Nhị thức Newton và ứng dụng
Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Nhị thức Newton và ứng dụng". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
EBOOK ĐƯỢC LATEX VÀ PHÁT HÀNH MIỄN PHÍ Nh ị Th ức Special Edition Nh ị Th ức NHỊ THỨC NEWTON TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN NHỊTHỨCNEWTON THEBINOMIALTHEOREM TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Ngày10tháng12năm2019 Tómtắtnộidung Trongchươngtrìnhphổthônglớp11chúngtađãđượclàmquenvớiđịnhlýnhịthức,haytahaygọilà côngthứcnhịthứcNewtontheođólàcácdạngbàitậpcơbảnnhưtìmhệsốtrongkhaitriển,chứngminhđẳng thứctổhợp...Tuynhiênđitheocôngthứcnàylàcácdạngtoántươngđốihayvàkhómàcácbạnkhôngđược tìmhiểusâu,chínhvìthếmàtrongchuyênđềnày,mìnhsẽđềcậptớigầnnhưlàđầyđủcácdạngtoáncácbạn cóthểgặptrongđềthiTHPTQuốcGiahayđềthihọcsinhgiỏicấptỉnhmảngkhôngchuyên,nhằmgiúpcác bạncómộtcáinhìnbaoquátnhấtvềchủđềnày.Đểhoànthànhđượcbàiviếtnày,khôngthểkhôngnhắctớisự trợgiúpvàđónggóptừbạnbècủamình,xingửilờicảmơntới 1. BạnDoãnQuangTiến-ĐạiHọcKHTNTP.HCM. 2. BạnNguyễnMaiHoàngAnh-TrườngTHPTThựcHànhCaoNguyên-ĐắkLắk 3. BạnNgôNguyênQuỳnh-ĐạihọcSưPhạmQuyNhơn. 4. ThầyTrầnVănDũng-TưDuyMở. Trongbàiviếtcósửdụngtưliệutrongvàngoàinước,bạnđọccóthểxemởphầncuốitàiliệu.Mọiýkiếnđóng gópcũngnhưthắcmắcvuilònggửivề NGUYỄNMINHTUẤN 1. Email.tuangenk@gmail.com. 2. Facebook.fb.com/tuankhmt.fpt 3. Fanpage.fb.com/OlympiadMathematical/ 1 Kíhiệutổhợp. 1.1 Hệsốnhịthức. Hệsốnhịthứckýhiệulà n k làhệsốcủa x k trongkhaitriểncủanhịthức (x+1) n = n å k=0 n k x k Tađọc n k làsốtổhợpnchậpk(nchoosek).LưuýrằngcómộtsốquốcgiaởchâuÁvàtrongđócóViệtNam,các sáchtrênthịtrường,cũngnhưtrongcáctàiliệuthườngkíhiệulàC k n ,tuynhiêntrongtàiliệunàymìnhsẽviếttheoquy ướcquốctếlà n k . 1.2 Côngthứctổhợp. TrongToánhọc,tổhợplàcáchchọnnhữngphầntửtừmộtnhómlớnhơnmàkhôngphânbiệtthứtự.Trong nhữngtrườnghợpnhỏhơncóthểđếmđượcsốtổhợp.Vídụchobaloạiquả,mộtquảtáo,mộtquảcamvàmột quảlê,cóbacáchkếthợphailoạiquảtừtậphợpnày:mộtquảtáovàmộtquảlê;mộtquảtáovàmộtquảcam; mộtquảlêvàmộtquảcam.Theođịnhnghĩa,tổhợpchậpkcủanphầntửlàmộttậpconcủatậphợpmẹSchứa nphầntử,tậpcongồmkphầntửriêngbiệtthuộcSvàkhôngsắpthứtự.Sốtổhợpchậpkcủanphầntửbằng vớihệsốnhịthức.Tacó n k = n(n 1)...(n k+1) k(k 1)...1 = n! k!(n k)! 1TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC trongđók6 n,nếuk> nthìkếtquảbằng0.Chúýởđâyn!= 1.2...nvàquyước0!= 1. 2 TamgiácPascalvàsựhìnhthànhcủacôngthứcnhịthứcNewton. 2.1 Sựhìnhthànhcủacôngthứcnhịthức. Cáctrườnghợpđặcbiệtcủađịnhlýnhịthứcđãđượcbiếtđếntừítnhấtlàvàothếkỷthứ4trướcCôngnguyên khinhàtoánhọcHyLạpEuclidđãđềcậpđếntrườnghợpđặcbiệtcủađịnhlýnhịthứcchosốmũ2.Cáchệsố nhịthức,nhưcácđạilượngtổhợpbiểuthịsốcáchchọnkđốitượngtrongsốnmàkhôngthaythế,đượccác nhàtoánhọcẤnĐộcổđạiquantâm.TàiliệuthamkhảosớmnhấtvềvấnđềkếthợpnàylàChandahsastra,một nhàthơtrữtìnhẤnĐộPingala(khoảngnăm200trướcCôngnguyên),trongđócóđềcậptớimộtphươngpháp giảiquyếtvấnđềnày.NhàbìnhluậnHalayudhatừthếkỷthứ10sauCôngnguyêngiảithíchphươngphápnày bằngcáchsửdụngcôngcụđólàtamgiáccủaPascal.Vàothếkỷthứ6sauCôngnguyên,cácnhàtoánhọcẤn Độđãbiểuthịgiátrịcủahệsốnhịthứcnàytheocôngthức n! (nk)!k! ,điềunàyđượcđưaratrongtàiliệuLilavati củaBhaskaravàothếkỷthứ12. Côngthứcđầutiêncủađịnhlýnhịthứcvàbảngcáchệsốnhịthức,cóthểđượctìmthấytrongmộttácphẩm củaAl-Karaji,đượcnhàtoánhọcAl-Samaw’altríchdẫntrongtácphẩm"al-Bahir"củaông.Al-Karajiđãmôtả môhìnhtamgiáccủacáchệsốnhịthứcvàđưaralờichứngminhchođịnhlýnhịthứcvàtamgiácPascalbằng phươngphápquynạptoánhọc.Khaitriểnnhịthứcvớiđathứccóbậcnhỏđượcbiếtđếntrongcáccôngtrình toánhọccủathếkỷ13của2nhàtoánhọcTrungQuốclàYangHuivàChuShih-Chieh.Năm1544,MichaelStifel đãgiớithiệuthuậtngữ"hệsốnhịthức"vàchỉracáchsửdụngchúngđểbiểudiễn(1+a) n (1+a) n thôngqua (1+a) n 1 (1+a) n 1 bằngcáchsửdụng"tamgiácPascal".Tuycórấtnhiềunhàtoánhọcnghiêncứurađịnhlý nhịthức,nhưngnóvẫnmangtêncủaNewtonvìýtưởngcủaNewtonkhôngdừnglạiởviệcápdụngcông thứcnàychotrườnghợpcácsốmũlàsốnguyêndươngmàchosốmũbấtkì:sốdương,sốâm,sốnguyênvà phânsố.Chínhýtưởngmớiđóchomộtýnghĩalớnlaođốivớiviệcpháttriểncủatoánhọc.Cácnhàtoánhọc đươngthờithấyngaytầmquantrọngcủacôngthứcvàcôngthứcđượcápdụngrộngrãitrongnhiềucôngtrình nghiêncứutoánhọc,đặcbiệttrongđạisốvàgiảitích.Nhânđâycũngphảinóithêmrằngcôngthứcnhịthức NewtonkhôngphảilàsựđónggóplớnnhấtcủaNewtonchotoánhọc.Newtonđãđónggóprấtnhiềuchoviệc mởđầunhữnghướngtoánhọccaocấp,đólàcácphéptínhđốivớicácđạilượngvôcùngbé.Vàdovậyđôilúc NewtonđượccoilàngườisánglậprangànhGiảitíchtoánhọc. 2.2 CâuchuyệnvềnhịthứcNewton. ĐểghinhớcônglaocủaIsaacNewton(1642–1727)trongviệctìmracôngthứckhaitriểnnhịthứcsau,được gọilànhịthứcNewton. (x+1) m = 1+ m 1! x+ m(m 1) 2! x 2 +...+ m(m 1)(m 2)...3.2.1 m! x m (1) TrênbiamộcủaNewtontạituviệnWesminster(lànơiannghỉcủaHoànggiavànhữngngườinổitiếngcủa nướcAnh)ngườitacònkhắchọahìnhNewtoncùngvớicảnhịthứcNewton.Vậycóphảichăngloàingườiđã khônghềbiếtgìvềcôngthứckhaitriểnnhịthứctrướckhicóphátminhcủanhàbáchọcvĩđạinày?Theocác vănbảncònlưugiữđượctừrấtlâutrướcNewton,ngaytừ200nămtrướcCôngnguyêncácnhàtoánhọcẤnĐộ đãquenbiếtvớimộtbảngtamgiácsốhọc.TrongtácphẩmcủanhàtoánhọcTrungQuốcChuSinhviếttừnăm 1303ngườitatìmthấybảngsốsau 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 2NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng RõràngđólàcáchệsốcủacôngthứckhaitriểnnhịthứcNewtontừcấp0đếncấp8,dùnhàtoánhọcnàyđã khôngnóigìchocáchệsốtiếptheocùngcôngthứctổngquátcủachúng,nhưngtheocáchthứclậpbảngcủa ông,tacóthểdễdàngtìmraquyluậtchophépviếtđượccáchàngmới. VàonửađầuthếkỉXVtrongtácphẩmchìakhóasốhọcviếtbằngtiếngẢrậpcủanhàtoánhọc,thiênvănhọc XamacancótênlàGiêmXit-GiaxedinCasingườitalạigặptamgiácsốhọcmàtácgiảđãgọitênrõhơnlàcáchệ sốnhịthứccùngvớinhữngchỉdẫncáchthànhlậpcáchàngkếtiếpcủanhịthức.Vớilốichỉdẫn(khôngchứng minh)đóCasiđãchotakhảnăngkhaitriểnnhịthứcởmộtcấpbấtkì.Cóthểcoiđólàsựphátbiểubằngvăn đầutiêntronglịchsửcủađịnhlívềnhịthứcNewton.ỞchâuÂu,tamgiácsốhọcđượctìmthấyđầutiêntrong côngtrìnhcủanhàtoánhọcngườiĐứcStiffelM.Côngbốvàonăm1544.Trongcôngtrìnhnàycũngđãchỉdẫn racáchệsốcủanhịthứcchođếncấp17. Gầnmộttrămnămsau,hoàntoànđộclậpvớinhau,CácnhàtoánhọcngườiAnhBô-rit-gôn(1624),nhàtoán họcPhápFermat(1636)rồinhàtoánhọcPhápPascal(1654)đãđưaracôngthứchoànhảovềhệsốcủanhịthức Newton.ĐặcbiệttrongcôngtrìnhmangtênLuậnvănvềtamgiácsốhọccôngbốvàonăm1665,Pascalđãtrình bàykháchitiếtvềtínhchấtcủacáchệsốtrongtamgiácsốhọcvàtừđótamgiácsốhọcđượcsửdụngmộtcách rộngrãivàtêntamgiácPascalrađờithaychotamgiácsốhọc.Rõràngmànóivềmặtlịchsửthìtamgiácsốhọc đãđượccácnhàtoánhọcÁđôngxétđếntrướcPascalrấtnhiều. VậyvaitròcủaNewtonởđâutrongquátrìnhhìnhthànhcôngthứcnhịthứcNewton?Năm1676trongbứcthư thứnhấtgửiÔ-đenHiaro–ChủtịchViệnHànLâmhoànggiaAnh,Newtonđãđưacôngthức(1)màkhông dẫngiảicáchchứngminh.SauđóítlâutrongbứcthưthứhaigửiđếnViệnHànLâm,Newtonđãtrìnhbàyrõ ràngbằngcáchnàoôngđiđếncôngthứcđó.ThìrabằngcáchnàyNewtonđãtìmracôngthứcNewtontừnăm 1665khimàôngchỉmới22tuổi.NhưngdùvậythìviệcđưatrìnhcôngthứccủamìnhNewtoncũngkhôngnói đượcđiềugìmớichocácnhàtoánhọcđươngthời. 2.3 TamgiácPascal. Trongtoánhọc,tamgiácPascallàmộtmảngtamgiáccủacáchệsốnhịthức.Trongphầnlớnthếgiớiphương Tây,nóđượcđặttheotênnhàtoánhọcngườiPhápBlaisePascal,mặcdùcácnhàtoánhọckhácđãnghiêncứu nóhàngthếkỷtrướcPascalởẤnĐộ,BaTư(Iran),TrungQuốc,ĐứcvàÝ. CáchàngcủatamgiácPascalđượcliệtkêtheoquyướcbắtđầubằnghàngn= 0ởtrêncùng(hàng0).Cácmục trongmỗihàngđượcđánhsốtừđầubêntráivớik = 0vàthườngđượcđặtsolesovớicácsốtrongcáchàng liềnkề.Tamgiáccóthểđượcxâydựngtheocáchsau.Tronghàng0(hàngtrêncùng),cómộtsố1duynhất.Mỗi sốcủamỗihàngtiếptheođượcxâydựngbằngcáchthêmsốởtrênvàbêntráivớisốởtrênvàsangbênphải,coi cácmụctrốnglà0.Vídụsốbanđầutronghàngđầutiên(hoặcbấtkỳsốnàokhác)là1(tổngcủa0và1),trong khicácsố1và3tronghàngthứbađượcthêmvàođểtạorasố4ởhàngthứtư.Haytacóthểhiểuđơngiảnlà Ởhàngđầutiên,chúngtaviếtmộtconsố1. Ởhàngtiếptheo,chúngtaviếthaiconsố1. Tiếptụccáchàngtiếptheo, 1. consốđầutiênvàconsốcuốicùngbaogiờcũnglà1; 2. cònmỗiconsốởbêntrongthìbằngtổngcủahaiconsốđứngngayởhàngphíatrên. Vídụ.1+1= 2,1+2= 3,2+1= 3,1+3= 4,3+3= 6,3+1= 4. Tacósơđồsau. n= 0 1 n= 1 1 1 n= 2 1 2 1 n= 3 1 3 3 1 n= 4 1 4 6 4 1 n= 5 1 5 10 10 5 1 Nhậnxét. i) Xéthàngthứnhất,tacó1= 1 0 ,1= 1 1 . 3TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC ii) Ởhàngthứ2,tacó1= 3 0 ,2= 2 1 ,1= 2 2 . iii) Ởhàngthứ3,tacó1= 3 0 ,3= 3 1 ,3= 3 2 ,1= 3 3 . NhưvậycácsốởhàngthứntrongtamgiácPascallàdãygồm(n+1)số n 0 , n 1 , n 2 ,..., n n 1 , n n . ChúngtadùngtamgiácsốPascalđểkhaitriểncácbiểuthức(x+y) n và(x y) n nhưsau. Khaitriển(x+y) n . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ! ! ! ! ! ! (x+y) 0 = 1 (x+y) 1 = x+y (x+y) 2 = x 2 +2xy+y 2 (x+y) 3 = x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 (x+y) 4 = x 4 +4x 3 y+6x 2 y 2 +4xy 3 +y 4 (x+y) 5 = x 5 +5x 4 y+10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5xy 4 +y 5 Khaitriển(x y) n . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ! ! ! ! ! ! (x y) 0 = 1 (x y) 1 = x y (x y) 2 = x 2 2xy+y 2 (x y) 3 = x 3 3x 2 y+3xy 2 y 3 (x y) 4 = x 4 4x 3 y+6x 2 y 2 4xy 3 +y 4 (x y) 5 = x 5 5x 4 y+10x 3 y 2 10x 2 y 3 +5xy 4 y 5 ChúngtađánhsốmỗihàngcủatamgiácPascaltheothứtựbắtđầulàhàngsố0,tiếpđếnlàhàngsố1,hàngsố 2,v.v...Còntrênmỗihàng,chúngtasắpxếpthứtựcácconsốbắtđầulàconsốthứ0,tiếpđếnlàconsốthứ1, rồiconsốthứ2,v.v...Chúngtasẽgọiconsốthứkởhàngthứnlà p n,k .Từđósuyracôngthứcđểxâydựngtam giácPascallà p n 1,k 1 +p n 1,k = p n,k . Tacósơđồ. Hàngthứ0 Hàngthứ1 Hàngthứ2 Hàngthứ3 Hàngthứ4 Hàngthứ5 ! ! ! ! ! ! 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Từđótacócôngthứctổngquát p n,k là p n,k = n k = n! k!(n k)! . Vídụ p 5,2 = 5 2 = 5! 2!3! = 12345 12123 = 10. NgoàiratừcôngthứcxâydựngtamgiácPascal,tacócôngthứcsau n k = n 1 k 1 + n 1 k CôngthứcngườitagọinótheotêncủanhàtoánhọcPascal-CôngthứcPascal. 2.4 Chứngminhcôngthứctổngquát p n,k vàcôngthứcnhịthứcNewton. Bâygiờchúngtasẽchứngminhbằngquynạptheobiếnsốncôngthứcsauđây p n,k = n k = n! k!(n k)! 4NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Vớin= 0,chúngtacó p 0,0 = 1= 0! 0!0! ,nhưvậycôngthứcđúngvớitrườnghợpn= 0.Chúngtalưuýrằng0! bằng1chứkhôngphảibằng0.Giảsửcôngthứcđúngvớicáctrườnghợp06 n6 N.Bâygiờtasẽchứngminh côngthứccũngđúngvớitrườnghợpn= N+1. Thậtvậy,vớitrườnghợpk = 0hoặck = N+1thìkhiđótacó p N+1,0 = p N+1,N+1 = 1= (N+1)! 0!(N+1)! = N+1 0 = N+1 N+1 Vớitrườnghợp16 k6 N tacó p N+1,k = p N,k 1 +p N,k .Theogiảthiếtquynạpthìcôngthứcđúngvớitrường hợpn= N,dovậymà p N,k 1 = N k 1 = N! (k 1)!(N k+1)! ,p N,k = N k = N! k!(N k)! Từđósuyrađược p N+1,k = p N,k 1 +p N,k = N! (k 1)!(N k+1)! + N! k!(N k)! = N!k k!(N k+1)! + N!(N k+1) k!(N k+1)! = N!(N+1) k!(N k+1)! = (N+1)! k!(N k+1)! = N+1 k Nhưvậychúngtađãchứngminhcôngthứcđúngchotrườnghợpn= N+1.Tómlại,theonguyênlýquynạp thìchúngtađãchứngminhđượccôngthứcchocáchệsốtrongtamgiácPascallà p n,k = n k = n! k!(n k)! 2.5 ChứngminhcôngthứcnhịthứcNewton. Chứngminh. BâygiờchúngtadùngquynạpđểchứngminhđịnhlýkhaitriểnnhịthứcNewton (a+b) n = n å k=0 n k a n k b k = n 0 a n + n 1 a n 1 b+...+ n k a n k b k +...+ n n b n . Với n = 0hoặc n = 1thìhiểnnhiêntacóđiềuphảichứngminh.Giảsửcôngthứcđúngtrongtrườnghợp 06 n6 N,với N> 1,bâygiờtasẽđichứngminhnóđúngtrongtrườnghợpn= N+1. Thậtvậy,tacó (x+y) N+1 =(x+y)(x+y) N =(x+y)(x N +p N,1 x N 1 y+p N,2 x N 2 y 2 ++p N,N 2 x 2 y N 2 +p N,N 1 xy N 1 +y N ) = x N+1 +p N,1 x N y+p N,2 x N 1 y 2 ++p N,N 2 x 3 y N 2 +p N,N 1 x 2 y N 1 +xy N +x N y+p N,1 x N 1 y 2 +p N,2 x N 2 y 3 ++p N,N 2 x 2 y N 1 +p N,N 1 xy N +y N+1 ĐểýrằngtheocôngthứcxâydựngtamgiácPascalthìtacó p N,1 +1= p N+1,1 ,p N,2 +p N,1 = p N+1,2 ,...,p N,N 1 +p N,N 2 = p N+1,N 1 ,1+p N,N 1 = p N+1,N , từđósuyra (x+y) N+1 = x N+1 +p N+1,1 x N y+p N+1,2 x N 1 y 2 ++p N+1,N 1 x 2 y N 1 +p N+1,N xy N +y N+1 Vậychúngtađãchứngminhcôngthứcđúngchotrườnghợpn= N+1.Theonguyênlýquynạpthìchúngta đãchứngminhxongđịnhlýkhaitriểnnhịthứcNewton. (x+y) n = x n +p n,1 x n 1 y+p n,2 x n 2 y 2 ++p n,n 2 x 2 y n 2 +p n,n 1 xy n 1 +y n = x n + n 1 x n 1 y+ n 2 x n 2 y 2 ++ n n 2 x 2 y n 2 + n n 1 xy n 1 +y n 5TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC HoặctacólờigiảicũngsửdụngtamgiácPascalnhưngnhìntườngminhhơnnhưsau. Lờigiải2.Sửdụngphươngphápquynạp,tathấyrằng n = 0,1,2thìđẳngthứcđúng,tagiảsửđẳngthức đúngvớin 1tứclà (x+y) n 1 = n 1 å i=0 n 1 i x n 1 i y i . Khiđóthì (x+y) n =(x+y)(x+y) n 1 =(x+y) n 1 å i=0 n 1 i x n 1 i y i . Sửdụngtínhchấtphânphối,tađược x n 1 å i=0 n 1 i x n 1 i y i +y n 1 å i=0 n 1 i x n 1 i y i = n 1 å i=0 n 1 i x n i y i + n 1 å i=0 n 1 i x n 1 i y i+1 . Bâygiờtabiếnđổimộtchútđểđưavềmộttổng,tađược n 1 å i=0 n 1 i x n i y i + n 1 å i=0 n 1 i x n 1 i y i+1 = n 1 å i=0 n 1 i x n i y i + n å i=1 n 1 i 1 x n i y i = n 1 0 x n + n 1 å i=1 n 1 i x n i y i + n 1 å i=1 n 1 i 1 x n i y i + n 1 n 1 y n = n 1 0 x n + n 1 å i=1 n 1 i + n 1 i 1 x n i y i + n 1 n 1 y n . KhiđósửdụngcôngthứcPascaltađược n 1 0 x n + n 1 å i=1 n 1 i + n 1 i 1 x n i y i + n 1 n 1 y n . = n 1 0 x n + n 1 å i=1 n i x n i y i + n 1 n 1 y n . = n 0 x n + n 1 å i=1 n i x n i y i + n n y n = n å i=0 n i x n i y i . Chúýrằngởbướctiếptheo,tađãsửdụngcôngthức n 1 0 = n 0 và n 1 n 1 = n n . Nhưvậyđịnhlýđượcchứngminh. 3 Mộtsốtínhchấtcơbản. 3.1 NhắclạikhaitriểnnhịthứcNewton. TrướctiêntasẽcócôngthứckhaitriểnnhịthứcNewtonđượcphátbiểunhưsau. ĐỊNH LÝ. (3.1) Với a,blàcácsốthựcvànlàsốnguyêndương,tacó (a+b) n = n å k=0 n k a n k b k = n 0 a n + n 1 a n 1 b+...+ n k a n k b k +...+ n n b n . (1) Quyước a 0 = b 0 = 1.CôngthứctrênđượcgọilàcôngthứcnhịthứcNewton. 6NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Trongbiểuthứcởvếphảicủacôngthức(1)tacó a) Sốcáchạngtửlàn+1. b) Sốcáchạngtửcósốmũcủa agiảmdầntừnđến0,sốmũcủabtăngdầntừ0đếnn,nhưngtổngcácsốmũ của avàbtrongmỗihạngtửluônbằngn. c) Cáchệsốcủamỗihạngtửcáchđềuhaihạngtửđầuvàcuốithìbằngnhau. HỆQUẢ. 1. Với a= b= 1,thìtacó2 n = n 0 + n 1 +...+ n n . 2. Với a= 1;b= 1,tacó0= n 0 n 1 +...+( 1) k n k +...+( 1) n n n . CÁCCÔNGTHỨCCƠBẢNLIÊNQUANTỚIKHAITRIỂNNHỊTHỨCNEWTON. 1. n k = n n k . 2. n k + n k+1 = n+1 k+1 ,(n> 1). 3. k. n k = k.n! (n k)!k! = n(n 1)! (n k)!(k 1)! = n n 1 k 1 . 4. 1 k+1 n k = k.n! (k+1)(n k)!k! = n(n 1)! (n+1)(n k)!(k+1)! = 1 n+1 n+1 k+1 . NGOÀIRATACÒNCÓMỘTSỐCÔNGTHỨCKHÁCNHƯSAU. 2 n = n 0 + n 1 +...+ n n . 2 n 1 = n 0 + n 2 + n 4 ...+ n 2 n 2 . 2 n 1 = n 1 + n 3 + n 5 ...+ n 2 h n 1 2 i +1 . Ngoàiratừcôngthứck. n k = n n 1 k 1 tamởrộngđược2côngthứcsau. 1. n k +2 n k+1 + n k+2 = n+2 k+2 . 2. n k +3 n k+1 +3 n k+2 + n k+3 = n+3 k+3 . 3.2 DấuhiệucácbàitoánsửdụngnhịthứcNewtontrongcácbàitoánchứngminhđẳng thức. Sauđâylàmộtsốdấuhiệugiúptanhậnbiếtđượccácdạngtoántrongphầnnày,cácdạngtoánnàysẽđược hướngdẫnkỹhơnởphầnsau.Mộtsốdấuhiệulà +Khicầnchứngminhđẳngthứchaybấtđẳngthứcmàcó n å i=1 n i vớiilàsốtựnhiênliêntiếp. +Trongbiểuthứccó n å i=1 i(i 1) n i thìtadùngđạohàm(i2N),ngoàiranếu Trongbiểuthứccó n å i=1 (i+k) n i thìtanhân2vếvới x k rồilấyđạohàm. Trongbiểuthứccó n å i=1 a k n i thìtachọngiátrịcủa x = athíchhợp. 7TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Trongbiểuthứccó n å i=1 1 i 1 n i thìtalấytíchphânxácđịnhtrên[a;b]thíchhợp. Nếubàitoánchokhaitriển x a +x b n = n å i=1 n i (x a ) n i x b i = n å i=1 n i x a(n i)+ib thìhệsốcủa x m là n i saochophươngtrình a(n i)+bi = mcónghiệmi2N. n i đạtgiátrịlớnnhấtkhii = n 1 2 hayi = n+1 2 vớinlẻ,i = n 2 vớinchẵn. NhưvậytađãtìmhiểuđượccácdấuhiệunhậnbiếtkhinàothìtasửdụngđếncôngthứcNhịthứcNewton, sauđâychúngtasẽđigiảiquyếtcácdạngbàitậpcủaphầnnày. 4 Cácdạngtoánliênquantớinhịthứcnewton. 4.1 Bàitoánkhaitriểnnhịthứcvàchứngminhđẳngthứccơbản. ĐầutiêntasẽđitìmhiểumộtthuậttoánkhaitriểnnhanhtamthứcNewton(a+b+c) n nhưsau. CÁCBƯỚCTHỰCHIỆN. Bước1.ViếttamgiácPascalđếndòngthứn,đểcóđượchệsốcủanhịthứcNewton(b+c) n . Bước2.ỞcácđầudòngtaviếtcácđơnthứclàkhaitriểnnhịthứcNewton(a+1) n . Bước3.Nhânlầnlượtcácđơnthứcởđầudòngmỗicộtvớicácđơnthứccònlạitrênmỗidòngđórồi cộngcáckếtquảlại,tathuđượckếtquảkhaitriển. Cụthểtacóởdướiđây 1.a n 1 n 1 .a n 1 1b 1c n 2 .a n 2 1b 2 2bc 1c 2 n 1 .a n 3 1b 2 3b 2 c 3bc 2 1c 2 ... 1.a o 1.b n n 1 .b n 1 .c ... n n 1 .b.c n 1 1.c n Saukhicộnglạitađược (a+b+c) n = n å p=0 n p .a n p . n å q=0 p q .b n q .c q ! = å 06q6p6n n p . p q .b n q .c q .a n p Saukhikhaitriển(a+b+c) n với06 q6 p6 nsốhạngthứ p+1trongkhaitriểnlà T p = n p . p q .b n q .c q .a n p Bâygiờtasẽcùngđitìmhiểucácvídụminhhọa. BÀI 1. Tìmhệsốcủasốhạngchứa x 4 trongkhaitriển P(x)= 3x 2 +x+1 10 . Chứngminh. Với06 q6 p6 10thìsốhạngtổngquátcủakhaitriển P(x)= 3x 2 +x+1 10 là T p = 10 p . p q . 3x 2 10 p .x p q .1 q = 10 p . p q .3 10 p .x p q+20 2p 8NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Theođềbàithìtacó p q+20 2p= 4, p+q= 16.Do06 q6 p6 10nên (p;q)2f(8;8);(9;7);(10;6)g Vậyhệsốcủa x 4 trongkhaitriển P(x)= 3x 2 +x+1 10 là 10 8 . 8 8 .3 10 8 + 10 9 . 9 7 .3 10 9 + 10 10 . 10 6 .3 10 10 = 1695 Bàitoánđượcgiảiquyết. ! Chúýkhiranhiềutrườnghợpcủa(p;q)thìtacônghệsốcáctrườnghợpvớinhauđểcókếtquả. BÀI 2. Tìmsốhạngchứa x 13 trongkhaitriểnthànhcácđathứccủa x+x 2 +x 3 10 ? Chứngminh. Với06 q6 p6 10thìsốhạngtổngquátcủakhaitriển x+x 2 +x 3 10 là T p = 10 p . p q .x 10 p . x 2 p q . x 3 q = 10 p . p q .3 10 p .x 10+p+q Theođềbàithì10+p+q= 13, p+q= 3,do06 q6 p6 10nên(p;q)2f(2;1);(3;0)g. Vậyhệsốcủa x 13 trongkhaitriểnlà 10 2 . 2 1 + 10 3 . 3 0 = 210. BÀI 3. Tìmhệsốcủa x 8 trongkhaitriểnđathứccủa h 1+x 2 (1 x) 8 i . Chứngminh. Cách1.Tacó f (x)= 8 å k=0 8 k h x 2 (1 x) i k = 8 å k=0 8 k x 2k " k å i=0 ( 1) i i x i # k . Vậytacóhệsốcủa x 8 là( 1) i 8 k k i thoảmãn 8 > < > : 06 i6 k6 8 2k+i = 8 i,k2N ) 2 6 6 6 6 4 ( i = 0 k = 4 ( i = 2 k = 3 Nhưvậyhệsốtrongkhaitriểncủa x 8 là ( 1) 0 8 4 4 0 +( 1) 2 8 3 3 2 = 238 Cách2.Tacó f (x)= 8 0 +...+ 8 3 h x 2 (1 x) i 3 + 8 4 h x 2 (1 x) i 4 +...+ 8 8 h x 2 (1 x) i 8 Tanhậnthấyrằng x 8 chỉcótrongcácsốhạng 1. Sốhạngthứ4 8 3 x 2 (1 x) 3 . 2. Sốhạngthứ5 8 4 x 2 (1 x) 4 . Vớihệsốtươngđươngvới A 8 = 8 3 3 2 + 8 4 4 0 = 238. 9TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 4. Với nlàsốnguyêndươngvà x6= 0,xétbiểuthức x 8 +x 3 + 1 x 2 + 1 x 7 n .Hỏicóbaonhiêusố n6 2018 saochokhaitriểncủabiểuthứctrêncósốhạngtựdolà0? Chứngminh. Tacó x 8 +x 3 + 1 x 2 + 1 x 7 n = 1+x 5 n x 3 + 1 x 7 n Dovậysốhạngtổngquátcủakhaitriểntrênlà T = n k x 5k n h x 3n 10h = n k n h x 3n+5k 10h Sốhạngnàylàsốhạngtựdokhi3n+5k 10h= 0, 3n= 5(2h k). Nếunkhôngchiahếtcho5thìkhaitriểnsẽkhôngchứasốhạngtựdo,tứclàsốhạngtựdolà0.Cònkhinchia hếtcho5thìkhih= 2n 5 ,k = n 5 ,sốhạngtựdosẽlà n k n h 6= 0,khôngthỏamãn. BÀI 5. Chokhaitriển 1+x+x 2 n = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 2n x 2n ,với n> 2và a 0 , a 1 , a 2 ,..., a 2n làcáchệsố. Biếtrằng a 3 14 = a 4 41 ,khiđótínhtổngS= a 0 +a 1 +a 2 +...+a 2n ? Chứngminh. Đầutiêntacó 1+x+x 2 n = n å k=0 n k x+x 2 k = n å k=0 n k k å l=0 k l x k l .x 2l Hệsốcủa x 3 là x k+l = x 3 ) k+l = 3) l = 0;k = 3 l = 1;k = 2 ) a 3 = n 3 3 0 + n 2 2 1 Tươngtựnhưvậy,tacóhệsốcủa x 4 là x k+l = x 4 ) k+l = 4) 2 4 l = 0;k = 4 l = 1;k = 3 l = 2;k = 2 ) a 4 = n 4 0 + n 3 3 1 + n 2 2 2 Theogiảthiếttacó 14a 4 = 41a 3 , 14 n 4 4 0 + n 3 3 1 + n 2 2 2 = 41 n 3 3 0 + n 2 2 1 , 14 n! 4!(n 4)! + 3.n! 3!(n 3)! + n! 2!(n 2)! = 41 n! 3!(n 3)! + 2.n! 2!(n 2)! , n(n 1) 14 24 n 2 11 4 n 185 6 = 0, n= 1 n= 10 (n2N ) Don> 2nênn= 10,mặtkhácthay x = 1vàohaivếcủakhaitriển 1+x+x 2 10 = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 20 x 20 tađượcS= a 0 +a 1 +a 2 +...+a 20 = 3 10 . Đếnđâybàitoánđãđượcgiảiquyết. 10NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 6. BiếttổngcáchệsốcủabasốhạngđầutrongkhaitriểnNewton x 2 2 x n = n å k=0 n k ( 1) k x 2 n k . 2 x k Bằng49.Khiđótínhhệsốcủasốhạngchứa x 3 trongkhaitriểnđó? Chứngminh. Tacó x 2 2 x n = n å k=0 n k ( 1) k x 2 n k . 2 x k = n å k=0 6 k ( 1) k .2 k .x 2n 3k Tổngcáchệsốcủabasốhạngđầutrongkhaitriểnbằng49nên n 0 2 n 1 +2 2 n 2 = 49 (*) Điềukiệnn2N,n> 2.khiđó()tươngđươnngvới 1 2n+2 2 . n(n 1) 2 = 49, 2n 2 4n 48= 0 , " n= 4(L) n= 6(N) Vớin= 6tacónhịthức x 2 2 x 6 .sốhạngtổngquátcủakhaitriểnlà 6 k ( 1) k .2 k .x 12 3k (k2N,06 k6 6) Sốhạngchứa x 3 ứngvớikthỏamãn12 3k = 3, k = 3,thỏamãn. Vậyhệsốcủasốhạngchứa x 3 trongkhaitriểnlà 6 3 ( 1) 3 .2 3 = 160. BÀI 7. Giảsử 1+x+x 2 +x 3 +...+x 10 11 = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +...+a 110 x 110 vớia 0 ,a 1 ,a 2 ,...a 110 làcáchệ số.Tínhtổng T = 11 0 a 11 11 1 a 10 + 11 2 a 9 11 3 a 8 +...+ 11 10 a 1 11 11 a 0 Chứngminh. Tacó A= 1+x+x 2 +x 3 +...+x 10 11 ,(1 x) 11 A= 1 x 11 11 , 11 å k=0 11 k ( x) k . 110 å i=0 a i x i | {z } P = 11 å m=0 11 m x 11 m | {z } Q Hệsốcủa x 11 trong Plà 11 0 a 11 11 1 a 10 + 11 2 a 9 11 3 a 8 +...+ 11 10 a 1 11 11 a 0 = T Hệsốcủa x 11 trongQlà 11 1 . VậyT = 11 1 = 11. 11TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 8. Chokhaitriển T = 1+x x 2017 2018 + 1 x+x 2018 2017 .Hệsốcủasốhạngchứa x trongkhaitriển bằngbaonhiêu? Chứngminh. Tacó2lờigiảinhưsau. Cách1.Tacó T = 2018 å k=0 2018 k x x 2017 k + 2017 å k 0 =0 2017 k 0 x 2018 x k 0 Hệsốcủasốhạngchứa xứngvớik = k 0 = 1.Dođóhệsốcầntìmlà 2018 1 2017 1 = 1. Cách2.Tacó T = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 2017.2018 x 2017.2018 = f (x) ) f 0 (x)= a 1 +2a 2 x+...+2017.2018a 2017.2018 x 2017.2018 1 ) f 0 (0)= a 1 Mặtkháctalạicó f 0 (x)= 2018 1+x x 2017 2017 1 2017x 2016 +2017 1 x+x 2018 2016 1+2018x 2017 ) f 0 (0)= 2018 2017= 1 ) a 1 = 1 Dođóhệsốcầntìmlà1. BÀI 9. Tìmhệsốcủa x 6 trongkhaitriển(2x+1) 6 x 2 +x+ 1 4 4 thànhđathức? Chứngminh. Taxétkhaitriển (2x+1) 6 = (1+2x) 6 = n å k=0 6 k 1 6 k (2x) k = n å k=0 6 k 2 k x k vàkhaitriển x 2 +x+ 1 4 4 = x+ 1 2 8 = 1 2 +x 8 = 8 å j=0 8 j 1 2 8 j x j Nhưvậythìtađược (2x+1) 6 x 2 +x+ 1 4 4 = n å k=0 6 k 2 k x k . 8 å j=0 8 j 1 2 8 j x j = n å k=0 6 k 2 k . 8 å j=0 8 j 1 2 8 j x j+k Sốhạngcủakhaitriểnchứa x 6 khi j+k = 6.Takíhiệu x 6 làhệsốcủa x 6 ,chúýrằng h x 6 i = 6 k 2 k . 8 j 1 2 8 j Khiđótaxétcáctrườnghợpsau. 1. Nếuk = 0) j= 6) x 6 = 6 0 2 0 . 8 6 1 2 2 . 2. Nếuk = 1) j= 5) x 6 = 6 1 2 1 . 8 5 1 2 3 . 3. Nếuk = 2) j= 4) x 6 = 6 2 2 2 . 8 4 1 2 4 . 12NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng 4. Nếuk = 3) j= 3) x 6 = 6 3 2 3 . 8 3 1 2 5 . 5. Nếuk = 4) j= 2) x 6 = 6 4 2 4 . 8 2 1 2 6 . 6. Nếuk = 5) j= 1) x 6 = 6 5 2 5 . 8 3 1 2 5 . 7. Nếuk = 6) j= 0) x 6 = 6 6 2 6 . 8 0 1 2 2 . Vậyhệsố x 6 trongkhaitriển(2x+1) 6 x 2 +x+ 1 4 4 thànhđathứclà 3003 4 = 1 4 14 6 . BÀI 10. Chokhaitriển(1+2x) n = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ++a n x n ,n> 1.Tìmsốgiátrịnguyêncủanvớin6 2018 saochotồntạik(06 k6 n 1)thỏamãn a k = a k+1 . Chứngminh. Đầutiêntacó (1+2x) n = n å k=0 n k 2 k x k từđósuyra a k = n k 2 k vớik = 0,1,2,3,...,n.Dođó a k = a k+1 , n k 2 k = n k+1 2 k+1 , n! k!(n k)! = 2. n! (k+1)!(n k 1)! , 1 (n k) = 2 (k+1) , 2n 2k = k+1 , k = 2n 1 3 Vì06 k6 n 1nênsuyran> 2. 1. Nếun= 3m,m2N,thìk = 2.3m 1 3 = 2m 1 3 / 2N. 2. Nếun= 3m+1,m2N,thìk = 2.(3m+1) 1 3 = 2m+ 1 3 / 2N. Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 11. Chokhaitriển(x 1) 2n +x(x+1) 2n 1 = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 2n x 2n vớinlàsốtựnhiênvàn> 3.Biết rằng n å k=0 a 2k = 768,tính a 5 . Chứngminh. Tacó ( f (1)= a 0 +a 1 +a 2 +...+a 2n f ( 1)= a 0 a 1 +a 2 ...+a 2n ) f (1)+ f ( 1)= 2. n å k=0 a 2k = 1536 hay2 2n 1 +2 2n = 1536) n= 5,từđâysuyrađượchệsố a 5 = 10 5 ( 1) 5 + 9 4 = 126.. 13TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 12. GọiSlàtổngcáchệsốcủacáclũythừabậcnguyêndươngcủa xtrongkhaitriển P(x) = x+ 1 x 2018 . TínhgiátrịcủabiểuthứcS+ 1 2 2018 1009 . Chứngminh. Tacó x+ 1 x 2018 = 2018 å k=0 2018 k .x 2018 2k . Đểlũythừavớisốmũnguyêndươngthì2018 2k> 0, k< 1009,từđósuyra S= 2018 0 + 2018 1 +...+ 2018 1008 . Ápdụngcôngthức n k = n n k tađược S+ 1 2 2018 1009 = 2018 0 + 2018 1 +...+ 2018 1008 + 1 2 2018 1009 ) 2 S+ 1 2 2018 1009 = 2018 0 + 2018 1 +...+ 2018 1008 + 1 2 2018 1009 + 2018 2018 + 2018 2017 +...+ 2018 1010 + 1 2 2018 1009 = 2018 0 + 2018 1 +...+ 2018 2017 + 2018 2018 = 2 2018 . VậyS+ 1 2 2018 1009 = 2 2017 . BÀI 13. Chokhaitriển a n (x 1) n +a n 1 (x 1) n 1 +...+a 1 (x 1)+a 0 = x n vớimọi x2R, n2Nvà n> 5. Tìmn,biết a 2 +a 3 +a 4 = 83n. Chứngminh. Tacó x n = [(x 1)+1] n = n 0 (x 1) n + n 1 (x 1) n 1 + n 2 (x 1) n 2 +...+ n n 1 (x 1)+ n n . Vì a 2 +a 3 +a 4 = 83n,tưđâysuyrađược n 2 + n 3 + n 4 = 83n, (n 1) 2! + (n 1)(n 2) 3! + (n 1)(n 2)(n 4) 4! = 83 ) n= 13. Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 14. Saukhikhaitriểnvàrútgọnthìbiểuthức x 1 x 2 20 + x 3 1 x 10 ,cótấtcảbaonhiêusốhạng? Chứngminh. Tacó x 1 x 2 20 + x 3 1 x 10 = 20 å k=0 20 k x 20 k 1 x 2 k + 10 å m=0 10 m x 3(10 m) 1 x m = 20 å k=0 ( 1) k 20 k x 20 3k + 10 å m=0 ( 1) m 10 m x 30 4m . 14NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Tatìmcácsốhạngcócùnglũythừacủa x,tacó ( 06 m6 10,06 k6 20 20 3k = 30 4m, 4m 3k = 10 ,(k;m)= (2;4),(6;7),(10;10). Vậytrongkhaitriểnđãchocótấtcả21+11 3= 29sốhạng. BÀI 15. Cóbaonhiêusốthực xđểkhikhaitriểnnhịthức 2 x +2 1 2 x n cótổngsốhạngthứ3vàthứ5bằng135, còntổngcủabasốhạngcuốibằng22? Chứngminh. Sốhạngthứ(k+1)trongkhaitriểnlàT k = n k (2 x ) n k 2 1 2 x k .Từđósuyra 1. Tổnghaisốhạngthứ3vàthứ5bằng135,suyra T 2 +T 4 = n 2 (2 x ) n 2 2 1 2 x 2 + n 4 (2 x ) n 4 2 1 2 x 4 = 135 (1) 2. Tổngbahệsốcủabasốcuốibằng22,suyra n n 2 + n n 1 + n n = 22, n(n 1) 2 +n+1= 22, n= 6. Thayn= 6vào(1),tađược 6 2 .2 4x .2 1 2x + 6 4 .2 2x .2 2 4x = 135, 2 2x+1 +2 2 2x = 9. Đặt0< u= 2 2x ,tađược 2u+ 4 u = 9, 2 4 u= 4) x = 1 u= 1 2 ) x = 1 2 Vậy x2 1; 1 2 . BÀI 16. Trongkhaitriểncủabiểuthức x 3 x 2 2017 .TínhtổngScủacáchệsốcủa x 2k+1 vớiknguyêndương? Chứngminh. Tacó x 3 x 2 2017 = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 6051 x 6051 (1) TacầntínhS= a 3 +a 5 +a 7 +...+a 6051 . Thay x = 1vào(1),tađược a 0 +a 1 +a 2 +...+a 6051 = 2 2017 (2) Thay x = 1vào(1),tađược a 0 a 1 +a 2 a 3 +... a 6051 = 2 2017 (3) Trừvếtheovế(2)và(3),tađược 2(a 0 +a 1 +a 2 +...+a 6051 )= 0, 2S+2a 1 = 0, S= a 1 TheokhaitriểnnhịthứcNewton,tacó x 3 x 2 2017 = 2017 å k=0 2017 k x 3 x k ( 2) 2017 k 15TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Từđósuyrasốhạng a 1 xchỉxuấthiệntrong 2017 1 x 3 x 1 ( 2) 2017 1 .Mặtkhác 2017 1 x 3 x 1 ( 2) 2017 1 = 2017.2 2016 . x 3 x ) a 1 = 2017.2 2016 ) S= 2017.2 2016 . Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 17. Kíhiệua 3n 3 làhệsốcủasốhạngchứax 3n 3 trongkhaitriển x 2 +1 n (x+2) n .Tìmnsaochoa 3n 3 = 26n. Chứngminh. Tacó x 2 +1 n (x+2) n = n å k=0 n k x 2 n k ! n å i=0 n i x n i 2 i ! = n å k=0 n å i=0 n k n i 2 i x 3n 2k i . Chọn3n 2k i = 3n 3, 2k+i = 3 ! (k;i)2f(0;3),(1;1)g. Suyrahệsốcủasốhạngchứa x 3n 3 là n 0 n 3 2 3 + n 1 n 1 2.Theogiảthiếttacó n 0 n 3 2 3 + n 1 n 1 2= 26n) n= 5. Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 18. Chokhaitriển x(x+1) n +2(x+1) n = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a n+1 x n+1 vớinlàsốtựnhiênvàn> 2.Tìm n,biếtrằng a 2 7n;na n ; a n 2 theothứtựđólậpthànhmộtcấpsốcộng. Chứngminh. Tacó x(x+1) n +2(x+1) n = (x+1) n (x+2)= (x+1) n [(x+1)+1] = (x+1) n+1 +(x+1) n . Suyrađược a 2 = n+1 2 + n 2 = (n+1)n 2 + n(n 1) 2 = n 2 a n = n+1 n + n n = (n+1)+1= n+2 a n 2 = n+1 n 2 + n n 2 = (n+1)n(n 1) 6 + n(n 1) 2 = n(n 1)(n+4) 6 Theogiảthiếtbàitoán,tacó n(n+2) n 2 7n = n(n 1)(n+4) 6 n(n+2), 8 < : n= 0 n= 7 n= 10 Vậytatìmđượcn= 10làgiátrịthỏamãn. BÀI 19. Xácđịnhnbiếtrằnghệsốcủa x n trongkhaitriển 1+x+2x 2 +...+nx n 2 bằng6n. Chứngminh. Tacó 1+x+2x 2 +...+nx n 2 = 1+x+2x 2 +...+nx n . 1+x+2x 2 +...+nx n 16NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Hệsốcủa x n là 1.n+1.(n 1)+2.(n 2)+...+(n 1).1+n.1 = 1.n+1.(n 1)+2.(n 2)+...+(n 1).[n (n 1)]+n.1 = 2n+n[1+2+3+...+(n 1)] h 1 2 +2 2 +3 2 +...+(n 1) 2 i = 2n+n 1+(n 1) 2 (n 1) n(n+1)(2n+1) 6 n 2 = n 3 +11n 6 Theogiảthiết,tacó n 3 +11n 6 = 6n) n= 5. BÀI 20. BiếtrằngtrongkhaitriểnnhịthứcNewtoncủađathức P(x) = 2+x+2x 2 +x 3 n thìhệsốcủa x 5 là 1001.Tổngcáchệsốtrongkhaitriểncủa P(x)bằngbaonhiêu? Chứngminh. Tacó P(x)= 2+x+2x 2 +x 3 n = (2+x) n 1+x 2 n = n å k=0 n k 2 n k x k ! n å l=0 n l x 2l ! = n å k=0 n å l=0 n k n l 2 n k x k+2l . Hệsốcủa x 5 ứngvớik+2l thỏamãnk+2l = 5)(k;l)=f(5;0),(3;1),(1;2)g. 1. Trườnghợp1.Vớin> 5khiđó(k;l)=f(5;0),(3;1),(1;2)g,suyrahệsốcủa x 5 là n 5 n 0 2 n 5 + n 3 n 1 2 n 3 + n 1 n 2 2 n 1 = 1001. Vìvếtráilẻmàvếphảiluônchẵnnếun> 5dođóchỉcóthểchọnn= 5.Thửlạivàophươngtrìnhtathấy n= 5thỏamãnđiềukiện. 2. Trườnghợp2.Với36 n< 5khiđó(k;l)=f(3;1),(1;2)g,từđâysuyrahệsốcủa x 5 là n 3 n 1 2 n 3 + n 1 n 2 2 n 1 = 1001. Vìvếtráilẻmàvếphảiluônchẵnnếun> 3dođóchỉcóthểchọnn= 3.Thửlạivàophươngtrìnhtathấy n= 3khôngthỏamãnđiềukiện. 3. Trườnghợp3.Vớin= 2khiđó(k;l)= (1;2),suyrahệsốcủa x 5 là 1 2 2 2 2= 1001,vôlý. Dođóchỉcón= 5thỏamãnsuyratổngcáchệsốtrongkhaitriểnlà6 5 = 7776. BÀI 21. Chokhaitriển P(x)= (1+x)(2+x)...(1+2017x)= a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +....+a 2017 x 2017 .Kíhiệu P 0 (x)và P 00 (x)lầnlượtlàđạohàmcấp1vàđạohàmcấp2củađathức P(x).Tìmhệsố a 2 ? Chứngminh. Tacó P 0 (x)= a 1 +2a 2 x+3a 3 x 2 ....+2017a 2017 x 2016 ,tiếptụcđạohàmlầnnữa,tacó P 00 (x)= 2a 2 +6a 3 x....+2017.2016a 2017 x 2015 . 17TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Cho x = 0,tađược P 00 (0)= 2a 2 ) a 2 = P 00 (0) 2 .Chúýrằngtacó P 0 (x)= P(x). 1 1+x + 2 2+x +....+ 2017 1+2017x P 00 (x)= P(x). 1 1+x + 2 2+x +....+ 2017 1+2017x 2 +P(x) 1 2 1+x 2 2 2+x .... 2017 2 1+2017x ! . Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 22. Tìmhệsốcủasốhạngchứa x 3 trongkhaitriển 1 2x+2015x 2016 2016x 2017 +2017x 2018 60 . Chứngminh. Đặt f (x)= 1 2x+2015x 2016 2016x 2017 +2017x 2018 60 g(x)= 2015x 2016 2016x 2017 +2017x 2018 Suyra f (x)= [1+( 2x+g(x))] 60 = 60 å k=0 60 k [ 2x+g(x)] k = 60 å k=0 60 k k å i=0 k i ( 2x) i .[g(x)] k i (06 i6 k6 60). Vìbậccủađathức g(x)là2018,suyrasốhạngchứa x 3 ứngvới ( k i = 0 i = 3 ) ( k = 3 i = 3 . Vậyhệsốcầntìmlà 60 3 . 3 3 .( 2) 3 = 8. 60 3 . BÀI 23. Với x6= 1tacókhaitriểnsau x 2 +2x+2 x+1 2018 = 2018 å i=0 a i x i + 2018 å i=j b j (x+1) j .TínhtổngS= 2018 å k=1 b k ? Chứngminh. Đặt f (x)= 1 2x+2015x 2016 2016x 2017 +2017x 2018 60 g(x)= 2015x 2016 2016x 2017 +2017x 2018 Suyra f (x)= [1+( 2x+g(x))] 60 = 60 å k=0 60 k [ 2x+g(x)] k = 60 å k=0 60 k k å i=0 k i ( 2x) i .[g(x)] k i (06 i6 k6 60). Vìbậccủađathức g(x)là2018,suyrasốhạngchứa x 3 ứngvới ( k i = 0 i = 3 ) ( k = 3 i = 3 . Vậyhệsốcầntìmlà 60 3 . 3 3 .( 2) 3 = 8. 60 3 . 18NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 24. TínhtổngT = 2017 1 + 2017 3 + 2017 5 +...+ 2017 2017 ? Chứngminh. Xéthaikhaitriển 2 2017 = (1+1) 2017 = 2017 0 + 2017 1 + 2017 2 + 2017 3 +...+ 2017 2017 (1) 0= (1 1) 2017 = 2017 0 2017 1 + 2017 2 2017 3 +... 2017 2017 (2) Lấy(1) (2)theovếtađược 2 2017 = 2 2017 1 + 2017 3 + 2017 5 +...+ 2017 2017 ) T = 2 2016 Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 25. Vớin2N,n> 2vàthỏamãn 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 +...+ n 2 1 = 9 5 .Tính P= n 5 + n+2 3 (n 4)! . Chứngminh. Tacó 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 +...+ n 2 1 = 9 5 , 0!2! 2! + 1!2! 3! + 2!2! 4! +...+ (n 2)!2! n! = 9 5 , 2! 1 1.2 + 1 2.3 + 1 3.4 +...+ 1 (n 1)n = 9 5 , 2! 1 1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4 +...+ 1 n 1 1 n = 9 5 , 2! 1 1 n = 9 5 , 1 n = 1 10 , n= 10 Nhưvậytađược P= n 5 + n+2 3 (n 4)! = 10 5 + 12 3 6! = 59 90 . BÀI 26. TínhtổngS = 2018 1009 + 2018 1010 + 2018 1011 +...+ 2018 2018 ,trongtổngđó,cácsốhạngcódạng 2018 k vớiknguyêndươngnhậngiátrịliêntụctừ1009đến2018. Chứngminh. Ápdụngtínhchất n k = n n k tacó 2018 0 = 2018 2018 2018 1 = 2018 2017 2018 2 = 2018 2016 ... 2018 1008 = 2018 1010 2018 1009 = 2018 1009 19TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Từđótacóđược 2018 0 + 2018 1 + 2018 2 +...+ 2018 1009 = 2018 1009 + 2018 2010 +...+ 2018 2018 ,suyra 2S= 2018 0 + 2018 1 + 2018 2 +...+ 2018 2018 + 2018 1009 Mặtkháctalạicó 2018 0 + 2018 1 + 2018 2 +...+ 2018 2018 = (1+1) 2018 = 2 2018 VậyS= 2 2018 + 2018 1009 2 = 2 2017 + 2018 1009 2 . BÀI 27. Tínhgiátrịcủabiểuthức x 10 10! + x 9 9! . (1 x) 1! + x 8 8! . (1 x) 2 2! +...+ (1 x) 10 10! . Chứngminh. Tacó x k k! . (1 x) 10 k (10 k)! = 1 10! . 10! k!(10 k)! .x k .(1 x) 10 k = 1 10! . 10 k .x k .(1 x) 10 k ) x 10 10! + x 9 9! . (1 x) 1! + x 8 8! . (1 x) 2 2! +...+ (1 x) 10 10! = 1 10! 10 å k=0 10 k .x k .(1 x) 10 k = 1 10! (x+1 x) 10 = 1 10! Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 28. Tìmsốnguyêndươngnthỏamãn 2n+1 1 + 2n+1 3 +...+ 2n+1 2n+1 = 1024. Chứngminh. Tacó 2 2n+1 = (1+1) 2n+1 = 2n+1 0 + 2n+1 1 +...+ 2n+1 2n+1 0= (1 1) 2n+1 = 2n+1 0 2n+1 1 +... 2n+1 2n+1 Suyrađược 2 2n+1 1 + 2n+1 3 +...+ 2n+1 2n+1 = 2 2n+1 ) 2n+1 1 + 2n+1 3 +...+ 2n+1 2n+1 = 2 2n Dođó2 2n = 2024, 2 2n = 2 10 , n= 5. BÀI 29. Tínhgiátrịcủabiểuthức A= 1 1!2018! + 1 2!2017! + 1 3!2016! +...+ 1 1008!1011! + 1 1009!1010! . 20NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Chứngminh. Tacó 1 k!(n k)! = n k n! .Dođó A= 2019 1 2019! + 2019 2 2019! + 2019 3 2019! +...+ 2019 1009 2019! = 2019 1 + 2019 2 +...+ 2019 1009 2019! = 2019 0 + 2019 1 + 2019 2 +...+ 2019 1009 1 2019! = 2 2018 1 2019! Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 30. Cóbaonhiêusốdươngnsaocho S= 2+ n å i=1 i 0 + n å i=1 i 1 + n 1 n 1 + n n 1 + n n làmộtsốcó1000chữsố? Chứngminh. Tacó S= n å i=1 i 0 + n å i=1 i 1 + n 1 n 1 + n n 1 + n n = 2+ 1 0 + 1 1 + 2 0 + 2 1 + 2 2 +...+ n 1 å i=0 n 1 i + n å i=0 n i = 2+2+(1+1) 2 +...+(1+1) n 1 +(1+1) n = 2+2 1 +2 2 +...+2 n = 2+2. 2 n 1 2 1 ) S= 2 n+1 NhưvậySlàmộtsốcó1000chữsố,suyra 10 999 6 S< 10 1000 , 10 999 6 2 n+1 < 10 1000 , 999log 2 10 16 n< 1000log 2 10 1 Don2Nnênn2f3318;3319;3320g.Vậycó3sốnguyêndươngnthỏamãnyêucầubàitoán. BÀI 31. Tìmhệsốcủa x 5 trongkhaitriểnthànhđathứccủa(2 3x) 2n ,biếtnlàsốnguyêndươngthỏamãn 2n+1 0 + 2n+1 2 + 2n+1 4 +...+ 2n+1 2n = 1024 Chứngminh. Tacó (x+1) 2n+1 = 2n+1 0 .x 2n+1 + 2n+1 1 .x 2n +...+ 2n+1 2n .x+ 2n+1 2n+1 (1) 21TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Thay x = 1vào(1)tađược 2 2n+1 = 2n+1 0 + 2n+1 1 +...+ 2n+1 2n + 2n+1 2n+1 (2) Thay x = 1vào(1)tađược 0= 2n+1 0 + 2n+1 1 ... 2n+1 2n + 2n+1 2n+1 (3) Phươngtrình(2)trừ(3)theovếtasuyra 2 2n+1 = 2 2n+1 0 + 2n+1 2 +...+ 2n+1 2n Theođềbàitacó2 2n+1 = 2.1024, n= 5.Sốhạngtổngquátcủakhaitriển(2 3x) 10 là T k+1 = 10 k .2 10 k .( 3x) k = 10 k .2 10 k .( 3) k .x k Theogiảthiếttacók = 5,vậyhệsốcầntìmlà 10 5 .2 5 .( 3) 5 = 1959552. BÀI 32. Vớinlàsốtựnhiênlớnhơn2,đặtS n = 1 3 3 + 1 4 3 + 1 5 4 +...+ 1 n 3 .TínhlimS n ? Chứngminh. Tacó n 3 = n! 3!(n 3)! = n(n 1)(n 2) 6 ) n 3 1 = 6 n(n 1)(n 2) VậytacóS n = 6 1.2.3 + 6 2.3.4 + 6 3.4.5 +...+ 6 n(n 1)(n 2) .Tacónhậnxét 2 1.2.3 = 1 1.2 1 2.3 ; 2 2.3.4 = 1 2.3 1 3.4 ; ... 2 (n 2)(n 1)n = 1 (n 2)(n 1) 1 (n 1)n Từđâytasuyrađược S n = 3 1 1.2 1 2.3 + 1 2.3 1 3.4 +...+ 1 n 2 1 n 1 + 1 n 1 1 n = 3 1 2 1 n = 3 n 2 2n = 3n 6 2n VậylimS n = lim 3n 6 2n = lim 0 B @ 3 6 n 2 1 C A = 3 2 .Kếthợpgiảthiếtcó 2 n+2 n 3 (n+1)(n+2) = 2 100 n 3 (n+1)(n+2) ) n= 98 Bàitoánđượcgiảiquyết. 22NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 33. Chonvàknguyêndươngthỏamãnk6 n.Chứngminhrằng n+1 n+2 n+1 k 1 + n+1 k+1 1 ! = n k 1 Chứngminh. Biếnđổigiảthiếttacó n+1 n+2 n+1 k 1 + n+1 k+1 1 ! = n+1 n+2 k!(n+1 k)! (n+1)! + (k+1)!(n k)! (n+1)! = n+1 n+2 k!(n k)! (n+1)! (n+1 k+k+1) = n+1 n+2 k!(n k)! (n+1)! (n+2)= k!(n k)! n! = n k 1 Bàitoánđượcgiảiquyết. ! Tacóbàitoántổngquát. 1 n+1 1 + 1 n+1 2 +...+ 1 n+1 n+1 = n+2 2(n+1) 0 B B @ 1 n 0 + 1 n 1 +...+ 1 n n 1 C C A SauđâytasẽđềcậptớimộtsốtínhchấtcủahệsốnhịthứccóliênquantớitamgiácPascal. 4.2 Bàitoánvềhệsốlớnnhất. Vớicácbàitoányêucầutìmhệsốlớnnhất a k khikhaitriểnnhịthức(ax+b) n thànhđathứctasẽlàmtheo phươngphápsau. Phươngpháp i) Lậphệbấtphươngtrình ( a k > a k 1 a k > a k+1 ii) Giảihệbấtphươngtrìnhtrênđểtìmcácsốnguyênkthỏamãn. iii) Thaycácgiátrịkvừatìmđượcđểtìmhệsốlớnnhất. Sauđâylàcácbàitoánminhhọa. BÀI 1. Khaitriểnđathức P(x)=(1+2x) 12 = a 0 +a 1 x+...+a 12 x 12 .Tìmmax(a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a 12 )? Chứngminh. Gọi a k làhệsốlớnnhấtcủakhaitriểnsuyra a k > a k 1 . Từđâytacóhệphươngtrình 8 > > < > > : 2 k 12 k > 2 k 1 12 k 1 2 k 12 k > 2 k+1 12 k+1 , 8 > > < > > : 2 k > 1 12 k+1 1 12 k > 2 k+1 ) max(a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a 12 )= a 8 = 12 8 2 18 = 126720 Bàitoánđượcgiảiquyết. 23TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 2. Chokhaitriểnnhịthức 1 3 + 2 3 x 10 = a 0 +a 1 x+...+a 9 x 9 +a 10 x 10 . Hãytìmsốhạng a k lớnnhất. Chứngminh. Tacó 1 3 + 2 3 x 10 = 1 3 10 (1+2x) 10 = 1 3 10 n å k=0 10 k (2x) k ) a k = 1 3 10 10 k 2 k Nhưvậy a k đạtđượcgiátrịlớnnhấtthì ( a k > a k+1 a k > a k 1 , 8 > > < > > : 10 k 2 k 6 10 k+1 2 k+1 10 k 2 k 6 10 k 1 2 k 1 , 8 > > > < > > > : 2 k 10! k!(10 k)! > 2 k 10! (k+1)!(9 k)! 2 k 10! k!(10 k)! > 2 k 10! (k 1)!(11 k)! , 8 > > < > > : 1 10 k > 2 k+1 2 k > 2 11 k , 19 3 6 k6 22 3 ) k = 7(k2N,k2[0,10]) Vậymaxa k = a 7 = 2 7 3 10 10 7 . BÀI 3. Trongkhaitriểnbiểuthức F = p 3+ 3 p 2 9 sốhạngnguyêncógiátrịlớnnhấtlà? Chứngminh. TacósốhạngtổngquátT k+1 = 9 k p 3 9 k 3 p 2 k .Tathấybậchaicủacănthứclà2và3làhai sốnguyêntố,dođóđểT k+1 làmộtsốnguyênthì 8 > > > > > > < > > > > > > : k2N 06 k6 9 (9 k) . . .2 k . . .3 , 2 6 6 4 k = 3) T 4 = 9 3 p 3 6 3 p 2 3 = 4536 k = 9) T 10 = 9 9 p 3 0 3 p 2 9 = 8 VậytrongkhaitriểncóhaisốhạngnguyênlàT 4 = 4536vàT 10 = 8. BÀI 4. Hệsốcógiátrịlớnnhấtkhikhaitriển P(x)= 1+2x 2 12 thànhđathứclà? Chứngminh. Tacókhaitriển P(x)= 12 å k=0 12 k 2 k x 2k = 12 å k=0 a k x 2k với a k = 12 k 2 k . Taxétbấtphươngtrình a k+1 > a k ,từđâysuyra 12 k+1 2 k+1 > 12 k 2 k , 2 k+1 > 1 12 k , k< 23 3 , k6 7 24NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Nhưvậy a 0 < a 1 < a 2 < ...< a 8 . Xétbấtphươngtrình a k+1 < a k ,tasuyra 12 k+1 2 k+1 < 12 k 2 k , 2 k+1 < 1 12 k , k> 23 3 , k> 8 Nhưvậy a 8 > a 9 > a 10 > ...> a 12 .Vậyhệsốcógiátrịlớnnhấtlà a 8 = 12 8 2 8 = 126720. BÀI 5. Chobiểuthức P(x)= (x+2) n = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a k x k +...+a 1 x+a 0 .Chobiếtrằng a n 9 > a n 8 và a n 9 > a n 10 .Tìmgiátrịcủan? Chứngminh. TheocôngthứckhaitriểnnhịthứcNewtontacó P(x)= (x+2) n = n 0 x n 2 0 + n 1 x n 1 2 1 +...+ n n k x k 2 n k +...+ n n 1 x 1 2 n 1 + n n x 0 2 n Mặtkháctalạicó P(x)= (x+2) n = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a k x k +...+a 1 x+a 0 ,n2N Nêntađược a k = 2 n k n n k = 2 n k n k ,0) a n 8 = 2 8 n n 8 = 2 8 n 8 ,a n 9 = 2 9 n 9 ,a n 10 = 2 10 n 10 Theođềbàivớin> 10,n2N thì ( a n 9 > a n 8 a n 9 > a n 10 , 8 > > < > > : 2 9 n! 9!(n 9)! > 2 8 n! 8!(n 8)! 2 9 n! 9!(n 9)! > 2 10 n! 10!(n 10)! , 8 > > < > > : 2 9 > 1 n 8 1 n 9 > 1 5 , 8 < : n> 25 2 n< 14 , n= 13. Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 6. Cho(1+2x) n = a 0 +a 1 x 1 +...+a n x n ,n2N .Biếtrằng a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 +...+ a n 2 n = 4096 Sốlớnnhấttrongcácsố a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n cógiátrịbằngbaonhiêu? Chứngminh. Tacó (1+2x) n = n å k=0 n k .2 k .x k = n 0 .2 0 x 0 + n 1 .2 1 x 1 + n 2 .2 2 x 2 +...+ n n .2 n x n = a 0 +a 1 x 1 +...+a n x n Tacó a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 +...+ a n 2 n = 4096) n 0 + n 1 + n 2 +...+ n n = 4096 , 2 n = 4096, n= 12 Tacó a k < a k+1 , 12 k .2 k < 12 k+1 .2 k+1 , 12 k < 2 12 k+1 25TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Suyra a 0 < a 1 < a 2 < ...< a 8 .Mặtkháctalạicó a k > a k+1 , 12 k .2 k > 12 k+1 .2 k+1 , 12 k > 2 12 k+1 Suyra a 8 > a 9 > a 10 > ...> a 12 . Vậysốlớnnhấttrongcácsố a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n là a 8 = 12 8 .2 8 = 126720. BÀI 7. Chokhaitriển(x+3) n = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +...+a n x n ,trongđón2N vàa 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n làcácsố thực.GọiSlàtậphợpchứacácsốtựnhiênnđể a 10 làsốlớnnhấttrongcácsố a 0 , a 1 , a 2 ,...,a n .Tổnggiátrị cácphầntửcủaSbằngbaonhiêu? Chứngminh. Tacókhaitriển (x+3) n = n å k=0 n k 3 n k x k SốhạngtổngquátcủakhaitriểnlàT k = n k 3 n k x k ,suyrahệsốcủaT k là a k = n k 3 n k .Đểa 10 làsốlớnnhất trongcácsố a 0 , a 1 , a 2 ,...,a n thì ( a 10 > a 9 a 10 > a 11 , 8 > > < > > : n 10 .3 n 10 > n 9 .3 n 9 n 10 .3 n 10 > n 11 .3 n 11 , 8 > > < > > : n 10 > 3 n 9 3 n 10 > n 11 , ( n> 39 n6 43 , 396 n6 43 VậyS=f39;40;41;42;43g. TổngcácphầntửcủaSlàT = 39+40+41+42+43= 205. BÀI 8. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n+1 n 1 + n+1 n = 171. Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức P(x)= (1+x)(1+2x) n saukhikhaitriểnvàrútgọn. Chứngminh. Tacó n+1 n 1 + n+1 n = 171, (n+1)! 2!.(n 1)! + (n+1)! n! = 171 , n(n+1) 2 +(n+1)= 171 , n 2 +3n 340= 0, n= 17 n= 20 Khiđótacó P(x)= (1+x)(1+2x) 17 = (1+x) 17 å k=0 17 k 2 k x k = 17 å k=0 17 k 2 k x k + 17 å k=0 17 k 2 k x k+1 . Suyrahệsốcủa x k trongkhaitriểnlà 17 k 2 k + 17 k 1 2 k 1 .Hệsốcủa x k làlớnnhấtkhi 8 > > < > > : 17 k 2 k + 17 k 1 2 k 1 > 17 k+1 2 k+1 + 17 k 2 k 17 k 2 k + 17 k 1 2 k 1 > 17 k 1 2 k 1 + 17 k 2 2 k 2 26NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Điềunàytươngđươngvới 8 > > < > > : 17 k 1 2 k 1 > 17 k+1 2 k+1 17 k 2 k > 17 k 2 2 k 2 , 8 > > < > > : 1 (k 1)!.(18 k)! > 2 2 (k+1)!.(16 k)! 2 2 k!.(17 k)! > 1 (k 2)!.(19 k)! , 8 > > < > > : 1 (18 k)(17 k) > 4 k(k+1) 4 (k 1)k > 1 (18 k)(19 k) , 3k 2 141k+12246 0 3k 2 147k+1368> 0 ) k = 12 Vậyhệsốlớnnhấtcầntìmlà 17 12 2 12 + 17 11 2 11 = 50692096. 4.3 Chứngminhcácđẳngthức. 4.3.1 Cácđẳngthứccơbản. Nhữngbàitoánởđâychỉđơngiảnlàápdụngcáctínhchấtcủacôngthứctổhợp. BÀI 1. SymmetryIdentity Vớimọisốnguyêndươngm,nsaocho06 n6 m,thìtacó m n = m m n ,tínhchấtnàyngườitagọi nólàtínhchấtđốixứng. Chứngminh. Tacó m m n = m! (m n)!(m (m n))! = m! (m (m n))!(m n)! = m! n!(m n)! = m n Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. ! Bàitậpápdụng.Vớimọisốnguyêndươngm,nsaocho06 n< m,chứngminhrằng m n = m m n m 1 n Tínhchấtnàyngườitagọinólàcôngthứclùicơsố. BÀI 2. Vớim2Qvànlàcácsốnguyêndương,khiđótacó m n = m 1 n 1 + m 1 n . Chứngminh. Vớinlàcácsốtựnhiênthìtacón!= n(n 1)!dovậy (n 1)!= n! n ) 1 (n 1)! = 1 n! n = 1 n! n Tacó m n 1 = m(m 1)(m (n 1)+1) (n 1)! = 1 (n 1)! (m(m 1)(m (n 1)+1)) 27TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Thaymbởim 1tađược m 1 n 1 = 1 (n 1)! | {z } = 1 n! n 0 B @(m 1)((m 1) 1) | {z } =m 2 ((m 1) (n 1)+1) | {z } =m n+1 1 C A = 1 n! n((m 1)(m 2)(m n+1)) (1) Mặtkháctalạicó m n = m(m 1)(m n+1) n! = 1 n! (m(m 1)(m n+1)) Thaymbởim 1ởđẳngthứctrêntađược m 1 n = 1 n! 0 B @(m 1)((m 1) 1) | {z } =m 2 ((m 1) n+1) | {z } =m n 1 C A = 1 n! ((m 1)(m 2)(m n)) | {z } =((m 1)(m 2)(m n+1))(m n) = 1 n! ((m 1)(m 2)(m n+1))(m n) = 1 n! (m n)((m 1)(m 2)(m n+1)) Từđẳngthức(1)tacó m 1 n 1 + m 1 n = 1 n! (m n)((m 1)(m 2)(m n+1)) + 1 n! n((m 1)(m 2)(m n+1)) = 1 n! ((m n)+n) | {z } =m ((m 1)(m 2)(m n+1)) = 1 n! m((m 1)(m 2)(m n+1)) | {z } =m(m 1)(m n+1) = 1 n! (m(m 1)(m n+1)) = m n Đẳngthứcđượcchứngminh. BÀI 3. AbsorptionIdentity Vớimọisốnguyêndươngn,ksaocho0< n6 m,thìtacó m n = m n m 1 n 1 ,tínhchấtnàyngườitagọi nólàquytắc"hút"-Absorption. Chứngminh. Chứngminhtínhchấtnàyrấtđơngiản,tachỉcầnápdụngcôngthứcgiaithừa.Tacó m n m 1 n 1 = m n (m 1)(m 2)(m n+1) (n 1)! = m(m 1)(m 2)(m n+1) n(n 1)! = m(m 1)(m n+1) n! = m n Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. 28NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng ! Bàitậpápdụng.Chứngminhrằngvớimọisốnguyêndươngk,a,bthỏamãnk6 a6 bthìtacó k 1 k b å n=a 1 n k = 1 a 1 k 1 1 b k 1 BÀI 4. TrinomialRevision Vớicácsốm2Q,a2Nvài2Nthỏamãni> a,tacó m i i a = m a m a i a .Tínhchấtnàyngười tagọinólàtậpconcủatậpcon Chứngminh. Tươngtựnhưtínhchấtởtrên,tacũngsửdụngcácbiếnđổitừcôngthứcgiaithừa.Tacó m a m a i a = m(m 1)(m a+1) a! (m a)((m a) 1)((m a) (i a)+1) (i a)! = 1 a!(i a)! (m(m 1)(m a+1))((m a)((m a) 1)((m a) (i a)+1)) = 1 a!(i a)! m(m 1)(m i+1) Đồngthờitacũngcó m i i a = m(m 1)(m i+1) i! i! a!(i a)! = 1 a!(i a)! m(m 1)(m i+1) Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 5. Chứngminhrằng n k +3 n k+1 +3 n k+2 + n k+3 = n+3 k+3 vớin2N ,06 k6 n 3. Chứngminh. Tacó n k + n k 1 = n! (n k)!k! + n! (k 1)!(n k+1)! = n! (k 1)!(n k)! 1 k + 1 n k+1 = n! (k 1)!(n k)! n+1 k(n k+1) = (n+1)! k!(n+1 k)! = n+1 k Ápdụngkếtquảtrêntacó VT = n k + n k+1 +2 n k+1 + n k+2 + n k+2 + n k+3 = n+1 k+1 +2 n+1 k+2 + n+1 k+3 = n+1 k+1 + n+1 k+2 + n+1 k+2 + n+1 k+3 = n+2 k+2 + n+2 k+3 = n+3 k+3 = n+3 k+3 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. 29TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 6. Chứngminhrằng 1. n k +4 n k 1 +6 n k 2 +4 n k 3 + n k 4 = n+4 k với46 k6 n. 2. n 0 n k + n 1 n 1 k 1 +...+ n k n k 0 = 2 k n k . Chứngminh. 1.Tacó VT = n k + n k 1 +3 n k 1 + n k 2 +3 n k 2 + n k 3 + n k 3 + n k 4 = n+1 k +3 n+1 k 1 +3 n+1 k 2 + n+1 k 3 = n+4 k 2.Tacó n m n m k m = n! m!(n m)! . (n m)! (k m)!(n k)! = n! m!(k m)!(n k)! = k! m!(k m)! . n! k!(n k)! = k m . n k Suyra k å m=0 n m n m k m = k å m=0 k m n k = n k k å m=0 k m = 2 k n k Bàitoánđượcgiảiquyết. 4.3.2 Ứngdụngmộtsốtínhchấtđẳngthứcđặcbiệt. Trongchủđềnày,tasẽđitìmhiểucácbàitoánchứngminhđẳngthứccósửdụngmộtsốbổđề,cũngnhưtính chấtđặcbiệtmàmìnhđãđềcậpởphầnđầu,sauđâychúngtasẽtìmhiểumộtsốcácđẳngthứccơbảnkhác. BÀI 1. Chứngminhrằng 1. n å k=0 k m = n+1 m+1 . 2. n å k=0 m+k k = m+n+1 n . Chứngminh. 1.TasửdụngtamgiácPascalvàphươngphápsaiphânđểbiếnđổi,tađược n å k=0 k m = n å k=0 k+1 m+1 k m+1 = n+1 m+1 0 m+1 = n+1 m+1 Ngườitagọitínhchấtnàylàtổngtheocột,tacóthểlấyvídụsau. n n 1 n 2 n 3 2 1 3 3 4 6 5 10 6 15 7 35 30NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Tathấyrằng1+3+6+10+15= 35. 2.Ápdụngquytắctổngtheocộtvàquytắcđốixứngtacó n å k=0 m+k k = n å k=0 m+k m = m+n+1 m+1 = m+n+1 n TagọitínhchấtnàylàTổngtheođườngchéochính,tacóthểlấyvídụnhưsau n n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 2 1 3 3 4 6 5 10 6 15 7 35 Tathấyrằng1+3+6+10+15= 35. Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 2. Chứngminhrằng n å k=0 n k k = F n+1 ,trongđó F n làsốFibonaccithứnđượcchobởicôngthức F n = 1 p 5 1+ p 5 2 ! n 1 p 5 2 ! n ! Chứngminh. Tasẽchứngminhđẳngthứcnàybằngphươngphápquynạp. Dễthấyrằngvớin = 1thì F 1 = 0 0 = 1và F 2 = 1 0 + 0 1 = 1thìđẳngthứcđúng.Khiđótagiảsửrằng đẳngthứcđúngtớin 1.ÁpdụngtamgiácPascaltacó n å k=0 n k k = n å k=0 n 1 k k 1 + n å k=0 n 1 k k = n 2 å k=0 n 2 k k 1 + n 1 å k=0 n 1 k k 1 = F n 2 +F n 1 = F n TínhchấtnàytagọinólàTổngtheođườngchéophụ,haylàsốFibonacci.Tacóthểlấyvídụnhưsau. n n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 2 F 6 F 7 3 3 1 F 8 4 4 6 4 5 1 5 10 6 1 6 7 1 Tathấyrằng 8 < : F 6 = 1+4+3= 8 F 7 = 1+5+6+1= 13 F 8 = 1+6+10+4= 21 . Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. 31TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 3. Chocácsốnguyênkhôngâmm,n,r,chứngminhrằng n å k=0 n k m r k = n+m r ĐẳngthứcVandermonde,2thừasố. Chứngminh. Xétkhaitriểncủabiểuthức(1+x) n (1+x) m =(1+x) n+m ,tacó n å k=0 n k x k m å j=0 m j x j = n+m å k=0 n+m k x k , n å k=0 m å j=0 n k m j x j+k = n+m å k=0 n+m k x k Sosánhhệsốcủa x r ởcả2vếtathuđược å j+k=r n k m j = n+m r , n å k=0 n k m r k = n+m r Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. ! TừđẳngthứcVandermondetrêntacóphátbiểumởrộngcủanó. Chocácsốnguyênkhôngâmn 1 ,...,n r ,k = k 1 +k 2 +...+k r ,khiđótacó å k 1 +k 2 +...+k r =k r Õ i=1 n i k i ! = n 1 +n 2 ++n r k Tiếptheotasẽđitìmhiểumộttínhchấtsau,từđẳngthức k. n k = k.n! (n k)!k! = n(n 1)! (n k)!(k 1)! = n n 1 k 1 (1) tathaykbởik+1vànbởin+1tathuđược 1 k+1 n k = 1 n+1 n+1 k+1 (2) sửdụngkếtquảnàytasẽchứngminhđượcrằng n å i=0 1 i+1 n i = 1 n+1 2 n+1 1 Đâylàhướnglàmrấttựnhiênmàkhôngphảisửdụngtớicôngcụđạohàm.Quaylạivớiđẳngthức(1),khiđó ápdụngđẳngthứcnàyvàobiểuthức(k 1)k n k tathuđược (k 1)k n k = n(k 1) n 1 k 1 = n(n 1) n 2 k 2 (3) Ápdụngđẳngthứcnàytasẽchứngminhđượcrằng n å i=2 i(i 1) n i = n(n 1) n 2 å i=2 n i 2 = n(n 1).2 n 2 Bâygiờđểtăngmứcđộkhóhơn,tasẽxéttớiđẳngthức k 2 n k = k(k 1) n k +k n k = n(n 1) n 2 k 2 +n n 1 k 1 (4) Sửdụngđẳngthứcnàytasẽchứngminhđược n å i=1 i 2 n i = n(n 1) n å i=2 n 2 i 2 +n n å i=1 n 1 i 1 = n(n 1)2 n 2 +n.2 n 1 = n(n+1)2 n 2 32NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 4. Chứngminhrằng n å i=1 1 2i 2n 2i 1 = 2 2n 1 2n+1 . Chứngminh. Vớibàitoánnàytađãđượctìmhiểucáchsửdụngtíchphân,ởphầnnàytasẽtìmhiểumộtlờigiải tựnhiênhơnbằngcáchsửdụngđẳngthức(2).Tacó n å i=1 1 2i 2n 2i 1 = 1 2n+1 n å i=1 2n+1 2i = 1 2n+1 n å i=0 2n+1 2i 1 ! = 1 2n+1 2 2n 1 Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. ! Quabàitoánnàytacóthểthấyrằngcôngthức(2)làmộtcôngcụcựckìđắclựctrongviệcgiảiquyếtcác bàitoánchứngminhkhó.Sauđâylàmộtbàitoánphứctạphơnsửdụngtớiđẳngthức(2). Tasửdụngđẳngthức(2)hailầnchobiểuthứcsau,tathuđược 1 (k+1)(k+2) n k = 1 k+2 1 k+1 n k = 1 k+2 1 n+1 n+1 k+1 = 1 n+1 1 k+2 n+1 k+1 = 1 n+1 1 n+2 n+2 k+2 (5) Trướckhivàotìmhiểubàitoánthứ5,tasẽnhắclạimộtsốcáckếtquảđãcó. f 1 (x)=(1+x) 2n = 2n å k=0 2n k x k ; g 1 (x)=(1 x) 2n = 2n å k=0 2n k ( 1) k x k ; f 2 (x)=(x+1) 2n+1 = 2n+1 å k=0 2n+1 k x k ; g 2 (x)=(1 x) 2n+1 = 2n+1 å k=0 2n+1 k ( 1) k x k . Từđâysuyrađược h 1 (x)= f 1 (x)+g 1 (x) 2 = n å k=0 2n 2k x 2k ; h 2 (x)= f 2 (x)+g 2 (x) 2 = n å k=0 2n+1 2k x 2k ; p 1 (x)= f 1 (x)+g 1 (x) 2 = n å k=0 2n 2k 1 x 2k 1 ; p 2 (x)= f 2 (x)+g 2 (x) 2 = n å k=0 2n+1 2k+1 x 2k+1 . Nhưvậytanhậnthấyrằng f 1 (1)= p 2 (1)= 2 2n = 2n å k=0 2n k = n å k=0 2n+1 2k+1 ; h 1 (1)= p 1 (1)= 2 2n 1 = 2n å k=0 2n 2k = n å k=0 2n+1 2k 1 ; f 2 (1)= 2 2n+1 = 2n+1 å k=0 2n+1 k ; h 2 (1)= 2 2n = n å k=0 2n+1 2k . 33TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Từ f 1 (1)và f 2 (1)tasuyrađược2 n = n å k=0 n k (). Đếnđâykếthợpvớiđẳngthức(5)tasẽtínhđượctổng n å i=0 1 (i+1)(i+2) n i = 1 (n+1)(n+2) n å i=0 n+2 i+2 = 1 (n+1)(n+2) 2 n+2 n+2 0 n+2 1 = 2 n+2 n 3 (n+1)(n+2) Sauđâytasẽđitìmhiểumộtbàitoánkhóhơnnữa. BÀI 5. Tínhtổng n å i=3 i(i 1)(i 2) n i . Chứngminh. Từcácbàitoánởtrêntasẽrútrađượcmấuchốtlàphảisửdụngcácđẳngthứcđãcóđểcốđịnh cácbiểuthứcđứngtrướccôngthứctổhợp,tứclàsao?Hãyđểýtớiđẳngthức 1 k+1 n k = 1 n+1 n+1 k+1 ,ta đãbiếnđổiđểtừcôngthứcbanđầuchứa 1 k+1 trởthànhbiểuthứcchứađạilượng 1 n+1 ,đâychínhlàđại lượngcốđịnh.Côngviệccònlạilàtínhtổngcáctổhợp,vàtađãcórấtnhiềucôngcụđểlàmviệcnày.Quaylại bàitoánnày,tasẽápdụngđẳngthức(1)balần,khiđótađược (k 2)(k 1)k n k =(k 2)(k 1)n n 1 k 1 = n(k 2)(k 1) n 1 k 1 = n(k 2)(n 1) n 2 k 2 = n(n 1)(k 2) n 2 k 2 = n(n 1)(n 2) n 3 k 3 Ápdụngkếtquả()tatínhđược n å i=3 i(i 1)(i 2) n i = n(n 1)(n 2) n å i=3 n 3 i 3 = n(n 1)(n 2).2 n 3 Đếnđâybàitoánđãđượcgiảiquyết. BÀI 6. Tínhtổng n å i=0 1 (i+1)(i+2)(i+3) n i . Chứngminh. Vớibàitoánnày,nhậnthấycóphânthứcnêntasẽápdụngđẳngthức(2)balầnđểbiếnđối,ta được 1 (k+1)(k+2)(k+3) n k = 1 (k+2)(k+3) 1 k+1 n k = 1 (k+2)(k+3) 1 n+1 n+1 k+1 = 1 n+1 1 k+3 1 k+2 n+1 k+1 = 1 n+1 1 k+3 1 n+2 n+2 k+2 = 1 n+1 1 n+2 1 k+3 n+2 k+2 = 1 n+1 1 n+2 1 n+3 n+3 k+3 34NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Ápdụngđẳngthức()tađược n å i=0 1 (i+1)(i+2)(i+3) n i = 1 (n+1)(n+2)(n+3) n å i=3 n+3 i+3 = 1 (n+1)(n+2)(n+3) 2 n+3 n+3 0 n+3 1 n+3 2 = 2 n+4 n 2 7n 14 2(n+1)(n+2)(n+3) Đếnđâybàitoánđãđượcgiảiquyết. Hơnthếnữatừđẳngthức(2)tacũngchứngminhđượcrằng 1 2k+1 2n 2k = 1 2n+1 2n+1 2k+1 ,từđótatính đượcbiểuthức n å i=0 1 2i+1 2n 2i = 1 2n+1 n å i=0 2n+1 2i+1 = p 2 (1) 2n+1 = 2 n+1 2n+1 Sauđâylàmộtbàitoáncódạnggầntươngtựnhưnày,tuynhiênsẽphứctạphơn. BÀI 7. Tínhtổng n å i=0 1 2i+2 2n 2i . Chứngminh. Vẫnnhưcácbàitoánởtrên,taápdụngđẳngthứcđểbiếnđổi 1 2k+2 2n 2k = 2k+1 2k+2 1 2k+1 2n 2k = 2k+1 2k+2 1 2n+1 2n+1 2k+1 = 2k+1 2n+1 1 2k+2 2n+1 2k+1 = 2k+2 1 (2n+1)(2k+2) 2n+1 2k+1 = 1 2n+1 2n+1 2k+1 1 2n+1 1 2k+2 2n+1 2k+1 = 1 2n+1 2n+1 2k+1 1 (2n+1)(2n+2) 2n+2 2k+2 Từđóápdụngcôngthức p 2 (1)và p 1 (1)tacó n å i=0 1 2i+2 2n 2i = n å k=0 1 2n+1 2n+1 2k+1 1 (2n+1)(2n+2) 2n+2 2k+2 = 2 2n 2n+1 2 2n+1 1 (2n+1)(2n+2) = n.2 2n+1 +1 (2n+1)(2n+2) Đếnđâybàitoánđãđượcgiảiquyết. BÀI 8. Tínhtổng n å i=1 2 2i 2i 2n 2i 1 . Chứngminh. Sửdụngđẳngthức(2)tacó 2 2k 2k 2n 2k 1 = 2 2k 1 2k 2n 2k 1 = 2 2k 1 2n+1 2n+1 2k 35TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Khiđóápdụngcôngthứch 2 (x)tathuđược n å i=1 2 2i 2i 2n 2i 1 = 1 2n+1 n å k=1 2n+1 2k 2 2k ! = 1 2n+1 h 2 (2) 2n+1 0 = 3 3 2n 1 2(2n+1) Đếnđâybàitoánđãđượcgiảiquyết. ! Nhưvậyquacácvídụởtrêntađãphầnnàohiểuđượctưduyđểtiếpcậncácbàitoánchứngminhđẳng thứctổhợpnàythôngquasửdụngmộtsốcáctínhchấtđẳngthứcđặcbiệt.Vớicáchlàmđótacóthểdễ dànggiảiquyếtbàitoánsauđây. BÀI 9. Tínhtổng n å i=1 2i 2n 2i . Chứngminh. Ápdụngđẳngthức(1)tađược2k 2n 2k = 2n 2n 1 2k 1 ,khiđósửdụngđẳngthức p 2 (1)tacó n å i=1 2i 2n 2i = 2n n å i=1 2n 1 2k 1 = n.2 2n 1 Đếnđâybàitoánđãđượcgiảiquyết. ! Đâylàmộtbàitoánkháđơngiản,tươngtựtacóthểsửdụngđẳngthức(1)đểchứngminhrằng k.2 2k 2n 2k = 2 2k 1 2k 2n 2k = 2 2k 1 2n 2n 1 2k 1 Từđóápdụngđẳngthức p 2 (x)tacó n å i=1 i.2 2i 2n 2i = 2n n å i=1 2 2i 1 2n 1 2i 1 = 2n (1+2) 2n 1 (1 2) 2n 1 2 = n 3 2n 1 +1 BÀI 10. TínhtổngS= 1 2018 2018 1 2 + 2 2017 2018 2 2 +...+ 2017 2 2018 2017 2 + 2018 1 2018 2018 2 . Chứngminh. Tacó n k = n k+1 k . n k 1 với8k2N,n2N,n> knên S= 1 2018 2018 1 . 2018 1 2018 0 + 2 2017 2018 2 . 2017 2 2018 1 +...+ 2018 1 2018 2018 . 1 2018 2018 2017 = 2018 1 . 2018 0 + 2018 2 . 2018 1 +...+ 2018 2017 . 2018 2016 + 2018 2018 . 2018 2017 Mà 2018 k = 2018 2018 k suyra S= 2018 1 . 2018 2018 + 2018 2 . 2018 2017 +...+ 2018 2017 . 2018 2 + 2018 2018 . 2018 1 Mặtkháctacó (1+x) 2018 = 2018 å k=0 2018 k x k )(1+x) 2018 .(1+x) 2018 = 2018 å k=0 2018 k x k . 2018 å l=0 2018 l x l = 2018 å k,l=0 2018 k . 2018 l .x k+l (1) 36NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Suyrahệsốcủasốhạngchứa x 2019 trongkhaitriểncủa(1)là S= 2018 1 . 2018 2018 + 2018 2 . 2018 2017 +...+ 2018 2017 . 2018 2 + 2018 2018 . 2018 1 Lạido (1+x) 2018 .(1+x) 2018 = (1+x) 4036 ; (1+x) 4036 = 4036 å n=0 4036 n x n (2) Suyrahệsốcủasốhạngchứa x 2019 trongkhaitriểncủa(2)là 4036 2019 .Vậytađược S= 2018 1 . 2018 2018 + 2018 2 . 2018 2017 +...+ 2018 2017 . 2018 2 + 2018 2018 . 2018 1 = 4036 2019 = 4036! 2019!.(4036 2019)! = 4036 2018 2019 4036! 2018!.(4036 2018)! = 2018 2019 4036 2018 Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 11. Chosốnguyêndươngn,tínhtổngS= n 1 2.3 + 2 n 2 3.4 3 n 3 4.5 +...+ ( 1) n n n n (n+1)(n+2) . Chứngminh. Vớik,n2N,06 k6 n,tacó 1 k+1 n k = n! (k+1)k!(n k)! = (n+1)! (n+1)(k+1)!(n k)! = 1 n+1 n+1 k+1 Ápdụngvàotađược k. n k (k+1)(k+2) = n k k+1 1 2 k+2 = n k k+1 2 n k (k+1)(k+2) = n+1 k+1 n+1 2. n+2 k+2 (n+1)(n+2) SuyraS= 1 n+1 n å i=1 ( 1) i n+1 i+1 1 (n+1)(n+2) n å i=1 ( 1) i n+2 i+2 ,tacó n å i=1 ( 1) i n+1 i+1 = n å i= 1 ( 1) i n+1 i+1 + n+1 0 n+1 1 = (1 1) n+1 +1 (n+1)= n Và n å i=1 ( 1) i n+2 i+2 = n å i= 2 ( 1) i n+2 i+2 n+2 0 n+2 1 + n+2 2 = (1 1) n+1 1 (n+2)+ (n+1)(n+2) 2 = n 2 +n 2 VậyS= 1 n+1 ( n)+ 2 (n+1)(n+2) . n 2 +n 2 = n (n+1)(n+2) . BÀI 12. Chứngminhđẳngthức n å j=0 n j n+j j = n å j=0 n j n j 2 j 37TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Chứngminh. Trước tiên ta sử dụng đẳng thức quen thuộc sau đây 2 k = k å j=0 k j và tính chất rất cơ bản n k k j = n j n j k j thìvếphảicủađẳngthứccầnchứngminhcóthểđượcviếtlạithành n å k=0 m k n k 2 k = n å k=0 m k n k k å j=0 k j = n å k=0 k å j=0 m k n j n j k j = n å j=0 n å k=j n j m k n j n k = n å j=0 n j n å k=j m k n j n k ! = n å j=0 n (n j) m+(n j) n TừđâyápdụngđẳngthứcVandermondevàodấubằngcuốidùngrồichom= nthìtathuđượcđẳngthứccần chứngminh. BÀI 13. Chứngminhđẳngthức å 06i > > > > < > > > > > : a r+1 a r = 1 if r = 29 a r+1 a r > 1 if r< 29 a r+1 a r < 1 if r> 29 ) a 0 < a 1 << a 28 < a 29 = a 30 > a 31 > a 32 >> a 2009 Dođótasuyrađược max 06r62009 a r = a 29 = a 30 ) r2f29,30g. BÀI 15. ChứngminhđẳngthứcT = 1 n 1 2 +2 n 2 2 ++n n n 2 = n 2 2n n . Chứngminh. Trướctiêntanênlứuýmộtđẳngthứckháquenthuộcvàrấtquantrọngsauđây n k = n k n 1 k 1 Khiđóápdụngvàovếtráicủađiềucầnchứngminhthìtathuđược T = n " n 1 0 n 0 + n 1 1 n 1 ++ n 1 n 1 n n # = n " n 1 n 1 n 0 + n 1 n 2 n 1 ++ n 1 0 n n # = n 2n 1 n = n 2n n 2n 1 n 1 = n 2n n n 2n 1 n 1 = n 2n n n 2 2n n = n 2 2n n dosửdụngđẳngthứcVandermondetathuđược,vậytừđâytacóđẳngthứccầnchứngminh. BÀI 16. Cho a,blà2sốnguyênkhôngâm,chứngminhrằngvớim2Qthìtacó m a m b = a+b å i=a i a a a+b i m i Chứngminh. TheođẳngthứcVandermondetacó (m a)+a b = b å k=0 m a k a b k . Vì(m a)+a= mnêntaviếtlạinhưsau m b = b å k=0 m a k a b k = a+b å i=a m a i a a a+b i Nhâncảhaivếvới m a tađược m a m b = m a b å k=0 m a k a b k = a+b å i=a m a m a i a a a+b i 39TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Sửdụngtínhchấttậpconcủatậpcontacó a+b å i=a m a m a i a a a+b i = a+b å i=a m i i a a a+b i Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. 4.4 Ứngdụngđạohàmtrongchứngminhđẳngthứctổhợp. Đạohàmcấp1.Khihệsốđứngtrướctổhợptăngdầnhoặcgiảmdầntừ1,2,3,..,nhayn,..,3,2,1tứclàsốhạng đócódạngk n k hoặck n k a n k b k 1 thìtacóthểdùngđạohàmcấp1đểtính.Cụthể (a+x) n = n 0 a n +2 n 1 a n 1 x+...+n n n ax n Lấyđạohàmhaivếtheo xtađược n(a+x) n 1 = n 1 a n 1 +2 n 2 a n 2 +...+n n n ax n 1 (1) Đếnđâythay x,abằnghằngsốthíchhợptađượctổngcầntìm.Trênđâylàdấuhiệunhậnbiếtvàphươngpháp làmdạngnày.Sauđâytasẽcùngtìmhiểukỹhơnquacácbàitoánminhhọa. BÀI 1. Tínhtổng n 1 2 n 2 +3 n 3 4 n 4 +...+( 1) n 1 n n n . Chứngminh. TathấytổngcầntínhcódạngnhưVP(1).Việccònlạichỉcầnchọn a = 1,x = 1tatínhđược tổngbằng0. Cáchkhác.Sửdụngđẳngthứck n k = n n 1 k 1 tatínhđượctổngbằng n n 1 0 n n 1 1 +n n 1 2 +...+( 1) n 1 n n 1 n 1 = n(1 1) n 1 = 0 Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 2. Tínhtổng2008 2007 0 +2007 2007 1 +...+ 2007 2007 . Chứngminh. Hệsốtrướctổhợpgiảmdầntừ2008,2007,..,1nêndùngđạohàmlàđiềudễhiểu (x+1) 2007 = 2007 0 x 2007 + 2007 1 x 2006 +...+ 2007 2007 Bâygiờnếuđạolấyđạohàmthìchỉđược2007 2007 0 x 2006 trongkhiđóđềđến2008dođótaphảinhânthêm với xvàođẳngthứctrênrồimớidùngđạohàm x(x+1) 2007 = 2007 0 x 2008 + 2007 1 x 2007 +...+ 2007 2007 x ,(x+1) 2006 (2008x+1)= 2008 2007 0 x 2007 +2007 2007 1 x 2006 +...+ 2007 2007 Thay x = 1vàotatìmđượctổnglà2009.22006. 40NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 3. Chứngminhrằng(x+2) n = 1.2 n 1 n 2 +2.2 n 2 n 2 +...+n n n = n3 n 1 ,8n6 12Z. Chứngminh. Tacó (x+2) n = n 0 2 n + n 1 2 n 1 x+ n 2 2 n 2 x 2 +...+ n n x n Đạohàm2vếtheobiến xtađượcn(x+2) n 1 = n å k=1 n k kx k . Cho x = 1) n.3 n 1 = n å k=1 n k k,điềuphảichứngminh. BÀI 4. TínhtổngS= n2 n 1 n 0 +(n 1)2 n 2 .3. n 1 +(n 2)2 n 3 .3 2 . n 2 +...+3 n 1 n n 1 Chứngminh. Nhậnthấyhệsốđứngtrướctổhợpgiảmdầnn,n 1,...,3,2,1nênphảihoánđổivịtrí avà x. Xétkhaitriển(x+a) n = n å k=0 n k x n k a k . Đạohàmtheobiến xtađược n(x+a) n 1 = n å k=1 (n k) n k x n k 1 a k Thay x = 2,a= 3tađượcS= n.5 n 1 . Cách2.Tasẽsửdụngtới2đẳngthức n n k = n k ,k n k = n n 1 k 1 tacó S= n2 n 1 n n +(n 1)2 n 2 .3. n n 1 +(n 2)2 n 3 3 2 n n 2 +...+3 n 1 n 1 = n2 n 1 n 1 n 1 +n.2 n 2 .3. n 1 n 2 +n2 n 3 3 2 n 1 n 3 +...+n.3 n 1 n 1 0 = n 2 n 1 n 1 n 1 +2 n 2 .3. n 1 n 2 +2 n 3 3 2 n 1 n 3 +...+3 n 1 n 1 0 = n(2+3) n 1 = n.5 n 1 Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 5. Chứngminhrằng n 0 +2 n 1 +3 n 2 +...+(p+1) n p +...+(n+1) n n = (n+2)2 n 1 . Chứngminh. Tanhậnthấyrằngnếuxétkhaitriểntổngquátthìcáchệsốbịlệchđi1đơnvị,dođóđểxửlýđược tasẽnhânthêmvào2vếđạilượng x,xétkhaitriển x(x+1) n tađược x(x+1) n = x. n å k=0 n k x k )(x+1) n +nx(x+1) n 1 = n å k=1 k n k x k + n å k=0 n k x k Cho x = 1tacóđiềuphảichứngminh. BÀI 6. TínhtổngS= 3 n 0 +4 n 1 +5 n 2 +...+(n+3) n n . 41TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Chứngminh. Nhậnthấyrằngvới x = 1thìtacó 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 3 n 0 = n 0 x 3 0 4 n 1 = n 1 x 4 0 ... (n+3) n 0 = n n x n+3 0 Từđâytasuyrađược n 0 x 3 + n 1 x 4 + n 2 x 5 +...+(n+3) n n x n+3 = x 3 n 0 + n 1 x+ n 2 x 2 +...+ n n x n = x 3 (x+1) n (*) Xéthàmsố f (x)= x 3 (x+1) n ) f 0 (x)= 3x 2 (x+1) n +nx 3 (x+1) n 1 . Kếthợpvới()thìtađược f 0 (x)= 3x 2 n 0 +4x 3 n 1 + n 2 5x 4 +...+(n+3)x n+2 n n Chọn x = 1tacó S= 3 n 0 +4 n 1 +5 n 2 +...+(n+3) n n = 3.2 n +n2 n 1 = 2 n 1 (n+6) Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 7. Chosốnguyêndươngnthỏamãnđẳngthứctổhợp 2n 1 + 2n 3 ++ 2n 2n 1 = 512.Tínhtổng S= 2 2 n 2 3 2 n 3 ++( 1) n .n 2 . n n Chứngminh. Tacó (1+x) 2n = 2n 0 + 2n 1 .x+ 2n 2 .x 2 + 2n 3 .x 3 ++ 2n 2n 1 .x 2n 1 + 2n 2n .x 2n (1) Thay x = 1vào(1)tacó 2 2n = 2n 0 + 2n 1 + 2n 2 + 2n 3 ++ 2n 2n 1 + 2n 2n (2) Thay x = 1vào(1)tacó 0= 2n 0 2n 1 + 2n 2 2n 3 + 2n 2n 1 + 2n 2n (3) Trừtừngvếcủa(2)và(3)tacó 2 2n = 2. 2n 1 + 2n 3 ++ 2n 2n 1 , 2n 1 + 2n 3 ++ 2n 2n 1 = 2 2n 1 Dovậymà 2n 1 + 2n 3 ++ 2n 2n 1 = 512, 2 2n 1 = 2 9 , 2n 1= 9, n= 5 BởivậyS= 2 2 5 2 3 2 5 3 +4 2 5 4 5 2 . 5 5 .Tacó (1+x) 5 = 5 0 + 5 1 .x+ 5 2 .x 2 + 5 3 .x 3 + 5 4 .x 4 + 5 5 .x 5 42NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Từđâylấyđạohàmhaivếtađược 5(1+x) 4 = 5 1 +2 5 2 .x+3 5 3 .x 2 +4 5 4 .x 3 +5 5 5 .x 4 ) 5x(1+x) 4 = 5 1 x+2 5 2 .x 2 +3 5 3 .x 3 +4 5 4 .x 4 +5 5 5 .x 5 (4) Lạilấyđạohàmhaivế(4),tacó 5(1+x) 4 +20x(1+x) 3 = 5 1 +2 2 5 2 .x+3 2 5 3 .x 2 +4 2 5 4 .x 3 +5 2 5 5 .x 4 (5) Thay x = 1vào(5)tađược 0= 5 1 2 5 2 +3 2 5 3 4 2 5 4 +5 2 5 5 , 2 5 2 3 2 5 3 +4 2 5 4 5 2 5 5 = 5 1 HayS= 2 2 5 2 3 2 5 3 +4 2 5 4 5 2 . 5 5 = 5. BÀI 8. TínhtổngS= 2.2 2017 2018 1 +3.2 2016 2018 2 +4.2 2015 2018 3 +...+2019 2018 2018 . Chứngminh. ÁpdụngkhaitriểnnhịthứcNewtontacó (2+x) 2018 = 2018 0 .2 2018 + 2018 1 .2 2017 .x+ 2018 2 .2 2016 .x 2 +...+ 2018 2018 .x 2018 , x(2+x) 2018 = 2018 0 .2 2018 .x+ 2018 1 .2 2017 .x 2 + 2018 2 .2 2016 .x 3 +...+ 2018 2018 .x 2019 Lấyđạohàmtheo xhaivếtađược x(2+x) 2018 0 =(2+x) 2018 +x.2018.(2+x) 2017 = 2018 0 .2 2018 +2. 2018 1 .2 2017 .x+3. 2018 2 .2 2016 .x 2 +...+2019. 2018 2018 .x 2018 Cho x = 1tađược 3 2018 +2018.3 2017 = 2018 0 .2 2018 +2. 2018 1 .2 2017 +3. 2018 2 .2 2016 +...+2019. 2018 2018 ) S= 3 2018 +2018.3 2017 2018 0 .2 2018 = 2021.3 2017 2 2018 Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 9. TínhtổngS= 1 2017 2.3 2017 2 +3.3 2 2017 3 +4.3 3 2017 4 ++2017.3 2016 2017 2017 . Chứngminh. Xétkhaitriển P(x)= (1+x) 2017 = 2017 0 + 2017 1 x+ 2017 2 x 2 + 2017 3 x 3 + 2017 4 x 4 ++ 2017 2017 x 2017 Lấyđạohàmhaivếtađược: 2017(1+x) 2016 = 2017 1 +2 2017 2 x+3 2017 3 x 2 +4 2017 4 x 3 ++2017 2017 2017 x 2016 43TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Cho x = 3tađược 2017.4 2016 = 2017 1 +2.3 2017 2 +3.3 2 2017 3 +4.3 3 2017 4 ++2017.3 2016 2017 2017 Tươngđươngvới 2017.4 2016 2017 1 = 2.3 2017 2 +3.3 2 2017 3 +4.3 3 2017 4 ++2017.3 2016 2017 2017 , 1 2017 2017.4 2016 2017 = 1 2017 2.3 2017 2 +3.3 2 2017 3 +4.3 3 2017 4 ++2017.3 2016 2017 2017 , 4 2016 1= S Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 10. Chosốnguyêndươngnthỏamãn2 n 1 +3 n 2 +...+(n+1) n n = 2621439.Sốhạngkhôngchứa x trongkhaitriểncủabiểuthức x 2 + 1 x n bằngbaonhiêu? Chứngminh. Tacó x(1+x) n = n 0 x+ n 1 x 2 + n 2 x 3 +...+ n n x n+1 . Lấyđạohàmhaivếtađược (x+1) n +nx(x+1) n 1 = n 0 +2 n 1 x+3 n 2 x 2 +...+(n+1) n n x n Cho x = 1,tacó n 0 +2 n 1 +3 n 2 +...+(n+1) n n = 2 n +n2 n 1 = 2 n 1 (2+n) ) 2 n 1 (2+n) 1= 2621439 , 2 n 1 (2+n)= 2621440, 2 n = 2621440 2+n .2 (*) Xét f (n)= 2 n làhàmsốđồngbiếntrên(0;+¥)và g(n)= 2. 2621440 2+n làhàmsốnghịchbiếntrên(0;+¥). Tacó f (18)= g(18)) n= 18lànghiệmduynhấtcủa(). Khiđósốhạngtổngquátcủakhaitriển x 2 + 1 x 18 là 18 k x 36 3k vớik2Z, 06 k6 18. Vậysốhạngkhôngchứa xlà 18 12 = 18564. BÀI 11. Tínhtổng 2017 1 2 2 2017 2 +3.2 2 2017 3 4.2 3 2017 4 +... 2016.2 2015 2017 2016 +2017.2 2016 2017 2017 ? Chứngminh. Tacó (1 x) 2017 = 2017 å k=0 2017 k .( 1) k .x k ) h (1 x) 2017 i 0 = 2017 å k=0 2017 k .( 1) k .x k 0 , 2017.(1 x) 2016 = k 2017 å k=0 2017 k ( 1) k x k 1 44NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Cho x = 2tađược 2017 1 2 2 2017 2 +3.2 2 2017 3 4.2 3 2017 4 +... 2016.2 2015 2017 2016 +2017.2 2016 2017 2017 = 2017 Bàitoánđượcgiảiquyết. Nhưvậytađãtìmhiểuxongdạngsửdụngđạohàmcấp1,sauđâytasẽtìmhiểucácbàitoánsửdụngtớiđạo hàmcấp2. Đạohàmcấp2.Khihệsốđứngtrướctổhợpcódạng1.2,2.3,...,(n 1)nhay(n 1)n,...,3.2,2.1hay1 2 ,2 2 ,...,n 2 tứccódạngk(k 1) n k a n k haytổngquáthơnk(k 1) n k a n k b k thìtacóthểdùngđạohàmđếncấp2để tính.Xétđathức (a+bx) n = n 0 + n 1 a n 1 bx+...+ n n b n x n Khiđóđạohàmhaivếtheo xtađược bn(a+bx) n 1 = n 1 a n 1 b+2 n 2 a n 2 b 2 x...+n n n b n x n 1 Đạohàmlầnnữatađược b 2 n(n 1) a+bx n 2 = 2.1 n 2 a n 2 b 2 +...+n(n 1) n n b n x n 1 (2) Đếnđâytagầnnhưgiảiquyếtxongvídụtoánchỉviệcthaya,b,xbởicáchằngsốthíchhợpnữathôi.Sauđâyta sẽcùngđivàocácvídụminhhọađểhiểurõhơnphươngpháp! BÀI 1. Chohàmsố f (x)= (1+x) n ,(26 n6Z). i) Tính f 00 (1). ii) Chứngminhrằng2.1 n 2 +3.2 n 3 +...+(n 1)n n n = n(n 1)2 n 2 . Chứngminh. i)Tacó f 00 (x)= n(1+x) n 1 ) f 00 (x)= n(n 1)(1+x) n 2 ) f 00 (1)= n(1+x) n 2 . ii)Tacókhaitriển f (x)= (1+x) n = n å k=1 n k x k = n 0 + n 1 x+ n å k=2 n k x k ) f 0 (x)= n 1 + n å k=2 k n k x k 1 ) f 00 (x)= n å k=2 k(k 1) n k x k 2 ) f 00 (1)= n å k=1 k(k 1) n k = 2 n 2 Nhưvậyđếnđâytacóđiềuphảichứngminh. Từcâuii)thayn 1= n+1thìtacómộtbàitoánkhác. Chứngminhrằng 2.1 n 1 +3.2 n 2 +...+(n+1)p n p +...+(n+1)n n n = n(n+1)2 n 2 Vớibàitoánnàytagiảinhưsau.Xétnhịthức (1+x) n = n 0 + n 1 x+...+ n n x n 45TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Nhân2vếcủađẳngthứcvới x6= 0đồngthờilấyđạohàmcấp2haivếtheobiến xtađược 2n(1+x) n 1 +n(n 1)x(1+x) n 2 = 2 n 1 x+3.2 n 2 x+...+(n+1)n n n x n 1 Cho x = 2tađượcđiềuphảichứngminh. BÀI 2. RútgọntổngsauS= 1 2 2009 1 2 2008 +2 2 2009 2 2 2007 +3 2 2009 3 2 2006 +...+2009 2 2009 2009 i) Tính f 00 (1). ii) Chứngminhrằng2.1 n 2 +3.2 n 3 +...+(n 1)n n n = n(n 1)2 n 2 . Chứngminh. Vớiýtưởngnhưbàitrêntaxétđathức (x+2) 2009 = 2009 0 2 2009 + 2009 1 2 2008 x+ 2009 2 2 2007 x 2 +...+ 2009 2009 x 2009 Lấyđạohàm2vếtađược 2.2009(x+2) 2008 = 1 2009 1 2 2008 +2 2009 2 2 2007 x+...+2009 2009 2009 x 2008 Nếutatiếptụcđạohàmlầnnữathìchỉthuđược1.2,2.3,dođóđểthuđược2 2 ,3 2 ,...taphảinhânthêmhaivế với xrồimớilấyđạohàm,tacó 2009x(x+2) 2008 = 1 2009 1 2 2008 x+2 2009 2 2 2007 x 2 +...+2009 2009 2009 x 2009 ) 2009(x+2) 2008 +2009.2008x(x+2) 2007 = 1 2 2009 1 2 2008 +2 2 2009 2 2 2007 x+...+2009 2 2009 2009 x 2008 Thay x = 1rútgọntổngtrêntađược2011.2009.3 2007 .Tươngtựkhitínhtổng 2.1 n 1 +3.2 n 2 +4.3 n 3 +...+(n+1)n n n tacầnchúýlàtrướctổhợpcómộthệsốlớnhơn k trong n k nêntaphảinhânvới x trướckhiđạohàm2 lần. Sauđâychúngtasẽđitìmhiểumộtứngdụngcủatíchphântrongchứngminhcácđẳngthứctổhợp. 4.5 Ứngdụngtíchphântrongchứngminhđẳngthứctổhợp. Ýtưởngcủaphươngphápnàylàdựavàohệthức Z b a x k dx = x k+1 k+1 ! b a = a k+1 b k+1 k+1 Từđâydễdàngtìmđượcdấuhiệuđểsửdụngphươngphápnàylàsốhạngcủatổngcódạng a k+1 b k+1 k+1 n k . Cụthểxéttíchphân I = Z b a (c+dx) n dxtacóthểtínhbằng2cách. Tínhtrựctiếp.Tacó I = 1 d Z b a (c+dx) n d(c+dx)= 1 d (c+dx) n+1 n+1 b a 46NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Tínhgiántiếp.Tacó I = Z b a n å k=0 n k c n k d k x k ! dx = n å k=0 n k c n k d k Z b a x k dx = n å k=0 0 @ n k c n k d k x k+1 k+1 ! b a 1 A = n å k=0 n k c n k d k a k+1 b k+1 k+1 ! Haicáchtrênlànhưnhaunêntừđótacóđược n å k=0 n k c n k d k a k+1 b k+1 k+1 ! = 1 d (c+dx) n+1 n+1 b a Tùytừngbàitoántachọncáchệsố a,b,c,dthíchhợp!Đểdễdàngnhậnbiếthơnthìtacóthểchúýnhưsau. Chúý.Nếutrongtổngdãytổhợp,cácsốhạngchứacácphânsố1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ;...; 1 n vàmẫusốđượcxếptheothứtự tănghoặcgiảmđềutheomộtquyluậtnàođó,tanghĩngayđếnviệcsửdụngtíchphân.Khiđó,tathựchiện theocácbướcsau. Bước1.Tìmhàmđểtínhtíchphânvớicáccậnthíchhợp. Bước2.Tínhtíchphântrongcảhaivế:vếchưakhaitriểnnhịthứcNewtonvàvếđãkhaitriển. Bước3.Chohaikếtquảbằngnhauvàkếtluận. Trướckhivàocácbàitoáncụthểtacầnnhớcácđẳngthứctíchphânsau 1. Z b a (x+1) n dx = Z b a n 0 +x n 1 +x 2 n 2 +...+ n n x n dx,haytươngđươngvới (x+1) n+1 n+1 b a = x n 0 + n 1 x 2 2 +...+ n n x n+1 n+1 b a 2. Z b a (1 x) n dx = Z b a n 0 x n 1 +x 2 n 2 ...( 1) n n n x n dxhaytươngđươngvới (1 x) n+1 n+1 b a = x n 0 n 1 x 2 2 +...+( 1) n n n x n+1 n+1 b a 3. Z b a (x+1) n dx = Z b a n 0 x n + n 1 x n 1 + n 2 x n 2 +...+ n n dxhaytươngđươngvới (x+1) n+1 n+1 b a = n 0 x n+1 n+1 + n 1 x n n + n 2 x n 1 n 1 +...+ n n x b a 4. Z b a (x 1) n dx = Z b a n 0 x n n 1 x n 1 + n 2 x n 2 ...+( 1) n n n dxhaytươngđươngvới (x 1) n+1 n+1 b a = n 0 x n+1 n+1 n 1 x n n + n 2 x n 1 n 1 ...+( 1) n n n x b a Sauđâytasẽđivàotìmhiểucácvídụminhhọa. 47TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 1. Tínhtổng S= n 0 + 2 2 1 2 n 1 + 2 3 1 3 n 2 +...+ 2 n+1 1 n+1 n n (n> 1) Chứngminh. Vếtráicóchứacácphânsố,mẫusốđượcxếptheothứtựtăngđềumộtđơnvị,tanghĩngayđến việcsửdụngtíchphân.Bâygiờ,tasuynghĩhàmlấytíchphân,cáccậnvàsốđượcthayvàochobiến.Vìsốhạng cuốicùngcóhệsố 2 n+1 1 n+1 nêntabiếtcậntừ1đến2vàtổngkhôngđandấunêntasửdụng Z 2 1 (1+x) n dx. Tacó (x+1) n = n 0 +x n 1 + n 2 x 2 +...+ n n x n ) Z 2 1 (x+1) n dx = Z 2 1 n 0 +x n 1 +x 2 n 2 +...+ n n x n dx , (x+1) n+1 n+1 2 1 = x n 0 + 1 2 n 1 x 2 + 1 3 n 2 x 3 +...+ 1 n+1 n n x n+1 2 1 , 3 n+1 2 n+1 n+1 = n 0 + 2 2 1 2 n 1 + 2 3 1 3 n 2 +...+ 2 n+1 1 n+1 n n = S Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 2. Chứngminhrằng n 0 + 1 2 n 1 + 1 3 n 2 +...+ 1 n+1 n n = 2 n+1 1 n+1 Chứngminh. Vếtráicóchứacácphânsố,tanghĩngayđếnviệcsửdụngtíchphân.Tổngkhôngđandấu,tasử dụng Z 1 0 (x+1) n dx.Xétkhaitriển (x+1) n = n 0 +x n 1 +x 2 n 2 +...+x 2 n n Tacóđẳngthứcsau Z 1 0 (x+1) n dx = (x+1) n+1 n+1 = 2 n+1 1 n+1 Vàđẳngthức Z 1 0 n 0 +x n 1 +...+x n n n dx = x n 0 + 1 2 x 2 n 1 +...+ 1 n+1 n n x n+ 1 0 = n 0 + 1 2 n 1 + 1 3 n 2 +...+ 1 n+1 n n Từ2đẳngthứctrêntacóđiềuphảichứngminh. BÀITẬPTƯƠNGTỰ.Chứngminhrằng 2 n 0 1 2 n 1 2 2 + 1 3 n 2 2 3 ...+( 1) n 1 n+1 n n 2 n+1 = 1 n+1 1+( 1) n Hướngdẫn.Vếtráicóchứacácphânsố,tanghĩngayđếnviệcsửdụngtíchphân.Vìsốhạngcuốicùngcóhệsố 2 n+1 n+1 nêntabiếtcậntừ0đến2vàtổngđandấunêntasửdụng Z 2 0 (1 x) n dx. 48NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 3. Chứngminhrằng 1 2 n 1 + 2 3 n 2 + 3 4 n 3 +...+ n n+1 n n = (n 1)2 n +1 n+1 Chứngminh. Vếtráicóchứacácphânsố,tanghĩđếnviệcsửdụngtíchphân.Vìsốhạngcuốicùngcóhệsố n n+1 nêntakhôngthểnghĩrangaymộthàmsốnàođóđểtínhtíchphân.Bằngcáchphântíchsốhạngtổng quát k k+1 n k = 1 1 k+1 n k ,chotatổngsau n 1 + n 2 + n 3 +...+ n n 1 2 n 1 + 1 3 n 2 +...+ 1 n+1 n n Từđósửdụng2 n Z 1 0 (x+1) n dx. Cách1.Xétsốhạngtổngquáttrongvếtrái k k+1 n k = 1 1 k+1 n k , k = 0,n Dođótacó n å i=1 i i+1 n i = n 1 + n 2 + n 3 +...+ n n 1 2 n 1 + 1 3 n 2 +...+ 1 n+1 n n = 2 n Z 1 0 (x+1) n dx = 2 n 2 n+1 1 n+1 = (n 1)2 n +1 n+1 Cách2.Xétkhaitriển(x+1) n = n 0 +x n 1 +x 2 n 2 +...+x n n n .Lấyđạohàm2vếtađược n(x+1) n 1 = n 1 +2 n 2 x+3 n 3 x 2 +...+n n n x n 1 Tacóđẳngthức Z 1 0 nx(x+1) n 1 dx = Z 1 0 n(1+x 1)(x+1) n 1 dx = n Z 1 0 (x+1) n (x+1) n 1 dx = n " (x+1) n+1 n+1 (x+1) n n # 1 0 = n n+1 2 n+1 1 (2 n 1)= (n 1)2 n +1 n+1 Và Z 1 0 n 1 +2 n 2 x+3 n 3 x 2 +...+n n n x n 1 dx = 1 2 n 1 + 2 3 n 2 +...+ n n+1 n n Từ2điềutrêntacóđiềuphảichứngminh. BÀI 4. Chứngminhrằng 1 2 2n 1 + 1 4 2n 3 + 1 6 2n 5 +...+ 1 2n 2n 2n 1 = 2 2n 1 2n+1 49TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Chứngminh. Xétcáckhaitriển 8 > > < > > : (x+1) 2n = 2n 0 +x 2n 1 +x 2 2n 2 +...+x 2n 2n 2n (1 x) 2n = 2n 0 x 2n 1 +x 2 2n 2 ...+x 2n 2n 2n Trừ2vếđẳngthứctrêntađược (x+1) 2n (1 x) 2n = 2 x 2n 1 +x 3 2n 3 +...+x 2n 1 2n 2n 1 ) Z 1 0 (x+1) 2n (1 x) 2n 2 dx = Z 1 0 x 2n 1 +x 3 2n 3 +...+x 2n 1 2n 2n 1 dx , (x+1) 2n+1 +(1 x) 2n+1 2(2n+1) 1 0 = 1 2 2n 1 x 2 + 1 4 2n 3 x 4 +...+ 1 2n 2n 2n 1 x 2n 1 0 , 1 2 2n 1 + 1 4 2n 3 + 1 6 2n 5 +...+ 1 2n 2n 2n 1 = 2 2n 1 2n+1 Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. Nhậnxét.Nếuphảitínhtổng 2n 0 + 1 3 2n 2 + 1 5 2n 4 +...+ 1 2n+1 2n 2n thìkhiđótaxét P(x)= (x+1) 2n +(1 x) 2n 2 = 2n 0 +x 2 2n 2 +...+ 2n 2n x 2n Sauđótínhtíchphân Z 1 0 P(x)dx. Cònnếuphảitínhtổng 1 2 2n 0 + 1 4 2n 2 + 1 6 2n 4 +...+ 1 2n+2 2n 2n thìkhiđótaxét G(x)= xP(x)= 2n 0 x+ 2n 2 x 3 +...+ 2n 2n x 2n+1 Sauđótínhtíchphân Z 1 0 G(x)dx. BÀI 5. Chứngminhrằng 2 2n 0 + 2 3 2n 2 + 2 5 2n 4 +...+ 2 2n+1 2n 2n = 2 2n+1 2n+1 (n> 1) Chứngminh. Xétkhaitriển (x+1) 2n = 2n 0 +x 2n 1 +...+x 2n 2n 2n Tacó Z 1 1 (x+1) 2n dx = (x+1) 2n+1 2n+1 1 1 = 2 2n+1 n+1 vàđồngthờitacó Z 1 1 2n 0 +x 2n 1 +...+x 2n 2n 2n dx = 2n 0 x+ 1 2 2n 1 x 2 +...+ 1 2n+1 2n 2n x 2n+1 1 1 = 2 2n 0 + 2 3 2n 2 +...+ 2 2n+1 2n 2n Từ2đẳngthứctrêntacóđiềuphảichứngminh. 50NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 6. Chotíchphân Z 1 0 x 2 1+x 3 n dx = 2 n+1 1 3(n+1) (n> 2).Chứngminhrằng 1 3 n 0 + 1 6 n 1 + 1 9 n 2 +...+ 1 3(n+1) n n = 2 n+1 1 3(n+1) Chứngminh. Xéttíchphân I = Z 1 0 x 2 n 0 +x 3 n 1 + n 2 x 6 +...+ n n x 3n dx = Z 1 0 n 0 x 2 + n 1 x 5 +...+ n n x 3n+2 dx = 1 3 n 0 + 1 6 n 1 + 1 9 n 2 +...+ 1 3(n+1) n n Mặtkháctalạicó Z 1 0 x 2 1+x 3 n dx = 2 n+1 1 3(n+1) (n> 2),nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. BÀITẬPTƯƠNGTỰ. Câu1.Chứngminhrằng 1 1 3 n 1 + 1 5 n 2 1 7 n 3 +...+ ( 1) n 2n+1 n n = Z 1 0 1 x 2 n dx Gợiý.Tacó Z 1 0 x 1 x 2 n dx = 1 2(n+1) . Câu2.Chứngminhrằng 1 1 3 n 1 + 1 5 n 2 1 7 n 3 +...+ ( 1) n 2n+1 n n = Z 1 0 1 x 2 n dx Gợiý.Tacó Z 1 0 1 x 2 n dx = n Õ i=1 2i n Õ i=1 (2i+1) . Chúýrằngkhibàitoánchomàsốhạngtổngquátkhôngphảilà 1 k+1 n k màlà 1 k+2 n k thìtacầnphải nhânthêm xvàohàmđathứccơbảntrướckhitínhtíchphân,cònnếulà 1 k+3 n k thìtaphảinhânthêm x 2 vàohàmđathứccơbảntrướckhitínhtíchphân.Sauđâytasẽcùnghiểurõhơnquabàitoánsau. BÀI 7. Chứngminhrằng 1 2 n 0 + 1 3 n 1 + 1 4 n 2 +...+ 1 n+2 n n = n 2 n+1 +1 (n+1)(n+2) (n> 1). Chứngminh. Vếtráicóchứacácphânsố,tanghĩđếnviệcsửdụngtíchphân.Vìsốhạngcuốicùngcóhệsố 1 k+2 n k thìtaphảinhânthêmxvàohàmsốcơbảntrướckhitínhtíchphân.Khiđó,tasửdụng Z 1 0 x(x+1) n dx. Tacóđẳngthức Z 1 0 x(x+1) n dx = Z 1 0 (x+1) n+1 dx Z 1 0 (x+1) n dx = (x+1) n+2 n+2 (x+1) n+1 n+1 ! 1 0 = n2 n+1 +1 (n+1)(n+2) Và Z 1 0 x(x+1) n dx = Z 1 0 x n 0 +x n 1 +...+x n n n dx = 1 2 n 0 + 1 3 n 1 +...+ 1 n+2 n n . Từ2đẳngthứctrêntacóđiềuphảichứngminh. 51TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀITẬPTƯƠNGTỰ.Chứngminhrằng 1 2 n 0 1 3 n 1 + 1 4 n 2 ...+ ( 1) n n n n+2 = 1 (n+1)(n+2) BÀI 8. Giảsửsốtựnhiênn> 2thỏamãnđẳngthứcdướiđây,hãytìmn? 2n 0 + 2n 2 3 + 2n 4 5 + 2n 6 7 +...+ 2n 2n 2 2n 1 + 2n 2n 2n+1 = 4096 13 Chứngminh. Giảsửsốtựnhiênn> 2thỏamãn 2n 0 + 2n 2 3 + 2n 4 5 + 2n 6 7 +...+ 2n 2n 2 2n 1 + 2n 2n 2n+1 = 8192 15 Tacó (1+x) 2n = 2n 0 + 2n 1 x+ 2n 2 x 2 +...+ 2n 2n x 2n , 1 Z 0 (1+x) 2n dx = 2n 0 x+ 1 2 2n 1 x 2 + 1 3 2n 2 x 3 +...+ 1 2n+1 2n 2n x 2n+1 1 0 , (1+x) 2n+1 2n+1 1 0 = 2n 0 x+ 1 2 2n 1 x 2 + 1 3 2n 2 x 3 +...+ 1 2n+1 2n 2n x 2n+1 1 0 , 2 2 2n+1 1 2n+1 = 2 2n 0 + 2 2 2n 1 + 2 3 2n 2 +...+ 2 2n+1 2n 2n (1) Mặtkháctalạicó 1 Z 0 (1+x) 2n dx = 2n 0 x+ 1 2 2n 1 x 2 + 1 3 2n 2 x 3 +...+ 1 2n+1 2n 2n x 2n+1 1 0 , 2 2n+1 = 2 2n 0 + 2 2 2n 1 2 3 2n 2 +...+ 2 2n+1 2n 2n (2) Lấy(1)trừ(2),tađược 2 2n+1 2n+1 = 2 0 B B @ 2n 0 + 2n 1 3 + 2n 4 5 + 2n 6 7 +...+ 2n 2n 2 2n 1 + 2n 2n 2n+1 1 C C A , 2 2n+1 2n+1 = 2. 4096 13 , n= 6 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 9. Giảsửsốtựnhiênn> 2thỏamãnđẳngthứcdướiđây,hãytìmn? 2n 0 + 2n 2 3 + 2n 4 5 + 2n 6 7 +...+ 2n 2n 2 2n 1 + 2n 2n 2n+1 = 4096 13 52NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Chứngminh. Vớibàinàytasẽcó2hướnggiảiquyếtnhưsau. Cách1.Tacó n k (k+1)(k+2) = n! k!(n k)!(k+1)(k+2) = (n+2)! (n k)!(k+2)!(n+1)(n+2) = n+2 k+2 (n+1)(n+2) Từđâysuyrađược n å k=0 n k (k+1)(k+2) = n å k=0 n+2 k+2 (n+1)(n+2) (*) Taxétkhaitriểnsau (1+x) n+2 = n+2 0 +x. n+2 1 +x 2 . n+2 2 +x 3 . n+2 3 +...+x n+2 . n+2 n+2 Chọnx = 1) 2 n+2 = n+2 0 + n+2 1 + n+2 2 + n+2 3 +...+ n+2 n+2 .Dođó()tươngđươngvới 2 100 n 3 (n+1)(n+2) = 2 n+2 n+2 0 n+2 1 (n+1)(n+2) , 2 100 = 2 n+2 , n= 98 Cách2.Tacó S= n 0 1.2 + n 1 2.3 + n 2 3.4 +...+ n n (n+1)(n+2) = 1 1 1 2 n 0 + 1 2 1 3 n 1 + 1 3 1 4 n 2 +.....+ 1 n+1 1 n+2 n n = n å i=0 1 i+1 n i n å i=0 1 i+2 n i Mặtkháctalạicó 1 Z 0 (1+x) n dx 1 Z 0 x(1+x) n dx = 1 Z 0 2(1+x) n dx 1 Z 0 (1+x) n+1 dx Từđâytasuyra n å i=0 1 i+1 n i n å i=0 1 i+2 n i = 2 n+1 (1+x) n+1 1 0 1 n+2 (1+x) n+2 1 0 ) S= 2.2 n+1 2 n+1 2 n+2 1 n+2 = 2 n+2 n 3 (n+1)(n+2) Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 10. TínhtổngS= n 1 2.3 + 2 n 2 3.4 3 n 3 4.5 +...+ ( 1) n .n n n (n+1)(n+2) . Chứngminh. Tacósốhạngtổngquát a k = ( 1) k k n k (k+1)(k+2) = ( 1) k n k 2 k+2 1 k+1 = ( 1) k 2 n k k+2 +( 1) k+1 n k k+1 ) S= n å k=1 0 B B @ ( 1) k 2 n k k+2 +( 1) k+1 n k k+1 1 C C A = 2 n å k=1 ( 1) k n k k+2 + n å k=1 ( 1) k+1 n k k+1 53TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Xétkhaitriển (x+1) n = n 0 +x n 1 +...+x n n n ) Z 0 1 (x+1) n dx = Z 0 1 n 0 +x n 1 +...+x n n n dx ) (x+1) n+1 n+1 0 1 = 0 B B @ x n 0 1 + x 2 n 1 2 +...+ x n+1 n n n+1 1 C C A 0 1 ) 1 n+1 = n å k=1 ( 1) k+1 n k k+1 Tươngtựtacó x(x+1) n = x n 0 +x 2 n 1 +...+x n+1 n n ) Z 0 1 x(x+1) n dx = Z 0 1 x n 0 +x 2 n 1 +...+x n+1 n n dx ) 1 n+1 1 n+2 = n å k=1 ( 1) k n k k+2 NhưvậytacóS= 2 1 n+1 1 n+2 1 n+1 = n (n+1)(n+2) . Nhưvậytađãtìmhiểuxongcácbàitoánsửdụngtíchphânđểchứngminhđẳngthứctổhợp.Sauđâysẽlàmột côngcụkhácđểgiảiquyếtnhữngbàitoánkhóhơn,đólàsốphức. BÀI 11. Chứngminhđẳngthức n å k=1 ( 1) k 1 k n k = 1+ 1 2 + 1 3 ++ 1 n ,vớin,klàcácsốnguyêndương Chứngminh. TrướctiênbằngcôngthứcnhịthứcNewtonthìtasuyrađược (1 x) n = n å i=0 ( 1) i n i x i = 1+ n å i=1 ( 1) i n i x i vìthếtasuyra (1 x) n 1 x = n å i=0 ( 1) i n i x i 1 Khiđólấytíchphântừ0đến1haivếthìtathuđược Z 1 0 (1 x) n 1 x dx = Z 1 0 n å i=0 ( 1) i n i x i 1 = n å i=1 ( 1) i n i Z 1 0 x i 1 dx = n å i=1 ( 1) i i n i (1) Màtacó Z 1 0 (1 x) n 1 x dx = Z 0 1 z n 1 1 z ( dz)trongđótađặt1 x = z vìthếmàtasuyrađược Z 0 1 z n 1 z 1 dz= Z 0 1 1+z+z 2 +...+z n 1 dz= n 1 å i=0 Z 0 1 z i dz= ( 1) 1+ 1 2 + 1 3 ++ 1 n (2) 54NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Từ(1)và(2)thìtathuđược ( 1) 1+ 1 2 + 1 3 ++ 1 n = n å i=1 ( 1) i i n i 1+ 1 2 + 1 3 ++ 1 n = ( 1) n å i=1 ( 1) i i n i = n å i=1 ( 1) i 1 i n i haytừđâytathuđượcđẳngthứccầnchứngminh. 4.6 Ứngdụngsốphứcchứngminhđẳngthứctổhợp. Trướctiêntasẽnhắclạimộtsốtínhchấtcủasốphứcsau. 1.Haisốphứcz= x+iy,w= x 0 +iy 0 bằngnhaukhivàchỉkhi x = x 0 ,y= y 0 . 2.CôngthứcMoivez= r(cosj+isinj)) z n = r n (cosnj+isinnj). 3.Giảiphươngtrình x 3 1 = 0tađượcnghiệmlà x 1 = 1;x 2 = 1 2 + i p 3 2 ;x 3 = 1 2 i p 3 2 ,cácnghiệmđó chínhlàcáccănbậcbacủa1. Đặt a= 1 2 i p 3 2 ) a 2 = 1 2 + i p 3 2 và acócáctínhchấtsau i) a+a 2 = 1. ii) a 3 = 1. iii) a 3k = 1. iv) a 3k+1 = a. v) a 3k+2 = a 2 . Ýtưởngcủaphươngphápnàydựatrêncáctínhchấtcủasốảoi. i 4k = 1,i 4k+1 = i,i 4k+2 = 1,i 4k+3 = i,k2N Từđó,taxétđathức f (x)= a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a n x n .Đặt S 0 = å i=4k a i ,S 1 = å i=4k+1 a i ,S 2 = å i=4k+2 a i ,S 3 = å i=4k+3 a i Tacó 8 < : f (1)= (S 0 +S 2 )+(S 1 +S 3 ) f ( 1)= (S 0 +S 2 ) (S 1 +S 3 ) f (i)= (S 0 S 2 )+(S 1 S 3 )i , 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : S 0 = f (1)+ f ( 1)+2Re(f (i)) 4 S 1 = f (1) f ( 1)+2Im(f (i)) 4 S 2 = f (1)+ f ( 1) 2Re(f (i)) 4 S 3 = f (1) f ( 1) 2Im(f (i)) 4 VớiRe(f (i)),Im(f (i))lầnlượtlàphầnthựcvàphầnảocủa f (i). Dấuhiệu.Đâylàvấnđềlớnnhấtcầnchúý.Tadùngsốphứcđểtínhtổngcủacác n k khitổngnàycócácđặc điểm. Cácdấutrongtổngxenkẽđềunhau. kluônlẻ,hoặcluônchẵnhoặckhichiakchomộtsốtaluônđượccùngmộtsốdư(trongchươngtrìnhphổ thôngtachỉlàmvớik = 3n,k = 3n+1,k = 3n+2). Sauđâytasẽcùngtìmhiểuphươngphápnàyquacácvídụsau. 55TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Dạng1.Khaitriển(x+1) n ,cho xnhậngiátrịlànhữngsốphứcthíchhợphoặckhaitriểntrựctiếpcácsốphức. BÀI 1. Tínhtổng 1. A= 2009 0 2009 2 + 2009 4 ...+ 2009 2008 . 2. B= 2009 1 + 2009 3 2009 5 +... 2009 2009 . Chứngminh. Xétkhaitriển (x+1) 2009 = 2009 0 +x 2009 1 +x 2 2009 2 +...+x 2009 2009 2009 Cho x = itacó (1 i) 2009 = 2009 0 +i 2009 1 +i 2 2009 2 +...i 2009 2009 2009 = 2009 0 2009 2 + 2009 4 ...+ 2009 2008 + 2009 1 + 2009 3 2009 5 +... 2009 2009 i Mặtkháctalạicó (1 i) 2009 = p 2 2009 cos p 4 +isin p 4 2009 = p 2 2009 cos 2009p 4 isin 2009p 4 = p 2 2009 cos p 4 isin p 4 = 2 1004 i2 1004 Sosánhphầnthựcvàphầnảocủa(1 i) 2009 tronghaicáchtínhtrêntađược. A= 2009 0 2009 2 + 2009 4 ...+ 2009 2008 = 2 1004 . B= 2009 1 + 2009 3 2009 5 +... 2009 2009 = 2 1004 . Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 2. TínhtổngS= 1 2 50 50 0 3 50 2 +3 2 50 4 ...+3 24 50 48 3 25 50 50 . Chứngminh. Xétkhaitriển 1 2 +i p 3 2 ! 50 = 1 2 50 50 0 i p 3 50 1 + i p 3 2 50 2 +... i p 3 49 50 49 + i p 3 50 50 50 = 1 2 50 50 0 p 3 2 50 2 +... p 3 50 50 50 + 1 2 50 p 3 50 1 + p 3 3 50 3 ... p 3 49 50 49 i Mặtkháctalạicó 1 2 + i p 3 2 ! 50 = cos 2p 3 +isin 2p 3 50 = 1 2 i p 3 2 56NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Sosánhphầnthựccủa 1 2 + i p 3 2 ! 50 tronghaicáchtínhtrêntađược S= 1 2 50 50 0 3 50 2 +3 2 50 4 ...+3 24 50 48 3 25 50 50 = 1 2 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 3. TínhtổngS= 3 10 20 0 3 9 20 2 +3 8 20 4 3 7 20 6 +... 3 20 18 + 20 20 . Chứngminh. Tươngtựbàitoántrên,xétkhaitriển i+ p 3 20 = p 3 20 20 0 +i p 3 19 20 1 ... i p 3 20 19 + 20 20 = 3 10 20 0 3 9 20 2 +... 3 20 18 + 20 20 + p 3 19 20 1 p 3 17 20 3 +... p 3 20 19 i Mặtkhác i+ p 3 20 = 2 19 i2 19 p 3,sosánhphầnthựccủa i+ p 3 20 tronghaicáchtínhtrêntacó S= 3 10 20 0 3 9 20 2 +3 8 20 4 3 7 20 6 +... 3 20 18 + 20 20 = 2 19 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 4. TínhtổngS= n å k=0 ( 1) k 2n 2k . Chứngminh. Xétkhaitriển(1+i) 2n tacó (1+i) n = 2n å k=0 2n k i k = n å k=0 2n 2k i 2k + n å k=1 2n 2k 1 i 2k 1 = n å k=0 ( 1) k 2n 2k + n å k=1 i( 1) k 1 2n 2k 1 Từđótasuyrađược S= n å k=0 ( 1) k 2n 2k = Re h (1+i) 2n i Vàđồngthời n å k=1 ( 1) k 1 2n 2k 1 = Im h (1+i) 2n i Mặtkháctalạicó (1+i) 2n = h p 2 cos p 4 +isin p 4 i 2n = 2 n cos np 2 +isin np 2 Nhưvậysuyra S= n å k=0 ( 1) k 2n 2k = 2 n cos np 2 Và n å k=1 ( 1) k 1 2n 2k 1 = 2 n sin np 2 Bàitoánđượcgiảiquyết. 57TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 5. TínhtổngS= 3n å k=0 12n 4k . Chứngminh. Nhìnvàobàitoánnàytasẽnghĩngaytớikhaitriển(1+i) 12n ,tuynhiênsửdụngkhaitriểnnàycó chotađượckếtquảcủabàitoánhaykhông?Tathửxét (1+i) 12n = 12n å k=0 12n k i k Cácsốhạngcủata“cáchđều”mộtkhoảngbộicủa4,nhưvậymộtcáchtựnhiêntasẽtáchkhaitriểntrênthành 4tổngtheophânđoạnmodulo4(theokmod4),tacó 12n å k=0 12n k i k = 3n å k=0 12n 4k i 4k + 3n 1 å k=0 12n 4k+1 i 4k+1 + 3n 1 å k=0 12n 4k+2 i 4k+2 + 3n 1 å k=0 12n 4k+3 i 4k+3 = 3n å k=0 12n 4k +i 3n 1 å k=0 12n 4k+1 3n 1 å k=0 12n 4k+2 i 3n 1 å k=0 12n 4k+3 Đếnđây,tagặpmộtvướngmắcnhỏ,đólà Re h (1+i) 12n i = 3n å k=0 12n 4k 3n 1 å k=0 12n 4k+2 (1) Nhưvậylàsovớitổngcầntínhgiátrịcủata“thừara”mộttổng...tươngtự.Khôngvấnđềgì,trởlạivớisốthực taxétkhaitriển. (1+x) 12n = 3n å k=0 12n 4k x 4k + 3n 1 å k=0 12n 4k+1 x 4k+1 + 3n 1 å k=0 12n 4k+2 x 4k+2 + 3n 1 å k=0 12n 4k+3 x 4k+3 Và (1 x) 12n = 3n å k=0 12n 4k x 4k 3n 1 å k=0 12n 4k+1 x 4k+1 + 3n 1 å k=0 12n 4k+2 x 4k+2 3n 1 å k=0 12n 4k+3 x 4k+3 Cho x = 1thìtađược 2 12n = 2 3n å k=0 12n 4k +2 3n 1 å k=0 12n 4k+2 hay 2 12n 1 = 3n å k=0 12n 4k + 3n 1 å k=0 12n 4k+2 Cộngvếtheovếvới(1)tacó 2 12n 1 +Re h (1+i) 12n i = 2 3n å k=0 12n 4k = 2S ViệccònlạitachỉphảitìmRe (1+i) 12n ,tacó (1+i) 12n = h p 2 cos p 4 +isin p 4 i 12n = 2 6n (cos(3np)+isin(3np))=( 1) n 2 6n Từđósuyrađược S= 3n å k=0 12n 4k = 2 12n 2 +( 1) n 2 6n 1 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. ! Từbàitoánnàytachứngminhđượcđẳngthứcsau Im h (1+i) 12n i = 3n 1 å k=0 12n 4k+1 3n 1 å k=0 12n 4k+3 = 0 58NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 6. Chứngminhrằng 1 n 2 + n 4 ... 2 + n 1 n 3 + n 5 ... 2 = 2 n . Chứngminh. Tacó (1+i) n = 1 n 2 + n 4 ... +i n 1 n 3 + n 5 ... 2 Mặtkháctalạicó (1+i) n = p 2 n cos np 4 +sin np 4 = p 2 n cos np 4 + p 2 n sin np 4 Dođótasuyra 1 n 2 + n 4 ... 2 = 2 n cos np 4 2 n 1 n 3 + n 5 ... 2 = 2 n sin np 4 2 Cộng2đẳngthứctrên,tacóđẳngthứccầnchứngminh. Cách2.Xétsốphứcz= 1+i.Khiđótacó z n =(1+i) n = n å k=0 n k i k = 1 n 2 + n 4 ... +i n 1 n 3 + n 5 ... Dođósuyrađược jz n j 2 = 1 n 2 + n 4 ... 2 + n 1 n 3 + n 5 ... 2 Mặtkháctalạicójz n j =jzj n = p 2 n ,từđâysuyrađiềuphảichứngminh. BÀI 7. Tínhtổng 1. A= 3 n 2n 0 3 n 1 2n 2 +...+( 1) n 1 3 2n 2n 2 +( 1) n 2n 2n . 2. B= 3 2m 4m 0 +3 2m 2 4m 4 +3 2m 4 4m 8 +...+3 2 4m 4m 4 + 4m 4m . Chứngminh. Xétcáckhaitriểnsau p 3+x 2n = 2n å k=0 2n k p 3 2n k x k p 3 x 2n = 2n å k=0 2n k p 3 2n k ( 1) k x k Nhưvậytatínhđược T = 3 n 2n 0 +3 n 1 x 2 2n 2 +3 n 2 x 4 2n 4 +...+x 2n 2n 2n = 1 2 p 3+x 2n + p 3 x 2n Cho x = ithìtathuđược p 3+i 2n = 2 2n cos p 6 +isin p 6 2n = 2 2n cos np 3 +isin np 3 p 3 i 2n = 2 2n cos p 6 +isin p 6 2n = 2 2n cos np 3 isin np 3 59TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Từđósuyrađược A= 2 2n cos np 3 .Vớin= 2m,chọn x = 1thìtacó A 0 = 3 2m 4m 0 +3 2m 1 4m 2 +3 3m 2 4m 4 +...+3 4m 4m 2 + 4m 4m = 2 2m 1 2+ p 3 2m + 2 p 3 2m A= 3 2m 4m 0 3 2m 1 4m 2 +3 2m 2 4m 4 +...+ 4m 4m = 2 4m cos 2mp 3 Nhưvậytacóđược B= A+A 0 2 = 2 2m 2 2+ p 3 2m + 2 p 3 2m +4 4m 1 cos 2mp 3 Bàitoánđượcgiảiquyết. Dạng2.Khaitriển(x+1) n ,đạohàmhaivếtheo xsauđócho xnhậngiátrịlànhữngsốphứcthíchhợp. BÀI 1. Tínhtổng 1. S= 30 1 3 30 3 +5 30 5 ... 27 30 27 +29 30 29 . 2. S 1 = 2 30 2 4 30 4 +6 30 6 ... 28 30 28 +30 30 30 . Chứngminh. Xétkhaitriển (x+1) 30 = 30 0 +x 30 1 +x 2 30 2 +...+x 30 30 30 Đạohàmhaivếtacó 30(x+1) 29 = 30 1 +2x 30 2 +3x 2 30 3 +...30x 29 30 30 Cho x = itađược 30(x+i) 29 = 30 1 3 30 3 +...+29 30 29 + 2 30 2 4 30 4 +... 28 30 28 +30 30 30 i Mặtkhác30(i+1) 29 = 15.2 15 i.15.2 15 ,sosánhphầnthựcvàảocủa30(1+i) 29 tronghaicáchtínhtrêntacó: S= 30 1 3 30 3 +5 30 5 ... 27 30 27 +29 30 29 = 15.2 15 S 1 = 2 30 2 4 30 4 +6 30 6 ... 28 30 28 +30 30 30 = 15.2 15 Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. BÀITẬPTƯƠNGTỰ. Câu1.TínhtổngS= 2.3 20 2 4.3 2 20 4 +6.3 3 20 6 ...+18.3 9 20 18 20.3 10 20 20 . Gợiý.Xétkhaitriển 1+ p 3x 20 . Câu2.TínhtổngS= 1 8n 1 3 8n 3 +... (8n 1) 8n 8n 1 . Gợiý.Xétkhaitriển(1+x) 8n . 60NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 2. Tínhtổng 1. M = 15 0 3 15 2 +5 15 4 7 15 6 +...+13 15 12 15 15 14 . 2. N = 2 15 1 4 15 3 +6 15 5 8 15 7 +...+14 15 13 16 15 15 Chứngminh. Tươngtựnhưbàitoánởtrên,taxétkhaitriểnXétkhaitriển (x+1) 15 = 15 0 +x 15 1 +x 2 15 2 +...+x 14 15 14 +x 15 15 15 Nhânhaivếvới xtacó x(x+1) 15 = x 15 0 +x 2 15 1 +x 3 15 2 +...+x 15 15 14 +x 16 15 15 Đạohàmhaivếtađược (x+1) 15 +15x(x+1) 14 = 15 0 +2x 15 1 +3x 2 15 2 +..+16x 15 15 15 Với x = itacó (1+i) 15 +15i(i+1) 14 = 15 0 3 15 2 +...+13 15 12 15 15 14 + 2 15 1 4 15 3 +...+14 15 13 16 15 15 i Mặtkhác(1+i) 15 = 7.2 8 2 7 i,sosánhphầnthựcvàảocủa(1+i) 15 +15i(i+1) 14 tronghaicáchtínhtrênta có M = 15 0 3 15 2 +5 15 4 7 15 6 +...+13 15 12 15 15 14 = 7.2 8 N = 2 15 1 4 15 3 +6 15 5 8 15 7 +...+14 15 13 16 15 15 = 2 7 Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 3. TínhtổngS= 1 8n 1 3 8n 3 +... (8n 1) 8n 8n 1 . Chứngminh. Trướctiêntaphảidùngđạohàmđểcóđượchệsốđứngtrướctổhợp.Xétđathức f(x)=(1+x) 8n = 8n 0 + 8n å k=1 n k x k ) f 0 (x)= 8n(1+x) 8n 1 = 8n å k=0 k n k x k 1 Lạinhânvới xtađược g(x)= 8nx(1+x) 8n 1 = 8n å k=0 k n k x k TathấyrằngSchínhlàphầnảocủa g(i)= 8ni(1+i) 8n 1 = 4n16 n +4n16 n i,dovậymàS= 4n.16 n . ! Tươngtựnhưbàinày,tacóthểdùngđạohàm2lầnđểtínhtổng 2 2 8n 2 4 2 8n 4 +6 2 8n 6 ... (8n) 2 8n 8n 61TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Tacó(1+x) 8n = 8n 0 + 8n å k=1 8n k x k ,lấyđạohàmvànhânthêm xvà2vếsaukhilấyđạohàm,tađược 8nx(1+x) 8n 1 = 8n å k=1 k 8n k x k ) 8n(1+x) 8n 2 (1+8nx)= 8n å k=1 k 2 8n k x k 1 , 8nx(1+x) 8n 2 (1+8nx)= 8n å k=1 k 2 8n k x k = f(X) Tổngcầntìmchínhlàphầnthựccủa f(i)= 8nf(1+i) 8n 2 (1+8ni)= 16 n 1 +128n 2 16 n 2 i Dạng3.Khaitriển(x+1) n ,choxnhậngiátrịlàcáccănbậcbacủađơnvị.Cácbàitoánởđâysửdụngtínhchấtsố3mà mìnhđãđềcậpởđầu!Chúý a= 1 2 i p 3 2 . Sauđâylàcácbàitoánminhhọa. BÀI 1. TínhtổngS= 20 0 + 20 3 + 20 6 +...+ 20 3k +...+ 20 15 + 20 18 . Chứngminh. Xétkhaitriển (x+1) 20 = 20 0 +x 20 1 +x 2 20 2 +...+x 19 20 19 +x 20 20 20 Cho x = 1tacó 2 20 = 20 2 + 20 1 + 20 2 +...+ 20 19 + 20 20 (1) Cho x = atacó (1+a) 20 = 20 0 +a 20 1 +a 2 20 2 +...++a 20 19 +a 2 20 20 (2) Cho x = a 2 tacó 1+a 2 20 = 20 0 +a 2 20 1 +a 20 2 + 20 3 +...+a 2 20 19 +a 20 20 (3) Cộngvếtheovế(1),(2),(3)tađược 2 20 +(1+a) 20 + 1+a 2 20 = 3S Mặtkháctalạicó (1+a) 2 = a 2 20 = a 40 = a; 1+a 2 20 = ( a) 20 = a 2 Dovậy3S= 2 20 1) S= 2 20 1 3 . Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 2. TínhtổngS= 20 1 + 20 4 + 20 7 +...+ 20 3k+1 +...+ 20 16 + 20 19 ? 62NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Chứngminh. Xétkhaitriển(x+1) 20 = 20 0 +x 20 1 +x 2 20 2 +...+x 19 20 19 +x 20 20 20 . Nhânhaivếvới x 2 tađược x 2 (x+1) 20 = x 2 20 0 +x 3 20 1 +x 4 20 2 +...+x 21 20 19 +x 22 20 20 Cho x = 1tacó 2 20 = 20 2 + 20 1 + 20 2 +...+ 20 19 + 20 20 (1) Cho x = atacó a 2 (1+a) 2 = a 2 20 0 + 20 1 +a 20 2 +a 2 20 3 + 20 4 +...+a 2 20 18 + 20 19 +a 20 20 (2) Cho x = a 2 tacó a 1+a 2 20 = a 20 0 + 20 1 +a 2 20 2 +a 20 3 +...+a 20 18 + 20 19 +a 2 20 20 (3) Cộngvếtheovế(1),(2),(3)tacó2 20 +a 2 (1+a) 20 +a 1+a 2 20 = 3S.Mặtkháctalạicó a 2 (1+a) 2 = a 42 = 1;a 1+a 2 20 = a 21 = 1) S= 2 20 +2 3 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 3. TínhtổngS= 20 0 +3 20 3 +6 20 6 +...+3k 20 3k +...+15 20 15 +18 20 18 . Chứngminh. Xétkhaitriển(x+1) 20 = 20 0 +x 20 1 +x 2 20 2 +...+x 19 20 19 +x 20 20 20 . Đạohàmhaivếtacó 20(x+1) 19 = 20 1 +2x 20 2 +3x 2 20 3 +...+19x 18 20 19 +20x 19 20 20 (*) Nhânhaivế()với xtacó 20x(x+1) 19 = x 20 1 +2x 2 20 2 +3x 3 20 3 +...+19x 19 20 19 +20x 20 20 20 Cho x = 1tađược 20.2 19 = 20 1 +2 20 2 +3 20 3 +...+19 20 19 +20 20 20 (1) Cho x = atacó 20a(1+a) 19 = a 20 1 +2a 2 20 2 +3 20 3 +...19a 20 19 +20a 2 20 20 (2) Cho x = a 2 tacó 20a 2 1+a 2 19 = a 2 20 1 +2a 20 2 +3 20 3 +4a 2 20 4 +...+19a 2 20 19 +20a 20 20 (3) Cộngvếtheovế(1),(2),(3)tathuđược 20 2 19 +a(1+a) 19 +a 2 1+a 2 19 = 3S 20 0 Mặtkháctalạicó 8 > < > : a(1+a) 19 = a a 2 19 = a 39 = 1 a 2 1+a 2 19 = a 2 ( a) 19 = a 21 = 1 TừđâytasuyrađượcS= 10.2 20 3 13. 63TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 4. Chứngminhrằng1+ n 3 + n 6 +...= 1 3 2 n +2cos np 3 . Chứngminh. Trướctiêntacó 2 n = n 0 + n 1 + n 2 +...+ n n (1) Xétsốphứca= cos 2p 3 +isin 2p 3 tacó a 3 = cos 2p 3 +isin 2p 3 3 = 1,(a 1) a 2 +a+1 = 0 Mặtkháctalạicó (1+a) n = n 0 +a n 1 +a 2 n 2 +...+a n n n = n 0 +a n 1 +a 2 n 2 + n 3 +a n 4 +a 2 +... (2) 1+a 2 n = n 0 +a 2 n 1 +a 4 n 2 +...+a 2n n n = n 0 +a 2 n 1 +a n 2 + n 3 +a 2 n 4 +... (3) Cộng2vếcủa(1),(2),(3)tathuđược 2 n +(1+a) n + 1+a 2 n = 3 n 0 + n 3 + n 6 +... + 1+a+a 2 n 1 + n 2 + n 3 ... = 3 n 0 + n 3 + n 6 +... Mà1+a= cos p 3 +isin p 3 ;1+a 2 = cos p 3 isin p 3 nêntacóđiềuphảichứngminh. ! Vớicáchlàmtươngtự,tasẽchứngminhđượccácđẳngthứcsau n 1 + n 4 + n 7 + = 1 3 2 n +2cos (n 2)p 3 n 2 + n 5 + n 8 + = 1 3 2 n +2cos (n 4)p 3 n 0 + n 4 + n 8 + = 1 2 2 n 1 +2 n 2 cos np 4 n 1 + n 5 + n 9 + = 1 2 2 n 1 +2 n 2 sin np 4 n 2 + n 6 + n 10 + = 1 2 2 n 1 2 n 2 cos np 4 n 3 + n 7 + n 11 + = 1 2 2 n 1 2 n 2 sin np 4 BÀI 5. Vớisốtựnhiênn> 1,chứngminhrằng n 0 cosa+ n 1 cos2a+ n 2 cos3a+...+ n n cos(n+1)a= 2 n cos n a 2 cos n+2 2 a Chứngminh. Xétkhaitriển (x+1) n = n 0 +x n 1 +x 2 n 2 +...+x n n n ) x(x+1) n = n å k=0 x k+1 n k 64NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Thay x = cosa+isinavàsửdụngcôngthứcMoivetacó (cosa+isina)(cosa+isina) n = n 0 cosa+ n 1 cos2a+...+ n n cos(n+1)a +i n 0 sina+ n 1 sin2a+... n n sin(n+1)a (1) Mặtkháctalạicó (1+cosa+isina) n = 2cos 2 a 2 +2isin a 2 cos a 2 n = 2 n cos n a 2 cos a 2 +isin a 2 n TheocôngthứcMoivetathuđược (cosa+isina) cos a 2 +isin a 2 n = (cosa+isina) cos na 2 +isin na 2 = cos n+2 2 a+isin n+2 2 a Dođótađược (1+cosa+isina) n = 2 n cos n a 2 cos n+2 2 a+i.2 n cos n a 2 sin n+2 2 a (2) Từ(1),(2)tacóđiềuphảichứngminh. BÀI 6. Tínhtổng n å k=0 n 6i = n 0 + n 6 + n 12 + n 18 + n 24 . Chứngminh. Khoảngcáchcủahaichỉsốtrênliêntiếplà6nênxétsốphức #= cos 2p 6 +isin 2p 6 = cos p 3 +isin p 3 Nhậnthấyrằng# k = 1khivàchỉkhiklàbộicủa6,vàvớimọikkhôngchiahếtcho6thì 1+# k +# 2k +# 3k +# 4k +# 5k = 1 # 6k 1 # k = 0 Tacó (1+1) n +(1+#) n + 1+# 2 n + 1+# 3 n + 1+# 4 n + 1+# 5 n = 6S Rõrànglà ¯ #= cos p 3 isin p 3 ,# 3 = 1và# 6 = 1= # ¯ #nên# 6 p = # p ,dovậytađược 1+# 5 n =(1+ ¯ #) n , 1+# 4 n = 1+ ¯ # 2 n Tacó 1+#= p 3 cos p 6 +isin p 6 1+ ¯ #= p 3 cos p 6 isin p 6 1+# 2 = cos p 3 +isin p 3 1+ ¯ # 2 = cos p 3 isin p 3 Từđâysuyra 6S= 2 n +(1+#) n +(1+ ¯ #) n + 1+# 2 n + 1+ ¯ # 2 n = 2 n + p 3 n cos np 6 +isin np 6 + p 3 n cos np 6 +isin np 6 = 2 n +2 p 3 n cos np 6 +2cos np 3 VậytađượcS= 1 3 h 2 n 1 + p 3 n cos np 6 +cos np 3 i . 65TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC ! Tươngtựtasẽtínhđượctổng n å k=0 n 3i = n 0 + n 3 + n 6 + n 9 + n 12 ... BÀI 7. Chứngminhđẳngthứcsau,trongđónlàsốnguyêndương å 062k6n ( 1) k n 2k ! 2 + å 062k+16n ( 1) k n 2k+1 ! 2 = 2 n T7/248-THTT Chứngminh. Xétsốphứcz= i+1,sửdụngkhaitriểnnhịthứcNewtontacó z n =(1+i) n = n å k=0 i k n k = å 062k6n ( 1) k n 2k +i. å 062k+16n ( 1) k n 2k+1 Lấymodulehaivếtađược jz n j = v u u t å 062k6n ( 1) k n 2k ! 2 + å 062k+16n ( 1) k n 2k+1 ! 2 Mặtkháctalạicó z n = h p 2 cos p 4 +isin p 4 i n = p 2 n cos np 4 +isin np 4 Từđótacójz n j 2 = 2 n ,suyrađiềuphảichứngminh. ! Vớisốphứcz= cosj+isinjthìtheocôngthứcMoivetacó z n =(cosj+isinj) n = cosnj+isinnj Khiđótađược (cosj+isinj) n = å 062k6n ( 1) k n 2k cos n 2k jsin 2k j+i å 062k+16n ( 1) k n 2k+1 cos n 2k 1 jsin 2k+1 j Lấymodule2vế,tasuyra å 062k6n ( 1) k n 2k cos n 2k jsin 2k j ! 2 + å 062k+16n ( 1) k n 2k+1 cos n 2k 1 jsin 2k+1 j ! 2 = 1 Với j= p 4 thìtacókếtquảcủabàitoánnày. Với j= p 3 vàcos p 3 = 1 2 ,sin p 3 = p 3 2 ,tacóđẳngthức " å 062k6n ( 3) k n 2k # 2 +3 " å 062k+16n ( 3) k n 2k+1 # 2 = 4 n BÀI 8. Chứngminhrằng n å k=0 n k 2 coskx = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k 2cos x 2 n 2k cos nx 2 ,x2[0;p] 66NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Chứngminh. Đặt A n = n å k=0 n k 2 coskx,B n = n å k=0 n k 2 sinkx,khiđótacó A n +iB n = n å k=0 n k 2 (coskx+isinkx)= n å k=0 n k 2 (cosx+isinx) k Xéthệsốy n từhằngđẳngthức(1+y) n (1+zy) n = 1+(1+z)y+zy 2 n tacó å k+l=n 06k,l6n n k n l z l = å k+l+s=n 06k,l,s6n n! k!l!s! (z+1) l z s Hayviếtlạidướidạng n å k=0 n k 2 z k = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k (z+1) n 2k z k Xétz= cosx+isinxthì1+z= 1+cosx+isinx = 2cos x 2 cos x 2 +isin x 2 nênvới x2[0;p]tacó A n +iB n = n å k=0 n k 2 (cosx+isinx) k = n å k=0 n k 2 z k = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k (z+1) n 2k z k = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k 2cos x 2 n 2k cos x(n 2k) 2 +isin x(n 2k) 2 (coskx+isinkx) = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k 2cos x 2 n 2k cos nx 2 +isin nx 2 Dođótađược A n = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k 2cos x 2 n 2k cos nx 2 B n = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k 2cos x 2 n 2k sin nx 2 Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. ! Theokếtquảtrênthì n å k=0 n k 2 sinkx = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k 2cos x 2 n 2k sin nx 2 Nếu x = 0thì n å k=0 n k 2 = b n 2 c å k=0 n 2k 2k k 2 n 2k = 2n n . Nếu x = pthì n å k=0 ( 1) k n k 2 = 8 < : 0, n= 2m+1 ( 1) n 2 n n 2 n= 2m ,m2N 4.7 Đồngnhấthệsố. Phươngpháplàmdạngtoánnàylàtasẽthựchiệnkhaitriểntheohaicách,sauđósosánhhệsốcủaluỹthừax k ởhaivếtasẽcóđiềuphảichứngminh.Đểhiểurõhơntađivàocácvídụsau. 67TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 1. Chocácsốnguyêndươngm,n;06 p6 minfm;ng.Chứngminhrằng m p + m p 1 n 1 + m p 2 n 2 +...+ m p q n q +...+ m 0 n p = m+n p Chứngminh. Trướctiêntaxétkhaitriển (x+1) m = m 0 +x m 1 +x 2 m 2 +...+x p m p +...+x m m m (x+1) n = n 0 +x n 1 +x 2 n 2 +...+x p n p +...+x n n n Nhântheovếtacó (x+1) m+n = g(x)+ m p n 0 + m p 1 n 1 +...+ m p q n q +...+ m 0 n p x p Trongđó g(x)làbiểuthứckhôngchứa x p ,mặtkháchệsốcủa x p trongkhaitriển(x+1) m+n là m+n p ,đến đâysosánhhệsốcủa x p tacó m+n p = m p n 0 + m p 1 n 1 +...+ m p q n q +...+ m 0 n p Đếnđâybàitoánđãđượcgiảiquyếthoàntoàn. ! Chúývớim= n= p) n 0 2 + n 1 2 + n 2 2 +...+ n n 2 = 2n n . BÀITẬPTƯƠNGTỰ.Cho ( 06 k,n k,n2Z ,chứngminhrằng n 0 n k + n 1 n k+1 +...+ n n k n n = (2n)! (n+k)!(n k)! Gợiý.Viếtlạiđẳngthứccầnchứngminh n 0 n n k + n 1 n n k 1 +...+ n n k n 0 = (2n)! (n+k)!(n k)! Điềunàylàmtagợitớiđếnvếtráilàhệsốcủa x n k .Taxét(1+x) n (1+x) n = (1+x) 2n ,sauđósosánhhệsố x n k ở2vếtasẽcóđiềuphảichứngminh. BÀI 2. Cho2sốn,kthỏamãn ( 06 k,n k,n2Z .Chứngminhrằng k 0 + k+1 1 + k+2 2 +...+ k+n n = n+k+1 n Chứngminh. Viếtlạiđẳngthứccầnchứngminh k k + k+1 k + k+2 k +...+ k+n k = n+k+1 k+1 Điềunàylàmtagợiđếnvếtráilàtổngcáchệsốchứa x k .Xétđathức P(x)= (1+x) k +(1+x) k+1 +(1+x) k+2 +...+(1+x) k+n = (1+x) n+k+1 (1+x) k x Sosánhhệsốcủasốhạngchứa x k ở2vếtasuyrađiềuphảichứngminh. 68NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 3. Tínhtổng S= n 0 1 1 2 + n 1 1 2 2 + n 2 1 3 2 +...+ n n 1 n+1 2 Chứngminh. Trướctiêntasửdụngtớiđẳngthứcsau n k 1 k+1 = n! (k+1)k!(n k)! = (n+1)! (n+1)(k+1)!(n k)! = n+1 k+1 1 n+1 Khiđó S= n å k=0 n+1 k+1 1 n+1 2 = 1 (n+1) 2 n+1 1 2 + n+1 2 2 +...+ n+1 n+1 2 ! = 1 (n+1) 2 2(n+1) n+1 1 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 4. Vớicácsốnguyêndươngn,tínhtổngS= n 1 2 +2 n 2 2 +...+n n n 2 . Chứngminh. Đâylàmộtbàitoánkhóhơn,tasẽphảisửdụngtớiđạohàm.Xétkhaitriển f(x)= (x+1) n ) f 0 (x)= n(x+1) n 1 = n 1 +2x n 2 +3x 2 n 3 +...+nx n 1 n n ) xf 0 (x)= nx(x+1) n 1 = x n 1 +2x 2 n 2 +3x 3 n 3 +...+nx n n n (1) Mặtkháctalạicó (x+1) n = x n n 0 +x n 1 n 1 +x n 2 n 2 +...+ n n (2) Nhântheovếcủa2đẳngthức(1),(2)vàsosánhhệsốcủa x n ởcả2vếtađược S= n 1 2 +2 n 2 2 +...+n n n 2 = n 2n 1 n 1 = n 2n 1 n Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 5. TínhtổngS= 1 2 2n 1 1 3 2n 2 +...+( 1) k 2n k 1 1 k +...+( 1) 2n+1 1 2n+1 2n 2n . Chứngminh. Vớik = 2,2n+1tacó 1 k 2n k 1 = (2n)! k(k 1)!(2n k+1)! = 1 2n+1 . (2n+1)! k!(2n+1 k)! = 1 2n+1 2n+1 k 69TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Dóđótacó S= 2n+1 å k=2 ( 1) k k 2n k 1 = 2n+1 å k=2 ( 1) k 2n+1 2n+1 k = 1 2n+1 2n+1 å k=2 ( 1) k 2n+1 k ! = 1 2n+1 2n+1 å k=2 ( 1) k 2n+1 k 2n+1 0 + 2n+1 1 ! = 1 2n+1 (1 1) 2n+1 1+2n+1 = 2n 2n+1 Nhưvậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 6. Khaitriển 1+x+x 2 +...+x 10 11 đượcviếtthành a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 110 x 110 .Tínhtổng S= 11 0 a 0 11 1 a 1 + 11 2 a 2 11 3 a 3 +...+ 11 10 a 10 11 11 a 11 . Chứngminh. Xét x6= 1,từkhaitriểnnhânhaivếcho(x 1) 11 ,tađược x 11 1 11 = (x 1) 11 . h a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 110 x 110 i . Tacó VT = 11 å k=0 11 k ( 1) 11 k x 11k ,suyrahệsốcủa x 11 bằng 11 1 = 11. VP= 11 å k=0 11 k x 11 k ( 1) k ! . a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a 110 x 110 ,suyrahệsốcủa x 11 bằng 11 0 a 0 11 1 a 1 + 11 2 a 2 11 3 a 3 +...+ 11 10 a 10 11 11 a 11 . VậyS= 11 0 a 0 11 1 a 1 + 11 2 a 2 11 3 a 3 +...+ 11 10 a 10 11 11 a 11 = 11. BÀI 7. Chứngminhrằng 2n å k=0 ( 1) k 2n k 2 =( 1) n 2n n Chứngminh. Taxétđẳngthức 1 x 2 2n =(1 x) 2n (1+x) 2n (1) Khaitriểnvếtráicủa(1)tađược 1 x 2 2n = 2n å k=0 ( 1) k x 2k 2n k Hệsốcủa x 2n trongkhaitriểntrêntươngứngvớisốhạngk = nlà( 1) 2n k . Khaitriểnvếphảicủa(1)tađược (1 x) 2n (1+x) 2n = 2n å k=0 ( 1) k x k 2n k 2n å j=0 2n k x j = 2n å k=0 2n å j=0 ( 1) k 2n k 2n k x j+k 70NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Nhưvậyhệsốcủa x 2n trongkhaitriểntrêntươngứngvớicácsốhạngthoảk+j= 2nlà å k+j=2n ( 1) k 2n k 2n j = 2n å k=0 2n k 2n 2n k = 2n å k=0 ( 1) k 2n k 2 Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 8. 1. ChứngminhrằngS n = n å k=0 ( 1) k n k 2n 2k = n å k=0 ( 1) k n k 3n n+k . 2. TínhgiátrịcủabiểuthứcS 2m (m2N). Chứngminh. Chúýtớicáccôngthứctổhợptrongtổng,điềunàykhiếntaliêntưởngtớiphảixétđẳngthức 1 x 2 n (1+x) 2n =(1 x) n (1+x) 3n Khaitriểnđẳngthứcnàyratađược n å k=0 ( 1) k n k x 2k 2n å j=0 2n j x j = n å k=0 ( 1) k n k x k 2n å j=0 3n j x j Tươngđươngvới n å k=0 2n å j=0 ( 1) k n k 2n j x 2k+j = n å k=0 2n å j=0 ( 1) k n k 3n j x k+j .Tìmhệsốcủa x 2n trongcảhai khaitriểntrêntacó å 2k+j=2n ( 1) k n k 2n 2n 2k = å k+j=2n ( 1) k n k 3n 2n k , n å k=0 ( 1) k n k 2n 2k = n å k=0 ( 1) k n k 3n n+k Nhưvậyđẳngthứcđầutiênđượcchứngminh,bâygiờtasẽđitínhgiátrịcủaS 2m . Tacó S n = n å k=0 ( 1) k n k 3n n+k = n å k=0 n!(3n)!( 1) k k!(n k)!(n+k)!(2n k)! = n!(3n)! (2n)!(2n)! n å k=0 (2n)!(2n)!( 1) k k!(2n k)!(n+k)!(n k)! = n!(3n)! (2n)!(2n)! n å k=0 ( 1) k 2n k 2n n k TừđâysuyrađượcS 2m = (2m)!(6m)! (4m)!(4m)! å k+j=2m ( 1) k 4m k 4m j .Xétđẳngthức 1 x 2 4m =(1 x) 4m (1+x) 4m , 4m å k=0 ( 1) k 4m k x 2k = 4m å k=0 4m å j=0 ( 1) k 4m k 4m j x k+j Cânbằnghệsốcủa x 2m ởđẳngthứctrêntađược ( 1) m 4m m = å k+j=2m ( 1) k 4m k 4m j Nhưvậytacóđược S 2m = (2m)!(6m)! (4m)!(4m)! ( 1) m (4m)! m!(3m)! = ( 1) m (2m)!(6m)! m!(3m)!(4m)! Đếnđâybàitoánđượcgiảiquyết. 71TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 9. Vớicácsốtựnhiênm,nthỏamãnm6 n,chứngminhrằng m å k=0 m k k+n m = m å k=0 m k n k 2 k =( 1) m m å k=0 m k n+k k ( 2) k Chứngminh. Vớibàitoánnàytasẽđitìmhệsốcủa x n trongcáckhaitriển ( 1) m [1 2(1+x)] m (1+x) n =(1+2x) m (1+x) n =[x+(1+x)] m (1+x) n (1) Trướctiêntacó (1+2x) m (1+x) n = m å k=0 m k 2 k x k n å j=0 n j x j = m å k=0 n å j=0 m k n j 2 k x k+j Hệsốcủa x n baogồmcácsốhạngthỏamãnk+j= nhay j= n k,đólà m å k=0 m k n n k 2 k (2) Mặtkháctalạicó [x+(1+x)] m (1+x) n = m å k=0 m k x m k (1+x) k+n = m å k=0 m k x m k n+k å j=0 n+k j x j = m å k=0 n+k å j=0 m k n+k j x m k+j Hệsốcủa x n baogồmtổngcácsốhạngthoảmãnm k+j= nhay j= n+k m,đólà m å k=0 m k n+k n+k m (3) Tiếptheotaxéttớikhaitriển ( 1) m [1 2(1+x)] m (1+x) n =( 1) m m å k=0 m k ( 2) k (1+x) k+n =( 1) m m å k=0 m k ( 2) k n+k å j=0 n+k j x j =( 1) m m å k=0 n+k å j=0 m k n+k j ( 2) k x j Nhưvậyhệsốcủa x n tươngứngvới j= nlà ( 1) m m å k=0 m k n+k n ( 2) k (4) Từ(1),(2),(3)và(4)tasuyrađiềuphảichứngminh. BÀI 10. Chứngminhrằng n å k=0 4 n k 4n 2n+2k 2n+2k k = 8n 2n . 72NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Chứngminh. Biểuthứccủavếphảichotathấyđólàhệsốcủasốhạngthứ2n+1trongkhaitriểncủanhịthức vớibậc8n.Tacó (x+y) 8n = 8n å k=0 8n k x 8n k y k Nhưvậysốhạngthứ2n+1(tươngứngvớik = 2n)là 8n 2n x 6n y 2n .Đểchođơngiảntasẽchoy= x 1 tứclà 8n 2n = D x 4n E x+x 1 8n Kíhiệuhx n i f(x)ởđâynghĩalàhệsốcủa x n trongkhaitriển f(x).Tacó 8n 2n = D x 4n E x+x 1 8n = D x 4n E x 2 +x 2 +2 4n = D x 4n E 4n å k=0 4n k x 2 +x 2 4n k 2 k = D x 4n E 4n å k=0 4n k å j=0 4n k 4n k j 2 k x 8n 2k 2j x 2j = D x 4n E 4n å k=0 4n k å j=0 4n k 4n k j 2 k x 8n 4j 2k Nhưvậycácsốhạngchứa x 4n tươngứngk,jthỏamãn8n 4j 2k = 4nhayk = 2n 2j,khiđóthì 06 2n 2j6 2n) 06 j6 n Thaygiátrịk = 2n 2jvàgiớihạncủa jvàobiểuthứctrêntađược 8n 2n = n å j=0 2 2n 2j 4n 2n 2j 2n+2j j = n å k=0 4 n k 4n 2n+2k 2n+2k k Bàitoánđượcgiảiquyết. ! Cáihaycủaphươngphápnàyđólàbằngcáchkhaitriểntheonhữngcáchkhácnhau,tacóthểmởrộng đượcnhiềuđẳngthứckhácnhautừbàitoánbanđầu! Vídụ.Từđẳngthức 8n 2n = D x 4n E x+x 1 8n Takhaitriểnnhưsau x+x 1 8n = 2+x 2 +x 2 4n = 4n å k=0 4n k 2 4n k x 2 +x 2 k = 4n å k=0 k å j=0 4n k k j 2 4n k x 2k 2j x 2j = 4n å k=0 k å j=0 4n k k j 2 4n k x 2k 4j Suyra2k 4j= 4nhay06 k = 2n 2j6 2n) 06 j6 n.Dođóhệsố x 4n củakhaitriểntrênsẽlà D x 4n E 4n å k=0 k å j=0 4n k k j 2 4n k x 2k 4j = n å j=0 4n 2n 2j 2n 2j j 4 n+j Từđótacóthêmđẳngthức 8n 2n = n å k=0 4n 2n+2k 2n 2k k 4 n+k 73TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Kếthợpvớiđềbàithìtacóđẳngthức n å k=0 4 n k 4n 2n+2k 2n+2k k = n å k=0 4 2n k 4n 2k 2k n k Chúýrằng 2n n k chỉkhác0khi2k> n khayk> n 3 .Nhưvậytađược n å k=0 4 2n k 4n 2k 2k n k = n å k=b n+2 3 c 4 2n k 4n 2k 2k n k BÀI 11. Vớicácsốnguyêndươngn,mthỏamãn06 m6 n.Chứngminhrằng b n m 2 c å k=0 ( 1) k n k 2n 2k n+m = n m 2 n m Chứngminh. Quansátvếphảicủađẳngthứccầnchứngminhtathấyrằng n m 2 n m =hx m i(2+x) n Tuynhiêntathấyrằngvếphảicủađẳngthứcchứanhịthức 2n 2k n+m điềunàychứngtỏbiểuthứcđólàhệsố bậc(n+m)củamộtkhaitriểnbậccaohơnn.Dođótasẽnhânthêm x n vàokhaitriểntrên hx m i(2+x) n = x n+m 2x+x 2 n = x n+m h (x+1) 2 1 i n = x n+m n å k=0 n k (x+1) 2(n k) ( 1) k = x n+m n å k=0 2n 2k å j=0 n k 2n 2k j ( 1) k x j Suyra j= n+mvàdođótacó n m 2 n m = n å k=0 ( 1) k n k 2n 2k n+m Chúýrằngvớik> n m 2 thì2n 2k< n+m,suyrađược 2n 2k m+k = 0. Dovậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 12. Chứngminhđẳngthức n å k=0 2 n k n k k j k 2 k = 2n+1 n . China1994 Chứngminh. Tacó k j k 2 k làhệsốtựdotrongkhaitriển(1+x) x+x 1 k .Khiđó n å k=0 n k (1+x) x+ 1 x k 2 n k =(1+x) n å k=0 n k x+ 1 x k 2 n k =(1+x) 2+x+ 1 x n = 1 x n (1+x) 2x+x 2 +1 n = 1 x n (1+x) 2n+1 74NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Sosánhhệsốtựdotacó n å k=0 2 n k n k k j k 2 k = 2n+1 n Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 13. Tínhtổng n å r=0 ( 1) r n r 2n 2r n 1 . Chứngminh. Tathấyrằng 2n 2r n 1 làhệsốtựdotrongkhaitriển (1+x) 2n 2r x n 1 ,dođó n å r=0 ( 1) r n r 2n 2r n 1 làhệsốtựdotrongkhaitriển 1 x n 1 n å r=0 ( 1) r n r (1+x) 2n 2r = x 2 +2x n x n 1 = x(x+2) n Màhệsốtựdocủabiểuthứcnàybằng0,đếnđâytadễdàngsuyrakếtquảcủabàitoán. BÀI 14. Chosốtựnhiênn.Tínhtổng n å k=0 n k n k j n k 2 k 2 k . Chứngminh. Tacó n k j n k 2 k làhệsốtựdotrongkhaitriểncủa(x+1) x+ 1 x n k .Dođó n å k=0 n k n k j n k 2 k 2 k làhệsốtựdotrongkhaitriển n å k=0 n k (1+x) x+ 1 x n k 2 k =(1+x) x+ 1 x +2 n = (1+x) 2n+1 x n Từđâysuyra n å k=0 n k n k j n k 2 k 2 k = 2n+1 n . BÀI 15. Chom,nlàhaisốtựnhiên.Tínhtổng n å k=0 n k n k j m k 2 k x k . Chứngminh. Chúýrằng n k j m k 2 k làhệsốtựdotrongkhaitriểncủay n m (1+y) y+ 1 y n k ,dovậy n å k=0 n k n k j m k 2 k x k . làhệsốtựdotrongkhaitriểntheoycủa n å k=0 n k y n m (1+y) y+ 1 y n k x k =(1+y)y n m n å k=0 n k y+ 1 y n k x k =(1+y)y n m x+y+ 1 y n = (1+y) xy+y 2 +1 n y m 75TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Từđótacóđượccáchtínhtổngđãcho. BÀI 16. Chosốtựnhiênn.Tínhtổng n å k=0 2n 2k 2k k 2 2n 2k . Chứngminh. Tasẽxửlýbàitoánnàytheo2cáchsau. Cách1.Tacó 2n 2k 2k k = (2n)! (2k)!(2n 2k)! (2k)! (k!) 2 = (2n)! (2n k)!k! (2n k)! (2n 2k)!k! = 2n k 2n k k Dođó n å k=0 2n 2k 2k k 2 2n 2k làhệsốtựdotrongkhaitriển 2n å k=0 2n k 2 2n 2k (x+1) 2n k x k =(2x+2) 2n 2n å k=0 2n k 1 (4x 2 +4x) k =(2x+2) 2n 1+ 1 4x 2 +4x 2n = (2x+1) 4n (2x) 2n Tứclà n å k=0 2n 2k 2k k 2 2n 2k = 4n 2n . Cách2.Tacó 2k k làhệsốtựdotrongkhaitriển (x+1) 2k x k . Nhưvậytacó n å k=0 2n 2k 2k k 2 2n 2k làhệsốtựdotrongkhaitriểncủa 2 2n 1 1+ 1+x 2 p x 2n + 1 1+x 2 p x 2n ! = (1+ p x) 4n +(1 p x) 4n 2x n Tacóđápsốlà 4n 2n .Bàitoánđượcgiảiquyết. 4.8 Bàitậptựluyện. Cácbàitoánsửdụngcáctínhchấtđẳngthứcđặcbiệt. Bài1.Chocácsốtựnhiênm,nthoảmãnm6 n.Chứngminhrằng m å k=0 2n 2k 2n 2k m k 4 k = 4n 2m . Bài2.Chocácsốtựnhiênm,nthoảmãn2m+16 3n.Chứngminhrằng n å k=0 ( 1) k n k n+2m 4k n 1 = n å k=0 n k n 2m+1 2k Bài3.Chứngminhrằng n m n m k = n m+k m+k m ,8n> m+k,m> 0,k> 0. Bài4.Chứngminhrằngn n k = k n k +(k+1) n k+1 ,8n 1> k> 0. Bài5.Chứngminhrằng n å k=1 n k 1 k = n å k=1 2 k 1 k . Bài6.Chứngminhrằng n å k=0 n k ( 1) k (k+1)(k+2) = 1 n+2 . Bài7.Chứngminhrằng m å k=0 n k ( 1) k k+1 = 1 n+1 n m+1 ( 1) m + 1 n+1 . 76NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Bài8.Chứngminhrằng n å k=0 n k 1 (k+1) 2 = 1 n+1 n å k=0 2 k+1 1 k+1 . Bài9.Chứngminhrằng å k>0 n 2k+1 1 k+1 = 2 n+1 2 n+1 . Bài10.Chứngminhrằng n å k=0 n k k m = 2 n m n m . Bài11.Chứngminhrằng n å k=0 n k k m x n k y k m =(x+y) n m n m . Bài12.Chứngminhrằng m å k=0 m k n k = n+1 m n m = n+1 n+1 m . Bài13.Chứngminhrằng m å k=0 m k k r n k = n+1 m r n m . Bài14.Chứngminhrằng n å k=0 n k m r k k 2 = n n+m 1 r 1 +n(n 1) n+m 2 r 2 . Bài15.Chứngminhrằng n å k=0 n k m r k k = n n+m 1 r 1 . Bài16.Chứngminhrằng n å k=0 n k r+k m ( 1) k =( 1) n r m n . Bài17.Chứngminhrằng n å k=0 n k (n k) n+1 ( 1) k = n(n+1)! 2 . Bài18.Chứngminhrằng n å k=0 n k 2n k n ( 1) k = 1. Bài19.Chứngminhrằng n å k=0 n k n+m k 1 m ( 1) k = m 1 n 1 . Bài20.Chứngminhrằng n å k=0 ( 3) k 2n k 2n k n k =( 2) n 2n n . Bài21.Chứngminhrằng b n 2 c å k=0 n k n k k = n å k=0 ( 1) k n k 2n 2k n k . Bài22.Chứngminhrằng n å k=0 ( 1) k 2 k n k 2 = 2 n n å k=0 ( 1) k n k 2n k . Cácbàitoánsửdụngđạohàm,tíchphân,sốphức. Bài23.Chứngminhrằng n å k=0 n k k(k 1)x k 2 y n k = n(n 1)(x+y) n 2 . Bài24.Chứngminhrằng n å k=0 n k k 2 x k 1 y n k = n(x+y) n 2 (nx+y). Bài25.Chứngminhrằng n å k=0 n k (n k) n ( 1) k = n!. Bài26.Chứngminhrằng n å k=0 n k x k+1 2 x k+1 1 y n k k+1 = (x 2 +y) n+1 (x 1 +y) n+1 n+1 . Bài27.Chứngminhrằng å k>0 n 2k 1 2k+1 = 2 n n+1 . Bài28.Chứngminhrằng n å k=0 n k ( 1) k (k+1)(k+2) = 1 n+2 . 77TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Bài29.Chứngminhrằng n å k=0 n k 0 @ x k+2 3 x k+2 2 y n k (k+1)(k+2) (x 3 x 2 )x k+1 1 y n k k+1 1 A = (x 3 +y) n+2 (x 2 +y) n+2 (n+1)(n+2) (x 3 x 2 )(x 1 +y) n+1 n+1 Bài30.Chứngminhrằng n å k=0 n k x k+1 2 x k+1 1 y n+1 k 2 y n+1 k 1 (k+1)(n+1 k) = (x 2 +y 2 ) n+2 (x 2 +y 1 ) n+2 (x 1 +y 2 ) n+2 +(x 1 +y 1 ) n+2 (n+1)(n+2) Bài31.Nếunchẵn,chứngminhrằng n å k=0 n k ( 1) k (k+1)(n+1 k) = 1+( 1) n (n+1)(n+2) = 2 (n+1)(n+2) Bài32.Chứngminhrằng n å k=1 n k x k 2 x k 1 y n k k = n å k=1 (x 2 +y) k (x 1 +y) k y n k k Bài33.Chứngminhrằng n å k=0 n k x k+1 2 x k+1 1 y n k (k+1) 2 = 1 n+1 n å k=0 (x 2 +y) k+1 (x 1 +y) k+1 y n k k+1 Bài34.Chứngminhrằng n å k=0 n k 1 (k+1) 2 = 1 n+1 n å k=0 2 k+1 1 k+1 . Bài35.Chứngminhrằng n å k=0 n k k 3 = n 2 (n+3)2 n 3 . Bài36.Chứngminhrằng n å k=0 n k k2 k 1 ( 1) k = n( 1) n . Bài37.Chon,klàhaisốnguyêndươngvớin> 2k+1,chứngminhrằng 1. å j>0 n j(2k+1) = 2 n 2k+1 " 1+2 k å m=1 cos mp 2k+1 n cos mnp 2k+1 # . 2. å j>0 n 2jk = 2 n 2k " 1+2 k å m=1 cos mp 2k+1 n cos mnp 2k+1 # . 3. å r>0 n j+rk = 2 n k k 1 å m=0 cos mp k n cos (n 2j)mp k . Bài38.Chocácdãysố a n ,b n ,c n đượcxácđịnhtheocôngthức a n = n 0 + n 3 + n 6 +... b n = n 1 + n 4 + n 7 +... c n = n 2 + n 5 + n 8 +... Chứngminhrằng 78NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng 1. a 3 n +b 3 n +c 3 n 3a n b n c n = 2 n . 2. a 2 n +b 2 n +c 2 n a n b n b n c n a n c n = 1. Bài39.Chosốnguyêndươngnvàcácsốthực x,y.Chứngminhrằng 1. n å k=0 n k cos[(n k)x+ky]= 2 n cos n x y 2 cos n(x+y) 2 . 2. n å k=0 n k sin[(n k)x+ky]= 2 n cos n x y 2 sin n(x+y) 2 . Bài40.Chứngminhrằng n k 1 =(n+1) Z 1 0 x k (1 x) n k dx. 5 Bấtđẳngthứcliênquantớicôngthứctổhợp. 5.1 Líthuyếtvàvídụminhhọa. Trướctiêntanhắclại2bấtđẳngthứcquantrọngsau. ĐỊNH LÝ. (5.1) BấtđẳngthứcAM-GM.Chonsốthựcdương a 1 ,a 2 ,...,a n khiđótacó a 1 +a 2 +...+a n > n p a 1 .a 2 ...a n . Ngoàiratacódạngcộngmẫusốchonsốthựcdương a 1 ,a 2 ,...,a n ,tacó n å i=1 1 a i > n 2 n å i=1 a 1 . Dấu“=”xảyrakhi a 1 = a 2 = ...= a n . BấtđẳngthứcCauchy–Schwarz.Cho2bộsố(a 1 ,a 2 ,...,a n )và(b 1 ,b 2 ,...,b n ).Khiđótacó n å i=1 a 2 i ! n å i=1 b 2 i ! > n å i=1 a i b i ! 2 NgoàiracầnphảichúýđếnbấtđẳngthứcCauchy–SchwarzdạngcộngmẫuEngel,tacó n å i=1 a i 2 b i > n å i=1 a i ! 2 n å i=1 b i Dấu"="xảyrakhicácbộsốtỷlệvớinhau. Sauđâytasẽxétcácvídụliênquantớidạngtoánnày. BÀI 1. Chứngminhrằng8n,m2N,i2N : n< m) 1 n i n i 6 1 m i m i Chứngminh. Vớii = 0hoặci> mthìcả2vếcủađẳngthứcđềubằng0,nếun< i6thìvếtráisẽbằng0trong khivếcònlạiluôndương,dovậytasẽxéttrườnghợp0< i6 n,tagiảsửm> n,vớimọi16 r6 itacó mr> nr) mn nr> mn mr) m r m > n r n 79TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Vìvậy m m m 1 m m 2 m m i+1 m > n n n 1 n n 2 n n i+1 n ) 1 m i m(m 1)(m 2)(m i+1) i! > 1 n i n(n 1)(n 2)(n i+1) i! ) 1 m i m i > 1 n i n i Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 2. Chứngminhrằngvớimọisốnguyêndươngn,kthìtacó n k 6 n k k! . 1 k 2n k 1 . Chứngminh. Tacó n k = n(n 1)(n k+1) k! = n k! ((n 1)(n k+1))((n 2)(n k+2)) 6 n k! n k 2 k 1 = n k k! 1 k 2n k 1 . Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 3. Chon> 4làsốtựnhiên,chứngminhrằng6+ 4 n 2 p n 6 2n n . Chứngminh. Sửdụngphươngphápquynạp,tacó 2n+1 n+1 = (2n+2)! (n+1)!(n+1)! = (2n+2)(2n+1) (n+1)(n+1) 2n n = 2(2n+1) (n+1) 2n n > 2(2n+1) (n+1) 6+ 4 n 2 p n Tathấyrằng 2(2n+1) (n+1) 6> 6,bâygiờtachỉcầnchỉrarằng 2(2n+1) (n+1) 4 n 2 p n > 4 n+1 2 p n+1 Điềunàytươngđương2n+1> 2 p n(n+1),tuynhiênđiềunàyđúng,dovậytheoquynạptacóđiềuphải chứngminh. BÀI 4. Chok,nlà2sốnguyêndươngthỏamãnn> k.Chứngminhrằng 2n n 1 k n k 6 2n n+k Chứngminh. Nếu0< a6 bthì a b 6 a+1 b+1 ,dođó n k n 6 n k+i n+i vớimọii> 0và16 i6 k,khiđótađược n k n k 6 n k+1 n+1 n k+2 n+2 n n+k = n!n! (n k)!(n+k)! . 80NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Dovậymà 2n n n k n k 6 (2n)! n!n! n!n! (n k)!(n+k)! = (2n)! (n k)!(n+k)! = 2n n+k . Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 5. Chứngminhrằng 2m m 6 2 2m p 2m . Chứngminh. Vớibàitoánnàytasẽsửdụngphươngphápquynạp.Hiểnnhiêntacó 2(1) (1) 6 2 2(1) p 2(1) bởivì 2 1 = 2= 2 p 2 p 2 6 4 p 2 và p 2< 2,giảsửmệnhđềđúngvớim,tasẽđichứngminhmệnhđềđúngvớim+1, tứclà 2(m+1) (m+1) 6 2 2(m+1) p 2(m+1) .Tacó 2(m+1) (m+1) = (2(m+1))! (m+1)!(2(m+1) (m+1))! = (2m+2)! (m+1)!(m+1)! = (2m+2)(2m+1)(2m)! (m+1)(m+1)m!m! = (2m+2)(2m+1) (m+1)(m+1) (2m)! m!m! ! = (2m+2)(2m+1) (m+1)(m+1) 2m m 6 (2m+2)(2m+1) (m+1)(m+1) 2 2m p 2m = 2(m+1)(2m+1) (m+1)(m+1) 2 2m p 2m = (2m+1) (m+1) 2 2m+1 p 2m Vớimọimlàsốtựnhiên,tacó m 2 (m+2)> 1) 2m 3 +4m 2 > 2) 2m 3 +4m 2 +2m> 2m+2 Dovậymà 2m 3 +4m 2 +2m> 2m+2) m 2 +2m+1 (2m)> 2(m+1))(m+1) p 2m Nhưthếtacóđược 2(m+1) (m+1) 6 (2m+1) (m+1) 2 2m+1 p 2m 6(2m+1) 2 2m+1 p 2(m+1) Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 6. Cho26 n2Z,chứngminhrằng n Õ i=0 n i 6 2 n 1 n 1 n . 81TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Chứngminh. Tacó(1+x) n = n å k=0 n k x k = n 0 + n 1 x+ n 2 x 2 ...+ n n x n . Cho x = 1tađược2 n = n å k=0 n k ,ápdụngbấtđẳngthức AM GMvớinsốtacó 2 n 2= n å k=1 n k > n n s n Õ k=1 n k Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 7. Cho 06 k6 n k,n2Z .Chứngminhrằng 2n+k n 2n k n 6 2n n 2 . Chứngminh. Với06 k6 n,k2Z,tađặt a k = 2n+k n 2n k n ) 8 > > < > > : a k = (2n+k)! n!(n+k)! (2n k)! n!(n k)! a k+1 = (2n+k+1)! n!(n+k+1) (2n k 1)! n!(n k 1)! Đểchứngminhbấtđẳngthứctrêntacầnchứngminhdãy a k giảmbằngcáchchứngminh a k > a k+1 , (2n+k)! n!(n+k)! (2n k)! n!(n k)! > (2n+k+1)! n!(n+k+1) (2n k 1)! n!(n k 1)! , 2n k n k > 2n+k+1 n+k+1 , 1+ n n k > 1+ n n+k+1 Nhưvậysuyra a k > a k+1 haydãy a k giảm,dovậy a 0 > a 1 > ...> a k > a k+1 ) a 0 > a k . Từđótacóđiềuphảichứngminh. BÀI 8. Chứngminhrằngvớin2Nvàn> 2thìtacó 1 n n å i=1 i n i < n!. Chứngminh. Xétkhaitriển(x+1) n = n å i=0 n i x i ,đếnđâytasẽđạohàm2vế,tađược n(x+1) n 1 = n å i=1 n i ix i 1 Cho x = 1tađượcn2 n 1 = n å i=1 n i i,khiđóbấtđẳngthứccầnchứngminhtươngđương 1 n n.2 n 1 < n!, 2 n 1 < n! (*) Bâygiờtasẽdùngphươngphápquynạpđểchứngminh()đúng. Vớin= 3) n!> 2 n 1 , 3! = 6> 2 3 1 = 4,đúng. Giảsử()đúngvớin= k,vớik> 3) k!> 2 k 1 ,khiđóvìk> 3) k+1> 4nêntacó (k+1)k!>(k+1)2 k 1 ,(k+1)!> 2.2 k 1 = 2 k Vậytheonguyênlíquynạptacón!> 2 n 1 ,8n> 3,dođótacóđiềuphảichứngminh. 82NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 9. 1. Cho36 n2Z,chứngminhrằngn n+1 >(n+1) n . 2. Chứngminhrằng1+ 1 1! + 1 2! +...+ 1 n! < 3. 3. Cho26 n2Z,chứngminhrằng2< 1+ 1 n n < 3. 4. Vớimọisốnguyêndươngm> n,chứngminhrằng 1+ 1 m m > 1+ 1 n n . Chứngminh. 1.Tacón n+1 >(n+1) n , n> 1+ 1 n n ,mặtkháctheocôngthứckhaitriểnnhịthứcthì 1+ 1 n n = n å i=0 1 n i n i = 2+ 1 2! 1 1 n + 1 3! 1 1 n 1 2 n +...+ + 1 k! 1 1 n 1 2 n 1 k 1 n +...+ + 1 n! 1 1 n 1 2 n ... 1 n 1 n < 2+1+...+1 | {z } (n 2)số1 = n Nhưthếthìtacóđiềuphảichứngminh. 2.Trướctiêntacó 1+ 1 1! = 2; 1 2! = 1 1 2 ; 1 2! = 1 2 1 3 ; 1 4! < 1 3.4 = 1 3 1 4 Từđókhôngkhóđểchứngminhrằng 1 n! < 1 n(n 1) = 1 n 1 1 n ,dovậymà 1+ 1 1! + 1 2! +...+ 1 n! < 3 1 n < 3 3.Tachúýrằng 1+ 1 n n = n å i=0 1 n i n i > 2,mặtkhác n k = n! k!(n k)! = n(n 1)...(n k+1) k! ) 1 n k n k = 1 k! 1 1 n 1 2 n ... 1 k 1 n < 1 k! Theokếtquảcủacâu2thì 2< 1+ 1 n n < 2+ 1 2! + 1 3! +...+ 1 n! < 3 Nhưvậytasuyrađiềuphảichứngminh. 4.Xétkhaitriển 1+ 1 n n = n 0 + n 1 1 n + n 2 1 n 2 +...+ n n 1 n n 1 + 1 n n = 1+n 1 n + n(n 1) 2! 1 n 2 + n(n 1)(n 2) 3! 1 n 3 +...+ n(n 1)...2 (n 1)! 1 n n 1 + n(n 1)...1 n! 1 n n = 1+1+ 1 2! 1 1 n + 1 3! 1 1 n 1 2 n +...+ 1 n! 1 1 n 1 2 n ... 1 n 1 n (*) Tươngtựtacó 1+ 1 n n+1 = 1+1+ 1 2! 1 1 n+1 + 1 3! 1 1 n+1 1 2 n+1 +...+ + 1 n! 1 1 n+1 1 2 n+1 ... 1 n n+1 + + 1 (n 1)! 1 1 n+1 1 2 n+1 ... 1 n 1 n+1 1 n n+1 (**) 83TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Kếthợp()và()tacó 1+ 1 m m > 1+ 1 n n . BÀI 10. Chom,nlàcácsốtựnhiênkhác0,trongđóm> 3.Chứngminhrằng n å i=0 m+i i+1 1 < 1 m 2 . Chứngminh. Tacó m+k k+1 1 = (k+1)!m! (m+k)! = (k+1)!(m 1)! (m+k)!(m 2)! [m+k (k+2)] = (m 1) (m 2) (m 1)!(k+1)! [(m 1)+k]! (m 2)!(k+2)! (m+k)! = (m 1) (m 2) " k+m 1 k+1 1 m+k k+2 1 # Từđâysuyrađược n å i=0 m+i i+1 1 = (m 1) (m 2) " m 1 1 1 m+k k+2 1 # < (m 1) (m 2) m 1 1 1 = 1 m 2 Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 11. Chứngminhrằng 1. lim n!+¥ n p n= 1. 2. Nếum> 0thì lim n!+¥ n p m= lim n!+¥ n p n= 2. Chứngminh. Đặtm= n p n 1> 0,khiđótasuyra n=(m+1) n = k å k=0 n k m k > n 2 m 2 = n(n 1) 2 m 2 ) n> n(n 1) 2 m 2 ) 0< m= n p n 16 r 2 n 1 ) 1< n p n6 1+ r 2 n 1 Mặtkháctalạicó lim x!+¥ 1+ r 2 n 1 ! = 1) lim x!+¥ n p n= 1 Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. Ápdụngkếtquảcâu1,tasửdụngnguyênlýkẹp,khiđósẽsuyrakếtquảcủacâu2. BÀI 12. Cho a,blàcácsốnguyêndương,chứngminhrằng a n +b n 2 > a+b 2 n Chứngminh. Tacó a n i +b n i a i +b i ) a n +b n > a n i b i +b n i a i ,806 i6 n.Mặtkhác (a+b) n = n å k=0 n k a n k .b k = n å k=0 n k b n k .a k 84NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Từđâysuyrađược 2(a+b) n = n å k=0 n k a n k .b k +b n k .a k = 2 n (a+b) n 6 n å k=0 n k (a n +b n )) a n +b n 2 > a+b 2 n Bàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 13. Vớimọin> 2,chứngminhrằng n å k=1 k s n k 6 p 2 n 1 n 3 Chứngminh. Trướctiêntacó n å k=0 n k x k =(1+x) n ) n å k=0 k n k x k = x d dx (1+x) n = nx(1+x) n 1 ) n å k=1 k n k = n2 n 1 SửdụngbấtđẳngthứcCauchy-Schwarztacó n å k=1 k ! n å k=1 k n k ! > n å k=1 k s n k ! 2 ) n(n+1) 2 n2 n 1 > n å k=1 k s n k ! 2 ) n å k=1 k s n k 6 n2 n 2 1 p n+1 Từđâytadễdàngsuyrađiềuphảichứngminh. BÀI 14. Chứngminhrằng n å k=1 2k 1 k n k > n 2 n 1 . Chứngminh. Trướctiêntacóđẳngthức n å k=1 (2k 1)k n k = n 2 2 n 1 ,bạnđọctìmhiểuởphầntrên. KhiđótheobấtđẳngthứcCauchy-Schwarztacó 0 B B @ n å k=1 2k 1 k n k 1 C C A n å k=1 (2k 1)k n k ! > n å k=1 (2k 1) ! 2 = n 4 Từđâytadễdàngsuyrađiềuphảichứngminh. BÀI 15. Chocácsốnguyêndươngmvànsaochon6 m.Chứngminhrằng 2 n .n!6 (m+n)! (m n)! 6 m 2 +m n Chứngminh. Tacó (m+n)! (m n)! =(m+n)(m+n 1)...(m n+2)(m n+1)= n Õ i=1 (m+1 i)(m+i) 85TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Ngoàiratacó2 n .n!n= 2 n .1.2.3.n= (2.1)(2.2)...(2n)= n Õ i=1 2ivà (m 2 +m) 2 =(m 2 +m)(m 2 +m)...(m 2 +m)= n Õ i=1 m 2 +m Dođó,cácbấtđẳngthứccầnchứngminhtươngđươngvới n Õ i=1 2i6 n Õ i=1 (m+1 i)(m+i)6 n Õ i=1 m 2 +m Tacó2i = i 2 +i i 2 +i6 m 2 +m i 2 +i = (m+1 i)(m+i)6 m(m+1) = m 2 +mvìilàsốnguyênnằm giữa1vànnêntasuyra 2i6(m+1 i)(m+i)6 m 2 +m dođótađược n Õ i=1 2i6 n Õ i=1 (m+1 i)(m+i)6 n Õ i=1 m 2 +m Vậycácbấtđẳngthứcđãcholàđúng. BÀI 16. Chonnguyêndương,n> 2và a,b> 0.Chứngminhrằng (a+b) n a n b n 2 n 2 > q (ab) n Chứngminh. Tacó n 0 + n 1 + n 2 +...+ n n = 2 n vàkhaitriểnnhịthức (a+b) n a n b n 2 n 2 = n å i=0 n i a n i b i a n b n 2 n 2 = n å i=0 n i a n i b i 2 n 2 = 1 2 n 2 . 1 2 n 1 å i=1 n i a n i b i n 1 å i=1 n i b n i a i !! > 1 2 n 2 . n 1 å i=1 n i p a n .b n = 1 2 n 2 [2 n 2]. p a n .b n = q (ab) n Vậybàitoánđượcgiảiquyết. BÀI 17. Chứngminhbấtđẳngthức 2n n > 4 n 2n ,8n2N,n> 2 Chứngminh. Tasẽdùngphươngphápquynạpđểchứngminhbấtđẳngthứctrên Vớin= 2thìtathuđược 4 2 = 6> 4= 4 2 2.2 ,hiểnnhiênđúng.Giảsửbấtđẳngthứcđãđúngđếnn= ktứclà tađãcóbấtđẳngthứcsau 2k k > 4 k 2k Bâygiờtacầnchứngminhbấtđẳngthứccũngđúngvớin= k+1tứclàcầnchứngminh 2k+2 k+1 > 4 k+1 2k+2 86NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Thậtvậytacócácbiếnđổiđạisốsauđây 2k+2 k+1 = 2k k 2(2k+1) (k+1) > 2k k 4k k+1 > 4 k 2k ! 4k k+1 = 4 k+1 2k+2 vậytừđâytheonguyênlýquynạpbấtđẳngthứcđượcchứngminh. BÀI 18. Cho x 1 > x 2 > 0;y 1 > y 2 > 0vànlàsốnguyêndương.Chứngminhrằng (x 1 +y 1 ) n +(x 2 +y 2 ) n >(x 1 +y 2 ) n +(x 2 +y 1 ) n Chứngminh. Vì x 1 > x 2 > 0nên x m 1 > x m 2 ,trongđóm2N.Cũngvìy 1 > y 2 > 0nêny k 1 > y k 2 ;k2N. Dođó x m 1 x m 2 y k 1 y k 2 > 0hay x m 1 y k 1 +x m 2 y k 2 > x m 1 y k 2 +x m 2 y k 1 . Lấym= n k;n> k> 0tađược x n k 1 y k 1 +x n k 2 y k 2 > x n k 1 y k 2 +x n k 2 y k 1 ) n k x n k 1 y k 1 +x n k 2 y k 2 > n k x n k 1 y k 2 +x n k 2 y k 1 (1) Từbấtđẳngthức(1)choklầnlượtbằng0,1,...n,n+1tađược n 0 (x n 1 +x n 2 )= n 0 (x n 1 +x n 2 ) n 1 x n 1 1 y 1 +x n 1 2 y 2 > n 1 x n 1 1 y 2 +x n 1 2 y 1 ... n n 1 x 1 y n 1 1 +x 2 y n 1 2 > n n 1 x 1 y n 1 2 +x 2 y n 1 1 n n (y n 1 +y n 2 )= n n (y n 2 +y n 1 ) CộngtấtcảcácbấtđẳngthứctrênvớinhauvàsửdụngcôngthứcnhịthứcNewtontađược (x 1 +y 1 ) n +(x 2 +y 2 ) n >(x 1 +y 2 ) n +(x 2 +y 1 ) n Đẳngthứcxảyrakhi x 1 = x 2 hoặcy 1 = y 2 . BÀI 19. Chứngminhrằngnếu x k > 0,y k > 0(k = 1,2,...,m)thì m å k=1 (x k +y k ) n > m s m Õ k=1 x k + m s m Õ k=1 y k ! n Chứngminh. Vì x k > 0,y k > 0,nêntheobấtđẳngthứcAM-GMtacó m å k=1 x n j k y j k > m m s m Õ k=1 x n j k y j k Nhân2vếcủabấtđẳngthứctrênvới n j rồicho jlầnlượtchạytừ0đếnnvàđượcn+1bấtđẳngthứccùng chiều,sauđócộngvếtheovếcácbấtđẳngthứcđólạivớinhau,cuốicùngápdụngcôngthứcnhịthứcNewton thìtacóđiềuphảichứngminh. ! Bàitoántươngtự.Cho a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 làcácsốkhôngâm,chứngminhrằng n q a n 1 +b n 1 + n q a n 2 +b n 2 > n q (a 1 +a 2 ) n +(b 1 +b 2 ) n 87TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC 5.2 Bàitậptựgiải. Bài1.Chứngminhrằng m+n m > (n+1) m m! . Bài2.Chocácsốnguyêndương26 k6 n 2,chứngminhrằngk(n k)< n k 1. Bài3.Cho3sốnguyêndươngl6 k6 n,chứngminhrằng ( n k ) a ( n k l ) b < ( n k ) a+b . Bài4.Chứngminhrằng n r 6 n b n 2 c . Bài5.Chứngminhrằng 2n n > n n 2 . Bài6.Chứngminhrằng 2N N < 2 N N N 2 < 2 2N N . Bài7.Chứngminhrằng n k k 6 n k . Bài8.Chứngminhrằng d2 k 2 e k 6 2 ( k 2 ) 1 vớimọik> 2. Bài9.Chứngminhrằng k å i=0 n i 6 2 n k . Bài10.Với16 k6 nlàcácsốtựnhiên,chứngminhrằng n å i=k n i k n+1 i 1 k n+1 n i 6 1 1 e Bài11.Chứngminhrằng n k 1 a + n a 6 n k vớimọik6 n 2 và06 a< k. Bài12.Với a,b,clàcácsốnguyêndươngsaocho a,b< c,chứngminhrằng a+n 1 n + b+n 1 n > c+n 1 n Bài13.Chứngminhrằng 4 m 4 p m 6 2m m . Bài14.Chobấtđẳngthức p 2p n n+ 1 2 e n 6 n!6 en n+ 1 2 e n ,khiđóchứngminhrằng n k 6 n n k k (n k) n k Bài15.Chứngminhrằng n s 6 n n . Bài16.Chứngminhrằng n k k k 6 n k 6 n k k! . Bài17.Chứngminhrằng 2n n > 4 n 2 p n . Bài18.Chứngminhrằng n 1 + n 2 + n 3 ++ n n > 31. Bài19.Vớinlàsốnguyêndương,chứngminhrằng 1. 2n n 1 n > 2. 2. 2n n < 1 p 2n+1 . 3. n! 2n n <(2n) n . Bài20. 1. Chứngminhđẳngthức(n 2k) n k = n n 1 k n 1 k 1 . 88NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng 2. Từđẳngthứctrên,chứngminhrằng n 0 < n 1 < n 2 < ...< n n 2 . Bài21.Vớin,l2N,l6 nlàhằngsốcốđịnh.Chok2Nvới06 k6 l,chứngminhrằng 2n l n k 6 2n l 2n l 2 Bài22.Chứngminhrằng k+n 1 k k+n+1 k 6 k+n k 2 . Bài23.Chứngminhrằng 8564 å i=82 8564 i < 2 8564 . Bài24.Chứngminhrằng 1!2!+2!3!+...+n!(n+1)! n n p (1!) 2 ...(n!) 2 > 2 2n p n!. Bài25.Cho 8 < : S= a 1 +a 2 +...+a n a 1 ,a 2 ,...,a n > 0 16 n2Z .Chứngminhrằng (1+a 1 )(1+a 2 )...(1+a n )6 1+ S 1! + S 2 2! +...+ S n n! Bài26.Chứngminhrằng m å k=0 n k 6 en m m . Bài27.Chonlàsốtựnhiênvàm2[ n,n].Với p= 0,..., n+m 2 ,chứngminhrằng n n+m 2 > 2 n+ 1 2 q n m 2 Bài28.Chứngminhrằng n m < n n (m m )(n m) n m . Bài29.Vớimọin> 2,chứngminhrằng2 n < 2n n < 4 n . Bài30.Chứngminhrằng n 3 n < n!< n 2 n . 6 Tínhchấtsốhọccủahệsốnhịthức. Trongchủđềnàymìnhsẽchỉdừngởmứcđộgiớithiệulịchsửcũngnhưmộtvàibàitoánđểcácbạnmởmang thêmchútkiếnthức,nênsẽkhôngđềcậpsâu.Cácbạnmuốnthamkhảothêmvềchủđềnàycóthểtìmđọc cuốnKhaithácmộtsốchủđềsốhọchayvàkhócủafanpagebọnmình.Bâygiờchúngtacùngbắtđầu. 6.1 Đôinétvềlịchsửnghiêncứutínhchấtsốhọccủahệsốnhịthức. Từ thế kỉ XIX các nhà toán học nổi tiếng như Babbage, Cauchy, Cayley, Gauss, Hensel, Hermite, Kummer, Legendre,LucasandStickelberger,...đãbắtđầunghiêncứunhữngtínhchấtsốhọcliênquangiữahệsốnhị thứcvàlũythừacủamộtsốnguyêntố.Vàđếntậnbâygiờ,vấnđềnàyvẫnđangđượcnghiêncứuvàpháttriển hơnnữa,việcnàygiúpchúngtapháthiệnrấtnhiềunhữngkếtcócóýnghĩatolớnvàđónggóphữuíchchotổ hợp,xácsuất,giảitích... Năm1773,nhàtoánhọcJonhWilsonđãchứngminhđượckếtquả (p 1)! 1 (modp) Sauđóvàonăm1819,nhàtoánhọcCharlesBabbageđãchỉrađượcrằng 2p 1 p 1 1 (mod p 2 ),vớimọisốnguyêntố p> 3 Năm1852nhàtoánhọcKummerđãchứngminhđượckếtquả. Chom> nlàhaisốnguyêndươngvà plàmộtsốnguyêntố.Khiđólũythừacủa ptrong m n bằngsốlầnnhớkhithực 89TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC hiệnphépcộngm nvàntronghệcơsố p. Vàonăm1862,mộtkếtquảkhácmạnhhơnkếtquảcủaCharlesBabbageđượcWolstenholmeđưara,nóchỉra rằng 2p 1 p 1 1 (mod p 3 ),vớimọisốnguyêntố p> 5 MộttrongnhữngkếtquảmạnhnhấtphảikểđếnkếtquảcủanhàtoánhọcLucas,kếtquảnàyđượcphátbiểu nhưsau. Chom,nlàhaisốnguyêndươngvà plàsốnguyêntố.Gọim 0 vàn 0 tươngứnglàcácsốdưcủam,nkhichiacho p.Khi đóthìtacókếtquảsau m n m p n p m 0 n 0 (mod p) Khiđónếutaviếtm = m 0 +m 1 p+...+m s p s ,n = n 0 +n 1 p+...+n s p s thìđịnhlýLucasđượcphátbiểumột cáchtươngđươngnhưsau. Chom,nlàhaisốnguyêndươngvà plàsốnguyêntố.Gọim 0 vàn 0 tươngứnglàcácsốdưcủamvànkhichiacho p. Giảsửbiểudiễncơsở pcủam,nlà m= m 0 +m 1 p+...+m s p s n= n 0 +n 1 p+...+n s p s với06 m i ,n i 6 p 1,8i = 0,k.Khiđóthìtađược m n m 0 n 0 m 1 n 1 ... m s n s (modp) Mộtsốcáckếtquảquantrọngkháccóthểkểđếnnhưkếtquảcủa 1. FrankMorleyvàonăm1895.( 1) p 1 2 p 1 p 1 2 4 p 1 mod p 3 ,8p> 5,và plàsốnguyêntố. 2. JamesW.L.Glaishervàonăm1900. mp 1 p 1 1 (mod p 3 ). 3. WilhelmLjunggrenvàonăm1952. ap bp a b (mod p 3 ). 4. ErnstJacobsthalvàonăm1952. mp np m n mod p t ,trongđótlàlũythừacủa ptrong p 3 mn(m n). Ngoàiracònrấtnhiềukếtquảkhác,bạnđọccóthểthamkhảoởlinkhttps://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf. Sauđâytasẽđitìmhiểumộtsốbàitoánởmứcđộsửdụngnhữngtínhchấtcơbản,khôngđisâu. 6.2 Cácbàitoánminhhọa. BÀI 1. Chon2N,n> 1.ChứngminhrằngsốT n = 2 n+1 2 n 2 n 2 n 1 chiahếtcho2 2n+2 . Chứngminh. BâygiờtaxétđathứcP(x)= (1+x) 2 n+1 1 x 2 2 n thìtathấyrằngđathứcnàycóhệsốcủasố hạngchứa x 2 n làT n .Mặtkháctacó P(x)= (1+x) 2 n h (1+x) 2 n (1 x) 2 n i = 2 1+ 2 n 1 x+...+ 2 n 2 n x 2 n 2 n 1 x+ 2 n 3 x 3 +...+ 2 n 2 n 1 x 2 n 1 Bằngphươngphápđồngnhấthệsốhaivếtađượchệsốcủa x 2 n tađược T n = 2 2 n 1 2 n 2 n 1 + 2 n 3 2 n 2 n 3 +...+ 2 n 2 n 1 2 n 1 90NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Màtừkếtquảquenthuộctathấyrằngcácsố 2 n 1 , 2 n 3 ,..., 2 n 2 n 1 đềuchiahếtcho2 n nêntừđóT n chia hếtcho2 2n+2 . Vậytừđótasuyrađiềuphảichứngminh. BÀI 2. Chứngminhdãy k k , k+1 k , k+2 k làdãytuầnhoànnếuxéttrongmodulok. Chứngminh. Tacómộtphépđặtrấthaym= k.k!.Khiđótabiếnđổi x+m k = (x+m)(x+m 1)...(x+m k+1) k! = x(x 1)...(x k+1)+tm k! = x(x 1)...(x k+1) k! = x k (modk) Nhưvậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 3. Chocácsốnguyêndươngn,ktùyý.Chứngminhrằngtồntạicácsốnguyêndương a 1 > a 2 > a 3 > a 4 > a 5 > k saochon= a 1 3 a 2 3 a 3 3 a 4 3 a 5 3 . RomaniaTST2010 Chứngminh. Vớibàitoánnàytasẽxétn> klàsốnguyêndươngsaochon+ m 3 làsốlẻ.Cụthể,nếunlẻta chọnm 0(mod4)vànếunchẵnthìtachọnm 3(mod4).Tacón+ m 3 = 2a+1,mặtkhác 2a+1= a 3 a+1 3 a+2 3 + a+3 3 Dovậytađược n= a 3 a+1 3 a+2 3 + a+3 3 m 3 Đồngthời a= n 1+ m 3 2 > m,từđâytasuyrađiềuphảichứngminh. BÀI 4. Tìmsốtựnhiênknhỏnhấtsaochovớimọin> mthìtacó k m+n+1 2n n+m 2N. Chứngminh. Đầutiêntasẽchứngminhrằng 1 m+1 2m m 2Z.Tacó 1 m+1 2m m = 1 m m+1 2m m = 2m m (2m)! (m 1)!(m+1)! = 2m m 2m m 1 2Z 91TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Giảsửchotrướcm2N.Vìvớin= mthì k m+n+1 2n n+m = k 2m+1 phảilàsốtựnhiênnêngiátrịphảitìm k2Nphảichiahếtcho2m+1,dođók> 2m+1. Giảsửrằngk = 2m+1thìvớin= msốdương k m+n+1 2n n+m làsốtựnhiênvàvớin> mnóbằng 2m+1 n+m+1 2n n+m = 1 n m n+m+1 2n n+m = 2n n+m (2n)! (n+m+1)!(n m 1)! = 2n n+m 2n n+m+1 2Z Vậygiátrịknhỏnhấtbằng2m+1. BÀI 5. Chon> 1vàkthỏamãn0< k< n.Chứngminhrằnggcd n k ,n > 1 Chứngminh. Tachúýrằng n k = n k n 1 k 1 = n gcd(k,n) gcd(k,n) k n 1 k 1 (1) Dođótừ(1)tacó k gcd(k,n) n gcd(k,n) n 1 k 1 (2) Tuynhiêntalạicó gcd n gcd(k,n) , k gcd(k,n) = 1 (3) Điều(2)ámchỉrằng k gcd(k,n) n 1 k 1 (4) Nhưvậytừ(1)và(4)tacó n gcd(k,n) n k (5) vàtừđótasuyra n gcd(k,n) gcd n k ,n (6) Nếu06 k6 nthìgcd(k,n)6 n,dođó n gcd(k,n) > 1. Vậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 6. Cho1< a< nvà1< b< n,chứngminhrằng n a , n b khôngnguyêntốcùngnhau. Chứngminh. Khôngmấttínhtổngquáttacóthểgiảsửrằng a,bkhác0vàkhônglớnhớn 1 2 .Vì n a n b n! a!b!(n a b)! = n!(n a b)! (n a)!(n b)! = n(n 1)(n 2)(n a+1) (n b)(n b 1)(n b a+1) > 1 92NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Nêntacólcm n a , n b j n! a!b!(n a b)! và n a n b > n! a!b!(n a b)! . Nếu n a , n b thì lcm n a , n b = n a n b > n! a!b!(n a b)! >lcm n a , n b Mâuthuẫn,dovậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 7. Chom,n,klàcácsốnguyêndươngthỏamãn0< m6 k< n.Chứngminhrằngcácsố n k và n m không nguyêntốcùngnhau. Chứngminh. Tasẽsửdụngphảnchứng,giảsửrằng n k và n m nguyêntốcùngnhau. Tacón m> 0và06 k m< n mdođó n m k m làmộtsốnguyên. Chúýrằng n m k m = (n m)! (k m)!((n m) (k m))! = (n m)! (k m)!(n k)! Suyra n k k m = n! k!(n k)! k! m!(k m)! = n! m!(n m)! (n m)! (k m)!(n k)! = n m n m k m Dovậymà n k k m chiahếtcho n m .Mặtkháctalạigiảsửrằng n k và n m nguyêntốcùngnhau,điều nàychứngtỏrằng k m chiahếtcho n m .Nhưthếthì k m > n m ,tuynhiêntừđiềukiệnk< nlạicó k m = k(k 1)...(k m+1) m(m 1)...1 < n(n 1)...(n m+1) m(m 1)...1 = n m Từđiềunàytachỉrađượcnómâuthuẫnvớigiảsửphảnchứng. Vậytacóđiềuphảichứngminh. BÀI 8. Chứngminhrằngvới plàmộtsốnguyêntốbấtkìthìtacó 2p p 2 mod p 2 Chứngminh. TrướchếtthìtacóđẳngthứcVandermondekháquenthuộcsauđây k å i=0 m i n k i = m+n k Taxétm= n= k = pthìđẳngthứctrêntươngđươngvới 2p p = p 0 p p + p 1 p p 1 +...+ p p 1 p 1 + p p p 0 Do plàsốnguyêntốnêntacó p k 0(mod p),8k = 1,p 1nêntừđótasuyra p 1 p p 1 +...+ p p 1 p 1 0(mod p) Vậytừđâytathuđược 2p p = 2 mod p 2 haytacóđiềuphảichứngminh. 93TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC BÀI 9. Vớisốtựnhiênmnguyêndương.Chứngminhrằng 1 1991 1991 0 1 1991 1991 1 + 1 1991 1991 2 ...+ ( 1) m 1991 m 1991 m m = 1 1991 Chứngminh. Với n = 1,2,...,tađặt S(n) = å m ( 1) m n m m trongđótổngđượclấytừ m = 0chođếnhết nhữngsốhạngkhác0.Tacó n å k=m m k = n m 1 m+1 = 1 S(n) Tacó 1. S(n)= 1 n 2 å k=0 S(k),suyraS(n+1)= S(n) S(n 1) (1) 2. S(0)= S(1)= 1,từđóS(2)= 0,S(3)= 1,S(4)= 1,S(5)= 0,S(6)= 1,S(7)= 1 Từ(1)tacóS(m)= S(n)nếum= n(mod6). Do n n m n m n = n m m + n m 1 m 1 nêntađược 1991. 1 1991 1991 0 1 1991 1991 1 + 1 1991 1991 2 ...+ ( 1) m 1991 m 1991 m m +... 1 996 996 995 = 1 Suyrađiềuphảichứngminh. BÀI 10. Chứngminhrằngvớimọim,n2Nluôntồntạik2Nsaocho p m+ p m 1 n = p k+ p k 1. Chứngminh. Tacó x = p m p m 1 n = n å k=0 n k p m n k p m 1 k ,khiđótaxétcáctrườnghợp. Nếun= 2p,tacó x = p å k=0 n 2k p m 2p 2k p m 1 2k p å k=1 n 2k 1 p m 2p 2k+1 p m 1 2k 1 = p å k=0 n 2k m p k (m 1) k q m(m 1) p å k=1 n 2k 1 m p k (m 1) k = ab q m(m 1)= p a 2 q b 2 m(m 1) trongđó a,b2Z. Nếun= 2p 1,tacó x = p 1 å k=0 n 2k p m 2p 2k 1 p m 1 2k p å k=1 n 2k 1 p m 2p 2k p m 1 2k 1 = p m p å k=0 n 2k m p k 1 (m 1) k p m 1 p å k=1 n 2k 1 m p k (m 1) k 1 = c p md p m 1= p c 2 m q d 2 (m 1) trongđóc,d2Z Tómlạitrongcáctrườnghợptaluôncó p m p m 1 n = p k p l,suyra k l = p k+ p l p k p l = p m+ p m 1 n p m p m 1 n = 1) l = k 1 Dođó p m+ p m 1 n = p k+ p k 1. 94NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng BÀI 11. Chứngminhrằngxlàsốtựnhiênchiahếtcho2002vớix = p 1001 p 1001+1 2000 p 1001 1 2000 . Chứngminh. Đặt a= p 1011+1 2000 ,b= p 1011 1 2000 . Tacó p 1001+x 2000 = 2000 0 p 1001 2000 + 2000 1 p 1001 1999 x+ 2000 2000 x 2000 ,khiđó Với x = 1,tacó a= 2000 0 p 1001 2000 + 2000 1 p 1001 1999 +...+ 2000 2000 . Với x = 1,tacób= 2000 0 p 1001 2000 2000 1 p 1001 1999 +...+ 2000 2000 Nhưvậytasuyra a b= 2 p 1001 2000 1 + 2000 3 .1001+...+ 2000 1999 1001 1999 = 2 p 1001.A) x = 2002A) x . . .2002 trongđó A2N.Bàitoánđượcgiảiquyết. 95TẠPCHÍVÀTƯLIỆUTOÁNHỌC Tàiliệu [1] Đẳngthứctổhợp–VMF. [2] Tuyểntậpcácchuyênđềtổhơp-MathScope. [3] Chuyênđềtổhợpbồidưỡnghọcsinhgiỏi–LêHoànhPhò. [4] NhịthứcNewtonvàứngdụng-NguyễnVănLâm,LêHoàngNam. [5] TheArtofProvingBinomialIdentities-MichaelZ.Spivey. [6] CâuchuyệnvềnhịthứcNewton-NguyễnCôngSứ-TrườngĐHKĩthuậtmậtmã. [7] https://vuontoanblog.blogspot.com/2012/09/pascal-triangle.html [8] https://vuontoanblog.blogspot.com/2012/09/binomial-identity.html [9] Notesonthecombinatorialfundamentalsofalgebra-DarijGrinberg. [10] Diễnđànhttps://math.stackexchange.com/ [11] Diễnđànhttps://artofproblemsolving.com/community Ngoàiracómộtsốtàiliệuthamkhảokhácmìnhcósửdụngnhưngkhôngkiểmchứngđượctácgiảcũngnhư nguồngốccácbàitoán,mongtácgiảthậtsựcủacácbàiviếtđóđọcđượcthôngcảm. 96NguyễnMinhTuấn-NhịthứcNewtonvàứngdụng Mụclục 1 Kíhiệutổhợp. 1 1.1 Hệsốnhịthức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Côngthứctổhợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 TamgiácPascalvàsựhìnhthànhcủacôngthứcnhịthứcNewton. 2 2.1 Sựhìnhthànhcủacôngthứcnhịthức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 CâuchuyệnvềnhịthứcNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.3 TamgiácPascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4 Chứngminhcôngthứctổngquát p n,k vàcôngthứcnhịthứcNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.5 ChứngminhcôngthứcnhịthứcNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Mộtsốtínhchấtcơbản. 6 3.1 NhắclạikhaitriểnnhịthứcNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 DấuhiệucácbàitoánsửdụngnhịthứcNewtontrongcácbàitoánchứngminhđẳngthức. . . . 7 4 Cácdạngtoánliênquantớinhịthứcnewton. 8 4.1 Bàitoánkhaitriểnnhịthứcvàchứngminhđẳngthứccơbản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Bàitoánvềhệsốlớnnhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Chứngminhcácđẳngthức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3.1 Cácđẳngthứccơbản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3.2 Ứngdụngmộtsốtínhchấtđẳngthứcđặcbiệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4 Ứngdụngđạohàmtrongchứngminhđẳngthứctổhợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Ứngdụngtíchphântrongchứngminhđẳngthứctổhợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6 Ứngdụngsốphứcchứngminhđẳngthứctổhợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.7 Đồngnhấthệsố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.8 Bàitậptựluyện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5 Bấtđẳngthứcliênquantớicôngthứctổhợp. 79 5.1 Líthuyếtvàvídụminhhọa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 Bàitậptựgiải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6 Tínhchấtsốhọccủahệsốnhịthức. 89 6.1 Đôinétvềlịchsửnghiêncứutínhchấtsốhọccủahệsốnhịthức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2 Cácbàitoánminhhọa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 97 NH Ị TH ỨC NEWTON TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Ebook được phát hành miễn phí trên fanpage Tạp chí và tư liệu Toán học, mọi hoạt động vì mục đích thương mại đều không được tác giả cho phép.
Đề xuất cho bạn
Tài liệu
33965 lượt tải
16098 lượt tải
9685 lượt tải
8537 lượt tải
7115 lượt tải
154248 lượt xem
115149 lượt xem
103511 lượt xem
81202 lượt xem
79336 lượt xem
