sè thüc, t¼m sè phùc câ mæ-un nhä nh§t. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ (z 1)( z + 2i) = z z + 2iz z 2i =jzj 2 + 2i(z 1) z =x 2 +y 2 + 2i(x +yi 1) (xyi) = x 2 +y 2 + 2xi 2y 2ix +yi = (x 2 +y 2 x 2y) + (2x +y 2)i: V¼ (z 1)( z + 2i) l sè thüc n¶n 2x +y 2 = 0 hay y = 2 2x. Ta câ jzj = p x 2 +y 2 = È x 2 + (2 2x) 2 = p 5x 2 8x + 4 = Ê 5 x 4 5 2 + 4 5 2 p 5 5 : D§u = x£y ra khi x = 4 5 , y = 2 5 . Vªyjzj min = 2 p 5 5 khi z = 4 5 + 2 5 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 6. Trong c¡c sè phùc thäa m¢njz 1j =jzij, t¼m mæ-un nhä nh§t cõa sè phùc w = 2z + 2i. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Tø gi£ thi¸t · b i ta câ j(x 1) +yij =jx + (y 1)ij, (x 1) 2 +y 2 =x 2 + (y 1) 2 ,2x + 2y = 0,x =y: Ta câ w = 2z + 2i = 2x + 2yi + 2i = 2x + 2 + (2y 1)i = (2x + 2) + (2x 1)i. Khi â jwj =j(2x + 2) + (2x 1)ij = È (2x + 2) 2 + (2x 1) 2 = p 8x 2 + 4x + 5 = Ê 8 x + 1 4 2 + 9 2 3 p 2 2 : D§u = x£y ra khi x = 1 4 , y = 1 4 . Vªyjwj min = 3 p 2 2 khi z = 1 4 1 4 i. B i 7. Cho c¡c sè phùcz,w thäa m¢njz + 2 2ij =jz 4ij v w =iz + 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõajwj. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Tø gi£ thi¸t · b i ta câ j(x + 2) + (y 2)ij =jx + (y 4)ij, (x + 2) 2 + (y 2) 2 =x 2 + (y 4) 2 , 4x + 4y 8 = 0,y = 2x: Ta câ w =iz + 1 =xiy + 1 = (1y) +xi = (x 1) +xi. Khi â jwj = È (x 1) 2 +x 2 = p 2x 2 2x + 1 = Ê 2 x 1 2 2 + 1 2 p 2 2 : D§u = x£y ra khi x = 1 2 , y = 3 2 . Vªyjwj min = p 2 2 khi z = 1 2 + 3 2 i. B i 8. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njzj 2. T¼m t½ch cõa gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t cõa biºu thùc P = z +i z . -Líi gi£i. °t w = z +i z , ta câ wz =z +i, (w 1)z =i,j(w 1)zj =jij,jw 1jjzj = 1,jw 1j = 1 jzj ,jw 1j 1 2 : L¤i câ jwj 1jw 1j 1 2 )jwj 3 2 : M°t kh¡c j 1jjwjj 1 (w)j, 1jwjjw 1j 1 2 )jwj 1 2 : Suy ra P min = 1 2 , P max = 3 2 . Do â t½ch cõa gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t cõa biºu thùc l 3 4 . B i 9. Cho sè phùcz thäa m¢njz 3j +jz + 3j = 8. GåiM,m l¦n l÷ñt gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõajzj. T¼m M +m. -Líi gi£i. Ta câ Gåi E(x;y) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z, A(3; 0), B(3; 0). Ta câ EA +EB = 8 n¶n E thuëc elip câ tröc lîn b¬ng 8, ti¶u cü b¬ng 6, tröc b² b¬ng 2 p 7. Do âjzj max = 4, z min = p 7. Suy ra M = 4, m = p 7. Vªy M +m = 4 + p 7. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 10. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P =j1 +zj + 3j1zj. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Tø gi£ thi¸t · b i ta câ jzj = 1, p x 2 +y 2 = 1,x 2 +y 2 = 1,y 2 = 1x 2 : Tø k¸t qu£ tr¶n ta th§y x2 [1; 1]. M°t kh¡c P = j1 +zj + 3j1zj =j(x + 1) +yij + 3j(1x)yij = È (x + 1) 2 +y 2 + 3 È (1x) 2 +y 2 = p x 2 + 2x + 1 + 1x 2 + 3 p 1 2x +x 2 + 1x 2 = È 2(x + 1) + 3 È 2(1x): X²t h m sè f(x) = p 2(x + 1) + 3 p 2(1x) tr¶n o¤n [1; 1] câ f 0 (x) = 1 p 2(x + 1) 3 p 2(1x) ;8x2 (1; 1). Ph÷ìng tr¼nh f 0 (x) = 0 câ nghi»m x = 4 5 2 [1; 1]. L¤i câ f(1) = 6, f(1) = 2, f 4 5 = 2 p 10. Do â P max = 2 p 10 khi x = 4 5 , y = 3 5 tùc l z = 4 5 3 5 i. C¡ch kh¡c. Sû döng b§t ¯ng thùc ax +by p (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ). Ta câ P = 1 È (x + 1) 2 +y 2 + 3 È (1x) 2 +y 2 È (1 2 + 3 2 ) [(x + 1) 2 +y 2 + (1x) 2 +y 2 ] ) P È 20(x 2 +y 2 + 1) = 2 p 10: B i 11. Cho sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢n z 1 6= 0, z 2 6= 0, z 1 +z 2 6= 0 v 1 z 1 +z 2 = 1 z 1 + 2 z 2 . T½nh z 1 z 2 . -Líi gi£i. Ta câ 1 z 1 +z 2 = 1 z 1 + 2 z 2 , z 1 z 2 = (z 1 +z 2 )(z 2 + 2z 1 ),z 1 z 2 =z 1 z 2 + 2z 2 1 +z 2 2 + 2z 1 z 2 , 2z 2 1 + 2z 1 z 2 +z 2 2 = 0 , 2 z 1 z 2 2 + 2 z 1 z 2 + 1 = 0, z 1 z 2 = 1i 2 : Do â z 1 z 2 = p 2 2 . B i 12. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z 2 2z + 5 =j(z 1 + 2i)(z + 3i 1)j. T½nh minjwj, vîi w =z 2 + 2i. -Líi gi£i. z 2 2z + 5 =j(z 1 + 2i)(z + 3i 1)j , j(z 1 2i)(z 1 + 2i)j =j(z 1 + 2i)(z + 3i 1)j , jz 1 2ijjz 1 + 2ij =jz 1 + 2ijjz 1 + 3ij (1) 1 z = 1 2i)w =1)jwj = 1. 2 z6= 1 2i. Gåi z =x +yi vîi x;y2R. (1) , jz 1 2ij =jz 1 + 3ij , j(x 1) + (y 2)ij =j(x 1) + (y + 3)ij , (x 1) 2 + (y 2) 2 = (x 1) 2 + (y + 3) 2 , y = 1 2 : Vîi y = 1 2 )z =x 1 2 i. Khi â w =x 2 + 3 2 i)jwj = É (x 2) 2 + 9 4 > 3 2 . ) minjwj = 3 2 khi z = 2 1 2 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vªy minjwj = 1. B i 13. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z 2 + 4 = z 2 + 2iz . T½nh gi¡ trà nhä nh§t cõa P =jz +ij. -Líi gi£i. z 2 + 4 = z 2 + 2iz , j(z 2i)(z + 2i)j =jz(z + 2i)j , jz 2ijjz + 2ij =jzjjz + 2ij () 1 z =2i)P =jij = 1. 2 z6=2i. Gåi z =x +yi vîi x;y2R. () , jz 2ij =jzj , jx + (y 2)ij =jx +yij , x 2 + (y 2) 2 =x 2 +y 2 , y = 1: Vîi y = 1)z =x +i. Khi â P =jx + 2ij = p x 2 + 4> 2. ) minP = 2 khi z =i. Vªy minP = 1. B i 14. Cho sè phùc z =x + 2iy, (x;y2R) thay êi thäa m¢n i·u ki»njzj = 1. T½nh têng S cõa gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t cõa P =xy. -Líi gi£i. jzj = 1,jx + 2iyj = 1,x 2 + 4y 2 = 1) 8 < : 16x6 1 1 2 6y6 1 2 ) 8 < : 16x6 1 1 2 6y6 1 2 ) 3 2 xy 3 2 . Do â minP = 3 2 khi x =1;y = 1 2 v maxP = 3 2 khi x = 1;y = 1 2 . Vªy S = 0. C CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1 NHẬNBIẾT C¥u 1. iºm n o trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc z =1 + 2i? A. N. B. P. C. M. D. Q. x y 2 1 2 2 1 1 Q P M N O -Líi gi£i. V¼ z =1 + 2i n¶n iºm biºu di¹n cõa sè phùc z câ tåa ë (1; 2). Chån ¡p ¡n D C¥u 2. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 1 2i l A. 1 + 2i. B. 1 2i. C. 2i. D.1 + 2i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z = 1 2i l 1 + 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 3. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 4 3i. A. z =4 3i. B. z =4 + 3i. C. z = 4 + 3i. D. z = 3 + 4i. -Líi gi£i. z = 4 3i)z = 4 + 3i. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 4. iºm n o trong c¡c iºm d÷îi ¥y biºu di¹n sè phùc z =1 +i? A. Q(0;1). B. M(1; 1). C. N(1;1). D. P (1; 0). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n sè phùc z =1 +i l M(1; 1). Chån ¡p ¡n B C¥u 5. Sè phùc z =2i câ ph¦n thüc v ph¦n £o l¦n l÷ñt l A.2 v 0. B. 2i v 0. C. 0 v 2. D. 0 v 2. -Líi gi£i. Sè phùc z =2i câ ph¦n thüc b¬ng 0 v ph¦n £o b¬ng2. Chån ¡p ¡n C C¥u 6. iºm biºu di¹n sè phùc z = 1 2i tr¶n m°t ph¯ng Oxy câ tåa ë l A. (1;2). B. (1;2). C. (2;1). D. (2; 1). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n sè phùc z = 1 2i tr¶n m°t ph¯ng Oxy câ tåa ë l (1;2). Chån ¡p ¡n A C¥u 7. Cho sè phùc z =4 + 5i. iºm biºu di¹n cõa z câ tåa ë A. (4; 5). B. (4;5). C. (4;5). D. (4; 5). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =a +bi l M(a;b). Chån ¡p ¡n A C¥u 8. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 3 + 2i l A. z =3 + 2i. B. z = 2 3i. C. z =3 2i. D. z = 3 2i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z =a +bi l z =abi; 8a;b2R. Chån ¡p ¡n D C¥u 9. T½nh mæ-un cõa sè phùc z = 3 + 4i. A. 3. B. 5. C. 7. D. p 7. -Líi gi£i. jzj =j3 + 4ij = p 9 + 16 = 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 10. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc n o trong c¡c sè phùc cho sau ¥y? A. 3 2i. B. 2 + 3i. C. 2 3i. D. 3 + 2i. x y O 2 M 3 -Líi gi£i. iºm M(2; 3) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =2 + 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 11. Ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = 1 + 2i l¦n l÷ñt l A. 2 v 1. B. 1 v 2i. C. 1 v 2. D. 1 v i. -Líi gi£i. Sè phùc z = 1 + 2i câ ph¦n thüc v ph¦n £o l¦n l÷ñt l 1 v 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 12. Sè phùc li¶n hñp z cõa sè phùc z = 2 3i l A. z = 2 + 3i. B. z = 3 2i. C. z = 3 + 2i. D. z =2 + 3i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 13. Sè phùc ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(2;1) l A. 2 +i. B. 1 + 2i. C. 2i. D.1 + 2i. -Líi gi£i. Sè phùc câ iºm biºu di¹n bði M(2;1) tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l 2i. Chån ¡p ¡n C C¥u 14. Sè phùc li¶n hñp cõa z =a +bi l A. z =a +bi. B. z =bai. C. z =abi. D. z =abi. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z =a +bi l z =abi. Chån ¡p ¡n D C¥u 15. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 4i b¬ng A.4. B. 4i. C. 4. D. 4i. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 4i b¬ng4. Chån ¡p ¡n A C¥u 16. Kh¯ng ành n o sau ¥y l kh¯ng ành sai? A. Mæ-un cõa sè phùc z l mët sè ¥m. B. Mæ-un cõa sè phùc z l mët sè thüc. C. Mæ-un cõa sè phùc z =a +bi l jzj = p a 2 +b 2 . D. Mæ-un cõa sè phùc z l mët sè thüc khæng ¥m. -Líi gi£i. Ta câ z =a +bi (vîi a;b2R),jzj = p a 2 +b 2 . Do a;b2R) ¨ jzj2RC jzj 0: Chån ¡p ¡n A C¥u 17. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc A. z =2 + i. B. z = 1 2i. C. z = 2 + i. D. z = 1 + 2i. O x y 2 1 M -Líi gi£i. Ta câ M(2; 1))z =2 + i: Chån ¡p ¡n A C¥u 18. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 4i b¬ng A.4. B. 4i. C. 4. D. 4i. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 4i b¬ng4. Nâ l h» sè cõa i trong d¤ng ¤i sè cõa sè phùc. Chån ¡p ¡n A C¥u 19. iºmM trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùcz. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3. B. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4i. C. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. D. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3i. x y O 3 4 M -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 22 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ M(3;4) n¶n iºm M l iºm biºu di¹n sè phùc z = 3 4i. Vªy, sè phùc z câ ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 20. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3. B. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4i. C. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. D. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3i. x y 3 M 4 O -Líi gi£i. iºm M trong h¼nh v³ biºu di¹n cho sè phùc z = 3 4i. Vªy sè phùc z câ ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 21. Sè phùc li¶n hñp z cõa sè phùc z = 2 3i l A. z = 3 2i. B. z = 2 + 3i. C. z = 3 + 2i. D. z =2 + 3i. -Líi gi£i. Ta câ z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 22. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 2 3i l A.3i. B. 2. C. 3. D. 3. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 2 3i l 3. Chån ¡p ¡n C C¥u 23. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = (3 +i)(m 2i);m2R. A. z =(3m + 2) + (m 6)i. B. z = (3m + 2) + (m 6)i. C. z =(3m + 2) (m 6)i. D. z = (3m + 2) (m 6)i. -Líi gi£i. Ta câ z = (3 +i)(m 2i) = (3m + 2) + (m 6)i, do â sè phùc li¶n hñp cõa z l z = (3m + 2) (m 6)i. Chån ¡p ¡n D C¥u 24. Cho sè phùc z =4 + 5i. Biºu di¹n h¼nh håc cõa z l iºm câ tåa ë A. (4; 5). B. (4;5). C. (4;5). D. (4; 5). -Líi gi£i. Tåa ë biºu di¹n sè phùc z =4 + 5i l iºm M(4; 5): Chån ¡p ¡n A C¥u 25. iºm M trong h¼nh v³ l biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc n o d÷îi ¥y? A. z = 1 + 2i. B. z = 2 +i. C. z =1 + 2i. D. z =1 2i. x y 2 1 M O -Líi gi£i. Theo h¼nh v³ th¼ M(2;1) n¶n iºm M biºu di¹n cho sè phùc z = 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 26. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 4 + 3i l A. z =3 + 4i. B. z = 4 3i. C. z = 3 + 4i. D. z = 3 4i. -Líi gi£i. Vîi z =a +bi; (a;b2R) th¼ sè phùc li¶n hñp l z =abi. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 23 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n B C¥u 27. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o cõa sè phùc z A. Ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l i. B. Ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 2. C. Ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 2i. D. Ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 1. x y O 1 M 2 -Líi gi£i. V¼ M(1;2) n¶n z = 1 2i. Vªy ph¦n thüc cõa z l 1, ph¦n £o cõa z l 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 28. Cho sè phùc z thäa m¢n z = 3 + 2i. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc b¬ng 3, ph¦n £o b¬ng 2. B. Ph¦n thüc b¬ng3, ph¦n £o b¬ng 2. C. Ph¦n thüc b¬ng 3, ph¦n £o b¬ng2. D. Ph¦n thüc b¬ng3, ph¦n £o b¬ng2. -Líi gi£i. Ta câ z = 3 2i, suy ra ph¦n thüc cõa z b¬ng 3, ph¦n £o cõa z b¬ng2. Chån ¡p ¡n C C¥u 29. iºm M trong h¼nh b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. M»nh · n o sau ¥y óng? A. Sè phùc z câ ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. B. Sè phùc z câ ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4i. C. Sè phùc z câ ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3. D. Sè phùc z câ ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3i. O x y 4 M 3 -Líi gi£i. Sè phùc z câ ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 30. iºm M biºu di¹n sè phùc z = 3 + 2i trong m°t ph¯ng tåa ë phùc l A. M(2; 3). B. M(3;2). C. M(3; 2). D. M(3;2). -Líi gi£i. Sè phùc z = 3 + 2i câ iºm biºu di¹n l M(3; 2). Chån ¡p ¡n C C¥u 31. Cho sè phùc z =12 + 5i. Mæ-un cõa sè phùc z b¬ng A. 13. B. 119. C. 17. D.7. -Líi gi£i. jzj = È (12) 2 + 5 2 = 13: Chån ¡p ¡n A C¥u 32. iºmM trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. B. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3i. C. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3. D. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4i. O x y 3 4 M Th.s Nguy¹n Ch½n Em 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Theo h¼nh v³ ta th§y z = 3 4i n¶n ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 33. Bi¸t M(1;2) l iºm biºu di¹n sè phùc z, sè phùc z b¬ng A. 2 +i. B. 1 + 2i. C. 2i. D. 1 2i. -Líi gi£i. V¼ M(1;2) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z n¶n z = 1 2i. Tø â suy ra z = 1 + 2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 34. Cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy l iºm M(3;5). X¡c ành sè phùc li¶n hñp z cõa z. A. z =5 + 3i. B. z = 5 + 3i. C. z = 3 + 5i. D. z = 3 5i. -Líi gi£i. V¼ sè phùc z câ iºm biºu di¹n trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy l iºm M(3;5) n¶n z = 3 5i. Do â sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z l z = 3 + 5i. Chån ¡p ¡n C C¥u 35. Cho sè phùc z = 2 3i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z l A. z = 3 2i. B. z = 3 + 2i. C. z =2 3i. D. z = 2 + 3i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 36. Trong m°t ph¯ng phùc, iºm biºu di¹n sè phùc z = 3 2i l A. M (3;2). B. N (2;3). C. P (2; 3). D. Q (3; 2). -Líi gi£i. Sè phùc z = 3 2i câ ph¦n thüc v ph¦n £o l¦n l÷ñt l 3 v 2 n¶n z câ iºm biºu di¹n l M (3;2). Chån ¡p ¡n A C¥u 37. iºm biºu thà sè phùc z = 3 2i l A. M(3;2). B. N(2; 3). C. P (2; 3). D. Q(3; 2). -Líi gi£i. iºm biºu thà sè phùc z = 3 2i l iºm M(3;2). Chån ¡p ¡n A C¥u 38. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 1 2i. A. z = 1 + 2i. B. z = 2i. C. z =1 + 2i. D. z =1 2i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 1 2i l z = 1 + 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 39. T¼m m»nh · sai trong c¡c m»nh · sau. A. Sè phùc z =a +bi câ mæ-un l p a 2 +b 2 . B. Sè phùc z =a +bi câ sè èi z 0 =abi. C. Sè phùc z =a +bi = 0 khi v ch¿ khi ¨ a = 0 b = 0 . D. Sè phùc z =a +bi ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(a;b) trong m°t ph¯ng phùc Oxy. -Líi gi£i. Sè phùc z =a +bi câ sè èi z 0 =abi. Chån ¡p ¡n B C¥u 40. iºm n o sau ¥y l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 3 4i? A. M(3; 4). B. M(3; 4). C. M(3;4). D. M(3;4). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 3 4i l iºm câ tåa ë (3;4). Chån ¡p ¡n C C¥u 41. GåiM v M 0 l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cho c¡c sè phùcz v z. X¡c ành m»nh · óng. A. M v M 0 èi xùng vîi nhau qua tröc ho nh. B. M v M 0 èi xùng vîi nhau qua tröc tung. C. M v M 0 èi xùng vîi nhau qua gèc tåa ë. D. Ba iºm O;M;M 0 th¯ng h ng. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Vi¸t z =a +bi)z =abi, vîi a;b2R. Suy ra c¡c iºm biºu di¹n cho c¡c sè phùc z v z l¦n l÷ñt l M(a;b) v M 0 (a;b). Vªy M v M 0 èi xùng vîi nhau qua tröc ho nh. x y O b M a M 0 b Chån ¡p ¡n A C¥u 42. Trong h¼nh v³ b¶n, iºm P biºn di¹n sè phùc z 1 , iºm Q biºu di¹n sè phùc z 2 . T¼m sè phùc z =z 1 +z 2 ? A. 1 + 3i. B. 3 +i. C. 1 + 2i. D. 2 +i. x y O 1 2 1 2 P Q -Líi gi£i. Nh¼n v o h¼nh v³ tr¶n ta th§y z 1 =1 + 2i, z 2 = 2 +i. Khi â z 1 +z 2 = 1 + 3i. Chån ¡p ¡n A C¥u 43. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 +i l A. z = 2i. B. z = 2 +i. C. z =2 +i. D. z =2i. -Líi gi£i. Sè phùc z =x +yi (vîi x;y2R) th¼ sè phùc li¶n hñp cõa z l z =xyi. Do â sè phùc li¶n hñp cõa 2 +i l 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 44. Trong c¡c kh¯ng ành sau, kh¯ng ành n o sai? A.jzj l mët sè khæng ¥m. B. jzj l mët sè thüc. C. jzj l mët sè phùc. D.jzj l mët sè thüc d÷ìng. -Líi gi£i. Vîi z = 0 + 0 câjzj = 0. Chån ¡p ¡n D C¥u 45. Cho sè phùc z =1 + 2i. Sè phùc z ÷ñc biºu di¹n bði iºm n o d÷îi ¥y tr¶n m°t ph¯ng tåa ë? A. Q(1;2). B. P (1; 2). C. N(1;2). D. M(1; 2). -Líi gi£i. Ta câ z =1 2i, n¶n iºm biºu di¹n cho sè phùc z l Q(1;2). Chån ¡p ¡n A C¥u 46. Sè phùc n o sau ¥y câ iºm biºu di¹n l M(1;2)? A. 1 + 2i. B. 1 2i. C. 2 +i. D.1 2i. -Líi gi£i. Sè phùc z = 1 2i câ iºm biºu di¹n l M(1;2). Chån ¡p ¡n B C¥u 47. Ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = 1 + 2i l¦n l÷ñt l A. 1 v 2. B. 1 v i. C. 1 v 2i. D. 2 v 1. -Líi gi£i. Ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = 1 + 2i l¦n l÷ñt l 1 v 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 48. Cho sè phùc z = 10 2i. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc b¬ng 10 v ph¦n £o b¬ng 2. B. Ph¦n thüc b¬ng 10 v ph¦n £o b¬ng 2i. C. Ph¦n thüc b¬ng10 v ph¦n £o b¬ng2i. D. Ph¦n thüc b¬ng10 v ph¦n £o b¬ng2. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. z = 10 + 2i n¶n z câ ph¦n thüc b¬ng 10 v ph¦n £o b¬ng 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 49. Tåa ë iºm biºu di¹n sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 + 5i l A. (2;5). B. (2; 5). C. (2;5). D. (2; 5). -Líi gi£i. Ta câ z = 2 5i)M(2;5) l iºm biºu di¹n sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z. Chån ¡p ¡n A C¥u 50. Gi£ sû a;b, l hai sè thüc thäa m¢n 2a + (b 3)i = 4 5i vîi i l ìn và £o. G½a trà cõa a;b, b¬ng A. a = 1;b = 8. B. a = 8;b = 8. C. a = 2;b =2. D. a =2;b = 2. -Líi gi£i. Ta câ ¨ 2a = 4 b 3 =5 , ¨ a = 2 b =2 : Chån ¡p ¡n C C¥u 51. Sè phùc z = 5 8i câ ph¦n £o l A. 5. B. 8. C. 8. D.8i. -Líi gi£i. Sè phùc z = 5 8i câ ph¦n £o l 8. Chån ¡p ¡n B C¥u 52. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 4i. A.4. B. 4. C. 3. D.3. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 4i l 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 53. Sè phùc z thäa m¢n z = 5 8i câ ph¦n £o l A.8. B. 8. C. 5. D.8i. -Líi gi£i. Sè phùc z = 5 8i câ ph¦n thüc l 5 v ph¦n £o l 8. Chån ¡p ¡n A C¥u 54. Trong c¡c sè phùc z 1 =2i, z 2 = 2i, z 3 = 5i, z 4 = 4 câ bao nhi¶u sè thu¦n £o? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. -Líi gi£i. Sè thu¦n £o l sè câ d¤ng z =bi (b2R). Vªy trong c¡c sè phùc ¢ cho câ hai sè thu¦n £o l z 1 =2i, z 3 = 5i. Chån ¡p ¡n D C¥u 55. Sè phùc z câ iºm biºu di¹n A nh÷ h¼nh v³. Ph¦n £o cõa sè phùc z zi b¬ng A. 5 4 i. B. 1 4 i. C. 5 4 . D. 1 4 . O x y 2 3 M -Líi gi£i. V¼ iºm A = (2; 3) n¶n z = 2 + 3i. Do â z zi = 2 + 3i 2 + 2i = 5 4 + 1 4 i. Vªy ph¦n £o cõa sè phùc z zi b¬ng 1 4 . Chån ¡p ¡n D C¥u 56. Mæ-un cõa sè phùc w = 2 p 5i l A.jwj = p 29. B. jwj = 1. C. jwj = p 7. D.jwj = 3. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câjwj = È 2 2 + ( p 5) 2 = p 9 = 3. Chån ¡p ¡n D C¥u 57. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l A. z = 3 + 2i. B. z = 3 2i. C. z = 2 + 3i. D. z =2 + 3i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n C C¥u 58. Trong m°t ph¯ng Oxy, iºm n o sau ¥y biºu di¹n sè phùc z = 2 +i? A. M(2; 0). B. N(2; 1). C. N(2;1). D. N(1; 2). -Líi gi£i. Trong m°t ph¯ng Oxy, iºm biºu di¹n sè phùc z = 2 +i l N(2; 1). Chån ¡p ¡n B C¥u 59. iºm M trong h¼nh v³ b¶n biºu thà cho sè phùc n o d÷îi ¥y? A. 3 + 2i. B. 2 3i. C. 2 + 3i. D. 3 2i. x y O 3 2 M -Líi gi£i. iºm M(2; 3) biºu di¹n cho sè phùc z =2 + 3i. Chån ¡p ¡n C C¥u 60. Trong m°t ph¯ng tåa ë, iºm biºu di¹n sè phùc z = 2 3i l A. (2; 3). B. (2;3). C. (3; 2). D. (3; 2). -Líi gi£i. Ta câ iºm A(2;3) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 2 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 61. iºm biºu di¹n sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l A. M(2;3). B. M(2; 3). C. M(2; 3). D. M(2;3). -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z = 2 3i l z = 2 + 3i. Vªy iºm biºu di¹n sè phùc z l M(2; 3). Chån ¡p ¡n B C¥u 62. Mæ-un cõa sè phùc z = 4 3i b¬ng A. 7. B. 25. C. 5. D. 1. -Líi gi£i. Ta câjzj = p 4 2 + (3) 2 = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 63. Ph¦n £o cõa sè phùc z =1 +i l A. 1. B. 1. C. i. D.i. -Líi gi£i. Sè phùc z =1 +i vi¸t l¤i l z =1 + 1i n¶n câ ph¦n £o l 1. Chån ¡p ¡n A C¥u 64. Cho sè phùc z = 3 5i. Ph¦n £o cõa z l A. 5. B. 3. C. 5. D.5i. -Líi gi£i. Do z = 2 5i n¶n câ ph¦n £o b¬ng5. Chån ¡p ¡n C C¥u 65. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, sè phùc z = 3 4i ÷ñc biºu di¹n bði iºm n o trong c¡c iºm A, B, C, D? A. iºm D. B. iºm B. C. iºm A. D. iºm C. x 4 3 y 3 4 3 4 3 4 3 4 O C D A B -Líi gi£i. Ta câ z = 3 4i n¶n iºm biºu di¹n sè phùc z l D(3;4). Chån ¡p ¡n A C¥u 66. Sè phùc z = 2 3i câ iºm biºu di¹n l A. N(3; 2). B. P (3; 2). C. M(2;3). D. Q(2; 3). -Líi gi£i. Sè phùc z = 2 3i câ iºm biºu di¹n l M(2;3). Chån ¡p ¡n C C¥u 67. iºm n o trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc z = 1 + 3i? A. Q. B. P. C. M. D. N. x y O 3 1 3 3 3 1 P N M Q -Líi gi£i. iºm M(1; 3) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 1 + 3i. Chån ¡p ¡n C C¥u 68. Cho sè phùc z = 2 3i. iºm biºu di¹n sè phùc li¶n hñp cõa z l A. (2;3). B. (2; 3). C. (2;3). D. (2; 3). -Líi gi£i. Ta câ z = 2 3i)z = 2 + 3i)M(2; 3) l iºm biºu di¹n sè phùc li¶n hñp cõa z. Chån ¡p ¡n B C¥u 69. Mæ-un cõa sè phùc z = 5 2i b¬ng A. p 29. B. 3. C. 7. D. 29. -Líi gi£i. Ta câjzj =j5 2ij = p 5 2 + (2) 2 = p 29. Chån ¡p ¡n A C¥u 70. Sè phùc z = 5 7i câ sè phùc li¶n hñp l A. z = 5 + 7i. B. z =5 + 7i. C. z = 7 5i. D. z =5 7i. -Líi gi£i. Sè phùc z =a +bi câ sè phùc li¶n hñp l z =abi. Chån ¡p ¡n A C¥u 71. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Sè phùc n o d÷îi ¥y câ iºm biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l iºm M nh÷ h¼nh b¶n? A. 1 2i. B. i + 2. C. i 2. D. 1 + 2i. x y O 1 2 M -Líi gi£i. V¼ M (1;2) n¶n M l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 1 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 72. T¼m c¡c sè thüc a, b thäa m¢n (a 2b) + (a +b + 4)i = (2a +b) + 2bi vîi i l ìn và £o. A. a =3, b = 1. B. a = 3, b =1. C. a =3, b =1. D. a = 3, b = 1. -Líi gi£i. Ta câ (a 2b) + (a +b + 4)i = (2a +b) + 2bi, ¨ a 2b = 2a +b a +b + 4 = 2b , ¨ a + 3b = 0 ab =4 , ¨ a =3 b = 1: Chån ¡p ¡n A C¥u 73. Trong m°t ph¯ng tåa ëOxy, gåiM;N theo thù tü l c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùcz v z (vîi z6= 0). M»nh · n o d÷îi ¥y óng? A. M v N èi xùng nhau qua tröc Ox. B. M v N èi xùng nhau qua tröc Oy. C. M v N èi xùng nhau qua ÷íng ph¥n gi¡c cõa gâc ph¦n t÷ thù nh§t. D. M v N èi xùng nhau qua ÷íng ph¥n gi¡c cõa gâc ph¦n t÷ thù . -Líi gi£i. Gåi M(a;b) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. Ta ÷ñc N(a;b) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. Ta th§y M v N èi xùng nhau qua tröc Ox. O x y N M b b a Chån ¡p ¡n A C¥u 74. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 5 + 2i b¬ng A. 5. B. 2i. C. 2. D. 5i. -Líi gi£i. Sè phùc z = 2i + 5 câ ph¦n thüc b¬ng 5, ph¦n £o b¬ng 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 75. iºm n o trong h¼nh v³ d÷îi ¥y biºu di¹n sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i? A. M. B. P. C. N. D. Q. x y 2 0 2 3 Q M N P 3 2 3 -Líi gi£i. Ta câ z = 2 + 3i) iºm biºu di¹n cõa z l (2; 3). Chån ¡p ¡n C C¥u 76. Cho sè phùc z =a +bi vîi a;b2R. M»nh · n o sau ¥y l sai? A. Sè phùc z câ ph¦n thüc l a, ph¦n £o l bi. B. Sè phùc z câ mæ-un l p a 2 +b 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C. Sè phùc li¶n hñp cõa z l z =abi. D. z = 0,a =b = 0. -Líi gi£i. Sè phùc z =a +bi th¼ ph¦n thüc l a, ph¦n £o l b. Chån ¡p ¡n A C¥u 77. iºm M(1; 3) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc A. z =1 + 3i. B. z = 2. C. z = 1 3i. D. z = 2i. -Líi gi£i. Sè phùc z =a +bi (a;b2R) ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(a;b). Do â iºm M(1; 3) biºu di¹n cho sè phùc z =1 + 3i. Chån ¡p ¡n A C¥u 78. Ph¦n £o cõa sè phùc li¶n hñp cõa z = 4i 7 l A.4. B. 7. C. 7. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ z =7 4i. Vªy ph¦n £o cõa z l 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 79. Mæ-un cõa sè phùc z =4 + 3i l A.1. B. 1. C. 5. D. 25. -Líi gi£i. Ta câjzj = p 4 2 + 3 2 = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 80. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 1 + 3i. A. z =1 + 3i. B. z = 1 3i. C. z = 3i. D. z =1 3i. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 81. Mæ-un cõa sè phùc z =bi, b2R l A. b. B. b 2 . C. jbj. D. p b. -Líi gi£i. Ta câjzj =jbij =jbjjij =jbj. Chån ¡p ¡n C C¥u 82. iºm n o trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 3 + 4i? A. iºm D. B. iºm C. C. iºm A. D. iºm B. x y O A B D C 4 3 3 4 3 4 -Líi gi£i. Sè phùc z = 3 + 4i câ iºm biºu di¹n l A(3; 4). Chån ¡p ¡n C C¥u 83. iºm M biºu di¹n sè phùc z = 2i tr¶n m°t ph¯ng tåa ë Oxy l A. M = (1;2). B. M = (2;1). C. M = (2; 1). D. M = (2; 1). -Líi gi£i. Sè phùc z = 2i câ iºm biºu di¹n l M = (2;1). Chån ¡p ¡n B C¥u 84. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 31 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 iºm n o trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc z =2 +i A. N. B. P. C. M. D. Q. x y 2 1 2 1 1 2 P Q M N -Líi gi£i. Sè phùc z =2 +i câ ph¦n thüc2, ph¦n £o 1 n¶n câ iºm biºu di¹n tåa ë (2; 1) ch½nh l P. Chån ¡p ¡n B C¥u 85. Trong h¼nh v³ b¶n, iºm M biºu di¹n sè phùc z. Sè phùc z l A. 2i. B. 2 +i. C. 1 + 2i. D. 1 2i. O 2 x 1 y M -Líi gi£i. Tø h¼nh v³ suy ra tåa ë iºm M l M(2;1) n¶n z = 2i. Vªy z = 2 +i. Chån ¡p ¡n B C¥u 86. iºm n o trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc z = 2 +i? A. D. B. B. C. C. D. A. O x 2 1 1 2 y 1 1 2 A D C B -Líi gi£i. iºm biºu di¹n sè phùc z =a +bi l I(a;b). Vªy ¡p ¡n óng l D(2; 1). Chån ¡p ¡n A C¥u 87. iºm n o sau ¥y l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =3 + 4i? A. M(3; 4). B. M(3; 4). C. M(3;4). D. M(3;4). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =3 + 4i l iºm câ tåa ë (3; 4). Chån ¡p ¡n B C¥u 88. Sè phùc3 + 7i câ ph¦n £o b¬ng A. 3. B. 7. C. 3. D. 7. -Líi gi£i. Sè phùc3 + 7i câ ph¦n £o b¬ng 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 89. Sè phùc câ ph¦n thüc b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng 4 l A. 3 + 4i. B. 4 3i. C. 3 4i. D. 4 + 3i. -Líi gi£i. Sè phùc câ ph¦n thüc b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng 4 l z = 3 + 4i. Chån ¡p ¡n A C¥u 90. Sè phùc 5 + 6i câ ph¦n thüc b¬ng A.5. B. 5. C. 6. D. 6. -Líi gi£i. Sè phùc 5 + 6i câ ph¦n thüc b¬ng 5. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 91. Sè phùc câ ph¦n thüc b¬ng 1 v ph¦n £o b¬ng 3 l A.1 3i. B. 1 3i. C. 1 + 3i. D. 1 + 3i. -Líi gi£i. Sè phùc câ ph¦n thüc b¬ng 1 v ph¦n £o b¬ng 3 l 1 + 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 92. T¼m c¡c sè thüc x, y thäa m¢n (2x + 5y) + (4x + 3y)i = 5 + 2i. A. x = 5 14 v y = 8 7 . B. x = 8 7 v y = 5 14 . C. x = 5 14 v y = 8 7 . D. x = 5 14 v y = 8 7 . -Líi gi£i. Ta câ (2x + 5y) + (4x + 3y)i = 5 + 2i, ¨ 2x + 5y = 5 4x + 3y = 2 , 8 > < > : x = 5 14 y = 8 7 : Chån ¡p ¡n C C¥u 93. iºmM trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc n o d÷îi ¥y? A. z =2 + 3i. B. z = 3 + 2i. C. z = 2 3i. D. z = 3 2i. x y O 1 1 2 3 4 2 1 1 2 M -Líi gi£i. V¼ iºm M(3;2) n¶n nâ l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 3 2i. Chån ¡p ¡n D C¥u 94. T¼m ph¦n thüc a v ph¦n £o b cõa sè phùc z = p 5 2i. A. a =2;b = p 5. B. a = p 5;b = 2. C. a = p 5;b =2. D. a = p 5;b =2i. -Líi gi£i. Sè phùc z = p 5 2i câ ph¦n thüc a = p 5 v ph¦n £o b =2. Chån ¡p ¡n C C¥u 95. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l A. z =2 3i. B. z =2 + 3i. C. z = 3 2i. D. z = 2 + 3i. -Líi gi£i. Ta câ z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 96. iºmM trong h¼nh v³ b¶n d÷îi l iºm biºu di¹n cõa sè phùcz. T½nh têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A.1. B. 3i. C. 3. D. 2 +i. O x y 1 1 2 3 4 1 1 2 3 M -Líi gi£i. Düa v o h¼nh v³ ta câ tåa ë cõa M l (2; 1). Do â, sè phùc z = 2 +i. Vªy têng ph¦n thüc v ph¦n £o l 2 + 1 = 3. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 97. iºm M trong h¼nh v³ b¶n biºu di¹n cho sè phùc A. z = 3 4i. B. z =4 3i. C. z = 3 + 4i. D. z =4 + 3i. x y O 3 -4 M -Líi gi£i. iºm M(3;4) biºu di¹n cho sè phùc z = 3 4i. Chån ¡p ¡n A C¥u 98. Cho sè phùc z = 6 + 7i. Sè phùc li¶n hñp cõa z câ iºm biºu di¹n l A. (6; 7). B. (6;7). C. (6; 7). D. (6;7). -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z = 6 + 7i l z = 6 7i. iºm biºu di¹n cõa z câ tåa ë l (6;7). Chån ¡p ¡n B C¥u 99. Cho 4 iºmA,B,C,D tr¶n h¼nh v³ biºu di¹n 4 sè phùc kh¡c nhau. Chån m»nh · sai. A. B l iºm biºu di¹n sè phùc z = 1 2i. B. D l iºm biºu di¹n sè phùc z =1 2i. C. C l iºm biºu di¹n sè phùc z =1 2i. D. A l iºm biºu di¹n sè phùc z =2 +i. y x O 1 1 1 1 2 2 A D C B -Líi gi£i. D l iºm biºu di¹n sè phùc z =2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 100. Cho sè phùc z = 1 + 2i. Mæ-un cõa z l A. 3. B. p 5. C. 5. D. 4. -Líi gi£i. jzj = p 1 2 + 2 2 = p 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 101. Trong m°t ph¯ng tåa ëOxy cho iºmM câ tåa ë nh÷ h¼nh b¶n. X¡c ành sè phùc z câ iºm biºu di¹n l iºm M. A. z = 3 + 2i. B. z =2 + 3i. C. z = 2 + 3i. D. z = 3 2i. x y O 2 3 M -Líi gi£i. Sè phùc z câ iºm biºu di¹n l iºm M(3;2))z = 3 2i. Chån ¡p ¡n D C¥u 102. Cho sè phùc z = 4 3i. T¼m mæ-un cõa sè phùc z. A.jzj = 5. B. jzj = 25. C. jzj = p 7. D.jzj = 1. -Líi gi£i. Ta câjzj = p 4 2 + (3) 2 = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 103. Cho sè phùc z = 1 2i. Kh¯ng ành n o sau ¥y l kh¯ng ành óng? A. Ph¦n thüc cõa sè phùc z l 1. B. Ph¦n £o cõa sè phùc z l 2i. C. Ph¦n £o cõa sè phùc z l 2. D. Sè phùc z l sè thu¦n £o. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Sè phùc z = 1 2i câ ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 2 v khæng ph£i l sè thu¦n £o. Chån ¡p ¡n A C¥u 104. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l biºu di¹n sè phùc A. z = 2 + 3i. B. z = 3 2i. C. z = 2 3i. D. z = 3 + 2i. O x y 2 M 3 -Líi gi£i. Sè phùc z =a +bi câ iºm biºu di¹n l M(a;b). Chån ¡p ¡n A C¥u 105. iºm n o trong c¡c iºm sau ¥y l iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc z =5 + 4i trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy. A. C(5;4). B. B(4;5). C. A(5; 4). D. D(4; 5). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phóc z =a +bi vîi a, b2R l M(a;b). Vªy iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc z =5 + 4i l A(5; 4). Chån ¡p ¡n C C¥u 106. T¼m mæ-un cõa sè phùc z = 4 3i. A.jzj = 4. B. jzj = 1. C. jzj = 5. D.jzj = p 7. -Líi gi£i. Ta câjzj = p 4 2 + (3) 2 = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 107. Cho sè phùc z = 1 + 2i. iºm biºu di¹n cõa sè phùc li¶n hñp cõa z l iºm n o sau ¥y? A. M(1; 2). B. N(1;2). C. P (1;2). D. Q(2;1). -Líi gi£i. Ta câ z = 1 2i. Do â iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l N(1;2). Chån ¡p ¡n B C¥u 108. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l biºu di¹n sè phùc 2 1 1 2 3 x y 1 0 1 2 3 M A. z = 3 + 2i. B. z = 3 2i. C. z = 2 3i. D. z = 2 + 3i. -Líi gi£i. Tröc thüc (tröc Ox) ch¿ sè 2, tröc £o (tröc Oy) ch¿ sè 3. Vªy ¡p ¡n l z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 109. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R). Kh¯ng ành n o sau ¥y sai? A. z =abi. B. z 2 l sè thüc. C. jzj = p a 2 +b 2 . D. zz l sè thüc. -Líi gi£i. X²t z = 1 + 2i2C, ta câ z 2 =zz = (1 + 2i)(1 + 2i) =3 + 4i = 2R. Vªy kh¯ng ành z 2 l sè thüc sai. Chån ¡p ¡n B C¥u 110. T½nh mæ-un cõa sè phùc z = 3 + 4i. A. p 7. B. 3. C. 7. D. 5. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câ z = 3 + 4i)jzj = p 3 2 + 4 2 = 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 111. iºm M trong h¼nh v³ b¶n biºu di¹n sè phùc z. Sè phùc z b¬ng A. 2 + 3i. B. 2 3i. C. 3 + 2i. D. 3 2i. O x y 2 3 M -Líi gi£i. Ta câ M(2; 3) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 2 + 3i. Suy ra z = 2 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 112. Ph¦n £o cõa sè phùc z =3 + 2i l A.2. B. 3. C. 2. D.3. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa sè phùc z =3 + 2i l 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 113. Trong h¼nh v³ b¶n iºmM biºu di¹n sè phùc z. Sè phùc z b¬ng A. 2 +i. B. 1 + 2i. C. 1 2i. D. 2i. O x y 2 1 M -Líi gi£i. iºm M câ tåa ë (2; 1) n¶n l iºm biºu di¹n sè phùc z = 2 +i. Chån ¡p ¡n A C¥u 114. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l A. z =2 3i. B. z =2 + 3i. C. z = 3 2i. D. z = 2 + 3i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 3i l z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 115. Sè phùc li¶n hñp cõa z = 1 2i l A. z = 1 + 2i. B. z =1 2i. C. z = 2i. D. z =1 + 2i. -Líi gi£i. Sè phùc z = 1 + 2i l sè phùc li¶n hñp cõa z = 1 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 116. Cho sè phùc z = 3 +i. T½nhjzj. A.jzj = 4. B. jzj = p 10. C. jzj = 2 p 2. D.jzj = 2. -Líi gi£i. Do z = 3 +i n¶n z = 3i. Vªyjzj = p 3 2 + (1) 2 = p 10. Chån ¡p ¡n B C¥u 117. Sè phùc z thäa m¢n z = 1 2i ÷ñc biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë bði iºm n o sau? A. Q(1;2). B. M(1; 2). C. P (1; 2). D. N(1;2). -Líi gi£i. Ta câ z = 1 2i)z = 1 + 2i. Khi â sè phùc z ÷ñc biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë bði iºm M(1; 2). Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 118. Cho sè phùc z = 1 2i, iºm M biºu di¹n sè phùc z tr¶n m°t ph¯ng tåa ë Oxy câ tåa ë l A. M (2; 1). B. M (1; 2). C. M (1;2). D. M (1; 2). -Líi gi£i. Ta câ z = 1 2i)z = 1 + 2i)M (1; 2). Chån ¡p ¡n B C¥u 119. Cho sè phùc z =3 + 4i. Gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z. Tung ë cõa iºm M l A. 6. B. 4. C. 4. D.6. -Líi gi£i. z =3 + 4i)z =3 4i. iºm biºu di¹n sè phùc z l iºm M (3;4) n¶n tung ë iºm M b¬ng4. Chån ¡p ¡n B C¥u 120. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z =i + 1. A. Ph¦n thüc l 1 v ph¦n £o l . B. Ph¦n thüc l v ph¦n £o l 1. C. Ph¦n thüc l 1 v ph¦n £o l i. D. Ph¦n thüc l i v ph¦n £o l 1. -Líi gi£i. Sè phùc z câ ph¦n thüc l 1 v ph¦n £o l . Chån ¡p ¡n A C¥u 121. M»nh · n o sau ¥y sai? A. Sè phùc z = 2018i l sè thu¦n £o. B. Sè 0 khæng ph£i l sè thu¦n £o. C. Sè phùc z = 5 3i câ ph¦n thüc b¬ng 5, ph¦n £o b¬ng3. D. iºm M(1; 2) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =1 + 2i. -Líi gi£i. Sè 0 vøa l sè thüc, vøa l sè thu¦n £o. Chån ¡p ¡n B C¥u 122. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 3 + 2i: A. z = 3 2i. B. z =2 3i. C. z = 2 3i. D. z =3 2i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z l z = 3 2i: Chån ¡p ¡n A C¥u 123. Cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l A(3;4). T½nhjzj. A. 25. B. p 5. C. 10. D. 5. -Líi gi£i. Theo · b i suy ra z = 3 4i. Tø âjzj = p 3 2 + (4) 2 = 5: Chån ¡p ¡n D C¥u 124. Trong m°t ph¯ng phùc Oxy, iºm A(2; 1) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc n o sau ¥y? A. z = 2i. B. z =2 +i. C. z = 2 +i. D. z =2i. -Líi gi£i. iºm A(2; 1) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =2 +i. Chån ¡p ¡n B C¥u 125. Cho sè phùc z = 3 2i. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa z. A. Ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 2i. B. Ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2. C. Ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2i. D. Ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2. -Líi gi£i. Ta câ z = 3 + 2i, vªy z câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 126. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 + 2i. A. 2. B. 3. C. i. D. 2i. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 + 2i l 2. Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 127. Cho sè phùc z =2 + 3i. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z. A.3. B. 3. C. 3i. D. 3i. -Líi gi£i. Ta câ z =2 + 3i =2 3i. Ph¦n £o c¦n t¼m l 3. Chån ¡p ¡n A C¥u 128. Kh¯ng ành n o sau ¥y l sai? A. Vîi måi sè phùc z,jzj l mët sè thüc khæng ¥m. B. Vîi måi sè phùc z,jzj l mët sè phùc. C. Vîi måi sè phùc z,jzj l mët sè thüc d÷ìng. D. Vîi måi sè phùc z,jzj l mët sè thüc. -Líi gi£i. Vîi måi sè phùc z th¼jzj l mët sè thüc khæng ¥m n¶njzj l sè thüc hayjzj l sè phùc. Chån ¡p ¡n C C¥u 129. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l biºu di¹n sè phùc z. M»nh · n o sau ¥y óng? A. 2z =4 +i. B. 2z =4 + 2i. C. 2z = 4 2i. D. 2z = 2 4i. x y O M 1 2 -Líi gi£i. Theo h¼nh v³, ta câ z =2 +i) 2z =4 + 2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 130. Cho sè phùc z = 2 + 4i. T½nh hi»u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa z. A. 2. B. 2 p 5. C. 2. D. 6. -Líi gi£i. z = 2 + 4i) ¨ Ph¦n thüc b¬ng 2 Ph¦n £o b¬ng 4 : ) Hi»u ph¦n thüc v ph¦n £o l 2 4 =2: Chån ¡p ¡n C C¥u 131. Cho sè phùc z = 2 + 3i. Sè phùc li¶n hñp cõa z l A. z = 2 3i. B. z =2 3i. C. z =2 + 3i. D. z = 3 + 2i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z = 2 + 3i l z = 2 3i: Chån ¡p ¡n A C¥u 132. Cho sè phùc z = 3 4i. Mæ-un cõa z b¬ng A. 25. B. 7. C. 1. D. 5. -Líi gi£i. z = 3 4i)jzj = p 3 3 + (4) 2 = 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 133. Cho sè phùc z =3 + 7i. Ph¦n £o cõa sè phùc z l ? A. 7i. B. 4. C. 7. D.3. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa sè phùc z =3 + 7i l 7. Chån ¡p ¡n C C¥u 134. Trong m°t ph¯ng to¤ ë, iºm M(3; 2) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc n o d÷îi ¥y? A. z = 3 + 2i. B. z =3 + 2i. C. z =3 2i. D. z = 3 2i. -Líi gi£i. M(3; 2) ÷ñc biºu di¹n bði sè phùc z =3 + 2i. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 135. Cho sè phùc z = 3 + 2i. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng2. B. Ph¦n thüc b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng2i. C. Ph¦n thüc b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng 2. D. Ph¦n thüc b¬ng3 v ph¦n £o b¬ng2. -Líi gi£i. z = 3 + 2i)z = 3 2i. Vªy ph¦n thüc cõa z b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng2. Chån ¡p ¡n A C¥u 136. Trongc¡ciºmðh¼nhb¶n,iºmn ol iºmbiºudi¹nchosèphùcz = 32i? A. P. B. M. C. Q. D. N. x 2 1 3 y O M N Q P 3 2 2 3 -Líi gi£i. iºm N l iºm biºu di¹n cho sè phùc z = 3 2i. Chån ¡p ¡n D C¥u 137. iºm M trong h¼nh v³ b¶n d÷îi l iºm biºu di¹n cõa sè phùc A. z =3 + 2i. B. z = 3 + 2i. C. z =3 2i. D. z = 3 2i. O x y 3 2 M -Líi gi£i. iºm M trong h¼nh v³ l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =3 2i. Chån ¡p ¡n C C¥u 138. Ph¦n thüc cõa sè phùc z = 1 2i l A.2. B. 1. C. 1. D. 3. -Líi gi£i. Sè phùc z = 1 2i câ ph¦n thüc l 1. Chån ¡p ¡n C C¥u 139. Cho sè phùc z = 11 +i. iºm biºu di¹n sè phùc li¶n hñp cõa z l iºm n o d÷îi ¥y? A. Q(11; 0). B. M(11; 1). C. P (11; 0). D. N(11;1). -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z l z = 11i n¶n câ iºm biºu di¹n l N(11;1). Chån ¡p ¡n D C¥u 140. Trong m°t ph¯ng Oxy, iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc z. Sè phùc z l A.2 +i. B. 1 2i. C. 2i. D. 1 + 2i. O x y 2 1 M -Líi gi£i. Ta câ M(2; 1) n¶n iºm M l iºm biºu di¹n sè phùc z =2 +i. Do â z =2i. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 141. K½ hi»u a; b l¦n l÷ñt l ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z =4 3i. T¼m a;b. A. a =4;b = 3. B. a =4;b =3i. C. a =4;b =3. D. a = 4;b = 3. -Líi gi£i. Sè phùc z =4 3i câ ph¦n thüc l a =4, ph¦n £o l b =3: Chån ¡p ¡n C C¥u 142. Cho sè phùcz câ sè phùc li¶n hñpz = 32i. Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùcz b¬ng A. 1. B. 5. C. 5. D.1. -Líi gi£i. Ta câ z = 3 + 2i. Vªy têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z l 3 + 2 = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 143. Sè phùc z = 15 3i câ ph¦n £o b¬ng A. 15. B. 3. C. 3. D. 3i. -Líi gi£i. Ph¦n £o l 3. Chån ¡p ¡n C C¥u 144. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tåa ë iºm M biºu di¹n cho sè phùc z = 3 + 5i. A. M(3;5). B. M(3;5). C. M(3; 5). D. M(5; 3). -Líi gi£i. Sè phùc z =a +bi câ iºm biºu di¹n l M(a;b). Vªy suy ra iºm M câ tåa ë l (3; 5). Chån ¡p ¡n C C¥u 145. iºm M trong h¼nh v³ b¶n biºu di¹n sè phùc câ ph¦n thüc l A. 1. B. 2. C. p 5. D. 3. x y O 2 1 M -Líi gi£i. iºm M biºu di¹n sè phùc z = 2 +i. Do â, ph¦n thüc cõa z l 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 146. T¼m tåa ë iºm M l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 3 4i. A. M(3; 4). B. M(3;4). C. M(3;4). D. M(3; 4). -Líi gi£i. Ta câ sè phùc z = 3 4i câ iºm biºu di¹n l M(3;4). Chån ¡p ¡n C C¥u 147. Cho sè phùc z câ biºu di¹n h¼nh håc l iºm M ð h¼nh v³ b¶n. Kh¯ng ành n o sau ¥y l óng? A. z = 3 + 2i. B. z =2 3i. C. z = 3 2i. D. z =2 + 3i. O x y 1 1 2 3 2 1 1 M -Líi gi£i. iºm M(3;2) biºu di¹n sè phùc z = 3 2i. Chån ¡p ¡n C C¥u 148. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cho sè phùc n o trong 4 sè phùc ÷ñc li»t k¶ d÷îi ¥y? A. z = 4 2i. B. z = 2 + 4i. C. z = 4 + 2i. D. z = 2 4i. x y O M 2 4 -Líi gi£i. Ta câ tåa ë M(2; 4), suy ra sè phùc biºu di¹n bði M l z = 2 + 4i. Chån ¡p ¡n B C¥u 149. Cho sè phùcz = 1 + 3i. GåiM l iºm biºu di¹n cõa sè phùc li¶n hñpz. Tåa ë iºmM l A. M(1;3). B. M(1; 3). C. M(1;3). D. M(1; 3). -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp z = 1 3i n¶n M(1;3). Chån ¡p ¡n C C¥u 150. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 + 2i: A. Ph¦n thüc b¬ng3 v ph¦n £o b¬ng2i. B. Ph¦n thüc b¬ng3 v ph¦n £o b¬ng2. C. Ph¦n thüc b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng 2i. D. Ph¦n thüc b¬ng 3 v ph¦n £o b¬ng 2. -Líi gi£i. Theo ành ngh¾a th¼ sè phùc z = 3 + 2i câ ph¦n thüc v ph¦n £o t÷ìng ùng l 3 v 2: Chån ¡p ¡n D C¥u 151. T¼m tåa ë iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc z = 8 9i: A. (8; 9). B. (8;9). C. (9; 8). D. (8;9i). -Líi gi£i. Tåa ë iºm biºu di¹n sè phùc z = 8 9i l (8;9). Chån ¡p ¡n B C¥u 152. iºm M trong h¼nh v³ b¶n biºu di¹n sè phùc z. Sè phùc z b¬ng A. 2 + 3i. B. 3 + 2i. C. 2 3i. D. 3 2i. x y 2 M 3 0 -Líi gi£i. Tø h¼nh v³, ta th§y iºm M biºu di¹n cõa sè phùc 2 + 3i, do â tø gi£ thi¸t suy ra z = 2 + 3i. Vªy, z = 2 3i. Chån ¡p ¡n C C¥u 153. T¼m ph¦n thüc cõa sè phùc z = 1 2i. A.2. B. 1. C. 1. D. 3. -Líi gi£i. Ph¦n thüc cõa sè phùc z = 1 2i l 1. Chån ¡p ¡n C C¥u 154. Sè phùc z = 2 3i câ sè phùc li¶n hñp l A. 3 2i. B. 2 + 3i. C. 2 + 3i. D. 3 + 2i. -Líi gi£i. z = 2 3i = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 155. Trong c¡c m»nh · sau, m»nh · n o óng? A. Sè phùc z = 2 3i câ ph¦n thüc l 2 v ph¦n £o l 3i. B. Sè phùc z = 2 3i câ ph¦n thüc l 2 v ph¦n £o l 3. C. Sè phùc z = 2 3i câ ph¦n thüc l 2 v ph¦n £o l 3i. D. Sè phùc z = 2 3i câ ph¦n thüc l 2 v ph¦n £o l 3. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 41 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Mët sè phùc z =a +bi th¼ a l ph¦n thüc, b l ph¦n £o v i l ìn và £o. Chån ¡p ¡n B C¥u 156. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 6 4i l A. z =6 + 4i. B. z = 4 + 6i. C. z = 6 + 4i. D. z =6 4i. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc 6 4i l 6 + 4i. Chån ¡p ¡n C C¥u 157. Mæ-un cõa sè phùc z = 3 2i b¬ng A. 1. B. 13. C. p 13. D. 5. -Líi gi£i. Sè phùc z = 3 2i câ mæ-un l jzj = p 3 2 + (2) 2 = p 13. Chån ¡p ¡n C C¥u 158. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 1 +i: A. Ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 1. B. Ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l i. C. Ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 1. D. Ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l i. -Líi gi£i. z = 1i; ph¦n thüc b¬ng 1, ph¦n £o b¬ng1. Chån ¡p ¡n A C¥u 159. Mæ-un cõa sè phùc w =a + 2i vîi a2R b¬ng bao nhi¶u? A.jwj = p a + 2. B. jwj = p a 2 4. C. jwj = p a 2 + 4. D.jwj =a 2 + 4. -Líi gi£i. Sè phùc w =a + 2i câ mæ-un l jwj = p a 2 + 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 160. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = 1 3i. A. 1 v 3i. B. 1 v 3. C. 3 v 1. D. 1 v 3. -Líi gi£i. Ph¦n thüc l 1 v ph¦n £o l 3. Chån ¡p ¡n B C¥u 161. Cho sè phùc z = 2i. M»nh · n o d÷îi ¥y óng? A. Ph¦n thüc b¬ng 2. B. Ph¦n thüc b¬ng1. C. Ph¦n thüc b¬ng 1. D. Ph¦n £o b¬ng 2. -Líi gi£i. Sè phùc z = 2i câ ph¦n thüc b¬ng 2 v ph¦n £o b¬ng1. Chån ¡p ¡n A C¥u 162. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, tåa ë iºm M biºu di¹n sè phùc z = 4i l A. M(4; 1). B. M(4; 1). C. M(4;1). D. M(4;1). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n sè phùc z = 4i l M(4;1). Chån ¡p ¡n C C¥u 163. Cho sè phùc z = 2 3i. Sè phùc li¶n hñp z cõa sè phùc z l A. z =3 + 2i. B. z = 2 + 3i. C. z =2 + 3i. D. z =2 3i. -Líi gi£i. z = 2 3i)z = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 164. iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 2 3i tr¶n m°t ph¯ng Oxy l iºm n o sau ¥y? A. (2; 3). B. (3; 2). C. (2; 3). D. (2;3). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 2 3i trong m°t ph¯ng Oxy l (2;3). Chån ¡p ¡n D C¥u 165. Cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy l iºm M(1; 5). T½nh mæ-un cõa z: A.jzj = p 26. B. jzj = 4. C. jzj = 2. D.jzj = p 24. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 42 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. iºm M(1; 5) biºu di¹n cõa sè phùc z =1 + 5i: Vªy mæ-un cõa z l jzj = p 26. Chån ¡p ¡n A C¥u 166. Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 i l A. 2. B. 1. C. 2. D. 3. -Líi gi£i. Ta câ ph¦n thüc cõa z b¬ng 3 v ph¦n £o cõa z b¬ng1. Do â têng ph¦n thüc v ph¦n £o l 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 167. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3. B. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4i. C. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. D. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3i. M O x y 3 4 -Líi gi£i. Düa v o h¼nh v³ ta ÷ñc sè phùc z = 3 4i. Vªy sè phùc z câ ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 168. Cho sè phùc z = 4 3i. iºm biºu di¹n cõa z tr¶n m°t ph¯ng phùc l A. M(4; 3). B. M(4; 3). C. M(4;3). D. M(3; 4). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n cõa z tr¶n m°t ph¯ng phùc l M(4;3). Chån ¡p ¡n C C¥u 169. Gåia;b l¦n l÷ñt l ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z =3 + 2i. Gi¡ trà cõaa + 2b b¬ng A. 1. B. 1. C. 4. D.7. -Líi gi£i. Ta câ a =3;b = 2 n¶n a + 2b = 1. Chån ¡p ¡n A C¥u 170. Sè phùc z thäa m¢n z =3 2i l A. z = 3 + 2i. B. z =3 2i. C. z =3 + 2i. D. z = 3 2i. -Líi gi£i. D¹ th§y ngay z =z =3 2i =3 + 2i. Chån ¡p ¡n C C¥u 171. Mæ-un cõa sè phùc z = 3 + 4i b¬ng A. 1. B. 7. C. 5. D. p 7. -Líi gi£i. Ta câjzj = p 3 2 + 4 2 = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 172. iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z = 7 +bi vîi b2 R n¬m tr¶n ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh l A. y =x + 7. B. y = 7. C. x = 7. D. y =x. -Líi gi£i. C¡c iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z = 7 +bi;b2R câ tåa ë M b = (7;b);b2R. Tªp hñp c¡c iºm M b l ÷íng th¯ng x = 7. Chån ¡p ¡n C C¥u 173. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho c¡c iºm A(4; 0), B(1; 4) v C(1;1). Gåi G l trång t¥m cõa tam gi¡c ABC. Bi¸t r¬ng G l iºm biºu di¹n sè phùc z. M»nh · n o sau ¥y l óng? Th.s Nguy¹n Ch½n Em 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A. z = 3 3 2 i. B. z = 3 + 3 2 i. C. z = 2i. D. z = 2 +i. -Líi gi£i. G l trång t¥m cõa tam gi¡c ABC suy ra G 4 + 1 + 1 3 ; 0 + 4 + (1) 3 = (2; 1). Vªy G l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 2 +i. Chån ¡p ¡n D C¥u 174. Cho c¡c sè phùc z 1 = 3i, z 2 =1 3i v z 3 =m 2i. Tªp gi¡ trà cõa tham sè m º sè phùc z 3 câ mæ-un nhä nh§t trong 3 sè phùc ¢ cho l A. p 5; p 5 . B. p 5; p 5 . C. f p 5; p 5g. D. 1; p 5 [ p 5; +1 . -Líi gi£i. Ta câ ¨ jz 3 j < > : x = 3 2 y = 4 3 : Vªy x = 3 2 , y = 4 3 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 52 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n D C¥u 8. T¼m c¡c sè thüc x;y thäa m¢n 3x +y + 5xi = 2y 1 + (xy)i vîi i l ìn và £o. A. x = 1 7 ;y = 4 7 . B. x = 2 7 ;y = 4 7 . C. x = 1 7 ;y = 4 7 . D. x = 1 7 ;y = 4 7 . -Líi gi£i. Ta câ ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi ¨ 3x +y = 2y 1 5x =xy , ¨ 3xy =1 4x +y = 0 , 8 > < > : x = 1 7 y = 4 7 : Chån ¡p ¡n C C¥u 9. Gåi A;B l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cho hai sè phùc z 1 = 1 +i v z 2 = 1 3i. Gåi M l trung iºm cõa AB. Khi â M biºu di¹n cho sè phùc n o sau ¥y? A.i. B. 2 2i. C. 1 +i. D. 1i. -Líi gi£i. Ta câ A(1; 1);B(1;3)) tåa ë cõa M l M (1;1))M biºu di¹n cho z = 1i. Chån ¡p ¡n D C¥u 10. Cho sè phùc z câ biºu di¹n h¼nh håc l iºm M ð h¼nh v³ b¶n. Kh¯ng ành n o sau ¥y l óng? A. z =3 2i. B. z = 3 + 2i. C. z = 3 2i. D. z =3 + 2i. x y O 3 2 M -Líi gi£i. Tø h¼nh v³ ta câ z = 3 2i n¶n suy ra z = 3 + 2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 11. Cho sè phùc z =3 + 4i. Mæ-un cõa z l A.jzj = 7. B. jzj = 4. C. jzj = 5. D.jzj = 3. -Líi gi£i. Ta câ mæ-un cõa z l jzj = p (3) 2 + 4 2 = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 12. Trong m°t ph¯ng Oxy, gåi A, B, C l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z 1 =3i, z 2 = 2 2i, z 3 =5i. Gåi G l trång t¥m cõa tam gi¡c ABC. Khi â iºm G biºu di¹n sè phùc A. z = 2i. B. z = 1 2i. C. z =1 2i. D. z =1i. -Líi gi£i. Ta câ: A(0;3); B(2;2); C(5;1). Gåi G l trång t¥m cõa tam gi¡c ABC)G(1;2). iºm G biºu diºn sè phùc z =1 2i. Chån ¡p ¡n C C¥u 13. Bi¸t r¬ng câ duy nh§t mët c°p sè thüc (x;y) thäa m¢n (x +y) + (xy)i = 5 + 3i. T½nh gi¡ trà cõa S =x + 2y. A. S = 4. B. S = 6. C. S = 5. D. S = 3. -Líi gi£i. Ta câ (x +y) + (xy)i = 5 + 3i, ¨ x +y = 5 xy = 3 , ¨ x = 4 y = 1: Do â S =x + 2y = 4 + 2 1 = 6. Chån ¡p ¡n B C¥u 14. N¸u iºm M(x;y) l iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc z trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy tho£ m¢n OM = 4 th¼ A.jzj = 1 4 . B. jzj = 4. C. jzj = 16. D.jzj = 2. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Theo b i ra OM = 4) p x 2 +y 2 = 4)jzj = 4. Chån ¡p ¡n B C¥u 15. Cho sè phùcz tho£ m¢njz + 2ij = 3. Tªp hñp c¡c iºm trong m°t ph¯ng to¤ ëOxy biºu di¹n sè phùc ! = 1 +z l A. ÷íng trán t¥m I(2; 1) b¡n k½nh R = 3. B. ÷íng trán t¥m I(2;1) b¡n k½nh R = 3. C. ÷íng trán t¥m I(1;1) b¡n k½nh R = 9. D. ÷íng trán t¥m I(1;1) b¡n k½nh R = 3. -Líi gi£i. Gåi ! =x +yi (x;y2R). + Ta câ ! = 1 +z,x +yi = 1 +z,z =x 1 +yi)z =x 1yi. +jz + 2ij = 3,jx 1yi + 2ij = 3, p (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 3, (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 9. Vªy tªp hñp c¡c iºm trong m°t ph¯ng to¤ ëOxy biºu di¹n sè phùc! = 1+z l ÷íng trán t¥mI(1;1) b¡n k½nh R = 3. Chån ¡p ¡n D C¥u 16. Trongm°tph¯ngtåaëOxy,t¼mtªphñpc¡ciºmbiºudi¹ncõasèphùcz thäam¢njzj = p 7. A. ÷íng trán t¥m O(0; 0), b¡n k½nh R = 7 2 . B. ÷íng trán t¥m O(0; 0), b¡n k½nh R = 7. C. ÷íng trán t¥m O(0; 0), b¡n k½nh R = 49. D. ÷íng trán t¥m O(0; 0), b¡n k½nh R = p 7. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =x +yi x;y2R. Theo gi£ thi¸tjzj = p 7,x 2 +y 2 = 7. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l ÷íng trán t¥m O(0; 0), b¡n k½nh R = p 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 17. iºm M trong h¼nh v³ d÷îi ¥y biºu thà cho sè phùc z. Chån kh¯ng ành óng. x y O 2 M 3 A. z =2 + 3i. B. z = 3 2i. C. z =2 3i. D. z = 3 + 2i. -Líi gi£i. z =2 + 3i)z =2 3i. Chån ¡p ¡n C C¥u 18. Cho sè phùc z =1 4i. T¼m ph¦n thüc cõa sè phùc z. A.4. B. 1. C. 1. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ z =1 + 4i) Ph¦n thüc cõa sè phùc z l 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 19. Cho c¡c sè phùc z, z 0 câ biºu di¹n h¼nh håc l¦n l÷ñt l c¡c iºm M, M 0 trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy. N¸u OM = 2OM 0 th¼ A.jzj = 2jz 0 j. B. z 0 = 2z. C. z = 2z 0 . D.jz 0 j = 2jzj. -Líi gi£i. Ta câjzj =OM,jz 0 j =OM 0 . Do â, n¸u OM = 2OM 0 th¼jzj = 2jz 0 j. Chån ¡p ¡n A C¥u 20. Cho sè phùc z =2 5i. N¸u z v z 0 l hai sè phùc li¶n hñp cõa nhau th¼ A. z 0 = p (2) 2 + 5 2 . B. z 0 = 2 5i. C. z 0 = 2 + 5i. D. z 0 =2 + 5i. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 54 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 z 0 l sè phùc li¶n hñp cõa z =2 5i th¼ z 0 =2 + 5i. Chån ¡p ¡n D C¥u 21. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, gåi A;B;C l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n sè phùc1 2i; 4 4i;3i. Sè phùc biºu di¹n trång t¥m tam gi¡c ABC l A.1 3i. B. 1 3i. C. 3 + 9i. D. 3 9i. -Líi gi£i. Ta câ A(1;2);B(4;4);C(0;3) n¶n trång t¥m G cõa tam gi¡c ABC câ tåa ë l G(1;3). Do â sè phùc biºu di¹n iºm G l 1 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 22. Cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n l M trong h¼nh v³ b¶n. Gåi M 0 l iºm biºu di¹n cho sè phùc z. Tåa ë cõa iºm M 0 l A. M 0 (3;2). B. M 0 (3; 2). C. M 0 (3; 2). D. M 0 (3;2). x y O 3 2 M -Líi gi£i. Sè phùc z biºu di¹n iºm M l z = 3 2i. )z = 3 + 2i)M 0 (3; 2). Chån ¡p ¡n B C¥u 23. Mæun cõa sè phùc z = 4 3i b¬ng: A. 25. B. 5. C. 4. D.3. -Líi gi£i. Câjzj = p 4 2 + (3) 3 = 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 24. Gåi M;N;P l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z 1 = 1 +i, z 2 = 8 +i, z 3 = 1 3i trong m°t ph¯ng phùc Oxy. Kh¯ng ành n o sau ¥y l kh¯ng ành óng? A.4MNP vuæng. B. 4MNP ·u. C. 4MNP c¥n. D.4MNP vuæng c¥n. -Líi gi£i. Ta câ M(1; 1);N(8; 1);P (1;3). D¹ d ng t½nh ÷ñc MN = 7;NP = p 65;MP = 4 v MN 2 +MP 2 =NP 2 . Vªy tam gi¡c MNP vuæng t¤i M. Chån ¡p ¡n A C¥u 25. Cho sè phùcz câ iºm biºu di¹n l iºmA trong h¼nh v³. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. x y O 3 2 A A. Ph¦n thüc b¬ng 3, ph¦n £o b¬ng2. B. Ph¦n thüc b¬ng 3, ph¦n £o b¬ng 2. C. Ph¦n thüc b¬ng 2, ph¦n £o b¬ng3i. D. Ph¦n thüc b¬ng 3, ph¦n £o b¬ng 2i. -Líi gi£i. z = 3 + 2i)z = 3 2i: Chån ¡p ¡n A C¥u 26. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 iºm M trong h¼nh l iºm biºu di¹n sè phùc n o? A. z = (1 + 2i)(1i). B. 2z 6 = (1i) 2 . C. z = 1 +i 1i . D. z = (1 +i)(2 3i). x O y 1 M 3 -Líi gi£i. iºm M l iºm biºu di¹n sè phùc z = 3i, do â: 1 z = (1 + 2i)(1i) = 3 +i lo¤i. 2 2z 6 = (1i) 2 =2i)z = 3i thäa m¢n. 3 z = 1 +i 1i = (1 +i) 2 2 =i lo¤i. 4 z = (1 +i)(2 3i) = 5i lo¤i. Chån ¡p ¡n B C¥u 27. Cho sè phùc z tho£ m¢n (2 + 3i)z =z 1. Mæun cõa z b¬ng A. 1 p 10 . B. 1 10 . C. 1. D. p 10. -Líi gi£i. (2 + 3i)z =z 1, (1 + 3i)z =1,j1 + 3ijjzj = 1)jzj = 1 p 10 . Chån ¡p ¡n A C¥u 28. Cho tam gi¡cABC nh÷ h¼nh v³. Bi¸t trång t¥mG cõa tam gi¡cABC l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z. A. 1. B. 1. C. i. D. i. A B C x y O 2 2 3 -Líi gi£i. Theo gi£ thi¸t, ta câ A(0; 3), B(2; 0), C(2; 0). Tåa ë trång t¥m G cõa tam gi¡c ABC l G (0; 1) n¶n z =i)z =i: Chån ¡p ¡n B C¥u 29. Gåi M v N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z 1 , z 2 kh¡c 0. Khi â kh¯ng ành n o sau ¥y sai? A.jz 1 +z 2 j =MN . B. jz 2 j =ON . C. jz 1 z 2 j =MN . D.jz 1 j =OM . x y O M N -Líi gi£i. Gåi z 1 =a 1 +b 1 i)M(a 1 ;b 1 ), z 2 =a 2 +b 2 i)M(a 2 ;b 2 ). Ta câjz 1 +z 2 j = p (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 . M MN = p (a 1 a 2 ) 2 + (b 1 b 2 ) 2 . Suy rajz 1 +z 2 j6=MN. Chån ¡p ¡n A C¥u 30. Cho sè phùc z = 1 + 2i. iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l A. M(1; 2). B. M(1;2). C. M(1;2). D. M(2; 1). -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 z = 1 2i. Suy ra iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l M(1;2). Chån ¡p ¡n C C¥u 31. Cho sè phùc z = cos' +i sin', ('2R). T¼m mæ-un cõa z. A.j cos'j +j sin'j. B. 1. C. j cos' + sin'j. D.j cos 2'j. -Líi gi£i. Ta câ z = cos' +i sin' = 1 (cos' +i sin') n¶n r = 1. Vªyjzj = 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 32. T½nh mæ-un cõa sè phùc z thäa m¢n (2 +i)z + 15 5i 1i = 20. A.jzj = 5. B. jzj = 7. C. jzj = p 5. D.jzj = 1. -Líi gi£i. Ta câ (2 +i)z + 15 5i 1i = 20,z = 3 4i)jzj = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 33. Trong m°t ph¯ng Oxy, cho iºm A(2;3) biºu di¹n sè phùc z A , iºm B biºu di¹n sè phùc z B = (1 +i)z A . T½nh di»n t½ch S cõa tam gi¡c OAB. A. S = 11 2 . B. S = 13 2 . C. S = 17 2 . D. S = 15 2 . -Líi gi£i. Ta câ z A = 2 3i)z B = 5i)B(5;1). Trong khæng gian Oxyz, ta câ ( # OA = (2;3; 0) # OB = (5;1; 0) )S 4OAB = 1 2 [ # OA; # OB] = 13 2 . Chån ¡p ¡n B C¥u 34. Cho c¡c sè phùcz 1 = 1 + 3i,z 2 =2 + 2i,z 3 =1i ÷ñc biºu di¹n l¦n l÷ñt bði c¡c iºmA,B, C tr¶n m°t ph¯ng phùc. GåiM l iºm thäa m¢n # AM = # AB # AC. Khi â iºmM biºu di¹n sè phùc A. z = 6i. B. z =6i. C. z = 2. D. z =2. -Líi gi£i. Tåa ë A(1; 3), B(2; 2), C(1;1). Gåi tåa ë iºm M(x;y). # AM = (x 1;y 3), # AB = (3;1), # AC = (2;4). Ta câ # AM = # AB # AC) ¨ x 1 =3 (2) y 3 = (1) (4) , ¨ x = 0 y = 6 )z = 6i. Chån ¡p ¡n A C¥u 35. Cho sè phùc z thäa m¢njz 2ij =jzi + 3ij. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh A. 6x + 4y 5 = 0. B. 6x 4y = 0. C. 6x 4y + 5 = 0. D. 6x + 4y + 5 = 0. -Líi gi£i. °t z =x +yi; x;y2R, ta câjz 2ij =jzi + 3ij,x 2 + (y 2) 2 =y 2 + (x + 3) 2 , 6x + 4y + 5 = 0: Chån ¡p ¡n D C¥u 36. Cho sè phùcz thay êi, thäa m¢njzij =jz 1 + 2ij: Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc ! =z + 2i tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët ÷íng th¯ng. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â l A. x 4y + 3 = 0. B. x + 3y + 4 = 0. C. x 3y + 4 = 0. D.x + 3y + 4 = 0. -Líi gi£i. °t! =x +yi; vîix;y2R: Khi â,z =! 2i =x + (y 2)i: Suy rajzij =jz 1 + 2ij,jx + (y 3)ij = jx 1 +yij; hay t÷ìng ÷ìng vîi x 2 + (y 3) 2 = (x 1) 2 +y 2 ,x 3y + 4 = 0: Chån ¡p ¡n C C¥u 37. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 57 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Bi¸t tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi l nûa h¼nh trán t¥mO(0; 0) b¡n k½nhR = 2 (ph¦n tæ ªm, kº c£ ÷íng giîi h¤n) nh÷ h¼nh b¶n. Trong c¡c kh¯ng ành sau, kh¯ng ành n o óng? A. x 0 v jzj = p 2. B. y 0 v jzj = 2. C. x 0 v jzj 2. D. y 0 v jzj 2. x y O 1 2 2 -Líi gi£i. Düa v o h¼nh v³ tr¶n ta th§y sè phùc z câ ph¦n thüc khæng ¥m v jzj 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 38. Cho sè phùc z = 5 4i. Sè phùc li¶n hñp cõa z câ iºm biºu di¹n M l A. M(5;4). B. M(5;4). C. M(5; 4). D. M(5; 4). -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z l z = 5 + 4i suy ra M(5; 4). Chån ¡p ¡n C C¥u 39. Trongm°tph¯ngtåaëOxy,tªphñpc¡ciºmbiºudi¹nc¡csèphùcz thäam¢ni·ujz+2ij = 2 l A. ÷íng trán (x + 2) 2 + (y 1) 2 = 4. B. ÷íng trán t¥m I(2;1) v b¡n k½nh R = 2. C. ÷íng th¯ng xy 2 = 0. D. ÷íng th¯ng x +y 2 = 0. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi (x;y2R). Khi âjz + 2ij = 2, (x + 2) 2 + (y 1) 2 = 4: Vªytªphñpc¡ciºmbiºudi¹nc¡csèphùcz thäam¢ni·ujz+2ij = 2l ÷íngtrán (x+2) 2 +(y1) 2 = 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 40. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z câ ph¦n thüc b¬ng 3 l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh A. x =3. B. x = 1. C. x =1. D. x = 3. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi vîi x;y2R. Do z câ ph¦n thüc b¬ng 3 n¶n x = 3. Chån ¡p ¡n D C¥u 41. Cho sè phùc z = a + (a 5) i vîi a2R. T¼m a º iºm biºu di¹n cõa sè phùc n¬m tr¶n ÷íng ph¥n gi¡c cõa gâc ph¦n t÷ thù hai v thù t÷ A. a = 1 2 . B. a = 5 2 . C. a = 0. D. a = 3 2 . -Líi gi£i. º thäa m¢n b i to¡n suy ra a 5 =a, 2a 5 = 0,a = 5 2 . Chån ¡p ¡n B C¥u 42. Cho cho hai sè phùc z = 3 + 2i v w = 3 2i. Kh¯ng ành n o sau ¥y l kh¯ng ành sai? A.jzj>jwj. B.jzj =jwj. C. N¸u A v B theo thù tü l hai iºm biºu di¹n cõa z v w tr¶n h» tåa ë Oxy th¼ AB =jzwj. D. Sè phùc z l sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc w. -Líi gi£i. Dojzj = p 3 2 + 2 2 = p 13 v jwj = p 3 2 + (2) 2 = p 13 n¶njzj =jwj. Chån ¡p ¡n A C¥u 43. T¼m hai sè thüc x;y thäa m¢n 2 + (5y)i = (x 1) + 5i. A. ¨ x = 3 y = 0 . B. ¨ x = 6 y = 3 . C. ¨ x =6 y = 3 . D. ¨ x =3 y = 0 . -Líi gi£i. 2 + (5y)i = (x 1) + 5i, ¨ 2 =x 1 5y = 5 , ¨ x = 3 y = 0: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n A C¥u 44. Trong m°t ph¯ng Oxy, cho iºm A l iºm biºu di¹n sè phùc z = 1 + 2i, B l iºm thuëc ÷íng th¯ngy = 2 sao cho tam gi¡cOAB c¥n t¤iO. iºmB l iºm biºu di¹n cõa sè phùc n o trong c¡c sè phùc d÷îi ¥y? A.3 + 2i. B. 1 + 2i. C. 3 + 2i. D. 1 2i. -Líi gi£i. z = 1 + 2i) A(1; 2); iºm B thuëc ÷íng th¯ng y = 2) B(a; 2). Tam gi¡c OAB c¥n t¤i O, OA = OB, 5 =a 2 + 4,a =1. Vªy iºm B biºu di¹n cho sè phùc z =1 + 2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 45. T¼m t§t c£ c¡c sè thüc x, y sao cho x 2 2 +yi =2 + 5i. A. x = 0, y = 5. B. x =2, y = 5. C. x = 2, y = 5. D. x = 2, y =5. -Líi gi£i. Ta câ x 2 2 +yi =2 + 5i, ¨ x 2 2 =2 y = 5 , ¨ x = 0 y = 5: Chån ¡p ¡n A C¥u 46. Tr¶n m°t ph¯ng phùc, cho iºm A biºu di¹n sè phùc2 + 3i, iºm B biºu di¹n sè phùc 4 5i. Gåi M l trung iºm cõa AB. Khi â, iºm M biºu di¹n sè phùc n o trong c¡c sè phùc sau A. 3 4i. B. 3 + 4i. C. 1 +i. D. 1i. -Líi gi£i. Ta câ A(2; 3), B(4;5). M l trung iºm cõa AB)M(1;1). Vªy M biºu di¹n sè phùc 1i. Chån ¡p ¡n D C¥u 47. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = (1i)(3 + 2i). A. z =5 +i. B. z = 5i. C. z = 5 +i. D. z =5i. -Líi gi£i. Ta câ z = (1i)(3 + 2i) = 5i, suy ra z = 5 +i. Chån ¡p ¡n C C¥u 48. Gåi M l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z trong m°t ph¯ng tåa ë, N l iºm èi xùng cõa M qua Oy (M;N khæng thuëc c¡c tröc tåa ë). Sè phùc ! câ iºm biºu di¹n l¶n m°t ph¯ng tåa ë l N. M»nh · n o sau ¥y óng? A. ! =z. B. ! = z. C. ! = z. D.j!j>jzj. -Líi gi£i. Gi£ sû M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi, vîi x;y2R, N l iºm èi xùng cõa M qua Oy. Khi â N(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc ! =x +yi =(xyi) = z. Chån ¡p ¡n B C¥u 49. Trong m°t ph¯ng phùc, cho iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc z. Trong c¡c m»nh · sau m»nh · n o sai? A. Sè phùc z câ ph¦n £o b¬ng 4 . B. z = 3 4i. C. jzj = 5. D. zz = 6. O x y 3 4 M -Líi gi£i. Ta câ z = 3 + 4i)z = 3 4i, do â zz = 8i. Chån ¡p ¡n D C¥u 50. T¼m c¡c sè thüc x, y thäa m¢n (x +y) + (2xy)i = 3 6i. A. x =1;y =4. B. y =1;x = 4. C. x =1;y = 4. D. x = 1;y =4. -Líi gi£i. Ta câ: ¨ x +y = 3 2xy =6 , ¨ x =1 y = 4 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 59 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n C C¥u 51. Mæ-un cõa sè phùc z =m 2i (m2R) l A. p m 2 2. B. p m 2 + 2. C. p m 2 4. D. p m 2 + 4. -Líi gi£i. Ta câjzj = p m 2 + 4. Chån ¡p ¡n D C¥u 52. Trong m°t ph¯ng Oxy, iºm biºu di¹n sè phùc z =3 + 4i l A. M(3;4). B. M(3;4). C. M(3; 4). D. M(3; 4). -Líi gi£i. M(3; 4) l iºm biºu di¹n sè phùc z =3 + 4i. Chån ¡p ¡n C C¥u 53. Cho sè phùc z = 5 4i. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A. 3. B. 1. C. 9. D. p 41. -Líi gi£i. Ta câ z = 5 + 4i, suy rajzj = p 5 2 + 4 2 = p 41. Chån ¡p ¡n D C¥u 54. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n sè phùc A. z = 1 3i. B. z =1 + 3i. C. z = 3 +i. D. z = 3i. O x y x 1 M 3 -Líi gi£i. iºm M(3;1) l biºu di¹n cho sè phùc z = 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 55. Cho sè phùc z = 2i 8. Sè phùc li¶n hñp cõa z l A. z = 2i + 8. B. z =2i + 8. C. z = 2i + 8. D. z =2i 8. -Líi gi£i. Sè phùc li¶n hñp cõa z l z =2i 8. Chån ¡p ¡n D C¥u 56. Trong m°t ph¯ng phùc cho c¡c iºm A(4; 1),B(1; 3),C(6; 0) l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z 1 , z 2 , z 3 . Trång t¥m G cõa tam gi¡c ABC l iºm biºu di¹n cõa sè phùc n o sau ¥y? A.3 + 4 3 i. B. 3 + 4 3 i. C. 3 4 3 i. D.3 4 3 i. -Líi gi£i. Tåa ë trång t¥mG cõa tam gi¡cABC l 8 < : x G =3 y G = 4 3 )G 3; 4 3 l iºm biºu di¹n cõa sè phùc3 + 4 3 i. Chån ¡p ¡n A C¥u 57. Cho sè phùc z = p 7 3i. T½nhjzj: A.jzj = 5. B. jzj = 3. C. jzj = 4. D.jzj = 16. -Líi gi£i. Ta câjzj = q p 7 2 + (3) 2 = 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 58. Cho sè phùc z = 3 2i. T¼m iºm biºu di¹n cõa sè phùc w =z + iz. A. M (1; 1). B. M (1;5). C. M (5;5). D. M (5; 1). -Líi gi£i. Ta câ w = 3 2i + i (3 + 2i),w = 3 2i + 3i 2,w = 1 + i: Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 59. Trong m°t ph¯ng phùc, gåiA;B;C l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùcz 1 = (1i)(2+ i);z 2 = 1 + 3i;z 3 =1 3i. Tam gi¡c ABC l A. Mët tam gi¡c vuæng c¥n. B. Mët tam gi¡c c¥n (khæng ·u). C. Mët tam gi¡c vuæng (khæng c¥n). D. Mët tam gi¡c ·u. -Líi gi£i. Ta câ z 1 = 3 i;z 2 = 1 + 3i;z 3 = 1 3i. iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z 1 ;z 2 ;z 3 l¦n l÷ñt l A(3;1);B(1; 3);C(1;3). ) AB = p (1 3) 2 + (3 + 1) 2 = 2 p 5. T÷ìng tü BC = 2 p 10, CA = 2 p 5. Do AB = AC(= 2 p 5) v AB 2 +AC 2 =BC 2 n¶n tam gi¡c ABC l tam gi¡c vuæng c¥n. Chån ¡p ¡n A C¥u 60. Cho sè phùc z câ ph¦n £o ¥m v thäa m¢n z 2 3z + 5 = 0. T¼m mæ-un cõa sè phùc ! = 2z 3 + p 14. A. p 24. B. p 17. C. 4. D. 5. -Líi gi£i. Ta câ ph÷ìng tr¼nh z 2 3z + 5 = 0 câ hai nghi»m l z = 3 + p 11i 2 v z = 3 p 11i 2 . )! = p 14 p 11i. )j!j = p 14 + 11 = p 25 = 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 61. Cho sè phùc z =a +a 2 i vîi a2R. Khi â iºm biºu di¹n cõa sè phùc li¶n hñp cõa z n¬m tr¶n ÷íng n o? A. ÷íng th¯ng y =x + 1. B. ÷íng th¯ng y = 2x. C. Parabol y =x 2 . D. Parabol y =x 2 . -Líi gi£i. iºm biºu di¹n cõa sè phùc li¶n hñp z l M a;a 2 . Do â iºm M thuëc y =x 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 62. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R): M»nh · n o d÷îi ¥y luæn óng? A. z z = 2a. B. z z =a 2 b 2 . C. z + z = 2bi. D.jz 2 j =jzj 2 . -Líi gi£i. D¹ th§yjz 2 j =jzj 2 vîi måi sè phùc z. Chån ¡p ¡n D C¥u 63. Sè phùc z n o sau ¥y thäa m¢njzj = p 5 v z l sè thu¦n £o? A. z = p 5. B. z = p 2 + p 3i. C. z = 5i. D. z = p 5i. -Líi gi£i. V¼ z l sè thu¦n £o n¶n ta °t z =bi)jzj =jbj = p 5) " b = p 5 b = p 5 ) " z = p 5i z = p 5i : Chån ¡p ¡n D C¥u 64. iºm M(3;4) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z, sè phùc li¶n hñp cõa z l A. z = 3 4i. B. z =3 + 4i. C. z = 3 + 4i. D. z =3 4i. -Líi gi£i. Ta câ z = 3 4i suy ra z = 3 + 4i. Chån ¡p ¡n C C¥u 65. Cho sè phùc z = 6 + 7i. Sè phùc li¶n hñp cõa z trong m°t ph¯ng (Oxy) câ iºm biºu di¹n h¼nh håc l A. (6; 7). B. (6;7). C. (6; 7). D. (6;7). -Líi gi£i. Ta câ z = 6 + 7i)z = 6 7i) iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa z l M(6;7). Chån ¡p ¡n B C¥u 66. GåiA,B l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z 1 = 1 + 2i,z 2 = 5i. T½nh ë d i o¤n th¯ng AB. A. p 37. B. 5. C. 25. D. p 5 + p 26. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 61 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ z 1 = 1 + 2i)A (1; 2) v z 2 = 5i)B (5;1). Suy ra AB = p 4 2 + 3 2 = 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 67. iºm M trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3. B. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4i. C. Ph¦n thüc l 3 v ph¦n £o l 4. D. Ph¦n thüc l 4 v ph¦n £o l 3i. x y O 3 4 M -Líi gi£i. iºm M(3; 4) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 3 + 4i. Chån ¡p ¡n C C¥u 68. Cho sè phùc z thäa m¢n z(1 +i) = 3 5i. T½nh mæun cõa z. A.jzj = 4. B. jzj = p 17. C. jzj = 17. D.jzj = 16. -Líi gi£i. Ta câ z(1 +i) = 3 5i,z = 3 5i 1 +i = (3 5i)(1i) (1 +i)(1i) =1 4i. Suy rajzj = p 17. Chån ¡p ¡n B C¥u 69. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, gåi M;N;P l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z 1 = 1 +i, z 2 = 8 +i, z 3 = 1 3i. Kh¯ng ành n o sau ¥y l mët m»nh · óng? A. Tam gi¡c MNP c¥n, khæng vuæng. B. Tam gi¡c MNP ·u. C. Tam gi¡c MNP vuæng, khæng c¥n. D. Tam gi¡c MNP vuæng c¥n. -Líi gi£i. Ta câ M(1; 1), N(8; 1), P (1;3). n¶n # MN = (7; 0); # MP = (0;4); # NP = (7;4) v MN = 7; MP = 4; NP = p 65. Ngo i ra # MN # MP = 0 n¶n tam gi¡c MNP vuæng t¤i M nh÷ng khæng c¥n. Chån ¡p ¡n C C¥u 70. Cho sè phùc z = 5 4i. Mæun cõa sè phùc z b¬ng A. 3. B. 9. C. p 41. D. 1. -Líi gi£i. Ta câjzj = p 5 2 + (4) 2 = p 41. Chån ¡p ¡n C C¥u 71. Cho sè phùc z thäa m¢n z 3 +i = 0. Mæun cõa z b¬ng bao nhi¶u? A. p 10. B. 10. C. p 3. D. 4. -Líi gi£i. Ta câjzj =jzj =j3ij = p 10. Chån ¡p ¡n A C¥u 72. iºm n o trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = (1 +i)(2i)? A. P. B. M. C. N. D. Q. 1 1 3 3 3 1 x y M N Q P 1 -Líi gi£i. Ta câ: z = 2i + 2ii 2 = 3 +i. Chån ¡p ¡n D C¥u 73. Trong m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc z thäa m¢n 16jzj6 3 l mët h¼nh ph¯ng câ di»n t½ch l Th.s Nguy¹n Ch½n Em 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A. 2. B. 4. C. 8. D. . -Líi gi£i. Ph¦n h¼nh ph¯ng c¦n t½nh di»n t½ch l ph¦n n¬m giúa hai h¼nh trán çng t¥m câ b¡n k½nh l¦n l÷ñt l 1 v 3, nh÷ vªy di»n t½ch c¦n tim l S = 3 2 1 2 = 9 = 8. O x y 3 3 1 1 3 3 1 1 Chån ¡p ¡n C 4 ĐÁPÁN 1. B 2. A 3. D 4. A 5. D 6. A 7. D 8. C 9. D 10. B 11. C 12. C 13. B 14. B 15. D 16. D 17. C 18. B 19. A 20. D 21. B 22. B 23. B 24. A 25. A 26. B 27. A 28. B 29. A 30. C 31. B 32. A 33. B 34. A 35. D 36. C 37. C 38. C 39. A 40. D 41. B 42. A 43. A 44. B 45. A 46. D 47. C 48. B 49. D 50. C 51. D 52. C 53. D 54. D 55. D 56. A 57. C 58. A 59. A 60. D 61. D 62. D 63. D 64. C 65. B 66. B 67. C 68. B 69. C 70. C 71. A 72. D 73. C 5 VẬNDỤNGTHẤP C¥u 1. Cho hai sè phùc z 1 v z 2 thäa m¢njz 1 j =jz 2 j = 1;jz 1 +z 2 j = p 3. T½nhjz 1 z 2 j. A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. -Líi gi£i. Gi£ sû M;N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z 1 ;z 2 . Theo b i ra ta câ OM =ON = 1 v j # OM + # ONj = p 3. Do â 3 =j # OM + # ONj 2 =OM 2 +ON 2 + 2 # OM # ON) 2 # OM # ON = 3 1 1 = 1. Ta câjz 1 z 2 j =j # OM # ONj = q # OM # ON 2 = p OM 2 +ON 2 2 # OM # ON = 1. Chån ¡p ¡n C C¥u 2. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n 1jzj 2 l mët h¼nh ph¯ng câ di»n t½ch b¬ng A. . B. 2. C. 4. D. 3. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x, y l c¡c sè thüc. Theo gi£ thi¸t, ta câ 1 p x 2 +y 2 2, 1x 2 +y 2 4: Gåi (C 1 ), (C 2 ) l¦n l÷ñt l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh x 2 +y 2 = 1, x 2 +y 2 = 4. Khi â, (C 1 ), (C 2 ) câ t¥m O(0; 0), b¡n k½nh l¦n l÷ñt l R 1 = 1 v R 2 = 2. H¼nh ph¯ng c¦n t¼m ch½nh l v nh kh«n giîi h¤n bði hai ÷íng trán (C 1 ) v (C 2 ). Gåi S l di»n t½ch v nh kh«n, suy ra S =R 2 2 R 2 1 = 4 = 3: Chån ¡p ¡n D C¥u 3. Cho sè phùc z =m + 3 + (m 2 1)i, vîi m l tham sè thüc thay êi. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thuëc ÷íng cong (C). T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði (C) v tröc ho nh. A. 8 3 . B. 4 3 . C. 1 3 . D. 2 3 . -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 63 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 iºm M(m + 3;m 2 1) l iºm biºu di¹n sè phùc z =m + 3 + (m 2 1)i. °tx =m+3;y =m 2 1,tacây = (x3) 2 1 =x 2 6x+8.SuyraiºmM thuëc÷íng (C): y =x 2 6x+8. Ho nh ë giao iºm cõa (C) v tröc ho nh l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x 2 6x + 8 = 0, x = 2 x = 4: Vªy di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði (C) v tröc ho nh l S = 4 Z 2 jx 2 6x + 8j dx = 4 3 : Chån ¡p ¡n B C¥u 4. GåiA,B,C,D l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc 1 + 2i, 1 + p 3 +i,1 + p 3i, 1 2i tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. Bi¸t tù gi¡c ABCD nëi ti¸p ÷ñc trong mët ÷íng trán, t¥m cõa ÷íng trán â biºu di¹n sè phùc câ ph¦n thüc l A. p 3. B. 2. C. p 2. D. 1. -Líi gi£i. Ta câ A (1; 2), B 1 + p 3; 1 , C 1 + p 3;1 , D (1;2). Khi â # BA = p 3; 1 , # BD = p 3;3 suy ra # BA # BD = 0)4ABD vuæng t¤i B. # CA = p 3; 3 , # CD = p 3;1 suy ra # CA # CD = 0)4ACD vuæng t¤i C. Do â t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tù gi¡c ABCD l trung iºm o¤n AD câ tåa ë I (1; 0). Chån ¡p ¡n D C¥u 5. Trong m°t ph¯ng tåa ë, ÷íng trán tæ ªm nh÷ h¼nh v³ b¶n l tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z. Häi sè phùc z thäa m¢n ¯ng thùc n o sau ¥y ? x 2 y 2 O A.jz 2 2ij = 2. B. jz 2j = 2. C. jz 1 2ij = 2. D.jz 2ij = 2. -Líi gi£i. z thuëc ÷íng trán t¥m I(2; 2) b¡n k½nh 2. Do âjz 2 2ij = 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 6. Cho sè phùc z thäajz 1j = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = (1 +i p 3)z + 2 l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh r cõa ÷íng trán â. A. r = 9. B. r = 16. C. r = 25. D. r = 4. -Líi gi£i. w 3i p 3 = (1 +i p 3)(z 1). Suy rajw 3i p 3j =j(1 +i p 3)(z 1)j = 4. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán b¡n k½nh 4. Chån ¡p ¡n D C¥u 7. Cho sè phùc z, bi¸t r¬ng c¡c iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc z, iz v z +iz t¤o th nh mët tam gi¡c câ di»n t½ch b¬ng 18. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A.jzj = 2 p 3. B. jzj = 3 p 2. C. jzj = 6. D.jzj = 9. -Líi gi£i. °t z =x +yi; (x;y2R), ta câ iz =i(x +yi) =y +xi v z +iz =x +yiy +xi =xy + (x +y)i. Gåi A(x;y), B(y;x), C(xy;x +y) l c¡c iºm biºu di¹n cõa z, iz, z +iz. Ta câ AB = p (xy) 2 + (xy) 2 , AC = p (y) 2 +x 2 , BC = p x 2 +y 2 )AB 2 =AC 2 +BC 2 )4ABC vuæng t¤i C. Khi â S 4ABC = 1 2 ACBC = 1 2 (x 2 +y 2 ) = 18) p x 2 +y 2 = 6 =jzj. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n C C¥u 8. Häi câ bao nhi¶u sè phùc z thäa çng thíi c¡c i·u ki»njzij = 5 v z 2 l sè thu¦n £o? A. 2. B. 3. C. 0. D. 4. -Líi gi£i. °t z =x +iy (vîi x, y2R). Ta câjzij = 5,x 2 + (y 1) 2 = 25: () z 2 l sè thu¦n £o, suy ra x 2 y 2 = 0, x =y x =y: Vîi x =y thay v o () ta ÷ñc x 2 + (x 1) 2 = 25, 2x 2 2x 24 = 0, x = 4 x =3: Vîi x =y thay v o () ta ÷ñc x 2 + (x + 1) 2 = 25, 2x 2 + 2x 24 = 0, x =4 x = 3: Vªy câ 4 sè phùc c¦n t¼m l 4 + 4i,3 3i,4 + 4i, 3 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 9. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz (3 4i)j = 2 l A. ÷íng trán t¥m I(3; 4), b¡n k½nh R = 2. B. ÷íng trán t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 2. C. ÷íng trán t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 2. D. ÷íng trán t¥m I(3; 4), b¡n k½nh R = 2. -Líi gi£i. °t z =a +bi(a;b2R))z =abi. Theo gi£ thi¸tjz (3 4i)j = 2,jabi (3 4i)j = 2, (a 3) 2 + (b 4) 2 = 4. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(3; 4), b¡n k½nh R = 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 10. Cho sè phùc z thäa m¢nj2z 1j =jz + 1 +ij v iºm biºu di¹n cõa z tr¶n m°t ph¯ng tåa ë thuëc ÷íng trán câ t¥m I(1; 1), b¡n k½nh R = p 5. Khi â t½ch mæun cõa t§t c£ c¡c sè phùc z thäa m¢n c¡c y¶u c¦u tr¶n l ? A. p 5. B. 3. C. 3 p 5. D. 1. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (a;b2R). Theo gi£ thi¸t ta câ j2(a +bi) 1j =jabi + 1 +ij ,j(2a 1) + 2bij =j(a + 1) (b 1)ij , (2a 1) 2 + (2b) 2 = (a + 1) 2 + (b 1) 2 , 3a 2 + 3b 2 6a + 2b 1 = 0: (1) V¼ iºm biºu di¹n cu© z tr¶n m°t ph¯ng tåa å thuëc ÷íng trán t¥m I(1; 1); R = p 5 n¶n ta câ (a 1) 2 + (b 1) 2 = 5 ,a 2 +b 2 2a 2b = 3 ,a 2 2a = 3b 2 + 2b: (2) Th¸ (2) v o (1) ta ÷ñc 3(3b 2 + 2b) + 3b 2 + 2b 1 = 0,b =1. Khi â, thay v o (2) ta suy ra a = 0 a = 2 ) z 1 =1 z 2 = 2i )jz 1 jjz 2 j = p 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 11. Trong m°t ph¯ng phùc, gåi A;B;C l ba iºm l¦n l÷ñt biºu di¹n ba sè phùc z 1 ;z 2 ;z 3 thäa m¢n jz 1 j =jz 2 j =jz 3 j = 1 v jz 1 z 2 j = 2. Khi â tam gi¡c ABC A. d·u. B. vuæng. C. c¥n. D. câ mët gâc tò. -Líi gi£i. Theo gi£ thi¸t, tam gi¡c ABC nëi ti¸p ÷íng trán (O; 1) câ AB = 2. Suy ra tam gi¡c ABC vuæng t¤i C. Chån ¡p ¡n B C¥u 12. Cho sè phùc z thäa m¢n z(2i) + 13i = 1. T½nh mæ-un cõa sè phùc z Th.s Nguy¹n Ch½n Em 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A.jzj = p 34. B. jzj = p 34 3 . C. jzj = 5 p 34 3 . D.jzj = 34. -Líi gi£i. C¡ch 1 Ta câ z(2i) + 13i = 1)jz(2i)j =j1 13ij,jzj p 5 = p 170,jzj = p 34: C¡ch 2 Ta câ z(2i) + 13i = 1,z(2i) = 1 13i ,z(2i)(2 +i) = (1 13i)(2 +i), 5z = 15 25i,z = 3 5i )jzj = p 3 2 + 5 2 = p 34. Chån ¡p ¡n A C¥u 13. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z = 2 + 2i; M 0 l iºm biºu di¹n sè phùc z 0 = 3i 2 z. T½nh di»n t½ch tam gi¡c OMM 0 . A. S 4OMM 0 = 4. B. S 4OMM 0 = 6. C. S 4OMM 0 = 3. D. S 4OMM 0 = 15 2 . -Líi gi£i. Ta câ M(2; 2). M°t kh¡c z 0 = 3i 2 z =3 + 3i)M 0 (3; 3): Tam gi¡c OMM 0 câ # OM = (2; 2), # OM 0 = (3; 3)) # OM # OM 0 = 2 (3) + 2 3 = 0,OM?OM 0 : Di»n t½ch tam gi¡c OMM 0 l S 4OMM 0 = 1 2 OMOM 0 = 1 2 jzjjz 0 j = 6: Chån ¡p ¡n B C¥u 14. Cho hai sè phùcz 1 ;z 2 thäajz 1 j =jz 2 j = p 17. GåiM;N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõaz 1 ,z 2 tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. Bi¸t MN = 3 p 2; gåiH l ¿nh thù t÷ cõa h¼nh b¼nh h nh OMHN v K l trung iºm cõa ON. T½nh ë d i ` cõa o¤n th¯ng KH. A. ` = p 17 2 . B. ` = 5 p 2. C. ` = 3 p 13 2 . D. ` = 5 p 2 2 . -Líi gi£i. Gåi E l giao iºm cõa OH v MN. OE 2 = OM 2 +ON 2 2 MN 2 4 = 17 9 2 = 25 2 )OH 2 = 4OE 2 = 50 HK 2 = HN 2 +HO 2 2 ON 2 4 = OM 2 +OH 2 2 ON 2 4 = 17 + 50 2 17 4 = 117 4 )` =HK = 3 p 13 2 : O M N K H E Chån ¡p ¡n C C¥u 15. Cho hai sè phùcz 1 ;z 2 thuëc tªp hñpS = z2C : iz 2 3i = 2 v thäa m¢nz 1 +z 2 = 4 2i. T½nh A =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 . A. A = 6. B. A = 14. C. A = 8. D. A = 12. -Líi gi£i. Gåi M;N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa z 1 ;z 2 . Gåi E l trung iºm MN. Ta câ iz 2 3i = 2 , i (z 3 + 2i) = 2 , z 3 + 2i = 2: (1) Tø (1) ta th§y M;N thuëc ÷íng trán t¥m I(3;2) b¡n k½nh R = 2. x y O I N M E Ta câ E(2;1)) # EI = (1;1))EI = p 2)MN = 2 p 2. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Trong4OMN, ta câ OE 2 = OM 2 +ON 2 2 MN 2 4 ) OM 2 +ON 2 = 14: Chån ¡p ¡n B C¥u 16. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, cho h¼nh b¼nh h nh OABC câ tåa ë iºmA(3; 1); C(1; 2) (nh÷ h¼nh v³ b¶n). Sè phùc n o sau ¥y câ iºm biºu di¹n l iºm B? A. w 1 =2 + 3i. B. w 2 = 2 + 3i. C. w 3 = 4i. D. w 4 =4 +i. x y O A(3; 1) C(1; 2) B -Líi gi£i. Do OABC l h¼nh b¼nh h nh n¶n # OB = # OA + # OC: (1) M # OA = (3; 1) v # OC = (1; 2) n¶n tø (1) suy ra # OB = (2; 3): (2) Tø (2) suy ra iºm B(2; 3) hay iºm B l iºm biºu di¹n cõa sè phùc w 2 = 2 + 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 17. Cho tªp X =f1; 3; 5; 7; 9g. Câ bao nhi¶u sè phùc z =x +yi câ ph¦n thüc, ph¦n £o ·u thuëc X v câ têng x +y 10? A. 20. B. 10. C. 15. D. 24. -Líi gi£i. X²t sè phùc z =x +yi (x; y2X). V¼ sè phùc z =x +yi thäa m¢n x +y 10 n¶n ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau 1 (x;y)2f(1; 3); (1; 5); (1; 7); (1; 9); (3; 5); (3; 7)g, câ 2 6 = 12 sè phùc thäa m¢n. 2 (x;y)2f(1; 1); (3; 3); (5; 5)g, câ 3 sè phùc thäa m¢n. Vªy câ 12 + 3 = 15 sè phùc thäa m¢n · b i. Chån ¡p ¡n C C¥u 18. Trong h» tåa ë Oxy, cho iºm M biºu di¹n sè phùc z =2 + 3i. Gåi N l iºm thuëc ÷íng th¯ngy = 3 sao cho tam gi¡c OMN c¥n t¤iO. iºmN l iºm biºu di¹n cõa sè phùc n o d÷îi ¥y? A. z = 3 2i. B. z =2 3i. C. z = 2 + 3i. D. z =2 + i. -Líi gi£i. Do gi£ thi¸t suy ra tåa ë M (2; 3) n¶n M thuëc ÷íng th¯ng y = 3. V¼ tam gi¡c OMN c¥n t¤i O suy ra N èi xùng vîi M qua Oy n¶n tåa ë iºm N (2; 3). Khi â iºm N l biºu di¹n cõa sè phùc z = 2 + i. Chån ¡p ¡n C C¥u 19. Gi£ sûz 1 ,z 2 l hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhz 2 2z + 5 = 0. GåiM,N l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cõa z 1 , z 2 tr¶n h» tåa ë Oxy. Tåa ë trung iºm cõa o¤n th¯ng MN l A. (1; 0). B. (1; 1). C. (0; 0). D. (0; 1). -Líi gi£i. Ta câz 2 2z + 5 = 0, z = 1 + 2i z = 1 2i . Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû z 1 = 1 + 2i v z 2 = 1 2i do â tåa ë iºm M (1; 2) v N (1;2). Gåi I l trung iºm cõa MN ta suy ra tåa ë I (1; 0). Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 20. Cho sè phùc z tho£ m¢n z 4 = (1 +i)jzj (4 + 3z)i. Mæun cõa sè phùc z b¬ng A. 2. B. 1. C. 16. D. 4. -Líi gi£i. °t z =a +bi. Khi â ta câ a +bi 4 = (1 +i) p a 2 +b 2 (4 + 3a + 3bi)i , a 4 +bi = p a 2 +b 2 +i p a 2 +b 2 (4 + 3a)i + 3b , a 3b p a 2 +b 2 4 + (b p a 2 +b 2 + 3a + 4)i = 0 , ( a 3b p a 2 +b 2 4 = 0 3a +b p a 2 +b 2 + 4 = 0 , ¨ a 3b p a 2 +b 2 4 = 0 2a + 4b + 8 = 0 , ( 2b 4 3b È (2b 4) 2 +b 2 4 = 0 a =2b 4 , (È (2b 4) 2 +b 2 = 5b + 8 a =2b 4 , ¨ 5b 2 + 16b + 16 = 25b 2 + 80b + 64 a =2b 4 , ¨ 20b 2 + 64b + 48 = 0 a =2b 4 , 2 6 6 6 6 6 6 4 8 > < > : b = 6 5 a = 8 5 ¨ b =2 a = 0 : Vîi c£ hai tr÷íng hñp ta ·u câjzj = p a 2 +b 2 = 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 21. Cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l M, bi¸t z 2 câ iºm biºu di¹n l N nh÷ h¼nh v³. M»nh · n o sau ¥y óng? A.jzj< 1. B. 1 5. x y O M N -Líi gi£i. Gåi z =a +bi vîi a;b2R + v a < > : a 2 b 2 < 0 2ab > 2b a 2 b 2 >a , ¨ a> 1 b< p 2 , 1 > < > > : # a? # b, # a: # b = 0 cos # a; # b = # a: # b j # aj: # b 7 ành l½ h m sin: a sinA = b sinB = c sinC = 2R. 8 ành l½ h m cos: 8 > < > : a 2 =b 2 +c 2 2bc: cosA b 2 =a 2 +c 2 2ac: cosB c 2 =b 2 +a 2 2ab: cosC . 9 Cæng thùc trung tuy¸n: 8 > > > > > > < > > > > > > : m 2 a = 2 b 2 +c 2 a 2 4 m 2 b = 2 a 2 +c 2 b 2 4 m 2 c = 2 b 2 +a 2 c 2 4 a b c ma A B C 10 Di»n t½ch: S = 1 2 ah a = 1 2 bc sinA = abc 4R =pr = p p(pa)(pb)(pc); p = a +b +c 2 : nûa chu vi. B i 8. GåiM v N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùcz 1 ; z 2 nh÷ h¼nh b¶n d÷îi. T½nh MN x y O N M -Líi gi£i. °t z 1 =a 1 +b 1 i; z 2 =a 2 +b 2 i, suy ra M(a 1 ;b 1 ); N(a 2 ;b 2 ) )MN = È (a 2 a 1 ) 2 + (b 2 b 1 ) 2 . Ta câ z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ) + (b 1 +b 2 )i)jz 1 +z 2 j = È (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 6=MN. B i 9. GåiM l iºm biºu di¹n sè phùcz 1 = 3 4i v iºmN l iºm biºu di¹n sè phùcz 2 = 1 2 (1 +i)z 1 . T½nh di»n t½ch S cõa tam gi¡c OMN vîi O l gèc tåa ë. -Líi gi£i. Ta câ z 1 = 3 4i, z 2 = 1 2 (1 +i)z 1 = 7 2 1 2 i)M(3;4); N 7 2 ; 1 2 . Ta câ # NO = 7 2 ; 1 2 ; # NM = 1 2 ; 7 2 ) # NO: # NM = 0)4OMN vuæng t¤i N. NO = 5 p 2 2 v NM = 5 p 2 2 . Vªy S 4OMN = 1 2 NONM = 25 4 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¦n nhî: T½nh di»n t½ch4ABC : ( # AB = (a;b) # AC = (c;d) )S 4ABC = 1 2 a b c d = 1 2 jadbcj. B i 10. Trong m°t ph¯ng phùc cho 3 iºm l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z 1 = 1 +i; z 2 = (1 +i) 2 ; z 3 =mi. T¼m tham sè m º tam gi¡c ABC vuæng t¤i B. -Líi gi£i. Ta câ z 1 = 1 +i)A(1; 1), z 1 = (1 +i) 2 = 2i)B(0; 2), z 3 =mi)C(m;1). # BA = (1;1), # BC = (m;3). º4ABC vuæng t¤i B, # BA: # BC = 0, 1m + (1) (3) = 0,m + 3 = 0,m =3. B i 11. Trong m°t ph¯ng phùc, gåi A; B; C l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z 1 = 3 + 2i; z 2 = 3 2i; z 3 =3 2i. T½nh b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam ABC. -Líi gi£i. Ta câ z 1 = 3 + 2i)A(3; 2); z 2 = 3 2i)B(3;2); z 3 =3 2i)C(3;2). B v C èi xùng nhau qua tröc tung. Trång t¥m G cõa tam gi¡c ABC: G 1; 2 3 6= 1; 2 3 . A v B èi xùng nhau qua tröc ho nh. OA =OB =OC = p 13 n¶n A; B; C n¬m tr¶n ÷íng trán t¥m l gèc tåa ë v b¡n k½nh b¬ng p 13. B i 12. ChoABCD l h¼nhb¼nhh nhvîiA;B;C l¦nl÷ñtl c¡ciºmbiºudi¹nc¡csèphùc 1i; 2+3i; 3+i. T¼m sè phùc z câ iºm biºu di¹n l D. -Líi gi£i. Ta câ A(1;1);B(2; 3);C(3; 1). Gåi z =x +yi (x;y2R))D(x;y). Khi â # AB = (1; 4); # DC = (3x; 1y). Do ABCD l h¼nh b¼nh h nh n¶n # AB = # DC, ¨ 1 = 3x 4 = 1y , ¨ x = 2 y =3: Vªy z = 2 3i. B i 13. Cho hai iºmM;N trong m°t ph¯ng phùc nh÷ h¼nh v³, gåiP l i¸m sao cho OMNP l h¼nh b¼nh h nh. Häi iºm P biºu thà cho sè phùc n o sau ¥y? x y O 3 2 N M 1 1 -Líi gi£i. Ta câ O(0; 0);M(1; 2);N(3; 1) v OMNP l h¼nh b¼nh h nh)P (2;1))P biºu thà sè phùc z 1 = 2i. B i 14. Trong m°t ph¯ng phùc, gåi A;B;C l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z 1 = (1i) (2 +i);z 2 = 1 + 3i;z 3 =1 3i. Chùng minh tam gi¡c ABC vuæng. -Líi gi£i. Ta câz 1 = 3i n¶nA (3;1);B (1; 3);C (1;3). Khi â # AB = (2; 4); # AC = (4;2); # BC = (2;6). Do ( # AB # AC = 0 AB =AC = 2 p 5 n¶n tam gi¡c ABC vuæng c¥n t¤i A. B i 15. Cho sè phùc z thäajzj = 2 p 10. Häi iºm biºu di¹n cõa z l iºm n o trong h¼nh? x y O M Q N P 2 4 4 3 3 2 3 6 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 75 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câ: M (3; 4))jzj = 5, N (4; 2))jzj = 2 p 5, P (3;3))jzj = 3 p 2, Q (6;2))jzj = 2 p 10. B i 16. Trong m°t ph¯ng tåa ë, iºm M l iºm biºu di¹n sè phùc z. iºm n o trong h¼nh v³ l iºm biºu di¹n cõa sè phùc 2z? x y M E P Q N -Líi gi£i. Düa v o h¼nh v³ ta th§y # OE = 2 # OM. Vªy iºm E l iºm biºu di¹n cõa sè phùc 2z. B i 17. Cho sè phùcz câ iºm biºu di¹n l M. Bi¸t sè phùcw = 1 z ÷ñc biºu di¹n bði mët trong bèn iºmP;Q;R;S nh÷ h¼nh v³. Häi iºm biºu di¹n cõaw l iºm n o? x y M Q S P R 1 1 -Líi gi£i. Ta câ M (1; 1) n¶n z = 1 +i, suy ra w = 1 z = 1 1 +i = 1 2 1 2 i. Vªy iºm biºu di¹n cõa w l iºm Q. B i 18. Sè phùc z ÷ñc biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë nh÷ h¼nh v³. Häi iºm biºu di¹n cõa sè phùc w = i z n¬m ð gâc ph¦n t÷ thù m§y trong h» tröc tåa ë Oxy? x y z 1 1 -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, (x;y2R + ) sao cho 0 0) iºm biºu di¹n cõa sè phùc w n¬m ð gâc ph¦n t÷ thù hai. B i 19. Cho sè phùc z thäajzj = p 2 2 v iºm A trong h¼nh v³ b¶n l iºm biºu di¹n cõa z. Bi¸t trong h¼nh v³, iºm biºu di¹n cõa sè phùc w = 1 iz l mët trong bèn iºm M;N;P;Q. Khi â iºm biºu di¹n cõa sè phùc w l iºm n o sau ¥y? x y P A N M Q -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gåi z =x +iy, (x;y2R + ) sao cho x 2 +y 2 = 1 2 . Khi â w = 1 iz = 1 y +xi = yxi x 2 +y 2 =2y 2xi: Düa v o h¼nh v³ cõa · b i ta suy ra iºm biºu di¹n cõa sè phùc w l iºm P. B i 20. Tr¶n m°t ph¯ng phùc, gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z = (2 3i) (1 +i) v ' l gâc t¤o bði chi·u d÷ìng tröc ho nh v v²c-tì # OM. T½nh sin 2'. -Líi gi£i. Ta câ z = (2 3i) (1 +i) = 5i n¶n M (5;1)) # OM = (5;1). Do tan' = 1 5 n¶n sin 2' = 2 tan' 1 + tan 2 ' = 5 13 . B i 21. Tr¶n m°t ph¯ng phùc, gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z = (2 +i) 2 (4i) v gåi ' l gâc t¤o bði chi·u d÷ìng tröc ho nh v v²c-tì # OM. T½nh cos 2'. -Líi gi£i. Ta câ z = (2 +i) 2 (4i) = 16 + 13i n¶n M (16; 13)) # OM = (16; 13). Do tan' = 13 16 n¶n cos 2' = 1 tan 2 ' 1 + tan 2 ' = 87 425 . B i 22. Cho A;B;C;D l bèn iºm trong m°t ph¯ng tåa ë theo thù tü biºu di¹n c¡c sè phùc 1 + 2i; 1 + p 3 +i, 1 + p 3i; 1 2i. Bi¸tABCD l tù gi¡c nëi ti¸p ÷íng trán t¥m I, b¡n k½nhR. Häi tåa ë iºmI biºu di¹n sè phùc n o sau ¥y? -Líi gi£i. Ta câ A (1; 2);B 1 + p 3; 1 ;C 1 + p 3;1 ;D (1;2) v gåi I (x;y). Do ABCD l tù gi¡c nëi ti¸p ÷íng trán t¥m I, b¡n k½nh R n¶n IA =IB =IC =ID =R. Suy ra: +) IA 2 =ID 2 ) (x 1) 2 + (y 2) 2 = (x 1) 2 + (y + 2) 2 )y = 0. +) IA 2 =IB 2 ) (x 1) 2 + (y 2) 2 = x 1 p 3 2 + (y 1) 2 , vîi y = 0 ta t¼m ÷ñc x = 1. Vªy I (1; 0) n¶n I biºu di¹n sè phùc z = 1. B i 23. Cho hai sè phùcz 0 ;z 1 kh¡c 0 thäa m¢nz 2 0 z 0 z 1 +z 2 1 = 0. GåiA;B l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc z 0 ;z 1 . Häi tam gi¡c OAB l tam gi¡c g¼? -Líi gi£i. Ta câ z 2 0 z 0 z 1 +z 2 1 = 0 , z 0 z 1 2 z 0 z 1 + 1 = 0 , 2 6 6 4 z 0 z 1 = 1i p 3 2 z 0 z 1 = 1 +i p 3 2 , 2 6 6 4 z 0 = 1i p 3 2 z 1 z 0 = 1 +i p 3 2 z 1 : X²t tr÷íng hñp z 0 = 1i p 3 2 z 1 . OA =jz 0 j = 1i p 3 2 z 1 = 1i p 3 2 jz 1 j =jz 1 j =OB. AB = # OB # OA =jz 1 z 0 j = z 1 1i p 3 2 z 1 = 1 +i p 3 2 z 1 =jz 1 j =OB. Nh÷ vªy: OA =OB =AB)4OAB l tam gi¡c ·u. X²t tr÷íng hñp z 0 = 1 +i p 3 2 z 1 . OA =jz 0 j = 1 +i p 3 2 z 1 = 1 +i p 3 2 jz 1 j =jz 1 j =OB. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 AB = # OB # OA =jz 1 z 0 j = z 1 1 +i p 3 2 z 1 = 1i p 3 2 z 1 =jz 1 j =OB. Nh÷ vªy: OA =OB =AB)4OAB l tam gi¡c ·u. Tâm l¤i, ba iºm O, A, B t¤o th nh tam gi¡c ·u (O l gèc tåa ë). B i 24. X²t sè phùc z v sè phùc li¶n hñp cõa nâ câ iºm biºu di¹n l M;M 0 . Sè phùc z (4 + 3i) v sè phùc li¶n hñp cõa nâ câ iºm biºu di¹n l¦n l÷ñt l N;N 0 . Bi¸t r¬ng MM 0 N 0 N l mët h¼nh chú nhªt. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =jz + 4i 5j. -Líi gi£i. °t z = a + bi. Khi â z(4 + 3i) = 4a 3b + (3a + 4b)i v M(a;b);M 0 (a;b);N(4a 3b; 3a + 4b);N 0 (4a 3b;3a 4b). # MN = (3a 3b; 3a + 3b). Theo t½nh ch§t èi xùng th¼MNN 0 M 0 l h¼nh thang c¥n. Do â º MNN 0 M 0 l h¼nh chú nhªt th¼ # MN còng ph÷ìng vîi tröc Ox hay 3a + 3b = 0,b =a. Ta câ jz + 4i 5j = È (a 5) 2 + (b + 4) 2 = È (a 5) 2 + (a + 4) 2 = p 2a 2 18a + 41 = Ê 2 a 9 2 2 + 1 2 1 p 2 : O x y M M 0 N N 0 4a 3b a b b 3a + 4b 3a 4b D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi a = 9 2 hay z = 9 2 9 2 i. Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõajz + 4i 5j b¬ng 1 p 2 khi v ch¿ khi z = 9 2 9 2 i. B i 25. Cho hai sè phùcz 1 ;z 2 thäa m¢njz 1 j = 2;jz 2 j = p 3 v n¸u gåiM;N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa z 1 ;iz 2 th¼ Ö MON = 30 . T½nh P = z 2 1 + 4z 2 2 . -Líi gi£i. Ta câ z 2 1 + 4z 2 2 =z 2 1 (2iz 2 ) 2 = (z 1 2iz 2 )(z 1 + 2iz 2 ). L¤i câ # OM; # ON = 30 v jz 2 1 + 4z 2 2 j =j(z 1 2iz 2 )(z 1 + 2iz 2 )j =jz 1 2iz 2 jjz 1 + 2iz 2 j. M°t kh¡c jz 1 2iz 2 j 2 =jz 1 j 2 + 4jiz 2 j 2 4jz 1 jjiz 2 j cos 30 = 2 2 + 4 ( p 3) 2 4 2 p 3 p 3 2 = 4: jz 1 + 2iz 2 j 2 =jz 1 j 2 + 4jiz 2 j 2 + 4jz 1 jjiz 2 j cos 30 = 2 2 + 4 ( p 3) 2 + 4 2 p 3 p 3 2 = 28: Do â z 2 1 + 4z 2 2 = p 4 28 = 4 p 7. D¤ng 1. Tªp hñp iºm cõa sè phùc l ÷íng th¯ng v c¡c b i to¡n li¶n quan Ph÷ìng ph¡p gi£i: B i 1. 1 Cho sè phùc z thäa m¢njz (1 +i)j =jz + 2ij. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = (3 4i)z 1 tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët ÷íng th¯ng. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc w =x +yi (x;y2R). Ta câ w = (3 4i)z 1 =x +yi,z = x + 1 +yi 3 4i : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Do â jz (1 +i)j =jz + 2ij , x + 1 +yi 3 4i (1 +i) = x + 1 +yi 3 4i + 2i , (x 6) + (y + 1)i 3 4i = (x + 9) + (y + 6)i 3 4i , j(x 6) + (y + 1)ij j3 4ij = j(x + 9) + (y + 6)ij j3 4ij , j(x 6) + (y + 1)ij =j(x + 9) + (y + 6)ij , È (x 6) 2 + (y + 1) 2 = È (x + 9) 2 + (y + 6) 2 , (x 6) 2 + (y + 1) 2 = (x + 9) 2 + (y + 6) 2 , 3x +y + 8 = 0: Suy ra, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 3x +y + 8 = 0. 2 Cho c¡c sè phùcz thäa m¢njz 2ij =j z + 2ij. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcw = (1+i)z2 tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët ÷íng th¯ng. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc w =x +yi (x;y2R). Ta câ w = (1 +i)z 2 =x +yi,z = (x +y + 2) (xy + 2)i 2 : Do â jz 2ij =j z + 2ij , (x +y + 2) (xy + 2)i 2 2i = (x +y + 2) + (xy + 2)i 2 + 2i , (x +y 2) (xy + 4)i 2 = (x +y + 2) + (xy + 6)i 2 , j(x +y 2) (xy + 4)ij =j(x +y + 2) + (xy + 6)ij , È (x +y 2) 2 + (xy + 4) 2 = È (x +y + 2) 2 + (xy + 6) 2 , (x +y 2) 2 + (xy + 4) 2 = (x +y + 2) 2 + (xy + 6) 2 , 3x +y + 5 = 0: Suy ra, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 3x +y + 5 = 0. B i 2. Cho sè phùc z thäa m¢n 2jz 2 + 3ij =j2i 1 2 zj. Tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y? -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). Ta câ 2jz 2 + 3ij =j2i 1 2 zj , 2j(x +yi) 2 + 3ij =j2i 1 2(xyi)j , 2j(x 2) + (y + 3)ij =j(2x 1) + (2y + 2)ij , 2 È (x 2) 2 + (y + 3) 2 = È (2x 1) 2 + (2y + 2) 2 , 4 (x 2) 2 + (y + 3) 2 = (2x 1) 2 + (2y + 2) 2 , 20x 16y 47 = 0: Suy ra, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 20x 16y 47 = 0. B i 3. T¼m tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njzj =j z 2 + 3ij. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). Ta câ jzj =j z 2 + 3ij , jx +yij =j(xyi) 2 + 3ij , jx +yij =j(x 2) + (3y)ij , p x 2 +y 2 = È (x 2) 2 + (3y) 2 , x 2 +y 2 = (x 2) 2 + (3y) 2 , 4x + 6y 13 = 0: Suy ra tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 4x + 6y 13 = 0. B i 4. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n z(1 +i) l sè thüc. -Líi gi£i. GåiM(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùcz =x+yi (x;y2R). Ta câz(1+i) = (x+yi)(1+i) = (xy)+(x+y)i. º z(1 +i) l sè thüc i·u ki»n c¦n v õ l x +y = 0,y =x. Suy ra, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh y =x. B i 5. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n w =z(2 + 3i) + 5i l sè thu¦n £o. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). Ta câ w =z(2 + 3i) + 5i = (x +yi)(2 + 3i) + 5i = (2x 3y + 5) + (3x + 2y 1)i: º w =z(2 + 3i) + 5i l sè thu¦n £o i·u ki»n c¦n v õ l 2x 3y + 5 = 0. Suy ra, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 2x 3y + 5 = 0. B i 6. T¼m t§t c£ c¡c sè phùc z thäa m¢njz 2ij = p 5 v iºm biºu di¹n sè phùc z thuëc ÷íng th¯ng d: 3xy + 1 = 0. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). Ta câ jz 2ij = p 5 , j(x +yi) 2ij = p 5 , jx + (y 2)ij = p 5 , x 2 + (y 2) 2 = 5: M°t kh¡c, iºm biºu di¹n sè phùc z thuëc ÷íng th¯ng d: 3xy + 1 = 0 n¶n ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ x 2 + (y 2) 2 = 5 3xy + 1 = 0 , ¨ x = 1 y = 4 ho°c 8 > < > : x = 2 5 y = 1 5 : Tø â suy ra z = 1 + 4i ho°c z = 2 5 1 5 i. B i 7. Cho sè phùcz thäa m¢njzij =jz 1 + 2ij. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcw = (2i)z + 1 tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët ÷íng th¯ng. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc w =x +yi (x; y2R) thäa b i to¡n. Ta câ w = (2i)z + 1 =x +yi,z = x 1 +yi 2i . Tø â jzij =jz 1 + 2ij , x 1 +yi 2i i = x 1 +yi 2i 1 + 2i , j(x 2) + (y 2)ij j2ij = j(x 1) + (y + 5)ij j2ij , È (x 2) 2 + (y 2) 2 = È (x 1) 2 + (y + 5) 2 , x + 7y + 9 = 0: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 80 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Nhªn x²t. B i to¡n cho z, y¶u c¦u t¼m tªp hñp iºm biºu di¹n w (lo¤i gi¡n ti¸p) th÷íng ta s³ gåi w =x +yi, sau â biºu thà z theo x, y s³ t¼m ÷ñc tªp hñp iºm. B i 8. Cho t§t c£ c¡c sè phùc z =x +yi (x; y2R) thäa m¢njz + 2i 1j =jz +ij. Bi¸t z ÷ñc biºu di¹n bði iºm M sao cho MA ngn nh§t vîi A(1; 3). T¼m P = 2x + 3y. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). Ta câ jz + 2i 1j =jz +ij , jx +yi + 2i 1j =jx +yi +ij , j(x 1) + (y + 2)ij =jx + (y + 1)ij , (x 1) 2 + (y + 2) 2 =x 2 + (y + 1) 2 , xy 2 = 0: Nh÷ vªy, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcz l ÷íng th¯ng : xy 2 = 0. GåiH l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa iºm A(1; 3) tr¶n ÷íng th¯ng ,khi â H(3; 1). Ta luæn câ MAMH. N¶n, MA ngn nh§t khi v ch¿ khi MH, hay M(3; 1). Do â P = 2x + 3y = 2 3 + 3 1 = 9. B i 9. Cho hai sè phùc z 1 = 1 + 3i v z 2 =5 3i. T¼m iºm M(x;y) biºu di¹n sè phùc z 3 , bi¸t r¬ng trong m°t ph¯ng phùc iºmM n¬m tr¶n ÷íng th¯ngx 2y + 1 = 0 v mæ-un sè phùcw = 3z 3 z 2 2z 1 ¤t gi¡ trà nhä nh§t. -Líi gi£i. V¼ iºm M(x;y) n¬m tr¶n ÷íng th¯ng x 2y + 1 = 0 n¶n M = (2y 1;y). Do â z 3 = (2y 1) +yi. Ta câ w = 3z 3 z 2 2z 1 = 3 [(2y 1) +yi] (5 3i) 2(1 + 3i) = 6y + (3y 3)i. jwj = p (6y) 2 + (3y 3) 2 = Ê 45 y 1 5 2 + 36 5 6 p 5 5 . ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi y = 1 5 . Nh÷ vªyjwj nhä nh§t khi M 3 5 ; 1 5 . D¤ng 2. Tªp hñp iºm cõa sè phùc l ÷íng trán, h¼nh trán, h¼nh v nh kh«n Ph÷ìng ph¡p gi£i B i 1. 1 Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp nhúng iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz (3 4i)j = 2. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x; y2R) thäa m¢n b i to¡n. Ta câ jz (3 4i)j = 2 , jx +yi (3 4i)j = 2 , j(x 3) + (y + 4)ij = 2 , È (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 2 , (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 4: Vªy, tªp hñp c¡c iºmM(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùcz thäa m¢n b i to¡n l ÷íng trán (C): (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 4 câ t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 2. 2 Cho sè phùc z thäa m¢njz + 2j = 5. Bi¸t r¬ng tªp hñp iºm biºu di¹n cõa sè phùc w = (1 2i)z + 3 l mët ÷íng trán t¥m I v b¡n k½nh R. T¼m I v R. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gåi w =x +yi (x; y2R). Theo · b i ta câ w = (1 2i)z + 3 , z = w 3 1 2i , z + 2 = w 3 1 2i + 2 , z + 2 = w 1 4i 1 2i , z + 2 = (x 1) + (y 4)i 1 2i : L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc jz + 2j = (x 1) + (y 4)i 1 2i , 5 = j(x 1) + (y 4)ij j1 2ij , 5 = p (x 1) 2 + (y 4) 2 p 5 , (x 1) 2 + (y 4) 2 = (5 p 5) 2 : Vªy, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán câ t¥m I(1; 4), b¡n k½nh R = 5 p 5. 3 Cho sè phùc z thäa m¢n (2 + i)jzj = p 10 z + 1 2i. Bi¸t tªp hñp iºm biºu di¹n cõa sè phùc w = (3 4i)z 1 + 2i l mët ÷íng trán t¥m I v b¡n k½nh R. T¼m I v R. -Líi gi£i. Ta câ (2 +i)jzj = p 10 z + 1 2i, (2jzj 1) + (jzj + 2)i = p 10 z . L§y mæ-un hai v¸, ta câ j(2jzj 1) + (jzj + 2)ij = p 10 z , È (2jzj 1) 2 + (jzj + 2) 2 = p 10 jzj , 5jzj 2 + 5 = 10 jzj 2 , 5jzj 4 + 5jzj 2 1 = 0,jzj = 1: Gåi w =x +yi (x; y2R). Theo · b i ta câ w = (3 4i)z 1 + 2i,z = w + 1 2i 3 4i ,z = (x + 1) + (y 2)i 3 4i : L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc jzj = (x + 1) + (y 2)i 3 4i , jzj = j(x + 1) + (y 2)ij j3 4ij , 1 = p (x + 1) 2 + (y 2) 2 5 , (x + 1) 2 + (y 2) 2 = 25: Vªy, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 5. 4 H¢y x¡c ành tªp hñp c¡c iºm trong m°t ph¯ng phùc biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n 1 0. ÷íng el½p l tªp hñp c¡c iºm M sao cho MF 1 +MF 2 = 2a (a > c). Hai iºm F 1 , F 2 ÷ñc gåi l c¡c tiºu iºm cõa el½p. Kho£ng c¡ch 2c ÷ñc gåi l ti¶u cü cõa el½p. Ph÷ìng tr¼nh ch½nh tc cõa el½p (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. C¡c thæng sè c¦n nhî: Tröc lîn A 1 A 2 = 2a. Tröc b² B 1 B 2 = 2b. Ti¶u cü F 1 F 2 = 2c. Mèi li¶n h» a 2 =b 2 +c 2 . B¡n k½nh qua ti¶u cõa M l MF 1 =a + c a x, MF 2 =a c a x. C BÀITẬPVẬNDỤNG B i 1. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n h¼nh håc sè phùc z thäa m¢njz + 4j +jz 4j = 10 l mët el½p (E). H¢y vi¸t ph÷ìng tr¼nh el½p â. -Líi gi£i. Gåi M (x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +iy, vîi x, y2R thäa m¢n b i to¡n. Khi â z 4 =x +iy 4 = (x 4) +yi. Do âjz 4j = È (x 4) 2 +y 2 . T÷ìng tü, x²t z + 4 =x +iy + 4 = (x + 4) +yi. Do âjz + 4j = È (x + 4) 2 +y 2 . Tø gi£ thi¸t suy ra È (x 4) 2 +y 2 + È (x + 4) 2 +y 2 = 10 (). °t F 1 (4; 0) v F 2 (4; 0) th¼ (),MF 1 +MF 2 = 10>F 1 F 2 = 8. N¶n tªp hñp iºm M (x;y) biºu di¹n sè phùc z l mët el½p (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 vîi hai ti¶u iºm F 1 , F 2 . Do MF 1 +MF 2 = 10 suy ra 2a = 10,a = 5. M°t kh¡c F 1 F 2 = 8 suy ra 2c = 8,c = 4. M b 2 =a 2 c 2 ,b 2 = 25 16,b 2 = 9,b = 3. Vªy ph÷ìng tr¼nh el½p (E) : x 2 25 + y 2 9 = 1. B i 2. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n h¼nh håc sè phùc z thäa m¢njz 2j +jz + 2j = 10 l mët el½p (E). H¢y vi¸t ph÷ìng tr¼nh el½p â. -Líi gi£i. Gåi M (x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +iy, vîi x, y2R thäa m¢n b i to¡n. Khi â z 2 =x +iy 2 = (x 2) +yi. Do âjz 2j = È (x 2) 2 +y 2 . T÷ìng tü, x²t z + 2 =x +iy + 2 = (x + 2) +yi. Do âjz + 2j = È (x + 2) 2 +y 2 . Tø gi£ thi¸t suy ra È (x 2) 2 +y 2 + È (x + 2) 2 +y 2 = 10 (). °t F 1 (2; 0) v F 2 (2; 0) th¼ (),MF 1 +MF 2 = 10>F 1 F 2 = 4. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 89 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 N¶n tªp hñp iºm M (x;y) biºu di¹n sè phùc z l mët el½p (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 vîi hai ti¶u iºm F 1 , F 2 . Do MF 1 +MF 2 = 10 suy ra 2a = 10,a = 5. M°t kh¡c F 1 F 2 = 4 suy ra 2c = 4,c = 2. M b 2 =a 2 c 2 ,b 2 = 25 4,b 2 = 21,b = p 21. Vªy ph÷ìng tr¼nh el½p (E) : x 2 25 + y 2 21 = 1. B i 3. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n h¼nh håc sè phùc z thäa m¢njz 1j +jz + 1j = 4 l mët el½p (E). H¢y vi¸t ph÷ìng tr¼nh el½p â. -Líi gi£i. Gåi M (x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +iy, vîi x, y2R thäa m¢n b i to¡n. Khi â z 1 =x +iy 1 = (x 1) +yi. Do âjz 1j = È (x 1) 2 +y 2 . T÷ìng tü, x²t z + 1 =x +iy + 1 = (x + 1) +yi. Do âjz + 1j = È (x + 1) 2 +y 2 . Tø gi£ thi¸t suy ra È (x 1) 2 +y 2 + È (x + 1) 2 +y 2 = 4 (). °t F 1 (1; 0) v F 2 (1; 1) th¼ (),MF 1 +MF 2 = 4>F 1 F 2 = 2. N¶n tªp hñp iºm M (x;y) biºu di¹n sè phùc z l mët el½p (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 vîi hai ti¶u iºm F 1 , F 2 . Do MF 1 +MF 2 = 4 suy ra 2a = 4,a = 2. M°t kh¡c F 1 F 2 = 2 suy ra 2c = 2,c = 1. M b 2 =a 2 c 2 ,b 2 = 4 1,b 2 = 3,b = p 3. Vªy ph÷ìng tr¼nh el½p (E) : x 2 4 + y 2 3 = 1. B i 4. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n h¼nh håc sè phùc z thäa m¢n z p 2 + z + p 2 = 8 l mët el½p (E). H¢y vi¸t ph÷ìng tr¼nh el½p â. -Líi gi£i. Gåi M (x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +iy, vîi x, y2R thäa m¢n b i to¡n. Khi â z p 2 =x +iy p 2 = x p 2 +yi. Do â z p 2 = q x p 2 2 +y 2 . T÷ìng tü, x²t z + p 2 =x +iy + p 2 = x + p 2 +yi. Do â z + p 2 = q x + p 2 2 +y 2 . Tø gi£ thi¸t suy ra q x p 2 2 +y 2 + q x p 2 2 +y 2 = 8 (). °t F 1 p 2; 0 v F 2 p 2; 0 th¼ (),MF 1 +MF 2 = 8>F 1 F 2 = 2 p 2. N¶n tªp hñp iºm M (x;y) biºu di¹n sè phùc z l mët el½p (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 vîi hai ti¶u iºm F 1 , F 2 . Do MF 1 +MF 2 = 8 suy ra 2a = 8,a = 4. M°t kh¡c F 1 F 2 = 2 p 2 suy ra 2c = 2 p 2,c = p 2. M b 2 =a 2 c 2 ,b 2 = 16 2,b 2 = 14,b = p 14. Vªy ph÷ìng tr¼nh el½p (E) : x 2 16 + y 2 14 = 1. D¤ng 4. B i to¡n li¶n quan ¸n gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t Sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa Ph÷ìng ph¡p gi£i: èi vîi nhâm b i to¡n tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc l mët ÷íng trán thi vi»c l÷ñng gi¡c hâa tä ra kh¡ hi»u qu£ v nhanh châng. Gi£ sû câ ÷ñc gi£ thi¸t (xa) 2 + (yb) 2 = R 2 , xa R 2 + yb R 2 = 1, s³ gñi ta ¸n cæng thùc sin 2 t + cos 2 t = 1 n¶n ta °t 8 > < > : xa R = sint yb R = cost , ¨ x =R sint +a y =R cost +b º ÷a b i to¡n v· d¤ng l÷ñng gi¡c quen thuëc. Ngo i ra, ta c¦n nhî nhúng ¡nh gi¡ th÷íng ÷ñc sû döng Th.s Nguy¹n Ch½n Em 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 1 sint 1,1 cost 1 v a sint +b cost = p a 2 +b 2 sin (t + ). B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz d¤ng 1:jax +byj p (a 2 +b 2 ) (x 2 +y 2 ). a sint +b cost È (a 2 +b 2 ) sin 2 t + cos 2 t = p a 2 +b 2 . D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : sint a = cost b a sint +b cost = p a 2 +b 2 a sint +b cost È (a 2 +b 2 ) sin 2 t + cos 2 t = p a 2 +b 2 . D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : sint a = cost b a sint +b cost = p a 2 +b 2 D BÀITẬPVẬNDỤNG B i 1. Cho sè phùc z =x +iy (x;y2R) thäa m¢n çng thíi c¡c i·u ki»njz 2 3ij = 1 v biºu thùc jz +i + 1j ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùcj3x 2yj. -Líi gi£i. Ta câjz 2 3ij = 1,j(x 2) + (y 3)ij = 1, È (x 2) 2 + (y 3) 2 = 1, (x 2) 2 + (y 3) 2 = 1 () C¡ch gi£i 1. Sû döng l÷ñng gi¡c hâa °t ¨ x =sint + 2 y = cost + 3 Ta câ jz +i + 1j = jxyi +i + 1j = j(x + 1) + (1y)ij = È (x + 1) 2 + (1y) 2 = È ((x 2) + 3) 2 + (2 (y 3)) 2 = È (x 2) 2 + 6 (x 2) + 9 + 4 + 4 (y 3) + (y 3) 2 Tø () suy rajz +i + 1j = p 6x + 4y 10. Khi â p 6x + 4y 10 = p 6 sint + 4 cost + 14. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwar ta câ (6 sint + 4 cost) 2 6 2 + 4 2 sin 2 t + cos 2 t 2 , (6 sint + 4 cost) 2 52,j6 sint + 4 costj 2 p 13 Suy ra p 6x + 4y 10 p 2 p 13 + 14 D§u ¯ng thùc x£y ra khi 8 < : sint 6 = cost 4 6 sint + 4 cost = 2 p 13 , ¨ 2 sint 3 cost = 0 3 sint + 2 cost = p 13 , 8 > > < > > : sint = 3 p 13 13 cost = 2 p 13 13 Do ¨ x =sint + 2 y = cost + 3 suy ra 8 > > < > > : x = 3 p 13 13 + 2 y = 2 p 13 13 + 3 . N¶nj3x 2yj = 5 p 13 13 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¡ch gi£i 2. Sû döng trüc ti¸p b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz Ta câ jz +i + 1j = jxyi +i + 1j = j(x + 1) + (1y)ij = È (x + 1) 2 + (1y) 2 = È ((x 2) + 3) 2 + (2 (y 3)) 2 = È (x 2) 2 + 6 (x 2) + 9 + 4 + 4 (y 3) + (y 3) 2 Tø () suy rajz +i + 1j = p 6x + 4y 10 = p 6 (x 2) + 4 (y 3) + 14. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwar ta câ [6 (x 2) + 4 (y 3)] 2 6 2 + 4 2 (x 2) 2 + (y 3) 2 ,j6 (x 2) + 4 (y 3)j 2 p 13 Suy ra p 6x + 4y 10 p 2 p 13 + 14 D§u ¯ng thùc x£y ra khi 8 < : x 2 6 = y 3 4 6x + 4y 24 = 2 p 13 , ¨ 2x 3y =5 3x + 2y = 12 + p 13 , 8 > > < > > : x = 3 p 13 13 + 2 y = 2 p 13 13 + 3 N¶nj3x 2yj = 5 p 13 13 . C¡ch gi£i 3. Sû döng h¼nh håc (h¼nh chi¸u v t÷ìng giao) Gi£i sû M (x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z. Tø () suy ra tªp hñp biºu di¹n sè phócz l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh (C) : (x 2) 2 +(y 3) 2 = 1. Gåi I, R l t¥m v b¡n k½nh ÷íng trán (C) ta câ I (2; 3), R = 1. M°t kh¡c jz +i + 1j = jxyi +i + 1j = j(x + 1) + (1y)ij = È (x + 1) 2 + (1y) 2 = È (x + 1) 2 + (y 1) 2 Gi£ sû N (1; 1) suy ra MN = È (x + 1) 2 + (y 1) 2 . B i to¡n trð th nh t¼m và tr½ iºm M tr¶n ÷íng trán (C) sao cho ë d i MN ¤t gi¡ trà lîn nh§t. GåiH,K l¦n l÷ñt l giao iºm cõa ÷íng th¯ng NI vîi ÷íng trán (C) nh÷ h¼nh b¶n. D¹ th§y NH MN NK suy ra maxMN = NK khi M K. M ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng i qua hai iºmI,N l x + 1 3 = y 1 2 , 2x 3y + 5 = 0. Khi â tåa ë iºm K l nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh O x y 1 2 1 3 N I K H M Th.s Nguy¹n Ch½n Em 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 ¨ 2x 3y + 5 = 0 (x 2) 2 + (y 3) 2 = 1 , 8 > > < > > : y = 2x + 5 3 (x 2) 2 + 2x + 5 3 3 2 = 1 , 8 < : y = 2x + 5 3 9 (x 2) 2 + (2x 4) 2 = 9 , 8 < : y = 2x + 5 3 13x 2 52x + 43 = 0 , 8 > > > > > > < > > > > > > : y = 2x + 5 3 2 6 6 4 x = 2 + 3 p 13 13 x = 2 3 p 13 13 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 8 > > < > > : x = 2 + 3 p 13 13 y = 3 + 2 p 13 3 8 > > < > > : x = 2 3 p 13 13 y = 3 2 p 13 3 Suy ra tåa ë iºm K 2 + 3 p 13 13 ; 3 + 3 p 13 13 . Do â 8 > > < > > : x = 2 + 3 p 13 13 y = 3 + 2 p 13 3 n¶nj3x 2yj = 5 p 13 13 . B i 2. X²t c¡c sè phùc z = a + bi vîi a, b 2 R thäa m¢n jz 4 3ij = p 5. T½nh P = a + b khi jz + 1 3ij +jz 1 +ij ¤t gi¡ trà lîn nh§t. -Líi gi£i. Ta câjz 4 3ij = p 5,j(a 4) + (b 3)ij = p 5, È (a 4) 2 + (b 3) 2 = p 5, (a 4) 2 + (b 3) 2 = 5 () °t ( a = p 5 sint + 4 b = p 5 cost + 3 Ta câ Q = jz + 1 3ij +jz 1 +ij = È (a + 1) 2 + (b 3) 2 + È (a 1) 2 + (b + 1) 2 = É p 5 sint + 5 2 + p 5 cost 2 + É p 5 sint + 3 2 + p 5 cost + 4 2 = È 5 sin 2 t + 10 p 5 sint + 25 + 5 cos 2 t + È 5 sin 2 t + 6 p 5 sint + 9 + 5 cos 2 t + 8 p 5 cost + 16 = È 10 p 5 sint + 30 + È 6 p 5 sint + 8 p 5 cost + 30 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwar ta câ È 10 p 5 sint + 30 + È 6 p 5 sint + 8 p 5 cost + 30 2 1 2 + 1 2 10 p 5 sint + 30 + 6 p 5 sint + 8 p 5 cost + 30 2 16 p 5 sint + 8 p 5 cost + 60 16 p 5 (2 sint + cost) + 120 Suy ra È 10 p 5 sint + 30 + È 6 p 5 sint + 8 p 5 cost + 30 È 16 p 5 (2 sint + cost) + 120 M (2 sint + cost) 2 2 2 + 1 2 sin 2 t + cos 2 t , (2 sint + cost) 2 5,j2 sint + costj p 5 N¶n È 16 p 5 (2 sint + cost) + 120 p 200, È 16 p 5 (2 sint + cost) + 120 10 p 2 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra Q 10 p 2 d§u ¯ng thùc x£y ra khi 8 < : sint 2 = cost 1 2 sint + cost = p 5 , ¨ sint 2 cost = 0 2 sint + cost = p 5 , 8 > > < > > : sint = 2 p 5 cost = 1 p 5 M ( a = p 5 sint + 4 b = p 5 cost + 3 suy ra ¨ a = 6 b = 4 . N¶n P =a +b = 10. B i 3. X²t c¡c sè phùc z = a +bi (a, b2 R) thäa m¢njz + 6 8ij = 2 p 5. T½nh P = a +b khi Q = jz + 6 + 2ij +jz 2 2ij ¤t gi¡ trà lîn nh§t. -Líi gi£i. Ta câjz + 6 8ij = 2 p 5 , j(a + 6) + (b 8)ij = 2 p 5 , È (a + 6) 2 + (b 8) 2 = 2 p 5 , (a + 6) 2 + (b 8) 2 = 20 () °t ( a = 2 p 5 sint 6 b = 2 p 5 cost + 8 Ta câ Q = jz + 6 + 2ij +jz 2 2ij = È (a + 6) 2 + (b + 2) 2 + È (a 2) 2 + (b 2) 2 = É 2 p 5 sint 2 + 2 p 5 cost + 10 2 + É 2 p 5 sint 8 2 + 2 p 5 cost + 6 2 = È 20 sin 2 t + 20 cos 2 t + 40 p 5 cost + 100 + È 20 sin 2 t 32 p 5 sint + 64 + 20 cos 2 t + 24 p 5 cost + 36 = È 40 p 5 cost + 120 + È 32 p 5 sint + 24 p 5 cost + 120 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwar ta câ È 40 p 5 cost + 120 + È 32 p 5 sint + 24 p 5 cost + 120 2 1 2 + 1 2 40 p 5 cost + 120 32 p 5 sint + 24 p 5 cost + 120 2 64 p 5 cost 32 p 5 sint + 240 64 p 5 (2 cost sint) + 480 Suy ra È 40 p 5 cost + 120 + È 32 p 5 sint + 24 p 5 cost + 120 È 64 p 5 (2 cost sint) + 480 M (2 cost sint) 2 2 2 + (1) 2 cos 2 t + sin 2 t , (2 cost sint) 2 5,j2 cost sintj p 5 N¶n È 64 p 5 (2 cost sint) + 480 p 800, È 64 p 5 (2 cost sint) + 480 20 p 2 Suy ra Q 20 p 2 d§u ¯ng thùc x£y ra khi 8 < : cost 2 = sint 1 2 cost sint = p 5 , ¨ 2 sint + cost = 0 2 cost sint = p 5 , 8 > > < > > : sint = p 5 5 cost = 2 p 5 5 M ( a = 2 p 5 sint 6 b = 2 p 5 cost + 8 suy ra ¨ a =8 b = 12 . N¶n P =a +b = 4. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 4. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z 2i z 2 l sè £o. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = jz 1j +jzij. -Líi gi£i. Gi£ sû sè phùc z =a +bi vîi a, b2R. Khi â z 2i z 2 = a +bi 2i a +bi 2 = a + (b 2)i (a 2) +bi = [a + (b 2)i] [(a 2)bi] [(a 2) +bi] [(a 2)bi] = a (a 2)abi +b (b 2) + (b 2) (a 2)i (a 2) 2 +b 2 = a (a 2) +b (b 2) (a 2) 2 +b 2 + (b 2) (a 2)ab (a 2) 2 +b 2 i Do gi£ thi¸t suy ra a (a 2) +b (b 2) = 0, (a 1) 2 + (b 1) 2 = 2 () °t ( a = p 2 sint + 1 b = p 2 cost + 1 Ta câ P = jz 1j +jzij = È (a 1) 2 +b 2 + È a 2 + (b 1) 2 = É p 2 sint 2 + p 2 cost + 1 2 + É p 2 sint + 1 2 + p 2 cost 2 = È 2 sin 2 t + 2 cos 2 t + 2 p 2 cost + 1 + È 2 sin 2 t + 2 p 2 sint + 1 + 2 cos 2 t = È 2 p 2 cost + 3 + È 2 p 2 sint + 3 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwar ta câ È 2 p 2 cost + 3 + È 2 p 2 sint + 3 2 1 2 + 1 2 2 p 2 cost + 3 + 2 p 2 sint + 3 2 2 p 2 cost + 2 p 2 sint + 6 4 p 2 (cost + sint) + 12 = 8 cos x 4 + 12 Do1 cos x 4 1 ta suy ra È 2 p 2 cost + 3 + È 2 p 2 sint + 3 2 20) È 2 p 2 cost + 3 + È 2 p 2 sint + 3 2 p 5 Do â P 2 p 5 d§u ¯ng thùc x£y ra khi 8 > < > : p 2 p 2 cost + 3 1 = p 2 p 2 sint + 3 1 cos x 4 = 1 , ¨ sint = cost cost + sint = p 2 , 8 > > < > > : sint = p 2 2 cost = p 2 2 M ( a = p 2 sint + 1 b = p 2 cost + 1 suy ra ¨ a = 2 b = 2 . N¶n maxP = 2 p 5. B i 5. Cho sè phùcz thäa m¢njz 3 4ij = p 5. GåiM v m l¦n l÷ñt l gi¡ trà lîn nh§t gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =jz + 2j 2 jzij 2 . T½nh mæun cõa sè phùc w =M +mi. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gi£ sû sè phùc z câ d¤ng z =a +bi (a;b2R). Ta câjz 4 3ij = p 5,j(a 4) + (b 3)ij = p 5, È (a 4) 2 + (b 3) 2 = p 5, (a 4) 2 + (b 3) 2 = 5 () Khi â P = jz + 2j 2 jzij 2 = (a + 2) 2 +b 2 a 2 (b 1) 2 = a 2 + 4a + 4 +b 2 a 2 b 2 + 2b 1 = 4a + 2b + 3 = 2 [2 (a 4) + (b 3)] + 25 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwar ta câ [2 (a 4) + (b 3)] 2 2 2 + 1 2 (a 4) 2 + (b 3) 2 , [2 (a 4) + (b 3)] 2 25 , j2 (a 4) + (b 3)j 5 N¶n 15 2 [2 (a 4) + (b 3)] + 25 35 Suy ra maxP = 35 v minP = 15 hay M = 35; m = 15. Khi âjwj = p 15 2 + 35 2 = 5 p 58. B i 6. X²t sè phùcz =a +bi (a,b2R) thäa m¢njz 2j 2 +jz + 2j 2 = 26 v biºu thùc z 3 p 2 2 3 p 2 2 i ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T¼m gi¡ trà cõa biºu thùc P =ja +bj. -Líi gi£i. Gi£ sû sè phùc z câ d¤ng z =a +bi (a;b2R). Ta câ jz 2j 2 +jz + 2j 2 = 26 , (a 2) 2 +b 2 + (a + 2) 2 +b 2 = 26 , a 2 4a + 4 +b 2 +a 2 + 4a + 4 +b 2 = 26 , a 2 +b 2 = 9 () M z 3 p 2 2 3 p 2 2 i = a 3 p 2 2 + b 3 p 2 2 i = Ì a 3 p 2 2 2 + b 3 p 2 2 2 = É a 2 3 p 2a + 9 2 +b 2 3 p 2b + 9 2 Do () n¶n z 3 p 2 2 3 p 2 2 i = È 18 3 p 2 (a +b). Ta câ (a +b) 2 2 a 2 +b 2 , (a +b) 2 18,ja +bj 3 p 2 N¶n 0 18 3 p 2 (a +b) 36, 0 È 18 3 p 2 (a +b) 6 Suy ra max z 3 p 2 2 3 p 2 2 i = 6 khi âja +bj = 3 p 2. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 7. X²t sè phùc z =a +bi (a, b2R) thäa m¢n z 2i z 2 l sè thu¦n £o v mæun cõa z ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P =a +b. -Líi gi£i. Gi£ sû sè phùc z =a +bi vîi a, b2R. Khi â z 2i z 2 = a +bi 2i a +bi 2 = a + (b 2)i (a 2) +bi = [a + (b 2)i] [(a 2)bi] [(a 2) +bi] [(a 2)bi] = a (a 2)abi +b (b 2) + (b 2) (a 2)i (a 2) 2 +b 2 = a (a 2) +b (b 2) (a 2) 2 +b 2 + (b 2) (a 2)ab (a 2) 2 +b 2 i Do gi£ thi¸t suy ra a (a 2) +b (b 2) = 0, (a 1) 2 + (b 1) 2 = 2 () °t ( a = p 2 sint + 1 b = p 2 cost + 1 Ta câ jzj = p a 2 +b 2 = É p 2 sint + 1 2 + p 2 cost + 1 2 = È 2 sin 2 t + 2 p 2 sint + 1 + 2 cos 2 t + 2 p 2 cost + 1 = È 2 p 2 (cost + sint) + 4 = É 4 cos x 4 + 4 Do1 cos x 4 1 ta suy ra É 4 cos x 4 + 4 4 p 2. Do âjzj 4 p 2 d§u ¯ng thùc x£y ra khi cos x 4 = 1,x 4 =k2,x = 4 +k2 (k2Z) M ( a = p 2 sint + 1 b = p 2 cost + 1 suy ra 8 > < > : a = p 2 sin 4 +k2 + 1 b = p 2 cos 4 +k2 + 1 , ¨ a = 2 b = 2 . N¶n maxjzj = 4 p 2 khi ¨ a = 2 b = 2 . Do â P = 4. B i 8. X²t sè phùc z = a +bi (a, b2 R) thäa m¢njz 1 + 2ij = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P =jz 2ij. -Líi gi£i. Ta câjz 1 + 2ij = 3,j(a 1) + (b + 2)ij = 3, È (a 1) 2 + (b + 2) 2 = 3, (a 1) 2 +(b + 2) 2 = 9 () °t ¨ a = 3 sint + 1 b = 3 cost 2 Ta câ P = jz 2ij = È a 2 + (b 2) 2 = È (3 sint + 1) 2 + (3 cost 4) 2 = p 9 sin 2 t + 6 sint + 1 + 9 cos 2 t 24 cost + 16 = È 6 (sint 4 cost) + 26 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwar ta câ (sint 4 cost) 2 1 2 + (4) 2 sin 2 t + cos 2 t , (sint 4 cost) 2 17 , jsint 4 costj p 17 N¶n p 6 (sint 4 cost) + 26 p 6 p 17 + 26. D§u ¯ng thùc x£y ra khi 8 < : cost 4 = sint 1 sint 4 cost = p 17 , ¨ cost 4 sint = 0 sint 4 cost = p 17 , 8 > > < > > : sint = p 17 15 cost = 4 p 17 15 M ¨ a = 3 sint + 1 b = 3 cost 2 suy ra 8 > > < > > : a = 3 p 17 15 + 1 b = 12 p 17 15 2 . Vªy maxP = p 26 + 6 p 17. D¤ng 5. Sû döng b¼nh ph÷ìng væ h÷îng Ph÷ìng ph¡p gi£i: èi vîi mët sè b i to¡n t¼m max, min vi»c sû döng b¼nh ph÷ìng væ h÷îng º t¼m iºm rìi nh¬m ¡p döng b§t ¯ng thùc ax +by p (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ) ho°c # a # b =j # aj # b cos # a ; # b j # aj # b tä ra kh¡ hi»u qu£. Ta c¦n nhî b¼nh ph÷ìng væ h÷îngj # u # vj 2 =j # uj 2 +j # vj 2 2 # u # v. V½ dö 1. Cho hai sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢njz 1 + 2z 2 j = 5 v j3z 1 z 2 j = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P =jz 1 j +jz 2 j. -Líi gi£i. Gåi M, N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa z 1 v z 2 . Suy raj # uj =jz 1 + 2z 2 j =j # OM + 2 # ONj = 5 v j # vj =j3z 1 z 2 j =j3 # OM # ONj = 3. Ph¥nt½ch.B ito¡ntrðth nht¼mM,N ºP =j # OMj+j # ONj¤tgi¡tràlînnh§tthäam¢nj # OM+2 # ONj = 5 v j3 # OM # ONj = 3. º t¼m P max ta sû döng b§t ¯ng thùc ax +by p (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ). Tùc t¼m P =j # OMj +j # ONj = 1 # OM + 1 # ON hay P = 1 # OM + 1 # ON Ê 1 2 + 1 2 2 # OM 2 + 2 # ON 2 : Do â c¦n ph£i t¼m têng b¼nh ph÷ìng væ h÷îng 2 # OM 2 + 2 # ON 2 = const, â l ch¼a khâa. Ta câ 8 < : # OM + 2 # ON = 5 # OM # ON = 3 , 8 > < > : # OM 2 + 4 # ON 2 + 4 # OM # ON = 25 9 # OM 2 + # ON 2 6 # OM # ON = 9 , 8 > < > : 3 # OM 2 + 12 # ON 2 + 12 # OM # ON = 75 18 # OM 2 + 2 # ON 2 12 # OM # ON = 18 ) 21 # OM 2 + 14 # ON 2 = 93: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz P = # OM + # ON = 1 p 21 p 21 # OM + 1 p 14 p 14 # ON Ê 1 21 + 1 14 21 # OM 2 + 14 # ON 2 = Ê 1 21 + 1 14 93 = É 155 14 )P max = É 155 14 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : 21OM = 14ON OM +ON = É 155 14 , 8 > > < > > : ON = 3 5 É 155 14 OM = 2 5 É 155 14 : V½ dö 2. Cho sè phùcz thäa m¢njz 1ij = 1 v biºu thùcP = 3jzj + 2jz 4 4ij ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T¼m mæ-un cõa sè phùc z. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). Câjz 1ij = 1,j(x 1) + (y 1)ij = 1, (x 1) 2 + (y 1) 2 = 1. Do â tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán t¥m I(1; 1) b¡n k½nh R = 1. Ta câ P = 3jzj + 2jz 4 4ij = 3 p x 2 +y 2 + 2 p (x 4) 2 + (y 4) 2 . X²t O(0; 0), N(4; 4) th¼ P = 3OM + 2NM = 3 # OM + 2 # NM . Ta câ 8 > < > : # OM 2 = # OI + # IM 2 = # OI 2 + # IM 2 + 2 # OI # IM = 3 + 2 # OI # IM # NM = # NI + # IM 2 = # NI 2 + # IM 2 + 2 # NI # IM = 19 + 2 # NI # IM Nhªn th§y r¬ng ( # OI = (1; 1) # IN = (3; 3) = 3(1; 1) ) # IN = 3 # OI, 3 # OI + # IN = # 0. Suy ra 3 # OM 2 + # NM 2 = 28 + 2 # IM 3 # OI + # NI = 28) 3 # OM 2 + # NM 2 = 28. Khi â P = 3 # OM + 2 # NM = p 3 p 3 # OM + 2 # NM Ê (3 + 4) 3 # OM 2 + # NM 2 = 14. Vªy P max = 14 ¤t ÷ñc khi 8 > < > : # OM = 1 2 # NM 3 # OM + 2 # NM = 14 , # OM = 2 =jzj. 1 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = 1. T½nh gi¡ trà lîn nh§t cõa P =jz + 1j + 3jz 1j. -Líi gi£i. Gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z v A(1; 0), B(1; 0), O(0; 0). Khi âjzj = 1, # OM = 1 v P =jz + 1j + 3jz 1j = # AM + 3 # BM . Ta câ 8 > < > : # AM 2 = # AO + # OM 2 = # AO 2 + # OM 2 + 2 # AO # OM = 2 + 2 # AO # OM # BM 2 = # BO + # OM 2 = # BO 2 + # OM 2 + 2 # BO # OM = 2 + 2 # BO # OM: D¹ th§y # AO + # BO = # 0. Suy ra # AM 2 + # BM 2 = 4 + 2 # OM # AO + # BO = 4. p döng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ P = # AM + 3 # BM Ê (1 2 + 3 2 ) # AM 2 + # BM 2 = p 40 = 2 p 10: D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : AM = 1 3 BM AM +BM = 2 p 10 , 8 > < > : BM = 2 3 p 10 AM = 1 2 p 10: B i 2. Cho sè phùc z thäa m¢njz 1 2ij = 2 v biºu thùc P =jzj +jz 3 6ij ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T½nhjzj. -Líi gi£i. Gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z v I(1; 2), O(0; 0), A(3; 6). Khi âjz 1 2ij = 2, # IM = 2 v P =jzj +jz 3 6ij = # OM + # AM . Ta câ 8 > < > : # OM 2 = # OI + # IM 2 = # OI 2 + # IM 2 + 2 # OI # IM = 9 + 2 # OI # IM # AM 2 = # AI + # IM 2 = # AI 2 + # IM 2 + 2 # AI # IM = 24 + 2 # AI # IM: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 99 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 M°t kh¡c ( # AI = (2;4) # OI = (1; 2) ) # AI + 2 # OI = # 0. Suy ra 2 # OM 2 + # AM 2 = 42. p döng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ P = # OM + # AM = 1 p 2 p 2 # OM + # AM Ê 1 2 + 1 2 # OM 2 + # AM 2 = 3 p 7: D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : 2 # OM = # AM # OM + # AM = 3 p 7 ) # OM = p 7)jzj = p 7)jzj = p 7. B i 3. Cho hai sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢n z 1 +z 2 = 8 + 6i v jz 1 z 2 j = 2. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P =jz 1 j +jz 2 j. -Líi gi£i. Gåi M, N l¦n l÷ñt l hai iºm biºu di¹n sè phùc z 1 , z 2 v O(0; 0). Ta câ z 1 +z 2 = 8 + 6i)jz 1 +z 2 j = 10. Khi âjz 1 z 2 j = 2, # OM # ON = 2;jz 1 +z 2 j = 10, # OM + # ON = 10 v P = # OM + # ON . Suy ra 8 > < > : # OM # ON 2 = 4 # OM + # ON 2 = 100 , 8 > < > : # OM 2 + # ON 2 2 # OM # ON = 4 # OM 2 + # ON 2 + 2 # OM # ON = 100 ) # OM 2 + # ON 2 = 52. p döng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ P = # OM + # ON Ê (1 + 1) # OM 2 + # ON 2 = 2 p 26)P max = 2 p 26: B i 4. Cho sè phùc z =x +yi vîi x;y2R thäa m¢n 4jz +ij + 3jzij = 10. T¼mjzj min . -Líi gi£i. Gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z v A(0;1), B(0; 1). Suy ra 4jz +ij + 3jzij = 10, 4 # AM + 3 # BM = 10;jzj = # OM . Ta câ 8 > < > : # OM 2 = # OA + # AM 2 =OA 2 +AM 2 + 2 # OA # AM # OM 2 = # OB + # BM 2 =OB 2 +BM 2 + 2 # OB # BM: D¹ th§y # OA = (0;1), # OB = (0;1)) # OA = # OB v OA 2 =OB 2 = 1. Suy ra 2 # OM 2 = OA 2 +OB 2 +AM 2 +BM 2 + 2 # OA # AM + # OB # BM = 2 +AM 2 +BM 2 + 2 # OA # AM # BM = 2 +AM 2 +BM 2 + 2 # OA # AB =AM 2 +BM 2 2: p döng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ 4 # AM + 3 # BM È (3 2 + 4 2 ) (AM 2 +BM 2 ), 10 È 25 (AM 2 +BM 2 ))AM 2 +BM 2 4: Vªy 2 # OM 2 =AM 2 +BM 2 2 4 2 = 2) # OM 1)jzj min = 1. B i 5. Cho sè phùc z thäa m¢njz 3 4ij = p 5 v biºu thùc P =jz + 2j 2 jzij 2 ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T½nhjz +ij. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z. Suy rajz 3 4ij = p 5, (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Khi â P =jz + 2j 2 jzij 2 = (x + 2) 2 +y 2 x 2 (y 1) 2 = 4x + 2y + 3 = 2 [2(x 3) + (y 4)] + 23. p döng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ 2(x 3) + (y 4) È (2 2 + 1 2 ) [(x 3) 2 + (y 4) 2 ] = 5 ) P max = 2 5 + 23 = 33: D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : x 3 2 =y 4 2(x 3) + (y 4) = 5 , ¨ x = 5 y = 5: Khi âjz +ij = p 61. B i 6. Cho sè phùc z = x +yi vîi x;y2R thäa m¢njz 4 3ij = p 5. T½nh x +y bi¸t r¬ng biºu thùc P =jz + 1 3ij +jz 1 +ij ¤t gi¡ trà lîn nh§t. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z. Khi âjz 4 3ij = p 5, (x 4) 2 + (y 3) 2 = 5 v P =jz + 1 3ij +jz 1 +ij = p (x + 1) 2 + (y 3) 2 + p (x 1) 2 + (y + 1) 2 . p döng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ P = È (x + 1) 2 + (y 3) 2 + È (x 1) 2 + (y + 1) 2 È 2 [(x + 1) 2 + (y 3) 2 + (x 1) 2 + (y + 1) 2 ] = È 2 [2(x 2 +y 2 ) 4y + 12] M°t kh¡c (x 4) 2 + (y 3) 2 = 5,x 2 +y 2 = 8x + 6y 20. Suy ra P p 2 (16x + 8y 28) = 2 p 8x + 4y 14. L¤i câ 8x + 4y 14 = 8(x 4) + 4(y 3) + 30 p (8 2 + 4 2 ) [(x 4) 2 + (y 3) 2 ] + 30 = 20 + 30 = 50. Do â P 2 p 50 = 10 p 2)P max = 10 p 2. D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : x 4 8 = y 3 4 8(x 4) + 4(y 3) = 20 , ¨ x = 6 y = 4 )x +y = 10. B i 7. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = 2 v biºu thùc P =jz 1j +jz 1 7ij ¤t gi¡ trà nhä nh§t. T½nh mæ-un cõa sè phùc w =z 1 +i p 3. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z v A(1; 0), B(1; 7). Khi âjzj = 2,x 2 +y 2 = 4 v P =jz 1j +jz 1 7ij = # AM + # BM # AB . Suy ra P min =AB = 7. Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ng i qua hai iºm AB : ¨ x = 1 y = 7t vîi t2R. M x 2 +y 2 = 4)t = p 3 7 )M 1 1; p 3 ho°c M 2 1; p 3 . D¹ th§y iºm AM 1 +BM 1 < > : x = 3 5 y = 6 5 )P = 3xy = 3. B i 2. X²t c¡c sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢n z + 1 5i z + 3i = 1 v jzj ¤t gi¡ trà nhä nh§t. T½nh T = 3x +y. -Líi gi£i. z + 1 5i z + 3i = 1, x + 1 + (y 5)i x + 3 (y + 1)i = 1 ,jx + 1 + (y 5)ij =j(x + 3) (y + 1)ij , (x + 1) 2 + (y 5) 2 = (x + 3) 2 + (y + 1) 2 , 2x + 1 10y + 25 = 6x + 9 + 2y + 1 ,x + 3y 4 = 0: O x y M H (d) Vªy tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z =x +yi, (x;y2R) l ÷íng th¯ng (d): x + 3y 4 = 0. minjzj =OH vîi H l h¼nh chi¸u cõa iºm O l¶n (d). V¼ OH?d: x + 3y 4 = 0)OH : 3xy +m = 0. Do O(0; 0)2 OH)m = 0)OH : 3xy = 0.Tåa ë iºm H = (d)\OH thäa m¢n h» ¨ x + 3y = 4 3xy = 0 , 8 > < > : x = 2 5 y = 6 5 . )T = 3x +y = 0. B i 3. Cho c¡c sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢njz 1 2ij =jz 2 +ij. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùcjz + 2 3ij. -Líi gi£i. jz12ij =jz2+ij,j(x1)+(y2)ij =j(x2)+(y+1)ij,x3y = 0. Vªy tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z = x +yi, (x;y2 R) l ÷íng th¯ng (d): x 3y = 0. Ta l¤i câjz + 2 3ij =j(x + 2) + (y 3)ij = p (x + 2) 2 + (y 3) 2 =MN vîi N(2; 3). Vªy minjz + 2 3ij = minMN = d [N;(d)] = j 2 3 3j p 10 = 11 p 10 10 . O x y M H N (d) Th.s Nguy¹n Ch½n Em 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 4. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢njz 3 + 4ij = 4. T½nh têng gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =jzj. -Líi gi£i. jz 3 + 4ij = 4,j(x 3) + (y + 4)ij = 4, (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 16. Vªy tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z = x +yi, (x;y2R) l ÷íng trán C câ t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 4. Ta câjzj = p x 2 +y 2 =OM. Theo h¼nh v³ câ ¨ minjzj = minOM =OM 1 =jOIRj = 5 4 = 1 maxjzj = maxOM =OM 2 =OI +R = 5 + 4 = 9 . Vªy têng c¦n t¼m l 9 + 1 = 10. O x y M M 1 I M 2 B i 5. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢njzij =jz + 1j v biºu thùc P =jz (3 2i)j ¤t gi¡ trà nhä nh§t. T¼m T =jxyj. -Líi gi£i. jzij =jz + 1j,jx + (y 1)ij =j(x + 1) +yij,x +y = 0. Vªy tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z =x +yi, (x;y2R) l ÷íng th¯ng (d): x +y = 0. Ta câjz (3 2i)j =j(x 3) + (y + 2)ij = p (x 3) 2 + (y + 2) 2 =MI vîi I(3;2). Vªy P =MI nhä nh§t khi M tròng vîi H l h¼nh chi¸u cõa I tr¶n (d). V¼ IH? (d): x +y = 0)IH : xy +m = 0. Do I(3;2)2IH)m =5)IH : xy 5 = 0. Khi â tåa ë cõa H thäa m¢n h» ¨ x +y = 0 xy = 5 , 8 > < > : x = 5 2 y = 5 2 ) T = jxyj = 5. O x y M H I (d) B i 6. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢njz 1 + 2ij = p 5 v biºu thùc P =jz + 1 +ij ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T¼m Q =jx 2yj. -Líi gi£i. jz 1 + 2ij = p 5,j(x 1) + (y + 2)ij = p 5, (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 5. Vªy tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z = x +yi, (x;y2 R) l ÷íng trán (C ) câ t¥m I(1;2) v b¡n k½nh R = p 5. Ta câ P =jz + 1 +ij =j(x + 1) + (y + 1)ij = p (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = MN vîi N(1;1). D¹ th§yN2 (C ) n¶nMN lîn nh§t khi v ch¿ khiMM 1 l iºm èi xùng vîi N qua I. Suy ra ¨ x = 2x I x N = 2 1 + 1 = 3 y = 2y I y N = 2 (2) + 1 =3 )Q =jx 2yj = 9. O x y N I M 1 M B i 7. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢nj2iz 1 + 3ij = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P =jz + 2 3ij. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 105 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 j2iz 1 + 3ij = 1,j2i(x +yi) 1 + 3ij = 1 ,j(2y 1) + (2x + 3)ij = 1 , x + 3 2 2 + y + 1 2 2 = 1 4 : Vªy tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z = x +yi, (x;y2 R) l ÷íng trán (C ) câ t¥m I 3 2 ; 1 2 v b¡n k½nh R = 1 2 . Ta câjz + 2 3ij =j(x + 2) + (y 3)ij = p (x + 2) 2 + (y 3) 2 = MN vîi N(2; 3). Vªy maxP = maxMN =NM 1 =NI +R = 5 p 2 2 + 1 2 = 1 + 5 p 2 2 . O x y M I N M 1 B i 8. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢njz 1 + 2ij = 4. Gåi M, m l¦n l÷ñt l gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =jz + 1ij. T¼m M +m. -Líi gi£i. jz 1 + 2ij = 4,j(x 1) + (y + 2)ij = 4, (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 16. Vªy tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z =x +yi, (x;y2R) l ÷íng trán (C ) câ t¥m I(1;2) v b¡n k½nh R = 4. Ta câjz + 1ij =j(x + 1) + (y 1)ij = p (x + 1) 2 + (y 1) 2 =MN vîi N(1; 1). Theo h¼nh v³ câ ( m = minP = minMN =NM 1 =jNIRj =j p 13 4j = 4 p 13 M = maxP = maxMN =NM 2 =jNI +Rj = p 13 + 4: Vªy M +m = 8. O x y M I N M 1 M 2 B i 9. Cho sè phùcz =x +yi (x;y2R) thäa m¢njz 1ij +jz 7 4ij = 3 p 5. Gåia,b l¦n l÷ñt l gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa P =jz 5 + 2ij. T¼m a +b. -Líi gi£i. GåiM(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùcz =x+yi (x;y2R). Trong m°t ph¯ng tåa ë x²t c¡c iºm A(1; 1), B(7; 4) v I(5;2). Ta câjz 1ij +jz 7 4ij = 3 p 5, MA +MB = 3 p 5 = AB. Suy ra tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z l o¤n th¯ng AB. Ta l¤i câjz 5 + 2ij =IM. Theo h¼nh v³, ta câ IMIH v IMIB. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng AB i qua A(1; 1), câ v²c-tì ch¿ ph÷ìng # AB = (6; 3) l x 1 6 = y 1 3 hayx2y+1 = 0. Tacâ 8 > < > : minjz 5 + 2ij =IH = j5 2 (2) + 1j p 5 = 2 p 5 maxjz 5 + 2ij =IB = È (7 5) 2 + (4 + 2) 2 = 2 p 10 . Vªy a +b = 2 p 10 + 2 p 5. O x y A B M H I B i 10. Cho hai sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢njz 1 + 5j = 5 v jz 2 + 1 3ij =jz 2 3 6ij. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =jz 1 z 2 j. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 106 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gåi M, N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z 1 v z 2 . Tacâjz 1 +5j = 5,j(x M +5)+y M ij = 5, (x M +5) 2 +y 2 M = 25. Vªy M n¬m tr¶n ÷íng trán (C ) t¥m I(5; 0) v b¡n k½nh R = 5. Ta l¤i câ jz 2 + 1 3ij =jz 2 3 6ij ,j(x N + 1) + (y N 3)ij =j(x N 3) + (y N 6)ij , 8x + 6y 35 = 0: Vªy N n¬m tr¶n ÷íng th¯ng (): 8x + 6y 35 = 0. Hìn núajz 1 z 2 j = p (x M x N ) 2 + (y M y N ) 2 =MN. Gåi (d) l ÷íng th¯ng i qua I v vuæng gâc vîi (), (d) ct () t¤iH, o¤n th¯ngIH ct (C ) t¤iM 1 . Khi â ºP =MN nhä nh§t th¼ MM 1 v NH. Suy ra minMN = M 1 H = d [I;()] R = j8 (5) + 6 0 35j p 8 2 + 6 2 5 = 5 2 . O x y M 1 N M H I () B i 11. GåiS l tªp hñp t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa tham sèm º tçn t¤i duy nh§t sè phùcz =x+yi (x;y2R) thäa m¢n zz = 1 v jz p 3 +ij =m. T¼m sè ph¦n tû cõa S. -Líi gi£i. zz = 1, (x +yi)(xyi) = 1,x 2 +y 2 = 1. Vªy tªp hñp iºmM(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùcz =x +yi, (x;y2R) l ÷íng trán (C ) câ t¥m O(0; 0) v b¡n k½nh R = 1. Ta câjz p 3 +ij =m, q x p 3 2 + (y + 1) 2 =m,MN =m vîi N( p 3;1). V¼ ÷íng trán (C ) nhªn ON l m tröc èi xùng n¶n º tçn t¤i duy nh§t sè phùc z hay tçn t¤i duy nh§t iºm M thäa m¢n MN =m th¼ M ph£i l giao iºm cõa ON v (C ). M ON ct (C ) t¤i 2 iºm N 1 , N 2 n¶n sè ph¦n tû cõa S l 2. O x y N M 0 N 2 M N 1 B i 12. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa P =jz 2 zj +jz 2 +zj vîi z l sè phùc thäa m¢njzj = 1. -Líi gi£i. jzj = 1,x 2 +y 2 = 1. Vªy tªp hñp iºm C(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z =x +yi, (x;y2R) l ÷íng trán (C ) câ t¥m O(0; 0), b¡n k½nh R = 1. Ta câ P =jz 2 zj +jz 2 +zj =jzjjz 1j +jzjjz + 1j =j(x 1) +yij +j(x + 1) +yij = È (x 1) 2 +y 2 + È (x + 1) 2 +y 2 =MA +MB vîi A(1; 0) v B(1; 0). D¹ th§y AB l ÷íng k½nh cõa ÷íng trán (C ) n¶n AB = 2. Khi â P =MA +MB p 2(MA 2 +MB 2 ) = p 2AB 2 = 2 p 2. ¯ng thùc x£y ra khi MA = MB hay M l iºm ch½nh giúa cung AB. Suy ra maxP = 2 p 2. O x y A M B B i 13. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢n iz + 2 1i + iz + 2 i 1 = 4. Gåi M v n l¦n l÷ñt l gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõajzj. T½nh Mn. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ iz + 2 1i + iz + 2 i 1 = 4 ,ji(x +yi) + 1 +ij +ji(x +yi) 1ij = 4 ,j(y + 1) + (x + 1)ij +j(y 1) + (x 1)ij = 4 , È (x + 1) 2 + (y 1) 2 + È (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 4 ,CA +CB = 4> 2 p 2 =AB: vîi C(x;y), A(1; 1) v B(1;1). Vªy tªp hñp iºm C(x;y) biºu di¹n c¡c sè phùc z = x +yi, (x;y2 R) l elip (E) nhªn A v B l m hai ti¶u iºm vîi ë d i tröc lîn b¬ng 4, ti¶u cü b¬ng 2 p 2. D¹ th§y O l trung iºm cõa AB n¶n O l t¥m èi xùng cõa elip (E). M jzj =OC n¶n OC lîn nh§t khi C n¬m tr¶n tröc lîn v nhä nh§t khi C n¬m tr¶n tröc nhä cõa elip (E). ) 8 > > > > < > > > > : M = 4 2 = 2 n = Ì 4 2 2 2 p 2 2 2 = p 2: Vªy Mn = 2 p 2. O x y A B C N¸u tªp hñp iºm biºu di¹nz l mët elip (E): x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (a>b> 0) th¼ ¨ maxjzj = maxOM =a minjzj = minOM =b . E CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1 NHẬNBIẾT C¥u 1. Cho hai sè thüc x, y tho£ m¢n ph÷ìng tr¼nh x + 2i = 3 + 4yi. Khi â gi¡ trà cõa x v y l A. x = 3i, y = 1 2 . B. x = 3, y = 2. C. x = 3, y = 1 2 . D. x = 3, y = 1 2 . -Líi gi£i. Ta câ x + 2i = 3 + 4yi, ¨ x = 3 2 = 4y , 8 < : x = 3 y = 1 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 2. Cho sè phùcz =2 +i. iºm n o d÷îi ¥y l iºm biºu di¹n cõa sè phùc w =iz tr¶n m°t ph¯ng tåa ë? A. M(1;2). B. P (2; 1). C. N(2; 1). D. Q(1; 2). -Líi gi£i. Vîi z =2 +i ta câ w =iz =i(2 +i) =1 2i) iºm biºu di¹n cõa w l M(1;2). Chån ¡p ¡n A C¥u 3. T¼m c¡c sè thüc a v b thäa m¢n 2a + (b +i)i = 1 + 2i vîi i l ìn và £o. A. a = 0, b = 2. B. a = 1 2 , b = 1. C. a = 0, b = 1. D. a = 1, b = 2. -Líi gi£i. Ta câ 2a + (b +i)i = 1 + 2i, 2a 1 +bi = 1 + 2i, ¨ 2a 1 = 1 b = 2 , ¨ a = 1 b = 2: Chån ¡p ¡n D C¥u 4. Sè n o trong c¡c sè phùc sau l sè thüc? A. p 3 + 2i p 3 2i . B. (3 + 2i) + (3 2i). C. (5 2i) + p 5 2i . D. (1 + 2i) + (1 + 2i). -Líi gi£i. Ta câ (3 + 2i) + (3 2i) = 3 + 3 = 6 n¶n (3 + 2i) + (3 2i) l sè thüc. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 108 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n B C¥u 5. Cho sè phùc z =1 + 2i;w = 2i. iºm n o trong h¼nh b¶n biºu di¹n sè phùc z +w? A. P. B. N. C. Q. D. M. x y O 1 1 1 1 M Q P N -Líi gi£i. V¼ z +w =1 + 2i + 2i = 1 +i n¶n iºm biºu di¹n l iºm P (1; 1). Chån ¡p ¡n A C¥u 6. Cho sè phùc z = 1 + 2i. T½nh têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc w = 2z +z. A. 3. B. 5. C. 1. D. 2. -Líi gi£i. Ta câ w = 2(1 + 2i) + (1 2i) = 3 + 2i. Suy ra têng cõa ph¦n thüc v ph¦n £o cõa w l 3 + 2 = 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 7. Cho sè phùc z = 1i. Biºu di¹n sè phùc z 2 l iºm A. M(2; 0). B. N(1; 2). C. P (2; 0). D. Q(0;2). -Líi gi£i. Ta câ z 2 = (1i) 2 = 1 2i +i 2 =2i. Do â, iºm biºu di¹n sè phùc z 2 l iºm Q(0;2). Chån ¡p ¡n D C¥u 8. Cho sè phùc z thäa m¢n (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i. Hi»u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z l A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. -Líi gi£i. Ta câ (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i , (3 + 2i)z = 4 +i (2i) 2 , (3 + 2i)z = 1 + 5i , z = 1 + 5i 3 + 2i , z = 1 +i: Suy ra ph¦n thüc l 1 v ph¦n £o l 1. Vªy hi»u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z l 0. Chån ¡p ¡n D C¥u 9. Cho c°p sè (x;y) thäa m¢n (2xy)i +y(1 2i) = 3 + 7i. Khi â biºu thùc P =x 2 xy nhªn gi¡ trà n o sau ¥y? A. 30. B. 40. C. 10. D. 20. -Líi gi£i. Ta câ (2xy)i +y(1 2i) = 3 + 7i,y + (2x 3y)i = 3 + 7i, ¨ y = 3 2x 3y = 7 , ¨ y = 3 x = 8: Vªy P =x 2 xy = 64 24 = 40: Chån ¡p ¡n B C¥u 10. Cho sè phùc z = (1 +i) 2 (1 + 2i). Sè phùc z câ ph¦n £o l A. 2i. B. 4. C. 2. D.4. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 +i) 2 (1 + 2i) =4 + 2i. Suy ra ph¦n £o cõa z l 2. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 109 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 11. Tªp hñp c¡c iºm trong m°t ph¯ng phùc biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n 2jzij =jzz + 2ij l A. ÷íng parabol câ ph÷ìng tr¼nh x = y 2 4 . B. ÷íng parabol câ ph÷ìng tr¼nh y = x 2 4 . C. ÷íng trán t¥m I(0; 1), b¡n k½nh R = 1. D. ÷íng trán t¥m I( p 3; 0), b¡n k½nh R = p 3. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; (x;y2R). Theo b i ra ta câ 2jx +yiij =jx +yi (xyi) + 2ij , 2jx + (y 1)ij = 2j(y + 1)ij , x 2 + (y 1) 2 = (y + 1) 2 , x 2 = 4y: Vªy tªp hñp c¡c iºm trong m°t ph¯ng phùc biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n l ÷íng parabol câ ph÷ìng tr¼nh y = x 2 4 . Chån ¡p ¡n B C¥u 12. Cho hai sè phùc z 1 = 3 7i v z 2 = 2 + 3i. T¼m sè phùc z =z 1 +z 2 . A. z = 1 10i. B. z = 5 4i. C. z = 3 10i. D. z = 3 + 3i. -Líi gi£i. Ta câ z =z 1 +z 2 = 3 7i + 2 + 3i = 5 4i. Chån ¡p ¡n B C¥u 13. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z =i(3i + 1). A. z = 3 +i. B. z =3 +i. C. z = 3i. D. z =3i. -Líi gi£i. Ta câ z =i(3i + 1) = 3i 2 +i =3 +i)z =3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 14. Cho sè phùc z thäa z + 2 z = 2 + 3i, th¼jzj b¬ng A. p 29 3 . B. 85 3 . C. 29 3 . D. p 85 3 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi, a;b2R, suy ra z =abi. Ta câ z + 2 z = 2 + 3i,a +bi + 2(abi) = 2 + 3i, ¨ 3a = 2 b = 3 , 8 < : a = 2 3 b =3 . )jzj = p 85 3 . Chån ¡p ¡n D C¥u 15. Cho sè phùc z = 3 2i. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc w = (1 + 2i)z. A. 4. B. 7. C. 4. D. 4i. -Líi gi£i. Ta câ w = (1 + 2i)(3 2i) = 7 + 4i. Suy ra ph¦n £o cõa w b¬ng 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 16. T¼m sè z thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh z + 2z = 2 4i. A. z = 2 3 4i. B. z = 2 3 4i. C. z = 2 3 + 4i. D. z = 2 3 + 4i. -Líi gi£i. °t z =a +bi; (a;b2R). Khi â, ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng a +bi + 2(abi) = 2 4i, 3abi = 2 4i, 8 < : a = 2 3 b = 4: Vªy z = 2 3 + 4i. Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 17. Cho hai sè phùc z 1 = 2 + 3i;z 2 = 1 +i. T½nhjz 1 + 3z 2 j. A.jz 1 + 3z 2 j = p 11. B. jz 1 + 3z 2 j = 11. C. jz 1 + 3z 2 j = p 61. D.jz 1 + 3z 2 j = 61. -Líi gi£i. Ta câ z 1 + 3z 2 = (2 + 3i) + 3(1 +i) = 5 + 6i)jz 1 + 3z 2 j = p 5 2 + 6 2 = p 61. Chån ¡p ¡n C C¥u 18. Cho sè phùc z kh¡c 0 l sè thu¦n £o. M»nh · n o d÷îi ¥y óng? A. z l sè thüc. B. z =z. C. z +z = 0. D. Ph¦n £o cõa z b¬ng 0. -Líi gi£i. Ta câ z =bi, vîi b6= 0, suy ra z =bi. Do â z +z = 0. Chån ¡p ¡n C C¥u 19. Cho z 1 ;z 2 l hai sè phùc tòy þ. Kh¯ng ành n o d÷îi ¥y sai? A. zz =jzj 2 . B. jz 1 +z 2 j =jz 1 j +jz 2 j. C. z 1 +z 2 =z 1 +z 2 . D.jz 1 z 2 j =jz 1 jjz 2 j. -Líi gi£i. Kh¯ng ànhjz 1 +z 2 j =jz 1 j +jz 2 j sai v¼jz 1 +z 2 jjz 1 j +jz 2 j. Chån ¡p ¡n B C¥u 20. Cho sè phùcz = 1 2i. iºm n o d÷îi ¥y l iºm biºu di¹n cõa sè phùc w =iz tr¶n m°t ph¯ng tåa ë? A. P (2; 1). B. Q(1; 2). C. M(1;2). D. N(2; 1). -Líi gi£i. Ta câ w =iz =i(1 2i) =i 2i 2 = 2 +i. Do â, iºm N(2; 1) l iºm biºu di¹n sè phùc w =iz tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. Chån ¡p ¡n D C¥u 21. Cho sè phùc z = 2 +i. T½nh mæ-un cõa sè phùc w =z 2 1. A. 2 p 5. B. p 5. C. 5 p 5. D. 20. -Líi gi£i. Ta câ w =z 2 1 = (2 +i) 2 1 = 4 + 4i +i 2 1 = 2 + 4i. Do âjwj = p 2 2 + 4 2 = 2 p 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 22. Cho sè phùc z = 3 + 2i. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc2z. A. Ph¦n thüc b¬ng6 v ph¦n £o b¬ng4i. B. Ph¦n thüc b¬ng6 v ph¦n £o b¬ng4. C. Ph¦n thüc b¬ng6 v ph¦n £o b¬ng 4i. D. Ph¦n thüc b¬ng6 v ph¦n £o b¬ng 4. -Líi gi£i. Ta câ z = 3 + 2i)z = 3 2i, do â2z =6 + 4i. Vªy sè phùc2z câ ph¦n thüc b¬ng6 v ph¦n £o b¬ng 4. Chån ¡p ¡n D C¥u 23. Cho sè phùc z 1 = 1 +i v z 2 = 2 3i. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc w =z 1 +z 2 . A. w = 3 2i. B. w = 1 4i. C. w =1 + 4i. D. w = 3 + 2i. -Líi gi£i. Ta câ w =z 1 +z 2 = 3 2i. Khi â w = 3 + 2i. Chån ¡p ¡n D C¥u 24. iºm n o sau ¥y biºu di¹n sè phùc z =i(7 4i) trong m°t ph¯ng tåa ë? A. P (4; 7). B. M(4; 7). C. Q(4;7). D. N(4;7). -Líi gi£i. Ta câ z = 7i 4i 2 = 4 + 7i. Do â z ÷ñc biºu di¹n bði M(4; 7). Chån ¡p ¡n B C¥u 25. Sè n o trong c¡c sè phùc sau l sè thüc? A. (1 + 2i) + (1 + 2i). B. (3 + 2i) + (3 2i). C. (5 + 2i) ( p 5 2i). D. ( p 3 2i) ( p 3 + 2i). -Líi gi£i. Sè phùc câ ph¦n £o b¬ng 0 l sè thüc. Do â (3 + 2i) + (3 2i) = 6 l sè thüc. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 26. Cho hai sè phùc z 1 = 2 + 3i v z 2 =3 5i. T½nh têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc w =z 1 +z 2 . A. 3. B. 3. C. 0. D.1 2i. -Líi gi£i. Ta câ w =1 2i) têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc w l 3. Chån ¡p ¡n B C¥u 27. Cho sè phùc z = 2 + 3i. T½nh z z . A. 5 + 12i 13 . B. 5 6i 11 . C. 5 12i 13 . D. 5 12i 13 . -Líi gi£i. Ta câ z z = zz zz = z 2 jzj 2 = (2 + 3i) 2 2 2 + 3 2 = 5 + 12i 13 . Chån ¡p ¡n A C¥u 28. Cho hai sè phùc z 1 = 2 2i;z 2 =3 + 3i. Khi â sè phùc z 1 z 2 l A.5 + 5i. B. 5i. C. 5 5i. D.1 +i. -Líi gi£i. Ta câ z 1 z 2 = (2 2i) (3 + 3i) = 5 5i. Chån ¡p ¡n C C¥u 29. Têng 2 sè phùc 1 +i v p 3 +i b¬ng A. 1 + p 3 + 2i. B. 2i. C. 1 + p 3 +i. D. 1 + p 3. -Líi gi£i. Ta câ 1 +i + p 3 +i = 1 + p 3 + 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 30. Cho hai sè phùc z = 5 + 2i v z 0 = 1i. T½nh mæ-un cõa sè phùc w =zz 0 . A. 5. B. 3 p 5. C. p 17. D. p 37. -Líi gi£i. Ta câjwj =jzz 0 j =j5 + 2i (1i)j =j4 + 3ij = p 4 2 + 3 2 = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 31. Cho i l ìn và £o. Gi¡ trà cõa biºu thùc z = (1 +i) 2 l A. 2i. B. i. C. 2i. D. i. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 +i) 2 = 1 + 2i +i 2 = 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 32. Cho sè phùc z = 2 3i. Sè phùc w =iz +z l A. w =1 +i. B. w = 5i. C. w =1 + 5i. D. w =1i. -Líi gi£i. w =i (2 + 3i) + 2 3i =1i. Chån ¡p ¡n D C¥u 33. Cho sè phùc z = 1 1 3 i. T½nh sè phùc w =iz + 3z. A. w = 8 3 . B. w = 8 3 +i. C. w = 10 3 +i. D. w = 10 3 . -Líi gi£i. Ta câ w =i 1 + 1 3 i + 3 1 1 3 i = 3 1 3 +i (1 1) = 8 3 : Chån ¡p ¡n A C¥u 34. Cho sè phùc z ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(2;3). T¼m tåa ë iºm M 0 biºu di¹n cho sè phùc iz. A. M 0 (3; 2). B. M 0 (3;2). C. M 0 (3;2). D. M 0 (3; 2). -Líi gi£i. Ta câ z = 2 3i,iz = 3 + 2i: Vªy iºm biºu di¹n cho sè phùc iz l iºm M 0 (3; 2): Th.s Nguy¹n Ch½n Em 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n D C¥u 35. Cho sè phùc z =a +bi, vîi a;b l c¡c sè thüc b§t ký. M»nh · n o sau ¥y óng? A. zz khæng ph£i l sè thüc. B. Ph¦n £o cõa z l bi. C. Mæ-un cõa z 2 b¬ng a 2 +b 2 . D. Sè z v z câ mæ-un kh¡c nhau. -Líi gi£i. Ta câ: z 2 = (jzj) 2 = p a 2 +b 2 2 =a 2 +b 2 . Chån ¡p ¡n C C¥u 36. Cho c¡c sè phùc z 1 = 2 + 3i, z 2 = 4 + 5i. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc w = 2(z 1 +z 2 ) l A. w = 8 + 10i. B. w = 12 16i. C. w = 12 + 8i. D. w = 28i. -Líi gi£i. Ta câ w = 2(6 + 8i) = 12 + 16i)w = 12 16i. Chån ¡p ¡n B C¥u 37. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 +z)(1 +i) 5 +i = 0. Sè phùc w = 1 +z b¬ng A.1 + 3i. B. 1 3i. C. 2 + 3i. D. 2 3i. -Líi gi£i. Ta câ (1 +z)(1 +i) 5 +i = 0, 1 +z = 5i 1 +i , 1 +z = 2 3i,z = 1 3i. Chån ¡p ¡n D C¥u 38. Cho hai sè phùc z = 3 5i v w =1 + 2i: iºm biºu di¹n sè phùc z 0 = zwz trong m°t ph¯ng Oxy câ tåa ë l A. (4;6). B. (4; 6). C. (4;6). D. (6;4). -Líi gi£i. Ta câ z 0 =zwz = 3 + 5i (1 + 2i) (3 5i) = 3 + 5i (7 + 11i) =4 6i: Chån ¡p ¡n A C¥u 39. Cho sè phùc z = 2 3i. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc w = (1 +i)z (2i)z. A.5. B. 9. C. 5i. D.9i. -Líi gi£i. w = (1 +i)z (2i)z = (1 +i)(2 3i) (2i)(2 + 3i) =2 5i. Ph¦n £o cõa sè phùc w l 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 40. Cho hai sè phùc z 1 = 2 +i v z 2 = 1i. T¼m sè phùc z =z 1 + 2z 2 . A. 1 +i. B. 1. C. 4i. D. 2i. -Líi gi£i. z =z 1 + 2z 2 = 2 +i + 2(1i) = 4i: Chån ¡p ¡n C C¥u 41. Cho z 1 = 2 + 3i;z 2 = 4 + 5i: T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc w bi¸t w = 2 (z 1 +z 2 ). A. w = 12 16i. B. w = 12 + 16i. C. w =14 + 44i. D. w =14 44i. -Líi gi£i. Ta câ w = 2 (2 + 3i + 4 + 5i) = 12 + 16i. Vªy w = 12 16i. Chån ¡p ¡n A C¥u 42. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z = (a +bi)(1 2i) vîi a;b2R. A. 2a +b. B. 2ab. C. a + 2b. D. b 2a. -Líi gi£i. z = (a +bi)(1 2i) = (a + 2b) + (b 2a)i. Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 113 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 43. Thu gån sè phùc z =i + (2 4i) (3 2i), ta ÷ñc: A. z =1i. B. z = 1i. C. z =1 2i. D. z = 1 +i. -Líi gi£i. Ta câ z =i + (2 4i) (3 2i) =i + 2 4i 3 + 2i =1i. Chån ¡p ¡n A C¥u 44. Cho sè phùc z = 2 +bi. T½nh z z. A. z z = p 4 +b 2 . B. z z = 4b 2 . C. z z =b. D. z z = 4 +b 2 . -Líi gi£i. Ta câ z z = (2 +bi)(2bi) = 4b 2 i 2 = 4 +b 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 45. Chox;y l c¡c sè thüc thäa m¢n (2x 1) + (y + 1)i = 1 + 2i. Gi¡ trà cõa biºu thùcx 2 + 2xy +y 2 b¬ng A. 2. B. 0. C. 1. D. 4. -Líi gi£i. Tø (2x 1) + (y + 1)i = 1 + 2i ta câ ¨ 2x 1 = 1 y + 1 = 2 , ¨ x = 1 y = 1: Vªy x 2 + 2xy +y 2 = 4. Chån ¡p ¡n D C¥u 46. Vîi c¡c sè phùc z thäa m¢njz 2 +ij = 4, tªp hñp iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán. T¼m b¡n k½nh R cõa ÷íng trán â. A. R = 8. B. R = 16. C. R = 2. D. R = 4. -Líi gi£i. Vi¸t z d÷îi d¤ng z =a +bi; (a;b2R). Khi â, ta câ: jz 2 +ij = 4,j(a 2) + (b + 1)ij = 4, (a 2) 2 + (b + 1) 2 = 16: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z ¢ cho l ÷íng trán t¥m I(2;1), b¡n k½nh R = 4. Chån ¡p ¡n D C¥u 47. Cho sè phùc z 1 = 1 + 2i;z 2 = 3i. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc w =z 1 +z 2 . A. w = 4i. B. w = 4 +i. C. w =4 +i. D. w =4i. -Líi gi£i. Ta câ w =z 1 +z 2 = (1 + 3) + (2 1)i = 4 +i)w = 4i. Chån ¡p ¡n A C¥u 48. Cho z l mët sè thu¦n £o kh¡c 0. M»nh · n o sau ¥y óng? A. z l sè thüc. B. Ph¦n £o cõa z b¬ng 0. C. z =z. D. z +z = 0. -Líi gi£i. V¼ z l sè thu¦n £o kh¡c 0 n¶n z =bi;b2R;b6= 0 v z =bi. Suy ra z +z = 0. Chån ¡p ¡n D C¥u 49. Sè phùc z +z l A. Sè thüc. B. Sè £o. C. 0. D. 2. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a, b2R)z =abi. Vªy z +z = 2a l sè thüc. Chån ¡p ¡n A C¥u 50. T½nh mæ-un cõa sè phùc nghàch £o cõa sè phùc z = (1 2i) 2 . A. 1 p 5 . B. 1 25 . C. p 5. D. 1 5 . -Líi gi£i. Gåi ! l sè phùc nghàch £o cõa sè phùc z = (1 2i) 2 )! = 1 z = 3 + 4i 25 . Vªyj!j = 1 5 . Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 114 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 51. Cho sè phùc z thäa (1 +i)z = 3i. T¼m ph¦n £o cõa z. A.2i. B. 2i. C. 2. D.2. -Líi gi£i. Ta câ z = 3i 1 +i = 1 2i, do â ph¦n £o cõa z b¬ng2. Chån ¡p ¡n D C¥u 52. T¼m ph¦n thüc a v ph¦n £o b cõa sè phùc z = (2 + 3i)(9 10i). A. a = 48 v b = 7. B. a =48 v b = 7. C. a =48 v b =7. D. a = 48 v b =7. -Líi gi£i. Ta câ z = (2 + 3i)(9 10i) = 48 7i n¶n a = 48 v b =7. Chån ¡p ¡n D C¥u 53. T¼m mæ-un cõa sè phùc z = (6 + 8i) 2 . A.jzj = 4 p 527. B. jzj = 2 p 7. C. jzj = 100. D.jzj = 10. -Líi gi£i. Ta câ z = (6 + 8i) 2 =28 96i)jzj = p (28) 2 + (96) 2 = 100. Chån ¡p ¡n C C¥u 54. Cho sè phùc z = 2 + 5i. T¼m sè phùc w =iz +z. A. w =3 3i. B. w = 3 + 7i. C. w =7 7i. D. w = 7 3i. -Líi gi£i. Ta câ w =i (2 + 5i) + (2 5i) =3 3i. Chån ¡p ¡n A C¥u 55. iºm A trong h¼nh v³ biºu di¹n cho sè phùc z. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z. A. Ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2i. B. Ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2. C. Ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2. D. Ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2i. x y O A 3 2 -Líi gi£i. Ta câ tåa ë iºm A(3; 2), suy ra sè phùc z = 3 + 2i. Vªy ph¦n thüc cõa z l 3 v ph¦n £o cõa z l 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 56. Ph¦n thüc cõa sè phùc z = (a +i)(1i) l A.a + 1. B. a 1. C. a + 1. D. a 2 + 1. -Líi gi£i. z = (a +i)(1i) =a + 1 + (1a)i. Ph¦n thüc cõa z l a + 1. Chån ¡p ¡n C C¥u 57. Sè phùc z = (1 + 2i)(2 3i) b¬ng A. 8i. B. 8. C. 8 +i. D.4 +i. -Líi gi£i. Câ z = (1 + 2i)(2 3i) = 2 + 4i 3i 6i 2 = 8 +i. Chån ¡p ¡n C C¥u 58. Cho z 1 = 1 + 2i, z 2 = 2 3i. Khi â w =z 1 2z 2 b¬ng A. w = 5 + 8i. B. w =3 + 8i. C. w = 3i. D. w =3 4i. -Líi gi£i. w =z 1 2z 2 = (1 + 2i) 2(2 3i) =3 + 8i: Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 59. Cho sè phùc z =a +bi. Khi â ph¦n £o cõa sè phùc z 2 b¬ng A. b. B. a. C. 2ab. D. a 2 b 2 . -Líi gi£i. Ta câ z 2 = (a +bi) 2 =a 2 b 2 + 2abi: Do â ph¦n £o cõa z 2 l 2ab. Chån ¡p ¡n C C¥u 60. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = (3 + 2i)(3 2i). A. z = 13. B. z =i. C. z = 0. D. z =13. -Líi gi£i. Ta câ z = (3 + 2i)(3 2i) = 13)z = 13. Chån ¡p ¡n A C¥u 61. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 1 3i + (1i) 2 . A. z =1 5i. B. z = 1 5i. C. z = 1 + 5i. D. z = 5i. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 3i + 1 2i +i 2 = 1 5i. Suy ra z = 1 + 5i. Chån ¡p ¡n C C¥u 62. T¼m sè phùc w =z 1 2z 2 , bi¸t r¬ng z 1 = 1 + 2i v z 2 = 2 3i. A. w = 3i. B. w = 5 + 8i. C. w =3 + 8i. D. w =3 4i. -Líi gi£i. Ta câ: w =z 1 2z 2 = 1 + 2i 2(2 3i) =3 + 8i. Chån ¡p ¡n C C¥u 63. Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = (1 +i) 2 (3 + 3i) l A. p 10. B. 4. C. 4. D.3i. -Líi gi£i. Ta câ z = 2i 3 3i =3i n¶n têng ph¦n thüc v ph¦n £o b¬ng4. Chån ¡p ¡n B C¥u 64. Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh 2z 2 + 3z + 4 = 0 tr¶n tªp sè phùc l A. z 1 = 3 + p 23i 4 ;z 2 = 3 p 23i 4 . B. z 1 = 3 + p 23i 4 ;z 2 = 3 p 23i 4 . C. z 1 = 3 + p 23i 4 ;z 2 = 3 p 23i 4 . D. z 1 = 3 + p 23i 4 ;z 2 = 3 p 23i 4 . -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m l z 1 = 3 + p 23i 4 ;z 2 = 3 p 23i 4 . Chån ¡p ¡n C C¥u 65. Cho hai sè phùc z 1 = 2 + 3i, z 2 =4 5i. T½nh z =z 1 +z 2 . A. z =2 2i. B. z =2 + 2i. C. z = 2 + 2i. D. z = 2 2i. -Líi gi£i. z =z 1 +z 2 = 2 + 3i 4 5i =2 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 66. Cho sè phùc z =3 + 4i. Mæ-un cõa sè phùc z l A. 4. B. 7. C. 3. D. 5. -Líi gi£i. Ta câjzj = p (3) 2 + 4 2 = 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 67. Cho hai sè phùc z 1 = 2 + 3i v z 2 =4 5i. T¼m sè phùc z =z 1 +z 2 . A. z = 2 + 2i. B. z =2 2i. C. z = 2 2i. D. z =2 + 2i. -Líi gi£i. Ta câ z 1 +z 2 = (2 + 3i) + (4 5i) =2 2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 68. Ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = (1 + 2i)i l¦n l÷ñt l A. 1 v 2. B. 2 v 1. C. 1 v 2. D. 2 v 1. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 + 2i)i =2 +i. Do â ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z l¦n l÷ñt l 2 v 1. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 116 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 69. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z, bi¸t: 4z + (2 + 3i)(1 2i) = 4 + 3i A. z =1 5 4 i. B. z = 1 5 4 i. C. z =1 + 5 4 i. D. z =1i. -Líi gi£i. 4z + (2 + 3i)(1 2i) = 4 + 3i, 4z + 8i = 4 + 3i, 4z =4 + 4i,z =1 +i. Vªy z =1i. Chån ¡p ¡n D C¥u 70. T¼m c¡c sè thüc a v b thäa m¢n a + (bi)i = 1 + 3i vîi i l ìn và £o. A. a =2;b = 3. B. a = 1;b = 3. C. a = 2;b = 4. D. a = 0;b = 3. -Líi gi£i. Ta câ: a + (bi)i = 1 + 3i,a + 1 +bi = 1 + 3i, ¨ a + 1 = 1 b = 3 , ¨ a = 0 b = 3: Chån ¡p ¡n D 2 ĐÁPÁN 1. D 2. A 3. D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. D 9. B 10. C 11. B 12. B 13. D 14. D 15. A 16. D 17. C 18. C 19. B 20. D 21. A 22. D 23. D 24. B 25. B 26. B 27. A 28. C 29. A 30. A 31. A 32. D 33. A 34. D 35. C 36. B 37. D 38. A 39. A 40. C 41. A 42. D 43. A 44. D 45. D 46. D 47. A 48. D 49. A 50. D 51. D 52. D 53. C 54. A 55. B 56. C 57. C 58. B 59. C 60. A 61. C 62. C 63. B 64. C 65. A 66. D 67. B 68. B 69. D 70. D 3 THÔNGHIỂU C¥u 1. X²t sè phùcz thäa m¢n (z + 2i) (z + 2) l sè thu¦n £o. Bi¸t r¬ng tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n cõa z l mët ÷íng trán, t¥m ÷íng trán â câ tåa ë l A. (1;1). B. (1; 1). C. (1; 1). D. (1;1). -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi; (a;b2R), ta câ (z + 2i)(z + 2) = [a + (b + 2)i][(a + 2)bi] = [a(a + 2) +b(b + 2)] + [(a + 2)(b + 2)ab]i: (z + 2i)(z + 2) l sè thu¦n £o,a(a + 2) +b(b + 2) = 0, (a + 1) 2 + (b + 1) 2 = 2. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa z l mët ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 2 câ t¥m I(1;1). Chån ¡p ¡n D C¥u 2. Trong m°t ph¯ng phùc, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n zz = 1 l A. mët ÷íng th¯ng. B. mët ÷íng trán. C. mët elip. D. mët iºm. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (vîi x;y2R) ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(x;y). Ta câ zz = 1,x 2 +y 2 = 1. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z l ÷íng trán câ t¥m O(0; 0) v b¡n k½nh R = 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 3. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n 2jz 1j =jz + z + 2j tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët A. ÷íng th¯ng. B. ÷íng trán. C. parabol. D. hypebol. -Líi gi£i. Gåi x =x +yi; x;y2R. Khi â 2jz 1j =jz + z + 2j , 2j(x 1) +yij =j2x + 2j , È (x 1) 2 +y 2 = È (x+) 2 , y 2 = 4x: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l mët parabol. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 4. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj = p 2 v z 2 l sè thu¦n £o? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a;b2R. Ta câ +jzj = p a 2 +b 2 + z 2 =a 2 b 2 + 2abi Theo gi£ thi¸t ta câ § a 2 +b 2 = 2 a 2 b 2 = 0 , § a 2 +b 2 = 2 a =b: H» n y câ 4 nghi»m ph¥n bi»t. Chån ¡p ¡n A C¥u 5. T¼m sè phùc w = 3z + z bi¸t z = 1 + 2i. A. w = 4 + 4i. B. w = 4 4i. C. w = 2 4i. D. w = 2 + 4i. -Líi gi£i. Ta câ w = 3z + z = 3(1 + 2i) + 1 2i = 3 + 6i + 1 2i = 4 + 4i. Chån ¡p ¡n A C¥u 6. Tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz 1j =jz + 2ij l A. ÷íng trán. B. ÷íng th¯ng. C. Parabol. D. Hypebol. -Líi gi£i. Gi£ sû sè phùc z =x +yi, (x;y2R) câ iºm biºu di¹n M(x;y). Khi â ta câ jz 1j =jz + 2ij, È (x 1) 2 +y 2 = È x 2 + (y + 2) 2 , 2x + 4y + 3 = 0: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng 2x + 4y + 3 = 0. Chån ¡p ¡n B C¥u 7. T¼m sè phùc 3z +z bi¸t z = 1 + 2i. A. 3z +z = 4 + 4i. B. 3z +z = 4 4i. C. 3z +z = 2 4i. D. 3z +z = 2 + 4i. -Líi gi£i. z = 1 + 2i)z = 1 2i) 3z +z = 3(1 + 2i) + 1 2i = 4 + 4i. Chån ¡p ¡n A C¥u 8. Cho sè phùc z =a +bi, (a;b2R) thäa m¢n z (2 + 3i)z = 1 9i. Gi¡ trà cõa ab + 1 b¬ng A.1. B. 0. C. 1. D.2. -Líi gi£i. Ta câ z =a +bi, (a;b2R))z =abi. N¶n a +bi (2 + 3i)(abi) = 1 9i, ¨ a 3b = 1 3a 3b = 9 , ¨ a = 2 b =1: Vªy ab + 1 =1. Chån ¡p ¡n A C¥u 9. T½nh mæ-un cõa sè phùc z thäa m¢n z(2 i) + 13i = 1. A.jzj = p 34. B. jzj = 34. C. jzj = 5 p 34 3 . D.jzj = p 34 3 . -Líi gi£i. Ta câ z(2 i) + 13i = 1,z = 1 13i 2 i ,z = (1 13i)(2 + i) (2 i)(2 + i) ,z = 3 5i. Vªyjzj = p 3 2 + (5) 2 = p 34: Chån ¡p ¡n A C¥u 10. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 + 3i)z (1 + 2i) z = 7i. T¼m mæ-un cõa z. A.jzj = p 5. B. jzj = 1. C. jzj = p 3. D.jzj = 2. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi vîi x; y2R. Ta câ (2 + 3i)z (1 + 2i) z = 7i , (2 + 3i)(x +yi) (1 + 2i)(xyi) = 7i , (x 5y) + (x + 3y)i = 7i Th.s Nguy¹n Ch½n Em 118 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 , ¨ x 5y = 7 x + 3y =1 , ¨ x = 2 y =1: Nh÷ vªy z = 2i)jzj = p 2 2 + (1) 2 = p 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 11. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 + 3i)z (1 + 2i)z = 7i. T¼m mæ-un cõa z. A.jzj = p 5. B. jzj = 1. C. jzj = p 3. D.jzj = 2. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi; (a;b2R) l sè phùc thäa m¢n b i to¡n. Khi â, ta câ (2 + 3i)(a +bi) (1 + 2i)(abi) = 7i , 2a 3b + (3a + 2b)i [a + 2b + (2ab)i] = 7i , a 5b + (a + 3b)i = 7i , ¨ a 5b = 7 a + 3b =1 , ¨ a = 2 b =1: Vªyjzj = p 2 2 + 1 2 = p 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 12. Cho sè phùc z = 2 3i. Mæ-un cõa sè phùc w = 2z + (1 +i)z b¬ng A. 4. B. 2. C. p 10. D. 2 p 2. -Líi gi£i. Ta câ w = 2(2 3i) + (1 +i)(2 + 3i) = 4 6i + 2 + 3i + 2i + 3i 2 = 3i. Vªyjwj = p 3 2 + (1) 2 = p 10. Chån ¡p ¡n C C¥u 13. Cho sè phùc z = 2 3i. Mæ-un cõa sè phùc w =z +z 2 b¬ng A. 3 p 10. B. p 206. C. p 134. D. 3 p 2. -Líi gi£i. Ta câ w = 2 + 3i + (2 3i) 2 = 2 + 3i + 4 12i + 9i 2 =3 9i. Vªyjwj = p 3 2 + (9) 2 = 3 p 10. Chån ¡p ¡n A C¥u 14. Cho hai sè thüc x, y thäa m¢n x(3 + 2i) +y(1 4i) = 1 + 24i. Gi¡ trà cõa x +y b¬ng A.3. B. 4. C. 2. D. 3. -Líi gi£i. Ta câ x(3 + 2i) +y(1 4i) = 1 + 24i , 3x +y + (2x 4y)i = 1 + 24i , ¨ 3x +y = 1 2x 4y = 24 , ¨ x = 2 y =5: Vªy x +y =3. Chån ¡p ¡n A C¥u 15. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢njz 1 +ij = 2 l ÷íng trán câ t¥m v b¡n k½nh l¦n l÷ñt l A. I(1; 1), R = 4. B. I(1; 1), R = 2. C. I(1;1), R = 2. D. I(1;1), R = 4. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, (x;y2R) l sè phùc thäa m¢n b i to¡n. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câjz 1 +ij = 2,j(x 1) + (y + 1)ij = 2, p (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 2, (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 4. Vªy M thuëc ÷íng trán t¥m I(1;1), b¡n k½nh R = 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 16. T¼m tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢njz + 2j =jzij l mët ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh A. 4x + 2y + 3 = 0. B. 2x + 4y + 13 = 0. C. 4x 2y + 3 = 0. D. 2x 4y + 13 = 0. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, (x;y2R) l sè phùc thäa m¢n b i to¡n. Khi â M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z trong m°t ph¯ng phùc. Ta câ jz + 2j =jzij , jx + 2 +yij =jx + (y 1)ij , È (x + 2) 2 +y 2 = È x 2 + (y 1) 2 , x 2 + 4x + 4 +y 2 =x 2 +y 2 2y + 1 , 4x + 2y + 3 = 0: () ¯ng thùc () chùng tä M thuëc ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 4x + 2y + 3 = 0. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n b i to¡n l ÷íng th¯ng 4x + 2y + 3 = 0. Chån ¡p ¡n A C¥u 17. T¼m tªp hñp iºm biºu di¹n cõa sè phùc z thäa m¢njzij =j(1 +i)zj. A. ÷íng trán t¥m I(0; 1), b¡n k½nh R = p 2. B. ÷íng trán t¥m I(1; 0), b¡n k½nh R = p 2. C. ÷íng trán t¥m I(1; 0), b¡n k½nh R = p 2. D. ÷íng trán t¥m I(0;1), b¡n k½nh R = p 2. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi) (1 +i)z = (ab) + (a +b)i. Vªy jzij =j(1 +i)zj , ja + (b 1)ij =j(ab) + (a +b)ij , a 2 + (b 1) 2 = (ab) 2 + (a +b) 2 , a 2 +b 2 + 2b 1 = 0: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(0;1), b¡n k½nh R = p 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 18. T¼m mæ un cõa sè phùc z bi¸t (2z 1)(1 +i) + (z + 1)(1i) = 2 2i. A. 1 9 . B. p 2 3 . C. 2 9 . D. 1 3 . -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a;b2R. Khi â z =abi v (2z 1)(1 +i) + (z + 1)(1i) = 2 2i , (2z 1)(1 +i) + (z + 1)(1i) 2(1i) = 0 , (2z 1)(1 +i) + (z 1)(1i) = 0 , (2z 1)(1 +i) 2 + (z 1)(1i)(1 +i) = 0 , (2a + 2bi 1) 2i + 2(abi 1) = 0 , a 2b 1 + (2ab 1)i = 0 , ¨ a 2b 1 = 0 2ab 1 = 0 , 8 > < > : a = 1 3 b = 1 3 ) jzj = p a 2 +b 2 = p 2 3 : Chån ¡p ¡n B C¥u 19. Cho sè phùc z =a +bi vîi a;b2R thäa m¢n z + 1 + 3ijzji = 0. T½nh S = 2a + 3b. A. S =5. B. S = 5. C. S =6. D. S = 6. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t ta câ (a + 1) + b + 3 p a 2 +b 2 i = 0, ( a + 1 = 0 b + 3 p a 2 +b 2 = 0 , 8 > < > : a =1 b3 (b + 3) 2 =b 2 + 1 , 8 < : a =1 b = 4 3 : Vªy S = 2a + 3b =2 4 =6. Chån ¡p ¡n C C¥u 20. Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz + 2ij = 4 l ÷íng trán câ t¥m I, b¡n k½nh R. X¡c ành tåa ë iºm I v b¡n k½nh R. A. I(2;1), R = 2. B. I(2;1), R = 4. C. I(2;1), R = 2. D. I(2;1), R = 4. -Líi gi£i. Ta câjz + 2ij = z + 2i = z + 2 +i =jz (2i)j = 4. Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(2;1), b¡n k½nh R = 4. Chån ¡p ¡n B C¥u 21. Cho sè phùc z6= 1 thäa m¢n z 3 = 1. T½nh (1z +z 2018 )(1 +zz 2018 ). A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. -Líi gi£i. Tø z 3 = 1 suy ra z 2018 = (z 3 ) 672 z 2 =z 2 . V¼ z 2 +z + 1 = 0 n¶n (1z +z 2018 )(1 +zz 2018 ) = (1z +z 2 )(1 +zz 2 ) = 1 (zz 2 ) 2 = [1 (zz 2 )][1 + (zz 2 )] = 4 (1 +z +z 2 ) = 4: Chån ¡p ¡n C C¥u 22. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj = p 2 v z 2 l sè thu¦n £o? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a;b2R. Ta câjzj = p a 2 +b 2 v z 2 =a 2 b 2 + 2abi. Theo gi£ thi¸t ta câ § a 2 +b 2 = 2 a 2 b 2 = 0 , § a 2 +b 2 = 2 a =b: H» n y câ 4 nghi»m ph¥n bi»t (1;1), (1; 1), (1; 1), (1;1). Chån ¡p ¡n A C¥u 23. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 3i)z + (4 +i)z =(1 + 3i) 2 . X¡c ành ph¦n thüc v ph¦n £o cõa z. A. Ph¦n thüc l 2; ph¦n £o l 3. B. Ph¦n thüc l 3; ph¦n £o l 5i. C. Ph¦n thüc l 2; ph¦n £o l 5i. D. Ph¦n thüc l 2; ph¦n £o l 5. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (a;b2R))z =abi, ta câ (2 3i)z + (4 +i)z =(1 + 3i) 2 , (2 3i)(a +bi) + (4 +i)(abi) = 8 6i, 3a + 2b (a +b)i = 4 3i. Do â ¨ 3a + 2b = 4 a +b = 3 , ¨ a =2 b = 5: Vªy z =2 + 5i. Chån ¡p ¡n D C¥u 24. Trong m°t ph¯ngOxy, t¼m tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcz thäa m¢njz(23i)j 2. A. Mët ÷íng th¯ng. B. Mët h¼nh trán. C. Mët ÷íng trán. D. Mët ÷íng Elip. -Líi gi£i. °t z =x +yi (x; y2R). Khi â,jz (2 3i)j 2,jx +yi (2 3i)j 2,j(x 2) + (y + 3)ij 2, (x 2) 2 + (y + 3) 2 4. Suy ra tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z n¬m b¶n trong h¼nh trán t¥m I(2;3), b¡n k½nh R = 2. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 25. Cho sè phùc z =a +bi; (a;b2Z) thäa m¢n (2 + 3i)jzj = (4 + 3i)z 15(1i). T½nh ab. A.1. B. 3. C. 5. D. 7. -Líi gi£i. Ta th§y (2 + 3i)jzj = (4 + 3i)z 15(1i) , 2 p a 2 +b 2 + 3 p a 2 +b 2 i = (4a 3b 15) + (3a + 4b + 15)i , ( 2 p a 2 +b 2 = 4a 3b 15 3 p a 2 +b 2 = 3a + 4b + 15: (I) Tø h» (I) ta ÷ñc 6a 17b 75 = 0: (1) V¼ a;b2Z n¶n tø (1) ta ÷ñc ¨ a = 4 b =3 )ab = 7: C¡ch kh¡c: Ta câ (2 + 3i)jzj = (4 + 3i)z 15(1i) , 25z = (17jzj + 15) + (6jzj 15 7)i , ¨ 25a = 17jzj + 15 25b = 6jzj 15 7 ) 25(ab) = 11jzj + 15 8: (2) M°t kh¡c, ta câ (2 + 3i)jzj = (4 + 3i)z 15(1i) , (4 + 3i)z = (2 + 3i)jzj + 15(1i) , 25jzj 2 = (2jzj + 15) 2 + (3jzj 15) 2 ) jzj = 5: (3) Tø (2) v 3 ta ÷ñc ab = 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 26. T¼m sè phùc z thäa m¢n z + 2 3i = 2z. A. z = 2 +i. B. z = 2i. C. z = 3 2i. D. z = 3 +i. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a, b2R. Khi â (a +bi) + 2 3i = 2(abi), ¨ a + 2 = 2a b 3 =2b , ¨ a = 2 b = 1 )z = 2 +i: Chån ¡p ¡n A C¥u 27. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¸n sè phùc z thäa m¢njzij =j(1 +i)zj l mët ÷íng trán. T¥m cõa ÷íng trán â câ tåa ë l A. (1; 1). B. (0;1). C. (0; 1). D. (1; 0). -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi, vîi x;y2R. Ta câ jx +yiij =j(1 +i)(x +yi)j , jx + (y 1)ij =jxy + (x +y)ij , x 2 + (y 1) 2 = (xy) 2 + (x +y) 2 , x 2 +y 2 + 2y 1 = 0 , x 2 + (y + 1) 2 = 2: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(0;1), b¡n k½nh R = p 2. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 122 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 28. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 +i)z (2i)z = 3. Mæ-un cõa sè phùc w = i 2z 1i l A. p 122 5 . B. 3 p 10 2 . C. p 45 4 . D. p 122 2 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (a, b2R))z =abi. Ta câ (1 +i)z (2i)z = 3 , (1 +i)(a +bi) (2i)(abi) = 3 , a + (2a + 3b)i = 3 , ¨ a = 3 2a + 3b = 0 , ¨ a =3 b = 2 ) z =3 + 2i: Do â w = i 2z 1i = i 2(3 + 2i) 1i = 6 3i 1i = 9 2 + 3 2 i)jwj = 3 p 10 2 . Chån ¡p ¡n B C¥u 29. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz +i + 1j =jz 2ij v jzj = 1. A. 0. B. 2. C. 1. D. 4. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi vîi x, y2R. Theo gi£ thi¸tjzj = 1,x 2 +y 2 = 1 (1). M°t kh¡c jz +i + 1j =jz 2ij,jx +yi +i + 1j =jxyi 2ij , j(x + 1) + (y + 1)ij =jx (y + 2)ij , È (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = È x 2 + (y + 2) 2 , (x + 1) 2 + (y + 1) 2 =x 2 + (y + 2) 2 , xy 1 = 0,y =x 1: Thay y =x 1 v o (1), ta ÷ñc x 2 + (x 1) 2 = 1, 2x 2 2x = 0, x = 0 x = 1: Vîi x = 0)y =1)z =i. Vîi x = 1)y = 0)z = 1. Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n b i. Chån ¡p ¡n B C¥u 30. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n (1 + 2i) 2 z +z = 4i 20. T¼mjzj. A.jzj = 25. B. jzj = 7. C. jzj = 4. D.jzj = 5. -Líi gi£i. Vi¸t z =a +bi, vîi a;b2R. Khi â, ta câ (1 + 2i) 2 z +z = 4i 20 , (3 + 4i)(a +bi) + (abi) = 4i 20 , (2a 4b + 20) + (4a 4b 4)i = 0 , ¨ 2a 4b + 20 = 0 4a 4b 4 = 0 , ¨ a + 2b = 10 ab = 1 , ¨ a = 4 b = 3: Vªyjzj = p a 2 +b 2 = p 4 2 + 3 2 = 5. Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 31. Cho sè phùc z thäa m¢n z + 3z = 1 2i 2 . Ph¦n £o cõa z l A.2. B. 3 4 . C. 2. D. 3 4 . -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; (x;y2R))z =xyi. Ta câ 1 2i 2 =3 + 4i)z + 3z =3 + 4i, ¨ 4x =3 2y = 4 , 8 < : x = 3 4 y =2: Do vªy, ph¦n £o cõa z l y =2. Chån ¡p ¡n A C¥u 32. Ph¦n g¤ch trong h¼nh v³ b¶n l h¼nh biºu di¹n cõa tªp hñp c¡c sè phùc thäa m¢n i·u ki»n n o trong c¡c i·u ki»n sau ¥y A. 6jzj 8. B. 2jz + 4 + 4ij 4. C. 2jz 4 4ij 4. D. 4jz 4 4ij 16. x y 8 6 O -Líi gi£i. Nhªn x²t N¸u z 0 = a +bi v z = x +yi th¼ tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc z thäa R 1 jzz 0 j R 2 , (R 1 > > > > > < > > > > > > : a 7 3 2 4 a = 4 a = 5 4 b = 3 , ¨ a = 4 b = 3: Vªyjzj = p a 2 +b 2 = 5. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n A C¥u 36. Cho sè phùcz =a +bi (a,b l c¡c sè thüc) thäa m¢n (1 +i)z + 2z = 3 + 2i. T½nhP =a +b. A. P = 1. B. P = 1 2 . C. P = 1 2 . D. P =1. -Líi gi£i. (1 +i)z + 2z = 3 + 2i, (1 +i)(a +bi) + 2(abi) = 3 + 2i, ¨ 3ab = 3 ab = 2 , 8 > < > : a = 1 2 b = 3 2 : Suy ra P =a +b =1. Chån ¡p ¡n D C¥u 37. Cho sè phùc z thäa m¢n (1i)z + (3i)z = 2 6i. T¼m mæ-un cõa sè phùc w = 2z + 2. A. 6 p 2. B. p 7. C. p 34. D. 2 p 3. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; (x;y2R). Khi â ta câ (1i)(x +yi) + (3i)(xyi) = 2 6i , (x +y) + (yx)i + (3xy) (x + 3y)i = 2 6i , 4x (2x + 2y)i = 2 6i , ¨ 4x = 2 2x + 2y = 6 , 8 > < > : x = 1 2 y = 5 2 : Tø â suy ra w = 2 1 2 + 5 2 i + 2 = 3 + 5i n¶njwj = p 34. Chån ¡p ¡n C C¥u 38. Cho c¡c sè phùc z 1 = 2 +i, z 2 = x +yi. T½nh têng S = x +y bi¸tjz 2 +ij =jz 2 1 + 2ij v jz 1 j 2 +jz 2 j 2 =jz 1 z 2 j 2 . A. 2 3 . B. 4 3 . C. 4 3 . D. 2 3 . -Líi gi£i. Ta câ jz 2 +ij =jz 2 1 + 2ij, jx + (y + 1)ij =j(x 1) + (y + 2)ij , x 2 + (y + 1) 2 = (x 1) 2 + (y + 2) 2 , xy 2 = 0: (1) L¤i câ jz 1 j 2 +jz 2 j 2 =jz 1 z 2 j 2 , j2 +ij 2 +jx +yij 2 =j(2x) + (1y)ij 2 , 5 +x 2 +y 2 = (2x) 2 + (1y) 2 , 2x +y = 0: (2) Tø (1) v (2), suy ra 8 > < > : x = 2 3 y = 4 3 )S =x +y = 2 3 . Chån ¡p ¡n A C¥u 39. Cho a;b2R v thäa m¢n (a +bi)i 2a = 1 + 3i, vîi i l ìn và £o. Gi¡ trà ab b¬ng A.4. B. 4. C. 10. D.10. -Líi gi£i. Ta câ (a +bi)i 2a = 1 + 3i,2ab +ai = 1 + 3i, ¨ 2ab = 1 a = 3 , ¨ a = 3 b =7: Do â ab = 10. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 40. Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z thäa m¢n iz + (1i)z =2i b¬ng A.6. B. 2. C. 2. D. 6. -Líi gi£i. °t z =a +bi; (a;b2R). Khi â ta câ iz + (1i)z =2i , i(a +bi) + (1i)(abi) =2i , iab +abiaib =2i , a 2b + (2b)i = 0 , ¨ 2b = 0 a 2b = 0 , ¨ b = 2 a = 4: Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa z l 2 + 4 = 6. Chån ¡p ¡n D C¥u 41. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc z thäa m¢n 2jzij =jzz + 2ij l A. Mët parabol. B. Mët ÷íng trán. C. Mët ÷íng th¯ng. D. Mët iºm. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; (x;y2R). Ta câ 2jzij =jzz + 2ij , 2jx +yiij =jx +yix +yi + 2ij , 2 È x 2 + (y 1) 2 = 2jy + 1j , y = 1 4 x 2 : Vªy quÿ t½ch c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc z thäa m¢n · b i l mët ÷íng parabol. Chån ¡p ¡n A C¥u 42. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz 3 + 4ij 2. Trong m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w = 2z + 1i l h¼nh trán câ di»n t½ch A. 9. B. 12. C. 16. D. 25. -Líi gi£i. Ta câ w = 2z + 1i,z = w 2 1i 2 . Suy rajz 3 + 4ij 2, w 2 1i 2 3 + 4i 2, 1 2 jw (1 + 23i)j 2,jw (1 + 23i)j 4. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n chow l h¼nh trán t¥mA(1; 23), b¡n k½nhR = 4, câ di»n t½chS =R 2 = 16. Chån ¡p ¡n C C¥u 43. Tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz + 1 + 2ij = 1 l A. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 1. B. ÷íng trán t¥m I(1;2), b¡n k½nh R = 1. C. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 1. D. ÷íng trán t¥m I(1;2), b¡n k½nh R = 1. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, x, y2R ÷ñc biºu di¹n bði iºm M(x;y). Ta câ jz + 1 + 2ij = 1,jxyi + 1 + 2ij = 1, (x + 1) 2 + (y 2) 2 = 1: Vªy n¶n M thuëc ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 1. Chån ¡p ¡n C C¥u 44. N¸u hai sè thüc x, y thäa m¢n x(3 + 2i) +y(1 4i) = 1 + 24i th¼ xy b¬ng A. 3. B. 3. C. 7. D. 7. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ x(3 + 2i) +y(1 4i) = 1 + 24i , 3x +y + (2x 4y)i = 1 + 24i , ¨ 3x +y = 1 2x 4y = 24 , ¨ x = 2 y =5 ) xy = 7: Chån ¡p ¡n D C¥u 45. N¸u sè phùc z = 1i th¼ z 10 b¬ng A. 32i. B. 32. C. 32i. D. 32. -Líi gi£i. Ta câ z 10 = z 2 5 = (2i) 5 =32i. Chån ¡p ¡n C C¥u 46. Gi¡ trà cõa 1i (2 +i)i b¬ng A. p 17. B. p 5. C. 3. D. p 13. -Líi gi£i. Ta câ 1i (2 +i)i = (1 +i)(2 +i)i = 1 + 2i: Vªy 1i (2 +i)i =j1 + 2ij = p 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 47. Cho sè phùc z thäa m¢n 3z + (1 +i)z = 1 5i. T¼m mæ-un cõa z. A.jzj = 5. B. jzj = p 5. C. jzj = p 13. D.jzj = p 10. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi, a;b2R. Ta câ 3(abi) + (1 +i)(a +bi) = 1 5i , 4ab + (a 2b)i = 1 5i , ¨ 4ab = 1 a 2b =5 , ¨ a = 1 b = 3: Vªyjzj = p 10. Chån ¡p ¡n D C¥u 48. X²t c¡c sè phùc z thäa m¢n (2z)(z +i) l sè thu¦n £o. Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n cõa z trong m°t ph¯ng tåa ë l A. ÷íng trán câ t¥m I 1; 1 2 , b¡n k½nh R = p 5 2 . B. ÷íng trán câ t¥m I 1; 1 2 , b¡n k½nh R = p 5 2 . C. ÷íng trán câ t¥m I (2; 1), b¡n k½nh R = p 5. D. ÷íng trán câ t¥m I 1; 1 2 , b¡n k½nh R = p 5 2 nh÷ng bä hai iºm A(2; 0) v B(0; 1). -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi, vîi x;y2R. Khi â (2z)(z +i) = (2xyi) (xyi +i) =x 2 y 2 + 2x +y 2yixi + 2i: º (2z)(z +i) l sè thu¦n £o th¼ x 2 y 2 + 2x +y = 0,x 2 +y 2 2xy = 0, (x 1) 2 + y 1 2 2 = 5 4 : Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa z l ÷íng trán câ t¥m I 1; 1 2 , b¡n k½nh R = p 5 2 . Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 49. Trong m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njiz 2i + 1j = 2 l ÷íng trán câ tåa ë t¥m l A. (2; 1). B. (2;1). C. (2; 1). D. (2;1). -Líi gi£i. Gåi z =a +bi vîi a;b2R. Khi âjiz 2i + 1j = 2,jaib 2i + 1j = 2, (b 1) 2 + (a 2) 2 = 4. Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njiz 2i + 1j = 2 l ÷íng trán câ tåa ë t¥m I(2; 1). Chån ¡p ¡n A C¥u 50. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, t¼m tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z sao cho z 2 l sè thu¦n £o. A. Tröc Ox. B. Hai ÷íng th¯ng y =x, y =x, bä i iºm O(0; 0). C. Hai ÷íng th¯ng y =x, y =x. D. Tröc Oy. -Líi gi£i. °t z =x +yi, (x;y2R). Khi â z 2 =x 2 y 2 + 2xyi. Ta câ z 2 l sè thu¦n £o,x 2 y 2 = 0,y =x. Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z sao cho z 2 l sè thu¦n £o l hai ÷íng th¯ng y =x v y =x. Chån ¡p ¡n C C¥u 51. Cho sè phùc z =a +bi vîi a;b2R thäa (1 +i)z + 2z = 3 + 2i. T½nh P =a +b. A. P = 1. B. P =1. C. P = 1 2 . D. P = 1 2 . -Líi gi£i. (1 +i)z + 2z = 3 + 2i , (1 +i)(a +bi) + 2(abi) = 3 + 2i , 3ab + (ab)i = 3 + 2i , ¨ 3ab = 3 ab = 2 , ¨ 3ab = 3 ab = 2 , 8 > < > : a = 1 2 b = 3 2 : Vªy a +b = 1 2 3 2 =1. Chån ¡p ¡n B C¥u 52. Cho sè phùc z thäa m¢n z(1 + 2i)z(2 3i) =4 + 12i. T¼m tåa ë iºm M biºu di¹n sè phùc z. A. M(3; 1). B. M(3;1). C. M(1; 3). D. M(1; 3). -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x;y2R. Ta câ (x +yi)(1 + 2i) (xyi)(2 3i) =4 + 12i , (x 2y 2x + 3y) + (2x +y + 3x + 2y)i =4 + 12i , ¨ x +y =4 5x + 3y = 12 , ¨ x = 3 y =1: Suy ra z = 3i, iºm biºu di¹n sè phùc z l M(3;1). Chån ¡p ¡n B C¥u 53. T¼m c¡c sè thüc x, y thäa m¢n x + (y + 2i)i = 2 +i vîi i l ìn và £o. A. x = 4; y = 1. B. x = 3; y = 2. C. x =1; y = 2. D. x = 0; y = 1. -Líi gi£i. Ta câ x + (y + 2i)i = 2 +i,x 2 +yi = 2 +i, ¨ x = 4 y = 1: Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 54. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, cho M, N, P l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc 2 + 3i, 1 2i,3 +i. Tåa ë iºm Q sao cho tù gi¡c MNPQ l h¼nh b¼nh h nh l A. Q(0; 2). B. Q(6; 0). C. Q(2; 6). D. Q(4;4). -Líi gi£i. Ta câ M(2; 3), N(1;2), P (3; 1). Gåi Q(x;y)) # MN = (1;5), # QP = (3x; 1y). Do MNPQ l h¼nh b¼nh h nh) # MN = # QP, ¨ 3x =1 1y =5 , ¨ x =2 y = 6 )Q(2; 6). Chån ¡p ¡n C C¥u 55. Gåi S l tªp hñp c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z 4 =jzj. Sè ph¦n tû cõa z l A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ: z 4 =jzj)jzj 4 =jzj,jzj jzj 3 1 = 0, jzj = 0 jzj = 1 . jzj = 0,z = 0. jzj = 1,z 4 = 1, z 2 1 z 2 + 1 = 0, 2 6 6 6 4 z =1 z = 1 z =i z =i: Vªy câ 5 sè phùc z thäa m¢n b i to¡n. Chån ¡p ¡n C C¥u 56. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njzz +zj = 2 v jzj = 2? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. -Líi gi£i. Tøjzj = 2 v jz:z +zj = 2, suy raj4 +zj = 2. Tªp hñp sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njzj = 2 l ÷íng trán t¥m O(0; 0) b¡n k½nh R 1 = 2. Tªp hñp sè phùc z thäa m¢n i·u ki»nj4 +zj = 2 l ÷íng trán t¥m I(4; 0) b¡n k½nh R 2 = 2. Do OI = 4 =R 1 +R 2 n¶n hai ÷íng trán ti¸p xóc ngo i. Suy ra câ 1 sè phùc z thäa m¢n. Chån ¡p ¡n C C¥u 57. Cho sè phùc z = 1 1 3 i. T¼m sè phùc w =iz + 3z. A. w = 10 3 +i. B. w = 10 3 . C. w = 8 3 . D. w = 8 3 +i. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 1 3 i)z = 1 + 1 3 i. Khi â w =iz + 3z =i 1 + 1 3 i + 3 1 1 3 i = 8 3 . Chån ¡p ¡n C C¥u 58. Tr¶n m°t ph¯ng phùc, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz + 2 3ij = 2 l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y? A. x 2 +y 2 4x 6y + 9 = 0. B. x 2 +y 2 4x + 6y + 11 = 0. C. x 2 +y 2 4x 6y + 11 = 0. D. x 2 +y 2 + 4x 6y + 9 = 0. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi vîi x, y2R. Khi â jz + (2 3i)j = 2 , jx +yi + 2 3ij = 2 , jx + 2 + (y 3)ij = 2 , È (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 2 , (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 4 , x 2 +y 2 4x 6y + 9 = 0: Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 59. N¸u 2 sè thüc x, y thäa m¢n x (3 + 2i) +y (1 4i) = 1 32i th¼ x +y b¬ng A. 2. B. 4. C. 5. D.3. -Líi gi£i. Ta câ x(3 + 2i) +y(1 4i) = 1 32i , (3x +y) + (2x 4y)i = 1 32i , ¨ 3x +y = 1 2x 4y =32 , ¨ x =2 y = 7: Vªy x +y =2 + 7 = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 60. Sè phùc z thäa m¢n z + 2 z = 3 2i l A. 1 2i. B. 1 + 2i. C. 2i. D. 2 +i. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi vîi a; b2R. Ta câ z + 2 z = 3 2i , (a +bi) + 2 (abi) = 3 2i , 3abi = 3 2i , ¨ a = 1 b = 2: Vªy z = 1 + 2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 61. Tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz (3 4i)j = 2 l A. ÷íng trán câ t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 2. B. ÷íng trán câ t¥m I(3; 4), b¡n k½nh R = 2. C. ÷íng trán câ t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 4. D. ÷íng trán câ t¥m I(3; 4), b¡n k½nh R = 4. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, (x;y2R). Ta câjz (3 4i)j = 2,j(x 3) + (y + 4)ij = 2, (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 4. Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n · b i l ÷íng trán câ t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 62. Gåi a v b l c¡c sè thüc thäa m¢n a + 2bi +b 3 =aii vîi i l ìn và £o. T½nh a +b. A. 3. B. 11. C. 3. D.11. -Líi gi£i. Ta th§y a + 2bi +b 3 =aii, (a +b 3) + (a + 2b + 1)i = 0, ¨ a +b = 3 a + 2b =1 , ¨ a = 7 b =4: Vªy a +b = 3: Chån ¡p ¡n A C¥u 63. Cho sè phùc z thäa m¢n 2z + (3 2i) z = 5 + 5i. Mæ-un cõa z b¬ng A. 5. B. p 8. C. p 5. D. p 10. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x;y2R. Ta câ 2(x +yi) + (3 2i)(xyi) = 5 + 5i , 5x (2x +y)i = 5 + 5i , ¨ 5x = 5 2x +y = 5 , ¨ x = 1 y = 3: Tø â ta câ z = 1 + 3i)jzj = p 10. Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 64. T¼m c¡c sè thüc a v b thäa m¢n 3a + (bi)(1 + 2i) = 3 + 5i vîi i l ìn và £o. A. a = 1, b = 2. B. a = 1 2 , b = 1. C. a =1, b = 1. D. a =2, b = 2. -Líi gi£i. Ta câ 3a + (bi)(1 + 2i) = 3 + 5i, 3ab + 2 + (2b + 1)i = 3 + 5i. çng nh§t h» sè ta câ ¨ 3ab + 2 = 3 2b + 1 = 5 , ¨ a = 1 b = 2: Chån ¡p ¡n A C¥u 65. T¼m hai sè thüc x v y thäa m¢n (2x 3yi) + (1 3i) =x + 6i, vîi i l ìn và £o. A. x =1; y =3. B. x =1; y =1. C. x = 1; y =1. D. x = 1; y =3. -Líi gi£i. Ta câ (2x 3yi) + (1 3i) =x + 6i,x + 1 (3y + 9)i = 0, ¨ x + 1 = 0 3y + 9 = 0 , ¨ x =1 y =3: Chån ¡p ¡n A C¥u 66. T¼m hai sè thüc x v y thäa m¢n (3x + 2yi) + (2 +i) = 2x 3i vîi i l ìn và £o. A. x =2; y =2. B. x =2; y =1. C. x = 2; y =2. D. x = 2; y =1. -Líi gi£i. Ta câ (3x + 2yi) + (2 +i) = 2x 3i, (3x + 2) + (2y + 1)i = 2x 3i , ¨ 3x + 2 = 2x 2y + 1 =3 , ¨ x =2 y =2: Chån ¡p ¡n A C¥u 67. T¼m hai sè thüc x v y thäa m¢n (3x +yi) + (4 2i) = 5x + 2i vîi i l ìn và £o. A. x =2; y = 4. B. x = 2; y = 4. C. x =2; y = 0. D. x = 2; y = 0. -Líi gi£i. Ta câ (3x +yi) + (4 2i) = 5x + 2i, 2x 4 + (4y)i = 0, ¨ 2x 4 = 0 4y = 0 , ¨ x = 2 y = 4: Chån ¡p ¡n B C¥u 68. T¼m hai sè x v y thäa m¢n (2x 3yi) + (3i) = 5x 4i vîi i l ìn và £o. A. x =1; y =1. B. x =1; y = 1. C. x = 1; y =1. D. x = 1; y = 1. -Líi gi£i. Ta câ (2x 3yi) + (3i) = 5x 4i, 3x 3 + (3y 3)i = 0, ¨ 3x 3 = 0 3y 3 = 0 , ¨ x = 1 y = 1: Chån ¡p ¡n D C¥u 69. X²t c¡c sè phùc z thäa m¢n (z 2i) (z + 2) l sè thu¦n £o. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng A. 2 p 2. B. p 2. C. 2. D. 4. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a;b2R. Ta câ (z 2i) (z + 2) =a 2 +2a+b 2 +2b2(a+b+2)i. V¼ (z 2i) (z + 2) l sè thu¦n £o n¶na 2 +2a+b 2 +2b = 0, (a + 1) 2 + (b + 1) 2 = 2. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp c¡c sè iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán b¡n k½nh b¬ng p 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 70. Cho hai sè phùc z 1 = 3 4i v z 2 =2 +i. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa z 1 +z 2 . A. 1 + 3i. B. 1 3i. C. 1 + 3i. D.1 3i. -Líi gi£i. Ta câ z 1 +z 2 = (3 4i) + (2 +i) = 1 3i)z 1 +z 2 = 1 + 3i. Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 131 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 71. Cho hai sè phùcz 1 = 1 2i v z 2 = 3 + 4i. T¼m iºmM biºu di¹n sè phùcz 1 z 2 tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. A. M(2; 11). B. M(11; 2). C. M(11;2). D. M(2;11). -Líi gi£i. Ta câ z 1 z 2 = (1 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i 6i + 8 = 11 2i. Vªy iºm M(11;2). Chån ¡p ¡n C C¥u 72. Mæ-un cõa sè phùc z = (1 + 2i)(2i) l A.jzj = 5. B. jzj = p 5. C. jzj = 10. D.jzj = 6. -Líi gi£i. Ta câjzj = p 1 2 + 2 2 p 2 2 + (1) 2 = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 73. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz 2ij =jz + 1j. Tªp hñp nhúng iºm M biºu di¹n sè phùc z trong m°t ph¯ng tåa ë l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh ax + 4y +c = 0, trong â a, c l c¡c sè nguy¶n. T½nh P =a +c. A. 5. B. 1. C. 1. D. 3. -Líi gi£i. °t z =x +yi (x, y2R). Khi â ta câ jz 2ij =jz + 1j ,jx + (y 2)ij =j(x + 1)yij , È x 2 + (y 2) 2 = È (x + 1) 2 + (y) 2 ,x 2 + (y 2) 2 = (x + 1) 2 +y 2 ,2x + 4y 3 = 0: Vªy a = 2, c =3. Do â a +c =1. Chån ¡p ¡n C C¥u 74. Gi£ sû A;B theo thù tü l iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z 1 ;z 2 . Khi â ë d i cõa v²c-tì # AB b¬ng A.jz 1 jjz 2 j . B. jz 1 j +jz 2 j . C. jz 2 z 1 j . D.jz 2 +z 1 j. -Líi gi£i. Gi£sûz 1 =x 1 +y 1 iv z 2 =x 2 +y 2 itrongâx 1 ;y 1 ;x 2 ;y 2 l c¡csèthüc.Theogi£thi¸tth¼A(x 1 ;y 1 );B(x 2 ;y 2 ). Ta câj # ABj = p (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 . L¤i câjz 2 z 1 j =j(x 2 x 1 ) + (y 2 y 1 )ij = p (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 . Vªyj # ABj =jz 2 z 1 j. Chån ¡p ¡n C C¥u 75. T¼m c¡c sè thüc x;y thäa m¢n 2x + 1 + (1 2y)i = 2x + (3y 2)i. A. x = 1 3 ;y = 3 5 . B. x = 1;y = 3 5 . C. x = 1;y = 1 5 . D. x = 1 3 ;y = 1 5 . -Líi gi£i. p döng ành ngh¾a hai sè phùc b¬ng nhau ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ 2x + 1 = 2x 1 2y = 3y 2 , 8 > < > : x = 1 3 y = 3 5 : Chån ¡p ¡n A C¥u 76. Trong c¡c sè phùc (1 +i) 3 , (1 +i) 4 , (1 +i) 5 , (1 +i) 6 sè phùc n o l sè phùc thu¦n £o? A. (1 +i) 5 . B. (1 +i) 6 . C. (1 +i) 3 . D. (1 +i) 4 . -Líi gi£i. (1 +i) 3 = 2i 2, (1 +i) 4 =4, (1 +i) 5 =4(1 +i), (1 +i) 6 =8i. Vªy sè thu¦n £o l (1 +i) 6 . Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 77. Sè phùc z thäa m¢n z (2 + 3i)z = 1 9i l A.3i. B. 2i. C. 2 +i. D.2i. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R), ta câ z (2 + 3i)z = 1 9i,a +bi (2 + 3i)(abi) = 1 9i , ¨ a 3b = 1 3b 3a =9 , ¨ a = 2 b =1: Chån ¡p ¡n B C¥u 78. Gåi a;b l¦n l÷ñt l ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = p 2 + 3i 2 . T½nh T =a + 2b. A. T =7 + 12 p 2. B. T =7 + 6 p 2. C. T = 12 7 p 2. D. T =7 12 p 2. -Líi gi£i. Ta câ z = p 2 + 3i 2 =7 + 6 p 2i)T =a + 2b =7 + 12 p 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 79. Cho sè phùc z = 2 + 5i. Gåi a;b l¦n l÷ñt l ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc w =iz +z. T½nh t½ch ab. A.9. B. 6. C. 9. D. 6. -Líi gi£i. Ta câ w =iz +z =i(2 + 5i) + 2 5i =3 3i. Suy ra ab = 9. Chån ¡p ¡n C C¥u 80. GåiC l tªp hñp c¡c sè phùc. X²t c¡c kh¯ng ành sau z 2 08z2C. 1 z 2 = z 2 8z2C. 2 jzj =jzj8z2C. 3 Sè kh¯ng ành óng l A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. -Líi gi£i. Ta câ i 2 =1< 0 v ji 2 j = 1 n¶n m»nh · a) v b) sai. Ch¿ câ kh¯ng ành c) óng. Chån ¡p ¡n B C¥u 81. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 +z) 2 l sè thüc. Tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z l A. Hai ÷íng th¯ng. B. ÷íng th¯ng. C. Parabol. D. ÷íng trán. -Líi gi£i. °t z =x +yi; (x;y2R). Khi â (1 +z) 2 = (x + 1) 2 y 2 + 2(x + 1)yi. (1 +z) 2 l sè thüc khi 2(x + 1)y = 0, x =1 y = 0 . Vªy tªp hñp c¡c iºm M l hai ÷íng th¯ng d 1 : x + 1 = 0;d 2 : y = 0. Chån ¡p ¡n A C¥u 82. T½nh mæun cõa sè phùc z bi¸t z = (2i 1)(3 +i). A.jzj = 2 p 5. B. jzj = 5 p 2. C. jzj = p 10. D.jzj = p 26. -Líi gi£i. Ta câ z = (2i 1)(3 +i) =5 + 5i)z = 5 + 5i)jzj = 5 p 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 83. Cho sè phùc z =a +bi, a;b2R, a> 0 thäajjz 1j +z 2j =a =b. T½nhjz(1 +z)j. A. 3 p 2. B. p 10. C. p 5. D. p 2. -Líi gi£i. V¼ a =b n¶n z =a +ai. Ta câjjz 1j +z 2j =a, p (a 1) 2 +a 2 +a 2 2 +a 2 =a 2 , p 2a 2 2a + 1 = 2a Th.s Nguy¹n Ch½n Em 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 , ¨ 2a 0 2a 2 2a + 1 = 4 4a +a 2 , ¨ a 2 a 2 + 2a 3 = 0 ,a = 1 (v¼ a> 0). Khi âjz(1 +z)j =j(1 +i)(1 + 1i)j = p 10. Chån ¡p ¡n B C¥u 84. Trong m°t ph¯ng phùc, iºm M(1;2) biºu di¹n sè phùc z. Mæ-un cõa sè phùc w = izz 2 b¬ng A. 26. B. p 6. C. p 26. D. 6. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 2i n¶n w =izz 2 =i(1 + 2i) (1 2i) 2 = 1 + 5i. Vªyjwj = p 1 2 + 5 2 = p 26. Chån ¡p ¡n C C¥u 85. Gåi S l tªp hñp c¡c sè phùc z sao cho z 2i z + 1 3i l sè thüc v z 2 l sè thu¦n £o. Têng c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp S l A.4 2i. B. 4 2i. C. 2 + 4i. D. 1 +i. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a;b2R. Ta câ z 2i z + 1 3i = (a 2b + 1) + (2a +b 3)i. V¼ z 2i z + 1 3i l sè thüc n¶n2a +b 3 = 0. z 2 =a 2 b 2 + 2abi. V¼ z 2 l sè thu¦n £o n¶n a 2 b 2 = 0. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ 2a +b 3 = 0 a 2 b 2 = 0 , ¨ b = 2a + 3 3a 2 + 12a + 9 = 0 , ¨ b = 1 a =1 _ ¨ b =3 a =3: Vªy S =f1 +i;3 3ig, têng c¡c ph¦n tû cõa S l 4 2i. Chån ¡p ¡n A C¥u 86. Cho sè phùc z = 3 2i. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, iºm n o d÷îi ¥y l iºm biºu di¹n sè phùc iz? A. M(2; 3). B. M(2; 3). C. M(3;2). D. M(2; 3i). -Líi gi£i. Ta câ z = 3 2i)iz = 2 + 3i. iºm biºu di¹n sè phùc iz l M(2; 3). Chån ¡p ¡n B C¥u 87. Cho sè phùc z thäa m¢n z + 4z = 7 +i(z 7). Khi â, mæ-un cõa z b¬ng bao nhi¶u? A.jzj = p 3. B. jzj = 3. C. jzj = p 5. D.jzj = 5. -Líi gi£i. Gi£ sû x =x +yi (x; y2R). Ta câ z + 4z = 7 +i(z 7),x +yi + 4(xyi) = 7 +i(x +yi 7) , (5x +y 7) +i(x 3y + 7) = 0, ¨ 5x +y 7 = 0 x 3y + 7 = 0 , ¨ x = 1 y = 2: Mæ-un cõa sè phùc z l jzj = p 1 2 + 2 2 = p 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 88. Sè n o sau ¥y l sè thu¦n £o? A. (1 +i) 4 . B. (1 +i) 3 . C. (1 +i) 5 . D. (1 +i) 6 . -Líi gi£i. Ta câ (1 +i) 4 = (1 + 2i +i 2 ) 2 = 4i 2 =4. (1 +i) 3 = (1 +i) 2 (1 +i) = 2i (1 +i) =2 + 2i. (1 +i) 5 = (1 +i) 4 (1 +i) =4 (1 +i) =4 4i. (1 +i) 6 = (1 +i) 5 (1 +i) =4 (1 +i)(1 +i) =8i l sè thu¦n £o. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 134 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n D C¥u 89. Trong m°t ph¯ng phùc, gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc (zz) 2 vîiz =a +bi (a;b2R,b6= 0). M»nh · n o sau ¥y óng? A. M thuëc tia èi cõa tia Oy. B. M thuëc tia Oy. C. M thuëc tia èi cõa tia Ox. D. M thuëc tia Ox. -Líi gi£i. Ta câ (zz) 2 = (a +bia +bi) 2 = 4b 2 i 2 =4b 2 . Do gi£ thi¸t suy ra M thuëc tia èi cõa tia Ox. Chån ¡p ¡n C C¥u 90. Cho (2 2i) 2018 =a +bi;a;b2R. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P =a +b. A.8 1009 . B. 8 1009 . C. 4 1009 . D. 4 1009 . -Líi gi£i. Ta câ (2 2i) 2018 = 2 2018 (1i) 2 1009 = 2 2018 (2i) 1009 =8 1009 i: Vªy a = 0, b =8 1009 v P =a +b =8 1009 . Chån ¡p ¡n A C¥u 91. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, bi¸t tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz + 2ij 2 + 2j1zj 2 + 3jz 2 +ij 2 = 2018 l mët ÷íng trán. T¼m t¥m I cõa ÷íng trán â. A. 4 3 ; 5 6 . B. 4 3 ; 5 6 . C. (1; 1). D. 4 3 ; 7 6 . -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; x;y2R. Khi â ta câ jx + (y + 2)ij 2 + 2j1x +yij 2 + 3jx 2 + (y + 1)j 2 = 2018 , x 2 + (y + 2) 2 + 2(1x) 2 + 2y 2 + 3(x 2) 2 + 3(y + 1) 2 = 2018 , 6x 2 + 6y 2 16x + 10y 1997 = 0 , x 4 3 2 + y + 5 6 2 = 12071 36 : Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán x 4 3 2 + y + 5 6 2 = 12071 36 câ t¥m l I 4 3 ; 5 6 . Chån ¡p ¡n A C¥u 92. T¼m sè phùc thäa m¢n i(z 2 + 3i) = 1 + 2i. A. z =4 + 4i. B. z =4 4i. C. z = 4 4i. D. z = 4 + 4i. -Líi gi£i. Ta câ i(z 2 + 3i) = 1 + 2i,z + 2 3i =i 2,z = 4 4i. Khi â z = 4 + 4i. Chån ¡p ¡n D C¥u 93. Cho sè phùc z 1 = 3 + 2i;z 2 = 6 + 5i. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 6z 1 + 5z 2 . A. z = 51 + 40i. B. z = 48 37i. C. z = 51 40i. D. z = 48 + 37i. -Líi gi£i. Ta câ z = 6z 1 + 5z 2 = 6(3 + 2i) + 5(6 + 5i) = 48 + 37i. Vªy z = 48 37i. Chån ¡p ¡n B C¥u 94. Cho c¡c sè phùcz thäa m¢njzij =jz1+2ij: Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùcw =z+2i tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët ÷íng th¯ng. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â l A. x 3y + 4 = 0. B. x + 3y + 4 = 0. C. x 4y + 3 = 0. D.x + 3y + 4 = 0. -Líi gi£i. Ta câ z =w 2i: Thay v o gi£ thi¸t)jw 3ij =jw 1j: Gåi w =x +yi vîi x;y2R: Khi â jx +yi 3ij =jx +yi 1j , jx + (y 3)ij =jx 1 +yij , È x 2 + (y 3) 2 = È (x 1) 2 +y 2 , x 3y + 4 = 0: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n A C¥u 95. T½nh gi¡ trà cõa têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t z = (2 +i) 2 . A. 7. B. 6. C. 8. D.1. -Líi gi£i. Ta câ z = (2 +i) 2 = 4 + 4i +i 2 = 3 + 4i. Vªy têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa z b¬ng 7. Chån ¡p ¡n A C¥u 96. Cho sè phùc z thäa m¢n z + 2z = 3 2i. T¼m ph¦n £o cõa z. A.2. B. 1. C. 1. D. 2. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi; (a;b2R). Tø gi£ thi¸t, suy ra (a +bi) + 2(abi) = 3 2i, 3abi = 3 2i, ¨ 3a = 3 b =2 , ¨ a = 1 b = 2: Vªy ph¦n £o cõa z b¬ng 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 97. Cho sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢njz 1 +z 2 j = 3,jz 1 j = 1,jz 2 j = 2. T½nh z 1 z 2 +z 1 z 2 . A. 2. B. 8. C. 0. D. 4. -Líi gi£i. Câjz 1 +z 2 j = 3, (z 1 +z 2 ) (z 1 +z 2 ) = 9, (z 1 +z 2 ) (z 1 +z 2 ) = 9,jz 1 j 2 +z 1 z 2 +z 1 z 2 +jz 2 j 2 = 9. M jz 1 j = 1,jz 2 j = 2 n¶n z 1 z 2 +z 1 z 2 = 9 1 2 2 2 = 4. Chån ¡p ¡n D C¥u 98. Gåi z =a +bi, vîi a;b2R, l sè phùc thäa m¢n (1 +i)z + 3 z = 9 + 4i. T½nh T =a +b. A. T =1. B. T = 1. C. T = 7. D. T =3. -Líi gi£i. Ta câ (1 +i)z + 3 z = 9 + 4i , (1 +i)(a +bi) + 3(abi) = 9 + 4i , a +bi +aib + 3a 3bi = 9 + 4i , (4ab) + (a 2b)i = 9 + 4i , ¨ 4ab = 9 a 2b = 4 , ¨ a = 2 b =1: Vªy T = 2 1 = 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 99. Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm trong m°t ph¯ng phùc biºu di¹n cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z 2 = (z) 2 l A. tröc ho nh. B. gçm c£ tröc ho nh v tröc tung. C. ÷íng th¯ng y =x. D. tröc tung. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi, vîi x;y2R. Khi â z 2 = (z) 2 ,x 2 y 2 + 2xyi =x 2 y 2 2xyi, 4xyi = 0, x = 0 y = 0: Vªy tªp hñp c¡c iºm trong m°t ph¯ng phùc biºu di¹n cho sè phùc z l tröc ho nh v tröc tung. Chån ¡p ¡n B C¥u 100. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 136 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 iºm n o trong h¼nh v³ d÷îi ¥y l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = (1 + i)(2i)? A. M. B. P. C. N. D. Q. x y O 3 P 1 1 N 3 1 M 3 Q 1 -Líi gi£i. Ta câ z = (1 +i)(2i) = 3 +i câ iºm biºu di¹n l Q(3; 1). Chån ¡p ¡n D C¥u 101. Cho sè phùc z =4 + 3i. T½nh mæ-un cõa sè phùc w =iz +z. A.jwj = 7 p 2. B. jwj = p 50. C. jwj = 2 p 7. D.jwj = 25. -Líi gi£i. Ta câ w =iz +z =i(4 + 3i) 4 3i =7 7i)jwj = 7 p 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 102. Sè phùcz =a +bi (a;b2R) thäa m¢njz 2j =jzj v (z + 1)(zi) l sè thüc. Gi¡ trà cõa bi¸u thùc S =a + 2b b¬ng bao nhi¶u? A. S =3. B. S = 1. C. S = 0. D. S =1. -Líi gi£i. Ta câjz 2j =jzj,j(a 2) +bij =ja +bij, (a 2) 2 +b 2 =a 2 +b 2 , (a 2) 2 =a 2 ,a = 1. M°t kh¡c (z + 1)(zi) = (2 +bi)(1 (b + 1)i) = 2 2(b 1)i +bi +b(b 1) = 2 + (b 2)i +b(b 1) l sè thüc khi v ch¿ khib 2 = 0,b =2. Vªy S =a + 2b = 1 + 2 (2) =3. Chån ¡p ¡n A C¥u 103. ¯ng thùc n o trong c¡c ¯ng thùc sau óng? A. (1 +i) 2018 = 2 1009 i. B. (1 +i) 2018 =2 1009 i. C. (1 +i) 2018 = 2 1009 . D. (1 +i) 2018 =2 1009 . -Líi gi£i. Ta th§y (1 +i) 2018 = (1 +i) 2 1009 = (2i) 1009 = 2 1009 i. Chån ¡p ¡n A C¥u 104. Cho sè phùc w = (2 +i) 2 3 (2i). Gi¡ trà cõajwj l A. p 54. B. 2 p 10. C. p 43. D. p 58. -Líi gi£i. Ta câ w =3 + 7i n¶njwj = È (3) 2 + 7 2 = p 58. Chån ¡p ¡n D C¥u 105. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 +i)z z 1i = 9 9i. T½nhjzj. A. p 5. B. 2 p 5. C. p 13. D. p 17. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi (x;y2R). Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ d¤ng (2 +i)(1i)(x +yi) (xyi) = (9 9i)(1i) , (3i)(x +yi) (xyi) =18i , (2x +y) + (4yx)i =18i , ¨ 2x +y = 0 x + 4y =18 , ¨ x = 2 y =4: Suy rajzj = p 4 + 16 = 2 p 5. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 137 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 106. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz + 2ij = 2 p 2 v (z 1) 2 l sè thu¦n £o? A. 2. B. 0. C. 4. D. 3. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (a;b2R). (z 1) 2 l sè thu¦n £o, (a 1) 2 b 2 = 0, b =a 1 b = 1a: Ta câ jz + 2ij = 2 p 2 , (a + 2) 2 + (b 1) 2 = 8 (1): Tr÷íng hñp 1: b =a 1. (1), 2a 2 + 8 = 8,a = 0)b =1: Tr÷íng hñp 2: b = 1a. (1), 2a 2 + 4a 4 = 0, " a = p 3 1)b = 2 p 3 a = p 3 1)b = p 3 + 2: Vªy câ 3 sè phùc z thäa m¢n. Chån ¡p ¡n D C¥u 107. Bi¸t z l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh z + 1 z = 1. T½nh gi¡ trà biºu thùc P =z 3 + 1 z 3 . A. P =2. B. P = 0. C. P = 4. D. P = 7 4 . -Líi gi£i. Ta câ z 3 + 1 z 3 = z + 1 z 3 3z 1 z z + 1 z = 1 3 =2: Chån ¡p ¡n A C¥u 108. Mæ un cõa sè phùc z = (1 + 2i) (2i) l A.jzj = 5. B. jzj = p 5. C. jzj = 10. D.jzj = 6. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 + 2i) (2i) = 4 + 3i)jzj = p 4 2 + 3 2 = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 109. Cho sè phùc z thäa m¢n (1i)z + 2i z = 5 + 3i. T½nh têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc w =z + 2z. A. 3. B. 4. C. 6. D. 5. -Líi gi£i. C¡ch 1: °t z =x +yi) z =xyi. Thay v o biºu thùc tr¶n ta ÷ñc (x + 3y) + (x +y)i = 5 + 3i, suy ra z = 2 +i. Vªy w = 6i. Tø â suy ra Re(w) + Im(w) = 6 + (1) = 5. C¡ch 2: Sû döng m¡y t½nh bä tói Casio °t z =X +Yi) z =XYi. Nhªp v o m¡y t½nh: (1i)(X +Yi) + 2i(XYi) (5 + 3i) . G¡n X = 1000, Y = 100. Ta ÷ñc k¸t qu£ l 1259 + 1097i. Ph¥n t½ch sè li»u: 1295 =X + 3Y 5 v 1097 =X +Y 3. Do â ta gi£i h» ph÷ìng tr¼nh: ¨ X + 3Y 5 = 0 X +Y 3 = 0 , ¨ X + 3Y = 5 X +Y = 3 , ¨ X = 2 Y = 1: Do â ta câ z = 2 +i. Tø â suy ra w = 6i. Vªy Im(w) + Re(w) = 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 110. Cho c¡c m»nh ·: (I) Sè phùc z = 2i l sè thu¦n £o. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 (II) N¸u sè phùcz câ ph¦n thüc l a, sè phùcz 0 câ ph¦n thüc l a 0 th¼ sè phùczz 0 câ ph¦n thüc l aa 0 . (III) T½ch cõa hai sè phùcz =a +bi (a;b2R) v z 0 =a 0 +b 0 i (a;b2R) l sè phùc câ ph¦n £o l ab 0 +a 0 b. Sè m»nh · óng trong ba m»nh · tr¶n l A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. -Líi gi£i. Ta câ zz 0 = (a +bi)(a 0 +b 0 i) = (aa 0 bb 0 ) + (ab 0 +a 0 b)i. Do â, ch¿ câ hai m»nh · óng l (I) v (III). Chån ¡p ¡n C C¥u 111. Trong m°t ph¯ng Oxy, cho sè phùcz thäa m¢njz 1j =j(1 +i)zj. Tªp hñp iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l A. ÷íng trán câ t¥m I(1; 0), b¡n k½nh r = p 2. B. ÷íng trán câ t¥m I(0; 1), b¡n k½nh r = p 2. C. ÷íng trán câ t¥m I(1; 0), b¡n k½nh r = p 2. D. ÷íng trán câ t¥m I(0;1), b¡n k½nh r = p 2. -Líi gi£i. °t z =x +yi, trong â x, y l c¡c sè thüc. jz 1j =j(1 +i)zj,j(x 1) +yij =j1 +ijjx +yij, (x 1) 2 +y 2 = 2(x 2 +y 2 ),x 2 +y 2 + 2x 1 = 0. Do â, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùcz thäa y¶u c¦u b i to¡n l ÷íng trán t¥mI(1; 0), b¡n k½nhr = p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 112. Cho sè phùc z =a +bi, (a;b2R) thäa m¢n z 2z =2 + 9i. Khi â gi¡ trà a + 3b b¬ng A.1. B. 7. C. 11. D. 5. -Líi gi£i. Ta câ z 2z =2 + 9i,a + 3bi =2 + 9i)a = 2;b = 3)a + 3b = 11: Chån ¡p ¡n C C¥u 113. Cho hai sè phùc z 1 = 3i v z 2 = 4i. T½nh mæ-un cõa sè phùc z 2 1 +z 2 . A. 12. B. 10. C. 13. D. 15. -Líi gi£i. Ta câ sè phùc w =z 2 1 +z 2 = (3i) 2 + (4 +i) = 9 6i +i 2 + 4 +i = 12 5i. N¶njwj = È 12 2 + (5) 2 = 13. Chån ¡p ¡n C C¥u 114. Cho sè phùc z thäa m¢njz 1 2ij = 5 v M(x;y) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. iºm M thuëc ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y? A. (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 25. B. (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25. C. (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 5. D. (x 1) 2 + (y 2) 2 = 5. -Líi gi£i. V¼ M(x;y) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z n¶n z =x +yi. Ta câ jz 1 2ij = 5,jx 1 + (y 2)ij = 5, (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25. Chån ¡p ¡n B C¥u 115. Cho sè phùc z thäa m¢n z (1 +i) + 12i = 3. T¼m ph¦n £o cõa sè z. A. 9 2 . B. 15 2 . C. 15 2 i. D. 15 2 . -Líi gi£i. z = 3 12i 1 +i = 9 2 15 2 i)z = 9 2 + 15 2 i. Ph¦n £o cõa z l 15 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 116. Cho hai sè phùc z 1 = 1 + 2i v z 2 = 2 3i. Ph¦n £o cõa sè phùc w = 3z 1 2z 2 l A. 12. B. 1. C. 11. D. 12i. -Líi gi£i. w = 3z 1 2z 2 =1 + 12i. Vªy w câ ph¦n £o l 12. Chån ¡p ¡n A C¥u 117. Cho hai sè thücx,y thäa m¢n 2x+1+(12y)i = 2(2i)+yix. Khi â gi¡ trà cõax 2 3xyy b¬ng A.3. B. 1. C. 2. D.1. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. 2x + 1 + (1 2y)i = 2(2i) +yix , 2x + 1 + (1 2y)i = 4x + (y 2)i , ¨ 2x + 1 = 4x 1 2y =y 2 , ¨ x = 1 y = 1: Suy ra x 2 3xyy =3. Chån ¡p ¡n A C¥u 118. Cho c¡c sè phùcz thäa m¢njzi (2 +i)j = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán. T¥m I cõa ÷íng trán â l A. I(1;2) . B. I(1; 2) . C. I(1;2) . D. I(1; 2). -Líi gi£i. Ta câji(z 1 + 2i)j = 2)jz 1 + 2ij = 2) p (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 2. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(1;2). Chån ¡p ¡n A C¥u 119. Cho sè phùc z thäa m¢n (1i)z + (1 + 2i) (1 2z) = 10 + 7i. T½nh mæ un cõa z. A. 3 . B. p 3 . C. 5 . D. p 5 . -Líi gi£i. °t z =a +bi. Ta câ (1i)z + (1 + 2i) (1 2z) = 10 + 7i , (1i)(abi) + (1 2i)(1 2(a +bi)) = 10 + 7i , abaibi + (1 2i)(1 2a 2bi) = 10 + 7i , abaibi + 1 2a 2(1 2a)i 2bi 4b = 10 + 7i , 3a 5b + 1 + 3ai 3bi 2i = 10 + 7i , ¨ 3a 5b + 1 = 10 3a 3b 2 = 7 , ¨ a = 1 b =2: )jzj =j1 2ij = p 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 120. Sè phùc z = (1i) 2018 câ ph¦n thüc b¬ng A. 1. B. 2 1009 . C. 2 1009 . D. 0. -Líi gi£i. z = (1i) 2018 = [(1i) 2 ] 1009 = (2i) 1009 = (2) 1009 i =2 1009 i. Suy ra ph¦n thüc cõa sè phùc z b¬ng 0. Chån ¡p ¡n D C¥u 121. Trong m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè z thäa m¢nj(1 + 2i)z 10j = j(2 +i)z + 5j l A. hai ÷íng th¯ng ct nhau. B. hai ÷íng th¯ng song song. C. mët ÷íng th¯ng. D. mët ÷íng trán. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x, y2R. Ta câ j(1 + 2i)z 10j =j(2 +i)z + 5j , j(1 + 2i)(x +yi) 10j =j(2 +i)(xyi) + 5j , jx 2y 10 + (2x +y)ij =j(2x +y) + (x 2y + 5)ij , (x 2y 10) 2 + (2x +y) 2 = (2x +y) 2 + (x 2y + 5) 2 , 2x 4y 5 = 0: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè z l ÷íng th¯ng 2x 4y 5 = 0. Chån ¡p ¡n C C¥u 122. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t z (2 + 3i)z = 1 9i. A. 1. B. 2. C. 1. D. 2. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ z (2 + 3i)z = 1 9i,x +yi (2 + 3i)(xyi) = 1 9i ,x +yi [2x + 3y + (3x 2y)i] = 1 9i ,x 3y 3(xy)i = 1 9i , ¨ x 3y = 1 3(xy) =9 , ¨ x = 2 y =1: Vªy ph¦n £o cõa sè phùc z l y =1: Chån ¡p ¡n C C¥u 123. Cho sè phùc w = (2 +i) 2 3(2i). Gi¡ trà cõajwj l A. p 54. B. p 58. C. 2 p 10. D. p 43. -Líi gi£i. Ta câ w =3 + 7i n¶njwj = p 58. Chån ¡p ¡n B C¥u 124. Cho sè phùc z =a +bi, vîi a;b2R. T¼m m»nh · óng trong c¡c m»nh · sau? A. z +z = 2bi. B. zz = 2a. C. zz =a 2 b 2 . D.jz 2 j =jzj 2 . -Líi gi£i. Ta câ z =abi, do â z +z = 2a. zz = 2bi. zz =a 2 +b 2 . jz 2 j =jzzj =jzjjzj =jzj 2 . Vªy ch¿ câ m»nh ·jz 2 j =jzj 2 l m»nh · óng. Chån ¡p ¡n D C¥u 125. T½nh mæ-un cõa sè phùc z = (1 + 2i)(2i). A.jzj = 5. B. jzj = p 5. C. jzj = 10. D.jzj = 6. -Líi gi£i. Ta câjzj =j1 + 2ijj2ij = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 126. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 3i)z + 6 = 5i 1. M»nh · n o sau ¥y óng? A. z = 29 13 + 11 13 i. B. z = 29 13 11 13 i. C. z = 29 13 11 13 i. D. z = 29 13 + 11 13 i. -Líi gi£i. z = 5i 7 2 3i = 29 13 11 13 i)z = 29 13 + 11 13 i. Chån ¡p ¡n D C¥u 127. Cho sè phùc z = (1i) 2 (3 + 2i). Sè phùc z câ ph¦n £o l A. 6. B. 6i. C. 6. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ z = (1i) 2 (3 + 2i) = 4 6i. Do â Im(z) =6. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 128. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢nj2zij = 6 l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng A. 3. B. 6 p 2. C. 6. D. 3 p 2. -Líi gi£i. °t z =x +yi (x;y2R). Ta câ j2zij = 6,j2x + (2y 1)ij = 6, (2x) 2 + (2y 1) 2 = 36,x 2 + y 1 2 2 = 9. Do â tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I 0; 1 2 , b¡n k½nh R = 3. C¡ch kh¡c.j2zij = 6, 2 z 1 2 i = 6,j2j z 1 2 i = 6, z 1 2 i = 3 ) tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán (C) câ t¥m I 0; 1 2 v b¡n k½nh R = 3. Chån ¡p ¡n A C¥u 129. Cho sè phùc z = a +bi(a, b2R) v thäa m¢n i·u ki»n (1 + 2i)z (2 3i) z = 2 + 30i. T½nh têng S =a +b. A. S =2. B. S = 2. C. S = 8. D. S =8. -Líi gi£i. Ta câ (1 + 2i)(a +bi) (2 3i)(abi) = 2 + 30i , a 2b + 2ai +bi 2a + 3b + 3ai + 2bi = 2 + 30i , ¨ a 2b 2a + 3b = 2 2a +b + 3a + 2b = 30 , ¨ a +b = 2 5a + 3b = 30 , ¨ a = 3 b = 5: Suy ra S = 8. Chån ¡p ¡n C C¥u 130. T¼m tªp hñp c¡c iºm tr¶n m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n sè phùc z bi¸t sè phùc (zi)(2 +i) l mët sè thu¦n £o. A. ÷íng th¯ng 2xy + 1 = 0. B. ÷íng th¯ng x + 2y 2 = 0. C. ÷íng th¯ng 2x +y 1 = 0. D. ÷íng th¯ng 2xy 1 = 0. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, x;y2R. (zi)(2 +i) = (x +yii)(2 +i) = (2xy + 1) + (x + 2y 2)i. º (zi)(2 +i) l mët sè thu¦n £o th¼ 2xy + 1 = 0 hay tªp hñp c¡c iºm tr¶n m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng 2xy + 1 = 0. Chån ¡p ¡n A C¥u 131. Cho sè phùc z = p 2 + 3i 2 . Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z b¬ng bao nhi¶u? A. p 2 + 3. B. 6 p 2 + 11. C. 6 p 2 7. D. 11. -Líi gi£i. Ta câ z = p 2 + 3i 2 =7 + 6 p 2i: Vªy sè z câ ph¦n thüc b¬ng7 v ph¦n £o b¬ng 6 p 2. Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z b¬ng 6 p 2 7. Chån ¡p ¡n C C¥u 132. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, sè phùc z = (2 3i) (3 +i) ÷ñc biºu di¹n bði iºm n o sau ¥y? A. M(1;4). B. N(1;4). C. P (1; 4). D. Q(1; 4). Th.s Nguy¹n Ch½n Em 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câ z = (2 3i) (3 +i) =1 4i: Vªy iºm biºu di¹n sè phùc z l iºm M(1;4). Chån ¡p ¡n A C¥u 133. Cho hai sè thüc x; y thäa m¢n x(3 + 2i) +y(1 4i) = 1 + 24i. T½nh gi¡ trà x +y. A. x +y = 4. B. x +y = 3. C. x +y = 2. D. x +y =3. -Líi gi£i. Ta câ x(3 + 2i) +y(1 4i) = 1 + 24i , 3x + 2xi +y 4yi = 1 + 24i , ¨ 3x +y = 1 2x 4y = 24 , ¨ x = 2 y =5: Vªy x +y = 2 + (5) =3. Chån ¡p ¡n D C¥u 134. T¼m mæ-un cõa sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z 2z = 3 + 4i. A.jzj = p 93 3 . B. jzj = p 95 3 . C. jzj = p 91 3 . D.jzj = p 97 3 . -Líi gi£i. °t z =a +bi(a;b2R))z =abi, thay v o ph÷ìng tr¼nh ta câ a +bi 2a + 2bi = 3 + 4i , a + 3bi = 3 + 4i , 8 < : a =3 b = 4 3 : Mæ un cõa z l jzj = É 9 + 16 9 = p 97 3 . Chån ¡p ¡n D C¥u 135. Trongm°tph¯ngtåaëOxy,tªphñpc¡ciºmbiºudi¹nsèphùcz thäam¢ni·uki»nz 2 +(z) 2 = 0 l A. Tröc ho nh v tröc tung. B. ÷íng ph¥n gi¡c cõa gâc ph¦n t÷ thù nh§t v thù ba. C. Tröc ho nh. D. C¡c ÷íng ph¥n gi¡c cõa gâc t¤o bði hai tröc tåa ë. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi (x;y2R). Khi â z 2 + (z) 2 = 0 , (x +yi) 2 + (xyi) 2 = 0 , x 2 y 2 + 2xyi +x 2 y 2 2xyi = 0 , x 2 =y 2 , y =x: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l c¡c ÷íng ph¥n gi¡c cõa gâc t¤o bði hai tröc tåa ë. Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 136. Cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy l iºm M(1;2). T½nh mæ-un cõa sè phùc w =i zz 2 : A. p 6. B. p 26. C. 26. D. 6. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 2i)w =i(1 + 2i) (1 2i) 2 =i 2 (3 4i) = 1 + 5i: Vªyjwj = p 26: Chån ¡p ¡n B C¥u 137. N¸u mæ-un cõa sè phùc z l r (r> 0) th¼ mæ-un cõa sè phùc (1 i) 3 z b¬ng A. p 2r. B. 3r. C. 2r. D. 2 p 2r. -Líi gi£i. Do (1 i) 3 z = (1 i) 3 jzj =j2 2ijjzj = 2 p 2jzj = 2 p 2r: Chån ¡p ¡n D C¥u 138. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = i (3i 1) l A. z = 3 i. B. z =3 + i. C. z = 3 + i. D. z =3 i. -Líi gi£i. Ta câ z = i (3i 1),z =3 i suy ra z =3 + i. Chån ¡p ¡n B C¥u 139. Sè n o trong c¡c sè sau l sè thu¦n £o? A. p 3 + 2i p 3 2i . B. p 3 + 2i + p 3 2i . C. 1 4i 1 + 4i . D. (3 + 3i) 2 . -Líi gi£i. Do (3 + 3i) 2 = 9 + 18i + 9i 2 = 18i n¶n (3 + 3i) 2 l sè thu¦n £o. Chån ¡p ¡n D C¥u 140. Cho sè phùc z = 3 2i: T¼m iºm biºu di¹n cõa sè phùc w =z +iz. A. M (5;5). B. M (1;5). C. M (1; 1). D. M (5; 1). -Líi gi£i. Ta câ: z = 3 + 2i. Khi â w =z +iz = 3 2i +i(3 + 2i) = 1 +i. Vªy iºm biºu di¹n sè phùc w l M(1; 1). Chån ¡p ¡n C C¥u 141. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z =i(3i + 1). A. z = 3i. B. z =3i. C. z =3 +i. D. z = 3 +i. -Líi gi£i. Ta câ: z =i(3i + 1) =3 +i)z =3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 142. Cho sè phùc z = (2 3i)(3 4i). iºm biºu di¹n sè phùc z l A. M (6; 17). B. M (17; 6). C. M (17;6). D. M (6;17). -Líi gi£i. Ta câ z = (2 3i)(3 4i) =6 17i. Do â, iºm biºu di¹n cho sè phùc z l M(6;17). Chån ¡p ¡n D C¥u 143. Rót gån biºu thùc P =i 2000 +i 2021 . A. P = 1 +i. B. P = 1i. C. P =1 +i. D. P =1i. -Líi gi£i. P =i 2000 +i 2021 = 1 +i. Chån ¡p ¡n A C¥u 144. Cho sè phùcz =a+bi (a;b2R) thäa m¢n i·u ki»n (1+i)z +2z = 43i. T½nhP =a+b. A. P = 3. B. P = 10. C. P = 7. D. P = 5. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 144 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gi£ sû z =a +bi vîi a;b2R v i 2 =1. Khi â (1 +i)z + 2z = 4 3i ,(1 +i)(a +bi) + 2(abi) = 4 3i ,(3ab) +i(ab) = 4 3i , ¨ 3ab = 4 ab =3 , 8 > < > : a = 7 2 b = 13 2 : Suy ra P =a +b = 10. Chån ¡p ¡n B C¥u 145. Trong m°t ph¯ng tåa ëOxy, choM;N;P l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc 2+3i; 12i v 3 +i. T¼m tåa ë cõa iºm Q sao cho tù gi¡c MNPQ l h¼nh b¼nh h nh. A. Q(0; 2. B. Q(6; 0). C. Q(2; 6). D. Q(4;4. -Líi gi£i. Ta câ M(2; 3);N(1;2);P (3; 1): Gåi H l trung iºm cõa MP, suy ra H 1 2 ; 2 : V¼ MNPQ l h¼nh b¼nh h nh n¶n H công l trung iºm cõa NQ, do â Q(2; 6). Chån ¡p ¡n C C¥u 146. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n jzij =j2 3izj l A. ÷íng th¯ng x 2y 3 = 0. B. ÷íng th¯ng x + 2y + 1 = 0. C. ÷íng trán x 2 +y 2 = 2. D. ÷íng trán x 2 +y 2 = 4. -Líi gi£i. °t z =x +yi (x;y2R). Khi â, ta câ jzij =j2 3izj , jx +yiij =j2 3ixyij , jx + (y 1)ij =j(2x) + (3y)ij , È x 2 + (y 1) 2 = È (2x) 2 + (3y) 2 , x 2 + (y 1) 2 = (2x) 2 + (3y) 2 , x 2y 3 = 0: Chån ¡p ¡n A C¥u 147. Cho hai sè phùc z 1 = 2 + 4i;z 2 =1 + 3i. T½nh mæun cõa sè phùc w =z 1 z 2 2z 1 . A.jwj = 2 p 2. B. jwj = 2 p 10. C. jwj = 4 p 2. D.jwj = 2. -Líi gi£i. Ta câw = (2 + 4i)(1 3i) 2(2 4i) = (10 10i) (4 8i) = 6 2i. Do âjwj = p 6 2 + (2) 2 = 2 p 10. Chån ¡p ¡n B C¥u 148. T¼m sè thüc m sao cho m 2 1 + (m + 1)i l sè £o. A. m = 0. B. m = 1. C. m =1. D. m =1. -Líi gi£i. m 2 1 + (m + 1)i l sè £o khi m 2 1 = 0 hay m =1. Chån ¡p ¡n C C¥u 149. Cho hai sè phùcz 1 =m + 3i,z 2 = 2 (m + 1)i, vîim2R. T¼m c¡c gi¡ trà cõam ºw =z 1 z 2 l sè thüc. A. m = 1 ho°c m =2. B. m = 2 ho°c m =1. C. m = 2 ho°c m =3. D. m =2 ho°c m =3. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ w =z 1 z 2 = (m + 3i) (2 (m + 1)i) = 5m + 3 + 6mm 2 i. º w l sè thüc th¼ 6mm 2 = 0, m =3 m = 2: Chån ¡p ¡n C C¥u 150. Cho hai sè phùcz =m + 3i v z 0 = 2 (m + 1)i. T½ch c¡c gi¡ trà cõam ºzz 0 l sè thüc l A. 6. B. 6. C. 10. D. 12. -Líi gi£i. Ta câ zz 0 = (m + 3i) (2 (m + 1)i) = 5m + 3 +i(m 2 m + 6). Do â zz 0 l sè thüc khi v ch¿ khim 2 m + 6 = 0, m = 2 m =3: Chån ¡p ¡n B C¥u 151. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz 3ij = 5 v z 4 l sè thu¦n £o kh¡c 0? A. 2. B. 0. C. Væ sè. D. 1. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (vîi x;y2R). Ta câ z 4 = (x 4) +yi l sè thu¦n £o kh¡c 0 n¶n ¨ y6= 0 x = 4: Khi âjz 3ij = 5,x 2 + (y 3) 2 = 25, (y 3) 2 = 9,y = 6 (v¼ y6= 0). Chån ¡p ¡n D C¥u 152. T¼m tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz + 1 2ij = 3: A. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh r = 3. B. ÷íng trán t¥m I(1;2), b¡n k½nh r = 3. C. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh r = 9. D. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh r = 9. -Líi gi£i. °t z =x +yi; (x;y2R), ta câ M(x;y) biºu di¹n sè phùc z. Dojz + 1 2ij = 3)j(x + 1) + (y 2)ij = 3, p (x + 1) 2 + (y 2) 2 = 3, (x + 1) 2 + (y 2) 2 = 9. Suy ra tªp hñp iºm M(x;y) biºu di¹n z l ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh r = 3. Chån ¡p ¡n A C¥u 153. Gåi x;y l hai sè thüc thäa x(3 5i)y(2i) 2 = 4 2i. T½nh M = 2xy. A. M = 1. B. M = 2. C. M =2. D. M = 0. -Líi gi£i. Ta câx(3 5i)y(2i) 2 = 4 2i,x(3 5i)y(4 4i +i 2 ) = 4 2i, (3x 3y) (5x 4y)i = 4 2i. Khi â ta câ h» ¨ 3x 3y = 4 5x 4y = 2 , 8 > < > : x = 10 3 y = 14 3 : Suy ra M = 2xy = 2 10 3 + 14 3 =2: Chån ¡p ¡n C C¥u 154. Cho sè phùcz thäa m¢njz + 1ij =jz 1 + 2ij. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùcz tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët ÷íng th¯ng. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â. A. 4x + 6y 3 = 0. B. 4x 6y + 3 = 0. C. 4x 6y 3 = 0. D. 4x + 6y + 3 = 0. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, vîi x;y2R. Khi â jz + 1ij =jz 1 + 2ij , jx +yi + 1ij =jx +yi 1 + 2ij , (x + 1) 2 + (y 1) 2 = (x 1) 2 + (y + 2) 2 , 4x 6y 3 = 0: Chån ¡p ¡n C C¥u 155. Cho sè phùc z = 2 3i. T¼m mæ-un cõa sè phùc w = 2z + (1 +i)z. A.jwj = p 10. B. jwj = 4. C. jwj = p 15. D.jwj = 2 p 2. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 w = 2z + (1 +i)z,w = 2(2 3i) + (1 +i)(2 + 3i) = 4 6i + 2 + 2i + 3i 3 = 3i. Khi âjwj = p 10. Chån ¡p ¡n A C¥u 156. Cho hai sè thücx,y thäa ph÷ìng tr¼nh 2x + 3 + (1 2y)i = 2(2i) 3yi +x. T½nh gi¡ trà biºu thùc P =x 2 3xyy. A. P =12. B. P = 13. C. P = 11. D. P =3. -Líi gi£i. Ta câ 2x + 3 + (1 2y)i = 2(2i) 3yi +x , 2x + 3 + (1 2y)i = 4 +x + (3y 2)i , ¨ 2x + 3 = 4 +x 1 2y =3y 2 , ¨ x = 1 y =3: Suy ra P =x 2 3xyy = 1 2 3 (3) (3) = 13. Chån ¡p ¡n B C¥u 157. Cho hai sè phùc z 1 = 2 +i, z 2 = 4 3i. Khi â z 1 z 2 câ ph¦n £o b¬ng A. 11. B. 2. C. 11. D.2. -Líi gi£i. z 1 z 2 = (2 +i)(4 3i) = 11 2i. Vªy sè phùc z 1 z 2 câ ph¦n £o b¬ng2. Chån ¡p ¡n D C¥u 158. Cho sè phùc thäa m¢n z = 1 + 3i 1i .T¼m mæ-un cõa w =iz +z. A.jwj = 2 p 2. B. jwj = 4 p 2. C. jwj = p 2. D.jwj = 3 p 2. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 + 3i 1i )z =1 + 2i)z =1 2i)w =3 3i)jwj = 3 p 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 159. Cho sè phùc z =a +bi (a; b2R) thäa m¢n 3z 2z 6 + 10i = 0. T½nh ab. A. 8. B. 8. C. 4. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ 3z 2z 6 + 10i = 0 , 3(a +bi) 2(abi) 6 + 10i = 0 , a 6 + (5b + 10)i = 0 , ¨ a = 6 b =2 : Suy ra ab = 8. Chån ¡p ¡n A C¥u 160. iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l M(1; 2). Tåa ë cõa iºm biºu di¹n cho sè phùc w = z 2z l A. (2;3). B. (2; 1). C. (1; 6). D. (2; 3). -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t suy ra z = 1 + 2i. Tø â w =z 2z = (1 + 2i) 2(1 2i) =1 + 6i. Vªy tåa ë cõa iºm biºu di¹n sè phùc w l (1; 6). Chån ¡p ¡n C C¥u 161. Cho sè phùcz =2+i. iºm n o sau ¥y l iºm biºu di¹n cõa sè phùcw =iz tr¶n m°t ph¯ng tåa ë? A. P (2; 1). B. N(2; 1). C. Q(1; 2). D. M(1;2). -Líi gi£i. Câ w =zi =i(2 +i) =1 2i n¶n iºm biºu di¹n cõa w l iºm M(1;2). Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 162. Cho sè phùc z thäa m¢njz + 3 4ij = 5. Bi¸t r¬ng tªp hñp iºm trong m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán. T¼m tåa ë t¥m I v b¡n k½nh R cõa ÷íng trán â. A. I(3;4), R = p 5. B. I(3; 4), R = p 5. C. I(3;4), R = 5. D. I(3; 4), R = 5. -Líi gi£i. Gåi z = x +iy; (x;y2R) th¼jz + 3 4ij = 5, (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 25. Vªy t¥m I(3; 4) v b¡n k½nh R = 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 163. Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z thäa m¢n iz + (1i)z =2i b¬ng A. 2. B. 2. C. 6. D.6. -Líi gi£i. Gåi z =x +iy, (x;y2R). iz + (1i)z =2i , i(x +iy) + (1i)(xiy) =2i , (x 2y) + (2y)i = 0 , ¨ x 2y = 0 2y = 0 , ¨ x = 4 y = 2 Vªy x +y = 6. C¡ch 2: C¡ch trc nghi»m Nhªp m¡y t½nh iz + (1i)z CALC z = 1 ta ÷ñc 1 + 0i; CALC z =i ta ÷ñc2i. Gi£i h» ¨ 1x 2y = 0 0x 1y =2 , ¨ x = 4 y = 2 . Vªy x +y = 6. Chån ¡p ¡n C C¥u 164. Cho sè phùc z = 3 + 5i. T¼m mæun cõa sè phùc w =iz +z. A.jwj = 2. B. jwj = 2 + p 2. C. jwj = 3 p 2. D.jwj = 2 p 2. -Líi gi£i. Ta câ w =iz +z =i (3 + 5i) + 3 5i =2 2i)jwj = 2 p 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 165. Cho sè phùc z tho£ m¢n z = (1 p 3i) 3 1i . T¼m mæun cõa w =ziz. A. 8 p 2. B. 8. C. 4 p 2. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 p 3i) 3 1i =4 4i. Suy ra z =4 + 4i; do â w =ziz =8 + 8i. Vªyjwj =jzizj = p (8) 2 + 8 2 = 8 p 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 166. Cho hai sè phùcz 1 = 1+2i;z 2 = 23i. X¡c ành ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc 2z 1 +z 2 . A. Ph¦n thüc l 4, ph¦n £o l 6. B. Ph¦n thüc l 4, ph¦n £o l 1. C. Ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 4. D. Ph¦n thüc l 4, ph¦n £o l 5. -Líi gi£i. ta câ: 2z 1 +z 2 = 4i. Suy ra ph¦n thüc l 4, ph¦n £o l 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 167. Hai sè phùc z 1 = 2 + 3i, z 2 = 1 +i. Gi¡ trà cõa biºu thùcjz 1 + 3z 2 j l A. p 55. B. 5. C. 6. D. p 61. -Líi gi£i. Ta câ z 1 + 3z 2 = 2 + 3i + 3(1 +i) = 5 + 6i. Do âjz 1 + 3z 2 j =j5 + 6ij = p 5 2 + 6 2 = p 61. Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 168. Cho sè phùc z thäa m¢njz 1j =jz 2 + 3ij. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l A. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 1. B. ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 2x 6y + 12 = 0. C. ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh x 3y 6 = 0. D. ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh x 5y 6 = 0. -Líi gi£i. °t z =x +yi (x;y2R). Ta câ jz 1j =jz 2 + 3ij,jx 1 +yij =jx 2 + (y + 3)ij, (x 1) 2 +y 2 = (x 2) 2 + (y + 3) 2 ,x 3y 6 = 0. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh x 3y 6 = 0. Chån ¡p ¡n C C¥u 169. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = i(1 2i) câ iºm biºu di¹n trong m°t ph¯ng tåa ë l iºm n o d÷îi ¥y? A. E(2;1). B. B(1; 2). C. A(1; 2). D. F (2; 1). -Líi gi£i. Ta câ z = i(1 2i) = i 2i 2 = 2 +i) z = 2i. Do â z câ iºm biºu di¹n trong m°t ph¯ng tåa ë l iºm E(2;1). Chån ¡p ¡n A C¥u 170. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n (1 +i)z + (2i)z = 13 + 2i? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R), ta câ: (1 +i)z + (2i)z = 13 + 2i , (1 +i)(a +bi) + (2i)(abi) = 13 + 2i , 3a 2bbi = 13 + 2i, ¨ 3a 2b = 13 b = 2 , ¨ a = 3 b =2: Vªy z = 3 2i n¶n câ 1 sè phùc z thäa m¢n. Chån ¡p ¡n D C¥u 171. Cho sè phùc z = 3 5i. Gåi w =x +yi; (x;y2R) l mët c«n bªc hai cõa z. Gi¡ trà cõa biºu thùc T =x 4 +y 4 l A. T = 43 2 . B. T = 34. C. T = 706. D. T = 17 2 . -Líi gi£i. Ta câ w 2 =z,x 2 y 2 + 2xyi = 3 5i, ¨ x 2 y 2 = 3 2xy =5: M ta câ T =x 4 +y 4 = (x 2 y 2 ) 2 + 2x 2 y 2 = 3 2 + 2 5 2 2 = 43 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 172. Chosèphùcz =a+bi; (a;b2R)thäam¢nz+7+ijzj(2+i) = 0v jzj< 3.T½nhP =a+b. A. P = 5. B. P = 1 2 . C. P = 7. D. P = 5 2 . -Líi gi£i. z + 7 +ijzj(2 +i) = 0,a + 7 + (b + 1)i 2 p a 2 +b 2 p a 2 +b 2 i = 0, ( a + 7 = 2 p a 2 +b 2 (1) p a 2 +b 2 =b + 1 (2) . Suy ra a + 7 = 2(b + 1))a = 2b 5 th¸ v o (2) ta ÷ñc p (2b 5) 2 +b 2 =b + 1, ¨ b1 4b 2 22b + 24 = 0 , 8 > > > < > > > : b1 2 4 b = 4 b = 3 2 . Vîi b = 4)a = 3)jzj = 5> 3 (khæng thäa m¢n). Vîi b = 3 2 )a =2)jzj = 5 2 < 3. Vªy z =2 + 3 2 i)P =a +b = 1 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n B C¥u 173. Cho sè phùc z = 2 3i. T½nh mæ-un cõa sè phùc w = (1 +i)z. A.jwj = p 26. B. jwj = p 37. C. jwj = 5. D.jwj = 4. -Líi gi£i. Ta câjwj =j(1 +i)zj =j1 +ijj2 3ij = p 2 p 13 = p 26. Chån ¡p ¡n A C¥u 174. T½nh P = 1 + p 3i 2018 + 1 p 3i 2018 . A. P = 2. B. P = 2 1010 . C. P = 2 2019 . D. P = 4. -Líi gi£i. Ta câ: 1 + p 3i = 1 p 3i = 2, n¶n P = 2 2018 + 2 2018 = 2 2019 . Chån ¡p ¡n C C¥u 175. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz 3 + 4ij = 5 l A. Mët ÷íng trán. B. Mët ÷íng th¯ng. C. Mët ÷íng parabol. D. Mët ÷íng elip. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi vîi x;y2R. Theo gi£i thi¸tjz 3 + 4ij = 5,j(x 3) + (y + 4)ij = 5, (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 25: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(3;4) b¡n k½nh R = 5: Chån ¡p ¡n A C¥u 176. T¼m mæ-un cõa sè phùc z bi¸t z 4 = (1 + i)jzj (4 + 3z) i. A.jzj = 4. B. jzj = 1. C. jzj = 1 2 . D.jzj = 2. -Líi gi£i. Ta câ z 4 = (1 + i)jzj (4 + 3z) i, (1 + 3i)z = (1 + i)jzj + 4 (1 i) ,z = 1 + i 1 + 3i jzj + 4 1 i 1 + 3i ,z = (1 + i) (1 3i) (1 + 3i) (1 3i) jzj + 4 (1 i) (1 3i) (1 + 3i) (1 3i) ,z = 2 5 1 5 i jzj 4 1 5 + 2 5 i =,z = 2 5 jzj 4 5 jzj 5 + 8 5 i: Khi â jzj 2 = 2 5 jzj 4 5 2 + jzj 5 + 8 5 2 , 25jzj 2 = (2jzj 4) 2 + (jzj + 8) 2 , 25jzj 2 = 4jzj 2 16jzj + 16 +jzj 2 + 16jzj + 64, 20jzj 2 = 80, jzj = 2 jzj =2: Suy rajzj = 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 177. Bi¸t ph÷ìng tr¼nh z 2 + 2z +m = 0 (m2R) câ mët nghi»m phùc z 1 =1 + 3i v z 2 l nghi»m phùc cán l¤i. Sè phùc z 1 + 2z 2 l A.3 + 3i. B. 3 + 9i. C. 3 3i. D.3 + 9i. -Líi gi£i. Ta câ z 1 +z 2 = b a =2,z 2 =2z 1 =2 + 1 3i =1 3i. Vªy z 1 + 2z 2 =3 3i. Chån ¡p ¡n C C¥u 178. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z; bi¸t z =i(4i + 3): A. Ph¦n thüc b¬ng 4, ph¦n £o b¬ng 3. B. Ph¦n thüc b¬ng 4, ph¦n £o b¬ng3. C. Ph¦n thüc b¬ng 4, ph¦n £o b¬ng 3i. D. Ph¦n thüc b¬ng 4, ph¦n £o b¬ng3i. -Líi gi£i. z = 4 3i n¶n z = 4 + 3i. Vªy z câ ph¦n thüc b¬ng 4, ph¦n £o b¬ng 3. Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 179. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 + 2i)z 5 = 3i: T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z. A. z = 11 5 7 5 i. B. z = 11 5 + 7 5 i. C. z = 11 5 7 5 i. D. z = 11 5 + 7 5 i. -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t, ta suy ra z = 5 + 3i 1 + 2i = 11 5 7 5 i. Suy ra z = 11 5 + 7 5 i: Chån ¡p ¡n B C¥u 180. Trong m°t ph¯ng phùc, bi¸t sè phùc z câ iºm biºu di¹n n¬m trong gâc ph¦n t÷ (I). Häi iºm biºu di¹n cõa sè phùc w = 1 iz n¬m trong gâc ph¦n t÷ n o? A. (I). B. (II). C. (III). D. (IV ). -Líi gi£i. iºm biºu di¹n cõa iz ch½nh l £nh cõa iºm biºu di¹n cõa z qua ph²p quay t¥m O, gâc quay 90 : Trong khi iºm biºu di¹n cõa 1 z v iºm biºu di¹n cõa z kh¡c ph½a èi vîi tröc ho nh v còng ph½a èi vîi tröc tung. Vªy iºm biºu di¹n cõa w thuëc gâc ph¦n t÷ (III). Chån ¡p ¡n C C¥u 181. N¸u mæun cõa sè phùc z b¬ng r (r> 0) th¼ mæun cõa sè phùc (1 i) 2 z b¬ng A. 2r. B. 4r. C. r. D. r p 2. -Líi gi£i. Ta câ j(1 i) 2 zj =j(1 i) 2 jjzj = 2jzj = 2r: Chån ¡p ¡n A C¥u 182. Cho hai sè phùc z 1 = 1 + 3i; z 2 = 3 4i. Mæun cõa sè phùc w =z 1 +z 2 b¬ng A. p 17. B. p 15. C. 17. D. 15. -Líi gi£i. Ta câ w = 4 i. Suy rajwj = p 4 2 + (1) 2 = p 17. Chån ¡p ¡n A C¥u 183. Mæun cõa sè phùc z = (2 3i)(1 + i) 4 l A.jzj =8 + 12i. B. jzj = p 13. C. jzj = 4 p 13. D.jzj = p 31. -Líi gi£i. Ta câ (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i) (1 + i) 4 = (2i) 2 = 4i 2 =4 n¶n z = (2 3i)(1 + i) 4 = (2 3i)(4) =8 + 12i: Tø âjzj = p (8) 2 + 12 2 = 4 p 13. Chån ¡p ¡n C C¥u 184. Cho sè phùc z thäa m¢n z + 2z = 12 2i. Ph¦n thüc a v ph¦n £o b cõa z l A. a = 4; b = 2i. B. a = 4; b = 2. C. a = 4; b =2. D. a = 4; b =2i. -Líi gi£i. Ta câ z =a +bi. Tø gi£ thi¸t suy ra a +bi + 2(abi) = 12 2i, 3abi = 12 2i , ¨ 3a = 12 b =2 , ¨ a = 4 b = 2: Vªy a = 4; b = 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 185. Cho hai sè phùc z = (a 2b) (ab)i v w = 1 2i, bi¸t z =wi. T½nh S =a +b. A. S =7. B. S =4. C. S =3. D. S = 7. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 151 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ z =!i , (a 2b) (ab)i = (1 2i)i , (a 2b) (ab)i = 2 +i , ¨ a 2b = 2 a +b = 1 , ¨ a =4 b =3 )S =a +b =7: Chån ¡p ¡n A C¥u 186. Cho sè phùc z thäa m¢n z + (1 +i) z = 5 + 2i. Mæ-un cõa z b¬ng A. 3. B. p 6. C. p 27. D. p 5. -Líi gi£i. °t z =a +bi. Ta câ z + (1 +i) z = 5 + 2i, (a +bi) + (1 +i)(abi) = 5 + 2i, 2a +b +ai = 5 + 2i , ¨ 2a +b = 5 a = 2 , ¨ a = 2 b = 1 )z = 2 +i)jzj = p 5 Chån ¡p ¡n D C¥u 187. Cho i l ìn và £o. Gåi S l tªp hñp t§t c£ c¡c sè n nguy¶n d÷ìng câ hai chú sè thäa m¢n i n l sè nguy¶n d÷ìng. Sè ph¦n tû cõa S l A. 22. B. 23. C. 45. D. 46. -Líi gi£i. i n l sè nguy¶n d÷ìng khi v ch¿ khin = 4k, vîik nguy¶n d÷ìng. Khi â, tªp hñpS =fn = 4kj3k 24g. Vªy sè ph¦n tû cõa tªp S l 24 3 + 1 = 22. Chån ¡p ¡n A C¥u 188. Chosèphùcz =a+bi (a;b2R)thäam¢n (z+1+i)(zi)+3i = 9v jzj> 2.T½nhP =a+b. A.3. B. 1. C. 1. D. 2. -Líi gi£i. Ta câ (z + 1 +i)(zi) + 3i = 9,zz +i(zz) +zi + 1 + 3i = 9,a 2 +b 2 + 2b +abi + 1 + 2i = 9. Do â b = 2 v a 2 +a = 0,a = 0 ho°c a =1. Dojzj> 2 n¶n ta chån a =1. Vªy P = 1. Chån ¡p ¡n C C¥u 189. Cho sè phùc z 1 = 3 + 2i, z 2 = 6 + 5i. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa z = 6z 1 + 5z 2 . A. z = 51 + 40i. B. z = 51 40i. C. z = 48 + 37i. D. z = 48 37i. -Líi gi£i. Ta câ z = 6z 1 + 5z 2 = 48 + 37i n¶n z = 48 37i. Chån ¡p ¡n D C¥u 190. Cho sè phùc z =a +bi (vîi a;b l sè nguy¶n) thäa m¢n (1 3i)z l sè thüc v jz 2 + 5ij = 1. Khi â a +b b¬ng A. 9. B. 8. C. 7. D. 6. -Líi gi£i. Ta câ (1 3i)z = (a + 3b) + (b 3a)i, z 2 + 5i = (a 2) + (5b)i. Theo b i ra ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ b 3a = 0 (a 2) 2 + (5b) 2 = 1 , ¨ b = 3a 5a 2 17a + 14 = 0 , 8 > > > < > > > : b = 3a 2 4 a = 7 5 (lo¤i) a = 2 ) ¨ a = 2 b = 6 Vªy a +b = 8. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 191. Cho sè phùc z thäa m¢n (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i. Hi»u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z l A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. -Líi gi£i. Ta câ (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i, (3 + 2i)z + (3 4i) = 4 +i, (3 + 2i)z = 1 + 5i,z = 1 +i. Vªy hi»u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z l 0. Chån ¡p ¡n D C¥u 192. T¼m tåa ë iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = (2 3i)(4i) 3 + 2i tr¶n m°t ph¯ng Oxy. A. (1;4). B. (1; 4). C. (1;4). D. (1; 4). -Líi gi£i. Ta câ z = (2 3i)(4i) 3 + 2i = 5 14i 3 + 2i = (5 14i)(3 2i) 13 = 13 52i 13 =1 4i. Do â iºm biºu di¹n cõa sè phùc z tr¶n m°t ph¯ng Oxy câ tåa ë (1;4). Chån ¡p ¡n A C¥u 193. Cho sè phùc z = (1 + 3i)(4i), ph¦n thüc cõa z b¬ng bao nhi¶u? A. 4. B. 1. C. 11. D. 7. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 + 3i)(4i) = 7 + 11i. Vªy ph¦n thüc cõa z b¬ng 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 194. Trong c¡c sè phùc (1 +i) 4 ; (1 +i) 6 ; (1 +i) 9 ; (1 +i) 10 sè phùc n o l sè thüc? A. (1 +i) 9 . B. (1 +i) 6 . C. (1 +i) 10 . D. (1 +i) 4 . -Líi gi£i. Ta câ (1 +i) 2 = 1 + 2i +i 2 = 2i. Do â (1 +i) 4 = (1 +i) 2 = (2i) 2 =4 l mët sè thüc. Chån ¡p ¡n D C¥u 195. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = p 5 v sè phùc w = (1 + 2i)z. T¼mjwj. A. p 5. B. 5. C. 2 p 5. D. 4. -Líi gi£i. Ta câjwj =j(1 + 2i)zj =j1 + 2ijjzj = p 5 p 5 = 5: Chån ¡p ¡n B C¥u 196. Cho hai sè phùc z 1 = 2 + 3i, z 2 =3 5i. T½nh têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc w =z 1 +z 2 . A. 3. B. 0. C. 1 2i. D.3. -Líi gi£i. Ta câ w =1 2i, n¶n têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa w l 3. Chån ¡p ¡n D C¥u 197. Cho sè phùc z thäa m¢n z + 4z = 7 +i(z 7). Khi â, mæ-un cõa z b¬ng bao nhi¶u? A.jzj = 5. B. jzj = p 3. C. jzj = p 5. D.jzj = 3. -Líi gi£i. °t z =x +yi)z =xyi. Ta câ: z + 4z = 7 +i(z 7), (x +yi) + 4(xyi) = 7 +i(x +yi 7) , 5x 3yi = 7y + (x 7)i, ¨ 5x = 7y 3y =x 7 , ¨ 5x +y = 7 x + 3y = 7 , ¨ x = 1 y = 2 )z = 1 + 2i)jzj = p 1 2 + 2 2 = p 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 198. K½ hi»ua,b l¦n l÷ñt l ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z =i(1i). Kh¯ng ành n o sau ¥y l óng? A. a = 1;b =1. B. a = 1;b = 1. C. a = 1;b =i. D. a = 1;b =i. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 +i suy ra a = 1, b = 1. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 153 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 199. Trong tªp sè phùc, kh¯ng ành n o sau ¥y l óng? A. z 1 +z 2 = z 1 +z 2 . B. z +z l sè thu¦n £o. C. jz 1 +z 2 j =jz 1 j +jz 2 j. D. z 2 (z) 2 = 4ab vîi z =a +bi. -Líi gi£i. Gåi z 1 =a 1 +b 1 i v z 2 =a 2 +b 2 i, vîi a 1 ;a 2 ;b 1 ;b 2 2R. Khi â z 1 +z 2 =a 1 +a 2 + (b 1 +b 2 )i. Do â z 1 +z 2 =a 1 +a 2 (b 1 +b 2 )i =a 1 b 1 i +a 2 b 2 i =z 1 +z 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 200. Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz + 2ij = 4 l ÷íng trán t¥m I câ b¡n k½nh R l¦n l÷ñt l A. I(2;1);R = 4. B. I(2;1);R = 2. C. I(2;1);R = 4. D. I(2;1);R = 2. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi, vîi a;b2R. Suy ra z =abi. Ta câjz + 2ij = 4, (a + 2) 2 + (b 1) 2 = 16, (a + 2) 2 + (b + 1) 2 = 16. Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc l ÷íng trán t¥m I(2;1), b¡n k½nh R = 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 201. Cho sè phùcz =a +bi (trong â a, b l c¡c sè thüc) thäa m¢n 3z (4 + 5i)z =17 + 11i. T½nh ab. A. ab = 6. B. ab =3. C. ab = 3. D. ab =6. -Líi gi£i. Ta câ 3z (4 + 5i)z =17 + 11i, 3(a +bi) (4 + 5i)(abi) =17 + 11i ,a 5b + (5a + 7b)i =17 + 11i, ¨ a 5b =17 5a + 7b = 11 , ¨ a = 2 b = 3 )ab = 6. Chån ¡p ¡n A C¥u 202. Cho sè phùc thäajzj = 3. Bi¸t r¬ng tªp hñp sè phùc w = z +i l mët ÷íng trán. T¼m t¥m cõa ÷íng trán â. A. I(0; 1). B. I(0;1). C. I(1; 0). D. I(1; 0). -Líi gi£i. °t w =x +yi; (x;y2R). Ta câ w = z +i,x +yi = z +i, z =x + (y 1)i,z =x + (1y)i. Theo ·jzj = 3,x 2 + (1y) 2 = 9,x 2 + (y 1) 2 = 9. V¥y tªp hñp sè phùc w = z +i l ÷íng trán t¥m I(0; 1). Chån ¡p ¡n A C¥u 203. Cho sè phùcz thäa m¢n i·u ki»n (1 +i)(zi) + 2z = 2i. Mæ-un cõa sè phùc w = z 2z + 1 z 2 l A. p 10. B. p 8. C. p 10. D. p 8. -Líi gi£i. Ta câ (1 +i)(zi) + 2z = 2i, (3 +i)z =1 + 3i,z =i. Suy ra w = z 2z + 1 z 2 = i 2i + 1 i 2 =1 + 3i. Vªyjwj = p 10. Chån ¡p ¡n A C¥u 204. Cho sè phùc z thäa m¢n 3z + (1 +i)z = 1 5i. T¼m mæ-un cõa z. A.jzj = 5. B. jzj = p 5. C. jzj = p 13. D.jzj = p 10. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (a;b2R). Thay v o ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc: 3(abi) + (1 +i)(a +bi) = 1 5i, (4ab) + (a 2b) = 1 5i , ¨ 4ab = 1 a 2b =5 , ¨ a = 1 b = 3 )z = 1 + 3i)jzj = p 10: Chån ¡p ¡n D C¥u 205. Cho z = 3 2i. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc w = (1 + 2i)z. A.4. B. 7. C. 4. D. 4i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câ w = (1 + 2i)z = (1 + 2i)(3 2i) = 7 + 4i. Tø ¥y ta suy ra ph¦n £o cõa sè phùc w b¬ng 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 206. Cho sè phùcz thäa m¢nz(1 + 2i)z(2 3i) =4 + 12i. T¼m tåa ë iºmM biºu di¹n sè phùc z. A. M(3; 1). B. M(3;1). C. M(1; 3). D. M(1; 3). -Líi gi£i. °t z =a +bi;a;b2R suy ra z =abi Tø gi£ thi¸t ta câ (a +bi)(1 + 2i) (abi)(2 3i) =4 + 12i, (a +b) + (5a + 3b)i =4 + 12i , ¨ a +b =4 5a + 3b = 12 , ¨ a = 3 b =1 . Vªy tåa ë iºm M biºu di¹n sè phùc z l M(3;1). Chån ¡p ¡n B C¥u 207. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n (1 +i)z + 2z = 3 + 2i. T½nh P =a +b. A. P = 1. B. P =1. C. P = 1 2 . D. P = 1 2 . -Líi gi£i. Ta câ (1 +i)z + 2z = 3 + 2i , (1 +i)(a +bi) + 2(abi) = 3 + 2i , a +bi +aib + 2a 2bi = 3 + 2i , 3ab + (ab)i = 3 + 2i , ¨ 3ab = 3 ab = 2 , 8 > < > : a = 1 2 b = 3 2 : Vªy P =a +b =1. Chån ¡p ¡n B C¥u 208. Trong m°t ph¯ng phùc, tªp hñp iºm biºu di¹n cho sè phùc z thäajz + 4 3ij6 2 l A. H¼nh trán t¥m I(4; 3), b¡n k½nh R = 4. B. H¼nh trán t¥m I(4;3), b¡n k½nh R = 4. C. H¼nh trán t¥m I(4;3), b¡n k½nh R = 2. D. H¼nh trán t¥m I(4; 3), b¡n k½nh R = 2. -Líi gi£i. °t z =x +yi; (x;y2R). Ta câ:jz + 4 3ij6 2, p (x + 4) 2 + (y 3) 2 6 2, (x + 4) 2 + (y 3) 2 6 4. Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l iºm c¡ch iºm I(4; 3) mët kho£ng b² hìn ho°c b¬ng 2 hay tªp hñp iºm biºu di¹n l h¼nh trán t¥m I(4; 3), b¡n k½nh R = 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 209. X²t c¡c sè phùcz thäa m¢n (z + 2i + 1) (z + 3i) l sè thu¦n £o, bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán. T¥m cõa ÷íng trán â l : A. 1 2 ; 1 2 . B. 1 2 ; 1 2 . C. 1 2 ; 1 2 . D. 1 2 ; 1 2 . -Líi gi£i. Gåi sè phùc z câ d¤ng z =x +yi. Theo gi£ thi¸t ta câ: (z + 2i + 1) (z + 3i) = (x +yi + 2i + 1)(xyi + 3i) = (x 2 +x 6 +y 2 y) + (5x + 3y)i Th.s Nguy¹n Ch½n Em 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 M (z + 2i + 1) (z + 3i) l mët sè thu¦n £o n¶n ph¦n thüc b¬ng 0. Suy ra x 2 +x 6 +y 2 y = 0 , x 2 +x + 1 4 + y 2 y + 1 4 = 13 2 , x + 1 2 2 + y 1 2 2 = 13 2 : Vªy iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán câ t¥m l 1 2 ; 1 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 210. Cho sè phùc z thäa m¢njz + 2ij = 3. Tªp hñp c¡c iºm trong m°t ph¯ng Oxy biºu di¹n sè phùc w = 1 +z l A. ÷íng trán t¥m I(2; 1) b¡n k½nh R = 3. B. ÷íng trán t¥m I(2;1) b¡n k½nh R = 3. C. ÷íng trán t¥m I(1;1) b¡n k½nh R = 9. D. ÷íng trán t¥m I(1;1) b¡n k½nh R = 3. -Líi gi£i. Tø w = 1 +z)w = 1 +z)z =w 1. Th¸ v ojz + 2ij = 3 ta ÷ñc jw + 1ij = 3, w + 1i = 3,jw + 1 +ij = 3: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(1;1), b¡n k½nh R = 3. Chån ¡p ¡n D C¥u 211. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n z 2 + 2jzj = 0 ? A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi, x; y2R. Theo gi£ thi¸tz 2 +2jzj = 0, (x+yi) 2 + p x 2 +y 2 = 0, ¨ x 2 y 2 + p x 2 +y 2 = 0 2xy = 0 , 2 6 6 6 6 4 ¨ x = 0 jyjy 2 = 0 (1) ¨ y = 0 x 2 +jxj = 0: (2) Gi£i h» (1) ta ÷ñc 2 6 4 8 > < > : x = 0 jyj = 0 jyj = 1 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ¨ x = 0 y = 0 ¨ x = 0 y =1 ¨ x = 0 y = 1: Gi£i h» (2) ta ÷ñc ¨ x = 0 y = 0: Vªy câ 3 sè phùc thäa m¢n b i to¡n l z = 0, z =i, z =i. Chån ¡p ¡n D C¥u 212. Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢njzij = 4 l ÷íng cong câ ph÷ìng tr¼nh A. (x 1) 2 +y 2 = 4. B. x 2 + (y 1) 2 = 4. C. (x 1) 2 +y 2 = 16. D. x 2 + (y 1) 2 = 16. -Líi gi£i. Ta câjzij = 4jx +yiij = 4, p x 2 + (y 1) 2 = 4,x 2 + (y 1) 2 = 16. Chån ¡p ¡n D 4 ĐÁPÁN 1. D 2. B 3. C 4. A 5. A 6. B 7. A 8. A 9. A 10. A 11. A 12. C 13. A 14. A 15. C 16. A 17. D 18. B 19. C 20. B 21. C 22. A 23. D 24. B 25. D 26. A 27. B 28. B 29. B 30. D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 31. A 32. C 33. B 34. A 35. A 36. D 37. C 38. A 39. C 40. D 41. A 42. C 43. C 44. D 45. C 46. B 47. D 48. A 49. A 50. C 51. B 52. B 53. A 54. C 55. C 56. C 57. C 58. A 59. C 60. B 61. A 62. A 63. D 64. A 65. A 66. A 67. B 68. D 69. B 70. A 71. C 72. A 73. C 74. C 75. A 76. B 77. B 78. A 79. C 80. B 81. A 82. B 83. B 84. C 85. A 86. B 87. C 88. D 89. C 90. A 91. A 92. D 93. B 94. A 95. A 96. D 97. D 98. B 99. B 100. D 101. A 102. A 103. A 104. D 105. B 106. D 107. A 108. A 109. D 110. C 111. C 112. C 113. C 114. B 115. D 116. A 117. A 118. A 119. D 120. D 121. C 122. C 123. B 124. D 125. A 126. D 127. C 128. A 129. C 130. A 131. C 132. A 133. D 134. D 135. D 136. B 137. D 138. B 139. D 140. C 141. B 142. D 143. A 144. B 145. C 146. A 147. B 148. C 149. C 150. B 151. D 152. A 153. C 154. C 155. A 156. B 157. D 158. D 159. A 160. C 161. D 162. D 163. C 164. D 165. A 166. B 167. D 168. C 169. A 170. D 171. A 172. B 173. A 174. C 175. A 176. D 177. C 178. A 179. B 180. C 181. A 182. A 183. C 184. B 185. A 186. D 187. A 188. C 189. D 190. B 191. D 192. A 193. D 194. D 195. B 196. D 197. C 198. B 199. A 200. A 201. A 202. A 203. A 204. D 205. C 206. B 207. B 208. D 209. D 210. D 211. D 212. D 5 VẬNDỤNGTHẤP C¥u 1. Cho sè phùc z câ ph¦n thüc l sè nguy¶n v z thäa m¢njzj 2 z =7 + 3i +z. T½nh mæ-un cõa sè phùc w = 1z +z 2 . A.jwj = p 37. B. jwj = p 457. C. jwj = p 425. D.jwj = p 445. -Líi gi£i. °t z =a +bi, vîi a2Z. Theo · b i ta câ p a 2 +b 2 = 2(abi) 7 + 3i +a +bi, p a 2 +b 2 = (3a 7) + (3b)i: () Suy ra 3b = 0 hay b = 3. Khi â () trð th nh p a 2 + 9 = 3a 7, ¨ 3a 7 0 8a 2 42a + 40 = 0 , 8 > > > > < > > > > : a 7 3 2 4 a = 4 a = 5 4 ,a = 4: Vªy z = 4 + 3i. Khi â w = 1 (4 + 3i) + (4 + 3i 2 ) = 1 4 3i + 16 + 24i 9 = 4 + 21i. Do âjwj = p 4 2 + 21 2 = p 457. Chån ¡p ¡n B C¥u 2. Choc¡csèphùcz thäam¢njzj = 4.Bi¸tr¬ngtªphñpc¡ciºmbiºudi¹nc¡csèphùcw = (3+4i)z+i l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh r cõa ÷íng trán â. A. r = 4. B. r = 5. C. r = 20. D. r = 22. -Líi gi£i. Ta câjwij =j(3 + 4i)zj =j3 + 4ijjzj = p 3 2 + 4 2 4 = 20: Suy ra tªp hñp iºm biºu di¹n cho c¡c sè phùc w l ÷íng tráng t¥m I(0; 1), b¡n k½nh r = 20. Chån ¡p ¡n C C¥u 3. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n z + 3 +ijzji = 0. T½nh S =a +b. A. 0. B. 1. C. 3. D. 1. -Líi gi£i. z + 3 +ijzji = 0,a +bi + 3 +i p a 2 +b 2 i = 0, (a + 3) + b + 1 p a 2 +b 2 i = 0 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 , ( a + 3 = 0 b + 1 p a 2 +b 2 = 0 , ( a =3 p 9 +b 2 =b + 1 , 8 > < > : a =3 b + 1> 0 9 +b 2 = (b + 1) 2 , 8 > < > : a =3 b>1 9 = 2b + 1 , 8 > < > : a =3 b> 1 b = 4 , ¨ a =3 b = 4: Vªy S =a +b =3 + 4 = 1. Chån ¡p ¡n D C¥u 4. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz 1j 2 +jzzji + (z +z)i 2019 = 1? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi)z =abi vîi a;b2R. Ta câ jz 1j 2 =ja +bi 1j 2 = (a 1) 2 +b 2 . jzzji =ja +bia +biji = È (2b) 2 i = 2jbji. i 2019 =i 4504+3 = i 4 504 i 3 =ii 2 =i. (z +z)i 2019 =i (a +bi +abi) =2ai. Khi â ta suy ra (a 1) 2 +b 2 + 2jbji 2ai = 1. ¨ (a 1) 2 +b 2 = 1 2jbj 2a = 0 , ¨ a 2 2a +b 2 = 0 a =jbj , ¨ 2jbj 2 2jbj = 0 a =jbj , 8 > < > : jbj = 0 jbj = 1 a =jbj , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ¨ a = 0 b = 0 ¨ a = 1 b = 1 ¨ a = 1 b =1: Vªy câ 3 sè phùc z thäa m¢n. Chån ¡p ¡n D C¥u 5. Câ t§t c£ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z +i p 5 + zi p 5 = 6, bi¸t z câ mæ un b¬ng p 5? A. 3. B. 4. C. 2. D. 0. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x, y2R. Câjzj = p 5)z thuëc ÷íng trán (C) t¥m O(0; 0) b¡n k½nh R = p 5. Gåi M(x;y), E(0; p 5), F (0; p 5) l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z, i p 5 v i p 5. Ta câ c =EF = 2 p 5 v z +i p 5 + zi p 5 = 6,ME +MF = 6. Suy ra M thuëc elip (E) câ hai ti¶u iºm l E, F 2 Oy ë d i tröc lîn a = 3 n¬m tr¶n Oy v tröc b² b = p a 2 c 2 = 2 n¬m tr¶n Ox. Suy ra b < > : jz 1 j = 2 jz 2 j = 2 jz 1 + 2z 2 j = 4 , 8 > < > : a 2 +b 2 = 4 c 2 +d 2 = 4 (a + 2c) 2 + (b + 2d) 2 = 16 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 158 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 , 8 > < > : a 2 +b 2 = 4 (1) c 2 +d 2 = 4 (2) a 2 +b 2 + 4 c 2 +d 2 + 4 (ac +bd) = 16 (3): Thay (1), (2) v o (3) ta ÷ñc ac +bd =1. (4) Ta câj2z 1 z 2 j = p (2ac) 2 + (2bd) 2 = p 4(a 2 +b 2 ) + (c 2 +d 2 ) 4(ac +bd). (5) Thay (1), (2), (4) v o (5) ta câj2z 1 z 2 j = 2 p 6. Chån ¡p ¡n A C¥u 7. Cho hai sè phùc z; w thay êi tho£ m¢njzj = 3;jzwj = 1. Bi¸t tªp hñp iºm cõa sè phùc w l h¼nh ph¯ng H. T½nh di»n t½ch S cõa h¼nh H. A. S = 20. B. S = 16. C. S = 4. D. S = 12. -Líi gi£i. Gåi M, N l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z, w. Suy ra M n¬m tr¶n ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh b¬ng 3. V¼jzwj = 1 n¶n MN = 1, do â N n¬m tr¶n ÷íng trán t¥m O b¡n k½nh b¬ng 4 ho°c b¬ng 2. Suy ra S = 4 2 2 2 = 12. Chån ¡p ¡n D C¥u 8. Cho c¡c sè phùc z thäa m¢njzj = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = 3 2i + (4 3i)z l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh r cõa ÷íng trán â. A. r = 20. B. r = 5. C. r = 10. D. r = 2 p 5. -Líi gi£i. Ta câ w = 3 2i + (4 3i)z,w (3 2i) = (4 3i)z,jw (3 2i)j =j(4 3i)zj,jw (3 2i)j = 10: Vªy r = 10. Chån ¡p ¡n C C¥u 9. T½nh mæun cõa sè phùc z tho£ m¢n 3z z + 2017 (z z) = 48 2016i A.jzj = 4. B. jzj = p 2016. C. jzj = p 2017. D.jzj = 2. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi, tø gi£ thi¸t ta câ 3jzj 2 = 48 2016i 2b 2017i = 48 (v¼jzj 2 2R), suy rajzj = 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 10. Cho sè phùcz =a+bi, (a;b2R) thäa m¢nz+2+ijzj(1+i) = 0 v jzj> 1. T½nhP =a+b. A. P = 3. B. P =1. C. P =5. D. P = 7. -Líi gi£i. Ta câ z + 2 +ijzj(1 +i) = 0,z = (jzj 2) + (jzj 1)i. L§y mæ-un hai v¸, ta ÷ñcjzj = È (jzj 2) 2 + (jzj 1) 2 )jzj 2 = 2jzj 2 6jzj 2 + 5) jzj = 1 lo¤i dojzj> 1 jzj = 5 thäajzj> 1 . Vîijzj = 5)z = (jzj 2) + (jzj 1)i = 3 + 4i: Suy ra a = 3, b = 4. Vªy a +b = 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 11. Cho sè phùc z thäa m¢n z 4 = (i + 1)jzj (3z + 4)i. M»nh · n o d÷îi ¥y óng? A.jzj2 (6; 9). B. jzj2 (4; 6). C. jzj2 (1; 4). D.jzj2 (0; 1). -Líi gi£i. Ta câ z 4 = (i + 1)jzj (3z + 4)i , (1 + 3i)z = (4 +jzj) + (jzj 4)i: L§y mæ-un hai v¸, ta ÷ñc j1 + 3ijjzj = È (4 +jzj) 2 + (jzj 4) 2 , 10jzj 2 = 2jzj 2 + 32,jzj 2 = 4,jzj = 2: Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 12. T¼m sè phùcz =a+bi (vîia,b l c¡c sè thüc v a 2 +b 2 6= 0) thäa m¢n i·u ki»nz(2+iz) =jzj 2 . T½nh S =a 2 + 2b 2 ab A. S = 3. B. S =1. C. S = 2. D. S = 1. -Líi gi£i. z(2 +iz) =jzj 2 , (abi)(2 +i) = 2(a 2 +b 2 ), ¨ 2a +b = 2(a 2 +b 2 ) a 2b = 0: Thay a = 2b v o ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h», ta ÷ñc 5b = 2 5b 2 , 5b = 10b 2 , 2 4 b = 1 2 )a = 1 b = 0)a = 0 , 8 < : b = 1 2 a = 1 (Do a 2 +b 2 6= 0): Vªy S =a 2 + 2b 2 ab = 1. Chån ¡p ¡n D C¥u 13. T¼m mæun cõa sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z(4 3i) = 2 +jzj. A.jzj = 2. B. jzj = 1 2 . C. jzj = 4. D.jzj = 3. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x, y2R. Ta câ (x +yi)(4 3i) = 2 + p x 2 +y 2 , ¨ 4x + 3y = 2 + p x 2 +y 2 3x + 4y = 0: Thay x = 4 3 y, ta câ 4 4y 3 + 3y = 2 + Ê 16y 2 9 +y 2 , 25y 5jyj = 6: y 0, suy ra y = 3 10 )x = 2 5 , ta câjzj = 1 2 . y< 0, suy ra y = 1 5 )x = 4 15 , tr÷íng hñp n y lo¤i. C¡ch kh¡c: L§y mæ-un hai v¸ cõa ¯ng thùc, suy ra jz(4 3i)j =j2 +jzjj, 5jzj = 2 +jzj,jzj = 1 2 : Chån ¡p ¡n B C¥u 14. Cho hai sè phùc z, w thäa m¢n c¡c i·u ki»njz +wj = p 17,jz + 2wj = p 58 v jz 2wj = 5 p 2. Gi¡ trà cõa biºu thùc P =zw +zw b¬ng A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. -Líi gi£i. Ta câjz +wj 2 = (z +w)(z +w) =zz +ww +zw +wz = 17. (1) L¤i câjz + 2wj 2 = (z + 2w) (z + 2w) =zz + 4ww + 2zw + 2wz = 58. (2) Th¶m núajz 2wj 2 = (z 2w) (z 2w) =zz + 4ww 2zw 2wz = 50. (3) Tø (1), (2) v (3) ta ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh 8 > < > : zz +ww +zw +wz = 17 zz + 4ww + 2 (zw +wz) = 58 zz + 4ww 2 (zw +wz) = 50 , 8 > < > : zz = 2 ww = 13 zw +wz = 2: Vªy zw +wz = 2. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 15. Cho sè phùcz thäa m¢n i·u ki»njz 3 + 4ij 2. Trong m°t ph¯ngOxy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w = 2z + 1i l h¼nh trán câ di»n t½ch A. S = 25. B. S = 9. C. S = 12. D. S = 16. -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t ta suy raj2z 6 + 8ij 4,j(2z + 1i) (7 9i)j 4,jw (7 9i)j 4 n¶n tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho w trong m°t ph¯ng Oxy l h¼nh trán câ b¡n k½nh b¬ng 4, do â di»n t½ch h¼nh trán n y b¬ng 16. Chån ¡p ¡n D C¥u 16. Choz 1 ;z 2 thäa m¢nj2zij =j2+izj v jz 1 z 2 j = 1. Gi¡ trà cõa biºu thùcP =jz 1 +z 2 j b¬ng A. p 3 2 . B. p 3. C. p 2. D. p 2 2 . -Líi gi£i. °t z =x +yi, (x;y2R. Ta câ j2zij =j2 +izj, (2x) 2 + (2y 1) 2 = (2y) 2 +x 2 , 3x 2 + 3y 2 = 3,x 2 +y 2 = 1: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n cõa z l ÷íng trán (C) t¥m O(0; 0), b¡n k½nh R = 1. Gåi A l iºm biºu di¹n cõa z 1 v B l iºm biºu di¹n cõa z 2 . Khi â ta câ A;B thuëc (C); AB =jz 1 z 2 j = 1; iºm biºu di¹n cõa sè phùc z 1 +z 2 2 l trung iºm I cõa AB, suy ra jz 1 +z 2 j = 2 z 1 +z 2 2 = 2OI = 2 p OA 2 AI 2 = p 3: O A B I Chån ¡p ¡n B C¥u 17. GåiS l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶nm sao cho tçn t¤i 2 sè phùc ph¥n bi»tz 1 ;z 2 tho£ m¢n çng thíi c¡c ph÷ìng tr¼nhjz 1j =jzij v jz + 2mj =m + 1. Têng t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa S l A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi, x;y2R. Ta câjz + 2mj =m + 1 0. TH 1. m + 1 = 0,m =1 suy ra z = 2 (lo¤i) v¼ khæng thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhjz 1j =jzij . TH 2. m + 1> 0,m>1 (1). Theo · b i ta câ ¨ jz 1j =jzij jz + 2mj =m + 1 , ¨ (x 1) 2 +y 2 =x 2 + (y 1) 2 (x + 2m) 2 +y 2 = (m + 1) 2 , ¨ y =x (x + 2m) 2 +y 2 = (m + 1) 2 , ¨ y =x 2x 2 + 4mx + 3m 2 2m 1 = 0: () º tçn t¤i hai sè phùc ph¥n bi»t z 1 ;z 2 thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n th¼ ph÷ìng tr¼nh (*) câ 2 nghi»m ph¥n bi»t , 0 = 4m 2 2 3m 2 2m 1 = 2 m 2 + 2m + 1 > 0, 1 p 2 > > > < > > > > : a 7 3 2 4 a = 4 a = 5 4 )a = 4. Vªy z = 4 + 3i)w = 1z +z 2 = 4 + 21i)jwj = p 457. Chån ¡p ¡n C C¥u 21. Gåi z 1 , z 2 l hai trong c¡c sè phùc z thäa m¢njz 3 + 5ij = 5 v jz 1 z 2 j = 6. T¼m mæ-un cõa sè phùc w =z 1 +z 2 6 + 10i. A.jwj = 10. B. jwj = 32. C. jwj = 16. D.jwj = 8. -Líi gi£i. °t ¨ w 1 =z 1 3 + 5i w 2 =z 2 3 + 5i )w 1 +w 2 =z 1 +z 2 6 + 10i =w. M ¨ jw 1 j =jw 2 j = 5 jw 1 w 2 j =jz 1 z 2 j = 6: M°t kh¡cjw 1 +w 2 j 2 +jw 1 w 2 j 2 = 2 jw 1 j 2 +jw 2 j 2 )jw 1 +w 2 j 2 = 64. Vªyjwj =jw 1 +w 2 j = 8. Chån ¡p ¡n D C¥u 22. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n z 2 2018z = 2019jzj 2 ? A. Væ sè. B. 2. C. 1. D. 0. -Líi gi£i. °t z =a +bi, (a;b2R). Ta câ z 2 2018z = 2019jzj 2 , ¨ a 2 b 2 2018a = 2019 a 2 +b 2 (1) 2ab 2018b = 0 (2): Th.s Nguy¹n Ch½n Em 162 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Tø (2) ta ÷ñc b = 0 a = 1009: Thay b = 0 v o (1) ta ÷ñc2018a = 2018a 2 , a = 0 a =1: Do â tr÷íng hñp n y ta câ 2 sè phùc thäa y¶u c¦u l z = 0; z =1. Thay a = 1009 v o (1) ta ÷ñc2018 1009 1010 = 2020b 2 væ nghi»m do b2R. Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n. Chån ¡p ¡n B C¥u 23. X²t c¡c sè phùcz thäa m¢n (z 4i)(z + 2) l sè thu¦n £o. Bi¸t r¬ng tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n cõa z l mët ÷íng trán. T¼m tåa ë t¥m cõa ÷íng trán â. A. (1;2). B. (1; 2). C. (1; 2). D. (1;2). -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, (x;y2R). Ta câ (z 4i)(z + 2) = [x + (y 4)i][(x + 2)yi] =x(x + 2)xyi + (x + 2)(y 4)i +y(y 4) = (x 2 +y 2 + 2x 4y) + (4x + 2y 8)i: Do â (z 4i)(z + 2) l sè thu¦n £o,x 2 +y 2 + 2x 4y = 0. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa z l ÷íng trán câ t¥m (1; 2). Chån ¡p ¡n B C¥u 24. Cho sè phùc z thäa m¢n çng thíi hai i·u ki»njz 3 4ij = p 5 v jz + 2j 2 jzij 2 = 33. Mæun cõa sè phùc z 2i b¬ng A. p 5. B. 9. C. 25. D. 5. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, (x;y2R). Khi â ( jz 3 4ij = p 5 jz + 2j 2 jzij 2 = 33 , ¨ (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5 (x + 2) 2 +y 2 [x 2 + (y 1) 2 ] = 33 , ¨ (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5 y = 15 2x , ¨ (x 3) 2 + (11 2x) 2 = 5 y = 15 2x , ¨ x = 5 y = 5: Do â z = 5 + 5i)jz 2ij =j3 + 4ij = 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 25. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = p 5. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = (1 + 2i)z +i l mët ÷íng trán. T¼m b¡n k½nh r cõa ÷íng trán â. A. r = p 5. B. r = 10. C. r = 5. D. r = 2 p 5. -Líi gi£i. Ta câ w = (1 + 2i)z +i,wi = (1 + 2i)z)jwij =j(1 + 2i)zj , jwij =j(1 + 2i)jjzj,jwij = p 1 + 2 2 p 5,jwij = 5: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán b¡n k½nh r = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 26. Bi¸t sè phùcz thäa m¢n çng thíi hai i·u ki»njz34ij = p 5 v biºu thùcM =jz+2j 2 jzij 2 ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T½nh mæ-un cõa sè phùc z +i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A.jz +ij = p 61. B. jz +ij = 5 p 2. C. jz +ij = 3 p 5. D.jz +ij = 2 p 41. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi vîi (x;y2R). Ta câjz 3 4ij = p 5, (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5. Theo gi£ thi¸t M =jz + 2j 2 jzij 2 = ((x + 2) 2 +y 2 ) (x 2 + (y 1) 2 ) = 4x + 2y + 3. Tø â suy ra M 23 = 4(x 3) + 2(y 4) È (16 + 4) [(x 3) 2 + (y 4) 2 ] = p 20 5 = 10: Vªy M 33 v M = 33 x£y ra khi ¨ 4x + 2y + 3 = 33 (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5 , ¨ y = 15 2x (x 3) 2 + (11 2x) 2 = 5 , ¨ y = 5 x = 5: Vªy z = 5 + 5i)jz +ij =j5 + 6ij = p 61. Chån ¡p ¡n A C¥u 27. X²t c¡c sè phùc z thäa m¢n (z + 2i + 1)(z + 3i) l sè thu¦n £o, bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán. T¥m cõa ÷íng trán â l A. 1 2 ; 1 2 . B. 1 2 ; 1 2 . C. 1 2 ; 1 2 . D. 1 2 ; 1 2 . -Líi gi£i. °t z =x +yi (x;y2R). Ta câ (z + 2i + 1)(z + 3i) = (x +yi + 2i + 1)(xyi + 3i) =x 2 +y 2 +xy 6 + (5xy + 3)i. V¼ (z + 2i + 1)(z + 3i) l sè thu¦n £o n¶n x 2 +y 2 +xy 6 = 0. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán t¥m 1 2 ; 1 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 28. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz 3 + 4ij 2. Trong m°t ph¯ng Oxy, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w = 2z + 1i l h¼nh trán câ di»n t½ch b¬ng A. S = 25. B. S = 4. C. S = 16. D. S = 9. -Líi gi£i. Do w = 2z + 1i)z = w 1 +i 2 , thay v ojz 3 + 4ij 2 ta ÷ñc w 1 +i 2 3 + 4i 2,jw (7 9i)j 4: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n cho sè phùc w l h¼nh trán t¥m I(7;9) b¡n k½nh R = 4. Di»n t½ch h¼nh trán l S = 16. Chån ¡p ¡n C C¥u 29. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, gåi (H) l h¼nh biºu di¹n tªp hñp c¡c sè phùc z thäa m¢n j7zzj 10. Di»n t½ch cõa h¼nh (H) b¬ng A. 5 2 . B. 25 12 . C. 7 2 . D. 5. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi; x;y2R. Ta th§y j7zzj 10 , j6x + 8yij 10 , 36x 2 + 64y 2 100 , x 2 5 3 2 + y 2 5 4 2 1: (1) Tø (1) ta ÷ñc (H) l h¼nh elip. Ta câ S (H) = 5 3 5 4 = 25 12 . Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 30. Cho sè phùc z thäa m¢njzij =jz 1 + 2ij. Tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w = (2i)z + 1 tr¶n m°t ph¯ng l mët ÷íng th¯ng. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â l A. x + 7y + 9 = 0. B. x + 7y 9 = 0. C. x 7y 9 = 0. D. x 7y + 9 = 0. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; (x;y2R). Ta câjzij =jz 1 + 2ij,x 2 + (y 1) 2 = (x 1) 2 + (y + 2) 2 ,x 3y 2 = 0. (1) GåiM(x 0 ;y 0 ) l iºm biºu di¹n cõaw, ta câw = (2i)z +1, ¨ x 0 = 2x +y + 1 y 0 =x + 2y , 8 > < > : x = 1 5 2x 0 y 0 2 y = 1 5 x 0 + 2y 0 1 : (2) Tø (2) v (1)) 1 5 (2x 0 y 0 2) 3 5 (x 0 + 2y 0 1) 2 = 0,x 0 + 7y 0 + 9 = 0. Vªy tªp c¡c iºm biºu di¹n cõa w l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh x + 7y + 9 = 0. Chån ¡p ¡n A C¥u 31. Cho sè phùcz =a+bi(a;b2R) thäa m¢n (z+1+i)(zi)+3i = 9 v jzj> 2. T½nhP =a+b. A. 2. B. 1 . C. 3 . D.1. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìngjzj 2 iz + (1 +i)z + 2i 8 = 0 (1). Thay z =a +bi v o (1) v bi¸n êi ta ÷ñc a 2 +b 2 +a + 2b 8 + (2b)i = 0, ¨ a 2 +b 2 +a + 2b 8 = 0 b = 2 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 0 b = 2 ¨ a =1 b = 2: V¼jzj> 2 n¶n ta chån ¨ a =1 b = 2 . Vªy P =a +b = 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 32. Cho c¡c sè phùc z thäa m¢n z 2i 2020 =jz 1 + 2ij. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = 2z 1 + 4i tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët ÷íng th¯ng. Kho£ng c¡ch tø I(2;3) ¸n ÷íng th¯ng â b¬ng A. 10 p 3 3 . B. 18 p 5 5 . C. 10 p 5 5 . D. 18 p 13 13 . -Líi gi£i. °t w =x +yi, x;y2R. Khi â, x +yi = 2z 1 + 4i,z = x + 1 2 + y 4 2 i v z = x + 1 2 y 4 2 i. Ta câ z 2i 2020 =jz 1 + 2ij , jz 2j =jz 1 + 2ij , x + 1 2 2 2 + y 4 2 2 = x + 1 2 1 2 + y 4 2 + 2 2 , (x 3) 2 + (y 4) 2 = (x 1) 2 +y 2 , x + 2y 6 = 0: Nh÷ th¸, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng th¯ng : x + 2y 6 = 0. Vªy kho£ng c¡ch tø I(2;3) ¸n l j2 2 3 6j p 1 + 4 = 10 p 5 5 . Chån ¡p ¡n C C¥u 33. Cho hai sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢n i·u ki»njz 1 z 2 j =jz 1 j =jz 2 j = 2. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z =z 1 +z 2 l A. ÷íng trán câ b¡n k½nh R = 3 p 3. B. ÷íng trán câ b¡n k½nh R = 2 p 3. C. ÷íng elip. D. ÷íng th¯ng. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câjzj 2 =jz 1 +z 2 j 2 = 2 jz 1 j 2 +jz 2 j 2 jz 1 z 2 j 2 = 2(4 + 4) 4 = 12, suy rajzj = 2 p 3. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán câ b¡n k½nh R = 2 p 3. Chån ¡p ¡n B C¥u 34. Cho sè phùc z = a +bi (a;b2R;a> 0) thäa m¢n z z 12jzj + (z z) = 13 + 10i. T½nh S =a +b. A. S = 7. B. S = 17. C. S =17. D. S = 5. -Líi gi£i. Ta câ zz =jzj 2 =a 2 +b 2 v zz = (a +bi) (abi) = 2bi. Khi â z z 12jzj + (z z) = 13 + 10i , a 2 +b 2 12 p a 2 +b 2 + 2bi = 13 + 10i , ¨ a 2 +b 2 12 p a 2 +b 2 = 13 2b = 10 , ¨ a 2 12 p a 2 + 25 + 12 = 0 (1) b = 5: °t t = p a 2 + 25 vîi t 25 v t 2 =a 2 + 25. Ph÷ìng tr¼nh (1) trð th nh t 2 12t 13, t =1 (lo¤i) t = 13: Vîi t = 13) p a 2 + 25 = 13,a 2 = 144,a = 12 v¼ a> 0. Vªy S =a +b = 12 + 5 = 17. Chån ¡p ¡n B C¥u 35. Cho sè phùcz thäa m¢n i·u ki»n 3jz 3i + 1j 5. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcz t¤o th nh mët h¼nh ph¯ng. T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng â. A. S = 16. B. S = 4. C. S = 25. D. S = 8. -Líi gi£i. Gåi c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z v 1 + 3i l¦n l÷ñt l M v I(1; 3). Ta câ 3jz 3i + 1j 5) 3IM 5: Gåi (C 1 ) l ÷íng trán t¥m I, b¡n k½nhR 1 = 3; (C 2 ) l ÷íng trán t¥m I, b¡n k½nh R 2 = 5. Khi â tªp hñp c¡c iºm M n¬m ngo i ÷íng trán (C 1 ) v n¬m trong ÷íng trán (C 2 ) (ph¦n g¤ch ch²o tr¶n h¼nh v³). Di»n t½ch h¼nh ph¯ng n y l S = 5 2 3 2 = 16: x y 1 I 3 O Chån ¡p ¡n A C¥u 36. X²t c¡c sè phùc z thäa m¢n (z +i)(z + 2) l sè thu¦n £o. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng A. 1. B. 5 4 . C. p 5 2 . D. p 3 2 . -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ (z +i)(z + 2) = (xyi +i)(x +yi + 2) = (x 2 + 2x +y 2 y) + (x 2y + 2)i V¼ (z +i)(z + 2) l sè thu¦n £o n¶n ta câ: x 2 + 2x +y 2 y = 0, (x + 1) 2 + y 1 2 2 = 5 4 . Vªy tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng p 5 2 . Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 166 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 37. X²t c¡c sè phùc z thäa m¢n (z + 3i)(z 3) l sè thu¦n £o. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng A. 9 2 . B. 3 p 2. C. 3. D. 3 p 2 2 . -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi)z =xyi trong â x;y2R. Ta câ (z + 3i)(z 3) =x 2 +y 2 3x 3y + (3x + 3y 9)i. Sè phùc (z + 3i)(z 3) l sè thu¦n £o khi ch¿ khi x 2 +y 2 3x 3y = 0, x 3 2 2 + y 3 2 2 = 9 2 . Vªy tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùcz thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng 3 p 2 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 38. X²t c¡c sè phùc z thäa m¢n (z + 2i)(z 2) l sè thu¦n £o. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng A. 2. B. 2 p 2. C. 4. D. p 2. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi vîi x; y2R. °t Z = (z + 2i)(z 2) = [x + (2y)i][(x 2) +yi] = [x(x 2)y(2y)] + [xy + (x 2)(2y)]i. V¼ Z l sè thu¦n £o n¶n câ ph¦n thüc b¬ng khæng do â x(x 2)y(2y) = 0, (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. Suy ra tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng p 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 39. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj(z 6i) + 2i = (7i)z? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. -Líi gi£i. Ta câjzj (z 6i) + 2i = (7i)z, (jzj 7 +i)z = 6jzj + (jzj 2)i. (*) ) (jzj 7 +i)z = 6jzj + (jzj 2)i , (jzj 7) 2 + 1 jzj 2 = 36jzj 2 + (jzj 2) 2 (**) °t t =jzj th¼ t2R, t> 0 v (**) trð th nh t 4 14t 3 + 13t 2 + 4t 4 = 0. , (t 1)(t 3 13t 2 + 4) = 0, 2 6 6 6 4 t = 1 t 12;96 t 0;56 t0;5 (ch¿ nhªn 3 gi¡ trà t> 0). Thay v o (*) ta ÷ñc 3 sè phùc z. L÷u þ: º chùng minh ph÷ìng tr¼nh cuèi còng theo t câ 3 nghi»m t> 0 ta c¦n dòng ¸n ph÷ìng ph¡p h m sè: chùng minh f(t) =t 3 13t 2 + 4 = 0 câ 2 nghi»m khæng ¥m ·u kh¡c 1. B£ng bi¸n thi¶n cõa f(t) tr¶n nûa kho£ng [0;1) nh÷ sau: t f 0 (t) f(t) 0 26 3 +1 0 + 4 4 8680 27 8680 27 +1 +1 1 8 Chån ¡p ¡n B C¥u 40. T½nh mæ-un cõa sè phùc z thäa m¢n (1 +i)zjzj 1 = (i 2)jzj. A.jzj = 1. B. jzj = 4. C. jzj = 2. D.jzj = 3. -Líi gi£i. Ta th§y (1 +i)zjzj 1 = (i 2)jzj, (1 +i)zjzj = (i 2)jzj + 1. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc ji + 1jjzj 2 =jjzji + 1 2jzjj , p 2jzj 2 = È (1 2jzj) 2 +jzj 2 , 2jzj 4 = (1 2jzj) 2 +jzj 2 , 2jzj 4 5jzj 2 + 4jzj 1 = 0 , jzj = 1 2jzj 3 + 2jzj 2 3jzj + 1 = 0: Ta chùng minh ph÷ìng tr¼nh 2jzj 3 + 2jzj 2 3jzj + 1 = 0 væ nghi»m. °t t =jzj i·u ki»n t 0. X²t h m sè f(t) = 2t 3 + 2t 2 3t + 1. Ta câ f 0 (t) = 6t 2 + 4t 3;f 0 (t) = 0, 6t 2 + 4t 3 = 0, 2 6 6 4 t = 2 + p 22 6 t = 2 p 22 6 (lo¤i) . Ta câ b£ng bi¸n thi¶n sau x f 0 (t) f(t) 0 2 + p 22 6 +1 0 + 1 1 116 22 p 22 54 116 22 p 22 54 +1 +1 Tø b£ng bi¸n thi¶n ta th§y f(t) 116 22 p 22 54 > 0;8t 0. Suy ra f(t) = 0 væ nghi»m. Vªyjzj = 1. Chån ¡p ¡n A C¥u 41. Gåi z 1 ;z 2 ;z 3 ;z 4 l bèn nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh z 4 + 3z 2 + 4 = 0 tr¶n tªp sè phùc. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc T =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 +jz 3 j 2 +jz 4 j 2 . A. T = 8. B. T = 6. C. T = 4. D. T = 2. -Líi gi£i. Nhªn x²t: Cho sè phùc z =a +bi, khi â ta luæn câjzj 2 = z 2 . Gi£i ph÷ìng tr¼nh z 4 + 3z 2 + 4 = 0, 2 6 6 4 z 2 =C 1 = 3 2 p 7i 2 z 2 =C 2 = 3 2 + p 7i 2 ; (C 1 ;C 2 2C). Suy ra, ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 4 nghi»m thäa m¢n z 2 1 =z 2 2 =C 1 , z 2 3 =z 2 4 =C 2 . Suy ra T =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 +jz 3 j 2 +jz 4 j 2 = z 2 1 + z 2 2 + z 2 3 + z 2 4 =jC 1 j +jC 1 j +jC 2 j +jC 2 j = 4 É 9 4 + 7 4 = 8: Chån ¡p ¡n A C¥u 42. Cho sè phùc z thäa m¢njz 3 + 4ij = 5. Bi¸t r¬ng tªp hñp iºm trong m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n c¡c sè phùc w = 2z + 4i l ÷íng trán câ t¥m I(a;b), b¡n k½nh R. Têng a +b +R b¬ng A. 11. B. 9. C. 7. D. 4. -Líi gi£i. Gåi z 0 =z 3 + 4i)jz 0 j = 5 v z =z 0 + 3 4i Ta câ w = 2(z 0 + 3 4i) + 4i = 2z 0 + 10 9i: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Do âjw (10 9i)j = 2jz 0 j = 10. Suy ra tªp hñp iºm trong m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n c¡c sè phùc w = 2z + 4i l ÷íng trán câ t¥m I(10;9), b¡n k½nh 10. Vªy a +b +R = 10 9 + 10 = 11: Chån ¡p ¡n A C¥u 43. Cho hai sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢nj3zij =j3 +izj. Bi¸t r¬ngjz 1 z 2 j = p 3. T½nh gi¡ trà biºu thùc P =jz 1 +z 2 j. A. P = 2 p 2. B. P = 1 2 . C. P = 3 2 . D. P = 1. -Líi gi£i. Gåi A;B l hai iºm biºu di¹n sè phùc z 1 ;z 2 trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy. Gåi z =x +yi; (x;y2R). Ta câj3zij =j3 +izj,x 2 +y 2 = 1. Suy ra A;B n¬m tr¶n ÷íng trán t¥m O b¡n k½nh 1. Tøjz 1 z 2 j = p 3 ta câ kho£ng c¡ch AB = p 3. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta v³ hai iºmA;B èi xùng nhau qua tröc tung thäa AB = p 3. Gåi I l trung iºm AB suy ra A = ( p 3 2 ; 1 2 ) v B( p 3 2 ; 1 2 ). Vªyjz 1 +z 2 j = 1. 1 1 x y O B A I p 3 C¡ch kh¡c.jz 1 z 2 j = p 3, (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = 3,x 1 x 2 +y 1 y 2 = 1 2 : Khi âjz 1 +z 2 j = p (x 1 +x 2 ) 2 + (y 1 +y 2 ) 2 = È (x 2 1 +y 2 1 ) + (x 2 2 +y 2 2 ) + 2(x 1 x 2 +y 1 y 2 ) = 1: Chån ¡p ¡n D C¥u 44. Sè phùcz =a +bi (a;b2R) thäa m¢njz 2j =jzj v (z + 1)(zi) l sè thüc. Gi¡ trà cõa biºu thùc S =a + 2b b¬ng bao nhi¶u? A. S =3. B. S = 0. C. S =1. D. S = 1. -Líi gi£i. jz 2j =jzj, p (a 2) 2 +b 2 = p a 2 +b 2 , (a 2) 2 =a 2 ,a = 1. (z + 1)(zi) = (a + 1 +bi)(abii) =a(a + 1) +b(b + 1) (a +b + 1)i. V¼ (z + 1)(zi) l sè thüc n¶n a +b + 1 = 0)b =2. Vªy S =a + 2b =3. Chån ¡p ¡n A C¥u 45. Cho sè phùcz thäa m¢njz 1j =jzij. T¼m mæ-un nhä nh§t cõa sè phùcw = 2z + 2i. A. 3 2 . B. 3 p 2. C. 3 2 p 2 . D. 3 p 2 2 . -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi vîi a;b2R. Ta câ jz 1j =jzij,ja 1 +bij =ja + (b 1)ij, (a 1) 2 +b 2 =a 2 + (b 1) 2 ,ab = 0: Khi â w = 2(a +ai) + 2i = 2a + 2 + (a 1)i. Suy rajwj = p (2a + 2) 2 + (2a 1) 2 = p 8a 2 + 4a + 5 = Ê 8 x + 1 4 2 + 9 2 3 p 2 2 . Vªy mæ-un nhä nh§t cõa sè phùc w l 3 p 2 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 46. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢n: z + 1 2ijzj(1i) = 0. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, M l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. Khi â M thuëc ÷íng th¯ng n o sau ¥y? A. xy + 2 = 0. B. x +y 1 = 0. C. x +y 2 = 0. D. x +y + 1 = 0. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Tø gi£ thi¸t ta câ x +yi + 1 2i p x 2 +y 2 (1i) = 0, (x + 1 p x 2 +y 2 ) + (y + p x 2 +y 2 2)i = 0 , ( x + 1 p x 2 +y 2 = 0 y + p x 2 +y 2 2 = 0 ,y = 1x hay x +y 1 = 0: i·u â chùng tä M thuëc ÷íng th¯ng x +y 1 = 0. Chån ¡p ¡n B C¥u 47. Cho hai sè phùc z, z 0 thäa m¢njz + 5j = 5 v jz 0 + 1 3ij =jz 0 3 6ij. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõajzz 0 j. A. 5 2 . B. 5 4 . C. p 10. D. 3 p 10. -Líi gi£i. GåiM(x;y) v N(x 0 ;y 0 ) l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cho sè phùc z v z 0 . Dojz + 5j = 5 n¶nM thuëc ÷íng trán t¥mI(5; 0) b¡n k½nh R = 5. L¤i câ jz 0 + 1 3ij =jz 0 3 6ij , jx 0 +y 0 i + 1 3ij =jx 0 +y 0 i 3 6ij , j(x 0 + 1) + (y 0 3)ij =j(x 0 3) + (y 0 6)ij , (x 0 + 1) 2 + (y 0 3) 2 = (x 0 3) 2 + (y 0 6) 2 , 2x 0 + 1 6y 0 + 9 = 6x 0 + 9 12y 0 + 36 , 8x 0 + 6y 0 35 = 0 (): I N M y x O Suy ra N thuëc ÷íng th¯ng (). Khi âjzz 0 j =MN, vªyjzz 0 j nhä nh§t khi MN nhä nh§t. Düa v o h¼nh v³ ta th§y gi¡ trà nhä nh§t b¬ng d(I; )R = j 40 35j 10 5 = 5 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 48. Cho sè phùc z thäa m¢n zj(1 + 3i)jzj 3 +ij = 4 p 10 v jzj> 1. T½nhjzj. A.jzj = Ê 1 + p 65 4 . B. jzj = Ê 1 + p 65 2 . C. jzj = Ê 1 + p 65 2 . D.jzj = Ê 1 + p 65 4 . -Líi gi£i. Tø ph÷ìng tr¼nh v gi£ thi¸t suy ra z câ d¤ng z =x; (x> 0;jxj> 1;x2R). Tø ph÷ìng tr¼nh ta câ xj(1 + 3i)x 3 +ij = 4 p 10,xj(x 3) + (3x + 1)ij = 4 p 10 , x È (x 3) 2 + (3x + 1) 2 = 4 p 10,x 2 (x 2 6x + 9 + 9x 2 + 6x + 1) = 160 , x 4 +x 2 16 = 0,x 2 = 1 + p 65 2 )x = Ê 1 + p 65 2 : Chån ¡p ¡n C C¥u 49. Cho sè phùc z. Gåi A;B l¦n l÷ñt l c¡c iºm trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy biºu di¹n sè phùc z v (1 +i)z. T½nh mæ-un cõa z, bi¸t di»n t½ch4OAB b¬ng 32. A.jzj = 4 p 2. B. jzj = 4. C. jzj = 8. D.jzj = 2. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi (a;b2R) ta câ (1 +i)z = (1 +i)(a +bi) =ab + (a +b)i: Ta câ OA = p a 2 +b 2 ;OB = p 2(a 2 +b 2 ). cos # OA; # OB = a 2 +b 2 p a 2 +b 2 : p 2(a 2 +b 2 ) = p 2 2 , sin # OA; # OB = p 2 2 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Theo gi£ thi¸t ta câ S 4OAB = 32 , 1 2 OAOB sin Õ AOB = 32 , 1 2 p a 2 +b 2 È 2(a 2 +b 2 ) p 2 2 = 32 , a 2 +b 2 = 64)jzj = 8: Chån ¡p ¡n C C¥u 50. Cho ba sè phùcz 1 ;z 2 ;z 3 khæng ph£i l thüc, thäa m¢n i·u ki»nz 1 +z 2 = 4 v jz 1 2j =jz 2 2j = jz 3 2j = 1. T½nh gi¡ trà biºu thùc T =jz 3 z 1 j 2 +jz 3 z 2 j 2 . A. T = 12. B. T = 1. C. T = 4. D. T = 8. -Líi gi£i. Gåi A;B;C l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa z 1 ;z 2 ;z 3 tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. Tø gi£ thi¸tjz 1 2j =jz 2 2j =jz 3 2j = 1 suy ra A;B;C thuëc ÷íng trán t¥m I(2; 0) b¡n kinh R = 1. Tø gi£ thi¸t z 1 +z 2 = 4 suy ra I l trung iºm cõa AB n¶n AB = 2R = 2. T =jz 3 z 1 j 2 +jz 3 z 2 j 2 =AC 2 +BC 2 =AB 2 = 4R 2 = 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 51. Cho sè phùc z thäa m¢njz 1j = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc ! = 1 +i p 3 z + 2 l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh r cõa ÷íng trán â. A. r = 2 p 3. B. r = 4. C. r = 3. D. r = 2. -Líi gi£i. Ta câjz 1j = 2. Khi â ! = 1 +i p 3 z + 2 , ! = 1 +i p 3 (z 1) + 3 +i p 3 , ! 3 +i p 3 = 1 +i p 3 (z 1) ) ! 3 +i p 3 = 1 +i p 3 jz 1j ) ! 3 +i p 3 = 2 2 = 4: Gi£ sû ! =x +yi, x;y2R. Ta câ ! 3 +i p 3 = 4, É (x 3) 2 + y p 3 2 = 4, (x 3) 2 + y p 3 2 = 16: Suy ra r = 4. Chån ¡p ¡n B C¥u 52. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n z + 2 +i =jzj. T½nh S = 4a +b. A. S =3. B. S = 4. C. S =1. D. S =4. -Líi gi£i. Ta câ z + 2 +i =jzj ) z = (jzj 2)i ) jzj =j(jzj 2)ij ) jzj = È (jzj 2) 2 + 1 ) jzj 2 = (jzj 2) 2 + 1,jzj = 5 4 : Khi â th¼ z = 3 4 i)a = 3 4 , b =1)S =4. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n D C¥u 53. Cho S = 1 +i +i 2 +::: +i 2018 ( vîi i l ìn và £o ). Khi â S 2018 b¬ng A.1 . B. 1. C. 2018 . D. i. -Líi gi£i. S = 1 +i +i 2 +::: +i 2018 = 1i 2019 1i = 1 (i 2 ) 1009 i 1i = 1 +i 1i =i)S 2018 =1: Chån ¡p ¡n A C¥u 54. Cho sè phùcz =a +bi; (a;b2R) thäa m¢nz + 1 + 2i (1 + 1)jzj = 0 v jzj> 1. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P =a +b. A. P = 3. B. P =1. C. P = 7. D. P =5. -Líi gi£i. Vîi z =a +bi ta câ: z + 1 + 2i (1 + 1)jzj = 0,a +bi + 1 + 2i = (1 +i) p a 2 +b 2 , ( a + 1 = p a 2 +b 2 b + 2 = p a 2 +b 2 , ¨ a 2 + 2a + 1 =a 2 +b 2 b 2 + 2b + 1 =a 2 +b 2 (a1;b2), ¨ 2a =b 2 1 (1) 16b + 16 = (b 2 1) 2 (2) Ta câ (2),b 4 2b 2 16b 15 = 0, (b + 1)(b 3)(b 2 + 2b + 5) = 0, b =1 b = 3: Vîi b =1)a = 0)z =i (khæng thäa m¢njzj> 1). Vîi b = 3)a = 4)z = 3 + 4i (thäa m¢n). Vªy P =a +b = 7. Chån ¡p ¡n C C¥u 55. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, cho sè phùc z thäa m¢njz 1j =jzij. Quÿ t½ch c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = (3 4i)z +i l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh A. 7xy 1 = 0. B. x 7y + 1 = 0. C. 7xy + 1 = 0. D. 7x +y + 1 = 0. -Líi gi£i. °t z =x +yi)z =xyi. Ta câ jz 1j = È (x 1) 2 +y 2 . jzij = È x 2 + (y + 1) 2 . Theo gi£ thi¸t th¼ È (x 1) 2 +y 2 = È x 2 + (y 1) 2 ,y =x. X²t sè phùc w = (3 4i) (x +yi) = (3x + 4y) + (3y 4x + 1)i. Gåi M 0 (x 0 ;y 0 ) l iºm biºu di¹n sè phùc w. ) ¨ x 0 =x y 0 =7x + 1 ,y 0 = 7x 0 + 1, 7xy + 1 = 0 Chån ¡p ¡n C C¥u 56. Cho sè phùc z = a +bi (a;b l c¡c sè thüc) thäa m¢n zjzj + 2z +i = 0: T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc T =a +b 2 : A. T = 4 p 3 2. B. T = 3 + 2 p 2. C. T = 3 2 p 2. D. T = 4 + 2 p 3. -Líi gi£i. Ta câ zjzj + 2z +i = 0,z (jzj + 2) =i. L§y mæ-un hai v¸, ta ÷ñc jzj (jzj + 2) = 1,jzj 2 + 2jzj 1 = 0,jzj =1 + p 2: Do â z = i 1 + p 2 )a +b 2 = 0 + 1 1 + p 2 2 = 3 2 p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 57. Cho c¡c sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢njz 1 j = 1;jz 2 j = 2 v z 1 z 2 l sè thu¦n £o, t½nhjz 1 z 2 j. A. p 2. B. p 3. C. 2. D. p 5. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 V¼ z 1 z 2 l sè thu¦n £o n¶n z 1 z 2 +z 1 z 2 = 0. Ta câjz 1 z 2 j 2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 (z 1 z 2 +z 2 z 1 ) = 5 (z 1 z 2 +z 1 z 2 ) = 5: Vªyjz 1 z 2 j = p 5: Chån ¡p ¡n D C¥u 58. ÷íng trán ð h¼nh b¶n l tªp hñp iºm biºu di¹n cho sè phùcz thäa m¢n ¯ng thùc n o d÷îi ¥y? A.jz 3j = 3. B. jzj = 3. C. jz 3 3ij = 3. D.jz 3ij = 3. x y O 3 3 I -Líi gi£i. Gåiz =x +yi (x;y2R). Düa v o h¼nh v³ ta th§y tªp hñp iºm biºu di¹n cho sè phùc z thuëc ÷íng trán t¥m I(3; 3), câ b¡n k½nh R = 3. Suy ra (x 3) 2 + (y 3) 2 = 3 2 ,jz 3 3ij = 3: Chån ¡p ¡n C C¥u 59. Cho bi¸t câ hai sè phùc z thäa m¢n z 2 = 119 120i; kþ hi»n l z 1 v z 2 . T½nhjz 1 z 2 j 2 : A. 169. B. 114244. C. 338. D. 676. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi. Theo gi£ thi¸t ta câ ¨ a 2 b 2 = 119 2ab =120 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a =12 b = 5 ¨ a = 12 b =5 . Do â z 1 =12 + 5i;z 2 = 12 5i. Suy rajz 1 z 2 j 2 =j24 + 10ij 2 = 676. Chån ¡p ¡n D C¥u 60. Chow l sè phùc thay êi thäa m¢njwj = 2: Trong m°t ph¯ng phùc, c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z = 3w + 1 2i ch¤y tr¶n ÷íng n o? A. ÷íng trán t¥m I(1;2), b¡n k½nh R = 6. B. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 2. C. ÷íng trán t¥m I(1;2); b¡n k½nh R = 2. D. ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 6. -Líi gi£i. Ta câ: z = 3w + 1 2i,z 1 + 2i = 3w. )jz 1 + 2ij =j3wj = 6. ) iºm bi¹u di¹n sè phùc z ch¤y tr¶n ÷íng trán t¥m I(1;2), b¡n k½nh R = 6. Chån ¡p ¡n A C¥u 61. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R;a< 0) thäa m¢n 1 +z =jzij 2 + (iz 1) 2 . T½nhjzj. A. p 2 2 . B. p 5. C. p 17 2 . D. 1 2 . -Líi gi£i. Ta câ 1 +z =jzij 2 + (iz 1) 2 , 1 +abi =a 2 + (b + 1) 2 a 2 + (b + 1) 2 2a(b + 1)i , ¨ 1 +a = 2(b + 1) 2 b =2a(b + 1) , ¨ a = 2(b + 1) 2 1 1 (b + 1) =2a(b + 1): Th.s Nguy¹n Ch½n Em 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Th¸ a = 2(b + 1) 2 1 v o ph÷ìng tr¼nh d÷îi ta ÷ñc 4(b + 1) 3 3(b + 1) + 1 = 0, 2 4 b + 1 =1 b + 1 = 1 2 , 2 4 b =2)a = 1 (lo¤i) b = 1 2 )a = 1 2 )jzj = p 2 2 : Chån ¡p ¡n A C¥u 62. Cho sè phùcz =a+bi (a;b2R) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (jzj 1)(1 +iz) z 1 z =i. T½nhP =a+b. A. P = 1 p 2. B. P = 1. C. P = 1 + p 2. D. P = 0. -Líi gi£i. (jzj 1)(1 +iz) z 1 z =i, (jzj 1)(1 +iz)z zz 1 =i (jzj6= 1) , (jzj 1)(1 +iz)z jzj 2 1 =i, (1 +iz)z jzj + 1 =i , z +ijzj 2 =i(jzj + 1),abi + (a 2 +b 2 )i =i( p a 2 +b 2 + 1) , a + (b +a 2 +b 2 )i =i( p a 2 +b 2 + 1), ¨ a = 0 b 2 b =jbj + 1 , 8 > > > > > > < > > > > > > : a = 0 2 6 6 6 6 4 ¨ b< 0 b =1 (lo¤i) ¨ b> 0 b 2 2b 1 = 0 , 8 > < > : a = 0 " b = 1 + p 2 (nhªn) b = 1 p 2 (lo¤i). Vªy P =a +b = 1 + p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 63. Gåi S l tªp hñp t§t c£ c¡c sè phùc thäa m¢n ¨ jz 2 + 5ij = 2 jz 5ij = 3 . Häi tªp S câ bao nhi¶u ph¦n tû? A. 0. B. 2. C. Væ sè. D. 1. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi (a;b2R). H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi ¨ (a 2) 2 + (5b) 2 = 4 (a 5) 2 + (b 1) 2 = 9 , 8 > < > : a = 16 5 b = 17 5 : Nh÷ vªy tªp S ch¿ câ mët ph¦n tû l z = 16 5 + 17 5 i. Chån ¡p ¡n D C¥u 64. Cho sè phùcz =a +bi (a;b2R) thäa m¢nz + 1 + 2i (1 +i)jzj = 0 v jzj> 1. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P =a +b. A. P =1. B. P = 3. C. P =5. D. P = 7. -Líi gi£i. Ta câ z + 1 + 2i (1 +i)jzj = 0,a + 1 p a 2 +b 2 + b + 2 p a 2 +b 2 i = 0 , ( a + 1 p a 2 +b 2 = 0 b + 2 p a 2 +b 2 = 0: Suy ra a + 1 =b + 2,a =b + 1, thay v o ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h», ta ÷ñc: b + 2 p 2b 2 + 2b + 1 = 0, ¨ b + 2 0 2b 2 + 2b + 1 =b 2 + 4b + 4 , 8 > < > : b2 b =1 b = 3 , b =1)a = 0 b = 3)a = 4: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 174 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vîi a = 0, b =1 ta câjzj = 1 (khæng thäa m¢n). Vîi a = 4, b = 3 ta câjzj = 5 (thäa m¢n). Vªy P =a +b = 3 + 4 = 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 65. Cho sè phùc z. Gåi A, B l¦n l÷ñt l c¡c iºm trong m°t ph¯ng Oxy biºu di¹n c¡c sè phùc z v (1 +i)z. T½nhjzj bi¸t di»n t½ch tam gi¡c OAB b¬ng 8. A.jzj = 4. B. jzj = 2 p 2. C. jzj = 4 p 2. D.jzj = 2. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi z6= 0. (1 +i)z = (1 +i)(a +bi) =ab + (a +b)i. Suy ra A(a;b), B(ab;a +b), # AB = (b;a), AB = p a 2 +b 2 ÷íng th¯ng AB :a(xa) +b(yb) = 0,ax +bya 2 b 2 = 0. Chi·u cao h¤ tø O cõa tam gi¡c OAB l h = d(O;AB) = a 2 b 2 p a 2 +b 2 = p a 2 +b 2 . Di»n t½ch tam gi¡c OAB b¬ng 8 n¶n 1 2 p a 2 +b 2 2 = 8, p a 2 +b 2 = 4,jzj = 4: Chån ¡p ¡n A C¥u 66. Gi¡ trà cõa biºu thùc C 0 100 C 2 100 + C 4 100 C 6 100 + C 98 100 + C 100 100 b¬ng A.2 100 . B. 2 50 . C. 2 100 . D. 2 50 . -Líi gi£i. Ta câ (1 +i) 100 = C 0 100 +iC 1 100 +i 2 C 2 100 + +i 100 C 100 100 = (C 0 100 C 2 100 + C 4 100 + C 100 100 ) + (C 1 100 C 3 100 + C 5 100 C 99 100 )i M°t kh¡c (1 +i) 100 = (1 +i) 2 50 = (2i) 50 =2 50 . Vªy C 0 100 C 2 100 + C 4 100 C 6 100 + C 98 100 + C 100 100 =2 50 . Chån ¡p ¡n B C¥u 67. Cho sè phùc z = a +bi (a; b2 R) thäa m¢njzj = 5 v z(2 +i)(1 2i) l mët sè thüc. T½nh P =jaj +jbj. A. P = 8. B. P = 4. C. P = 5. D. P = 7. -Líi gi£i. Ta câ z(2 +i)(1 2i) = (a +bi)(4 3i) = 4a + 3b + (3a + 4b)i: (1) Do z(2 +i)(1 2i) l mët sè thüc n¶n tø (1) suy ra3a + 4b = 0,b = 3 4 a. (2) M°t kh¡cjzj = 5,a 2 +b 2 = 25: (3) Th¸ (2) v o (3) ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh a 2 + 3 4 a 2 = 25,a 2 = 16,a =4: Vîi a = 4)b = 3 v a =4)b =3. Vªy P =jaj +jbj = 3 + 4 = 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 68. Sè phùc z câ ph¦n £o lîn nh§t tho£ m¢njz 1ij = 1 l A. z = 2 + 2i. B. z = 1 + 2i. C. z = 2i. D. z =1 + 3i. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; x;y2R, theo b i ra ta câ j(x 1) + (y 1)ij = 1, (x 1) 2 + (y 1) 2 = 1: M (x 1) 2 0 n¶n (y 1) 2 1,1y 1 1, 0y 2. Vªy ph¦n £o cõa z câ gi¡ trà lîn nh§t b¬ng 2. D§u b¬ng x£y ra khi x = 1;y = 2, hay z = 1 + 2i. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 175 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 69. Gåi (C) l tªp hñp c¡c iºm tr¶n m°t ph¯ng biºu di¹n sè phùc z = x +yi; x;y2 R tho£ m¢n jz 1j = 1 v N l iºm biºu di¹n sè phùc z 0 = 1i. T¼m iºm M thuëc (C) sao cho MN câ ë d i lîn nh§t A. M(1; 1). B. M 1 2 ; p 3 2 . C. M(1; 0). D. M(0; 0). -Líi gi£i. Ta câjz 1j = 1, (x 1) 2 +y 2 = 1 n¶n tªp hñp iºm (C) biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(1; 0), b¡n k½nh R = 1. iºm N câ to¤ ë l N(1;1) công thuëc (C) n¶n MN câ ë d i lîn nh§t khiMN l ÷íng k½nh cõa ÷íng trán (C) hayI l trung iºm cõaMN n¶n to¤ ë M l M(1; 1). O x y M I N Chån ¡p ¡n A C¥u 70. Cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n l M(x;y) v thäa m¢n jz 2 + 3ij = jz 2 3ij. Bi¸t jz 1 2ij +jz 7 + 4ij = 6 p 2, khi â x thuëc kho£ng A. (0; 2). B. (1; 3). C. (4; 8). D. (2; 4). -Líi gi£i. Ta câ jz 2 + 3ij =jz 2 3ij , jx 2 + (y + 3)ij =jx 2 + (y 3)ij , (x 2) 2 + (y + 3) 2 = (x 2) 2 + (y 3) 2 , y = 0: M°t kh¡c, gåi A(1; 2), B(7;4) ) AB = 6 p 2. Ta câ jz 1 2ij +jz 7 + 4ij =MA +MB6AB = 6 p 2: D§u = x£y ra khi M n¬m tr¶n o¤n AB. Khi â, # AM =k # AB, vîi k2 [0; 1] ) ¨ x 1 = 6k 0 2 =6k , 8 < : x = 3 k = 1 3 : Chån ¡p ¡n D C¥u 71. T¼m sè phùc z thäa m¢njz 3j =jz 1j v (z + 2)(zi) l sè thüc. A. z = 2. B. z =2 + 2i. C. z = 2 2i. D. Khæng câ z. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi, khi â ta câ ¨ jz 3j =jz 1j Im[(z + 2)(zi)] = 0 , ¨ jz 3j 2 =jz 1j 2 Im[(z + 2)(zi)] = 0 , ¨ j(a +bi) 3j 2 =ja +bi 1j 2 Im[(a +bi + 2)(a +bii)] = 0 , ¨ j(a +bi) 3j 2 =ja 1 +bij 2 Im[(a + 2 +bi)(a (b + 1)i)] = 0 , ¨ (a 3) 2 +b 2 = (a 1) 2 +b 2 Im[((a + 2)a +b(b + 1))i((a + 2)(b + 1)ab)] = 0 , ¨ a 2 6a + 9 =a 2 2a + 1 a + 2b + 2 = 0 , ¨ a = 2 b =2: Vªy z =a +bi = 2 2i. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 72. GåiS l tªp hñp c¡c sè thücm sao cho vîi méim2S câ óng mët sè phùc thäa m¢njzmj = 4 v z z 6 l sè thu¦n £o. T½nh têng cõa c¡c ph¦n tû cõa tªp S. A. 0 . B. 12 . C. 6 . D. 14. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi (a;b2R);z6= 6. M(a;b) l iºm biºu di¹n z. Khi â ta câ z z 6 = a +bi (a +bi) 6 = (a +bi)(a 6bi) (a 6 +bi)(a 6bi) = a(a 6) +b 2 +i(b(a 6)ab) (a 6) 2 +b 2 : º z z 6 l sè thu¦n £o th¼ ta ph£i câ ¨ a (a 6) +b 2 = 0 (1) (a 6) 2 +b 2 6= 0 . Suy ra iºm M thuëc ÷íng trán t¥m I (3; 0), b¡n k½nh R = 3. Tøjzmj = 4,j(a +bi)mj = 4, (am) 2 +b 2 = 16 (2) suy ra iºm M thuëc ÷íng trán t¥m I 0 (m; 0), b¡n k½nh R 0 = 4. º câ óng 1 iºm M thäa m¢n th¼ 2 ÷íng trán (I;R) v (I 0 ;R 0 ) ph£i câ 1 iºm chung duy nh§t , ¨ II 0 =R +R 0 II 0 = RR 0 , ¨ jm 3j = 7 jm 3j = 1 , 8 > > > < > > > : m = 10 m =4 m = 4 m = 2 : Khi m = 10;m = 2 th¼ hai ÷íng trán ti¸p xóc t¤i iºm(6; 0), do vªy c¡c tr÷íng hñp n y bà lo¤i. Vªy têng c¡c ph¦n tû cõa S l 4 4 = 0. Chån ¡p ¡n A C¥u 73. Cho M l tªp hñp c¡c sè phùc z thäaj2zij =j2 +izj. Gåi z 1 , z 2 l hai sè phùc thuëc tªp hñp M sao chojz 1 z 2 j = 1. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P =jz 1 +z 2 j. A. P = p 2. B. P = p 3. C. P = p 3 2 . D. P = 2. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, vîi x;y2R. Ta câ j2zij =j2 +izj , j2x + (2y 1)ij =j2y +xij , x 2 +y 2 = 1: Vªy tªp hñp c¡c iºm M l ÷íng trán (C) câ t¥m O v b¡n k½nh R = 1. Gåi A, B l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc z 1 , z 2 . Ta câ A, B thuëc (C) v jz 1 z 2 j = 1,AB = 1. Suy ra4OAB ·u n¶n P =jz 1 +z 2 j = # OA + # OB = 2 # OH = p 3. Chån ¡p ¡n B C¥u 74. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n (1 +i)z + z l sè thu¦n £o v jz 2ij = 1. A. 2. B. 1. C. 0. D. Væ sè. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi trong â a;b2R, ta câ z =abi. Sè phùc (1 +i)z + z = (1 +i)(a +bi) + (abi) = 2ab +ai l sè thu¦n £o khi ch¿ khi 2ab = 0,b = 2a. M°t kh¡c jz 2ij = 1,ja +bi 2ij = 1 , a 2 + (2a 2) 2 = 1 , 5a 2 8a + 3 = 0 , 2 4 a = 1)b = 2)z = 1 + 2i a = 3 5 )b = 6 5 )z = 3 5 + 6 5 i: Vªy câ 2 sè phùc z thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Chån ¡p ¡n A C¥u 75. Cho sè phùc w thäa m¢njw + 2j 1. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n z = 2w + 1i l mët h¼nh trán. T½nh di»n t½ch S cõa h¼nh trán â. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 177 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A. S = 2. B. S = 4. C. 9. D. . -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). Ta câ z = 2w + 1i,xyi = 2w + 1i,w = x 1 2 y 1 2 i: L¤i câjw + 2j 1 n¶n x 1 2 + 2 2 + y 1 2 2 1, (x + 3) 2 + (y 1) 2 = 4: N¶n tªp hñp iºm biºu di¹n z l h¼nh trán b¡n k½nh R = 2 câ di»n t½ch S = 4. Chån ¡p ¡n B C¥u 76. Cho sè phùc z = a +bi (a;b2R) thäa m¢n z + 3 + 2i = (jzj + 1) (1 +i) v jzj > 1. T½nh P =ab. A. P =1. B. P =5. C. P = 3. D. P = 7. -Líi gi£i. z + 3 + 2i = (jzj + 1) (1 +i),a +bi + 3 + 2i = p a 2 +b 2 + 1 (1 +i) , a +bi + 3 + 2i = p a 2 +b 2 + p a 2 +b 2 i + 1 +i , ( a + 3 = p a 2 +b 2 + 1 b + 2 = p a 2 +b 2 + 1 )ab =1: Chån ¡p ¡n A C¥u 77. X²t c¡c sè phùcz thäa m¢n i·u ki»njz 3 + 2ij = 5. Trong m°t ph¯ng tåa ëOxy, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc w =z + 1i l A. ÷íng trán t¥m I(4; 3), b¡n k½nh R = 5. B. ÷íng trán t¥m I(3;2), b¡n k½nh R = 5. C. ÷íng trán t¥m I(4;3), b¡n k½nh R = 5. D. ÷íng trán t¥m I(2; 1), b¡n k½nh R = 5. -Líi gi£i. Ta câ w 4 + 3i =z 3 + 2i )jw 4 + 3ij =jz 3 + 2ij = 5: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(4;3), b¡n k½nh R = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 78. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = 2. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = (1i)z + 2i l A. mët ÷íng trán. B. mët ÷íng th¯ng. C. mët elip. D. mët hypebol ho°c parabol. -Líi gi£i. Ta câ (1i)z =w 2i)jw 2ij =j(1i)zj = 2 p 2, suy ra tªp hñp biºu di¹n c¡c sè phùcw l mët ÷íng trán. Chån ¡p ¡n A C¥u 79. Cho hai sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢njz 1 j = 1,jz 2 j = 2 v jz 1 +z 2 j = 3. Gi¡ trà cõajz 1 z 2 j l A. 0. B. 1. C. 2. D. mët gi¡ trà kh¡c. -Líi gi£i. °t z 1 =a 1 +b 1 i, z 2 =a 2 +b 2 i. Theo gi£ thi¸t ta câ 8 > < > : a 2 1 +b 2 1 = 1 a 2 2 +b 2 2 = 4 (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 = 9 , 8 > < > : a 2 1 +b 2 1 = 1 a 2 2 +b 2 2 = 4 2a 1 a 2 + 2b 1 b 2 = 4 Suy rajz 1 z 2 j = p (a 1 a 2 ) 2 + (b 1 b 2 ) 2 = 1. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 178 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 80. Cho sè phùc z2C thäa m¢n (2 +i)jzj = p 17 z + 1 3i. M»nh · n o d÷îi ¥y óng? A. 2 < > : y =x 2 y =x + 4 (x 6) 2 + (y 2) 2 = 8 , 2 6 6 6 6 4 ¨ y =x 2 (x 6) 2 + (y 2) 2 = 8 ¨ y =x + 4 (x 6) 2 + (y 2) 2 = 8 , 2 6 4 x = 5 + p 3;y = 3 + p 3 x = 5 p 3;y = 3 p 3 x = 4;y = 0: Chån ¡p ¡n D C¥u 82. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢njz + 1 2ij =jzj. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm M l mët ÷íng th¯ng, t¼m ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng â. A. 2x + 4y + 5 = 0. B. 2x 4y + 5 = 0. C. 2x 4y + 3 = 0. D. 2xy + 1 = 0. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 179 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ jz + 1 2ij =jzj , jx +yi + 1 2ij =jx +yij , (x + 1) 2 + (y 2) 2 =x 2 +y 2 , x 2 + 2x + 1 +y 2 4y + 4 =x 2 +y 2 , 2x 4y + 5 = 0: Vªy tªp hñp c¡c iºm M l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 2x 4y + 5 = 0. Chån ¡p ¡n B C¥u 83. Cho sè phùc z = x +yi (x;y2 R) thäa m¢n z + 2i ( z) = 3(1 +i). T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P = 4x + 5y. A. P = 12. B. P = 8. C. P = 9. D. P = 21. -Líi gi£i. Ta câ z + 2i ( z) = 3(1 +i) , x +yi + 2i(xyi) = 3(1 +i) , x +yi + 2xi + 2y = 3 + 3i , ¨ x + 2y = 3 2x +y = 3 , ¨ x = 1 y = 1: Vªy P = 4x + 5y = 4 1 + 5 1 = 9: Chån ¡p ¡n C C¥u 84. Cho sè phùcz =a+bi(a;b2R) thäa m¢nz +2+ijzj(1+i) = 0 v jzj> 1. T½nhP =a+b. A. P =1. B. P =5. C. P = 3. D. P = 7. -Líi gi£i. Thay z =a +bi v o ph÷ìng tr¼nh ta câ z + 2 +ijzj(1 +i) = 0 , a +bi + 2 +i p a 2 +b 2 (1 +i) = 0 , a + 2 p a 2 +b 2 +i b + 1 p a 2 +b 2 = 0 , ( a + 2 = p a 2 +b 2 b + 1 = p a 2 +b 2 , ( a =b 1 b + 1 = p 2b 2 2b + 1 ) b 2 4b = 0, b = 0)a =1 (lo¤i) b = 4)a = 3 (thäa m¢n) : Vªy P = 3 + 4 = 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 85. T¼m sè c¡c sè phùc thäa m¢n i·u ki»n z 2 + 2z = 0. A. 0. B. 4. C. 1. D. 2. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 180 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gi£ sû z =x +yi (x;y2R). Khi â z 2 + 2z = 0,x 2 y 2 + 2xyi + 2(xyi) = 0, ¨ x 2 y 2 + 2x = 0 2xy 2y = 0 , ¨ x 2 y 2 + 2x = 0 2y(x 1) = 0 , 8 > < > : x 2 y 2 + 2x = 0 y = 0 x = 1 , 2 6 6 6 6 4 ¨ y = 0 x 2 + 2x = 0 ¨ x = 1 y 2 = 3 , ¨ x = 0 y = 0 ; ¨ x =2 y = 0 ; ¨ x = 1 y = p 3 ; ¨ x = 1 y = p 3: Vªy câ 4 sè phùc thäa m¢n b i to¡n. Chån ¡p ¡n B C¥u 86. Gåiz 1 ;z 2 ;z 3 ;z 4 l c¡cnghi»mphùccõaph÷ìngtr¼nhz 4 +z 2 6 = 0.T½nhT =z 2 1 +z 2 2 +z 2 3 +z 2 4 . A. T = 2. B. T = 14. C. T = 4. D. T =2. -Líi gi£i. Ta câ z 4 +z 2 6 = 0, z 2 = 2 z 2 =3 , 2 6 6 6 6 4 z = p 2 z = p 2 z = p 3i z = p 3i: Do â, ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 4 ngh»m phùc l z 1 = p 2,z 2 = p 2, z 3 = p 3i, z 4 = p 3i. Vªy z 2 1 +z 2 2 +z 2 3 +z 2 4 =2: Chån ¡p ¡n D C¥u 87. C¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n z z + 3 (z z) = 5 + 12i thuëc ÷íng n o trong c¡c ÷íng cho bði ph÷ìng tr¼nh sau ¥y? A. y = 2x 2 . B. (x 1) 2 +y 2 = 5. C. y = 2x. D. y =2x. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi vîi x;y2R. Ta ÷ñc z z + 3 (z z) = 5 + 12i , x 2 +y 2 + 6yi = 5 + 12i , ¨ x 2 +y 2 = 5 6y = 12 , ¨ x 2 = 1 y = 2: Do â, câ hai iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l A(1; 2) v B(1; 2). D¹ th§y A; B ch¿ thuëc ÷íng y = 2x 2 : Chån ¡p ¡n A C¥u 88. Cho sè phùcz thäa m¢n i·u ki»njz 1 + 2ij 2. Trong h» tåa ëOxy, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w = 3z 2 + i l h¼nh trán câ di»n t½ch b¬ng A. 25. B. 16. C. 36. D. 9. -Líi gi£i. Gi£ sû sè phùc w =x +yi vîi x;y2R. Gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc w suy ra iºm M (x;y). Do gi£ thi¸t ta câ w = 3z 2 + i,x +yi = 3z 2 + i, 3z =x + 2 + (y 1) i,z = x + 2 3 + y 1 3 i Khi â z 1 + 2i = x + 2 3 + y 1 3 i 1 + 2i = x 1 3 + y + 5 3 i suy ra jz 1 + 2ij 2, Ê x 1 3 2 + y + 5 3 2 2, (x 1) 2 + (y + 5) 2 36 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 181 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w n¬m trong ÷íng trán (C) : (x 1) 2 + (y + 5) 2 = 36. Gåi R l b¡n k½nh ÷íng trán (C) suy ra R = 6 n¶n di»n t½ch h¼nh trán b¬ng 36. Chån ¡p ¡n C C¥u 89. Cho sè phùc z = 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + + (1 + i) 2018 . M»nh · n o sau ¥y óng? A. z =2 1009 . B. z =2 1009 + 2 1009 + 1 i. C. z = 2 1009 + 2 1009 + 1 i. D. z = 2 1009 + 2 1009 i. -Líi gi£i. Ta câ 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + + (1 + i) 2018 = 1 (1 + i) 2019 1 (1 + i) = 1 (1 + i) 2019 i = i i (1 + i) 2019 V¼ (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i suy ra (1 + i) 8 = 2 4 . M (1 + i) 2019 = (1 + i) 8 252 (1 + i) 3 suy ra i (1 + i) 2019 = 2 4 252 2i 2 (1 + i) =2 1009 (1 + i). Do â z = i + 2 1009 (1 + i) = 2 1009 + 1 + 2 1009 i. Chån ¡p ¡n C C¥u 90. Cho sè phùc z =a +bi thäa m¢n z(1 + 2i) 2 +z =20 + 4i. Gi¡ trà cõa a 2 b 2 b¬ng A. 16. B. 1. C. 5. D. 7. -Líi gi£i. Ta câ z(1 + 2i) 2 +z =20 + 4i , (a +bi)(3 + 4i) + (abi) =20 + 4i , (3a 4b) + (4a 3b)i + (abi) =20 + 4i , (2a 4b) + (4a 4b)i =20 + 4i , ¨ 2a 4b =20 4a 4b = 4 , ¨ a = 4 b = 3: Vªy a 2 b 2 = 16 9 = 7. Chån ¡p ¡n D C¥u 91. Cho ba sè phùc z 1 ;z 2 ;z 3 ph¥n bi»t thäa m¢njz 1 j =jz 2 j =jz 3 j = 3 v z 1 +z 2 =z 3 . Bi¸t z 1 ;z 2 ;z 3 l¦n l÷ñt ÷ñc biºu di¹n bði c¡c iºm A;B;C tr¶n m°t ph¯ng phùc. T½nh gâc Õ ACB. A. 150 . B. 90 . C. 120 . D. 45 . -Líi gi£i. Vi¸t z 1 =a 1 +b 1 i;z 2 =a 2 +b 2 i;z 3 =a 3 +b 3 i, a 1 ;a 2 ;a 3 ;b 1 ;b 2 ;b 3 2R. Khi â, ta câ h»: 8 > > > > > > < > > > > > > : a 2 1 +b 2 1 = 9 (1) a 2 2 +b 2 2 = 9 (2) a 2 3 +b 2 3 = 9 (3) a 1 +a 2 =a 3 (4) b 1 b 2 =b 3 (5): Th¸ (4) v (5) v o (3), ta câ (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 = 9 (6). Th¸ (1) v (2) v o (6), ta câ 2a 1 a 2 + 2b 1 b 2 =9. # CA = (a 1 a 3 ;b 1 b 3 ), # CB = (a 2 a 3 ;b 2 b 3 ). Th.s Nguy¹n Ch½n Em 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra cos Õ ACB = # CA # CB # CA # CB = (a 1 a 3 )(a 2 a 3 ) + (b 1 b 3 )(b 2 b 3 ) p (a 1 a 3 ) 2 + (b 1 b 3 ) 2 p (a 2 a 3 ) 2 + (b 2 b 3 ) 2 = a 2 (a 1 ) + (b 2 )(b 1 ) p (a 2 ) 2 + (b 2 ) 2 p (a 1 ) 2 + (b 1 ) 2 = a 1 a 2 +b 1 b 2 È a 2 2 +b 2 2 È a 2 1 +b 2 1 = 9 2 p 9 p 9 = 1 2 Vªy Õ ACB = 120 . Chån ¡p ¡n C C¥u 92. Tªp hñp c¡c iºm tr¶n m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n i·u ki¶njz + 2j =jizj l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y? A. 4x 2y + 3 = 0. B. 4x + 2y 3 = 0. C. 4x 2y 3 = 0. D. 4x + 2y + 3 = 0. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi, vîi a;b2R. Tø gi£ thi¸t ta ÷ñc (a + 2) 2 +b 2 =a 2 + (b 1) 2 , 4a + 2b + 3 = 0: Vªy c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z n¬m tr¶n ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 4x + 2y + 3 = 0: Chån ¡p ¡n D C¥u 93. T½nh S = 1 +i +i 2 + +i 2017 +i 2018 . A. S =i. B. S = 1 +i. C. S = 1i. D. S =i. -Líi gi£i. Ta câ (i) 4n = 1, (i) 4n+1 =i, (i) 4n+2 =1, (i) 4n+3 =i. Do â S = 1 +i +i 2 + +i 2017 +i 2018 = 1i 2019 1i = 1 +i 1i =i. Chån ¡p ¡n D C¥u 94. Cho sè phùc z =a +bi vîi a;b2R thäa z + 2i + 1 =jzj(1 +i) v jzj> 1. T½nh P =ab. A. P =3. B. P = 3. C. P =1. D. P = 1. -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t z + 2i + 1 =jzj(1 +i) suy ra (a + 1) + (b + 2)i = p a 2 +b 2 +i p a 2 +b 2 , ¨ a + 1 = p a 2 +b 2 b + 2 = p a 2 +b 2 , 8 > < > : a1 a =b + 1 (b + 2) 2 = (b + 1) 2 +b 2 (1): Tø (1),b 2 2b 3 = 0, b =1 b = 3 Khi b =1)a = 0)jzj = 1. Tr÷íng hñp n y lo¤i v¼jzj> 1. Khi b = 3)a = 4)jzj = 5> 1. Tr÷íng hñp n y nhªn, vªy P =ab = 1. Chån ¡p ¡n D C¥u 95. T¼m c¡c sè phùc z thäa 2iz + 3z = 5. A. z =3 2i. B. z = 3 2i. C. z =3 + 2i. D. z = 3 + 2i. -Líi gi£i. Gåi sè phùc z =a +bi vîi a;b2R. Tø gi£ thi¸t, ta câ 2i(a +bi) + 3(abi) = 5, (3a 2b) + (2a 3b)i = 5, ¨ 3a 2b = 5 2a 3b = 0 , ¨ a = 3 b = 2 ,z = 3 + 2i: Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 96. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz 1 2ij +jz 3j = p 7 + 3i . T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa P =jz 2ij. A. P = 2. B. P = p 2. C. P = p 3. D. P = 3. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi(a;b2R). 4 = p 7 + 3i = jz 1 2ij +jz 3j = È (a 1) 2 + (b 2) 2 + È (a 3) 2 +b 2 = 1 2 2 È (a 1) 2 + (b 2) 2 + 1 2 2 È (a 3) 2 +b 2 1 2 4 + (a 1) 2 + (b 2) 2 2 + 4 + (a 3) 2 +b 2 2 = 1 2 (a 2) 2 + (b 1) 2 + 6 = 1 2 P 2 + 6 ) P p 2: D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : 2 = È (a 1) 2 + (b 2) 2 2 = È (a 3) 2 +b 2 , ¨ 4 = (a 1) 2 + (b 2) 2 (a 1) 2 + (b 2) 2 = (a 3) 2 +b 2 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 1 b = 0 ¨ a = 3 b = 2 . Ta công câ thº t¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa P. Ta câ (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) (ac +bd) 2 = (adbc) 2 0) p (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )ac +bd: Ta i chùng minh b§t ¯ng thùc p a 2 +b 2 + p c 2 +d 2 È (a +c) 2 + (b +d) 2 ,a 2 +b 2 +c 2 +d 2 + 2 È (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) (a +c) 2 + (b +d) 2 , È (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )ac +bd(luæn óng, xem chùng minh tr¶n): Gåi z =a +bi(a;b2R). Ta câ 4 = p 7 + 3i = jz 1 2ij +jz 3j = jz 1 2ij +jz 3j È (a 1) 2 + (b 2) 2 + È (a 3) 2 +b 2 È (a 1 +a 3) 2 + (b 2 +b) 2 = 2 È (a 2) 2 + (b 1) 2 = 2jz 2ij = 2P: Tø ¥y suy ra P 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 97. Cho c¡c sè phùc z thäa m¢njzj = 12. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc w = (8 6i)z + 2i l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh r cõa ÷íng trán â. A. r = 120. B. r = 122. C. r = 12. D. r = 24 p 7. -Líi gi£i. Câ w = (8 6i)z + 2i,w 2i = (8 6i)z)jw 2ij =j8 6ijjzj = 10 12 = 120. Tø â ta suy ra tªp hñp iºm biºu di¹n w l ÷íng trán t¥m I(0; 2), b¡n k½nh R = 120. Chån ¡p ¡n A C¥u 98. Vîi x;y l hai sè thüc thäa m¢n x(3 + 5i) +y(1 2i) 3 = 9 + 14i. Gi¡ trà cõa 2x 3y b¬ng A. 205 109 . B. 172 61 . C. 353 61 . D. 94 109 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. x(3 + 5i) +y(1 2i) 3 = 9 + 14i , x(3 + 5i) +y(11 + 2i) = 9 + 14i , (3x 11y) +i(5x + 2y) = 9 + 14i , ¨ 3x 11y = 9 5x + 2y = 14 , 8 > < > : x = 172 61 y = 3 61 : Vªy 2x 3y = 2 172 61 3 3 61 = 353 61 . Chån ¡p ¡n C C¥u 99. Cho sè phùcz thäa m¢n z = p 5. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcw = (2 +i)z 3i l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng r. T¼m b¡n k½nh r. A. r = p 5. B. r = 5. C. r = p 10. D. r = 25. -Líi gi£i. Bi¸n êi w = (2 +i)z 3i,w + 3i = (2 +i)z. L§y mæ-un 2 v¸, ta ÷ñcjw + 3ij =j(2 +i)zj =j2 +ijjzj = 5. Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(0;3) v b¡n k½nh r = 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 100. Câ t§t c£ bao nhi¶u sè phùc z thäajz + 3ij = 2 p 2 v z 2 thu¦n £o? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Líi gi£i. °t z =x +yi (x;y2R). z 2 =x 2 y 2 + 2xyi thu¦n £o)x 2 y 2 = 0,x =y hay x =y. Vîi y =x)jz + 3ij = 2 p 2,jx +xi + 3ij = 2 p 2, (x + 3) 2 + (x 1) 2 = 8,x =1. Vîi y =x )jz + 3ij = 2 p 2,jxxi + 3ij = 2 p 2, (x + 3) 2 + (x + 1) 2 = 8, " x =2 p 3 x =2 + p 3 : Vªy câ ba sè phùc z thäa y¶u c¦u b i to¡n. Chån ¡p ¡n C C¥u 101. Cho sè phùc z =x +yi (x;y2R) thäa m¢n z + 2i z (1i) = 0. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, iºm M l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z. Häi M thuëc ÷íng th¯ng n o sau ¥y? A. xy + 5 = 0. B. xy + 2 = 0. C. x +y 2 = 0. D. x +y + 1 = 0. -Líi gi£i. Ta câ z + 2i z (1i) = 0,x +yi + 2i (1i) p x 2 +y 2 = 0 ,x + 2 p x 2 +y 2 + y 1 + p x 2 +y 2 i = 0 , ( x + 2 p x 2 +y 2 = 0 y 1 + p x 2 +y 2 = 0 )x + 2 p x 2 +y 2 +y 1 + p x 2 +y 2 = 0,x +y + 1 = 0. Do â M thuëc ÷íng th¯ng x +y + 1 = 0. Chån ¡p ¡n D C¥u 102. Cho c¡c sè phùcz thäa m¢njzij = 5. Bi¸t r¬ng tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùcw =iz + 1i l ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh cõa ÷íng trán â. A. r = 20. B. r = 5. C. r = 22. D. r = 4. -Líi gi£i. Ta câ w =iz + 1i,w +i =i(zi). Suy rajw +ij =jijjzij = 5. Vªy tªp hñp nhúng iºm biºu di¹n cho sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(0;1), b¡n k½nh r = 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 103. Cho hai sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢nj2zij =jiz + 2j, bi¸tjz 1 z 2 j = p 2. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc A =jz 1 2z 2 j. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 185 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A. A = p 5. B. A = p 5 2 . C. A = p 3. D. A = p 3 2 . -Líi gi£i. Gåi z 1 =x 1 +y 1 i, z 2 =x 2 +y 2 i vîi x 1 ;y 1 ;x 2 ;y 2 2R. Theo gi£ thi¸t ta câ 8 > < > : j2x 1 + (2y 1 1)ij =j2y 1 +x 1 ij j2x 2 + (2y 2 1)ij =j2y 2 +x 2 ij (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = 2 , 8 > < > : x 2 1 +y 2 1 = 1 x 2 2 +y 2 2 = 1 x 1 x 2 +y 1 y 2 = 0 Do â, A 2 =jz 1 2z 2 j 2 = (x 1 2x 2 ) 2 + (y 1 2y 2 ) 2 = (x 2 1 +y 2 1 ) + 4(x 2 2 +y 2 2 ) 4(x 1 x 2 +y 1 y 2 ) = 5. Khi â A = p 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 104. Cho sè phùc z =a +bi, (a;b2 R) thäa m¢n z (2 + 3i)z =1 3i. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc S =ab + 1. A. S = 1. B. S =1. C. S =2. D. S = 0. -Líi gi£i. Ta câ z (2 + 3i)z =1 3i , (a +bi) (2 + 3i)(abi) =1 3i ,a +bi 2a + 2bi 3ai 3b =1 3i , (a 3b) + (3b 3a) =1 3i, ¨ a + 3b = 1 ab = 1 , ¨ a = 1 b = 0: Tø â suy ra S =ab + 1 = 1. Chån ¡p ¡n A C¥u 105. Gåiz 1 ;z 2 l hai trong c¡c sè phùc z thäa m¢njz 1 + 2ij = 5 v jz 1 z 2 j = 8. T¼m mæ-un cõa sè phùc w =z 1 +z 2 2 + 4i. A.jwj = 13. B. jwj = 10. C. jwj = 16. D.jwj = 6. -Líi gi£i. Gåi I(1;2) l iºm biºu di¹n sè phùc 1 2i v A;B l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z 1 ;z 2 . V¼jz 1 + 2ij = 5 n¶n A;B thuëc (I; 5) v jz 1 z 2 j = 8 n¶n AB = 8. Ta câjwj =j # IA + # IBj = 2IH vîi H l trung iºm AB. M IH = p IA 2 AH 2 = p 5 2 4 2 = 3. Vªyjwj = 6. Chån ¡p ¡n D C¥u 106. Gåi (H) l tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z tho£ 1jz 1j 2 trong m°t ph¯ng phùc. T½nh di»n t½ch h¼nh (H). A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi;x;y2R, khi â: 1jz 1j 2, 1 (x 1) 2 +y 2 4, suy ra iºm biºu di¹n sè phùc z n¬m trong h¼nh v nh khuy¶n giîi h¤n bði 2 h¼nh trán çng t¥m I(1; 0) câ b¡n k½nh l¦n l÷ñt l R 1 = 1 v R 2 = 2. Tø â suy ra di»n t½ch h¼nh (H) l : S =R 2 2 R 2 1 = 3. Chån ¡p ¡n B C¥u 107. Cho sè phùc z =a +bi (a;b l c¡c sè thüc) thäa m¢n zjzj + 2z +i = 0. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc T =a +b 2 A. T = 4 p 3 2. B. T = 3 + 2 p 2. C. T = 3 2 p 2. D. T = 4 + 2 p 3. -Líi gi£i. Ta câ (a +bi) p a 2 +b 2 + 2(a +bi) +i = 0 Suy ra ( a p a 2 +b 2 + 2a = 0 b p a 2 +b 2 + 2b + 1 = 0 , ¨ a = 0 bjbj + 2b + 1 = 0() Vîi b 0 th¼ (),b 2 + 2b + 1 = 0,b =1 (lo¤i) Vîi b< 0 th¼ (),b 2 + 2b + 1 = 0,b = 1 p 2. Nhªn gi¡ trà b = 1 p 2. Vªy T =a +b 2 = 3 2 p 2. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n C C¥u 108. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz 1 3ij = 3 p 2 v (z + 2i) 2 l sè thu¦n £o? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi;a;b2R. Ta câjz 1 3ij = 3 p 2, (a 1) 2 + (b 3) 2 = 18: (1) M°t kh¡c (z + 2i) 2 = (a + (b + 2)i) 2 =a 2 (b + 2) 2 + 2a(b + 2)i l sè thu¦n £o n¶n a =b + 2 a =b 2 : + N¸u a =b + 2 th¸ v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ (b + 1) 2 + (b 3) 2 = 18, " b = 1 + p 5)a = 3 + p 5 b = 1 p 5)a = 3 p 5 : + N¸u a =b 2 th¸ v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ (b + 3) 2 + (b 3) 2 = 18,b = 0)a =2: Vªy câ 3 sè phùc thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Chån ¡p ¡n C C¥u 109. Ph÷ìng tr¼nh z 2 +jzj = 0 câ m§y nghi»m trong tªp sè phùc? A. Câ 2 nghi»m. B. Câ 3 nghi»m. C. Câ 1 nghi»m. D. Câ 4 nghi»m. -Líi gi£i. Gi£ sû sè phùc z c¦n t¼m câ d¤ng a +bi, khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh a 2 + 2abib 2 + p a 2 +b 2 = 0 , a 2 b 2 + p a 2 +b 2 + 2abi = 0) ¨ a 2 b 2 + p a 2 +b 2 = 0 2ab = 0 Gi£i h» tr¶n ta thu ÷ñc tªp nghi»m l (a;b) =f(0; 0); (0; 1); (0;1)g. Chån ¡p ¡n B C¥u 110. Cho sè phùc z thäa m¢n c¡c i·u ki»njz 2j =j zj v (z 3)( z + 1 4i)2R: T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z. A.2. B. 1. C. 2. D. 1. -Líi gi£i. °t z = x +yi vîi x;y2 R: Tøjz 2j =j zj ta suy ra (x 2) 2 +y 2 = x 2 +y 2 ; hay x = 1. Khi â, (z 3)( z + 1 4i) = (2 +yi)(2 (y + 4)i) =y 2 + 4y 4 + 4(y + 2)i2R,y =2: Vªy, ph¦n £o cõa z b¬ng2. Chån ¡p ¡n A C¥u 111. Cho sè phùc z thäa m¢njz 3j = 1: Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc w = (1 p 3i)z + 1 2i l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh r cõa ÷íng trán â. A. r = 2. B. r = 1. C. r = 4. D. r = p 2. -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t, ta suy ra w 1 + 2i 1 p 3i 3 =z 3; hayw 1 + 2i 3(1 p 3i) = (z 3)(1 p 3i): L§y mæ-un hai v¸, ta suy ra w 4 + (2 + 3 p 3)i = (z 3)(1 p 3i) = 2: Vªy, r = 2: Chån ¡p ¡n A C¥u 112. Cho A; B; C l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cõa c¡c sè phùc 4 3i, (1 + 2i)i v 1 i . Sè phùc câ iºm biºu di¹n D sao cho tù gi¡c ABCD l h¼nh b¼nh h nh l A.6 4i. B. 6 + 3i. C. 6 5i. D. 4 2i. -Líi gi£i. Ta câ (1 + 2i)i =2 + i; 1 i = i i 2 =i. Tåa ë cõa c¡c iºm A;B;C l A(4;3); B(2; 1); C(0;1). Tù gi¡c ABCD l h¼nh b¼nh h nh khi # AD = # BC, ¨ x D 4 = 0 + 2 y D + 3 =1 1 , ¨ x D = 6 y D =5: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 187 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vªy D l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = 6 5i. Chån ¡p ¡n C C¥u 113. Rót gån biºu thùc M = (1 i) 2018 ta ÷ñc A. M = 2 1009 . B. M =2 1009 . C. M = 2 1009 i. D. M =2 1009 i. -Líi gi£i. Ta câ (1 i) 2 = 1 2i + i 2 =2i) (1 i) 4 = (2i) 2 = 2 2 . Tø â M = (1 i) 2018 = (1 i) 4504+2 = (1 i) 4 504 (1 i) 2 = (2 2 ) 504 (2i) =2 1009 i: Chån ¡p ¡n D C¥u 114. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n 2jz ij =jzz + 2ij l A. Mët ÷íng th¯ng. B. Mët ÷íng trán. C. Mët parabol. D. Mët iºm. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi; (x;y2R). Ta câ 2jz ij =jzz + 2ij , 2jx + (y 1)ij =j(2y + 2)ij , x 2 + (y 1) 2 = (y + 1) 2 , x 2 +y 2 2y + 1 =y 2 + 2y + 1 , y = 1 4 x 2 Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l mët parabol. Chån ¡p ¡n C C¥u 115. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z 2 =jzj 2 +z? A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Ta câ z 2 =jzj 2 +z , (a +bi) 2 =a 2 +b 2 +abi , 2abib 2 =b 2 +abi , ¨ 2ab =b b 2 =b 2 +a , 8 < : b = 0 ho°c a = 1 2 2b 2 +a = 0: b = 0)a = 0)z = 0. a = 1 2 )b = 1 2 )z = 1 2 1 2 i. Vªy câ 3 sè phùc thäa m¢n. Chån ¡p ¡n D C¥u 116. Sè nguy¶n d÷ìngn thäa m¢n h» thùc: C 0 2n C 2 2n +C 4 2n C 6 2n +C 8 2n C 10 2n ++(1) n C 2n 2n = 2 1008 l A. 2018. B. 2016. C. 1009. D. 1008. -Líi gi£i. X²t khai triºn (1 +x) 2n = C 0 2n + C 1 2n x + C 2 2n x 2 + C 3 2n x 3 + C 4 2n x 4 + C 5 2n x 5 + C 2n1 2n x 2n1 + C 2n 2n x 2n : Cho x =i ta câ (1 +i) 2n = C 0 2n + C 1 2n i + C 2 2n i 2 + C 3 2n i 3 + C 4 2n i 4 + C 5 2n i 5 + C 6 2n i 6 + + C 2n1 2n i 2n1 + C 2n 2n i 2n = C 0 2n + C 1 2n i C 2 2n C 3 2n i + C 4 2n + C 5 2n i C 6 2n + C 2n1 2n i + (1) n C 2n 2n = C 0 2n C 2 2n + C 4 2n C 6 2n + + (1) n C 2n 2n +i C 1 2n C 3 2n + C 5 2n C 2n1 2n = C 0 2n C 2 2n + C 4 2n C 6 2n + C 8 2n C 10 2n + + (1) n C 2n 2n : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Khi â (1 +i) 2n = 2 1008 , (1 +i) 2 n = 2 1008 , (2i) n = 2 1008 , 2 n i n = 2 1008 ,n = 1008. Chån ¡p ¡n D C¥u 117. Cho sè phùcz =a+bi (a;b2R;a> 0) thäa m¢njz1+2ij = 5 v zz = 10. T½nhP =ab. A. P = 4. B. P =4. C. P =2. D. P = 2. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi(a;b2R). ¨ jz 1 2ij = 5 zz = 10 , ¨ (a 1) 2 + (b + 2) 2 = 25 a 2 +b 2 = 10 , ¨ 2a + 4b = 10 a 2 +b 2 = 10 , ¨ a = 2b 5 5b 2 20b + 15 = 0 , ¨ a =3 ( lo¤i ) b = 1 ho°c ¨ a = 1 b = 3 )P = 1 3 =2: Chån ¡p ¡n C C¥u 118. GåiM(x;y) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z thäa m¢n log1 3 jz 2j + 2 4jz 2j 1 > 1. Khi â (x;y) thäa m¢n h» thùc n o d÷îi ¥y? A. (x + 2) 2 +y 2 > 49. B. (x + 2) 2 +y 2 < 49. C. (x 2) 2 +y 2 < 49. D. (x 2) 2 +y 2 > 49. -Líi gi£i. i·u ki»n 4jz 2j 1> 0, (x 2) 2 +y 2 > 1 16 . Ta câ 1 3 jz 2j + 2 4jz 2j 1 > 1, jz 2j + 2 4jz 2j 1 < 1 3 , 3jz 2j + 6< 4jz 2j 1,jz 2j> 7 , (x 2) 2 +y 2 > 49: Chån ¡p ¡n D C¥u 119. Cho sè phùc u = 3 + 4i: N¸u z 2 =u th¼ ta câ A. z = 4 +i z =4i . B. z = 1 + 2i z = 2i . C. z = 2 +i z =2i . D. z = 1 +i z = 1i . -Líi gi£i. Vîi z =a +bi; a;b2R ta câ z 2 =u,a 2 b 2 + 2abi = 3 + 4i, ¨ a 2 b 2 = 3 2ab = 4 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 2 b = 1 ¨ a =2 b =1 . Chån ¡p ¡n C C¥u 120. T½nh mæun cõa sè phùc z tho£ m¢n 3z z + 2017 (z z) = 48 2016i A.jzj = 4. B. jzj = p 2016. C. jzj = p 2017. D.jzj = 2. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi, tø gi£ thi¸t ta câ 3jzj 2 = 48 2016i 2b 2017i = 48 (v¼jzj 2 2R), suy rajzj = 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 121. Cho sè phùc z thäa m¢njz 3 4ij = p 5. Gåi M v m l gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =jz + 2j 2 jzij 2 . T½nh mæ-un cõa sè phùc w =M +mi. A.jwj = p 2315. B. jwj = p 1258. C. jwj = 3 p 137. D.jwj = 2 p 309. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x;y2R. Ta câ P = (x + 2) 2 +y 2 x 2 + (y 1) 2 = 4x + 2y + 3. M°t kh¡cjz 3 4ij = p 5, (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5. °t x = 3 + p 5 sint v y = 4 + p 5 cost thäa (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5. Suy ra P = 4 p 5 sint + 2 p 5 cost + 23. X²t h m sè f(t) = 4 p 5 sint + 2 p 5 cost. Chia c£ hai v¸ cho q 4 p 5 2 + 2 p 5 2 = 10 ta câ f(t) = 4 p 5 sint + 2 p 5 cost, f(t) 10 = 2 p 5 5 sint + p 5 5 cost: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 °t 8 > > < > > : cosu = 2 p 5 5 sinu = p 5 5 ta câ f(t) 10 = cosu sint + sinu cost, f(t) 10 = sin(t +u) Suy ra 1 f(t) 10 1)10f(t) 10) 13P 33: Vªy M = maxP = 33 v m = minP = 13. Khi â w = 33 + 13i. Do âjwj = p 33 2 + 13 2 = p 1258. Chån ¡p ¡n B C¥u 122. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n z + 1 + 3ijzji = 0. T½nh S =a + 3b. A. S = 7 3 . B. S =5. C. S = 5. D. S = 7 3 . -Líi gi£i. Ta câ z + 1 + 3ijzji = 0,a +bi + 1 + 3ii p a 2 +b 2 = 0 ,a + 1 + (b + 3 p a 2 +b 2 )i = 0, ( a + 1 = 0 b + 3 = p a 2 +b 2 , 8 > < > : a =1 ¨ b3 (b + 3) 2 = 1 +b 2 , 8 < : a =1 b = 4 3 )S =5. Chån ¡p ¡n B C¥u 123. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = 3 2i + (2i)z l mët ÷íng trán b¡n k½nh r. T½nh r. A. r = 7. B. r = 20. C. r = 2 p 5. D. r = p 7. -Líi gi£i. Ta câ w = 3 2i + (2i)z,z = w 3 + 2i 2i . Suy ra)jzj = jw 3 + 2ij j2ij ) 2 = jw 3 + 2ij p 5 )jw 3 + 2ij = 2 p 5: Do â tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(3;2), b¡n k½nh r = 2 p 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 124. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj =jz + zj = 1? A. 0. B. 1. C. 4. D. 3. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a;b2R, ta câ z =abi. Tø â: jzj =jz + zj = 1, ¨ a 2 +b 2 = 1 j2aj = 1 , 8 > > < > > : b = p 3 2 a = 1 2 : Do â câ 4 sè phùc thäa m¢n. Chån ¡p ¡n C C¥u 125. Tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n 2jz 1j =jz + z + 2j tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët A. ÷íng th¯ng. B. ÷íng trán. C. parabol. D. hypebol. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x;y2R, ta câ z =xyi. Tø â: 2jz 1j =jz + z + 2j, 2j(x 1) +yij =j2x + 2j , È (x 1) 2 +y 2 =jx + 1j,y 2 = 4x: N¶n tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùcz thäa m¢n 2jz1j =jz + z +2j tr¶n m°t ph¯ng tåa ë l mët parabol. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 126. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njiz 2i + 1j = 2 l ÷íng trán câ tåa ë t¥m l A. (2; 1). B. (2;1). C. (2;1). D. (2; 1). -Líi gi£i. Gåi sè phùc z =x +yi; (x;y2R). Ta câ:jiz 2i + 1j = 2,j(1y) + (x 2)ij = 2, (x 2) 2 + (y 1) 2 = 4. Tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán câ tåa ë t¥m l (2; 1). Chån ¡p ¡n A C¥u 127. X²t c¡c sè phùcz thäa m¢n (z 2i) (z + 3) l mët sè thu¦n £o. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë, tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ph÷ìng tr¼nh ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng A. p 13. B. p 11. C. p 11 2 . D. p 13 2 . -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ (z 2i) (z + 3) =x 2 +y 2 + 3x + 2y (2x + 3y + 6)i. Theo gi£ thi¸t ta câ tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z l mët ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh l x 2 +y 2 + 3x + 2y = 0. Vªy b¡n k½nh cõa ÷íng trán l R = p 13 2 . Chån ¡p ¡n D 6 ĐÁPÁN 1. B 2. C 3. D 4. D 5. B 6. A 7. D 8. C 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. B 15. D 16. B 17. D 18. D 19. A 20. C 21. D 22. B 23. B 24. D 25. C 26. A 27. D 28. C 29. B 30. A 31. B 32. C 33. B 34. B 35. A 36. C 37. D 38. D 39. B 40. A 41. A 42. A 43. D 44. A 45. D 46. B 47. A 48. C 49. C 50. C 51. B 52. D 53. A 54. C 55. C 56. C 57. D 58. C 59. D 60. A 61. A 62. C 63. D 64. D 65. A 66. B 67. D 68. B 69. A 70. D 71. C 72. A 73. B 74. A 75. B 76. A 77. C 78. A 79. B 80. B 81. D 82. B 83. C 84. D 85. B 86. D 87. A 88. C 89. C 90. D 91. C 92. D 93. D 94. D 95. D 96. B 97. A 98. C 99. B 100. C 101. D 102. B 103. A 104. A 105. D 106. B 107. C 108. C 109. B 110. A 111. A 112. C 113. D 114. C 115. D 116. D 117. C 118. D 119. C 120. A 121. B 122. B 123. C 124. C 125. C 126. A 127. D 7 VẬNDỤNGCAO C¥u 1. Cho sè phùcz thäa m¢njzj 2. Gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùcP = 2jz + 1j + 2jz 1j +jzz 4ij b¬ng A. 4 + 2 p 3. B. 2 + p 3. C. 4 + 14 p 15 . D. 2 + 7 p 15 . -Líi gi£i. Gåi z =x +yi, (x;y2R). Theo gi£ thi¸t ta câjzj 2,x 2 +y 2 4)2x;y 2. P = 2jz + 1j + 2jz 1j +jzz 4ij = 2jz + 1j + 2jz 1j +j2yi 4ij = 2 (jz + 1j +j1zj +jy 2j) 2 (jzz + 2j +jy 2j) 2 2 p 1 +y 2 + 2y : X²t h m sè f(y) = 2 p 1 +y 2 + 2y tr¶n o¤n [2; 2], ta câ f 0 (y) = 2y p 1 +y 2 1 ;f 0 (y) = 0, 2y = p 1 +y 2 ,y = 1 p 3 : M f 1 p 3 = 2 + p 3, f(2) = 4 + 2 p 5, f(2) = 2 p 5. Suy ra min [2;2] f(y) = 2 + p 3 khi y = 1 p 3 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Do â P 2 2 + p 3 = 4 + 2 p 3. Vªy minP = 4 + 2 p 3 khi 8 < : y = 1 p 3 z =z , 8 < : y = 1 p 3 x = 0 ,z = 1 p 3 i. Chån ¡p ¡n A C¥u 2. Cho hai sè phùc z 1 ;z 2 bi¸tjz 1 +z 2 j = p 3 v jz 1 j =jz 2 j = 1. T½nhjz 1 z 2 j. A.jz 1 z 2 j = 1. B. jz 1 z 2 j = p 3. C. jz 1 z 2 j = p 2. D.jz 1 z 2 j = 3. -Líi gi£i. Gåi z 1 =a +bi;z 2 =c +di vîi a;b;c;d2R. Ta câjz 1 +z 2 j = p 3, p (a +c) 2 + (b +d) 2 = p 3, p (a 2 +b 2 ) + (c 2 +d 2 ) + 2(ac +bd) = p 3: jz 1 j =jz 2 j = 1, p a 2 +b 2 = p c 2 +d 2 = 1: Suy ra ac +bd = 1 2 . Tø â ta câjz 1 z 2 j = p (ac) 2 + (bd) 2 = p (a 2 +b 2 ) + (c 2 +d 2 ) 2(ac +bd) = 1. Chån ¡p ¡n A C¥u 3. T½nhdi»nt½chh¼nhph¯nggiîih¤nbðic¡ciºmbiºudi¹nc¡csèphùcthäam¢njz+2ij+jz4ij = 10. A. 15. B. 20. C. 12. D. ¡p ¡n kh¡c. -Líi gi£i. Gåi M l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z, F 1 (2; 1), F 2 (4; 1), ta câ: F 1 F 2 = 6. i·u ki»n ¢ cho t÷ìng ÷ìng MF 1 +MF 2 = 10. Do â tªp hñp c¡c iºm M l elip câ 2c =F 1 F 2 = 6)c = 3, 2a = 10)a = 5. Suy ra b = 4. Vªy di»n t½ch elip l S =ab = 20. x y O 4 2 1 F 1 F 2 Chån ¡p ¡n B C¥u 4. Cho c¡c sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhjz 2 3ij = 5 v jz 1 z 2 j = 6. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc w =z 1 +z 2 l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh ÷íng trán â. A. 8. B. 4. C. 2 p 2. D. 2. -Líi gi£i. GåiA;B l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa z 1 ;z 2 . Tø c¡c gi£ thi¸tz 1 ,z 2 thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhjz 2 3ij = 5 v jz 1 z 2 j = 6 suy ra A, B thuëc ÷íng trán t¥m I(2; 3) (l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z 0 = 2 + 3i) b¡n k½nh R = 5 çng thíi thäa m¢n AB = 6. Ta câ (wz 0 )z 0 = (z 1 z 0 ) + (z 2 z 0 ) I A B W n¶n wz 0 câ iºm biºu di¹n W ch½nh l ¿nh thù t÷ cõa h¼nh thoi IAWB. Do â jw 2z 0 j 2 =IW 2 = 4IA 2 AB 2 = 4 5 2 6 2 = 64 )jw 2z 0 j = 8: Vªy tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m J(4; 6), b¡n k½nh r = 8. Chån ¡p ¡n A C¥u 5. Cho hai iºmA v B l hai iºm biºu di¹n h¼nh håc sè phùc theo thù tüz 1 ,z 2 kh¡c 0 v thäa m¢n ¯ng thùc z 2 1 +z 2 2 =z 1 z 2 . Häi ba iºm O, A, B t¤o th nh tam gi¡c g¼? (O l gèc tåa ë). Chån ph÷ìng ¡n óng nh§t Th.s Nguy¹n Ch½n Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A. Vuæng c¥n t¤i O. B. C¥n t¤i O. C. ·u. D. Vuæng t¤i O. -Líi gi£i. z 2 1 +z 2 2 =z 1 z 2 ) (z 1 z 2 ) 2 =z 1 z 2 )jz 1 z 2 j 2 =jz 1 jjz 2 j: (1) z 2 1 +z 2 2 =z 1 z 2 )z 1 (z 1 z 2 ) =z 2 2 )jz 1 jjz 1 z 2 j =jz 2 j 2 )jz 1 z 2 j 2 = jz 2 j 4 jz 1 j 2 : (2) Tø (1) v (2))jz 1 j 3 =jz 2 j 3 )jz 1 j =jz 2 j. (3) Tø (1) v (3), suy rajz 1 j =jz 2 j =jz 1 z 2 j, hay OA =OB =AB)4OAB ·u. Chån ¡p ¡n C C¥u 6. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n z 2 + 3 = 2jz +zj v jz 4 + 3ij = 3? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. -Líi gi£i. °t z =x +yi; x;y2R. Gåi M l iºm biºu di¹n cõa z. Ta câjz 4 + 3ij = 3 n¶n M thuëc ÷íng trán (C 1 ) câ t¥m I 1 (4;3) v b¡n k½nh R 1 = 3: (1) Ta th§y z 2 + 3 = 2jz +zj , x 2 y 2 + 3 2 + (2xy) 2 = 16x 2 , x 2 y 2 2 + 9 + 6 x 2 y 2 + 4x 2 y 2 = 16x 2 , x 2 +y 2 2 + 9 6 x 2 +y 2 = 4x 2 , x 2 +y 2 3 2 = 4x 2 , x 2 +y 2 3 =2x x 2 +y 2 3 = 2x , (x 1) 2 +y 2 = 4 (2) (x + 1) 2 +y 2 = 4: (3) x y O I 1 I 2 I 3 M 1 M 2 H¼nh 1 °t ¨ (C 2 ): (x 1) 2 +y 2 = 4 (C 3 ): (x + 1) 2 +y 2 = 4: Tø (1); (2) v (3), ta th§y M l iºm chung cõa ¨ (C 1 ) (C 2 ) hay ¨ (C 1 ) (C 3 ): Tø h¼nh 1, ta th§y câ hai iºm M thäa m¢n, tùc câ hai sè phùc thäa m¢n · b i. Chån ¡p ¡n B C¥u 7. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj(z 3i) + 2i = (4i)z? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. -Líi gi£i. Ta câjzj(z 3i) + 2i = (4i)z,z(4jzji) =3jzj + (2jzj)i. °t t =jzj, i·u ki»n t 0;t2R. L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc tj4tij =j 3t + (2t)ij , t È (4t) 2 + 1 = È 9t 2 + (2t) 2 , t 4 8t 3 + 6t 2 + 4t 3 = 0 , (t 1)(t 3 7t 2 t + 3) = 0 , 2 6 6 6 4 t = 1 t 7;081 t 0;61146 t0;6928: Do â, câ 3 gi¡ trà t thäa m¢n. M°t kh¡c, vîi méi t 0, ta câ z = 3t + (2t)i 4ti n¶n câ duy nh§t mët sè phùc z thäa m¢n. Vªy câ 3 sè phùc thãa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n B C¥u 8. X²t c¡c sè phùc z = a +bi, (a;b 2 R) thäa m¢njz 1 + 2ij = p 5. T¼m P = 16a + 8b bi¸t jz + 1 +ij +jz 1 + 4ij ¤t gi¡ trà lîn nh§t. A.36. B. p 58. C. 58. D. 40. -Líi gi£i. Ta câjz 1 + 2ij = p 5, (a 1) 2 + (b + 2) 2 = 5,a 2 +b 2 = 2a 4b. M =jz + 1 +ij +jz 1 + 4ij = p (a + 1) 2 + (b + 1) 2 + p (a 1) 2 + (b + 4) 2 . Ta câ M 2 2 (a + 1) 2 + (b + 1) 2 + (a 1) 2 + (b + 4) 2 2 2 a 2 +b 2 + 10b + 19 2 [2 (2a 4b) + 10b + 19] 2 [4a + 2b + 19] 2 [4(a 1) + 2(b + 2) + 19]: M°t kh¡c 4(a 1) + 2(b + 2) + 19 p (4 2 + 2 2 ) [(a 1) 2 + (b + 2) 2 ] + 19 = 29 n¶n M 2 58. Do â M ¤t gi¡ trà lîn nh§t b¬ng p 58 khi ¨ 4a +b = 10 p 58 = p 4a 2b + 2 + p 4b + 17 , 8 > < > : a = 45 16 b = 5 8 . Suy ra P = 16a + 8b = 40. Chån ¡p ¡n D C¥u 9. Cho sè phùc z tho£ m¢n i·u ki»n z 2 2z + 5 =jz 1 2ij. Gi¡ trà lîn nh§t cõajz 2 + 2ij b¬ng A. p 17 + 1. B. 5. C. 2. D. p 13 + 2. -Líi gi£i. Ta câ z 2 2z + 5 =jz 1 2ij , (z 1) 2 4i 2 =jz 1 2ij , jz 1 2ijjz 1 + 2ij =jz 1 2ij: () M vîi z =a +bi, a;b2R, ta câ jz 1 + 2ij = È (a 1) 2 + (b + 2) 2 = È (a 1) 2 + (b 2) 2 =jz 1 2ij: Do â (), jz 1 2ij = 0 jz 1 + 2ij = 1: Tr÷íng hñpjz 1 + 2ij = 0,z = 1 2i)jz 2 + 2ij =j 1j = 1. Tr÷íng hñpjz 1 2ij = 1, ta câ jz 2 + 2i + 1 4ij = 1 ) jz 2 + 2ijj1 4ij 1 , jz 2 + 2ij 1 +j1 4ij = 1 + p 17: ¯ng thùc x£y ra, ¨ jz 1 2ij = 1 jz 2 + 2ij = 1 + p 17 . iºmM biºu di¹n sè phùcz thäa m¢n h» n y l giao iºm cõa ÷íng trán t¥m I 1 (1; 2), b¡n k½nh R 1 = 1 v ÷íng trán t¥m I 2 (2;2), b¡n k½nh R 2 = 1 + p 17. Ta câ I 1 I 2 = p 17 =R 2 R 1 . Do â M l iºm ti¸p xóc trong cõa hai ÷íng trán n y. Vªy gi¡ trà lîn nh§t cõajz 2 + 2ij b¬ng 1 + p 17. Chån ¡p ¡n A C¥u 10. Cho ba sè phùc z 1 , z 2 , z 3 khæng ph£i l sè thu¦n thüc, thäa m¢n i·u ki»n z 1 +z 2 = 4 v jz 1 2j =jz 2 2j =jz 3 2j = 1. T½nh gi¡ trà biºu thùc T =jz 3 z 1 j 2 +jz 3 z 2 j 2 . A. T = 12. B. T = 1. C. T = 4. D. T = 8. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gåi A;B;C l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa z 1 ;z 2 ;z 3 tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. Tø gi£ thi¸tjz 1 2j =jz 2 2j =jz 3 2j = 1 suy ra A;B;C thuëc ÷íng trán t¥m I(2; 0) b¡n k½nh R = 1. Tø gi£ thi¸t z 1 +z 2 = 4 suy ra I l trung iºm cõa AB n¶n AB = 2R = 2. T =jz 2 z 1 j 2 +jz 3 z 2 j 2 =AC 2 +BC 2 =AB 2 = 4R 2 = 4. Chån ¡p ¡n C C¥u 11. Cho hai sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢njz 1 j =jz 2 j = 2,jz 1 +z 2 j = 2 p 3. T½nhjz 1 z 2 j. A.jz 1 z 2 j = p 3. B. jz 1 z 2 j = 2. C. jz 1 z 2 j = 3. D.jz 1 z 2 j = 0. -Líi gi£i. GåiA,B l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n s¡c sè phùcz 1 ,z 2 . Khi â OA =jz 1 j = 2, OB =jz 2 j = 2. Düng h¼nh thoiOACB, khi âC l iºm biºu di¹n sè phùcz 1 +z 2 . Do â OC =jz 1 +z 2 j = 2 p 3. Gåi I l t¥m h¼nh thoi OACB, ta câ OI = OC 2 = p 3. Tø â IA = p OA 2 OI 2 = 1. Suy ra AB = 2IA = 2. Bði vªyjz 1 z 2 j =AB = 2. A O I B C Chån ¡p ¡n B C¥u 12. Cho c¡c sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢n ba i·u ki»njz 1 4 3ij = 5;jz 2 4 3ij = 5 v jz 1 z 2 j = 5. Gåi S l tªp hñp chùa t§t c£ c¡c sè kiºujz 1 + 3z 2 j. Câ bao nhi¶u sè nguy¶n trong tªp S? A. 40. B. 38. C. 39. D. 37. -Líi gi£i. Gåi A;B l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z 1 ;z 2 v K(4; 3). Tø gi£ thi¸t ta câ AK =BK = 5 v AB = 5. Gåi E l iºm thäa m¢n # EA + 3 # EB = # 0) # EB = 1 4 # AB. Ta câjz 1 + 3z 2 j =j # OA + 3 # OBj =j # OE + # EA + 3 # OE + 3 # EBj = 4OE. KAB ·u c¤nh b¬ng 5 câ M l trung iºm AB v E l trung iºm MB. A K B E M Ta câ KE = p KM 2 ME 2 = s 5 p 3 2 2 + 5 4 2 = 5 p 13 4 . Suy ra E di ëng tr¶n ÷íng trán t¥m K(4; 3) b¡n k½nh r = 5 p 13 4 . Ta câ OKrOEOK +r, 4(OKr) 4OE 4(OK +r), 20 5 p 13 4OE 20 + 5 p 13: Trong o¤n [20 5 p 13; 20 + 5 p 13] câ 37 sè nguy¶n. Chån ¡p ¡n D C¥u 13. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P = C 1 2018 C 3 2018 + + (1) k C 2k+1 2018 + + C 2017 2018 . A. P = 2 1009 . B. P = 0. C. P = 2 2018 1 2 . D. P = 2 2018 + 1 2 . -Líi gi£i. Ta câ (a +b) 2018 = 2018 X k=0 C k 2018 a 2018k b k : Vîi i 2 =1, ta câ (1 +i) 2018 = C 0 2018 + C 1 2018 i + C 2 2018 i 2 +::: + C 2018 2018 i 2018 (1) (1i) 2018 = C 0 2018 C 1 2018 i + C 2 2018 i 2 +::: + C 2018 2018 i 2018 (2) Th.s Nguy¹n Ch½n Em 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 L§y (1) trø (2) theo v¸ ta ÷ñc (1 +i) 2018 (1i) 2018 = 2i C 1 2018 + C 3 2018 i 2 + C 5 2018 i 4 +::: + C 2017 2018 i 2 016 : M (i 2 ) 2k = 1, (i 2 ) 2k+1 =1, vîi måi k2N. Suy ra, P = (1 +i) 2018 (1i) 2018 2i = (2i) 1009 (2i) 1009 2i = 2 (2i) 1008 = 2 1009 : Chån ¡p ¡n A C¥u 14. T½nh têng S = C 1 2018 3C 3 2018 + 3 2 C 5 2018 + 3 1008 C 2017 2018 . A. 2 2017 . B. 2 2018 . C. 2 2017 1. D. 2 2018 1. -Líi gi£i. Ta câ 1 +i p 3 2018 = C 0 2018 +i p 3C 1 2018 + i p 3 2 C 2 2018 + + i p 3 2018 C 2018 2018 , 2 2018 1 2 +i p 3 2 2018 = C 0 2018 3C 2 2018 + 3 1009 C 2018 2018 +i p 3 C 1 2018 3C 3 2018 + + 3 1008 C 2017 2018 , 2 2018 1 2 +i p 3 2 = C 0 2018 3C 2 2018 + 3 1009 C 2018 2018 +i p 3 C 1 2018 3C 3 2018 + + 3 1008 C 2017 2018 ) 2 2018 p 3 2 = p 3 C 1 2018 3C 3 2018 + 3 2 C 5 2018 + 3 1008 C 2017 2018 , p 3S = p 3 2 2017 , S = 2 2017 : Chån ¡p ¡n A C¥u 15. Cho S = C 0 2018 + 3C 2 2018 3 2 C 4 2018 + 3 1008 C 2016 2018 + 3 1019 C 2018 2018 . Häi S câ bao nhi¶u chú sè. A. 607. B. 608. C. 609. D. 610. -Líi gi£i. °t f(x) = (1 +x) 2018 , ta câ f(x) = C 0 2018 + C 1 2018 x + C 2 2018 x 2 + + C 2018 2018 x 2018 : Suy ra f p 3i = C 0 2018 + p 3iC 1 2018 + 3i 2 C 2 2018 + + 3 1009 i 2018 C 2018 2018 = C 0 2018 + p 3iC 1 2018 3C 2 2018 + 3 1009 C 2018 2018 ; f p 3i = C 0 2018 p 3iC 1 2018 + 3i 2 C 2 2018 + + 3 1009 i 2018 C 2018 2018 = C 0 2018 p 3iC 1 2018 3C 2 2018 + 3 1009 C 2018 2018 : Suy ra S = f p 3i +f p 3i 2 . M°t kh¡c, ta câ f p 3i = 1 + p 3i 2018 = 2 2018 cos 3 +i sin 3 2018 = 2 2018 cos 2018 3 +i sin 2018 3 = 2 2018 1 2 +i p 3 2 ; f p 3i = 1 p 3i 2018 = 2 2018 h cos 3 +i sin 3 i 2018 = 2 2018 cos 2018 3 +i sin 2018 3 = 2 2018 1 2 i p 3 2 ; Th.s Nguy¹n Ch½n Em 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra S = 2 2018 . Ta câ logS = log 2 2018 607;4785: Vªy S câ 608 chú sè. Chån ¡p ¡n B C¥u 16. Cho ba sè phùc z 1 ;z 2 ;z 3 thäa m¢n: 8 > > > < > > > : jz 1 j =jz 2 j =jz 3 j = 1 z 2 1 =z 2 z 3 jz 1 z 2 j = p 6 + p 2 2 . T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc M = jz 2 z 3 jjz 3 z 1 j. A. p 6 p 2 p 3. B. p 6 p 2 + p 3. C. p 6 + p 2 2 2 . D. p 6 p 2 + 2 2 . -Líi gi£i. °t z 1 =a 1 +b 1 i; z 2 =a 2 +b 2 i. Theo gi£ thi¸t ta câ: jz 1 j =jz 2 j = 1,a 2 1 +b 2 1 =a 2 2 +b 2 2 = 1. jz 1 z 2 j = p 6 + p 2 2 , (a 1 a 2 ) 2 + (b 1 b 2 ) 2 = p 6 + p 2 2 2 = 2 + p 3 , 2 2(a 1 a 2 +b 1 b 2 ) = 2 + p 3 , 2(a 1 a 2 +b 1 b 2 ) = p 3: Suy rajz 1 +z 2 j = p (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 = p 2 + 2(a 1 a 2 +b 1 b 2 ) = p 2 p 3 = p 6 p 2 2 . Ta câ: M =jz 2 z 3 jjz 3 z 1 j = z 2 z 2 1 z 2 z 2 1 z 2 z 1 = jz 2 z 1 jjz 2 +z 1 j jz 2 j jz 1 jjz 1 z 2 j jz 2 j = p 6 + p 2 2 p 6 p 2 2 1 = p 6 p 2 + 2 2 : Chån ¡p ¡n D C¥u 17. Cho sè phùcz thäa m¢njz 1 + 2ij = 5. Ph²p tành ti¸n v²c-tì # v = (1; 2) bi¸n tªp hñp biºu di¹n sè phùc z th nh tªp hñp biºu di¹n sè phùc z 0 . T¼m P = maxjzz 0 j. A. P = 15. B. P = 12. C. P = 20 p 5. D. P = 10 + p 5. -Líi gi£i. X²t hai ÷íng trán (I; 5) ; (I 0 ; 5) vîi I (1;2);I 0 (2; 0). Khi â maxjzz 0 j =AB vîiA;B l c¡c giao iºm cõa ÷íng th¯ngII 0 vîi c¡c ÷íng trán (I; 5) ; (I 0 ; 5) (A khæng n¬m trong (I 0 ; 5) v B khæng n¬m trong (I; 5)). Khi â AB = 2R +II 0 = 10 + p 5 I I 0 A B Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 18. Cho sè phùc z thäa m¢njz +zj 2 v jzzj 2. Gåi M, m l¦n l÷ñt l gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa T =jz 2ij. Têng M +m b¬ng A. 1 + p 10. B. p 2 + p 10. C. 4. D. 1. -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x, y2R. Khi â ¨ jz +zj 2 jzzj 2 , ¨ jxj 1 jyj 1 ) ¨ x2 [1; 1] y2 [1; 1] . Do â tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l iºm E(x;y) n¬m trong h¼nh vuæng ABCD vîi A(1; 1), B(1; 1), C(1;1) v D(1;1) nh÷ h¼nh v³. Khi â T =jz 2ij =EH vîi H(0; 2). D¹ th§y EH ¤t gi¡ trà nhä nh§t khi v ch¿ khi E(0; 1) khi â m = minEH = 1. x y O C D A B H E T÷ìng tü EH ¤t gi¡ trà lîn nh§t khi v ch¿ khi E(1;1) E(1;1) . Khi â M = maxEH = p 1 2 + 3 2 = p 10. Vªy M +m = 1 + p 10. Chån ¡p ¡n A C¥u 19. Cho sè phùc z = p 3 + p 5i 2018 . Bi¸t ph¦n £o cõa z câ d¤ng z =a +b p 3 +c p 5 +d p 15, trong c¡c sè a, b, c, d câ óng bao nhi¶u sè b¬ng 0? A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. -Líi gi£i. z = p 3 + p 5i 2018 = 2 + 2 p 15i 1009 = 2 1009 1009 P k=0 C k 1009 (1) 1009k p 15 k i k . Ph¦n £o cõa z ùng vîi gi¡ trà k l sè l´ n¶n a =b =c = 0: Chån ¡p ¡n D C¥u 20. Bi¸t 2 n C 0 n +iC 1 n C 2 n iC 3 n + +i k C k n + +i n C n n = 32768i, vîi C k n l c¡c sè tê hñp chªp k cõa n v i 2 =1. °t T k+1 =i k C k n , gi¡ trà cõa T 8 b¬ng A.330i. B. 8i. C. 36i. D.120i. -Líi gi£i. Ta câ 2 n C 0 n +iC 1 n C 2 n iC 3 n + +i k C k n + +i n C n n = 32768i , 2 n C 0 n +iC 1 n +i 2 C 2 n +i 3 C 3 n + +i k C k n + +i n C n n = 32768i , 2 n (1 +i) n = 2 15 i, (1 +i) n = 2 15n i: l sè thu¦n £o () N¸u n = 2m + 1, m2N th¼ (1 +i) n = (1 +i) 2m+1 = 2 m i m (1 +i): khæng thu¦n £o, sai so vîi (*). Nh÷ vªy n = 2m, m2N. Khi â (*), (1 +i) 2m = 2 152m i, 2 m i m = 2 152m i,m = 5. Vªy n = 10, tø â ta câ T 8 =i 7 C 7 8 =8i. Chån ¡p ¡n B C¥u 21. Cho sè phùcz thay êi thäa m¢njzij+jz +ij = 6. GåiS l ÷íng cong t¤o bði t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc (zi) (i + 1) khiz thay êi. T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ÷íng cong S. A. 12. B. 12 p 2. C. 9 p 2. D. 9. -Líi gi£i. Gi£ sû iºm M (x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc w = (zi) (i + 1). Khi â (zi) (i + 1) =x +yi n¶n Th.s Nguy¹n Ch½n Em 198 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 8 > < > : zi = x +yi 1 +i z +i = x +yi 1 +i + 2i , 8 > > < > > : zi = (x +yi) (1i) 2 z +i = (x 2) + (y + 2)i 1 +i , 8 > < > : zi = (x +yi) (1i) 2 z +i = [(x 2) + (y + 2)i] (1i) 2 : Ta suy rajzij =jx +yij 1i 2 = 1 p 2 p x 2 +y 2 . T÷ìng tüjz +ij =j(x 2) + (y + 2)ij 1i 2 = 1 p 2 È (x 2) 2 + (y + 2) 2 . Do gi£ thi¸tjzij +jz +ij = 6 suy ra 1 p 2 p x 2 +y 2 + 1 p 2 È (x 2) 2 + (y + 2) 2 = 6, p x 2 +y 2 + È (x 2) 2 + (y + 2) 2 = 6 p 2: Gi£ sû F 2 (0; 0) v F 1 (2;2), khi â MF 1 +MF 2 = 6 p 2. Do â tªp hñp iºm M chuyºn ëng tr¶n elip nhªn F 1 , F 2 l ti¶u iºm v câ ë d i tröc lîn l 6 p 2. Ta câ a = 3 p 2 v c = F 1 F 2 2 = p 2 n¶n b = p a 2 c 2 = 4. Khi â S =ab = 12 p 2. Chån ¡p ¡n B C¥u 22. Cho khai triºn 2018x 2 +x + 2018 2018 = a 0 +a 1 x + +a 4036 x 4036 . T½nh têng S = a 1 a 3 + a 5 +a 4035 . A. S = 0. B. S =1. C. S = 2 2018 . D. S = 1. -Líi gi£i. Cho x =i (i 2 =1) trong khai triºn 2018x 2 +x + 2018 2018 =a 0 +a 1 x + +a 4036 x 4036 ta ÷ñc i 2018 =a 0 +a 1 i +a 2 i 2 + +a 4036 i 4036 , 1 = (a 0 a 2 +a 4 +a 4036 ) + (a 1 a 3 +a 5 +a 4035 )i Vªy S =a 1 a 3 + +a 4035 = 0. Chån ¡p ¡n A C¥u 23. Cho z 1 , z 2 l c¡c sè phùc thäa m¢njz 1 j =jz 2 j = 1 v jz 1 2z 2 j = p 6. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P =j2z 1 +z 2 j. A. P = 2. B. P = p 3. C. P = 3. D. P = 1. -Líi gi£i. °t z 1 =a 1 +b 1 i; z 2 =a 2 +b 2 i. Suy ra a 2 1 +b 2 1 =a 2 2 +b 2 2 = 1. V jz 1 2z 2 j = p 6,a 1 a 2 +b 1 b 2 = 1 4 . Suy ra P =j2z 1 +z 2 j = 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 24. Câ bao nhi¶u gi¡ trà nguy¶n cõa m º câ óng hai sè phùc z thäa m¢njz (2m 1)ij = 10 v jz 1 +ij =jz 2 + 3ij. A. 41. B. 40. C. 165. D. 164. -Líi gi£i. Gåi z = a + bi (a;b 2 R) câ iºm biºu di¹n l M. Ta câ jz 1 +ij =jz 2 + 3ij ,j(a 1) + (b + 1)ij =j(a 2) + (3b)ij , È (a 1) 2 + (b + 1) 2 = È (a 2) 2 + (3b) 2 , 2a + 8b 11 = 0: d H I Suy ra iºm M thuëc ÷íng th¯ng d: 2x + 8y 11 = 0. M°t kh¡c, tøjz (2m 1)ij = 10, suy ra iºmM thuëc ÷íng trán (C) t¥mI(2m 1; 1), b¡n k½nh b¬ng 10. Vªy M l giao iºm cõa d v (C). º tçn t¤i óng hai sè phùc z, i·u ki»n l d ph£i ct (C) t¤i óng 2 iºm ph¥n bi»t. i·u n y x£y ra khi d(I;d)< 10, j2(2m 1) + 8 1 11j p 2 2 + 8 2 < 10, 5 10 p 68 4 2OB. Do â, T min = 2OB khi O;M;B th¯ng h ng theo thù tü â, hay MP (nh÷ h¼nh v³). Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng OB : x 4y = 0. Ta câ P2OB)P (4t;t) (vîi t> 0). P2 (C): x 2 + (y 1) 2 = 4) (4t) 2 + (t 1) 2 = 4, 17t 2 2t 3 = 0,t = 1 + 2 p 13 17 . )M 4 + 8 p 13 17 ; 1 + 2 p 13 17 . Vªy ab = 3 + 6 p 13 17 . Chån ¡p ¡n C C¥u 27. Khai triºn cõa biºu thùc (x 2 +x + 1) 2018 ÷ñc vi¸t th nha 0 +a 1 x +a 2 x 2 + +a 4036 x 4036 . Têng S =a 0 a 2 +a 4 a 6 +a 4034 +a 4036 b¬ng A.2 1009 . B. 0. C. 2 1009 . D.1. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câ i 2 =1; i 4 = 1)i 4m+2 =1; i 4m = 1 vîi måi m nguy¶n d÷ìng. Theo gi£ thi¸t th¼ (x 2 +x + 1) 2018 =a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + +a 4036 x 4036 . Cho x =i, thu ÷ñc (i) 2 +i + 1 2018 =a 0 +a 1 i +a 2 i 2 +a 3 i 3 +a 4 i 4 + +a 4034 i 4034 +a 4035 i 4035 +a 4036 i 4036 , i 2018 =a 0 +a 1 ia 2 +a 3 i 3 +a 4 +a 4034 +a 4035 i 4035 +a 4036 , 1 = (a 0 a 2 +a 4 +a 4034 +a 4036 ) + a 1 i +a 3 i 3 + +a 4035 i 4035 : (1) Chó þ r¬ng vîi måi n = 2m + 1 l´ th¼ i n =i 2m+1 =i 2m i = (1) m i l sè thu¦n £o, n¶n (1),1 =a 0 a 2 +a 4 a 4034 +a 4036 . Chån ¡p ¡n D C¥u 28. Cho c¡c sè phùc z 1 ; z 2 ; z 3 thäa m¢n i·u ki»njz 1 j = 4,jz 2 j = 3,jz 3 j = 2 v j4z 1 z 2 + 16z 2 z 3 + 9z 1 z 3 j = 48. Gi¡ trà cõa biºu thùc P =jz 1 +z 2 +z 3 j b¬ng A. 1. B. 8. C. 2. D. 6. -Líi gi£i. °t z 1 = 4w 1 ; z 2 = 3w 2 ; z 3 = 2w 3 vîijw 1 j =jw 2 j =jw 3 j = 1. Thu ÷ñc j4 4w 1 3w 2 + 16 3w 2 2w 3 + 9 4w 1 2w 3 j = 48,j2w 1 w 2 + 4w 2 w 3 + 3w 1 w 3 j = 2: (1) Nh¥n v o hai v¸ cõa (1) vîijw 1 w 2 w 3 j, vîi chó þ r¬ng z +w = z +w, zw = zw, zz =jzj 2 ,jw i j = 1, w i w i =jw i j 2 = 1 (i = 1; 2; 3),jzj =jzj, ta ÷ñc j2w 3 + 4w 1 + 3w 2 j = 2,j2w 3 + 4w 1 + 3w 2 j = 2 ,j2w 3 + 4w 1 + 3w 2 j = 2,jz 1 +z 2 +z 3 j = 2: Vªy P = 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 29. Gi£ sûz 1 ,z 2 l hai nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh (2+i)jzjz(12i)z =j1+3ij v jz 1 z 2 j = 1. T½nh M =j2z 1 + 3z 2 j. A. M = 19. B. M = 25. C. M = 19. D. M = p 19. -Líi gi£i. Ta câ (2 +i)jzjz (1 2i)z =j1 + 3ij, z [(2 +i)jzj 1 + 2i] =j1 + 3ij ,jzj È (2jzj 1) 2 + (jzj + 2) 2 = p 10,jzj 2 5jzj 2 + 5 = 10,jzj 4 +jzj 2 2 = 0,jzj = 1. Suy rajz 1 j =jz 2 j = 1. M°t kh¡cj2z 1 + 3z 2 j 2 = (2z 1 + 3z 2 ) (2z 1 + 3z 2 ) = 13 + 6 (z 1 :z 2 +z 1 :z 2 ) v jz 1 z 2 j 2 = (z 1 z 2 ) (z 1 z 2 ) = 2 (z 1 :z 2 +z 1 :z 2 ). Do â M 2 + 6jz 1 z 2 j 2 = 25)M = p 19. Chån ¡p ¡n D C¥u 30. Bi¸t sè phùc z câ ph¦n £o kh¡c 0 v thäa m¢njz (2 +i)j = p 10 v z z = 25. iºm n o sau ¥y biºu di¹n sè phùc z tr¶n? A. P (4;3). B. N (3;4). C. M (3; 4). D. Q (4; 3). -Líi gi£i. °t z =x +yi, vîi x;y2R v y6= 0. Ta câ ¨ jz (2 +i)j = p 10 z z = 25 , (È (x 2) 2 + (y 1) 2 = p 10 (x +yi)(xyi) = 25 , ¨ x 2 +y 2 4x 2y 5 = 0 x 2 +y 2 = 25 , ¨ 2x +y 10 = 0 (1) x 2 +y 2 = 25 (2): Tø (1) ta câ y = 10 2x, thay v o (2) ta ÷ñc x 2 + (10 2x) 2 = 25, 5x 2 40x + 75 = 0, x = 5)y = 0 x = 3)y = 4: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 201 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Nh÷ vªy z = 3 + 4i, n¶n iºm biºu di¹n sè phùc z l iºm M (3; 4). Chån ¡p ¡n C C¥u 31. Cho sè phùc z thäa m¢n (z 2 +i)(z 2i) = 25. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc w = 2z 2 + 3i l ÷íng trán câ t¥m I(a;b) v b¡n k½nh c. Gi¡ trà cõa a +b +c b¬ng A. 18. B. 10. C. 20. D. 17. -Líi gi£i. Ta câ (z 2 +i)(z 2i) =z 2i (z 2i) =jz 2ij 2 = 25)jz 2ij = 5: Ta câ w 2 5i = 2(z 2i))jw 2 5ij = 2jz 2ij = 10: Tªp hñp iºm biºu di¹n w l ÷íng trán t¥m I(2; 5) v b¡n k½nh R = 10. Vªy a +b +c = 17. Chån ¡p ¡n D C¥u 32. Cho hai sè phùc z 1 v z 2 thäa m¢n z 1 +z 2 = 8 + 6i v jz 1 z 2 j = 2. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa P =jz 1 +z 2 j. A. P = 4 p 6. B. P = 2 p 26. C. P = 5 + 3 p 5. D. P = 34 + 3 p 2. -Líi gi£i. °t z 1 =a +bi; z 2 =c +di vîi a; b; c; d2R. Ta câ z 1 +z 2 = 8 + 6i, (a +c) + (b +d)i = 8 + 6i, ¨ a +c = 8 b +d = 6: jz 1 z 2 j =j(ac) + (bd)ij = 2, (ac) 2 + (bd) 2 = 4: Do â, (ac) 2 + (bd) 2 + (a +c) 2 + (b +d) 2 = 4 + 8 2 + 6 2 = 104,a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 52: Suy rajz 1 j 2 +jz 2 j 2 = 52. Ta câ (jz 1 j +jz 2 j) 2 2 jz 1 j 2 +jz 2 j 2 = 104 , jz 1 j +jz 2 j p 104 = 2 p 26: D§u = x£y ra khijz 1 j =jz 2 j. Chån ¡p ¡n B C¥u 33. Rót gån têng sau S = C 0 2018 3C 2 2018 + 3 2 C 4 2018 3 3 C 6 2018 + 3 1009 C 2018 2018 A. S = 2 2017 . B. S = 2 2018 . C. S =2 2017 . D. S =2 2018 . -Líi gi£i. Ta câ (1 +x) 2018 = C 0 2018 + C 1 2018 x + C 2 2018 x 2 + + C 2018 2018 x 2018 (1). M°t kh¡c (1x) 2018 = C 0 2018 C 1 2018 x + C 2 2018 x 2 + C 2018 2018 x 2018 (2). Cëng (1) v (2) ta ÷ñc: (1 +x) 2018 + (1x) 2018 = 2 C 0 2018 + C 2 2018 x 2 + + C 2018 2018 x 2018 (3): Thay x =i p 3 v o (3) ta ÷ñc: (1 +i p 3) 2018 + (1i p 3) 2018 = 2S (4): C¡ch 1: M (1 +i p 3) 3 = (1i p 3) 3 =8) (1 +i p 3) 2016 = (1i p 3) 2016 = (8) 672 . Suy ra, (1 +i p 3) 2018 + (1i p 3) 2018 = (8) 672 (1 +i p 3) 2 + (1i p 3) 2 = (8) 672 (4) =2 2018 (5): Tø (4) v (5) suy ra: S =2 2017 . C¡ch 2: Ta câ 8 > < > : (1 +i p 3) = 2 cos 3 +i sin 3 (1i p 3) = 2 cos 3 i sin 3 ) 8 > > < > > : (1 +i p 3) 2018 = 2 2018 cos 2018 3 +i sin 2018 3 (1i p 3) 2018 = 2 2018 cos 2018 3 i sin 2018 3 ) 8 > > > < > > > : (1 +i p 3) 2018 = 2 2018 1 2 + p 3 2 i (1i p 3) 2018 = 2 2018 1 2 p 3 2 i (5). Tø (4) v (5) suy ra: S = 2 2018 2 =2 2017 . Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 202 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 34. Cho c¡c sè phùc z;w kh¡c 0 v thäa m¢n:jzwj = 2jzj =jwj. T¼m ph¦n thüc cõa sè phùc u = z w . A. 1 8 . B. 1 4 . C. 1. D. 1 8 . -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t suy ra z w 1 = 1 v z w = 1 2 . () °t z w =x +yi, ta câ () t÷ìng ÷ìng vîi 8 < : (x 1) 2 +y 2 = 1 x 2 +y 2 = 1 4 : Trø ph÷ìng tr¼nh d÷îi cho ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta ÷ñc x = 1 8 . Chån ¡p ¡n D C¥u 35. Cho c¡c sè phùc z thäa m¢njz 1j = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc w = 1 + p 3i z + 2 l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh R cõa ÷íng trán â. A. R = 4. B. R = 16. C. R = 8. D. R = 2. -Líi gi£i. Ta câw2 = (1+ p 3i)z, w 2 1 + p 3i =z, w 2 1 + p 3i 1 =z1) w 3 p 3i 1 + p 3i =jz1j,jw3 p 3ij = jz 1jj1 + p 3ij = 4. Tø â suy ra b¡n k½nh R = 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 36. Cho sè phùc z, bi¸t r¬ng c¡c iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa c¡c sè phùc z;iz v z +iz t¤o th nh mët tam gi¡c câ di»n t½ch b¬ng 18. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A. 2 p 3. B. 3 p 2. C. 6. D. 9. -Líi gi£i. Gi£ sûz =a +bi, vîia;b l sè thüc. Gåi M;N;P l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n sè phùc z;iz v z +iz. Khi â M(a;b);N(b;a);P (ab;a +b). Suy ra MN = p 2(a 2 +b 2 );NP =PM = p a 2 +b 2 . Suy ra tam gi¡c MNP vuæng c¥n t¤i P. Ta câ S MNP = 18, 1 2 NPPM = 18,a 2 +b 2 = 36,jzj = p a 2 +b 2 = 6: Chån ¡p ¡n C C¥u 37. Cho c¡c sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhjz 2 3ij = 5 v jz 1 z 2 j = 6. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc ! =z 1 +z 2 l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh ÷íng trán â A. R = 8. B. R = 4. C. R = 2 p 2. D. R = 2. -Líi gi£i. Gåi A;B l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z 1 ;z 2 )A;B2 (C) câ t¥m I(2; 3) v R = 5. Ta câ # IA = # IB = 5; # AB = # OB # OA =jz 1 z 2 j = 6 Gåi H l trung iºm AB ta câ IH = É IA 2 AB 2 4 = 4. Vªy H thuëc ÷íng trán I b¡n k½nh R 1 = 4. Ta câ ! =z 1 +z 2 ) # OM = # OA + # OB = 2 # OH) # OM = 2 # OH. Vªy M l £nh cõa H qua ph²p và tü t¥m O t sè k = 2. Vªy tªp hñp M l ÷íng trán b¡n k½nh R =kR 1 = 8. x y O A M B I H Chån ¡p ¡n A 8 ĐÁPÁN 1. A 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. C 11. B 12. D 13. A 14. A 15. B 16. D 17. D 18. A 19. D 20. B 21. B 22. A 23. A 24. A 25. C 26. C 27. D 28. C 29. D 30. C 31. D 32. B 33. C 34. D 35. A 36. C 37. A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 203 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 BÀI3. PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAITRÊNTẬPSỐPHỨC A KIẾNTHỨCCƠBẢN 1 CĂNBẬCHAICỦASỐPHỨC C«n bªc hai cõa sè phùc z =x +yi l mët sè phùc w =a +bi v t¼m nh÷ sau a +bi,x +yi = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =x +yi, ¨ a 2 b 2 =x 2ab =y Gi£i h» n y ta t¼m ÷ñc a, b. Tø â t¼m ÷ñc c«n bªc hai cõa sè phùc z. Ta câ thº l m t÷ìng tü èi vîi c¡c tr÷íng hñp c«n bªc ba, bªc bèn. 2 CÁCVÍDỤMINHHỌA V½ dö 1. T¼m c«n bªc hai cõa sè phùc z =3 + 4i. -Líi gi£i. Gåi w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z khi â 3 + 4i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =3 + 4i , ¨ a 2 b 2 =3 2ab = 4 , 8 < : a 2 4 a 2 + 3 = 0 ab = 2 , ¨ a 4 + 3a 2 4 = 0 ab = 2 , 8 > < > : a 2 = 1 a 2 =4 ab = 2 , 8 > < > : a =1 a =2i ab = 2 , a =1)b =2 a =2i)b =i: Vªy câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc z l w 1 = 1 + 2i v w 2 =1 2i. T¼m c«n bªc, c«n bªc bèn cõa sè phùc z =a +bi b¬ng m¡y t½nh bä tói: º m¡y t½nh ð ch¸ ë ra-ian SHIFT - MODE - 4 v º ch¸ ë sè phùc SHIFT - MODE - 2 . T¼m c«n bªc hai p ja +bij\ arg(a +bi) 2 + 2X 2 CALC ¨ X = 0)w 1 =::: X = 1)w 2 =::: T¼m c«n bªc bèn 4 p ja +bij\ arg(a +bi) 4 + 2X 4 CALC 8 > > > < > > > : X = 0)w 1 =::: X = 1)w 2 =::: X = 2)w 3 =::: X = 3)w 4 =::: Trong âj j b¬ng SHIFT - HYP ;\ b¬ng SHIFT - () ; arg( ) b¬ng SHIFT - 2 - 1 . 3 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. T¼m c«n bªc hai cõa sè phùc sau z =5 + 12i. 1 z = 8 + 6i. 2 z = 3 4i. 3 z = 33 56i. 4 z = 4 + 6 p 5i. 5 z =1 2 p 6i. 6 -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 204 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 1 Gåi w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z khi â 5 + 12i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =5 + 12i , ¨ a 2 b 2 =5 2ab = 12 , 8 < : a 2 36 a 2 + 5 = 0 ab = 6 , ¨ a 4 + 5a 2 36 = 0 ab = 6 , 8 > < > : a 2 = 4 a 2 =9 ab = 6 , 8 > < > : a =2 a =3i ab = 6 , a =2)b =3 a =3i)b =2i: Vªy câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc z l w 1 = 2 + 3i v w 2 =2 3i. 2 Gåi w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z khi â 8 + 6i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i = 8 + 6i , ¨ a 2 b 2 = 8 2ab = 6 , 8 < : a 2 9 a 2 8 = 0 ab = 3 , ¨ a 4 8a 2 9 = 0 ab = 3 , 8 > < > : a 2 = 9 a 2 =1 ab = 3 , 8 > < > : a =3 a =i ab = 3 , a =2)b =1 a =i)b =3i: Vªy câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc z l w 1 = 3 +i v w 2 =3i. 3 Gåi w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z khi â 3 4i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i = 3 4i , ¨ a 2 b 2 = 3 2ab =4 , 8 < : a 2 4 a 2 3 = 0 ab =2 , ¨ a 4 3a 2 4 = 0 ab =2 , 8 > < > : a 2 =1 a 2 =4 ab =2 , 8 > < > : a =i a =2i ab =2 , a =i)b =2i a =2i)b =2i: Vªy câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc z l w 1 =2 +i v w 2 = 2i. 4 Gåi w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z khi â 33 56i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i = 33 56i , ¨ a 2 b 2 = 33 2ab =56 , 8 < : a 2 784 a 2 33 = 0 ab =28 , ¨ a 4 33a 2 784 = 0 ab =28 , 8 > < > : a 2 =16 a 2 = 49 ab =28 , 8 > < > : a =4i a =7 ab =28 , a =4i)b =7i a =7)b =4: Vªy câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc z l w 1 = 7 4i v w 2 =7 + 4i. 5 Gåi w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z khi â 4 + 6 p 5i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i = 4 + 6 p 5i , ¨ a 2 b 2 = 4 2ab = 6 p 5 , 8 < : a 2 45 a 2 4 = 0 ab = 3 p 5 , ¨ a 4 4a 2 45 = 0 ab = 3 p 5 , 8 > < > : a 2 = 9 a 2 =5 ab = 3 p 5 , 8 > < > : a =3 a =i p 5 ab = 3 p 5 , " a =3)b = p 5 a = p 5i)b =3i: Vªy câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc z l w 1 = 3 + p 5i v w 2 =3 p 5i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 205 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 6 Gåi w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z khi â 1 2 p 6i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =1 2 p 6i , ¨ a 2 b 2 =1 2ab =2 p 6 , 8 < : a 2 6 a 2 + 1 = 0 ab = p 6 , ¨ a 4 +a 2 6 = 0 ab = p 6 , 8 > < > : a 2 = 2 a 2 =3 ab = p 6 , 8 > > < > > : " a = p 2 a =i p 3 ab = p 6 , " a = p 2)b = p 3 a =i p 3)b =i p 2: Vªy câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc z l w 1 = p 2i p 3 v w 2 = p 2 +i p 3. 4 CÁCDẠNGTOÁN D¤ng 1. Ph÷ìng tr¼nh bªc hai vîi h» sè phüc Ph÷ìng ph¡p gi£i: X²t ph÷ìng tr¼nh bªc hai az 2 +bz +c = 0 (1) vîi a6= 0 câ bi»t thùc =b 2 4ac. N¸u = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) câ nghi»m k²p z 1 =z 2 = b 2a . N¸u 6= 0 v gåi l c«n bªc hai cõa th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t l z 1 = b + 2a v z 2 = b 2a . V½ dö 1. Bi¸t z 1 , z 2 l hai nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh z 2 2z + 4 = 0. T½nhjz 1 j +jz 2 j. -Líi gi£i. Ta câ =b 2 4ac =12. C«n bªc hai cõa l i p 12. Suy ra ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t z 1 = 2 +i p 12 2 v z 2 = 2i p 12 2 . 1 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tr÷íng sè phùc C. 1 z 2 (1 +i)z + 6 + 3i = 0. 2 z 2 + 3(1 +i)z + 5i = 0. 3 z 2 + (1 +i)z 2i = 0. 4 z 2 8(1i)z + 63 16i = 0. 5 (2 3i)z 2 + (4i 3)z + 1i = 0. 6 4z 2 + (12i 4)z + 2i 8 = 0. -Líi gi£i. 1 Ta câ = (1 +i) 2 4(6 + 3i) =24 10i6= 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t. Gåi =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc khi â 24 10i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =24 10i , ¨ a 2 b 2 =24 2ab =10 , 8 < : a 2 25 a 2 + 24 = 0 ab =5 , ¨ a 4 + 24a 2 25 = 0 ab =5 , 8 > < > : a 2 = 1 a 2 =25 ab =5 , 8 > < > : a =1 a =5i ab =5 , a =1)b =5 a =5i)b =i: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 206 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc l 1 = 1 5i v 2 =1 + 5i. Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m z 1 = 1 2i v z 2 = 3i. 2 Ta câ = (3 + 3i) 2 4 5i =2i6= 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t. D¹ th§y c«n bªc hai cõa l 1 +i ho°c 1i. Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t z 1 = 1 2i v z 2 =2i. 3 Ta câ = (1 +i) 2 + 4(2 +i) = 8 + 6i6= 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t. Gåi =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc khi â 8 + 6i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i = 8 + 6i , ¨ a 2 b 2 = 8 2ab = 6 , 8 < : a 2 9 a 2 8 = 0 ab = 3 , ¨ a 4 8a 2 9 = 0 ab = 3 , 8 > < > : a 2 =1 a 2 = 9 ab = 3 , 8 > < > : a =i a =3 ab = 3 , a =i)b =3i a =3)b =1: Suy ra câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc l 1 = 3 +i v 2 =3i. Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m z 1 = 1 v z 2 =2i. 4 Ta câ = (8 8i) 2 4(63 16i) =252 64i6= 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t. Gåi =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc khi â 252 64i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =252 64i , ¨ a 2 b 2 =252 2ab =64 , 8 < : a 2 1024 a 2 + 252 = 0 ab =32 , ¨ a 4 + 252a 2 1024 = 0 ab =32 , 8 > < > : a 2 = 4 a 2 =256 ab =32 , 8 > < > : a =2 a =16i ab =32 , a =2)b =16 a =16i)b =2i: Suy ra câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc l 1 = 2 16i v 2 =2 + 16i. Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m z 1 = 5 12i v z 2 = 3 + 4i. 5 Ta câ = (4i 3) 2 4(1i)(2 3i) =3 4i6= 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t. Gåi =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc khi â 3 4i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =3 4i , ¨ a 2 b 2 =3 2ab =4 , 8 < : a 2 4 a 2 + 3 = 0 ab =2 , ¨ a 4 + 3a 2 4 = 0 ab =2 , 8 > < > : a 2 = 1 a 2 =4 ab =2 , 8 > < > : a =1 a =2i ab =2 , a =1)b =2 a =2i)b =i: Suy ra câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc l 1 = 1 2i v 2 =1 + 2i. Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m z 1 = 1 v z 2 = 1 13 5 13 i. 6 Ta câ = (12i 4) 2 16(2i 8) =128i6= 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t. Gåi =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc khi â 128i = (a +bi) 2 , (a 2 b 2 ) + (2ab)i =128i , ¨ a 2 b 2 = 0 2ab =128 , a =b = 8i a =b =8i: Suy ra câ hai c«n bªc hai cõa sè phùc l 1 =8 + 8i v 2 = 8 8i. Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m z 1 = 3 2 5 2 i v z 2 = 1 2 1 2 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 207 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 2. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tªp sè phùc. 1 z 3 2(1 +i)z 2 + 4(1 +i)z 8i = 0. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi (z 2i)(z 2 2z + 4) = 0 , z = 2i z 2 2z + 4 = 0: (1) Gi£i (1). 0 =3 câ mët c«n bªc hai l p 3i n¶n (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t z = 1 p 3i. 2 z 3 + (1 +i)z 2 + (3 +i)z + 3i = 0. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi (z +i)(z 2 +z + 3) = 0 , z =i z 2 +z + 3 = 0: (1) Gi£i (1). =11 câ mët c«n bªc hai l p 11i n¶n (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t z = 1 p 11i 2 . 3 z 3 + (2 2i)z 2 + (5 4i)z 10i = 0. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi (z 2i)(z 2 + 2z + 5) = 0 , z = 2i z 2 + 2z + 5 = 0: (1) Gi£i (1). 0 =4 câ mët c«n bªc hai l 2i n¶n (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t z =1 2i. B i 3. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tªp sè phùc. 1 2z 3 5z 2 + 3z + 3 + (2z + 1)i = 0. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi (2z + 1)(z 2 3z + 3 +i) = 0 , 2 4 z = 1 2 z 2 3z + 3 +i = 0: (1) Gi£i (1). =3 4i, gåi a +bi l mët c«n bªc hai cõa , ta câ ¨ a 2 b 2 =3 2ab =4 , 8 > < > : b = 2 a a 2 4 a 2 =3 , (a;b) = (1;2) (a;b) = (1; 2): Do â câ mët c«n bªc hai l 1 2i n¶n (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t z = 1 +i, z = 2i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 208 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 2 z 3 2(1 +i)z 2 + 3iz + 1i = 0. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi (z 1)(z 2 (1 + 2i)z 1 +i) = 0 , z = 1 z 2 (1 + 2i)z 1 +i = 0: (1) Gi£i (1). = 1 câ mët c«n bªc hai l 1 n¶n (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t z =i, z = 1 +i. 3 z 3 (2i 1)z 2 + (3 2i)z + 3 = 0. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi (z + 1)(z 2 2iz + 3) = 0 , z =1 z 2 2iz + 3 = 0: (1) Gi£i (1). 0 =4 câ mët c«n bªc hai l 2i n¶n (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t z = 3i, z =i. B i 4. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tªp sè phùc. 1 z 4 z 3 + z 2 2 +z + 1 = 0. -Líi gi£i. Rã r ng z = 0 khæng l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh. Chia c£ hai v¸ cho z 2 ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng z 2 z + 1 2 + 1 z + 1 z 2 = 0 , z 1 z 2 z 1 z + 5 2 = 0: Ta câ =9 = (3i) 2 n¶n 2 6 4 z 1 z = 1 3i 2 z 1 z = 1 + 3i 2 : Vîiz 1 z = 1 3i 2 , 2z 2 (13i)z2 = 0, = 86i = (3i) 2 . Do âz = 1i; z = 1 2 1 2 i: Vîiz 1 z = 1 + 3i 2 , 2z 2 (1+3i)z2 = 0, = 8+6i = (3+i) 2 . Do âz = 1+i; z = 1 2 + 1 2 i: 2 (zi)(z + 2i)(z + 4i)(z + 7i) = 34. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi z 2 + 6iz + 7 z 2 + 6iz 8 = 34: °t z 2 + 6iz + 7 =t ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t(t 15) = 34,t 2 15t 34 = 0, t = 17 t =2: Vîi t = 17)z 2 + 6iz 10 = 0, 0 = 1)z =3i 1. Vîi t =2)z 2 + 6iz + 7 =2, 0 =18 = 3 p 2i 2 )z =3i 3 p 2i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 209 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 D¤ng 2. T¼m c¡c thuëc t½nh cõa sè phùc thäa m¢n i·u ki»n K Ph÷ìng ph¡p gi£i: B÷îc 1: Gåi sè phùc c¦n t¼m l z =x +yi vîi x;y2R. B÷îc 2: Bi¸n êi i·u ki»n K (th÷íng li¶n quan ¸n mæ-un, biºu thùc câ chùa z, z,jzj,...) º ÷a v· ph÷ìng tr¼nh ho°c h» ph÷ìng tr¼nh nhí hai sè phùc b¬ng nhau, rçi suy ra x, y v z. Trong tªp sè phùc C, cho sè phùc z =x +yi câ ph¦n thüc l x ph¦n £o l y vîi x;y2R v i 2 =1. Khi â, ta c¦n nhî Mæ-un cõa sè phùc z =x +yi l jzj = p x 2 +y 2 . Sè phùc li¶n hñp cõa z =x +yi l z =xyi. Hai sè phùc z 1 = x 1 +y 1 i v z 2 = x 2 +y 2 i ÷ñc gåi l b¬ng nhau khi v ch¿ khi ¨ x 1 =x 2 y 1 =y 2 : Trong t i li»u n y, º cho ngn gån, ta k½ hi»u ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z l¦n l÷ñt l Re(z) v Im(z). 1 CÁCVÍDỤ V½ dö 1. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o, sè phùc li¶n hñp v t½nh mæ-un cõa sè phùc trong c¡c tr÷íng hñp sau: z = (2 + 4i) + 2i(1 3i). 1 z = 2i 1 2i 1 +i 3i . 2 -Líi gi£i. 1 Ta câ z = 2 + 4i + 2i + 6 = 8 + 6i, n¶n z = 8 6i, Re(z) = 8, Im(z) = 6 v jzj = p 6 2 + 8 2 = 10. 2 Ta câ z = (2i)(1 + 2i) 1 + 4 (1 +i)i 3 = 2 + 2 + (4 1)i 5 + 1 +i 3 = 17 15 + 14 15 i. Suy ra z = 17 15 14 15 i, Re(z) = 17 15 , Im(z) = 14 15 v jzj = Ê 7 15 2 + 14 15 2 = 7 p 5 15 . V½ dö 2. T¼m c¡c sè thüc x, y thäa m¢n i·u ki»n: (2i)x + (2 +y)i = 2 + 2i. 1 x 2 1 +i + y 3 1i =i. 2 -Líi gi£i. 1 Ta câ (2i)x + (2 +y)i = 2 + 2i , 2x + (2 +yx)i = 2 + 2i , ¨ 2x = 2 2 +yx = 2 , ¨ x = 1 y = 1: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 210 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 2 Ta câ x 2 1 +i + y 3 1i =i , (x 2)(1i) + (y 3)(1 +i) =i(1 + 1) , (x +y 5) + (yx 1)i = 2i , ¨ x +y 5 = 0 yx 1 = 2 , ¨ x = 1 y = 4: 2 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o, sè phùc li¶n hñp v t½nh mæ-un cõa sè phùc trong c¡c tr÷íng hñp sau. 1 z = (3 2i) 2 + (2 +i) 3 . -Líi gi£i. Ta câ z = (9 4 12i) + (8 + 12i 6i) = 7i. Suy ra z = 7 +i, Re(z) = 7, Im(z) =1 v jzj = p 7 2 + (1) 2 = 5 p 2. 2 ! =z 1 2z 2 , bi¸t r¬ng z 1 = 1 + 2i, z 2 = 2 3i. -Líi gi£i. Tacâ! = 1+2i2(23i) =3+8i,n¶n! =38i, Re(!) =3, Im(!) = 8v j!j = p (3) 2 + 8 2 = p 73. 3 z = (1 +i) n , vîi n2Z thäa m¢n log 4 (n 3) + log 4 (n + 9) = 3. -Líi gi£i. Ta câ log 4 (n 3) + log 4 (n + 9) = 3, (n 3)(n + 9) = 4 3 ,n = 7: Do â z = (1 +i) 7 = (2i) 3 (1 +i) =8i(1 +i) = 8 8i. Suy ra z = 8 + 8i, Re(z) = 8, Im(z) =8 v jzj = 8 p 2. 4 z = (1 +i) 100 (1i) 96 i(1 +i) 98 . -Líi gi£i. Ta câ (1 +i) 100 = (2i) 50 = 2 50 (i 2 ) 25 =2 50 . (1i) 96 = (2i) 48 = 2 48 (i 2 ) 24 = 2 48 . i(1 +i) 98 =i(2i) 49 =2 49 (i 2 ) 24 =2 49 . Do â z = 2 50 2 48 + 2 49 = 2 2 1 + 2 = 4 3 . Suy ra z = 4 3 , Re(z) = 4 3 , Im(z) = 0 v jzj = 4 3 . 5 z = z 1 3z 2 4z 2 2015 , vîi z 1 = 4 + 3i, z 2 =i. -Líi gi£i. Ta câ z 1 3z 2 4z 2 = 4 + 3i 3i 4i =i. N¶n z =i 2015 = (i 2 ) 1007 i =i. Suy ra z =i, Re(z) = 0, Im(z) =1 v jzj = 1. 6 z = ( p 2 +i) 2 (1i p 2). -Líi gi£i. Ta câ z = (2 1 + 2 p 2i)(1i p 2) = 1 + 4 + (2 p 2 p 2)i = 5 + p 2i. Suy ra z = 5 p 2i, Re(z) = 5, Im(z) = p 2,jzj = 3 p 3. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 211 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 7 z = 1 +i p 3 1 +i 3 . -Líi gi£i. Ta câ z = (1 +i p 3) 3 (1 +i) 3 = 1 + 3 p 3i 9 3 p 3i 1 + 3i 3i = 8 2 + 2i = 4 1i = 4(1 +i) 1 + 1 = 2 + 2i. Suy ra z = 2 2i, Re(z) = Im(z) = 2 v jzj = 2 p 2. B i 2. T¼m c¡c sè thüc x, y thäa m¢n i·u ki»n. 1 (1 2i)x + (1 + 2y)i = 1 +i. -Líi gi£i. Ta câ (1 2i)x + (1 + 2y)i = 1 +i , x + (1 + 2y 2x)i = 1 +i , ¨ x = 1 1 + 2y 2x = 1 , ¨ x = 1 y = 1: 2 x 3 3 +i + y 3 3i =i. -Líi gi£i. Ta câ x 3 3 +i + y 3 3i =i , (x 3)(3i) + (y 3)(3 +i) =i(9 + 1) , (3x + 3y 18) + (yx)i = 10i , ¨ 3x + 3y 18 = 0 yx = 10 , ¨ x =2 y = 8: B i 3. T½nh P = z + 1 z 2 + z 2 + 1 z 2 3 + z 3 + 1 z 3 4 + z 4 + 1 z 4 5 , bi¸t z = 1 +i p 3 2 . -Líi gi£i. Ta câ z + 1 z = 1 +i p 3 2 + 2 1 +i p 3 = (1 +i p 3) 2 + 4 2(1 +i p 3) = (1 3 + 4 2 p 3i)(1i p 3) 2(1 + 3) = 2(1 p 3i)(1 + p 3i) 8 = (1 + 3) 4 =1: Suy ra z 2 + 1 z 2 = z + 1 z 2 2 =1; z 3 + 1 z 3 = z + 1 z 3 3 z + 1 z = 2; z 4 + 1 z 4 = z 2 + 1 z 2 2 2 =1: Do â P = (1) 2 + (1) 3 + 2 4 + (1) 5 = 15. B i 4. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o, sè phùc li¶n hñp v t½nh mæ-un cõa sè phùc trong c¡c tr÷íng hñp sau. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 1 ! =z 1 z 2 , bi¸t r¬ng z 1 = 2 + 5i, z 2 = 3 4i. -Líi gi£i. Ta câ ! = (2 + 5i) (3 4i) = 6 + 20 + (15 8)i = 26 + 7i. Suy ra ! = 26 7i, Re(!) = 26, Im(!) = 7 v j!j = p 26 2 + 7 2 = 5 p 29. 2 z = (2 4i)(5 + 2i) + 4 2i 1 +i . -Líi gi£i. Ta câ z = 10 + 8 + (4 20)i + 2(2i)(1i) 1 + 1 = 18 16i + (2 1) + (2 1)i = 19 19i. Suy ra z = 19 + 19i, Re(z) = 19, Im(z) =19 v jzj = p 19 2 + (19) 2 = 19 p 2. 3 z = (1 +i) 2020 . -Líi gi£i. Ta câ z = (1 + 2i 1) 1010 = 2 1010 (i 2 ) 505 =2 1010 . N¶n z =2 1010 , Re(z) =2 1010 , Im(z) = 0 v jzj = 2 1010 . 4 z = 1 + (1 +i) + (1 +i) 2 + (1 +i) 3 + + (1 +i) 20 . -Líi gi£i. Theo cæng thùc têng cõa mët c§p sè nh¥n ta câ z = 1 1 (1 +i) 21 1 (1 +i) = 1 (2i) 10 (1 +i) i = 1 + 2 10 (1 +i) i =2 10 + (2 10 + 1)i: Suy ra z =2 10 (2 10 + 1)i, Re(z) =2 10 , Im(z) = 1 + 2 10 ,jzj = È 2 20 + (2 10 + 1) 2 . B i 5. T¼m c¡c sè thüc x, y thäa m¢n i·u ki»n. 1 x +yi 1i = 3 + 2i. -Líi gi£i. Ta câ x +yi 1i = 3 + 2i,x +yi = (3 + 2i)(1i),x +yi = 3 + 2 + (2 3)i, ¨ x = 5 y =1: 2 (1 + 4i)x + (1 + 2i) 3 y = 2 + 9i. -Líi gi£i. Ta câ (1 + 4i)x + (1 + 2i) 3 y = 2 + 9i , (1 + 4i)x + (1 + 6i 12 8i)y = 2 + 9i , (x 11y) + (4x 2y)i = 2 + 9i , ¨ x 11y = 2 4x 2y = 9 , 8 > < > : x = 95 46 y = 17 46 : B i 6. T¼m x, y º hai sè phùc z 1 = 9y 2 4 10xi 5 v z 2 = 8y 2 + 20i 11 l li¶n hñp cõa nhau. -Líi gi£i. Ta câ ¨ z 1 = 9y 2 4 10xi 5 = 9y 2 4 10xi z 2 = 8y 2 + 20i 11 = 8y 2 20i: Do â z 1 =z 2 , ¨ 9y 2 4 = 8y 2 10x = 20 , ¨ x =2 y =2: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 213 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Trong b i to¡n t¼m thuëc t½nh cõa sè phùc z thäa i·u ki»n K cho tr÷îc, n¸u K l thu¦n z (t§t c£ ·u z) ho°c thu¦n z th¼ â l b i to¡n gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t (ph²p cëng - trø - nh¥n - chia sè phùc) vîi ©n z (ho°c z). Cán n¸u chùa hai lo¤i trð l¶n (z;z;jzj) th¼ ta s³ gåi z = x +yi (x;y2 R) )z =xyi. Tø â sû döng c¡c ph²p to¡n tr¶n sè phùc º ÷a v· hai sè phùc b¬ng nhau khi v ch¿ khi thüc = thüc, £o = £o º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh t¼m x, y)z c¦n t¼m. B i 7. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o, sè phùc li¶n hñp v t½nh mæ-un cõa sè phùc trong c¡c tr÷íng hñp: 1 (1i)z + (2i) = 4 5i. (TN - 2011) -Líi gi£i. Ta câ (1i)z + (2i) = 4 5i, (1i)z = 2 4i,z = 2 4i 1i = 3i. Vªy sè phùc z = 3i câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l z = 3 +i, mæ-un l jzj = p 10. 2 2ziz = 2 + 5i. (C - 2014) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ 2ziz = 2+5i, 2(x+yi)i(xyi) = 2+5i, 2xy +(2yx) = 2+5i, ¨ 2xy = 2 2yx = 5 , ¨ x = 3 y = 4: )z = 3 + 4i. Vªy sè phùc z = 3 + 4i câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 4, sè phùc li¶n hñp l z = 3 4i, mæ-un l jzj = 5. 3 (1 +i) 2 (2i)z = 8 +i + (1 + 2i)z. (C - 2009) -Líi gi£i. Ta câ (1 +i) 2 (2i)z = 8 +i + (1 + 2i)z, (2 + 4i)z (1 + 2i)z = 8 +i, (1 + 2i)z = 8 +i,z = 8 +i 1 + 2i = 2 3i. Vªy sè phùc z = 2 3i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 3, sè phùc li¶n hñp l z = 2 + 3i, mæ-un l jzj = p 13. 4 (2 3i)z + (4 +i)z =(1 + 3i) 2 . (C - 2010) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ (2 3i)z + (4 +i)z =(1 + 3i) 2 , (2 3i)(x +yi) + (4 +i)(xyi) = 8 6i , 6x + 4y (2x + 2y)i = 8 6i, ¨ 6x + 4y = 8 2x + 2y = 6 , ¨ x =2 y = 5: )z =2 + 5i. Vªy sè phùc z =2 + 5i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 5, sè phùc li¶n hñp l z =2 5i, mæ-un l jzj = p 29. 5 z + (2 +i)z = 3 + 5i. (A, A1 - 2014) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ z+(2+i)z = 3+5i,x+yi+(2+i)(xyi) = 3+5i, 3x+y+(xy)i = 3+5i, ¨ 3x +y = 3 xy = 5 , ¨ x = 2 y =3: )z = 2 3i. Vªy sè phùc z = 2 3i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 3, sè phùc li¶n hñp l z = 2 + 3i, mæ-un l jzj = p 13. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 6 2z + 3(1i)z = 1 9i. (B - 2014) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ 2z+3(1i)z = 19i, 2(x+yi)+3(1i)(xyi) = 19i, 5x3y(3x+y)i = 19i, ¨ 5x 3y = 1 3x +y = 9 , ¨ x = 2 y = 3: )z = 2 + 3i. Vªy sè phùc z = 2 + 3i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 3, sè phùc li¶n hñp l z = 2 3i, mæ-un l jzj = p 13. 7 (3zz)(1 +i) 5z = 8i 1. (D - 2014) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ (3zz)(1 +i) 5z = 8i 1 , (2x + 4yi)(1 +i) 5(x +yi) = 8i 1 ,3x 4y + (2xy)i = 8i 1, ¨ 3x + 4y = 1 2xy = 8 , ¨ x = 3 y =2: )z = 3 2i. Vªy sè phùc z = 3 2i câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 2, sè phùc li¶n hñp l z = 3 + 2i, mæ-un l jzj = p 13. 8 z (2 + 3i)z = 1 9i. (D - 2011 CB) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ z(2+3i)z = 19i,x+yi(2+3i)(xyi) = 19i,x3y(3x3y)i = 19i, ¨ x 3y = 1 3x 3y = 9 , ¨ x = 2 y =1: )z = 2i. Vªy sè phùc z = 2i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l z = 2 +i, mæ-un l jzj = p 5. 9 (2z 1)(1 +i) + (z + 1)(1i) = 2 2i. (A - 2011 NC) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ (2z 1)(1 +i) + (z + 1)(1i) = 2 2i , (2x 1 + 2yi)(1 +i) + (x + 1yi)(1i) = 2 2i , 3x 3y + (x +y 2)i = 2 2i, ¨ 3x 3y = 2 x +y 2 =2 , 8 > < > : x = 1 3 y = 1 3 : )z = 1 3 1 3 i. Vªy sè phùc z = 1 3 1 3 i câ ph¦n thüc l 1 3 , ph¦n £o l 1 3 , sè phùc li¶n hñp l z = 1 3 + 1 3 i, mæ-un l jzj = p 2 3 . 10 zz + 3(zz) = 4 3i. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ zz + 3(zz) = 4 3i,x 2 +y 2 + 6yi = 4 3i, ¨ x 2 +y 2 = 4 6y =3 , 8 > > < > > : x = p 15 2 y = 1 2 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 )z = p 15 2 1 2 i. K¸t luªn Sè phùc z = p 15 2 1 2 i câ ph¦n thüc l p 15 2 , ph¦n £o l 1 2 , sè phùc li¶n hñp l z = p 15 2 + 1 2 i, mæ-un l jzj = 2. Sèphùcz = p 15 2 1 2 icâph¦nthücl p 15 2 ,ph¦n£ol 1 2 ,sèphùcli¶nhñpl z = p 15 2 + 1 2 i, mæ-un l jzj = 2. 11 z 3 = 18 + 26i. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Ta câ z 3 = 18 + 26i, (x +yi) 3 = 18 + 26i,x 3 3xy 2 + (3x 2 yy 3 )i = 18 + 26i, ¨ x 3 3xy 2 = 18 (1) 3x 2 yy 3 = 26 (2): Tø (1) v (2) suy ra 13(x 3 3xy 2 ) 9(3x 2 yy 3 ) = 0, 13x 3 27x 2 y 39xy 2 + 9y 3 = 0)x = 3y, thay v o (1), ta ÷ñc 27y 3 9y 3 = 18,y = 1)x = 3)z = 3 +i. Do â, ta câ z 3 = 18 + 26i,z 3 = (3 +i) 3 , (z 3i) z 2 + (3 +i)z + 8 + 6i = 0 , z = 3 +i z 2 + (3 +i)z + 8 + 6i = 0 , 2 6 6 6 6 6 6 4 z = 3 +i z = 3 + p 3 1 + 3 p 3 i 2 z = 3 p 3 1 3 p 3 i 2 : K¸t luªn Sè phùc z = 3 +i câ ph¦n thüc l 3, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l z = 3i, mæ-un l jzj = p 10. Sè phùc z = 3 + p 3 1 + 3 p 3 i 2 câ ph¦n thüc l 3 + p 3 2 , ph¦n £o l 1 + 3 p 3 2 , sè phùc li¶n hñp l z = 3 + p 3 + 1 + 3 p 3 i 2 , mæ-un l jzj = p 10. Sè phùc z = 3 p 3 1 3 p 3 i 2 câ ph¦n thüc l 3 p 3 2 , ph¦n £o l 1 3 p 3 2 , sè phùc li¶n hñp l z = 3 p 3 + 1 3 p 3 i 2 , mæ-un l jzj = p 10. Vªy sè phùc 12 z 2 +jzj = 0. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))jzj = p x 2 +y 2 . Ta câ z 2 +jzj = 0,x 2 y 2 + p x 2 +y 2 +2xyi = 0, ¨ x 2 y 2 + p x 2 +y 2 = 0 xy = 0 , ¨ x = 0 y = 0 ho°c ¨ x = 0 y =1: )z = 0 ho°c z =i ho°c z =i. K¸t luªn Sè phùc z = 0 câ ph¦n thüc l 0, ph¦n £o l 0, sè phùc li¶n hñp l z = 0, mæ-un l jzj = 0. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Sè phùc z =i câ ph¦n thüc l 0, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l z =i, mæ-un l jzj = 1. Sè phùc z =i câ ph¦n thüc l 0, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l z =i, mæ-un l jzj = 1. 13 z 2 =jzj 2 +z. (A - 2011 CB) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi,jzj = p x 2 +y 2 . Ta câ z 2 =jzj 2 +z , (x +yi) 2 =x 2 +y 2 +xyi,x 2 y 2 + 2xyi =x 2 +y 2 +xyi , ¨ x 2 y 2 =x 2 +y 2 +x 2xy =y , ¨ x =2y 2 (2x + 1)y = 0 , ¨ x = 0 y = 0 ho°c 8 > < > : x = 1 2 y = 1 2 : )z = 0; z = 1 2 1 2 i. K¸t luªn Sè phùc z = 0 câ ph¦n thüc l 0, ph¦n £o l 0, sè phùc li¶n hñp l z = 0, mæ-un l jzj = 0. Sè phùc 1 2 + 1 2 i câ ph¦n thüc l 1 2 , ph¦n £o l 1 2 , sè phùc li¶n hñp l z = 1 2 1 2 i, mæ-un l jzj = p 2 2 . Sè phùc 1 2 1 2 i câ ph¦n thüc l 1 2 , ph¦n £o l 1 2 , sè phùc li¶n hñp l z = 1 2 + 1 2 i, mæ-un l jzj = p 2 2 . 14 (z + 1) 2 +jz 1j 2 + 10i =z + 3. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ (z + 1) 2 +jz 1j 2 + 10i =z + 3 , (x +yi + 1) 2 + (x 1) 2 +y 2 + 10i =xyi + 3 ,x 2 y 2 + 1 + 2xyi + 2yi + 2x +x 2 2x + 1 +y 2 + 10i =x + 3yi , 2x 2 + 2 + (2xy + 2y + 10)i =x + 3yi, ¨ 2x 2 + 2 =x + 3 2xy + 2y + 10 =y , ¨ x = 1 y =2 ho°c 8 < : x = 1 2 y =5: )z = 1 2i; z = 1 2 5i. K¸t luªn Sè phùc 1 2i câ ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 2, sè phùc li¶n hñp l z = 1 + 2i, mæ-un l jzj = p 5. Sè phùc 1 2 5i câ ph¦n thüc l 1 2 , ph¦n £o l 5, sè phùc li¶n hñp l z = 1 2 + 5i, mæ-un l jzj = p 101 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 217 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 15 z 5 +i p 3 z 1 = 0. (B - 2011 CB) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ z 5 +i p 3 z 1 = 0 ,zzz = 5 +i p 3 ,x 2 +y 2 xyi = 5 +i p 3, ¨ x 2 +y 2 x = 5 y = p 3 , ¨ x =1 y = p 3 ho°c ¨ x = 2 y = p 3 )z =1i p 3; z = 2i p 3. K¸t luªn Sè phùc1i p 3 câ ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l p 3, sè phùc li¶n hñp l z =1+i p 3, mæ-un l jzj = 2. Sè phùc 2i p 3i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l p 3, sè phùc li¶n hñp l z = 2 +i p 3, mæ-un l jzj = p 7. 16 iz (1 + 3i)z 1 +i =jzj 2 . -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi,jzj = p x 2 +y 2 . Ta câ iz (1 + 3i)z 1 +i =jzj 2 , (1 +i)(x +yi) (4 + 2i)(xyi) = 2(x 2 +y 2 ) ,3x 3y + (5yx)i = 2x 2 + 2y 2 , ¨ 3x 3y = 2x 2 + 2y 2 5yx = 0 , ¨ x = 0 y = 0 ho°c 8 > < > : x = 45 26 y = 9 26 : )z = 0; z = 45 26 9 26 i. K¸t luªn Sè phùc z = 0 câ ph¦n thüc l 0, ph¦n £o l 0, sè phùc li¶n hñp l z = 0, mæ-un l jzj = 0. Sè phùc 45 26 9 26 i câ ph¦n thüc l 45 26 , ph¦n £o l 9 26 , sè phùc li¶n hñp l z = 45 26 + 9 26 i, mæ-un l jzj = 9 p 26 26 . 17 z + 1 +i (1i)z = (1i)jzj. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi,jzj = p x 2 +y 2 . Ta câ z + 1 +i (1i)z = (1i)jzj z6=0 ,zz +i = (1i)jzjz,x 2 +y 2 +i = (1i)(xyi) p x 2 +y 2 ,x 2 +y 2 +i = (xy) p x 2 +y 2 (x +y) p x 2 +y 2 i , ( x 2 +y 2 = (xy) p x 2 +y 2 1 =(x +y) p x 2 +y 2 , (p x 2 +y 2 =xy y 2 x 2 = 1 , 8 > < > : xy xy = 0 y 2 x 2 = 1 , ¨ x = 0 y =1: )z =i. Vªy sè phùcz =i câ ph¦n thüc l 0, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l z =i, mæ-un l jzj = 1. 18 z +i (i + 1) z z =z. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi,jzj = p x 2 +y 2 . Ta câ z +i (i + 1) z z =z z6=0 ,z 2 +iz (i + 1)z =zz, (x +yi) 2 +i(x +yi) (i + 1)(xyi) =x 2 +y 2 ,x 2 y 2 + 2xyi +xiyxiyx +yi =x 2 +y 2 , ¨ x 2 y 2 x 2y =x 2 +y 2 2xy +y = 0 , ¨ 2y 2 + 2y +x = 0 (2x + 1)y = 0 , 8 > > < > > : x = 1 2 y = 1 p 2 2 : )z = 1 2 + 1 p 2 2 i. K¸t luªn Sè phùc z = 1 2 + 1 + p 2 2 i câ ph¦n thüc l 1 2 , ph¦n £o l 1 + p 2 2 , sè phùc li¶n hñp l z = 1 2 1 + p 2 2 i, mæ-un l jzj = p 4 2 p 2 2 . Sè phùc z = 1 2 + 1 p 2 2 i câ ph¦n thüc l 1 2 , ph¦n £o l 1 p 2 2 , sè phùc li¶n hñp l z = 1 2 + 1 + p 2 2 i, mæ-un l jzj = p 4 2 p 2 2 . B i 8. T¼m sè phùc v c¡c thuëc t½nh cõa nâ trong c¡c tr÷íng hñp sau: 1 w = 1 +z +z 2 , vîi 5(z +i) z + 1 = 2i. (A - 2012 NC) -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ 5(z +i) z + 1 = 2i z6=1 , 5(xyi +i) = (2i)(x +yi + 1), 3xy 2 + (x 7y + 6)i = 0 , ¨ 3xy 2 = 0 x 7y + 6 = 0 , ¨ x = 1 y = 1: )z = 1 +i. Do â, ta câ w = 1 +z +z 2 = 1 + 1 +i + (1 +i) 2 = 2 + 3i. Vªy sè phùc w = 2 + 3i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 3, sè phùc li¶n hñp l w = 2 3i, mæ-un l jwj = p 13. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 219 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 2 w =z +iz, vîi z = 1i p 3 1i . -Líi gi£i. Ta câ z = 1i p 3 1i = 1 + p 3 2 + 1 p 3 2 i)z = 1 + p 3 2 1 p 3 2 i. Do â, ta câ w =z +iz = 1 + p 3 2 + 1 p 3 2 i +i 1 + p 3 2 1 p 3 2 i = 1 +i. Vªy sè phùc w = 1 +i câ ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l w = 1i, mæ-un l jwj = p 2. 3 w =z +iz, vîi z = 1i p 3 3 1i . (A - 2010 NC) -Líi gi£i. Ta câ z = 1i p 3 3 1i = 8 1i =4 4i)z =4 + 4i. Do â, ta câ w =z +iz =4 4i +i(4 + 4i) =8 8i. Vªy sè phùcw =8 8i câ ph¦n thüc l 8, ph¦n £o l 8, sè phùc li¶n hñp l w =8 + 8i, mæ-un l jwj = 8 p 2. 4 w = z 2z + 1 z 2 , vîi (1 +i)(zi) + 2z = 2i. (D 2013) -Líi gi£i. Ta câ (1 +i)(zi) + 2z = 2i, (3 +i)z =1 + 3i,z = 1 + 3i 3 +i =i. Do â, ta câ w = z 2z + 1 z 2 = i 2i + 1 i 2 =1 + 3i. Vªy sè phùc w =1 + 3i câ ph¦n thüc l 1, ph¦n £o l 3, sè phùc li¶n hñp l w =1 3i, mæ-un l jwj = p 10. 5 w =z + 4 z + 1 , vîi 1 +z =jzij 2 + (iz 1) 2 . -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R))z =xyi. Ta câ 1 +z =jzij 2 + (iz 1) 2 , 1 +xyi =jxyiij 2 + (xiy 1) 2 , 1 +xyi =x 2 + (y + 1) 2 x 2 + (y + 1) 2 2x(y + 1)i , ¨ 1 +x = 2(y + 1) 2 y = 2x(y + 1) , ¨ x = 2(y + 1) 2 1 4(y + 1) 3 2(y + 1)y = 0 , ¨ x = 1 y =2 ho°c 8 > < > : x = 1 2 y = 1 2 : )z = 1 2i ho°c z = 1 2 1 2 i. Vîi z = 1 2i, ta câ w =z + 4 z + 1 = 1 2i + 4 1 2i + 1 = 2i. Vîi z = 1 2 1 2 i, ta câ w =z + 4 z + 1 = 1 2 1 2 i + 4 1 2 1 2 i + 1 = 7 2 + 7 2 i. K¸t luªn Sè phùc w = 2i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 1, sè phùc li¶n hñp l w = 2 +i, mæ-un l jwj = p 5. Sè phùc w = 7 2 + 7 2 i câ ph¦n thüc l 7 2 , ph¦n £o l 7 2 , sè phùc li¶n hñp l w = 7 2 7 2 i, mæ-un l jwj = 7 p 2 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 6 w =b +ci, vîi 1 +i p 3 12 (2i) 1i p 3 6 (1 +i) 6 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh z 2 + 8bz + 64c = 0. -Líi gi£i. Ta câ 1 +i p 3 12 (2i) 1i p 3 6 (1 +i) 6 = 8 + 16i. Theo · b i, ta câ (8 + 16i) 2 + 8b(8 + 16i) + 64c = 0 ,192 + 256i + 64b + 128bi + 64c = 0 , ¨ 192 + 64b + 64c = 0 256 + 128b = 0 , ¨ b =2 c = 5: )w =2 + 5i. Vªy sè phùc w =2 + 5i câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 5, sè phùc li¶n hñp l w =2 5i, mæ-un l jwj = p 29. B i 9. T¼m sè phùc v c¡c thuëc t½nh khi nâ thäa m¢n çng thíi c¡c i·u ki»n sau: 1 jzj = 5 v ph¦n thüc b¬ng 2 l¦n ph¦n £o. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ( a = 2b p a 2 +b 2 = 5 , ¨ a = 2b b 2 = 5 , ¨ a = 2b b = p 5: Vîi b = p 5, a = 2 p 5, z = 2 p 5 + p 5i. Vîi b = p 5, a =2 p 5, z =2 p 5 p 5i. 2 jz 2 +ij = 2 v ph¦n £o nhä hìn ph¦n thüc 3 ìn và. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ( ab = 3 È (a 2) 2 + (b + 1) 2 = 2 , ¨ b =a 3 (a 2) 2 + (a 2) 2 = 4 , 8 > < > : b =a 3 " a = 2 + p 2 a = 2 p 2 Vîi a = 2 + p 2, b =1 + p 2, z = 2 + p 2 + (1 + p 2)i. Vîi a = 2 p 2, b =1 p 2, z = 2 p 2 (1 + p 2)i. 3 jz + 2i 1j p 5jz 2 + 3ij = 0. v ph¦n thüc b¬ng 2 l¦n ph¦n £o. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ( a = 2b È (a 1) 2 + (b + 2) 2 È 5[(a 2) 2 + (3b) 2 ] = 0 , ¨ a = 2b (2b 1) 2 + (b + 2) 2 5[(2b 2) 2 + (3b) 2 ] = 0 , 8 > > > < > > > : a = 2b 2 4 b = 2 b = 3 2 : Vîi b = 2, a = 4, z = 4 + 2i. Vîi b = 3 2 , a = 3, z = 3 + 3 2 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 221 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 4 jz + 1 2i)j = 5 v zz = 34. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ( a 2 +b 2 = 34 È (a + 1) 2 + (b 2) 2 = 5 , ¨ a 2 +b 2 = 34 a = 2b 7 , ¨ a = 2b 7 (2b 7) 2 +b 2 = 34 , 8 > > > < > > > : a = 2b 7 2 4 b = 3 5 b = 5 : Vîi b = 3 5 , a = 29 5 , z = 29 5 + 3 5 i. Vîi b = 5, a = 3, z = 3 + 5i. 5 jz (2 +i)j = p 10 v zz = 25. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ( a 2 +b 2 = 25 È (a 2) 2 + (b 1) 2 = p 10 , ¨ a 2 +b 2 = 25 b = 10 2a , ¨ b = 10 2a a 2 + (10 2a) 2 = 25 , 8 > < > : b = 10 2a a = 3 a = 5 : Vîi a = 3, b = 4, z = 3 + 4i. Vîi a = 5, b = 0, z = 5. 6 jz + 1 2ij =jz 2ij v jz 1j = p 5. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh 8 < : È (a + 1) 2 + (b 2) 2 = È (a 2) 2 + (b + 1) 2 È (a 1) 2 +b 2 = p 5 , ¨ a =b (a 1) 2 +b 2 = 5 , 8 > < > : a =b b =1 b = 2 : Vîi a =b =1, z =1i. Vîi a =b = 2, z = 2 + 2i. 7 2jzij =jzz + 2ij v jz 2 z 2 j = 4: -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). 2jzij =jzz + 2ij, 2 p a 2 + (b 1) 2 = p (2b + 2) 2 . jz 2 z 2 j = 4,jabj = 1. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ( 2 È a 2 + (b 1) 2 = È (2b + 2) 2 jabj = 1 , 8 < : b = a 2 4 jabj = 1 , 8 < : a = 3 p 4 b = 1 3 p 4 : Suy ra z = 3 p 4 + 1 3 p 4 i: 8 jzj = 1 v jz 2 z 2 j = p 3 vîi ph¦n thüc d÷ìng v ph¦n £o ¥m. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R;a> 0;b< 0). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh 8 < : a 2 +b 2 = 1 jabj = p 3 4 , 8 > < > : b 2 = 3 16a 2 a 2 + 3 16a 2 = 1 , 8 > > > > > < > > > > > : b 2 = 3 16a 2 2 6 4 a 2 = 1 4 a 2 = 3 4 , 8 > > > > > < > > > > > : b 2 = 3 16a 2 2 6 4 a = 1 2 a = p 3 2 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 222 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vîi a = 1 2 , b = p 3 2 , z = 1 2 p 3 2 i. Vîi a = p 3 2 , b = 1 2 , z = p 3 2 1 2 i. B i 10. T¼m sè phùc v c¡c thuëc t½nh khi nâ thäa m¢n çng thíi c¡c i·u ki»n sau: Nhªn x²t. Sè phùc l thu¦n £o khi ph¦n thüc b¬ng 0 v sè phùc l thu¦n thüc khi ph¦n £o b¬ng 0 1 jzj = p 2 v z 2 l sè thu¦n £o. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Ta câ z 2 =a 2 b 2 2abi, theo gi£ thi¸t z 2 thu¦n £o suy ra a 2 b 2 = 0. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ a 2 +b 2 = 2 a 2 b 2 = 0 , ¨ a =1 b =1: Suy ra z = 1i, z =1i. 2 jzij = p 2 v (z 1)(z +i) l sè thüc. (D-2010 CB) -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). (z 1)(z +i) =a 2 +b 2 ab + (a +b 1)i l sè thüc,b = 1a. Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ b = 1a a 2 + (b 1) 2 = 2 , ¨ b = 1a a =1 : Vîi a = 1, b = 0, z = 1. Vîi a =1, b = 2, z =1 + 2i. 3 (1 3i)z l sè thüc v jz 2 + 5ij = 1. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). (1 3i)z = (1 3i)(a +bi) =a + 3b + (b 3a)i2R,b = 3a. Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ b = 3a (a 2) 2 + (5b) 2 = 1 , 8 > > > < > > > : b = 3a 2 4 a = 2 a = 7 5 : Vîi a = 2, b = 6, z = 2 + 6i. Vîi a = 7 5 , b = 21 5 , z = 7 5 + 21 5 i. 4 (z 1)(z + 2i) l sè thüc v jz 1j = p 5 -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). (z 1)(z + 2i) = a 2 +b 2 a 2b + (2a +b 2)i l sè thüc, b = 2 2a. Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ b = 2 2a (a 1) 2 +b 2 = 5 , 8 > < > : b = 2 2a a = 0 a = 2 : Vîi a = 0, b = 2, z = 2i. Vîi a = 2, b =2, z = 2 2i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 223 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 5 jzz + 1ij = p 5 v (2z)(i +z) l sè £o. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). (2z)(i +z) =a 2 b 2 + 2a +b + (2a 2b)i l sè £o suy raa 2 b 2 + 2a +b = 0. jzz + 1ij = p 5, (a + 1) 2 + (2b 1) 2 = 5. Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ a 2 b 2 + 2a +b = 0 1 2 + (2b 1) 2 = 5 , 8 > > > > < > > > > : a 2 b 2 + 2a +b = 0 2 6 4 b = 1 2 b = 3 2 : Vîi b = 1 2 ) 2 6 4 a = 1 2 a = 3 2 ) 2 6 4 z = 1 2 1 2 i z = 3 2 1 2 i: Vîi b = 3 2 ) 2 6 4 a = 1 2 a = 3 2 ) 2 6 4 z = 1 2 + 3 2 i z = 3 2 + 3 2 i: 6 2jzij =jzz + 2ij v (2z)(i +z) l sè thüc. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). (2z)(i +z) =a 2 b 2 + 2a +b + (2a 2b)i l sè thüc suy ra a = 2 2b. Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ( a = 2 2b 2 È a 2 + (b 1) 2 =j2b + 2j , ¨ a = 2 2b 4[(2 2b) 2 + (b 1) 2 ] = (2b + 2) 2 , 8 < : a = 2 2b b = 3 p 5 2 : Vîi b = 3 + p 5 2 , a =1 p 5, z =1 p 5 + 3 + p 5 2 i. Vîi b = 3 p 5 2 , a =1 + p 5, z =1 + p 5 + 3 p 5 2 i. B i 11. T¼m z thäa:jz 3ij =j1izj v z 9 z l sè thu¦n £o. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Ta câ z 9 z = (z 2 9)z jzj 2 = (a 2 +b 2 9)a + (a 2 +b 2 + 9)bi a 2 +b 2 l sè thu¦n £o suy ra (a 2 +b 2 9)a = 0, a = 0 a 2 +b 2 = 9: jz 3ij =j1izj,a 2 + (b 3) 2 = (b 1) 2 +a 2 ,b = 2. Vîi a = 0, b = 2, z = 2i. Vîi a 2 +b 2 = 9, b = 2, z = p 5 + 2i. B i 12. T¼m sè phùc z sao chojz + 1 2ij =jz + 3 +ij v z 2i z +i l sè thu¦n £o. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Ta câ z 2i z +i = (a + (b 2)i)(a + (b 1)i) a 2 + (b 1) 2 , l sè thu¦n £o khi v ch¿ khi a 2 (b 2)(b 1) = 0: jz + 1 2ij =jz + 3 +ij, (a + 1) 2 + (b 2) 2 = (a + 3) 2 + (b 1) 2 ,b =2a 5 2 . Ta nhªn ÷ñc h» ph÷ìng Th.s Nguy¹n Ch½n Em 224 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 tr¼nh 8 < : b =2a 5 2 a 2 (b 2)(b 1) = 0 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 8 > > < > > : a = 16 + p 67 6 b = 17 p 67 6 8 > > < > > : a = 16 p 67 6 b = 17 + p 67 6 Suy ra z = 16 p 67 6 + 17 p 67 6 i. B i 13. Cho hai sè phùc z 1 v z 2 thäa m¢njz 1 +z 2 j 2 +jz 1 z 2 j 2 = (jz 1 j +jz 2 j) 2 . Chùng minh r¬ng jz 1 j =jz 2 j. -Líi gi£i. °t z 1 =a 1 +b 1 i, z 2 =a 2 +b 2 i (a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 2R). jz 1 +z 2 j 2 +jz 1 z 2 j 2 = (jz 1 j +jz 2 j) 2 , (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 + (a 1 a 2 ) 2 + (b 1 b 2 ) 2 =a 2 1 +b 2 1 +a 2 2 +b 2 2 + 2 È (a 2 1 +b 2 1 )(a 2 2 +b 2 2 ) , a 2 1 +b 2 1 +a 2 2 +b 2 2 = 2 È (a 2 1 +b 2 1 )(a 2 2 +b 2 2 ) , È a 2 1 +b 2 1 È a 2 2 +b 2 2 2 = 0 , jz 1 j =jz 2 j: B i 14. 1 T¼m c¡c sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢n 4z 1 3i 2013 =iz 1 + 5 v z 2 z 1 z 2013 1 = 4. -Líi gi£i. Ta câ 4z 1 3i 2013 =iz 1 + 5, (4i)z 1 = 5 + 3i,z 1 = 5 + 3i 4i = 1 +i ) z 2014 1 = (1 +i) 2014 = (2i) 1007 =2 1007 i ) z 2 = 4z 1 +z 2014 1 = 4 + (4 2 1007 )i: 2 z 12 z 8i = 5 3 v z 4 z 8 = 1. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R;a> 0;b< 0). Theo gi£ thi¸t ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ 9(a 12) 2 + 9b 2 = 25a 2 + 25(b 8) 2 (a 4) 2 +b 2 = (a 8) 2 +b 2 , 8 > < > : a = 6 b = 8 b = 17 : Suy ra z = 6 + 8i, z = 6 + 17i. B i 15. Gi£sûz 1 ;z 2 l haisèphùcthäam¢nçngthíic¡ci·uki»nj6z 1 ij =j2+3iz 1 j,j6z 2 ij =j2+3iz 2 j v jz 1 z 2 j = 1 3 . T½nh mæ un cõa z 1 +z 2 . -Líi gi£i. °t z 1 =a 1 +b 1 i, z 2 =a 2 +b 2 i (a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 2R). Ta câ 8 > > < > > : j6z 1 ij =j2 + 3iz 1 j j6z 2 ij =j2 + 3iz 2 j jz 1 z 2 j = 1 3 , 8 > > > > > < > > > > > : a 2 1 +b 2 1 = 1 9 a 2 2 +b 2 2 = 1 9 (a 1 a 2 ) 2 + (b 1 b 2 ) 2 = 1 9 , 8 > > > > > < > > > > > : a 2 1 +b 2 1 = 1 9 a 2 2 +b 2 2 = 1 9 2(a 1 a 2 +b 1 b 2 ) = 1 9 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Suy ra a 2 1 +b 2 1 +a 2 2 +b 2 2 + 2(a 1 a 2 +b 1 b 2 ) = 1 3 , (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 = 1 3 ,jz 1 +z 2 j = p 3 3 . B i 16. Cho sè phùcz thäa m¢n (1z)(i +z) l sè thu¦n £o. T¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =jzij. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Ta câ (1z)(i +z) =a 2 b 2 +a +b (a +b 1)i, l sè thu¦n £o khi v ch¿ khi a 2 b 2 +a +b = 0, a 1 2 2 + b 1 2 2 = 1 2 : M°t kh¡c P 2 =a 2 + (b 1) 2 =ab + 1 = a 1 2 b 1 2 + 16 s 2 a 1 2 2 + b 1 2 2 + 1 = 2 ) 06P6 p 2: Vªy P min = 0 khi z =i, P max = p 2 khi 8 > > < > > : a 1 2 = 1 2 b> 0 a 1 2 2 + b 1 2 2 = 1 2 , ¨ a = 1 b = 0 ,z = 1. B i 17. Bi¸t z 2i z 2 l sè thu¦n £o. T¼m gi¡ trà lîn nh§t T max cõa biºu thùc T =jz 1j +jzij. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Ta câ z 2i z 2 = (a + (b 2)i)(a 2bi) (a 2) 2 +b 2 , l sè thu¦n £o khi v ch¿ khi a(a 2) + (b 2)b = 0,a 2 +b 2 2a 2b = 0, (a 1) 2 + (b 1) 2 = 2: Ta l¤i câ T 2 = (jz 1j +jzij) 2 =j2z 1ij 2 +j 1 +ij 2 = 4(a 2 +b 2 ) 4(a +b) + 4 = 4(a +b) + 4 = 4(a 1) + 4(b 1) + 12 6 4 È 2 [(a 1) 2 + (b 1) 2 ] + 12 = 20: Suy ra T max = 2 p 5 khi a 1 =b 1 = 1,a =b = 2,z = 2 + 2i. D¤ng 3. Biºu di¹n h¼nh håc cõa sè phùc v b i to¡n li¶n quan Ph÷ìng ph¡p gi£i: Lo¤i 1 Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, h¢y t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z =x +yi thäa m¢n i·u ki»n K cho tr÷îc. B÷îc 1. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x;y2R). B÷îc 2. Bi¸n êi i·u ki»n K º t¼m mèi li¶n h» giúa x;y v k¸t luªn. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 226 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Mèi li¶n h» giúa x v y K¸t luªn tªp hñp iºm M(x;y) Ax +By +C = 0. L ÷íng th¯ng d :Ax +By +C = 0. (xa) 2 + (yb) 2 =R 2 x 2 +y 2 2ax 2by +c = 0: L ÷íng trán (C) câ t¥mI(a;b) v b¡n k½nh R = p a 2 +b 2 c. (xa) 2 + (yb) 2 6R 2 x 2 +y 2 2ax 2by +c6 0: L h¼nh trán (C) câ t¥m I(a;b) v b¡n k½nh R = p a 2 +b 2 c. R 2 1 6 (xa) 2 + (yb) 2 6R 2 2 . L nhúng iºm thuëc mi·n v nh kh«n t¤o bði hai ÷íng trán çng t¥m I(a;b) v b¡n k½nh l¦n l÷ñt R 1 v R 2 . y =ax 2 +bx +c;a6= 0. L mët parabol (P ) câ ¿nh S b 2a ; 4a . x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 vîi ¨ jMF 1 +MF 2 j = 2a F 1 F 2 = 2c< 2a: L mët elip câ tröc thüc l 2a, tröc £o l 2b v ti¶u cü 2c = 2 p a 2 b 2 vîi a> b> 0. x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 vîi ¨ jMF 1 MF 2 j = 2a F 1 F 2 = 2c> 2a: L mët hypebol câ tröc thüc l 2a, tröc £o l 2b v ti¶u cü 2c = 2 p a 2 +b 2 vîi a;b> 0. MA =MB L ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng AB. Lo¤i 2. T¼m sè phùc z câ mæ-un nhä nh§t, lîn nh§t thäa m¢n t½nh ch§t K cho tr÷îc. B÷îc 1. T¼m tªp hñp i¹m biºu di¹n c¡c sè phùc z º ÷ñc mèi li¶n h» giúa x v y. B÷îc 2. Düa v o mèi li¶n h» giúa x v y ð b÷îc 1, º t¼mjzj min ,jzj max . Thæng th÷íng vîi lo¤i n y, ng÷íi ra · hay cho tªp hñp iºm bi¹u di¹n sè phùc z l mët ÷íng th¯ng ho°c ÷íng trán. Khi â, ta câ hai h÷îng xû lþ: mët l sû döng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc, hai l sû döng ph÷ìng ph¡p ¤i sè (b§t ¯ng thùc). Nhâm I (Lo¤i · cho trüc ti¸p) B i 1. T¼m sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz 2ij = p 5 v iºm biºu di¹n cõa z thuëc ÷íng th¯ng d: 3xy + 1 = 0. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi, a;b2R. Theo b i ra ta câ h» ¨ a 2 + (b 2) 2 = 5 3ab + 1 = 0 , ¨ a 2 + (b 2) 2 = 5 b = 3a + 1 , ¨ a 2 + (3a 1) 2 = 5 b = 3a + 1 , 2 4 a = 1;b = 4 a = 2 5 ;b = 1 5 : Vªy câ hai sè phùc z thäa m¢n b i to¡n l z = 1 + 4i v z = 2 5 1 5 i. B i 2. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n (1 2i)z 2i 1 +i = (3i)z. T¼m tåa ë iºm biºu di¹n sè phùc z trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy. -Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi (2i)z = 2i 1 +i ,z = i 2 (1 +i)(2 +i) = 1 10 + 7 10 i: Do â iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l iºm M 1 10 ; 7 10 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 3. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n jzj =jz 2 + 3ij. -Líi gi£i. °t z =x +yi, x;y2R. Gi£ thi¸t t÷ìng ÷ìng vîi x 2 +y 2 = (x 2) 2 + (y + 3) 2 , 4x + 6y 13 = 0: Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z l ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh 4x + 6y 13 = 0. B i 4. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n jz (3 4i)j = 2. -Líi gi£i. °t z =x +yi, x;y2R. Gi£ thi¸t t÷ìng ÷ìng vîi (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 4. Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njz (3 4i)j = 2 l ÷íng trán (C) câ t¥m I(3;4), b¡n k½nh R = 2. B i 5. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n jzij =j(1 +i)zj. -Líi gi£i. V¼j(1 +i)zj =j1 +ijjzj = p 2jzj, do â n¸u gåi z =x +yi, x;y2R ta câ jzij =j(1 +i)zj,x 2 + (y 1) 2 = 2(x 2 +y 2 ),x 2 +y 2 + 2y 1 = 0: Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh x 2 +y 2 + 2y 1 = 0. B i 6. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z zi = 3. -Líi gi£i. °t z =x +yi, x;y2R. Khi â z zi = 3,jzj = 3jzij,x 2 +y 2 = 9 x 2 + (y 1) 2 ,x 2 + y 9 8 2 = 9 64 : Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z l ÷íng trán (C): x 2 + y 9 8 2 = 9 64 . B i 7. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n jzj 2. -Líi gi£i. °t z =x +yi, x;y2R. Ta câ jzj 2,x 2 +y 2 4: Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z l ph¦n trong cõa h¼nh trán t¥m O(0; 0), b¡n k½nh r = 2. B i 8. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n 1 0 th¼ tø (1) suy ra 2x 2 + 2x + 1 0 (luæn óng). Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z l ÷íng cong (H): y = 2x 1 2x , (x> 0). B i 14. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n jz +zj + (z +z)i = 2z. -Líi gi£i. °t z =x +yi, x;y2R. Ta câ jz +zj + (z +z)i = 2z,j2xj + 2xi = 2x + 2yi, ¨ j2xj = 2x 2x = 2y ,y =x (x 0): Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc z l ph¦n ÷íng th¯ng y =x, (x 0). Th.s Nguy¹n Ch½n Em 229 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B i 15. Cho sè phùc z =m + (m 3)i, (m2R). 1 T¼m t§t c£ c¡c tham sè m º iºm biºu di¹n sè phùc z n¬m tr¶n ÷íng ph¥n gi¡c thù hai y =x. 2 T¼m t§t c£ c¡c tham sè m º iºm biºu di¹n sè phùc z n¬m tr¶n ÷íng hypebol (H): y = 2 x . -Líi gi£i. 1 iºmbiºudi¹ncõasèphùcz l M(m;m3).Y¶uc¦ub ito¡nt÷ìng÷ìngvîim3 =m,m = 3 2 . 2 iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l M(m;m 3). Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng vîi m 3 = 2 m ,m 2 3m + 2 = 0, m = 1 m = 2 : B i 16. X²t c¡c iºmA,B,C trong m°t ph¯ng phùc theo thù tü biºu di¹n l¦n l÷ñt c¡c sè phùc:z 1 = 4i i 1 , z 2 = (1i)(1 + 2i) v z 3 = 2 + 6i 3i . 1 Chùng minh r¬ng4ABC l tam gi¡c vuæng. 2 T¼m sè phùc biºu di¹n iºm D sao cho tù gi¡c ABCD l h¼nh vuæng. -Líi gi£i. 1 Ta câ z 1 = 2 2i, z 2 = 3 +i, z 3 = 2i. Suy ra A(2;2), B(3; 1), C(0; 2). T½nh ÷ñc AB =BC = p 10, AC = p 20. Nhªn th§y AB 2 +BC 2 =AC 2 n¶n4ABC vuæng c¥n t¤i B. 2 Gåi D(x;y) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z = x +yi, (x;y2R). i·u ki»n c¦n v õ º ABCD l h¼nh vuæng l # AB = # DC, (1; 3) = (x;y 2), ¨ x = 1 y 2 = 3 ¨ x = 1 y = 5 )z = 1 + 5i: B i 17. Cho c¡c iºm A, B, C, D, M, N, P n¬m trong m°t ph¯ng phùc l¦n l÷ñt biºu di¹n c¡c sè phùc 1 + 3i,2 + 2i,4 2i, 1 7i,3 + 4i, 1 3i v 3 + 2i. Chùng minh r¬ng hai tam gi¡c ABC v MNP câ còng trång t¥m v tù gi¡c ABCD l tù gi¡c nëi ti¸p ÷ñc m ta ph£i t¼m t¥m v b¡n k½nh. T¼m iºm Q trong m°t ph¯ng phùc sao cho MNPQ l h¼nh b¼nh h nh. -Líi gi£i. Ta câ A(1; 3), B(2; 2), C(4;2), D(1;7), M(3; 4), N(1;3) v P (3; 2). Gåi trång t¥m tam gi¡c ABC v tam gi¡c MNP l¦n l÷ñt l G, G 0 . Ta câ 8 > < > : x G = 1 2 4 3 = 5 3 y G = 3 + 2 2 3 = 1 ; 8 > < > : x G 0 = 3 + 1 3 3 = 5 3 y G 0 = 4 3 + 2 3 = 1 : Tø â suy ra GG 0 . Gi£ sû iºm I(x;y) sao cho IA 2 =IB 2 =IC 2 =ID 2 . Khi â ta câ h» ph÷ìng tr¼nh 8 > < > : (1x) 2 + (3y) 2 = (2x) 2 + (2y) 2 (2x) 2 + (2y) 2 = (4x) 2 + (2y) 2 (4x) 2 + (2y) 2 = (1x) 2 + (7y) 2 , 8 > < > : 6x + 2y = 2 4x + 8y =12 10x 10y = 30 , ¨ x = 1 y =2: Do â, tù gi¡c ABCD nëi ti¸p ÷íng trán t¥m I(1;2), b¡n k½nh R =IA = 5. Gåi Q(a;b). MNPQ l h¼nh b¼nh h nh khi v ch¿ khi # MN = # QP, (4;7) = (a + 3;b 2), ¨ a + 3 = 4 b 2 =7 , ¨ a = 1 b =5 )Q(1;5): Th.s Nguy¹n Ch½n Em 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Nhâm II (lo¤i · cho gi¡n ti¸p) B i 18. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w thäa m¢n i·u ki»n w = (1 2i)z + 3, bi¸t z l sè phùc thäa m¢njz + 2j = 5. -Líi gi£i. Ta câ w = (1 2i)z + 3)z = w 3 1 2i . Do â jz + 2j = 5, w 3 1 2i + 2 = 5,jw 1 4ij = 5j1 2ij,jw 1 4ij = 5 p 5 (1): °t w =x +yi, (x;y2R), ta câ (1), (x 1) 2 + (y 4) 2 = 125. Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh (x 1) 2 + (y 4) 2 = 125. B i 19. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w thäa m¢n i·u ki»n w = 1 +i p 3 z + 2, bi¸t z l sè phùc thäa m¢njz 1j = 2. -Líi gi£i. Ta câ w = 1 +i p 3 z + 2)z = w 2 1 +i p 3 . Do â jz 1j = 2, w 2 1 +i p 3 1 = 2,jz 3i p 3j = 2j1 +i p 3j,jz 3i p 3j = 4 (1): °t w =x +yi, (x;y2R), ta câ (1), (x 3) 2 + (y p 3) 2 = 16. Vªy, tªp hñp iºmM biºu di¹n c¡c sè phùcw l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh (x 3) 2 + (y p 3) 2 = 16. B i 20. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w thäa m¢n i·u ki»n w =z + 1i, bi¸t z l sè phùc thäa m¢njz 1 + 2ij = 3. -Líi gi£i. Ta câ w =z + 1i)z =w 1 +i,z =w 1i. Do â jz 1 + 2ij = 3,jw 1i 1 + 2ij = 3,jw 2 +ij = 3 (1): °t w =x +yi, (x;y2R), ta câ (1), (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 9. Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 9. B i 21. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w thäa m¢n i·u ki»n w = 2zi, bi¸t z l sè phùc thäa m¢njz 1j = 2. -Líi gi£i. Ta câ z = w +i 2 n¶njz 1j = 2, w +i 2 1 = 2,jw 2 +ij = 4 (1). °t w =x +yi, (x;y2R), ta câ (1), (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 16. Vªy, tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 16. B i 22. Trongm°tph¯ngOxy,t¼mtªphñpiºmM biºudi¹nc¡csèphùcw thäai·uki»njwizzj = 2, bi¸t z l sè phùc z = (1 + p 3i) 3 16(1 +i) 5 . -Líi gi£i. Ta câ, z = (1 + p 3i) 3 16(1 +i) 5 = 1 16 1 16 i. Khi â,jwizzj = 2, wi 1 16 1 16 i + 1 16 + 1 16 i = 2 ,jwj = 2. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc w l (C): x 2 +y 2 = 4. B i 23. Trongm°tph¯ngOxy,t¼mtªphñpiºmM biºudi¹nc¡csèphùcw thäai·uki»nw = (1+2i)z+1, bi¸t z l sè phùc thäajz + 1j 2 = zz 2 . -Líi gi£i. °t w =x +yi; (x;y2R) Ta câ, w = (1 + 2i)z + 1,z = w 1 1 + 2i . Khi â jz + 1j 2 = zz 2 , jz + 1j 2 = jzj 2 2 , 2 w 1 1 + 2i + 1 2 = w 1 1 + 2i 2 , 2jw + 2ij 2 =jw 1j 2 , 2 x 2 + (y + 2) 2 = (x 1) 2 +y 2 , x 2 +y 2 2x + 8y + 7 = 0: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 231 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc w l ÷íng trán (C): x 2 +y 2 2x + 8y + 7 = 0. B i 24. Trong m°t ph¯ng Oxy, t¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n c¡c sè phùc w thäa i·u ki»n w = (1 + i p 3)z + 2, bi¸t z l sè phùc thäajz 1j 2. -Líi gi£i. Ta câ, w = (1 +i p 3)z + 2 , w = (1 +i p 3)(z 1) + 3 +i p 3 , w (3 +i p 3) = (1 +i p 3)(z 1) , w (3 +i p 3) = 2jz 1j 4: . Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc w l h¼nh trán (C): (x 3) 2 + (y p 3) 2 16 B i 25. Trong m°t ph¯ngOxy, t¼m tªp hñp iºmM biºu di¹n c¡c sè phùcw thäa i·u ki»nw = (1+i)z+1, bi¸t z l sè phùc thäajz 1j 1. -Líi gi£i. Ta câ, w = (1 +i)z + 1 , w = (1 +i)(z 1) + 2 +i , w (2 +i) = (1 +i)(z 1) , jw (2 +i)j = p 2jz 1j p 2: . Vªy tªp hñp c¡c iºm bi¹u di¹n cho sè phùc w l h¼nh trán (C): (x 2) 2 + (y 1) 2 2. B i 26. Trong m°t ph¯ngOxy, t¼m tªp hñp iºmM biºu di¹n c¡c sè phùcw thäa i·u ki»nw =z + 1i, vîi sè phùc z thäa m¢n: 1 j3z +ij 2 zz + 9. -Líi gi£i. °t w =x +yi; (x;y2R). Ta câ w =z + 1i,z = (x 1) + (y + 1)i,z = (x 1) (y + 1)i. Khi â, j3z +ij 2 zz + 9 , j3z +ij 2 jzj 2 + 9 , j3(x 1) 3(y + 1)i +ij 2 (x 1) 2 + (y + 1) 2 + 9 , 9(x 1) 2 + (3y 2) 2 (x 1) 2 + (y + 1) 2 + 9 , x 2 +y 2 2x + 5 4 y + 1 4 0: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc w l (C): x 2 +y 2 2x + 5 4 y + 1 4 0. 2 j2z +ij 2 3zz + 1. -Líi gi£i. °t w =x +yi; (x;y2R). Ta câ w =z + 1i,z = (x 1) + (y + 1)i,z = (x 1) (y + 1)i. Khi â, j2z +ij 2 3zz + 1 , j2z +ij 2 3jzj 2 + 1 , j2(x 1) 2(y + 1)i +ij 2 3(x 1) 2 + 3(y + 1) 2 + 1 , 4(x 1) 2 + (2y 1) 2 3(x 1) 2 + 3(y + 1) 2 + 1 , 4(x 2 2x + 1) + 4y 2 + 4y + 1 3x 2 6x + 3 + 3y 2 + 6y + 4 , x 2 +y 2 2x 2y 2 0: Vªy tªp hñp c¡c iºm bi¹u di¹n cho sè phùc w l h¼nh trán (C): x 2 +y 2 2x 2y 2 0: B i 27. Trong m°t ph¯ng phùc, h¢y t¼m sè phùc z câ mæ-un nhä nh§t. Bi¸t r¬ng sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 1 jz 2 4ij =jz 2ij. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Ta câ jz 2 4ij =jz 2ij , j(x 2) + (y 4)ij =jx + (y 2)ij , (x 2) 2 + (y 4) 2 =x 2 + (y 2) 2 , x 2 4x + 4 +y 2 8y + 16 =x 2 +y 2 4y + 4 , x +y 4 = 0: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùcz l ÷íng th¯ng : x + y 4 = 0. Gåi K l iºm biºu di¹n cho sè phùc z v H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa O l¶n ÷íng th¯ng th¼ OK OH n¶n H l iºm biºu di¹n cho sè phùc câ mæ-un nhä nh§t. Gåi d l ÷íng th¯ng qua gèc tåa ë v vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng x +y 4 = 0 th¼ d: xy = 0. x y O 4 K 4 H Khi â, tåa ë iºm H thäa m¢n ¨ x +y 4 = 0 xy = 0 , ¨ x = 2 y = 2: Vªy z = 2 + 2i v jzj min = 2 p 2. 2 jzij =jz 2 3ij. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Ta câ, jzij =jz 2 3ij , jx + (y 1)ij =j(x 2) + (y 3)ij , x 2 + (y 1) 2 = (x 2) 2 + (y 3) 2 , x 2 +y 2 2y + 1 =x 2 4x + 4 +y 2 + 6y + 9 , x 2y 3 = 0: Gåi d l ÷íng th¯ng qua gèc tåa ë v vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng th¼ d: 2x +y = 0. x y O 3 2 K 3 H Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc z l ÷íng th¯ng : x 2y 3 = 0. GåiK l iºm biºu di¹n cho sè phùc z v H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa O l¶n ÷íng th¯ng th¼ OKOH n¶n H l iºm biºu di¹n cho sè phùc câ mæ-un nhä nh§t. Gåi z l sè phùc câ mæ-un nhä nh§t th¼ iºm bi¹u di¹n cho z l iºm H câ tåa ë thäa m¢n ¨ x 2y 3 = 0 2x +y = 0 , 8 > < > : x = 3 5 y = 6 5 : Vªy z = 3 5 6 5 i v jzj min = 3 p 5 5 . 3 jiz 3j =jz 2ij. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â, jiz 3j =jz 2ij , ji(x +iy) 3j =j(x +iy) 2ij , j(y 3) +ixj =j(x 2) + (y 1)ij, (y 3) 2 +x 2 = (x 2) 2 + (y 1) 2 , y 2 + 6y + 9 +x 2 =x 2 4x + 4 +y 2 2y + 1 , x + 2y + 1 = 0: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc z l ÷íng th¯ng d: x + 2y + 1 = 0. Ta câjzj = p x 2 +y 2 = p (2y 1) 2 +y 2 = Ê 5 y + 2 5 2 + 1 5 É 1 5 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 233 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vªyjzj min = É 1 5 khi y = 2 5 , suy ra x = 1 5 . Vªy z = 1 5 2 5 i. 4 (z 1)(z + 2i) l sè thüc. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â, (z 1)(z + 2i) = [(x 1) +iy] [x + (2y)i] = x(x 1) + (x 1)(2y)i +xyiy(2y) = x(x 1)y(2y) + (2x +y 2)i: V¼ (z 1)(z + 2i) l sè thüc n¶n 2x +y 2 = 0. Gåidl ÷íngth¯ngquagèctåaëv vuænggâcvîi÷íngth¯ng 2x+y2 = 0 th¼ d: x 2y = 0. x y O 2 K 1 H GåiK l iºm biºu di¹n cho sè phùc z v H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa O l¶n th¼OKOH n¶n H l iºm biºu di¹n cho sè phùc câ mæ-un nhä nh§t. Gåi z l sè phùc câ mæ-un nhä nh§t th¼ tåa ë iºm biºu di¹n cho z l iºm H thäa m¢n ¨ 2x +y 2 = 0 x 2y = 0 , 8 > < > : x = 4 5 y = 2 5 : Vªy z = 4 5 + 2 5 v jzj min = 2 p 5 5 . 5 z + 1 5i z + 3i = 1. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â, z + 1 5i z + 3i = 1 , jz + 1 5ij =jz + 3ij , j(x + 1) + (y 5)ij =j(x + 3) + (y 1)ij , (x + 1) 2 + (y 5) 2 = (x + 3) 2 + (y 1) 2 , x + 3y 4 = 0: Gåi d l ÷íng th¯ng qua gèc tåa ë v vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng x + 3y 4 = 0 th¼ d: 3xy = 0. x y O 4 3 K 4 H Gåiz l sè phùc câ mæ-un nhä nh§t th¼ tåa ë iºm biºu di¹n choz thäa ¨ x + 3y 4 = 0 3xy = 0 , 8 > < > : x = 2 5 y = 6 5 : Vªy z = 2 5 + 6 5 i v jzj min = p 40 5 . B i 28. Trong m°t ph¯ng phùc, h¢y t¼m sè phùc z câ mæ-un nhä nh§t v mæ-un lîn nh§t. Bi¸t r¬ng sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n: 1 jz 2 4ij = p 5. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 °t z = x + iy; (x;y 2 R). Khi â,jz 2 4ij = p 5 , (x 2) 2 + (y 4) 2 = 5. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho z l ÷íng trán (C): (x 2) 2 + (y 4) 2 = 5. Gåi d l ÷íng th¯ng i qua gèc tåa ë O(0; 0) v t¥m I(2; 4) cõa (C) th¼ d: ¨ x = 2t y = 4t , (t2R). Th¸ x = 2t v y = 4t v o ph÷ìng tr¼nh cõa (C) ta ÷ñc (2t 2) 2 + (4t 4) 2 = 5, 20t 2 40t + 15 = 0, 2 6 4 t = 1 2 t = 3 2 : Ì Vîit = 1 2 th¼ ¨ x = 1 y = 2 : Ta câz = 1+2i v jzj min = p 5. Ì Vîi t = 3 2 th¼ ¨ x = 3 y = 6 : Ta câ z = 3 + 6i v jzj max = 3 p 5. x y M N 2 (1 +i)z 1i + 2 = 1. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â, (1 +i)z 1i + 2 = 1,j1 +ij z + 2 2i 1 +i = p 2,jz 2ij = 1, x 2 + (y 2) 2 = 1. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho z l (C): x 2 + (y 2) 2 = 1. Gåi d l ÷íng th¯ng i qua gèc tåa ë O(0; 0) v t¥m I(0; 2) th¼ d: ¨ x = 0 y = 2t , (t2R). Th¸x = 0 v y = 2t v o ph÷ìng tr¼nh cõa (C) ta câ (2t 2) 2 = 1 , 8 > < > : t = 3 2 t = 1 2 : x y M N Ì Vîi t = 1 2 th¼ z =i,jzj min = 1. Ì Vîi t = 3 2 th¼ z = 3i,jzj max = 3. 3 jz 2 + 2ij = 2 p 2. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 235 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 °t z = x + iy; (x;y 2 R). Khi â, jz 2 + 2ij = 2 p 2 , (x 2) 2 + (y + 2) 2 = 8. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc z l (C): (x 2) 2 + (y + 2) 2 = 8. Gåi d l ÷íng th¯ng i qua gèc tåa ë v t¥m I(2;2) cõa (C) th¼ d: ¨ x = 2t y =2t , (t2R). Th¸ x = 2t v y =2t v o ph÷ìng tr¼nh cõa (C) ta ÷ñc (2t 2) 2 + (2 2t) 2 = 8, 8t 2 16t = 0, t = 0 t = 2: Ì Vîi t = 0 th¼ z = 0, jzj min = 0. Ì Vîi t = 2 th¼ z = 4 4i, jzj max = 4 p 2. x y M N 4 log1 3 jz 3 + 4ij + 1 2jz 3 + 4ij + 8 = 1. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â, log1 3 jz 3 + 4ij + 1 2jz 3 + 4ij + 8 = 1 , jz 3 + 4ij + 1 = 2 3 jz 3 + 4ij + 8 3 , 3jz 3 + 4ij + 3 = 2jz 3 + 4ij + 8 , 3(x 3) 2 + 3(y + 4) 2 + 3 = 2(x 3) 2 + 2(y + 4) 2 + 8 , (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 5: Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùcz l (C): (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 5. Gåid l ÷íng th¯ng i qua gèc tåa ë v t¥m I(3;4) cõa (C) th¼ d: ¨ x = 3t y =4t , (t2R). Th¸ x = 3t v y =4t v o ph÷ìng tr¼nh cõa (C) ta câ: (3t 3) 2 + (4 4t) 2 = 5, 5t 2 10t + 4 = 0 , 2 6 6 4 t = 5 + p 5 5 t = 5 p 5 5 : x y M N Ì Vîi t = 5 + p 5 5 th¼ z = 3(5 + p 5) 5 4(5 + p 5) 5 i, jzj max = 5 + p 5. Ì Vîi t = 5 p 5 5 th¼ z = 3(5 p 5) 5 4(5 p 5) 5 i, jzj min = 5 p 5. 5 jz + 1j = z +z 2 + 3 . -Líi gi£i. Ì C¡ch 1. °tz =x +iy; (x;y2R). Khi â,jz + 1j = z +z 2 + 3 ,j(x + 1) +iyj =jx + 3j, 4xy 2 + 8 = 0. Khi â,jzj 2 =x 2 +y 2 =x 2 + 4x + 8 = (x + 2) 2 + 4 4)jzj min = 2 khi x =2;y = 0 n¶n z =2. Ì C¡ch 2. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 236 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â,jz + 1j = z +z 2 + 3 ,j(x + 1) +iyj =jx + 3j, 4xy 2 + 8 = 0. X²t ÷íng trán t¥m O(0; 0) v b¡n k½nh b¬ng 2. X²t h» ¨ 4xy 2 + 8 = 0 x 2 +y 2 = 4 Ta ÷ñc x 2 + 4x + 4 = 0,x =2. Vªy z =2,jzj min = 2. x y 2 O 6 jz + 1 + 2ij = 1. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â,jz + 1 + 2ij = 1, (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 1. Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho z l (C): (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 1. Gåi d l ÷íng th¯ng i qua gèc tåa ë v t¥m I(1;2) cõa (C) th¼ d: ¨ x =t y =2t , (t2R). Th¸ x =t v y =2t v o ph÷ìng tr¼nh cõa (C) ta ÷ñc (1t) 2 + (2 2t) 2 = 1, 5t 2 10t + 4 = 0, 2 6 6 4 t = 5 + p 5 5 t = 5 p 5 5 : (a) Vîi t = 5 + p 5 5 th¼ z = 5 + p 5 5 2 5 + p 5 5 i v jzj max = p 5 + 1. (b) Vîi t = 5 p 5 5 th¼ z = 5 p 5 5 2 5 p 5 5 i v jzj min = p 5 1. B i 29. H¢y t¼m sè phùc w vîi w =z (3 2i) câ mæ-un nhä nh§t, trong â sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njzij =jz + 1j. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â,jzij =jz + 1j,x 2 + (y 1) 2 = (x + 1) 2 +y 2 ,y =x. Ta câ, w = z (3 2i) = (x 3) + (y + 2)i = (x 3) + (2x)i,jwj = p (x 3) 2 + (2x) 2 = Ê 2 x 5 2 + 1 2 p 2 2 . Vªyjzj min = p 2 2 khi z = 5 2 5 2 i. B i 30. Trong t§t c£ c¡c sè phùc z thäa m¢njz 1j = 1, t¼m sè phùc z sao cho sè phùc zi câ mæ-un nhä nh§t. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â,jz 1j = 1, (x 1) 2 +y 2 = 1. Ta câ k¸t qu£ sau: Trong c¡c sè phùcz thäa m¢njzz 1 j =r 1 . H¢y t¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa P =jzz 2 j. GåiI,A v M l c¡c iºm bi¹u di¹n choz 1 ,z 2 v z. Khi â,IA =jz 1 z 2 j = r 2 n¶n ¨ maxP =AM 1 =r 1 +r 2 minP =AM 2 =jr 1 r 2 j: x y A M 1 M 2 I M Th.s Nguy¹n Ch½n Em 237 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 p döng ta câz 1 = 1,z 2 =i,I(1; 0),A(0; 1) v IA =jz 1 z 2 j = p 2 n¶njzij min = 1 p 2 = p 21. Ta câ ÷íng th¯ng qua hai iºm A, I l d: ¨ x =t y = 1t , (t2 R). Th¸ x = t, y = 1t v o ph÷ìng tr¼nh (x 1) 2 +y 2 = 1 ta ÷ñc (t 1) 2 + (1t) 2 = 1, 2 6 6 4 t = 1 + p 2 2 t = 1 p 2 2 : Ì Vîi t = 1 + p 2 2 th¼ M 1 1 + p 2 2 ; p 2 2 v AM 1 = s 1 + p 2 2 2 + 1 + p 2 2 2 = p 2 + 1. Ì Vîi t = 1 p 2 2 th¼ M 2 1 p 2 2 ; p 2 2 v AM 2 = s 1 p 2 2 2 + 1 p 2 2 2 = p 2 1. Vªy z = 1 p 2 2 + p 2 2 i. B i 31. Cho c¡c sè phùcz thäa m¢n i·u ki»njz 1 + 2ij = p 5. T¼m sè phùcw câ mæ-un lîn nh§t, bi¸t r¬ng w =z + 1 +i. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â,jz 1 + 2ij = p 5, (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 5. Gåi I(1;2), A(1;1). Khi â ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng d i qua hai iºm I v A l d: ¨ x = 1 2t y =2 +t , (t2R) Th¸ x = 1 2t v y =2 +t v o ph÷ìng tr¼nh (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 5 ta ÷ñc t 2 = 1, t = 1 t =1: Ì Vîi t = 1 th¼ M 1 (1;1) v AM 1 = 0. Ì Vîi t =1 th¼ M 2 (3;3) v AM 2 = 2 p 5. Vªy z = 3 3i. B i 32. T¼m sè phùcz thäa m¢n i·u ki»nj2z + 1j =jz +z + 3j sao cho sè phùcw =z 8 câ mæ-un nhä nh§t. -Líi gi£i. °tz =x +iy; (x;y2R). Khi â,j2z + 1j =jz +z + 3j,j(2x + 1) + 2yij =j2x + 3j, (2x + 1) 2 + 4y 2 = (2x + 3) 2 ,y 2 = 2x + 2. Khi â,jz 8j 2 = (x 8) 2 +y 2 = (x 8) 2 + 2x + 2 =x 2 14x + 66 = (x 7) 2 + 17 17. Vªyjz 8j min = p 17 khi x = 7 v y =4. K¸t luªn câ hai sè phùc thäa l z = 7 + 4i v z = 7 4i. B i 33. Cho sè phùc z =x + 2yi; (x;y2R) thay êi thäa m¢njzj = 1. H¢y t¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =xy. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). Khi â,jzj = 1,x 2 + 4y 2 = 1. (1) Tø P =xy ta câ y =xP th¸ v o (1) ta ÷ñc x 2 + 4(xP ) 2 = 1, 5x 2 8xP + 4P 2 1 = 0 (2) Ph÷ìng tr¼nh (2) câ nghi»m khi 0 0, 5 4P 2 0, p 5 2 P p 5 2 . Vªy minP = p 5 2 v maxP = p 5 2 . B i 34. T¼m tªp hñp iºm M biºu di¹n sè phùc z sao chojz 1 2ij = 2 p 2, (*). Tø â h¢y t¼m sè phùc z thäa (*) º ph¦n £o cõa z b¬ng 4. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi. Dojz 1 2ij = 2 p 2, p (a 1) 2 + (b 2) 2 = 2 p 2, (a 1) 2 + (b 2) 2 = 8. Vªy tªp hñp iºmM biºu di¹n sè phùcz thäajz 1 2ij = 2 p 2 l ÷íng trán (C) t¥mI(1; 2) v b¡n k½nh Th.s Nguy¹n Ch½n Em 238 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 R = 2 p 2. Do z câ ph¦n £o b = 4 n¶n (a 1) 2 + 4 = 8, (a 1) 2 = 4, a 1 = 2 a 1 =2 , a = 3 a =1: Vªy câ hai sè phùc l z =1 + 4i; z = 3 + 4i. D¤ng 4. Ph÷ìng tr¼nh bªc hai v bªc cao trong sè phùc Ph÷ìng ph¡p gi£i: X²t ph÷ìng tr¼nh bªc hai az 2 +bz +c = 0, (*) vîi a6= 0 câ bi»t sè =b 2 4ac. Khi â: 1 N¸u = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (*) câ nghi»m k²p z 1 =z 2 = b 2a . 2 N¸u 6= 0 v gåi l mët c«n bªc hai cõa th¼ ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»m ph¥n bi»t l z 1 = b + 2a ho°c z 2 = b 2a . 1 H» thùc Vi-²t v¨n óng trong tr÷íng phùc C: z 1 +z 2 = b a v z 1 z 2 = c a . 2 C«n bªc hai cõa sè phùc z =x +yi l mët sè phùc w v t¼m nh÷ sau: + B÷îc 1. °t w =a +bi vîi x;y;a;b2R l mët c«n bªc hai cõa sè phùc z. + B÷îc 2. Bi¸n êiw 2 =x+yi = (a+bi) 2 , (a 2 b 2 )+2abi =x+yi, ¨ a 2 b 2 =x 2ab =y ) ¨ a = b = + B÷îc 3. K¸t luªn c¡c c«n bªc hai cõa sè phùc z l w =a +bi. Ta câ thº l m t÷ìng tü èi vîi tr÷íng hñp c«n bªc ba, c«n bªc bèn. Ngo i c¡ch t¼m c«n bªc hai cõa sè phùc nh÷ tr¶n, ta câ thº t¡ch gh²p ÷a v· sè ch½nh ph÷ìng düa v o h¬ng ¯ng thùc. 1 CÁCVÍDỤ V½ dö 1. T¼m c«n bªc hai cõa sè phùc z = 16 30i. -Líi gi£i. °t w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z = 16 30i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 2 = 16 30i,a 2 b 2 + 2abi = 16 30i, ¨ a 2 b 2 = 16 (1) 2ab =30 (2) Tø (2))a = 15 b thay v o (1), ta câ 225 b 2 b 2 = 16)b 4 +16b 2 225 = 0) b 2 = 9 b 2 =25 (VN) ) b =3 b = 3: Vîi b =3)a = 5. Vîi b = 3)a =5. Vªy w =5 + 3i, w = 5 3i. V½ dö 2. Gi£i ph÷ìng tr¼nh: z 2 + 2z + 5 = 0 tr¶n tªp sè phùcC. -Líi gi£i. Ta câ 0 =4 = 4i 2 n¶n = 2i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t x 1;2 =1 2i. 2 BÀITẬPÁPDỤNG B i 1. T¼m c«n bªc hai cõa c¡c sè phùc sau: z =5 + 12i. 1 z = 8 + 6i. 2 z = 3 4i. 3 z = 33 56i. 4 z = 4 + 6 p 5i. 5 z =1 2 p 6i. 6 -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 239 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 1 z =5 + 12i. °t w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z =5 + 12i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 2 =5 + 12i,a 2 b 2 + 2abi =5 + 12i, ¨ a 2 b 2 =5 (1) 2ab = 12 (2) Tø (2))a = 6 b thay v o (1), ta câ 36 b 2 b 2 =5)b 4 5b 2 36 = 0) b 2 = 9 b 2 =4 (VN) ) b =3 b = 3: Vîi b =3)a =2. Vîi b = 3)a = 2. Vªy w = 2 + 3i, w =2 3i. 2 z = 8 + 6i. °t w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z = 8 + 6i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 2 = 8 + 6i,a 2 b 2 + 2abi = 8 + 6i, ¨ a 2 b 2 = 8 (1) 2ab = 6 (2) Tø (2))a = 3 b thay v o (1), ta câ 9 b 2 b 2 = 8)b 4 + 8b 2 9 = 0) b 2 = 1 b 2 =9 (VN) ) b =1 b = 1: Vîi b =1)a =3. Vîi b = 1)a = 3. Vªy w = 3 +i, w =3i. 3 z = 3 4i. °t w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z = 3 4i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 2 = 3 4i,a 2 b 2 + 2abi = 3 4i, ¨ a 2 b 2 = 3 (1) 2ab =4 (2) Tø (2))a = 2 b thay v o (1), ta câ 4 b 2 b 2 = 3)b 4 + 3b 2 4 = 0) b 2 = 1 b 2 =4 (VN) ) b =1 b = 1: Vîi b =1)a = 2. Vîi b = 1)a =2. Vªy w = 2i, w =2 +i. 4 z = 33 56i. °t w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z = 33 56i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 2 = 33 56i,a 2 b 2 + 2abi = 33 56i, ¨ a 2 b 2 = 33 (1) 2ab =56 (2) Tø (2))a = 28 b thay v o (1), ta câ 784 b 2 b 2 = 33)b 4 + 33b 2 784 = 0) b 2 = 16 b 2 =49 (VN) ) b =4 b = 4: Vîi b =4)a = 7. Vîi b = 4)a =7. Vªy w = 7 4i, w =7 + 4i. 5 z = 4 + 6 p 5i. °t w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z = 4 + 6 p 5i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 2 = 4 + 6 p 5i,a 2 b 2 + 2abi = 4 + 6 p 5i, ¨ a 2 b 2 = 4 (1) 2ab = 6 p 5 (2) Tø (2))a = 3 p 5 b thayv o (1),tacâ 49 b 2 b 2 = 4)b 4 +4b 2 45 = 0) b 2 = 5 b 2 =9 (VN) ) " b = p 5 b = p 5: Vîi b = p 5)a =3. Vîi b = p 5)a = 3. Vªy w =3 p 5i, w = 3 + p 5i. 6 z =1 2 p 6i. °t w =a +bi l c«n bªc hai cõa sè phùc z =1 2 p 6i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 2 =1 2 p 6i,a 2 b 2 + 2abi =1 2 p 6i, ¨ a 2 b 2 =1 (1) 2ab =2 p 6 (2) Tø (2))a = p 6 b thayv o (1),tacâ 6 b 2 b 2 =1)b 4 b 2 6 = 0) b 2 = 3 b 2 =2 (VN) ) " b = p 3 b = p 3: Vîi b = p 3)a = p 2. Vîi b = p 3)a = p 2. Vªy w = p 2 p 3i, w = p 2 + p 3i. B i 2. T¼m c«n bªc ba cõa c¡c sè phùc sau: 1 z =i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 240 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 2 z =27. 3 z = 2 + 2i. 4 z =46 + 9i. -Líi gi£i. 1 z =i. °t w =a +bi l c«n bªc ba cõa sè phùc z =i vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 3 =i,a 3 3ab 2 + (3a 2 bb 3 )i =i, ¨ a 3 3ab 2 = 0 (1) 3a 2 bb 3 =1 (2) Tø (1), suy ra a(a 2 3b 2 ) = 0, a = 0 a 2 3b 2 = 0: Vîi a = 0 thay v o (2), ta câb 3 =1,b = 1. Vªy w =i. Vîi a 2 3b 2 = 0,a 2 = 3b 2 thay v o (2), ta câ 9b 3 b 3 =1,b = 1 2 )a 2 = 3 4 )a = p 3 2 . Vªy w = p 3 2 1 2 i. 2 z =27. °t w =a +bi l c«n bªc ba cõa sè phùc z =27 vîi a;b2R. Khi â (a +bi) 3 =27,a 3 3ab 2 + (3a 2 bb 3 )i =27, ¨ a 3 3ab 2 =27 (1) 3a 2 bb 3 = 0 (2) Tø (2), suy ra b(3a 2 b 2 ) = 0, b = 0 3a 2 b 2 = 0: Vîi b = 0 thay v o (1), ta câ a 3 =27,a =3. Vªy w =3. Vîi 3a 2 b 2 = 0,b 2 = 3a 2 thay v o (1), ta câ a 3 9a 3 =27,a = 3 2 )b 2 = 27 4 )b = 3 p 3 2 . Vªy w = 3 2 3 p 3 2 i. 3 z = 2 + 2i. °t ¨ x = 3 p 2 + 2i y = 3 p 2 2i: Ta câ (x +y) 3 =x 3 +y 3 + 3xy(x +y) = 4 + 6(x +y). Suy ra ta câ ph÷ìng tr¼nh (x +y) 3 6(x +y) 4 = 0) 2 6 4 x +y =2 x +y = 1 + p 3 x +y = 1 p 3: M°t kh¡c xy = 3 p 2 + 2i 3 p 2 2i = 2. + Vîi x +y =2 v xy = 2. Khi â x, y l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh X 2 + 2X + 2 = 0) X =1 +i X =1i: Kiºm tra ta th§y w = 3 p 2 + 2i =1 +i. + Vîix +y = 1 + p 3 v xy = 2. Khi âx,y l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh X 2 (1 + p 3)X + 2 = 0. Ta câ = (1 + p 3) 2 8 =4 + 2 p 3 = (4 2 p 3)i 2 = ( p 3 1) 2 i 2 . Do â ta câ hai nghi»m 2 6 6 4 X = 1 + p 3 2 + p 3 1 2 i X = 1 + p 3 2 p 3 1 2 i: Kiºm tra ta th§y w = 3 p 2 + 2i = 1 + p 3 2 + p 3 1 2 i. + Vîix +y = 1 p 3 v xy = 2. Khi âx,y l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh X 2 + (1 p 3)X + 2 = 0. Ta câ = (1 p 3) 2 8 =8 2 p 3 = ( p 3 + 1) 2 i 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 241 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Do â ta câ hai nghi»m 2 6 6 4 X = 1 p 3 2 + p 3 + 1 2 i X = 1 p 3 2 p 3 + 1 2 i: Kiºm tra ta th§y w = 3 p 2 + 2i = 1 p 3 2 p 3 + 1 2 i. 4 z =46 + 9i. °t ¨ x = 3 p 46 + 9i y = 3 p 46 9i: Ta câ (x +y) 3 =x 3 +y 3 + 3xy(x +y) =92 + 39(x +y). Suy ra ta câ ph÷ìng tr¼nh (x +y) 3 39(x +y) + 92 = 0) 2 6 4 x +y = 4 x +y =2 + 3 p 3 x +y =2 3 p 3: M°t kh¡c xy = 3 p 46 + 9i 3 p 46 9i = 13. + Vîix+y = 4v xy = 13.Khiâx,y l nghi»mcõaph÷ìngtr¼nhX 2 4X+13 = 0) X = 2 + 3i X = 2 3i: Kiºm tra ta th§y w = 3 p 46 + 9i = 2 + 3i. + Vîix+y =2+3 p 3v xy = 13.Khiâx,y l nghi»mcõaph÷ìngtr¼nhX 2 (2+3 p 3)X+13 = 0. Ta câ = 31 12 p 3 52 =21 12 p 3 = (21 + 12 p 3)i 2 . Do â ta câ hai nghi»m 2 6 6 4 X = 2 + 3 p 3 + p 21 + 12 p 3i 2 X = 2 + 3 p 3 p 21 + 12 p 3i 2 : Kiºm tra ta th§y w = 3 p 46 + 9i = 2 + 3 p 3 p 21 + 12 p 3i 2 . + Vîix+y =23 p 3v xy = 13.Khiâx,y l nghi»mcõaph÷ìngtr¼nhX 2 +(2+3 p 3)X+13 = 0. Ta câ = 31 + 12 p 3 52 =21 + 12 p 3 = (21 12 p 3)i 2 . Do â ta câ hai nghi»m 2 6 6 4 X = 2 3 p 3 + p 21 12 p 3i 2 X = 2 3 p 3 p 21 12 p 3i 2 : Kiºm tra ta th§y w = 3 p 46 + 9i = 2 3 p 3 + p 21 12 p 3i 2 . B i 3. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tr÷íng sè phùc C: 2x 2 5x + 4 = 0. 1 x 2 4x + 7 = 0. 2 x 2 2x + 2 = 0. 3 8z 2 4z + 1 = 0. 4 2z 2 iz + 1 = 0. 5 (zi) 2 + 4 = 0. 6 z 4 + 7z 2 + 10 = 0. 7 z 4 +z 2 6 = 0. 8 (z +i) 4 + 4z 2 = 0. 9 -Líi gi£i. 1 2x 2 5x + 4 = 0. Ta câ = (5) 2 4 2 4 =7 = 7i 2 n¶n = p 7i l mët c«n bªc hai cõa . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t x 1;2 = 5 p 7i 4 = 5 4 p 7 4 i. 2 x 2 4x + 7 = 0. Ta câ 0 = (2) 2 1 7 =3 = 3i 2 n¶n = p 3i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t x 1;2 = 2 p 3i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 242 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 3 x 2 2x + 2 = 0. Ta câ 0 = (1) 2 1 2 =1 =i 2 n¶n =i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t x 1;2 = 1i. 4 8z 2 4z + 1 = 0. Ta câ 0 = (2) 2 8 1 =4 = 4i 2 n¶n = 2i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t z 1;2 = 2 2i 8 = 1 4 1 4 i. 5 2z 2 iz + 1 = 0. Ta câ = (i) 2 4 2 1 =9 = 9i 2 n¶n = 3i l mët c«n bªc hai cõa . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t z 1 = i + 3i 4 =i v z 2 = i 3i 4 = 1 2 i. 6 (zi) 2 + 4 = 0. Ta câ (zi) 2 + 4 = 0, (zi) 2 = 4i 2 , zi = 2i zi =2i , z = 3i z =i: 7 z 4 + 7z 2 + 10 = 0. °t t =z 2 , khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh t 2 + 7t + 10 = 0, t =2 t =5: Vîi t =2)z 2 =2)z 2 = 2i 2 )z = p 2i. Vîi t =5)z 2 =5)z 2 = 5i 2 )z = p 5i. 8 z 4 +z 2 6 = 0. °t t =z 2 , khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh t 2 +t 6 = 0, t = 2 t =3: Vîi t = 2)z 2 = 2)z = p 2. Vîi t =3)z 2 =3)z 2 = 3i 2 )z = p 3i. 9 (z +i) 4 + 4z 2 = 0. Ta câ (z +i) 2 + 4z 2 = 0, (z +i) 4 = 4i 2 z 2 , (z +i) 2 = 2iz (z +i) 2 =2iz , z 2 1 = 0 (1) z 2 + 4iz 1 = 0 (2) Theo (1) th¼ z 2 1 = 0,z 2 = 1,z 1;2 =1. Theo (2), ta câ 0 = (2i) 2 + 1 =3 = 3i 2 n¶n = p 3i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Khi â ph÷ìng tr¼nh (2) câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t l z 3;4 =2i p 3i = (2 p 3)i. B i 4. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tr÷íng sè phùc C: 4z 3 7i zi =z 2i. 1 z 2 (1 +i)z + 6 + 3i = 0. 2 z 2 + 3(1 +i)z + 5i = 0. 3 z 2 + (1 +i)z 2i = 0. 4 z 2 8(1i)z + 63 16i = 0. 5 (23i)z 2 +(4i3)z+1i = 0. 6 2(1 +i)z 2 4(2 4i)z 10 + 14i = 0. 7 -Líi gi£i. 1 4z 3 7i zi =z 2i. Ta câ 4z 3 7i zi =z 2i)z 2 (3i + 4)z + 1 + 7i = 0. Khi â = (3i + 4) 2 4(1 + 7i) = 3 4i n¶n = 2i l mët c«n bªc hai cõa . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t z = 3i + 4 + 2i 2 = 3 +i ho°c z = 3i + 4 2 +i 2 = 1 + 2i. 2 z 2 (1 +i)z + 6 + 3i = 0. Ta câ = (1 +i) 2 4(6 + 3i) = 1 + 2i 1 24 12i =24 10i. Gåi = 1 5i l mët c«n bªc hai cõa . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc l z 1 = 1 +i + 1 5i 2 = 1 2i ho°c z 2 = 1 +i 1 + 5i 2 = 3i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 243 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 3 z 2 + 3(1 +i)z + 5i = 0. Ta câ = 9(1 +i) 2 4 5i = 18i 20i =2i. Gåi = 1i l mët c«n bªc hai cõa . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc l z 1 = 3 3i + 1i 2 =1 2i ho°cz 2 = 3 3i 1 +i 2 = 2i. 4 z 2 + (1 +i)z 2i = 0. Ta câ = (1 +i) 2 4(2i) = 1 + 2i 1 + 8 + 4i = 8 + 6i. Gåi = 3 +i l mët c«n bªc hai cõa . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc l z 1 = 1i + 3 +i 2 = 1 ho°c z 2 = 1i 3i 2 =2i. 5 z 2 8(1i)z + 63 16i = 0. Ta câ 0 = 16(1i) 2 (63 16i) = 16 32i 16 63 + 16i =63 16i. Gåi = 1 8i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Vªyph÷ìngtr¼nhcâhainghi»mphùcl z 1 = 4(1i)+18i = 512iho°cz 2 = 4(1i)1+8i = 3+4i. 6 (2 3i)z 2 + (4i 3)z + 1i = 0. Ta câ = (4i 3) 2 4(2 3i)(1i) =16 24i + 9 + 4 + 20i =3 4i. Gåi = 1 2i l mët c«n bªc hai cõa . Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m l z 1 = 4i + 3 + 1 2i 2(2 3i) = 4 6i 4 6i = 1 ho°cz 2 = 4i + 3 1 + 2i 2(2 3i) = 1 13 5 13 i. 7 2(1 +i)z 2 4(2 4i)z 10 + 14i = 0. Ta câ ab +c = 2 + 2i + 8 16i 10 + 14i = 0. Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m l z 1 =1 v z 2 = 10 + 14i 2 + 2i =1 6i. B i 5. Gåi z 1 , z 2 l hai nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh z 2 + 2z + 10 = 0. H¢y t½nh gi¡ trà cõa biºu thùc A =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 . -Líi gi£i. Ta câ 0 =9 = 9i 2 n¶n = 3i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Khi â ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc l z 1 =1 3i v z 2 =1 + 3i. Vªy A =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 = ( p 10) 2 + ( p 10) 2 = 20. B i 6. Cho z 1 , z 2 l c¡c nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh 2z 2 4z + 11 = 0. H¢y t½nh gi¡ trà cõa biºu thùc M = jz 1 j 2 +jz 2 j 2 (z 1 +z 2 ) 2012 . -Líi gi£i. Ta câ 0 = 4 22 =18 = 18i 2 n¶n = 3 p 2i l mët c«n bªc hai cõa 0 . Khi â ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t l z 1 = 1 3 p 2 2 i v z 2 = 1 + 3 p 2 2 i. Do â (z 1 +z 2 ) 2012 = 2 2012 . Vªy M = jz 1 j 2 +jz 2 j 2 (z 1 +z 2 ) 2012 = 11 2 + 11 2 2 2012 = 11 2 2012 : B i 7. T¼m sè phùc z v w thäa z +w = 4i v z 3 +w 3 = 7 + 28i. -Líi gi£i. Ta câ z 3 +w 3 = 7 + 28i, (z +w)(z 2 +w 2 zw) = 7 + 28i,z 2 +w 2 zw = 7 + 28i 4i = 7i. M°t kh¡c z 2 +w 2 zw = 7i, (z +w) 2 3zw = 7i,zw = 7i (4i) 2 3 = 5 5i. Khi â z v w l hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh X 2 (4i)X + 5 5i = 0. Ta câ = (4i) 2 4(5 5i) =5 + 12i n¶n = 2 + 3i l mët c«n bªc hai cõa . Khi â ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m X = 4i + 2 + 3i 2 = 3 +i ho°c X = 4i 2 3i 2 = 1 2i. Vªy ¨ z = 3 +i w = 1 2i ho°c ¨ z = 1 2i w = 3 +i . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 244 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 D¤ng 5. Ph÷ìng tr¼nh quy v· bªc hai Ph÷ìng ph¡p gi£i: Trong gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc cao, n¸u · cho ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m thu¦n £o, ta th¸ z =bi v o ph÷ìng tr¼nh v gi£i t¼m b)z =bi. Do câ nghi»m z =bi n¶n chia Hoocner º ÷a v· ph÷ìng tr¼nh bªc th§p hìn m ¢ bi¸t c¡ch gi£i º t¼m nghi»m cán l¤i. Cán n¸u · b i cho bi¸t câ 1 nghi»m thüc. Khi â c¦n ¸n kh£ n«ng nh©m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc cao (n¸u câ i th¼ ta s³ nh©m nghi»m sao cho tri»t ti¶u i i). B i 1. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau, bi¸t r¬ng chóng câ mët nghi»m thu¦n £o. 1 z 3 2(1 +i)z 2 + 4(1 +i)z 8i = 0. 2 z 3 + (1 +i)z 2 + (3 +i)z + 3i = 0. 3 z 3 + (2 2i)z 2 + (5 4i)z 10i = 0. -Líi gi£i. 1 z 3 2(1 +i)z 2 + 4(1 +i)z 8i = 0: Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m thu¦n £o l z =bi n¶n ta câ: (bi) 3 2(1 +i)(bi) 2 + 4(1 +i)bi 8i = 0,b 3 i + 2b 2 + 2b 2 i + 4bi 4b 8i = 0 , ¨ 2b 2 4b = 0 b 3 + 2b 2 + 4b 8 = 0 , 8 > > > > < > > > > : b = 0 b = 2 b = 2 b =2 ,b = 2. Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh (z 2i)(z 2 2z + 4) = 0, z 2i = 0 z 2 2z + 4 = 0 , z = 2i z = 1i p 3: 2 z 3 + (1 +i)z 2 + (3 +i)z + 3i = 0. Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m thu¦n £o l z =bi n¶n ta câ: (bi) 3 + (1 +i)(bi) 2 + (3 +i)bi + 3i = 0,b 3 ib 2 b 2 i + 3bib + 3i = 0 , ¨ b 2 b = 0 b 3 b 2 + 3b + 3 = 0 , 8 > > > > < > > > > : b = 0 b =1 b =1 b = p 3 ,b =1. Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh (z +i)(z 2 +z + 3) = 0, z +i = 0 z 2 +z + 3 = 0 , 2 4 z =i z = 1 2 i p 11 2 : 3 z 3 + (2 2i)z 2 + (5 4i)z 10i = 0. Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m thu¦n £o l z =bi n¶n ta câ: (bi) 3 + (2 2i)(bi) 2 + (5 4i)bi 10i = 0,b 3 i 2b 2 + 2b 2 i + 5bi + 4b 10i = 0 , ¨ 2b 2 + 4b = 0 b 3 + 2b 2 + 5b 10 = 0 , 8 > > > > < > > > > : b = 0 b = 2 b = 2 b = p 5 ,b = 2. Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh (z 2i)(z 2 + 2z + 5) = 0, z 2i = 0 z 2 + 2z + 5 = 0 , z = 2i z =1 2i: B i 2. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau, bi¸t r¬ng chóng câ mët nghi»m thüc. 1 2z 3 5z 2 + 3z + 3 + (2z + 1)i = 0. 2 z 3 2(1 +i)z 2 + 3iz + 1i = 0. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 245 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. 1 2z 3 5z 2 + 3z + 3 + (2z + 1)i = 0. V¼ 2 1 2 3 5 1 2 2 + 3 1 2 + 2 1 2 + 1 i = 0 n¶n z = 1 2 l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh (2z + 1)(2z 2 6z + 6 + 2i) = 0, 2z + 1 = 0 (1) 2z 2 6z + 6 + 2i = 0 (2): Vîi (1), ta câ 2z + 1 = 0,z = 1 2 . Vîi (2), th¼ 0 = 9 2(6 + 2i) =3 4i. Khi â gåi l c«n bªc hai cõa 0 th¼ = 1 2i. Vªy ph÷ìng tr¼nh (2) câ hai nghi»m phùc ph¥n bi»t z = 3 + 1 2i 2 = 2i v z = 3 1 + 2i 2 = 1 +i. 2 z 3 2(1 +i)z 2 + 3iz + 1i = 0. V¼ 1 + (2 2i) + 3i + 1i = 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m l z = 1. Khiâph÷ìngtr¼nh¢chotrðth nh (z1)(z 2 (1+2i)z+i1) = 0, z 1 = 0 (1) z 2 (1 + 2i)z +i 1 = 0 (2): Vîi (1) th¼ z 1 = 0,z = 1. Vîi (2) th¼ = (1+2i) 2 4(i1) = 1 n¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»tz = 1 + 2i + 1 2 = 1+i v z = 1 + 2i 1 2 =i. B i 3. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tªp sè phùc C 1 z 3 (2i 1)z 2 + (3 2i)z + 3 = 0 -Líi gi£i. Ta câ z 3 (2i 1)z 2 + (3 2i)z + 3 = 0 , (z 3 +z 2 ) 2iz(z + 1) + 3(z + 1) = 0 , (z + 1)(z 2 2iz + 3) = 0 , 2 6 4 z =1 z =i z = 3i: Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l z =1, z =i, z = 3i. 2 iz 3 +z 2 (1 + 4i)z 2 = 0 -Líi gi£i. Ta câ iz 3 +z 2 (1 + 4i)z 2 = 0 , (iz 3 4iz) + (z 2 z 2) = 0 , iz(z 2)(z + 2) + (z 2)(z + 1) = 0 , (z 2)[iz(z + 2) + (z + 1)] = 0 , (z 2)[iz 2 + (2i + 1)z + 1] = 0: Vîi z 2 = 0,z = 2. Vîi iz 2 + (2i + 1)z + 1 = 0,z = 2 p 3 2 + 1 2 i. Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l z = 2, z = 2 p 3 2 + 1 2 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 246 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 3 z 4 z 3 + z 2 2 +z + 1 = 0 -Líi gi£i. Ta th§y z = 0 khæng ph£i l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh, do â ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi z 2 + 1 z 2 z 1 z + 1 2 = 0: (1) °tw =z 1 z )z 2 + 1 z 2 =w 2 +2. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñcw 2 w + 5 2 = 0,w = 1 2 3 2 i. Vîi w = 1 2 + 3 2 i, ta câ z 1 z = 1 2 + 3 2 i,z 2 1 2 + 3 2 i z 1 = 0, 2 4 z = 1 +i z = 1 2 + 1 2 i: Vîi w = 1 2 3 2 i, ta câ z 1 z = 1 2 3 2 i,z 2 1 2 3 2 i z 1 = 0, 2 4 z = 1i z = 1 2 1 2 i: Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l z = 1i, z = 1 2 1 2 i. 4 4z 4 (6 + 10i)z 3 + (15i 8)z 2 + (6 + 10i)z + 4 = 0 -Líi gi£i. Ta th§y z = 0 khæng l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh, do â ta câ 4 z 2 + 1 z 2 (6 + 10i) z 1 z + (15i 8) = 0: (1) °tw =z 1 z , thay v o (1) ta ÷ñc 4(w 2 + 2) (6 + 10i)w + 15i 8 = 0, 4w 2 (6 + 10i)w + 15i = 0, 2 6 4 w = 3 2 w = 5i 2 : Vîi w = 3 2 , ta câ z 1 z = 3 2 ,z 2 3 2 z 1 = 0, 2 4 z = 1 2 z = 2: Vîi w = 5i 2 , ta câ z 1 z = 5i 2 ,z 2 5i 2 z 1 = 0, 2 4 z = i 2 z = 2i: Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l z =1 3i, z = (3 3 p 2)i. 5 (zi)(z + 2i)(z + 4i)(z + 7i) = 34 -Líi gi£i. Ta câ (zi)(z + 2i)(z + 4i)(z + 7i) = 34, (z 2 + 6iz + 7)(z 2 + 6iz 8) = 34. °t w =z 2 + 6iz + 7, ta câ w(w 15) = 34,w 2 15w 34 = 0, w = 17 w =2: Vîi w = 17, ta câ z 2 + 6iz + 7 = 17,z 2 + 6iz 10 = 0,z =1 3i. Vîi w =2, ta câ z 2 + 6iz + 7 =2,z 2 + 6iz + 9 = 0,z = (3 3 p 2)i. Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l z =1 3i, z = (3 3 p 2)i. 6 (z 2 + 3z + 2)(z 2 + 11z + 30) = 60 -Líi gi£i. Tacâ (z 2 +3z+2)(z 2 +11z+30) = 60, (z+1)(z+2)(z+5)(z+6) = 60, (z 2 +7z+6)(z 2 +7z+10) = 60. °t w =z 2 + 7z + 8, ta câ (w + 2)(w 2) = 60,w 2 = 64,w =8. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 247 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vîi w = 8, ta câ z 2 + 7z + 8 = 8, z = 0 z =7: Vîi w =8, ta câ z 2 + 7z + 8 =8,z 2 + 7z + 16 = 0,z = 7 2 p 15 2 i. Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l z = 0, z =7, z = 7 2 p 15 2 i. D¤ng 6. D¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc Ph÷ìng ph¡p gi£i: Cho sè phùc z =a +bi (a; b2R). °t r = p a 2 +b 2 , cos' = a p a 2 +b 2 , sin' = b p a 2 +b 2 . Khi â 1 D¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc z l z =r(cos' +i sin'). 2 Mët acgument cõa sè phùc z l '. 3 tan' = b a . 4 z n =r n (cosn' +i sinn'). V½ dö 1. Gåiz 1 ,z 2 l hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhz 2 2 p 3iz 4 = 0. Vi¸t d¤ng l÷ñng gi¡c cõaz 1 v z 2 . -Líi gi£i. Ta câ z 2 2 p 3iz 4 = 0, " z 1 = 1 + p 3i z 2 =1 + p 3i ) 2 6 4 z 1 = 2 cos 3 +i sin 3 z 2 = 2 cos 2 3 +i sin 2 3 : V½ dö 2. Vi¸t sè phùc z d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c, bi¸t r¬ngjz 1j =jzi p 3j v iz câ mët acgument b¬ng 6 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (vîi a; b2R). Ta câ jz1j =jzi p 3j,j(a1)+bij =ja+(b p 3)ij, (a1) 2 +b 2 =a 2 +(b p 3) 2 , 2a1 = p 3(2b p 3),a = p 3b1: Ta l¤i câ iz =b +ai) b p a 2 +b 2 = cos 6 ) b p a 2 +b 2 = p 3 2 )b 2 = 3a 2 )b = p 3a. Vîi b = p 3a, ta câ a = 3a 1)a = 1 2 . Do â b = p 3 2 )z = 1 2 + p 3 2 i = cos 3 +i sin 3 . Vîib = p 3a,tacâa =3a1)a = 1 4 .Doâb = p 3 4 )z = 1 4 + p 3 4 i = 1 2 cos 2 3 +i sin 2 3 . Vªy z = cos 3 +i sin 3 v z = 1 2 cos 2 3 +i sin 2 3 . V½ dö 3. T¼m sè phùc z, bi¸t r¬ngj1 2zj =ji 2zj v z + 3 z 3 câ mët acgument b¬ng 4 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (vîi a; b2R). Ta câ j12zj =ji2zj,j(12a)2bij =j2a+(2b+1)ij, (2a1) 2 +4b 2 = 4a 2 +(2b+1) 2 , 4a1 =4b1,a =b: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 248 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta l¤i câ z + 3 z 3 = (a + 3) +bi (a 3) +bi = [(a + 3) +bi][(a 3)bi] (a 3) 2 +b 2 = (a 2 +b 2 9) 6bi (a 3) 2 +b 2 . Suy ra cos 4 = 2a 2 9 p (2a 2 9) 2 + 36a 2 , (2a 2 9) 2 = 36a 2 , 2a 2 9 =6a: Vîi 2a 2 9 = 6a, 2a 2 6a 9 = 0,a = 3 3 p 3 2 . N¸u a = 3 + 3 p 3 2 th¼ b = 3 + 3 p 3 2 )z = 3 + 3 p 3 2 3 + 3 p 3 2 i. N¸u a = 3 3 p 3 2 th¼ b = 3 3 p 3 2 )z = 3 3 p 3 2 3 3 p 3 2 i. Vîi 2a 2 9 =6a, 2a 2 + 6a 9 = 0,a = 3 3 p 3 2 . N¸u a = 3 + 3 p 3 2 th¼ b = 3 3 p 3 2 )z = 3 + 3 p 3 2 + 3 3 p 3 2 i. N¸u a = 3 3 p 3 2 th¼ b = 3 + 3 p 3 2 )z = 3 3 p 3 2 + 3 + 3 p 3 2 i. Vªy câ 4 sè phùc thäa m¢n l z = 3 3 p 3 2 3 3 p 3 2 i v z = 3 3 p 3 2 + 3 3 p 3 2 i. V½ dö 4. T¼m sè phùcz, bi¸t r¬ngjzj =j2z p 3 +ij v (1 +i)z 1 p 3 + (1 + p 3)i câ mët acgument b¬ng 6 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (vîi a; b2R). Ta câ jzj =j2z p 3+ij,ja+bij =j(2a p 3)+(2b+1)ij,a 2 +b 2 = (2a p 3) 2 +(2b1) 2 , 3a 2 +3b 2 4 p 3a4b+4 = 0: (1) Ta l¤i câ (1 +i)z 1 p 3 + (1 + p 3)i = [(1 +i)(a +bi)][1 p 3 (1 + p 3)i] 8 = [(ab) + (a +b)i][1 p 3 (1 + p 3)i] 8 = (a + p 3b) + ( p 3a +b)i 4 : Suy ra tan 6 = p 3a +b a + p 3b ) 1 p 3 = p 3a +b a + p 3b )a = p 3b. Thay v o (1) ta ÷ñc 9b 2 + 3b 2 12b 2 4b + 4 = 0,b = 1)a = p 3: Vªy z = p 3 +i. V½ dö 5. T¼m sè phùc z thäa m¢njz 1j =jz 3j v mët acgument cõa z 3 b¬ng mët acgument cõa z + 3 cëng vîi 2 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (vîi a; b2R). Ta câ jz 1j =jz 3j,j(a 1) +bij =j(a 3) +bij, (a 1) 2 +b 2 = (a 3) 2 +b 2 , 2(2a 4) = 0,a = 2: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 249 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 L¤i câ z 3 = (a 3) +bi v z + 3 = (a + 3) +bi. Gåi ' 1 , ' 2 l¦n l÷ñt l acgument cõa z 3 v z + 3. Theo · b i ta câ ' 1 =' 2 + 2 , sin' 1 = sin ' 2 + 2 , sin' 1 = cos' 2 : Do vªy b p (a 1) 2 +b 2 = a + 3 p (a + 3) 2 +b 2 , b p 1 +b 2 = 5 p 25 +b 2 , ( b> 0 b p 25 +b 2 = 5 p 1 +b 2 ,b = p 5: Vªy z = 2 +i p 5. V½ dö 6. Cho sè phùcz thäa m¢njzj+(1+i p 3)z = 3. H¢y t¼m mæ-un cõa sè phùcw =z+z 2 +z 123 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (vîi a; b2R). Ta câ jzj + (1 +i p 3)z = 3, p a 2 +b 2 + (1 +i p 3)(a +bi) = 3, ( p a 2 +b 2 +ab p 3) + (a p 3 +b)i = 3: Do â (p a 2 +b 2 +ab p 3 = 3 b +a p 3 = 0 , (p a 2 +b 2 +ab p 3 = 3 b =a p 3: Suy ra 2jaj + 4a = 3, 6a = 3 (n¸u a 0) 2a = 3 (n¸u a 0) , 2 6 4 a = 1 2 (thäa m¢n a 0) a = 3 2 (khæng thäa m¢n a 0): Vîi a = 1 2 th¼ b = p 3 2 )z = 1 2 p 3 2 i = cos 3 +i sin 3 . Khi â w = cos 3 +i sin 3 +cos 2 3 +i sin 2 3 +cos 123 3 +i sin 123 3 =1 p 3i)jwj = 2: Vªyjwj = 2. V½ dö 7. T¼m acgument ¥m lîn nh§t cõa sè phùc z = (1 +i p 3) 10 . -Líi gi£i. Ta câ 1 +i p 3 = 2 1 2 + p 3 2 i = 2 cos 3 +i sin 3 ) (1 +i p 3) 10 = 2 10 cos 10 3 +i sin 10 3 . Ta th§y 10 3 +k2 < 0) k < 5 3 . V¼ k2Z n¶n k =2; 3;:::. Do â, acgument ¥m lîn nh§t cõa sè phùc z = (1 +i p 3) 10 l 2 3 . V½ dö 8. T¼m sè phùc z thäa m¢njz + 3 +i p 3j = p 3 v câ acgument d÷ìng nhä nh§t. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (vîi a; b2R). Ta câ jz + 3 +i p 3j = p 3, (a + 3) 2 + (b + p 3) 2 = 3: Gåi M l iºm biºu di¹n sè phùc z, khi â M(a;b) n¬m tr¶n ÷íng trán t¥m I(3; p 3) câ b¡n k½nh R = p 3. D¹ th§y ÷íng trán t¥m I b¡n k½nh R = p 3 ti¸p xóc vîi tröc ho nh t¤i iºm M 0 (3; 0). V¼ acgument cõaz l gâc t¤o bði # OM v tiaOx n¶n iºm biºu di¹n sè phùc câ acgument d÷ìng nhä nh§t tròng vîi iºmM 0 , hay z =3. x y O I 3 p 3 Th.s Nguy¹n Ch½n Em 250 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 V½ dö 9. T¼m c¡c sè nguy¶n d÷ìng n thäa m¢n z = 3i p 3 p 3 3i n l sè thüc. -Líi gi£i. Ta câ 3i p 3 p 3 3i = p 3i 1i p 3 = ( p 3i)(1 +i p 3) 4 = 2 p 3 + 2i 4 = p 3 2 + 1 2 i = cos 6 +i sin 6 . Suy ra z = 3i p 3 p 3 3i n = cos n 6 +i sin n 6 . Do â, º z l sè thüc th¼ sin n 6 = 0, n 6 =k,n = 6k. Do n2N n¶n k 1 (k2Z). V½ dö 10. Cho sè phùcz 1 = p 3i 1i p 3 n l sè thüc v sè phùcz 2 = 5i 2 3i n+2 l sè £o. H¢y t¼m sè nguy¶n d÷ìng n nhä nh§t. -Líi gi£i. Ta câ p 3i 1i p 3 = ( p 3i)(1 +i p 3) 4 = 2 p 3 + 2i 4 = p 3 2 + 1 2 i = cos 6 +i sin 6 ) z 1 = p 3i 1 p 3i n = cos n 6 +i sin n 6 . Do â, º z l sè thüc th¼ sin n 6 = 0, n 6 =k,n = 6k (k2N ). (1) M 5i 2 3i = (5i)(2 + 3i) 13 = 13 + 13i 13 = 1 +i = p 2 cos 4 +i sin 4 ) z 2 = 2 n+2 2 cos (n + 2) 4 +i sin (n + 2) 4 . º z 2 l sè thu¦n £o th¼ cos (n + 2) 4 = 0, (n + 2) 4 = 2 +k,n = 4k (k2N ). (2) Tø (1) v (2) suy ra sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l n = 12. V½ dö 11. Cho sè phùc z thäa m¢n z 2 2z + 4 = 0. T¼m sè phùc w = 1 + p 3z 2 +z 7 . -Líi gi£i. Ta câ z 2 2z + 4 = 0,z = 1i p 3. Vîi z = 1 +i p 3, ta câ z 1 = 1 + p 3z 2 +z = p 3i p 3 3 +i p 3 = 1i p 3 +i = (1i)( p 3i) 4 = p 3 1i(1 + p 3) 4 : Gåi'l acgumentcõasèphùcz 1 ,khiâ tan' = 1 + p 3 1 p 3 = tan 4 + tan 3 1 tan 4 tan 3 = tan 4 + 3 = tan 7 12 . Suy ra ' = 7 12 . Tø â ta câ z 1 = 1 4 2 p 2 cos 7 12 +i sin 7 12 = p 2 2 cos 7 12 +i sin 7 12 ) w = p 2 2 4 cos 49 12 +i sin 49 12 = p 2 2 4 cos 12 +i sin 12 Vîi z = 1i p 3, ta câ z 2 = 1 + p 3z 2 +z = p 3 +i p 3 3i p 3 = 1 +i p 3i = (1 +i)( p 3 +i) 4 = p 3 1 +i(1 + p 3) 4 : Gåi' l acgument cõa sè phùc z 2 , khi â tan' = 1 + p 3 1 p 3 = tan 4 + tan 3 1 tan 4 tan 3 = tan 4 + 3 = Th.s Nguy¹n Ch½n Em 251 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 tan 7 12 . Suy ra ' = 7 12 . Tø â ta câ z 2 = 1 4 p 2 2 cos 7 12 +i sin 7 12 ) w = p 2 2 4 cos 49 12 +i sin 49 12 = p 2 2 4 cos 12 +i sin 12 : Vªy câ 4 sè phùc thäa m¢n l w = p 2 2 4 cos 12 +i sin 12 . V½ dö 12. Cho sè phùc z thäa m¢n 2jzj + p 3iz = 4z. T¼m sè phùc w =z 2012 + 1 z 2013 . -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (vîi a; b2R). Ta câ 2jzj + p 3iz = 4z, 2 p a 2 +b 2 +i p 3(a +bi) = 4 (a +bi), (2 p a 2 +b 2 b p 3) +a p 3i = (4a)bi: Do â ( 2 p a 2 +b 2 b p 3 = 4a a p 3 =b , ( 2 p a 2 +b 2 b p 3 = 4a b =a p 3: Suy rajaj +a = 1, 2a = 1 (n¸u a 0) 0 = 1 (n¸u a 0) )a = 1 2 (thäa m¢n a 0). Vîi a = 1 2 th¼ b = p 3 2 )z = 1 2 p 3 2 i = cos 3 i sin 3 v 1 z = 1 2 + p 3 2 i = cos 3 +i sin 3 . Khi â w = cos 2012 3 i sin 2012 3 + cos 2013 3 +i sin 2013 3 = cos 2 3 i sin 2 3 + cos +i sin = 3 2 p 3 2 i: Vªy w = 3 2 p 3 2 i. V½ dö 13. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa c¡c sè phùc sau 1 z = ( p 3 +i) 8 2 z = (1 +i) 10 ( p 3 +i) 9 -Líi gi£i. 1 Ta câ p 3 +i = 1 2 cos 3 +i sin 3 )z = 1 2 8 cos 8 3 +i sin 8 3 = 1 2 8 1 2 + p 3 2 i . Vªy Re(z) = 1 2 9 ; Im(z) = p 3 2 9 . 2 Ta câ (1 +i) 2 = 2i) (1 +i) 10 = (2i) 5 = 32i; p 3 +i = 1 2 cos 3 +i sin 3 ) ( p 3 +i) 9 = 1 2 9 cos 9 3 +i sin 9 3 = 1 2 9 : Do vªy z = (1 +i) 10 ( p 3 +i) 9 =2 14 i)Re(z) = 0; Im(z) =2 14 . V½ dö 14. T¼m ph¦n thüc v ph¦n £o cõa c¡c sè phùc sau 1 w =z 2014 + 1 z 2014 bi¸t z + 1 z = 1 2 z = (1 +i) 2012 ( p 3 +i) 2011 -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 252 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 1 Ta câ z + 1 z = 1,z 2 z + 1 = 0,z = 1 2 p 3 2 i = cos 3 i sin 3 . Vîi z = cos 3 +i sin 3 )w = cos 2014 3 +i sin 2014 3 + cos 2014 3 i sin 2014 3 =1. Do â Re(z) =1, Im(z) = 0. Vîi z = cos 3 i sin 3 )w = cos 2014 3 i sin 2014 3 + cos 2014 3 +i sin 2014 3 =1. Do â Re(z) =1, Im(z) = 0. 2 Ta câ (1 +i) 2 = 2i) (1 +i) 2012 = (2i) 1006 =2 1006 ; p 3 +i = 1 2 cos 3 +i sin 3 ) ( p 3 +i) 2011 = 1 2 2011 cos 2011 3 +i sin 2011 3 = 1 2 2011 1 2 + p 3 2 i : Do vªy z = (1 +i) 2012 ( p 3 +i) 2011 =2 3017 1 2 p 3 2 i =2 3016 + 2 3016 p 3i) Re(z) =2 3016 ; Im(z) = 2 3016 p 3. B CÂUHỎITRẮCNGHIỆM 1 NHẬNBIẾT C¥u 1. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 + 3i)z 5 = 7i. M»nh · n o sau ¥y óng? A. z = 13 5 + 4 5 i. B. z = 13 5 4 5 i. C. z = 13 5 + 4 5 i. D. z = 13 5 + 4 5 i. -Líi gi£i. Ta câ (1 + 3i)z 5 = 7i,z = 5 + 7i 1 + 3i = 13 5 4 5 i)z = 13 5 + 4 5 i: Chån ¡p ¡n D C¥u 2. Cho sè phùc z thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i. T¼m tåa ë iºm M biºu di¹n sè phùc z. A. M(1; 1). B. M(1;1). C. M(1; 1). D. M(1;1). -Líi gi£i. Ta câ: (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i,z = 4 +i (2i) 2 (3 + 2i) ,z = 1 +i. Vªy iºm biºu di¹n cho sè phùc z l M(1; 1). Chån ¡p ¡n C C¥u 3. T¼m ph¦n thüc cõa sè phùc z thäa m¢n (5i)z = 7 17i. A.2. B. 3. C. 3. D. 2. -Líi gi£i. Ta câ z = 7 17i 5i = (7 17i)(5 +i) 26 = 2 3i. Ph¦n thüc cõa z l 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 4. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z bi¸t z = (1 +i)(3 2i) + 1 3 +i l A. 53 10 9 10 i. B. 13 10 9 10 i. C. 13 10 + 9 10 i. D. 53 10 + 9 10 i. -Líi gi£i. Ta câ z = 5 +i + 3i 10 = 53 10 + 9 10 i n¶n z = 53 10 9 10 i. Chån ¡p ¡n A C¥u 5. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z, bi¸t (1i)z = 3 +i. A.1. B. 1. C. 2. D. 2. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 253 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ (1i)z = 3 +i,z = 3 +i 1i = (3 +i)(1 +i) 2 = 2 + 4i 2 = 1 + 2i. Vªy ph¦n £o cõa sè phùc l 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 6. Cho sè phùc z thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i. Tåa ë iºm M biºu di¹n sè phùc z l A. M(1; 1). B. M(1;1). C. M(1; 1). D. M(1;1). -Líi gi£i. Ta câ (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i, (3 + 2i)z = 4 +i (2i) 2 ,z = 1 + 5i 3 + 2i = (1 + 5i)(3 2i) 13 = 1 +i. Vªy iºm biºu di¹n sè phùc z l M(1; 1). Chån ¡p ¡n C C¥u 7. Cho sè phùc z thäa m¢n z(2i) + 13i = 1. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A.jzj = 34. B. jzj = p 34. C. jzj = p 34 3 . D.jzj = 5 p 34 3 . -Líi gi£i. Ta câ z(2i) + 13i = 1,z = 1 13i 2i = 3 5i. Khi âjzj = p 34. Chån ¡p ¡n B C¥u 8. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t z(2i) + 13i = 1. A.5i. B. 5i. C. 5. D. 5. -Líi gi£i. Ta câ z(2i) + 13i = 1,z = 1 13i 2i = 3 5i. Vªy ph¦n £o cõa z b¬ng5. Chån ¡p ¡n C C¥u 9. Cho sè phùc z = 2 6i (1 +i) 2 , khi â sè phùc li¶n hñp cõa z l A. z =3 +i. B. z = 3i. C. z =3i. D. z = 3 +i. -Líi gi£i. Ta câ z = 2 6i 2i =i 3) z =3 +i. Chån ¡p ¡n A C¥u 10. Cho sè phùc z thäa m¢n z (2i) + 13i = 1. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A.jzj = 34. B. jzj = 5 p 34 3 . C. jzj = p 34. D.jzj = p 34 3 . -Líi gi£i. Ta câ z (2i) + 13i = 1 , z = 1 13i 2i ,z = (1 13i) (2 +i) (2i) (2 +i) , z = 1 5 (2 26i +i + 13),z = 3 5i: Suy rajzj = È 3 2 + (5) 2 ,jzj = p 34. Chån ¡p ¡n C C¥u 11. T¼m sè phùc z thäa m¢n z + 4 2i = 10 + 20i 3i . A. z =3 + 9i. B. z = 1 3i. C. z = 46 52i. D. z = 5 + 5i. -Líi gi£i. Ta câ z + 4 2i = 10 + 20i 3i ,z + 4 2i = 1 + 7i,z =3 + 9i. Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 254 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 12. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 +i)z = 3 4i. T¼m ph¦n thüc cõa z. A. 2 25 . B. 11 5 . C. 2 5 . D. 11 5 . -Líi gi£i. Ta câ (2 +i)z = 3 4i, z = 3 4i 2 +i = 2 5 11 5 i: Suy ra ph¦n thüc cõa z b¬ng 2 5 . Chån ¡p ¡n C C¥u 13. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n (1 + 3i)z 3 + 2i = 2 + 7i. Gi¡ trà cõa a +b l A. 11 5 . B. 1. C. 19 5 . D. 3. -Líi gi£i. Ta câ ph÷ìng tr¼nh ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi (1 + 3i)z = 5 + 5i,z = 5 + 5i 1 + 3i ,z = 2i: Suy ra a = 2;b =1 n¶n a +b = 2 1 = 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 14. T¼m ph¦n thüc, ph¦n £o cõa sè phùc z = 3i 1 +i + 2 +i i . A. Ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 4. B. Ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 4i. C. Ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 4. D. Ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 4i. -Líi gi£i. Ta câ z = (3i)(1i) 2 + (2 +i)(i) 1 = 2 4i. Vªy sè phùc z câ ph¦n thüc l 2, ph¦n £o l 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 15. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z, bi¸t z = (1 +i)3i 1i . A. 3. B. 3. C. 0. D.1. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 +i)3i 1i = 3(1 +i) 1i =3) z =3 + 0i. Vªy ph¦n £o cõa z b¬ng 0. Chån ¡p ¡n C C¥u 16. Trong m°t ph¯ng tåa ëOxy, iºmM biºu di¹n cho sè phùcz thäa m¢n (1i)z +(2i) 2 = 54i l A. M(1; 1). B. M(1; 2). C. M(1;1). D. M(1; 1). -Líi gi£i. Ta câ z = 5 4i (2i) 2 1i = 1 +i)M = (1; 1). Chån ¡p ¡n A C¥u 17. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z = 2017 2018i. A.2018. B. 2017. C. 2018. D.2018i. -Líi gi£i. Ph¦n £o cõa z = 2017 2018i l 2008. Chån ¡p ¡n A C¥u 18. Cho hai sè phùc z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3i. T¼m sè phùc z = z 2 z 1 . A. z = 1 10 + 7 10 i. B. z = 1 5 + 7 5 i. C. z = 1 5 7 5 i. D. z = 1 10 + 7 10 i. -Líi gi£i. Ta câ z = z 2 z 1 = z 2 z 1 z 1 z 1 = (3i)(1 2i) (1 + 2i)(1 2i) = 1 7i 5 = 1 5 7 5 i. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 255 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 19. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z = 3 i . A.1. B. 1. C. 3. D. 3. -Líi gi£i. Ta câ z = 3 i ,z = 3i i 2 =3i. Ph¦n £o cõa z b¬ng3. Chån ¡p ¡n C C¥u 20. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 2 1 +i l sè phùc n o trong c¡c sè phùc d÷îi ¥y? A. 2 1i . B. 1i. C. 2 1 +i . D. 1 +i. -Líi gi£i. Ta câ z = 2 1 +i = 2(1i) (1 +i)(1i) = 1i. Suy ra z = 1 +i. Chån ¡p ¡n D C¥u 21. Têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z = 1 + 5i 2i b¬ng A. 3. B. 2. C. 2. D.3. -Líi gi£i. °t z =a +bi; vîi a;b2R: Ta câ z = 1 + 5i 2i = 5 2 1 2 i: Suy ra a = 5 2 , b = 1 2 . Vªy a +b = 2: Chån ¡p ¡n C C¥u 22. Cho sè phùc z = 1 +i. T½nh mæ-un cõa sè phùc w = z + 2i z 1 . A.jwj = p 2. B. jwj = p 3. C. jwj = 1. D.jwj = 2. -Líi gi£i. w = 1i + 2i 1 +ii = 1 +i)jwj = p 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 23. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 +i)z = 9 8i. Mæ-un cõa sè phùc w =z + 1 +i b¬ng A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ (2 +i)z = 9 8i,z = 9 8i 2 +i = 2 5i. Do â w =z + 1 +i = 3 4i. Vªyjwj = p 3 2 + (4) 2 = 5. Chån ¡p ¡n B C¥u 24. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z thäa (7 + 6i)z = 1 2i. A. z = 19 85 + 8 85 i. B. z = 19 85 8 85 i. C. z = 19 85 8 85 i. D. z = 19 85 + 8 85 i. -Líi gi£i. Ta câ (7 + 6i)z = 1 2i,z = 1 2i 7 + 6i = 19 + 8i 85 = 19 85 + 8 85 i. Vªy z = 19 85 8 85 i. Chån ¡p ¡n B C¥u 25. Cho z = 1 + 3i. T½nh 1 z . A. 1 10 + 3 10 i. B. 1 10 i 3 10 . C. 1 10 3 10 i. D. 1 10 3 10 i. -Líi gi£i. 1 z = z zz = 1 3i (1 + 3i)(1 3i) = 1 3i 10 = 1 10 3 10 i. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 26. Sè phùc z = 2 +i 4 + 3i b¬ng A. 11 25 2 25 i. B. 11 5 + 2 5 i. C. 11 25 + 2 25 i. D. 11 5 2 5 i. -Líi gi£i. Câ z = 2 +i 4 + 3i = (2 +i)(4 3i) 4 2 + 3 2 = 11 2i 25 = 11 25 2 25 i. Chån ¡p ¡n A C¥u 27. Cho hai sè phùc z = a +bi v z 0 = a 0 +b 0 i (z 0 6= 0; a, a 0 , b, b 0 2 R). Sè phùc z z 0 câ ph¦n thüc l A. aa 0 +bb 0 a 2 +b 2 . B. 2bb 0 a 0 2 +b 0 2 . C. aa 0 +bb 0 a 0 2 +b 0 2 . D. a +a 0 a 2 +b 2 . -Líi gi£i. z z 0 = a +bi a 0 +b 0 i = (a +bi)(a 0 b 0 i) a 0 2 +b 0 2 = aa 0 +bb 0 a 0 2 +b 0 2 + a 0 bab 0 a 0 2 +b 0 2 i: Chån ¡p ¡n C C¥u 28. Sè phùc z = 4 3i i câ ph¦n thüc l A. 3. B. 3. C. 4. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ z = 4 3i i = i(4 3i) i 2 = 4i + 3i 2 1 =3 4i. Vªy ph¦n thüc cõa sè phùc z l 3. Chån ¡p ¡n B C¥u 29. Cho sè phùc z = 1 +i. Sè phùc nghàch £o cõa z l A. 1i p 2 . B. 1i. C. 1i 2 . D. 1 +i 2 . -Líi gi£i. Sè phùc nghàch £o cõa z l 1 z = 1 1 +i = 1i (1i)(1 +i) = 1i 2 : Chån ¡p ¡n C 2 ĐÁPÁN 1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. B 8. C 9. A 10. C 11. A 12. C 13. B 14. A 15. C 16. A 17. A 18. C 19. C 20. D 21. C 22. A 23. B 24. B 25. C 26. A 27. C 28. B 29. C 3 THÔNGHIỂU C¥u 1. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n a + (b 1)i = 1 + 3i 1 2i . Gi¡ trà n o d÷îi ¥y l mæ-un cõa z? A. 5. B. 1. C. p 10. D. p 5. -Líi gi£i. Ta câ a + (b 1)i = 1 + 3i 1 2i ,a + (b 1)i =1 +i, ¨ a =1 b = 2: Vªy mæ-un cõa z l p 5. Chån ¡p ¡n D C¥u 2. T½nh mæun cõa sè phùc z bi¸t z + 1 = 2 3i 1 +i . A.jzj = p 34 2 . B. jzj = p 34. C. jzj = p 26 2 . D.jzj = p 34 4 . -Líi gi£i. z + 1 = 2 3i 1 +i ,z = 3 2 5 2 i)z = 3 2 + 5 2 i)jzj = p 34 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 3. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 + 3i)z 5 = 7i. M»nh · n o d÷îi ¥y óng? Th.s Nguy¹n Ch½n Em 257 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A. z = 13 5 + 4 5 i. B. z = + 13 5 4 5 i. C. z = 13 5 4 5 i. D. z = 13 5 + 4 5 i. -Líi gi£i. Ta câ z = 5 + 7i 1 + 3i = 13 5 4 5 i)z = 13 5 + 4 5 i: Chån ¡p ¡n D C¥u 4. Cho sè phùc z thäa m¢n z(2i) + 13i = 1. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A.jzj = 34. B. jzj = p 34. C. jzj = p 34 3 . D.jzj = 5 p 34 3 . -Líi gi£i. Ta câ z(2i) + 13i = 1,z = 1 13i 2i . Suy rajzj = j1 13ij j2ij = p 1 + (13) 2 p 2 + (1) 2 = p 34. Chån ¡p ¡n B C¥u 5. Cho hai sè phùc z =a +bi v z 0 =a 0 +b 0 i. Sè phùc z z 0 câ ph¦n thüc l A. aa 0 +bb 0 a 02 +b 02 . B. aa 0 +bb 0 a 2 +b 2 . C. a +a 0 a 2 +b 2 . D. 2bb 0 a 02 +b 02 . -Líi gi£i. Ta câ z z 0 = a +bi a 0 +b 0 i = (a +bi)(a 0 b 0 i) a 02 +b 02 = aa 0 +bb 0 a 02 +b 02 + a 0 bab 0 a 02 +b 02 i. Do â ph¦n thüc cõa z z 0 b¬ng aa 0 +bb 0 a 02 +b 02 . Chån ¡p ¡n A C¥u 6. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n (2i)z = (4 +i)z + 3 2i. Gi¡ trà cõaj4z +ij l A. p 26. B. p 30. C. p 17. D. p 15. -Líi gi£i. Ta câ (2i)z = (4 +i)z + 3 2i,z(2 2i) = 3 2i,z = 1 4 + 5 4 i. Do âj4z +ij = 4 1 4 5 4 i +i =j1 4ij = p 17. Chån ¡p ¡n C C¥u 7. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R). D÷îi ¥y câ bao nhi¶u m»nh · óng? Mæ-un cõa z l mët sè thüc d÷ìng. I. z 2 =jzj 2 . II. jzj =jizj =jzj. III. iºm M(a;b) biºu di¹n sè phùc z. IV. A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. -Líi gi£i. M»nh · I sai, cö thº mæ-un cõa sè 0 b¬ng 0 chù khæng ph£i l sè thüc d÷ìng. M»nh · II sai v¼jzj 2 l sè thüc, z 2 câ thº khæng l sè thüc, ch¯ng h¤n (1 +i) 2 6=j1 +ij 2 . M»nh · III óng v¼jizj =jijjzj =jzj =jzj. M»nh · IV sai v iºm biºu di¹n cõa z l (a;b). Chån ¡p ¡n C C¥u 8. Cho sè phùc z tho£ m¢n 1 p 3i 2 z = 3 4i. Mæ-un cõa z b¬ng A. 5 4 . B. 5 2 . C. 2 5 . D. 4 5 . -Líi gi£i. Ta câ 1 p 3i 2 z = 3 4i,z = 3 4i 1 p 3i 2 = 3 + 4 p 3 8 + 4 + 3 p 3 8 i: Vªy mæ-un cõa z l jzj = Ì 3 + 4 p 3 8 2 + 4 + 3 p 3 8 2 = 5 4 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 258 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chån ¡p ¡n A C¥u 9. Cho sè phùc z kh¡c 0. Kh¯ng ành n o sau ¥y sai? A. z z l sè thu¦n £o. B. zz l sè £o. C. zz l sè thüc. D. z +z l sè thüc. -Líi gi£i. °t z =a +bi (a;b2R). Ta câ: z z = z 2 zz = z 2 jzj 2 = a 2 b 2 + 2abi a 2 +b 2 = a 2 b 2 a 2 +b 2 + 2ab a 2 +b 2 i; a 2 +b 2 6= 0 . ¨ a 2 b 2 = 0 a 2 +b 2 6= 0 ) z z l sè thu¦n £o. ¨ a 2 b 2 6= 0 a 2 +b 2 6= 0 ) z z khæng l sè thu¦n £o. Do â nhªn ành z z l sè thu¦n £o l sai. Ta câ: zz =jzj 2 =a 2 +b 2 l mët sè thüc n¶n n¶n nhªn ành zz l sè thüc l óng. Ta câ: z +z = 2a l sè thüc n¶n nhªn ành z +z l sè thüc l óng. Ta câ: zz = 2bi l sè £o n¶n nhªn ành zz l sè £o l óng. Chån ¡p ¡n A C¥u 10. Gåiz 1 ,z 2 l hai nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh 2z 2 3z + 4 = 0. T½nhw = 1 z 1 + 1 z 2 +iz 1 z 2 . A. w = 3 4 + 2i. B. w = 3 4 + 2i. C. w = 2 + 3 2 i. D. w = 3 2 + 2i. -Líi gi£i. Theo ành l½ Vi±te, ta câ Khi â 8 < : z 1 +z 2 = 3 2 z 1 z 2 = 2 . Suy ra w = 1 z 1 + 1 z 2 +iz 1 z 2 = z 1 +z 2 z 1 z 2 +iz 1 z 2 = 3 4 + 2i: Chån ¡p ¡n B C¥u 11. Trong m°t ph¯ngOxy, gåiM l iºm biºu di¹n sè phùcw = 2z +z + 1i z 2 +i trong âz l sè phùc thäa m¢n (1i)(zi) = 2i +z. Gåi N l iºm trong m°t ph¯ng sao cho ( # Ox; # ON) = 2', trong â ' = ( # Ox; # OM) l gâc l÷ñng gi¡c t¤o th nh khi quay tia Ox tîi và tr½ tiaOM. iºmN n¬m trong gâc ph¦n t÷ n o? A. Gâc ph¦n t÷ thù (IV). B. Gâc ph¦n t÷ thù (I). C. Gâc ph¦n t÷ thù (II). D. Gâc ph¦n t÷ thù (III). -Líi gi£i. Ta câ (1i)(zi) = 2i +z)z = 3i)w = 7 82 19 82 i)M 7 82 ; 19 82 ) tan' = 19 7 . Suy ra sin 2' = 2 tan' 1 + tan 2 ' = 133 205 v cos 2' = 1 tan 2 ' 1 + tan 2 ' = 156 205 . Vªy N thuëc gâc ph¦n t÷ thù (II). Chån ¡p ¡n C C¥u 12. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 + 3i)z =z 1. Mæ-un cõa z b¬ng A. 1 10 . B. p 10. C. 1. D. p 10 10 . -Líi gi£i. Ta câ (2 + 3i)z =z 1, (1 + 3i)z =1,z = 1 1 + 3i = 1 10 + 3 10 i: Suy ra jzj =jzj = Ê 1 10 2 + 3 10 2 = p 10 10 : Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 259 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 13. Vi¸t sè phùc z = (2 3i)(4i) 3 + 2i d÷îi d¤ng z =a +bi vîi a; b l c¡c sè thüc. T¼m a; b: A. a =1;b =4. B. a = 1;b =4. C. a =1;b = 4. D. a = 1;b = 4. -Líi gi£i. Ta câ z = (2 3i) (4i) 3 + 2i = 5 14i 3 + 2i = (5 14i) (3 2i) 13 = 13 52i 13 =1 4i. Do â iºm biºu di¹n cho sè phùc z câ tåa ë (1;4). Chån ¡p ¡n A C¥u 14. Cho sè phùc z thay êi thäa m¢njz 1j = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c sè phùc w = (1 + p 3i)z + 2 l ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng R. T½nh R. A. R = 8. B. R = 2. C. R = 16. D. R = 4. -Líi gi£i. Ta câ z = w 2 1 + p 3i . Suy ra jz 1j = 2, w 2 1 + p 3i 1 = 2, w 3 p 3i = 4: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n c¡c sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(3; p 3), b¡n k½nh R = 4. Chån ¡p ¡n D C¥u 15. Trong m°t ph¯ng phùc, cho sè phùc z câ iºm biºu di¹n l M. Bi¸t r¬ng sè phùc w = 1 z ÷ñc biºu di¹n bði mët trong bèn iºm N, P, Q, R nh÷ h¼nh v³ b¶n. Häi iºm biºu di¹n cõa w l iºm n o? A. N. B. P. C. Q. D. R. x y 1 M b O Q P N R -Líi gi£i. Vi¸t z = 1 +bi, vîi b2R;b> 0. Suy ra w = 1 z = 1 1 +bi = 1bi 1 2 +b 2 = 1 1 +b 2 b 1 +b 2 i. Suy ra iºm biºu di¹n cho w l iºm câ tåa ë 1 1 +b 2 ; b 1 +b 2 . Do 1 1 +b 2 2 + b 1 +b 2 2 = 1 v b > 0 n¶n iºm biºu di¹n cho w thuëc gâc ph¦n t÷ thù IV cõa m°t ph¯ng tåa ë v n¬m tr¶n ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh b¬ng 1. Vªy iºm biºu di¹n cho w l N. Chån ¡p ¡n A C¥u 16. Cho 3 sè phùc z 1 , z 2 , z 3 thäa m¢n 8 < : z 1 +z 2 +z 3 = 0 jz 1 j =jz 2 j =jz 3 j = 2 p 2 3 . T½nh A =jz 1 +z 2 j 2 +jz 2 +z 3 j 2 +jz 3 +z 1 j 2 . A. 2 p 2 3 . B. 2 p 2. C. 8 3 . D. 3 8 . -Líi gi£i. Ta câ 8 > < > : z 1 +z 2 =z 3 z 1 +z 3 =z 2 z 2 =z 3 =z 1 )A =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 +jz 3 j 2 = 8 3 : Chån ¡p ¡n C C¥u 17. Cho sè phùc z thäa m¢n z(2i) + 13i = 1. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A.jzj = 5 p 34 3 . B. jzj = 34. C. jzj = p 34 3 . D.jzj = p 34. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 260 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ z(2i) + 13i = 1)z = 1 13i 2i = 3 5i. Do âjzj = p 3 2 + (5) 2 = p 34. Chån ¡p ¡n D C¥u 18. Cho sè phùc z thäa m¢n z + (2 +i)z = 3 + 5i. T½nh mæun còa sè phùc z. A.jzj = 13. B. jzj = 5. C. jzj = p 13. D.jzj = p 5. -Líi gi£i. °t z =a +bi,8a;b2R. Khi â z + (2 +i)z = 3 + 5i,a +bi + (2 +i)(abi) = 3 + 5i, ¨ a + 2a +b = 3 b +a 2b = 5 , ¨ ab = 5 3a +b = 3 , ¨ a = 2 b =3: Vªyjzj = p 13. Chån ¡p ¡n C C¥u 19. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z, bi¸t (2i)z = 1 + 3i. A. 3. B. 7 5 i. C. 7 5 . D. 1 5 . -Líi gi£i. Ta câ (2i)z = 1 + 3i,z = 1 + 3i 2i = 1 5 + 7 5 i. Vªy z câ ph¦n £o l 7 5 . Chån ¡p ¡n C C¥u 20. Cho sè phùc z =a +bi; (a;b2R) thäa m¢njzj(2 +i) =z 1 +i(2z + 3). T½nh S =a +b. A. S = 1. B. S =5. C. S =1. D. S = 7. -Líi gi£i. Ta câ jzj(2 +i) =z 1 +i(2z + 3) , (2jzj + 1) + (jzj 3)i = (1 + 2i)z (1) ) j(2jzj + 1) + (jzj 3)ij 2 =j(1 + 2i)zj 2 , (2jzj + 1) 2 + (jzj 3) 2 = 5jzj 2 , jzj = 5: Thayjzj = 5 v o (1), ta ÷ñc z = 3 4i. Vªy S =a +b =1. Chån ¡p ¡n C C¥u 21. Cho sè phùc z thäa m¢n z = 1 +i 1i 2019 . T½nh z 4 . A.1. B. i. C. i. D. 1. -Líi gi£i. Ta câ 1 +i 1i = (1 +i) 2 2 = 2i 2 =i)z =i 2019 = (i 4 ) 504 i 3 =i)z 4 = (i) 4 = 1. Chån ¡p ¡n D C¥u 22. Nghàch £o 1 z cõa sè phùc z = 1 + 3i b¬ng A. 1 p 10 + 3 p 10 i. B. 1 p 10 3 p 10 i. C. 1 10 + 3 10 i. D. 1 10 3 10 i. -Líi gi£i. Ta câ 1 z = z zz = 1 3i 1 + 9 = 1 10 3 10 i. Chån ¡p ¡n D C¥u 23. Cho sè phùcz thäa m¢n (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i. Mæun cõa sè phùcw = (z + 1)z b¬ng A. 2. B. p 10. C. p 5. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ (3 + 2i)z + (2i) 2 = 4 +i,z = 4 +i (2i) 2 3 + 2i = 1 +i. Suy rajwj =j(z + 1)zj =jz + 1jjzj = p 5 p 2 = p 10. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 261 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 24. Cho sè phùc z thäa m¢n z + 2z = 3 +i. Gi¡ trà cõa biºu thùc z + 1 z b¬ng A. 3 2 + 1 2 i. B. 1 2 + 1 2 i. C. 3 2 1 2 i. D. 1 2 1 2 i. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi; (x;y2R))z =xyi. Ta câ z + 2z = 3 +i, ¨ 3x = 3 y = 1 ,z = 1 +i. Do â 1 z = z jzj 2 = 1 2 1 2 i. Vªy ta câ z + 1 z = 3 2 + 1 2 i. Chån ¡p ¡n A C¥u 25. T½nh mæ-un cõa sè phùc z, bi¸t (1 2i)z + 2i =12i. A. 5. B. p 7. C. 1 2 . D. 2 p 2. -Líi gi£i. Ta câ (1 2i)z + 2i =12i,z = 2 11i 1 2i = 4 3i. Vªyjzj = p 4 2 + (3) 2 = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 26. Cho sè phùc z = 3i 3 +i i. Mæ-un cõa sè phùc z l A. p 370 10 . B. p 10 10 . C. p 10. D. 3 10 + 1 10 i. -Líi gi£i. Ta câ z = 3i 3 +i i,z = 1 3 +i = 3 10 1 10 i)z = 3 10 + 1 10 i. Vªyjzj = É 9 100 + 1 100 = p 10 10 . Chån ¡p ¡n B C¥u 27. T¼miºmbiºudi¹ncõasèphùcz l sèphùcli¶nhñpcõaz,bi¸t (4+3i)z(3+4i)(2+i) = 99i. A. (2;1). B. (2; 1). C. (2;1). D. (2; 1). -Líi gi£i. Ta câ (4 + 3i)z (3 + 4i)(2 +i) = 9 9i)z = 9 9i + (3 + 4i)(2 +i) 4 + 3i = 2i)z = 2 +i. Vªy iºm biºu di¹n cõa z l (2; 1). Chån ¡p ¡n B C¥u 28. T¼m sè phùc z, bi¸t (2 5i)z 3 + 2i = 5 + 7i. A. z = 9 29 + 50 29 i. B. z = 9 29 50 29 i. C. z = 9 29 50 29 i. D. z = 9 29 + 50 29 i. -Líi gi£i. Ta câ (2 5i)z 3 + 2i = 5 + 7i)z = 5i + 8 2 5i = (5i + 8)(2 + 5i) (2 5i)(2 + 5i) = 9 29 + 50 29 i)z = 9 29 50 29 i. Chån ¡p ¡n B C¥u 29. T¼m tåa ë cõa iºm biºu di¹n sè phùc z = 3 + 4i 1i tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. A. Q 1 2 ; 7 2 . B. N 1 2 ; 7 2 . C. P 1 2 ; 7 2 . D. M 1 2 ; 7 2 . -Líi gi£i. Ta câ z = 3 + 4i 1i = (3 + 4i)(1 +i) (1i)(1 +i) = 1 2 + 7 2 i n¶n tåa ë cõa iºm biºu di¹n sè phùc z l 1 2 ; 7 2 . Chån ¡p ¡n C C¥u 30. Cho sè phùc z = 7i. T¼m sè phùc w = 1 z . A. w = 7 50 1 50 i. B. w = 1 50 + 7 50 i. C. w = 1 50 + 7 50 i. D. w = 7 50 + 1 50 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 262 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câ w = 1 z = 1 7i = 7 +i (7i)(7 +i) = 7 50 + 1 50 i. Chån ¡p ¡n D C¥u 31. Trong m°t ph¯ng phùcOxy, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcz thäa m¢n i·u ki»nj(1 +i)z 4 + 2ij = 4 p 2 l mët ÷íng trán. X¡c ành tåa ë t¥m I v b¡n k½nh R cõa ÷íng trán â. A. I(1;3), R = 4. B. I(4;2), R = 4 p 2. C. I(1;3), R = 2. D. I(1; 3), R = 4. -Líi gi£i. Gåi iºm M(x;y) biºu di¹n sè phùc z. j(1 +i)z 4 + 2ij = 4 p 2, j(1 +i)z 4 + 2ij j1 +ij = 4 p 2 j1 +ij , jz 1 + 3ij = 4, (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 4 2 : Vªy tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(1;3), b¡n k½nh R = 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 32. Cho sè phùcz thäa m¢n z 1 2i +i = p 5. Bi¸t r¬ng tªp hñp biºu di¹n sè phùc w = (1i)z + 2i câ d¤ng (x + 2) 2 +y 2 =m. T¼m m. A. m = 96. B. m = 92. C. m = 50. D. m = 100. -Líi gi£i. Ta câ w = (1i)z + 2i)z = w 2i 1i . Do â, ta câ z 1 2i +i = p 5 , z + 2i 2i = p 5 ,jz + 2ij = 5 , w 2i 1i + 2i = 5 ,jw + 2j = 5 p 2: Suy ra tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán (x + 2) 2 +y 2 = 50. Vªy m = 50. Chån ¡p ¡n C C¥u 33. Chosèphùcz thäam¢nh»thùc (i+3)z+ 2 +i i = (2i) z.T½nhmæ-uncõasèphùcw =zi. A. 2 p 5 5 . B. p 26 5 . C. p 26 25 . D. p 6 5 . -Líi gi£i. °t z =x +yi vîi x;y2R. Ta câ (i + 3)z + 2 +i i = (2i) z, (i + 3)(x +yi) 2i + 1 = (2i)(xyi) , (x + 1) + (2x + 5y 2)i = 0, ¨ x + 1 = 0 2x + 5y 2 = 0 , 8 < : x =1 y = 4 5 : Do â z =1 + 4 5 i)w =zi =1 1 5 i. Bði vªyjwj = Ê (1) 2 + 1 5 2 = p 26 5 . Chån ¡p ¡n B C¥u 34. Cho sè phùc z thäa m¢nj(1i)z 4 + 2ij = 2. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z tr¶n m°t ph¯ng tåa ë Oxy l mët ÷íng trán. T¼m tåa ë t¥m I v t½nh b¡n k½nh R cõa ÷íng trán â. A. I(3;1);R = p 2. B. I(3;1);R = 2. C. I(3; 1);R = p 2. D. I(3; 1);R = 2. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 263 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Chia hay v¸ cõa ¯ng thùcj(1i)z 4 + 2ij = 2 choj1ij ta ÷ñcjz (3 +i) = p 2j. Suy ra tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(3; 1), b¡n k½nh R = p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 35. T¼m sè phùc z thäa m¢n (1i)(z + 1 2i) 3 + 2i = 0. A. z = 5 2 + 3 2 i. B. z = 4 3i. C. z = 4 + 3i. D. z = 3 2 + 5 2 i. -Líi gi£i. Ta câ (1i)(z + 1 2i) 3 + 2i = 0,z + 1 2i = 3 2i 1i ,z = 3 2 + 5 2 i. Chån ¡p ¡n D C¥u 36. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 + 3i)z 5 = 7i: M»nh · n o sau ¥y óng? A. z = 13 5 + 4 5 i. B. z = 13 5 4 5 i. C. z = 13 5 + 4 5 i. D. z = 13 5 4 5 i. -Líi gi£i. Ta câ z = 5 + 7i 1 + 3i = 13 5 4 5 i)z = 13 5 + 4 5 i Chån ¡p ¡n C C¥u 37. Sè phùc n o d÷îi ¥y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1 2i)z = 3z 2i? A. z = 1 2 + 1 2 i. B. z = 1 4 + 1 4 i. C. z = 1 4 1 4 i. D. z = 1 2 1 2 i. -Líi gi£i. Ta câ (1 2i)z = 3z 2i , (1 2i)z 3z =2i , (2 2i)z =2i , z = 2i 2 2i = 1 2 + 1 2 i: Chån ¡p ¡n A C¥u 38. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»njzj = 1 v z = 2R th¼ z 2 1 z A. L§y måi gi¡ trà phùc. B. L§y måi gi¡ trà thüc. C. B¬ng 0. D. L sè thu¦n £o. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi)z =abi)zz = 2bi: Ta câ zz =jzj 2 = 1: Ta l¤i câ z 2 1 z = z 2 zz zz = zz 1 =zz = 2bi l sè thu¦n £o. Chån ¡p ¡n D C¥u 39. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z = 2 9i 1 + 6i . A. 52 37 . B. 52 37 . C. 21 37 . D. 21 37 . -Líi gi£i. z = 2 9i 1 + 6i = (2 9i)(1 6i) (1 + 6i)(1 6i) = 52 37 21 37 i: Chån ¡p ¡n C C¥u 40. Cho sè phùc z =a +bi, vîi a;b2R, thäa m¢n (1 +i)z + 2 z = 3 + 2i. T½nh S =a +b. A. S = 1 2 . B. S =1. C. S = 1. D. S = 1 2 . -Líi gi£i. Ta câ (1 +i)z + 2 z = 3 + 2i , (1 +i)(a +bi) + 2(abi) = 3 + 2i , (3ab) + (ab)i = 3 + 2i Th.s Nguy¹n Ch½n Em 264 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 , ¨ 3ab = 3 ab = 2 , 8 > < > : a = 1 2 b = 3 2 : Do â S =a +b =1. Chån ¡p ¡n B C¥u 41. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 + 2i)z = (1 + 2i) (2 +i). Mæ-un cõa z b¬ng A. 2. B. 1. C. p 2. D. p 10. -Líi gi£i. Ta câ (1 + 2i)z = (1 + 2i) (2 +i), (1 + 2i)z = 3 +i,z = 3 +i 1 + 2i = 1i. Vªyjzj = p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 42. T½nh sè phùc z = 1 +i 1i 2018 + 1i 1 +i 2018 câ k¸t qu£ l A. 2. B. 2. C. 2i. D. 1 +i. -Líi gi£i. z =i 2018 + (i) 2018 =2. Chån ¡p ¡n B C¥u 43. Gi£ sû 1 (1i) 9 =a +bi; a;b2R. Khi â A. a = 1 32 ;b = 1 32 . B. a = 0;b = 1 32 . C. a = 1 32 ;b = 0. D. a =b = 1 32 . -Líi gi£i. Ta câ (1i) 2 = 1 2i +i 2 =2i) (1i) 4 = 4) (1i) 8 = 16. Khi â 1 (1i) 9 = 1 16(1i) = 1 +i 32 : Vªy a =b = 1 32 . Chån ¡p ¡n D C¥u 44. Cho c¡c sè phùc z thäa m¢njz 1j = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc w = 1 + p 3i z + 2 l mët ÷íng trán. T½nh b¡n k½nh R cõa ÷íng trán â. A. R = 4. B. R = 16. C. R = 8. D. R = 2. -Líi gi£i. Ta câ w 2 = (1 + p 3i)z , w 2 1 + p 3i =z , w 2 1 + p 3i 1 =z 1 ) w 3 p 3i 1 + p 3i =jz 1j , jw 3 p 3ij =jz 1jj1 + p 3ij = 4: Tø â suy ra b¡n k½nh R = 4. Chån ¡p ¡n A C¥u 45. Trong tªp c¡c sè phùc, cho ph÷ìng tr¼nh z 2 4z + (m 2) 2 = 0;m2R (1). Gåi m 0 l mët gi¡ trà cõa m º ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t z 1 ;z 2 thäa m¢njz 1 j =jz 2 j. Häi trong o¤n [0; 2018] câ bao nhi¶u gi¡ trà nguy¶n cõa m 0 ? A. 2019. B. 2015. C. 2014. D. 2018. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 265 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. 0 = 4 (m 2) 2 = 4mm 2 . N¸u 0 > 0, 0 4 m< 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) luæn câ 2 nghi»m phùc ph¥n bi»t z 1 ;z 2 . z 1 = 2 + p m 2 4m:i v z 2 = 2 p m 2 4m:i )jz 1 j =jz 2 j = p 4 +m 2 4m =jm 2j. Vªy ¨ m> 4 m< 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) câ 2 nghi»m ph¥n bi»t z 1 ;z 2 thäa m¢n i·u ki¶n b i to¡n. K¸t hñp i·u ki»n suy ra 4 < > : a = 1 2 b = 3 2 Vªy T =a +b =1. Chån ¡p ¡n D C¥u 64. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = 5 v jz + 3j =jz + 3 10ij. T¼m sè phùc w =z 4 + 3i. A. w =1 + 7i. B. w =3 + 8i. C. w = 1 + 3i. D. w =4 + 8i. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi(a;b2R). Tøjzj = 5,ja +bij = 5,a 2 +b 2 = 25 jz + 3j =jz + 3 10ij , ja +bi + 3j =ja +bi + 3 10ij , (a + 3) 2 +b 2 = (a + 3) 2 + (b 10) 2 , b = 5: Tø ¨ a 2 +b 2 = 25 b = 5 , ¨ a = 0 b = 5: Vªy w = 5i 4 + 3i = 5i 4 + 3i =4 + 8i. Chån ¡p ¡n D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 269 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 65. Cho sè phùc z 1 =a 2i, z 2 = 1 +bi. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z, bi¸t z 1 z +z 2 z = 1 +i. A. a +b 1 (a + 1) 2 + (b 2) 2 . B. ab + 3 (a + 1) 2 + (b 2) 2 . C. ba 3 (a + 1) 2 + (b 2) 2 . D. 1ab (a + 1) 2 + (b 2) 2 . -Líi gi£i. Ta câ z = 1 +i z 1 +z 2 = 1 +i a + 1 + (b 2)i = (1 +i) [a + 1 (b 2)i] (a + 1) 2 + (b 2) 2 = a + 1 +b 2 + (a + 1b + 2)i (a + 1) 2 + (b 2) 2 = a +b 1 + (ab + 3)i (a + 1) 2 + (b 2) 2 )z = a +b 1 (ab + 3)i (a + 1) 2 + (b 2) 2 : Vªy ph¦n £o cõa sè phùc z l ba 3 (a + 1) 2 + (b 2) 2 . Chån ¡p ¡n C C¥u 66. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z thäa m¢n z + 2z = (2i) 3 (1i). A.9. B. 9. C. 13. D.13. -Líi gi£i. °t z =x +yi, vîi x, y2R. z + 2z = (2i) 3 (1i) , x +yi + 2(xyi) = (2 11i)(1i) , 3xyi =9 13i, ¨ 3x =9 y =13 , ¨ x =3 y = 13: Vªy ph¦n £o cõa sè phùc z l 13. Chån ¡p ¡n C C¥u 67. Sè phùc z thäa z 4 3i + (2 3i) = 5 2i. Mæ-un cõa z b¬ng A.jzj = 10 p 2. B. jzj = p 10. C. jzj = 250. D.jzj = 5 p 10. -Líi gi£i. Ta câ z 4 3i + (2 3i) = 5 2i , z 4 3i = 3 +i , z = (3 +i)(4 3i) , z = 15 5i,z = 15 + 5i: Vªy mæ-un cõa sè phùc z l jzj = p 15 2 + 5 2 = 5 p 10. Chån ¡p ¡n D C¥u 68. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 +i)z = 2 + 11i. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc A =jzj +jzj. A. 5. B. p 10. C. 10. D. p 5. -Líi gi£i. (2 +i)z = 2 + 11i,z = 2 + 11i 2 +i = 3 + 4i)z = 3 4i. Gi¡ trà biºu thùc A =jzj +jzj = 5 + 5 = 10. Chån ¡p ¡n C C¥u 69. T¼m sè phùc z thäa m¢n (3 2i)z 2 =z + 18i. A. z =4 + 5i. B. z = 4 + 5i. C. z = 4 5i. D. z =4 5i. -Líi gi£i. Ta câ (3 2i)z 2 =z + 18i, z = 2 + 18i 2 2i =4 + 5i. Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 270 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 70. Cho sè phùc z = 2 3i. T¼m mæ-un cõa sè phùc w = z + 13 z . A. p 10. B. 2 p 5. C. 4. D. 2 p 13. -Líi gi£i. Ta câ: w = 2 + 3i + 13 2 3i = 4 + 6i. Vªyjzj = p 4 2 + 6 2 = 2 p 13. Chån ¡p ¡n D C¥u 71. T¼m sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 13 12 + 5i . A. z = 13 12 5i . B. z = 12 13 5 13 i. C. z = 13 12 + 13 5 i. D. z = 13 12 13 5 i. -Líi gi£i. Ta câ z = 13 12 + 5i = 12 13 5 13 i)z = 12 13 + 5 13 i. Chån ¡p ¡n A C¥u 72. Sè phùcz =a+bi, (a;b2R) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1+2i)z8i = 0. T½nhS =a+b. A. S =1. B. S = 1. C. S =5. D. S = 5. -Líi gi£i. V¼ (1 + 2i)z 8i = 0,z = 8 +i 1 + 2i = (8 +i)(1 2i) 1 + 4 = 10 15i 5 = 2 3i n¶n ¨ a = 2 b =3: . Vªy S =a +b =1. Chån ¡p ¡n A C¥u 73. Trong tªp hñp sè phùc, ph÷ìng tr¼nh 4 z + 1 = 1i câ nghi»m l A. z = 2i. B. z = 5 3i. C. z = 1 + 2i. D. z = 3 + 2i. -Líi gi£i. i·u ki»n z6=1: Ph÷ìng tr¼nh 4 z + 1 = 1i,z + 1 = 4 1i ,z = 4 1i 1 = 1 + 2i: Chån ¡p ¡n C C¥u 74. Cho ç thà h m sè y =f(x) câ ç thà nh÷ h¼nh v³, di»n t½ch h¼nh ph¯ng ph¦n tæ ªm ÷ñc t½nh theo cæng thùc A. S = 1 Z 2 f(x) dx. B. S = 0 Z 2 f(x) dx + 1 Z 0 f(x) dx. C. S = 2 Z 0 f(x) dx + 1 Z 0 f(x) dx. D. S = 0 Z 2 f(x) dx 1 Z 0 f(x) dx. x y O 1 2 1 2 1 2 1 -Líi gi£i. Ta câ S = 0 Z 2 jf(x)j dx + 1 Z 0 jf(x)j dx: Tø ç thà h m sè suy ra f(x) 0;8x2 [2; 0] v f(x) 0;8x2 [0; 1]: Suy ra S = 0 Z 2 f(x) dx 1 Z 0 f(x) dx: Chån ¡p ¡n D C¥u 75. T¼m sè phùc z thäa m¢n (1 2i)z = 3 + i. A. z = 1 i. B. z = 1 + i. C. z = 1 5 + 7 5 i. D. z = 1 5 7 5 i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 271 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Ta câ (1 2i)z = 3 + i,z = 3 + i 1 2i ,z = (3 + i) (1 + 2i) (1 2i) (1 + 2i) ,z = 1 5 (1 + 7i): Chån ¡p ¡n C C¥u 76. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n (1 + 2i)z +i z = 7 + 5i. T½nh S = 4a + 3b. A. S = 7. B. S = 24. C. S =7. D. S = 0. -Líi gi£i. °t z =a +bi.Ta câ: (1 + 2i)(a +bi) +i(abi) = 7 + 5i,a +bi + 2ai + 2bi 2 +aibi 2 = 0 ,a +bi + 2ai 2b +ai +b = 7 + 5i , (ab) + (3a +b)i = 7 + 5i , ¨ ab = 7 3a +b = 5 , ¨ a = 3 b =4: Vªy S = 4a + 3b = 0: Chån ¡p ¡n D C¥u 77. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 +i)z + 2 z = 3 2i: T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A.jzj = 1 2 p 106. B. jzj = 53 2 . C. jzj = 41 8 . D.jzj = 1 4 p 2. -Líi gi£i. B¬ng c¡ch l§y li¶n hñp 2 v¸ èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho, ta thu ÷ñc th¶m mët ph÷ìng tr¼nh. K¸t hñp chóng l¤i, ta gi£i ÷ñc 2z = 5 + 9i: Suy rajzj = 1 2 p 106: Chån ¡p ¡n A C¥u 78. Cho sè thüc x; y thäa m¢n 2x +y + (2yx)i = x 2y + 3 + (y + 2x + 1)i. Khi â gi¡ trà cõa M =x 2 + 4xyy 2 b¬ng A.1. B. 1. C. 0. D.2. -Líi gi£i. Ta câ 2x +y + (2yx)i =x 2y + 3 + (y + 2x + 1)i , ¨ 2x +y =x 2y + 3 2yx =y + 2x + 1 , ¨ x + 3y = 3 3xy =1 , ¨ x = 0 y = 1 Vªy M =1. Chån ¡p ¡n A C¥u 79. Sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc z = 1 p 3i 3 1 i l A. 4 + 4i. B. 4 4i. C. 4 4i. D.4 + 4i. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 p 3i 3 1 i = 1 3 p 3i + 3( p 3i) 2 ( p 3i) 3 1 i = 8 1 i = 8(1 + i) 2 =4 4i: Suy ra z =4 + 4i. Chån ¡p ¡n D C¥u 80. Cho sè phùc z, bi¸t z = 2 i + i 1 + i . Ph¦n £o cõa sè phùc z 2 l A. 5 2 . B. 5 2 i. C. 5 2 . D. 5 2 i. -Líi gi£i. z = 2 i + i(1 i) 2 = 5 2 1 2 i)z = 5 2 + 1 2 i: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 272 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ph¦n £o cõa z 2 l 2 5 2 1 2 = 5 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 81. Cho sè phùc z =mi vîi m6= 0 l tham sè thüc. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc 1 z A. 1 m . B. 1 m . C. 1 m i. D. 1 m . -Líi gi£i. Ta câ 1 z = 1 mi = i m ) ph¦n £o cõa 1 z l 1 m Chån ¡p ¡n A C¥u 82. Cho sè phùc (1i)z = 4 + 2i. T¼m mæ-un cõa sè phùc w =z + 3. A. 5. B. p 10. C. 25. D. p 7. -Líi gi£i. °t z =a +bi vîi a, b2R. Khi â (1i)z = 4 + 2i, (1i)(a +bi) = 4 + 2i , a +b + (ba)i = 4 + 2i , ¨ a +b = 4 a +b = 2 , ¨ a = 1 b = 3 )z = 1 + 3i)! = 4 + 3i ) j!j = 5: Chån ¡p ¡n A C¥u 83. Cho sè phùc z câ biºu di¹n h¼nh håc l iºm M nh÷ h¼nh v³ b¶n. Kh¯ng ành n o sau ¥y óng? A. z =3 + 2i. B. z = 3 + 2i. C. z =3 2i. D. z = 3 2i. x y O M 3 2 -Líi gi£i. Ta th§y iºm M(3;2) do â z = 3 2i. Chån ¡p ¡n D C¥u 84. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n z 1 zi = 1 v z 3i z +i = 1. T½nh P =a +b. A. P = 7. B. P =1. C. P = 1. D. P = 2. -Líi gi£i. Ta câ 8 > > < > > : z 1 zi = 1 z 3i z +i = 1 , ¨ jz 1j =jzij jz 3ij =jz +ij , ¨ a =b 8b = 8 , ¨ a = 1 b = 1 )a +b = 2: Chån ¡p ¡n D C¥u 85. Gåi z 1 , z 2 l hai nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh 2z 2 3z + 4 = 0. T½nh w = 1 z 1 + 1 z 2 +iz 1 z 2 . A. w = 3 4 + 2i. B. w = 3 4 + 2i. C. w = 2 + 3 2 i. D. w = 3 2 + 2i. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 273 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ph÷ìng tr¼nh 2z 2 3z + 4 = 0 câ 2 nghi»m phùc z 1 = 3 4 + p 23 4 i, z 2 = 3 4 p 23 4 i Khi â 8 < : z 1 +z 2 = 3 2 z 1 z 2 = 2 . Suy ra w = 1 z 1 + 1 z 2 +iz 1 z 2 = z 1 +z 2 z 1 z 2 +iz 1 z 2 = 3 4 + 2i. Chån ¡p ¡n B C¥u 86. Cho sè phùc z thäa m¢n (1 + 3i)z 5 = 7i. M»nh · n o sau ¥y l m»nh · óng? A. z = 13 5 + 4 5 i. B. z = 13 5 4 5 i. C. z = 13 5 4 5 i. D. z = 13 5 + 4 5 i. -Líi gi£i. Ta câ z = 5 + 7i 1 + 3i = 13 5 4 5 i)z = 13 5 + 4 5 i. Chån ¡p ¡n D C¥u 87. T½nh mæ-un sè phùc nghàch £o cõa sè phùc z = (1 2i) 2 . A. 1 p 5 . B. p 5. C. 1 25 . D. 1 5 . -Líi gi£i. Ta câ 1 z = 1 (1 2i) 2 = (1 + 2i) 2 (1 2i) 2 (1 + 2i) 2 = 3 + 4i 25 . N¶n 1 z = 3 + 4i 25 = 1 5 . Chån ¡p ¡n D C¥u 88. Cho sè phùc z thäa m¢n z = 1 + p 3i 3 1i . T¼m mæ-un cõa z +iz. A. 4 p 2. B. 4. C. 8 p 2. D. 8. -Líi gi£i. Ta câ z = 1 + p 3i 3 1i =4 4i)z =4 + 4i) z +iz =8 8i. Suy raj z +izj =j8 8ij = 8 p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 89. Cho sè phùc z thäa: 1 + p 3i 2 z = 3 4i. Mæ-un cõa z b¬ng A. 2 5 . B. 4 5 . C. 5 4 . D. 5 2 . -Líi gi£i. Ta câ 1 + p 3i 2 z = 3 4i, (2 + 2 p 3i)z = 3 4i,z = 3 4i 2 + 2 p 3i = 3 + 4 p 3 8 + 4 3 p 3 8 i. )jzj = s 3 + 4 p 3 8 2 + 4 3 p 3 8 2 = 5 4 . Chån ¡p ¡n C 4 ĐÁPÁN 1. D 2. A 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C 8. A 9. A 10. B 11. C 12. D 13. A 14. D 15. A 16. C 17. D 18. C 19. C 20. C 21. D 22. D 23. B 24. A 25. A 26. B 27. B 28. B 29. C 30. D 31. A 32. C 33. B 34. C 35. D 36. C 37. A 38. D 39. C 40. B 41. C 42. B 43. D 44. A 45. C 46. A 47. A 48. C 49. A 50. D 51. A 52. B 53. B 54. D 55. C 56. C 57. D 58. D 59. B 60. A 61. B 62. D 63. D 64. D 65. C 66. C 67. D 68. C 69. A 70. D 71. A 72. A 73. C 74. D 75. C 76. D 77. A 78. A 79. D 80. A 81. A 82. A 83. D 84. D 85. B 86. D 87. D 88. C 89. C 5 VẬNDỤNGTHẤP C¥u 1. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj 2 = 2jz +zj + 4 v jz 1ij =jz 3 + 3ij? Th.s Nguy¹n Ch½n Em 274 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). jzj 2 = 2jz +zj + 4,x 2 +y 2 = 4jxj + 4, x 2 +y 2 4x 4 = 0; x 0 (1) x 2 +y 2 + 4x 4 = 0; x< 0 (2): Theo · ta câ jz 1ij =jz 3 + 3ij , (x 1) 2 + (y 1) 2 = (x 3) 2 + (y + 3) 2 , 4x = 8y + 16 , x = 2y + 4 (3): + Thay (3) v o (1) ta ÷ñc (2y + 4) 2 +y 2 4(2y + 4) 4 = 0, 5y 2 + 8y 4 = 0, 2 4 y = 2 5 )x = 24 5 (nhªn) y =2)x = 0 (nhªn): + Thay (3) v o (2) ta ÷ñc (2y + 4) 2 +y 2 + 4(2y + 4) 4 = 0, 5y 2 + 24y + 28 = 0, 2 4 y =2)x = 0 (lo¤i) y = 14 5 )x = 8 5 (nhªn): Vªy câ 3 sè phùc thäa i·u ki»n. Chån ¡p ¡n B C¥u 2. Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢nj2zij = 4 l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng A. 2 p 2. B. 4 p 2. C. 4. D. 2. -Líi gi£i. Gåi M(x;y) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z =x +yi vîi x; y2R. Khi âj2zij = 4,j2x + 2yiij = 4, 4x 2 + (2y 1) 2 = 16,x 2 + y 1 2 2 = 4. Vªy tªp hñp iºm c¦n t¼m l mët ÷íng trán câ b¡n k½nh R = 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 3. GåiS l tªp hñp c¡c sè phùc z thäa m¢nz 5 +i p 3 z 1 = 0. Têng gi¡ trà t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa S b¬ng A. 1. B. 1 2 p 3i. C. 3 2 p 3i. D. 1 p 3i. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi; (a;b2R) v a 2 +b 2 6= 0. Ta câ z 5i p 3 z 1 = 0 , abi 5 +i p 3 a +bi 1 = 0 , a 2 +b 2 5i p 3abi = 0 , a 2 +b 2 a 5 b + p 3 i = 0 , ¨ a 2 +b 2 a 5 = 0 b + p 3 = 0 , ¨ a 2 a 2 = 0 b = p 3 , 2 6 6 6 6 4 ¨ a =1 b = p 3 ¨ a = 2 b = p 3: Suy ra " z =1i p 3 z = 2i p 3 )S = ¦ 1i p 3; 2i p 3 © . Khi â têng gi¡ trà c¡c ph¦n tû cõa S l 1 2 p 3i. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 275 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 4. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz + 2 + 3ij = 5 v z z 2 l sè thu¦n £o? A. 0. B. Væ sè. C. 2. D. 1. -Líi gi£i. °t z =x +iy; (x;y2R). i·u ki»n z6= 2 Ta câjz + 2 + 3ij = 5, (x + 2) 2 + (y + 3) 2 = 25,x 2 +y 2 + 4x + 6y = 12. (1) z z 2 = x +yi x 2 +yi = x 2 2x +y 2 (x 2) 2 +y 2 + 2yi (x 2) 2 +y 2 . V¼ z l sè thu¦n £o n¶n x 2 2x +y 2 (x 2) 2 +y 2 = 0,x 2 2x +y 2 = 0. (2) Tø (1) v (2) suy ra x +y = 2)y = 2x. Thay v o (1) ta ÷ñc x 2 6x + 4 = 0, x = 1 x = 2: Vîi x = 1)y = 1)z = 1 +i. Vîi x = 2)y = 0)z = 2 (lo¤i). Vªy câ mët sè phùc z thäa m¢n ·. Chån ¡p ¡n D C¥u 5. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz + 2 + 3ij = 5 v z z 2 l sè thu¦n £o. A. 0. B. væ sè. C. 2. D. 1. -Líi gi£i. X²t sè phùc z =x +yi; (x;y2R). i·u ki»n z6= 2. Ta câjz + 2 + 3ij = 5, (x + 2) 2 + (y + 3) 2 = 25,x 2 +y 2 + 4x + 6y = 12: (1) Ta câ z z 2 = x +yi x 2 +yi = (x +yi)(x 2yi) (x 2) 2 +y 2 = x 2 2x +y 2 2yi (x 2) 2 +y 2 . V¼ z z 2 l sè thu¦n £o n¶n x 2 2x +y 2 = 0 (2) Tø (1) v (2) câ x +y = 2)y = 2x. Thay v o (1) ÷ñc 2x 2 6x + 4 = 0, x = 1 x = 2 Vîi x = 1 ta câ y = 1, tø â câ z = 1 +i. Vîi x = 2 ta câ y = 0, tø â câ z = 2 (lo¤i). Chån ¡p ¡n D C¥u 6. Gåi S l tªp hñp c¡c sè phùc z thäa m¢n z 5 +i p 3 z 1 = 0. T½nh têng t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa S A. 1 2 p 3i. B. 3 2 p 3i. C. 1. D. 1i p 3. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi (a;b2R). z 5 +i p 3 z 1 = 0,a 2 +b 2 abi = 5 +i p 3 , ¨ a 2 +b 2 a = 5 b = p 3 , ¨ a 2 a 2 = 0 b = p 3 , 8 > < > : a =1 a = 2 b = p 3 Vªy z 1 =1i p 3 v z 2 = 2i p 3. Suy ra z 1 +z 2 = 1 2 p 3i. Chån ¡p ¡n A C¥u 7. Chosèphùcz thäam¢njz+ij = 1. Bi¸tr¬ngtªphñpc¡c iºmbiºudi¹nsè phùcw = (3+4i)z+2+i l mët ÷íng trán t¥m I. iºm I câ tåa ë l A. (6;2). B. (6; 2). C. (2; 1). D. (2;1). -Líi gi£i. Ta câ w = (3 + 4i)z + 2 +i,z = w 2i 3 + 4i ,z +i = w 2i 3 + 4i +i = w 6 + 2i 3 + 4i : L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc jz +ij = w 6 + 2i 3 + 4i , 1 = jw 6 + 2ij j3 + 4ij ,jw 6 + 2ij = 5: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 276 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n w l ÷íng trán t¥m I(6;2), b¡n k½nh r = 5. Chån ¡p ¡n A C¥u 8. Cho sè phùc z thäa i·u ki»njzj = 10 v w = (6 + 8i)z + (1 2i) 2 . Tªp hñp iºm biºu di¹n cho sè phùc w l ÷íng trán câ t¥m l A. I(3;4). B. I(3; 4). C. I(1;2). D. I(6; 8). -Líi gi£i. Chó þ: Tªp hñp iºm biºu di¹n cõa sè phùcz thäajz (a +bi)j =R l ÷íng trán t¥mI(a;b) b¡n k½nhR. ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi w + 3 + 4i = (6 + 8i)z)jw (3 4i)j =j6 + 8ijjzj = 10 10 = 100: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n cho sè phùc w l ÷íng trán câ t¥m l I(3;4). Chån ¡p ¡n A C¥u 9. Cho sè thüca> 2 v gåiz 1 ;z 2 l hai nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh z 2 2z +a = 0. M»nh · n o sau ¥y sai? A. z 1 +z 2 l sè thüc. B. z 1 z 2 l sè £o. C. z 1 z 2 + z 2 z 1 l sè £o. D. z 1 z 2 + z 2 z 1 l sè thüc. -Líi gi£i. X²t ph÷ìng tr¼nh z 2 2z +a = 0 câ 0 = 1a< 0,8a> 2. Do â ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m phùc l : z 1 = 1 + p a 1i, z 2 = 1 p a 1i. Khi â ta câ z 1 +z 2 = 1 + p a 1i + 1 p a 1i = 2 l sè thüc. z 1 z 2 = 1 + p a 1i 1 + p a 1i = 2 p a 1i l sè £o8a> 2. z 1 z 2 + z 2 z 1 = 1 + p a 1i 1 p a 1i + 1 p a 1i 1 + p a 1i = 4 2a a l mët sè thüc,8a> 2. Vªy m»nh · z 1 z 2 + z 2 z 1 l sè £o l sai. Chån ¡p ¡n C C¥u 10. Cho c¡c sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢njz 1 j =jz 2 j = p 3 v jz 1 z 2 j = 2. T½nhjz 1 +z 2 j. A. 2. B. 3. C. p 2. D. 2 p 2. -Líi gi£i. Ta câ jz 1 z 2 j 2 = (z 1 z 2 ) (z 1 z 2 ) =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 (z 1 z 2 +z 2 z 1 ) = 4)z 1 z 2 +z 2 z 1 = 2: jz 1 +z 2 j 2 = (z 1 +z 2 ) (z 1 +z 2 ) =jz 1 j 2 +jz 2 j 2 + (z 1 z 2 +z 2 z 1 ) = 8: Vªyjz 1 +z 2 j = 2 p 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 11. Cho sè phùc z thäa m¢njz + 1j = 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc w = 1 +i p 8 z +i l mët ÷íng trán. B¡n k½nh r cõa ÷íng trán â l A. 3. B. 6. C. 9. D. 36. -Líi gi£i. Ta câ w = 1 +i p 8 z +i,z = wi 1 +i p 8 ,z + 1 = w + 1 + p 8 1 i 1 +i p 8 . V¼jz + 1j = 2 n¶n w + 1 + p 8 1 i 1 +i p 8 =jz + 1j, w + 1 + p 8 1 i = 6: () °t w =x +yi, (x;y2R). Thay v o () ta ÷ñc x +yi + 1 + p 8 1 i = 6, (x + 1) + y + p 8 1 i = 6, (x + 1) 2 + y + p 8 1 2 = 36: Vªy r = 6. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 277 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 12. Cho sè phùcz thäa m¢n (z + 3i)(z + 3i + 1) l mët sè thüc. Bi¸t r¬ng tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n cõa z l mët ÷íng th¯ng. Kho£ng c¡ch tø gèc tåa ë ¸n ÷íng th¯ng â b¬ng A. 4 p 2. B. 0. C. 2 p 2. D. 3 p 2. -Líi gi£i. °t z =x +iy)z =xiy: Sè phùc (z + 3i)(z + 3i + 1) = [x + 3 + (y 1)i] [x + 1 + (3y)i] câ ph¦n £o l (x + 3)(3y) + (y 1)(x + 1): Theo · (z + 3i)(z + 3i + 1) l sè thüc n¶n ph¦n £o b¬ng 0 (x + 3)(3y) + (y 1)(x + 1) = 0,xy 4 = 0: Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm biºu di¹n cõa z l ÷íng th¯ng (): xy 4 = 0: Vªy d[O; ] = j4j p 2 = 2 p 2: Chån ¡p ¡n C C¥u 13. Cho sè phùcz thäa m¢n i·u ki»njz 2 + 3ij 3. Trong m°t ph¯ngOxy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w = 2z + 1i l h¼nh câ di»n t½ch. A. S = 25. B. S = 16. C. S = 9. D. S = 36. -Líi gi£i. Gi£ sû w =x +yi (x;y2R). w = 2z + 1i)z = x 1 + (y + 1)i 2 . Ta câ jz 2 + 3ij 3 , x 1 + (y + 1)i 2 2 + 3i 3 , x 5 + (y + 7)i 2 3 , (x 5) 2 + (y + 7) 2 36: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w l h¼nh trán câ b¡n k½nh R = 6. Di»n t½ch h¼nh trán S = 36. Chån ¡p ¡n D C¥u 14. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz 3ij = 5 v z z 4 l sè thu¦n £o. A. 0. B. 2. C. 1. D. Væ sè. -Líi gi£i. i·u ki»n z6= 4. V¼ z z 4 l sè thu¦n £o n¶n z z 4 =ai vîi a2R, suy ra z = 4ai 1 +ai . Khi â jz 3ij = 5 , 4ai 1 +ai 3i = 5 , 3a + (3 + 4a)i 1 +ai = 5 , 9a 2 + (3 + 4a) 2 1 +a 2 = 25 , a = 2 3 : Vªy câ duy nh§t sè phùc z thäa m¢n b i ra. Chån ¡p ¡n C C¥u 15. Trong m°t ph¯ngOxy, gåiA,B,C l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z 1 ,z 2 ,z 1 +z 2 . X²t c¡c m»nh · sau Th.s Nguy¹n Ch½n Em 278 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 jz 1 j =jz 2 j, z 1 =z 2 z 1 =z 2 ; 1 jz 1 +z 2 jjz 1 j +jz 2 j; 2 N¸u # OA # OB = 0 th¼ z 1 z 2 +z 2 z 1 = 0; 3 OC 2 +AB 2 = 2 OA 2 +OB 2 . 4 Trong c¡c m»nh · tr¶n câ bao nhi¶u m»nh · óng? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. -Líi gi£i. Gåi z 1 =x 1 +y 1 i, z 2 =x 2 +y 2 i (x 1 ;y 1 ;x 2 ;y 2 2R), ta câ jz 1 j =jz 2 j =r,x 2 1 +y 2 1 =x 2 2 +y 2 2 =r 2 )A;B n¬m tr¶n ÷íng trán t¥mO, b¡n k½nhr, do â m»nh · 1) sai. # OA + # OB = (x 1 +x 2 ;y 1 +y 2 ) = # OC, suy raOACB l h¼nh b¼nh h nh, khi âjz 1 +z 2 jjz 1 j +jz 2 j = OCOA +AC =OA +OB =jz 1 j +jz 2 j, do â m»nh · 2) óng. # OA # OB = 0,x 1 x 2 +y 1 y 2 = 0, khi âz 1 z 2 +z 2 z 1 = (x 1 +y 1 i) (x 2 y 2 i) + (x 1 y 1 i) (x 2 +y 2 i) = 2 (x 1 x 2 +y 1 y 2 ) = 0, suy ra m»nh · 3) óng. OC 2 +AB 2 =jz 1 +z 2 j 2 +jz 1 z 2 j 2 = (x 1 +x 2 ) 2 +(y 1 +y 2 ) 2 +(x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 = 2 x 2 1 +x 2 2 +y 2 1 +y 2 2 = 2 jz 1 j 2 +jz 2 j 2 = 2 OA 2 +OB 2 , do â m»nh · 4) óng. Vªy câ 3 m»nh · óng trong c¡c m»nh · ¢ cho. Chån ¡p ¡n B C¥u 16. Cho sè phùc z câ mæ-un b¬ng 2 p 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp iºm trong m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n c¡c sè phùc w = (1i)(z + 1)i l ÷íng trán câ t¥m I(a;b), b¡n k½nh R. Têng a +b +R b¬ng A. 5. B. 7. C. 1. D. 3. -Líi gi£i. Ta câ z = w +i 1i 1 = w 1 + 2i 1i . M jzj = 2 p 2) w 1 + 2i 1i = 2 p 2, jw 1 + 2ij p 2 = 2 p 2. Ta câ jw 1 + 2ij = 4 , jx +yi 1 + 2ij = 4 (w =x +yi;x;y2R) , È (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 4, (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 16: Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(1;2) v b¡n k½nh R = 4. Suy ra a +b +R = 3. Chån ¡p ¡n D C¥u 17. Choz 1 ,z 2 l hai sè phùc li¶n hñp cõa nhau çng thíi thäa m¢n z 1 z 2 2 2R v jz 1 z 2 j = 2 p 3. T½nh mæ un cõa sè phùc z 1 . A.jz 1 j = 3. B. jz 1 j = p 5 2 . C. jz 1 j = 2. D.jz 1 j = p 5 . -Líi gi£i. Gi£ sû z 1 =a +bi, vîi (a;b2R))z 2 =abi. Ta câjz 1 z 2 j = 2 p 3)jbj = p 3. Ta câ z 1 z 2 2 = a +bi a 2 b 2 2abi = (a +bi)(a 2 b 2 + 2abi) (a 2 b 2 ) 2 + 4a 2 b 2 2R. Suy ra 2a 2 b +b(a 2 b 2 ) = 0, 3a 2 =b 2 )a 2 = 1. Vªyjz 1 j = p a 2 +b 2 = p 1 + 3 = 2. Chån ¡p ¡n C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 279 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 18. Sè phùcz thäa m¢njz 1j = 5, 1 z + 1 z = 5 17 v z câ ph¦n £o d÷ìng. T¼m têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa z. A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi vîi x;y2R v y> 0. Tø jz 1j = 5, (x 1) 2 +y 2 = 25,x 2 +y 2 2x = 24: (1) Tø 1 z + 1 z = 5 17 , z jzj 2 + z jzj 2 = 5 17 , 2x = 5 17 x 2 +y 2 ,x 2 +y 2 34 5 x = 0: (2) L§y (1) trø (2) theo v¸, ta ÷ñc x = 5; y = 3. Vªy x +y = 8. Chån ¡p ¡n D C¥u 19. T¼m ph¦n thüc cõa sè phùc z, bi¸t z + jzj 2 z = 10. A. 20. B. 10. C. 5. D. 15. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi6= 0 (a;b2R), ta câ z + jzj 2 z = 10 ,z 2 +jzj 2 = 10z ,a 2 b 2 + 2abi +a 2 +b 2 = 10a + 10bi , ¨ 2a 2 10a = 0 2ab = 10b , ¨ a = 5 b = 0: Vªy z câ ph¦n thüc b¬ng 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 20. Cho sè phùc z thäa z z 2 l sè thüc,jz zj = 3 p 2. T½nhjzj. A.jzj = 3 p 2. B. jzj = p 6. C. jzj = 2 p 3. D.jzj = p 3. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi; (x; y2R). Ta câjz zj = 3 p 2,j2yij = 3 p 2,jyj = 3 p 2 . Khi â, z z 2 = x +yi x 2 y 2 2xyi = (x +yi)(x 2 y 2 + 2xyi) (x 2 y 2 ) 2 + 4x 2 y 2 = x 3 3xy 2 (y 3 3x 2 y)i (x 2 +y 2 ) 2 . V¼ z z 2 l sè thüc n¶n y 3 3x 2 y = 0)y 2 3x 2 = 0,x 2 = y 2 3 = 3 2 : Vªyjzj = p x 2 +y 2 = É 9 2 + 3 2 = p 6. Chån ¡p ¡n B C¥u 21. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n z + 4i z 4i l mët sè thüc d÷ìng. A. Tröc Oy bä i o¤n IJ (vîi I l iºm biºu di¹n 4i;J l iºm biºu di¹n4i). B. Tröc Oy bä i o¤n IJ (vîi I l iºm biºu di¹n 2i;J l iºm biºu di¹n2i). C. o¤n IJ (vîi I l iºm biºu di¹n 4i;J l iºm biºu di¹n4i). D. Tröc Ox bä i o¤n nèi IJ (vîi I l iºm biºu di¹n 4;J l iºm biºu di¹n4). -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 280 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 °t z = x +yi vîi x;y2R v M(x;y) l iºm biºu di¹n cõa sè phùc z trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy. Ta câ z + 4i z 4i = x +yi + 4i x +iy 4i = x + (y + 4)i x + (y 4)i = [x + (y + 4)i] [x (y 4)i] [x + (y 4)i] [x (y 4)i] = x 2 x(y 4)i +x(y + 4)i + (y + 4)(y 4) x 2 + (y 4) 2 = x 2 +y 2 16 x 2 + (y 4) 2 + 8x x 2 + (y 4) 2 i: º z + 4i z 4i l mët sè thüc d÷ìng khi v ch¿ khi ¨ x = 0 x 2 +y 2 16> 0 , ¨ x = 0 y 2 16> 0 , 8 > < > : x = 0 y<4 y> 4 . Vªy tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l tröc Oy bä i o¤n IJ (vîi I l iºm biºu di¹n 4i;J l iºm biºu di¹n4i). x y O I J 1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Chån ¡p ¡n A C¥u 22. Cho c¡c sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢njz 1 j = 3,jz 2 j = 4 v chóng ÷ñc biºu di¹n trong m°t ph¯ng phùc l¦n l÷ñt l c¡c iºm M;N. Bi¸t gâc giúa hai v²c-tì # OM v # ON b¬ng 60 . T¼m mæun cõa sè phùc z = z 1 +z 2 z 1 z 2 : A.jzj = p 3. B. jzj = p 5 2 . C. jzj = p 481 13 . D.jzj = 4 p 3. -Líi gi£i. x y O M N 60 °t z 1 = 3(cos' +i sin'), z 2 = 4(cos(' 60 ) +i sin(' 60 )), ta câ z = z 1 +z 2 z 1 z 2 = 1 + z 2 z 1 1 z 2 z 1 = 1 + 4 3 (cos 60 i sin 60 ) 1 4 3 (cos 60 i sin 60 ) = 1 + 4 3 1 2 i p 3 2 1 4 3 1 2 i p 3 2 = 5 2i p 3 1 2i p 3 Suy rajzj = p 481 13 . Chån ¡p ¡n C C¥u 23. Cho ba sè phùcz 1 ;z 2 ;z 3 thäa m¢nz 1 +z 2 +z 3 = 0 v jz 1 j =jz 2 j =jz 3 j = 2 p 2 3 . M»nh · n o d÷îi ¥y óng? A.jz 1 +z 2 +z 3 jjz 1 z 2 +z 2 z 3 +z 3 z 1 j. D.jz 1 +z 2 +z 3 j =jz 1 z 2 +z 2 z 3 +z 3 z 1 j. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 281 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ jz 1 z 2 +z 2 z 3 +z 3 z 1 j = jz 1 z 2 z 3 j 1 z 1 + 1 z 2 + 1 z 3 = 2 p 2 3 3 z 1 jz 1 j 2 + z 2 jz 2 j 2 + z 3 jz 3 j 2 = 2 p 2 3 3 z 1 2 p 2 3 2 + z 2 2 p 2 3 2 + z 3 2 p 2 3 2 = 2 p 2 3 jz 1 +z 2 +z 3 j = 2 p 2 3 jz 1 +z 2 +z 3 j = 2 p 2 3 jz 1 +z 2 +z 3 j = 0 =jz 1 +z 2 +z 3 j: Chån ¡p ¡n D C¥u 24. Cho sè phùc z thäa m¢n 2zz + 3i z +i = 3. Tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z tr¶n m°t ph¯ng phùc l A. Mët Parabol. B. Mët ÷íng th¯ng. C. Mët ÷íng trán. D. Mët Elip. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi2C vîi a;b2R. Ta câ 2zz + 3i z +i = 3 , j2zz + 3ij jz +ij = 3 , j2(abi) (a +bi) + 3ij ja +bi +ij = 3 , j2(abi) (a +bi) + 3ij = 3ja +bi +ij , È a 2 + (3 3b) 2 = 3 È a 2 + (b + 1) 2 , 8a 2 36b = 0 , b = 2 9 a 2 Vªy tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z tr¶n m°t ph¯ng phùc l mët Parabol. Chån ¡p ¡n A C¥u 25. Cho sè phùc z = m + 1 1 +m(2i 1) ; (m2R). T¼m c¡c gi¡ trà nguy¶n cõa m ºjzij< 1 l A. 0. B. 1. C. 4. D. Væ sè. -Líi gi£i. Ta câ zi = m + 1 1 +m(2i 1) i = 3m + 1 + (m 1)i 1 + 2mim . Theo gi£ thi¸t câ jzij< 1 , 3m + 1 + (m 1)i 1 + 2mim < 1 , È (3m + 1) 2 + (m 1) 2 < È (1m) 2 + (2m) 2 , 5m 2 + 6m + 1< 0 , 1 < > : a = 1 3 b = 5 9 : Vªy P = a b = 3 5 . Chån ¡p ¡n A C¥u 28. Gåi z 1 ; z 2 l hai nghi»m phùc cõa ph÷ìng tr¼nh az 2 +z + 1 a = 0 a2R + . Bi¸tjz 1 j +jz 2 j = 2, khi â a nhªn gi¡ trà b¬ng A. 1 2 . B. 2. C. 3. D. 1. -Líi gi£i. Theo gi£ thi¸t az 2 +z + 1 a = 0,a 2 z 2 +az + 1 = 0 , az + 1 2 2 + 3 4 = 0 , 2 6 6 4 az + 1 2 = i p 3 2 az + 1 2 = i p 3 2 , 2 6 4 z = 1 2a 1 +i p 3 : z = 1 2a 1 +i p 3 : (1) V¼jz 1 j +jz 2 j = 2 n¶n tø (1) suy ra 1 2a (2 + 2) = 2,a = 1. Chån ¡p ¡n D C¥u 29. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢n z + 2 +ijzj(1 +i) = 0? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 283 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Gåi z =a +bi vîi a;b2R. Khi â, tø gi£ thi¸t ta suy ra z + 2 +ijzj(1 +i) = 0 , a +bi + 2 +i p a 2 +b 2 (1 +i) , ( a + 2 p a 2 +b 2 = 0 b + 1 p a 2 +b 2 = 0 , ¨ a + 2 p a 2 +b 2 = 0 b =a + 1 , ( a + 2 = È a 2 + (a + 1) 2 b =a + 1 , 8 > < > : a2 (a + 2) 2 =a 2 + (a + 1) 2 b =a + 1 , 8 > < > : a2 a 2 2a 3 = 0 b =a + 1 , ¨ a =1;b = 0 a = 3;b = 4: Vªy câ 2 sè phùc z thäa b i to¡n. Chån ¡p ¡n B C¥u 30. Cho sè phùc z thäa m¢n (2 +i)jzj = p 17 z + 1 3i. Bi¸t tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc w = (3 4i)z 1 + 2i l ÷íng trán t¥m I; b¡n k½nh R. Khi â A. I(1;2);R = p 5. B. I(1; 2);R = p 5. C. I(1; 2);R = 5. D. I(1;2);R = 5. -Líi gi£i. Ta câ (2 +i)jzj = p 17 z + 1 3i , (2jzj 1) + (jzj + 3)i = p 17 z ) j(2jzj 1) + (jzj + 3)ij = p 17 z ) È (2jzj 1) 2 + (jzj + 3) 2 = p 17 jzj ) 5jzj 2 + 2jzj + 10 = 17 jzj 2 ) 5jzj 4 + 2jzj 3 + 10jzj 2 17 = 0 (): °t x =jzj;x> 0. X²t h m sè f(x) = 5x 4 + 2x 3 + 10x 2 17 vîi x> 0. Câ f 0 (x) = 20x 3 + 6x 2 + 20x> 0;8x> 0 n¶n f(x) çng bi¸n tr¶n (0; +1), m f(1) = 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0 câ nghi»m duy nh§t x = 1 tr¶n kho£ng (0; +1). Do vªy ph÷ìng tr¼nh () câ nghi»m duy nh§tjzj = 1. w = (3 4i)z 1 + 2i , w + 1 2i = (3 4i)z ) jw + 1 2ij =j(3 4i)zj = 5 Do â, tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(1; 2), b¡n k½nh R = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 31. Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n zi z +i = 1. A. H¼nh chú nhªt giîi h¤n bði c¡c ÷íng x =1;y =1. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 284 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 B. Tröc Ox. C. ÷íng trán (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 1. D. Hai ÷íng th¯ng y =1, trø iºm (0;1). -Líi gi£i. Gåi z =x +yi; (x;y2R) l sè phùc thäa m¢n b i to¡n. Khi â, iºm M(x;y) biºu di¹n cho sè phùc z trong m°t ph¯ng Oxy. i·u ki»n z6=i suy ra M(x;y)6= (0;1). Khi â, zi z +i = 1 , jzij jz +ij = 1 , jzij =jz +ij , jx +yiij =jx +yi +ij , È x 2 + (y 1) 2 = È x 2 + (y + 1) 2 , y = 0: V¼ iºm (0;1) = 2Ox n¶n tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z l tröc Ox. Chån ¡p ¡n B C¥u 32. Cho sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n z (2 + 3i)z = 1 9i. Sè phùc w = 5 iz câ iºm biºu di¹n l iºm n o trong c¡c iºm A;B;C;D ð h¼nh b¶n? x y O 2 2 1 1 2 1 2 A B C D A. iºm C. B. iºm A. C. iºm D. D. iºm B. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi vîi a;b2R. Theo · b i ta câ a +bi (2 + 3i)(abi) = 1 9i,a 3b + (3b 3a)i = 1 9i, ¨ a 3b = 1 3b 3a =9: Gi£i h» ta ÷ñc a = 2;b =1. Suy ra w = 5 i(2i) = 1 2i. Vªy iºm biºu di¹n sè phùc w l iºm A(1;2). Chån ¡p ¡n B C¥u 33. Cho sè phùcz =a +bi (a;b2R) câ ph¦n thüc d÷ìng v thäa m¢nz + 2 +ijzj(1 +i) = 0. T½nh P =a +b. A. P = 7. B. P =1. C. P =5. D. P = 3. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 285 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 °t z =a +bi (a;b2R; a> 0). Theo · ta câ a +bi + 2 +i p a 2 +b 2 (1 +i) = 0, ( a + 2 p a 2 +b 2 = 0 b + 1 p a 2 +b 2 = 0 , ( a + 2 =b + 1 b + 1 = p a 2 +b 2 , ¨ a =b 1> 0 (b + 1) 2 = (b 1) 2 +b 2 , 8 > < > : a =b 1 b> 1 b 2 4b = 0 ,b = 4;a = 3: Vªy P = 7. Chån ¡p ¡n A C¥u 34. Cho sè phùc z thäa m¢n (3 4i)z 4 jzj = 8. T½nhjzj. A.jzj = 2 p 2. B. jzj = 1 2 . C. jzj = p 2. D.jzj = 2. -Líi gi£i. Ta bi¸n êi gi£ thi¸t v· (3 4i)z = 8 + 4 jzj . L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc j(3 4i)zj = 8 + 4 jzj , j3 4ijjzj = 8 + 4 jzj , 5jzj = 8 + 4 jzj , 2 4 jzj = 2 (Thäa m¢n) jzj = 2 5 (Lo¤i): Chån ¡p ¡n D C¥u 35. Gåi z 1 ;z 2 l hai trong c¡c sè phùc thäa m¢n i·u ki»njz 5 3ij = 5 v jz 1 z 2 j = 8. Quÿ t½ch c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w =z 1 +z 2 l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y? A. (x 10) 2 + (y 6) 2 = 36. B. x 5 2 2 + y 3 2 2 = 9 4 . C. x 5 2 2 + y + 3 2 2 = 16 9 . D. (x + 10) 2 + (y 6) 2 = 16. -Líi gi£i. Gåi A;B l¦n l÷ñt l hai iºm biºu di¹n hai sè phùc z 1 ;z 2 , I l iºm biºu di¹n sè phùc 5 + 3i. Tø gi£ thi¸t ta câ IA = IB = 5 v AB = 8. Vªy AB l mët d¥y cung câ ë d i b¬ng 8 cõa ÷íng trán t¥m I, b¡n k½nh R = 5. Ta câ w =z 1 +z 2 ,w 10 6i = (z 1 5 3i) + (z 2 5 3i): L§y mæ-un hai v¸ ta ÷ñc jw 10 6ij =j(z 1 5 3i) + (z 2 5 3i)j =j # AI + # BIj: Ta gåi M l trung iºm cõa AB, khi â # AI + # BI = 2 # MI. Vªy jw 10 6ij = 2MI = 2 p IA 2 AM 2 = 2 p 5 2 4 2 = 6: Tø â suy ra quÿ t½ch iºm biºu di¹n w l ÷íng trán t¥m (10; 6) v b¡n k½nh b¬ng 6. A I M B Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 286 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 36. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n jzj 2 z + 2iz + 2(z +i) 1i = 0. T½nh t¿ sè a b . A. 5. B. 3 5 . C. 3 5 . D.5. -Líi gi£i. Ta câ jzj 2 z + 2iz + 2(z +i) 1i = 0, zz z + 2iz + 2(z +i)(1 +i) 2 ,z + 2iz +z +iz +i 1 = 0 , (z +z) + 3iz +i 1 = 0 , (2a 3b 1) + (3a + 1)i = 0 , ¨ 2a 3b = 1 3a + 1 = 0 , 8 > < > : a = 1 3 b = 5 9 : Vªy t¿ sè a b = 1 3 5 9 = 3 5 . Chån ¡p ¡n B C¥u 37. Cho hai sè phùc z 1 , z 2 thäa m¢njz 1 +z 2 j = 1,jz 1 z 2 j = 2 v z 1 z 2 = 4. M»nh · n o sau ¥y óng? A. 2 < > : jz 1 j 2 = 40 17 jz 2 j 2 = 5 34 )jz 1 j = 2 É 10 17 . Chån ¡p ¡n D C¥u 38. Cho sè phùc z câ mæun b¬ng 1 v câ ph¦n thüc b¬ng a. T½nh biºu thùc z 3 + 1 z 3 theo a. A. 8a 3 3a. B. 8a 3 6a. C. a 3 + 6a. D. a 3 + 3a. -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi, ta câjzj = 1, p a 2 +b 2 = 1,a 2 +b 2 = 1,b 2 = 1a 2 : Ta câ z 3 + 1 z 3 = z 3 + z 3 z 3 z 3 =z 3 +z 3 = (a +bi) 3 + (abi) 3 = 8a 3 6a: Chån ¡p ¡n B C¥u 39. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz + 2 + 3ij = 5 v z z 2 l sè thu¦n £o? A. 2. B. væ sè. C. 1. D. 0. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi; (a;b2R). i·u ki»n z6= 2. Ta câjz + 2 + 3ij = 5, (a + 2) 2 + (b + 3) 2 = 25 (1) V z z 2 = a +bi a 2 +bi = (a +bi)(a 2bi) (a 2) 2 +b 2 = a 2 2a +b 2 + 2bi (a 2) 2 +b 2 = a 2 2a +b 2 (a 2) 2 +b 2 + 2bi (a 2) 2 +b 2 l sè Th.s Nguy¹n Ch½n Em 287 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 thu¦n £o n¶n câ a 2 2a +b 2 = 0 (2) Tø (1) v (2) ta câ h» ¨ (a + 2) 2 + (b + 3) 2 = 25 a 2 2a +b 2 = 0 , ¨ a 2 +b 2 + 4a + 6b 12 = 0 a 2 +b 2 2a = 0 , ¨ a 2 +b 2 2a = 0 6a + 6b 12 = 0 , ¨ a 2 + (2a) 2 2a = 0 b = 2a , 8 > < > : a = 1 a = 2 b = 2a , 2 6 6 6 6 4 ¨ a = 1 b = 1 ¨ a = 2 b = 0: Vîi ¨ a = 1 b = 1 ta ÷ñc z = 1 +i thäa m¢n. Vîi ¨ a = 2 b = 0 ta ÷ñc z = 2 khæng thäa m¢n i·u ki»n, lo¤i. Vªy câ 1 sè phùc z thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Chån ¡p ¡n C C¥u 40. T½ch ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z thäa m¢n 2jzj 2 z +iz + zi 1i =1 + 2i l A. 1. B. 0. C. p 3. D. p 3. -Líi gi£i. Ta câ ph÷ìng tr¼nh 2z +iz + z 1i = i 1i 1 + 2i ,z 2 +i + 1 1i = 3 2 + 5 2 i,z 5 2 + 3 2 i = 5 2 + 3 2 i i,z =i: Vªy z =i, suy ra t½ch ph¦n thüc v ph¦n £o b¬ng 0 1 = 0. Chån ¡p ¡n B C¥u 41. Tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n z zi = 3 l ÷íng n o? A. Mët ÷íng th¯ng. B. Mët ÷íng parabol. C. Mët ÷íng trán. D. Mët ÷íng elip. -Líi gi£i. C¡ch 1: Gi£ sû z =a +bi trong â (a;b2R;z6=i). Tø gi£ thi¸t ta câ: jzj = 3jzij,a 2 +b 2 = 9a 2 + 9(b 1) 2 , 8a 2 + 8b 2 18b + 9 = 0,a 2 + b 9 8 = 9 64 : Do â tªp hñp biºu di¹n iºm z l mët ÷íng trán. C¡ch 2: Gåi A;B l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n cõa z, i trong m°t ph¯ng phùc. Khi â AO =jzj v AB =jzij. Tø · b i ta câ AO AB = 3. Nh÷ vªy, tªp hñp iºm A l ÷íng trán Apollonius cõa o¤n th¯ng OB vîi t¿ sè 3. Chån ¡p ¡n C C¥u 42. Cho hai sè phùc z 1 ;z 2 thäa m¢njz 1 z 2 j =jz 1 j =jz 2 j> 0. T½nh A = z 1 z 2 4 + z 2 z 1 4 . A. 1. B. 1i. C. 1. D. 1 +i. -Líi gi£i. C¡ch 1: Dojz 1 j =jz 2 j> 0 n¶n z 2 ;z 1 6= 0. Tø ¯ng thùcjz 1 z 2 j =jz 1 j =jz 2 j, ta câ z 1 z 2 1 = z 1 z 2 = 1. °t w = z 1 z 2 . B i to¡n trð th nh: Cho sè phùc w thäa m¢njw 1j =jwj = 1. T½nh A =w 4 + 1 w 4 . Trong m°t ph¯ng phùc, ta gåi A;B l¦n l÷ñt l c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc w, 1. Khi âjwj =OA; 1 =OB;jw 1j =AB. Suy ra4OAB l tam gi¡c ·u. Do â, w ch¿ câ thº l 1 2 +i p 3 2 ho°c 1 2 i p 3 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 288 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Khi â, ta luæn câ ww = 1, w +w = 1 v (ww) 2 =3. Ta câ A = w 2 1 w 2 2 + 2 = w 2 w 2 2 + 2 = (ww) 2 (w +w) 2 + 2 = 1 2 (3) + 2 =1: C¡ch 2: Gåi A;B l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n c¡c sè phùc z 1 ;z 2 trong m°t ph¯ng phùc. Khi âjz 1 j =OA,jz 2 j =OB v jz 1 z 2 j =AB. Suy ra4OAB l tam gi¡c ·u. Khæng m§t têng qu¡t ta câ thº gi£ sû z 1 = r (cos' +i sin') v z 2 = r (cos +i sin ) trong â r > 0 v ' = 3 . Ta câ z 1 z 2 = cos (' ) +i sin (' ) = cos 3 +i sin 3 : z 2 z 1 = cos ( ') +i sin ( ') = cos 3 +i sin 3 : Vªy A = z 1 z 2 4 + z 2 z 1 4 = cos 4 3 +i sin 4 3 + cos 4 3 +i sin 4 3 =1: Chån ¡p ¡n C C¥u 43. Trong m°t ph¯ng phùc, cho sè phùc z thäa m¢njz 1 +ij p 2. Kh¯ng ành n o sau ¥y óng? A.jz + 1j p 2. B. jz +ij p 2. C. j2z + 1ij 2. D.j2z 1 +ij 3 p 2. -Líi gi£i. Ta câ tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùcz thäajz 1 +ij p 2 l h¼nh trán (1) t¥mI(1;2) b¡n k½nhr = p 2. Tªphñpc¡ciºmbiºudi¹nsèphùcz thäaj2z 1 +ij 3 p 2l h¼nhtrán(2)cât¥mI 1 1 2 ; 1 2 ; r 1 = 3 p 2 2 . Nhªn th§y h¼nh trán (1) n¬m trong h¼nh trán (2). Chån ¡p ¡n D C¥u 44. Cho hai sè phùc z 1 v z 2 thäa m¢n z 1 ;z 2 6= 0 v z 2 2 2z 1 z 2 + 2z 2 1 = 0. T½nh z 2 z 1 . A. z 2 z 1 = p 3. B. z 2 z 1 = 2 p 2. C. z 2 z 1 = 1 2 p 2 . D. z 2 z 1 = p 2. -Líi gi£i. z 2 2 2z 1 z 2 + 2z 2 1 = 0, z 2 z 1 2 2 z 2 z 1 + 2 = 0, z 2 z 1 = 1i) z 2 z 1 = p 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 45. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj = 1 v z z + z z = 1? A. 6. B. 4. C. 10. D. 8. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi vîi x;y2R. Ta câjzj = 1,x 2 +y 2 = 1. z z + z z = 1, z 2 +z 2 jzjjzj = 1, z 2 +z 2 = 1,j2(x 2 y 2 )j = 1,x 2 y 2 = 1 2 . Th.s Nguy¹n Ch½n Em 289 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ 8 < : x 2 +y 2 = 1 x 2 y 2 = 1 2 , 2 6 4 x 2 = 3 4 ;y 2 = 1 2 x 2 = 1 4 ;y 2 = 3 4 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x = p 3 2 ;y = 1 2 x = p 3 2 ;y = 1 2 x = p 3 2 ;y = 1 2 x = p 3 2 ;y = 1 2 x = 1 2 ;y = p 3 2 x = 1 2 ;y = p 3 2 x = 1 2 ;y = p 3 2 x = 1 2 ;y = p 3 2 : Vªy câ 8 sè phùc thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Chån ¡p ¡n D C¥u 46. Cho sè phùc z, bi¸t r¬ng c¡c iºm biºu di¹n h¼nh håc cõa c¡c sè phùc z;iz v z +iz t¤o th nh mët tam gi¡c câ di»n t½ch b¬ng 18. T½nh mæ-un cõa sè phùc z. A. 2 p 3. B. 3 p 2. C. 6. D. 9. -Líi gi£i. Gi£ sûz =a +bi, vîia;b l sè thüc. Gåi M;N;P l¦n l÷ñt l iºm biºu di¹n sè phùc z;iz v z +iz. Khi â M(a;b);N(b;a);P (ab;a +b). Suy ra MN = p 2 (a 2 +b 2 );NP =PM = p a 2 +b 2 . Suy ra tam gi¡c MNP vuæng c¥n t¤i P. Ta câ S MNP = 18, 1 2 NPPM = 18,a 2 +b 2 = 36,jzj = p a 2 +b 2 = 6: Chån ¡p ¡n C C¥u 47. Cho sè phùc z =a +bi (vîi a;b l sè nguy¶n) thäa m¢n (1 3i)z l sè thüc v jz 2 + 5ij = 1. Khi â a +b b¬ng A. 9. B. 8. C. 7. D. 6. -Líi gi£i. Ta câ (1 3i)z = (a + 3b) + (b 3a)i, z 2 + 5i = (a 2) + (5b)i. Theo b i ra ta câ h» ph÷ìng tr¼nh ¨ b 3a = 0 (a 2) 2 + (5b) 2 = 1 , ¨ b = 3a 5a 2 17a + 14 = 0 , 8 > > > < > > > : b = 3a 2 4 a = 7 5 (lo¤i) a = 2 ) ¨ a = 2 b = 6: Vªy a +b = 8. Chån ¡p ¡n B C¥u 48. Trong m°t ph¯ng vîi h» tröc tåa ë Oxy, cho sè phùc z thäa m¢njz 1 + 2ij = 3. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cho sè phùc w =z(1 +i) l ÷íng trán n o d÷îi ¥y? A. T¥m I(3;1), R = 3 p 2. B. T¥m I(3; 1), R = 3. C. T¥m I(3; 1), R = 3 p 2. D. T¥m I(3;1), R = 3. -Líi gi£i. Ta câ w =z(1 +i),z = w 1 +i . Thay z v o i·u ki»njz 1 + 2ij = 3, ta ÷ñc w 1 +i 1 + 2i = 3 , 1 1 +i jw 3 +ij = 3 , jw 3 +ij = 3 p 2: Gi£ sû sè phùc w =x +yi; x;y2R: Ta ÷ñc (x 3) 2 + (y + 1) 2 = (3 p 2) 2 : Th.s Nguy¹n Ch½n Em 290 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Vªy tªp hñp cõa sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(3;1), b¡n k½nh R = 3 p 2. Chån ¡p ¡n A C¥u 49. Cho i + 2i 2 + 3i 3 + + 2018i 2018 =a +bi vîi a, b2R v i l ìn và £o. M»nh · n o sau ¥y óng? A. a =1010. B. a =1009. C. a = 1010. D. a = 1009. -Líi gi£i. X²t h m sè f(x) = 1 +x +x 2 +x 3 + +x 2018 . f 0 (x) = 1 + 2x + 3x 2 + + 2018x 2017 . )xf 0 (x) =x + 2x 2 + 3x 3 + + 2018x 2018 (1) M°t kh¡c: f(x) = 1 +x +x 2 +x 3 + +x 2018 = x 2019 1 x 1 . f 0 (x) = x 2019 1 x 1 0 = 2019x 2018 (x 1) (x 2019 1) (x 1) 2 . )xf 0 (x) =x 2019x 2018 (x 1) (x 2019 1) (x 1) 2 (2) Tø (1) v (2))x + 2x 2 + 3x 3 + + 2018x 2018 =x 2019x 2018 (x 1) (x 2019 1) (x 1) 2 (3) Thay x =i v o (3) ta ÷ñc i + 2i 2 + 3i 3 + + 2018i 2018 =i: 2019i 2018 (i 1) (i 2019 1) (i 1) 2 =1010 + 1009i: Vªy a =1010. Chån ¡p ¡n A C¥u 50. Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, cho h¼nh trán (C): x 2 +y 2 = 8 v parabol (P ): y = x 2 2 chia h¼nh trán th nh hai ph¦n. Gåi S 1 l di»n t½ch ph¦n nhä, S 2 l di»n t½ch ph¦n lîn. T½nh t¿ sè S 1 S 2 ? A. S 1 S 2 = 3 + 2 9 2 . B. S 1 S 2 = 3 + 2 9 + 2 . C. S 1 S 2 = 3 2 9 + 2 . D. S 1 S 2 = 3 + 1 9 1 . -Líi gi£i. X²t h» ph÷ìng tr¼nh 8 < : y = x 2 2 x 2 +y 2 = 8 , ¨ y = 2 x =2 . Ph÷ìng tr¼nh nûa ÷íng trán ph½a tr¶n Ox l y = p 8x 2 . Khi â S 1 = 2 Z 2 p 8x 2 x 2 2 dx. Trong â 2 Z 2 p 8x 2 dx = 4 Z 4 È 8(1 sin 2 t) 2 p 2 cost dt = 8 4 Z 4 cos 2 t dt = 4 4 Z 4 (1 + cos 2t) dt = 2 + 4: O x y 2 2 y = x 2 2 Khi â S 1 = 2 + 4 8 3 = 2 + 4 3 . H¼nh trán câ b¡n k½nh R = p 8 n¶n câ di»n t½ch l 8. Do â S 2 = 8 2 + 4 3 = 6 4 3 . Vªy S 1 S 2 = 3 + 2 9 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 51. T¼m sè phùc z bi¸t z = 3 + 4i i 2019 A. z = 4 3i. B. z =4 + 3i. C. z = 3 4i. D. z = 3 + 4i. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 291 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ: i 2019 =ii 2018 =i i 2 1009 =i (1) 1009 =i. KHi â: z = 3 + 4i i 2019 = 3 + 4i i =4 + 3i. Chån ¡p ¡n B C¥u 52. Cho sè phùcz thäa m¢njz 2ij =jz + 2j. T½nh gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùcP =jz + 2ij +jz 5 + 9ij. A. p 70. B. 4 p 5. C. p 74. D. 3 p 10. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi,(x;y2R) jz 2ij =jz + 2j , j(x +yi) 2ij =jx +yi + 2j , x 2 + (y 2) 2 = (x + 2) 2 +y 2 , x +y = 0: P =jz + 2ij +jz 5 + 9ij =jz (2i)j +jz (5 9i)j. X²t A(0;2);B(5;9). B i to¡n trð th nh cho iºm M(x;y) thuëc ÷íng th¯ng x +y = 0. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa têng MA +MB. Gåi A 0 l iºm èi xùng cõa A qua ÷íng th¯ng x + y = 0 ) A 0 (2; 0)) # A 0 B = (3;9))A 0 B = 3 p 10. MA +MB =MA 0 +MBA 0 B. V¥y gi¡ trà nhä nh§t cõa P b¬ng 3 p 10. y x O 1 2 3 4 1 2 3 9 A A 0 B M Chån ¡p ¡n D C¥u 53. Câ t§t c£ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz + 3ij = p 13 v z z + 2 l sè thu¦n £o? A. 0. B. 1. C. 2. D. Væ sè. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi vîi a, b2R. jz + 3ij = p 13,a 2 + (b + 3) 2 = 13 (1). w = z z + 2 = a +bi a + 2 +bi = (a +bi)(a + 2bi) (a + 2) 2 +b 2 = a 2 + 2a +b 2 + 2bi (a + 2) 2 +b 2 (z6=2). w l sè thu¦n £o,a 2 + 2a +b 2 = 0 (2). L§y (1) (2) ta ÷ñc 6a 2b = 4,a = 3b 2. Thay a = 3b 2 v o (1) ta ÷ñc 10b 2 6b = 0, 2 4 b = 0 b = 3 5 : b = 0)a =2)z =2 (lo¤i). b = 3 5 )a = 1 5 )z = 1 5 + 3 5 i (nhªn). Vªy câ 1 sè phùc thäa y¶u c¦u b i to¡n. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 292 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 54. Cho sè phùc z =a +bi (a;b2R) thäa m¢n z 1 zi = 1 v z 3i z +i = 1. T½nh P =a +b. A. P = 7. B. P =1. C. P = 1. D. P = 2. -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t ta câ ¨ jz 1j =jzij jz 3ij =jz +ij , ¨ (a 1) 2 +b 2 =a 2 + (b 1) 2 a 2 + (b 3) 2 =a 2 + (b + 1) 2 , ¨ a =b b = 1 ,a =b = 1: Vªy P = 1 + 1 = 2. Chån ¡p ¡n D C¥u 55. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùcz =x +yi vîix;y2R thäa m¢n (12 5i)z + 17 + 7i z 2i = 13 câ ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y? A. (d): 6x + 4y 3 = 0. B. (d): x + 2y 1 = 0. C. (C): x 2 +y 2 2x + 2y + 1 = 0. D. (C): x 2 +y 2 4x + 2y + 4 = 0. -Líi gi£i. (12 5i)z + 17 + 7i z 2i = 13 , j12 5ijjz + 1 +ij = 13jz 2ij , jz + 1 +ij =jz 2ij , 6x + 4y 3 = 0: Chån ¡p ¡n A C¥u 56. Cho sè phùc z =a +bi, (a;b2R) thäa m¢n jzj 2 z + 2iz + 2(z +i) 1i = 0. Khi â a b b¬ng A. 5. B. 3 5 . C. 3 5 . D.5. -Líi gi£i. Thayjzj 2 =zz v o biºu thùc ð · b i ta câ zz z + 2iz + 2(z +i) 1i = 0 , z + 2iz + 2(z +i)(1 +i) (1i)(1 +i) = 0 , z + 2iz + (1 +i)z +i 1 = 0 , z +z + 3iz +i 1 = 0 , 2a + 3i(a +bi) +i 1 = 0 , 2a 3b 1 +i(3a + 1) = 0 , ¨ 2a 3b 1 = 0 3a + 1 = 0 , 8 > < > : a = 1 3 b = 5 9 : Vªy a b = 1 3 5 9 = 3 5 . Chån ¡p ¡n C C¥u 57. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõajzj bi¸t r¬ng z thäa m¢n i·u ki»n 2 3i 3 2i z + 1 = 1. A. 2. B. 3. C. p 2. D. 1. -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 293 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Ta câ 2 3i 3 2i z + 1 = 1,jiz + 1j = 1,jij z 1 i = 1 ,jz +ij = 1. Gåi z = x +yi (vîi x;y2 R)) M(x;y) n¬m tr¶n ÷íng trán t¥m I(0;1), b¡n k½nh b¬ng 1) gi¡ trà lîn nh§t cõajzj l 2. x y 0 I 2 1 1 1 1 Chån ¡p ¡n A C¥u 58. Cho sè phùc z thäa m¢njzj +z + 5i = 25. Khi â mæ-un z b¬ng A. 12. B. 10. C. 11. D. 13. -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). jzj +z + 5i = 25, p x 2 +y 2 +x +yi + 5i = 25 , ¨p x 2 +y 2 +x = 25 y + 5 = 0 , ¨p x 2 + 25 = 25x y =5 , 8 > < > : x 2 + 25 = (25x) 2 x 25 y =5 , ¨ x = 12 y =5 . Vªy z = 12 5i)jzj = p 12 2 + (5) 2 = 13. Chån ¡p ¡n D C¥u 59. X²t sè phùcz thäa m¢njz + 1 3ij = 5. Khi â, tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán câ A. t¥m I (1;3), b¡n k½nh R = 25. B. t¥m I (1; 3), b¡n k½nh R = 25. C. t¥m I (1; 3), b¡n k½nh R = 5. D. t¥m I (1;3), b¡n k½nh R = 5. -Líi gi£i. Gåi M (x; y) l iºm biºu di¹n sè phùc z =x +yi (x; y2R). jz + 1 3ij = 5,j(x + 1) + (y 3)ij = 5, (x + 1) 2 + (y 3) 2 = 5 2 . Vªy tªp hìp iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán câ t¥m I (1; 3), b¡n k½nh R = 5. Chån ¡p ¡n C C¥u 60. Sè phùc z = (1 + i) + (1 + i) 2 + + (1 + i) 2018 câ ph¦n £o b¬ng A. 2 1009 1. B. 2 1009 + 1. C. 1 2 1009 . D.2 1009 1. -Líi gi£i. Ta câ z = (1 +i) + (1 +i) 2 + + (1 +i) 2018 = (1 +i) (1 +i) 2018 1 (1 +i) 1 = (1 +i) 2019 1i i : (1 +i) 2 = 1 + 2i +i 2 = 2i) (1 +i) 4 = (2i) 2 =2 2 ) (1 +i) 2019 = (1 +i) 4504+3 = (1 +i) 4504 (1 +i) 2 (1 +i) = 2 1009 i (1 +i): ) z = 2 1009 (1 +i) 1 i 1 = 2 1009 (1 +i) +i 1 = (2 1009 1) + (2 1009 + 1)i: Vªy ph¦n £o cõa z b¬ng 2 1009 + 1. Chån ¡p ¡n B C¥u 61. Cho sè phùcz =a +bi vîia;b2R thäa m¢njzj(2 +i) =z 1 +i(2z + 3). T½nhS = 3a + 5b. A. S =11. B. S =5. C. S =1. D. S = 1. -Líi gi£i. ta câ jzj(2 +i) =z 1 +i(2z + 3), p a 2 +b 2 (2 +i) =a +bi 1 + (2a + 2bi + 3)i , 2 p a 2 +b 2 + p a 2 +b 2 i =a 2b 1 + (2a +b + 3)i: Tø â suy ra ( a 2b 1 = 2 p a 2 +b 2 2a +b + 3 = p a 2 +b 2 : Gi£i h» ta ÷ñc a = 3 v b =4, tø â suy ra S = 3a + 5b =11. Chån ¡p ¡n A Th.s Nguy¹n Ch½n Em 294 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 62. Cho sè phùcz tho£ m¢n zjzj = p 2. Bi¸t r¬ng ph¦n thüc cõa z b¬nga. T½nhjzj theoa. A.jzj = 1 a 1 . B. jzj = a p a 2 + 1 2 . C. jzj = a + p a 2 + 1 2 . D.jzj = a + p a 2 + 4 2 . -Líi gi£i. Ta th§y zjzj = p 2 , zjzj 2 = 2 , (zjzj) zjzj = 2 , (zjzj) (zjzj) = 2 , jzj 2 ajzj 1 = 0 ) jzj = a + p a 2 + 4 2 : Chån ¡p ¡n D C¥u 63. Cho sè phùc z thäa m¢n z +i z 1 = 2i: T¼m sè phùc w = 1 +z +z 2 : A. w = 5 + 2i. B. w = 5 2i. C. w = 9 2 + 2i. D. w = 9 2 2i. -Líi gi£i. i·u ki»n z6= 1: Ta câ z +i z 1 = 2i,z +i = (2i)(z 1): (1) Gåi z =a +bi vîi a;b2R: Khi â (1),abi +i = (2i)(a +bi 1) ,abi +i = 2a + 2bi 2aibi 2 +i , 2ab + (a 3b)i = 0 , ¨ 2ab = 0 a 3b = 0 , 8 > < > : a = 3 2 b = 1 2 )z = 3 2 + 1 2 i: Suy ra w = 1 +z +z 2 = 1 + 3 2 + 1 2 i + 3 2 + 1 2 i 2 = 9 2 + 2i: Chån ¡p ¡n C C¥u 64. Cho sè phùcz thäa m¢njz 2j = 2. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w = 1 2 (1 +i)z tr¶n m°t ph¯ng tåa ë (Oxy) l mët ÷íng cong câ ë d i b¬ng A. 4. B. 2 p 2. C. 2 p 2. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ w = 1 2 (1 +i)z ) z = 2w 1 +i . Ta câjz 2j = 2 , 2w 1 +i 2 = 2 , 2w 2(1 +i) 1 +i = 2 , j2w 2(1 +i)j j1 +ij = 2, j2jjw (1 +i)j j1 +ij = 2,jw 1ij = p 2. Tªp hñp biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(1; 1), b¡n k½nh R = p 2. Chu vi ÷íng trán P = 2R = 2 p 2. C¡ch 2: Ta câ w = 1 2 (1 +i)(z 2) + (1 +i) , w 1i = 1 2 (1 +i)(z 2) ) jw 1ij = 1 2 j1 +ijjz 2j = p 2: Th.s Nguy¹n Ch½n Em 295 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 Tªp hñp biºu di¹n sè phùc w l ÷íng trán t¥m I(1; 1), b¡n k½nh R = p 2. Chu vi ÷íng trán P = 2R = 2 p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 65. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, t¼m tªp hñp iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢n zi z +i = 1: A. Hai ÷íng th¯ng y =1; trø iºm (0;1). B. H¼nh chú nhªt giîi h¤n bði c¡c ÷íng th¯ng x =1;y =1. C. ÷íng trán (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 1. D. Tröc Ox. -Líi gi£i. °t z =a +bi; (a;b2R))z +i6= 0,a + (b + 1)i6= 0,a 2 + (b + 1) 2 6= 0: Ta câ zi z +i = jzij jz +ij n¶n zi z +i = 1, jzij jz +ij = 1,jzij =jz +ij ,ja + (b 1)ij =ja + (b + 1)ij , È a 2 + (b 1) 2 = È a 2 + (b + 1) 2 ,b = 0 (thäa m¢n i·u ki»na 2 + (b + 1) 2 6= 0): Vªy tªp hñp iºm biºu di¹n cõa sè phùc z l ÷íng th¯ng y = 0, ch½nh l tröc Ox. Chån ¡p ¡n D C¥u 66. Cho sè phùc z câ mæun b¬ng 2 p 2. Bi¸t r¬ng tªp hñp iºm trong m°t ph¯ng tåa ë biºu di¹n c¡c sè phùc w = (1i)(z + 1)i l ÷íng trán câ t¥m I(a;b), b¡n k½nh R. Têng a +b +R b¬ng A. 5. B. 7. C. 1. D. 3. -Líi gi£i. Ta câ w = (1i)(z + 1)i,w +i = (1i)z + 1i,w (1 2i) = (1i)z. Do â jw (1 2i)j =j(1i)zj =j1ijjzj = È 1 2 + (1) 2 2 p 2 = 4: Vªytªphñpiºmbiºudi¹nc¡csèphùcw l ÷íngtráncât¥mI(1;2),b¡nk½nhR = 4.Doâa+b+R = 3. Chån ¡p ¡n D C¥u 67. Cho sè phùc z thãa m¢njz 1j = 5; 1 z + 1 z = 5 17 v z câ ph¦n £o d÷ìng. T¼m têng ph¦n thüc v ph¦n £o cõa z l A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. -Líi gi£i. Gåi z =a +bi; (a;b2R;b> 0). Tø gi£ thi¸t ta câ jz 1j = 5,ja 1 +bij = 5, (a 1) 2 +b 2 = 25,a 2 +b 2 2a = 24, 5a 2 + 5b 2 10a = 120 (1) 1 z + 1 z = 5 17 , 17 (z +z) = 5zz, 17(2a) = 5(a 2 +b 2 ), 5a 2 + 5b 2 34a = 0 (2) Tø (1) v (2) suy ra 24a = 120,a = 5. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc 125 + 5b 2 170 = 0,b 2 = 9, b = 3 b =3: V¼ z câ ph¦n £o d÷ìng n¶n b = 3. Vªy a +b = 8. Chån ¡p ¡n D C¥u 68. Choz 1 ,z 2 l hai sè phùc li¶n hñp cõa nhau çng thíi thäa m¢n z 1 z 2 2 2R v jz 1 z 2 j = 2 p 3. T½nh mæ-un cõa sè phùc z 1 . A.jz 1 j = 3. B. jz 1 j = p 5 2 . C. jz 1 j = 2. D.jz 1 j = p 5. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 296 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Gåi z 1 =a +bi trong â a, b2R. Do z 1 , z 2 l hai sè phùc li¶n hñp cõa nhau n¶n z 2 =abi. Ta câjz 1 z 2 j = 2 p 3,j2bij = 2 p 3,b 2 = 3. L¤i câ z 1 z 2 2 = a +bi (abi) 2 = (a +bi) 3 (abi) 2 (a +bi) 2 = a 3 3ab 2 (a 2 +b 2 ) 2 + b(3a 2 b 2 ) (a 2 +b 2 ) 2 i do z 1 z 2 2 2R n¶n ¨ b(3a 2 b 2 ) = 0 a6= 0; b6= 0 , 8 > < > : b = 0 b 2 = 3a 2 a6= 0; b6= 0 m theo tr¶n ta câ b 2 = 3)a 2 = 1. Khi âjz 1 j = p a 2 +b 2 = 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 69. Bi¸t sè phùcz thäa m¢n çng thíi hai i·u ki»njz34ij = p 5 v biºu thùcM =jz+2j 2 jzij 2 ¤t gi¡ trà lîn nh§t. T½nh mæ-un cõa sè phùc z +i. A.jz +ij = p 61. B. jz +ij = 5 p 2. C. jz +ij = 3 p 5. D.jz +ij = 2 p 41. -Líi gi£i. °t z =x +yi (x;y2R). Tªp hñp iºm P biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán (C) câ t¥m (3; 4), b¡n k½nh R = p 5. Theo gi£ thi¸t ta câ M =jz + 2j 2 jzij 2 = (x + 2) 2 +y 2 [x 2 + (y 1) 2 ] = 4x + 2y + 3) 4x + 2y + 3M = 0(d) C¦n t¼m i·u ki»n cõa M º ÷íng th¯ng (d) v (C) câ iºm chung, tùc l d(I; (P ))6R, j4 3 + 2 4 + 3Mj p 4 2 + 2 2 6 p 5,j23Mj6 10)106 23M6 10) 136M6 33. M ¤t max khi ¨ 4x + 2y 30 = 0 (x 3) 2 + (y 4) 2 = 5 )x = 5;y =5)jz +ij =j5 5i +ij = p 61. Chån ¡p ¡n A C¥u 70. Cho sè phùc z thäa m¢njzj = p 2. Bi¸t iºm A trong h¼nh d÷îi ¥y biºu di¹n sè phùc z. Häi iºm n o trong h¼nh b¶n biºu di¹n sè phùc w = 1 iz . A. iºm M. B. iºm N. C. iºm P. D. iºm Q. x y O A M Q N P -Líi gi£i. Gåi z =x +yi (x;y2R). Düa v o iºm A ta câ x>y> 0. jwj = 1 iz = 1 1jzj = 1 p 2 0. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 297 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 (1),a 2 = 2a, 2 6 4 a = 0)b 2 = 0)b = 0 a = 2)b 2 = 4) b = 2 b =2: () Tr÷íng hñp 2: a6 0. (1),a 2 =2a, 2 6 4 a = 0)b 2 = 0)b = 0 a =2)b 2 = 4) b = 2 b =2: () Tø () v ()) 2 6 6 6 6 6 6 4 z = 0 z = 2 + 2i z = 2 2i z =2 + 2i z =2 2i . Vªy câ 5 sè phùc z thäa m¢n i·u ki»n · b i. Chån ¡p ¡n D 6 ĐÁPÁN 1. B 2. D 3. B 4. D 5. D 6. A 7. A 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C 13. D 14. C 15. B 16. D 17. C 18. D 19. C 20. B 21. A 22. C 23. D 24. A 25. A 26. D 27. A 28. D 29. B 30. C 31. B 32. B 33. A 34. D 35. A 36. B 37. D 38. B 39. C 40. B 41. C 42. C 43. D 44. D 45. D 46. C 47. B 48. A 49. A 50. A 51. B 52. D 53. B 54. D 55. A 56. C 57. A 58. D 59. C 60. B 61. A 62. D 63. C 64. C 65. D 66. D 67. D 68. C 69. A 70. C 71. D 7 VẬNDỤNGCAO C¥u 1. Cho sè phùcz = 1+2i+3i 2 +4i 3 ++2018i 2017 câ ph¦n thüc l a v ph¦n £o l b. T½nhba. A. 1. B. 1. C. 1010. D.2017. -Líi gi£i. Vîi x6= 1 ta câ 1 +x +x 2 + +x 2018 = x 2019 1 x 1 , suy ra 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + + 2018x 2017 = 2018x 2019 2019x 2018 + 1 (x 1) 2 : Do â z = 1 + 2i + 3i 2 + 4i 3 + + 2018i 2017 = 2018i 2019 2019i 2018 + 1 (x 1) 2 = 1009 + 1010i. Vªy ba = 1. Chån ¡p ¡n A C¥u 2. Cho z 1 , z 2 l hai sè phùc thäa m¢n i·u ki»njz 5 3ij = 5 çng thíijz 1 z 2 j = 8. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc w =z 1 +z 2 trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh A. (x 10) 2 + (y 6) 2 = 16. B. x 5 2 2 + y 3 2 2 = 9. C. (x 10) 2 + (y 6) 2 = 36. D. x 5 2 2 + y 3 2 2 = 9 4 . -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 298 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 °t z =x +yi, (x;y2R). Thay v ojz 5 3ij = 5 ta ÷ñc jx +yi 5 3ij = 5,j(x 5) + (y 3)ij = 5, (x 5) 2 + (y 3) 2 = 25: Gi£ sû z 1 =x 1 +y 1 i câ iºm biºu di¹n l A v z 2 =x 2 +y 2 i câ iºm biºu di¹n l B suy ra A v B thuëc ÷íng trán (C) t¥m I(5; 3) b¡n k½nh R = 5. I A B C M M jz 1 z 2 j = 8,j(x 1 +y 1 i) (x 2 +y 2 i)j = 8 , j(x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 )ij = 8, È (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = 8 , AB = 8: Gåi M l trung iºm cõa AB v C l iºm èi xùng cõa I qua M. V¼ IACB l h¼nh b¼nh h nh n¶n # IA + # IB = # IC, # IA + # IB = # IC =IC. ( # IA = (x 1 5;y 1 3) # IB = (x 2 5;y 2 3) ) # IA + # IB = (x 1 +x 2 10;y 1 +y 2 6). Do â # IA + # IB = p (x 1 +x 2 10) 2 + (y 1 +y 2 6) 2 , IC = 2IM = 2 p IA 2 AM 2 = 2 p 5 2 4 2 = 6. Suy ra p (x 1 +x 2 10) 2 + (y 1 +y 2 6) 2 = 6, (x 1 +x 2 10) 2 + (y 1 +y 2 6) 2 = 36. Vªy iºm biºu di¹n sè phùc w =z 1 +z 2 thuëc ÷íng trán (x 10) 2 + (y 6) 2 = 36. Chån ¡p ¡n C C¥u 3. Câ bao nhi¶u sè phùc z tho£ m¢njzj (z 4i) + 2i = (5i)z? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. -Líi gi£i. Ta câ jzj (z 4i) + 2i = (5i)z,z (jzj 5 +i) = 4jzj + (jzj 2)i. L§y mæun 2 v¸ ta ÷ñc jzj È (jzj 5) 2 + 1 = È (4jzj) 2 + (jzj 2) 2 . °t t =jzj;t> 0 ta ÷ñc t p (t 5) 2 + 1 = p (4t) 2 + (t 2) 2 , (t 1)(t 3 9t 2 + 4) = 0. Ph÷ìng tr¼nh câ 3 nghi»m ph¥n bi»t t> 0 vªy câ 3 sè phùc z tho£ m¢n. Chån ¡p ¡n B C¥u 4. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njzj (z 5i) + 2i = (6i)z? A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. -Líi gi£i. Ta câjzj(z 5i) + 2i = (6i)z, (jzj 6 +i)z = 5jzj + (jzj 2)i (1). L§y mæ-un hai v¸ cõa (1) ta câ p (jzj 6) 2 + 1jzj = p 25jzj 2 + (jzj 2) 2 . B¼nh ph÷ìng hai v¸ v rót gån ta ÷ñc jzj 4 12jzj 3 + 11jzj 2 + 4jzj 4 = 0, (jzj 1)(jzj 3 11jzj 2 + 4) = 0 , jzj = 1 jzj 3 11jzj 2 + 4 = 0 , 2 6 6 6 4 jzj = 1 jzj 10;967 jzj 0;62 jzj0;587: M jzj (z 5i) + 2i = (6i)z,z = (5 +i)jzj + 2i jzj 6 +i . Dojzj 0 n¶n ta câ ba sè phùc thäa m¢n · b i. Chån ¡p ¡n B Th.s Nguy¹n Ch½n Em 299 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 C¥u 5. Cho sè phùc z = 2 + 6i 3i m (m nguy¶n d÷ìng). Câ bao nhi¶u gi¡ trà m2 [1; 50] º z l sè thu¦n £o? A. 25. B. 24. C. 26. D. 50. -Líi gi£i. 2 + 6i 3i = (2 + 6i)(3 +i) 10 = 2i, (2i) m l sè thu¦n £o khi m l sè l´. Sè sè nguy¶n d÷ìng l´2 [1; 50] l 25. Chån ¡p ¡n A C¥u 6. Cho sè phùc z thäa m¢njz 2 + 2z + 2j =jz + 1ij. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõajzj. A. p 2 + 1. B. 2. C. p 2 + 2. D. p 2 1. -Líi gi£i. Ta câ z 2 + 2z + 2 = (z + 1) 2 + 1 = (z + 1) 2 i 2 = (z + 1 +i)(z + 1i). Do â jz 2 + 2z + 2j =jz + 1ij, z 2 + 2z + 2 z + 1i = 1 , (z + 1 +i)(z + 1i) z + 1i = 1 ,jz + 1 +ij = 1: Suy ra tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán t¥m I(1;1), b¡n k½nh r = 1. Vªy gi¡ trà lîn nh§t cõajzj l OI +r= p (1) 2 + (1) 2 + 1 = p 2 + 1. Chån ¡p ¡n A C¥u 7. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz 3ij = 5 v z z 4 l sè thu¦n £o? A. Væ sè. B. 2. C. 1. D. 0. -Líi gi£i. i·u ki»n x¡c ành z6= 4. °t z =a +bi vîi a;b2R. Theo gi£ thi¸t ta câ jz 3ij = 5)ja + (b 3)j = 5,a 2 + (b 3) 2 = 25: L¤i câ: z z 4 = a +bi (a 4) +bi = (a +bi)(a 4bi) (a 4) 2 +b 2 = a 2 4a +b 2 (a 4) 2 +b 2 + 4b (a 4) 2 +b 2 i. Theo gi£ thi¸t, suy ra a 2 4a +b 2 = 0. Ta câ h» ¨ a 2 + (b 3) 2 = 25 a 2 4a +b 2 = 0: , 8 < : a = 4 + 3 2 b 13b 2 + 24b = 0: Gi£i h» ta ÷ñc a = 4;b = 0 v a = 16 13 ;b = 24 13 . V¼ z6= 4 l sè thu¦n £o n¶n a = 16 13 ;b = 24 13 . Vªy z = 16 13 24 13 i. Chån ¡p ¡n C C¥u 8. Cho z v w l hai sè phùc li¶n hñp thäa m¢n z w 2 l sè thüc v jzwj = 2 p 3. M»nh · n o sau ¥y l óng? A. 3 4. -Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t ta câ z =w;w =z;jzj =jwj. Tøjzwj = 2 p 3, (zw) (zw) = 12,jzj 2 +jwj 2 zwzw = 12, 2jzj 2 z 2 w 2 = 12 (). Do z w 2 l sè thüc n¶n z w 2 = z w 2 = z w 2 . Tø â suy ra z w 2 = w z 2 hay z 3 =w 3 , (zw) z 2 +zw +w 2 = 0. Vªy z 2 +w 2 =zw =jzj 2 . Thay v o () ta ÷ñcjzj 2 = 4,jzj = 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 9. Cho z v w l hai sè phùc li¶n hñp thäa m¢n z w 2 l sè thüc v jzwj = 2 p 3. M»nh · n o sau ¥y l óng? Th.s Nguy¹n Ch½n Em 300 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 A.jzj< 1. B. 3 4. D. 1 0) thäazz 12jzj + (zz) = 13 10i. T½nhS =a +b: A. S =17. B. S = 5. C. S = 7. D. S = 17. -Líi gi£i. Tø zz 12jzj + (zz) = 13 10i l§y li¶n hñp hai v¸ ta ÷ñc zz 12jzj + (zz) = 13 + 10i (). Khi â 2jzj 2 24jzj 26 = 0)jzj = 13. Tø (*) ta câ zz =10i)b =5)a = 12)S = 7. Chån ¡p ¡n C C¥u 12. T¼m ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t z thäa m¢njz 2ij =jz + 2 + 4ij v zi z +i l sè thu¦n £o. A. 5 12 . B. 5 2 . C. 3 17 . D. 3 2 . -Líi gi£i. Gi£ sû z =a +bi)z =abi vîi a;b2R. Ta câjz 2ij =jz + 2 + 4ij,a 2 + (b 2) 2 = (a + 2) 2 + (4b) 2 ,ba = 4,b =a + 4. çng thíi zi z +i = a + (b 1)i a + (1b)i = [a + (b 1)i] 2 a 2 + (b 1) 2 = a 2 (b 1) 2 + 2a (b 1) 2 a 2 + (b 1) 2 i Khi â sè phùc zi z +i l sè thu¦n £o khi a 2 (b 1) 2 = 0, thay b =a + 4 v o ta ÷ñc a 2 (a + 3) 2 = 0,a = 3 2 )b = 5 2 . Chån ¡p ¡n B C¥u 13. Câ bao nhi¶u sè phùc z thäa m¢njz +zj + 2jzzj = 8 v jzj = 2? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 301 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi, ta ÷ñc ¨ jxj + 2jyj = 4 x 2 +y 2 = 4 , ¨ jxj = 4 2jyj (4 2jyj) 2 +y 2 = 4 , ¨ jxj = 4 2jyj 5jyj 2 16jyj + 12 = 0 , 8 < : jxj = 4 2jyj jyj = 2_jyj = 6 5 , ¨ jxj = 0 jyj = 2 _ 8 > < > : jxj = 8 5 jyj = 6 5 : O x y 4 2 4 2 Vªy câ 6 sè phùc thäa m¢n. Chån ¡p ¡n C C¥u 14. Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n sè phùc z thäa m¢njz 2j = 6jz + 2j l elip câ ph÷ìng tr¼nh x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Têng a 2 +b 2 b¬ng A. 5. B. 14. C. 41. D. 13. -Líi gi£i. Gi£ sû z =x +yi, x, y2R. iºm M(x;y) l iºm biºu di¹n sè phùc z. °t F 1 (2; 0) v F 2 (2; 0). Ta câ F 1 F 2 = 4 v jz 2j = 6jz + 2j,jz 2j +jz + 2j = 6,MF 1 +MF 2 = 6: Nh÷ vªy, tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z l elip câ ë d i tröc lîn 2a = 6, ti¶u cü 2c = 4. Tø â suy ra a = 3, c = 2 n¶n b = p 3 2 2 2 = p 5. Vªy a 2 +b 2 = 9 + 5 = 14. Chån ¡p ¡n B C¥u 15. Cho sè phùc z. Gåi A, B l¦n l÷ñt l c¡c iºm trong m°t ph¯ng Oxy biºu di¹n c¡c sè phùc z v (1 +i)z. Bi¸t di»n t½ch OAB b¬ng 10, t½nhjzj. A. 2 p 5. B. 4. C. 2 p 2. D. 5. -Líi gi£i. Ph¥n t½ch: ¢ bi¸t n¸u A (z 1 ), B (z 2 ) th¼ OA =jz 1 j, OB =jz 2 j v AB =jz 2 z 1 j. Nh÷ vªy t½nh ÷ñc ë d i ba c¤nh cõa OAB theojzj v bi¸t di»n t½ch OAB. Tø â d¹ d ng t½nh ÷ñcjzj. Ta câ OA =jzj; OB =j(1 +i)zj =j1 +ijjzj =jzj p 2; AB =j(1 +i)zzj =jzj. ) ¨ OA 2 +AB 2 = 2jzj 2 =OB 2 OA =AB ) OAB vuæng c¥n t¤i A ) 10 = 1 2 OAAB)jzj 2 = 20)jzj = 2 p 5: Chån ¡p ¡n A C¥u 16. Cho c¡c sè phùc z 1 , z 2 , z 3 thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhjzj = 1 v 1 z 1 + 1 z 2 = 1 z 3 . Gåi A, B, C l c¡c iºm l¦n l÷ñt biºu di¹n c¡c sè phùc z 1 , z 2 , z 3 . T½nh sè o gâc Õ ACB. A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 120 . -Líi gi£i. Th.s Nguy¹n Ch½n Em 302 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 V¼ c¡c sè phùc z 1 , z 2 , z 3 thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhjzj = 1 )A, B, C thuëc ÷íng trán t¥m O (O l gèc tåa ë, b¡n k½nh R = 1). Ta câ: 1 z 1 + 1 z 2 = 1 z 3 , z 1 jz 1 j 2 + z 2 jz 2 j 2 = z 3 jz 3 j 2 ,z 1 +z 2 =z 3 ) # OA + # OB = # OC. )AOBC l h¼nh b¼nh h nh)AO =CB, AC =OB )OA =OB =OC =AC =BC ) OAC, OBC l c¡c tam gi¡c ·u) Õ ACB = 120 . x y A C B O Chån ¡p ¡n D C¥u 17. Gåi z 1 , z 2 l hai trong c¡c sè phùc thäa m¢njz + 2 3ij = 5 v jz 1 z 2 j = 8. T¼m mæ-un cõa sè phùc w =z 1 +z 2 + 4 6i? A. 3. B. 6. C. 10. D. 13. -Líi gi£i. Ph¥n t½ch: Khai th¡c gi£ thi¸t th§yA (z 1 ),B (z 2 ) thuëc ÷íng trán (C) t¥mI(2+3i) b¡n k½nhR = 5. Bi¸n êi k¸t luªn ÷ñc: w 2 = z 1 +z 2 2 (2 + 3i). Lþ do cõa vi»c chia hai v¸ cho sè 2 l nhªn th§y M z 1 +z 2 2 ch½nh l trung iºm cõa AB v iºm biºu di¹n sè phùc2 + 3i l t¥m cõa (C). Tø â w 2 =IM v vi»c t½nh IM r§t ìn gi£n. Gåi A (z 1 ), B (z 2 ), I (2 + 3i) v M l trung iºm cõa AB. Ta câ M l iºm biºu di¹n sè phùc z 1 +z 2 2 ; IM = z 1 +z 2 2 (2 + 3i) )jwj = 2IM. M°t kh¡c v¼jz + 2 3ij = 5 v jz 1 z 2 j = 8 n¶n A, B thuëc ÷íng trán t¥m I b¡n k½nh R = 5 v AB = 8. V¼ M l trung iºm AB)IM?AB)IM = É R 2 AB 2 4 = 3) jwj = 6. x y O 2 3 I A M B C¥u 18. Gåi z 1 , z 2 l hai trong c¡c sè phùc thäa m¢njz 1 + 2ij = 5 v jz 1 z 2 j = 8. Tªp hñp c¡c iºm biºu di¹n cõa sè phùc w = z 1 +z 2 trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy l ÷íng trán câ ph÷ìng tr¼nh n o d÷îi ¥y? A. (x + 2) 2 + (y 4) 2 = 36. B. (x 2) 2 + (y + 4) 2 = 25. C. (x 2) 2 + (y + 4) 2 = 36. D. (x + 2) 2 + (y 4) 2 = 25. -Líi gi£i. Ph¥n t½ch: C¥u n y ÷ñc ph¡t triºn tø c¥u 6. Gåi A (z 1 ), B (z 2 ), I(1 2i) v M l trung iºm cõa AB. Ta câ M l iºm biºu di¹n sè phùc z 1 +z 2 2 . IM = z 1 +z 2 2 (1 2i) )jw (2 4i)j = 2IM. M°t kh¡c v¼jz (1 2i)j = 5 v jz 1 z 2 j = 8 n¶n A, B thuëc ÷íng trán t¥m I b¡n k½nh R = 5 v AB = 8. V¼ M l trung iºm AB)IM?AB)IM = É R 2 AB 2 4 = 3 )jw (2 4i)j = 6 )N(w) thuëc ÷íng trán t¥m K(2;4) b¡n k½nh R 0 = 6. x y O 1 2 2 4 A M B I K Chån ¡p ¡n C 8 ĐÁPÁN 1. A 2. C 3. B 4. B 5. A 6. A 7. C 8. C 9. D 10. D Th.s Nguy¹n Ch½n Em 303 https://emncischool.wixsite.com/geogebrahttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ch÷ìng 4 - Gi£i 12 11. C 12. B 13. C 14. B 15. A 16. D 18. C Th.s Nguy¹n Ch½n Em 304 https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Xem thêm

Đề xuất cho bạn

Tài liệu