Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương năm học 2020-2021 (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

phamvancat@gmail.comĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: Toán (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức:

khi

2) Chứng minh rằng: biết

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2) Tìm tất cả các số tự nhiên để đều là các số nguyên tố.

Câu 4. (3,0 điểm)

1) Cho đường tròn , hai đường kính và vuông góc với nhau. Lấy là điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ( không trùng với A và D). Đường thẳng EC cắt OA tại M; đường thẳng EB cắt OD tại N.

a) Chứng minh rằng: AM.ED =OM.EA;

b) Xác định vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính MN. Trên tia đối của tia MO lấy điểm B, Trên tia đối của tia NO lấy điểm C. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O), chúng cắt nhau tại A, tiếp điểm của nửa đường tròn (O) với BA, AC lần lượt là E, D. Kẻ AH vuông góc với BC . Chứng minh AH, BD, CE đồng quy.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho ba số thực ,, dương thỏa mãn . Chứng minh:

.........Hết..........

Họ và tên thí sinh.....................................................Số báo danh............................................

Chữ ký giám thị 1.......................................... Chữ ký giám thị 2.............................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNGHƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2020-2021

MÔN : TOÁN (chuyên)

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

CâuĐáp ánĐiểm1

1)(1 điểm). Tính giá trị của biểu thức:

khi . Ta có 0,25Ta có 0,25 0,25

Vậy .0,252)(1 điểm). Chứng minh rằng : biết Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0

(x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0

( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0

( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 00,25( x + y + 2). = 0

(vì > 0)0,25 x + y + 2 = 0

x + y = -2, mà x.y > 0 nên x < 0, y < 00,25Áp dụng BĐT CauChy ta có

Do đó xy 1 1 -2

Mà

Vậy dấu bằng xảy ra khi 0,252(1 điểm). Giải phương trình:

0,25

0,25 hoặc

TH1:

(Hệ vô nghiệm)

0,25TH2:

Vậy phương trình có nghiệm là: .0,252) (1 điểm). Giải hệ phương trình: ĐK:







(vì nên )0,25Thay vào phương trình (2 ) ta được :

(*)0,25Nhận xét: VT>0 ,

(*)

0,25Vì ,

(**) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

0,2531) (1 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

0,25+ Nếu thì vế phải là số vô tỉ, vế trái là số nguyên dương. Vô lí.0,25+ Nếu 0,25Vì x, y là các số nguyên dương nên hoặc .

Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là .0,252) (1 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên a để đều là các số nguyên tố. Đặt (p là số nguyên tố)

Do p là số nguyên tố nên và

Ta có và 0,25+ Xét trường hợp

Mà p là số nguyên tố nên

Thử lại với a = 7 thì là các số nguyên tố.0,25+ Xét trường hợp p không chia hết cho 5, ta có các trường hợp sau:

- Nếu p chia 5 dư 1 hoặc 4 thì

không là số nguyên tố0,25 - Nếu p chia cho 5 dư 2 hoặc 3 thì

không là số nguyên tố

Vậy a = 7 là giá trị cần tìm.0,2541) (2 điểm). Cho đường tròn , hai đường kính và vuông góc với nhau. Lấy là điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ ( không trùng với A và D). Đường thẳng EC cắt OA tại M; đường thẳng EB cắt OD tại N.

a) Chứng minh rằng: AM.ED =OM.EA;

b) Xác định vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng: AM.ED = OM.EA;Xét DCOM và DCED có 0,25 Þ DCOM DCED Þ (1)

0,25Do AB, CD là 2 đường kính vuông góc với nhau Þ

Xét DAMC và DEAC có:

Þ DAMC DEAC

Þ 0,25mà (do DACO vuông cân tại O)

Kết hợp với (1) Þ

Þ AM.ED = OM.AE 0,25b) (1,0 điểm) Xác định vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.Theo câu a ta có (2)

Tương tự câu a ta có (3)0,25Nhân 2 vế của (2) và (3) Þ 0,25Ta có 0,25Dấu bằng xẩy ra khi :

Û E là điểm chính giữa cung nhỏ AD

Vậy GTNN của là

E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD0,252) Cho nửa đường tròn (O) đường kính MN. Trên tia đối của tia MO lấy điểm B, Trên tia đối của tia NO lấy điểm C. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O), chúng cắt nhau tại A, tiếp điểm của nửa đường tròn (O) với BA, AC lần lượt là E, D. Kẻ AH vuông góc với BC . Chứng minh AH, BD, CE đồng quy.

Ta có AE, AD là 2 tiếp tuyến nên AD = AE, AO là phân giác của

DBEO DBHA BH.BO=BE.BA

Tương tự CH.CO=CD.CA

0,25AO là phân giác của

0,25

Gọi I là giao điểm của BD và CE, AI cắt BC tại H'.

Qua A kẻ 1 đường thẳng song song với BC cắt tia BD, CE lần lượt tại K, F.

Theo Định lý Talet ta có:

, , . Nhân từng vế của các tỷ lệ thức ta được: 0,25

H trùng với H'. Vậy các đường thẳng AH, BD, CE đồng quy

0,255 (1 điểm) Cho ba số thực ,, dương thỏa mãn .

Chứng minh:.Xét 0,25Ta có .

Đặt , từ giả thiết có:

0,25Thay vào giả thiết được: hay

Do đó

0,25Mặt khác:

Cộng vế và có:

Kết hợp và ta có điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi 0,25

Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

.........Hết........