Đề giao lưu HSG môn Toán lớp 8 - Cẩm Giàng - Hải Dương năm học 2019-2020 (có đáp án)

Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

UBND HUYỆN CẨM GIÀNG

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019- 2020

MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu1. (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

b) Rút gọn biểu thức: rồi tìm x sao cho

Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

b)

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = 0

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Chứng minh: ; và .

Gọi M là điểm đối xứng của H qua D. Giao điểm của EF với AM là N.

Chứng minh: HN.AD=AN.DM.

Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

---------------------Hết-----------------------

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC: 2019 - 2020

MÔN: TOÁN 8

Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

CâuNội dung Điểm1

(2 điểm)( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120 0,25 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120

= (x2 + 7x + 11)2 - 1120,25 = (x2 + 7x )( x2 + 7x + 22)0,25 = x(x + 7)( x2 + 7x + 22)0,25

0,25

0,25

Vậy với x0,25

0,25

2

(2 điểm) a)

0,25

0,25

x + 2020 = 0 vì 0,25

x = -2020

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=- 2020.0,25

b)



0,25

Đặt 6x + 7 = t, ta có:

(*)  0,25

- Với t = 3, ta có 0,25

- Với t = -3, ta có

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 0,25

3

(2 điểm)a) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0

(x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – 7 = 00,25(x+1)2 - (y + 2)2 = 7

(x – y - 1)(x + y + 3) = 70,25Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0

x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1

0,25x = 3 ; y = 1

Vậy phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y) =(3;1)0,25b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 0,25Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì

B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t20,25 = (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z

x2 + 5xy + 5y2 Z0,25Vậy B là số chính phương.

0,254

(3 điểm)Vẽ hình đúng phần a :

0,25a) Xét AEB và AFC có :

chung

0,25 Do đó AEB AFC( g.g)0,25Xét AEF và ABC có : chung

(vì )

Do đó AEF ABC (c.g.c) 0,25Chứng minh tương tự ta được : . Do đó : 0,25b) Vì nên EB là tia phân giác của góc DEF

Tam giác NED có EH là tia phân giác của nên: (1)0,25

Vì EA EH nên EA là tia phân giác ngoài tại đỉnh E của DEN.

(2) 0,25Từ ( 1) và (2) suy ra : , mà HD=DM ( Do M là điểm đối xứng của H qua D)0,25Nên

0,25

có HF//MI( cùng ) (định lí Ta lét),0,25

Mà nên (định lí Ta lét đảo (3))0,25 có HE//MK (cùng ) (định lí Ta lét),

có ( Định lí Ta lét đảo) (4)

Từ (3) và (4) suy ra I, K, D thẳng hàng0,255

(1 điểm)Chứng minh được với mọi m, n dương.

Dấu bằng xảy ra khi m = n.

0,25Áp dụng ta có:

;

dấu bằng xảy ra khi b = c

0,25Tương tự: dấu bằng xảy ra khi c = a

dấu bằng xảy ra khi a = b

Suy ra

0,25

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3

Vậy GTLN của P= khi a = b = c = 30,25* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.