Tài liệu ôn tập Toán lớp 11 chuẩn và hay nhất

nguyenkimthoa1995 10 tháng trước 269 lượt xem 3 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Tài liệu ôn tập Toán lớp 11 chuẩn và hay nhất". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 1

CHỦ ĐỀ 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT

Giá trị lượng giác của cung



Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM   :

Hình 1.1

Gọi   ; M x y với tung độ của M là y OK  , hoành độ là x OH  thì ta có:

sin OK   cos OH  

 

sin

tan ; cos 0

cos









 

cos

cot ; sin 0

sin









Các giá trị sin  ,

cos 

, tan  , cot  được gọi là các giá trị lượng giác của cung



Các hệ quả cần nắm vững

1. Các giá trị sin  ;

cos 

xác định với mọi   . Và ta có:

  sin 2 sin , ; kk       

  cos 2 cos , . kk       

2. 1 sin 1     ; 1 cos 1    

3. tan  xác định với mọi

  ,



   

4. cot  xác định với mọi   , kk   .

Dấu của các giá trị lượng giác của cung



phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM  

trên đường tròn lượng giác (hình 1.2).

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 2

Hình 1.2

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau

Góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV

cos 

+ - - +

sin  + + - -

tan  + - + -

cot  + - + -

Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác

2. Công thức lượng giác

Công thức cơ bản Cung đối nhau

sin cos 1 xx    sin sin xx   

tan 1

cos

   cos cos xx 

cot 1

sin

   tan tan xx   

Công thức cộng Cung bù nhau

  sin sin cos cos sin x y x y x y      sin sin xx  

  cos cos cos sin sin x y x y x y    cos cos xx    

 

tan tan

tan

1 tan tan





  tan tan xx  

Công thức đặc biệt

sin cos 2 sin 2 cos

x x x x



   

    

   

   

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 3

sin cos 2 sin 2 cos

x x x x



   

     

   

   

Góc nhân đôi Góc chia đôi

sin 2 2sin cos x x x 

 

sin 1 cos2

xx 

2 2 2 2

cos2 2cos 1 1 2sin cos sin x x x x x      

 

cos 1 cos2

xx 

Góc nhân ba Góc chia ba

sin3 3sin 4sin x x x 

 

sin 3sin sin3

x x x 

cos3 4cos 3cos x x x 

 

cos 3cos cos3

x x x 

3tan tan

tan3

1 3tan







Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích

   

cos cos cos cos

x y x y x y     



cos cos 2cos cos

x y x y





   

sin sin cos cos

x y x y x y     



cos cos 2sin sin

x y x y



  

   

sin cos sin sin

x y x y x y     



sin sin 2sin cos

x y x y





sin sin 2cos sin

x y x y





3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt



(độ) 0 30 45 60 90 180



(radian)



sin  0

1 0

cos 

0 1 

tan  0

Không xác

định

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 4

BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT

Đồ thị hàm số:

Hàm số

y sinx: 

- Có tập xác định là .

- Có tập giá trị là 1;1   



- Là hàm số lẻ.

- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

- Có đồ thị là một đường hình sin.

- Tuần hoàn với chu kì 2  .

- Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k





   





- Nghịch biến trên mỗi khoảng

k2 ; k2 ,k





  





Hàm số y cosx 

Đồ thị hàm số  y cosx :

- Có tập xác định là .

- Là hàm số chẵn.

- Là một đường hình sin.

- Đồng biến trên mỗi khoảng

 

k2 ;k2 ,k       .

- Nghịch biến trên mỗi khoảng

 

k2 ; k2 ,k     .

Hàm số tan yx  : Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 5

- Có tập xác định

D k k





  





- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì  - Có tập giá trị là

- Đồng biến trên mỗi khoảng ;,

k k k





   





- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng

  ,

x k k



   

làm một đường tiệm cận

Hàm số cot yx  :

- Có tập xác định:

 

\ D kk   - Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì  - Có tập giá trị là

- Đồng biến trên mỗi khoảng   ;, k k k    

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng   , x k k   làm một đường tiệm cận.

Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác

Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Cách 1

Tìm tập D của x để   fx có nghĩa, tức

là tìm

   

D x f x   

Cách 2

Tìm tập E của x để   fx không có

nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là

\ D E  .

CHÚ Ý

A. Với hàm số   fx cho bởi biểu thức đại số thì ta có:

 

 , điều kiện: *  

fx có nghĩa

*  

fx có nghĩa và  

0 fx  .

     

f x f x m  , điều kiện:  

fx có nghĩa và  

0 fx  .

 

f x m



, điều kiện:    

, f x f x có nghĩa và  

0 fx  .

B. Hàm số sin ; cos y x y x  xác định trên , như vậy

    sin ; cos y u x y u x     

   

xác định khi và chỉ khi   ux xác định.

*   tan y u x  



có nghĩa khi và chỉ khi   ux xác định và

  ;

u x k k



    .

*   cot y u x  



có nghĩa khi và chỉ khi   ux xác định và   ; u x k k     .

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số

2cos 1





là:

\ 2 , 2

D k k k





   





. B.

D kk





  





. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 6

2 , 2

D k k k





   





. D.

D kk





  





Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số

cot

sin 1





là:

A. \2

D kk





  





. B. \

D kk











C. \ 2 ;

D kk







  





. D. \2

D kk





  





Ví dụ 3. Tập hợp

 

\kk   không phải là tập xác định của hàm số nào?

1 cos

sin





. B.

1 cos

2sin





. C.

1 cos

sin 2





. D.

1 cos

sin





Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số

sin 2 yx



A.  

2;2 D . B.     1;1 \ 0 D . C. D  . D.   \0 D  .

Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số

2017

2016 tan 2 yx 

là

A. \

D k k





  





. B. \

D k k











C. D  . D.

D k k





  





Ví dụ 6. Tập xác định của hàm số

2017

2016cot 2 yx 

là

D k k





  





. B.

D k k











C. D  . D.

D k k





  





Ví dụ 7. Tập xác định của hàm số 1 cos2017 yx  là

 

\ D k k   . B. D  .

D k k k





   





. D.

D k k





  





Ví dụ 8. Tập xác định của hàm số

2 sin 6





là

A.   \| D k k   . B. D  .

D k k





  





. D.

\ 2 |

D k k





  





Ví dụ 9. Để tìm tập xác định của hàm số tan cos y x x  , một học sinh đã giải theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là

sin 0

cos 0

 







. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 7

Bước 2:   ;



















Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \ ; |

D k k k







  





Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?

A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.

Ví dụ 10. Hàm số

sin 1





xác định khi và chỉ khi

A. \ 2 |

x k k





   





. B. x  .

x k k



    

. D.

x k k



    

Ví dụ 1. Cho hàm số

 

sin cos 2 sin .cos h x x x m x x    .Tất cả các giá trị của tham số

để

hàm số xác định với mọi số thực

(trên toàn trục số) là

m   

. B.

m 

. C.

m   

. D.

m  .

Ví dụ 2. Tìm

để hàm số

2sin sin 1

x m x





xác định trên .

2 2;2 2 m







. B.

 

2 2;2 2 m

   

; 2 2 2 2; m       

. D.

 

2 2;2 2 m

Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác.

Định Nghĩa.

Cho hàm số   y f x  xác định trên tập D .

a, Hàm số   y f x  được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi

thuộc D , ta có xD  và

    f x f x  .

b, Hàm số   y f x  được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi

thuộc D , ta có xD  và

    f x f x    .

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó

 Nếu D là tập đối xứng (tức x D x D      ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

 Nếu D không phải tập đối xứng(tức là xD  mà xD  ) thì ta kết luận hàm số

không chẵn không lẻ.

Bước 2: Xác định   fx  :

 Nếu    , f x f x x D     thì kết luận hàm số là hàm số chẵn. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 8

 Nếu    , f x f x x D      thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

 Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn

không lẻ.

Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. 2cos yx  . B. 2sin yx  . C.   2sin yx  . D. sin cos yxx  .

Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

sin 2

2cos 3





thì   y f x  là

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số   cos 2 sin 2

y f x x x



   

    

   

   

, ta được   y f x  là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Ví dụ 4. Cho hai hàm số

 

3sin

f x x





và   sin 1 g x x  . Kết luận nào sau đây đúng về

tính chẵn lẻ của hai hàm số này?

A. Hai hàm số     ; f x g x là hai hàm số lẻ.

B. Hàm số   fx là hàm số chẵn; hàm số   fx là hàm số lẻ.

C. Hàm số   fx là hàm số lẻ; hàm số   gx là hàm số không chẵn không lẻ.

D. Cả hai hàm số     ; f x g x đều là hàm số không chẵn không lẻ.

Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số  

2007

sin cos f x x nx  , với n  . Hàm số   y f x  là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Ví dụ 6. Cho hàm số  

2004

sin 2004

cos



 , với n  . Xét các biểu thức sau:

1, Hàm số đã cho xác định trên D  .

2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.

3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Ví dụ 7. Cho hàm số   sin .  f x x x Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho có tập xác định

 

0 \. D 

B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.

D. Hàm số có tập giá trị là 11 ;.  



Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 9

Ví dụ 8. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   3 sin4x cos 2x y f x m    là hàm

chẵn.

A. 0. m  B. 1. m  C. 0. m  D. 2. m 

Dạng 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng:

1. Hàm số sin : yx 

* Đồng biến trên các khoảng 22

; , . k k k

 

     





* Nghịch biến trên các khoảng 22

; , . k k k

   

    





2. Hàm số cos : yx 

* Đồng biến trên các khoảng

 

22 ; , . k k k      

* Nghịch biến trên các khoảng

 

22 ; , . k k k     

3. Hàm số tan yx  đồng biến trên các khoảng

; , . k k k

 

     





4. Hàm số cot yx  nghịch biến trên các khoảng

 

; , . k k k     

Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.

Ví dụ 1. Xét hàm số sin yx trên đoạn 0 ;.  



Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng

 

   





và 0

 







B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

   





; nghịch biến trên khoảng 0

 







C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 

   





; đồng biến trên khoảng 0

 







D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

   





và 0

 







Ví dụ 2. Xét hàm số cos yx  trên đoạn    



;. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

0    và

 

0;. 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

0    và nghịch biến trên khoảng

 

0;. 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

0    và đồng biến trên khoảng

 

0;. 

D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng

 

0    và

 

0;. 

Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số tan2 yx trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận

sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 







và

 





Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 10

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 







và nghịch biến trên khoảng

 





C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0

 





D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 







và đồng biến trên khoảng

 





Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số 1 sin  yx trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các

kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0

 







B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0

 





C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 







D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

   







Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số sin cos .  y x x Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 







B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

  





C. Hàm số đã cho có tập giá trị là 11 ;.  



D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng

  







Ví dụ 6. Chọn câu đúng?

A. Hàm số tan yx  luôn luôn tăng.

B. Hàm số tan yx  luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số tan yx  tăng trong các khoảng

 

22 ; , . k k k       

D. Hàm số tan yx  tăng trong các khoảng

 

2 ; , . k k k     

Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau:

(I)

 

  





: Hàm số

sinx

 giảm.

(II)

 

  





: Hàm số

cos x

 giảm.

Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả 2 sai . D. Cả 2 đúng .

Ví dụ 8. Khẳng định nào sau đây là đúng ? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 11

A. y tan x  đồng biến trong ;

 







B. y tanx  là hàm số chẵn trên D R \ k | k Z



   





C. y tanx  có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

D. y tanx  luôn nghịch biến trong ;

 







Dạng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2017cos(8 ) 2016.

2017



  

A. min 1;maxy 4033. y B. min 1;maxy 4033. y   

C. min 1;maxy 4022. y D. min 1;max 4022. yy   

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2cos 2 3sin x cos 1 y x x   

A. min 0;maxy 4 y B. min 1 3;maxy 3 3. y    

C. min 4;maxy 0. y    D. min 1 3;maxy 3 3 y      .

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

sinx 2cos 3

2 cos







min ;maxy 2

y   

. B.

min ;maxy 2

y

min ;maxy

y

min ;maxy

y   

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y sinx cos x  .

A. min 1;maxy 1 y    . B. min 0;maxy 1 y

C. min 1;maxy 0 y    . D. min 1;maxy y  không tồn tại.

Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4 2 2

cot cot 2tan .tan 2 P a b a b    

A. min 2 y  . B. min 6 y  .

C. min 4 y  . D. Không tồn tại GTLN.

Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2cos 2 3sin .cos 1 y x x x    trên đoạn

 





lần lượt là

0, 0,

12 12

min 2;max 3 yy

    

   

   

 . B.

0, 0,

12 12

min 0;max 2 yy

    

   

   

 .

0, 0,

12 12

min 0;max 4 yy

    

   

   

 . D.

0, 0,

12 12

min 0;max 3 yy

    

   

   

 .

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

sin sin 2 y x x   

min ;max 4

yy  . B.

min ;max 2

yy  .

C. min 1;max 1 yy    . D.

min ;max 2

yy  . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 12

1.Bất đẳng thức AM – GM.

a. Với hai số:

Cho hai số thực , ab là hai số dương, ta có





dấu bằng xảy ra khi ab  .

b. Với n số:

Cho hai số thực

1 2 3

; ; ;...;

x x x x

là các số dương

nN  , ta có

1 2 3

...

. . ...

x x x x

   



dấu bằng xảy ra khi

1 2 3

...

x x x x    

2. Bất đẳng thức Bunyakovsky

a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.

     

2 2 2 2

a b c d ac bd     . Dấu bằng xảy ra khi



b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số

Với hai bộ số  

; ;...;

a a a và  

; ;...;

b b b ta có

     

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

... ... ...

n n n n

a a a b b b a b a b a b          

c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có

   

2 2 2 2

4 a b c d abcd   

Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

1 os 5 2sin

y c x x    

 . B.

. C.

. D. 15  .

Ví dụ 9. Cho hàm số

2 cos 1 cos





với 0;

 







. Kết luận nào sau đây là đúng?

min

 





 khi

x k k



   

T B.

min

 





 khi





min

 





 khi 2,

x k k



    D.

min

 





 khi



 .

TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số

1 cos

sin





A.   \| D R k k Z   . B.   \| D R k k Z     .

C.   \ 2 | D R k k Z     . D.   \ 2 | D R k k Z   .

Câu 2. Tập xác định của hàm số sin5 tan 2 y x x  là:

\ , .

R k k Z











\ , .

R k Z











C.   \ 1 , .

R k k Z









D. . R Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 13

Câu 3. Tập xác định D của hàm số

1 cos

tan

1 sin







là

A. \ 2 | .

R k k Z











B. \ | .

R k k Z











C. \ | .

R k Z

 







D. \ | .

R k Z











Câu 4. Tập xác định của hàm số tan 2











là

A. \ | .

R k k Z











B. \ | .

R k k Z











C. \ | .

R k k Z











D. \ | .

12 2

R k Z

 







Câu 5. Xét bốn mệnh đề sau

(1) Hàm số sin yx  có tập xác định là . R

(2) Hàm số cos yx  có tập xác định là . R

(3) Hàm số tan yx  có tập xác định là   \ | . R k k Z  

(4) Hàm số cot yx  có tập xác định là \ | .

R k k Z









Số mệnh đề đúng là

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 4.

Câu 6. Tập xác định của hàm số cos yx  là

A.  

0;2 . D   B.   0; . D  

C. . DR  D.   \ 0 . DR 

Câu 7. Tập xác định của hàm số

sin cos

 là

A.   \ | . R k k Z   B.   \ 2 | . R k k Z  

\ | .

R k k Z





  





\ | .

R k k Z









Câu 8. Tìm tập xác định của hàm số 3tan 2cot . y x x x   

\ | .

D R k k Z





  





\ | .

D R k k Z









\ | .

D R k k Z





  





D. . DR 

Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số

sin cos





Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 14

A. \ | .

R k k Z











B. \ | .

R k k Z









C. . R D. \ | .

R k k Z











Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số

2017 tan 2

sin cos





A. \ | .

R k k Z











B. \.

 





C. . R D. \ | .

R k k Z











Câu 11. Tập xác định của hàm số

sin

sin cos





A. \ | .

D R k k Z





   





B. \ | .

D R k k Z









C. \ ; | .

D R k k k Z





   





D. \ | .

D R k k Z





  





Câu 12. Tìm tập xác định của hàm số

sin

sin cos





\ 2 | .

D R k k Z





   





B. \ | .

D R k k Z









\ ; | .

D R k k k Z





   





\ | .

D R k k Z





  





Câu 13. Tập xác định của hàm số sin 2 1 yx  là

A.   \ | . D R k k Z   B. . DR 

\ ; | .

D R k k k Z





   





\ 2 | .

D R k k Z





  





Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số

tan

15 14cos13





A.   \ | . D R k k Z   B. . DR 

\ | .

D R k k Z





  





D R k k Z





  





Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số:

cot 2

2017 2016sin 2015





A. .   \ | . D R k k Z   B. . DR  .

\ | .

D R k k Z





  





\ | .

D R k k Z











Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 15

Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số:

20 19cos18

1 sinx







A.   \ | . D R k k Z   B.   \ 2 | . D R k k Z  

C. \ 2 | .

D R k k Z





  





D. \ | .

D R k k Z











Câu 17. Hàm số nào sau đây có tập xác định là R ?

A. 2cos yx  . B.

cos y



tan 2

sin 1





. D.

sin 2 3

cos 4 5







Câu 18. Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. tan yx  . B.

sin cos

cos





tan 2017 2018

cos





. D.

1 sin





Câu 19. Hàm số

cos 1 1 cos y x x     chỉ xác định khi:

x k k Z



   

. B. 0 x  .

C. , x k k Z   . D. 2, x k k Z   .

Câu 20. Hàm số 1 sin 2 1 sin 2 y x x     có tập xác định là:

A.  . B. R .

2 ; 2 ,

k k k Z





  





. D.

5 13

2 ; 2 ,

k k k Z





  





Câu 21. Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số sin yx  có tập xác định là các đoạn

2 ; 2 ,

k k k Z





   





B. Hàm số cos yx  có tập xác định là các đoạn  

2 ; 2 , k k k Z     .

C. Hàm số sin cos y x x  có tập xác định là các đoạn

2 ; 2 ,

k k k Z













D. Hàm số

sin



có tập xác định là các đoạn

2 ; 2 ,

k k k Z













Câu 22. Xét hai mệnh đề:

(I): Các hàm số

sin

 và cot yx  có chung tập xác định là   \ | , R x x k k Z   .

(II): Các hàm số

cos

 và tan yx  có chung tập xác định là

\ | ,

R x x k k Z





  





A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 16

Câu 23. Cho hàm số ( ) sin cos y f x x x    với 02 x   . Tập xác định của hàm số là:

A.  

0;  . B.

;

 





. C. 0;

 





. D. 0;

 





Câu 24. Cho hàm số

 

tan 1

( ) , 0

tan 1

y f x x





   



. Tập xác định:

A. 0;

 





. B. ;









. C.   0; \









. D.   0; \ ;











Câu 25. Tập xác định của hàm số

3tan

 







là:

A. R . B. \,

R k k Z











\ 2 ,

R k k Z











. D. \ 2 ,

R k k Z











Câu 26. Tập xác định của hàm số 2cot 2

 







là:

R k Z











. B. \,

R k k Z











C. \ 2 ,

R k k Z











. D.

12 2

R k Z











Câu 27. Cho hàm số

cos 2

1 tan





. Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định () kZ 

2 ; 2











. B.

2 ; 2





  





2 ; 2











. D.

2 ; 2



  









Câu 28. Xét hai câu sau:

(I): Các hàm số sin yx  và cosx y  có chung tập xác định là . R

(II): Các hàm số tan yx  và cot yx  có chung tập xác định là

  \ | | ,

R x x k x x k k Z





 

    

   

 

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng.

Câu 29. Tập xác định của hàm số

cos3

cos .cos .cos

x x x





   



   

   

là:

\ ; k ; k ,

6 3 6 6

R k Z

   





   





. B.

\ ; ,

R k k k Z





  





\ k ; ; ,

2 6 6

R k k k Z

  



   





. D.

\ ; ,

2 6 2

R k k Z

  





  





. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 17

Câu 30. Tập xác định của hàm số

5sin 2 3 cos 5

()

12sinx cos



 là:

A.   \ 2 | D R k k Z   . B. \|

D R k Z











C.   \ k | D R k Z   . D. \|

D R k k Z





   





Câu 31. Tập xác định của hàm số

1 cos

2sin 1





là:

\ 2 ; k 2 |

D R k k Z





    





. B.

D R k k Z





  





C. \ k |

D R k Z





   





. D.

\ ; |

D R k k k Z





    





Câu 32. Tập xác định của hàm số

5 3cos 2

1 sin 2













là:

A.   \| D R k k Z   . B. DR  .

C. \|

D R k Z











. D.   \ 2 | D R k k Z   .

Câu 33. Tập xác định của hàm số

1 cos

cot

6 1 cos

  

  







là:

\ 2 |

D R k k Z





   





. B.

\ ,k 2 |

D R k k Z







  





C.   \ k 2 | D R k Z   . D.

D R k k Z





   





Câu 34. Tập xác định của hàm số

2 sin

tan 1

  



là:

\ ; k |

D R k k Z





    





. B.

D R k Z











\ k |

D R k Z





  





. D.

D R k k Z





   





Câu 35. Hàm số

1 tan 2

cot 1













có tập xác định là:

\ ,k |

D R k k Z







  





. B.

\ ,k |

12 2

D R k k Z







  





\ k ;k |

D R k Z







  





. D.

\ ;k |

12 2

D R k k Z







  





. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 18

Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Câu 36. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. 2cos yx  . B. 2sin yx  . C. 2sin( ) yx  . D. sin cos yxx  .

Câu 37. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. 2cos yx  . B. 2sin yx  . C.

2sin 2 yx    . D. 2cos 2 yx    .

Câu 38. Hàm số

sin .cos tan y x x x 

là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ

C. Vừa chẵn vừa lẻ. D. Không chẵn không lẻ.

Câu 39. Xét tính chẳn lẻ của hàm số

1 sin 2

1 cos3x







ta kết luận hàm số đã cho là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ .

C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Không chẵn không lẻ

Câu 40. Xét các câu sau:

I.Hàm số sinx sin yx  là hàm số lẻ.

II.Hàm số cosx cos yx  là hàm số chẵn.

III.Hàm số sinx cos yx  là hàm số lẻ.

Trong các câu trên, câu nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III) . D. Cả 3 câu .

Câu 41. Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ:

A. sin yx  . B.

sin yx 

cot

cos



. D.

tan

sin



Câu 42. Hàm số

tan 2

sin



có tính chất nào sau đây?

A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.

C. Hàm không chẵn không lẻ. D. Tập xác định DR  .

Câu 43. Hãy chỉ ra hàm số không có tính chẵn lẻ

A. sinx tanx y . B.

tan

sin

 .

2 sin











. D.

cos sin y x x 

Câu 44. Hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

2 sin











. B.

2013

sin

 .

cos











. D. 1 sin 2012 yx  .

Câu 45. Hàm số nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 19

A. sin 2017 yx  . B.

sin



. C. cos yx  . D. sin 2 yx  .

Câu 46. Hãy chỉ ra hàm nào là hàm số chẵn:

2016

sin .cosx yx  . B.

cot

tan 1





C. sinx.cos6x y  . D.

cos .sin y x x  .

Câu 47. Xét hai mệnh đề:

(I)Hàm số ( ) tanx cotx y f x    là hàm số lẻ

(II) Hàm số ( ) tanx cotx y f x    là hàm số lẻ

Trong các câu trên, câu nào đúng?

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

Câu 48. Xét hai mệnh đề:

(I)Hàm số ( ) tanx cosx y f x    là hàm số lẻ

(II) Hàm số ( ) tanx sinx y f x    là hàm số lẻ

Trong các câu trên, câu nào đúng?

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

Câu 49. Hàm số

1 sin yx 

là:

A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.

C. Hàm không chẵn không lẻ. D.Hàm số không tuần hoàn.

Câu 50. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. sin 2 yx  . B. .cosx yx  .

C. cos .cot y x x  . D.

tanx

sin



Câu 51. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. sin yx  . B.

.sinx yx 

cos



. D. sin y x x  .

Câu 52. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

sin .cos2x

yx  . B. 2cos 2 yx  .

sin

 . D. 1 tan yx  .

Câu 53. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sinx y  có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ . B. cos yx  có đồ thị đối xứng qua trục

Oy .

C. tan yx  có đồ thị đối xứng qua trục Oy . D. cot yx  có đồ thị đối xứng qua gốc

tọa độ.

Câu 54. Cho hàm số cos yx  xét trên

;

 







. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm không chẳn không lẻ. B. Hàm lẻ.

C. Hàm chẳn. D. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 20

Câu 55. Tìm kết luận sai:

A. Hàm số

.sin y x x  là hàm chẵn .

B. Hàm số

sin .cosx

tan cot





là hàm lẻ .

C. Hàm số

sin tan

sin cot







là hàm chẵn.

D. Hàm số

cos sin y x x  là hàm số không chẵn không lẻ.

Câu 56. Nhận xét nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số

sin tan

2sin 3cot







nhận trục Oy làm trục đối xứng.

B. Đồ thị hàm số

sin tan





nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.

C. Đồ thị hàm số  

2008

sin 2009

cos

y n Z



 nhận trục Oy làm trục đối xứng.

D. Đồ thị hàm số  

2009

sin cos , y x nx n Z    nhật góc tọa độ làm tâm đối xứng.

Câu 57. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có trục đối xứng.

2008

cos 2003

2012sin



 . B. tan cot y x x  .

642

cos

6 4 2 15

x x x





. D.

2sin 1





Câu 58. Cho hàm số

cos 2 cot

sin 4



 . Hàm số trên là hàm số.

A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.

Câu 59. Hàm số

cos 2 .sin

y x x

 







là

A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.

Câu 60. Xác định tĩnh chẳn lẻ của hàm số:

1 2 cos3x yx   

A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.

XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 61. Trong khoảng

 





, hàm số sin cos yxx  là hàm số:

A. Đồng biến. B. Nghịch biến.

C. Không đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Câu 62. Hàm số sin 2 yx  nghịch biến trên các khoảng nào sau đây   kZ  ?

A.   2 ; 2 kk     . B.

;











. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 21

2 ; 2











. D. ;





  





Câu 63. Hàm số cos 2 yx  nghịch biến trên khoảng   kZ  ?

A. ;













. B. ;



  









C. 2 ; 2





  





. D.

2 ; 2











Câu 64. Xét các mệnh đề sau:

(I):

;











:Hàm số

sin



giảm.

(II):

;











:Hàm số

cos



giảm.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

Câu 65. Cho hàm số 4sin cos sin 2

y x x x



   

   

   

   

. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến

thiên của hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 0;

 





và

;









B. Hàm số đã cho đồng biến trên   0;  .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 





D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;

 





và nghịch biến trên khoảng ;









Câu 66. Với kZ  , kết luận nào sau đây về hàm số tan 2 yx  là sai?

A. Hàm số tan 2 yx  tuần hoàn với chu kỳ



 .

B. Hàm số tan 2 yx  luôn dống biến trên mỗi khoảng

;

2 2 2 2

kk     

  





C. Hàm số tan 2 yx  nhận đường thẳng



 là một đường tiệm cận.

D. Hàm số tan 2 yx  là hàm số lẻ.

Câu 67. Để hàm số sin cos y x x  tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

2 ; 2





  





. B.

;





  





2 ; 2





  





. D.   k 2 ;2 k 2      .

Câu 68. Xét hai mệnh đề sau: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 22

(I): ;

 

  





:Hàm số

tan yx  tăng.

(II): ;

 

  





:Hàm số

sin yx 

tăng.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

Câu 69. Hãy chọn câu sai: Trong khoảng 2 ; 2 ,

k k k Z



  



  





thì:

A. Hàm số sin yx  là hàm số nghịch biến .

B. Hàm số cos yx  là hàm số nghịch biến.

C. Hàm số tan yx  là hàm số đồng biến.

D. Hàm số cot yx  là hàm số đồng biến .

Câu 70. Bảng biến thiên của hàm số ( ) cos 2 y f x x  trên đoạn

;

 







là:

Câu 71. Cho hàm số cos

y  . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn  

;   là:

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 23

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 72. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 4cos yx  là:

A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1.

Câu 73. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

1 cos 2 yx    là:

A. 0 và 21  . B. 1  và 21  . C. 2  và 1  D. 1  và 1

Câu 74. Cho hàm số sin .

 







Giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. 1  . B. 0 . C. 1. D.



Câu 75. Giá trị lớn nhất của hàm số

sin cos y x x 

là:

. B. 1. C. 2 . D. 2 .

Câu 76. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin 1

cos 2







là:

. B.



. C.



. D. 0 .

Câu 77. Giá trị lớn nhất của hàm số là:

cos 2sin 3

2cosx sinx 4







A. 0 . B. 3 2 3.  . C. 2 2 2.  . D. 1.  .

Câu 78. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

3 sin cos

f x x x 

là

C. 3 D.

Câu 79. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4sin 2cos y x x  là

A. 25 B. 25  C. 0 D. 20

Câu 80. Hàm số

4sin 4cos y x x 

đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 1  B. 4  C.



D. 5 

Câu 81. Hàm số

 

3 1 tan

4cot 2

tan



 đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 0 B. 3 2 3  C. 2 2 2  D. 1 

Câu 82. Hàm số

2cos sin

y x x

 

  





đạt giá trị lớn nhất là

A. 5 2 2  B. 5 2 2  C. 5 2 2  D. 5 2 2 

Câu 83. Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin cos sin cos y x x x x   

là

C. 1 D.

Câu 84. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin cos cos sin y x x x x 

là Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 24

A. 0 B. 2 C.

2 D. 6

Câu 85. Giá trị lớn nhất của hàm số

2 2 2 2

cos 7sin sin 7cos y x x x x     là

A. 17  B. 17  C. 4 D. 14

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 25

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

a)    

   

 

sin sin

f x g x k





 

  



  





b)    

   

 

cos cos

f x g x k



 

  



  





c)           tan tan , f x g x f x g x k k      

d)           cot cot , f x g x f x g x k k      

Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương

trình lượng giác.

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận





  k  làm nghiệm

A. sin 3 sin 2 .











B. cos sin 2 . xx 

C. cos4 cos6 . xx  D.

tan 2 tan .





Ví dụ 2. Phương trình

sin 2 sin





có nghiệm dạng xk   và

 

x k k



   



     





. Khi đó tích .  bằng :



 B. .



 C.



 D.



II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Dạng sin , xm  cos , xm  tan , xm  cot , xm  ( m  )

1. Phương trình sinxm  (1)

- Nếu 1 m  Phương trình (1) vô nghiệm do sin 1 xx    .

- Nếu 1: m 

+ Xác định



sao cho sin m   .

Vậy phương trình  

sin sin sin

x m x k





  

 

    



  



+ Nếu số thực



thỏa mãn điều kiện 22

sin m







  











thì ta viết arcsin m   (đọc là

ac-sin-m). Khi đó  

arcsin 2

sin .

arcsin 2

x m k





 

  



  



Ví dụ 1. Trong các phương trình sau đây,phương trình nào có tập nghiệm là Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 26



   

và

2 , ( ).

x k k



   

sin

x 

sin

x 

. C.

sin .

x  D.

sin

x 

2. Phương trình   cos 2 xm 

- Nếu 1 m  Phương trình (2) vô nghiệm (do cos 1, xx    ).

- Nếu 1 m  :

+ Xác định  sao cho cos m   .

Vậy phương trình  

cos cos cos

x m x k







 

    



  



+ Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện

cos m





 







thì ta viết arccos m   (đọc là ac-cos- m).

Khi đó  

arccos 2

cos

arccos 2

x m k



 

  



  



Ví dụ 1. Phương trình nào trong các phuương trình sau có 2 nghiệm thuộc   0 ;180  ?

cos

x  . B.  

cos 50

x    .

 

cos 30

x   

. D.

cos

x 

Ví dụ 2. Chọn đáp án sai: Nghiệm của phương trình

cos

x  là:

x k k



    

. B.

arccos 2 ,

x k k 



    





x k k



     . D. 150 360 , x k k       .

3. Phương trình tan ,cot x m x m 

a) Phương trình tanxm 

Điều kiện:

 

x k k



   

- Ta xác định  sao cho tan m   .

Khi đó phương trình

  tan tan tan x m x x k k           .

+ Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện 22

tan m







  











thì ta viết

arctan m   (đọc là ac - tan - m).

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 27

Khi đó phương trình   tan arctan x m x m k k       ..

b) Phương trình cotxm 

Điều kiện:   x k k  

- Ta xác định  sao cho cot m   .

Khi đó phương trình

  cot cot cot x m x x k k           .

+ Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện

cot m





 







thì ta viết

arccot m   (đọc là ac - cotang - m).

Khi đó phương trình   cot arccot x m x m k k       .

Ví dụ 1. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm

dương nhỏ nhất?

A. tan 2 1 x  . B. tan 3

 







. C. cot 0 x  . D. cot 3 x  .

Ví dụ 2. Phương trình   tan 3 15 3 x    có các nghiệm là:

A. 60 180 xk    . B. 75 180 xk     . C. 75 60 xk    . D. 25 60 xk    .

III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.

Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Có dạng 0 at b  với , , 0 a b a  , t là một hàm số lượng giác

Phương pháp giải

at b t

     (đây là phương trình lượng giác cơ bản đã học)

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào có 2 nghiệm thuộc   0;  ?

A. 3 sin 2 0 x . B. 2cos 1 0 x .

C. 3 tan 1 0 x . D. 2 sin 1 0 x .

Ví dụ 2. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình

sin cos

xx  là:



, B.



. C.



. D.



Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (HOẶC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG

TRÌNH BẬC 2) ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Có dạng:

0 at bt c    với , , ; 0, a b c a t  là một hàm số lượng giác.

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 28

- Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ.

- Bước 3: Từ nghiệm tìm được đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 11. Các điểm , ', , ' A A B B được biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì các nghiệm của

phương trình

sin 4sin 3 0 xx    là:

A. sđ AB . B. sđ ' AA . C. sđ ' AB . D. sđ AB và sđ ' AB .

Ví dụ 12. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

3cot 3

sin

 là:





. B.





. C.





. D.



 .

Ví dụ 13. Tổng các nghiệm thuộc khoảng   0;2018 của phương trình

sin cos 1 2sin

x   

là:

A. 207046  . B. 206403  . C. 205761  . D. 204603  .

Dạng 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX:

Có dạng   a sin cos 1 x b x c  trong đó

abc

 







Phương pháp giải:

Chia 2 vế cho

ab  ta được:

 

2 2 2 2 2 2

1 sinx cos

a b c

a b a b a b

  

  

Đặt

 

cos

1 sinx.cos cos .sin

sin

c ab













 

   















   

sin 2

   



. Đây là phương trình lượng giác cơ bản.

+ Phương trình  

sin

 



có nghiệm khi:

2 2 2

a b c

     



+ Bạn có thể đặt:

sin

cos









 













   

2 2 2 2

1 cos x.cos sin .sin cos

a b a b

         



Việc đặt thế nào thì tùy từng bài để được lời giải hợp lý nhất.

Ví dụ 1. Phương trình sin cos 1 m x x  với

là tham số vô nghiệm khi:

A.   0; m    . B.   \0 m  . C. m  . D. 0 m  .

Ví dụ 2. Nghiệm của phương trình sinx 3 cos 1 x  là: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 29

 





  



 









. B.

  2

x k k



    

 





  



 









. D.

 



 











Ví dụ 3. Gọi , ab lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

cos sin 2

2cos sinx 1







, ta có:

A. 0 ab  . B.



 . C.



 . D.



 .

Ví dụ 4. Phương trình

3sin 3 3 cos9 2cos 4sin 3 x x x x    có số nghiệm trên 0;

 





là:

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5.

Dạng 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Là phương trình dạng   sin x;cosx 0 f  trong đó lũy thừa của sinx và

cos x

cùng bậc chẵn

hoặc lẻ.

Phương pháp giải:

- Bước 1: Xét cos 0 xKết luận nghiệm

- Bước 2: Xét cos 0, x  ta chia 2 vế của phương trình cho

cos (

là bậc cao nhất)

đưa về phương trình bậc cao của tanx.

Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình  

2sin 5sin cos cos 2 1 x x x x    là:

A.  

arctan

x k k 



   





. B.  

arctan 2

x k k 



   





 

arctan









 





  





 

. D.

 

arctan 2









 





  





 

Ví dụ 2. Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình

4sin sin cos 0 x x x    bằng:



. B.



 . C.



 . D.

 

Ví dụ 3. Phương trình 1 3tan 2sin 2 xx  có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng

giác là:

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Ví dụ 4. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

8sin

cos sin

 ở cung phần tư thứ I và

thứ III của đường tròn lượng giác là:

A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8.

Ví dụ 14. Các nghiệm của phương trình tan cot 2sin 2 cos2 x x x x    là: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 30

 

cot

2 2 2

x arc k











 









. B.

 

cot

x arc k









 









 

arctan

2 2 2











 









. D.

 

arctan











 









Dạng 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX .

Dạng:   sin cos sin cos (1) a x x b x x c    trong đó

abc

 







Phương pháp chung:

Đặt sin cos 2 sin

t x x x





   





2; 2 t



  



(vì  

sin 1;1





    





2 2 2

sin cos 2sin cos 1 2sin cos t x x x x x x     

sin cos



 .

Phương trình  

at b c



   (là phương trình bậc 2 theo t )

Ví dụ 1. Phương trình sin cos 1 2sin cos x x x x    có bao nhiêu nghiệm trên  

0;2  ?

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 6 .

Ví dụ 2. Phương trình 1 sin cos sin 2 0 x x x     có bao nhiêu nghiệm trên 0;

 







A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .

Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình sin cos cos sin 1 x x x x    trên   0;2  là:

A.  . B. 2  . C. 3  . D. 4  .

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m

để phương trình:

sin 2 2 sin 0

x x m





   





có

nghiệm.

A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 .

Ví dụ 5. Phương trình

sin 2 cos x x cos x  có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ

nhất là:



. B.



. C.



. D.



 .

Dạng 6: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Ví dụ 1. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình 1 cos cos2 cos3 0 x x x     có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

là:

A. 2 . B. 3. C. 4 . D.5.

Ví dụ 2. Sử dụng công thức hạ bậc

Phương trình

2 2 2 2

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x    không phải là phương trình hệ quả của

phương trình nào sau đây ? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 31

A. sin 0 x  . B. cos 0 x  . C.sin9 0 x  . D. cos2 0 x  .

Ví dụ 3. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Cho phương trình cos cos5 cos2 cos4 x x x x  số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là:

A. 3 . B. 4 . C. 6 . D.8.

Ví dụ 4. Sử dụng công thức nhân ba

Cho phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x     có bao nhiêu nghiệm trên  

0;14 ?

A. 3 . B. 4 . C. 5. D. 6 .

Ví dụ 5. Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt

Phương trình

sin 2 3cos 1 2sin

x x x



   

    

   

   

có bao nhiêu nghiệm thuộc ;3









A. 4 . B. 5. C. 6 . D. 7 .

Ví dụ 6. Sử dụng công thức hạ bậc cao

Cho các phương trình sau:

 

8 8 2

1 sin 2

2 sin

3 sin

128

4 sin 2 2

x cos x cos x

x cos x



Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

A.   1 . B.   2 . C.   3 . D.   4 .

Ví dụ 7. Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm

Phương trình

 

cos 2 cos6 4 3sin 4sin 1 0 x x x x      có phương trình tương đương là:

A. cos 0 x  . B. sin3 1 0 x .

C. cos (sin3 1) 0 xx . D. sin 1 0 x .

Ví dụ 8. Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba

Phương trình

3 1 3

sin sin

10 2 2 10 2

xx 

   

  

   

   

có tổng các nghiệm trên  

0;2  là:



. B.



. C.



. D.



Ví dụ 9. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương trình  

sin sin sin 3 sin 2 0



    





có các nghiệm là:

A. 2 ; . x k k   . B. ;. x k k   . C.   2 1 ; . x k k     D. ;.

x k k



 .

Ví dụ 10. Phương pháp đánh giá

Với phương trình  

3cos 4 cos 2 sin 7 (*) x x x    thì:

A. trên đoạn  

0;2  phương trình có 1 nghiệm. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 32

B. trên đoạn  

0;2  phương trình có 2 nghiệm

C. trên đoạn  

0;2  phương trình có 3 nghiệm.

D. trên đoạn  

0;2  phương trình có 4nghiệm.

Ví dụ 11. Phương pháp hàm số

Phương trình

sin 1 2 sin cos 1 (*)

x x x





    





có tổng các nghiệm trong khoảng 0;

 





A. 0 . B.



. C.



IV. Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích

Ví dụ 1. Phương trình sin 4cos 2 sin 2 x x x    có số nghiệm trên   0;2  là:

A. 0.

C. 2.

Ví dụ 2. Phương trình 1 cos sin cos2 sin 2 0 x x x x      có các nghiệm dạn

1 2 3 4

2 , 2 , 2 , 2 x a k x b k x c k x d k            

. Với 0 , , , 2 a b c d   thì a b c d   

là:

A. 0 . B.



. C.



Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình

3 2 2

cos 2 cos 2 sin 0 x x a x    có

nghiệm 0; ?

 







A. 0 . B. 1 . C. 2 D. 3.

Ví dụ 4. Phương trình    

2sin 1 4cos 4 2sin 4cos 3 x x x x     nhận các giá trị

arccos

x m k





() k  làm nghiệm thì giá trị m là:

m  . B.

 . C.

m  D.

m  .

Ví dụ 5. Phương trình sin 2 2cos cos2 sin x x x x    là phương trình hệ quả của phương trình:

sin( )





B. sin 2 0 x  C.

sin cos

xx 

sin cos

xx 

V. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN

Ví dụ 1. Phương trình

sin5

5sin



có số nghiệm là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số

Ví dụ 2. Phương trình

3cot 2 2 sin (2 3 2)cos x x x    có các nghiệm dạng

2 ; 2 , ,0 ,

x k x k k Z



             thì .  bằng:



B. -



Ví dụ 3. Phương trình

1 1 1

cos sin 2 sin 4 x x x

 có tổng các nghiệm trên (0; )  là: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 33



D. 

Ví dụ 4. Phương trình

sin 2 2cos sin 1

tan 3

x x x

  





có bao nhiêu nghiệm trên (0;3 )  ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Ví dụ 5. Phương trình

(1 sin cos 2 )sin( )

cos

1 tan

x x x



  





có các nghiệm dạng

2 ; 2 , ; , , x k x k k Z                    thì

 

là:



Ví dụ 6. Phương trình

 

sin 2 cos 2

cos 1

tan tan







   



   

   

có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường

tròn lượng giác là:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 1. Phương trình

0 0 0

sin( 10 ) (0 180 )

xx    

có nghiệm là:

30 x  và

150 x  B.

20 x  và

140 x 

40 x  và

160 x 

30 x  và

140 x 

Câu 2. Số nghiệm của phương trình 2 os( ) 1



 với02 x   là:

A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

Câu 3. Phương trình sin(5 ) 2



   có nghiệm khi:

A.  

1;3 m  B.  

1;1 m C. mR 

D. (1;3) m 

Câu 4. Phương trình

tan(3 60 ) xm 

có nghiệm khi:

A.  

1;1 m B.  

0;1 m  C. mR 

D. m 

Câu 5. Phương trình có nghiệm t an(x-1) 2  là:

A. 1 arctan(2) ( ) x k k Z       B. 1 arctan(2) ( ) x k k Z     

C. arctan(2) 2 ( ) x k k Z    

D. 1 arctan(2) ( )

x k k Z



   

Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình t anx 1  trên khoảng (0;10) là:



D. 8 

Câu 7. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình cos 0 x  ?

A. sinx 1  B. sinx 1  C. t anx 0 

D. cot 0 x  Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 34

Câu 8. Phương trình

os( ) sin





Có các nghiệm dạng 2 xk   và 2 xk    

(0 ; )     Khi đó  

bằng

A. 0 B.









Câu 9. Phương trình

os2 os( )

c x c x



  

có bao nhiêu nghiệm thuộc (0;10 ) 

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

Câu 10. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

cot tan( )







 B.



 C.



 D. 0

Câu 11. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

A. t anx 99  B. cot 2018 2017 x 

sin 2

x  D.

cos(2 )





Câu 12.

Số nghiệm của phương trình 2sin 3 0 x Trên đoạn  

0;2 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 13. Phương trình tan 3 0 mx Có nghiệm khi

A. 0 m  . mR  C.

   D.

  

Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

2cos 1 0 xm   

Có nghiệm?

A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số

Câu 15.

Tổng các nghiệm của phương trình

2sin( 20 ) 1 0 x   

trên khoảng

(0 ,180 )

210 B.

200 C.

170 D.

140

Câu 16. Phương trình sinx 3cos 0 x  có nghiệm dạng ar cot , x c m k k Z     thì giá trị m là:

m  B. 3 m  C. 3 m  D.

m 

Câu 17. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình:

2sin 7sin 4 0 xx    là:



 B.



Câu 18. Nghiệm của phương trình

t anx 3

2cos 1 x







là:

S k k Z





  





(2 1) ,

S k k Z





   





S k k Z





  





S k k Z





  





Câu 19. Nghiệm của phương trình

2tan 3

cos

   là: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 35

A. , x k k   . B.   2 1 , x k k     .

C. 3, x k k   . D.

x k k





Câu 20: Phương trình

6 6 2

sin 2

x x x  cos cos

có bao nhiêu điểm biểu diễm trên đường tròn

lượng giác?

A. 3. B. 4 . C. 8. D. 6 .

Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

 

2 2 2

sin 3 sin 4 x m x m     có hai

nghiệm thuộc











A. 1. B. 2 . C. Vô số. D. Không có m .

Câu 22: Giá trị của m để phương trình   2 2 1 cos 1 0 x m x m      cos có nghiệm trên

;

 





là   ; m a b  thì ab  là:

A. 0 . B. 1  . C. 1. D. 2 .

Câu 23: Phương trình

sin sin 3 0

4 4 2

x x x x



   

     

   

   

cos cos

có tổng 2 nghiệm âm lớn

nhất liên tiếp là:



 . B.

 

. C.



 . D.



 .

Câu 24: Phương trình

sin 3sin cos 2 0 x x x x m      cos có nghiệm khi  

; m a b  thì tích . ab

bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 25: Phương trình tan 2cot 3 0 xx    có các nghiệm dạng 2



  và arctan x m k   ;

k  thì:

A. 1 m  . B. 2 m  . C.

m  . D. 2 m  .

Câu 26: Cho các phương trình sau:.

  1 2sin 5 0 x .

 

2 sin 2 5 2 7 0 xx    cos .

 

3 sin 3 3

xx  cos .

Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm

A. Chỉ phương trình (1) vô nghiêm. B. Chỉ phương trình (2) vô nghiệm.

C. Chỉ phương trình (3) vô nghiệm. D. Cả 3 phương trình vô nghiệm.

Câu 27: Phương trình sin cos 10 x m x  có nghiệm khi: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 36

 







. B.

 







. C.

 







. D. 33 m    .

Câu 28: Phương trình sin 3 cos 1 xx  có các nghiệm dạng 2 xk   và 2 xk   , k 

với ,        thì .  là:



 . B.



 . C.



 . D.



Câu 29: Phương trình   2 sin 3 cos sin 2 x x x x    cos có các nghiệm là:

 

18 3











 



  





. B.

 





  



 



  





 









 









. D.

 









 



  





Câu 30: Phương trình

 

sin cos .sin 3 3 2 4 sin x x x x x x     cos cos có tổng hai nghiệm dương

nhỏ nhất liên tiếp là:



. B.



. C.



. D.



Câu 31: Phương trình

sin 3 cos 2



  





cos có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm

lớn nhất là b thì ab  là:



. B.



. C.



. D.



 .

Câu 32: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

3 sin 2 1 sin x x x    cos trên đường tròn

lượng giác là:

A. 2 . B. 1. C. 3. D. 4 .

Câu 33: Cho phương trình  

2 5sin cos 6sin 1 0 1 x x x x m      cos số giá trị m  để phương

trình   1 có nghiệm là:

A. 5. B. 6 . C. 7 . D. 8.

Câu 34: Phương trình

sin cos 4sin 0 x x x    tương đương với phương trình:

A. tan 1 x  . B. sin cos 0 xx  . C.

2 1 0 x cos . D. 2 sin 1 0 x .

Câu 35: Phương trình

3sin cos

cos

 có bào nhiêu nghiệm trên   0;2  ?

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5.

Câu 36: Số giá trị nguyên của

để phương trình

2sin sin cos 1 x x x m x    cos có nghiệm trên

;

 







là: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 37

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 37: Phương trình sin cos 2sin2 0 x x x    có số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

là:

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin 2 2 sin 1

x x m





   





có

nghiệm?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 39: Cho phương trình cot tan sin cos x x x x    . Khi đặt sin cos t x x  thì:

A. 12 t . B. 21 t . C. 0 t  . D. 12 t    .

Câu 40: Phương trình tan cot x x t  có nghiệm khi:

 







. B.

 







. C. t  . D.  

2;2 t .

Câu 41: Cho phương trình  

3tan 4 tan 4cot 3cot 2 0 1 x x x x      . Đặt tan cot x x t  với

    ; 2 2; t        thì phương trình   1 tương đương với phương trình:

3 4 2 0 tt    . B.

3 4 4 0 tt     . C.

3 4 4 0 tt    . D.

3 4 4 0 tt    .

Câu 42: Phương trình cos cos3 2cos5 0 x x x    có các nghiệm là



  và

arccos

x m k     . Giá trị của m là:

1 17



 . B.

1 17



 . C.

1 17



 . D.

1 17



 .

Câu 43: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin3 sin sin 2 0 x x x    trên đường tròn

lượng giác là:

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5.

Câu 44: Phương trình

sin cos

 

  





có bao nghiêu nghiệm trên   2 ;3  ?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 45: Phương trình

3 3 3

cos .cos3 sin .cos3 sin 4 x x x x x  có bao nhiêu nghiệm trên  

0;2  ?

A. 1. B. 24 . C. 12 . D. 2 .

Câu 46: Phương trình

3 3 1

cos .cos .cos sin .sin .sin

2 2 2 2 2

x x x x

xx có tích các nghiệm trên   ;0   là:





. B.



. C.



. D.





Câu 47: Phương trình sin5 .cos3 sin7 .cos5 x x x x  có tập nghiệm là:

 

20 10











 









. B.

 

20 10





 











. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 38

 

2 10

20 10









 









. D.

 

20 5











 









Câu 48: Phương trình

1 1 7

4sin

3 sin 4

sin





  













có tổng 3 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất

là:



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 49: Số nghiệm của phương trình

sin cos

xx 

trên  

0;2  là:

A. 0 . B. Vô số. C. 2 . D. 4 .

Câu 50: Phương trình

tan 2sin 2tan 2 2sin 2 0 x x x x      có bao nhiêu nghiệm trên   0;2 

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 51: Phương trình

3 1 3

sin sin

10 2 2 10 2

xx 

   

  

   

   

có bao nhiêu nghiệm trên   0;2  ?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 52: Phương trình   2 sin 2cos 2 sin 2 x x x    có tập nghiệm là:

S k k





   





. B.

S k k





   





S k k





   





. D.

S k k





  





Câu 53: Phương trình

cos2 1

cot 1 sin sin 2

1 tan 2

x x x

   



có các nghiệm là:

  2

x k k



    . B.

 

x k k



    .

 

x k k



   . D.

 

x k k



    .

Câu 54: Phương trình

cot tan 4sin 2

sin 2

x x x

   có bao nhiêu nghiệm trên   0;2  ?

A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 5.

Câu 55: Phương trình

2sin 2 sin 7 1 sin x x x    đưa về phương trình tích được phương trình

tương đương là:

A.   cos 4 1 sin 3 0 xx  . B.   2cos 4 1 sin 3 0 xx  .

C.   cos 4 1 sin 3 0 xx  . D.   cos 2 1 sin 3 0 xx  .

Câu 56: Phương trình   2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cos x x x x     là phương trình hệ quả của phương

trình: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 39

A. cos2 0 x  . B. 2cos 1 0 x . C. sin 2 1 0 x . D. sin 2 1 0 x .

Câu 57: Phương trình

5sin .cos

6sin 2cos

2cos2



có số nghiệm trên   0;2  là:

A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .

Câu 58: Phương trình sin 4 tan xx  có nghiệm dạng xk   và   arccos x m n k k      thì

mn  bằng:

mn  . B.

mn    . C.



 . D.



 .

Câu 59: Phương trình

cos cos 1

cos 2 tan

cos



 có bao nhiêu nghiệm trên  

1;70 ?

A. 32. B. 33. C. 34. D. 35.

Phương trình lượng giác chứa tham số.

Câu 60: Phương trình     2sin 1 sin 0 x x m    ( m là tham số) có nghiệm trên   0;  khi:

A. m  . B. m  . C.  

0;1 m  . D.   0;1 m  .

Câu 61: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10  của m để phương trình

   

2cos 1 2cos 2 2cos 3 4sin x x x m x      có hai nghiệm thuộc ;

 







A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3.

Câu 62: Các giá trị của  

; m a b  để phương trình

cos2 sin 3cos 5 x x x m     có nghiệm thì:

A. 2 ab  . B. 12 ab  . C. .8 ab  . D. .8 ab  .

Câu 63: Cho phương trình

  sin 1 cos

cos

m x m x

   . Số các giá trị nguyên dương của

nhỏ

hơn 10 để phương trình có nghiệm là:

A. 8. B. 9. C. 10. D. 7 .

Câu 64: Phương trình   cos 2 2 1 sin 1 0 x m x m      có nghiệm trên

;











khi tất cả các giá

trị thỏa mãn:

A. m  . B. m  . C.  

1;1 m . D.   1;1 m .

Câu 65: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

nhỏ hơn 2018 để phương trình

3tan tan cot

sin

x x x m

    có nghiệm ?

A. 2000 . B. 2001. C. 2010 . D. 2011.

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 40

BÀI TẬP ÔN TỰ LUẬN LƯỢNG GIÁC 11

1. Tìm tập xác định của các hàm số:

1 2cos

sin





cot

cos 1





c) tan 2











d) y = tanx + cotx

sin cos







tan

1 tan





2cos 1







  sin 2

cos2 cos







2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = 2 + 3cosx b) 3 2 sin yx  c) y = 4cos

x – 4cosx + 2

d) 2 1 cos 3 yx    e)

4sin sin cos

y x x    f) y = 3 – 4sin

xcos

cos3 sin3 1

cos3 2







1 3sin 2cos

2 sin cos







sin cos cos

sin cos 1

x x x







3. Giải các phương trình sau:(phương trình cơ bản)

a)  

cos 2 15

x    b)

cos 2

x  c)

cos 3 sin 2 1 xx 

cos 3sin cos 0 x x x  e) 3 cos sin 2 0 xx  f)

sin sin sin 4

x x x

 

  





g) cos7 .cos cos5 .cos3 x x x x  h) cos4 sin3 .cos sin .cos3 x x x x x 

i)1 cos cos2 cos3 0 x x x     j)sin 2 sin5 sin3 sin 4 x x x x  k)

2 2 2

sin sin 3 2sin 2 x x x 

4. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; )  của phương trình 4cos3 cos2 2cos3 1 0 x x x    .

5. Giải các phương trình sau:(phương trình bậc hai)

2sin 5sin 3 0 xx    b)

2cos 2 cos 2 0 xx    c)

cos sin 1 0 xx   

d) cos2 cos 1 0 xx    e)cos2 5sin 3 0 xx    f) 5tan 2cot 3 0 xx   

g) cos 5sin 3 0

x    h)

cos5 cos cos4 .cos2 3cos 1 x x x x x   

4sin 2 6sin 9 3cos2

cos

x x x

  



5 7 1

2cos 2 cos 10cos cos

2 2 2 2

x x x





    





cos cos

   l)     2 tan sin 3 cot cos 5 0 x x x x      Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 41

6. Giải các phương trình sau:(phương trình bậc nhất đối với sin,cos)

a) 3 sin cos 1 xx  b) 3cos 4sin 5 xx    c) 2sin 2 2cos2 2 xx 

2sin 3 sin 2 3 xx  e) sin 3 3 cos3 2cos 4 x x x  f) 2sin 2 cos 2 3 cos 4 2 0 x x x   

cos 3sin 2cos

x x x





  





h) 3sin 2 cos 2 2 cos 2 sin x x x x   

 

sin8 cos6 3 sin 6 cos8 x x x x    j) 3sin 4sin 5sin 5 0

3 6 6

x x x

  

     

     

     

     

2sin 4sin

4 4 2

    

   

   

   

l) 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0 x x x x   

sin cos 3 cos 2



  





8cos 2

sin cos



7. Giải các phương trình sau:(phương trình đẳng cấp, đối xứng)

a) 0 cos 3 cos sin 2 sin

2 2

   x x x x b) 2 cos cos sin sin 6

2 2

   x x x x

cos 2 cos sin 4 sin 3

2 2

   x x x x d) x x x 2 cos 2 sin 2 2 sin

 

e) x x x sin 3 cos 4 sin 2

3 3

  f)

3 2 3

4sin 3sin osx sinx os 0 x xc c x    

g) 2 ) sin 1 )( cos 1 (    x x h) x x x x cos sin tan cot   

i) 1 2 sin 2 cot sin 2    x x x i) 1 tanx 2 2sinx  j)

1 1 10

osx sinx

osx sinx 3

   

8. Các phương trình không mẫu mực :

Các phương pháp giải:

 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản

 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.

 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về pt mới hoặc hệ pt mới.

 Phương pháp đối lập.

 Phương pháp tổng bình phương.

a) 3 sin2x+cos2x=2cosx-1 b) sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x     

c) 2(cos 3sin )cos cos 3sin 1     x x x x x

d)   sin 2 cos 2 cos 2cos 2 sin 0     x x x x x

e)sin2 cos sin cos cos2 sin cos x x x x x x x     f) 2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cos x x x x     Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 42

1 sin2 cos 2

2sin sin2

1 cot

x s x







1 1 7

4sin

3 sin 4

sin

 

  



 









3 3 2 2

sin 3 cos sin cos 3sin cos x x x x x x    j)

cos 2 cos cos 2 cos 3 x x x x     

(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 x x x x x      l)

2sin 2 sin 7 1 sin x x x   

  1 sin cos 2 sin

1 4

cos

1 tan 2

x x x

 

  









1 sin sin cos sin 2 os

2 2 4 2

x x x

x x c





   





o) Tìm nghiệm (0;2 ) x của phương trình:

cos3 sin 3

5 sin cos 2 3

1 2sin 2





  







9. Các bài toán chứa tham số (tìm m để các phương trình sau có nghiệm)

a)mcosx-2 = cosx+3m b)  

2 1 cos2 2 sin 3 2 0 m x m x m     

3sin cos 5  x m x

  3 sin 2 1 cos 3 1 m x m x m    

e)2sin

x – sinx.cosx – cos

x = m f)

4cos 2cos 1 0     x x m

g)Tìm m để pt (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos

x có đúng hai nghiệm thuộc [0; ]

h)Tìm m để pt sin2x + m = sinx + 2m.cosx có đúng hai nghiệm thuộc [0; 3 /4]

i)Tìm m để pt (cosx + 1)(cos2x – mcosx) = msin

x có đúng hai nghiệm thuộc [0; 2 /3]

j)Tìm m để pt    

sin 3 sin 2 2 cos 0 m x m x m x      có nghiệm duy nhất thuộc









Bài Tập Làm Thêm

Câu 1: Hàm số

tan cot

sin cos

y x x

    không xác định trong khoảng nào trong các

khoảng sau đây?

A. 2 ; 2













2 ; 2



  









B. C. 2 ; 2



  









D.   2 ;2 2 kk     

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số

5 2cot cot

y x sinx x



    





Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 43

A. \,









B. \,



  





C. D  D.   \ k , Dk  

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

sin

 B. sin

 







C. 2 cos

 







D. sin 2 yx 

Câu 4: Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi

một hàm số

  4sin 60 10

178



   , với t  và 0 365 t  . Vào ngày nào trong năm thì

thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.

A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5.

Câu 5: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(mét) của mực

nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

3 12

h cos

 

  





. Mực nước của kênh cao nhất khi:

A. 13 t  (giờ). B. 14 t  (giờ). C. 15 t  (giờ). D. 16 t  (giờ).

Câu 6: Hàm số

 

3 1 tan

4cot 2

tan



 đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 0. B. 3 2 3  . C. 2 2 2  D. -1 .

Câu 7: Hàm số 2 sin

y cosx x

 

  





đạt giá trị lớn nhất là

A. 5 2 2  B. 5 2 2  C. 5 2 2  D. 5 2 2 

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin sin cos y x cos x x x    là

C. 1 D.

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số sin sin y x cosx cosx x  là

A. 0 B. 2 C.

2 D. 6 Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 44

Câu 10: Cho , , 0 x y z  và

x y z



   . Tìm giá trị lớn nhất của

1 tan .tan 1 tany.tanz 1 tanz.tanx y x y      

max

1 2 2 y  B.

max

32 y  C.

max

4 y 

max

23 y 

Câu 11: Phương trình

tan tan 3 3

 

  





tương đương với phương trình.

A. cot 3 x  B. cot3 3 x  C. tan 3 x  D. tan3 3 x 

Câu 12: Phương trình 2cot 2 3cot3 tan2 x x x  có nghiệm là:



 B. xk   C. 2 xk   D. Vô nghiệm

Câu 13: Giải phương trình

cos cos x 





 



  



   







 



  



   











  





 



  



Câu 15: Hàm số

2sin 2 2

sin 2 2 3

x cos x







có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1.. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 16: Phương trình

sin

1 sin 2

cos x

cosx x





có nghiệm là:





  







































  



























Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 45

Câu 17: Phương trình

2sin3 2 3

sin

x cos x

x cosx

   có nghiệm là:



  B.



  C.



  D.



   

Câu 18: Để phương trình

sin sin 2 x cos x a x  có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a

là:

a  B.

a  C.

a  D.

a 

Câu 19: Cho phương trình: sin sin 0 xcosx x cosx m     , trong đó m là tham số thực. Để

phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:.

m      B.

m     C.

m    D.

m    

Câu 20: Cho phương trình:    

4 4 6 6 2

4 sin 8 sin 4sin 4 x cos x x cos x x m     

trong đó m là

tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

40 m hay m   

m     C.

m     D.

20 m hay m   

Câu 21: Cho phương trình:

sin

2 .tan 2

sin

x cos x

cos x x







, trong đó m là tham số. Để phương trình

có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

m hay m    B.

m hay m   

m hay m    D.

11 m hay m   

Câu 22: Cho phương trình

1 4tan

2 1 tan

cos x m





. Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của

tham số m phải thỏa mãn điều kiện:.

m    B. 01 m  C.

m  D.

m hay m   

Câu 23: Để phương trình:

4sin 3sin 2 2

x cos x a x cos x

    

    

   

   

có nghiệm, tham số

a phải thỏa điều kiện: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 46

A. 11 a    B. 22 a    C.

a    D. 33 a   

Câu 24: Để phương trình

2 2 2

sin 2

2 1 tan

a x a

cos x x







có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều

kiện:

A. 1 a  B. 2 a  C. 3 a  D. 1, 3 aa   

Câu 25: Tìm m để phương trình    

1 2 sin cosx cos x mcosx m x    có đúng 2 nghiệm

 







A. 11 m    B.

m  C.

m     D.

m   

Câu 26: Tìm m để phương trình   2 2 1 1 0 cos x m cosx m      có đúng 2 nghiệm

;

 







A. 10 m    B. 01 m  C. 01 m  D. 11 m   

Câu 27: Tìm m để phương trình 2sin 1 x mcosx m    có nghiệm ;

 







A. 31 m    B. 26 m    C. 13 m  D. 13 m   

Câu 28: Gọi

là nghiệm dương nhỏ nhất của 2 3sin2 3sin 2 cos x x x cosx     . Mệnh đề

nào sau đây là đúng?

 







;

12 6

 







;

 









;

 









Câu 29: Phương trình

2sin 3 1 8sin 2 . 2

x x cos x

 

  





có nghiệm là:.





































  



















Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 47

Câu 30: Phương trình:

4sin .sin .sin 3 1

x x x cos x

    

   

   

   

có các nghiệm là:

























































Câu 31: Giải phương trình

10 10 6 6

sin sin

4 4 2 sin 2

x cos x x cos x

cos x x







A. 2 , 2

x k x k



    B.







  D. ,2

x k x k



   

Câu 32: Cho phương trình:

sin3 3 3 2

sin

1 2sin 2 5

x cos x cos x







. Các nghiệm của phương trình

thuộc khoảng  

0;2  là:

12 12



CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP- XÁC SUẤT

CHƯƠNG 2.

TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON

CHỦ ĐỀ 1. QUY TẮC ĐẾM

I. Qui tắc đếm

1. Qui tắc cộng:

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu

phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì

cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

2. Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A

có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó

có m.n cách thực hiện

Bài tập:

Câu 1) Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2

con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành

phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi

có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 48

Câu 2) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:

a) gồm 6 chữ số.

b) gồm 6 chữ số khác nhau.

c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

Câu 3) Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi

có bao nhiêu trận đấu?

Câu 4) Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số

theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi).

Câu 5) a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi

có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?

b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?

Câu 6) a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?

d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì

giống nhau?

e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?

Câu 7) Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi

đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu

cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là

như nhau?

Câu 8) Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu

vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:

a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?

b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?

Câu 9) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:

a/ , x A y A  b/ { , } x y A  c/ ,6 x A y A v a ø x y     .

Câu 10) Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:

a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số?

d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?

f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?

Câu 11) Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:

a/ Khác nhau?

b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?

c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?

d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?

e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?

Câu 12) a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau

nhỏ hơn 400?

b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong

khoảng (300 , 500).

Câu 13) Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành

lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin.

Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 49

II. Hoán vị

1. Giai thừa:

n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1

n! = (n–1)!n

= (p+1).(p+2)…n (với n>p)

( )!

np 

= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)

2. Hoán vị (không lặp):

Một tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó

được gọi là một hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!

Bài tập:

Câu 1: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong

các số đó có bao nhiêu số:

a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?

c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?

Câu 2: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong

các số đó có bao nhiêu số:

a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?

c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135?

Câu 3: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả

các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên?

ĐS: Với mọi i, j 

  1,2,3,4,5,6,7 , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.

 Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).10

= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+10

)

Câu 4: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển

sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn?

c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

Câu 5: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi

xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1?

c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?

Câu 6: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ

số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

ĐS:

8! 7

3! 3!



Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số

này bằng 9.

Câu 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các

số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

Câu 9: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao

cho: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 50

a/ Bạn C ngồi chính giữa?

b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?

Câu10: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4

người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho

người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?

Câu 11: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?

b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?

Câu 12: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ

ngồi nếu:

a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?

b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?

Câu 13: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết

rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau?

Câu 14: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và

10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế

sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một

đề?

Câu 15: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6

viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao

cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

Câu 16: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:

a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?

b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?

Câu 17: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số

1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?

Câu 18: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ

số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Câu 19: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5.

Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:

a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?

b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý?

III. Chỉnh hợp

1. Chỉnh hợp (không lặp):

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo một thứ tự

nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

( 1)( 2)...( 1)

( )!

A n n n n k

     



 Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

 Khi k = n thì

A = Pn = n!

Bài tập:

Câu 1: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép

thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 51

Câu 2: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ

– không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?

Câu 3: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết

rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ

ngồi vừa đủ số học sinh)

Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:

a) Các chữ số khác nhau?

b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:

a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?

b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

Câu 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)?

Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?

c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?

Câu 8: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ

số khác nhau?

Câu 9: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy

từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Hỏi:

a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi

một khác nhau?

b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau?

Câu 10: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang

trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?

b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?

c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau?

Câu 11: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và

thoả:

a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345.

d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?

Câu 12: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số

khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:

a/ n là số chẵn?

b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?

Câu 13: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và

chia hết cho 3.

b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong

các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.

c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong

đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 52

IV. Tổ hợp

1. Tổ hợp (không lặp):

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp

chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

!( )!

k n k





 Qui ước:

C = 1

Tính chất:

k n k

k k k

n n n

C C C

















2. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

 Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: !

A k C 

 Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.

 Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp

Ngược lại, là tổ hợp.

 Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k  n):

+ Không thứ tự, không hoàn lại:

+ Có thứ tự, không hoàn lại:

Dạng 1: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học

Câu 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề

thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết

và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?

Câu 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn

chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:

a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ.

d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.

Câu 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu

vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?

Câu 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem

thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao

nhiêu cách làm như vậy?

Câu 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu

cách lấy được:

a/ 4 viên bi cùng màu? b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?

Câu 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3

ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 53

Câu 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như

đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách

chọn bó hoa trong đó:

a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ?

b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?

Câu 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ

8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Câu 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số:

a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?

b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ

số lẻ?

Câu 10: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải

khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1).

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có

mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.

Câu 11: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số

được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có

bao nhiêu số như vậy?

Câu 12: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn

chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:

a/ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?

b/ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?

Câu 13: Một đoàn tàu có 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu.

Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:

a/ Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa.

b/ Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.

Câu 14: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia

số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít

nhất hai học sinh khá.

Dạng 2: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học

Câu 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường

nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

ĐS:  Số giao điểm:

( 1)





 Số tam giác:

( 1)( 2)

n n n





Câu 2: Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?

b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?

c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?

d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo

thành?

ĐS: a)

C b)

A c)

C d)

Câu 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n  4)

a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 54

b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không

phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?

ĐS: a)

C n n   n = 5

b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của

2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm

bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác:

Câu 4: Cho một đa giác lồi có n-cạnh ( , 3) nb  .

a/ Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?

b/ Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?

c/ Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?

ĐS: a/

( 3)

; 5.



 b/

( 2)( 1)

n n n 

( 1)( 2)( 3)

n n n n   

Câu 5: Tìm số giao điểm tối đa của:

a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt?

c/ 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên?

Câu 6: Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3

điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi:

a/ Có bao nhiêu đường thẳng? b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác?

ĐS: a/

( 1) ( 1) 2;

p p q q     . b/

( 1)( 2) ( 1)( 2)

p p p q q q      .

Câu 7: Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4

điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi:

a/ Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện?

ĐS: a/

CC  b/

CC 

Câu 8: Cho p điểm trong đó có q điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoài ra không có 4 điểm

nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu:

a/ Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm?

b/ Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó?

ĐS: a/

CC  b/

CC 

V. Nhị thức Newton

1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta có:

()

n k n k k

a b C a b









2. Tính chất:

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 =

k n k k

C a b



( k =0, 1, 2, …, n)

4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:

k n k





CC  ,

k k k

n n n

C C C







* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì

ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 55

(1+x)

0 1 1

...

n n n

C x C x C



   

... 2

n n n

C C C    

(x–1)

0 1 1

... ( 1)

n n n n

n n n

C x C x C



    

... ( 1) 0

n n n

C C C     

Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Câu 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:

































Câu 2: a/ Tìm hệ số của

12 13

xy trong khai triển

(2 3 ) . xy 

b/ Tìm các số hạng giữa của khai triển

3 15

( ) . x xy 

Câu 3: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức:

9 10 14

( ) (1 ) (1 ) ... (1 ) P x x x x       

ta sẽ được đa thức:

2 14

0 1 2 14

( ) ... . P x a a x a x a x      Hãy xác định hệ số a9?

Câu 4: Cho đa thức

2 3 20

( ) (1 ) 2(1 ) 3(1 ) ... 20(1 ) P x x x x x         

được viết dưới dạng:

2 20

0 1 2 20

( ) ... . P x a a x a x a x      Tìm hệ số a15?

Câu 5: Khai triển

80 2 80

0 1 2 80

( ) ( 2) ... . P x x a a x a x a x        Tìm hệ số a78?

Câu 6: Khai triển

50 2 50

0 1 2 50

( ) (3 ) ... . P x x a a x a x a x       

a/ Tính hệ số a46? b/ Tính tổng

0 1 2 50

... . S a a a a     

Câu 7: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức:

 

32 

b/ Tìm số hạng thứ 6 của khai triển

. x









c/ Tìm số hạng giữa của khai triển

. x









d/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:









e/ Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển

. x









Câu 8: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển









b/ Cho biết tổng của 3 hệ số trên là 11. Tìm hệ số của x

c/ Cho biết trong khai triển









tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ

ba là 46. Tìm hạng tử khôn g chứa x.

d/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển









là 97. Tìm hạng

tử của khai triển chứa x

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 56

B. XÁC SUẤT

I. Biến cố và xác suất

1. Biến cố

 Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

 Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  .

 Biến cố không:   Biến cố chắc chắn: 

 Biến cố đối của A: \ AA  

 Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)

 Hai biến cố xung khắc: A  B = 

 Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố

kia.

2. Xác suất

 Xác suất của biến cố: P(A) =

()

n 

 0  P(A)  1; P( ) = 1; P( ) = 0

 Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

 P(A ) = 1 – P(A)

 Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)

Bài tập:

Câu 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.

b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.

c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.

Câu 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn

Văn.

a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn.

b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn.

ĐS: a) n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 15 +15 – 25 = 17  P(A B)

Câu 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.

b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.

Câu 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên

một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.

Câu 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4

viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.

Câu 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của

người thứ nhất là

, của người thứ hai là

. Tính xác suất để con thú bị bắn trúng.

Câu 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến

cố sau:

a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 57

b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm.

c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.

d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm.

Câu 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.

b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.

c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.

Câu 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác

suất để lấy được:

a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt.

Câu 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và

4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi.

Câu 11: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen.

Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.

Câu 12: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính

xác suất để 2 em đó khác phái.

Câu 13: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn

ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để :

a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi c) Không

có học sinh trung bình.

Câu 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7

số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:

a) Số đó là số lẻ. b) Số đó chia hết cho 5 c) Số đó chia hết cho 9.

I. TRẮC NGHIỆM QUY TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Câu 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau.

510

720

120

46656

Câu 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số.

4096

3215

720

120

Câu 3: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác

nhau

120

360

Câu 4: Cho tập hợp X={1,2,3,4,5,6}. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 gồm có 4 chữ số khác

nhau từ các chữ số của tập X .

720

Câu 5: Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau, trong

đó bắt đầu bằng chữ số 1 và kết thúc là chữ số 2.

Câu 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 58

120

720

Câu 7: Từ tập hợp X 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số

khác nhau

144

120

210

Câu 8: Từ tập hợp X 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ

số khác nhau

144

156

120

300

Câu 9: Từ tập hợp X 1; 2; 3; 4; 5; 6 Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng 4 chữ số khác nhau,

sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước

720

120

Câu 10: Từ tập hợp X 1;2;3;4;5;6;7 Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và nhỏ

hơn 400.000?

720

2880

5040

2160

Câu 11: Từ tập hợp X 1;2;3;4;5;6;7 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sao

cho nó lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5 000?

3000

360

2160

720

Câu 12: Từ tập hợp X 1; 2; 3; 4; 5 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và

chia hết cho 3

Câu 13: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ

120

Câu 14: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ

120

5040

2520

Câu 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 người vào một bàn tròn có 7 chỗ ngồi

540

5040

720

Câu 16: Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là:

A. 6!4! B. 10! C. 6! 4! D. 6! 4! Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 59

Câu 17: Tại một cuộc họp của tổ chức Apec tổ chức tại Hà Nội vào tháng 12 năm 2006 có 21 đại

biểu là thành viên của các nước. Trước khi họp, các đại biểu chào hỏi và bắt tay nhau, mỗi đại

biểu bắt tay một đại biểu khác một lần. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay.

252

420

210

Câu 18: Cho một đa giác 12 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là

đỉnh của đa giác

132

144

120

Câu 19: Cho 15 điểm nằm trên mặt phẳng không có bất cứ 3 điểm nào khác thẳng hàng. Hỏi có

bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho

2730

455

Câu 20: Một đa giác lồi 18 cạnh, có bao nhiêu đường chéo ?

135

153

Câu 21: Cho đa giác đều n đỉnh, n và 3 n . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường

chéo.

A. 15 n B. 27 n C. 8 n D. 18 n

Câu 22: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn

hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện phải có cả nam và nữ.

300

375

Câu 23: Một trường THPT có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11 và 8 học sinh giỏi lớp 12.

Cần chọn ra 3 học sinh để tham gia đội tuyển thi “ Đố vui để học”. Có bao nhiêu cách chọn nếu

mỗi khối có một học sinh?

240

1320

Câu 24: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra

7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có 3 câu loại dễ, 2 câu loại trung bình và 2 câu loại khó. Hỏi

có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra

455

252

10584

111

Câu 25: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh

sao cho có đúng 3 học sinh nữ.

A. 110790 B. 119700 C. 117900 D. 110970

Câu 26: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Có bao

nhiêu cách. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 60

Câu 27: Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách

chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho có đủ 3 màu.

720

300

240

540

Câu 28: Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị

đó người ta chọn ra 4 người để dự lễ tổng kết do tỉnh tổ chức. Hỏi có mấy cách chọn sao cho

trong 4 người được chọn phải có nữ

455

210

175

460

Câu 29: Một hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 bi sao cho có đủ ba màu. Số

cách chọn là:

A. 2163 B. 3843 C. 3003 D. 840

Câu 30: Một lớp gồm có 20 học sinh. Cần chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thư ký.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, làm lớp phó

và làm thư ký.

6840

1140

542

Câu 31: Cần sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E thành một dãy hàng ngang.

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luôn đứng ở đầu hàng?

120

Câu 32: Cần sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E thành một dãy hàng ngang.

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luôn đứng gần nhau?

120

Câu 33: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao

nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau?

A. 34560 B. 17280 C. 120960 D. 744

Câu 34: Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau:

khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một

đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh

cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.

A. 50 B. 500 C. 502 D. 501

Câu 35: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 61

A. 1

A B.

C C.

D. !

Câu 36: Giá trị của n thỏa mãn

3 42 0

AA là:

A. 9 B. 8 C. 6 D. 10

Câu 37: Nghiệm của phương trình

An là:

A. 6 n B. 5 n C. 8 n D. không tồn tại

Câu 38: Tìm n biết

5 2( 15)

A A n .

A. 4 n B. 3 n C. 5 n D. 6 n

II. NHỊ THỨC NUITON

Câu 39: Tổng T =

C ... C C C C      bằng:

A. T = 2

B. T = 4

C. T = 2

+ 1 D. T = 2

- 1

Câu 40: Hệ số của x

trong khai triển (2-3x)

là:

6 4 6

.2 .3 C B.

6 6 4

.2 .( 3) C 

4 6 4

.2 .( 3) C 

6 4 6

.2 .3 C 

Câu 41: Hệ số của x

trong khai triển (2x+3)

là:

3 3 5

.2 .3 C

3 5 3

.2 .3 C

5 5 3

.2 .3 C 

5 3 5

.2 .3 C

Câu 42: Hệ số của x

trong khai triển (x+2)

là:

2 C

2 C 

Câu 43: Hệ số của x

trong khai triển

 

2 x  là:

2 C

Câu 44: Hệ số của x

trong khai triển

 

xx  là:

C  D.

2 C

Câu 45: Hệ số của x

trong khai triển

 

2 xx  là:

.2 C

2 C 

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 62

Câu 46: Hệ số của x

trong khai triển









là:

C 

Câu 47: Số hạng của x

trong khai triển







 là:

Cx 

Cx  D.

Câu 48: Số hạng của x

trong khai triển







 là:

Cx C.

Cx 

Câu 49: Số hạng của x

trong khai triển







 là:

37 31

Cx 

3 31

2 31

4 31

Câu 50: Số hạng không chứa x trong khai triển







 là:

2 C

Câu 51: Số hạng không chứa x trong khai triển









là:

C 

Câu 52: Hệ số của

trong khai triển  

xy  là:

C B.

C C.

C D.

Câu 53: Hệ số của

trong khai triển  

2xy  là:

2 C B.

2 C C.

2 C D.

2 C

Câu 54: Hệ số của

x trong khai triển  

32 x  . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 63

2 8 2

32 C B.

8 2 8

32 C C.

2 2 8

32 C D.

2 8 2

32 C

Câu 55: Hệ số của

x trong khai triển  

2 x  .

9 10

2 C B.

10 9

2 C C.

9 10

2 C D.

10 9

2 C

Câu 56: Hệ số của x

trong khai triển (x

)

là:

C B.

C C.

C D.

Câu 57: Số hạng không chứa x trong khai triển (x

)

là:

C B.

C C.

C D.

Câu 58: Số hạng không chứa x trong khai triển (x

)

là:

C B.

4 C C.

4 C D.

4 C

III. XÁC SUẤT

Câu 59: Công thức nào sau đây dùng để tính xác suất của biến cố A :

()

( ) 1

()

Câu 60: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì

() n 

là bao nhiêu?

A. 4 B. 6 C. 8 D. 16

Câu 61: Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

Câu 62: Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

A. 6 B. 12 C. 18 D. 36

Câu 63: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ lần đầu tiên xuất hiện

mặt sấp”

()

PA  B.

()

PA  C.

()

PA  D.

()

PA 

Câu 64: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ kết qủa của 3 lần gieo là

như nhau” Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 64

()

PA 

()

PA  C.

()

PA  D.

()

PA 

Câu 65: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ có đúng 2 lần xuất hiện

mặt sấp”

()

PA 

()

PA  C.

()

PA  D.

()

PA 

Câu 66: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người

được chọn đều là nữ.

Câu 67: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người

được chọn không có nữ nào cả.

Câu 68: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người

được chọn có ít nhất một nữ.

Câu 69: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người

được chọn có đúng một người nữ.

Câu 70: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3

viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ.

560

143

280

Câu 71: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3

viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ.

560

143

280

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 65

Câu 72: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3

viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.

560

143

280

Câu 73: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3

quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.

Câu 74: Với phép thử gieo đồng xu 3 lần. Gọi A là biến cố “Có đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”.

giá trị của P(A)

Câu 75: Với phép thử gieo đồng xu 3 lần. Gọi B là biến cố “ Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt ngửa”,

giá trị của P(B) là.

Câu 76: Gieo hai con súc sắc hai lần. Tính xác suất để Tích số chấm trong hai lần gieo là một số

chẵn.

Câu 77: Có ba bà mẹ, mỗi bà sinh một con, gọi A là biến cố “ba đứa trẻ sinh ra có một bé gái”. Giá

trị của P(A) là:

D. 1

Câu 78: Có ba bà mẹ, mỗi bà sinh một con, gọi B là biến cố “ba đứa trẻ sinh ra có ít nhất một bé

trai”. Giá trị của P(B) là:

D. 1

Câu 79: Trong hộp kín gồm 10 quả cầu được đánh số từ 0 đến 9. Môt người lấy ngẫu nhiên 2 quả

cầu. Gọi A là biến cố “ hai quả cầu được chọn có tổng bằng 10 ”. Giá trị của P(A) là. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 66

Câu 80: Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 bi đỏ và 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2

bi. Tính xác suất để cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ:

Câu 81: Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 bi đỏ và 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2

bi. Tính xác suất để trong hai bi lấy ra, có một bi xanh và một bi vàng.

Câu 82: Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 bi đỏ và 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3

bi. Tính xác suất để trong ba bi lấy ra có nhiều nhất hai bi đỏ

120

Câu 83: Lớp 11A có 25 đoàn viên trong đó có 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên

trong chi đoàn để tham dự Hội trại 26/3. Xác suất để hai đoàn viên được chọn có 1 nam và 1 nữ

là

C. 1 D.

Câu 84: Một lớp có 45 học sinh trong đó có 25 nữ, Giáo viên kiểm tra bài cũ 2 học sinh. Xác suất

để không có học sinh nữ nào là:

191

990

Câu 85: Một hộp chứa 12 viên bi, trong đó có 5 bi đỏ và 4 bi xanh và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3

bi. Tính xác suất để trong ba bi lấy ra, có ít nhất hai bi xanh

220

Câu 86: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn trúng 1 viên là 0,7. Người đó

bắn hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu

là:

A. 0.42 B.

0.21

0.7

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 67

Câu 87: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn trúng 1 viên là 0,7. Người đó

bắn hai viên một cách độc lập. Xác suất để hai viên đều trúng mục tiêu là:

A. 0.42 B.

0.09

0.49

Câu 88: Một hộp có chứa những quả cầu bằng nhau về kích cỡ, trong đó có 4 quả mang số 1 ; 3

quả ghi số 2 và 1 quả ghi số 3. Lấy ngẫu nhiên 2 quả . Tính xác suất để Lấy được 2 quả cầu có ghi

số giống nhau.

Câu 89: Một hộp kín đựng 12 viên bi (chỉ khác nhau về màu) gồm 5 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh.

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ trong hộp. Tính xác xuất để được 1 bi đỏ và 2 bi xanh.

Câu 90:Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên hai em. Tính xác suất để hai

em đó khác phái.

Câu 91: Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu

nhiên 3 quả cân trong số đó. Tính xác suất để 3 quả cân được chọn có trọng lượng không vượt

quá 9kg.

Câu 92: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong dó có 2 phế phẩm. Lấy 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Tính

xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra đó có không quá một phế phẩm.

Câu 93:Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có đúng 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính

xác suất để được ít nhất 1 bóng tốt. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 68

C. 1 D.

Câu 94:Một hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên ra hai thẻ rồi nhân hai số ghi

trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để số nhận được là một số lẻ.

A. 6!4! B. 10! C. 6! 4! D. 6! 4!

Câu 95: Gieo 2 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên 2 con súc sắc

nhỏ hơn 5 là:

A. B. C. D.

Câu 96: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, biết rằng 2 chữ số đứng kề nhau phải khác nhau

A. 9

B. 10.9.8.7.6 C. 9.9.8.7.6 D. 9.8.7.6.5

Câu 97: Cho tập A = {a;b;c;d;e}. Số tập con của A là:

A. 28 B. 30 C. 32 D. 34

Câu 98: Có 3 nam và 3 nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:

A. 720 B. 6 C. 36 D. 72

Câu 99: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một người khi bắn 1 viên đạn là 0,7. Người đó bắn 2

viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là:

A. 0,21 B. 0,42 C. 0,49 D. 0,03

Câu 100. Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?

A. Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp.

B. Gieo con súc sắc xem xuất hiện mặt mấy chấm.

C. Chọn bất kì 1 HS trong lớp và xem là nam hay nữ.

D. Quan sát vận động viên chạy bộ xem được bao nhiêu km/h.

Câu 101. Gieo 3 đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:

A. NN, NS, SN, SS  B. NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS 

C. NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS, NSS, SNN  D. NNN, SSS, NNS,

SSN, NSN, NSS, SNN 

Câu 102. Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là:

A. 24 . B. 12. C. 6 . D. 8.

Câu 103. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là

A. 9. B. 18 . C. 12 . D. 36.

Câu 104. Gieo con súc sắc 2 lần. Biến cố A là biến cố để sau 2 lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm

A. A = (1;6),(2;6), (3,6), (4; 6), (5, 6) 

B. A = (1;6),(2;6), (3,6), (4; 6), (5, 6), (6;6) 

7Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 69

C. A = (1;6),(2;6), (3,6), (4; 6), (5, 6), (6; 6), (6;1),(6;2),(6;3), (6;4),(6;5) 

D. A = (6;1),(6;2), (6;3), (6;4),(6;5) 

Câu 105. Gieo đồng tiền 2 lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là:

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 106. Gieo ngẫu nhiên 2 đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

Câu 107. Cho phép thử có không gian mẫu   6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1   . Các cặp biến cố không đối nhau là:

A. A= 1  và B = 2, 3, 4, 5, 6  B. C= 1, 4, 5  và D = 2, 3, 6 

C. E= 1, 5, 6  và F = 2, 4  D.  và 

Câu 108. Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để

tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 7. Số phần tử của biến cố A là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

IV. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Câu 109. Gieo một con súc sắc một lần. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0, 2 B. 0, 3 C. 0, 4 D. 0, 5

Câu 110. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là:

Câu 111. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được lá ách (A) là:

169

Câu 112. Gieo một con súc sắc 3 lần. Xác suất để được mặt hai chấm xuất hiện cả 3 lần là:

172

216

Câu 113. Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên

tố là:

A. 0. B.

Câu 114. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:

Câu 115. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để kết quả hai mặt

xuất hiện như nhau là:

D. 1 Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 70

Câu 116. Gieo một đồng tiền 2 lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một

lần

Câu 117. Một túi chứa 2 bi trắng và 3 bi đen. Rút ra 3 bi. Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:

Câu 118. Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp. Xác suất để lấy được 4 hộp

mà không có hộp hư nào?

Câu 119. Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các số 00 đến 99. Xác suất để có một con số tận

cùng là 0 là:

A. 0,1 B. 0,2 C. 0,3 D. 0,4

Câu 120. Một hộp đựng 4 bi xanh và 6 bi đỏ, rút đồng thời 2 viên bi. Xác suất để rút được hai bi có

một bi xanh và 1 bi đỏ là:

Câu 121. Một bình đựng 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả

cầu. Xác suất để được 3 quả cầu khác màu là:

Câu 122. Một bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất

để được 3 quả cầu toàn màu xanh là:

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

Phương pháp quy nạp toán học

A. LÝ THUYẾT

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương

là đúng với mọi

mà

không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 1 n  .

- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ 1 nk  (gọi là giả thiết

quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với

1 nk  .

B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1. Với mối số nguyên dương

, đặt

2 2 2

1 2 ... Sn     . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 71

( 1)( 2)

n n n





. B.

( 1)(2 1)

n n n





( 1)(2 1)

n n n





. D.

( 1)(2 1)

n n n





( 1)

1 2 .. .



   

3 3 3

( 1)

1 2 ... .



   

4 4 4

( 1)(2 1)(3 3 1)

1 2 ... .

n n n n n

   

   

2 2 2

5 5 5

( 1) (2 2 1)

1 2 ... .

n n n n

  

   

( 1)( 2)( 3)

1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2) .

n n n n

n n n

  

     

Ví dụ 15. Với mỗi số nguyên , n đặt

2 2 2

1 2 ... . Sn     Mệnh đề nào dưới đây là sai?

 

S n n n    . B.

     

S n n n n



     



     

3 1

2 1 3 1 2 1

S n n n n



     



. D.

   

1 2 1

n n n



 .

Ví dụ 16. Với mỗi số nguyên dương , n ta có

2 2 2 3 2

1 2 ... , n an bn cn       trong đó , , a b c là các

hằng số. Tính giá trị của biểu thức

2 2 2

. M ab bc ca   

A. 25 M  . B.

216

M  . C.

M  . D. 23 M  .

Ví dụ 17. Tìm tất cả các số nguyên dương , n để

2 2 2

1 2 ... 2017 n     .

A. 18 n  . B. 20 n  . C. 17 n  . D. 19 n  .

Ví dụ 18. Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương , n thoả mãn

2 2 2

1 2 ... 2018 n     .

A. 153 S  . B. 171 S  . C. 136 S  . D. 190 S  .

Ví dụ 2. Đặt 2 2 2 ... 2

T      (có

dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. 3

T  . B.

2cos

n n





 . C.

cos

n n





 . D. 5

T  .

Đặt 2 2 2 ... 2

T      (có

dấu căn). Tìm

để

511

2sin

1024



 .

A. 10 n  . B. 9 n  . C. 11 n  . D. 8 n  .

Câu 1. Cho dãy số  

u xác định bởi

2 u  và

u u n



    . Số hạng tổng quát của

dãy số  

u là:

2sin

n n





 . B.

2cos

n n





 .

cos

n n





 . D.

sin

n n





 . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 72

Ví dụ 3. Đặt

1 1 1

...

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

   



,với

n  .Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2(2 1)







. B.







. C.





. D.







Ví Dụ 4: Với

n  ,biết rằng

1 1 1

...

1.3 3.5 (2 1)(2 1) 1

an b

n n cn



   

  

. Trong đó ,, abc là các số nguyên.

Tính giá trị biểu thức

2 3 4

P a b c    .

A. 17 P  . B. 10 P  . C. 9 P  . D. 19 P  .

Ví dụ 5: Với

n  ,biết rằng

1 1 1

...

1.3 3.5 (2 1)(2 1) 4

an b

n n n c



   

  

. Trong đó ,, abc là các số

nguyên.Tính giá trị biểu thức    

2 2 2

T a b c a b c      .

A. 40 T  . B. 4 T  . C. 32 T  . D. 16 T  .

Ví dụ 6: Biết rằng

 

1 1 1

...

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

an bn c



   





,trong đó

n 

và ,, abc là các số

nguyên. Tính giá trị biểu thức  

F a b



 .

A. 9 F  . B. 6 F  . C. 8 F  . D. 27 F  .

Ví dụ 7: Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình

1 1 1 17

...

1.3 3.5 (2 1)(2 1) 35 nn

   



A. 153 S  . B. 136 S  . C. 272 S  . D. 306 S  .

Ví dụ 8: Tìm tất cả các số nguyên dương

sao cho

2 3 .





A. 3 n  . B. 5 n  . C. 6 n  . D. 4 n  .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 78. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, 3 n  , là:

A. .180 Sn . B.  

2 .180 Sn   .

C.  

1 .180 Sn    . D.  

3 .180 Sn    .

Câu 79. Với

n  , hãy rút gọn biểu thức  

1.4 2.7 3.10 ... 3 1 S n n       .

 

1 S n n  . B.

 

2 S n n  . C.  

1 S n n  . D.  

21 S n n  .

Câu 80. Kí hiệu

 

! 1 ...2.1, k k k k    

. Với

n  , đặt

1.1! 2.2! ... . !

S n n    

. Mệnh đề nào

dưới đây là đúng?

2. !

Sn 

. B.

 

1 ! 1

Sn    . C.

 

Sn  . D.

 

1 ! 1

Sn    .

Câu 81. Với

n  , đặt

 

2 2 2

1 2 3 ... 2

Tn      và

 

2 2 2

2 4 6 ... 2

Mn      . Mệnh đề nào

dưới đây là đúng?

T n







. B.

T n







. C.

T n







. D.

T n







Câu 82. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2 2 1

n  với mọi số nguyên np  . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 73

A. 5 p  . B. 3 p  . C. 4 p  . D. 2 p  .

Câu 83. Tìm tất cả các giá trị của

n  sao cho

n  .

A. 5 n  . B. 1 n  hoặc 6 n  . C 7 n  . D. 1 n  hoặc 5 n  .

Câu 84. Với mọi số nguyên dương n , ta có:

   

1 1 1

...

2.5 5.8 3 1 3 2 4

an b

n n cn



   

  

, trong đó ,, abc

là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức

2 2 2

T ab bc ca    .

A. 3 T  . B. 6 T  . C. 43 T  . D. 42 T  .

Câu 85. Với mọi số nguyên dương 2 n  , ta có:

1 1 1 2

1 1 ... 1

4 9 4

n bn



     

   

    

      

, trong đó , ab là

các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức

T a b  .

A. 5 P  . B. 9 P  . C. 20 P  . D. 36 P  .

Câu 86. Biết rằng

3 3 3 4 3 2 *

1 2 ... , n n an bn cn dn e           . Tính giá trị biểu thức

M a b c d e      .

A. 4 M  . B. 1 M  . C.

M  . D.

M  .

Câu 87. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có

 

1 1 1 1

1.2 2.3 ... 1 n n a n b n c n d         và

 

2 2 2 2

1.2 2.5 3.8 ... 3 1 n n a n b n c n d          . Tính giá trị biểu thức

1 2 1 2 1 2 1 2

T a a b b c c d d    

A. 2 T  . B. 1 T  . C.

M  . D.

T  .

Câu 88. Biết rằng 1 2 ...

k k k

n    , trong đó , nk là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

 





   

1 2 1

n n n





 



 và

     

1 2 1 3 3 1

n n n n n

   

 .

Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:

A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3.

Câu 89. Với

n  , ta xét các mệnh đề :"7 5

P  chia hết cho 2" ;

:"7 5

Q 

chia hết cho 3" và

:"7 5

Q 

chia hết cho 6". Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :

A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 .

Câu 90. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương

bất đẳng thức



 ”. Một học sinh

đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với 1 n  , ta có: ! 1! 1 n và

1 1 1 0

2 2 2 1

n

   . Vậy



 đúng.

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với 1 nk  , tức là ta có



 .

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 1 nk  , nghĩa là phải chứng minh  

1 ! 2

k

Bước 3 : Ta có

   

1 ! 1 . ! 2.2 2

k k k



     . Vậy



 với mọi số nguyên

dương n .

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 74

Câu 91. Biết rằng

   

1 1 1

...

1.2.3 2.3.4 1 2 16

an bn

n n n cn dn



   

   

, trong đó , , , a b c d và n là các số

nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức    

T a c b d    .

là :

A. 75 T  . B. 364 T  . C. 300 T  . D. 256 T  .

Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:

Dãy số  

u được gọi là dãy số tăng nếu ta có

1nn





với mọi

n  .

Dãy số  

u được gọi là dãy số giảm nếu ta có

1nn





với mọi

n  .

Dãy số  

u được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có

1nn





với mọi

n  .

Ví dụ 1. a) Cho dãy số  

x với

x n n    là một dãy số tăng.

Chứng minh: Ta có

   

1 2 1 3 2

x n n n



       .

Suy ra

   

2 2 3 2 1 0, 1

x x n n n n n



           hay

x x n



  

Vậy  

x là một dãy số tăng.

b) Dãy số  

y với

n n



 là một dãy số giảm.

Chứng minh:

Cách 1: Ta có

1 1

n n

 



 . Suy ra

1 11

3 2 4 7

0, 1

5 5 5

nn n n n

n n n

y y n

 

  

        hay

y y n



  

.Vậy  

y là một dãy số giảm.

Cách 2: Với

n  , ta có

y 

nên ta xét tỉ số

1 n



Ta có

1 1

n n

 



 nên

 

1, 1

y n



   



. Vậy  

y là một dãy số giảm.

c) Dãy số  

z với   z1

 không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số

giảm vì      

1 1 2 1

n n n



        không xác định được dương hay âm. Đây là

dãy số đan dấu.

4. Dãy số bị chặn

Dãy số  

u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

u M n    .

Dãy số  

u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số

sao cho

u m n    .

Dãy số  

u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại

các số M ,

sao cho

m u M n     .

Ví dụ 7: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 75

a) Dãy số  

a với

  31

2017sin

 

 là một dãy số bị chặn vì

2017 2017,

an      .

b) Dãy số  

b với







là một dãy số bị chặn vì

bn    

c) Dãy số  

c với  

3 2 .7



 bị chặn dưới vì

49,

an    .

d) Dãy số  

d với 6 6 ...... 6

d     ( n dấu căn), bị chặn trên vì

dn    .

Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số

Câu 1. Cho dãy số  

x có



 

  







. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?



 









. B.













. C.













. D.



 









Câu 2. Cho dãy số  

y xác định bởi

sin cos





y . Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:

1 3 1

0, , ,

2 2 2

 . B.

1 3 1

1, , ,

222

. C.

1 3 3

1, , ,

222

. D.

1 1 1

0, , ,

2 2 2

 .

Câu 3. Cho dãy số  

y xác định bởi

1  yy

và



   

n n n

y y y n

. Năm số hạng đầu tiên

của dãy số đã cho là:

A. 1,1,2,4,7. B. 2,3,5,8,11. C. 1,2,3,5,8 . D. 1,1,2,3,5.

Câu 4. Cho dãy số  

u xác định bởi

1  u

và

2. .





u n u

với mọi 2  n . Mệnh đề nào dưới đây

là đúng ?

2 .11!  u . B.

2 .11!  u . C.

10 10

2 .11  u . D.

10 10

2 .11  u .

Câu 5. Cho dãy số  

u xác định bởi

 u và





u u n

với mọi 2  n . Khi đó

bằng:

A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5.

Câu 6. Cho dãy số  

u có







. Số

là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số  

u ?

A. 8. B. 6 . C. 5. D. 7 .

Câu 7. Cho dãy số  

a có

4 11, *      

a n n n . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số  

a .

A. 14 . B. 15. C. 13. D. 12 .

Câu 8. Cho dãy số  

a có

100

  



. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số  

a .

. B.

. C.

. D.

Câu 9. Cho dãy số  

y xác định bởi

2  y

và

2 3 , *



    

y y n n n . Tổng

của 4 số

hạng đầu tiên của dãy số là:

20  S

. B.

10  S

. C.

30  S

. D.

14  S

. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 76

Câu 10. Cho dãy số  

x xác định bởi

5  x

và



   

x x n n

. Số hạng tổng quát của dãy

số  

x là:





x . B.





x . C.





x . D.

3 12





x .

Câu 11. Cho dãy số  

x xác định bởi

 x

và

 

2 2 1 1



  



. Mệnh đề nào dưới

đây là đúng ?

100

39999

 x . B.

100

39999

 x . C.

100

40001

 x . D.

100

40803

 x .

Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.

Câu 12. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?

A. Dãy  

a , với

 

1 .sin , *

 

   

B. Dãy  

b , với

   

1 . 5 1 , *     

bn .

C. Dãy  

c , với

  



D. Dãy  

d , với

  



Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?

A. Dãy  

a , với









a . B. Dãy  

b với

1 



C. Dãy  

c , với





. D. Dãy  

d , với 3.2 

d .

Câu 14. Cho dãy số  

x với







. Dãy số  

x là dãy số tăng khi:

A. 2  a . B. 2  a . C. 2  a . D. 1  a .

Câu 15. Cho hai dãy số  

x với

  1!





n n

và  

y với  

sin 1   

y n n . Mệnh đề nào dưới đây

là đúng ?

A.  

x là dãy số giảm,  

y là dãy số giảm.

B.  

x là dãy số giảm,  

y là dãy số tăng.

C.  

x là dãy số tăng,  

y là dãy số giảm.

D.  

x là dãy số tăng, là dãy số tăng.

Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số.

Câu 16. Cho dãy số  

u , với







. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. Dãy  

u bị chặn trên và không bị chặn dưới. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 77

B. Dãy  

u bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. Dãy  

u bị chặn trên và bị chặn dưới.

D. Dãy  

u không bị chặn.

Câu 17. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ?

A. Dãy  

a , với

16, *    

a n n .

B. Dãy  

b , với

   

b n n

C. Dãy  

c , với 2 3, *    

cn .

D. Dãy  

d , với

  



Câu 18. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?

A. Dãy  

a , với

31 

B. Dãy  

b , với

 





C. Dãy  

c , với

3.2





c .

D. Dãy  

d , với   2 

d .

Câu 19. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ?

A. Dãy  

x , với

   

1 . 2 3    

x n n .

B. Dãy  

y , với

 

6   

y n n .

C. Dãy  

z , với

2018

2017





n n

z .

D. Dãy  

w , với   2017 

w .

Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.

Câu 20. Cho dãy số  

x , xác định bởi: 2.3 5.2 , *    

xn . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?





n n n

x x x

. B.





n n n

x x x

5 6 0



  

n n n

x x x

. D.

6 5 0



  

n n n

x x x

Câu 21. Cho dãy số  

u , với 3 

u . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?





u . B.



u .

100

1 2 100

1 ...



    

u u u . D.

1 2 100 5050

. ...  u u u u

Câu 22. Cho dãy số  

a xác định bởi

  31

2017cos

 



. Mệnh đề nào dưới đây là sai ?



  

a a n

. B.



  

a a n

. C.



  

a a n

. D.



  

a a n

. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 78

Câu 23. Cho dãy số  

a xác định bởi

1  a

và

1, *



     

n n n

a a a n

. Mệnh đề nào dưới

đây là đúng ?

2018 2

 aa

. B.

2018 1

 aa

. C.

2018 3

 aa

. D.

2018 4

 aa

Câu 24. Cho dãy số  

a xác định bởi

1, 2  aa

và

3. , 1



   

n n n

a a a n . Tìm số nguyên

dương p nhỏ nhất sao cho ,*



  

n p n

a a n .

A. 9  p . B. 12  p . C. 24  p . D. 18  p .

Câu 25. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ?

A. Dãy số  

a xác định bởi

1  a

và

2018

2017



  



là một dãy số không đổi.

B. Dãy số  

b , với

  tan 2 1





bn , có tính chất



  

b b n

C. Dãy số  

c , với   tan 1  

cn , là một dãy số bị chặn.

D. Dãy số  

d , với   cos  

dn , là một dãy số giảm.

Ví dụ 19. Cho dãy số

()

xác định bởi

2 u 

và

2 1, ,

u u n N



    có tính chất

A. Là dãy số tăng và bị chặn dưới. B. Là dãy số giảm và bị chặn trên.

C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới. D. Là dãy số tăng và bị chặn trên.

Ví dụ 20. Cho dãy số

()

xác định bởi

1 u 

và

2 , 1.

u u n



    Tổng

2 2 2

2018 1 2 2018

... S u u u    

là

2018

2015 S  . B.

2018

2018 . S  C.

2018

2017 . S  D.

2018

2016 . S 

Ví dụ 21. Cho dãy số

()

xác định bởi sin 2cos .



 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số

()

. Tính giá trị biểu thức

. T M m 

A. 13. T  B. 5. T  C. 18. T  D. 7. T 

Ví dụ 22. Cho dãy số

()

thỏa mãn

1 1 1 2

1 2017

; , 1. ...

2 2( 1) 1 2018

n n n

u u n S u u u



       



khi

có giá trị nguyên dương lớn nhất.

A. 2017. B. 2015. C. 2016. D. 2014.

CẤP SỐ CỘNG

A. LÝ THUYẾT

I. ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d .

Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Đặc biệt, khi 0  d

thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng

nhau).

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

1) Nếu  

là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 79

u u d n



     1

2) Cấp số cộng  

u là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai 0  d .

3) Cấp số cộng  

u là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai 0  d .

Để chứng minh dãy số  

là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh

1 



uu là một hằng số

với mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

2,1, 4, 7,10,13,16,19  .

Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của

nó.

a) Dãy số  

a , với 43 

an ; b) Dãy số  

b , với





b ;

c) Dãy số  

c , với 2018 

c ; d) Dãy số  

d , với



dn .

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng  

u có 7 số hạng với số hạng đầu

 u và công sai

 d . Viết dạng

khai triển của cấp số cộng đó.

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý 1.

Nếu cấp số cộng  

có số hạng đầu

u và công sai d

thì số hạng tổng quát

được xác

định bởi công thức:

( 1) , 2.     

u u n d n (2)

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng  

u có

2  u và 5  d .

a) Tìm

u .

b) Số 2018  là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý 2.

Trong một cấp số cộng  

u , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng

của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là







u với 2  k . (3)

Ví dụ 5.

a) Cho cấp số cộng  

có

101  u và

101

99  u . Tìm

100

u .

b) Cho cấp số cộng 2, , 6,  xy . Tính giá trị của biểu thức

 P x y .

IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý 3.

Cho một cấp số cộng  

u . Đặt

...    

S u u u . Khi đó:

()





n u u

S (4) hoặc

( 1)





S nu d (5) Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 80

Ví dụ 6. Cho cấp số cộng  

u có

2  u và 3  d .

a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Biết 6095374 

S , tìm n .

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG

Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. Dãy số  

a , với

2,   

an .

B. Dãy số  

b , với

1, 2 1,



    

b b b n .

C. Dãy số  

c , với

2 2 *

(2 3) 4 ,     

c n n n .

D. Dãy số  

d , với

2018

1, ,



   



d d n

Câu 2. Cho cấp số cộng  

có

123  u và

3 15

84  uu . Tìm số hạng

u .

242  u . B.

235  u . C.

11  u . D.

4  u .

Câu 3. Cho cấp số cộng  

u có

20  uu và

14  S . Tính số hạng đầu

u và công sai d của

cấp số cộng.

8, 3  ud . B.

8, 3    ud . C.

8, 3     ud . D.

8, 3    ud .

Câu 4. Cho cấp số cộng  

u . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. ,



  

m k n k m n

u u u u với ,  k m k n .

B. 2,





m k m k m

u u u với  km.

C. ( ) ,   

u u m k d với  km.

3 2 1 



n n n

u u u .

Câu 5. Cho dãy số  

u xác định bởi

321 u  và



 với mọi

n  . Tính tổng S của

125 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

A. 16875 S  . B. 63375 S  . C. 63562,5 S  . D. 16687,5 S  .

Câu 6. Cho cấp số cộng  

u có công sai 3 d  và

222

2 3 4

uuu  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng

100

S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

100

14650 S  . B.

100

14400 S  . C.

100

14250 S  . D.

100

15450 S  .

Câu 1. Cho cấp số cộng  

u có công sai 3 d  và

222

2 3 4

uuu  đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng

thứ 2017 của cấp số cộng đó.

2017

6042 u  . B.

2017

6045 u  . C.

2017

6044 u  . D.

2017

6054 u  .

Câu 2. Cho cấp số cộng  

u có công sai 3 d  và

222

2 3 4

uuu  đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2019  là

số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

A. 676 . B. 675. C. 672 . D. 674 .

Câu 3. Cho cấp số cộng  

u có công sai 3 d  và

222

2 3 4

uuu  đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng

tổng quát của cấp số cộng đó.

A. 93

un  . B. 63

un  . C. 53

un  . D. 33

un    .

Câu 4. Cho cấp số cộng  

u có công sai 3 d  , trong đó m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

222

2 3 4

F u u u    . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 81

A. min 18 F  . B. min 6 F  . C. min 99 F  . D. min 117 F  .

Câu 7. Cho cấp số cộng 3,8,13,... Tính tổng 3 8 13 ... 2018 S      .

A. 408422 S  . B. 408242 S  . C. 407231,5 S  . D. 409252,5 S  .

Câu 1. Cho cấp số cộng 3,8,13,... Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

A. 402 . B. 403. C. 404 . D. 405 .

Câu 2. Cho cấp số cộng 3,8,13,..., ,... x Tìm x biết 3 8 13 ... 408242 x      .

A. 2017 x  . B. 2016 x  . C. 2019 x  . D. 2018 x  .

Câu 3. Cần viết thêm vào giữa hai số 3 và 2018 bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số cộng

hữu hạn có tổng các số hạng bằng 408242 ?

A. 402 . B. 403. C. 405 . D. 404 .

Câu 4. Cho cấp số cộng  

u có

3, 2018

uu  và 408242

S  . Số hạng thứ 2018 của cấp số cộng

đó là số nào dưới đây?

A. 10088. B. 10093. C. 10083. D. 10098.

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập

thành một cấp số cộng:  

3 2 2

3 2 4 9 0 x mx m m x m m       .

A. 0 m  . B.

17 265



 . C.

17 265



 . D. 1 m  .

Câu 9. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

lập thành một cấp số cộng:

4 2 2

10 2 7 0 x x m m     , tính tổng lập phương của hai giá trị

đó.

343

 . B.

721

. C.

721

 . D.

343

Câu 10. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000

đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá

của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này

để khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi

hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền

bằng bao nhiêu?

A. 7700000 đồng. B. 15400000đồng. C. 8000000đồng. D. 7400000 đồng.

Lời giải

Gọi

u là giá của mét khoan thứ n , trong đó 1 20. n 

Theo giả thiết, ta có

100000 u  và

30000



 với 1 19 n  .

Ta có ()

u là cấp số cộng có số hạng đầu

100000 u  và công sai 30000 d  .

Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của

cấp số cộng ()

u . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là

20 1 2 20

20[2 (20 1) ]

.... 7700000

S u u u



      (đồng).

Vậy phương án đúng là A.

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 82

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 3,1,5,9,14  . B. 5,2, 1, 4, 7    . C.

5 1 1

,1, , , 3

3 3 3

 . D.

7 5 1 1

, , 2, ,

2 2 2 2

    .

Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A. Dãy số  

a với 35

an  .

B. Dãy số  

b với 35

bn  .

C. Dãy số  

c với

c n n  .

D. Dãy số  

d với

  41

2017cot 2018

 

 .

Câu 3. Cho các số thực ,, x y z thỏa mãn điều kiện: Ba số

1 1 1

x y y z z x   

theo thứ tự lập thành

một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. Ba số

2 2 2

,, x y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

B. Ba số

2 2 2

,, y z x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

C. Ba số

2 2 2

,, y x z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

D. Ba số

2 2 2

,, z y x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng.

Câu 4. Cho cấp số cộng  

u xác định bởi

2; 3,

u u u n



      . Xác định số hạng tổng

quát của cấp số cộng đó.

A. 3 11

un  . B. 38

un  . C. 28

un  . D. 5

un  .

Câu 5. Cho cấp số cộng  

u có

2017; 1945 uu  . Tính

2018

u .

2018

46367 u  . B.

2018

50449 u  . C.

2018

46391 u  . D.

2018

50473 u  .

Câu 6. Cho cấp số cộng  

x có

S n n  . Tìm số hạng đầu

u và công sai d của cấp số

cộng đó.

2; 7 ud  . B.

1; 6 ud  . C.

1; 6 ud    . D.

2; 6 ud  .

Câu 7. Cho cấp số cộng  

u có

S n n  . Tính giá trị của biểu thức

222

3 5 7

P u u u    .

A. 491 P  . B. 419 P  . C. 1089 P  . D. 803 P  .

Câu 8. Cho cấp số cộng  

u với

 







. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

1 u  hoặc

4 u  . B.

1 u  hoặc

4 u  . C.

1 u  hoặc

4 u 

. D.

1 u  hoặc

1 u  .

Câu 9. Cho cấp số cộng  

u có công sai 2 d  và

222

2 3 4

uuu  đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là

số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng  

u ?

A. 1012. B. 1011. C. 1014. D. 1013.

Câu 10. Cho cấp số cộng 6, , 2, xy  . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2; 5 xy  . B. 4; 6 xy  . C. 2; 6 xy    . D. 4; 6 xy    . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 83

Câu 11. Viết sáu số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cần

viết thêm là

A. 6,9,12,15,18,21. B. 21,18,15,12,9,6.

13 27 41

,10, ,17, ,24

2 2 2

. D.

16 23 37 44 58 65

, , , , ,

3 3 3 3 3 3

Câu 12. Cho hai cấp số cộng   : 4,7,10,...

x và   :1,6,11,...

y Hỏi trong 2017 số hạng đầu tiên

của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung?

A. 404 . B. 403. C. 672 . D. 673.

Câu 13. Cho cấp số cộng 1,7,13,..., x thỏa mãn điều kiện 1 7 13 ... 280 x      . Tính giá trị của x

A. 53 x  . B. 55 x  . C. 57 x  . D. 59 x  .

Câu 14. Biết rằng tồn tại các giá trị của   0;2 x   để ba số

1 sin ,sin ,1 sin3 x x x  lập thành một

cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x .

A. 5 S   . B. 3 S   . C.



 . D.



 .

Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Câu 15. Cho cấp số cộng  

u có

3 u  và tổng của 9 số hạng đầu tiên là

45 S  . Cấp số cộng

trên có

92 S  . B.

980 S  . C.

56 S  . D.

526 S  .

Câu 16. Cho cấp số cộng  

x có

3 13

80 xx  . Tính tổng

S của 15 số hạng đầu tiên của cấp số

cộng.

600 S  . B.

800 S  . C.

570 S  . D.

630 S  .

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.

Câu 17. Cho cấp số cộng  

u . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A.       0

m n p

n p u p m u m n u       . B.       0

m n p

m n u n p u p m u       .

C.       0

m n p

m p u n m u p n u       . D.       0

m n p

p n u m p u m n u       .

Câu 18. Cho ba số dương ,, abc thỏa mãn điều kiện

1 1 1

   b c c a a b

lập thành một cấp

số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Ba số ,, abc lập thành một cấp số cộng.

B. Ba số

1 1 1

abc

lập thành một cấp số cộng.

C. Ba số

2 2 2

,, abc lập thành một cấp số cộng.

D. Ba số ,, abc lập thành một cấp số cộng

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

10 0    x x m có bốn nghiệm

phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. 16  m . B. 9  m . C. 24  m . D. 21  m .

Câu 20. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình

 

2 1 2 1 0      x m x m có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng

bình phương của hai giá trị đó. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 84

1312

. B.

1024

. C.

. D.

1600

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

3 2 2

3 1 0      x x x m có ba nghiệm

phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. 16  m . B. 2  m . C. 2  m . D. 2  m .

Câu 22. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị

1 2 3

,, m m m của tham số m để phương trình

3 2 3 2

9 23 4 9 0        x x x m m m có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng,

tính giá trị của biểu thức

333

1 2 3

   P m m m .

A. 34  P . B. 36  P . C. 64  P . D. 34  P .

Câu 23. Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng

hai gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm. Kí hiệu

h là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân.

Viết công thức để tìm độ cao

h .

A.   0,18 0,32 

h n m . B.   0,18 0,5 

h n m . C.

  0,5 0,18 

h n m . D.   0,5 0,32 

h n m .

Câu 24. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng

thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách

này?

A. 77 hàng. B. 76 hàng. C. 78 hàng. D. 79 hàng.

Câu 25. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt

tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ

nhiều hơn ô thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên

bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

A. 98ô. B. 100ô. C. 102 ô. D. 104 ô.

Câu 26. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương

thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể

từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng

số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

A. 198triệu đồng. B. 195 triệu đồng. C. 228 triệu đồng. D. 114 triệu đồng.

Câu 27. Trên tia Ox lấy các điểm

, ,..., ,...

A A A sao cho với mỗi số nguyên dương n , 

OA n .

Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox , vẽ các nửa đường tròn

đường kính

OA , 1,2,...  n Kí hiệu

u là diện tích nửa đường tròn đường kính

OA và với

mỗi 2  n , kí hiệu

u là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính

1  n

, nửa đường tròn đường kính

OA và tia Ox . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Dãy số  

u không phải là một cấp số cộng.

B. Dãy số  

u là một cấp số cộng có công sai



 d .

C. Dãy số  

u là một cấp số cộng có công sai



 d .

D. Dãy số  

u không phải là một cấp số cộng có công sai



 d . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 85

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị

  C của hàm số 32  yx . Với mỗi số nguyên

dương n , gọi

A là giao điểm của đồ thị

  C với đường thẳng :0  d x n . Xét dãy số

 

u với

u là tung độ của điểm

A . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. Dãy số  

u là một cấp số cộng có công sai 2  d .

B. Dãy số  

u là một cấp số cộng có công sai 3  d .

C. Dãy số  

u là một cấp số cộng có công sai 1  d .

D. Dãy số  

u không phải là một cấp số cộng.

Câu 29. Cho cấp số cộng   u có số hạng đầu

2  u và công sai 3  d . Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy , lấy các điểm

, ,... AA sao cho với mỗi số nguyên dương n , điểm

A có tọa độ

  ;

nu . Biết rằng khi đó tất cả các điểm

, ,..., ,...

A A A cùng nằm trên một đường thẳng.

Hãy viết phương trình của đường thẳng đó.

A. 35    yx . B. 32    yx . C. 23  yx . D. 25  yx

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 86

CẤP SỐ NHÂN

A. LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.

Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Đặc biệt:

1) Khi 1 q  thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2) Khi 0 q  thì cấp số nhân có dạng

,0,0,0, ,0, u

3) Khi

0 u  thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0,0,0,0, ,0,

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

Nếu  

u là một cấp số nhân với công bội q , ta có công thức truy hồi

u u q n





(1)

1) Để chứng minh dãy số  

u là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số không đổi

q sao cho

. , 1

u u q n



   .

2) Trong trường hợp 0, 1

un    để chứng minh  

u là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ

ra tỷ số

1 n



là một số không đổi với mọi số nguyên dương n.

3) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng

liên tiếp của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.

1 1 1 1

3, 1, , , , .

3 9 27 81

     

Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

a) Dãy số  

x , với

;

xn  b) Dãy số  

y , với

 





c) Dãy số  

z , với

;

 d) Dãy số  

w , với

n n





Ví dụ 3. Cho cấp số nhân  

u có số hạng đầu

1 u  và công bội 3 q  . Viết 6 số hạnh đầu của

cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Định lý 1.

Nếu cấp số nhân  

có số hạng đầu

u và công bội q thì số hạng tổng quát

u được xác

định bởi công thức:

q , 2.

u u n



   (2)

Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra kết quả sau:

Cho cấp số nhân  

u với các số hạng khác 0. Khi đó ta có:

1) . , .

u u q k m



 Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 87

2) ,.

mk m

q k m





Ví dụ 4. Cho cấp số nhân  

u có

3 u  và 2. q 

a) Tìm

u .

b) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?

Ví dụ 5. Cho cấp số nhân  

x có

18 x  và

1458. x  Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lý 2.

Trong một cấp số nhân  

u , bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là

tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

. , 2

k k k

u u u k



 (3)

Một cách tổng quát, ta có:

Nếu  

u là cấp số nhân thì

m m k m k

u u u k m



  

Ví dụ 6.

a) Cho cấp số nhân  

a có

4 a  và

12 a  . Tìm

a .

b) Cho cấp số nhân 3, ,12, xy . Tính giá trị của biểu thức

F x y  .

4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Định lý 3.

Cho một cấp số nhân  

u với công bội 1. q  Đặt

...

S u u u     . Khi đó:

(1 )

(4)







hoặc

(5)









1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính

S khi biết số hạng đầu

u và công bội q của

cấp số nhân.

2) Công thức (5) được sử dụng để tính

S trong trường hợp biết các số hạng



và công bội

q của cấp số nhân.

Ví dụ 7.

a) Tính tổng

2 12

S 1 10 10 10 .     

b) Cho cấp số nhân  

u có

3 u  và công bội 2 q  . Tìm k, biết 189

S  .

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN

Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số  

a , với  

1 .3 1,



     .

B. Dãy số  

b , với

2017

1, b ,

2018

n n n

b b b n



     .

C. Dãy số  

c , với

2 1 *

.5 ,

c n n



   .

D. Dãy số  

d , với

3, ,

d d d n



    . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 88

Câu 2. Cho cấp số nhân  

a có

3 a  và

6 a  . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.

24 a  . B.

48 a  . C.

48 a  . D.

24 a  .

Câu 3. Cho cấp số nhân  

a có

3 a  và

6 a  . Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đã

cho.

A. 3.( 2)

u . B.

3.( 2)



 . C.

3.(2)



 . D. 3.(2)

u  .

Câu 4. Cho cấp số nhân  

a có

3 a  và

6 a  . Tìm tổng S của 50 số hạng đầu tiên cấp số

nhân đã cho.

21 S . B.

21 S . C.

12 S . D.

12 S .

Câu 5. Cho cấp số nhân  

a có

3 a  và

6 a  . Biết rằng 16383

S  , tính a

A. 24576

a  . B. 24576

a  . C. 49152

a  . D. 49152

a  .

Câu 6. Cho cấp số nhân  

x có

2 4 5

3 5 6

x x x

   



  



Tìm

x và công bội . q

1, 2 xq  . B.

1, 2 xq    . C.

1, 2 xq     . D.

1, 2 xq    .

Câu 7. Cho cấp số nhân  

u có tổng n số hạng đầu tiên là 5 1.

S  Tìm số hạng đầu

u và

công bội q của cấp số nhân đó.

6, 5 uq  . B.

5, 4 uq  . C.

4, 5 uq  . D.

5, 6 uq  .

Câu 8. Cho cấp số nhân  

u có

3 u  và

1 2 3

15 4 u u u  đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ

13 của cấp số nhân đã cho.

24567 u  . B.

12288 u  . C.

49152 u  . D.

3072 u  .

Câu 9. Cho cấp số nhân  

u có

3 u  và

1 2 3

15 4 u u u  đạt giá trị nhỏ nhất. Số hạng tổng quát

của cấp số nhân đó là

3.2 .



 B. 3.2 1.

u

C.  

3. 2 .



 D.

3.4 .





Câu 10. Cho cấp số nhân  

u có

3 u  và

1 2 3

15 4 u u u  đạt giá trị nhỏ nhất. Số 12288 là số hạng

thứ bao nhiêu của cấp số nhân đó?

A. 13. B. 12 . C. 14 . D. 15.

Câu 11. Cho cấp số nhân  

u có

3 u  và

1 2 3

15 4 u u u  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng

S của

15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

737235. S  B.

2949075. S  C.

1474515. S  D.

2949075. S 

Câu 12. Cho cấp số nhân  

u có

3 u  và

1 2 3

15 4 u u u  đạt giá trị nhỏ nhất. Biết 5898195,

S 

tìm k .

A. 16. k  B. 18. k  C. 19. k  D. 17. k 

Câu 9. Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của

khối hộp là

125 cm và diện tích toàn phần là

175 . cm Tính tổng số đo ba kích thước của

hình hộp chữ nhật đó.

A. 30 . cm B. 28 . cm C. 31 . cm D. 17,5 . cm

Lời giải Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 89

Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba

kích thước đó là , , .

q aq

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là

. . 125 5.

V a qa a a

    

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

2 . . . 2 1 50 1 .

S a a aq aq a q q

q q q q

     

        

     

     

Theo giả thiết, ta có

50 1 175 2 5 2 0 .

q q q

q q

 





       











Với 2 q  hoặc

q  thì kích thước của hình hộp chữ nhật là 2,5 ;5 ;10 . cm cm cm

Suy ra tổng của ba kích thước này là 2,5 5 10 17,5    cm.

Vậy phương án đúng là D.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập

thành một cấp số nhân:

 

3 2 2

7 2 6 8 0. x x m m x     

A. 7. m  B. 1. m 

C. 1 m  hoặc 7. m  D. 1 m  hoặc 7. m 

Câu 12. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm

phân biệt lập thành một cấp số nhân:

 

3 2 2

7 2 6 8 0. x x m m x      Tính tổng bình

phương của hai giá trị đó.

A. 48 . B. 64 . C. 36. D. 50.

Câu 13. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm

phân biệt lập thành một cấp số nhân:

 

3 2 2

7 2 6 8 0 x x m m x      . Tính tổng bình

phương của ba số hạng của cấp số nhân đó.

A. 49 . B. 21. C. 14 . D. 13.

Câu 14. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là

4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các

cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối

gỗ

A.  

4.10 . 0,05 . B.  

4.10 . 1,4 . C.  

4.10 . 1,04 . D.  

4. 10,4 .

Lời giải

Đặt

4.10 u  và 4% 0,04. r

Gọi

u là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ . n

Khi đó ta có  

1 , .

n n n

u u u r n



   

Suy ra  

u là cấp số nhân với số hạng đầu

u và công bội 1. qr 

Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân  

u là  

u u r 

Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:

   

. 4.10 . 1 0,04 4. 10,4

u u q     mét khối gỗ. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 90

Vậy phương án đúng là D.

Câu 15. Bài toán “Lãi kép”

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% /năm. Biết rằng

nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn

ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không

rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà

người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?

A. 196715000 đồng. B. 196716000 đồng. C. 183845000 đồng. D. 183846000 đồng.

Câu 16. Một người gửi ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,58% một

tháng (kể từ tháng thứ 2 , tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước

đó và tiền gốc của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có 180 triệu

đồng?

A. 34 tháng. B. 32 tháng. C. 31 tháng. D. 30 tháng.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.

Câu 1. Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?

1 1 1

1, , , .

5 25 125

    B.

1 1 1

; ; ;1.

8 4 2

  

4 4 4 4

2;2 2;4 2;8 2. D.

1 1 1

1; ; ; .

3 9 27

Câu 2. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số   ,

u với 7 3 .

un  B. Dãy số  ,

v với 7 3 .

v 

C. Dãy số   ,

w với 7.3 .

w  D. Dãy số   ,

t với



Câu 3. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.



 









 









 









 







Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.

Câu 4. Cho dãy số  

u xác định bởi

3 u  và

, 1.



   Tìm số hạng tổng quát của dãy

số.

A. 3.4 .



 B.

3.4 .



 C.

3.4 .



 D.

3.4 .





Câu 5. Cho cấp số nhân  

x có

3 x  và

27. x  Tính số hạng đầu

x và công bội q của cấp

số nhân.

1, 3 xq     hoặc

1, 3. xq  B.

1, 3 xq    hoặc

1, 3. xq   

3, 1 xq    hoặc

3, 1. xq    D.

3, 1 xq  hoặc

3, 1. xq    

Câu 6. Cho cấp số nhân  

a có

8 a  và

32. a  Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.

1024. a  B.

512. a  C.

1024. a  D.

1024. a 

Câu 7. Cho cấp số nhân ,12, ,192. xy Tìm x và . y

A. 3, 48 xy  hoặc 4, 36. xy  B. 3, 48 xy     hoặc 2, 72. xy 

C. 3, 48 xy  hoặc 3, 48. xy     D. 3, 48 xy    hoặc 3, 48. xy    Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 91

Câu 8. Cho cấp số nhân  

u có

5, 3 uq  và 200,

S  tìm n và .

A. 5 n  và 405.

u  B. 6 n  và 1215.

u 

C. 7 n  và 3645.

u  D. 4 n  và 135.

u 

Câu 9. Cho cấp số nhân  

a có

2 a  và biểu thức

1 2 3

20 10 a a a  đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số

hạng thứ bảy của cấp số nhân đó.

156250. a  B.

31250. a  C.

2000000. a  D.

39062. a 

Câu 10. Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ

nhất bằng

số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.

0 0 0 0

5 ,15 ,45 ,225 . B.

0 0 0 0

9 ,27 ,81 ,243 . C.

0 0 0 0

7 ,21 ,63 ,269 . D.

0 0 0 0

8 ,32 ,72 ,248 .

Câu 11. Cho cấp số nhân  

u có

540

180

   







Tìm số hạng đầu

u và công bội q của cấp số

nhân.

2, 3. uq    B.

2, 3. uq  C.

2, 3. uq    D.

2, 3. uq    

Câu 12. Cho cấp số nhân  

a có

7, a 

224 a  và 3577.

S  Tính giá trị của biểu thức

  1.

T k a 

A. 17920. T  B. 8064. T  C. 39424. T  D. 86016. T 

Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Câu 13. Cho cấp số nhân  

u có

4 S  và

13. S  Tìm

. S

121 S  hoặc

181

S  B.

121 S  hoặc

S 

114 S  hoặc

185

S  D.

141 S  hoặc

183

S 

Câu 14. Cho cấp số nhân  

u có

8 u  và biểu thức

3 2 1

4 2 15 u u u  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

. S

 

10 9

2 4 1

5.4



 B.

 

10 8

2 4 1

5.4



 C.

10 6

3.2



 D.

10 7

3.2





Câu 15. Cho cấp số nhân  

u có

2, u  công bội dương và biểu thức

1024

 đạt giá trị nhỏ

nhất. Tính

11 12 20

... . S u u u    

A. 2046. S  B. 2097150. S  C. 2095104. S  D. 1047552. S 

Câu 16. Cho cấp số nhân  

u có

540

180

   







. Tính

. S

 

S B.

3 1. S  C.

1 3 . S  D.

 

3 1 .

S   

Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành

một cấp số nhân:    

3 1 5 4 8 0. x x x m x      

A. 2. m  B. 2. m  C. 4. m  D. 4. m  Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 92

Câu 18. Biết rằng tồn tại hai giá trị

m và

m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập

thành một cấp số nhân:

   

3 2 2 2

2 2 2 1 7 2 2 54 0. x m m x m m x         Tính giá trị của

biểu thức

. P m m 

A. 56 P  B. 8. P  C. 56 P  D. 8. P 

Câu 19. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau

đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp

tục tăng giá mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng

giá là bao nhiêu?

A. 120. B. 121. C. 122. D. 200.

Câu 20. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là

0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu

tiền?

A.  

10 . 0,007 (đồng) B.  

10 . 1,007 (đồng)

C.  

10 . 0,007 (đồng) D.  

10 . 1,007 (đồng)

Câu 21. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu

người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ

là bao nhiêu?

A. 10320 nghìn người. B. 3000 nghìn người.

C. 2227 nghìn người. D. 2300 nghìn người.

Câu 22. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu

lúc đầu có

10 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

1024.10 tế bào. B.

256.10 tế bào. C.

512.10 tế bào. D.

512.10 tế bào.

Câu 23. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng

bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1

bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là

12288 , m tính diện tích mặt trên cùng.

6. m B.

12 . m C.

24 . m D.

3. m

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.

Câu 24. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

A. Dãy số  

a , với

3 a  và



 1, n  vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

B. Dãy số  

b , với

1 b  và

 

2 1 3,



 1, n  vừa là cấp số cộng vừa là cấp số

nhân.

C. Dãy số  

c , với

2 c  và

3 10



 1, n  vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

D. Dãy số  

d , với

3 d  và

2 15,



 1, n  vừa là cấp số cộng vừa là cấp số

nhân.

Câu 25. Các số 6, xy  5 2 , xy  8xy  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các

số

x  1, y  23 xy  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và . y

A. 3, 1 xy     hoặc

xy  B. 3, 1 xy  hoặc

xy     Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 93

C. 24, 8 xy  hoặc 3, 1 xy     D. 24, 8 xy     hoặc 3, 1 xy 

Câu 26. Ba số ,, x y z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số

2;3;9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số

nhân. Tính

2 2 2

. F x y z   

A. 389. F  hoặc 395. F  B. 395. F  hoặc 179. F 

C. 389. F  hoặc 179. F  D. 441 F  hoặc 357. F 

CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN

GIỚI HẠN DÃY SỐ

A. LÝ THUYẾT

lim 0

 .

lim 0



lim 0

 với mọi số nguyên dương k cho trước.

Trường hợp đặc biệt :

lim 0

 .

d) lim 0

 với mọi * k  và mọi 1 a  cho trước.

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

2 1

1 1 1

...

S u u q u q

    



a) lim

u   .

lim

u   

c) lim

n    với một số nguyên dương k cho trước.

Trường hợp đặc biệt : limn    .

d) lim

q    nếu 1 q  .

DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Ví dụ 23.

 

lim 2 1 nn  bằng

A. 0 . B. 1. C. . D.  .

Ví dụ 24.

 

lim 5 1 nn  bằng

A. .  B. .  C. 5. D. 1. 

Ví dụ 25. lim

u , với

5 3 7



 bằng:

A. 0. B. 5. C. 3. D. 7. 

Ví dụ 26. lim ,

u với

2 3 5

n n n

  





bằng Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 94

A. 3.  B. 1. C. 2. D. 0.

Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số   ,

u với

4 3 2

3 5 6

n n n





  

bằng

A. 1. B. 0. C. .  D.

Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số  

u với

3 2 1







, bằng

B. 0. C. .  D. 1.

Ví dụ 7:

 

sin !

lim

n 

bằng

A. 0. B. 1. C. .  D. 2.

Ví dụ 8:

 

lim





bằng

A. 1.  B. 1. C. .  D. 0.

Ví dụ 9: Tính giới hạn

 

lim 2 3 I n n n    

A. 1. I  B. 1. I  C. 0. I  D. . I   

Ví dụ 10:

 

3 3

lim 8 3 2 n n n    bằng:

A. .  B. .  C. 1.  D. 0.

Ví dụ 11:

 

lim 4 1 n n n  bằng:

A. 1.  B. 3. C. .  D. . 

Ví dụ 12.

 

332

lim 3 1 n n n    bằng :

A. 1  . B. 1. C.  . D. .

Ví dụ 13.

 

3 23

lim 1 3 2 n n n n     

bằng :

. B. 0 . C.  . D. .

Ví dụ 14.

 

lim 5 2



bằng :

A. . B. 3 . C.  . D.

Ví dụ 15.

 

lim 3.2 5.3 7





bằng :

A. . B.  . C. 3 . D. 5  .

Ví dụ 16.

4.3 7

lim

2.5 7



bằng :

A. 1. B. 7 . C.

. D.

Ví dụ 17.

lim





bằng : Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 95

A. 0 . B.

. C. 36. D.

Ví dụ 18.

lim





bằng :

 . B. 0 . C. . D.  .

Dạng 2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 21. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,151515... a  (chu kỳ 15), a được biểu diễn

dưới dạng phân số tối giản, trong đó , mn là các số nguyên dương. Tìm tổng mn  .

A. 104 mn  . B. 312 mn  . C. 38 mn  . D. 114 mn  .

Ví dụ 22. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối

giản

, trong đó , ab là các số nguyên dương. Tính ab  .

A. 611 ab  . B. 611 ab    . C. 27901 ab  . D. 27901 ab    .

Dạng 3. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác.

Ví dụ 23. Tổng

1 1 1

1 ...

2 4 8

S      bằng:

A.1 . B. 2 . C.

. D.

Ví dụ 24. Cho dãy số với . Khi đó bằng:

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 25. Tính bằng:

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 26. Cho dãy số với . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. . B. . C. . D. Dãy số không

có giới hạn khi .

Ví dụ 1: bằng:

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 2: bằng:

A. . B. . C. . D. .

 

1 1 1

...

2 4 8 2

n n





     lim

   

1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2 1 2 1 nn



  







0 1

 

1 2 ...

  





lim 0

u 

lim

u  lim 1

u   

n   

1 5 9 ... 4 3

lim

2 7 12 ... 5 3

    

3 3 3 ... 3

lim

1 2 2 ... 2

   

 3

3Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 96

Ví dụ 3: bằng

A. 0. B. . C. . D. .

BÀI TẬP LÝ THUYẾT

Câu 1: Chọn khẳng định đúng.

A. nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi.

B. nếu có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi.

C. nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi.

D. nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi.

Câu 2: Chọn khẳng định đúng.

A. nếu có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

trở đi.

B. nếu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

trở đi.

C. nếu có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

trở đi.

D. nếu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

trở đi.

Câu 3: Chọn khẳng định đúng.

A. nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi.

B. nếu có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

trở đi.

C. nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi.

D. nếu có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi.

Câu 4: Chọn khẳng định đúng.

A. nếu . B. nếu .

C. nếu . D. nếu

2 2 2

lim ...

n n n n



  



  





lim 0

u 

lim 0

u 

lim 0

u 

lim 0

u 

lim

u   

lim

u   

lim

u   

lim

u   

lim

ua 

ua 

lim

ua 

ua 

lim

ua 

ua 

lim

ua 

ua 

lim 0

q  1 q  lim 0

q  1 q 

lim 0

q  1 q  lim 0

q 

1 q Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 97

Câu 5: Chọn khẳng định đúng.

A. nếu . C. nếu .

B. nếu . D. nếu

Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

A. Nếu thì .

B. Nếu , thì .

C. Với là số nguyên dương thì .

D. Nếu , thì .

Câu 7: Biết . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. . C. . B. . D. .

Câu 8: Biết . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. . C. . B. . D. .

BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Câu 9: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn?

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khác 0?

A. . C. . B. . D. .

Câu 11: Biết dãy số thỏa mãn . Tính .

A. . B. .

C. . D. Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số .

Câu 12: Giới hạn nào dưới đây bằng ?

A. . C. . B. . D. .

Câu 13: bằng bao nhiêu?

A. 1. B. 2. C. 0. D. .

Câu 14: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?

A. . C. . B. . D. .

Câu 15: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại

lim

q    1 q  lim

q    1 q 

lim

q    1 q  lim

q    1 q 

1 q  limq 0



lim

ua  lim

vb  lim( )

u v ab 

lim 0



lim 0

ua  lim

v    lim( )

uv   

lim 3

u 

lim 3







lim 2







lim 1







lim 1







lim

u   

1 1

lim

3 5 3







lim 0







1 1

lim

3 5 5







lim



  



(sin ) n (cos ) n (( 1) )



()

((0,98) )

(( 0,99) )

 ((0,99) )

((1,02) )

()

 lim

lim 1

u  lim 0

u 

lim 1

u  ()



lim(3 ) nn 

lim( 4 ) nn 

lim(3 ) nn 

(2 1) ( 1)

lim

( 1)(2 1)







lim





lim





lim





lim



Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 98

A. . C. . B. . D. .

Câu 16: Để tính , bạn Nam đã tiến hành các bước như sau:

Bước 1: .

Bước 2: .

Bước 3: Ta có ; .

Bước 4: Vậy .

Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.

Câu 17: bằng?

A. 1. B. 0. C. . D. .

Câu 18: bằng?

A. 0. B. . C. . D. .

Câu 19: bằng?

A. 0. B. -2. C. . D. .

Câu 20: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là hữu hạn?

A. . C. .

B. . D. .

Câu 21: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là không hữu hạn?

A. . C. .

B. . D. .

Câu 22: Biết , trong đó là phân số tối giản, và là các

số nguyên dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. . C. . B. . D. .

sin3

lim(1 )



sin 3

lim



2 cos5

lim

n 

3 cos

lim



lim( 1 ) n n n   

lim( 1) lim(n 1 1 ) n n n n

      

1 1 1 1

lim(n 1 1 ) lim ( 1 1 ) nn

n n n n

      

limn   

lim( 1 1 ) 0

   

lim( 1 ) 0 n n n    

lim( 3 1 2 1) nn   

 

lim

  



 

lim(1 2 )







 

lim( 1 ) n n n 

lim( 2 1) n n n    

lim

21 nn   

lim( 1 ) n n n   

lim

nn 

3 3

lim

n n n





3 3

lim( 1 ) nn 

3 23

lim( ) n n n 

4 4 1 6 3

lim

n n n m

   





m n

. 10 mn  . 15 mn  . 14 mn  . 21 mn Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 99

Câu 23: Tìm :

A. . B. . C. 1. D. .

TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Câu 24: Cấp số nhân lùi vô hạn có tổng là một phân số tối giản . Tính

A. . C. . B. . D. .

Câu 25: Số thập phân vô hạn tuần hoàn được biểu diễn bởi phân số tối giản (

, là các số nguyên dương). Hỏi gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

A. 542. B. 543. C. 544. D. 545.

Câu 26: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là . Số hạn

đầu của cấp số nhân đó là?

A. 4. B. 5. C. 3. D. .

Câu 27: Phương trình , trong đó , có tập nghiệm là:

A. . C. . B. . D. .

Câu 28: Cho tam giác đều cạnh . Người ta dựng tam giác đều có cạnh bằng đường

cao của tam giác ; dựng tam giác đều có cạnh bằng đường cao của tam giác

và cứ tiếp tục như vậy. Tính tổng diện tích của tất cả các tam giác đều

, , ,…

A. . B. . C. . D. .

TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI

Câu 29: Cho số thực và dãy số xác định bởi: và với mọi . Tìm giới

hạn của dãy số .

A. . B. . C. 1. D. 2.

Câu 30: Cho dãy số xác định bởi với mọi . Gọi là tổng số hạng

đàu tiên của dãy số . Tìm .

1 2.3 6

lim

2 (3 5)

nn 







1 1 1 1

1, , , ,...,( ) ,...

2 4 8 2

n 

  

2 mn 

28 mn  27 mn  24 mn  25 mn 

0,27323232...

n m

2 3 4 5

2 1 ...

x x x x x        1 x 

7 97



 









3 41



 









7 97



 









3 41



 









1 1 1

A B C a

2 2 2

A B C

1 1 1

A B C

3 3 3

A B C

2 2 2

A B C S

1 1 1

A B C

2 2 2

A B C

3 3 3

A B C

3 a

23 a

a ()

ua 



 1 n 

()

3,2 1

u u u



   1 n 

S n

()

u lim

SCác Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 100

A. . C. . B. . D. .

Câu 31: Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .

A. . C. . B. . D. .

Câu 33: Cho dãy số xác định bởi với mọi . Khi đó bằng.

A. . B. 0. C. 1. D. 2.

TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ

Câu 34: Cho dãy số được xác định bởi với mọi , trong đó

và là các số thực cho trước, . Tìm giới hạn của .

A. . C. . B. . D. .

Câu 35: Cho dãy số với , trong đó là tham số. Để dãy có giới hạn hữu

hạn thì:

A. là số thực bất kỳ.

B. nhận giá trị duy nhất bằng 3.

C. nhận giá trị duy nhất bằng 5.

D. Không tồn tại số .

Câu 36: Cho dãy số với , trong đó là tham số. Để có giới hạn bằng 2

thì giá trị của tham số là?

A. -4. B. 2. C. 4. D. 3.

Câu 37: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để dãy số với có

giới hạn hữu hạn.

A. . C. . B. . D. .

Câu 38: Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương và để:

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Tìm số thực để .

lim

S    lim 1

S  lim

S    lim 1

S 

()

1 2 2

1, 2,

u u u



   1 n  lim



()

u u u



   1 n  lim

lim

u 

lim

u  lim 0

u  lim

u   

()

1, 2 1

u u u n



    1 n 

lim





()

1 2 2

u a u b u



   1 n  a

b ab  ()

lim

ua 

lim



 lim

ub 

lim





()







m ()

()







a ()

u n n a n n    

a  (1; ) a    ( ;1) a    1 a 

a b

lim( 5 3) 2 n an n bn      

2 ab  2 ab  4 ab  4 ab 

1 4 2

lim 2

an n

  



Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 101

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Tìm số thực để .

A. . B. . C. . D. .

Câu 41: Tìm các số thực và sao cho .

A. . B. . C. . D. .

TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA N SỐ

HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC

Câu 42: bằng:

A. . B. . C. 1. D. .

Câu 43: bằng:

A. 0. B. 1. C. . D. .

Câu 44: Tìm ta được:

A. 1. B. . C. 0. D. 2.

Câu 45: bằng:

A. 0. B. . C. 1. D. .

Câu 46: Cho dãy số . Biết với mọi . Tìm .

A. 1. B. . C. 0. D. .

Câu 47: bằng:

A. 0. B. . C. . D. .

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Các dạng vô định: Gồm và .

B. Các dạng toán về giới hạn hàm số

10 a  100 a  14 a  144 a 

3 3

lim(2 8 5) 6 n a n    

2 a  4 a  6 a  8 a 

a b

3 3

lim( 1 a ) 0 n n b    

 







 







 







 







1 2 3 ...

lim

2 4 6 ... 2

   



1 2 2 ... 2

lim

1 5 5 ... 5

   

2 2 2

1 1 1

lim (1 )(1 )...(1 )

23 n



  





2 2 2

lim

(1 1 ).(1 2 )...(1 )

n   



()









1 n 







1 3 3 ... 3

lim

k n





   



100

200

, ,0.



  Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 102

Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy

tắc

Phương pháp:

- Xác định đúng dạng bài toán: giới hạn tại một điểm hay giới hạn tại vô cực?

giới hạn xác định hay vô định?

- với giới hạn hàm số tại một điểm ta cần lưu ý: Cho là hàm số sơ cấp

xác định trên khoảng chứa điểm . Khi đó, .

- Với giới hạn hàm số tại vô cực ta “xử lí” tương tự như giới hạn dãy số.

- Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, các

định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc về giới hạn vô cực.

Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. B. C. D. không tồn tại.

Ví dụ 2: Cho hàm số bằng:

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ?

A. . B. .

C. . D. Hàm số không có giới hạn khi .

Ví dụ 4: bằng:

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 5: bằng:

A. . B. . C. 3. D. 2.

Ví dụ 6: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây đúng ?

A. . B. .

C. . D. không tồn tại.

() fx

  ; ab



 lim ( ) ( )

f x f x

  

 lim sin 1

  

 lim sin 1

  

 lim sin 0

  

lim sin

( ) , lim ( )

f x f x









lim 1









lim 5









lim 1









 







3 x 

 

lim 2 5

  



2  3  

 

lim 3 2 1

 



 

 

25 f x x x   

  lim

  

     lim

  

  

  lim 1

  

   lim

  Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 103

Ví dụ 7: Giới hạn của hàm số khi bằng:

A. . B. . C. . D. 3.

Ví dụ 8: bằng:

A. . B. . C. . D. 0.

Ví dụ 9: Giới hạn bên phải của hàm số khi là

A. . B. . C. 3. D. .

Ví dụ 10: Xét bài toán “Tìm ”, bạn Hà đã giải như sau:

Bước 1: Vì .

Bước 2: với và đủ gần 2,

Bước 3:

Bước 4: nên theo quy tắc 2, .

Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.

Ví dụ 11: Giới hạn bằng:

A. 0. B. . C. . D. .

Ví dụ 12: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là

đúng ?

A. . B. .

C. . D. .

Ví dụ 13: Cho hàm số .

 

41 f x x x x     x   

  1 

2017

lim

  



2017

 

 







2 x 

 

lim

2 5 2









 

lim 2 5 2 0





  

2 5 2 0 xx    2 x  x

 

lim 3 1 13 0





   

lim

2 5 2







  



 

lim





3   

 

5 2 khi 1

3 khi 1

 









 

lim 7



  

lim 2





 

lim 7





  

lim 7







 

5 khi 3 1

khi 3 2













 

 Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 104

Trong biểu thức (2) ở trên, cần thay số 5 bằng số nào để hàm số có giới hạn khi

A. 19. B. 1.

C. . D. Không có số nào thỏa mãn.

Ví dụ 14: Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây:

Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là ?

A. . B. . C. . D. .

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG

 Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp các định lí về giới hạn hữu hạn hay các quy tắc

về giới hạn vô cực đã biết thì ta gọi đó là các dạng vô định.

 Kí hiệu các dạng vô định gồm: và . Để tính giới hạn dạng vô định ta phải biến

đổi biểu thức của hàm số về dạng áp dụng được các định lí và quy tắc đã biết. Làm như vậy gọi

là “khử dạng vô định”.

1. Bài toán:

Tính khi , trong đó và là các đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp giải (tự luận)

  fx

3 x 

1 

  fx



  lim

  

  lim

  

 

lim





 

lim





, , 0.



  

 

lim

 xx

   

lim lim 0





x x x x

f x g x   fx   gx

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 105

 Phân tích tử và mậu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể, vì

nên và cùng có nghiệm . Do đó ta phân tích được và

. Khi đó ta có: và công việc còn

lại là đi tính .

 Nếu và có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước

khi phân tích chúng thành tích để giản ước.

Phân tích đa thức thành nhân tử:

 Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

 Khi đã biết có nghiệm , ta sử dụng lược đồ Hooc-ne hoặc chia cho

được thương . Khi đó .

 Áp dụng kết quả: nếu phương trình có hai nghiệm thì

Tổng quát: nếu phương trình có các nghiệm thực thì

, trong đó là đa thức bậc . Tuy

nhiên, trong thực tế, ta dùng kết quả này khi có đủ nghiệm thực, tức . Trường hợp ngược

lại nên dùng lược đồ Hooc-ne. (với phương trình bậc hai, bậc ba có thể dùng MTCT để tìm nghiệm)

Ví dụ 1. Tính .

A. 1. B. 4. C. . D. .

Ví dụ 2. Tính giới hạn , ta được kết quả:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Cách 1: Ta có .

Lại có .

   

lim lim 0





x x x x

f x g x

  fx   gx

 xx      

 f x x x A x

     

 g x x x B x

 

   

 

0 0 0

lim lim lim

  







x x x x x x

f x x x A x A x

g x x x B x B x

 

lim

 xx

  fx   gx

  fx

 xx   fx

 xx

  Ax      

 f x x x A x

0    ax bx c

, xx

   

     ax bx c a x x x x

1 1 0

... 0



    

a x a x a x a

, ,...,

x x x

     

1 1 0 1

... ...



      

k k k m

a x a x a x a a x x x x A x   Ax  km

k  mk

lim







2  4 

 

lim , *









  mn m 1

lim lim

1 1 1

m n m n

x x x x

x x x



   





  



   

1 ... 1

lim lim





    







x x x x

 

lim ... 1





     

x x x mCác Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 106

Tương tự: .

Vậy .

Cách 2: Cho và các giá trị cụ thể, chẳng hạn và . Sử dụng MTCT tính

ta được kết quả . Vậy đáp án đúng là B.



Ví dụ 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. . B. .

C. . D. không tồn tại.

Ví dụ 4. Giới hạn bằng:

A. . B. . C. . D. .

Cho (chứa hai căn khác bậc) trong đó thì ta

biến đổi như sau: .

Ví dụ 5. Tính giới hạn .

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 6. Giới hạn của hàm số khi bằng

lim









1 1 1 1

lim lim lim lim

1 1 1 1 1

m n m n m n

x x x x

x x x x x x

x x x x x

   

     

     



    



m n 3  m 7  m

lim





lim 4









   

1 1 ... 1



      

m m m

x x x x x

lim









lim









lim 0









lim





  



lim





  



lim







2 1 3 2

lim



  



1 0 

 

   







A x B x

   

 A x B x m

 

   

  





A x m m B x

 

6 5 4 3

lim



  



0 2   

 

   





x a x a

1  xCác Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 107

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 7. Giả sử . Hệ số bằng bao nhiêu để ?

A. . B. . C. . D. .

Ví dụ 8: Cho và là các số thực khác 0. Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

, với điều kiện

Ví dụ 9: Cho số thực khác 0. Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

điều kiện

Ví dụ 10: bằng

A. . B. . C. . D. .

3. Đọc thêm

Ví dụ 11: Cho và là các số nguyên dương. . Tích có thể nhận giá trị bằng

số nào trong các số dưới đây?

A. 15. B. 60. C. 240. D. Cả ba đáp án trên.

Lời giải

Đáp án D

Ta có



a 2

 a 2

 a

lim







a 3  L

6  6 12  12

a b

lim

sin



a b

sin

lim 1 lim 1

sin



  

sin ( )

lim 1

()





lim ( ) 0





lim

1 cos





2a 2a

 

sin

lim 1





lim ( ) 0





sin sin

lim





tan a cot a sin a cosa

a b

lim

sin 3





 ab

lim lim . . 1.1.

sin sin

ax ax

e e bx a a a

bx ax bx b b b



 

  



Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 108

Vậy để thì . Vì và là các số nguyên dương nên suy ra

với nguyên dương. Do đó .

Vậy cả ba đáp án đều đúng. Do đó chọn đáp án D.

Ngoài giới hạn , Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao chương 2, 5 còn giới

thiệu thêm các giới hạn:

Ví dụ 12: Cho hàm số , trong đó k là một số nguyên dương. Tìm tất cả các

giá trị của k để có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Đáp án D

Cách 1: Ta có

Mà nên để có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0 thì hàm số

phải có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0. Muốn vậy thì .

Vì k nguyên dương nên đáp án là D.

Cách 2: Sử dụng MTTCT tìm giới hạn khi , ta được .

Vậy ta chỉ xét đáp án C hoặc D. Chẳng hạn với đáp án C, ta sử dụng MTCT tìm giới hạn

khi . Ta được . Do đó loại đáp án C. Vậy đáp án đúng là D.

*** Trong chương trình lớp 12 sẽ được học khái niệm căn bậc n.

Định nghĩa

lim

sin 3







 a b

5 , 3 a k b k  k

15 ab k 

15 15 1 1 15. k k k ab       

15 60 4 2 60. k k k ab       

15 240 16 4 240 k k k ab       

sin

lim 1





 

lim 1,

ln 1

lim 1











 

ln 1 1





  fx

,3 kk  ,0 3 kk    ,3 kk  ,0 3 kk   

   

ln 1 1 ln 1 1

lim lim .

x x x







   

 





 

ln 1 1

lim 1







  fx

 



 3 0 3 kk    

3 k 

 

ln 1 1

lim 1







4 k 

 

ln 1 1

lim





  Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 109

Cho số thực và số nguyên dương . Số được gọi là căn bậc của số

nếu

Với chẵn và:

: Không tồn tạo căn bậc của .

: Có một căn bậc của là số 0.

: Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là , còn giá trị âm là

Sau đây ta xét một vài ví dụ liên quan đến căn bậc n.

-Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ và chỉ có một căn bậc lẻ

- Chỉ có số không âm mới có căn bậc chẵn.

Số 0 có một căn bậc chẵn là 0.

Các số dương có hai căn bậc chẵn đối nhau.

Ví dụ 13: Cho là một số thực khác 0 và n là một số nguyên dương, . Chọn khẳng định

đúng trong các khẳng định sau.

A. . B.

C. . D.

Lời giải

Đáp án A.

Cách 1: Sử dụng MTCT tìm giới hạn với và , ta được kết quả

vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: Đổi biến đặt

Ta có khi thì và

Mà nên suy ra . Vậy chọn A.

b n

  2 n  a n b

ab 

0 b  n b

0 b  n b

0 b 

b 

n n

a b a b   

a 2 n 

lim

ax a







lim

ax n







1 1 1

lim







1 1 1

lim







5 n  3 a 

1 3 1 3

lim







n n

t ax t ax x



      

0 x  1 t 

   

12 12

1 1 1 1

1 ... 1 1 ... 1

n n n nn

ax t t a

x t t t t t t t t

 

   

  

         

lim

.. 1

t t t n







   

lim

ax a







lim

ax a





Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 110

Ví dụ 14: Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên

dương.

Tổng bằng

A. 137. B. 138. C. 139. D. 140.

Lời giải

Đáp án C.

Với những bài dạng này, sẽ khó sử dụng MTCT để tìm đáp án đúng.

Đặt . Suy ra . và

Do đó . Áp dụng ví dụ 13 Ta có:

Vậy

Do đó . Vậy và

*** Tính giới hạn vô định dạng bằng đạo hàm (Quy tắc L’Hôpital).

*Quy tắc L’Hôpital

   

1 2 2 1

...

n n n n n n

a b a b a a b ab b

   

       

   

1 1 ... 1

n n n

a a a a a



       

1 19

lim

x x a

b x



  





a b

ab 

8 tx  8 xt 

lim 0





 

3 1 3 1

1 19 9 27

9 27

8 2 16 2

2 1 2

1 1 1 1

9 27

x x t t

x t t

  

     



   



   









1 19

lim lim ( )



  





3 4

0 0 0

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

9 27 16

lim ;lim ;lim

2 18 3 81 4 64

t t t

  

     

     

3 112

18 81

lim ( ) .

2 27







1 19 112

lim

27 82



  





112, 27 ab  139 ab 

0Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 111

Trong đó và xác định trên khoảng ,

(Hoặc )

Và tồn tại

Trước khi đọc phần này xin đọc chương đạo hàm trong chương trình lớp 11

Ví dụ 15: Ta xét lại ví dụ 9 đã nêu ở trên.

Cho số thực khác 0. Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Đáp án A

Ngoài hai lời giải đã nêu ở trên ta còn một cách áp dụng Quy tắc L’Hopital như sau:

Ở đây ta áp dụng Quy tắc L’Hopital 2 lần. Cách sử dụng Quy tắc này rất hữu dụng khi

giải các bài toán trắc nghiệm. Tuy nhiên không áp dụng Quy tắc này cho các bài toán tự

luận do Quy tắc L’Hopital không được trình bày trong chương trình THPT.

Có thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần để tính giới hạn

Đề nghị: Độc giả hãy vận dụng quy tắc L’Hopital để giải các ví dụ đã nêu ở dạng 2 này.

bài tập dạng trắc nghiệm. Nếu là bài tập dạng tự luận thì các em cần trình bày chi tiết

theo phương pháp đã nêu trên. Riêng A và B, ta giải tự luận như sau:

Ví dụ 2: Giới hạn bằng:

A. 0 B. C. D.

Ví dụ 3 : Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ?

 

()

lim lim

()

x x x x

g x g x





  fx   gx   ; ab  

; x a b 

   

lim lim 0

x x x x

f x g x



    

lim lim

x x x x

f x g x



   

 

lim



lim

1 cos





2a 2a

0 0 0

2 2 2

lim lim lim

1 cos sin cos

x x x

ax a ax a ax a

  

  



1 1 1

lim lim lim 0

1 ( 1)( 1) 1

x x x

x x x x

        



  

   

5 ( 5)( 5)

lim lim lim ( 5)

x x x

        

  

     



lim

  





 

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 112

A. B. C. D.

Ví dụ 4 : Giới hạn bằng :

A. 2 B. -2 C. 1 D. -1

Ví dụ 5 : Giới hạn bằng :

A. B. C. D.

Ví dụ 6 : Biết trong đó a, b là các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của

tích ab bằng :

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

Dạng 4 : Dạng vô định

Bài toán : Tính giới hạn khi và

Phương pháp : Ta có thể biến đổi để đưa về dạng hoặc

để đưa về dạng .

Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào

trong/ ra ngoài dâu căn, quy đồng mẫu thức …. Là đưa được về dạng quen thuộc.

Ví dụ 1 : Giới hạn bằng :

A. 0 B. -1 C. 1 D.

Ví dụ 2 : Giới hạn bằng :

A. B. C. 0 D. 1

Ví dụ 3: Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

Ví dụ 4: Giới hạn bằng

lim

2 3 1

  





lim

  





lim

  



lim

  





lim

  





lim

x x x

  

  





 

lim

x x b

  







0. 

lim[ ( ) ( )]

u x v x



lim [ ( )] 0





lim[v( )]



  

()

lim [u(x)v( )] lim

()

x x x x





()

lim [u(x)v( )] lim

()

x x x x







lim ( 1)











lim( 2)







 

lim ( 1)

  







2 

lim (xsin )

  Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 113

A. 0 B. 1 C. D. Không tồn tại

Ví dụ 5: Giới hạn bằng

A. 1 B. 0 C. D. Không tồn tại

Dạng 5 : Dạng

Bài toán : Tính khi và Hoặc tính

khi và

Phương pháp : Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc qui đồng

để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức).

Ví dụ 1 : Giới hạn bằng

A. B. C. D.

Ví dụ 2: Giới hạn bằng

A. B. C. D.

Ví dụ 3. Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

Ví dụ 4. Giới hạn của hàm số khi bằng:

A. B. C. D.

Ví dụ 5. Trong các giới hạn sau giới hạn nào là hữu hạn:

A. B.

C. D.

Ví dụ 6. Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

Ví dụ 7. Cho và là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa và để giới hạn:

là hữu hạn:

A. B. C. D.

Lời giải



lim ( ) anx

















  

lim[ ( ) ( )]

u x v x





lim ( )



  

limv( )



  

lim[ ( ) ( )]

u x v x





lim ( )



  

limv( )



  

 

lim 1

x x x

  

  

 

 

lim 9 1 3

x x x

  

  



 

3 2 3 2

lim 4 3 8 2 1

x x x x

  

   



 

41 f x x x x    

x   

  1  3

 

lim 4 4 3 2 .

x x x

  

  

 

lim 2 1 3 .

x x x

  

  

 

lim 1 2 .

x x x

  

  

 

lim 3 2 .

x x x

  

  

lim















  3  2 

a b a b

lim

6 8 5 6

x x x x











   



4 0. ab  3 0. ab  2 0. ab  0. ab Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 114

Cách 1: Ta có

Ta có

Do đó nếu thì giới hạn cần tìm là vô cực theo quy tắc 2.

Từ đó chọn được đáp án đúng là C.

(Thật vậy, nếu thì

Và do đó

Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của và , thay vào

hàm số rồi tính giới hạn.

Từ đó chọn được đáp án là C.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

DẠNG 1. BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ,

QUY TẮC.

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để với

A. hoặc B. hoặc C. D.

Câu 2: Cho hàm số Khi đó bằng:

A. B. C. D.

Câu 3: Trong các hầm số sau, hàm số nào có giới hạn tại điểm

A. B. C. D.

Câu 4: Chọn khẳng định đúng.

A. B. C. D. không

tồn tại.

       

6 8 5 6 2 4 2 3

a b a b

x x x x x x x x

  

       

   

     

 

     

2 3 4 2 3 4

a x b x g x

x x x x x x

  



     

       

2 2 2 2

lim 2 0; lim 3 1; lim 4 2; lim 2 .

x x x x

x x x g x b a

   

   

         

 

lim 0 2 0

g x b a





   

 

lim 2 0

g x b a





  

         

6 8 5 6 2 3 4 3 4

a b bx b b

x x x x x x x x x



  

        

   

lim lim .

6 8 5 6 3 4 2

a b b b

x x x x x x







  



     



a b

m 7 B 

 

lim 3 2 .

B x x m m



   

1 m  3 m  1 m  3 m  13 m    1 3. m 

 

. 1

2 2 1

khi x

fx x

x khi x









 









 

lim





0 2  

1? x 

 





 





 





 





limcos 0





limcos 1





limcos 1





limcos

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 115

Câu 5: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng

A. B.

C. D.

Câu 6: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng

A. B.

C. D.

Câu 7: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng

A. B. C. D.

Câu 8: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực?

A. B.

C. D.

Câu 9: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực?

A. B.

C. D.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho hàm số có

giới hạn hữu hạn khi

A. B. C. D.

DẠNG 2. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG

Câu 11: Giới hạn

A. Bằng B. Bằng C. Bằng D. không tồn tại

Câu 12: Cho là một số thực khác 0. Kết quả đúng của bằng:

A. B. C. D.

Câu 13: Cho là tham số thực. Tìm để

? 

 

lim 5 1 .

x x x

  

  

 

lim 2 3 1 .

  



 

lim 4 7 2 .

  



 

lim 3 2 .

 



? 

 

lim 4 4 3 2 .

x x x

  

  

 

lim 4 4 3 2 .

x x x

  

  

 

lim 4 4 3 .

x x x

  

  

 

lim 4 4 3 .

x x x

  

  

? 

 

lim .

93 x







   1

lim .

55 x









 

lim .





  

lim







lim .





  

 

lim .









   

lim .

2 1 3









 

lim .







lim .

5 2 4

x x x

  



  

 

lim .





 

lim .

x x x





   



lim .

 



m  

9 3 1 f x mx x x    

. x   

3 m  3 m  0 m  0 m 

lim





3 3  0

lim





lim ,

x mx m



  





m 2. C Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 116

A. B. C. D.

Câu 14: Cho và là các số thực khác Nếu thì bằng:

A. B. C. D.

Câu 15: Cho và là các số thực khác Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

Câu 16: Cho là các số thực khác Tìm hệ thức liên hệ giữa để:

A. B. C. D.

Câu 17: Cho và là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

Câu 18: Để tính giới hạn bạn Bính đã trình bày bài giải như sau:

Bước 1: Ta có:

Bước 2:

Bước 3:

Bước 4:

Hỏi lời giải của bạn Bính đã mắc lỗi sai ở bước nào?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.

Câu 19: Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên

dương. Tổng bằng:

2 m  2 m  1 m  1 m 

a b 0.

lim 6

x ax b









ab 

2 4  6  8

a b 0.

lim

sin





b 2



, ,c ab 0,3 2 0. bc  ,, abc

tan 1

lim .

2 11

bx cx





  

3 2 10





3 2 6





3 2 2





3 2 12





m n

 

sin 1

lim





mn  nm 

mn 

nm 

5 4 2 1

lim ,



  



1 1 1

5 4 2 1 5 4 1 2 1 1

lim lim lim .

1 1 1

x x x

x x x x

x x x

  

      



  

 

1 1 1

5 4 1 5 5

lim lim lim .

12 5 4 1

1 5 4 1

x x x

x x

  





  

 

  

 

1 1 1

2 1 1 2

lim lim lim 1.

1 2 1 1

x x x

x x

  





  

 

  

5 4 2 1 5 3

lim 1 .

1 2 2



  

  



8 11 7

lim

x x m

x x n



  





m n

2mn Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 117

A. B. C. D.

Câu 20: Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số

nguyên dương. Khi đó bằng:

A. B. C. D.

Câu 21: Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

Câu 22: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng

A. B. C. D.

Câu 23: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào khác

A. B.

C. D.

Câu 24: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại?

A. B. C. D.

Câu 25: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào không hữu hạn?

A. B. C. D.

DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG

Câu 26: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng ?

A. B. C. D.

Câu 27: Trong các giới hạn hữu hạn sau đây, giới hạn nào là lớn nhất?

A. B.

C. D.

Câu 28: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?

68 69 70 71

   

6 9 27 54

lim ,

3 3 18

x x m

n x x x



  



  

m n

3mn 

55 56 57 58

 

3 2 5 4

lim





  



  0 1

lim .





  

lim .

32 x









lim .



  



 

lim .







lim .









   

2 3

lim .









 

lim .









lim .







lim .

11 18







 

3 27

lim .





lim .





 

lim .

32 x









2 10

lim .









lim .







lim .









lim .











1 

lim .

  





lim .

  





lim .

  





lim .

  





   

 

1 3 2 5

lim .

x x x

  

  



   

2 1 2

lim .

x x x

  



   

 

1 2 4

lim .

x x x

  

  



   

3 1 2

lim .

x x x

  





Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 118

A. B. C. D.

Câu 1. Tính giới hạn .

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Cho là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa để

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho và là các tham số thực . Biết rằng và thỏa

mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây ?

A. B. C. D.

Câu 4. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là ?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 5. Tìm giới hạn nhỏ nhất trong các giới hạn hữu hạn sau.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 6. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là lớn nhất?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 7. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất?

A. . B. .

C. . D. .

lim .

  

  



lim .

  





lim .

  





lim .

  





lim

4 1 2

x x x

 



  



,, abc 0 ,, abc

lim 5

ax b x

  























a b  

4 3 1

lim 0,

ax b a

 

 

  







9. ab  9. ab    9. ab  9. ab   



lim

  





lim

  





lim

  





332

lim

  





lim

  





lim

  





lim

  



lim

  





   

2 5 1

lim

  





 

2 1 3

lim

  





   

lim

1 3 1

  





lim

  





lim

x x x

  





 

lim 1 2

  



lim

x x x

  

  



3 4 2

lim

9 5 4

  



Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 119

DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng

Câu 8. Cho

là một số thực dương. Tính giới hạn .

A. bằng . B. là . C. là . D. không tồn tại.

Câu 9. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là hữu hạn ?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 10. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 11. Tính giới hạn .

A. . B. 0. C. . D.

Câu 12. Tính giới hạn .

A. . B. 0. C. . D.

DẠNG 5: Dạng vô định

Câu 13. Cho

là một số nguyên dương. Tính giới hạn .

A. . B. . C. . D.

Câu 14.

Cho hàm số

. Với giá trị nào của thì hàm số có

giới hạn tại điểm

A. 2. B. -1. C. 1. D. 3

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho giới hạn là hữu hạn.

A. . B. . C. . D. .

Câu 16. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?

A. . B. .

0. 

 

1 1 1

lim









 

  

 

lim 1

  





 

lim 1

  





 

lim 2

  





 

lim 1

  





 

lim 1

  





 

3 11

lim 1 2

  





 

lim 1







 

lim 2 3

5 2 1

  







lim

  











 

lim tan 2 tan

4 x













  

lim













n 1

n  1

n  2

n 

 

khi x

fx xx

mx khi x







 









m   fx

1 x 

lim( )







2 k  2 k  2 k  2 k 

1 

lim ( 2 )

x x x

 



lim ( 2 )

x x x

  

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 120

C. . D. .

Câu 17. Giới hạn nếu.

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Cho và là các số thực khác . Biết , thì tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Cho và là các số thực khác . Biết số lớn hơn trong

hai số và là số nào trong các số dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là vô cực?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 21. Biết trong đó là phân số tối giản, và là

các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của và .

A. . B. . C. . D.

Câu 22. Cho và là các số nguyên dương. Biết , hỏi

và thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

HÀM SỐ LIÊN TỤC

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho hàm số xác định trên khoảng và Hàm số được

gọi là liên tục tại nếu

Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác

định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.

Định nghĩa 2

lim( 2 )

x x x

  



lim ( 2 )

x x x

 



lim ( 3 5+ax)= +

  

  

1 a  1 a  1 a  1 a 

a b 0

lim ( 2) 3

ax x bx

  

    ab 

2 6  7 5 

a b 0

lim (ax+b- 6 2) 5

  

  

a b

4 3 2 1

lim ( 2 2 3)

x x x

  

  

lim ( 4 1 2 )

x x x

  

  

lim ( 9 3 1 5 )

x x x

  

  

lim ( 3 1 3 5 )

x x x

  

  

3 2 3 2

lim ( 9 2 27 4 5)

x x x x

 

     

m n

135 136 138 140

a b

3 2 3 2

lim ( 9 + ax 27 5)

x x bx

 

    a

2 33 ab  2 34 ab  2 35 ab  2 36 ab 

 

y f x 

 

, ab  

;. x a b 

 

y f x 

   

lim .

f x f x





 

y f x  x

0Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 121

Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của

khoảng đó.

Hàm số được gọi là liên tục trên một đoạn nếu nó liên tục trên khoảng

và

Khái niệm liên tục của hàm số trên nửa khoảng như được

định nghĩa một cách tương tự.

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó

a O b x

O b x

Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng

Đồ thị của hàm số không liên tục trên

khoảng

Định lý 2

Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm Khi đó:

a) Các hàm số liên tục tại điểm

b) Hàm số liên tục tại điểm nếu

Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục

tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).

2. Một số định lí cơ bản

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), các hàm số lượng giác, hàm số lũy

thừa, hàm số mũ và hàm số logarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định của

chúng.

 

y f x 

 

y f x  , ab 



 

; ab        

lim ; lim

x a x b

f x f a f x f b







   

; , ; , ; , ; a b a b a b      

   

 

;. ab

 

;. ab

 

y f x 

 

y g x  .

           

, , . y f x g x y f x g x y f x g x      .

 



 

. gx  0

.Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 122

(Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit sẽ được học trong chương trình lớp

12)

Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lí 3

Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một

điểm sao cho .

Nói cách khác:

Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trình

có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng .

Một phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng :

- Chứng minh hàm số liên tục trên đoạn .

- Chứng minh .

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤ C

DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Phương pháp chung:

Cho hàm số xác định trên khoảng và . Để xét tính liên tục của

hàm số tại ta làm như sau:

- Tính ;

- Tính .

- Nếu thì kết luận hàm số liên tục tại .

- Nếu không tồn tại hoặc thì kết luận hàm số không liên

tục tại .

Khi xét tính liên tục của hàm số trên một tập, ta sử dụng Định lí 1, Định lí 2 đã nêu

trong phần Lí thuyết.

Câu 1: Hàm số có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

  y f x    ; ab     .0 f a f b 

  ; c a b    0 fc 

  y f x    ; ab     .0 f a f b 

  0 fx    ; ab

  y f x    ; ab

    .0 f a f b 

  y f x    ; ab  

; x a b 

  y f x 

 

lim



   

lim

f x f x





 

lim



   

lim

f x f x





  y f x Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 123

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho hàm số . Hàm số liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. liên tục trên .

B. liên tục trên các khoảng và .

C. liên tục trên các khoảng và .

D. liên tục trên các khoảng , và .

Câu 4: Cho hàm số . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. liên tục tại . B. liên tục tại .

C. liên tục trên . D. liên tục trên

Câu 5: Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. liên tục trên . B. liên tục trên .

C. liên tục trên . D. liên tục tại .

Câu 6: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm

số liên tục tại .

A. . B. . C. . D. .

0 1 2 3

 

5x 6







  fx

  ;3    2;3   3;2    3;   

 







  fx

  fx   ;1    1; 

  fx   ;2    2; 

  fx   ;1    1;2   2; 

 

5 khi 5

1 khi 0



 











  fx 7 x    fx 0 x 

  fx   5;    fx   5; 

 

3 2 khi 1

1 khi 1

   





  



  fx   fx   ;1   

  fx   1;      fx 1 x 

 

khi 2

1 khi x=2

 

 



 







2 x 

m 

m Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 124

Câu 7: Chon hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

hàm số liên tục tại .

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Cho và là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa và để hàm số

liên tục tại .

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

để hàm số liên tục trên .

A. . B. . C. . D. .

DẠNG 2. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Phương pháp chung:

Một phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng :

- Chứng minh hàm số liên tục trên đoạn .

- Chứng minh .

- Từ đó kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng .

Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm ta cần tìm được hai số và sao

cho hàm số liên tục trên đoạn và .

Ví dụ 1. Cho hàm số xác định trên đoạn . Trong các khẳng định sau, khẳng định

nào đúng?

A. Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trình

không có nghiệm trong khoảng .

B. Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng

C. Nếu phương trình có nghiệm trong khoảng thì hàm số phải

liên tục trên khoảng .

D. Nếu hàm số liên tục, tăng trên đoạn và thì phương trình

không thể có nghiệm trong khoảng .

 

khi 3





















3 x 

m  m  1 m  1 m 

a b 0 a b

 

khi 0

4 5 khi 0

x b x





 











0 x 

5 ab  10 ab  ab  2 ab 

 

2 4 3 khi 2

khi 2

2 3 2

x mx m



  













   

3 m  4 m  5 m  6 m 

  0 fx    ; ab

  y f x    ; ab

    .0 f a f b 

  0 fx    ; ab

  0 fx  a b

  ; ab     .0 f a f b 

  fx   ; ab

  fx   ; ab     .0 f a f b    0 fx 

  ; ab

    .0 f a f b    0 fx    ; ab

  0 fx    ; ab   y f x 

  ; ab

  y f x    ; ab     .0 f a f b 

  0 fx    ; abCác Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 125

Câu 10: Cho phương trình trong đó là các tham số thực. Chọn

khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Phương trình vô nghiệm với mọi .

B. Phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi .

C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm với mọi .

D. Phương trình có ít nhất ba nghiệm với mọi .

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình: có

nghiệm.

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Cho phương trình Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng .

B. Phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng .

C. Phương trình có đúng ba nghiệm trên khoảng .

D. Phương trình có đúng bốn nghiệm trên khoảng .

Câu 13: Cho phương trình Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng .

B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng .

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng .

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 92. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây:

 

01 x ax bx c     ,, abc

  1 ,, abc

 

3 2 3 1 0 m m x x     

  1;2 m  m    \ 1;2 m  m 

 

3 0 1 .

x x x    

  1   1;3 

 

2 5 1 0 1 . x x x     

  1   1;1 

  1   2;0 

  1   2;1 

  1   0;2

  y f x Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 126

Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên .

C. Hàm số liên tục trên . D. Hàm số liên tục trên .

Câu 93. Cho hàm số

Chọn khẳng định đúng:

A. liên tục tại và không liên tục tại .

B. liên tục tại và tại .

C. không liên tục tại và liên tục tại .

D. liên tục tại và tại .

Câu 94. Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

hàm số liên tục tại

A. Không có giá trị nào của thỏa mãn. B. .

C. . D. .

  ;4 

  1;    1;4

 

, 1.

f x x



















 









  fx 6 x  1 x 

 

khi x

m khi x





 











0. x 

m 5 m 

1 m    1;5 m Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 127

Câu 95. Cho và là các số thực khác Tìm hệ thức liên hệ giữa và để hàm số sau liên

tục tại

A. . B. . C. . D. .

Câu 96. Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

để hàm số liên tục trên

A. . B. . C. . D. .

Câu 97. Cho hàm số Trong đó và là các tham số thực. Biết

hàm số liên tục tại Số nhỏ hơn trong hai số và là

A. . B. . C. 4. D. .

Câu 98. Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để

hàm số liên tục trên .

A. . B. .

C. . D. Không có giá trị nào của thỏa mãn.

Câu 99. Cho phương trình Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình vô nghiệm trên khoảng .

B. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng .

C. Phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng .

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .

Câu 100. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình

có nghiệm.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 101. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình sau có nghiệm

a b 0. a b

0. x 

 

1 1 1

ax bx

khi x

a b khi x



  

 











0 ab  20 ab  3 4 0 ab  3 2 0 ab 

 

11 .

3 3 1

khi x

xx fx

m x m khi x







 







  



  1;2 m    1; 2 m   1;2 m   1; 2 m   

 

. 12

2 1 3

khi x

fx x

x b x khi x









 





  



a b

3. x  a b

2 3 5

 

sin 0

cos 5 0

x khi x

fx x

a x khi x

















5 a  7 a 

a  a

 

4 2 3 0 1 . x x x    

  1   1;1 

 

2 5 2

5 4 2 1 0 m m x x     

  \ 1;4 m      ;1 4; m      

  1;4 m  m 

     

2017

2 2018

2 5 2 1 2 2 3 0. m m x x x       Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 128

A. . B. .

C. . D. .

CHỦ ĐỀ 5. ĐẠO HÀM

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

Cho hàm số   y f x  xác định trên   ; ab và  

; x a b  . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

   

lim

f x f x





thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số   y f x  tại điểm

x .

Kí hiệu:  

fx  hoặc  

yx  . Vậy  

   

lim

f x f x





 



Nếu

x x x    và        

0 0 0

y f x f x f x x f x        thì

 

lim





 



 x  gọi là số gia của đối số tại điểm

x .

 y  gọi là số gia của hàm số tương ứng.

2. Đạo hàm bên trái, bên phải.

a) Đạo hàm bên trái.

 

   

lim lim

x x x

f x f x

x x x





  









trong đó



 được hiểu là

xx  và

xx  .

b) Đạo hàm bên phải.

 

   

lim lim

x x x

f x f x

x x x





  









trong đó



 được hiểu là

xx  và

xx  .

Nhận xét: Hàm số   fx có đạo hàm tại điểm

 



  và

 



 tồn tại và bằng nhau. Khi đó

     

0 0 0

f x f x f x



    .

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.

a) Hàm số   y f x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng   ; ab nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên

khoảng đó.

b) Hàm số   y f x  được gọi là có đạo hàm trên đoạn   ; ab nếu có đạo hàm trên khoảng   ; ab

và có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b .

\ ;2









 

; 2;



     













m Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 129

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số.

- Nếu hàm số   y f x  có đạo hàm tại điểm

x thì nó liên tục tại điểm đó.

 Hàm số liên tục tại điểm

x có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

 Hàm số không liên tục tại

x thì không có đạo hàm tại điểm đó.

B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Phương pháp:

1. Tính đạo hàm của hàm số   y f x  tại điểm

x bằng định nghĩa.

Cách 1:

- Tính

   

lim

f x f x





(1).

- Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại

x và ngược lại thì hàm số không có

đạo hàm tại

x .

Cách 2: Tính theo số gia.

- Cho

x một số gia x  :    

0 0 0

x x x y f x x f x          .

- Lập tỉ số



- Tính giới hạn

lim





2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm.

- Hàm số   y f x  liên tục tại điểm

x    

lim lim 0

x x x

f x f x

  

    .

- Hàm số   y f x  có đạo hàm tại điểm

x    y f x  liên tục tại điểm

x .

- Hàm số   y f x  liên tục tại điểm

x chưa chắc có đạo hàm tại điểm

x .

Ví dụ 27. Cho hàm số   1 f x x  . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

1 x  .

. B.

. C. 22 . D.

Ví dụ 28. Khi tính đạo hàm của hàm số  

53 f x x x    tại điểm

2 x  , một học sinh đã tính theo

các bước sau:

Bước 1:       2 11 f x f f x    .

Bước 2:

       

2 2 7

5 3 11

2 2 2

f x f x x

x x x

  

  

   

  

Bước 3:

   

 

lim lim 7 9

f x f





  



. Vậy   29 f   .

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào.

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3 . D. Tính toán đúng. Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 130

Ví dụ 29. Số gia của hàm số  

f x x  ứng với số gia x  của đối số x tại

1 x  là:

A.  

21 xx     . B.  

22 xx     . C.  

2 xx    . D.  

2 xx    .

Ví dụ 30. Cho hàm số  

f x x x  , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x  của đối số x tại

x là:

 

lim 2 .

x x x x



     . B.

 

lim 2 1



   .

C.  

lim 2 1



   . D.

 

lim 2 .

x x x x



     .

Ví dụ 31. Cho hàm số   y f x  có đao hàm tại điểm

x là  

fx  . Khẳng định nào sau đây là sai.

A.  

   

lim

f x f x





 



. B.

 

   

lim

f x x f x



  

 



C.  

   

lim

f x h f x





  . D.  

   

lim

f x x f x





 



Ví dụ 32. Xét ba mệnh đề sau:

(1) Nếu hàm số   fx có đạo hàm tại điểm

xx  thì   fx liên tục tại điểm đó.

(2) Nếu hàm số   fx liên tục tại điểm

xx  thì   fx có đạo hàm tại điểm đó .

(3) Nếu hàm số   fx gián đoạn tại điểm

xx  thì chắc chắn   fx không có đạo hàm tại

điểm đó .Trong ba mệnh trên:

A. (1) và (3) đúng. B. (2) đúng. C. (1) và (2) đúng . D. (2) và (3) đúng.

Ví dụ 33. Cho hàm số  

1 xx

y f x



 . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

1 x  .

A. 2 . B. 1. C. 0 . D. Không

tồn

tại.

Ví dụ 34. Cho hàm số

 

3 4 0

x khi x

khi x



   











. Khi đó   0 f  là kết quả nào sau đây?

. B.

. C.

. D. 2 .

Ví dụ 35. Cho hàm số

 

x khi x

















. Khi đó   1 f  là kết quả nào sau đây.

. B. 1. C. 2 . D.   1 f 

không tồn tại.

Ví dụ 36. Cho đồ thị hàm số   y f x  như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai.

Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 131

A. Hàm số có đạo hàm tại 0 x  . B. Hàm số có đạo hàm tại 1 x  .

C. Hàm số có đạo hàm tại 2 x  . D. Hàm số có đạo hàm tại 3 x  .

Ví dụ 37. Tìm a để hàm số  

khi x

a khi x

 

 



 







có đạo hàm tại điểm 1 x  .

A. 2 a  . B. 2 a  . C. 1 a  . D.

a  .

Ví dụ 38. Tìm , ab để hàm số  

khi x

ax b khi x

 

 



 







có đạo hàm tại điểm 0 x  .

 







. B.

 







. C.

 







. D.

 







Ví dụ 39. Tìm , ab để hàm số

()

sin cos

ax bx

a x b x

 









khi x





có đạo hàm tại điểm

0 x 

A. 1; 1 ab  . B. 1; 1 ab    . C. 1 ; 1 ab     . D. 0; 1 ab  .

Giới hạn lượng giác

0 ( ) 0

sinx sinf(x)

lim 1 lim 1

()

x f x



  

Ví dụ 40. Cho hàm số ( ) ( 1)( 2)...( 1000) f x x x x x     . Tính (0) f  .

A.10000!. B.1000!. C.1100!. D.1110!.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 102. Số gia của hàm số

() f x x  ứng với

2 x  và 1 x  bằng bao nhiêu?

A. 19  . B. 7 . C.19. D. 7  .

Câu 103. Tỉ số



của hàm số ( ) 2 ( 1) f x x x  theo x và x  là:

A. 4 2 2 xx    . B.

4 2( ) 2 xx    .

C. 4 2 2 xx    . D.

4 . 2( ) 2 x x x x      .

Câu 104. Số gia của hàm số

( ) 4 1 f x x x    ứng với x và x  là:

A. ( 2 4) x x x     . B. 2xx  . C. (2 4 ) x x x    . D.24 xx  .

Câu 105. Cho hàm số () fx xác định:

()















khi x





.Giá trị (0) f  bằng:

. B.

 . C. 2  . D. Không tồn tại.

Câu 106. Cho hàm số () fx xác định trên   \2 bởi

()

x x x

 





 





khi x





.Giá trị (1) f 

bằng: Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 132

. B.1. C. 0 . D. Không tồn tại.

Câu 107. Xét hai mệnh đề:

() I () fx có đạo hàm tại

x thì () fx liên tục tại

x .

() II () fx có liên tục tại

x thì () fx đạo hàm tại

x .

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ() I . B. Chỉ() II . C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.

Câu 108. Cho đồ thị hàm số () y f x  như hình vẽ:

Hàm số không có đạo hàm tại các điểm nào sau đây?

A. 0 x  . B. 1 x  . C. 2 x  . D. 3 x  .

Câu 109. Cho hàm số

2 1 1

()

x x x



   













khi x





.Giá trị (1) f  bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 110. Cho hàm số

()

2 7 4

x x x

 





   



 

khi x





.Giá trị (1) f  bằng:

A. 0 . B. 4 . C.5 . D. Không tồn tại.

Câu 111. Cho hàm số () fx xác định trên



bởi ()













khi x





Xét hai mệnh đề sau:

() I (0) 1 f   .

() II Hàm số không có đạo hàm tại

0 x  .

Mệnh đề nào đúng? Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 133

A. Chỉ() I . B. Chỉ() II . C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Câu 112. Xét hai câu sau:

(1) Hàm số





liên tục tại 0 x  .

(2) Hàm số





có đạo hàm tại 0 x  .

Trong 2 câu trên:

A. (2) đúng. B. (1) đúng. C.Cả(1) , (2) đều đúng. D. Cả(1) , (2)

đều sai.

Câu 113. Cho hàm số

322

4 8 8 4

()



  











khi x





.Giá trị của (0) f  bằng:

. B.

 . C.

. D.Không tồn tại.

Câu 114. Với hàm số

sin

()

fx x

 











khi x





.Để tìm đạo hàm '( ) 0 fx  một học sinh lập luận

qua các bước như sau:

1. ( ) . sin f x x x



 .

2.Khi 0 x  thì 0 x  nên ( ) 0 ( ) 0 f x f x    .

3.Do

lim ( ) lim ( ) (0) 0

f x f x f





   nên hàm số liên tục tại 0 x  .

4.Từ () fx liên tục tại 0 ( ) x f x  có đạo hàm tại 0 x  .

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:

A.Bước 1. B.Bước 2. C.Bước 3. D.Bước 4.

Câu 115. Cho hàm số

sin

()

fx x













khi x





(1) Hàm số () fx liên tục tại điểm 0 x  .

(2) Hàm số () fx không có đạo hàm tại điểm 0 x  .

Trong các mệnh đề trên:

A.Chỉ (1) đúng. B. Chỉ (2) đúng. C.Cả(1),(2) đều đúng. D. Cả(1),(2) đều sai.

Câu 116. Cho hàm số

()

ax bx

 









khi x





.Tìm , ab để hàm số có đạo hàm tại 1 x 

A. 1, 0 ab    . B. 1, 1 ab    . C. 1, 0 ab  . D. 1, 1 ab  . Các Chủ đề : Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 134

Câu 117. Cho hàm số

sin

()

fx x















khi x





.Giá trị của (0) f  bằng:

A.1. B. 2 . C.3 . D.5 .

Câu 118. Xét hàm số () y f x  có tập xác định là đoạn   ; ab đồng thời nếu  

; x x a b  thì

( ) 1 fx  với 3 điều kiện:

I. () fx là hàm số liên tục trái và liên tục phải của

x .

II.

()1 fx  .

III. () fx có đạo hàm tại

x .

Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để () fx liên tục tại

x là:

A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ II và III.

Câu 119. Xét ba hàm số:

I. ( ) . f x x x 

II. () g x x 

III. ( ) 1 h x x x 

Hàm số không có đạo hàm tại 0 x  là:

A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ I và III.

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A. LÝ THUYẾT

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số     ; u u x v v x  có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1.   u v u v



    2.   u -v = u - v





3.   . u v u v v u



  4.

1 u u v v u v

v v v v



       

   

   

   

Mở rộng: 1.  

1 2 1 2

... ...

u u u u u u



  

      

2.   . .w . .w . .w . .w u v u v u v u v



     

2. Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số       u f x u f y   với   x u u  . Khi đó:

x u x

y y u

  



3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 135

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp   x u u 

  0 c



 , c là hằng số

 

   

sin cos

cos sin

tan 1 tan

cos

cot 1 cot

sin







































  



    

 

   

sin .cos

cos .sin

tan . 1 tan

cos

cot . 1 cot

sin

u u u

u u x

u u u























 



 



 



   



     

B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp

Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng

thức..

Ví dụ 1. Đạo hàm của hàm số







bằng biểu thức có dạng

 

x 

Khi đó a nhận giá

trị nào sau đây:

A. 3 a  . B. 5 a  . C. 3 a  . D. 5 a  .

 

ax b ad bc

cx d



 







 

với 0 c  và 0 ad bc 

Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số







bằng biểu thức có dạng

 





ax bx

Khi đó . ab bằng: Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 136

A. .2 ab  . B. .1 ab  . C. .3 ab  . D. .4 ab  .

Với .0 aa   ta có

 

2 ax bx c aa x ab x bb ac

a x b



         





   



Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số







bằng biểu thức có dạng

 

ax b





Khi đó ab 

bằng:

A. 4 ab  . B. 5 ab  . C. 10 ab    . D. 12 ab    .

 

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1

a b a c b c

a b a c b c ax bx c

a x b x c





 







 

Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số  

2 3 2

1 y ax a x a a      (với a là hằng số) tại mọi  x là:

A. 21 xa  . B. 21 ax a  . C.

2 3 2 1 ax a a    . D. 21 ax a  .

Với c là hằng số thì   0 c





 

c u c u

x nx n





 





Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số

1 y x x    bằng biểu thức có dạng

ax b





. Khi đó ab 

bằng:

A. 2 ab  . B. 1 ab    . C. 1 ab  . D. 2 ab    .

Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số

 

1 y x x    là:

   

4 1 2 1 x x x    . B.

 

51 xx  .

   

5 1 2 1 x x x    . D.

   

1 2 1 x x x    .

Với   u u x  :

 

u n u u n

 

 





Ví dụ 7. Đạo hàm của hàm số    

1 5 3 y x x    bằng biểu thức có dạng

ax bx  . Khi đó



bằng:

A. 1  . B. 2  . C. 3 . D. 3  .

Với     ,: u u x v v x    uv u v uv



  Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 137

Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số    

2 1 5 3 y x x x    bằng biểu thức có dạng

ax bx cx  . Khi đó

abc  bằng:

A. 31. B. 24 . C. 51. D. 34 .

      ,, u u x v v x x       uv u v uv uv    



      

Ví dụ 9. Đạo hàm của hàm số





( a là hằng số) là:

 



. B.

 

ax 

. C.

 

ax 

. D.

 

ax 

Ví dụ 10. Đạo hàm của hàm số





bằng biểu thức có dạng

 

x 

. Khi đó a nhận giá

trị nào sau đây:

A. 4 a  . B. 1 a  . C. 2 a  . D. 3 a  .

  : u u x 

 





Ví dụ 11. Đạo hàm của hàm số  

1 3 1

x x khi x

x khi x

   







  





là:

A.  

x khi x

khi x

 



 











. B.  

2 1 1

x khi x

khi x

 



 











C.  

2 1 1

x khi x

khi x

 



 











. D.  

2 1 1

x khi x

khi x

 



 











Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số  

khi x

 

















A.  

x khi x

khi x

 



 









. B.  

x khi x

f x khi x

khi x









   









. Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 138

C.  

x khi x

khi x

 



 









. D.  

x khi x

f x khi x

khi x



















Ví dụ 13. Cho hàm số    

31 f x x  . Giá trị   1 f  là:

A. 4 . B. 8 . C. 4  . D. 24 .

Ví dụ 14. Cho hàm số   1 f x x  . Đạo hàm của hàm số tại 1 x  là:

. B. 1. C. 0 . D. Không tồn tại.

Ví dụ 15. Cho hàm số  

2 4 1 f x x x     . Tập các giá trị của x để   0 fx   là:

A.     1;0 1;     . B.   1;0  . C.   1;  . D.   ;0  .

Ví dụ 16. Cho hàm số  

1 f x x x    . Tập các giá trị của x để     2 . 0 x f x f x   là:

;





 



. B.

;









. C.

;









. D.

;





 



   

0, 0

x x x x

f x g x

    

 



  









Ví dụ 17. Cho hàm số  

2 2 8 1

f x x x x     . Tập các giá trị của x để   0 fx   là:

 

22  . B.

 

2; 2 . C.

 

42  . D.

 

22 .

Ví dụ 18. Cho hàm số  





. Tập nghiệm của phương trình   0 fx   là:







. B.









. C.







. D.









Ví dụ 19. Cho hàm số    

3 1 1

f x mx m x      . Tập các giá trị của tham số m để 0 y   với

x  là:









. B.   ;2  . C.   ;0  . D.   ;0  .

Cho  

,0 f x ax bx c a    

 

 

  







 

  







f x x

Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 139

Ví dụ 20. Cho hàm số  

2 f x mx mx  . Số 1 x  là nghiệm của bất phương trình   1 fx   khi và

chỉ khi:

A. 1 m  . B. 1 m  . C. 11 m    . D. 1 m  .

ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp chung:

- Vận dụng các công thức đạo hàm bốn hàm số sin yx  , cos yx  , tan yx  , cot yx  và hàm

hợp của nó.

- Vận dụng phối hợp các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp

- Vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất với sinx và cosx, phương

trình tích số…để giải phương trình '0 y 

Chú ý: Biến đổi lượng giác để thu gọn các hàm số, biểu thức lượng giác

(sin )' sin .(sin )'

u n u u





(cos )' cos .(cos )'

u n u u





(tan )' tan .(tan )'

u n u u





(cot )' cot .(cot )'

u n u u





Ví dụ 1. Đạo hàm của hàm số 2sin3 .cos5 y x x  có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3 .sin5 xx . B. 8cos8 2cos2 xx  .

C. 8cos8 2cos2 xx  . D. 30cos3 30sin5 xx  .

sin cos [sin( ) sin( )]

a b a b a b    

cos cos [cos( ) cos( )]

a b a b a b    

Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số

sin cos







có biểu thức dạng

(sin cos )

xx 

. Vậy giá trị a là:

A. 1 a  . B. 2 a  . C. 3 a  . D. 2 a  .

Áp dụng quy tắc:

( )'

u u v uv



 và

sin cos 1 xx 

Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số cot yx  là:

sin cot xx



. B.

2sin cot xx



. C.

2 cot x

. D.

sin

2 cot



Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số

cos (sin ) yx  là biểu thức nào sau đây?

sin(2sin ).sin .cos x x x  . B.

6sin(2sin ).sin .cos x x x  .

7sin(2sin ).sin .cos x x x  . D.

3sin(2sin ).sin .cos x x x  . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 140

Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số

cos 4

cot

3sin 3

   là biểu thức nào sau đây?

cot 1 x  . B.

3cot 1 x  . C.

cot 1 x  . D.

cot x .

Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số

tan cot y x x  là:

tan cot

cos sin

 . B.

tan cot

cos sin

 . C.

tan cot

sin cos

 . D. 2tan 2cot xx  .

Ví dụ 7. Cho hàm số

.sin khi 0

()

0 khi 0

fx x

















. Đạo hàm '( ) fx là biểu thức nào sau đây?

.sin cos khi 0

'( )

1 khi 0

x x x

fx xx

















. B.

3 .sin cos khi 0

'( )

1 khi 0

x x x

fx xx

















3 .sin cos khi 0

'( )

0 khi 0

x x x

fx xx

















. D.

3 .sin cos khi 0

'( )

0 khi 0

x x x

fx xx

















Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số

3tan cot 2 y x x  là:

3tan (1 tan ) (1 cot 2 )

3 3tan cot 2

x x x

  



. B.

3tan (1 tan ) (1 cot 2 )

2 3tan cot 2

x x x

  



3tan (1 tan ) (1 cot 2 )

3tan cot 2

x x x

  



. D.

3tan (1 tan ) (1 cot 2 )

3tan cot 2

x x x

  



Ví dụ 9. Cho hàm số

cos

()

1 2sin





, chọn kết quả sai?

'( )



 . B. '(0) 2 f  . C.

'( )



 . D. '( ) 2 f   .

Ví dụ 10. Cho hàm số

( ) cos y f x x  với () fx là hàm số liên tục trên . Trong 4 biểu thức dưới

đây, biểu thức nào xác định () fx thỏa mãn '1 yx    ?

cos2

xx  . B.

cos2

xx  . C. sin 2 xx  . D. sin 2 xx  .

Ví dụ 11. Cho hàm số

6 6 2 2

( ) sin cos 3sin cos f x x x x x    . Khi đó '( ) fx có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 1  .

Ví dụ 12. Cho hàm số

( ) sin cos ; ( ) cos4

f x x x g x x    . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. '( ) '( ) 0 f x g x  . B.

( ) ( )

f x g x  .

C. 2 '( ) 3 '( ) 1 f x g x  . D. 3 '( ) 2 '( ) 1 f x g x    .

Ví dụ 13. Cho hàm số

cos sin y x x  . Phương trình '0 y  có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

(0; ) 

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm.

Ví dụ 14. Cho hàm số ( 1)sin cos ( 2) 1 y m x m x m x       . Tìm giá trị của m để '0 y  có nghiệm? Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 141

 







. B. 2 m  . C. 13 m    . D. 2 m  .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỷ - căn thức và hàm hợp

Câu 120. Đạo hàm của hàm số

2 9 12 4 y x x x     là:

5 11 4 xx  . B.

6 18 12 xx  . C.

6 18 12 xx  . D.

6 9 12 xx  .

Câu 121. Đạo hàm của hàm số

3 2 2 3 2

3 3(1 ) y x mx m x m m        (với m là tham số) bằng:

3 6 1 x mx m     . B.

3 1 3 x mx m     .

3 6 3 3 x mx m    . D.

3 6 3 3 x mx m     .

Câu 122. Đạo hàm của hàm số

2 2 2

( 1) (3 5 ) y x x    bằng biểu thức có dạng

ax bx cx  . Khi đó

a b c  bằng:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 5.

Câu 123. Đạo hàm của hàm số

2 3 4

( 1)( 2)( 3) y x x x     bằng biểu thức có dạng

8 6 5 4 3 2

15 ax bx cx x dx ex gx       . Khi đó a b c d e g      bằng:

A. 0. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 124. Đạo hàm của hàm số







bằng biểu thức có dạng

( 1)

x 

. Khi đó a nhận giá trị nào

sau đây?

A. 2 a  . B. 1 a  . C. 3 a  . D. 3 a  .

Câu 125. Đạo hàm của hàm số

2( 1)

  





bằng biểu thức có dạng

2( 1)

ax bx





. Khi đó . ab bằng:

A. 2  . B. 1  . C. 4 . D. 6 .

Câu 126. Đạo hàm của hàm số

2 3 1







bằng biểu thức có dạng

( 5 2)

ax bx c





. Khi đó abc 

bằng:

A. 1  . B. 2 . C. 3 . D. 2  .

Câu 127. Đạo hàm của hàm số

  





bằng biểu thức có dạng

4 3 2

( 2)

ax bx cx dx e

   



. Khi

đó a b c d e     bằng:

A. 12  . B. 10  . C. 8. D. 5.

Câu 128. Đạo hàm của hàm số

( 2) 1 y x x    biểu thức có dạng

ax bx c





. Khi đó .. abc bằng:

A. 2  . B. 4  . C. 6  . D. 8  .

Câu 129. Đạo hàm của hàm số

6 4 2

( 3 ) y x x  bằng biểu thức nào sau đây?

11 9 7

12 52 64 x x x  . B.

11 9 7

12 73 49 x x x  . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 142

11 9 7

12 62 70 x x x  . D.

11 9 7

12 60 72 x x x  .

Câu 130. Đạo hàm của hàm số

5 2 1 y x x    biểu thức có dạng

5 2 1

ax b





. Khi đó



bằng:

A. 5 T  . B. 5 T  . C. 10 T  . D. 10 T  .

Câu 131. Đạo hàm của hàm số



  

bằng biểu thức nào sau đây?

( 1 1) xx



  

. B.

2 1 2 1 xx   

4 1 4 1 xx





. D.

2 1 2 1 xx





Câu 132. Đạo hàm của hàm số







biểu thức có dạng

( 1)

ax b



. Khi đó . P a b  bằng:

A. 1 P  . B. 1 P  . C. 2 P  . D. 2 P  .

Câu 133. Đạo hàm của hàm số







bằng biểu thức nào sau đây?.

4 2 3

2 ( )

x x x





. B.

4 2 3

()

x x x x





. C.

2 ( )

x x x x





. D.

2 ( )

x x x x





Câu 134. Cho hàm số

3 2 1

()

2 3 2 1







. Giá trị '(0) f là:

A. 0 . B. 1. C.

. D. Không tồn tại.

Câu 135. Cho hàm số

()







thì

'( )

f  có giá trị là:

A. 0 . B. 3 . C. 3  . D. Không tồn tại.

Câu 17: Cho  

      1 2 2017

x x x



  

thì   0 f 

2017!

. B. 2017!. C.

2017!

 . D. 2017!  .

Câu 18: Cho hàm số  

2 1 1

x khi x

 









. Hãy chọn đáp án sai:

A.   11 f   . B. Hàm số có đạo hàm tại

1 x  .

C. Hàm số liên tục tại

1 x  . D.  

x khi x

 

 







Câu 19: Cho hàm số  

4 f x x x    . Tập các giá trị của x để   0 fx   là: Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 143

A.   ;0  . B.



2; 2







. C.   2;2  . D.

 

2; 2 

Câu 20: Cho hàm số

 





. Tập nghiệm của bất phương trình   0 fx   là:

;









. B.

;





 



. C.

;





 



. D.

;





 



Câu 21: Đạo hàm của hàm số y x x x    là biểu thức nào sau đây?

1 1 1

1 . 1

xxx





 



  

 

1 1 1

1 . 1

xxx





 



  

 

1 1 1

1 . 1

xxx





 



  

 

1 1 1

1 . 1

xxx





 



  

 

Câu 22: Cho  

23 f x x x x     . Tính       1 1 4 0 f f f       .

A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .

Câu 23: Cho hàm số  

f x x

x x

   . Tính   1 f  .

. B. 1. C. 2 . D. 3 .

Câu 24: Cho hàm số









. Hàm số có đạo hàm   fx  bằng:

3 1 1 1

x x x x x



  





. B.

3 x x x

x x x

   .

3 1 1 1

x x x x x



   





. D.

3 1 1 1

x x x x x



  





Câu 25: Đạo hàm của hàm số













bằng biểu thức nào sau đây? Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 144

 





. B.

 





 









 

. D.

 









 

Câu 26: Cho hàm số

 









. Đạo hàm y  bằng biểu thức nào sau đây?

 

3 2 1





. B.

 





. C.

 





. D.

 

9 2 1





Câu 27: Cho hàm số      

1 3 2 6 2 1 y m x m x m x        . Tập giá trị của m để 0 y   x 

là

A.   3;  . B.   1;  . C. . D.



4 2;







Câu 28: Cho hàm số  

khi x

fx x

x ax b khi x

 





 





  



. Tìm a , b để hàm số   fx có đạo hàm trên .

A. 0 a  , 11 b  . B. 10 a  , 11 b  . C. 20 a  , 21 b  . D. 0 a  , 1 b  .

Câu 29: Cho hàm số    

mx mx

f x m x       . Tìm m để   0 fx   có hai nghiệm phân

biệt cùng dấu.









. B.   ;3 m    . C.









. D.

;



 







Câu 30: Cho hàm số

 

  



  

. Đạo hàm   fx  là biểu thức nào sau đây?

1, 1

1 1 1

khi x x

khi x



   







  



. B.

1, 1

1 1 1

khi x x

khi x



  







  



1, 1

1 1 1

khi x x

khi x



  







   



. D.

1, 1

2 1 1

khi x x

khi x



   







  



Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác

Câu 31: Hàm số

cos .sin y x x  có đạo hàm là biểu thức nào sau đây? Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 145

 

sin 3cos 1 xx  . B.

 

sin 3cos 1 xx  . C.

 

sin cos 1 xx  . D.

 

sin cos 1 xx  .

Câu 32: Hàm số

 

2 1

1 tan

yx  có đạo hàm là biểu thức nào sau đây?

A.  

1 tan x  . B.

1 tan x  .

C.    

1 tan 1 tan xx  . D. 1 tan x  .

Câu 33: Đạo hàm của hàm số

cos

2sin

 là biểu thức nào sau đây?

1 sin

2sin



 . B.

1 cos

2sin



 . C.

1 sin

2sin



. D.

1 cos

2sin



Câu 34: Cho hàm số

 

cos

1 sin





. Giá trị của

    

 

   

   

là

. B.

. C.

. D.

Câu 35: Hàm số

sin cos

cos sin

x x x







có

 

cos sin

ax bx c

x x x



 



. Hỏi T a b c    bằng:

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 1  .

Câu 36: Cho hàm số

cos2 .sin

yx  . Xét hai kết quả:

(I)

2sin 2 .sin sin .cos2

y x x x     (II)

2sin 2 .sin sin .cos2

y x x x  .

Cách nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả 2 đều đúng. D. Không có cách

nào.

Câu 37: Đạo hàm của hàm số  

cot cos sin

y x x



   là biểu thức nào sau đây?

 

1 cos

2cot cos

sin cos

2 sin







. B.

 

1 cos

2cot cos sinx

sin cos

2 sin







 

1 cos

2cot cos

sin cos

sin







. D.

 

1 cos

2cot cos sinx

sin cos

sin







. Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 146

Câu 38: Đạo hàm của hàm số

sin

 là biểu thức nào sau đây?

A.  

cos sin

sin

x x x









. B.  

cos sin

sin

x x x









C.  

sin cos

sin

x x x









. D.  

sin cos

sin

x x x









Câu 39: Đạo hàm của hàm số

sin

 là biểu thức nào sau đây?

cot

sin



. B.

cot

sin

. C.

cot

sin

. D.

cot

sin



Câu 40: Cho hàm số    

sin cos .cos sin y x x  . Đạo hàm   .sin 2 .cos cos 2 y a x x   . Giá trị của a

là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A.   0;2 . B.   1;5  . C.   3;2  . D.   4;7 .

Câu 41: Cho hàm số   fx có đạo hàm với mọi x và thỏa mãn     2 4cos . 2 f x x f x x  . Tính

  0 f  .

A.   00 f   . B.   01 f   . C.  02 f   . D.   03 f   .

Câu 42: Cho hàm số  

cos

cos 2

 . Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác   0 fx  

trên đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt?

A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.

Câu 43: Cho hàm số cot 2 yx  . Hệ thức nào sau đây là đúng?

2 2 0 yy     . B.

2 2 0 yy     . C.

3 5 0 yy     . D.

3 7 0 yy     .

Câu 44: Tìm số nguyên dương n sao cho hàm số  

.sin 0

x khi x

fx x

khi x

















có đạo hàm trên .

A. 1 n  . B. 2 n  . C. 2 n  . D. 3 n  .

Câu 45: Cho hàm số  

sin sin 2 f x x x  . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của   fx 

trên .

A. 2 m  , 2 M  . B. 1 m  , 1 M  . C. 2 m  , 2 M  . D. 5 m  , 5 M  .

Câu 46: Cho hàm số   cos sin cos 2 f x x x x     . Phương trình   1 fx   tương đương với

phương trình nào sau đây?

A. sin 0 x  . B. sin 1 0 x . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 147

C.     sin 1 cos 1 0 xx    . D. cos 0 x  .

Câu 47: Cho hàm số  

sin 3cos f x x x  . Tập giá trị của hàm số   fx  trên là:

A.   4;4  . B.   2;2  . C.   1;1  . D.   3;3  .

Câu 48: Cho hàm số  

cos

2 sin 2cos 3sin

f x x x x     . Biểu diễn nghiệm của phương trình

lượng giác   fx  trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?

A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.

Câu 49: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đạo hàm là

sin x ?

sin

y  . B.

sin 2

yx  . C.

sin

yx  . D.

sin 2

yx  .

Câu 50: Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn bằng 0 ?

1 sin yx  . B.

sin cos yxx  .

sin cos y x x  . D. cos 2 yx  .

Câu 51: Hàm số nào sau đây có đạo hàm .sin y x x   ?

A. cos y x x  . B. cos sin y x x x  .

C. sin cos y x x x  . D.

.sin

y x x  .

Câu 52: Xét hàm số

 

cos 2 f x x  . Chọn câu sai:

A. 1

 







. B.  

3 2

2sin 2

3 cos 2



  .

C. 1

 

 





. D.

3 . 2sin 2 0 y y x  .

Câu 53: Cho hàm số

1 1 1 1 1 1

cos

2 2 2 2 2 2

yx     với   0; x   có y  là biểu thức có dạng

.sin

a . Khi đó a nhận giá trị nào sau đây:

. B.

 . C.

. D.

 .

Câu 54: Cho hàm số  

2 2 2 2 2

cos cos cos cos 2sin

3 3 3 3

f x x x x x x

           

        

       

       

Hàm số có   fx  bằng: Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 148

A. 6 . B. 2sin 2x. C. 0 . D. 2cos2x .

VI PHÂN. ĐẠO HÀM CẤP CAO

1. Vi phân của hàm số

a) Định nghĩa

Cho hàm số   y f x  xác định trên   ; ab và có đạo hàm tại   ; x a b  . Ta gọi tích  . f x x  

(hoặc . yx   ) là vi phân của hàm số   y f x  tại x ứng với số gia x  .

Kí hiệu:   dfx hoặc dy .

Vậy ta có: d. y y x   hoặc     d. f x f x x   .

b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

 

lim





 



Với x  đủ nhỏ thì

   

f x y f x x



     



     

0 0 0

. f x x f x f x x        .

Với yx  ta có:   d . d y x x x x



     . Vậy     d dx f x f x   .

2. Đạo hàm cấp cao

a) Đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số   y f x  có đạo hàm   fx  . Khi đó đạo hàm của hàm số   fx  nếu có, được

gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số   fx .

Kí hiệu: y hay   fx  . Viết:     f x f x



   



b) Đạo hàm cấp n .

Cho hàm số   y f x  có đạo hàm cấp 𝑛 − 1 (𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑛 ≥ 4). Kí hiệu

 

1 n



. Nếu

 

1 n



có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của   fx .

Kí hiệu:

 

fx hoặc

  n

y . Viết:

 

1 nn

f x f x

 







Đạo hàm cấp 3 của hàm số   y f x  là   fx  hoặc

 

fx hay y .

c) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 149

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình   s f t  với   ft là hàm số có đạo hàm.

Khi đó gia tốc tức thời    của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số

  ft là     t f t    .

Vận tốc tức thời tại thời điểm t là     v t f t   .

CÁC DẠNG TOÁN VỀ VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO.

Dạng 1. Vi phân hàm số.

Phương pháp:

- Tính vi phân của hàm số   fx tại

x cho trước:    

. df x f x x   .

- Tính vi phân của hàm số   fx :    . df x f x dx   .

- Dùng vi phân tính gần đúng.

Ví dụ 15. Vi phân của hàm số  

3 f x x x  tại điểm 2 x  ứng với 0,1 x  là:

A. 0,07  . B. 10. C. 1,1 . D. 0,4  .

Ví dụ 16. Vi phân của hàm số   sin 2 f x x  tại điểm



 ứng với 0,01 x  là:

A. 1,1  . B. 10. C. 0,1 . D. 0,01  .

Ví dụ 17. Cho hàm số  

 

1 x



 . Biểu thức   0,01. 0,01 f  là số nào?

A. 9. B. 9  . C. 90 . D. 90  .

Ví dụ 18. Vi phân của hàm số y x x  là:

dy dx

 . B.

dy dx

 . C.

dy dx

 . D.

dy dx

 .

Ví dụ 19. Vi phân của hàm số

 

1 tan





là:

 

cos 1 tan

dy dx





. B.

 

cos 1 tan

dy dx







C. . d𝑦 =

cos𝑥 (1+tan 𝑥 )

d𝑥 . D. d𝑦 =

−1

cos

𝑥 (1+tan 𝑥 )

d𝑥 .

Ví dụ 20. Cho hàm số

1 cos 2 yx  . Chọn kết quả đúng:

A.  

sin 4

2 1 cos 2

df x dx







. B.  

sin 4

1 cos 2

df x dx







C.  

cos 2

1 cos 2

df x dx





. D.  

sin 2

1 cos 2

df x dx







. Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 150

Ví dụ 21. Cho hàm số  

x x khi x

x khi x











. Khẳng định nào sau đây là sai:

 

01 f



  . B.

 

01 f



  .

C.   0 df dx  . D. Hàm số không có vi phân tại 0 x  .

Ví dụ 22. Cho hàm số

1 y x x    . Mệnh đề nào sau đây đúng:

1 . 0 x dy ydx    . B.

1 . 0 x dx dy    .

1 . 0 xdx x dy    . D.

1 . 0 x dy xy    .

Ví dụ 23. Dùng vi phân tính gần đúng

26,7 có giá trị là:

A. 2,999 . B. 2,98. C. 2,97 . D. 2,89.

Ví dụ 24. Dùng vi phân tính gần đúng sin 29  có giá trị là:

A. 0,4849 . B. 0,5464. C. 0,4989 . D. 0,4949 .

DẠNG 2. Tính đạo hàm cấp cao và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

Phương pháp:

- Tính đạo hàm cấp cao: Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

  yy



    ,   yy



      ,…,

   

 

1 nn

 

 .

- Tính đạo hàm cấp n: Trước tiên ta tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, … sau đó dự đoán công thức

tổng quát của

 

fx .

- Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm: Tính đến đạo hàm cấp cao nhất có trong đẳng

thức rồi thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi cho ta được kết quả.

- Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời    tại thời điểm t là đạo hàm cấp 2 của

hàm số   s f t  .

Ví dụ 25. Tính y , biết

1 y x x  .

 



 



. B.

 

2 3 2



 



 



 



. D.

 



 



Ví dụ 26. Cho    

23 f x x  . Tính   3 f  .

A. 4230 . B. 4320 . C. 4204 . D. 4132 .

Ví dụ 3. Cho hàm số

 .Tính

(4)



 . B.

(4)

1.2.3.4

 . C.

(4)



 . D.

(4)

1.2.3.4



 . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 151

Ví dụ 4. Đạo hàm cấp n của hàm số

ax b





, 0 a  là:

()

2 . . !

()

ax b







. B.

 

()

1 . . !

( 1)









. C.

 

()

1 . !

()

ax b









. D.

 

()

1 . . !

()

ax b









Ví dụ 5. Đạo hàm cấp ba của hàm số







là:

( 1) x





. B.

( 1) x





. C.

( 1) x 

. D.

( 1) x





Ví dụ 6. Đạo hàm cấp 4 của hàm số







là :

(4)

7.4! 5.4!

( 3) ( 2)





. B.

(4)

5.4! 2.4!

( 3) ( 2)





(4)

5.4! 7.4!

( 2) ( 3)





. D.

(4)

( 3) ( 2)





Ví dụ 7. Đạo hàm cấp 3 của hàm số sin yx  là:

(3)

sin

 







. B.

(3)

sin

 







. C.  

(3)

sin yx   . D.

(3)

sin

 







Ví dụ 8. Đạo hàm cấp 4 của hàm số

sin yx  là :

A. 8cos2 32cos4 xx  . B. 4cos2 16cos4 xx  . C. 8cos2 12cos2 xx  . D. 6cos2 32cos4 xx  .

Ví dụ 9. Đạo hàm cấp 4 của hàm số sin5 .sin3 y x x  là:

(4)

2048cos8 8cos 2 y x x    .

(4)

2048cos8 8cos 2 y x x  .

(4)

1024cos16 4cos 4 y x x  . D.

(4)

2048cos8 4cos 4 y x x  .

Ví dụ 10. Cho hàm số

( ) 12 1

f x x x x     . Tập hợp các giá trị x để

đạo hàm cấp 2 của () fx không âm là :

;



  







. B.

;









. C.

;











. D.

;



  







Ví dụ 11. Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương

trình :

3 5 2 s t t t     , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển

động khi 3 t  là:

24 / ms . B.

17 / ms . C.

14 / ms . D.

12 / ms .

Ví dụ 12. Cho hàm số

2 y x x  . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

. 1 0 yy     . B.

. 1 0 yy     . C.

3 . 1 0. yy   . D.

2 . 3 0. yy  

Ví dụ 13. Cho hàm số

sin cos

1 sin cos







. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. 2 0. yy   B. 0. yy  C. 0. yy  D. 2 3 0. yy    

Ví dụ 14. Phương trình chuyển động của một chất điểm

3 9 2 s t t t     (s

tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0. Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 152

10 / ms . B.

12 / ms . C.

8/ ms . D.

16 / ms .

Ví dụ 15. Đẳng thức nào sau đây đúng?

1 2 3 1

2 3 .2 , .

n n n n

C C C nC n n N



      

B.  

1 2 3

2 3 1 .2 , .

n n n n

C C C nC n n N        

C.  

1 2 3 1

2 3 1 .2 , .

n n n n

C C C nC n n N



       

D.  

1 2 3 1

2 3 1 .2 , .

n n n n

C C C nC n n N



       

Ví dụ 16. Tính tổng với , 2 : n N n 

2 3 1

1.2. 2.3. ... ( 2).( 1). ( 1). .

n n n n

S C C n n C n nC



       

( 1).( 2).2



 . B.

.( 1).2



 . C.

.( 1).2



 . D. ( 1).( 2).2

nn  .

Ví dụ 17. Tính tổng

0 1 2

2 3 ... ( 1)

n n n n

S C C C n C       bằng



. B.

( 1).2



 . C.

( 2).2



 . D. ( 1).2

n  .

Ví dụ 18. Tìm số nguyên dương n sao cho:

1 2 2 3 3 4 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2.2. 3.2 . 4.2 . ... (2 1).2 . 2017

n n n n n

C C C C n C



    

      

A. 1005 n  . B. 1006 n  . C. 1007 n  . D. 1008 n  .

Ví dụ 5: Tính tổng:

99 100 198 199

0 1 0 100

100 100 100 100

1 1 1 1

100. 101. ... 199. 200.

2 2 2 2

S C C C C

       

    

       

       

A.10. B. 0 . C.1. D.100.

Đáp án B.

Lời giải:

Xét      

100

2 100

1 f x x x x x    

 

100 0 1 2 2 100 100

100 100 100 100

x C C x C x C x    

0 100 1 101 2 102 100 200

100 100 100 100

. . ... C x C x C x C x     

     

' 100 2 1 . f x x x x    

99 0 100 1 101 2 199 100

100 100 100 100

100 . 101 . 102 . ... 200 x C x C x C x C     

Lấy

x  ta được:

99 100 199

0 1 100

100 100 100

1 1 1

0 100 101 ... 200 0

2 2 2

C C C S

     

      

     

     

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

DẠNG 1: VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số

yx  . Tính vi phân của hàm số tại

1 x  với số gia 0,01 x  .

A. 0,01. B.  

3. 0,01 . C.  

0,01 . D. 0,03.

Câu 2. Cho hàm số







.Vi phân của hàm số tại 3 x  là:

dy dx  . B. 7 dy dx  . C.

dy dx  . D. 7 dy dx  . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 153

Câu 3. Xét hàm số sin 0

x y y

 

  





cùng với ba đẳng thức:

  cos

 ;  

cos

dx y





;

  cos

III x

 ;

Số đẳng thức đúng là:

A. Chỉ   I . B. Chỉ   III . C.Chỉ   I và   II . D. Chỉ   I và   III .

Câu 4. Vi phân của hàm số

cos 3 yx  là:

3sin 3 dy xdx  . B. sin 6 dy xdx  . C. 3sin 6 dy xdx  . D. 6sin 6 dy xdx  .

Câu 5. Với hàm số

2 x y y  thì đạo hàm y  tại điểm   1;1 bằng:

 . B. 1  . C.

 . D. 0 .

Câu 6. Cho hàm số   sin sin yx  . Vi phân của hàm số là:

A.   cos sin .sin dy x xdx  . B.   sin. cos . dy x dx  .

C.   cos sin ,cos dy x xdx  . D.   cos sin dy x dx  .

Câu 7. Vi phân của hàm số

sin cos

cos sin

x x x







bằng:

 

cos sin

x x x





. B.

 

cos sin

x dx

x x x





 

cos

cos sin

xdx

x x x





. D.

 

sin

cos sin

x xdx

x x x





Câu 8. Xét hàm số  

1 f x x   . Nếu đặt

 

y f x  thì

nhận kết quả nào sau đây?

 

21 xx  . B.

 

21 xx  . C.

1 x  . D.

1 x  .

Câu 9. Xét hàm số

yx  . Gọi , x dy  theo thứ tự là số gia và vi phân của hàm số y tại

1 x  và

0,01 dx  . Hiệu của y dy  bằng:

A. 0,001. B. 0,002 . C. 0,0001. D. 0,00001.

Câu 10. Xét

cos sin 0 ,0

y x y x

 

    





. Đạo hàm của y tại



 là:



. B.



. C.



. D.



Câu 11. Vi phân của hàm số

 

2 2 1

  





là:

   

 

2 2 1 2

x x x

dy dx

  





. B.

   

 

2 1 1

x x x

dy dx

  





   

 

3 1 2 5

x x x

dy dx

  





. D.

   

 

x x x

dy dx

  





. Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 154

Câu 12. Cho hàm số: 21 yx    . Kết luận nào sau đây là đúng?

A.10 x dy dx    . B. 10 x dx dy     .

C. 2 1 0 x dy dx    . D.10 x dy dx    .

DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI:

Câu 13. Hàm số nào dưới đây có đạo hàm câp hai là 6x ?

3 yx  . B.

2 yx  . C.

yx  . D.

yx  .

Câu 14. Cho hàm số

cos yx  . Khi đó

  3

 





bằng:

A. 2 . B.23 . C. 23  . D. 2  .

Câu 15. Cho hàm số

1 yx  . Xét hai đẳng thức:

 .2 I y y x   ;  

. II y y y     . Đẳng thức nào đúng?

A.Chỉ   I . B.Chỉ   II . C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.

Câu 16. Đạo hàm cấp 2 của hàm số

5 3 20







bằng:

 

2 7 15 93 77

x x x

  





. B.

 

2 7 15 93 77

x x x

  





 

2 7 15 93 77

x x x

  





. D.

 

2 7 15 93 77

x x x

  





Câu 17. Hàm số

sin yx  có đạo hàm cấp 4 là:

cos 2x . B.

cos 2x  . C.8cos2x . D. 8cos2x  .

Câu 18. Cho hàm số cos yx  . Khi đó

 

2016

yx bằng:

A. cos x  . B.sin x . C. sin x  . D. cos x .

Câu 19. Đạo hàm cấp n của hàm số





là:

 





. B.

 





. C.

 

1 . !





. D.

 

1 . !



Câu 20. Đạo hàm cấp 2 của hàm số : tan cot sin cos y x x x x     là:

2tan 2cot

sin cos

cos sin

   . B. 0 .

tan cot cos sin x x x x    . D.

2tan 2cot

sin cos

cos sin

   .

Câu 21. Cho hàm số sin 2 yx  . Đẳng thức nào sau đây là đúng với mọi x ?

A.  

4 yy   . B.40 yy  . C.40 yy  . D. .tan 2 y y x   .

Câu 22. Cho hàm số

cos 2 yx  . Giá trị của biểu thức 16 16 8

y y y y      là kết quả nảo?

A. 0 . B.8 . C. 8  . D.16cos4x . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 155

Câu 23. Cho hàm số   cos 2

y f x x

 

  





. Phương trình

 

8 fx  có số nghiệm thuộc đoạn

 

0;  là:

A.1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 .

Câu 24. Cho hàm số      

5 1 4 1 f x x x     .Tập nghiệm của phương trình   0 fx   là:

A.  

1;2  . B.  

;0  . C. . D.   1  .

Câu 25. Cho hàm số







. Đạo hàm cấp 4 của hàm số này là:

 





. B.

 





. C.

 







. D.

 





Câu 26. Cho hàm số .sin y x x  . Tìm hệ thức đúng:

A. 2cos y y x     . B. 2cos y y x     .

C. 2cos y y x     . D. 2cos y y x  .

Câu 27. Phương trình chuyển động của một chất điểm

15 20 8 s t t    ( s tính bằng mét, t tính

bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0 là:

ms . B.

ms . C.15 / ms . D. 20 / ms .

Câu 28. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

9 10 s t t t      trong đó

t tính bằng giây, s tính bằng mét. Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

A. 5 ts  . B. 6 ts  . C. 2 ts  . D. 3 ts  .

Câu 29. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

2 4 1 s t t t     trong đó

t là giây, s là mét. Gia tốc của chuyển động khi 2 t  là:

A.12 / ms . B.8/ ms . C.7/ ms . D.6/ ms .

Câu 30. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

3 s t t  (t tính bằng giây, s tính

bằng mét). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Gia tốc của chuyển động khi 4 ts  là

18 / ms   .

B. Gia tốc của chuyển động khi 4 ts  là

9/ ms   .

C. Gia tốc của chuyển động khi 3 ts  là

12 / ms   .

D. Gia tốc của chuyển động khi 3 ts  là

24 / ms   .

DẠNG 3: DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP

Câu 31. Tính tổng  

1 2 3

2 3 ... 1 . .

n n n n

S C C C n C



      .

A. 0 . B.1 . C.10. D.100.

Câu 32. Tính tổng:

999 1 998 2 0 1000

1000 1000 1000

1.2 2.2 ... 1000.2 S C C C     .

999

1000.2 . B.

1000

999.3 . C.

999

1000.3 . D.

999

999.3 .

Câu 33. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

1 2 3

1. 2. 3. ... . 11264

n n n n

C C C nC      .

A. 9 n  . B. 10 n  . C. 11 n  . D. 12 n  .

Câu 34.

2 1 2 2 2 3 2 2000

2000 2000 2000 2000

1 . 2 . 3 . ... 2000 . S C C C C      .

1998

2000.2001.2 . B.

1999

1999.2000.2 . C.

1999

2000.2001.2 . D.

2000

2000.2001.2 .

Câu 35. Tính tổng:

0 2 1 3 2 4 198 200

200 200 200 200

2.1.3 . 3.2.3 . 4.3.3 . ... 200.199.3 . S C C C C      . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 156

199

200.199.2 . B.

200

199.198.2 . C.

198

200.199.2 . D.

199

199.198.2 .

Câu 36. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:    

0 1 2 1

1. 2. 3. ... . 1 . 1024 2

n n n n n

C C C n C n C n



        .

A.   0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 n  . B.   0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 n  .

C.   0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 n  . D.   0;1;2;3;4;5;6;7;8 n  .

Câu 37. Tính tổng:

1 2 3 4 5 6 99 100

100 100 100 100

2.2 . 4.2 . 6.2 . ... 100.2 . S C C C C      .

 

50 3 1  . B.

 

100 3 1  . C.

 

200 3 1  . D.

 

200

25 3 1  .

Câu 38. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.  

1 2 3

0 1 2 1

1 2 3 3

... 1

2 2 2 2 2

n n n n n

C C C C n





     





B.      

0 1 1 2 2 1 1 1

.3 . 1 3 . 2 3 . ... 1.3 . 1 .4

n n n n n

n n n n

n C n C n C C n

   

        .

C.  

2 4 6 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

2. 4. 6. ... 2 . 2 1 2

n n n n

C C C n C n



   

      .

D.  

1 3 5 2 1 2 1

2 2 2 2

1. 3. 5. ... 2 1 . 2 .2

n n n n

C C C n C n



      .

TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số     : C y f x  tại điểm  

0 0 0

( ; ) M x y C  :

   

0 0 0

y f x x x y    

- Hệ số góc  

k f x   .

- Nếu cho

x thì thế vào   y f x  tìm

y .

- Nếu cho

y thì thế vào   y f x  giải phương trình tìm

x .

b. Tiếp tuyến biết hệ số góc

- Hệ số góc k của tiếp tuyến:    

* k f x  

Giải phương trình   * ta tìm được hoành độ của tiếp điểm

x thế và phương trình   y f x  tìm

tung độ

y .

- Khi đó phương trình tiếp tuyến:

   

y k x x y d   

* Tiếp tuyến // : d y ax b k a      .

* Tiếp tuyến : . 1. d y ax b k a       

* tan k   , với  là góc giữa d và tia Ox .

c. Tiếp tuyến đi qua một điểm

Lập phương trình tiếp tuyến d với   C biết d đi qua điểm   ;

M x y

Phương pháp:

- Gọi    

0 0 0

; M x y C  là tiếp điểm.

- Phương trình tiếp tuyến tại      

0 0 0 0

: M y f x x x y d     .

- Vì đường thẳng d đi qua M nên    

0 0 0 MM

y y f x x x     . Giải phương trình ta tìm được

x rồi

suy ra

y . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 157

CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

Ví dụ 1. Cho hàm số

31 y x x    có đồ thị   C . Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm

  1;3 M  là:

A. 3. yx  B. 3. yx    C. 9 6. yx    D. 9 6. yx   

Ví dụ 2. Cho hàm số





có đồ thị   C . Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành

độ

1 x  là:

A. 2. yx    B. 2. yx  C. 1. yx  D. 3. yx   

Ví dụ 3. Cho hàm số  

21 y x x C    . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ

2 y  là:

A. 8 6; 8 6. y x y x      B. 8 6; 8 6. y x y x     

C. 8 8; 8 8. y x y x      D. 41 17. yx 

Ví dụ 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm

3 x  có hệ số góc bằng:

A. 3. B. 7.  C. 10.  D. 3. 

Ví dụ 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

yx    có hệ số góc 9 k  có phương trình là:

A. 9 11. yx    B. 9 27. yx    C. 9 43. yx    D. 9 11. yx   

Ví dụ 6. Cho hàm số

 







. Phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng : 4 1 d y x    là:

A. 4 2; 4 14. y x y x       B. 4 21; 4 14. y x y x      

C. 4 2; 4 1. y x y x       D. 4 12; 4 14. y x y x      

Ví dụ 7. Cho hàm số  

22 y x x x C    . Gọi

, xx là hoành độ các điểm , MN trên   C mà

tiếptuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 2017. yx    Khi đó

xx  bằng:

Ví dụ 8. Cho hàm số

 







. Viết phương trình tiếp tuyến của   C biết tiếp tuyến đi

quađiểm   7;5 M  .

3 1 3 29

4 4 16 16

y x y x       B.

3 1 3 2

4 2 16 16

y x y x      

3 1 3 9

4 4 16 16

y x y x       D.

3 1 3 29

4 4 16 16

y x y x      

Ví dụ 9. Cho hàm số    

y x m x C     . Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến tại  

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Ví dụ 10. Cho hàm số    

2 1 2

y x x m x m C      . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

của đồ thị  

C vuông góc với đường thẳng : 2 1 yx   

A. 1. m  B. 2. m  C.

m  D.

m  Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 158

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 136. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm có hoành độ

0 x 

A. 21 yx  . B. 21 yx  . C. 2 yx  . D. 2 yx  .

Câu 137. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 yx  tại điểm có tung độ

2 y 

yx  . B.

yx  . C.

yx  . D.

yx  .

Câu 138. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) sin f x x  , [0;2 ] x   song song với đường thẳng

yx  là :

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 139. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1 y x x    tại điểm

1 x  có hệ số góc bằng :

A. 7. B. 5. C. 1. D. 1.

Câu 140. Cho hàm số







có đồ thị là   C . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của   C

với trục hoành là:

A. 24 yx  . B. 31 yx  . C. 24 yx    . D. 2 yx  .

Câu 141. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

22 y x x    vuông góc với đường phân giác của góc

phần tư thứ nhất trên hệ trục Oxy là:

A. 2 yx    và 4 yx    .

1 5 3

9 3

yx     và

1 5 3

9 3

yx     .

1 18 5 3

9 3



    và

1 18 5 3

9 3



    .

D. .

1 18 5 3

9 3



    và

1 18 5 3

9 3



   

Câu 142. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 



 tại các giao điểm của   C với

các trục tọa độ là :

A. 1 yx  . B. 1 yx  và 1 yx  .

C. 1 yx    . D. 1 yx  .

Câu 143. Cho hàm số

65 y x x    có tiếp tuyến song song trục hoành. Phương trình tiếp tuyến

đó là :

A. 3 x  . B. 4 y  . C. 4 y  . D. 3 y  .

Câu 144. Cho hàm số

2 y

 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với

đường thẳng 2 yx    là:

A. 4 yx  . B. 2 yx  và 4 yx  .

C. 2 yx  và 6 yx  . D. 3 yx  và 1 yx  . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 159

Câu 145. Cho hàm số







có đồ thị là   C . Có bao nhiêu nhiêu cặp điểm thuộc   C mà tiếp

tuyến tại đó song song với nhau?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Câu 146. Trên đồ thị hàm số





có điểm

( ; ) M x y sao cho tiếp tuyến tại đó cùng vói các

trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó

xy  bằng :

A. 3. B.

. C.

 . D.

 .

Câu 147. Cho hàm số

 

C y x x    . Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ

là nghiệm của phương trình 0 y   là

yx    . B.

yx    . C.

yx  . D.

yx  .

Câu 148. Số cặp điểm A, B trên đồ thị hàm số

3 3 5 y x x x     mà tiếp tuyến tại , AB vuông

góc với nhau là:

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. Vô số.

Câu 149. Qua điểm (0;2) A có thể ké được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số

2 2 ( ) y x x C    ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 150. Cho hàm số

32 y x x    có đồ thị   C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến với   C

và có hệ số góc nhỏ nhất?

A. 33 yx    . B. 1 y  . C. 57 yx    . D. 33 yx    .

Câu 151. Cho hai hàm số  

 và  

gx  . Góc giữa hai tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm

số đă cho tại giao điểm của chúng là:

60 . B.

90 . C.

45 . D.

30 .

Câu 152. Tìm m để đồ thị:      

: 1 4 3 1

C y mx m x m x       tồn tại đúng 2 điểm có hoành

độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 2 3 0 xy    .

1 1 2

0; ;

4 2 3

   



   

   

. B.

1 1 7

0; ;

4 2 3

   



   

   

1 1 8

0; ;

2 2 3

   



   

   

. D.

1 1 2

0; ;

2 2 3

   



   

   

Câu 153. Cho hàm số







có đồ thị   C . Viết phương trình tiếp tuyến với   C biết tiếp tuyến

này cắt , Ox Oy lần lượt tại A, B sao cho 4 OA OB  .

yx    và

1 13

yx    . B.

yx    và

1 13

yx    .

yx    và

yx    . D.

yx    và

yx  . Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 160

Câu 154. Cho hàm số

3 y x x m    . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

1 x  cắt các trục , Ox Oy

lần luợt tại , AB sao cho diện tích AOB  bằng

. Hỏi m là giá trị nguyên nằm trong

khoảng nào sau đây?

A. ( ; 1) (0; )       . B. ( ; 5) (1; )       . C. ( 4;0)  . D. ( 2;2)  .

Câu 155. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y x mx m l     tại điểm

1 x  cắt đường tròn

   

22 1

xy     theo cung có độ dài nhỏ nhất.

A. 1 m  hoặc 2 m  . B. 1 m  hoặc

m  .

C. 3 m  hoặc 1 m  D. 1 m  hoặc 3 m  .

Câu 156. Cho hàm số

,0 y x ax bx c c      có đồ thị (C) cắt Oy tại A và có hai điểm chung

với Ox là , MN . Tiếp tuyến với đồ thị tại M đi qua A . Tìm T a b c    biết 1

AMN

S  .

A. 1 T  . B. 2 T  . C. 5 T  . D. 3 T  .

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT NHÉ.

BỂ HỌC VÔ BỜ- CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

CỐ GẮNG HẾT SỨC Ở GIÂY PHÚT NÀY SẼ ĐẶT BẠN VÀO VỊ TRÍ TUYỆT VỜI NHẤT Ở NHỮNG

KHOẢNH KHẮC SAU.

Trên con đường thành công, không có dấu chân của kẻ lười biếng.

Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 161

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1: ........................................................................................................................... 1

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số ..................................................................................... 5

Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác. ............................................................ 7

Dạng 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác .................................................................. 9

Dạng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác. .................................. 11

Tìm Tập xác định của hàm số ............................................................................................... 12

Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác ................................................................................ 18

Xét tính đơn điệu của hàm số .............................................................................................. 20

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác .......................................................... 23

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ................................................. 25

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ............................................ 27

Dạng 2: Phương trình bậc hai (hoặc phương trình đưa về phương trình bậc 2) đối với một

hàm số lượng giác ................................................................................................................ 27

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với SINX, COSX: ......................................................... 28

Dạng 4: Phương trình đẳng cấp ........................................................................................... 29

Dạng 5: Phương trình đối xứng với và . ............................................................ 30

Dạng 6: Một số phương trình lượng giác không mẫu mực ................................................... 30

Bài tập rèn luyện kỹ năng .................................................................................................... 33

BÀI TẬP ÔN TỰ LUẬN LƯỢNG GIÁC 11 .................................................. 40

Bài Tập Làm Thêm ................................................................................................................... 42

CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP- XÁC SUẤT ................................................................................................ 47

I. Qui tắc đếm .............................................................................................................. 47

II. Hoán vị ....................................................................................................................... 49

III. Chỉnh hợp .............................................................................................................. 50

IV. Tổ hợp ...................................................................................................................... 52

Dạng 1: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học .................................................................. 52

Dạng 2: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học .............................................................. 53

V. Nhị thức Newton ................................................................................................ 54

XÁC SUẤT ..................................................................................................................... 56

I. TRẮC NGHIỆM QUY TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP ..................................... 57

SINX COSXChuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 162

II. NHỊ THỨC NUITON .......................................................................................................... 61

III. XÁC SUẤT ....................................................................................................................... 63

IV. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ .................................................................................................. 69

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN ......................................................... 70

Phương pháp quy nạp toán học................................................................................................ 70

Bài tập rèn luện kỹ năng ...................................................................................................... 72

Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số ................................................................... 75

Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số. ............................................................... 76

Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số. .................................................................... 76

Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. ............................................................................... 77

CẤP SỐ CỘNG ..................................................................................................................... 78

CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................................... 86

CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN ............................................................................................................. 93

GIỚI HẠN DÃY SỐ.............................................................................................................. 93

Dạng 1. Tính giới hạn dãy số cho bởi công thức .................................................................. 93

Dạng 2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. ............................................................................ 95

Dạng 3. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là số hạng đầu tiên của một dãy số khác. ......... 95

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ................................................................................................. 101

Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy tắc

.......................................................................................................................................... 102

Dạng 2: Tìm giới hạn vô định dạng ............................................................................... 104

Dạng 4 : Dạng vô định ................................................................................................ 112

Dạng 5 : Dạng

......................................................................................................... 113

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ................................................................................ 114

Dạng 1: Bài tập tính giới hạn bằng cách sử dụng định nghĩa, định lý, quy tắc. ................... 114

Dạng 2: Giới hạn vô dịnh dạng ..................................................................................... 115

Dạng 3: Giới hạn vô định dạng .................................................................................... 117

Dạng 4: Giới hạn vô định dạng .................................................................................. 119

Dạng 5: Dạng vô định .............................................................................................. 119

0. 

  



0. 

  Chuyên đề: Toán Lớp 11 2019

Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 163

HÀM SỐ LIÊN TỤC .......................................................................................................... 120

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số .................................................................................. 122

Dạng 2. Chứng minh phương trình có nghiệm ................................................................... 124

Bài tập rèn luyện kỹ năng .................................................................................................. 125

CHỦ ĐỀ 5. ĐẠO HÀM ............................................................................................................... 128

Khái niệm đạo hàm ............................................................................................................... 128

Các quy tắc tính đạo hàm ...................................................................................................... 134

A. Lý thuyết............................................................................................................................... 134

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương ............................................................................. 134

2. Đạo hàm của hàm số hợp ................................................................................................ 134

3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản .................................................. 134

B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm ................................................................................. 135

Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp ..................................................... 135

Đạo hàm các hàm số lượng giác ............................................................................................ 139

Bài tập rèn luyện kỹ năng ...................................................................................................... 141

Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỷ - căn thức và hàm hợp .................................. 141

Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác ........................................................................... 144

VI PHÂN, ĐẠO HÀM CẤP CAO ...................................................................................... 148

Các dạng toán về vi phân và đạo hàm cấp cao. ................................................................... 149

Bài tập rèn luyện kỹ năng .................................................................................................. 152

TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ .............................................................................. 156

Các dạng toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số. .................................................................. 157

Bài tập rèn luyện kỹ năng .................................................................................................. 158

Xem thêm

Đề xuất cho bạn

Tài liệu

33549 lượt tải

12165 lượt tải

7192 lượt tải

6858 lượt tải

6079 lượt tải

104944 lượt xem

99441 lượt xem

71721 lượt xem

46828 lượt xem

28606 lượt xem