Sử dụng tính chất của đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chuyên đề: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN Nội dung các dạng toán xoay quanh bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả thiết bài toán cho bởi đồ thị hàm liên quan. Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích. Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến công thức tính. Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính. Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính. Dạng 5. Biến đổi đồ thị đưa về tính toán đơn giản. Dạng 6. Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình. Dạng 7. Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan. NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC II. BÀI TẬP MINH HỌA 1) Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích. Câu 1: (Đề THPT QG 2019) Cho hàm số   y f x  liên tục trên .  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường   , 0, 1 y f x y x     và 5 x  (như hình vẽ bên). y=f(x) y x O 5 1 -1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x       . B. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x      . C. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x      . D. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x       . Lời giải Chọn C Ta có       1 5 1 5 1 1 1 1 ( ) d d d d S f x x f x x f x x f x x           . Câu 2: Cho đồ thị hàm số ( ) y f x  trên 0;8       như hình vẽ. (S 2 ) (S 1 ) (S 3 ) y x O 8 5 3 3 Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất? A. 1 0 ( ) f x dx  . B. 3 0 ( ) f x dx  . C. 5 0 ( ) f x dx  . D. 8 0 ( ) f x dx  . Lời giải Chọn D NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dễ thấy 3 2 S S  . Mà 3 5 8 1 2 3 0 3 5 ( ), ( ), ( ) S f x S f x S f x        , nên 8 1 2 3 0 ( ) f x dx S S S     lớn nhất. Câu 3: Cho hàm số   y f x  liên tục trên  có đồ thị tạo với trục hoành các miền có diện tích 1 2 3 4 , , , S S S S như hình vẽ. Biết 1 4 2 3 2 13 ; 3 384 S S S S     , tích phân   1 1 2 2 x x I f dx    bằng y=f(x) S 2 S 3 S 4 S 1 2 1 2 1 -1 y x O A. 2 . 3ln2 I   B. 47 . 64 I  C. 2 . 3 I  D. 81 . 128ln2 I   Lời giải Chọn D Đặt 2 2 ln2 ln2 x x dt t dt dx dx t      Đổi cận: 1 1 2 x t     ; 1 2 x t              1 2 1 2 3 4 1 1/2 1/2 1 1 1 1 81 2 2 ln2 ln2 ln2 128ln2 x x I f dx f t dt f t dt f t dt S S                             . Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau đây? NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 2 y x O -1 A. 2 4 2 1 1 3 4 d 2 2 x x x x                   . B. 2 4 2 1 1 3 1 d 2 2 x x x x                   . C. 2 4 2 1 1 3 1 d 2 2 x x x x                  . D. 2 4 2 1 1 3 4 d 2 2 x x x x                   . Lời giải Chọn B Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số:   3 3 2 2 y f x x    ;   4 2 1 5 2 2 y g x x x     và hai đường thẳng 1; 2 x x    . Ngoài ra ta thấy đường   y f x  nằm trên đường   y g x  trên đoạn 1;2        nên ta có diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ là: 2 4 2 1 3 3 1 5 d 2 2 2 2 S x x x x                                          2 4 2 1 1 3 1 d 2 2 x x x x                    . Câu 5: Cho hình phẳng   H giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số   1 y f x  và   2 y f x  liên tục trên đoạn ; a b       và hai đường thẳng x a  , x b  (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình   H là y=f 2 (x) y=f 1 (x) c 2 c 1 b a y x O NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A.     1 2 d b a S f x f x x    . B.       1 2 d b a S f x f x x    . C.     1 2 d b a S f x f x x    . D.     2 1 d d b b a a S f x x f x x     . Lời giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng. Câu 6: Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên đoạn 3;3        và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng 1 2 ; S S giới hạn bởi đồ thị hàm số   y f x  và đường thẳng d lần lượt là ; a b . Tính tích phân   1 1 3 f x dx   . -1 S 2 S 1 d y=f(x) 3 1 2 -4 -2 -3 y x O A. 2. 3 3 a b    B. 2. 3 3 a b   C. 2. 3 3 a b    D. 2. 3 3 a b   Lời giải Chọn A Đặt 1 3 3 3 t x dt dx dx dt            1 3 3 1 3 3 1 1 3 3 3 f x dx f t dt f x dx         Gọi phương trình của đường thẳng d là   y g x  . Ta có NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC         1 1 1 3 3 3 g x f x dx a g x dx f x dx a                      1 1 3 3 1 1 2.2 2.2 2 2 f x dx a f x dx a                    3 3 3 1 1 1 1 1 .4.4 .2.2 6 2 2 f x g x dx b f x dx b f x dx b                               Do đó           1 3 1 3 1 3 3 1 1 1 1 3 6 2. 3 3 3 3 3 a b f x dx f x dx f x dx f x dx a b                             Câu 7: Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên  và có đồ thị   C là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   C , trục hoành và hai đường thẳng 0, 2 x x   (phần tô màu) là 2 1 3 y x O A. 1 2 0 1 ( )d ( )d S f x x f x x      . B. 1 2 0 1 ( )d ( )d S f x x f x x     . C. 2 0 ( )d S f x x   . D. 2 0 ( )d S f x x   . Lời giải Chọn B Diện tích S của hình phẳng cần tìm là:   2 0 d S f x x   . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình   0, 0;2 f x x         có nghiệm duy nhất là 1 x  . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Do đó     1 2 0 1 d d S f x x f x x     . Dựa vào đồ thị ta thấy   0, 0;1 f x x          và   0, 1;2 f x x          . Vậy     1 2 0 1 d d S f x x f x x     . Câu 8: Cho hàm số   y f x  liên tục trên ; a b       , có đồ thị như hình vẽ sau: b a y x N M P B A O Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.   d b a f x x   là diện tích hình thang ABMN . B.   d b a f x x   là dộ dài đoạn BP . C.   d b a f x x   là dộ dài đoạn MN . D.   d b a f x x   là dộ dài đoạn cong AB . Lời giải Chọn B         d b b a a f x x f x f b f a BM PM BP         . Câu 9: Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và hàm số     2 y g x x f x   có đồ thị trên đoạn 0;2       như hình vẽ bên. Biết diện tích miền được tô màu là 5 2 S  . Tính tích phân   4 1 d I f x x   A. 5 4 I  B. 5 2 I  C. 10 I  D. 5 I  Lời giải Chọn D Quan sát đồ thị ta thấy   0, 1;2 g x x          . S y=g(x) 2 1 y x ONHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC S y=g(x) 2 1 y x O Từ giả thiết ta có   2 1 5 d 2 S I g x x         2 2 2 1 1 5 d d 2 g x x x f x x      Đặt 2 x t  2 d d x x t   . Khi 1 1 x t    , khi 2 4 x t        2 4 2 1 1 1 5 d d 2 2 x f x x f t t        4 1 d 5 f t t      4 1 d 5 f x x I     Câu 10: Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên tập số thực. Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số   y f x   và trục hoành đồng thời có diện tích S a  . Biết rằng     1 2 0 2 1 2 2 b x f x dx     và   3 f c  . Tính   1 0 . f x dx  3 1 y x O y=f'(x) A. . a b c   B. . a b c   C. . a b c    D. . a b c    Lời giải Chọn A Đặt 2 2 t x dt dx    NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC                 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 2 1 ' 2 1 1 1 2 2 b x f x dx t f t dt t f t dt b x f x dx b                  Đặt     1 u x du dx dv f x dx v f x                                          1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 0 x f x dx b x f x f x dx f x dx f f b              Ta lại có                 1 3 0 1 1 0 1 3 2 1 0 a f x dx f x dx a f f f f f f a c                Do đó       1 0 2 1 0 . f x dx f f b a b c        Câu 11: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số   ' y f x  như hình bên dưới. Biết diện tích hình phẳng   H bằng 8 3 và     19 2 1 ; 2 12 3 f f     . Tính   0 1 2 ' 2 I f x dx    . A. 5 . 24 I  B. 8 . 13 I  C. 4 . 13 I  D. 4 . 26 I  (H) (K) 2 -1 y x O y=f'(x) Lời giải Chọn A       0 0 0 2 2 1 1 1 2 1 1 ' 2 ' ' 2 2 t x dt dx I f x dx I f t dt f x dx                 Ta có             2 0 2 0 1 1 0 1 8 ' ' ' 2 1 ' 3 f x dx f x dx f x dx f f f x dx               NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC   0 1 2 19 8 ' 3 12 3 f x dx          0 1 5 ' 12 f x dx     . Do đó   0 1 1 5 ' . 2 24 I f x dx     Câu 12: Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình phẳng       , , A B C giới hạn bởi đồ thị hàm số   f x và trục hoành lần lượt bằng 124 37 53 ; ; 15 60 60 . Tích phân         3 2 1 15 2 4 3 5 f x x dx bằng y=f(x) (C) (B) (A) y x O 1 2 -2 A. 28 . B. 437 4 . C. 293 . D. 158 15 Lời giải Chọn A Tính                3 3 3 2 2 1 1 1 15 15 2 4 3 5 (2 4) (2 4) (3 5) 2 f x x dx f x d x x dx       2 2 15 36 2 f x dx Mà                                        2 0 1 2 2 2 0 1 15 15 15 124 37 53 ( ) ( ) ( ) 64 2 2 2 15 60 60 f x dx f x dx f x dx f x dx Vậy              3 2 1 15 2 4 3 5 64 36 28 f x x dx NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 13: (Đề thi thử THPT QG VTED năm 2019) Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên đoạn 5;3        có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình phẳng         , , , A B C D giới hạn bởi đồ thị hàm số   f x và trục hoành lần lượt bằng 6;3;12;2 . Tích phân     1 3 2 2 1 1 f x dx     bằng 3 -5 y x O (D) (C) (B) (A) A. 27 . B. 25 . C. 17 . D. 21 Lời giải Chọn A Tính           1 1 1 1 3 3 3 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 4 2 d x f x dx f x dx dx f x                    3 5 4 f x dx     Mà   3 5 f x dx   bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   f x và trục hoành Suy ra   3 5 6 3 12 2 23 f x dx        Vậy     1 3 2 2 1 1 23 4 27 f x dx        Câu 14: Cho đường cong   3 : 8 27 C y x x   và đường thẳng y m  cắt   C tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng có diện tích 1 2 , S S bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 1 0 2 m   . B. 1 1 2 m   . C. 3 1 2 m   . D. 3 2 2 m   . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC S 2 S 1 y=m y x O Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm 3 8 27 x x m   . Giả sử như hình vẽ, hoành độ các giao điểm là 0 a b   . Ta có hệ   3 3 8 27 1 8 27 a a m b b m              . Gọi   F x là một nguyên hàm của hàm số   3 8 27 f x x x m    . Khi đó các diện tích             1 2 0 0 ( ) 0 ; ( ) a a b b a a S f x dx f x dx F F a S f x dx f x dx F b F a              . Theo giả thiết thì     4 2 1 2 27 0 4 0 4 b S S F b F b mb        . Kết hợp với (1), ta được 4 32 9 27 b m    . Câu 15: Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên đoạn 2;1        . Biết rằng diện tích hình phẳng 1 2 , S S giới hạn bởi đồ thị hàm số   f x và đường thẳng   y g x ax b    lần lượt là , m n . Tính tích phân   1 2 . I f x dx    S 2 S 1 3 1 -1 -2 y=g(x) y=f(x) y x O NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. 9 . 2 I m n    B. 9 . 2 I n m    C. 9 . 2 I m n    D. 9 . 2 I n m    Lời giải Chọn C               1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 I f x dx f x dx g x dx g x dx f x g x dx g x dx                                    1 1 1 2 1 2 1 9 .3.3 2 2 f x g x dx f x g x dx g x dx m n m n                   NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 2) Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến công thức tính. Câu 1: Cho các hàm số   2 f x ax bx c    và   g x mx n   có đồ thị lần lượt là đường cong   C và đường thẳng d (như hình vẽ). Biết 5 AB  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   C và đường thẳng d (phần tô màu) là p S q  (trong đó * , ; ( ; ) 1 p q N p q   ). Khẳng định nào sau đây đúng? B A 5 1 d (C) y x O A. 20 p q   . B. 11 p q  . C. 69 pq  . D. 35 p q   . Lời giải Chọn D Ta có (0; ) ( ), (0; ) A c C B n d   và 5 5 ( ) AB c n c n      Phương trình hoành độ giao điểm của   C và d 2 2 2 ( ) 0 ( ) 5 0(*) ax bx c mx n ax b m x c n ax b m x                Lại có hoành độ giao điểm của   C và d là 1 x  và 5 x  nên (*) có dạng ( 1)( 5) 0 a x x    Đồng nhất hệ số ta được 1 a  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C và d là 5 5 2 1 1 32 ( 1)( 5) 6 5 3 S x x dx x x dx          Suy ra 32, 3 35. p q p q      Câu 2: Cho hai hàm số   3 2 f x ax bx cx d     và   g x mx n   ( , , , , , a b c d m n   ). Biết rằng đồ thị hàm số   y f x  và   y g x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ 1;2;3  (tham khảo hình vẽ phía bên dưới); đồng thời diện tích 1 45 S  (phần hình phẳng tô màu xanh). Tính diện tích 2 S (phần hình phẳng tô màu đỏ). A. 2 7 3 S  . B. 2 7 12 S  . C. 2 128 3 S  . D. 2 7 6 S  . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC y=g(x) y=f(x) 3 2 -1 S 2 S 1 y x O Lời giải Chọn A Ta có phương trình hoành độ giao điểm           1 2 3 0 f x g x a x x x       Có       2 1 1 45 1 2 3 45 45 4. 4 S a x x x dx a a            Vậy       3 2 2 7 4 1 2 3 . 3 S x x x dx        Câu 3: Hình phẳng được tô màu ở trong hình vẽ bên được giới hạn bởi một đồ thị hàm số bậc 3 với một đường thẳng  cùng với trục hoành và trục tung. Diện tích hình phẳng đó bằng A. 4 . B. 4 3 . C. 1 3 . D. 2 2 1 -2 y x O Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ta có đồ thị hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d     có: + Giao với Oy tại điểm có tung độ bằng 2 2 d   + Đi qua điểm   1;0 2 a b c      + Đi qua điểm   2;0 8 4 2 2 4 2 1 a b c a b c              + Có 1 x  là điểm cực trị của hàm số nên là nghiệm của phương trình ' 0 3 2 0 y a b c      Từ đó 1;b 0;c 3 a     Vậy hàm số bậc ba là: 3 3 2 y x x    Ta có đường thẳng đi qua hai điểm     2;0 ; 0;2  là 2 y x   Giao điểm của hai đồ thị là 2; 0; 2 x x x     Vậy diện tích hình phẳng giới hạn với hai đồ thị trên như hình vẽ là:   2 3 0 4 4 S x x dx     Chọn đáp án A. Câu 4: (Đề THPT QG 2018) Cho hai hàm số   3 2 1 2 f x ax bx cx     và   2 1 g x dx ex      , , , , a b c d e   . Biết rằng đồ thị hàm số   y f x  và   y g x  cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3  ; 1  ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng 1 y x O -1 -3 A. 5 B. 9 2 C. 8 D. 4 Lời giải Chọn D Từ giao điểm hai đồ thị ta có           3 1 1 f x g x a x x x      . Suy ra           3 2 3 3 1 1 2 a x x x ax b d x c d x          Xét hệ số tự do suy ra 3 1 3 2 2 a a      . Do đó           1 3 1 1 2 f x g x x x x      . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Diện tích bằng             1 1 3 1 1 1 3 1 1 d 3 1 1 d 2 2 S x x x x x x x x              4  . Câu 5: Cho hai hàm số   3 2 f x x ax bx c     và     g x f dx e   với , , , a b c d   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số   y f x  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong   y f x  và   y g x  gần nhất với kết quả nào dưới đây? 2 3 3 1 y=g(x) y=f(x) y x O A. 4,5. B. 4,25 . C. 3,63 . D. 3,67 . Lời giải Chọn A Từ đồ thị suy ra 2 ( ) ( 3) . f x a x x   và (1) 4 1 f a    2 ( ) ( 3) f x x x    ( ) g x là hàm số bậc ba nên 2 3 ( ) ( ) ( 3) 2 g x m x x    và (1) 4 8 g m     2 3 ( ) 8( ) ( 3) 2 g x x x      Vậy     3 1 9 . 4,5 2 S f x g x dx      Câu 6: Cho hai hàm số   3 2 1 f x ax bx cx     và   2 1 g x dx ex    với ; ; ; ; a b c d e là các số thực. Biết rằng đồ thị của hàm số   y f x  và   y g x  cắt nhau tại ba điểm , , A B C có hoành độ lần lượt là 1; 1; 2  (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 37 12 . B. 27 12 . C. 8 3 . D. 5 12 . Lời giải Chọn A -1 -3 1 2 1 -1 y=g(x) y=f(x) C B A y x ONHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ta có             3 2 2 3 2 1 1 2 f x g x ax bx cx dx ex ax b d x c e x               Vì đồ thị của hàm số   y f x  và   y g x  cắt nhau tại ba điểm , , A B C có hoành độ lần lượt là 1; 1; 2  nên phương trình     f x g x  có ba nghiệm là 1; 1; 2  . Kết hợp với điều kiện giả thiết suy ra           1 1 2 f x g x a x x x      . Đồng nhất hệ số tự do hai dạng biểu thức     f x g x  ta được 2 2 1 a a    . Vậy           3 2 1 1 2 2 2 f x g x x x x x x x          . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là: 2 3 2 1 37 2 2d 12 S x x x x        . Câu 7: Hình phẳng   H được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn ( ) y f x  và ( ). y g x  Biết rằng đồ thị của hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là −3;−1;2. Diện tích của hình phẳng   H (phần gạch sọc trên hình vẽ bên) gần nhất với kết quả nào dưới đây? 5 -3 2 -3 2 -1 -3 O y x A. 3,11. B. 2,45 . C. 3,21 . D. 2,95 Lời giải Chọn A Tại điểm có hoành độ 3 x   hai đồ thị hàm số này tiếp xúc với nhau. Có   2 ( ) ( ) 3 ( 1)( 2). f x g x a x x x      Mà 3 3 9 (0) (0) 5 2 10 f g                   9 1 .9.1.( 2) 10 20 a a       . Vì vậy   2 2 2 ( ) 3 3 1 3733 ( ) ( ) 3 ( 1)( 2) 3,11. 20 1200 H S f x g x x x x dx              Câu 8: Cho hàm số bậc ba ( ) y f x  và hàm số bậc hai ( ) y g x  có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng phần diện tích 1 S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số bằng 4 . Tính phần diện tích 2 S giới hạn bởi hai đồ thị hàm số. NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC S 2 S 1 3 1 -1 y=g(x) y=f(x) y x O A. 2 4 S  . B. 2 2 S  . C. 2 1 S  . D. 2 3 2 S  Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị của hai hàm số ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là 1, 1, 3  nên           1 1 3 f x g x a x x x      và 0 a  . Mặt khác diện tích 1 1 1 4 ( 1)( 1)( 3) 4 4 S a x x x dx a           Từ đó suy ra   3 3 2 1 1 ( ) ( ) 4( 1)( 1)( 3) 4 S g x f x dx x x x dx           Vậy chọn đáp án A. Câu 9: Cho hàm số ( ) y f x  xác định và liên tục trên đoạn 5;3        . Biết rằng diện tích hình phẳng 1 2 3 , , S S S giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  và đường thẳng   2 y g x ax bx c     lần lượt là , , m n p . Tích phân 3 5 ( ) f x dx   bằng A. 211 45 m n p    . B. 208 45 m n p    . C. 24 5 m n p    . D. 26 5 m n p    . Lời giải Chọn B Đồ thị hàm   y g x  đi qua các điểm       0;0 , 2;0 , 3;2 O A B  nên NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 0 4 2 0 9 3 2 c a b a b                  2 15 4 15 0 a b c                          2 2 4 15 15 g x x x   .             2 0 3 5 2 0 m n p f x g x dx g x f x dx f x g x dx                                     3 3 5 5 f x dx g x dx       .      3 3 5 5 208 45 f x dx m n p g x dx m n p             y=g(x) y=f(x) S 2 S 3 S 1 2 -1 5 -2 2 3 -5 O x y Câu 10: Cho hàm số ( ) y f x  là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. -1 1 1 y x O Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( ) y f x y f x   có diện tích gần bằng số nào sau đây? A. 34,8 . B. 60 . C. 63,5 D. 72,3 Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Hàm số đã cho có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung nên nó là hàm số chẵn. Lại có hàm số ( ) y f x  là hàm đa thức bậc bốn nên hàm số đã cho là hàm trùng phương. Do đó 4 2 ( ) , 0 f x ax bx c a     . Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (1;0) ,(0;1) và có điểm cực tiểu (1;0) , điểm cực đại (0;1) nên ta có hệ (1) 0 0 1 (0) 1 1 2 '(1) 0 4 2 0 1 '(0) 0 f a b c a f c b f a b c f                                                      Với 1, 2, 1 a b c     ta có 4 2 3 2 ( ) 2 1 ; '( ) 4 4 ; ''( ) 12 4 f x x x f x x x f x x        thỏa ''(0) 0, ''(1) 0 f f   nên các giá trị 1, 2, 1 a b c     thỏa mãn yêu cầu bài toán. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số ( ); '( ) y f x y f x   :     2 2 4 2 3 2 2 2 1 1 0 2 1 4 4 1 4 1 4 1 0 2 5 x x x x x x x x x x x x                              Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( ) y f x y f x   là       2 5 2 5 4 3 2 1 1 2 5 1 4 3 2 4 3 2 1 2 5 2 5 4 3 2 1 ( ) ( ) 4 2 4 1 4 2 4 1 4 2 4 1 4 2 4 1 63,52 S f x f x dx x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x dx                                       NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 3) Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính. Câu 1: Cho hàm số 4 3 2 ( ) 16 21 20 3 y f x x x x x       và hàm số     2 2 y g x a x b     có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng 1 2 3 , , S S S giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  và đường cong   y g x  lần lượt là , , m n p . Tính M a b m p n      . A. 2456 15 M  . B. 2531 15 M  . C. 2411 15 M  . D. 2501 15 M  . Lời giải Chọn B Đồ thị hàm   y g x  đi qua các điểm     0;0 , 2; 4 O A   nên 4 0 4 a b b             1 4 a b                2 2 2 4 4 g x x x x      . Nhận xét đồ thị hai hàm số nhận đường thẳng 2 x   là trục đối xứng nên 0 m p m p     . Do đó,         1 1 4 3 2 3 3 2531 5 5 8 20 24 3 15 a b n f x g x dx x x x x dx                   . Câu 2: Cho hàm số 4 2 5 y x bx    (*) có đồ thị như hình vẽ. Gọi 1 2 3 , , S S S lần lượt là diện tích của hình phẳng   A ,   B ,   C giới hạn bởi đồ thị hàm số (*) và trục hoành. Biết 1 3 2 S S S   . Giá trị của 2 S là C B A y x O A. 32 5 . B. 16 . C. 5 . D. 19 3 . Lời giải y=f(x) y=g(x) S 2 S 3 S 1 -1 -3 -3 -1 -2 -4 -4 O x yNHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chọn A Đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 0 b   Gọi 1 2 1 2 , ( ) t t t t  là nghiệm dương của phương trình 4 2 5 0 x bx    . Ta có 4 2 2 2 5 0 (1) t bt    Vì đồ thị hàm số (*) nhận trục tung làm trục đối xứng nên 2 1 3 2 3 2 S S S S S     Do đó 1 2 2 1 4 2 4 2 4 2 0 0 ( 5) - ( 5) ( 5) 0 t t t t x bx dx x bx dx x bx dx             5 3 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 0 5 0(2) 5 3 5 3 t bt t t bt         Từ (1) và (2) suy ra 2 36 6 b b     (vì b <0) và 1 1 t  Vậy 1 4 2 2 0 32 2 ( 6 5) 5 S x x dx      suy ra Chọn A NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 4) Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính. Câu 1: (Đề HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số   y f x  là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số     ; y f x y f x    có diện tích bằng y = f(x) 1 -1 -2 -1 1 y x O A. 127 40 . B. 107 5 . C. 13 5 . D. 127 10 . Lời giải Chọn B Từ giả thiết đi đến       2 2 2 1 f x a x x    . Vì đồ thị đi qua điểm   0;1 A nên 1 4 a        2 2 1 2 1 4 f x x x                     2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 f x x x x x x x x             . Phương trình           2 1 2 1 2 4 2 0 2 4 x f x f x x x x x x x x                        Vậy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của   f x và   f x  là:           4 2 2 2 1 1 107 2 1 2 1 2 1 4 2 5 S x x x x x dx            . Câu 2: Cho đồ thị hàm số 3 2 ( ) f x x ax bx c     có đồ thị   C . Đường thẳng d qua hai điểm , A B trên hình vẽ là tiếp tuyến của   C tại A . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và   C bằng: NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC d y=f(x) 2 -1 -1 y x O A. 6,75 B. 4,5 C. 8,45 D. 4,75 Lời giải Chọn A Đường thẳng : d y mx n   cắt đồ thị hàm số 3 2 ( ) f x x ax bx c     tại điểm có hoành độ 1; 2 x x    trong đó tại điểm có hoành độ 1 x   là điểm tiếp xúc của hai đường. Vì vậy   3 2 2 ( ) ( 1) ( 2). x ax bx c mx n x x         Diện tích hình phẳng cần tính bằng: 2 2 3 2 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( 2) 6,75. S x ax bx c mx n dx x x dx               Câu 3: Cho hàm số 3 2 y x ax bx c     có đồ thị   C . Biết rằng tiếp tuyến   d của   C tại điểm A có hoành độ bằng 1  cắt   C tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   d và   C (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng A. 13 2 . B. 25 4 . C. 27 4 . D. 11 2 Lời giải Chọn C Ta có   1; 1 A a b c     và 2 3 2 y x ax b       1 3 2 y a b       . y x B A O 2 -1NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Phương trình tiếp tuyến   d của   C tại A :     3 2 1 1 y a b x a b c         . Phương trình hoành độ giao điểm của   C và   d là :     3 2 3 2 1 1 x ax bx c a b x a b c              1 . Phương trình   1 có nghiệm 1; 2 x x      4 2 8 3 3 2 1 a b c a b a b c            9 0 0 a a     . Suy ra   C : 3 y x bx c    và     : 3 1 1 d y b x b c       . Diện tích hình phẳng là :       2 3 1 3 1 1 S b x b c x bx c dx                    2 3 1 27 3 2 4 x x dx       . Câu 4: Cho hàm số   y f x  là hàm bậc ba có đồ thị   C như hình vẽ bên dưới y=f(x) y x O 1 1 -1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C và trục hoành bằng: A. 4 3 . B. 3 4 . C. 5 3 . D. 3 5 . Lời giải Chọn A Phương trình của đồ thị   C có dạng       2 1 1 y f x a x x     .   C qua   0;1 A nên 1 a  . Suy ra         2 : 1 1 C y f x x x     3 2 1 x x x     . Diện tích hình phẳng cần tìm   1 3 2 1 1 d S x x x x       1 4 3 2 1 4 3 2 x x x x                  4 3  . Câu 5: Cho hàm số 4 2 y ax bx c    có đồ thị   C , biết rằng   C đi qua điểm   1;0 A  . Tiếp tuyến  tại A của đồ thị   C cắt   C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị   C và hai đường thẳng 0 x  ; 2 x  có diện tích bằng 56 5 (đồ thị như hình vẽ). NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC B A y x O 3 2 1 -1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị   C và hai đường thẳng 1 x   ; 0 x  . A. 2 5 . B. 1 20 . C. 1 10 . D. 1 5 . Lời giải Chọn A Cách 1: Hàm số 4 2 y ax bx c    . TXĐ: D   Ta có: 3 ' 4 2 y ax bx   . Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị   C tại   1;0 A  có dạng     4 2 1 y a b x     . Do tiếp tuyến  tại A của đồ thị   C cắt   C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 nên phương trình     4 2 4 2 1 ax bx c a b x       nhận ba nghiệm là: 1 x   ; 0 x  ; 2 x  . Suy ra: 3 c a b b a             2 3 c a b a            . Vậy   C :   4 2 4 2 3 2 3 2 y ax ax a a x x       và :   2 1 y a x   . Bài cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị   C và hai đường thẳng 0 x  ; 2 x  có diện tích bằng 56 5 nên:     2 4 2 0 56 2 1 3 2 d 5 a x a x x x             2 4 2 0 56 2 1 3 2 d 5 a x a x x x          2 4 2 0 56 3 2 d 5 a x x x x       2 5 3 2 0 56 . 5 5 x a x x                  28 56 . 5 5 a   2 a   . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị   C và hai đường thẳng 1 x   ; 0 x  là:     0 4 2 1 3 2 2 1 d S a x x a x x          0 0 5 4 2 3 2 1 1 2 2 6 4 d 2. 5 5 x x x x x x x                       . Cách 2: NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Giả sử đường thẳng : d y kx m   là tiếp tuyến với   C tại   0; 1 A  nên 1 c   và 1 m   . Phương trình hoành độ giao điểm của d và   C là     2 4 2 0 1 . . 2 0 ax bx kx a x x x        (do phương trình trên có 3 nghiệm như bài toán đã cho). Theo bài ta có phương trình     2 2 0 56 1 . 2 d 2 5 a x x x x a       . Từ đó ta được   0 4 2 1 2( 3 2) 4 1 d S x x x x                0 4 2 1 2 2 6 4 5 x x x dx       . Câu 6: Cho hàm số 4 2 y ax bx c    có đồ thị   C , biết rằng   C đi qua điểm   1;0 A  , tiếp tuyến d tại A của   C cắt   C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị   C và hai đường thẳng 0 x  ; 2 x  có diện tích bằng 28 5 . 2 2 1 -1 y x O Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C và hai đường thẳng 1 x   ; 0 x  có diện tích bằng A. 2 5 B. 1 4 C. 2 9 D. 1 5 Lời giải Chọn D Ta có 3 4 2 y ax bx         : 4 2 1 d y a b x     . Phương trình hoành độ giao điểm của d và   C là:       4 2 4 2 1 1 a b x ax bx c       . Phương trình   1 phải cho 2 nghiệm là 0 x  , 2 x  .  4 2 12 6 16 4 a b c a b a b c                    4 2 0 2 28 10 0 3 a b c a b c                  . Mặt khác, diện tích phần tô màu là     2 4 2 0 28 4 2 1 d 5 a b x ax bx c x                 28 32 8 4 4 2 2 5 5 3 a b a b c          112 32 28 2 4 5 3 5 a b c      . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Giải hệ 3 phương trình   2 ,   3 và   4 ta được 1 a  , 3 b   , 2 c  . Khi đó,   4 2 : 3 2 C y x x    ,   : 2 1 d y x   . Diện tích cần tìm là   0 4 2 1 3 2 2 1 d S x x x x                0 4 2 1 1 3 2 5 x x x dx       . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 5) Dạng 5. Biến đổi đồ thị đưa về tính toán đơn giản. Câu 1: Cho parabol   2 1 : 2 3 P y x x     cắt trục hoành tại hai điểm A , B và đường thẳng : d y a    0 4 a   . Xét parabol   2 P đi qua A , B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a  (đồ thị như hình vẽ). Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi   1 P và d . 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi   2 P và trục hoành. Biết 1 2 S S  , tính 3 2 8 48 T a a a    . y = a B A y x O A. 99 T  . B. 64 T  . C. 32 T  . D. 72 T  . Lời giải Chọn B. y = a B A N M y x O Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị. Khi đó, phương trình các parabol mới là   2 1 : 4 P y x    ,   2 2 : 4 a P y x a    . Gọi A , B là các giao điểm của   1 P và trục Ox   2;0 A   ,   2;0 B 4 AB   . Gọi M , N là giao điểm của   1 P và đường thẳng d   4 ; M a a    ,   4 ; N a a  . Ta có 4 1 2 4 .d a S y y      4 3 2 4 4 3 a y                   4 4 4 3 a a    . 2 2 2 0 2 .d 4 a S x a x                 2 3 0 2 12 ax ax                8 3 a  . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Theo giả thiết 1 2 S S    4 8 4 4 3 3 a a a       3 2 4 4 a a    3 2 8 48 64 a a a     . Vậy 64 T  . Câu 2: Gọi ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 y x x    và trục hoành. Hai đường thẳng y m  và y n  chia ( ) H thành 3 phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức 3 3 (4 ) (4 ) T m n     bằng y = n y = m y x O A. 320 9 T  . B. 512 15 T  . C. 405 T  . D. 75 2 T  . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 6) Dạng 6. Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2018) Cho   H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 3 y x  , cung tròn có phương trình 2 4 y x   (với 0 2 x   ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của   H bằng 2 2 y x O A. 4 3 12   . B. 4 3 6   . C. 4 2 3 3 6    . D. 5 3 2 3   . Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 2 2 3 4 1 x x x      với 0 2 x   nên ta có 1 x  Ta có diện tích 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 0 1 1 1 0 3 3 3 4 4 4 3 3 S x dx x dx x x dx x dx              Đặt 2sin 2cos ; 1 ; 2 6 2 x t dx tdt x t x t            2 6 3 1 4 3 2 sin2 3 2 6 S t t                      Câu 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường   3 1 y x   , 3 1 y x   . Đường cong 2 2 x y   chia S thành hai phần có diện tích là 1 2 , S S (trong đó 1 S nằm trên trục hoành). Tính tỉ số 1 2 S S . A. 1 2 9ln4 4 S S  . B. 1 2 9ln4 1 4 S S   . C. 1 2 9ln2 1 4 S S   . D. 1 2 9ln2 4 S S  Lời giải Chọn B NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 8 2 1 3 2 1 -1 y=(x 1) 3 y=3x 1 y=2 2 x y x O Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong   3 1 y x   , 3 1 y x   là:   3 1 3 1 x x    3 2 3 0 x x    0 3 x x         . Do vậy   3 3 0 27 3 1 1 4 S x x dx               . Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong   3 1 y x   , 2 2 x y   là:   3 2 1 2 x x      1 . Dễ thấy 2 x  là nghiệm của   1 đồng thời hàm số   3 1 y x   đồng biến trên  , hàm số 2 2 x y   nghịch biến trên  nên   1 có nghiệm duy nhất 2 x  . Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong 3 1 y x   , 2 2 x y   là: 2 3 1 2 x x    (1). Dễ thấy 1 x  là nghiệm của   2 đồng thời hàm số 3 1 y x   đồng biến trên  , hàm số 2 2 x y   nghịch biến trên  nên (1) có nghiệm duy nhất 1 x  . Ta có     2 3 3 2 1 0 2 3 1 2 3 1 1 x S x dx x x dx                   27 3 4 ln4   . 2 1 3 ln4 S S S    . Vậy 1 2 27 3 9ln4 4 ln4 1 3 4 ln4 S S     . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 3: Gọi tam giác cong   OAB là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 2 y x  , 3 y x   , 0 y  (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của   OAB bằng B A y x O y=3-x y=2x 2 A. 8 3 . B. 5 3 . C. 4 3 . D. 10 3 . Lời giải Chọn A S 2 S 1 2 3 1 y x O y=3-x y=2x 2 Gọi parabol   2 : 2 P y x  và đường thẳng   : 3 d y x   . Ta có phương trình hoành độ giao điểm của   P và   d là: 2 2 1 2 3 2 3 0 3 2 x x x x x x                 Suy ra tọa độ điểm (1;3) A và ( ) (3;0) d Ox B   . Khi đó 1 3 2 ( ) 1 2 0 1 2 8 2 d (3 )d 2 3 3 OAB S S S x x x x           . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 4: Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: 2 , 3 x y y x     và 1 y  là: A. S  1 1 ln2 2  . B. 1 1 ln2 S   . C. 47 50 S  . D. 1 3 ln2 S   . Lời giải Chọn A y x O 2 1 2 1 y=1 y=3-x y=2 x Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có: * 2 3 1 x x x      * 2 1 0 x x    * 3 1 2 x x      Diện tích cần tìm là:     1 2 1 2 2 0 1 0 1 2 1 1 2 1 d 3 1 d 2 ln2 2 ln2 2 x x x S x x x x x                                        Câu 5: Cho   H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình y x  , nửa đường tròn có phương trình 2 2 y x   (với 0 2 x   ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của   H bằng NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 1 y x O A. 3 1 12   . B. 3 2 12   . C. 4 1 6   . D. 4 2 12   . Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm : 2 2 2 0 2 1 0 2 x x x x x x                    Do đó 1 2 2 0 1 3 2 d 2 d 12 S x x x x         . Câu 6: Cho   H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 1 1 4 y x   (với 0 2 2 x   ), nửa đường tròn có phương trình 2 8 y x   và trục hoành, trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của   H bằng 1 y x O 2 2 A. 3 14 6   . B. 2 2 3   . C. 3 4 6   . D. 3 2 3   . Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2 2 24 112 0 1 8 1 2 4 0 2 2 x x x x x x                     . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Do đó 2 2 2 2 2 0 2 1 3 2 1 d 8 d 4 3 S x x x x                      . Câu 7: Cho ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 3 2 y x  và đường Elip có phương trình 2 2 1 4 x y   (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của ( ) H bằng 1 -1 -2 2 1 y x O A. 2 3 6   . B. 2 3  . C. 3 4   . D. 3 4  Lời giải Chọn A Ta có 2 2 1 4 x y   2 1 4 x y     . Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong nửa trên của Elip và Parabol là 2 2 3 1 4 2 x x   4 2 3 4 0 x x     2 2 1 1 4 1 3 x x x x                    . Suy ra diện tích hình phẳng ( ) H cần tính là 1 2 2 ( ) 1 3 1 d 4 2 H x S x x                     1 2 1 1 3 4 d 2 3 x x      . Xét 1 2 1 4 d I x x     , đặt 2sin x t  ta được 6 2 6 1 4 4sin 2cos d 2 I t t t       6 2 6 2cos d t t        6 6 1 cos2 d t t       6 6 sin2 2 t t                  3 3 2    . Do đó ( ) 3 3 3 2 3 H S     2 3 6    . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy 4 1 6 a b c                9 P a b c      . Câu 8: Tính diện tích S của hình phẳng (phần tô màu) trong hình sau 4 2 O x y A. 8 3 S  . B. 10 3 S  . C. 11 3 S  . D. 7 3 S  . Lời giải Chọn B Dựa và hình vẽ, ta có hình phẳng được giới hạn bởi các đường: 2 0 y x y x y                  . Suy ra   2 4 0 2 d 2 d S x x x x x       π 2 2 a . Câu 9: Cho   H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình 2 10 3 y x x   , khi khi 1 2 1 x x y x x             . Diện tích của   H bằng? -1 1 3 2 O y x A. 11 6 . B. 13 2 . C. 11 2 . D. 14 3 . Lời giải Chọn B NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x   và 2 y x   là 2 1 x x x      . Diện tích hình phẳng cần tính là 1 3 2 2 0 1 10 10 d 2 d 3 3 S x x x x x x x x                                  . 1 3 2 2 0 1 13 7 d 2 d 3 3 S x x x x x x                                 1 3 2 2 0 1 13 7 d 2 d 3 3 S x x x x x x                                 1 3 3 3 2 2 0 1 13 7 13 2 6 3 6 3 2 x x S x x x                                . Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 2 27 ; ; 27 x y x y y x    bằng A. 27 ln2 . B. 27 ln 3 . C. 28ln3 . D. 29ln 3 . Lời giải Chọn B Xét các pthđgđ 2 2 2 2 27 27 0; 3; 9 27 27 x x x x x x x x x          . 3 9 9 3 y= 27 x 27 x 2 y= y=x 2 y x O Suy ra 3 9 2 2 2 0 3 27 27 ln3 27 27 x x S x dx dx x                                . Câu 11: Cho parabol   2 1 : 2 P y x  và đường tròn   C có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy nhất với   P . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   P ,   C và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) bằng: NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC B A I x y O y=0.5x 2 A. 27 3 8 24   . B. 9 3 9 4 12    . C. 29 3 9 24   . D. 3 3 2 3    . Lời giải Chọn A Gọi   ;1 I b là tậm của đường tròn     0 C b  ; 2 1 ; 2 A a a             là tiếp điểm của   P và   C   0 a  . Phương trình tiếp tuyến chung của   P và   C : 2 2 1 1 : 0 2 2 y ax a ax y a        . Tiếp tuyến  có véctơ chỉ phương   1; u a   . 2 1 ; 1 2 IA a b a                   . Ta có 2 3 1 1 . 0 1 0 2 2 IA u IA a b a a b a                            . Hơn nữa     2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 0 3 . 4 2 IA a b a a a a a a a b                                                       Phần tô đậm trong hình vẽ là hình giới hạn bởi nhánh bên phải parabol     0 P x  , nữa bên trái đường tròn   3 3 2 C x                và trục hoành. NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ta có:       2 2 2 3 3 3 3 : 1 1 1 1 2 2 C x y x y                        (vì 3 3 2 x  )   2 1 : 2 2 P y x x y    (vì 0 x  ). Vậy diện tích phần tô đậm:   3 2 2 0 3 3 27 3 8 1 1 2 . 2 24 S y y dy                        Câu 12: Cho parabol   2 : P y x  và đường tròn   C có bán kính bằng 17 2 tiếp xúc với hai nhánh của   P (như hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   P và   C (phần tô đậm trong hình) gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 5,12 . B. 7,06 . C. 8,74 . D. 6,03 . Lời giải Chọn D Gọi   0; I b là tậm của đường tròn     0 C b  ;   2 ; A a a là tiếp điểm nhánh bên phải của   P và   C   0 a  . Phương trình tiếp tuyến chung của   P và   C : 2 2 : 2 2 0 y ax a ax y a        . Tiếp tuyến  có véctơ chỉ phương   1;2 u a   .   2 ; IA a a b      . Ta có   2 2 1 . 0 2 0 2 IA u IA a a a b b a                . Hơn nữa   2 2 2 2 2 17 17 1 17 9 2 . 4 4 4 4 2 IA a a b a a b             Phần tô đậm trong hình vẽ là hình giới hạn bởi parabol   P và nữa bên dưới đường tròn   9 2 C y              . Ta có   2 2 2 9 17 9 17 : 2 4 2 4 C x y y x                    (vì 9 2 y  ) 4,5 4 2 A I y x ONHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy diện tích phần tô đậm 2 2 2 0 9 17 2 6,03. 2 4 S x x dx                     Câu 13: Cho parabol   2 : P y x  và đường tròn   C có bán kính bằng 2 tiếp xúc với   P tại gốc tọa độ (như hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   P và   C (phần tô đậm trong hình) bằng: I y=x 2 y x O 2 A. 5 2 3 3   . B. 4 3 3 3   . C. 8 5 3 3   . D. 8 3 3 3   . Lời giải Chọn D Vì tính đối xứng, ta chỉ cần tính phần tô màu phía bên phải trục   0 Oy x  . Qua hình vẽ, ta thấy:   C có tâm         2 2 2 0;2 : 2 4 4 2 I C x y x y         . Phương trình hoành độ giao điểm của   P và   C :   2 2 2 4 2 0 0 2 4 3 0 . 3 3 x y x x x x x y                   Khi đó diện tích phần tô màu     3 2 0 1 2 4 2 8 9 3 . 3 S y y dy                     Câu 14: Cho hàm số   . y f x  Đồ thị của hàm số   y f x   trên 5;3        như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol 2 ). y ax bx c    NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC -1 4 3 2 2 1 -1 -4 -5 y x O Biết   0 0, f  giá trị của     2 5 3 2 f f   bằng A. 109 3 . B. 33 . C. 35 3 . D. 11. Lời giải Chọn C Cách 1. Parabol 2 y ax bx c    có đỉnh   1;4 I và đi qua điểm   2;3 nên ta có: 2 1 1 2 4 2 2 3. 4 2 3 3 b a a a b c b y x x a b c c                                             Do   0 0 f  nên                 2 5 3 2 2 5 1 2 1 0 3 2 0 f f f f f f f f                                    1 0 2 2 2 5 1 0 2 d 2 2 3 d 3 2 3 d x x x x x x f x x                      0 2 2 2 1 1 0 2.7 5 22 35 2 2 2 3 3 2 3 d 2. 3. 2 3 3 3 d S x x x x x x                   . Trong đó 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   , y f x   trục Ox và hai đường thẳng 5, 1 x x     và ta có: 1 1 11 1 1 7 .2. .1. 2 3 2 3 2 S    . Cách 2. NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ta tính được:   2 3 14 , 5 4 2 2 , 4 1 3 3 2 3, 1 x x f x x x x x x                                  . Ta có             4 4 5 5 1 1 4 5 3 14 4 5 2 2 f f f x dx x dx f f                    .(1)           1 1 4 4 2 2 1 4 3 1 4 3 3 3 f f f x dx x dx f f                                 . (2) Từ (1) và (2)     7 1 5 2 f f      . (3)           0 0 2 1 1 5 5 0 1 2 3 0 1 3 3 f f f x dx x x dx f f                  . (4)             2 2 2 0 0 22 22 2 0 2 3 2 0 3 3 f f f x dx x x dx f f              .(5) Mà   0 0. f  (6) Từ (3),(4),(5),(6)       5 22 31 1 , 2 , 5 3 3 6 f f f         Do đó:     35 2 5 3 2 3 f f    . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 7) Dạng 7. Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan. Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 1 2 1 2 , , , A A B B như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là đ 2 200.000 vn / m và phần còn lại đ 2 100.000 vn / m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết 1 2 8m AA  , 1 2 6m B B  và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có 3m MQ  ? A 2 B 2 B 1 A 1 Q P N M A. 5.526.000 đồng. B. 5.782.000 đồng. C. 7.322.000 đồng. D. 7.213.000 đồng. Lời giải Chọn C 4 3 A 2 B 2 B 1 A 1 y x O Q P N M Gọi phương trình chính tắc của elip   E có dạng: 2 2 2 2 1 x y a b   Với 1 2 1 2 8 2 4 6 2 3 AA a a B B b b                        2 2 2 3 : 1 16 16 9 4 x y E y x        . Suy ra diện tích của hình elip là     2 . 12 m E S ab     . Vì MNPQ là hình chữ nhật và   3 3 ; 2 MQ M x E                2 2 1 3 3 1 12 2 3; ; 2 3; 16 4 2 2 x x M N                                NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Gọi 1 2 ; S S lần lượt là diện tích phần bị tô màu và không bị tô màu Ta có 4 4 2 2 2 2 3 2 3 3 4. 16 d 3 16 d 4 S x x x x       . Đặt 4 sin x t  ta tính được   2 2 4 6 3 m S    Suy ra   1 2 8 6 3 E S S S      . Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có     4 6 3 .100 8 6 3 .200 7.322.000 T        (đồng). Câu 2: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40 (cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình 2 2 y x  và   3 2 4 1 x y   để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây? A. 506 (cm 2 ) B. 747(cm 2 ) C. 507(cm 2 ) D. 746(cm 2 ) Lời giải Chọn B 2 1 y x O Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Diện tích phần tô đậm là         1 2 3 2 2 0 1 112 4 2 0 2 2 1 747 15 S x dx x x dx dm cm                                NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 3: (Đề thi thử THPT QG Bắc Ninh lần 2 năm 2017) Một xưởng sản xuất gỗ muốn thiết kế những có hình dạng là một phần của hình elip có kích thước giống hình bên. Biết miếng gỗ dày 2 . cm Thể tích miếng gỗ đã cho tính theo 3 cm nằm trong khoảng nào? A.   2340;2350 . B.   1170;1180 . C.   2240;2250 . D.   1200;1210 . Lời giải Chọn A 10 12,5 25 y x M O A B Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, khi đó Elip đi qua các điểm     0;12,5 , 25;10 B M ta có 2 3 2 2 2 25 100 25 1 9 12,5 a a     Ta được phương trình Elip: 2 2 2 3 2 3 1 12,5 1 25 12,5 25 9 9 x y x y      Diện tích bề mặt miếng là 25 2 3 0 4 12,5 1 23,406 2340,6 25 9 x S dx V       Câu 4: Một mặt bàn hình elip có chiều dài là 120cm , chiều rộng là là 60cm . Anh Phượng muốn gắn đá hoa cương và dán gạch tranh trên mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương bên ngoài và điểm nhấn bên trong là bộ tranh gồm 2 miếng gạch với kích thước mỗi miếng là 25 40 cm cm  ). Biết rằng đá hoa cương có giá và bộ tranh gạch có giá 300.000 vnđ/bộ. Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương và dán gạch tranh theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. 519.000 đồng. B. 610.000 đồng. C. 639.000 đồng. D. 279.000 đồng. Lời giải Chọn A Gọi phương trình chính tắc của elip   E có dạng: 2 2 2 2 1 x y a b   Với 1 2 1 2 1,2 2 0,6 0,6 2 0,3 AA a a B B b b                        2 2 2 1 : 1 0,36 0,36 0,09 2 x y E y x        . Suy ra diên tích của hình elip là:     0,6 0,6 2 2 2 0 0 1 4 0,36 2 0,36 0,18 2 E S x dx x dx m         . Gọi 1 2 ; S S lần lượt là diện tích phần đá hoa cương và bộ tranh Ta có   2 2 2x0,25x0,4 0,2 S m   Suy ra     2 1 2 0,18 0,2 E S S S m      . Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có   0,18 0,2 .600000 300000 519.000 T      (đồng). Câu 5: Một mặt bàn hình elip có chiều dài là 120cm , chiều rộng là 60cm . Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương trắng và phần đá hoa cương màu vàng), biết rằng phần màu vàng cũng là elip có chiều dài 100cm và chiều rộng là 40cm . Biết rằng đá hoa cương màu trắng có giá đ 2 600.000 vn / m và đá hoa cương màu trắng có giá đ 2 650.000 vn / m . Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. 355.000 đồng. B. 339.000 đồng. C. 368.000 đồng. D. 353.000 đồng Lời giải Chọn A O y x B' 2 B' 1 B 2 B 1 A' 2 A' 1 A 2 A 1 Gọi phương trình chính tắc của elip   E có dạng: 2 2 2 2 1 x y a b   Với 1 2 1 2 1,2 2 0,6 2 AA a B B b            0,6 0,3 a b             2 2 : 1 0,36 0,09 L x y E    2 1 0,36 2 y x     Suy ra diện tích của hình elip lớn là:     0,6 0,6 2 2 2 0 0 1 4 0,36 2 0,36 0,18 2 L E S x dx x dx m         . Với 1 2 1 2 ' ' 1 2 0,5 ' ' 0,4 2 0,2 A A a a B B b b                        2 2 2 2 : 1 0,25 0,25 0,04 5 N x y E y x        . Suy ra diện tích của hình elip nhỏ là:     0,5 0,5 2 2 2 0 0 2 8 4 0,25 0,25 0,1 5 5 N E S x dx x dx m         . Gọi 1 2 ; S S lần lượt là diện tích phần gắn đá hoa cương màu trắng và phần gắn đá hoa cương màu vàng. Ta có     2 2 0,1 . N E S S m    Suy ra     1 0,18 0,1 0,08 L N E E S S S         . Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có 0,08 .600000 0,1 .650000 355.000 T      (đồng). Câu 6: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 1 2 1 2 , , , A A B B như hình vẽ bên. NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC N M B 2 B 1 A 1 A 2 Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh 1 B , trục đối xứng 1 2 B B và đi qua các điểm , M N . Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ 2 m và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ 2 m . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng 1 2 4 AA m  , 1 2 2m B B  , 2m MN  . A. 2.431.000 đồng. B. 2.057.000 đồng. C. 2.760.000 đồng. D. 1.664.000 đồng. Lời giải Chọn A N M -2 2 -1 1 y x O B 2 B 1 A 1 A 2 + Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của 1 2 AA . Tọa độ các đỉnh   1 2;0 , A    2 2;0 , A   1 0; 1 B  ,   2 0;1 B . + Phương trình đường Elip   E : 2 2 2 1 1 4 1 4 x y x y       . + Ta có   3 3 1; , 1; 2 2 M N E                               . + Parabol   P có đỉnh   1 0; 1 B  và trục đối xứng là Ox nên   P có phương trình   2 1, 0 y ax a    .   P đi qua , M N 3 1 2 a      P  có phương trình 2 3 1 1 2 y x                  . + Diện tích phần tô đậm 1 2 2 1 0 3 2. 1 1 1 d 4 2 x S x x                               1 2 0 2 3 4 d 1 2 3 2 x x                     NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Đặt 2sin , ; 2 2 x t t              d 2cos d x t t   . Đổi cận: 0 0; 1 6 x t x t        . 6 2 1 0 2 3 4 4sin .2cos d 1 2 3 2 S t t t                       6 2 0 3 4 4. cos d 3 3 t t        6 0 3 4 2. 1 cos2 d 3 3 t t          6 0 3 4 3 4 2 sin2 3 3 3 6 3 t t          . + Diện tích hình Elip là 2 S ab     .  Diện tích phần còn lại 2 1 5 3 4 3 6 3 S S S       . + Kinh phí sử dụng là: 1 2 200000 500000 2431000 S S   (đồng). Câu 7: Một người định xây một hòn non bộ bằng cách vẽ một đường tròn bán kính 2m trên mặt đất sau đó lấy tâm đường tròn làm tâm của một hình vuông cạnh 2m như hình vẽ. Phần 1 S (tất cả phần màu trắng) xây thành bể để xếp hòn non bộ và thả cá, phần 2 3 , S S để trồng hoa. Tính diện tích trồng hoa. 2 2 S 2 S 1 S 3 A. 2 3,65m B. 2 3,56m C. 2 4,65m D. 2 4,56m Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 52 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 2 -1 -1 1 1 S 2 S 1 S 3 y x O Chọn gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn, khi đó phương trình đường tròn tâm O bán kính 2 là. 2 2 2 4 4 x y y x       Diện tích của hình tròn là   2 4 m  Diện tích hình vuông là   2 4 m Các cạnh của hình vuông nằm trên các đường thẳng 1, 1 y x     Phương trình hoành độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng 1 y  là. 2 4 1 3 x x      Diện tích phần bể ngoài hình vuông là   3 2 3 2 4 1 x dx       3 2 1 3 4 2 4 1 S x dx        Diện tích phần trồng hoa   2 2 3 1 4 3,65 S S S m      . Câu 8: Nhà ông An có một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5( ) m . Ông An muốn thiết kế khuôn viên một phần để lát gạch Ý (phần tô đậm) và hai phần còn lại để trồng hoa Nhật Bản ( phần không tô màu). Phần tô đậm có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn, cách nhau một khoảng bằng 4 (m). Biết các kích thước cho như hình vẽ, kinh phí để trồng hoa Nhật Bản là 150.000 đồng / m 2 và kinh phí để lát gạch Ý là 250.000 đồng/ m 2 . Hỏi kinh phíông An để làm công trình đó gần nhất với kết quả nào sau đây? 4m 4m 4m A. 5.916.400 đồng B. 5.906.400 đồng C. 5.609.400 đồng D. 5.906.500 đồng Lời giải NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chọn B (P) M y x O 4 2 Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là:   2 2 2 2 2 2 5 20 y R x x x       Phương trình Parabol ( ) P có đỉnh là gốc O sẽ có dạng 2 y ax  .Mặt khác ( ) P đi qua điểm (2;4) M nên 2 4 .(2) 1 a a    Gọi 1 S là phần diện tích của hình phẳng hạn bởi ( ) P là nửa đường tròn ( phần tô màu). Diện tích phần lát gạch Ý của khuôn viên là: 2 2 2 1 2 ( 20 ). 11,940 S x x dx       Phần diện tích trồng cỏ Nhật Bản của khuôn viên là: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (2 5) ( 20 ) 19,476 2 2 hinh tron S S S x x dx           Vậy số tiền cần có là: 1 2 250.000.S 150.000.S 5.906.400 T    (đồng) Câu 9: Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao 4 GH m  , chiều rộng 4 AB m  , 0,9 AC BD m   . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000 đồng/m 2 , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m 2 . H G F E D C B A Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 (đồng). B. 7368000 (đồng). C. 4077000 (đồng). D. 11370000 (đồng) Lời giải NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chọn A Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol có đỉnh   2;4 G và đi qua gốc tọa độ. y=-x 2 +4x H G F E D C B A y x O 3,1 0,9 2 4 4 Gọi phương trình của parabol là 2 y ax bx c    Do đó ta có 2 0 1 2 4 2 0 2 2 4 a c a b b c a b c                                      . Nên phương trình parabol là 2 4 ( ) y f x x x     Diện tích của cả cổng là 4 3 2 2 4 2 0 0 32 ( 4x) 2 10,67( ) 3 3 x S x dx x m                      Do vậy chiều cao   0,9 2,79( ) CF DE f m      4 2.0,9 2,2 CD m    Diện tích hai cánh cổng là   2 . 6,138 6,14 CDEF S CDCF m    Diện tích phần xiên hoa là 2 10,67 6,14 4,53( ) xh CDEF S S S m      Nên tiền là hai cánh cổng là   6,14.1200000 7368000  đ và tiền làm phần xiên hoa là   4,53.900000 4077000  đ . Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng. NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 10: Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m . Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần phần gạch xọc dùng để trồng cỏ. Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết 4 AB m  , giá trồng hoa là 200.000 đ/m 2 , giá trồng cỏ là 100.000 đ/m 2 , mỗi cây cọ giá 150.000 đ. Hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó (làm tròn đến hàng nghìn). A. 13.265.000 đồng. B. 12.218.000 đồng. C. 14.465.000 đồng. D. 14.865.000 đồng. Lời giải Chọn A 8 2 y x O Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương trình đường tròn là: 2 2 64 x y   . + Diện tích hình vuông ABCD là:   2 4 4 16 ABCD S m    . NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC  Số tiền để trồng hoa là: 1 16 200.000 3.200.000 T    (đồng). + Diện tích trồng cỏ là:     2 2 2 2 4 64 2 d 94,654 S x x m       .  Số tiền trồng cỏ là: 2 94,654 100.000 9.465.000 T    (đồng). + Số tiền trồng 4 cây cọ là: 3 150.000 4 600.000 T    (đồng). Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là: 1 2 3 13.265.000 T T T T     (đồng). Câu 11: Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật như hình dưới đây, trong đó     1 2 , P P là các parabol giống nhau,   C là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol tại chính các đỉnh của các parabol ấy. Tính và làm tròn đến hai chữ số thập phân diện tích phần lát gạch của mảnh sân trong trường hợp diện tích hình tròn bao bởi   C lớn nhất. A. 8,39 . B. 10,12 . C. 9,18 . D. 11,45 . Lời giải Chọn A Đặt   C và   1 P vào mặt phẳng Oxy sao cho   C có tâm là O và bán kính là   0 r r  như hình dưới đây: NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC y x 4a-r 2 S -r r O M Lúc này ta có     2 2 2 2 : , : ( 0) C x y r P y ax r a      . Do   C và   1 P có duy nhất một điểm chung là đỉnh của   1 P nên hệ phương trình 2 2 2 2 x y r y ax r              có duy nhất một nghiệm là   0; r  (*) Do   2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 x x y r x a x arx r r ar x y ax r y ax r a y ax r                                                         nên (*) 1 2 r a   . Do   1 7 2; 2 M P              nên 2 7 8 r a   . Tức 1 2 2 7 8 r a r a                 . Từ đây tìm được 1 2 2 7 8 r r a                 . Do hình tròn có diện tích lớn nhất nên 1 2 1 r a              . Lúc này   1 P cắt tia Ox tại điểm có hoành độ 2 2 . Diện tích cần tính là 2 2 2 2 2 1 1 4 4 .d 8,39 2 4 2 S x x                        . Câu 12: Cho một mô hình 3 D  mô phỏng một đường hầm. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài   5 cm ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol như hình vẽ. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức 2 3 5 y x     cm , với x   cm là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị 3 cm ) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 5m h h h A. 29 . B. 27 . C. 31. D. 33 . Lời giải Chọn A h h y x O Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2h và chọn hệ trục Oxy như hình vẽ trên. Parabol   P có phương trình   2 , 0 y ax h a    Ta có     ;0 B h P  2 0 ah h      1 0 a doh h     Diện tích S của thiết diện: 2 2 1 4 d 3 h h h S x h x h                   , 2 3 5 h x     2 4 2 3 3 5 S x x                Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:   2 5 5 0 0 4 2 d 3 d 28,888 3 5 V S x x x x                      3 29 cm V  