Đề cương ôn tập học kỳ 2 môn Hình Học lớp 9

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM

Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang PAGE \* MERGEFORMAT 44

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Trang 2

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN Trang 14

CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Trang 27

CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

LÝ THUYẾT

Cho ∆ABC vuông ở A có đường cao AH

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng trên hình. Chứng minh

b) Chứng minh các hệ thức sau:

• và

•

•

•

•

Ví dụ. Cho ∆ABC vuông ở A có đường cao AH. Biết BH = 12,5cm và CH = 72cm. Tính AH, AB, AC

Giải

Ta có BC = BH + CH = 12,5 + 72 = 84,5cm (H nằm giữa B và C)

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông ở A có đường cao AH, ta có:

AH2 = HB.HC = 12,5.72 = 900 AH = 30cm (do AH > 0)

AB2 = BH.BC = 12,5.84,5 = 1056,25 AB = 32,5cm (do AB> 0)

AC2 = CH.BC = 72.84,5 = 6084 AC = 78cm (do AC > 0)

Vậy AH = 30cm, AB = 32,5cm, AC = 78cm

BÀI TẬP

Bài 1. Cho ∆ABC vuông ở A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, HB, HC hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết:

a) AB = 6cm và AC = 8cm b) AB = 15cm và HB = 9cm

c) AC = 44cm và BC = 55cm d) AC = 40cm và AH = 24cm

e) AH = 9,6cm và HC = 12,8cm f) AB =15cm và HC = 16cm

g) BC = 25cm và AH = 12cm (AB < AC)

Bài 2. Cho ∆ABC có đường cao AH, trung tuyến AM và AB =5cm; AC = 12cm; BC = 13cm. Tính AM; AH

Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD () có AC vuông góc với BD tại H. Biết HB = 8cm, HD = 18cm. Tính diện tích hình thang

Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo DB = 68cm và . Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật

Bài 5.

a) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính các cạnh của ∆ABC biết và AH = 48cm

b) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính AH, biết và BC =125cm

Bài 6. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM

a) Biết và AH = 42cm. Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông trên cạnh huyền

b) Biết và AB < AC. Tính tỉ số

Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao, phân giác AD. Biết BD = 15cm, DC = 20cm. Tính AD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm, AC = 12cm. Tính diện tích hình thang ABCD

Bài 9. Cho ∆ABC có các trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm. Tính diện tích ∆ABC

Bài 10. Cho ∆ABC có AH là đường cao (H nằm giữa B và C). Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của H xuống AB và AC

a) Chứng minh rằng: AB.AM = AC.AN

b) Tia phân giác của góc HAC cắt HN, HC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng

Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH AC tại H, tia BH cắt đường thẳng DC tại I và cắt đường thẳng AD tại K

a) Chứng minh: AH.AC = BH.BK b) Chứng minh: BH2 = HI.HK

Bài 12. Cho hình thang vuông ABCD () có AC BD tại H. Chứng minh rằng: AB.DC = AH.AC

Bài 13. Cho hình thang ABCD có AB//CD và hai đường chéo vuông góc. Biết BD = 15cm và đường cao hình thang bằng 12cm. Tính diện tích hình thang ABCD

Bài 14. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao, phân giác AD. Biết . Tính

Bài 15. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao. Trên cạnh AC lấy điểm S, vẽ AT BS tại T. Chứng minh:

a) b) AB + AC < AH + BC

Bài 16. Cho ∆ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C)

a) Nếu AB2 = BH.BC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông

b) Nếu AH2 = HB.HC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông

c) Nếu AH.BC = AB.AC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông

d) Nếu . Khi đó chứng minh ∆ABC vuông

Bài 17. Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC, AH là đường cao và CH = 9cm, AB = cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

a) Tính DE

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Tính diện tích tứ giác DENM

Bài 18. Cho hình thang ABCD vuông tại A có AB//CD và AB < CD. Kẻ AH BD tại H. Tính BH và diện tích hình thang ABCD nếu biết BC = 13cm, CD = 14cm và DB = 15cm

Bài 19. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax AB và . Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho

a) Chứng minh: AB2 = 4AC.BD

b) M là một điểm thuộc CD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên OC, OD.

Chứng minh: MC.MD = EO.EC + FO.FD

Bài 20. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AD. Biết BC = a, AC = b, AB = c, AD = h

a) Chứng minh rằng số đo độ dài h; b + c và a + h là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông

b) Vẽ DE AB tại E, DF AC tại F. Chứng minh rằng: và

c) Chứng minh rằng: d) Chứng minh rằng: BC.BE.CF = EF3

e) Chứng minh rằng

Bài 21. Cho ∆ABC nhọn có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Chứng minh: AM = AN

Bài 22. Cho ∆ABC vuông cân tại A có đường trung tuyến BM. Kẻ CD BM tại D và DH AC tại H. Chứng minh AH = 3HD

Bài 23. Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc cạnh BC khác B và C. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AM và DC. Chứng minh rằng:

Bài 24. Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD CD và AD = CD. Vẽ đường cao BH. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:

Bài 25. Cho hình thoi ABCD có và BH là đường cao. Chứng minh rằng:

Bài 26.

a) Cho ∆ABC cân tại A có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Biết AH = 14cm và BH = 30cm. Tính AB

b) Cho ∆ABC vuông tại A có AB > AC và AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của HB, HA, CE cắt AD tại F và gọi I là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh:

Bài 27. Xét các ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao và cạnh huyền BC = 2a. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

a) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài DE b) Chứng minh (ký hiệu S là diện tích)

c) Tính giá trị lớn nhất của

BÀI 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

LÝ THUYẾT

I. KHÁI NIỆM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Hai tam giác vuông ABC và DEF đồng dạng khi hoặc

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh (góc vuông) kề của một góc nhọn trong tam giác vuông đặc trưng cho độ lớn của góc nhọn đó

Tương tự, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, cạnh kề và cạnh huyền trong tam giác vuông cũng gắn với độ lớn của góc nhọn trong tam giác vuông ấy

Chúng ta gọi chung những tỉ số như vậy là tỉ số lượng giác của góc nhọn

II. ĐỊNH NGHĨA

Cho góc nhọn . Vẽ một tam giác vuông có góc nhọn . Khi đó:

* Tỉ số của cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc , ký hiệu:

* Tỉ số của cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc , ký hiệu:

* Tỉ số của cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc , ký hiệu: (hay )

* Tỉ số của cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc , ký hiệu: (hay )

Với hình vẽ sau:

* Lưu ý

Nếu hai góc nhọn và có (hoặc , hoặc ) thì vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng

III. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU

Nếu hai góc nhọn và phụ nhau thì chúng là hai góc nhọn của một tam giác vuông. Ta có đính lý sau:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia

IV. BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT

Tỉ số lượng giác11 * Lưu ý

Từ nay, khi viết các tỉ số lượng giác của một góc trong tam giác, ta bỏ ký hiệu “” đi

Ví dụ. sinA thay vì ; cotgB thay vì

V. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn, ta sẽ chứng minh được các tính chất sau:

* * *

* * . *

BÀI 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

LÝ THUYẾT

I. CÁC HỆ THỨC

Định lý

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

II. GIẢI MỘT TAM GIÁC VUÔNG

Giải một tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc của tam giác vuông ấy nếu biết hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn

Ví dụ 1. Giải ∆ABC biết AB = 5cm, AC = 8cm

Giải

• ∆ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago ta có:

(do BC > 0)

•

Ví dụ 2. Giải ∆DEF biết DE = 100cm và

Giải

• ∆DEF vuông tại D nên

• ∆DEF vuông tại D nên và

BÀI TẬP

Bài 28.

a) Cho ∆ABC vuông tại A, có BC = 3AB. Tính (làm tròn đến độ)

b) Cho ∆ABC cân tại A, có đường cao AH và AH = 2BC. Tính (làm tròn đến độ)

c) Cho ∆ABC cân tại A, có AB = 3BC. Tính (làm tròn đến độ)

Bài 29. Rút gọn biểu thức:

a) b) c) d)

Bài 30. Tính góc nhọn . Biết

Bài 31. Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Tính các tỉ số lượng giác của góc C, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc B, nếu biết rằng:

a) AB = 16cm, AC = 12cm b) AB = 4cm, BC = 6cm

c) AC = 13cm, CH = 5cm d) BH = 3cm, CH = 4cm

Bài 32. Cho ∆ABC vuông tại A. Không dùng bảng lượng giác và máy tính, hãy:

a) Tính sinB, tgB, cotgB nếu biết cosB = 0,8 b) Tính cosC, tgC, cotgC nếu biết

c) Tính sinC, cosC, cotgC nếu biết d) Tính sinB, cosB, tgB nếu biết

Bài 33. Cho ∆ABC vuông tại A. Không dùng bảng lượng giác và máy tính, hãy:

a) Tính nếu biết tgB = 2 b) Tính nếu biết

Bài 34. Tính độ dài các cạnh của các tam giác sau theo a

Bài 35. Giải ∆ABC vuông ở A (góc làm tròn đến độ và độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai), biết:

a) AC = 100cm, b) AB = 50cm,

c) BC = 40cm, d) AB = 70cm, AC = 60cm

Bài 36. Một chiếc đò đang ở điểm A muốn băng ngang qua sông theo đường AH nhưng bị nước cuốn đi nên tấp vào bờ ở điểm B cách H là 50m (BH = 50m). Tìm chiều rộng con sông (AH) và quãng đường đò đã đi (AB) (hình sau)

Bài 37. Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 2cm, HC = 64cm. Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ)

Bài 38. Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 64mm, HC = 81mm. Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ) và tính AB; AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 39. Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao 900m. Một người quan sát nhìn chiếc máy bay đó dưới góc (hình sau). Tính khoảng cách từ người quan sát đến máy bay (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 40.

Từ vị trí A ở đỉnh một ngọn hải đăng cao 100m so với mặt nước biển, người quan sát nhìn thấy một con tàu (vị trí B) theo một góc 820 so với phương thẳng đứng (hình trên). Tính khoảng cách từ A đến con tàu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 41. Cho ∆ABC có ; AB = 15cm, BC = 20cm. Tính các góc và các cạnh còn lại của tam giác (góc làm tròn đến độ và độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 42. Cho ∆ABC, có đường cao AH. Biết AB = 25cm, . Tính độ dài AH và BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 43. Cho ∆ABC có BC = 12cm,

a) Tính chiều cao CH và AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

b) Tính diện tích ∆ABC

Bài 44. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn

a) Chứng minh: sinA + cosA > 1 b) Vẽ đường cao AH. Chứng minh:

c) Biết BC = 12cm, . Tính diện tích ∆ABC

Bài 45. Cho ∆ABC vuông tại A, có BC = a, đường cao AH. Chứng minh:

a) b) và

c) và (dùng tỉ số lượng giác để chứng minh)

Bài 46. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BH và CK

a) Dùng tỉ số lượng giác để chứng minh ∆AHK ∽ ∆ABC

b) Biết . Chứng minh rằng

Bài 47. Cho . Chứng minh:

a) b) c)

d) e) f)

Bài 48. So sánh (không dùng bảng lượng giác và máy tính):

a) và b) và c) và

d) và e) và f) và

g) và h) và i) và

j) và

Bài 49. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không dùng bảng lượng giác và máy tính):

a) và b) và

c) và d) và

Bài 50. Cho ∆ABC có

a) Chứng minh b) Công thức trên sẽ thay đổi ra sao nếu

Bài 51.

a) Chứng minh rằng nếu a, b là độ dài hai cạnh của một hình bình hành có góc nhọn thì diện tích S của hình bình hành bằng

b) Cho ∆ABC vuông tại A. Từ điểm D trên cạnh AC, vẽ DE BC tại E. Chứng minh

Bài 52. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AB = c, AC = b, BC = a

a) Chứng minh rằng: b) Cho biết 2a = b + c. Chứng minh 2sinA = sinB + sinC

Bài 53. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng:

Bài 54. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, , đường cao AH và đường trung tuyến AM. Đặt . Chứng minh rằng:

Bài 55. Cho ∆ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:

Bài 56. Chứng minh:

a) b) ()

c) () d) ()

Bài 57. Tính các tỉ số lượng giác sau (không dùng bảng lượng giác và máy tính)

a) b) c)

Bài 58. Dựng góc nhọn biết:

a) b) c) d)

ÔN TẬP HÌNH HỌC

Bài 59. Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn (giải thích)

a) b)

c)

Bài 60.

a) Cho góc nhọn , biết . Không dùng bảng và máy tính, hãy tính , ,

b) Cho ∆ABC vuông tại A, có tgB = 0,75. Hãy tính tỉ số lượng giác của góc C

c) Cho ∆ABC vuông tại A, có tgB = 3. Hãy tính:

Bài 61. Giải ∆ABC vuông tại A, biết:

a) AB = 9cm và b) BC = 8cm và c) AB = 15cm và AC = 20cm

Bài 62. Giải ∆ABC biết và

Bài 63. Cho góc nhọn

a) Chứng minh:

b) Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 64. Không dùng bảng và máy tính, hãy tính:

a)

b)

c)

d)

Bài 65. Cho góc nhọn . Chứng minh:

a) b) c)

Bài 66. Cho góc nhọn biết . Tính

Bài 67. Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác AD. Tính HB, HC biết DB = 51cm và

Bài 68. Cho ∆ABC có và BC = 12cm. Tính diện tích ∆ABC

Bài 69. Cho ∆ABC vuông tại A

a) Chứng minh: AB.sinC + AC.cosC = BC

b) Vẽ AH BC tại H. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Chứng minh:

c) Chứng minh

Bài 70. Cho ∆ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C và AB < AC)

a) Chứng minh: b) Chứng minh:

c) Chứng minh: sinB + cosB > 1

d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Tia FE cắt BC tại D.

Chứng minh: DE.DF = DB.DC = DH2

Bài 71. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy điểm E và F sao cho AE = BF; tia AF cắt DE tại H và cắt đường thẳng DC tại G

a) Chứng minh: DE AF b) Chứng minh:

c) Nếu cho và HA = 6cm. Khi đó hãy chứng minh rằng các độ dài HE, HA, HD, HG lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 4; 8

d) Nếu cho E là trung điểm của AB. Khi đó, tính

Bài 72. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M, K, N lần lượt là trung điểm của AH, ED, BC

a) Chứng minh: M, K, N thẳng hàng b) Tính

c) AH cắt BC tại F. Ký hiệu S là diện tích. Chứng minh:

; và

d) Chứng minh và

e) Cho biết . Khi đó hãy tính tỉ số và

Bài 73. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và AD là đường phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, vẽ tia Cx sao cho , Cx cắt tia AD ở E

a) Chứng minh

b) Vẽ DT AB tại T và DS AC tại S. Chứng minh

c) So sánh diện tích tứ giác ATES và diện tích ∆ABC

Bài 74. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, độ dài BC = a và H là trực tâm, tia BH và tia CH lần lượt cắt AC và AB tại M và N

a) Chứng minh: b) Chứng minh:

c) Cho biết . Tính MN và AH theo a

d) Chứng minh

e) Bỏ giả thiết . Cho biết . Khi đó chứng minh:

Bài 75. Cho ∆ABC vuông tại A có . Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng BC, AC và AB lần lượt tại M, N và K. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BN và KC

a) Chứng minh: MA = MI b) Tính c) Tính

Bài 76. Cho ∆ABC có và BC = a. Đường trung trực của AB cắt BC tại M

a) Tính b) Tính diện tích ∆ABC theo a

c) N là một điểm nằm trong ∆ABM. Gọi y, z, t lần lượt là khoảng cách từ N đến các cạnh BM, MA, AB tương ứng. Cho biết y = 1, z = 2, t = 3. Hãy tính diện tích ∆AMC

Bài 77. Cho hình vuông ABCD và điểm M di động trên đường chéo AC. Vẽ ME AD tại E và gọi F là trung điểm của AM

a) Chứng minh: AF.AC = AE.AD

b) Chứng minh: và tỉ số có giá trị không đổi khi M di động trên đường chéo AC

c) N là một điểm di động trên cạnh BC, tia AN cắt đường thẳng DC tại G. Chứng minh tổng không đổi

d) Trên tia CG lấy điểm H sao cho , BH cắt AG tại I. Chứng minh nếu

Bài 78. Cho ∆ABC có AB = 3cm, AC = 4cm. Đường cao AH (H nằm giữa B và C và )

a) Tính tgB

b) Vẽ phân giác AD, trung tuyến AM của ∆ABC. Tính diện tích ∆MAC, ∆DAM

c) Cho biết . Chứng minh rằng:

d) Không sử dụng giả thiết về số đo độ dài. Cho biết ∆ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:

Bài 79. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AD. Vẽ DE AB tại E, DF AC tại F

a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng:

c) Chứng minh rằng

d) Vẽ trung tuyến AM của ∆ABC. Chứng minh

Bài 80. Cho ∆ABC nhọn có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và BC = a. Cho biết

a) Tính EF theo a b) Chứng minh

Bài 81. Cho ∆ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại F. Cho biết . Tính

Bài 82. Cho ∆ABC nhọn, các đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau

a) Giả sử AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài BC?

b) Chứng minh:

Bài 83. Cho ∆ABC có đường phân giác AD, đường cao BH và đường trung tuyến CE đồng qui. Chứng minh:

Bài 84. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và hai đường cao BE; CF cắt nhau tại H. Biết , và

a) Chứng minh AF.AB = AE.AC b) Tính c) Tính CH

d) Tính diện tích ∆ABC; diện tích ∆BFN (với N là trung điểm của BC)

Bài 85. Cho ∆ABC có , 3 đường cao AD, BE, CF đồng qui tại trực tâm H. Tính chu vi và diện tích ∆HBC theo a

Bài 86. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng qui tại trực tâm H. Cho , và BC = 2a

a) Tính các góc của ∆ABC b) Tính chu vi và diện tích ∆AEF theo a

Bài 87. Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH BC tại H. Gọi T, S lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Cho biết BC = 2a và

a) Tính theo a diện tích ∆ATS

b) Đường thẳng ST cắt đường thẳng BC tại K. Tính KC theo a

Bài 88. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao. Cho biết chu vi ∆ABH là 320 (đvđd) và chu vi ∆ACH là 600(đvđd). Tính chu vi và diện tích ∆ABC

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa đường tròn

Đường tròn tâm O, bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R

Ký hiệu: (O; R) hoặc (O)

• Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm O cố định bằng R không đổi (với R > 0) là đường tròn tâm O, bán kính R

II. Ba vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O; R)

• M thuộc đường tròn (O; R) OM = R

• M nằm ngoài đường tròn (O; R) OM > R

• M nằm trong đường tròn (O; R) OM < R

* Hình tròn là tập hợp các điểm bên trong đường tròn và các điểm của chính đường tròn đó

III. Định lý (về sự xác định một đường tròn)

1) Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn qua 3 điểm đó

• Tâm của đường tròn này là giao điểm 3 đường trung trực của 3 cạnh ∆ABC

• Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. [Ký hiệu: (ABC)]; còn ∆ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn

2) a) Nếu một tam giác nội tiếp đường tròn, có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền là đường kính và tâm là trung điểm của cạnh huyền

IV. Tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng:

1) Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn này

2) Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

V. So sánh độ dài của đường kính và dây

Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

• AB là dây không qua tâm O, CD là đường kính AB < CD

VI. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

* Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

• ON AB ở H H là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây)

* Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

• ON cắt dây AB ở H là trung điểm của AB ON AB tại H (đường kính đi qua trung điểm dây không qua tâm)

BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

LÝ THUYẾT

Định lý 1

* Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

• OH AB; OI CD; ta có: AB = CD OH = OI

Định lý 2

* Trong 2 dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

• OH AB; OI CD; ta có: AB > CD OH < OI

BÀI TẬP

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường kính BC với AB < AC. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AO cắt AB, AC lần lượt tại H và T. Chứng minh 3 điểm H, I, T thẳng hàng

Bài 2. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB và điểm M thuộc đường tròn sao cho MA < MB (M ≠ A và M ≠ B). Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.NB cắt (O) tại C, AC cắt BM tại E

a) Chứng minh: EM.EB = EC.EN b) Chứng minh AE.AC + BE.BM = 4R2

Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC. Đường tròn (M) đường kính AB và đường tròn (N) đường kính AC cắt nhau tại H (H ≠ A)

a) Chứng minh AH BC b) Chứng minh 4 điểm A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn

c) Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E và cắt đường tròn