Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán lớp 10 - trường THPT Marie Curie - TP Hồ Chí Minh

MỤC LỤC PHẦNI ĐẠISỐ 3 CH×ÌNG I M›NH — - TŠP HÑP 5 1 M›NH —........................................................................................ 5 A Tâm t­t lþ thuy¸t.......................................................................... 5 B C¡c d¤ng to¡n v v½ dö..................................................................... 7 D¤ng 1. X¡c ành m»nh ·. T½nh óng sai cõa m»nh ·...................................... 7 D¤ng 2. X¡c ành m»nh · £o, m»nh · phõ ành cõa mët m»nh ·......................... 8 D¤ng 3. Ph¡t biºu ành l½ d¤ng i·u ki»n c¦n, i·u ki»n õ................................... 9 C B i tªp tü luªn............................................................................ 9 D C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................ 18 2 TŠP HÑP........................................................................................ 23 A Tâm t­t lþ thuy¸t.......................................................................... 23 B C¡c d¤ng to¡n v v½ dö..................................................................... 23 D¤ng 1. C¡ch biºu di¹n tªp hñp ............................................................ 23 D¤ng 2. Tªp con - hai tªp b¬ng nhau....................................................... 25 C B i tªp tü luªn............................................................................ 26 D¤ng 1. C¡c ph²p to¡n tr¶n tªp hñp........................................................ 27 D¤ng 2. Tªp con cõa tªp sè thüc........................................................... 32 D C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................ 37 CH×ÌNG II H€M SÈ BŠC NH‡T V€ H€M SÈ BŠC HAI 49 1 H€M SÈ......................................................................................... 49 A Tâm t­t lþ thuy¸t.......................................................................... 49 B C¡c d¤ng to¡n v v½ dö..................................................................... 50 D¤ng 1. T½nh gi¡ trà cõa h m sè t¤i mët iºm............................................... 50 D¤ng 2. ç thà h m sè..................................................................... 50 D¤ng 3. T¼m tªp x¡c ành cõa h m sè ...................................................... 52 D¤ng 4. Sü bi¸n thi¶n cõa h m sè.......................................................... 57 D¤ng 5. H m sè ch®n - H m sè l´.......................................................... 60 C C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................ 64 2 H€M SÈ BŠC NH‡T............................................................................. 84 A Tâm t­t lþ thuy¸t.......................................................................... 84 B C¡c d¤ng to¡n v v½ dö..................................................................... 85 D¤ng 1. X²t t½nh çng bi¸n, nghàch bi¸n .................................................... 85 D¤ng 2. ç thà h m sè y =ax +b.......................................................... 86 D¤ng 3. ç thà h m sè y =jax +bj ........................................................ 87 C C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................ 88 3 H€M SÈ BŠC HAI................................................................................ 97 A Tâm t­t lþ thuy¸t.......................................................................... 97 B C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................100 CH×ÌNG III PH×ÌNG TRœNH V€ H› PH×ÌNG TRœNH 115 1# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 2 1 „I C×ÌNG V— PH×ÌNG TRœNH ................................................................ 115 A Tâm t­t lþ thuy¸t..........................................................................115 B Ph÷ìng ph¡p gi£i..........................................................................116 C B i Tªp Tü Luy»n ......................................................................... 117 D C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................125 2 Ph÷ìng tr¼nh quy v· ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t, ph÷ìng tr¼nh bªc hai...................................139 A C¡c d¤ng to¡n th÷íng g°p - V½ dö - B i tªp r±n luy»n.......................................139 D¤ng 1. Gi£i v bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t mët ©n.....................................139 D¤ng 2. Gi£i v bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh bªc hai mët ©n ...................................... 143 D¤ng 3. ành l½ Vi-²t.......................................................................146 D¤ng 4. Ph÷ìng tr¼nh væ t ................................................................ 150 B C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................161 3 H› PH×ÌNG TRœNH ............................................................................. 181 A C¡c d¤ng to¡n v v½ dö.....................................................................181 D¤ng 1. Ph÷ìng ph¡p th¸..................................................................181 D¤ng 1. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i 1....................................................183 B C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................193 CH×ÌNG IV B‡T NG THÙC - B‡T PH×ÌNG TRœNH 207 1 M›NH —........................................................................................207 A Tâm t­t lþ thuy¸t..........................................................................207 B B i tªp tü luy»n ........................................................................... 207 C C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................210 PHẦNII HÌNHHỌC 219 CH×ÌNG I VEC-TÌ 221 1 VEC-TÌ..........................................................................................221 A B i tªp tü luªn............................................................................221 B C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................224 2 TÊNG V€ HI›U CÕA HAI VECTÌ................................................................232 A Tâm t­t lþ thuy¸t..........................................................................232 B C¡c d¤ng to¡n v v½ dö.....................................................................232 D¤ng 1. Chùng minh ¯ng thùc vectì.......................................................232 D¤ng 2. T½nh ë d i cõa vectì têng.........................................................234 C B i tªp tü luªn............................................................................234 D C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................240 3 TCH CÕA V’C-TÌ VÎI MËT SÈ ................................................................ 248 A Tâm t­t lþ thuy¸t..........................................................................248 B C¡c d¤ng to¡n v v½ dö.....................................................................248 D¤ng 1. Chùng minh ¯ng thùc v²c-tì......................................................248 D¤ng 2. X¡c ành iºm thäa i·u ki»n cho tr÷îc.............................................249 D¤ng 3. Chùng minh ba iºm th¯ng h ng...................................................249 C B i tªp tü luªn............................................................................251 D C¥u häi tr­c nghi»m kh¡ch quan............................................................264 h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCuriePHẦN I ĐẠI SỐ 3 CHƯƠNGI MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP x1 MỆNHĐỀ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 MỆNH ĐỀ Mệnh đề là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai. #Vídụ1. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 2 MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến ta được một mệnh đề. #Vídụ1. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 3 PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phủ định của mệnh đềP ký hiệu làP là một mệnh đề thỏa mãn tính chất P P Đúng Sai Sai Đúng #Vídụ1. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. Để phủ định mệnh đềP, thông thường ta thêm “không phải” hoặc “không” vào những vị trí phù hợp trong mệnh đề P để có câu tròn ý. #Vídụ2. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 5# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 6 4 MỆNH ĐỀ KÉO THEO Mệnh đề “NếuP thìQ ”gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệuP)Q. Mệnh đềP)Q chỉ sai khiP đúng đồng thờiQ sai. Tóm tắt: P Q P)Q Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Đúng Đúng Đúng #Vídụ1. Ì Mệnh đề “10<1) (10) 2 < (1) 2 ” là mệnh đề sai. Ì Mệnh đề “ p 3< 2) 3< 4” là mệnh đề đúng. ! Định lý trong toán học là mệnh đề đúng có dạngP)Q. Ì P: gọi là giả thiết (hayP là điều kiện đủ để cóQ). Ì Q: gọi là kết luận (hayQ là điều kiện cần để cóP). #Vídụ2. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 5 MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề đảo của mệnh đềP)Q là mệnh đềQ)P. ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng chưa hẳn là một mệnh đề đúng. Nếu hai mệnh đềP)Q vàQ)P đềuđúng thì ta nóiP vàQ là hai mệnh đề tương đương. Ký hiệuP,Q. Tóm tắt: P Q P)Q Đúng Đúng Đúng Sai Sai Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Sai Cách phát biểu khác: +P khi và chỉ khiQ. +P là điều kiện cần và đủ để cóQ. +Q là điều kiện cần và đủ để cóP. #Vídụ1. Tam giácABC cân có một góc 60  là điềukiệncầnvàđủ để tam giácABC đều. #Vídụ2. Tam giácABC là tam giác vuông khivàchỉkhi có một góc bằng tổng hai góc còn lại. #Vídụ3. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 7 6 KÝ HIỆU 8, 9, 9! Ký hiệu8: đọc là với mọi; ký hiệu9: đọc là tồn tại; ký hiệu9!: đọc là tồn tại duy nhất. Xét câu “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề. Ta viết:8x2R :x 2  0 hayx 2  0;8x2R. #Vídụ1. Câu Mệnh đề Đọc là Mệnh đề đúng Mệnh đề sai 1 8n2 N : n 2 > 1 2 Có một số nguyên nhỏ hơn 0 3 9x2 Z : x 2 = x 4 Có một số tự nhiênn mà 2n + 1 = 0 5 9!x2 Z :jxj < 1 7 PHỦ ĐỊNH CỦA MỆNH ĐỀ VỚI MỌI, TỒN TẠI Mệnh đềP :8x2X;T (x) có mệnh đề phủ định là9x2X;T (x). Mệnh đềP :9x2X;T (x) có mệnh đề phủ định là8x2X;T (x). ! Ì Phủ định của “ab” là “ab”. Ì Phủ định của “a chia hết chob” là “a không chỉa hết chob”. #Vídụ1. P :9n2Z;n< 0 phủ định củaP làP :8n2Z;n 0. #Vídụ2. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng1.Xácđịnhmệnhđề.Tínhđúngsaicủamệnhđề Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng: Ì P;P không cùng tính đúng sai. Ì P)Q chỉ sai khiP đúng,Q sai. Ì P,Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đềP vàQ đều đúng hay đều sai. Ì8x2X;P (x) đúng khiP (x 0 ) đúng với mọix 0 2X. Ì9x2X;P (x) đúng khi cóx 0 2X sao choP (x 0 ) đúng. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 8 #Vídụ1. Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai? Số 1 là số nguyên tố. 1 Hà Nội là thủ đô nước nào? 2 Phương trìnhx 2 + 1 = 0 vô nghiệm. 3 Hình học là môn học khó thật! 4 x + 4 là một số âm. 5 Nếun là số chẵn thìn chia hết cho 4. 6 Nếun chia hết cho 4 thìn là số chẵn. 7 n là số chẵn nếu và chỉ nếun 2 chia hết cho 4. 8 9n2N;n 3 n không là bội của 3. 9 8x2R;x 2 x + 1> 0. 10 ýLờigiải. a) “Số 1 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai vì số nguyên tố là số lớn hơn 1. b) “Hà Nội là thủ đô nước nào?” không phải là mệnh đề đây là câu hỏi. c) “Phương trìnhx 2 + 1 = 0 vô nghiệm.” là mệnh đề đúng. d) “Hình học là môn học khó thật!” không phải là mệnh đề vì đây là câu cảm thán. e) “x + 4 là một số âm.” là mệnh đề chứa biến. f) “Nếun là số chẵn thìn chia hết cho 4.” là mệnh đề sai vìn = 2 là số chẵn nhưng không chia hết cho 4. g) “Nếun chia hết cho 4 thìn là số chẵn.” là mệnh đề đúng. h) “n là số chẵn nếu và chỉ nếun 2 chia hết cho 4.” là mệnh đề đúng. i) “9n2N;n 3 n không là bội của 3.” là mệnh đề sai vì8n2N;n 3 n = (n 1)n(n + 1) chia hết cho 3. j) “8x2R;x 2 x + 1> 0.” là mệnh đề đúng vìx 2 x + 1 =  x 1 2 ‹ 2 + 3 4 > 0. d Dạng2.Xácđịnhmệnhđềđảo,mệnhđềphủđịnhcủamộtmệnhđề Ì Mệnh đề phủ định củaP là “không phảiP”. Ì Mệnh đề phủ định của “8x2X;P (x)” là “9x2X;P (x)”. Ì Mệnh đề phủ định của “9x2X;P (x)” là “8x2X;P (x)”. Ì Mệnh đềQ)P là mệnh đề đảo của mệnh đềP)Q. #Vídụ1. Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”. ýLờigiải. Mệnh đề đã cho có dạngP)Q trong đóP là “hai góc đối đỉnh”,Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai. #Vídụ2. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai? a) P: “8x2R; (x 1) 2  0”. b) Q: “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn 60  ”. ýLờigiải. a) Mệnh đề phủ định củaP làP: “9x2R; (x 1) 2 < 0”. Đây là mệnh đề sai. b) Mệnh đề phủ định củaQ làQ: “Mọi tam giác luôn có một góc lớn hơn 60  ”. Đây là mệnh đề sai vì tam giác đều không có góc lớn hơn 60  ”. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 9 #Vídụ3. Phát biểu thành lời và phủ định các mệnh đề sau. 8x2R;x 2 > 0. 1 9!n2N;n 2 +n = 0. 2 ýLờigiải. a) Bình phương của một số thực là số dương. Mệnh đề phủ định là “Tồn tại bình phương của một số thực là số không dương”. b) Có một số tự nhiênn mà tích của nó với số liền sau nó bằng 0. Mệnh đề phủ định là “Với mọi số tự nhiênn mà tích của nó với số liền sau nó khác 0”. d Dạng3.Phátbiểuđịnhlídạngđiềukiệncần,điềukiệnđủ Ì Một định lí thường có dạng “8x2X;P (x))Q(x)”. Xác địnhP (x),Q(x). Ì Lấyx2X sao choP (x) đúng, chứng minhQ(x) đúng. Ì P (x) là điều kiện đủ để cóQ(x) hayQ(x) là điều kiện cần để cóP (x). #Vídụ1. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. b) Nếua +b> 0 thì ít nhất có một sốa hayb dương. ýLờigiải. a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiền cần để chúng bằng nhau. b) a +b> 0 là điều kiện đủ để ít nhất có một sốa hayb dương. Ít nhất có một sốa hayb dương là điều kiện cần đểa +b> 0. #Vídụ2. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Một số có tổng chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương. ýLờigiải. a) Một số có tổng chia hết cho 9 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 9. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để hình đó là một hình thoi. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để biệt thức của nó dương. C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? Phát biểu nào là mệnh đề chứa biến? a. 2009 + 1> 2020: b. 2x + 3 = 0: c. x 2 + 1> 0: d. Mọi tam giác đều đều là tam giác cân. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 10 e. Số có lớn hơn 3 hay không? f. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. g. 3 là một số nguyên tố. ýLờigiải. Ì Trong các phát biểu trên, phát biểu a., d., f., g. là mệnh đề Ì Phát biểu b., c. là mệnh đề chứa biến. Ì Phát biểu e. không phải là mệnh đề (câu hỏi) Bài2. Phát biểu thành lời, xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề dưới đây: a.9x2R :x 2 =10. b.8x2R :x 2 +x + 126=10. c. 8x2R :x 2  0. d.9x2R :x 2  0. e. 9x2R :x 2 +x + 5> 0. f. 8x2R :x 2 +x + 5> 0. ýLờigiải. a. Có một số thực bình phương của nó bằng10. Đây là mệnh đề sai, vì bình phương của một số thực bất kỳ là một số không âm. Mệnh đề phủ định là: Mọi số thực, bình phương của nó khác10. b. Đây là một mệnh đề đúng, vìx 2 +x + 12 =  x + 1 2 ‹ 2 + 47 4  47 4 6=108x Mệnh đề phủ định là: Có một số thực mà tích của số đó với số đó cộng một bằng22. c. Đây là mệnh đề sai, vìx = 1 thìx 2 = 1 > 0. Mệnh đề chứa ký hiệu “với mọi” có 1 phần tử làm cho nó sai thì mệnh đề ấy sai. Phủ định của mệnh đề là: Tồn tại một số thực mà bình phương của nó là số dương. d. Đây là mệnh đề đúng, vì có phần tửx = 0 làm cho mệnh đề đó đúng. Phủ định của mệnh đề là: Mọi số thực, bình phương của nó là số dương. e. Đây là mệnh đề đúng. Vì vớix = 1 thì 1 2 + 1 + 5> 0 là mệnh đề đúng. Phủ định của mệnh đề là: Mọi số thực, tích của số đó với số đó cộng số một thì bé hơn hoặc bằng âm năm. f. Đây là mệnh đề đúng. Vìx 2 +x + 5 =  x + 1 2 ‹ 2 + 19 4  19 4 > 08x Phủ định của mệnh đề là: Tồn tại số thực, tích của số đó với số đó cộng số một thì bé hơn hoặc bằng âm năm. Bài3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a. 10< 1. b. 2 +x>x + 1. c. xy = 1. d. p 2 là số vô tỉ. ýLờigiải. Câu a. câu d. là mệnh đề. Câu b. câu c. là mệnh đề chứa biến. Bài4. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. a. Không được đi lối này. b. Bây giờ là mấy giờ? c. 7 không là số nguyên tố. d. p 5 là số vô tỉ. ýLờigiải. a. Không được đi lối này. Câu này không phải là mệnh đề vì là câu mệnh lệnh. b. Bây giờ là mấy giờ? Câu này không phải là mệnh đề vì là câu hỏi. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 11 c. 7 không là số nguyên tố. Câu này là mệnh đề sai. d. p 5 là số vô tỉ. Câu này là mệnh đề đúng. Bài5. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. a. Số có lớn hơn 3 hay không? b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. d. Phương trìnhx 2 + 2020x 2021 = 0 vô nghiệm. ýLờigiải. a. Số có lớn hơn 3 hay không? Đây là câu hỏi không phải mệnh đề. b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. Đây là mệnh đề sai, vì “Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau” là sai. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. Đây là mệnh đề sai, vì “Mọi tứ giác có hai đường chéo vuông góc thì nó là hình thoi” là sai. d. Phương trìnhx 2 + 2020x 2021 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai, vì phương trình bậc hai cóa,c trái dấu luôn có 2 nghiệm trái dấu. Bài6. Tìm hai giá trị thực củax để từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a. x 2 0. d. x> 1 x . ýLờigiải. a. Vớix = 1 2 thì  1 2 ‹ 2 < 1 2 là mệnh đề đúng. Vớix = 1 thì 1 2 < 1 là mệnh đề sai. b. Vớix = 0 thì 0 = 0
5 là mệnh đề đúng. Vớix =1 thì1 =1
5 là mệnh đề sai. c. Vớix = 3 thì 3 2 > 0 là mệnh đề đúng. Vớix = 0 thì 0 2 > 0 là mệnh đề sai. d. Vớix = 2 thì 2> 1 2 là mệnh đề đúng. Vớix =1 thì1> 1 3 là mệnh đề sai. Bài7. Cho mệnh đề chứa biến “P (x) :x>x 3 ”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau a. P (1). b. P  1 3 ‹ . c. 8x2N;P (x). d. 9x2N;P (x). ýLờigiải. a. P (1) : 1> 1 3 là mệnh đề sai. b. P  1 3 ‹ : 1 3 > 1 27 là mệnh đề đúng. c. 8x2N;P (x) là mệnh đề sai. d. 9x2N;P (x) là mệnh đề sai. Bài8. Dùng các ký hiệu8,9 trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 12 a. x + 2> 3. b. a + 3 = 3 +a. c. 15 là bội củax. d. (x 2) 2 >1. e. x +y> 1. f. (ab)(a +b) =a 2 b 2 . g. (ab) 2 =a 2 b 2 . h. x 2 > 0. i. (x +y) 2 =x 2 + 2xy +y 2 . j. (x 2) 2 = 1. k. x 2 5x + 6 = 0. l. (x +y)z =xz +yz. ýLờigiải. a.9x2R :x + 2> 3. b.8a2R :a + 3 = 3 +a. c.9x2R : 15 là bội củax. d.8x2R : (x 2) 2 >1. e.9x;y2R :x +y> 1. f.8a;b2R : (ab)(a +b) =a 2 b 2 . g. 9a;b2R : (ab) 2 =a 2 b 2 . h. 9x2R :x 2 > 0. i. 8x;y2R : (x +y) 2 =x 2 + 2xy +y 2 . j. 9x2R : (x 2) 2 = 1. k. 9x2R :x 2 5x + 6 = 0. l. 8x;y;z2R : (x +y)z =xz +yz. Bài9. Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của chúng. a.9x2Q : 9x 2 3 = 0. b.9n2N :n 2 + 1 chia hết cho 8. c. 8x2R : (x 1) 2 6=x 1. d. 8n2N :n>n 2 . ýLờigiải. a. Phủ định của mệnh đề là:8x2Q : 9x 2 36= 0. Đây là mệnh đề đúng. b. Phủ định của mệnh đề là:8n2N :n 2 + 1 không chia hết cho 8. Đây là mệnh đề đúng. Vìn = 8k,n = 8k 1,n = 8k 2,n = 8k 3 vàn = 8k + 4 vớik2N thìn 2 + 1 đều không chia hết cho 8. c. Phủ định của mệnh đề là:9x2R : (x 1) 2 =x 1. Đây là mệnh đề đúng. Vì vớix = 1 thì (1 1) 2 = 1 1 là mệnh đề đúng. d. Phủ định của mệnh đề là:9n2N :nn 2 . Đây là mệnh đề đúng. Vì vớin = 0 thì 0 0 2 là mệnh đề đúng. Bài10. Cho số thựcx. Xét các mệnh đềP : “x 2 = 1 ”vàQ : “x = 1 ” a. Phát biểu mệnh đềP)Q và mệnh đề đảo của nó. b. Xét tính đúng sai của hai mệnh đề trên. c. Chỉ ra một giá trị củax để mệnh đềP)Q sai. ýLờigiải. a. Phát biểu mệnh đềP)Q: Nếu bình phương của một số bằng 1 thì số đó bằng 1. Phát biểu mệnh đềQ)P: Nếu một số bằng 1 thì bình phương số đó bằng 1. b. Mệnh đềP)Q là mệnh đề sai. Mệnh đềQ)P là mệnh đề đúng. c. Vớix =1 thì mệnh đềP)Q sai. Bài11. Phát biểu mệnh đềP,Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó a. P : “Tứ giácABCD là hình thoi” vàQ : “Tứ giácABCD là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 13 b. P : “Bất phương trình p x 2 3x> 1 có nghiệm ”vàQ : “ p (1) 2 3(1)> 1”. ýLờigiải. a. “Tứ giácABCD là hình thoi khi và chỉ khi nó là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. “Tứ giácABCD là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. Đây là mệnh đề đúng. b. “Bất phương trình p x 2 3x> 1 có nghiệm khi và chỉ khi p (1) 2 3(1)> 1”. “Bất phương trình p x 2 3x> 1 có nghiệm nếu và chỉ nếu p (1) 2 3(1)> 1”. Đây là mệnh đề sai. Vì vớix = 3 thì mệnh đề sai. Bài12. Lậpmệnhđềkéotheovàmệnhđềtươngđươngcủahaimệnhđềsauđâyvàchobiếttínhđúng,saicủachúng. Biết: P : “ĐiểmM nằm trên phân giác của gócOxy”. Q : “ĐiểmM cách đều hai cạnhOx,Oy ”. ýLờigiải. Ì Mệnh đềP) Q là: “Nếu một điểm bất kỳ nằm trên đường phân giác của gócOxy thì nó cách đều hai cạnh Ox vàOy”. Đây là mệnh đề đúng. Ì MệnhđềP,Qlà:“MọiđiểmnằmtrênđườngphângiáccủagócOxy khivàchỉkhichúng cáchđềuhaicạnh Ox vàOy”. Đây là mệnh đề đúng. Bài13. Dùng các ký hiệu8 hoặc9 để viết các mệnh đề sau: a. Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. b. Mọi số thực cộng với số 0 bằng chính nó. c. Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó. ýLờigiải. a.9x2Z :x6 . . .x. b.8x2R :x + 0 =x. c. 9x2Q :x< 1 x . Bài14. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” phát biểu các mệnh đề sau: a. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. b. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. c. Nếua =b thìa 2 =b 2 . d. Nếua +b> 0 thì trong hai sốa vàb lớn hơn 0. ýLờigiải. a. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau. b. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 5. Số tự nhiên chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó có tận cùng là chữ số 5 c. Bình phương của hai số bằng nhau là điều kiện cần để hai số đó bằng nhau. Hai số bằng nhau là điều kiện đủ để bình phương của chúng bằng nhau. d. Hai sốa vàb lớn hơn 0 là điều kiện đủ để tổng của chúng lớn hơn 0. Tổng của hai số lớn hơn 0 là điều kiện cần để hai số đó đều lớn hơn 0. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 14 Bài15. Phát biểu một “điều kiện đủ” a. Để tứ giácABCD là hình bình hành. b. Để tứ giácABCD là hình chữ nhật. ýLờigiải. a. Để tứ giácABCD là hình bình hành, điều kiện đủ là tứ giácABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b. Để tứ giácABCD là hình chữ nhật, điều kiện đủ là hình bình hànhABCD có một góc vuông. Bài16. Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề sau: a.8x2R :x>2)x 2 > 4. b.8x2R :x> 2)x 2 > 4. c. 8m;n2N :mvànlàcác sốlẻ,m 2 +n 2 làsốchẵn. d. 8x2R :x 2 > 4)x> 2. ýLờigiải. a.8x2R :x>2)x 2 > 4. Đây là mệnh đề sai, vìx =1 thì “1>2) (1) 2 > 4” là mệnh đề sai. b.8x2R :x> 2)x 2 > 4. Đây là mệnh đề đúng, vì với mọi số thực lớn hơn 2 thì bình phương của nó luôn lớn hơn 4. c. 8m;n2N :m vàn là các số lẻ,m 2 +n 2 là số chẵn. Đây là mệnh đề sai, vì “m = 2k + 1,n = 2l + 1 vớik;l2N thìm 2 +n 2 là số chẵn”là đúng. Tuy nhiên “m 2 +n 2 là số chẵn thìm,n là số lẻ” là sai. Do đó mệnh đề tương đương này sai. d. 8x2R :x 2 > 4)x> 2. Đây là mệnh đề sai, vìx =3 thì “(3) 2 > 4)3> 2” là mệnh đề sai. Bài17. Xét tính đúng- sai của các mệnh đề sau 1 9a2Q; a 2 = 2. 2 8n2N,n 2 + 1 không chia hết cho 3. 3 8x2R;9y2R :x>y,x 3 >y 3 . 4 8x2R;8y2R :x +y 2 p xy. ýLờigiải. 1 Sai. 2 Đúng. 3 Đúng. 4 Sai. Bài18. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : “6 là số nguyên tố ”. 2 B : “( p 3 1) 2 là số nguyên ”; 3 C : “9n2N;n(n + 1) là số chính phương ”; 4 D : “8n2N; 2n + 1 là số lẻ ”. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 15 1 A : “6 là hợp số”- Đúng. 2 B : “( p 3 1) 2 không phải là số nguyên ”- Đúng; 3 C : “8n2N;n(n + 1) không phải là số chính phương ”- Sai; 4 D : “9n2N; 2n + 1 là số chẵn ”- Sai. Bài19. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó. A : \9x2N;n 2 + 3 chia hết cho 4 ”vàB : \9x2N;x chia hết chox + 1 ”. ýLờigiải. 1 A : \8x2N;n 2 + 3 không chia hết cho 4 ”- Sai. 2 B : \8x2N;x không chia hết chox + 1 ”- Sai. Bài20. Nêu mệnh đề phủ định cúa các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : “Phương trìnhx 4 2x 2 + 2 = 0 có nghiệm”; 2 B : “Bất phương trìnhx 2013 > 2030 vô nghiệm ”; 3 C : “8x2R;x 4 x 2 + 1 = € x 2 + p 3x + 1 Š€ x 2 p 3x + 1 Š ”; 4 D : “9q2Q; 2q 2 1 = 0 ”. ýLờigiải. 1 A : “Phương trìnhx 4 2x 2 + 2 = 0 vô nghiệm”- Đúng; 2 B : “Bất phương trìnhx 2013 > 2030 có nghiệm ”- Đúng; 3 C : “9x2R;x 4 x 2 + 16= € x 2 + p 3x + 1 Š€ x 2 p 3x + 1 Š ”- Sai ; 4 D : “8q2Q; 2q 2 16= 0 ”- Đúng. Bài21. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : \8x2R;x 3 x 2 + 1> 0 ”; 2 B : “Tồn tại số thựca sao choa + 1 a  2 ”. ýLờigiải. 1 A : \9x2R;x 3 x 2 + 1 0 ”- Đúng; 2 B : “Với mọi số thựca sao choa + 1 a > 2 ”- Sai. Bài22. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó 1 P (x) : \9x2Z;x 2 = 3 ”. 2 P (n) : \8n2N  : 2 n + 3 là một số nguyên tố ”. 3 P (x) : \8x2R;x 2 + 4x + 5> 0 ”. 4 P (x) : \8x2R;x 4 x 2 + 2x + 2 0 ”. ýLờigiải. 1 Sai vàP (x) : \8x2Z;x 2 6= 3 ”. 2 Sai vàP (n) : \9n2N  : 2 n + 3 là một hợp số ”. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 16 3 Đúng vàP (x) : \9x2R;x 2 + 4x + 5 0 ”. 4 Đúng vàP (x) :: \9x2R;x 4 x 2 + 2x + 2< 0 ”. Bài23. Hãy phát biểu mệnh đề kéo theoP)Q,Q)P và xét đúng sai của mệnh đề này. 1 Cho tứ giácABCD và hai mệnh đềP : "Tổng hai góc đối cùa tứ giác lồi bằng 180  " vàQ : " Tứ giác nội tiếp được đường tròn". 2 P : " p 2 p 3>1" vàQ : "( p 2 p 3) 2 > (1) 2 ". ýLờigiải. 1 P)Q: " Nếu tổng hai góc đối cùa tứ giác lồi bằng 180  thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn" - Đúng. Q)P : "Nếu tứ giác không nội tiếp được đường tròn thì tổng hai góc đối của tứ giác lồi bằng 180  " - Sai. 2 P)Q: "Nếu p 2 p 3>1 thì ( p 2 p 3) 2 > (1) 2 " - Sai. Q)P : "Nếu ( p 2 p 3) 2  (1) 2 thì p 2 p 3>1 - Đúng. Bài24. Sử dụng khái niệm "điều kiện cần " đề phát biều các định lí sau 1 Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5. 2 Nếua =b thìa 2 =b 2 . 3 Trong mặt phằng, nếu hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba thì hai đường thằng ấy song song với nhau. ýLờigiải. 1 Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5. 2 Điều kiện cần đểa =b làa 2 =b 2 . 3 Trong mặt phằng, điều kiện cần để hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba là hai đường thằng ấy song song với nhau. Bài25. Dùng khái niệm " điều kiện cần " để phát biểu các định lí sau 1 NếuMA?MB thìM thuộc đường tròn đường kínhAB. 2 a6= 0 hoặcb6= 0 là điều kiện đủ đểa 2 +b 2 > 0. ýLờigiải. 1 Điều kiện cần đểMA?MB làM thuộc đường tròn đường kínhAB. 2 Điều kiện cần đểa 2 +b 2 > 0 làa6= 0 hoặcb6= 0. Bài26. Sừ dụng khái niệm "điều kiện đủ " đề phát biểu các định lí sau 1 Nếua vàb là hai số hũu tỉ thì tổnga +b là số hũu tỉ. 2 Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 3 Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. ýLờigiải. 1 a vàb là hai số hũu tỉ là điều kiện đủ để có tổnga +b là số hũu tỉ. 2 Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. 3 Một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 5. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 17 Bài27. Cho định lí “Cho số tự nhiênn, nếun 5 chia hết cho 5 thìn chia hết cho 5”. Đinh lí này được viết dưới dạng P)Q. 1 Hãy xác định các mệnh đềP vàQ. 2 Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”. 3 Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”. 4 Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ "điều kiện cần và đủ" phát biều gộp cả hai định lí thuận và đảo. ýLờigiải. 1 P :n 5 chia hết cho 5 vàQ :n chia hết cho 5. 2 Cho số tự nhiênn, điều kiện cần để cón 5 chia hết cho 5 làn chia hết cho 5 3 Cho số tự nhiênn,n 5 chia hết cho 5 làn chia hết cho 5 4 Định lí đảo: “Cho số tự nhiênn, nếun chia hết cho 5 thìn 5 chia hết cho 5. Cho số tự nhiênn, điều kiện cần và đủ đển 5 chia hết cho 5 làn chia hết cho 5. Bài28. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”đề phát biều định lí sau 1 Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? 2 Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? ýLờigiải. 1 Điều kiện cần để một tứ giác là hình vuông là nó có bốn cạnh bằng nhau. Điều kiện đủ để tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là tứ giác đó là hình vuông. Không tồn tại định lí đảo của định lí đã cho. Vì mệnh đề đảo của mệnh đề trên là một mệnh đề sai. 2 Điều kiện cần để một tứ giác là hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc. Điều kiện đủ để một tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tứ giác đó là hình thoi. Không tồn tại định lí đảo của định lí đã cho. Vì mệnh đề đảo của mệnh đề trên là một mệnh đề sai. Bài29. Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngũ “điều kiện cần ”, “điều kiện đủ” 1 Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 2 Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3. 3 Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. 4 Nếu tam giácABC vuông taiA vàAH là đường cao thìAB 2 =BC
BH. ýLờigiải. 1 Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có diện tích bằng nhau. Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. 2 Điều kiện cần để số nguyên dương chia hết cho 6 là chia hết cho 3. Điều kiện đủ để số nguyên dương chia hết cho 3 là nó chia hết cho 6. 3 Điều kiện cần hình thang có hai đường chéo bằng nhau là nó là hình thang cân. Điều kiện đủ để hình thang là hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau. 4 Điều kiện cần để tam giácABC vuông taiA vàAH là đường cao làAB 2 =BC
BH. Điều kiện đủ để tam giácABC cóAB 2 =BC
BH là tam giácABC vuông taiA vàAH là đường cao. Bài30. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ”để phát biểu các định lí sau 1 Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 180  . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 18 2 Tam giác cân khi và chỉ khi có trung tuyến bằng nhau. ýLờigiải. 1 Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó bằng 180  . 2 Điều kiện cần và đủ để tam giác cân là có trung tuyến bằng nhau. Bài31. Dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ " đề phát biều định lí sau 1 Một tam giác là tam giác cân nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau. 2 Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ýLờigiải. 1 Điều kiện cần và đủ để một tam giác là tam giác cân là nó có hai góc bằng nhau. 2 Điều kiện cần và đủ để rt giác là hình bình hành là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Bài32. Dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ " đề phát biều định lí sau 1 Tam giácABC vuông khi và chi khiAB 2 +AC 2 =BC 2 . 2 Tứ giác là hình chũ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. 3 Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. 4 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn. ýLờigiải. 1 Điều kiện cần và đủ để tam giácABC vuông làAB 2 +AC 2 =BC 2 . 2 Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình chũ nhật là nó có ba góc vuông. 3 Điều kiện cần và đủ để tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn là nó có hai góc đối bù nhau. 4 Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 2 là nó có chữ số tận cùng là số chẵn. D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A Số có phải là số nguyên không?. B Số 4 là một số nguyên tố. C Tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60  phải không?. D a 2 +b 2 =c 2 . ýLờigiải. “Số 4 là một số nguyên tố” là một mệnh đề. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu2. Mệnh đề nào dưới đây sai? A 10 chia hết cho 2. B 2 là một ước số của 10. C 2 chia hết cho 10. D 2 và 10 là hai số chẵn. ýLờigiải. “2 chia hết cho 10” là mệnh đề sai vì 2 chia hết 10. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A 15 là số nguyên tố. B a =b +c. C x 2 +x = 0. D 2n + 1 chia hết cho 3. ýLờigiải. “15 là số nguyên tố” là mệnh đề. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 19 Câu4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề A 14 là số nguyên tố. B 14 chia hết cho 2. C 14 không phải là hợp số. D 14 chia hết cho 7. ýLờigiải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề “14 không phải là hợp số”. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu5. Mênh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A 20 chia hết cho 5. B 5 chia hết cho 20. C 20 là bội số của 5. D 5 chia hết 20. ýLờigiải. “5 chia hết cho 20” là mệnh đề sai vì “5 chia hết 20”. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu6. Mệnh đề nào sau đây đúng? A 5 + 4< 10. B 5 + 4> 10. C p 2 1< 0. D 5 + 4 10. ýLờigiải. Mệnh đề đúng là “5 + 4< 10”. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu7. Trong các câu sau, câu nào khôngphải là mệnh đề? A 5 + 2 = 8. B 2 0. C 4 p 17> 0. D 5 +x = 2. ýLờigiải. “5 +x = 2” không phải là mệnh đề. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu “33 là hợp số” thì “15 chia hết cho 25”. B Nếu “7 là số nguyên tố” thì “8 là bội số của 3”. C Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6”. D Nếu “3 + 9 = 12” thì “4> 7”. ýLờigiải. Mệnh đềA)B chỉ sai khiA đúng vàB sai. Do đó phương án: Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A Nếua vàb chia hết choc thìa +b chia hết choc. B Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. C Nếua chia hết cho 3 thìa chia hết cho 9. D Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5. ýLờigiải. Mệnh đề: “Nếua chia hết cho 3 thìa chia hết cho 9” có mệnh đề đảo là “Nếua chia hết cho 9 thìa chia hết cho 3” đúng. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu10. Trong các mệnh đề tương đương sau đây, mệnh đề nào sai? A n là số nguyên lẻ khi và khin 2 là số lẻ. B n chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số củan chia hết cho 3. C ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khiAC =BD. D ABC là tam giác đều khi và chỉ khiAB =AC và b A = 60  . ýLờigiải. Mệnhđề“ABCD làhìnhchữnhậtkhivàchỉkhiAC =BD” saivì khiAC =BD thìABCD chưa phảilà hìnhchữ nhật. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A <2, 2 < 4. B < 4, 2 < 16. C p 23< 5) 2 p 23< 2
5. D p 23< 5) (2) p 23> (2)
5. ýLờigiải. Ta có 2 < 4,jj< 2,2<< 2. Vậy phương án<2, 2 < 4 sai. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 20 Câu12. Xét câuP (n): “n chia hết cho 12”. Với giá trị nào củan thìP (n) là mệnh đề đúng? A 48. B 4. C 3. D 88. ýLờigiải. Vì 48 12 = 4 nên khin = 48 thìP (n): “n chia hết cho 12” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu13. Với giá trị nào của biến sốx sau đây thì mệnh đề chứa biếnP (x): “x 2 3x + 2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng? A 0. B 1. C 1. D2. ýLờigiải. Vìx = 1 thìP (1) = 0 nên khix = 1 thì mệnh đề chứa biếnP (x): “x 2 3x + 2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu14. Mệnh đề chứa biến: “x 3 3x 2 + 2x = 0” đúng với giá trị nào củax? A x = 0; x = 2. B x = 0; x = 3. C x = 0; x = 2; x = 3. D x = 0; x = 1; x = 2. ýLờigiải. Ta có x 3 3x 2 + 2x = 0 , x(x 2 3x + 2) = 0 , 2 6 4 x = 0 x = 1 x = 2: Vậy mệnh đề chứa biến: “x 3 3x 2 + 2x = 0” đúng khix = 0; x = 1; x = 2. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu15. Cho mệnh đềP: “8x2R;x 2 16= 0”,Q: “9n2Z;n =n 2 ”. Xét tính đúng, sai của hai mệnh đềP;Q. A P đúng vàQ sai. B P sai vàQ đúng. C P;Q đều đúng. D P;Q đều sai. ýLờigiải. Khix = 1 thìx 2 1 = 0, do đó mệnh đềP sai. Khin = 1 thìn =n 2 , do đó mệnh đềQ đúng. VậyP sai vàQ đúng. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu16. Với số thựcx bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? A 8x;x 2  16,x4. B 8x;x 2  16,4x 4. C 8x;x 2  16,x4;x 4. D8x;x 2  16,4 5)x> p 5 hoặcx< p 5. B 8x;x 2 > 5) p 5 5)x> p 5. D8x;x 2 > 5)x p 5 hoặcx p 5. ýLờigiải. Ta có8x;x 2 > 5)x> p 5 hoặcx< p 5. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A 8x2R;xx 2 . B 8x2R;jxj< 3,x< 3. C 8n2N;n 2 + 1 chia hết cho 3. D9a2Q;a 2 = 2. ýLờigiải. Ì Mệnh đề8x2R;jxj< 3,x< 3 sai vì4< 3 nhưngj 4j> 3. Ì Mệnh đề8n2N;n 2 + 1 chia hết cho 3 sai, vì chẳng hạn chọnn = 12N thì 2 không chia hết cho 3. Ì Xét mệnh đề9a2Q;a 2 = 2. Ta có a 2 = 2,a = p 22I: Do đó mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề đúng là8x2R;xx 2 . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 21 Câu19. Với giá trị nào củax mệnh đề chứa biếnP (x): “2x 2 1< 0” là mệnh đề đúng? A 0. B 5. C 1. D p 2. ýLờigiải. Vớix = 0 thìP (x) =1< 0, khi đó mệnh đềP (x) đúng ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu20. Cho mệnh đềP (x): “8x2R;x 2 x + 7< 0”. Phủ định của mệnh đềP (x) là A 9x2R;x 2 x + 7> 0. B 8x2R;x 2 x + 7 0. C 8x = 2R;x 2 x + 7> 0. D9x2R;x 2 x + 7 0. ýLờigiải. Phủ định của mệnh đềP (x) làP (x):9x2R;x 2 x + 7 0. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu21. Trong các câu sau, câu nào đúng? A Phủ định của mệnh đề “8x2Q; 4x 2 1 = 0” là mệnh đề “8x2Q; 4x 2 1> 0”. B Phủ định của mệnh đề “9n2N;n 2 + 1 chia hết cho 4” là mệnh đề “8n2N;n 2 + 1 không chia hết cho 4”. C Phủ định của mệnh đề “8x2R; (x 1) 2 6=x 1” là mệnh đề “8x2R; (x 1) 2 =x 1”. D Phủ định của mệnh đề “8n2N;n 2 >n” là mệnh đề “9n2N;n 2 n” là mệnh đề “9n2N;n 2 n”. Vậy phủ định của mệnh đề “9n2 N;n 2 + 1 chia hết cho 4” là mệnh đề “8n2 N;n 2 + 1 không chia hết cho 4 ” là khẳng định đúng. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu22. Mệnh đề phủ định của mệnh đềP (x): “x 2 + 3x + 1> 0 với mọix” là A Tồn tạix sao chox 2 + 3x + 1> 0. B Tồn tạix sao chox 2 + 3x + 1 0. C Tồn tạix sao chox 2 + 3x + 1 = 0. D Tồn tạix sao chox 2 + 3x + 1< 0. ýLờigiải. Mệnh đề phủ định của mệnh đềP (x) là “Tồn tạix sao chox 2 + 3x + 1 0”. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu23. Mệnh đề phủ định của mệnh đềP (x): “9x2R: x 2 + 2x + 5 là số nguyên tố” là A 8x2R: x 2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. B 9x2R: x 2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. C 8x = 2R: x 2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. D9x2R: x 2 + 2x + 5 là số thực. ýLờigiải. Mệnh đề phủ định của mệnh đềP (x) là8x2R: x 2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu24. Mệnh đề phủ định của mệnh đềP (x): “9x2R: 5x 3x 2 = 1” là A 9x2R; 5x 3x 2 = 1. B 8x2R; 5x 3x 2 = 1. C 8x2R; 5x 3x 2 6= 1. D9x2R; 5x 3x 2  1. ýLờigiải. Mệnh đề phủ định của mệnh đềP (x) là8x2R; 5x 3x 2 6= 1. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu25. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào khôngphải là định lí? A 8x2N;x 2 chia hết cho 3)x chia hết cho 3. B 8x2N;x 2 chia hết cho 6)x chia hết cho 3. C 8x2N;x 2 chia hết cho 9)x chia hết cho 9. D8x2Z;x chia hết cho 4 và 6)x chia hết cho 12. ýLờigiải. Xét mệnh đề8x2N;x 2 chia hết cho 9)x chia hết cho 9, vớix = 3 thìx 2 = 3 2 = 9 chia hết cho 9, nhưng 3 không chia hết cho 9. Do đó mệnh đề8x2N;x 2 chia hết cho 9)x chia hết cho 9 không phải là định lí. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu26. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A 8x2R;x>2)x 2 > 4. B 8x2R;x> 2)x 2 > 4. C 8x2R;x 2 > 4)x> 2. D Nếua +b chia hết cho 3 thìa;b đều chia hết cho 3. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 22 Ì Xét mệnh đề8x2R;x>2)x 2 > 4: Vớix = 1>2 nhưng (1) 2 = 1< 4. Do đó mệnh đề này sai. Ì Xét mệnh đề8x2R;x 2 > 4)x> 2, ta cóx 2 > 4)jxj> 2)x< p 2 hoặcx> p 2. Do đó mệnh đề này sai. Ì Xét mệnh đề “Nếua +b chia hết cho 3 thìa;b đều chia hết cho 3”, ta chọna = 5;b = 1 thìa +b = 6 chia hết cho 3 nhưnga vàb đều không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề8x2R;x> 2)x 2 > 4 là định lí. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 23 x2 TẬPHỢP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tậphợp (hay còn gọi là 1tập) là một khái niệm nguyên thuỷ, không định nghĩa. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ sau #Vídụ1. Ì X là tậphợp các chữ cái của chữ MARIE CURIE. Ì Y là tậphợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7. Hai tập hợpX vàY trong ví dụ trên được minh hoạ bởi một đường cong khép kín mà ta gọi là Biểu đồ Venn. (Do nhà toán học Jonh Venn người Anh xây dựng năm 1881) A C E M R I U X 2 3 4 0 1 5 6 Y Mỗi tập hợp gồm các phầntử cùng có chung một hay một vài tính chất nào đó. Phần tửa của tập hợpX được kí hiệua2X, còn được gọi làa thuộc tập hợpX. Phần tửb không của tập hợpX được kí hiệub = 2X, còn được gọi làb khôngthuộcX. Trong lí thuyết tập hợp, người ta thừa nhận tập hợp không chứa một phần tử nào cả, tập hợp đó được gọi là tậphợp rỗng và kí hiệu là?. #Vídụ2. Tập hợp các nghiệm thực của phương trìnhx 2 + 1 = 0 là tập hợp rỗng. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng1.Cáchbiểudiễntậphợp Cách1.Liệtkêcácphầntửcủatậphợp. Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng ở giữa dấufg. Vídụ: X =f0; 5; 10; 15g là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 17 và chia hết cho 5. Y =f1; 2g là tập hợp các nghiệm của phương trìnhx 2 3x + 2 = 0. Z =f0; 1; 2; 3; 4;:::; 99g là tập hợp 100 số tự nhiên đầu tiên. Cách2.Nêutínhchấtđặctrưngcủacácphầntửtrongtậphợp. Không phải mọi tập hợp đều liệt kê rành mạch được các phần tử theo thứ tự nào đó. Chẳng hạn, tậphợpcác sốtựtừ 1đến 2 là không liệt kê được. (Số thực đứng sau 1 là số nào ? Không biết được). Khi đó, chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng ở giữa dấufg, mà nhờ chúng ta có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không Vídụ: A là tập hợp các số thực từ 1 đến 2 được mô tảA =fx2Rj 1x 2g. ! Chúý1. Ì N là tập hợp các số tự nhiên. Ì Q là tập hợp các số hữu tỉ. Ì Z là tập hợp các số nguyên. Ì R là tập hợp các số thực. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 24 ! Chúý2. Tập hợpf?g là tập hợp không rỗng. #Vídụ1. A =fx2Nj (2x + 4)(2x 2 5x) = 0g. B =fx2Zj 4 0 với mọix2R nên (x 5) x 2 + 1
< 0,x 5< 0,x< 5: Suy raB =f0; 1; 2; 3; 4g. Vì vậyA\B =f2; 3; 4g. Mặt khác, giả sửk2A\B\C thìk2A,k2B vàk2C. Do đó, ta thửk = 2,k = 3,k = 4 vào biểu thức 2k + 12 k 2 +k . Ì Vớik = 2 ta được 2
2 + 12 2 2 + 2 = 8 3 không nguyên. Ì Vớik = 3 ta được 2
3 + 12 3 2 + 3 = 3 2 không nguyên. Ì Vớik = 4 ta được 2
4 + 12 4 2 + 4 = 1 nguyên. VậyA\B\C =f4g. Bài4. Tìm tất cả các tậpX thỏa mãnf1; 3g[X =f0; 1; 2; 3g. ýLờigiải. Ta cóf0; 1; 2; 3gnf1; 3g =f0; 2g cho nên tất cả các tậpX cần tìm làf0; 2g,f0; 1; 2g,f0; 2; 3g,f0; 1; 2; 3g. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 29 Bài5. Xác định hai tập hợpA vàB biết rằngAnB =f1; 5; 7; 8g,BnA =f2; 10g vàA\B =f3; 6; 9g. ýLờigiải. VìAnB =f1; 5; 7; 8g nênf1; 5; 7; 8gA và 1 = 2B, 5 = 2B, 7 = 2B, 8 = 2B. (1) VìBnA =f2; 10g nên 2 = 2A, 10 = 2A vàf2; 10gB. (2) VìA\B =f3; 6; 9g nênf3; 6; 9gA vàf3; 6; 9gB. (3) Từ (1), (2) và (3) suy raA =f1; 3; 5; 6; 7; 8; 9g,B =f2; 3; 6; 9; 10g. Bài6. Cho tập hợpA =f1; 3; 6g. Tìm tất cả các tậpX thỏa mãnA[X =f1; 2; 3; 4; 5; 6g vàA\X =f3g. ýLờigiải. Ta cóf1; 2; 3; 4; 5; 6gnA =f2; 4; 5g. VìA\X =f3g nên 32X. Vậy tất cả các tậpX cần tìm làf2; 3; 4; 5g,f1; 2; 3; 4; 5g,f2; 3; 4; 5; 6g,f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Bàiđọcthêm #Vídụ1. Câu lạc bộ ngoại ngữ của trường Marie Curie có 30 học sinh nói được tiếng Anh, 25 học sinh nói được tiếng Pháp, trong đó có 12 học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi câu lạc bộngoạingữcóbaonhiêuhọcsinh,trongđócóbaonhiêuhọcsinhchỉnóiđượctiếngAnh,baonhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Pháp? ýLờigiải. GọiA là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh” thì số phần tử củaA là 30. GọiB là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử củaB là 25. Dựa vào bổ đồ Venn ta có Ì A\B là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Suy raA\B có 12 phần tử. Ì AnB là tậphợp các họcsinh chỉ nóiđược tiếng Anh. Suy raAnB có 30 12 = 18 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Anh). A B AnB A\B BnA 12 Anh-Pháp 30 Anh 25 Pháp Biểu đồ Venn Ì BnA là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Pháp. Suy raBnA có 25 12 = 13 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Pháp). Ì A[B là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ. Ta cóA[B = (AnB)[ (A\B)[ (BnA). Suy raA[B có 18 + 12 + 13 = 43 phần tử (là số học sinh trong câu lạc bộ). #Vídụ2. Lớp 10X có 30 học sinh trong đó có 25 học sinh nói được tiếng Anh và 18 học sinh nói được tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp? ýLờigiải. GọiA là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh” thì số phần tử củaA là 25. GọiB là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử củaB là 18. Dựa vào bổ đồ Venn ta có Ì A[B là tập hợp các học sinh lớp 10X. Suy raA[B có 30 phần tử. Ì AnB là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Ta cóAnB = (A[B)nB. Suy ra AnB có 30 18 = 12 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Anh). A B AnB A\B BnA Anh-Pháp 25 Anh 18 Pháp Biểu đồ Venn Ì BnA là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Pháp. Ta cóBnA = (A[B)nA. Suy raBnA có 30 25 = 5 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Pháp). Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 30 Ì A\B là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Ta cóA\B = (A[B)n ((AnB)[ (BnA)). Suy raA\B có 30 (12 + 5) = 13 phần tử (là số học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp). #Vídụ3. Có 200 học sinh trường Marie Curie tham gia câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường, trong đó có 60 học sinh chỉ nói được tiếng Anh, 80 học sinh nói được tiếng Pháp và 90 học sinh nói được tiếng Nhật. Hỏi có bao nhiêu học sinh nói được ba thứ tiếng Anh, Pháp và Nhật? Biết trong 200 học sinh đó có 20 học sinh chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp và Nhật. ýLờigiải. GọiA là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh”. GọiB là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử củaB là 80. GọiC là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Nhật” thì số phần tử củaC là 90. X 60 chỉ nói được Anh Nói được ba thứ tiếng B C Y A Biểu đồ Venn 20 chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp-Nhật 80 Pháp 90 Nhật Dựa vào biểu đồ Ven ta có Ì Đặt =A[B[C là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường. Suy ra có 200 phần tử. Ì ĐặtX =An (B[C) là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Suy raX có 60 phần tử. Ì ĐặtY = (B\C)nA là tập hợp các học sinh chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp và Nhật. Suy raY có 20 phần tử. Ì Ta cóB[C = nX. Suy raB[C có 200 60 = 140 phần tử. Ta cójB[Cj =jBj +jCjjB\Cj. Suy raB\C có (80 + 90) 140 = 30 phần tử. Ì Ta cóA\B\C = (B\C)nY là tập hợp các học sinh nói được ba thứ tiếng. Suy raA\B\C có 30 20 = 10 phần tử. Vậy số học sinh nói được ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nhật là 10 học sinh. #Vídụ4. Có 100 học sinh trường Marie Curie tham gia câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường, mỗi học sinh nói được một hoặc hai trong ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nhật. Có 39 học sinh chỉ nói được tiếng Anh, 35 học sinh nói được tiếng Pháp và 8 học sinh nói được cả tiếng Anh và Nhật. Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Nhật? ýLờigiải. GọiA là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh”. GọiB là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử củaB là 35. GọiC là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Nhật”. Vì mỗi học sinh nói được một hoặc hai trong ba thứ tiếng nênA\B\C =?. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 31 35 Pháp 39 chỉ nói được Anh Chỉ nói được Nhật A C Y B Biểu đồ Venn 8 nói được hai thứ tiếng Anh-Nhật X Dựa vào biểu đồ Venn ta có Ì Đặt =A[B[C là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường. Suy ra có 100 phần tử. Ì ĐặtX =An (B[C) là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Suy raX có 39 phần tử. Ì ĐặtY =A\C là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Nhật. Suy raY có 8 phần tử. Ì Ta cóB[C = nX. Suy raB[C có 100 39 = 61 phần tử. Ta cóCnB = (C[B)nB. Suy raCnB có 61 35 = 26 phần tử. Ì Ta có (CnB)nY là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Nhật. Suy ra (CnB)nY có 26 8 = 18 phần tử. Vậy số học sinh chỉ nói được tiếng Nhật là 18 học sinh. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 32 d Dạng2.Tậpconcủatậpsốthực Têngọi Kíhiệu Tậphợp Biểudiễntrêntrụcsố (Phần không bị gạch chéo) Tập số thực (1; +1) R 0 Đoạn [a;b] fx2Rjaxbg h a i b [a;b] Khoảng (a;b) fx2Rjaag  a (a; +1) #Vídụ1. Các tập sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. A =fx2Rj6 0g. ýLờigiải. 1 Ta có Ì A\B =f1g. Ì A[B =f3;2;1; 0; 1; 2; 3; 4; 5g. Ì AnB =f2; 3; 4; 5g. Ì BnA =f3;2;1; 0g. 2 Ta cóA =f3;2;1; 0; 1; 2; 3g vàB =f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g. Ì A\B =f0; 1; 2; 3g. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 34 Ì A[B =f3;2;1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g. Ì AnB =f3;2;1g. Ì BnA =f4; 5; 6g. 3 Ta có Ì A\B = (1; 9]. Biểu diễn  1 i 9 Ì A[B = [2019; 2018). Biểu diễn h 2019  2018 Ì AnB = (9; 2018). Biểu diễn  9  2018 Ì BnA = [2019;1]. Biểu diễn h 2019 i 1 4 Ta cóA = (1; 2018] vàB = (0; +1). Ì A\B = (0; 2018]. Biểu diễn  0 i 2018 Ì A[B = (1; +1). Biểu diễn 0 Ì AnB = (1; 0]. Biểu diễn i 0 Ì BnA = (2018; +1). Biểu diễn  2018 #Vídụ5. Cho tập hợpM =f2;1; 0; 1; 2; 3; 4; 5g. 1 Tìm tất cả tập hợp con có 1 phần tử của tậpM. 2 Tìm tất cả tập hợp con có 2 phần tử của tậpM. 3 TậpM có tất cả bao nhiêu tập hợp con? 4 TậpM có tất cả bao nhiêu tập hợp con có ít nhất 1 phần tử? 5 TậpM có tất cả bao nhiêu tập hợp con khácM? ýLờigiải. 1 Tất cả tập con có 1 phần tử củaM làf2g,f1g,f0g,f1g,f2g,f3g,f4g,f5g. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 35 2 Tất cả tập con có 2 phần tử củaM làf2;1g,f2; 0g,f2; 1g,f2; 2g,f2; 3g,f2; 4g,f2; 5g,f1; 0g, f1; 1g,f1; 2g,f1; 3g,f1; 4g,f1; 5g,f0; 1g,f0; 2g,f0; 3g,f0; 4g,f0; 5g,f1; 2g,f1; 3g,f1; 4g,f1; 5g, f2; 3g,f2; 4g,f2; 5g,f3; 4g,f3; 5g,f4; 5g. 3 Tập hợpM có 8 phần tử. Số tập hợp con củaM là 2 8 = 256. 4 Tập con không có phần tử củaM là?. Số tập hợp con có ít nhất 1 phần tử củaM là 2 8 1 = 255. 5 Số tập hợp con khácM là 2 8 1 = 255. Bàitậptựrènluyện Bài1. Các tập hợp sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. A =fx2Rj2x + 1 3g. 1 B =fx2Rj3< 3x 2 2g. 2 C =fx2Rj 2< 2x + 3< 4g. 3 D =fx2Rj4 2x< 3g. 4 E =fx2Rj 5x 3 0g. 5 H =fx2Rj 2x 7> 4g. 6 ýLờigiải. 1 Ta có 2x + 1 3,2 1x 3 1,3x 2: VậyA = [3; 2]. Biểu diễn h 3 i 2 2 Ta có 3< 3x 2 2,3 + 2< 3x 2 + 2,1< 3x 4, 1 3 4, 2x> 4 + 7, 2x> 11,x> 11 2 : VậyH =  11 2 ; +1 ‹ . Biểu diễn  11 2 Bài2. Các mệnh đề sau là đúng hay sai? Giải thích. (1; 3) =f1; 0; 1; 2; 3g. 1 (2; 2] = [2; 2). 2 N [0; +1). 3 f3; 1gn (3; 1) =f3; 1g. 4 ýLờigiải. 1 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì12f1; 0; 1; 2; 3g nhưng12 (1; 3] nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. 2 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì22 [2; 2) nhưng2 = 2 (2; 2] nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. 3 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì N =f0; 1; 2; 3; 4;:::g và tất cả các phần tử của N đều thuộc tập [0; +1) nên N [0; +1). 4 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì3 = 2 (3; 1) và 1 = 2 (3; 1) nênf3; 1gn (3; 1) =f3; 1g. Bài3. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. [3; 1)[ (0; 4]. 1 (1; 2][ [2; 1). 2 ýLờigiải. 1 Ta có [3; 1)[ (0; 4] = [3; 4]. Biểu diễn h 3 i 4 2 Ta có (1; 2][ [2; 1) = [2; 2]. Biểu diễn h 2 i 2 Bài4. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. (8; 4]\ [1; 4]. 1 (1; 3)\ [2; 6). 2 [3; 5]n (2; 7). 3 [2; +1)n (4; 5]. 4 h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 37 ýLờigiải. 1 Ta có (8; 4]\ [1; 4] = [1; 4]. Biểu diễn h 1 i 4 2 Ta có (1; 3)\ [2; 6) = [2; 3). Biểu diễn h 2  3 3 Ta có [3; 5]n (2; 7) = [3;2]. Biểu diễn h 3 i 2 4 Ta có [2; +1)n (4; 5] = (5; +1). Biểu diễn  5 Bài5. Cho hai tậpA = [4; 7] vàB = (m; 9). Tìm số thựcm sao cho A\B =?. 1 AB. 2 AnB =?. 3 ýLờigiải. 1 A\B =? khim 7. 2 AB khim< 4. 3 AnB =? khiAB, tức làm< 4. D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A NZ. B QN. C RQ. D RZ. ýLờigiải. Ta cóNZQR. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu2. ChoA là tập hợp các hình thoi,B là tập hợp các hình chữ nhật vàC là tập hợp các hình vuông. Khi đó A A\B =C. B A[B =C. C AnB =C. D BnA =C. ýLờigiải. Ta thấy hình vuông là hình chữ nhật. Hình vuông cũng là hình thoi. VậyA\B =C. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu3. Cách viết nào sau đây khôngđúng? A 1N. B 12N. C f1gN. D 12N ? . ýLờigiải. Số 1làmộtphầntửcủatậpsốtựnhiên,dođócáchviết 1Nkhôngđúng. ¤ Chọnđápán A ............................................................................................................................. Câu4. Có bao nhiêu cách cho một tập hợp? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Có hai cách xác định một tập hợp Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 38 Ì Liệt kê các phần tử của nó; Ì Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu5. Có bao nhiêu phép toán trên tập hợp? A 5. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Các phép toán trên tập hợp gồm Ì Giao của hai tập hợp; Ì Hợp của hai tập hợp; Ì Hiệu và phần bù của hai tập hợp. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu6. Cách viết nào sau đây thể hiện tập hợpA bằngB? A A =B. B A6=B. C A 0g. Tập hợpA viết lại dạng liệt kê là A ?. B [2; +1). C R. D [2; +1). ýLờigiải. Ta cóA =fx2Rjx 2 + 4> 0g =R. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu26. Cho tậpA =f2; 1; 2; 3; 4g,B =fx2Njx 2 4 = 0g. Mệnh đề nào sai? A A\B =f2g. B A[B =f2;2g. C AnB =f1; 3; 4g. D A[B =B. ýLờigiải. TacóB =fx2Njx 2 4 = 0g =f2g,dođóA\B =f2g. ¤ Chọnđápán A ............................................................................................................................. Câu27. Cho tập hợpA =f1; 2; 3; 4;x;yg. Xét các mệnh đề sau đây (I) : \32A"; (II) :f3; 4g2A; (III) :fx; 3;yg2A: Phát biểu nào sau đây đúng? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Ta có (I) : \32A" là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 41 Câu28. Chọn khẳng định saitrongcáckhẳngđịnhsau A Q[R =R. B N\Z =N. C Q\N ? =N ? . D Q[N ? =N ? . ýLờigiải. TacóN ? NZZQ.Dođó Ì Q[R =Rđúng; Ì N\Z =Nđúng; Ì Q\N ? =N ? đúng; Ì Q[N ? =N ? sai. ¤ Chọnđápán D ............................................................................................................................. Câu29. Chọn kết quả saitrongcáckếtquảsau A A\B =A,AB. B A[B =A,AB. C AnB =A,A\B =?. D BnA =B,A\B =?. ýLờigiải. TacóA[B =A,BA. ¤ Chọnđápán B ............................................................................................................................. Câu30. Cho các mệnh đề sau. Chọn khẳng định đúng. (I) :f2; 1; 3g =f1; 2; 3g; (II) :??; (III) :?2f?g: A Chỉ (I) đúng. B Chỉ (I) và (II) đúng. C Chỉ (I) và (III) đúng. D Cả (I), (II) và (III) đều đúng. ýLờigiải. Ta có cả (I), (II) và (III) đều đúng. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu31. ChoX =f7; 2; 8; 4; 9; 12g;Y =f1; 3; 7; 4g. Tập hợp nào sau đây bằngX\Y? A f1; 2; 3; 4; 8; 9; 7; 12g. B f2; 8; 9; 12g. C f4; 7g. Df1; 3g. ýLờigiải. Ta cóX\Y =f4; 7g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu32. Cho hai tập hợpA =f2; 4; 6; 9g vàB =f1; 2; 3; 4g. Tập hợpAnB bằng tập nào sau đây? A f1; 2; 3; 5g. B f1; 3; 6; 9g. C f6; 9g. D ?. ýLờigiải. Ta cóAnB =f6; 9g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu33. Cho hai tập hợpA =f0; 1; 2; 3; 4g vàB =f2; 3; 4; 5; 6g. Tập hợpAnB bằng A f0g. B f0; 1g. C f1; 2g. Df1; 5g. ýLờigiải. Ta cóAnB =f0; 1g. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu34. Cho hai tập hợpA =f0; 1; 2; 3; 4g vàB =f2; 3; 4; 5; 6g. Tập hợpBnA bằng A f5g. B f0; 1g. C f2; 3; 4g. Df5; 6g. ýLờigiải. Ta cóBnA =f5; 6g. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu35. Cho hai tập hợpA =f1; 5g vàB =f1; 3; 5g. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A A\B =f1g. B A\B =f1; 3g. C A\B =f1; 5g. D A\B =f1; 3; 5g. ýLờigiải. Ta cóA\B =f1; 5g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 42 Câu36. ChoA =f1; 2; 3g. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A ?A. B 12A. C f1; 2gA. D 2 =A. ýLờigiải. Tacó 2 =Alàkhẳngđịnhsai. ¤ Chọnđápán D ............................................................................................................................. Câu37. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A A2A. B ?A. C AA. D A6=fAg. ýLờigiải. TacóA2Alàmệnhđềsai. ¤ Chọnđápán A ............................................................................................................................. Câu38. Cho tập hợpA =  x2Rjx 2 +x + 1 = 0 . Các phần tử của tập hợpA là A A = 0. B A =f0g. C A =?. D A =f?g. ýLờigiải. Xét phương trìnhx 2 +x + 1 = 0. Ta có
=3< 0. Do đó phương trìnhx 2 +x + 1 = 0 vô nghiệm. VậyA =?. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu39. Cho tập hợpA =  x2Rj x 2 1
x 2 + 2
= 0 . Các phần tử của tậpA là A A =f1; 1g. B A =f1; 1; p 2g. C A =f1g. D A =f1g. ýLờigiải. Xét phương trình x 2 1
x 2 + 2
= 0, – x 2 1 = 0 x 2 + 2 = 0 (vô nghiệm) ,x =1. VậyA =f1; 1g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu40. Các phần tử của tập hợpA =  x2Rj 2x 2 5x + 3 = 0 là A A =f0g. B A =f1g. C A = § 3 2 ª . D A = § 1; 3 2 ª . ýLờigiải. Xét phương trình 2x 2 5x + 3 = 0, 2 4 x = 1 x = 3 2 (nhận). VậyA = § 1; 3 2 ª . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu41. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A A =  x2Njx 2 4 = 0 . B B =  x2Rjx 2 + 2x + 3 = 0 . C C =  x2Rjx 2 5 = 0 . D D =  x2Qjx 2 +x 12 = 0 . ýLờigiải. TậphợpB =  x2Rjx 2 + 2x + 3 = 0 làtậprỗngvìphươngtrìnhx 2 + 2x + 2 = 0vônghiệmtrêntậpsốthựcR. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu42. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khácrỗng? A A =  x2Rjx 2 +x + 1 = 0 . B B =  x2Njx 2 2 = 0 . C C =  x2Zj x 3 3
x 2 + 1
= 0 . D D =  x2Qjx x 2 + 3
= 0 . ýLờigiải. XéttậphợpD =  x2Qjx x 2 + 3
= 0 . Taxétphươngtrìnhx x 2 + 3
= 0,x = 0(nhận). VậyD6=?. ¤ Chọnđápán D ............................................................................................................................. Câu43. Trong các tập sau, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A ?. B fag. C f?g. Dfa;?g. ýLờigiải. Tập rỗng có duy nhất một tập hợp con là?. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu44. Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A fx;yg. B fxg. C f?;xg. Df?;x;yg. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 43 Tập hợpfxg có đúng hai tập hợp con là? vàfxg. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu45. Cho tập hợpA =f2; 5g. Tập hợpA có tất cả bao nhiêu phần tử? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Tập hợpA có hai phần tử. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu46. Cho tập hợpB =  x2Zjx 2 4 = 0 . Chọn kết quả đúng? A B =f2; 4g. B B =f2; 4g. C B =f4; 4g. D B =f2; 2g. ýLờigiải. Xét phương trìnhx 2 4 = 0, – x = 2 x =2 (nhận). VậyB =f2; 2g. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu47. Cho hai tập hợpA =f0; 2; 3; 5g vàB =f2; 7g. Khi đóA\B bằng A A\Bf2; 5g. B A\B =f2g. C A\B?. D A\B =f0; 2; 3; 5; 7g. ýLờigiải. A\B =f2g. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu48. ChoA là tập hợp các hình thoi,B là tập hợp các hình chữ nhật vàC là tập hợp các hình vuông. Khi đó A A\B =C. B A[B =C. C AnB =C. D BnA =C. ýLờigiải. Ta cóA[B =C. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu49. Cách viết nào sau đây khôngđúng? A 1N. B 12N. C f1gN. D 12N  . ýLờigiải. Cáchviết 1Nkhôngđúng. ¤ Chọnđápán A ............................................................................................................................. Câu50. Hỏi tập hợp nào là tập hợp rỗng, trong các tập hợp sau? A A =  x2Rj 6x 2 7x + 1 = 0 . B B =fx2Zjjxj< 1g. C C =  x2Qjx 2 4x + 2 = 0 . D D =  x2Rjx 2 4x + 3 = 0 . ýLờigiải. Xét tập hợpC =  x2Qjx 2 4x + 2 = 0 . Ta có phương trìnhx 2 4x + 2 = 0, " x = 2 + p 2 x = 2 p 2 (loại vìx2Q). VậyC =? ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu51. Cho tập hợpX =f0; 1; 2g. Tập hợpX có bao nhiêu tập con? A 8. B 3. C 6. D 5. ýLờigiải. Tập hợpX có 2 3 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu52. Tập hợpA =  x2Rj (x 1)(x 2) x 3 + 4x
= 0 có bao nhiêu phần tử? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Xét phương trình (x 1)(x 2) x 3 + 4x
= 0, – x = 0 x = 2 (nhận). Vậy tậpA có hai phần tử. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu53. Cho tập hợpX =f0; 1; 2;a;bg. Số phần tử của tậpX là A 5. B 4. C 3. D 2. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 44 TậpX có năm phần tử. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu54. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A 25. B 10. C 45. D 35. ýLờigiải. Số học sinh xếp loại học sinh giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 15 + 20 10 = 25. Vừa giỏi, vừa tốt 20 15 HK Tốt HL giỏi ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu55. Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng ký môn bóng đá, 15 em đăng ký môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn? A 5. B 10. C 45. D 35. ýLờigiải. Số học sinh chơi cả hai môn là 35 + 15 45 = 5. Bóng đá Bóng chuyền 35 15 Vừa chơi bóng đá, vừa chơi bóng chuyền ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu56. ChoA =f1; 2; 3; 5; 7g,B =f2; 4; 5; 6g. Tập hợpAnB là A f1; 3; 7g. B f2; 5g. C f4; 6; 8g. Df1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g. ýLờigiải. Những phần tử thuộcA mà không thuộcB là 1; 3; 7. VậyAnB =f1; 3; 7g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu57. ChoA =  x2Rjx 2 46= 0 . Tập hợpA viết lại dạng liệt kê là A Rnf2;2g. B f2;2g. C R. D Rnf2g. ýLờigiải. Ta cóx 2 46= 0,x 2 6= 4,x6=2. VậyA =Rnf2;2g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu58. ChoA =  x2Rjx 2 + 4> 0 . Tập hợpA viết lại dạng liệt kê là A R. B ?. C [2; +1). D [2; +1). ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 45 Vìx 2 + 4> 0,x 2 >4 (luôn đúng với mọix2R) ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu59. Lớp 10A có 40 học sinh trong đó có 10 bạn giỏi Toán, 15 bạn giỏi Lý, và 22 bạn không giỏi môn học nào trong hai môn Toán, Lý. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Lý? A 7. B 25. C 10. D 18. ýLờigiải. Số học sinh giỏi một trong hai môn Toán và Lý là 40 22 = 18. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý là 10 + 15 18 = 7: Giỏi Toán Giỏi Lý 10 15 Giỏi cả 2 môn 22 Không giỏi Toán và Lý có 40 học sinh Lớp 10A ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu60. Một lớp học có 25 học sinh học khá các môn tự nhiên, 24 học sinh học khá các môn xã hội 10 học sinh học khá cả môn tự nhiên lẫn môn xã hội, đặc biệt vẫn còn 3 học sinh chưa học khá cả hai nhóm môn ấy. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội). A 39. B 26. C 29. D 36. ýLờigiải. Số học sinh học khá môn tự nhiên hoặc môn xã hội là 25 + 24 10 = 39. Số học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội) là 39 10 = 29. Giỏi TN Giỏi XH 25 24 Giỏi cả 2 môn 3 Không giỏi TN và XH 10 ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu61. Cho tậpA =2; 1; 2; 3; 4;B =x2N :x 2 4 = 0. Mệnh đề nào đúng? A A\B =f2g. B A\B =f2; 2g. C Anf1; 3; 4g. D A[B =B. ýLờigiải. Lấyx2B, ta cóx 2 4 = 0, – x = 2 (nhận) x =2 (loại) . Do đóB =f2g. VậyA\B =f2g. Suy ra A đúng. B sai vìA\B =f2g. C sai vìAnf2; 1; 3; 4g. D sai vìA[B =A. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu62. Số tập con của tập hợp cón (n 1;n2N) phần tử là A 2 n . B 2 n+1 . C 2 n1 . D 2 n+2 . ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 46 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu63. Cho hai tậpA =  x2Z : (x + 3)(x 2 3) = 0 ;B =  x2R :x 2 + 6 = 0 khi đó A BnA =B. B AB. C AnB =B. D A\B =A. ýLờigiải. Lấyx2A ta có, (x + 3)(x 2 3) = 0, – x + 3 = 0 x 2 3 = 0 , – x =3 (nhận) x = p 3 (loại) . VậyA =f3g. Lấyx2B ta có,x 2 + 6 = 0,x 2 =6 (vô lý). VậyB =?. Khi đó, A đúng vìBnA =?nA =? =B. B sai vìBA. C sai vìAnB =A. D sai vìA\B =B. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu64. Cho hai tậpA = [1; 3);B = [a;a + 3]. Với giá trị nào củaa thìA\B =?? A – a 3 a<4 . B – a> 3 a<4 . C – a 3 a4 . D – a> 3 a4 . ýLờigiải. Ta cóA\B =? nên – a 3 a + 3<1 , – a 3 a<4 . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu65. Tập hợp (2; 3]\ (3; 4] là tập hợp nào sau đây? A ?. B f3g. C f2; 3g. Df3; 4g. ýLờigiải. Trên trục số ta có (2; 3], (3; 4] được biểu diễn như sau 2  3  3  4 Do đó (2; 3]\ (3; 4] =?. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu66. Hãy chọn khẳng định đúngtrongcáckhẳngđịnhsau. A A = (A\B)[ (AnB). B B = (A\B)\ (AnB). C B = (A\B)[ (AnB). D A = (A\B)\ (AnB). ýLờigiải. Tacó (A\B)[ (AnB) ¤ Chọnđápán A ............................................................................................................................. Câu67. Cho 3 tập hợp.A = [3; 5);B = [4; 1]; vàC = (4;3]. Tìm mệnh đề đúngtrongcácmệnhđềsau. A A\B = [3; 1]. B (A[B)[C = [4; 5]. C C B C = [3; 1). D BnA = [4;3]. ýLờigiải. AđúngvìA\B = [3; 1]. Bsaivì (A[B)[C = [4; 5). CsaivìC B C =CnB = (3; 1]. DsaivìBnA = [4;3). ¤ Chọnđápán A ............................................................................................................................. Câu68. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A A\ (BnA) =?. B B\ (BnA) =?. C A[ (BnA) =?. D A[ (BnA) =B. ýLờigiải. B sai vìB\ (BnA) =B. C,D sai vìA[ (BnA) =A[B. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu69. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A M =fx2Nj2x 1 = 0g. B M =fx2Qj3x + 2 = 0g. C M =  x2Rjx 2 6x + 9 = 0 . D M =  x2Zjx 2 = 0 . ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 47 Đáp án A có 2x 1 = 0,x = 1 2 = 2N. Do đóM =?. Đáp án B có 3x + 2 = 0,x = 3 2 2Q . Do đóM = § 2 3 ª . Đáp án C cóx 2 6x + 9 = 0, (x 3) 2 = 0,x = 32R. Do đóM =f3g. Đáp án D cóx 2 = 0,x = 02Z. Do đóM =f0g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu70. Cho tập hợpA =  x2Rjx 2 + 3x + 4 = 0 , khẳng định nào sau đây đúng? A Tập hợpA có 1 phần tử. B Tập hợpA có 2 phần tử. C Tập hợpA =?. D Tập hợpA có vô số phần tử. ýLờigiải. Tacóx 2 +3x+4 =x 2 +2
x
3 2 +  3 2 ‹ 2 + 7 4 =  x + 3 2 ‹ 2 + 7 4 > 0vớimọix2R.Vậyphươngtrìnhx 2 +3x+4 = 0 vô nghiệm. Do đóA =?. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu71. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A 25. B 10. C 45. D 35. ýLờigiải. Số học sinh xếp loại học sinh giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 15 + 20 10 = 25. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu72. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [4; 3]n [2; 1] là hình nào sau đây? A 2
1 4 3 . B  4  3
2 1 . C  2  1 4 3 . D 4
3  2  1 . ýLờigiải. Trên trục số ta có [4; 3], [2; 1] được biểu diễn như sau  4  3  2  1 Do đó [4; 3]n [2; 1] được biểu diễn trên trục số là  4  3
2 1 ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu73. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [4; 1)\ (2; 3] là hình nào sau đây? A 2
1 4 3 . B  4  3
2 1 . C  2  1 4 3 . D 4
3  2  1 . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 48 ýLờigiải. Trên trục số ta có [4; 1), (2; 3] được biểu diễn như sau  4
1 2  3 Do đó [4; 1)\ (2; 3] được biểu diễn trên trục số là 2
1 4 3 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu74. Biểu diễn trên trục số các tập hợp (4; 1]\ [2; 3] là hình nào sau đây? A 2
1 4 3 . B  4  3
2 1 . C  2  1 4 3 . D 4
3  2  1 . ýLờigiải. Trên trục số ta có (4; 1], [2; 3] được biểu diễn như sau 4  1  2  3 Do đó (4; 1]\ [2; 3] được biểu diễn trên trục số là  2  1 4 3 ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie CHƯƠNGII HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI x1 HÀMSỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠICƯƠNGVỀHÀMSỐ Ở lớp dưới ta đã làm quen với khái niệm hàm số. #Vídụ1. Cho hàm sốy =f(x) =x 2 + 2x. Ì Vớix = 1 thìy =f(1) = 1 2 + 2
1 = 3. Ì Vớix =2 thìy =f(2) = (2) 2 + 2
(2) = 0. Ì Vớix = 0 thìy =f(0) = 0 2 + 2
0 = 0. Ì Vớix = p 2 thìy =f € p 2 Š = € p 2 Š 2 + 2
p 2 = 2 + 2 p 2. Tập xác định Biến số (hay đối số) D R Giá trị của hàm số tạix = 1 Giá trị của hàm số tạix =2 vàx = 0 Giá trị của hàm số tạix = p 2 x = 1 x = 2 x = 0 x = p 2 y = 3 y = 0 y = 2 + p 2 f f f f Kíhiệu f : D R x y =f(x) =x 2 + 2x ChoDR,D6=?. Hàm sốf xác định trênD là một quy tắc đặt tương ứng mỗi sốx2D với một và chỉ một sốy2R. Ì D được gọi là tập xác định của hàm số. Ì x được gọi là biến số (đối số) của hàm sốf. Ì f(x) được gọi là giá trị của hàm sốf tạix. 49# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 50 ! Ì Một hàm số được cho bởi một biểu thức hoặc nhiều biểu thức #Vídụ2.  Hàm sốy =f(x) = x 2 3x + 1 x 1 .  Hàm sốy =g(x) = ¨ 2x 1 nếux 1 x 2 + 2 nếux> 1: Ì Nếu hàm sốy = f(x) không giải thích gì thêm thì tập xác định của nó là tập hợp các số thựcx sao cho giá trị của biểu thứcf(x) được xác định. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng1.Tínhgiátrịcủahàmsốtạimộtđiểm Để tính giá trị cùa hàm sốy =f(x) tạix =a, ta thếx =a vào biểu thứcf(x) và được giá trịf(a). #Vídụ1. Cho hàm sốy =f(x) = ¨ 4x + 1 nếux 2 x 2 + 3 nếux> 2 . Tínhf(3),f(2),f(2),f € p 2 Š vàf € 2 p 2 Š . ýLờigiải. Ta cóf(3) =3 2 + 3 =6,f(2) = 4
2 + 1 = 9,f(2) = 4
(2) + 1 =7. f( p 2) = 4 p 2 + 1,f(2 p 2) =(2 p 2) 2 + 3 =5. #Vídụ2. Cho hàm sốy =f(x) = ¨ 8 nếux2 x 2 2x nếux<2 . Tínhf(3),f(2),f(2) vàf(0). ýLờigiải. Ta cóf(3) = (3) 2 2(3) = 15,f(2) = 8,f(2) = 8,f(0) = 8. #Vídụ3. Cho hàm sốy =f(x) = ¨ 4x + 1 nếux 2 x 3 + 3 nếux< 2 . Tínhf(2),f € p 2 Š . ýLờigiải. Ta cóf(2) = 4
2 + 1 = 9,f( p 2) =( p 2) 3 + 3 =2 p 2 + 3. #Vídụ4. Cho hàm sốy =h(x) = ¨ 2(x 2 + 1) nếux 1 p x 1 nếux> 1 . Tínhh(1),h(2),h ‚p 2 2 Œ ,h( p 2). ýLờigiải. Ta có h(1) =2(1 2 + 1) =4,h(2) = p 2 1 = 1,h ‚p 2 2 Œ =2 ‚p 2 2 Œ 2 + 1 ! =3,h € p 2 Š = p p 2 1. d Dạng2.Đồthịhàmsố Ì Cho hàm sốy = f(x) xác định trên tậpD. Trong mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x;f(x)) vớix2D gọi là đồ thị của hàm sốy =f(x). Ì Để biết điểmM(a;b) có thuộc đồ thị hàm sốy =f(x) không, ta thếx =a vào biểu thứcf(x). h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 51  Nếuf(a) =b thì điểmM(a;b) thuộc đồ thị hàm sốy =f(x).  Nếuf(a)6=b thì điểmM(a;b) không thuộc đồ thị hàm sốy =f(x). 1 VÍ DỤ #Vídụ1. Chohàmsốy =f(x) =x 2 + p x 3.TrongcácđiểmA(2; 8),B(4; 12)vàC € 5; 25 + p 2 Š ,điểm nào thuộc đồ thị của hàm số đã cho? ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khix 3 0,x 3. Tập xác định:D = [3; +1). Ì Ta có 2 = 2D nênA(2; 8) không thuộc đồ thị của hàm số. Ì Ta cóf(4) = 4 2 + p 4 3 = 176= 12 nênB(4; 12) không thuộc đồ thị của hàm số. Ì Ta cóf(5) = 5 2 + p 5 3 = 25 + p 2 nênC € 5; 25 + p 2 Š thuộc đồ thị của hàm số. #Vídụ2. Cho hàm sốy =f(x) = 2x 2 5x + 5 (C). a) Các điểmA(1; 2),B(1; 5),C  1 2 ; 8 ‹ có thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho không? b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. ýLờigiải. Tập xác định:D =R. a) Ta có Ì f(1) = 2
1 2 5
1 + 5 = 2 nênA(1; 2) thuộc đồ thị (C) của hàm số. Ì f(1) = 2
(1) 2 5
(1) + 5 = 126= 5 nênB(1; 5) không thuộc đồ thị (C) của hàm số. Ì f  1 2 ‹ = 2
 1 2 ‹ 2 5
 1 2 ‹ + 5 = 8 nênC  1 2 ; 8 ‹ thuộc đồ thị (C) của hàm số. b) f(x) = 2, 2x 2 5x + 5 = 2, 2x 2 5x + 3 = 0, 2 4 x = 1 x = 3 2 : Vậy có hai điểm cần tìm làM(1; 2) vàN  3 2 ; 2 ‹ . 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài1. Cho hàm sốy =g(x) = 2x x 2 2x 3 . Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. ýLờigiải. Ta cóg(x) = 2, 2x x 2 2x 3 = 2,2x = 2(x 2 2x 3), 2x 2 2x 6 = 0, 2 6 6 4 1 + p 13 2 1 p 13 2 : Vậy có hai điểm cần tìm làM ‚ 1 + p 13 2 ; 2 Œ vàN ‚ 1 p 13 2 ; 2 Œ . Bài2. Cho hàm sốy =f(x) = ¨ x 2 6 nếux 1 x 2 3x nếux> 1: a) Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị của hàm số? A(3; 3);B(1;5);C(1;2) vàD(3; 0). Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 52 b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng2. ýLờigiải. a) Ta có Ì f(3) = 3 2 3
3 = 06= 3, suy raA(3; 3) không thuộc đồ thị của hàm số. Ì f(1) = (1) 2 6 =5, suy raB(1;5) thuộc đồ thị của hàm số. Ì f(1) = 1 2 6 =56=2, suy raC(1;2) không thuộc đồ thị của hàm số. Ì f(3) = 3 2 3
3 = 0, suy raD(3; 0) thuộc đồ thị của hàm số. b) Ta cóf(x) =2. Ì Vớix 1, ta cóx 2 6 =2,x 2 = 4, – x =2 (nhận) x = 2 (loại). Ì Vớix> 1, ta cóx 2 3x =2,x 2 3x + 2 = 0, – x = 1 (loại) x = 2 (nhận): Vậy có hai điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng2 làM(2;2) vàN(2;2). d Dạng3.Tìmtậpxácđịnhcủahàmsố Tập xác định của hàm sốy =f(x) là tập hợp các số thựcx sao cho biểu thứcf(x) xác định. ! Ì Hàm sốy = A f(x) xác định khi và chỉ khif(x)6= 0 (A là hằng số). Ì Hàm sốy = p f(x) xác định khi và chỉ khif(x) 0. Ì Hàm sốy = A p f(x) xác định khi và chỉ khif(x)> 0. ! Ì P (x)
Q(x)6= 0, ¨ P (x)6= 0 Q(x)6= 0: ! Ì Nếuaxb thìD = [a;b]. Ì Nếuaxa thìD = (a; +1). Ì Nếuxb thìD = (1;b]. Ì Nếu 8 > < > : – a < > : 7 3x 0 2x + 2> 0 x 2 4x6= 0 , 8 > > > > > < > > > > > : x 7 3 x>1 x6= 0 x6= 4 , 8 < : 1 < > : x 2 0 7 3x 0 p x 2 p 7 3x6= 0 , 8 > > > < > > > : x 2 x 7 3 p x 26= p 7 3x , 8 < : 2x 7 3 x 26= 7 3x , 8 > < > : 2x 7 3 x6= 9 4 : Vậy tập xác địnhD = • 2; 7 3 ˜ n § 9 4 ª . #Vídụ5. Tìm các giá trị của tham sốm để hàm sốy = 3x + 5 x 2 + 3x +m 1 có tập xác địnhD =R. ýLờigiải. Hàm số có tập xác địnhD =R khi và chỉ khi x 2 + 3x +m 16= 0;8x2R , x 2 + 3x +m 1 = 0 vô nghiệm ,
= 13 4m< 0 , m> 13 4 : Vậym> 13 4 . #Vídụ6. Tìmcácgiátrịcủathamsốmđểhàmsốy =x 2 +2 p 3x 2m + 1cótậpxácđịnhD = [1; +1). ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 3x 2m + 1 0,x 2m 1 3 . Vì tập xác địnhD = [1; +1) nên 2m 1 3 =1,m =1. Vậym =1. 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài1. Tìm tập xác định của các hàm số sau y =x 2 3x + 2. 1 y = x 1 x 2 + 2x 3 2 Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 54 y = x 2 + 2x 3 (x 2 9x)(x 2 +x + 1) . 3 y = p x 1 x 2 4 . 4 y = x x p x 1 . 5 y = x x 1 + p x + 1 x . 6 ýLờigiải. 1 y =x 2 3x + 2. Hàm số xác định với mọix2R. Vậy tập xác địnhD =R. 2 y = x 1 x 2 + 2x 3 . Hàm số xác định khi và chỉ khix 2 + 2x 36= 0, ¨ x6= 1 x6=3: Vậy tập xác địnhD =Rnf1;3g. 3 y = x 2 + 2x 3 (x 2 9x)(x 2 +x + 1) . Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x 2 9x6= 0 x 2 +x + 16= 0 , ¨ x6= 0 x6= 9: Vậy tập xác địnhD =Rnf9; 0g. 4 y = p x 1 x 2 4 . Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x 1 0 x 2 46= 0 , 8 > < > : x 1 x6= 2 x6=2 , ¨ x 1 x6= 2: Vậy tập xác địnhD = [1; +1)nf2g. 5 y = x x p x 1 . Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x 1> 0 x6= 0 , ¨ x> 1 x6= 0 ,x> 1. Vậy tập xác địnhD = (1; +1). 6 y = x x 1 + p x + 1 x . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : x 16= 0 x + 1 0 x6= 0 , 8 > < > : x6= 1 x1 x6= 0: Vậy tập xác địnhD = [1; +1)nf0; 1g. Bài2. Tìm tập xác định của các hàm số sau y = x p 2x + 5 3 p 2 5x 4 p x 2 + 4 . 1 y = 3x + 4 + p x 2 + 2 (x 2 +x + 5) (jxj + 1) . 2 y = 2x p x + 2 p 7 2x . 3 y = x 2 4x + 3 (x 2 + 2x + 4) p 2x 2 + 1 . 4 y = 2x 2 +x 3 (x 2 5x) p x 2 . 5 y = p 2x 3 3x + p 5x. 6 y = p 2x + 4 + 3 p 4x x 2 3x + 2 . 7 y = 3x + p 6x 1 + p x + 4 . 8 y = 2x 2 5 p 9 2x 2 p x 2 . 9 y = 3x + Ê x 2 + 2 2x + 10 1 p 3x . 10 y = p 3 4x +x p x j2x 7j + 2 . 11 y = p x 2 + 10 p 2x + 11 j3x 2j 4 . 12 h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 55 ýLờigiải. 1 y = x p 2x + 5 3 p 2 5x 4 p x 2 + 4 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 2x + 5 0 2 5x 0 x 2 + 4> 0 , 8 > < > : x 5 2 x 2 5 , 5 2 x 2 5 . Vậy tập xác địnhD = • 5 2 ; 2 5 ˜ . 2 y = 3x + 4 + p x 2 + 2 (x 2 +x + 5) (jxj + 1) . Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x 1> 0 x6= 0 , ¨ x> 1 x6= 0 ,x> 1. Vậy tập xác địnhD = (1; +1). 3 y = 2x p x + 2 p 7 2x . Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x + 2 0 7 2x> 0 , 8 < : x>2 x< 7 2 ,2x< 7 2 . Vậy tập xác địnhD = • 2; 7 2 ‹ . 4 y = x 2 4x + 3 (x 2 + 2x + 4) p 2x 2 + 1 . Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x 2 + 2x + 46= 0 2x 2 + 1> 0 ,x2R. Vậy tập xác địnhD =R. 5 y = 2x 2 +x 3 (x 2 5x) p x 2 . Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x 2> 0 x 2 5x6= 0 , 8 > < > : x> 2 x6= 0 x6= 5 , ¨ x> 2 x6= 5: Vậy tập xác địnhD = (2; +1)nf5g. 6 y = p 2x 3 3x + p 5x. Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 2x 3 0 3x6= 0 5x 0 , 8 > > < > > : x 3 2 x6= 3 x 5 , 8 < : 3 2 x 5 x6= 3: Vậy tập xác địnhD = • 3 2 ; 5 ˜ nf3g. 7 y = p 2x + 4 + 3 p 4x x 2 3x + 2 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 2x + 4 0 4x 0 x 2 3x + 26= 0 , 8 > > > < > > > : x2 x 4 x6= 1 x6= 2 , 8 > < > : 2x 4 x6= 1 x6= 2: Vậy tập xác địnhD = [2; 4]nf1; 2g. 8 y = 3x + p 6x 1 + p x + 4 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 6x 0 x + 4 0 1 + p x + 46= 0 , ¨ x 6 x4 ,4x 6. Vậy tập xác địnhD = [4; 6]. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 56 9 y = 2x 2 5 p 9 2x 2 p x 2 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 9 2x 0 x 2 0 2 p x 26= 0 , 8 > > > < > > > : x 9 2 x 2 p x 26= 2 , 8 < : 2x 9 2 x 26= 4 , 8 < : 2x 9 2 x6= 6 , 2x 9 2 : Vậy tập xác địnhD = • 2; 9 2 ˜ . 10 y = 3x + Ê x 2 + 2 2x + 10 1 p 3x . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > > > < > > > : x 2 + 2 2x + 10  0 3x 0 1 p 3x6= 0 , 8 > < > : 2x + 10 0 x 3 p 3x6= 1 , 8 > < > : x5 x 3 3x6= 1 , ¨ 5x 3 x6= 2: Vậy tập xác địnhD = [5; 3]nf2g. 11 y = p 3 4x +x p x j2x 7j + 2 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 3 4x 0 x 0 j2x 7j + 26= 0 , 8 < : x 3 4 x 0 , 0x 3 4 . Vậy tập xác địnhD = • 0; 3 4 ˜ . 12 y = p x 2 + 10 p 2x + 11 j3x 2j 4 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : x 2 + 10 0 2x + 11 0 j3x 2j 46= 0 , 8 < : x 11 2 j3x 2j6= 4 , 8 > > < > > : x 11 2 3x 26= 4 3x 26=4 , 8 > > > > < > > > > : x 11 2 x6= 2 x6= 2 3 : Vậy tập xác địnhD = • 11 2 ; +1 ‹ n § 2 3 ; 2 ª . Bài3. Tìm các giá trị của tham sốm để hàm sốy = x 3 + 2 x 2 3x +m 5 có tập xác địnhD =R. ýLờigiải. Hàm số có tập xác địnhD =R khi và chỉ khi x 2 4x +m 56= 0;8x2R , x 2 4x +m 5 = 0 vô nghiệm ,
0 = 9m< 0 , m> 9: Vậym> 9. Bài4. Tìm các giá trị của tham sốm để hàm sốy = 2x 2 5 3mx 4m + 8 có tập xác địnhD =Rnf2g. ýLờigiải. Vì hàm số có tập xác địnhD =Rnf2g nên ta có 3m
2 4m + 8 = 0,m =4. Khi đó hàm số trở thànhy = 2x 2 5 12x + 24 và có tập xác địnhD =Rnf2g. Vậym =4. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 57 Bài5. Tìm các giá trị của tham sốm để hàm sốy = p x 2 2mx +m 2 m + 1 có tập xác địnhD =R. ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khix 2 2mx +m 2 m + 1 0, (xm) 2 + 1m 0. Tập xác địnhD =R, 1m 0,m 1. Vậym 1. d Dạng4.Sựbiếnthiêncủahàmsố Hàm sốf xác định trên khoảngK vàx 1 ;x 2 2K. Ì Hàm sốf gọi là đồng biến trênK nếux 1 f(x 2 ). ! Ì Hàm sốf xác định trên khoảngK. Nếuf(x 1 ) =f(x 2 ) với mọix 1 ;x 2 2K, nghĩa làf(x) =c (c là hằng số) thìf gọi là hàmsốhằng (còn gọi là hàmsốkhôngđổi) trênK. Ì Hàmsốf xácđịnhtrênkhoảngK.Khảosátsựbiếnthiêncủahàmsốf nghĩalàxemf đồngbiến, hoặc nghịch biến, hoặc không đổi trên các khoảng nào đó trong tập xác định của nó. 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢOSÁTSỰBIẾNTHIÊNCỦAHÀMSỐTRÊNKHOẢNGK Cho hàm sốy =f(x) và hai số tùy ýx 1 ;x 2 2K: CÁCH1. Giả sửx 1 0 thìf nghịchbiến trênK, CÁCH2. Giả sửx 1 6=x 2 : Ì Nếu f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 > 0 thìf đồngbiến trênK. Ì Nếu f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 < 0 thìf nghịchbiến trênK. VÍDỤ #Vídụ1. Khảo sát sự biến thiên của hàm sốy =f(x) = 2x 7 trên khoảng (1; +1). ýLờigiải. Với8x 1 ;x 2 2 (1; +1);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = 2x 1 7 2x 2 + 7 x 1 x 2 = 2(x 1 x 2 ) x 1 x 2 = 2> 0: Vậy hàm số đồng biến trên (1; +1). #Vídụ2. Khảo sát sự biến thiên của hàm sốy =h(x) =x 2 + 2x 3 trong khoảng (1;1). ýLờigiải. Với8x 1 ;x 2 2 (1;1);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = x 2 1 + 2x 1 3x 2 2 2x 2 + 3 x 1 x 2 = x 2 1 x 2 2 + 2(x 1 x 2 ) x 1 x 2 = (x 1 x 2 )(x 1 +x 2 ) + 2(x 1 x 2 ) x 1 x 2 = (x 1 x 2 )(x 1 +x 2 + 2) x 1 x 2 =x 1 +x 2 + 2: Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 58 Vì ¨ x 1 2 (1;1) x 2 2 (1;1) ) ¨ x 1 <1 x 2 <1 )x 1 +x 2 <2)x 1 +x 2 + 2< 0. Vậy hàm số giảm trên (1;1) #Vídụ3. Khảo sát sự biến thiên của hàm sốy =g(x) = 4x x 1 trên khoảng (1; +1). ýLờigiải. Với8x 1 ;x 2 2 (1; +1);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) = 4x 1 x 1 1 4x 2 x 2 1 = 4(x 1 x 2 ) (x 1 1)(x 2 1) : Khi đó: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = 4(x 1 x 2 ) (x 1 1)(x 2 1) : (x 1 x 2 ) = 4 (x 1 1)(x 2 1) : Vì ¨ x 1 2 (1; +1) x 2 2 (1; +1) ) ¨ x 1 > 1 x 2 > 1 ) ¨ x 1 1> 0 x 2 1> 0 ) 4 (x 1 1)(x 2 1) < 0. Vậy hàm số giảm trên (1; +1) 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau: a. y =f(x) = (2x) 2 (1x) 2 trong khoảng (1; +1). b. y =f(x) = 2x(x 4) trên khoảng (2; +1). c. y =f(x) = 1 x 5 x 3 trên khoảng (3; +1). d. y =k(x) = x 2 4 (x + 2) 2 trên khoảng (1;2). e. y = p x + 1 trên khoảng (1; +1). f. y = 1 x + 1 trên khoảng (1;1). ýLờigiải. a. Ta có:y =f(x) = (2x) 2 (1x) 2 =2x + 3. Với8x 1 ;x 2 2 (1; +1);x 1 6=x 2 thì: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = 2x 1 + 3 + 2x 2 3 x 1 x 2 = 2(x 1 x 2 ) x 1 x 2 =2< 0: Vậy hàm số nghịch biến trên (1; +1). b. Ta có:y =f(x) = 2x(x 4) =x 2 + 4x + 2 trên khoảng (2; +1). Với8x 1 ;x 2 2 (2; +1);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = x 2 1 + 4x 1 + 2 +x 2 2 4x 2 2 x 1 x 2 = (x 1 x 2 )(x 1 +x 2 ) + 4(x 1 x 2 ) x 1 x 2 = (x 1 x 2 )(x 1 +x 2 4) x 1 x 2 =x 1 +x 2 4: Vì ¨ x 1 2 (2; +1) x 2 2 (2; +1) ) ¨ x 1 > 2 x 2 > 2 )x 1 +x 2 > 4)x 1 +x 2 4> 0. Vậy hàm số tăng trên (1;1) h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 59 c. y =f(x) = 1 x 5 x 3 = 2 x 3 trên khoảng (3; +1). Với8x 1 ;x 2 2 (3; +1);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) = 2 x 1 3 2 x 2 3 = 2(x 1 x 2 ) (x 1 3)(x 2 3) : Khi đó: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = 2(x 1 x 2 ) (x 1 3)(x 2 3) : (x 1 x 2 ) = 2 (x 1 3)(x 2 3) : Vì ¨ x 1 2 (3; +1) x 2 2 (3; +1) ) ¨ x 1 > 3 x 2 > 3 ) ¨ x 1 3> 0 x 2 3> 0 ) 2 (x 1 3)(x 2 3) < 0. Vậy hàm số giảm trên (3; +1) d. y =k(x) = x 2 4 (x + 2) 2 = (x 2)(x + 2) (x + 2) 2 = x 2 x + 2 trên khoảng (1;2). Với8x 1 ;x 2 2 (1;2);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) = x 1 2 x 1 + 2 x 2 2 x 2 + 2 = 2(x 1 x 2 ) (x 1 + 2)(x 2 + 2) : Khi đó: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = 2(x 1 x 2 ) (x 1 + 2)(x 2 + 2) : (x 1 x 2 ) = 2 (x 1 + 2)(x 2 + 2) : Vì ¨ x 1 2 (1;2) x 2 2 (1;2) ) ¨ x 1 <2 x 2 <2 ) ¨ x 1 + 2< 0 x 2 + 2< 0 ) 2 (x 1 + 2)(x 2 + 2) > 0. Vậy hàm số tăng trên (1;2) e. y = p x + 1 trên khoảng (1; +1). Với8x 1 ;x 2 2 (1; +1);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = p x 1 + 1 p x 2 + 1 x 1 x 2 = p x 1 + 1 p x 2 + 1
p x 1 + 1 + p x 2 + 1
(x 1 x 2 ) p x 1 + 1 + p x 2 + 1
= x 1 x 2 (x 1 x 2 ) p x 1 + 1 + p x 2 + 1
= 1 p x 1 + 1 + p x 2 + 1 > 0;8x2 (1; +1): Vậy hàm số tăng trên (1; +1) f. y = 1 x + 1 trên khoảng (1;1). Với8x 1 ;x 2 2 (1;1);x 1 6=x 2 . Ta có: f(x 1 )f(x 2 ) = 1 x 1 + 1 1 x 2 + 1 Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 60 = (x 1 x 2 ) (x 1 + 1)(x 2 + 1) : Khi đó: f(x 1 )f(x 2 ) x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) (x 1 + 1)(x 2 + 21) : (x 1 x 2 ) = 1 (x 1 + 1)(x 2 + 1) : Vì ¨ x 1 2 (1;1) x 2 2 (1;1) ) ¨ x 1 <1 x 2 <1 ) ¨ x 1 + 1< 0 x 2 + 1< 0 ) 1 (x 1 + 1)(x 2 + 1) < 0. Vậy hàm số giảm trên (1;1) d Dạng5.Hàmsốchẵn-Hàmsốlẻ 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tậpđốixứng. D làtậpconcủatậpsốthựcRgọilà tậpđốixứng nếuthỏa: vớimọixthuộcD thìx cũngthuộcD. ( ) a x 0 x a #Vídụ1. Ì R là tập đối xứng vì8x2R)x2R. Ì Rnf1; 1g là tập đối xứng vì8x2Rnf1; 1g)x2Rnf1; 1g. Ìfa;ag; (vớia> 0) là tập đối xứng vì8x2fa;ag)x2fa;ag. Ì [a;a]; (vớia> 0) là tập đối xứng vì8x2 [a;a])x2 [a;a]. Ìfa;agnf0g; (vớia> 0) là tập đối xứng vì8x2fa;agnf0g)x2fa;agnf0g. Ì [a;a]nf0g; (vớia> 0) là tập đối xứng vì8x2 [a;a]nf0g)x2 [a;a]nf0g. #Vídụ2. Ì Rnf2g không là tập đối xứng vìx =22Rnf2g nhưngx = 2 = 2Rnf2g. Ì [4; 4) không là tập đối xứng vìx =42 [4; 4) nhưngx = 4 = 2 [4; 4). Ì [4; 6] không là tập đối xứng vìx = 52 [4; 6] nhưngx =5 = 2 [4; 6]. Ì [5; 5]nf1g không là tập đối xứng vìx =12 [5; 5] nhưngx = 1 = 2 [5; 5]. 2 Hàmsốchẵn,hàmsốlẻ Hàm sốf xác định trên tậpđốixứngD. Ì Nếu8x2D màf(x) =f(x) thì ta nóif là hàmsốchẵn trênD. Ì Nếu8x2D màf(x) =f(x) thì ta nóif là hàmsốlẻ trênD. 3 Đồthịhàmsốchẵn,hàmsốlẻ Ì Đồ thị hàm số hàmsốchẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 61 Ì Đồ thị hàm số hàmsốlẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. x y O x y O Đồ thị hàm số chẵn Đồ thị hàm số lẻ 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁCHXÉTTÍNHCHẴN-LẺCỦAHÀMSỐ Tìm tập xác địnhD của hàm sốy =f(x). Ì NếuD không là tập đối xứng thì hàm sốf không chẵn và không lẻ trênD. Ì NếuD là tập đối xứng: Với8x2D, tínhf(x).  Nếuf(x)6=f(x): Chọn một giá trị thích hợpx =a2D để cóf(a)6=f(a). Từ đó kết luận hàm số không chẵn và không lẻ trênD.  Nếuf(x) =f(x) thìf là hàm số chẵn trênD.  Nếuf(x) =f(x) thìf là hàm số lẻ trênD. 3 VÍ DỤ #Vídụ1. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy =f(x) = p 2x 3 ýLờigiải. Hàm số xác định, 2x 3 0,x 3 2 . ) Tập xác địnhD = • 3 2 ; +1 ‹ . Vớix = 32D nhưngx =3 = 2D nênD không phải là tập đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. #Vídụ2. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy =g(x) = 2x 1 + p 3 +x + p 3x ýLờigiải. Hàm số xác định, ¨ 3 +x 0 3x 0 , ¨ x3 x 3 ,3x 3. ) Tập xác địnhD = [3; 3] là tập đối xứng. Với8x2D. Xét g(x) = 2(x) 1 + È 3 + (x) + È 3 (x) = 2x 1 + p 3x + p 3 +x Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 62 = € 2x + 1 p 3x p 3 +x Š : Chọna = 2, ta có g(2) =4 + p 5;g(2) = 4 + p 5) ¨ g(2)6=g(2) g(2)6=g(2): Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. #Vídụ3. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy =f(x) = p 3 +x + p 3x x 2 ýLờigiải. Hàm số xác định, 8 > < > : 3 +x 0 3x 0 x 2 6= 0 , 8 > < > : x3 x 3 x6= 0 , ¨ 3x 3 x6= 0 . ) Tập xác địnhD = [3; 3]nf0g là tập đối xứng. Với8x2D. Xét f(x) = p 3 + (x) + p 3 (x) (x) 2 = p 3x + p 3 +x x 2 =f(x): Vậy hàm số chẵn. #Vídụ4. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy =h(x) =x 3 x + p 1 +x p 1x ýLờigiải. Hàm số xác định, ¨ 1 +x 0 1x 0 , ¨ x1 x 1 ,1x 1. ) Tập xác địnhD = [1; 1] là tập đối xứng. Với8x2D. Xét h(x) = (x) 3 (x) + È 1 + (x) È 1 (x) = x 3 +x + p 1x p 1 +x = € x 3 x + p 1 +x p 1x Š =h(x) Vậy hàm số lẻ. 4 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài1. Chứng minh đồ thị hàm sốy =f(x) = 5x x 2 4 nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. ýLờigiải. Ta cần chứng minh hàm sốy =f(x) = 5x x 2 4 là lẻ. Thật vậy: Hàm số xác định,x 2 46= 0,x6=2. Suy ra tập xác địnhD =Rnf2g là tập đối xứng. Với8x2D. Xét f(x) = 5(x) (x) 2 4 = 5x x 2 4 =f(x): Vậy hàm số lẻ. Bài2. Chứng minh đồ thị hàm sốy =g(x) =j2xj +j2 +xj nhận trục tung làm trục đối xứng. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 63 Ta cần chứng minh hàm sốy =g(x) =j2xj +j2 +xj là chẵn. Thật vậy: Hàm số xác định8x2R) Tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Với8x2D. Xét g(x) = j2 (x)j +j2 + (x)j = j2 +xj +j2xj =g(x): Vậy hàm số chẵn. Bài3. Xét tính chẵn-lẻ của các hàm số sau. y =f(x) = 2x 4 x 2 9 . 1 y =h(x) =x 2 3x. 2 y =g(x) = p 2 +x + p 2x. 3 y =k(x) = x 3 5x jx 1j +jx + 1j . 4 y =u(x) = p 5 +x + p 5x x 1 . 5 y =v(x) = 2x 3 p 6 + 3x p 6 3x . 6 ýLờigiải. 1 y =f(x) = 2x 4 x 2 9 . Hàmsốxácđịnh,x 2 96= 0,x6=3.)Tập xácđịnhD =Rnf3; 3glà tậpđối xứng. Với8x2D.Xét f(x) = 2(x) 4 (x) 2 9 = 2x 4 x 2 9 =f(x): Vậy hàm số chẵn. 2 y =h(x) =x 2 3x. Tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Với8x2D. Xét h(x) = (x) 2 3(x) =x 2 + 3x: Chọna = 2, ta có h(2) = 10;h(2) =2) ¨ h(2)6=h(2) h(2)6=h(2): Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. 3 y =g(x) = p 2 +x + p 2x. Hàm số xác định, ¨ 2 +x 0 2x 0 , ¨ x2 x 2 ,2x 2. Suy ra tập xác địnhD = [2; 2] là tập đối xứng. Với8x2D. Xét g(x) = È 2 + (x) + È 2 (x) = p 2x + p 2 +x =g(x): Vậy hàm số chẵn. 4 y =k(x) = x 3 5x jx 1j +jx + 1j . Tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Với8x2D. Xét k(x) = (x) 3 5(x) j(x) 1j +j(x) + 1j = x 3 + 5x jx + 1j +jx 1j = x 3 5x jx 1j +jx + 1j =k(x) Vậy hàm số lẻ. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 64 5 y =u(x) = p 5 +x + p 5x x 1 . Hàm số xác định, 8 > < > : 5 +x 0 5x 0 x 16= 0 , 8 > < > : x5 x 5 x6= 1 ,5x 5 vàx6= 1. Tập xác địnhD = [5; 5]nf1g không phải là tập đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. 6 y =v(x) = 2x 3 p 6 + 3x p 6 3x . Hàm số xác định, 8 > < > : 6 + 3x 0 6 3x 0 p 6 + 3x p 6 3x6= 0 , 8 > < > : x2 x 2 p 6 + 3x6= p 6 3x , ¨ 2x 2 x6= 0 . Tập xác địnhD = [2; 2]nf0g là tập đối xứng. Với8x2D. Xét v(x) = 2(x) 3 p 6 + 3(x) p 6 3(x) = 2x 3 p 6 3x p 6 + 3x = 2x 3 p 6 + 3x p 6 3x =v(x): Vậy hàm số chẵn. C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu1. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 2x + p x + 2 x . A D = [2; 2]. B D = (2; 2)nf0g. C D = [2; 2]nf0g. D D =R. ýLờigiải. Điều kiện xác định là 8 > < > : 2x 0 x + 2 0 x6= 0 , 8 > < > : x 2 x2 x6= 0 )x2 [2; 2]nf0g. VậyD = [2; 2]nf0g ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu2. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 6x + 2x + 1 1 + p x 1 . A D = (1; +1). B D = [1; 6]. C D =R. D D = (1;6). ýLờigiải. Điều kiện xác định là ¨ 6x 0 x 1 0 , ¨ x 6 x 1 )x2 [1; 6]. VậyD = [1; 6] ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu3. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p x + 2 x p x 2 4x + 4 . A D = [2; +1)nf0; 2g. B D =R. C D = [2; +1). D D = (2; +1). ýLờigiải. Điều kiện xác định là 8 > < > : x + 2 0 x6= 0 x 2 4x + 4> 0 , 8 > < > : x2 x6= 0 (x 2) 2 > 0 , 8 > < > : x2 x6= 0 x6= 2 )x2 [2; +1)nf0; 2g. VậyD = [2; +1)nf0; 2g ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu4. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = x x p x 6 . h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 65 A D = [0; +1). B D = [0; +1)nf9g. C D = 9. D D =R. ýLờigiải. Điều kiện xác định là ¨ x 0 x p x 66= 0 , 8 > < > : x 0 ¨p x6= 3 p x6=2 , ¨ x 0 x6= 9 )x2 [0; +1)nf9g. VậyD = [0; +1)nf9g ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu5. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p x 1 + p 4x (x 2)(x 3) . A D = [1; 4]. B D = (1; 4)nf2; 3g. C D = [1; 4]nf2; 3g. D D = (1; 1][ [4; +1). ýLờigiải. Điều kiện xác định là 8 > < > : x 1 0 4x 0 (x 2)(x 3)6= 0 , 8 > > > < > > > : x 1 x 4 x6= 2 x6= 3 )x2 [1; 4]nf2; 3g. VậyD = [1; 4]nf2; 3g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu6. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = 2018 3 p x 2 3x + 2 3 p x 2 7 . A D =Rnf3g. B D =R. C D = (1; 1)[ (2; +1). D D =Rnf0g. ýLờigiải. Điều kiện xác định là 3 p x 2 3x + 2 3 p x 2 76= 0,x 2 3x + 26=x 2 7,x6= 3)x2Rnf3g. VậyD =Rnf3g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu7. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = jxj jx 2j +jx 2 + 2xj . A D =R. B D =Rnf0;2g. C D = (2; 0). D D = (2; +1). ýLờigiải. Điều kiện xác định làjx 2j +jx 2 + 2xj6= 0. Ta có:jx 2j +jx 2 + 2xj = 0 khi và chỉ khi 8 > < > : x = 2 – x = 0 x =2 )x2;. Do đó mẫu luôn khác không với mọix. VậyD =R. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu8. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = 2x 1 p xjx 4j . A D =Rnf0; 4g. B D = (0; +1). C D = [0; +1)nf4g. D D = (0; +1)nf4g. ýLờigiải. Điều kiện xác định làxjx 4j> 0 Dojx 4j 0 nênxjx 4j> 0, ¨ x> 0 x6= 4 )x2 (0; +1)nf4g. VậyD = (0; +1)nf4g. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu9. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 5 3jxj x 2 + 4x + 3 . A D = • 5 3 ; 5 3 ˜ nf1g. B D =R. C D =  5 3 ; 5 3 ‹ nf1g. D D = • 5 3 ; 5 3 ˜ . ýLờigiải. Điều kiện xác định là ¨ 5 3jxj 0 x 2 + 4x + 36= 0 , 8 > > > < > > > : x2 • 5 3 ; 5 3 ˜ x6=1 x6=3 )x2 • 5 3 ; 5 3 ˜ nf1g. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 66 VậyD = • 5 3 ; 5 3 ˜ nf1g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [3; 3] để hàm sốf(x) = (m + 1)x +m 2 đồng biến trênR. A 7. B 5. C 4. D 3. ýLờigiải. Hàm số đồng biến trênR,8x 1 ;x 2 2R :x 1 >x 2 )f(x 1 )>f(x 2 ): Khi đó (m + 1)x 1 +m 2> (m + 1)x 2 +m 2, (m + 1)(x 1 x 2 )> 0,m + 1> 0,m>1. Suy ram2f0; 1; 2; 3g. Vậy có 4 giá trị củam. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu11. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ. A y =x 2018 2017. B y = p 2x + 3. C y = p 3 +x p 3x. D y =jx + 3j +jx 3j. ýLờigiải. y =f(x) = p 3 +x p 3x có tập xác địnhD = [3; 3] là tập đối xứng. Mặt khác8x2D, ta cóx2D vàf(x) = p 3x p 3 +x =f(x). Suy ray = p 3 +x p 3x là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu12. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A y =jx + 1j +jx 1j. B y =jx + 3j +jx 2j. C y = 2x 2 3x. D y = 2x 4 3x 2 +x. ýLờigiải. y =f(x) =jx + 1j +jx 1j có tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Mặt khác8x2D, ta cóx2D vàf(x) =jx + 1j +jx 1j =jx 1j +jx + 1j =f(x). Suy ray =jx + 1j +jx 1j là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu13. Trongcáchàmsốy =jx+2jjx2j,y =j2x+1j+ p 4x 2 4x + 1,y =x (jxj 2),y = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j có bao nhiêu hàm số lẻ? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải.  Hàm sốy =f(x) =jx + 2jjx 2j có tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Mặt khác8x2D, ta cóx2D vàf(x) =jx + 2jjx 2j =jx 2jjx + 2j =f(x). Suy ray =jx + 2jjx 2j là hàm số lẻ.  Hàm sốy =f(x) =j2x + 1j + p 4x 2 4x + 1 =j2x + 1j +j2x 1j có tập xác định làD =R là tập đối xứng. Mặt khác8x2D, ta cóx2D vàf(x) =j 2x + 1j +j 2x 1j =j2x 1j +j2x + 1j =f(x). Suy ra hàm sốy =j2x + 1j + p 4x 2 4x + 1 là hàm số chẵn.  Hàm sốy =f(x) =x (jxj 2) có tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Mặt khác8x2D, ta cóx2D vàf(x) =x (jxj 2) =x (jxj 2) =f(x). Suy ray =x (jxj 2) là hàm số lẻ.  Hàm sốy =f(x) = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j có tập xác định làD =Rnf0g là tập đối xứng. Mặtkhác8x2D,tacóx2D vàf(x) = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j = jx 2015j +jx + 2015j jx 2015jjx + 2015j =f(x). Suy ray = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j là hàm số lẻ. Vậy có tất cả là 3 hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu14. Cho hàm sốf(x) = 8 > < > : x 3 6 khix2 jxj khi 2 < > : (x) 3 6 khix2 jxj khi 2<x< 2 (x) 3 6 khi x 2 )f(x) = 8 > < > : x 3 6 khix2 jxj khi 2 < > : x 3 6 khix2 jxj khi 2 0 , ¨ x 0 x2 (1;2)[ (2; +1) )x2 (2; +1).  Trường hợp 2: ¨ x 3  0 jxj 2< 0 , ¨ x 0 x2 (2; 2) )x2 (2; 0]. Kết hợp cả hai trường hợp, ta suy rax2 (2; 0][ (2; +1). VậyD = (2; 0][ (2; +1). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu21. Hàm sốy = x + 1 x 2m + 1 xác định trên [0; 1) khi. A m< 1 2 . B m 1. C 2 4 m< 1 2 m 1 . D – m 2 m< 1 . ýLờigiải. Hàm số xác định khix6= 2m 1. Theo yêu cầu của bài toán, ta có – 2m 1< 0 2m 1 1 , 2 4 m< 1 2 m 1 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu22. Giá trị nhỏ nhất của hàm sốy =x 2 p x + 2 là. A 4. B 3. C 2. D1. ýLờigiải. Tập xác địnhD = [2; +1). Ta cóy =x 2 p x + 2 = (x + 2) 2 p x + 2 + 1 3 = p x + 2 1
2 33. Dấu bằng xảy ra khi p x + 2 = 1,x =1 (nhận). Vậy min x2D y =3, xảy ra khix =1. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 69 ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu23. Tìmm để hàm sốy = x p 2 + 1 x 2 + 2xm + 1 có tập xác định làR. A m 1. B m< 0. C m> 2. D m 3. ýLờigiải. Yêu cầu bài toán,x 2 + 2xm + 16= 0,8x2R. Nghĩa là (x + 1) 2 6=m,8x2R. Mà (x + 1) 2  0,8x2R nên ta suy ram< 0. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu24. Hàm số nào trong các hàm số sau không là hàm số chẵn. A y = x 2 + 1 j2xj +j2 +xj . B y =j1 + 2xj +j1 2xj. C y = 3 p 2 +x + 3 p 2x + 5. D y = 3 p 2x 3 p 2 +x. ýLờigiải. Tất cả các hàm số đều có tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Đối với hàmy =f(x) = 3 p 2x 3 p 2 +x. Lấy12D nên 12D. Khi đó f(1) = 3 p 3 1 vàf(1) = 1 3 p 3. Suy raf(1)6=f(1). Suy ray = 3 p 2x 3 p 2 +x không là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu25. Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số lẻ. A y =jx 1j +jx + 1j. B y = x 2 + 1 x . C y = 1 x 4 2x 2 + 3 . D y = 1 3x +x 3 . ýLờigiải. Hàm sốy =f(x) = x 2 + 1 x có tập xác địnhD =Rnf0g là tập đối xứng. Mặt khác8x2D, ta cóx2D vàf(x) = (x) 2 + 1 x = x 2 + 1 x =f(x). Suy ray = x 2 + 1 x là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu26. Hàm sốy = p x 2 x 20 + p 6x có tập xác định là. A (1;4)[ (5; 6]. B (1;4)[ (5; 6). C (1;4][ [5; 6]. D (1;4)[ [5; 6). ýLờigiải. Điều kiện xác định là ¨ x 2 x 20 0 6x 0 , ¨ (x + 4)(x 5) 0 x 6 , 8 > < > : – x 5 x4 x 6 )x2 (1;4][ [5; 6] ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu27. Hàm sốy = Ê x 3 jxj 2 có tập xác định là. A (2; 0][ (2; +1). B (1;2)[ (0; +1). C (1;2)[ (0; 2). D (1; 0)[ (2; +1). ýLờigiải. Điều kiện xác định là x 3 jxj 2  0. Khi đó ta có các trường hợp sau  Trường hợp 1: ¨ x 3  0 jxj 2> 0 , ¨ x 0 x2 (1;2)[ (2; +1) )x2 (2; +1).  Trường hợp 2: ¨ x 3  0 jxj 2< 0 , ¨ x 0 x2 (2; 2) )x2 (2; 0]. Kết hợp cả hai trường hợp, ta suy rax2 (2; 0][ (2; +1). VậyD = (2; 0][ (2; +1). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu28. Cho hàm sốf(x) =jx + 2j +jx 2j vàg(x) =x 3 + 5x. Khi đó. A f(x) vàg(x) đều là hàm số lẻ. B f(x) vàg(x) đều là hàm số chẵn. C f(x) lẻ,g(x) chẵn. D f(x) chẵn,g(x) lẻ. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 70 Tập xác định của hai hàm số làD =R là tập đối xứng. Khi đó 8x2D, ta cóx2D vàf(x) =jx + 2j +jx 2j =jx 2j +jx + 2j =f(x). Suy raf(x) hàm số chẵn. 8x2D, ta cóx2D vàg(x) = (x) 3 + 5(x) =x 3 5x =g(x). Suy rag(x) hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu29. Trong các hàm số sau, hàm số nào khôngphải hàm số chẵn. A y =jx 5j +jx + 5j. B y =x 4 x 2 + 12. C y =j1xj +jx + 1j. D y = x 2 1 +x. ýLờigiải. Các hàm số đã cho đều có tập xác địnhD =R là tập đối xứng. Xét hàm sốy =f(x) = x 2 1 +x. Ta lấy12D nên 12D, khi đó f(1) =1 vàf(1) = 1. Suy raf(1)6=f(1) nênf(x) không làm hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu30. Trong các hàm số sau, hàm số nào giảm trên khoảng (0; 1)? A y =x 2 . B y =x 3 . C y = 1 x . D y = p x. ýLờigiải. 8x 1 vàx 2 thuộc (0; 1),x 1 1 x 2 . Suy ra hàm sốy = 1 x giảm trên khoảng (0; 1). ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu31. Hàm sốy =x (1jxj) là hàm số. A Chẵn. B Lẻ. C Không chẵn, không lẻ. D Vừa chẵn, vừa lẻ. ýLờigiải. Hàm sốy =f(x) =x (1jxj)D =R là tập đối xứng. Khi đó 8x2D, ta cóx2D vàf(x) =x (1jxj) =x (1jxj) =f(x). Suy raf(x) là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu32. Cho hàm sốy =f (x) = 1x 1 +x . Hệ thức nào sai? A f(x) =f  1 x ‹ . B f [f (f(x))] =f(x). C f(x + 1) =f(x) + 1. D f  1 x + 1 ‹ = 1 2 x + 2 . ýLờigiải. Chox = 1. Theo đềf(1) = 0. Ì Xétf(x) =f  1 x ‹ . Ta cóf(1) = 0 =f(1). Ì Xétf [f (f(x))] =f(x). Ta cóf [f (f(1))] =f [f(0)] =f(1). Ì Xétf(x + 1) =f(x) + 1. Ta cóf(2) = 1 3 6=f(1) + 1. Ì Xétf  1 x + 1 ‹ = 1 2 x + 2 . Ta cóf  1 2 ‹ = 1 3 = 1 2 1 + 2 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu33. Tập xác định của hàm sốy = p x 2m p 4 2x là [1; 2] khi và chi khi A m = 1 2 . B m = 1. C m = 1 2 . D m> 1 2 . ýLờigiải. Điều kiện ¨ x 2m 0 4 2x 0 , ¨ x 2m x 2 . Do tập xác định của hàm số là [1; 2] nên 2m = 1,m = 1 2 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 71 Câu34. Tập xác định của hàm sốy = p xm p 6 2x là một đoạn trên trục số khi và chi khi A m = 3. B m< 3. C m> 3. D m< 1 3 . ýLờigiải. Điều kiện: ¨ xm 0 6 2x 0 , ¨ xm x 3 . Do tập xác định của hàm số là một đoạn trên trục số nênm< 3. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu35. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm sốy = 1 x 1 ? A M 1 (2; 1). B M 2 (1; 1). C M 3 (2; 0). D M 4 (0; 1). ýLờigiải. ThaylầnlượttọađộcácđiểmM 1 ;M 2 ;M 3 ;M 4 vào hàmsố tacó điểmM 1 (2; 1) thỏamãn nênđiểmM 1 thuộcđồthị hàm số. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu36. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm sốy = p x 2 4x + 4 x A A(1;1). B B(2; 0). C C  3; 1 3 ‹ . D D(1;3). ýLờigiải. Thay lần lượt tọa độ các điểmA;B;C;D vào hàm số ta có điểmA(1;1) không thỏa mãn nên điểmA không thuộc đồ thị hàm số. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu37. Cho hàm sôf(x) = 8 > < > : 2 x 1 x2 (1; 0) p x + 1 x2 [0; 2] x 2 1 x2 (2; 5] . Tínhf (4). A f(4) = 2 3 . B f(4) = 15. C f(4) = p 5. D f(4) = 0. ýLờigiải. Ta cóf(4) =x 2 1 = 4 2 1 = 15. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu38. Cho hàm sốf(x) = 8 < : 2 p x + 2 3 x 1 x 2 x 2 + 1 x< 2 . TínhP =f(2) +f(2). A P = 8 3 . B P = 4. C P = 6. D P = 5 3 . ýLờigiải. Ta cóP =f(2) +f(2) = 2 p 2 + 2 3 2 1 + (2) 2 + 1 = 6. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu39. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = 2x 1 (2x + 1)(x 3) . A D = (3; +1). B D =Rn § 1 2 ; 3 ª . C D =  1 2 ; +1 ‹ . D D =R. ýLờigiải. Điều kiện (2x + 1) (x 3)6= 0, ¨ 2x + 16= 0 x 36= 0 , 8 < : x6= 1 2 x6= 3 . Vậy tập xác định của hàm số làD =Rn § 1 2 ; 3 ª . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu40. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = x 2 + 1 x 2 + 3x 4 . A D =f1;4g. B D =Rnf1;4g. C D =Rnf1; 4g. D D =R. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 72 Điều kiệnx 2 + 3x 46= 0, ¨ x6= 1 x6=4 . Vậy tập xác định của hàm số làD =Rnf1;4g. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu41. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = x + 1 (x + 1) (x 2 + 3x + 4) . A D =Rnf1g. B D =f1g. C D =Rnf1g. D D =R. ýLờigiải. Điều kiện (x + 1) x 2 + 3x + 4
6= 0, ¨ x + 16= 0 x 2 + 3x + 46= 0 (Đúng) ,x6=1. Vậy tập xác định của hàm số làD =Rnf1g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu42. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = 2x + 1 x 3 3x + 2 A D =Rnf1g. B D =Rnf2; 1g. C D =Rnf2g. D D =R. ýLờigiải. Điều kiệnx 3 3x + 26= 0, ¨ x6= 1 x6=2 . Vậy tập xác định của hàm số làD =Rnf2; 1g. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu43. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p x + 2 p x + 3 A D = [3; +1). B D = [2; +1). C D =R. D D = [2; +1). ýLờigiải. Điều kiện ¨ x + 2 0 x + 3 0 , ¨ x2 x3 ,x2. Vậy tập xác định của hàm số làD = [2; +1). ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu44. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 6 3x p x 1 A D = (1; 2). B D = [1; 2]. C D = [1; 3]. D D = [1; 2]. ýLờigiải. Điều kiện ¨ 6 3x 0 x 1 0 , ¨ x 2 x 1 , 1x 2. Vậy tập xác định của hàm số làD = [1; 2]. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu45. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 3x 2 + 6x p 4 3x A D = • 2 3 ; 4 3 ‹ . B D = • 3 2 ; 4 3 ‹ . C D = • 2 3 ; 3 4 ‹ . D D =  1; 4 3 ‹ . ýLờigiải. Điều kiện ¨ 3x 2 0 4 3x> 0 , 8 > < > : x 2 3 x< 4 3 , 2 3 x< 4 3 . Vậy tập xác định của hàm số làD = • 2 3 ; 4 3 ‹ . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu46. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = x + 4 p x 2 16 A D = (1;2)[ (2; +1). B D =R. C D = (1;4)[ (4; +1). D D = (4; 4). ýLờigiải. Điều kiệnx 2 16> 0,x 2 > 16,jxj> 4, – x<4 x> 4 . Vậy tập xác định của hàm số làD = (1;4)[ (4; +1). ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 73 Câu47. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p x 2 2x + 1 + p x 3 A D = (1; 3]. B D = [1; 3]. C D = [3; +1). D D = (3; +1). ýLờigiải. Điều kiện ¨ x 2 2x + 1 0 x 3 0 , ¨ (x 1) 2  0 (luôn đúng) x 3 ,x 3. Vậy tập xác định của hàm số làD = [3; +1). ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu48. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p x + 1 x 2 x 6 A D =f3g. B D = [1; +1)nf3g. C D =R. D D = [1; +1). ýLờigiải. Điều kiện ¨ x + 1 0 x 2 x 66= 0 , 8 > < > : x1 x6= 3 x6=2 , ¨ x1 x6= 3 . Vậy tập xác định của hàm số làD = [1; +1)nf3g. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu49. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = x + 1 (x 3) p 2x 1 A D =R. B D =  1 2 ; +1 ‹ nf3g. C D =  1 2 ; +1 ‹ nf3g. D D = • 1 2 ; +1 ‹ nf3g. ýLờigiải. Điều kiện ¨ x 36= 0 2x 1> 0 , 8 < : x6= 3 x> 1 2 . Vậy tập xác định của hàm số làD =  1 2 ; +1 ‹ nf3g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu50. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = 3 p x 1 x 2 +x + 1 A D = (1; +1). B D =f1g. C D =R. D D = (1; +1). ýLờigiải. Điều kiệnx 2 +x + 16= 0 (luôn đúng). Vậy tập xác định của hàm số làD =R. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu51. Xét tính đồng biến,nghịch biến của hàm sốf(x) =x 2 4x + 5 trên khoảng (1; 2) và trên khoảng (2; +1). Khẳng định nào sau đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên (1; 2), đồng biến trên (2; +1). B Hàm số đồng biến trên (1; 2), nghịch biến trên (2; +1). C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1; 2) và (2; +1). D Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (2; +1). ýLờigiải. XétA = f (x 1 )f (x 2 ) x 1 x 2 = x 2 1 4x 1 + 5x 2 2 + 4x 2 5 x 1 x 2 = x 2 1 x 2 2
4 (x 1 x 2 ) x 1 x 2 =x 1 +x 2 4. Với ¨ x 1 < 2 x 2 < 2 )x 1 +x 2 < 4)A< 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2). Với ¨ x 1 > 2 x 2 > 2 )x 1 +x 2 > 4)A> 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (2; +1). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu52. Xét sự biến thiên của hàm sốf(x) = 3 x trên khoảng (0; +1). Khẳng định nào sau đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +1). B Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +1). C Hàm số vừa đồng biến và nghịch biến trên khoảng (0; +1). Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 74 D Hàm số không đồng biến cũng không nghịch biến trên khoảng (0; +1). ýLờigiải. Với 0 3 x 2 )f (x 1 )>f (x 2 ). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +1). ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu53. Xét sự biến thiên của hảm sốf(x) =x + 1 x trên khoáng (1; +1). Khắng định nào sau đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +1). B Hàm só nghịch biến trên khoáng (1; +1). C Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên khoảng (1; +1). D Hàm số không đồng biến cũng không nghịch biến trên khoảng (1; +1). ýLờigiải. XétA = f (x 1 )f (x 2 ) x 1 x 2 = x 1 + 1 x 1 x 2 1 x 2 x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) + x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 = x 1 x 2 1 x 1 x 2 . Với ¨ x 1 > 1 x 2 > 1 ) x 1 x 2 1 x 1 x 2 > 0)A> 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +1). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu54. Xéttínhđồngbiến,nghịchbiếncủahàmsốf(x) = x 3 x + 5 trênkhoảng (1;5)vàtrênkhoảng (5; +1): Khẳng định nào sau đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên (1;5), đồng biến trên (5; +1). B Hàm só đồng biến trên (1;5), nghịch biến trên (5; +1). C Hàm só nghịch biến trên các khoảng (1;5) và (5; +1). D Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;5) và (5; +1). ýLờigiải. A = f (x 1 )f (x 2 ) x 1 x 2 = x 1 3 x 1 + 5 x 2 3 x 2 + 5 x 1 x 2 = x 1 x 2 + 5x 1 3x 2 15x 1 x 2 5x 2 + 3x 1 + 15 (x 1 + 5) (x 2 + 5) x 1 x 2 = 8 (x 1 + 5) (x 2 + 5) Với ¨ x 1 <5 x 2 <5 ) ¨ x 1 + 5< 0 x 2 + 5< 0 ) 8 (x 1 + 5) (x 2 + 5) > 0)A> 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1;5). Với ¨ x 1 >5 x 2 >5 ) ¨ x 1 + 5> 0 x 2 + 5> 0 ) 8 (x 1 + 5) (x 2 + 5) > 0)A> 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (5; +1). ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu55. Cho hàm sốf(x) = p 2x 7. Khẳng định nào sau đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên  7 2 ; +1 ‹ . B Hàm số đồng biến trên  7 2 ; +1 ‹ . C Hàm số đồng biến trênR. D Hàm số nghịch biến trênR. ýLờigiải. Điều kiện 2x 7 0,x 7 2 . Với 7 2 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +1). Hàm sốy =x có hệ sốa = 1> 0 nên hàm số đồng biến trênR do đó hàm số cũng đồng biến trên khoảng (0; +1). ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu65. Tập hợp nào sau đây là tập xác định của hàm sốy = p j2x 3j. A • 3 2 ; +1 ‹ . B  3 2 ; +1 ‹ . C  1; 3 2 ˜ . D R. ýLờigiải. Doj2x 3j 08x2R nên hàm số luôn xác định với mọix2R. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu66. Trong các hàm số sau đâyy =jxj,y =x 2 + 4x,y =x 4 + 2x 2 có bao nhiêu hàm số chẵn? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. Ì Xét hàm sốy =jxj. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) =jxj =jxj =f(x) nên hàm số chẵn. Ì Xét hàm sốy =x 2 + 4x. Ta cóf(1) =3,f(1) = 5 suy raf(1)6=f(1) nên hàm số không chẵn. Ì Xét hàm sốy =x 4 + 2x 2 . Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) =(x) 4 + 2(x) 2 =x 4 + 2x 2 =f(x) nên hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu67. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? A y = x 2 . B y = x 2 + 1. C y = x 1 2 . D y = x 2 + 2. ýLờigiải. Ì Xét hàm sốy = x 2 . Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) = x 2 =  x 2  =f(x) nên hàm số lẻ. Ì Xét hàm sốy = x 2 + 1. Tập xác địnhD =R. Ta cóf(2) = 2,f(2) = 0 suy raf(2)6=f(2) nên hàm số không lẻ. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 77 Ì Xét hàm sốy = x 1 2 . Tập xác địnhD =R. Ta cóf(1) = 1,f(1) = 0 suy raf(1)6=f(1) nên hàm số không lẻ. Ì Xét hàm sốy = x 2 + 2. Tập xác địnhD =R. f(2) = 3,f(2) = 1 suy raf(2)6=f(2) nên hàm số không lẻ. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu68. Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm sốf(x) =jx + 2jjx 2j,g(x) =jxj A f(x) là hàm số chẵn,g(x) là hàm số chẵn. B f(x) là hàm số lẻ,g(x) là hàm số chẵn. C f(x) là hàm số lẻ,g(x) là hàm số lẻ. D f(x) là hàm số chẵn,g(x) là hàm số lẻ. ýLờigiải. Ì Xét hàm sốf(x) =jx + 2jjx 2j. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) =jx + 2jjx 2j =jx 2jjx + 2j = (jx + 2jjx 2j) =f(x) nênf(x) là hàm số lẻ. Ì Xét hàm sốg(x) =jxj. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóg(x) =jxj =jxj =g(x) nêng(x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu69. Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số:y = 2x 3 + 3x + 1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A y là hàm số chẵn. B y là hàm số lẻ. C y là hàm số không có tính chẵn lẻ. D y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ýLờigiải. Ta cóf(1) =4 vàf(1) = 6 suy raf(1)6=f(1) vàf(1)6=f(1) nên hàm số không có tính chẵn lẻ. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu70. Cho hàm sốy = 3x 4 4x 2 + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A y là hàm số chẵn. B y là hàm số lẻ. C y là hàm số không có tính chẵn lẻ. D y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ýLờigiải. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) = 3(x) 4 4(x) 2 + 3 = 3x 4 4x 2 + 3 =f(x) nên hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu71. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lẻ? A y =x 3 + 1 . B y =x 3 x. C y =x 3 +x . D y = 1 x . ýLờigiải. Ì Xét hàm sốy =x 3 + 1, ta cóf(1) = 0 vàf(1) = 2 suy raf(1)6=f(1) nên hàm số không lẻ. Ì Xét hàm sốy =x 3 x. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) = (x) 3 (x) =x 3 +x = x 3 x
=f(x) nên hàm số lẻ. Ì Xét hàm sốy =x 3 +x. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) = (x) 3 + (x) =x 3 x = x 3 +x
=f(x) nên hàm số lẻ. Ì Xét hàm sốy = 1 x . Tập xác địnhD =nf0g. 8x2D thìx2D ta cóf(x) = 1 x = 1 x =f(x) nên hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 78 Câu72. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn? A y =jx + 1j +j1xj. B y =jx + 1jj1xj. C y =jx 2 + 1j +j1x 2 j. D y =jx 2 + 1jj1x 2 j. ýLờigiải. Ì Xét hàm sốy =jx + 1j +j1xj. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) =jx + 1j +j1 (x)j =jx + 1j +j1 +xj =jx + 1j +j1xj =f(x) nênf(x) là hàm số chẵn. Ì Xét hàm sốy =jx + 1jj1xj. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D tacóf(x) =jx+1jj1(x)j =jx+1jj1+xj = (jx + 1jj1xj) =f(x) nênf(x) là hàm số lẻ. Ì Xét hàm sốy =jx 2 + 1j +j1x 2 j. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) =j(x) 2 + 1j +j1 (x) 2 j =jx 2 + 1j +j1x 2 j =f(x) nênf(x) là hàm số chẵn. Ì Xét hàm sốy =jx 2 + 1jj1x 2 j. Tập xác địnhD =R. 8x2D thìx2D ta cóf(x) =j(x) 2 + 1jj1 (x) 2 j =jx 2 + 1jj1x 2 j =f(x) nênf(x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu73. Cho hàm sốy =f(x) =j2x 3j. Tìmx đểf(x) = 3 A x = 3. B x = 3 hoặcx = 0. C x =3. D x =1. ýLờigiải. Ta cóf(x) = 3)j2x 3j = 3)x = 3 hoặcx = 0. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu74. Cho hàm sốy =f(x) = p x 3 9x. Kết quả nào sau đây đúng? A f(0) = 2,f(3) =4 . B f(2) không xác định,f(3) =5. C f(1) = p 8,f(2) không xác định. D Tất cả các câu trên đều đúng. ýLờigiải. Tập xác địnhD = [3; 0][ [3; +1). Ta cóf(0) = 0,f(3) = 0,f(1) = p 8 vàf(2) không xác định. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu75. Tập xác định của hàm sốf(x) = x + 5 x 1 + x 1 x + 5 là A D =R . B D =Rnf1g. C D =Rnf5g. D D =Rnf5; 1g. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 16= 0 x + 56= 0 ) ¨ x6= 1 x6=5: ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu76. Tập xác định của hàm sốf(x) = p x 3 + 1 p 1x là A D = (1; 3]. B D = (1; 1)[ [3; +1). C D = (1; 1)[ (3; +1). D D =?. ýLờigiải. Điều kiện xác định § x 3 0 1x> 0 ) § x 3 x< 1 )x2?. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu77. Tập xác định của hàm sốy = 3x + 4 (x 2) p x + 4 là A D =Rnf2g. B D = (4; +1)nf2g. C D = [4; +1)nf2g . D D =?. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 79 Điều kiện xác định § x 26= 0 x + 4 0 ) § x6= 2 x4: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu78. Tập xác định của hàm sốf(x) = p x 3 + 1 x 3 là A D =Rnf3g. B D = [3; +1). C D = (3; +1) . D D = (1; 3) . ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 3 0 x 36= 0 ) ¨ x 3 x6= 3 )x> 3: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu79. Tập xác định của hàm sốf(x) = p x 5 + 1 p 13x là A D = [5; 13]. B D = (5; 13). C D = (5; 13]. D D = [5; 13). ýLờigiải. Điều kiện xác định § x 5 0 13x> 0 ) § x 5 x< 13 ) 5x< 13. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu80. Tập xác định của hàm sốy = p x + 1 + 1 jxj 2 là A D = (1; +1)nf2g. B D = [1; +1)nf2g. C D = [1; +1)nf2g. D D = (1; +1)nf2g. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x + 1 0 jxj 26= 0 , ¨ x1 x6= 2 vàx6=2 , ¨ x1 x6= 2 . Vậy tập xác định của hàm số đã cho làD = [1; +1)nf2g. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu81. Cho hàm sốy =f(x) = 3x 4 4x 2 + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A y =f(x) là hàm số chẵn. B y =f(x) là hàm số lẻ. C y =f(x) là hàm số không có tính chẵn lẻ. D y =f(x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ýLờigiải. Tập xác địnhD =R. Khi đó8x2D thì ta cóx2D và f(x) = 3(x) 4 4(x) 2 + 3 = 3x 4 4x 2 + 3 =f(x): Vậyf(x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu82. Cho hai hàm sốf(x) =x 3 3x vàg(x) =x 3 +x 2 . Khi đó A f(x) vàg(x) đều là hàm số lẻ. B f(x) vàg(x) đều là hàm số chẵn. C f(x) chẵn,g(x) lẻ. D f(x) lẻ,g(x) không chẵn không lẻ. ýLờigiải.  Xét hàm sốf(x) =x 3 3x. + Tập xác địnhD =R. +8x2D thìx2D vàf(x) = (x 3 ) 3(x) =x 3 + 3x =(x 3 3x) =f(x). Suy raf(x) là hàm số lẻ.  Xét hàm sốg(x) =x 3 +x 2 . + Tập xác địnhD =R. + Ta cóg(1) = 0 vàg(1) = 2 nên suy ra ¨ g(1)6=g(1) g(1)6=g(1) . Suy rag(x) là hàm số không chẵn không lẻ. Vậyf(x) là hàm số lẻ vàg(x) là hàm số không chẵn không lẻ. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu83. Cho hai hàm sốf(x) = 1 x vàg(x) =x 4 +x 2 1. Khi đó A f(x) vàg(x) đều là hàm số lẻ. B f(x) vàg(x) đều là hàm số chẵn. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 80 C f(x) lẻ,g(x) chẵn. D f(x) chẵn,g(x) lẻ. ýLờigiải.  Xét hàm sốf(x) = 1 x . + Tập xác địnhD =Rnf0g. +8x2D thìx2D vàf(x) = 1 x = 1 x =f(x). Suy raf(x) là hàm số lẻ.  Xét hàm sốg(x) =x 4 +x 2 1. + Tập xác địnhD =R. +8x2D thìx2D vàg(x) =(x) 4 + (x) 2 1 =x 4 +x 2 1 =f(x). Suy rag(x) là hàm số chẵn. Vậyf(x) là hàm số lẻ vàg(x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu84. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải hàm số chẵn? A y =jx + 1j +j1xj. B y =jx + 1jj1xj. C y =jx 2 + 1j +jx 2 1j. D y = jx + 1j +j1xj x 2 + 4 . ýLờigiải.  Xét hàm sốy =f(x) =jx + 1j +j1xj. + Tập xác địnhD =R. +8x2D thìx2D vàf(x) =jx + 1j +j1 (x)j =j1xj +j1 +xj =f(x). Suy ray =jx + 1j +j1xj là hàm số chẵn.  Xét hàm sốy =g(x) =jx + 1jj1xj. + Tập xác địnhD =R. + Ta cóg(1) = 2 vàg(1) =2 nên suy rag(1)6=g(1). Suy ray =jx + 1jj1xj không là hàm số chẵn.  Xét hàm sốy =h(x) =jx 2 + 1j +jx 2 1j. + Tập xác địnhD =R. +8x2D thìx2D vàh(x) = (x) 2 + 1 + (x) 2 1 = x 2 + 1 + x 2 1 =h(x). Suy ray =jx 2 + 1j +jx 2 1j là hàm số chẵn.  Xét hàm sốy =k(x) = jx + 1j +j1xj x 2 + 4 . + Vìx 2 + 4> 0 8x2R nên ta cóD =R. +8x2D thìx2D vàk(x) = jx + 1j +j1 (x)j (x) 2 + 4 = jx + 1j +j1 +xj x 2 + 4 =k(x). Suy ray = jx + 1j +j1xj x 2 + 4 là hàm số chẵn. Vậy hàm số không là hàm số chẵn lày =jx + 1jj1xj. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu85. Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng (1; 0)? A y =x. B y = 1 x . C y =jxj. D y =x 2 . ýLờigiải.  Xét hàm sốy =f(x) =x. Đây là hàm số bậc nhất cóa = 1> 0 nên có đồ thị là đường thẳng hướng lên. Suy ra hàm số tăng trênR nên cũng tăng trên khoảng (1; 0).  Xét hàm sốy =g(x) = 1 x . Vớix 1 = 1 2 vàx 2 = 1 3 thuộc khoảng (1; 0) ta có +x 1 g(x 2 ) =g  1 3 ‹ =3. Suy rag(x) không tăng trên khoảng (1; 0). h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 81  Xét hàm sốy =h(x) =jxj. Vớix 1 = 1 2 vàx 2 = 1 3 thuộc khoảng (1; 0) ta có +x 1 h(x 2 ) =h  1 3 ‹ = 1 3 . Suy rah(x) không tăng trên khoảng (1; 0).  Xét hàm sốy =k(x) =x 2 . Đây là hàm số bậc hai cóa = 1> 0 nên đồ thị là một parabol có bề lõm hướng lên. Mặt khác đồ thị hàm số nhận gốc tọa độO làm đỉnh nên nghịch biến trên (1; 0) và đồng biến trến (0; +1). Suy ra hàm số không tăng trên khoảng (1; 0). Vậy hàm số tăng trên khoảng (1; 0) là hàm sốy =x. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu86. Câu nào sau đây đúng? A Hàm sốy =a 2 x +b đồng biến khia> 0 và nghịch biến khia< 0. B Hàm sốy =a 2 x +b đồng biến khib> 0 và nghịch biến khib< 0. C Với mọi giá trị thực củab, hàm sốy =a 2 x +b nghịch biến khia6= 0. D Hàm sốy =a 2 x +b đồng biến khia> 0 và nghịch biến khib< 0. ýLờigiải.  Xét hàm sốy =a 2 x +b. + Hàm số đồng biến khi và chỉ khia 2 > 0,a6= 0. + Hàm số nghịch biến khi và chỉ khia 2 < 0,a2?.  Xét hàm sốy =a 2 x +b. + Hàm số đồng biến khi và chỉ khia 2 > 0,a 2 < 0,a2?. + Hàm số nghịch biến khi và chỉ khia 2 < 0,a 2 > 0,a6= 0. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu87. Xét sự biến thiên của hàm sốy = 1 x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hàm số đồng biến trên (1; 0), nghịch biến trên (0; +1). B Hàm số đồng biến trên (0; +1), nghịch biến trên (1; 0). C Hàm số đồng biến trên (1; 1), nghịch biến trên (1; +1). D Hàm số nghịch biến trên (1; 0)[ (0; +1). ýLờigiải. Xét hàm sốy =f(x) = 1 x 2 . Tập xác địnhD =Rnf0g  Với mọix 1 ;x 2 2 (1; 0) vàx 1 x 2 2 > 0) 1 x 2 1 < 1 x 2 2 )f(x 1 ) 1 x 2 2 )f(x 1 )>f(x 2 ). Suy raf(x) nghịch biến trên (0; +1). Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 0) và nghịch biến trên (0; +1). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu88. Cho hàm sốf(x) = 4 x + 1 . Khi đó A f(x) tăng trên khoảng (1;1) và giảm trên khoảng (1; +1). B f(x) tăng trên hai khoảng (1;1) và (1; +1). C f(x) giảm trên khoảng (1;1) và tăng trên khoảng (1; +1). D f(x) giảm trên hai khoảng (1;1) và (1; +1). ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 82 Tập xác địnhD =Rnf1g. Vớix 1 6=x 2 ta có K = f(x 2 )f(x 1 ) x 2 x 1 = 4 x 2 + 1 4 x 1 + 1 x 2 x 1 = 4(x 1 x 2 ) (x 1 + 1)(x 2 + 1) x 2 x 1 = 4 (x 1 + 1)(x 2 + 1) : 8x 1 ;x 2 2 (1;1) vàx 1 0)K = 4 (x 1 + 1)(x 2 + 1) < 0. Suy raf(x) giảm trên (1;1). 8x 1 ;x 2 2 (1; +1) vàx 1 1 vàx 2 >1. Khi đóx 1 + 1> 0,x 2 + 1> 0) (x 1 + 1)(x 2 + 1)> 0)K = 4 (x 1 + 1)(x 2 + 1) < 0. Suy raf(x) giảm trên (1; +1). Vậy hàm số đã cho giảm trên hai khoảng (1;1) và (1; +1) ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu89. Xét sự biến thiên của hàm sốy = x x 1 . Chọn khẳng định đúng. A Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. B Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. C Hàm số đồng biến trên (1; 1), nghịch biến trên (1; +1). D Hàm số đồng biến trên (1; 1). ýLờigiải. Xét hàm sốy =f(x) = x x 1 . Tập xác địnhD =Rnf1g. Vớix 1 6=x 2 ta có K = f(x 2 )f(x 1 ) x 2 x 1 = x 2 x 2 1 x 1 x 1 1 x 2 x 1 = x 1 x 2 (x 1 1)(x 2 1) x 2 x 1 = 1 (x 1 1)(x 2 1) : 8x 1 ;x 2 2 (1; 1) vàx 1 0)K = 1 (x 1 1)(x 2 1) < 0. Suy raf(x) nghịch biến trên (1; 1). 8x 1 ;x 2 2 (1; +1) vàx 1 1 vàx 2 > 1. Khi đóx 1 1> 0,x 2 1> 0) (x 1 1)(x 2 1)> 0)K = 1 (x 1 1)(x 2 1) < 0. Suy raf(x) nghịch biến trên (1; +1). Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu90. Cho hàm sốy = p 16x 2 x + 2 . Kết quả nào sau đây đúng? A f(0) = 2; f(1) = p 15 3 . B f(0) = 2; f(3) = 11 24 . C f(2) = 1; f(2) không xác định. D f(0) = 2; f(1) = p 14 3 . ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ 16x 2  0 x + 26= 0 , ¨ 4x 4 x6=2: Suy ra tập xác địnhD = [4; 4]nf2g. Khi đó ta có f(0) = p 16 0 2 0 + 2 = 2.  f(1) = p 16 1 2 1 + 2 = p 15 3 .  f(3) = p 16 (3) 2 3 + 2 = p 7.  f(2) = p 16 2 2 2 + 2 = p 3 2 .  f(2) không xác định vì2 = 2D.  h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 83 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu91. Cho hàm sốf(x) = 8 > < > : x x + 1 ;x 0 1 x 1 ;x< 0 . Giá trị củaf(0),f(2),f(2) là A f(0) = 0; f(2) = 2 3 ; f(2) = 2. B f(0) = 0; f(2) = 2 3 ; f(2) = 1 3 . C f(0) = 0; f(2) = 1; f(2) = 1 3 . D f(0) = 0; f(2) = 1; f(2) = 2. ýLờigiải. Ta có 8 > > > > > < > > > > > : f(0) = 0 0 + 1 = 0 f(2) = 2 2 + 1 = 2 3 f(2) = 1 2 1 = 1 3 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu92. Cho hàm sốf(x) = p x 1 + 1 x 3 . Tập nào sau đây là tập xác định của hàm sốf(x)? A (1; +1). B [1; +1]. C [1; 3)[ (3; +1). D [1; +1)nf3g. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 1 0 x 36= 0 , ¨ x 1 x6= 3 . Vậy tập xác định của hàm số đã cho làD = [1; +1)nf3g. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu93. Hàm sốy = p x 2 x 20 + p 6x có tập xác định là A (1; 4)[ (5; 6]. B (1;4)[ (5; 6). C (1;4][ [5; 6]. D (1;4)[ [5; 6). ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 2 x 20 0 6x 0 , ¨ (x 5)(x + 4) 0 x 6 , 8 > < > : – x 5 x4 x 6 , ¨ x4 5x 6: Vậy tập xác định của hàm số đã cho làD = (1;4][ [5; 6]. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 84 x2 HÀMSỐBẬCNHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 HÀM SỐ BẬC NHẤTY =AX +B (A6= 0) Ì Tập xác định:D =R. Ì Sự biến thiên:  Nếua> 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trênR.  Nếua< 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trênR. Ì Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằnga, cắt trục hoành tại điểmA  b a ; 0 ‹ và cắt trục tung tại điểmB(0;b). x y O A B y =ax +b (a> 0) x y O A B y =ax +b (a< 0) Ì Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Chod: y =ax +b (a6= 0) vàd 0 : y =a 0 x +b 0 (a 0 6= 0).  dkd 0 , ¨ a =a 0 b6=b 0 :  dd 0 , ¨ a =a 0 b =b 0 :  d cắtd 0 ,a6=a 0 .  d?d 0 ,a
a 0 =1.  d cắtd 0 tại một điểm trên trục tung, ¨ a6=a 0 b =b 0 : 2 HÀM SỐ HẰNGY =B Đồ thị hàm sốy =b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0;b). Đường thẳng này gọi là đường thẳngy =b. x y b O y =b h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 85 3 HÀM SỐY =jAX +Bj (A6= 0) y =jax +bj = 8 > < > : ax +b nếux b a (ax +b) nếux< b a : Để vẽ đồ thị hàm sốy =jax +bj (a6= 0) ta có thể vẽ hai đường thẳngy = ax +b vày =axb rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng1.Xéttínhđồngbiến,nghịchbiến Muốn xét tính đơn điệu của hàm số bậc nhất, ta cần đưa hàm số về đúng dạngy = a x +b. Ì Nếua> 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trênR. Ì Nếua< 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trênR. #Vídụ1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: y = 2x + 1. 1 y =x + 1. 2 y = 1x 2 . 3 y = x 2 . 4 ýLờigiải. 1 Hàm sốy = 2x + 1 có hệ sốa = 2> 0 nên hàm số đồng biến (tăng) trênR. 2 Hàm sốy =x + 1 có hệ sốa =1< 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trênR. 3 Hàm sốy = 1x 2 = 1 2 x + 1 2 có hệ sốa = 1 2 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trênR. 4 Hàm sốy = x 2 = 1 2 x có hệ sốa = 1 2 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trênR. #Vídụ2. Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để hàm số y = (m 1)x + 1 đồng biến trênR. 1 y =mx +m + 1 nghịch biến trênR. 2 y =(m 2 + 1)x +m + 1 nghịch biến trênR. 3 y = 1 m 1 x + 2 đồng biến trênR. 4 ýLờigiải. 1 Hàm sốy = (m 1)x + 1 đồng biến trênR,m 1> 0,m> 1. Vậym> 1. 2 Hàm sốy =mx +m + 1 nghịch biến trênR,m< 0,m> 0. Vậym> 0. 3 Hàm sốy =(m 2 + 1)x +m + 1 nghịch biến trênR,(m 2 + 1)< 0,m 2 + 1> 0 (luôn đúng với mọi m2R). Vậym2R. 4 Hàm sốy = 1 m 1 x + 2 đồng biến trênR, 1 m 1 > 0,m 1> 0,m> 1. Vậym> 1. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 86 d Dạng2.Đồthịhàmsốy =ax +b Đưa hàm số về đúng dạngy = a x +b, (a6= 0). Đồ thị hàm số là một đường thẳng. Ì Nếua> 0 thì đồ thị “đi lên từ trái sang phải”. Ì Nếua< 0 thì đồ thị “đi xuống từ trái sang phải”. Ì Xác định giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ rồi nối hai điểm đó lại ta được đường thẳng là đồ thị của hàm số. #Vídụ1. Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị của các hàm số sau: y = 2x + 1. 1 y =x + 1. 2 y = 1x 2 . 3 y = x 4 + 2. 4 ýLờigiải. 1 y = 2x + 1. Tập xác địnhD =R. Hàm sốy = 2x + 1 có hệ sốa = 2> 0 nên hàm số đồng biến (tăng) trênR. Đồ thị hàm sốy = 2x + 1 là một đường thẳng đi qua hai điểmA  1 2 ; 0 ‹ và B(0; 1). x y O 1 2 1 y = 2x + 1 2 y =x + 1. Tập xác địnhD =R. Hàm sốy =x + 1 có hệ sốa =1< 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trênR. Đồ thị hàm số y =x + 1 là một đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0) vàB(0; 1). x y O 1 1 y =x + 1 3 y = 1x 2 = 1 2 x + 1 2 . Tập xác địnhD =R. Hàm sốy = 1x 2 có hệ sốa = 1 2 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trênR. Đồ thị hàm sốy = 1x 2 là một đường thẳng đi qua hai điểmA(1; 0) và B  0; 1 2 ‹ . x y O 1 1 2 y = 1x 2 4 y = x 4 + 2. Tập xác địnhD =R. Hàm sốy = x 4 + 2 có hệ sốa = 1 4 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trênR. Đồ thị hàm sốy = x 4 + 2 là một đường thẳng đi qua hai điểmA(8; 0) vàB(0; 2). h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 87 x y O 8 2 y = x 4 + 2 d Dạng3.Đồthịhàmsốy =jax +bj Ì y =jax +bj = 8 > < > : ax +b khix b a (ax +b) khix< b a : Ì Để vẽ đồ thị hàm sốy =jax +bj, (a6= 0) ta có thể vẽ hai đường thẳngy =ax +b vày =axb rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành. #Vídụ1. Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị các hàm số sau. 1 y =jx 1j 2 y =jx + 1j + 1 3 y =jx + 1j +jxj 4 y =x +jx + 1j ýLờigiải. 1 Ta có y =jx 1j = ¨ x 1 khix 1 x + 1 khix< 1: Hàm số đồng biến trên (1; +1) và nghịch biến trên (1; 1). x y O 1 1 2 Ta có y =jx + 1j + 1 = ¨ x + 2 khix 1 x khix> 1: Hàm số nghịch biến trên (1; +1) và đồng biến trên (1; 1). x y O 1 1 2 3 Ta có Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 88 y =jx + 1j +jxj = 8 > < > : 2x + 1 khix 0 1 khi 1 1 2 . B m< 1 2 . C m< 1 2 . D m> 1 2 . ýLờigiải. Hàm số đồng biến trênR, 2m + 1> 0,m> 1 2 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu2. Tìmm để hàm sốy =m(x + 2)x(2m + 1) nghịch biến trênR. A m>1. B m< 1 2 . C m<1. D m> 1 2 . ýLờigiải. Ta cóy =(m + 1)x + 2m. Hàm số nghịch biến trênR,(m + 1)< 0,m>1. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu3. Tìmm để hàm sốy =(m 2 + 1)x +m 4 nghịch biến trênR. A m> 1. B Với mọim. C m<1. D m>1. ýLờigiải. Hàm số nghịch biến trênR,(m 2 + 1)< 0,m 2 + 1> 0 (luôn đúng8m2R). ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [2017; 2017] để hàm sốy = (m 2)x + 2m đồng biến trênR. A 2014. B 2016. C Vô số. D 2015. ýLờigiải. Hàm số đồng biến trênR,m 2> 0,m> 2. Vìm nguyên và thuộc đoạn [2017; 2017] nênm2f3; 4;::: ; 2017g. Vậy có 2015 số nguyênm thỏa mãn bài. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [2017; 2017] để hàm sốy = (m 2 4)x + 2m đồng biến trênR. A 4030. B 4034. C Vô số. D 2015. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 89 Hàm số đồng biến trênR,m 2 4> 0, – m> 2 m<2: Vìm nguyên và thuộc đoạn [2017; 2017] nênm2f2017;2016;::: ;4;3; 3; 4;::: ; 2017g. Vậy có 4030 số nguyênm thỏa mãn bài. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu6. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳngy = p 2x. A y = 1 p 2x. B y = 1 p 2 x 3. C y + p 2x = 2. D y p 2x = 5. ýLờigiải. Ta cóy p 2x = 5,y = p 2x + 5. Suy ra đường thẳng song song với đường thẳngy = p 2x lày = p 2x + 5. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để hàm sốy = (m 2 3)x + 2m 3 song song với đường thẳng y =x + 1. A m = 2. B m =2. C m =2. D m = 1. ýLờigiải. Điều kiện để hai đường thẳng song song là ¨ m 2 3 = 1 2m 36= 1 , ¨ m =2 m6= 2 ,m =2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để hàm sốy = 3x + 1 song song với đường thẳngy = (m 2 1)x + m 1. A m =2. B m = 2. C m =2. D m = 0. ýLờigiải. Điều kiện để hai đường thẳng song song là ¨ m 2 1 = 3 m 16= 1 , ¨ m =2 m6= 2 ,m =2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu9. Biết rằng đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua điểmM(1; 4) và song song với đường thẳngy = 2x + 1. Tính tổng S =a +b. A S = 4. B S = 2. C S = 0. D S =4. ýLờigiải. Ta có 8 > < > : a +b = 4 a = 2 b6= 1 , ¨ a = 2 b = 2: Vậy tổngS =a +b = 4. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu10. Biết rằng đồ thị hàm sốy = ax +b đi qua điểmE(2;1) và song song với đường thẳngON vớiO là gốc tọa độ vàN(1; 3). Tính giá trị biểu thứcS =a 2 +b 2 . A S =4. B S =40. C S =58. D S = 58. ýLờigiải. Vì đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua điểmE(2;1) nên 2a +b =1. (1) Gọi đường thẳngON có dạngy =mx +n. Suy ra ¨ n = 0 m +n = 3 , ¨ m = 3 n = 0 )ON : y = 3x. Theo giả thiết suy ra ¨ a = 3 b6= 0 . Kết hợp với (1) suy rab =7. VậyS = 3 2 + (7) 2 = 58. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để đường thẳngd: y = (3m + 2)x 7m 1 vuông góc với đường thẳng
: y = 2x 1. A m = 0. B m = 5 6 . C m< 5 6 . D m> 1 2 . ýLờigiải. d?
, (3m + 2)
2 =1,m = 5 6 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 90 Câu12. Biết rằng đồ thị hàm sốy = ax +b đi qua điểmN(4;1) và vuông góc với đường thẳng 4xy + 1 = 0. Tính tíchP =ab. A P = 0. B P = 1 4 . C P = 1 4 . D P = 1 2 . ýLờigiải. Đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua điểmN(4;1) nên1 = 4a +b. Đồ thị hàm sốy =ax +b vuông góc với 4xy + 1 = 0, tức vuông góc vớiy = 4x + 1, 4a =1. Ta có hệ ¨ 4a +b =1 4a =1 , 8 < : a = 1 4 b = 0 )ab = 0. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu13. Tìma vàb để đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua các điểmA(2; 1) vàB(1;2). A a =2 vàb =1. B a = 2 vàb = 1. C a = 1 vàb = 1. D a =1 vàb =1. ýLờigiải. Ta có hệ ¨ 2a +b = 1 a +b =2 , ¨ a =1 b =1 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu14. Biết rằng đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua hai điểmM(1; 3) vàN(1; 2). Tính tổngS =a +b. A S = 1 2 . B S = 3. C S = 2. D S = 5 2 . ýLờigiải. Ta có hệ ¨ a +b = 3 a +b = 2 , 8 > < > : a = 1 2 b = 5 2 )S = 1 2 + 5 2 = 2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu15. Biết rằng đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua điểmA(3; 1) và có hệ số góc bằng2. Tính tíchP =ab. A P =10. B P = 10. C P =7. D P =5. ýLờigiải. Đường thẳngy =ax +b có hệ số góc bằng2 nêna =2. Đồ thị hàm số đi quaA(3; 1) nên 1 =2
(3) +b,b =5)ab = (2)
(5) = 10. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu16. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngy = 1 3x 4 vày =  x 3 + 1  là A (0;1). B (2;3). C  0; 1 4 ‹ . D (3;2). ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng là 1 3x 4 =  x 3 + 1  ,x = 3. Suy ray = 1 3
3 4 =2. Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (3;2). ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu17. Tìm tất cả các giá trị thực củam để đường thẳngy =m 2 x + 2 cắt đường thẳngy = 4x + 3 A m =2. B m6=2. C m6= 2. D m6=2. ýLờigiải. Đường thẳngy =m 2 x + 2 cắt đường thẳngy = 4x + 3,m 2 6= 4,m6=2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu18. Cho hàm sốy = 2x +m + 1. Tìm giá trị thực củam để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. A m = 7. B m = 3. C m =7. D m =7. ýLờigiải. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là giao điểm của trục hoành và đồ thị hàm số là (3; 0). Suy ra 0 = 2
3 +m + 1,m =7. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu19. Cho hàm sốy = 2x +m + 1. Tìm giá trị thực củam để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. A m =3. B m = 3. C m = 0. D m =1. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 91 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng2 tức là giao điểm của trục tung và đồ thị hàm số là (0;2). Suy ra2 = 2
0 +m + 1,m =3. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu20. Tìmgiátrịthựccủamđểhaiđườngthẳngd: y =mx 3và
: y +x =mcắtnhautạimộtđiểmnằmtrên trục tung. A m =3. B m = 3. C m =3. D m = 0. ýLờigiải. Gọi (0;y 0 ) là giao điểm củad và
. Ta có ¨ y 0 =m
0 3 y 0 + 0 =m , ¨ y 0 =3 y 0 =m ,m =3. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu21. Tìmgiátrịthựccủamđểhaiđườngthẳngd: y =mx 3và
: y +x =mcắtnhautạimộtđiểmnằmtrên trục hoành. A m = p 3. B m = p 3. C m = p 3. D m = 3. ýLờigiải. Gọi (x 0 ; 0) là giao điểm củad và
. Ta có ¨ 0 =m
x 0 3 0 +x 0 =m ,m 2 3 = 0,m = p 3. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu22. Chohàmsốbậcnhấty =ax+b.Tìmavàb,biếtrằngđồthịhàmsốđiquađiểmM(1; 1)vàcắttrụchoành tại điểm có hoành độ là 5. A a = 1 6 ,b = 5 6 . B a = 1 6 ,b = 5 6 . C a = 1 6 ,b = 5 6 . D a = 1 6 ,b = 5 6 . ýLờigiải. Gọid: y =ax +b. Ta cóM(1; 1)2d vàd\Ox = (5; 0) nên ¨ a +b = 1 5a +b = 0 , 8 > < > : a = 1 6 b = 5 6 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu23. Cho hàm số bậc nhấty =ax +b. Tìma vàb, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng
1 : y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng2 và cắt đường thẳng
2 : y =3x + 4 tại điểm có tung độ bằng2. A a = 3 4 ;b = 1 2 . B a = 3 4 ;b = 1 2 . C a = 3 4 ;b = 1 2 . D a = 3 4 ;b = 1 2 . ýLờigiải. Gọid: y =ax +b và giao điểm củad với
1 và
2 lần lượt làA vàB. Ta cóA(2;y A ) vớiy A = 2
(2) + 5 = 1 vàB(x B ;2) vớix B = y B 4 3 = 2 4 3 = 2. CóA(2; 1)2d vàB(2;2)2d nên ¨ 2a +b = 1 2a +b =2 , 8 > < > : a = 3 4 b = 1 2 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu24. Tìm giá trị thực của tham sốm để ba đường thẳngy = 2x,y =x 3 vày =mx + 5 phân biệt và đồng qui. A m =7. B m = 5. C m =5. D m = 7. ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm củay = 2x vày =x 3 là 2x =x 3,x =1)y =2. Ba đường thẳngy = 2x,y =x 3 vày =mx + 5 đồng qui, (1;2)2d 3 vớid 3 : y =mx + 5 ,m + 5 =2,m = 7. Kiểm tra vớim = 7 thì ba đường thẳng trên phân biệt. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu25. Tìm giá trị thực của tham sốm để ba đường thẳngy =5(x + 1),y =mx + 3 vày = 3x +m phân biệt và đồng qui. A m6= 3. B m = 13. C m =13. D m = 3. ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm củay =5(x + 1) vày = 3x +m là5(x + 1) = 3x +m, x = m 5 8 ) y =5  m 5 8 + 1 ‹ = 5 8 (m + 3). Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 92 Bađườngthẳngy = 2x,y =x3vày =mx+5đồngqui,  1 8 (m 5); 5 8 (m + 3) ‹ 2d 3 vớid 3 : y =mx+3 1 8 (m 5)m + 3 = 5 8 (m + 3) , 1 8 m 2 + 5 8 m + 3 = 5 8 m 15 8 , 1 8 m 2 + 39 8 = 0 , 1 8 m 2 10 8 m + 39 8 = 0 , – m = 3 m =13 : Kiểm tra vớim = 3 thì hai đường thẳngy =mx + 3 vày = 3x +m trùng nhau nên loạim = 3. Kiểm tra vớim =13 thì ba đường thẳng trên phân biệt nên nhậnm =13. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu26. Cho hàm sốy = x 1 có đồ thị là đường
. Đường thẳng
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tíchS bằng bao nhiêu? A S = 1 2 . B S = 1. C S = 2. D S = 3 2 . ýLờigiải. Có
\Ox =A(x 0 ; 0) vớix 0 =y 0 + 1 = 1. Suy raA(1; 0).
\Oy =A(0;y 0 ) vớiy 0 =x 0 1 =1. Suy raB(0;1). Diện tích tam giác tạo thànhS = 1 2
j1j
j 1j = 1 2 . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu27. Tìm phương trình đường thẳngd: y =ax +b. Biết đường thẳngd đi qua điểmI(2; 3) và tạo với hai tiaOx, Oy một tam giác vuông cân. A y =x + 5. B y =x + 5. C y =x 5. D y =x 5. ýLờigiải. Đường thẳngd đi qua điểmI(2; 3) nên 3 = 2a +b. d cắt trụcOx tại điểm  b a ; 0 ‹ và cắt trụcOy tại điểm (0;b). d tạo với hai tiaOx,Oy một tam giác vuông cân nêna > 0,b > 0 và b a = b. Suy rab = 0 (loại dob > 0) hoặc a =1. Ta có hệ ¨ 2a +b = 3 a =1 , ¨ a =1 b = 5 . Suy ray =x + 5. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu28. Tìm phương trình đường thẳngd: y =ax +b. Biết đường thẳngd đi qua điểmI(1; 2) và tạo với hai tiaOx, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. A y =2x 4. B y =2x + 4. C y = 2x 4. D y = 2x + 4. ýLờigiải. d cắt trụcOx tại điểm  b a ; 0 ‹ và cắt trụcOy tại điểm (0;b). Cób> 0 và b a > 0 nêna< 0. Đường thẳngd: y =ax +b tạo với hai tiaOx,Oy một tam giác có diện tích bằng 4 nên 1 2
b a
b = 4. Ta có hệ 8 < : a +b = 2 a = b 2 8 , 8 > > < > > : b 2 8 +b = 2 a = b 2 8 , ¨ b = 4 a =2 (thỏab> 0 vàa< 0). Vậyy =2x + 4. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu29. Đường thẳngd: x a + y b = 1, (a6= 0;b6= 0) đi qua điểmM(1; 6) tạo với các tiaOx,Oy một tam giác có diện tích bằng 4. TìmS =a + 2b. A S = 38 3 . B S = 5 + 7 p 7 3 . C S = 10. D S = 6. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 93 Tacóđườngthẳngd: x a + y b = 1tạovớihaitiaOxvàOy mộttamgiáccódiệntíchbằng4nên 1 2
ab = 4,ab = 8. Ta có hệ 8 < : ab = 8 1 a + 6 b = 1 , 8 > < > : a = 8 b 8 b + 6 b = 1 , 8 < : b 2 + 48 = 8b a = 8 b , ¨ b = 4 a = 2 (nhận)_ 8 < : b =12 a = 2 3 (loại). Vậya + 2b = 2 + 2
4 = 10. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu30. Tìm phương trình đường thẳngd: y =ax +b. Biết đường thẳngd đi qua điểmI(1; 3), cắt hai tiaOx,Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng p 5. A y = 2x + 5. B y =2x 5. C y = 2x 5. D y =2x + 5. ýLờigiải. d cắt trụcOx tại điểm  b a ; 0 ‹ và cắt trụcOy tại điểm (0;b). DodcắthaitiaOx,Oy vàcáchgốctọađộmộtkhoảngbằng p 5nên 1 5 = 1 b 2 + 1 b 2 a 2 , 1 5 = 1 b 2 + a 2 b 2 , 5(a 2 +1) =b 2 . Cób> 0 và b a > 0 nêna< 0 d đi qua điểmI(1; 3) nên ta có hệ ¨ a +b = 3 5(a 2 + 1) =b 2 , ¨ a = 3b 5((3b) 2 + 1) =b 2 , ¨ a = 3b 50 30b + 4b 2 = 0 , 8 > < > : a = 5 2 b = 1 2 (loại doa< 0) hoặc ¨ a =2 b = 5 (nhận). Suy ray =2x + 5 ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu31. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A y =x + 1. B y =x + 2. C y = 2x + 1. D y =x + 1. x y O 1 1 ýLờigiải. Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 điểm (0; 1) và (1; 0) nên ta có hệ ¨ a +b = 0 b = 1 , ¨ a =1 b = 1 . Do đó y =x + 1. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu32. Hàm sốy = 2x 1 có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau? A x y O 1 1 . B x y O 1 1 . C x y O 1 1 . D x y O 1 1 . ýLờigiải. Ta có (0;1) và  1 2 ; 0 ‹ là 2 điểm thuộc đồ thị hàm sốy = 2x 1. Ta thấy chỉ có đồ thị sau là phù hợp. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 94 x y O 1 1 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu33. Cho hàm sốy =ax +b có đồ thị là hình bên. Tìma vàb. A a =2 vàb = 3. B a = 3 2 vàb = 2. C a =3 vàb = 3. D a = 3 2 vàb = 3. x y O 3 2 ýLờigiải. Đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua 2 điểm (0; 3) và (2; 0) nên ta có hệ ¨ b = 3 2a +b = 0 , 8 < : a = 3 2 b = 3 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu34. Đồthịhìnhbênlàđồthịcủamộthàmsốtrongbốnhàmsốđượcliệtkêởbốnphương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A y =jxj. B y =x. C y =jxj vớix< 0. D y =x vớix< 0. x y O 1 1 ýLờigiải. Vớix 0, đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua 2 điểm (0; 0) và (1; 1) nên ta có hệ ¨ b = 0 a +b = 1 , ¨ a =1 b = 0 . Suy ra y =x. Vậy phương ány =jxj vớix< 0 phù hợp. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu35. Đồthịhìnhbênlàđồthịcủamộthàmsốtrongbốnhàmsốđượcliệtkêởbốnphương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? x y O 1 1 1 A y =jxj. B y =jxj + 1. C y = 1jxj. D y =jxj 1. ýLờigiải. Vớix 0, đồ thị hàm sốy = ax +b đi qua 2 điểm (0; 1) và (1; 0) nên ta có hệ ¨ a +b = 0 b = 1 , ¨ a =1 b = 1 . Suy ra y =x + 1. Vớix< 0, đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua 2 điểm (1; 0) và (0; 1) nên ta có hệ ¨ a +b = 0 b = 1 , ¨ a =1 b = 1 . Suy ra h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 95 y =x + 1. Vậy đồ thị hàm số trênR lày =jxj + 1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu36. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? x y O 1 1 1 3 A y =jxj + 1. B y = 2jxj + 1. C y =j2x + 1j. D y =jx + 1j. ýLờigiải. Với x 0, đồ thị hàm số y = ax +b đi qua 2 điểm (0; 1) và (1; 3) nên ta có hệ ¨ b = 1 a +b = 3 , ¨ a = 2 b = 1 . Suy ra y = 2x + 1. Vớix< 0,đồthịhàmsốy =ax+bđiqua2điểm (0; 1)vàđốixứngvớiđồthịhàmsốy = 2x+1.Suyray =2x+1. Vậy đồ thị hàm số trênR lày = 2jxj + 1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu37. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A y =j2x + 3j. B y =j2x + 3j 1. C y =jx 2j. D y =j3x + 2j 1. x y O 2 1 3 2 2 ýLờigiải. Vớix 3 2 ,đồthịhàmsốy =ax +bđiqua2điểm  3 2 ;1 ‹ và (0; 2)nêntacóhệ 8 < : 3 2 a +b =1 b = 2 , ¨ a = 2 b = 2 . Suy ray = 2x + 2 = (2x + 3) 1. Với x < 3 2 , đồ thị hàm số y = ax +b đi qua 2 điểm  3 2 ;1 ‹ và (2; 0) nên ta có hệ 8 < : 3 2 a +b =1 2a +b = 0 , ¨ a =2 b =4 . Suy ray =2x 4 =(2x + 3) 1. Vậy đồ thị hàm số trênR lày =j2x + 3j 1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu38. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 96 Đồthịhìnhbênlàđồthịcủamộthàmsốtrongbốnhàmsốđượcliệtkêởbốnphương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A f(x) = ¨ 2x 3 khix 1 x 2 khix< 1 . B f(x) = ¨ 2x 3 khix< 1 x 2 khix 1 . C f(x) = ¨ 3x 4 khix 1 x khix< 1 . D y =jx 2j. x y O 1 2 3 1 ýLờigiải. Vớix 1, đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua 2 điểm (1;1) và (2; 0) nên ta có hệ ¨ a +b =1 2a +b = 0 , ¨ a = 1 b =2 . Suy ra y =x 2. Vớix< 1, đồ thị hàm sốy =ax +b đi qua 2 điểm (1;1) và (0;3) nên ta có hệ ¨ a +b =1 b =3 , ¨ a = 2 b =3 . Suy ray = 2x 3. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu39. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? x f(x) 1 1 2 2 +1 +1 0 +1 A y = 2x 1. B y =j2x 1j. C y = 1 2x. D y =j2x 1j. ýLờigiải. Phương ány = 2x 1 có 2> 0 nên luôn đồng biến trênR (loạiy = 2x 1). Phương ány = 1 2x có2< 0 nên luôn nghịch biến trênR (loạiy = 1 2x). Phương ány =j2x 1j có giá trị trênR luôn âm (loạiy =j2x 1j). Vậy chỉ còn phương ány =j2x 1j là phù hợp với bảng biến thiên đã cho. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu40. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? x f(x) 1 4 3 2 +1 +1 0 +1 A y =j4x + 3j. B y =j4x 3j. C y =j 3x + 4j. D y =j3x + 4j. ýLờigiải. Nhận thấy hàm số cắt trụcOx tại điểm có hoành độ là 4 3 nên chỉ có phương ány =j 3x + 4j là phù hợp. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 97 x3 HÀMSỐBẬCHAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số bậc hai là hàm số có dạngy =ax 2 +bx +c trong đóa,b,c là các hằng số vàa6= 0. Đồ thị của hàm sốy =ax 2 +bx +c được gọi là một Parabol. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI Hàm sốy =ax 2 +bx +c a> 0 a< 0 x y 1 b 2a +1 +1 +1
4a
4a +1 +1 Ì Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; b 2a ‹ . Ì Hàm số đồng biến trên khoảng  b 2a ; +1 ‹ . x fy 1 b 2a +1 1 1
4a
4a +1 +1 Ì Hàm số đồng biến trên khoảng  1; b 2a ‹ . Ì Hàm số nghịch biến trên khoảng  b 2a ; +1 ‹ . x y O b 2a
4a x y O b 2a
4a Ì Tọa độ đỉnhI  b 2a ;
4a ‹ . Ì Trục đối xứng là đường thẳngx = b 2a . Đặc biệt Ì Khia> 0 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất lày min =
4a tạix = b 2a . Ì Khia< 0 hàm số đạt giá trị lớn nhất lày max =
4a tạix = b 2a . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 98 CÁCBƯỚCVẼPARABOL: (P ) :y =ax 2 +bx +c (a6= 0) B1. Xác định tọa độ đỉnhI  b 2a ;
4a ‹ . B2. Xác định trục đối xứng
:x = b 2a và hướng bề lõm của parabol. B3. Lập bảng giá trị, xác định các điểm thuộc (P ). B4. Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại. #Vídụ1. Cho hàm sốy =x 2 +bx + 2 có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) có đỉnh nằm trên đường thẳngx =2. ýLờigiải. Vì đỉnh của parabol nằm trên đường thẳng x =2 nên b 2a =2, b 2
(1) =2, b =4. Khi đó ta có (P ) :y =x 2 4x + 2. Ì Bảng biến thiên x y 1 2 +1 1 1 6 6 +1 +1 Ì Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) làI (2; 6). Trục đối xứng
:x =2, bề lõm hướng xuống dưới. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): x -3 -2 -1 y 5 6 5 Đồ thị hàm số x y O 3 2 1 5 6 #Vídụ2. Cho hàm sốy =2x 2 +bx +c có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) đi qua điểmA(1;2) và hoành độ của đỉnh là 2. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 99 Vì hoành độ đỉnh của parabol là 2 nên b 2a = 2, b 2
(2) = 2,b = 8. Khi đó (P ) :y =2x 2 + 8x +c. Mặt khác (P ) đi qua điểmA(1;2) nên2 =2
(1) 2 + 8
1 +c,c =8. Vậy (P ) :y =2x 2 + 8x 8. Ì Bảng biến thiên x y 1 2 +1 1 1 0 0 +1 +1 Ì Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) làI (2; 0). Trục đối xứng
:x = 2, bề lõm hướng xuống dưới. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): x 1 2 3 y -2 0 -2 Đồ thị hàm số x y O 1 3 2 2 #Vídụ3. Cho hàm sốy =x 2 +bx +c có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) có đỉnhI(1;2). ýLờigiải. Vì (P ) có đỉnh làI(1;2) nên 8 < : b 2a =1 (1) A2 (P ): (2) (1), b 2
1 =1,b = 2. (2),2 = (1) 2 + 2(1) +c,c =1. Vậy (P ) :y =x 2 + 2x 1. Ì Bảng biến thiên x f(x) 1 1 +1 +1 +1 2 2 +1 +1 Ì Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) làI (1;2). Trục đối xứng
:x =1, bề lõm hướng lên trên. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 100 x -2 -1 0 y -1 -2 -1 Đồ thị hàm số x y O 2 1 1 2 ! THIẾUBTTLBỔSUNGSAU B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu1. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 2x + p x + 2 x . A D = [2; 2]. B D = (2; 2)nf0g. C D = [2; 2]nf0g. D D =R. ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 2x 0 x + 2 0 x6= 0 , 8 > < > : x 2 x2 x6= 0 ,x2 [2; 2]nf0g: VậyD = [2; 2]nf0g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu2. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 6x + 2x + 1 1 + p x 1 . A D = (1; +1). B D = [1; 6]. C D =R. D D = (1; 6). ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : 6x 0 x 1 0 1 + p x 16= 0 , 8 > < > : x 6 x 1 p x 16=1 (luôn đúng8x 1) ,x2 [1; 6]: VậyD = [1; 6]. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu3. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p x + 2 x p x 2 4x + 4 . A D = [2; +1)nf0; 2g. B D =R. C D = [2; +1). D D = (2; +1)nf0; 2g. ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > < > : x + 2 0 x6= 0 x 2 4x + 4> 0 , 8 > < > : x2 x6= 0 x6= 2 ,x2 [2; +1)nf0; 2g: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 101 VậyD = [2; +1)nf0; 2g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu4. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = x x p x 6 . A D = [0; +1). B D = [0; +1)nf9g. C D =f9g. D D =R. ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x 0 x p x 66= 0 , 8 > < > : x 0 p x6=2 (luôn đúng) p x6= 3 , ¨ x 0 x6= 9: VậyD = [0; +1)nf9g. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu5. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p x 1 + p 4x (x 2)(x 3) . A D = [1; 4]. B D = (1; 4)nf2; 3g. C D = [1; 4]nf2; 3g. D D = (1; 1][ [4; +1). ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 8 > > > < > > > : x 1 0 4x 0 x 26= 0 x 36= 0 , 8 > > > < > > > : x 1 x 4 x6= 2 x6= 3 ,x2 [1; 4]nf2; 3g: VậyD = [1; 4]nf2; 3g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu6. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = 2018 3 p x 2 3x + 2 3 p x 2 7 . A D =Rnf3g. B D =R. C D = (1; 1)[ (2; +1). D D =Rnf0g. ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 3 p x 2 3x + 2 3 p x 2 76= 0,x 2 3x + 26=x 2 7,x6= 3: VậyD =Rnf3g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu7. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = jxj jx 2j +jx 2 + 2xj . A D =R. B D =Rnf0;2g. C D = (2; 0). D D = (2; +1). ýLờigiải. Xétjx 2j + x 2 + 2x = 0, ¨ x 2 = 0 x 2 + 2x = 0 , 8 > < > : x = 2 – x = 0 x =2 ,x2?. Do đó hàm số đã cho xác định khi và chỉ khijx 2j + x 2 + 2x 6= 0, suy rax2R. VậyD =R. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu8. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = 2x 1 p xjx 4j . A D =Rnf0; 4g. B D = (0; +1). C D = [0; +1)nf4g. D D = (0; +1)nf4g. ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ x> 0 jx 4j> 0 , ¨ x> 0 x6= 4 ,x2 (0; +1)nf4g: VậyD = (0; +1)nf4g. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 102 Câu9. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy = p 5 3jxj x 2 + 4x + 3 . A D = • 5 3 ; 5 3 ˜ nf1g. B D =R. C D =  5 3 ; 5 3 ‹ nf1g. D D = • 5 3 ; 5 3 ˜ . ýLờigiải. Hàm số xác định khi và chỉ khi ¨ 5 3jxj 0 x 2 + 4x + 36= 0 , 8 > > < > > : jxj 5 3 x6=1 x6=3 , 8 > > < > > : 5 3 x 5 3 x6=1 x6=3 ,x2 • 5 3 ; 5 3 ˜ nf1g: VậyD = • 5 3 ; 5 3 ˜ nf1g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [3; 3] để hàm sốf(x) = (m + 1)x +m 2 đồng biến trênR. A 7. B 5. C 4. D 3. ýLờigiải. Để hàm sốf(x) = (m + 1)x +m 2 đồng biến trênR thìm + 1> 0,m>1. Do ¨ m2Z m2 [3; 3] )m2f0; 1; 2; 3g. Vậy có 4 giá trị củam thỏa yêu cầu bài toán. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu11. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ? A y =x 2018 2017. B y = p 2x + 3. C y = p 3 +x p 3x. D y =jx + 3j +jx 3j. ýLờigiải. Từ 4 đáp án trên, ta thấy hàm sốy = p 3 +x p 3x có Ì Tập xác địnhD = [3; 3] là tập đối xứng, vì8x2D)x2D. Ì Mày(x) = p 3x p 3 +x =y(x). Vậy hàm sốy = p 3 +x p 3x là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu12. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A y =jx + 1j +jx 1j. B y =jx + 3j +jx 2j. C y = 2x 3 3x. D y = 2x 4 3x 2 +x. ýLờigiải. Từ 4 đáp án trên, ta thấy hàm sốy =jx + 1j +jx 1j có Ì Tập xác địnhD =R là tập đối xứng, vì8x2D)x2D. Ì Mày(x) =jx + 1j +jx 1j =jx 1j +jx + 1j =y(x)8x2D. Vậy hàm sốy =jx + 1j +jx 1j là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu13. Trong các hàm số y = jx + 2j jx 2j, y = j2x + 1j + p 4x 2 4x + 1, y =x (jxj 2),y = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j có bao nhiêu hàm số lẻ? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Ì Với hàm sốy =jx + 2jjx 2j ta có  Tập xác địnhD =R là tập đối xứng, vì8x2D)x2D8x2D.  Mày(x) =jx + 2jjx 2j =jx 2jjx + 2j =y(x)8x2D. Vậy hàm sốy =jx + 2jjx 2j là hàm số lẻ. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 103 Ì Với hàm sốy =j2x + 1j + p 4x 2 4x + 1 =j2x + 1j +j2x 1j ta có  Tập xác địnhD =R là tập đối xứng, vì8x2D)x2D.  Mày(x) =j 2x + 1j +j 2x 1j =j2x 1j +j2x + 1j =y(x)8x2D8x2D. Vậy hàm sốy =j2x + 1j + p 4x 2 4x + 1 là hàm số chẵn. Ì Với hàm sốy =x (jxj 2) ta có  Tập xác địnhD =R là tập đối xứng, vì8x2D)x2D.  Mày(x) =x (jxj 2) =x (jxj 2) =y(x)8x2D8x2D. Vậy hàm sốy =x (jxj 2) là hàm số lẻ. Ì Với hàm sốy = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j ta có  Tập xác địnhD =Rnf0g là tập đối xứng, vì8x2D)x2D.  Mày(x) = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j = jx 2015j +jx + 2015j jx 2015jjx + 2015j =y(x)8x2D8x2D. Vậy hàm sốy = jx + 2015j +jx 2015j jx + 2015jjx 2015j là hàm số lẻ. Vậy có tất cả là 3 hàm số lẻ trong các hàm số đã cho. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu14. Cho hàm sốf(x) = 8 > < > : x 3 6 ;x2 jxj ;2 < > : (x) 3 6 ;x2 jxj ;2<x< 2 (x) 3 6 ;x 2 = 8 > < > : x 3 6 ;x 2 jxj ;2 0 ¨ x 3  0 jxj 2< 0 , 2 6 6 6 4 ¨ x 0 jxj> 2 ¨ x 0 jxj< 2 , 2 6 6 6 4 ¨ x 0 x<2_x> 2 ¨ x 0 2 2 2 2. D m 3. ýLờigiải. Hàm số có tập xác định làR khix 2 + 2xm + 16= 0 với mọix2R. Hay phương trìnhx 2 + 2xm + 1 = 0 vô nghiệm,
= 4 4(1m)< 0,m< 0. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu24. Hàm số nào trong các hàm số sau không là hàm số chẵn ? A y = x 2 + 1 j2xj +j2 +xj . B y =j1 + 2xj +j1 2xj. C y = 3 p 2 +x + 3 p 2x + 5. D y = 3 p 2x 3 p 2 +x. ýLờigiải. Xét hàm sốy =f(x) = 3 p 2x 3 p 2 +x ta có Ì Tập xác địnhD =R. Ì 8x2D)x2D. Ì f(x) = 3 p 2 +x 3 p 2x = 3 p 2x 3 p 2 +x
=f(x). Ì Vậyf(x) là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu25. Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số lẻ A y =jx 1j +jx + 1j. B y = x 2 + 1 x . C y = 1 x 4 2x 2 + 3 . D y = 1 3x +x 3 . ýLờigiải. Xét hàm sốy =f(x) = x 2 + 1 x ta có Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 106 Ì Tập xác địnhD =Rnf0g. Ì 8x2D)x2D. Ì f(x) = (x) 2 + 1 (x) = x 2 + 1 x =f(x);8x2D. Ì Vậyf(x) là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu26(0D2B1-2). Hàm sốy = p x 2 x 20 + p 6x có tập xác định là A (1;4)[ (5; 6]. B (1;4)[ (5; 6). C (1;4)[ [5; 6]. D (1;4)[ [5; 6). ýLờigiải. Hàm số xác định khi ¨ x 2 x 20 0 6x 0 , ¨ (x 5)(x + 4) 0 x 6 Xét (x 5)(x + 4) 0. Ì Trường hợp 1: ¨ x 5 0 x + 4 0 , ¨ x 5 x4 ,x 5. Ì Trường hợp 2: ¨ x 5 0 x + 4 0 , ¨ x 5 x4 ,x4. Kết hợp điều kiệnx 6 ta có tập xác định của hàm số làD = (1;4)[ [5; 6]. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu27. Hàm sốy = Ê x 3 jxj 2 có tập xác định là A (2; 0][ (2; +1). B (1;2)[ (0; +1) . C (1;2)[ (0; 2). D (1; 0)[ (2; +1). ýLờigiải. Hàm số xác định khi x 3 jxj 2  0 Ì Trường hợp 1: ¨ x 3  0 jxj 2> 0 , 8 > < > : x 0 – x> 2 x<2 ,x> 2. Ì Trường hợp 2: ¨ x 3  0 jxj 2< 0 , ¨ x 0 2 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 0). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu47. Hàm số nào sau đây đồng biến trong khoảng (1; +1)? A y = p 2x 2 + 1. B y = p 2x 2 + 1. C y = p 2(x + 1) 2 . D y = p 2(x + 1) 2 . ýLờigiải. Ta chọn đáp án C vì hàm số y = p 2(x + 1) 2 = p 2x 2 + 2 p 2x + p 2 có hoành độ đỉnh là x = b 2a ,x = 2 p 2 2 p 2 ,x =1 vàa = p 2> 0. Nên hàm số nghịch biến trên (1;1) và hàm số đồng biến trên (1; +1). ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu48. Cho hàm sốy =x 2 2x + 3. Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A y tăng trên (0; +1). B y giảm trên (1; 1). C Đồ thịy có đỉnhI(1; 0). D y tăng trên (1; +1). ýLờigiải. Hàm sốy =x 2 2x + 3 (a = 1,b =2,c = 3) có Đỉnh làI  b 2a ;
4a ‹ )I(1;2). Doa = 1> 0 nên hàm số giảm trên (1; 1) và tăng trên (1; +1). ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu49. Tìm tập xác định của hàm sốy =x 2 2x + 1 là A D =R. B D =Rnf1g. C D = (1; 1). D D = (1; +1). ýLờigiải. Đây là hàm số bậc hai nên tập xác đỉnh của hàm số làD =R ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu50. Cho (P ): y =x 2 2x + 3. Tìm mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến trên (1; 1). B Hàm số nghịch biến trên (1; 1). C Hàm số đồng biến trên (1; 2). D Hàm số nghịch biến (1; 2). ýLờigiải. Hàm sốy =x 2 2x + 3 (a = 1,b =2,c = 3) có Hoành độ đỉnh làx = b 2a ,x = 1 vàa = 1> 0. Nên hàm số nghịch biến trên (1; 1) và đồng biến trên (1; +1). ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu51. Cho hàm sốy = 2x 2 x + 3, điểm nào thuộc đồ thị hàm số A M(2; 1). B M(1; 1). C M(2; 3). D M(0; 3). ýLờigiải. Ta chọn đáp án D vì khi thay hoành độ và tung độ vào công thức hàm số ta có 3 = 2(0) 2 0 + 3 = 3 thỏa. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu52. Paraboly =x 2 4x + 4 có đỉnh là A I(1; 1). B I(2; 0). C I(1; 1). D I(1; 2). ýLờigiải. Ta có đỉnh của paraboly =x 2 4x + 4 làI(2; 0). ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 111 Câu53. Cho (P ): y =x 2 4x + 3. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Hàm số đồng biến trên (1; 4). B Hàm số nghịch biến trên (1; 4). C Hàm số đồng biến trên (1; 2). D Hàm số nghịch biến (1; 2). ýLờigiải. Hàm sốy =x 2 4x + 3 (a = 1,b =4,c = 3) có Hoành độ đỉnh làx = b 2a = 4 2 ,x = 2 vàa = 1> 0. Nên hàm số nghịch biến trên (1; 2) và đồng biến trên (2; +1). ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu54. Paraboly =x 2 3x + 2 có đỉnhI và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệtM,N. Tính diện tíchS của tam giácIMN? A S = 1. B S = 1 5 . C S = 1 8 . D S = 1 4 . ýLờigiải. Hàm sốy =x 2 3x + 2 (a = 1,b =3,c = 2) có Đỉnh làI  b 2a ;
4a ‹ )I  3 2 ; 1 4 ‹ . Phương trình hoành độ giáo điểm của (P ) và trục hoành làx 2 3x + 2 = 0, – x = 1 x = 2: Vậy tọa độ hai điểm làM(1; 0) vàN(2; 0)) #  MN = (1; 0))MN = p 1 2 + 0 2 = 1 . GọiK là trung điểm củaM vàN, ta cóK  3 2 ; 0 ‹ . Ta có #  IK =  0; 1 4 ‹ )IK = 1 4 và #  IK
#  i = 0)IK?Ox. Do đó diện tích tam giácIMN làS = 1 2
IK
MN = 1 8 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu55. Parabol (P ): y =ax 2 +bx +c đạt cực tiểu bằng 4 tạix = 2 và đồ thị đi qua điểmA(0; 6). Tính giá trị biểu thứcP = 2ab +c. A P = 0. B P =3. C P = 5. D P = 9. ýLờigiải. Đồ thị hàm số quaA(0; 6) nênc = 6. Hàm số đạt cực tiểu do đóa> 0, giá trị cực tiểu bằng 4 nên ta có
4a = 4)b 2 4ac =16a)b 2 = 8a (1) và đạt tạix = 2) b 2a = 2)b =4a (2). Từ (1) và (2) ta có ¨ b 2 = 8a b =4a ) ¨ 16a 2 = 8a b =4a ) 8 < : a = 1 2 (doa> 0) b =2: VậyP = 2
1 2 (2) + 6 = 9. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu56. Tính khoảng cáchd ngắn nhất từ đỉnhI của paraboly = 3x 2 6mx + 4m 2 2m + 4 đến trụcOx. A d = 1. B d = 2. C d = 3. D d = 4. ýLờigiải. Đỉnh của đồ thị hàm sốy = 3x 2 6mx + 4m 2 2m + 4 làI m;m 2 2m + 4
. Khoảng cách từI đếnOx là d (I;Ox) =jy I j =jm 2 2m + 4j =j(m 1) 2 = 3jj(m 1) 2 + 3jj3j = 3: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu57. Tính khoảng cáchd ngắn nhất từ đỉnhI của paraboly =x 2 4mx + 3m 2 4m 2 đến trụcOx. A d = 1. B d = 2. C d = 3. D d = 4. ýLờigiải. Đỉnh của đồ thị hàm sốy =x 2 4mx + 3m 2 4m 2 làI 2m;m 2 4m 2
. Khoảng cách từI đếnOx là d (I;Ox) =jy I j =jm 2 4m 2j =m 2 + 4m + 2j(m 1) 2 + 3jj3j = 3: ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 112 Câu58. Hàm sốy =x 2 4mx 2x + 13m + p 5 luôn đồng biến trên khoảng nào sau đây? A (m 2 + 4m + 4; +1). B (m 2 3m + 1; +1). C (m 2 m + 2; +1). D (m 2 +m + 2; +1). ýLờigiải. Hàm sốy =x 2 4mx 2x + 13m + p 5 (a = 1,b =4m 2,c = 13m + p 5) có Hoành độ đỉnh làx = b 2a = 4m 2 2 ,x = 2m + 1 vàa = 1> 0. Nên hàm số nghịch biến trên (1; 2m + 1) và đồng biến trên (2m + 1; +1). ChọnA vì ta thấy vớim bất kì thì (m + 1) 2  0, (m + 1) 2 + 2 2> 0,m 2 + 2m + 3> 0,m 2 + 4m + 4> 2m + 1. Do đó (m 2 + 4m + 4; +1) (2m + 1; +1) nên hàm số luôn đồng biến trên (m 2 + 4m + 4; +1). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu59. Tìmm để hàm sốy =x 2 4mx + 4m 9 nghịch biến trên khoảng (2; +1). A m 2. B m1. C m> 1. D m< 1. ýLờigiải. Hàm sốy =x 2 4mx + 4m 9 (a =1,b =4m,c = 4m 9) có Hoành độ đỉnh làx = b 2a = 4m 2 ,x =2m vàa =1< 0. Nên hàm số đồng biến trên (1;2m) và nghịch biến trên (2m; +1). Điều kiện để hàm số nghịch biến trên (2; +1) là (2; +1) (2m; +1) nghĩa là2m 2,m1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu60. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y =x 2 + 8x + 5m 24 có giá trị lớn nhất trên đoạn [1; 6] bằng 1 A m = 1;5. B m = 2;5. C m = 1;4. D m = 5. ýLờigiải. Ta có hàm sốy =x 2 + 8x + 5m 24 (a =1,b = 8,c = 5m 24) có Hoành độ đỉnh làx = b 2a = 8 2 ,x = 4 vàa =1< 0. Ta cóx = 42 [1; 6] nên hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 6] đạt tạix = 4. Do giá trị lớn nhất là1 nên1 =(4) 2 + 8
4 + 5m 24,m = 1;4. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu61. Cho hàm sốy =x 2 + 5x 4. Hàm số có bảng biến thiên nào sau đây? A x y 1 5 2 +1 1 1 9 4 9 4 1 1 . B x y 1 5 2 +1 +1 +1 9 4 9 4 +1 +1 . C x y 1 5 2 +1 +1 +1 9 4 9 4 +1 +1 . D x y 1 5 2 +1 1 1 9 4 9 4 1 1 . ýLờigiải. Hàm sốy =x 2 + 5x 4 (a =1,b = 5,c =4) có Hoành độ đỉnh làx = b 2a = 5 2 ,x = 5 2 )y = 9 4 vàa =1< 0. Nên hàm số đồng biến trên  1; 5 2 ‹ và nghịch biến trên  5 2 ; +1 ‹ . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu62. GọiS là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham sốm để giá trị nhỏ nhất của hàm sốy = f(x) = 4x 2 4mx +m 2 2m trên đoạn [2; 0] bằng 3. Tính tổngT các phần tử củaS. A T = 3 2 . B T = 1 2 . C T = 9 2 . D T = 3 2 . ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 113 Ta có hàm sốy = 4x 2 4mx +m 2 2m (a = 4,b =4m,c =m 2 2m) có Hoành độ đỉnh làx = b 2a = 4m 8 ,x = m 2 vàa = 4> 0. Ta có các trường hợp sau Ì Nếu m 2 <2,m<4 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tạix =2. Khiđó,tacó 3 = 4(2) 2 4
m
(2) +m 2 2m, 16 + 8m +m 2 2m = 3,m 2 + 6m + 13 = 0 (phương trình vô nghiệm). Do đó loại trường hợp này. Ì Nếux = m 2 2 [2; 0],2 m 2  0,4m 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tạix = m 2 . Khi đó, ta có 3 = 4  m 2  2 4
m
m 2 +m 2 2m,2m = 3,m = 3 2 (nhận). Ì Nếu m 2 > 0,m> 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tạix = 0. Khi đó, ta có 3 = 4(0) 2 4
m
0 +m 2 2m,m 2 2m = 3,m 2 2m 3 = 0, – m =1 (loại) m = 3 (nhận). VậyT = 3 2 + 3 = 3 2 . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu63. Cho hàm sốf(x) =ax 2 +bx +c đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá trị nào của tham số thựcm thì phương trìnhjf(x)j =m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. A 0 3. C m =1,m = 3. D1 0,x> 1. , x 2 x 4 p x 1 = p x 1,x 2 x 4 =x 1 Quá sai lầm! Cáchgiảiđúng Cách1: Không đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi hệquả h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 117 Ì Ta có x 2 x 4 p x 1 = p x 1 ) x 2 x 4 =x 1 ) x 2 2x 3 = 0 ) x =1 hayx = 3: Ì Thử lại  Vớix =1 phương trình đã cho trở thành 1 + 1 4 p 2 = p 2 không thỏa vì p 2 không tồn tại.  Vớix = 3 phương trình đã cho trở thành 9 3 4 p 2 = p 2, p 2 = p 2 thỏa. Ì Vậy phương trình có một nghiệmx = 3. Cách2: Đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi tươngđương. Ì Điều kiệnx 1> 0,x> 1. Ì Ta có x 2 x 4 p x 1 = p x 1 , x 2 x 4 =x 1 , x 2 2x 3 = 0 , x =1 hayx = 3: Ì So với điều kiệnx> 1, phương trình đã cho có một nghiệmx = 3. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài1. Giải phương trình sau x 2 3x 3 p x 1 = 1 p x 1 a. x 2 5x 3 p x 3 = p x 3 b. 2x x + 1 2x 5 x 1 = 4 x 2 1 c. 1 + 1 2x x 2 +x = 1 x + 1 + 1 x d. ýLờigiải. a. Điều kiệnx 1> 0,x> 1 Khi đó Ta có x 2 3x 3 p x 1 = 1 p x 1 , x 2 3x 3 = 1 , x 2 3x 4 = 0 , x =1 hayx = 4: So với điều kiệnx> 1, phương trình đã cho có một nghiệmx = 4. b. Điều kiệnx 3> 0,x> 3 Khi đó Ta có x 2 5x 3 p x 3 = p x 3 , x 2 5x 3 =x 3 , x 2 6x = 0 , x = 0 hayx = 6: So với điều kiệnx> 3, phương trình đã cho có một nghiệmx = 6. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 118 c. Điều kiệnx 2 16= 0,x6=1 Khi đó Ta có 2x x + 1 2x 5 x 1 = 4 x 2 1 , 2x (x 1) (2x 5) (x + 1) = 4 , x + 1 = 0,x =1: So với điều kiệnx6=1, phương trình đã cho vô nghiệm. d. Điều kiệnx 2 +x6= 0,x6= 0 vàx6=1 Khi đó Ta có 1 + 1 2x x 2 +x = 1 x + 1 + 1 x , x 2 +x + 1 2x =x +x + 1 , x 2 3x = 0 , x = 0 hayx = 3: So với điều kiệnx6= 0 vàx6=1, phương trình đã cho có một nghiệmx = 3. Bàiđọcthêm 1 ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH Thực ra,việc tìm điềukiện của một phương trình không đơn giản như tìm tập xác định của hàm số, hoặc tìm điềukiệncủaẩnsốxđểcácvếcủaphươngtrìnhcónghĩa,nócònmangýnghĩarộnghơn,đólàtìmđiềukiện để trong phương trình dấu "=" có thề xảy ra được, và đôi khi cũng không nhất nhiết phải tìm cho đến điều kiện của ẩn sốx, điều này đòi hỏi sự linh hoạt. Ta xem các ví dụ sau #Vídụ1. Tìm điều kiện của phương trình x 3 x 2 =x + 1. ýLờigiải. Điều kiệnx 26= 0,x6= 2. #Vídụ2. Tìm điều kiện của phương trình p x 1 =x 3 +x 2 x + 1. ýLờigiải. Ì Biều thức trong căn không âm nên ta có điều kiện của phương trình làx 1 0,x 1. (a) Ì Mặt khác, vớix 1 thì vế trái của phương trình không âm, nên để dấu "=" trong phương trình có thể xảy ra, ta có thêm điều kiện vế phải của phương trình cũng không âm, nghĩa là x 3 +x 2 x + 1 0,x 3 x +x 2 + 1 0,x x 2 + 1
+ x 2 + 1
 0 , x 2 + 1
(x + 1) 0,x + 1 0 vì x 2 + 1
> 0
,x 1: (b) Ì Hai điều kiện (a) và (b) cho điều kiện chung của phương trình làx = 1. (Hơn nữa nhận thấyx = 1 là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = 1.) #Vídụ3. Tìm điều kiện của phương trình p (x 1) 2 (x 3) + p x + 2 = p 3. ýLờigiải. Lờigiảisai: Điều kiện: ¨ (x 1) 2 (x 3) 0 () x + 2 0 , ¨ x 3 0 (vì (x 1) 2  0) x + 2 0 , ¨ x3 x2 ,x2?. (Nghĩa là phương trình vô nghiệm) Nhận xét Sai lầm ở biến đổi điều kiên (*)A:B 0. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 119 Ì Trong Ví dụ 2.A = x 2 + 1
> 0 vàB =x + 1 nên A
B 0, x 2 + 1

(x + 1) 0,x + 1 0 là ĐÚNG. Ì Trong Ví dụ 3.A = (x 1) 2  0 vàB =x 3 nên A
B 0, (x 1) 2
(x 3) 0,x 3 0 là SAI. ! A 2
B 0, ¨ A 2 = 0 B có nghĩa hay ¨ B 0 A có nghĩa. Lời giải đúng. Điều kiện ¨ (x 1) 2 (x 3) 0 () x + 2 0 , ¨ (x 1) 2 = 0 x + 2 0 hay ¨ x 3 0 x + 2 0 , ¨ x = 1 x2 hay ¨ x3 x2 ,x = 1: Vậy điều kiện của phương trình làx = 1. (Hơn nữa nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.) #Vídụ4. Xét phương trình x 3 + 2x 3 x 3 x + p x 1 = 1. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là ¨ x 1 0 x 3 x + p x 16= 0: (*) Việc giải điều kiện (*) còn phức tạp hơn việc giải phương trình đã cho. Do vậy không cần thiết phải giải điều kiện (*), hãy để nguyên điều kiện này và giải phương trình để tìm giá trị củax, sau đó xem những giá trịx nào thỏa điều kiện (*) thì giá trị đó là nghiệm của phương trình. 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là phépbiếnđổitươngđương. Các phép biến đổi sau là phép biến đổi tương đương. 3 PHÉP CỘNG (TRỪ) HAI VẾ VỚI CÙNG MỘT BIỂU THỨC Chophươngtrìnhf(x) =g(x)cótậpxácđịnhlàD vàh(x)làbiểuthứcxácđịnhtrênD.Khiđóf(x) =g(x) vàf(x) +h(x) =g(x) +h(x) là hai phương trình tương đương. Ta viết f(x) =g(x),f(x) +h(x) =g(x) +h(x). Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một biểu thức ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Như vậy ta có f(x) =g(x),f(x)g(x) = 0: Chuyểng(x) sang vế trái là phép biến đổi tươngđương. f(x) =g(x) +h(x),f(x)h(x) =g(x): Chuyểnh(x) từ vế này sang vế kia là phép biến đổi tươngđương. #Vídụ1. Giải phương trình x + p x 1
x = 3x + 4 +x p x 1. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 120 ýLờigiải. Lờigiảisai Ta có € x + p x 1 Š x = 3x + 4 +x p x 1 , x 2 +x p x 1 = 3x + 4 +x p x 1 (1) , x 2 = 3x + 4 (2) ( đơn giản chox p x 1) , x 2 3x 4 = 0,x =1 hayx = 4: Cách giải này SAI vì tập xác định của phương trình (1) là [1; +1), còn tập xác định của phương trình (2) là R.Phépbiếnđổiđơngiảnchox p x 1đãlàmthayđổiđiềukiệnx 1củaphươngtrình (1)nênđâykhông là phép biến đổi tương đương. Lờigiảiđúng Cách1. Đặt điều kiện để sử dụng phép biến đổi tươngđương. Ì Điều kiệnx 1. Ì Ta có € x + p x 1 Š x = 3x + 4 +x p x 1 , x 2 +x p x 1 = 3x + 4 +x p x 1 , x 2 3x 4 = 0,x =1 hayx = 4: Ì So với điều kiệnx 1, phương trình đã cho có một nghiệmx = 4. Cách2. Không đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi hệquả. Ì Ta có € x + p x 1 Š x = 3x + 4 +x p x 1 ) x 2 +x p x 1 = 3x + 4 +x p x 1 ) x 2 3x 4 = 0,x =1 hayx = 4: Ì Vớix =1phươngtrìnhđãchotrởthành (1 + p 2)(1) =3 + 4 p 2vônghĩavì p 2không tồn tại. Suy ra loạix =1. Ì Vớix = 4 phương trình đã cho trở thành (4 + p 3)(4) = 12 + 4 + 4 p 3, 16 = 16 thỏa. Suy ra nhận x = 4. Ì Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 4. Chú thích:x =1 gọi là nghiệm ngoại lai. ! Chúý1.f(x) +h(x) =g(x) +h(x) (1),f(x) =g(x) (2). Nếu hai phương trình (1) và (2) không cùng tập xác định thì đơn giản hai vế choh(x) là SAI. #Vídụ2. Giải phương trình € x + p x 2 + 1 Š x = 3x + 4 +x p x 2 + 1. ýLờigiải. Ta có € x + p x 2 + 1 Š x = 3x + 4 +x p x 2 + 1 , x 2 +x p x 2 + 1 = 3x + 4 +x p x 2 + 1 (1) , x 2 = 3x + 4 (2) ( đơn giản chox p x 2 + 1) , x 2 3x 4 = 0,x =1 hayx = 4: Cách giải này ĐÚNG vì tập xác định của phương trình (1) và (2) cùng là R. Phép biến đổi đơn giản cho x p x 2 + 1 không làm thay đổi điều kiệnx2R của phương trình (1) nên đây là phép biến đổi tương đương. ! Chúý2.f(x) +h(x) =g(x) +h(x) (1),f(x) =g(x) (2).Nếuhaiphươngtrình (1)và (2)cócùng tập xác định thì đơn giản hai vế choh(x) là ĐÚNG. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 121 4 PHÉP NHÂN (CHIA) HAI VẾ VỚI CÙNG MỘT BIỂU THỨC KHÁC 0. Cho phương trìnhf(x) = g(x) có tập xác định làD vàh(x) là biểu thức xác định trênD, thỏah(x)6= 0, 8x2D. Khi đóf(x) =g(x) vàf(x)
h(x) =g(x)
h(x) là hai phương trình tương đương. Ta viết f(x) =g(x),f(x)
h(x) =g(x)
h(x). Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một biểu thức khác 0 ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Như vậy ta có f(x)
h(x) =g(x)
h(x),f(x) =g(x): (Với điều kiện hai phương trình có cùng tập xác địnhD vàh(x)6= 0;8x2D.) Đơn giản hai vế choh(x)6= 0 là phép biến đổi tươngđương. f(x) h(x) =g(x),f(x) =g(x)
h(x): (Với điều kiện hai phương trình có cùng tập xác địnhD vàh(x)6= 0;8x2D.) f(x) =g(x) +h(x),f(x)h(x) =g(x): Nhân hai vế choh(x)6= 0 là phép biến đổi tươngđương. #Vídụ1. Giải phương trìnhx ( p x + 1) = ( p x + 1) x 2 x 3
. ýLờigiải. Lờigiảisai Vì p x> 0 nên p x + 1> 1. Do đó p x + 16= 0. Vậy x p x + 1
x = p x + 1
x 2 x 3
(1) , x =x 2 x 3 (2) , x 2 2x 3 = 0,x =1 hayx = 3: Cách giải này SAI vì mặc dù p x + 16= 0;8x 0, nhưng tập xác định của phương trình (1) là [0; +1), còn tập xác định của phương trình (2) làR. Do đó phép biến đổi đơn giản cho ( p x + 1) đã làm thay đổi điều kiệnx 0 của phương trình (1) nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lờigiảiđúng Ì Điều kiệnx 0, khi đó p x + 16= 0. Ì Do vậy x p x + 1
x = p x + 1
x 2 x 3
, x =x 2 x 3 , x 2 2x 3 = 0,x =1 hayx = 3: Ì So với điều kiệnx 0, phương trình đã cho có một nghiệmx = 3. #Vídụ2. Giải phương trìnhx 3 + 2x = (5x + 8)(x 2 + 2). ýLờigiải. Ta có x 3 + 2x = (5x + 8)(x 2 + 2) , x(x 2 + 2) = (5x + 8)(x 2 + 2) (1) , x = 5x + 8 (2) (vìx 2 + 26= 0;8x2R) , x =2 là nghiệm của phương trình đã cho. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 122 CáchgiảinàyĐÚNG vìtậpxácđịnhcủaphươngtrình (1)và (2)cùnglàR,đồngthờix 2 + 26= 0;8x2R.Do đó phép biến đổi đơn giản cho (x 2 + 2) không làm thay đổi điều kiệnx2R của phương trình (1) nên đây là phép biến đổi tương đương. #Vídụ3. Giải phương trình 5x 3 20x =x 4 16. ýLờigiải. Lờigiảisai Ta có 5x 3 20x =x 4 16 , 5x(x 2 4) = (x 2 4)(x 2 + 4) , 5x =x 2 + 4,x 2 5x + 4 = 0,x = 1 hayx = 4: Cách giải này SAI vì mặc dù các phép biến đổi không làm thay đổi tập xác địnhR của phương trình ban đầu nhưng biểu thức (x 2 4) không khác 0 với mọix2R. Lờigiảiđúng Ta có 5x 3 20x =x 4 16 , 5x(x 2 4) = (x 2 4)(x 2 + 4) , (x 2 4)(x 2 5x + 4) = 0,x =2 hayx = 1 hayx = 4: ! Chúý3. f(x)
h(x) =g(x)
h(x) (1),f(x) =g(x) (2): Nếu hai phương trình (1) và (2) không cùng tập xác định, hoặch(x) không khác 0 với mọix thuộc tập xác định của phương trình (1) thì đơn giản hai vế choh(x) là SAI. Khi đó ta biến đổi (Đặth(x) làm nhân tử chung) f(x)
h(x) =g(x)
h(x),h(x) [f(x)g(x)] = 0 là ĐÚNG #Vídụ4. Giải phương trình x 3 3 x 2 + 1 =x 2. ýLờigiải. Vìx 2 + 16= 0;8x2R nên ta có x 3 3 x 2 + 1 =x 2 , x 3 3 = (x 2 + 1)(x 2) , x 3 3 =x 3 2x 2 +x 2, 2x 2 x 1 = 0,x = 1 hayx = 1 2 : ! Chúý4. Nếuh(x)6= 0;8x2R thì ta có f(x) h(x) =g(x),f(x) =h(x)
g(x). #Vídụ5. Giải phương trình 2x 3 x =x 2. ýLờigiải. Cách1. Điều kiệnx6= 0. Khi đó Ta có 2x 3 x =x 2 , 2x 3 =x(x 2) , x 2 4x + 3 = 0,x = 1 hayx = 3 (thỏa)x6= 0: Cách2. Ta có 2x 3 x =x 2 (1) h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 123 , 2x 3 =x(x 2) (2) (vìx = 0 không là nghiệm của phương trình) , 2x 3 =x 2 2x,x 2 4x + 3 = 0,x = 1 hayx = 3: Nhậnxét Ì Phương trình (1) có điều kiệnx6= 0. Ì Thếx = 0 vào phương trình (2) ta được3 = 0 là mệnh đề sai, nênx = 0 không là nghiệm của (2), nghĩa là phương trình (2) hiển nhiên cóx6= 0. Mà nếu phương trình (2) cóx6= 0 thì 2x 3 x =x 2, 2x 3 =x(x 2) là phép biến đổi tương đương. Ì Cóthểhiểucáchkhácx = 0khôngthuộctậpnghiệmcủa (1)và (2),nên (1)và (2)làhaiphương trìnhtươngđương,dođókhôngcầnđiềukiệnx6= 0tavẫncóphépbiếnđổi 2x 3 x =x 2, 2x 3 =x(x 2) là ĐÚNG. ! Chú ý 5. Nếu mọi nghiệm của mẫu số h(x) không là nghiệm của tử số f(x) thì không cần điều kiện h(x)6= 0 ta vẫn được phép biến đổi tương đương f(x) h(x) =g(x),f(x) =h(x)
g(x): #Vídụ6. Giải phương trình x 3 + 3x x 2 2x 3 =x 2. Nhậnxét Ì Cho mẫu số bằng 0:x 2 2x 3 = 0,x =1 hayx = 3. Ì Thếx =1 vào tử số (1) 3 + 3
(1) =46= 0 nênx =1 không là nghiệm của tử số. Ì Thếx = 3 vào tử số 3 3 + 3
3 = 366= 0 nênx = 3 không là nghiệm của tử số. Ì Mọi nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử nên không cần điều kiện mẫu khác 0. ýLờigiải. Ta có x 3 + 3x x 2 2x 3 =x 2 , x 3 + 3x = (x 2 2x 3)(x 2) (Vìx =1,x = 3 không là nghiệm) , x 3 + 3x =x 3 2x 2 3x 2x 2 + 4x + 6 , 4x 2 + 2x 6 = 0,x = 1 hayx = 3 2 là nghiệm của phương trình đã cho. #Vídụ7. Giải phương trình 2x 2 3x + 1 x 1 =x 2. Nhậnxét Ì Cho mẫu số bằng 0:x 1 = 0,x = 1. Ì Thếx = 1 vào tử số 2
1 2 3
1 + 1 = 0 nênx = 1 là nghiệm của tử số. Ì Vậy bài toán này phải có điều kiện mẫu số khác 0. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 124 Ì Điều kiệnx6= 1. Khi đó Ì Ta có 2x 2 3x + 1 x 1 =x 2 , 2x 2 3x + 1 = (x 1)(x 2) , 2x 2 3x + 1 =x 2 2xx + 2,x 2 1 = 0,x =1 hayx = 1: Ì So với điều kiệnx6= 1, phương trình đã cho có một nghiệmx =1. ! Chúý6. Nếu có một nghiệm của mẫu sốh(x) là nghiệm của tử sốf(x) thì phải đặt điều kiệnh(x)6= 0. f(x) h(x) =g(x), ¨ h(x)6= 0 f(x) =h(x)
g(x): #Vídụ8. Giải phương trình 2x 3 x + 14 2x 2 + 3x 2 =x 7. Nhậnxét Ì Cho mẫu số bằng 0: 2x 2 + 3x 2 = 0,x =2 hayx = 1 2 . Ì Thếx =2 vào tử số 2
(2) 3 (2) + 14 = 0 nênx =2 là nghiệm của tử số. Ì Có một nghiệmx =2 của mẫu là nghiệm của tử.nên phải có điều kiện mẫu khác 0. ýLờigiải. Ì Điều kiện 2x 2 + 3x 26= 0,x6=2 vàx6= 1 2 . Khi đó Ì Ta có 2x 3 x + 14 2x 2 + 3x 2 =x 7 , 2x 3 x + 14 = (2x 2 + 3x 2)(x 7) , 11x 2 + 22x = 0,x = 0 hayx =2: Ì So với điều kiệnx6=2 vàx6= 1 2 , phương trình đã cho có một nghiệmx = 0. #Vídụ9. Giải phương trình p x 2(x 2 x 6) = 0. ýLờigiải. Lờigiảisai Ta có p x 2(x 2 x 6) = 0 (1) , –p x 2 = 0 x 2 x 6 = 0 () , 2 6 4 x = 2 x = 3 x =2: Cách giải này sai vì Ì Phương trình (1) có điều kiệnx 2. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 125 Ì Phương trình () có điều kiệnx2R. Ì Phép biến đổi đã làm thay đổi điều kiện của phương trình ban đầu nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lờigiảiđúng Ì Điều kiệnx 2. Khi đó Ì Ta có p x 2(x 2 x 6) = 0 , –p x 2 = 0 x 2 x 6 = 0 , 2 6 4 x = 2 x = 3 x =2: Ì So với điều kiệnx 2, phương trình đã cho có hai nghiệmx = 2 vàx = 3. ! Chúý7. Ì Đặt điều kiện cho phương trìnhf(x)
g(x) = 0. Khi đó Ì f(x)
g(x) = 0, – f(x) = 0 g(x) = 0: D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu1. Điều kiện của phương trình 1 p x 3 =x + 3 là A x = 3. B x6= 3. C x> 3. D x 3. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình làx 3> 0,x> 3. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu2. Trong bốn phép biến đổi sau, phép biến đổi nào là phép biến đổi tương đương? A x(x 1) x 1 = 1,x = 1. B jxj = 2,x = 2. C x + p x 4 = 3 + p x 4,x = 3. D x p x 5 = 3,x 3 = p x 5. ýLờigiải. Ta cóx p x 5 = 3,x 3 = p x 5. Trongphépbiếnđổitrêntacộnghaivếcủaphươngtrìnhđầuvớicùngmộtlượnglà3 + p x 5vàkhônglàmthay đổi điều kiện của phương trình nên nhận được một phương trình mới tương đương. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu3. Nghiệm của phương trình x + 2 x = 2x + 3 2x 4 là A x = 3 8 . B x = 3 8 . C x = 8 3 . D x = 8 3 . ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là ¨ x6= 0 x6= 2: Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với (x + 2)(2x 4)x(2x + 3) x(2x 4) = 0 ) 8 3x = 0 ) x = 8 3 ( thỏa điều kiện): Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 126 Vậy phương trình có nghiệm làx = 8 3 . GiảinhanhbằngCasio: Ì Nhập vào máy X + 2 X 2X + 3 2X 4 :a[+2R[$pa2[+3R2[p4. Ì Tính giá trị tại các phương án: Nhấnr=ap8R3= hiện kết quả là 0 nên ta có nghiệm là 8 3 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu4. Tập nghiệm của phương trình 3 x 2 2 x + 1 = 5 x 1 là A § 1 2 ;6 ª . B § 1 2 ; 6 ª . C § 1 4 ; 3 ª . D § 1 4 ;3 ª . ýLờigiải. Với điều kiệnx6=1,x6= 2 thì phương trình đã cho tương đương với phương trình 3(x 2 1) 2(x 1)(x 2) = 5(x + 1)(x 2) , 4x 2 + 11x + 3 = 0 , 2 4 x = 1 4 x = 3: Cả hai nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho làS = § 1 4 ; 3 ª . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu5. Số nghiệm của phương trình x 2 + 1
10x 2 31x + 24
= 0 là A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Ta có x 2 + 1
10x 2 31x + 24
= 0 , 10x 2 31x + 24 = 0 , 2 6 4 x = 3 2 x = 8 5 : Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu6. Tìm điều kiện xác định của phương trìnhx + 5 x 4 = 12 + 5 x 4 . A x6= 4. B x2R. C x6=4. D x6= 4. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình làx6= 4. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu7. Tìm điều kiện xác định của phương trình p x + 1 =x + 1. A x 1. B x1. C x 1. D x2R. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình làx + 1 0,x1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu8. Tìm điều kiện xác định của phương trình 2x x 2 + 1 5 = 3 x 2 + 1 . A x6= 1. B x6=1. C x6=1. D x2R. ýLờigiải. Phương trình đã cho xác định với8x2R. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 127 Câu9. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 x + 2 3 x 2 = 4 x 2 4 . A x> 2. B x6=2. C x 2. D x2R. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là 8 > < > : x6= 2 x6=2 x 2 6= 4 ,x6=2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu10. Tìm điều kiện xác định của phương trình x 2 x + 2 1 x = 2 x(x 2) . A x6=2;x6= 0. B x 2. C x> 2. D x6= 2;x6= 0. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là 8 > < > : x6= 2 x6=2 x6= 0 ,x6=2; x6= 0. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu11. Tìm điều kiện xác định của phương trình 3x + 5 x 4 = 12 + 5 x 4 . A x6= 4. B x 4. C x> 4. D x2R. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình làx 46= 0,x6= 4. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu12. Tìm điều kiện xác định của phương trình 2x 3x + 1 2x 1 = 6 5x 3x 2 . A x> 3. B x 3. C x6= 1 2 ;x6= 3;x6= 3 2 . D x6= 1 2 ;x6= 3;x6= 2 3 . ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là 8 > < > : 3x6= 0 2x 16= 0 3x 26= 0 ,x6= 1 2 ; x6= 3; x6= 2 3 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu13. Điều kiện xác định của phương trình 1 p x + p x 2 1 = 0 là A x 0. B x> 0 vàx 2 1 0. C x> 0. D x 0 vàx 2 1> 0. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là ¨ x> 0 x 2 1> 0: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu14. Tìm điều kiện xác định của phương trình p 3x 2 + p 4 3x = 1. A x> 4 3 . B 2 3 4 3 . C x6= 2 3 ;x6= 4 3 . D 2 3 x 4 3 . ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là ¨ 3x 2 0 4 3x 0 , 2 3 x 4 3 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu15. Tìm điều kiện xác định của phương trình p x 1 + p x 2 = p x 3. A x> 3. B x 2. C x 1. D x 3. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là 8 > < > : x 1 0 x 2 0 x 3 0 ,x 3. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A 3x + p x 2 =x 2 , 3x =x 2 p x 2. B p x 1 = 3x,x 1 = 9x 2 . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 128 C 3x + p x 2 =x 2 + p x 2, 3x =x 2 . Djxj = 2,x = 2. ýLờigiải. Khi chuyển vế (cộng hoặc trừ hai vế với cùng một biểu thức) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương. Vì vậy ta có 3x + p x 2 =x 2 , 3x =x 2 p x 2. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu17. Chỉ ra khẳng định sai. A p x 2 = 3 p 2x,x 2 = 0. B p x 3 = 2)x 3 = 4. C x(x 2) x 2 = 2)x = 2. Djxj = 2,x = 2. ýLờigiải. Ta cójxj = 2,x =2. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu18. Chỉ ra khẳng định sai. A p x 1 = 2 p 1x,x 1 = 0. B x + p x 2 = 1 + p x 2,x = 1. C jxj = 1,x =1. Djx 2j =x + 1, (x 2) 2 = (x + 1) 2 . ýLờigiải. x + p x 2 = 1 + p x 2, ¨ x 2 x = 1 , phương trình vô nghiệm. Phương trìnhx + p x 2 = 1 + p x 2 vàx = 1 là không tương đương vì không cùng tập nghiệm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu19. Chỉ ra khẳng định sai. A p x 2 = 3 p 2x,x 2 = 0. B p x 3 = 2)x 3 = 4. C jx 2j = 2x + 1, (x 2) 2 = (2x + 1) 2 . D x 2 = 1,x =1. ýLờigiải. Khi bình phương hai vế phải có điều kiện để hai vế không âm. Khẳng địnhjx 2j = 2x + 1, (x 2) 2 = (2x + 1) 2 là một phép biến đổi sai. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu20. Phương trình x 2 + 1
(x 1)(x + 1) = 0 tương đương với phương trình A x 1 = 0. B x + 1 = 0. C x 2 + 1 = 0. D (x + 1)(x 1) = 0. ýLờigiải. Ta có x 2 + 1
(x 1)(x + 1) = 0, (x + 1)(x 1) = 0. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu21. Phương trình 3x + 1 x 5 = 16 x 5 tương đương với phương trình A 3x + 1 x 5 + 3 = 16 x 5 + 3. B 3x + 1 x 5 p 2x = 16 x 5 p 2x. C 3x + 1 x 5 + p 2x = 16 x 5 + p 2x. D 3x + 1 x 5
2x = 16 x 5
2x. ýLờigiải. Khi cộng hai vế với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì ta nhận được một phương trình mới tương đương. Vậy 3x + 1 x 5 = 16 x 5 , 3x + 1 x 5 + 3 = 16 x 5 + 3. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu22. Phương trình (x 4) 2 =x 2 là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây? A x 4 =x 2. B p x 2 =x 4. C p x 4 = p x 2. D p x 4 =x 2. ýLờigiải. Phép bình phương hai vế chỉ là một phép biến đổi hệ quả, nên ta có p x 2 =x 4) (x 4) 2 =x 2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu23. Tìm điều kiện xác định của phương trình p x 2 + x 2 + 5 p 7x = 0. A x> 2. B x 7. C 2x< 7. D 2x 7. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình p x 2 + x 2 + 5 p 7x = 0 là ¨ x 2 0 7x> 0 , 2x< 7. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 129 ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu24. Tập nghiệmT của phương trình p x 2 2x = p 2xx 2 là A T =f0g. B T =?. C T =f0; 2g. D T =f2g. ýLờigiải. Ngay từ điều kiện của phương trình ¨ x 2 2x 0 2xx 2  0 ,x 2 2x = 0,x = 0; x = 2. Thay vào phương trình ta thấy cả hai giá trị thỏa mãn phương trình. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho làT =f0; 2g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu25. Tập nghiệmT của phương trình p x x = p x là A T =f0g. B T =?. C T =f1g. D T =f1g. ýLờigiải. Điều kiện của phương trình là 8 > < > : x 0 x6= 0 x 0 , không có giá trịx thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, hay tập nghiệm làT =?. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu26. Chophươngtrình 2x 2 x = 0 (1).Trongcácphươngtrìnhsau,phươngtrìnhnàokhôngphảilàphương trình hệ quả của phương trình (1)? A 2x x 1x = 0. B 4x 3 x = 0. C 2x 2 x
2 = 0. D x 2 2x + 1 = 0. ýLờigiải. Phương trình 2x 2 x = 0,x = 0; x = 1 2 . Ta thấy phương trìnhx 2 2x + 1 = 0 chỉ có nghiệmx = 1 nên không thể là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu27. Phương trìnhx 2 = 3x tương đương với phương trình A x 2 + p x 2 = 3x + p x 2. B x 2 + 1 x 3 = 3x + 1 x 3 . C x 2 p x 3 = 3x p x 3. D x 2 + p x 2 + 1 = 3x + p x 2 + 1. ýLờigiải. Ta cóx 2 + p x 2 + 1 = 3x + p x 2 + 1,x 2 = 3x. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu28. Khẳng định nào sau đây sai? A p x 2 = 1)x 2 = 1. B x(x 1) (x 1) = 1,x = 1. C j3x 2j =x 3) 8x 2 4x 5 = 0. D p x 3 = p 9 2x) 3x 12 = 0. ýLờigiải. Phương trình x(x 1) (x 1) = 1 chỉ có nghiệmx = 0 nên không tương đương với phương trìnhx = 1. Vậy khẳng định x(x 1) (x 1) = 1,x = 1 là một khẳng định sai. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu29. Khi giải phương trình p 3x 2 + 1 = 2x + 1 (1), ta tiến hành các bước sau Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được 3x 2 + 1 = (2x + 1) 2 : (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta đượcx 2 + 4x = 0,x = 0 hayx =4. Bước 3: Khix = 0, ta có 3x 2 + 1> 0. Khix =4, ta có 3x 2 + 1> 0. Vậy tập nghiệm của phương trình làf0;4g. Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A Đúng. B Sai ở bước 1. C Sai ở bước 2. D Sai ở bước 3. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 130 Cách giải trên là sai ở bước 3. Khi thử nghiệm, ngoài việc kiểm tra điều kiện thì cần xem vế phải có không âm hay không. Rõ ràng trong các giá trị ở bước 3 thì khi thayx =4 thì vế phải âm nênx =4 không thể là nghiệm của phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu30. Khi giải phương trình p x 2 5 = 2x (1), một học sinh tiến hành các bước sau Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x 2 5 = (2x) 2 : (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 4x = 9. Bước 3: (2),x = 9 4 . Vậy phương trình có một nghiệm làx = 9 4 . Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A Đúng. B Sai ở bước 1. C Sai ở bước 2. D Sai ở bước 3. ýLờigiải. Cách giải trên là sai ở bước 3. Sau khi giải phương trình hệ quả ta cần thử lại để loại nghiệm ngoại lai. Giá trịx = 9 4 hoàn toàn không thỏa mãn phương trình đã cho nên không phải là nghiệm. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu31. Khi giải phương trìnhjx 2j = 2x 3 (1), một học sinh tiến hành các bước sau Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x 2 4x + 4 = 4x 2 12x + 9: (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 3x 2 8x + 5 = 0. Bước 3: (2),x = 1 hoặcx = 5 3 . Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm làx = 1 vàx = 5 3 . Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ýLờigiải. Cách giải trên là sai ở bước 4 vì ta đã bỏ qua thao tác thử nghiệm để loại nghiệm ngoại lai, dẫn tới việc lấy nhầm nghiệmx = 1. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu32. Khi giải phương trình (x 3)(x 4) p x 2 = 0 (1), một học sinh tiến hành các bước sau Bước 1: (1), (x 3) p x 2 (x 4) = 0. (2) Bước 2:, 2 4 (x 3) p x 2 = 0 x 4 = 0 Bước 3:,x = 3 hoặcx = 4. Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm làT =f3; 4g. Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ýLờigiải. Cách giải trên là sai từ bước 2 vì khi biến đổi tương đương thì điều kiện x > 0; x6= 4 là điều kiện chung của cả phương trình. Như vậy từ bước 2 ta không thể nhận được một hệ hoặc tương đương được, từ đó dẫn tới việc nhận nhầm nghiệmx = 4 không thỏa phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 131 Câu33. x = 9 là nghiệm của phương trình nào sau đây? A p 2x =x. B 2x 2 p x + 1 = 8 p x + 1 . C p 2x + 7 =x 4. D p 14 2x =x 3. ýLờigiải. Ta thấyx = 9 thỏa mãn phương trình p 2x + 7 =x 4 nên là một nghiệm của nó. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu34. Nghiệm của phương trình p x + 3 = 1 (nếu có) là A x = 2. B x =2. C x =3. D vô nghiệm. ýLờigiải. Ta có p x + 3 = 1,x + 3 = 1,x =2. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu35. Khi giải phương trình (x 5)(x 4) p x 3 = 0 (1), một học sinh tiến hành các bước sau Bước 1: (1), (x 5) p x 3 (x 4) = 0. (2) Bước 2:, 2 4 (x 5) p x 3 = 0 x 4 = 0 Bước 3:,x = 5 hoặcx = 4. Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm làT =f5; 4g. Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ýLờigiải. Ta thấy tập nghiệm của phương trình thì không thay đổi. Tuy nhiên, ngay từ bước 2 thì ta chỉ có thể nhận được một hệđiềukiệntươngđương.Trongcáchgiảicủahọcsinhtrênvôtìnhđãloạiđiđiềukiệnchungcủaphươngtrình.Các trường hợp khác nói chung là không đúng. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu36. Khi giải phương trìnhx + 1 x + 2 = 2x + 3 x + 2 (1), một học sinh tiến hành các bước sau Bước 1: Điều kiệnx6= 2. Bước 2: với điều kiện trên (1),x(x + 2) + 1 =(2x + 3). (2) Bước 3: (2),x 2 + 4x + 4 = 0,x =2 Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm làT =f2g. Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ýLờigiải. Ở bước 3, sau khi ta tìm nghiệm của phương trình hệ quả cần thử lại (với dạng này ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện của phương trình). Ở đây học sinh trên đã bỏ qua thao tác đối chiếu với điều kiện của phương trình dẫn tới kết quả sai. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu37. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm p x = p x? A 0. B 1. C 2. D vô số. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 0 x 0 ,x = 0. Thếx = 0 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhấtx = 0. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu38. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệmjxj =x? A 0. B 1. C 2. D vô số. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 132 jxj =x, – x =x nếu x 0 x =x nếu x< 0 , – x = 0 thỏa với mọi x< 0 ,x 0. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu39. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm p x 2 = p 2x? A 0. B 1. C 2. D vô số. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 2 0 2x 0 ,x = 2. Thếx = 2 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhấtx = 2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu40. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệmjx 2j = 2x? A 0. B 1. C 2. D vô số. ýLờigiải. jx 2j = 2x có nghiệm thì điều kiện 2x 0,x 2. Khi đó, phương trình được viết lại 2x = 2x thỏa với mọi x2R: So với điều kiện ta suy ra tập nghiệm của phương trình đã cho làS = (1; 2]. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu41. Phương trình p x 2 + 10x 25 = 0 A vô nghiệm. B vô số nghiệm. C mọix đều là nghiệm. D có nghiệm duy nhất. ýLờigiải. p x 2 + 10x 25 = 0, p (x 5) 2 = 0,x = 5. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu42. Phương trình p 2x + 5 = p 2x 5 có nghiệm là A x = 5 2 . B x = 5 2 . C x = 2 5 . D x = 2 5 . ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ 2x + 5 0 2x 5 0 ,x = 5 2 . Thếx = 5 2 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhấtx = 5 2 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu43. Tập nghiệm của phương trìnhx p x 3 = p 3x + 3 là A S =;. B S =f3g. C S = [3; +1). D S =R. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 3 0 3x 0 ,x = 3. Thếx = 3 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhấtx = 3. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu44. Tập nghiệm của phương trìnhx + p x = p x 1 là A S =;. B S =f1g. C S =f0g. D S =R. ýLờigiải. Tập xác định của phương trìnhD = [0; +1). Khi đó x + p x = p x 1)x =1 loại: Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu45. Tập nghiệm của phương trình p x 2 x 2 3x + 2
= 0 là A S =;. B S =f1g. C S =f2g. D S =f1; 2g. ýLờigiải. Tập xác định của phương trìnhD = [2; +1). Khi đó p x 2 x 2 3x + 2
= 0) – x 2 = 0 x 2 3x + 2 = 0 , 2 6 4 x 2 = 0 x = 1 loại x = 2 ,x = 2: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 133 Vậy phương trình có nghiệm làx = 2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu46. Cho các phương trình p x 1 = 3; (1) và ( p x 1) 2 = (3) 2 (2). Chọn khằng định sai? A Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2). B Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). C Phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương. D Phương trình (2) vô nghiệm. ýLờigiải. Ta có p x 1 = 3, ( p x 1) 2 = 3 2 vì (3) 2 = 3 2 nên hai phương trình (1) và (2) tương đương. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu47. Số nghiệm của phương trình x 2 + 6 x 2 = 5x x 2 là A 3. B 2. C 1. D 0. ýLờigiải. Tập xác định của phương trìnhD =Rnf2g. Khi đó phương trình x 2 + 6 x 2 = 5x x 2 )x 2 + 6 = 5x,x 2 5x + 6 = 0, – x = 3 x = 2 loại: Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx = 3. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu48. Tập nghiệm của phương trình p 2x 1 =x 1 là A f2 + p 2; 2 p 2g. B f2 p 2g. C f2 + p 2g. D;. ýLờigiải. p 2x 1 =x 1, ¨ x 1 2x 1 =x 2 2x + 1 , ¨ x 1 x 2 4x + 2 = 0 , 8 > < > : x 1 " x = 2 + p 2 x = 2 p 2 ,x = 2 + p 2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu49. Số nghiệm của phương trìnhx p x 2 = p 2x là A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ x 2 0 2x 0 ,x = 2. Thếx = 2 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhấtx = 2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu50. Hãy chỉ ra khẳng định sai? A p x 1 = 2 p 1x,x 1 = 0. B x 2 + 1 = 0, x 1 p x 1 = 0. C jx 2j =x + 1, (x 2) 2 = (x + 1) 2 . D x 2 = 1,x = 1;x> 0. ýLờigiải. Ta có Ì p x 1 = 2 p 1x,x 1 = 0 đúng. Ì x 2 + 1 = 0, x 1 p x 1 = 0 đúng. Ì jx 2j =x + 1, (x 2) 2 = (x + 1) 2 đúng. Ì x 2 = 1,x = 1;x> 0 sai vì phương trình đầu có hai nghiệm là1. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu51. Tập nghiệm của phương trình x 2 p x 1 = 4 p x 1 là A S =f2g. B S =f2; 2g. C S =f2g. D S =;. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 134 Tập xác định của phương trìnhD = (1; +1). Khi đó phương trình x 2 p x 1 = 4 p x 1 )x 2 = 4,x =2: So với điều kiện suy ra tập nghiệmS =f2g. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu52. Tập nghiệm của phương trình p 3x +x = p 3x + 4 là A S =f3g. B S =f3; 4g. C S =f4g. D S =;. ýLờigiải. Tập xác định của phương trìnhD = (1; 3]. Khi đó phương trình p 3x +x = p 3x + 4)x = 4: So với điều kiện suy ra tập nghiệmS =;. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu53. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trìnhx 2 4 = 0? A (2 +x) x 2 + 2x + 1
= 0. B (x 2) x 2 + 3x + 2
= 0. C p x 2 3 = 1. D x 2 4x + 4 = 0. ýLờigiải. p x 2 3 = 1,x 2 3 = 1,x 4 = 0. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu54. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trìnhx 2 3x = 0? A x 2 + p x 2 = 3x + p x 2. B x 2 + 1 x 3 = 3x + 1 x 3 . C x 2 p x 3 = 3x p x 3. D x 2 + p x 2 + 1 = 3x + p x 2 + 1. ýLờigiải. Ta cóx 2 3x = 0, ¨ x = 0 x = 3: Ì x 2 + p x 2 = 3x + p x 2, ¨ x 2 x 2 = 3x ,x = 3. Ì x 2 + 1 x 3 = 3x + 1 x 3 , ¨ x6= 3 x 2 = 3x ,x = 0. Ì x 2 p x 3 = 3x p x 3, ¨ x 3 x 2 = 3x: Ì x 2 + p x 2 + 1 = 3x + p x 2 + 1,x 2 = 3x. Vậy phương trìnhx 2 3x = 0 tương đương vớix 2 + p x 2 + 1 = 3x + p x 2 + 1. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu55. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trìnhx + 1 x = 1? A x 2 + p x =1. B j2x 1j + p 2x + 1 = 0. C x p x 5 = 0. D 7 + p 6x 1 =18. ýLờigiải. x + 1 x = 1, ¨ x6= 0 x 2 x + 1 = 0 vô nghiệm. Ì x 2 + p x =1 vô nghiệm vì vế trái lớn hơn 0. Ì j2x 1j + p 2x + 1 = 0, ¨ j2x 1j = 0 p 2x + 1 = 0 , 8 > < > : x = 1 2 x = 1 2 vô nghiệm. Ì 7 + p 6x 1 =18 vô nghiệm vì 7 + p 6x 1> 0 và18< 0. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 135 Ì x p x 5 = 0, 8 > < > : x 5 – x = 0 x = 5 ,x = 5. Vậyx + 1 x = 1 không tương đương vớix p x 5 = 0. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu56. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau A x + p x 1 = 1 + p x 1 vàx = 1. B x + p x 2 = 1 + p x 2 vàx = 1. C p x(x + 2) = p x vàx + 2 = 1. D x(x + 2) =x vàx + 2 = 1. ýLờigiải. Ì x + p x 2 = 1 + p x 2, ¨ x 2 x = 1 vônghiệm nênx + p x 2 = 1 + p x 2vàx = 1khôngtương đương. Ì p x(x + 2) = p x, 8 > < > : x 0 – x = 0 x + 2 = 1 , 8 > < > : x 0 – x = 0 x =1 ,x = 0 nên p x(x + 2) = p x vàx + 2 = 1 không tương đương. Ì x(x + 2) =x, – x = 0 x + 2 = 1 , – x = 0 x =1 nênx(x + 2) =x vàx + 2 = 1 không tương đương. Ì x + p x 1 = 1 + p x 1, – x 1 x = 1 ,x = 1 nênx + p x 1 = 1 + p x 1 vàx = 1 tương đương. Vậyx + p x 1 = 1 + p x 1 vàx = 1 là hai phương trình tương đương. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu57. Chọn căp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau A 2x + p x 3 = 1 + p x 3 và 2x = 1. B x p x + 1 p x + 1 = 0 vàx = 0. C p x + 1 = 2x vàx + 1 = (2x) 2 . D x + p x 2 = 1 + p x 2 vàx = 1. ýLờigiải. Ì 2x + p x 3 = 1 + p x 3, 8 < : x 3 x = 1 2 vô nghiệm nên 2x + p x 3 = 1 + p x 3 và 2x = 1 không tương đương. Ì p x + 1 = 2x, ¨ x 2 x + 1 = (2x) 2 , ¨ x 2 x 2 5x + 3 = 0 , x = 5 p 13 2 nên p x + 1 = 2x và x + 1 = (2x) 2 không tương đương. Ì x + p x 2 = 1 + p x 2, ¨ x 2 x = 1 vô nghiệm nênx + p x 2 = 1 + p x 2 vàx = 1 không tương đương. Ì x p x + 1 p x + 1 = 0, ¨ x>1 x = 0 ,x = 0 nên x p x + 1 p x + 1 = 0 vàx = 0 tương đương. Vậyx + p x 1 = 1 + p x 1 vàx = 1 là hai phương trình tương đương. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu58. Chọn căp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau A x + 1 =x 2 2x vàx + 2 = (x 1) 2 . B 3x p x + 1 = 8 p 3x và 6x p x + 1 = 16 p 3x. C x p 3 2x +x 2 =x 2 +x vàx p 3 2x =x. D p x + 2 = 2x vàx + 2 = 4x 2 . ýLờigiải. Ì x + 1 =x 2 2x,x + 2 = (x 1) 2 nênx + 1 =x 2 2x vàx + 2 = (x 1) 2 tương đương. Ì 3x p x + 1 = 8 p 3x, 6x p x + 1 = 16 p 3x nên 3x p x + 1 = 8 p 3x và 6x p x + 1 = 16 p 3x tương đương. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 136 Ì x p 3 2x +x 2 =x 2 +x,x p 3 2x =x nênx p 3 2x +x 2 =x 2 +x vàx p 3 2x =x tương đương. Ì p x + 2 = 2x, ¨ x 0 x + 2 = 4x 2 = 0 nên p x + 2 = 2x vàx + 2 = 4x 2 không tương đương. Vậy p x + 2 = 2x vàx + 2 = 4x 2 không tương đương. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu59. Tìmgiátrịthựccủathamsốmđểcặpphươngtrìnhsautươngdương 2x 2 +mx 2 = 0 (1)và 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m 1)x 4 = 0 (2). A m = 2. B m = 3. C m = 1 2 . D m =2. ýLờigiải. 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m 1)x 4 = 0,x(2x 2 +mx 2) + 4x 2 + 2mx 4 = 0, ¨ 2x 2 +mx 2 = 0 x =2: Vậy để (1) tương đương với (2) thì 2x 2 +mx 2 = 0 có nghiệmx =2, khi đó 8 2m 2 = 0,m = 3. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu60. Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểcặpphươngtrìnhsautươngđươngmx 2 2(m1)x+m2 = 0 (1) và (m 2)x 2 3x +m 2 15 = 0 (2). A m =5. B m =5,m = 4. C m = 4. D m = 5. ýLờigiải. mx 2 2(m 1)x +m 2 = 0, (x 1)(mxm 2) = 0, – x = 1 mx =m + 2: Khi đó để (1) tương đương với (2) thì điều kiện cần là (2) phải có nghiệmx = 1. Khi đó (2) suy ram 2 3 +m 2 15 = 0, – m = 4 m =5: Khi đó TH 1. Vớim = 4 thì (1)) 4x 2 6x + 2 = 0 Và (2)) 2x 2 3x + 1 = 0, (1). TH 2. Vớim =5 thì (1))5x 2 + 12x 7 = 0, 8 < : x = 1 x = 7 5 : (2))7x 2 3x + 10 = 0, 2 4 x = 1 x = 10 7 : Suy ra (1) không tương đương (2). Vậy giá trịm cần tìm làm = 4. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu61. Khẳng định nào sau đây là sai? A p x 2 = 1)x 2 = 1. B x(x 1) x 1 = 1)x = 1. C j3x 2j =x 3) 8x 2 4x 5 = 0. D p x 3 = p 9 2x) 3x 12 = 0. ýLờigiải. j3x 2j =x 3) 9x 2 12x + 4 =x 2 6x + 9) 8x 2 6x 5 = 0. Vậyj3x 2j =x 3) 8x 2 4x 5 = 0 sai. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu62. Cho phương trình 2x 2 x = 0: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? A 2x x 1x = 0. B 4x 3 x = 0. C 2x 2 x
2 + (x 5) 2 = 0. D 2x 3 +x 2 x = 0. ýLờigiải. Ta có Ì 2x 2 x = 0) 2x 2 +x 1x = 0) 2x x 1x = 0 . Ì 2x 2 x = 0) 2x 2 x

(2x + 1) = 0) 4x 3 x = 0. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 137 Ì 2x 2 x = 0) 2x 2 x

(x 1) = 0) 2x 3 +x 2 x = 0. Ì 2x 2 x
2 + (x 5) 2 = 0) ¨ 2x 2 x = 0 x 5 = 0 vô nghiệm. Vậy 2x 3 +x 2 x = 0 không phải là hệ quả của phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu63. Tập nghiệm của phương trình p x 2 2x = p 2xx 2 là A S =f0g. B S =;. C S =f0; 2g. D S =f2g. ýLờigiải. p x 2 2x = p 2xx 2 , 2xx 2 = 0, – x = 0 x = 2: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu64. Phương trìnhx x 2 1
p x 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. x x 2 1
p x 1 = 0 8 > < > : x 1 – x = 0 x 2 1 = 0 , 8 > < > : x 1 – x = 0 x =1 )x = 1 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu65. Phương trình p x 2 + 6x 9 +x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. Điều kiện xác định của phương trình x 2 + 6x 9 0,(x 3) 2  0,x = 3: Thếx = 3 vào phương trình, ta thấy thỏa. Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx = 3. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu66. Phương trình p (x 3) 2 (5 3x) + 2x = p 3x 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ 5 3x 0 3x 5 0 ,x = 5 3 . Thếx = 5 3 vào phương trình, ta thấy 2
5 3 = 4 vô lý. Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu67. Phương trìnhx + p x 1 = p 1x có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. Điều kiện xác định ¨ 1x 0 x 1 0 ,x = 1. Thếx = 1 vào phương trình, ta thấy 1 = 0 vô lý. Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu68. Phương trình p 2x + p x 2 = p 2x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. Điều kiện xác định 8 > < > : 2x 0 x 2 0 x 0 ,x = 2 thay vào phương trình, ta thấy không thỏa. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 138 Câu69. Phương trình p x 3 4x 2 + 5x 2 +x = p 2x có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. p x 3 4x 2 + 5x 2 +x = p 2x, p (x 1) 2 (x 2) +x = p 2xcóđiềukiệnxácđịnh ¨ 2x 0 x 2 0 ,x = 2. Thayx = 2 vào phương trình, ta thấy 2 = 0 vô lý. Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu70. Phương trìnhx + 1 x 1 = 2x 1 x 1 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. x + 1 x 1 = 2x 1 x 1 , ¨ x6= 1 x 2 x + 1 = 2x 1 , ¨ x6= 1 x 2 3x + 2 = 0 ,x = 2. Phương trình có nghiệm duy nhấtx = 2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu71. Phương trình x 2 3x + 2
p x 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. x 2 3x + 2
p x 3 = 0, 8 > < > : x 3 – x 2 3x + 2 = 0 x 3 = 0 ,x = 3. Phương trình có nghiệm duy nhấtx = 3. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu72. Phương trình x 2 x 2
p x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. x 2 x 2
p x + 1 = 0, 8 > < > : x1 – x 2 x 2 = 0 x + 1 = 0 , – x =1 x = 2: Phương trình có hai nghiệmx =1,x = 2. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu73. Phương trình x 2 4x 2 p x 2 = p x 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A 1. B 2. C 3. D 5. ýLờigiải. x 2 4x 2 p x 2 = p x 2, ¨ x> 2 x 2 4x 2 =x 2 , ¨ x> 2 x 2 5x = 0 ,x = 5 2 . Vậy phương trình có tất cả là một nghiệm ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 139 x2 PHƯƠNGTRÌNHQUYVỀPHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤT, PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP - VÍ DỤ - BÀI TẬP RÈN LUYỆN d Dạng1.Giảivàbiệnluậnphươngtrìnhbậcnhấtmộtẩn Cáchgiảivàbiệnluậnphươngtrìnhax =b. Ì Trườnghợp1:a6= 0. Phương trình có nghiệm duy nhấtx = b a . Ì Trườnghợp2:a = 0. Giải đề tìm tham số, thế tham số vào phương trìnhax =b. + Nếu được 0x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm (tập nghiệmS =R). + Nếu được 0x =b (b6= 0) thì phương trình vô nghiệm. ! Ì Phương trìnhax =b có nghiệm duy nhất,a6= 0. Ì Phương trìnhax =b vô nghiệm, ¨ a = 0 b6= 0: Ì Phương trìnhax =b có tập nghiệm làR, ¨ a = 0 b = 0: 1 VÍ DỤ #Vídụ1. Giải và biện luận theo tham sốm phương trình (2m 4)x =m 2. ýLờigiải. Ì 2m 46= 0,m6= 2 thì phương trình có nghiệm duy nhấtx = m 2 2m 4 = 1 2 . Ì 2m 4 = 0,m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có vô số nghiệm. #Vídụ2. Giải và biện luận theo tham sốm phương trình m 2 1
x + 1 =m. ýLờigiải. m 2 1
x + 1 =m, m 2 1
x =m 1 Ì m 2 16= 0, ¨ m6= 1 m6=1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = m 1 m 2 1 = 1 m + 1 . Ì m 2 1 = 0, – m = 1 m =1:  Vớim = 1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có vô số nghiệm.  Vớim =1 thì phương trình đã cho trở thành 0x =2) Phương trình vô nghiệm. #Vídụ3. Giải và biện luận theo tham sốm phương trìnhm 3 x =m 2 + 4 + 4m(x 1). ýLờigiải. m 3 x =m 2 + 4 + 4m(x 1), m 3 4m
x =m 2 4m + 4: Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 140 Ì m 3 4m6= 0, 8 > < > : m6= 0 m6= 2 m6=2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = m 3 4m m 2 4m + 4 = m(m + 2) m 2 : Ì m 3 4m = 0, 2 6 4 m = 0 m = 2 m =2:  Vớim = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 4) Phương trình vô nghiệm.  Vớim = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình vô số nghiệm.  Vớim =2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 16) Phương trình vô nghiệm. #Vídụ4. Giải và biện luận theo tham sốa vàb phương trìnha ax + 2b 2
a 3 =b 2 (x +a): ýLờigiải. a ax + 2b 2
a 3 =b 2 (x +a), a 2 b 2
x =a 3 ab 2 : Ì a 2 b 2 6= 0, ¨ a6=b a6=b thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = a 3 ab 2 a 2 b 2 =a: Ì a 2 b 2 = 0, – a =b a =b  Vớia =b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có vô số nghiệm.  Vớia =b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có vô số nghiệm. #Vídụ5. Giải và biện luận theo tham sốm phương trình m(x 1) 3 x + 1 = 2. ýLờigiải. m(x 1) 3 x + 1 = 2, ¨ m(x 1) 3 = 2x + 2 x6=1 , ¨ (m 2)x =m + 5 x6=1 , 8 < : (m 2)x =m + 5 m6= 3 2 : Ì 8 < : m 26= 0 m6= 3 2 , 8 < : m6= 2 m6= 3 2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = m + 5 m 2 : Ì 8 < : m 2 = 0 m6= 3 2 ,m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 7) Phương trình vô nghiệm. #Vídụ6. Tìm tham sốm để phương trìnhm 2 x + 2 =x + 2m có nghiệm duy nhất. ýLờigiải. m 2 x + 2 =x + 2m, m 2 1
x = 2m 2 (1) (1) có nghiệm duy nhất,m 2 16= 0,m6=1. #Vídụ7. Tìm tham sốm để phương trìnhm 2 x + 6 = 4x + 3m vô nghiệm. ýLờigiải. m 2 x + 6 = 4x + 3m, m 2 4
x = 3m 6 (1) (1) vô nghiệm, ¨ m 2 4 = 0 3m 66= 0 ,m =2. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 141 #Vídụ8. Tìm tham sốm để phương trìnhm 2 (x 1) +m =x(3m 2) có tập nghiệm làR. ýLờigiải. m 2 (x 1) +m =x(3m 2), m 2 3m + 2
x =m 2 m (1) (1) có tập nghiệm làR, ¨ m 2 3m + 2 = 0 m 2 m = 0 ,m = 1: 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sốm m(xm) =x +m 2 1 2(m 1)xm(x 1) = 2m + 3 2 2m 2 (x 1) + 7 = 2(x + 1) + 3m 3 m 2 + 3
(x 1)m = (3 2m)x 5 4 ýLờigiải. 1 m(xm) =x +m 2, (m 1)x =m 2 +m 2. Ì m 16= 0,m6= 1 thì phương trình đã cho trở thànhx = m 2 +m 2 m 1 =m + 2. Ì m 1 = 0,m = 1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có vô số nghiệm. 2 2(m 1)xm(x 1) = 2m + 3, (m 2)x =m + 3: Ì m 26= 0,m6= 2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = m + 3 m 2 : Ì m 2 = 0,m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 5) Phương trình vô nghiệm. 3 2m 2 (x 1) + 7 = 2(x + 1) + 3m, 2m 2 2
x = 2m 2 + 3m 5: Ì 2m 2 26= 0, ¨ m6= 1 m6=1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = 2m 2 + 3m 5 2m 2 2 = 2m 5 2m + 2 : Ì 2m 2 2 = 0, – m = 1 m =1 .  Vớim = 1, phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có tập nghiệm làR.  Vớim =1, phương trình đã cho trở thành 0x =6) Phương trình vô nghiệm. 4 m 2 + 3
(x 1)m = (3 2m)x 5, m 2 + 2m
x =m 2 +m 2. Ì m 2 + 2m6= 0, ¨ m6= 0 m6=2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = m 2 +m 2 m 2 + 2m = m 1 m . Ì m 2 + 2m = 0, – m = 0 m =2 .  Vớim = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x =2) Phương trình vô nghiệm.  Vớim =2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có tập nghiệm làR. Bài2. Giải và biện luận theo tham sốa vàb các phương trình a 2 x =a(x +b)b 1 (a +b) 2 x + 2a 2 = 2a(a +b) + a 2 +b 2
x 2 a(x 2a) 12 + b 2 4 = bxa 2 12 + b 2 6 3 ýLờigiải. 1 a 2 x =a(x +b)b, a 2 a
x =abb. Ì a 2 a6= 0, ¨ a6= 0 a6= 1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = abb a 2 a = b a . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 142 Ì a 2 a = 0, – a = 0 a = 1 .  Với a = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x =b có vô số nghiệm khi b = 0, vô nghiệm khi b6= 0.  Vớia =1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có tập nghiệm làR. 2 (a +b) 2 x + 2a 2 = 2a(a +b) + a 2 +b 2
x,abx =ab Ì ab6= 0 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = 1. Ì ab6= 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có tập nghiệm làR. 3 a(x 2a) 12 + b 2 4 = bxa 2 12 + b 2 6 , (ab)x =a 2 b 2 . Ì ab6= 0,a6=b thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = a 2 b 2 ab =a +b. Ì ab = 0,a =b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0) Phương trình có tập nghiệm làR. Bài3. Giải và biện luận theo tham sốm các phương trình 3 2x 2 =m + 1 1 m(x + 4) 1 x + 2 = 1 2 m mx + 3 = 2 3 ýLờigiải. 1 3 2x 2 =m + 1, ¨ 3 = (2x 2)(m + 1) x6= 1 , 2(m + 1)x = 2m + 5 Ì m + 16= 0,m6=1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = 2m + 5 2m + 2 . Ì m + 1 = 0,m =1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 5) Phương trình vô nghiệm. 2 m(x + 4) 1 x + 2 = 1, ¨ m(x + 4) 1 =x + 2 x6=2 , 8 < : (m 1)x =4m + 3 () m6= 1 2 : Ì m 16= 0,m6= 1 thì phương trình () có nghiệm duy nhấtx = 4m + 3 m 1 : Ì m 1 = 0,m = 1 thì phương trình () trở thành 0x =1) Phương trình vô nghiệm. 3 m mx + 3 = 2, 8 > > < > > : m = 3(mx + 3) x6= 3 m m6= 0 , ¨ 3mx =m 9 m6= 0 , 8 < : x = m 9 3m m6= 0: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khim6= 0, vô nghiệm khim = 0. Bài4. Tìm tất cả giá trị củam để phương trình m 2 xm = 4x 2 có nghiệm duy nhất. 1 m(mx 1) = 1 +x có tập nghiệm làR. 2 (m + 1) 2 x + 1m = (7m 5)x vô nghiệm. 3 ýLờigiải. 1 m 2 xm = 4x 2, m 2 4
x =m 2 () () có nghiệm duy nhất,m 2 46= 0, ¨ m6= 2 m6=2: 2 m(mx 1) = 1 +x, m 2 1
x =m + 1 () () có tập nghiệm làR, ¨ m 2 1 = 0 m + 1 = 0 ,m =1: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 143 3 (m + 1) 2 x + 1m = (7m 5)x, m 2 5m + 6
x =m 1 () () vô nghiệm, ¨ m 2 5m + 6 = 0 m 16= 0 , – m = 2 m = 3: Bài5. Chứng minh rằng phương trìnhm(m 1)x + 2mx = (2m 1)x +m có nghiệm duy nhất với mọim2R. ýLờigiải. m(m 1)x + 2mx = (2m 1)x +m, m 2 m + 1
x =m. Ta cóm 2 m + 1 =m 2 m + 1 4 + 3 4 =  m 1 2 ‹ 2 + 3 4 > 0;8m2R. Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọim2R. d Dạng2.Giảivàbiệnluậnphươngtrìnhbậchaimộtẩn Cách giải và biện luận phương trìnhax 2 +bx +c = 0. Trường hợp 1. a = 0; giải tìm tham số. Thế tham số này vào phương trình đã cho để có kết luận. Trường hợp 2. a6= 0. Tính
=b 2 4ac. (Nếub chẵn thì tính
0 =b 2 ac vớib 0 = b 2 ) Ì Nếu ¨ a6= 0
< 0 thì phương trình vô nghiệm. Ì Nếu ¨ a6= 0
= 0 thì phương trình có nghiệm képx = b 2a : (Nếu tính
0 thìx = b 0 a ). Ì Nếu ¨ a6= 0
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệtx = b p
2a . (Nếu tính
0 thìx = b 0  p
0 a ). 1 VÍ DỤ #Vídụ1. Tìm tham sốm để phương trìnhmx 2 2(m + 3)x +m + 1 = 0 () vô nghiệm. ýLờigiải. Trường hợp 1. a = 0,m = 0. Thay vào phương trình () ta được6x + 1 = 0,x = 1 6 . Suy ra phương trình có một nghiệmx = 1 6 nênm = 0 không thỏa mãn. Trường hợp 2. a6= 0,m6= 0. Ta có
0 = (m + 3) 2 m(m + 1) = 5m + 9. Phương trình () vô nghiệm khi và chỉ khi
0 < 0, 5m + 9< 0,m< 9 5 : Vậym< 9 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. #Vídụ2. Tìm tham sốm để phương trình (2m)x 2 4x + 3 = 0 () có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. ýLờigiải. Ta có
0 = (2) 2 3(2m) = 3m 2: Phương trình () có nghiệm kép khi và chỉ khi ¨ a6= 0
0 = 0 , ¨ 2m6= 0 3m 2 = 0 , 8 < : m6= 2 m = 2 3 ,m = 2 3 : Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 144 Khi đó phương trình () có nghiệm kép làx = b 2a = 2 2m = 3 2 : #Vídụ3. Tìm tham sốm để phương trình (2m 1)x 2 2(m 1)x 1 = 0 () có hai nghiệm phân biệt. Tính hai nghiệm này. ýLờigiải. Ta có
0 = (m 1) 2 (2m 1)(1) =m 2 : Phương trình () có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ¨ a6= 0
0 > 0 , ¨ 2m 16= 0 m 2 > 0 , 8 < : m6= 1 2 m6= 0: Khi đó phương trình () có nghiệm phân biệt làx 1;2 = b 0  p
a = (m 1)m 2m 1 ,x 1 = 1; x 2 = 1 2m 1 . Nhậnxét: Ta có thể tính nhanh hai nghiệm bằng cách: phương trình này có các hệ sốa,b,c thỏa mãn điều kiệna +b +c = 0 nên phương trình có một nghiệmx 1 = 1 và nghiệmx 2 = c a = 1 2m 1 . #Vídụ4. Tìm tham sốm để phương trình (m + 2)x 2 2mx +m 3 = 0 () có nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. ýLờigiải. Ta có
0 =m 2 (m + 2)(m 3) =m + 6: Phương trình () có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ¨ a6= 0
0 > 0 , ¨ m + 26= 0 m + 6> 0 , ¨ m6=2 m>6: Khi đó phương trình () có nghiệm phân biệt làx 1;2 = b 0  p
a = m p m + 6 m + 2 . #Vídụ5. Giải và biện luận theo tham sốm phương trình (m 3)x 2 2(m 2)x +m = 0 (): ýLờigiải. Trường hợp 1. a = 0,m 3 = 0,m = 3. Thay vào phương trình () ta được2x + 3 = 0,x = 3 2 . Suy ra phương trình có một nghiệmx = 3 2 . Trường hợp 2. a6= 0,m6= 3. Ta có
0 = (m 2) 2 m(m 3) =m + 4. Ì Nếu ¨ a6= 0
0 < 0 , ¨ m6= 3 m + 4< 0 ,m> 4 thì phương trình () vô nghiệm. Ì Nếu ¨ a6= 0
0 = 0 , ¨ m6= 3 m + 4 = 0 ,m = 4 thì phương trình () có nghiệm kép x = b 2a = m 2 m 3 = 2: Ì Nếu ¨ a6= 0
0 > 0 , ¨ m6= 3 m + 4> 0 , ¨ m6= 3 m< 4 thì phương trình () có hai nghiệm phân biệt x 1;2 = b 0  p
a = m 2 p m + 4 m 3 : h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 145 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài1. Tìm tham sốm để phương trình 1 (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 vô nghiệm. 2 mx 2 (2m + 3)x +m = 0 có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. 3 mx 2 2(m + 3)x +m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. 4 (m 1)x 2 + 7x 12 = 0 có nghiệm. Tính các nghiệm này. ýLờigiải. 1 (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 (1) vô nghiệm. Trường hợp 1. a = 0,m = 1. Thay vào phương trình (1) ta được 3x 1 = 0,x = 1 3 . Suy ra phương trình có một nghiệmx = 1 3 nênm = 1 không thỏa mãn. Trường hợp 2. a6= 0,m6= 1. Ta có
= 3 2 4(m 1)(1) =4m + 13. Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi
< 0,4m + 13< 0,m> 13 4 : Vậym> 13 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 mx 2 (2m + 3)x +m = 0 (2) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. Ta có
= (2m + 3) 2 4m
m = 12m + 9: Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi ¨ a6= 0
0 = 0 , ¨ m6= 0 12m + 9 = 0 , 8 < : m6= 0 m = 3 4 ,m = 3 4 : Khi đó phương trình (2) có nghiệm kép làx = b 2a = 2m + 3 2m =1: 3 mx 2 2(m + 3)x +m + 1 = 0 (3) có hai nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. Ta có
0 = (m + 3) 2 m(m + 1) = 5m + 9: Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ¨ a6= 0
0 > 0 , ¨ m6= 0 5m + 9> 0 , 8 < : m6= 0 m> 9 5 : Khi đó phương trình (3) có nghiệm phân biệt làx 1;2 = b 0  p
a = m + 3 p 5m + 9 m + 2 . 4 (m 1)x 2 + 7x 12 = 0 (4) có nghiệm. Tính các nghiệm này. Trường hợp 1. a = 0,m = 1. Thay vào phương trình (4) ta được 7x 12 = 0,x = 12 7 . Suy ra phương trình có một nghiệmx = 12 7 . Trường hợp 2. a6= 0,m6= 1. Ta có
= 7 2 4(m 1)(12) = 48m 1. Phương trình (4) có nghiệm khi và chỉ khi ¨ a6= 0
> 0 , ¨ m6= 1 48m 1> 0 , 8 < : m6= 1 m> 1 48 : Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1;2 = b p
2a = 7 p 48m 1 2(m 1) : Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 146 Bài2. Giải và biện luận theo tham sốm phương trình 1 x 2 + 2(m + 1)x +m 2 + 7 = 0. 2 (2m)x 2 4x + 3 = 0. ýLờigiải. 1 x 2 + 2(m + 1)x +m 2 + 7 = 0 (1). Ta có
0 = (m + 1) 2 (m 2 + 7) = 2m 6. Ì Nếu
0 < 0, 2m 6< 0,m< 3 thì phương trình (1) vô nghiệm. Ì Nếu
0 = 0, 2m 6 = 0,m = 3 thì phương trình (1) có nghiệm kép x = b 2a =(m + 1) =4: Ì
0 > 0, 2m 6> 0,m> 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1;2 = b 0  p
a =m 1 p 2m 6: 2 (2m)x 2 4x + 3 = 0 (2). Trường hợp 1. a = 0, 2m = 0,m = 2. Thay vào phương trình (2) ta được4x + 3 = 0,x = 3 4 . Suy ra phương trình có một nghiệmx = 3 4 . Trường hợp 2. a6= 0,m6= 3. Ta có
0 = 2 2 3(2m) = 3m 2. Ì Nếu ¨ a6= 0
0 < 0 , ¨ m6= 2 3m 2< 0 ,m< 2 3 thì phương trình (2) vô nghiệm. Ì Nếu ¨ a6= 0
0 = 0 , ¨ m6= 2 3m 2 = 0 ,m = 2 3 thì phương trình (2) có nghiệm kép x = b 2a = 2 2m = 3 2 : Ì Nếu ¨ a6= 0
0 > 0 , ¨ m6= 2 3m 2> 0 , 8 < : m6= 2 m> 2 3 thìphươngtrình (2)cóhainghiệmphânbiệt x 1;2 = b 0  p
a = 2 p 3m 2 2m : d Dạng3.ĐịnhlíVi-ét Nếu phương trìnhax 2 +bx +c = 0 có hai nghiệmx 1 vàx 2 thìS =x 1 +x 2 = b a vàP =x 1
x 2 = c a : ! 1 Phươngtrình 7x 2 2x + 3 = 0cóS = b a = 2 7 vàP = 3 7 là SAI vìphươngtrìnhnàyvônghiệm. 2 Phương trình x 2 2x 5 = 0 có S = b a = 2 và P =5 là ĐÚNG vì phương trình này có nghiệm. TìmhiểuthêmvềđịnhlíVietechophươngtrìnhbậc3 h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 147 Nếu phương trìnhax 3 +bx 2 +cx +d = 0 có ba nghiệm phân biệtx 1 ,x 2 vàx 3 thì 8 > > > > > < > > > > > : x 1 +x 2 +x 3 = b a x 1
x 2 +x 2
x 3 +x 3
x 1 = c a x 1 x 2 x 3 = d a : 1 VÍ DỤ #Vídụ1. Tìm tham sốm để phương trìnhx 2 +mx + 15 = 0 có một nghiệm là 5. Tính nghiệm còn lại. ýLờigiải. Vì phương trìnhx 2 +mx + 15 = 0 có một nghiệm là 5 nên ta có 5 2 + 5m + 15 = 0,m =8: Vớim =8, ta có phương trình x 2 8m + 15 = 0, – x = 3 x = 5: Vậy nghiệm còn lại làx = 5. #Vídụ2. Tìm giá trị tham sốm để phương trìnhx 2 mx + 36 = 0 có hai nghiệmx 1 vàx 2 thỏa hệ thức 1 x 1 + 1 x 2 = 5 12 . ýLờigiải. Phương trìnhx 2 mx + 36 = 0 có hai nghiệmx 1 vàx 2 khi và chỉ khim 2 4
36 0, – m12 m 12 . Áp dụng định lí Viete, ta có ¨ x 1 +x 2 =m x 1 _ x 2 = 36: Khi đó, 1 x 1 + 1 x 2 = 5 12 , x 1 +x 2 x 1
x 2 = 5 12 , m 36 = 5 12 ,m = 15 (thỏa mãn). Vậym = 15. #Vídụ3. Tìm tham sốm để phương trìnhmx 2 + 2(1m)x + 3(m 2) = 0 có hai nghiệmx 1 vàx 2 thỏa hệ thứcx 1 + 2x 2 = 2. ýLờigiải. Phương trìnhmx 2 + 2(1m)x + 3(m 2) = 0 có hai nghiệmx 1 vàx 2 khi và chỉ khi ¨ m6= 0 (1m) 2 3m(m 2) 0 , ¨ m6= 0 2m 2 + 4m + 1 0 , 8 < : m6= 0 2 p 6 2 m 2 + p 6 2 : Áp dụng định lí Viete, ta có 8 > < > : x 1 +x 2 = m 1 m x 1
x 2 = 3(m 2) m : Từ hệ phương trình, 8 < : x 1 +x 2 = m 1 m x 1 + 2x 2 = 2 , ta có 8 > < > : x 1 = 2 m x 2 = m + 1 m : Suy ra x 1
x 2 = 3(m 2) m , 2 m
m + 1 m = 3(m 2) m , 3m 2 4m + 2 = 0( vô nghiệm). Vậy không tồn tạim thỏa yêu cầu bài toán. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 148 #Vídụ4. Tìm tham sốm để phương trìnhx 2 x +m 2 = 0. 1 Giải phương trình khim = 1. 2 Tìmm để phương trình có nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lịa của phương trình. 3 Tìmm để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó theom. ýLờigiải. 1 Vớim = 1, ta có phương trình x 2 x 1 = 0, 2 6 6 4 x = 1 p 5 2 x = 1 + p 5 2 : VậyS =f 1 p 5 2 g: 2 Vì phương trìnhx 2 x +m 2 = 0 có nghiệm bằng 2 nên ta có 2 2 2 +m 2 = 0,m = 0: Vớim = 0, ta có phương trình x 2 x 2 = 0, – x =1 x = 2: Nghiệm còn lại của phương trình làx =1. 3 Phương trìnhx 2 x +m 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi
= 0, 1 4(m 2) = 0,m = 9 4 : Khi đó, nghiệm kép của phương trình làx = 1 2 . 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài8. Tìm tham sốm để phương trình (m 1)x 2 2(m + 1)x 1 = 0 có một nghiệm là 3. Tính nghiệm còn lại. ýLờigiải. Phương trình (m 1)x 2 2(m + 1)x 1 = 0 có một nghiệm là 3 nên ta có (m 1)3 2 6(m + 1) 1 = 0, 3m 16 = 0,m = 16 3 : Vớim = 16 3 , ta có phương trình 13 3 x 2 38 3 x 1 = 0, 2 4 x = 3 x = 1 13 : Vậym = 16 3 . Bài9. Tìm tham sốm để phương trình 1 x 2 2mx + 3m 2 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 đồng thời thỏa hệ thứcx 2 1 +x 2 2 + 3x 1 x 2 = 5. 2 x 2 (m + 2)x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 đồng thời thỏa hệ thức x 1 x 2 + x 2 x 1 = 9 2 : 3 x 2 4x +m 1 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 đồng thời thỏa hệ thứcx 3 1 +x 3 2 = 40. 4 x 2 (m + 1)x + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 đồng thời thỏa hệ thứcx 1 = 3x 2 . ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 149 1 Phương trìnhx 2 2mx + 3m 2 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 khi và chỉ khi m 2 (3m 2)> 0, – m< 1 m> 2: Áp dụng định lí Viete, ta có ¨ x 1 +x 2 = 2m x 1 x 2 = 3m 2 . Khi đó, x 2 1 +x 2 2 + 3x 1 x 2 = 5, (x 1 +x 2 ) 2 +x 1 x 2 = 5, 4m 2 + 3m 2 = 5, 2 4 m = 1 (loại) m = 7 4 (thỏa mãn). Vậym = 7 4 . 2 Phương trìnhx 2 (m + 2)x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 khi và chỉ khi (m + 2) 2 8> 0, " m<2 2 p 2 m>2 + 2 p 2: Áp dụng định lí Viete, ta có ¨ x 1 +x 2 =m + 2 x 1 x 2 = 2 . Khi đó, x 1 x 2 + x 2 x 1 = 9 2 , (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 x 1 x 2 = 9 2 , (m + 2) 2 4 2 = 9 2 , (m + 2) 2 = 13 , " m =2 p 13 (thỏa mãn) m =2 + p 13 (thỏa mãn). Vậym =2 p 13. 3 Phương trìnhx 2 4x +m 1 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 khi và chỉ khi 4 (m 1)> 0,m< 5: Áp dụng định lí Viete, ta có ¨ x 1 +x 2 = 4 x 1 x 2 =m 1 . Khi đó, x 3 1 +x 3 2 = 40, (x 1 +x 2 ) 3 3x 1 x 2
(x 1 +x 2 ) = 40 , 4 3 12(m 1) = 40,m = 3 (thỏa mãn). Vậym = 3. 4 Phương trìnhx 2 (m + 1)x + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 vàx 2 khi và chỉ khi (m + 1) 2 40> 0, " m<1 2 p 10 m>1 + 2 p 10: Áp dụng định lí Viete, ta có ¨ x 1 +x 2 =m + 1 x 1 x 2 = 10 . Từ hệ phương trình ¨ x 1 +x 2 =m + 1 x 1 = 3x 2 , ta có 8 > < > : x 1 = 3m + 3 4 x 2 = m + 1 4 : Suy ra x 1 x 2 = 10, 3(m + 1) 2 = 160, 3m 2 + 6m 157 = 0, 2 6 6 4 m = 3 + 4 p 30 3 (thỏa mãn) m = 3 4 p 30 3 (thỏa mãn) Vậym = 3 4 p 30 3 . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 150 d Dạng4.Phươngtrìnhvôtỷ p A =B Phươngphápgiảitoán Biến đổi phương trình về dạng p A =B. Cách1. Sử dụng phép biến đổi tươngđương. p A =B, ¨ B 0 A =B 2 : Cách2. Sử dụng phép biến đổi hệ quả.  p A =B)A =B 2 . (1)  Giải phương trình (1) tìm được ẩn sốx và thế vào phương trình đã cho để nhận nghiệm. 1 VÍ DỤ #Vídụ1. Giải phương trình p 4x 2 + 2x + 10 3x = 1. ýLờigiải. Ta có p 4x 2 + 2x + 10 3x = 1, p 4x 2 + 2x + 10 = 3x + 1, ¨ 3x + 1 0 4x 2 + 2x + 10 = (3x + 1) 2 , 8 < : x 1 3 5x 2 + 4x 9 = 0 , 8 > > > > < > > > > : x 1 3 2 4 x = 1 (nhận) x = 9 5 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 1. #Vídụ2. Giải phương trình p 2x + p 6x 2 + 1 =x + 1. ýLờigiải. Ta có È 2x + p 6x 2 + 1 =x + 1, ( x + 1 0 2x + p 6x 2 + 1 = (x + 1) 2 , ( x1 p 6x 2 + 1 =x 2 + 1 , ¨ x1 6x 2 + 1 = (x 2 + 1) 2 , ¨ x1 x 4 4x 2 = 0 , ¨ x1 x 2 (x 2 4) = 0 , 8 > < > : x1 – x 2 = 0 x 2 4 = 0 , 8 > > > < > > > : x1 2 6 4 x = 0 (nhận) x = 2 (nhận) x =2 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 0 vàx = 2. #Vídụ3. Giải phương trìnhx + 3 p x 2 3 = 7. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 151 Ta có x + 3 p x 2 3 = 7, p x 2 3 = 7x 3 , 8 > > < > > : 7x 3  0 x 2 3 =  7x 3 ‹ 2 , ¨ 7x 0 9(x 2 3) = (7x) 2 , ¨ x 7 4x 2 + 7x 38 = 0 , 8 > > > > > < > > > > > : x 7 2 6 6 4 x = 7 + 3 p 73 8 (nhận) x = 7 3 p 73 8 (nhận): Vậy nghiệm của phương trình làx = 7 + 3 p 73 8 vàx = 7 3 p 73 8 . #Vídụ4. Giải phương trình p x + 1 x 2 = 2. ýLờigiải. Điều kiện: ¨ x + 1 0 x 26= 0 , ¨ x1 x6= 2: Ta có p x + 1 x 2 = 2, p x + 1 = 2(x 2), ¨ x 2 0 x + 1 = 4(x 2) 2 , ¨ x 2 4x 2 17x + 15 = 0 , 8 > > < > > : x 2 2 4 x = 3 (nhận) x = 5 4 (loại): Vậy phương trình có nghiệm làx = 3. #Vídụ5. Giải phương trình p x + 1
p 4x = 2. ýLờigiải. Điều kiện: ¨ x + 1 0 4x 0 , ¨ x1 x 4 ,1x 4: Ta có p x + 1
p 4x = 2, È (x + 1)
(4x) = 2, (x + 1)
(4x) = 4 , x 2 + 3x = 0, – x = 0 (nhận) x = 3 (nhận): Vậy phương trình có nghiệm làx = 0 vàx = 3. 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài1. Giải các phương trình sau: x + p 5x + 10 = 8 1 x p 2x + 7 = 4 2 2x p x 2 + 6x 5 = 6 3 ýLờigiải. a) Ta có x + p 5x + 10 = 8, p 5x + 10 = 8x, ¨ 8x 0 5x + 10 = (8x) 2 , ¨ x 8 x 2 21x + 54 = 0 , 8 > < > : x 8 – x = 3 (nhận) x = 18 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 3. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 152 b) Ta có x p 2x + 7 = 4, p 2x + 7 =x 4, ¨ x 4 0 2x + 7 = (x 4) 2 , ¨ x 4 x 2 10x + 9 = 0 , 8 > < > : x 4 – x = 9 (nhận) x = 1 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 9. c) Ta có 2x p x 2 + 6x 5 = 6, p x 2 + 6x 5 = 2x 6, ¨ 2x 6 0 x 2 + 6x 5 = (2x 6) 2 , ¨ x 3 5x 2 30x + 41 = 0 , 8 > > > > > < > > > > > : x 3 2 6 6 4 x = 15 + 2 p 5 5 (nhận) x = 15 2 p 5 5 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 15 + 2 p 5 5 . Bài2. Giải các phương trình sau: p 2x + p 6x 2 + 1 =x + 1 1 p x + p 5x + 10 = 2 p 2 2 p x 2 + p x + 8x = 1 3 ýLờigiải. a) Ta có È 2x + p 6x 2 + 1 =x + 1, ( x + 1 0 2x + p 6x 2 + 1 = (x + 1) 2 , ( x1 p 6x 2 + 1 =x 2 + 1 , ¨ x1 6x 2 + 1 = (x 2 + 1) 2 , ¨ x1 x 4 4x 2 = 0 , ¨ x1 x 2 (x 2 4) = 0 , 8 > < > : x1 – x 2 = 0 x 2 4 = 0 , 8 > > > < > > > : x1 2 6 4 x = 0 (nhận) x = 2 (nhận) x =2 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 0 vàx = 2. b) Ta có È x + p 5x + 10 = 2 p 2,x + p 5x + 10 = 8, p 5x + 10 = 8x , ¨ 8x 0 5x + 10 = (8x) 2 , ¨ x 8 x 2 21x + 54 = 0 , 8 > < > : x 8 – x = 3 (nhận) x = 18 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 3. c) Ta có È x 2 + p x + 8x = 1, È x 2 + p x + 8 =x + 1, ¨ x + 1 0 x 2 + p x + 8 = (x + 1) 2 , ¨ x1 p x + 8 = 2x + 1 , 8 > < > : x1 2x + 1 0 x + 8 = (2x + 1) 2 , 8 > > < > > : x1 x 1 2 4x 2 + 3x 7 = 0 , 8 > > > > < > > > > : x 1 2 2 4 x = 1 (nhận) x = 7 4 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 1. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 153 p A = p B Phươngphápgiải Cách 1. Sử dụng phép biến đổi tươngđương. p A = p B, ¨ A 0 (hoặcB 0) A =B Cách 2. Sử dụng phép biến đổi hệquả.  p A = p B)A =B (1)  Giải phương trình (1) tìm được ẩn sốx và thế vào phương trình đã cho để nhận nghiệm. 1 VÍ DỤ #Vídụ1. Giải phương trình p 2x 2 5x + 2 p 6 3x = 0. ýLờigiải. Ta có p 2x 2 5x + 2 p 6 3x = 0, p 2x 2 5x + 2 = p 6 3x, ¨ 6 3x 0 2x 2 5x + 2 = 6 3x , ¨ x 2 x 2 x 2 = 0 , 8 > < > : x 2 – x =1 (nhận) x = 2 (nhận): Vậy nghiệm của phương trình làx =1 vàx = 2. #Vídụ2. Giải phương trình p x 2 + 3x = 2 p 3x 2. ýLờigiải. Ta có p x 2 + 3x = 2 p 3x 2, ¨ 3x 2 0 x 2 + 3x = 4(3x 2) , 8 < : x 2 3 x 2 9x + 8 = 0 , 8 > > < > > : x 2 3 – x = 1 (nhận) x = 8 (nhận): Vậy nghiệm của phương trình làx = 1 vàx = 8. 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài1. Giải các phương trình sau: p 2x 1 1 2 p x + 3 = 0. 1 p x 2 + 3x = p 2(x + 1). 2 p 2x 2 3x + 4 = 3 2 p x + 5. 3 ýLờigiải. a) Ta có p 2x 1 1 2 p x + 3 = 0, p 2x 1 = 1 2 p x + 3, 8 < : x + 3 0 2x 1 = 1 4 (x + 3) , ¨ x3 4(2x 1) =x + 3 , ¨ x3 7x 7 = 0 , ¨ x3 x = 1: Vậy nghiệm của phương trình làx = 1. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 154 b) Ta có p x 2 + 3x = È 2(x + 1), ¨ 2(x + 1) 0 x 2 + 3x = 2(x + 1) , ¨ x + 1 0 x 2 +x 2 = 0 , 8 > < > : x1 – x = 1 (nhận) x =2 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 1. c) Ta có p 2x 2 3x + 4 = 3 2 p x + 5, 8 < : x + 5 0 2x 2 3x + 4 = 9 4 (x + 5) , ¨ x5 4(2x 2 3x + 4) = 9(x + 5) , ¨ x5 8x 2 21x 29 = 0 , 8 > > < > > : x5 2 4 x =1 (nhận) x = 29 8 (nhận): Vậy nghiệm của phương trình làx =1 vàx = 29 8 . Bài2. Giải các phương trình sau: p 2x 2 +x p 3 = 0. 1 2 p (x + 1) 2 + 7 = p 7(x + 5). 2 p (x + 1)(x 3) p x = 0. 3 ýLờigiải. a) Ta có p 2x 2 +x p 3 = 0, p 2x 2 +x = p 3, 2x 2 +x = 3, 2x 2 +x 3 = 0, 2 4 x = 1 x = 3 2 : Vậy nghiệm của phương trình làx = 1 vàx = 3 2 . b) Ta có 2 È (x + 1) 2 + 7 = È 7(x + 5), ¨ 7(x + 5) 0 4[(x + 1) 2 + 7] = 7(x + 5) , ¨ x + 5 0 4(x 2 + 2x + 8) = 7x + 35 , ¨ x5 4x 2 +x 3 = 0 , 8 > > < > > : x5 2 4 x =1 (nhận) x = 3 4 (nhận): Vậy nghiệm của phương trình làx =1 vàx = 3 4 . c) Ta có È (x + 1)(x 3) p x = 0, È (x + 1)(x 3) = p x, ¨ x 0 (x + 1)(x 3) =x , ¨ x 0 x 2 3x 3 = 0 , 8 > > > > > < > > > > > : x 0 2 6 6 4 x = 3 + p 21 2 (nhận) x = 3 p 21 2 (loại): Vậy nghiệm của phương trình làx = 3 + p 21 2 . h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 155 ! Thiếu dạng 3,4,5,6,7,8 NHÂNLƯỢNGLIÊNHỢP(NÂNGCAO) 1 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN #Vídụ1. Giải phương trình 3 2 + p x 2
= 2x + p x + 6: ýLờigiải. Ì Điều kiện cho phương trình có nghĩa: ¨ x 2 0 x + 6 0 ,x 2: Ì Ta có 3 2 + p x 2
= 2x + p x + 6, 2 (3x) = p x + 6 3 p x 2: () Ì Nhân hai vế của phương trình cho p x + 6 + 3 p x 26= 0 ta được: () , 2 (3x) ” p x + 6 + 3 p x 2 — = (x + 6) 9(x 2) , 2 (3x) ” p x + 6 + 3 p x 2 — = 8(3x) , – x = 3 (thỏax 2) p x + 6 + 3 p x 2 = 4: (1) (1) , (x + 6) + 9(x 2) + 6 È (x + 6)(x 2) = 16 , 3 p x 2 + 4x 12 = 14 5x, ¨ 14 5x 0 9(x 2 + 4x 12) = (14 5x) 2 , 8 < : x 14 5 16x 2 176x + 304 = 0 , 8 > > < > > : x 14 5 x = 11 3 p 5 2 ,x = 11 3 p 5 2 (thỏax 2): Ì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx = 3 hayx = 11 3 p 5 2 : Bài1. Giải phương trình sau. a. p 4x + 1 p 3x 2 = x + 3 5 b. p 3x 2 5x + 1 p x 2 2 = p 3(x 2 x 1) p x 2 3x + 4. Lờigiải: a. p 4x + 1 p 3x 2 = x + 3 5 Ì Phương trình xác định khi và chỉ khi ¨ 4x + 1 0 3x 2 0 , 8 > < > : x 1 4 x 2 3 ,x 2 3 : Ì Nhân hai vế của phương trình cho p 4x + 1 + p 3x 2. Ta được x + 3 = x + 3 5 € p 4x + 1 + p 3x 2 Š , (x + 3)
 1 1 5 € p 4x + 1 + p 3x 2 Š ‹ = 0 Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 156 , 2 4 x =3 (l) (1) 1 1 5 € p 4x + 1 + p 3x 2 Š = 0 (2) Giải (2): p 4x + 1 + p 3x 2 = 5 , 2 p 12x 2 5x 2 = 26 7x , ¨ 26 7x 0 4(12x 2 5x 2) = 49x 2 364x + 676 , 8 < : x 26 7 x 2 344x + 684 = 0 , 8 > > < > > : x 26 7 – x = 342 (l) x = 2 (n) ,x = 2: Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 2. b. p 3x 2 5x + 1 p x 2 2 = p 3(x 2 x 1) p x 2 3x + 4. Ì Phương trình xác định khi và chỉ khi 8 > > > > < > > > > : 3x 2 5x + 1 0 x 2 2 0 3(x 2 x 1) 0 x 2 3x + 4) 0: Để ý rằng: Ì (3x 2 5x + 1) 3(x 2 x 1) =2(x 2): Ì (x 2 2) (x 2 3x + 4) = 3(x 2): Do đó phương trình đã cho được biến đổi như sau: p 3x 2 5x + 1 È 3(x 2 x 1) = p x 2 2 p x 2 3x + 4 Nhân lượng liên hợp cho vế trái và nhân lượng liên hợp cho vế phải. Ta có 2(x 2) p 3x 2 5x + 1 + p 3(x 2 x 1) = 3(x 2) p x 2 2 + p x 2 3x + 4 , (x 2) ‚ 2 p 3x 2 5x + 1 + p 3(x 2 x 1) 3 p x 2 2 + p x 2 3x + 4 Œ = 0 , 8 > < > : x 2 = 0,x = 2 (n) 2 p 3x 2 5x + 1 + p 3(x 2 x 1) 3 p x 2 2 + p x 2 3x + 4 = 0 (1) Dễ thấy (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 2. #Vídụ2. Giải phương trình p x 2 + 12 + 5 = 3x + p x 2 + 5: ýLờigiải. Nhậnxét Ì Dùng máy tính cầm tay nhận thấyx = 2 là một nghiệm của phương trình. Do đó phương trình đã cho có thể phântíchthành (x 2)
P (x) = 0:Đểthựchiệnđiềuđó,tabiếnđổisaochomỗibiểuthứctrongphươngtrình đều xuất hiện thừa sốx 2 bằng cách:  Thếx = 2 vào biểu thức p x 2 + 12 ta được: p x 2 + 12 = p 2 2 + 12 = 4: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 157  Thếx = 2 vào biểu thức 3x ta được: 3
x = 3
2 = 6:  Thếx = 2 vào biểu thức p x 2 + 5 ta được: p x 2 + 5 = p 2 2 + 5 = 3: Từ đó có hướng biến đổi hằng số 5 trong phương trình thành: p x 2 + 12 +5 = 3x + p x 2 + 5, €p x 2 + 124 Š = (3x6) + €p x 2 + 53 Š : Giải Ì Phương trình đã cho xác định trênR: Ì Ta có: p x 2 + 12 + 5 = 3x + p x 2 + 5 , €p x 2 + 12 4 Š = (3x 6) + €p x 2 + 53 Š , x 2 4 p x 2 + 12 + 4 = 3(x 2) + x 2 4 p x 2 + 5 + 3 , (x 2)  x + 2 p x 2 + 12 + 4 x + 2 p x 2 + 5 + 3 3 ‹ = 0 , 2 4 x = 2 x + 2 p x 2 + 12 + 4 x + 2 p x 2 + 5 + 3 3 = 0: (1) Ì Từ phương trình đã cho ta lại có: p x 2 + 12 + 5 = 3x + p x 2 + 5, p x 2 + 12 p x 2 + 5 = 3x 5: Vì p x 2 + 12> p x 2 + 5 nên điều kiện để phương trình có nghiệm là 3x 5> 0,x> 5 3 : Suy rax + 2> 0 và hiển nhiên p x 2 + 12 + 4> p x 2 + 5 + 3 Do đó: x + 2 p x 2 + 12 + 4 x + 2 p x 2 + 5 + 3 3< 0; nghĩa là phương trình (1) vô nghiệm. Ì Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 2. Bài2. Giải các phương trình sau: p 3x + 1 p 6x + 3x 2 14x 8 = 0: 1 1 p x 1 + 2 x 2 + 1 2x = 7 4 : 2 p x + 3 = 1 2 x 7 2x + 5: 3 3 p x + 8 + p x 2 + 1 + p x +x 2 = 1 x + 1 + 2: 4 ýLờigiải. 1. p 3x + 1 p 6x + 3x 2 14x 8 = 0: Ì Phương trình đã cho xác định khi 1 3 x 6: Ì Phương trình, p 3x + 1 4
p 6x 1
+ (3x 2 14x 5) = 0: , 3x 15 p 3x + 1 + 4 5x p 6x + 1 + (x 5)(3x + 1) = 0 , (x 5)  3 p 3x + 1 + 4 + 1 p 6x + 1 + (3x + 1) ‹ = 0 , 2 4 x 5 = 0,x = 5 (n) 3 p 3x + 1 + 4 + 1 p 6x + 1 + (3x + 1) = 0 (VN do vế trái 0): Ì Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 5. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 158 2. 1 p x 1 + 2 x 2 + 1 2x = 7 4 : Ì Phương trình đã cho xác định khi ¨ x> 1 x6= 0: Ì Phương trình, 1 p x 1 1 = 3x 2 2x 8 4x 2 : , 1 p x 1 p x 1 = 3x 2 2x 8 4x 2 , 2x p x 1 1 + p x 1
= (x 2)(3x + 4) 4x 2 , (x 2) ‚ 3x + 4 4x 2 + 1 p x 1 1 + p x 1
Π= 0 , 2 4 x 2 = 0,x = 2 3x + 4 4x 2 + 1 p x 1 1 + p x 1
= 0 (VN do vế trái 0): Ì Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 2. 3. p x + 3 = 1 2 x 7 2x + 5: Ì Phương trình đã cho xác định khi ¨ x3 x6= 0: Ì Phương trình, p x + 3 2 = 1 2 x 7 2x + 3: , x 1 p x + 3 + 2 = x 2 + 6x 7 2x , x 1 p x + 3 + 2 = (x 1)(x + 7) 2x , (x 1)  1 p x + 3 + 2 x + 7 2x ‹ = 0 , 2 4 x 1 = 0,x = 1 (n) 1 p x + 3 + 2 x + 7 2x = 0 (VN): Ì Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 1. 4. 3 p x + 8 + p x 2 + 1 + p x +x 2 = 1 x + 1 + 2: Ì Phương trình đã cho xác định khi ¨ x 0 x6=1: Ì Phương trình, 3 p x + 8 2
+ € p x 2 + 1 1 Š + p x +x 2
= 1 x + 1 1: , € 3 p x + 8 2 Š + €p x 2 + 1 1 Š + p x +x 2
= 1 x + 1 1 , x 3 p x + 8
2 + 2 3 p x + 8 + 4 + x 2 p x 2 + 1 + 1 + xx 2 p xx 2 + x x + 1 = 0 , x 1 3 p x + 8
2 + 2 3 p x + 8 + 4 + x p x 2 + 1 + 1 + 1x p xx 2 + 1 x + 1 ! = 0 , 2 6 4 x = 0 1 3 p x + 8
2 + 2 3 p x + 8 + 4 + x p x 2 + 1 + 1 + 1x p xx 2 + 1 x + 1 = 0 (VN): Ì Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx = 0: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 159 #Vídụ3. Giải phương trình p 3x + 1 + p 5x + 4 = 3x 2 x + 3: ýLờigiải. Nhậnxét Ì Dùng máy tính cầm tay nhận thấyx = 0 hayx = 1 là hai nghiệm của phương trình. Do đó phương trình đã chocóthểphântíchthànhx
(x 1)
P (x) = 0:Đểthựchiệnđiềuđó,tabiếnđổisaochomỗibiểuthứctrong phương trình đều xuất hiện thừa sốx(x 2) bằng cách:  Xét p 3x + 1 =mx +n: Thếx = 0 vàx = 1 ta được ¨ 1 =n 2 =m +n , ¨ n = 1 m = 1:  Xét p 5x + 4 =px +q: Thếx = 0 vàx = 1 ta được ¨ 2 =q 3 =p +q , ¨ q = 2 p = 1: Giải Ì Phương trình đã cho xác định khix 1 3 : Ì Ta có: p 3x + 1 + p 5x + 4 = 3x 2 x + 3: , ” p 3x + 1 (x + 1) — + ” p 5x + 4 (x + 2) — = (3x 2 x + 3) (x 1) (x 2) , (3x + 1) (x + 1) 2 p 3x + 1 + (x + 1) + (5x + 4) (x + 2) 2 p 5x + 4 + (x + 2) = 3x 2 3x , x 2 +x p 3x + 1 + (x + 1) + x 2 +x p 5x + 4 + (x + 2) = 3(x 2 x) , (x 2 +x) • 1 p 3x + 1 + (x + 1) + 1 p 5x + 4 + (x + 2) + 3 ˜ = 0 , 2 4 x 2 +x = 0 1 p 3x + 1 + (x + 1) + 1 p 5x + 4 + (x + 2) + 3 = 0 (vô nghiệmvìVT > 0) , – x = 0 x = 1: Ì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm – x = 0 x = 1: Bài3. Giải các phương trình sau: a. p x 2 + 3x 9 + p 3x 5 =x 2 2x + 2; biếtx 5 3 : b. 5 p x + 3 + 5 p 3x 2 = 5x 2 31x + 41: c. 4 p 3x 2 + 4 p 10x + 4 p 5x + 4 = 4x 2 37x + 61: d. 2 p 3x + 4 + 3 p 5x + 9 =x 2 + 6x + 13: e. (x + 3) p x 2 +x + 2 =x 2 + 3x + 4: ýLờigiải. a. p x 2 + 3x 9 + p 3x 5 =x 2 2x + 2; biếtx 5 3 : Ì Phương trình đã cho xác định khix 1 3 : Ì Nhận thấy – x = 2 x = 3 là nghiệm Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 160 Ì Phương trình, ” p x 2 + 3x 9 (2x 3) — + p 3x 5 (x 1)  =x 2 5x + 6: , x 2 + 3x 9 (2x 3) 2 p x 2 + 3x 9 + (2x 3) + 3x 5 (x 1) 2 p 3x 5 + (x 1) =x 2 5x + 6 , 3x 2 + 15x 18 p x 2 + 3x 9 + (2x 3) + x 2 + 5x 6 p 3x 5 + (x 1) =x 2 5x + 6 , (x 2 5x + 6) ‚ 3 p x 2 + 3x 9 + (2x 3) + 1 p 3x 5 + (x 1) + 1 Œ = 0 , 2 4 x 2 5x + 6 = 0 3 p x 2 + 3x 9 + (2x 3) + 1 p 3x 5 + (x 1) + 1 = 0 (vô nghiệmvìVT > 0)) , – x = 3 (n) x = 2 (n): Ì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx = 3 hoặcx = 2. b. 5 p x + 3 + 5 p 3x 2 = 5x 2 31x + 41: Ì Nhận thấy – x = 1 x = 6 là nghiệm. Ì Phương trình,  5 p x + 3 (x + 9)  +  5 p 3x 2 (3x + 2)  = 5x 2 35x + 30: , x 2 + 7x 6 5 p x + 3 + (x + 9) + 9x 2 + 63x 54 5 p 3x 2 + (3x + 2) = 5x 2 35x + 30 , (x 1) (x 6) 5 p x + 3 + (x + 9) + 9 (x 1) (x 6) 5 p 3x 2 + (3x + 2) = 5 (x 1) (x 6) , (x 1) (x 6)  5 + 1 5 p x + 3 + (x + 9) + 9 5 p 3x 2 + (3x + 2) ‹ = 0 , 2 6 6 6 4 x = 1(n) x = 6(n) 5 + 1 5 p x + 3 + (x + 9) + 9 5 p 3x 2 + (3x + 2) = 0 (VN): Ì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx = 1 hoặcx = 6. c. 4 p 3x 2 + 4 p 10x + 4 p 5x + 4 = 4x 2 37x + 61: Ì Nhận thấy – x = 1 x = 9 là nghiệm Ì Phương trình ,  4 p 3x 2 (2x + 2)  +  4 p 10x (x + 13)  +  4 p 5x + 4 (2x + 10)  = 4x 2 40x + 36: , 4x 2 + 40x 36 4 p 3x 2 + 2x + 2 + x 2 + 10x 9 4 p 10xx + 13 + 4x 2 + 40x 36 4 p 5x + 4 + 2x + 10 = 4x 2 40x + 36 , x 2 10x + 9
 4 + 4 4 p 3x 2 + 2x + 2 + 1 4 p 10xx + 13 + 4 4 p 5x + 4 + 2x + 10 ‹ = 0 , 2 6 6 6 4 x = 1 (n) x = 9 (n) 4 + 4 4 p 3x 2 + 2x + 2 + 1 4 p 10xx + 13 + 4 4 p 5x + 4 + 2x + 10 = 0 (VN): Ì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx = 1 hoặcx = 9. d. 2 p 3x + 4 + 3 p 5x + 9 =x 2 + 6x + 13: Ì Nhận thấy – x = 0 x =1 là nghiệm h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 161 Ì Phương trình,  2 p 3x + 4 (2x + 4)  +  3 p 5x + 9 (3x + 9)  =x 2 +x: , 4x 2 4x 2 p 3x + 4 + 2x + 4 + 9x 2 9x 3 p 5x + 9 + 3x + 9 =x 2 +x , x 2 +x
 1 + 4 2 p 3x + 4 + 2x + 4 + 9 3 p 5x + 9 + 3x + 9 ‹ = 0 , 2 6 6 6 4 x = 0 (n) x =1 (n) 1 + 4 2 p 3x + 4 + 2x + 4 + 9 3 p 5x + 9 + 3x + 9 = 0 (VN): Ì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx =1 hoặcx = 0. e. (x + 3) p x 2 +x + 2 =x 2 + 3x + 4: Ì Nhận thấy – x = 1 x =2 là nghiệm Ì Phương trình, p x 2 +x + 2 = x 2 + 3x + 4 x + 3 , p x 2 +x + 2 2 = x 2 + 3x + 4 x + 3 2: , x 2 +x 2 p x 2 +x + 2 + 2 = x 2 +x 2 x + 3 , x 2 +x 2
 1 p x 2 +x + 2 + 2 1 x + 3 ‹ = 0 , 2 6 6 6 4 x = 1 x =2 1 p x 2 +x + 2 + 2 1 x + 3 = 0 (VN) Ì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx = 1 hoặcx =2. Phươngtrìnhchứadấugiátrịtuyệtđối Ghi chú: Theo công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01/09/2011 của BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO, từ năm học 2011, phần "Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối" là nội dung "đọc thêm". jAj = ¨ A nếuA 0 A nếuA< 0 : jAj =B, ¨ B 0 A =B : jAj =jBj,A =B: B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu1. Phương trình2x 2 4x + 3 =m có nghiệm khi A m 5. B m 5. C m> 5. D m< 5. ýLờigiải. Tacó2x 2 4x+3 =m, 2x 2 +4x+m3 = 0Đểphươngtrìnhcónghiệmthì
0 = 42(m3) 0,m 5 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu2. Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để phương trìnhm 2 (x +m) =x +m có vô số nghiệm ? A m =1. B m = 0 hoặcm =1. C m = 0 hoặcm = 1. D1 < > : x 26= 0 x + 36= 0 (x 2)(x + 3)6= 0 , ¨ x6= 2 x6=3 ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu9. Nghiệm của phương trình 2x x 3 + 5x + 3 x + 3 = 1 là A – x = 0 x = 1 . B x =1. C x = 0. D x = 1. ýLờigiải. Ta có 2x x 3 + 5x + 3 x + 3 = 1, 2x(x + 3) + (x 3)(5x + 3) =x 2 9, 6x 2 6x = 0, – x = 0 x = 1 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu10. Chophươngtrình 1 4 x 2 (m3)x+m 2 2m+7 = 0.Tìmmđểphươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt. A m 1 2 . B m< 1 2 . C m> 1 2 . D m< 1 2 . ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 163 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
= (m 3) 2 (m 2 2m + 7)> 0,4m + 2> 0,m< 1 2 ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu11. Chophươngtrìnhx 2 2mx +m 2 m = 0. Tấtcả các thamsốmđể phươngtrình có hainghiệm phânbiệt x 1 ,x 2 thoả mãnx 2 1 +x 2 2 = 3x 1 x 2 . A – m = 0 m = 5 . B ¨ m = 0 m = 5 . C m = 0. D m = 5. ýLờigiải. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
0 =m 2 (m 2 m) =m> 0. Theo định lí Viet ta có ¨ x 1 +x 2 = 2m x 1 :x 2 =m 2 m . Khi đó ta có x 2 1 +x 2 2 = 3x 1 x 2 , (x 1 +x 2 ) 2 = 5x 1 x 2 , 4m 2 = 5(m 2 m), – m = 0 (loại) m = 5 ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu12. Nghiệm của phương trìnhj3x 1j = 5 là A x = 2. B x = 1 3 . C 2 4 x = 2 x = 1 3 . D 2 4 x = 2 x = 4 3 . ýLờigiải. Dễ thấy rằngj3x 1j = 5, 2 4 x = 2 x = 4 3 ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu13. Cho phương trìnhx 2 2(m 1)x +m 2 3m + 4 = 0. Tìmm để phương trình có hai nhiệm phân biệt x 1 ;x 2 thoảx 2 1 +x 2 2 = 20. A – m =3 m = 4 . B m = 4. C m =3. D – m = 3 m =4 . ýLờigiải. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
0 = (m 1) 2 (m 2 3m + 4) =m 3> 0,m> 3. Theo định lí Viet ta có ¨ x 1 +x 2 = 2(m 1) x 1 :x 2 =m 2 3m + 4 . Khi đó x 2 1 +x 2 2 = 20, (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 20, 2m 2 2m 4 = 20, – m =3 m = 4 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu14. Phương trìnhx 2 2x +m = 0 có nghiệm khi A m 1. B m 1. C m1. D m1. ýLờigiải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
= 1m 0,m 1 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu15. Phương trìnhx 2 2xm = 0 có nghiệm khi A m 1. B m 1. C m1. D m1. ýLờigiải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
= 1 +m 0,m1 ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu16. Phương trình 4x 2 4x +m + 1 = 0 có nghiệm khi A m 0. B m 0. C m 1. D m1. ýLờigiải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
0 =4m 0,m 0 ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 164 Câu17. Phương trình 4x 2 4x +m + 1 = 0 vô nghiệm khi A m< 0. B m> 0. C m> 1. D m< 1. ýLờigiải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
0 =4m< 0,m> 0 ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu18. Cho phương trìnhax +b = 0. Chọn mệnh đề đúng ? A Nếu phương trình có nghiệm thìa6= 0. B Nếu phương trình vô nghiệm thìa = 0. C Nếu phương trình vô nghiệm thìb = 0. D Nếu phương trình có nghiệm thìb6= 0. ýLờigiải. Phương trìnhax +b = 0 có nghiệm khi và chỉ khi 2 6 4 a6= 0 ¨ a = 0 b = 0 . Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ a = 0 b6= 0 ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu19. Phương trìnhax 2 +bx +c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi A a = 0. B ¨ a6= 0
= 0 hoặc ¨ a = 0 b6= 0 . C a =b = 0. D ¨ a6= 0
= 0 . ýLờigiải. Phương trìnhax 2 +bx +c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2 6 6 6 4 ¨ a6= 0
= 0 ¨ a = 0 b6= 0 : ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu20. Phương trìnhx 2 (2 + p 3)x + 2 p 3 = 0 A Có 2 nghiệm trái dấu. B Có hai nghiệm âm phân biệt. C Có hai nghiệm dương phân biệt. D Vô nghiệm. ýLờigiải. Dễ thấy rằng phương trình có hai nghiệmx = p 3 vàx = 2 nên có hai nghiệm dương phân biệt. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu21. Phương trìnhx 2 +m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi A m> 0. B m< 0. C m 0. D m 0. ýLờigiải. Ta cóx 2 +m = 0,x 2 =m. Để phương trình này có nghiệm thìm 0,m 0 ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu22. Cho phương trìnhax 2 +bx +c = 0 (1). Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ? A NếuP < 0 thì (1) có hai nghiệm trái dấu. B NếuP > 0 vàS < 0 thì (1) có hai nghiệm. C NếuP > 0,S < 0 và
> 0 thì (1) có 2 nghiệm âm. D NếuP > 0,S > 0 và
> 0 thì (1) có 2 nghiệm dương. ýLờigiải. Mệnh đề "NếuP > 0 vàS < 0 thì (1) có hai nghiệm" sai vì phương trìnhx 2 +x + 2021 = 0 vô nghiệm thực ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu23. Chophươngtrìnhax 2 +bx +c = 0(vớia6= 0).Phươngtrìnhcóhainghiệmâmphânbiệtkhivàchỉkhi A ¨
> 0 P > 0 . B 8 > < > :
> 0 S < 0 P > 0 . C 8 > < > :
> 0 S > 0 P > 0 . D ¨
> 0 S < 0 . ýLờigiải. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 165 Câu24. Cho phương trình ( p 3 + 1)x 2 + (2 p 5)x + p 2 p 3 = 0. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A Phương trình vô nghiệm. B Phương trình có hai nghiệm dương. C Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D Phương trình có hai nghiệm âm. ýLờigiải. Ta cóP = p 2 p 3 p 3 + 1 < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu25. Hai số 1 p 2 và 1 + p 2 là hai nghiệm của phương trình A x 2 2x 1 = 0. B x 2 + 2x 1 = 0. C x 2 + 2x + 1 = 0. D x 2 2x + 1 = 0. ýLờigiải. Ta có (1 + p 2)(1 p 2) = 2 và (1 + p 2)(1 p 2) = 3 nên phương trình nhận hai số 1 p 2 và 1 + p 2 làm hai nghiệm làx 2 2x + 3 = 0. Câu26. p 2 và p 3 là hai nghiệm của phương trình A x 2 ( p 2 p 3)x p 6 = 0. B x 2 ( p 2 + p 3)x + p 6 = 0. C x 2 + ( p 2 + p 3)x + p 6 = 0. D x 2 + ( p 2 p 3)x p 6 = 0. ýLờigiải. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu27. Phương trình (m 2 m)x +m 3 = 0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi A m6= 0. B m6= 1. C – m6= 1 m6= 0 . D ¨ m6= 1 m6= 0 . ýLờigiải. Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất thìm 2 m6= 0, ¨ m6= 1 m6= 0 ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu28. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai A Phương trình 3x + 5 = 0 có nghiệm làx = 5 3 . B Phương trình 0x 7 = 0 vô nghiệm. C Phương trình 0x + 0 = 0 có tập nghiệm làR. D Phương trìnhm 2 x = 1 có nghiệm duy nhất với mọim2R. ýLờigiải. Phương trìnhm 2 x = 1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khim6= 0 và vô nghiệm khim = 0. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu29. Phương trình (a 3)x +b = 0 vô nghiệm với giá trịa,b là A a = 3,b tuỳ ý. B a tuỳ ý,b = 2. C a = 3,b = 2. D a = 3,b6= 2. ýLờigiải. Phương trình (a 3)x +b = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ a = 3 b6= 0 . Câu30. Cho phương trìnhx 2 + 7x 260 = 0 (1). Biết rằng phương trình có nghiệmx 1 = 13. Hỏix 2 bằng bao nhiêu A 27. B 20. C 20. D 8. ýLờigiải. Theo định lí viet ta cóx 1 +x 2 =7 màx 1 = 13 nênx 2 =20 ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu31. Phương trình m 2 4m + 3
x =m 2 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi A m6= 1. B m6= 3. C m6= 1 vàm6= 3. D m = 1 vàm = 3. ýLờigiải. Phương trình m 2 4m + 3
x =m 2 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khim 2 4m + 36= 0, ¨ m6= 1 m6= 3: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu32. Phương trình m 2 2m
x =m 2 3m + 2 có nghiệm khi A m = 0. B m = 2. C m6= 0 vàm6= 2. D m6= 0. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 166 ýLờigiải. Phương trình m 2 2m
x =m 2 3m + 2 vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 2m = 0 m 2 3m + 26= 0 , 8 > > > < > > > : – m = 0 m = 2 ¨ m6= 1 m6= 2 ,m = 0. Do đó phương trình có nghiệm khim6= 0. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu33. Tìmm để phương trình m 2 4
x =m(m + 2) có tập nghiệmR. A m = 2. B m =2. C m = 0. D m6=2 vàm6= 2. ýLờigiải. Phương trình m 2 4
x =m(m + 2) có tập nghiệmR khi và chỉ khi ¨ m 2 4 = 0 m(m + 2) = 0 ,m =2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu34. Phương trình m 2 3m + 2
x +m 2 + 4m + 5 = 0 có tập nghiệm làR khi A m =2. B m =5. C m = 1. D Không tồn tạim. ýLờigiải. Phương trình m 2 3m + 2
x +m 2 + 4m + 5 = 0 có tập nghiệm làR khi và chỉ khi ¨ m 2 3m + 2 = 0 m 2 + 4m + 5 = 0 , 8 > < > : – m = 1 m = 2 m2? ,m2?: ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu35. Phương trình m 2 5m + 6
x =m 2 2m vô nghiệm khi A m = 1. B m = 6. C m = 2. D m = 3. ýLờigiải. Phương trình m 2 5m + 6
x =m 2 2m vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 5m + 6 = 0 m 2 2m6= 0 , 8 > > > < > > > : – m = 2 m = 3 ¨ m6= 0 m6= 2 ,m = 3: ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu36. Phương trình (m + 1) 2 x + 1 = (7m 5)x +m vô nghiệm khi A m = 2 hoặcm = 3. B m = 2. C m = 1. D m = 3. ýLờigiải. Phương trình (m + 1) 2 x + 1 = (7m 5)x +m, (m 2 5m + 6)x =m 1 (1). Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 5m + 6 = 0 m 16= 0 , – m = 2 m = 3: ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu37. Điều kiện để phương trìnhm(xm + 3) =m(x 2) + 6 vô nghiệm là A m = 2 hoặcm = 3. B m6= 2 vàm6= 3. C m6= 2 hoặcm = 3. D m = 2 hoặcm6= 3. ýLờigiải. Phương trìnhm(xm + 3) =m(x 2) + 6,mxm 2 + 3m =mx 2m + 6, 0x =m 2 5m + 6 (1). Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khim 2 5m + 66= 0, ¨ m6= 2 m6= 3: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu38. Phương trình (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 có nghiệm khi A m 5 4 . B m 5 4 . C m = 5 4 . D m = 5 4 . ýLờigiải. Ì Vớim = 1, ta có 3x 1 = 0,x = 1 3 (nhận). h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 167 Ì Vớim6= 1, ta có phương trình bậc hai (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
 0, 9 4(m 1)(1) 0, 4m + 5 0,m 5 4 : Vậy phương trình (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 có nghiệm khim 5 4 . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu39. Chophươngtrìnhx 2 +2(m+2)x2m1 = 0.Vớigiátrịnàocủamthìphươngtrìnhđãchocónghiệm? A m5 hoặcm1. B m<5 hoặcm>1. C 5m1. D m 1 hoặcm 5. ýLờigiải. Phương trìnhx 2 + 2(m + 2)x 2m 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
0  0, (m + 2) 2 (2m 1) 0,m 2 + 6m + 5 0, – m5 m1: ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu40. Cho phương trìnhmx 2 2(m 2)x +m 3 = 0. Khẳng định nào sau đây sai? A Nếum> 4 thì phương trình vô nghiệm. B Nếum 4 vàm6= 0 thì phương trình có nghiệmx = m 2 p 4m m ,x = m 2 + p 4m m . C Nếum = 0 thì phương trình có nghiệmx = 3 4 . D Nếum = 4 thì phương trình có nghiệm képx = 3 4 . ýLờigiải. Ì Vớim = 0, ta có phương trình: 4x 3 = 0,x = 3 4 . Ì Vớim6= 0,tacóphươngtrìnhbậchaimx 2 2(m2)x+m3 = 0có
0 = (m2) 2 m(m3) =m+4. 
0 < 0,m> 4: Phương trình vô nghiệm. 
0 = 0,m = 4: Phương trình có nghiệm képx = m 2 m = 1 2 . 
0  0,m 4: Phương trình có hai nghiệm phân biệtx = m 2 p 4m m ,x = m 2 + p 4m m . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu41. Với giá trị nào củam thì phương trìnhmx 2 + 2(m 2)x +m 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A m 4. B m< 4. C m< 4 vàm6= 0. D m6= 0. ýLờigiải. Phương trìnhmx 2 + 2(m 2)x +m 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ¨ m6= 0
0 > 0 , ¨ m6= 0 m + 4> 0 , ¨ m6= 0 m< 4: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu42. Với giá trị nào củam thì phương trình (m + 1)x 2 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép? A m = 7 6 . B m = 6 7 . C m = 6 7 . D m =1. ýLờigiải. Phương trình (m + 1)x 2 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi ¨ m + 16= 0
0 = 0 , ¨ m6=1 9(m + 1) 2 (m + 1)(2m + 3) = 0 , ¨ m6=1 7m 2 + 13m + 6 = 0 , 8 > > < > > : m6=1 2 4 m = 6 7 m =1 ,m = 6 7 : ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 168 Câu43. Với giá trị nào củam thì phương trình 2 x 2 1
=x(mx + 1) có nghiệm duy nhất? A m = 17 8 . B m = 2 hoặcm = 17 8 . C m = 2. D m = 0. ýLờigiải. Ta có 2 x 2 1
=x(mx + 1), (m 2)x 2 +x + 2 = 0. Ì Vớim = 2, ta có phương trìnhx + 2 = 0,x =2 (nhận). Ì Vớim6= 2, phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất,
= 0,8m + 17 = 0,m = 17 8 : Vậym = 2 hoặcm = 17 8 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu44. Để hai đồ thịy =x 2 2x + 3 vày =x 2 m có hai điểm chung thì A m =3; 5. B m<3; 5. C m>3; 5. D m3; 5. ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm:x 2 2x + 3 =x 2 m, 2x 2 + 2xm 3 = 0 (1). Để hai đồ thị có hai điểm chung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ,
0 > 0, 2m + 7> 0,m> 7 2 =3; 5: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu45. Nghiệm của phương trìnhx 2 3x + 5 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số A y =x 2 vày =3x + 5. B y =x 2 vày =3x 5. C y =x 2 vày = 3x 5. D y =x 2 vày = 3x + 5. ýLờigiải. Ta cóx 2 3x + 5 = 0,x 2 = 3x 5. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu46. Gọix 1 ,x 2 là các nghiệm của phương trìnhx 2 3x 1 = 0. Ta có tổngx 2 1 +x 2 2 bằng A 8. B 9. C 10. D 11. ýLờigiải. Ta cóx 2 1 +x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 3 2 2(1) = 11. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu47. Gọix 1 ,x 2 là các nghiệm của phương trình 2x 2 4x 1 = 0. Khi đó giá trị củaT =jx 1 x 2 j bằng A p 2. B 2. C p 6. D 4. ýLờigiải. Ta cóT 2 = (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 +x 2 ) 2 4x 1 x 2 = 2 2 4  1 2 ‹ = 6. Suy raT = p 6. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu48. Phương trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m 3) có nghiệm duy nhất với giá trị củam bằng A m = 4 3 . B m = 3 4 . C m6= 10 3 . D m6= 4 3 . ýLờigiải. Ta có 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m 3), (3m + 10)x = 2m 7. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m + 106= 0,m6= 10 3 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu49. Tìmm để phương trình m 2 2
(x + 1) =x + 2 vô nghiệm. A m = 0. B m =1. C m =2. D m = p 3. ýLờigiải. Ta có m 2 2
(x + 1) =x + 2, (m 2 3)x = 4m 2 vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 3 = 0 4m 2 6= 0 , ¨ m = p 3 m6=2 ,m = p 3: ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 169 Câu50. Tập nghiệm của phương trình m 2 9
x + 6 2m = 0 trong trường hợpm 2 96= 0 là A R. B ?. C § 2 m 3 ª . D § 2 m + 3 ª . ýLờigiải. Vớim 2 96= 0, ta cóx = 2m 6 m 2 9 = 2 m + 3 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu51. Hiện tại tuổi cha của An gấp 3 lần tuổi của An, 5 năm trước tuổi cha An gấp 4 lần tuổi An. Hỏi cha An sinh An lúc bao nhiêu tuổi? A 30. B 25. C 35. D 28. ýLờigiải. Gọix là số tuổi của An hiện tại (x2N). Suy ra số tuổi của cha An hiện tại là 3x. 5 năm trước tuổi cha An gấp 4 lần tuổi An nên ta có phương trình: 3x 5 = 4(x 5). Giải phương trình trên ta đượcx = 15. Suy ra hiện tại An 15 tuổi và cha An 45 tuổi. Như vậy cách đây 15 năm, cha An sinh ra An nên lúc đó ông 30 tuổi. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu52. Tập nghiệm của phương trìnhx 4 5x 2 + 4 = 0 là A S =f1; 4g. B S =f1; 2;2g. C S =f1; 1; 2;2g. D S =f1; 2g. ýLờigiải. Ta cóx 4 5x 2 + 4 = 0, – x 2 = 1 x 2 = 4 , – x =1 x =2: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu53. Tìm giá trị củam để phương trình 2x 2 3x +m = 0 có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. A m = 1 vàx 2 = 1 2 . B m =1 vàx 2 = 1 2 . C m =1 vàx 2 = 1 2 . D m = 1 vàx 2 = 1 2 . ýLờigiải. Thayx = 1 vào phương trình ta được: 2
1 2 3
1 +m = 0,m = 1. Khi đó ta có phương trình: 2x 2 3x + 1 = 0, 2 4 x = 1 x = 1 2 : ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu54. Tìm giá trịm để phương trìnhmx 2 3x 5 = 0 có một nghiệm bằng1. A m = 4. B m =4. C m = 2. D m =2. ýLờigiải. Thayx =1 vào phương trình ta được:m(1) 2 3(1) 5 = 0,m = 2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu55. Với giá trị nào củam thì phương trình (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu? A m> 1. B m< 1. C Với mọim. D Không tồn tạim. ýLờigiải. Phương trình (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu, (m 1)(1)< 0,m> 1. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu56. Cho phương trìnhax 4 +bx 2 +c = 0 (a6= 0) (1). Đặt
=b 2 4ac,S = b a ,P = c a . Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi A
< 0. B
< 0 hoặc 8 > < > :
 0 S < 0 P > 0 . C ¨
> 0 S < 0 . D ¨
> 0 P > 0 . ýLờigiải. Đặtx 2 =t (t 0). Khi đó (1),at 2 +bt +c = 0 (2). Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu57. Cho phương trìnhax 4 +bx 2 +c = 0 (a6= 0) (1). Đặt
=b 2 4ac,S = b a ,P = c a . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi A
> 0. B 8 > < > :
> 0 S > 0 P > 0 . C 8 > < > :
 0 S > 0 P > 0 . D 8 > < > :
> 0 S < 0 P > 0 . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 170 ýLờigiải. Đặtx 2 =t (t 0). Khi đó (1),at 2 +bt +c = 0 (2). Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt, 8 > < > :
> 0 S > 0 P > 0: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu58. Để phương trìnhm 2 (x 1) = 4x + 5m + 4 có nghiệm âm thì giá trị thích hợp cho tham sốm là A m<4 haym>2. B 4 2. D m<4 haym>1. ýLờigiải. Ta cóm 2 (x 1) = 4x + 5m + 4, (m 2 4)x =m 2 + 5m + 4. Phươngtrìnhcónghiệmduynhất,m 2 46= 0,m6=2.Khiđónghiệmcủaphươngtrìnhlàx = m 2 + 5m + 4 m 2 4 . Để phương trình có nghiệm âm thì m 2 + 5m + 4 m 2 4 < 0, – 4 2. ýLờigiải. Phươngtrình (m 1)x =m 2cónghiệmduynhấtkhivàchỉkhim 16= 0,m6= 1.Khiđónghiệmx = m 2 m 1 . Để phương trình có nghiệm âm thì m 2 m 1 < 0, ¨ m 2< 0 m 1> 0 , 1 > < > > : m6= 1 2 4 m = 6 7 m = 1 ,m = 6 7 : ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu63. Để phương trìnhmx 2 + 2(m 3)x +m 5 = 0 vô nghiệm, với giá trị củam là A m> 9. B m 9. C m< 9. D m< 9 vàm6= 0. ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 171 Ì Vớim = 0, phương trình trở thành6x 5 = 0,x = 5 6 . Vậym = 0 không thoả mãn yêu cầu bài toán. Ì Phương trìnhmx 2 + 2(m 3)x +m 5 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m6= 0
0 < 0 , ¨ m6= 0 (m 3) 2 m(m 5)< 0 ,m> 9: ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu64. Phương trình b x + 1 =a có nghiệm duy nhất khi A a6= 0. B a = 0. C a6= 0 vàb6= 0. D a =b = 0. ýLờigiải. Điều kiệnx6=1. Phương trình đã cho tương đươngax +ab = 0. Yêu cầu bài toán tương đương phương trìnhax +ab = 0 có nghiệm đuy nhất khác1. Suy ra ¨ a6= 0 a(1) +ab6= 0 , ¨ a6= 0 b6= 0: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu65. Với giá trị nào của tham sốa thì phương trình (x 2 5x + 4) p xa = 0 có hai nghiệm phân biệt? A a< 1. B 1a< 4. C a 4. D không cóa. ýLờigiải. Điều kiệnxa. Ta có (x 2 5x + 4) p xa = 0, 2 6 4 x = 1 x = 4 x =a: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy ra 1a< 4. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu66. Số nghiệm của phương trình p x 4(x 2 3x + 2) = 0 là A 0. B 1. C 2. D 3. ýLờigiải. Điều kiệnx 4. Ta có p x 4(x 2 3x + 2) = 0, 2 6 4 x = 1 x = 2 x = 4: So sánh với điều kiện ta đượcx = 4 là nghiệm của phương trình. Câu67. Phương trình (x 2 3x +m)(x 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi A m< 9 4 . B m 9 4 vàm6= 2. C m< 9 4 vàm6= 2. D m 9 4 . ýLờigiải. Ta có (x 2 3x +m)(x 1) = 0, – x 2 3x +m = 0 x 1 = 0: Đểphươngtrìnhcóbanghiệmphânbiệt,suyraphươngtrìnhx 2 3x +m = 0cóhainghiệmphânbiệtkhác 1.Điều này tương đương với ¨
> 0 1 3 +m6= 0 , ¨ 9 4m> 0 m6= 2 , 8 < : m< 9 4 m6= 2: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu68. Phương trìnhx 6 + 2003x 3 2005 = 0 có bao nhiêu nghiệm âm? A 0. B 1. C 2. D 6. ýLờigiải. Đặtt =x 3 . Khi đó phương trình trở thànht 2 + 2003t 2005 = 0. Ta cóac =2005< 0, do đó phương trình có hai nghiệm trái dấu. Suy ra phương trình có một nghiệm âm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 172 Câu69. Cho phương trìnhax 4 +bx 2 +c = 0 (1) (a6= 0). Đặt
=b 2 4ac,S = b a ,P = c a . Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi A
< 0. B
< 0 hoặc 8 > < > :
 0 S < 0 P > 0 . C ¨
> 0 S < 0 . D ¨
> 0 P < 0 . ýLờigiải. Đặtt =x 2 ,t 0. Phương trình trở thànhat 2 +bt +c = 0 (2). Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có hai nghiệm âm. Điều này tương đương với
< 0 hoặc 8 > < > :
 0 S < 0 P > 0 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu70. Phương trìnhx 4 + ( p 65 p 3)x 2 + 2(8 + p 63) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 2. B 3. C 4. D 0. ýLờigiải. Ta có
= ( p 65 p 3) 2 4
2(8 + p 63)< 0. Do đó phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu71. Phương trìnhx 4 2( p 2 1)x 2 + 2(3 2 p 2) = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm? A 2. B 3. C 4. D 0. ýLờigiải. Đặtt =x 2 ,t 0. Phương trình (1) trở thànht 2 2( p 2 1)t + 2(3 2 p 2) = 0 (2). Vìac = 2 p 2 3< 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu72. Phương trìnhx 4 + p 2 p 3x 2 = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm? A 2. B 3. C 4. D 1. ýLờigiải. Đặtt =x 2 ,t 0. Phương trình (1) trở thànht 2 p 3t + p 2 = 0 (2). Vìac = 2 p 2 3< 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu73. Phương trìnhx 4 2005x 2 13 = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm âm? A 2. B 3. C 0. D 1. ýLờigiải. Đặtt =x 2 ,t 0. Phương trình (1) trở thànht 2 2005t 13 = 0 (2). Vìac =13< 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm gồm 1 nghiệm âm và 1 nghiệm dương. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu74. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình (m 2 4)x = 3m + 6 vô nghiệm. A m = 1. B m = 2. C m =2. D m =2. ýLờigiải. Phương trình (m 2 4)x = 3m + 6 vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 4 = 0 3m + 66= 0 , 8 > < > : – m = 2 m =2 m6=2 ,m = 2: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu75. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trìnhmxm = 0 vô nghiệm. A m2?. B m =f0g. C m2R + . D m2R. ýLờigiải. Phương trìnhmxm = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m = 0 m6= 0 ,m2?: ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 173 Câu76. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình (m 2 5m + 6)x =m 2 3m vô nghiệm. A m = 1. B m = 2. C m = 3. D m = 6. ýLờigiải. Phương trình m 2 5m + 6
x =m 2 3m vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 5m + 6 = 0 m 2 3m6= 0 , 8 > > > < > > > : – m = 2 m = 3 ¨ m6= 0 m6= 3 ,m = 2: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu77. Cho phương trình (m + 1) 2 x + 2 = (7m 5)x +m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình đã cho vô nghiệm A m = 1. B m = 2;m = 3. C m = 2. D m = 3. ýLờigiải. Phương trình (m + 1) 2 x + 2 = (7m 5)x +m, (m 2 5m + 6)x =m 2 (1). Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 5m + 6 = 0 m 26= 0 , 8 > < > : – m = 2 m = 3 m6= 2 ,m = 3: ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu78. Cho hai hàm sốy = (m + 1)x 2 + 3m 2 x +m vày = (m + 1)x 2 + 12x + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A m = 2. B m =2. C m =2. D m = 1. ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm (m + 1)x 2 + 3m 2 x +m = (m + 1)x 2 + 12x + 2, (3m 2 12)x +m 2 = 0 Đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm vô ngiệm. Điều này tương đương với ¨ 3m 2 12 = 0 m 26= 0 , 8 > < > : – m = 2 m =2 m6= 2 ,m =2: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu79. Tìm tất cả giá trị thực của tham sốm để phương trình (2m 4)x =m 2 có nghiệm duy nhất A m =1. B m = 2. C m =6=1. D m6= 2. ýLờigiải. Phương trình (2m 4)x =m 2 có nghiệm duy nhất khi 2m 46= 0,m6= 2. Vậym6= 2 là các giá trị cần tìm. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu80. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [10; 10] để phương trình (m 2 9)x = 3m(m 3) có nghiệm duy nhất? A 2. B 19. C 20. D 21. ýLờigiải. Phương trình (m 2 9)x = 3m(m 3) có nghiệm duy nhất khim 2 96= 0,m6=3. Vìm2 [10; 10] vàm nguyên nênm2f10;9;::: ;4;2;1; 0; 1; 2; 4;::: ; 10g. Vậy có 19 giá trị cần tìm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu81. GọiS là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [5; 10] để phương trình (m + 1)x = (3m 2 1)x +m 1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trongS bằng A 15. B 16. C 39. D 40. ýLờigiải. Phương trình (m + 1)x = (3m 2 1)x + m 1 , (3m 2 m 2)x + m 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi 3m 2 m 26= 0, 8 < : m6= 1 m6= 2 3 : Vì m2 [5; 10] và m nguyên nên m2 S =f5;4;3;2;1; 0; 2; 3; 4;::: ; 10g. Vậy các phần tử của S bằng 1 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 39. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 174 Câu82. Tímtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrình (m 2 +m)x =m+1cónghiệmduynhấtx = 1. A m =1. B m6= 0. C m6=1. D m = 1. ýLờigiải. Phương trình có nghiệmx = 1, suy ra (m 2 +m)
1 =m + 1)m =1. Ì Vớim = 1, phương trình trở thành 2x = 2,x = 1 là nghiệm duy nhất, do đóm = 1 thoả mãn. Ì Vớim =1, phương trình trở thành 0x = 0, phương trình vô số nghiệm, do đóm =1 không thoả mãn. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu83. Cho hai hàm sốy = (m + 1) 2 x 2 vày = (3m + 7)x +m. Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A m6= 2. B m6=3. C m6=2,m6= 3. D m =2,m = 3. ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm (m + 1) 2 x 2 = (3m + 7)x +m, (m 2 m 6)x =m + 2 Đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có ngiệm duy nhất. Điều này tương đương với m 2 m 66= 0, ¨ m6=2 m6= 3: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình (m 2 1)x = m 1 có nghiệm đúng với mọi x2R. A m = 1. B m =1. C m =1. D m = 0. ýLờigiải. Phương trình (m 2 1)x =m 1 có nghiệm đúng với mọix2R khi và chỉ khi ¨ m 2 1 = 0 m 1 = 0 , ¨ m =1 m = 1 ,m = 1: ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu85. Cho phương trìnhm 2 x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình đã cho có nghiệm. A m = 2. B m6=2. C m6=2,m6= 2. D m2R. ýLờigiải. Phương trìnhm 2 x + 6 = 4x + 3m, (m 2 4)x = 3m 6. Phương trình (m 2 4)x = 3m 6 vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 4 = 0 3m 66= 0 , 8 > < > : – m = 2 m =2 m6= 2 ,m =2. Do đó phương trình có nghiệm khim6=2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu86. Chophươngtrình (m 2 3m + 2)x +m 2 5m + 4 = 0.Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphương trình đã cho nghiệm đúng với mọix2R. A m =2. B m =5. C m = 1. D Không tồn tại. ýLờigiải. Phương trình (m 2 3m + 2)x +m 2 5m + 4 = 0 có nghiệm đúng với mọix2R khi và chỉ khi ¨ m 2 3m + 2 = 0 m 2 5m + 4 = 0 , 8 > > > < > > > : – m = 1 m = 2 – m = 1 m = 4 ,m = 1: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 175 Câu87. Cho phương trình (m 2 m)x = m 2 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình đã cho có nghiệm. A m = 0. B m = 1. C m6= 0,m6= 3. D m6= 1. ýLờigiải. Phương trình m 2 2m
x =m 2 3m vô nghiệm khi và chỉ khi ¨ m 2 m = 0 m 2 3m + 26= 0 , 8 > > > < > > > : – m = 0 m = 1 ¨ m6= 0 m6= 3 ,m = 1. Do đó phương trình có nghiệm khim6= 1. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu88. Cho hai hàm sốy = (m + 1)x + 1 vày = (3m 2 1)x +m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. A m = 1,m = 2 3 . B m6= 1,m6= 2 3 . C m = 1. D m = 2 3 . ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm (m + 1)x + 1 = (3m 2 1)x +m, (3m 2 m 2)x =m + 1 Đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có vô số nghiệm. Điều này tương đương với ¨ 3m 2 m 2 = 0 m + 1 = 0 , 8 > > < > > : 2 4 m = 1 m = 2 3 m = 1 ,m = 1: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu89. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [10; 10] để phương trình x 2 x +m = 0 vô nghiệm? A 10. B 9. C 20. D 21. ýLờigiải. Phương trìnhx 2 x +m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
< 0, 1 4m < 0, m > 1 4 . Vìm2 [10; 10] vàm nguyên nênm2f1; 2;::: ; 10g. Vậy có 10 giá trị cần tìm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu90. Phương trình 2(x 2 1) =x(mx + 1) có nghiệm duy nhất khi A m = 17 8 . B m = 2;m = 17 8 . C m = 2. D m =1. ýLờigiải. Ta có 2(x 2 1) =x(mx + 1), (m 2)x 2 +x + 2 = 0. Ì Vớim = 2, phương trình trở thànhx + 2 = 0,x =2, phương trình có nghiệm duy nhất. Ì Vớim6= 2, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
= 0, 17 8m = 0,m = 17 8 . Vậym = 2;m = 17 8 là hai giá trị cần tìm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu91. GọiS là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình (m 2)x 2 2x + 1 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trongS bằng A 5 2 . B 3. C 7 2 . D 9 2 . ýLờigiải. TH1. m 2 = 0,m = 2. Khi đó phương trình trở thành2x 3 = 0. Phương trình này có duy nhất một nghiệm. Vậy nhậnm = 2. TH2. m 26= 0,m6= 2. Ta có
0 = 1 (m 2)(1 2m) = 2m 2 5m + 3. Phương trình có nghiệm duy nhất khi
= 0, 2 4 m = 1 m = 3 2 : Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 176 VậyS = § 2; 1; 3 2 ª . Tổng các phần tử trongS bằng 9 2 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu92. Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsốmthuộcđoạn [5; 5]đểphươngtrìnhmx 2 2(m+2)x+m1 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A 5. B 6. C 9. D 10. ýLờigiải. TH1. m = 0. Phương trình đã cho trở thành4x 1 = 0. Phương trình này có duy nhất một nghiệm. Vậy loại m = 0. TH2. m6= 0. Ta có
0 = (m + 2) 2 m(m 1) = 5m + 4. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
> 0,3m + 4> 0,m> 4 5 . Vìm2 [5; 5] nên ta nhậnm2f0; 1; 2; 3; 4; 5g. Vậy có 6 giá trịm thỏa mãn. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu93. Phương trình m 2 + 2
x 2 + (m 2)x 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi A 0 2. C m2R. D m 2. ýLờigiải. Ta cóm 2 + 2> 0;8m2R. Ta tính
= (m 2) 2 4(m 2 + 2)(3) = 13m 2 4m + 28>0;8m2R. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọim2R. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu94. Tìm giá trị thực của tham sốm để đường thẳngd: y = 2x +m tiếp xúc với parabol (P ): y = (m 1)x 2 + 2mx + 3m 1. A m = 1. B m =1. C m = 0. D m = 2. ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm củad và (P ) 2x +m = (m 1)x 2 + 2mx + 3m 1, (m 1)x 2 + 2(m 1)x + 2m 1 = 0: (*) d tiếp xúc (P ) khi phương trình () có nghiệm kép , ¨ m 16= 0
0 = 0 , ¨ m6= 1 (m 1) 2 (m 1)(2m 1) = 0 , ¨ m6= 1 m 2 +m = 0 ,m = 0: Câu95. GọiS là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [20; 20] để phương trìnhx 2 2mx + 144 = 0 có nghiệm. Tổng các phần tử trongS bằng A 21. B 18. C 1. D 0. ýLờigiải. Phương trình đã cho có nghiệm khi
0  0,m 2 144 0, – m 12 m 12: Vìm nguyên vàm2 [20; 20] nên ta nhậnm2f20;19;:::;12; 12; 13;:::; 20g. Vậy tổng các phần tử trongS bằng 0. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu96. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y =x 2 2x + 3 và y = x 2 m có điểm chung. A m = 7 2 . B m< 7 2 . C m> 7 2 . D m 7 2 . ýLờigiải. Phương trình hoành độ giao điểm củad và (P ): x 2 2x + 3 =x 2 m, 2x 2 + 2xm 3 = 0. () Hai đồ thị có điểm chung khi phương trình () có nghiệm,
0  0, 1 2 2(m 3) 0,m 7 2 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 177 Câu97. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [10; 10] để phương trìnhmx 2 mx + 1 = 0 có nghiệm. A 17. B 18. C 20. D 21. ýLờigiải. Phương trình đã cho có nghiệm khi
 0,m 2 4m 0, – m 0 m 4: Vìm2 Z vàm2 [10; 10] nênm2f10;9;:::; 0; 4; 5;:::; 10g. Vậy có tất cả 18 giá trị của tham sốm thỏa mãn yêu cầu bài toán. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình 3x 2 (m + 2)x +m 1 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. A m2 § 5 2 ; 7 ª . B m2 § 2; 1 2 ª . C m2 § 0; 2 5 ª . D m2 § 3 4 ; 1 ª . ýLờigiải. Gọix 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại khi ¨
> 0 (1) x 1 = 2x 2 (2): (1), (m + 2) 2 4
3(m 1)> 0,m6= 4. Vớim6= 4, theo định lý Vi-ét, ta có 8 > < > : x 1 +x 2 = m + 2 3 (3) x 1 x 2 = m 1 3 (4) Từ (2) và (3) suy ra 8 > < > : x 2 = m + 2 9 x 1 = 2(m + 2) 9 : Thay vào (4), ta được 2(m + 2) 2 81 = m 1 3 . Giải phương trình này ta đượcm = 5 2 hoặcm = 7. Vậym2 § 5 2 ; 7 ª . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trình 3x 2 2(m + 1)x + 3m 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. A m = 7. B m = 3. C m = 3;m = 7. D m2?. ýLờigiải. Gọix 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại khi ¨
0 > 0 (1) x 1 = 3x 2 (2): (1), (m + 1) 2 3(3m 5)> 0,m 2 7m + 16> 0 (luôn đúng8m2R). Theo định lí Vi-ét, ta có 8 > < > : x 1 +x 2 = 2(m + 1) 3 (3) x 1 x 2 = 3m 5 3 (4) Từ (2) và (3) suy ra 8 > < > : x 2 = m + 1 6 x 1 = m + 1 2 : Thay vào (4) ta được (m + 1) 2 12 = 3m 5 3 . Giải phương trình này ta đượcm = 3 hoặcm = 7. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu100. Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrình (x 1) x 2 4mx 4
= 0cóbanghiệmphân biệt? A m2R. B m6=?. C m6= 3 4 . D m6= 3 4 . ýLờigiải. Phương trình (x 1) x 2 4mx 4
= 0, – x = 1 x 2 4mx 4 = 0 () Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 178 Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi () có hai nghiệm phân biệt khác 1 , ¨
0 > 0 1 2 4m 46= 0 , 2 4 (2m) 2 + 4> 0 m6= 3 4 ,m6= 3 4 : ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu101. Phương trìnhax 2 +bx +c = 0(a6= 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi A ¨
> 0 P > 0 . B ¨
 0 P > 0 . C ¨
> 0 S > 0 . D ¨
> 0 S < 0 . ýLờigiải. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu102. Phương trìnhax 2 +bx +c = 0(a6= 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi A ¨
> 0 P > 0 . B 8 > < > :
> 0 P > 0 S > 0 . C 8 > < > :
> 0 P > 0 S < 0 . D ¨
> 0 S > 0 . ýLờigiải. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu103. Phương trìnhax 2 +bx +c = 0(a6= 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi A ¨
> 0 S < 0 . B ¨
> 0 S > 0 . C P < 0. D P > 0. ýLờigiải. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu104. Phương trìnhx 2 mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi A m<2. B m> 2. C m2. D m6= 0. ýLờigiải. Phương trìnhx 2 mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi 8 > < > :
> 0 S < 0 P > 0 , 8 > < > : (m) 2 4
1
1> 0 m< 0 1> 0 (luôn đúng) , ¨ m 2 4> 0 m< 0 , ¨ m<2 haym> 2 m< 0 ,m<2. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu105. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [5; 5] để phương trình x 2 + 4mx +m 2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A 5. B 6. C 10. D 11. ýLờigiải. Phương trìnhx 2 + 4mx +m 2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi 8 > < > :
0 > 0 S < 0 P > 0 , 8 > < > : (2m) 2 1
m 2 > 0 4m< 0 m 2 > 0 , 8 > < > : 3m 2 > 0 m> 0 m6= 0 , ¨ m6= 0 m> 0 ,m> 0. Vìm2 [5; 5] nên có 5 giá trị nguyên củam thỏa mãn đề bài. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu106. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham sốm để phương trìnhmx 2 +x +m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A m2  1 2 ; 0 ‹ . B m2  1 2 ; 1 2 ‹ . C m2 (0; 2). D m2  0; 1 2 ‹ . ýLờigiải. Phương trìnhmx 2 +x +m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi 8 > > > < > > > : a6= 0
> 0 S < 0 P > 0 , 8 > > > > > < > > > > > : m6= 0 1 4
m
m> 0 1 m < 0 1> 0 (luôn đúng) , 8 > > < > > : m6= 0 1 2 0 , 0 < > :
0 > 0 S > 0 P > 0 , 8 > < > : (2m) 2 1
m 2 > 0 4m> 0 m 2 > 0 , 8 > < > : 3m 2 > 0 m< 0 m6= 0 , ¨ m6= 0 m< 0 ,m< 0. Vìm2 [2; 6] nênS =f2;1g. Vậy tổng các phần tử trongS là3. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu108. Tậphợptấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrìnhx 2 2(m + 1)x +m 2 1 = 0cóhainghiệm dương phân biệt là A m2 (1; 1). B m2 (1; +1). C m2  1 2 ; 0 ‹ . D m2 (1;1). ýLờigiải. Phương trìnhx 2 2(m + 1)x +m 2 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi 8 > < > :
0 > 0 S > 0 P > 0 , 8 > < > : (m + 1) 2 1
(1)> 0 2(m 1)> 0 m 2 1> 0 , 8 > < > : (m 1) 2 + 1> 0 (luôn đúng) m> 1 m<1 haym> 1 ,m> 1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu109. Phương trình (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi A m> 1. B m< 1. C m 1. D m 1. ýLờigiải. Phương trình (m 1)x 2 + 3x 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khiac< 0, (m 1)(1)< 0,m> 1. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu110. Giảsửphươngtrìnhx 2 (2m + 1)x +m 2 + 2 = 0(mlàthamsố)cóhainghiệmlàx 1 ;x 2 .Tínhgiátrịbiểu thứcP = 3x 1 x 2 5(x 1 +x 2 ) theom. A P = 3m 2 10m + 6. B P = 3m 2 + 10m 5. C P = 3m 2 10m + 1. D P = 3m 2 + 10m + 1. ýLờigiải. Theo Vi-ét ta có ¨ x 1 +x 2 = 2m + 1 x 1 x 2 =m 2 + 2 . Khi đóP = 3x 1 x 2 5(x 1 +x 2 ) = 3(m 2 + 2) 5(2m + 1) = 3m 2 + 6 10m 5 = 3m 2 10m + 1 ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu111. Số nghiệm của phương trình 20x 3 (1x) 3 = 4 25 trên khoảng (0; 1) là A 6. B 3. C 2. D 1. ýLờigiải. Phương trình tương đương với x 3 (1x) 3 = 1 125 , [x(1x)] 3 =  1 5 ‹ 3 ,x(1x) = 1 5 ,x 2 +x 1 5 = 0, 2 6 6 4 x = 5 + p 5 10 x = 5 p 5 10 : Vậy số nghiệm trên khoảng (0; 1) là 2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu112. Giả sử phương trìnhx 2 3xm = 0 (m là tham số) có hai nghiệm làx 1 ;x 2 . Tính giá trị của biểu thức P =x 2 1 (1x 2 ) +x 2 2 (1x 1 ). A P =m + 9. B P = 5m + 9. C P =m + 9. D P =5m + 9. ýLờigiải. Theo Vi-ét ta có ¨ x 1 +x 2 = 3 x 1 x 2 =m . Ta cóP =x 2 1 (1x 2 ) +x 2 2 (1x 1 ) =x 2 1 x 2 1 x 2 +x 2 2 x 2 2 x 1 =x 2 1 +x 2 2 x 1 x 2 (x 1 +x 2 ) = (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 x 1 x 2 (x 1 +x 2 ) = 3 2 2
(m) (m)
3 = 5m + 9 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 180 Câu113. Giảsửphươngtrình 2x 2 4ax1 = 0cóhainghiệmlàx 1 ;x 2 .TínhgiátrịcủabiểuthứcT =jx 1 x 2 j. A T = 4a 2 + 2 3 . B T = p 4a 2 + 2. C T = p a 2 + 8 2 . D T = p a 2 + 8 4 . ýLờigiải. Theo định lý Viete ta có 8 < : x 1 +x 2 = 2a x 1 x 2 = 1 2 : Ta cóT = p (x 1 x 2 ) 2 = p S 2 4P = É (2a) 2 4
1 2 = p 4a 2 + 2. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu114. Cho phương trìnhx 2 +px +q = 0 trong đóp> 0;q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đóp bằng A p 4q + 1. B p 4q 1. C p 4q + 1. D q + 1. ýLờigiải. Giả sử hai nghiệm của phương trìnhx 1 ;x 2 . The Vi-ét ta có ¨ x 1 +x 2 =p x 1 x 2 =q: Khi đó ta cójx 1 x 2 j = 1, (x 1 x 2 ) 2 = 1,x 2 1 2x 1 x 2 +x 2 2 = 1, (x 1 +x 2 ) 2 4x 1 x 2 = 1 , (p) 2 4q = 1,p 2 = 4q + 1,p = p 4q + 1 (vìp> 0;q> 0). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu115. Nếum6= 0 vàn6= 0 là các nghiệm của phương trìnhx 2 +mx +n = 0 thì tổngm +n bằng A 1 2 . B 1. C 1 2 . D 1. ýLờigiải. Theo Vi-ét ta có ¨ m +n =m mn =n , ¨ m = 1 (vìn6= 0) m +n =m =1 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu116. Giá trị nào củam thì phương trìnhx 2 mx + 1 3m = 0 có hai nghiệm trái dấu? A m> 1 3 . B m< 1 3 . C m> 2. D m< 2. ýLờigiải. Phương trìnhx 2 mx + 1 3m = 0 có hai nghiệm trái dấu khiac< 0, 1 3m< 0,m> 1 3 . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu117. Tìm tham số thựcm để phương trình (m 1)x 2 2(m 2)x +m 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu? A m< 1. B m> 2. C m> 3. D 1 0 S = 0 , ¨ (m 1) 2 (m 3)> 0 2(m 1) = 0 , ¨ m 2 3m + 4> 0 (luôn đúng) m = 1 ,m = 1. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu119. Phương trìnhx 2 +x +m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi A m> 3 4 . B m< 3 4 . C m> 1 4 . D m> 5 4 . ýLờigiải. Phương trìnhx 2 +x +m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
< 0, 1 4m< 0,m> 1 4 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 181 x3 HỆPHƯƠNGTRÌNH A CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng1.Phươngphápthế 1 VÍ DỤ #Vídụ1. Giải hệ phương trình ¨ 2xy + 1 = 0 (1) 4x 2 y 2 + 2xy + 5y = 0: (2) ýLờigiải. Từ (1) suy ray = 2x + 1 thay vào phương trình (2) ta được 4x 2 (2x + 1) 2 + 2x(2x + 1) + 5(2x + 1) = 0, 4x 2 + 8x + 4 = 0,x =1: Vớix =1)y =1. Vậy hệ Phương trình có nghiệm là (1;1). #Vídụ2. Giải hệ phương trình ¨ x +y = 1 (1) x 3 y 3 = 3(xy): (2) ýLờigiải. Từ (1) suy ray = 1x thay vào (2) ta được x 3 (1x) 3 3(x 1 +x), 2x 3 3x 2 3x + 2 = 0, 2 6 6 4 x =1 x = 2 x = 1 2 : Vớix =1)y = 2. Vớix = 2)y =1. Vớix = 1 2 )y = 1 2 . Vậy phương trình có các nghiệm là (1; 2), (2;1),  1 2 ; 1 2 ‹ . 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài1. Giải các hệ phương trình sau ¨ x + 2y = 5 x 2 + 2y 2 2xy = 5: 1 ¨ 2x +y = 1 x 2 5xy +y 2 = 7: 2 ¨ x 2 +y = 4x 2x +y = 5: 3 ¨ x +y + 2 = 0 x 2 +y 2 xy = 13: 4 ¨ x + 2y = 4 x 2 + 3y 2 = 7: 5 ¨ x + 2y = 4 x 2 + 3y 2 xy + 2x 5y = 4: 6 ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 182 1 ¨ x + 2y = 5 x 2 + 2y 2 2xy = 5: Ta cóx + 2y = 5)x = 5 2y. (*) Thay (*) vào phương trình còn lại được (5 2y) 2 + 2y 2 2(5 2y)y = 5, 10y 2 30y + 20 = 0, – y = 1 y = 2: Vớiy = 1)x = 3. Vớiy = 2)x = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 1), (1; 2). 2 ¨ 2x +y = 1 x 2 5xy +y 2 = 7: Ta có 2x +y = 1,y = 1 2x, thay vào phương trình còn lại ta được x 2 5x(1 2x) + (1 2x) 2 = 7, 15x 2 9x 6 = 0, 2 4 x = 1 x = 2 5 : Vớix = 1)y =1. Vớix = 2 5 )y = 9 5 . Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;1),  2 5 ; 9 5 ‹ . 3 ¨ x 2 +y = 4x 2x +y = 5: Ta có 2x +y = 5,y = 5 2x, thay vào phươn trình còn lại của hệ ta được x 2 + 5 2x = 4x,x 2 6x + 5 = 0, – x = 1 x = 5: Vớix = 1)y = 3. Vớix = 5)y =5. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 3),(5;5). 4 ¨ x +y + 2 = 0 x 2 +y 2 xy = 13: Ta cóx +y + 2 = 0,y =2x, thay vào phương trình đã còn lại ta được x 2 + (2x) 2 x(2x) = 13, 3x 2 + 6x 9 = 0, – x = 1 x =3: Vớix = 1)y =3. Vớix =3)y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;3), (3; 1). 5 ¨ x + 2y = 4 x 2 + 3y 2 = 7: Ta cóx + 2y = 4,x = 4 2y, thay vào phương trình còn lại của hệ ta được (4 2y) 2 + 3y 2 = 7, 7y 2 16y + 9 = 0 2 4 y = 1 y = 9 7 : Vớiy = 1)x = 2. Vớiy = 9 7 )x = 10 7 . Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2; 1),  10 7 ; 9 7 ‹ . h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 183 6 ¨ x + 2y = 4 x 2 + 3y 2 xy + 2x 5y = 4: Ta cóx + 2y = 4,x = 4 2y, thay vào phương trình còn lại của hệ ta được (4 2y) 2 + 3y 2 (4 2y)y + 2(4 2y) 5y = 4, 9y 2 29y + 20 = 0, 2 4 y = 1 y = 20 9 : Vớiy = 1)x = 2. Vớiy = 20 9 )x = 4 9 . Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2; 1),  4 9 ; 20 9 ‹ . d Dạng1.Hệphươngtrìnhđốixứngloại1 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Địnhnghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng ¨ f(x;y) = 0 g(x;y) = 0 với ¨ f(x;y) =f(y;x) g(x;y) =g(y;x): Cáchgiải: Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện hệ có nghiệmS 2  4P). ThếS,P vào hệ. Khi đ1ox,y là nghiệm của phương trìnhX 2 SX +P = 0. ! Một số biểu thức đối xứng thường gặp Ì x 2 +y 2 = (x +y) 2 2xy =S 2 2P. Ì x 3 +y 3 = (x +y)(x 2 xy +y 2 ) = (x +y)  (x +y) 2 3xy  =S(S 2 3P ) =S 3 3PS: Ì x 4 +y 4 = x 2 +y 2
2 2x 2
y 2 = S 2 2P
2 2P 2 . 2 VÍ DỤ #Vídụ1. Giải hệ phương trình ¨ x +y +xy = 5 x 2 +y 2 = 5: ýLờigiải. Hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ x +y +xy = 5 (x +y) 2 2xy = 5: Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ¨ S +P = 5 S 2 2P = 5 , ¨ P = 5S S 2 2(5S) = 5 , ¨ P = 5S S 2 + 2S 15 = 0 , 8 > < > : P = 5S – S = 3 S =5 , 2 6 6 6 4 ¨ S = 3 P = 2 (Nhận) ¨ S =5 P = 10: (Loại) Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 184 Với ¨ S = 3 P = 2 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 3X + 2 = 0, – X = 1 X = 2: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; 2), (2; 1). #Vídụ2. Giải hệ phương trình ¨ x +y +xy = 11 x 2 y +xy 2 = 30: ýLờigiải. Hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ x +y +xy = 11 xy(x +y) = 30: Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ¨ S +P = 11 S
P = 30 , ¨ S = 11P (11P )P = 30 , ¨ S = 11P P 2 + 11P 30 = 0 , 8 > < > : S = 11P – P = 6 P = 5 , 2 6 6 6 4 ¨ S = 5 P = 6 (nhận) ¨ S = 6 P = 5: (nhận) Với ¨ S = 5 P = 6 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 5X + 6 = 0, – X = 3 X = 2: Với ¨ S = 6 P = 5 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 6X + 5 = 0, – X = 1 X = 5: Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (3; 2), (2; 3), (1; 5), (5; 1). #Vídụ3. Giải hệ phương trình ¨ x +y = 1 x 3 +y 3 =x 2 +y 2 : ýLờigiải. Hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ x +y = 1 (x +y) 3 3(x +y)xy = (x +y) 2 2xy Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ¨ S = 1 S 3 3SP =S 2 2P , ¨ S = 1 1 3P = 1 2P , ¨ S = 1 P = 0: (nhận) Với ¨ S = 1 P = 0 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 X = 0, – X = 0 X = 1: Vậy hệ phương trình có nghiệm là (0; 1), (1; 0). #Vídụ4. Giải hệ phương trình ¨ x 2 +y 2 = 5 x 4 +y 4 x 2 y 2 = 13: ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 185 Hệ phương trình đã cho tương đương với ( (x +y) 2 2xy = 5 x 2 +y 2
2 3(xy) 2 = 13: Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ¨ S 2 2P = 5 (S 2 2P ) 2 3P 2 = 13 , ¨ S 2 2P = 5 5 2 3P 2 = 13 , 8 > < > : S 2 = 5 + 2P – P = 2 P =2 , 2 6 6 6 6 4 ¨ P = 2 S 2 = 9 ¨ P =2 S 2 = 1 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ¨ P = 2 S = 3 ¨ P = 2 S =3 ¨ P =2 S = 1 ¨ P =2 S =1: Với ¨ S = 3 P = 2 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 3X + 2 = 0, – X = 1 X = 2: Với ¨ S =3 P = 2 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 + 3X + 2 = 0, – X =1 X =2: Với ¨ S = 1 P =2 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 X 2 = 0, – X =1 X = 2: Với ¨ S =1 P =2 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 +X 2 = 0, – X = 1 X =2: Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1; 2), (2; 1), (1;2), (2;1), (1; 2), (2;1), (1;2), (2; 1). 3 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài1. Giải các hệ phương trình sau ¨ xy +x +y = 5 x 2 +y 2 +x +y = 8: 1 ¨ x +xy +y = 11 x 2 +y 2 + 3(x +y) = 28: 2 ¨ x +y = 2 x 4 +y 4 = 34: 3 ¨ x 2 +y 2 = 13 3(x +y) + 2xy + 9 = 0: 4 ýLờigiải. 1 ¨ xy +x +y = 5 x 2 +y 2 +x +y = 8: Hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ xy +x +y = 5 (x +y) 2 2xy +x +y = 8: Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ¨ S +P = 5 S 2 2P +S = 8 , ¨ P = 5S S 2 + 3S 18 = 0 Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 186 , 8 > < > : P = 5S – S = 3 S =6 , 2 6 6 6 4 ¨ S = 3 P = 2 ¨ S =6 P = 11: (loại) Với ¨ S = 3 P = 2 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 3X + 2 = 0, – X = 1 X = 2: Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 2), (2; 1). 2 ¨ x +xy +y = 11 x 2 +y 2 + 3(x +y) = 28: Hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ x +y +xy = 11 (x +y) 2 2xy + 3(x +y) = 28: Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ¨ S +P = 11 S 2 2P + 3S = 28 , ¨ P = 11S S 2 + 5S 50 = 0 , 8 > < > : P = 11S – S = 5 S =10 , 2 6 6 6 4 ¨ S = 5 P = 6 ¨ S =10 P = 21: Với ¨ S = 5 P = 6 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 5X + 6 = 0, – X = 3 X = 2: Với ¨ S =10 P = 21 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 + 10X + 21 = 0, – X =3 X =7: Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 2),(2; 3), (3;7), (7;3). 3 ¨ x +y = 2 x 4 +y 4 = 34: Hệ phương trình đã cho tương đương với ( x +y = 2 x 2 +y 2
2 2x 2 y 2 = 34: Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ( S = 2 S 2 2P
2 2P 2 , ¨ S = 2 (4 2P ) 2 2P 2 = 34 , ¨ S = 2 2P 2 16P 18 = 0 , 8 > < > : S = 2 – P =1 P = 9 , 2 6 6 6 4 ¨ S = 2 P =1 ¨ S = 2 P = 9: (loại) Với ¨ S = 2 P =1 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 2X 1 = 0, " X = 1 + p 2 X = 1 p 2: Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1 p 2; 1 + p 2), (1 + p 2; 1 p 2). 4 ¨ x 2 +y 2 = 13 3(x +y) + 2xy + 9 = 0: Hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ (x +y) 2 2xy = 13 3(x +y) + 2xy + 9 = 0: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 187 Đặt ¨ S =x +y P =xy (điều kiện có nghiệmS 2  4P). Khi đó hệ phương trình trở thành ¨ S 2 2P = 13 3S + 2P + 9 = 0 , ¨ S 2 + 3S 4 = 0 2P = 9 + 3S , 8 > > < > > : – S = 1 S =4 P = 9 + 3S 2 , 2 6 6 6 6 6 4 ¨ S = 1 P =6 8 < : S =4 P = 3 2 : Với ¨ S = 1 P =6 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 X 6 = 0, – X = 3 X =2: Với 8 < : S =4 P = 3 2 khi đóx,y là nghiệm của phương trìnhX 2 + 4X + 3 2 = 0, 2 6 6 4 X = 4 + p 10 2 X = 4 p 10 2 : Vậy hệ phương trình có nghiệm là ‚ 4 + p 10 2 ; 4 p 10 2 Œ , ‚ 4 p 10 2 ; 4 + p 10 2 Œ , (3;2), (2; 3). ! Thiếu toàn bộ nội dung dạng 3,4 đến hết ví dụ 1 (kể cả bài tập tương tự trang 124) #Vídụ1. Giải hệ phương trình ¨ x 3 6x 2 y + 9xy 2 4y 3 = 0 (1) x 2 5y 2 x 7 = 0: (2) ýLờigiải. Nhậnxét. Phươngtrình (1)chứacácbiểuthứcx 3 , 6x 2 y, 9xy 2 , 4y 3 lànhữngbiểuthứccócùngbậcba.Tagọiphương trìnhdạngnàylàphươngtrìnhđẳngcấp(bậc 3).Nếuy6= 0,chiahaivếcủaphươngtrình (1)choy 3 (hoặcnếux6= 0, chia hai vế chox 3 ). Ì Xéty = 0 hệ đã cho trở thành ¨ x 3 = 0 x 2 x 7 = 0 vô nghiệm. Ì Xéty6= 0, chia hai vế choy 3 ta được (1),  x y ‹ 3 6  x y ‹ 2 + 9 x y 4 = 0, 2 6 4 x y = 1 x y = 4 , – x =y x = 4y: Ì Vớix =y thế vào (2) ta được (2),y 2 5y 2 y 7 = 0,4y 2 y 7 = 0 vô nghiệm. Ì Vớix = 4y thế vào (2) được (2), 16y 2 5y 2 4y 7 = 0, 11y 2 4y 7 = 0, 2 4 y = 1)x = 4 y = 7 11 )x = 28 11 : Vậy hệ có 2 nghiệm ¨ x = 4 y = 1 hay 8 > < > : x = 28 11 y = 7 11 : Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 188 4 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài1. Giải các hệ phương trình ¨ x 2 5xy + 6y 2 = 0 (1) 4x 2 + 2xy + 6x 27 = 0: (2) 1 8 > < > : Ê 2x y + É 2y x = 3 (1) xy +xy = 3: (2) 2 ¨ 2y 2 x 2 = 1 (1) 2x 3 y 3 = 2yx: (2) 3 ¨ x 3 2y 3 =x + 4y (1) 13x 2 41xy + 21y 2 =9: (2) 4 ýLờigiải. 1) Ta xét các trường hợp sau Ì Vớiy = 0 hệ đã cho trở thành ¨ x 2 = 0 4x 2 + 6x + 27 = 0 vô nghiệm. Ì Vớiy6= 0. Phương trình (1) là đẳng cấp (bậc 2). Chia hai vế của (1) choy 2 ta được (1), 2  x y ‹ 2 5  x y ‹ + 6 = 0, 2 6 4 x y = 2 x y = 3 , – x = 2y x = 3y:  Vớix = 2y thế vào phương trình (2) ta được 16y 2 + 4y 2 + 12y 27 = 0, 20y 2 + 12y 27 = 0, 2 6 4 y = 3 2 )x =3 y = 9 10 )x = 9 5 :  Vớix = 3y, thay vào phương trình (2) ta có 36y 2 + 6y 2 + 18y 27 = 0, 42y 2 + 18y 27 = 0, 2 6 6 4 y = 3 3 p 15 14 )x = 9 9 p 15 14 y = 3 + 3 p 15 14 )x = 9 + 9 p 15 14 : Hê phương trình có 4 nghiệm là  3; 3 2 ‹ ;  9 5 ; 9 10 ‹ ; ‚ 9 p 15 14 9 14 ; 3 p 15 14 3 14 Œ ; ‚ 9 14 9 p 15 14 ; 3 14 3 p 15 14 Œ . 2) Điều kiệnxy> 0. (1) , 2x y + 2y x + 2 Ê 2x y É 2y x = 9, 2x y + 2y x + 4 = 9 , 2x y + 2y x = 5, 2x 2 5xy + 2y 2 = 0 () Phương trình () là đẳng cấp (bậc 2). Chia cả hai vế của () choy 2 6= 0 ta được 2  x y ‹ 2 5 x y + 2 = 0, 2 6 4 x y = 1 2 x y = 2 , – y = 2x x = 2y: Ì Vớiy = 2x thế vào phương trình (2) ta được x 2x + 2x 2 = 3, 2x 2 x 3 = 0, 2 4 x =1)y =2 x = 3 2 )y = 3: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 189 Ì Vớix = 2y, thay vào phương trình (2) ta có 2yy + 2y 2 = 3, 2y 2 +y 3 = 0, 2 4 y = 1)x = 2 y = 3 2 )x =3: Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là  3; 3 2 ‹ ; (1;2);  3 2 ; 3 ‹ ; (2; 1). Cáchkhác. Hệ phương trình còn có dạng đối xứng loại 1. 3) Phương trình (1) và (2) không là đẳng cấp, nhưng thế (1) vào (2) ta được: (2), 2x 3 y 3 = (2yx) 2y 2 x 2
,x 3 + 2x 2 y + 2xy 2 5y 3 = 0: (*) Ì Nếuy = 0 thì hệ đã cho tương đương ¨ x 2 =1 2x 3 =x vô nghiệm. Ì Nếuy6= 0. Phương trình () là đẳng cấp (bậc 3). Chia cả hai vế của () choy 3 ta được  x y ‹ 3 + 2  x y ‹ 2 + 2  x y ‹ 5 = 0, x y = 1,x =y Thay vào phương trình (1) ta được 2y 2 y 2 = 1, – y = 1)x = 1 y =1)x =1: Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (1;1) và (1; 1). 4) Xét các trường hợp sau Ì Nếuy = 0 hệ đã cho tương đương ¨ x 3 x = 0 13x 2 =9 vô nghiệm. Ì Nếuy6= 0. Phương trình (1) và (2) không là đẳng cấp. Nhân hai vế của phương trình (1) cho9 rồi thế (2) vào (1) ta được: (2) , 9 x 3 2y 3
= (x + 4y) 13x 2 41xy + 21y 2
, 22x 3 + 11x 2 y 143xy 2 + 66y 3 = 0 () Phương trình () là đẳng cấp bậc ba. Chia hai vế của () choy 3 ta được 22  x y ‹ 3 + 11  x y ‹ 2 143  x y ‹ + 66 = 0, 2 6 6 6 6 6 4 x y =3 x y = 1 2 x y = 2 , 2 6 4 y = 2x x = 2y x =3y:  Vớiy = 2x, thay vào phương trình (2) ta được 13x 2 82x 2 + 84x 2 =9, 15x 2 =9 vô nghiệm:  Vớix =3y thay vào (2) ta được 117y 2 + 123y 2 + 21y 2 =9, 261y 2 =9 vô nghiệm:  Vớix = 2y thay vào phương trình (2) ta được 52y 2 82y 2 + 21y 2 =9,y 2 = 1, – y =1)x =2 y = 1)x = 2 : Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (2; 1) và (2;1). Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 190 #Vídụ1. Giải hệ phương trình ¨ xy +x + 1 = 7y x 2 y 2 +xy + 1 = 13y 2 : ýLờigiải. Ì Xéty = 0. Hệ trở thành ¨ x + 1 = 0 1 = 0 vô nghiệm. Ì Xéty6= 0.Chiahaivếcủaphươngtrìnhđầuchoy vàchiahaivếcủaphươngtrìnhsauchoy 2 tađượchệtương đương 8 > > < > > : x + x y + 1 y = 7 x 2 + x y + 1 y 2 = 13 (I) Ì Đặt ẩn phụ. Cách1. Hệ (I) viết lại thành 8 > > < > > : x +x
1 y + 1 y = 7 x 2 +x
1 y + 1 y 2 = 13: Ì Đặt 8 < : u =x v = 1 y , hệ (I) trở thành ¨ u +uv +v = 7 u 2 +uv +v 2 = 13 , ¨ u +v +uv = 7 (u +v) 2 uv = 13 (a). Đây là hệ đối xứng loại 1. ĐặtS =u +v,P =u
v. (a) trở thành ¨ S +P = 7 (1) S 2 P = 13 (2) . Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta được S 2 +S = 20,S 2 +S 20 = 0, – S =5)P = 12 S = 4)P = 3: Khi đóu vàv là nghiệm của phương trình X 2 + 5X + 12 = 0 (vô nghiệm) hoặcX 2 4X + 3 = 0, – X = 1 X = 3: Vậy ¨ u = 1 v = 3 hoặc ¨ u = 3 v = 1: Suy ra 2 6 6 6 6 6 6 6 4 8 < : x = 1 1 y = 3 8 < : x = 3 1 y = 1 , 2 6 6 6 6 6 4 8 < : x = 1 y = 1 3 ¨ x = 3 y = 1: Vậy hệ có hai nghiệm 8 < : x = 1 y = 1 3 và ¨ x = 3 y = 1: Cách2. Ta có (1), 8 > > < > > :  x + 1 y ‹ + x y = 7  x + 1 y ‹ 2 x y = 13: () Ì Đặt 8 > < > : u =x + 1 y v = x y , () trở thành ¨ u +v = 7 (3) u 2 v = 13 (4) . Ì Lấy (3) cộng với (4) theo từng vế ta được: u 2 +u = 20,u 2 +u 20 = 0, – u =5)v = 12 u = 4)v = 3: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 191 Trường hợp 1. 8 > < > : x + 1 y =5 x y = 12 , ¨ xy + 1 =5y (5) x = 12y: (6) Thếx = 12y vào (5) ta được 12y 2 + 1 =5y, 12y 2 + 5y + 1 = 0 vô nghiệm. Trường hợp 2. 8 > < > : x + 1 y = 4 x y = 3 , ¨ xy + 1 = 4y (7) x = 3y: (8) Thếx = 3y vào phương trình (7) ta được 3y 2 + 1 = 4y, 3y 2 4y + 1 = 0, 2 4 y = 1)x = 3 y = 1 3 )x = 1: Vậy hệ có hai nghiệm 8 < : x = 1 y = 1 3 và ¨ x = 3 y = 1: 5 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài1. Giải hệ phương trình ¨ xy +x 1 = 3y x 2 yx = 2y 2 : 1 ¨ x 2 +y 2 +xy + 1 = 4y y(x +y) 2 = 2x 2 + 7y + 2: 2 8 < : 2x 2 +x 1 y = 2 yy 2 x 2y 2 =2: 3 8 < : x(x +y + 1) 3 = 0 (x +y) 2 5 x 2 + 1 = 0: 4 ýLờigiải. 1 Điều kiệny6= 0. Hệ phương trình, 8 > > < > > : x + x y 1 y = 3 x 2 y x y 2 = 2 , 8 > > < > > :  x 1 y ‹ + x y = 3 x y  x 1 y ‹ = 2 (I). Đặt 8 > < > : u =x 1 y v = x y . Hệ (I) trở thành ¨ u +v = 3 u
v = 2: Nênu vàv là nghiệm của phương trìnhX 2 3X + 2 = 0,X = 1; X = 2. Suy ra ¨ u = 1 v = 2 hoặc ¨ u = 2 v = 1 . Suy ra 8 > < > : x 1 y = 1 x y = 2 hoặc 8 > < > : x 1 y = 2 x y = 1: Giải hệ 8 > < > : x 1 y = 1 x y = 2 , 8 < : x 1 y = 1 x = 2y , 8 < : 2y 1 y = 1 x = 2y , ¨ 2y 2 y 1 = 0 x = 2y , 2 6 6 6 6 6 4 ¨ y = 1 x = 2 8 < : y = 1 2 x =1: Giải hệ 8 > < > : x 1 y = 2 x y = 1 , 8 < : y 1 y = 2 x =y , ¨ y 2 2y 1 = 0 x =y , 2 6 6 6 6 6 4 ( y = 1 p 2 x = 1 p 2 ( y = 1 + p 2 x = 1 + p 2: Vậy hệ đã cho có nghiệm 4 nghiệm là 8 < : x =1 y = 1 2 ; ¨ x = 2 y = 1 ; ( x = 1 p 2 y = 1 p 2 ; ( x = 1 + p 2 y = 1 + p 2 . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 192 2 Điều kiệny6= 0. Hệ phương trình, 8 > > < > > : x 2 + 1 y +x +y = 4 (x +y) 2 2 x 2 + 1 y = 7 (I) Đặt 8 < : u = x 2 + 1 y v =x +y: Hệ (I) trở thành ¨ u +v = 4 v 2 2u = 7 , 2 6 6 6 4 ¨ u = 9 v =5 ¨ u = 1 v = 3: Với ¨ u = 9 v =5 , 8 < : x 2 + 1 y = 9 x +y =5 , 8 < : (5y) 2 + 1 y = 9 x =5y , ¨ y 2 +y + 26 = 0 x = 9y vô nghiệm. Với ¨ u = 1 v = 3 , 8 < : x 2 + 1 y = 1 x +y = 3 , 8 < : (3y) 2 + 1 y = 1 x = 3y , ¨ y 2 7y + 10 = 0 x = 1y , 2 6 6 6 4 ¨ y = 2 x = 1 ¨ y = 5 x =2: Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ¨ x =2 y = 5 và ¨ x = 1 y = 2: 3 Điều kiệny6= 0. Hệ phương trình, 8 > > < > > : 2x 2 +x 1 y 2 = 0 2 y 2 + 1 y x 2 = 0: Đặt 8 < : u =x v = 1 y : Hệ đã cho trở thành ¨ 2u 2 +uv 2 = 0 2v 2 +vu 2 = 0 , 2 6 6 6 6 6 6 6 4 u =1;v =1 u = 1;v = 1 u = 1 p 3 2 ;v = p 3 1 2 u = p 3 1 2 ;v = 1 p 3 2 Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là ¨ x =1 y =1 ; ¨ x = 1 y = 1 ; 8 > < > : x = 1 2 p 3 2 y = 1 + p 3 ; 8 > < > : x = p 3 2 1 2 y = 1 p 3 . 4 Hệ phương trình, 8 > < > : x +y + 1 3 x = 0 (x +y) 2 5 x 2 + 1 = 0 (I) Đặt 8 < : u =x +y v = 1 x . Hệ (I) trở thành ¨ u + 1 3v = 0 u 2 5v 2 + 1 = 0 , 2 4 u = 1 2 ;v = 1 2 u = 2;v = 1: Với 8 > < > : u = 1 2 v = 1 2 , 8 > < > : x +y = 1 2 1 x = 1 2 , 8 < : x = 2 y = 3 2 . Tương tự với ¨ u = 2 v = 1 , ¨ x = 1 y = 1: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 193 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ¨ x = 1 y = 1 ; 8 < : x = 2 y = 3 2 : B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu1. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam giác tăng lên 17cm 2 . Nếu giảm các cạnh góc vuông đi 3cm và 1cm thì diện tích tam giác giảm đi 11cm 2 . Tính diện tích tam giác ban đầu. A 50cm 2 . B 25cm 2 . C 50 p 5cm 2 . D 50 p 2cm 2 . ýLờigiải. Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt làxcm,ycm,x>y (x> 3; y> 1). Diện tích của tam giác là xy 2 Theo bài ra ta có hệ phương trình 8 > < > : (x + 2)(y + 2) 2 xy 2 = 17 (x 3)(y 1) 2 xy 2 =11 , ¨ x = 10 y = 5: . Vậy độ dài hai cạnh của tam giác là 5cm và 10cm. Suy ra diện tích của tam giác ban đầu là xy 2 = 25cm 2 . ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 24 5 giờ sẽ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng 3 2 lần lượng nước của vòi thứ hai. hỏi vòi thứ hai chảy riêng một mình thì bao lâu sẽ đầy bể? A 12 giờ. B 10 giờ. C 8 giờ. D 3 giờ. ýLờigiải. Gọi thời gian vòi thứ nhất và thứ hai chảy riêng một mình đầy bễ lần lượt làx giờ vày giờ. Mỗi giờ vòi thứ nhất và thứ hai chảy được lần lượt là 1 x bể và 1 y bể. Theo bài ra ta có hệ phương trình 8 > > < > > : 1 x = 3 2
1 y 24 5  1 x + 1 y ‹ = 1 , ¨ x = 8 y = 12: Vậy vòi thứ hai chảy một mình thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu3. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng: khi ta tăng mỗi cạnh lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm 2 ; khi ta giảm chiều dài của cạnh này là 3 cm và cạnh kia 1 cm thì diện tích giảm 11cm 2 . A 5 cm và 10 cm. B 4 cm và 7 cm. C 2 cm và 3 cm. D 5 cm và 6 cm. ýLờigiải. Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt làx cm,y cm,x>y (x> 3; y> 1). Diện tích của tam giác là xy 2 Theo bài ra ta có hệ phương trình 8 > < > : (x + 2)(y + 2) 2 xy 2 = 17 (x 3)(y 1) 2 xy 2 =11 , ¨ x = 10 y = 5: . Vậy độ dài hai cạnh của tam giác là 5 cm và 10 cm. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu4. Ta đặt ¨ x +y =S xy =P thì hệ phương trình ¨ x 2 +y 2 = 1 x 3 y +xy 3 = 2 thành A ¨ S +P = 1 P = 2 . B ¨ S 2 2P = 1 P = 2 . C ¨ S 2 + 2P = 1 P = 2 . D ¨ S 2 2P = 1 S = 2 . ýLờigiải. Viết lại ¨ x 2 +y 2 = 1 x 3 y +xy 3 = 2 , ¨ x 2 +y 2 = 1 xy(x 2 +y 2 ) = 2 , ¨ (x +y) 2 2xy = 1 xy = 2 . Khi đặt ¨ x +y =S xy =P thì hệ phương trình ¨ x 2 +y 2 = 1 x 3 y +xy 3 = 2 thành ¨ S 2 2P = 1 P = 2: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 194 Câu5. Cho hệ phương trình ¨ x + 2y =m 1 2xy = 3m + 3 . Với giá trị nào củam thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho x 2 +y 2 nhỏ nhất? A m = 4 5 . B m = 3 2 . C m = 1 2 . D m =1. ýLờigiải. ¨ x + 2y =m 1 2xy = 3m + 3 , ¨ 2x + 4y = 2m 2 2xy = 3m + 3 , 8 > < > : x = 7m + 5 5 y = m 5 5 . x 2 +y 2 = (7m + 5) 2 + (m + 5) 2 25 = 2m 2 + 16 5 m + 2 = 2  m + 4 5 ‹ 2 + 18 25  18 25 . Vậyx 2 +y 2 nhỏ nhất khim = 4 5 . ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu6. Nghiệm của hệ phương trình ¨ x 4y = 5 2x 5y = 7 là A (1;1). B (1; 1). C (1;1). D (1; 1). ýLờigiải. Nghiệm của hệ đã cho là ¨ x = 1 y =1: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu7. Hệ phương trình ¨ x 2y = 1 2x +my =1 vô nghiệm khi A không cóm. B m =4. C m = 1 4 . D m6=4. ýLờigiải. Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi 1 2 = 2 m 6= 1 1 ,m =4. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu8. Nghiệm của hệ phương trình 8 > > < > > : 2m x 1 + 2 y = 3 m x 1 + y + 6 y = 5 trong trường hợpm6= 0 là A (1; 0). B (m + 1; 2). C  1 m ; 1 2 ‹ . D (3;m). ýLờigiải. Điều kiệnx6= 1,y6= 0. Hệ được viết lại 8 > > < > > : 2m x 1 + 2 y = 3 m x 1 + 6 y = 4: (I) Đặtu = 1 x 1 ,v = 1 y vớiu6= 0,v6= 0. Hệ (I), ¨ 2m
u + 2v = 3 (1) m
u + 6v = 4 (2) . Khim6= 0 dùng phương pháp công đại số ta tìm đượcu = 1 m ,v = 1 2 . Suy ra ¨ x =m + 1 y = 2: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu9. Hệ phương trình ¨ mx +y =m 3 4x +my =2 có vô số nghiệm khi A m =2. B m =2. C m = 2. D ¨ m6= 2 m6=2 . ýLờigiải. Hệ có vô số nghiệm, m 4 = 1 m = m 3 2 ,m = 2. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 195 Câu10. Tìma để hệ phương trình ¨ ax +y =a 2 x +ay = 1 vô nghiệm. A a =1. B a = 1 hoặca =1. C a = 1. D không cóa. ýLờigiải. Hệ vô nghiệm, a 1 = 1 a 6= a 2 1 ,a =1. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu11. Tìm tham sốm để hệ phương trình ¨ mx +y +m = 0 x +my +m = 0 vô nghiệm A m =1. B m = 1. C m = 0. D m6= 1. ýLờigiải. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm, m 1 = 1 m 6= m m (m =1. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu12. Hệ phương trình 8 > < > : 2x + 3y + 4 = 0 3x +y 1 = 0 2mx + 5ym = 0 có nghiệm duy nhất khi A m = 10 3 . B m = 10. C m =10. D m = 10 3 . ýLờigiải. Từ hai phương trình đầu có chung nghiệm duy nhất là ¨ x = 1 y =2 . Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình 2mx + 5ym = 0 phải có nghiệm ¨ x = 1 y =2 , 2m 10m = 0,m = 10: ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu13. Hệ phương trình ¨ xy +x +y = 11 x 2 y +xy 2 = 30 A có 2 nghiệm (2; 3) và (1; 5). B có 2 nghiệm (2; 1) và (3; 5). C có 1 nghiệm là (5; 6). D có 4 nghiệm (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1). ýLờigiải. ĐặtS =x +y,P =xy vớiS 2 2P 0. Hệ đã cho trở thành ¨ S +P = 11 S
P = 30 . VậyS vàP là nghiệm của phương trìnhX 2 11X + 30 = 0,X = 5; X = 6. Vậy ¨ S = 5 P = 6 hoặc ¨ S = 6 P = 5 . Ì Với ¨ S = 5 P = 6 ) ¨ x +y = 5 xy = 6 , nênx,y là nghiệm của phương trìnht 2 5t + 6 = 0(t = 2; t = 3. Suy ra (x;y) = (2; 3) hoặc (x;y) = (3; 2). Ì Với ¨ S = 6 P = 5 ) ¨ x +y = 6 xy = 5 , nênx,y là nghiệm của phương trìnht 2 6t + 5 = 0(t = 1; t = 5. Suy ra (x;y) = (1; 5) hoặc (x;y) = (5; 1). Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1). ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu14. Hệ phương trình ¨ x 2 +y 2 = 1 y =x +m có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi A m = p 2. B m = p 2. C m = p 2 vàm = p 2. D m tùy ý. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 196 § x 2 +y 2 = 1 y =x +m , ¨ x 2 + (x +m) 2 = 1 y =x +m , ¨ 2x 2 + 2xm +m 2 1 = 0 y =x +m: Để hệ phương trình ban đầu có đúng một nghiệm thì phương trình 2x 2 + 2xm +m 2 1 = 0 có đúng một nghiệm ,
0 =m 2 2m 2 + 2 = 0,m = p 2: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu15. Hệ phương trình 8 > < > : 1 x =y + 5x 1 y =x + 5y có bao nhiêu cặp nghiệm (x;y) màx6=y? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. 8 > < > : 1 x =y + 5x 1 y =x + 5y , ¨ 1 =xy + 5x 2 1 =xy + 5y 2 , ¨ x 2 y 2 = 0 1 =xy + 5x 2 , – x =y (loại) ¨ x =y 1 = 4x 2 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 8 > < > : x = 1 2 y = 1 2 8 > < > : x = 1 2 y = 1 2 : Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu16. Tìm điều kiện của tham sốm để hệ phương trình ¨ 3xmy = 1 mx + 3y =m 4 có đúng một nghiệm. A m6= 3 haym6=3. B m6= 3 vàm6=3. C m6= 3. D m6=3. ýLờigiải. Ta có định thức của hệ phương trìnhD = 9m 2 . Để hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thìD6= 0,m6=3. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu17. Hệ phương trình ¨ x
y +x +y = 11 x 2 y +xy 2 = 30 A có 2 nghiệm (2; 3) và (1; 5). B có 2 nghiệm (2; 1) và (3; 5). C có 1 nghiệm là (5; 6). D có 4 nghiệm (2; 3), (3; 2); (1; 5); (5; 1). ýLờigiải. ĐặtS =x +y,P =xy, điều kiệnS 2  4P. Khi đó hệ phương trình tương đương ¨ S +P = 11 SP = 30 , 2 6 6 6 4 ¨ S = 5 P = 6 ¨ S = 6 P = 5: TH 1. ¨ S = 5 P = 6 , ¨ x +y = 5 xy = 6 , ¨ y = 5x x(5x) = 6 , – x = 3;y = 2 x = 2;y = 3: TH 2. ¨ S = 6 P = 5 , ¨ x +y = 6 xy = 5 , ¨ y = 6x x(6x) = 5 , – x = 5;y = 1 x = 1;y = 5: ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu18. Hệ phương trình ¨ x 2 +y 2 = 1 y =x +m có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi A m = p 2. B m = p 2. C m = p 2 vàm = p 2. D m tùy ý. ýLờigiải. Hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ x 2 + (x +m) 2 = 1 y =x +m , ¨ y =x +m 2x 2 + 2mx +m 2 1 = 0: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 197 Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2x 2 + 2mx +m 2 1 = 0 có nghiệm duy nhất
0 = 0,m 2 2m 2 + 2 = 0, " m = p 2 m = p 2: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu19. Hệ phương trình ¨ jx 1j +y = 0 2xy = 5 có nghiệm là A x =3;y = 2. B x = 2;y =1. C x = 4;y =3. D x =4;y = 3. ýLờigiải. § jx 1j +y = 0 2xy = 5 , ¨ y = 2x 5 jx 1j =2x + 5 , 8 > > > > > > < > > > > > > : 2x + 5 0 2 6 6 6 4 ¨ y = 2x 5 x 1 = 2x 5 ¨ y = 2x 5 x 1 =2x + 5 , 8 > < > : 2x + 5 0 – x = 4;y = 3 x = 2;y =1: Vậyx = 2,y =1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu20. Hệ phương trình ¨ mx + 3y = 2m 1 x + (m + 2)y =m + 3 có nghiệm duy nhất với giá trị củam là A m6= 1. B m6=3. C – m6= 1 m6=3 . D ¨ m6= 1 m6=3 . ýLờigiải. Ta có định thức của hệ phương trìnhD =m(m + 2) 3. Để hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thìD6= 0,m 2 + 2m 36= 0, ¨ m6= 1 m6=3 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu21. Với giá trị nào của tham sốm thì hệ phương trình ¨ mx + (m + 4)y = 2 m(x +y) = 1y vô nghiệm A m = 0. B – m = 1 m = 2 . C 2 4 m 2 m = 1 2 . D 2 4 m = 1 2 m = 3 . ýLờigiải. § mx + (m + 4)y = 2 m(x +y) = 1y , ¨ mx + (m + 4)y = 2 mx + (m + 1)y = 1: Ta có định thức của hệ phương trình D = m(m + 1)m(m + 4) =3m, D x = 2(m + 1)m 4 = m 2, D y =m 2m =m. Để hệ phương trình trên có vô nghiệm thì ¨ D = 0 D 2 x +D 2 y 6= 0 , ¨ m = 0 D 2 x +D 2 y 6= 0: Vậym = 0 thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu22. Hệ phương trình 8 > > < > > : 2 x + 3 y = 13 3 x + 2 y = 12 có nghiệm là A x = 1 2 ;y = 1 3 . B x = 1 2 ;y = 1 3 . C x = 1 2 ;y = 1 3 . D vô nghiệm. ýLờigiải. Đặtd = 1 x ,b = 1 y . Khi đó hệ viết lại ¨ 2a + 3b = 13 3a + 2b = 12 , ¨ a = 2 b = 3 , 8 > < > : x = 1 2 y = 1 3 : ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 198 Câu23. Tìma để hệ phương trình ¨ ax +y =a 2 x +ay = 1 vô nghiệm. A a = 1. B a = 1 hoặca =1. C a =1. D không cóa. ýLờigiải. Ta có định thức của hệ phương trìnhD =a 2 1,D x =a 3 1,D y =aa 2 . Để hệ phương trình trên có vô nghiệm thì ¨ D = 0 D 2 x +D 2 y 6= 0 , ¨ a = D 2 x +D 2 y 6= 0 ,a =1. Vậym = 0 thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu24. Nghiệm của hệ phương trình 8 > > > < > > > : x +y +z = 9 1 x + 1 y + 1 z = 1 xy +yz +zx = 27 là A (1; 1; 1). B (1; 2; 1). C (2; 2; 1). D (3; 3; 3). ýLờigiải. Hệ tương đương với 8 < : x +y +z = 9 xy +yz +zx =xyz xy +yz +zx = 27 , 8 > < > : x +y +z = 9 xy +yz +zx = 27 xyz = 27: Khi đóx;y;z là ba nghiêm của phương trìnhX 3 9X + 27X 27 = 0,X = 3. Khi đó nghiệm của hệ phương trình đã cho là (3; 3; 3). ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu25. Hệ phương trình 8 > < > : x +y +xy = 7 2 x 2 y +xy 2 = 5 2 có nghiệm là A (3; 2); (2; 1). B (0; 1); (1; 0). C (0; 2); (2; 0). D  2; 1 2 ‹ ;  1 2 ; 2 ‹ . ýLờigiải. ĐặtS =x +y,P =xy, điều kiệnS 2  4P. Khi đó hệ phương trình tương đương 8 > < > : S +P = 7 2 SP = 5 2 , 2 6 6 6 6 6 6 4 8 < : S = 1 P = 5 2 (loại): 8 < : S = 5 2 P = 1: Khi đó 8 < : x +y = 5 2 xy = 1 , 8 < : y = 5 2 x 2x 2 5x + 2 = 0 , 2 6 4 x = 1 2 ;y = 2 x = 2y = 1 2 : ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu26. Hệ phương trình ¨ x +y +xy = 5 x 2 +y 2 +xy = 7 có nghiệm là A (2; 3) hoặc (3; 2). B (1; 2) hoặc (2; 1). C (2;3) hoặc (3;2). D (1;2) hoặc (2;1). ýLờigiải. Hệ phương trình tương đương với § x +y +xy = 5 (x +y) 2 xy = 7 ĐặtS =x +y,P =xy, điều kiệnS 2  4P. Khi đó hệ phương trình tương đương ¨ S +P = 5 S 2 P = 7 , ¨ P = 5S S 2 +S 12 = 0 , 2 6 6 6 4 ¨ P = 9 S =4 loại ¨ S = 3 P = 2: h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 199 Khi đó ¨ x +y = 3 xy = 2 , ¨ y = 3x x(3x) = 2 , – x = 1;y = 2 x = 2;y = 1: Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 2), (2; 1). ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu27. Hệ phương trình ¨ x +y +xy = 11 x 2 +y 2 + 3(x +y) = 28 có nghiệm là A (3; 2); (2; 3). B (3;7); (7;3). C vô nghiệm. D (3; 2); (2; 3); (3;7); (7;3). ýLờigiải. ĐặtS =x +y,P =xy, điều kiệnS 2  4P. Khi đó hệ phương trình tương đương ¨ S +P = 11 S 2 2P + 3S = 28 , ¨ P = 11S S 2 + 5S + 50 = 0 vô nghiệm: ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu28. Hệ phương trình ¨ x 3 = 3x + 8y y 3 = 3y + 8x có nghiệm là (x;y) vớix6= 0 vày6= 0 là A ( p 11; p 11); ( p 11; p 11). B (0; p 11); ( p 11; 0). C ( p 11; 0). D ( p 11; 0). ýLờigiải. ¨ x 3 = 3x + 8y y 3 = 3y + 8x , ¨ x 3 y 3 = 5(yx) x 3 = 3x + 8y , ¨ (xy)(x 2 +y 2 +xy + 5) = 0 x 3 = 3x + 8y , ¨ x =y x 3 = 11x , " x =y = p 11 x =y = p 11: (vìx 2 +y 2 +xy + 5> 0 với mọix;y) ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. . Câu29. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình ¨ x 2 = 5x 2y y 2 = 5y 2x: A (3; 3). B (2; 2); (3; 1); (3; 6). C (1; 1); (2; 2); (3; 3). D (2;2); (1;2); (6; 3). ýLờigiải. ¨ x 2 = 5x 2y y 2 = 5y 2x , ¨ x 2 y 2 = 7(xy) x 2 = 5x 2y , 2 6 6 6 6 4 ¨ x =y x 2 = 3x ¨ x +y = 7 x 2 = 5x 2(7x) , 2 6 6 6 6 4 ¨ x =y = 0 x =y = 3 ¨ y = 7x x 2 7x + 14 = 0 vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3; 3). ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu30. Hệ phương trình ¨ x 2 +y = 6 y 2 +x = 6 co bao nhiêu nghiệm? A 6. B 4. C 2. D 0. ýLờigiải. ¨ x 2 y 2 (xy) = 0 x 2 +y = 6 , 2 6 6 6 6 4 ¨ x =y x 2 +x 6 = 0 ¨ y = 1x x 2 x + 5 = 0 vô nghiệm , – x =y =3 x =y = 2: Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu31. Hệ phương trình ¨ x 2 = 3xy y 2 = 3yx có bao nhiêu cặp nghiệm (x;y)? A 1. B 2. C 3. D 4. ýLờigiải. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 200 ¨ x 2 = 3xy y 2 = 3yx , ¨ x 2 y 2 = 4(xy) x 2 = 3xy , 2 6 6 6 6 4 ¨ x =y x 2 = 2x ¨ x +y = 4 x 2 = 3x (4x) , – x =y = 2 x =y = 0: Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu32. Cho hệ phương trình ¨ x +y = 4 x 2 +y 2 =m 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A Hệ phương trình có nghiệm với mọim. B Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khijmj p 8. C Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉjmj 2. D Hệ phương trình luôn vô nghiệm. ýLờigiải. Hệ phương trình tương đương ¨ y = 4x 2x 2 8x + 16m 2 = 0: có
0 = 16 2 16m 2
= 2m 2 16. Hệphươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhiphươngtrình 2x 2 8x+16m 2 = 0cónghiệm 2m 2 16 0,jmj p 8. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu33. Cho hệ phương trình ¨ 3x 2 4xy + 2y 2 = 17 y 2 x 2 = 16 . Hệ thức biểu diễnx theoy rút ra từ hệ phương trình là A x = y 2 2 hayx = y + 2 2 . B x = y 3 2 hayx = y + 3 2 . C x = y 1 2 hayx = y + 1 2 . D x = 5 13 y hayx = 3 5 y. ýLờigiải. Nhân chéo hai phương trình ta được 16 3x 2 4xy + 2y 2
= 17 y 2 x 2
, 65x 2 64xy + 15y 2 = 0. (1) Vì khiy = 0 không không thỏa mãn hệ phương trình nên ta chia hai vế (1) choy 2 và đặtt = x y ta được 65t 2 64t + 15 = 0, 2 6 4 t = 5 13 t = 3 5 : Khi đóx = 5 13 y hayx = 3 5 y. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu34. Chohệphươngtrình ¨ mx +y = 3 x +my = 2m + 1 .Cácgiátrịthíchhợpcủathamsốmđểhệphươngtrìnhcónghiệm nguyên 1à A m = 0,m =2. B m = 1;m = 2;m = 3. C m = 0;m = 2. D m = 1;m =3;m = 4. ýLờigiải. Ta có định thức của hệ phương trìnhD =m 2 1,D x = 3m 2m 1 =m 1,D y = 2m 2 +m 3. Để hệ phương trình trên có nghiệm thìD6= 0,m6=1. Khi đó 8 > > < > > : x = D x D = 1 m + 1 y = D y D = 2m + 3 m + 1 = 2 + 1 m + 1 : Khi đó để hệ có nghiệm nguyên thìm + 1 là ước của 1, hay – m + 1 = 1 m + 1 =1 ,m = 0;m =2. Vậym = 0,m =2 thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 201 Câu35. Cho hệ phương trình ¨ 2x 2 +y 2 + 3xy = 12 2(x +y) 2 y 2 = 14 . Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là A (1; 2), ( p 2; p 2). B (2; 1), ( p 3; p 3). C  2 3 ; 3 ‹ ,  p 3; 2 p 3 ‹ . D  1 2 ; 1 ‹ , ‚p 2 3 ; p 3 Œ . ýLờigiải. § 2x 2 +y 2 + 3xy = 12 2(x +y) 2 y 2 = 14 , ¨ 2x 2 +y 2 + 3xy = 12 2x 2 +y 2 + 4xy = 14: Đặta = 2x 2 +y 2 ,b =xy, ta được, ¨ a + 3b = 12 a + 4b = 14 , ¨ a = 6 b = 2: Khi đó ¨ 2x 2 +y 2 = 6 xy = 2 , ¨ xy = 2 2x 2 +y 2 = 3xy , ¨ xy = 2 2t 2 3t + 1 = 0 vớit = x y . Suy ra 2 4 t = 1 t = 1 2 , – x 2 = 2 2x 2 = 2 , 2 6 6 6 6 4 x =y = 1 x =y =1 x = p 2;y = p 2 x = p 2;y = p 2: ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu36. Hệ phương trình ¨ x 3 3x =y 3 3y x 6 +y 6 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A 5. B 2. C 6. D 4. ýLờigiải. § x 3 3x =y 3 3y x 6 +y 6 = 27 , ¨ (xy)(x 2 +y 2 +xy 3) = 0 x 6 +y 6 = 27 , 2 6 6 6 6 4 ¨ x =y x 6 +x 6 = 27 ¨ x 2 +y 2 +xy = 3 x 6 +y 6 = 27: TH 1. ¨ x =y x 6 +x 6 = 27 ,x =y = 6 É 27 2 . TH 2. ¨ x 2 +y 2 +xy = 3 x 6 +y 6 = 27 , ( x 2 +y 2 +xy
3 = 27 x 6 +y 6 = 27 ) x 2 +y 2 +xy
3 =x 6 +y 6 . (1) Ì Nếuy = 0 thì hệ trở thành § 0 =x 3 3x x 6 = 27 ,x = p 3: Khi đó hệ có hai cặp nghiệm € p 3; 0 Š ; € p 3; 0 Š . Ì Nếuy6= 0, ta chia hai vế (1) choy 6 , đặtt = x y . Khi đó ta được t 3t 4 + 6t 3 + 7t + 6t + 3
= 0, 2 4 t = 0 3  t 2 + 1 t 2 ‹ + 6  t + 1 t ‹ + 7 = 0 , 2 6 6 6 6 6 4 t = 0 t + 1 t = 3 p 6 3 (loại) t + 1 t = 3 + p 6 3 (loại)  vì t + 1 t  2 ‹ . Suy rat = 0,x = 0. Hệ trở thành § 0 =y 3 3y y 6 = 27 ,y = p 3 Khi đó hệ có hai cặp nghiệm € 0; p 3 Š ; € 0; p 3 Š . Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 202 Vậy hệ có 6 cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu37. Hệ phương trình ¨ 2x + p y 1 = 1 2y + p x 1 = 1 có bao nhiêu cặp nghiệm (x;y)? A 1. B vô nghiệm. C 2. D 3. ýLờigiải. Điều kiện xác địnhx 1,y 1. Khi đó 2x + p y 1 2 nên phương trình 2x + p y 1 = 1 vô nghiệm. Do đó hệ phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu38. Cho hệ phương trình ¨ x +y =m + 1 x 2 y +y 2 x = 2m 2 m 3 và các mệnh đề (I) Hệ có vô số nghiệm khim =1. (II) Hệ có nghiệm khim> 3 2 . (III) Hệ có nghiệm với mọim. Các mệnh đề nào đúng? A Chỉ (I). B Chỉ (II). C Chỉ (III). D Chỉ (I) và (III). ýLờigiải. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với ¨ x +y =m + 1 xy(m + 1) = (2m 3)(m + 1): Ì Khi m = 1 thì hệ trở thành ¨ x +y = 0 xy
0 = 0 , x = y. Khi đó hệ có vô số nghiệm, với tập nghiệm S = f(x;x)jx2Rg. Ì Khim6=1. Hệ đã cho trở thành ¨ x +y =m + 1 xy = (2m 3) cónghiệmkhi (x +y) 2  4xy, (m + 1) 2  4(2m 3),m 2 6m + 13 0, (m 3) 2 + 4 0luônđúng với mọim6=1. Do đó hệ có nghiệm với mọim. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu39. Cho hệ phương trình ¨ x +y = 2a + 1 x 2 +y 2 =a 2 2a + 3 . Giá trị thích hợp của tham sốa sao cho hệ có nghiệm (x;y) và tíchx
y nhỏ nhất là A a = 1. B a =1. C a = 2. D a =2. ýLờigiải. Hệ tương đương với ¨ x +y = 2a + 1 (x +y) 2 2xy =a 2 2a + 3 , 8 < : x +y = 2a + 1 xy = 3a 2 + 6a 2 2 : Để hệ phương trình tên có nghiệm thì (x +y) 2  4xy, (2a + 1) 2  6a 2 + 12a 4, 2a 2 + 8a 5 0, 4 p 26 2 a 4 + p 26 2 : Ta cóxy = 3a 2 + 6a 2 2 =f(a) với 4 p 26 2 a 4 + p 26 2 có bảng biến thiên như sau h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 203 x y 4 p 26 2 1 4 + p 26 2 f ‚ 4 p 26 2 Œ f ‚ 4 p 26 2 Œ 5 2 5 2 f ‚ 4 + p 26 2 Œ f ‚ 4 + p 26 2 Œ Vậyxy đạt giá trị nhỏ nhất khia =1. ¤ Chọn đáp án B ................................................................................................................. Câu40. Cho hệ phương trình ¨ 2xy = 2a x + 2y =a + 1 . Tìm tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất. A a = 1. B a =1. C a = 1 2 . D a = 1 2 . ýLờigiải. ¨ 2xy = 2a x + 2y =a + 1 , ¨ x = 1a y =a: Khi đóx 2 +y 2 = (1a) 2 +a 2 = 2a 2 2a + 1 =  p 2a 1 p 2 ‹ 2 + 1 2  1 2 . Khi đóx 2 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 2 khi p 2a 1 p 2 = 0,a = 1 2 . ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu41. Tìm tham sốm để hệ phương trình 8 > < > : mx (m + 1)y = 3m x 2my =m + 2 x + 2y = 4 có nghiệm. A m = 5 2 . B m = 5 2 . C m = 2 5 . D m = 2 5 . ýLờigiải. 8 > < > : mx (m + 1)y = 3m x 2my =m + 2 x + 2y = 4 , 8 > < > : mx (m + 1)y = 3m x = 4 2y (2 + 2m)y = 2m: TH 1. Nếu 2 + 2m = 0 thì hệ trở thành 8 > < > : x =3 x = 4 2y 0y = 3: vô nghiệm: TH 2. 2 + 2m6= 0 thì hệ trở thành 8 > > < > > : mx (m + 1)y = 3m x = 4 2y y = 2m 2 + 2m , 8 > > > > < > > > > : mx (m + 1)y = 3m x = 5m + 2 m + 1 y = 2m 2 + 2m suy ra 5m 2 + 2m m + 1 (m + 1)
2m 2 + 2m = 3m, 5m 2 3m 2 = 0, 2 4 m = 1 m = 2 5 : Vậy giá trịm cần tìm làm = 1 vàm = 2 5 . ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 204 Câu42. Cho hệ phương trình ¨ 2x 2 +xyy 2 = 0 x 2 xyy 2 + 3x + 7y + 3 = 0 . Các cặp nghiệm (x;y) sao chox;y đều là các số nguyên là A (2;2); (3;3). B (2; 2); (3; 3). C (1;1); (3;3). D (1; 1); (4; 4). ýLờigiải. Hệ đã cho tương đương với § x 2 y 2 =x 2 xy 2xyx 2 + 3x + 7y + 3 = 0 , ¨ x 2 y 2 =x 2 xy (2x 7)y =x 2 + 3x + 3 (1) Vìx;y2Z nên 2x 76= 0. Khi đó ta suy ra từ (1) y = x 2 + 3x + 3 2x 7 , 4y = 4x 2 + 12x + 12 2x 7 =2x 1 + 5 2x 7 2Z Do đó 2x 7 là ước của 5 và 5 có các ước làf1;5g nên TH 1. 2x 7 = 1,x = 4) 32 + 4yy 2 = 0) – y = 8 y =4 thỏa bài toán. TH 2. 2x 7 =1,x = 3) 18 + 3yy 2 = 0) – y = 6 y =3 thỏa bài toán. TH 3. 2x 7 =5,x = 1) 2 +yy 2 = 0) – y = 2 y =1 thỏa bài toán. TH 4. 2x 7 = 5,x = 6) 72 + 6yy 2 = 0) – y = 12 y =6 thỏa bài toán. Vậy hệ phương trình có tập các nghiệm nguyênf(4;4); (4; 8); (3;3); (3; 6); (1;1); (1; 2); (6;6); (6; 12)g. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Câu43. Nếu (x;y) là nghiệm của hệ phương trình ¨ x 2 4xy +y 2 = 1 y 4xy = 2 . Thìxy bằng bao nhiêu? A 4. B 4. C 1. D không tồn tại giá trịxy. ýLờigiải. § x 2 4xy +y 2 = 1 y 4xy = 2 , ¨ 4xy =y 2 x 2 4xy +y 2 = 1: (*) TH 1. Nếuy = 0 thì hệ (*) trở thành ¨ 0 =2 x 2 = 1 vô nghiệm. TH 2. Nếuy6= 0 thì (*) trở thành 8 > > < > > : x = y 2 4y (y 2) 2 16y 2 + 2y +y 2 = 1 , 8 < : x = y 2 4y 16y 4 16y 3 + 17y 2 4y + 4 = 0 , 8 > < > : x = y 2 4y 4y 2 2y
2 + 12y 2 + (y 2) 2 = 0 vô nghiệm vì 4y 2 2y
2 + 12y 2 + (y 2) 2 = 0, 8 > < > : 4u 2 2y = 0 y = 0 y = 2 không xảy ra. Vậy không tồn tại giá trịxy thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án D ................................................................................................................ Câu44. Hệ phương trình ¨ x +y = 2 xy = 5a 2 có nghiệm (x;y) vớix< 0 khi và chỉ khi A a< 0. B a> 0. C a< 5 2 . D a> 5 2 . ýLờigiải. h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurieh|NhómToánTH-THCS-THPTViệtNam 205 § x +y = 2 xy = 5a 2 , 8 > < > : x = 5a 2 y = 4 5a 2 : Để hệ phương trình có nghiệmx< 0 thìa< 0. ¤ Chọn đáp án A ................................................................................................................. Câu45. Cho các số thựcx;y thỏa ( x p 12y + È y (12x 2 ) = 12 x 3 8x 1 = 2 p y 2 . Khi đóx +y bằng A 2. B 1. C 6. D 0. ýLờigiải. Điều kiện ¨ 2y 12 2 p 3x 2 p 3: Với hai số thựca;b bất kỳ ta có a 2 +b 2 2 ab (*) Áp dụng (*) ta được 8 > > < > > : x p 12y x 2 y + 12 2 È y (12x 2 ) 12x 2 +y 2 : Suy rax p 12y + p y (12x 2 ) 12, do đó từ phương trình đầu của hệ ta được ¨ x 0 y = 12x 2 . Thay vào phương trình dưới của hệ ta được x 3 8x1 = 2 p 10x 2 ,x 3 8x3+2 € 1 p 10x 2 Š = 0, (x3) • x 2 + 3x + 1 + 2(x + 3) 1 + p 10x 2 ˜ = 0: (1) Dox 0)x 2 + 3x + 1 + 2(x + 3) 1 + p 10x 2 > 0, khi đó (1),x = 3)y = 3 thỏa mãn điều kiện: Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (3; 3). Do đóx +y = 6. ¤ Chọn đáp án C ................................................................................................................. Dü¡nT E XĐCTo¡n10-MarieCurie h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie# | Dự án T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie 206 h|NHÓMTOÁNTH-THCS-THPTVIỆTNAM-DỰÁNT E XĐCToán10-MarieCurie CHƯƠNGIV BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH x1 MỆNHĐỀ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Mộtsốkiếnthứccầnnhớ Địnhnghĩa: Các mệnh đềab,ab,ab được gọi là bất đẳng thức. Tínhchất: 1 8c2R, ta có:a 0, ta cóabc. 4 ¨ a 0, ta cóa 0, ta cóa Xem thêm