Một số thủ thuật tính tích phân

KÊNH PPT – TIVI – 2020 MỘT SỐ THỦ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ MH-BGD NĂM 2020 VÀ CÁC ĐỀ PHÁT TRIỂN I. CÁC PP HAY SỬ DỤNG - PP tự luận - PP Casio - PP chọn hàm đại diện…. II. BÀI TẬP ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020. Câu 1. [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm số   f x liên tục trên  thoả mãn     3 2 10 6 1 2 ,          x f x f x x x x x . Khi đó   0 1 d   f x x ? A. 17 20  . B. 13 4  . C. 17 4 . D. 1  . Câu 2. [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu   2 1 d 2 f x x    và   3 2 d 1 f x x   thì   3 1 d f x x  bằng A. 3  . B. 1  . C. 1. D. 3 . Câu 3. [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu 1 0 ( )d 4 f x x   thì 1 0 2 ( )d f x x  bằng A. 16 . B. 4 . C. 2 . D. 8 . Câu 4. [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số   f x có   0 0 f  và   2 cos cos 2 , f x x x x      . Khi đó   0 d f x x   bằng A. 1041 . 225 . B. 208 . 225 . C. 242 . 225 . D. 149 . 225 ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu 5. [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số   f x có   9 3 2 f  và   3 2 2 1 , 1. 1 x x f x x x x x           Tính   3 0 I f x dx   . A. 29 6 I   B. 101 6 I   C. 43 6 I  D. 52 6 I  . Câu 6. Cho hàm số   y f x  có   ln 3 4 f  và   , . 1 x x e f x x e       Khi đó   ln8 ln3 x e f x dx  bằng: A. 2 B. 38 3 C. 76 3 D. 136 3 . Câu 7. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn   1 1 f   và     3 7 1 2, x f x f x x x x         . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 2 3 . B. 5 9  . C. 5 9 . D. 2 3  Câu 8. Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên  và thỏa mãn 2 3 3 4 ( ) 6 (2 ) 4 5 x f x f x x    . Giá trị 4 0 ( )d f x x  bằng A. 52 25 . B. 52. C. 48 25 . D. 48. Câu 9. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     2 5 3 2 3 . 2 5 18 45 11 1, f x x f x x x x x x           . Khi đó   3 3 d f x x   bằng A. 96 . B. 64 . C. 192. D. 32. Câu 10. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn   0 1 f  và           2 2 6 4 2 4 6 1 40 44 32 4, 0;1 f x x f x x x x x          . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 23 15 . B. 17 15  . C. 13 15 . D. 7 15  . Câu 11. [SỞ HÀ NỘI LẦN 1 – CÂU 31 - 2020] Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên   0;1 , thỏa mãn   1 0 d 3 f x x   và   1 4 f  . Tích phân   1 0 d x f x x   có giá trị là A. 1 2  . B. 1 2 . C. 1. D. 1  . Câu 12. [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   0;10 thỏa mãn     10 10 0 2 d 7, d 1 f x x f x x     . Tính   1 0 2 d P f x x   . A. 6 P  . B. 6 P   . C. 3 P  . D. 12 P  . Câu 13. [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên tập số thực thỏa mãn   2 3 2 ( ) (5 2). 5 4 50 60 23 1, f x x f x x x x x x R          . Giá trị của biểu thức 1 0 ( ) f x d x  bằng A. 2. B. 1. C. 3 . D. 6. Câu 14. [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số   f x liên tục trên R và thỏa mãn   1 5 d 9 f x x    . Tính tích phân   2 0 1 3 9 d f x x        . A. 15. B. 27. C. 75. D. 21. Câu 15. [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 - 2020] Biết   1 0 1 f x d x    và   2 1 2 1 3. f x dx    Tính   3 0 . f x d x  A. 5. . B. 2.. C. 7. . D. 4.  Câu 16. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020] Cho   f x là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 và   1 1 18 f   ,   1 0 1 d 36 x f x x    . Giá trị của   1 0 d f x x  bằng A. 1 12  . B. 1 36 . C. 1 12 . D. 1 36  . Câu 17. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn điều kiện       2 2 1 3 6 , 0;1 f x f x x x x       . Tính   1 2 0 1 I f x d x    A. 4 15 I  . B. 1 I  . C. 2 15 I   . D. 2 15 I  . Câu 18. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn và     2 2 2 2; f x f x x x x         . Tích phân bằng A. . B. . C. . D. Câu 19. [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục và dương trên   0; a , thỏa mãn và       . 1; 0; f x f a x x a     . Tích phân   0 1 1 a b a d x f x c    trong đó , b c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó b c  có giá trị là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 Câu 20. Cho   f x là hàm liên tục trên  thỏa   1 1 f  và   1 0 1 dt 3 f t   , tính   2 0 sin 2 . sin d I x f x x     . A. 4 3 I  . B. 2 3 I  . C. 1 3 I  . D. 2 3 I   . Câu 21. Cho hàm số liên tục trên đoạn   0;1 và thỏa điều kiện   1 2 0 21 f x dx       và     1 0 1 7 x f x d x    . Tính   1 0 x I e f x d x   . A. e . B. 2 e . C. 3 e . D. 4 e . Câu 22. Cho     1 2 0 1 d 10 x f x x    . Tính   2 3 0 cos sin d I x f x x    . A. 5 I   . B. 10 I   . C. 10 I  . D. 5 I  . Câu 23. Cho hàm số liên tục trên đoạn 1 0; 3       và thỏa điều kiện   1 0 3 1 ( ) 2019 x f x d x     và     4 1 0 2020 f f   . Tính   1 3 0 3 f x d x  . A. 1 9 . B. 3. C. 1 3 . D. 1. ( ) f x  (0) 3 f  2 0 ( )d x f x x   4 3  10 3  2 3 5 3 ( ) f xCâu 24. Cho 4 0 ( ) 16 f x dx   . Tính 2 0 (2 ) I f x d x   A. 32 I  . B. 8 I  . C. 16 I  . D. 4 I  Câu 25. Cho   9 4 d 10 f x x   . Tính tích phân   1 0 5 4 dx J f x    . A. 2 J  . B. 10 J  . C. 50 J  . D. 4 J  . Câu 26. Giả sử hàm số   f x liên tục trên đoạn   0;2 thỏa mãn   2 0 d 6 f x x   . Tính tích phân   2 0 2sin cos d . I f x x x    A. 3. B. 3  . C. 6. D. 6  . Câu 27. Cho hàm số   f x thỏa mãn     1 0 1 d 10 x f x x     và     2 1 0 2 f f   . Tính   1 0 d f x x  . A. 12 I   . B. 8 I  . C. 1 I  . D. 8 I   Câu 28. Cho hàm số   f x có đạo hàm   f x  và thỏa mãn     1 0 2 1 d 10 x f x x     ,     3 1 0 12 f f   . Tính   1 0 d I f x x   . A. 1 I  . B. 2 I   . C. 2 I  . D. 1 I   . Câu 29. Biết rằng 2 2 1 8 5 ln 2 ln 3 ln 5 6 7 2 x d x a b c x x        với a,b,c là các số thực. Tính 2 2 3 P a b c    A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 30. Biết 6 3 2 2 2 4 d ; , . 2 x a x a b b x       Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 7.   a b B. 7. a b    C. 15. a b   D. 9. a b   Câu 31. [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG - CÂU 37 - 2020] Cho ln ln ln x d x a b c x x        3 2 1 3 2 3 5 3 2 với , , a b c là các số hữu tỉ. Tính S a b c    2 2 2 . A. S  5 . B. S  3 . C. S  4. D. S  6 . Câu 32. Cho với , , . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 33. Biết   2 0 2 ln 1 d .ln x x x a b    , với * , a b   , b là số nguyên tố. Tính . A. 33. B. 25. C. 42 . D. . Câu 34. Cho 1 2 0 1 d ln 2 ln 3 3 2 x a b x x            với , a b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng? A. 2 0   a b . B. 2 0   a b . C. 2    a b . D. 2   a b . e 1 ln d I x x x   2 .e a b c   a b c   T a b c    5 3 4 6 6 7 a b  39Câu 35. Cho biết e 1 ln 3 d 3 3 x a x b x     , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 2 1 log 2 b a  bằng A. -1. B. 7 2 . C. 8. D. 6. Câu 36. Biết 4 2 3 d ln 2 ln 3 ln 5 x I a b c x x       , trong đó , , a b c   . Tính giá trị của T a b c    . A. 2 T  . B. 3 T  . C. 1 T   . D. 5 T  . Câu 37. Biết   2 0 2 ln 1 d .ln x x x a b    , với * , a b   , b là số nguyên tố. Tính 3 4 a b  . A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 . Câu 38. Cho   3 2 1 ln d ln 3 ln 2 1 x a x c b x       với , , * a b c   và phân số a b tối giản. Giá trị của a b c   bằng A. 8. B. 7. C. 6. D. 9. Câu 39. Biết ln 6 0 e d ln 2 ln 3 1 e 3 x x x a b c       với a , b , c là các số nguyên. Tính T a b c    . A. 1 T   . B. 0 T  . C. 2 T  . D. 1 T  . Câu 40. Cho biết 1 2 0 1d x x x   2 1 a b   với a, b là các số tự nhiên. Giá trị của 2 2 a b  bằng A. 5  . B. 5. C. 2. D. 7. --------------Hết-------------- BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.A 10.D 11.C 12.C 13.A 14.D 15.A 16.A 17.C 18.B 19.A 20.A 21.C 22.C 23.A 24.B 25.A 26.A 27.D 28.A 29.D 30.A 31.D 32.D 33.D 34.A 35.C 36.A 37.B 38.A 39.B 40.A HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020. Câu 1. [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm số   f x liên tục trên  thoả mãn     3 2 10 6 1 2 ,          x f x f x x x x x . Khi đó   0 1 d   f x x ? A. 17 20  . B. 13 4  . C. 17 4 . D. 1  . Lời giải Chọn B Cách 1: PP tự luận Ta có         3 2 10 6 2 3 2 11 7 2 1 2 1 2              x f x f x x x x x f x x f x x x x . Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được:                           1 1 1 2 3 2 11 7 2 0 0 0 1 1 1 0 3 3 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 d 1 d 2 d 1 1 5 1 1 5 d 1 d 1 d d 3 2 8 3 2 8 1 1 5 5 5 3 d d d d 3 2 8 6 8 4 x f x x x f x x x x x x f x x f x x f t t f t t f t t f t t f t t f t t                                      . Suy ra   1 0 3 d 4    f x x . Lấy tích phân hai vế cận từ 1  đến 0 ta được:                           0 0 0 2 3 2 11 7 2 1 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 d 1 d 2 d 1 1 17 d 1 d 1 3 2 24 1 1 17 1 1 17 d d d d 3 2 24 3 2 24 1 17 1 d d 3 24 2 x f x x x f x x x x x x f x x f x x f t t f t t f t t f t t f t t f t t                                                  0 1 0 1 0 1 1 17 1 17 1 3 13 13 d d . d 3 24 2 24 2 4 12 4                  f x x f x x f x x . Cách 2: PP chọn hàm đại diện: Từ đẳng thức     3 2 10 6 1 2 ,          x f x f x x x x x suy ra chọn đặt hàm số   f x là hàm số bậc 3 dạng   3 2 f x a x b x c x d     . Ta có     3 9 6 3 3 10 7 4 f x a x b x c x d x f x a x b x c x dx                        2 6 4 2 3 2 10 7 6 4 2 1 3 3 2 1 3 3 2 f x ax a b x a b c x a b c d f x f x ax b x a x a b c x a b c x d x a b c d                              Đồng nhất thức ta được 1 0 3 2 a b c d              . Suy ra   3 3 2 f x x x     Vậy     0 0 3 1 1 13 3 2 4 f x dx x x            . Câu 2. [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu   2 1 d 2 f x x    và   3 2 d 1 f x x   thì   3 1 d f x x  bằng A. 3  . B. 1  . C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B Cách 1: PP tự luận Áp dụng tính chất       d d d , b c b a a c f x x f x x f x x a c b        Ta có       3 2 3 1 1 2 d d d 2 1 1 f x x f x x f x x           . Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do cho hai điều kiện nên chọn hàm có hai hệ số chưa biết dạng   f x a x b   , cách này dài hơn tự luận. Câu 3. [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu 1 0 ( )d 4 f x x   thì 1 0 2 ( )d f x x  bằng A. 16 . B. 4 . C. 2 . D. 8 . Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận Ta có 1 0 2 ( )d f x x  1 0 ( )d 2.4 8 2 f x x     . Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do giả thiết cho một điều kiện nên chọn hàm có dạng   f x a  , cách này dài hơn tự luận. Câu 4. [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số   f x có   0 0 f  và   2 cos cos 2 , f x x x x      . Khi đó   0 d f x x   bằng A. 1041 . 225 . B. 208 . 225 . C. 242 . 225 . D. 149 . 225 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận áp dụng tính chất     d f x f x x    Ta có   2 cos cos 2 f x x x   cos cos3 cos5 2 4 4 x x x    Do đó     cos cos3 cos5 d d 2 4 4 x x x f x f x x x              sin sin 3 sin 5 ( ) 2 12 20 x x x f x C      , vì (0) 0 f  nên 0 C  0 242 ( ) 225 I f x d x      Cách 2: PP chọn hằng số C Để tính   0 d f x x   ta đặt     u f x du f x d x d v d x v x C                  Khi đó                     0 0 0 0 0 . | f x dx x C f x x C f x dx f C f C x C f x d x                     Chọn C    Suy ra       2 0 0 0 242 ( ) . 2 255 f x dx x f x dx x c o s x c os x d x                Bài toán tổng quát cho Câu 4 Cho hàm số   f x có biết   f a và    , f x g x x      . Khi đó           b b a a f x dx b x g x dx b a f a           (1*) - công thức tính nhanh. Chứng minh bằng PP chọn hằng số C Đặt     u f x d u f x d x d v d x v x C                  Khi đó                     0 ( ) . | b b b a a a f x d x x C f x x C f x d x b C f b a C f a x C f x d x                 Chọn C b             0 b a f x d x b x f x d x b a f a              Áp dụng công thức tính nhanh (1*) cho câu 4               2 0 242 cos .cos 2 0 0 255 b b a a f x dx b x g x d x b a f a x x x d x                HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu 5. [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số   f x có   9 3 2 f  và   3 2 2 1 , 1. 1 x x f x x x x x           Tính   3 0 I f x dx   . A. 29 6 I   B. 101 6 I   C. 43 6 I  D. 52 6 I  . Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận (chọn hằng số C) Đặt     u f x d u f x dx dv dx v x C                  Khi đó:                     3 3 3 3 0 0 0 0 . 3 3 0 . | f x dx f x x C x C f x d x f C f C x C f x dx               Chọn 0 C  Suy ra 3 3 2 2 0 9 1 43 .3 . 2 6 1 x x I x d x x x x          . Cách 2: PP tính nhanh Cho hàm số   f x có biết   f a và    , f x g x x      . Khi đó           b b a a f x dx b x g x dx b a f a           (1*) - công thức tính nhanh. Áp dụng công thức (1*) ta có               3 0 0 0 3 3 3 3 2 2 0 0 0 3 3 1 9 43 3. 2 6 1 f x dx f x d x x f x d x f x x x dx x x x                            Câu 6. Cho hàm số   y f x  có   ln 3 4 f  và   , . 1 x x e f x x e       Khi đó   ln8 ln3 x e f x d x  bằng: A. 2 B. 38 3 C. 76 3 D. 136 3 . Lời giải Chọn C. Cách 1: PP tự luận (chọn hằng số C) Đặt     x x u f x d u f x dx d v e d x v e C                  Khi đó           ln8 ln8 ln8 ln3 ln3 ln3 | x x x e f x d x f x e C e C f x d x                                ln8 ln8 ln 3 ln 3 ln8 ln3 ln8 ln 3 ln8 8 ln 3 3 x x f e C f e C e C f x dx f C f C e C f x d x                 Chọn 8 C   suy ra       ln8 ln8 ln3 ln3 76 4. 3 8 8 3 1 x x x x e e f x d x e e          . Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất). Câu 7. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn   1 1 f   và     3 7 1 2, x f x f x x x x         . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 2 3 . B. 5 9  . C. 5 9 . D. 2 3  Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận: Từ         3 7 2 3 8 2 1 2, 1 2 , x f x f x x x x x f x x f x x x x x                        1 1 1 2 3 8 2 0 0 0 1 2 x f x d x x f x d x x x x d x           Đặt 3 2 1 3 t x dt x d x              1 0 1 1 2 3 0 1 0 0 1 1 1 1 3 3 3 x f x d x f t d t f t d t f x d x           Vậy ta có       1 1 1 2 3 8 2 0 0 0 1 2 x f x d x x f x d x x x x d x              1 1 0 0 1 5 3 9 f x dx x f x dx              1 1 1 0 0 0 1 5 | 3 9 f x dx x f x f x d x                            1 1 0 0 2 5 5 4 2 1 0. 0 1 0. 0 3 9 9 9 3 f x dx f f f f x dx                  Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ đẳng thức     3 7 1 2, x f x f x x x x         suy ra chọn đặt hàm số   f x là hàm số bậc 2 dạng 2 ( ) f x a x b x c    với , , a b c   . Ta có   3 7 1 ( ) 2 x f x f x x x           2 3 3 7 1 1 2 2 x a x b x c a x b x x                 1; 2; 0 a b c      . 2 ( ) 2 f x x x    thỏa mãn (1) 1 f   . Từ đó ta có     2 1 1 0 0 2 d d 2 3 I x x f x x x        . Câu 8. Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên  và thỏa mãn 2 3 3 4 ( ) 6 (2 ) 4 5 x f x f x x    . Giá trị 4 0 ( )d f x x  bằng A. 52 25 . B. 52. C. 48 25 . D. 48. Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận 2 2 2 3 2 3 0 0 2 2 4 4 2 2 0 0 0 0 4 4 4 4 0 0 0 0 3 3 4 ( ) 6 (2 ) 4 4 ( ) 6 (2 ) d 4 d 5 5 52 52 2 ( )d( ) 3 (2 )d(2 ) 2 ( )d 3 ( )d 5 5 52 52 52 2 ( )d 3 ( )d 5 ( )d ( )d 5 5 25 x f x f x x x f x f x x x x f x x f x x f t t f u u f x x f x x f x x f x x                                         Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất). Câu 9. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     2 5 3 2 3 . 2 5 18 45 11 1, f x x f x x x x x x           . Khi đó   3 3 d f x x   bằng A. 96 . B. 64 . C. 192. D. 32. Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Ta có :       2 5 3 2 3 . 2 5 18 45 11 1 1 f x x f x x x x x        . Thay x bởi x  vào (1) ta có :       2 5 3 2 3 . 2 5 18 45 11 1 2 f x x f x x x x x          . Cộng (1) và (2) vế với vế ta được:         1 1 2 1 1 3 3 90 2 3 d 3 d 64 f x f x x f x x f x x             . Xét   1 1 3 d f x x   . Đặt 3 d 3d t x t x    . Đổi cận: 1 3; 1 3 x t x t         . Khi đó       1 3 3 1 3 3 1 1 3 d d d 3 3 f x x f t t f x x         . Tương tự ta có     1 3 1 3 1 3 d d 3 f x x f x x       . Vậy       3 3 3 3 3 3 1 1 d d 64 d 96 3 3 f x x f x x f x x           . Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất). Câu 10. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn   0 1 f  và           2 2 6 4 2 4 6 1 40 44 32 4, 0;1 f x x f x x x x x          . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 23 15 . B. 17 15  . C. 13 15 . D. 7 15  . Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên đoạn   0;1 ta có:           1 1 1 2 2 6 4 2 0 0 0 376 d 4 6 1 d 40 44 32 4 d 105 f x x x f x x x x x x            . Theo công thức tích phân từng phần có:                 1 1 1 2 3 3 3 0 0 0 1 6 1 d d 2 2 2 d 0 x f x x f x x x x x f x x x f x x                    1 1 2 3 0 0 6 1 d 1 2 d x f x x x x f x x         . Thay lại đẳng thức trên ta có         1 1 2 3 0 0 376 d 4 1 2 d 105 f x x x x f x x                       1 1 2 3 0 0 44 d 4 2 d 0 105 f x x x x f x x                1 2 3 0 2 2 d 0 f x x x x             3 2 2 , 0;1 f x x x x         4 2 f x x x C     . Mặt khác         1 1 4 2 4 2 0 0 13 1 1 1 1 d 1 d 15 f C f x x x f x x x x x               . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ đẳng thức           2 2 6 4 2 4 6 1 40 44 32 4, 0;1 f x x f x x x x x          suy ra chọn đặt hàm số   f x là hàm số bậc 4 trùng phương dạng 4 2 ( ) f x a x b x c    với , , a b c   . Khi đó ta có         2 3 2 4 2 6 4 2 4 2 4 6 1 40 44 32 4, 0;1 ax b x x a x bx c x x x x           Đồng nhất hai vế ta có 2 40 40 16 24 4 44 1 1 4 24 4 32 4 4 a ab b a a c b b c b c                           Vậy       1 1 4 2 4 2 0 0 13 1 d 1 d 15 f x x x f x x x x x           Câu 11. [SỞ HÀ NỘI LẦN 1 – CÂU 31 - 2020] Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên   0;1 , thỏa mãn   1 0 d 3 f x x   và   1 4 f  . Tích phân   1 0 d x f x x   có giá trị là A. 1 2  . B. 1 2 . C. 1. D. 1  . Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận: Ta có   1 0 d x f x x       1 1 0 0 d x f x f x x        1 0 1 d f f x x    4 3   1  . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Ta có hàm số   f x có hai giả thiết   1 0 d 3 f x x   và   1 4 f  nên dự kiến chọn đặt hàm số là   y f x a x b          1 1 1 2 0 0 0 d 3 d 3 3 3 1 2 2 a x a f x x ax b x b x b                    .     1 4 4 2 f a b     . Từ     1 , 2 suy ra: 2 2 a b          2 2 ' 2 y f x x f x       .   1 1 0 0 d 2 d 1 x f x x x x      . Cách 3: Dùng công thức tính nhanh từ bài toán tổng quát sau Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên   ; a b , biết   f b n  và   d b a f x x m   Khi đó       d d ; d : ( )d b b b b a a a a g x f x x k g x x k m n x x b x                Chứng minh Áp dụng vào bài toán ta có   1 1 2 1 0 0 0 2 d d | 1 2 2 2 x k x f x x k x x k         với 1 1 0 0 3 4d : ( 1)d 2 k x x x             Câu 12. [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   0;10 thỏa mãn     10 10 0 2 d 7, d 1 f x x f x x     . Tính   1 0 2 d P f x x   . A. 6 P  . B. 6 P   . C. 3 P  . D. 12 P  . Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận: Ta có               2 0 d 2 0 10 2 10 0 f x x F F F F F F                     10 10 2 0 d d 1 7 6. f x x f x x          Đổi biến: 2 , d 2d x t x t   . Đổi cận: 0 0; 2 1 x t x t       . Khi đó       2 1 1 0 0 0 6 d 2 2 d 2 d 3 f x x f t t f t t        , hay   1 0 2 d 3 f x x   . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết cho hai điều kiện     10 10 0 2 d 7, d 1 f x x f x x     nên chọn đặt   f x a x b   . Khi đó     10 10 0 0 d d 50 10 7 f x x a x b x a b        và     10 10 2 2 d d 48 8 1 f x x ax b x a b        . Suy ra hệ 23 50 10 7 40 48 8 1 143 40 a a b a b b                   . Do đó   23 143 40 40 f x x    .   1 1 0 0 23 143 2 d d 3 20 40 P f x x x x              . Câu 13. [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên tập số thực thỏa mãn   2 3 2 ( ) (5 2). 5 4 50 60 23 1, f x x f x x x x x x R          . Giá trị của biểu thức 1 0 ( ) f x d x  bằng A. 2. B. 1. C. 3. D. 6. Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận: 1 1 1 1 3 2 2 2 0 0 0 0 ( ) (50 60 23 1) (5 2) (5 4 ) 3 (5 2) (5 4 ) f x d x x x x dx x f x x d x x f x x dx                (1) Xét tích phân 1 2 0 (5 2) (5 4 ) x f x x d x    : Đặt 2 5 4 t x x   thì (5.2 4) 2(5 2) d t x dx x d x     Khi 1 x  thì 1 t  ; Khi 0 x  thì 0 t  Suy ra: 1 1 1 2 0 0 0 1 1 (5 2) (5 4 ) ( ) ( ) 2 2 x f x x d x f t dt f x dx        Thay vào (1) ta được: 1 1 1 1 0 0 0 0 1 3 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 2 2 2 f x d x f x d x f x d x f x dx           Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ công thức   2 3 2 ( ) (5 2). 5 4 50 60 23 1, f x x f x x x x x x           ta dự đoán hàm số là bậc nhất dạng ( ) f x ax b   , thay vào điều kiện ta được 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 (5 2) (5 4 ) 50 60 23 1 (5 2)(5 4 ) 50 60 23 1 25 30 (9 5 ) 50 60 23 1 ax b x a x x b x x x a x b x a x a x b x x x ax a x a b x b x x x                                 25 50 30 60 2 (9 5 ) 23 1 1 a a a a b b b                        Do vậy ( ) 2 1 f x x   suy ra 1 1 0 0 ( ) (2 1) 2 f x d x x d x      . Câu 14. [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số   f x liên tục trên R và thỏa mãn   1 5 d 9 f x x    . Tính tích phân   2 0 1 3 9 d f x x        . A. 15. B. 27. C. 75. D. 21. Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận: Đặt 1 3 t x   d 3d t x    . Với 0 1 x t    và 2 5 x t     . Ta có   2 0 1 3 9 d f x x          2 2 0 0 1 3 d 9d f x x x        5 2 0 1 d 9 3 t f t x            1 5 1 d 18 3 f x x         1 .9 18 21 3    . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết cho một điều kiện   1 5 d 9 f x x    nên dự kiến chọn hàm dạng   f x a x  . Khi đó   1 1 5 5 3 d d 12 9 4 f x x ax x a a            . Do đó   3 4 f x x   . Vậy     2 2 2 0 0 0 3 9 33 1 3 9 d 1 3 9 d d 21 4 4 4 f x x x x x x                             . Câu 15. [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 - 2020] Biết   1 0 1 f x d x    và   2 1 2 1 3. f x dx    Tính   3 0 . f x d x  A. 5. B. 2. C. 7. D. 4.  Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận: Ta đặt : 2 1 2 . t x d t d x           2 3 3 1 1 1 1 2 1 3 6 2 f x dx f t d t f x d x         Mà       3 1 3 0 0 1 1 6 5. f x d x f x d x f x dx          Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt   f x a x b   . Khi đó     1 1 0 0 1 2 a f x d x a x b d x b         và       2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 f x d x a x b d x a x a b d x a b                  . Suy ra hệ 8 1 3 2 7 2 3 3 a a b a b b                      . Do đó   8 7 3 3 f x x   . Vậy   3 3 0 0 5 8 7 3 3 f x d x x d x            . Câu 16. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020] Cho   f x là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 và   1 1 18 f   ,   1 0 1 d 36 x f x x    . Giá trị của   1 0 d f x x  bằng A. 1 12  . B. 1 36 . C. 1 12 . D. 1 36  . Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận: Đặt:     u x d u d x d v f x d x v f x                 Ta có:           1 1 1 0 0 0 1 . 1 0 x f x d x x f x f x d x f f x d x         . Theo giả thiết:   1 0 1 36 x f x d x    ,   1 1 18 f       1 1 0 0 1 1 1 1 1 18 36 18 36 12 f x d x f x d x             . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt   f x a x b   . Khi đó   1 1 18 f a b     và   1 1 1 2 0 0 0 1 1 d d 2 2 36 18 x a x f x x a x x a a          . Suy ra hệ 1 1 18 18 1 1 18 9 a b a a b                       . Do đó   1 1 18 9 f x x   . Vậy   1 1 0 0 1 1 1 d d 18 9 12 f x x x x             . Câu 17. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn điều kiện       2 2 1 3 6 , 0;1 f x f x x x x       . Tính   1 2 0 1 I f x d x    A. 4 15 I  . B. 1 I  . C. 2 15 I   . D. 2 15 I  . Lời giải Chọn C Bài toán: Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   0; c thỏa mãn điều kiện       ( ), 0; m f x n f c x g x x c      ; 0 m n   và ( ) , ( ) g x m n f x n m      . Chứng minh Đặt t c x x c t      . Do   0; x c  nên   0; t c  . Thay x c t   vào       ( ), 0; m f x n f c x g x x c      (1*) ta có     ( ) m f c t n f t g c t         ( ) x t m f x n f c x g x          (2*) Từ (1*) và (2*) ta có hệ                 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n f x m f c x g x n f x n m f c x n g x m f x n f c x g x m f x n m f c x m g x                        ( ) ( ) g x f x n m    (công thức tính nhanh). Cách 1: PP tính nhanh         2 2 2 3 6 6 2 1 3 6 6, 0;1 2 2 3 x x f x f x x x x f x x x               Khi đó     1 1 2 4 2 0 0 2 1 4 1 15 I f x d x x x d x          (dùng casio tính). Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ       2 2 1 3 6 , 0;1 f x f x x x x       Ta dự kiến chọn hàm đại diện là   2 f x a x b x c    thì ta có           2 2 2 2 1 2 1 1 3 4 2 2 3 . f x f x a x b x c a x b x c ax a b x a b c                      Đồng nhất thức hệ số ta có 3 3 1 4 6 2 . 2 2 3 0 2 a a a b b a b c c                        Suy ra   2 2 2 f x x x    . Dó đó       1 1 2 2 2 2 0 0 2 1 1 2 1 2 15 I f x d x x x d x                  . Cách 3: Tự luận Đặt     1 , 0;1 0;1 t x x t       . Ta có           2 2 2 1 3 6 2 1 3 1 3 f x f x x x f x f x x                   2 2 1 2 3 3 2 1 3 3 f t f t t f x f x x           Ta có hệ phương trình                     2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 6 2 1 3 6 2 1 3 3 4 2 1 6 6 3 6 6 3 3 6 6 2 2 3 f x f x x x f x f x x x f x f x x f x f x x x x f x x x f x x x                                       Khi đó       2 2 2 2 4 2 1 1 2 1 2 4 1 f x x x x x          Suy ra     1 1 2 4 2 0 0 2 1 4 1 15 I f x d x x x d x          . Câu 18. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn và     2 2 2 2; f x f x x x x         . Tích phân bằng A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn B Cách 1: PP tính nhanh     2 [0; 2]: 2 2 2 x f x f x x x          2 2 2 2 1 3 3 2 2 x x f x x x        ( ) f x  (0) 3 f  2 0 ( )d x f x x   4 3  10 3  2 3 5 3      ' 3 ' 3 f x x x f x x x           2 2 0 0 10 ' 3 3 x f x d x x x d x        Cách 2: Tự luận Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: . Từ     2 2 2 2; f x f x x x x         Thay vào ta được . Xét Đặt , đổi cận: Khi đó Do đó ta có Vậy Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ       2 2 2 2; * f x f x x x x         ta dự kiến chọn hàm số   2 f x a x b x c    thay vào đk (*) ta có         2 2 2 2 2 f x f x a x bx c a x b x c           2 2 4 4 2 2 . a x a x a b c      Đồng nhất hệ số ta có 2 1 1 4 2 . 2 0 4 2 2 2 a a a b c a b c                      Do   0 3 3; 3 f c b      . Suy ra     2 1 3 3; ' 3 2 f x x x f x x      . Vậy     2 2 0 0 10 ' 3 3 x f x d x x x dx       . Câu 19. [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục và dương trên   0; a , thỏa mãn và       . 1; 0; f x f a x x a     . Tích phân   0 1 1 a b a d x f x c    trong đó , b c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó b c  có giá trị là 2 2 2 0 0 0 ( )d ( ) ( )d x f x x x f x f x x      0 x    1 (0) (2) 2 (2) 2 (0) 2 3 1 f f f f          2 0 ( )d I f x x   2 x t d x d t      0 2 2 0 x t x t          0 2 2 2 0 0 (2 ) (2 ) (2 ) I f t d t f t d t I f x d x                2 2 2 2 2 0 0 0 0 8 4 ( ) (2 ) d 2 2 d 2 ( )d ( )d . 3 3 f x f x x x x x f x x f x x              2 2 2 0 0 0 4 10 ( )d ( ) ( )d 2.( 1) . 3 3 x f x x x f x f x x           ( ) f xA. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 Lời giải Chọn A Cách 1: PP tính nhanh Bài toán: Cho hàm số có đạo hàm liên tục và dương trên   0; a , thỏa mãn và       . 1; 0; f x f a x x a     thì tích phân   0 1 1 2 a a d x f x    Chứng minh: Đặt t a x   ta có         0 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) a a a a a f t d x d t d t d t d t f x f a t f a t f t f t                              0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 a a a a a f x f x d x d x d x d x d x a f x f x f x f x                     0 1 * 1 2 a a f x     Áp dụng công thức (*) vào bài toán ta có   0 1 1 1 2 2 a a a b b f x c c       , do , b c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản 2, 1 3 c b b c       . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Do       . 1; 0; f x f a x x a     chọn hàm đại diện   1 f x  và chọn cận đại diện 2 a    2 0 2 1 1 1 1 2 b b d x c f x c       , do , b c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản 2, 1 3 c b b c       Câu 20. Cho   f x là hàm liên tục trên  thỏa   1 1 f  và   1 0 1 dt 3 f t   , tính   2 0 sin 2 . sin d I x f x x     . A. 4 3 I  . B. 2 3 I  . C. 1 3 I  . D. 2 3 I   . Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận: Đặt sin d cos d x t t x x    . ( ) f xĐổi cận: khi 0 0 x t    ; 1 2 x t     . Từ đó ta có       1 2 2 0 0 0 sin 2 . sin d 2sin .cos . sin d 2 . d I x f x x x x f x x t f t t            Đặt:     d d d d u t u t v f t t v f t                 .       1 0 1 1 4 2 . d 2 1 0 3 3 I t f t f t t                   . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Phân tích có hai giả thiết, ta tìm hàm   f x thỏa hai điều kiện, chọn   f x a x b   Khi đó:   1 1 1 f a b       1         1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 dt dx dx xdx+ bdx= 2 3 2 3 f t f x a x b a a b             Từ     1 , 2 ta có hệ 4 1 3 1 1 1 2 3 3 a b a a b b                     Ta được     4 1 4 ; ' 3 3 3 f x x f x    , do đó   4 ' sin 3 f x  Vậy   2 2 0 0 4 4 sin 2 . sin d sin 2 . d 3 3 I x f x x x x         . Câu 21. Cho hàm số liên tục trên đoạn   0;1 và thỏa điều kiện   1 2 0 21 f x dx       và     1 0 1 7 x f x d x    . Tính   1 0 x I e f x d x   . A. e . B. 2 e . C. 3 e . D. 4 e . Lời giải Chọn C Cách 1: PP chọn hàm đại diện Nhận xét: Giả thiết có 2 điều kiện cho trước là   1 2 0 21 f x dx       và     1 0 1 7 x f x dx    , tìm hàm số   f x bằng cách dựa vào tỷ số           2 21 3 1 1 7 f x f x x x f x          Ta có     1 1 0 0 3 1 3 x x I e f x d x e x dx e       Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt   f x a x b   dựa vào giả thiết tìm hệ số ; a b . Cách 3: PP chọn hàm đại diện Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:         2 2 2 . b b b a a a f x g x dx f x d x g x d x           Dấu bằng xảy ra khi         . , ; , f x k g x x a b k      Đặt ( ) 1 g x x   ; ta có     1 0 1 7 x f x d x    suy ra     1 0 7 g x f x d x   ;   1 2 0 21 f x dx       ;   1 2 0 7 1 3 x dx    Vì           2 1 1 1 2 2 0 0 0 . g x f x dx f x dx g x d x             Dấu bằng xảy ra khi           3 3 1 f x k g x f x g x x      Vậy     1 1 0 0 3 1 3 x x I e f x d x e x dx e       . Câu 22. Cho     1 2 0 1 d 10 x f x x    . Tính   2 3 0 cos sin d I x f x x    . A. 5 I   . B. 10 I   . C. 10 I  . D. 5 I  . Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận       2 2 3 2 0 0 cos sin d 1 sin . sin .cos d I x f x x x f x x x        . Đặt sin d cos d t x t x x    và 0 0; 1 2 x t x t        . Khi đó     1 2 0 1 d 10 I t f t t     . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết cho một điều kiện     1 2 0 1 d 10 x f x x    nên nghĩ đến chọn   f x a  . Ta có       1 1 2 2 0 0 2 30 1 d 10 1 d 10 10 3 2 x f x x x a x a a            . Suy ra   30 2 f x  . Ta có:   2 2 3 3 0 0 30 cos sin d cos d 10 2 I x f x x x x        . Câu 23. Cho hàm số liên tục trên đoạn 1 0; 3       và thỏa điều kiện   1 0 3 1 ( ) 2019 x f x d x     và     4 1 0 2020 f f   . Tính   1 3 0 3 f x d x  . A. 1 9 . B. 3. C. 1 3 . D. 1. Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Áp dụng tích phân từng phần tính   1 0 3 1 ( ) x f x d x    Ta có         1 1 1 3 1 ( ) 3 3 1 0 0 0 x f x d x f x d x f x x                1 1 0 0 1 2019 4 1 0 3 3 f f f x dx f x dx        Vậy     1 1 3 0 0 1 1 1 1 3 . 3 3 3 9 f x d x f t d t      . Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết có 2 điều kiện cho trước là   1 0 3 1 ( ) 2019 x f x d x     và     4 1 0 2020 f f   ta chọn đặt     f x a x b f x a      . Ta có     1 1 0 0 4038 3 1 ( ) 2019 3 1 2019 5 x f x d x a x d x a           Mặt khác       2020 4 4 1 0 2020 4 2020 . 3 a f f a b b b          Vậy     1 1 3 3 0 0 1 3 3 9 f x d x ax b d x      . Câu 24. Cho 4 0 ( ) 16 f x dx   . Tính 2 0 (2 ) I f x d x   A. 32 I  . B. 8 I  . C. 16 I  . D. 4 I  Lời giải Chọn B Cách 1: PP tự luận Đặt 2x =dx 2 d t t   . Đổi cận 0 2 x t    ; 2 4 x t    Khi đó ta có 2 4 4 0 0 0 1 1 (2 ) ( ) ( ) 8 2 2 I f x d x f t d t f x d x        Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: Nếu có   m n M f x d x   thì   ; . , . f x b dx n a b m a b M a a            Áp dụng . Câu 25. Cho   9 4 d 10 f x x   . Tính tích phân   1 0 5 4 dx J f x    . A. 2 J  . B. 10 J  . C. 50 J  . D. 4 J  . Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio Phương pháp casio nhanh: Nếu có   m n M f x dx   thì   ; . , . f x b dx n a b m a b M a a            Áp dụng . Câu 26. Giả sử hàm số   f x liên tục trên đoạn   0;2 thỏa mãn   2 0 d 6 f x x   . Tính tích phân   2 0 2sin cos d . I f x x x    A. 3. B. 3  . C. 6. D. 6  . Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio . Câu 27. Cho hàm số   f x thỏa mãn     1 0 1 d 10 x f x x     và     2 1 0 2 f f   . Tính   1 0 d f x x  . A. 12 I   . B. 8 I  . C. 1 I  . D. 8 I   Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận Đặt     1 d d d d u x u x v f x x v f x                  . Khi đó       1 1 0 0 1 d I x f x f x x     Suy ra         1 1 0 0 10 2 1 0 d d 10 2 8 f f f x x f x x            Vậy   1 0 d 8 f x x    . Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số   f x thỏa mãn     d K a x b f x x       và         . P a b f a b f         thì   d a f x P K x      . Áp dụng . Câu 28. Cho hàm số   f x có đạo hàm   f x  và thỏa mãn     1 0 2 1 d 10 x f x x     ,     3 1 0 12 f f   . Tính   1 0 d I f x x   . A. 1 I  . B. 2 I   . C. 2 I  . D. 1 I   . Lời giải Chọn A Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số   f x thỏa mãn     d K a x b f x x       và         . P a b f a b f         thì   d a f x P K x      . Áp dụng: Câu 29. Biết rằng 2 2 1 8 5 ln 2 ln 3 ln 5 6 7 2 x d x a b c x x        với a,b,c là các số thực. Tính 2 2 3 P a b c    A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận Ta có 2 2 2 2 1 1 1 9 5 2(3 2) (2 1) 1 2 ln 2 1 ln 3 2 ln 2 ln 3 ln 5 6 7 2 (2 1)(3 2) 3 3 x x x d x dx x x x x x x                         Do đó 2 2 2 1; 1; 3 4. 3 a b c P a b c          Cách 2: PP casio B1: Tính 2 2 1 8 5 6 7 2 x dx x x     và gán cho biến A B2: Ta có   ln 2 ln 3 ln 5 ln 2 .3 .5 a b c A a b c A      2 .3 .5 2 .3 .5 A a b c n A na nb n c e e     với * n   B3. Tính n A e sao cho n A e là 1 số hữu tỉ ( thường n = 1,2,3,4…). Ta có 3 1 3 2 3 200 200.27 2 .5 .3 27 A e      (1) Mà 3 3 3 3 2 .3 .5 A a b c e  (2) Từ (1) và (2) suy ra 3 3 1 3 3 1 3 2 2 3 a a b b c c                      2 2 3 4 P a b c      . Câu 30. Biết 6 3 2 2 2 4 d ; , . 2 x a x a b b x       Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 7.   a b B. 7. a b    C. 15. a b   D. 9. a b   Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Tính 6 3 2 2 d 2 x I x x    Đặt 2 2 2 2 2 t x t x t d t x d x        Đổi cận Suy ra   3 2 2 3 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 3 2 2 | x x x t t I d x dx t d t t d t t t x x                     4 2 4 3   Suy ra: a = 4, b = 3. Vậy a + b = 7 Cách 2: PP casio B1: Tính 6 3 2 2 d 2 x I x x    và gán cho biến A B2: 2 4 2 4 a a A b b A      Đặt   x a b F x    B3: Mode 7 (dùng Table) Nhập   2 4 x F x A   Star -9 End 9 Step 1 Ta dò được F(x) = 3 suy ra x = 4 Suy ra: a = 4, b = 3 Vậy a + b = 7. Câu 31. [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG - CÂU 37 - 2020] Cho ln ln ln x d x a b c x x        3 2 1 3 2 3 5 3 2 với , , a b c là các số hữu tỉ. Tính S a b c    2 2 2 . A. S  5 . B. S  3 . C. S  4. D. S  6 . Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận Ta có       ln ln x x d x d x d x x x x x x x x x                         3 3 3 2 1 1 1 3 3 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 ln ln ln ln ln ln ln        2 4 5 2 2 3 2 2 3 5 Suy ra ; ; a b c S       2 1 1 6 . Cách 2: PP casio Bước 1: Tính tích phân x d x x x     3 2 1 3 3 2 sau đó gán thành biến A. Nhấn SHIFT STO (-) để được Bước 2: Tính phép toán lũy thừa k A e với 1, 2,3, 4,5,... k  là các số nguyên mục tiêu là ta được kết quả trên máy là một số hữu tỷ. Bước 3: Ta dễ dàng phân tích được 2 2 1 1 12 2 .3 2 .3 .5 5 5    do vậy 2 1 1 12 ln ln(2 .3 .5 ) 2ln 2 ln 3 ln 5 5 A       suy ra 2, 1, 1 a b c     từ đây 2 2 2 6 a b c    . Chú ý: Quá trình bấm máy có thể nhanh hơn so với tốc độ ghi tự luận nhiều. Câu 32. Cho với , , . Tính . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận Ta có: nên . . Vậy . Cách 2: PP casio + Thử C=1,2,3,4,5,6. giải hệ tìm a,b nguyên. . Câu 33. Biết   2 0 2 ln 1 d .ln x x x a b    , với * , a b   , b là số nguyên tố. Tính . A. 33. B. 25. C. 42 . D. . Lời giải Chọn.D. Cách 1: PP tự luận e 1 ln d I x x x   2 .e a b c   a b c   T a b c    5 3 4 6 ln d d u x v x x      2 1 d d 2 u x x x v          e 1 ln d I x x x   e e 2 1 1 1 ln d 2 2 x x x x    2 e 1 4   1 1 4 a b c          T a b c    6  6 7 a b  39 Xét . Đặt . Ta có: . Vậy , . Cách 2: PP casio Ta có Bước 1. Bước 2. . Bước 3. Bấm Shift + FACT Vậy , 6 7 39 a b    . Câu 34. Cho 1 2 0 1 d ln 2 ln 3 3 2 x a b x x            với , a b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng? A. 2 0   a b . B. 2 0   a b . C. 2    a b . D. 2   a b . Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio   2 0 2 ln 1 d I x x x    6    ln 1 d 2 d u x v x x       2 1 d d 1 1 u x x v x               2 2 2 2 0 0 1 1 ln 1 d 1 x I x x x x          2 0 3ln 3 1 d x x     2 2 0 3ln 3 3ln 3 2 x x           3 a  3 b  6 7 39 a b    .ln ln a a b b  ln a a A A b b e    3 a  3 b  . Câu 35. Cho biết e 1 ln 3 d 3 3 x a x b x     , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 2 1 log 2 b a  bằng A. -1. B. 7 2 . C. 8. D. 6. Lời giải Chọn C Cách 1: PP casio . :3 3 3 3 a A a A b b      . Solve nghiệm nguyên: 2 :3 3 1 log 2 A x x   . Thử từ đáp án. Thấy ngay A thỏa mãn vì phương trình có nghiệm nguyên. Câu 36. Biết 4 2 3 d ln 2 ln 3 ln 5 x I a b c x x       , trong đó , , a b c   . Tính giá trị của T a b c    . A. 2 T  . B. 3 T  . C. 1 T   . D. 5 T  . Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio .Ta có: 4 2 3 d ln 2 ln 3 5ln e e 2 .3 .5 x x x a b c a b c       . . Nhập 4 1 1 16 2 .3 .5 2 .3 .5 4; 1; 1. 15 a b c a b c           . Câu 37. Biết   2 0 2 ln 1 d .ln x x x a b    , với * , a b   , b là số nguyên tố. Tính 3 4 a b  . A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 . Lời giải Chọn B Cách 1: PP casio . Ta có:   2 0 2 ln 1 e x x d x a b    Shift FACT . Vậy 3 a  , 3 b  3 4 21 a b    . Câu 38. Cho   3 2 1 ln d ln 3 ln 2 1 x a x c b x       với , , * a b c   và phân số a b tối giản. Giá trị của a b c   bằng A. 8. B. 7. C. 6. D. 9. Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio . Chú ý: c = x,   a f x b  , bài toán có điều kiện , , * a b c   . Do đó 8 a b c    . Câu 39. Biết ln 6 0 e d ln 2 ln 3 1 e 3 x x x a b c       với a , b , c là các số nguyên. Tính T a b c    . A. 1 T   . B. 0 T  . C. 2 T  . D. 1 T  . Lời giải Chọn B Cách 1: PP casio . ln 2 ln 3 2 .3 A a b c A a b c e       . Suy ra 2 a  , 4 b   , 2 c  nên 0 T a b c     . Câu 40. Cho biết 1 2 0 1d x x x   2 1 a b   với a, b là các số tự nhiên. Giá trị của 2 2 a b  bằng A. 5  . B. 5. C. 2. D. 7. Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio . Với   ; b x a f x   2 a   , 3 b  . . Vậy 2 2 5 a b    .