Chuyên đề Vectơ trong không gian - Quan hệ vuông góc – Nguyễn Tài Chung

1|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 MỤCLỤC CH×ÌNG 3 Vectì trong khæng gian. Quan h» vuæng gâc 3 1 Vectì trong khæng gian. Sü çng ph¯ng cõa c¡c vectì 3 A Tâm t­t l½ thuy¸t 3 B Mët sè d¤ng to¡n 4 C B i tªp æn luy»n 16 D B i tªp tr­c nghi»m 25 2 Hai ÷íng th¯ng vuæng gâc 32 A Tâm t­t l½ thuy¸t 32 B Mët sè d¤ng to¡n 32 C B i tªp æn luy»n 39 D B i tªp tr­c nghi»m 45 3 ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi m°t ph¯ng 56 A Tâm t­t l½ thuy¸t 56 B Ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n 58 C B i tªp æn luy»n 72 D B i tªp tr­c nghi»m 82 4 Hai m°t ph¯ng vuæng gâc 93 A Tâm t­t l½ thuy¸t 93 B Mët sè d¤ng to¡n 95 C B i tªp æn-luy»n 105 D B i tªp tr­c nghi»m 118 MỤCLỤC2|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 5 Kho£ng c¡ch 133 A Tâm t­t l½ thuy¸t 133 B Mët sè d¤ng to¡n 134 C B i tªp æn luy»n 144 D B i tªp tr­c nghi»m 153 Æn tªp ch÷ìng 166 A Bë · sè 1 166 B Bë · sè 2 176 C Bë · sè 3 188 D Bë · sè 4 197 E Bë · sè 5 206 F B i tªp tü luªn æn tªp ch÷ìng 217 MỤCLỤC3|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 CHƯƠNG3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆVUÔNGGÓC BÀI1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1.Vectơtrongkhônggian. 1 Quytắcbađiểm:Vớibađiểmbấtkì A,B,Ctacó #  AB+ #  BC = #  AC. 2 Quytắchìnhbìnhhành:NếuOABClàhìnhbìnhhànhthì #  OA+ #  OC = #  OB. 3 Quytắcphântíchmộtvectơthànhhiệucủahaivectơcùnggốc: #  AB= #  OB #  OA, vớimọiđiểm O. 4 I làtrungđiểmđoạnthẳng ABkhivàchỉkhi #  IA+ #  IB= #  0, #  OI = #  OA+ #  OB 2 , vớimọiđiểm O. (i) 5 Glàtrọngtâmtamgiác ABCkhivàchỉkhi #  GA+ #  GB+ #  GC = #  0, #  OG = #  OA+ #  OB+ #  OC 3 , vớimọiđiểm O. (ii) Lưuý.Khigặptổnghaivectơcùnggốchoặctổngbavectơcùng gốctathườngsửdụng(i),(ii). 6 Quytắchìnhhộp(đểcộngbavectơkhác #  0 khôngđồngphẳng): Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Khiđó: #  AC 0 = #  AA 0 + #  AB+ #  AD. 7 #  a cùngphương #  b ( #  b6= #  0),9k2R : #  a = k #  b. 2.Sựđồngphẳngcủacácvectơ.Điềukiệnđểbavectơđồngphẳng. Định nghĩa 1. Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Định lí 1 (Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng). Cho ba vectơ #  a, #  b, #  c, trong đó #  a và #  b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để #  a, #  b, #  c đồng phẳnglàcócácsốm,nsaocho #  c = m #  a +n #  b.Hơnnữa,cácsốm,nlàduynhất. Chú ý 1. Bavectơ #  OA, #  OB, #  OCđồngphẳngkhivàchỉkhibốnđiểmO, A,B,Cđồngphẳng, tứclàbađườngthẳngOA,OB,OCcùngnằmtrongmộtmặtphẳng. Định lí 2 (Biểu thị một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng). Nếu #  a, #  b, #  c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ #  d, luôn tồn tại các số m,n,p sao cho #  d = m #  a +n #  b +p #  c.Hơnnữacácsốm,n,plàduynhất. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC4|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức vectơ. Biểu thị một vectơ theo các vectơ không đồngphẳng. Phươngpháp.Dựavàocácquytắc,tínhchấtvàcáchệthứcvectơthườngdùng. Bài 1. Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Hãybiểudiễncácvectơ #  AC 0 , #  BD 0 , #  CA 0 , #  DB 0 , #  BC 0 , #  A 0 D theocácvectơ #  AB= #  a, #  AD = #  b, #  AA 0 = #  c. L Lời giải Tacó #  AC 0 = #  AB+ #  BB 0 + #  B 0 C 0 = #  a + #  c + #  b. #  BD 0 = #  BA+ #  AD+ #  DD 0 = #  a + #  b + #  c. #  CA 0 = #  CD+ #  DA+ #  AA 0 = #  a #  b + #  c. #  DB 0 = #  DC+ #  CB+ #  BB 0 = #  a #  b + #  c. #  BC 0 = #  BC+ #  CC 0 = #  b + #  c. #  A 0 D = #  A 0 D 0 + #  D 0 D = #  b #  c. Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD và O là trung điểm đoạn thẳng AG.Chứngminhrằng: a) 3 #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD = #  0. b) 3 #  MA+ #  MB+ #  MC+ #  MD = 6 #  MO(Mlàđiểmbấtkìtrongkhônggian). L Lời giải a) VìGlàtrọngtâmcủatamgiác BCDnên #  3OG = #  OB+ #  OC+ #  OD.VìOlàtrungđiểmđoạn thẳng AGnên #  OA+ #  OG = #  0.Dođó 3 #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD = 3( #  OA+ #  OG)= #  0. b) Theoquytắcbađiểmtacó 3 #  MA+ #  MB+ #  MC+ #  MD =3( #  MO+ #  OA)+ #  MO+ #  OB+ #  MO+ #  OC+ #  MO+ #  OD =6 #  MO+3 #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD = 6 #  MO. Lưuý.Cóthểgiảicâub)nhưsau:DoGlàtrọngtâmDBCDnên #  MB+ #  MC+ #  MD = 3 #  MG. Dođó 3 #  MA+ #  MB+ #  MC+ #  MD = 3 #  MA+3 #  MG = 3  #  MA+ #  MG  = 6 #  MO. Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt #  AB= #  b, #  AC = #  c, #  AD = #  d.Phântích #  MGtheo #  b, #  c, #  d. L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC5|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó #  MG = 1 3 ( #  MB+ #  MC+ #  MD) = 1 3  1 2 #  AB+( #  MA+ #  AC)+( #  MA+ #  AD)  = 1 3  1 2 #  b 1 2 #  b + #  c 1 2 #  b + #  d  = 1 6 #  b + 1 3 #  c + 1 3 #  d. Bài 4. ChohìnhchópS.ABCD. a) Chứngminhrằngnếu ABCDlàhìnhbìnhhànhthì #  SB+ #  SD = #  SA+ #  SC. Điềungượclạiđúngkhông? b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi #  SA+ #  SB+ #  SC+ #  SD = 4 #  SO. L Lời giải a) Tacósựtươngđương: #  SB+ #  SD = #  SA+ #  SC, #  SB #  SA= #  SC #  SD , #  AB= #  DC, ABCD làhìnhbìnhhành (do ABCDđãlàtứgiácrồi). Vậynếu ABCDlàhìnhbìnhhànhthì #  SB+ #  SD = #  SA+ #  SC.Chiềungượclạicũngđúng. b) Giảsử ABCDlàhìnhbìnhhành.Khiđó: #  SA+ #  SB+ #  SC+ #  SD = #  SO+ #  OA+ #  SO+ #  OB+ #  SO+ #  OC+ #  SO+ #  OD =4 #  SO+( #  OA+ #  OC)+( #  OB+ #  OD)= 4 #  SO. Giảsử #  SA+ #  SB+ #  SC+ #  SD = 4 #  SO.Gọi I,J theothứtựlàtrungđiểmcủa AC,BD.Khiđó: #  SA+ #  SB+ #  SC+ #  SD =4 #  SO+( #  OA+ #  OC)+( #  OB+ #  OD)= 4 #  SO+2( #  OI+2 #  OJ). Bởi vậy: #  OI + #  OJ = #  0. Suy ra O là trung điểm IJ. Suy ra I 2 BD và J 2 AC. Do đó I J O. Vậy hai đường chéo AC và BD có cùng chung trung điểm. Suy ra ABCD là hìnhbìnhhành. Cáchkhác.Tacó #  OC = k #  OA, #  OD = m #  OB.Dođó: #  SA+ #  SB+ #  SC+ #  SD = 4 #  SO ,( #  SO+ #  OA)+( #  SO+ #  OB)+( #  SO+ #  OC)+( #  SO+ #  OD)= 4 #  SO , #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD = #  0, #  OA+ #  OB+k #  OA+m #  OB= #  0 ,(1+k) #  OA+(1+m) #  OB= #  0 ,  1+k = 0 1+m= 0  do #  OAvà #  OBkhôngcùngphương  CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC6|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 ,  k =1 m=1 , ( #  OC = #  OA #  OD = #  OB ,  Olàtrungđiểm AC Olàtrungđiểm BD ,ABCDlàhìnhbìnhhành. Tacóđiềuphảichứngminh. Bài 5. Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 tâmO.Chứngminh: a) #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD+ #  OA 0 + #  OB 0 + #  OC 0 + #  OD 0 = #  0. b) Gọi D 1 ,D 2 ,D 3 lầnlượtlàđiểmđốixứngcủađiểm D 0 qua A,B 0 ,C. Chứngtỏrằng #  BD 1 + #  BD 2 + #  BD 3 + #  BD 0 = #  0. L Lời giải a) Do O là trung điểm ba đoạn thẳng AC 0 , A 0 C, BD 0 , B 0 D nêntacó: #  OA+ #  OC 0 = #  0, #  OB+ #  OD 0 = #  0, #  OC+ #  OA 0 = #  0, #  OD+ #  OB 0 = #  0. Cộnglạitađượcđiềuphảichứngminh. b)Đặt: #  AA 0 = #  a, #  AB= #  b, #  AD = #  c. Khiđó: #  BD 1 + #  BD 2 + #  BD 3 + #  BD 0 =  #  BD 1 + #  BD 0  +  #  BD 2 + #  BD 3  . Mà #  BD 1 + #  BD 0 = 2 #  BA=2 #  b, #  BD 2 = #  BB 0 + #  B 0 D 2 = #  a +( #  c + #  b), #  BD 3 = #  BC+ #  CD 3 = #  c #  a + #  b nêntacó:  #  BD 1 + #  BD 0  +  #  BD 2 + #  BD 3  =2 #  b + #  a +( #  c + #  b)+ #  c #  a + #  b = #  0. Dạng 2. Xác định vị trí các điểm thỏa điều kiện vectơ, chứng minh các điểm trùng nhau,cácđiểmthẳnghàng. Phươngpháp.  Thường đưa về các hệ thức quen thuộc liên quan đến các điểm như trung điểm đoạn thẳng,trọngtâmtamgiác...  Lưuýrằng:  #  AB= #  0, A B.  Bađiểm A,B,Cthẳnghàng, #  AB và #  AC cùngphương.  Khigặptổnghaivectơcùnggốctathườngdùng: #  MA+ #  MB= 2 #  MI với I làtrungđiểm AB. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC7|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  Khigặptổngbavectơcùnggốctathườngdùng: #  MA+ #  MB+ #  MC = 3 #  MG vớiGlàtrọngtâmtamgiác ABC. Bài 6. Chotứdiện ABCD. a) XácđịnhđiểmOthỏamãn #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD = #  0. (1) (ĐiểmOthỏađiềukiệntrêngọilàtrọngtâmcủatứdiện ABCD). b) Xácđịnhđiểm Pđểj #  PA+ #  PB+ #  PC+ #  PDj cógiátrịnhỏnhất. L Lời giải a) Gọi Mvà N lầnlượtlàtrungđiểmcủa ABvàCD.Gọi I làtrungđiểm MN.Tacó: #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD = 2 #  OM+2 #  ON = 2( #  OM+ #  ON). VậyđiểmOthỏamãn(1)khivàchỉkhi: #  OM+ #  ON = #  0, 2 #  OI = #  0, O I. DođóOlàtrungđiểm MN. b) GọiOlàtrọngtâmcủatứdiện ABCD.Tacó: #  PA+ #  PB+ #  PC+ #  PD = #  PO+ #  OA+ #  PO+ #  OB+ #  PO+ #  OC+ #  PO+ #  OD =4 #  PO+ #  OA+ #  OB+ #  OC+ #  OD = 4 #  PO. Dođóđiềukiệncầnvàđủđểj #  PA+ #  PB+ #  PC+ #  PDj đạtgiátrịnhỏnhấtlà: #  PO= #  0, P O. Bài 7. ChotứdiệnABCD,MvàNlàhaiđiểmlầnlượtthuộcABvàCDsaocho #  MA=2 #  MB, #  ND =2 #  NC. Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho #  IA = k #  ID, #  JM = k #  JN, #  KB= k #  KC(k6= 1). a) Biểudiễn #  IJ theo #  AM, #  DN;biểudiễn #  JKtheo #  MB, #  NC. b) Chứngminhrằngcácđiểm I, J,Kthẳnghàng. L Lời giải a) Tacó: #  IJ = #  IA+ #  AM+ #  MJ #  IJ = #  ID+ #  DN+ #  NJ. k #  IJ = k #  ID+k #  DN+k #  NJ k #  IJ = #  IA+k #  DN+ #  MJ. (1k) #  IJ = #  AMk #  DN. Suyra: #  IJ = 1 1k #  AM k 1k #  DN. Chứngminhtươngtựnhưtrêntacó: #  JK = 1 1k #  MB k 1k #  NC. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC8|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b) Do #  MA=2 #  MB, #  ND =2 #  NCnên #  IJ = 2 1k #  MB 2k 1k #  NC. Nhưvậy #  IJ = 2 #  JK,suyrabađiểm I, J,Kthẳnghàng. Dạng 3. Điềukiệnđểbavectơđồngphẳng.Chứngminhbốnđiểmcùngnằmtrong một mặt phẳng, đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song vớimặtphẳng. Phươngpháp.  Từđịnhnghĩa1suyrabavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳngnếuchúngnằmtrênbamặtphẳng đôimộtsongsonghoặctrùngnhau.  Bốnđiểm A,B,C,Dđồngphẳng,bavectơ #  AB, #  AC, #  ADđồngphẳng.  Từđịnhlí1suyranếu #  c = m #  a +n #  b thìbavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng.  Đểchứngminh ABk CDtachứngminh #  AB = k #  CDvàđiểm Akhôngnằmtrênđường thẳngCD.  Đểchứngminh MNk (ABC)tachứngminhbavectơ #  MN, #  AB, #  AC đồngphẳngvà M (hoặc N)khôngthuộc(ABC). Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho #  AM = 3 #  MD, #  NB=3 #  NC.Chứngminhrằngbavectơ #  AB, #  DC, #  MN đồngphẳng. L Lời giải Tacó #  MN = #  MA+ #  AB+ #  BN. Theogiảthiếttacó: #  MA=3 #  MD, #  BN = 3 #  NC.Vậy: #  MN =3 #  MD+ #  AB+3 #  NC = #  AB3  #  MC+ #  CD  +3 #  NC = #  AB+3 #  DC+3  #  NC+ #  CM  = #  AB+3 #  DC+3 #  NM. Suyra4 #  MN = #  AB+3 #  DC, #  MN = 1 4 #  AB+ 3 4 #  DC. Dođóbavectơ #  AB, #  DC, #  MN đồngphẳng. Lưuý.Tacócáchlàmngắngọnhơnnhưsau:Trêncạnh AC lấyđiểm K saocho #  AK = 3 #  KC. Khiđó: #  MN = #  MK+ #  KN = 3 4 #  DC+ 1 4 #  AB. Suyra #  AB, #  DC, #  MN đồngphẳng. Bài 9. Chohìnhlăngtrụtamgiác ABC.A 0 B 0 C 0 .Hãychứngtỏbavectơ #  AC 0 , #  BA 0 , #  CB 0 không đồngphẳngvàbiểuthịvectơ #  AA 0 theobavectơđó. L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC9|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Đặt #  AA 0 = #  x, #  AB = #  y, #  AC = #  z.Tasẽbiểudiễncácvectơ #  AC 0 , #  BA 0 , #  CB 0 theo #  x, #  y, #  z.Tacó: #  AC 0 = #  x + #  z. (1) #  BA 0 = #  x #  y. (2) #  CB 0 = #  x + #  y #  z. (3) Giả sử phản chứng rằng ba vectơ #  AC 0 , #  BA 0 , #  CB 0 đồng phẳng.Khiđódo #  BA 0 và #  CB 0 khôngcùngphươngnêntồn tạicácsốa,bsaocho: #  AC 0 = a #  BA 0 +b #  CB 0 , #  x + #  z = a( #  x #  y)+b( #  x + #  y #  z) ,(a+b1) #  x +(a+b) #  y +(b1) #  z = #  0. (4) Do #  x, #  y, #  z khôngđồngphẳngnêntừ(4)taphảicó: 8 < : a+b1= 0 a+b= 0 b1= 0. (5) Dễthấyhệ(5)vônghiệm.Vậybavectơ #  AC 0 , #  BA 0 , #  CB 0 khôngđồngphẳng.Từ(1),(2),(3)tacó: #  AC 0 + #  BA 0 + #  CB 0 = 3 #  x = 3 #  AA 0 ) #  AA 0 = 1 3  #  AC 0 + #  BA 0 + #  CB 0  . Lưuý.Khigặphìnhlăngtrụtamgiác,tathườngchọnmộtbộbavectơcóchungđiểmđầuvà không đồng phẳng (trong lời giải bài tập 9 là #  x, #  y, #  z) làm cơ sở và biểu diễn các vectơ liên quantheobavectơđó. Bài 10. Chotứdiện ABCD,gọi I, J lầnlượtlàtrungđiểm AB, CD.Xét Plàmộtđiểmthuộc AC, N làmộtđiểmthuộc BDsaocho PA PC = NB ND .Chứngminhrằng: a) 2 #  IJ = #  AC+ #  BD. b) Bốnđiểm I, J, P, N thuộccùngmộtmặtphẳng. L Lời giải a)Tacó: #  AC = #  AI+ #  IJ+ #  JC, #  BD = #  BI+ #  IJ+ #  JD.Dođó: #  AC+ #  BD =  #  AI+ #  BI  +2 #  IJ+  #  JC+ #  JD  = 2 #  IJ. b)Giảsử #  AC = k #  AP, #  BD = h #  BN.Khiđó: k = AC AP = AP+PC AP = 1+ PC AP = 1 PC PA . (1) h= BD BN = BN+ND BN = 1+ ND BN = 1 ND NB . (2) Từgiảthiết PA PC = NB ND vàtừ(1),(2)suyrah= k. Theocâu a)tacó: #  IJ = 1 2  #  AC+ #  BD  = k 2  #  AP+ #  BN  = k 2  #  AI+ #  IP+ #  BI+ #  IN  = k 2 h #  AI+ #  BI  + #  IP+ #  IN i = k 2  #  IP+ #  IN  . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC10|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Từ #  IJ = k 2  #  IP+ #  IN  ,suyrabavectơ #  IJ, #  IP, #  INđồngphẳng,suyrabốnđiểm I, J,P, Nđồng phẳng. Bài 11. Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Giả sử điểm M thuộc AC, điểm N thuộc DC 0 và #  AM = x #  AC, #  DN = y #  DC 0 . a) Biễudiễncácvectơ #  BD 0 , #  MN theo #  BA= #  a, #  BC = #  b, #  BB 0 = #  c. b) Tìm xvàysaocho MNk BD 0 ,khiđótínhtỉsố MN BD 0 . L Lời giải a) Ta có #  BA = #  a, #  BC = #  b, #  BB 0 = #  c. Khi đó theo quy tắc hình hộptacó: #  BD 0 = #  a + #  b + #  c. Tacó #  MN = #  BN #  BM. Từ #  DN = y #  DC 0 tacó #  BN #  BD = y  #  BC 0 #  BD  ,suyra #  BN  #  a + #  b  = y  #  b + #  c #  a #  b  . #  BN =(1y) #  a + #  b +y #  c. Từ #  AM = x #  ACsuyra #  BM #  BA= x  #  BC #  BA  .Vậy #  BM #  a = x  #  b #  a  ) #  BM =(1x) #  a +x #  b. Dođó #  MN = #  BN #  BM =(1y) #  a + #  b +y #  c(1x) #  ax #  b =(xy) #  a +(1x) #  b +y #  c. b)Điềukiệnđể MNk BD 0 là #  MN = k #  BD 0 hay k  #  a + #  b + #  c  =(xy) #  a +(1x) #  b +y #  c. (*) Do #  a, #  b, #  c khôngcùngphươngnêntừ(*)suyra 8 < : k = xy k = 1x k = y ,(x;y;k)=  2 3 ; 1 3 ; 1 3  . Vậy Mvà N đượcxácđịnhbởi #  AM = 2 3 #  AC, #  DN = 1 3 #  DC 0 .Lúcnày #  MN = 1 3 #  BD 0 ) MN BD 0 =jkj = 1 3 . Bài 12. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 0 B 0 C 0 . Gọi G và G 0 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A 0 B 0 C 0 . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB 0 và A 0 B. Đặt #  AA 0 = #  a, #  AB= #  b, #  AC = #  c. a) Hãytínhcácvectơ #  GI, #  CG 0 theo #  a, #  b, #  c. b) ChứngminhrằngcácđườngthẳngGI vàCG 0 songsongvớinhau. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC11|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 L Lời giải a)Gọi Mlàtrungđiểm BC.Khiđó: #  AG = 2 3 #  AM = 2 3 . 1 2  #  AB+ #  AC  = 1 3  #  b + #  c  . #  AI = 1 2 #  AB 0 = 1 2  #  a + #  b  . #  GI = #  AI #  AG = 1 2  #  a + #  b  1 3  #  b + #  c  . Vậy #  GI = 3 #  a + #  b2 #  c 6 . (1) Tacó #  AG 0 = 1 3  #  AA 0 + #  AB 0 + #  AC 0  = 1 3  #  a + #  a + #  b + #  c + #  a  = #  a + 1 3  #  b + #  c  . Dođó: #  CG 0 = #  AG 0 #  AC = #  a + 1 3  #  b + #  c  #  c = 3 #  a + #  b2 #  c 3 . (2) b)Từ(1)và(2)suyra #  CG 0 = 2 #  GI.NgoàirađiểmGkhôngthuộcđườngthẳngCG 0 .VậyGI và CG 0 làhaiđườngthẳngsongsong. Bài 13. Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của của CD và DD 0 . Gọi G, G 0 lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A 0 D 0 MN và BCC 0 D 0 . Đặt #  AB = #  a, #  AD = #  b, #  AA 0 = #  c. a) Hãytính #  GG 0 theo #  a, #  b, #  c. b) ChứngminhrằngđườngthẳngGG 0 vàmp(ABB 0 A 0 )songsongvớinhau. L Lời giải a)VìG 0 làtrọngtâmcủatứdiện BCC 0 D 0 nên #  AG 0 = 1 4  #  AB+ #  AC+ #  AC 0 + #  AD 0  vàGlàtrọngtâmcủatứdiện A 0 D 0 MN nên #  AG = 1 4  #  AA 0 + #  AD 0 + #  AM+ #  AN  .Từđó #  GG 0 = #  AG 0 #  AG = 1 4  #  A 0 B+ #  D 0 C+ #  MC 0 + #  ND 0  = 1 4  #  a #  c + #  a #  c + 1 2 #  a + #  c + 1 2 #  c  = 1 8 (5 #  a #  c). b) Theocâu a) tacó: #  GG 0 = 1 8  5 #  AB #  AA 0  .Điềunàychứngtỏ #  AB, #  AA 0 , #  GG 0 đồngphẳng. MặtkhácGkhôngthuộcmặtphẳng(ABB 0 A 0 )nênđườngthẳngGG 0 vàmặtphẳng(ABB 0 A 0 ) songsongvớinhau. Bài 14. Trongkhônggianchotamgiác ABC. a) Chứngminhrằngnếuđiểm Mthuộc(ABC)thìcóbasốx,y,zmàx+y+z= 1saocho #  OM = x #  OA+y #  OB+z #  OC, vớimọiđiểm O. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC12|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b) Ngượclại,nếucómộtđiểmOtrongkhônggiansaocho #  OM = x #  OA+y #  OB+z #  OC, trongđó x+y+z= 1thìđiểm Mthuộcmặtphẳng(ABC). L Lời giải a) Vì Mthuộcmặtphẳng(ABC)nênbavectơ #  CM, #  CA, #  CBđồngphẳng.Dođótồntạicácsố x,ysaocho: #  CM = x #  CA+y #  CB, #  OM #  OC = x( #  OA #  OC)+y( #  OB #  OC) , #  OM = x #  OA+y #  OB+(1xy) #  OC. Đặtz= 1xykhiđó x+y+z= 1vàtacóđiềuphảichứngminh. b) Giảsử #  OM = x #  OA+y #  OB+z #  OC,trongđó x+y+z= 1.Khiđó: #  OM = x #  OA+y #  OB+(1xy) #  OC , #  OM #  OC = x( #  OA #  OC)+y( #  OB #  OC) , #  CM = x #  CA+y #  CB. (*) Vì #  CA và #  CB khôngcùngphươngnêntừ(*)suyra #  CM, #  CA và #  CB đồngphẳng,dođó M thuộcmặtphẳng(ABC). Lưuý.  Kếtquảbàitập14rấtquantrọng,dùngnótasẽgiảiđượcnhiềubàitậpkhác,chẳnghạn như15,30,31,32.  Đốivớicâu a),khi Mthuộcmặtphẳng(ABC)thìsẽcórấtnhiềulựachọnnhữngbộba vectơđồngphẳngđểsuyrađiềucầnchứngminh,chẳnghạnnhư: #  MA, #  MB, #  MC; #  CA, #  CB, #  CM; #  MA, #  MB, #  AB... Nhưngdễthấyrằngtốtnhấtnênchọnnhữngbộ3vectơđồngphẳngtrongđóđiểm M chỉxuấthiện1lầnvàvectơcóchứađiểm Mmanghệsố1nhưđãtrìnhbàyởlờigiảicâu a). Bài 15. Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB, SC, SG (G là trọng tâm DABC)lầnlượttại A 0 , B 0 ,C 0 ,G 0 .Chứngminhrằng SA SA 0 + SB SB 0 + SC SC 0 = 3 SG SG 0 . L Lời giải Đặt SA SA 0 = a, SB SB 0 = b, SC SC 0 = c, SG SG 0 = d.Taphảichứngminh a+b+c = 3d.Vì Glàtrọng tâmtamgiác ABCnên #  SA+ #  SB+ #  SC = 3 #  SG, a #  SA 0 +b #  SB 0 +c #  SC 0 = 3d #  SG 0 . (1) Vì A 0 ,B 0 ,C 0 ,G 0 cùngthuộcmặtphẳng(P)nêntheobàitập14a)ởtrang 11suyracócácsốm, n, pmàm+n+p= 1saocho #  SG 0 = m #  SA 0 +n #  SB 0 +p #  SC 0 . (2) CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC13|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Thay(2)vào(1)tađược a #  SA 0 +b #  SB 0 +c #  SC 0 = 3dm #  SA 0 +3dn #  SB 0 +3dp #  SC 0 . (3) Tómlạitađãcó #  SA 0 , #  SB 0 , #  SC 0 khôngđồngphẳngvà 3d #  SG 0 = a #  SA 0 +b #  SB 0 +c #  SC 0 3d #  SG 0 = 3dm #  SA 0 +3dn #  SB 0 +3dp #  SC 0 . Vậytheođịnhlí2ởtrang 3,suyra a= 3dm, b= 3dn, c= 3dp) a+b+c= 3d(m+n+p)= 3d (đpcm). Dạng 4. Dùngvectơđểchứngminhđẳngthứcvềđộdài. Phươngpháp.Sửdụngcôngthức: AB 2 = #  AB 2 . Bài 16. ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhchữnhật.Chứngminh SA 2 +SC 2 = SB 2 +SD 2 . L Lời giải GọiOlàtâmcủahìnhchữnhật ABCD.Tacó #  OA = #  OB = #  OC = #  OD SA 2 =  #  SA  2 =  #  SO+ #  OA  2 = SO 2 +OA 2 +2 #  SO. #  OA SB 2 =  #  SB  2 =  #  SO+ #  OB  2 = SO 2 +OB 2 +2 #  SO. #  OB SC 2 =  #  SC  2 =  #  SO+ #  OC  2 = SO 2 +OC 2 +2 #  SO. #  OC SD 2 =  #  SD  2 =  #  SO+ #  OD  2 = SO 2 +OD 2 +2 #  SO. #  OD SA 2 +SC 2 SB 2 SD 2 = 2 #  SO  #  OA #  OB+ #  OC #  OD  . (1) Vì ABCDlàhìnhchữnhậtnên #  BA+ #  DC = #  0,bởivậy #  OA #  OB+ #  OC #  OD = #  BA+ #  DC = #  0. Dođótừ(1)tacó SA 2 +SC 2 SB 2 SD 2 = 0, SA 2 +SC 2 = SB 2 +SD 2 . Cáchkhác.Gọi I, J làtrungđiểm AB,CD. Tacósựtươngđươngsau: SA 2 +SC 2 = SB 2 +SD 2 , SA 2 SB 2 = SD 2 SC 2 , #  SA 2 #  SB 2 = #  SD 2 #  SC 2 ,  #  SA #  SB  #  SA+ #  SB  =  #  SD #  SC  #  SD+ #  SC  , #  BA.2 #  SI = #  CD.2 #  SJ, #  BA. #  SI = #  CD. #  SJ , #  BA. #  SI = #  BA. #  SJ, #  BA( #  SI #  SJ)= #  0, #  BA. #  JI = #  0 (đúng). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC14|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 17. Chotứdiện ABCD.Gọi E,Flầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,CD.GọiGlàtrungđiểm của EF. a) Chứngminh #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = #  0. b) Chứngminhrằngvớimọiđiểm Mtrongkhônggian,tacó #  MA+ #  MB+ #  MC+ #  MD = 4 #  MG. c) Chứngminhrằngvớimọiđiểm Mtrongkhônggiantacó"côngthứcLep-nhit"sau: MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 = 4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 . d) XácđịnhvịtrícủađiểmMđểđạilượngMA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 đạtgiátrịnhỏnhất, tìmgiátrịnhỏnhấtđó. L Lời giải a) Tacó #  GA+ #  GB= 2 #  GE, #  GC+ #  GD = 2 #  GF.Vậy #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = 2( #  GE+ #  GF)= 2. #  0 = #  0. b) Vớimọiđiểm Mtrongkhônggian,tacó: #  MA+ #  MB+ #  MC+ #  MD = #  MG+ #  GA+ #  MG+ #  GB+ #  MG+ #  GC+ #  MG+ #  GD =4 #  MG+ #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD =4 #  MG+ #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = 4 #  MG. c) Theocôngthứcbìnhphươngvôhướng( #  a) 2 =j #  aj 2 tacó: MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 =( #  MA) 2 +( #  MB) 2 +( #  MC) 2 +( #  MD) 2 =( #  MG+ #  GA) 2 +( #  MG+ #  GB) 2 +( #  MG+ #  GC) 2 +( #  MG+ #  GD) 2 =4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 +2 #  MG  #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD  =4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 +2 #  MG. #  0 (theocâua) =4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 . d) Theocâuc)tacó: MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 = 4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 . Dođó MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 bénhấtkhivàchỉkhi MGnhỏnhất,tứclà MG = 0, M G.Vậy MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 nhỏnhấtlàbằng GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 ,đạt đượckhivàchỉkhi MtrùngvớiG. Bài 18. ChứngminhrằngdiệntíchScủatamgiác ABCcóthểtínhtheocôngthức: S= 1 2 r AB 2 .AC 2  #  AB. #  AC  2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC15|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 L Lời giải Gọialàgócgiữahaivectơ #  AB, #  AC.Tacó: AB 2 .AC 2  #  AB. #  AC  2 = AB 2 .AC 2  #  AB . #  AC cosa  2 = AB 2 .AC 2  1cos 2 a  = AB 2 .AC 2 sin 2 a= 4  1 2 AB.ACsina  2 = 4S. SuyraS= 1 2 r AB 2 .AC 2  #  AB. #  AC  2 . Bài 19. Chứngminhrằngdiệntíchcủatứgiáclồi ABCDlà: S ABCD = 1 2 r AC 2 .BD 2  #  AC. #  BD  2 . L Lời giải Gọialàgócgiữahaiđườngchéo ACvà BD.Khiđó: 1 2 r AC 2 .BD 2  #  AC. #  BD  2 = 1 2 r AC 2 .BD 2 h AC.BD.cos  #  AC, #  BD i 2 = 1 2 r AC 2 .BD 2 h 1cos 2  #  AC, #  BD i = 1 2 r AC 2 .BD 2 sin 2  #  AC, #  BD  = 1 2 p AC 2 .BD 2 sin 2 a = 1 2 AC.BD.sina. (1) Mặtkhác: S ABCD = S IAD +S IBC +S IAB +S ICD = 1 2 [IA.ID+IB.IC+IA.IB+ID.IC]sina = 1 2 [IA(ID+IB)+IC(IB+ID)]sina = 1 2 [IA.BD+IC.BD]sina = 1 2 BD(IA+IC)sina= 1 2 AC.BD.sina. (2) Từ(1)và(2)suyra:S ABCD = 1 2 r AC 2 .BD 2  #  AC. #  BD  2 . Bài 20. Chotứdiện ABCD.Gọi N làđiểmthuộccạnhCD(N khácC, D)saocho NA= NB. Chứngminhrằng: NC ND = CA 2 CB 2 jDA 2 DB 2 j . L Lời giải Tacó: CA 2 CB 2 =  #  NA #  NC  2  #  NB #  NC  2 CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC16|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = NA 2 2 #  NA. #  NC+NC 2  NB 2 2 #  NB. #  NC+NC 2  = 2 #  NC  #  NB #  NA  = 2 #  AB. #  NC. Tươngtự,tacó: DA 2 DB 2 =  #  NA #  ND  2  #  NB #  ND  2 = NA 2 2 #  NA. #  ND+ND 2  NB 2 2 #  NB. #  ND+ND 2  = 2 #  ND  #  NB #  NA  = 2 #  AB. #  ND. Mặtkhác,do N,C,Dthẳnghàngnên: NC.ND = NC.ND) ND. #  NC =NC. #  ND) #  NC = NC ND . #  ND. Từđó: CA 2 CB 2 = 2 #  AB. #  NC =2. NC ND . #  AB. #  ND = NC ND  DA 2 DB 2  . Suyra: CA 2 CB 2 DA 2 DB 2 = NC ND ) NC ND = CA 2 CB 2 jDA 2 DB 2 j . Cáchkhác.Tacó: CA 2 CB 2 DA 2 DB 2 = #  CA 2 #  CB 2 #  DA 2 #  DB 2 =  #  CN+ #  NA  2  #  CN+ #  NB  2  #  DN+ #  NA  2  #  DN+ #  NB  2 = CN 2 +2 #  CN. #  NA+NA 2  CN 2 +2 #  CN. #  NB+NB 2  DN 2 +2 #  DN. #  NA+NA 2  DN 2 +2 #  DN. #  NB+NB 2  = 2 #  CN  #  NA #  NB  2 #  DN  #  NA #  NB  = #  CN. #  BA #  DN. #  BA = CN.BA.cos  #  CN, #  BA  DN.BA.cos  #  DN, #  BA  . Vì N,C,Dcùngnằmtrênmộtđườngthẳngnên: cos  #  CN, #  BA  = cos  #  DN, #  BA  . Vậytừ(*)suyra: CA 2 CB 2 DA 2 DB 2 = CN DN . Lưuý.Sẽlàsailầmnếubiếnđổi #  CN. #  BA #  DN. #  BA = #  CN #  DN = CN DN ,vìkhôngcóphépchiavectơ. C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN 1. Đề bài Bài 21. Bavectơ #  a, #  b, #  c cóđồngphẳnghaykhôngnếumộttronghaiđiềusauđâyxảyra? a) Cómộttrongbavectơđóbằng #  0. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC17|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b) Cóhaitrongbavectơđócùngphương. Bài 22. Chohìnhtứdiện ABCD.Chứngminhrằng #  AC+ #  BD = #  AD+ #  BC. Bài 23. Chotứdiện ABCD. a) ChứngminhrằngtồntạiduynhấtđiểmGsaocho #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = #  0. HãyxácđịnhvịtríđiểmGđó. b) Chứngminhrằngbađoạnthẳngnốitrungđiểmcủacáccặpcạnhđốidiệncủatứdiện đồngquytạimộtđiểm. Bài 24. Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Chứng minh rằng các đường phân giác củagóc Õ zOx, Õ zOyvàđườngphângiáccủagóckềbùvớigóc Õ xOyđồngphẳng. Bài 25. Chohaitứdiện ABCDvà A 0 B 0 C 0 D 0 .GọiGvàG 0 lầnlượtlàtrọngtâmcủahaitứdiện đó.Chứngminhrằng: GG 0  1 4 AA 0 +BB 0 +CC 0 +DD 0
. Bài 26. Chohìnhlăngtrụtamgiác ABC.A 0 B 0 C 0 .GọiG 0 làtrọngtâmcủatamgiác A 0 B 0 C 0 .Đặt #  AA 0 = #  a, #  AB= #  b, #  AC = #  c. a) Hãybiểuthịvectơ #  AG 0 theocácvectơ #  a, #  b, #  c. b) GọiG,IlầnlượtlàtrọngtâmcủatamgiácABCvàACC 0 .Chứngminh(GG 0 I)k(BB 0 C 0 C). Bài 27. Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Đặt: #  AB= #  a, #  AD = #  b, #  AA 0 = #  c. Cácđiểm M, N, Plầnlượtlàtrungđiểm AD, BB 0 ,C 0 D 0 . a) Chứngminh(BDA 0 )k(B 0 D 0 C). b) Chứngminh:2 #  MP= #  DD 0 + #  AC 0 ,2 #  MN = #  AB+ #  DB 0 . Biểudiễn #  MN+ #  MPtheobavectơ #  a, #  b, #  c. c) Chứngminhbavectơ #  C 0 D, #  MN, #  MPđồngphẳng,từđósuyrarằngC 0 Dk(MNP). Bài 28. Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Điểm M chia đoạn AD theo tỉ số 1 4 , điểm N chia đoạn A 0 Ctheotỉsố 2 3  ĐiểmEgọilàchiađoạnPQtheotỉsốk6=1nếu #  OE= #  OPk #  OQ 1k , vớimọiđiểmO  .Đặt #  BA= #  a, #  BB 0 = #  b, #  BC = #  c. a) Hãytính #  MN theo #  a, #  b, #  c. b) Chứngminhrằng MNk(BC 0 D). Bài 29. Chotứdiện ABCD.Kíhiệu M,Nlầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,CD.Trêncácđường thẳng CM và BN tachọncácđiểmtươngứng I và K saocho IKk AD.Đặt #  IK = x #  AD.Tìm giátrịcủa x. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC18|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 30. Chohìnhchóptứgiác S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi B 0 , D 0 làtrung điểmcáccạnhSB,SD.Mặtphẳng(AB 0 D 0 )cắtSCtạiC 0 . a) TrìnhbàycáchdựngđiểmC 0 . b) ChứngminhrằngSC = 3SC 0 . Bài 31. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành.Gọi K làtrungđiểmcạnh SC.Mặtphẳngqua AKcắttiaSB,SDlầnlượttạiMvàN.Chứngminhrằng SB SM + SD SN = 3. Bài 32. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhbìnhhành.Mộtmặtphẳng(P)cắtcác tiaSA,SB,SC,SDtheothứtựtạiK, L, M, N.Chứngminhrằng: SA SK + SC SM = SB SL + SD SN . Bài 33. Chotứdiện S.ABC vàcácđiểm M,N,Plầnlượtthayđổitrêncáctia SA, SB, SC sao cho SA SM +2 SB SN +3 SC SP = 10.Chứngminhrằngmặtphẳng(MNP)luônđiquamộtđiểmcố định. Bài 34. Cho tứ diện gần đều ABCD (AB = CD, BC = AD, AC = BD). Gọi G là trọng tâm củatứdiện( #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = #  0). a) ChứngminhrằngGcáchđều4đỉnh A,B,C,D. b) Tìm Msaocho MA+MB+MC+MDđạtgiátrịnhỏnhất. Bài 35. Chứngminhrằngvớisáusốthực a,b,c,x,y,ztùyýtacó: ax+by+cz+ q (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) 2 3 (a+b+c)(x+y+z). 2. Lời giải, hướng dẫn Câu21. a) Nếu trong ba vectơ #  a, #  b, #  c có một vectơ bằng #  0, chẳng hạn #  a = #  0 thì ba vectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳngvìđẳngthứcsauluônđúng 1. #  a +0. #  b +0. #  c = 0. Cáchkhác.TừđiểmOtùyý,vẽ #  OB = #  b, #  OC = #  c, #  OA = #  a.Nếu #  a = #  0 thì Atrùngvới O.NhưvậycácđiểmO, A, B, C cùngthuộcmộtmặtphẳng,tứclàbavectơ #  a, #  b, #  c đồng phẳng. b) Nếuhaitrongbavectơ #  a, #  b, #  c cùngphương,chẳnghạn #  b và #  c thì #  b = k #  c (xét #  c 6= #  0 vìnếu #  c = #  0 thìtheocâua),bavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng).Khiđóbavectơ #  a, #  b, #  c đồng phẳngvìđẳngthứcsauluônđúng 0. #  a +1. #  bk #  c = #  0. Cáchkhác.Nếu #  b và #  c làhaivectơcùngphương,từđiểmOtùyý,vẽ #  OB = #  b, #  OC = #  c, #  OA= #  a thìhaiđườngthẳngOBvàOCtrùngnhau.KhiđócácđiểmO,A,B,Ccùngthuộc mộtmặtphẳng,tứclàbavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC19|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu22. Tacó #  AC+ #  BD = #  AD+ #  DC+ #  BD = #  AD+  #  BD+ #  DC  = #  AD+ #  BC. Câu23. a) Gọi E,Flầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,CD.GọiGlàtrungđiểmcủa EF.Khiđó #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = 2( #  GE+ #  GF)= 2. #  0 = #  0. Giảsử #  G 0 A+ #  G 0 B+ #  G 0 C+ #  G 0 D = #  0.Khiđó 2( #  G 0 E+ #  G 0 F)= #  0, #  G 0 E+ #  G 0 F = #  0. VậyG 0 làtrungđiểm EF,suyraG 0 trùngvớiG.VậytồntạiduynhấtđiểmGsaocho #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = #  0. ĐiểmGchínhlàtrungđiểmcủa EF. b) Gọi P, Qlầnlượtlàtrungđiểmcủa BCvà AD.Gọi I làtrungđiểmcủa PQ.Khiđó #  IA+ #  IB+ #  IC+ #  ID =( #  IA+ #  ID)+( #  IB+ #  IC)= 2( #  IQ+ #  IP)= 2. #  0 = #  0. Suyra I trùngvới G.Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa ACvà BD.Gọi J làtrungđiểm của MN. Tương tự như trên ta chứng minh được J trùng với G. Vậy ba đoạn thẳng nối trungđiểmcủacáccặpcạnhđốidiệncủatứdiệnđồngquytạimộtđiểm. Chú ý 2. ĐiểmGduynhấtthoảmãnđiềukiện #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = #  0 gọilàtrọngtâm củatứdiện. Câu24. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt xét các vectơ #  i, #  j, #  k cóđộdàibằng1vàlầnlượtcùnghướngvớicáctia Ox,Oy,Oz.KhiđótiaphângiácOacủagóc Õ zOycùng hướngvới #  a = #  j + #  k,tiaphângiácObcủagóc Õ zOx cùnghướngvới #  b = #  i + #  k,tiaphângiácOccủagóc kềbùvớigóc Õ xOy cùngphươngvới #  l = #  j #  i.Do #  l = #  a #  b nên ba vectơ #  a, #  b, #  g đồng phẳng. Do đó các tia Oa, Ob, Oc đồng phẳng. Điều phải chứng minh. Câu25. VìGvàG 0 làtrọngtâmcủatứdiện ABCDvà A 0 B 0 C 0 D 0 nên: #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = #  0, #  G 0 A 0 + #  G 0 B 0 + #  G 0 C 0 + #  G 0 D 0 = #  0. (1) Mặtkháctacó: #  GG 0 = #  GA+ #  AA 0 + #  A 0 G 0 (2) #  GG 0 = #  GB+ #  BB 0 + #  B 0 G 0 (3) #  GG 0 = #  GC+ #  CC 0 + #  C 0 G 0 (4) CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC20|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 #  GG 0 = #  GD+ #  DD 0 + #  D 0 G 0 . (5) Cộng(2),(3),(4),(5)vàsửdụng(1)tađược: 4 #  GG 0 = #  AA 0 + #  BB 0 + #  CC 0 + #  DD 0 ) #  GG 0 = 1 4 #  AA 0 + #  BB 0 + #  CC 0 + #  DD 0 . Từđósuyra:GG 0  1 4 (AA 0 +BB 0 +CC 0 +DD 0 ). Câu26. a)Gọi M 0 làtrungđiểmcủa B 0 C 0 .Tacó #  A 0 G 0 = 2 3 #  A 0 M 0 = 1 3 ( #  A 0 B 0 + #  A 0 C 0 ) = 1 3 ( #  b + #  c). Vậy #  AG 0 = #  AA 0 + #  A 0 G 0 = #  a + 1 3 ( #  b + #  c). b) Gọi hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của BC và CC 0 . Ta có GG 0 k BB 0  (BB 0 C 0 C), GG 0 6 (BB 0 C 0 C), suy ra GG 0 k(BB 0 C 0 C). (1) Mặtkhác AG AM = AI AN = 2 3 ,suyraGIk MN. Mà MN(BB 0 C 0 C)vàGI6(BB 0 C 0 C),nênGIk(BB 0 C 0 C). (2) Lạicó GG 0 \GI = Gvà GG 0 , GI cùngnằmtrong(GG 0 I)nêntừ(1)và(2)suyra(GG 0 I)song songvới(BB 0 C 0 C). Câu27. a)Tacó  BDk B 0 D 0 (B 0 D 0 C) BD6(B 0 D 0 C). Suyra BDk(B 0 D 0 C). (1) Tacó  A 0 Bk CD 0 (B 0 D 0 C) A 0 B6(B 0 D 0 C). Suyra A 0 Bk(B 0 D 0 C). (2) Mà A 0 B và BD là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (A 0 BD)nêntừ(1)và(2)suyra(BDA 0 )k(B 0 D 0 C). b)Theogiảthiết #  AB= #  a, #  AD = #  b, #  AA 0 = #  c.Tacó: #  MP= #  MD+ #  DD 0 + #  D 0 P. (3) #  MP= #  MA+ #  AC 0 + #  C 0 P. (4) Cộng(3)và(4)tađược: 2 #  MP= #  DD 0 + #  AC 0 ) #  MP = 1 2 h #  c +  #  a + #  b + #  c i = 1 2  #  a + #  b +2 #  c  . (5) Tacó: #  MN = #  MA+ #  AB+ #  BN. (6) #  MN = #  MD+ #  DB 0 + #  B 0 N. (7) CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC21|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cộng(6)và(7)tađược 2 #  MN = #  AB+ #  DB 0 ) #  MN = 1 2 h #  a +  #  a #  b + #  c i = 1 2  2 #  a #  b + #  c  . (8) Cộng(5)và(8)tađược #  MP+ #  MN = 1 2  #  a + #  b +2 #  c  + 1 2  2 #  a #  b + #  c  = 3 2 ( #  a + #  c). (9) c)Tacó #  C 0 D = #  C 0 D 0 + #  C 0 C = #  a #  c =( #  a + #  c). (10) Từ(9)và(10)suyra #  C 0 D = 2 3 #  MP 2 3 #  MN.Vậybavectơ #  C 0 D, #  MN, #  MPđồngphẳng.Dođó bađườngthẳng C 0 D, MN, MP nằmtrênbamặtphẳngđôimộtsongsonghoặctrùngnhau. Nhưng do MN, MP đồng phẳng và điểm C 0 không thuộc mặt phẳng (MNP) nên C 0 D k (MNP). Câu28. a)Tacó #  BD = #  a + #  c, #  BC 0 = #  b + #  c, #  BA 0 = #  a + #  b, #  BM = #  BA+ 1 4 #  BD 1+ 1 4 , #  BM = 4 #  BA+ #  BD 5 = 5 #  a + #  c 5 . #  BN = #  BA 0 + 2 3 #  BC 1+ 2 3 = 3 #  BA 0 +2 #  BC 5 . Từđó #  BN = 3 #  a +3 #  b +2 #  c 5 .Suyra #  MN = #  BN #  BM = 3 #  a +3 #  b +2 #  c 5 5 #  a + #  c 5 = 2 #  a +3 #  b + #  c 5 . b)Trướchếttachứngminhbavectơ #  MN, #  BD, #  BC 0 đồngphẳng,tứclàtồntạihaisố m, nsao cho #  MN = m #  BD+n #  BC 0 ,tứclà 2 #  a +3 #  b + #  c 5 = m( #  a + #  c)+n  #  b + #  c  , 2 #  a +3 #  b + #  c 5 = m #  a +n #  b +(m+n) #  c,(m;n)=  2 5 ; 3 5  . Vậy ta có #  MN = 2 5 #  BD+ 3 5 #  BC 0 , suy ra ba vectơ #  MN, #  BD, #  BC 0 đồng phẳng. Mà điểm M khôngthuộc(BDC 0 )nênsuyra MNk(BDC 0 ). Câu29. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC22|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi E là trung điểm AC, ta có NEk AD. Vì IKk AD nên NEk IKvà I,Kthuộc(BNE).Dođó I làgiaođiểm củahaiđườngtrungtuyến BE và CM nênlàtrọngtâm DABC.TrongDBNE,tacó: IK NE = BI BE = 2 3 . Mặt khác, AD = 2NE và các vectơ #  AD, #  IK cùng chiều nên từ IK = 2 3 NE = 1 3 AD ta có #  IK = 1 3 #  AD, suy ra x = 1 3 . Câu30. a)GọiO= AC\BD.Trongmặtphẳng(SBD),gọiO 0 làgiao điểmcủaB 0 D 0 vàSO.Trongmặtphẳng(SAC),tacóđiểmC 0 chínhlàgiaođiểmcủahaiđườngthẳng AO 0 vàSC. b) Do bốn điểm A, B 0 , C 0 , D 0 đồng phẳng nên theo bài tập 14a)ởtrang 11suyracócácsố a, b, gmà a+b+g = 1sao cho #  SC 0 = a #  SA+b #  SB 0 +g #  SD 0 = a #  SA+ b 2 #  SB+ g 2 #  SD. Đặt SC 0 SC = m.Tacầnchứngminhm= 1 3 .Tacó #  SC 0 = m #  SC = m  #  SB+ #  BC  = m  #  SB+ #  AD  = m  #  SB+ #  SD #  SA  =m #  SA+m #  SB+m #  SD. Tómtạitađãcóbavectơ #  SA, #  SB, #  SCkhôngđồngphẳngvà #  SC 0 = a #  SA+ b 2 #  SB+ g 2 #  SD #  SC 0 =m #  SA+m #  SB+m #  SD. Vậytheođịnhlí2ởtrang 3,suyra a=m, b 2 = m, g 2 = m) 1= a+b+g=m+2m+2m) m= 1 3 . Câu31. Đặt SB SM = m, SD SN = n. Tacầnchứngminhm+n= 3. Tacó #  SM = 1 m #  SB, #  SN = 1 n #  SD. Vì A, M, N, K cùng thuộc một mặt phẳng nên tồn tại các số a,b,gvớia+b+g= 1saocho #  SK = a #  SA+b #  SM+g #  SN.Khiđó #  SK = a #  SA+ b m #  SB+ g n #  SD. Lạicó CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC23|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 #  SK = 1 2 #  SC = 1 2  #  SB+ #  BC  = 1 2  #  SB+ #  AD  = 1 2  #  SB+ #  SD #  SA  . Vậytađãcóbavectơ #  SB, #  SD, #  SAkhôngđồngphẳngvà #  SK = a #  SA+ b m #  SB+ g n #  SD #  SK = 1 2 #  SA+ 1 2 #  SB+ 1 2 #  SD. Vậytheođịnhlí2ởtrang 3,suyra a= 1 2 , b m = 1 2 , g n = 1 2 ) 1= a+b+g= 1 2 + m 2 + n 2 ) m+n= 3. Câu32. Đặt SA SK = x, SC SM = y, SB SL = m, SD SN = n.Tacầnchứngminh x+y = m+n. Ta có #  SK = 1 x #  SA, #  SM = 1 y #  SC, #  SL = 1 m #  SB, #  SN = 1 n #  SD.Vì L, M, N, K cùngthuộcmặtphẳng(P) nêntồn tạicácsốa, b,gvớia+b+g= 1saocho #  SK = a #  SM+b #  SL+g #  SN. Khiđó #  SK = a y #  SC+ b m #  SB+ g n #  SD. Mặtkhác #  SK = 1 x #  SA= 1 x  #  SB+ #  BA  = 1 x  #  SB+ #  CD  = 1 x  #  SB+ #  SD #  SC  . Vậytađãcóbavectơ #  SB, #  SD, #  SCkhôngđồngphẳngvà #  SK = a y #  SC+ b m #  SB+ g n #  SD #  SK = 1 x #  SC+ 1 x #  SB+ 1 x #  SD. Vậytheođịnhlí2ởtrang 3,suyra a y = 1 x , b m = 1 x , g n = 1 x .Vìthế 1= a+b+g= y x + m x + n x ) m+ny= x) m+n= x+y. Câu33. Đặt: SA SM = x, SB SN = y, SC SP = z. Khiđó x+2y+3z= 10. #  SA= x #  SM, #  SB= y #  SN, #  SC = z #  SP. Trong(ABC)xétđiểm I saocho: #  IA+2 #  IB+3 #  IC = #  0. (1) Điểm I hoàntoànxácđịnhvàduynhất.Tacó(1)tươngđương:  #  SA #  SI  +2  #  SB #  SI  +3  #  SC #  SI  = #  0 , 6 #  SI = #  SA+2 #  SB+3 #  SC, 6 #  SI = x #  SM+2y #  SN+3z #  SP. (2) CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC24|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Trongmặtphẳng(MNP)xétđiểm J saocho: x #  JM+2y #  JN+3z #  JP= #  0.Khiđó: x #  SM+2y #  SN+3z #  SP =x  #  SJ+ #  JM  +2y  #  SJ+ #  JN  +3z  #  SJ+ #  JP  =(x+2y+3z) #  SJ+x #  JM+2y #  JN+3z #  JP =10 #  SJ. (3) Từ(2)và(3)suyra:6 #  SI = 10 #  SJ, #  SJ = 3 5 #  SI.Dođóđiểm J cốđịnh.Vậymặtphẳng(MNP) luônđiquađiểm J cốđịnh. Câu34. a) Gọi P,Q,Klầnlượtlàtrungđiểm AB,trungđiểmCD,trungđiểm PQ. Tacó: #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD = #  0. Lạicó: #  0 =( #  GA+ #  GB)+( #  GC+ #  GD) = 2 #  GP+2 #  GQ= 2( #  GP+ #  GQ)= 4 #  GK. Suy ra G K. Vậy trọng tâm G của tứ diện chính là trung điểmKcủa PQ.TacóDCBA=DDAB,suyra PC = PD,do đó đường trung tuyến PQ củaDPCD cũng là đường trung trựccủaCD.VậyKC = KD.Tươngtựtacó: KC = KB,KB= KA,KA= KD. VậyKA= KB= KC = KD = R. HayGcáchđều4đỉnh A,B,C,D. b) Tacó: R.MA= MA.KA #  MA. #  KA =( #  KA #  KM) #  KA= KA 2 #  KM. #  KA= R 2 #  KM. #  KA. Tươngtựtacó: R.MB R 2 #  KM. #  KB, R.MC R 2 #  KM. #  KC, R.MD R 2 #  KM. #  KD. Dođóvàlưuýrằng #  KA+ #  KB+ #  KC+ #  KD = #  0 nêntacó: R(MA+MB+MC+MD) 4R 2 #  KM( #  KA+ #  KB+ #  KC+ #  KD)= 4R 2 . Bởivậy MA+MB+MC+MD 4R.Dấu"="xảyrakhivàchỉkhi M G. Dođó MA+MB+MC+MDđạtgiátrịnhỏnhấtkhi M G. Câu35. Xétbavectơđơnvị #  a, #  b, #  g đôimộtvuônggócvớinhau.Đặt: #  u = a #  a +b #  b +c #  g, #  v = x #  a +y #  b +z #  g, #  w = #  a + #  b + #  g. Khiđó: #  u #  v =  a #  a +b #  b +c #  g  x #  a +y #  b +z #  g  = ax+by+cz. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC25|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 #  u #  w =  a #  a +b #  b +c #  g  #  a + #  b + #  g  = a+b+c. #  v #  w =  x #  a +y #  b +z #  g  #  a + #  b + #  g  = x+y+z. #  u 2 =  a #  a +b #  b +c #  g  a #  a +b #  b +c #  g  = a 2 +b 2 +c 2 . #  v 2 =  x #  a +y #  b +z #  g  x #  a +y #  b +z #  g  = x 2 +y 2 +z 2 . #  w 2 =  #  a + #  b + #  g  #  a + #  b + #  g  = 1+1+1= 3. Nhưvậy:j #  uj = p a 2 +b 2 +c 2 ,j #  vj = p x 2 +y 2 +z 2 ,j #  wj = p 3. Bấtđẳngthứccầnchứngminhtrởthành: #  u #  v +j #  ujj #  vj 2 3 ( #  u #  w)( #  v #  w). (1)  Nếuj #  uj = 0hoặcj #  vj = 0thì(1)đúng.  Giảsửj #  uj> 0vàj #  vj> 0.Khiđó: (1), #  u #  v j #  ujj #  vj +1 2( #  u #  w)( #  v #  w) 3j #  ujj #  vj , #  u #  v j #  ujj #  vj +1 2( #  u #  w)( #  v #  w) j #  wj 2 j #  ujj #  vj , #  u #  v j #  ujj #  vj +1 2 #  u #  w j #  ujj #  wj
#  v #  w j #  vjj #  wj . (2) Đặtbavectơ #  u, #  v, #  wcóchunggốcOvàxétbatiaOx,Oy,Ozlầnlượtcóhướng #  u, #  v, #  w. Đặt:a 0 = Õ xOy, b 0 = Õ xOz, g 0 = Õ zOy.Khiđó: (2), 1+cosa 0  2cosb 0 cosg 0 , 1+cosa 0  cos(b 0 +g 0 )+cos(b 0 g 0 ). (3) Theobàitập??(ởtrang??),tacóa 0  b 0 +g 0  2pa 0 ,suyra cosa 0  cos(b 0 +g 0 ). Nhưvậy: 1+cosa 0  1+cos(b 0 +g 0 ) cos(b 0 g 0 )+cos(b 0 +g 0 ). Dođó(3)đúng,tacóđiềuphảichứngminh. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Đề bài Câu1. Tínhchấtnàosauđâylàsai? A. #  a + #  b = #  b + #  a. B. #  a #  b = #  b #  a. C. #  a #  b = #  a +( #  b). D. ( #  a + #  b)+ #  c = #  a +( #  b + #  c). Câu2. Chođiểm Mchiađoạnthẳng ABtheotỉsố k,với k6= 1thìtacó: #  MA = k #  MB.Khiđó vớiđiểmOtùyýtacó: A. #  OM = #  OA+k #  OB 1k . B. #  OM = #  OAk #  OB 1+k . C. #  OM = #  OA+k #  OB 1+k . D. #  OM = #  OAk #  OB 1k . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC26|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu3. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phân tích nào sau đây là đúng? A. #  OG = 1 2 ( #  OA+ #  OB+ #  OC). B. #  OG = 1 3 ( #  OA+ #  OB+ #  OC). C. #  OG = #  OA+ #  OB+ #  OC. D. #  OG = 3 2 ( #  OA+ #  OB+ #  OC). Câu4. Điềukiệncầnvàđủđểbavectơ #  a, #  b, #  c khôngđồngphẳnglà: A. Giácủachúngkhôngcùngthuộcmộtmặtphẳng. B. Giácủachúngcùngthuộcmộtmặtphẳng. C. Giácủachúngkhôngcùngsongsongvớimộtmặtphẳng. D. Giácủachúngcùngsongsongmộtmặtphẳng. Câu5. Cho ba vectơ #  a, #  b, #  c. Điều kiện nào sau đâykhông kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng? A. Mộttrongbavectơđóbằng #  0. B. Cóhaitrongbavectơđócùngphương. C. Cómộtvectơkhôngcùnghướngvớihaivectơcònlại. D. Cóhaitrongbavectơđócùnghướng. Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Hãy phân tíchvectơ #  BDtheocácvectơ #  AB, #  AD, #  AA 1 . A. #  BD = #  AB+ #  AD+0. #  AA 1 . B. #  BD = #  AB+ #  AD+ #  AA 1 . C. #  BD = #  AB #  AD+0. #  AA 1 . D. #  BD = #  AB+ #  AD #  AA 1 . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Hãy phân tíchvectơ #  AC 1 theocácvectơ #  AB, #  AD, #  AA 1 . A. #  AC 1 = #  AB+ #  AD #  AA 1 . B. #  AC 1 = #  AB #  AD+ #  AA 1 . C. #  AC 1 = #  AB+ #  AD+ #  AA 1 . D. #  AC 1 = #  AB #  AD #  AA 1 . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Câu8. Cholăngtrụtamgiác ABC.A 0 B 0 C 0 .Đặt #  AA 0 = #  a, #  AB= #  b, #  AC = #  c, #  BC = #  d. Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. #  a = #  b + #  c. B. #  a + #  b + #  c + #  d = #  0. C. #  b #  c + #  d = #  0. D. #  a + #  b + #  c = #  d. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC27|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu 9. Cho hình hộp ABCD.EFGH có #  AB = #  a, #  AD = #  b, #  AE = #  c. Gọi I là trung điểm của đoạn BG.Hãybiểuthịvectơ #  AI quabavectơ #  a, #  b, #  c. A. #  AI = 2 #  a + 1 4 #  b + 1 3 #  c. B. #  AI = 3 #  a + 1 3 #  b + #  c. C. #  AI = #  a + 1 2 #  b + 1 2 #  c. D. #  AI = #  a + 1 2 #  b + 1 4 #  c. Câu10. Chohìnhlăngtrụtamgiác ABC.A 0 B 0 C 0 có #  AA 0 = #  a, #  AB= #  b, #  AC = #  c. Hãyphântíchvectơ #  B 0 Ctheocácvectơ #  a, #  b, #  c. A. #  B 0 C = #  a + #  b + #  c. B. #  B 0 C = #  a #  b + #  c. C. #  B 0 C = #  a #  b #  c. D. #  B 0 C = #  a #  b + #  c. Câu11. Mệnhđềnàosauđâylàsai? A. Vectơkhônglàvectơcóđiểmđầuvàđiểmcuốitrùngnhau. B. Haivectơcóđộdàibằngnhauvàcùngphươngthìhaivectơđóbằngnhau. C. Giácủavectơlàđườngthẳngđiquađiểmđầuvàcuốicủavectơđó. D. Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Câu12. Mệnhđềnàosauđâylàđúng? A. Bavectơđồngphẳngthìcógiásongsongvớinhau. B. Bavectơđồngphẳngthìcógiácùngnằmtrongmộtmặtphẳng. C. Nếugiácủabavectơcùngsongsongvớimộtmặtphẳngthìbavectơđóđồngphẳng. D. Nếugiácủabavectơđôimộtvuônggócthìbavectơđóđồngphẳng. Câu13. Hãychọnmệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsauđây? A. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có #  SB+ #  SD = #  SA+ #  SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứgiác ABCDlàhìnhbìnhhànhnếu #  AB= #  BC. C. Tứgiác ABCDlàhìnhbìnhhànhnếu #  AB+ #  BC+ #  CD+ #  DA= #  0. D. Tứgiác ABCDlàhìnhbìnhhànhnếu #  AB+ #  AC = #  AD. Câu14. Chocácmệnhđềsau: (I) Vectơ #  x = #  a + #  b + #  c luônđồngphẳngvớihaivectơ #  a, #  b. (II) Nếucó m #  a +n #  b + p #  c = #  0 vàítnhấtmộttrongbasố m,n,p kháckhôngthìbavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng. (III) Nếubavectơ #  a, #  b, #  c khôngđồngphẳngvàm #  a +n #  b +p #  c = #  0 thìm= n= p= 0. Cóbaonhiêumệnhđềđúng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu15. Chohaiđiểmphânbiệt A,BvàmộtđiểmObấtkì.Hãyxemxétmệnhđềnàosauđây làđúng? A. Điểm Mthuộcđườngthẳng ABkhivàchỉkhi #  OM = #  OB= k #  BA. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC28|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 B. Điểm Mthuộcđườngthẳng ABkhivàchỉkhi #  OM = #  OB= k( #  OB #  OA). C. Điểm Mthuộcđườngthẳng ABkhivàchỉkhi #  OM = k #  OA+(1k) #  OB. D. Điểm Mthuộcđườngthẳng ABkhivàchỉkhi #  OM = #  OA+ #  OB. Câu16. Cho4điểm A,B,C,Dtrongkhônggian.Hỏicóbaonhiêuvectơkhác #  0 cóđiểmđầu vàđiểmcuốilà4điểmđó? A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. Câu17. Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 với tâm O. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thứcsau: A. #  AC 0 = #  AB+ #  AD+ #  AA 0 . B. #  AB+ #  BC 0 + #  CD+ #  D 0 A= #  0. C. #  AB+ #  AA 0 = #  AD+ #  DD 0 . D. #  AB+ #  BC+ #  CC 0 = #  AD 0 + #  D 0 O+ #  OC 0 . Câu18. Chotamgiác ABC.LấyđiểmSnằmngoàimặtphẳng(ABC).TrênđoạnSAlấyđiểm M sao cho #  MS =2 #  MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho #  NB = 1 2 #  NC. Biết biểu diễn #  MN = m #  AB+n #  SClàduynhất.Tínhm+n. A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 B 2 D 3 B 4 C 5 C 6 A 7 C 8 C 9 C 10 B 11 B 12 C 13 A 14 D 15 C 16 D 17 C 18 B LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Tínhchấtsailà: #  a #  b = #  b #  a. Chọnđápán B Câu2. Tacó #  MA= k #  MB,suyra #  OM = #  OAk #  OB 1k . Chọnđápán D Câu3. ĐiểmGlàtrọngtâmcủatamgiác ABCkhi #  OG = 1 3 ( #  OA+ #  OB+ #  OC). Chọnđápán B Câu4. Ba vectơ #  a, #  b, #  c đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặtphẳng. Chọnđápán C Câu5. Haivectơcònlạicóthểkhôngcùngphươngnênbavectơcóthểkhôngđồngphẳng. Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC29|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu6. Theoquytắchìnhbìnhhành,tacó: #  BD = #  AD #  AB. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Chọnđápán A Câu7. Tacó #  AC 1 = #  AB+ #  AD+ #  AA 1 . Chọnđápán C Câu8. Tacó #  d = #  BC = #  AC #  AB= #  c #  b. Dođó #  b #  c + #  d = #  0. Chọnđápán C Câu9. Tacó #  AI = #  AB+ #  BI = #  a + 1 2 #  BG = #  a + 1 2  #  b + #  c  . Chọnđápán C Câu10. Tacó: #  B 0 C = #  B 0 B+ #  BC = #  a +  #  AC #  AB  = #  a + #  c #  b = #  a #  b + #  c. A B C A 0 B 0 C 0 #  a #  b #  c Chọnđápán B Câu11. Haivectơcóđộdàibằngnhauvàcùnghướngthìhaivectơđóbằngnhau. Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC30|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu12. Nếugiácủabavectơcùngsongsongvớimộtmặtphẳngthìbavectơđóđồngphẳng. Chọnđápán C Câu13. Nếu #  SB+ #  SD = #  SA+ #  SCthì: #  SB #  SA= #  SC #  SD, #  AB= #  DC. Suyratứgiác ABCDlàhìnhbìnhhành.Mệnhđề D saivì: #  AB+ #  AC = #  AD, #  AB= #  AD #  AC, #  AB= #  CD. Chọnđápán A Câu14. Do #  x được biểu thị qua hai vectơ #  a và #  b nên (I) đúng. Xét mệnh đề (II): giả sử m6= 0,khiđó: m #  a +n #  b +p #  c = #  0, #  a = n m #  b p m #  c. Suyrabavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng.Vậymệnhđề(II)đúng.Domệnhđề(III)tươngđương vớimệnhđề(II)nênmệnhđề(III)đúng. Chọnđápán D Câu15. Chọnđápán C Câu16. LấyAlàmgốctađược3vectơ #  AB, #  AC, #  AD.TươngtựđốivớiB,C,Dtađược4.3= 12 vectơ. Chọnđápán D Câu17. Theoquytắchìnhhộpthì Ađúng. Do #  AB, #  CDđốinhauvà #  BC 0 , #  D 0 Ađốinhaunên Bđúng. Do #  AB+ #  BC+ #  CC 0 = #  AC 0 , #  AD 0 + #  D 0 O+ #  OC 0 = #  AC 0 nên Dđúng. Do #  AB+ #  AA 0 = #  AB 0 , #  AD+ #  DD 0 = #  AD 0 nênCsai. TathấymệnhđềCtươngđươngvới #  AB= #  AD(sai). Chọnđápán C Câu18. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC31|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Theogiảthiếttacó: #  MS=2 #  MA, #  NB= 1 2 #  NC. Lấyđiểm Ptrêncạnh ACsaocho #  PC =2 #  PA.Khiđó: #  MN = #  MP+ #  PN = 1 3 #  SC+ 2 3 #  AB. Vậym= 2 3 , n= 1 3 . Dođóm+n= 1. S B C A M N P Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC32|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 BÀI2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1.Gócgiữahaiđườngthẳng. Định nghĩa 1. GócgiữahaiđườngthẳngD 1 vàD 2 làgócgiữa haiđườngthẳngd 1 vàd 2 cùngđiquamộtđiểmvàlầnlượtsong song(hoặctrùng)vớiD 1 vàD 2 . 2.Haiđườngthẳngvuônggóc. Định nghĩa 2. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhaunếugócgiữachúngbằng90  . Nhận xét 1. Mộtđườngthẳngvuônggócvớimộttronghaiđườngthẳngsongsongthìvuông gócvớiđườngthẳngcònlại. B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 5. Tínhgócagiữahaiđườngthẳngavàb. Phươngpháp.Sửdụngmộttronghaicáchsau:  Tìmcácvectơchỉphương #  u và #  v của avà brồitínhgóc agiữahaiđườngthẳng avà b theocôngthứccosa= jcos( #  u, #  v)j.  Dựnggóc a rồitínhsốđogóc a bằngcáchdùngtíchvôhướnggiữahaivectơhoặccác hệthứclượngtrongtamgiác(thườngdùngđịnhlíhàmsốcôsin). Chú ý 3. Gócagiữahaiđườngthẳngphảithỏamãn0   a 90  . Chú ý 4. Cho hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là #  u, #  v. Gọi a là góc giữa hai đườngthẳngđó.Tacó: a=( #  u, #  v), khi ( #  u, #  v) 90  ; a= 180  ( #  u, #  v), khi ( #  u, #  v)> 90  . Chú ý 5. Vì #  BC = #  AC #  AB) BC 2 = AC 2 2 #  AB. #  AC+AB 2 nên: #  AB. #  AC = AB 2 +AC 2 BC 2 2 Chú ý 6 (Định lí côsin trong tam giác). Trongtamgiác ABCvới BC = a, AC = b, AB= c,tacó: a 2 = b 2 +c 2 2bccosA b 2 = c 2 +a 2 2cacosB c 2 = a 2 +b 2 2abcosC. Bài 1. Cho hình chóp A.BCD có M,N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Biết rằng AB= 10;CD = 6,MN = 7.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng ABvàCD. L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC33|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Lờigiải1.Gọi Plàtrungđiểm AC.Tacó PMk AB, PM = 1 2 AB= 5; PNk CD, PN = 1 2 CD = 3. DođógócgiữahaiđườngthẳngABvàCDlàgócgiữahaiđường thẳng PMvà PN.Tacó cos × MPN = PM 2 +PN 2 MN 2 2PM.PN = 9+2549 30 = 1 2 . Suyra × MPN = 120  . Vậygócgiữađườngthẳng ABvàđườngthẳngCDlà180  120  = 60  . Lờigiải2.Tacó: 2 #  MN = #  MN+ #  MN =  #  MB+ #  BA+ #  AN  +  #  MC+ #  CD+ #  DN  =  #  MB+ #  MC  +  #  AN+ #  DN  +  #  BA+ #  CD  = #  BA+ #  CD. Dođó: 4MN 2 =  #  BA+ #  CD  2 = BA 2 +CD 2 +2 #  BA. #  CD )196= 100+36+2.10.6cos  #  BA, #  CD  ) cos  #  BA, #  CD  = 1 2 . Vậygócgiữađườngthẳng ABvàđườngthẳngCDlà60  . Bài 2. Chotứdiện SABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a p 2.Tínhgócgiữa haiđườngthẳngSCvà AB. L Lời giải Tacó( #  SA, #  AB)= 120  ; AC 2 +AB 2 = BC 2 . Suyra AC?AB.Tacó cos( #  SC, #  AB)= #  SC. #  AB #  SC . #  AB = ( #  SA+ #  AC). #  AB #  SC . #  AB = #  SA. #  AB+ #  AC. #  AB a 2 = a 2 2 +0 a 2 = 1 2 . Suyra( #  SC, #  AB)= 120  .GócgiữaSCvà ABlà180  120  = 60  . Cách2.Gọi M,N,PlầnlượtlàtrungđiểmcủaSA,SB, AC. Khi đó MNk AB, MPk SC. Để tính góc giữa hai đường thẳngSCvà AB,tacầntính × NMP. MN = MP= a 2 , SP 2 = 3a 2 4 . BP 2 = BA 2 +BC 2 2 AC 2 4 = 5a 2 4 . PN 2 = PS 2 +PB 2 2 SB 2 4 = 3a 2 4 . cos × NMP = MP 2 +MN 2 PN 2 2MP.MN = 1 2 . Suy ra cos × NMP = 120  . Vậy gócgiữahaiđườngthẳngSCvà ABbằng60  . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC34|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Lưuý.Xinnhắclạicôngthứctínhđộdàiđườngtrungtuyếncủatamgiáctronghìnhhọclớp 10.TrongDABCtacó: m 2 a = b 2 +c 2 2 a 2 4 m 2 b = c 2 +a 2 2 b 2 4 m 2 c = a 2 +b 2 2 c 2 4 . Bài 3. Chohìnhchóp S.ABCD cótấtcảcáccạnhđềubằng a,đáy ABCD làhìnhvuông.Gọi N làtrungđiểmSB. a) ChứngminhrằngcáctamgiácSAC,SBDlàcáctamgiácvuông. b) Tínhgócgiữahaiđườngthẳng: AN vàCN; AN vàSD. L Lời giải a) Vì ABCDlàhìnhvuôngcạnhbằng anên AC = BD = a p 2. XétcáctamgiácSAC,SBDtacó: SA 2 +SC 2 = 2a 2 = AC 2 ; SB 2 +SD 2 = 2a 2 = BD 2 . VậyDSAC,DSBDvuôngtạiS. b) Tacó ANvàCNlàđườngcaocủacáctamgiácđềuSAB,SBCnêntacó AN = CN = a p 3 2 . Trongtamgiác ANCtacócos Ö ANC = AN 2 +CN 2 AC 2 2AN.AC = 1 3 . Gọialàgócgiữahaiđườngthẳng AN vàCN.Khiđó cosa= jcos Ö ANCj= 1 3 , a= arccos 1 3  70  31 0 . Gọi blàgócgiữahaiđườngthẳng AN vàSD.Khiđó cosb= cos( #  AN, #  SD) = j #  AN. #  SDj j #  ANjj #  SDj . Vì BN?SDvà Õ SDC = 60  nêntacó: #  AN. #  SD =( #  AB+ #  BN) #  SD = #  AB. #  SD+ #  BN. #  SD = #  AB. #  SD = #  DC. #  DS=DC.DS.cos Õ SDC =a 2 cos60  = 1 2 a 2 . Vậycosb= 1 p 3 ) b= arccos 1 p 3  54  44 0 . Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA = SC. Gọi M, N lần lượt là trungđiểmcủa ADvàCD, PlàđiểmtrêncạnhSBsaocho BP= 3PS. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC35|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 a) Tínhgócgiữahaiđườngthẳng ACvàSD. b) Xácđịnhthiếtdiệntạobởi(MNP)vớihìnhchóp. L Lời giải a)GọiElàtrungđiểmcủacạnhSB.TacóDSAB= DSCBvìSA= SC, AB= CB,SBchung.Dođóhai trung tuyến tương ứng bằng nhau: AE = CE. Từ đótathấytamgiác ACEcântạiE.SuyraOE?AC. Tamgiác SBD cóOElàđườngtrungbìnhnênOE songsongSD.Vậy AC?SD. b)Gọi I = MN\BD. Trong(SBD)Gọi J = IP\SO. Tacó  MNk AC MN(MNP),AC(SAC). Suyra(MNP)cắt(SAC)theogiaotuyến HK qua J và HKk AC(H thuộc SA, K thuộc SC).Từđóta thấythiếtdiệntạothànhlàngũgiác MNKPH. Lưuý.Cóthểgiảicâu a)cáchkhácnhưsau:Tacó: cos  Ù #  AC; #  SD  = #  AC. #  SD AC.SD = #  AC. #  AD #  AC. #  AS AC.SD . (1) Mà DC 2 =  #  AC #  AD  2 = AC 2 +AD 2 2 #  AC. #  AD 2 #  AC. #  AD = AC 2 +AD 2 DC 2 = AC 2 SC 2 =  #  AC #  AS  2 = AC 2 +AS 2 2 #  AC. #  AS 2 #  AC. #  AS= AC 2 +AS 2 SC 2 = AC 2 . nêntừ(1)suyracos  Ù #  AC; #  SD  = 0) #  AC? #  SD) AC?SD. Bài 5. Chotứdiện ABCDcó: AB= CD = a,AC = BD = b,AD = BC = c. a) Tínhcôsincủagóctạobởihaiđườngthẳng ABvàCD. b) GọiGlàtrọngtâmDABC.Tínhkhoảngcáchtừ DđếnG. L Lời giải a)Gọialàgócgiữahaiđườngthẳng ABvàCD,tacó: cosa= #  AB. #  CD AB.CD . Xét #  AB. #  CD= #  AB.  #  AD #  AC  = #  AB. #  AD #  AB. #  AC. Tacó: #  AB. #  AD = a 2 +c 2 b 2 2 ; #  AB. #  AC = a 2 +b 2 c 2 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC36|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Từđótatínhđược: #  AB. #  CD = a 2 +c 2 b 2 2 a 2 +b 2 c 2 2 = c 2 b 2 . Dođó:cosa= c 2 b 2 a 2 . b)DoGlàtrọngtâmDABCnên: #  DA+ #  DB+ #  DC = 3 #  DG.Suyra: 9DG 2 =  #  DA+ #  DB+ #  DC  2 = DA 2 +DB 2 +DC 2 +2 #  DA. #  DB+2 #  DB. #  DC+2 #  DC. #  DA = a 2 +b 2 +c 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +a 2 c 2 +a 2 +c 2 b 2 = 2(a 2 +b 2 +c 2 ). Dođó: DG = p 2(a 2 +b 2 +c 2 ) 3 . Dạng 6. Chứngminhhaiđườngthẳngavàbvuônggócvớinhau. Phươngpháp.Cóthểsửdụngmộttrongcácphươngphápsau:  Nếu hai đường thẳng a,b được đưa về cùng một mặt phẳng (P) thì sử dụng các cách chứngminhhaiđườngthẳngvuônggóctronghìnhhọcphẳng.  Dùngđịnhnghĩagóccủahaiđườngthẳngtrongkhônggianvàchứngminhgócđóbằng 90  .  Tìm hai vectơ chỉ phương #  u và #  v của hai đường thẳng a,b và chứng minh #  u. #  v = #  0. Đặcbiệt,nếu #  AB. #  CD = 0thì AB?CD.  Sửdụngnhậnxét1ởtrang32. Bài 6. Chứngminhnhậnxét1ởtrang32. L Lời giải Giảsử ak bvàc?a.LấyđiểmObấtkìtrêncsaochoO / 2 a,kẻ đườngthẳnga 0 điquaOvàsongsongvớia.Khiđó Õ cOa 0 = 90  . Dễthấy a 0 k bnên Õ cOa 0 chínhlàgócgiữahaiđườngthẳngcvà b.Dođótacóc?b. Bài 7. Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cótấtcảcáccạnhbằngnhau.(hìnhhộpnhưthếgọilà hìnhhộpthoi).Chứngminhrằng AC?B 0 D 0 . L Lời giải Tứgiác ACC 0 A 0 cócặpcạnhđối AA 0 , CC 0 songsong vàbằngnhaunênlàhìnhbìnhhành,dođó AC song songvới A 0 C 0 .Theogiảthiết,tứgiác A 0 B 0 C 0 D 0 làhình thoinên A 0 C 0 vuônggócvới B 0 D 0 .Nhưvậy:  ACk A 0 C 0 B 0 D 0 ?A 0 C 0 ) B 0 D 0 ?AC. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC37|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 8. Chotứdiệnđều ABCD.Gọi I,Jlầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,CD.Chứngminhrằng: IJ?AB; 1 IJ?CD; 2 AB?CD. 3 L Lời giải 1 TacóDACD, DBCDlàhaitamgiácđềuvàbằngnhau,do đó AJ = BJ.SuyraDAJBcântại J.Mà I làtrungđiểm AB nên IJ?AB. 2 Tươngtựcâu(1). 3 Tacó: #  AB. #  CD =( #  AJ+ #  JB). #  CD = #  AJ. #  CD+ #  JB. #  CD = 0. (do JA?CD,JB?CD).Vậy AB?CD. Cáchkhác.Gọi alàđộdàicạnhtứdiện.Khiđó #  AB. #  CD =  #  AC+ #  CB  #  CD = #  AC. #  CD+ #  CB. #  CD = AC.CD.cos120  +CB.CDcos60  = a 2 2 + a 2 2 = 0. Bởivậy #  AB? #  CD) AB?CD. Bài 9. Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cótấtcảcáccạnhbằnga(hìnhhộpnhưthếgọilàhình hộpthoi)và Ö ABC = Ö B 0 BA= Ö B 0 BC = 60  .Tínhdiệntíchtứgiác A 0 B 0 CD. L Lời giải Tacó:  A 0 B 0 k C 0 D 0 A 0 B 0 = C 0 D 0 ;  CDk C 0 D 0 CD = C 0 D 0 . Vậy A 0 B 0 k CD và A 0 B 0 = CD, suy ra tứ giác A 0 B 0 CDlàhìnhbìnhhành.Ngoàira B 0 C = a = CD nên A 0 B 0 CDlàhìnhthoi.Tasẽchứngminh A 0 B 0 CD làhìnhvuông.Thậtvậy,tacó: #  CB 0 . #  CD =  #  CB+ #  BB 0  #  BA = #  CB. #  BA+ #  BB 0 . #  BA = #  BB 0 . #  BA #  BC. #  BA = a.a.cos60  a.a.cos60  = 0. Vậy CB 0 ?CD,dođó A 0 B 0 CD làhìnhvuôngcạnh a. Từđódiệntíchhìnhvuông A 0 B 0 CDbằng a 2 . Bài 10. Chứngminhrằngvớibốnđiểm A,B,C,Dtùyýtrongkhônggiantacó: #  AB. #  CD+ #  AC. #  DB+ #  AD. #  BC = 0. (*) Từđósuyrarằngnếumộttứdiệncóhaicặpcạnhđốidiệnvuônggócthìcặpcạnhđốidiện thứbacũngvuônggóc. L Lời giải Tacó: #  AB. #  CD+ #  AC. #  DB+ #  AD. #  BC = #  AB( #  CB+ #  BD)+ #  AC. #  DB+ #  AD. #  BC CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC38|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = #  AB. #  CB+ #  AB. #  BD+ #  AC. #  DB+ #  AD. #  BC =( #  AB. #  CB+ #  AD. #  BC)+( #  AB. #  BD+ #  AC. #  DB) =( #  AB. #  CB #  AD. #  CB)+( #  AB. #  BD #  AC. #  BD) = #  CB( #  AB #  AD)+ #  BD( #  AB #  AC) = #  CB. #  DB+ #  BD. #  CB= #  CB( #  DB+ #  BD)= 0. Giảsửtứdiện ABCDcó: AB?CDvà BC?AD. Khiđó: #  AB. #  CD = 0và #  BC. #  AD = 0. Vậytừ(*)tacó #  BD. #  AC = 0.Suyra BD?AC.Dođó tacóđiềucầnchứngminh. Lưu ý. Bài tập 10 này không khó nhưng rất có ý nghĩa,đượcdùngđểgiảimộtsốbàitậpkhác.Vìvậy bạnđọcnênnhớđểsửdụngkhicần. Bài 11. Chotứdiện ABCD.Chứngminhrằng: a) AD?BCkhivàchỉkhi AC 2 +BD 2 = AB 2 +DC 2 . b) Nếu AD?BCvà AC?BDthì AB?CD. L Lời giải a) Tacó: AC 2 +BD 2 = AB 2 +DC 2 , AC 2 AB 2 = DC 2 DB 2 , #  AC 2 #  AB 2 = #  DC 2 #  DB 2 ,( #  AC #  AB)( #  AC+ #  AB)=( #  DC #  DB)( #  DC+ #  DB) ,2 #  BC. #  AI = 2 #  BC. #  DI, 2 #  BC( #  AI+ #  ID)= #  0 , #  BC. #  AD = 0, BC?AD. b) Do AD?BCvà AC?BDnêntheocâu a)tacó: AB 2 +DC 2 = AC 2 +BD 2 , AB 2 +CD 2 = AD 2 +BC 2 . Từđó AC 2 +BD 2 = AD 2 +BC 2 .Cũngtheocâu a)suyra AB?CD. Bài 12. Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (P). Chứng minh rằngnếuđườngthẳng avuônggócvớicả bvà cthìnóvuônggócvớimọiđườngthẳngnằm trong(P). L Lời giải Giảsửdlàmộtđườngthẳngbấtkìtrong(P).Tacầnchứngminha?d.Gọi #  u, #  v, #  w, #  r lầnlượt làcácvectơchỉphươngcủaa,b,c,d.Dob,c,dđồngphẳngvàb,ckhôngcùngphươngnêntồn tạicácsốm,nsaocho: #  r = m #  v +n #  w. Bởivậy: #  u. #  r = #  u(m #  v +n #  w)= m #  u. #  v +n #  u. #  w = 0) #  u? #  r ) a?d. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC39|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN 1. Đề bài Bài 13. Chovectơ #  n khác #  0 vàhaivectơ #  a, #  b khôngcùngphương.Chứngminhrằngnếu #  n vuônggócvớicảhaivectơ #  a và #  b thìbavectơ #  n, #  a, #  b khôngđồngphẳng. Bài 14. Chứngminhrằngnếubavectơcùngvuônggócvớivectơ #  n6= #  0 thìđồngphẳng.Từ đósuyranếubađườngthẳngd 1 ,d 2 ,d 3 cùngvuônggócvớimộtđườngthẳngdthìbađường thẳngd 1 ,d 2 ,d 3 cùngsongsongvớimộtmặtphẳng. Bài 15. ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhthoi,cạnhbênSA= ABvàSA?BC. a) TínhgócgiữahaiđườngthẳngSDvà BC. b) Gọi I, JlầnlượtlàcácđiểmthuộcSBvàSDsaocho IJk BD.Chứngminhrằnggócgiữa ACvà IJ khôngphụthuộcvàovịtrícủa I và J. Bài 16. Chotứdiệnđều ABCDcạnha.Gọi M,Nlầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh AC,BC. Tínhgócgiữacáccặpđườngthẳng ABvà DN giữa AN và DM. Bài 17. Chotứdiện ABCD trongđógócgiữa ABvà CD bằng a.Gọi Mlàđiểmbấtkìthuộc cạnh AC,đặt AM = x(0< x< AC).Xétmặtphẳng(P)điquađiểm Mvàsongsongvới AB, CD. a) Xác định vị trí của điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi (P)đạtgiátrịlớnnhất.Tìmgiátrịlớnnhấtđó. b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB= CD. Bài 18. Chohìnhtứdiện ABCD,trongđó AB?AC, AB?BD.GọiPvàQlầnlượtlàcácđiểm thuộccácđườngthẳng ABvàCDsaocho #  PA= k #  PB, #  QC = k #  QD(k6= 1). a) Chứngminhrằngbavectơ #  PQ, #  AC, #  BDđồngphẳng. b) Chứngminhrằng AB?PQ. Bài 19. Chotứdiệnđều ABCD cócáccạnhbằng a.Gọi Mlàtrungđiểm AB.Xácđịnhvịtrí điểm N trênđườngthẳng ACsaocho DN?CM. Bài 20. ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácđềucạnhbằng4 p 2,SC = 2,SCvuông gócvớiCAvàCB.GọiE,Flầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,BC.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng CEvàSF. Bài 21. Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng a. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các đoạnthẳng AB, BC, AD.GọiGlàtrọngtâmtamgiác BCD.Đặt #  AB= #  b, #  AC = #  c, #  AD = #  d. a) Biểudiễncácvectơ #  MG, #  NPtheo #  b, #  c, #  d. b) Tínhgócgiữahaiđườngthẳng MGvà NP. Bài 22. Cho tứ diện ABCD có tích các cặp cạnh đối bằng nhau. Gọi a, b, g lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB,CD; AC,BD; AD,BC. Chứng minh rằng trong ba giá trị cosa,cosb,cosgcómộtgiátrịbằngtổngcủahaigiátrịcònlại. Bài 23. Choba tia Ox,Oy,Oz khôngđồng phẳng. Gọi a = Õ yOz, b = Õ zOx, g = Õ xOy. Chứng minhrằng:cosa+cosb+cosg> 3 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC40|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 24. Chotứdiện ABCD.Điểm Mbấtkìtrongkhônggiannhìncáccạnhcủatứdiệndưới cácgóca 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 .Chứngminhrằng cosa 1 +cosa 2 +cosa 3 +cosa 4 +cosa 5 +cosa 6 2. 2. Lời giải, hướng dẫn Câu13. Nếu #  n, #  a, #  b đồngphẳngthìtồntạicácsốthực xvàysaocho #  n = x #  a +y #  b.Từđó #  n. #  n =  x #  a +y #  b  #  n = x. #  a. #  n +y. #  b. #  n = 0) #  n = #  0, điềunàymâuthuẫnvớigiảthiết.Suyrabavectơ #  n, #  a, #  b khôngđồngphẳng. Câu14. Giảsửbavectơcùngvuônggócvớivectơ #  n6= #  0 là #  a, #  b, #  c,tứclà #  a. #  n = #  b. #  n = #  c. #  n = 0. Nếu #  a và #  b cùngphươngthì #  a, #  b, #  c đồngphẳng.Nếu #  a và #  b khôngcùngphươngthìba vectơ #  n, #  a, #  b khôngđồngphẳng(theobàitập13).Khiđó #  c = x #  a +y #  b +z #  n. Suyra #  c. #  n =  x #  a +y #  b +z #  n  #  n = x #  a #  n +y #  b #  n +z #  n 2 = z #  n 2 . (*) Mà #  c? #  n nêntừ(*)suyra z #  n 2 = 0,suyra z = 0,tứclà #  c = x #  a +y #  b.Vậybavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳng.Nếubađườngthẳng d 1 , d 2 , d 3 cùngvuônggócvớimộtđườngthẳng d thìtheo kếtquảtrênsuyrabavectơchỉphươngcủa d 1 , d 2 , d 3 đồngphẳng,tứclàbađườngthẳng d 1 , d 2 ,d 3 cùngsongsongvớimộtmặtphẳng. Câu15. a) Vì BC k AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD. Từgiả thiếtta có SA?BC nên SA?AD. Mặtkhác SAbằngcạnhcủahìnhthoi ABCDnên Ö SDA = 45  làgóc phảitìm.VậygócgiữaSDvà BCbằng45  . b) Do ABCD là hình thoi nên AC?BD. Mặt khác IJ k BD nên AC?IJ,tứclàgócgiữa IJ và ACbằng90  khôngđổi. Câu16. Tamgiác ABCcó MN làđườngtrungbìnhnên MNk AB.Nhưthế góc giữa AB và DN là góc giữa MN và DN. Đặt × DNM = a. Tam giác DMN có: MN = a 2 , DM = DN = a p 3 2 . SửdụngđịnhlícôsinchoDDMN tacó: DM 2 = DN 2 +MN 2 2DN.MNcosa. Suyracosa= MN 2 2DN.MN = MN 2DN = a 2 2. a p 3 2 = 1 2 p 3 > 0. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC41|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Vậy alàgócnhọnvàgócgiữa ABvà DN là a = arccos 1 2 p 3 .Gọi Plàtrungđiểm NC,khiđó MPk AN, vậy góc giữa AN và DM là góc giữa MP và MD. Từ định lí côsin cho tam giác PMDtacó cos × PMD = MD 2 +MP 2 PD 2 2MD.MP = 3a 2 4 + 3a 2 16  3a 2 4 + a 2 16  2. a p 3 2 . a p 3 4 = 1 6 . Vậygócgiữahaiđườngthẳng AN và DMlàarccos 1 6 . Câu17. a)Tacó  M2(P)\(ABC) AB(ABC), ABk(P). Suy ra giao tuyến của (P) và (ABC) là đường thẳng Mz qua M và songsongvới AB.Gọi N = Mz\BC.Tươngtự,giaotuyếncủa(P) và(BCD) làđườngthẳng NQk CD,với Q2 BD.Vậythiếtdiệnlà hình bình hành MNQR. Do MNk AB và NQk CD nên góc giữa ABvàCDbằnggócgiữa MN và NQ,dođósin × MNQ = sina(doa bằnghoặcbùvới × MNQ).Diệntíchhìnhbìnhhành MNQRlà S MNQR = NM.NQ.sina. Tacó: MN AB = ACx AC ) MN = AB AC (ACx). Lạicó: NQ= MR, MR CD = AM AC = x AC ) MR= CD AC x.Dođó: S MNQR = AB AC (ACx). CD AC x.sina= AB.CD AC 2 (ACx)x.sina. Vì AB.CD AC 2 khôngđổivàtheobấtđẳngthứcCôsithì (ACx).x  ACx+x 2  2 = AC 2 4 . VậyS MNQR lớnnhấtlàbằng AB.CD 4 sina,đạtđượckhivàchỉkhi ACx = x, x = AC 2 , Mlàtrungđiểm AC. b)Chuvicủathiếtdiệnlà: 2(MN+MR)= 2  AB AC (ACx)+ CD AC x  = 2 CDAB AC x+2AB. Vậychuvicủathiếtdiệnkhôngphụthuộcvào xkhivàchỉkhi CDAB= 0, AB= CD. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC42|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu18. a)Tacó: #  PQ= #  PA+ #  AC+ #  CQ. (1) #  PQ= #  PB+ #  BD+ #  DQ. (2) k #  PQ= k #  PB+k #  BD+k #  DQ. (3) Từ(1)và(3)tacó:(1k) #  PQ = #  PAk #  PB+ #  ACk #  BD+ #  CQk #  DQ. Do #  PA= k #  PB, #  QC = k #  QDnên: (1k) #  PQ = #  ACk #  BD , #  PQ = 1 1k #  AC k 1k #  BD (do k6= 1).Nhưvậybavectơ #  PQ, #  AC, #  BDđồngphẳng. b)Theocâu a),tacó:(1k) #  PQ. #  AB= #  AC. #  ABk #  BD. #  AB. Theogiảthiếttacó: AB?AC) #  AC. #  AB= 0, AB?BD) #  BD. #  AB= 0. Vậy(1k) #  PQ. #  AB= 0,màk6= 1nên #  PQ. #  AB= 0) PQ?AB. Câu19. Đặt #  DA= #  a, #  DB= #  b, #  DC = #  c.Khiđó: j #  aj = #  b =j #  cj = avà #  a. #  b = #  b. #  c = #  c. #  a = a 2 2 . Do Mlàtrungđiểm ABnên: #  DM = 1 2  #  DA+ #  DB  = 1 2  #  a + #  b  .Dođó: #  CM = #  DM #  DC = 1 2  #  a + #  b  #  c. Xétđiểm N thuộc ACvàgiảsử #  NA= t #  NC,t6= 1.Khiđó: #  DA #  DN = t  #  DC #  DN  ) #  DN = #  DAt #  DC 1t ) #  DN = #  at #  c 1t . Vậy: DN?CM, #  DN. #  CM = 0,  1 2 #  a + 1 2 #  b #  c  ( #  at #  c)= 0 , a 2 2 t a 2 4 + a 2 4 t a 2 4 a 2 2 +ta 2 = 0, a 2 4 +t a 2 2 = 0, t= 1 2 . Từđó N2 DCmà #  NC =2 #  NAthì DN?CM. Câu20. Đặt #  CA= #  a, #  CB= #  b, #  CS= #  c. Khiđó:j #  aj = #  b = 4 p 2,j #  cj = 2 và #  a. #  c = #  b. #  c = 0, #  a. #  b =j #  aj. #  b cos Ö ACB= 16. Gọi jlàgócgiữahaiđườngthẳngCEvàSF. Khiđó:cosj= #  CE. #  SF CE.SF . Tacó: #  SF = #  CF #  CS= 1 2 #  b #  c. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC43|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 SF 2 =  1 2 #  b #  c  2 = 1 4 #  b 2 #  b. #  c + #  c 2 = 8+4= 12) SF = 2 p 3. #  CE= #  CA+ #  CB 2 = #  a + #  b 2 ) CE 2 = #  a 2 +2 #  a. #  b + #  b 2 4 = 96 4 = 24.Tacó: #  CE. #  SF = 1 4  #  b2 #  c  #  a + #  b  = #  b. #  a + #  b 2 2 #  c. #  a2 #  c. #  b 4 = 12. Vậy: cosj = 12 2 p 3.2 p 6 = 1 p 2 ) j = 45  , tức là góc giữa hai đường thẳng CE và SF bằng 45  . Lưuý.Nhưvậy,quytrìnhđểgiảimộtbàitoánhìnhhọcbằngphươngphápvectơlà:  Chọnmộtbộbavectơkhôngđồngphẳnglàmcơsở.  Biểudiễncácvectơliênquantheocơsởđó.  Trảlờicácyêucầuđềbài. Ngoàicáchgiảibằngphươngphápvectơnhưtrêntacòncóthểgiảibằng"Phươngphápdựng góc"nhưsau:GọiGlàtrungđiểm EB,khiđó FGk CEnên (CE,SF)= (FG,FS). Tacó SE 2 = SA 2 +SB 2 2 AB 2 4 = 36+36 2 32 4 = 28 SG 2 = SE 2 +SB 2 2 EB 2 4 = 28+36 2 8 4 = 322= 30. Dođó cos Õ SFG = FS 2 +FG 2 SG 2 2FS
FG = 12+630 2
2 p 3
p 6 = 12 4 p 18 = 1 p 2 . Vậy Õ SFG = 135  )(CE,SF)= (FG,FS)= 108  135  = 45  . Câu21. Tacó: #  b =j #  cj = #  d = avà #  b. #  c = #  b .j #  cjcos Ö ABC = a 2 cos60  = a 2 2 . Tươngtự,tacó: #  c. #  d = #  d. #  b = a 2 2 . a)Tacó: #  MG = #  AG #  AM = 1 3  #  AB+ #  AC+ #  AD  #  AM = #  b + #  c + #  d 3 1 2 #  b = #  b +2 #  c +2 #  d 6 . (1) CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC44|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó: #  NP= 1 2  #  BA+ #  CD  = #  b #  c + #  d 2 . (2) b)Gọi jlàgócgiữahaiđườngthẳng MGvà NP.Khiđó: cosj= #  MG. #  NP MG.NP . (3) Tacó: #  MG. #  NP= 1 12  #  b +2 #  c +2 #  d  #  b #  c + #  d  = 1 12  #  b 2 2j #  cj 2 +2 #  d 2 #  b. #  c3 #  b. #  d + #  c. #  d  = 1 12  a 2 3a 2 2  = a 2 12 . MG 2 = 1 36  #  b +2 #  c +2 #  d  2 = 1 36  #  b 2 +4j #  cj 2 +4 #  d 2 4 #  b. #  c +8 #  c. #  d4 #  b. #  d  = 9a 2 36 = a 2 4 . NP 2 = 1 4  #  b + #  c #  d  2 = 1 4  #  b 2 +j #  cj 2 + #  d 2 +2 #  b. #  c2 #  c. #  d2 #  b. #  d  = 1 4  3a 2 a 2  = a 2 2 . Thayvào(3),tađược: cosj= a 2 12 :  a 2
a p 2  = 2 p 2 12 = p 2 6 ) j= arccos p 2 6  76  22 0 . Câu22. Theobàitập10(ởtrang37),tacó: #  AB. #  CD+ #  AC. #  DB+ #  AD. #  BC = 0 ,AB.CD.cos  #  AB, #  CD  +AC.BDcos  #  AC, #  DB  +AD.BCcos  #  AD, #  BC  = 0. (1) Theogiảthiếttacó: AB.CD = AC.BD = AD.BC. cosa=jcos  #  AB, #  CD  j. cosb=jcos  #  AC, #  DB  j. cosg=jcos  #  AD, #  BC  j. Dođó(1)trởthành: cosacosbcosg= 0.  Trườnghợp1:cosa+cosb+cosg= 0. (2) Docosa 0, cosb 0,cosg 0nêntừ(2)tacó: cosa= 0, cosb= 0,cosg= 0) cosa= cosb+cosg. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC45|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  Trườnghợp2:cosacosbcosg= 0.Khiđócosa= cosb+cosg.  Trườnghợp3:cosa+cosbcosg= 0.Khiđócosg= cosa+cosb.  Trườnghợp4:cosacosb+cosg= 0.Khiđócosb= cosa+cosg. Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. Câu23. TrênbatiaOx,Oy,Ozlầnlượtđặtbavectơđơnvị #  a, #  b, #  c lầnlượtcùnghướngvới tiachứanó.DobatiaOx,Oy,Oz khôngđồngphẳngnên #  a, #  b, #  c khôngđồngphẳng,suyra #  a + #  b + #  c6= #  0.Dođó: 0<  #  a + #  b + #  c  2 = #  a 2 + #  b 2 + #  c 2 +2  #  a. #  b + #  b. #  c + #  c. #  a  = #  a 2 + #  b 2 + #  c 2 +2 h j #  aj. #  b cosg+ #  b .j #  cjcosa+j #  cj.j #  ajcosb i = 3+2(cosa+cosb+cosg). Suyracosa+cosb+cosg> 3 2 . Câu24. Xét các vectơ đơn vị #  a, #  b, #  c, #  d lần lượt có hướng trùng với các tia MA, MB, MC, MD  j #  aj = #  b =j #  cj = #  d = 1  .Khiđó #  a. #  b =j #  aj. #  b .cos  #  a, #  b  = cos Ö AMB. Tươngtự,suyra #  a. #  b + #  a. #  c + #  a. #  d + #  b. #  c + #  b. #  d + #  c. #  d =cosa 1 +cosa 2 +cosa 3 +cosa 4 +cosa 5 +cosa 6 . Tacó 0  #  a + #  b + #  c + #  d  2 = #  a 2 + #  b 2 + #  c 2 + #  d 2 +2  #  a. #  b + #  a. #  c + #  a. #  d + #  b. #  c + #  b. #  d + #  c. #  d  = 4+2(cosa 1 +cosa 2 +cosa 3 +cosa 4 +cosa 5 +cosa 6 ). Suyracosa 1 +cosa 2 +cosa 3 +cosa 4 +cosa 5 +cosa 6 2. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Đề bài Câu1. Chobađườngthẳngphânbiệt a,b,c.Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. Nếu asongsongvớibvàcvuônggócvới athìcvuônggócvớib. B. Nếucvuônggócvới avàcvuônggócvớibthì asongsongvớib. C. Nếu avàbvuônggócvớicthì avàbkhôngthểchéonhau. D. Cảbamệnhđềtrênđềusai. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC46|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu2. Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. Haiđườngthẳngcùngvuônggócvớiđườngthẳngthứbathìsongsong. B. Haiđườngthẳngcùngvuônggócvớiđươngthẳngthứbathìvuônggócvớinhau. C. Haiđườngthẳngcùngvuônggócvớiđườngthẳngthứbathìcóthểvuônggócvớinhau. D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hoặc song song với nhauhoặcvuônggócvớinhau. Câu3. Trongcácmệnhđềsaumệnhđềnàođúng? A. Gócgiữahaiđườngthẳng avà bbằnggócgiữahaiđườngthẳng avà ckhi bsongsong vớic(hoặcbtrùngvớic). B. Gócgiữahaiđườngthẳng avà bbằnggócgiữahaiđườngthẳng avà cthì bsongsong vớic. C. Gócgiữahaiđườngthẳnglàgócnhọn. D. Gócgiữahaiđườngthẳngbằnggócgiữahaivéctơchỉphươngcủahaiđườngthẳngđó. Câu4. Mệnhđềnàođúngtrongcácmệnhđềsau? A. Gócgiữahaiđườngthẳngbằnggócgiữahaivectơchỉphươngcủahaiđườngthẳngđó. B. Gócgiữahaiđườngthẳnglàgócnhọn. C. Gócgiữahaiđườngthẳng avà bbằnggócgiữahaiđườngthẳng avà ckhi bsongsong vớic(hoặcbtrùngvớic). D. Gócgiữahaiđườngthẳng avà bbằnggócgiữahaiđườngthẳng avà cthì bsongsong vớic. Câu5(HK2Toán11,ĐứcThọ,HàTĩnh2018). Gócgiữahaiđườngthẳngbấtkỳtrongkhônggianlàgócnàotrongcácgócdướiđây. A. Gócgiữahaiđườngthẳngcắtnhauvàkhôngsongsongvớichúng. B. Gócgiữahaiđườngthẳnglầnlượtvuônggócvớichúng. C. Gócgiữahaiđườngthẳngcùngđiqua1điểmvàlầnlượtsongsongvớichúng. D. Gócgiữahaiđườngthẳngcắtnhauvàlầnlượtvuônggócvớichúng. Câu6. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a,b,c. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu avàbcùngvuônggócvớicthì ak b. B. Nếu ak bvàc?athìc?b. C. Nếugócgiữa avàcbằnggócgiữabvàcthì ak b. D. Nếu avàbcùngnằmtrongmp(a),(a)k cthìgócgiữa avàcbằnggócgiữabvàc. Câu7. Cho hai đường thẳng a và a 0 lần lượt có vectơ chỉ phương là #  u và #  u 0 . Nếu j là góc giữahaiđườngthẳng avà a 0 thì A. j=  #  u, #  u 0  . B. j= p  #  u, #  u 0  . C. cosj= cos  #  u, #  u 0  . D. cosj= cos  #  u, #  u 0  . Câu8. ChohìnhchópOABC cóOA = OB = OC = 1,cáccạnhOA,OB,OC đôimộtvuông góc.Gọi Mlàtrungđiểmcủa AB.Tínhtíchvôhướngcủahaivectơ #  OC, #  MA. A. 0. B. 1. C. 1. D. 1 2 . Câu9. ChotứdiệnO.ABCtrongđóbađườngthẳngOB,OC,OAđôimộtvuônggóc.Trong cácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. Haicạnhđốinàocủatứdiệncũngvuônggócvớinhau. B. MỗicạnhOB,OC,OAcủatứdiệnđềuvuônggócvớiđúngbacạnhkháccủatứdiện. C. Tamgiác ABClàtamgiácvuông. D. Tamgiác ABCcóthểlàtamgiácđều. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC47|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu10. ChohìnhchópO.ABCcóOA= OB= OC = 1;cáccạnhOA,OB,OCđôimộtvuông góc.Gọi Mlàtrungđiểmcủa AB.Tínhgócgiữahaivectơ #  OMvà #  BC. A. 0  . B. 60  . C. 90  . D. 120  . Câu11. Chohìnhlậpphương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Tínhcos  #  AC 1 , #  BD  . A. 1. B. 0. C. 1. D. 1 2 . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Câu12. Trong không gian cho 2 đường thẳng song song a,b và một điểmM. Có bao nhiêu đườngthẳngđiquađiểmM,vuônggócvới avàbđồngthờicắtcả avàb? A. Khôngcó. B. Cómộtvàchỉmột. C. cóvôsố. D. Cómộthoặckhôngcó. Câu13. Trongkhônggianchođườngthẳng avàđiểm M.Cóbaonhiêuđườngthẳngđiqua M,cắt avàvuônggócvới a? A. Khôngcó. B. Cóvôsố. C. Cómộtvàchỉmột. D. Cómộthoặcvôsố. Câu14. ChohìnhchópS.ABCcóSA = SB = SCvà Õ ASB = Õ BSC = Õ CSA.Gócgiữacặpvectơ #  SAvà #  BClà A. 120  . B. 90  . C. 45  . D. 60  . Câu15. Cho hình chóp SABC có AB = AC, Õ SAB = Õ SAC. Tính số đo góc giữa hai đường thẳngSAvà BC. A. 45  . B. 60  . C. 30  . D. 90  . Câu16. ChohìnhhộpABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Giảsửtam giác AB 0 C và A 0 DC 0 đều có 3 góc nhọn. Góc giữa haiđườngthẳngACvàA 0 Dlàgócnàosauđây? A. Ö AB 0 C. B. Ø DA 0 C 0 . C. Ö BB 0 D. D. Ö BDB 0 . A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Câu17. Chotứdiệnđều ABCD.Sốđogócgiữahaiđườngthẳng ABvàCDbằng A. 90  . B. 30  . C. 45  . D. 60  . Câu18. Chohìnhlậpphương ABCD.EFGH.Gócgiữacặpvectơ #  AFvà #  EGlà A. 60  . B. 30  . C. 45  . D. 90  . Câu19. Chotứdiện ABCD.Chứngminhrằngnếu #  AB. #  AC = #  AC. #  AD = #  AD. #  ABthì AB?CD, AC?BD, AD?BC.Điềungượclạiđúngkhông? Sauđâylàlờigiải.  Bước1:Tacósựtươngđương: #  AB. #  AC = #  AC. #  AD, #  AC  #  AB #  AD  = 0 , #  AC. #  BD = 0, AC?BD. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC48|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  Bước2:Chứngminhtươngtựtacó: AD?BC,AB?CD.  Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tươngđương. Bàigiảitrênđúnghaysai?Nếusaithìsaiởđâu? A. Saiởbước3. B. Đúng. C. Saiởbước2. D. Saiởbước1. Câu20. Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Tính tíchvôhướng #  B 1 M. #  BD 1 . A. a 2 2 . B. a 2 . C. 3a 2 4 . D. 3a 2 2 . Câu21. ChohìnhhộpABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cótấtcảcác cạnhđềubằngnhau.Trongcácmệnhđềsau,mệnh đềnàocóthểsai? A. A 0 C 0 ?BD. B. A 0 B?DC 0 . C. BB 0 ?BD. D. BC 0 ?A 0 D. A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Câu22. Choj #  aj = 3, #  b = 5, góc giữa #  a và #  b bằng 120  . Chọn khẳng định sai trong các khẳngđịnhsau? A. #  a + #  b = p 19. B. #  a #  b = 7. C. #  a2 #  b = p 139. D. #  a +2 #  b = 9. Câu23. Chotứdiệnđều ABCD, Mlàtrungđiểmcủa AB.Gọialàgócgiữahaiđườngthẳng CMvà DM,khiđócosabằng A. 2 3 . B. p 3 3 . C. 1 3 . D. 1 6 . Câu24. Chotứdiệnđều ABCD,với I và J lầnlượtlàtrungđiểm AB và CD.Tínhcosincủa gócgiữahaiđườngthẳngCI và AJ. A. 2 3 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 1 6 . Câu25. Chotứdiệnđều ABCD, I làtrungđiểm AB.Gócgiữahaiđườngthẳng ICvà ADcó cosinbằng A. 2 3 . B. p 3 3 . C. 1 3 . D. p 3 6 . Câu26. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhchữnhật,biết AB= a,AD = SA= a p 3. HaimặtbênSABvàSADlàcáctamgiácvuôngtại A.Gọi jlàgócgiữahaiđườngthẳngSB và AC.Tínhcosj. A. cosj= 1 3 . B. cosj= 1 4 . C. cosj= p 3 4 . D. cosj= p 3 3 . Câu27. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của CD, N là điểm trên AD sao cho BN vuônggócvới AM.Tínhtỉsố DN DA . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC49|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 A. 2 3 . B. 1 3 . C. 1 2 . D. 1 4 . Câu28. Chotứdiện ABCDcótrọngtâmG.Chọnkhẳngđịnhđúng? A. AB 2 +AC 2 +AD 2 +BC 2 +BD 2 +CD 2 = 3 GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2
. B. AB 2 +AC 2 +AD 2 +BC 2 +BD 2 +CD 2 = 6 GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2
. C. AB 2 +AC 2 +AD 2 +BC 2 +BD 2 +CD 2 = 4 GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2
. D. AB 2 +AC 2 +AD 2 +BC 2 +BD 2 +CD 2 = 2 GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2
. 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 A 2 C 3 A 4 C 5 C 6 A 7 D 8 A 9 C 10 D 11 B 12 D 13 D 14 B 15 D 16 B 17 A 18 A 19 B 20 A 21 C 22 D 23 C 24 A 25 D 26 B 27 B 28 C LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề: "Nếu a song song với b và c vuônggócvới athìcvuônggócvớib"làmệnhđềđúng. Chọnđápán A Câu2. Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thểvuônggócvớinhau. Chọnđápán C Câu3. Mệnhđềđúnglà:Gócgiữahaiđườngthẳng avà bbằnggócgiữahaiđườngthẳng a vàckhibsongsongvớic(hoặcbtrùngvớic). Chọnđápán A Câu4. Mệnhđềđúnglà:Gócgiữahaiđườngthẳng avà bbằnggócgiữahaiđườngthẳng a vàckhibsongsongvớic(hoặcbtrùngvớic). Chọnđápán C Câu5. Dựavàođịnhnghĩagócgiữahaiđườngthẳng. Chọnđápán C Câu6. Mệnhđềđúnglà:Nếu avàbcùngvuônggócvớicthì ak b. Chọnđápán A Câu7. Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúngnênđápánđúnglà D . Chọnđápán D Câu8. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC50|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó: #  OC. #  MA= 1 2 #  OC. #  BA = 1 2 #  OC  #  OA #  OB  = 1 2 #  OC. #  OA 1 2 #  OC. #  OB = 00= 0. Vậy #  OC. #  MA= 0. O A B C M Chọnđápán A Câu9. Tamgiác ABCluônlàtamgiácnhọn. O A B C Chọnđápán C Câu10. Tacó: #  OM. #  BC = 1 2  #  OA+ #  OB  #  OC #  OB  = #  OM. #  BC = OB 2 2 = 1 2 . Nhưvậy: cos  Ù #  OM, #  BC  = #  OM. #  BC OM.BC cos  Ù #  OM, #  BC  = 1 2 : p 2. p 2 2 = 1 2 . Dođó  Ù #  OM, #  BC  = 120  . O A B C M Chọnđápán D Câu11. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC51|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó: #  AC 1 . #  BD =  #  AA 1 + #  AC  #  AD #  AB  = #  AC. #  AD #  AC. #  AB = #  AC. #  BD = 0. Vậy #  AC 1 . #  BD = 0. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Chọnđápán B Câu12. Có1nếu Mthuộcmặtphẳngchứa avà b,khôngcónếu Mkhôngthuộcmặtphẳng đó. Chọnđápán D Câu13. Có1nếu Mkhôngthuộc a,cóvôsốnếu Mthuộc a. Chọnđápán D Câu14. Tacó: #  SA. #  BC = #  SA( #  SC #  SB)= #  SA. #  SC #  SA. #  SB =j #  SAj.j #  SCjcos Õ ASCj #  SAj.j #  SBjcos Õ ASB= 0) SA?BC. Chọnđápán B Câu15. Tacó: #  BC. #  AS=  #  AC #  AB  . #  AS = #  AC. #  AS #  AB. #  AS = AC.AS.cos Õ SACAB.AS.cos Õ SAB = 0 (do AC = AB, Õ SAB= Õ SAC). SuyragócgiữahaiđườngthẳngSAvà BCbằng90  . Chọnđápán D Câu16. Do ACC 0 A 0 là hình bình hành nên AC song song với A 0 C 0 .Dođó:  Ú AC,A 0 D  =  Û A 0 C 0 ,A 0 D  . Nhưvậy:  Ú AC,A 0 D  = Ø DA 0 C 0 . A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC52|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu17. Gọi alàđộdàicạnhtứdiện.Khiđó #  AB. #  CD =  #  AC+ #  CB  #  CD = #  AC. #  CD+ #  CB. #  CD = AC.CD.cos120  +CB.CDcos60  = a 2 2 + a 2 2 = 0. Bởivậy #  AB? #  CD) AB?CD. Chọnđápán A Câu18. Dễthấyrằngtamgiác ACFlàtamgiácđềuvà #  EG = #  AC. Nhưthếgócgiữacặpvectơ #  AFvà #  EGlà:  #  AF, #  EG  =  #  AF, #  AC  = Õ FAC = 60  . Chọnđápán A Câu19. Lờigiảiđãcholàlờigiảiđúng. Chọnđápán B Câu20. Tacó #  BD 1 = #  BA+ #  AD 1 . Hay #  BD 1 = #  AB+ #  AA 1 + #  AD. Tacó #  B 1 M = #  B 1 A+ #  AM. Hay #  B 1 M = #  AB #  AA 1 + 1 2 #  AD. Dođó: #  BD 1 . #  B 1 M = AB 2 A 1 A 2 + 1 2 AD 2 Hay #  BD 1 . #  B 1 M = a 2 2 . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M Chọnđápán A Câu21. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC53|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Dễthấycácphươngán A , B , D đúng.Phương án C sẽbịsaitrongtrườnghợphìnhhộpcócạnh bênkhôngvuônggócvớimặtđáy. A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Chọnđápán C Câu22. Tacó: #  a. #  b =j #  aj. #  b cos  #  a, #  b  = 3.5cos120  = 15 2 .Dođó:  #  a + #  b  2 = #  a 2 +2 #  a. #  b + #  b 2 = 915+25= 19  #  a #  b  2 = #  a 2 2 #  a. #  b + #  b 2 = 9+15+25= 49  #  a2 #  b  2 = #  a 2 4 #  a. #  b +4 #  b 2 = 9+30+100= 139  #  a +2 #  b  2 = #  a 2 +4 #  a. #  b +4 #  b 2 = 930+100= 79. Nhưvậy A , B , C đúng,còn D sai. Chọnđápán D Câu23. Gọi alàđộdàicạnhcủatứdiệnđều.Khiđó: CD = a, MC = MD = a p 3 2 . ÁpdụngđịnhlícosinvàotamgiácCMDtađược: cos × CMD = MC 2 +MD 2 CD 2 2MC.MD = 3a 2 2 a 2 3a 2 2 = a 2 2 3a 2 2 = 1 3 . Vậycosa= 1 3 . Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC54|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu24. Giảsửcạnhtứdiệnđềubằng a.Khiđó: #  AB. #  AC = #  AC. #  AD = #  AD. #  AB= a 2 2 . Tacó: #  AJ = 1 2 #  AD+ 1 2 #  AC. #  CI = #  AI #  AC = 1 2 #  AB #  AC. Dođó: #  CI. #  AJ = 1 4 ( #  AB2 #  AC)( #  AC+ #  AD). Hay #  CI. #  AJ = 1 2 a 2 . Talạicó AJ = CI = a p 3 2 . Suyracos( #  CI, #  AJ)= 2 3 . Vậycosingócgiữahaiđườngthẳng AJ,CI là 2 3 . A B C D I J Chọnđápán A Câu25. Giảsửcạnhtứdiệnđềubằng a.Khiđó: #  AD. #  AB= a 2 cos60  = a 2 2 . Tươngtự: #  AC. #  AD = a 2 2 . Tacó: #  IC = #  AC #  AI = #  AC 1 2 #  AB. Dođó: #  IC. #  AD = a 2 2 a 2 4 = a 2 4 . Màcos  Ø IC,AD  = #  IC. #  AD IC.AD nên cos  Ø IC,AD  = a 2 4 : a 2 p 3 2 = 1 2 p 3 . A B C D I Chọnđápán D Câu26. Tacó: cos( #  SB, #  AC)= #  SB. #  AC SB.AC = #  SB. #  AC 4a 2 . #  SB. #  AC =( #  SA+ #  AB). #  AC #  SB. #  AC = #  SA. #  AC+ #  AB. #  AC. Tacó: #  AS. #  AC = #  AS  m #  AB+n #  AC  = 0. #  AB. #  AC = a.2acos60  = a 2 . A B C D S Dođócos( #  SB, #  AC)= 1 4 .Vậycosj= 1 4 . Chọnđápán B Câu27. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC55|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Đặt #  AB= #  b, #  AC = #  c, #  AD = #  d.Tacó j #  bj=j #  cj=j #  dj= AB= a, Ù  #  b, #  c  = Ù  #  c, #  d  = Ù  #  d, #  b  = 60  . Suyra #  b
#  c = #  c
#  d = #  d
#  b = a 2 2 . Giảsử AN = k
AD.Khiđó #  BN = #  BA+ #  AN = #  b +k #  d. Vì MlàtrungđiểmcủaCDnên 2 #  AM = #  AC+ #  AD = #  c + #  d. Khiđó BN? AM, #  BN
#  AM = 0. Hay  #  b +k #  d 
 #  c + #  d  = 0. A B C D M N Dođó a 2 2 a 2 2 +k
a 2 2 +k
a 2 = 0, k = 2 3 . Vậy AN = 2 3 AD) DN DA = 1 3 . Chọnđápán B Câu28. Theocôngthứcbìnhphươngvôhướng( #  a) 2 =j #  aj 2 tacó: MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 =( #  MA) 2 +( #  MB) 2 +( #  MC) 2 +( #  MD) 2 =( #  MG+ #  GA) 2 +( #  MG+ #  GB) 2 +( #  MG+ #  GC) 2 +( #  MG+ #  GD) 2 =4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 +2 #  MG  #  GA+ #  GB+ #  GC+ #  GD  =4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 +2 #  MG. #  0 =4MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 . Lầnlượtchọn Mtrùng A, B,C, Dtađược: AB 2 +AC 2 +AD 2 = 5GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 BA 2 +BC 2 +BD 2 = 5GB 2 +GA 2 +GC 2 +GD 2 CA 2 +CB 2 +CD 2 = 5GC 2 +GA 2 +GB 2 +GD 2 DA 2 +DB 2 +DC 2 = 5GD 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 Cộngbốnđẳngthứctrêntheovếtađược: AB 2 +AC 2 +AD 2 +BC 2 +BD 2 +CD 2 =4  GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2  . Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC56|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 BÀI3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1.Mộtsốđịnhnghĩavàtínhchất. Định nghĩa 1. Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặtphẳng(P)nếunóvuônggócvới mọiđườngthẳnganằmtrong(P),kí hiệud?(P). P d a Định lí 1. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trongmặtphẳng(P)thìd?(P). P d #  u #  m a #  n b #  p c Định lí 2. Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mộtđườngthẳngdchotrước. P d O Định lí 3. Có duy nhất một đường thẳng d đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng(P)chotrước. Định nghĩa 2. Chođoạnthẳng ABcótrungđiểmlà I. Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ABtạiđiểm Igọilàmặtphẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB. Lưu ý. Trong không gian, cho đoạn thẳng AB. Khi đó MA = MB khi và chỉ khi M nằm trên mặt trung trực củađoạnthẳng AB. A B I M 2.Liênhệgiữaquanhệsongsongvàquanhệvuônggóccủađườngthẳngvàmặtphẳng. Định lí 4. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC57|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Mặtphẳngnàovuônggócvớimộttrong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một mặt phẳng thì song song với nhau. Nhưvậy:  ak b (P)?a )(P)?b; 8 < : a?(P) b?(P) a6 b ) ak b. Định lí 5. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc mộtđườngthẳngthìsongsongvớinhau. Nhưvậy:  (P)k (Q) a?(P) ) a?(Q); 8 < : (P)?a (Q)?a (P)6(Q) )(P)k (Q). Định lí 6. Cho đường thẳng a và mp(P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthì chúngsongsongvớinhau.Nhưvậy:  ak (P) b?(P) ) b?a; 8 < : a6(P) a?b (P)?b ) ak (P). 3.Địnhlíbađườngvuônggóc. Định nghĩa 3. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương` vuông góc với mặt phẳng(P)gọilàphépchiếuvuônggóclên(P),hayđượcgọiđơngiảnlàphépchiếulên(P). Định lí 7 (Định lí ba đường vuông góc). Chođườngthẳng akhôngvuônggócvới mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Điều kiện cần và đủđể b?alàbvuônggócvớihìnhchiếu a 0 củađườngthẳng atrên(P). 4.Gócgiữađườngthẳngvàmặtphẳng. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC58|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Định nghĩa 4. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữađườngthẳng a và (P) bằng 90 0 . Nếuđườngthẳngakhôngvuônggóc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a 0 của nó trên (P) gọi là gócgiữa avà(P). B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 7. Chứngminhđườngthẳngavuônggócvớimp(P). Phươngpháp. Cách1.Dùngđịnhlí1ởtrang56:Chứngminhđườngthẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (P).Tứclà: 8 < : a?b(P) a?c(P) c cắt b ) a?(P). Cách2.Chứngminh  ak b b?(P) ) a?(P). Bài 1. ChohìnhchópS.ABCDcóSA?(ABCD),đáy ABCDlàhìnhvuông.Gọi M,Nlầnlượt làtrungđiểmcủacạnhSB,SD.Chứngminh: BC?(SAB); 1 MN?(SAC). 2 L Lời giải 1 TacóSA?(ABCD). Mà BC(ABCD)nên BCvuônggócvớiSA. Vậy: 8 < : BC?BA(SAB) BC?SA(SAB) BA\SA= A ) BC?(SAB). 2 Vì MN là đường trung bình của tam giác SBD nên MNk BD. Ta có SA?(ABCD) mà BD(ABCD)nên BD?SA.Vậy 8 < : BD?AC(SAC) BD?SA(SAC) AC\SA= A ) BD?(SAC)) MN?(SAC) (do MNk BD). Bài 2. ChotứdiệnOABCcóOA,OB,OCđôimộtvuônggócvớinhau.Gọi Hlàtrựctâmtam giác ABC.ChứngminhrằngOH?(ABC). L Lời giải Tacó: #  OH. #  AB=  #  OC+ #  CH  #  AB= #  OC. #  AB+ #  CH. #  AB= #  OC. #  AB = #  OC  #  OB #  OA  = #  OC. #  OB #  OC. #  OA= 0. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC59|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Suy ra OH?AB. Tương tự, ta có OH?BC. Mà AB và BC là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằmtrong(ABC)nêndẫnđếnOH?(ABC). Bài 3. Chohìnhchóp S.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtại B,đườngthẳng SAvuônggócvới (ABC).Trongtamgiác SABkẻđườngcao AH,trongtamgiác SAC kẻđườngcao AK,trong tamgiác ABCkẻđườngcao BM. a) Chứngminh: BC?(SAB), AH?(SBC). b) Chứngminh:SC?(AHK). c) Chứngminh: BMk(AHK). L Lời giải a) Tacó 8 < : BC?BA(SAB) BC?SA(SAB) BA\SA= A ) BC?(SAB). Tacó BC?(SAB),mà AH(SAB)nên BCvuônggócvới AH. 8 < : AH?SB(SBC) AH?BC(SBC) SB\BC = B ) AH?(SBC). b) Tacó AH?(SBC). MàSC(SBC)nênSCvuônggócvới AH. 8 < : SC?AK(AHK) SC?AH(AHK) AK\AH = A ) SC?(AHK). c) Ta có BM?AC mà AC là hình chiếu của SC trên (ABC) nên BM?SC.Nhưvậy: 8 < : BM?SC (AHK)?SC BM6(AHK). Sửdụngđịnhlí6(ởtrang57)suyra BMk(AHK). Bài 4. ChohìnhchópS.ABCDcóSA= a,đáylàhìnhvuôngcạnh a,SA?(ABCD). a) Gọi D 1 làtrungđiểmSD.Chứngminhrằng AD 1 ?(SCD). b) Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên SD. Chứng minh rằng hình chiếucủađiểmOtrênCMthuộcđườngtròncốđịnh. L Lời giải a) VìSA = AD = avà D 1 làtrungđiểmcủaSDnên AD 1 ?SD. Mặt khác, ta có CD?(SAD) nên AD 1 ?CD. Vậy AD 1 vuông gócvới(SCD). b) Trong (AD 1 C), kẻ OHk AD 1 , khi đó H là trung điểm CD 1 vàOH?(SCD),ngoàira H cốđịnh.Gọi K làhìnhchiếucủa O trên CM, khi đó theo định lí ba đường vuông góc suy ra HK?KC.TừđósuyrađiểmKthuộcđườngtrònđườngkính HC trong(SCD).Đólàđườngtròncốđịnhchứahìnhchiếu củatâmhìnhvuônglên(SCD). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC60|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Lưuý.CóthểchứngminhKH?KCnhưsau:  CK?OK CK?OH ) CK?KH. Dạng 8. Chứngminhhaiđườngthẳngvuônggócvớinhau. Phươngpháp. Cách1.Chứngminhđườngthẳngnàyvuônggócvớimặtphẳngchứađườngthẳngkia. Cách2.ChoDABC.Khiđó ( d?AB d?AC ) d?BC. Cách3.Sửdụngđịnhlíbađườngvuônggóc. Cách4.Nếuhaiđườngthẳngđócắtnhauthìtacóthểdùngcácphươngphápchứngminhđã biếttronghìnhhọcphẳngnhư:ápdụngđịnhlíđảocáchệthứclượngtrongtamgiácvuông, haiđườngchéohìnhthoi,haicạnhkềcủahìnhchữnhật,gócnộitiếp... Mộtsốhệthứclượngtrongtamgiácthườngdùng. Địnhlí.Nếutamgiác ABC vuôngtại A cóđườngcao AH,trungtuyến AM thìtacócáchệ thứcsau: (1) AM = 1 2 BC; (2) BC 2 = AB 2 +AC 2 ; (3) AH 2 = HB.HC; (4) AB 2 = BH.BC(AC 2 = CH.CB); (5) AH.BC = AB.AC(= 2S DABC ); (6) 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AC 2 . Địnhlíđảo.Nếutamgiác ABC cóđườngcao AH với H thuộccạnh BC;trungtuyến AMvà thoảmãnmộttrongsáuhệthứctrênthìtamgiácđóvuôngtại A. Địnhlícôsintrongtamgiác.TrongDABCtacó: a 2 = b 2 +c 2 2bccosA; b 2 = c 2 +a 2 2cacosB; c 2 = a 2 +b 2 2abcosC. Bài 5 (Kết quả bài tập này được phép sử dụng mà không cần chứng minh lại). Chứngminhrằngnếumộtđườngthẳngvuônggócvớihaicạnhcủamộttamgiácthìnócũng vuônggócvớicạnhthứba. L Lời giải GiảsửđườngthẳngDvuônggócvớicạnh ABvà ACcủaDABC.Khiđó: 8 < : D?AB(ABC) D?AC(ABC) AB\AC = A )D?(ABC). Mà BC(ABC)nênD?BC. Bài 6. ChohìnhchópS.ABCDcóSA?(ABCD),đáy ABCDlàhìnhvuông. a) Chứngminhrằngcácmặtbêncủahìnhchóplàcáctamgiácvuông. b) Hạ AH?SBtại H.ChứngminhSC?BDvàSC?AH. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC61|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 L Lời giải a) Từ giả thiết SA?(ABCD) ta có SA?AB, SA?AD, suy ra SABvàSADlàcáctamgiácvuôngtại A.Lạicó  CD?DA CD?SA ) CD?DS. SuyraDSDCvuôngtại D. Tacó  CB?BA CB?SA ) CB?SB. SuyraDSBCvuôngtại B. b)Tacó 8 < : BD?AC(SAC) BD?SA(SAC) AC\SA= A ) BD?(SAC)) BD?SC. TacóCB?(SAB)mà AH(SAB)nên AH?CB.Vậy 8 < : AH?SB(SBC) AH?CB(SBC) SB\CB= B ) AH?(SBC)) AH?SC. Cách khác. Ta có BD?AC, mà AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên BD?SC. Ta có AH?SB,màSBlàhìnhchiếucủaSCtrên(SAB)nên AH?SC. Bài 7. ChohìnhchóptamgiácS.ABCcóđáyABClàtamgiácđềuvàcáccạnhbênbằngnhau. Gọi G làtrọngtâmtamgiác ABC và H làtrựctâmtamgiác SBC.Chứngminhrằng SG?BC và AH?BC. L Lời giải Gọi Elàtrungđiểmcủa BC.Dotamgiác ABCđềunên ba điểm A,G,E thẳng hàng và AE?BC. Do tam giác SBCcântạiSnênSE?BC. Nhưvậy: 8 < : BC?EA(SAE) BC?ES(SAE) EA\ES= E. Suyra BC?(SAE). Mà SG  (SAE) nên BC?SG. Rõ ràng H nằm trên SE nên AH nằm trong (SAE), mà BC?(SAE), nên BC?AH. Lưuý.Cóthểchứngminh SG?BC cáchkhácnhưsau: Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC). Khi đó các tam giác vuông SOA, SOB, SOC bằng nhau, suy ra OA = OB = OC, hơn nữa vì tam giác ABC đều nên O G. NhưvậySG?(ABC),suyraSG?BC. Bài 8. Chohìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 cóhìnhchiếuvuônggóccủa Atrên(A 0 B 0 C 0 )trùngvới trựctâmtamgiác A 0 B 0 C 0 .Chứngminhrằngtứgiác BCC 0 B 0 làhìnhchữnhật. L Lời giải Gọi H 0 làtrựctâmDA 0 B 0 C 0 .Theogiảthiếtthì AH 0 ?(A 0 B 0 C 0 ). Ta có B 0 C 0 ?A 0 H 0 , mà A 0 H 0 là hình chiếu của A 0 A trên mặt phẳng (A 0 B 0 C 0 ) nên theo định lí ba đường vuông góc suy ra B 0 C 0 ?AA 0 .Do AA 0 ,BB 0 ,CC 0 làbacạnhbêncủahìnhlăngtrụ nên AA 0 k BB 0 k CC 0 .Màtađãchứngminhđược B 0 C 0 ?AA 0 nên suy ra B 0 C 0 ?BB 0 và B 0 C 0 ?CC 0 , do đó hình bình hành BCC 0 B 0 làhìnhchữnhật. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC62|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Dạng 9. Dựngmặtphẳng(P)quađiểmOvàvuônggócvớiđườngthẳngd. Phương pháp. Ta dựng hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùngvuônggócvớid,trongđócóítnhấtmộtđườngđiquaO. Khiđó(P)chínhlàmp(a,b). Bài 9. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều và SA?(ABC). Xét điểm M cạnh SC sao cho MkhôngtrùngvớiSvàC.Gọi(P)làmặtphẳngqua Mvàvuônggócvới AB. a) Xácđịnhmặtphẳng(P). b) Mặtphẳng(P)cắttứdiệnSABCtheothiếtdiệnlàhìnhgì? L Lời giải Phân tích. Đối với câu a), để xác định mặt phẳng (P), ta cần vẽ hai đường thẳng a và b cắt nhauvàcùngvuônggócvới AB,trongđócóítnhấtmộtđườngđiqua M.Khiđó(P) chính là mp(a,b). Do đã có SA?(ABC) nên trước hết ta vẽ đường thẳng a qua M và song song với SA,khiđó a?(ABC),suyra a?AB.Giảsử acắt AC tại N,khiđó MN?AB.Tiếptheota lấyblàđườngthẳngquaNvàvuônggócvớiABtạiP,lúcnày(P)chínhlàmặtphẳng(MNP). a) Gọi I là trung điểm AB. Khi đó CI?AB. Trong DSAC, kẻ MN songsongvớiSA,cắt ACtại N.Tacó:  SA?(ABC) SAk MN ) MN?(ABC)) MN?AB. TrongDABC,kẻNPsongsongvớiCI,cắtABtạiP.KhiđóvìCI?AB nên NP?AB. Vậy mặt phẳng (MNP) qua M và vuông góc với AB, dođómặtphẳng(P)chínhlàmặtphẳng(MNP). b) (MNP)\(ABC) = NP, (MNP)\(SAC) = NM. Để tìm giao tuyếncủamặtphẳng(MNP)với(SAB)tasửdụngđịnhlí??ởtrang ??(xemthêmdạng??ởtrang ??).Tacó: 8 < : P2(SAB)\(MNP) MNk(SAB) MN(MNP) )(SAB)\(MNP)= Px, với Px làđườngthẳngqua P vàsongsongvới SA.Gọi Q = Px\SB.Khiđóthiếtdiệnlàtứ giác MNPQ.Vì MNk QP,MN?NP,QP?PN nênthiếtdiệnlàhìnhthangvuôngtại N và P. Bài 10. ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácđềucạnhavàSA= SB= SC = b.Gọi Glàtrọngtâmtamgiác ABC. a) ChứngminhrằngSG?(ABC).TínhSG. b) Xétmặtphẳng(P)điqua AvàvuônggócvớiđườngthẳngSC.Tìmhệthứcliênhệgiữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C 1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện củahìnhchópS.ABCkhicắtbởi(P). L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC63|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 a) Kẻ SH?(ABC). Do SA = SB = SC nên ba tam giác SHA, SHB, SHC bằng nhau theo trường hợp c-g-c. Do đó HA=HB=HC.MặtkhácDABCđềunên Htrùngvớitrọngtâm G của tam giác đó. Vậy SG?(ABC). Trong tam giác vuông SGAtacó: SG 2 = SA 2 AG 2 = b 2 2 3 . a p 3 2 ! 2 = b 2 a 2 3 . TừđóSG = r b 2 a 2 3 ,với3b 2 > a 2 . b) Ta có  AB?GC AB?GS ) AB?SC. Kẻ đường cao AM của tam giác SAC. Vì (ABM) chứa A và vuông góc với SC nên (P) chính là (ABM). Do DSAC cân tại S nên M nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi Õ ASC < 90 0 . Điều này tương đương với AC 2 < SA 2 +SC 2 hay a 2 < 2b 2 . Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi (P) là DABM. Vì DASC =DBSC(c-c-c)nên MA = MB,vậyDABMcântại M.Gọi N làtrungđiểm AB.Tacó S DABM = 1 2 AB.MN = a 2 .MN.Mặtkhác2S DSNC = MN.SC = SG.NC. Suyra: MN = SG.NC SC = r b 2 a 2 3 . a p 3 2 b = a p 3b 2 a 2 2b . VậyS DABM = a 2 p 3b 2 a 2 4b . Bài 11. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có AA 0 vuông góc với (ABC) và AA 0 = a p 3. Đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = AC = a, Ö BAC = 120 0 . Gọi E là trung điểm cạnh AC. Một mặt phẳng (P) qua E và vuông góc với đường thẳng B 0 C. Tính diện tích thiết diện của mặt phẳng(P)vớihìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 theo a. L Lời giải Phân tích. Để xác định mặt phẳng (P), ta cần vẽ hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng vuônggócvới B 0 C,trongđócóítnhấtmộtđườngđiqua E.Khiđó(P)chínhlàmp(a,b).Do đáy ABClàtamgiáccântại Anêntacó AD?BC(với Dlàtrungđiểm BC),suyra ADvuông gócvớimặtphẳng(BCC 0 B 0 )chứaB 0 C.NhưvậytasẽlấyalàđườngthẳngquaEvàsongsong với AD,cắt BC tại F,lúcnày EF?B 0 C.Đườngthẳng b phảicắt EF vàvuônggócvới B 0 C.Từ giảthiếtbàitoánthấyrằngtứgiácBCC 0 B 0 làhìnhvuông,dođóB 0 C?BC 0 .Nhưvậytalấyblà đườngthẳngqua Fvàsongsongvới BC 0 . Giải.Do AA 0 ?(ABC)nênBB 0 vàCC 0 đềuvuônggócvới (ABC), suy ra các mặt bên của lăng trụ là những hình chữnhật.ĐịnhlíhàmsốcosintrongDABCchota: BC 2 = AB 2 +AC 2 2AB.ACcos Ö BAC = a 2 +a 2 2a 2 cos120 0 = 3a 2 . SuyraBC = a p 3= AA 0 = BB 0 .Dođómặtbên(BCC 0 B 0 ) làhìnhvuông,dẫntớiBC 0 ?B 0 C.GọiDlàtrungđiểmBC. Dotamgiác ABCcântại Anên AD?BC.  AD?BC AD?BB 0 ) AD?(BCC 0 B 0 ). Mà B 0 C (BCC 0 B 0 ) nên AD?B 0 C. Gọi F là trung điểm DC. Qua F vẽ đường thẳng song song với BC 0 , cắt cạnh CC 0 tạiG.Tacó:  EFk AD AD?B 0 C ) EF?B 0 C;  GFk BC 0 BC 0 ?B 0 C ) GF?B 0 C. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC64|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Nhưvậy(EFG)qua Evàvuônggócvới B 0 Cnên(EFG)chínhlà(P)vàthiếtdiệncủa(P)với lăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 làtamgiác EFG.Tacó:  EFk AD AD?(BCC 0 B 0 ) ) EF?(BCC 0 B 0 )) EF?FG. Dođó:S EFG = 1 2 FE.FG.Trongtamgiácvuông ADB,tacó: AD = ABsin Ö ABC = asin30 0 = a 2 . Do EFlàđườngtrungbìnhcủaDADCnên: EF = 1 2 AD = a 4 . FGk BC 0 ) FG BC 0 = CF CB = 1 4 ) FG = 1 4 BC 0 = 1 4 BB 0 p 2= a p 6 4 . Nhưvậy:S EFG = 1 2 FE.FG = 1 2
a 4
a p 6 4 = a 2 p 6 32 . Dạng 10. Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng(P)chotrước;Tínhkhoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtmặtphẳng. Phươngpháp.  Bước1.Chọntrongmặtphẳng(P)mộtđườngthẳng d rồidựngmặtphẳng(Q) qua A vàvuônggócvới d (xemdạng9ởtrang 62).  Bước2.Tìmc=(P)\(Q).  Bước3.Trong(Q)dựng AH?ctại H.  Khiđó AHlàđườngthẳngcầntìm.  Khoảng cách từ A đến (P) bằng độ dài đoạn thẳng AH:d(M,(P))= AH. Lưu ý. Giả sử đường thẳngD cắt mặt phẳng (P) tại M. TrênD lấyhaiđiểm Avà B.Khiđó d(A;(P)) d(B;(P)) = AM BM . Bài 12. ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàvuôngcạnha.BiếtSAvuônggócvới(ABCD) vàSA= a p 3. a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm của cạnh SC và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b) Hãydựngđườngthẳngqua Avàvuônggócvớimặtphẳng(SBC).Tínhkhoảngcáchtừ Ađếnmặtphẳng(SBC). c) TínhkhoảngcáchtừtâmOcủahìnhvuông ABCDđến(SBC). L Lời giải Phântích.DoSAvuônggócvớimặtphẳng(ABCD)nênđểgiảicâu a)tacầnphảivẽđường thẳngqua MvàsongsongvớiđườngthẳngSA,khiđóđườngthẳngnàysẽqua Mvàvuông CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC65|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 góc với mặt phẳng (ABCD). Đối với câu b) khó hơn nên bạn đọc hãy làm tuần tự theo các bướcđãtrìnhbàyởdạng10(ởtrang64). Giải. a) Gọi M, O lần lượt là trung điểm của SC, AC. Khi đó MOk SA mà SA?(ABCD) nên MO?(ABCD), vậy O là hình chiếu của M trên (ABCD), hay nói cách khác MO là đườngthẳngqua Mvàvuônggócvới(ABCD). b)Trong(SBC),chọnđườngthẳng BC.Tacó(SAB)làmặt phẳngchứa Avàvuônggócvới BC,giaotuyếncủa(SAB) và(SBC) là SB.Trongtamgiác SAB kẻđườngcao AH (H thuộcSB).Khiđó: 8 < : AH?SB(SBC) AH?BC(SBC) SB\BC = B ) AH?(SBC). Vậy AH làđườngthẳngqua Avàvuônggócvớimặtphẳng(SBC).Vì AH làđườngcaocủa tamgiácvuôngSABnên 1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AB 2 = 1 3a 2 + 1 a 2 = 4 3a 2 ) AH = a p 3 2 . Vậykhoảngcáchtừđiểm Ađếnmặtphẳng(SBC)là AH = a p 3 2 . c)TrongtamgiácCAH,vẽOPk AH,khiđó Plàtrungđiểm HCvàđườngthẳngOPquaO, vuônggócvới(SBC).KhoảngcáchtừOđến(SBC)là OP= 1 2 AH = a p 3 4 . Lưuý.Dạngtoán10(ởtrang64)rấtquantrọng,đượcsửdụngđểgiảinhiềubàitoánhìnhhọc khônggianliênquanđếnhìnhchiếu,góc,khoảngcách. Bài 13. Chohìnhthoi ABCDtâmO,cạnhbằng avà AC = a.Từtrungđiểm H củacạnh AB, dựngSHvuônggócvới(ABCD).ChoSH = a. a) Hãy dựng đường thẳng qua H và vuông góc với (SCD), tính khoảng cách từ H đến (SCD),từđósuyrakhoảngcáchtừOđến(SCD). b) Tínhkhoảngcáchtừ Ađến(SBC). L Lời giải Vìtamgiác ABCđềuvàHlàtrungđiểmđoạnthẳng ABnên CH?AB,màCDk ABnênCH?CD. a) Ta có SH?(ABCD)) SH?CD. Trong mp(SCD) chọn đườngthẳngCD.Tacó: 8 < : CD?CH(SHC) CD?SH(SHC) CH\SH = H ) CD?(SCH). Vậy(SHC)làmặtphẳngchứa HvàvuônggócvớiCD. Lạicó(SCH)\(SCD)= SC.Kẻ HKvuônggócvớiSCtạiK. Khiđó 8 < : HK?SC(SCD) HK?CD(SCD) SC\CD = C ) HK?(SCD). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC66|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Vậy HK là đường thẳng qua H và vuông góc với (SCD). Vì HK là đường cao của tam giác vuông SHC nên 1 HK 2 = 1 HS 2 + 1 HC 2 . Ta có HS = a, do HC là đường cao của tam giác đều cạnh anên HC = a p 3 2 . Vìthế: 1 HK 2 = 1 a 2 + 4 3a 2 = 7 3a 2 . Suyra: HK = a p 3 p 7 ) d(H,(SCD))= HK = a p 21 7 . Kẻ đường thẳng qua O, song song với HK, cắt KI tại F. Khi đó F là hình chiếu của O trên (SCD),dođó d(O,(SCD))= OF = HK 2 = a p 21 14 . b) Trước hết ta tính khoảng cách từ H đến (SBC). Ta sẽ tìm hình chiếu của H trên (SBC). Trong(SBC)chọnđườngthẳng BC.Vẽ Mlàhìnhchiếucủa Htrên BC.Tacó 8 < : BC?MH(SHM) BC?SH(SHM) HM\HS= H ) BC?(SHM). Vậy (SHM) là mặt phẳng chứa H và vuông góc với BC, giao tuyến của (SHM) và (SBC) là SM.Vẽ Elàhìnhchiếucủa HtrênSM.Khiđó 8 < : HE?SM(SBC) HE?BC(SBC) SM\BC = M ) HE?(SBC). Vậy E là hình chiếu của H trên (SBC), do đó d(H,(SBC)) = HE. Do HE là đường cao của tamgiácvuôngSHMnên 1 HE 2 = 1 HS 2 + 1 HM 2 = 1 a 2 + 1 HB 2 + 1 HC 2 = 1 a 2 + 4 a 2 + 4 3a 2 = 19 3a 2 . Từđây HE= a p 3 p 19 = a p 57 19 .Vìđườngthẳng AHcắt(SBC)tại Bnên d(A,(SBC)) d(H,(SBC)) = AB HB = 2) d(A,(SBC))= 2d(H,(SBC))= 2a p 57 19 . Khoảngcáchtừ Ađến(SBC)là:d(A,(SBC))= 2a p 57 19 . Bài 14. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthoitâmO,cạnhbằng a, Ö ABC = 60 0 , SOvuônggócvớimặtphẳng(ABCD)vàSO= a 2 . a) Hãy dựng đường thẳng qua O và vuông góc với (SCD), tính khoảng cách từ O đến (SCD). b) Gọi E là trung điểm cạnh SA. Chứng minh rằng đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng(BDE)vàtínhkhoảngcáchtừtrungđiểmMcủacạnhBCđếnmặtphẳng(BDE). L Lời giải Phântích.Trong(SCD)chọnđườngthẳngCD.TacầndựngmặtphẳngquaOvàvuônggóc vớiCD.DođãcóOS?CDnêntachỉcầnvẽOK?CDtạiKsẽđượcmặtphẳngquaOvàvuông gócvớiCDlà(SOK). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC67|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Giải. a) Vẽ OK vuông góc với CD tại K. Khi đó CD vuông góc với (SOK). Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng (SOK) và (SCD) là SK. Vẽ OH vuông góc với giao tuyến SK tại H. Kết hợp với OH vuông góc với CD suy ra OH?(SCD). VậyOHlàđườngthẳngquaOvàvuông gócvới(SCD)tại H.KhoảngcáchtừO đến (SCD) là: d(O,(SCD)) = OH. Ta có ABCvà ACDlànhữngtamgiácđều. TrongtamgiácvuôngOCK,tacó: OK = OCsin Ö OCK = a 2 sin60 0 = a p 3 4 . TrongtamgiácvuôngSOK,tacó: 1 OH 2 = 1 OS 2 + 1 OK 2 = 4 a 2 + 16 3a 2 = 28 3a 2 . VậykhoảngcáchtừOđến(SCD)làOH = a r 3 28 . b)Tacó:  BD?AC BD?SO ) BD?(SAC)) BD?SA. Tamgiác SAC cótrungtuyến SO = a 2 = AC 2 nênDSAC vuôngtại S.VìOE làđườngtrung bìnhcủaDSACnênOEk SC,suyraOE?SA.Tacó: 8 < : SA?BD(BDE) SA?OE(BDE) BD\OE= O ) SA?(BDE). Do AE?(BDE) nên d(A,(BDE)) = AE. Tam giác vuông SAC có trung tuyến SO?AC nên tamgiácSACvuôngcântạiS,suyra: SA= AC p 2 = a p 2 ) d(A,(BDE))= AE= 1 2 SA= a 2 p 2 . GọiG = AM\BO) G = AM\(BDE)vàGlàtrọngtâmtamgiác ABC.Dođó: d(M,(BDE)) d(A,(BDE)) = GM GA = 1 2 ) d(M,(BDE))= 1 2 d(A,(BDE))= a p 2 8 . Lưuý.CóthểchứngminhSAvuônggócvớimặtphẳng(BDE)cáchkhác.Tacó SD = p SO 2 +OD 2 = r a 2 4 + 3a 2 4 = a, nhưvậytamgiácSDAcântại D,suyraSA?ED.TươngtựtacũngcóSA?BE.Tómlại: 8 < : SA?ED(BDE) SA?EB(BDE) ED\EB= E ) SA?(BDE). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC68|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Dạng 11. Xácđịnhgócj(với0 0 j 90 0 )giữađườngthẳngavàmặtphẳng(P). Phươngpháp.Sửdụngđịnhnghĩa4ởtrang 57,cụthểnhưsau:  Bước1.TìmO= a\(P).  Bước2.Chọn M2 a.Dựng H làhìnhchiếucủa Mtrên(P). Khiđó j= × MOH. Bài 15. ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhthoicạnhatâmO,gọi Ilàtrungđiểm AB.Biết Ö BAD = 60 0 ,SA= SB= SD = a p 3, a) TínhgócgiữađườngthẳngSA,SB,SC,SDvớiđáy(ABCD). b) TínhgócgiữaSB,SDvớimặtphẳng(SAC). c) TínhgócgiữaSCvớimặtphẳng(SDI). L Lời giải Gọi H làhìnhchiếucủaStrênmặtphẳng (BAD). Khi đó ba tam giác vuông SHA, SHB, SHD bằng nhau, suy ra HA = HB = HDhay H làtâmcủatamgiácđều ABD,nhưvậy H làgiaođiểmcủa AO và DI. Do SH?(ABCD) nên hình chiếu của SD trên (ABCD) là HD, suy ra góc giữa SDlà(ABCD)làgócgiữa DSvà DH,tức làgóc Ö SDH.Tacó: DH = 2 3 DI = 2 3
a p 3 2 = a p 3 3 cos Ö SDH = DH SD = a p 3 3 : a p 3= 1 3 . Suyra Ö SDH 70 0 32 0 . Tươngtự,gócgiữa SA,SBvới(ABCD)là 70 0 32 0 .Hìnhchiếucủa SCtrên(ABCD)là HC, dođógócgiữaSCvà(ABCD)làgócgiữaCSvàCH,tứclà Ö SCH.Tacó: SH = p SD 2 DH 2 = r 3a 2 a 2 3 = r 8a 2 3 = 2 p 2a p 3 CH = CO+OH = AO+ 1 3 AO= 4 3 AO= 4 3
a p 3 2 = 2a p 3 3 tan Ö SCH = SH CH = 2 p 2a p 3
3 2a p 3 = p 2) Ö SCH 54 0 44 0 . VậygócgiữaSCvà(ABCD)là Ö SCH 54 0 44 0 . b)Do ABCDlàhìnhthoinên BD?AC.Tacó:SH?(ABCD)) SH?BD.Nhưvậy: 8 < : BD?SH(SAC) BD?AC(SAC) SH\AC = H ) BD?(SAC). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC69|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Hìnhchiếucủa SBtrên(SAC)là SO.Gócgiữa SBvà(SAC)làgócgiữa SBvà SO,tứclàgóc Õ BSO. sin Õ BSO= BO SB = a 2 p 3a = 1 2 p 3 ) Õ BSO 16 0 47 0 . VậygócgiữaSB,SDvới(SAC)bằngnhauvàbằng Õ BSO 16 0 47 0 . c)  ABk CD DI?AB ) DI?CD.Tacó: 8 < : CD?DI(SDI) CD?SH(SDI) DI\SH = H ) CD?(SDI). NhưvậyhìnhchiếucủaSCtrên(SDI)làSD,dođógócgiữaSCvớimặtphẳng(SDI)là Õ CSD. tan Õ CSD = CD SD = a a p 3 = 1 p 3 ) Õ CSD = 30 0 . VậygócgiữaSCvàmặtphẳng(SDI)bằng30 0 . Bài 16. Cholăngtrụtamgiác ABC.A 1 B 1 C 1 cóđáylàtamgiác ABCvuôngcântại A,cạnhbên AA 1 vuônggócvớiđáy.Gọi M, Nlầnlượtlàtrungđiểmcủa ABvàB 1 C 1 .Biết MN = avàgóc giữa MN với(ABC)làa. a) Tínhcạnhđáyvàcạnhbêncủalăngtrụ. b) Xácđịnhgócabiếtgócgiữa MN vàmặtbên(BCC 1 B 1 )là30 0 . L Lời giải a)Gọi Plàtrungđiểmcủa BC.Khiđó NP?(ABC). Nhưthế × PMN = a.Từđó: 8 > < > : cosa= MP MN sina= NP MN Suyra  MP= acosa NP= asina. AB= AC = 2MP= 2acosa, AA 1 = NP= asina. BC = AB p 2= 2a p 2cosa. b)Tacó 8 < : AP?BC(BCC 1 B 1 ) AP?NP(BCC 1 B 1 ) BC cắt NP. Suy ra AP?(BCC 1 B 1 ). Gọi K là trung điểm của BP thì MKk AP. Vì thế MK vuông góc với (BCC 1 B 1 ).Thànhthửgócgiữa MN vàmặtphẳng(BCC 1 B 1 )là × MNK = 30 0 .Tacó sin × MNK = MK MN ) MK = MN.sin30 0 = a 2 . Mặtkhác,vì MK = 1 2 AP= 1 2 BP= KPnênDMPKvuôngcântạiKnên MP= MK p 2= a p 2 2 ) cosa= MP MN = p 2 2 ) a= 45 0 . Lưu ý. Có thể dựng hình chiếu vuông góc của M trên (BCC 1 B 1 ) bằng cách vận dụng dạng toán10(ởtrang64)nhưsau: CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC70|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  Trong(BCC 1 B 1 ),chọnđườngthẳng BC.  Mặtphẳngqua M vàvuônggócvới BC là(MKQR),với K, Q, Rlầnlượtlàtrungđiểm của BP,B 1 N, A 1 B 1 .  (BCC 1 B 1 )\(MKQR)= KQ.  Hìnhchiếucủa MtrênKQlàK KhiđóKlàhìnhchiếucủa Mtrên(BCC 1 B 1 ),suyragócgiữađườngthẳng MN và(BCC 1 B 1 ) là Û (NM,NK)= × MNK. Bài 17. ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhchữnhật,BC = a,SAvuônggócvới(ABCD). BiếtrằngSCtạovới(SAB)mộtgócavàtạovớimặtđáygóc b.Chứngminhrằng: AB= a p cos(a+b)cos(ab) sina . L Lời giải Vì SA?(ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC,dođó b= Õ SCA.Tacó BC?BA, BC?SAmà BAvàSA là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (SAB) nên suyra BC?(SAB),dođóhìnhchiếucủa SC trên(SAB)là SB, bởi vậy a = Õ BSC. Trong tam giác vuông SBC, ta có: sina = a SC ) a sina = SC.Mặtkhác: AB = p AC 2 BC 2 . Màcosb= AC SC nên: AB= p AC 2 BC 2 = q SC 2 cos 2 ba 2 = s a 2 cos 2 b sin 2 a a 2 = s a 2 cos 2 bsin 2 a
sin 2 a = a sina q cos 2 bsin 2 a = a sina r 1+cos2b 2 1cos2a 2 == a sina r 1 2 (cos2a+cos2b) = a p cos(a+b)cos(ab) sina . Tacóđiềuphảichứngminh. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO?(ABCD). Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa SA và BC.Chobiếtgócgiữađườngthẳng MN và(ABCD) bằng60 0 .Tínhgócgiữađườngthẳng MN và(SBD). L Lời giải Cách1.Kẻ MH?(ABCD),dễthấy H làtrungđiểmcạnh AO.Khiđó × MNH = 60 0 .Xéttamgiác NCH,tacó: NH 2 = HC 2 +NC 2 2HC.NC.cos Ö NCH =  3 4 a p 2  2 +  a 2  2 2. 3 4 .a p 2. a 2 .cos45 0 = 9a 2 8 + a 2 4 3a 2 4 = 5a 2 8 . Suyra NH = a p 5 2 p 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC71|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Xéttamgiácvuông MNH,tacó: HN MN = cos60 0 = 1 2 ) MN = a p 5 p 2 . Vậy MH = HNtan60 0 = a p 15 2 p 2 .Gọi I,J lầnlượtlàtrungđiểmcủaOB, SO.Khiđó MJk IN và MJ = IN, MN cắt IJ tại K thì JK = 1 2 IJ. Vì IN?(SBD) nên MJ?(SBD). Vậy hình chiếu của MN trên(SBD)là JI,dođógócgiữa MN và(SBD)là Ö MKJ.Tacó IJ 2 = JO 2 +OI 2 = MH 2 +OI 2 = 15a 2 8 + a p 2 4 ! 2 = 16a 2 8 = 2a 2 . Từđó IJ = a p 2và IK = a p 2 2 .Suyra tan Ö MKJ = MJ JK = a p 2 4 : a p 2 2 = 1 2 ) Ö MKJ = arctan 1 2 . Cách2.Tacó #  MN = #  MS+ #  SC+ #  CN, #  MN = #  MA+ #  AB+ #  BN. Suyra: #  MN = 1 2  #  SC+ #  AB  = 1 2  #  SO+ #  OC+ #  AO+ #  OB  = 1 2  #  SO+ #  AC+ #  OB  . Từđóvàdo #  SO, #  AC, #  OBđôimộtvuônggócnên MN 2 = #  MN 2 = 1 4  #  SO 2 + #  AC 2 + #  OB 2  = 1 4  SO 2 + 5a 2 2  . Suyra MN = 1 2 r SO 2 + 5a 2 2 .Tacó #  AClàvectơpháptuyếncủa(SBD).Gọialàgócgiữa MN và(SBD).Khiđó: sina= #  MN. #  AC #  MN . #  AC = 1 2  #  SO+ #  AC+ #  OB  #  AC 1 2 r SO 2 + 5a 2 2 .a p 2 = AC 2 r SO 2 + 5a 2 2 .a p 2 = 2a p 2SO 2 +5a 2 . (1) Tacó #  SO làvectơpháptuyếncủa(ABCD).Dogócgiữađườngthẳng MN và(ABCD) bằng 60 0 nên: sin60 0 = #  MN. #  SO #  MN . #  SO , p 3 2 = 1 2  #  SO+ #  AC+ #  OB  #  SO 1 2 r SO 2 + 5a 2 2 .SO , p 3 2 = SO 2 1 2 r SO 2 + 5a 2 2 .SO , p 3 2 = SO 1 2 r SO 2 + 5a 2 2 ,8SO 2 = 3(2SO 2 +5a 2 ), 2SO 2 = 15a 2 . (2) Từ(1)và(2)suyrasina= 2a p 15a 2 +5a 2 = 1 p 5 ) a= arcsin 1 p 5 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC72|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN 1. Đề bài Bài 19. ChotứdiệnOABCcóOA,OB,OCđôimộtvuônggócvớinhau.Gọi H làhìnhchiếu vuônggóccủaOtrênmp(ABC).Chứngminhrằng: a) BC?(OAH). b) Hlàtrựctâmcủatamgiác ABCvà 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OB 2 + 1 OC 2 . c) Cácgóccủatamgiác ABCđềunhọn. d) Tìmtậphợpcácđiểm Mtrongkhônggiansaocho MA 2 +MB 2 +MC 2 = 3MO 2 . Bài 20. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhchữnhật.Cáctamgiác SAB, SAD vuôngtại A. Trên cạnh AB ta lấy điểm M, trên cạnh AD ta lấy điểm N và trên SB lấy điểm E sao cho MN?ACvà ME?SB.ChứngminhrằngSC?(MNE). Bài 21. Trongmặtphẳng(P)choDABCvuôngtại Bvới AB= a p 2,BC = 2a. ĐiểmOnằmngoàimặtphẳng(P)saochoOA?(P)vàOA= a p 2. a) TínhgóctạobởicácđườngthẳngOB,OCvới(P). b) TínhgócgiữađườngthẳngOAvới(OBC). Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông gócvớimặtphẳng(ABCD).Gọi H, I,Klầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủađiểm Atrêncác cạnhSB,SC,SD. a) Chứngminh BC?(SAB),CD?(SAD)và BD?(SAC). b) ChứngminhSC?(AHK)vàđiểm I thuộc(AHK). c) Chứngminh HK?(SAC),từđósuyra HK?AI. d) Chứngminhrằngtứgiác AHIKnộitiếpmộtđườngtròn. Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có SA?(ABC) và DABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trựctâmcủatamgiác ABC,SBC.Chứngminhrằng: a) AH,SK, BCđồngquy. b) SC?(BHK). c) HK?(SBC). Bài 24. Chotamgiác ABC cânđỉnh Acó Ö BAC = 120 0 ,cạnh BC = a p 3.Lấyđiểm Sởngoài mặtphẳngchứatamgiác ABCsaochoSA = a.GọiOlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác SBC. a) Chứngminhrằng: AO?(SBC). b) Tính AOkhitamgiácSBCvuôngtạiS. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC73|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 25. Chohìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 cócạnhbênvuônggócvớimặtđáyvàtấtcảcáccạnh đềubằngnhau.Gọi MlàtrungđiểmCC 0 .Chứngminhrằng A 0 B?B 0 M. Bài 26. Cho tứ diện S.ABC có SA?(ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABCvàSBC. a) Chứngminhrằngbađườngthẳng AH,SKvà BCđồngquy. b) ChứngminhrằngSC?(BHK), HK?(SBC). c) Kéo dài SA cắt HK tại R. Chứng minh rằng tứ diện SBCR có các cặp cạnh đối vuông góc. Bài 27 (Đề thi ĐH khối D năm 2010). ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnha,cạnhbênSA= a,hìnhchiếucủaStrên (ABCD)làđiểmHthuộcđoạn ACmà AH = 1 4 AC.Gọi MlàchânđườngcaokẻtừCcủatam giácSAC.Chứngminh MlàtrungđiểmcủađoạnthẳngSA. Bài 28. Chotứdiện ABCD,có DA?(ABC), AB = AC = a, BC = 6 5 a.Gọi M làtrungđiểm BC.Vẽ AHvuônggócvới MDtại H. a) Chứngminhrằng AH?(BCD). b) Cho AD = 4 5 a.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng ACvà DM. c) Gọi G 1 , G 2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằngG 1 G 2 ?(ABC). Bài 29. ChohìnhchópS.ABCcóSA?(ABC),đáylàtamgiácABCvuôngởB.Biết Õ BSC = 30 0 . Đặt Ö ACB = a.Gọi I làhìnhchiếucủa B lên SC.Xácđịnh a để BI hợpvớimặtphẳng(SAC) góc60 0 . Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AD = 2a, AB = a p 3. SH?(ABCD)(Hlàtrungđiểmcủa AD).BiếtgócgiữaSBvà(ABCD)là60 0 . a) TínhđộdàiSH. b) TínhgócgiữaSCvới(SAD). c) TínhgócgiữaCHvới(SAB). Bài 31. Cholăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 cóđộdàicạnhbênbằng2a,đáy ABClàtamgiácvuôngtại A, AB= a, AC = a p 3.Hìnhchiếucủa A 0 trên(ABC)làtrungđiểmcủaBC.Tínhcosa,ởđây alàgócgiữa AA 0 và B 0 C 0 . Bài 32. ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtạiB, AB= a, AC = 2a,SA?(ABC), SA= 2a.Gọi(P)làmặtphẳngqua AvàvuônggócvớiSC.Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchóp với(P),tínhdiệntíchthiếtdiện. Bài 33. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthangvuôngtại Avà Bvới AB= BC = a,AD = 2a,SA?(ABCD),SA= 2a. GọiMlàmộtđiểmtrêncạnh AB,đặt AM = x(0< x< a).Mặtphẳng(a)điquaMvàvuông gócvới AB. a) Tìmgiaotuyếncủa(a)và(SAB). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC74|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b) Tìmthiếtdiệncủahìnhchópkhicắtbởi(a).Thiếtdiệnlàhìnhgì? c) Tínhdiệntíchthiếtdiệntheo avà x. Bài 34. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D với AB = AD = a, DC = 2a. Trên đường thẳngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD)tại DlấyđiểmSvớiSD = a p 3.Gọi Mlàđiểmtrên cạnh ABvới AM = x(0< x< a).Gọi(P)làmặtphẳngqua Mvàvuônggócvới BD,(P)cắt cáccạnh DC,SC,SBlầnlượttại N, L,K. a) Chứngminhrằng BC?(SBD). b) Tứgiác MNLKlàhìnhgì?Tínhdiệntíchtứgiácđó. 2. Lời giải, hướng dẫn Câu19. a) Tacó 8 < : OA?OB(OBC) OA?OC(OBC) OB\OC = O ) OA?(OBC)) OA?BC. (1) TacóOH?(ABC),suyraOH?BC. Kếthợpvới(1)suyra BC?(AOH). b) VìBC?(AOH)nênAH?BC.Tươngtựtachứngminhđược BH?AC.Vậy Hlàtrựctâmcủatamgiác ABC. Gọi I = AH\BC.VìOHlàđườngcaocủatamgiácvuông AOI nên 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OI 2 . (2) VìOI làđườngcaocủatamgiácvuôngOBCnên 1 OI 2 = 1 OB 2 + 1 OC 2 . (3) Từ(2),(3)suyra 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OB 2 + 1 OC 2 . c) XétDABC,tacó cosA= AB 2 +AC 2 BC 2 2AB.AC ,cosA= OA 2 +OB 2 +OA 2 +OC 2 (OB 2 +OC 2 ) 2AB.AC ,cosA= OA 2 AB.AC > 0) góc A nhọn. d) Gọi G là trọng tâm DABC. Gọi I là điểm cách đều bốn điểm O, A, B, C (I chính là giao điểmcủađườngthẳngđiquatrungđiểmcủa BC vàsongsongvớiOAvàmặttrungtrực củaOA).Tacó: MA 2 +MB 2 +MC 2 = 3MO 2 ,  #  MI+ #  IA  2 +  #  MI+ #  IB  2 +  #  MI+ #  IC  2 = 3  #  MI+ #  IO  2 ,2 #  MI  #  IA+ #  IB+ #  IC  +IA 2 +IB 2 +IC 2 = 6 #  MI. #  IO+3IO 2 ,2 #  MI  #  IA+ #  IB+ #  IC  = 6 #  MI. #  IO (do IA= IB= IC = IO) ,6 #  MI. #  IG = 6 #  MI. #  IO, #  MI  #  IG #  IO  = 0 CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC75|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 , #  MI. #  OG = 0, IM?OG. Vậyđiểm M thuộcmặtphẳngđiqua I vàvuônggócvớiOG,mặtphẳngnàycốđịnhvì I cốđịnhvàđườngthẳngOGcũngcốđịnh. Câu20. Tacó: 8 < : SA?AB(ABCD) SA?AD(ABCD) AB\AD = A. Suy ra SA?(ABCD), do đó SA vuông góc với mọi đườngthẳngnằmtrong(ABCD). Ta có MN?AC, mà AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)nên MN?SC. Tacó: 8 < : BC?BA(SAB) BC?SA(SAB) BA\SA= A. Suyra: BC?(SAB),mà EM(SAB)nên BC?EM.Tacó:  EM?SB EM?BC ) EM?SC. Nhưvậy: 8 < : SC?MN(MNE) SC?EM(MNE) MN\EM = M ) SC?(MNE). Câu21. a)HìnhchiếucủaOB,OC lênmặtphẳng(P)lầnlượtlà AB và AC.Tacótan Ö OBA= OA AB = a p 2 a p 2 = 1.Suyra Ö OBA= 45 0 . VậygóctạobởiOBvàmp(P)là45 0 .Tacó: AC 2 = AB 2 +BC 2 = 2a 2 +4a 2 = 6a 2 . Suyra AC = a p 6.TrongtamgiácOCAtacó: tan Ö OCA= OA AC = 1 p 3 ) Ö OCA= 30 0 . VậygócgiữaOCvàmp(P)là30 0 . b)TrongDOABhạAH?OB(H2 OB).TacóBC?AH(vìBC?(OAB))nênAH?(OBC).Như thếOB làhìnhchiếucủaOA lên(OBC).VìtamgiácOAB vuôngcântại A nên Ö AOB = 45 0 . VậygócgiữađườngthẳngOAvà(OBC)là45 0 . Câu22. a) Vì SA?(ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằmtrongmặtphẳng(ABCD).Vậytacó: 8 < : BC?AB(SAB) BC?SA(SAB) AB\SA= A ) BC?(SAB). 8 < : CD?DA(SAD) CD?SA(SAD) DA\SA= A ) CD?(SAD). 8 < : BD?AC(SAC) BD?SA(SAC) AC\SA= A ) BD?(SAC). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC76|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b)Tacó BC?(SAB)mà AH(SAB)nên BC?AH.Vậy: 8 < : AH?SB(SBC) AH?BC(SBC) SB\BC = B ) AH?(SBC)) AH?SC. TacóCD?(SAD)mà AK(SAD)nênCD?AK.Vậy: 8 < : AK?CD(SCD) AK?SD(SCD) CD\SD = D ) AK?(SCD)) AK?SC. Tacó 8 < : SC?AH(AHK) SC?AK(AHK) AH\AK = A ) SC?(AHK).Gọi J = SC\(AHK),khiđó AJ (AHK),mà SC?(AHK)nên AJ?SC,suyra I J,vậy I2(AHK). c)TacóhaitamgiácvuôngSABvàSADbằngnhauvìchúngcóchungcạnhSAvà AB= AD (c.g.c). Do đó SB = SD, SH = SK, suy ra HKk BD. Vì BD?(SAC) nên HK?(SAC) và do AI(SAC)nên HK?AI. d)Tacó AH?(SBC)) AH?HI, AK?(SCD)) AK?KI.Vìtứgiác AHIKcó Õ AHI = Õ AKI = 90 0 nênnộitiếpđườngtròn. Lưuý.Trongcâub),cóthểchứngminhbốnđiểm A, I, H,Kđồngphẳngnhưsau:vì AH, AI, AK là ba đường thẳng cùng đi qua A và vuông góc với SC nên chúng cùng nằm trong mặt phẳngqua AvàvuônggócvớiSC,dođóbốnđiểm A, I, H,Kcùngthuộcmặtphẳngnày. Câu23. a) Gọi J = AH\BC,tacầnchứngminh SK điqua J,tứclàchứng minh BC?SJ.Tacó: 8 < : BC?AJ(SAJ) BC?SA(SAJ) AJ\SA= A ) BC?(SAJ). Mà SJ nằm trong (SAJ) nên BC?SJ.Dođó AH,SK, BCđồngquytại J. b) 8 < : BH?AC(SAC) BH?SA(SAC) AC\SA= A ) BH?(SAC). MàSC(SAC)nên BH?SC.Vậy 8 < : SC?BK(BHK) SC?BH(BHK) BH\BK = B ) SC?(BHK). c) Theo câu b), ta có SC?(BHK), mà HK (BHK) nên SC?HK. Lại có BC?(SAJ), suy ra BC?HK.Nhưvậy: 8 < : HK?SC(SBC) HK?BC(SBC) SC\BC = C ) HK?(SBC). Câu24. a)Gọi Mlàtrungđiểm BC.Khiđó: AM?BC, × MAC = 60 0 , MC = a p 3 2 . Suyra: AB= AC = CM sin60 0 = a. Như vậy: AS = AB = AC = a. Gọi K là hình chiếu vuông góc của Atrênmặtphẳng(SBC),khiđóbatamgiácKAS,KAC,KAB bằngnhau(c-g-c),suyraKS= KB= KC,hayKlàtâmđườngtròn ngoạitiếptamgiácSBC.DẫnđếnK O,suyra AO?(SBC). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC77|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b)KhitamgiácSBCvuôngtạiSthìO M,dođó AO= AM = BMcot Ö BAM = BMcot60 0 = a p 3 2
1 p 3 = a 2
Câu25. Gọi N làtrungđiểm B 0 C 0 .Tronghìnhvuông BCC 0 B 0 tacó B 0 M?BN.Mặtkháctheogiảthiết 8 < : A 0 N?B 0 C 0 (BCC 0 B) A 0 N?CC 0 (BCC 0 B) B 0 C 0 \CC 0 = C. 0 Suy ra A 0 N?(BCC 0 B), mà B 0 M nằm trong (BCC 0 B) nên A 0 N?B 0 M.Nhưvậytacó: 8 < : B 0 M?BN(A 0 BN) B 0 M?A 0 N(A 0 BN) BN\A 0 N = N ) B 0 M?(A 0 BN)) B 0 M?A 0 B. Câu26. Gọi Elàchânđườngcaohạtừ Acủatamgiác ABC. a)TacóSA?(ABC)) SA?BC. 8 < : BC?AE(SAE) BC?SA(SAE) AE\SA= A. Suyra BC?(SAE)) BC?SE. Suyra S, K, E thẳnghàng.Dođóbađườngthẳng AH, SK và BC đồngquytại E. b)TacóSA?(ABC)) SA?BH.Dođó 8 < : BH?SA(SAC) BH?AC(SAC) SA\AC = A ) BH?(SAC)) BH?SC. Nhưvậy 8 < : SC?BK(BHK) SC?BH(BHK) BK\BH = B ) SC?(BHK).Tiếptheotacó  HK?SC (do SC?(BHK)) HK?BC (do BC?(SAE)) ) KH?(SBC). c)TrongtứdiệnSBCR,tacó BC?SA) BC?SR.Tacó RB(BHK)) SC?RB (vìSC?(BHK)chứa RB). Tiếp theo ta có  SB?RK SB?KC ) SB?(RKC)) SB?RC. Như vậy tứ diện SBCR có BC?SR, SC?RB,SB?RC,suyrađiềuphảichứngminh. Câu27. Vì ABCDlàhìnhvuôngcạnh anên AC = a p 2.Dođó: AH = 1 4 AC = a p 2 4 .TacótamgiácSAHvuôngtại H,suyra: SH = p SA 2 AH 2 = r a 2 a 2 8 = a p 14 4 . Tacó HC = 3 4 AC = 3a p 2 4 . VìtamgiácSCHvuôngtại Hnên SC = p SH 2 +HC 2 = a p 2. NhưvậyCS= CA,suyraDSCAcântại A,dẫntới MlàtrungđiểmcủaSA. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC78|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu28. a)Vì BC?AM, BC?AD nên BC?(DAM),mà AH(DAM)nên BC?AH.Vậy 8 < : AH?BC(DBC) AH?DM(DBC) BC\DM = M ) AH?(DBC). b)Kẻ MNk AC(N2 AB),khiđógócgiữa DMvà MN bằng hoặcbùvớigóc × DMN.Tacó: MN = 1 2 AC = a 2 , AN = AB 2 = a 2 . Dẫnđến: DN 2 = DA 2 +AN 2 = 16a 2 25 + a 2 4 = 89a 2 100 AM 2 = AB 2 BM 2 = a 2 9a 2 25 = 16a 2 25 ) AM = 4a 5 . DM 2 = AD 2 +AM 2 = 16a 2 25 + 16a 2 25 = 32a 2 25 ) DM = 4a p 2 5 DN 2 = DM 2 +MN 2 2DM.MN.cos × DMN , 89a 2 100 = 32a 2 25 + a 2 4 2. 4a p 2 5 . a 2 .cos × DMN , 64a 2 100 = 4a 2 p 2 5 .cos × DMN, cos × DMN = 2 p 2 5 . Vậygócgiữahaiđườngthẳng ACvà DMlàarccos 2 p 2 5 . c) MG 1 MA = MG 2 MD = 1 3 ) G 1 G 2 k AD.Mà AD?(ABC)nênG 1 G 2 ?(ABC). Câu29. Hạ BH?AC. Ta có SA?(ABC), suy ra BH?SA. Kết hợp với BH?AC ta được BH?(SAC). Suy ra hình chiếu của BI trên (SAC)làHI.VậygócgiữaBIvàmặtphẳng(SAC)là Õ BIH = b. Tacũngcó BC?BAvà BC?ASnên BC?BS.Đặt BC = a.Theo giảthiết Ö ACB = atacó BH = a.sina.TamgiácSBCvuôngtại Bvà Õ BSC = 30 0 nên: SB= BCcot30 0 = a p 3, BI = SBsin30 0 = a p 3 2 . Vậy b= 60 0 , BH = BIsin60 0 , asina= BIsin60 0 . Dođósina= 3 4 .Khisina= 3 4 thìđườngthẳng BI hợpvớimặtphẳng(SAC)góc60 0 . Câu30. a) Dễ thấy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là Õ SBH = 60 0 . Do tam giác ABH vuôngở Anên: BH 2 = AB 2 +AH 2 . Suyra BH = 2a. Từđó SH = HBtan60 0 = 2a p 3. b)Tacó:  CD?SH CD?AD ) CD?(SAD). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC79|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 NhưthếgócgiữaSCvới(SAD)làgóc Õ CSD.Tacó: sin Õ CSD = CD SC = a p 3 4a = p 3 4 ) Õ CSD 25 0 39 0 . c)TrongtamgiácvuôngSAH,hạ HI?SA(I2 SA).Tacó  HI?SA HI?AB ) HI?(SAB). KéodàiCHcắt ABtạiK.VậygócgiữaCHvà(SAB)làgóc Õ HKI.Tacó 1 HI 2 = 1 HS 2 + 1 HA 2 = 1 12a 2 + 1 a 2 = 13 12a 2 ) HI = 2a p 39 13 . Dễdàngtínhđược HK = CH = 2a.Vậysin Õ HKI = HI KH = p 39 13 . GócgiữaCHvà(SAB)là28 0 42 0 . Câu31. Trong(ABC),quađiểm AkẻđườngthẳngDsongsongvới BC. TừđóDk B 0 C 0 .SuyragócgiữaAA 0 vàB 0 C 0 chínhlàgócgiữahai đườngthẳngDvà AA 0 .Gọi Mlàtrungđiểm BC.Theogiảthiết Mlàhìnhchiếucủa A 0 trên(ABC).Trong(ABC),kẻ MH?Dtại H. Ta có A 0 M?(ABC), suy ra A 0 M?D, mà A 0 M là hình chiếu của A 0 H trên (ABC) nên theo định lí ba đường vuông góc suy ra A 0 H?D,từđóa= × A 0 AH,suyracosa= AH AA 0 . Tacó: BC 2 = AB 2 +AC 2 = a 2 +3a 2 = 4a 2 . Suy ra AM = 1 2 BC = a. Ta có MH bằng độ dài đường cao kẻ từ A của DABM, nhưng vì DABMđềucạnh anên MH = a p 3 2 .Dođó: AH 2 = AM 2 MH 2 = a 2 3a 2 4 = a 2 4 ) AH = a 2 . Bởivậycosa= AH AA 0 = a 2 2a = 1 4 . Câu32. Phântích.Theodạng9(ởtrang62),đểxácđịnhtườngminhmặtphẳng (P) tacần xácđịnhhaiđườngthẳngcắtnhaucùngvuônggócvới SCtrongđócómộtđườngđiqua A. NhưvậytrướchếttaphảidựngKlàhìnhchiếucủa AtrênSC. Giải.Vẽ AK vuônggócvới SC tại K.Vẽ AH vuônggócvới SBtại H.Tacó: 8 < : BC?BA(SAB) BC?SA(SAB) SA\BA= A ) BC?(SAB). Mà AH(SAB)nên BC?AH. 8 < : AH?SB(SBC) AH?BC(SBC) SB\BC = B ) AH?(SBC). MàSC(SBC)nên AH?SC. 8 < : SC?AK(AHK) SC?AH(AHK) AH\AK = A ) SC?(AHK). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC80|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Như vậy (AHK) là mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với SC hay (P) (AHK). Thiết diệncầntìmlàtamgiác AHK.Tacó: AH?(SBC)) AH?HK nêndiệntíchthiếtdiện:S AHK = 1 2 HA.HK.Tatínhđược: 1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AB 2 = 1 4a 2 + 1 a 2 = 5 4a 2 ) AH = 2a p 5 . AK = 1 2 SC = 1 2 p 4a 2 +4a 2 = a p 2. HK = p AK 2 AH 2 = r 2a 2 4a 2 5 = r 6a 2 5 = a p 6 p 5 . Vậy:S AHK = 1 2 HA.HK = 1 2
2a p 5
a p 6 p 5 = a 2 p 6 5 . Câu33. a)Tacó: 8 < : (a)?AB SA?AB M6= A ) SAk(a).  M2(a)\(SAB) SA(SAB), SAk(a). Vậygiaotuyếncủa(a)và(SAB)làđườngthẳng Mxqua MvàsongsongvớiSA. b)Trong(SAB),gọi N = Mx\SB. Tươngtự: 8 < : M2(a)\(ABCD) AD(ABCD) ADk(a). Suyra(a)\(ABCD) = My,với Mylàđườngthẳngđiqua M,songsongvới AD,cắtCDtại Q. Giao tuyến của (a) và (SBC) là đường thẳng Nz qua N, song song với BC, cắt SC tại P. Thiếtdiệnlàtứgiác MNPQ.Tacó: MQk ADk BCk NP) MQk NP.  MNk SA SA?(ABCD) ) MN?(ABCD)) MN?MQ. Thiếtdiệnlàhìnhthang MNPQvuôngtại Mvà N.Diệntíchthiếtdiệnlà: S MNPQ = (MQ+NP)MN 2 . Tacó: MN AS = BM BA = ax a ) MN = SA. ax a = 2a(ax) a = 2(ax). NP BC = SN SB = AM AB = x a ) NP= BC. x a = x. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC81|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi I là giao điểm AB và CD. Khi đó dễ thấy rằng BC là đườngtrungbìnhcủatamgiác IAD.Tacó: MQ AD = IM IA = 2ax 2a . Suyra: MQ= AD. 2ax 2a = 2ax. Nhưvậy: S MNPQ = (MQ+NP)MN 2 = (2ax+x)2(ax) 2 = 2a(ax). Câu34. a)Gọi I làtrungđiểmcủađoạnthẳngCD. Khiđó ADIBlàhìnhvuông. Suyra BI = IC = ID = a. Từđótacó BC?BD. LạicóSD?BC(vìSD?(ABCD)). Vậy BC?(SBD). b) Trước hết nhận xét rằng (P)?BD, BC?BD, SD?BD,suyra(P)k BC,(P)k SD.Tacó: 8 < : (P)k BC BC(ABCD) (P)\(ABCD)= MN. Suyra MN songsongvới BC.Tacó  (P)k SD,SD(SCD) (P)\(SCD)= NL ) NLk SD. Gọi Hlàgiaođiểmcủa BDvà MN.Tacó:  (P)k SD,SD(SBD) H2(P)\(SBD). Suyragiaotuyếncủa(P)và(SBD)là HKk SD.Cuốicùng  (P)k BC(SBC) (P)\(SBC)= KL ) KLk BC. Do SD?MN (Vì SD?(ABCD)) nên NL?MN. Vậy thiết diện là hình thang vuông MNLK. GọiSlàdiệntích MNLK.Tacó: S= 1 2 (MN+LK)NL. Tacó ABIDlàhìnhvuôngcạnh anên MN = AI = a p 2.XéttamgiácSBDcó HKk SDnên HK SD = BH BD = BH 2OB = 1 2 BM BA = ABAM 2AB ) HK = p 3(ax) 2 , ởđâyOlàgiaođiểmcủa AI và BD.TamgiácSBCcóKLk BCnên KL BC = SK SB = BDBH DB = 1 BH 2OB = 1 1 2 . BM BA = 1 1 2 . ABAM AB . Từđótínhđược KL= BC  1 ax 2a  = a p 2. a+x 2a = (a+x) p 2 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC82|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Nhưthếdiệntíchhìnhthangvuông MNLKlà S= 1 2 (MN+LK)NL= 1 2 a p 2+(a+x) p 2 2 ! (ax). p 3 2 = p 6 8 (ax)(3a+x). D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Đề bài Câu1. Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàolàkhẳngđịnhsai? A. Nếuđườngthẳngd?(a)thìdvuônggócvớihaiđườngthẳngnằmtrong(a). B. Nếuđườngthẳngdvuônggócvớihaiđườngthẳngnằmtrong(a)thìd?(a). C. Nếuđườngthẳngdvuônggócvớihaiđườngthẳngcắtnhaunằmtrong(a)thìdvuông gócvớibấtkìđườngthẳngnàonằmtrongmặtphẳng(a). D. Nếud?(a)vàđườngthẳng ak(a)thìd?a. Câu2. TrongkhônggianchođườngthẳngDvàđiểmO.QuađiểmOcóbaonhiêumặtphẳng vuônggócvớiđườngthẳngD. A. 1. B. 2. C. 3. D. Vôsố. Câu3. Trongkhônggian,tậphợpcácđiểm Mcáchđềuhaiđiểmcốđịnh Avà Blà: A. Mặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. B. Đườngthẳngtrungtrựccủađoạnthẳng AB. C. Mặtphẳngvuônggócvới ABtại A. D. Đườngthẳngqua Avàvuônggócvới AB. Câu4. Mệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. Gócgiữađườngthẳngvàmặtphẳngbằnggócgiữađườngthẳngđóvàhìnhchiếucủa nótrênmặtphẳngđãcho. B. Gócgiữađườngthẳng avàmặtphẳng(P)bằnggócgiữađườngthẳng bvàmặtphẳng (P)khi avàbsongsong(hoặcđườngthẳng atrùngvớiđườngthẳngb). C. Gócgiữađườngthẳng avàmặtphẳng(P)bằnggócgiữađườngthẳng avàmặtphẳng (Q)thìmặtphẳng(P)songsongvớimặtphẳng(Q). D. Gócgiữađườngthẳng avàmặtphẳng(P)bằnggócgiữađườngthẳng bvàmặtphẳng (P)thì asongsongvớib. Câu5. Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (P), trong đó a?(P). Trong các khẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàolàkhẳngđịnhsai? A. Nếubk(P)thìb?a. B. Nếub?(P)thìbk a. C. Nếubk athìb?(P). D. Nếub?athìbk(P). Câu6. Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàođúng? A. Haiđườngthẳngcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsongvớinhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Haiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsongvớinhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC83|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu7. Cho ba đường thẳng phân biệt a,b,c và mặt phẳng (P). Trong các khẳng định sau, khẳngđịnhnàosai? A. Nếu a?bvàb?cthì ak c. B. Nếu ak bvàb?cthì a?c. C. Nếu a?(P)vàbk(P)thì a?b. D. Nếu a?b,c?bvà acắtcthìbvuônggócvớimặtphẳngchứahaiđườngthẳng avàc. Câu8. Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàolàkhẳngđịnhsai? A. Haiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsongvớinhau. B. Haimặtphẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthìsongsongvớinhau. C. Haiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthứbathìsongsong vớinhau. D. Haiđườngthẳngphânbiệtcùngsongsongvớimộtđườngthẳngthứbathìsongsong vớinhau. Câu9. Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua Mvàvuônggócvới a? A. Cómộtvàchỉmột. B. Cóhai. C. Cóvôsố. D. Cómộthoặcvôsố. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Hãytrả lờicáccâu10,11,12,13. Câu10. Tínhgócgiữahaivectơ #  AA 0 và #  AC. A. 90  . B. 0  . C. 60  . D. 135  . Câu11. Tínhgócgiữahaivectơ #  AD 0 và #  BC. A. 45  . B. 0  . C. 60  . D. 135  . Câu12. Tínhgócgiữahaivectơ #  AA 0 và #  BC. A. 0  . B. 60  . C. 90  . D. 135  . Câu13. Gócgiữahaivectơ #  AD 0 và #  CBlà A. 0  . B. 135  . C. 60  . D. 45  . Câu14. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhbìnhhànhtâmO,tamgiácSABvuông tại AvàtamgiácSCDvuôngtại D.Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàosai? A. AC = BD. B. SO?(ABCD). C. AB?(SAD). D. BC? AB. Câu15. Chohìnhlậpphương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 .Chọnkhẳngđịnhsai? A. Gócgiữa B 1 D 1 và AA 1 bằng60  . B. Gócgiữa B 1 D 1 và ACbằng90  . C. Gócgiữa ADvàC 1 Bbằng45  . D. Gócgiữa BDvàCA 1 bằng90  . Câu16(ĐềchínhthứcTHPTQG2019,Mãđề101). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC84|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA= 2a,tamgiácABCvuôngtạiB,AB= p 3avàBC = a(minhhọa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng A. 90  . B. 45  . C. 30  . D. 60  . S B A C Câu17. Chohìnhchóp S.ABCD có SA? (ABCD) vàđáy ABCD làhìnhthoitâm O.Mệnh đềnàosauđâysai? A. SA? BD. B. SC? BD. C. SO? BD. D. AD? SC. Câu18(HK2khối11,2017-2018SởGiáoDụcHàNam). ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhthoitâmI,cạnhavà Ö BAD = 60  .BiếtSC = a p 3 2 và SC? (ABCD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng SA. Tính độ dài đoạnthẳng IH. A. IH = a p 15 10 . B. IH = a p 5 15 . C. IH = a p 15 30 . D. IH = a p 5 5 . Câu19. ChohìnhchópS.ABCD,đáy ABCDlàhìnhchữnhậtvàSA?(ABCD).Mệnhđềnào sauđâylàmệnhđềđúng? A. Mặtbêncủahìnhchóplànhữngtamgiáccân. B. Mặtbêncủahìnhchóplànhữngtamgiácvuông. C. Mặtbêncủahìnhchóplànhữngtamgiácvuôngvàtamgiácthường. D. Mặtbêncủahìnhchóplànhữngtamgiácvuôngcân. Câu20. Chotamgiác ABCvuôngtại AvàcóhaiđỉnhB,Cnằmtrênmặtphẳng(P).GọiC 0 là hìnhchiếuvuônggóccủađỉnhClênmp(P).Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. Tamgiác ABC 0 vuông. B. Tamgiác ABC 0 cóbagócnhọn. C. Tamgiác ABC 0 cómộtgóctù. D. Tamgiác ABC 0 cómộtgócbằng60  . Câu21. Chotamgiác ABC vuôngtại A vàcóhai đỉnh B,C nằmtrênmp(P).Gọi A 0 làhình chiếuvuônggóccủađỉnh Alênmp(P).Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. Tamgiác A 0 BClàtamgiácvuông. B. Tamgiác A 0 BClàtamgiácnhọn. C. Tamgiác A 0 BClàtamgiáctù. D. Tamgiác A 0 BCcógóc A 0 khôngbéhơngócvuông. Câu22. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthoi,Olàgiaođiểmcủa2đườngchéo vàSA= SC.Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàođúng? A. SA?(ABCD). B. BD?(SAC). C. AC?(SBD). D. AB?(SAC). Câu23. Cho hình chóp S.ABC có SA?(ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai? A. SA?BC. B. AB?BC. C. AH?AC. D. AH?SC. Câu24. ChohìnhchópS.ABCcóSA?(ABC).GọigócgiữaSBvàmặtphẳng(ABC)làa(đơn vịlàđộ).Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàođúng? A. a= Õ SBA. B. a= Õ BSA. C. a= 90 0 . D. a= 180 0 Õ SBA. Câu25. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Trong các khẳng định sau, khẳng địnhnàolàkhẳngđịnhđúng? A. DB?(ABC). B. AC?BD. C. CD?(ABD). D. BC?AD. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC85|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu26. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthoitâmO.BiếtSA= SCvàSB= SD, trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàolàkhẳngđịnhsai? A. SO?(ABCD). B. AC?BD. C. BD?(SAC). D. CS?AC. Câu27. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnhbằng a và SA?(ABCD), SA= a p 6 3 .TínhgócgiữađườngthẳngSCvàmặtphẳng(ABCD). A. 45 0 . B. 30 0 . C. 60 0 . D. 90 0 . Câu28. Chohìnhtứdiện ABCDcó AB,CD, BCđôimộtvuônggóc.Khiđó A. AB?(ACD). B. BC?(ACD). C. CD?(ABC). D. AD?(BCD). Câu29. ChohìnhtứdiệnOABCcó AO, BO,COđôimộtvuônggóc.Nếu I làhìnhchiếucủa điểmOtrênmặtphẳng(ABC)thì I là: A. trọngtâmtamgiác ABC. B. trựctâmtamgiác ABC. C. tâmcủađườngtrònngoạitiếptamgiác ABC. D. tâmcủađườngtrònngoạitiếptamgiác ABC. Câu30. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, M là điểm không nằm trên (P) sao cho MA = MB = MC, d làđườngthẳngđiqua M vàvuônggócvới(P).Khiđóđườngthẳng d điqua: A. trựctâmtamgiác ABC. B. trọngtâmtamgiác ABC. C. tâmđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC. D. tâmđườngtrònnộitiếptamgiác ABC. Câu31. Mệnhđềnàosauđâykhôngđúng? A. (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua 3 điểm phân biệt cách đều A, B. B. (P)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳngABnếunóvuônggócvớiABtạitrungđiểm của AB. C. (P)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng ABnếunóđiqua3điểmphânbiệtkhông thẳnghàngcáchđều A, B. D. (P)làmặtphẳngtrungtrựccủađoạnthẳng ABnếunóchứahaiđườngtrungtrựckhác nhaucủađoạnthẳng AB. Câu32. Chohìnhchóp S.ABC có ABC làtamgiácđềucạnh avà SA = SB = SC = b.Gọi G làtrọngtâmtamgiác ABC.ĐộdàiSGbằng A. 1 2 p 4b 2 3a 2 . B. 4b 2 3a 2 4 . C. 1 3 p 9b 2 3a 2 . D. 3b 2 a 2 3 . Câu33. ChotứdiệnOABC cóOA,OB,OC đôimộtvuônggóc. Mlàđiểmbấtkìthuộcmiền trongtamgiác ABC.TìmgiátrịnhỏnhấtcủaT = MA 2 OA 2 + MB 2 OB 2 + MC 2 OC 2 . A. minT = 3. B. minT = 2. C. minT = 4. D. minT = 6. 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 B 2 A 3 A 4 B 5 D 6 C 7 A 8 C 9 C 10 A 11 A 12 C 13 B 14 B 15 A 16 B 17 D 18 A 19 B 20 A 21 D 22 C 23 C 24 A 25 D 26 D 27 B 28 C 29 B 30 C 31 A 32 C 33 B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC86|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. "Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (a) thì d?(a)" là khẳng định sai, cần thêm điều kiện hai đường thẳng nằm trong (a) cắt nhau nữa thì mới thànhkhẳngđịnhđúng. Chọnđápán B Câu2. TrongkhônggianchođườngthẳngDvàđiểmO.QuađiểmOcóđúngmộtmặtphẳng vuônggócvớiđườngthẳngD. Chọnđápán A Câu3. Trongkhônggian,tậphợpcácđiểmMcáchđềuhaiđiểmcốđịnhAvàBlàmặtphẳng trungtrựccủađoạnthẳng AB. Chọnđápán A Câu4. "Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng(P)khiavàbsongsong(hoặcđườngthẳngatrùngvớiđườngthẳngb)"làkhẳngđịnh đúng. Chọnđápán B Câu5. "Nếub?athìbk(P)"làkhẳngđịnhsaivìcóthểb(P). Chọnđápán D Câu6. "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau"làkhẳngđịnhđúng. Chọnđápán C Câu7. "Nếu a?bvàb?cthì ak c"làkhẳngđịnhsai,vìcóthể acắtc. Chọnđápán A Câu8. Khẳng định "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ bathìsongsongvớinhau"làkhẳngđịnhsai,vìhaiđườngthẳngđócóthểcắtnhau. Chọnđápán C Câu9. Trongkhônggianchođườngthẳng avàđiểm M.Gọi(P)làmặtphẳngđiqua M và vuônggócvới a.Khiđómọiđườngthẳngnằmtrongmặtphẳng(P)vàđiqua Mđềuvuông gócvới a. Chọnđápán C Câu10. Do AA 0 ?(ABCD) nên góc giữa hai vectơ #  AA 0 và #  AClà90  . Chọnđápán A CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC87|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu11. Tacó Û  #  AD 0 , #  BC  = Û  #  AD 0 , #  AD  = 45  . Chọnđápán A Câu12. Tacó Û  #  AA 0 , #  BC  = 90  . Chọnđápán C Câu13. Tacó Û  #  AD 0 , #  CB  = Û  #  BC 0 , #  CB  = 135  . Chọnđápán B Câu14. Tacó Û (CD,SA)= Û (AB,SA)= 90  . Suyra ( CD? SA CD? SD. Suyra CD? AD,dođó ABCD làhìnhchữnhật. Dẫntớicácphươngán A , C , D đúng.Phương án B sai,vìnếuSOvuônggóc(ABCD)thì  CD?SO CD?SA ) CD?AO,đâylàđiềuvôlí. A B D C S O Chọnđápán B Câu15. Dễthấyrằng B , C , D đúng. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Phươngán A saivì  Û B 1 D 1 ,AA 1  = 90  . Chọnđápán A Câu16. DoSA? (ABC)nêngócgiữaSCvà(ABC)chínhlàgóc Õ SCA.Theo địnhlípytago,dotamgiác ABCvuôngtại Bnêntacó AC = p AB 2 +BC 2 = r  a p 3  2 +a 2 = 2a. XéttamgiácSACvuôngtại Acó tan Õ SCA= SA AC = 2a 2a = 1. Suyra(SC,(ABC))= Õ SCA= 45  . S B A C Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC88|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu17. Tacó:SA? (ABCD),suyraSAvuônggócvới BD. Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC,màSAvuônggócvớiBDnênBD?(SAC), suy ra BD? SC và BD? SO. Dễ thấy AD không vuônggócSC,vìnếu ADvuônggócvớiSCthì AD vuônggócvới AC,vôlí. S A B C D O Chọnđápán D Câu18. Tacótamgiác ABDlàtamgiácđềunên AI = a p 3 2 ) AC = a p 3. Vì4SCA4IHAnên SC IH = SA IA , IH = SC
IA SA . (1) XéttamgiácvuôngSCAtacó SA= p SC 2 +AC 2 = r 3a 2 4 +3a 2 = a p 15 2 . Từ(1)suyra IH = SC
IA SA = a p 3 2
a p 3 2 a p 15 2 = a p 15 10 . A D B C H I S Chọnđápán A Câu19. Do SA?(ABCD) nên hiển nhiên DSAB, DSAD là nhữngtamgiácvuông.TacóCD?DA,màDAlàhình chiếucủaDStrên(ABCD)nênCDvuônggócvớiDS, suy ra mặt bên SDC là tam giác vuông tại D. Tương tựtacómặtbênSBClàtamgiácvuôngtạiB.Nhưvậy chỉ có khẳng định "Mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông" là chắc chắn đúng. Ta chọn phương án B . A B C D S Chọnđápán B Câu20. VìC 0 trùngvớiCnêntamgiác ABC 0 vuôngtại A. Chọnđápán A Câu21. Nếu Anằmtrên(P)tức A 0 trùng Athìtamgiác A 0 BCcógóc Avuông,nếu Akhông nằmtrên(P)thì #  A 0 B. #  A 0 C = #  A 0 A. #  A 0 C+ #  AB. #  A 0 C = #  AB. #  A 0 C = #  AB( #  A 0 A+ #  AC) CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC89|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = #  AB. #  A 0 A= #  AB. #  AA 0 < 0, suyragóc BA 0 Clàgóctù. Chọnđápán D Câu22. Tacó:SA = SC,suyraSAClàtamgiáccân.MặtkhácOlàtrungđiểmcủa AC(tính chấthìnhthoi)nên AC? SO. Tacó ( AC? BD AC? SO ) AC?(SBD). Chọnđápán C Câu23. Tacóđườngthẳng SAvuônggócvớimặtphẳng(ABC), màđườngthẳngBCnằmtrong(ABC)nênSAvuônggóc với BC,suyra A đúng.Hiểnnhiên B đúng.Nhưvậy: 8 < : BC?BA(SAB) BC?SA(SAB) BA\SA= A. Suyra BC?(SAB). Dođó BC?AH. Tacó  AH?BC AH?SB. Suy ra AH?(SBC)) AH?SC. Vậy D đúng. Dễ thấy rằng AH?AClàkhẳngđịnhsai.Vậychọn C . A B C S H Chọnđápán C Câu24. Tacóđườngthẳng SA vuônggócvớimặtphẳng(ABC) nên hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC)làđườngthẳng AB.Dođógócgiữađườngthẳng SBvàmặtphẳng(ABC)bằnggócgiữahaiđườngthẳng SBvà AB,tứclàa= Õ SBA. A B C S a Chọnđápán A Câu25. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC90|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi M là trung điểm BC. Khi đó, do ABC, DBC lần lượt là những tam giác cân tại A, tại D nên BC vuông góc với MA và BC vuông góc với MD. Suy ra BCvuônggócvớimặtphẳng(ADM),vìthếnên BCvuônggócvới AD. A B C D M Chọnđápán D Câu26. Do SAC, SBD lần lượt là những tam giác cân tại S nên SO vuông góc với AC và SO vuông góc với BD.SuyraSOvuônggócvớimặtphẳng(ABCD). Dễthấyrằng SO?(ABCD), AC?BD, BD?(SAC) lànhữngkhẳngđịnhđúng. S A B C D O Chọnđápán D Câu27. VìSA?(ABCD)nênsuyrahìnhchiếucủaSCtrên(ABCD) là AC.GócgiữaSCvàmặtphẳng(ABCD)là Õ SCA.Tacó: tan(SC,(ABCD))= tan Õ SCA= SA AC = a p 6 3 a p 2 = p 3 3 . Suyra Õ SCA= 30 0 . Chọnđápán B Câu28. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC91|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó: 8 < : CD?AB(ABC) CD?CB(ABC) AB\CB= B ) CD?(ABC). Vậy C đúng. Mệnhđề A saivìnếu AB?(ACD)thì AB?AC,vôlí. Mệnhđề B saivìnếu BC?(ACD)thì BC?CA,vôlí. Ta có AB?(BCD) nên mệnh đề D sai vì nếu AD?(BCD)thìdẫntới Btrùng D,vôlí. Chọnđápán C Câu29. Vì AB?OI và AB?OCnên AB?CI,tươngtự BC?AI. Vậy I làtrựctâmtamgiác ABC. Chọnđápán B Câu30. Gọi M 0 là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) thì M 0 là hình chiếu của Mtrên(P)nêntừ MA= MB= MCsuyra M 0 A= M 0 B= M 0 C. Chọnđápán C Câu31. Mệnh đề sai là: "(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua 3 điểmphânbiệtcáchđều A, B". Chọnđápán A Câu32. Giảsử HlàchânđườngvuônggóchạtừSxuốngmặtphẳng(ABC).Khiđó,doSA, SB, SC bằngnhaunên HA = HB = HC hay H làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC, tứclà H G.Vìtamgiác ABCđềucạnh anên GC = a p 3 3 , SG = p SC 2 GC 2 = 1 3 p 9b 2 3a 2 . Chọnđápán C Câu33. Đặt #  OA = #  a, #  OB = #  b, #  OC = #  c.Khiđó #  OM = x #  a +y #  b +z #  c,với x,y,zlàbasốcó tổngbằng1.Tacó: #  AM = #  OM #  OA=(x1) #  a +y #  b +z #  c )AM 2 =(x1) 2 #  a 2 +y 2 #  b 2 +z 2 #  c 2 ) MA 2 OA 2 =(x1) 2 +y 2 b 2 a 2 +z 2 c 2 a 2 . Tươngtựtađược: MB 2 OB 2 =(y1) 2 +z 2 c 2 b 2 +x 2 a 2 b 2 ; MC 2 OC 2 =(z1) 2 +x 2 a 2 c 2 +y 2 b 2 c 2 . Dođó: T = MA 2 OA 2 + MB 2 OB 2 + MC 2 OC 2 = x 2 a 2  1 b 2 + 1 c 2  +y 2 b 2  1 c 2 + 1 a 2  +z 2 c 2  1 a 2 + 1 b 2  CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC92|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 +(x1) 2 +(y1) 2 +(z1) 2 =  1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2   x 2 a 2 +y 2 b 2 +z 2 c 2   x 2 +y 2 +z 2  +(x1) 2 +(y1) 2 +(z1) 2 =  1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2   x 2 a 2 +y 2 b 2 +z 2 c 2  2(x+y+z)+3. Tabiếtrằng H làchânđườngcaokẻtừđỉnhO củatứdiệnvuôngOABC khivàchỉkhi H là trựctâmcủatamgiác ABC.Hơnnữa 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 1 OH 2 ; x 2 a 2 +y 2 b 2 +z 2 c 2 = OM 2 . Do đó T = MA 2 OA 2 + MB 2 OB 2 + MC 2 OC 2 = OM 2 OH 2 +1 1+1 = 2. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H. Vậy minT = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tamgiác ABC. Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC93|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 BÀI4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1.Gócgiữahaimặtphẳng. Định nghĩa 1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳngđó. a b m n Định lí 1 (Định lí hình chiếu). GọiSlàdiệntíchđagiác(H )trongmặtphẳng(P)vàS 0 làdiện tíchhìnhchiếu(H 0 )của(H )trênmặtphẳng(P 0 ).KhiđóS 0 = S.cosj,trongđó jlàgócgiữahai mặtphẳng(P)và(P 0 ). 2.Haimặtphẳngvuônggóc. Định nghĩa 2. Hai mặt phẳng (P) và (Q) gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0 . Kíhiệu(P)?(Q). Định lí 2. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuônggócvớinhau.Vậy:  D(P) D?(Q) )(P)?(Q). Để xác định chân đường cao của hình chóp, ta thườngdùngđịnhlí3sauđây. O D b a P Q Định lí 3. Nếu(P)?(Q)thìbấtcứđườngthẳngDnào nằmtrong(P),vuônggócvớigiaotuyếncủa(P)và(Q) đềuvuônggócvớimặtphẳng(Q).Vậy: 8 < : (P)?(Q) (P)\(Q)= a D(P), D?a )D?(Q). Hệ quả 1. Nếu (P)?(Q) và điểm A 2 (P) thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằmtrong(P). O D b a P Q Hệ quả 2. Nếuhaimặtphẳngcắtnhauvàcùngvuônggócvới mặtphẳngthứbathìgiaotuyếncủachúngvuônggócvớimặt phẳngthứba.Vậy 8 < : (P)\(Q)= a (P)?(R) (Q)?(R) ) a?(R). P Q a CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC94|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Hệ quả 3. Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng(Q)vuônggócvớimặtphẳng(P). 3.Hìnhlăngtrụđứng.Hìnhhộpchữnhật.Hìnhlậpphương. Địnhnghĩa Hìnhvẽ Mộtsốđặctrưng Hìnhlăngtrụđứng Làhìnhlăngtrụ cócạnhbênvuông gócvớimặtđáy. Mặtbênlàhình chữnhật.Cácmặt bênvuônggóc vớimặtđáy. Hìnhlăngtrụđều Làhìnhlăngtrụđứng cóđáylàđagiácđều. Cácmặtbênlà nhữnghìnhchữ nhậtbằngnhau. Hìnhhộpđứng Làhìnhlăngtrụ đứngcóđáylà hìnhbìnhhành. Mặtbênlàhình chữnhật.Cácmặt bên,cạnhbênvuông gócvớimặtđáy. Hìnhhộpchữnhật Làhìnhhộpđứng cóđáylàhìnhchữnhật. Cácmặtbênvà mặtđáylà hìnhchữnhật. Hìnhlậpphương Làhìnhhộpchữ nhậtcótấtcảcác cạnhbằngnhau. Mặtbênvàmặt đáylànhữnghình vuôngbằngnhau. 4.Hìnhchópđềuvàhìnhchópcụtđều. Định nghĩa 3. Mộthìnhchópđượcgọilàhìnhchópđềunếuđáycủanólàđagiácđềuvàcác cạnhbênbằngnhau. Lưuý.Tronghìnhchópđều,chânđườngcaotrùngvớitâmcủađáy. Vídụ.Hìnhchóptứgiácđều: CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC95|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 B C J S D A O gócgiữacạnhbênvàđáy: Õ SBO gócgiữamặtbênvàđáy: Õ SJO đáy:hìnhvuông ABCD cáccạnhbên:SA= SB= SC = SD chiềucao:SO Định nghĩa 4. Khicắthìnhchópđềubởimặtphẳng songsongvớiđáyđểđượcmộthìnhchópcụtthìhình chópcụtđóđượcgọilàhìnhchópcụtđều. B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 12. Xácđịnhgócgiữahaimặtphẳng.Diệntíchhìnhchiếucủamộtđagiác. Phương pháp. Để dựng góc f (với 0 0  f 90 0 ) giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) ta làmnhưsau: Cách1.  Bước1:XácđịnhgiaotuyếnDcủahaimặtphẳng(P) và(Q).  Bước 2: Dựng mặt phẳng (R) vuông góc với đường thẳngDtạiO.  Bước3:  (R)\(P)= Ox (R)\(Q)= Oy ) f=(Ox,Oy). Cách2.  Bước1:XácđịnhgiaotuyếnDcủahaimặtphẳng(P) và(Q).  Bước 2: Chọn điểm O2 D. Vẽ đường thẳng Ox nằm trong (P) sao cho Ox?D. Vẽ đường thẳng Oy (Q) saochoOy?D.  Bước3:Khiđóf=(Ox,Oy). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC96|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Trườnghợpđặcbiệt:VớitứdiệnABCDcóđặcđiểmAB?CD,nếumuốntìmgócgiữa(DAB) và(CAB)thìtathựchiện:  Dựngmặtphẳng(P)chứaCDvà(P)?AB.  Nếu(P)cắt ABtại I thìtacó CI?AB, DI?AB. Dođógócgiữahaimặtphẳng(ABC)và(ABD) làgóc Õ CID. Chú ý 7. Ta có thể dùng công thức diện tích hình chiếucủađagiácởđịnhlí1,trang93để:  Tínhdiệntíchhìnhchiếuđagiác.  Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng và không cần vẽhìnhđó. Bài 1. Cho tứ diện ABCD với AB?(BCD) và AB = a,DBCD đều cạnh 2a. Tính góc j giữa haimặtphẳng(ACD)và(BCD). L Lời giải Tacó(ACD)\(BCD)= CD. Kẻ AH?CDtại H.Khiđó:  CD?HA CD?AB ) CD?BH. Tómlại: 8 < : (ACD)\(BCD)= CD AH(ACD), AH?CD BH(BCD), BH?CD. Suy ra j = Ö AHB là góc giữa mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (BCD).Dotamgiác ABHvuôngtại Bnên: tanj= AB BH = a 2a p 3 2 = p 3 3 ) j= 30 0 . Lưuý.Cóthểdựnggócgiữahaimặtphẳng(ACD)và(BCD)cáchkhácnhưsau: 8 > > < > > : (ACD)\(BCD)= CD (ABH)?CD (ABH)\(ACD)= HA (ABH)\(BCD)= HB ) Û ((ACD),(BCD))= Û (HA,HB)= Ö AHB. Nhưvậyđểdựnggócgiữahaimặtphẳng,việcđầutiênlàtaphảitìmgiaotuyếncủahaimặt phẳngđó. Bài 2. ChoDABCđềucạnhavàBCnằmtrongmộtmặtphẳng(P).ChiếuDABCtrênmp(P) thànhtamgiác A 0 BCvuôngtại A 0 . a) Tínhgócgiữađườngthẳng ABvớimặtphẳng(P)vàgócgiữađườngthẳng ACvớimặt phẳng(P). b) Tínhdiệntíchtamgiác A 0 BCrồisuyragócgiữamặtphẳng(P)vàmặtphẳng(ABC). L Lời giải a)Gọi j(với0 0  j 90 0 )làgócgiữađườngthẳng ABvà mp(P). Khi đó j = × ABA 0 = × ACA 0 . Vì AB = AC = a nên DA 0 BCvuôngcântại A 0 .Dođó BC 2 = 2A 0 B 2 ) A 0 B= BC p 2 = a p 2 . Trongtamgiácvuông ABA 0 tacó CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC97|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 cos × ABA 0 = a p 2 : a= p 2 2 ,suyra j= × ABA 0 = 45 0 .Tươngtự,gócgiữađườngthẳng ACvớimặtphẳng(P)là45 0 . b)GọiSvàS 0 lầnlượtlàdiệntíchcủaDABCvàDA 0 BC.Tacó S= a 2 p 3 4 , S 0 = 1 2 A 0 B.A 0 C = 1 2 A 0 B 2 = 1 2 . a 2 2 = a 2 4 . Gọia(với0 0  a 90 0 )làgócgiữamặtphẳng(P)vàmp(ABC).Tacó S 0 = S.cosa) cosa= S 0 S = a 2 4 . 4 a 2 p 3 = 1 p 3 ) a= arccos 1 p 3 . Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và số đo các góc tạo bởi các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB) với mặt phẳng (ABC) tương ứng là a, b, g. Giả sử chân đườngcaocủatứdiệnkẻtừDnằmtrongDABC.Chứngminhrằngcosa+cosb+cosg= 1. L Lời giải Ta cóDABC = DDBC = DDCA = DDAB (c-c-c). Kí hiệu diện tích các tam giác này là S. Gọi H, K, N, M theo thứ tự là hình chiếuvuônggóccủa Dtrênmặtphẳng(ABC), BC,CA, ABnhư hìnhvẽ.Khiđó Ö DKH = a, × DNH = b, × DMH = g. Theođịnhlíhìnhchiếu: S HBC = S DBC .cosa= S.cosa. Tươngtự: S HCA = S.cosb, S HAB = S.cosg. Dođiểm Hnằmtrongtamgiác ABCnên S ABC = S HBC +S HCA +S HAB . Từđótađược S= S(cosa+cosb+cosg), cosa+cosb+cosg= 1. Bài 4. Chohìnhchóptamgiácđều S.ABC.Kíhiệu alàgócgiữa SAvà(ABC), blàgócgiữa (SAB)và(ABC).Chứngminhrằng:tanb= 2tana. L Lời giải Gọi H làhình chiếuvuông góccủa S trên (ABC), khiđó 3tamgiácvuôngSHA,SHB,SHCbằngnhaunên HA = HB= HChayHlàtâmcủatamgiácđều ABC.Tacóhình chiếucủa SAtrên(ABC)là AH,dođó a = Ö SAH.Gọi M làtrungđiểm AB.Khiđó: 8 > > < > > : (SAB)\(ABC)= AB (SMC)?AB (SMC)\(SAB)= MS (SMC)\(ABC)= MC. Suyra: b= Ö SMC.Tacó: tana= SH AH , tanb= SH MH . Dotamgiác ABCđềunên HlàtrọngtâmcủaDABC,dẫntới: MH = 1 2 CH = 1 2 AH.Nhưvậy: tanb= SH MH = 2SH AH = 2tana.Tacóđiềuphảichứngminh. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC98|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 5. ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhchữnhậtvàAB= a,BC = b(b> a> 0). Cạnh SAvuônggócvớiđáyvà SA = c.Kíhiệu alàgócgiữa SC và BD; blàgócgiữa(SBC) và(ABCD).Chứngminhrằng: cosa= k 2 1 q k 2 +1+tan 2 b. p 1+k 2 , với k = b a . L Lời giải Dễthấyrằng b = Õ SBA.Trongtamgiácvuông SAB,ta có:tanb= c a . Tacó:cosa= #  SC. #  BD SC.BD . (*) Mặtkhác,tacó #  SC. #  BD =  #  AC #  AS  #  BD = #  AC. #  BD #  AS. #  BD = #  AC. #  BD =( #  AB+ #  BC)  #  AD #  AB  =AB 2 + #  BC. #  AD =a 2 + #  BC. #  BC =a 2 +BC 2 = b 2 a 2 . Lạicó: BD 2 = AB 2 +AD 2 = a 2 +b 2 .DotamgiácSACvuôngtại Anên: SC 2 = SA 2 +CA 2 = c 2 +a 2 +b 2 . Thayvào(*),tađược: cosa= b 2 a 2 p a 2 +b 2 . p a 2 +b 2 +c 2 = b 2 a 2 1 r 1+ b 2 a 2 . r 1+ b 2 a 2 + c 2 a 2 = k 2 1 p 1+k 2 . q 1+k 2 +tan 2 b . Tacóđiềuphảichứngminh. Dạng 13. Chứngminhhaimặtphẳng(P)và(P 0 )vuônggócvớinhau. Phươngpháp. Cách1.Chứngminhgócgiữahaimặtphẳngbằng90 0 . Cách2.Vậndụngđịnhlí2ởtrang 93 :Chứngminhtrongmặt phẳngnàycómộtđườngthẳngvuônggócvớimặtphẳngkia, tứclà  D(P) D?(Q) )(P)?(Q). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC99|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA?(ABCD). Chứng minh rằng(SCD)?(SAD). L Lời giải TacóSA?(ABCD)) SA?CD.Vậy 8 < : CD?DA(SAD) CD?SA(SAD) DA\SA= A ) CD?(SAD). MàCD(SCD)nên(SCD)?(SAD). Bài 7. ChohìnhchópS.ABCDcócácmặtphẳng(SAB)và(SAD)cùngvuônggócvới(ABCD), đáy ABCD là hình vuông tâm O. Gọi H và K lần lượt hình chiếu của A trên các cạnh SB và SD.Chứngminhrằng (SAC)?(SBD); 1 (SAC)?(AHK). 2 L Lời giải Tacó 8 < : (SAB)?(ABCD) (SAD)?(ABCD) (SAB)\(SAD)= SA ) SA?(ABCD).SuyraSA?BD. 1 8 < : BD?SA(SAC) BD?AC(SAC) SA\AC = A ) BD?(SAC). Mà BD(SBD)nênsuyra(SBD)?(SAC). 2  BC?SA BC?AB ) BC?(SAB)) BC?AH. Vậy  AH?SB AH?BC ) AH?(SBC)) AH?SC. (1) Tacó  DC?DA DC?SA ) DC?(SDA)) DC?AK. Vậy:  AK?DC AK?SD ) AH?(SDC)) AK?SC. (2) Từ(1)và(2)suyraSC?(AHK))(SAC)?(AHK). Lưuý.Cóthểgiảicâub)cáchkhácnhưsau:tachứngminhđược:  HKk BD BD?(SAC) ) HK?(SAC))(AHK)?(SAC). Bài 8. Cho hai tam giác ACD và BCD có AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x và hai tam giácnàynằmtrênhaimặtphẳngvuônggócvớinhau.Gọi I, J lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB vàCD. a) Tính ABvà IJ theo avà x. b) Vớigiátrịnàocủa xthìhaimặtphẳng(ABC)và(ABD)vuônggócvớinhau? L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC100|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 a) Vì J làtrungđiểmcủađoạnthẳng CD và AC = AD nên AJ?CD. Do (ACD)?(BCD) nên AJ?(BCD). Mặtkhác AC = AD = BC = BD nêntamgiác AJB vuôngcân,suyra AB= AJ p 2và AJ 2 = a 2 x 2 . Dođó: AJ = p a 2 x 2 . Vậy AB= p 2(a 2 x 2 ),với a> x. Do Ilàtrungđiểm AB,tamgiác AJBvuôngtại Jnên JI = 1 2 AB,tứclà IJ = p 2(a 2 x 2 ) 2 . b) Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB. Vậy (ABC)?(ABD)khivàchỉkhi Õ CID = 90 0 , IJ = CD 2 , p 2(a 2 x 2 ) 2 = x , x = a p 3 3 . Dạng 14. Cho trước mặt phẳng (Q) và đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng(Q).Xácđịnhmặtphẳng(P)chứađườngthẳngavà(P)?(Q). Phương pháp. Từ điểm M thuộc đường thẳng a, ta dựng đường thẳng b qua M và b?(Q). Khi đó (P) là mặt phẳng chứa avàb,tứclà(P) mp(a,b). Lưuý.Đểdựngđườngthẳngbbạnđọccầnxemlạidạngtoán 10(ởtrang64). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA?(ABCD), SA = a, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâmO.DựngvàtínhdiệntíchthiếtdiệnquaSOvàvuônggócvới(SAD). L Lời giải Gọi H,Klàtrungđiểm BC, AD.Tacó: 8 < : OK?AD(SAD) OK?AS(SAD) AD\AS= A ) OK?(SAD). MàOK(SKH)nên(SKH)?(SAD).VậymặtphẳngquaSO vàvuônggócvới(SAD)là(SKH).TacóKH?SK,suyrathiết diệnlàtamgiácvuôngSKH.Tacó: SK 2 = SA 2 +AK 2 = a 2 + a 2 4 = 5a 2 4 )SK = a p 5 2 , KH = AB= a. DiệntíchthiếtdiệnlàS= S SHK = 1 2 SK.KH = 1 2 a p 5a 2 = p 5a 2 4 . Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA?(ABCD), SA = a p 3. Gọi (a) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD). Hãy xác định mặt phẳng (a). Mặt phẳng(a)cắthìnhchóptheothiếtdiệnlàhìnhgì?Tínhdiệntíchthiếtdiện. L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC101|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Dựng AH?SD(H2 SD).Tacó 8 < : DC?AD(SAD) DC?SA(SAD) AD\SA= A ) DC?(SAD). Mà AH(SAD)nên DC?AH.Vậy 8 < : AH?DC(SCD) AH?SD(SCD) DC\SD = D ) AH?(SCD). Mà AH(ABH)nên(ABH)?(SCD). Vì(a)làmặtphẳngchứa ABvàvuônggócvới(SCD)nên(a)chínhlà(ABH).Tacó(ABH)\ (SAD)= AH, (ABH)\(SAB)= AB.Lạicó 8 < : H2(ABH)\(SCD) AB(ABH) ABk(SCD) )(ABH)\(SCD)= Hx, vớiHxlàđườngthẳngquaHvàsongsongvớiCD(dođịnhlí??ởtrang ??).GọiK = Hx\SC. Dođó (ABH)\(SCD)= HK, (ABH)\(SBC)= BK. Vậythiếtdiệncầntìmlàtứgiác AHKB.Tacó HKk AB.Hơnnữa AB?(SAD)) AB?AH, HKk AB) HK?AH. Dođóthiếtdiệnlàhìnhthangvuôngtại Avà H.Tacódiệntíchthiếtdiệnlà S AHKB = (AB+HK)AH 2 . VìDSADvuôngtại Anên 1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AD 2 = 1 3a 2 + 1 a 2 = 4 3a 2 ) AH = a p 3 2 . Tacó: SA 2 = SH.SD) SH = SA 2 SD = 3a 2 p AD 2 +AS 2 = 3a 2 p 4a 2 = 3a 2 . Lạicó: SH SD = HK CD ) HK = SH.CD SD = 3a 2 .a 2a = 3a 4 . Vậy: S AHKB = (AB+HK)AH 2 = 1 2  a+ 3a 4  . a p 3 2 = 7 p 3a 2 16 . Chú ý 8. Tacòncóthểtìmgiaotuyếncủamặtphẳng(ABH)và(SCD)bằngcáchvậndụng hệquả??ởtrang??nhưsau: 8 < : H2(ABH)\(SCD) AB(ABH), CD(SCD) ABk CD )(ABH)\(SCD)= Hx, với Hxlàđườngthẳngqua HvàsongsongvớiCD. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC102|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 11. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuông.Mặtbên SAB làtamgiácđều vànằmtrongmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳngđáy(ABCD).Gọi I làtrungđiểm AB,gọi (P)làmặtphẳngchứa DI vàvuônggócvới(SBC). a) Tìmthiếtdiệncủamặtphẳng(P)vớihìnhchóp.Giảsử(P)cắtSCtại M,tínhtỉsố CM CS . b) XácđịnhhìnhchiếucủaCtrênmặtphẳng(P). L Lời giải Phântích.Trên DI,tasẽchọnmộtđiểmrồidựngđườngthẳngđiquađiểmđóvàvuônggóc với(SBC)(theodạng14ởtrang100).Dogiảthiết(SAB)?(ABCD)nêntasẽchọnđiểm I.Do đãcó IB?BCnêntheodạng10ởtrang64,trong(SBC),tachọnBCvàdựngmặtphẳngqua I vàvuônggócvớiBC.Vànhưvậy,theodạng9ởtrang62,tachỉcầnvẽthêmmộtđườngthẳng cắt BI vàvuônggócvới BC. Giải. a) Gọi E,J lần lượt là trung điểm của các đoạnthẳngSBvàEB.Tacóhaimặtphẳng (ABCD) và (SAB) vuông góc với nhau theogiaotuyến AB,mà BC vuônggócvới AB nên BC vuông góc với (SAB), suy ra BCvuônggócvớiIJ.DotamgiácSABđều nênAEvuônggócvớiSB.TacóIJ?SB(do IJ là đường trung bình của DABE). Như vậy: 8 < : IJ?SB(SBC) IJ?BC(SBC) SB\BC = B ) IJ?(SBC). Dođó(DIJ)?(SBC))(P)(DIJ).GọiK = DI\BC, M = KJ\SC.Khiđóthiếtdiệnlàtứ giác DIJM.TrongtamgiácKCD,tacó BIk CDvà BI = 1 2 CDnên B,I lầnlượtlàtrungđiểm củacácđoạnthẳng KC, KD.Qua J dựngđườngthẳngsongsongvới BC cắt SC tại N.Tacó: SN SC = JN BC = SJ SB = 3 4 .VìCK = 2BCnên: JN CK = 3 8 ) MN MC = MJ MK = JN CK = 3 8 ) CN CM = MCMN CM = 1 MN MC = 1 3 8 = 5 8 ) CM = 8 5 CN = 8 5
1 4 SC = 2 5 SC. Nhưvậy CM CS = 2 5 . b) Theo câu a), ta có: (SBC)?(P), (SBC)\(P) = JM. Như vậy, từ C vẽ CH vuông góc với JMtạiH,khiđóCHvuônggócvới(P)=(KDM)tạiH,hayHlàhìnhchiếuCđếnmặtphẳng (P). Dạng 15 (Liên hệ dạng này với dạng 10 ở trang 64, dạng 17 ở trang 135). Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng : Cho mặt phẳng (P) và điểm M không thuộc mặt phẳng đó. Xác định hình chiếu của M trên (P). Phươngpháp.Sauđâytasẽphânloại,xétmộtsốtrườnghợpthườnggặpvàđưaraphương phápgiảichúng. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC103|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Trường hợp 1. Trong (P) có một điểm A và một đường thẳngdkhôngđiqua Asaocho MA?d. Cáchgiải.  Trong mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng d 0 đi qua A và d 0 ?d.  Trong mặt phẳng (M,d 0 ), dựng MH?d 0 . Khi đó H là điểmcầntìm. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và hình chiếu H của S trên mặt phẳng(ABC)trùngvớitâmcủatamgiác ABC.Xácđịnhchânđườngvuônggóchạtừ Ađến mặtphẳng(SBC). L Lời giải Vì tam giác ABC đều nên H là trực tâm của nó. Vì ba tam giác vuông SHA, SHB, SHC bằng nhau nên SA= SB= SC.Tacó 8 < : BC?SH(SAH) BC?AH(SAH) SH\AH = H. Suyra BC?(SAH). DođóBC?SA.VẽSI vuônggócvớiBCtại I.Khiđó I làtrungđiểm BC.Vẽ ADvuônggócvới SI tại D.Khi đó Dlàđiểmcầntìm.Thậtvậy,vì 8 < : AD?SI(SBC) AD?BC(SBC) SI\BC = I ) AD?(SBC) nên D(chânđườngcaokẻtừ AcủatamgiácSAI)làhìnhchiếucủa Atrên(SBC). Trường hợp 2. Trong (P) có hai điểm A,B sao cho MA = MB. Cáchgiải.  Trong(P)kẻđườngtrungtrựcdcủađoạnthẳng AB.  Trong mặt phẳng (M,d), dựng MH?d. Khi đó H là điểmcầntìm. Bài 13. ChohìnhchópS.ABC,đáyABClàtamgiáccântạiAvà Õ SAB= Õ SAC.Xácđịnhđường thẳngchứachânđườngcaocủahìnhchóp. L Lời giải Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau (do AB = AC, SA là cạnh chung, Õ SAB = Õ SAC), suy ra SB = SC. Dựng đường cao AM củaDABC. Khi đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Trong (SAM), kẻ SH vuông góc với MA tại H. Khiđó: 8 < : BC?MS(SMA) BC?MA(SMA) MS\MA= M. Suyra BC?(SMA)) BC?SH. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC104|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó 8 < : SH?AM(ABC) SH?BC(ABC) AM\BC = M ) SH?(ABC).Chânđườngcao H hạtừScủahìnhchópnằm trên AM. Trường hợp 3. Tồn tại một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng(P). Cáchgiải.  Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng a. Tìm giaotuyếncủahaimặtphẳng(P)và(Q).  Kẻđườngthẳngqua Mvàsongsongvới a,cắtgiaotuyến tại H.Khiđó Hlàđiểmcầntìm. Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C. Cho SA vuông góc với mặtphẳng(ABC).Xácđịnhchânđườngvuônggóchạtừđiểm Mthuộccạnh ABxuốngmặt phẳng(SBC). L Lời giải GọiKlàhìnhchiếucủa AtrênSC. Tacó: 8 < : BC?AC(SAC) BC?SA(SAC) AC\SA= A. Suyra BC?(SAC). Mà AK(SBC)nên BC?AK. Tacó: 8 < : AK?SC(SBC) AK?BC(SBC) SC\BC = C. Suyra AK?(SBC). Mặtphẳng(AKB)chứa Mvàđườngthẳng AK,lạicó(AKB)\(SBC)= KB.Trong(AKB)vẽ đườngthẳngqua M,songsongvới AK,cắtKBtại H.Vì MH?(SBC)nên Hlàđiểmcầntìm. Trường hợp 4. Điểm M thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với mặtphẳng(P). Cáchgiải.  Tìmgiaotuyếndcủahaimặtphẳng(P)và(Q).  Chọntrêndđiểm Hsaocho MH?d.Khiđó Hlàđiểmcần tìm. Bài 15. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhchữnhật.ChođườngthẳngSAvuông gócvới(ABCD). a) Chứngminhrằng(SAB)?(SBC). b) Xác định chân đường vuông góc hạ từ điểm M nằm trên đường SA xuống mặt phẳng (SBC). c) GọiOlàgiaođiểmcủahaiđườngthẳng ACvàBD,gọi(a)làmặtphẳngquaOvàsong songvớiđườngthẳng BC.XácđịnhchânđườngvuônggóchạtừSxuống(a). L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC105|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 a)Tacó 8 < : BC?SA(SAB) BC?AB(SAB) SA\AB= A. Vậy BC?(SAB). Mà BC(SBC) nên(SBC)?(SAB). b)Tacó: (SAB)\(SBC)= SB. Trongmặtphẳng(SAB),vẽđườngthẳngqua M, vuông góc với SB tại H. Vì MH?(SAB) nên Hlàđiểmcầntìm. c)Tacó:  O2(a)\(ABCD) BC(ABCD), BCk(a) )(a)\(ABCD)= Ox, với Ox là đường thẳng qua O và Oxk BC. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của Ox với AB vàCD.Khiđóvì PQ(a)và PQ?(SAB)nên(a)?(SAB).ĐiểmSthuộc(SAB),dođóchân đườngvuônggóchạtừSxuống(a)nằmtrêngiaotuyếncủa(a)và(SAB). C. BÀI TẬP ÔN-LUYỆN 1. Đề bài Bài 16. Chohìnhchóp S.ABC cóđáylàtamgiácvuôngtại B, SAvuônggócvới(ABC).Gọi B 0 ,C 0 lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa AxuốngSB,SC.Chứngminhrằng: a) BC?(SAB). b) AB 0 ?(SBC). c) (AB 0 C 0 )?(SAC). d) Tứgiác BCC 0 B 0 nộitiếpđườngtròn. Bài 17. Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD,cạnhđáybằng a,cạnhbênbằng a p 5 2 .Tínhgóc giữacácmặtphẳng (SAB) và (ABCD); 1 (SAB) và (SCD). 2 Bài 18. ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtạiB, AB= a,SA?(ABC), Ö BAC = a, SA = a. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC)và(SBC)là b. a) Chứngminh BC?AH,SC?(AHK). b) Chứngminhrằngtana.tanb= a SK . Bài 19. Cho DABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC)tại AlấyđiểmSsaochoSA= a p 2.Gọi E,FlầnlượtlàtrungđiểmcủaSB,SC. a) Chứngminh BC?(SAD). b) Gọi H làhìnhchiếucủa Atrên EF.Chứngminh AH nằmtrong(SAD).Hãychobiếtvị trícủađiểm HđốivớihaiđiểmSvà D. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC106|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 c) Tínhdiệntíchtamgiác AEF. Bài 20. Chohìnhchóp S.ABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnh a,tamgiác SABđều, SC = a p 2. GọiKlàtrungđiểmcủa AD.Chứngminhrằng (SAB)?(ABCD); 1 AC?SK,CK?SD. 2 Bài 21. Chotứdiện ABCDcó AB?CD.Gọi HlàtrựctâmtamgiácBCDvàKlàtrựctâmtam giác ACD.Chứngminhrằng(AHK)vuônggócvới(ACD)và(BCD). Bài 22 (ĐH-2002A). ChohìnhchóptamgiácđềuS.ABC,cóđộdàicạnhđáybằnga.GọiM,N lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnhSB,SC.TínhtheoadiệntíchDAMN,biếtrằng(AMN)?(SBC). Bài 23. Chohìnhchóp S.ABCD,đáylàhìnhvuôngcạnh a, SA?(ABCD), SA = x.Xácđịnh xđểhaimặtphẳng(SBC)và(SDC)tạovớinhaugóc60 0 . Bài 24 (ĐH-2008B). ChohìnhchópS.ABCD,đáylàhìnhvuôngcạnh2a,SA= a,SB= a p 3, (SAB)?(ABCD).Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcạnh AB, BC.Tínhcosincủagóctạobởi haiđườngthẳngSM, DN. Bài 25. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cạnh bằng a. Trên các cạnh DC, BB 0 lần lượt lấycácđiểm M, N saocho DM = BN = x,với0 x a.Chứngminhrằng AC 0 ?MN. Bài 26. Hìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhhộpgìnếuthoảmãnmộttrongcácđiềukiệnsau? a) Tứdiện AB 0 CD 0 cócáccạnhđốibằngnhau; b) Tứdiện AB 0 CD 0 cócáccạnhđốivuônggóc; c) Tứdiện AB 0 CD 0 làtứdiệnđều. Bài 27. Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có AB= a, BC = b,CC 0 = c. a) Chứngminhrằngtổngbìnhphươngtấtcảcácđườngchéocủahìnhhộpbằngtổngbình phươngtấtcảcáccạnhcủahìnhhộp. b) Nếu AC 0 = BD 0 = B 0 D = p a 2 +b 2 +c 2 thìhìnhhộpđócóphảilàhìnhhộpchữnhật không?Vìsao? Bài 28. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cócạnhbằng a. a) Chứngminhrằng AC 0 vuônggócvớihaimặtphẳng(A 0 BD)và(B 0 CD 0 ). b) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC 0 . Chứng minh thiết diện tạo thànhlàmộtlụcgiácđều.Tínhdiệntíchcủathiếtdiệnđó. Bài 29. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cócạnhbằng avàđiểmKthuộccạnhCC 0 sao choCK = 2 3 a.Mặtphẳng(a)điqua A,Kvàsongsongvới BD. a) Tìmgiaotuyếncủa(a)và(BDD 0 B 0 ). b) Chứngminhrằngthiếtdiệncủahìnhlậpphươngbịcắtbởi(a)làhìnhthoi. c) Tính diện tích của tứ giác BCKM, với M là giao điểm của mặt phẳng (a) với đường thẳng BB 0 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC107|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 30. Chohìnhhộpđứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có AB= AD = a,AA 0 = a p 3 2 , Ö BAD = 60 0 . Gọi M,Nlầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh A 0 D 0 và A 0 B 0 .GọiSlàđiểmđốixứngcủa Aqua A 0 . Chứng minh rằng diện tích của tứ giác BDMN bằng ba phần tư lần diện tíchDSBD và AC 0 ?(BDMN). Bài 31. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB 0 saocho AM = BN.Chứngminhrằngbavectơ #  MN, #  AB, #  B 0 Dđồngphẳng. Bài 32. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . a) Tínhgócgiữahaiđườngthẳng ACvà DA 0 . b) Chứngminh BD?AC 0 . Bài 33. Chohìnhlậpphương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cócạnhbằng1.Lấy M, N,Ptheothứtựtrên cáccạnh BB 1 ,CDvà A 1 D 1 saocho B 1 M = CN = D 1 P= 1 3 . a) Tính #  MN theocácvectơ #  AB, #  AD, #  AA 1 .Suyrađộdài MN. b) Chứngminhrằng AC 1 ?MN. Bài 34. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc AD 0 và DBsaocho #  MA= k #  MD 0 , #  ND = k #  NB(k6= 0, k6= 1). a) Chứngminhrằng MNk(A 0 BC). b) Khi MNk A 0 C,chứngtỏrằng MN?AD 0 và MN?DB. Bài 35. Chohaimặtphẳngvuônggóc(P)và(Q)cógiaotuyếnD.Lấy A, BcùngthuộcDvà lấyC2 (P), D2 (Q)saocho AC?AB, BD?ABvà AB = AC = BD.Xácđịnhthiếtdiệncủa tứdiện ABCDkhicắtbởimặtphẳng(a)điquađiểm AvàvuônggócvớiCD.Tínhdiệntích thiếtdiệnkhi AC = AB= BD = a. Bài 36. ChohìnhchópS.ABCcócácmặtbênhợpvớimặtđáygóca. a) Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là tâm của đường tròn nội tiếpDABC. b) Chứngminh S SAB +S SBC +S SCA = S ABC cosa . Bài 37. Chohìnhchóptamgiácđều S.ABC cócạnh AB = 2a,gócgiữamặtbênvàmặtđáy bằnga.Mộtmặtphẳngđiqua ABtạovớimặtphẳng(ABC)góc b(a> b)cắtcạnhSCtại D. Tínhdiệntíchcủatamgiác ABDtheoavà b. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC108|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 2. Lời giải, hướng dẫn Câu16. a)Tacó: 8 < : BC?SA(SAB) BC?BA(SAB) SA\BA= A ) BC?(SAB). b)Do BC?(SAB),mà AB 0 (SAB)nênsuyra BC?AB 0 . Vậy 8 < : AB 0 ?SB(SBC) AB 0 ?BC(SBC) SB\BC = B ) AB 0 ?(SBC). c)Do AB 0 ?(SBC)nên AB 0 ?SC.Nhưvậytacó 8 < : SC?AB 0 (AB 0 C 0 ) SC?AC 0 (AB 0 C 0 ) AB 0 \AC 0 = A ) SC?(AB 0 C 0 ). (*) MàSC(SAC)nêntừ(*)suyra(AB 0 C 0 )?(SAC). d)Theotrêntacó BC?(SAB)) BC?BS.Tacó SC?(AB 0 C 0 )) SC?C 0 B 0 . Nhưvậytứgiác BCC 0 B 0 có Ö CBB 0 + × CC 0 B 0 = 90 0 +90 0 = 180 0 nênnộitiếpđườngtròn. Câu17. GọiOlàhìnhchiếucủađiểmStrên(ABCD). 1 Ta có OA, OB, OC, OD lần lượt là hình chiếu của SA, SB, SC, SD trên (ABCD), mà SA = SB = SC = SD nêntacóOA = OB = OC = OD.VậyOlàgiaođiểmcủa AC và BD. Ta có (SAB)\(ABCD) = AB. Gọi a (với 0 0  a  90 0 ) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)và(ABCD).Gọi Mlàtrungđiểm AB. Tacó  OM(ABCD), OM?AB SM(SAB), SM?AB. Suyraa= Ö SMO.LạicóOM = a 2 nên SO 2 = SB 2 OB 2 = 5a 2 4 2a 2 4 = 3a 2 4 . TrongtamgiácSMOtacó tana= SO MO = a p 3 2 . 2 a = p 3) a= 60 0 . 2 Gọi b(với0 0  b 90 0 ), N = MO\DC.Tacó 8 < : S2(SAB)\(SCD) ABk CD AB(SAB), CD(SCD) )(SAB)\(SCD)= Sx, vớiSxlàđườngthẳngquaSvàsongsongvới AB.Tacó 8 < : (SAB)\(SCD)= Sx (SMN)?Sx (do AB?(SMN), ABk Sx) (SMN)\(SAB)= SM, (SMN)\(SCD)= SN. Vậygócgiữamặtphẳng(SAB)và(SCD)làgócgiữađườngthẳngSMvàSN.VìDSMN cântạiSvàcó Ö SMN = a= 60 0 nênDSMN đều,suyra b= Ö MSN = 60 0 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC109|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu18. a) Ta có SA?(ABC), mà BC nằm trong (ABC) nên SA?BC.Nhưvậy: 8 < : BC?SA(SAB) BC?BA(SAB) SA\BA= A. Suyra BC?(SAB). Mà AH(SAB)nên BC?AH. 8 < : AH?SB(SBC) AH?BC(SBC) SB\BC = B. Suyra AH?(SBC). MàSC(SBC)nên AH?SC. 8 < : SC?AH(AHK) SC?AK(AHK) AH\AK = A ) SC?(AHK). b)Tacó:  (SAC)\(SBC)= SC, (AHK)?SC (AHK)\(SAC)= KA, (AHK)\(SBC)= KH. Suyra b= Ö AKH.Tacó: tana.tanb= BC AB
AH HK = AH AB
BC HK ,cosa= AB AC . Dotamgiác HBAđồngdạngvớitamgiác ABSnên: AH AB = SA SB . DotamgiácSHKđồngdạngvớitamgiácSCBnên: BC KH = SB SK . Từđó:tana.tanb= SA SB
SB SK = SA SK = a SK . Câu19. a)TacóSA?(ABC).Vậy  BC?SA BC?AD. Suyra BC?(SAD). b) Ta có AB = AC = a p 2, SB = SC = 2a, AE = a = AF. Suy ra DAEF cân tại A, do đó H là trung điểm EF. Do tam giác ABC cân tại A nên D là trung điểm BC. Bởi vậy SD đi qua trung điểm H của EF, do đó H2 (SAD), suy ra AH (SAD),hơnnữa H làtrungđiểm SD (do EF làđườngtrung bìnhcủacủatamgiácSBC). c)DAEFđềucạnh a,dođócódiệntíchlàS DAEF = a 2 p 3 4 . Câu20. DoDSABđềunênSB= SA= AB= a. 1 TacóSB 2 +BC 2 = 2a 2 = SC 2 . VậyDSBCvuôngcântại B. Dođó 8 < : BC?BA(SAB) BC?BS(SAB) BA\BS= B ) BC?(SAB). Mà BC(ABCD)nên(ABCD)?(SAB). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC110|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 2 Gọi H là trung điểm AB. Khi đó SH?AB, mà (SAB)?(ABCD) nên SH?(ABCD) (do địnhlí3),mà AC(ABCD)nênSH?AC.Tacó 8 < : AC?HK(SHK) AC?SH(SHK) HK\SH = H ) AC?(SHK)) AC?SK. Trong hình vuông ABCD có CK?DH. Lại có CK?SH, suy ra CK?(SDH). bởi vậy CK?SD. Câu21. Gọi Mlàgiaođiểmcủa BHvàCD.Tacó: 8 < : CD?BM(ABM) CD?AB(ABM) AB\BM = B SuyraCD?(ABM)) CD?AM.Nhưvậybađiểm A,K, M thẳng hàng. Do đó mặt phẳng (AHK) cũng chính là mặtphẳng(ABM).Tacó:  CD?(AHK) CD(ACD) )(ACD)?(AHK)  CD?(AHK) CD(BCD) )(BCD)?(AHK). Câu22. Gọi K là trung điểm cạnh BC và I = SK\ MN. Từ giả thiết suy ra MN = 1 2 BC = a 2 , MNk BC, I là trung điểm của SK và MN. Ta cóDSAB bằngDSAC, do đó hai trung tuyến tương ứng AM = AN, dẫn tới DAMN cân tại A, suy ra AI?MN. Mà (SBC)?(AMN) nên AI?(SBC), suy ra AI?SK. VậyDSAK cân tại A, suy ra SA = AK = a p 3 2 . Tacó: SK 2 = SB 2 BK 2 = 3a 2 4 a 2 4 = a 2 2 . Từđó AI = p SA 2 SI 2 = s SA 2  SK 2  2 = r 3a 2 4 a 2 8 = a p 10 4 . Vậy:S AMN = 1 2 MN.AI = 1 2 . a 2 . a p 10 4 = a 2 p 10 16 . Câu23. Tacó(SBC)\(SDC) = SC.Trong(SAC)kẻOI?SC (I2 SC).DoAC?BDmàAClàhìnhchiếucủaSCtrên(ABCD) nên BD?SC. Suy ra SC?(BID). Vậy góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(SCD)làgócgiữahaiđườngthẳng IDvà IB.Dohaitamgiác SCDvà SCBbằngnhaunên ID = IC, suy ra IO?CD. Mặt khác vì IO?BD, OI < OC mà OC = OB nên OI < OB, suy ra Õ BIO > 45 0 (vì tam giác BOI vuông tại O). Tương tự ta có Õ DIO > 45 0 . Vậy để hai mặt phẳng(SBC),(SDC)tạovớinhaugóc60 0 tươngđươngvới việctìmxđể Õ BID = 120 0 .DoDBIDcântại Inêntacầntìm xđể Õ BIO= 60 0 .Tacó CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC111|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 sin Õ OCI = OI OC , OI = OC.sin Õ OCI, OI = OC. SA SC . Vậy: Õ BIO= 60 0 , tan Õ BIO= p 3 , BO OI = p 3, BO= OI p 3 ,BO= OC. SA SC p 3, SC = SA p 3 , p SA 2 +AC 2 = SA p 3, p x 2 +2a 2 = p 3x ,x 2 +2a 2 = 3x 2 , x 2 = a 2 , x = a. Điềukiệnhaimặtphẳng(SBC),(SDC)tạovớinhaugóc60 0 là x = a. Câu24. Phântích.Giảthiếtcho(SAB)?(ABCD)nêntasẽsửdụngđịnhlí3ởtrang93.Góc giữahaiđườngthẳngSMvàDNđượcquyvềgócgiữahaiđườngthẳngcắtnhauSMvà ME, với MEk DN. Giải. Cách1.HạSH?ABtại H,khiđóSH vuônggóc với(ABCD).Vì SA 2 +SB 2 = 4a 2 = AB 2 nênDSABvuôngtại S,dẫnđến SM = AB 2 = a. DođóDSAMđềucạnh a,suyraSH = a p 3 2 . Vẽ ME k DN, với E thuộc đoạn AD, khi đó AE = a 2 . Ta có AE?AH, mà AH là hình chiếu củaSAtrên(ABCD)nên AE?SA,suyra: SE= p SA 2 +AE 2 = a p 5 2 ,ME= p AM 2 +AE 2 = a p 5 2 . TamgiácSMEcântại Enên cos(SM,DN)= cos(SM,ME)= cos Ö SME = MS 2 +ME 2 SE 2 2MS.ME = a 2 a.a p 5 = p 5 5 . Cách2.Tasẽbiểuthịhaivectơ #  SM, #  DN quabavectơ #  AB, #  AD, #  AS: #  SM = #  SA+ #  AM = #  AS+ 1 2 #  AB, #  DN = #  DC+ #  CN = #  AB 1 2 #  AD. Vậycos(SM,DN)= #  SM. #  DN SM.DN ,vớiSM = a, DN = p 4a 2 +a 2 = a p 5. #  SM. #  DN =  #  AS+ 1 2 #  AB  #  AB 1 2 #  AD  = #  AS. #  AB+ 1 2 #  AB 2 =AS.AB.cos60 0 + 1 2 AB 2 =a 2 +2a 2 = a 2 . Dođó:cos(SM,DN)= a 2 a.a p 5 = p 5 5 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC112|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu25. Đặt #  AA 0 = #  a, #  AB= #  b, #  AD = #  c. Khiđó: j #  aj = #  b =j #  cj = a, #  BN = x a #  a, #  DM = x a #  b. Tacó: #  AC 0 = #  AA 0 + #  AB+ #  AD = #  a + #  b + #  c. Mà #  MN = #  AN #  AM =  #  AB+ #  BN   #  AD+ #  DM  nên #  MN =  #  b + x a #  a   #  c + x a #  b  = x a #  a +  1 x a  #  b #  c. Do #  a #  b = #  b #  c = #  c #  a = 0nên #  AC 0 . #  MN =  #  a + #  b + #  c h x a #  a +  1 x a  #  b #  c i = x a #  a 2 +  1 x a  #  b 2 #  c 2 = xa+  1 x a  a 2 a 2 = 0. Vậy #  AC 0 ? #  MN) AC 0 ?MN. Câu26. a)Tacó B 0 D 0 = BD.Vậy AC = B 0 D 0 , AC = BD,khiđó ABCD là hình chữ nhật. Tương tự ta cũng có ABB 0 A 0 và ADD 0 A 0 là hình chữ nhật. Vậy khi tứ diện AB 0 CD 0 có các cạnh đối bằng nhau thì ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là hình hộp chữ nhật.Ngượclạinếu ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhhộpchữnhật thìdễthấytứdiện AB 0 CD 0 cócáccạnhđốibằngnhau. b)Tacó BDk B 0 D 0 .Vậy AC?B 0 D 0 khivàchỉkhi AC?BD. Khi đó ABCD là hình thoi. Tương tự như trên ta cũng có ABB 0 A 0 và ADD 0 A 0 là những hình thoi. Vậy hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là hình hộp thoi (tức là sáu mặt của hình hộp là hình thoi). Cũng dễ thấy rằng hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là hình hộp thoi thì tứ diện AB 0 CD 0 có cáccạnhđốivuônggóc. c)Khi AB 0 CD 0 làtứdiệnđềuthìcáccạnhđốidiệnvừabằngnhauvừavuônggóc.Vậytừkết quảcâua)vàcâub)suyraABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhlậpphương.NgượclạinếuABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhlậpphươngthì AB 0 CD 0 làtứdiệndều. Câu27. a)Tronghìnhbìnhhành BDD 0 B 0 ,tacó D 0 B 2 +B 0 D 2 = 2(BD 2 +B 0 B 2 ). Tronghìnhbìnhhành ACC 0 A 0 ,tacó A 0 C 2 +C 0 A 2 = 2(AC 2 +A 0 A 2 ). Từđósuyra C 0 A 2 +A 0 C 2 +D 0 B 2 +B 0 D 2 = 2(BD 2 +AC 2 +B 0 B 2 +A 0 A 2 ) = 4 a 2 +b 2 +c 2
. Vậytacóđiềuphảichứngminh. b)Nếu AC 0 = BD 0 = B 0 D = p a 2 +b 2 +c 2 thìtheocâu a)suyra A 0 C = p a 2 +b 2 +c 2 ) A 0 C = AC 0 = BD 0 = B 0 D = p a 2 +b 2 +c 2 , tứclàbốnđườngchéocủahìnhhộpbằngnhau.Do ACC 0 A 0 làhìnhbìnhhànhvà AC 0 = A 0 C nên ACC 0 A 0 làhìnhchữnhật,suyra AA 0 ?AC.Tươngtựnhưtrêntacó BB 0 ?BD,mà BB 0 k CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC113|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 AA 0 nên AA 0 ?(ABCD).Tươngtựtacó AB?(ADD 0 A 0 ).Dođó ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhhộp chữnhật. Câu28. a)Vì ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhlậpphươngnên AA 0 = AB= AD = a,C 0 A 0 = C 0 B= C 0 D = a p 2. Suy ra A và C 0 nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác A 0 BD, bởi vậy AC 0 ?(A 0 BD). Tương tự ta chứng minh được AC 0 ?(CB 0 D 0 ). b) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC, khi đó MA = MC 0 (vì cùngbằng a p 5 2 )nên Mthuộcmặttrungtrực(a)của AC 0 . Tương tự ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trungđiểmcủaCD,DD 0 ,D 0 A 0 , A 0 B 0 ,B 0 B).Vậythiếtdiệncủahìnhlậpphươngbịcắtbởi(a)là lụcgiác MNPQRS.Dễthấyđólàlụcgiácđềucạnhbằng a p 2 2 .Vì MA 0 làđườngtrungtuyến củaDMAC 0 nên AM 02 = MA 2 +MC 02 2 AC 02 4 = 5a 2 4 3a 2 4 = a 2 2 . Từđótatínhđượcdiệntíchcủathiếtdiệnlà 6S DAMN = 6. 1 2 .A 0 M 2 sin60 0 = 3. a 2 2 . p 3 2 = 3 p 3 4 a 2 . Câu29. a)GọiO= AC\BD,O 0 = A 0 C 0 \B 0 D 0 . Trong(AA 0 C 0 C),gọi I làgiaođiểmcủaOO 0 và AK. Tacó  I2(a)\(BDD 0 B 0 ) AK(a), (a)k BD. Suy ra giao tuyến của mặt phẳng (a) và (BDD 0 B 0 ) là đườngthẳng Ixqua I,songsongvới BD. b) Gọi N = Ix\ DD 0 , M = Ix\ BB 0 . Khi đó mp(a)mp(ANKM). Ta có BM = DN = OI = a 3 . Đáy ABCD là hình vuông suy ra BD?AC mà AC là hình chiếu của AK trên (ABCD) nên BD?AK. Lại có BDk MN nên suy ra AK?MN. Ta có I là trung điểm của MN và AKnênthiếtdiện AMKN làhìnhthoi. c)Tacó MB= OI = 1 2 CK = a 3 . Vì BCKMlàhìnhthangnêndiệntíchcủatứgiác BCKMlà:  a 3 + 2a 3  a 2 = a 2 2 . Câu30. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC114|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, gọi S là điểm đối xứng của Aqua A 0 .KhiđóS,M,Dthẳnghàngvà Mlàtrungđiểm của SD; S,N,B thẳng hàng và N là trung điểm của SB. Ta cóDBAD là tam giác đều cạnh a, suy ra AO = a p 3 2 , AC = 2AO = a p 3 = SA, CC 0 = a p 3 2 = AO. Hai tam giác vuông SAOvà ACC 0 bằngnhau,suyra: Ö ASO= Ö CAC 0 ) Ö CAC 0 + Ö AOS= 90 0 . Dođó AC 0 ?SO. (1) Tacó  BD?AC BD?AA 0 ) BD?(ACC 0 A 0 )) BD?AC 0 . (2) Từ(1)và(2)suyra AC 0 ?(BDMN). VìS DSMN = 1 4 S DSBD nênS BDMN = 3 4 S DSBD . Câu31. Đặt #  AB = #  a, #  AD = #  b, #  AA 0 = #  c. Ta sẽ khai triển các vectơ #  MN, #  AB, #  B 0 D theobavectơ #  a, #  b, #  c.Muốnvậy,đặt #  MA = k #  AD.Khiđó #  NB = k #  BB 0 .Theoquytắchìnhhộpta có #  B 0 D = #  a + #  b #  c.Nhưvậy: #  MN = #  MA+ #  AB+ #  BN = k #  b + #  ABk #  c = #  AB+k( #  b #  c)= #  AB+k  #  B 0 D+ #  a  =(k+1) #  AB+k #  B 0 D. Từ #  MN = (k+1) #  AB+k #  B 0 Dvàhaivectơ #  AB, #  B 0 Dkhôngcùngphương,suyrabavectơ #  MN, #  AB, #  B 0 Dđồngphẳng. Câu32. Đặt #  AB= #  a, #  AD = #  b, #  AA 0 = #  c. Tacó #  AC = #  AB+ #  AD = #  a + #  b, #  DA 0 = #  AA 0 #  AD = #  c #  b. Dođó: cos  #  AC, #  DA 0  = #  AC. #  DA 0 #  AC #  DA 0 =  #  a + #  b  #  c #  b  #  a + #  b . #  c #  b . (*) Giảsửhìnhlậpphươngcócạnhbằng x,khiđótừ(*)tacó cos  #  AC, #  DA 0  = #  a. #  c #  a. #  b + #  b. #  c  #  b  2 x p 2.x p 2 = x 2 2x 2 = 1 2 (do #  a? #  b, #  b? #  c, #  c? #  a,  #  b  2 = #  b 2 = x 2 ).Vậy  #  AC, #  DA 0  = 120 0 ) AC,DA 0
= 180 0 120 0 = 60 0 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC115|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b)Tacó #  BD = #  AD #  AB= #  b #  a, #  AC 0 = #  AC+ #  CC 0 = #  b + #  a + #  c.Vậy #  BD. #  AC 0 =( #  b #  a)( #  b + #  a + #  c) =( #  b) 2 #  b #  a + #  b #  c #  a #  b( #  a) 2 #  a #  c = x 2 x 2 = 0. Suyra BD?AC 0 . Câu33. a)Trướchếtdễdàngnhậnthấyrằng: #  MB= 2 3 #  BB 1 = 2 3 #  AA 1 , #  CN = 1 3 #  DC = 1 3 #  AB. Từđó: #  MN = #  MB+ #  BC+ #  CN = 2 3 #  AA 1 + #  AD 1 3 #  AB. MN 2 = #  MN 2 =  2 3 #  AA 1 + #  AD 1 3 #  AB  2 = 4 9 AA 2 1 +AD 2 + 1 9 AB 2 4 3 #  AA 1 . #  AD 2 3 #  AB. #  AD+ 4 9 #  AA 1 . #  AD. Do AA 1 ,AB,ADđôimộtvuônggócnên #  AA 1 . #  AB= #  AB. #  AD = #  AD. #  AA 1 = 0. Vậy MN 2 = 14 9 ) MN = p 14 3 . b)Dễdàngthấyrằng #  AC 1 = #  AA 1 + #  AB+ #  AD.Vậy: #  AC 1 . #  MN =  #  AB+ #  AD+ #  AA 1   2 3 #  AA 1 + #  AD 1 3 #  AB  = 1 3 AB 2 +AD 2 2 3 AA 2 1 = 0. Dođó AC 1 vuônggócvới MN. Câu34. a)Đặt #  AA 0 = #  a, #  AB= #  b, #  AD = #  c. Khiđó #  a. #  b = #  b. #  c = #  c. #  a = 0 và #  a 2 = #  b 2 = #  c 2 . Vì #  MA= k #  MD 0 nên: #  MA= k  #  MA+ #  AD 0  ) #  AM = k k1 #  AD 0 ) #  AM = k k1 ( #  a + #  c). Từ #  ND = k #  NB,tacó: #  AD #  AN = k  #  AB #  AN  . Suyra: #  AN = #  ADk #  AB 1k = k 1k #  b + 1 1k #  c.Từđó: #  MN = #  AN #  AM = k 1k #  b + 1 1k #  c  k k1 ( #  a + #  c)  CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC116|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = 1+k 1k #  c + k 1k  #  a #  b  . Vậy #  MN = 1+k 1k #  BC+ k 1k #  BA 0 .Suyrabavectơ #  MN, #  BC, #  BA 0 đồngphẳng.Cácđiểm M, N lầnlượtthuộc AD 0 ,DB,vớik6= 0,k6= 1nên MNkhôngthuộc(A 0 BC).Suyra MNk(A 0 BC). b) Ta có #  A 0 C = #  a + #  b + #  c, A 0 C và AD 0 chéo nhau, A 0 C và BD chéo nhau mà M2 AD 0 , N2 BD.DođóđườngthẳngMNsongsongvớiđườngthẳngA 0 Ckhivàchỉkhi #  MN = m #  A 0 C, tứclà 1+k 1k #  c + k 1k  #  a #  b  =m #  a +m #  b +m #  c. Do #  a, #  b, #  c làbavectơkhôngđồngphẳngnênđẳngthứctrênxảyrakhivàchỉkhi 8 > > > > > < > > > > > : k 1k =m k 1k = m 1+k 1k = m )k = 1k, k = 1 2 . Vậykhik = 1 2 thì MNk A 0 C.Khiđó #  MN = 1 3  #  a #  b #  c  .Mặtkhác #  AD 0 = #  a + #  c, #  BD = #  b #  c. Vậy #  MN. #  AD 0 = 1 3 #  a 2 #  c 2
= 0, #  MN. #  DB = 1 3  #  b 2 + #  c 2  = 0.Điềunàykhẳngđịnh MN?AD 0 và MN?DB. Câu35. Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI?BC. Do BD?(ABC) nên CB là hình chiếu vuông góc CD trên (P), vậy theo định lí ba đường vuông góc suy ra AI?CD. Trong (CDB), kẻ IJ vuônggócvớiCD(J2 CD)thìmặtphẳng(AIJ)chínhlàmặt phẳng(a)vàthiếtdiệnphảitìmlàDAIJ.DễthấyDAIJvuông tại I.VậyS DAIJ = 1 2 IA.IJ.Tacó AI = 1 2 BC = a p 2 2 ; IJ DB = CI CD . Suyra IJ = CI CD .DB= a p 2 2a p 3 .a= a p 6 6 . DođóS DAIJ = 1 2 . a p 2 2 . a p 6 6 = a 2 p 3 12 . Câu36. Gọi I làhìnhchiếuvuônggóccủa S trênmặtphẳng(ABC).Gọi M, P, N lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa I trên BC,CA, AB. a) Ta cần chứng minh IM = IN = IP. Ta có BC?MI, mà MI là hìnhchiếucủaSMtrên(ABC),nêntheođịnhlíbađườngvuông góc suy ra BC?SM. Từ đó suy ra Õ SMI = a. Tương tự ta được Õ SNI = a, Ô SPI = a.Tacó tana= SI IM = SI IN = SI IP ) IM = IN = IP. Nghĩalà I cáchđềubađườngthẳng AB, BC, CA,dođó I làtâm củađườngtrònnộitiếpDABC. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC117|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 b) Vì hình chiếu của DSBC trên (ABC) là tam giác IBC nên theo định lí hình chiếu ta có S IBC = S SBC .cosa.Tươngtự S ICA = S SCA .cosa, S IAB = S SAB .cosa. Màđiểm I nằmtrongtamgiác ABCnên S SAB +S SBC +S SCA = S IAB +S IBC +S ICA cosa = S ABC cosa (đpcm). Câu37. Phântích.Đềbàichohìnhchóptamgiácđềuthìtaphải chúýđếntínhchất:tronghìnhchópđều,chânđườngcao trùngvớitâmcủađáy;trongtamgiácđềuthìtâmđường tròn ngoại tiếp vàtrọng tâm trùng nhau. Còn việc dựng cácgóca,b,bạnđọcxemlạidạng12ởtrang95. Giải.Gọi H làhìnhchiếucủa Strên(ABC).Khiđó HA, HB, HC là hình chiếu của SA, SB, SC trên (ABC), mà SA = SB = SCnên HA = HB = HC.Từđâykếthợpvới giảthiếttamgiác ABCđềusuyra H làtâmcủatamgiác ABC.Gọi Elàtrungđiểm AB.Tacó: 8 < : (SAB)\(CAB)= AB CE(CAB), CE?AB SE(SAB), SE?AB. Suyragócgiữahaimặtphẳng (SAB)và(CAB)là:a= Ú (SE,CE)= Õ SEC. Tacó: 8 > > < > > : (DAB)\(CAB)= AB (SCE)?AB (SCE)\(DAB)= ED (SCE)\(CAB)= EC ) b= Û (ED,EC)= Ö DEC. Đặt j= Õ SCE,khiđó jlàgócnhọn.Tacó:cota= HE HS , cotj= HC HS . Mà HC = 2HEnêncotj= 2cota.Trongtamgiác DCE,tacó: ED sinj = CE sin(b+ j) ) ED = CEsinj sin(b+ j) = a p 3sinj sin(b+ j) . Do AB?(SEC) nên AB?DE.Nhưvậy: S ABD = 1 2 ED.AB = a 2 p 3sinj sin(b+ j) .Tiếptheo,tasẽtính sinj,cosjtheoa.Tacó: cot 2 j= 4cot 2 a) 1 sin 2 j 1= 4  1 sin 2 a 1  ) 1 sin 2 j = 4 sin 2 a 3= 43sin 2 a sin 2 a ) sinj= sina p 43sin 2 a . Tiếptheo,tacó: sin 2 j= sin 2 a 43sin 2 a , 1cos 2 j= sin 2 a 43sin 2 a ,cos 2 j= 1 sin 2 a 43sin 2 a , cos 2 j= 44sin 2 a 43sin 2 a CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC118|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 ,cos 2 j= 4cos 2 a 43sin 2 a , cosj= 2cosa p 43sin 2 a . Nhưvậy: S ABD = a 2 p 3sinj sin(b+ j) = a 2 p 3sina p 43sin 2 a(sinbcosj+cosbsinj) = a 2 p 3sina 2sinbcosa+cosbsina . D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Đề bài Câu1. Mệnhđềnàođúngtrongcácmệnhđềsau? A. Gócgữahaimặtphẳngluônlàgócnhọn. B. Gócgiữamặtphẳng(P)vàmặtphẳng(Q)bằnggócgiữamặtphẳng(P)vàmặtphẳng (R)khi(Q)k(R)(hoặcmặtphẳng(Q)trùngvớimặtphẳng(R)). C. Gócgiữamặtphẳng(P)vàmặtphẳng(Q)bằnggócgiữamặtphẳng(P)vàmặtphẳng (R)thì(Q)songsongvới(R). D. Cảbamệnhđềtrênđềuđúng. Câu2. Chohaimặtphẳng(P)và(Q)vuônggócvớinhau.Mệnhđềnàosauđâylàmệnhđề sai? A. Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng(P)vàvuônggócvớimặtphẳng(Q). B. Mộtđườngthẳngđiquamộtđiểmcủamặtphẳng(P)vàvuônggócvớimặtphẳng(Q) thìnằmtrọntrongmặtphẳng(P). C. Mộtđườngthẳngnằmtrongmặtphẳngnàymàvuônggócvớigiaotuyếnthìvuônggóc vớimặtphẳngkia. D. Trongmặtphẳngnàycómộtđườngthẳngvuônggócvớimặtphẳngkia. Câu3. Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng(Q).Khiđó A. avuônggócvới(P). B. asongsongvới(P). C. anằmtrên(P). D. anằmtrên(P)hoặcsongsongvới(P). Câu4. Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đườngthẳngm.Gọi a,b,c,dlàcácđườngthẳng.Xétcácmệnhđềsau: (1) Nếu a(P)và a?mthì a?(Q). (2) Nếub?mthìb(P)hoặcb(Q). (3) Nếuck mthìck(P)hoặcck(Q). (4) Nếud?mthìd?(P). Cóbaonhiêumệnhđềđúng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC119|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu5. Haimặtphẳngvuônggócvớinhaukhivàchỉkhi A. cóhaiđườngthẳngvuônggócvớinhauvàlầnlượtnằmtronghaimặtphẳngđó. B. cómộtđườngthẳngnằmtrongmặtphẳngnàyvàvuônggócvớimặtphẳngkia. C. mọiđườngthẳngnằmtrongmặtphẳngnàyđềuvuônggócvớimặtphẳngkia. D. góclớnnhấtgiữahaiđườngthẳnglầnlượtnằmtronghaimặtphẳngđólàgócvuông. Câu6. Cho hai mặt phẳng (P),(Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau có giao tuyến là đường thẳng m và a,b,c,d là các đường thẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu a(P)và a?mthì a?(Q). B. Nếub?mthìb(P)hoặcb(Q). C. Nếuck mthìck(P)hoặcck(Q). D. Nếud?mvàdk(Q)thìd?(P). Câu7. Điềukiệnnàosauđâykhôngphảilàđiềukiệncầnvàđủđểhaimặtphẳng(P)và(Q) vuônggócvớinhau? A. Cómộtđườngthẳngsongsongvới(P)vàvuônggócvới(Q). B. Mỗiđườngthẳnganằmtrong(P)đềucóđườngthẳngbnằmtrong(Q)saochoavuông gócvớib. C. Cómộtđườngthẳngnằmtrong(P)màhìnhchiếuvuônggóccủanótrên(Q)trùngvới giaotuyếncủa(P)và(Q). D. Cóhaiđườngthẳng a,bvuônggócvớinhau,lầnlượtnằmtrên(P)và(Q)saocho avà bđềuvuônggócvớigiaotuyếncủa(P)và(Q). Câu8. CóbaonhiêumặtphẳngđiquamộtđiểmAchotrướcvàvuônggócvớihaimặtphẳng phânbiệt(P)và(Q)? A. Khôngcó. B. Cómột. C. Cóvôsố. D. Cómộthoặccóvôsố. Câu9. Chođườngthẳngavàmặtphẳng(P).Cóbaonhiêumặtphẳngđiquaavàvuônggóc vớimặtphằng(P)? A. Khôngcó. B. Cómột. C. Cóvôsố. D. Cómộthoặccóvôsố. Câu10. ChohìnhchóptứgiácS.ABCDcóđáylàhìnhvuôngvàmộtcạnhbênvuônggócvới mặtđáy.Cóbaonhiêumặtbênvuônggócvớimặtđáy? A. Khôngcómặtbênnàovuônggócvớimặtđáy. B. Cóđúngmộtmặtbênvuônggócvớimặtđáy. C. Cóđúnghaimặtbênvuônggócvớimặtđáy. D. Cóđúngbamặtbênvuônggócvớimặtđáy. Câu11. Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. Haimặtphẳngcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsongvớinhau. B. Haimặtphẳngcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìvuônggócvớinhau. C. Haimặtphẳngcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìcùngsongsongvớimộtđường thẳng. D. Haimặtphẳngcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìcùngvuônggócvớimộtđường thẳng. Câu12. Chobamặtphẳng(P),(Q)và(R).Mệnhđềnàosauđâyđúng? A. Nếu(P)?(Q)và(R)?(Q)thì(P)k(R). B. Nếu(P)k(Q)và(R)?(P)thì(R)k(Q). C. Nếu(P)?(Q)và(R)k(Q)thì(P)?(R). D. Nếu(P)k(Q)và(R)k(Q)thì(P)?(R). Câu13. Chohaimặtphẳng(P)và(Q)cắtnhautheogiaotuyếnD.Gọi jlàgócgiữa(P)và (Q).Cótấtcảbaonhiêumệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsau? CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC120|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  jbằnggócgiữahaiđườngthẳng avàbcùngvuônggócvớiD.  jbằnggócgiữahaiđườngthẳng avàbcùngvuônggócvớiD,lầnlượtnằmtrên(P)và (Q).  jbằnggócgiữahaiđườngthẳngavàbđồngquyvớiD,cùngvuônggócvớiD,lầnlượt nằmtrên(P)và(Q). A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu14. Cho hình chóp S.ABC có SA?(ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B. Hãy xác địnhgócagiữahaimặtphẳng(ABC)và(SBC). A. a= Õ SBA. B. a= Ö BCA. C. a= Õ SCA. D. a= Õ SBC. Câu15. Chohìnhchóp S.ABC có SA?(ABC) vàđáy ABC làtamgiácvuôngtại A.Hãyxác địnhgócagiữahaimặtphẳng(ABC)và(SBC). A. a= Õ SBA. B. a= Ö BCA. C. a= Õ SCA. D. a= Ö SMA. Với Mlàhìnhchiếucủa Atrên BC. Câu16. ChohìnhchópS.ABCcóSA?(ABC)vàđáy ABClàtamgiáccântại A.Hãyxácđịnh gócagiữahaimặtphẳng(ABC)và(SBC). A. a= Õ SBA. B. a= Ö MSA. C. a= Ö SMA. D. a= Õ SCA. Với Mlàtrungđiểm BC. Câu17. ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhvuôngtâmO, SA vuông góc với (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và(ABCD)là A. Ö AOS. B. Ö ADS. C. Õ ABS. D. Õ BSO. A B C D S O Câu18. Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB,AC,AD đôi một vuông góc, H là trực tâmtamgiác BCD.Gócgiữamặtphẳng(BCD)vàmặtphẳng(ACD)bằnggócnàotrongcác gócsauđây? A. Ö ACB. B. Ö ADB. C. Ö ABH. D. Ö BAH. Câu19(HK2khối11,2017-2018SởGiáoDụcHàNam). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA? (ABC) và SA = 3a. Gọiagiữahaimặtphẳng(ABC)và(SBC).Tínhtana. A. tana= 2. B. tana= 2 p 3. C. tana= p 3 2 . D. tana= 3 p 3. Câu20(HK2nămhọc2016-2017,THPTChuyênLongAn,LongAn). Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD cóO làgiaođiểmcủa AC và BD,cạnhbênvàcạnhđáy đềubằng a.Gócgiữahaimặtphẳng(SAC)và(SBD)bằng: A. 90  . B. 30  . C. 60  . D. 45  . Câu21. ChotứdiệnOABC vớicácđườngthẳngOA,OB,OC đôimộtvuônggóc.Bộbamặt phẳngvuônggócvớinhautừngđôimộtlà A. (OAB),(ABC),(OCA). B. (OAB),(OBC),(OCA). C. (ABC),(OBC),(OAB). D. (ACB),(OBC),(OCA). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC121|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu22. Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB,BC,CD đôi một vuông góc. Góc giữa mặtphẳng(BCD)vàmặtphẳng(ACD)bằnggócnàotrongcácgócsauđây? A. Ö ACB. B. Ö ADB. C. Õ AIB,trongđó I làtrungđiểmcủaCD. D. Ö ABG,trongđóGlàtrọngtâmtamgiác BCD. Câu23(TTLTĐHDiệuHiền11/2017,CầnThơ). ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtạiB,SA?(ABC),SA= p 3cm, AB= 1cm, BC = p 2cm.Mặtbên(SBC)hợpvớiđáymộtgócbằng A. 30  . B. 90  . C. 60  . D. 45  . Câu24(HK2nămhọc2016-2017,THPTChuyênLongAn,LongAn). Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD cóO làgiaođiểmcủa AC và BD,cạnhbênvàcạnhđáy đềubằng a.GócgiữađườngthẳngSCvà(ABCD)bằng: A. 45  . B. 30  . C. 60  . D. 90  . Câu25. GọiSlàdiệntíchcủatamgiác ABCtrongmặtphẳng(P)vàS 0 làdiệntíchhìnhchiếu củaDABC trên mặt phẳng (P 0 ) (tức là S 0 là diện tích của tam giác A 1 B 1 C 1 trong mặt phẳng (P 0 )),gọialàgócgiữahaimặtphẳng(P)và(P 0 ). Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. S= S 0 .cosa. B. S 0 = S.sina. C. S= S 0 .sina. D. S 0 = S.cosa. Câu26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông,DSAB là tam giác đều và nằm trong mặtphẳngvuônggócvớimặtphẳngđáy.GọiHlàtrungđiểmAB.Tínhgócgiữađườngthẳng SHvàmặtphẳng(ACD). A. 30 0 . B. 45 0 . C. 60 0 . D. 90 0 . Câu27(Đềthithử,THPTPhanChâuTrinh,ĐàNẵng,năm2018). ChohìnhchópS.ABCcóSA? (ABC).Tamgiác ABCvuôngtại Acó AB = a, BC = 2a.Tính gócgiữahaimặtphẳng(SBC)và(ABC),biếtrằngSC = a p 21 2 . A. 60  . B. 30  . C. 45  . D. 75  . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC122|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu28. Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD cócạnhđáylà a,gócgiữacạnhbênvàmặtđáy bằng b(0 0 < b< 90 0 ).Tínhtangócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(ABCD)theo b. A. p 2cotb. B. p 3tanb. C. p 2tanb. D. p 3cosb. Câu29(HK2khối11,THPTchuyênLươngThếVinh,ĐồngNai2018). ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcócạnhđáybằng2,cạnhbênbằng3.Sốđocủagócgiữa cạnhbênvàmặtđáybằng(làmtrònđếnphút) A. 61  52 0 . B. 69  18 0 . C. 28  8 0 . D. 75  2 0 . Câu30(ĐềTT-THPTQG,ChuyênBiênHòa,HàNam2018). Chohìnhlăngtrụđều ABC.A 0 B 0 C 0 cótấtcảcáccạnhbằng a.Gọi Mlàtrungđiểmcủa ABvà alàgóctạobởiđườngthẳng MC 0 vàmặtphẳng(ABC).Khiđótanabằng A. 2 p 7 7 . B. p 3 2 . C. p 21 7 . D. 2 p 3 3 . Câu31. Chođườngthẳngdcắtvàkhôngvuônggócvớimặtphẳng(P).Gọi(Q)làmặtphẳng thayđổinhưngluônchứad.Gọijlàgócgiữa(P)và(Q).Chọnmệnhđềđúngtrongcácmệnh đềsau. A. Chỉtồntạigiátrịlớnnhất,khôngtồntạigiátrịnhỏnhấtcủa j. B. Chỉtồntạigiátrịnhỏnhất,khôngtồntạigiátrịlớnnhấtcủa j. C. Khôngtồntạigiátrịlớnnhấtvàcũngkhôngtồntạigiátrịnhỏnhất j. D. Tồntạigiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủa j. Giả thiết sau dùng cho các câu 32, 33, 34, 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đềucạnh a,SA?(ABC)vàSA= a 2 . Câu32. Gócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(ABC)bằng A. 0 0 . B. 45 0 . C. 60 0 . D. 90 0 . Câu33. Gócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(SAC)bằng A. 0 0 . B. 45 0 . C. 60 0 . D. 90 0 . Câu34. Gócgiữahaimặtphẳng(ABC)và(SBC)bằng A. 0 0 . B. 30 0 . C. 45 0 . D. 60 0 . Câu35. Từ Ahạ AH?SM.khiđógócgiữa #  SAvà #  AHbằng: A. 30 0 . B. 45 0 . C. 90 0 . D. 150 0 . Câu36. ChohìnhhộpABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Xéttấtcảcáchìnhbìnhhànhcóđỉnhlàđỉnhcủahình hộp đó. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành mà mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD)? A. 4. B. 6. C. 8. D. 10. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC123|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Giảthiếtsaudùngchocáccâu37,38. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Câu37. Mặtphẳng(ACC 0 A 0 )vuônggócvớicácmặtphẳng A. (BDD 0 B 0 ),(ABCD),(BCC 0 B 0 ). B. (BDD 0 B 0 ),(ABCD),(ABB 0 A 0 ). C. (BDD 0 B 0 ),(ABCD),(A 0 B 0 C 0 D 0 ). D. (BDD 0 B 0 ),(AA 0 D 0 D),(A 0 B 0 C 0 D 0 ). Câu38. Mặtphẳng(A 0 BCD 0 )vuônggócvớimặtphẳng A. (ABCD). B. (ADC 0 B 0 ). C. (BCC 0 B 0 ). D. (ABB 0 A 0 ). Câu 39. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phươngbịcắtbởimặtphẳngtrungtrực(a) củađoạn AC 0 . A. 3 p 3a 2 2 . B. 3 p 3a 2 4 . C. p 3a 2 4 . D. 3a 2 2 . A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Câu40. Chohìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có AA 0 = 4AB= 2AD.Tínhsincủagóctạo bởimặtphẳng(A 0 BD)vớimặtphẳng(ABCD). A. 2 p 5. B. 2 p 105 21 . C. p 21 21 . D. 1 p 5. 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 B 2 A 3 D 4 B 5 B 6 B 7 B 8 D 9 D 10 C 11 C 12 C 13 C 14 A 15 D 16 C 17 A 18 D 19 B 20 A 21 B 22 A 23 C 24 A 25 D 26 D 27 A 28 C 29 A 30 D 31 D 32 D 33 C 34 B 35 D 36 B 37 C 38 B 39 B 40 B LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Mệnh đề A sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông. Mệnh đề B đúng. Mệnhđề C saivìhaimặtphẳng(R)và(Q)cóthểtrùngnhau. Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC124|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu2. Mệnh đề sai là: Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuônggócvớimặtphẳng(P)vàvuônggócvớimặtphẳng(Q). Chọnđápán A Câu3. Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng(Q),khiđó anằmtrên(P)hoặcsongsongvới(P). Chọnđápán D Câu4. (1):đúng; (2):sai; (3):đúng; (4):sai. Chọnđápán B Câu5. Haimặtphẳngvuônggócvớinhaukhivàchỉkhicómộtđườngthẳngnằmtrongmặt phẳngnàyvàvuônggócvớimặtphẳngkia. Chọnđápán B Câu6. "Nếub?mthìb(P)hoặcb(Q)"làkhẳngđịnhsaivìcóthểb6(P)vàb6(Q). Chọnđápán B Câu7. Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuônggócvớib,khiđó(P)và(Q)cóthểtrùngnhau. Chọnđápán B Câu8. Cómộtkhi(P)và(Q)cắtnhau,cóvôsốkhi(P)k(Q). Chọnđápán D Câu9. Cómộtkhi akhôngvuônggócvới(P),cóvôsốkhi avuônggócvới(P). Chọnđápán D Câu10. GiảsửSA?(ABCD).Khiđócóđúng2mặtbênvuônggóc vớimặtđáylàSAB,SAD. Chọnđápán C Câu11. Mệnh đề A sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau. Mệnh đề B sai vì hai mặt phẳngđócóthểtạovớinhaunhữnggóckhác 90 0 .Dễthấymệnhđề C đúng.Mệnhđề D saivìtrongtrườnghợpmp(P)vàmp(Q)cùngvuônggócvớimp(R),(P)?(Q)thìkhôngthể cóđườngthẳngnàocùngvuônggócvới(P)và(Q). Chọnđápán C Câu12. Vì một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ vuông gócvớimặtphẳngcònlại. Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC125|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu13. a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc vớiD là đủ, thêm đồng quyvớiDcàngtốtnêncótấtcả2mệnhđềđúng. Chọnđápán C Câu14. Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1) Tacóđườngthẳng SAvuônggócvớimặtphẳng(ABC), màđườngthẳngBCnằmtrong(ABC)nênSAvuônggóc với BC.Tacó: 8 < : BC?BA(SAB) BC?SA(SAB) BA\SA= A. Suyra(SAB)?BC. (2) Lạicó:  (SBA)\(ABC)= BA (SBA)\(SBC)= BS. (3) Từ(1),(2),(3)suyraa= Õ SBA. A B C S a Chọnđápán A Câu15. Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1) Tacóđườngthẳng SAvuônggócvớimặtphẳng(ABC), màđườngthẳngBCnằmtrong(ABC)nênSAvuônggóc với BC.Tacó BCvuônggócvới AMtại M.Nhưvậy: 8 < : BC?MA(SAM) BC?SA(SAM) MA\SA= A. Suyra(SAM)?BC. (2) Lạicó:  (SMA)\(ABC)= MA (SMA)\(SBC)= MS. (3) Từ(1),(2),(3)suyraa= Ö SMA. A B C S M a Chọnđápán D Câu16. Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1) Tacóđườngthẳng SAvuônggócvớimặtphẳng(ABC), màđườngthẳngBCnằmtrong(ABC)nênSAvuônggóc với BC. Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BCnên BCvuônggócvới AMtại M.Nhưvậy: 8 < : BC?MA(SAM) BC?SA(SAM) MA\SA= A. Suyra(SAM)?BC. (2) Lạicó:  (SMA)\(ABC)= MA (SMA)\(SBC)= MS. (3) Từ(1),(2),(3)suyraa= Ö SMA. A B C S M a Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC126|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu17. Ta có hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến BD. Lại có AO nằm trong (ABCD) và vuông góc với BD tại O; SO nằm trong (SBD) và vuông góc với BD tại O. Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng góc giữahaiđườngthẳngOAvàOS,tứclàgóc Ö AOS. A B C D S O Chọnđápán A Câu18. Dễ thấy rằng BA?(ACD), AH?(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng(ACD)bằnggócgiữahaiđườngthẳng BAvà AH,tứclàbằnggóc Ö BAH. Chọnđápán D Câu19. Tacó(ABC)và(SBC)cógiaotuyếnlà BC. (1) Gọi Mlàtrungđiểm BC,suyra AM? BC. (2) MàSA? BCnên BC?(SAM)suyraSM? BC. (3) Từ(1),(2)và(3)suyra a=((ABC),(SBC))=(AM,SM)= Ö SMA. XéttamgiácSAMvuôngtại Atacó tana= SA AM = 3a a p 3 2 = 2 p 3. S B A C M Chọnđápán B Câu20. Tacó BD?(SAC)nên(SAC)?(SBD). O A B S C D Chọnđápán A Câu21. DễthấyrằngOA?(OBC),OB?(OCA),OC?(OAB),suyraphươngánđúnglà B. Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC127|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu22. Dễthấyrằng: 8 > > < > > : (ACD)\(BCD)= CD (ABC)?CD (ABC)\(ACD)= AC (ABC)\(BCD)= BC. Như vậy góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng ACvà BC,tứclàbằnggóc Ö ACB. Chọnđápán A Câu23. DoSA?(ABC)nên ( SA? AB SA? BC. Mặtkhác BC? ABnên BC? SB.Vậygócgiữa(SBC)vàđáy làgóc Õ SBA= a.TamgiácSABvuôngtại Anên tana= SA AB = p 3) a= 60  . A B C S Chọnđápán C Câu24. Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC vàOC.Tacó: SO = OCnênDSOCvuông cân. Vậy góc giữa đường thẳng SC và (ABCD)làgóc Õ SCO= 45  . O A B S C D Chọnđápán A Câu25. MệnhđềđúnglàS 0 = S.cosa. Lưu ý. Ta có kết quả tổng quát hơn (Định lí hình chiếu) như sau: Gọi S là diện tích đa giác (H ) trong mặt phẳng (P) và S 0 là diện tích hình chiếu (H 0 ) của (H ) trên mặt phẳng (P 0 ). KhiđóS 0 = S.cosa,trongđóalàgócgiữahaimặtphẳng(P)và(P 0 ). Chọnđápán D Câu26. Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH?AB, mà (SAB) vuông góc với (ABCD) theo giaotuyến ABnênSH?(ABCD).Nhưthếtachọn D. Chọnđápán D Câu27. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC128|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Dựng AH? BCtại H. Khiđó: BC?(SAH)) BC? SH. Tacó: 8 < : (ABC)\(SBC)= BC BC?AH,BC?SH AH(ABC),SH(SBC). Suyra Û  (ABC),(SBC)  = Ö SHA. Tacó: AC = a p 3; AH = a p 3 2 ; vàSA= 3a 2 .Suyra: tan Ö SHA= SA AH = p 3) Ö SHA= 60  . Vậy Û  (ABC),(SBC)  = 60  . A B C S H a 2a a p 21 2 Chọnđápán A Câu28. Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD). Khi đó vì các tam giácSOA,SOB,SOC,SODbằngnhaunêncáccạnhOA,OB, OC,ODbằngnhauhayOlàgiaođiểmcủa ACvàBD.Hình chiếu của cạnh bên SB trên mặt phẳng (ABCD) là OB, do đó Õ SBO= b.Gọi Mlàtrungđiểm AB.Khiđó: 8 < : (SAB)\(ABCD)= AB MS(SAB), MS?AB MO(ABCD), MO?AB. Suyragócgiữahaimặtphẳng(SAB) và(ABCD) là Ö SMO. Tacó tan Ö SMO= SO OM = OBtanb 0,5a = a p 2tanb a = p 2tanb. Chọnđápán C Câu29. GócgiữacạnhbênSBvàmặtphẳng(ABCD)làgócSBO (Olàtâmcủahìnhvuông ABCD).Tacó OB= BD 2 = 2 p 2 2 = p 2, cos Õ SBO= OB SB = p 2 3 ) Õ SBO= 61  52 0 . A D C B S O Chọnđápán A Câu30. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC129|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó MClàhìnhchiếucủa MC 0 trênmặtphẳng(ABC)nên × C 0 MC là góc giữa đường thẳng MC 0 và mặt phẳng (ABC). Dođóa= × C 0 MC.TamgiácABCđềucạnhacóCMlàđường caonênCM = a p 3 2 . TamgiácC 0 MCvuônggóctạiCcóa= × C 0 MCnên tana= C 0 C CM = a a p 3 2 = 2 p 3 3 . B A A 0 C C 0 M B 0 a Chọnđápán D Câu31. Gọi I là giao điểm của d và (P). Lấy điểm A trên d không trùng với I. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). GọiDlàgiaotuyếncủa(P)và(Q).GọiKlàhìnhchiếuvuông góccủa HtrênD.Tacógócgiữa(P)và(Q)làgóc j= Ö AKH. Khi (Q) thay đổi thìD và K thay đổi còn A,H,I cố định. Ta có: cotj = HK AH  HI AH = cotj 0 .Suyra j j 0 .Dođó jcógiá trịnhỏnhất.Giátrịlớnnhấtcủa jlà90  khi(Q)?(P). H I K A j D Chọnđápán D Câu32. ChúýSAvuônggócvới(ABC),màSA(SAB)nên(SAB)?(ABC). Chọnđápán D Câu33. ChúýSAvuônggócvớimặtphẳngđáyvàtamgiác ABCđều. 8 > > < > > : (SAB)\(SAC)= SA (ABC)?SA (ABC)\(SAB)= AB (ABC)\(SAC)= AC ) Û ((SAB),(SAC))= Û (AB,AC)= 60 0 . Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC130|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu34. Gọi Mlàtrungđiểmcủacạnh BC,khiđó AMvuônggóc BC. 8 > > < > > : (ABC)\(SBC)= BC (SAM)?BC (ABC)\(SAM)= AM (SBC)\(SAM)= SM ) Û ((ABC),(SBC))= Û (MA,MS)= Ö SMA. Tacó AM = a p 3 2 ,suyratan Ö SMA= SA AM = 1 p 3 ) Ö SMA= 30 0 . Chọnđápán B Câu35. TacóSM = p SA 2 +AM 2 = r a 4 4 + 3a 2 4 = a. TacóSA 2 = SH.SM) SH = a 4 . Dođó: 1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AM 2 = 4 a 2 + 4 3a 2 = 16 3a 2 cos Ö SAH = AS 2 +AH 2 SH 2 2AS.AH = a 4 4 + 3a 2 16 a 2 16 a. a p 3 4 = p 3 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC131|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Suyra Ö SAH = 30 0 .Vậygócgiữahaivectơ #  SAvà #  AHbằng 180 0 30 0 = 150 0 . Chọnđápán D Câu36. Bốnmặtbênvàhaimặtchéo. Chọnđápán B Câu37. Mặtphẳng(ACC 0 A 0 )vuônggócvớicácmặtphẳng (BDD 0 B 0 ),(ABCD),(A 0 B 0 C 0 D 0 ). Chọnđápán C Câu38. Dễthấy:  AB 0 ?A 0 B AB 0 ?A 0 D 0 Suyra AB 0 ?(A 0 BCD 0 ). Dođó(ADC 0 B 0 )?(A 0 BCD 0 ). Chọnđápán B Câu39. Gọi M là trung điểm của BC. Ta có MA = MC 0 = a p 5 2 nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AC 0 . Gọi N, P, Q, R,SlầnlượttrungđiểmcủaCD, DD 0 , D 0 A 0 , A 0 B 0 ,BB 0 .Chứngminhtươngtựtrêntacócác điểmnàyđềuthuộcmặtphẳngtrungtrựccủa AC 0 . Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳngtrungtrực(a)củađoạn AC 0 làhìnhlụcgiác đều MNPQRS có cạnh bằng a p 2 2 . Diện tích S của thiếtdiệncầntìmlà: S= 6. a p 2 2 ! 2 . p 3 4 = 3 p 3a 2 4 . A A 0 R S N C 0 P Q D 0 D M B C Chọnđápán B Câu40. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC132|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Giảsử AA 0 = 4AB= 2AD = 4a. Khiđó ( AB= a AD = 2a. Gọi Hlàhìnhchiếucủa Alên BD.Khiđótacó: ( AH? BD AA 0 ? BD ) BD?(AA 0 H). Dođó A 0 H? BD.Vậygócgiữa(A 0 BD)với(ABCD) làgóc × A 0 HA.Tacó: 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AD 2 = 5 4a 2 . Suyra AH = 2a p 5 5 . A D A 0 D 0 B C B 0 C 0 H Dođó A 0 H = p AA 02 +AH 2 = 2 p 105 5 . Vậysin × A 0 HA= AA 0 A 0 H = 2 p 105 21 . Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC133|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 BÀI5. KHOẢNG CÁCH A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1.Khoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtmặtphẳng,đếnmộtđườngthẳng. Định nghĩa 1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là d(M;(P)) = MH, với H là hình chiếu của Mtrênmặtphẳng(P). Định nghĩa 2. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D là d(M;D) = MH, với H là hình chiếu của điểm MtrênD. Nhận xét 2. GiảsửđườngthẳngDcắtmp(P)tại M.TrênDlấy haiđiểm Avà B.Khiđó: d(A;(P)) d(B;(P)) = AM BM . 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng(P).Khiđókhoảngcáchgiữadvà(P)bằngkhoảngcáchtừmộtđiểmbấtkìtrêndđến (P). 3.Dựngđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳngchéonhau a và b.Khoảngcáchgiữa haiđườngthẳng. Cách1(Sửdụngchotrườnghợp a?b).  Dựng(P)chứabvàvuônggócvới atại A.  Dựng ABvuônggócvớibtạiB.Khiđóđoạn ABlàđoạn vuônggócchungcủa avàb. Cách2.  Dựngmặtphẳng(P)chứađườngthẳngbvàsongsong vớiđườngthẳng a.  Dựnga 0 làhìnhchiếucủaatrênmặtphẳng(P)nhưsau:  Chọn Mtrên a,dựng MH?(P)tại H.  Từ H, dựng đường thẳng a 0 k a, cắt đường thẳng btạiđiểm B.  Từ B,dựngđườngthẳngsongsongvới MH,cắtatại A. Khiđóđoạn ABlàđoạnvuônggócchungcủa avàb. Chú ý 9. Từcách2thấyrằng:d(a;b)= AB= MH = d(a;(P)).  Do đó nếu bài toán chỉ yêu cầu tính d(a;b) thì ta có thể tính d(a;(P)), với (P) là mặt phẳngchứabvàsongsongvới a.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. Khoảng cáchgiữahaiđườngthẳngchéonhaubằngkhoảngcáchgiữahaimặtphẳngsongsong lầnlượtchứahaiđườngthẳngđó. Nhưvậy,nếudùngchúý10thìtacóthểtínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhau mộtcáchgiántiếpmàkhôngcầndựngđoạnvuônggócchung. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC134|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cách3.  Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và song songvới a.  Dựngmặtphẳng(Q)chứaavàvuônggócvới(P).Xác định J =(Q)\b.  Từ J, dựng đường thẳng c?(P), khi đó c (Q) và c cắt atại I. Khiđóđoạn IJ làđoạnvuônggócchungcủa avàb. Cách4.  Dựngmặtphẳng(P)vuônggócvớiđườngthẳngatại điểmO.  Dựnghìnhchiếub 0 củabtrên(P).  Dựnghìnhchiếu HcủaOtrênb 0 .  Từ H,dựngđườngthẳngsongsongvới a,cắtbtại B.  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A. Khiđóđoạn ABlàđoạnvuônggócchungcủa avàb. B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 16. Tínhkhoảngcáchtừ M đếnđườngthẳngD. Phươngpháp. Cách1.Dùngđịnhnghĩa2ởtrang 133. Cách2.Nếucómặtphẳng(P)qua MvàvuônggócvớiDtại Hthìd(M;D)= MH. Bài 1. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthoitâmO,SA = AB = 2a, Ö ABC = 60 0 vàSA?(ABCD). a) Chứngminh BD?SC.Tínhd(O;SC). b) Tínhd(O;SB)vàd(D;SB). L Lời giải a)TacóSA?(ABCD)) SA?BD.Mặtkhác ABCDlàhìnhthoi nên AC?BD.Vậy:  BD?AC BD?SA ) BD?(SAC)) BD?SC. Gọi I làhìnhchiếucủaOtrênSC. VìDCASđồngdạngvớiDCIOnên CS CO = AS IO . DođóOI = AS.CO CS .Suyra: OI = 2a.a p SA 2 +AC 2 = 2a 2 p 4a 2 +4a 2 = a p 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC135|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Vậyd(O;SC)= a p 2 . b) Kẻ OH vuônggócvới SB tại H.Khiđó d(O;SB) = OH.Vì BD?(SAC),mà SO (SAC) nên BD?SO.VậyDSOBvuôngtạiO.DoOHlàđườngcaocủatamgiácvuôngDSOBnên 1 OH 2 = 1 OB 2 + 1 OS 2 = 1  2a. p 3 2  2 + 1 SA 2 +AO 2 = 1 3a 2 + 1 5a 2 . Vậyd(O;SB)= OH = a p 30 4 . Kẻ DKvuônggócvớiSBtạiK.Khiđó d(D;SB)= DK = 2HO= 2 a p 30 4 = a p 30 2 . Dạng 17 (Hãy liên hệ dạng này với dạng 10 ở trang 64, dạng 15 ở trang 102). Tínhkhoảngcáchtừđiểm M đếnmặtphẳng(P). Phươngpháp. Cách1.Dùngđịnhnghĩa1ởtrang 133. Cách2.  Bước1.Tìmmộtmặtphẳng(Q)chứaMvà(Q)?(P). Tìmd=(P)\(Q).  Bước2.Qua Mkẻ MH?dtại H.Khiđóvì MH?(P) nênd(M;(P))= MH. Lưuý.  Nếu đường thẳng D song song với mp(P) thì d(D;(P)) = d(M;(P)), với MlàđiểmbấtkìtrênD.  Nếumặtphẳng(P) songsongvớimặt phẳng (Q) thì khoảng cách giữa hai mặtphẳng(P)và(Q)là: d((P);(Q))= d(M;(P))= d(N;(Q)), với M2(Q),N2(P). Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B và SA?(ABC). Biết AC = 2a,SA= a.Gọi M, N, Plầnlượtlàtrungđiểmcủa AB, BC,SB. a) Chứngminh MPk(SAC).Tínhd(MP,(SAC)). b) Chứngminh(MNP)k(SAC).Tínhd((MNP),(SAC)). c) TínhkhoảngcáchgiữaSAvới(CMP). L Lời giải a)Tacó:  MP6(SAC) MPk SA(SAC). Suyra MPk(SAC). (1) GọiIlàtrungđiểmcủaAC.DotamgiácABCcântạiBnênBI?AC. LạicóSA?BI.TừđósuyraBI?(SAC).Gọi Hlàtrungđiểm AIthì MHk BI.Dođó MH?(SAC).Vậy MH = d(M;(SAC))= d(MP;(SAC)). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC136|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó MH = BI 2 = AC 4 = a 2 . b)  MN6(SAC) MNk AC(SAC) ) MNk(SAC). (2) Mà MN và MPlàhaiđườngthẳngcắtnhaucùngnằmtrong(MNP)nêntừ(1)và(2)suyra (MNP)k(SAC).Từđó d((MNP);(ABD))= d(M,(SAC))= MH = a 2 . c)Tacó:  SA6(CMP) SAk MP(CMP). SuyraSAk(CMP)) d(SA,(CMP))= d(A,(CMP)). Hạ AK?CM (K2 CM). Ta có:  AK?CM AK?MP ) AK?(CMP). Sử dụng tính chất đồng dạng củatamgiáctacó AK BC = AM CM ) AK = AM.BC CM .Dễdàngtínhđược: AB= BC = a p 2,AM = a p 2 2 , CM = p BC 2 +BM 2 = r 2a 2 + a 2 2 = a p 10 2 . Từđó AK = AM.BC CM = a p 2 2 .a p 2 a p 10 2 = a p 10 5 . Vậyd(SA,(CMP))= d(A,(CMP))= AK = a p 10 5 . Bài 3 (ĐH 2014B). Chohìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáylàtamgiácđềucạnh a.Hìnhchiếu vuônggóccủa A 0 trên(ABC)làtrungđiểmcạnh AB.Gócgiữađườngthẳng A 0 Cvàmặtđáy bằng60 0 .Tínhtheo akhoảngcáchtừđiểm Bđếnmặtphẳng(ACC 0 A 0 ). L Lời giải Gọi H là trung điểm AB. Theo giả thiết ta có A 0 H?(ABC). Do đó hình chiếu của A 0 C trên (ABC) là HC, suy ra góc giữa A 0 C và mặtđáylà: × A 0 CH = 60 0 . A 0 H = HC.tan × A 0 CH. A 0 H = 3a 2 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của Htrên AC.Khiđó: 8 < : AC?IH(A 0 IH) AC?A 0 H(A 0 IH) IH\A 0 H = H Suy ra AC?(A 0 IH), mà AC  (ACC 0 A 0 ) nên (ACC 0 A 0 )?(A 0 IH). Mặt phẳng (A 0 IH) vuông góc với mặt phẳng (ACC 0 A 0 ) theo giao tuyến A 0 I nên nếu kẻ HK vuông góc với A 0 I tại K thì K là hình chiếu của H trên (ACC 0 A 0 ), do đó: d(H,(ACC 0 A 0 )) = HK. Tacó: HI = AHsin Õ IAH = a 2
p 3 2 = a p 3 4 ; CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC137|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 1 HK 2 = 1 HI 2 + 1 HA 02 = 16 3a 2 + 4 9a 2 = 52 9a 2 ) HK = 3a 2 p 13 ; d B,(ACC 0 A 0 )
= 2d H,(ACC 0 A 0 )
= 2HK = 3 p 13a 13 . Bài 4. ChotứdiệnOABCcóbacạnhOA,OB,OCđôimộtvuônggóc.ĐặtOA = a,OB = b, OC = c.GọiKlàhìnhchiếuvuônggóccủaOtrên BC.ChứngminhrằngkhoảngcáchdtừO đếnmặtphẳng(ABC)bằngkhoảngcáchtừOđến AKvà 1 d 2 = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 . L Lời giải Tacó AO?(OBC). SuyraOA?BC.Vậy: 8 < : BC?OK(AOK) BC?OA(AOK) OK\OA= O ) BC?(AOK). Mà BC(ABC)nên(ABC)?(AOK). Tacó: 8 < : (ABC)?(AOK) (ABC)\(AOK)= AK OH(AOK), OH?AK ) OH?(ABC). Dođód(O;(ABC))= OH = d(O;AK).Tacó: 1 d 2 = 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OK 2 = 1 OA 2 + 1 OB 2 + 1 OC 2 = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 . Lưuý.Kếtquảbàitoán4nàyđượcsửdụngnhiều. Dạng 18. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng. Phươngpháp. Cách1(Sửdụngchotrườnghợp a?b).  Dựng(P)chứabvàvuônggócvới atại A.  Dựng ABvuônggócvớibtạiB.Khiđóđoạn ABlàđoạn vuônggócchungcủa avàb. Cách2.  Dựngmặtphẳng(P)chứađườngthẳngbvàsongsong vớiđườngthẳng a.  Dựnga 0 làhìnhchiếucủaatrênmặtphẳng(P)nhưsau:  Chọn Mtrên a,dựng MH?(P)tại H.  Từ H, dựng đường thẳng a 0 k a, cắt đường thẳng btạiđiểm B.  Từ B,dựngđườngthẳngsongsongvới MH,cắtatại A. Khiđóđoạn ABlàđoạnvuônggócchungcủa avàb. Chú ý 10. Từcách2thấyrằng:d(a;b)= AB= MH = d(a;(P)). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC138|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  Do đó nếu bài toán chỉ yêu cầu tính d(a;b) thì ta có thể tính d(a;(P)), với (P) là mặt phẳngchứabvàsongsongvới a.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. Khoảng cáchgiữahaiđườngthẳngchéonhaubằngkhoảngcáchgiữahaimặtphẳngsongsong lầnlượtchứahaiđườngthẳngđó. Nhưvậy,nếudùngchúý10thìtacóthểtínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhau mộtcáchgiántiếpmàkhôngcầndựngđoạnvuônggócchung. Cách3.  Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và song songvới a.  Dựngmặtphẳng(Q)chứaavàvuônggócvới(P).Xác định J =(Q)\b.  Từ J, dựng đường thẳng c?(P), khi đó c (Q) và c cắt atại I. Khiđóđoạn IJ làđoạnvuônggócchungcủa avàb. Cách4.  Dựngmặtphẳng(P)vuônggócvớiđườngthẳngatại điểmO.  Dựnghìnhchiếub 0 củabtrên(P).  Dựnghìnhchiếu HcủaOtrênb 0 .  Từ H,dựngđườngthẳngsongsongvới a,cắtbtại B.  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A. Khiđóđoạn ABlàđoạnvuônggócchungcủa avàb. Bài 5. ChotứdiệnOABC,trongđóOA,OB,OCđôimộtvuônggócvàOA = OB = OC = a. Gọi I làtrungđiểm BC.Hãydựngvàtínhđộdàiđoạnvuônggócchungcủacáccặpđường thẳng: OA và BC; 1 IA và OC. 2 L Lời giải 1 TacóOA?BC.Mặtphẳng(OBC)chứaBCvàvuônggócvớiOAtạiO.KẻOIvuônggóc với BCtại I,khiđó I làtrungđiểm BC.VìOI vuônggócvớiOAvà BClầnlượttạiOvà I nênOI làđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳngOAvà BC.Tacó OI = BC 2 = p OC 2 +OB 2 2 = p a 2 +a 2 2 = a p 2 2 . 2 CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC139|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó(OAB)?OC(tại O).KẻIJvuônggóc vớiOBtại J,khiđó J làtrungđiểmOBvà IJ?(OAB) tại J.Vậy AJ làhìnhchiếucủa AI trên (OBC). Chiếu vuông góc O trên AJ thành H. Dựng HE k OC(E2 AI). Dựng EF k OH(F2 OC). Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của AI và OC và EF = OH. Trong tam giác vuông AOJ ta có: 1 OH 2 = 1 OJ 2 + 1 OA 2 = 4 a 2 + 1 a 2 = 5 a 2 . SuyraOH 2 = a 2 5 ) OH = a p 5 5 .Vậy EF = a p 5 5 . Lưuý.Đốivớicâub),hìnhchiếucủa AI trênmặtphẳng(OBC)chứaOClàOI,màOI không vuônggócvớiOCnên AI khôngvuônggócvớiOC.Dođótakhôngsửdụngcách1màphải dựng đoạn vuông góc chung trong trường hợp tổng quát (cách 4). Cũng có thể dựng đoạn vuônggócchungtheocách2nhưsau:  Dựngmặtphẳngchứa AI vàsongsongvớiOClà(AIJ).  TrênOCchọnđiểmO,khiđóhìnhchiếucủaOtrên(AIJ)chínhlàhìnhchiếu H củaO trên AJ.  VẽHEk OC,Ethuộc AI.VẽEFk OH,FthuộcOC.KhiđóEFlàđoạnvuônggócchung. Bài 6. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhvuôngcạnha.Gọi I, M, N,Plầnlượtlà trungđiểmcủa AB, BC,SD,SBvàgiảsử SI?(ABCD).Hãydựngđoạnvuônggócchungvà tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng MN và AP. L Lời giải Gọi J là trung điểm SA. Khi đó JN và BM cùng songsongvàbằngmộtnửa ADnênBMNJlàhình bìnhhành,dođó: MN k BJ  (SAB), suy ra MN k (SAB). Vậy mp(SAB)chứa APvàsongsongvới MN.Vì 8 < : BC?BA(SAB) BC?IS(SAB) BA\IS= I nên BC?(SAB). Gọi G = AP\ BJ. Vẽ đường thẳngqua G,songsongvới BM,cắt MN tại Q.Ta có:  BC?(SAB) GQk BC ) GQ?(SAB). Mà AP (SAB)nênGQ?AB.Lạicó  MNk(SAB) GQ?(SAB) ) GQ?MN.Vậy GQlàđoạnvuông gócchungcủa APvà MN.Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng MN và APbằngGQ= a 2 . Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a, đáy ABC là tamgiácđềucạnha.Hãydựngđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳng ACvàSBvàtính khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngnày. L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC140|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Phân tích. Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) chứa AC là AB, mà AB không vuông gócvới AC nên SB khôngvuônggócvới AC.Dođótakhôngsửdụngcách1màphảidựng đoạnvuônggócchungtrongtrườnghợptổngquát(cách4). Giải. Dựngmặtphẳngvuônggócvới AC.Gọi D là trung điểm AC, khi đó BD?AC. Vẽ đường thẳng Ax qua A và song song với BD.Khiđó:  Axk BD AC?BD Suyra AC?Ax. Nhưvậy  AC?Ax AC?AS. Suyra ACvuônggócvớimp(S,Ax)tại A. DựnghìnhchiếucủaSBtrênmp(S,Ax). Ta có mp(S,Ax) cắt SB tại S. Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, cắt Ax tại E. Khi đó BE?mp(S,Ax), suy ra hình chiếu của SB trên mp(S,Ax) là SE và mp(S,Ax) mp(SAE). Dựng Flàhìnhchiếucủa AtrênSE. Vẽđườngthẳngqua Fsongsongvới BEcắtSBtại H. Qua Hvẽđườngthẳngsongsongvới AFcắt ACtạiK. TacóKHvuônggócvới ACtạiKvàvuônggócvớiSBtại Hnên HKlàđoạnvuônggócchung củahaiđườngthẳng ACvàSB. Tacó AFHK làhìnhchữnhậtnên HK = AF.Mặtkhác AFlàđườngcaocủatamgiácvuông SAEnên: 1 AF 2 = 1 AE 2 + 1 AS 2 = 1 BD 2 + 1 a 2 = 4 3a 2 + 1 a 2 = 7 3a 2 . KhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSBvà AClà: d(SB,AC)= HK = AF = a r 3 7 = a p 21 7 . Lưuý.Nếudựngđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳng ACvàSBtheocách2thìtatiến hànhnhưsau:  MặtphẳngchứaSBvàsongsongvới AClà(SBE).  Hìnhchiếucủa ACtrên(SBE)đượcdựngnhưsau:  Trên ACchọnđiểm A.Hìnhchiếucủa Atrên(SBE)là F.  Từ Fvẽđườngthẳngsongsongvới ACcắtSBtại H.  Khiđó FHlàhìnhchiếucủa ACtrên(SBE).  Từ Hvẽđườngthẳngsongsongvới AFcắt ACtạiK.  Khiđó HKlàđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳng ACvàSB. Cách khác (sử dụng vectơ). Giả sử HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SB, với H thuộc SB, K thuộc AC. Ta sẽ biểu diễn #  KH theo ba vectơ không cùng phương #  AB, #  AC, #  AS. #  KH = #  KA+ #  AS+ #  SH = x #  AC+ #  AS+y #  SB CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC141|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = x #  AC+ #  AS+y  #  AB #  AS  = x #  AC+(1y) #  AS+y #  AB Tacó: #  KH? #  AC, #  KH. #  AC = 0 , h x #  AC+(1y) #  AS+y #  AB i . #  AC = 0 ,x #  AC 2 +y #  AB. #  AC = 0 ,xAC 2 +yAB.AC.cos60 0 = 0 ,a 2 x+ 1 2 a 2 y= 0 ,2x+y= 0. Lạicó: #  KH? #  SB, #  KH.  #  AB #  AS  = 0 ,  #  AB #  AS  . h x #  AC+(1y) #  AS+y #  AB i = 0 , 1 2 a 2 x+ya 2 (1y)a 2 = 0 ,x+2y2(1y)= 0 ,x+4y= 2. Tacóhệ:  2x+y= 0 x+4y= 2 ,(x;y)=  2 7 ; 4 7  . Nhưvậy: #  KH = 2 7 #  AC+ 3 7 #  AS+ 4 7 #  AB. Đoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳng ACvàSBlà HKvới HthuộcSB,Kthuộc ACvà #  KH = 2 7 #  AC+ 3 7 #  AS+ 4 7 #  AB.Dođó: 7 #  KH = 3 #  AS+4 #  AB2 #  AC ,49 #  KH 2 =  3 #  AS+4 #  AB2 #  AC  2 ,49KH 2 = 9AS 2 +16AB 2 +4AC 2 16 #  AB. #  AC ,49KH 2 = 9a 2 +16a 2 +4a 2 8a 2 ,KH 2 = 21a 2 49 . Độdàiđoạnvuônggócchunglà:KH = a p 21 7 . Bài 8 (THPT Quốc gia năm 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)bằng45 0 .Tínhtheo akhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSBvà AC. L Lời giải CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC142|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Do SAvuônggócvớimặtphẳng(ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, do đó góc giữa đường thẳng SC và mặtphẳng(ABCD)làgócgiữahaiđường thẳng CS và CA, tức là góc Õ SCA = 45 0 . Trong tam giác vuông SAC, ta có: SA = ACtan45 0 .Hay SA = a p 2.Gọi Elàđiểm đốixứngcủa Dqua A,khiđó:  AC6(SBE) ACk BE(SBE) ) ACk(SBE). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AClà: d(AC,SB)= d(AC,(SBE)) = d(A,(SBE)). Kẻ AH?BEtại H,kẻ AK?SHtạiK.Khiđó:  AK?SH AK?BE ) AK?(SBE)) d(A,(SBE))= AK. Do AKlàđườngcaocủatamgiácvuôngSAHnên: 1 AK 2 = 1 AS 2 + 1 AH 2 . Do AHlàđườngcaocủatamgiácvuông ABEnên: 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AE 2 = 1 a 2 + 1 a 2 = 2 a 2 . Vậy 1 AK 2 = 1 2a 2 + 2 a 2 = 5 2a 2 ) AK 2 = 2a 2 5 ) AK = a p 10 5 . KhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSBvà AClà: AK = a p 10 5 . Bài 9. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cócạnhbằng a.Tínhkhoảngcáchgiữahaihai đườngthẳng ACvà DC 0 . L Lời giải Gọi I làtâmhìnhvuông ADD 0 A 0 .Vì ACk A 0 C 0 mà A 0 C 0 nằm trong(A 0 C 0 D)nên ACk(A 0 C 0 D).Vậy d(AC;DC 0 )= d(AC;(A 0 C 0 D))= d(A;(A 0 C 0 D)). Vìgiaođiểmcủa AD 0 và(A 0 C 0 D)là I nêntacó: d(A;(A 0 C 0 D)) d(D 0 ;(A 0 C 0 D)) = IA ID 0 = 1. Từđâytasuyra d(A;(A 0 C 0 D))= d(D 0 ;(A 0 C 0 D)). Do tứ diện D 0 A 0 C 0 D có ba cạnh D 0 A 0 , D 0 C 0 , D 0 D vuông góc với nhau đôi một nên theo bài toán4ởtrang137tacó: 1 [d(D 0 ;(A 0 C 0 D))] 2 = 1 D 0 A 02 + 1 D 0 C 02 + 1 D 0 D 2 = 3 a 2 . Vậyd(AC;DC 0 )= d(D 0 ;(A 0 C 0 D))= a p 3 3 . Lưuý.Mộttrongcáccáchtìmkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhauavàblàtadựng mp(P)chứabvà(P)k a.Khiđó d(a;b)= d(a;(P)). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC143|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 10. Cholăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáylàtamgiácvuôngvà AB = BC = a,cạnhbên AA 0 = a p 2. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B 0 C. L Lời giải Gọi N làtrungđiểm BB 0 . Khiđó MNk CB 0 ) CB 0 k(AMN). Nhưthếtacó: d(AM;B 0 C)= d(B 0 C;(AMN))= d(B 0 ;(AMN)). Vìđườngthẳng BB 0 cắtmặtphẳng(AMN)tạiđiểm N nên d(B 0 ;(AMN)) d(B;(AMN)) = B 0 N BN = 1. Suy ra d(AM;B 0 C) = d(B 0 C;(AMN)) = d(B;(AMN)). Vì tứ diện BAMN có BA, BM, BN đôimộtvuônggócnêntheobàitập4ởtrang137,tacó: 1 d 2 = 1 BA 2 + 1 BM 2 + 1 BN 2 = 1 a 2 + 2 a 2 + 4 a 2 = 7 a 2 . Vậyd(AM;B 0 C)= d= a p 7 7 Bài 11. Chohaiđườngthẳng avà bchéonhaunhận ABlàmđoạnvuônggócchung(A2 a, B2 b).Cácđiểm M,N lầnlượtthayđổitrên avàbsaocho AM.BN = ckhôngđổi.Tìmvịtrí của M,N saocho MN nhỏnhất. L Lời giải Phântích.Tacầntính MNtheo AB, AM,BN.Mộtsuynghĩrấttựnhiênlàsẽtạoramộtđoạn thẳngxuấtpháttừ M hoặc N vàcóđộdàibằng AB.Nhưvậytasẽvẽđườngthẳng c điqua Mvàsongsongvới AB.ĐếnđâysẽnảysinhnhucầucầnphảivẽđườngthẳngquaBvàsong songvới AM,cắtctại P.Khiđó MP = AB.Đếnđâytađãcóthểtính MN theo AB, AM, BN vàgóc Ö PBN,sauđóđưaranhữngđánhgiábấtđẳngthứcđểtìmgiátrịnhỏnhấtcủa MN. Giải.Kẻđườngthẳnga 0 quaBvàsongsongvớia.Khiđó ABvuông góc với b và vuông góc với a 0 nên AB vuông góc với mặt phẳng (b,a 0 ). Lấy P thuộc a 0 sao cho MPk AB. Gọi j là góc tạo bởi hai đườngthẳng avàb.Tacó: MN 2 = MP 2 +NP 2 = AB 2 +BP 2 +BN 2 2BP.BNcos Ö PBN = AB 2 +AM 2 +BN 2 2AM.BNcos Ö PBN  AB 2 +AM 2 +BN 2 2AM.BNcosj  AB 2 +2AM.BN2AM.BNcosj = AB 2 +2c2ccosj= AB 2 +2c(1cosj). Dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi AM = BN = p c,  #  AM, #  BN  = Ö PBN = j. Vậyđoạnthẳng MN nhỏnhấtlàbằng p AB 2 +2c(1cosj),đạtđượckhi AM = BN = p c và  #  AM, #  BN  = j. Cáchkhác(dùngvectơ).Tacó: #  MN = #  MA+ #  AB+ #  BN) #  MN 2 =  #  MA+ #  AB+ #  BN  2 . Nhưvậy: MN 2 = MA 2 +AB 2 +BN 2 +2 #  MA. #  AB+ #  AB. #  BN+2 #  MA. #  BN CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC144|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = AB 2 +MA 2 +BN 2 +2 #  MA. #  BN = AB 2 +MA 2 +BN 2 +2MA.BNcos  #  MA, #  BN   AB 2 +(MA 2 +BN 2 )2MA.BNcos  d a,b  (1)  AB 2 +2MA.BN2MA.BNcos  d a,b  (2) = AB 2 +2MA.BN h 1cos  d a,b i = AB 2 +2c h 1cos  d a,b i . Do đó MN r AB 2 +2c h 1cos  d a,b i , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi dấu "=" ở (1) và (2) cùngxảyrahay: ( cos  #  MA, #  BN  =cos  d a,b  AM = BN = p c. Vậy MN bénhấtlàbằng r AB 2 +2c h 1cos  d a,b i ,đạtđượckhivàchỉkhi ( cos  #  MA, #  BN  =cos  d a,b  AM = BN = p c. C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN 1. Đề bài Bài 12. Cho tứ diện OABC có OA?(OBC). Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên BC. ChứngminhrằngkhoảngcáchtừOđếnmặtphẳng(ABC)bằngkhoảngcáchtừOđến AK. Bài 13. ChotứdiệnOABCcóOA?(OBC),CO?CB.ChứngminhrằngkhoảngcáchtừOđến mặtphẳng(ABC)bằngkhoảngcáchtừOđến AC. Bài 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a và đường cao hạ từ S bằng h. Tínhkhoảngcáchtừ Ađến(SBC). Bài 15. Chohaiđiểm A,Bnằmcùngphíavớimặtphẳng(P).Trênđoạn ABlấyđiểm Msao cho MA MB = 3.Tínhkhoảngcáchtừ Mđến(P),biếtkhoảngcáchtừ AvàBđến(P)tươngứng là avàb. Bài 16. ChohìnhchópS.ABCcóSA = a p 2vàvuônggócvớiđáy.Đáylàtamgiácvuôngtại Bvàcó AB= a; Mlàtrungđiểm AB.TínhkhoảngcáchgiữaSMvà BC. Bài 17. Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c 0 . Tính khoảng cáchgiữahaiđườngthẳng ABvàCD. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tạiSvà(SAB)vuônggócvới(ABCD),cạnhbênSCtạovớimặtphẳngđáygóca.Tính: a) ChiềucaocủahìnhchópS.ABCD. b) Khoảngcáchtừchânđườngcaohìnhchópđếnmặtphẳng(SCD). c) Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC145|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 19. Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi cạnh a, Ò A = 60 0 , góc giữa đườngchéo A 0 Cvàmặtphẳngđáybằng60 0 . a) Tínhđườngcaocủahìnhhộpđó. b) Tìmđườngvuônggócchungcủa A 0 C và BB 0 .Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng đó. Bài 20. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên vàmặtphẳngđáybằng30 0 .Hìnhchiếu Hcủađiểm Atrênmặtphẳng(A 0 B 0 C 0 )thuộcđường thẳng B 0 C 0 . a) Tínhkhoảngcáchgiữahaimặtphẳngđáy. b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA 0 và B 0 C 0 vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng. c) Tínhgócgiữađườngthẳng BCvà AC 0 . d) Tínhgócgiữa(ABB 0 A 0 )và(A 0 B 0 C 0 ). Bài 21. Chohìnhhộpchữnhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có AB= AA 0 = a,AC 0 = 2a. a) Tínhkhoảngcáchtừđiểm Dđếnmặtphẳng(ACD 0 ). b) Tìmđườngvuônggócchungcủacácđườngthẳng AC 0 và CD 0 .Tínhkhoảngcáchgiữa haiđườngthẳngấy. Bài 22. ChohìnhchópS.ABCD,đáylàhìnhchữnhậtvà AB= 2a,BC = a.Cáccạnhbêncủa hìnhchópbằngnhauvàbằng a p 2. a) TínhkhoảngcáchtừSđến(ABCD). b) Gọi F, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD.Chứngminhrằngkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng EF và SK khôngphụ thuộcvàovịtrícủaKtrênđườngthẳng AD.Hãytínhkhoảngcáchđótheo a. Bài 23. Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD có AB = SA = a.Gọi M làtrungđiểmcủa SC. Kíhiệu(P)làmặtphẳngđiqua AMvàsongsongvới BD.TínhkhoảngcáchtừSđến(P). Bài 24. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Gọi M,Nlầnlượtlàtrungđiểmcủacácđoạn thẳng AB, B 0 C 0 .Xácđịnhđoạnvuônggócchungcủa AN và DM. Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD), AB = BC = CD = a.Xácđịnhđoạnvuônggócchungcủa BD và SC.Tính độdàiđoạnvuônggócchungđó. 2. Lời giải, hướng dẫn Câu12. Tacó AO?(OBC),suyraOA?BC. Vậy 8 < : BC?OK(AOK) BC?OA(AOK) OK\OA= O ) BC?(AOK). Mà BC(ABC)nên(ABC)?(AOK). Tacó: 8 < : (ABC)?(AOK) (ABC)\(AOK)= AK OH(AOK), OH?AK ) OH?(ABC). Dođód(O;(ABC))= OH = d(O;AK). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC146|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu13. Tacó AO?(OBC),suyraOA?BC. Vậy 8 < : BC?CO(AOK) BC?OA(AOK) OC\OA= O ) BC?(AOC). Mà BC(ABC)nên(ABC)?(AOC). Tacó: 8 < : (ABC)?(AOC) (ABC)\(AOC)= AC OH(AOC), OH?AC ) OH?(ABC). Dođód(O;(ABC))= OH = d(O;AC). Câu14. Phântích.Đềbàichohìnhchóptamgiácđềuthìtaphảichúýđếntínhchất:trong hìnhchópđều,chânđườngcaotrùngvớitâmcủađáy;trongtamgiácđềuthìtâmđườngtròn ngoạitiếpvàtrọngtâmtrùngnhau.Cònviệcxácđịnhhìnhchiếucủa Atrên(SBC),bạnđọc xemlạidạng17ởtrang135vàđịnhlí3ởtrang93. Giải.Gọi H làhìnhchiếucủaStrên(ABC).Khiđó HA, HB, HC là hình chiếu của SA, SB, SC trên (ABC), mà SA = SB = SC nên HA = HB = HC. Từ đây kết hợp vớigiảthiếttamgiác ABC đềusuyra H làtâmcủatam giác ABC.Gọi Elàtrungđiểm BC.Khiđó: 8 < : BC?AE(SAE) BC?SE(SAE) AE\SE= E. Suy ra BC?(SAE). Do đó (SBC)?(SAE). Như vậy (SBC)vuônggócvới(SAE)theogiaotuyếnSEnêntừ A vẽ AKvuônggócvớigiaotuyếnSE,tasẽcó: AK?(SBC)) d(A,(SBC))= AK. Tacó:2S SAE = SH.AE= AK.SE) AK = SH.AE SE .Trongđó: SH = h, AE= a p 3 2 SE= p SH 2 +HE 2 = r h 2 + AE 2 9 = r h 2 + a 2 12 = r 12h 2 +a 2 12 . Vậykhoảngcáchtừ Ađến(SBC)là: d(A,(SBC))= AK = ha p 3 2
2 p 3 p 12h 2 +a 2 = 3ah p 12h 2 +a 2 . Câu15. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC147|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Phân tích. Từ giả thiết thấy rằng cần phải vẽ các đường thẳng lần lượt đi qua A, B, M vuônggócvớimặtphẳng(P) vàcắt(P) tương ứng tại A 0 , B 0 , M 0 . Khi đó AA 0 = a, BB 0 = b. Giải. Gọi A 0 ,B 0 ,M 0 lần lượt là hình chiếu của A, B, M trên mặt phẳng (P). Khi đó dobađiểm A, B, M thẳnghàngnên A 0 , B 0 , M 0 thẳnghàng; AA 0 ,BB 0 , MM 0 làbađường thẳng song song với nhau và cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với (P). Như vậytứgiác AA 0 B 0 Blàhìnhthangvuôngtại A 0 và B 0 . Gọi K là giao điểm của AB 0 và MM 0 .Tacầntính MM 0 theo avàb. MK BB 0 = AM AB = 3 4 ) MK = 3BB 0 4 = 3b 4 . KM 0 AA 0 = B 0 K B 0 A = BM BA = 1 4 ) KM 0 = AA 0 4 ) KM 0 = a 4 . MM 0 = MK+KM 0 = 3b 4 + a 4 = 3b+a 4 . Vậykhoảngcáchtừ Mđến(P)là: MM 0 = 3b+a 4 . Câu16. Phântích.DoSA?(ABC)nênhìnhchiếucủaSMtrên(ABC)là AM,mà BCvuông gócvới AMnêntheođịnhlíbađườngvuônggócsuyra BCvuônggócvới SM.Nhưvậybài toánnàyrơivàotrườnghợpđặcbiệtnênviệcdựngđoạnvuônggócchunglàdễdàng.Tacần xácđịnhmặtphẳngchứađườngnàyvàvuônggócvớiđườngkia. Giải.Tacó: SA?(ABC)) SA?BC. Nhưvậy: 8 < : BC?BA(SAB) BC?SA(SAB) BA\SA= A. Suyra: BC?(SAB)) BC?SM. Ta có (SAB) là mặt phẳng chứa SM và vuông gócvới BCtại B.Từ Bvẽ BH vuônggócvớiSM tại H.Do BC?(SAB) mà BH nằmtrong(SAB) nên BC?BH. Như vậy BH cùng vuông góc và cắthaiđườngthẳng SMvà BC nên BH làđoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này. Ta có: S ABS = 1 2 SA.AB= 1 2 a p 2.a= a 2 p 2 . Do Mlàtrungđiểm ABnên: S MBS = 1 2 S ABS = a 2 2 p 2 ) SM.HB 2 = a 2 2 p 2 ) HB= a 2 p 2 2SM . Lạicó: SM 2 = AM 2 +AS 2 = 2a 2 + a 2 4 = 9a 2 4 ) SM = 3a 2 ) HB= p 2a 3 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC148|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 KhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSMvà BClà: d(SM,BC)= HB= p 2a 3 . Câu17. Gọi J làtrungđiểmcủaCD.VìDACDcântại Anên AJ?CD.Vì DCBD cân tại B nên BJ?CD. Vậy mặt phẳng (ABJ) vuông góc vớiCDtại J.TừđâysuyraCD?ABvà(ABJ)làmặtphẳngchứa ABvàvuônggócvớiCDtại J.Kẻ JI vuônggócvới ABtại I.Khi đó IJ làđoạnvuônggócchungcủa ABvàCD.Tacó AJ = p AD 2 DJ 2 = r a 2 c 02 4 BJ = p BC 2 CJ 2 = r a 2 c 02 4 . VậyDBJAcântại J,suyra I làtrungđiểm AB.Dođó IJ = p AJ 2 AI 2 = r a 2 c 02 4 c 2 4 = p 4a 2 (c 02 +c 2 ) 2 . Vậyd(AB;CD)= p 4a 2 (c 02 +c 2 ) 2 (vớiđiềukiện4a 2 > c 02 +c 2 ). Câu18. a) Gọi H là trung điểm AB, khi đó SH?AB, suy ra SH?(ABCD).VậykhoảngcáchtừSđến(ABCD)làSH,do đóSH làchiềucaocủahìnhchóp.Vìhìnhchiếucủađường thẳng SC trên(ABCD) là HC nên Ö SCH = a.TrongDSCH, tacó: SH = HCtana.Mặtkhác: HC 2 = BH 2 +BC 2 = 5a 2 4 . Suyra HC = a p 5 2 . VậySH = a p 5 2 tana. b)GọiKlàtrungđiểmcủaCD.Khiđó 8 < : CD?HK(SHK) CD?SH(SHK) HK\SH = H ) CD?(SHK). Suyra(SCD)?(SHK).Vì(SCD)\(SHK) = SKnênnếukẻđườngcao HI củaDSHKthì HI vuônggócvới(SCD)tại I,dođókhoảngcáchtừ Hđến(SCD)là HI.Tacó 1 HI 2 = 1 HS 2 + 1 HK 2 = 4 5a 2 tan 2 a + 1 a 2 = 4+5tan 2 a 5a 2 tan 2 a . Suyra HI = p 5atana p 4+5tan 2 a . c)Vì SH và CD cùngvuônggócvới BC nên SH và CD cùngsongsongvớimặtphẳngtrung trực(R)của BC.Khiđó(R)\(ABCD)= MN,với MNk CDvà M, Nlầnlượtlàtrungđiểm củaBC, AD.(R)\(SHK)= EF,vớiEFk SHvàElàtrungđiểmcủa HK.(R)\(SCD)= PQ, với PQđiquađiểm Fvà PQk CD.Thiếtdiệnlàhìnhthang MNPQ.Tacó S MNPQ = 1 2 (MN+PQ).EF = 1 2  a+ a 2  a p 5 4 tana= 3a 2 p 5 16 tana. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC149|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu19. a)VìAClàhìnhchiếucủaA 0 Ctrên(ABCD)nên × A 0 CA= 60 0 . Do ABCD làhìnhthoicạnh a và Ò A = 60 0 nên AC = 2AO = p 3.Đườngcaocủahìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 chínhlà AA 0 . Mặtkhác: AA 0 = ACtan × A 0 CA. Vậy AA 0 = a p 3tan60 0 = 3a. b) Tacó  BB 0 6(A 0 AC) BB 0 k A 0 A(A 0 AC). Suyra BB 0 k (A 0 AC).Gọi Olàgiaođiểmcủa ACvà BD.Khiđó 8 < : BO?AC(A 0 AC) BO?AA 0 (A 0 AC) AA 0 \AC = A ) BO?(A 0 AC). KẻOIk AA 0 (I2 A 0 C)vàkẻIJk BO(J2 BB 0 ).KhiđóIJ?(AA 0 C)(doIJk BO,BO?(A 0 AC)), màtheotrênthì J2 BB 0 ,BB 0 k(A 0 AC),A 0 C(A 0 AC). Dođó IJ chínhlàđoạnvuônggócchungcủa BB 0 và A 0 C.Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng BB 0 và A 0 Clà IJ = BO= p AB 2 AO 2 = r a 2 3a 2 4 = a 2 . Câu20. DoAH?(A 0 B 0 C 0 )nên × AA 0 HchínhlàgócgiữaAA 0 vàmp(A 0 B 0 C 0 ).Theogiảthiếtthì × AA 0 H = 30 0 . a)Khoảngcáchgiữahaimặtphẳngđáylà AH = AA 0 sin30 0 = a 2 . b)Tacó A 0 H = p A 0 A 2 AH 2 . Vậy A 0 H = r a 2 a 2 4 = a p 3 2 . DoDA 0 B 0 C 0 đềucạnha,điểm H2 B 0 C 0 mà A 0 H = a p 3 2 nên A 0 H là đường cao của DA 0 B 0 C 0 và H là trung điểm B 0 C 0 . Mặt khác AH?B 0 C 0 nên B 0 C 0 vuông góc với AA 0 . Ta có (AA 0 H) là mặt phẳng chứa AA 0 và vuông góc với B 0 C 0 tại H. Kẻ đường cao HK của DAA 0 H, khi đó HK chính là khoảng cách giữa AA 0 và B 0 C 0 . Do AA 0 .HK = HA 0 .HA nên HK = AH.A 0 H A 0 A = a 2 . a p 3 2 a = a p 3 4 . c)Vì BCk B 0 C 0 nêngócgiữa BCvà AC 0 bằnggócgiữaC 0 AvàC 0 B 0 ,tứclàgóc × AC 0 H.Tacó tan × AC 0 H = AH HC 0 =  a 2 : a 2  = 1) × AC 0 H = 45 0 . d)Tacó(ABB 0 A 0 )\(A 0 B 0 C 0 )= A 0 B 0 .Trong(ABB 0 A 0 )kẻ AI vuônggócvới A 0 B 0 tại I.Khiđó  A 0 B 0 ?AI A 0 B 0 ?AH ) A 0 B 0 ?IH. Vậygócgiữa(ABB 0 A 0 )và(A 0 B 0 C 0 )làgócgiữa IAvà IH.Tacó IH = B 0 Hsin Ö IB 0 H = a p 3 4 , tan Õ AIH = AH HI = 2 p 3 ) Õ AIH 49 0 6 0 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC150|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu21. a)GọiHlàhìnhchiếucủaDtrên(ACD 0 ).XéttứdiệnDACD 0 có DA?DC, DC?DD 0 , DD 0 ?DA,vậytheobàitập19ởtrang 72tacó: 1 DH 2 = 1 DA 2 + 1 DC 2 + 1 DD 02 . Tacó DC = a, DD 0 = a. TheođịnhlíPitagotađược: DA 2 = CA 2 CD 2 ,vìthếsuyra: DA 2 = AC 02 CC 02
a 2 = 2a 2 . Vậy 1 DH 2 = 1 2a 2 + 1 a 2 + 1 a 2 = 5 2a 2 . Khoảngcáchtừđiểm Dđến(ACD 0 )là DH = a p 10 5 . b)VìCD = DD 0 = anênCD 0 ?C 0 D.MặtkhácAD?(CDD 0 C 0 )nênCD 0 ?DA,suyraCD 0 ?AC 0 và(AC 0 D)làmặtphẳngchứa AC 0 ,vuônggócvới CD 0 tại I = CD 0 \C 0 D.Trong(AC 0 D),kẻ IJ?AC 0 tại J. Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của AC 0 và CD 0 . VìDC 0 JI đồng dạng với DC 0 DAnên IJ AD = IC 0 AC 0 ) IJ = AD. C 0 D 2AC 0 . MàC 0 D = a p 2nên IJ = a p 2. a p 2 2.2a = a 2 . Câu22. a)Gọi HlàhìnhchiếucủaStrên(ABCD). VìSA= SB= SC = SD = a p 2 nênDSHA=DSHB=DSHC =DSHD. Suy ra HA = HB = HC = HD, mà ABCD là hình chữnhậtnên H làgiaođiểmcủa ABvà CD.Khoảng cáchtừSđếnmặtphẳng ABCDlàSH.Tacó: SH 2 = SA 2 AH 2 = SA 2 AC 2 4 = SA 2 AB 2 +BC 2 4 = 2a 2 4a 2 +a 2 4 = 3a 2 4 . VậySH = 3a 2 4 . b)Vì EFk AD (SAD)nên EFk (SAD),mặtkhác SK nằmtrong(SAD)nênkhoảngcách giữa EF và SK chính làkhoảng cáchgiữa EF và (SAD), đócũng chínhlà khoảng cáchtừ H đến (SAD). Vậy khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của K trên đường thẳng AD. Tiếp theo ta tính d(EF;SK)). Gọi I là trung điểm AD. Kẻ đường cao HJ của tam giácvuôngSHI,khiđó HJ?(SAD).Dođód(H;(SAD))= HJ.Tacó HJ.SI = SH.HI, SI 2 = SA 2 AI 2 = 2a 2 a 2 4 = 7a 2 4 . Từ đó HJ = SH.HI SI = a p 3 2 .a ! : a p 7 2 = a p 21 7 . Như vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng EFvàSKkhôngphụthuộcvàovịtrícủaKtrênđườngthẳng ADvàbằng a p 21 7 . Câu23. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC151|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Do S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếucủa Strên(ABCD)trùngvớitâmO củahìnhvuông ABCD.Tacó: 8 < : BD?AC(SAC) BD?SO(SAC) AC\SO= O. Suy ra BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).Nhưvậy:  BD?(SAC) (P)k BD. Suyra(P)vuônggócvới(SAC)theogiao tuyếnAM.DođóhìnhchiếucủaStrên(P) chínhlàhìnhchiếuHcủaStrêngiaotuyến AM.KhoảngcáchtừSđếnmặtphẳng(P) làd(S,(P))= SH.  Tacó:2S DSAM = SH.AM.  Mặtkhácdo AM làtrungtuyếncủaDSAC nên 2S DSAM = S DSAC (dohaitamgiácnày cócùngđườngcaokẻtừ AvàSC = 2SM).  Tacó:SA 2 +SC 2 = 2a 2 = AC 2 ,suyratamgiácSACvuôngcântạiS,dođó S DSAC = 1 2 SA.SC = a 2 2 .  DSAMvuôngtại AnêntheođịnhlíPitago,tacó: AM 2 = SA 2 +SM 2 = a 2 + a 2 4 = 5a 2 4 . Nhưvậy: SH.AM = a 2 2 , SH. a p 5 2 = a 2 2 , p 5SH = a, SH = a p 5 . KhoảngcáchtừSđến(P)là:d(S,(P))= SH = a p 5 5 . Lưuý.CóthểtínhSHnhưsau: 1 SH 2 = 1 SA 2 + 1 SM 2 = 1 a 2 + 4 a 2 = 5 a 2 ) SH = a p 5 5 . Câu24. Phântích.Trướchếttacầnxétxemhaiđườngthẳng AN và DM có vuông góc với nhau hay không. Bạn đọc cần nhớ lại một kết quả quen thuộc ở hình học THCS đó là DM?AP, với P là trung điểmBC.KhiđótadễdàngchứngminhđượcDMvuônggócvới (ANP), do đó DM?AN và ta sẽ sử dụng cách 1 để dựng đoạn vuônggócchung. Kếtquả DM?APđượcchứngminhđơngiảnnhưsau: CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC152|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 TacóDABPbằngDDAM. Suyra d D 1 = d A 1 .Dođó: d A 1 + Ô M 1 = d D 1 + Ô M 1 = 90 0 . Suyra DM?AP. Giải.Gọi Plàtrungđiểmcủađoạnthẳng BC.Khiđó: 8 < : DM?AP(APN) DM?PN(APN) AP\PN = P. Suy ra DM?(APN), do đó DM?AN. Gọi E là giao điểm của DM với AP. Vẽ EF vuông góc với AN tại F. Khiđó,doDMvuônggócvới(APN),màEFnằmtrong (APN)nên DMvuônggócvới EF.Nhưvậy EFlàđoạn vuônggócchungcủa DMvà AN. Câu25. Phân tích. Đáy ABCD là nửa lục giác đều nên AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, AD = 2a. Để ý rằng DB?BA. Hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)chứa BD là AC.Do AC khôngvuônggócvới BD nên SC khôngvuônggócvới BD, nhưvậyđểdựngđoạnvuônggócchungtakhôngsửdụngcách1màsửdụngcách2,3,4. Do ABCDlànửalụcgiácđềunên Ö DBA= 90 0 (góc nộitiếpchắnnửađườngtròn).Tacó:  BD?BA BD?SA ) BD?(SAB). Vẽ đường thẳng qua C song song với BD, cắt AB tạiK,khiđóCKvuônggócvới(SAB).Hìnhchiếu củaSCtrên(SAB)làSK.Vẽ BHvuônggócvớiSK tại H.Vẽ HJ songsongvới BD (J thuộc SC).Vẽ JI songsongvới BH (I thuộc BD).Khiđó IJ làđoạn vuông góc chung của BD và SC. Tiếp theo ta tính độdài IJ.Do BHJI làhìnhchữnhậtnên IJ = BH. Ta có tam giác ADB đồng dạng với tam giác BCK và AD = 2a= 2BC,suyra AB = 2BK) BK = a 2 .Tamgiác KHBđồngdạng vớitamgiácKAS,suyra: BH SA = KB KS ) BH = SA.KB KS . Tacó:SA= a, KS= p SA 2 +KA 2 = r a 2 + 9a 2 4 = r 13a 2 4 . Nhưvậy: IJ = BH = SA.KB KS = a. a 2 : a p 13 2 = a p 13 . Lưuý.Nếusửdụngcách2thìtatiếnhànhnhưsau:  MặtphẳngchứaSCvàsongsongvới BDlà(SCK).  Taxácđịnhhìnhchiếucủa BDtrên(SCK)nhưsau:  Trên BDchọnđiểm B.  Tacó(SCK)vuônggócvới(SAK)theogiaotuyến SK nênchỉcầnvẽđườngthẳng đi qua B và vuông góc với giao tuyến SK thì sẽ có BH vuông góc với mặt phẳng (SCK)tại Hhay Hlàhìnhchiếucủa Btrên(SCK).  Vẽđườngthẳngqua Hsongsongvới BDcắtSCtại J. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC153|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Khiđóhìnhchiếucủa BDtrên(SCK)là HJ và HJ\SC = J.  Vẽđườngthẳngqua J songsongvới BHcắt BDtại I.  Khi đó IJ cùng vuông góc với BD và SC nên là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳngnày. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Đề bài Câu1. Tìmmệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsau: A. Đườngvuônggócchungcủahaiđườngthẳngchéonhauthìnằmtrongmặtphẳngchứa đườngthẳngnàyvàvuônggócvớiđườngthẳngkia. B. Đườngvuônggócchungcủahaiđườngthẳngchéonhauthìvuônggócvớimặtphẳng chứađườngthẳngnàyvàsongsongvớiđườngthẳngkia. C. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuônggócvớicảhaiđườngthẳngđó. D. Cácmệnhđềtrênđềusai. Câu2. Tìmmệnhđềsaitrongcácmệnhđềsau: A. Khoảngcáchgiữađườngthẳng a vàmặtphẳng(P) songsongvới a làkhoảngcáchtừ mộtđiểm Abấtkìtrên ađến(P). B. Khoảngcáchgiữahaimặtphẳngsongsonglàkhoảngcáchtừmộtđiểm M bấtkìtrên mặtphẳngnàyđếnmặtphẳngkia. C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộcmặtphẳng(P)chứa avàsongsongvớibđếnmộtđiểm N bấtkìtrênb. D. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đườngthẳngkia. Câu 3. Giả sử đường thẳng D cắt mặt phẳng (P) tại M. TrênDlấyhaiđiểm Avà B.Khiđó d(A;(P)) d(B;(P)) bằng A. 2AM BM . B. AM 2BM . C. AM BM . D. 2AM 3BM . Câu4. Hìnhtứdiện ABCD có AB = AC = AD = 3và AB, AC, AD đôimộtvuônggócvới nhau.Diệntíchcủatamgiác BCDbằng: A. 9 p 3 2 . B. 9 p 2 3 . C. 27. D. 27 2 . Câu5. ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcótấtcảcáccạnhđềubằnga.Chiềucaocủahình chópbằng: A. a p 2 3 . B. a p 3 2 . C. a p 3 4 . D. a p 2 2 . Câu6(Câu21,đềthamkhảolần1bộGD-ĐT,2018). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC154|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cócạnhbằnga(thamkhảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A 0 C 0 bằng A. p 3a. B. a. C. p 3a 2 . D. p 2a. A 0 B 0 C 0 D 0 A B C D Câu7. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB?(BCD) và AB = a. Tính khoảngcáchtừđiểm Dđếnmặtphẳng(ABC). A. a p 3 4 . B. a 2 . C. a p 3 2 . D. a p 2 3 . Câu8. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB?(BCD) và AB = a. Tính khoảngcáchtừđiểm Bđếnmặtphẳng(ADC). A. a. r 7 3 . B. a p 21 14 . C. a p 3 2 . D. a p 21 7 . Câu9(HK2khối11,ChuyênLươngVănChánh,PhúYên,2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Tínhkhoảngcáchtừđiểm Bđến(SAC). A. a p 2 2 . B. a p 2 4 . C. a 2 . D. a p 2 3 . Câu10. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. A. a p 3 4 . B. a p 6 3 . C. a p 3 2 . D. a p 2 3 . Câu11(ThithửTHTT-Lần7năm2018). Sốmặtphẳngcáchđềutấtcảcácđỉnhcủamộthìnhlăngtrụtamgiáclà A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu12. Chohìnhchóp S.ABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnh a,DSABlàtamgiácđềuvànằm trongmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳngđáy.Tínhkhoảngcáchtừđiểm Sđếnmặtphẳng (ACD). A. a p 3 3 . B. a p 3 2 . C. a p 3 4 . D. a 2 . Câu13. Chotứdiệnđều ABCDcócạnha.Tínhkhoảngcáchtừ Ađếnmặtphẳng(BCD). A. a p 6 2 . B. a p 6 3 . C. a p 3 3 . D. a p 2 3 . Câu14(ĐềHK2khối11,2017-2018SởGD&ĐTHàNam). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SAB là tam giác đều và (SAB) vuônggócvới(ABCD).Tìmkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau: A. d(S,(ABCD))= d(A,(SBC)). B. BD?(SAC). C. Gócgiữa(SCD)và(ABCD)bằng45  . D. AC?(SBD). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC155|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có ba kích thước AB = a, AD = b, AA 0 = c. Trong các kếtquảsau,kếtquảnàosai? A. BD 0 = p a 2 +b 2 +c 2 . B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC 0 bằngb. C. Khoảngcáchtừ Ađến(BB 0 D)bằng ab p a 2 +b 2 . D. Khoảng cách từ A đến (BB 0 D 0 D) bằng abc p a 2 +b 2 +c 2 . Câu16. Chohìnhhộpthoi ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có Ö BAD = × BAA 0 = × DAA 0 = 60 0 vàcáccạnhđều bằng a.Tínhkhoảngcáchgiữahaimặtphẳngđáy(ABCD)và(A 0 B 0 C 0 D 0 ). A. a p 6 3 . B. a p 6 2 . C. a p 11 p 12 . D. 2a p 3 3 . Câu17. Chohìnhchóp S.ABC có SA = SB = SC = a, Õ ASB = Õ BSC = 60 0 , Õ ASC = 90 0 .Tính chiềucaocủahìnhchóptheo a. A. a p 3 2 . B. a p 2 2 . C. a 2 . D. 2a 3 . Câu18. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnhbằng a và SA?(ABCD), SA= a p 6 3 .TínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSCvà BD. A. a p 2 4 . B. a p 2 2 . C. a p 2 8 . D. a 2 . Câu19. Chohìnhchóp S.ABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnh a,DSABlàtamgiácđềuvànằm trongmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳngđáy.Tínhkhoảngcáchtừđiểm Ađếnmặtphẳng (SCD). A. a p 21 7 . B. 2a p 21 7 . C. a p 7 21 . D. a p 3 3 . Câu20(HK2khối11,THPTchuyênLươngThếVinh,ĐồngNai2018). Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA= 2a.Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàSCbằng A. a p 2. B. a p 5 2 . C. 2a p 5 5 . D. a 2 . Câu21(ĐềTT-THPTQG,ChuyênBiênHòa,HàNam2018). ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhvuôngcạnhbằnga,SA?(ABCD),SA= a p 3. Gọi MlàtrungđiểmcủaSD.Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàCM. A. 3a 4 . B. a p 3 2 . C. a p 3 4 . D. 2a p 3 3 . Câu22. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao AA 1 = 2a.Tínhkhoảngcáchtừ Ađến(BDD 1 B 1 ). A. a p 2 p 3 . B. a 2 . C. a p 3 . D. a p 2 2 . Câu23. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao AA 1 = 2a.Tínhkhoảngcáchtừ D 1 đến(DA 1 C 1 ). A. a p 2 3 . B. a p 3 . C. 2a 3 . D. 3a 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC156|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu24. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao AA 1 = 2a.Tínhkhoảngcáchtừ Bđến A 1 C. A. a p 30 3 . B. a p 30 6 . C. a p 30 12 . D. a p 10 6 . Câu25(HK2khối11,ChuyênLươngVănChánh,PhúYên,2018). Chohìnhlăngtrụđứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cóđáylàhìnhthoicạnh a, Ö BAD = 120  và AC 0 = a p 5.Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng AB 0 và BDlà A. 6a p 17 . B. 8a p 17 . C. 2a p 17 . D. 10a p 17 . Câu26. ChohìnhchópS.ABCD,đáyABCDlàhìnhchữnhật,AB= a,AD = a p 3,SD = a p 7 và SA?(ABCD).Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa SAvà SB.Tínhkhoảngcáchtừ Sđến mặtphẳng(MND). A. a p 2 3 . B. a p 3 . C. a p 3 2 . D. a p 3 4 . Câu27(ĐềKSCLToán12lần2năm2017-2018,PhanChuTrinh,ĐắkLắc). ChohìnhchópS.ABCcóđáyABClàtamgiácđềucạnha,SA?(ABC),gócgiữađườngthẳng SBvàmặtphẳng(ABC)bằng60  .Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ACvàSB. A. a p 2 2 . B. a p 15 5 . C. 2a. D. a p 7 7 . Câu28(ĐềchínhthứcTHPTQG2019,Mãđề104). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng bao nhiêu? A. a p 2 2 . B. a p 21 28 . C. a p 21 7 . D. a p 21 14 . A B C D S Câu29. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhthoicạnh a,cạnhbên SAvuônggócvớiđáy, Ö BAD = 120 0 , Mlàtrungđiểmcủacạnh BCvà Ö SMA = 45 0 .Tínhtheo akhoảngcáchtừđiểm Dđếnmặtphẳng(SBC). A. a p 3 4 . B. a p 6 4 . C. a p 6 2 . D. a p 3 2 . Câu30. ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácvuôngcântại A.Mặtbên SBClàtam giác đều cạnh a và (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳngSAvà BC. A. a p 3 8 . B. a p 6 4 . C. a p 3 4 . D. a p 3 2 . Câu31. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhvuôngcạnh avà SA?(ABCD), SA = h.Gọi MlàtrungđiểmcủaSD.Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàCMtheoavàh. A. h.a p a+h . B. h.a p a 2 +h 2 . C. 2h.a p a 2 +h 2 . D. 2h.a p a+h . 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC157|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 C 11 D 12 B 13 B 14 A 15 D 16 A 17 B 18 A 19 A 20 C 21 B 22 D 23 C 24 B 25 C 26 C 27 B 28 C 29 B 30 C 31 B LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Xemlạidạng18ởtrang137(cách2)thấyrằngmệnhđề Bđúng. Chọnđápán B Câu2. Xemlạidạng18ởtrang137(cách2)thấyrằngmệnhđềCsai.Xemlạidạng18ởtrang 137(cách1)thấyrằngmệnhđề Dđúng.Dễthấycácmệnhđề A, Blànhữngmệnhđềđúng. Chọnđápán C Câu3. Chọnđápán C Câu4. DoDBCDlàtamgiácđềucạnh p 18nêncódiệntíchlà S DBCD = 18 p 3 4 = 9 p 3 2 . Chọnđápán A Câu5. Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau. GọiOlàhìnhchiếucủaStrênmặtphẳng(ABCD). Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau. Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiềucaocủahìnhchóplà: SO= p SB 2 OB 2 = r a 2 a 2 2 = r a 2 2 = a p 2 2 . S A B C D O Chọnđápán D Câu6. Do BD và A 0 C 0 lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A 0 B 0 C 0 D 0 )songsongvớinhaunên d(A 0 C 0 ,BD)= d((ABCD),(A 0 B 0 C 0 D 0 )). Mà ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhlậpphươngnêntacó d((ABCD),(A 0 B 0 C 0 D 0 ))= AA 0 = a. Vậyd(A 0 C 0 ,BD)= a. A 0 B 0 C 0 D 0 A B C D Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC158|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu7. Gọi I làtrungđiểm BC.Tacó:  DI?BC DI?BA Suyra DI?(ABC). Dođó: d(D; (ABC)= DI = a p 3 2 . Chọnđápán C Câu8. Gọi Mlàtrungđiểm DC.  CD?BM CD?AB. SuyraCD?(ABM))(ABM)?(ACD). Lạicó(ABM)\(ACD)= AM. Kẻ BH?AMtại H.Khiđó BH?(ACD). Bởivậy:d(B;(ACD))= BH. Trongtamgiácvuông ABM,tacó: 1 BH 2 = 1 BA 2 + 1 BM 2 = 1 a 2 + 1 a p 3 2 ! 2 = 1 a 2 + 4 3a 2 = 7 3a 2 . Dođód(B;(ACD))= BH = a. r 3 7 . Chọnđápán D Câu9. GọiOlàtâmhìnhvuông ABCD. VìSA?(ABCD)nênSA? BD. Do ABCDlàhìnhvuôngnên BD? AC. Dođó, BD?(SAC). Vậy,d(B,(SAC))= BO= BD 2 = a p 2 2 . A B O C D S Chọnđápán A Câu10. Trong mặt phẳng (ABC), hạ AM vuông góc với BC (M2 BC). Khoảng cách từ A đến BClà AM = a p 3 2 . Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC159|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu11. Có4mặtphẳngcáchđềutấtcảcácđỉnhcủamộthìnhlăngtrụtamgiác. Chọnđápán D Câu12. Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH?AB và SH = a p 3 2 ,mà(SAB) vuônggócvới(ABCD) theogiaotuyến AB nên SH?(ABCD).Vậykhoảng cáchtừSđến(ABCD)làSH = a p 3 2 . Chọnđápán B Câu13. Gọi MlàtrungđiểmBC.GọiOlàhìnhchiếucủa Atrên(BCD). Do AB=AC=ADnênDAOB=DAOC =DAOD(c-g-c). SuyraOB=OC=OD,suyraOlàtâmcủaDBCD.DoDBCD đều nên O cũng là trọng tâm củaDBCD, suy ra O2 DM. Khoảng cáchtừ Ađến(BCD)làOA.VìDBCDđềucạnh anên: DM = a p 3 2 ) OD = 2 3 DM = a p 3 3 . SửdụngđịnhlíPitagochotamgiácvuôngOADcó OA 2 = AD 2 OD 2 = a 2 a 2 3 = 2a 2 3 ) OA= a p 6 3 . Vậyd(A,(BCD))= a p 6 3 . Chọnđápán B Câu14. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC160|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi Hlàtrungđiểmcủa AB.Vìtamgiác(SAB)đềunên SH? AB. Vì ( SH? AB (SAB)?(ABCD) nên SH? (ABCD). GọiKlàtrungđiểmcủaSB.Vì4SABđềunên AK? SB và AK = SH.Tacó ( BC? AB BC? SH ) BC?(SAB)) BC? AK. Suyra AK?(SBC)) d(A,(SBC))= AK. (1) MặtkhácSH?(ABCD)) d(S,(ABCD))= SH. (2) Từ(1)và(2)) d(S,(ABCD))= d(A,(SBC)). S B C H A K D Chọnđápán A Câu15. Khẳng định A đúng, đây là công thức tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC 0 bằng độ dài đoạn vuông góc chung BC = b, do đó B đúng. Gọi H là hìnhchiếuvuônggóccủaAlênBD,khiđódễchứng minh được BH vuông góc với (BB 0 D 0 D). Tam giác ABDvuôngtại Avớiđườngcao AH,tacó: 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AD 2 = 1 a 2 + 1 b 2 = a 2 +b 2 a 2 b 2 . Vậykhoảngcáchtừ Ađến(BB 0 D)là: d A,(BB 0 D 0 D)
= AH = ab p a 2 +b 2 . NhưthếkhẳngđịnhCđúng.Do(BB 0 D)(BB 0 D 0 D)nênkhẳngđịnh Dsai.Tachọn D. Chọnđápán D Câu16. Lưu ý rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳngsongsongbằngkhoảngcáchtừmột điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Từ giả thiết ta suy ra các tam giácA 0 AD,BAD,A 0 ABlàcáctamgiáccân cùngcógócởđỉnhbằng 60 0 nênchúnglà các tam giác đều. Vậy tứ diện A 0 ABD có các cạnh cùng bằng a, hay A 0 ABD là tứ diện đều. Khi đó hình chiếu của A 0 trên (ABCD) chính là trọng tâm H của tam giác đều ABD. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A 0 B 0 C 0 D 0 ) chính làđộdài A 0 H.Tacó: A 0 H 2 = A 0 A 2 AH 2 = a 2 a p 3 3 ! 2 = a 2 a 2 3 = 2a 2 3 .Vậy A 0 H = a p 6 3 . Chọnđápán A Câu17. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC161|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Vì SA = SB = SC = a, Õ ASB = Õ BSC = 60 0 nên DSAB, DSBClàcáctamgiácđều,suyra AB= BC = a.VìSA?SC nên AC 2 = SA 2 +SC 2 = 2a 2 , suy ra AC 2 = BA 2 +BC 2 , do đóDABC vuông tại B. Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC). Khi đó HA,HB,HC lần lượt là hình chiếu của SA,SB,SC trên (ABC), mà SA = SB = SC nên HA = HB= HC,hay HlàtâmcủađườngtrònngoạitiếpDABC. VìDABC vuông tại B nên H chính là trung điểm của AC. Vậychiềucaocủahìnhchóplà SH = p SA 2 AH 2 = a p 2 2 . Chọnđápán B Câu18. Ta có (SAC) là mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong (SAC), từ O, kẻ OK?SC tại K. Vì BD?(SAC) mà OK  (SAC) nên BD?OK.VậyOK làđoạnvuônggócchungcủa SC và BD. Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng SC và BD bằngđộdài củađoạnvuônggócchungOK.Tacó: SC = p AS 2 +AC 2 = s 2a 2 3 +2a 2 = s 8a 2 3 = a r 8 3 . VìDCKOđồngdạngvớiDCASnên CO SC = OK SA ) OK = CO.SA SC = a p 2.a p 6 2.3.SC = a 2 p 2. p 6. p 3 6.2 p 2a = a p 2 4 . Chọnđápán A Câu19. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH?AB và SH = a p 3 2 , mà (SAB) vuông góc với(ABCD) theogiaotuyến AB nên SH?(ABCD).Tacó CD?IH và CD?SH, suy ra CD?(SHI), mà CD nằm trong (SCD) nên (SCD)?(SHI).TrongDSHI,kẻ HK vuônggócvới SI tại K,khiđó vì(SHI)vuônggócvới(SCD)theogiaotuyếnSInên HK?(SCD). Tacó ABk CD(SCD),suyra ABk(SCD),dođó: d(A,(SCD))= d(H,(SCD))= HK. TrongtamgiácvuôngSHI,tacó: 1 HK 2 = 1 HS 2 + 1 HI 2 = 4 3a 2 + 1 a 2 = 7 3a 2 . Dođó:d(A,(SCD))= HK = a p 21 7 . Chọnđápán A Câu20. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC162|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó ABk(SCD)nên d(AB,SC)= d(AB,(SCD))= d(A,(SCD)). Kẻ AH? SDtại H.Tacó ( CD? AD CD? SA ) CD?(SAD)) CD? AH. Suyra AH?(SCD)nênd(A,(SCD))= AH. AH = AS
AD p AH 2 +AD 2 = a
2a p a 2 +4a 2 = 2a p 5 5 . Vậyd(AB,SC)= 2a p 5 5 . A B D H C S Chọnđápán C Câu21. Kẻ AH? SDtại H. Khiđó AH?(SCD). Vì ABk CDnên AHk(SCD). Dođó d(AB;CM)= d(AB;(SCD)) = d(A;(SCD))= AH. XéttamgiácSADvuôngtại Acó SA= a p 3, AD = a.Suyra: 1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AD 2 = 1 3a 2 + 1 a 2 . Dođó AH = a p 3 2 . A B C D M S H Chọnđápán B Câu22. Trong(ABCD) tacóOA?BD (O2 BD).Vì AO cùngvuônggóc với BDvàOO 1 nênOA?(BDD 1 B 1 ),suyra: d(A,(BDD 1 B 1 ))= OA. Tamgiácvuôngcân ABDchota AO= BD 2 = a p 2 2 . Chọnđápán D Câu23. GọiO 1 làtâmcủahìnhvuông A 1 B 1 C 1 D 1 .Vì A 1 D = C 1 D = a p 2 nêntamgiác DA 1 C 1 cântại D.Từđó A 1 C 1 ?O 1 D.Trongtamgiác O 1 D 1 D,hạ D 1 H?O 1 D(H2 O 1 D).Tacó:  D 1 H?O 1 D D 1 H?A 1 C 1 ) D 1 H?(DA 1 C 1 ). Nhưthếd(D 1 ;(DA 1 C 1 ))= D 1 H. TamgiácO 1 D 1 Dvuôngtại D 1 nên: 1 D 1 H 2 = 1 D 1 D 2 + 1 D 1 O 2 1 = 1 4a 2 + 1 a 2 2 = 9 4a 2 ) D 1 H = 2a 3 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC163|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Chọnđápán C Câu24. Hạ BK?A 1 C(K2 A 1 C). Khiđód(B;A 1 C)= BK. Tacó: A 1 B 2 = A 1 A 2 +AB 2 = 4a 2 +a 2 = 5a 2 . Chúýrằngtamgiác BCA 1 vuôngtại B. Từđó: 1 BK 2 = 1 BC 2 + 1 BA 2 1 = 1 a 2 + 1 5a 2 = 6 5a 2 . Suyra BK = a p 30 6 . Chọnđápán B Câu25. GọiO,O 0 lầnlượtlàtâmcủacáchình ABCD,A 0 B 0 C 0 D 0 .DựngOK? AO 0 (K2 AO 0 ). Vì ABCDlàhìnhthoivà ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làlăngtrụđứngnên BD?(ACC 0 A 0 )) BD? OK. Talạicó BDk B 0 D 0 ) OK?(AB 0 D 0 ). Tacó BDk(AB 0 D 0 )nên d(BD,AB 0 )= d(BD,(AB 0 D 0 ))= OK. Do ABCDlàhìnhthoivà Ö BAD = 120  nênDABClàtam giácđềucạnh a.Tacó O 0 O= C 0 C = p C 0 A 2 AC 2 = p 5a 2 a 2 = 2a. XéthaitamgiácđồngdạngDOKAvàDO 0 OAtacótỉsố OK O 0 O = OA O 0 A nên OK = OA
O 0 O O 0 A = OA
O 0 O p OA 2 +O 0 O 2 = a 2
2a r  a 2  2 +(2a) 2 = 2a p 17 . A B 0 B C O D K A 0 O 0 C 0 D 0 Chọnđápán C Câu26. Tacó:  AB?SA AB?AD ) AB?(SAD). Mà MNk ABnên MN?(SAD). KẻSH?DMtại H.Vì(MND)?(SAD), (MND)\(SAD)= DM,SH?DM nênSH?(MND),dođó: d(S,(MND))= SH.Tacó: SA 2 = SD 2 AD 2 = 7a 2 3a 2 = 4a 2 . Suyra MA= SA 2 = a. Dođó: tan Ö SMH = AD AM = a p 3 a = p 3. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC164|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Nhưvậy Ö SMH = 60 0 .TamgiácSHMcó Ö SHM = 90 0 ) SH = SM.sin Ö SMH = a p 3 2 . Chọnđápán C Câu27. VìSA?(ABC)nên AlàhìnhchiếucủaSxuốngmặtphẳng (ABC).Dođógóc SBvà(ABC)làgócgiữa SBvà ABbằng Õ ABS = 60  .Tacó SA = ABtan Õ ABS = a p 3.Gọi D làđỉnh thứtưcủahìnhbìnhhành ACBD.Tacó ACk BDnên ACk (SBD). Do đó d(AC,SB) = d(AC,(SBD)) = d(A,(SBD)). Gọi M làtrungđiểm BD và H làhìnhchiếucủa A lên SM. VìDABCđềunên ABDcũnglàtamgiácđều.Tacó ( BD? AM BD? SA ) BD?(SAM)) BD? AH. Lạicó AH? SM.Chonên AH?(SBD). 60  S A C H B D M Vậyd(AC,SB)= d(A,(SBD))= AH. Tacó AH = s SA 2
AM 2 SA 2 +AM 2 = a p 15 5 .Vậyd(AC,SB)= a p 15 5 . Chọnđápán B Câu28. Gọi Hvà Ilầnlượtlàtrungđiểm ABvà AD.Tacó HI? ACtại M.Tacó4SABđềunên SH = a p 3 2 ; HM = BD 4 = a p 2 4 . Kẻ HK? SMtacód(H;(SAC))= HK. Tacód(B;(SAC))= 2d(H;(SAC))= 2HK. Tacó 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 HM 2 = 1 3 4 a 2 + 1 a 2 8 = 28 3a 2 . Suyra HK = a p 21 14 . Vậyd(B;(SAC))= a p 21 7 . A B H C K D S I M Chọnđápán C Câu29. TacóDABClàtamgiácđềucạnh a,tamgiác SMAvuôngcân tại A, AM = a p 3 2 = SA.Tacó ADk BC,màđườngthẳng BC nằmtrongmặtphẳng(SBC),suyra ADk(SBC),dođó: d(D,(SBC))= d(A,(SBC)). Vì BC vuông góc với AS và AM nên BC?(SAM), dẫn tới (SAM) vuông góc với (SBC) theo giao tuyến SM. Như vậy d(A,(SBC)) = AK, với K là hình chiếu của A trên SM. Tóm lại: d(D,(SBC))= AK = 1 2 SM = p AS 2 +AM 2 2 = p 3a 2 2 p 2 = a p 6 4 . Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC165|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu30. Gọi Hlàtrungđiểm BC. Khiđó:SH?BC, AH = BC 2 = a 2 . Tacó(SBC)vuônggócvới(ABC)theogiaotuyến BC, đường thẳng SH nằm trong (SBC) và vuông góc với giaotuyến BC nên SH vuônggócvới(ABC).Gọi K là hìnhchiếuvuônggóccủa H trên SA.Khiđó KH?SA. Tacó: 8 < : BC?SH(SHA) BC?AH(SHA) SH\AH = H ) BC?(SHA)) BC?HK. Nhưvậy HKlàđườngvuônggócchungcủaBCvàSA, dođókhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng SA và BC là d(SA,BC)= HK.TrongtamgiácvuôngSHA,tacó: 1 HK 2 = 1 HS 2 + 1 HA 2 = 4 3a 2 + 4 a 2 = 16 3a 2 ) HK = a p 3 4 . Nhưvậy:d(SA,BC)= HK = a p 3 4 . Chọnđápán C Câu31. Tacó:  AB6(SCD) ABk CD(SCD) ) ABk(SCD). Như vậy (SCD) là mặt phẳng chứa MC và song song với AB nên: d(AB,CM)= d(AB,(SCD))= d(A,(SCD)). Vẽ AH vuông góc với SD tại H. Khi đó CD vuông góc với DA màDAlàhìnhchiếucủa AHtrên(ABCD)nênCD?AH.Tacó: 8 < : AH?CD(SCD) AH?SD(SCD) CD\SD = D ) AH?(SCD). Nhưvậy:d(A,(SCD))= AH.TrongtamgiácvuôngSAD,tacó: 1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AD 2 = 1 h 2 + 1 a 2 = h 2 +a 2 h 2 a 2 ) AH = h.a p a 2 +h 2 . Tómlại:d(AB,CM)= h.a p a 2 +h 2 . Lưuý.Dễthấyrằng(SDC)vuônggócvới(SDA)theogiaotuyếnSDnênvậndụngđịnhlí3 (ởtrang93),tachỉcầnvẽđườngthẳngqua AvàvuônggócvớigiaotuyếnSDtại Hlàcóngay AH?(SCD). Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC166|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 ÔNTẬPCHƯƠNG A. BỘ ĐỀ SỐ 1 1. Đề bài Câu1(HàmRồng-ThanhHóa,Lần1,2018). Cho a,b,clàcácđườngthẳng.Mệnhđềnàodướiđâyđúng? A. Nếu a? bvàmặtphẳng(a)chứa a,mặtphẳng bchứabthì(a)?(b). B. Cho a? b.Mọimặtphẳngchứabđềuvuônggócvới a. C. Cho a? b,a(a).Mọimặtphẳng(b)chứabvàvuônggóc athì(b)?(a). D. Cho ak b.Mọimặtphẳng(a) chứa c,trongđó c? a,c? b thìđềuvuônggócvớimặt phẳng(a,b). Câu2(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Trongkhônggian,mệnhđềnàosauđâyđúng? A. Côsincủagócgiữahaiđườngthẳngtrongkhônggiancóthểlàmộtsốâm. B. Gócgiữahaiđườngthẳngthuộckhoảng(0  ;90  ). C. Gócgiữahaimặtphẳngbằnggócgiữahaiđườngthẳnglầnlượtvuônggócvớihaimặt phẳngđó. D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và một đường thẳngnằmtrongmặtphẳng. Câu3. Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng? A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b là một đường thẳng d vừavuônggócvới avừavuônggócvớib. B. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạnnốihaiđiểmbấtkìlầnlượtthuộchaiđườngthẳngấy. C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b luôn luôn nằm trong mặtphẳngvuônggócvới avàchứađườngthẳngb. D. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b là một đường thẳng d vừavuônggócvới avừacắtb. Câu4. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a. Góc giữa hai mặt phẳng (P)và(Q)phảilàgócnàosauđây? A. Gócgiữahaiđườngthẳnglầnlượtvuônggócvớihaimặtphẳngđó. B. Gócgiữahaiđườngthẳnglầnlượtnằmtronghaimặtphẳngđóvàcắtđườngthẳng a. C. Gócgiữahaiđườngthẳng b và b 0 ,trongđó b nằmtrong(P),vuônggócvới a,còn b 0 là hìnhchiếuvuônggóccủabtrênmặtphẳng(Q). D. Gócgiữađườngthẳngbvuônggócvới(P)vàhìnhchiếucủabtrênmặtphẳng(Q). Câu5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 0 B 0 C 0 có #  AA 0 = #  a, #  AB = #  b, #  AC = #  c. Hãy phân tíchvectơ #  BC 0 theocácvectơ #  a, #  b, #  c. A. #  BC 0 = #  a + #  b + #  c. B. #  BC 0 = #  a #  b + #  c. C. #  BC 0 = #  a #  b #  c. D. #  BC 0 = #  a #  b + #  c. Câu6. Chođườngthẳngasongsongvớimặtphẳng(P).Mệnhđềnàosauđâylàđúng? A. Đườngthẳngnàovuônggócvới athìvuônggócvới(P). B. Đườngthẳngsongsongvới athìsongsongvới(P). C. Đườngthẳngnàovuônggócvới(P)thìvuônggócvới a. D. Đườngthẳngnàovuônggócvới(P)thìcắt a. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC167|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu7(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, cạnh bênSAvuônggócvớimặtđáy(ABC).Gọi Hlàhìnhchiếuvuông góccủa AlênSB.Mệnhđềnàosauđâysai? A. Cácmặtbêncủahìnhchóplàcáctamgiácvuông. B. AHk BC. C. AH? SC. D. TamgiácSBCvuông. A S B C H Câu8.ChohìnhchópđềuS.ABCcótấtcảcáccạnhbằnga. Tínhtancủagócgiữamặtbênvàmặtphẳngđáycủahình chóp. A. 2 p 2. B. p 2 2 . C. p 2. D. p 3. A C B O S Câu9(HK2nămhọc2016-2017,ChuyênHàNội-Amsterdam,HàNội). Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA? (ABC). Gọi AH là đường cao củatamgiácSAB.Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai? A. AH? SC. B. AH? BC. C. SA? BC. D. AB? SC. Câu10(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; SA = AB = a. Gọi j là góc giữa SB vàmặtphẳngmp(SAC),tính j? A. j= 60  . B. j= 30  . C. j= 45  . D. Đápánkhác. S A D B C Câu11(ĐềthiHK2khối11,LươngPhú,TháiNguyên2017). ChohìnhchóptamgiácđềuS.ABCcócạnhđáybằng3a,cạnhbênbằng2a.KhoảngcáchtừS tớimặtphẳngđáylà A. a. B. 3a 2 . C. 2a. D. 2a 3 . Câu12(HàmRồng-ThanhHóa,Lần1,2018). Tínhsốđogócgiữahaiđườngthẳng ACvà BDcủatứdiệnđều ABCD. A. 90  . B. 30  . C. 60  . D. 45  . Câu13. Chotứdiện ABCD.Gọi I làtrungđiểm BD, G làtrọngtâmtamgiác ABC.Vẽhình bìnhhành ADCE.Đẳngthứcnàosauđâylàđúng? A. #  IE= 3 #  IG. B. #  IG = 3 #  IE. C. #  IE= 2 #  IG. D. #  IG = 2 #  IE. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC168|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ tâmOcủađáyđếnmộtmặtbênlà: A. a p 6 6 . B. a p 2 2 . C. a p 3 6 . D. a p 3 4 . Câu15(ĐềToánPENI,đề01). Chotứdiệnđều ABCDcókhoảngcáchtừ Ađếnmặtphẳng (BCD)bằng a.Cạnhcủatứdiệncóđộdàibằng? A. a p 6 3 . B. a p 6 2 . C. a p 2 3 . D. a p 2 2 . Câu16(HàmRồng-ThanhHóa,Lần1,2018). Cho hình chóp S.ABC có SA? (ABC) và tam giác ABC vuông tại B, AH là đường cao của tamgiácSAB.Khẳngđịnhnàosauđâysai? A. AH? BC. B. AH? AC. C. AH? SC. D. SA? BC. Câu17. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Gócgiữahaiđườngthẳng BA 0 và CD bằng A. 45  . B. 60  . C. 30  . D. 90  . Câu18(ChuyênBắcNinh,Lần2,2018). Chohìnhchóp S.ABC có SA = SB = SC vàtamgiác ABC vuông C.Gọi H hìnhchiếucủa S lên(ABC).Xácđịnhvịtrícủa H. A. Hlàtrungđiểmcủa AB. B. Hlàtrọngtâmtamgiác ABC. C. Hlàtrựctâmtamgiác ABC. D. Hlàtrungđiểmcạnh AC. Câu19. Chotứdiện ABCDcó AB = AC = AD = BC = BD,Gọi Mvà N làtrungđiểmcủa ABvàCD.KhiđóCDvuônggócvớimặtphẳng A. (ABD). B. (ABC). C. (ABN). D. (CMD). Câu20(Câu25,đềthamkhảolần1bộGD-ĐT,2018). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi MlàtrungđiểmcủaSD(thamkhảohìnhvẽbên).Tínhtancủagóc giữađườngthẳng BMvàmặtphẳng(ABCD). A. p 2 2 . B. p 3 3 . C. 2 3 . D. 1 3 . B C D S A M Câu21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc vớimặtphẳng(ABC)vàSA= a 2 .Tínhgócgiữahaimặtphẳng(ABC)và(SBC). A. 30 0 . B. 45 0 . C. 60 0 . D. 90 0 . Câu22. Chohìnhchóp S.ABC trongđó SA = AB = BC = 1và SA, AB, BC đôimộtvuông góc.Khoảngcáchgiữa2điểmSvàCnhậngiátrịnàotrongcácgiátrịsau? A. p 2. B. p 3. C. 2. D. p 3 2 . Câu23. Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của T = #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD bằng A. T = 3. B. T = p 3. C. T = 1. D. T = p 2. Câu24. Chohìnhchóp S.ABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnh a,DSABlàtamgiácđềuvànằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ trung điểm H của AB đếnmặtphẳng(SCD). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC169|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 A. a p 21 7 . B. 2a p 21 7 . C. a p 7 21 . D. a p 3 3 . Câu25. Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm AD và BC; M,N lần lượt nằm trên AB và DC sao cho AM = 2MB;DN = 2NC. Biết biểu diễn #  EF = m #  EM+n #  EN là duy nhất.Tínhm+n. A. 1 2 . B. 3 2 . C. 3 4 . D. 1 4 . 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 11 A 12 A 13 A 14 A 15 B 16 B 17 A 18 A 19 C 20 D 21 A 22 B 23 B 24 A 25 B LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc nhau là mặt phẳng này chứa một đườngthẳngvuônggócvớimặtphẳngkia. Chọnđápán C Câu2. Theođịnhnghĩagócgiữahaimặtphẳng. Chọnđápán C Câu3. Chọnđápán B Câu4. DễthấyC,Dsaitrongtrườnghợp(P)và(Q)vuônggócvớinhau. Chọnđápán A Câu5. Tacó: #  BC 0 = #  BB 0 + #  BC = #  a + #  AC #  AB = #  a + #  c #  b. Chọnđápán D Câu6. Chọnđápán C CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC170|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu7. Theogiảthiếttacó BC?(SAB)) BC? AH.Vậykhẳngđịnh“AHk BC” làsai. Chọnđápán B Câu8. Gọi MlàtrungđiểmBC.KhiđóBCvuônggócvới MAvà vuônggócvới MSnêngócgiữamặtphẳng(ABC)vàmặt phẳng(SBC)là Ö SMO.Tacó: AM = a p 3 2 ,AO= a p 3 3 . OM = a p 3 6 ,SO= a r 2 3 . Vậytan Ö SMO= SO MO . Haytan Ö SMO= a r 2 3 : a p 3 6 . Haytan Ö SMO= 2 p 2. A C M B O S Chọnđápán A Câu9. BC? SAdoSA?(ABC). VậySA? BCđúng. 4ABCvuôngtại B) BC? AB. ( BC? AB BC? SA ) BC?(SAB). Suyra BC? AH. Vậy AH? BCđúng. ( AH? SB AH? BC ) AH?(SBC). Suyra AH? SC. Vậy AH? SCđúng. Dođó AB? SCsai. B C H A S Chọnđápán D Câu10. GọiO = AC\BD.Theogiảthiết,tacó BD? AC và BD? SA nên BD?(SAC).Dođó,gócgiữaSBvà(SAC)làgóc Õ BSO.Xét tamgiác BSOcó OB= BD 2 = a p 2 2 . XéttamgiácSABcó SB 2 = SA 2 +AB 2 = 2a 2 ) SB= a p 2. Dođó,sinj= OB SB = 1 2 ) j= 30  . S A D B C O Chọnđápán B Câu11. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC171|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi I là trung điểm cạnh BC, H là hình chiếu của S trên (ABC).KhiđóSH?(ABC).Tacó AI = 3a p 3 2 ) AH = 2 3 AI = a p 3. VậySH = d(S;(ABC))= p SA 2 AH 2 = a. S A B C I H Chọnđápán A Câu12. Gọi I làtâmcủatamgiácđều ABC. Khiđó DI?(ABC).Gọi Mlàtrungđiểm AC.Tacó ( AC? BM AC? DI (do DI?(ABC)). Suyra AC?(MBD)) AC? BD. Vậy(AC,BD)= 90  . D I A M C B Chọnđápán A Câu13. Tacó #  IG = 1 3  #  IA+ #  IB+ #  IC  . Mặtkhác: #  IE= #  ID+ #  DE = #  IB+ #  DC+ #  DA = #  IB+ #  IC #  ID+ #  IA #  ID = #  IA+ #  IB+ #  IC = 3 #  IG. Nhưvậy #  IE= 3 #  IG. A B C D J G I E Chọnđápán A Câu14. Chọnđápán A Câu15. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC172|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 GọiGlàtrọngtâmtamgiácđều ABC,suyraGA?(BCD). Gọi Mlàtrungđiểmcủa BD.Đặt AC = xthì GC = 2 3 CM = 2 3
x p 3 2 = x p 3 3 . Talạicó AC 2 GC 2 = GA 2 . Suyra x 2 x 2 3 ) x 2 = 3a 2 2 . Dođó x = a p 6 2 . C D M G B A Chọnđápán B Câu16. Tacó AH?(SBC). Suyra AH? BCvà AH? SC. TacóSA?(ABC)) SA? BC. Vậykhẳngđịnhsailà AH? AC. S A B H C Chọnđápán B Câu17. DoCDk ABnên (BA 0 ,CD)= (BA 0 ,AB). Do ABB 0 A 0 làhìnhvuông nên(BA 0 ,AB)= 45  . A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Chọnđápán A Câu18. Vì SA = SB = SC nênhìnhchiếucủa Slên(ABC)trùngvớitâmđườngtrònngoại tiếptamgiác ABC.Hơnnữa,tamgiác ABClàtamgiácvuôngtạiCnêntâmđườngtrònngoại tiếptamgiác ABCchínhlàtrungđiểmcủacạnh AB.Hay Hlàtrungđiểmcủa AB. Chọnđápán A CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC173|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu19. Haitamgiác BCDvà ACDđềulàtamgiáccân có đáy BC nên CD?BN và CD?AN, suy ra CD?(ABN). Do CD?(ABN) nên A và B sai.DoCD(CMD)nên D sai. Chọnđápán C Câu20. Gọi O = AC\ BD và H là trung điểm OD. Ta có SO?(ABCD)và MHk SO.Suyra: MH?(ABCD) (BM,(ABCD))= × MBH. SO= p SB 2 OB 2 = a p 2 2 . MH = SO 2 = a p 2 4 BH = 3 4 BD = 3a p 2 4 . Vậytan × MBH = MH BH . Haytan × MBH = a p 2 4 3a p 2 4 = 1 3 . B C D S A M H O Chọnđápán D Câu21. Gọi Hlàtrungđiểmcủacạnh BC.Tacó BC? AH. (1) VìSA?(ABC)nênSA? BC. (2) Từ(1)và(2)suyra BC? (SAH) nên BC? SH.Vậygócgiữa haimặtphẳng(ABC)và(SBC)bằng Ö SHA. Đặt j= Ö SHA,tacó tanj= SA AH = a 2 a p 3 2 = 1 p 3 = p 3 3 . Tasuyra j= 30  . Vậygócgiữa(ABC)và(SBC)bằng30  . S A A 0 B C H j Chọnđápán A Câu22. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC174|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Ta có CB?AB, CB?AS suy ra CB?(ABS). Do đó CB?SB.Nhưthế SC = p SB 2 +BC 2 = p SA 2 +AB 2 +BC 2 = p 3. Chọnđápán B Câu23. Vìcácvectơ #  AB AB , #  AC AC , #  AD AD cóđộdàibằng1vàđôimộtvuônggócvớinhaunên: #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD ! 2 = 3, #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD = p 3. Chọnđápán B Câu24. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH?AB và SH = a p 3 2 , mà (SAB) vuông góc với(ABCD) theogiaotuyến AB nên SH?(ABCD).Tacó CD?IH và CD?SH, suy ra CD?(SHI), mà CD nằm trong (SCD) nên (SCD)?(SHI).TrongDSHI,kẻ HK vuônggócvới SI tại K,khiđó vì(SHI)vuônggócvới(SCD)theogiaotuyếnSInên HK?(SCD). TrongtamgiácvuôngSHI,tacó: 1 HK 2 = 1 HS 2 + 1 HI 2 = 4 3a 2 + 1 a 2 = 7 3a 2 . Dođó:d(H,(SCD))= HK = a p 21 7 . Chọnđápán A Câu25. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC175|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó #  EF = #  AB+ #  DC 2 = #  AE+ #  EM+ #  MB+ #  DE+ #  EN+ #  NC 2 = #  EM+ #  MB+ #  EN+ #  NC 2 = #  EM+ 1 3 #  AB+ #  EN+ 1 3 #  DC 2 = #  EM+ 1 2 #  AM+ #  EN+ 1 2 #  DN 2 = #  EM+ 1 2  #  AE+ #  EM  + #  EN+ 1 2  #  DE+ #  EN  2 = 3 2 #  EM+ 3 2 #  EN 2 = 3 4 #  EM+ 3 4 #  EN. Nhưvậym= 3 4 ,n= 3 4 ,suyram+n= 3 2 . Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC176|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 B. BỘ ĐỀ SỐ 2 1. Đề bài Câu1. Chỉramệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsau. A. Bavectơđồngphẳnglàbavectơcùngnằmtrongmộtmặtphẳng. B. Nếubavectơ #  a, #  b, #  c đồngphẳngthìcó #  c = m #  a +n #  b vớim,nlàcácsốduynhất. C. Cho ba vectơ #  a, #  b, #  c, khi đó với #  d là vectơ bất kì, luôn tồn tại các số m, n, p sao cho #  d = m #  a +n #  b +p #  c. D. Cảbamệnhđềtrênđềusai. Câu2(HK2chuyênLươngThếVinh,ĐồngNai,2017). Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng? A. 8 > < > : (a)6= (b) (a)? (P) (b)? (P) )(a)k(b). B. ( (a)k(b) (P)? (a) )(P)? (b). C. 8 > < > : (a)? (b) a (a) b (b) ) a? b. D. ( (a)? (b) a (a) ) a? (b). Câu3. Chomộthìnhchópđều.Xétcáctínhchấtsau: 1) Khoảngcáchtừđỉnhđếnmỗicạnhđáycủahìnhchópbằngnhau. 2) Cácmặtbênhợpvớiđáynhữnggócbằngnhau. 3) Hìnhchiếucủađỉnhxuốngđáylàtrọngtâmcủađáy. 4) Nếuđáycủahìnhchóplàtamgiácthìhìnhchóplàtứdiệnđều. 5) Đáycủahìnhchóplàmộtđagiácnộitiếpđược. 6) Gócởđáycủamặtbênlàgóchợpbởimặtbênvàmặtđáy. Sốtínhchấtđúngtrongcáctínhchấttrênlà: A. 6. B. 5. C. 4. D. 3. Câu4(ĐềHK2T11,LongThạnh,KiênGiang2018). Chođườngthẳngdvuônggócvớimặtphẳng(a)vàđườngthẳngDkhácd.Chọnkhẳngđịnh saitrongcáckhẳngđịnhsau. A. ĐườngthẳngDk dthìD?(a). B. ĐườngthẳngDk dthìDk(a). C. ĐườngthẳngDk(a)thìD? d. D. ĐườngthẳngD?(a)thìDk d. Câu5(ĐềHK2T11,LongThạnh,KiênGiang2018). Chohìnhhộp ABCD.EFGH(thamkhảohìnhvẽ).Tínhtổngcủaba vectơ #  AB+ #  AD+ #  AE. A. #  AG. B. #  AH. C. #  AF. D. #  AC. A E C G F H B D CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC177|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu6(ThiHK2,THPTĐôngHà,QuảngTrị,2018). Cho hình chóp S.ABC có SA? (ABC), tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm cạnh BC. Khằngđịnhnàosauđâyđúng? A. BC? SB. B. BC? SC. C. SB? AH. D. BC? SH. Câu7(ĐềHK2,nămhọc2016-2017,SởGiáodục&ĐàotạoBìnhPhước). Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng #  AC
#  B 0 C 0 . A. #  AC
#  B 0 C 0 = p 2 2 a 2 . B. #  AC
#  B 0 C 0 = a 2 . C. #  AC
#  B 0 C 0 = p 2a 2 . D. #  AC
#  B 0 C 0 = 2a 2 . A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Câu8. Chohìnhlậpphương ABCD.EFGH.Gócgiữacặpvectơ #  ABvà #  EGlà A. 30  . B. 90  . C. 45  . D. 60  . Câu9. Cho hình chóp S.ABC có SA?(ABC). Gọi góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là b. Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàođúng? A. b= Õ SBA. B. b= Õ CSA. C. b= p Õ SCA. D. b= Õ SCA. Câu10(HK2-Lop11-LientruongTPVinh-NgheAn-2018). ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhvuôngvàSAvuônggócvớimặtphẳng(ABCD). Khiđó A. AB?(SAC). B. AB?(SBC). C. AB?(SCD). D. AB?(SAD). Câu11. Chohìnhchóp S.ABC có SA?(ABC) vàđáy ABC làtamgiácvuôngtại C.Hãyxác địnhgócagiữahaimặtphẳng(ABC)và(SBC). A. a= Õ SBA. B. a= Ö BCA. C. a= Õ SCA. D. a= Õ SBC. Câu12. ChohìnhchópS.ABCD,đáyABCDlàhìnhchữnhật,AB= a,AD = a p 3,SD = a p 7 vàSA?(ABCD).Góchợpbởicácmặtphẳng(SCD)và(ABCD)gầnnhấtvớikếtquảnàosau đây? A. 50 0 . B. 49 0 . C. 51 0 . D. 48 0 . Câu13. Chohìnhlậpphương ABCD.EFGH.Phântíchnàosauđâylàđúng? A. #  AE= 1 2 ( #  AF+ #  AH #  AC). B. #  AE= 1 4 ( #  AF #  AH #  AC). C. #  AE= #  AF+ #  AH #  AC. D. #  AE= 1 2 ( #  AF #  AH #  AC). Câu14. ChomộttứdiệnđềuABCDvớitrọngtâmG.GócgiữađườngthẳngGBvàmp(BCD) cócosinbằng A. 2 p 2 3 . B. p 3 3 . C. 1 3 . D. p 2 3 . Câu15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc hợp bởi hai mặtphẳng(SAB)và(ABCD)cócosinbằng A. 1 4 . B. p 3 3 . C. 1 3 . D. p 2 3 . Câu16(ĐềKSCLHK2Toán11nămhọc2016-2017,ChuyênBiênHòa,HàNam). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC178|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cholăngtrụđều ABC.A 0 B 0 C 0 cócạnhđáybằng2a,cạnhbênbằng a. Tínhgócgiữamặtphẳng(AB 0 C 0 )vàmặtphẳng(A 0 B 0 C 0 ). A. p 6 . B. arcsin p 3 4 . C. p 3 . D. arccos p 3 4 . A A 0 C 0 B B 0 C Câu17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc hợp bởi hai mặtphẳng(SAB)và(SAD)cócosinbằng A. 1 4 . B. p 3 3 . C. 1 3 . D. p 2 3 . Câu18(HK2-Lop11-LientruongTPVinh-NgheAn-2018). Khoảngcáchtừmộtđỉnhđếnmặtđốidiệncủamộttứdiệnđềucạnh alà A. a p 3 2 . B. a p 6 6 . C. a 2 . D. a p 6 3 . Câu19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc vớimặtphẳng(ABC)vàSA= a 2 .TínhdiệntíchtamgiácSBC. A. a 2 3 . B. a 2 2 . C. a 2 . D. 3a 2 2 . Câu20. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhthoicạnh a,cạnhbên SAvuônggócvớiđáy, Ö BAD = 120 0 , Mlàtrungđiểmcủacạnh BCvà Ö SMA = 45 0 .Tínhtheo akhoảngcáchtừđiểm AđếnđườngthẳngSM. A. a p 3 4 . B. a p 6 4 . C. a p 6 2 . D. a p 3 2 . Câu21(HK2-Lop11-LientruongTPVinh-NgheAn-2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD).BiếtSA= AB= a, AC = 2a.GócgiữaSDvàmặtphẳng(SAB)là A. 90  . B. 45  . C. 30  . D. 60  . Câu22(HK2-Lop11-LientruongTPVinh-NgheAn-2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA? (ABCD), SA = x. Xác định xđểhaimặtphẳng(SBC)và(SCD)tạovớinhaugóc60  . A. a 2 . B. 2a. C. 3a 2 . D. a. Câu23(ToánHọcTuổiTrẻ-Lần6-2018). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a, AB = BC = a.Gọi M làđiểmthuộc ABsaocho AM = 2a 3 .Tínhkhoảngcách d từSđếnđườngthẳngCM. A. d= 2a p 110 5 . B. d= a p 10 5 . C. d= a p 110 5 . D. d= 2a p 10 5 . Câu24. ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácvuôngcântại A.Mặtbên SBClàtam giácđềucạnhavà(SBC)vuônggócvớimặtđáy.GọiHlàtrungđiểmBC.Tínhtheoakhoảng cáchtừđiểm HđếnđườngthẳngSA. A. a p 3 8 . B. a p 3 4 . C. a p 3 2 . D. a p 6 4 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC179|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu25. Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổitrongkhônggian.Giátrịnhỏnhấtcủabiểuthức P= p 3MA+MB+MC+MDlà A. AB+AC+AD. B. p 3AB+AC+AD. C. AB+ p 3AC+AD. D. AB+AC+ p 3AD. 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 D 10 D 11 C 12 B 13 A 14 A 15 B 16 A 17 C 18 D 19 B 20 B 21 D 22 D 23 C 24 B 25 A LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Dễthấy A sai.Mệnhđề B saikhi #  a và #  b cùngphươngcòn #  c khôngcùngphương với #  a và #  b.Mệnhđề C saikhi #  a = #  AB, #  b = #  AC, #  c = #  AD, #  d = #  AA 0 ,với ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 làhìnhlậpphương. Chọnđápán D Câu2. Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ vuông góc vớimặtphẳngcònlại. Chọnđápán B Câu3. Tínhchất1),2),3),5)đúng;tínhchất4),6)sai.DođóchọnC. Chọnđápán C Câu4. Mệnhđềsailà“ĐườngthẳngDk dthìDk(a)”. Chọnđápán B Câu5. Theoquytắchìnhbìnhhànhtacó #  AB+ #  AD = #  AC, #  AC+ #  AE= #  AG nên #  AB+ #  AD+ #  AE= #  AG. Chọnđápán A Câu6. VìSA?(ABC)nênSA? BC. Tam giác ABC cân tại A có AH là trung tuyến nên AH là đườngcao.Dođó BC? AH. VìBC? SAvàBC? AHnênBC?(SAH).DođóBC? SH. A B C S H Chọnđápán D CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC180|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu7. Do #  AD = #  B 0 C 0 nên  #  AC, #  B 0 C 0  =  #  AC, #  AD  = Ö CAD = 45  . Suyra #  AC
#  B 0 C 0 = #  AC
#  B 0 C 0
cos  #  AC, #  B 0 C 0  = a p 2
a
cos45  = a 2 . A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 Chọnđápán B Câu8. Tacó #  EG = #  AC. Nhưthếgócgiữacặpvectơ #  ABvà #  EGlà:  #  AB, #  EG  =  #  AB, #  AC  = Ö BAC = 45 0 . Chọnđápán C Câu9. Tacóđườngthẳng SAvuônggócvớimặtphẳng(ABC) nên hình chiếu của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABC)làđườngthẳngAC.Tabiếtgócgiữađườngthẳng SCvàmặtphẳng(ABC)bằnggóc SCvàhìnhchiếucủa nó trên (ABC), tức là góc giữa hai đường thẳng SC và AC.Vậy b= Õ SCA. A B C S b Chọnđápán D Câu10. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC181|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó AB? ADvà AB? SA. Suyra AB?(SAD). S A D B C Chọnđápán D Câu11. Giaotuyếncủa(SBC)và(ABC)là BC. (1) Tacóđườngthẳng SAvuônggócvớimặtphẳng(ABC), màđườngthẳngBCnằmtrong(ABC)nênSAvuônggóc với BC.Tacó: 8 < : BC?CA(SAC) BC?SA(SAC) CA\SA= A. Suyra(SAC)?BC. (2) Lạicó:  (SCA)\(ABC)= CA (SCA)\(SBC)= CS. (3) Từ(1),(2),(3)suyraa= Õ SCA. A B C S a Chọnđápán C Câu12. Tacó: (SCD)\(ABCD)= CD, AD(ABCD), AD?CD, SD(SCD), SD?CD. Vậy((SCD),(ABCD))= Ö SDA; cos Ö SDA= AD SD = a p 3 a p 7 = p 21 7 . Suyracos Ö SDA 49 0 6 0 . Vậytachọn B. Chọnđápán B Câu13. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC182|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacósựtươngđương: #  AE= 1 2 ( #  AF+ #  AH #  AC) ,2 #  AE= #  AF+ #  CH , #  AE+( #  AE #  AF)= #  CH , #  AE+ #  FE= #  CH , #  BA+ #  AE= #  CH , #  BE= #  CH (đúng). Vậychọn A . Chọnđápán A Câu14. Gọi O là tâm của tam giác đều BCD. Khi đó AO?(BCD) và trọng tâm của tứ diện chính là giaođiểmcủa AO với MN,hơnnữa G làtrung điểm MN.Giảsửcạnhtứdiệnđềucóđộdàilà a.Tacó: AO= p MA 2 MO 2 = s 3a 2 4 1 9
3a 2 4 = 2 p 2 3
a p 3 2 = a p 2 p 3 . Dođó: GO= 1 4 AO= a p 2 4 p 3 = a 2 p 6 ; OB= 2 3
a p 3 2 = a p 3 . Vậytan Ö GBO = GO OB = a 2 p 6
p 3 a = 1 2 p 2 .Tacóhìnhchiếucủa BG trên(BCD)là BO.Dođó gócgiữađườngthẳngGBvàmp(BCD)cócosinbằng cos Ö GBO= s 1 1+tan 2Ö GBO = v u u t 1 1+ 1 8 = 2 p 2 3 . Chọnđápán A Câu15. Gọi alàđộdàicạnhđáy. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC183|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cách1. Gọi Mlàtrungđiểm AB,gọi HlàchânđườngcaohạtừđỉnhScủahìnhchópvàblàgócgiữa haimặtphẳng(SAB)và(ABCD)thì cosb= cos Ö SMH = HM SM = a 2
2 a p 3 = 1 p 3 . Cách 2 (không cần dựng góc). Do hình chiếu củaDSAB trên mặt phẳng (ABCD) làDHAB nên S DHAB = S DSAB .cosb) cosb= S DHAB S DSAB = a 2 4 : 4 a 2 p 3 = 1 p 3 . Chọnđápán B Câu16. Gọi Mlàtrungđiểmcủa B 0 C 0 .Tacó ( B 0 C 0 ? A 0 M B 0 C 0 ? AA 0 ) B 0 C 0 ? AM. Vậygócgiữamặtphẳng(AB 0 C 0 )vàmặtphẳng(A 0 B 0 C 0 )chính làgócgiữahaiđườngthẳng A 0 Mvà AMbằng Ø AMA 0 .Talạicó tan Ø AMA 0 = AA 0 A 0 M = a 2a p 3 2 = 1 p 3 . Suy ra Ø AMA 0 = p 6 . Vậy góc giữa mặt phẳng (AB 0 C 0 ) và mặt phẳng(A 0 B 0 C 0 )bằng p 6 . A A 0 C 0 B B 0 M C Chọnđápán A Câu17. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC184|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi I làtrungđiểmSA.Khiđó 8 > > < > > : (SAB)\(SAD)= SA (DBI)?SA (DBI)\(SAB)= IB (DBI)\(SAD)= ID. Như vậy góc b cần tính là góc giữa hai đườngthẳng IBvà ID.Tacó cos Õ DIB= IB 2 +ID 2 DB 2 2IB.ID = 3a 2 2 2a 2 3a 2 2 = 1 3 . Dođó:cosb= 1 3 . Chọnđápán C Câu18. GọiGlàtrọngtâmtamgiác BCD,tacó d(A,(BCD))= AG = p AB 2 BG 2 = a p 6 3 . A D G B C Chọnđápán D Câu19. Gọi Hlàtrungđiểmcủacạnh BC.Tacó BC? AH. (1) VìSA?(ABC)nênSA? BC. (2) Từ(1)và(2)suyra BC? (SAH)nên BC? SH.Vậygócgiữa haimặtphẳng(ABC)và(SBC)bằng Ö SHA. Đặt j= Ö SHA,tacó tanj= SA AH = a 2 a p 3 2 = 1 p 3 = p 3 3 . Tasuyra j= 30  . Vậygócgiữa(ABC)và(SBC)bằng30  . S A A 0 B C H j Vì SA? (ABC)nêntamgiác ABC làhìnhchiếuvuônggóccủatamgiác SBC.Gọi S 1 ,S 2 lần lượtlàdiệntíchcủacácgiácSBCvà ABC.Tacó: S 2 = S 1 cosj) S 1 = S 2 cosj = 2 p 3 . a 2 p 3 4 = a 2 2 . Chọnđápán B Câu20. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC185|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 TacóDABC làtamgiácđềucạnh a,tamgiác SMA vuôngcântại A, AM = a p 3 2 = SA.Gọi K làhìnhchiếucủa Atrên SM.Khiđó khoảngcáchtừđiểm AđếnđườngthẳngSMlà: AK = 1 2 SM = p AS 2 +AM 2 2 . Vậyd(A,SM)= p 3a 2 2 p 2 = a p 6 4 . Chọnđápán B Câu21. Dễthấy AD?(SAB). Suyra(SD,(SAB))= Ö ASD. Tacó tan Ö ASD = AD AS = p AC 2 AB 2 AS = a p 3 a = p 3. Vậy(SD,(SAB))= 60  . S D B C A Chọnđápán D Câu22. DựngOM? SC.Theođịnhlíbađườngvuônggóc SC? BD,suyra SC? (MBD). Khiđó, jcos × BMDj= cos((SBC),(SCD))=j2cos 2 Ö BOM1j S D M B C O A Suyraj2cos 2 Ö BOM1j= 1 2 ,mặtkhác Ö BOMnhọnnên Ö BOM = 30  hoặc Ö BOM = 60  . HaitamgiácvuôngOMCvàSACđồngdạngnên OM SA = OC SC ) OM = SA
OC SC = xa p 2 2 p x 2 +2a 2 . Tacótan Ö MBO= OM OB = x p x 2 +2a 2  Với Ö BOM = 30  ,tan Ö MBO= x p x 2 +2a 2 = p 3, 2x 2 +6a 2 = 0(khôngtồntại x). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC186|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  Với Ö BOM = 60  ,tan Ö MBO= x p x 2 +2a 2 = 1 p 3 , x = a. Chọnđápán D Câu23. Trong(SMC)kẻSH? MCtại H. Tacó ( MC? SH MC? SA. Suyra MC?(SAH). Dođó MC? AH. Diệntíchtamgiác ABClà S ABC = 1 2 AB
BC = a 2 2
Diệntíchtamgiác MBClà S MBC = 1 2 MB
BC = a 2 6
Suyra S AMC = S ABC S MBC = a 2 2 a 2 6 = a 2 3
B H C A S M Tacó MC = p MB 2 +BC 2 = p 10a 3
Độdàicạnh AH = 2S AMC MC = 2a p 10 10
Xét4AHScóSH = p AH 2 +SH 2 = a p 110 5
Chọnđápán C Câu24. Tacó: SH?BC, AH = BC 2 = a 2 . Ta có (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, đường thẳng SH nằm trong (SBC) và vuông góc với giao tuyến BC nên SH vuông góc với (ABC). Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SA. Khi đó d(H,SA)= HK.TrongtamgiácvuôngSHA,tacó: 1 HK 2 = 1 HS 2 + 1 HA 2 = 4 3a 2 + 4 a 2 = 16 3a 2 . Suyra HK = a p 3 4 . Nhưvậy:d(SA,BC)= HK = a p 3 4 . Chọnđápán B Câu25. Vìcácvectơ #  AB AB , #  AC AC , #  AD AD cóđộdàibằng1vàđôimộtvuônggócvớinhaunên: #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD ! 2 = 3, #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD = p 3. Từđó,vớimọiđiểm M,tacó: P= p 3MA+MB+MC+MD CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC187|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD #  AM + MB.AB AB + MC.AC AC + MD.AD AD  #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD ! . #  AM+ #  MB. #  AB AB + #  MC. #  AC AC + #  MD. #  AD AD =  #  AM+ #  MB  #  AB AB +  #  AM+ #  MC  #  AC AC +  #  AM+ #  MD  #  AD AD = #  AB. #  AB AB + #  AC. #  AC AC + #  AD. #  AD AD = #  AB 2 AB + #  AC 2 AC + #  AD 2 AD = AB 2 AB + AC 2 AC + AD 2 AD = AB+AC+AD. VậyminP= AB+AC+AD,đạtđượckhi Mtrùng A. Chọnđápán A CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC188|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 C. BỘ ĐỀ SỐ 3 1. Đề bài Câu1. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và a là đường thẳng nào đó. Mệnh đề nào sauđâylàsai? A. Nếu ak(P)thì ak(Q). B. Nếu anằmtrong(P)thì ak(Q). C. Nếu anằmtrên(Q)thì ak(P). D. Nếu acắt(P)thì acắt(Q). Câu2. Cho hai mặt phẳng song song và một mặt phẳng thứ ba cắt chúng. M là một điểm không nằm trên cả ba mặt phẳng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và song song với cả bamặtphẳngđãcho? A. Khôngcó. B. Códuynhấtmột. C. Cóvôsố. D. Khôngcóhoặccóvôsố. Câu3. Quamộtphépchiếusongsong,mộtđườngthẳngsẽsongsongvớihìnhchiếucủanó nếuthỏađiềukiện: A. Đườngthẳngđósongsongvớiphươngchiếu. B. Đườngthẳngđókhôngsongsongvớiphươngchiếu. C. Đườngthẳngđókhôngsongsongvớiphươngchiếuvàcũngkhôngsongsongvớimặt phẳngchiếu. D. Đường thẳng đó không song song với phương chiếu nhưng song song với mặt phẳng chiếu. Câu4(ĐềthiHK2khối11,2017-2018,THPTLýThánhTông,HàNội). Đườngthẳng(d)vuônggócvớimặtphẳng(P)khinào? A. (d)vuônggócvớiítnhất2đườngthẳngnằmtrongmặtphẳng(P). B. (d)vuônggócvớiđúng2đườngthẳngnằmtrongmặtphẳng(P). C. (d)vuônggócvới2đườngthẳngcắtnhau. D. (d)vuônggóc2đườngthẳngcắtnhauvànằmtrongmặtphẳng(P). Câu5(ĐềthiHK2khối11,2017-2018,THPTLýThánhTông,HàNội). Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (ABCD)? A. (A 0 B 0 C 0 D 0 ). B. (ABC 0 D 0 ). C. (CDA 0 D 0 ). D. (AA 0 C 0 C). Câu6(ĐềthiHK2khối11,2017-2018,THPTLýThánhTông,HàNội). HìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhvuôngtâmO.HãychỉramệnhđềSAI? A. #  SA+ #  SC = 2 #  SO. B. #  SB+ #  SD = 2 #  SO. C. #  SA+ #  SC = #  SB+ #  SD. D. #  SA+ #  SC+ #  SB+ #  SD = #  0. Câu7(ĐềthiHK2khối11,2017-2018,THPTLýThánhTông,HàNội). Haivectơ #  u, #  u 0 lầnlượtlàvectơchỉphươngcủahaiđườngthẳngd,d 0 .Khiđód? d 0 khi? A. #  u, #  u 0 cùngphương. B. #  u = #  u 0 . C. cos  #  u, #  u 0  = 1. D. cos  #  u, #  u 0  = 0. Câu8(ĐềthiHK2khối11,2017-2018,THPTLýThánhTông,HàNội). Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Chọn mệnhđềĐÚNGtrongcácmệnhđềsau? A. SC?(ABCD). B. BC?(SCD). C. DC?(SAD). D. AC?(SBC). Câu9(HK2-Lop11-LientruongTPVinh-NgheAn-2018). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC189|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. A 0 C 0 ? BD. B. A 0 B 0 ? BC. C. CC 0 ? AB. D. BB 0 ? BD. A B D 0 C 0 A 0 D B 0 C Câu10(ĐềthiHK2khối11,2017-2018,THPTLýThánhTông,HàNội). Cho ba vectơ #  a, #  b, #  c không đồng phẳng. Xét các vectơ #  x = 2 #  a + #  b; #  y = #  a #  b #  c; #  z =3 #  b2 #  c.Chọnkhẳngđịnhđúng? A. Bavectơ #  x, #  y, #  z đồngphẳng. B. Haivectơ #  x, #  a cùngphương. C. Haivectơ #  x, #  b cùngphương. D. Bavectơ #  x, #  y, #  z đôimộtcùngphương. Câu11(ThiHK2,THPTĐôngHà,QuảngTrị,2018). Chohìnhchóp S.ABC cóđáy ABC làtamgiáccântại C, AC = BC = a p 10,mặtbên SABlà tamgiácđềucạnh2avànằmtrongmặtphẳngvuônggócvớiđáy.Tínhgócgiữađườngthẳng SCvàmặtphẳng(ABC). A. 30  . B. 45  . C. 90  . D. 60  . Câu12(ĐềHK2T11,LongThạnh,KiênGiang2018). Cho lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 có đáy4A 0 B 0 C 0 vuông tại B 0 (xem hình vẽ). Hỏi đường thẳng B 0 C 0 vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? A. (BB 0 A 0 ). B. (AA 0 C 0 ). C. (ABC). D. (ACC 0 ). B 0 C 0 A C B A 0 Câu13(ThiHK2,THPTĐôngHà,QuảngTrị,2018). Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông góc tại A và B, AD = 2a,AB = BC = a,SA?(ABCD).Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàosai? A. CD?(SBC). B. BC?(SAB). C. CD?(SAC). D. AB?(SAD). Câu14(HK2-Lop11-LientruongTPVinh-NgheAn-2018). Chotứdiện ABCD có AB vuônggócvớimặtphẳng(BCD).TrongDBCD vẽcácđườngcao BE và DF cắt nhau ở O. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AC. Khẳng định nào sau đâysai? A. (ADC)?(ABE). B. (BDC)?(ABE). C. (ADC)?(DFK). D. (ADC)?(ABC). Câu15(ThiHK2,ChuyênĐHSPHàNội,2018). Chohìnhlăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 .Mệnhđềnàosauđâysai? A. d((ABC),(A 0 B 0 C 0 ))= BB 0 . B. Cácmặtbêncủahìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 đềulàcáchìnhchữnhật. C. d(B,(ACC 0 A 0 ))= d(B 0 ,(ACC 0 A 0 )). D. d(A,(BCC 0 B 0 ))= AB. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC190|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu16(ThiHK2,ChuyênĐHSPHàNội,2018). Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .Hệthứcnàosauđâyđúng? A. #  AC 0 = #  AB+ #  AC+ #  AA 0 . B. #  AC 0 = #  AB+ #  CB+ #  AA 0 . C. #  AC 0 = #  AB+ #  AD+ #  AA 0 . D. #  AC 0 = #  BD+ #  AC+ #  AA 0 . Câu17(ThiHK2,ChuyênĐHSPHàNội,2018). ChohìnhchópS.ABCcóSA?(ABC).Gọi Hlàhìnhchiếuvuônggóccủa Atrên BC.Khẳng địnhnàosauđâyđúng? A. BC? SH. B. BC? SC. C. AC? SH. D. AH? SC. Câu18(ThiHK2,ChuyênĐHSPHàNội,2018). ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhchữnhậtvàSAvuônggócvớiđáy.Khiđósốmặtbên củahìnhchóplàtamgiácvuôngbằng A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu19(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội2018). Tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Gócgiữađườngthẳng ABvàphẳngphẳng(BCD)làgóc Ö ABC. B. AB? CD. C. AG?(BCD). D. #  AB+ #  AC+ #  AD = 3 #  AG. Câu20(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội2018). Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Cosin của góc giữa mặt bên với mặt đáybằng A. p 3 3 . B. p 6 3 . C. p 2 2 . D. 1 2 . Câu21(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội2018). Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a, SA? (ABCD). Khoảng cách từ điểm Ađếnmặtphẳng(SBD)bằng A. 2a. B. a. C. a p 2. D. a p 3 3 . Câu22(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội2018). Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhaubằng A. Độdàiđoạnthẳngnốimộtđiểmcủađườngthẳngnàyvớimộtđiểmcủađườngthẳng kia. B. Độdàiđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳngđó. C. Khoảngcáchtừmộtđiểmcủađườngthẳngnàytớimặtphẳngchứađườngthẳngkia. D. Khoảngcáchgiữahaimặtphẳnglầnlượtchứahaiđườngthẳngđó. Câu23(ThiHK2,ChuyênĐHSPHàNội,2018). Chotứdiệnđều ABCD.Gócgiữahaiđườngthẳng ABvàCDbằng A. 60  . B. 90  . C. 45  . D. 30  . Câu24(ThiHK2,ChuyênĐHSPHàNội,2018). Tìmkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau: A. Nếu a?bvà a?(P)thìbk(P). B. Quamộtđiểmcóvôsốđườngthẳngvuônggócvớimộtmặtphẳngchotrước. C. Haiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsongvớinhau. D. Haimặtphẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsongvớinhau. Câu25(ThiHK2,ChuyênĐHSPHàNội,2018). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC191|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD cótấtcảcáccạnhđềubằng a.Tancủagócgiữamặtbên vàmặtđáybằng A. p 2. B. p 2 2 . C. p 3 2 . D. p 3. 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 A 2 B 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 C 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 D 15 D 16 C 17 A 18 A 19 A 20 A 21 D 22 B 23 B 24 C 25 A LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Nếuđườngthẳng asongsongsongvới(P)thì avẫncóthểnằmtrong(Q).Nhưvậy chọn A. Chọnđápán A Câu2. Đólàđườngthẳngđiqua Mvàsongsongvớigiaotuyến a,bcủacácmặtphẳngđãcho. Chọnđápán B Câu3. Chọnđápán D Câu4. Nếu(d)vuônggóc2đườngthẳngcắtnhauvànằmtrongmặtphẳng(P)thìd?(P). Chọnđápán D Câu5. Mặtphẳng(ABCD) làmặtđáycủahìnhlậpphươngnênsẽvuônggóccácmặtbên. Dođó(ABCD)?(AA 0 C 0 C). Chọnđápán D CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC192|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu6. DoOlàtâmcủa ABCDnên #  SA+ #  SC = 2 #  SOvà #  SB+ #  SD = 2 #  SO. Dođó #  SA+ #  SC+ #  SB+ #  SD = #  0 = 4 #  SO6= #  0. Chọnđápán D Câu7. Dod? d 0 nên #  u? #  u 0 ) #  u
#  u 0 = 0) cos  #  u, #  u 0  = 0. Chọnđápán D Câu8. Tacó ( SA? DC AD? CD ) DC?(SAD). Chọnđápán C Câu9. Do ABCDlàhìnhthoinên AC? BD,mà A 0 C 0 k BDsuyra A 0 C 0 ? BD. Chọnđápán A Câu10. Giảsửtồntạihaisốthựck,mđể #  x = k #  y +m #  z. Suyra 8 > < > : k = 2 k2m= 0 k3m= 1 , ( k = 2 m=1. Vậy #  x = 2 #  y #  z nênbavectơđồngphẳng. Chọnđápán A Câu11. Gọi Hlàtrungđiểmcủa AB.KhiđóSH? AB.Tacó AB=(SAB)\(ABC) SH? AB (SAB)?(ABC) 9 = ; ) SH?(ABC). Suyra(SC,(ABC)) = (SC,HC) = Ö SCH.Ápdụngđịnh lýPytagovào4AHCvuôngtại H,tacó CH = p AC 2 AH 2 = p 10a 2 a 2 = 3a. ÁpdụngđịnhlýPi-ta-govào4SAHvuôngtại H,tacó SH = p SA 2 AH 2 = p 4a 2 a 2 = a p 3. Trong4SHCvuôngtại H,tacó tan Ö SCH = SH CH = a p 3 3a = 1 p 3 . Suyra Ö SCH = 30  .Vậy(SC,(ABC))= 30  . B A C H S Chọnđápán A Câu12. Ta có B 0 C 0 ? BB 0 vì ABCD.A 0 B 0 C 0 là lăng trụ đứng. Mà BB 0 ? B 0 A 0 do4A 0 B 0 C 0 vuôngtại B 0 .Từđósuyra B 0 C 0 ?(BB 0 A 0 ). Chọnđápán A Câu13. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC193|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó  ( BC? AB BC? SA ) BC?(SAB).  ( AB? AD AB? SA ) AB?(SAD).  Dựnghìnhvuông ABCI.Khiđó CI = AI = ID = 1 2 AD. Suyra4ACDvuôngtạiC. S I A D C B  ( CD? AC CD? SA ) CD?(SAC).  VậykhẳngđịnhsailàCD?(SBC). Chọnđápán A Câu14. Giảsử(ADC)?(ABC),màDK?(AC)suyraDK?(ABC).Mặt khácdễthấy DF?(ABC),từđósuyraKtrùng F(mâuthuẫn). A F D O E B C K Chọnđápán D Câu15. Do ABC.A 0 B 0 C 0 làlăngtrụđứngnên d((ABC),(A 0 B 0 C 0 ))= BB 0 . Cácmặtbêncủahìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 đềulàcáchìnhchữnhật. Tacód(B,(ACC 0 A 0 )) = d(B 0 ,(ACC 0 A 0 )).Kẻ AH? BCtại H,khiđó AH?(BCC 0 B 0 )nênd(A,(BCC 0 B 0 ))= AH. Vậyd(A,(BCC 0 B 0 ))= ABlàmệnhđềsai. B A A 0 C 0 C B 0 H Chọnđápán D Câu16. Theoquitắchìnhhộp,có #  AC 0 = #  AB+ #  AD+ #  AA 0 . C C 0 D 0 D A B A 0 B 0 CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC194|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Chọnđápán C Câu17. VìSA?(ABC)nênSA? BC. Do ( BC? SA BC? AH ) BC? SH. A B C H S Chọnđápán A Câu18. Do SA? (ABCD)) SA? AB và SA? AD, nên4SAB và 4SADvuôngtại A. DoSA?(ABCD)) SA? DC (1) Lạicó ABCDlàhìnhchữnhậtnênCD? AD (2) Từ(1)và(2)suyraCD? SD,hay4SCDvuôngtại D. Chứngminhtươngtựcó4SBCvuôngtại B. Vậyhìnhchópcó4mặtbênlàcáctamgiácvuông. A B C D S Chọnđápán A Câu19. Kẻ AH? (BCD) tại H.Khiđó HB, HC, HD lầnlượtlà hình chiếu vuông góc của AB, AC, AD lên (BCD). Mà AB = AC = AD nên HB = HC = HD. Lại có4BCD đềunên H cũnglàtrọngtâm4BCD.Suyra H Ghay AG?(BCD). Tacó ( CD? BG CD? AG . SuyraCD?(ABG)) AB? CD. VìGlàtrọngtâm4ABCnên #  AB+ #  AC+ #  AD = 3 #  AG. TacóBGlàhìnhchiếuvuônggóccủa ABlên(BCD)nên Û (AB,(BCD)) = Ö ABG. Vậy mệnh đề sai là “Góc giữa đườngthẳng ABvàphẳngphẳng(BCD)làgóc Ö ABC”. A B D G C Chọnđápán A Câu20. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC195|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 GọiOlàtâmhìnhvuông ABCD. KhiđóSO?(ABCD). Gọi Mlàtrungđiểmcủa AB. Tacó 8 > < > : (SAB)\(ABCD)= AB SO?(ABCD) OM? AB. Suyra Û ((SAB),(ABCD))= Ö SMO. Đặt AB= a.Tacó 8 > < > : SM = a p 3 2 OM = a 2 . Suyracos Ö SMO= MO SM = p 3 3 . S A M B C O D Chọnđápán A Câu21. GọiOlàtâmhìnhvuông ABCD) AO= a p 2 2 . Tacó ( BD? AO BD? SA(doSA?(ABCD).) Suyra BD?(SAO). Vẽ AK? SOtạiK,tacó ( AK? SO AK? BD(do BD?(SAO).) Suyra AK?(SBD)) d(A,(SBD))= AK. 4SAOvuôngtại Acó AK? SO. Suyra AK = SA
AO p SA 2 +AO 2 = a p 3 3 . S B D O C K A Chọnđápán D Câu22. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung củahaiđườngthẳngđó. Chọnđápán B Câu23. Gọi I làtrungđiểmcủaCDvà HlàtrọngtâmtamgiácđềuBCD. Tacó AH?CDvà HB?CD. Suyra #  AH
#  CD = 0và #  HB
#  CD = 0.Xét #  AB
#  CD =  #  AH+ #  HB 
#  CD = #  AH
#  CD+ #  HB
#  CD = 0. Suyra #  AB? #  CD.Dođógócgiữa ABvàCDbằng90  . A D B C H I Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC196|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu24. Chọnđápán C Câu25. Trong (ABCD), gọi O = AC\BD và I là trungđiểmcủaBC.Tacógócgiữamặtbên (SBC)vàđáy ABCDlà Õ SIO.Khiđótacó tan Õ SIO= SO OI = p SI 2 OI 2 OI = v u u t a p 3 2 ! 2  a 2  2 a 2 = p 2. S A D B C O I Chọnđápán A CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC197|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 D. BỘ ĐỀ SỐ 4 1. Đề bài Câu1(ĐềthiHK2khối11,THPTChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2008). Trongcácmệnhđềsau.Hãytìmmệnhđềđúng. A. Hìnhhộpcóđáylàhìnhchữnhật. B. Hìnhlăngtrụđềucóđáylàtamgiácđều. C. Hìnhlậpphươngcó6mặtlàhìnhvuông. D. Hìnhchópđềucótấtcảcáccạnhbằngnhau. Câu2(ĐềthiHK2khối11,THPTChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Trongcácmệnhđềsau.Hãytìmmệnhđềsai. A. Trongkhônggianhaiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìhai đườngthẳngđósongsongvớinhau. B. Trong không gian một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng(P)thìđườngthẳngđóvuônggócvớimặtphẳng(P). C. Trongkhônggianhaiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớiđườngthẳngthứba thìhaiđườngthẳngsongsongvớinhau. D. Trongkhônggianhaimặtphẳngcắtnhauvàvuônggócvớimặtphẳngthứbathìgiao tuyếncủachúngcũngvuônggócvớimặtphẳngthứba. Câu3(ĐềthiHK2khối11,THPTChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Chọnmệnhđềsaitrongcácmệnhđềsau A. Nếubađiểmphânbiệtcùngthuộchaimặtphẳngphânbiệtthìchúngthẳnghàng. B. Nếuhaimặtphẳngcómộtđiểmchungthìchúngcóvôsốđiểmchung. C. Haimặtphẳngphânbiệtcómộtđiểmchungthìchúngcómộtđườngthẳngchungduy nhất. D. Haimặtphẳngcóhaiđiểmchungthìchúngcómộtđườngthẳngchungduynhất. Câu4(HK2khối11,trườngChuyênTHPTPhanBộiChâu,NghệAn2018). Tứdiện ABCD đều.Gọi G làtrọngtâmcủatamgiác BCD.Trongcácmệnhđềsau.Hãytìm mệnhđềsai. A. Gócgiữađườngthẳng ABvàmặtphẳng(BCD)làgóc Ö ABC. B. #  AB+ #  AC+ #  AD = 3 #  AG. C. AG?(BCD). D. AB? CD. Câu5(HK2khối11,THPTChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cạnh a.Đặt #  x = #  AA 0 + #  AC 0 .Độdài #  x bằng A. (1+ p 3)a. B. a p 6 2 . C. a p 6. D. a p 2. Câu6(HK2Toán11,ĐứcThọ,HàTĩnh2018). ChohìnhchópS.ABCDcó ABCDlàhìnhthoitâmOvàSA= SC,SB= SD.Trongcácmệnh đềsau,mệnhđềnàosai? A. AC? SA. B. SD? AC. C. SA? BD. D. AC? BD. Câu7(HK2khối11,trườngChuyênTHPTPhanBộiChâu,NghệAn2018). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC198|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . Tính khoảng cách giữahaiđườngthẳngBB 0 và AC 0 biết AB= a, AD = a p 3. A. a p 3 4 . B. a p 3 2 . C. a p 3. D. a p 2 2 . A D D 0 B C C 0 A 0 B 0 Câu8(ĐềthiHK2khối11,2017-2018trườngTHPTPhanBộiChâu,TỉnhNghệAn). Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a, SA? (ABCD). Khoảng cách từ đườngthẳng ADđếnmặtphẳng(SBC)bằng A. a p 2. B. a. C. 2a. D. a p 2 2 . Câu9(ĐềKTHK2T111,PhanBộiChâu,NghệAn2018). Chohìnhlậpphương ABCD.EFGH,gócgiữahaivectơ #  AC, #  BGlà A. 45  . B. 30  . C. 60  . D. 120  . Câu10(T11,ChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Chotứdiện ABCDcó AB = CD = a.Gọi Mvà N lầnlượtlàtrungđiểmcủa ADvà BC.Xác địnhđộdàiđoạnthẳng MN đểgócgiữahaiđườngthẳng ABvà MN bằng30  . A. MN = a 2 . B. MN = a p 3 2 . C. MN = a p 3 3 . D. MN = a 4 . Câu11(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Chotứdiện ABCDđều,gọiGlàtrọngtâmtamgiác BCD.Mệnhđềnàosauđâysai? A. cos Ö ABG = p 3 3 . B. AB? CD. C. AG?(BCD). D. Ö ABG = 60  . Câu12(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội,2018). Tứ diện OABC có OA = OB = OC và đôi một vuông góc. Tang của góc giữa đường thẳng OAvàmặtphẳng(ABC)bằng A. 2. B. p 2. C. 1. D. p 2 2 . Câu13(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội,2018). ChohìnhchópđềuS.ABCD.Gọi Hlàtrungđiểmcủacạnh AC.Tìmmệnhđềsai? A. (SAC)?(SBD). B. SH?(ABCD). C. (SBD)?(ABCD). D. CD?(SAD). Câu14(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội2018). Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .GócgiữahaiđườngthẳngCD 0 và AC 0 bằng A. 30  . B. 90  . C. 60  . D. 45  . Câu15(ĐềthiHK2khối11,2017-2018trườngTHPTPhanBộiChâu,TỉnhNghệAn). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC199|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết AB = AC = a, BC = a p 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng(SAB)và(SAC)? A. 120  . B. 60  . C. 150  . D. 30  . A C S B Câu16(HK2khối11,THPTChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA? (ABCD) và SA = a p 2. Gọi M là trung điểm SB. Tính tan của góc giữa đường thẳng DM và (ABCD) A. 2 5 . B. p 5 5 . C. p 2 5 . D. p 10 5 . B C D S A Câu17(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội,2018). Hìnhchópđều S.ABC. G làtrọngtâmtamgiác ABC.Biếtrằng SG = AB = a.Khoảngcách giữahaiđườngthẳngSAvàGCbằng A. a p 5 5 . B. a p 3 3 . C. a 2 . D. a. Câu18(HK2T11,ChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Chohìnhlăngtrụđứngtamgiác ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáy ABClàtam giáccân AB = AC = a, Ö BAC = 120  cạnhbên AA 0 = a p 2.Tính gócgiữahaiđườngthẳng AB 0 và BC. A B A 0 B 0 C C 0 A. 60  . B. 45  . C. 90  . D. 30  . Câu19(HK2T11,ChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC200|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhchữnhật.Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4. Biết AB = 3, BC = 4. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng A. 5 p 34 17 . B. 3 p 17 17 . C. 2 p 34 17 . D. 3 p 34 34 . C A B D O S 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 C 2 C 3 D 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D 9 C 10 B 11 D 12 D 13 D 14 B 15 B 16 D 17 A 18 B 19 D LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Mệnhđềđúnglà"Hìnhlậpphươngcó6mặtlàhìnhvuông". Chọnđápán C Câu2. Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳngthứbathìhaiđườngthẳngsongsongvớinhau"làsai. Chọnđápán C Câu3. Mệnh đề sai là "Hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có một đường thẳng chungduynhất".Xéttrườnghợphaimặtphẳngtrùngnhauthìchúngcóvôsốđườngthẳng chung. Chọnđápán D Câu4. Gọi I trungđiểm BC. Tacó AG?(ABC)tạiGnên (AB,(ABC))= Ö ABG6= Ö ABC. B C I A D G Chọnđápán A Câu5. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC201|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi I 0 làtrungđiểmcủa A 0 C 0 .Tacó #  x = 2 #  AI 0 . AI 02 = AA 02 +A 0 I 02 = 3a 2 2 ) AI 0 = a r 3 2 . Vậyj #  xj= a p 6. A D D 0 B C C 0 I 0 A 0 B 0 Chọnđápán C Câu6. SA = SC nêntamgiác SAC cântại S,suyra SO? AC (Vì O là trung điềm AC). Ta có SB = SD nên tam giác SBD cân tại S, suy ra SO? BD (Vì O là trung điểm BD).SuyraSO? (ABCD).Mà ABCDlàhìnhthoinên AC? BD B S O A C D Chọnđápán A Câu7. Gọi Hlàhìnhchiếucủa Blên AC. Tacód(BB 0 ,AC 0 )= d(BB 0 ,(ACC 0 ))= BH. Tacó 1 BH 2 = 1 AB 2 + 1 BC 2 = 4 3a 2 . Vậy BH = a p 3 2 . A D D 0 B C C 0 A 0 B 0 H Chọnđápán B Câu8. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC202|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Tacó ADk BCnên d(AD,(SBC))= d(A,(SBC))= AH, với Hlàhìnhchiếucủa AtrênSB.Tacó 1 AH 2 = 1 SA 2 + 1 AB 2 , 1 AH 2 = 2 a 2 ,AH = a p 2 2 . B H C D S A Chọnđápán D Câu9. Tacó  #  AC, #  BG  =  #  AC, #  AH  = Ö HAC = 60  (dotamgiác AHClà tamgiácđều). D A B C E F G H Chọnđápán C Câu10. Gọi Plàtrungđiểmcủa ACtacó NPk AB.Suyragócgiữahai đườngthẳng ABvà MN là × PNM. Tacó PM 2 = NP 2 +MN 2 2NP
MNcos(PNM). Trongđó PM = CD 2 = a 2 , NP= AB 2 = a 2 . Suyra MN 2 p 3 2 MN = 0) MN = a p 3 2 . A B M C D N P Chọnđápán B Câu11. Gọi I làtrungđiểmcạnhCD.Tacó: CD? BI;CD? AG) CD?(ABI)) CD? AB. Theogiảthiết AG?(BCD). Giảsửtứdiệnđều ABCD cócạnhbẳng 1,suyratrongtam giác ABGcó BG = 2 3 BI = 2 3
p 3 2 = p 3 3 . Vậycos Ö ABG = BG AB = p 3 3 ) Ö ABG6= 60  . A D B G C I Chọnđápán D CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC203|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu12. KẻOK? BC(K2 BC). Mà BC? OA(doOA?(OBC)) nên BC?(OAK). KẻOH? AK(H2 AK). TalạicóOH? BC(do BC?(OAK)). VậyOH?(ABC). KhiđógócgiữaOAvàmặtphẳng(ABC) làgóc Ö OAH = Ö OAK. TacóOK = 1 2 BC = OA
p 2 2 . Vậytan Ö OAK = OK OA = p 2 2 . A B K O C H Chọnđápán D Câu13. Theo tính chất của hình chóp tứ giác đều, ta có SH vuông góc với (ABCD). Mà SH thuộc (SBD) nên suy ra(SBD)?(ABCD).Talạicó ( AC? SH AC? BD ) AC?(SBD). Hay(SAC)?(SBD). VậymệnhđềCD?(SAD)làsai. S A D B C H Chọnđápán D Câu14. Tacó ( CD 0 ? C 0 D CD 0 ? AD(do AD?(CDD 0 C 0 )) ) CD 0 ?(ADC 0 ) ) CD 0 ? AC 0 . Vậy Û (CD 0 ,AC 0 )= 90  . A 0 D 0 C 0 A B 0 B C D Chọnđápán B Câu15. Tacó 8 > < > : SA=(SAB)\(SAC) BA? SA,BA(SAB) AC? SA,AC(SAC) )((SAB),(SAC)=(AB,AC). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC204|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 cos Ö BAC = AB 2 +AC 2 BC 2 2
AB
AC = 1 2 ) Ö BAC = 120  . Vậy((SAB),(SAC))= 180  120  = 60  . Chọnđápán B Câu16. Gọi Hlàtrungđiểmcủa AB.Tacó MH?(ANCD). Vậy(DM,(ABCD))= × MDH.Tacó  MH = SA 2 = a p 2 2 .  DH 2 = AD 2 +AH 2 = 5a 2 4 ) DH = a p 5 2 .  tan × MDH = MH DH = p 10 5 . B M C D S A H Chọnđápán D Câu17. Từ Akẻđườngthẳngsongsongvới GCcắt BC tại F.Khiđó d(SA;GC)= d(GC;(SAF))= d(G;(SAF)). Gọi Mlàtrungđiểm AB. TừGkẻGKk AB(K2 AF),thếthìGK? AF. TừGkẻGH? SK(H2 SK). Khiđó AF? GK,AF? SG) AF?(SGK). Mà GH ? SK,GH ? AF (do AF? (SGK)), suyraGH?(SAF)hayGH = d(G;(SAF)). XéttamgiácSGKvuôngtạiGtacó GK = AM = 1 2 AB= a. S C A K B M H F G SuyraGH = SG
GK p SG 2 +GK 2 = a
a 2 r a 2 +  a 2  2 = a p 5 5 . Chọnđápán A Câu18. Tacó cos  #  AB 0 , #  BC  = #  AB 0
#  BC AB 0 .BC =  #  AB+ #  BB 0 
#  BC AB 0
BC = #  AB
#  BC+ #  BB 0 . #  BC AB 0
BC = #  AB
#  BC AB 0
BC . Trongđó BC = p a 2 +a 2 2a
acos120  = a p 3. AB 0 = r a 2 +  a p 2  2 = a p 3. #  AB
#  BC =AB
BC
cos30  =a
a p 3
cos30= 3a 2 2 . Vậycos  #  AB 0 , #  BC  = 1 2 )  #  AB 0 , #  BC  = 120  )(AB 0 ,BC)= 60  . Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC205|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu19. Kẻ BH? AC.Khiđó BH?(SAC)vì(SAC)?(ABCD). KẻCK? SA; HE? SA,(K,EthuộcSA). Khiđótacó: ( SA? HE SA? BH(BH?(SAC)). SuyraSA?(BHE)) SA? BE. Vậygócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(SAC)làgóc Ö HEB.Tínhgóc Ö HEB: Tacó: BH = AB
BC AC = 12 5 . Vì HEk CKnênDAEHDAKC. Suyra AH HE = AC CK .Dođó HE= AH
CK AC = 9 5
4 5 = 36 25 . A K E B S C H D TacóDBHEvuôngtại Hnên: BE= p BH 2 +HE 2 = s  12 5  2 +  36 25  2 = 12 p 34 25 . Vậycos Ö HEB= HE BE = 36 25 12 p 34 25 = 3 p 34 34 . Chọnđápán D CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC206|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 E. BỘ ĐỀ SỐ 5 1. Đề bài Câu1(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Trongkhônggian,chohaiđườngthẳng avàbchéonhau.Mệnhđềnàosauđâysai? A. Tồntạimộtmặtphẳngchứa avàsongsongvớib. B. Khoảngcáchgiữa avàbbằngđộdàiđườngvuônggócchungcủa avàb. C. Tồntạimộtmặtphẳngchứabvàsongsongvới a. D. Tồntạiduynhấtmộtcặpmặtphẳnglầnlượtchứa a,bsongsongvớinhau. Câu2(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Trongkhônggian,chođườngthẳngavàmặtphẳng(P).Cóbaonhiêumặtphẳngchứađường thẳng avàvuônggócvới(P)? A. Códuynhấtmột. B. Cóvôsố. C. Cómộthoặcvôsố. D. Khôngcó. Câu3(ĐềHKII,THPTLêHồngPhong,KhánhHòa2018). Chohìnhlăngtrụtamgiác(xemhìnhbên),chọnkhẳngđịnhsai? A. Haiđáynằmtrênhaimặtphẳngsongsong. B. Cáccạnhbênsongsongvớinhau. C. Haitamgiácđáybằngnhau. D. Cácmặtbênlàcáchìnhchữnhật. Câu4. Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 ,tổngcủa #  DA+ #  DC+ #  DD 0 là vectơnàodướiđây? A. #  DB 0 . B. #  DB. C. #  BD. D. #  BD 0 . A D A 0 B 0 C 0 D 0 B C Câu5(HK2khối11,THPTLýThánhTông,HàNội2018). ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthoi, AB = 2a, Ö BAD = 60  .Hìnhchiếuvuông góccủađỉnh Slênmặtphẳng(ABCD)làtrọngtâm H củatamgiác ABD.Khiđó BD vuông gócvớimặtphẳngnàosauđây? A. (SAB). B. (SAC). C. (SCD). D. (SAD). Câu6(ThiHK2,THPTĐôngHà,QuảngTrị,2018). ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnh a,cạnhbênSA = avàvuônggócvớimặt đáy(ABCD).TínhsốđogócgiữahaiđườngthẳngSBvàCD. A. 30  . B. 45  . C. 60  . D. 90  . Câu7(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Chohìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 đều.Mệnhđềnàosauđâysai? A. Lăngtrụđãcholàlăngtrụđứng. B. Cácmặtbêncủalăngtrụlàhìnhchữnhật. C. Haimặtđáycủalăngtrụlàcácđagiácđều. D. Tamgiác B 0 ACđều. Câu8(ĐềHK2khối11,2017-2018SởGD&ĐTHàNam). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC207|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Chohìnhchóp S.ABCcóđáy ABClàtamgiácvuôngtại Avà SA = SB = SC.Gọi H làhình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. Hlàtrungđiểmcủa BC. B. Hlàtrọngtâmtamgiác ABC. C. Hlàtrungđiểmcủa AB. D. Hlàtrựctâmtamgiác ABC. Câu9(ĐềHK2-THPTNhữVănLan,HảiPhòng,2018). Chohìnhchóp S.ABC.Hãyxácđịnhgócgiữacặpvectơ #  SB và #  AC biếtrằng SA = SB = SC và Õ ASB= Õ BSC = Õ CSA. A. 45  . B. 90  . C. 60  . D. 120  . Câu10(ĐềHK2-THPTNhữVănLan,HảiPhòng,2018). ChohìnhchópS.ABCcóSA?(ABC)và AB? BC.Gócgiữahaimặtphẳng(SBC)và(ABC) làgócnàosauđây? A. GócSIA(I làtrungđiểm BC). B. GócSCB. C. GócSBA. D. GócSCA. Câu11(ĐềHK2khối11,2017-2018SởGD&ĐTHàNam). Cho hình tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác vuông cân tại C. Biết BD = 2a và AB? (BCD).Khoảngcáchtừđiểm Dđếnmặtphẳng(ABC)bằng A. a. B. a p 2 2 . C. 2a. D. a p 2. Câu12(ĐềHK2khối11,2017-2018SởGD&ĐTHàNam). Chohìnhtứdiện ABCD,đặt #  AB = #  a, #  AC = #  b, #  AD = #  c.Gọi MlàtrungđiểmcủaCD.Tìm mệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsau. A. #  BM = 1 2  #  b + #  c  #  a. B. #  BM = 1 2 ( #  a + #  c) #  b. C. #  BM = 1 2  #  b #  c  #  a. D. #  BM = 1 2  #  b + #  a  #  c. Câu13(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội,2018). Chotứdiệnđều ABCD.Thiếtdiệncủatứdiện ABCDvàmặtphẳngtrungtrựccủacạnh BC là A. Hìnhthang. B. Tamgiácvuông. C. Hìnhbìnhhành. D. Tamgiáccân. Câu14(HK2khối11,THPTChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhvuôngcạnhbằnga,(a> 0)biếtSA?(ABCD) vàSA= a p 2.TínhgócgiữađườngthẳngSCvàmặtphẳng(ABCD) A. 90  . B. 45  . C. 30  . D. 60  . Câu15(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnhbênSAvuônggócvớimặtđáy,SA= 2a.Mệnhđềnàosau đâysai? A. AC? SD. B. TamgiácSBDcân. C. (SB;CD)= Õ SBA. D. SC? BD. S A D B C Câu16(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC208|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a p 3; gọi M là trung điểm AC.Tínhkhoảngcáchtừ Mđếnmp(SBC). A. d(M,(SBC))= a p 3 3 . B. d(M,(SBC))= a p 6 4 . C. d(M,(SBC))= a p 6 2 . D. d(M,(SBC))= a p 3 2 . A S B C M Câu17(ĐềHK2,SởGiáodục&ĐàotạoBìnhPhước2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳngđịnhnàosauđâysai? A. (SBD)?(SAC). B. (SCD)?(SAD). C. (SAC)?(ABC). D. (SBC)?(SAB). Câu18(ĐềHK2,SởGiáodục&ĐàotạoBìnhPhước2017). Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = a, MN = a p 3 2 .Tìmgócgiữahaiđườngthẳng ABvàCD. A. 60  . B. 90  . C. 30  . D. 120  . Câu19(ĐềHKII,THPTLêHồngPhong,KhánhHòa2018). CholăngtrụđứngABC.A 0 B 0 C 0 cóđáylàtamgiácđềuvàchiềucaolăngtrụbằnga,mặtphẳng (A 0 BC)tạovớiđáy(ABC)góc60  .GọiSlàdiệntíchtamgiác ABC,giátrịcủaSbằng A. S= a 2 p 3 3 . B. S= a 2 p 3 4 . C. S= a 2 p 3 2 . D. S= a 2 p 3 9 . Câu20(ĐềthiHK2,LươngThếVinh,HàNội,2018). Cholăngtrụđều ABC.A 0 B 0 C 0 cókhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng A 0 BvàCC 0 bằnga p 3và AA 0 = a.TínhdiệntíchcủaDABC. A. a 2 p 3. B. 3a 2 p 3 4 . C. a 2 p 3 4 . D. 2a 2 p 3. Câu21(ThiHK2,THPTĐôngHà,QuảngTrị,2018). Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cócạnhbằng a.Tínhkhoảngcáchtừđiểm Bđếnmặt phẳng(AB 0 C). A. a p 2 3 . B. a p 3 2 . C. a p 3 3 . D. a p 6 3 . Câu22(ThiHK2,THPTĐôngHà,QuảngTrị,2018). ChotứdiệnđềuABCDcócạnhbằnga.GọiMlàtrungđiểmcạnhAB,alàgócgiữahaiđường thẳng BDvàCM.Tínhcosa. A. 1 2 . B. p 3 3 . C. p 3 6 . D. p 2 2 . Câu23(HK2khối11,THPTChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh a và SA? (ABCD),SA = x.Xácđịnh xđểhaimặtphẳng(SBC)và (SDC)tạovớinhaumộtgócbằng60 o ? A. x = a 2 . B. x = a p 3. C. x = a p 3 2 . D. x = a. B C D S A CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC209|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu24(ĐềHK2,SởGDvàĐT,TháiBình,2018). ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABCvuôngcântại A, AB= a p 2;tamgiácSBCđềunằmtrong mặtphẳngvuônggócvớiđáy.Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ACvàSB. A. a p 21 7 . B. 2a p 21 7 . C. 2a p 21 3 . D. a p 21 14 . Câu25(ChuyênPhanBộiChâu,NghệAn2018). Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cócạnhbằnga.GọiKlàtrungđiểmcủaDD 0 .Khoảng cáchgiữahaiđườngthẳngCKvà A 0 Dbằng A. a p 3 3 . B. a 3 . C. 2a p 3 3 . D. a p 3 2 . 2. Đáp án và lời giải ĐÁPÁNTRẮCNGHIỆM 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B 7 D 8 A 9 B 11 D 12 A 13 D 14 B 15 A 16 B 17 A 18 A 19 D 20 A 21 C 22 C 23 D 24 B 25 B LỜIGIẢICÂUHỎITRẮCNGHIỆM Câu1. Địnhlí:“Chohaiđườngthẳngchéonhau.Códuynhấtmộtmặtphẳngchứađường thẳngnàyvàsongsongvớiđườngthẳngkia”.  Khẳngđịnh“Tồntạimộtmặtphẳngchứa avàsongsongvớib”làđúng.  Khẳngđịnh“Tồntạimộtmặtphẳngchứabvàsongsongvới a”làđúng.  Khẳng định “Tồn tại duy nhất một cặp mặt phẳng lần lượt chứa a,b song song với nhau”làđúng.  Vậykhẳngđịnhlà“Khoảngcáchgiữaavàbbằngđộdàiđườngvuônggócchungcủaa vàb”làsai. Chọnđápán B Câu2. Nếu đường thẳng a? (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a đều vuông góc với mặt phẳng(P).Nếu ak (P)hoặc a (P)hoặc acắtvàkhôngvuônggócvới(P)thìcóduynhất mộtmặtphẳngchứa avàvuônggócvới(P). Chọnđápán C Câu3. Theođịnhnghĩahìnhlăngtrụthìcácmặtbênlàhìnhbìnhhành.Vậykhẳngđịnh“Các mặtbênlàhìnhchữnhật” làsai. Chọnđápán D Câu4. Theoquytắchìnhhộpthì #  DA+ #  DC+ #  DD 0 = #  DB 0 . Chọnđápán A Câu5. Do Hlàtrọngtâmcủatamgiác ABDnên H2 AC.Tacó ( BD? AC BD? SH ) BD?(SAC). Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC210|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu6. TacóCDk AB. Suyra(SB,CD)=(SB,AB)= Õ SBA. Do4SABvuôngtại AcóSA= AB= a nên4SABvuôngcântại A. Suyra Õ SBA= 45  . Vậy(SB,CD)= 45  . B C A D S Chọnđápán B Câu7. Theođịnhnghĩa:Lăngtrụđềulàlăngtrụđứngcóđáylàđagiácđều.Từđó,suyra "Tamgiác B 0 ACđều"làkhẳngđịnhsai. Chọnđápán D Câu8. VìSA= SB= SCvàSH?(ABC)nên 4SHA=4SHB=4SHC. Do đó HA = HA = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC.Vì4ABCvuôngtại Anên Hlàtrungđiểmcủa BC. S H A B C Chọnđápán A Câu9. Tacó #  SB
#  AC = #  SB( #  SC #  SA) = #  SB
#  SC #  SB
#  SA = SB
SCcos Õ BSCSB
SAcos Õ ASB= 0. Vậy #  SB? #  AC. B A C S Chọnđápán B Câu10. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC211|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 TacóCB?(SAB)vì(CB? BCvàCB? SA). Mặtkhác(SBC)\(ABC)= BC. Trongmặtphằng(SBC)cóSB? BC. Trongmặtphẳng(ABC)có AB? BC. Suyra, Û ((SBC),(ABC))= Ú (SB,AB). Vậygócgiữahaimặtphẳng(SBC)và(ABC)làgócSBA. B A C S Câu11. Tacó ( DC? BC DC? AB ) DC?(ABC). Vậyd(D,(ABC))= DC. Vì4BCDvuôngcântạiCnên 2CD 2 = BD 2 , 2CD 2 = 4a 2 , CD = a p 2. Nhưthếd(D,(ABC))= a p 2. A C B D 2a Chọnđápán D Câu12. Tacó #  BM = 1 2  #  BC+ #  BD  = 1 2  #  AC #  AB+ #  AD #  AB  = 1 2  #  b + #  c2 #  a  = 1 2  #  b + #  c  #  a. A C M B D #  a #  b #  c Chọnđápán A Câu13. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC212|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi I làtrungđiểmcủa BC. Tacó ( AI? BC DI? BC nên BC?(AID). Vậy(ADI) chínhlàmặttrungtrựccủa BC vàthiếtdiệnlà tamgiác ADI.Dễthấy IA= ID = AB p 3 2 . Vậythiếtdiệnlàtamgiáccân. A D I B C Chọnđápán D Câu14. Tacó(SC,(ABCD))= Õ SCA= 45  (4SACvuôngcântại A,SA= AC = a p 2) B C D S A Chọnđápán B Câu15. GọiOlàtâmcủahìnhvuông. Theogiảthiết,suyra BD? AC. Giảsử AC? SD,suyra AC?(SBD)) AC? SO. ĐiềunàymâuthuẫnvìtamgiácSAOvuôngtại A. S A D B C O Chọnđápán A Câu16. Gọi IlàtrungđiểmđoạnBC, Hlàhìnhchiếuvuônggóccủa Alên SI.Tacó AH?(SBC)) d(A,(SBC))= AH. Suyra,d(M,(SBC))= 1 2 d(A,(SBC)).Lạicó 1 AH 2 = 1 SA 2 + 1 AI 2 = 1 3a 2 + 1 3a 2 = 2 3a 2 . Suyra AH = a p 6 2 . Vậyd(M,(SBC))= a p 6 4 . A S B C M I H Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC213|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu17. Khẳng định A sai khi ABCD không phải là hình vuông. Thật vậy, gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC (do ABCD là hình chữ nhật và không là hình vuông nên H không trùng với tâm của hình hình chữ nhật ABCD). Khiđó BH? (SAC),suyra(SBH)vuônggóc(SAC).Vậy nếu (SBD)? (SAC) thì giao tuyến của (SBD) và (SBH) làSBphảivuônggócvới(SAC).Điềunàykhôngxảyravì S.ABCD làhìnhchóp.Vậykhẳngđịnh(SBD)? (SAC)là sai. H A D B C S Chọnđápán A Câu18. Gọi I làtrungđiểmcủa AC. Khiđótacó MIk AB, MI = 1 2 AB= a 2 và NIk CD, NI = 1 2 CD = a 2 . Suyra(AB,CD)=(MI,NI). Trong4MNI có cos Ö MIN = MI 2 +NI 2 MN 2 MI
NI . A B C D M N I Haycos Ö MIN ==  a 2  2 +  a 2  2 a p 3 2 ! 2 2
a 2
a 2 = 1 2 ) Ö MIN = 120  . Vậy(AB,CB)=(MI,NI)= 180  120  = 60  . Chọnđápán A Câu19. GọiMlàtrungđiểmcủaBC.TamgiácABCđềunênAM?BC, lạicóBC? AA 0 nênBC? A 0 M.Từđósuyragócgiữahaimặt phẳng(A 0 BC)và(ABC)làgóc Ø A 0 MA= 60  .Tamgiác A 0 AM vuôngtại Anên AM = AA 0 tan60  = a p 3 .Gọiđộdàicạnhđáylà x,tamgiác MACvuôngtại Mnên AM 2 = a 2 3 = AC 2 CM 2 = x 2 x 2 4 = 3x 2 4 ) x = 2a 3 . Vậydiệntíchtamgiác ABClàS= 1 2 BC
AM = a 2 p 3 9 . A C A 0 B 0 C 0 B M Chọnđápán D Câu20. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC214|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 TacóCC 0 k(ABB 0 A 0 )nên d(A 0 B,CC 0 )= d(CC 0 ,(ABB 0 A 0 )) = d(C,(ABB 0 A 0 ))= a p 3. Gọi I làtrungđiểmcủa AB. Tacó ( CI? AB CI? AA 0 ) CI?(ABB 0 A 0 ). VậyCI = a p 3. MàCI = AB p 3 2 ,nên AB= 2a. TừđócóS 4ABC = AB 2
p 3 4 = a 2 p 3. B 0 B A 0 A I C 0 C Chọnđápán A Câu21. GọiOlàtâmhìnhvuôngABCD.GọiKlàhìnhchiếucủa BlênOB 0 .Tacó ( AC? OB AC? BB 0 ) AC?(OBB 0 )) AC? BK. Tacó ( BK? AC BK? OB 0 ) BK?(AB 0 C). Tacó OB= 1 2
BD = 1 2
p AB 2 +AD 2 OB= 1 2
p a 2 +a 2 = a p 2 2 . TamgiácOBB 0 vuôngtại Bcó BKlàđườngcaonên A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 O K 1 BK 2 = 1 OB 2 + 1 BB 02 ) BK = s OB 2
BB 02 OB 2 +BB 02 = v u u u u t 1 2 a 2
a 2 1 2 a 2 +a 2 = a p 3 3 . Vậy d(B,(AB 0 C))= BK = a p 3 3 . Chọnđápán C Câu22. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC215|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 GọiNlàtrungđiểm AD.KhiđóMNlàđườngtrungbình trongtamgiác ABDdođó MNk BD. Vậya=(NM,CM). Tacó NM = BD 2 = a 2 ,CM = a p 3 2 ,CN = a p 3 2 . Vậycos × NMC = MN 2 +MC 2 NC 2 2
MC
MN = p 3 6 . Dođóa= × NMC,vàcosa= p 3 6 . B C A N M D H Chọnđápán C Câu23. Kẻ AH? SB tại H và AK? SD tạiK.khiđótacó ( AH?(SBC) AK?(SCD) )((SBC),(SCD))=(AH,AK). Khi đó ta có AH = AK và (SBC),(SCD)= Ö HAK. GọiO= AC\BC,I = HK\SO. B H C D K S I A O Tacó AI? HKvà  1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AB 2 = x 2 +a 2 x 2 a 2 ) AH 2 = x 2 a 2 x 2 +a 2 4AHKđềunên HK = AHnên HK 2 BD 2 = x 2 2(x 2 +a 2 ) .  SB 2 = AS 2 +AB 2 = x 2 +a 2 . TacóSA 2 = SH
SB) SH 2 = x 4 x 2 +a 2 . Vậy SH 2 SB 2 = x 4 (x 2 +a 2 ) 2 .Mặtkhác SH SB = HK BD ) HK 2 BD 2 = x 4 (x 2 +a 2 ) 2 . Tacóphươngtrình x 2 2(x 2 +a 2 ) = x 4 (x 2 +a 2 ) 2 , 2x 2 = x 2 +a 2 , x = a. Chọnđápán D Câu24. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC216|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 GọiDlàđiểmthứtưcủahìnhvuông ABDCvàHlàtrung điểmcạnh BC.KhiđóSH?(ABCD).Tacó d(AC,SB)= d(AC,(SBD))= d(A,(SBD)) = 2d(H,(SBD)). GọiKlàtrungđiểmcạnh BD,kẻ HI? SK,suyra d(AC,SB)= 2d(H,(SBD))= 2HI. XéttamgiácSHKvuôngtại H,tacó HK = AB 2 = a p 2 2 ,SH = BC
p 3 2 = a p 3. S B D A C H K I Khiđó 1 IH 2 = 1 SH 2 + 1 KH 2 = 7 3a 2 ) IH = a p 21 7 . Vậyd(AC,SB)= 2a p 21 7 . Chọnđápán B Câu25. Gọi Mlàtrungđiểm BB 0 .Tacó A 0 Mk KCnên d(CK,A 0 D)= d(CK,(A 0 MD)) = d(K,(A 0 MD)). Đặtd(CK,A 0 D)= x.Tacó: V A 0 MDK = V KA 0 MD = 1 3 S A 0 MD
x = 1 3 S A 0 DK
d M,(A 0 DK)
= 1 3
 a 2
a 2 
a= a 3 12 . DođóS A 0 MD
x = a 3 4 . Hạ DI vuônggóc A 0 M. D A B C A 0 D 0 B 0 C 0 K M Khiđó AI vuônggóc A 0 Mnên AI
A 0 M = AA 0
d M,AA 0
= a 2 ) AI= 2a p 5 . Dođó DI 2 = DA 2 +AI 2 = a 2 + 4a 2 5 = 9a 2 5 ) DI = 3a p 5 . VậyS A 0 MD = 1 2 DI.A 0 M = 1 2
3a p 5
a p 5 2 = 3a 2 4 . Nhưthếd(CK,A 0 D)= x = a 3 . Chọnđápán B CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC217|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 F. BÀI TẬP TỰ LUẬN ÔN TẬP CHƯƠNG 1. Đề bài Bài 1. ChohìnhchópSABCcóđáylàtamgiácđều ABCvà #  SA. #  SB= #  SB. #  SC = #  SC. #  SA. Chứngminhrằng:SA= SB= SC. Bài 2. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhvuôngcạnhbằng avàSA?(ABCD). a) Chứngminh BD?SC. b) Chứngminh(SAB)?(SBC). c) Cho SA = a p 6 3 . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳngSCvà BD. Bài 3. ChohìnhchópS.ABCD,đáy ABCDlàhìnhchữnhật, AB = a, AD = a p 3,SD = a p 7 vàSA?(ABCD).Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủaSAvàSB. a) Chứngminhrằngcácmặtbêncủahìnhchóplàcáctamgiácvuông. b) Tínhgóchợpbởicácmặtphẳng(SCD)và(ABCD). c) TínhkhoảngcáchtừSđếnmặtphẳng(MND). Bài 4. ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcócạnhđáybằng2a,đườngcaoSO= a p 3.Gọi I, M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủaSO,CD,CB. a) ChứngminhrằngO = AC\BD,CD?(SOM),(SOM)?(SCD).Tínhkhoảngcáchtừ I đếnmặtphẳng(SCD). b) Tínhgócgiữacácmặtphẳng(SBC)và(SCD). c) Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ACvàSD. Bài 5. ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCD.Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủaSAvàSC. a) Chứngminh AC?SD. b) Chứngminh MN?(SBD). c) Cho AB= SA= a.Tínhcosincủagócgiữa(SBC)và(ABCD). Bài 6. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngtâmO,cạnhbằng a,hìnhchiếu vuônggóccủaStrênmặtphẳng(ABCD)trùngvớitrọngtâm HcủaDABC,SH = a p 6 6 . a) ChứngminhrằngSH?CDvà AC?(SBD). b) TínhgócgiữađườngthẳngSOvàmặtphẳng(ABCD). c) Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàSC. Bài 7 (ĐH-2004B). ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcócạnhđáylàa,gócgiữacạnhbênvà mặtđáybằng b(0 0 < b< 90 0 ).Tínhtangócgiữamặtphẳng(SAB)vàmặtphẳng(ABCD) theo b. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC218|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 8 (HK2 khối 11, 2017 - 2018 Sở Giáo Dục Hà Nam). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a và cạnh bên SA?(ABCD).Gọi Elàtrungđiểm BC. 1 ChứngminhtamgiácSCDlàtamgiácvuông. 2 Chứngminh(SAE)?(SDE). 3 Biếtkhoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng(SDE) bằng a.Chứngminhrằngtamgiác SAElàtamgiáccân. Bài 9. ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcócạnhđáybằng avàcạnhbênbằng a p 2. a) TínhkhoảngcáchtừSđến(ABCD). b) Tínhkhoảngcáchgiữađườngthẳng ABvà(SCD). c) Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàSC. d) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, hãy xác định thiết diện của hình chópkhicắtbởi(P).Tínhdiệntíchthiếtdiện. e) Tínhgócgiữađườngthẳng ABvà(P). Bài 10 (ĐH 2007A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD làtamgiácđềuvànằmtrongmặtphẳngvuônggócvớiđáy.Gọi M,Plầnlượtlàtrung điểmcủacáccạnhSB,CD.Chứngminhrằng AM?BP. Bài 11 (ĐH-2011A-Phần Chung). ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácvuôngcân tại B, AB= BC = 2a;haimặtphẳng(SAB)và(SAC)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABC). Gọi Mlàtrungđiểmcủa AB;mặtphẳngquaSMvàsongsongvới BC,cắt ACtại N.Biếtgóc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB vàSN theo a. Bài 12. Chotứdiện ABCDcó AB,AC,ADđôimộtvuônggóc. a) Chứngminhcácmặtphẳng(ABC),(ACD),(ADB)đôimộtvuônggóc. b) Gọia, b, glầnlượtlàgócgiữa(BCD)vớicácmặtphẳng(ACD),(ADB),(ABC).Chứng minhrằngcos 2 a+cos 2 b+cos 2 g= 1. Bài 13. Chotứdiện ABCDcó AD = BC = a, AC = BD = b, AB= CD = c. a) Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ADvà BC. b) Gọialàgócgiữahaiđườngthẳng ACvà BD.Tínhcosa. Bài 14. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuông,mặtbên SAB làtamgiácđều cạnh avà(SAB)?(ABCD). a) ChứngminhDSCDlàtamgiáccân. b) Tínhsốđogóccủahaimặtphẳng(SCD)và(ABCD). c) Xácđịnhvàtínhđộdàiđoạnvuônggócchunggiữa ABvàSC. Bài 15. Chotứdiện ABCDcó AB = 1,AC = 2,AD = 3và Ö BAC = Ö CAD = Ö DAB = 60 0 .Tìm đườngvuônggócchungcủahaiđườngthẳng ADvà BC. Bài 16. Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổitrongkhônggian.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức P= p 3MA+MB+MC+MD. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC219|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Bài 17. ChotứdiệnS.ABCvớiSA= SB= SC = 1.Mặtphẳng(a)thayđổiluônđiquatrọng tâmGcủatứdiệncắtcáccạnhSA,SB,SClầnlượttại D,E,F. a) ChứngminhrằngđườngthẳngSGđiquatrọngtâmS 0 củatamgiácABCvà #  SG = 3 4 #  SS 0 . b) Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: P= 1 SD.SE + 1 SE.SF + 1 SF.SD . Bài 18. Cho hình S.ABC với SA = a,SB = b,SC = c. Mặt phẳng (a) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A 1 ,B 1 ,C 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểuthức: P= 1 SA 2 1 + 1 SB 2 1 + 1 SC 2 1 . Bài 19. Xét tứ diện SABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc. Các mặt bên (SBC), (SCA), (SAB)theothứtựhợpvớimặt(ABC)nhữnggóca,b,g. a) Chứngminhrằng:cos 2 a+cos 2 b+cos 2 g= 1. b) Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: M = tan 2 a+tan 2 b+tan 2 g+cot 2 a+cot 2 b+cot 2 g. 2. Lời giải Câu1. Tacó: AB 2 = #  AB 2 =  #  SB #  SA  2 = SB 2 2 #  SA. #  SB+SA 2 . Suyra: #  SA. #  SB= SA 2 +SB 2 AB 2 2 .Tươngtự: #  SB. #  SC = SB 2 +SC 2 BC 2 2 , #  SC. #  SA= SC 2 +SA 2 AC 2 2 . Sửdụnggiảthiết: #  SA. #  SB= #  SB. #  SC = #  SC. #  SA, AB= BC = CA,tađược:  SA 2 +SB 2 = SB 2 +SC 2 SB 2 +SC 2 = SC 2 +SA 2 ,  SA 2 = SC 2 SB 2 = SA 2 , SA= SB= SC. Câu2. a)Vì ABCDlàhìnhvuôngnên AC?BD (1) TacóSA?(ABCD),suyraSA?BD. (2) Vì SA\ AC = A nên từ (1) và (2) suy ra BD?(SAC), do đó BD?SC. b) BC?AB(do ABCDlàhìnhvuông). (3) VìSA?(ABCD)) SA?BC. (4) Từ(3)và(4) BC?(SAB)mà BC(SBC)nên(SAB)?(SBC). c)VìSA?(ABCD)nênsuyrahìnhchiếucủaSCtrên(ABCD) là AC.GócgiữaSCvàmặtphẳng(ABCD)là Õ SCA.Tacó tan(SC,(ABCD))= tan Õ SCA= SA AC = a p 6 3 a p 2 = p 3 3 ) Õ SCA= 30 0 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC220|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Ta có (SAC) là mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD. Gọi O = AC\BD. Trong (SAC), từO,kẻOK?SCtạiK.Vì BD?(SAC)màOK (SAC)nên BD?OK.VậyOKlàđoạnvuông gócchungcủaSCvà BD.Tacó SC = p AS 2 +AC 2 = s 2a 2 3 +2a 2 = s 8a 2 3 = a r 8 3 . VìDCKOđồngdạngvớiDCASnên CO SC = OK SA ) OK = CO.SA SC = a p 2.a p 6 2.3.SC = a 2 p 2. p 6. p 3 6.2 p 2a = a p 2 4 . Câu3. a)SA?(ABCD))  SA?AB SA?AD. SuyracáctamgiácSAB,SADvuôngtại A. Tacó  BC?AB BC?SA. Suyra BC?SB,dođóDSBCvuôngtại B. Tacó  CD?AD CD?SA. SuyraCD?SD,dođóDSDCvuôngtại D. b)Tacó(SCD)\(ABCD)= CD, AD(ABCD), AD?CD, SD(SCD),SD?CD. Vậy((SCD),(ABCD))= Ö SDA;cos Ö SDA= AD SD = a p 3 a p 7 = p 21 7 . Suyracos Ö SDA 49 0 6 0 . c)Tacó:  AB?SA AB?AD ) AB?(SAD).Mà MNk ABnên MN?(SAD). KẻSH?DMtạiH.Vì(MND)?(SAD),(MND)\(SAD)= DM,SH?DMnênSH?(MND), dođód(S,(MND))= SH.Tacó: SA 2 = SD 2 AD 2 = 7a 2 3a 2 = 4a 2 ) MA= SA 2 = a. Suyratan Ö SMH = AD AM = a p 3 a = p 3.Dođó Ö SMH = 60 0 . TamgiácSHMcó Ö SHM = 90 0 ) SH = SM.sin Ö SMH = a p 3 2 . Câu4. a)VìSA= SB= SC = SDnên DSOA=DSOB=DSOC =DSOD. SuyraOA = OB = OC = OD,mà ABCD làhìnhvuôngnên O= AC\BD.Tacó 8 < : CD?OM(SOM) CD?OS(SOM) OM\OS= O ) CD?(SOM). MàCD(SCD)nên(SCD)?(SOM).GọiKlàhìnhchiếucủa OtrênSM,tacó 8 < : OK?SM(SCD) OK?CD(SCD) SM\CD = M ) OK?(SCD). CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC221|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Gọi H là trung điểm SK, khi đó IHk OK, do đó IH?(SCD) và IH = OK 2 . Vì OK là đường caocủatamgiácvuôngSOMnên 1 OK 2 = 1 OM 2 + 1 SO 2 = 4 3a 2 ) OK = a p 3 2 ) d(I,(SCD))= IH = a p 3 4 . b) Kẻ MQ?SC tại Q. Vì DSMC = DSNC (c-c-c), nên từ MQ?SC suy ra NQ?SC. Lại có (SCD)\(SCB) = SC,suyragócgiữahaimặtphẳng(SCD)và(SCB)làgócgiữahaiđường thẳngQMvàQN.Tacó SM 2 = OM 2 +SO 2 = a 2 +3a 2 = 4a 2 . 1 MQ 2 = 1 MS 2 + 1 MC 2 = 1 4a 2 + 1 a 2 = 5 4a 2 ) MQ 2 = 4a 2 5 )cos × MQN = MQ 2 +NQ 2 MN 2 2MQ.NQ = 1 4 ) × MQN = 104 0 .29 0 . Vậygócgiữahaimặtphẳng(SCD)và(SCB)bằng75 0 31 0 . c) AC?BD, AC?SO(SBD)(doSO?(ABCD)),suyra AC?(SBD).TrongSODhạOP?SD thìcũngcóOP?AC. 1 OP 2 = 1 SO 2 + 1 OD 2 = 1 3a 2 + 1 2a 2 = 5 6a 2 ) d(AC,BD)= OP= a p 30 5 . Câu5. a)GọiOlàhìnhchiếucủaStrên(ABCD). VìSA= SB= SC = SDnên DSOA=DSOB=DSOC =DSOD. Suy ra OA = OB = OC = OD, mà ABCD là hình vuông nên O= AC\BD.Tacó: 8 < : AC?BD(SBD) AC?SO(SBD) BD\SO= O ) AC?(SBD). MàSD(SBD)nên AC?SD. b)Từgiảthiết M,NlàtrungđiểmcáccạnhSA,SCtacó MNk AC. Mà AC?(SBD)nên MN?(SBD). c)VìS.ABCDlàhìnhchóptứgiácđềuvà AB= SA= anênDSBCđềucạnha.GọiKlàtrung điểm BC. Khi đó OK?BC và SK?BC. Gọi f là góc giữa (SBC) và (ABCD). Ta có f = Õ SKO. TamgiácvuôngSOKcó OK = a 2 ,SK = a p 3 2 ,cosf= cos Õ SKO= OK SK = a 2 : a p 3 2 = 1 p 3 . Câu6. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC222|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 a)Tacó SH?(ABCD)(theogiảthiết)mà CD nằmtrong(ABCD)nênSH?CD. Tacó AC?BD(do ABCDlàhìnhvuông). AC?SH(vìSH?(SACD)). AH,BDcắtnhauvàchứatrong(SBD). Suyra AC?(SBD). b) Do SH?(ABCD) nên OH là hình chiếu của SO lên (ABCD), suy ra góc giữa SO và (ABCD)là Ö SOH. Tacó: HO= 1 3 BO= 1 6 BD = a p 2 6 . Dođó:tan Ö SOH = SH OH = a p 6 6 : a p 2 6 Haytan Ö SOH = p 3) Ö SOH = 60  . c) Kẻ HI?CD tại I. Ta có SH?CD, suy ra CD?(SHI) mà CD (SCD) nên (SHI)?(SCD) theo giao tuyến SI. Từ H kẻ HJ?SI tại J. Khi đó HJ?(SCD) hay J là hình chiếu của H trên (SCD).Tacó:  AB6(SCD) ABk CD(SCD) ) ABk(SCD). MàSC(SCD)nênkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàSClà d(AB,SC)= d(AB,(SCD))= d(B,(SCD)). (1) Dođườngthẳng BHcắt(SCD)tại Dnên: d(B,(SCD)) d(H,(SCD)) = BD HD = 3 2 ) d(B,(SCD))= 3 2 d(H,(SCD)). (2) Do J làhìnhchiếucủa Htrên(SCD)nênd(H,(SCD))= HJ. HJ làđườngcaocủatamgiácvuôngSHI nên: 1 HJ 2 = 1 SH 2 + 1 HI 2 ) 1 HJ 2 = 6 a 2 + 9 4a 2 ) HJ = 2a p 33 . (3) Từ(1),(2),(3)suyrad(AB,SC)= a p 33 11 . Câu7. Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD). Khi đó vì các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên các cạnh OA, OB, OC, OD bằng nhau hay O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu của cạnh bên SB trên mặt phẳng (ABCD) là OB, do đó Õ SBO = b. Gọi M là trung điểm AB. Khi đó 8 < : (SAB)\(ABCD)= AB MS(SAB), MS?AB MO(ABCD), MO?AB. Suyragócgiữahaimặtphẳng(SAB) và(ABCD) là Ö SMO. Tacó tan Ö SMO= SO OM = OBtanb 0,5a = a p 2tanb a = p 2tanb. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC223|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu8. 1 Ta có CD ? AD và CD ? SA suy ra CD ? (SAD), do đó CD ? SD. Vậy 4SCDvuôngtại D. 2 Tacó AE 2 +DE 2 =(AB 2 +BE 2 )+(DC 2 +EC 2 ) = 2AB 2 +2BE 2 = 4a 2 = AD 2 . Dođó DE? AE. Mà DE? SAnên DE?(SAE). Suyra(SDE)?(SAE). S B E C D H A 3 Gọi Hlàhìnhchiếuvuônggóccủa AlênSE. Vì DE?(SAE)nên DE? AH(do AH(SAE)). Tacó ( AH? SE AH? DE ) AH?(SDE).Vậyd(A,(SDE))= AH = a.Xét4AHEtacó sin Ö AEH = AH AE = a a p 2 = p 2 2 . Dođó, Ö AEH = 45  .Mà4SAEvuôngtại Adođó4SAEvuôngcântại A. Câu9. Gọi HlàhìnhchiếucủaStrên(ABCD). Vì SA = SB = SC = SD nên các tam giác DSHA, DSHB,DSHC,DSHDbằngnhau.Suyra HA = HB = HC = HD. Mà ABCD là hình vuông nên Hlàgiaođiểmcủa ACvà BD. a) Khoảng cách từ S đến (ABCD) là SH. Vì SH là đườngcaocủatamgiácSACđềucạnh a p 2nên SH = a p 2. p 3 2 = a p 6 2 . b)Gọi E,Flầnlượtlàtrungđiểmcủa ABvàCD. Vì  AB6(SCD) ABk CD(SCD) nên ABk (CSD).Vậyd(AB;(SCD)) = d(E;(SCD)).TrongDSEF, gọiKlàhìnhchiếucủa EtrêntrênSF.Khiđó 8 < : EK?SF(SCD) EK?CD(SCD) SF\CD = F ) EK?(SCD)) d(E;(SCD))= EK. TacóSF 2 = SD 2 FD 2 = 2a 2 a 2 4 = 7a 2 4 .Lạicó EK.SF = SH.EF) EK = SH.EF SF = a p 6 2 .a ! : a p 7 2 = a p 42 7 . c)Vì ABvàSCchéonhau, ABk(SCD)nên d(AB;SC)= d(AB;(CSD))= a p 42 7 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC224|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 d)Gọi C 1 làtrungđiểm SC,doDSAC đềunên AC 1 ?SC.Mặtkhác BD?SC nên(P)chínhlà mặtphẳngchứa AC 1 vàsongsongvới BD.Gọi H 1 làgiaođiểmcủa AC 1 và SH.Khiđógiao tuyến của (P) và (SBD) là B 1 D 1 , trong đó B 1 D 1 đi qua H 1 và song song với BD (B 1 2 SB, D 1 2 SD). Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB 1 C 1 D 1 . Ta có BD?(SAC), B 1 D 1 k BDnên B 1 D 1 ?(SAC),suyra B 1 D 1 ?AC 1 .Từđó S AB 1 C 1 D 1 = 1 2 AC 1 .B 1 D 1 , với AC 1 = a p 6 2 , B 1 D 1 = 2 3 BD(do H 1 làtrọngtâmDSAC.Vìvậy S AB 1 C 1 D 1 = 1 2 . a p 6 2 . 2 3 .a p 2= a 2 p 3 3 . e)Trong(SAC),kẻ HI songsongvớiCC 1 cắt AC 1 tại I thì HI?(P)(vì SC?(P)).Talấyđiểm J saocho BHIJ làhìnhbìnhhànhthì BJ?(P),từđó Õ BAJ làgócgiữa BAvà(P).Tacó sin Õ BAJ = BJ BA = HI BA = CC 1 2BA = SC 4BA = a p 2 4a = p 2 4 ) Õ BAJ 20 0 42 0 . Câu10. Phântích. Giả thiết cho (SAD) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AD nên ta sẽsửdụngđịnhlí3(ởtrang93)đểsuyra AB?(SAD)) AB?AS.Tasẽbiểudiễn #  AMvà #  BP theo ba vectơ không cùng phương (cơ sở). Do AB?AD, AB?AS, Ö SAD = 60 0 nên trong bài tậpnàycơsởtốtnhấtlàbavectơ #  AD, #  AS, #  AB. Giải. Ta có (SAD) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AD và AB vuông góc với giao tuyến AD nên AB vuông góc với (SAD), suy ra AB vuông góc với AS. Ta sẽ biểu diễn #  AM và #  BP theo ba vectơ không cùng phương #  AD, #  AS, #  AB. Tacó: #  AM = 1 2  #  AS+ #  AB  . #  BP= #  BC+ #  CP= #  AD 1 2 #  AB. Dođó: #  AM. #  BP= 1 2  #  AS+ #  AB   #  AD 1 2 #  AB  = 1 2  #  AS. #  AD 1 2 #  AB 2  = 1 2  AS.AD.cos Ö SAD 1 2 AB 2  = 1 4  a 2 cos60 0 1 2 a 2  = 0. Nhưvậy: #  AM? #  BP) AM?BP. Câu11. Phân tích. Giả thiết cho hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC) nêntasẽsửdụnghệquả2ởtrang93.Đểxácđịnhvịtrícủađiểm N cầnxem lạiđịnhlí??ởtrang??.Bàitậpnàyyêucầutínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàSN theoamàkhôngyêucầudựngđoạnvuônggócchungnêntacóthểsửdụngchúý10ởtrang 137. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC225|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Giải. Cách1.TừgiảthiếtsuyraSA?(ABC).TacóBC?BAmàBAlàhình chiếucủaSBtrênmặtphẳng(ABC)nên BC?BS. Vậy 8 < : (SBC)\(ABC)= BC BA(ABC), BA?BC SB(SBC), SB?BC. Từđógócgiữahaimặtphẳng(SBC)và(ABC)là Õ SBA= 60 0 . Tacótan60 0 = SA AB ) SA= ABtan60 0 = 2a p 3. Từgiảthiếtsuyra MNk BC,dođó N làtrungđiểm AC. Trong(ABC),gọidlàđườngthẳngqua N vàdk AB.Hạ AQvuônggócvớidtạiQ.Tacó: ABk(SQN)) d(AB;SN)= d(AB;(SQN))= d(A;(SQN)). Hạ AHvuônggócvớiSQtại H.Tacó 8 < : NQ?QA(SAQ) NQ?SA(SAQ) QA\SA= A ) NQ?(SAQ))(SQN)?(SAQ). Từđó 8 < : (SQN)?(SAQ) (SQN)\(SAQ)= SQ AH(SAQ), AH?SQ ) AH?(SQN)) d(A;(SQN))= AH. TrongtamgiácvuôngSAQ,tacó 1 AH 2 = 1 AS 2 + 1 AQ 2 = 1 12a 2 + 1 a 2 = 13 12a 2 ) d(AB;SN)= AH = 2a p 39 13 . Cách2.Gọi IJlàđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳng ABvàSN(điểm Ithuộcđường thẳngABvàđiểmJthuộcđườngthẳngSN).Tasẽbiểuthị #  IJquabavectơkhôngcùngphương #  AB, #  AC, #  AS. #  IJ = #  IA+ #  AN+ #  NJ = m #  AB+ 1 2 #  AC+p #  NS = m #  AB+ 1 2 #  AC+p( #  NA+ #  AS) = m #  AB+ 1 2 #  AC+p #  AS p 2 #  AC = m #  AB+ 1p 2 #  AC+p #  AS. Tacó: ( #  IJ? #  AB #  IJ? #  NS , ( #  IJ. #  AB= 0 #  IJ. #  NS= 0 Nhưvậy: 8 < : h 2m #  AB+(1p) #  AC+2p #  AS i #  AB= 0 h 2m #  AB+(1p) #  AC+2p #  AS i #  NS= 0 , 8 < : 2mAB 2 +(1p) #  AB. #  AC = 0 h 2m #  AB+(1p) #  AC+2p #  AS i  1 2 #  AC+ #  AS  = 0 , 8 < : 8ma 2 +(1p)2a.2 p 2a.cos45 0 = 0 m #  AB. #  AC (1p)AC 2 2 +2pAS 2 = 0 CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC226|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 ,  8ma 2 +(1p)4a 2 = 0 4ma 2 4(1p)a 2 +24pa 2 = 0 ,  2m+(1p)= 0 m+(1p)6p= 0 ,  2mp=1 m7p=1 ,(m;p)=  6 13 ; 1 13  . Dođó: #  IJ = 6 13 #  AB+ 6 13 #  AC+ 1 13 #  AS.Suyra: 169IJ 2 =  6 #  AC6 #  AB+ #  AS  2 = 36AC 2 +36AB 2 +AS 2 72 #  AB. #  AC = 288a 2 +144a 2 +12a 2 288a 2 = 156a 2 . Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ABvàSN là: IJ = r 156 169 a 2 = 2 p 39a 13 . Lưu ý. Khi lựa chọn bộ ba vectơ không cùng phương (lựa chọn cơ sở) ta nên chọn ba vectơ cùnggốcvàgiácủabavectơđóvuônggócvớinhau.Trườnghợptốtnhấtlàgiácủabavectơ cơsởđôimộtvuônggócvớinhau.Trongbàitập11nàytakhôngcóđượccơsởtốtnhấtnhưng vẫnđủđểxửlíđólà AS?AB, AS?AC, Ö BAC = 45 0 . Câu12. a) Vì BA?AC, BA?AD nên BA?(ACD). Mặt khác BA là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và AD,mà AC?ADnên(ABC)?(ABD).Tươngtựnhưtrêntacũng có(ABC)?(ACD), (ACD)?(ABD). b) Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, do AB?(ACD) nên AB?CD,từđó 8 < : CD?AH(ABH) CD?AB(ABH) AH\AB= A ) CD?(ABH)) CD?BH. Tacó 8 < : (BCD)\(ACD)= CD AH(ACD), AH?CD BH(BCD), BH?CD. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) là Ö BHA = a. Kí hiệu AB = b, AC = c, AD = d.Tacó tana= b AH , 1 AH 2 = 1 c 2 + 1 d 2 ) tan 2 a= b 2 (c 2 +d 2 ) c 2 d 2 ) 1 1+tan 2 a = c 2 d 2 b 2 c 2 +c 2 d 2 +d 2 b 2 ) cos 2 a= c 2 d 2 b 2 c 2 +c 2 d 2 +d 2 b 2 . Tươngtự cos 2 b= b 2 d 2 b 2 c 2 +c 2 d 2 +d 2 b 2 , cos 2 g= b 2 c 2 b 2 c 2 +c 2 d 2 +d 2 b 2 . Từđócos 2 a+cos 2 b+cos 2 g= 1. Câu13. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC227|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 a) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, AB. Ta có DABC = DDBC (c-c-c) suy ra AN = DN. Do đó DNADcântại N,suyra MN?AD.Tươngtựchứngminhđược MN?BC, do đó MN là đoạn vuông góc chung của AD và BC. Sửdụngcôngthứcđườngtrungtuyếnchotamgiác ABCtacó: AN 2 = 2(AB 2 +AC 2 )BC 2 4 = 2(c 2 +b 2 )a 2 4 MN 2 = AN 2 AM 2 = 2(c 2 +b 2 )a 2 4 a 2 4 = b 2 +c 2 a 2 2 . Vậykhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng ADvà BCbằng MN = r b 2 +c 2 a 2 2 . b)Do MPk BDvà NPk ACnêngócgiữahaiđườngthẳng AC,BDbằnggócgiữahaiđường thẳng PM, PN,vậy: cosa= cos × MPN = PM 2 +PN 2 MN 2 2PM.PN = b 2 4 + b 2 4 b 2 +c 2 a 2 2 2. b 2 . b 2 = c 2 a 2 b 2 . Câu14. Gọi I,Mlầnlượtlàtrungđiểmcủa ABvàCD. a) Do DSAB đều nên SI vuông góc với AB. Tacó(SAB) vuônggócvới(ABCD) theogiao tuyến AB và SI nằm trong (SAB), SI vuông góc với AB nên SI vuông góc với (ABCD). Ta có hình chiếu của SC, SD trên (ABCD) là IC, ID, mà IC = ID nên SC = SD, do đóDSCD cântạiS. b)Tacó: 8 > > < > > : (SCD)\(ABCD)= CD (SIM)?CD (SIM)\(SCD)= SM (SIM)\(ABCD)= IM Suyra Û ((SCD),(ABCD))= Û (SM,IM)= Õ SMI. Do DSMI vuông tại I nên tan Õ SMI = SI IM = a p 3 2 : a = p 3 2 . Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD)và(ABCD)là Õ SMI = arctan p 3 2  40 0 54 0 . c)Tasẽdựngđoạnvuônggócchunggiữa ABvà SC theocácbướcnhưđãtrìnhbàiởcách4 củadạng18(ởtrang137):  Mặtphẳng(SMI)vuônggócvới ABtại I.  HìnhchiếucủaSCtrên(SMI)làSM(doCM?(SMI)).  Kẻ IJ?SMtại J.  Vẽ JEk AB,cắtSCtại E. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC228|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679  Vẽ EKk JI,cắt ABtạiK. Khi đó đường thẳng KE vuông góc với AB tại K và vuông góc với SC tại E nên KE là đoạn vuônggócchungcủa ABvàSC.Tacó: 1 IJ 2 = 1 IS 2 + 1 IM 2 = 4 3a 2 + 1 a 2 = 7 3a 2 ) IJ 2 = 3a 2 7 . Vậy:KE= IJ = a p 21 7 . Câu15. Kí hiệu M,N tương ứng trên AD và BC sao cho MN vuông góc với ADvà BC.Giảsử #  AM = x #  AD, #  BN = y #  BC = y  #  AC #  AB  . Khiđó: #  MN = #  MA+ #  AB+ #  BN =x #  AD+ #  AB+y #  BC. Do  MN?AD MN?BC nên ( #  MN. #  AD = 0 #  MN. #  BC = 0. Vậy: 8 < :  x #  AD+ #  AB+y #  ACy #  AB  #  AD = 0  x #  AD+ #  AB+y #  ACy #  AB  #  BC = 0 (*) Tacó:  x #  AD+ #  AB+y #  ACy #  AB  #  AD =9x+3cos60 0 +6ycos60 0 3ycos60 0 =9x+ 3 2 + 3 2 y. và  x #  AD+ #  AB+y #  ACy #  AB  #  AC #  AB  =3x+1+4yy+ 3 2 x1y+y= 3 2 x+3y. Vậy(*)tươngđươngvới: 8 > < > : 9x+ 3 2 + 3 2 y= 0 3 2 x+3y= 0 , 8 > < > : x = 2 11 y= 1 11 . Kếtluận:đườngvuônggócchungcủa ADvà BClà MN với #  AM = 2 11 #  AD, #  BN = 1 11 #  BC. Lưuý.Dựngđoạnvuônggócchungbằngphươngphápvectơnhưtrênđãđượctrìnhbàyở cách2củalờigiảibàitập11(ởtrang218),bạnđọchãyxemlạiđểcủngcốphươngpháp. Câu16. Vìcácvectơ #  AB AB , #  AC AC , #  AD AD cóđộdàibằng1vàđôimộtvuônggócvớinhaunên: #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD ! 2 = 3, #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD = p 3. Từđó,vớimọiđiểm M,tacó: P= p 3MA+MB+MC+MD CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC229|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 = #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD #  AM + MB.AB AB + MC.AC AC + MD.AD AD  #  AB AB + #  AC AC + #  AD AD ! . #  AM+ #  MB. #  AB AB + #  MC. #  AC AC + #  MD. #  AD AD =  #  AM+ #  MB  #  AB AB +  #  AM+ #  MC  #  AC AC +  #  AM+ #  MD  #  AD AD = #  AB. #  AB AB + #  AC. #  AC AC + #  AD. #  AD AD = #  AB 2 AB + #  AC 2 AC + #  AD 2 AD = AB 2 AB + AC 2 AC + AD 2 AD = AB+AC+AD. VậyminP= AB+AC+AD,đạtđượckhi Mtrùng A. Câu17. Phântích.Liênquanđếntrọngtâmtứdiệnvàtrọngtâmtamgiác,tacócáchệthức vectơsau: #  GS+ #  GA+ #  GB+ #  GC = #  0, #  S 0 A+ #  S 0 B+ #  S 0 C = #  0, #  SA+ #  SB+ #  SC = 3 #  SS 0 . Đểtìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức P= 1 SD.SE + 1 SE.SF + 1 SF.SD ta cần tính được giá trị của một biểu thức nào đó liên quan đến SD, SE, SF. Muốn vậy, bạn đọc hãy chú ý bài tập 14 (ở trang 11), sử dụng điều kiện x+y+z = 1 để suy ra đẳng thức màtacần. Giải. a)DoGlàtrọngtâmtứdiệnS.ABCnên: #  GS+ #  GA+ #  GB+ #  GC = #  0 , 4 #  GS 0 + #  S 0 S+ #  S 0 A+ #  S 0 B+ #  S 0 C = #  0 , 4 #  GS 0 + #  S 0 S= #  0 , 4 #  GS+4 #  SS 0 + #  S 0 S= #  0 , 4 #  GS+3 #  SS 0 = #  0 , 4 #  SG = 3 #  SS 0 (1) , #  SG = 3 4 #  SS 0 . (2) Từ(2)suyrabađiểmS,G,S 0 thẳnghàngvàtacóđiềuphải chứngminh. b)Theo(1),tacó: 4 #  SG = #  SA+ #  SB+ #  SC ,4 #  SG = SA SD #  SD+ SB SE #  SE+ SC SF #  SF. , #  SG = SA 4SD #  SD+ SB 4SE #  SE+ SC 4SF #  SF. (3) CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC230|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 DođiểmGthuộcmặtphẳng(DEF)nêntừ(3),sửdụngbàitập14(ởtrang11)suyra: SA 4SD + SB 4SE + SC 4SF = 1, 1 SD + 1 SE + 1 SF = 4. Sửdụngbấtđẳngthức3(ab+bc+ca)(a+b+c) 2 ,tađược: P= 1 SD.SE + 1 SE.SF + 1 SF.SD  1 3  1 SD + 1 SE + 1 SF  2 = 16 3 . NhưvậymaxP= 16 3 ,đạtđược, SD = SE= SF = 3 4 ,(DEF)k(ABC). Câu18. DoGlàtrọngtâmtứdiệnS.ABCnên: #  GS+ #  GA+ #  GB+ #  GC = #  0 , 4 #  GS+ #  SA+ #  SB+ #  SC = #  0 , 4 #  SG = #  SA+ #  SB+ #  SC , 4 #  SG = SA SA 1 #  SA 1 + SB SB 1 #  SB 1 + SC SC 1 #  SC 1 . , #  SG = SA 4SA 1 #  SA 1 + SB 4SB 1 #  SB 1 + SC 4SC 1 #  SC 1 . DođiểmGthuộcmặtphẳng(A 1 B 1 C 1 )nênsửdụngbàitập14 (ởtrang11)suyra: SA 4SA 1 + SB 4SB 1 + SC 4SC 1 = 1 , a SA 1 + b SB 1 + c SC 1 = 4. (1) Tachứngminhđượcbấtđẳngthức:với a 1 ,b 1 ,c 1 ,a 2 ,b 2 ,c 2 dươngtacó: (a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2   a 2 1 +a 2 2 +a 2 3  b 2 1 +b 2 2 +c 2 3  . Dấu"="xảyra a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b 3 .Dođó: 16=  a SA 1 + b SB 1 + c SC 1  2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 1 SA 2 1 + 1 SB 2 1 + 1 SC 2 1 ! ) 1 SA 2 1 + 1 SB 2 1 + 1 SC 2 1  16 a 2 +b 2 +c 2 . Dấu"="xảyrakhi: aSA 1 = bSB 1 = cSC 1 , 4aSA 1 = 4bSB 1 = 4cSC 1 . (2) Từ(1),tacó: a 2 + baSA 1 SB 1 + caSA 1 SC 1 = 4aSA 1 do (2) , a 2 +b 2 +c 2 = 4aSA 1 . Vậy 4aSA 1 = 4bSB 1 = 4cSC 1 = a 2 +b 2 +c 2 . Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 16 a 2 +b 2 +c 2 ,đạtđượckhi SA 1 = a 2 +b 2 +c 2 4a < a, SB 1 = a 2 +b 2 +c 2 4b < b,SC 1 = a 2 +b 2 +c 2 4c < c. CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC231|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Câu19. a)Gọi HlàhìnhchiếucủaStrên(ABC),gọi Mlàgiao điểmcủa AH và BC.Tươngtựnhưbàitập19(ởtrang 72),tachứngminhđượcHlàtrựctâmDABC,BC?MS, BC?MAvà 1 SH 2 = 1 SA 2 + 1 SB 2 + 1 SC 2 . (1) Tacó:a= Ö SMA= Ö HSA.Dođó: cosa= SH SA ) cos 2 a= SH 2 SA 2 . Tươngtự,tacó: cos 2 b= SH 2 SB 2 , cos 2 g= SH 2 SC 2 . Nhưvậy: cos 2 a+cos 2 b+cos 2 g= SH 2  1 SA 2 + 1 SB 2 + 1 SC 2  do (1) = 1. Cáchkhác.Tacó:cosa= SM AM = SM.BC AM.BC = S SBC S ABC . Tươngtự:cosb= S SCA S ABC , cosg= S SAB S ABC .Dođó: cos 2 a+cos 2 b+cos 2 g= (S SBC ) 2 +(S SCA ) 2 +(S SAB ) 2 (S ABC ) 2 = SB 2 .SC 2 +SC 2 .SA 2 +SA 2 .SB 2 4(S ABC ) 2 = SB 2 .SC 2 +SA 2 .BC 2 4(S ABC ) 2 = SM 2 .BC 2 +SA 2 .BC 2 4(S ABC ) 2 = BC 2 (SM 2 +SA 2 ) 4(S ABC ) 2 = BC 2 .AM 2 4(S ABC ) 2 = 1. b)Đặt a= cos 2 a 0, b= cos 2 b 0, c= cos 2 g 0.Khiđó: a+b+c= 1. tan 2 a= sin 2 a cos 2 a = 1cos 2 a cos 2 a ) tan 2 a= 1a a = b+c a . Tươngtự:tan 2 b= c+a b , tan 2 g= a+b c . TheobấtđẳngthứcCôsi,tacó: tan 2 a+tan 2 b+tan 2 g= b+c a + c+a b + a+b c =  b a + a b  +  c a + a c  +  c b + b c   2+2+2= 6. Dấu"="xảyra, a= b= c.Mặtkhác,tachứngminhđược: cot 2 a+cot 2 b+cot 2 g= a b+c + b c+a + c a+b  3 2 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC232|Biênsoạn: ThầyNguyễnTàiChung;ĐT0968774679 Dấu"="xảyra, a= b= c.Nhưvậy: tan 2 a+tan 2 b+tan 2 g+cot 2 a+cot 2 b+cot 2 g 6+ 3 2 = 15 2 . Giátrịnhỏnhấtcủa Mlà 15 2 ,đạtđượckhi a= b= chaySA= SB= SC. Lưuý.Bấtđẳngthức a b+c + b c+a + c a+b  3 2 ,8a,b,c> 0đượcgọilàbấtđẳngthứcNet-bit, vàđượcchứngminhnhưsau: a b+c + b c+a + c a+b =  a b+c +1  +  b c+a +1  +  c a+b +1  3 =(a+b+c)  1 b+c + 1 c+a + 1 a+b  3 = 1 2 [(a+b)+(b+c)+(c+a)]  1 b+c + 1 c+a + 1 a+b  3  1 2 .3 3 q (a+b)(b+c)(c+a).3. 3 s 1 (a+b)(b+c)(c+a) 3 = 9 2 3= 3 2 . Sauđâylàmộtlờigiảikhácchocâub).Tadễdàngchứngminhđược:với a,b,cdươngthì 1 a + 1 b + 1 c  9 a+b+c , dấu"="xảyrakhivàchỉkhi a= b= c.Tacó: 1+tan 2 x = 1 cos 2 x , 1+cot 2 x = 1 sin 2 x . Dođó: tan 2 a+tan 2 b+tan 2 g+cot 2 a+cot 2 b+cot 2 g = 1 cos 2 a + 1 cos 2 b + 1 cos 2 g + 1 sin 2 a + 1 sin 2 b + 1 sin 2 g 6  9 cos 2 a+cos 2 b+cos 2 g + 9 sin 2 a+sin 2 b+sin 2 g 6 =9+ 9 2 6= 15 2 . Dấu"="xảyrakhivàchỉkhi: 8 > > < > > : cosa= cosb= cosg= 1 p 3 sina= sinb= sing= r 2 3 . Vậygiátrịnhỏnhấtcủa Mlà 15 2 ,đạtđượckhia= b= g 54 0 44 0 . CHƯƠNG3. VECTƠTRONGKHÔNGGIAN.QUANHỆVUÔNGGÓC