Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 năm học 2022-2023 (có đáp án)

PAGE \* MERGEFORMAT 1

PAGE \* MERGEFORMAT 1

MÃ KÍ HIỆU

(PHẦN NÀY DO PHÒNG GD&ĐT GHI)

…………………………..ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2023

MÔN: TOÁN HỌC

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)Câu 1(4,0 điểm).

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) b).

2. Thực hiện phép tính:

Câu 2(4,0 điểm).

1. Giải phương trình:

a) . b) .

2. Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Câu 3(4,0 điểm).

a) Đa thức f(x) khi chia cho dư 4, khi chia cho dư . Tìm phần dư khi chia f(x) cho

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.

Câu 4(6,0 điểm)

Cho tam giác vuông tại A có là tia phân giác của . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên và là giao điểm của và là giao điểm của CM và

a) Chứng minh tứ giác là hình vuông và

b) Gọi là giao điểm của và Chứng minh đồng dạng với và H là trực tâm

c) Gọi giao điểm của và là K, giao điểm của và BC là O, giao điểm của và AD là Chứng minh : .

Câu 5(2,0 điểm). Tìm các số nguyên thỏa mãn: .

………………………………………..HẾT……………………………………………

MÃ KÍ HIỆU

(PHẦN NÀY DO PHÒNG GD&ĐT GHI)

…………………………..HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2023

MÔN: TOÁN HỌC

(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 05 trang)Chú ý: Học sinh làm theo cách khác, đúng vẫn đạt điểm tối đa

CâuHướng dẫn chấmĐiểmCâu 1

(4 điểm)

1(2,0 điểm)a(1,0 điểm)0,5

0,5b(1,0 điểm)0,5

0,52(2,0 điểm).0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

(4 điểm)a(1,0 điểm)

0,250,250,25Vậy tập nghiệm của phương trình là 0,25b(1,0 điểm)Đặt

Phương trình đã cho trở thành: 0,250,250,25Vậy nghiệm của phương trình là: 0,252(2,0 điểm)

Tương tự:

Do đó:

0,5

0,5Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Vậy . Dấu “=” xảy ra

0,5

0,5Câu 3

( 4 điểm)a(2,0 điểm)Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia dư 4 => f(-1) = 4.

Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng .

Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có :

Mà f(x) chia cho dư (1)

Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = 4 (2) . Do đó ta có :

Vậy đa thức dư cần tìm có dạng:

0,5

0,5

0.5

0,5b(2,0 điểm)Gọi 2 số phải tìm là và , ta có chia hết cho 3

Ta có:

Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3.

Do vậy, chia hết cho 91,0

1,0Câu 4

( 6 điểm)a. (2.0 điểm)

Chứng minh tứ giác là hình vuông và * Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông+) Chứng minh 0.25Suy ra tứ giác là hình chữ nhật0.25+) Hình chữ nhật có AD là phân giác của 0.25nên tứ giác là hình vuông.0.25* Chứng minh EF // BC+) Chứng minh : và 0.25Chứng minh 0.25Chứng minh 0.25Từ suy ra 0.25b) 2.0 điểm.

Gọi là giao điểm của và Chứng minh đồng dạng với và H là trực tâm * Chứng minh Chứng minh suy ra 0.25Chứng minh và 0.25Chứng minh Suy ra 0.25Từ (5) (6) (7) (8) suy ra 0.25* Chứng minh H là trực tâm tam giác AEFVì nên 0.25Mà

Suy ra 0.25Tương tự: 0.25suy ra H là trực tâm 0.25c) 2.0 điểm.

Gọi giao điểm của và là K, giao điểm của và BC là O, giao điểm của và AD là Chứng minh : Đặt Khi đó:0.250.5Theo định lý AM-GM ta có:

Tương tự : 0.5Suy ra 0.5Dấu xảy ra khi và chỉ khi là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết.0,25Câu 5

( 2 điểm)Ta có:

0,5Ta thấy nên do nguyên nên

0,5Với thay vào ta được: tìm được

Với thay vào ta có: , không tìm được nguyên

Với thay vào ta có không tìm được nguyên0,75Vậy 0,25

------------------ Hết --------------