Ôn tập HSG theo chủ đề: Căn Bậc 2

THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng

CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA

A.LÝ THUYẾT

I.CĂN BẬC HAI-ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU

1.Căn bậc hai số học của một số a0 là một số không âm x có bình phương bằng a.Kí hiệu x=

2.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

3.Với hai số a;b không âm ta có

II.CĂN THỨC BẬC HAI-ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI-HẰNG ĐẲNG THỨC

1.Điều kiện để tồn tại là A0

2.

III.KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH-NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương một tích: Nếu thì

2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu thì

IV. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG-CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương một thương: Nếu thì

2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu thì

VI.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI

1.Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: Với B

2. Đưa một thừa số vào trong dấu căn:

Với ta có

Với ta có

3.Khử mẫu biểu thức lấy căn: Với AB và B0

4.Trục căn thức ở mẫu:

a.Với B ta có

b. Với A; AB2 ta có

c. Với ;AB ta có:

VII.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH –RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

. Trong đó m,p,q,r

VIII.CĂN BẬC BA

1.Căn bậc ba của một số a là một lũy thừa bậc ba bằng a

2.Mọi số thực đều có căn bậc ba duy nhất

3.; ;

B.CÁC VÍ DỤ:

1.Ví dụ 1::Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A

2. Tìm để

Điều kiện:

Đặt , ta có:

. Vậy: .

(do )

Đối chiếu với điều kiện ta được: 2.Ví dụ 2.Tính

* A=

*Đặt

3.Ví dụ 3. Cho biểu thức A=x5-6x4+12x3-13x+2014.Tính giá trị của A khi x=

Khi x==

4.Ví dụ 4:Cho đa thức P(x) = x3+3ax+2b;với x là biến số thực,a và b là các số thực cho trước thỏa

a3+b2.Tính giá trị đa thức P(x) tại

Giải

Ta có:

Vậy giá trị đa thức P(x) tại bằng 0

5.Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1972, biết rằng

Giải: Ta có x3 = 6 + 3x  x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y  y3 – 3y = 34. Do đó P = 6 + 34 + 1972 = 2012.

Đặt S = 1 + + + .... +

Ta có S > + + .... + = .50 = 5 (1)

Mặt khác: 1=< ; ; ...; =.

Cộng vế theo vế có:

S <

S < 2{(}= 2 =10(2)

Bài 9:Chứng minh rằng:

Từ (1) và (2) 5< S < 10 (đpcm).

6.Ví dụ 6: Giả sử a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2018

Chứng minh rằng A = có giá trị là số hữu tỉ.

Giải:Vì ab + bc + ca = 2018 nên

A==

=

Do a, b, c là các số hữu tỉ nên có giá trị là

số hữu tỉ.Vậy A có giá trị là số hữu tỉ.

7.Ví dụ 7:Cho a,b,c ,d là các số thực thoả ac=bd và ab>0.Chứng minh rằng

Giải: Vì ac=bd nên (ac-bd)2=0

(2)

Mặt khác ac=bd nên abcd=(bd)2 ,mà ab>0 suy ra cd suy ra ab+cd>0 suy ra (3) Từ (1) (2) (3) suy ra điều phải chứng minh

8.Ví dụ 8:Với mỗi số nguyên dương n cho

a)Tính u2; u3

b) Chứng minh u2017+u2018=u2019

Giải:a) u2=1;u3=2

b)

9.Ví dụ 9:Cho ,trong đó a>0;b>0.Tính giá trị biểu thức A=

Giải: Ta có

Nếu ; Nếu

10.Ví dụ 10:Rút gọn biểu thức

Giải: Đặt

11.Ví dụ 11:Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A

b)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhân giá trị nguyên

Giải:

a)Để A có nghĩa trước hết x0.Đặt t= Ta có

Để biểu thức A có nghĩa thì

Khi đó

b)

Để A nguyên thì x nguyên và

12.Ví dụ 12:Với số tự nhiên n,

Đặt .Chứng minh

Ta có

Do đó

13.Ví dụ 13: Cho 3 số dương a,b,c thoả điều kiện

Chứng minh rằng A=

Giải:

Ta có (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=2

Do đó A=

C.BÀI TẬP

Bài 1: Tính giá trị biểu thức

G=

Bài 2: Tính giá trị biểu thức P= x3 +3x +2 với

Bài 3:Cho hàm số f(x) = ( x3+12x -31)2014.Tính f(a) tại

Bài 4: Tính giá trị biểu thức với và

Bài 5: Với a,b,c,d là các số hữu tỉ thỏa mãn a+b+c+d = 0.

Chứng minh là số hữu tỉ

Bài 6: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn .Tính giá trị biểu thức

Bài 7: Cho a và b là hai số dương,c khác 0.Chứng minh :

Bài 8: Cho . Tính giá trị biểu thức

Bài 9:Chứng minh rằng số

là một nghiệm của phương trình :

Bài 10:Cho 3 số dương x,y,z thỏa .Tính giá trị biểu thức

Bài 11: Chứng minh rằng với

Thì giá trị biểu thức

không phụ thuộc vào các biến x,y,z

Bài 12: Cho .Chứng minh

Bài 13:Cho a>0 và .Chứng minh

Bài 14: Rút gọn biểu thức

Bài 15:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa .

Chứng min h rằng:

Bài 16:Cho biểu thức

a) Rút gọn A b) Tìm x để A= 2,5 c) Tìm GTLN của A

Bài 17:Cho biểu thức

a) Rút gọn P b) Tìm x để biêỉ thức nhận giá tyrị là số nguyên

Bài 18:Cho

a) Tìm các giá trị của x để

b) Chứng minh với mọi x thỏa

Bài 19:Cho .Tìm GTNN của M với các giá trị tương ứng x

Bài 20: Cho -1 < x <1.Tìm GTNN của

Bài 21: Cho a;b;c là 3 số dương có tổng bằng 1.Chứng minh:

Bài 22: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa :

Tính giá trị biểu thức:

( HSG Đồng Nai 2017)

Bài 23: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa ab + bc + ca = 1.Tính giá trị biểu thức:

( HSG Đồng Nai 2018)