Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán - Chuyên Quảng Ngãi 2019-2020 - Có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019 - 2020

Đề chính thức

Môn: TOÁN ( CHUYÊN ) (6/6/2019)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên : Trương Huỳnh Nhật Vinh

Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi

Điện thoại : 0353276871.Nguồn gốc :sưu tầm đề và tự tay gõ đáp án

Bài 1 (2,0 điểm )

a.Giải phương trình

22

2x 2x 19 4x 74 x     

b.Giải hệ phương trình

2

2 2 4

3 6x 0

9x 6x 3 9 0

xy

y y y

   



    



Bài 2 (2,5 điểm )

a. Cho biểu thức

2

2 3 1 x x x x x

P

x x x x x x

  

  



với 0; 1 xx  .Rút gọn và tìm giá trị nhỏ

nhất của P.

b.Cho hai số thực a,b thỏa mãn

22

4a 7 0( ) a b b a b      .Tính giá trị của biểu thức

2a 3a bb

Q

a b a b







c.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

1

( ) : ( 2) 1 ;( ') : ( 2) 2 d y m x m d x m y m         (m là tham số).Chứng minh giao điểm

của hai đường thẳng trên luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi m thay đổi.

Bài 3 (1,5 điểm )

a. Tìm nghiệm nguyên dương của 31 x y x y     

b.Số tự nhiên

6

111 n  có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt .Tính tích

của tất cả các ước đó

Bài 4 (3,5 điểm )

Cho (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau .Gọi M là điểm di động

trên đoạn thẳng OB (M khác O,B).Tia CM cắt (O) tại N;DB cắt CN tại P;AN cắt CD

tại Q.

a.Chứng minh PQ song song AB

b.Chứng minh tam giác CAQ đồng dạng tam giác AMC,từ đó suy ra diện tích tam

giác ACMQ không đổi M di động trên đoạn thẳng OB

c. Chứng minh hệ thức

2

CQ CN

AM AN









d.Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng OB để NQ là tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp tam giác CPQ.Tính OM theo R trong trường hợp đó.

Bài 5 (0,5 điểm )

Trên một bảng ô vuông 2019x2020,mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +.Sau đó thực

hiện quá trình dổidấu (dấu + sang dấu -, dấu - sang dấu +) lần lượt theo các bước sau:

Bước 1:Các ô ở dòng thứ i đều dược đổi dấu i lần i=1,2,...,2019.

Bước 2:Các ô ở dòng thứ j đều dược đổi dấu 3j+1 lần, j=1,2,...,2019.Tính số dấu +

còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên

GIẢI

Bài 1 (2,0 điểm ) a.Ta có điều kiện

2

2x 19 0 x    .Ta có

2 2 2 2

2x 2x 19 4x 74 2( 2x 19) 2x 19 36 0 x x x              .Đặt

2

2x 19 0 tx    

khi đó

2

4

2 36 0

9

2

t

tt

t

 



   









.Đối chiếu với điều kiện thì

4 t  (thỏa).Với

2

7

4 2x 19 4

5

x

tx

x

 

     







(thỏa).

b.Ta có

2 2 2 2 4

2 2 4 2

3 6x 0 3 6x+9x 6x 3 9 0

9x 6x 3 9 0 3 6x 0

x y x y y y y

y y y x y

          





       



2

2

3

3 6x 0

3

3

3

3x

3

x

xy

y

x

x

y

y

  

     







   



  



 

 







  

.

Bài 2 (2,5 điểm )

a. Ta có

2

2 3 1 x x 2 2 3 3

2 x 2 2 2 6

x x x x x

P

x x x x x x x x

    

        



với 0; 1 xx  .

b.Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2a 3a 5a 4a 6(a ) (5a 4a )

6

aa

b b b b b b b

Q

a b a b b b

       

    

   

c.Ta có3 ( 2).1 1 mm     thỏa với mọi m.Vậy đường thẳng ( ): ( 2) 1 d y m x m     đi

qua điểm A(1;3) cố định khi m thay đổi. Ta có 0 ( 2).1 2 mm     thỏa với mọi m.Vậy

đường thẳng ( '): ( 2) 2 d x m y m     đi qua điểm A(0;1) cố định khi m thay đổi.Với

m=-2 thì (d): ( ) : 3 dy  và ( ') : 0 dx  . Với m khác -2 thì ta có

1

( ') : 1

2

d y x

m







.Khi đó

ta có

1

'. ( 2).( ) 1 ( ) ( ')

2

a a m d d

m



     



với m khác -2.Vậy giao điểm của hai đường

thẳng trên luôn thuộc 1 đường thẳng AB cố định khi m thay đổi.

Bài 3 (1,5 điểm )

a.Ta có 31 x y x y      hay

22

3 1 ( 3 1) ( ) x y x y x y x y           

3 2 3 4 x 4 x y xy x y xy y            (1)

1

4

xy x y

xy

  

 (do 4 xy  ). Nếu

xy không là số chính phương thì VT là số vô tỉ ,còn VP là hữu tỉ ,vô lí .Do đó xy là

số chính phương ,tức là

2

xy k  hay xy k  (với *, 2 kk  ).Ta lại có (1) tương

đương

22

2 2 x 1 ( ) ( x 1) x y xy xy y x y y          x1 x y y     (2)

2

( 1)

1

2( 1)

k x y

y k x x

k

  

     



(với ( 2) k  ).Nếu x không là chính phương thì

VT là số vô tỉ , còn VP là hữu tỉ,vô lí. Đặt

22

; x a y b  và với a,b nguyên dương.Do

đó (2) tương đương (a-1)(b-1)=2.Từ đó tìm được (a;b)=(2;3);(3;2).Suy ra

(x;y)=(4;9);(9;4).

b. Ta có

6 6 6

111 3 .37 n .Mỗi ước số nguyên dương của n có dạng 3 .37

xy

trong đó

  0;1 ;2;3;4;5;6 x  và   0;1;2;3;4;5;6 y  .Do đó x có thể nhận 7 giá trị và y cũng có thể

nhận 7 giá trị nên có tất cả 7.7=49 ước số nguyên dương phân biệt.Nếu a là 1 ước số

nguyên dương của n

3

111 a  thì

n

b

a

 cũng là ước số nguyên dương của n ,b khác

a.Khi đó a và b tạo thành một cặp ước số nguyên dương của n và chúng có tích đúng bằng n.Trong 49 ước số nguyên dương phân biệt của n, ngoại trừ

3

111 , còn 48 ước số

còn lại được chia thành 24 cặp ước số có tính chất như cặp (a;b).Vậy tích tất cả các

ước số nguyên dương phân biệt của n là

6 24 3 147

(111 ) .111 111 

Bài 4 (3,5 điểm )

Q

P

O

C

A

B

D

M

N

a.Vì AB vuông góc với CD nênCA CB  suy ra DD CAN C B PNQ P Q    .Nên tứ

giác PQDN nội tiếp .Vì vậy

0

180 PND PQD  mà

00

90 90 PND PDQ    nghĩa là PQ

vuông góc CD và AB vuông góc CD suy ra PQ song song AB.

b.Xét tam giác CAQ và tam giác AMC có

0

45 ; ACQ MAC CAQ AMC    suy ra tam

giác CAQ đồng dạng tam giác AMC .Lúc đó suy ra

2 2 2 2 2 2

. 2R ; 2R

CA CQ

AMCQ AC AC AO CO

AM AC

       .Tứ giác ACMQ có AM vuông

góc CQ nên

2

.

2

AMCQ

AMCQ

SR  nên diện tích tứ giác AMCQ không đổi khi M di

động trên OB.

c.Ta có tam giác CAQ đồng dạng tam giác AMC suy ra

2

(1)

CA CQ AQ CQ AQ

AM AC MC AM CM



   





.Ta có tam giác COM đồng dạng tam giác

CND(vì DCN chung và

0

D 90 COM CN  ) suy ra

2

. 2R. 2R

D

CM CO

CMCN R

C CN

    .Tương tự ta cũng chứng minh được

2

. 2R AQAN  .Do

đó ta có . . (2)

AQ CN

CMCN AQAN

CM AN

   .Từ (1) và (2) suy ra

2

CQ CN

AM AN









d.Ta có tứ giác PQDN nội tiếp suy ra D PQN P N  .Mà D P N BCN PQN BCN    .Để

NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ khi PQN PCQ  .Do đó

PCQ BCN  suy ra BN ND  .Suy ra CN là phân giác của góc OCB .

Tam giác OCB vuông cân tại O 22 BC OB R    .Vì CM là phân giác của tam

giác BOC nên

1

2

OB OC

MB CB

 . Ta lại có ( 2 1) OM MB R OM R      .Vậy khi

( 2 1) OM R  thì NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CQP.

Bài 5 (0,5 điểm )

Trong quá trình đổi dấu trên thì ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu i+3j+1 lần .Mà

i+3j+1 và i+j là hai số không cùng tính chẵn lẻ (vì (i+3j+1)-(i+j)=2j+1 là số lẻ). Do

đó những ô vuông ở dòng i cột j mà i+j là số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu ở ô

vuông đó vẫn là dấu +, còn những ô vuông ở dòng i cột j mà i+j là số chẵn sẽ đổi

dấu một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu -. Mà từ 1 đến 2019 có 1009 số chẵn và

1010 số lẻ nên cặp số (i;j) mà i+j lẻ bằng 1009.1010+1010.1009=2038180.Vậy số

các ô vuông còn lại mang dấu + bằng 2038180

CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI

,NHƯNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN

TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƯỠNG HSG

TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI –

VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM

Kính chào tạp chí toán tuổi thơ !

Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần

nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại

bất công với tôi như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó

khăn

Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải

không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn

cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm

người nhà và tiền .Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế

bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao

người ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn

mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm

nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người bần cùng ,kẻ

thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà

phải đặt tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt

Nam giới thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây

Việt Nam rẻ như bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc

mua bán nữa “

Kính chào tạp chí toán tuổi thơ !

Tôi tên là :Trương Quang An

Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán

tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự

nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng

,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì

tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có

lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho

cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê

làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê

toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi

rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã

có thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên

không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm

nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí

luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ

thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi

trẻ

Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí

Tên : Trương Quang An

Ngày sinh :20-5-1987

Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009

Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm

việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2

Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi

Thành tích lúc đi học :

Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi

Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi

Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết

Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng

đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia

tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi

3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích :

- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008

-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN

cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008

-Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc

thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích .

-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio

cấp trường . -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề

ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ

-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục

chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ

-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí

toán học và tuổi trẻ

-Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp

nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở

quê Quảng Ngãi

-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện

nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào

chuyên toán

-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không

thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh

-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu

học hỏi

-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng

ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán

học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí

như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi

thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục

đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất

hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi

bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí

đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời

điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập

không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông

,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của

tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu

điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một

chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có

thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi

chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi

sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm

đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của

minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ

,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về

nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh

.Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo

như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua

nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình

vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi

dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí

toán học ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc

khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện

nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học

,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi

thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh

dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi

cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn

yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học

,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và

có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm

toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ

mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng

tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có

dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người

rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc

sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số

điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên

trình độ cao đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không

sống được bằng nghề sư phạm ,

Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ ,

tạp chí toán tuổi thơ

Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi

Trương Quang An