Đề và đáp án thi hsg tỉnh toán 9 tỉnh phú thọ năm 2022 -2023

Trang PAGE 4/ NUMPAGES 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÚ THỌKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 03 trang)

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1: Nếu là các số tự nhiên sao cho thì bằng

A. B. C. D.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên?

A. B. C. D.

Câu 3: Một chiếc xe khách khởi hành từ Hà Nội và một chiếc xe tải khởi hành từ Vinh cùng một lúc và đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe khách chạy thêm giờ thì đến Vinh, còn xe tải chạy thêm giờ phút thì đến Hà Nội. Biết Hà Nội cách Vinh là km, hai xe đi cùng tuyến đường. Vận tốc của xe khách bằng

A. km/h. B. km/h. C. km/h. D. km/h.

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đa giác có tọa độ các đỉnh Đường thẳng chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ , đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm và sao cho tam giác cân. Khi đó, số giá trị của thỏa mãn là

A. B. C. D.

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol : Có bao nhiêu điểm thuộc sao cho khoảng cách từ đến trục hoành gấp lần khoảng cách từ đến trục tung?

A. B. C. D.

Câu 7: Cho phương trình (là tham số), có hai nghiệm đều dương và một nghiệm là bình phương của nghiệm kia. Gọi hai nghiệm của phương trình là với Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Câu 8: Cho hai số và thỏa mãn điều kiện Gọi là giá trị của để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 9: Khi tính toán thể tích căn phòng hình hộp chữ nhật, bạn An đã nhập sai chiều cao vào máy tính, An đã nhập số liệu lớn hơn chiều cao thật. Sau khi có kết quả, An nói: “Mình đã nhầm, nhưng không sao, lại trừ bớt đi kết quả này thì sẽ cho kết quả đúng thôi”. Bạn Bình, người đã tính đúng kết quả nói rằng: “Kết quả đó vẫn chưa đúng, An phải tiếp tục cộng thêm nữa mới đúng”. Thể tích căn phòng bằng

A. B. C. D.

Câu 10: Cho tam giác vuông tại kẻ đường cao biết Độ dài của bằng

A. B. C. D.

Câu 11: Trong hình bên, là hình thang có hai đáy song song với song song với lần lượt cắt tại Z, Khi đó tỉ số diện tích của tam giác và hình thang bằng

A. B.

C. D.

Câu 12: Cho hình thang có song song với hai đường chéo và cắt nhau tại Qua kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt và lần lượt tại và Khi thì giá trị của bằng

A. B. C. D.

Câu 13: Cho tam giác đều, có cạnh bằng Trên đoạn lấy điểm sao cho Đường trung trực của đoạn cắt tại Độ dài của bằng

A. B. C. D.

Câu 14: Cho tứ giác nội tiếp đường tròn đường thẳng cắt đường thẳng tại đường thẳng cắt đường thẳng tại Từ lần lượt kẻ các tiếp tuyến với ( là các tiếp điểm). Biết Độ dài của bằng

A. B. C. D.

Câu 15: Cho tam giác đều, nội tiếp đường tròn tâm là điểm di động trên cạnh đường thẳng cắt đường tròn tại ( khác ). Gọi lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác Giá trị lớn nhất của bằng

A. B. C. D.

Câu 16: Một đoàn học sinh đi trải nghiệm ở công viên Văn Lang thành phố Việt Trì bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở học sinh thì thừa học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh được chia đều cho các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chở không quá học sinh, số học sinh của đoàn tham quan là

A. B. C. D.

B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Bài 1 (3,0 điểm).

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn:

2. Cho các số nguyên dương thỏa mãn và

Chứng minh rằng: là số nguyên.

Bài 2 (4,0 điểm).

1. Cho là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng:

2. Giải phương trình:

3. Giải hệ phương trình:

Bài 3 (4,0 điểm).

Cho tam giác cân tại Một đường tròn tiếp xúc với lần lượt tại Trên cung nằm trong tam giác lấy điểm ( khác Gọi lần lượt là hình chiếu của trên Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và , là giao điểm của hai đường thẳng và là giao điểm của hai đường thẳng và

a) Chứng minh

b) Chứng minh song song với

c) Gọi và lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác và là giao điểm thứ hai của và ( khác ). Chứng minh khi di động trên cung nhỏ thì đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4 (1,0 điểm).

Cho là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

------------------HẾT------------------

Họ và tên thí sinh:…………………………………………….……Số báo danh:…………..…………….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN

(Hướng dẫn chấm có 07 trang)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

CâuĐáp ánCâuĐáp án1A9B2A10A3A11A4B12B5D13A6D14C7D15B8B16DII. PHẦN TỰ LUẬN

Lưu ý khi chấm bài

- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic.

- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC.

- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số.

Bài 1 (3,0 điểm):

1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương thỏa mãn:

2). Cho các số nguyên dương thỏa mãn: và

Chứng minh rằng: là số nguyên.

ÝĐáp ánĐiểm1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương thỏa mãn:

1. (1,5 điểm)Xét phương trình:

0,25Đặt , ta được PT :

Vì nên 0,25Lại có: nên Suy ra: 0,25Từ (1) suy ra: chẵn nên 0,25Với Khi đó là 2 nghiệm của phương trình: (loại do nguyên dương).0,25Với , thỏa mãn (*). Khi đó là 2 nghiệm của phương trình:(t/m).

Vậy có 2 cặp số nguyên dương thỏa mãn là: và 0,252). Cho các số nguyên dương thỏa mãn: và

Chứng minh rằng: là số nguyên.

2. (1,5 điểm)Gọi

Thay vào , ta được: 0,25Từ (2) suy ra: mà nên 0,25Và và nên 0,25Vậy ta phải có: kéo theo 0,25Suy ra: Suy ra: 0,25Lại có:

Do đó: là số nguyên.

0.25Bài 2 (4,0 điểm).

1). Cho là các số thực thỏa mãn: . Chứng minh

2). Giải phương trình:

3). Giải hệ phương trình:

ÝĐáp ánĐiểm1). Cho là các số thực thỏa mãn: . Chứng minh

1. (1,0 điểm)Từ giả thiết, ta có:

0,25

0,25

Suy ra:

0,25Áp dụng kết quả , ta có:

Do đó:

0,252). Giải phương trình:

2.(1,0 điểm)Điều kiện:

Ta có:

Đặt

Khi đó phương trình trở thành:

0,25

0,25Với

0,25Với

(vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

0,253). Giải hệ phương trình:

3.(2,0 điểm)Điều kiện: 0,25Xét phương trình :

Xét không thỏa mãn hệ phương trình.0,25Xét , ta có: 0,25

Do nên

0,25Với thay vào phương trình ( 2) của hệ , được phương trình:

Nhận xét nên 0,25

0,25Vì

0,25Lại có:

Suy ra:

PT Vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất 0,25Bài 3 (3,0 điểm): Cho tam giác cân tại Một đường tròn tiếp xúc với lần lượt tại Trên cung nằm trong tam giác lấy điểm ( khác Gọi lần lượt là hình chiếu của trên Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và , là giao điểm của hai đường thẳng và là giao điểm của hai đường thẳng và

a) Chứng minh

b) Chứng minh song song với

c) Gọi và lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác và là giao điểm thứ hai của và ( khác ). Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ thì đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.

ÝĐáp ánĐiểm

a. (1,5 điểm)Từ giả thiết có tứ giác nội tiếp suy ra 0,25Tứ giác nội tiếp nên 0,25Do tam giác cân tại nên 0,25hay 0,25Vì thế có là đường phân giác trong

Từ đó có: 0.25Suy ra: 0,25

b. (1,5 điểm)Tứ giác nội tiếp suy ra mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) nên .0,25Tương tự: 0,25Từ đó: Suy ra tứ giác nội tiếp.0,25Do tứ giác nội tiếp nên 0,25Theo nên . 0,25Từ đó suy ra song song với 0,25c.(1,0 điểm)

Do nên , (tứ giác nội tiếp).

Suy ra 0,25Vì nằm khác phía đối với nên là tiếp tuyến của đường tròn tại Tương tự là tiếp tuyến của đường tròn tại

0,25Gọi là giao điểm của đường thẳng và

Chứng minh: nên là trung điểm của Suy ra đi qua trung điểm của .0,25Do nên đi qua trung điểm của , là điểm cố định.

Từ đó ta được đpcm. 0,25Bài 4: Cho là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ÝĐáp ánĐiểm

4. (1,0điểm)Đặt

Khi đó có .

Chỉ ra được:

0,25Nhận xét: , suy ra Hay

0,25Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Ngoài ra

Suy ra

Do nên suy ra

Từ đó 0,25Dấu bằng xảy ra khi:

và các hoán vị hay và các hoán vị.

Vậy GTNN của bằng .0,25

--------------------------------HẾT--------------------------------