Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 năm học 2022-2023 (có đáp án)

PAGE \* MERGEFORMAT 5

PAGE \* MERGEFORMAT 1

MÃ KÍ HIỆU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Năm học: 2022-2023

MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm 06 câu trong 01 trangCâu 1: (4đ)

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6

b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1

Câu 2: (2đ)

Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + =

Tính giá trị của biểu thức P =

Câu 3: (3đ) Tìm x biết

a, < 5x -4

b, + =

Câu 4: (3đ)

a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*

b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

Câu 5: (6đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .

Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .

Câu 6: (2 đ)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 + 3x2 + 1 = y3

---------------Hết----------------

MÃ KÍ HIỆU

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2023

MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu 1

(4 điểm).

a)Đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1

1.0 đA = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)

1.0 đCâu1

b)

b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)

=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1)

+(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)1.0 đ

dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1

A chia hết cho x4 + x2 + 1

1.0 đ

Câu 2

( 2 điểm)

Có (= + 2(

0.75đ (= p + 2

vậy P+2=30,75đ

suy ra P = 1

0.5đCâu 3

( 3 điểm)

a)Theo bài ra ta có :

4-5x < 3x +2< 5x - 4

1.0 đ Giải các bất pt (1) và (2) sau

4-5x < 3x +2 (1)

3x +2< 5x – 4 (2)

Ta được nghiệm chung x > 30.5đ

Câu 3

b)b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung ta được pt:

(x+100)() = 0 0,5 đ

x + 100 = 0 vì () khác 00.5 đ x = -100

Vậy S = 0.5 đCâu 4:

(3 điểm)

a)

a, A = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)

=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)

0.5đ

Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3

=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)

0,5 đTa thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )

3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 90,5 đb)Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z =

x = ; y = ; z= 0.5đ

P = = =

0.5đ

Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z

0.5đ

Câu 5:

(6 điểm)Hình vẽ

0.5đ

a)

+ Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung.

(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).

Suy ra:BEC=(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A.

Suy ra:

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,5 đ

b)

Ta có: (do~)

mà (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên (doABH Đồng dạng CBA)

Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)

suy ra: 0,5đ

1,0đ

0,5đc)Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Suyra: ,

vì~nên (DE//AH)

Do đó:

1,0đ

0,5đ

Câu 6

(2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3

Ta có : x6 + 3x 2+ 1 = y3

x6 +3 x4 + 3x 2+ 1 = y3 +3x4

(x2+1)3 - 3x4 = y3 (x2+1)3

Mà y3 = x6+3x2+1 > x6 = (x2)3

Nên

Với x ≠ 0 ta có :

(x2)3 < y3 < (x2+1)3

x2 < y3 < x2+1

phương trình vô nghiệm

0,5 đ

0,5 đ

Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1

Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)

0,5 đ

0,5 đ

---------------Hết----------------