Đề thi thử môn Toán lớp 9 trường THCS Archimedes Academy năm học 2017-2018 (có đáp án)

1/7

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê

Nhóm Toán THCS:

https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

THCS ARCHIMEDES ACADEMY ĐỀ THI THỬ LẦN 06

Toán (Năm học 2017-2018)

Ngày thi: 21 – 4 – 2018

Thời gian: 120 phút.

Câu I. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức

7

A

x

x



 và

2 1 2 3

B

9 3 3

x x x x

x x x

  

  

  

(với 0, 9 x x   )

1. Tính giá trị của biểu thức A khi 16. x 

2. Rút gọn biểu thức B.

3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

P A .

B

 

Câu II: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 260km, sau khi ô tô đi được 120km với vận tốc dự định thì tăng

vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của ô tô, biết xe đến B sớm hơn

thời gian dự định 20 phút.

Câu III:(2,0 điểm)

1. Cho hệ phương trình

2 3

1

x y

x my

  



 



( m là tham số ).

Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất   , x y sao cho , x y là các số nguyên.

2. Cho parabol  

2

: P y x  và đường thẳng   : 2 4 d y mx m    ( m là tham số)

a) Tìm m để   d cắt   P tại hai điểm phân biệt , A B .

b) Giả sử

1 2

, x x là hoành độ của , A B . Tìm m để

1 2

3 x x   .

Câu IV: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   ; O R , đường kính (AB> AC). BC Từ A kẻ tiếp

tuyến với đường tròn   O cắt tia BC tại M . Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H .

1) Chứng minh rằng: AMDO nội tiếp.

2) Gỉa sử



0

30 ABC  . Tính diện tích viên phân giới hạn bởi dây AC và cung AC nhỏ theo R .

3) Kẻ AN vuông góc với BD ( N thuộc BD ), gọi E là trung điểm của AN , F là giao điểm thứ

hai của BE với   O , P là giao điểm của AN với BC , Q là giao điểm của AF với BC .2/7

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê

Nhóm Toán THCS:

https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Chứng minh

2

. BH BP BQ  .

4) Từ F kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD và AM lần lượt tại I và K . Chứng minh

rằng F là trung điểm . IK

Câu V: (0,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a ; b ; c    2 5 5 và

2 2 2

2 69 a b c    .

Tính GTNN của P a b c.    12 13 11

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Câu 1:

1. Thay 16 x  (tmđk) vào biểu thức A ta có:

16 7 23

A

4 16



 

2.

2 1 2 3

B

9 3 3

x x x x

x x x

  

  

  

 

   

   

       

           

   

 

   

3 2 1 3

2 3

B

3 3 3 3 3 3

3 2 5 3 2 3

B

3 3 3 3 3 3

3

3

B

3 3 3 3

x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x

x x x x

  

 

  

     

    

  

     





  

   

Vậy với 0, 9 x x   thì B . x 

3. Với 0, 9 x x   thì

1 7 7 7

P A 2 2 2 . 2 14.

B

x

x x x

x x x



       

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

7 7

2 2 7

2

x x x

x

     (tmđk)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 14 khi

7

2

x  . 3/7

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê

Nhóm Toán THCS:

https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

Câu II:

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x ( km/h, 0  x )

Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là

260

x

(h)

Thời gian thực tế ô tô đi trên quãng đường dài 120 km là

120

x

(h)

Thời gian thực tế ô tô đi trên quãng đường còn lại là

140

10 x 

(h)

Vì xe đến B sớm hơn thời gian dự định 20 phút =

1

3

h nên ta có phương trình

2

2

120 140 1 260

10 3

360 3600 420 10 780 7800

10 4200 0

70(KTM)

60( )

x x x

x x x x x

x x

x

x TM

  



      

   

  









Vậy vận tốc dự định của ô tô là 60 km/h.

Câu III:

1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi 2 m  .

HPT

 

3 2

3 2 3 2

2

2 2 1

2

  

      

  

   

     

  

 

x y

x y x y

m y x my y

m

.

Với 3 2      y x y   . Vậy, để , x y là các số nguyên

2

2



 

 m

 .

   2 m   ¦ 2   2 1 ; 2 m        0 ; 1 ; 3 ; 4 m   .

2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của   d cắt   P 4/7

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê

Nhóm Toán THCS:

https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

2

2 4 0 x mx m   

Có  

2

' 4 4 m m m m      .

a)

Để   d cắt   P tại hai điểm phân biệt , A B

  ' 0 4 0 4 m m m         hoặc 0 m  .

b)

Theo hệ thức Vi-et có:

   







1 2

1 2

2 ;

. 4

x x m

x x m

.

+) Xét 4 m 

1 2

. 4 0 x x m   

Do đó,

1 2 1 2

3

3 3 2 3 2 3

2

            x x x x m m m (loại, vì 4 m  ).

+) Xét 0 m 

1 2

. 4 0 x x m   

Do đó,

2

1 2 1 2

2 '

3 3 3 2 4 3



          x x x x m m

a

 

 

2

4 16 9 0

9

¹

2

1

2

m m

m lo i

m nhË n

   







 



 





Vậy

1

2

m   . 5/7

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê

Nhóm Toán THCS:

https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

Câu IV:

1) Dễ dàng chứng minh được



0

90   ODM Tứ giác AODM nội tiếp (tổng hai góc đối bằng

0

180

).

2)

 

0 0

30 60 ABC ACB AOC      đều

2

3

4

AOC

S R



  .

 

2 2 2

quatAOC

2

2 2

quatAOC

60

360 360 6

2 3 3

3

6 4 12

vpCFA AOC

R n R R

S

R

R R

S S S

  







  



     

3)

a) Xét   O có

  

1

2

BAD BFA sd AB   (góc nội tiếp).

Mà EH là đường trung bình của

 

/ / AND EH ND AHE ADN     (hai góc ở vị trí so le).

 

AFE AHE AEHF   nội tiếp (hai góc kề bằng nhau cùng chắn cung AE )

b) Ta có



 

BEP AEF  (đối đỉnh)



  

1

2

AEF AHF FA   (tứ giác AEHF nội tiếp)



 

AHF AQH  ( cùng phụ với



QHF )

Suy ra

 

BEP BQF 

Xét tam giác BPE và tam giác BFQ có

K

I

P

Q

F

E

N

H

D

M

A

O

C B6/7

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê

Nhóm Toán THCS:

https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

+



B chung

+

 

BEP BQF  (chứng minh trên)

Suy ra   ~ . . 1

BP BE

BPE BFQ BP BQ BE BF

BF BQ

     

Chứng minh tương tự ta có  

2

~ . 2

BE BH

BEH BHF BH BE BF

BH BF

     

Từ (1) và (2) suy ra

2

. BH BP BQ 

4) Ta có:

  

1

D

2

sđ A HAM NBA

 

 

 

 

Khi đó: ~    

BN AN

HAM NBA

AH HM

Mặt khác:

  

1

2

sđ A EBN HAQ F

 

 

 

 

Suy ra: ~    

BN EN

EBN QAH

AH QH

Khi đó:

AN EN

HM QH

 mà E là trung điểm

1 1

2 2

AN EN AN HQ HM HQ QM      

Do / /

IF FK

IK HM FI FK F

HQ QM

     là trung điểm IK

Câu 5:

Đặt

2

5 , , z 0

5

a x

b y x y

c z

  



   





 



Khi đó từ giải thiết ta co : 2x

2

+ y

2

+z

2

+ 8x + 10y + 10z = 11

Giả sử max {y,z} > 1. Do đó x, y, z ≥ 0  VT (*) > 11

Suy ra: 0 , 1 y z  

Mặt khác dễ thấy (*) 2 x  

Khi đó ta có:

2

2 2 2 2 2 2 2

2

4 2

3 4 3 2 12 13 11 2 8 10 10 11

x x

y y x y z x y z x y z x y z x y z

z z

 



                









7/7

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê

Nhóm Toán THCS:

https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

Suy ra 12( 2) 13( 5) 11( 5) 12 13 11 144 11 144 155 P x y z x y z             

Vậy Pmin = 155

2

2

2

4 2

0 2

3 0 5

1 6

x x

x a

y y y b

z c

z z

 

   



 

     

  

  

 



 



Cám ơn các thầy cô:

Thao Ngo (Câu 1)

Van Anh Nguyen (Câu 2)

Lương Pho (Câu 3)

Hanh Nguyen (Câu 4)

Nguyễn Văn Vui (Câu 5)

Đã nhiệt tình tham gia và hoàn thành dự án này !

Hi vọng tiếp tục được cộng tác với các thầy cô trong nhóm Toán THCS ở các dự án tiếp theo!