Một số vấn đề liên quan đến đường tròn - Hình Học lớp 10

Một số vấn đề liên quan đến Đường tròn

I. Phương trình đường tròn

Đường tròn (C) tâm I(a; b) và bán kính R. Phương trình có dạng:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Nếu ta khai triển hằng đẳng thức (1) và chuyển R2 về vế trái ta được dạng :

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (2)

II. Viết phương trình đường tròn

Để viết phương trình đường tròn ta cần tâm I(a; b) và bán kính R sau đó thay vào (1) ta được

phương trình đường tròn

Cách xác định tâm I và bán kính R

1) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R ( Ta biết tâm I và bán kính R)

2) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và đi qua điểm M(x0; y0)

Tâm I(a; b) đã cho

Bán kính (Tìm tọa độ vecto sau đó độ dài = )

3) Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính ( A, B có cho tọa độ)

Tâm I(a; b) là trung điểm của AB (Tìm tọa độ trung điểm I của AB)

Bán kính R = (Tìm tọa độ vecto sau đó tính độ dài AB )

4) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và tiếp xúc với đường thẳng (hay là tiếp tuyến)

Tâm I(a; b) đã cho

Bán kính R = d(I; ) (Tìm khoảng cách từ I đến )

5) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C ( với A, B, C có tọa độ)

Sử dụng phương trình đường tròn dạng (2): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0

Thay lần lượt tọa độ các điểm A, B, C vào (2) ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c

Giải hệ ta được a, b, c và thay a, b, c vào (2) ta được pt cần tìm

III. Cho phương trình dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0

Xem phương trình trên có phải là phương trình đường tròn không?. Nếu là đường tròn hãy xác định

tâm và bán kính

Tìm a = hệ số đứng trước x chia cho - 2 (lấy cả dấu)

b = hệ số đứng trước y chia cho - 2 (lấy cả dấu)

c = hằng số không chứa x, y

Nếu a2 + b2 – c > 0. ta kết luận phương trình trên là phương trình đường tròn

Khi đó tâm I(a; b) và bán kính R =

Chú ý:

+ Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng

+ Cho đường tròn tâm bán kính

tiếp xúc với Ox

tiếp xúc với Oy

IV. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Ta biết tiếp tuyến với đường tròn là một đường thẳng : ax + by + c = 0

1) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm M(x0; y0)

( M(C) và (C) có thể cho dạng (1) hoặc dạng (2))

Từ (C) xác định tâm I

Khi đó :

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x0; y0)

( M(C) và (C) có thể cho dạng (1) hoặc dạng (2))

Từ (C) xác định tâm I và bán kính R

Lập phương trình đường thẳng đi qua M theo hệ số gốc k : y = k(x – x0) + y0

kx – y – kx0 + y0 = 0 (*)

Điều kiện để là tiếp tuyến của (C) là khoảng cách từ I dến bằng bán kính

Tính d(I; ) sau đó cho d(I; ) = R giải tìm k, thay k vào (*) ta được phương trình cần tìm

BÀI TẬP

Bài tập 1: Viết pt đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) có tâm ; bán kính

b) có tâm và đi qua điểm

c) có tâm và tiếp xúc với đường thẳng

d) có đường kính là với

e) đi qua 3 điểm

f) có tâm nằm trên đường thẳng và tiếp xúc với hai trục tọa độ

g) đi qua điểm và tiếp xúc với các trục tọa độ.

h) đi qua điểm và tâm nằm trên

Đáp số:

a) b) c)

d) e) : f)

g) h)

Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm

Giải

Vậy phương trình đường tròn

Bài tập 3: Cho đường tròn

a) Tìm tâm và bán kính của

b) Viết pt tiếp tuyến của tại điểm

c) Viết pt tiếp tuyến của đi qua điểm

d) Viết pt tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

e) Viết pt tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Giải

a) có tâm bán kính

b) Gọi là tiếp tuyến cần tìm

Phương trình của là:

c) Với , pttt phải tìm là:

Với , pttt phải tìm là:

d) phương trình có dạng:

e) Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: