Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên KHTN - Hà Nội năm học 2020 - 2021 (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN KHTN

HÀ NỘI NĂM HỌC 2020 - 2021

Đề chính thức

Môn: TOÁN ( CHUNG ) (9/7/2020)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên: TRƢƠNG QUANG AN

Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi

Điện thoại : 0353276871.Nguồn gốc :sƣu tầm đề và tự tay gõ đáp án

Bài 1. (4,0 điểm)Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình

22

32

7

)

9x 70( )

x y xy

a

xy x y

   



  



)11 5 8 2x 1 24 3 (5 )(2x 1) b x x       

Bài 2. (2,0 điểm)

a.Tìm x và y nguyên dƣơng thỏa mãn

2 2 2 2

16x 99 9x 36 13x 26 x y y y y       .

b.Với a và b là những số thực dƣơng thỏa

mãn

22

2 2a 3 5;8a 12 2a 3 5a 10 b b b b         . Chứng minh rằng

22

3a 8 10a 21 bb    .

Bài 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam

giác và nội tiếp đƣờng tròn (O). Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác

BAC. Lấy các điểm M, N thuộc (O) sao cho các đƣờng thẳng CM và BN cùng

song song với đƣờng thẳng AD.

1) Chứng minh rằng AM = AN.

2) Gọi giao điểm của đƣờng thẳng MN với các đƣờng thẳng AC, AB lần lƣợt là E,

F. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đƣờng tròn.

3) Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, AN. Chứng minh

rằng các đƣờng thẳng EQ, FP và AD đồng quy.

Bài 4. (1,0 điểm) Với a,b,clà những số thực dƣơng thỏa mãn a+b+c 3.

Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

4

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b



  

  

Lời giải

Bài 1. (4,0 điểm)Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình

22

32

7

)

9x 70( )

x y xy

a

xy x y

   



  



)11 5 8 2x 1 24 3 (5 )(2x 1) b x x       

Lời giải

a.Cách 1:Ta có

22

22

32

22

22

72

21

7

9x 70( ) 2

7

1

5 2 0

x y xy x

x y y

x y xy

xy x y x

x y xy

y

x y xy

       

   



   

 











       







 

 

   

   

b.Ta có

1

5; 5 0; 2x 1 0;11 5 8 2x 1 24 3 (5 )(2x 1)

2

x a x b x x               

22

11a 8 24 3a 3(2a ) 5( ) 15 2a (2a 5)( 3) 0 b b b a b b b a b                  .Từ đó

có nghiệm

2

; 1; 5

9

x x x   

Bài 2. (2,0 điểm)

a.Tìm x và y nguyên dƣơng thỏa mãn

2 2 2 2

16x 99 9x 36 13x 26 x y y y y       .

b.Với a và b là những số thực dƣơng thỏa

mãn

22

2 2a 3 5;8a 12 2a 3 5a 10 b b b b         . Chứng minh rằng

22

3a 8 10a 21 bb    .

Lời giải

a.Phƣơng trình tƣơng đƣơng:

22

( 10) 9(x+2y) 13(x 2 ) 1 xy y      .Đặt x +2y=a, ta có:

2

9a 13a 1  là số chính phƣơng với a > 0.Mà

2 2 2 2 2

(3a 1) 9a 13a 1 (3a 3) 9a 13a 1 (3a 2) 3 1 a x y                 .Vậy có

nghiệm duy nhất (1;1).

b.Từ gt có(2a+3b)

2

 7(2a+3b)−10

=>3a

2

+8b

2

+10ab  7(2a+3b)−10−(a+b)

2

=−(a+b−2)

2

−6+10a+17b  10a+17b−6.Lại

có 8a+12b  2a

2

+3b

2

+5ab+10  10+5ab+a(5−3b)+b(5−2a)=10+5a+5b=>3a+7b  1

mà 2a+3b  52a+3b  5 nên 5a+10b  155a+10b  15 hay a+2b  3a+2b  3.

Có 10a+17b=4(a+2b)+3(2a+3b)  4.3+3.5=2710a+17b=4(a+2b)+3(2a+3b)  4.3+3.

5=27 nên 10+17b−6  2110+17b−6  21

a) Do BN và CMcùng song song với AD kết hợp với AD là phân giác ∠BAC

ta có: ∠NBC= ∠DAB= ∠DAC = ∠ACM. Suy ra:

∠NBC = ∠ACM hay AN =AM

b) Ta có: ∠AFE= ∠ACB. Do đó BCEF là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi S là giao điểm của EQ và AD, K là giao điểm của AD và EF

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ANK có cát tuyến ESQ ta có:

. . . 1

QA EN SK EN SK

QN EK SA EK SA

 do Q là trung điểm AN. Suy ra:

EN SA

EK SK

 .Gọi S  là giao điểm của FP và AD.Tƣơng tự áp dụng định lý Menelaus

cho tam giác AMK có cát tuyến PS F  ta đƣợc:

'

'

FM S A

FK S K

 .Ta cần chứng minh

FM EN FK FM

FK EK EN EN

   .Thật vậy, theo định lý Tales, ta có:

A

A

KM DC AC F KF

KN DB AB E KE

    .Suy ra:

KF KM FK KM FM

KE KN EK KN EN



  



. Do đó FM FK FM EN

EN EK FK EK

   .Từ đó ta có:

'

'

'

SA S A

SS

SK S K

   . Suy ra EQ, FP và

AD đồng quy

Bài 4. (1,0 điểm) Với a,b,clà những số thực dƣơng thỏa mãn a+b+c 3.

Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

4

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b



  

  

Lời giải:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwars, ta

có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

a a bc b b ca c c ab a abc b cab c abc

b ab c c bc a a ca b ab ab c cb bc a ac ca b

     

    

     

2

2 2 2 2 2 2

222

( 3 ) 3

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

a abc b c a abc b c

ab ab c cb bc a ac ca b ab bc ca

      





      



.Ta cần chứng minh:

2 2 2

3

2

a abc b c

ab bc ca

  





.Thật áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp vớ i

a+b+c=3 ta có:

2 2 2 2 2 2

9

3 2( )

abc

a abc b c a b c ab bc ca

abc

         



. Suy ra điều

phải chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi a=b=c=1