Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán - Chuyên đề Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng – Đặng Việt Đông (có đáp án và lời giải chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 0 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông MỤC LỤC NGUYÊN HÀM ...................................................................................................................................... 2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ ............................................................................... 6 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN .............................................................................. 10 NGUYÊN HÀM HÀM ẨN ................................................................................................................... 14 TÍCH PHÂN ......................................................................................................................................... 18 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN ................................................ 26 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ................................................................................... 31 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 .................................................................................................................... 31 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 .................................................................................................................... 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ........................................................................ 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 ................................................................................... 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 ................................................................................... 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 ................................................................................... 43 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 ................................................................................... 45 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 ................................................................................... 46 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 ................................................................................... 47 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ................................................................................................................. 49 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: ............................................................................................. 49 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: ............................................................................................. 50 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ................................................................... 51 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ........................................................................................................................ 58 GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN .................................................................................................... 65 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH .......................................................................................................... 70 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ .......................................................................................... 83 ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ............................................................................ Error! Bookmark not defined. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH .............................. Error! Bookmark not defined. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ............................... Error! Bookmark not defined. ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ................................................................. Error! Bookmark not defined. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa Cho hàm số   f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số   F x được gọi là nguyên hàm của hàm số   f x trên K nếu      F x f x ' với mọi  x K . Kí hiệu:        f x dx F x C . Định lí: 1) Nếu   F x là một nguyên hàm của   f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số       G x F x C cũng là một nguyên hàm của   f x trên K . 2) Nếu   F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x trên K đều có dạng    F x C , với C là một hằng số. Do đó      F x C C , là họ tất cả các nguyên hàm của   f x trên K . 2. Tính chất của nguyên hàm          f x dx f x và        f x dx f x C ' ;         d f x f x dx dx Nếu F(x) có đạo hàm thì:      d F x F x C ( ) ( )        kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 .                   f x g x dx f x dx g x dx Công thức đổi biến số: Cho    y f u và    u g x . Nếu    f x dx F x C ( ) ( ) thì      f g x g x dx f u du ( ) '( ) ( )   F u C ( ) 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số   f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1.   dx C 0 2.    dx x C 3.              x dx x C 1 1 1 1 16.              ax b ax b c a 1 1 dx , 1 1     4.     dx C x x 2 1 1 17.    x xdx C 2 2 5.    dx x C x 1 ln 18.      ax b c ax b a dx 1 ln 6.    x x e dx e C 19.      ax b ax b e dx e C a 1 7.    x x a a dx C a ln 20.      kx b kx b a a dx C k a 1 ln 8.    xdx x C cos sin 21.          ax b dx ax b C a 1 cos sin ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 9. xdx x C sin cos     22.           ax b dx ax b C a 1 sin cos 10.     x dx x C tan . ln | cos | 23.           ax b ax b C a 1 tan dx ln cos 11.    x dx x C cot . ln | sin | 24.          ax b ax b C a 1 cot dx ln sin 12.    dx x C x 2 1 tan cos 25.          dx ax b C a ax b 2 1 1 tan cos 13.     dx x C x 2 1 cot sin 26.           dx ax b C a ax b 2 1 1 cot sin 14.       x dx x C 2 1 tan tan 27.             ax b dx ax b C a 2 1 1 tan tan 15.        x dx co x C 2 1 cot t 28.              ax b dx co ax b C a 2 1 1 cot t 5. Bảng nguyên hàm mở rộng     x C a a a x 2 2 dx 1 arctg      x x x a x C a a 2 2 arcsin dx arcsin       a x C a a x a x 2 2 dx 1 ln 2      x x x a x C a a 2 2 arccos dx arccos         x x a C x a 2 2 2 2 dx ln        x x a x a x C a a 2 2 arctan dx arctan ln 2     x C a a x 2 2 dx arcsin        x x a x a x C a a 2 2 arccot dx arccot ln 2     x C a a x x a 2 2 dx 1 arccos        a x a C a x x x a 2 2 2 2 dx 1 ln        ax b C a ax b dx 1 ln tan 2 sin                  b ax b x ax b x C a ln dx ln        ax ax e a bx b bx e bx C a b 2 2 cos sin cos dx       x a x a x a x C a 2 2 2 2 2 dx arcsin 2 2        ax ax e a bx b bx e bx C a b 2 2 sin cos sin dx B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị thực của a để   1 2 1 ax F x x    là một nguyên hàm của hàm số     3 4 3 2 1 x f x x    . A. 4 a  . B. 5 a  . C. 4 a   . D. 5 a   . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 2. Cho     2 2 1 F x ax bx c x     là một nguyên hàm của hàm số   2 10 7 2 2 1 x x f x x     trên khoảng 1 ; 2         . Tính S a b c    . A. 3 S  . B. 0 S  . C. 6 S   . D. 2 S   . Câu 3. Cho     2 2 3 F x ax bx c x     là một nguyên hàm của hàm số   2 20 30 7 2 3 x x f x x     trên khoảng 3 ; 2         . Tính P abc  . A. 0 P  . B. 3 P  . C. 4 P  . D. 8 P   . Câu 4. Biết sin cos ln sin cos sin cos x x dx a x x C x x       . Với a là số nguyên. Tìm a? A. 1. a  B. 2. a  C. 3. a  D. 4. a  Câu 5. Tìm một nguyên hàm của: 2 2 2 tan 2 1 4. tan 1 2 x x         biết nguyên hàm này bằng 3 khi 4 x   . A. 2 1 3. cos x  B. 2 1 3. sin x  C. tan 2 x  . D. cot 2 x  . Câu 6. Biết     5 2 1 1 25 20 4 5 2 dx C x x a x        . Với a là số nguyên. Tìm a? A. 4. a  B. 100. a  C. 5. a  D. 25. a  Câu 7. Biết 2 1 ln 2 7 2 5 7 x a dx x C x x b        , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? A. 4. S  B. 2. S  C. 3. S  D. 5. S  Câu 8. Biết 1 tan 1 sin 2 4 a dx x C x b             , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? A. 4. S  B. 2. S  C. 3. S  D. 5. S  Câu 9. Cho   2 8sin 12 f x x          . Một nguyên hàm   F x của   f x thỏa   0 8 F  là: A. 4 2sin 2 9 6 x x           . B. 4 2sin 2 9 6 x x           . C. 4 2sin 2 7 6 x x           . D. 4 2sin 2 7 6 x x           . Câu 10. Biết ( ) F x là nguyên hàm của   2 2 2 5 8 4 1 x x dx x x     với 0 1 x   và 1 26 2 F        . Giá trị nhỏ nhất của ( ) F x là: A. 24. B. 20. C. 25. D. 26. Câu 11. Cho   1 f x x   . Một nguyên hàm   F x của   f x thỏa   1 1 F  là: A. 2 1 x x   B. 2 2 2 1 khi 0 2 2 khi 0 2 x x x x x C x              . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông C. 2 1 2 2 khi 0 2 khi 0 2 x x C x x x C x              . D. 2 1 2 2 khi 0 khi 0 2 x x C x x x C x             . Câu 12. Cho   F x là nguyên hàm của hàm số   1 3 x f x e   và   1 0 ln 4 3 F   . Tập nghiệm S của phương trình     3 3 ln 3 2 F x x    là: A.   2 S  . B.   2;2 S   . C.   1;2 S  . D.   2;1 S   . Câu 13. (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết   F x là một nguyên hàm của hàm số   1 2 f x x   , thỏa mãn   3 1 F  và   1 2 F  , giá trị của     0 4 F F  bằng A. 2ln 2 3  . B. 2 ln 2 2  . C. 2 ln 2 4  . D. 2 ln 2 . Câu 14. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng e x x là một nguyên hàm của   f x  trên khoảng   ;   . Gọi   F x là một nguyên hàm của   e x f x  thỏa mãn   0 1 F  , giá trị của   1 F  bằng A. 7 2 . B. 5 e 2  . C. 7 e 2  . D. 5 2 . Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số   F x là một nguyên hàm của hàm số   2 2cos 1 sin x f x x   trên khoảng   0;  . Biết rằng giá trị lớn nhất của   F x trên khoảng   0;  là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. 3 3 4 6 F          . B. 2 3 3 2 F         . C. 3 3 F          . D. 5 3 3 6 F          . Câu 16. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho   F x là một nguyên hàm của hàm số     2 3 4 x f x e x x   . Hàm số   2 F x x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. Câu 17. (Cụm 8 trường chuyên lần1) Biết     2 e x F x ax bx c     là một nguyên hàm của hàm số     2 2 5 2 e x f x x x     trên  . Giá trị biểu thức     0 f F bằng: A. 1 e  . B. 3e . C. 2 20e . D. 9e . Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số         2 2 e , 3 4 e x x F x x ax b f x x x       . Biết , a b là các số thực để   F x là một nguyên hàm của   f x . Tính S a b   . A. 6 S   . B. 12 S  . C. 6 S  . D. 4 S  . Câu 19. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho   F x là một nguyên hàm của hàm số   4 3 2 2 1 2 x f x x x x     trên khoảng   0;  thỏa mãn   1 1 2 F  . Giá trị của biểu thức         1 2 3 ... 2019 S F F F F      bằng A. 2019 2020 . B. 2019.2021 2020 . C. 1 2018 2020 . D. 2019 2020  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 20. (Chuyên Vinh Lần 3)Biết   F x là nguyên hàm của hàm số   2 cos x x f x x   . Hỏi đồ thị của hàm số   y F x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số điểm. B. 0. C. 1. D. 2. Câu 21. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết   F x là nguyên hàm của hàm số   2 1 cos 1 2 f x x x    . Hỏi đồ thị của hàm số   y F x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số điểm. B. 0 . C. 1. D. 2 . PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Đổi biến dạng 1 Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt     x t . Trong đó    t cùng với đạo hàm của nó (    t ' là những hàm số liên tục) thì ta được :                  f x dx f t t dt g t dt G t C ( ) ' ( ) ( ) . 1.1. Phương pháp chung  Bước 1: Chọn t=    x . Trong đó    x là hàm số mà ta chọn thích hợp .  Bước 2: Tính vi phân hai vế :     dt t dt ' .  Bước 3: Biểu thị :             f x dx f t t dt g t dt ( ) ' ( ) .  Bước 4: Khi đó :       I f x dx g t dt G t C ( ) ( ) ( ) 1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t là mẫu số Hàm số :      f x x ;     t x Hàm    a inx+b.cosx f x c inx+d.cosx+e .s .s         x x t cos 2 tan ; 0 2 Hàm          f x x a x b 1 Với :   x a 0 và   x b 0 . Đặt :     t x a x b Với   x a 0 và   x b 0 . Đặt :       t x a x b 2. Đổi biến dạng 2 Nếu :    f x dx F x C ( ) ( ) và với   u t   là hàm số có đạo hàm thì :    f u du F t C ( ) ( ( ))  2.1. Phương pháp chung  Bước 1: Chọn   x t   , trong đó    t là hàm số mà ta chọn thích hợp .  Bước 2: Lấy vi phân hai vế :     dx t dt '  Bước 3: Biến đổi :               f x dx f t t dt g t dt ( ) '  Bước 4: Khi đó tính :      f x dx g t dt G t C ( ) ( ) ( ) . 2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Dấu hiệu Cách chọn  a x 2 2 Đặt  x a sint ; với           t ; . 2 2 hoặc  x a cost ; với       t 0; .  x a 2 2 Đặt  a x sint .; với             t ; \ 0 2 2 hoặc  a x cost với              t 0; \ . 2  a x 2 2 Đặt  x a tant ; với           t ; . 2 2 hoặc  x a t cot với     t 0; .   a x a x . hoặc   a x a x . Đặt  x acos t 2       x a b x Đặt   x a b a sin t 2 – ( )  a x 2 2 1 Đặt  x atant ; với           t ; . 2 2 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của   2 tan cos 1 cos x f x x a x   , biết   0 0 F  , 1 4 F         . Tính 3 4 F F                ? A. 5 3  . B. 5 1  . C. 3 5  . D. 5 2  Câu 2. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho         2017 2019 1 1 1 d . 1 1 b c x x x C a x x        với a , b , c là các số nguyên. Giá trị a b c   bằng A. 4.2018 . B. 2.2018 . C. 3.2018. D. 5.2018. Câu 3. Giả sử           2 3 d 1 1 2 3 1 x x C x x x x g x          (C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình   0 g x  . A. 1  . B. 1. C. 3. D. 3  . Câu 4. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   2;1  thỏa mãn   0 1 f  và       2 2 . 3 4 2 f x f x x x     . Giá trị lớn nhất của hàm số   y f x  trên đoạn   2;1  là A. 3 2 16 . B. 3 18 . C. 3 16 . D. 3 2 18 . Câu 5. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số   2 1 1 f x x   trên khoảng   ;     ? A.     2 ln 1 F x x x C     . B.     2 ln 1 1 F x x C     . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông C.   2 1 F x x C    . D.   2 2 1 x F x C x    Câu 6. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết ( ) F x nguyên hàm của hàm số sin 2 cos ( ) 1 sin x x f x x    và (0) 2 F  . Tính 2 F        A. 2 2 8 2 3 F          B. 2 2 8 2 3 F          C. 4 2 8 2 3 F          D. 4 2 8 2 3 F          Câu 7. Biết   7 5 2 2 cos 2 cos sin .sin 4 x x x xdx C a      . Với a là số nguyên. Tìm a? A. 6. a  B. 12. a  C. 7. a  D. 14. a  Câu 8. Tìm 2 1 2 2 x R dx x x     ? A. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 t t R C t       với 1 arctan 2 2 x t        . B. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 t t R C t       với 1 arctan 2 2 x t        . C. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 t t R C t      với 1 arctan 2 2 x t        . D. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 t t R C t      với 1 arctan 2 2 x t        . Câu 9. 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x               có dạng   3 4 1 1 3 1 4 2 3 a b x x x C x       , trong đó , a b là hai số hữu tỉ. Giá trị , b a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1. C. , a b   D. 1; 2 . Câu 10.     2 5 4 7 3 1 cos 2 x x x x e e x dx        có dạng   2 1 sin 2 6 2 x a b e x C    , trong đó , a b là hai số hữu tỉ. Giá trị , a b lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3. C. 3; 2 . D. 6; 1. Câu 11. Tìm     3 2 1 1 . 1 1 x x e x x I dx x e x         ? A.   ln . 1 1 x I x e x C      . B.   ln . 1 1 x I x e x C      . C.   ln . 1 1 x I e x C     . D.   ln . 1 1 x I e x C     . Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số       2 2 1 2 ln 1 2017 ln . x x x x f x e x e            ? A.     2 2 ln 1 1008ln ln 1 1 x x         . B.     2 2 ln 1 2016ln ln 1 1 x x         . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông C.     2 2 1 ln 1 2016ln ln 1 1 2 x x         . D.     2 2 1 ln 1 1008ln ln 1 1 2 x x         . Câu 13. (Chuyên KHTN) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  và có 3 0 ( ) 8 f x dx   và 5 0 ( ) 4. f x dx   Tính 1 1 ( 4 1) . f x dx    A. 9 . 4 B. 11 . 4 C. 3. D. 6. Câu 14. Tìm     2 2 2 2 2 1 2ln . ln ln x x x x G dx x x x       ? A. 1 1 ln G C x x x      . B. 1 1 ln G C x x x     . C. 1 1 ln G C x x x     . D. 1 1 ln G C x x x     . Câu 15. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của     1 1 ln .ln . ln n n n x h x x x x x     ? A. 1 1 ln ln ln 2016 n n x x x n n    . B. 1 1 ln ln ln 2016 n n x x x n n    . C. 1 1 ln ln ln 2016 n n x x x n n     . D. 1 1 ln ln ln 2016 n n x x x n n     . Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho   F x là nguyên hàm của hàm số   1 1 x f x e   và   0 ln 2 F e   . Tập nghiệm S của phương trình     ln 1 2 x F x e    là: A.   3 S  . B.   2;3 S  . C.   2;3 S   . D.   3;3 S   . Câu 17. Khi tính nguyên hàm     3 1 2 1 1 dx x x    người ta đặt   t g x  (một hàm biểu diễn theo biến x) thì nguyên hàm trở thành 2dt  . Biết   3 4 5 g  , giá trị của     0 1 g g  là: A. 3 6 . 2  B. 1 6 . 2  C. 2 6 . 2  D. 2 3 6 . 2  Câu 18. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   2;1  thỏa mãn   0 3 f  và       2 2 . 3 4 2 f x f x x x     . Giá trị lớn nhất của hàm số   y f x  trên đoạn   2;1  là A. 3 2 42 . B. 3 2 15 . C. 3 42 . D. 3 15 . Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số   F x là một nguyên hàm của hàm số   2 2cos 1 sin x f x x   trên khoảng   0;  . Biết rằng giá trị lớn nhất của   F x trên khoảng   0;  là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 3 4 6 F          B. 2 3 3 2 F         C. 3 3 F          D. 5 3 3 6 F          Câu 20. Cho hàm số   f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2        , thỏa mãn   0 3 f  và       2 . cos . 1 f x f x x f x    , 0; 2 x          . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số   f x trên đoạn ; 6 2         . A. 21 2 m  , 2 2 M  . B. 5 2 m  , 3 M  . C. 5 2 m  , 3 M  . D. 3 m  , 2 2 M  . PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Phương pháp nguyên hàm từng phần Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:     u x v x dx u x v x v x u x dx ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( ) Hay     udv uv vdu ( với       du u x dx dv v x dx ’ , ’ ) 1.1. Phương pháp chung  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :     I f x dx f x f x dx 1 2 ( ) ( ). ( )  Bước 2: Đặt :                 du f x dx u f x dv f x v f x dx 1 1 2 2 ' ( ) ( ) ( ) ( )  Bước 3: Khi đó :     u dv u v vdu . . . 2. Các dạng thường gặp 2.1. Dạng 1               x x I P x x dx e sin ( ) cos . . Đặt                      x u P x x dv x dx e ( ) sin cos .                        x u du P x dx x v x e '. '( ) cos sin Vậy: x x I P x x e cos ( ) sin             -             x x x P x dx e cos sin . '( ) 2.2. Dạng 2 I P x xdx ( ).ln   . Đặt        u x dv P x dx ln ( )           du dx x v P x dx Q x 1 ( ) ( ) Vậy   Q I lnxQ x x dx x 1 ( ). .    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 2.3. Dạng 3             x x I e dx x sin cos . Đặt                    x u e x dv dx x sin . cos                      x du e dx x v x cos sin Vậy I = x x I e x cos sin             -             x x e dx x cos sin Bằng phương pháp tương tự ta tính được             x x e dx x cos sin sau đó thay vào I B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là A. B. C. D. Câu 2: Cho   2 cos x f x x  trên ; 2 2          và   F x là một nguyên hàm của   xf x  thỏa mãn   0 0 F  . Biết ; 2 2 a           thỏa mãn tan 3 a  . Tính   2 10 3 F a a a   . A. 1 ln10 2  . B. 1 ln10 4  . C. 1 ln10 2 . D. ln10. Câu 3: Cho   F x là một nguyên hàm của hàm số   3 e x f x  và   0 2 F  . Hãy tính   1 F  . A. 15 6 e  . B. 10 4 e  . C. 15 4 e  . D. 10 e . Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số   ln f x x x  . A.     3 2 1 d 3ln 2 9 f x x x x C     . B.     3 2 2 d 3ln 2 3 f x x x x C     . C.     3 2 2 d 3ln 1 9 f x x x x C     . D.     3 2 2 d 3ln 2 9 f x x x x C     . Câu 5: Tìm   2 2 sin cos x dx H x x x    ? A.   tan cos sin cos x H x C x x x x     . B.   tan cos sin cos x H x C x x x x     . C.   tan cos sin cos x H x C x x x x      . D.   tan cos sin cos x H x C x x x x      . Câu 6:   2 2 1 ln x x x x dx    có dạng   3 2 2 2 1 1 ln 3 6 4 a b x x x x C     , trong đó , a b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3. B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại.   2 tan f x x x  ;0 2                 2 tan ln cos . 2 x F x x x x C         2 tan ln cos . 2 x F x x x x C          2 tan ln cos . 2 x F x x x x C       2 tan ln cos . 2 x F x x x x C     ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 7: Biết     ln ln 2 3 c F x a x b x x           là nguyên hàm của hàm số     2 ln 2 3 x f x x   . Tính S a b c    . A. 1 S   . B. 1 3 S  . C. 7 3 S  . D. 4 3 S   . Câu 8: (Trần Đại Nghĩa) Cho   2 2 1 ln 1 ln 2 1 x x a I dx b c x       với , , a b c là các số nguyên dương và các phân số là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức a b S c   . A. 5 6 S  . B. 1 3 S  . C. 2 3 S  . D. 1 2 S  . Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm của hàm số   2 l 1 2 n x x y x x    là A.   2 2 1 ln 2 x x x x x C      . B.   2 2 1 ln 2 x x x x x C      . C.   2 2 1 ln 2 x x x x x C      . D.   2 2 1 ln 2 x x x x x C      . Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số   2 3 2 4 ln 4 x f x x x          ? A. 2 4 2 2 4 ln 2 4 x x x x          . B. 4 2 2 2 16 4 ln 2 4 4 x x x x                 . C. 2 4 2 2 4 ln 2 4 x x x x          . D. 4 2 2 2 16 4 ln 2 4 4 x x x x                 . Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết     d 3 cos 2 5 f x x x x C     . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.     3 d 3 cos 6 5 f x x x x C     B.     3 d 9 cos 6 5 f x x x x C     C.     3 d 9 cos 2 5 f x x x x C     D.     3 d 3 cos 2 5 f x x x x C     Câu 12: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho   2 F x x  là một nguyên hàm của hàm số   2 . x f x e . Khi đó   2 . d x f x e x   bằng A. 2 2 x x C    . B. 2 x x C    . C. 2 2 2 x x C   . D. 2 2 2 x x C    . Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi   F x là nguyên hàm trên  của hàm số     2 e 0 ax f x x a   , sao cho   1 0 1. F F a         Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. 0 1 a   . B. 2 a   . C. 3 a  . D. 1 2 a   . Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số thỏa mãn và . Tất cả các nguyên hàm của là A. . B. .   f x     e , x f x f x x          0 2 f    2 e x f x   2 e e x x x C      2 2 e e x x x C    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông C. . D. . Câu 15: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số thỏa mãn và . Tất cả các nguyên hàm của là A. . B. . C. . D. . Câu 16: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho ( ) f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn     , f x f x x x       và   0 1 f  . Tính   1 f . A. 2 e . B. 1 e . C. e . D. e 2 . Câu 17: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết rằng là một nguyên hàm của trên khoảng . Gọi là một nguyên hàm của thỏa mãn , giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Câu 18: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số   y f x  . Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức     sin = cos cos x f x xdx f x x xdx      . Hỏi hàm số   y f x  là hàm số nào trong các hàm số sau? A.   ln x f x     . B.   ln x f x    . C.   ln x f x    . D.   ln x f x     . Câu 19: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm cấp hai trên   0;   thỏa mãn         2 2 cos , 0; ; 4 0          xf x f x x x x x f . Giá trị biểu thức   9 f  là: A. 0 . B. 3   . C.   . D. 2   . Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Giả sử   F x là một nguyên hàm của hàm số     2 ln 3   x f x x thỏa mãn     2 1 0    F F và     1 2 ln 2 ln 5     F F a b , với a, b là các số hữu tỷ. Giá trị của 3 6  a b bằng A. 4  . B. 5. C. 0. D. 3  . Câu 21: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số   f x liên tục và có đạo hàm trên 0; 2        , thỏa mãn     3 tan . cos x f x x f x x    . Biết rằng 3 3 ln 3 3 6 f f a b                   trong đó , a b  . Giá trị của biểu thức P a b   bằng A. 14 9 B. 2 9  C. 7 9 D. 4 9    1 e x x C     1 e x x C     f x     2 2 2 , x f x xf x xe x          0 1 f    2 . e x x f x   2 2 1 x C     2 2 2 1 1 2 x x e C      2 2 2 1 x x e C      2 2 1 1 2 x C   e x x   f x    ;       F x   e x f x    0 1 F    1 F  7 2 5 e 2  7 e 2  5 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông NGUYÊN HÀM HÀM ẨN Câu 1: Cho hàm số ( ) f x xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn 2 ( ) 2 1 f x x    , (0) 1 f  và (1) 2 f  . Giá trị của biểu thức ( 1) (3) f f   bằng A. 4 ln5  . B. 2 ln15  . C. 3 ln15  . D. ln15. Câu 2: Cho hàm số ( ) f x xác định trên 1 \ 3        thỏa mãn     3 , 0 1 3 1 f x f x     và 2 2 3 f        . Giá trị của biểu thức     1 3 f f   bằng A. 3 5ln 2  . B. 2 5ln 2   . C. 4 5ln 2  . D. 2 5ln 2  . Câu 3: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số   f x xác định trên   \ 2   thoả mãn   3 1 2 x f x x     ,   0 1 f  và   4 2 f   . Giá trị của biểu thức     2 3 f f   bằng A. 12 . B. ln 2 . C. 10 ln2  . D. 3 20ln2  . Câu 4: Cho hàm số   f x xác định trên   \ 2; 2   và thỏa mãn     2 4 ; 3 0 4 f x f x      ;   0 1 f  và   3 2 f  . Tính giá trị biểu thức       4 1 4 P f f f      . A. 3 3 ln 25 P   . B. 3 ln3 P   . C. 5 2 ln 3 P   . D. 5 2 ln 3 P   . Câu 5: Cho hàm số   f x xác định trên   \ 2;1   thỏa mãn   2 1 2 f x x x     ;     3 3 0 f f    và   1 0 3 f  . Giá trị của biểu thức       4 1 4 f f f     bằng A. 1 1 ln 2 3 3  . B. 1 ln80  . C. 1 4 1 ln 2 ln 3 5   . D. 1 8 1 ln 3 5  . Câu 6: Cho hàm số   f x xác định trên   \ 1   thỏa mãn   2 1 1 f x x    . Biết     3 3 0 f f    và 1 1 2 2 2 f f                . Giá trị       2 0 4 T f f f     bằng: A. 1 5 2 ln 2 9 T   . B. 1 9 1 ln 2 5 T   . C. 1 9 3 ln 2 5 T   . D. 1 9 ln 2 5 T  . Câu 7: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số   y f x  thỏa mãn     4 2 ' . f x f x x x   . Biết   0 2 f  . Tính   2 2 f . A.   2 313 2 15 f  . B.   2 332 2 15 f  . C.   2 324 2 15 f  . D.   2 323 2 15 f  . Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số   f x có đạo hàm trên   \ 0  thỏa mãn     2 f x f x x x    và   1 1 f   . Giá trị của 3 2 f       bằng A. 1 96 . B. 1 64 . C. 1 48 . D. 1 24 . Câu 9: (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn (1) 4 f  và 3 2 ( ) ( ) 2 3 f x xf x x x     với mọi 0 x  . Giá trị của (2) f bằng A. 5 . B. 10. C. 20 . D. 15. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 10: Cho hàm số   f x thỏa mãn         2 4 ' . " 15 12 ,  f x f x f x x x x      và   0 f    ' 0 f 1  . Giá trị của     2 1 f là A. 10. B. 8 . C. 5 2 . D. 9 2 . Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số   y f x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn   1;0  , đồng thời thỏa mãn điều kiện         2 3 2 , 1;0 f x f x x x e x        . Tính     0 1 A f f    . A. 1. A   B. 1 . A e  C. 1. A  D. 0. A  Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên nhận giá trị dương trên khoảng và thỏa mãn với mọi Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết luôn có hai số a và b để     4 0 4 ax b F x a b x      là một nguyên hàm của hàm số   f x và thỏa mãn         2 2 1 f x F x f x    . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a   , b   . B. 1 , 4 a b   . C. 1, 1 a b    . D.   1, \ 4 a b    . Câu 14: Cho hàm số   f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên   0;   thỏa mãn   1 2 15 f  và       2 2 4 0 f x x f x     . Tính       1 2 3 f f f   . A. 7 15 . B. 11 15 . C. 11 30 . D. 7 30 . Câu 15: Cho hàm số   f x xác định và liên tục trên  . Biết     6 . 12 13 f x f x x    và   0 2 f  . Khi đó phương trình   3 f x  có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Câu 16: Cho hàm số   f x xác định trên  thỏa mãn   e e 2 x x f x      ,   0 5 f  và 1 ln 0 4 f        . Giá trị của biểu thức     ln16 ln 4 S f f    bằng A. 31 2 S  . B. 9 2 S  . C. 5 2 S  . D.     0 . 2 1 f f  . Câu 17: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn   0 f x  , x    . Biết   0 1 f  và     ' 2 2 f x x f x   . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình   f x m  có hai nghiệm thực phân biệt. A. m e  . B. 0 1 m   . C. 0 m e   . D. 1 m e   . Câu 18: Cho hàm số   f x liên tục trên  và   0 f x  với mọi x   .       2 2 1 f x x f x    và   1 0,5 f   . Biết rằng tổng         1 2 3 ... 2017 a f f f f b      ;   , a b     với a b tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?   f x ,    0;        1 1, ' 3 1 f f x f x x    0. x    4 5 5. f     1 5 2. f     3 5 4. f     2 5 3. f   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1 a b    . B.   2017; 2017 a   . C. 1 a b   . D. 4035 b a   . Câu 19: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số   f x liên tục trên  ,   0 f x  với mọi x và thỏa mãn   1 1 2 f   ,       2 2 1 x f f x x    .Biết       1 2 ... 2019 1 a f f f b      với   , , , 1 a b a b    .Khẳng định nào sau đây sai? A. 2019 a b   . B. 2019 ab  . C. 2 2022 a b   . D. 2020 b  . Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên khoảng   0;   , biết       2 2 1 0 f x x f x     , 0 x   và   1 2 6 f  . Tính giá trị của biểu thức       1 2 ... 2019 P f f f     . A. 2021 2020 . B. 2020 2019 . C. 2019 2020 . D. 2018 2019 . Câu 21: Cho hàm số   0 f x  thỏa mãn điều kiện       ' 2 2 3 . f x x f x   và   1 0 2 f   . Biết tổng         1 2 ... 2017 2018 a f f f f b      với * , a b     và a b là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 a b   . B. 1 a b  . C. 1010 a b   . D. 3029 b a   . Câu 22: Cho hàm số   y f x  , 0 x   , thỏa mãn             2 3 . 2 0 0 0; 0 1 f x f x f x xf x f f                   . Tính   1 f . A. 2 3 . B. 3 2 . C. 6 7 . D. 7 6 . Câu 23: Giả sử hàm số ( ) f x liên tục, dương trên  ; thỏa mãn   0 1 f  và     2 1 f x x f x x    . Khi đó hiệu     2 2 2 1 T f f   thuộc khoảng A.   2;3 . B.   7;9 . C.   0;1 . D.   9;12 . Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số   0 f x  với mọi x   ,   0 1 f  và     1. f x x f x    với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.   2 f x  B.   2 4 f x   C.   6 f x  D.   4 6 f x   Câu 25: Giả sử hàm số   y f x  liên tục, nhận giá trị dương trên   0;    và thỏa mãn   1 1 f  ,     3 1 f x f x x    , với mọi 0 x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A.   4 5 5 f   . B.   2 5 3 f   . C.   3 5 4 f   . D.   1 5 2 f   . Câu 26: Cho hàm số   f x thỏa mãn       2 4 . 15 12 f x f x f x x x           , x    và     0 0 1 f f    . Giá trị của   2 1 f bằng A. 9 2 . B. 5 2 . C. 10 . D. 8. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 27: Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa mãn     1 2 1 3 d 5 1 f x x x C x x         . Nguyên hàm của hàm số   2 f x trên tập   là: A.   2 3 2 4 x C x    . B. 2 3 4 x C x    . C.   2 2 3 4 1 x C x    . D.   2 2 3 8 1 x C x    . Câu 28: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn (1) 3 f  và (4 '( )) ( ) 1 x f x f x    với mọi 0 x  . Tính (2) f . A. 6 . B. 2 . C. 5 . D. 3 . Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số   y f x  xác định trên  , thỏa mãn   0 f x  , x    và     2 0 f x f x    . Tính   1 f  biết rằng   1 1 f  . A. 4 e  . B. 3 e . C. 4 e . D. 2 e  . Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết luôn có hai số a và b để     4 0 4 ax b F x a b x      là một nguyên hàm của hàm số   f x và thỏa mãn         2 2 1 f x F x f x    . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a   , b   . B. 1, 4 a b   . C. 1, 1 a b    . D.   1, \ 4 a b    . Câu 31: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số ( ) 0 f x  ;       2 2 1 . f x x f x    và   1 0,5 f   . Biết tổng         1 2 3 ... 2017 a f f f f b      ;   ; a b     với a b tối giản. Chọn khẳng định đúng. A. 1 a b   . B. 1 a b   . C. 4035 b a   . D. 1 a b    . Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số   f x liên tục không âm trên 0; 2        , thỏa mãn       2 . cos 1 f x f x x f x    với mọi 0; 2 x         và   0 3 f  . Giá trị của 2 f        bằng A. 2 . B. 1. C. 2 2 . D. 0 . Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số   f x liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện:   0 2 2,  f   0,  f x    x và         2 . 2 1 1 ,     f x f x x f x    x . Khi đó giá trị   1 f bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . Câu 34: (THPT YÊN PHONG 1 NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số   f x liên tục trên tập  thỏa mãn     2 1 2 1 f x x x f x     và   1 f x   ,   0 0 f  . Tính   3 f . A. 3 . B. 9. C. 3. D. 0. Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   0;4 thỏa mãn           2 2 3 2 1               f x f x f x f x x và   0  f x với mọi   0;4  x . Biết rằng     0 0 1    f f , giá trị của   4 f bằng A. 2 e . B. 2e . C. 3 e . D. 2 1  e . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 36: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số   f x thỏa mãn       2 2 1 1 . " xf x x f x f x             với mọi x dương. Biết     1 1 1 f f    . Giá trị   2 2 f bằng A.   2 2 2 ln 2 2 f   . B.   2 2 2 ln 2 2 f   . C.   2 2 ln 2 1 f   . D.   2 2 ln 2 1 f   . Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số   f x thỏa mãn         2 4 ' . " 15 12 ,  f x f x f x x x x      và   0 f    ' 0 f 1  . Giá trị của     2 1 f là A. 10. B. 8 . C. 5 2 . D. 9 2 . TÍCH PHÂN 1. Công thức tính tích phân     b b a a f x dx F x F b F a ( ) ( ) ( ) ( ) . * Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  b a f x dx ( ) hay  b a f t dt ( ) . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. 2. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số   f x và   g x liên tục trên , , , K a b c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : 1.   a a f x dx ( ) 0 2.     b a a b f x dx f x dx ( ) ( ) . 3.      b c b a a c f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) 4.           b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( ) . 5.    b b a a kf x dx k f x dx ( ) . ( ) . 6. Nếu f(x) x a b 0, ;        thì :         b a f x dx x a b ( ) 0 ; 7. Nếu b b a a x a b f x g x f x dx g x dx ; : ( ) ( ) ( ) ( )            . 8. Nếu       x a b ; Nếu   M f x N ( ) thì          b a M b a f x dx N b a ( ) . 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến 1.1. Phương pháp đổi biến dạng 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Định lí Nếu hàm số  u u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn     a b ; sao cho     f x dx g u x u x dx g u du ( ) ( ) '( ) ( ) thì:     u b b a u a I f x dx g u du ( ) ( ) ( ) ( ) . 1.2. Phương pháp chung Bước 1: Đặt    u u x du u x dx ' ( ) ( ) Bước 2: Đổi cận :      x b u u b x a u u a ( ) ( ) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u Vậy:           u b b b a a u a I f x dx g u x u x dx g u du ( ) ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) 2.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 Định lí Nếu 1) Hàm  x u t ( ) có đạo hàm liên tục trên       ; 2) Hàm hợp f u t ( ( )) được xác định trên       ; , 3)     u a u b ( ) , ( ) Khi đó:       b a I f x dx f u t u t dt ' ( ) ( ( )) ( ) . 2.2. Phương pháp chung Bước 1: Đặt    x u t Bước 2: Tính vi phân hai vế :    x u t dx u t dt ( ) '( ) Đổi cận:        x b t x a t Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t Vậy:               b a I f x dx f u t u t dt g t dt ( ) ( ) '( ) ( )        G t G G ( ) ( ) ( ) 2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí Nếu   u x và   v x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên     a b ; thì:       b b a a b u x v x dx u x v x v x u x dx a ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hay  b a udv  b uv a   b a vdu 2.1 Phương pháp chung Bước 1: Viết   f x dx dưới dạng  udv uvdx ' bằng cách chọn một phần thích hợp của   f x làm   u x và phần còn lại  dv v x dx '( ) Bước 2: Tính  du u dx ' và   v dv   v x dx '( ) Bước 3: Tính  b a vu x dx '( ) và b uv a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông * Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. Đặt u theo thứ tự ưu tiên: Lốc-đa-mũ-lượng  b x a P x e dx ( )  b a P x xdx ( )ln  b a P x xdx ( )cos  b x a e xdx cos u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Nên chọn u là phần của   f x mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn  dv vdx ' là phần của   f x dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. 3. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 3.1. Tích phân hàm hữu tỉ Dạng 1 I =              dx adx ax b ax b a ax b a 1 1 ln . (với a≠0) Chú ý: Nếu I =                  k k k dx ax b adx ax b a a k ax b 1 1 1 ( ) . .( ) (1 ) ( ) Dạng 2          dx I a ax bx c 2 0 (    ax bx c 2 0 với mọi        x ; ) Xét    b ac 2 4 . Nếu 0   thì         b b x x a a 1 2 ; 2 2                   a x x x x a x x x x x x ax bx c 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) thì : I dx x x x x a x x x x x x a x x x x a x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ln ln ( ) ( ) 1 ln ( )                                  Nếu 0   thì             b x a ax bx c a x x 0 2 2 0 1 1 2 ( ) thì I =                dx dx a a x x ax bx c x x 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ) Nếu   0 thì                                       dx dx I ax bx c b a x a a 2 2 2 2 2 4 Đặt            b x t dx t dt a a a 2 2 2 1 tan 1 tan 2 2 4 Dạng 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông           mx n I dx a ax bx c 2 , 0 . (trong đó     mx n f x ax bx c 2 ( ) liên tục trên đoạn       ; ) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:            mx n A ax bx c B ax bx c ax bx c ax bx c 2 2 2 2 ( )'        A ax b B ax bx c ax bx c 2 2 (2 ) Ta có I=                    mx n A ax b B dx dx dx ax bx c ax bx c ax bx c 2 2 2 (2 ) Tích phân       A ax b dx ax bx c 2 (2 ) =     A ax bx c 2 ln Tích phân      dx ax bx c 2 thuộc dạng 2. Dạng 4   b a P x I dx Q x ( ) ( ) với   P x và   Q x là đa thức của x . Nếu bậc của   P x lớn hơn hoặc bằng bậc của   Q x thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của   P x nhỏ hơn bậc của   Q x thì có thể xét các trường hợp: Khi   Q x chỉ có nghiệm đơn    n 1 2 , ,..., thì đặt           n n A A A P x Q x x x x 1 2 1 2 ( ) ... ( ) . Khi   Q x có nghiệm đơn và vô nghiệm              Q x x x px q p q 2 2 ( ) , 4 0 thì đặt        P x A Bx C Q x x x px q 2 ( ) . ( ) Khi   Q x có nghiệm bội      Q x x x 2 ( ) ( )( ) với    thì đặt            A P x B C Q x x x x 2 ( ) ( ) .      Q x x x 2 3 ( ) ( ) ( ) với    thì đặt                    P x A B C D E x x x x x x x 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.2. Tích phân hàm vô tỉ  b a R x f x dx ( , ( )) Trong đó     , R x f x có dạng: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông a x R x a x ,           Đặt x acos t t 2 , 0; 2            R x a x 2 2 ,  Đặt x a t sin  hoặc x a t cos  n ax b R x cx d ,           Đặt n ax b d t cx        R x f x ax b x x 2 1 , ( )        Với     x k x b x a 2 '        Đặt t x x 2       , hoặc Đặt t ax b 1     R x a x 2 2 ,  Đặt x a t tan  , t ; 2 2             R x x a 2 2 ,  Đặt x a x cos  , t [0; ]\ 2            i n n n R x x x 1 2 ; ;...; Gọi   1 2 ; ;...; i k BSCNN n n n  . Đặt k x t  Dạng 1        I dx a ax bx c 2 1 0   Từ :                                   2 b x u b a f(x)=ax bx c a x du dx a a K a 2 2 2 2 4 2 Khi đó ta có : Nếu            a f x a u k f x a u k 2 2 2 2 0, 0 ( ) ( ) . (1) Nếu :                      a b f x a x b f x a x a u a a 2 0 0 ( ) ( ) . 2 2 (2) Nếu :   0 . Với 0 a  :                f x a x x x x f x a x x x x 1 2 1 2 ( ) ( ) . (3) Với 0 a  :                  f x a x x x x f x a x x x x 1 2 1 2 ( ) ( ) . (4) Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau : Phương pháp : * Trường hợp :            a f x a u k f x a u k 2 2 2 2 0, 0 ( ) ( ) . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó đặt :     2 ax bx c t a x .                                      t c x dx tdt b a bx c t ax b a x t t x t t t c t a x t a b a 2 2 2 0 1 2 ; 2 2 2 , . 2 * Trường hợp :                      a b f x a x b f x a x a u a a 2 0 0 ( ) ( ) . 2 2 Khi đó :                                          b b x x a a a I dx dx b b b b a a x x x x a a a a a 1 ln : 0 2 2 1 1 1 1 ln : 0 2 2 2 2 * Trường hợp :    a 0, 0 . Đặt :                     2 x x t ax bx c a x x x x x x t 1 1 2 2 * Trường hợp :    a 0, 0. Đặt :                     2 x x t ax bx c a x x x x x x t 1 1 2 2 Dạng 2         mx n I dx a ax bx c 2 0   Phương pháp : Bước 1: Phân tích                 2 2 2 2 Ad ax bx c mx n B f x ax bx c ax bx c ax bx c . ( ) 1 Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số , A B Bước 3: Giải hệ tìm , A B thay vào (1) Bước 4 : Tính   2 2 I A ax bx c B dx ax bx c 1 2            (2) Trong đó         dx a ax bx c 2 1 0 đã biết cách tính ở trên Dạng 3             I dx a mx n ax bx c 2 1 0 Phương pháp : Bước 1: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Phân tích :                2 2 n mx n ax bx c m x ax bx c m 1 1 . (1) Bước 2: Đặt :                                              2 n y t dy dx x t m x t n x y m x t ax bx c a t b t c y y y 2 1 1 1 1 1 1 Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :        dy I Ly My N ' 2 ' . Tích phân này chúng ta đã biết cách tính . Dạng 4                         m x I R x y dx R x dx x ; ; ( Trong đó :   ; R x y là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và     , , , là các hằng số đã biết ) Phương pháp : Bước 1: Đặt : m t x x        (1) Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng     x t Bước 3: Tính vi phân hai vế :     dx t dt ' và đổi cận Bước 4: Tính :                              m x R x dx R t t t dt x ' ' ; ; ' 3.3. Tích phân hàm lượng giác Một số dạng tích phân lượng giác Nếu gặp ta đặt . Nếu gặp dạng ta đặt . Nếu gặp dạng ta đặt . Nếu gặp dạng ta đặt . Dạng 1 * Phương pháp     sin .cos b a I f x xdx  sin t x     cos .sin b a I f x xdx  cos t x     2 tan cos b a dx I f x x  tan t x     2 cot sin b a dx I f x x  cot t x     n n 1 2 = sinx dx ; cosx dx   I I ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc Nếu 3 n  thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi Nếu 3n lẻ ( ) 2 1 n p   thì thực hiện biến đổi: Dạng 2   sin cos , m n I x xdx m n N    * Phương pháp Trường hợp 1: , m n là các số nguyên a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. b. Nếu m chẵn, n lẻ ( ) 2 1 n p   thì biến đổi: c. Nếu m lẻ   2 1 m p   , n chẳn thì biến đổi: d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn. Nếu , m n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u sinx  (*) Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số là số nguyên Dạng 3 ( ). n N            n 2p+1 1 = sinx dx = sinx dx         p p I x xdx x d x 2 2 sin sin 1 cos cos                                                         k p k p k p p p p p k p k p k p p p p p C C x C x C x d x C x C x C x C x c k p 0 1 2 2 2 2 1 2 1 0 1 3 cos ... 1 cos ... 1 cos cos 1 1 1 cos cos ... cos ... cos 3 2 1 2 1           n 2p+1 2 = cosx dx = cosx dx        p p I x xdx x d x 2 2 cos cos 1 sin sin                                                       k p k p k p p p p p k p k p k p p p p p C C x C x C x d x C x C x C x C x c k p 0 1 2 2 2 2 1 2 1 0 1 3 sin ... 1 sin ... 1 sin sin 1 1 1 sin sin ... sin ... sin 3 2 1 2 1               m 2p+1 I = sinx cosx dx       p m p m x x xdx x x d x 2 2 sin cos cos sin 1 sin sin                                                                     k p m k p k p p p p p m m k m p m k p k p p p p p x C C x C x C x d x x x x x C C C C c m m k m p m 0 1 2 2 2 1 3 2 1 2 1 0 1 sin sin ... 1 sin ... 1 sin sin sin sin sin sin ... 1 ... 1 1 3 2 1 2 1               2p+1 n I = sinx cosx dx        p n p n x x xdx x x d x 2 2 cos sin sin cos 1 cos cos                                                                       k p n k p k p p p p p n n k n p n k p k p p p p p x C C x C x C x d x x x x x C C C C c n n k n p n 0 1 2 2 2 1 3 2 1 2 1 0 1 cos cos ... 1 cos ... 1 cos cos cos cos cos cos ... 1 ... 1 1 3 2 1 2 1                n n m m n m B x xdx x x xdx u u du 1 1 2 2 2 2 sin cos sin cos cos 1    m n m k 1 1 ; ; 2 2 2     n n 1 2 = tan x dx ; = cot x dx   I I             dx x dx d x x c x 2 2 1 tan tan tan cos ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN Câu 1. (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết 1 2 0 3 1 5 d 3ln 6 9 6 x a x x x b       , trong đó a , b là hai số nguyên dương và a b là phân số tối giản. Khi đó 2 2 a b  bằng A. 7. B. 6. C. 9. D. 5. Câu 2. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích phân 3 3 2 2 1 d ln 3 ln 2      x a b c x x với a , b ,   c . Tính    S a b c . A. 2 3   S . B. 7 6   S . C. 2 3  S . D. 7 6  S . Câu 3. (Sở Phú Thọ) Cho 4 2 3 5x 8 x ln 3 ln 2 ln 5 3x 2 d a b c x        với , , a b c là các số hữu tỉ. Giá trị của 3 2 a b c   bằng A. 12 . B. 6. C. 1. D. 64 . Câu 4. (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho 5 2 2 3 2 d ln 2 ln 3 3 2 x x a b c x x        với , , a b c  . Tính giá trị của biểu thức P a b c    . A. 9. B. 5. C. 3. D. 4 . Câu 5. (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho 1 2 2 0 4 15 11 d ln 2 ln 3 2 5 2 x x x a b c x x         với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức . T a c b   bằng A. 4 . B. 6 . C. 1 2  . D. 1 2 . Câu 6. Biết . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 7. Biết với là các số nguyên dương. Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 8. Biết với , , là các số nguyên dương. Tính . A. . B. . C. . D. .               dx x dx d x x C x 2 2 1 cot cot cot sin            x d x xdx dx x C x x sin cos tan ln cos cos cos          x d x xdx dx x C x x cos sin cot ln sin sin sin       2 3 2 1 d ln 1 2 3 6 11 6 m n p x x x x x C x x x             4 m n p   5 0 2 4   2 1 d 2 2 x a b c x x x x        , , a b c P a b c    2 P  8 P  46 P  22 P    2 1 d 1 1 x I a b c x x x x         a b c P a b c    24 P  12 P  18 P  46 P  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 9. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số 2 0 ( ) sin . x G x tdt   Tính đạo hàm của hàm số ( ). G x A. ( ) 2 sin G x x x   B. ( ) 2 cos G x x x   C. ( ) cos G x x   D. ( ) 2 sin G x x x   Câu 10. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Biết rằng 2 0 4sin 7cos d 2ln 2sin 3cos x x b I x a x x c         với * 0; , ; b a b c c    tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức P a b c    . A. 1   . B. 1 2   . C. 1 2   . D. 1. Câu 48: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân 4 0 1 2 ln 5 2 cot tan 12 6 a dx b c x x                       với , , a b c là các số nguyên dương. Tính 2 2 2 a b c   A. 48 . B. 18 . C. 34. D. 36. Câu 4: Biết 5 1 2 2 1 4 ln 2 ln 5 x I dx a b x        , với , a b là các số nguyên. Tính . S a b   A. 9. S  B. 11. S  C. 5. S  D. 3. S   Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số   y f x  liên tục trên   \ 1;0   thỏa mãn   1 2 ln 2 1 f   ,           1 2 1 x x f x x f x x x       ,   \ 1;0 x     . Biết   2 ln 3 f a b   , với , a b là hai số hữu tỉ. Tính 2 T a b   . A. 3 16 T   . B. 21 16 T  . C. 3 2 T  . D. 0 T  . Câu 12. (Chuyên Vinh Lần 3)Cho biết   2 9 ln x e e f x t tdt   , tìm điểm cực trị của hàm số đã cho A. 2 x  B. 0 x  C. 1 x   D. 6 x  Câu 13. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho 4 2 1 1 . 4 . x b c x x e dx a e e x x e       với a, b, clà các số nguyên. Tính giá trị a b c   . A. 4  . B. 5  . C. 3  . D. 3. Câu 14.   3 2 3 2 d 6 f x x       .Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 2 1 2018.e 2018 e d k kx x k    . Số phần tử của tập hợp S bằng. A. 7 . B. 8 . C. Vô số. D. 6 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 15. (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   1;3  thỏa mãn   1 0 d 2 f x x   và   3 1 d 4 f x x   . Tính   3 1 d f x x   . A. 6. B. 4. C. 8. D. 2. Câu 16. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên m để   2 2 2 2 2 2 0 0 2 d 2 d x m x x m x      . A. Vô số. B. 0. C. Duy nhất. D. 2 . Câu 17. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết   2 0 d 6 f x x x        và     2 0 3 d 10 f x g x x        . Tính     2 0 2 +3 d I f x g x x       . A. 12 I  . B. 16 I  . C. 10 I  . D. 14 I  . Câu 18. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết   2 0 d 6 f x x x        và     2 0 3 d 10 f x g x x        . Tính     2 0 2 +3 d I f x g x x       . A. 12 I  . B. 16 I  . C. 10 I  . D. 14 I  . Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính A. B. C. D. Câu 19. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn (0) 3 f  và 2 ( ) (2 ) 2 2, f x f x x x x        . Tích phân 2 0 ( )d xf x x   bằng A. 4 3  . B. 2 3 . C. 5 3 . D. 10 3  . Câu 20. Biết rằng hàm số thỏa mãn , và (với , , ). Tính giá trị của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Câu 21. Cho hàm số   f x xác định trên   \ 0  , thỏa mãn   3 5 1 f x x x    ,   1 f a  và   2 f b   . Tính     1 2 f f   . A.     1 2 f f a b      . B.     1 2 f f a b     . C.     1 2 f f a b     . D.     1 2 f f b a     .   f x   0;1         2 1 1 2 0 0 1 ' 1 . . 4 x e f x dx x e f x dx         1 0 f    1 0 ? f x dx   2 e  2 e  e 1 e    2 f x ax bx c      1 0 7 d 2 f x x      2 0 d 2 f x x      3 0 13 d 2 f x x   a b c   P a b c    3 4 P   4 3 P   4 3 P  3 4 P  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 22. Cho hàm số   f x xác định trên   \ 0  và thỏa mãn   2 4 1 f x x x    ,   1 f a  ,   2 f b   . Giá trị của biểu thức     1 2 f f   bằng A. b a  . B. a b  . C. a b  . D. a b   . Câu 55: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn khi . Biết và . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 57: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng và thỏa , . Mệnh đề nào đúng? A. . B. . C. . D. . Câu 23. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn   1 ;1  , thỏa mãn   0, f x x     và     2 0 f x f x    . Biết   1 1 f  , tính   1 f  . A.   2 1 f e    . B.   3 1 f e   . C.   4 1 f e   . D.   1 3 f   . Câu 24. Cho hàm số f liên tục,   1 f x   ,   0 0 f  và thỏa     2 1 2 1 f x x x f x     . Tính   3 f . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. Câu 25. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn   0 f x  khi   1, 2 x  . Biết   2 1 ' 10 f x dx   và     2 1 ' ln 2 f x dx f x   . Tính   2 f . A.   2 10 f   . B.   2 20 f  . C.   2 10 f  . D.   2 20 f   . Câu 26. Cho hàm số   y f x  có đồ thị   C , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện   0 f x x     ,       2 . , f x x f x x      và   0 2 f  . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 1 x  của đồ thị   C là. A. 6 30 y x   . B. 6 30 y x    . C. 36 30 y x   . D. 36 42 y x    . Câu 27. Cho hàm số   0 y f x   xác định, có đạo hàm trên đoạn   0;1 và thỏa mãn:     0 1 2018 dt x g x f t    ,     2 g x f x  . Tính   1 0 d g x x  . A. 1011 2 . B. 1009 2 . C. 2019 2 . D. 505. Câu 28. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 đồng thời thỏa mãn   0 9 f   và     2 9 9 f x f x x           . Tính     1 0 T f f   . A. 2 9ln 2 T   . B. 9 T  . C. 1 9ln 2 2 T   . D. 2 9ln 2 T   . Câu 29. Cho hàm số   y f x  thỏa mãn     4 2 . f x f x x x    . Biết   0 2 f  . Tính   2 2 f . A.   2 313 2 15 f  . B.   2 332 2 15 f  . C.   2 324 2 15 f  . D.   2 323 2 15 f  .   f x   0  f x   1,2  x   2 1 ' 10   f x dx     2 1 ' ln 2   f x dx f x   2 f   2 10   f   2 20  f   2 10  f   2 20   f    y f x   0;     1 1  f     ' 3 1   f x f x x   1 5 2   f   4 5 5   f   2 5 3   f   3 5 4   f ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 30. Cho hàm số   y f x  có   f x  liên tục trên nửa khoảng   0;   thỏa mãn     2 3 1 3.e x f x f x      . Khi đó: A.     3 2 1 1 e 1 0 2 e 3 f f     . B.     3 2 1 1 e 1 0 4 2 e 3 f f     . C.       2 2 3 e 3 e 3 8 e 1 0 3 f f      . D.       3 2 2 e 1 0 e 3 e 3 8 f f      . Câu 114: Cho hàm số   y f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm   f x  liên tục trên R thỏa mãn           2 2 2 0 2018 x f x f t f t dt              . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.   1 2018 f e  . B.   1 2018 f  . C.   1 2018 f  . D.   1 2018 f e  . Câu 116: Cho hàm số   y f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm   f x  liên tục trên R thỏa mãn           2 2 2 0 2 4 2018 x f x f t f t dt              . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.   2 1 1009 f e  . B.   1 1009 f e  . C.   1 1009 f e  . D.   2 1 1009 f e  . Câu 31. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 ,   f x và   f x  đều nhận giá trị dương trên đoạn   0;1 và thỏa mãn   0 2 f  ,         1 1 2 0 0 . 1 d 2 . d f x f x x f x f x x               . Tính   1 3 0 d f x x      . A. 15 4 . B. 15 2 . C. 17 2 . D. 19 2 . Câu 32. Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên   \ 0  thỏa mãn         2 2 2 1 1 x f x x f x xf x      với   \ 0 x    và   1 2 f   . Tính   2 1 f x dx  . A. 1 ln 2 2   . B. 3 ln 2 2   . C. ln 2 1 2   . D. 3 ln 2 2 2   . Câu 33. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 và thỏa mãn   0 0 f  . Biết   1 2 0 9 d 2 f x x   và   1 0 3 cos d 2 4 x f x x      . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 1  . B. 4  . C. 6  . D. 2  . Câu 53: Cho hàm số liên tục trên và thỏa . Tính . A. . B. . C. . D. .   f x   0;     2 0 .cos    x f t dt x x   4 f   4 123  f   2 4 3  f   3 4 4  f   1 4 4  f ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 34. Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   0; 1 , thỏa mãn     1 1 0 0 d d 1 f x x xf x x     và   1 2 0 d 4 f x x       . Giá trị của tích phân   1 3 0 d f x x      bằng A. 1. B. 8. C. 10 . D. 80. Câu 35. Cho hàm số   f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn   4;8 và   0 0 f  với   4;8 x   . Biết rằng     2 8 4 4 1 f x dx f x            và     1 1 4 , 8 4 2 f f   . Tính   6 f . A. 5 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . Câu 36. Suy ra     2 2 0 0 4 d 8 d 2 f x x f x x      . Cho hàm số   y f x  liên tục trên   \ 0; 1   thỏa mãn điều kiện   1 2 ln 2 f   và       2 1 . x x f x f x x x      . Giá trị   2 ln 3 f a b   , với , a b   . Tính 2 2 a b  . A. 25 4 . B. 9 2 . C. 5 2 . D. 13 4 . Câu 37. Cho hàm số   f x có đạo hàm   f x  liên tục trên  và thỏa mãn     1;1 f x    với   0; 2 x   . Biết     0 2 1 f f   . Đặt   2 0 d I f x x   , phát biểu nào dưới đây đúng? A.   ;0 I    . B.   0;1 I  . C.   1; I    . D.   0;1 I  . Câu 38. Cho hàm số   f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   0 1 f  và         1 1 2 0 0 1 3 d 2 d 9 f x f x x f x f x x                 . Tính tích phân   1 3 0 d f x x      : A. 3 2 . B. 5 4 . C. 5 6 . D. 7 6 . Câu 39. Cho hai hàm số   f x và   g x có đạo hàm trên đoạn   1; 4 và thỏa mãn hệ thức             1 1 4 . ; . f g g x x f x f x x g x              . Tính     4 1 d I f x g x x        . A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2. D. 4ln2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn [ ; ]. a b Giả sử hàm số ( ) u u x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ] a b và ( ) . u x     Giả sử có thể viết ( ) ( ( )) '( ), [ ; ], f x g u x u x x a b   với g liên tục trên đoạn [ ; ].   Khi đó, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) . u b b a u a I f x dx g u du     Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Có ( ) f x ( ) t f x  3 3 0 1 x dx I x    . Đặt 1 t x   Có ( ) n ax b  t ax b   1 2016 0 ( 1) I x x dx    . Đặt 1 t x   Có ( ) f x a ( ) t f x  tan 3 4 2 0 cos x e I dx x     . Đặt tan 3 t x   Có ln dx và x x ln t x  hoặc biểu thức chứa ln x 1 ln (ln 1) e xdx I x x    . Đặt ln 1 t x   Có x e dx x t e  hoặc biểu thức chứa x e ln 2 2 0 3 1 x x I e e dx    . Đặt 3 1 x t e   Có sin xdx cos t x  3 2 0 sin cos I x xdx    . Đặt sin t x  Có cos xdx sin t xdx  3 0 sin 2cos 1 x I dx x     Đặt 2cos 1 t x   Có 2 cos dx x tan t x  2 4 4 4 2 0 0 1 1 (1 tan ) cos cos I dx x dx x x        Đặt tan t x  Có 2 sin dx x cot t x  cot cot 4 2 6 1 cos 2 2sin x x e e I dx dx x x        . Đặt cot t x  Câu 1. Giá trị của tích phân     100 0 1 ... 100 d x x x x    bằng A. 0. B. 1. C. 100. D. một giá trị khác. Câu 2. (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân   1 2 0 1 d n I x x x    theo n . A. 1 2 2 I n   . B. 1 2 I n  . C. 1 2 1 I n   . D. 1 2 1 I n   . Câu 3. (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân   2 1 2 0 1 d ln 1 x I x a b c x       , trong đó a ; b ; c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a b c   . A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 . Câu 4. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết 1 2 0 2 d ln 12 ln 7 4 7 x x a b x x       , với a , b là các số nguyên, khi đó 3 3 a b  bằng A. 9  . B. 0 . C. 9 . D. 7 . Câu 5. (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho 2 2 0 d ln 3 2 4       x x a b x x với a, b là các số thực. Giá trị của 2 2 3  a b bằng A. 7 27 . B. 1 2 . C. 5 18 . D. 35 144 . Câu 6. Tích phân 2 2001 2 1002 1 (1 ) x I dx x    có giá trị là ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1001 1 2002.2 . B. 1001 1 2001.2 . C. 1002 1 2001.2 . D. 1002 1 2002.2 . Câu 7. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng , với là các số hữu tỉ. Giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Câu 8. (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho 8 3 1 1 d ln 2 1 a c I x b d x x x       với , , , a b c d là các số nguyên dương và , a c b d tối giản. Giá trị của abc d  bằng A. 6  . B. 18. C. 0 . D. 3  . Câu 9. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng , với là các số hữu tỉ. Giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Câu 10. Biết   2 1 d 1 1 x a b c x x x x        với a , b , c là các số nguyên dương. Tính P a b c    . A. 44 P  . B. 42 P  . C. 46 P  . D. 48 P  . Câu 11. Tích phân 1 2 3 2 0 1 a x ax I dx ax     , với 0 a  có giá trị là: A.   2 4 a a I   . B.   2 2 a a I   . C.   2 4 a a I   . D.   2 2 a a I   . Câu 12. Biết rằng 1 2 0 d 2 2ln 1 4 3 x a b x x               với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a b  bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . Câu 13. Biết 2 3 3 3 2 8 11 1 1 1 1 2 d a x x c x x x b              , với , , a b c nguyên dương, a b tối giản và  c a . Tính    S a b c A. 51  S . B. 67  S . C. 39  S . D. 75  S . Câu 14. Cho số thực dương 0 k  thỏa   2 2 0 ln 2 5 dx x k     . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 2 k  . B. 1 0 2 k   . C. 1 1 2 k   . D. 3 1 2 k   . Câu 15. Giả sử 2 2 4 1 1 1 d x b x a a b x c b c            với , , a b c   ; 1 , , 9 a b c   . Tính giá trị của biểu thức 2 b a a c C   . A. 165. B. 715. C. 5456. D. 35. 1 2 d ln 2 ln 3 ln5 5 3 9 x a b c x x         , , a b c a b c   10  5  10 5   4 0 d ln 3 ln 5 ln 7 4 1 5 2 1 x a b c x x        , , a b c a b c   0 4 3  1 4 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 16. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 3 0 ln 2 ln 3 3 4 2 1 x a dx b c x       với a,b,c là các số nguyên. Giá trị a b c   bằng: A. 9 B. 2 C. 1 D. 7 Câu 17. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho 1 3 1 2 1 d ln 1 x b x d x a c           , với , , , a b c d là các số nguyên dương và b c tối giản. Giá trị của a b c d    bằng A. 12 B. 10 C. 18 D. 15 Câu 18. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân 2 3 2 2 2 1 2 1 1 . 1 . 14 .d 3 a I x x c d x x b                  , trong đó ( , , , a b c d   , a b là phân số tối giản). Tính tổng S a b c d     . A. 3 S  . B. 7 S  . C. 2 S  . D. 11 S  . Câu 19. (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Biết 2 3 3 3 2 8 11 1 1 1 1 2 a x dx c x x x b              với a, b , c nguyên dương, a b tối giản và c a  . Tính S a b c    . A. 51 S  . B. 39 S  . C. 67 . D. 75 . Câu 20. (THTT số 3) Cho tích phân 1 0 1 d 1 x a m x x b n       , với , , , a b n m    , các phân số , a m b n tối giản. Tính b n a m  . A. 3. B. 5. C. 8. D. 2. Câu 21. (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho 1 3 1 2 1 ln , 1 x b dx d x a c           với , , , a b c d là các số nguyên dương và b c tối giản. Giá trị của a b c d    bằng A. 12. B. 10. C. 18. D. 15. Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn ;2 4         thỏa mãn 0 sin 2 d 3 1 3cos a x x x    . A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3. Câu 23. Nếu 6 0 1 sin cos d 64 n x x x    thì n bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 24. Cho các tích phân 0 1 1 tan I dx x     và 0 sin cos sin x J dx x x     với 0; 4          , khẳng định sai là A. 0 cos cos sin x I dx x x     . B. ln sin os I J c      . C. ln 1 tan I    . D. I J    . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 25. Cho biết 4 0 cos ln 2 sin cos x dx a b x x       với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó a b bằng: A. 1 4 . B. 3 8 . C. 1 2 . D. 3 4 . Câu 26. Tích phân   3 2 3 sin cos 3 sin x I dx x x       có gái trị là: A. 3 3 2 3 ln 16 8 3 2 I              . B. 3 3 2 3 ln 8 8 3 2 I              . C. 3 3 2 3 ln 8 8 3 2 I               . D. 3 3 2 3 ln 16 8 3 2 I               . Câu 27. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Biết   2 0 3sin cos 11 ln2 ln3 , 2sin 3cos 3 x x dx b c b c Q x x          . Tính b c ? A. 22 3 . B. 22 3  . C. 22 3  . D. 22 13  . Câu 28. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết   2 3 4 3 4 cos sin cos 1 d ln 2 ln 1 3 cos sin cos x x x x a b c x x x           , với , , a b c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng A. 0 . B. 2  . C. 4  . D. 6  . Câu 29. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho       2 4 1 cos sin cot sin x x x F x dx x     và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình   2 F x F         trên khoảng   0;4  . Tổng S thuộc khoảng A.   6 ;9   . B.   2 ;4   . C.   4 ;6   . D.   0;2  . Câu 30. Tích phân   2 3 cos sin cos 1 cos x x x I dx e x x       có giá trị là: A. 3 3 2 3 2 ln 2 e e I e             . B. 3 3 2 3 2 ln 2 e e I e             . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông C. 3 3 2 3 2 ln 2 e e I e             . D. 3 3 2 3 2 ln 2 e e I e             . Câu 31. (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Biết 2018 2018 2018 0 sin d sin cos a x x x x x b      , trong đó a , b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 2 3 2 3 P a b   là A. 32 P  . B. 194 P  . C. 200 P  . D. 100 P  . Câu 32. Xét tích phân 4 2 2 0 1 3sin 2cos 2 A dx x x      . Bằng cách đặt tan , t x  tích phân A được biến đổi thành tích phân nào sau đây. A. 1 2 0 1 4 dt t   . B. 1 2 0 1 4 dt t   . C. 1 2 0 1 2 dt t   . D. 1 2 0 1 2 dt t   . Câu 33. Đặt tan 2 x t  thì 2 6 0 1 cos 2 I dx x    được biến đổi thành   1 0 2 f t dt  . Hãy xác định   f t : A.   2 4 1 2 . f t t t    B.   2 4 1 2 . f t t t    C.   2 1 . f t t   D.   2 1 . f t t   Câu 34. Biết 2 6 2 6 cos 3 d 1 x x x a b c x x            với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M a b c    . A. 35 M  . B. 41 M  . C. 37 M   . D. 35 M   . Câu 35. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho   f x là hàm số chẵn trên đoạn   ; a a  và 0 k  . Giá trị tích phân   d 1 e a kx a f x x    bằng A.   0 d a f x x  . B.   d a a f x x   . C.   2 d a a f x x   . D.   0 2 d a f x x  . Câu 36. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho   e 2 1 2ln 1 d ln ln 2 x a c x b d x x      với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; a c b d là các phân số tối giản. Tính giá trị a b c d    ? A. 18. B. 15. C. 16 . D. 17 . Câu 37. (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết 1 3 3 0 2 e 2 1 1 e d .ln e.2 e ln e x x x x x x p m n                  với m , n, p là các số nguyên dương. Tính tổng P m n p    A. 5 P  . B. 6 P  . C. 8 P  . D. 7 P  . Câu 38.   e 2 1 2 ln 1 d ln ln 2 x a c x b d x x      với a, b , c là các số nguyên dương, biết ; a c b d là các phân số tối giản. Tính giá trị a b c d    ? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 18. B. 15. C. 16 . D. 17 . Câu 39. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho     3 2 3 1 e 3 1 ln 3 1 d . .ln 1 1 l e e n x x x x a b c x x          với , , a b c là các số nguyên và lne 1  . Tính 2 2 2 P a b c    . A. 9 P  . B. 14 P  . C. 10 P  . D. 3 P  . Câu 40. Biết rằng: ln 2 0 1 1 5 d ln 2 ln 2 ln . 2 1 2 3 a x x x b c e             Trong đó , , a b c là những số nguyên. Khi đó S a b c    bằng: A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5. Câu 41. Cho     2 1 0 e d .e ln e e x x x x x a b c x        với a , b , c   . Tính 2 P a b c    . A. 1 P  . B. 1 P   . C. 0 P  . D. 2 P   . Câu 42. Biết   2 1 0 5 6 e e d e ln 2 e 3           x x x x a c x a b x với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của logarit tự nhiên. Tính 2    S a b c . A. 10  S . B. 0  S . C. 5  S . D. 9  S . Câu 43. 1 3 3 0 2 e .2 1 1 e d ln e.2 eln e x x x x x x p m n                  với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S m n p    . A. 6 S  . B. 5 S  . C. 7 S  . D. 8 S  . Câu 44. Biết   3 2 1 2 3 0 1 ln 3 ln 2 3 1 27 27 3 3 9 x x x x I dx ae e e x                , a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. Câu 45. Cho tích phân   2 2 4 2 1 ln 1 ln 2 ln 2 e e x x ae be I dx c d x x         . Chọn phát biểu đúng nhất: A. a b c d    B. 2 1 a b c d    C. A và B đúng D. A và B sai Câu 46. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của 1 2 2 2 .cos , , 1 2 x x x a dx a b b          . Khi đó . a b bằng A. 1 2 . B. 0. C. 2. D. 1 Câu 47. Tính tích phân 2 2016 2 d . 1 x x I x e     A. 0 I  . B. 2018 2 2017 I  . C. 2 017 2 2017 I  . D. 20 18 2 2018 I  . Câu 48. Biết tích phân 2 2 2 2 2 1 . 1 2 8 x x a b dx        trong đó , a b   . Tính tổng a b  ? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 0. B. 1. C. 3. D. -1 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Câu 49. Biết rằng 2 4 1 d 6 6 5 a b x x x        trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 5 a b    . Tổng a b  bằng A. 5 . B. 7 . C. 4 . D. 6 . Câu 50. Tích phân 1 2 0 3 4 3 2 x I dx x x      có giá trị là: A. 7 4 3 8 6 I     . B. 7 4 3 8 6 I     . C. 7 4 3 8 6 I     . D. 7 4 3 8 6 I     . Câu 51. Cho 1 2 2 0 1 2 1 I x x dc a b        với , a b R  . Giá trị a b  gần nhất với A. 1 10 B. 1 C. 1 5 D. 2 Câu 52. Tích phân     3 5 2 1 3 I x x dx     có giá trị là: A. 3 6 4 I    . B. 3 3 8 I    . C. 3 6 8 I    . D. 3 3 8 I    . Câu 53. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn   4 tan cos  f x x ,    x . Tính   1 0 d   I f x x . A. 2 8   . B. 1. C. 2 4   . D. 4  . Câu 54. Tính tích phân   6 2 4 2 3 4 1 4 3 2 d 3 4 1 8 x x x a b c x            . Với a , b , c là các số nguyên. Khi đó biểu thức 2 4 a b c   có giá trị bằng A. 20 . B. 241. C. 196 . D. 48 . Câu 55. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   0;4 và thỏa mãn điều kiện     2 2 4 6 2 4 xf x f x x    . Tính tích phân   4 0 d f x x  . A.   5 I . B.   2 I . C.   20 I . D.   10 I . TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 Câu 1. Cho   2 2 1 1 d 2 f x x x    . Khi đó   5 2 d I f x x   bằng A. 2. B. 1. C. 1  . D. 4. Câu 2. Cho hàm số   f x liên tục trên   1 ;   và   3 0 1 d 8 f x x    . Tích phân   2 1 d I xf x x   bằng: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 16 I  . B. 2 I  . C. 8 I  . D. 4 I  Câu 3. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho   2 1 d 2 I f x x    . Giá trị của   2 0 sin . 3cos 1 d 3cos 1 x f x J x x      bằng A. 2. B. 4 3  . C. 4 3 . D. 2  . Câu 4. Cho hàm số   f x liên tục trên  và có     1 3 0 0 d 2; d 6 f x x f x x     . Tính   1 1 2 1 d I f x x     . A. 2 3 I  . B. 4 I  . C. 3 2 I  . D. 6 I  . Câu 5. Cho hàm số   y f x  liên tục trên   0;4 và   2 0 d 1 f x x   ; ;   4 0 d 3 f x x   . Tính   1 1 3 1 d f x x    . A. 4. B. 2. C. 4 3 . D. 1. Câu 6. Cho   f x là hàm số liên tục trên  và   1 0 d 4 f x x   ,   3 0 d 6 f x x   . Tính   1 1 2 1 d I f x x     . A. 3 I  . B. 5 I  . C. 6 I  . D. 4 I  . Câu 7. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa   1 0 2 d 2 f x x   và   2 0 6 d 14 f x x   . Tính   2 2 5 2 d f x x    . A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. Câu 8. Cho tích phân   2 0 cos . sin 8 I x f x dx     . Tính tích phân   2 0 sin . cos K x f x dx    . A. 8 K   . B. 4 K  . C. 8 K  . D. 16 K  . Câu 9. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     2 3 f x f x  , x    . Biết rằng   1 0 d 1 f x x   . Giá trị của tích phân   2 1 d I f x x   bằng bao nhiêu? A. 5 I  . B. 3 I  . C. 8 I  . D. 2 I  . Câu 10. Cho hàm số   y f x  liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn   2 2 f   ;   2 0 d 1 f x x   . Tính tích phân   4 0 d I f x x    . A. 10 I   . B. 5 I   . C. 0 I  . D. 18 I   . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 11. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn   16 1 d 6 f x x x   và   2 0 sin cos d 3 f x x x    . Tính tích phân   4 0 d I f x x   . A. 2 I   . B. 6 I  . C. 9 I  . D. 2 I  . Câu 12. Cho   f x liên tục trên  thỏa   9 1 d 4 f x x x   và   2 0 sin cos d 2 f x x x    . Tính   3 0 d I f x x   . A. 10 I  . B. 6 I  . C. 4 I  . D. 2 I  . Câu 13. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   1 ;4 và thỏa mãn     2 1 ln f x x f x x x    . Tính tích phân   4 3 d I f x x   . A. 2 3 2 ln 2 I   . B. 2 2 ln 2 I  . C. 2 ln 2 I  . D. 2ln2 I  . Câu 14. Cho và . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 15. Cho hàm   f x liên tục trên  thỏa mãn   4 0 tan d 3 f x x    và   2 1 2 0 d 1 1 x f x x x    . Tính   1 0 d f x x  . A. 4. B. 2. C. 5. D. 1. Câu 16. Cho hàm số   f x liên tục trên R và     2 1 4 2 0 0 tan d 4; d 2 1 x f x f x x x x       . Tính   1 0 d I f x x   . A. 6 I  . B. 2 I  . C. 3 I  . D. 1 I  . Câu 17. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa   2018 0 d 2 f x x   . Khi đó tích phân     2018 e 1 2 2 0 ln 1 d 1 x f x x x     bằng A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 18. Tìm tất cả các giá trị dương của m để   3 0 10 3 9 m x x dx f            , với   15 ln f x x  . A. 20 m  . B. 4 m  . C. 5 m  . D. 3 m  . Câu 19. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     4 f x f x   . Biết   3 1 d 5 xf x x   . Tính   3 1 d I f x x   . A. 5 2 I  . B. 7 2 I  . C. 9 2 I  . D. 11 2 I  .   1 0 2 1 d 12 f x x      2 2 0 sin sin 2 d 3 f x x x      3 0 d f x x  26 22 27 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 20. Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   1 ;3 thỏa mãn       4 , 1 ;3 f x f x x     và   3 1 d 2 xf x x    . Giá trị   3 1 d f x x  bằng A. 2 . B. 1  . C. 2  . D. 1. Câu 21. (Chuyên KHTN) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  thỏa mãn 8 3 3 2 0 1 ( ) tan . (cos ) 6 f x x f x dx dx x      . Tính tích phân 2 2 1 2 ( ) f x dx x  A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 Câu 22. Cho hàm số f liên tục trên đoạn   6;5  , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị   5 6 2 d I f x x         . A. 2 35 I    . B. 2 34 I    . C. 2 33 I    . D. 2 32 I    . Câu 23. (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn   6 e 1 ln d 6 f x x x   và   2 2 0 cos sin 2 d 2 f x x x    . Tích phân     3 1 2 d f x x   bằng A. 10. B. 16. C. 9 . D. 5 . Câu 24. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa mãn   4 2 0 tan . cos d 2 x f x x    và   2 2 ln d 2 ln e e f x x x x   . Tính   2 1 4 2 d f x x x  . A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 8 . Câu 25. (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  và thỏa mãn   2 2 2 5 d 1 f x x x      ,   5 2 1 d 3 f x x x   . Tích phân   5 1 d f x x  bằng A. 15  . B. 2  . C. 13  . D. 0 . Câu 26. (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa   3 2 0 16 d 2019 f x x x     ,   8 2 4 d 1 f x x x   . Tính   8 4 d f x x  . A. 2019 . B. 4022 . C. 2020 . D. 4038 . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số   f x thỏa mãn :         . . . . A f x B u f u C f a b x g x       O x y 5 4  6  1  3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông +) Với     u a a u b b        thì     1 b b a a f x dx g x dx A B C      . +) Với     u a b u b a        thì     1 b b a a f x dx g x dx A B C      . Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số , , A B C . N ếu   f x liên tục trên   ; a b thì     b b a a f a b x dx f x dx      . Câu 27. Cho hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 thỏa mãn     2 3 6 6 3 1 f x x f x x    . Tính   1 0 d f x x  A. 2 . B. 4 . C. 1  . D. 6 . Câu 28. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 2 4 3 1 1 xf x f x x     . Tích phân   1 0 d I f x x   bằng A. 4 I   . B. 6 I   . C. 20 I   . D. 16 I   Câu 29. Cho hàm số ( ) f x liên tục trên   0;2 và thỏa mãn điều kiện     2 2 f x f x x    . Tính giá trị của tích phân   2 0 I f x dx   . A. 4 I   . B. 1 2 I  . C. 4 3 I  . D. 2 I  . Câu 30. Xét hàm số   f x liên tục trên đoạn   0 ;1 và thỏa mãn     2 3 1 1 f x f x x     . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 2 3 . B. 1 6 . C. 2 15 . D. 3 5 . Câu 31. Xét hàm số   f x liên tục trên đoạn   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 3 1 1 f x f x x x     . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 1 25 I  . B. 4 15 I   . C. 1 15 I   . D. 4 75 I  . Câu 32. Xét hàm số   f x liên tục trên   1;2  và thỏa mãn       2 3 2 2 3 1 4 f x xf x f x x      . Tính giá trị của tích phân   2 1 I f x dx    . A. 5 I  . B. 5 2 I  . C. 3 I  . D. 15 I  . Câu 33. Hàm số   f x liên tục trên   1;2  và thỏa mãn điều kiện     2 2 3 . f x x xf x     Tính giá trị của   2 1 d I f x x    A. 14 3 I  . B. 28 3 I  . C. 4 3 I  . D. 2 I  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 34. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn       2 1 1 3 1 1 f x xf x f x x       . Tính giá trị của tích phân   1 0 d I f x x   . A. 9 ln 2 2 I  . B. 2 ln 2 9 I  . C. 4 3 I  . D. 3 2 I  . Câu 35. Cho hàm số   y f x  và thỏa mãn     3 3 4 2 8 0 1 x f x x f x x     . Tích phân   1 0 2 a b I f x dx c     với , , a b c   và ; a b c c tối giản. Tính a b c   A. 6 . B. 4  . C. 4 . D. 10  . Câu 36. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   ln2;ln 2  và thõa mãn     1 1 x f x f x e     . Biết   ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b     , với , a b   . Tính giá trị của P a b   . A. 1 2 P  . B. 2 P   . C. 1 P   . D. 2 P  . Câu 37. Biết hàm số 2 y f x          là hàm số chẵn trên đoạn ; 2 2          và   sin cos 2 f x f x x x            . Tính   2 0 I f x dx    . A. 0 I  . B. 1 I  . C. 1 2 I  . D. 1 I   . Câu 38. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  ,   0 0 f  và   sin .cos 2 f x f x x x           với x   . Giá trị của tích phân   2 0 xf x dx    bằng A. 4   . B. 1 4 . C. 4  . D. 1 4  . Câu 39. Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa mãn     2 2 1 2x 1 2x , 1 x f f x x         . tính tích phân   3 1 I f x dx    . A. 2 2 I    . B. 1 4 I    . C. 1 2 8 I    . D. 4 I   . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt   t u x  và   t v x  để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn   f x ) để suy ra hàm số   f x (nếu   u x x  thì chỉ cần đặt một lần   t v x  ). Các kết quả đặc biệt: Cho       . . A f ax b B f ax c g x      với 2 2 A B  ) khi đó   2 2 . . x b x c A g B g a a f x A B                   (*) +)Hệ quả 1 của (*):             2 2 . . . . A g x B g x A f x B f x g x f x A B         +)Hệ quả 2 của (*):           . . g x A f x B f x g x f x A B       với   g x là hàm số chẵn. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 40. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và   1 2 3 f x f x x         . Tính   2 1 2 f x I dx x   . A. 3 2 I  . B. 1 I  . C. 1 2 I  . D. 1 I   . Câu 41. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số   y f x  liên tục trên 1 ;3 3       thỏa mãn   3 1 . f x x f x x x          . Giá trị tích phân   3 2 1 3 d f x I x x x    bằng A. 8 9 . B. 2 3 . C. 3 4 . D. 16 9 . Câu 42. Cho hàm số   y f x  liên tục trên   \ 0  và thỏa mãn   2 15 2 3 3 2 x f x f x          ,   9 3 d f x x k   . Tính 3 2 1 2 1 d I f x x         theo k . A. 45 9 k I    . B. 45 9 k I   . C. 45 9 k I   . D. 45 2 9 k I   . Câu 43. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     2018 2 sin f x f x x x    . Tính giá trị của   2 2 d I f x x      . A. 2 2019 I  . B. 2 1009 I  . C. 4 2019 I  . D. 1 1009 I  . Câu 44. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     2018 x f x f x e    . Tính giá trị của   1 1 I f x dx    A. 2 1 2019e e I   . B. 2 1 2018e e I   . C. 0 I  . D. 2 1 e I e   . Câu 45. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn     2 2 2 1 12 f x f x x    . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   y f x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. 2 2 y x   . B. 4 6 y x   . C. 2 6 y x   . D. 4 2 y x   . Câu 46. Cho   f x là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn   1 0 2018   f x dx và   g x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn     1    g x g x ,    x . Tính tích phân     1 1    I f x g x dx . A. 2018  I . B. 1009 2  I . C. 4036  I . D. 1008  I . Câu 47. Cho số dương a và hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     f x f x a    , x    . Giá trị của biểu thức   d a a f x x   bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2 2a . B. a . C. 2 a . D. 2a. Câu 48. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa điều kiện     2sin f x f x x    . Tính   2 2 d f x x     A. 1  . B. 0. C. 1. D. 2. Câu 49. Cho ( ) f x là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn     2 2cos2 f x f x x     . Tính tích phân   3 2 3 2 d I f x x      . A. 3 I  . B. 4 I  . C. 6 I  . D. 8 I  . Câu 50. Cho hàm số   y f x  liên tục trên R và thỏa mãn     2 2cos2 f x f x x     . Tính   2 2 I f x dx      . A. 1 I   . B. 1 I  . C. 2 I   . D. 2 I  . Câu 51. Cho hàm số liên tục trên và . Tính A. . B. . C. . D. . Câu 52. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   ln2;ln 2  và thỏa mãn     1 1 x f x f x e     . Biết   ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b       ; a b   . Tính P a b   . A. 1 2 P  . B. 2 P   . C. 1 P   . D. 2 P  . Câu 53. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 3 1 1     f x f x x x . Tính tích phân   1 0   I f x dx . A. 4 15   I . B. 1 15  I . C. 4 75  I . D. 1 25  I . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 54. Cho   f x và   g x là hai hàm số liên tục trên   1 ,1  và   f x là hàm số chẵn,   g x là hàm số lẻ. Biết   1 0 5 f x dx   và   1 0 7 g x dx   . Mệnh đề nào dưới đây sai? A.   1 1 10 f x dx    . B.   1 1 14 g x dx    . C.     1 1 10 f x g x dx         . D.     1 1 10 f x g x dx         .   f x      2 3 2 tan f x f x x      π 4 π 4 d f x x   π 1 2  π 1 2  π 1 4  π 2 2  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 56. Cho hàm số   y f x  là hàm lẻ và liên tục trên   4;4  biết   0 2 d 2 f x x     và   2 1 2 d 4 f x x    . Tính   4 0 d I f x x   . A. 10 I   . B. 6 I   . C. 6 I  . D. 10 I  . Câu 57. (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn   y f x  liên tục trên  và   1 1 2 d 8 1 5 x f x x     . Giá trị của   2 0 d f x x  bằng: A. 8 . B. 2 . C. 1. D. 16 . Câu 58. Cho   f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn   1 ; 1  và   1 1 d 2 f x x    . Kết quả   1 1 d 1 e x f x I x     bằng A. 1 I  . B. 3 I  . C. 2 I  . D. 4 I  . Câu 59. Cho   y f x  là hàm số chẵn và liên tục trên .  Biết     1 2 0 1 1 d d 1 2 f x x f x x     . Giá trị của   2 2 d 3 1 x f x x    bằng A. 1. B. 6. C. 4. D. 3. Câu 60. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     3 , f x f x x x      . Tính   2 0 I f x dx   A. 2 I  . B. 3 2 I  . C. 1 2 I  . D. 5 4 I  . Câu 61. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn       3 2 2 3 6 f x f x f x x    , x    . Tính tích phân   5 0 d I f x x   . A. 5 4 I  . B. 5 2 I  . C. 5 12 I  . D. 5 3 I  . Câu 62. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     3 2 1 x f x f x    , x    . Tính   1 2 d I f x x    . A. 7 4 I  . B. 7 2 I  . C. 7 3 I  . D. 5 4 I  . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 Bài toán: “ Cho     2 . f x f a b x k    , khi đó   d 2 b a x b a I k f x k      Chứng minh: Đặt t a b x        2 dt dx k f x f t          và x a t b    ; x b t a    . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó         2 f d d d 1 b b b a a a x x x x I k k f x k k f x k f t          .       f d d 1 2 b b a a x x x I k f x k k f x          1 1 d b a x b a k k    2 b a I k    . Câu 63. Cho hàm số   f x liên tục và nhận giá trị dương trên   0 ;1 . Biết     . 1 1 f x f x   với   0;1 x   . Tính giá trí   1 0 d 1 x I f x    A. 3 2 . B. 1 2 . C. 1. D. 2. Câu 64. Cho hàm số   f x liên tục trên  , ta có   0 f x  và     0 . 2018 1 f f x   . Giá trị của tích phân   2018 0 d 1 x I f x    A. 2018 I  . B. 0 I  C. 1009 I  D. 4016 Câu 65. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm, liên tục trên  và   0 f x  khi   0;5 x  . Biết     . 5 1 f x f x   , tính tích phân   5 0 d 1 x I f x    . A. 5 4 I  . B. 5 3 I  . C. 5 2 I  . D. 10 I  . Câu 66. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     4 f x f x   . Biết   3 1 d 5 xf x x   . Tính tích phân   3 1 d f x x  . A. 5 2 . B. 7 2 . C. 9 2 . D. 11 2 . Câu 67. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên R và   0 f x  khi x  [0; a] ( 0 a  ). Biết     . 1 f x f a x   , tính tích phân   0 1 a dx I f x    . A. 2 a I  . B. 2 I a  . C. 3 a I  . D. 4 a I  . Câu 68. Cho   f x là hàm liên tục trên đoạn   0;a thỏa mãn         . 1 0, 0; f x f a x f x x a           và   0 d , 1 a x ba f x c    trong đó b , c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó b c  có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A.   11 ;22 . B.   0 ;9 . C.   7;21 . D.   2017;2020 . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 69. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   1 ;4 , đồng biến trên đoạn   1 ;4 và thỏa mãn đẳng thức   2 . x x f x    2 f x       ,   1 ;4 x   . Biết rằng   3 1 2 f  , tính   4 1 d I f x x   ? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1186 45 I  . B. 1174 45 I  . C. 1222 45 I  . D. 1201 45 I  . Câu 70. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm trên  thỏa mãn       3 2 1 2 2 3 .e 0 f x x x f x f x      và   0 1 f  . Tích phân   7 0 . d x f x x  bằng A. 2 7 3 . B. 15 4 . C. 45 8 . D. 5 7 4 . Câu 71. Cho hàm số   4 3 2 4 3 1 f x x x x x      , x    . Tính     1 2 0 . d I f x f x x    . A. 2. B. 2  . C. 7 3  . D. 7 3 . Câu 72. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên khoảng   0;1 và   0 f x  ,   0;1 x   . Biết rằng 1 2 f a        , 3 2 f b          và     2 4 x xf x f x     ,   0;1 x   . Tính tích phân   2 3 2 6 sin .cos 2sin 2 sin d x x x I x f x      theo a và b . A. 3 4 a b I ab   . B. 3 4 b a I ab   . C. 3 4 b a I ab   . D. 3 4 a b I ab   . Câu 73. Cho hàm số f liên tục,   1 f x   ,   0 0 f  và thỏa     2 1 2 1 f x x x f x     . Tính   3 f . A. 0. B. 3. C. 7. D. 9. Câu 74. Cho hàm số   f x liên tục trên  và   5 2 d 4 f x x   ,   5 3 f  ,   2 2 f  . Tính   2 3 2 1 1 d I x f x x     A. 3. B. 4 . C. 1. D. 6 . Câu 75. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   1 ;4 và thỏa mãn     2 1 ln f x x f x x x    . Tính tích phân   4 3 d I f x x   . A. 2 3 2 ln 2 I   . B. 2 2 ln 2 I  . C. 2 ln 2 I  . D. 2ln2 I  . Câu 76. Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa mãn     16 2 2 1 4 cot . sin d d 1 f x x f x x x x       . Tính tích phân   1 1 8 4 d f x x x  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 I  . B. 3 2 I  . C. 2 I  . D. 5 2 I  . Câu 77. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 2 4 . 3 1 1 x f x f x x     . Tích phân   1 0 d I f x x   bằng: A. 4 I   . B. 6 I   . C. 20 I   . D. 16 I   . Câu 78. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0 ;1 thỏa mãn   1 1 f  ,   1 2 0 9 d 5 f x x        và   1 0 2 d 5 f x x   . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 3 5 I  . B. 1 4 I  . C. 3 4 I  . D. 1 5 I  . TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: Câu 1. (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết 3 2 0 3 d ln cos x I x b x a       . Khi đó, giá trị của 2 a b  bằng A. 11. B. 7 . C. 13. D. 9 . Câu 2. Tích phân 4 0 d ln 2 1 cos 2 x x a b x       , với a , b là các số thực. Tính 16 8 a b  A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Câu 3. Biết 3 2 3 6 3 3 sin 3 d 3 1 x x c d a b x x              với , , , a b c d là các số nguyên. Tính a b c d    . A. 28 a b c d     . B. 16 a b c d     . C. 14 a b c d     . D. 22 a b c d     . Câu 4. (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân 2 2 0 .sin d I x x x a b         , a b   , Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 a b   . B. 2 4 a b    . C.   1;0 a b   . D. 6 a b   . Câu 5. Cho biết   1 2 2 0 d . 2 x x e a x e c b x     với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và a b là phân số tối giản. Tính a b c   . A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 3  . Câu 6. (Chuyên Thái Bình Lần 3) Biết 12 1 1 12 1 1 c x x d a x e dx e x b            trong đó , , , a b c d là các số nguyên dương và các phân số , a c b d là tối giản. Tính bc ad  . A. 12. B. 1. C. 24. D. 64. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 7. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết   2 1 1 2 1 p x q x x e dx me n      , trong đó , , , m n p q là các số nguyên dương và p q là phân số tối giản. Tính T m n p q     . A. 11 T  . B. 10 T  . C. 7 T  . D. 8 T  . Câu 8. (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng   2 2 cos 3 d cos 3 sin 3     x x e x x e a x b x c , trong đó a , b , c là các hằng số, khi đó tổng  a b có giá trị là A. 5 13  . B. 1 13 . C. 5 13 . D. 1 13  . Câu 9. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho tích phân 4 2 0 sin 2 sin 2 1 2 1 d ln ln 2 cos 2 1 x x x x c x a b          (với , , a b c là các số nguyên). Khi đó a b c   bằng A. 2 . B. 4 . C. 1  . D. 1. Câu 10. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho   1 2 0 15 ln 3 ln 5 I x x dx a b c        với , , a b c   . Tính tổng a b c   . A. 1 . B. 5 2 . C. 1 3 . D. 1 3  . TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: Câu 11. Cho biết tích phân với là các ước nguyên của 4. Tổng A. 2. B. 4. C. 3. D. 1 Câu 12. (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Biết   3 2 0 ln 16 d ln 5 ln 2 2 c x x x a b      , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T a b c    A. 2 T   . B. 16 T  . C. 2 T  . D. 16 T   . Câu 13. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho   1 2 0 ln 2 d ln 3 ln 2 I x x x a b c       với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của a b c   bằng A. 3 2 . B. 1 . C. 0 . D. 2 . Câu 14. Tính tích phân 2 2018 2 1 1 2019log d ln 2 I x x x          . A. 2017 2 I  . B. 2019 2 I  . C. 2018 2 I  . D. 2020 2 I  . Câu 15. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Biết   e 2 1 ln 2 d ln e+1 e+1 1 x a x b c x      với , , a b c   . Tính a b c   . A. 1  . B. 1. C. 3 . D. 2 .   4 2 2 1 . . 2 ln 4 e a e b e c I x x x dx       , , a b c ? a b c    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 16. (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương a của phương trình     2 1 2 1 ln d ln 9 a x x x a a a      thuộc khoảng nào sau đây? A.   1;3 . B.   3;5 . C.   5;7 . D.   7;10 . Câu 17. ( Sở Phú Thọ) Cho tích phân 4 2 0 ln( 2cos ) ln 3 ln 2 . sinx x dx a b c cos x        (với , , a b c là các số hữu tỉ). Giá trị biểu thức abc bằng. A. 15 8 . B. 5 8 . C. 5 4 . D. 17 8 . Câu 18. (HSG Bắc Ninh) Biết   4 2 0 ln sin cos d ln 2 cos x x a x x b c       với , , a b c là các số nguyên. Khi đó, bc a bằng A. 6  . B. 8 3 . C. 6 . D. 8 3  . Câu 19. (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Cho tích phân e 2 1 e 1 ln d . I x x x x a b            , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 4 3 a b  là A. 13 2 . B. 13 4 . C. 13 4  . D. 13 2  . Câu 20. (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả e 3 1 3e 1 ln d a x x x b    ? A. . 64 a b  . B. . 46 a b  . C. 12 a b   . D. 4 a b   . Câu 21. Giả sử tích phân   1 2017 0 .ln 2 1 d ln 3 b x x x a c     . Với phân số b c tối giản. Lúc đó A. 6057. b c   B. 6059. b c   C. 6058. b c   D. 6056. b c   Câu 22. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết   4 2 0 ln sin cos d ln 2 cos x x a x x b c       với , , a b c là các số nguyên. Khi đó, bc a bằng A. 6  . B. 8 3 . C. 6 . D. 8 3  . TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Câu 1: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số   f x thỏa mãn     2 0 1 d 9 A x f x x      và     2 0 3 f f   . Tính   2 0 d I f x x   A. 12 I  . B. 12 I   . C. 6 I   . D. 6 I  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 2: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 0 f  ,   1 2 0 1 3 x f x dx   Tính   1 3 0 . x f x dx   A. 1  B. 1 C. 3 D. 3  Câu 3: (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho hàm số   f x có đạo hàm và liên tục trên 0; 2        , thoả mãn   2 2 0 cos d 10    f x x x  và   0 3  f . Tích phân   2 0 sin2 d  f x x x  bằng A. 13  B. 13 C. 7 D. 7  Câu 4: (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số   f x xác định và liên tục trên  . Gọi   g x là một nguyên hàm của hàm số   2 x y x f x   . Biết rằng   2 1 d 1 g x x   và     2 2 1 2 g g   . Tích phân   2 2 2 1 d x x x f x   bằng A. 1,5 . B. 1. C. 3. D. 2. Câu 5: Cho hàm số   y f x  thỏa mãn   3 3 1 3 2, . f x x x x        Tính   5 1 . I x f x dx    . A. 5 4 . B. 17 4 . C. 33 4 . D. 1761  . Câu 6: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn và . Tính bằng: A. . B. . C. . D. . Câu 7: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số   f x liên tục trên   0;1 . Biết     1 0 1 . 1 d 2 x f x f x x          . Tính   0 f . A.   0 1 f   . B.   1 0 2 f  . C.   1 0 2 f   . D.   0 1 f  . Câu 8: (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 1 f  ,   1 0 1 d 5 x f x x   và   1 2 0 9 d 5 f x x        . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 3 4 I  . B. 1 5 I  . C. 1 4 I  . D. 4 5 I  . Câu 9: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên . Biết và với mọi . Tính tích phân .   f x        3 1 1 , f x f x x x x          0 0 f  2 0 d 2 x I xf x              1 10  1 20 1 10 1 20    f x   0;2   0 1 f      2 2 4 2 x x f x f x e      0;2 x        3 2 2 0 3 ' d x x f x I x f x    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. . B. . C. . D. . Câu 10: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số   f x có đạo hàm trên  và thỏa mãn   3 0 2 4 d 8 x f x x      ;   2 2 f  . Tính   1 2 2 d I f x x    . A. 5 I   . B. 10 I   . C. 5 I  . D. 10 I  . Câu 11: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   1; 2 thỏa mãn   2 =0 f ,     2 2 1 1 d 45 f x x    và     2 1 1 1 d 30 x f x x     . Tính   2 1 d I f x x   . A. 1 36 I   . B. 1 15 I   . C. 1 12 I  . D. 1 12 I   . Câu 12: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số   y f x  liên tục trên   0;2 , thỏa các điều kiện   2 1 f  và     2 2 2 0 0 2 d d 3 f x x f x x          . Giá trị của   2 2 1 d f x x x  : A. 1. B. 2. C. 1 4 . D. 1 3 . Câu 13: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 1 f  và           2 2 6 4 2 4 6 1 . 40 44 32 4, 0;1 f x x f x x x x x          . Tích phân   1 0 f x dx  bằng? A. 23 15 . B. 13 15 . C. 17 15  . D. 7 15  . Câu 14: Cho hàm số   f x thỏa     0 1 1 f f   . Biết     1 0 ' x e f x f x dx ae b         . Tính biểu thức 2018 2018 Q a b   . A. 8 Q  . B. 6 Q  . C. 4 Q  . D. 2 Q  . Câu 15: Cho hàm số   f x có đạo hàm trên  thỏa mãn     2017 2018 2018 2018. .e x f x f x x    với mọi x   và   0 2018. f  Tính giá trị   1 . f A.   2018 1 2019e f  . B.   2018 1 2018.e f   . C.   2018 1 2018.e f  . D.   2018 1 2017.e f  . Câu 16: Cho hàm số   y f x  với     0 1 1 f f   . Biết rằng:     1 0 e d e x f x f x x a b          Tính 2017 2017 Q a b   . A. 2017 2 1 Q   . B. 2 Q  . C. 0 Q  . D. 2017 2 1 Q   . Câu 17: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn   1 ;2 . Biết rằng   1 1 F  ,   2 4 F  ,   3 1 2 G  ,   2 2 G  và     2 1 67 d 12 f x G x x   . Tính     2 1 d F x g x x  14 3 I   32 5 I   16 3 I   16 5 I   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 11 12 . B. 145 12  . C. 11 12  . D. 145 12 . Câu 18: Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   1 ;2 và     2 1 1 d x f x x a     . Tính   2 1 d f x x  theo a và   2 b f  . A. b a  . B. a b  . C. a b  . D. a b   . Câu 19: Cho hàm số   f x liên tục trên  và   2 16 f  ,   2 0 d 4 f x x   . Tính tích phân   1 0 . 2 d I x f x x    . A. 13 I  . B. 12 I  . C. 20 I  . D. 7 I  . Câu 20: Cho   y f x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số   y f x  đi qua điểm 1 ; 4 2 M        và   1 2 0 dt 3 f t   , tính   0 6 sin 2 . sin d I x f x x      . A. 10 I  . B. 2 I   . C. 1 I  . D. 1 I   . Câu 21: Cho hàm số   y f x  thỏa mãn     2 0 sin . d 0 x f x x f    1  . Tính   2 0 cos . d I x f x x     . A. 1 I  . B. 0 I  . C. 2 I  . D. 1 I   . Câu 22: Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     2018 2 sin f x f x x x    . Tính   2 2 d I f x x      ? A. 2 2019 . B. 2 2018 . C. 2 1009 . D. 4 2019 . Câu 23: Cho hàm số   f x và   g x liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn     0 . 2 0 f f    và       2 e x g x f x x x    . Tính giá trị của tích phân     2 0 . d I f x g x x    ? A. 4  . B. e 2  . C. 4. D. 2 e  . Câu 24: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm và liên tục trên 0; 4        thỏa mãn 3 4 f         ,   4 0 d 1 cos f x x x    và   4 0 sin .tan . d 2 x x f x x        . Tích phân   4 0 sin . d x f x x    bằng: A. 4. B. 2 3 2 2  . C. 1 3 2 2  . D. 6. Câu 25: Cho hàm số   f x liên tục trên  và   2 16 f  ,   2 0 d 4 f x x   . Tính 4 0 d 2 x I xf x          A. 12 I  . B. 112 I  . C. 28 I  . D. 144 I  . Câu 26: Cho hàm số   f x có đạo hàm cấp hai   f x   liên tục trên đoạn   0;1 thoả mãn     1 0 1 f f   ,   0 2018 f   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A.     1 0 1 2018 f x x x       d . B.     1 0 1 1 f x x x       d . C.     1 0 1 2018 f x x x      d . D.     1 0 1 1 f x x x      d . Câu 27: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn 0 2 f         ,   2 2 d 4 f x x           và   2 cos d 4 x f x x      . Tính   2018 f  . A. 1  . B. 0 . C. 1 2 . D. 1. Câu 28: Cho hàm số   f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn   0; 2  . Biết   0 1 f  và     2 2 4 . 2 e x x f x f x    , với mọi   0; 2 x   . Tính tích phân       3 2 2 0 3 d x x f x I x f x     . A. 16 3 I   . B. 16 5 I   . C. 14 3 I   . D. 32 5 I   . Câu 29: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 0 f  và       1 1 2 2 0 0 e 1 d 1 e d 4 x f x x x f x x            . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 2 e I   . B. e 2 I   . C. e 2 I  . D. e 1 2 I   . Câu 30: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   1; 2 thỏa mãn     2 2 1 1 1 d 3 x f x x     ,   2 0 f  và   2 2 1 d 7 f x x        . Tính tích phân   2 1 d I f x x   . A. 7 5 I  . B. 7 5 I   . C. 7 20 I   . D. 7 20 I  . Câu 31: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   1; 2 thỏa mãn     2 2 1 1 1 d 3 x f x x     ,   2 0 f  ,   2 2 1 d 7 f x x        . Tính   2 1 d I f x x   . A. 7 5 I  . B. 7 5 I   . C. 7 20 I   . D. 7 20 I  . Câu 32: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 4        và 0 4 f         . Biết   4 2 0 d 8 f x x     ,   4 0 sin 2 d 4 f x x x       . Tính tích phân   8 0 2 d I f x x    A. 1 I  . B. 1 2 I  . C. 2 I  . D. 1 4 I  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 33: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn Biết và . Tích phân bằng A. . B. . C. . D. . Câu 34: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 và     0 1 0 f f   . Biết   1 2 0 1 d 2 f x x   ,     1 0 cos d 2 f x x x      . Tính   1 0 d f x x  . A.  . B. 1  . C. 2  . D. 3 2  . Câu 35: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;  thỏa mãn:     2 0 0 d cos . d 2 f x x x f x x             và 1 2 f         . Khi đó tích phân   2 0 d f x x   bằng A. 0 . B. 1 2   . C. 2  . D. 1 2   . Câu 36: (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên   1;1  và thỏa   1 0 f  ,       2 2 4 8 16 8 f x f x x x      với mọi x thuộc   1;1  . Giá trị của   1 0 d f x x  bằng A. 5 3  . B. 2 3 . C. 1 5 . D. 1 3  . Câu 37: Cho hàm số   f x có đạo hàm   f x  liên tục trên đoạn   0;1 thỏa   1 0 f  ,     1 2 2 0 dx 8 f x     và   1 0 1 cos d 2 2 x f x x          . Tính   1 0 d f x x  . A. 2  . B.  . C. 1  . D. 2  . Câu 38: Xét hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện   1 1 f  và   2 4 f  . Tính     2 2 1 2 1 d f x f x J x x x             . A. 1 ln 4 J   . B. 4 ln 2 J   . C. 1 ln 2 2 J   . D. 1 ln 4 2 J   . Câu 39: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn       1 1 2 2 0 0 e 1 d 1 e d 4 x f x x x f x x            và   1 0 f  . Tính   1 0 d f x x  A. e 1 2  . B. 2 e 4 . C. e 2  . D. e 2 .   y f x    0;1   0 0 f    1 2 0 9 d 2 f x x     1 0 3 cos d 2 4 x f x x        1 0 d f x x  6  2  4  1  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 40: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 0 f  ,   1 2 0 d 7 f x x        và   1 2 0 1 d 3 x f x x   . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 7 5 . B. 1. C. 7 4 . D. 4 . Câu 41: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số   y f x  với     0 1 1 f f   . Biết rằng     1 0 e d e x f x f x x a b          , a , b   . Giá trị của biểu thức 2019 2019 a b  bằng A. 2018 2 1  . B. 2 . C. 0 . D. 2018 2 1  . Câu 42: (Đoàn Thượng) Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 và (0) (1) 0 f f   . Biết 1 2 0 1 ( ) 2 f x dx   , 1 0 ( ) ( ) 2 f x cos x dx      . Tính 1 0 ( ) f x dx  . A.  . B. 3 2  . C. 2  D. 1  Câu 43: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 0 f  ,   1 2 0 d 7 f x x        và   1 2 0 1 d 3 x f x x   . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 7 5 . B. 1. C. 7 4 . D. 4 . Câu 44: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 4  f ,   1 2 0 d 36        f x x và   1 0 1 . d 5   x f x x . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 5 6 . B. 3 2 . C. 4 . D. 2 3 . Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;2 thỏa mãn   2 3  f ,   2 2 0 d 4        f x x và   2 2 0 1 d 3   x f x x . Tích phân   2 0 d  f x x bằng A. 2 115 . B. 297 115 . C. 562 115 . D. 266 115 . Câu 46: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 4  f ,   1 2 0 d 5        f x x và   1 0 1 . d 2 x f x x    . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 15 19 . B. 17 4 . C. 17 18 . D. 15 4 . Câu 47: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;2 thỏa mãn   2 6 f    2 2 0 d 7 f x x        và   2 0 17 . d 2 x f x x   . Tích phân   2 0 d f x x  bằng A. 8 . B. 6 . C. 7 . D. 5 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 48: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;3 thỏa mãn   3 6 f    3 2 0 d 2        f x x và   3 2 0 154 . d 3   x f x x . Tích phân   3 0 d f x x  bằng A. 53 5 . B. 117 20 . C. 153 5 . D. 13 5 . Câu 49: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 2 f  ,   1 2 0 d 8 f x x        và   1 3 0 . d 10 x f x x   . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 2 285  . B. 194 95 . C. 116 57 . D. 584 285 . Câu 50: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   1 1 f  ,   1 2 0 d 9 f x x        và   1 3 0 1 d 2 x f x x   . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 2 3 . B. 5 2 . C. 7 4 . D. 6 5 . Câu 51: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng A. B. C. D. Câu 52: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện ; và . Tính tích phân A. B. C. D. TÍCH PHÂN HÀM ẨN Câu 1: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số   f x liên tục không âm trên 0; 2        , thỏa mãn       2 . cos 1 f x f x x f x    với mọi 0; 2 x         và   0 3 f  . Giá trị của 2 f        bằng A. 2 . B. 1. C. 2 2 . D. 0 . Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số   f x thỏa mãn     . 1 f x f x   , với mọi x  . Biết   2 1 d f x x a   và   1 f b  ,   2 f c  . Tích phân   2 1 d x x f x  bằng A. 2c b a   . B. 2a b c   . C. 2c b a   . D. 2a b c   .   f x   0;1     1 2 0 1 1 0, 11 f f x dx           1 4 0 1 55 x f x dx      1 0 f x dx  1 7  1 7 1 55  1 11   f x   0;1   3 1 2 f    1 0 5 6 f x dx         1 2 0 1 1 1 2 3 x x f x dx x          1 2 0 ? f x dx   7 3 8 15 53 60 203 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 3: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho         1 0 3 1 d 2019, 4 1 0 2020 x f x x f f       . Tính   1 3 0 3 d f x x  . A. 1 9 . B. 3 . C. 1 3 . D. 1. Câu 4: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số   f x liên tục và có đạo hàm trên 1 1 ; 2 2        thỏa mãn       1 2 1 2 2 109 2 . 3 d 12 f x f x x x           . Tính   1 2 0 2 d 1 f x x x   . A. 7 ln 9 . B. 2 ln 9 . C. 5 ln 9 . D. 8 ln 9 . Câu 5: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm : 0, 2 f          là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện         2 2 0 2 sin co d s 1 2 f x f x x x x            . Tính 2 0 ( d ) f x x   . A. 2 0 ) 1 d ( f x x     . B. 2 0 ) 1 d ( f x x    . C. 2 0 ) 2 d ( f x x    . D. 2 0 ) 0 d ( f x x    . Câu 6: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số   f x có đạo hàm trên khoảng   0;  và   0 f x  ,   0; x    thỏa mãn     2 . f x x f x    với mọi   0; x   , biết   2 1 3 f a   và   1 2 4 f  . Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là A. 14  . B. 1. C. 0 . D. 2  . Câu 7: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số   f x liên tục trên  và   3 21 f  ,   3 0 d 9 f x x   . Tính tích phân   1 0 . 3 d I x f x x    . A. 15 I  . B. 12 I  . C. 9 I  . D. 6 I  . Câu 8: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho ( ) f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn 2 ( ) (2 ) . , x f x f x x e x       . Tính tích phân 2 0 ( ) I f x dx   . A. 4 1 4 e I   . B. 2 1 2 e I   . C. 4 2 I e   . D. 4 1 I e   . Câu 9: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên khoảng   0;   thỏa mãn     2 0 x f x f x    và   0 f x  ,   0; x     . Tính   2 f biết   1 e f  . A.   2 2 e f  . B.   3 2 e f  . C.   2 2 2e f  . D.   2 e f  . Câu 10: (Lý Nhân Tông) Biết 1 3 3 0 2 e 2 1 1 e d .ln e.2 eln e x x x x x x p m n                  với m, n , p là các số nguyên dương. Tính tổng P m n p    A. 5 P  . B. 6 P  . C. 8 P  . D. 7 P  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn   1;2 đồng thời thỏa mãn (2) 0 f  ,   2 2 1 5 2 '( ) d ln 12 3 f x x    và 2 2 1 ( ) 5 3 d ln ( 1) 12 2 f x x x      . Tính 2 1 ( )d I f x x   . A. 3 2 2ln 4 3 I   . B. 2 ln 3 I  . C. 3 3 2ln 4 2 I   . D. 3 2 2ln 4 3 I   . Câu 12: (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1; )   và thỏa mãn   3 ( ) 2 ( ) ln ( ) xf x f x x x f x     , (1; ) x     ; biết   3 3 f e e  . Giá trị (2) f thuộc khoảng nào dưới đây? A. 25 12; 2       . B. 27 13; 2       . C. 23 ;12 . 2       D. 29 14; 2       . Câu 13: (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số   f x có đạo hàm và liên tục trên 0; 2        , thoả mãn   2 2 0 cos d 10 f x x x     và   0 3 f  . Tích phân   2 0 sin2 d   f x x x bằng A. 13  B. 13 C. 7 D. 7  Câu 14: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm ( ) y f x  liên tục trên đoạn   0;1 và thỏa mãn     2 1 2 2 1 f x f x x x      Tính tích phân 1 0 ( ) . I f x dx   A. 4 3 I  B. 2 3 I  C. 1 2 I  . D. 1 3 I  Câu 15: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm trên đoạn   0;3 , thỏa mãn       3 . 1 1 f x f x f x         ,   0;3 x   và   1 0 2 f  . Tính tích phân       3 2 2 0 . d 1 3 . x f x I x f x f x          A. 3 2 I  . B. 1 2 I  . C. 1 I  . D. 5 2 I  . Câu 16: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số   f x thỏa mãn       2 . e x f x x f x f x    với   0, f x x   và   0 1 f  . Khi đó   1 f bằng A. e 1  . B. e 2 e  . C. e 1  . D. e 1 e  . Câu 17: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số   f x thỏa mãn       2 ' .ln 2 , 1; xf x x f x x x       và   2 e e f  . Tính tích phân   2 e e d x I x f x   . A. 3 2 I  . B. 1 2 I  . C. 5 3 I  . D. 2 I  . Câu 18: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn     2018 3 . ( ) 0;1 f x x f x x x      . Tìm giá trị nhỏ nhất của   1 0 d f x x  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1 2018.2020 . B. 1 2019.2020 . C. 1 2020.2021 . D. 1 2019.2021 . Câu 19: (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số   f x thỏa mãn các điều kiện   1 2 f  ,   0, 0 f x x    và         2 2 2 2 1 ' 1 x f x f x x        với mọi 0 x  . Giá trị của   2 f bằng A. 2 5 . B. 2 5  . C. 5 2  . D. 5 2 . Câu 20: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đa thức bậc bốn ( ) y f x  đạt cực trị tại 1 x  và 2 x  . Biết 0 2 ( ) lim 2. 2 x x f x x     Tích phân 1 0 ( )d f x x   bằng A. 3 2 . B. 1 4 . C. 3 4 . D. 1. Câu 21: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho     2 4 3 f x xf x x   . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 2 I   . B. 1 2 I   . C. 2 I  . D. 1 2 I  . Câu 22: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho   f x có đạo hàm trên  và thỏa mãn       3 2 1 2 2 3 . 0 f x x x f x e f x      với mọi x   . Biết   0 1 f  , tính tích phân   7 0 . d I x f x x   . A. 9 2 I  . B. 45 8 I  . C. 11 2 I  . D. 15 4 I  . Câu 23: (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số có đạo hàm cấp trên thỏa mãn với mọi . Tính tích phân . A. . B. . C. . D. . Câu 24: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên  ,     0 0, 0 0 f f    và thỏa mãn hệ thức             2 2 . 18 3 6 1 , f x f x x x x f x x f x x           . Biết     1 2 0 1 d . f x x e x a e b     , với ; a b   . Giá trị của a b  bằng. A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 2 3 . Câu 25: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số   f x xác định và có đạo hàm   f x  liên tục trên đoạn   1;3 ,   0 f x  với mọi   1;3 x  , đồng thời             2 2 2 1 1 f x f x f x x           và   1 1 f   . Biết rằng   3 1 d ln 3 f x x a b    , , a b   , tính tổng 2 . S a b   A. 0 S  . B. 1 S   . C. 2 S  . D. 4 S  . f n  2 (1 ) ( ) 2 f x x f x x      x   1 0 ( ) I xf x dx    1 I   1 I  1 3 I  1 3 I   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 26: (Sở Nam Định) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  . Biết rằng các tiếp tuyến với đồ thị   y f x  tại các điểm có hoành độ 1 x   , 0 x  , 1 x  lần lượt tạo với chiều dương của trục Ox các góc 30° , 45  , 60  . Tính tích phân         0 1 3 1 0 ' . '' d 4 ' . '' d I f x f x x f x f x x          . A. 25 3 I  . B. 0 I  . C. 1 3 I  . D. 3 1 3 I   . Câu 27: (THTT số 3) Cho hàm số   f x xác định, liên tục trên  và thoả mãn     3 3 1 1 f x x f x x       6 4 2 6 12 6 2, x x x x         . Tính tích phân   1 3 f x dx   . A. 32. B. 4. C. 36  . D. 20  . Câu 28: (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số   f x có đạo hàm trên  thỏa mãn       2 2 1 2 2 1 e x x f x f x x       , x    và   1 e f  . Giá trị của   5 f bằng A. 12 3e 1  . B. 17 5e . C. 17 5e 1  . D. 12 3e . Câu 29: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho     6 6 2 0 0 d . d 72 f x x x f x x     . Giá trị của   3 1 d f x x  bằng A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 30: (Ba Đình Lần2) Hàm số   f x có đạo hàm đến cấp hai trên  thỏa mãn:       2 2 1 3 1 f x x f x     . Biết rằng   0, f x x     , tính     2 0 2 1 " I x f x dx    . A. 8 . B. 0 . C. 4  . D. 4 . Câu 31: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số   f x thỏa mãn       2 3 ' . '' 4 2 f x f x f x x x        với mọi x   và   0 0 f  . Giá trị của   2 1 f bằng A. 5 2 . B. 9 2 . C. 16 15 . D. 8 15 . Câu 32: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên   \ 0 ,  biết   . 1, 0; x f x x       1 2 f   và         2 . 1 . 0 x f x x f x f x      với   \ 0 . x    Tính   1 d . e f x x  A. 1 2 e  . B. 1 2 e  . C. 1 e  . D. 1 1 e  . Câu 33: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn và . Tích phân bằng ( ) f x  (0) 3 f  2 ( ) (2 ) 2 2, f x f x x x x         2 0 ( )d xf x x   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. . B. . C. . D. Câu 34: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với . Tính tích phân A. . B. . C. . D. . Câu 35: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số   y f x  liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn       2 5 7 1 3 2 f x f x x x     , x    . Biết rằng tích phân   1 0 . ' d a I x f x x b     ( với a b là phân số tối giản). Tính 8 3 T a b   . A. 1 T  . B. 0 T  . C. 16 T  . D. 16 T   . Câu 36: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với . Tính tích phân A. . B. . C. . D. Câu 37: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho   f x liên tục trên  và     10 3 2 , f x f x x x       . Tính   1 0 d I f x x   . A. 55 I  . B. 1 11 I  . C. 11 I  . D. 1 55 I  . Câu 38: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số   f x có đạo hàm trên   1;    . Biết đẳng thức     2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 3 x x f x x f x x       được thỏa mãn   1; x      . Tính giá trị   0 f . A. 3 3  . B. 2 3  . C. 3  . D. Chưa đủ dữ kiện tính   0 f . Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2 ( ) 3 (1 ) 1 , f x f x x x     với mọi [0;1]. x  Tích phân 2 0 ' 2 x xf dx        bằng A. 4 75  . B. 4 25  . C. 16 75  . D. 16 25  . Câu 40: (Sở Quảng NamT) Cho hàm số   f x không âm, có đạo hàm trên đoạn   0;1 và thỏa mãn   1 1 f  ,         2 2 1 2 1 , 0;1 f x x f x x f x x                . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 1. B. 2 . C. 1 3 . D. 3 2 . Câu 41: (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  . Biết rằng các tiếp tuyến với đồ thị   y f x  tại các điểm có hoành độ 1 x   , 0 x  , 1 x  lần lượt tạo với chiều dương của trục Ox các góc 30° , 45  , 60  . 4 3  2 3 5 3 10 3  ( ) f x R 2 ( ) 4 ( ) 2 1 f x xf x x    x R   1 0 ( ) I xf x dx    2  1  2 1 ( ) f x 2 ;1 3       2 2 ( ) 3 ( ) 5 3 f x f x x   2 ;1 3 x         1 2 3 ln . ( ) x f x dx   5 2 1 ln 3 3 3  5 2 1 ln 3 3 3  5 2 1 ln 3 3 3   5 2 1 ln 3 3 3   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Tính tích phân         0 1 3 1 0 ' . '' d 4 ' . '' d I f x f x x f x f x x          . A. 25 3 I  . B. 0 I  . C. 1 3 I  . D. 3 1 3 I   . Câu 42: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số   0 f x  có đạo hàm liên tục trên 0, 3        , đồng thời thỏa mãn   0 0 f   ;   0 1 f  và         2 2 . cos f x f x f x f x x                .Tính 3 T f         A. 3 4 T  . B. 3 4 T  . C. 3 2 T  . D. 1 2 T  . Câu 43: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên   0,  . Biết   0 2 f e  và   f x luôn thỏa mãn đẳng thức       cos ' sin . cos . , 0, x f x x f x x e x      . Tính   0 . I f x dx    (làm tròn đến phần trăm). A. 6,55 I  . B. 17,30 I  . C. 10,31 I  . D. 16,91 I  . Câu 44: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số   f x thỏa mãn       2 2 1 1 . xf x x f x f x               với mọi x dương. Biết     1 1 1 f f    . Giá trị   2 2 f bằng A.   2 2 2ln 2 2 f   . B.   2 2 2 ln 2 2 f   . C.   2 2 ln 2 1 f   . D.   2 2 ln 2 1 f   . Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số ( )  y f x có đạo hàm ( ) 0 f x   , [1 ;2] x   thỏa mãn (1) 1 f  , 22 (2) 15 f  và   3 2 4 1 ( ) 7 375 f x dx x    . Tích phân 2 1 ( )  f x dx bằng A. 1 5 . B. 7 5 . C. 3 5 . D. 4 5 . Câu 46: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số ( ) y f x  liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 2 2 ( ) 2 1 3 ( ). '( ) 4 1 (0). f x x x f x f x xe f        Biết rằng 1 4089 4 0 (4 1) ( )d a I x f x x b       là phân số tối giản. Tính 3 T a b   A. 6123. T  B. 12279. T  C. 6125. T  D. 12273. T  Câu 47: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn   1 0 f  ,   1 2 0 3 d 2ln 2 2 f x x         và     1 2 0 3 d 2ln 2 2 1 f x x x     . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 1 2ln 2 2  . B. 3 2ln 2 2  . C. 3 4ln 2 2  . D. 1 ln 2 2  . Câu 48: (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số ( ) f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [0;1]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức     1 1 0 0 2 ( ) 3 ( )d 4 ( ) ( ) d M f x x f x x f x x xf x x       bằng A. 1 24  . B. 1 8  . C. 1 12  . D. 1 6  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 49: (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số   f x có đạo hàm   f x  liên tục trên đoạn   1;e thỏa mãn   1 1 2 f  và       2 1 . 3 x f x xf x f x x     ,   1;e x   . Giá trị của   e f bằng A. 3 2e . B. 4 3e . C. 3 4e . D. 2 3e . Câu 50: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số   f x thỏa mãn hai điều kiện     2 2 3 2 1 4 . f x x x x f x         , x    và   3 1 d 12 f x x    . Giá trị   2 0 d f x x  bằng A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 5 . GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của     2 1 x G x t t dt    trên đoạn   1 ;1  . A. 1 6 . B. 2. C. 5 6  . D. 5 6 . Câu 2: Cho   F x là một nguyên hàm của hàm số     2 3 e 4 x f x x x   . Hàm số   F x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Câu 3: Biết rằng   F x là một nguyên hàm trên  của hàm số     2018 2 2017 1 x f x x   thỏa mãn   1 0 F  . Tìm giá trị nhỏ nhất m của   F x . A. 1 2 m   . B. 2017 2018 1 2 2 m   . C. 2017 2018 1 2 2 m   . D. 1 2 m  . Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số     0 2 3 cos 2 2sin 2 d t f t x x x    trong khoảng   0;   . A. 3 3 M  . B. 3 M  . C. 2 3 M  . D. 2 M  . Câu 5: Cho hàm số   f x liên tục trên   thỏa mãn   1 , f x x x x        và   1 1 f  . Tìm giá trị nhỏ nhất của   2 f . A. 3. B. 2. C. 5 ln 2 2  . D. 4. Câu 6: Gọi 1 2 , x x lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số   2 e e ln d x x f x t t t   . Tính 1 2 S x x   . A. ln 2e . B. ln 2 . C. ln2  . D. 0 . Câu 7: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm trên   1;  thỏa mãn   1 1 f  và   2 3 2 5 f x x x     trên   1;  . Tìm số nguyên dương lớn nhất m sao cho     3;10 min x f x m   với mọi hàm số   y f x  thỏa điều kiện đề bài . A. 15 m  . B. 20 m  . C. 25 m  . D. 30 m  . Câu 8: Xét hàm số     2 d x F x f t t   trong đó hàm số   y f t  có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A.   1 F . B.   2 F . C.   3 F . D.   0 F . Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 0 x S x ax d    với   0,1 a  A. 2 2 6  . B. 2 1 3  . C. 2 2 3  . D. 2 1 6  Câu 10: Cho 4 a b ab    và a b  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 x b a I x a b x ab d      A. 4 3 . B. 12 . C. 2 3 . D. 48 Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của   2 2 2 x b a I x m x d      trong đó a b  là hai nghiệm của phương trình   2 2 2 0 x m x     A. 128 9 . B. 8 2 3 . C. 8. D. 2 2 Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 3 0 x S x ax d    với   0,1 a  A. 2 2 6  . B. 1 8 . C. 1 4 . D. 2 2 8  Câu 13: Cho 4 a b ab    và a b  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     2 x b a I x a x b d     A. 12. B. 0. C. 64 3 . D. 49 3 Câu 14: Cho     2 2 2 2 4 a b a b     và a b  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   2 x b a I x a b x ab d      A. 16 9 . B. 9 16 . C. 4 3 . D. 3 4 Câu 15: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 3 2 2 3 4 x 5 2 x m m S x m m x m d      với   1 ;3 m  . Mệnh đề nào dưới đây đúng A. 41 6 a b   . B. 1 a b   . C. 21 4 a b   . D. 2 a b   Câu 16: m là tham số thuộc đoạn   1;3 . Gọi , a b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của     2 2 2 2 x m m P x m x m d     . Tính a b   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 31. B. 36 . C. 122 15 . D. 121 4 Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của     2 2 2 2 2 3 2 1 4 x m m P x m m x m m d         là ; , a S a b b  nguyên dương và a b tối giản. Tính T a b   A. 7. B. 337. C. 25. D. 91 Câu 18: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn   0;1 . Tìm      1 201 1 2 0 8 0 x . min . x f A x f x d m x f x d            A. 1 2019  . B. 1 16144  . C. 2017 2018  . D. 1 16140  Câu 19: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn   0;1 . Tìm      1 2013 1 2 0 0 x+ . m n x i . f A x f x d M x f x d            A. 1 2014 . B. 503 2014 . C. 2012 2013 . D. 1 8.2013 Câu 20: Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn     1 f x f x    , x    và   0 0 f  . Tìm giá trị lớn nhất của   1 f A. 2e 1 e  . B. e 1 e  . C. e 1  . D. 2e 1  . Câu 21: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn   0;1 và nhận giá trị không âm trên đoạn   0;1 . Tìm m nhỏ nhất sao cho     1 1 2018 0 0 x . x f x d m f x d f A      A. 2018 . B. 1. C. 1 2018 . D. 2018 Câu 22: Cho hàm số   y f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm   ' f x liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn     1 2018. 0 f f  . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức     1 1 2 ' 2 0 0 1 x x M d f x d f x             A. ln 2018 . B. 2ln 2018 . C. 2e . D. 2018e Câu 23: Cho hàm số   y f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 và thỏa mãn         2 ' 1 0 1 . 0 ; x 1 f x f e f e d f x             . Tìm mệnh đề đung A. 2 1 2 f e        . B. 1 2 f e        . C. 1 2 f e        . D. 1 1 2 2e f        Câu 24: Cho hàm số   y f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm   ' f x liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn     1 . 0 f e f  . Biểu thức     1 1 2 ' 2 0 0 1 x x 2 d f x d f x             . Mệnh đề nào đúng A.   2e 1 1 f e   . B.   2 2 2e 1 1 f e   . C.     2 e 2 1 1 f e    . D.     2 2 e 2 1 1 f e    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện với mọi và . Tìm giá trị nhỏ nhất của ? A. B. C. D. Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn với mọi và . Tìm giá trị lớn nhất của A. B. C. D. Câu 27: Cho hàm số liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: và . Giá trị lớn nhất của tích phân bằng bao nhiêu? A. B. C. D. Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn với mọi . Giá trị nhỏ nhất của tích phân bằng: A. B. C. D. Câu 29: Cho hàm số dương và liên tục trên thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính ? A. B. C. D. Câu 30: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm trên  và   4 2 2 2 f x x x x     0 x   và   1 1 f   . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình   0 f x  có 1 nghiệm trên   0;1 . B. Phương trình   0 f x  có đúng 3 nghiệm trên   0;   . C. Phương trình   0 f x  có 1 nghiệm trên   1;2 . C. Phương trình   0 f x  có 1 nghiệm trên   2;5 . Lời giải Chọn C   4 2 2 2 f x x x x     6 3 2 2 2 x x x      2 3 2 1 1 0 x x     , 0 x   .   y f x   đồng biến trên   0;   .   0 f x   có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng   0;     1 .   y f x    1;1    2 1 f x    1;1 x     1 1 0 f x dx      1 2 1 x f x dx   1 2  1 4  2 3  1    y f x    0;1     8;8 f x     0;1 x    1 0 3 xf x dx     1 3 0 ? x f x dx  2 31 16 4 3 17 8   y f x    0;1     0;1 max 6 f x    1 2 0 0 x f x dx     1 3 0 x f x dx  1 8   3 3 2 4 4  3 2 4 16  1 24   y f x    0;1     2018 3 ' f x xf x x     0;1 x    1 0 x f x d  1 2021 2022  1 2018 2021  1 2018 2019  1 2019 2021    y f x    1 ;3         1;3 1;3 1 max 2;min 2 f x f x       3 3 1 1 1 S f x dx dx f x      3 1 f x dx  7 2 5 2 7 5 3 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Mặt khác ta có:   4 2 2 2 0 f x x x x      , 0 x     2 2 4 2 1 1 2 21 d 2 d 5 f x x x x x x                   21 2 1 5 f f      17 2 5 f   . Kết hợp giả thiết ta có   y f x  liên tục trên   1;2 và     2 . 1 0 f f    2 . Từ   1 và   2 suy ra phương trình   0 f x  có đúng 1 nghiệm trên khoảng   1 ;2 . Câu 31: Cho hàm số   f x thỏa mãn   0 f x   ,   1;2 x   và   3 2 4 1 7 d 375 f x x x        . Biết   1 1 f  ,   22 2 15 f  , tính   2 1 d I f x x   . A. 71 60 P  . B. 6 5 P  . C. 73 60 P  . D. 37 30 P  . Câu 32: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt . Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng: A. B. C. D. Câu 33: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt . Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng: A. B. C. D. Câu 34: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt . Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng: A. B. C. D. Câu 35: Cho hàm số   f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn   0 1 f  và         1 1 2 0 0 1 3 d 2 d 9 f x f x x f x f x x                 . Tính tích phân   1 3 0 d f x x      : A. 3 2 . B. 5 4 . C. 5 6 . D. 7 6 . Câu 36: Cho hàm số   y f x  liên tục, không âm trên  thỏa mãn         2 . 2 1 f x f x x f x    và   0 0 f  . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số   y f x  trên đoạn   1;3 lần lượt là A. 20 M  ; 2 m  . B. 4 11 M  ; 3 m  . C. 20 M  ; 2 m  . D. 3 11 M  ; 3 m  .   y f x    0;1     0 1 x g x f t dt        g x f x    0;1 x    1 0 1 dx g x  1 3 1 2 2 1 2   y f x    0;1     0 1 3 x g x f t dt        2 g x f x    0;1 x    1 0 x g x d  5 2 4 3 7 4 9 5   y f x    0;1     2 0 1 x g x f t dt        2 2 g x xf x    0;1 x    1 0 g x dx  2 3 4 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 37: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt . Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng: A. B. C. D. Câu 38: Cho hàm số   y f x  liên tục trên   0; 1 thỏa mãn   1 0 d 0 xf x x   và   [0; 1] max 1. f x  Tích phân   1 0 e d x I f x x   thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 5 ; . 4          B. 3 ; e 1 . 2        C. 5 3 ; . 4 2        D.   e 1 ; .    Câu 39: Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   0;1 thoả mãn   1 2 0 d 0 x f x x   và   [0;1] max 6. f x  Giá trị lớn nhất của tích phân   1 3 0 d x f x x  bằng A. 1 8 . B.   3 3 2 4 4  . C. 3 2 4 16  . D. 1 24 . ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH A – KIẾN THỨC CHUNG a - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng , được xác định: b - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , được xác định: Chú ý:   y f x    0;1     0 1 2 x g x f t dt        3 g x f x        0;1 x    1 2 3 0 g x dx      5 3 4 4 3 5 ( ) y f x    ; a b x a  x b  ( ) b a S f x dx   ( ) y f x  ( ) y g x    ; a b x a  x b  ( ) ( ) b a S f x g x dx               1 1 2 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) C y f x C y f x H x a x b 1 ( ) C 2 ( ) C 1 2 ( ) ( ) b a S f x f x dx    a 1 c y O b x 2 c            ( ) ( ) y f x y 0 H x a x b a 1 c 2 c  ( ) y f x y O x 3 c b ( ) b a S f x dx   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông - Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì: - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng , được xác định: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là . Phương pháp giải toán +) Giải phương trình +) Nếu (1) vô nghiệm thì . +) Nếu (1) có nghiệm thuộc. . giả sử thì Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là . Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình tìm các giá trị . Bước 2. Tính như trường hợp 1. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là. A. 8 3 . B. 11 3 . C. 7 3 . D. 10 3 . [ ; ] a b ( ) f x ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx    ( ) x g y  ( ) x h y  y c  y d  ( ) ( ) d c S g y h y dy    ( ), ( ), , y f x y g x x a x b     ( ) ( ) b a S f x g x dx    ( ) ( ) (1) f x g x    ( ) ( ) b a S f x g x dx      ; a b      ( ) ( ) ( ) ( ) b a S f x g x dx f x g x dx         ( ) ( ) f x g x    a; b ( ), ( ) y f x y g x   ( ) ( ) S f x g x dx      ,   ( ) ( ) f x g x    a b      ( ) ( ) f x g x  ,   ( ) ( ) S f x g x dx      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 2: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 3 y x x   , trục hoành và hai đường thẳng 1 x  , 4 x  bằng A. 51 4 . B. 53 4 . C. 49 4 . D. 55 4 . Câu 3: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 y x  , 2 4 4 y x x    và trục Ox (tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào dưới đây? A.   2 3 2 0 4 4 d x x x x     . B.   1 2 3 2 0 1 d 4 4 d x x x x x       . C.   1 2 3 2 0 1 d 4 4 d x x x x x      . D.   1 2 3 2 0 1 d 4 4 d x x x x x      . Câu 4: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số   y f x  có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ O như hình vẽ. Giá trị của   3 3 d f x x   bằng: A. 26 3 . B. 38 3 . C. 4 3 . D. 28 3 . Câu 5: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số đa thức bậc ba   3 2 ( 0) y f x ax bx cx d a       có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   y f x  và trục hoành. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 6 . B. 19 4 . C. 27 4 . D. 8. Câu 6: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong mặt phẳng cho Parabol 2 ( ) : P y x  và đường tròn 2 2 ( ) : 2 C x y   (xem hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm). A. 1,19 B. 1,90. C. 1,81. D. 1,80. Câu 7: (Sở Quảng NamT) Cho   H là hình phẳng giới hạn bởi parabol   2 : P y x  , tiếp tuyến với   P tại điểm   2;4 M và trục hoành. Diện tích của hình phẳng   H bằng A. 2 3 . B. 8 3 . C. 1 3 . D. 4 3 . Câu 8: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường ; 0; 0 x y e y x    và ln 4 x  . Đường thẳng   , 0 ln 4 x k k    chia (H) thành hai phần có diện tích 1 S và 2 S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2 2 S S  . A. 2 ln 4 3 k  . B. ln 2 k  . C. 8 ln 3 k  . D. ln3 k  . Câu 9: Parabol 2 2 x y  chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện tích là 1 S và 2 S , trong đó 1 2 S S  . Tìm tỉ số 1 2 . S S A. 3 2 . 21 2     B. 3 2 . 9 2     C. 3 2 . 12    D. 9 2 . 3 2     Câu 10: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm 2 y x  và 2 1 x y x   là ln 2 S a b   với a , b là những số hữu tỷ. Tính a b  ? A. 1 3  . B. 2 . C. 2 3  . D. 1. Câu 11: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 10 3 . B. 4 . C. 13 3 . D. 11 3 . Câu 12: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn các đường 2 1 y x x   ; 0 y  1 x  . A. 2 2 1 3 S   . B. 3 2 3 S   . C. 3 2 2 3 S   . D. 3 2 1 3 S   . Câu 13: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho   H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 y x   , trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng : 16 0 d ax by    đi qua   0;2 A và chia   H thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị a b  bằng A. 5. B. 6. C. 2. D. 4. Câu 14: (Ngô Quyền Hà Nội) Diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 x y  , 3 y x    , 1 y  bằng A. 1 3 ln 2  . B. 1 1 ln 2 2  . C. 1 1 ln 2  . D. 1 2 ln 2  . Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số 2 2 1   y x x , trục Ox và đường thẳng 1  x bằng   ln 1   a b b c với a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của   a b c là A. 11. B. 12. C. 13 . D. 14. Câu 16: (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho parabol   2 : P y x  và hai điểm , A B thuộc   P sao cho 2 AB  . Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi   P và đường thẳng AB là A. 3 . 4 B. 3 . 2 C. 2 . 3 D. 4 . 3 Câu 17: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số ( ) y f x  là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( ) y f x y f x   có diện tích bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 127 40 . B. 127 10 . C. 107 . 5 D. 13 . 5 Câu 18: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số 4 2 y ax bx c    có đồ thị   C , biết rằng   C đi qua điểm   1;0 A  . Tiếp tuyến  tại A của đồ thị   C cắt   C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị   C và hai đường thẳng 0 x  ; 2 x  có diện tích bằng 56 5 (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị   C và hai đường thẳng 1 x   ; 0 x  . A. 2 5 . B. 2 9 . C. 1 9 . D. 1 5 . Câu 19: (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số 4 2 y ax bx c    và hàm số 2 y mx nx p    có đồ thị là các đường cong như hình vẽ bên (đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số 4 2 y ax bx c    ). Diện tích của hình phẳng được tô đậm bằng A. 32 15 . B. 64 15 . C. 104 15 . D. 52 15 . Câu 20: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho đồ thị  : C y x  . Gọi M là điểm thuộc   C ,   9 ; 0 A . Gọi   1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C , đường thẳng 9 x  và trục hoành.   2 S là diện tích tam giác OMA. Tọa độ điểm M để 1 2 2 S S  là A.   3 ; 3 M . B.   4 ; 2 M . C.   6 ; 6 M . D.   9 ; 3 M . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 21: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm số 1 x m y x    ( với 0 m  ) có đồ thị là   C . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   C và hai trục tọa độ. Biết 1 S  , giá trị thực của m gần nhất với số nào sau đây: A. 0,56. B. 0,45 . C. 4,4 . D. 1 ,7 . Câu 22: (Cẩm Giàng) Cho hình thang cong   H giới hạn bởi các đường e x y  , 0 y  , 0 x  , ln 4 x  . Đường thẳng x k    0 ln 4 k   chia   H thành hai phần có diện tích là 1 S và 2 S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2 2 S S  . A. 4 ln 2 3 k  . B. 8 ln 3 k  . C. ln 2 k  . D. ln 3 k  . Câu 23: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số 3 2 y x ax bx c     có đồ thị   C . Biết rằng tiếp tuyến d của   C tại điểm A có hoành độ bằng 1  cắt   C tại điểm B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và   C (phần gạch chéo trong hình) bằng A. 27 4 . B. 11 2 . C. 25 4 . D. 13 2 . Câu 24: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho 3 2 ( ) f x x ax bx c     và ( ) ( ) g x f dx e   với , , , , a b c d e   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số ( ). y f x  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong ( ) y f x  và ( ) y g x  gần nhất với kết quả nào dưới đây? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 4,5. B. 4,25 . C. 3,63. D. 3,67 . Câu 25: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên  và hàm số   2 ( ) . y g x x f x   có đồ thị trên đoạn   0; 2 như hình vẽ. Biết diện tích miền tô màu là 5 2 S  , tính tích phân 1 ( )d . I f x x   A. 5 I  . B. 5 2 I  . C. 5 4 I  . D. 10 I  . Câu 26: (THTT lần5) Cho hàm số bậc ba   y f x  có đồ thị   C như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ 1 x , 2 x , 3 x theo thứ tự lập thành cấp số cộng và 3 1 2 3 x x   . Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C và trục Ox là S . Diện tích 1 S của hình phẳng giới hạn bởi các đường   1 y f x   ,   1 y f x    , 1 x x  và 3 x x  bằng A. 2 3 S  . B. 4 3 R S   . C. 4 3 . D. 8 3 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 27: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Hình phẳng   H được giới hạn bởi đồ thị   C của hàm đa thức bậc ba và parabol   P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng A. 37 12 . B. 7 12 . C. 11 12 . D. 5 12 . Câu 28: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số   f x xác định và liên tục trên đoạn   5;3  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết diện tích các hình phẳng         , , , A B C D giới hạn bởi đồ thị hàm số   f x và trục hoành lần lượt bằng 6;3;12;2. Tích phân   1 3 2 2 1 1 d f x x         bằng A. 27 . B. 25 . C. 17 . D. 21 . Câu 29: (TTHT Lần 4) Cho hàm số   y f x  . Hàm số   y f x   có đồ thị như hình vẽ bên. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số   y f x   trên đoạn   2 ;1  và   1; 4 lần lượt bằng 9 và 12. Cho   1 3. f  Giá trị của biểu thức     2 4 f f   bằng A. 21. B. 9. C. 3. D. 3. Câu 30: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm 2 2 6 2 3 1 x ax a y a     và 2 6 1 a ax y a    có diện tích lớn nhất. A. 3 1 2 . B. 1. C. 2. D. 3 3 . Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho   E có phương trình   2 2 2 2 1, , 0 x y a b a b    và đường tròn   2 2 : 7. C x y   Để diện tích elip   E gấp 7 lần diện tích hình tròn   C khi đó A. 7 ab  . B. 7 7 ab  . C. 7 ab  . D. 49 ab  . Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị   3 2 1 2 y f x ax bx cx      và   2 1 y g x dx ex     trong đó , , , , . a b c d e   Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng 3; 1; 2,   chi phí trồng hoa là 800000 đồng/1m 2 và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền trồng hoa gần nhất với số nào sau đây? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng). A. 4217000 đồng. B. 2083000 đồng. C. 422000 đồng. D. 4220000 đồng. Câu 33: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số   3 2 , , y x ax bx c a b c       có đồ thị   C và   2 , , y mx nx p m n p      có đồ thị   P như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C và   P có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A.   0;1 . B.   1; 2 . C.   2;3 . D.   3;4 . Câu 34: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số   3 f x x ax b    và     2 g x f cx dx   với , , , a b c d   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là của hàm số   y f x  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong   y f x  và   y g x  gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 7,66 . B. 4,24 . C. 3,63 . D. 5,14 . Câu 35: (Đặng Thành Nam Đề 15) Gọi   H là hình phẳng giới hạn bởi parabol   2 3 y x   , trục hoành và trục tung. Gọi 1 k , 2 k ( 1 2 k k  ) lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng đi qua điểm   0;9 A và chia   H thành ba phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 81 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Giá trị của 1 2 k k  bằng A. 13 2 . B. 7 . C. 25 4 . D. 27 4 . Câu 36: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho đồ thị   C của hàm số 3 2 3 1 y x x    . Gọi   d là tiếp tuyến của   C tại điểm A có hoành độ A x a  . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi   d và   C bằng 27 4 , các giá trị của a thỏa mãn đẳng thức nào? A. 2 2 1 0 a a    . B. 2 2 0 a a   . C. 2 2 0 a a    . D. 2 2 3 0 a a    . Câu 37: Cho hình phẳng   H giới hạn bởi các đường 2 1 y x   và ,0 1. y k k    Tìm k để diện tích của hình phẳng   H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. 3 4. k  B. 3 2 1. k   C. 1 . 2 k  D. 3 4 1. k   Câu 38: Cho hàm số   y f x  xác định và liên tục trên đoạn   3;3  . Biết rằng diện tích hình phẳng 1 S , 2 S giới hạn bởi đồ thị hàm số   y f x  và đường thẳng 1 y x    lần lượt là M , m . Tính tích phân   3 3 d f x x   bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 82 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 6 m M   . B. 6 m M   . C. 6 M m   . D. 6 m M   . Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số 3 2 ( ) f x ax bx cx d     , có đồ thị ( ) C và M là một điểm bất kì thuộc ( ) C sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt ( ) C tại điểm thứ hai N ; tiếp tuyến của ( ) C tại N cắt ( ) C tại điểm thứ hai P . Gọi 1 2 , S S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng MN và ( ) C ; đường thẳng NP và ( ) C . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. 1 2 8 S S  . B. 2 1 8 S S  . C. 2 1 16 S S  . D. 1 2 16 S S  . Câu 40: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số   y f x  có đồ thị   C nằm trên trục hoành. Hàm số   y f x  thỏa mãn các điều kiện   2 . 4 y y y       và   1 5 0 1; . 4 2 f f         Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C và trục hoành gần nhất với số nào dưới đây? A. 0,95. B. 0,96. C. 0,98. D. 0,97. Câu 41: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Xác định 0 a  sao cho diện tích giới hạn bởi hai parabol: 2 2 4 4 2 1 a ax x y a     , 2 4 1 x y a   có giá trị lớn nhất. A. 4 3 a  . B. 3 3 a  . C. 3 4 a  . D. 4 5 a  . Câu 42: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn   ; O R và   ; O R  , 4 OO R   . Trên đường tròn   ; O R lấy hai điểm A , B sao cho 3 AB a  . Mặt phẳng   P đi qua A , B cắt đoạn OO  và tạo với đáy một góc 60 ,   P cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng A. 2 4 3 3 2 R           . B. 2 2 3 3 4 R           . C. 2 2 3 3 4 R           . D. 2 4 3 3 2 R           . Câu 43: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa đường tròn đường kính AB có bán kính bằng 4 và  0 30 BAC  . Diện tích hình (H) (phần tô đậm) bằng: A. 2 2 3   B. 2 3 3   C. 10 2 3 3   D. 7 3 3 3   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 83 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 44: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Biết rằng parabol 2 1 24 y x  chia hình phẳng giới hạn bởi elip có phương trình 2 2 1 16 1 x y   thành hai phần có diện tích lần lượt là 1 2 , S S với 1 2 S S  . Tỉ số 1 2 S S bằng A. 4 3 8 3     . B. 4 2 8 2     . C. 4 3 12    . D. 8 3 12    . Câu 45: Cho parabol   2 : P y x  và một đường thẳng d thay đổi cắt   P tại hai điểm A , B sao cho 2018 AB  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi   P và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất max S của . S A. 3 2018 1 6 max S   . B. 3 2018 3 max S  . C. 3 2018 1 6 max S   . D. 3 2018 6  max S . Câu 46: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2 4 y x   , 2 y  , y x  có diện tích là . S a b    . Chọn kết quả đúng: A. 1 a  , 1 b  . B. 1 a b   . C. 2 3 a b   . D. 2 2 4 5 a b   . Câu 47: Tìm giá trị của tham số m sao cho: và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng có cùng diện tích A. 0 < m < 1. B. m = 1. C. . D. m = 9 Câu 48: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng và có diện tích bằng 4. A. . B. . C. . D. Câu 49: Cho hàm số 4 2 2 2 2 2 x y m x    . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 64 15 là A.  . B.   1  . C. 2 ; 1 2             . D. 1 ; 1 2         . Câu 50: Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành. Với giá trị nào của m thì ? A. B. C. D. Câu 51: Cho parabol   2 : 1 P y x   và đường thẳng : 2 d y mx   . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi   P và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó. A. 0. S  B. 4 . 3 S  C. 2 . 3 S  D. 4. S  ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ 3 y x 3x 2    1 m 9   3 2 1 1 2 2 3 3 y x mx x m      5 0; 6 m            0, 2, 0 x x y    1 4 m  1 3 m  1 2 m  1 m  4 2 4 y x x m    ' S S  2 m  2 9 m  20 9 m  1 m  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 84 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 1: (Sở Phú Thọ) Cho hàm số . Đồ thị của hàm số trên như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol ). Biết , giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Câu 2: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm   y f x   như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án , , , A B C D dưới đây là đúng? A.       2 1 0 f f f    . B.       0 1 2 f f f    . C.       0 2 1 f f f    . D.       1 0 2 f f f    . Câu 3: (Hùng Vương Bình Phước) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm   f x  liên tục trên   2;1 .  Hình bên là đồ thị của hàm số  . y f x   Đặt     2 . 2 x g x f x   Khẳng định nào sau đây đúng? A.       1 2 0 . g g g    B.       0 1 2 . g g g    C.       2 1 0 . g g g    D.       0 2 1 . g g g    Câu 4: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số   y f x   có đồ thị hàm số như hình dưới đây.   f x   y f x     3;2  2 y ax bx c      3 0 f       1 1 f f   23 6 31 6 35 3 9 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 85 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Lập hàm số     2 3 g x f x x x    . Mệnh đề nào sau đây đúng? A.     1 1 g g   . B.     1 1 g g   . C.     1 2 g g    . D.     1 2 g g    . Câu 5: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân   2 1 2 1 d I f x x     . A. 2 I   . B. 1 I   . C. 1 I  . D. 2 I  . Câu 6: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số ( ) y f x  liên tục, có đạo hàm trên   ;     và có đồ thị như hình vẽ. Tích phân   1 0 5 3 d I f x x     bằng A. 9 5 . B. 9. C. 3. D. 2 . 4 2 2 -1 -1 2 3 3 O 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 86 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 7: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm '( ) f x liên tục trên R và có đồ thị của hàm số '( ) f x như hình vẽ, Biết   3 0 1 '( )    x f x dx a và 1 0   f x dx b '( ) , 3 1   f x dx c '( ) , 1  f d ( ) . Tích phân 3 0  f x dx ( ) bằng A. 4 5     a b c d . B. 3 2     a b c d . C. 4 3     a b c d . D. 4 5     a b c d. Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm cấp hai ( ) f x   liên tục trên  và có đồ thị hàm số ( ) f x như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số ( ) f x đạt cực đại tại điểm 1; x  đường thẳng  trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) f x tại điểm có hoành độ 2 x  . Tích phân ln3 0 1 2 x x e e f dx           bằng A. 8 . B. 4 . C. 3 . D. 6 . Câu 9: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số   f x liên tục có đồ thị như hình bên dưới ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 87 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Biết ( ) ( ), [ 5;2] F x f x x      và   1 3 14 d 3 f x x     . Tính     2 5 F F   . A. 145 6  . B. 89 6  . C. 145 6 . D. 89 6 . Câu 10: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho   4 2 5 4 d b a P x x x      có giá trị lớn nhất với ( ; , a b a b    ). Khi đó tính 2 2 S a b   A. 5 S  . B. 8 S  . C. 4 S  . D. 7 S  . Câu 11: (Kim Liên) Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số ( ) y f x   như hình vẽ. Biết ( ) 0 f a  , tìm số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x  với trục hoành. A. 3 . B. 4 . C. 0 . D. 2 . Câu 12: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   3;3  và đồ thị '( ) y f x  như hình vẽ. Đặt 2 ( ) 2 ( ) 4 g x f x x    . Biết (1) 24 f   . Hỏi ( ) 0 g x  có bao nhiêu nghiệm thực? A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 0 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 88 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 13: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  . Hàm số   y f x   có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Số nghiệm thuộc đoạn 2;6        của phương trình     0 f x f  là A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số   4 2 f x ax bx c    có đồ thị   C . Gọi   : y dx e    là tiếp tuyến của   C tại điểm A có hoành độ 1. x   Biết  cắt   C tại hai điểm phân biệt , M N ( , ) M N A  có hoành độ lần lượt là 0; 2. x x   Cho biết   2 0 28 ( ) . 5 dx e f x dx     Tích phân   0 1 ( ) f x dx e dx     bằng: A. 2 5 . B. 1 4 . C. 2 9 . D. 1 5 . Câu 15: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hai hàm số 4 3 2 ( ) f x ax bx cx dx e      và 3 2 ( ) 1 g x mx nx px     với a , b , c , d , e , m , n , p , q là các số thực. Đồ thị của hai hàm số ( ) y f x   , ( ) y g x   như hình vẽ bên. Tổng các nghiệm của phương trình ( ) ( ) f x q g x e    bằng A. 13 3 . B. 13 3  . C. 4 3 . D. 4 3  . Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   3;3  và đồ thị hàm số   y f x   như hình vẽ bên. Biết (1) 6 f  và       2 1 2 x g x f x    . Kết luận nào sau đây là đúng? O 1  2  3  1 2 3 4 5 6 7 x y 4 2 2  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 89 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. Phương trình   0 g x  có đúng hai nghiệm thuộc   3;3  . B. Phương trình   0 g x  không có nghiệm thuộc   3;3  . C. Phương trình   0 g x  có đúng một nghiệm thuộc   3;3  . D. Phương trình   0 g x  có đúng ba nghiệm thuộc   3;3  . Câu 17: Chọn ngẫu nhiên hai số thực . Tính xác suất để phương trình có tối đa hai nghiệm. A. . B. . C. . D. . Câu 18: (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị của biểu thức     4 2 0 0 ' 2 d ' 2 d I f x x f x x       bằng A. 2  . B. 2 . C. 6 . D. 10. Câu 19: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn   0, f x x     . Biết   0 1 f  và     ' 2 2 f x x f x   . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình   f x m  có hai nghiệm thực phân biệt. A. 0 1 m   . B. e m  . C. 0 e m   . D. 1 e m   . Câu 20: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số 4 2 ( ) f x ax bx     , a b   có đồ thị hàm số '( ) f x như hình vẽ bên dưới. Biết rằng diện tích phần tô đậm bằng 1 8 . Phương trình 8 ( ) 1 0 f x   có bao nhiêu nghiệm?   , 0;1 a b  3 2 2 3 0 x ax b    1 4 P  1 2 P  2 3 P  3 4 P  O x y 3  1 3 2  2 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 90 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 0 . B. 4 . C. 3. D. 2 . Câu 21: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho hàm số   4 3 2 f x mx nx px qx r        , , , , . m n p q r   Hàm số   y f x   có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tập nghiệm của phương trình   f x r  có số phần tử là A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 22: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số   4 3 2 , f x ax bx cx dx m      (với , , , , a b c d m   ). Hàm số   y f x   có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình   1 2 f x f        có số phần tử là A. 5. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 23: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số   5 4 3 2 f x ax bx cx dx ex r         , , , , , a b c d e r   . Hàm số   y f x   có đồ thị như hình bên (cắt Ox tại   2;0 A  ,   1;0 B  ,   1;0 C ,   2;0 D ). Phương trình   f x r  có bao nhiêu nghiệm? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 91 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2 . B. 1. C. 5 . D. 4 . Câu 24: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số   y f x  có đồ thị   ' y f x  cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ a b c   như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình     f x a f c   là A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. Câu 25: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số   f x xác định trên 1 \ 2        và có đồ thị hàm số   y f x   như hình vẽ, biết   0 1 f  ,   1 2 f  . Giá trị của     1 3 P f f    bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 92 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 4 ln 15  . B. 2 ln 15  . C. 3 ln 15  . D. ln 15 . Câu 26: Cho các số thực , , , a b c d thỏa mãn 0 a b c d     và hàm số   y f x  . Biết hàm số   y f x   có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số   y f x  trên   0;d . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A.     0 M m f f c    . C.     M m f b f a    . B.     M m f d f c    . D.     0 M m f f a    . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số   y f x   , ta có nhận xét: ● Hàm số   y f x   đổi dấu từ  sang  khi qua x a  . ● Hàm số   y f x   đổi dấu từ  sang  khi qua x b  . ● Hàm số   y f x   đổi dấu từ  sang  khi qua x c  . Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số   y f x  trên đoạn   0;d như sau: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 93 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được:                       0; 0; max max 0 , , min min , d d f x f f b f d f x f a f c                . Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích, ta có               0; 0 min . b c d a b f x dx f x dx f c f a f x f c                       Tương tự, ta có                             0 0; 0 0 0 max 0 . 0 a b a c d d b c f x dx f x dx f f b f f b f d f x f f x dx f x dx f b f d                                           Vậy             0; 0; max 0 ; min . d d f x f f x f c           Chọn A Câu 27: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình có bốn nghiệm phân biệt , , , với . Mệnh đề nào dưới đây đúng A. . B. . C. . D. . Câu 28: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm   f x  liên tục trên  và đồ thị của hàm số   f x  trên đoạn   2;6  như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.       2;6 max 2 x f x f     . B.       2;6 max 2 x f x f    . C.       2;6 max 6 x f x f    . D.       2;6 max 1 x f x f     . Câu 29: Cho hàm số   y f x  . Đồ thị của hàm số   y f x   như hình vẽ bên. Đặt     2;6 max M f x   ,     2;6 min m f x   , T M m   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   y f x    y f x     0 f x   a 0 b c 0 a b c          f a f c f b         f a f b f c         f c f a f b         f b f a f c   O x y 2  4 6 2 1 2 3 1  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 94 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A.     5 2 T f f    . B.     5 6 T f f   . C.     0 2 T f f   . D.     0 2 T f f    . Câu 30: (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn   0 f x  , x    . Biết   0 1 f  và       2 6 3 . f x x x f x    . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình   f x m  có nghiệm duy nhất. A. 4 e 0 1 m m       . B. 4 1 e m   . C. 4 e 1 m m      . D. 4 1 e m   . Câu 31: Cho hàm số   y f x  có đạo hàm   f x  liên tục trên đoạn   0;5 và đồ thị hàm số   y f x   trên đoạn   0;5 được cho như hình bên. Tìm mệnh đề đúng A.       0 5 3 f f f   . B.       3 0 5 f f f   . C.       3 0 5 f f f   . D.       3 5 0 f f f   . Câu 32: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục và đồ thị hàm số trên đoạn và lần lượt bằng và . Cho . Giá trị biểu thức bằng A. B. . C. . D. .   y f x    y f x   Ox   y f x     2;1    1; 4 9 12   1 3 f      2 4 f f   21 9 3 2 5  3 5 1 x O y ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 95 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ỨNG DỤNG THỂ TÍCH A – KIẾN THỨC CHUNG 1 - Thể tích vật thể Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , . Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: 2 - Thể tích khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Ox: Chú ý: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Oy: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng , quanh trục Ox: B ( ) S x x ( ) a x b   ( ) S x [ ; ] a b ( ) b a V S x dx   ( ) y f x  x a  x b  ( ) x g y  y c  y d  ( ) y f x  ( ) y g x  x a  x b  c y O d x ( ): ( ) ( ) :            C x g y Oy x 0 y c y d   2 ( ) d y c V g y dy    ( ) : ( ) ( ) :            C y f x Ox y 0 x a x b   2 ( ) b x a V f x dx    a  ( ) y f x y O b x ( ) b a S x dx V   x O a b ( ) V S(x) x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 96 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY) PHƯƠNG PHÁP: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , 0 y  , x a  và ( ) x b a b   quay quanh trục Ox là 2 ( ) b a V f x dx    . Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), ( ) y f x y g x   , x a  và ( ) x b a b   quay quanh trục Ox là 2 2 ( ) ( ) b a V f x g x dx     . B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong   3 2 1 x x x e y xe     , trục hoành và hai đường thẳng 0 x  , 1 x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích 1 ln 1 V a b e                 , trong đó a ,b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 5 a b   . B. 3 a b   . C. 2 7 a b   . D. 5 a b   . Câu 2: (Gang Thép Thái Nguyên) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x  , 0 y  và 4 x  quanh trục Ox . Đường thẳng   0 4 x a a    cắt đồ thị hàm số y x  tại M (hình vẽ). Gọi 1 V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng 1 2 V V  . Khi đó A. 2 a  . B. 2 2 a  . C. 5 2 a  . D. 3 a  . Câu 3: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi parabol   P có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox . A. 128 5 V   . B. 128 3 V   . C. 64 5 V   . D. 256 5 V   . 2 2 ( ) ( ) b a V f x g x dx     ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 97 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 4: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình 1 ( ) H giới hạn bởi các đường 2 , 2 , 4 y x y x x     ; hình 2 ( ) H là tập hợp tất cả các điểm ( ; ) M x y thỏa mãn các điều kiện 2 2 2 2 16;( 2) 4 x y x y      ; 2 2 ( 2) 4 x y    . Khi quay 1 2 ( );( ) H H quanh Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là 1 2 , V V .Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2 1 2 V V  . B. 1 2 V V  . C. 1 2 48 V V    . D. 2 1 4 V V  . Câu 5: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường 3 10 y x    , 1 y  , 2 y x  và D nằm ngoài parabol 2 y x  . Khi cho D quay xung quanh trục Ox , ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích là: A. 56 5  . B. 12  . C. 11  . D. 25 3  . Câu 6: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh 2 2 , phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng A. 2 32 4 3    . B. 2 16 2 3    . C. 2 8 3    . D. 2 64 8 3    . Câu 7: (Thị Xã Quảng Trị) Cho đồ thị   3 2 : C y ax bx cx d     và Parabol   2 : P y mx nx p    có đồ thị như hình vẽ (đồ thị   C là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi   C và   P (phần tô đậm) có diện tích bằng 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng A. 3  . B. 237 35  . C. 5  . D. 159 35  . Câu 8: Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng Bia không đáng kể). ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 98 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 70 (lít). B. 62 (lít). C. 60 (lít). D. 64 (lít). Câu 9: (Cẩm Giàng)Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). A. 3 19m . B. 3 21m . C. 3 18m . D. 3 40m . Câu 10: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại. A. 3 72 m . B. 3 36 m . C. 3 72 m  . D. 3 36 m  . Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong hình vẽ dưới đây, đoạn AD được chia làm 3 bởi các điểm B và C sao cho 2 AB BC CD    . Ba nửa đường tròn có bán kính 1 là  AEB ,  BFC và  CGD có đường kính tương ứng là AB , BC và CD . Các điểm E , F , G lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung EG với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm F , bán kính bằng 2 . Diện tích miền bên trong đường tròn tâm F và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) có thể biểu diễn dưới dạng a c d b    , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương và a , b nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của a b c d    ? y O x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 99 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 14 . B. 15 . C. 16 . D. 17 . Câu 12: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình phẳng   D giới hạn bởi các đường y x    , in s y x  và 0 x  . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do   D quay quanh trục hoành và   4 , V p p     . Giá trị của 24 p bằng A. 8. B. 4 . C. 24 . D. 12 . Câu 13: (Sở Hưng Yên Lần1) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 4cm , chiều cao trong lòng cốc là 12cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường kính đáy. A. 3 128 cm  . B. 3 256cm . C. 3 256 cm  . D. 3 128cm . Câu 14: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 1 x   và 1 x  , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ   1 1 x x    là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 4 1 x  . A. 3 4 . B. 2 5 . C. 4. D. 1 4 . Câu 15: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho vật thể   T giới hạn bởi hai mặt phẳng 0 x  ; 2 x  . Cắt vật thể   T bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại   0 2 x x   ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng   1 e x x  . Thể tích vật thể   T bằng A.   4 13e 1 4   . B. 4 13e 1 4  . C. 2 2e . D. 2 2 e  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 100 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 16: (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 0 x  , x   . Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x   0 x    là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng sin 2 x  . A. 7 1 6   . B. 9 1 8   . C. 7 2 6   . D. 9 2 8   . Câu 17: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng 3 4 chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 3 12,72cm /phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi  8 cm (xem hình). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ? A. 10cm . B. 9cm. C. 8cm . D. 12cm . Câu 18: Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : 2 1 ( ) 1 y f x x    ; 2 ( ) 2 x y g x   .Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng 2 T m n     ;m,n  R thì tổng giá trị m n  là ? A. 1 2 B. 13 20 C. 2 5 D. 3 5 Câu 19: Cho hai đường tròn   1 ;10 O và   2 ;8 O cắt nhau tại hai điểm , A B sao cho AB là một đường kính của đường tròn   2 O . Gọi   H là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần được tô màu như hình vẽ). Quay   H quanh trục 1 2 O O ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 101 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 824 3  . B. 608 3  . C. 97 3  . D. 145 3  BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH Câu 1: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng 2 / m Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đồng. D. 4821322 đồng Câu 2: Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A , B , C , D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích l S , 2 S dùng để trồng hoa, phần diện tích 3 S , 4 S dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng /1m 2 , kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/1m 2 . Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn) A. 6.060.000 đồng. B. 5.790.000 đồng. C. 3.270.000 đồng. D. 3.000.000 đồng. Câu 3: (Sở Hà Nam) Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai đường tròn là 20m và 15m, khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30m. Phần giao của hai hình tròn được trồng hoa với chi phí 300000đồng/ 2 m . Phần còn lại được trồng cỏ với chi phí 100000 đồng/ 2 m . Hỏi chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 202 triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 192 triệu đồng. D. 218 triệu đồng. Câu 4: (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Lô gô gắn tại Shoroom của một hãng ô tô là một hình tròn như hình vẽ bên. Phần tô đậm nằm gữa Parabol đỉnh I và đường gấp khúc AJB được giát bạc với chi phí 10 triệu đồng / 2 m phần còn lại phủ sơn với chi phí 2 triệu đồng/ 2 m . Biết 2 , 5 AB m IA IB m    và 13 2 JA JB m   . Hỏi tổng số tiền giát bạc và phủ sơn của lô gô nói trên gần với số nào nhất trong các số sau: A. 19 250 000đồng. B. 19 050 000 đồng. C. 19 150 000đồng. D. 19 500 000đồng. Câu 5: (Lý Nhân Tông) Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng/ 2 m . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó ? C O 2 O 1 A B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 102 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 8 412 322 đồng. B. 4 821 322 đồng. C. 3 142 232 đồng. D. 4 821 232 đồng. Câu 6: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số 4 2 6 y x x m    có đồ thị   m C . Giả sử   m C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi   m C và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó a m b  (với , a b là các số nguyên, 0  b ; a b là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức S a b   là A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . Câu 7: (Hàm Rồng) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết 5 AB  cm, 4 OH  cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. A. 2 140 cm 3 . B. 2 160 cm 3 . C. 2 14 cm 3 . D. 2 50 cm . Câu 8: (CổLoa Hà Nội) Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn là 10 m, chiều dài trục nhỏ là 4 m, Ban tổ chức vẽ một đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ. Trên hình tròn người ta trồng hoa với giá 100.000 đồng/m 2 , phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá 60.000 đồng/m 2 (biết giá trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả công và cây). Hỏi ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 103 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2387000 đồng. B. 2638000 đồng. C. 2639000 đồng. D. 2388000 đồng. Câu 9: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Gia đình anh A có 1 bồn hoa được thiết kế như hình dưới đây: Ở đây I là tâm của hình tròn và cũng là trung điểm của 1 2 F F , 1 2 , F F là hai tiêu điểm của hình elip, 2 A là một đỉnh của elip, 2 2 2 3, 1 IF F A   . Anh A dự định trồng cỏ Nhật toàn bộ phần diện tích tô đậm. Hỏi số tiền anh A cần phải trả để mua cỏ gần nhất với số nào sau đây biết rằng giá cỏ Nhật là 65.000đ/m 2 ? A. 563.000đ. B. 560.000đ. C. 577.000đ. D. 559.000đ. Câu 10: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao 6 BC m  , chiều dài 12 CD m  (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có 4 MN m  ; cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ 2 m . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó? A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng. Câu 11: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 2 1m của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn). 4 m 10 m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 104 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 6.620.000 đồng. B. 6.320.000 đồng. C. 6.520.000 đồng. D. 6.417.000 đồng. Câu 12: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Một mặt bàn hình elip có chiều dài là 120cm, chiều rộng là 60cm. Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương màu trắng và phần đá hoa cương màu vàng), biết rằng phần đá hoa cương màu vàng cũng là elip có chiều dài 100 cm và chiều rộng là 40 cm. Biết rằng đá hoa cương màu trắng có giá 2 600.000 / vnd m và đá hoa cương màu vàng có giá 2 650.000 / vnd m . Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương theo cách trên gần với số tiền nào dưới đây? A. 355.000 đồng. B. 339.000 đồng. C. 368.000 đồng. D. 353.000 đồng. Câu 13: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 và chiều rộng là 60m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí cho mỗi 2 m làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 293904000. B. 283904000. C. 293804000. D. 283604000. Câu 14: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có độ dài trục lớn bằng 2m , độ dài trục bé bằng 1m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3,5m. Thùng được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là 0,75m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). 60m 100m 2m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 105 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 4,42m  V . B. 3 3,23m  V . C. 3 1,26m  V . D. 3 7,08m  V . Câu 15: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m . Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa (phần tô đen). Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ (phần gạch chéo). Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết 4 AB m  , giá trồng hoa là 200.000 đ/m 2 , giá trồng cỏ là 100.000đ/m 2 , mỗi cây cọ giá 150.000đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó (làm tròn đến hàng nghìn). A. 13.265.000 đồng. B. 12.218.000 đồng. C. 14.465.000 đồng. D. 14.865.000 đồng. Câu 16: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..)Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình và để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Câu 17: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Mảnh vườn nhà ông An có dạng hình elip với bốn đỉnh 1 A , 2 A , 1 B , 2 B như hình vẽ bên. Ông dùng 2 đường Parabol có đỉnh là tâm đối xứng của elip cắt elip tại 4 điểm , , , M N P Q như hình vẽ sao cho tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có 4  MN để chia vườn. Phần tô đậm dùng để trồng hoa và phần còn lại để trồng rau. Biết chi phí trồng hoa là 600.000 đồng/ 2 m và trồng rau là 50.000 đồng/ 2 m . Hỏi số tiền phải chi gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết 1 2 8 m A A  , 1 2 4 m  B B ? A. 4.899.000 đồng B. 5.675.000 đồng C. 3.526.000 đồng D. 7.120.000 đồng Câu 18: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong mặt phẳng, cho đường elip   E có độ dài trục lớn là 10 AA   , độ dài trục nhỏ là 6 BB   , đường tròn tâm O có đường kính là BB  (như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích V của khối tròn xoay có được bằng cách cho miền   40 cm 2 4 4x y  3 2 4( 1) x y     2 506 cm   2 747 cm   2 507 cm   2 746 cm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 106 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông hình hình phẳng giới hạn bởi đường elip và được tròn (được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA  . A. 36 V   . B. 60 V   . C. 24 V   . D. 20 3 V   . Câu 19: (Chuyên Vinh Lần 2) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh , trục đối xứng và đi qua các điểm . Sau đó sơn phần tô đậm với giá đồng/ và trang trí đèn led phần còn lại với giá đồng/ . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng . A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng. Câu 20: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol   P có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng 4 m, 4 AB  m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật CDEF (với , C F AB  ;   , D E P  ), phần còn lại (phần tô đậm) dùng để trang trí. Biết chi phí để trang trí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/ 2 m . Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây? A. 4.450.000 đồng. B. 4.605.000 đồng. C. 4.505.000 đồng. D. 4.509.000 đồng. 1 2 1 2 , , , A A B B 1 B 1 2 B B , M N 200.000 2 m 500.000 2 m 1 2 1 2 4 , 2 , 2 A A m B B m MN m    N M B 1 B 2 A 2 A 1 2.341.000 2.057.000 2.760.000 1.664.000 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 107 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 21: (Sở Thanh Hóa 2019) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 (m). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 3.926.990 (đồng). B. 4.115.408 (đồng)C. 1.948.000 (đồng). D. 3.738.574 (đồng). Câu 22: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây? A. 202 triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 218 triệu đồng. D. 200 triệu đồng. Câu 23: Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A. 1,034 m 2 B. 1,574 m 2 C. 1,989 m 2 D. 2,824m 2 Câu 24: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là   2 2 2 16 25 y x x   như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A.   2 125 6 S m  B.   2 125 4 S m  C.   2 250 3 S m  D.   2 125 3 S m  x y ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 108 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH Câu 1: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông? A. 6  B. 12  C. 3 2  D. 16  Câu 2: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị 3 m ) A. 11,781 3 . m B. 12,637 3 . m C. 1 3 14,923 . m D. 3 8,307 . m Câu 3: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu? A. 425,2 lit. B. 425162 lit. C. 212581lit. D. 212,6 lit. Câu 4: (Đặng Thành Nam Đề 17) Một thùng đựng bia hơi (có dạng khối tròn xoay như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 60 cm , các cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia hơi gần nhất với kết quả nào dưới đây? (giả sử độ dày của thùng bia không đáng kể) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 109 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 70 (lít). B. 62 (lít). C. 60 (lít). D. 64 (lít). Câu 5: (ĐH Vinh Lần 1) Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng ' OO = 5cm, OA = 10cm , OB = 20cm , đường cong AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng A.   3 2750 cm 3  . B.   3 2500 cm 3  . C.   3 2050 cm 3  . D.   3 2250 cm 3  . Câu 6: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). B O' O A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 110 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 19m . B. 3 21m . C. 3 18 . m . D. 3 40m . Câu 7: (ĐH Vinh Lần 1) Cây dù ở khu vui chơi “công viên nước” của trẻ em có phần trên là một chỏm cầu, phần thân là một khối nón cụt như hình vẽ. Biết 2 ON OD m   ; 40 MN cm  ; 40 BC cm  ; 20 EF cm  . Tính thể tích của cây dù A.   3 336000 cm    3 2750 cm 3  . B.   3 896000 3 cm  . C.   3 112000 cm    3 2050 cm 3  . D.   3 896000 cm    3 2250 cm 3  . Câu 8: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một Elip   E có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m. Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn của   E và cắt   E tại M và N (hình a) thì ta được thiết diện A D M F E B O C N 0,5m 0,5m 19m 5m 2m 0,5m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 111 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông luôn là một phần của hình tròn có tâm I ( phần tô đậm trong hình b) với MN là dây cung và  0 90 MIN  . Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái che không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu? Hình a Hình b A. 3 57793m . B. 3 115586m . C. 3 32162m . D. 3 101793m . Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên. Các tứ giác , ABCD CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5cm . Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có 3,5 BE cm  . Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol   P có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF . Thể tích của chi tiết máy bằng A. 3 395 24 cm . B. 3 50 3 cm . C. 3 125 8 cm . D. 3 425 24 cm . Câu 10: Một khối cầu có bán kính là   5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng   3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 112 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A.   3 100 3 dm  B.   3 43 3 dm  C.   3 41 dm  D.   3 132 dm  Câu 11: Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. A. 3 240 cm . B. 3 240 cm  . C. 3 120 cm . D. 3 120 cm  . Câu 12: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng 2m AB  . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với 4m AC  , 3,5m CE  và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó. A. 3 9,75m . B. 3 10,5m . C. 3 10 m . D. 3 10,25m . Câu 13: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây) 0 45 A B C M E 2 m 1m 3,5 m 4 m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 113 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Hình 1 Hình 2 Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính . A. . B. . C. . D. Câu 14: Người ta dựng một cái lều vải   H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của   H là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều cao 6 SO m  ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của   H là các sợi dây 1 c , 2 c , 3 c , 4 c , 5 c , 6 c nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của   H với mặt phẳng   P vuông góc với SO là một lục giác đều và khi   P qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m . Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều   H đó. A. 135 3 5 ( 3 m ). B. 96 3 5 ( 3 m ). C. 135 3 4 ( 3 m ). D. 135 3 8 ( 3 m ). Câu 15: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: V V   V cm 3 2250    V cm 3 225 4     V cm 3 1250    V cm 3 1350  O 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 1m 3m S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 114 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 256 . 3 V  B. 64 . 3 V  C. 256 3 . 3 V  D. 32 3 . 3 V  Câu 16: Gọi   H là phần giao của hai khối 1 4 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của   H . A.   3 2 3  H a V . B.   3 3 4  H a V . C.   3 2  H a V . D.   3 4   H a V . Câu 17: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy góc . Thể tích của khối gỗ bé là: A. B. C. D. ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC Câu 1: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo 2 / cm s ) là   2 20 ( ) 1 2 a t t    (với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi 0 t  thì   30 / v cm s  . A. 10 1 2t  B. 10 20 1 2t   C.   3 1 2 30 t    D.   2 20 30 1 2t    Câu 2: (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Một ôtô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc     6 v t t m s  . Đi được 10s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ôtô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc   2 60 a m s   . Tính quãng đường S đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A.   300 m . B.   330 m . C.   350 m . D.   400 m . 0 45 3 2 . 3 R V  3 . 6 R V   3 . 3 R V  3 . 3 R V   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 115 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 3: Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc 20 / m s thì người lái xe phát hiện có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc   5 20 v t t    ( / m s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)? A. 5 m. B. 4 m . C. 6 m . D. 3 m. Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc 10 / m s thì tăng tốc với gia tốc 2 ( ) 3 a t t t   . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 4300 . 3 m B. 4300 . m C. 430 . m D. 430 . 3 m Câu 5: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc (m/s). Đi được (s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc (m/s 2 ). Tính quãng đường (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. (m). B. (m). C. (m). D. (m). Câu 6: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  2 / m s . Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây. A.   3;4 . B.   4;5 . C.   5;6 . D.   6;7 . Câu 7: Một ôtô đang chạy với vận tốc 18 / m s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc   36 18 v t t    ( / m s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét? A. 5,5 m . B. 3,5 m . C. 6,5 m . D. 4,5 m . Câu 8: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm? A. 1,95J. B. 1,59 J. C. 1000 J. D. 10000 J Câu 9: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 2 / m s . Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây. A.   3;4 . B.   4;5 . C.   5;6 . D.   6;7 . Câu 10: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật   2 10 v t t t   , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,   v t được tính theo đơn vị mét/phút ( / m p ). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là A.   5 / v m p  . B.   7 / v m p  . C.   9 / v m p  . D.   3 / v m p  . 1 ( ) 7 v t t  5 70 a   S 95,70 S  87,50 S  94,00 S  96,25 S  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 116 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 11: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 / m s thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc     5 10 / v t t m s    , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0, 2m . B. 2m . C. 10m. D. 20m . Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho   2 3 ’ a b h t t t   và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 3 150m . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 1100m . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu. A. 3 8400m . B. 3 2200m . C. 3 6000m . D. 3 4200m Câu 13: Gọi   h t   cm là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng   3 1 8 5 h t t    và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01 cm ) A. 2,67 . cm B. 2,66 . cm C. 2,65 . cm D. 2,68 . cm Câu 14: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là   N t . Biết rằng   4000 1 0,5 N t t    và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất? A. 251000 con. B. 264334 con. C. 261000 con. D. 274334 con. Câu 15: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng ( ) N t , biết rằng 7000 ( ) 2 N t t    và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng bao nhiêu con? A. 302542 con. B. 322542 con. C. 312542 con. D. 332542 con. Câu 16: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số     2 1000 , 0 1 0,3 B t t t     , trong đó   B t là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t . Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an toàn nữa? A. 9 B. 10. C. 11. D. 12. Câu 17: (KHTN Hà Nội Lần 3) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi   V t là thể tích nước bơm được sau t giây. Biết rằng   2 V t at bt    và ban đầu bể không có nước, sau 5 giây thể tích nước trong bể là 3 15m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 110m . Thể tích nước bơm được sau 20 giây bằng A. 3 60 . m B. 3 220 . m C. 3 840 . m D. 3 420 . m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 117 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 18: Hạt electron có điện tích âm là 19 1,6.10 C  . Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đếm 4 pm thì công W sinh ra là A. 28 3,194.10 . J W   B. -16 1,728.10 . W J  C. 28 1,728.10 . J W   D. 16 3,194.10 . J W   Câu 19: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một hàm số theo thời gian t, với ( ) 0,3 0,2 I t t   . Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0,05 giây là bao nhiêu? A. 0, 29975 . mC B. 0, 29 . mC C. 0, 01525 . mC D. 0, 01475 . mC Câu 20: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ là   0 cos 2 i t I t           . Biết i q   với qlà điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc 0 t  , điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian bằng   là A. 0 2I   . B. 0. C. 0 2I  . D. 0 2 I   . Câu 21: Khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm   x m so với độ dài tự nhiên là   0,15 m của lò xo thì chiếc lò xo trì lại (chống lại) với một lực   800 . f x x  Hãy tìm công W sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ   0,15 m đến   0,18 . m A. 2 36.10 . W J   B. 2 72.10 . W J   C. 36 . W J  D. 72 . W J  Câu 22: Một dòng điện xoay chiều i = I0 2 sin t T          chạy qua một mạch điện có điện trở thuần R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T. A. 2 0 2 RI T . B. 2 0 3 RI T . C. 2 0 4 RI T . D. 2 0 5 RI T Câu 23: Đặt vào một đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều u = U 0 2 sin t T  . Khi đó trong mạch có dòng diện xoay chiều i = I0 2 sin t T          với  là độ lệch pha giữa dòng diện và hiệu điện thế.Hãy Tính công của dòng diện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạnh đó trong thời gian một chu kì. A. 0 0 2 U I cos  . B. 0 0 sin 2 U I T  . C. 0 0 ( ) 2 U I Tcos    . D. 0 0 2 U I Tcos  Câu 24: Để kéo căng một lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N . Tính công ( A ) sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15cm đến 18cm . A. 1,56 ( ) A J  . B. 1 ( ) A J  . C. 2,5 ( ) A J  . D. 2 ( ) A J  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 118 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 25: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng o    , một đầu thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực. Hãy biểu diễn góc  theo thời gian t (Tính bằng công thức tính phân) A. 3 (sin sin ) 2 o o d t a          . B. 3 (sin sin ) 2 o o d t g a          . C. 3 (sin sin ) o o d t g a          . D. 3 (sin sin ) 2 o o d t g a          ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 Câu 1. Cho   2 2 1 1 d 2 f x x x    . Khi đó   5 2 d I f x x   bằng A. 2. B. 1. C. 1  . D. 4. Lời giải Chọn D Đặt 2 1 d 2 d t x t x x     Đổi cận: 1 2 x t    ; 2 5 x t    . Khi đó:       5 5 5 2 2 2 1 1 2 d d d 4. 2 2 f t t f x x I f x x         . Câu 2. Cho hàm số   f x liên tục trên   1 ;   và   3 0 1 d 8 f x x    . Tích phân   2 1 d I xf x x   bằng: A. 16 I  . B. 2 I  . C. 8 I  . D. 4 I  Lời giải Chọn D   3 0 1 d 8 I f x x     . Đặt 2 1 1 2 d d t x t x t t x        ; đổi cận: 0 1 x t    ; 3 2 x t    . Khi đó   2 1 2 d 8 I tf t t      2 1 d 4 tf t t    . Vậy   2 1 d 4 I xf x x    . Câu 3. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho   2 1 d 2 I f x x    . Giá trị của   2 0 sin . 3cos 1 d 3cos 1 x f x J x x      bằng A. 2. B. 4 3  . C. 4 3 . D. 2  . Lời giải Chọn C Đặt 3sin 3cos 1 d d 2 3cos 1 x t x t x x       . Đổi cận: 0 2 x t    ; 1 2 x t     . Khi đó:       1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 d d d .2 3 3 3 3 3 J f t t f t t f x x          . Câu 4. Cho hàm số   f x liên tục trên  và có     1 3 0 0 d 2; d 6 f x x f x x     . Tính   1 1 2 1 d I f x x     . A. 2 3 I  . B. 4 I  . C. 3 2 I  . D. 6 I  . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Có       1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 d 1 2 d 2 1 d I f x x f x x f x x I I              Tính   1 2 1 1 1 2 d I f x x     .Đặt 1 2 d 2 d u x u x      . Đổi cận: 1 3 1 0 2 x u x u             .     0 3 1 3 0 1 1 du du 3 2 2 I f u f u        Tính   1 2 1 2 2 1 d I f x x    . Đặt 2 1 d 2 d u x u x     . Đổi cận: 1 1 1 0 2 x u x u            .     1 1 2 0 0 1 1 du du 1 2 2 I f u f u       Vậy 1 2 4 I I I    . Câu 5. Cho hàm số   y f x  liên tục trên   0;4 và   2 0 d 1 f x x   ; ;   4 0 d 3 f x x   . Tính   1 1 3 1 d f x x    . A. 4. B. 2. C. 4 3 . D. 1. Lời giải Chọn C       1 1/3 1 1 1 1/3 3 1 d 1 3 d 3 1 d f x x f x x f x x           .         1/3 1 1 1/3 1 1 1 3 d 1 3 3 1 d 3 1 3 3 f x x f x x           .       0 2 4 0 1 1 d d 3 3 f t t f t t        1 1 4 3 .1 3 3 3      . Câu 6. Cho   f x là hàm số liên tục trên  và   1 0 d 4 f x x   ,   3 0 d 6 f x x   . Tính   1 1 2 1 d I f x x     . A. 3 I  . B. 5 I  . C. 6 I  . D. 4 I  . Lời giải Chọn B Đặt 2 1 u x   1 d d 2 x u   . Khi 1 x   thì 1 u   . Khi 1 x  thì 3 u  . Nên   3 1 1 d 2 I f u u        0 3 1 0 1 d d 2 f u u f u u                0 3 1 0 1 d d 2 f u u f u u             . Xét   1 0 d 4 f x x   . Đặt x u   d d x u    . Khi 0 x  thì 0 u  . Khi 1 x  thì 1 u   . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Nên   1 0 4 d f x x      1 0 d f u u       0 1 d f u u     . Ta có   3 0 d 6 f x x     3 0 d 6 f u u    . Nên     0 3 1 0 1 d d 2 I f u u f u u               1 4 6 5 2    . Câu 7. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa   1 0 2 d 2 f x x   và   2 0 6 d 14 f x x   . Tính   2 2 5 2 d f x x    . A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. Lời giải Chọn B + Xét   1 0 2 d 2 f x x   . Đặt 2 d 2d u x u x    ; 0 0 x u    ; 1 2 x u    . Nên   1 0 2 2 d f x x     2 0 1 d 2 f u u     2 0 d 4 f u u    . + Xét   2 0 6 d 14 f x x   . Đặt 6 d 6d v x v x    ; 0 0 x v    ; 2 12 x v    . Nên   2 0 14 6 d f x x     12 0 1 d 6 f v v     12 0 d 84 f v v    . + Xét   2 2 5 2 d f x x        0 2 2 0 5 2 d 5 2 d f x x f x x        . Tính   0 1 2 5 2 d I f x x     . Đặt 5 2 t x   . Khi 2 0 x    , 5 2 t x    d 5d t x    ; 2 12 x t     ; 0 2 x t    .   2 1 12 1 d 5 I f t t        12 2 0 0 1 d d 5 f t t f t t             1 84 4 16 5    . Tính   2 1 0 5 2 d I f x x    . Đặt 5 2 t x   . Khi 0 2 x   , 5 2 t x   d 5d t x   ; 2 12 x t    ; 0 2 x t    .   12 2 2 1 d 5 I f t t       12 2 0 0 1 d d 5 f t t f t t             1 84 4 16 5    . Vậy   2 2 5 2 d 32 f x x     . Câu 8. Cho tích phân   2 0 cos . sin 8 I x f x dx     . Tính tích phân   2 0 sin . cos K x f x dx    . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông A. 8 K   . B. 4 K  . C. 8 K  . D. 16 K  . Lời giải:   2 0 cos . sin I x f x dx    Đặt 2 t x    dt dx    Đổi cận:       0 2 2 0 0 2 cos . sin . sin . cos . sin . cos . 2 2 I t f t dt t f x dt x f x dt                                  (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) K  8 K I    Chọn C Câu 9. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     2 3 f x f x  , x    . Biết rằng   1 0 d 1 f x x   . Giá trị của tích phân   2 1 d I f x x   bằng bao nhiêu? A. 5 I  . B. 3 I  . C. 8 I  . D. 2 I  . Lời giải Chọn A Xét tích phân   2 0 d J f x x   , đặt 2 d 2d x t x t    . Với 2 1 x t    , 0 0 x t    . Ta có     1 1 0 0 2 2d 2 2 d J f t t f t t         1 1 0 0 2 3 d 6 d f t t f t t        1 0 6 d 6 f x x   . Mặt khác, ta có       2 1 2 0 0 1 d d d J f x x f x x f x x               2 2 1 1 1 0 0 0 d d d d 5 I f x x f x x f x x J f x x            . Câu 10. Cho hàm số   y f x  liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn   2 2 f   ;   2 0 d 1 f x x   . Tính tích phân   4 0 d I f x x    . A. 10 I   . B. 5 I   . C. 0 I  . D. 18 I   . Lời giải Chọn A Đặt t x  , ta có: 2 t x  và 2 d d t t x  . Khi 0 0 x t    ; 4 2 x t    .   4 0 d I f x x      2 0 2 d tf t t    . Đặt   2 ; d d u t v f t t    ta được: d 2d u t  ;   v f t  . Khi đó:       2 2 0 0 2 2 d I tf t f t t      4 2 2.1 f     4. 2 2 10      . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 11. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn   16 1 d 6 f x x x   và   2 0 sin cos d 3 f x x x    . Tính tích phân   4 0 d I f x x   . A. 2 I   . B. 6 I  . C. 9 I  . D. 2 I  . Lời giải Chọn B Xét   16 1 d 6 f x I x x    , đặt d d 2 x x t t x    Đổi cận: 1 1 x t    ; 16 4 x t      4 1 2 d 6 I f t t      4 1 6 d 3 2 f t t     .    2 0 sin cos d 3 J f x x x     , đặt sin cos d d x u x x u    Đổi cận: 0 0 x u    ; 1 2 x u       1 0 d 3 J f u u    Vậy       4 1 4 0 0 1 d d d 3 3 6 I f x x f x x f x x          . Câu 12. Cho   f x liên tục trên  thỏa   9 1 d 4 f x x x   và   2 0 sin cos d 2 f x x x    . Tính   3 0 d I f x x   . A. 10 I  . B. 6 I  . C. 4 I  . D. 2 I  . Lời giải Chọn C Ta có:   9 1 d 4 f x x x   , đặt t x  2 t x   2 d d t t x   đổi cận 1 1 x t    , 9 3 x t    Do đó ta có:   3 1 2 dt 4 f t t t     3 1 dt 2 f t    (1) Ta có:   2 0 sin cos .d 4 f x x x    , đặt sin t x  d cos .d t x x   đổi cận 0 0 x t    , 1 2 x t     Do đó ta có:   2 0 sin cos .d 2 f x x x      1 0 d 2 f t t    (2) Từ (1) và (2) ta có:     3 3 0 0 d d 4. f x x f t t     . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 13. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   1 ;4 và thỏa mãn     2 1 ln f x x f x x x    . Tính tích phân   4 3 d I f x x   . A. 2 3 2 ln 2 I   . B. 2 2 ln 2 I  . C. 2 ln 2 I  . D. 2ln2 I  . Lời giải Chọn B Ta có   4 1 d f x x    4 1 2 1 ln d f x x x x x               4 4 1 1 2 1 ln d d f x x x x x x      . Xét   4 1 2 1 d f x K x x    . Đặt 2 1 x t   1 2 t x    d d x t x   .   3 1 d K f t t      3 1 d f x x   . Xét 4 1 ln d x M x x     4 1 ln d ln x x   4 2 1 ln 2 x   2 2 ln 2 . Do đó     4 3 2 1 1 d d 2ln 2 f x x f x x       4 2 3 d 2 ln 2 f x x    . Câu 14. Cho và . Tính . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Đặt . Ta có . Câu 15. Cho hàm   f x liên tục trên  thỏa mãn   4 0 tan d 3 f x x    và   2 1 2 0 d 1 1 x f x x x    . Tính   1 0 d f x x  . A. 4. B. 2. C. 5. D. 1. Lời giải Chọn A   1 0 2 1 d 12 f x x      2 2 0 sin sin 2 d 3 f x x x      3 0 d f x x  26 22 27 15 2 1 x t     3 1 1 12 d 2 t f t             3 1 1 d 2 f t t     3 1 1 d 2 f x x     3 1 d 24 f x x      2 2 0 sin sin 2 d f x x x     2 2 0 sin .2sin cos d f x x x x        2 2 0 2sin . sin d sin x f x x        2 2 2 0 sin d sin f x x      1 0 d f u u     1 0 d 3 f x x      3 0 d f x x       1 3 0 1 d d 3 24 27 f x x f x x        ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông       2 1 1 1 2 2 0 0 0 d d d 1 1 x f x f x x f x x x x x              2 1 1 1 2 2 0 0 0 d d d 1 1 x f x f x x x f x x x x         . Đặt tan x t  suy ra     2 2 1 d tan d d d 1 tan d d cos x t x t x x t x       .   2 2 d d d 1 1 tan t t x t x      .     1 4 2 0 0 d tan d 1 t f x x f t t         1 2 0 d 1 f x x x   =3. Vậy   1 0 4 f x dx   . Câu 16. Cho hàm số   f x liên tục trên R và     2 1 4 2 0 0 tan d 4; d 2 1 x f x f x x x x       . Tính   1 0 d I f x x   . A. 6 I  . B. 2 I  . C. 3 I  . D. 1 I  . Lời giải Chọn A Từ   4 0 t anx d 4 f x    ; Ta đặt tan t x  ta được   1 2 0 d 4 1 f t t t    Từ           2 2 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 1 d 2 d 2 d d 2 1 1 1 x f x x f x f x x x f x x x x x x                    1 1 2 0 0 d 2 d 2 4 6 1 f x f x x x x          . Câu 17. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa   2018 0 d 2 f x x   . Khi đó tích phân     2018 e 1 2 2 0 ln 1 d 1 x f x x x     bằng A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Xét     2018 e 1 2 2 0 ln 1 d 1 x I f x x x      . Đặt   2 ln 1 t x   2 2 d d 1 x t x x    . Đổi cận: 0 x  0 t   ; 2018 e 1 x   2018 t   . Suy ra     2018 2018 0 0 1 1 1 d d .2 1 2 2 2 I f t t f x x       . Câu 18. Tìm tất cả các giá trị dương của m để   3 0 10 3 9 m x x dx f            , với   15 ln f x x  . A. 20 m  . B. 4 m  . C. 5 m  . D. 3 m  . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông + Từ   15 ln f x x    14 15 15 15 x f x x x       2 15 f x x      do đó 10 243 9 20 f           . + Tính tích phân   3 0 3 d m I x x x    :  Đặt 3 t x   3 x t    , d d x t   , 0 3 3 0 x t  Do đó     0 3 3 d m I t t t       3 1 0 3 d m m t t t     3 1 2 0 3 1 2 m m t t m m           2 3 1 2 m m m     + Ta có   3 0 10 3 9 m x x dx f                2 3 243 1 2 20 m m m          2 5 3 3 1 2 4.5 m m m      Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị 3 m  . Chú ý: -Việc giải phương trình     3 3 3 1 2 4.5 m m m    không cần thiết nên chọn phương pháp thế đáp để làm trắc nghiệm trong bài này. -Để giải phương trình     3 3 3 1 2 4.5 m m m    ta xét hàm trên       3 3 3 1 2 4.5 m f m m m     với 0 m  thì chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất 3 m  . Câu 19. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     4 f x f x   . Biết   3 1 d 5 xf x x   . Tính   3 1 d I f x x   . A. 5 2 I  . B. 7 2 I  . C. 9 2 I  . D. 11 2 I  . Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số   f x liên tục trên   ; a b và thỏa mãn điều kiện       , ; f a b x f x x a b     . Khi đó     d d 2 b b a a a b xf x x f x x     Chứng minh: Đặt t a b x    d d x t    , với   ; x a b  . Đổi cận: khi x a t b    ; khi x b t b    Ta có         d d d b b a a a b xf x x xf a b x x a b t f t t                           d d d d d b b b b b a a a a a a b t f t t a b f t t tf t t a b f x x xf x x                         2 d d d d 2 b b b b a a a a a b xf x x a b f x x xf x x f x x           . Áp dụng tính chất trên với 1 a  , 3 b  .   f x liên tục trên   ; a b và thỏa mãn     1 3 f x f x    . Khi đó       3 3 3 1 1 1 1 3 5 d d d 4 2 xf x x f x x f x x        . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt 4 t x   , với   1;3 x  . Ta có             3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 d 4 d 4 d 4 d . d xf x x xf x x t f t t f t t t f t t                3 3 1 1 5 5 4 d 5 d 2 f t t f t t        . Câu 20. Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   1 ;3 thỏa mãn       4 , 1 ;3 f x f x x     và   3 1 d 2 xf x x    . Giá trị   3 1 d f x x  bằng A. 2 . B. 1  . C. 2  . D. 1. Lời giải Chọn B Xét 3 1 ( )d I xf x x   (1). Đặt 4 x t   , ta có d d x t   ; 1 3 x t    , 3 1 x t    . Suy ra   3 1 4 (4 )d I t f t t       3 1 4 ( )d t f t t    , hay   3 1 4 ( ) I x f x dx    (2). Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 3 1 2 4 ( ) I f x dx   3 1 ( ) 1 2 I f x dx      . Câu 21. (Chuyên KHTN) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  thỏa mãn 8 3 3 2 0 1 ( ) tan . (cos ) 6 f x x f x dx dx x      . Tính tích phân 2 2 1 2 ( ) f x dx x  A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 Lời giải Chọn C +) Đặt 3 2 3 3 t x t x t dt dx      Đổi cận: x 18 t 12 Khi đó 8 2 2 3 2 3 1 1 1 ( ) (t) (t) 3 3 6 f x f f dx t dt dt x t t       2 1 (t) 2 f dt t    +) Đặt 2 2 1 cos 2cos sin 2cos tan tan 2 t x dt x xdx dt x xdx xdx dt t           Đổi cận: x 0 3  t 1 1 4 Khi đó 1 1 3 4 2 1 0 1 4 1 (t) (t) tan . (cos ) 6 12 2 f f x f x dx dt dt t t          ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông +) Đặt 2 2 1 2 2 2 dx dx dt t x dt xdx dt x x x t        Đổi cận: x 1 2 2 t 1 4 2 Khi đó 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 4 4 ( ) 1 (t) 1 (t) 1 (t) 2 12 7 2 2 2 2 f x f f f dx dt dt dt x t t t           Câu 22. Cho hàm số f liên tục trên đoạn   6;5  , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị   5 6 2 d I f x x         . A. 2 35 I    . B. 2 34 I    . C. 2 33 I    . D. 2 32 I    . Lời giải Chọn D Ta có   2 1 2 khi 6 2 2 1 4 khi 2 2 2 1 khi 2 5 3 3 x x f x x x x x                        .     5 5 5 6 6 6 2 d d 2 d I f x x f x x x                 2 2 5 2 6 2 2 1 2 1 2 d 1 4 d d 22 2 3 3 x x x x x x                           2 5 2 2 6 2 1 1 2 22 28 4 3 3 x x x J x J                       . Tính   2 2 2 1 4 d J x x      Đặt 2sin x t  d 2cos d x t t   . Đổi cận: Khi 2 x  thì 2 t    ; khi 2 x  thì 2 t   .     2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 d 4 4 cos d 4 2 1 cos2 d 4 2 J x x t t t t                      . Vậy 32 2 I    . O x y 5 4  6  1  3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 23. (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn   6 e 1 ln d 6 f x x x   và   2 2 0 cos sin 2 d 2 f x x x    . Tích phân     3 1 2 d f x x   bằng A. 10. B. 16. C. 9 . D. 5 . Lời giải Chọn D Đặt 1 1 ln 2d d 2 t x t x x    . Đổi cận x 1 6 e t 0 3 Khi đó         6 6 e e 3 3 3 1 1 0 0 0 1 ln ln 2 d d 2 d 6 d 3 d 3 f x f x x x f t t f t t f x x x x                   . Đặt 2 cos d 2cos .sin d sin 2 d u x u x x x x x       Đổi cận x 0 2  u 1 0 Khi đó         0 1 1 2 2 0 1 0 0 cos sin 2 d d d 2 d 2 f x x x f u u f u u f x x            . Do đó           3 3 3 3 1 3 3 1 1 1 1 0 0 1 2 d d 2d d d 2d 3 2 2 | 5 f x x f x x x f x x f x x x x                 . Câu 24. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa mãn   4 2 0 tan . cos d 2 x f x x    và   2 2 ln d 2 ln e e f x x x x   . Tính   2 1 4 2 d f x x x  . A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn D *     2 4 4 2 1 2 0 0 cos 1 tan . cos d .sin2 d 2 cos f x I x f x x x x x       . Đặt 2 cos x t  sin 2 d d x x t    . Đổi cận x 0 4  t 1 1 2 Khi đó   1 2 1 1 1 d 2 f t I t t      1 1 2 d 4 f t t t    . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông *     2 2 2 2 e e 2 2 e e ln ln 1 2ln d . d ln 2 ln f x f x x I x x x x x x     . Đặt 2 ln x t  2ln d d x x t x   . Đổi cận x e 2 e t 1 4 Khi đó   4 2 1 1 d 2 f t I t t     4 1 d 4 f t t t    . * Tính   2 1 4 2 d f x I x x   . Đặt 2x t  1 d 2 x dt   . Đổi cận x 1 4 2 t 1 2 4 Khi đó       4 1 4 1 1 1 2 2 d d d 4 4 8 f t f t f t I t t t t t t          . Câu 25. (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  và thỏa mãn   2 2 2 5 d 1 f x x x      ,   5 2 1 d 3 f x x x   . Tích phân   5 1 d f x x  bằng A. 15  . B. 2  . C. 13  . D. 0 . Lời giải Chọn C Đặt 2 5 t x x    suy ra   2 2 2 2 2 5 5 1 5 5 2 5 d d 2 2 2 2 t t x x t x x t tx x x t t t                        Đổi cận: 2 5; 2 1. x t x t        Ta có:       2 1 5 2 2 2 2 5 1 5 1 1 5 5 d d 1 d 1 2 2 2 f x x x f t t f t t t t                         . Suy ra   5 2 1 5 1 d 2 f t t t                  5 5 5 5 2 2 1 1 1 1 5 d d 2 d 2 5 d f t f t t f t t f t t t t t               5 5 2 1 1 d 2 5 d 2 5.3 13 f x f x x x x          . Câu 26. (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa   3 2 0 16 d 2019 f x x x     ,   8 2 4 d 1 f x x x   . Tính   8 4 d f x x  . A. 2019 . B. 4022 . C. 2020 . D. 4038 . Lời giải Chọn B Xét   3 2 0 16 d 2019 f x x x     . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Đặt 2 16 t x x    . Ta có 2 2 2 2 8 16 2 16 2 t t x x t tx x x x t            . Suy ra 2 1 8 d d 2 x t t         . Khi 0 x  thì 4 t  , khi 3 x  thì 8 t  . Suy ra       3 8 8 2 2 2 0 4 4 1 8 1 8 2019 16 d . d . d 2 2 f x x x f t t f x x t x                             8 8 8 2 4 4 4 1 1 d 8 d d 8 2 2 f x f x x x f x x x        . Vậy   8 4 d 4022 f x x   . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số   f x thỏa mãn :         . . . . A f x B u f u C f a b x g x       +) Với     u a a u b b        thì     1 b b a a f x dx g x dx A B C      . +) Với     u a b u b a        thì     1 b b a a f x dx g x dx A B C      . Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số , , A B C . Nếu   f x liên tục trên   ; a b thì     b b a a f a b x dx f x dx      . Câu 27. Cho hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 thỏa mãn     2 3 6 6 3 1 f x x f x x    . Tính   1 0 d f x x  A. 2 . B. 4 . C. 1  . D. 6 . Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) Biến đổi     2 3 6 6 3 1 f x x f x x        2 3 6 2.3 . 3 1 f x x f x x      với 1 A  , 2 B   . Áp dụng công thức ta có:     1 1 0 0 1 6 d d 4 1 2 3 1 f x x x x         . Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) Từ     2 3 6 6 3 1 f x x f x x        1 1 1 2 3 0 0 0 1 d 2 3 d 6 d 3 1 f x x x f x x x x         Đặt 3 2 3 dx u x du x    ; Với 0 0 x u    và 1 1 x u    . Khi đó       1 1 1 2 3 0 0 0 3 d d d x f x x f u u f x x      thay vào   * , ta được:     1 1 1 0 0 0 1 d 2 d 6 d 3 1 f x x f x x x x          1 1 0 0 1 d 6 d 4 3 1 f x x x x       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 28. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 2 4 3 1 1 xf x f x x     . Tích phân   1 0 d I f x x   bằng A. 4 I   . B. 6 I   . C. 20 I   . D. 16 I   Lời giải Chọn C Từ         1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 4 . 3 1 1 2 2 d 3 1 d 1 d x f x f x x xf x x f x x x x                +) Đặt 2 d 2 d u x u x x    ; Với 0 0 x u    và 1 1 x u    . Khi đó         1 1 1 2 0 0 0 2 d d d 1 xf x x f u u f x x      +) Đặt 1 d d t x t x      ; Với 0 1 x t    và 1 0 x t    . Khi đó         1 1 1 0 0 0 1 d d d 2 f x x f t t f x x       Thay     1 , 2 vào    ta được:     1 1 1 2 0 0 0 2 d 3 d 1 d f x x f x x x x         1 1 2 0 0 1 d 1 d 5 20 f x x x x        . Câu 29. Cho hàm số ( ) f x liên tục trên   0;2 và thỏa mãn điều kiện     2 2 f x f x x    . Tính giá trị của tích phân   2 0 I f x dx   . A. 4 I   . B. 1 2 I  . C. 4 3 I  . D. 2 I  . Lời giải Chọn D Cách 1: (Dùng công thức) Với     2 2 f x f x x    ta có 1 A  ; 1 B  , suy ra:   2 0 I f x dx   2 0 1 2 1 1 x dx    2 2 0 2 x  2  . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ     2 2 f x f x x        2 2 2 0 0 0 2 2 f x dx f x dx xdx        4  (*) Đặt 2 u x   du dx    ; Với 0 x  2 u   và 2 x  0 u   . Suy ra   2 0 2 f x dx     2 0 f u du     2 0 f x dx   . Thay vào (*), ta được   2 0 2 4 f x dx     2 0 2 f x dx    . Câu 30. Xét hàm số   f x liên tục trên đoạn   0 ;1 và thỏa mãn     2 3 1 1 f x f x x     . Tích phân   1 0 d f x x  bằng A. 2 3 . B. 1 6 . C. 2 15 . D. 3 5 . Lời giải Chọn C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Đặt 1 d d t x x t      . Suy ra         1 0 1 1 0 1 0 0 1 d d d d f x x f t t f t t f x x              2 3 1 1 f x f x x       1 1 0 0 5 d 1 d f x x x x        1 3 0 2 2 1 3 3 x     . Suy ra   1 0 2 d 15 f x x   . Chú ý: Ta có thể dùng công thức     2 2 1 1 d d x ax b x ax b f ax b x f x x       . Khi đó: Từ     2 3 1 1 f x f x x     suy ra:     1 1 1 0 0 0 2 d 3 1 d 1 d f x x f x x x x            1 0 1 0 1 0 2 d 3 1 d 1 d f x x f x x x x             1 1 0 0 2 2 5 d d 3 15 f x x f x x       . Câu 31. Xét hàm số   f x liên tục trên đoạn   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 3 1 1 f x f x x x     . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 1 25 I  . B. 4 15 I   . C. 1 15 I   . D. 4 75 I  . Lời giải Chọn B Do     2 3 1 1 f x f x x x           1 2 1 1 1 0 0 0 2 d 3 1 d 1 d 1 I I f x x f x x x x x                     . + Xét   1 1 0 3 1 d I f x x    : Đặt 1 d d t x x t      . Khi 0 1; 1 0 x t x t       . Khi đó   1 1 0 3 d 3 I f t t I    . + Xét 1 2 0 1 d I x x x    . Đặt 2 1 1 d 2 dt t x x t x t         . Khi 0 1; 1 0 x t x t       . Khi đó     0 0 5 3 2 2 1 1 2 2 4 1 2 d 5 3 15 t t I t t t t              . Thây vào   4 4 1 : 2 3 15 15 I I I      . Câu 32. Xét hàm số   f x liên tục trên   1;2  và thỏa mãn       2 3 2 2 3 1 4 f x xf x f x x      . Tính giá trị của tích phân   2 1 I f x dx    . A. 5 I  . B. 5 2 I  . C. 3 I  . D. 15 I  . Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Với:         2 3 2 2 3 1 4 f x x f x f x x      . Ta có: 1; 1; 3 A B C    và 2 2 u x   thỏa mãn     1 1 2 2 u u          . Khi đó áp dụng công thức có:   2 2 2 4 3 1 1 1 1 4 dx 3 1 1 3 5 x I f x x            . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ       2 3 2 2 3 1 4 f x xf x f x x      .         2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 dx 2 . 2 dx 3 1 dx 4 dx * f x x f x f x x               +) Đặt 2 2 du 2 dx u x x     ; với 1 1 x u      và 2 2 x u    . Khi đó         2 2 2 2 1 1 1 2 . 2 dx du dx 1 x f x f u f x          +) Đặt 1 dt dx t x      ; Với 1 2 x t     và 2 1 x t     . Khi đó         2 2 2 1 1 1 1 dx dt dx 2 f x f t f x          Thay     1 , 2 vào   * ta được:     2 2 1 1 5 dx 15 dx 3 f x f x        . Câu 33. Hàm số   f x liên tục trên   1;2  và thỏa mãn điều kiện     2 2 3 . f x x xf x     Tính giá trị của   2 1 d I f x x    A. 14 3 I  . B. 28 3 I  . C. 4 3 I  . D. 2 I  . Lời giải Chọn B Cách 1: ( Dùng công thức). Với     2 2 3 f x x xf x           2 1 . 2x . 3 2 2 f x f x x       1 1; ; 0 2 A B C    và 2 3 u x   thỏa mãn     1 2 2 1 u u          Khi đó áp dụng công thức ta có:   2 2 1 1 1 28 d 2d = 1 3 1 0 2 I f x x x x          . Cách 2: ( Dùng phương pháp đổi biến). Từ     2 3 2 f x xf x x         2 2 2 2 1 1 1 14 d 3 d 2d 3 f x x xf x x x x             (*) Đặt 2 3 d 2 d u x u x x      với 1 2 2 1 x u x u            Khi đó   2 2 1 3 d xf x x         2 2 1 1 1 1 d d 2 2 f u u f x x      thay vào (*) ta được       2 2 2 1 1 1 1 14 28 dx d d = 2 3 3 f x f x x f x x          . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 34. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn       2 1 1 3 1 1 f x xf x f x x       . Tính giá trị của tích phân   1 0 d I f x x   . A. 9 ln 2 2 I  . B. 2 ln 2 9 I  . C. 4 3 I  . D. 3 2 I  . Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) Với:         2 1 . 2 1 3 1 2 2 f x x f x f x x       . Ta có: 1 A  ; 1 2 B   ; và 2 2 u x   thỏa mãn     0 1 1 0 u u        . Khi đó áp dụng công thức ta có:   1 0 d I f x x   1 0 1 d 1 1 1 3 2 x x             1 2 ln 1 0 9 x   2 ln 2 9  . Cách 2: (Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức) Từ       2 1 1 3 1 1 f x xf x f x x             1 1 1 2 0 0 0 d 1 d 3 1 d f x x xf x x f x x         1 0 1 d 1 x x    1 0 ln 1 ln 2 x    . (*) +) Đặt 2 1 u x   2 du xdx    ; Với 0 1 x u    và 1 0 x u    . Khi đó       1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 d d d 2 2 xf x x f u u f x x       (1). +) Đặt 1 u x   d d u x x    ; Với 0 1 x t    và 1 0 x t    . Khi đó       1 1 1 0 0 0 1 d d d xf x x f t t f t t       (2). Thay (1), (2) vào (*) ta được:       1 1 1 0 0 0 1 d d 3 d ln 2 2 f x x f x x f x x         1 0 9 d ln 2 2 f x x      1 0 2 d ln 2 9 f x x    . Câu 35. Cho hàm số   y f x  và thỏa mãn     3 3 4 2 8 0 1 x f x x f x x     . Tích phân   1 0 2 a b I f x dx c     với , , a b c   và ; a b c c tối giản. Tính a b c   A. 6 . B. 4  . C. 4 . D. 10  . Lời giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). Biến đổi     3 3 4 2 8 0 1 x f x x f x x           3 3 4 2 2. 4 1 x f x x f x x      với 1; 2 A B    Áp dụng công thức ta có:     1 1 1 3 3 2 2 0 0 0 1 1 2 1 1 x x dx f x dx dx x x                 . Đặt 2 2 2 1 1 t x t x tdt xdx        ; Với 0 1 x t    và 1 2 x t    . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó:   1 1 2 2 0 0 . 1 x f x dx xdx x     2 2 1 1 . t tdt t      2 2 1 1 t dt    2 3 1 3 t t         2 2 3   2 a b c   Suy ra 2; 1; 3 6 a b c a b c        . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ     3 3 4 2 8 0 1 x f x x f x x         1 1 1 3 3 4 2 0 0 0 2 4 0 (*) 1 x f x dx x f x dx dx x         Đặt 4 3 4 u x du x dx    ; Với 0 0 x u    và 1 1 x u    . Khi đó       1 1 1 3 4 0 0 0 4x f x dx f u du f x dx      thay vào (*), ta được:     1 1 1 3 2 0 0 0 2 0 1 x f x dx f x dx dx x          1 1 3 2 0 0 1 x f x dx dx x      Đặt 2 2 2 1 1 t x t x tdt xdx        ; Với 0 1 x t    và 1 2 x t    . Khi đó:   1 1 2 2 0 0 . 1 x f x dx xdx x     2 2 1 1 . t tdt t      2 2 1 1 t dt    2 3 1 3 t t         2 2 3   2 a b c   Suy ra 2; 1; 3 6 a b c a b c        . Câu 36. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   ln2;ln 2  và thõa mãn     1 1 x f x f x e     . Biết   ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b     , với , a b   . Tính giá trị của P a b   . A. 1 2 P  . B. 2 P   . C. 1 P   . D. 2 P  . Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng công thức Với     1 1 x f x f x e     ta có 1; 1 A B   , suy ra   ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 d 1 d d 1 1 1 2 1 x x x x f x x e e            Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến nếu không nhớ công thức Từ           ln2 ln2 ln 2 ln 2 ln 2 ln2 1 d d d * 1 1 x x x f x f x f x x f x x e e                Đặt d d u x u x            ln 2 ln2 ln2 ln2 ln 2 ln2 d du d f x x f u f x x           thay vào   * ta được:     ln2 ln2 ln2 ln2 ln 2 ln 2 ln 2 ln2 d 1 d 2 d d 1 2 1 x x x x f x x f x x e e              Đặt d x x t e dt e x    Với 1 ln 2 , ln 2 2 2 x t x t            2 ln2 ln2 2 1 1 ln2 ln2 2 2 d d d ln ln2 1 1 1 1 x x x x x e x t t e t t t e e               Khi đó:   ln 2 , ln 2 1 1 d ln 2 ln 2 ln 3 , 0 2 2 a b f x x a b a b           ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 1 2 P a b     . Câu 37. Biết hàm số 2 y f x          là hàm số chẵn trên đoạn ; 2 2          và   sin cos 2 f x f x x x            . Tính   2 0 I f x dx    . A. 0 I  . B. 1 I  . C. 1 2 I  . D. 1 I   . Lời giải: Đặt 2 t x dt dx       Đổi cận:   0 2 2 0 0 2 . 2 2 2 I f t dt f t dt f x dx                                    (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) 2 0 2 f x               Vì 2 f x         là hàm số chẵn 2 2 f x f x                      Vậy       2 2 2 0 0 0 2 sin cos cos sin 1 1 2 2 I f x f x dx x x dx x x                               1 I     Chọn D Câu 38. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  ,   0 0 f  và   sin .cos 2 f x f x x x           với x   . Giá trị của tích phân   2 0 xf x dx    bằng A. 4   . B. 1 4 . C. 4  . D. 1 4  . Lời giải Cách 1: (Dùng công thức) Với   sin .cos 2 f x f x x x           , ta có 1; 1 A B   . Suy ra   2 2 0 0 1 1 sin .cos . 1 1 4 f x dx x x dx        . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu nhớ công thức) Từ   sin .cos 2 f x f x x x             2 2 2 0 0 0 1 sin .cos 2 2 f x f x dx x xdx                   (*) Đặt 2 u x du dx       Với 0 ; 0 2 2 x u x u         . Suy ra     2 2 2 0 0 0 2 f x dx f u du f x dx                 , thay vào (*) ta được     2 2 0 0 1 1 2 2 4 f x dx f x dx        (1) Đặt     u x du dx dv f x dx v f x                         2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 xf x dx xf x f x dx f f x dx                      (*) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Từ điều kiện   sin .cos 2 f x f x x x           suy ra     0 0 2 0 2 0 0 2 f f f f f                                   (2). Thay (1), (2) vào (*), ta được   2 0 1 4 xf x dx      . Chọn D Câu 39. Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa mãn     2 2 1 2x 1 2x , 1 x f f x x         . tính tích phân   3 1 I f x dx    . A. 2 2 I    . B. 1 4 I    . C. 1 2 8 I    . D. 4 I   . Lời giải. Đặt 1 2 1 2 2 t x x t       và 1 2 t x   , khi đó điều kiện trở thành         2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 5 2 5 t t x x f t f t f x f x t t x x                (*) Cách 1: (Dùng công thức) Với     2 2 2 1 2 2 5 x x f x f x x x        ta có 1; 1 A B   . Suy ra   2 3 3 2 1 1 1 2 1 0, 429 2 1 1 2 5 2 x x f x dx dx x x               Chọn A Cách 2: (Dùng công thức đổi biến – nếu nhớ công thức) Từ (*), ta có     2 2 2 1 2 2 5 x x f x f x x x            2 3 3 3 2 1 1 1 2 1 2 2 5 x x f x dx f x dx dx x x               (2*) Đặt 2 u x du dx      . Với 1 3; 3 1 x u x u         . Suy ra       3 3 3 1 1 1 2 f x dx f u du f x dx          , thay vào (*), ta được:   2 3 3 2 1 1 2 1 2 2 5 x x f x dx dx x x            2 3 3 2 1 1 1 2 1 0, 429 2 - 2 2 5 2 x x f x dx dx x x              ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt   t u x  và   t v x  để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn   f x ) để suy ra hàm số   f x (nếu   u x x  thì chỉ cần đặt một lần   t v x  ). Các kết quả đặc biệt: Cho       . . A f ax b B f ax c g x      với 2 2 A B  ) khi đó   2 2 . . x b x c A g B g a a f x A B                   (*) +)Hệ quả 1 của (*):             2 2 . . . . A g x B g x A f x B f x g x f x A B         +)Hệ quả 2 của (*):           . . g x A f x B f x g x f x A B       với   g x là hàm số chẵn. Câu 40. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và   1 2 3 f x f x x         . Tính   2 1 2 f x I dx x   . A. 3 2 I  . B. 1 I  . C. 1 2 I  . D. 1 I   . Lời giải Chọn A Đặt, 1 1 t x x t    khi đó điều kiện trở thành     1 3 1 3 2 2 . f f t f x f t t x x                  Hay   1 6 4 2 f x f x x         , kết hợp với điều kiện   1 2 3 f x f x x         . Suy ra :     2 6 2 3 3x 1 f x f x x x x         2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 f x I dx dx x x x x                      . Chọn B Câu 41. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số   y f x  liên tục trên 1 ;3 3       thỏa mãn   3 1 . f x x f x x x          . Giá trị tích phân   3 2 1 3 d f x I x x x    bằng A. 8 9 . B. 2 3 . C. 3 4 . D. 16 9 . Lờigiải Chọn A + Đặt 1 x t  2 1 d d x t t    . + Đổi cận: 1 1 3; 3 3 3 x t x t       . + Ta có   1 3 3 3 2 2 1 1 3 2 3 3 1 1 1 d . d d 1 1 1 f f f x t t I x t t x x t t t t                       . Suy ra: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông               3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 1 1 . 1 1 16 2 d d d d 1 d 1 1 1 9 f f x x f f x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x                                . Vậy 8 9 I  . Câu 42. Cho hàm số   y f x  liên tục trên   \ 0  và thỏa mãn   2 15 2 3 3 2 x f x f x          ,   9 3 d f x x k   . Tính 3 2 1 2 1 d I f x x         theo k . A. 45 9 k I    . B. 45 9 k I   . C. 45 9 k I   . D. 45 2 9 k I   . Lời giải Chọn A Đặt 2 t x   1 d d 2 x t  . Đổi cận 1 1 2 3 3 2 x t x t       . Khi đó 3 1 1 2 d 2 I f x t         . Mà   2 15 2 3 3 2 x f x f x             2 5 2 3 2 3 x f f x x          Nên       3 3 3 3 1 1 1 1 1 5 2 5 1 1 3 d d 3 d 5 3 d 2 2 3 4 3 3 x I f x x x x f x x f x x                    (*) Đặt 3 u x   1 d d 3 x x  . Đổi cận 1 3 3 9 x u x t       . Khi đó   9 3 1 45 5 d 5 9 9 9 k k I f t t           . Câu 43. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     2018 2 sin f x f x x x    . Tính giá trị của   2 2 d I f x x      . A. 2 2019 I  . B. 2 1009 I  . C. 4 2019 I  . D. 1 1009 I  . Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với     2018 2 sin f x f x x x    ta có 1; 2018 A B   Suy ra   2 2 d I f x x      2 2 1 2 sin d 1 2018 x x x       4 2019 C asio   Đáp án C Cách 2: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Áp dụng Hệ quả 2:       . A f x Bf x g x        g x f x A B    với   g x là hàm số chẵn. Ta có     2018 2 sin f x f x x x      2 sin 2019 x x f x     2 2 d I f x x      2 2 2 sin d 2019 x x x      4 2019 C asio   Đáp án C Câu 44. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     2018 x f x f x e    . Tính giá trị của   1 1 I f x dx    A. 2 1 2019e e I   . B. 2 1 2018e e I   . C. 0 I  . D. 2 1 e I e   . Lời giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). Với     2018 x f x f x e    ta có 1; 2018 A B   . Suy ra   1 1 I f x dx    1 1 1 1 2018 x e dx     1 1 1 2019 x e   2 1 2019e e   . Cách 2: (Dùng công thức) Áp dụng Hệ quả 1:       . . A f x B f x g x          2 2 . . A g x B g x f x A B      . Ta có:     2018 x f x f x e      2 2018 2018 1 x x e e f x          1 1 1 1 1 2018 2019.2017 x x f x dx e e dx         2 3 1 1,164.10 2019e e     (Casio). Câu 45. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn     2 2 2 1 12 f x f x x    . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   y f x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. 2 2 y x   . B. 4 6 y x   . C. 2 6 y x   . D. 4 2 y x   . Lời giải Chọn C Áp dụng kết quả “Cho       . . A f ax b B f ax c g x      (với 2 2 A B  ) khi đó   2 2 . .g x b x c A g B a a f x A B                  ”. Ta có       2 2 2 1 12 f x f x x g x       2 1 2. 2 2 2 1 x x g g f x                     2 2 2 6 3 1 2 1 3 x x x x       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra     1 2 1 4 f f         , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: 4 2 y x   . Câu 46. Cho   f x là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn   1 0 2018   f x dx và   g x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn     1    g x g x ,    x . Tính tích phân     1 1    I f x g x dx . A. 2018  I . B. 1009 2  I . C. 4036  I . D. 1008  I . Lời giải Chọn A Áp dụng Hệ quả       . .    A g x B g x h x        h x g x A B với   h x là hàm số chẵn. Ta có:       1     g x g x h x   1 1 1 1 2     g x . Kết hợp với điều kiện   f x là hàm số chẵn, ta có:       1 1 1 1 1 2       I f x g x dx f x dx   1 0 2018    f x dx . Chú ý: N ếu   f x là hàm s ố ch ẵn, liên t ục trên       0 ; 2       a a a a a f x dx f x dx . Câu 47. Cho số dương a và hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     f x f x a    , x    . Giá trị của biểu thức   d a a f x x   bằng A. 2 2a . B. a . C. 2 a . D. 2a. Lời giải Chọn C Đặt           d d d d a a a a a a a a x t f x x f t t f t t f x x                             2 2 2 d d d 2 d 2 d a a a a a a a a a a f x x f x f x x a x f x x a f x x a                        . Câu 48. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa điều kiện     2sin f x f x x    . Tính   2 2 d f x x     A. 1  . B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn B Giả sử   2 2 d I f x x      . Đặt t x   d d t x    , đổi cận 2 2 x t       2 2 x t       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó     2 2 2 2 d d I f t t f t t            . Suy ra     2 2 2 d I f x f x x            2 2 2sin 0 d x x       2 0 I   0 I   Câu 49. Cho ( ) f x là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn     2 2cos2 f x f x x     . Tính tích phân   3 2 3 2 d I f x x      . A. 3 I  . B. 4 I  . C. 6 I  . D. 8 I  . Lời giải Chọn C Ta có       3 3 0 2 2 3 3 0 2 2 d d d I f x x f x x f x x             . Xét   0 3 2 d f x x    Đặt d d t x t x      ; Đổi cận: 3 3 2 2 x t       ; 0 0 x t    . Suy ra         3 3 0 0 2 2 3 3 0 0 2 2 d dt d d f x x f t f t t f x x                 . Theo giả thiết ta có:           3 3 2 2 0 0 2 2cos 2 d 2 2 cos d f x f x x f x f x x x x                  3 3 3 2 2 2 0 0 0 d d 2 sin d f x x f x x x x               3 3 0 2 2 3 0 0 0 2 d d 2 sin d 2 sin d f x x f x x x x x x              Câu 50. Cho hàm số   y f x  liên tục trên R và thỏa mãn     2 2cos2 f x f x x     . Tính   2 2 I f x dx      . A. 1 I   . B. 1 I  . C. 2 I   . D. 2 I  . Lời giải   2 2 I f x dx      (1) Đặt t x dt dx      Đổi cận: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông         2 2 2 2 2 2 . I f t dt f t dt f x dx                     (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) (1) + (2)     2 2 2 2 2 2 2cos2 I f x f x dx xdx                     2 2 2 1 cos2x dx          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos 2 cos 2 cos 2sin 2 1 1 4 xdx x dx xdx x                           2 I   Chọn D Câu 51. Cho hàm số liên tục trên và . Tính A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có . Đặt , đổi cận , . Suy ra, Vậy Cách 2: ( Trắc nghiệm) Chọn (Thỏa mãn giả thiết).   f x      2 3 2 tan f x f x x      π 4 π 4 d f x x   π 1 2  π 1 2  π 1 4  π 2 2  π 4 2 π 4 tan d x x   4 2 4 1 1 d cos x x               π 4 π 4 tan x x    π π 1 1 4 4            π 2 2       π 4 π 4 π 2 3 2 d 2 f x f x x            d d t x t x      π π 4 4 x t     π π 4 4 x t         π 4 π 4 3 2 d f x f x x             π 4 π 4 3 2 d f t f t t              π 4 π 4 3 2 d f x f x x              π π 4 4 π π 4 4 d d f x x f x x           π 4 π 4 π 2 3 2 d 2 f x f x x             π 4 π 4 π 2 d 2 f x x        π 4 π 4 π d 2 2 f x x         2 tan f x f x x    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó Câu 52. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   ln2;ln 2  và thỏa mãn     1 1 x f x f x e     . Biết   ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b       ; a b   . Tính P a b   . A. 1 2 P  . B. 2 P   . C. 1 P   . D. 2 P  . Lời giải Chọn A Gọi   ln 2 ln 2 d I f x x    . Đặt t x   d d t x   . Đổi cận: Với ln 2 x    ln 2 t  ; Với ln2 x   ln 2 t   . Ta được   ln 2 ln 2 d I f t t        ln 2 ln 2 d f t t       ln2 ln 2 d f x x     . Khi đó ta có: 2I     ln2 ln 2 ln 2 ln2 d d f x x f x x            ln 2 ln 2 d f x f x x           ln 2 ln 2 1 d e 1 x x     . Xét ln2 ln 2 1 d e 1 x x    . Đặt e x u  d e d x u x  Đổi cận: Với ln 2 x    1 2 u  ; ln2 x  2 u   . Ta được ln2 ln 2 1 d e 1 x x      ln 2 ln 2 e d e e 1 x x x x       ln 2 ln 2 1 d 1 u u u     ln2 ln2 1 1 d 1 u u u              2 1 2 ln ln 1 u u    ln2  Vậy ta có 1 2 a  , 1 0 2 b a b     . Câu 53. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 3 1 1     f x f x x x . Tính tích phân   1 0   I f x dx . A. 4 15   I . B. 1 15  I . C. 4 75  I . D. 1 25  I . Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với     2 3 1 1     f x f x x x ta có 2; 3   A B . Suy ra:   1 1 0 0 1 1 2 3      f x dx x xdx   4 0, 05 3 75   Casio . Áp dụng kết quả “Cho       . .      A f ax b B f ax c g x (Với 2 2  A B ) khi đó   π π π 4 4 4 2 2 π π π 4 4 4 1 d tan x d 1 d 2 cos 2 f x x x x x                   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông   2 2 . .                   x b x c A g B g a a f x A B ” . Ta có:       2 3 1 1      f x f x x x g x       2 2 2 3 1 2 3      g x g x f x   2 1 3 1 5      x x x x . Suy ra:     1 1 0 0 2 1 3 1 5         x x x x I f x dx dx   4 0, 05 3 75   Casio . Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ     2 3 1 1     f x f x x x     1 1 1 0 0 0 2 3 1 1         f x dx f x dx x xdx     4 0, 2 6 15    Casio Đặt 1      u x du dx; Với 0 1    x u và 1 0    x u . Suy ra       1 1 1 0 0 0 1       f x dx f u du f x dx thay vào    , ta được:     2 2 0 0 4 4 5 15 75      f x dx f x dx . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 54. Cho   f x và   g x là hai hàm số liên tục trên   1 ,1  và   f x là hàm số chẵn,   g x là hàm số lẻ. Biết   1 0 5 f x dx   và   1 0 7 g x dx   . Mệnh đề nào dưới đây sai? A.   1 1 10 f x dx    . B.   1 1 14 g x dx    . C.     1 1 10 f x g x dx         . D.     1 1 10 f x g x dx         . Lời giải Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: Câu 55. Nếu hàm   f x CHẴN thì     0 2 a a a f x dx f x dx     2. Nếu hàm   f x LẺ thì   0 a a f x dx    Nếu chứng minh thì như sau: Đặt       1 2 1 0 1 1 1 0 A A A f x dx f x dx f x dx                     0 1 1 A f x dx    . Đặt t x   dt dx    Đổi cận:         0 1 1 1 1 0 0 . A f t dt f t dt f x dx            (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)   1 0 f x dx   (Do   f x là hàm chẵn     f x f x    ) Vậy       1 1 1 1 0 0 10 A f x dx f x dx f x dx         (1) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Đặt       1 2 1 0 1 1 1 0 B B B g x dx g x dx g x dx                     0 1 1 B g x dx    . Đặt t x   dt dx    Đổi cận:         0 1 1 1 1 0 0 . B g t dt g t dt g x dx            (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)   1 0 g x dx    (Do   f x là hàm chẵn     g x g x     ) Vậy       1 1 1 1 0 0 0 B g x dx g x dx g x dx          (2) Từ (1) và (2) Chọn B Câu 56. Cho hàm số   y f x  là hàm lẻ và liên tục trên   4;4  biết   0 2 d 2 f x x     và   2 1 2 d 4 f x x    . Tính   4 0 d I f x x   . A. 10 I   . B. 6 I   . C. 6 I  . D. 10 I  . Lời giải Chọn B Cách 1: Sử dụng công thức:     2 2 1 1 1 d d x x x x f ax b x f ax x a     và tính chất   d 0 a a f x x    với   f x là hàm số lẻ trên đoạn   ; a a  . Áp dụng, ta có:        2 4 2 2 4 1 1 1 4 2 d d d 2 2 f x x f x x f x x               2 4 d 8 f x x      .        0 0 2 2 0 2 2 d f x x f x f x            2 0 2 f x    Suy ra:         4 2 0 4 4 4 2 0 0 d d d d f x x f x x f x x f x x                   2 2 2 0 0 8 d d f x x f x x I           0 8 0 2 6 I I         . Cách 2: Xét tích phân   0 2 d 2 f x x     . Đặt x t   d dt x    . Đổi cận: khi 2 x   thì 2 t  ; khi 0 x  thì 0 t  do đó     0 0 2 2 d dt f x x f t         2 0 dt f t     2 0 dt 2 f t      2 0 d 2 f x x    . Do hàm số   y f x  là hàm số lẻ nên     2 2 f x f x    . Do đó     2 2 1 1 2 d 2 d f x x f x x        2 1 2 d 4 f x x     . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Xét   2 1 2 d f x x  . Đặt 2x t  1 d dt 2 x   . Đổi cận: khi 1 x  thì 2 t  ; khi 2 x  thì 4 t  do đó     2 4 1 2 1 2 d dt 4 2 f x x f t        4 2 dt 8 f t       4 2 d 8 f x x     . Do   4 0 d I f x x       2 4 0 2 d d f x x f x x     2 8 6     . Câu 57. (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn   y f x  liên tục trên  và   1 1 2 d 8 1 5 x f x x     . Giá trị của   2 0 d f x x  bằng: A. 8 . B. 2 . C. 1. D. 16 . Lời giải Chọn D +) Ta có   1 1 2 8 d 1 5 x f x x         0 1 1 0 2 2 d d 1 5 1 5 x x f x f x x x        . (1) Xét   0 1 2 d 1 5 x f x I x     : Đặt t x   d d t x    . Đổi cận: 1 x   1 t   và 0 x  0 t   . Khi đó     0 1 2 d 1 5 t f t I t         1 0 2 d 1 5 t f t t        1 0 5 2 d 5 1 t t f t t     . Vì   y f x  là hàm chẵn trên  nên     2 2 f t f t   , t    . Do đó   1 0 5 2 d 5 1 t t f t I t      1 0 5 2 d 5 1 x x f x x    . Thay vào (1) thu được     1 1 0 0 5 2 2 8 d d 5 1 1 5 x x x f x f x x x           1 0 5 1 2 d 5 1 x x f x x       1 0 2 d f x x   .      1 0 1 2 d 2 8 2 f x x      2 0 d 16 f t t   . Câu 58. Cho   f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn   1 ; 1  và   1 1 d 2 f x x    . Kết quả   1 1 d 1 e x f x I x     bằng A. 1 I  . B. 3 I  . C. 2 I  . D. 4 I  . Lời giải Chọn A       1 0 1 1 2 1 1 0 d d d 1 e 1 e 1 e x x x f x f x f x I x x x I I              Xét   0 1 1 d 1 e x f x I x     Đặt d d x t x t      , đổi cận: 0 0 x t    , 1 1 x t     ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông       0 1 1 1 0 e . d d 1 e 1 e t t t f x f x I t t         . Lại có     1 1 0 0 e . e . d d 1 e 1 e t x t x f t f x t x      . Suy ra:               1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 e . e . 1 d d d d d d 1 1 e 1 e 1 e 1 e 2 t t x t t t f t f x f t f t I x t x t f t t f t t                     . Câu 59. Cho   y f x  là hàm số chẵn và liên tục trên .  Biết     1 2 0 1 1 d d 1 2 f x x f x x     . Giá trị của   2 2 d 3 1 x f x x    bằng A. 1. B. 6. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn Ta có:     0 d d 1 a a x a f x x f x x b      , với   f x là hàm số chẵn và liên tục trên   ; a a  . Áp dụng ta có:         2 2 1 2 2 0 0 1 d d d d 1 2 3 3 1 x f x x f x x f x x f x x             Cách 2: Do   1 0 d f x x     2 1 1 d 1 2 f x x     1 0 d 1 f x x    và   2 1 d 2 f x x       1 2 0 1 d d f x x f x x       2 0 d 3 f x x    . Mặt khác   2 2 d 3 1 x f x x         0 2 2 0 d d 3 1 3 1 x x f x f x x x       và   y f x  là hàm số chẵn, liên tục trên      f x f x x       . Xét   0 2 d 3 1 x f x I x     . Đặt d d t x x t      Suy ra   0 2 d 3 1 x f x I x        0 2 d = 3 1 t f t t        2 0 d = 1 1 3 t f t t      2 0 3 d = 3 1 t t f t t     2 0 3 d 3 1 x x f x x     2 2 d 3 1 x f x x          0 2 2 0 d d 3 1 3 1 x x f x f x x x            2 2 0 0 3 d d 3 1 3 1 x x x f x f x x x           2 0 3 1 d 3 1 x x f x x       2 0 d 3 f x x   . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 “ Cho hàm số   y f x  thỏa mãn   g f x x      và   g t là hàm đơn điệu ( luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên  .Hãy tính tích phân   b a I f x dx   “ Cách giải: Đặt       y f x x g y dx g y dy       ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Đổi cận     x a g y a y x b g y b y                  Suy ra     b a I f x dx yg y dy       Câu 60. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     3 , f x f x x x      . Tính   2 0 I f x dx   A. 2 I  . B. 3 2 I  . C. 1 2 I  . D. 5 4 I  . Lời giải Chọn D Đặt     3 2 3 1 y f x x y y dx y dy        Đổi cận 3 3 0 0 0 2 2 1 x y y y x y y y                  Khi đó       2 1 1 2 3 0 0 0 5 3 1 3 4 I f x dx y y dy y y dy           đáp án D Câu 61. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn       3 2 2 3 6 f x f x f x x    , x    . Tính tích phân   5 0 d I f x x   . A. 5 4 I  . B. 5 2 I  . C. 5 12 I  . D. 5 3 I  . Lời giải Chọn B Đặt   3 2 2 3 6 y f x x y y y        2 d 6 1 d x y y y     . Đổi cận: với 3 2 0 2 3 6 0 0 x y y y y        và 3 2 5 2 3 6 5 1 x y y y y        . Khi đó     1 1 2 0 0 d .6 1 d I f x x y y y y         1 3 2 0 5 6 d 2 y y y y      . Câu 62. Cho hàm số   f x liên tục trên  thỏa mãn     3 2 1 x f x f x    , x    . Tính   1 2 d I f x x    . A. 7 4 I  . B. 7 2 I  . C. 7 3 I  . D. 5 4 I  . Lời giải Chọn A Đặt     3 2 2 1 d 3 2 d y f x x y y x y y           . Đổi cận: Với 3 2 2 1 2 1 x y y y           ; 3 1 2 1 1 0 x y y y         . Khi đó:   0 2 1 7 3 2 d 4 I y y y      . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 Bài toán: “ Cho     2 . f x f a b x k    , khi đó   d 2 b a x b a I k f x k      Chứng minh: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Đặt t a b x        2 dt dx k f x f t          và x a t b    ; x b t a    . Khi đó         2 f d d d 1 b b b a a a x x x x I k k f x k k f x k f t          .       f d d 1 2 b b a a x x x I k f x k k f x          1 1 d b a x b a k k    2 b a I k    . Câu 63. Cho hàm số   f x liên tục và nhận giá trị dương trên   0 ;1 . Biết     . 1 1 f x f x   với   0;1 x   . Tính giá trí   1 0 d 1 x I f x    A. 3 2 . B. 1 2 . C. 1. D. 2. Lời giải Chọn B Ta có:         1 1 f x f x f x f x           1 1 1 1 f x f x f x      Xét   1 0 d 1 x I f x    . Đặt 1 1 t x x t      d d x t    . Đổi cận: 0 1 x t    ; 1 0 x t    . Khi đó           0 1 1 1 1 0 0 0 d d d d 1 1 1 1 1 1 1 f x x t t x I f t f t f x f x                 Mặt khác         1 1 1 1 0 0 0 0 d 1 d d d 1 1 1 1 ( ) f x x f x x x x f x f x f t             hay 2 1 I  . Vậy 1 2 I  . Câu 64. Cho hàm số   f x liên tục trên  , ta có   0 f x  và     0 . 2018 1 f f x   . Giá trị của tích phân   2018 0 d 1 x I f x    A. 2018 I  . B. 0 I  C. 1009 I  D. 4016 Lời giải Chọn C ta có I    2018 0 1 2018 0 d 1009 1 2.1 x f x      . Câu 65. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm, liên tục trên  và   0 f x  khi   0;5 x  . Biết     . 5 1 f x f x   , tính tích phân   5 0 d 1 x I f x    . A. 5 4 I  . B. 5 3 I  . C. 5 2 I  . D. 10 I  . Lời giải Chọn C Đặt 5 x t   d d x t    0 5 x t    ; 5 0 x t          0 5 5 0 d d 1 5 1 I f t t t f t f t         (do     1 5 f f t t   ) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 5 0 2 d 5 I t     5 2 I   . Câu 66. Cho hàm số   y f x  liên tục trên  và thỏa mãn     4 f x f x   . Biết   3 1 d 5 xf x x   . Tính tích phân   3 1 d f x x  . A. 5 2 . B. 7 2 . C. 9 2 . D. 11 2 . Lời giải Chọn A Đặt 4 t x   d d t x    và 1 3 x t    ; 3 1 x t    . Khi đó:       3 3 1 1 5 d 4 4 d xf x x t f t t               3 3 1 1 4 4 d 4 d x f x x x f x x        . Suy ra:       3 3 1 1 10 d 4 d xf x x x f x x        3 1 5 4 d 2 f x x    . Câu 67. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên R và   0 f x  khi x  [0; a] ( 0 a  ). Biết     . 1 f x f a x   , tính tích phân   0 1 a dx I f x    . A. 2 a I  . B. 2 I a  . C. 3 a I  . D. 4 a I  . Lời giải:   0 1 a dx I f x    (1) Đặt t a x dt dx      Đổi cận:       0 0 0 1 1 1 1 1 a a a dt I dt dx f a t f a t f a x               (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) (1) + (2)     0 1 1 2 1 1 a I dx f x f a x                                  2 0 0 1 1 2 1 . 2 a f a x f x f a x f x dx dx dx a f x f a x f x f a x f a x f x                      2 a I   Chọn A Câu 68. Cho   f x là hàm liên tục trên đoạn   0;a thỏa mãn         . 1 0, 0; f x f a x f x x a           và   0 d , 1 a x ba f x c    trong đó b , c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó b c  có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A.   11 ;22 . B.   0 ;9 . C.   7;21 . D.   2017;2020 . Lời giải Chọn B Cách 1. Đặt d d t a x t x      Đổi cận 0 ; 0. x t a x a t       ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Lúc đó             0 0 0 0 0 d d d d d 1 1 1 1 1 1 a a a a a f x x x t x x I f x f a t f a x f x f x                   Suy ra       0 0 0 d d 2 1d 1 1 a a a f x x x I I I x a f x f x            Do đó 1 1; 2 3. 2 I a b c b c        Cách 2. Chọn   1 f x  là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được 1 1; 2 3. 2 I a b c b c        ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 69. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   1 ;4 , đồng biến trên đoạn   1 ;4 và thỏa mãn đẳng thức   2 . x x f x    2 f x       ,   1 ;4 x   . Biết rằng   3 1 2 f  , tính   4 1 d I f x x   ? A. 1186 45 I  . B. 1174 45 I  . C. 1222 45 I  . D. 1201 45 I  . Lời giải Chọn A Ta có   2 . x x f x    2 f x           . 1 2 x f x f x         1 2 f x x f x     ,   1 ;4 x   . Suy ra     d d 1 2 f x x x x C f x           d d d 1 2 f x x x x C f x         3 2 2 1 2 3 f x x C     . Mà   3 1 2 f  4 3 C   . Vậy   2 3 2 2 4 1 3 3 2 x f x          . Vậy   4 1 1186 d 45 I f x x    . Câu 70. Cho hàm số   y f x  có đạo hàm trên  thỏa mãn       3 2 1 2 2 3 .e 0 f x x x f x f x      và   0 1 f  . Tích phân   7 0 . d x f x x  bằng A. 2 7 3 . B. 15 4 . C. 45 8 . D. 5 7 4 . Lời giải Chọn C Ta có       3 2 1 2 2 3 .e 0 f x x x f x f x             3 2 2 1 3 . .e 2 .e f x x f x f x x    Suy ra   3 2 1 e e f x x C    . Mặt khác, vì   0 1 f  nên 0 C  . Do đó   3 2 1 e e f x x     3 2 1 f x x      3 2 1 f x x    . Vậy   7 0 . d x f x x  7 3 2 0 . 1 d x x x      7 3 2 2 0 1 1 d 1 2 x x       7 3 2 2 0 3 1 1 8 x x        45 8  . Câu 71. Cho hàm số   4 3 2 4 3 1 f x x x x x      , x    . Tính     1 2 0 . d I f x f x x    . A. 2. B. 2  . C. 7 3  . D. 7 3 . Lời giải Chọn D Đặt     d d t f x t f x x     . Đổi cận:   0 0 1 x t f     ,   1 1 2 x t f     . Khi đó 2 2 3 2 1 1 8 1 7 d 3 3 3 3 t I t t       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 72. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên khoảng   0;1 và   0 f x  ,   0;1 x   . Biết rằng 1 2 f a        , 3 2 f b          và     2 4 x xf x f x     ,   0;1 x   . Tính tích phân   2 3 2 6 sin .cos 2sin 2 sin d x x x I x f x      theo a và b . A. 3 4 a b I ab   . B. 3 4 b a I ab   . C. 3 4 b a I ab   . D. 3 4 a b I ab   . Lời giải Chọn D   0;1 x   ta có:     2 4 x xf x f x         4 2 x f x xf x          2 2 4 2 x x xf x x f x              2 2 2 2 2 4 xf x x f x x x f x f x          2 2 2 4 x x x f x f x             . Tính     2 2 3 3 2 2 6 6 sin .cos 2sin 2 sin .cos 4sin .cos sin sin d d x x x x x x x I x x f x f x           Đặt sin cos d d t x t x x    , đổi cận 1 6 2 x t     , 3 3 2 x t     . Ta có   3 2 2 2 1 2 4 d t t I t f t      3 2 2 1 2 t f t  2 2 3 1 2 2 1 3 2 2 f f                           3 1 3 4 4 4 a b b a ab     . Câu 73. Cho hàm số f liên tục,   1 f x   ,   0 0 f  và thỏa     2 1 2 1 f x x x f x     . Tính   3 f . A. 0. B. 3. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn B Ta có         2 2 2 1 2 1 1 1 f x x f x x x f x f x x                  3 3 3 3 3 2 2 0 0 0 0 0 2 d d 1 1 1 1 1 1 f x x x x f x x f x f x x                       3 1 0 1 1 3 1 2 3 3 f f f f           . Câu 74. Cho hàm số   f x liên tục trên  và   5 2 d 4 f x x   ,   5 3 f  ,   2 2 f  . Tính   2 3 2 1 1 d I x f x x     A. 3. B. 4 . C. 1. D. 6 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn A Đặt 2 1 t x   d 2 d t x x   . 1 2 x t    ; 2 5 x t    . Khi đó     5 2 1 1 d 2 I t f t t     . Đặt 1 d d u t u t     ;   d d , v f t t   chọn   v f t  .       5 5 2 2 1 1 1 d 2 2 I t f t f t t           1 4 5 2 2 3 2 f f     . Câu 75. Cho hàm số   f x liên tục trên đoạn   1 ;4 và thỏa mãn     2 1 ln f x x f x x x    . Tính tích phân   4 3 d I f x x   . A. 2 3 2 ln 2 I   . B. 2 2 ln 2 I  . C. 2 ln 2 I  . D. 2ln2 I  . Lời giải Chọn B Ta có   4 1 d f x x    4 1 2 1 ln d f x x x x x               4 4 1 1 2 1 ln d d f x x x x x x      . Xét   4 1 2 1 d f x K x x    . Đặt 2 1 x t   1 2 t x    d d x t x   .   3 1 d K f t t      3 1 d f x x   . Xét 4 1 ln d x M x x     4 1 ln d ln x x   4 2 1 ln 2 x   2 2 ln 2 . Do đó     4 3 2 1 1 d d 2ln 2 f x x f x x       4 2 3 d 2 ln 2 f x x    . Câu 76. Cho hàm số   f x liên tục trên  và thỏa mãn     16 2 2 1 4 cot . sin d d 1 f x x f x x x x       . Tính tích phân   1 1 8 4 d f x x x  . A. 3 I  . B. 3 2 I  . C. 2 I  . D. 5 2 I  . Lời giải Chọn D Đặt   2 2 1 4 cot . sin d 1 I x f x x      ,   16 2 1 d 1 f x I x x     . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Đặt 2 sin t x  d 2sin .cos d t x x x   2 2 sin .cot d x x x  2 .cot d t x x  . x 4  2  t 1 2 1   2 2 1 4 cot . sin d I x f x x       1 1 2 1 . d 2 f t t t     1 1 2 1 d 2 f t t t       1 4 1 8 4 1 d 4 2 4 f x x x     1 4 1 8 4 1 d 2 f x x x   . Suy ra   1 4 1 1 8 4 d 2 2 f x x I x    Đặt t x  2 d d t t x   . x 1 16 t 1 4   16 2 1 d f x I x x     4 2 1 2 d f t t t t     4 1 2 d f t t t       1 1 4 4 2 d 4 4 f x x x     1 1 4 4 2 d f x x x   . Suy ra   1 2 1 4 4 1 1 d 2 2 f x x I x    Khi đó, ta có:       1 1 1 4 1 1 1 8 8 4 4 4 4 d d d f x f x f x x x x x x x      1 5 2 2 2    . Câu 77. Xét hàm số   f x liên tục trên   0 ;1 và thỏa mãn điều kiện     2 2 4 . 3 1 1 x f x f x x     . Tích phân   1 0 d I f x x   bằng: A. 4 I   . B. 6 I   . C. 20 I   . D. 16 I   . Lời giải Chọn C Vì   f x liên tục trên   0 ;1 và     2 2 4 . 3 1 1 x f x f x x     nên ta có     1 1 2 2 0 0 4 . 3 1 d 1 d x f x f x x x x               1 1 1 2 2 0 0 0 4 . d 3 1 d 1 d x f x x f x x x x           1 . Mà   1 2 0 4 . d x f x x      1 2 2 0 2 d f x x     2 1 0 2 d t x f t t       2I  và   1 0 3 1 d f x x       1 0 3 1 d 1 f x x        1 1 0 3 d u x f u u        3I  Đồng thời 1 2 0 1 d x x   2 sin 2 0 1 sin .cos d x t t t t         2 2 0 cos d t t      2 0 1 1 cos 2 d 2 t t     4   . Do đó,   1  2 3 4 I I    hay 20 I   . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 78. Cho hàm số   f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0 ;1 thỏa mãn   1 1 f  ,   1 2 0 9 d 5 f x x        và   1 0 2 d 5 f x x   . Tính tích phân   1 0 d I f x x   . A. 3 5 I  . B. 1 4 I  . C. 3 4 I  . D. 1 5 I  . Lời giải Chọn B Đặt 2 d 2 d t x t x x t t      . Đổi cận 0 0; 1 1 x t x t       Suy ra     1 1 0 0 d 2 . d f x x t f t t      1 0 1 . d 5 t f t t    . Do đó   1 0 1 . d 5 x f x x    Mặt khác       1 1 1 2 2 0 0 0 . d d 2 2 x x x f x x f x f x x        1 2 0 1 d 2 2 x f x x     . Suy ra   1 2 0 1 1 3 d 2 2 5 10 x f x x        1 2 0 3 d 5 x f x x     Ta tính được   1 2 2 0 9 3 d 5 x x   . Do đó       1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 d 2 3 d 3 d 0 f x x x f x x x x                 1 2 2 0 3 d 0 f x x x        2 3 0 f x x       2 3 f x x      3 f x x C    . Vì   1 1 f  nên   3 f x x  Vậy   1 1 3 0 0 1 d d 4 I f x x x x      .