Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 - trường THCS Hùng Vương - Phú Thọ năm học 2015-2016 (có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TX. PHÚ THỌ

THCS HÙNG VƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂNG KHIẾU

Năm học: 2015-2016

Môn: TOÁN Lớp 6

Thời gian: 120 phút, không kể thời gian phát đề

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN

Lời giải – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

Câu 1: Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí:

a/     A 2016.57 1008. 86 : 32.74 16. 48          

   

;

b/

 

 

3 3 2 3 2

B 1500 5 .2 11. 7 5.2 8. 11 121

 

     

 

.

Giải

   

   

   

a / A 2016.57 1008. 86 : 32.74 16. 48

A 1008 2.57 86 :16 2.74 48

A 1008 114 86 :16 148 48

A 1008.200 :1600

A 1008:8

A 126

         

   

   

   

 

 

 

 

 

   

 

 

3 3 2 3 2

3

b / B 1500 5 .2 11. 7 5.2 8. 11 121

B 1500 5.2 11. 49 40 8. 0

B 1500 1000 99

B 1500 901

B 599

 

     

 

      

 

  

 



Câu 2

1/ Tìm x, biết:

a/       x 5 x 10 x 60 450        

b)

1 555 4444 33333 11 13 15

x

7 222 12221 244442 330 60 28

 

     

 

 

.

2/ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho

x 3 1

9 y 18

  .

3/ Cho phân số

 

10n 3

A n

4n 10



 



 . Tìm n để A có giá trị lớn nhất.

Giải

1/ Tìm x.

     

   

 

a) x 5 x 10 . . . x 60 = 450

x x ... x 5 10 ... 60 450

5 60

12x + 12. 450

2

     

        



 

ĐỀ CHÍNH THỨC 12x 390 450

12x 60

x 5

  

 

 

Vậy x = 5.

2/ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho

x 3 1

9 y 18

  .

Ta có:  

x 3 1

2 xy 27 y 2xy 54 y 2xy y 54

9 y 18

          

  y 2x 1 54   

54 (2x 1)   

Vì 2x – 1 là số lẻ và y  N

 2x – 1    1;3;9;27

2x - 1 1 3 9 27

x 1 2 5 14

y 54 18 6 2

Vậy các cặp số tự nhiên (x;y) thõa mãn (1;54); (2;18); (5;6); (14;2).

3/ Tìm n để A có giá trị lớn nhất.

 

 

5 2n 5 22

10n 3 5 11

A ñaït giaù trò lôùn nhaát.

4n 10 2 2n 5 2 2n 5

 



   

  

Khi

11

2n 5 

đạt giá trị lớn nhất.

Vì 11 > 0 dương (không đổi) nên

11

2n 5 

đạt giá trị lớn nhất khi 2n – 5 > 0 đạt giá trị nhỏ

nhất.

 2n – 5 = 1  n = 3.

Vậy khi n = 3 thì phân số

27

A

2

 lớn nhất.

Câu 3

a/ Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có bốn chữ số, biết rằng khi chia a cho 5; 6; 7; 8 có số dư

lần lượt là 1; 2; 3; 4.

b/ Tìm tất cả các số nguyên tố x, y, z biết rằng

y

x 1 z   .

c/ Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng     a 1 b 1 192    .

Giải

a/ Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có bốn chữ số thõa mãn bài toán.

Gọi a số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số thõa mãn đề bài.

a chia cho 5 dư 1  a + 4 chia hết cho 5

a chia cho 6 dư 2  a + 4 chia hết cho 6

a chia cho 7 dư 3  a + 4 chia hết cho 7

a chia cho 8 dư 4  a + 4 chia hết cho 8

 a BC(5; 6; 7; 8)

 BCNN (5; 6; 7; 8) = 840

 a + 4 = 840.k với k N

*

+ Với k = 1 thì a + 4 = 840.1  a = 836 (loại)

+ Với k = 2 thì a + 4 = 840.2 = 1680  a = 1 676 (Thõa mãn)

Vậy a = 1 676.

b/ Tìm các số nguyên tố x, y, z biêt x

y

+ 1 = z

 

y

y

2

y

Vì x, y, z laø 3 soá nguyeân toá.

x 1 z z 2 z leõ

x 1 leõ x chaün (vì x ntoá)

x = 2

+ Xeùt y = 2 z 2 1 5 (thoõa maõn)

+ Xeùt y >2 2 1 3 z 3 vì z soá nguyeân toá lôùn hôn 3 maø z 3 voâ lí

    

  



   

     

khoâng toàn taïi x,y,z theo y/c ñeà baøi.

Vaäy ba soá nguyeân toá x,y,z caàn tìm laø (x,y,z) = (2; 2; 5)

c/ Chứng minh rằng     a 1 b 1 192    .

Đặt   

2

a x (x )

Vì a là số chính phương lẽ  x lẽ

Đặt x = 2k + 1

   

        

2

2 2 2

x 2k 1 4k 4k 1 4 k k 1

Vì k và k

2

là 2 số cùng tính chẵn lẽ

 

  

2

4 k k 8

 

  

2

4 k k 1 chia cho 8 dö 1

- Theo y/c bài ra a chia 8 dư 1 và b chia 8 dư 1.

 

 

   











  









 







a 1 8

a 1 b 1 64

b 1 8

+ Vì một số chính phương chia cho 3 dư 1

 (a – 1) và (b – 1) chia hết cho 3

   

    a 1 b 1 3

Vì (3; 64) = 1

       

       a 1 b 1 64.3 hay a 1 b 1 192

Vậy

   

   a 1 b 1 192

Câu 4

Cho



xOy và



yOz là hai góc kề bù. Biết

 

yOz 5.xOy  .

a/ Tính số đo mỗi góc đó.

b/ Vẽ tia Ot sao cho

 0

xOt 105  . Tính số đo góc tOy? Tia Ot có là tia phân giác của góc

yOz không?

c/ Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xz chứa tia Oy, Ot, vẽ thêm 97 tia

phân biệt (không trùng với các tia Ox, Oy, Oz, Ot đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

Giải

a/ Tính số đo mỗi góc.

Gọi số đo góc

 

xOy a yOz 5a   

Vì

 

xOy vaø yOz là 2 góc kề bù ta có.

  0

0

0

0

xOy yOz 180

a + 5a =180

6a=180

a 30

 





 

Vậy

 0

xOy 30  và

 0 0

yOz 5.30 150  

b/ Tính số đo góc tOy? Tia Ot có là tia phân giác của góc yOz không?

Ta có:

   0 0 0

tOy xOt xOy 105 30 75     

  0 0 0 0

tOz 180 xOt 180 105 75     

Vậy tia Ot là tia phân giác của góc



yOz vì tia Ot nằm giữa 2 tia Oy và Oz và

  0

yOt tOz 75   .

Câu 5

Cho tổng gồm 2016 số hạng

5 8 11 6050

M

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2016.2017.2018

      .

So sánh M với 2.

Giải

   

*

3k 2 1 1 2

A

k k 1 k 2 k. k 1 k 2

Toång q (vôùi k u t: ) aù



   

 



 



5 8 11 6050

M

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2016.2017.2018

     

2 1 1

-

2015 201

2 1 1

3 3 3

2 1 1

20 5 2015

2

5

1 1

M 1 ...

2 2

2 1 2

... +

2017 2017 2018

1 1

M = 2 - 2

2017 20

16 201

2 1 1

+

4

1

6 2

4 4

8

1

201 16 4 0

       

      

 











 





Vậy M < 2

30

0

75

0

t

z

y

O x

75

0