Công thức lũy thừa - Toán lớp 12

BAÛNG TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC TOAÙN 12

COÂNG THÖÙC LUÕY THÖØA

Cho caùc soá döông , ab vaø , mn  . Ta coù:



0

1 a 

 . ...........

n

n t h ö ø a s o á

a aa a vôùi

*

n 



1

n

n

a

a





 ( ) ( )

m n mn n m

a a a   .

m n m n

a a a



 

m

mn

n

a

a

a





 ()

n n n

a b ab  

n

n

n

aa

bb











1

2

1

3

3

n

m n

m

aa

aa

aa







COÂNG THÖÙC LOGARIT

Cho caùc soá , 0, 1 a b a  . Ta coù:

 log

a

b a b



    

10

lg log log b b b   ln log

e

bb 

 log 1 0

a

  log 1

a

a   log

b

a

ab 



1

log log

m

a

a

bb

m

  log log

n

aa

b n b   log log

m

n

a

a

n

bb

m



 log ( ) log log

a a a

bc b c   log log log

a a a

b

bc

c











log

log log

a

bb

b

ca

ab

ac

 











 log .log log

a b a

b c c 



log

log

log

a

b

a

c

c

b

 

1

log

log

a

b

b

a



HAØM SOÁ LUÕY THÖØA – MUÕ – LOGARIT

HAØM LUÕY THÖØA HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT

 Daïng:

yx

yu









vôùi u laø ña

thöùc ñaïi soá.

 Taäp xaùc ñònh:

Neáu .

ÑK

u

Neáu 0.

ÑK

u

Neáu 0.

ÑK

u

 Ñaïo haøm:

1

1

.

y x y x

y u y u u













     

     

 Daïng:

x

u

ya

ya

vôùi

0

.

1

a

a

 Taäp xaùc ñònh: . D

 Ñaïo haøm:

ln

ln .

xx

ux

y a y a a

y a y a a u

.

Ñaëc bieät:

()

( ) .

xx

uu

ee

e e u

.

 Söï bieán thieân:

x

ya

Neáu 1 a thì haøm ñoàng bieán

treân . Neáu 01 a thì

haøm nghòch bieán treân .

 Daïng:

log

log

a

a

yx

yu

vôùi

0

.

1

a

a

 Ñaëc bieät: ln ; a e y x

10 log lg a y x x .

 Ñieàu kieän xaùc ñònh: 0 u .

 Ñaïo haøm:

1

log

ln

log

ln

a

a

y x y

xa

u

y u y

ua

.

Ñaëc bieät:

1

(ln )

(ln )

x

x

u

u

u

.

 Söï bieán thieân: log

a

yx

Neáu 1 a : haøm ñoàng bieán

treân (0; ). Neáu 01 a :

haøm nghòch bieán treân (0; ) ÑOÀ THÒ HAØM MUÕ VAØ HAØM LOGARIT

ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ MUÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ LOGARIT

 Ta thaáy: 0 1; 0 1

xx

a a b b .

 Ta thaáy: 1; 1.

xx

c c d d

 So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân

töø traùi sang phaûi, truùng

x

a tröôùc neân ab.

 So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân

töø traùi sang phaûi, truùng

x

c tröôùc neân . cd

 Vaäy 0 1 . b a d c

 Ta thaáy: log 0 1; log 0 1

ab

x a x b .

 Ta thaáy: log 1;log 1.

cd

x c x d

 So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân

töø phaûi sang traùi, truùng log

b

x tröôùc: . ba

 So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân

töø phaûi sang traùi, truùng log

d

x tröôùc: . dc

 Vaäy 01 a b c d.

PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT

Phöông trình muõ Phöông trình Logarit

 Daïng cô baûn:

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

a a f x g x   

 Daïng cô baûn:

log ( ) log g( ) ( ) ( ) 0

aa

f x x f x g x    

 Daïng logarit hoùa:

()

( ) ( )

( ) log

( ) ( ).log

fx

a

f x g x

a

a b f x b

a b f x g x b

  

  

 Daïng muõ hoùa: log ( ) ( )

b

a

f x b f x a   

(khoâng caàn ñieàu kieän)

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT

Baát Phöông trình muõ Baát Phöông trình Logarit

 Daïng cô baûn:

1

( ) ( )

01

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a

f x g x

a

f x g x

a a f x g x

a a f x g x





   

   

 Daïng cô baûn:

1

01

log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0

log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )

a

aa

a

aa

f x g x f x g x

f x g x f x g x





    

    

COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM

 0 k  

Vôùi k laø haèng soá



1

()xx







 

1

( ) . u u u







    



 

1

2

x

x





 

2

u

u

u





   



2

11

xx











2

1 u

uu







    







 

xx

ee





 

.

uu

e e u



    



 

ln

xx

a a a





 

.ln .

uu

a a a u



    

   sin cos xx





  sin cos u u u



    

   cos sin xx





  cos sin u u u



      

 

2

2

1

tan 1 tan

cos

xx

x



  

   

2

2

tan 1 tan

cos

u

u u u

u





      



   

2

2

1

cot 1 cot

sin

xx

x



    

   

2

2

cot 1 cot

sin

u

u u u

u





        

COÂNG THÖÙC NGUYEÂN HAØM

( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x C F x f x     



 . ( ) ( ) k f x dx k f x dx 



   ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx   

  

 kdx kx C 



1) kdx kx C 



 22 dx x C 



 ( 3) 3 dx x C    



2)

1

1

x

x dx C















1

1 ( )

( ) .

1

MR

ax b

ax b dx C

a











     







4

3

4

x

x dx C 





3

1

2

3

2

2

3 / 2 3

x

xdx x dx C x C     





11 11

10

1 (1 ) (1 )

(1 2 ) .

2 11 22

xx

x dx C C



    





3)

1 1 1

ln ln

MR

dx x C dx ax b C

x ax b a

       







11

ln 1 3

1 3 3

dx x C

x

  





4)

22

1 1 1 1 1

.

()

MR

dx C dx C

x x ax b a ax b



       







2

1 1 1 1

.

(2 3) 2 2 3 4 6

dx C C

x x x



    

  





3

2

2

1 1 1

10 ln 10

3

x

x dx x x C

x x x



       









55

4

11

ln

5

xx

dx x dx x C

xx

 

    







5)

1

MR x x ax b ax b

e dx e C e dx e C

a



      





1

1

x x x

e dx e C e C



    





6)

ln

x

x

a

a dx C

a





1

.

ln

bx c

MR bx c

a

a dx C

ba





    





5

5

ln 5

x

x

dx C 





2

9

39

ln 9

x

xx

dx dx C   





2 5 2 5

25

1 3 3

3.

2 ln3 2ln3

xx

x

dx C C





   





   

1 2 1 2 1

1

2 2 2

2

x x x x x x

e e dx e e dx e e C

  

     





1

1 1 6

2 .3 2 .3 . 6

3 3 3ln 6

x

x x x x x

dx dx dx C



   

  

7) sin cos xdx x C   



1

sin( ) cos( )

MR

ax b dx ax b C

a

       





4;

2

1

sin 4 cos 4

2 4 2

ab

x dx x C





  

   

    

   

   



8) cos sin xdx x C 



1

cos( ) sin( )

MR

ax b dx ax b C

a

      





1;

3

1

cos sin sin

3 1 3 3

ab

x dx x C x C



  

  

     

       

     



     



   3sin 2cos 3cos 2sin x x dx x x C     



  

2

1 1 1

sin 1 cos 2 sin 2

2 2 2

xdx x dx x x C



    







(haï baäc)

9)

 

2

2

1

1 tan tan

cos

dx x dx x C

x

   



 

 

2

11

tan

cos

MR

dx ax b C

ax b a

     







2

22

1 2cos 1

2 tan 2

cos cos

x

dx dx x x C

xx

 

    









2

11

tan3

cos 3 3

dx x C

x





   

2

1

1 tan tan

MR

ax b dx ax b C

a

        

 

    

2

2;

1

1 tan 2 tan 2

2

ab

x dx x C





  





    

 





10)

 

2

2

1

1 cot cot

sin

dx x dx x C

x

    



 

 

2

11

cot

sin

MR

dx ax b C

ax b a

      





   

2

1

1 cot cot

MR

ax b dx ax b C

a

         

 



22

22

sin 1 1

cot

sin sin 2

x x x

dx x dx x C

xx

 

    









2

11

cot8

sin 8 8

dx x C

x

  





2

1

1 cot 3 cot 3

3

x dx x C     

 



22

2 2 2 2 2 2

1 sin cos 1 1

tan cot

sin cos sin cos cos sin

xx

dx dx dx x x C

x x x x x x

 

     





  

DIEÄN TÍCH VAØ THEÅ TÍCH

 Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng () y f x  ,

truïc Ox , , x a x b  thì coù dieän tích:

()

b

a

S f x dx 



 Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng () y f x  ,

() y g x  , , x a x b  thì coù dieän tích:

( ) ( )

b

a

S f x g x dx 



 Khi xoay hình phaúng

()

,

y f x

x a x b

 







quanh Ox ,

ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích

2

()

b

a

V f x dx  



 Khi xoay hình phaúng

()

()

,

y f x

y g x

x a x b

 













quanh Ox ,

ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích

22

( ) ( )

b

a

V f x g x dx 



 Xeùt hình khoái ñöôïc giôùi haïn bôûi hai maët phaúng , x a x b  . Khi caét khoái naøy ta ñöôïc thieát dieän coù

dieän tích () Sx (laø haøm lieân tuïc treân [a;b]). Theå tích khoái naøy treân   ; ab laø: ()

b

a

V S x dx 



.

COÂNG THÖÙC CHUYEÅN ÑOÄNG

Xeùt haøm quaûng ñöôøng ( ), St haøm vaän toác () vt vaø haøm gia toác () at . Ba haøm naøy seõ bieán thieân theo t .

 ( ) ( ) ( ) ( ) S t v t dt v t S t    



 ( ) ( ) ( ) ( ) v t a t dt a t v t    



COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC

1. Heä thöùc cô baûn:



22

sin cos 1  



sin

tan

cos







 

cos

cot

sin







  tan .cot 1  



2

2

1

1 tan

cos









2

2

1

1 cot

sin





 

sin( 2 ) sin

cos( 2 ) cos

k

k

  

  

 









tan( ) tan

cot( ) cot

k

k

  

  

 







2. Cung lieân keát:

Ñoái:  vaø   Buø:  vaø  

Phuï:  vaø

2



  Khaùc pi: ;     Khaùc :;

22

Pi 

  sin( ) sin     sin( ) sin    

sin cos

2













sin( ) sin      

sin cos

2













cos( ) cos   cos( ) cos       cos sin

2













cos( ) cos       cos sin

2







  





tan( ) tan     tan( ) tan       tan cot

2













tan( ) tan     tan cot

2







  





cot( ) cot     cot( ) cot       cot tan

2













cot( ) cot     cot tan

2







  





Cos Ñoái Sin Buø Phuï Cheùo

Khaùc pi

Tang, Cotang

Khaùc pi chia 2

Sin baïn cos

3. Coâng thöùc coäng:

sin( ) sin .cos sin .cos

sin( ) sin .cos sin .cos

a b a b b a

a b a b b a

   

   

cos( ) cos .cos sin .sin

cos( ) cos .cos sin .sin

a b a b a b

a b a b a b

   

   

tan tan

tan( )

1 tan .tan

ab

ab

ab







tan tan

tan( )

1 tan .tan

ab

ab

ab







4. Coâng thöùc nhaân ñoâi, nhaân ba:

sin 2 2sin .cos    

22

22

cos 2 cos sin

2cos 1 1 2sin

  





   

2

2 tan

tan 2

1 tan











3

sin3 3sin 4sin    

3

cos3 4cos 3cos    

3

2

3tan tan

tan 3

1 3tan













5. Coâng thöùc haï baäc

2

1 cos 2

sin

2









2

1 cos 2

cos

2









2

1 cos 2

tan

1 cos 2













6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích:

cos cos 2cos .cos

22

a b a b

ab



 cos cos 2sin .sin

22

a b a b

ab



  

sin sin 2sin .cos

22

a b a b

ab



 sin sin 2cos .sin

22

a b a b

ab





sin( )

tan tan

cos .cos

ab

ab

ab





sin( )

tan tan

cos .cos

ab

ab

ab





sin cos 2.sin 2.cos

44



   

   

    

   

   

sin cos 2 sin 2 cos

44



   

   

     

   

   

7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång:

 

1

cos .cos cos( ) cos( )

2

a b a b a b    

 

1

sin .sin cos( ) cos( )

2

a b a b a b    

 

1

sin .cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b    

Cos.Cos thì Cos coäng coäng Cos tröø Sin.Sin thì Cos tröø tröø Cos coäng Sin.Cos thì Sin coäng coäng Sin tröø

PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC



2

sin sin ( )

2

u v k

u v k

u v k





 

  



  



  

2

cos cos

2

u v k

u v k

u v k





 

  



  



Ñaëc bieät:

sin 1 2

2

sin 1 2

2

sin 0

u u k

u u k

u u k











   

     

  

  k  Ñaëc bieät:

cos 1 2

cos 1 2

cos 0

2

u u k

u u k

u u k









  

    

   

  k 

 tan tan u v u v k        k   cot cot u v u v k        k 

TOÅ HÔÏP – XAÙC SUAÁT

QUY TAÉC COÄNG QUY TAÉC NHAÂN

Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra nhieàu tröôøng hôïp,

ta seõ coäng caùc keát quaû laïi.

Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra laøm nhieàu giai ñoaïn

baét buoäc, ta seõ nhaân caùc keát quaû cuûa moãi giai

ñoaïn aáy.

HOAÙN VÒ CHÆNH HÔÏP TOÅ HÔÏP

 Saép xeáp (ñoåi choã) cuûa n phaàn

töû khaùc nhau, ta coù soá caùch

xeáp laø !

n

Pn  vôùi n  .

 Caùch tính:

  ! 1.2..... 1 n n n  .

 Quy öôùc soác: 0! 1. 

 Choïn k phaàn töû töø n phaàn töû

(khoâng saép xeáp thöù töï), ta coù

soá caùch choïn laø

k

n

C .

 Caùch tính:

 

!

!!

k

n

n

C

n k k





vôùi

,

.

0

nk

kn

 Choïn k phaàn töû töø n phaàn töû

(coù saép xeáp thöù töï), ta ñöôïc soá

caùch choïn laø

k

n

A .

 Caùch tính:

 

!

!

k

n

n

A

nk





vôùi

,

.

0

nk

kn

XAÙC SUAÁT

 Coâng thöùc:

()

()

()

nX

PX

n





Trong ñoù: ( ) : nX soá phaàn töû cuûa

taäp bieán coá ; X ( ) : n  soá phaàn töû

khoâng gian maãu . () PX laø xaùc suaát

ñeå bieán coá X xaûy ra vôùi X .

 Tính chaát:

0 ( ) 1 PX  .

( ) 0; ( ) 1 PP     .

( ) 1 ( ) P X P X  vôùi X laø bieán coá ñoái cuûa X .

KHAI TRIEÅN NHÒ THÖÙC NEWTÔN

Khai trieån daïng lieät keâ:

Trong caùc coâng thöùc beân,

ta luoân coù , 2. nn 

  

0 1 1 2 2 2 1 1

.........

n

n n n n n n n

n n n n n

a b C a C a b C a b C ab C b

   

       .

 Ñaëc bieät:  

0 1 2 2 1 1

1 .........

n

n n n n

n n n n n

x C C x C x C x C x



      (*).

 Heä quaû 1:

0 1 2 1

......... 2

n n n

n n n n n

C C C C C



     (töùc laø thay 1 x  vaøo (*)).

 Heä quaû 2: Vôùi n chaün, chæ caàn thay 1 x  vaøo (*), ta coù:

0 1 2 1 0 2 4 1 3 1

......... 0 ...... ......

n n n n

n n n n n n n n n n n n

C C C C C C C C C C C C



            

Khai trieån toång quaùt:

Trong caùc coâng thöùc beân,

ta luoân coù , 2. nn 

 Khai trieån:  

0

n

n

k n k k

n

k

a b C a b









. Soá haïng toång quaùt:

1

k n k k

kn

T C a b







 Phaân bieät heä soá vaø soá haïng: ( 1) .

k k n k k

n

HE Ä SO Á

SO Á HA Ï N G

C a b x .

Nhôù raèng soá haïng khoâng chöùa x öùng vôùi 0.

CAÁP SOÁ COÄNG – CAÁP SOÁ NHAÂN

CAÁP SOÁ COÄNG CAÁP SOÁ NHAÂN 1. Ñònh nghóa:

 Daõy soá  

n

u ñöôïc goïi laø caáp soá coäng khi vaø

chæ khi

1nn

u u d



 vôùi

*

n  .

 Caáp soá coäng nhö treân coù soá haïng ñaàu

1

, u

coâng sai . d

2. Soá haïng toång quaùt:



1

( 1)

n

u u n d    vôùi

*

. n 

3. Tính chaát caùc soá haïng:



11

2

k k k

u u u





vôùik  vaø k  2.

4. Toång n soá haïng ñaàu tieân:



1

12

()

... .

2

n

nn

u u n

S u u u



    

1. Ñònh nghóa:

 Daõy soá  

n

u ñöôïc goïi laø caáp soá nhaân khi vaø

chæ khi

1

.

nn

u u q



 vôùi

*

n  .

 Caáp soá nhaân nhö treân coù soá haïng ñaàu

1

, u

coâng boäi q .

2. Soá haïng toång quaùt:



1

1

.

n

n

u u q



 vôùi

*

. n 

3. Tính chaát caùc soá haïng:



2

11

.

k k k

u u u



 vôùi k  vaø k  2.

4. Toång n soá haïng ñaàu tieân:



1

12

(1 )

...

1

n

nn

uq

S u u u

q



    



vôùi 1. q 

KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ & BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN

XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU

HAØM BAÄC BA

32

y ax bx cx d     ( 0) a 

HAØM NHAÁT BIEÁN

( 0)

ax b

y ad bc

cx d



  



 Böôùc 1: Tìm taäp xaùc ñònh D .

 Böôùc 2: Tính () y f x   ; cho

0 y  

12

, ...

T ì m n g h i e ä m

xx

 Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân.

(Neân choïn giaù trò x ñaïi dieän cho

töøng khoaûng thay vaøo y  ñeå tìm

daáu cuûa y  treân khoaûng ñoù).

 Böôùc 4: Döïa vaøo baûng bieán

thieân ñeå keát luaän veà söï ñoàng

bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá.

 Ñaïo haøm

2

32 y ax bx c     .

 Haøm soá ñoàng bieán treân taäp

xaùc ñònh 0, yx     

0

0

a  









.

 Haøm soá nghòch bieán treân

taäp xaùc ñònh 0, yx     

0

0

a  









.

 Ñaïo haøm

2

()

ad bc

y

cx d



 



.

 Haøm soá ñoàng bieán treân

töøng khoaûng xaùc ñònh

0. ad bc   

 Haøm soá nghòch bieán

treân töøng khoaûng xaùc

ñònh 0. ad bc   

ÑIEÀU KIEÄN CÖÏC TRÒ

CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BA

32

y ax bx cx d     ( 0) a 

CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BOÁN

42

y ax bx c    ( 0) a 

 Haøm soá coù ñieåm cöïc trò laø

00

( ; ) xy

0

00

( ) 0

()

yx

y x y

  









.

(giaû thieát laø haøm soá lieân tuïc

taïi

0

x ).

 Ñaïo haøm

2

32 y ax bx c     .

 Haøm soá coù hai cöïc trò

0

(*)

0

y

a



 









.

 Ñeå tìm ñieàu kieän cho haøm soá

khoâng coù cöïc trò: Böôùc 1:

laøm theo coâng thöùc (*).

Böôùc 2: phuû ñònh keát quaû.

 Phöông trình ñöôøng thaúng ñi

qua hai ñieåm cöïc trò:

( ). ( )

()

18

f x f x

y f x

a

 Ñaïo haøm

3

42 y ax bx  .

 Ñieàu kieän cöïc trò

Ba cöïc trò

0 ab 

Moät cöïc trò

22

0

0

ab

ab

 







Coù cöïc trò

22

0 ab 

 Cho ,, A B C laø ba ñieåm cöïc

trò, ta coù:

3

3

8

cos

8

ba

BAC

ba







5

3

32

ABC

b

S

a







.

 Neáu

0

0

( ) 0

( ) 0

fx

fx

thì haøm soá

() fx ñaït cöïc ñaïi taïi

0

. xx

 Neáu

0

0

( ) 0

( ) 0

fx

fx

thì haøm soá

() fx ñaït cöïc tieåu taïi

0

. xx

TÌM MAX-MIN TREÂN ÑOAÏN

Tìm Max-Min cuûa () fx treân ñoaïn   ; ab

TÌM MAX-MIN TREN KHOAÛNG

Tìm Max-Min cuûa () fx treân khoaûng ( ; ) ab  Böôùc 1: Tính () y f x .

Tìm caùc nghieäm ( ; )

i

x ab khi cho ( ) 0 fx .

 Böôùc 2: Tính caùc giaù trò ( ), ( ) f a f b vaø ( ),...

i

fx

(neáu coù).

 Böôùc 3: So sanh taát caû giaù trò trong böôùc 2 ñeå

keát luaän veà giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát.

 Böôùc 1: Tính () y f x .

Tìm caùc nghieäm ( ; )

i

x ab khi cho ( ) 0 fx .

 Böôùc 2: Caàn tính lim , lim

x a x b

yy. (Neáu thay ( ; ) ab

baèng ( ; )     thì ta tính theâm lim

x

y

  

).

 Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân vaø suy ra giaù trò

lôùn nhaát, nhoû nhaát treân khoaûng.

ÑAËC

BIEÄT

 Neáu haøm () fx ñoàng bieán treân [ ; ] ab thì

[ ; ]

[ ; ]

max ( ) ( )

min ( ) ( )

x ab

x ab

f x f b

f x f a

 Neáu haøm () fx nghòch bieán treân [ ; ] ab thì

[ ; ]

[ ; ]

max ( ) ( )

min ( ) ( )

x ab

x ab

f x f a

f x f b

TIEÄM CAÄN ÑÖÙNG TIEÄM CAÄN NGANG

 Ñònh nghóa:

0

xx

y

(x höõu haïn, y voâ haïn),

ta coù tieäm caän ñöùng

0

xx . Löu yù: ñieàu kieän

0

xx coù theå ñöôïc thay baèng

0

xx (giôùi

haïn beân traùi) hoaëc

0

xx (giôùi haïn beân

phaûi).

 Caùch tìm TCÑ: Neáu

0

xx laø moät nghieäm

cuûa maãu soá maø khoâng phaûi laø nghieäm cuûa

töû soá thì

0

xx chính laø moät TCÑ cuûa ñoà thò.

 Ñònh nghóa:

0

x

yy

(x voâ haïn, y höõu haïn),

ta coù tieäm caän ngang

0

yy .

 Caùch tìm TCN: Ñôn giaûn nhaát laø duøng CASIO

Böôùc 1: Nhaäp haøm soá vaøo maùy.

Böôùc 2: 10^10

NEXT NEXT

CALC X

10^10

NEXT NEXT

CALC X

Böôùc 3: Neáu keát quaû thu ñöôïc laø höõu haïn (töùc

laø

0

y ) thì ta keát luaän TCN:

0

yy .

 Ñoà thò haøm soá

ax b

y

cx d

vôùi ( 0, 0) c ad bc coù moät TCÑ:

d

x

c

, moät TCN: .

a

y

c

 Neân nhôù, ñoà thò coù theå coù nhieàu tieäm caän ñöùng, nhöng chæ coù toái ña laø 2 tieäm caän ngang.

TÌM TOÏA ÑOÄ GIAO ÑIEÅM HOAËC SOÁ GIAO ÑIEÅM HAI ÑOÀ THÒ

Xeùt hai ñoà thò

1

( ) : ( ) C y f x vaø

2

( ) : ( ) C y g x .

 Böôùc 1 : Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm

cuûa

12

( ) &( ) CC : ( ) ( ) f x g x . (*)

 Böôùc 2 : Giaûi phöông trình (*) ñeå tìm caùc

nghieäm

12

, ,... xx (neáu coù), suy ra

12

, ... yy

PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN

DAÏNG 1

Vieát phöông trình tieáp tuyeán

cuûa ñoà thò ( ) : ( ) C y f x  taïi

ñieåm

00

( ; ) ( ) M x y C 

DAÏNG 2

Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa

ñoà thò ( ) : ( ) C y f x  bieát tieáp

tuyeán coù heä soá goùc k.

DAÏNG 3

Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa

ñoà thò ( ) : ( ) C y f x  bieát tieáp

tuyeán ñi qua ( ; )

AA

A x y .

 Böôùc 1: Tính ñaïo haøm y , töø

ñoù coù heä soá goùc

0

( ). k y x

 Böôùc 2 : Vieát phöông trình

tieáp tuyeán cuûa ñoà thò daïng

00

() y k x x y .

 Böôùc 1: Goïi

00

( ; ) M x y laø tieáp

ñieåm vaø tính ñaïo haøm y .

 Böôùc 2: Cho

0

() y x k , töø ñoù

tìm ñöôïc tieáp ñieåm

00

( ; ). xy

 Böôùc 3: Vieát phöông trình

tieáp tuyeán :

 Böôùc 1: Tieáp tuyeán coù daïng :

0 0 0

( )( ) y y x x x y (*) vôùi

00

( ). y f x 

 Böôùc 2: Thay toïa ñoä ñieåm A

vaøo (*) ñeå tìm ñöôïc

0

. x

 Böôùc 3: Thay

0

x tìm ñöôïc vaøo 00

() y k x x y .

(*) ñeå vieát phöông trình tieáp

tuyeán.

SOÁ PHÖÙC VAØ CAÙC YEÁU TOÁ LIEÂN QUAN

Soá phöùc coù daïng: z a bi vôùi

2

,

1

ab

i

(i: laø ñôn vò aûo). Kyù hieäu taäp soá phöùc: .

Thaønh phaàn Hình hoïc Minh hoïa

 Phaàn thöïc: a.

Neáu 0 a thì z bi ñöôïc goïi laø

soá thuaàn aûo.

 Phaàn aûo: b.

Neáu 0 b thì za laø soá thöïc.

 Khi 0 ab thì 0 z vöøa laø soá

thuaàn aûo vöøa laø soá thöïc.

 Ñieåm ( ; ) M ab bieåu dieãn

cho z treân heä truïc . Oxy

 Moâ-ñun:

22

z OM a b .

Soá phöùc lieân hôïp – Soá phöùc

nghòch ñaûo

Caên baäc hai Phöông trình baäc hai

Cho z a bi . Khi ñoù:

 Soá phöùc lieân hôïp cuûa noù

laø z a bi.

 Soá phöùc nghòch ñaûo laø

1

11

z

z a bi

2 2 2 2

ab

i

a b a b

.

 Caên baäc hai cuûa 0 a laø . a

 Caên baäc hai cuûa 0 a laø

ia .

 Caên baäc hai cuûa soá phöùc

z a bi laø hai soá phöùc daïng

w x yi vôùi

22

2

x y a

xy b

.

 Phöông trình

2

0 za coù

hai nghieäm phöùc . za

 Phöông trình

2

0 za coù

hai nghieäm phöùc z i a .

 Phöông trình

2

0 az bz c

vôùi 0 seõ coù hai nghieäm

phöùc laø:

1,2

2

bi

z

a

.

KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG

I. MOÄT SOÁ HÌNH PHAÚNG CÔ BAÛN:

1. Tam giaùc vuoâng:

▪

2 2 2

Pitago

AB AC BC ▪

2

. AB BHBC

▪

2

. AC CHBC ▪

2

. AH BHCH

▪

2 2 2

1 1 1

AH AB AC

22

. ABAC

AH

AB AC

▪ sin

AC

B

BC

(ñoái/huyeàn) ▪ cos

AB

B

BC

(keà/huyeàn) ▪ tan

AC

B

AB

(ñoái/keà) ▪ cot

AB

B

AC

(keà/ñoái)

2. Tam giaùc ñeàu:

Giaû söû tam giaùc ABC ñeàu coù caïnh ; a troïng taâm ; G caùc ñöôøng

cao (truøng vôùi trung tuyeán) goàm AH , . BK

▪ Ñöôøng cao:

( ) 3 3

.

22

c a ï n h a

AH BK

▪

2 2 3 3 1 1 3 3

. ; . .

3 3 2 3 3 3 2 6

a a a a

AG AH GH AH

▪ Dieän tích:

22

( ) 3 3

.

44

ABC

c a ï n h a

S

3. Tam giaùc thöôøng: Giaû söû tam giaùc ABC coù ,, a BC b AC c AB ; caùc ñöôøng

cao ,,

a b c

h h h laàn löôït öùng vôùi caïnh , , . a b c Kyù hieäu , Rr laàn löôït

laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp ∆.

A

C B

H

a

a

a

G

K

H

B

C

A

▪ Ñònh lí Sin: 2

sin sin sin

a b c

R

A B C

.

▪ Ñònh lí Coâ-sin:

2 2 2

2 .cos a b c bc A;

2 2 2 2 2 2

2 .cos ; 2 .cos . b a c ac B c a b ab C

▪ Dieän tích:

1 1 1

. . . ;

2 2 2

ABC a b c

S h a h b h c

1 1 1

.sin .sin .sin

2 2 2

ABC

S ab C ac B bc A ;

4

ABC

abc

S pr

R

; ( )( )( )

2

ABC

C o â n g t h ö ù c H e â R o â n g

a b c

S p p a p b p b v ô ù i p (nöûa chu vi).

4. Hình vuoâng:

Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh ; a hai ñieåm , MN laàn löôït laø

trung ñieåm cuûa ,; CD AD I laø taâm hình vuoâng.

▪ Ñöôøng cheùo:

( ) 2 2

AC BD

A C B D c a ï n h a

.

2

2

a

IA IB IC ID neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi qua

boán ñænh hình vuoâng.

▪ Dieän tích:

22

()

ABCD

S c a ï n h a ; chu vi: 4. pa

▪ Vì ABN ADM , ta chöùng minh ñöôïc: . AM BN

5. Hình chöõ nhaät:

Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm I coù ,. AB a AD b

▪ Ñöôøng cheùo:

22

AC BD a b .

22

1

2

IA IB IC ID a b neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi

qua boán ñieåm , , , . A B C D

▪ Dieän tích: .

ABCD

S ab; chu vi: 2( ). p a b

6. Hình thoi:

Cho hình thoi ABCD coù taâm , I caïnh baèng . a

▪ Ñöôøng cheùo: ; AC BD 2 2 .sin 2 .sin . AC AI AB ABI a ABI

▪ Dieän tích:

1

.

2

ABCD

S ACBD; 2 2 2

ABCD ABC ACD ABD

S S S S .

Ñaëc bieät: Neáu hình thoi coù goùc

0

60 BD (

0

120 AC ) thì

ta chia hình thoi ra laøm hai tam giaùc ñeàu: . ABC ACD

AC a vaø

2

3

;

4

ABC ACD

a

SS

2

3

2.

2

ABCD ABC

a

SS

II. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP:

7. Hình choùp:

1

.

3

ñ

V hS

7.1. Hình choùp tam giaùc ñeàu

▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau.

▪ Ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh . a

▪ () SH ABC vôùi H laø troïng taâm

∆ . ABC

▪

2

2 3

13

.

4

34

T h e å t íc h

ñ

a

a

S

Vh

SH h

Goùc giöõa caïnh beân vaø maët Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy:

S đ

h

A

B

C

D

S

H7.2. Töù dieän ñeàu:

▪ Ñaây cuõng laø hình choùp tam

giaùc ñeàu, ñaëc bieät laø caïnh

beân baèng caïnh ñaùy. Theå

tích:

3

2

12

a

V .

ñaùy: ,( ) SA ABC SAH

,( ) SC ABC SCH .

( ),( ) SAB ABC SMH

( ),( ) SBC ABC SNH .

7.3. Hình choùp töù giaùc ñeàu:

▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau.

▪ Ñaùy laø hình vuoâng caïnh . a

▪ () SO ABCD vôùi O laø taâm hình

vuoâng . ABCD

▪

2

2

1

.

3

T h e å t í c h

ñ

Sa

V ha

SO h

.

Goùc giöõa caïnh beân vaø maët

ñaùy: ,( ) SA ABCD SAO

,( ) SB ABCD SBO.

Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy:

( ),( ) SAB ABCD SMO

( ),( ) SBC ABCD SNO.

7.4. Hình choùp coù caïnh beân

SA vuoâng goùc vôùi maët

phaúng ñaùy.

Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät

▪

1

.

3

T h e å t í c h

ABC

ñ A B C

h SA

V SAS

SS

.

▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy:

,( )

,( )

SB ABC SBA

SC ABC SCA

.

▪

1

.

3

T h e å t í c h

ABCD

ñ A B C D

h SA

V SAS

SS

.

▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy:

,( )

,( )

SB ABCD SBA

SC ABCD SCA

.

7.5. Hình choùp coù maët beân

(SAB) vuoâng goùc vôùi maët

phaúng ñaùy.

Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät

▪ Ñöôøng cao h SH cuõng laø

ñöôøng cao cuûa ∆SAB.

▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy:

,( )

,( )

SA ABC SAH

SC ABC SCH

.

▪ Ñöôøng cao h SH cuõng laø

ñöôøng cao cuûa ∆SAB.

▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy:

,( )

,( )

SA ABCD SAH

SC ABCD SCH

. III. THEÅ TÍCH KHOÁI LAÊNG TRUÏ:

1. Hình laêng truï thöôøng:

 Hai ñaùy laø hai hình gioáng

nhau vaø naèm trong hai maët

phaúng song song.

 Caùc caïnh beân song song vaø

baèng nhau. Caùc maët beân laø

caùc hình bình haønh.

 Theå tích: .

ñ

V hS .

Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc

..

ABC ABC

V AHS AHS

..

ABCD ABCD

V AHS AHS

2. Hình laêng truï ñöùng:

 Caùc caïnh beân cuøng vuoâng goùc

vôùi hai maët ñaùy neân moãi

caïnh beân cuõng laø ñöôøng cao

cuûa laêng truï.

 Laêng truï tam giaùc ñeàu:

Laø laêng truï ñöùng vaø coù hai

ñaùy laø hai tam giaùc ñeàu

baèng nhau.

Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc

 Theå tích: .

ñ

V hS vôùi

h AA BB CC .

Theå tích: .

ñ

V hS vôùi

h AA BB CC DD .

3. Hình hoäp:

 Laø laêng truï coù taát caû caùc maët

laø hình bình haønh.

 Theå tích: .

ñ

V hS .

3.1 Hình hoäp chöõ nhaät: 3.2. Hình laäp phöông:

 Laø laêng truï ñöùng coù ñaùy laø

hình chöõ nhaät.

 V abc vôùi ,, ab c laø ba kích

thöôùc khaùc nhau cuûa hình hoäp

chöõ nhaät.

 Laø hình hoäp chöõ nhaät coù taát caû

caùc caïnh baèng nhau.



3

Va vôùi a laø caïnh cuûa hình

laäp phöông.

MAËT TRUÏ – MAËT NOÙN – MAËT CAÀU

MAËT NOÙN Caùc yeáu toá maët noùn: Moät soá coâng thöùc:

Hình thaønh: Quay vuoâng

 Ñöôøng cao: h SO . (SO

cuõng ñöôïc goïi laø truïc cuûa hình

noùn).

 Baùn kính ñaùy:

. r OA OB OM

 Ñöôøng sinh:

. l SA SB SM

 Goùc ôû ñænh: . ASB

 Chu vi ñaùy: 2. pr

 Dieän tích ñaùy:

đ

2

. Sr

 Theå tích:

đ

2

11

. . .

33

V hS h r

(lieân töôûng khoái choùp).

 Dieän tích xung quanh:

.

xq

S rl

h

l

l

l

r

O

A

B

S

MSOM quanh truïc SO, ta ñöôïc

maët noùn nhö hình beân vôùi:

h SO

r OM

.

 Thieát dieän qua truïc: SAB

caân taïi . S

 Goùc giöõa ñöôøng sinh vaø maët

ñaùy: . SAO SBO SMO

 Dieän tích toaøn phaàn:

2

.

tp xq

S S S rl r

đ

MAËT TRUÏ Caùc yeáu toá maët truï: Moät soá coâng thöùc:

Hình thaønh: Quay hình chöõ

nhaät ABCD quanh ñöôøng

trung bình OO , ta coù maët truï

nhö hình beân.

 Ñöôøng cao: . h OO

 Ñöôøng sinh: . l AD BC

Ta coù: . lh

 Baùn kính ñaùy:

. r OA OB OC OD

 Truïc ( ∆) laø ñöôøng thaúng ñi qua

hai ñieåm ,. OO

 Thieát dieän qua truïc: Laø hình

chöõ nhaät . ABCD

 Chu vi ñaùy: 2. pr

 Dieän tích ñaùy:

đ

2

. Sr

 Theå tích khoái truï:

2

.. V hS h r

đ

.

 Dieän tích xung quanh:

2 . .

xq

S rh

 Dieän tích toaøn phaàn:

2

2 2 . 2 .

tp xq

S S S rh r

đ

MAËT CAÀU Moät soá coâng thöùc:

Maët caàu ngoaïi tieáp ña dieän

Maët caàu noäi tieáp ña dieän

Hình thaønh: Quay ñöôøng

troøn taâm I , baùn kính

2

AB

R quanh truïc AB , ta coù

maët caàu nhö hình veõ.

 Taâm , I baùn kính

R IA IB IM.

 Ñöôøng kính 2 AB R.

 Thieát dieän qua taâm maët caàu:

Laø ñöôøng troøn taâm I , baùn

kính R .

 Dieän tích maët caàu:

2

4 SR

 Theå tích khoái caàu:

3

4

3

R

V

 Maët caàu

ngoaïi tieáp ña

dieän laø maët

caàu ñi qua taát

caû ñænh cuûa ña

dieän ñoù.

 Maët caàu noäi

tieáp ña dieän laø

maët caàu tieáp

xuùc vôùi taát caû

caùc maët cuûa ña

dieän ñoù.

CAÙCH TÌM BAÙN KÍNH MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP THÖÔØNG GAËP

1. Hình choùp coù caùc ñænh nhìn moät caïnh

döôùi moät goùc vuoâng.

2. Hình choùp ñeàu.

 Xeùt hình choùp coù

() SA ABC vaø

 Xeùt hình choùp coù

() SA ABCD vaø

ABCD laø hình chöõ

 Xeùt hình choùp tam

giaùc ñeàu coù caïnh beân

baèng b vaø ñöôøng cao

 Xeùt hình choùp töù giaùc

ñeàu coù caïnh beân baèng

b vaø chieàu cao SO h 0

90 ABC .

 Ta coù

0

90 SAC SBC

neân maët caàu ngoaïi

tieáp hình choùp coù taâm

I laø trung ñieåm SC ,

baùn kính .

2

SC

R

nhaät hoaëc hình vuoâng.

 Ta coù: SAC SBC

0

90 SDC

Suy ra maët caàu ngoaïi

tieáp hình choùp coù taâm

I laø trung ñieåm SC ,

baùn kính .

2

SC

R

SH h.

 Baùn kính maët caàu

ngoaïi tieáp hình choùp

treân laø

2

2

b

R

h

.

 Baùn kính maët caàu

ngoaïi tieáp hình choùp

treân laø

2

2

b

R

h

.

3. Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi

maët phaúng ñaùy.

4. Hình choùp coù maët beân vuoâng goùc vôùi

maët ñaùy.

 Xeùt hình choùp coù

SA (ñaùy) vaø

SA h; baùn kính

ñöôøng troøn ngoaïi tieáp

cuûa ñaùy laø

ñ

r .

 Khi ñoù maët caàu ngoaïi

tieáp hình choùp coù baùn

kính

2

2

2

ñ

h

Rr .

 Neáu ñaùy laø tam giaùc

ñeàu caïnh a thì

3

3

ñ

a

r .

 Neáu ñaùy laø hình vuoâng

caïnh a thì

2

2

ñ

a

r .

 Neáu ñaùy laø hình chöõ

nhaät caïnh , ab thì

22

2

ñ

ab

r .

 Xeùt hình choùp coù maët beân () SAB (ñaùy), baùn

kính ngoaïi tieáp ñaùy laø

ñ

r , baùn kính ngoaïi tieáp

SAB laø

b

r , () d AB SAB (ñaùy).

 Khi ñoù baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø

2

22

4

ñb

d

R r r .

HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN

1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz:

 Heä truïc goàm ba truïc ,, Ox Oy Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau.

 Truïc : Ox truïc hoaønh, coù vectô ñôn vò (1;0;0) i .

 Truïc Oy : truïc tung, coù vectô ñôn vò (0;1;0) j .

 Truïc : Oz truïc cao, coù vectô ñôn vò (0;0;1). k

 Ñieåm (0;0;0) O laø goác toïa ñoä.

2. Toïa ñoä vectô: Vectô ( ; ; ) u xi yj zk u x yz .

Cho

1 2 3 1 2 3

( ; ; ), ( ; ; ) a a a a b b b b . Ta coù:



1 1 2 2 3 3

( ; ; ) a b a b a b a b

 a cuøng phöông b () a kb k R

11

3 12

2 2 1 2 3

1 2 3

33

, ( , , 0).

a kb

a aa

a kb b b b

b b b

a kb



1 2 3

( ; ; ) ka ka ka ka



11

22

33

ab

a b a b

ab



1 1 2 2 3 3

. . . . ab a b a b a b 

222

1 2 2

a a a a 

2

2 2 2 2

1 2 3

a a a a a 

1 1 2 2 3 3

. 0 0 a b ab ab ab ab



1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.

cos( , )

.

.

ab a b a b ab

ab

ab

a a a b b b

3. Toïa ñoä ñieåm: ( ; ; ) ( ; ; ) M x y z OM x yz . Cho ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )

A A A B B B C C C

A x y z B x y z C x y z , ta coù:

 ( ; ; )

B A B A B A

AB x x y y z z 

2 2 2

( ) ( ) ( )

B A B A B A

AB x x y y z z

 Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB:

; ; .

2 2 2

A B A B A B

x x y y z z

M

 Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC:

; ; .

3 3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G

4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô:

 Ñònh nghóa: Cho

1 2 3

( , , ) a a a a ,

1 2 3

( , , ) b b b b , tích coù höôùng cuûa a vaø b laø:

2 3 3 1 12

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 12

, ; ; ; ;

a a a a aa

ab a b a b a b ab ab a b

b b b b bb

.

 Tính chaát: [ , ] a b a [ , ] a b b

[ , ] . .sin , ab a b ab

 Ñieàu kieän cuøng phöông c ủa hai vectô & ab laø

,0 ab vôùi 0 (0;0;0).

 Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô , ab vaø c

laø [ , ]. 0. a b c

 Dieän tích hình bình haønh ABCD:

,.

ABCD

S AB AD

 Dieän tích tam giaùc ABC:

1

,.

2

ABC

S AB AC

 Theå tích khoái hoäp:

. ' ' ' '

[ , ]. '.

ABCD ABCD

V AB AD AA

 Theå tích töù dieän:

1

,.

6

ABCD

V AB AC AD .

5. Phöông trình maët caàu:

Daïng 1:

2 2 2 2

( ):( ) ( ) ( ) S x a y b z c R

()

2

( ; ; )

M a ë t c a à u S c où

I abc

RR

Daïng 2:

2 2 2

( ): 2 2 2 0 S x y z ax by cz d

()

2 2 2

( ; ; )

M a ë t c a à u S c o ù

I abc

R a b c d

 Phöông trình

2 2 2

2 2 2 0 x y z ax by cz d laø phöông trình maët caàu

2 2 2

0 a b c d      .

Baøi toaùn 5.1. Vieát phöông trình maët caàu taâm

I vaø ñi qua ñieåm M.

 Böôùc 1: Tính baùn kính R IM  .

 Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1.

Baøi toaùn 5.2. Vieát phöông trình maët caàu coù

ñöôøng kính AB.

 Böôùc 1: Tìm taâm I laø trung ñieåm AB. Baùn kính

2

AB

R IA IB    .

 Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1.

6. Phöông trình maët phaúng:

 Löu yù: Vectô phaùp tuyeán (VTPT) cuûa maët

phaúng laø vectô khaùc 0 naèm treân ñöôøng thaúng

vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñoù.

 Maët phaúng

0 0 0

( ; ; )

()

( ; ; )

qua M x y z

P

VTPT n abc

thì phöông

trình

0 0 0

( ): ( ) ( ) ( ) 0 P a x x b y y c z z .

 Ngöôïc laïi, moät maët phaúng baát kyø ñeàu coù phöông

trình daïng 0 ax by cz d , maët phaúng

naøy coù ( ; ; ) VTPT n abc .

Baøi toaùn 6.1. Vieát phöông trình maët phaúng

trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB.

Baøi toaùn 6.2. Vieát phöông trình maët phaúng

ñi qua ba ñieåm A, B, C.

 Böôùc 1: Tìm trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB vaø tính

toïa ñoä AB .

 Böôùc 2: Phöông trình

qua

mp( )

VTPT

I

P

n AB 

.

 Böôùc 1: Tính toïa ñoä , AB AC vaø suy ra

, AB AC





.

 Böôùc 2: Phöông trình

qua

mp( )

VTPT ,

A

P

n AB AC







Baøi toaùn 6.3. Vieát phöông trình maët phaúng

qua M vaø chöùa ñöôøng thaúng d vôùi Md .

 Böôùc 1: Choïn ñieåm Ad  vaø moät VTCP .

d

u

Tính ,

d

AM u





.

 Böôùc 2: Phöông trình

qua

mp( )

VTPT ,

d

M

P

n AM u







Baøi toaùn 6.4. Vieát phöông trình maët phaúng

caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi ( ;0;0), (0; ;0), Aa B b

(0;0; ) Cc vôùi , , 0 a b c .

 Phöông trình maët

phaúng ñöôïc vieát

theo ñoaïn chaén

( ): 1.

x y z

P

a b c

Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song

 Cho

0 0 0

( ; ; )

( ) : 0

M x y z

mp P ax by cz d





   



.

 Khi ñoù:  

0 0 0

2 2 2

,( )

ax by cz d

d M P

abc

  





.

 Cho hai maët phaúng

1

2

( ) : 0

( ) : 0

P ax by cz d

Q ax by cz d

    



   



.

 Khi ñoù:  

12

2 2 2

( ),( )

dd

d P Q

abc







vôùi

12

dd  .

Goùc giöõa hai maët phaúng Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng

 Cho hai maët phaúng ( ), ( ) coù phöông trình:

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

( ) : 0

P ax by cz d

Q a x b y c z d

    



   



 Goùc giöõa ( ) &( ) PQ ñöôïc tính:

 

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

.

cos ( ),( )

. .

PQ

PQ

nn

aa bb cc

PQ

nn a b c a b c





   

 Chuù yù:

 

00

0 ( ),( ) 90 PQ  .

Cho hai maët phaúng ( ), ( ) coù phöông trình:

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

( ) : 0

P ax by cz d

Q a x b y c z d

    



   



. Ta coù:



1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( )

a b c d

PQ

a b c d

    .



1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( )

a b c d

PQ

a b c d

     .

 ( ) &( ) PQ caét nhau

1 1 1 2 2 2

: : : : a b c a b c  .



1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 0 P Q aa bb cc      .

 Löu yù: Caùc tæ soá treân coù nghóa khi maãu khaùc 0.

Ví trò töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu

Cho maët phaúng ( ) : 0 P ax by cz d     vaø maët caàu () S coù taâm I vaø baùn kính R.

 Tröôøng hôïp 1:   ,( ) d I P R () P vaø () S khoâng coù ñieåm chung.

 Tröôøng hôïp 2:   ,( ) d I P R () P vaø () S coù  Tröôøng hôïp 3:   ,( ) d I P R () P caét () S moät ñieåm chung. Khi ñoù ta noùi () P tieáp xuùc

() S hoaëc () P laø tieáp dieän cuûa ( ). S

Ta coù: () IM P  vôùi M laø tieáp ñieåm.

theo giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn.

Ñöôøng troøn giao tuyeán coù taâm H (laø trung ñieåm

AB), baùn kính

22

r R IH  vôùi   ,( ) . IH d I P 

7. Phöông trình ñöôøng thaúng:

 Ñöôøng thaúng

1 2 3

qua ( ; ; )

VTCP ( ; ; )

A A A

A x y z

d

u u u u 

coù:

 Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng d laø

vectô khaùc 0 , coù giaù naèm treân d hoaëc song song vôùi d.

 Phöông trình tham soá

1

2

3

:

A

A

A

x x ut

d y y u t

z z u t

 













vôùi

t laø tham soá.

 Phöông trình chính taéc

1 2 3

:

A A A

x x y y z z

d

u u u

  

 vôùi

1 2 3

. . 0 u u u  .

 Löu yù: Neáu coù caëp vectô khaùc 0 khoâng cuøng phöông sao cho

ad

bd















thì d coù VTCP laø: ,

d

u a b







.

7.1. Ví trò töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng:

Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng vôùi

1

1

qua

VTCP

M

d

u

,

1

2

qua

VTCP

N

d

u

.

Böôùc I Böôùc II Keát luaän

 Hai ñöôøng thaúng

song song hoaëc truøng nhau.



(Hai ñöôøng thaúng truøng nhau)



 Hai ñöôøng thaúng

caét nhau hoaëc cheùo nhau.

 caét

 cheùo nhau

7.2. Ví trò töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:

Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng .

Böôùc I:

Böôùc II:Giaûi PT (*), ta gaëp

1 trong 3 tröôøng hôïp sau

Keát luaän

 Thay phöông trình tham soá vaøo  PT (*) voâ nghieäm

12

, dd

12

,0 uu

12

, dd

1

;0 u MN

12

dd

1

;0 u MN

12

dd

12

,0 uu

12

, dd

12

, . 0 u u MN

1

d

2

d

12

, . 0 u u MN

12

& dd

01

02

03

:

x x ut

d y y u t

z z u t

( ): 0 P ax by cz d

d

() dPphöông trình , ta ñöôïc PT (*):

 PT (*) coù 1 nghieäm

0

0

0

xx

yy

zz

 













caét taïi ñieåm

coù toïa ñoä

0 0 0

( ; ; ) x y z .

 PT (*) coù voâ soá nghieäm

7.3. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng:

 Cho ñieåm M vaø ñöôøng thaúng d (coù

phöông trình tham soá hoaëc chính taéc).

 Böôùc 1: Choïn ñieåm Ad  vaø moät VTCP

d

u .

 Böôùc 2:  

,

,

d

d

u AM

d M d

u





 .

7.4. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:

 Cho hai ñöôøng thaúng

12

, dd laàn löôït coù VTCP laø

12

, uu .

   Ta coù:

 

12

12

12

.

cos ,

.

uu

dd

uu

 .

7.5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:

 Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø maêt phaúng () P coù VTPT n .

   Ta coù:

 

.

sin ,( )

.

un

dP

un

 .

8. Hình chieáu vaø ñieåm ñoái xöùng:

Baøi toaùn Phöông phaùp

 Tìm hình chieáu

cuûa ñieåm treân

maët phaúng .

 Goïi d laø ñöôøng thaúng

qua

()

A

P

Vieát pt tham

soá cuûa d vôùi VTCP cuûa d cuõøng laø VTPT cuûa (P).

 Goïi () H d P  . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt

mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H.

 Tìm ñieåm

ñoái xöùng vôùi qua

.

 Ta coù H laø trung ñieåm

2

2

2

A H A

A H A

A H A

x x x

AA y y y

z z z







 



   









.

 Tìm hình chieáu

cuûa ñieåm treân

ñöôøng thaúng d.

Caùch I

 Goïi () H theo t (döïa vaøo pt tham soá cuûa d).

 .0

d

AH d AHu       Tìm ñöôïc   Toïa ñoä H.

Caùch II

 Goïi

qua

()

()

A

P

Pd

Vieát pt mp( ) P .

 Goïi () H d P  . Thay pt tham soá cuûa

d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H.

 Tìm ñieåm

ñoái xöùng vôùi qua

ñöôøng thaúng d.

 Ta coù H laø trung ñieåm

2

2

2

A H A

A H A

A H A

x x x

AA y y y

z z z







 



   









.

Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn

Email goùp yù: thayxuannhan@gmail.com

() P

0 1 0 2 0 3

( ) ( ) ( ) 0 a x ut b y ut c z ut d

d () P

() dP

A

() P

A

A

() P

A

....... t

A

A