Đề cương ôn thi môn Toán lớp 10

Vũ Tuấn Anh

PAGE \* MERGEFORMAT 13

DẠNG III:PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT

I. VÍ DỤ

Đề bài 1: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0

Giải phương trình với

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Tìm m để phương trình có nghiệm dương

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình

Tìm GTNN của

Tìm GTLN của

Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m

Giải :

a. Giải phương trình với

Với ta có phương trình :

phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Vậy với phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi

Vậy với m<1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi

Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi

Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.

f. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm.

Tìm m để phương trình có nghiệm dương

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Để phương trình có nghiệm dương ta có các trường hợp sau :

Phương trình có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

Thay x = 0 vào phương trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vào phương trình ta được

x2 - x = 0 ( thỏa mãn )

Phương trình có hai nghiệm cùng dương, điều kiện là :

Phương trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện là :

Kết hợp cả ba trường hợp ta có với mọi m thì phương trình đã cho có nghiệm dương

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m

Theo định lí Viet ta có x1.x2 =

Phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi x1.x2 = 1

Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m

Theo định lí Viet và đề bài ta có :

Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tương ứng cho (3) ta được :

5x1 + 5x2 – 2 x1 – 5x2 = 10m – 5 + 1 (4)

Thay (4) vào (1) ta có : (5)

Thay (4) và (5) vào (2) ta được phương trình :

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m

Theo định lí Viet ta có :

Theo đề bài :

Thay (1) và (2) vào (3) ta có (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm là m1 = 1 ; m2 =

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

Vậy hệ thức cần tìm là

Tìm GTNN của

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m

Theo định lí Viet ta có :

Đặt A =

Thay (1) và (2) vào ta có

với mọi m (3)

Mà

Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)2 = 0

Vậy GTNN của là 1 xảy ra khi m = 1

Tìm GTLN của

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m

Theo định lí Viet ta có :

Ta có (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được :

Vì

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của là 2 khi m = 2

Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 ,

chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m :

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của m.

Đề bài 2. Cho phương trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0

Giải phương trình với m = -5

Tìm m để phương trình có nghiệm

Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

*Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4

Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1

Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của

Tìm m để A = 6

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm là . Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm là

Giải :

Giải phương trình với m = -5

Thay m = -5 vào phương trình ta có : -4x2 + 6x = 0

Vậy với m = -5 , phương trình có hai nghiệm là 0 và

Tìm m để phương trình có nghiệm

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . Phương trình có một nghiệm x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có nghiệm khi

Tóm lại phương trình có nghiệm khi

Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có nghiệm duy nhất khi ( thỏa mãn )

Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất khi

Chú ý :Trường hợp phương trình bậc hai có cũng được coi là có nghiệm duy nhất

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Tóm lại phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 ,

b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0

Vậy với -5 < m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Chú ý :

Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn như sau :

Để (1) xảy ra thì m + 1 và m + 5 là hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi

Trường hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng như (1), hãy học thuộc từ “ngoài cùngtrong khác” và dịch như sau : ngoài khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a là hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây là nghiệm của đa thức vế trái )

Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm là -1 và -5 , dạng khai triển là m2 + 6m + 5 nên hệ số a là 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức là khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức là -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoài khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức là m < -5 hoặc m > -1

Một số ví dụ minh họa :

*Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi

Chú ý :

Để tìm nghiệm của hệ bất phương trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên đó và lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung và kết luận. Việc làm đó diễn tả như sau :

-5

-2

-1

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

ở hình trên các đường (1) ; (2) ; (3) lần lượt là các đường lấy nghiệm của các bất phương trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là

Khi đó theo đề bài và định lí Viet ta có

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình

Thay vào (2) ta có phương trình :

Vậy là giá trị cần tìm.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là

Khi đó theo định lí Viet ta có x1.x2 =

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải thỏa mãn điều kiện (1) và

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.

Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là Khi đó theo định lí Viet :

Tìm m để A = 6

Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 là giá trị cần tìm.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm là . Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm là

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là

Thay x = vào phương trình đã cho ta có

(m+1).()2 - 2(m+2). + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa mãn (1))

Vậy với m = -13 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm là .

Thay m = -13 phương trình trở thành -12x2 + 22x - 8 = 0 ó 6x2 - 11x + 4 = 0

Theo định lí Viet : . Khi đó :

Do đó phương trình cần tìm có dạng y2 - 7y + 6 = 0 (2)

Chú ý :

Phương trình (2) không nên lấy ẩn là x vì dễ gây nhầm lẫn với phương trình của đề bài

II. CHÚ Ý :

Khi gặp phương trình có tham số ( thường là m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai)ta cần xét riêng trường hợp hệ số a = 0 để kết luận trường hợp này có thỏa mãn yêu cầu của đề bài hay không. Sau đó xét trường hợp a khác 0, khẳng định đó là phương trình bậc hai rồi mới được tính .

II : BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 :(3.0 điểm) Giải phương trình

Bài 2

Cho pt x2 + (2m - 1)x - m = 0 có 2 nghiệm x1, x2.

Tìm m sao cho x12 + x22 - 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: (5,0 điểm).Giải các phương trình.

a) +

b)

Bài 4: (5,0 điểm).

Cho phương trình : .

a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .

b) Giải phương trình .

Câu 5:(6,0 điểm).

1) Cho phương trình : ( a là tham số)

a) Giải phương trình trên.

b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố.

Câu 6 :(5,0 điểm).

1.Cho phương trình . Tìm để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn .

Câu 7 :(Cho phương trình: x2 - 2(m - 1) x -3 - m = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: x12 + x22 10 .

Câu 8 :Cho phương trình: x2 - 2m x +2m -1 = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm x1 ; x2 với mọi m.

b, Đặt A = 2 (x12 + x22 ) - 5x1 x2

- Chứng minh : A = 8m2 - 18m + 9

- Tìm m sao cho A = 27

c, Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia .

Câu 9 :. Cho phương trình: (m-1)x2 - 2(m-1) x -m = 0

a, Xác định m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

b, Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

Câu 10 :. Cho phương trình: x2 - (2m - 3) x + m2 +3m = 0

a, Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: 1

Câu 11 :. Cho phương trình: (m+2)x2 - (2m - 1) x - 3+ m = 0

a, Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

b, Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.

Câu 12 :. . Cho phương trình: x2 - 4 x +m +1 = 0

a, Xác định m để phương trình luôn có nghiệm.

b, Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x12 + x22 = 10

Câu 13 :. Cho phương trình : có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Câu 14 :. : Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.

Câu 15:(2.0 điểm)

Cho phương trình ẩn x : (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = 2.

2) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thoả mãn .

Câu 16:(2.0 điểm)

1) Giải phương trình :

2) Cho là hai nghiệm của phương trình .

Đặt . Tìm số dư khi chia cho 5.

Bài 17:Cho phương trình : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 0

1.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

2.Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m.

II : BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 :Giải phương trình

Giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(1)

Đặt (đk t >1), phương trình (1) trở thành:

(4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)

Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn t, khi đó phương trình (2) có:

Phương trình (2) ẩn t có các nghiệm là:

t1=2x-1 và t2= (loại)

Với t1=2x-1, ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

Bài 2 Cho pt x2 + (2m - 1)x - m = 0 có 2 nghiệm x1, x2.

Tìm m sao cho x12 + x22 - 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải Ta có x12 + x22 - 6 x1 x2 = ( x1 + x2)2 - 8 x1x2

= (1 - 2m)2 + 8m

= 4m2 + 4m + 1

= (2m + 1)2 ³ 0

khi đó x12 + x22 - 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi m=-1/2

Bài 3: Giải các phương trình.

a) +

b)

Giải:. a) x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)

x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5)

x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)

x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)

Þ ĐKXĐ : x ¹ -1; x ¹ -3; x ¹ -5; x ¹ -7; x ¹ -9

pt Û

ÛÛ

Þ 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9)Û 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0Û x2 + 10x - 11 = 0

Phương trình có dạng a + b + c = 0 Þ x1 = 1; x2 = -11 x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =

b) ĐKXĐ: x ³ -2.

Pt Û<=>| + | -3| = 1

| + | 3 - | = 1

áp dụng BĐT |A|+ |B| ³| A + B| ta có : | + | 3 - | ³ 1

Dấu "=" xảy ra khi : ()( 3 - ) ³ 0 Û 2 ££ 3 Û 2£ x £ 7

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =

Bài 4: Cho phương trình : .

a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .

b) Giải phương trình .

Câu 4: a) điều kiện :

Đặt = a ; = b ( a ; b 0) .

Vì ab + 4 > 0 nên :

Câu 5:

1) Cho phương trình : ( a là tham số)

a) Giải phương trình trên.

b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố.

Giải

Để x = là nghiệm của phương trình (1) thì :

a (2) và - a (3)

Giải(2) ta được a 1, a 0

Giải (3) ta có: a 0 , a -3

Vậy : a = 0 phương trình có vô số nghiệm x 0

a = - 3 ; a= 1 phương trình vô nghiệm.

a 1; a -3 và a 0 phương trình có nghiệm duy nhất

x =

b) Theo câu a:

Với a = 0 thì phương trình có vô số nghiệm x 0 (loại do a >0)

Với a 1; a -3 và a 0 phương trình có nghiệm duy nhất

x =

Vì a là số nguyên dương và a 1nên:

Nếu a = 2 thì x = 3 , là số nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu a > 2 thì a = 2k hoặc a = 2k + 1 với k N, k > 1

Xét a = 2k thì x = k(2k + 1) là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên x là hợp số. (loại)

Xét a = 2k +1 thì x = (2k +1)(k+1) là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên x là hợp số. ( loại)

Vậy a =2 thì nghiệm của phương trình x = 3 là số nguyên tố.

Câu 6 :

1.Cho phương trình . Tìm để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn .

Giải PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện:

(*)

Với theo Vi-et ta có: .

Ta có (1)

. Đặt do

Câu 7 :(Cho phương trình: x2 - 2(m - 1) x -3 - m = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: x12 + x22 10 .

Câu 7:Giải:

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Ta có: x2 - 2(m - 1) x - (3 + m) = 0

Có biệt số : = (m - 1)2 + ( m + 3) = +

> 0 với mọi giá trị m P. trình luôn có hai nghiệm với mọi m.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: x12 + x22 10 .

Ta có: x12 + x22 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10

4 (m - 1)2 + 2(m + 3) 10 4m2 -6m 0

m2 - m +

Câu 8 :Cho phương trình: x2 - 2m x +2m -1 = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm x1 ; x2 với mọi m.

b, Đặt A = 2 (x12 + x22 ) - 5x1 x2

- Chứng minh : A = 8m2 - 18m + 9

- Tìm m sao cho A = 27

c, Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Giải:

a, Ta có: = m2 - (2m - 1) = (m - 1)2 0 với mọi m Phương trình luôn có nghiệm x1 ; x2 với mọi m.

b, Đặt A = 2 (x12 + x22 ) - 5x1 x2

áp dụng định lý Vi ét: x1 +x2 = 2m ; x1x2 = 2m-1

- Chứng minh : A = 8m2 - 18m + 9

A = 2 (x12 + x22 ) - 5x1 x2 = 2(x1 + x2)2 - 4x1x2- 5x1 x2 = 2(x1 + x2)2 - 9x1 x2

= 2 (2m)2 - 9 (2m - 1) = 8m2 -18m +9

- Tìm m sao cho A = 27

A= 27 8m2 -18m +9 = 27 8m2 -18m -18 = 0 4m2 -9m - 9 = 0

= 99 +4.4.9 = 225 = 152

m1/2 =

c, Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia .

Giả sử: x1 = 2x2 3x2 =2m (1)

2x22 = 2m - 1 (2)

Lấy (2) Trừ đi (1) ta có 2x22 -3x2 + 1 = 0

Với x2 = 1 x1 = 2 m =

Với x2 = x1 = 1 m =

Câu 9 :. Cho phương trình: (m-1)x2 - 2(m-1) x -m = 0

a, Xác định m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

b, Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

Câu 9:Giải:

a, Xác định m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

P.trình có nghiệm kép nếu: m =

Vậy: m = thì phương trình có nghiệm kép:

x1 = x2 = (-) = -

b, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm thì.

Vậy: 0 < m < 1

Câu 10 :Cho phương trình: x2 - (2m - 3) x + m2 +3m = 0

a, Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: 1

Giải:

a, Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.

Xét: = (2m +3)2 - 4 (m2 - 3m) = 9 >0

Phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.

x1/2 = x1 = m - 3 và x2 = m

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: 1

Với mọi m ta đều có: m - 3 < m ta chỉ cần xác định m để :

1< m - 3 < m < 6 4 < m < 6

Vậy với 4 < m < 6 thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện:

1

Câu 11 :. Cho phương trình: (m+2)x2 - (2m - 1) x - 3+ m = 0

a, Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

b, Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.

Giải:

a, Xét 2 trường hợp.

*Trương hợp 1: m+2=0 m = -2 Phương trình trở thành 5x = 5 x = 1 là nghiệm

*Trương hợp 1: m+2 0 m -2 Ta có phương trình bậc hai:

= (2m - 1)2 -4(m+2)(m-3) = 1= 25 = 52Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b, Khi m -2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1= .