Một số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN

Chủ đề 6 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI A. Kiến thức cần nhớ 1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki. 2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki a. Dạng tổng quát + Cho hai dãy số tùy ý 12 3 n a ; a ; a ; ...; a và 12 3 n b ; b ; b ; ...; b . Khi đó ta có: Dạng 1:   2 22 2 2 2 2 12 n 1 2 n 11 22 nn a a ... a b b ... b a b a b ... a b          Dạng 2:   22 2 2 2 2 12 n 1 2 n 11 22 nn a a ... a b b ... b a b a b ... a b         - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: 12 n 12 n aa a ... bb b   Dạng 3:   22 2 2 2 2 12 n 1 2 n 11 22 nn a a ... a b b ... b a b a b ... a b         - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: 12 n 12 n aa a ... 0 bb b    Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý 12 n a ; a ; ...; a và 12 n x ; x ; ...; x với 12 n x ; x ; ...; x 0  Khi đó ta có  2 22 2 12 n 12 n 12 n 1 2 n aa... a aa a ... x x x x x ... x        - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: 12 n 12 n aa a ... 0 xx x    Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. b. Một số dạng đặc biệt n2  n3    2 22 2 2 ab xy ax by      2 22 2 2 2 2 ab c x y z ay by cz        22 2 2 ab xy ax by      22 2 2 2 2 ab c x y z ay by cz        22 22 ab xy ax by     22 2 2 2 2 ab c x y z ay by cz       2 22 ab ab xy x y     x, y 0   2 22 2 ab c ab c xy z x y z      x, y 0  Đẳng thức xẩy ra khi ab xy  Đẳng thức xẩy ra khi ab c xy z  B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví dụ sau Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn a2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 Aa a  + Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: 2 2 11 A a 2a. 2 a a    . Sai lầm 2:  2 2 2 11111 A11a a .42 22a2 a               Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 . + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 aa1 a   trái với giả thiết a2  + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức   2 22 2 2 ab x y ax by    với dấu đẳng thức xẩy ra tại ab xy  . Giả sử với các số ;   ta có  22 22 22 2 2 2 2 11 1 1 Aa .a . a a aa                      Ta cần chọn hai số ;   sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a2  . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi: a2 4 a1 1 a                 + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  2 22 2 22 22 11 1 1 1 Aa a .4 1 4a 17 17 a aa 1a 1 15a 1 15 17 1 54 a 4 17 2 4                             Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 . 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2  . Ví dụ 1.2: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn ab 4  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 22 11 Aa b ab    + Sai lầm thường gặp: 22 22 11 Aa b 2 2 22 ab       Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 22 . + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 22 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 11 ab ab 1 ab     Khi đó ab 2  trái với giả thiết ab 4  + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức   22 22 ab x y ax by   với dấu đẳng thức xẩy ra tại ab 0 xy  . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ;   ta có    2222 22 22 22 2222 22 22 22 22 11 1 1 a.a. a a aa 11 1 1 b. b . b b bb 111 Aab ab                                                            Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại ab 2  . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi: a1 4 a ab 2 b1 1 b                      + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có   22 22 22 22 22 22 11 1 1 1 a.a .41 4a a aa 17 17 11 1 1 1 b.b .41 4b b cb 17 17                                    Khi đó ta được  111 A4ab ab 17        Để ý ta thấy 11 4 ab a b   , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được   15 a b 141ab4 A4ab ab 4 a b 4 17 17 1 215 17 17                   Dấu đẳng thức xẩy ra a1 4a ab 2 b1 4b           Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17. Đẳng thức xẩy ra khi ab 2  . Ví dụ 1.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab c 6   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 11 1 Aa b c bc a      + Sai lầm thường gặp: 3 22 2 22 2 11 1 a b c A a b c 2. 2. 2. 3 2 2 3 2 bc a bc a           Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 32 . + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 32 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 11 1 ab c a b c 1 ab c        Khi đó ab c 3   không thỏa mãn giả thiết ab c 6   + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức   22 22 ab x y ax by   với dấu đẳng thức xẩy ra tại ab 0 xy  . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ;   ta có    2222 22 22 22 2222 22 22 2 2 2222 22 22 22 11 1 1 a.a. a b bb 11 1 1 b. b . b c cc 11 1 1 c.c. c a aa                                                                         22 1111 Aabc ab c               Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại ab c 2   . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi: a1 b 4 b1 4 ab c 2 ab bc ca 1 c1 c1 a                                  + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có    22 22 22 22 22 22 22 22 22 11 1 1 1 a.a .41 4a b bb 17 17 11 1 1 1 b.b .41 4b c cc 17 17 11 1 1 1 c.c .41 4c a aa 17 17                                                      Khi đó ta được  1111 A4abc ab c 17        Để ý ta thấy 11 1 9 ab c a b c    , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được   15 a b c 191abc9 A4abc ab c 4 ab c 4 17 17 115 3 317 .6 2. 42 2 17                     Dấu đẳng thức xẩy ra a1 4b b1 ab c 2 4c c1 4a                 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 317 , 2 khi ab c 2   Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b,c thỏa ab c 6.   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 11 1 Aa b c bc c a a b        Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ;   ta có:   2 22 22 22 22 2 22 2 22 22 11 1 1 aa a bc bc bc 11 bb ca ca 11 cc ab ab 1111 Aabc ab b c c a                                                                           Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại ab c 2   Do đó ta có sơ đồ điểm rơi a1 b 4 b1 4 ab c 2 ab bc ca 1 c1 c1 a                                  Lời giải  22 22 2 2 22 11 1 1 1 a.a .41 4a bc bc 17 17 b c 11 1 b4b ca 17 c a 11 1 c4c ab ab 41                                       Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được  1111 A4abc 17 a b b c c a             Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được    19 A4abc 17 a b a b c a 19 4 a b c 17 6 a b c                    3 131 1 9 9 a b c a b c 88 17 2 6 a b c 2 6 a b c 131 1 9 9 317 .63abc. . 88 2 17 2 6 a b c 2 6 a b c                  Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 317 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2   Ví dụ 1.5: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 2abc 10.    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 2 22 2 22 22 2 89b ca 8 9c ab 8 9a bc A 24 24 24 ab c         Phân tích: Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại ab c 2   . Do đó ta có sơ đồ điểm rơi a1 b 4 b1 4 ab c 2 ab bc ca 1 c1 c1 a                                  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 222 2 222 2 222 2 89b ca 4 218 4. 9b ca 24 a a 89c ab 4 218 4. 9b ca 24 b b 89a bc 4 218 4. 9b ca 24 a c                              Do đó ta được   14 4 4 A9abcabbcca ab c 24       Hay   44 4 24.A 9 a b c ab bc ca ab c            Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được         44 4 24.A a b c 2a bc2bac2cab 6a bc ab c 44 4 2 .a 2 .b 2 .c 2 2abc 2 2abc 2 2abc 6 a b c ab c 12 6 a b c 2abc 72                                      Suy ra ta được 72 A66 24  Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 66 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2.   Ví dụ 1.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 2   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 11 1 A4a 4b 4c ab c      Phân tích: Trong ví dụ này ta xét biểu thức đại diện 2 2 1 A4a a  . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường: 2 2 11 1 4a 2a a a 2      Đẳng thức xảy ra khi 1 a 2  , khi đó nếu áp dụng tương tự thì không thỏa mãn giả thiết của toán. Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại 2 ab c . 3   Khi đó ta cần chọn một bộ số ;   để có đánh giá  2 222 2 22 22 2 2 .2a 11 1 a A4a 2a a a                         Dấu đẳng thức xẩy ra tại a 2a    với 2 a 3  . Từ đó dễ dàng chọn được 8; 9 ab  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:    22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 22 19 11 9 894a 16a 4a 16a aa aa 145 19 11 9 8 9 4b 16b 4b 16b bb bb 145 19 1 1 9 8 9 4c 16c 4c 16c cc cc 145                                           Từ đó ta được   1 1 1 1 1 81 145 A 16a b c 9 16a b c ab c a b c 2 145 145                     Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 145 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 ab c . 3   Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3 ab c 2   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 2 2 2 11 1 1 1 1 Aa b c ab b c c a         Phân tích: Xét biểu thức 2 22 11 Aa ab   . Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp thì ta được 2 22 11 1 1 1 aa ab ab 3        . Khi đó dấu đẳng thức không xẩy ra tại 1 ab c 2   . Từ đó ta chọn các số p, q, r để có đánh giá như sau:  2222 22 22 2 2 22 2 2 2 2 111 Aa pqr ab pq r qr pa 1qr ab ap ab pq r p q r             Và đẳng thức xảy ra tại 11 a ab pq r  với 2 ab c 3   . Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa mãn là 1 p,q r 2 2  . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 22 2 2 222 22 22 2 2 222 22 22 2 2 222 22 1 1 1 a22 1 1 2 a22 22 a a 2a b 2 a b 2ab ab 33 1 1 1 b 22 1 1 2 b 22 22 b b 2b c 2 b c 2bc bc 33 1 1 1 c 22 1 1 2 c 22 22 c c 2ca 2 c 2ca ca 33                                                                  a    Từ đó ta được 2a b c 1 1 1 2 3 36 333 A4 2abc 4abc 2 33 33                 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 333 2 khi 1 ab c 2   . Ví dụ 1.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 a 4b 9c 2015   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pa b c   Phân tích và lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có   2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 11 1 Pabc am. bn. cp. mn p 11 1 am bn cp mnp                Để sử dụng được giả thiết ta 22 2 a4b 9c 1   cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa mãn 22 2 2 2 2 2 2 2 ma n b pc x 4y 9z m1 am bn cp n2 11 1 p3 mn p                  Khi đó ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có   2 2 2 22 2 22 2 11 Pabc a.2b. 3c. 2p 11 1 14 a4b 9c 36 12 3                 Do đó ta được 14 P 6  hay giá trị nhỏ nhất của P là 14 6 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 2 a4b 9c 1 11 1 a;b ;c a4b 9c 728 63            Ví dụ 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãna2b 3c 14   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 Pa b c   Phân tích và lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được   2 22 2 2 2 2 mnk a b c ma nb kc       Để áp dụng giả thiết a2b 3c 6   ta cần chọn một bộ số m; n; k thỏa mãn hệ sau m1 ma nb kc a 2b 3c n2 ab c k3 mnk                 Khi đó ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta được    2 2 22 2 2 2 2 a2b 3c 114 P.12 3a b c 14 14 14 14       Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 14 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2b 3c 14 a1;b 2;c 3 ab c 12 3            Ví dụ 1.10: Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn 4a 9b 16c 49   . Chứng minh rằng: 12564 49 ab c   Phân tích và lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được   2 22 2 125 64 ma n b k c m 5n 8k ab c          Như vậy ta cần chọn một bộ số m; n; k sao cho hệ sau thỏa mãn 222 m a n b k c 4a 9b 16c 49 nb kc ma 58            Thử một số trường hợp ta chọn được m2;n 5;k 8   , khi đó ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được   2 2 125 64 4a 9b 16c 2 3.5 4.8 49 ab c           Hay 2 1 25 64 1 25 64 49 49 49 ab c a b c         Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 15 8 13 a;b ;c 2 2a 3b 4c 25 4a 9b 16c 49            Cách 2: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Binhacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên chú ý đến giả thiết 4a 9b 16c 49   , ta cần nhân thêm hệ số để khi áp dụng dưới mẫu xuất hiện 4a 9b 16c  . Do đó ta có thể chứng minh bài toán trên như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopcki dạng phân thức ta được  2 2 215 32 1 25 64 4 225 1024 49 49 a b c 4a 9b 16a 4a 9b 16c 49          Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 15 8 13 a;b ;c 2 2a 3b 4c 25 4a 9b 16c 49            Ví dụ 1.11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 14 P ab ab   + Sai lầm thường gặp: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được        22 2 2 2 22 22 2 18 18 14 1 8 P18 ab 2ab ab ab ab 2ab ab         + Nguyên nhân sai lầm: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab  khi đó 22 18 2ab ab   . Tức là dấu đẳng thức của bất đẳng thức trên không xẩy ra + Phân tích: Để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ta chọn một số k sao cho   2 2 2 22 22 1k 1k 1k 2ab ab ab 2ab      và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra, tức là thỏa mãn điều kiện 22 1k 2ab ab   với ab  , do đó ta chọn được k1  . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 22 2 2 11 14 1 1 7 7 7 P4 ab 2ab 2ab 2ab 2ab ab ab ab 2ab         Mặt khác ta lại có 2 ab 1 ab 24      Do đó ta được P18  , hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 18. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 2  . Ví dụ 1.12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1   . Chứng minh rằng: 22 2 19 30 ab ab bc ab c    Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3   . Khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta chú ý cộng các mẫu để có thể viết được thành  2 ab c  . Để ý là nếu đánh giá       2 2 22 2 2 12 12 12 ab c 2ab bc ca ab c       , khi đó đẳng thức không xẩy ra vì  22 2 12 ab c 2ab bc ca    Như vậy để có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta làm như sau     2 2 2 22 2 2 1k 1k 1k ab c 2ab bc ca ab c       Ta cần chọn k để đẳng thức sau đúng  22 2 1k ab c 2ab bc ca    , dễ dàng chọn được giá trị k2  . Đến đây ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được    22 2 2 2 2 2 2 19 1 4 7 ab bc ca ab bc ca ab c a b c 2ab bc ca 12 77 9 ab bc ca ab bc ca ab c               . Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 7 21 ab bc ca   . Tuy nhiên, dễ thấy  2 ab c 1 ab bc ca ab bc ca 33         Do đó ta được 7 21 ab bc ca   Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 1.13: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:    22 2 22 2 22 2 abc 1 3 5a b c 5b c a 5c a b        Phân tích và lời giải Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c  , Trước hết ta để ý đến mẫu số có thể phân tích được   2 2222 2 5a b c a b c 2 2a bc       . Quan sát bất đẳng thức ta thấy có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi vậy ta cần chọn các số m;n để được bất đẳng thức      22 22 22 22 2222 22 2 2 2 2 mn a m n a ma na ab c ab c 22a bc 22abc 5a b c         Đồng thời đẳng thức  22 2 2 mn ab c 22a bc    đúng với ab c  . Dễ dàng chọn được m1;n 2  Khi đó ta có thể giải được bài toán như sau: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có     2 2 2 22 22222 22 2 2 2 12 a a1 1 a 2a 99 ab c 2abc ab c 22a bc 5a b c              Chứng minh tương tự ta được   22 2 2222 2 2 22 2 2222 2 2 b1 b 2b 9ab c 2b ac 5b c a c1 c 2c 9ab c 2c ab 5c a b               Do đó ta có    22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 abc 5a b c 5b c a 5c a b 12a 2b 2c 1 9 2a bc 2b ca 2c ab               Ta cần chứng minh được 22 2 22 2 12a 2b 2c 1 1 93 2a bc 2b ca 2c ab        Bất đẳng thức đó tương đương với 22 2 22 2 2a 2b 2c 2 2a bc 2b ca 2c ab     Hay 22 2 bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab     Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì   2 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab ab bc ca 2abc a b c          Như vậy đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c  . Ví dụ 1.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c abc   . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 2 abc b ca c ab     Phân tích và lời giải Tương tự như ví dụ trên ta chọn được mn 1  , khi đó áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 23 3222 3222 222 aa a 1a a 11 a 44a abc a abc aab c a ab c a b c                  Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 ab c 1111 1 4a b c abc b ca c ab         Ta cần chứng minh 11 1 1 ab c   Thật vậy, áp dụng một đánh giá quen thuộc và kết hợp với giả thiết, ta được 22 2 ab c ab bc ca 1 1 1 1 abc abc a b c      Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3   Ví dụ 1.15: Cho các số thực a, b thỏa mãn 2a b 2  . Chứng minh rằng:   22 22 ab1 a b3 25      Phân tích: Giả sử đẳng thức xẩy ra tại am;b n;2a b 2   . Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các số p, q để có đánh giá như sau     22 2222 22 2 2 11 ab1 p q a b1 paqb1 pq pq              Và đánh giá trên xẩy ra dấu bằng tại am;b n;2a b 2   , ta được pq mn 1   từ đó ta có thể chọn pm, q n 1  . Hoàn toàn tương tự với biểu thức  2 2 xy3  ta có thể chọn pm, q n 3  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:         2 2 2 2 2 2 2 2 1 ab1 .ma n1b1 mn1 1 ab3 .ma n3b3 mn3                 Từ đó ta được             22 22 22 22 22 2 2 22 22 ab1 a b3 11 ma n 1 b 1 ma n 3 b 3 mn1 m n3 mm n1 n3 ab m n1m n3 m n1m n3                            Ta cần chọn m, n sao cho       22 2 2 22 22 22 22 mm n1 n3 2 mn1 m n3 mn1 m n3 2m n 0 m2n2 m2n6 2 m 3 0 mn1 m n3 2 n 2m n 0 3                                         Khi đó ta được   22 22 12 5 6 5 38 5 ab1 a b3 a b 25 25 25 25         Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 a;b 33  Ví dụ 1.16: Cho các số thực a, b tùy ý. Chứng minh rằng:          22 2 2 2 2 a1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 6 22             Phân tích: Giả sử đẳng thức xẩy ra tại ab m  . Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các số p, q để có đánh giá như sau          22 22 22 22 22 1 a1 b 1 . p q a 1 b 1 pq 1 .p a 1 q b 1 pq                Ta cần chọn p, q sao cho đẳng thức xảy ra khi x = y = a nên pq m1 m 1   từ đó ta có thể chọn pm 1;q m 1   . Tương tự với biểu thức    22 a1 b 1   ta có thể chọn pm 1;q m 1   và với biểu thức    22 a2 b 2   ta có thể chọn pq 1  . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:                           22 22 22 22 22 1 a1 b 1 . m 1 a 1 m 1 b 1 m1 m 1 1 a1 b 1 . m 1 a 1 m 1 b 1 m1 m 1 1 a2 b 2 1.a2 1.b 2 2                                 Từ đó ta được             22 2 2 2 2 22 a1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 2m 1 4 ab 22 2 2m 1 2 m 1                   Ta cần chọn m sao cho  2 2m 1 1 0m 23 2m 1     Với giá trị vừa tìm của m ở trên ta được          22 2 2 2 2 a1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 6 22             Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 3  2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng  2 11 2 2 n n ab a b ... a b   về đại lượng   22 2 2 2 2 12 n 1 2 n a a ... a b b ... b      hoặc ngược lại. Để rõ hơn ta xét một số ví dụ sau Ví dụ 2.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1   . Chứng minh rằng: 11 1 9 ab c   Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được  2 11 1 1 1 1 1 1 1 ab c a. b. c. 9 ab c a b c ab c                Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3   . Ví dụ 2.2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng: ab b c c a 6 ab c a b c ab c        Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được  22 2 ab b c c a ab c a b c ab c ab b c c a 1 1 1 6 ab c a b c ab c                    Do đó ta được ab b c c a 6 ab c a b c ab c        Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab c b c a c a b a b c           Phân tích: Để ý là ab c b c a 2b     . Do đó ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng   2 22 xy 2x y   , ta được    2 ab c b c a 2a b c b c a 4b          Do đó ta được ab c b c a 2b      , tương tự ta có b c a c ab 2c; c ab a b c 2a            Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c b c a c a b a b c           Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c  . Ví dụ 2.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng: 22 2 ab c ab c 2 bc c a a b          Phân tích: Để ý nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 ab c abc bc c a a b 2      Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản xem sao. Ta cần đánh giá đại lượng ab c  sao cho xuất hiện 22 2 ab c bc c a a b    , do đó ta viết ab c  thành abc bc c a a b bc c a a b       , đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản. Lời giải Ta có abc ab c .b c .c a .ab bc c a a b          Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được       22 2 22 2 ab c .b c . c a . a b bc c a a b ab c bc c a a b bc c a a b                            Do đó ta có   22 2 2 ab c ab c 2ab c bc c a a b              Suy ra ta được 22 2 ab c ab c 2 bc c a a b          Bất đẳng thức được chứng minh.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 2.5: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 22 ab 1.  Chứng minh rằng: a1 a b 1 b 2 2     Phân tích: Chú ý đến giả thiết có đại lượng 22 ab  và trong bất đẳng thức cần chứng minh cho đại lượng a1 a b 1 b   . Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là  22 a 1 a b1b a b 1 a 1b        . Đến đây ta chỉ cần đánh giá  22 ab 2a b   là xong. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được   22 22 a1 a b 1 b a b 1 a 1 b a b 2 2a b 2 2 2             Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 ab 1 ab 2 ab 2 a1 b 1 11 ab              Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 44 4 44 4 a3b b 3c c 3a ab c 44 4                Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy nếu đánh giá từ vế trái sang vế phải của bất đẳng thức thì rất khó khăn, do đó ta tìm cách đánh giá từ vế phải sang vế trái, tức là ta cần chứng minh được bất đẳng thức kiểu 4 a3b ? 4      . Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  nên ta viết được 2 42 a 3b a bbb 4 4 444                 , chú ý đến chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là  2 22 22 a b b b 1111 a bbb 4 4 4 4 16 16 16 16               Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta đánh giá được  2 22 a3b  về 44 a3b  , tuy nhiên đánh giá này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có    2 2 42 222 2 2 222 2 4 4 4 4 a 3b a b b b 1111 ab b b 4 4 4 4 4 16161616 11 a bbb 1 1 1 1a b b b 16 16                                          Do đó ta được 4 44 a3b a 3b 44      Hoàn toàn tương tự ta được 44 44 4 4 b3c b 3c c3a c 3a ; 44 4 4              Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 44 4 44 4 a3b b 3c c 3a ab c 44 4              Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 2.7: Cho các số thực  a;b;c 0; 1  . Chứng minh rằng:    abc 1 a 1 b 1 c 1     Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy trong căn thức thứ nhất có chứa nhân tử a và trong căn thức thứ hai lại có chứa nhân tử 1a  , để ý là a1 a 1   nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu đi biến a            2 abc 1 a 1 b 1 c a 1 a bc 1b 1c bc 1 b 1 c                Khi này ta được      abc 1 a 1 b1 c bc 1 b1 c       . Không cần quan tâm đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta có     bc 1 b 1 c bc 1 b 1 c       . Đến ta đây ta lặp lại đánh giá như trên thì bài toán được hoàn tất. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có       2 abc 1 a 1 b 1 c bc 1 b 1 c       Do đó ta được      abc 1 a 1 b1 c bc 1 b1 c       Dễ dàng chứng minh được  xy x y x,y 0    . Áp dụng vào bài toán ta được     bc 1 b 1 c bc 1 b 1 c       Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có       2 bc 1b 1c b 1 b c 1c 1             Hay   bc 1b 1c 1    Vậy ta có    abc 1 a 1 b 1 c 1     Bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 2.8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:     2 22 2 3a b c a 2 b 2 c 2      . Phân tích: Bất đẳng thức trên có các biến độc lập nhau, do đó nếu đánh giá làm giảm đi số biến thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Ta chú ý đến sự xuất hiện của đại lượng  2 ab c  ở vế trái và 2 a2  ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Sự xuất hiện này làm cho ta suy nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá đại lượng  2 ab c  làm sao cho xuất hiện đại lượng 2 a2  . Như vậy ta sẽ có đánh giá sau    2 2 2 2 bc bc ab c a.1 2. a 2 1 22                    Ta quy bài toán về chứng minh    2 22 bc 31 b 2 c 2 2         . Bất đẳng thức này chỉ có hai biến và có thể chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng   2 22 2 2 ab x y ax by    ta được    2 2 2 2 bc bc ab c a.1 2. a 2 1 22                    Bài toán đưa về chứng minh    2 22 bc 31 b 2 c 2 2         Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được   2 2 bc bc 1 0 2    Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc 2 aabc1 bc bc 1            Nh ận xét: B ất đẳng th ức này còn đư ợc ch ứng minh b ằng cách s ử d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki k ết h ơp v ới nguyên lý Dirichlet nh ư sau: Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba s ố a, b, c luôn t ồn t ại hai s ố cùng không l ớn h ơn 1 ho ặc không nh ỏ h ơn 1. Không m ất tính t ổng quát ta gi ả s ử hai s ố đó là b và c, khi đó ta được   22 11 0   bc . Áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ta được     22 222 .1 1. 1. 2 1         ab c a b c a b c Bài toán quy v ề ch ứng minh    22 2 2 31 2 2     bc b c Bi ến đổi t ương đư ơng b ất đẳng th ức trên ta thu được   22 11 0   bc . Bất đẳng th ức cu ối cùng đúng theo gi ả s ử trên. V ậy bài toán đư ợc ch ứng minh. Ví dụ 2.9: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:     2 22 2 ab bc ca 1 a 1b 1c 1       Phân tích: Tương tự như trên, ta chú ý đến sự xuất hiện đại lượng  2 ab bc ca 1   ở vế trái và 2 a1  ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Ta cần đánh giá đại lượng  2 ab bc ca 1   làm sao cho xuất hiện đại lượng 2 a1  . Để thực hiến được đánh giá đó ta để ý đến phép biến đổi  2 2 ab bc ca 1 a.b c 1.bc 1         . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được     2 222 2 ab bc ca 1 a. b c bc 1 a 1 b c bc 1                 Bài toán quy về chứng minh      22 22 bc bc 1 b 1 c 1     Đây là một đẳng thức đúng vì      22 22 bc bc 1 b 1 c 1      Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  abc 1 b c a b c abc       Ví dụ 2.10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn     22 22 a1 b 1 c 1 d 1 16   . Chứng minh rằng: 3 ab ac adbcbdcd abcd 5         Phân tích: Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành  2 ab ac ad bc bd cd abcd 1 16        Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh được thành      2 22 22 ab ac ad bc bd cd abcd 1 a 1 b 1 c 1 d 1            Đến đây ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách áp dụng như các ví dụ trên. Lời giải Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau 4 ab ac adbcbdcd abcd 1 4          Hay  2 ab ac ad bc bd cd abcd 1 16        Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có      2 2 22 2 ab ac ad bc bd cd abcd 1 ab cd bcd 1.bcbd cd 1 a 1 b c d bcd bc bd cd 1                        Bài toán đưa về chứng minh     22 22 2 b c d bcd bc bd cd 1 b 1 c 1 d 1           Đây là một bất đẳng thức đúng vì     22 22 2 b c d bcd bc bd cd 1 b 1 c 1 d 1           Ví dụ 2.11: Cho các số thực a, b, c > 1 thỏa mãn 11 1 2 ab c   . Chứng minh rằng: a1 b 1 c 1 a b c       Phân tích: Sự xuất hiện đại lượng a1 b 1 c 1    cùng với chiều của bất đẳng thức cần chứng minh là cơ sở để ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Tuy nhiên ta cần đánh giá làm sao để xuất hiện 1 a . Để ý ta có 1 a1 a.1 a   và với sự xuất hiện của đại lượng ab c  thì nhận định trên càng có cơ sở. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có     2 2 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 a. b. c. ab c a1 b 1 c 1 ab c ab b 11 1 ab c 3 ab c                              Do đó ta được a1 b 1 c 1 a b c       Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 22 2 11 1 1 3 ab c ab c a1 b 1 c 1 2 ab c               Ví dụ 2.12: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:     22 2 ab c 9 4a b c bc c a a b      Phân tích: Các đại lượng trong bất đẳng thức có dạng phân thức nên điều đầu tiên ta nghĩ đến là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên do bậc ở mẫu lớn hơn trên tử nên việc đánh giá sẽ khó khăn hơn. Do đó ta tính đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản, nhưng để dễ đánh giá hơn ta viết bất đẳng thức lại thành     22 2 ab c 9 ab c 4 bc c a a b            Đến đây áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được     2 22 2 ab c a b c ab c bc c a a b bc c a a b                   Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c 9 ab c 3 bc c a a b 4 b c c a a b 2             Đánh giá cuối cùng chính là bất đẳng thức Neibiz. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có           22 2 222 22 2 2 ab c ab c bc c a a b ab c ab c bc c a a c ab c bc c a a b                                                    Dễ dàng chứng minh được ab c 3 bc c a a b 2     Do đó ta có     22 2 ab c 9 ab c 4 bc c a a b            Hay     22 2 ab c 9 4a b c bc c a a b      Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 2.13: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:    22 2 abc 9 bc a c a b a b c 2ab bc ca      Phân tích: Tương tự như ví dụ trên ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành     22 2 ab c 9 ab bc ca 2 bc a c a b a b c           Ta thấy      ab c b c a c a b ab bc ca 2       và   2 cc ab c . a ab c   Đến đấy ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như lời giải sau đây Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành     22 2 ab c 9 ab bc ca 2 bc a c a b a b c           Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được               22 2 2 2 22 2 bc a c a b a b c ab c 2 bc a c a b a b c ab c a bc a b ca b c 11abc 22bca bc a c a b a b c                            Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có ab c 3 bc a   . Do đó ta được     22 2 ab c 9 ab bc ca 2 bc a c a b a b c           Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 2.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1   . Chứng minh rằng: ab bc ca 1 ab 2c b c 2a c a 2b 2        Phân tích: Chú ý đến giả thiết và chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là     2 4a b 2c 1 1 2 a b 2c a b 2 c          . Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được     2 4a b 2c 1 1 2 a b 2c a b 2 c          Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được  ab 2 ab 2 ab 1 ab ab ab 2c 2 ab2c ac b c 4a b 2c             Áp dụng tương tự ta có bc 1 bc bc bc 2a 2 ab ac ca 1 ca ca ca 2b 2 ab b c               Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được   ab bc ca 1 1 ab c ab 2c b c 2a c a 2b 2 2         Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 9   . Cách 2: Đặt xa;y b;z c   . Từ giả thiết ta suy ra xy z 1   . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 2 2 2 2 2 2 xy yz zx 1 2 xy 2z y z 2x z x 2y        Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được  2 22 2 2 2 2 4 x y 2z 1 1 2 x y 2z x y 2z          Do đó ta có  22 2 22 2 xy 2xy 2xy 1 xy xy xy 2z 2 x z y z xy 2z 4x y 2z           Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 yz 1 yz yz zx 1 zx zx ; 2x y x z 2 x y y z y z 2x z x 2y                  Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 xy yz zx x y z 1 22 x y 2z y z 2x z x 2y          Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 9   . Ví dụ 2.15: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:     33 3 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ab c 1 ab c 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b         Phân tích: Để ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacoxki là            2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2a b 2a c aa b a c a aab ac a a b c           Lời giải Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được            2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2a b 2a c aa b a c a aab ac a a b c           Do đó    3 2 22 2 2 aa 2a b 2a c ab c    , chứng minh tương tự ta được       33 22 2 2 22 22 2 2 bb c c ; 2b c 2b a 2c a 2c b ab c a b c       Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được     33 3 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ab c 1 ab c 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b         Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c  . Ví dụ 2.16: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:  33 3 22 2 abc a b c ab bc ca 1abc 1ab 1 bc 1 ca       Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được    33 3 2 2 2 2 22 2 33 3 2 2 2 2 22 2 33 3 22 2 ab bc ca 1 ab 1 bc 1 ca ab c ab bc ca 1ab 1 bc 1 ca ab bc ca c abc a abc b ca b ab c abc abc abc 1ab 1 bc 1 ca ab bc ca abc 1 ab c a b abc 1ab 1 bc 1 ca                                      2 33 3 22 2 c abc a b c ab bc ca 1abc 1ab 1 bc 1 ca        Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 2.17: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 22 2 ab c 2   . Chứng minh rằng: 33 3 ab c abc 22    Phân tích và lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành  2 33 3 ab c abc 8    . Quan sát giả thiết và chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Bất đẳng thức không xẩy ra dấu đẳng thức tại ab c  mà lại xảy ra tại ab 0;c 2   . Do đó ta có đánh giá bất đẳng thức trên theo hướng giảm biến. Vì vai trò của a, b, c như nhau nên ta giả sử c là số lớn nhất, khi đó ta có đánh giá 22 22 2 ab ab c 1     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được        2 2 33 3 3 3 2 2 2 22 2 2 22 2 4 22 2 ab c abc ab cc ab ab c a ab b c ab ab c 2ab2c 2ab 4 4c 4ab                          Đến đấy ta đặt tab  , do đó ta có 22 22 2 ab ab c tab 1 22     Khi đó ta được    2 33 3 2 2 2 2 ab c abc 4t 1 t 2t 2 c c 2 4t 1t 2t 2               Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được  2 4t 1 t 2t 2 8    Hay   22 t1 t 2t 2 2 t t 1 0      Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab 0;c 2   và các hoán vị của nó. Ví dụ 2.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1  . Chứng minh rằng: 43 2 4 3 2 4 3 2 111 1 ab c b c a c a b        Phân tích: Để ý đến đánh giá    2 43 2 2 2 2 2 ab c 1 b c a b c       Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được    2 43 2 2 2 2 2 ab c 1 b c a b c       Do đó ta có    22 43 2 2 43 2 2 22 2 11bc 1bc ab c ab c 1 b c ab c         Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức  22 2 43 2 4 3 2 4 3 2 2 22 2 111 3abcabc ab c b c a c a b ab c              Ta cần chứng minh  22 2 2 22 2 3a b c a b c 1 ab c        Hay  2 22 2 2 2 2 ab c 3 a b c a b c         Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có   2 3 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 a b c a bc a b c 3abca bc 3a bc            Mà  2 3 22 2 2 2 2 222 ab c ab c a b c;a b c 3abc 3 3          Do đó  22 2 2 2 2 3a b c a b c a b c 3        Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 2.19: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3   . Chứng minh rằng: 32 3 2 3 2 abc 1 ab c b c a c a b        Phân tích: Để ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau   2 32 1 ab c 1 c a b c a          Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được   2 32 1 ab c 1 c a b c a          Do đó ta được   32 2 32 11 a1c a 1c aa aaca1 9 ab c 1 ab c ab c 1 c a                    Chứng minh tương tự ta được 32 3 2 babb1 c cbc1 ; 99 bc a c a b        Do đó ta có bất đẳng thức 32 3 2 3 2 a b c abbcca a bc3 9 ab c b c a c a b             Ta cần chứng minh ab bc ca 6 1 9    hay ab bc ca 3   Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta có  2 ab c ab bc ca 3 3     Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 2.20: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3a 4b 5c P bc c a a b     Phân tích: Quan sát biểu thức ta thấy có thể viết biểu thức về dạng  34 5 P12 a b c bc c a a b           Yêu cầu của bài toán cùng với cách phát biểu của biểu thức làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiapcopxki Lời giải Biến đổi biểu thức P ta được  34 5 P12 a b c bc c a a b           Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được      2 13451 b c c a ab 32 5 2bccaab2                Nên   2 1 P32 5 12 2   Vậy giá trị nhỏ nhất của P là   2 1 32 5 12 2   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc c a a b 2 35    . Ví dụ 2.21: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    3c b 4 a c 5b a T 2b a b 2c c 2a       Lời giải Biến đổi biểu thức ta có      3c b 4 a c 5b a T12 3 4 5 2b a b 2c c 2a 3a bc 4a bc 5a bc a2b b 2c c 2a 34 5 ab c a2b b 2c c 2a                                   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được      2 13451 a2b b 2c c 2a 3 2 5 3a2bb2cc2a3                Do đó ta được   2 1 T325 12 3   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là   2 1 32 5 12 3   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc c a a b 2 35    Ví dụ 2.22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng: 22 2 ax by cz xy yz zx bc a c a b a b c        Phân tích: Để ý là   2 22 ab cx ax x bc a 2 2b c a     , do đó ta thêm vào hai vế cùng một đại lượng 22 2 xy z 2  và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lời giải Đặt 22 2 ax by cz T bc a c a b a b c        . Khi đó ta có  22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 xy z ax x by y cz z T 2bca2 cab2 abc2 1x y z ab c 2bcacababc                               Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được   22 2 2 1x y z 1 ab c x y z 2bcacababc2               Do đó ta được  22 2 2 xy z 1 Txyz 22   Suy ra 22 2 ax by cz xy yz zx bc a c a b a b c        Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c xy z        Ví dụ 2.23: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2a 2b 2c 3 ab b c c a     Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là khử căn bậc hai bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2a 2b 2c 2a 2b 2c 3 ab b c c a ab b c c a             Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2a 2b 2c 3 ab b c c a     Tuy nhiên đánh giá trên lại là một đánh giá ngược chiều. Để ý ta thấy bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức hoán vị, có một kinh nghiệm khi chứng minh bất đẳng thức đó là nếu ta biến đổi từ bất đẳng thức hoán vị về thành bất đẳng thức đỗi xứng thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Với kinh nghiệm đó ta thử biến đổi bất đẳng thức về dạng đối xứng xem sao. Quan sát đại lượng vế trái ta có thể đối xứng hóa như sau          2a a c 2b a b 2c b c 2a 2b 2c ab b c c a ab ac b c b a c a b c             Đến đây ta có thể khử căn bất đẳng thức trên bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau                 2aac 2bab 2cb c a b a c bc b a c a bc 2a 2b 2c 2a 2b 2c a b a c bc b a c a bc                    Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được        2a 2b 2c 2a 2b 2c 3 a b a c bc b a c a bc             Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được      8a b c ab bc ca 9 a b b c c a        Tiếp tục biến đổi tương đương ta được    ab b c c a 8abc    Đây là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 2.24: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab 2c 3 a b 2c b c 2a c a 2b 2        Phân tích và lời giải Ta đối xứng hóa bất đẳng thức trên thành          a a 2b c b a b 2c c b c 2a 3 2 a b 2c a 2bc bc 2a a b 2c c a 2b bc 2a                  Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được   22 2 2 4a b c 3ab3bc 3ca a bc A a b 2c b c 2a c a 2b             Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được           22 2 16 a b c 3ab 3bc 3ca a b c 9 a b 2c b c 2a c a 2b              Biên đổi tương đương ta được       33 3 2a b c ab a b bc b c ca c a        Theo bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 ab c 3abc   . Do đó ta cần chứng minh được      33 3 ab c 3abc aba b bcb c cac a         Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được  abc a b c b c a c a b       Đây là một đánh giá đúng quen thuộc. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . 3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức. Ví dụ 3.1: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c abc bc c a a b 2      Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được      22 22 2 ab c a b c ab c abc bc c a a b 2 ab c a ab 2a b c                Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 3.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 a2bc b 2ca c 2ab     Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được   2 22 2 22 2 22 2 ab c ab c 1 a2bc b 2ca c 2ab a b c 2 ab bc ac           Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Nh ận xét: N ếu ta thay các bi ến a, b, c t ương ứng b ởi 11 1 ,, ab c thì ta thu được b ất đẳng th ức 22 2 1 22 2     bc ca ca bc a ca b ca b Để ý ta l ại th ấy 2 22 2 1 22   bc a bc a bc a , khi đó ta đư ợc b ất đẳng th ức 22 2 22 2 1 22 2     ab c bc a ca b ca b Ví dụ 3.3: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab c 1 2b c 2c a 2a b     Phân tích: Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế mà áp dụng thì không được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. Để ý là    22 2 ab c a b c 2b c 2c a 2a b a2b c b 2c a c 2a b         . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được      2 22 2 ab c ab c a b c 2b c 2c a 2a b a2b c b 2c a c 2a b 3 ab bc ca           Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được    2 ab c 3ab bc ca     Tuy nhiên đánh giá trên ta một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 3.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 222 ab c abc a2b b 2c c 2a 3      Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được   2 22 2 33 3 2 ab c ab c a2b b 2c c 2a ab c       Ta lại có  2 22 2 1 ab c a b c 3     Do đó ta được 33 3 222 ab c abc a2b b 2c c 2a 3      Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 3.5: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:  44 4 22 2 abc a b c ab c 1abc 1ab 1 bc 1 ca       Phân tích: Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức  22 2 44 4 22 2 2 22 ab c ab c 1 a b 1 bc 1 ca 3 a b bc ca         Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được   22 2 22 2 ab c abc a b c 1abc 3ab bc ca       Nhưng thực sự bất ngờ khi cách áp dụng như thế này lại không giúp ta giải quyết được bài toán vì đánh giá trên là một đánh giá không đúng. Nên buộc ta phải tìm hướng giải quyết khác Để ý ta thấy       22 2 c1 ab a 1 bc b1 ca 1 abc a b c        . Khi đó ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được               42 2 4 2 2 22 2 22 2 22 22 2 2 2 2 22 2 ab c ac ba cb 1ab 1 bc 1 ca c1 ab a 1 bc b 1 ca acb a c b acb a c b 1abc a b c c1 ab a 1 bc b1 ca                 Khi đó ta cần chứng minh được  22 2 22 2 ab c acb a c b abca b c a b c ab ca bc       Theo bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 2 2 2 ab c ab c a b c ab c a b bc c a a b bc c a ab ca bc 22 2 2 2 2              Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 3.6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:       22 2 22 2 2 2 2 bc c a a b 3 bc ab c c a bc a a b ca b             Phân tích: Bất đẳng thức có tử là các lũy thừa bậc hai, tuy nhiên ta không thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như các ví dụ trên vì ta sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Để ý ta thấy có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức kiểu   2 22 22 bc bc xy bc ab c     Ta cần xác định được x và y sao cho tổng của chúng là  22 bc ab c   và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Xét đến vai trò đối xứng của b và c trong biểu thức ta có thể xác định được 22 xb ab;y c ac    , khi đó ta được   2 22 22 22 bc bc b c ab c a bab c ca bc ab c         Đến đây ta có thể giải được bài toán trên. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được         22 22 22 bc bc bc b c ab c a b c ab c bab cc a bab cc a           Áp dụng tương tự ta được     22 22 2 2 ca a b ca a b ; bc a b c a bc ca bc a a b ca b             Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:       22 2 22 2 2 2 2 bc c a a b 3 bc ab c c a bc a a b ca b             Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 3.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3   . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 111 1 2 4a bc a 4bc a b 4c       Phân tích: Sự xuất hiện biểu thức 22 2 1 4a b c  và chiều của bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức với cách đánh giá tương tự như ví dụ trên. Như vậy ta cần viết 22 2 1 4a b c  về dạng  2 AB C xy z   , ta cần xác định được các đai lượng AB C;x y z    với 22 2 xy z 4a b c     . Để ý đến giả thiết ab c 3   khi đó  2 ab c 9   , do đó ta có thể định được AB C  theo phép biến đổi    2 22 2 22 2 2 2 ab c 11 . 9 4a b c 2a a b c a       . Đến đây ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là    2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 2 ab c 1a b c 9 2a a b c a 2a a b c a           Đến đây ta có thể trình bày lời giải cho bài toán như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có    2 22 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 ab c 11 1a b c . 99 4a b c 2a a b c a 2a a b c a            Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 22 11b a c 9 a 4bc 2b a b bc 11c a b 9 ab 4c 2c ac b c                 Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 111 1 2 4a bc a 4bc a b 4c       Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 3.8: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 bc c a a b 1 1 1 ab c abc b ca c ab       Phân tích: Để ý đến biến đổi và đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau         22 22 2 222222222 bc bc bc b c abc abc b c cab bc a cab bc a             Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki dạng phân thức ta có         22 22 2 222222222 bc bc bc b c abc abc b c cab bc a cab bc a             Áp dụng tương tự ta được ,     22 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 ca c a a b a b ; bca c ab ab c c a b b c a a b c        Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 bc c a a b 1 1 1 ab c abc b ca c ab       Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Nh ận xét: N ếu ta thay các bi ến a, b, c t ương ứng b ởi 11 1 ,, ab c thì ta thu được b ất đẳng th ức    22 2 222       ab c b c a c a b ab c bc a ca b ca b Để ý ta l ại th ấy   2 22     ab c bcb c bc bc a bc a , khi đó ta được b ất đẳng th ức    22 2       bc b c ca c a ab a b abc bc a ca b ca b Ví dụ 3.9: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:     22 2 ab c 1 3 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b        Phân tích: Để ý ta có phép biến đổi     2 2a b 2a c 2a a b c 2a bc    khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau   2 2 114 1 9 2a bc 2a a b c 2a a b c 2a bc          Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được      2 2 2 2 22 2 22 a2 1 a1 . 9 2a b 2a c 2a a b c 2a bc 14a a 1 2a a 99abc 2a bc 2a bc 2a a b c                   Hoàn toàn tương tự ta được     22 2 22 2 b12b b 9a b c 2b ca 2b c 2b a c12c c 9a b c 2c ab 2c a 2c b               Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được     22 2 ab c 1 3 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b        Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 3.10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1   . Chứng minh rằng: 22 2 bc ca ab 3 4 a1 b 1 c 1     Phân tích: Để ý ta có phép biến đổi 2222 a1 2a b c    và theo bất đẳng thức Cauchy ta được  2 bc ab 4   . Khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau   2 22 22222 22 2 bc bc 1 b c 4 a1 a b c a 42a b c         Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopki dạng phân thức ta được   2 22 22222 22 2 bc bc 1 b c 4 a1 a b c a 42a b c         Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 222222 2222 ca 1 c a ab 1 a b ; 44 b1 b c a b c 1 c a b c                  Cộng theo vế các bất đẳng thức tên ta được 22 2 bc ca ab 3 4 a1 b 1 c 1     Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3   . Ví dụ 3.11: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 6 a2b c b 2c a c 2a b          Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến đánh giá các mẫu bằng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên ở đây ta phân tích xem có sử dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá bất đẳng thức hay không? Bất đẳng thức có chứa căn và nếu ta làm mất được dấu căn thì tốt quá. Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá sau    2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 3a b 3b c 3c a 3 a2b c b 2c a c 2a b                           Như vậy ta cần chứng minh được    22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 12 a2b c b 2c a c 2a b          Các phân thức ở vế trái bất đẳng thức trên có các tử là các bình phương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki dạng phân thức như các ví dụ trên, Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được    2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 3a b 3b c 3c a 3 a2b c b 2c a c 2a b                           Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 32 3 2 2 2 2 22 2 2 22 3a b 9a b 9a 1 a 2b c ab c b ab c        Áp dụng tương tự ta được    22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 9a 9b 9c 312 a b c b ca ca b                Do đó 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 3.12 36 a2b c b 2c a c 2a b              Hay 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 6 a2b c b 2c a c 2a b          Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c  . Ví dụ 3.12: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: abc 1 3a b c 3b c a 3c a b        Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức   2 22 2 ab c ab c 3a b c 3b c a 3c a b 3a b c          Ta cần chứng minh được    2 2 22 2 22 2 ab c 1abc 3a b c 3a b c         , tuy nhiên đây lại là một đánh giá sai. Do đó ta không thể áp dụng trực tiếp được. Ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước rồi mới nghĩ đến áp dụng. Chú ý đến giả thiết cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Như vậy có thể bất đẳng thức sẽ liên quan đến các đại lượng ab c;b c a;c a b      , ta thử biến đổi các đại lượng xem có thể tạo ra các đại lượng ab c;b c a;c a b      không Để ý là   4a 3a b c a b c      khi đó ta được   3a b c a b c 4a a b c 1 3a b c 3a b c 3a b c          Đến đây ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4a 4b 4c 4 3a b c 3b c a 3c a b        Ta có biến đổi sau   3a b c a b c 4a a b c 1 3a b c 3a b c 3a b c          Áp dụng tương tự ta được 4b b c a 4c c a b 1; 1 3b c a 3b c a 3c a b 3c a b            Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ab c b c a c a b 1 3a b c 3b c a 3c a b             Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được       2 2 22 2 ab c b c a c a b 3a b c 3b c a 3c a b ab c b c a c a b a b c 3a b c b ca 3b c a c a b 3ca b ab c 1 a b c 2ab 2bc 2ca                                      Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Nh ận xét: Ta có th ể s ử d ụng phép đổi bi ến để ch ứng minh b ất đẳng th ức 1 333             ab c b c a c a b ab c b c a c a b Đặt ;;        x a bcy c a bz a bc Khi đó ta được 2;2 ;2      ay z b z x c x y Khi đó b ất đẳng th ức c ần ch ứng minh tr ở thành 1 22 2    xy z zx x y y z Áp dung b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức ta được   2 22 2 1 22 2 2           xy z xy z zx x y y z xy z xy yz zx V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Đẳng th ức x ẩy ra khi và ch ỉ khi ab c  . Ví dụ 3.13: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 222 22 2 ab c abc ab bc ca bbc c cca a a ab b          Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được  222 22 2 22 2 222 22 2 2 22 2 2 2 2 ab c bbc c cca a a ab b ab c ab abc ac bc bca a b a c abc b c ab c ab ab ac ac bc bc 3abc                    Ta cần chứng minh  2 22 2 2 2 2 ab c ab c ab bc ca ab ab ac ac bc bc 3abc         Hay   22 2 2 2 2 a b c abbcca ab ab ac ac bcbc 3abc           Đẳng thức trên đúng với mọi a, b, c. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 3.14: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 222 22 2222 ab c abc aab b b bc c c ca a a b c           Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được  222 22 2 22 3 32 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 32 22 2 2 2 ab c aab b b bc c c ca a ab c aab ab b bc bc c ca ac ab c ab c ab ab ac ac bc bc                      Ta cần chứng minh  2 33 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab c ab c ab c ab ab ac ac bc bc a b c            Hay  22 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ab c a b c a b c ab ab ac ac bc bc             Bất đẳng thức trên đúng với mọi a, b, c. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 3.15: Cho a, b là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng:   22 22 2 2 4 32 a b 11 1 ab a b ab      Bài làm Ta có    2 22 22 22 2 2 22 2 2 22 2 2 ab 11 4 4ab ab a b ab a b ab a b       Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta đươc        22 4 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 ab ab 2ab ab 4a b ab a b ab a b 2a b a b 2ab a b        Ta cần chứng minh     4 22 4 22 2 2 32 a b ab 2a b a b ab      Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với   2 8 22 2 2 ab 64ab a b   hay   4 22 a b 8ab a b   Triển khai và thu gọn ta được  4 ab 0  . Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực a, b. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab  . Ví dụ 3.16: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 a 8bc b 8ca c 8ab     Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên để áp dụng được ta cần viết các tử số về dạng bình phương. Khi đó ta được  2 22 2 2 2 2 ab c ab c a 8bc b8ca c8ab aa 8bc bb8ca cc 8ab         Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được  2 22 2 ab c 1 a a 8bc b b 8ca c c 8ab       Bất đẳng thức trên có mẫu số chứa các căn bậc hai nên ta nghĩ đến đánh giá đưa các đại lượng trong các dấu căn về cùng trong một dấu căn. Để đến đại lượng trên tử số ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau  22 2 33 3 33 3 a a 8bc b b 8ca c c 8ab a a 8abc b b 8abc c c 8abc a b c a b c 24abc              Đến đây ta chỉ cần chứng minh được  3 33 3 a b c a b c 24abc      là bài toán được giải quyết xong. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 2 2 2 ab c ab c a 8bc b8ca c8ab aa 8bc bb8ca cc 8ab         Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được  22 2 3 3 3 33 3 a a 8bc b b 8ca c c 8ab a a 8abc b b 8abc c c 8abc a b c a b c 24abc              Do đó    2 22 2 33 3 3 33 3 ab c ab c a8bc b 8ca c 8ab a b c a b c 24abc ab c ab c 24abc              Ta cần chứng minh  3 33 3 a b c a b c 24abc      , bất đẳng thức này tương đương với    a b b c c a 8abc    . Đây là bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c  . Ví dụ 3.17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 2 a3bc b 3ca c 3ab     Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 2 2 2 ab c ab c a 3bc b 3ca c 3ab a a 3bc b b 3ca c c 3ab         Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được  22 2 33 3 33 3 aa 3bc b b 3ca c c 3ab a a 3abc b b 3abc c c 3abc ab c a b c 9abc              Do vậy ta được   2 22 2 33 3 ab c ab c a3bc b 3ca c 3ab ab c a b c 9abc          Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được   2 33 3 ab c 3 2 ab c a b c 9abc        3 33 3 ab c 9 4 ab c 9abc     Thực hiện biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được      33 3 12 ab a b bc b c ca c a 5 a b c 57abc           Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 33 3 ab c 3abc   Do đó     33 3 3 3 3 6a bc 9abc 5a bc 57abc      Như vậy ta cần chứng minh      33 3 2ab a b bc b c cac a a b c 9abc           Hay      2 3a bc bc b c a a b a c 0         Do a, b, c có tính đối xứng, nên không mất tính tổng quát ta chọn a lớn nhất, khi đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c  . Ví dụ 3.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3   . Chứng minh rằng: ab c ab c bc a     Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca abbcca        Ta cần chứng minh  2 ab c ab c ab b c c a     Hay ab c a b bc ca     Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được       22 ab b c c a a. ab b. bc c. ca a b c ab bc ca         Hay   ab b c c a a b c ab bc ca      Ta cần chứng minh   a b c abbcca a bc       Hay ta cần chứng minh   22 ab bc ca a b c ab bc ca a b c          Mà ta có    2 ab c 3ab bc ca     , như vậy phép chứng minh sẽ hoàn ta nếu ta chỉ ra được ab bc ca 3   Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 22 2 ab bc ca a b c 3      Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1   . Ví dụ 3.19: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:   22 2 ab c ab c 33a b c bc a          Phân tích: Theo bất đẳng thức Buniacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca        Khi đó ta có   3 ab c ab c ab c bc a ab bc ca          và phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được   3 22 2 ab c 33 a b c ab bc ca    . Việc chứng minh bất đẳng thức trên hoàn toàn dễ dàng. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca        Do đó   3 ab c ab c ab c bc a ab bc ca          Ta cần chứng minh     3 3 22 2 2 2 2 ab c 33ab c a b c 3ab bc ca 3ab c ab bc ca      Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có   2 22 2 2 22 2 3 a b c a b c ab bc ca ab bc ca 3a b c ab bc ca             Lũy thừa bậc ba hai vế ta được   62 22 2 ab c 27a b c ab bc ca       Lấy căn bậc hai hai vế bất đẳng thức trên ta được    3 22 2 ab c 3ab bc ca 3a b c       Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c  . Ví dụ 3.20: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:  22 2 22 2 ab c ab c 23a b c bc a        Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được  22 2 2 2 2 ab c a b c ab c 2 ab c bc a b c a            Ta cần chứng minh  22 2 22 2 ab c ab c 3a b c bc a          Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca        Ta cần chỉ ra được   2 22 2 22 2 22 2 ab c a b c 3a b c ab bc ca       hay  22 2 2 2 2 a b c a bc 3abbc ca       Tức là ta cần chứng minh    32 3 2 3 2 22 2 aab b bc c ca 2ab bc ca       Đánh giá trên đây đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 3.21: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 22 2 ab c 1   . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 bc c a a b 2     Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được            2 22 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c ab c bc c a a b ab c b c a c a b 1 ab c b c a c a b               Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có     2 22 2 2 2 2 22 22 3 22 2 11 ab c 2ab c 2ab c b c 22 12a 2b 2c 2 23 33           Áp dụng tương tự ta được      22 2 2 2 2 2 ab c b c a c a b 3      Do đó ta được      22 2 2 2 2 13 2 ab c b c a c a b      Từ đó suy ra 22 2 ab c 3 bc c a a b 2     Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3   . Ví dụ 3.22: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1   . Chứng minh rằng:  22 2 11 1 9 2a b c a1 b 1 c 1      Phân tích: Để ý ta thấy  222 22 2 2 2 2 11 1 ab c a 1 b1 b1 ab c bc ca ab a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1                     Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 2 2 2 ab c 3bc ca ab ;3 2 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1             Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh trở thành  222 11 1 9 ab c 2 a 1 b1 b1          Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 ab c 3a 3b 3c 2a b c a 2b c a b 2c a1 b 1 c 1           Mặt khác ta lại có 22 2 22 2 2 2 2 2 3a 3 a a 4 2a b c ab ac        , áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a 3b 3c 3 2 2a bc a 2bc a b 2c       Do đó 22 2 ab c 3 2 a1 b 1 c 1     (1) Áp tương tự như trên ta được    22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 3b c 3 c a 3 a b bc c a a b 2a b c a 2b c a b 2c a1 b 1 c 1               Dễ dàng chứng minh được  2 22 22 2 2 2 2 2 3b c bc 3 2a b c a b a c         Tương tự ta được    22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3b c 3 c a 3 a b 3 2a b c a 2b c a b 2c         Hay 22 2 bc c a a b 3 a1 b 1 c 1       (2) Công theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được  222 11 1 9 ab c 2 a 1 b1 b1          Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3   . Ví dụ 3.23: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:      2 3 3 ab c abc 11 1 1 ab b c c a ab b c c a abc          Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được          22 2 22 2 2 22 2 11 1 c a b ab b c c a ca b a b c b c a ab c ca b a b c b c a               Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được               2 22 2 3 2 2 3 22 2 ab c 1 ca b a b c b c a 2abc abc ab c 2abc ca b a b c b c a                         22 33 22 2 ab c abc ab c abc ca b a b c bc a 2abc a b b cc a               Do đó ta được      3 3 ab c abc 11 1 1 ab b c c a ab b c c a abc          Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c  . Ví dụ 3.24: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãnab c 1   . Chứng minh rằng: 1 a 1b 1c a b c 2 bc c a a b b c a           Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được    1 a 1b 1c a b c 2a 2b 2c a b c 232 bc c a a b b c a b c c a a b b c a aa b b c c 3 ac bc ab 3 bb c c a c a a b 2 2 bb c a a b cc a                                   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được            22 2 2 ac bc ab bb c a a b cc a ac bc ab ab bc ca abc b c abc a b abc c a 2abc a b c          Ta cần chứng minh   2 ab bc ca 3 2 2abc a b c    Hay    2 ab bc ca 3abc a b c     Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3   . Ví dụ 3.25: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3   . Chứng minh rằng: 22 2 ab c abc 2a bc 2b ca 2c ab     Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222 2 22 2 22 11 1 1 2a bc b c 2ab c c a 2abc a b     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và chú ý một bất đẳng thức quen thuộc   2 2 2 ab c ab bc ca 9 3          Ta có   222 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 11 1 2a bc b c 2ab c c a 2abc a b 99 1 ab bc bc 2abc a b c ab bc ca        Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 3.26: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3   . Chứng minh rằng: ab c ab c 6 bc a      Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca        Do đó ta được  2 ab c ab c ab c a b c bc a ab bc ca           Ta cần chứng minh  2 ab c ab c 6 ab bc ca      Thật vậy, từ giả thiết ta có  2 2 22 2 ab c a b c ab c 3 ab bc ca 22          Đặt ta b c 0 t 3      . Khi đó ta được bất đẳng thức sau     2 2 22 2 2 2t t6 2t tt 3 6t 3 t 3 t 2 0 t3            Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t0  . Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 3.27: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 3   . Chứng minh rằng: 22 2 33 3 ab c 1 b8 c8 a 8     Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1   , do đó ta chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy là  2 32 bb 6 b8 b 2 b 2b 4 2       . Khi đó hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 22 2 33 3 ab c 2a 2b 2c bb 6 c c 6 a a 6 b8 c8 a 8            Ta cần chỉ ra được 22 2 22 2 ab c 1 2 bb 6 c c 6 a a 6        . Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho đánh giá trên. Lời giải Áp dụng bấy đẳng thức Cauchy ta có  2 32 bb 6 b8 b 2 b 2b 4 2       Tương tự ta có 22 33 aa 6 c c 6 a2 ;c 2 22      Khi đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 2 2 2 22 2 33 3 ab c 2a 2b 2c bb 6 c c 6 a a 6 b8 c8 a 8            Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab c 1 2 bb 6 c c 6 a a 6        Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được   2 22 2 22 2 22 2 ab c ab c bb 6 c c 6 a a 6 ab c a b c 18              Ta cần chỉ ra được   2 22 2 ab c 1 2 ab c a b c 18        Hay   2 22 2 2a bc a b c a bc 18        Hay  2 ab c a b c 12 0       Hay   ab c 4 ab c 3 0       Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì từ ab bc ca 3   ta có    2 ab c 3ab bc ca 9 a b c 3          Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  Ví dụ 3.28: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 22 2 ab c 3   . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab        Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki a được   2 22 2 ab c ab c 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab 32ab bc ca           Để ý ta thấy 22 2 ab c 3   nên ta có   2 32ab bc ca a b c     Suy ra   2 ab c 1 32ab bc ca     Do đó ta được 22 2 ab c 1 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab        Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 3.29: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3   . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 7 4a 3 4b 3 4c 3     Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức  22 2 22 2 11 1 9 4a 3 4b 3 4c 3 4a b c 9       Phép toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được  22 2 22 2 93 ab c 3 7 4a b c 9       Tuy nhiên đánh giá trên không đúng. Do vậy ta phải tìm hướng giải khác cho bài toán trên. Để ý bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là 22 2 22 2 aa c 3 7 4a 3 4b 3 4c 3     Đến đây ta cũng nghĩ đến bất đẳng tức Bunhiacopxki dạng phân thức nhưng áp dụng theo chiều  2 22 ab ab xy x y    . Để ý tiếp ta lại thấy 22 2 4a 3 a ab ac 3a bc      Do đó để bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá  2 2 222 22 2 2 2 34 a 49a 9a 16a 4a 3 a ab ca 3a bc a ab ca 3a bc        Suy ra 22 22 49a 9a 16a ab c 4a 3 3a bc    Hoàn toàn tương tự ta được 222 2 222 2 49b 9b 16b 49c 9c 16c ; ab c a b c 4b 3 3b ca 4c 3 3c ab       Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 49a 49a 49c 16a 16b 16c 9 4a 3 4b 3 4c 3 3a bc 3b ca 3c ab          Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 16a 16b 16c 12 3a bc 3b ca 3c ab     Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 bc ca ab 3 4 3a bc 3b ca 3c ab     Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì được   2 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca bc ca ab 3a bc 3b ca 3c ab ab bc ca 3abc a b c         Theo một đánh giá quen thuộc ta có  2 1 abc a b c ab bc ca 3     do đó ta được  2 22 2 2 2 2 4 ab bc ca 3abc a b c ab bc ca 3       Suy ra   2 22 2 2 2 2 ab bc ca 3 4 ab bc ca 3abc a b c      . Do đó ta được bất đẳng thức 22 2 bc ca ab 3 4 3a bc 3b ca 3c ab     Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   Ví dụ 3.30: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab a 32 2 ab b bc c ca a     Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên trước hết ta đánh giá mẫu số để làm mất các dấu căn, để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta được Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có   2b a b a3b 2b. a b 22     Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab a 2a22b22c2 a3b b 3c c 3a ab b bc c ca a         . Ta cần chứng minh 2a 2 2b 2 2c 2 3 2 a3b b 3c c 3a 2     Hay ab c 3 a3b b 3c c 3a 4     Thật vây, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì được  2 22 2 ab c ab c a3b b 3c c 3a a b c 3ab 3bc 3ca          . Tương tự như ví dụ trên ta chứng minh được  2 22 2 ab c 4 3 ab c 3ab 3bc 3ca       Do đó ta được ab c 3 a3b b 3c c 3a 4     Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 3.31: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 22 2 ab c 3   . Chứng minh rằng: ab a ab c bc a     Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca abbcca        Ta cần chứng minh  2 ab c ab c ab b c c a     Hay ab b c c a a b c   Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có    ab 1 b c 1 c b 1 ab ;b c ;c a 22 2     Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được  1 ab b c c a a b c ab bc ca 2      Mà lại có 22 2 ab c 3 a b c 3       Suy ra    a b c a bc 3abbcca a bc ab bc ca          Hay ab c ab bc ca     Do đó ta có  1 ab b c c a a b c a b c ab b c c a a b c 2             Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3   . Ví dụ 3.32: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 1   . Chứng minh rằng: 22 2 abc b ca c ab 2 ab c b c a c a b       Phân tích: Để ý là 22 2 22 2 abc b ca c ab ab c b c a c a b abc bc ca ab ab c b c a c a b a b c b c a c a b             Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau 22 2 22 2 abc b ca c ab ab c b c a c a b abc bc ca ab ab c b c a c a b a b c b c a c a b             Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được     2 22 2 2 ab c abc a b c b c a c a b a ab ac b bc ab c ca bc ab c 2a b c ab bc ca              Mà theo một đánh giá quen thuộc thì   2 3ab bc ca a b c     nên       22 a b c a bc 3a bc 2 2 2a b c ab bc ca ab c a b c 3          Do đó ta được  22 2 3a b c abc 2 ab c b c a c a b      Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được       2 ab bc ca bc ca ab ab c b c a c a b abc b c c a a b 3abcab c 3ab c 2 abc 6 a b c              Do đó ta được  22 2 abc b ca c ab 6a b c ab c b c a c a b        Lại có   2 11 ab c a b c 33      nên  6a b c 2   Hay 22 2 abc b ca c ab 2 ab c b c a c a b       Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 ab c . 9   4. Kỹ thuật thêm bớt Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các ví dụ sau để minh họa cho điều đó. Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 3   . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 a2 b 2 c 2     Phân tích: Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức 22 2 2 22 11 1 1111 6 9 a2 b 2 c 2 a b c          Để hoàn thành phép chứng minh ta cần đánh giá được 22 2 11 1 3 ab c   . Tuy nhiên để ý là đại lượng 22 2 11 1 ab c  trội nhất nên không thể đánh giá về đại lượng trội hơn Do đó ta không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính đến phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là 2 22 11 a 2 a1 a 2   Như vậy ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 11 1 2 2 2 12 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 11 1 a b c 11 1 32 1 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2                             Đến đây ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để đánh giá bất đẳng thức 22 2 22 2 ab c 1 a2 b 2 c 2     Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 11 1 32 1 a2 b 2 c 2         Hay 22 2 22 2 ab c 1 a2 b 2 c 2     Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu kết hợp với giả thiết ta được    22 22 2 22 2 222 22 2 ab c a b c ab c 1 a2 b 2 c 2 a b c 6 ab c 2ab bc ca              Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 4.2: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 222 ab bc ca 1 c2ab a 2bc b2ca    Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222 222 ca b 1 c2ab a 2bc b2ca    Đến đây ta có thể áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được. Lời giải Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 222 ab bc ca 32 1 c2ab a 2bc b2ca        Hay 222 222 ca b 1 c2ab a 2bc b2ca    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được   2 22 2 22 2 22 2 ab c ca b 1 c2ab a 2bc b2ca ab c 2ab bc ca          Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 4.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 ab c ab c     . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 2 a 2b 2c     Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 ab c 1 2a 2 b 2 c     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 22 2 222 ab c ab c 2a 2 b 2 c 6a b c       Ta cần chứng minh   2 2 22 2 22 2 ab c 1abc 6a b c abbcca 3 6a b c               . Từ giả thiết của bài toán ta được  abc a b c ab bc ca     và từ đánh giá quen thuộc    2 ab bc ca 3abc a b c     , suy ra ta được  2 ab bc ca 3 ab bc ca ab bc ac 3       . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1   . Ví dụ 4.4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1   . Chứng minh rằng: 11 1 9 1ab 1 bc 1 ca 2     Lời giải Đặt 11 1 P 1ab 1 bc 1 ca     . Xét    22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 P3 1 1 1 1 1 1 ab bc ca 2 2 2ab 2 22bc 2 2 2ca 2 22ab 22bc 22ca ab bc ca 2a b c 2ab 2 a b c 2bc 2a b c 2ca ab bc ca ab 2c 2a b c a 2b c                          Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được    22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 ab bc ca ab 2c 2a b c a 2b c ab b c c a 1 4a b 2c 2a bc a 2bc 1a b b c c a 3 44 ac b c ab ac b c ab                                 Do đó ta được P3 3 9 P 24 2    Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3   . Ví dụ 4.5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 2a bc 2b ca 2c ab     Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 2a 2b 2c 2 2a bc 2b ca 2c ab     Hay 22 2 22 2 2a 2b 2c 111 1 2a bc 2b ca 2c ab     Hay 22 2 bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được         22 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 2 bc ca ab bc ca ab 2a bc 2b ca 2c ab bc 2a bc ca 2b ca ab 2c ab ab bc ca 1 ab bc ca 2abc a b c              Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c  . Ví dụ 4.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3   . Chứng minh rằng: 222 a2b b 2c c 2a 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b          Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được    22 2 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b          Hay    222 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 11 1 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b           Hay 22 2 222 cab 1 3 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b        Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được     22 2 22 2 33 3 22 2 2 33 3 33 3 cab 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b ca b c2a4b 3c a2b 4c 3a b2c 4a3b ab c 3a b c 6ab bc ca                   Ta cần chứng minh    2 33 3 33 3 ab c 1 3 3a b c 6ab bc ca       Hay 33 3 3 3 3 ab bc ca ab bc ca    Thật vậy, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được             33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab bc ca a b ab b c bc c a ca ab bc ca 2ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 3 ab bc ca ab bc ca                        Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1   . Ví dụ 4.7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c ab bc ca ab bc ca aab bc b bc ca c ca ab          Lời giải Theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 2 22 2 ab c ab c ab bc ca 1 ab bc ca         Do đó ta cần chứng minh 22 2 ab bc ca 1 aab bc b bc ca c ca ab        Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 22 2 22 2 22 2 ab bc ca 32 aab bc b bc ca c ca ab ab bc ca 11 1 2 aab bc b bc ca c ca ab abc b ca c ab 2 aab bc b bc ca c ca ab                             Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được     2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 ab c ab c 1 aab bc b bc ca c ca ab ab c ab bc ca bc ca ab 1 aab bc b bc ca c ca ab ab bc ca                   Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 abc b ca c ab 2 aab bc b bc ca c ca ab          Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Nh ận xét: Qua các ví d ụ trên ta nh ận th ấy ch ỉ v ới vi ệc thêm b ớt vào b ất đẳng th ức m ột đại lượng phù h ợp ta có th ể đổi được chi ều b ất đẳng th ức và áp d ụng được b ất đẳng th ức Bunhiacopxki để ch ứng minh bài toán. K ỹ thu ật này g ọi là k ỹ thu ật thêm – b ớt trong b ất đẳng th ức Bunhiacopxki. V ậy thì k ỹ thu ật thêm b ớt còn được s ử d ụng trong các trường h ợp nào n ữa, ta ti ếp t ục tìm hi ểu các ví d ụ sau đây Ví dụ 4.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3   . Chứng minh rằng: 11 1 3 2a 2 b 2 c     Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp ta được  11 1 9 2a 2 b 2 c 6a b c       Trong khi đó ta có  22 2 0a b c 3a b c 3       nên  9 3 6a b c    Như vậy đánh giá như trên không chứng minh được bài toán. Bất đẳng thức cần chứng minh không cần phải đổi chiều như các ví dụ trên nhưng khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì không đem lại hiệu quả. Để có một đánh giá tốt hơn ta cần thay đổi cách phát biểu các đại lượng của bất đẳng thức xem sao? Chú ý một tí ta sẽ có biến đổi khá thú vị sau  11 a 2a 2 22 a    . Lúc này bất đẳng thức trở thành ab c 3 2a 2 b 2 c     . Với bất đẳng thức này hy vọng ta sẽ chứng minh được. Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau 11 11 11 3 a b c 3 2a 2 2 a 2 2a 2 2 2a 2 b 2 c                Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được         22 ab c a b c ab c 2a 2 b 2 c a2 a b 2 b c 2 c 2 a b c 3               Ta cần chứng minh được   2 ab c 3 2a b c 3     hay   2 ab c 6ab c 9      Hay     22 ab c 6ab c 9 0 a b c 3 0           Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Nh ận xét: Nh ư v ậy b ằng vi ệc thêm – b ớt m ột đại l ượng ta đã bi ến đổi b ất đẳng th ức đã cho v ề d ạng khác và khi đó có th ể d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki m ột cách thu ận l ợi h ơn. V ậy thì làm th ể nào để ta có th ể ch ọn được đại l ượng phù h ợp? Xét ý t ưởng sau đây: Ta s ẽ tìm m ột s ố m dương sao cho  11 1 22    ma m aa có t ử s ố là  11  ma là m ột đại l ượng dương và đánh giá mày càng ch ặt càng t ốt. Do đó ta ch ọn được 1 2  m , khi đó thì  11 0 22 22     a a a . Để ch ứng minh b ất đẳng th ức 3 22 2     ab c ab c ta có th ể áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức theo cách khác sau Áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức ta được       44 4 33 3 2 22 2 33 3 4 4 4 22 2 22 2 2               ab c a b c ab c aa b b c c abc ab c a bc Ta c ần ch ứng minh được      33 3 4 4 4 44 4 2 2 2 3 3 3 32 2              ab c a bc ab c a b c ab c Áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy ta đư ợc 42 3 4 2 3 4 2 3 2; 2 ; 2      aa ab b bc c c . C ộng theo v ế các b ất đẳng th ức trên ta được b ất đẳng th ức cu ối cùng. V ậy bài toán được ch ứng minh xong. Ví dụ 4.9: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: abc 1 3a b c 3b c a 3c a b        Phân tích: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cần tìm số m dương sao cho  a1 3m mb mc a m 3a b c 3a b c      có tử số là  a1 3m mb mc   là một số dương và đánh giá trên càng chặt càng tốt. Để ý giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta nghĩ đến chọn m sao cho tử số trên có dạng ab c  . Từ những nhận định đó ta chọn được 1 m 4  . Khi đó ta có lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a1 4b 1 4c 11 3a b c 4 3b c a 4 3c a b 4 4          Hay bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ab c b c a c a b 1 3a b c 3b c a 3c a b             Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được       2 2 22 2 ab c b c a c a b 3a b c 3b c a 3c a b ab c b c a c a b a b c 3a b c b ca 3b c a c a b 3ca b ab c 1 a b c 2ab 2bc 2ca                                      Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 4.10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 5a 3b 5b 3c 5c 3a 4 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b          Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức      2 5a 3b 5b 3c 5c 3a 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b 5a 3b 5b 3c 5c 3a 5a 3b 3a b 2c 5b 3c 3b c 2a 5c 3a 3c a 2b                     Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được      2 5a 3b 5b 3c 5c 3a 4 5a 3b 3a b 2c 5b 3c 3b c 2a 5c 3a 3c a 2b             Hay   2 22 2 22 2 64 a b c 4ab bc ca a b c 18 a b c 30 ab bc ca            Tuy nhiên đánh giá trên là sai. Do đó ta không thể áp dụng được trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki mà cần biến đổi bất đẳng thức về một dạng khác. Với ý tưởng đó ta cần tìm số m dương sao cho    a5 3m 3 m b 2mc k a b c 5a 3b m 3a b 2c 3a b 2c 3a b 2c           Và đánh giá trên càng chặt càng tốt. Từ những nhận định đó ta chọn được m1  . Khi đó ta có lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 5a 3b 5b 3c 5c 3a 1111 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b            Hay  2 a b c 2b c a 2c a b 1 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b             Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được       2 2 a b c 2b c a 2c a b 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b 2a b c b c a c a b ab c 3ab 2c b c a 3b c 2a c a b 3c a 2b                               Ta cần chứng minh được      2 2a b c b c a c a b 1 ab c 3ab 2c b c a 3b c 2a c a b 3c a 2b                    Hay   2 22 2 2a b c 1 2a b c 4 ab bc ca       Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 4.11: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 3a b 3b c 3c a 4 2a c 2b a 2c b       Phân tích: Để ý đến phép biến đổi 3a b a b c 1 2a c 2a c    . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab c b c a c a b 1 2a c 2b a 2c b          Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki dạng phân thức ta được      2 ab c b c a c a b 2a c 2b a 2c b ab c b c a c a b ab c 2ac b c a 2b a c a b 2c a                          Ta cần chứng minh được      2 ab c b c a c a b 1 ab c 2ac b c a 2b a c a b 2c a                  Hay   2 22 2 ab c 1 ab c 2ab bc ca       Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 4.12: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 ab c abbcca5 bc c a a b 2 ab c        Phân tích: Để ý đến phép biến đổi abca 1 bc bc    . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 bc a c a b a b c 1 ab bc ca bc c a a b 2 ab c             Hay   2 22 2 ab c bc a c a b a b c bc c a a b 2a b c            Áp dụng bất đẳng thức Bunhiachopxki dạng phân thức ta được        2 2 22 2 bc a c a b a b c bc c a a b ab c b c a c a b bc bc a c a c a b a b a b c ab c 2a b c                          Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 4.13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:    22 2 ab c b c a c a b 2 a2bc b 2ca c 2ab       Phân tích: Để ý đến phép biến đổi   2 2 ab c a 2bc a b c 1 bc a2bc       . Ta lại có       2 a 2bc ab c bc a ba c bc a ba c 0            Lại thấy      22 2 222 a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b a b c             Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với    22 2 22 2 a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b 1 a2bc b 2ca c 2ab             Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được         22 2 22 2 2 22 2 a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b a2bc b 2ca c 2ab a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b M                         Với      22 2 2 22 M a 2bc a 2bc a b c b 2ca b 2ca b c a c 2ab c 2ab c a b                    Ta cần chứng minh được   2 22 2 3 3 3 3 3 3 44 4 22 22 22 ab c ab ab bc bc ca ca ab c 4ab bc ca             Hay      22 2 2 2 2 ab a b bc b c ca c a 2a b 2b c 2c a        Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 4.14: Cho a, b, c là các số dương thõa mãn 22 2 ab c 3   . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 1 1 1 15 14 b c c a a b 56 7 a 7b 7c             Phân tích: Để ý ta thấy 2 22 111 a . 77 7a 7a   khi đó ta quy bài toán về chứng minh 22 2 22 2 11 1 a b c 9 2 bc c a a b 4 7 a 7b 7c             Lời giải Ta có 22 2 22 2 22 2 1 1 1 a 1 1 1b 1 1 1c .; . ; . 77 77 77 7 a 7 a 7b 7b 7c 7c        Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau: 22 2 22 2 11 1 a b c 9 2 bc c a a b 4 7 a 7b 7c             Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phan thức ta được          22 22 2 22 2 22 2 11 1 9 9 bc c a a b bc c a a b 2a bc ab c a b c ab c 24 7a 7 b 7 c 7 a 7b 7c                      Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được  2 ab c 99 ab c 6 2    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có    2 2 3 ab c 9 ab c 6 ab c 99 9919 3.. 62262 2a b c 2a b c           Do vậy đánh giá giá cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nh ận xét: Ở đây ta được s ử d ụng k ỹ n ăng thêm b ớt b ằng cách đưa vào tham s ố m để lý lu ận và đưa vào các đi ều ki ện ràng bu ộc h ợp lí để tìm ra m. Ví dụ 4.15: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1  . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 aa 1 b b 1 c c 1        Phân tích: Chú ý đến phép biến đổi   2 2 2 2a 1 41 3 aa 1 3a a 1     Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh cần chứng minh với    22 2 22 2 2a 1 2b 1 2c 1 3 aa 1 b b 1 c c 1          Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có      22 2 2 22 2 22 2 2a 1 2b 1 2c 1 2a 2b 2c 3 aa 1 b b 1 c c 1 ab c a b c 3                Ta cần chứng minh được   2 22 2 2a 2b 2c 3 3 ab c a b c 3         Hay    2 ab c 6ab bc ca 9a b c       Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có   ab bc ca 3abc a b c 3 a b c        Ta quy bài toán về chứng minh    2 a b c 6 3a b c 9a b c       Đặt ab c t1 3   , khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành    2 22 3 3t 18t 27t 9t t 2 3t 0     Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 33 t2 t 1 1 3t     và t1  nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   Ví dụ 4.16: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 3   . Chứng minh rằng: 22 2 222 22 2 ab c abc 2a 1 2b 1 2c 1 ab c 6        Phân tích: Áp dụng ý tưởng như các ví dụ trên là cần tìm một số dương m sao cho đánh giá 22 a2mama m 2a 1 2a 1    có tử số 2 2ma m a  dương và đánh giá càng chặt càng tốt. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta chọn được 1 m 2  , tuy nhiên nếu chọn như vậy thì ta không đảm bảo được tử số luôn dương. Do đó nếu chọn được m mà làm triệt tiêu được 2 a thì mới đảm bảo được tử dương. Để ý đến ab c 3   khi đó ta chọn a m 2  . Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 222 22 2 aa b b c c abc a b c 22a 1 2 2b 1 2 2c 1 2 ab c 6            Hay  22 2 22 2 2a b c ab c 3 2a 1 2b 1 2c 1 ab c 6         Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được   2 22 2 ab c ab c 2a 1 2b 1 2c 1 2a b c 3        Khi đó ta cần chứng minh được   22 2 22 2 22 2 2a b c 9 3 2a b c 3 ab c 6       Đặt 22 2 ta b c 3    , khi đó bất đẳng thức được viết lại thành           92t 9 2t 31 20 2t 3 2t 3 t6 t6 23 t 2t 2 t 6 t 2 1 0t3 0 2t 3 2t 3 t6 t6t t 6 t2 2t 3 t 6t t 6 0 t2t 6 t 6 0                                  Do t3  nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 4.17: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 1   . Chứng minh rằng:  22 2 ab c 1 3a 1 3b 1 3c 1 18 ab bc ca      Phân tích: Áp dụng ý tưởng như các ví dụ trên là cần tìm một số dương m sao cho đánh giá 22 a3mama m 3a 1 2a 1    có tử số 2 3ma m a  dương và đánh giá càng chặt càng tốt. Khi đó nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thấy có sự xuất hiện của các hạng tử bậc 3 và nếu quy đồng thì ta thu được một bất đẳng thức bậc 5 thì khó đánh giá. Để ý đến đánh giá 22 aa a 3a 1 3a 3   , đây là một đánh giá khá chặt. Khi đó xét biến đổi sau  2 aa a 33a 1 33a 1    , hoàn toàn tương tự ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức có bất đẳng thức sau    ab c 1 abc 3 33a 1 33b 1 33c 1 18 ab bc ca        Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với    ab c 1 abc 3 33a 1 33b 1 33c 1 18 ab bc ca        Hay  ab c 1 1 3a 1 3b 1 3c 1 6ab bc ca       Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được    2 22 2 2 2 2 ab c ab c 1 3a 1 3b 1 3c 1 3a b c a b c 3 a b c 1              Khi đó ta quy bài toán vể chứng minh   22 2 11 1 6ab bc ca 3a b c 1     Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki dạng phân thức thì được    22 2 2 2 2 11 4 1 6ab bc ca 3a b c 1 3 a b c 6 ab bc ca 1            Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3   Ví dụ 4.18: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 1   . Chứng minh rằng:  22 2 ab c 1 9a 1 9b 1 9c 1 12 3 ab bc ca      Phân tích: Để ý đến phép biến đổi  2 aa a 99a 1 99a 1    Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  22 2 aa b b cc abc 1 99a 1 9 9b 1 9 9c 1 9 12 3 ab bc ca         Hay  ab c 3 1 9a 1 9b 1 9c 1 43 ab bc ca       Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được    2 22 2 2 2 2 ab c ab c 1 9a 1 9b 1 9c 1 9a b c a b c 9 a b c 1              Lại theo bất đẳng thức Cauchy ta có   33 21 3 ab bc ca 43 ab bc ca       Ta quy bài toán về chứng minh   22 2 13 1 9a b c 1 21 3 ab bc ca        Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được         22 2 22 2 2 2 22 2 13 9a b c 1 21 3 ab bc ca 19 9a b c 1 61 3 ab bc ca 13 16 1 9a b c 1 6 1 3 ab bc ca 9a b c 7                           Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3   . 5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như           11 1 1 1 1 1 1 1 1) a; b; c ; ; ; ; ; ; ; ; ;.. xy z xy yz zx xy yz zx 2) a; b; c yz; zx; xy ; yz; zx; xy ;... 3) a;b;c y z;zx;x y; y z x;zxy;x y z;...                      Với một số bất đẳng thức có giả thiết là abc 1  ta có thể đổi biến     22 2 22 2 11 1 1 1 1 1) a; b; c ; ; ; ; ; ;... xy z xy z xy z b ca x y z 2) a; b; c ; ; ; ; ; ; ; ; ;... yzx a b c y z x yz zx ab x y z 3) a; b; c ; ; ; ; ; ;... yz zx xy xy z yz xy zx x y z 4) a; b; c ; ; ; ; ; xy z yz zx xy                                 ;...  Ví dụ 5.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac 3  . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 abc 3 2abc ab 2abc bc 2abc ca      Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành  abc a b c ac ab bc 2ac ab 2ab bc 2bc ca 3     Để ý ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lai của các đại lương ab; bc; ca và chú ý ta nhận thấy  abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab     . Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến là xab;ybc;z ca   . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  abc a b c ac ab bc 2ac ab 2ab bc 2bc ca 3     Đặt xab;ybc;z ca   , khi đó ta được xy z 3   ,bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yz x xyyzzx 2y z 2z x 2x y 3      Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được      22 2 2 22 2 yz x y z x 2y z 2z x 2x y y2y z z 2z x x 2x y xy x 2 x y z xy yz zx               Ta cần chứng minh   2 22 2 xy x xy yz zx 3 2 x y z xy yz zx        Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với       2 22 2 4 22 2 9x y x 3xy yz zx 2 x y z xy yz zx x y x 3 xy yz zx 2 x y z xy yz zx                        Đặt 22 2 A x y z ; B xy yz zx      suy ra  2 A2B x y z 9     , khi đó ta cần chứng minh   2 22 A2B 3B2A B A B 2AB     . Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1   . Ví dụ 5.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c 3 2 ab b c c a     Phân tích: Bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3 ab b c c a 2     Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến phép đổi biến 22 2 xa;y b;z c   , khi đó bất đẳng thức trở thành xy z 3 xy y z z x 2     Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa. Lời giải Đặt 22 2 xa;y b;z c   , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy z 3 xy y z z x 2     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được                      2 2 xy z xy y z z x xx z y y x z z y x y xz y z y x zx zy xy z 2x y z x y xz y z yx z x z y 4 x y z xy yz zx xy y z z x                                       Ta cần chứng minh      4 x y z xy yz zx 9 2 xy y z z x       Hay      8 x y z xy yz zx 9 x y y z z x        Hay    8xyz x y y z z x    Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c  . Ví dụ 5.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc   . Chứng minh rằng: 22 2 2 22 ab c 1 11 3 bc a a bc        Phân tích: Quan sát giả thiết ta thấy có thể viết lại giả thiết thành 11 1 1 ab c   . Đến đây ta đặt 11 1 x;y ;z ab c   và khi này ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành  22 2 22 2 xy z 3x y z zx y     Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Từ giả thiết ab bc ca abc   suy ra 11 1 1 ab c   Đặt 11 1 x;y ;z ab c   , từ giả thiết suy ra xy z 1   Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành  22 2 22 2 xy z 3x y z zx y     Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 xy z xy z x y z zx y xz yx zy xz yx zy        Ta cần chứng minh   2 22 2 22 2 22 2 xy z 3x y z xz yx zy     Hay  22 2 2 2 2 xy z 3xz yx zy     Vì xy z 1   , nên bất đẳng thức trên trở thành   22 2 2 2 2 xy z x y z 3xz yx zy       Hay  33 3 2 2 2 2 2 2 xy z xz yx zy 2xz yx zy        Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 32 2 3 2 2 3 2 2 xxz 2xz;y yx 2yx;z zy 2zy      Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được  33 3 2 2 2 2 2 2 xy z xz yx zy 2xz yx zy        Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3   . Nhân xét: B ất đẳng th ức trên còn đư ợc ch ứng minh theo cách sau Bi ến đổi t ương đương b ất đẳng th ức ta được               22 2 22 2 22 2 22 22 2 22 2 2 22 2 22 2 22 2 222 3 3 3 111 1110                                                      xy z xy z zx y xy z xy z x y z xy z zx y xy z xy z x y z xy z zx y xz y x z y xy y z z x zx y xy y z z x xy z Vì 1   xy z nên 11 1 ;; 1  xy z . Do đó b ất đẳng th ức cu ối cùng đúng. Phép ch ứng minh hoàn t ất. Ví dụ 5.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: ab bc ca 3 4 c3ab a 3bc b3ca    Phân tích: Quan sát bất đẳng thức nghĩ đến đổi biến xa;y b;z c   . Khi đó bất đẳng thức được viết lai thành 22 2 xy yz zx 3 4 z 3xy a 3yz y 3zx     . Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng kỹ thuật thêm – bớt. Lời giải Đặt xa;y b;z c   . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy yz zx 3 4 z3xy a 3yz y 3zx     Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 22 2 22 2 xy yz zx 3 4 z 3xy x 3yz y 3zx 1xy1 yz 1 zx 3 1 33 3 4 z3xy x 3yz y 3zx zx y 3 4 z 3xy x 3yz y 3zx                  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một đánh giá quen thuộc ta được      2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 xy z zx y z3xy x 3yz y 3zx x y z 3 xy yz zx xy z 3 4 xy z xy z 3               Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 5.5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc   . Chứng minh rằng: abc b ca c ab abc a b c         Phân tích: Trước hết ta viết lại giả thiết thành 11 1 1 ab c   , khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c   . Bất đẳng thức được viết lại thành x yz y zx z xy 1 xy yz zx        Để ý đến giả thiết xy z 1   , áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta được    xyz xxy z yz x y x z x yz         Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau Lời giải Từ giả thiết ab bc ca abc   suy ra 11 1 1 ab c   . Đặt 11 1 x;y ;z ab c   , khi đó ta được xy z 1   . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x yz y zx z xy 1 xy yz zx        Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta được    xyz xxy z yz x y x z x yz         Chứng minh tương tự ta được yzx y zx; z xy z xy      Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được x yz y zx z xy x y z xy yz zx 1xy yz zx             Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3   hay ab c 3   . Ví dụ 5.6: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab bc ca abc   . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 b 2a c 2b a 2ac 3 ab cb ac     Lời giải Từ giả thiết ta được 11 1 1 ab c   . Đặt 11 1 x;y ;z ab c   , khi đó ta có xy z 1   . Bất đẳng thứ cần chứng minh được viết lại thành 22 2 2 2 2 x2y y 2z z 2x 3      Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có     2 2 22 x2y 1.x 2.2y 3x 2y     Do đó ta được  2 22 x2y x2y x2y 3 3     Tương tự ta có 22 2 2 y2z z 2x y2z ; z 2x 33     Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta được  22 2 2 2 2 3x y z x2y y 2z z 2x x2y y 2z z 2x 3 33 3 3             Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3   hay ab c 3   . Ví dụ 5.7: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:    22 2 bc ca ab 1 1 1 1 2a b c ab c b c a c a b         Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng 11 1 ab c  , để ý đến phép biến đổi  2 2 bc 1 11 ab c a bc       . Từ đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến. Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ab c   , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 xy z xyz yz z x x y 2      Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được   2 22 2 xy z xy z xyz yz z x x y 2 2x y z         Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c  . Ví dụ 5.8: Cho các số thực a, b, c 1  thỏa mãn 11 1 2. ab c   Chứng minh rằng: ab c a 1 b 1 c 1        Phân tích: Chính sự xuất hiện giải thiết 11 1 2 ab c   làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng phép đổi biến 11 1 x;y ;z ac c   . Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ac c   , khi đó  x; y; z 0;1  và xy z 2   Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 11 1 1 x 1 y 1 z xy z x y z       Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được  2 1x 1y 1 z 1 1 1 1 1 1 3x yz xy z xyz xyz              Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 ab c 2   . Ví dụ 5.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 2 abc   . Chứng minh rằng:   2ab bc ca a b c 6   Phân tích: Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành  ab c 2abc2      Trước hết ta biến đổi giả thiết thành         a1 b 1 c a a1 b 1 b 1 c 1 c 1 a1 11 1 1 a1 b 1 c 1                Khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z a1 b 1 c 1     . Để ý là từ cách đổi biến đó ta được 1x y z 1y z x 1 z x y a;b ;c xx yy z z           . Bất đẳng thức được viết lại thành yz z x x y 1 1 1 2 xy z xyz         . Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán Lời giải Ta có      2 2 abbcca a bc a bc       Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành        2 2 ab c abc abc6 ab c 2abc3 ab c 2abc3                  Giả thiết được viết lại thành         a1 b 1 c a a1 b 1 b 1 c 1 c 1 a1 11 1 1 a1 b 1 c 1                Đặt 11 1 x;y ;z a1 b 1 c 1     , suy ra xy z 1   . Khi đó ta được 1x y z 1y z x 1 z x y a;b ;c xx yy z z           Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yz z x x y 1 1 1 2 xy z xyz         Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được  yz z x x y 1 1 1 1 1 1 2x 2y 2z 2 xy z xyz xyz               Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2   Ví dụ 5.10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc   . Chứng minh rằng: 22 2 bc a 3 2 ab 1 b c 1 c a 1     Phân tích: Từ giả thiết ta được 11 1 1 ab bc ca   , khi đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c   , suy ra xy yz zx 1   . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1     Để ý đến phép biến đổi   22 x1 x xy yz zx x y x z        . Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh được bài toán. Lời giải Từ giả thiết ab c abc   suy ra 11 1 1 ab bc ca   . Đặt 11 1 x;y ;z ab c   , Khi đó giả thiết của bài toán trở thành xy yz zx 1   . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1     . Dễ thấy   22 x1 x xy yz zx x y x z        Tương tự ta được     22 y1 y z y x; z 1 z x z y       Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được       22 2 xy z x y z y1 z1 x 1 yx y z zx zy x y xz 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z                 Ta cần chứng minh 2x 2y 2z 3 x 2yz x y 2z 2x yz 2       Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được      22 22 2 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z 2x y z 2x y z 3 2 xy z xy yz zx x y z xy z 3                   Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 3   . Ví dụ 5.11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 1 ab c   . Chứng minh rằng: 22 2 bc c a a b 2 ab c     Phân tích: Quan sát giả thiết của bài toán ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c   . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành    22 2 xy z y z x z x y 2 yz zx xy     . Để ý đến đánh giá  2 4xy x y  . Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 4x 4y 4z 2 yz z x x y     Bất đẳng thức trên dễ dàng chứng minh được bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ab c   . Từ giả thiết suy ra xy z 1   . Bất đẳng thức được viết lại thành    22 2 xy z y z x z x y 2 yz zx xy     Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được    22 2 xy y z z x xy ; yz ; zx 44 4     Khi đó ta được bất đẳng thức sau    22 2 22 2 xy z y z x z x y 4x 4y 4z yz zx xy y z z x x y         Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có    2 22 2 4x y z 4x 4y 4z 2x y z 2 yz z x x y 2x y z          Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 3   . Nh ận xét: Ngoài cách ch ứng minh nh ư trên ta có th ể áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ch ứng minh theo cách sau B ất đẳng th ức đư ợc vi ết l ại thành 222 11 1 1 1 1 2                     xy z yz z x x y Theo m ột đánh giá quen thu ộc ta có    22 2 22 2 22 2 11 11 4 11 11 4 11 11 4                                  xx xyz y z yz y z yz yy yzx zx z x zx z x zz zxy xy x y xy x y C ộng theo v ế các b ất đẳng th ức trên ta được    22 2 22 2 44 4         xy z y z x zx y xy z yz zx xy y z z x x y M ặt khác, theo b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ta được        22 2 22 2 2 2 44 4 2 222                            xy z yz z x x y xy z xy y z z x yz z x x y xy z y z zx xy xy z yz z x x y B ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Ví dụ 5.12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1  . Chứng minh rằng: ab c 1 2ba 2 c b 2 a c     Phân tích: Từ giả thiết abc 1  của bài toán, rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến dạng xy z a;b ;c yz x   , chú ý đến các các căn bậc hai có trong bất đẳng thức cần chứng minh, ta chọn cách đổi biến là xy z a;b ; c yz x   . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 22 2 2 2 2 xz yx zy 1 2z y y x 2x z z y 2y x x z     . Bất đẳng thức cần chứng minh có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki dạng phân thức. Do đó ta thử áp dụng xem có thể chứng minh được bài toán không? Lời giải Vì abc 1  nên tồn tại các số thực dương để xy z a;b ; c yz x   . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 2 2 2 xz yx zy 1 2z y y x 2x z z y 2y x x z     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được     2 2 22222 22 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 22 2 22 2 2 2 2 xz yx zy x z y x z y 2z y y x 2x z z y 2y x x z 2xyz x y 2x yz z y 2xy z x z xy yz zx xy yz zx 1 x y y z z x 2xyz x y z xy yz zx                 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 5.13: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1  . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 aa 1 b b 1 c c 1        Phân tích: Nếu ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki trực tiếp kiểu 22 2 222 11 1 9 aa 1 b b 1 c c 1 a b c a b c 3             Khi đó để phép chứng minh được hoàn tất ta phải chỉ ra được 22 2 22 2 9 1a b c a b c 6 ab c a b c 3             Với giả thiết abc 1  thì đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai. Để ý đến giả thiết abc 1  ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ, vấn đề đặt ra là ta chọn cách đặt ẩn phụ nào? Trước hết ta thấy bất đẳng thức có tính đối xứng do đó để không làm mất tính đối xứng của nó ta sẽ không đặt ẩn phụ kiểu xy z ;; yzx hoặc yz x ;; xy z . Đầu tiên ta sử dụng phép đổi biến 11 1 a;b ;c xy z   khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 xy z 1 xx 1 y y 1 z z 1        Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được  2 22 2 22 2 222 xy z xy z xx 1 y y 1 z z 1 x y z x y z 3              Ta cần chứng minh được  2 22 2 xy z x y z xy z 3        Tuy nhiên đánh giá này lại sai. Do đó cách đổi biến này không khả thi Như vậy ta tính đến cách đổi biến 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy   và 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z   . Trong hai cách đổi biến trên, suy nhĩ một chút ta sẽ loại cách đặt thứ nhất vì bất đẳng thức chỉ chứa biến ở mẫu nên khi đổi biến và quy đồng mỗi phân thức ta sẽ thu được một phân thức thức mà trên tử có chứa các đại lượng 22 2 2 2 2 yz ; z x ; x y còn dưới mẫu lại chứa các đại lượng 44 4 x; y ;z trộn hơn, nên muốn đánh giá các mẫu theo chiều tăng lên là rất khó. Do đó ta chỉ còn cách đổi biến 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z   , hy vọng sẽ chứng minh được bài toán. Khi này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 44 4 42 22 4 2 22 4 2 22 xy z 1 xxyz yz y yzx zx z zxy xy        Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được   44 4 42 22 4 2 22 4 2 22 2 22 2 44 4 22 22 22 xy z x x yz y z y y zx z x z z xy x y xy z x y z xyz x y z x y y z z x                Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được   2 22 2 4 4 4 22 22 22 xy z x y z xyzx y z xy yz zx           Biến đổi tơng đương và thu gọn ta được  22 2 2 2 2 x y y z z x xyz x y z    Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Nh ận xét: N ếu ch ấp nh ận bi ến b ất đẳng th ức trên t ừ d ạng đối x ứng v ề d ạng hoán v ị thì v ới cách đổi bi ến ;;   yz x ab c xy z , b ất đẳng th ức c ần ch ứng minh tr ở thành 22 2 222 22 2 1        ab c aab b b bc c c ca a Khi đó b ất đẳng th ức t ương đương v ới       22 22222 22 2 2 2 2 22222 2 22222                           aa a abb a b c abbc ca a a b c ab bc ca a ab b a abb a b c abbc ca ac a b c a abb a b c abbc ca Áp d ụng tương t ự ta quy bài toán v ề ch ứng minh 22 2 222 22 2          ac bc cc ab bc ca ab c aab b b bc c c ca a Áp d ụng d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức ta được    22 2 222 22 2 2 22 2 2 2 2                  ac ba cb aab b b bc c c ca a ab bc ca ab bc ca abc c a bc b a b bc a b c ca a V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Ví dụ 5.14: Cho các số thực a; b; c 1  thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:    22 2 22 2 ab c 1 1 a 1b 1c     Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc 1  và tính đối xứng của bất đẳng thức ta nghĩ đến phép đổi biến. Ngoài ra ta cũng thấy các phân thức chứa biến trên tử nên ta có thể chọn cách đổi biến 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy   Lời giải Đặt 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy   với x; y; z 0  . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành    44 4 22 2 22 2 xy z 1 xyz y zx z xy     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được        2 22 2 44 4 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 xy z xy z xyz y zx z xy x yz y zx z xy       Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được     2 22 2 22 2 22 2 xy z 1 xyz y zx z xy      Hay tương đương với      22 2 2 22 2 2 2 2 2 xy z x yz y zx z xy 0 xy yz zx 0               Đánh giá cuối cùng luôn là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 5.15: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1  . Chứng minh rằng:       11 1 1 2 a1 a 2 b 1 b 2 c 1 c2        Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc 1  và tính đối xứng của bất đẳng thức ta có thể đổi biến 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z   . Lời giải Đặt 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z   với x; y; z 0  , khi đó bất đẳng thức càn chứng minh trở thành     44 4 22 2 2 2 2 xyz 1 2 x yz 2x yz y zx 2y zx zxy 2zxy        Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được            44 4 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 xyz xyz2xyz y zx 2y zx z xy 2z xy xy z xyz2xyz y zx 2y zx z xy 2z xy            Phép chứng minh sẽ hoàn nếu ta chỉ ra được        2 22 2 22 2 2 2 2 xy z 1 2 xyz2xyz y zx 2y zx z xy 2z xy      Hay ta cần chứng minh        2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x yz 2x yz y zx 2y zx z xy 2z xy           Khai triển và thu gọn ta được  22 2 2 2 2 xy yz zx xyz x y z    Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1   . Ví dụ 5.16: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abcd 1  . Chứng minh rằng:     22 22 1 111 1 a1 b 1 c 1 d 1      Lời giải Cách 1: Đặt xy x t a;b ;c ;d zz t x   với x; y; z; t 0  . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành     22 2 2 22 2 2 xy z t 1 xy y z z t t x       Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và bất đẳng thức Cauchy ta được     2 222 22 2 2 xy z t xy y z z t t x                                                  2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 22 2 2 xt x y x y z y z t z t xy xt y z xy z t y z t x z t xt x y x y z y z t z t xy z t xt y z xy y z z t xt 1 4x y z t x t y z                                                   Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c d 1   . Cách 2: Đặt 22 2 2 yz zt tx xy a;b ;c ;d xy c t    với x; y; z; t 0  . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành     44 4 4 22 2 2 22 2 2 xy z t 1 xyz y zt z tx t xy       Áp dụng liên tục bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được          2 22 44 22 2 2 22 2 2 2 22 22 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 xz xz xyz z tx xyz z tx xz xz xy z t xy x z z x z t              Hoàn toàn tương tự ta được   44 22 222222 22 yt yt xy z t yzt t xy      Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được     44 4 4 22 2 2 22 2 2 xy z t 1 xyz y zt z tx t xy       Vậy bất đẳng thức được chứng minh.