GTLN – GTNN của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số - 50 bài toán ôn thi THPTQG

NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 548 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn   ; a b - Tìm nghiệm ( 1,2,...) i x i  của 0 y   thuộc   ; a b - Tính các giá trị       ; ; i f x f a f b so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. BÀI TẬP MẪU: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số   3 3 f x x x m    trên đoạn   0;3 bằng 16 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 16  . B. 16 . C. 12  . D. 2  . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán max, min của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn   ; a b - Tìm nghiệm ( 1, 2,...) i x i  của 0 y   thuộc   ; a b - Tính các giá trị       ; ; i f x f a f b so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. HƯỚNG GIẢI: Tìm giá trị lớn nhất hàm số   y f x  , ta xét hàm số   y f x  . B1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số   y f x  . B2: Giá trị lớn nhất của hàm số   y f x  tại   max f x hoặc   min f x . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Đặt   3 3 g x x x m    .   2 3 3 g x x    ;       1 0;3 0 1 0;3 x g x x             .       0 ; 1 2 ; 3 18 g m g m g m       . Suy ra     0;3 max 18 g x m   ;     0;3 min 2 g x m    . GTLN - GTNN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAM SỐ NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 549 Để giá trị lớn nhất hàm số   y f x  là 16 18 16 2 2 16 14 2 16 14 18 16 2 m m m m m m m m                                                 . Vậy   2; 14 S    nên tổng là 2 14 16     . Bài tập tương tự và phát triển: Câu 42.1: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3 3 y x x m    trên đoạn   0;2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 6 . Lời giải Chọn B Xét 3 3 u x x m    . Ta có: 2 ' 3 3 u x   ;   0 1 0;2 u x      . Khi đó:             0;2 max max 0 , 1 , 2 max , 2, 2 2 A u u u u m m m m        .             0;2 min min 0 , 1 , 2 min , 2, 2 2 a u u u u m m m m        . Ta có:       0;2 2 3 2 2 1 max max , max 2 , 2 3 1 2 3 2 2 m m m m y A a m m m m m m                                         . Vậy   1 S   . Câu 42.2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 y x x m    thỏa mãn   2; 2 min 2 y   . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 31 4  . B. 8  . C. 23 4  . D. 9 4 . Lời giải Chọn C Xét hàm số 2 u x x m    trên đoạn   2;2  , có: 1 0 2 1 0 2 u x x         .       2;2 1 max max 2 , , 2 6 2 u u u u m                   ;       3;2 1 1 min min 2 , , 2 2 4 u u u u m                   . Nếu 1 0 4 m   hay 1 4 m  thì   2; 2 1 9 min 2 4 4 y m m       (thỏa mãn). Nếu 6 0 m   hay 6 m   thì   2; 2 min 6 2 8 y m m         (thỏa mãn). Nếu 1 6 4 m    thì   2; 2 min 0 y   (không thỏa mãn). NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 550 Ta có: 9 8; 8 S         . Vậy tổng các phần tử của S bằng 23 4  . Câu 42.3: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số   4 3 2 3 4 12 f x x x x m     trên đoạn   1;3  . Có bao nhiêu số thực m để 59 2 M  ? A. 2 . B. 6 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn C Xét hàm số: 4 3 2 3 4 12 u x x x m     . Có 3 2 12 12 24 u x x x     0 0 1 2 x u x x              . Khi đó:                             1;3 1;3 min min 1 , 0 , 2 , 3 2 32 max max 1 , 0 , 2 , 3 3 27 u u u u u u m u u u u u u m                  . Do đó:   59 max 32 , 27 2 M m m     59 32 2 32 27 5 2 59 27 2 27 32 m m m m m m m                                  . Vậy có 1 số thực m để 59 2 M  . Câu 42.4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 2 x m m y x     thỏa   1;2 max 1 y  . Tích các phần tử của S bằng A. 16  . B. 4  . C. 16. D. 4 . Lời giải Chọn B Xét 2 2 x m m u x     , ta có:     2 2 2 0 , 1;2 , 2 m m u x m x            . Do đó     2 1;2 2 max 2 4 m m A u u       ;     2 1;2 1 min 1 3 m m a u u       .   2 2 1;2 2 1 max max , 1 4 3 m m m m y                 1 17 2 m     . NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 551 Ta có: 1 17 2 S              . Vậy tích các phần tử của S bằng 4  . Câu 42.5: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 x mx m y x     trên   1;2 bằng 2 . Số phần tử của S là A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A Xét hàm số: 2 1 x mx m u x     .   2 2 2 1 x x u x     ; 0 u     2 2 2 0 1 x x x     2 2 0 x x        0 1;2 2 1;2 x x           . Ta có:   0 1;2 u x     nên   1;2 4 1 max , 3 2 y m m         .   1;2 max 2 y  2 3 10 3 m m           . Vậy 2 10 ; 3 3 S         . Câu 42.6: Xét hàm số   2 f x x ax b    , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên   1;3  . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính 2 T a b   . A. 3 T  . B. 4 T  . C. 4 T   . D. 2 T  . Lời giải Chọn C Ta có:     max , 1 2 A B A B   . Dấu  xảy ra khi A B  . Ta có:     max , 2 2 A B A B   . Dấu  xảy ra khi A B   . Xét hàm số   2 g x x ax b    , có   0 2 a g x x      . Trường hợp 1:   1;3 2 a      6;2 a    . Khi đó   M max 1 , 9 3 a b a b      . Áp dụng bất đẳng thức   1 ta có M 4 2 8 a    . Trường hợp 2:   1;3 2 a      6;2 a    . Khi đó 2 M max 1 , 9 3 , 4 a a b a b b                 . NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 552 Áp dụng bất đẳng thức   1 và   2 ta có 2 M max 5 , 4 a a b b               2 1 M 20 4 8 a a       2 1 M 16 2 8 a     . Suy ra M 2  . Ta có: M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là 2 M  khi 2 2 5 2 1 9 3 a a a b b a b a b                    2 1 a b         . Vậy 2 4 a b    . Câu 42.7: Cho hàm số 3 2 3 y x x m    (với m là tham số thực). Hỏi   1;2 max y có giá trị nhỏ nhất bằng A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C Xét hàm số : 3 2 3 t x x   với   1;2 x  . Ta có     2 0 1;2 3 6 0 2 1;2 x t x x x              ;   1 2 t   ,   2 4 t   . Nên   1;2 max 2 t   và   1;2 min 4 t   . Do đó       1;2 1;2 max max max 4 ; 2 y m t m m            4 2 4 2 max 4 ; 2 1 2 2 m m m m m m             . Dấu bằng đạt tại 4 2 3 m m m      . Câu 42.8: Cho hàm số   4 2 8 f x x ax b    , trong đó a , b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a và b để giá trị lớn nhất của hàm số   f x trên đoạn   1;1  bằng 1. A. 8 0 b a   . B. 4 0 b a   . C. 4 0 b a   . D. 8 0 b a   . Lời giải Chọn D Đặt 2 t x  , vì   1;1 x   nên   0;1 t  . Ta có:   2 8 g t t at b    , đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là 2 ; 6 32 a a I b          Trường hợp 1:   0;1 6 a   . Theo yêu cầu bài toán ta có: NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 553     2 1 0 1 1 1 1 1 1 32 g g a b                     2 1 1 1 8 1 32 32 32 b a b b a                         2 1 1 1 1 8 1 2 32 32 32 3 b a b a b                   Lấy     1 32 3  ta có : 2 64 64 a    do đó 8 8 a    . Lấy     3 32 2  ta có : 2 64 32 256 64 a a      Suy ra : 2 32 192 0 a a    24 8 a      . Khi đó ta có : 8 a   và 1 b  . Thử lại:   2 8 8 1 g t t t      2 2 2 1 1 t    Vì 0 1 t   nên 1 2 1 1 t       2 0 2 1 1 t         2 1 2 2 1 1 1 g t t        . Ta có:   max 1 g t  khi 1 1 t x     . Nên 8 a   và 1 b  (thỏa mãn). Trường hợp 2 :   0;1 6 a   . Theo yêu cầu bài toán ta có:     1 0 1 1 1 1 g g            1 1 1 8 1 b a b             1 1 1 8 1 b a b             2 8 2 10 6 a a           (loại). Vậy 8 a   và 1 b  . Câu 42.9: Cho hàm số   4 3 2 4 4 f x x x x a     . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn   0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn   3;3  sao cho 2 M m  ? A. 5. B. 7 . C. 6 . D. 3. Lời giải Chọn A Xét hàm số   4 3 2 4 4 g x x x x a     .   3 2 4 12 8 g x x x x     ;   0 g x   3 2 4 12 8 0 x x x     0 1 2 x x x          . Bảng biến thiên NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 554 ` TH1:   1 1 ; a m a M a             2 1 2 3; 2 a a a a             . TH2: 1 0 0; 0 a m M       2 M m   (loại ). TH3: 0 ; 1 a m a M a        2 1 1 1;2;3 a a a a        . Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. Câu 42.10: Cho hàm số 4 1 x ax a y x     . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn   1;2 . Có bao nhiêu số nguyên a sao cho 2 M m  ? A. 15. B. 14. C. 16. D. 13. Lời giải Chọn C Xét 4 1 x ax a u x     trên đoạn   1;2 , ta có   4 3 2 3 4 0 1 x x u x      ,   1;2 x   . Do đó,     1;2 16 max 2 3 u u a    ,     1;2 1 min 1 2 u u a    . TH1: 1 0 2 a   16 3 1 2 M a m a             1 0 2 16 1 2 3 2 a a a                    1 13 2 3 a     . TH2: 16 0 3 a   1 2 16 3 M a m a                           16 0 3 1 16 2 2 3 a a a                            61 16 6 3 a      . TH3: 1 16 . 0 2 3 a a                0 m   , 1 16 max , 2 3 M a a          2 M m   ( thỏa mãn). Ta có: 61 13 6 3 a      10;....;4 a   . Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn. Câu 42.11: Cho hàm số   4 2 8cos cos f x x a x b    , trong đó a , b là tham số thực. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng a b  khi M nhận giá trị nhỏ nhất. A. 8 a b    . B. 9 a b    . C. 0 a b   . D. 7 a b    . Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 555 Chọn D Đặt 2 cos t x  ,   0;1 t  , ta có hàm số   2 8 g t t at b    . Khi đó     0;1 max M g t  . Do đó:   0 M g b   ;   1 8 M g a b     ; 1 1 2 2 4 2 2 2 M g a b M a b               ; Từ đó ta có     4 8 4 2 8 4 2 4 M b a b a b b a b a b                  Hay 1 M  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 2 8 1 2 a b b a b         và b ,   8 a b   ,   4 2 a b    cùng dấu 8 1 a b        . Vậy 7 a b    . Câu 42.12: Cho hàm số     2 2 1 3 y x x x x m       . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để max 3 y  ? A. 1. B. 2. C. 0. D. 4. Lời giải Chọn B Hàm số xác định khi:     1 3 0 1 3 x x x        . Đặt         2 1 3 3 2 0;2 t x x x x t        và 2 2 2 3 x x t    . Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số 2 3 y t t m     trên đoạn   0;2 . Với 2 3 u t t m     ta có:     0;2 0;2 13 max 1;min 4 u m u m     . Do đó 13 1 max max 1 ; 3 4; 4 4 y m m m m              . Câu 42.13: Cho hàm số     2 2 1 3 y x x x x m       . Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 17 . 8 B. 9 . 8 C. 7 . 8 D. 15 . 8 Lời giải Chọn B NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 556 Hàm số xác định khi:     1 3 0 1 3 x x x        . Đặt         2 1 3 3 2 0;2 t x x x x t        và 2 2 2 3 x x t    . Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số 2 3 y t t m     trên đoạn   0;2 . Với 2 3 u t t m     ta có:     0;2 0;2 13 max 1;min 4 u m u m     . Do đó 13 13 1 1 13 9 4 4 max max 1 ; 4 2 2 8 m m m m y m m                   . Dấu bằng xảy ra 13 9 17 1 4 8 8 m m m       . Câu 42.14: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số 4 2 1 19 30 4 2 y x x x m     có giá trị lớn nhất trên đoạn   0;2 không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng A. 195  . B. 210 . C. 195 . D. 210  . Lời giải Chọn A Xét 4 2 1 19 30 4 2 u x x x m     trên đoạn   0;2 có 3 5 19 30; 0 3 2 x u x x u x x                 . Do đó:      0;2 0;2 max max (0); (2)} max{ ; 6} 6;min . u u u m m m u m       Do đó:   0;2 6 20 13 6 max max{ ; 6} 20 20 6 20 13 6 20 m m m y m m m m m m                                . Mà m   nên { 20; 19;..., 6} m     . Vậy 20 6 195 S k      . Câu 42.15: Cho hàm số 3 2 2 3 y x x m    . Có bao nhiêu số nguyên m để     1;3 min 3 f x   ? A. 4. B. 8. C. 31. D. 39. Lời giải Chọn D Xét 3 2 2 3 u x x m    , ta có: 2 ' 6 6 u x x   ; 0 0 1 x u x         . Do đó:                             1;3 1;3 min min 1 , 3 , 0 , 1 min 5, 27, , 1 5 max max 1 , 3 , 0 , 1 max 5, 27, , 1 27 u u u u u m m m m m u u u u u m m m m m                        . NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 557 TH1:       1;3 5 0 5 min 5 3 8 5;6;7;8 m m f x m m m              . TH2:       1;3 27 0 27 min ( 27) 3 30 30; 29; 28; 27 m m f x m m m                     . TH3:       1;3 ( 5) 27 0 27 5 min 0 m m m f x           (thỏa mãn). Vậy   30; 29; 28;...;7;8 m     . Câu 42.16: Cho hàm số 2 ( ) , f x ax bx c    ( ) 1, [0;1] f x x    . Tìm giá trị lớn nhất của (0). f  A. 8 . B. 0 . C. 6 . D. 4 . Lời giải. Chọn A ( ) 2 (0) f x ax b f b       . Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của b với điều kiện ( ) 1, [0;1]. f x x    Ta có.   (1) (0) (0) 1 1 1 2 4 4 (0) 4 (1) 3 (0). 2 2 1 (0) 2 4 2 a b f f f c f a b c a b f f b f f f a b c f f c                                                            1 (0) 1 1 ( ) 1, [0;1] 1 1 1 4 (1) 3 (0) 4 1 3 8. 2 1 1 1 2 f f x x f b f f f f                                             Đẳng thức xảy ra 2 1 1 1, 8 2 (1) 1 1, 8 ( ) 8 8 1. (0) 1 1 1 4 2 f c a f a b c b f x x x f a b c c                                                       Vậy giá trị lớn nhất của (0) f  bằng 8. Câu 42.17: Cho hàm số 4 3 2 2 y x x x a     . Có bao nhiêu số thực a để     1; 2 1; 2 min max 10 y y     ? A. 2 . B. 5. C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn A Xét 4 3 2 2 u x x x a     trên đoạn   1; 2  , ta có : 3 2 ' 4 6 2 u x x x    ; 0 ' 0 1 1 2 x u x x             . NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 558 Suy ra:                         1; 2 1; 2 1 max max 1 , 0 , , 1 1 2 4 2 1 min min 1 , 0 , , 1 0 1 2 M u u u u u u u a m u u u u u u u a                                                . TH1: 0 0 m a    . Khi đó:     1; 2 1; 2 min ; max y m y M     Ta có điều kiện : 0 3 4 10 a a a a          . TH2: 0 4 M a     . Khi đó :     1; 2 1; 2 min ; max y M y m       . Ta có điều kiện :   4 7 4 10 a a a a             . TH3: 0 4 0 m M a       . Khi đó:         1; 2 1; 2 min 0; max max 4 , max 4, 10 y y a a a a          . Suy ra     1; 2 1; 2 min max 0 10 10 y y       (loại). Vậy   3; 7 a   . Câu 42.18: Cho hai số thực x ; y thỏa mãn 2 2 2 2 4 6 4 6 10 6 4 x y x y y y x x           . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 T x y a    . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn   10;10  của tham số a để 2 M m  ? A. 17 . B. 16 . C. 15. D. 18 . Lời giải Chọn B Biến đổi giả thiết có: 2 2 2 2 4 6 4 6 10 6 4 x y x y y y x x           2 2 2 2 6 10 6 10 6 4 6 4 y y y y x x x x             (*). Đặt     , 0; f t t t t      . Ta có   f t đồng biến trên   0;  . Do đó ta có: (*)     2 2 2 2 6 10 6 4 6 10 6 4 f y y f x x y y x x                 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 4 0 4 4 6 4 6 x y x y x y x y x y               2 2 2 2 13 3 3 13 13 3 ;3 13 x y x y a a a                   .NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 559 TH1: 13 3 0 a      13 3 0 13 3 13 9 9 13 3 13 2 13 3 3 13 a m a ycbt a a a M a                                 . TH2: 13 3 0 a            13 3 3 13 0 3 13 9 13 13 3 2 13 3 3 13 m a a ycbt a a a M a                                      . TH3:     0 13 3 3 13 0 13 3 13 3 0 m a a a M                 ( 2 M m  ). Vậy 13 9;9 13 a        . Đối chiếu với     10;10 5;...;10 a a      . Câu 42.19: Cho hàm số 3 2 ( ) 2 9 12 f x x x x m     . Có bao nhiêu số nguyên ( 20; 20) m   để với mọi bộ ba số thực   , , 1;3 a b c  thì ( ), ( ), ( ) f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác? A. 10. B. 8. C. 25 . D. 23. Lời giải Chọn D Xét 3 2 2 9 12 u x x x m     trên   1;3 , ta có: 2 6 18 12 u x x     ; 0 0 2 x u x         .   [1;3] min min (0), (1), (2), (3) 4 u u u u u m    .   [1;3] max ax (0), (1), (2), (3) 9 u m u u u u m    . Để ( ), ( ), ( ) f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác thì ta phải có ( ) ( ) ( ) f a f b f c   . Chọn [ 2;1] [ 2;1] ( ) ( ) min ( ), ( ) max ( ) f a f b f x f c f x      ta có điều kiện [ 2;1] [ 2;1] 2 min ( ) max ( ) f x f x    . Ngược lại: với [ 2;1] [ 2;1] 2 min ( ) max ( ) f x f x    , ta có : [ 2;1] [ 2;1] ( ) ( ) ( ) 2min ( ) max ( ) 0 f a f b f c f x f x        . Vậy điều kiện cần và đủ để ( ), ( ), ( ) f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác là [ 2;1] [ 2;1] 2 min ( ) max ( ) f x f x    TH1: [1;3] [1;3] 4 0 4 0 min ( ) 4;m ( ) 9 1 2( 4) 9 m m f x m ax f x m m m m                   TH2: [1;3] [1;3] 9 0 9 0 min ( ) 9; m ( ) 4 14 2( 9) 4 m m f x m ax f x m m m m                        TH3: [1;3] [1;3] ( 4)( 9) 0 min ( ) 0 2.0 m ( ) 9 m m f x ax f x m          (loại) Vậy   19; 15;2......;18;19 m    . Có 23 số nguyên thỏa mãn. NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 560 Câu 42.20: Cho hàm số   3 3 f x x x m    . Có bao nhiêu số nguyên   20;20 m   để với mọi bộ ba số thực   , , 2;1 a b c   thì       , , f a f b f c là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn. A. 18 . B. 16 . C. 14 . D. 12 . Lời giải Chọn B Xét 3 3 u x x m    trên đoạn , ta có: 2 0 3 3 0 1 u x x         . Khi đó:                         2;1 2;1 max u max 2 , 1 , 1 max m 2, m 2,m 2 2 min u min 2 , 1 , 1 min m 2, m 2,m 2 2 u u u m u u u m                          . Để       , , f a f b f c là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn ta phải có       2 2 2 f a f b f c   . Chọn               2;1 2;1 min ; max f a f b f x f c f x      ta có điều kiện         2 2 2;1 2;1 2 min max f x f x                . Ngược lại với         2 2 2;1 2;1 2 min max f x f x                , ta có               2 2 2 2 2 2;1 2;1 2 min max 0 f a f b f c f x f x                    . Vậy điều kiện cần và đủ để       , , f a f b f c là độ dài ba cạnh của một tam giác là         2 2 2;1 2;1 2 min max f x f x                . TH1:             2 2 2;1 2;1 2 2 0 2min 0 2.0 max m m f x f x                (loại). TH2: 2 0 m   .             2 2 2;1 2;1 2 0 min 2;max 2 6 4 2 2 2 2 m f x m f x m m m m                      . TH3: 2 0 m   .                 2 2 2;1 2;1 2 0 min 2 ; max 2 6 4 2 2 2 2 m f x m f x m m m m                         . Suy ra   19, 18,..., 12,12,13,...,19 m     . Vậy có 16 số nguyên m thỏa mãn. Câu 42.21: Gọi tập S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3 3 y x x m    trên đoạn   0; 2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 6 .NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 561 Lời giải Chọn B Xét 3 3 u x x m    có:   2 ' 3 3 ; ' 0 1 0;2 u x u x       . Khi đó:             0;2 max max 0 , 1 , 2 max , 2, 2 2 A u u u u m m m m        .             0;2 min min 0 , 1 , 2 min , 2, 2 2 a u u u u m m m m        . Vậy       0;2 2 3 2 2 1 max max , max 2 , 2 3 1 2 3 2 2 m m m m y A a m m m m m m                                         . Câu 42.22: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số   4 2 8 f x x x m    trên đoạn   1;1  bằng 5. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 7  . B. 7. C. 5 . D. 5  . Lời giải Chọn B Xét hàm số     4 2 8 , 1;1 g x x x m x      , ta có     3 0 4 16 ; 0 2 x g x x x g x x             .     1 1 7 g g m      ,   0 g m  . Do đó:       1;1 7 5 7 2 max max 7 , 5 5 5 7 m m m m f x m m m m m m                                        Vậy   2;5 S  . Vậy tổng các giá trị của S bằng 7. Câu 42.23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số   4 3 x m f x x     trên đoạn   2;2  bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 16  . B. 16. C. 2. D. 14. Lời giải Chọn B Xét hàm số     4 , 2;2 3 x m g x x x       , ta có     2 12 3 m g x x     .     8 2 , 2 8 5 m g g m       . NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 562 Do đó :     2;2 8 6 5 8 8 2 8 5 max max , 8 6 14 5 8 6 8 8 5 m m m m m f x m m m m m                                                        . Vậy   2;14 S  . Vậy tổng các giá trị của S bằng 16. Câu 42.24: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 4 y x x m     trên đoạn   2;1  bằng 4? A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4. Lời giải Chọn B   2 2 4 f x x x m     có   2 2 f x x    ,   0 1 f x x      . Do đó     2 2;1 max 2 4 max 1 ; 4 ; 5 x x m m m m         . Ta thấy 5 4 1 m m m      với mọi m   , suy ra   2;1 max y  chỉ có thể là 5 m  hoặc 1 m  . Nếu   2;1 max 5 y m    thì 5 4 5 1 m m m           1 m   . Nếu   2;1 max 1 y m    thì 1 4 1 5 m m m           5 m   . Vậy   1; 5 m  . Câu 42.25: Cho hàm số 2 2 x m y x    với m là tham số, 4 m   . Biết         0;2 0;2 min max 8 x x f x f x      . Giá trị của tham số m bằng A. 10. B. 8. C. 9. D. 12. Lời giải Chọn D Xét hàm số xác định trên tập   0;2 D  Ta có   2 4 2 m y x     . Nhận xét 4 m    hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên   0;2 nên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên   0;2 luôn đạt được tại 0 x  , 2 x  . Theo bài ra ta có     4 0 2 8 8 12 2 4 m m f f m            .NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 563 Câu 42.26: Cho hàm số 3 2 ( ) 2 3 f x x x m    . Có bao nhiêu số nguyên m để     1;3 min 3 f x   ? A. 4. B. 8. C. 31. D. 39 . Lời giải Chọn D Xét 3 2 2 3 u x x m    có 2 0 6 6 ; 0 1 x u x x u x            . Do đó                             1;3 1;3 min min 1 , 3 , 0 , 1 min 5, 27, , 1 5 max max 1 , 3 , 0 , 1 max 5, 27, , 1 27 u u u u u m m m m m u u u u u m m m m m                        . + Nếu 5 0 5 m m     thì       1;3 min 5 3 8 5;6;7;8 f x m m m         . + Nếu 27 0 27 m m      thì     1;3 min ( 27) 3 30 f x m m         .   30; 29; 28; 27 m       . Nếu   ( 5) 27 0 27 5 m m m        thì     1;3 min 0 f x   (thỏa mãn). Vậy   30;...;8 m   có tất cả 39 số nguyên thỏa mãn. Câu 42.27: Cho hàm số 3 2 3 y x x m    . Có bao nhiêu số nguyên m để     1;3 min 3 f x  ? A. 4. B. 10. C. 6. D. 11. Lời giải Chọn D Với 3 2 3 u x x m    có 2 0 3 6 ; 0 2 x u x x u x            . Do đó                             1;3 1;3 min min 1 , 3 , 0 , 2 min 2, , 4 4 max max 1 , 3 , 0 , 2 max 2, , 4 u u u u u m m m m u u u u u m m m m                 . + Nếu 4 0 4 m m     thì       1;3 min 4 3 7 4;5;6;7 f x m m m        . + Nếu 0 m  thì       1;3 min 3 3 3; 2;1;0 f x m m m           . + Nếu 0 4 m   thì         1;3 1;3 1;3 min 0;max 0 min 0 u u f x     (thỏa mãn). Vậy   3;...;7 m   có tất cả 11 số nguyên thỏa mãn. Câu 42.28: Cho hàm số 2 y x x m    . Tổng tất cả giá trị thực của tham số m để   2; 2 min 2 y   bằng A. 31 4  . B. 8  . C. 23 4  . D. 9 4 . Lời giải Chọn C NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 564 Xét hàm số 2 u x x m    trên đoạn   2; 2  , có: 1 0 2 1 0 2 u x x         . Khi đó:             2;2 2;2 1 max 2 , , 2 6 2 1 1 min min 2 , , 2 2 4 u max u u u m u u u u m                                            . + Nếu 1 0 4 m   hay 1 4 m  thì   2; 2 1 9 min 2 4 4 y m m       (thỏa mãn). + Nếu 6 0 m   hay 6 m   thì   2; 2 min 6 2 8 y m m         (thỏa mãn). + Nếu 1 6 4 m    thì   2; 2 min 0 y   (không thỏa mãn). Vậy có hai số thực 9 4 m  và 8 m   thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tổng các giá trị đó bằng 23 4  . Câu 42.29: Gọi ,   lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   4 3 2 3 4 12 y f x x x x m      trên đoạn   3;2  . Có bao nhiêu giá trị nguyên   2019;2019 m   để 2    . A. 3209. B. 3215. C. 3211. D. 3213. Lời giải Chọn D Xét hàm số     4 3 2 3 2 3 4 12 12 12 24 y g x x x x m y g x x x x             .   3 2 0 0 12 12 24 0 1 2 x g x x x x x x                 .         0 ; 1 5; 2 32; 3 243 g m g m g m g m          .     3;2 3;2 max 243; min 32 g m g m       . +Nếu 32 0 32 m m     thì 243 m    , 32 m    . Khi đó: 2 307 m      . +Nếu 243 0 243 m m      thì     32 ; 243 m m         . Khi đó: 2 518 m       . +Nếu     243 32 32 243 0 m m m        thì     max 243 , 32 max 243,32 0; 0 m m m m         . Khi đó, không thỏa điều kiện 2    . Do đó: 2019 518 m     hoặc 307 2019 m   . Vậy 3213 số. NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 565 Câu 42.30: Cho hàm số   4 3 2 4 4 f x x x x a     . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn   0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn   3;3  sao cho 2 M m  ? A. 3. B. 7 . C. 6 . D. 5. Lời giải Chọn D Xét hàm số   4 3 2 4 4 g x x x x a     .   3 2 4 12 8 g x x x x     ;   0 g x   3 2 4 12 8 0 x x x     0 1 2 x x x          . Bảng biến thiên Do 2 0 m M   nên 0 m  suy ra     0 0;2 g x x    . Suy ra 1 0 1 0 0 a a a a              . Nếu 1 a   thì M a   , 1 m a       2 1 a a     2 a    . Nếu 0 a  thì 1 M a   , m a   2 1 a a   1 a   . Do đó 2 a   hoặc 1 a  , do a nguyên và thuộc đoạn   3;3  nên   3; 2;1;2;3 a    . Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. Câu 42.31: Xét hàm số   2 f x x ax b    , với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên   1;3  . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính 2 a b  . A. 3. B. 4. C. 4  . D. 2. Lời giải Chọn C Ta có     max , 1 2 A B A B   . Dấu  xảy ra khi A B  . Ta có     max , 2 2 A B A B   . Dấu  xảy ra khi A B   . NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 566 Xét hàm số   2 g x x ax b    , có   0 2 a g x x      . Trường hợp 1:   1;3 2 a      6;2 a    . Khi đó   M max 1 , 9 3 a b a b      . Áp dụng bất đẳng thức   1 ta có M 4 2 8 a    . Trường hợp 2:   1;3 2 a      6;2 a    . Khi đó 2 M max 1 , 9 3 , 4 a a b a b b                 . Áp dụng bất đẳng thức   1 và   2 ta có 2 M max 5 , 4 a a b b               2 1 M 20 4 8 a a       2 1 M 16 2 8 a     . Suy ra M 2  . Vậy M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M 2  khi 2 2 5 2 1 9 3 a a a b b a b a b                    2 1 a b         . Do đó 2 4 a b    . Câu 42.32: Có bao nhiêu số thực m để hàm số 4 3 2 3 4 12 y x x x m     có giá trị lớn nhất trên đoạn   3;2  bằng 275 2 ? A. 4. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn D       4 3 2 4 3 2 4 3 2 275 3 4 12 ; 3;2 275 2 3 4 12 ; 3; 2 275 2 3 4 12 ; 3; 2 2 x x x m x y x x x m x x x x m x                                            4 3 2 4 3 2 275 275 3 4 12 ; 3; 2 min ; 3;2 2 2 275 275 3 4 12 ; 3;2 max ; 3;2 2 2 m x x x x m g x x m x x x x m g x x                                           Xét     4 3 2 3 4 12 ; 3;2 g x x x x x        Khảo sát hàm số trên đoạn   3;2  ta được min 243   ; max 32  . 275 211 243 211 2 2 275 211 2 32 2 2 m m m m m                             NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 567 Như vậy   4 3 2 211 275 3 4 12 ; 3;2 2 2 m y x x x m x            Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi 211 2 m   nên có 1 giá trị cần tìm. Câu 42.33: Cho hàm số 2 2 4 y x x m     (với m là tham số thực). Hỏi   2;1 max y  có giá trị nhỏ nhất là A. 3. B. 2. C. 1. D. 5. Lời giải Chọn B Đặt 2 2 4 t x x    , ta có 2 2 t x    .   2 2 0 1 2;1 t x x          .   2 4 t    ,   1 5 t    ,   1 1 t   . Suy ra:         2;1 2;1 max 1, min 5 t m m t m m         , do đó         2;1 2;1 5 1 max max max 5 , 1 max 5 , 1 m 2 m m y t m m m m                   5 1 2 2 m m      dấu bằng đặt tại 5 1 3 m m m      . Câu 42.34: Cho hàm số 3 2 3 y x x m    (với m là tham số thực). Hỏi   1;2 max y có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C Xét hàm số: 3 2 3 t x x   với   1; 2 x  . Ta có     2 0 1;2 3 6 0 2 1;2 x t x x x              ;   1 2 t   ,   2 4 t   . Nên   1;2 max 2 t   và   1;2 min 4 t   . Do đó       1;2 1;2 max max max 4 ; 2 y m t m m            4 2 4 2 max 4 ; 2 1 2 2 m m m m m m             . Dấu bằng đạt tại 4 2 3 m m m      . Câu 42.35: Cho hàm số   2 1 2 2 2 x m x m y x       (với m là tham số thực). Hỏi   1;1 max y  có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 3 2 . B. 1 2 . C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 568 Ta có 2 2 2 x x y m t m x        , trong đó     2 2 2; 1 , 1;1 2 x x t x x           .       2 2 0 1;1 4 0 4 1;1 2 x x x t t x x                   .       4 1 , 0 1, 1 2 3 t t t        Do đó         1;1 1;1 max max max 2 , 1 max 2 , 1 y t m m m m m                2 1 2 1 1 2 2 2 m m m m            . Dấu bằng đạt tại 3 2 1 2 m m m        . Câu 42.36: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 x mx m y x     trên   1;2 bằng 2. Số phần tử của S là A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn C Tập xác định:   \ 1 D    . Xét hàm số:   2 1 x mx m f x x     .     2 2 2 1 x x f x x     ;   0 f x     2 2 2 0 1 x x x     2 2 0 x x        0 1;2 2 1;2 x x           .     0, 1;2 f x x     nên   1;2 4 1 max max , 3 2 y m m            1;2 Max 2 y  4 2 3 4 1 2 3 2 3 5 1 2 2 2 1 4 2 3 m m m m m m m m                                                 . Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn. Câu 42.37: Cho hàm số   3 2 2 1 27 y x x m x      . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn   3; 1   có giá trị nhỏ nhất bằng A. 26 . B. 18. C. 28 . D. 16. Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 569 Chọn B Xét   3 2 2 1 27 u x x m x      trên đoạn   3; 1   ta có: 2 2 3 2 1 0, u x x m x        . Do đó     2 3; 1 max 1 26 A u u m        ;     2 3; 1 min 3 6 3 a u u m        . Do     2 2 3; 1 M max max 26 , 6 3 y m m       và 2 2 4 3 26 6 3 72 M m m      . Vậy 18 M  . Dấu bằng xảy ra khi 2 2 26 6 3 18 2 2 m m m        . Câu 42.38: Xét các số thực dương , x y thoả mãn     2 2 1 2 2 2018 1 x y x y x      . Giá trị nhỏ nhất min P của biểu thức 2 3 P y x   bằng A. min 3 4 P  . B. min 5 6 P  . C. min 7 8 P  . D. min 1 2 P  . Lời giải Chọn C Ta có:                   2 2 1 2 2 2 2018 2018 2 2 2018 2018 2 2018 1 2( 1) log 2 log 2 1 log 2 1 2 2 1 log 2 2 2 * x y x y x x y x y x x x x x x x y x y                        . Xét hàm:   2018 log 2 , 0 f t t t t    . Suy ra:   1 2 0 , 0. ln 2018 f t t t       Do đó hàm   f t đồng biến trên khoảng   0;   . Mà       2 2 2 * 2 1 2 2 1 2 1 f x x f x y x x x y y x              . Khi đó: 2 2 3 7 7 2 3 2 3 2 2 4 8 8 P y x x x x                . Kết luận: min 7 8 P  khi 3 4 x  . Câu 42.39: Cho hàm số   4 2 8 f x x ax b    , trong đó a, b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số   f x trên đoạn   1;1  bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng? A. 0 a  , 0 b  B. 0 a  , 0 b  C. 0 a  , 0 b  D. 0 a  , 0 b  Lời giải Chọn C Cách 1. NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 570 Xét   4 2 8 g x x ax b    ,   3 32 2 0 g x x ax     2 0 16 x a x         . Ta có     1;1 max 1 f x     0 g    1;1 b    . TH1. 0 a  . Ta có   1 g   1 g   8 1 a b     . Suy ra     1;1 max 1 f x   không thỏa YCBT. TH2. 0 a  . Nếu 1 16 16 a a      . Ta có     1 1 8 1 g g a b        . Suy ra     1;1 max 1 f x   không thỏa YCBT. Nếu 1 16 16 a a      . Ta có BBT ▪     1;1 max 1 f x b    . Khi đó YCBT 2 1 1 32 8 1 a a b             2 64 8 a a        8 a    (thỏa 16 a   ) ▪     1;1 max 8 1 f x a b      . Khi đó, YCBT 2 1 1 32 b a b           2 8 6 0 32 a a a            8 24 8 a a           8 a    1 b   . ▪     2 1;1 max 1 32 a f x b     . Khi đó, YCBT 2 1 32 8 1 1 a b a b b                  2 2 1 32 6 0 32 8 a b a a a                  8 1 a b        . Vậy 8 a   , 1 b  thỏa YCBT. Cách 2. NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 571 Đặt 2 t x  khi đó ta có   2 8 g t t at b    . Vì   1;1 x   nên   0;1 t  . Theo yêu cầu bài toán thì ta có:   0 1 g t   với mọi   0;1 t  và có dấu bằng xảy ra. Đồ thị hàm số   g t là một parabol có bề lõm quay lên trên do đó điều kiện trên dẫn đến hệ điều kiện sau xảy ra :     1 0 1 1 1 1 1 1 32 g g                   2 1 1 1 8 1 32 32 32 b a b b a                         2 1 1 1 1 8 1 2 32 32 32 3 b a b a b                   Lấy     1 32 3  ta có : 2 64 64 a    do đó 8 8 a    . Lấy     3 32 2  ta có : 2 64 32 256 64 a a      Suy ra : 2 32 192 0 a a    24 8 a      . Khi đó ta có 8 a   và 1 b  . Kiểm tra :   2 8 8 1 g t t t      2 2 2 1 1 t    Vì 0 1 t   nên 1 2 1 1 t       2 0 2 1 1 t         2 1 2 2 1 1 1 g t t        . Vậy   max 1 g t  khi 1 1 t x     (t/m). Câu 42.40: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2 sin 2sin y x x m    bằng 1. Số phần tử của S là A. 0 B. 1 B. 4 D. 3 Lời giải Chọn A Đặt     2 sin 1;1 2 x t t y t t m        Xét hàm số   2 2 f t t t m    có     ' 2 2 0 1 1;1 f t t t        Có     1 3, 1 1 f m f m      . Khi đó             1;1 1;1 max max 3; 1 3 min min 3; 1 1 f x m m m f x m m m                  TH1: 3 1 1 m m m       NHÓM WORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 572       2 max 3 1 4 m l f x m m l              TH1: 3 1 1 m m m             2 max 1 1 0 m l f x m m l             Không tồn tại m thỏa mãn