Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán - Trắc nghiệm VD – VDC khối đa diện – Đặng Việt Đông (có đáp án và lời giải chi tiết)

MỤC LỤC DẠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP…………………………………………..…………………8 DẠNG 2: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ………………………………………………..……..11 DẠNG 3: TỈ LỆ THỂ TÍCH..........................................................................................................15 DẠNG 4: CỰC TRỊ THỂ TÍCH ...................................................................................................23 DẠNG 5: GÓC, KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH..........................................33 DẠNG 6: ỨNG DỤNG THỰC TẾ………………………………………………………………36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay THỂ TÍCH ĐA DIỆN A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Thể tích khối chóp  : Diện tích mặt đáy.  : Độ dài chiều cao khối chóp. 2. Thể tích khối lăng trụ  : Diện tích mặt đáy.  : Chiều cao của khối chóp. Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên. 3. Thể tích khối hộp chữ nhật 4. Thể tích khối lập phương 5. Tỉ số thể tích Thể tích hình chóp cụt Với là diện tích hai đáy và chiều cao. 5.1. Hai khối chóp 1 2 . ... n S A A A và 1 2 . ... m S B B B có chung đỉnh S và hai mặt đáy cùng nằm trên một mặt phẳng, ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 . ... ... . ... ... n n m m S A A A A A A S B B B B B B V S V S  5.2. Hai khối chóp tam giác . S ABC có , , ' A SA B SB C SC      ta có: . ' ' ' . . . S A B C S ABC V SA SB SC v SA SB SC     áy V S h 1 . 3  đ áy S đ h     S.ABCD ABCD S, ABCD V d .S 1 3  áy V S h .  đ áy S đ h V abc . .  V a 3  S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC . . . .        ABC A B C .      h V B B BB 3      B B h , ,  S A B C A B C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và , , SM SN SP x y z SA SB SC    . Mặt phẳng   MNP cắt SD tại Q thì ta có đẳng thức 1 1 1 1 x z y t    với SQ t SD  và . 1 1 1 1 1 4 S MNPQ V xyzt V x y z t           . 5.3. Kiến thức cần nhớ đối với khối lăng trụ tam giác và khối hộp. . 3 A ABC V V   , . 2 3 A BCC B V V     . . 6 A ABD V V   , 3 BDA C V V    . 5.4. Một số công thức nhanh cho các trường hợp hay gặp Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH có 2 , BH AB BC BC        2 . CH AC CB BC        Mặt phẳng    song song với mặt đáy của khối chóp 1 2 . ... n S A A A cắt k SA tại điểm k M thỏa mãn , k k SM p SA  ta có 1 2 1 2 . ... 3 . ... . n n S M M M S A A A V p V  Hình lăng trụ tam giác . ABC A B C    có , , AM BN CP x y z AA BB CC       có . . 3 ABC MNP x y z V V    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình hộp . ABCD A B C D     có , , AM BN CP x y z AA BB CC       . Mặt phẳng   MNP cắt ' DD tại Q thì ta có đẳng thức x z y t    với DQ t DD   và . . 4 ABCD MNPQ x y z t V V     Định lí Meneleus cho 3 điể m thẳng hàng . . 1 MA NB PC MB NC PA  với MNP là một đường thẳng cắt ba đường thẳng , , AB BC CA lần lượt tại , , . M N P 6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt  Đường chéo của hình vuông cạnh là  Đường chéo của hình lập phương cạnh là :  Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là :  Đường cao của tam giác đều cạnh là: 7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1. Hệ thức lượng trong tam giác 7.1.1. Cho ABC  vuông tại A , đường cao AH        7.1.2. Cho ABC  có độ dài ba cạnh là: , , a b c độ dài các trung tuyến là , , a b c m m m bán kính đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi . p a a 2 a a 3 a b c , , a b c 2 2 2   a a 3 2 AB AC BC 2 2 2   AB BH BC 2 .  AC CH BC 2 .  AH BC AB AC . .  AH BH HC 2 .  AH AB AC 2 2 2 1 1 1   AB BC C BC B AC C AC B .sin .cos .tan .cot     ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  Định lí hàm số cosin:  Định lí hàm số sin:  Độ dài trung tuyến: 7.2. Các công thức tính diện tích 7.2.1. Tam giác       vuông tại : A  đều, cạnh : a , 7.2.2. Hình vuông  ( : a cạnh hình vuông) 7.2.3. Hình chữ nhật  ( , a b : hai kích thước) 7.2.4. Hình bình hành  S = đáy  cao  . .sin AB AD BAD  7.2.5. Hình thoi   1 . .sin . 2 S AB AD BAD AC BD   7.2.6. Hình thang  ( , : a b hai đáy, h : chiều cao) 7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc & AC BD  8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ a b c bc A b c a ca B c a b ab C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 .cos ; 2 .cos ; 2 .cos         a b c R A B C 2 sin sin sin    a b c b c a c a b a b c m m m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 2 4 2 4 2 4          a b c S a h b h c h 1 1 1 . . . 2 2 2    S bc A ca B ab C 1 1 1 sin .sin sin 2 2 2    abc S R 4  S pr        S p p a p b p c     ABC  AB AC BC AH S . . 2 2   ABC  a AH 3 2  a S 2 3 4  S a 2  S ab    S a b h 1 2   S AC BD 1 . 2  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác lần lượt là . Khi đó: Cho hình chóp . S ABC có vuông góc với , hai mặt phẳng và vuông góc với nhau,   , BSC ASB     . Khi đó: Cho hình chóp đều . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng , a cạnh bên bằng . Khi đó: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc . Khi đó: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc . Khi đó: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có các cạnh đáy bằng , a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc . Khi đó:       SAB SBC SAC , , SAB SBC SAC , , S 1 2 3 ,S ,S S ABC S V 1 2 3 . 2 .S .S 3  SA   ABC   SAB   SBC S ABC SB V 3 . .sin2 .tan 12    b S ABC a b a V 2 2 2 . 3 12    S ABC a V 3 . tan 24    S ABC b V 3 2 . 3 .sin cos 4     S ABC a V 3 . .tan 12   C S A B B C A S C A S B M G C A S B M G B S A C M G B S A C M G ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng , a và . Khi đó: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng , a góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là . Khi đó: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng , a  SAB   với Khi đó: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có các cạnh bên bằng , a góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là với . Khi đó: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng . a Gọi là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với , góc giữa với mặt phẳng đáy là . Khi đó: Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh . a Khi đó: SA SB SC SD b     S ABC a b a V 2 2 2 . 4 2 6    S ABCD a V 3 . .tan 6   ; 4 2           S ABCD a V 3 2 . tan 1 6     0; 2            S ABCD a V 3 . 3 2 4 .tan 3 2 tan       P   SBC   P  S ABCD a V 3 . cot 24   a V 3 6  O B S D A C M O C S A D B M O C A D S B M O C S A D B M x N C A S B F M G E O1 O3 O4 O2 O O' A B C D B' C' D' A' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cho khối tám mặt đều cạnh . a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương. Khi đó: 9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức Điều kiện tứ diện Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện    , , , , SA a SB b SC c ASB BSC CSA                 Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc 2 cạnh đó Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa 2 mặt kề Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện          , , , , SA a SB b SC c SAB SAC ASB ASC                       Tứ diện đều tất cả các cạnh bằng Tứ diện gần đều a V 3 2 2 27  SABC abc V 2 2 2 . 1 cos cos cos 2cos cos cos 6            ABCD V abd 1 sin 6       AB a CD b d AB CD d AB CD , , , ,           SABC S S V a 1 2 2 sin 3         SAB SAC S S S S SA a SAB SAC 1 2 , , ,             S ABC abc V . sin sin sin 6     ABCD a V 3 2 12  a       ABCD V a b c b c a a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12        AB CD a AC BD b AD BC c            B D A S C S' N G2 M G1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay B – BÀI TẬP DẠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Câu 1: Cho khối tứ diện đều D ABC cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của A qua D . Mặt phẳng qua CE và vuông góc với mặt phẳng   D AB cắt cạnh AB tại điểm F . Tính thể tích V của khối tứ diện E A CF . A. 3 2 30 a V  B. 3 2 60 a V  C. 3 2 40 a V  D. 3 2 15 a V  Câu 2: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích của khối chóp . A GBC . A. 3 V  . B. 4 V  . C. 6 V  . D. 5 V  . Câu 3: Cho tứ diện đều cạnh a và điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện. A. 2 a . B. 6 3 a . C. 3 2 a . D. 34 2 a . Câu 4: Cho hình chóp . S ABC có , 2 SA a BC a   và tất cả các cạnh còn lại đều bằng x . Tìm x biết thể tích khối chóp đã cho có thể tích bằng 3 11 6 a . A. 3 2 a x  . B. 7 2 a x  . C. 9 2 a x  . D. 5 2 a x  . Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi   P là mặt phẳng đi qua A và song song BC và vuông góc với  , SBC góc giữa   P với mặt phẳng đáy là 0 30 . Thể tích khối chóp . S ABC là: A. 3 3 24 a B. 3 3 8 a C. 3 8 a D. 3 3 8 a Câu 6: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . SD CD BC Thể tích khối chóp . S ABPN là , x thể tích khối tứ diện CMNP là . y Giá trị , x y thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây: A. 2 2 2 160 x xy y    B. 2 2 2 2 109 x xy y    C. 2 4 145 x xy y    D. 2 4 125 x xy y    Câu 7: Cho hình chóp . S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ; ABC các mặt phẳng       ; ; SAB SAC SBC cùng tạo với mặt phẳng   ABC một góc bằng nhau. Biết 25, 17, 26, AB BC AC    đường thẳng SB tạo với đáy một góc bằng 0 45 . Tính thể tích V của khối chóp . SABC A. 680 V  B. 408 V  C. 578 V  D. 600 V  Câu 8: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 8 AB  , 6 BC  . Biết 6 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABC . Một điểm M thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp. Tính thể tích của khối tứ diện . M ABC . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 24 V  . B. 64 3 V  . C. 32 3 V  . D. 12 V  . Câu 9: Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng . S Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng A. . nV S B. . V nS C. 3 . V S D. . 3 V S Câu 10: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình chóp tứ giác đều có , côsin góc hợp bởi hai mặt phẳng và bằng . Thể tích của khối chóp bằng A. . B. . C. . D. . Câu 11: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , 3 SA a  ;   SA ABCD  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh , SB SD ; mặt phẳng   AMN cắt SC tại I . Tính thể tích khối đa diện . ABCDMNI A. 3 5 3 18 a V  . B. 3 3 18 a V  . C. 3 5 3 6 a V  D. 3 13 3 36 a V  . Câu 12: (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hình chóp . S ABC có các cạnh 3 SA BC   ; 4 SB AC   ; 2 5 SC AB   . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 390 12 . B. 390 4 . C. 390 6 . D. 390 8 . Câu 13: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với 2a, D AB BC C DA a     và ( ) SA ABCD  . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB và cắt , , SB SC SD lần lượt tại , , M N P . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP A. 3 32 3 a  . B. 3 4 3 3 a  . C. 3 4 3 a  . D. 3 4 24 a  . Câu 14: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho tứ diện OABC có OA a  , OB b  , OC c  và đôi một vuông góc với nhau. Gọi r là bán kính mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt của tứ diện. Giả sử , a b a c   . Giá trị nhỏ nhất của a r là A. 1 3  . B. 2 3  . C. 3 . D. 3 3  . Câu 15: (Nguyễn Khuyến)Cho hình chóp . S ABC có 4,   AB AC 2,  BC 4 3,  SA   30    SAB SAC . Thể tích khối chóp . S ABC bằng: A. . 4  S ABC V . B. . 6  S ABC V . C. . 8  S ABC V . D. . 12  S ABC V . . S ABCD 11 SA a    SBC   SCD 1 10 . S ABCD 3 3a 3 9a 3 4a 3 12a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 16: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình chóp đều . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SB SC . Biết     AMN SBC  . Thể tích khối chóp . S ABC bằng A. 3 26 24 a . B. 3 5 24 a . C. 3 5 8 a . D. 3 13 18 a . Câu 17: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SA SC . Biết rằng BM vuông góc với AN . Thể tích khối chóp . S ABC bằng A. 3 14 8 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 12 a . D. 3 14 24 a . Câu 18: (Sở Ninh Bình Lần1) Cho hình chóp đều . S ABC có độ dài cạnh đáy bằng 2 , điểm M thuộc cạnh SA sao cho 4 SA SM  và SA vuông góc với mặt phẳng   MBC . Thể tích V của khối chóp . S ABC là A. 2 3 V  . B. 2 5 9 V  . C. 4 3 . D. 2 5 3 V  . Câu 19: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hình chóp . S ABC có 39 3 a SA SB SC    . Tam giác ABC cân tại A có góc 120 A   , 2 BC a  . G là trọng tâm tam giác SAB . Thể tích khối chóp . G ABC là A. 3 2 9 a . B. 3 a . C. 3 3 a . D. 3 9 a . Câu 20: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC là 6 4 , từ B đến mặt phẳng   SAC là 15 10 , từ C đến mặt phẳng   SAB là 30 20 và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Thể tích khối chóp . S ABC bằng A. 1 36 . B. 1 48 . C. 1 12 . D. 1 24 . Câu 21: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm , SB P thuộc đoạn SC sao cho 2 , SP PC M  thuộc đoạn SA sao cho 4 . 5 SM MA  Mặt phẳng   MNP cắt SD tại . Q NP cắt BC tại , E CQ cắt DPtại . R Biết rằng thể tích khối chóp EPQR bằng 3 18 . cm Thể tích khối chóp SMNPQ bằng A. 3 65cm . B. 3 260 9 cm . C. 3 75cm . D. 3 70cm . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 22: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho khối chóp . S ABC có    0 60 ASB BSC CSA    , , 2 , 4 SA a SB a SC a    . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a. A. 3 2 2 3 a . B. 3 2 3 a . C. 3 4 2 3 a . D. 3 8 2 3 a . DẠNG 2: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ LĂNG TRỤ ĐỨNG Câu 23: Cho lăng trụ đứng ABCA B C    có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa mặt phẳng ( ) AB C  và mặt phẳng ( ) BB C  bằng 0 60 .Tính thể tích lăng trụ ABCA B C    . A. 3 2 a B. 3 2a C. 3 6 a D. 3 3a Câu 24: Cho khối lăng trụ tam giác . ’ ’ ’. ABC A B C Gọi , M N lần lượt thuộc các cạnh bên ’, ’ AA CC sao cho ' MA MA  và 4 ' NC NC  . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Trong bốn khối tứ diện ’ ’ ’, ’ , ’ ’ GA B C BB MN ABB C và ’ , A BCN khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối ’ A BCN B. Khối ’ ’ ’ GA B C C. Khối ’ ’ ABB C D. Khối ’ BB MN Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng   ' A BC bằng 6 a .Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . A. 3 3 2 8 a . B. 3 3 2 28 a . C. 3 3 2 4 a . D. 3 3 2 16 a . Câu 26: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình lăng trụ đứng tam giác . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB AC a   . Biết góc giữa hai đường thẳng ' AC và ' BA bằng 0 60 . Thể tích của khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C bằng A. 3 a . B. 3 2a . C. 3 3 a . D. 3 2 a . Câu 27: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C    . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . M , N , P lần lượt là trung điểm của CC  , A C   , A B   . Biết thể tích của khối GMNP bằng 5 , tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 72 . B. 21. C. 18. D. 17 . Câu 28: (Chuyên Bắc Giang) Cho lăng trụ đều . ABC A B C    có độ dài tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC . Tính thể tích V của khối đa diện AMNA B C    . A. 7 3 48 V  . B. 5 3 32 V  . C. 7 3 32 V  . D. 5 3 48 V  . Câu 29: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BB  . Mặt phẳng   MA D  cắt cạnh BC tại K . Thể tích của khối đa diện A B C D MKCD     bằng: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 7 . 24 B. 7 . 17 C. 1 . 24 D. 17 . 24 Câu 30: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D . Biết tích của khoảng cách từ điểm ' B và điểm D đến mặt phẳng   ' D AC bằng   2 6 0 a a  . Giả sử thể tích của khối lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D là 2 ka . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A.   20;30 k  . B.   100;120 k  . C.   50;80 k  . D.   40;50 k  . Câu 31: Cho khối hộp đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D có  , , ; AB a AD b BAD     đường chéo ' AC hợp với đáy góc .  Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là: A. 2 2 4 2 . os . os .cos V ab a b ab c c       B. 2 2 2 2 . os . os .cos V ab a b ab c c       C. 2 2 3 2 . os .sin .tan V ab a b ab c       D. 2 2 2 . os .sin .tan V ab a b ab c       Câu 32: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a , một mặt phẳng    cắt các cạnh AA  , BB  , CC  , DD  lần lượt tại M , N , P , Q . Biết 1 3 AM a  , 2 5 CP a  . Thể tích khối đa diện . ABCD MNPQ là: A. 3 11 30 a . B. 3 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 11 15 a . Câu 33: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hình hộp đứng . ABCD A B C D     có đáy là hình thoi và diện tích đáy bằng 1 S . Tứ giác ACC A   và BDD B   có diện tích lần lượt bằng 2 S và 3 S . M là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng   ABCD . Kí hiệu V là thể tích của khối chóp . M A B C D     . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. 1 2 3 . 6 S S S V  B. 1 2 3 2 . 3 S S S V  C. 1 2 3 2 . 6 V S S S  D. 1 2 3 3 . 9 V S S S  Câu 34: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     . Khoàng cách giữa AB và B C  là 2 5 5 a , khoảng cách giữa BC và AB  là 2 5 5 a , khoảng cách giữa AC và BD  là 3 3 a . Tính thể tích khối hộp . A. 3 4a . B. 3 3a . C. 3 5a . D. 3 2a . Câu 35: (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có AB BC a   , 3 AA a   . Gọi I là giao điểm của AD  và A D  ; H là hình chiếu của I trên mặt phẳng   A B C D     ; K là hình chiếu của B lên mặt phẳng   CA B   . Tính thể tích của khối tứ diện IHBK . A. 3 3 4 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 16 a . D. 3 3 8 a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 36: (Ngô Quyền Hà Nội) Một hình hộp chữ nhật có kích thước ( ) a cm x ( ) b cm x ( ) c cm , trong đó , , a b c là các số nguyên và 1 a b c    . Gọi 3 ( ) V cm và 2 ( ) S cm lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp. Biết V S  , tìm số các bộ ba số ( , , ) a b c ? A. 10. B. 12. C. 21. D. 4. LĂNG TRỤ XIÊN Câu 37: (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3)Cho khối lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C , đáy là tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm AC . Biết tam giác A MB  cân tại A  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng   ABC . Góc giữa A B  với mặt phẳng   ABC là 30  . Thể tích khối lăng trụ đã cho là : A. 3 3 16 a . B. 3 3 48 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 8 a . Câu 38: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng   ABC trùng với trọng tâm tam giác . ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    là A. 3 3 12 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 24 a . Câu 39: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng   ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường AA  và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 6 a V  . B. 3 3 24 a V  . C. 3 3 12 a V  . D. 3 3 3 a V  . Câu 40: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng   ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 6 a V  . B. 3 3 3 a V  . C. 3 3 24 a V  . D. 3 3 12 a V  . Câu 41: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A  lên   ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Một mặt phẳng   P chứa BC và vuông góc với AA  cắt hình lăng trụ . ABC A B C    theo một thiết diện có diện tích bằng 2 3 8 a . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 4 a . B. 3 2 3 3 a . C. 3 3 10 a . D. 3 3 12 a . Câu 42: Cho lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C có ' BB a  , góc giữa đường thẳng ' BB và   ABC bằng 60  , tam giác ABC vuông tại C và góc  60 BAC   . Hình chiếu vuông góc của điểm ' B lên   ABC trùng với trọng tâm của ABC  . Thể tích của khối tứ diện '. A ABC theo a bằng A. 3 13 108 a . B. 3 7 106 a . C. 3 15 108 a . D. 3 9 208 a . Câu 43: (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại , 1, 2 A AB BC   . Góc   0 0 ' 90 , ' 120 . CBB ABB   Gọi M là trung điểm cạnh AA  . Biết   7 ', . 7 d AB CM  Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. A. 2 2 . B. 4 2 9 . C. 4 2 . D. 4 2 . 3 Câu 44: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích V , đáy là tam giác cân, AB AC  . Gọi E là trung điểm cạnh AB và F là hình chiếu vuông góc của E lên BC . Mặt phẳng   C EF  chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A . A. 47 72 V . B. 25 72 V . C. 29 72 V . D. 43 72 V . Câu 45: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60  . Tính thể tích khối lăng trụ A. 3 27 8 V a  . B. 3 3 4 V a  . C. 3 3 2 V a  . D. 3 9 4 a . Câu 46: (CổLoa Hà Nội) Cho khối hộp . ABCD A BC D     có thể tích bằng V . Điểm E thỏa mãn 3 AE AB          . Thể tích của khối đa diện là phần chung của khối hộp . ABCD A BC D     và khối tứ diện EADD  bằng H K E C' C B' D' A A' D B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 4 27 V . B. 2 V . C. 19 54 V . D. 25 54 V . Câu 47: Cho khối hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có cạnh bên bằng 1.; đáy ABCD là một hình chữ nhật có các cạnh 3, 7; BA AD   các mặt bên   ' ' ABB A và   ' ' ADD A hợp với mặt đáy các góc theo thứ tự 0 0 45 ;60 . Thể tích khối hộp là: A. 4 (đvdt) B. 3(đvdt) C. 2 (đvdt) D. 6 (đvdt) Câu 48: Cho khối hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của hai mặt chéo là 1 S và 2 S ; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là .  Tính thể tích V của khối hộp đã cho. A. 1 2 cos S S V a   B. 1 2 cos 3 S S V a   . C. 1 2 cos 4 S S V a   D. 1 2 cos 2 S S V a   Câu 49: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a  , 3 AD a  . Hình chiếu vuông góc của A  trên mặt phẳng   ABCD trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng   ADD A   và   ABCD bằng 60  . Tính thể tích khối tứ diện ACB D   . A. 3 2 a . B. 3 6 a . C. 3 3 a . D. 3 3 2 a . Câu 50: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Cho hình hộp có thể tích bằng . Gọi lần lượt là tâm các hình bình hành Thể tích khối đa diện có các đỉnh bằng A. . B. . C. . D. . Câu 51: Cho khối hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có tất cả các cạnh bên bằng a và các góc ' , , ' A AB BDA A AD đều bằng   0 0 0 90 .     Tính thể tích V của khối hộp. A. 3 2 2 sin 2 cos os arcsin 2 a V a c      B. 3 2 2 2 sin cos os 2 a V a c     C. 3 2 2 2 sin cos os 2 2 a V a c     D. Đáp số khác. DẠNG 3: TỈ LỆ THỂ TÍCH Câu 1: (TTHT Lần 4) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của SB . P là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2 SP DP  . Mặt phẳng   AMP cắt cạnh SC tại N . Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V A. 23 30 ABCDMNP V V  . B. 19 30 ABCDMNP V V  . C. 2 5 ABCDMNP V V  . D. 7 30 ABCDMNP V V  . . ' ' ' ' ABCD A B C D V , , , , , M N P Q E F , ' ' ' ', ' ', ' ', ' ', ' '. ABCD A B C D ABB A BCC B CDD C DAA D , , , , , M P Q E F N 4 V 2 V 6 V 3 V ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 2: Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 3  AB a ,  AD a , SA vuông góc với đáy và  SA a . Mặt phẳng    qua A vuông góc với SC cắt SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp . S AMNP . A. 3 3 3 40 a . B. 3 3 40 a . C. 3 3 10 a . D. 3 3 30 a . Câu 3: Cho khối chóp . S ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành. Điểm  S thỏa mãn   0            SS k DC k . Biết thể tích phần chung của hai khối chóp . S ABCD và .  S ABCD là 7 25 V . Tìm k . A. 9  k . B. 6  k . C. 11  k . D. 4  k . Câu 4: Cho hình chóp . S ABC có tất cả các cạnh đều bằng a . Một mặt phẳng   P song song với mặt đáy   ABC cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P . Tính diện tích tam giác MNP biết   P chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. A. 2 . 3 8 MNP a S   . B. 3 . 3 16 MNP a S   . C. 2 3 . 3 4 2 MNP a S   D. 2 3 . 3 4 4 MNP a S   . Câu 5: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , AB a AD b   và cạnh bên SA c  vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho   0 AM x x c    . Tìm x để mặt phẳng   MBC chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. A.   3 2 2 c x   . B.   2 3 2 ab x c   . C.   3 5 2 c x   . D.   5 1 2 ab x c   . Câu 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với / / AB CD và 4 CD AB  .Gọi M là 1 điểm trên cạnh SA sao cho 0 AM SA   . Tìm tỉ số SM SA sao cho mặt phẳng   CDM chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau: A. 3 13 2 SM SA    . B. 4 26 2 SM SA    . C. 3 17 2 SM SA    . D. 3 23 2 SM SA    . Câu 7: Cho điểm M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB của hình chóp tam giác . S ABC có thể tích bằng V sao cho 1 , 3 SM SN x SA SB   . Mặt phẳng   P qua MN và song song với SC chia khối chóp . S ABC thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính x . A. 4 5 3 x   B. 8 10 6 x   C. 4 5 6 x   D. 8 10 9 x   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 8: (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hình chóp tam giác . S ABC . Gọi M là trung điểm của SA , lấy điểm N trên cạnh SB sao cho 2 3 SN SB  . Mặt phẳng    qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Gọi 1 V là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A , 2 V là thể tích của khối đa diện còn lại. TÍnh tỉ số 1 2 . V V A. 1 2 7 16 V V  . B. 1 2 7 18 V V  . C. 1 2 7 11 V V  . D. 1 2 7 9 V V  . Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm . SC Mặt phẳng   BMN chia khối chóp . S ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: A. 7 5 . B. 1 7 . C. 7 3 . D. 6 5 . Câu 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC svà E là điểm thuộc tia đối DB sao cho BD k BE  . Tìm k để mặt phẳng   MNE chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là 3 11 2 294 a . A. 6 5 k  . B. 6 k  . C. 4 k  . D. 5 V  . Câu 11: (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD và , , M N P lần lượt thuộc , , BC BD AC sao cho 4 , 2 , 3 . BC BM BD BN AC AP    Mặt phẳng   MNP cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng  . MNP A. 2 3 B. 7 13 C. 5 13 D. 1 3 Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh , a góc giữa mặt bên và phẳng đáy là  thỏa mãn 1 cos = . 3  Mặt phẳng   P qua AC và vuông góc với mặt phẳng   SAD chia khối chóp . S ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau: A. 0,11 B. 0,13 C. 0,7 D. 0,9 Câu 13: Cho tứ diện . S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho 2 MA SM  , 2 SN NB  , ( )  là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu 1 ( ) H và 2 ( ) H là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện . S ABC bởi mặt phẳng ( )  , trong đó, 1 ( ) H chứa điểm S , 2 ( ) H chứa điểm A ; 1 V và 2 V lần lượt là thể tích của 1 ( ) H và 2 ( ) H . Tính tỉ số 1 2 V V . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. 4 3 Câu 14: (Sở Quảng NamT) Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1, đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và 3 AD BC  . Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm thuộc CD sao cho ND = 3NC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. Thể tích khối chóp AMBNP bằng: A. 3 8 B. 5 12 C. 5 16 D. 9 32 Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là  thỏa mãn 5 2 tan 7   . Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là 1 V và 2 V . Tính tỷ số 1 2 V V . A. 3 8 B. 1 8 C. 3 5 D. 5 8 Câu 16: Cho khối chóp . S ABC có 6, 2, 4, 2 10 SA SB SC AB     và 90 , 120 SBC ASC       . Mặt phẳng   P qua B và trung điểm N của SC và vuông góc với mặt phẳng   SAC cắt cạnh SA tại M . Tính tỉ số thể tích . . S MBN S ABC V V . A. 2 9 . B. 2 5 . C. 1 6 . D. 1 4 . Câu 17: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Điểm K thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng   MNK chia khối chóp . S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 13 lần phần còn lại. Tính tỉ số KA t KS  . A. 1 2 t  . B. 3 4 t  . C. 1 3 t  . D. 2 3 t  . Câu 18: (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung điểm các cạnh , SA SD . Mặt phẳng    chứa MN và cắt các tia , SB SC lần lượt tại P và Q . Đặt SP x SB  , 1 V là thể tích của khối chóp . S MNQP và V là thể tích khối chóp . S ABCD . Tìm x để 1 2 V V  . A. 1 2 x  . B. 1 33 4 x    . C. 1 41 4 x    . D. 2 x  . Câu 19: (Đặng Thành Nam Đề 3) khối chóp . S ABCD có đáy là hình thang với hai đáy là AB và CD , 2 AB CD  . Gọi E là một điểm trên cạnh SC . Mặt phẳng   ABE chia khối chóp . S ABCD thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số SE SC . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 10 2 2  . B. 6 2  . C. 2 1  . D. 26 4 2  . Câu 20: (Hàm Rồng ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng   MNI chia khối chọp . S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 13 lần phần còn lại. Tính tỉ số IA k IS  ? A. 1 2 . B. 3 4 . C. 2 3 . D. 1 3 . Câu 21: (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh bên tạo với đường cao một góc 0 30 , O là trọng tâm tam giác ABC . Một hình chóp tam giác đều thứ hai . O A B C    có S là tâm của tam giác A B C    và cạnh bên của hình chóp . O A B C    tạo với đường cao một góc 0 60 (hai hình chóp có chung chiều cao) sao cho mỗi cạnh bên SA , SB , SC lần lượt cắt các cạnh bên OA  , OB  , OC  . Gọi 1 V là phần thể tích chung của hai khối chóp . S ABC và . O A B C    . Gọi 2 V là thể tích khối chóp . S ABC . Tỉ số 1 2 V V bằng A. 9 16 . B. 1 4 . C. 27 64 . D. 9 64 . Câu 22: (Cụm 8 trường chuyên lần1) 5 (Tổng quát câu 4) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC , O là trọng tâm tam giác ABC . Một hình chóp tam giác đều thứ hai . O A B C    có S là tâm của tam giác A B C    và cạnh bên của hình chóp . O A B C    và A B kAB    (hai hình chóp có chung chiều cao) sao cho mỗi cạnh bên SA , SB , SC lần lượt cắt các cạnh bên OA  , OB  , OC  . Gọi 1 V là phần thể tích chung của hai khối chóp . S ABC và . O A B C    . Gọi 2 V là thể tích khối chóp . S ABC . Tỉ số 1 2 V V bằng A. 3 2 3 ( 1) k k k   . B. 3 3 ( 1) k k  . C. 1 1 k  . D. 1 k k  . Câu 23: (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và   SA ABCD  . Trên đường thẳng vuông góc với   ABCD tại D lấy điểm S  thỏa mãn 1 2 S D SA   và S  , S ở cùng phía đối với mặt phẳng   ABCD . Gọi 1 V là phần thể tích chung của hai khối chóp . S ABCD và . S ABCD  . Gọi 2 V là thể tích khối chóp . S ABCD . Tỉ số 1 2 V V bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 4 9 . B. 7 9 . C. 7 18 . D. 1 3 . Câu 24: (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên đường thẳng qua D và song song với SA lấy điểm S  thỏa mãn S D kSA          với 0 k  . Gọi 1 V là phần thể tích chung của hai khối chóp . S ABCD và . S ABCD  . Gọi 2 V là thể tích khối chóp . S ABCD . Tỉ số 1 2 V V bằng A.   2 2 2 2 1 k k k   . B.   2 3 2 2 1 k k   . C.   2 2 3 2 2 1 k k k   . D. 1 k k  . Câu 25: (THTT số 3) Cho khối chóp 1 2 . ... n S A A A ( với 3 n  là số nguyên dương). Gọi j B là trung điểm của đoạn thẳng   1, j SA j n  . Kí hiệu 1 2 , V V lần lượt là thể tích của hai khối chóp 1 2 . ... n S A A A và 1 2 . ... n S B B B . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 2 n . Câu 26: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện 1 1 1 1 A B C D có thể tích 1 V , các đỉnh 1 1 1 1 , , , A B C D lần lượt là trọng tâm của các tam giác , , , BCD CDA DAB ABC . Khối tứ diện 2 2 2 2 A B C D có thể C A D B S S' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay tích 2 V , các đỉnh 2 2 2 2 , , , A B C D lần lượt là trọng tâm của các tam giác 1 1 1 B C D , 1 1 1 C D A , 1 1 1 D A B , 1 1 1 A B C . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện n n n n A B C D có thể tích n V , các đỉnh , , , n n n n A B C D lần lượt là trọng tâm của các tam giác 1 1 1 n n n B C D    , 1 1 1 n n n C D A    , 1 1 1 n n n D A B    , 1 1 1 n n n A B C    . Tính 1 2 2018 ... S V V V     ? A.   2018 2018 3 1 2.3 V S   . B.   2019 2019 27 1 26.27 V S   . C.   2018 2018 27 1 26.27 V S   . D.   2019 2019 3 1 2.3 V S   . Câu 27: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng   P qua B  và vuông góc với AC  chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là 1 V và 2 V với 1 2 V V  . Tỉ số 1 2 V V bằng A. 1 11 . B. 1 23 . C. 1 47 . D. 1 7 . Câu 28: (TTHT Lần 4) Cho lăng trụ . ABC A B C    , trên các cạnh AA  , BB  lấy các điểm M , N sao cho 3 AA A M    , 3 BB B N    . Mặt phẳng   C MN  chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi 1 V là thể tích của khối chóp . C A B NM    , 2 V là thể tích của khối đa diện ABCMNC  . Tỉ số 1 2 V V bằng: A. 1 2 4 7 V V  . B. 1 2 2 7 V V  . C. 1 2 1 7 V V  . D. 1 2 3 7 V V  . Câu 29: Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C    . Gọi , M N lần lượt thuộc các cạnh bên , AA CC   sao cho ; 4 MA MA NC NC     . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ diện , , GA B C BB MN ABB C       và A BCN  , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối A BCN  . B. Khối GA B C    . C. Khối ABB C   . D. Khối BB MN  . Câu 30: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' ', ABC A B C có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . Lấy M, N lần lượt trên cạnh ', ' AB A C sao cho ' 1 . ' ' 3 AM A N AB A C   Tính thể tích V của khối ' . BMNC C A. 3 6 108 a B. 3 2 6 27 a C. 3 3 6 108 a D. 3 6 27 a Câu 31: (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho lăng trụ . ABC A B C    .Trên các cạnh , AA BB   lần lượt lấy các điểm , E F sao cho , AA kA E BB kB F       . Mặt phẳng (C ) EF  chia khối trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp ( . ) C A B FE    có thể tích 1 V và khối đa diện (ABCEFC )  có thế tích 2 V . Biết rằng 1 2 2 7 V V  , tìm k A. 4 k  . B. 3 k  . C. 1 k  . D. 2 k  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 32: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ’ ’ ’ ABC A B C , có cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Lấy , M N lần lượt trên cạnh ’, ’ AB A C sao cho . Tính thể tích V của khối ’ . BMNC C A. B. C. D. Câu 33: (Trần Đại Nghĩa) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ' ', A B AC và P là điểm thuộc cạnh ' CC sao cho 2 ' CP C P  . Tính thể tích khối tứ diện BMNP theo V. A. 2 9 V . B. 3 V . C. 5 24 V . D. 4 9 V . Câu 34: (Lý Nhân Tông) Cho khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 . Biết A M MA   , 3 DN ND   , 2 CP C P   như hình vẽ. Mặt phẳng   MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng A. 5275 6 . B. 5275 12 . C. 7385 18 . D. 8440 9 . Câu 35: (THTT lần5) Cho hình lập phương .     ABCD A B C D cạnh 2a . Gọi M là trung điểm của  BB và P thuộc cạnh  DD sao cho 1 4   DP DD . Biết mặt phẳng   AMP cắt  CC tại N , thể tích của khối đa diện AMNPBCD bằng A. 3 2 a . B. 3 3 a . C. 3 11 3 a . D. 3 9 4 a . Câu 36: Cho khối lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C B   và C D   . Mặt phẳng   AEF cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi 1 V là thể tich khối chứa điểm A  và 2 V là thể tich khối chứa điểm ' C . Khi đó 1 2 V V là A. 25 47 . B. 1. C. 17 25 . D. 8 17 . a 2 a ' 1 ' ' 3 AM A N AB A C   3 6 108 a 3 2 6 27 a 3 3 6 108 a 3 6 27 a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 37: Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh . a Gọi , M N lần lượt là trung điểm của ' ' A B và . BC Mặt phẳng   DMN chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi   H là khối đa diện chứa đỉnh   , ' A H là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số     ' H H V V . A.     ' 37 48 H H V V  B.     ' 55 89 H H V V  C.     ' 2 3 H H V V  D.     ' 1 2 H H V V  Câu 38: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh . a Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh A B và BC   . Mặt phẳng ( ) DMN chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi 1 V là thể tích của phần chứa đỉnh 2 , A V là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 2 3 . B. 55 89 . C. 37 48 . D. 1 2 . Câu 39: Cho hình hộp ’ ’ ’ ’. ABCDA B C D Gọi M là trung điểm A’B’. Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với ’ ’. B D Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là 1 2 , V V (Trong đó V1 là thể tích khối chứa A). Tính tỉ số 1 2 V F V  . A. 7 17 . B. 1. C. 17 25 . D. 8 17 . Câu 40: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. A. 25 47 . B. 1. C. 49 95 . D. 8 17 . DẠNG 4: CỰC TRỊ THỂ TÍCH CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Câu 1: Cho hình chóp . S ABC có 1 SA SB SC    . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 4 . D. 1 12 . Câu 2: Cho hình chóp . S ABC có , , 1. AB SA x BC S y AC SB C       Thể tích khối chóp . S ABC lớn nhất khi tổng x y  bằng: A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 4 3 Câu 3: Nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích tứ diện đó lớn nhất là bao nhiêu? A. 1 4 B. 3 4 C. 1 8 D. 5 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 4: (Sở Vĩnh Phúc) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC . Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại M và N . Gọi 1 V , V theo thứ tự là thể tích khối chóp . S AMKN và khối chóp . S ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số 1 V V bằng A. 1 2 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 3 8 . Câu 5: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A  , C  thỏa mãn 1 1 , 3 5 SA SA SC SC                     . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng A C   cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại , B D   và đặt . . S A B C D S ABCD V k V      . Giá trị nhỏ nhất của k là bao nhiêu? A. 1 60 . B. 1 30 . C. 4 15 . D. 15 16 . Câu 6: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C  là trung điểm cạnh SC . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng AC  cắt các cạnh , SB SD tại , B D   . Đặt . . S B C D S ABCD V m V     . Giá trị nhỏ nhất của m bằng : A. 2 27 . B. 4 27 . C. 1 9 . D. 2 9 . Câu 7: Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A và trung điểm N cạnh SC cắt cạnh , SB SD lần lượt tại , M P . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMNP . A. 8 V . B. 3 8 V . C. 4 V . D. 3 V . Câu 8: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình hình hành. Các điểm A  , C  thỏa mãn 1 1 , 3 5 SA SA SC SC                    . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng A C   cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại , B D   và đặt . . S A B C D S ABCD V k V      . Tính giá trị lớn nhất của k là bao nhiêu? A. 4 105 . B. 1 30 . C. 4 15 . D. 4 27 . Câu 9: Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi , M N thứ tự là các điểm di động trên các cạnh , AB AD sao cho 2 4 AB AD AM AN   . Gọi ' V là thể tích khối chóp . S AMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của ' V . A. 1 4 V B. 1 6 V C. 1 8 V D. 1 3 V Câu 10: Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi , M N thứ tự là các điểm di động trên các cạnh , AB AD sao cho 2 4 AB AD AM AN   . Gọi ' V là thể tích khối chóp . S MBCDN . Tìm giá trị lớn nhất của ' V . A. 1 4 V B. 2 3 V C. 3 4 V D. 1 3 V ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 11: Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành. Mặt phẳng    đi qua A , trung điểm I của SO cắt các cạnh , , SB SC SD lần lượt tại , , M N P . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMNP . A. 18 V . B. 3 V . C. 6 V . D. 3 8 V . Câu 12: Cho hình chóp . , S ABCD SA là đường cao, đáy là hình chữ nhật với , , . SA a AB b AD c    Trong mặt phẳng   SDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N, mp   AMN cắt SC tại K. Xác định M thuộc SB sao cho SAMKN V đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó. A. ax min , 8 9 SAMKN m SAMKN abc abc V V     B. ax min , 8 10 SAMKN m SAMKN abc abc V V     C. ax min , 9 10 SAMKN m SAMKN abc abc V V     D. ax min , 10 11 SAMKN m SAMKN abc abc V V     Câu 13: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm ', ' A C thỏa mãn 1 ' 3 SA SA         , 1 ' 5 SC SC          . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng ' ' A C cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại ', ' B D và đặt . ' ' ' ' . S A B C D S ABCD V k V  . Giá trị lớn nhất của k là? A. 4 105 . B. 1 30 . C. 4 15 . D. 4 27 . Câu 14: Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA, SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M  , N  , P  ,Q  lần lượt là hình chiếu của M , N , P , Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM SA để thể tích khối đa diện . MNPQ M N P Q     đạt giá trị lớn nhất. A. 3 4 . B. 2 3 . C. 1 2 D. 1 3 . Câu 15: Cho khối chóp . S ABC . Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA, SB , SC lần lượt tại M , N , P . Gọi M  , N  , P  lần lượt là hình chiếu của M , N , P trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM SA để thể tích khối đa diện . MNP M N P    đạt giá trị lớn nhất. A. 3 4 . B. 2 3 . C. 1 2 . D. 1 3 . Câu 16: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là . V Điểm P là trung điểm của , SC một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và . N Gọi 1 V là thể tích của khối chóp . . S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? A. 1 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . Câu 17: Cho hình chóp . S ABC có 30 ASB BSC CSA        và SA SB SC a    . Mặt phẳng   P qua A cắt hai cạnh , SB SC lần lượt tại , B C   sao cho chu vi tam giác AB C   nhỏ nhất. Gọi 1 2 , V V lầ lượt là thể tích các khối chóp . , . S AB C S ABC   . Tính tỉ số 1 2 V V . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 2 3 2 2 V V   . B. 1 2 3 1 V V   . C. 1 2 4 2 3 V V   . D. 1 2 2 1 V V   . Câu 18: Cho khối chóp . S ABC có SA SB SC a     60 ASB   ,  90 BSC   ,  120 ASC   . Gọi , M N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho CN AM SC AB  . Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp . S AMN . A. 3 2 72 a . B. 3 5 2 72 a . C. 3 5 2 432 a . D. 3 2 432 a . Câu 19: (Sở Bắc Ninh) Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt các cạnh , SB SC lần lượt tại , M N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số . . S AMN S ABC V V là? A. 4 9 . B. 3 8 . C. 1 3 . D. 1 2 . Câu 20: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi P là điểm trên cạnh SC sao cho 5 . SC SP  Một mặt phẳng ( )  qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và . N Gọi 1 V là thể tích của khối chóp . . S AMPN Tìm giá trị lớn nhất của 1 V V . A. 1 15 . B. 1 25 . C. 3 25 . D. 2 15 . Câu 21: Khối tứ diện ABCD có 1 AB  và tất cả các cạnh còn lại có độ dài không vượt quá 1. Hỏi thể tích lớn nhất của khối tứ diện đó là? A. 3 8 . B. 1 8 . C. 1 24 . D. 3 . Câu 22: Khối tứ diện ABCD có   1 AB x x   và có tất cả các cạnh còn lại có độ dài không vượt quá 1. Tính x khi thể tích của khối tứ diện đó lớn nhất. A. 2 3 3 x  . B. 6 2 x  . C. 3 2 2 x  . D. 2 6 3 x  . Câu 23: Cho tứ diện ABCD có 4 , AB a CD x   và tất cả các cạnh còn lại bằng 3 . a Tìm x để khối tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. A. 2 10 . x a  B. 10 . x a  C. 6 x a  . D. 3a . Câu 24: Cho khối tứ diện ABCD có AB x  , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 2 x  . Hỏi có bao nhiêu giá trị của x để khối tứ diện đã cho có thể tích bằng 2 12 . A. 1. B. 6 . C. 4 D. 2 . Câu 25: Xét khối tứ diện ABCD có AB x  và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. 6 x  . B. 14 x  . C. 3 2 x  . D. 3 3 x  . Câu 26: Cho khối chóp . S ABC có SA a  , 2 SB a  , 3 SC a  . Thể tích lớn nhất của khối chóp là A. 3 6 a . B. 3 6 2 a . C. 3 6 3 a . D. 3 6 6 a . Câu 27: Cho hình chóp . S ABC có 2 SA SB SC    , đáy ABC là tam giác vuông tại A , 1 AB  . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 5 8 . B. 5 4 . C. 2 3 . D. 4 3 . Câu 28: Cho hình chóp . S ABC có 1 SA SB SC BA BC      . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC ? A. 1 6 . B. 2 12 . C. 1 8 . D. 3 12 . Câu 29: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hình chóp . S AB C D đều, có cạnh bên bằng 1. Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD bằng A. 4 27 . B. 1 6 . C. 4 3 27 . D. 3 12 . Câu 30: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hình chóp . S ABCD có SA x  , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng 2. Giá trị của x để thể tích khối chóp đó lớn nhất là A. 2 2 . B. 2 . C. 7 . D. 6 . Câu 31: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết SA x  với   0 2 3 x   và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 2. Tìm x để thể tích của khối chóp . S ABCD đạt giá trị lớn nhất? A. 2 . B. 2 2 . C. 6 2 . D. 6 . Câu 32: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Một mặt phẳng không qua S và cắt các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q thỏa mãn 2 SA SM         , 3 SC SP         . Tính tỉ số SB SN khi biểu thức 2 2 4 SB SD T SN SQ               đạt giá trị nhỏ nhất. A. 11 2 SB SN  . B. 5 SB SN  . C. 4 SB SN  . D. 9 2 SB SN  . Câu 33: (Ba Đình Lần2) Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên là một số thực dương không đổi. Gọi  là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp và mặt đáy. Khi thể tích của kim tự tháp lớn nhất, tính sin  . A. 6 sin 3   . B. 3 sin 3   C. 5 sin 3   . D. 3 sin 2   . Câu 34: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC AB AC a      và 2 BC x  (trong đó a là hằng số và x thay đổi thuộc khoảng 3 0; 2 a         ). Tính thể tích lớn nhất max V của hình chóp . S ABC A. 3 8 a . B. 3 2 4 a . C. 3 2 12 a . D. 3 6 a . Câu 35: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 1 6 V  , góc  45 ACB   và 3 2 AC AD BC    . Hỏi độ dài cạnh CD ? A. 2 3 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 36: (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng   ABC lấy điểm M sao cho AM x  . Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên , . AB MB Đường thẳng qua , E F cắt d tại N . Xác định x để thể tích khối tứ diện BCMN nhỏ nhất. A. 2 2 x  . B. 1 x  . C. 2 x  . D. 2 x  . Câu 37: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hình chóp . S ABC , trong đó ( ) SA ABC  , SC a  và đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh C . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABC . Khi thể tích khối chóp . S ABC đạt giá trị lớn nhất thì sin 2  bằng A. 3 3 . B. 3 2 . C. 2 3 5 . D. 2 2 3 . Câu 38: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho hình chóp . S ABC có SA x  , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng a . Để thể tích khối chóp lớn nhất thì giá trị x bằng A. 6 2 a . B. 2 a . C. 3 2 a . D. a . Câu 39: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , 2 SA AB a   . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy   ABC . Gọi , H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tìm thể tích lớn nhất max V của khối chóp . S AHK . A. 3 max 2 6 a V  . B. 3 max 3 6 a V  . C. 3 max 3 3 a V  . D. 3 max 2 3 a V  . Câu 40: Cho tam giác ABC vuông cân tại B , 2 AC  . Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng   ABC lấy điểm , M N khác phía với mặt phẳng   ABC sao cho . 1 AM AN  . Tìm thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện MNBC .? A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 12 . D. 2 3 . Câu 41: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có 1 SA  . Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC là? A. 1 6 . B. 2 12 . C. 3 12 . D. 1 12 . Câu 42: Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng  , , . ABC SC a SCA     Xác định góc  để thể tích khối chóp SABC lớn nhất. A. 1 arcsin 3   B. 2 arcsin 7   C. 1 arcsin 5   D. 1 3arcsin 3   Câu 43: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  45 MAN  . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là? A. 2 1 9  . B. 2 1 3  . C. 2 1 6  . D. 2 1 9  . Câu 44: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  60 MAN   . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 3 3  . B. 2 3 9  . C. 2 3 3 3  . D. 2 3 3 9  . Câu 45: Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc, I là tâm nội tiếp tam giác ABC . Mặt phẳng   P thay đổi qua I , cắt các tia SA , SB , SC lần lượt tại , , A B C    . Biết 2 SA SB   , 7 SC  . Hỏi thể tích của khối chóp . S A B C    có giá trị nhỏ nhất là? A. 243 7 256 . B. 7 3 . C. 81 7 256 . D. 27 7 256 . Câu 46: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1,   SO ABCD  và 1 SC  . Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD là? A. 2 3 9 B. 2 3 3 . C. 2 3 27 . D. 4 3 27 . Câu 47: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  45 MAN  . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là? A. 2 1 9  . B. 2 1 3  . C. 2 1 6  . D. 2 1 9  . Câu 48: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  30 MAN   . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là? A. 1 9 . B. 1 3 . C. 2 27 . D. 4 27 . Câu 49: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  60 MAN   . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là A. 2 3 3  . B. 2 3 9  . C. 2 3 3 3  . D. 2 3 3 9  . Câu 50: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với 4 AD a  . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 6 a . Tìm thể tích max V của khối chóp . S ABCD . A. 3 max 8 3 a V  . B. 3 max 4 6 3 a V  . C. 3 max 8 V a  . D. 3 max 4 6 V a  . Câu 51: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và thể tích bằng V . Gọi , M N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB và AD sao cho 2 4 AB AD AM AN   . Gọi ' V là thể tích khối chóp . S MBCDN . Tìm giá trị nhỏ nhất của ' V . A. 1 4 V . B. 2 3 V . C. 3 4 V . D. 1 3 V . Câu 52: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm ', ' A C thỏa mãn 1 ' 3 SA SA         , 1 ' 5 SC SC          . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng ' ' A C cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại ', ' B D và đặt . ' ' ' ' . S A B C D S ABCD V k V  . Giá trị nhỏ nhất của k là? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 60 . B. 1 30 . C. 3 4 V . D. 15 16 . Câu 53: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng   SAB bằng 0 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM. Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp SABH đạt giá trị lớn nhất bằng: A. 3 2 3 a B. 3 2 2 a C. 3 2 6 a D. 3 2 12 a Câu 54: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có 2 SA SB SC a    . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD . A. 3 2 6 3 a . B. 3 32 3 9 a . C. 3 4 6 9 a . D. 3 32 3 27 a . Câu 55: Khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA SB SC a    , Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD là: A. 3 8 a . B. 3 4 a . C. 3 3 8 a . D. 3 2 a . Câu 56: Cho hai đường thẳng , Ax By chéo nhau và vuông góc nhau, có AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó và AB a  . Hai điểm M và N lần lượt di động trên Ax và By sao cho MN b  . Xác định độ dài đoạn thẳng AM theo a và b sao cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất. A. 2 2 3 b a AM   . B. 2 2 2 b a AM   . C. 2 2 2 b a AM   . D. 2 2 3 b a AM   . Câu 57: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho x là các số thực dương. Xét các hình chóp S.ABC có cạnh SA x  , các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp S.ABC có giá trị lớn nhất, giá trị của x bằng. A. 6 2 . B. 3 2 . C. 3 4 . D. 1. Câu 58: (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích khối chóp . S AMPN . Giá trị lớn nhất của 1 V V thuộc khoảng nào sau đây ? A. 1 0; 5       . B. 1 1 ; 5 3       . C. 1 1 ; 3 2       . D. 1 ;1 2       . Câu 59: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho tứ diện ABCD có AB x  , CD y  , tất cả các cạnh còn lại bằng 2 . Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn nhất tính xy . A. 2 3 . B. 4 3 . C. 16 3 . D. 1 3 . Câu 60: ( Sở Phú Thọ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy . ABCD . là hình vuông cạnh bằng 2, 2 SA  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD   AN AM  sao cho mặt phẳng   SMC vuông góc với mặt phẳng  . SNC Khi thể tích khối chóp . S AMCN đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của 2 2 1 16 AN AM  bằng: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 17 . 4 B. 5. C. 5 . 4 D. 2. Câu 61: (Sở Phú Thọ) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất, giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Câu 62: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Gọi , là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh , sao cho luôn vuông góc với mặt phẳng . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện . Tính . A. . B. . C. D. Câu 63: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a , trọng tâm G .  là đường thẳng qua G và vuông góc với   BCD . A chạy trên  sao cho mặt cầu ngoại tiếp ABCD có thể tích nhỏ nhất. Khi đó thể tích của khối ABCD là A. 3 3 12 a . B. 3 12 a . C. 3 2 12 a . D. 3 3 6 a . Câu 64: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , SA SB SC a    . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD lớn nhất bằng A. 3 3 4 a . B. 3 2 a . C. 3 4 a D. 3 3 2 a . Câu 65: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Biết rằng   0 90 ASB ASD   , mặt phẳng chứa AB và vuông góc với   ABCD cắt SD tại N . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện DABN . A. 3 2 3 a . B. 3 2 3 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 4 3 3 a . Câu 66: (Sở Điện Biên) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi , M N là hai điểm nằm trên hai cạnh , SC SD sao cho 1 2 SM SC  và 2 SN ND  , biết G là trọng tâm của tam giác SAB . Tỉ số thể tích . GMND S ABCD V m V n  ( , m n là các số nguyên dương và   , 1 m n  ). Giá trị của m n  bằng A. 17 . B. 19. C. 21. D. 7 . Câu 67: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Trong các khối chóp tứ giác đều . S ABCD mà khoảng cách từ A đến mp ( ) SBC bằng 2a , khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng A. 3 2 3a . B. 3 2a . C. 3 3 3a . D. 3 4 3a . Câu 68: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Trong các khối chóp tam giác đều . S ABC mà khoảng cách từ A đến mp ( ) SBC bằng 3a , khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng A. 3 6 3a . B. 3 9 2 a . C. 3 9a . D. 3 12 3a . . S ABCD ABCD 2 2 SA  SA M N AB ( ) AD AN AM    SMC   SNC . S AMCN 2 2 1 16 AN AM  17 4 5 5 4 2 ABCD 1 M N BC BD   AMN   BCD 1 V 2 V ABMN 1 2 V V  17 2 216 17 2 72 17 2 144 2 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 69: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , 2 SA  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng   SMC vuông góc với mặt phẳng   SNC . Tính tổng 2 2 1 1 T AN AM   khi thể tích khối chóp . S AMCN đạt giá trị lớn nhất. A. 13 9 T  . B. 2 T  . C. 5 4 T  . D. 2 3 4 T   . CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Câu 70: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác đều. Tam giác ABC  có diện tích bằng 3 3 và nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng , 0; 2           . Tìm  để thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    đạt giá trị lớn nhất. A. 1 tan 6   . B. tan 6   . C. tan 2   . D. 3 tan 2   . Câu 71: Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài đường chéo AC  bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 . B. 8 2 . C. 16 2 . D. 24 3 . Câu 72: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp chữ nhật đã cho? A. max 8 V  . B. max 12 V  . C. max 8 2 V  . D. max 6 6 V  . Câu 73: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp đã cho. A. max 16 2 V  . B. max 16 V  . C. max 6 6 V  . D. max 12 3 V  . Câu 74: Tìm max V là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm và diện tích toàn phần bằng 2 18 . cm A. 3 max 6 . V cm  B. 3 max 5 . V cm  C. 3 max 4 . V cm  D. 3 max 3 . V cm  Câu 75: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp chữ nhật đã cho? A. max 8 V  . B. max 12 V  . C. max 8 2 V  . D. max 6 6 V  . Câu 76: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp đã cho. A. max 16 2 V  . B. max 16 V  . C. max 6 6 V  . D. max 12 3 V  . Câu 77: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có AB x  , 1 AD  . Biết rằng góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng   ABB A   bằng 30  . Tìm giá trị lớn nhất max V của thể tích khối hộp . ABCD A B C D     . A. 3 3 4 max V  . B. 1 2 max V  . C. 3 2 max V  . D. 3 4 max V  . Câu 78: (Quỳnh Lưu Nghệ An) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 8 – 3 năm 2019. Ông A đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là h và x . Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của h và x là? A. 2 h  , 4 x  . B. 3 2 h  , 4 x  . C. 2 h  , 1 x  . D. 4 h  , 2 x  . Câu 79: (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho khối lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Các điểm M , N lần lượt di động trên các tia AC , B D   sao cho 2 AM B N a    . Thể tích khối tứ diện AMNB  có gía trị lớn nhất là: A. 3 12 a . B. 3 6 a . C. 3 3 6 a . D. 3 2 12 a . DẠNG 5: GÓC, KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH Câu 1: (Gang Thép Thái Nguyên) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật; ; 2 AB a AD a   . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mp   ABCD bằng 45  . Gọi M là trung điểm của SD . Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến   SAC . A. 1513 89 a d  . B. 2 1315 89 a d  . C. 1315 89 a d  . D. 2 1513 89 a d  . Câu 2: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Chóp . S ABC có đường cao SA , tam giác ABC là tam giác cân tại A và , AB a   120 . BAC   Biết thể tích khối chóp là 3 3 , 24 a góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   ABC bằng A. 45  . B. 90  . C. 60  . D. 30  . Câu 3: (Sở Nam Định) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD) cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và 1 V lần lượt là thể tích khối chóp S.ABCD và D. ACE, biết 1 5 V V  . Tính cosin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD. A. 1 2 . B. 3 2 . C. 1 2 2 . D. 2 3 . Câu 4: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hình chóp . S ABCD đáy là hình thoi tâm O và SO ABCD  , 6 3 a SO  , SB BC a   . Số đo góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   SCD là A. 90  . B. 60 . C. 30  . D. 45 . Câu 5: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a  , 2 AD a  , SA SB SC SD    . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và mp ( ) ABCD bằng 0 60 . Gọi  là góc tạo bởi MN và mp ( ) SBD . Tính sin  . A. 4 sin 65   . B. 5 sin 65   . C. 1 sin 65   . D. 2 sin 65   . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 6: (CổLoa Hà Nội)Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng 3 a ,  60 BAD   , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 3 . SA a  Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AD bằng A. 17 17 a . B. 3 17 17 a . C. 5 5 a . D. 3 5 5 a . Câu 7: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên ( ) SCD tạo với mặt đáy một góc bằng 60  , M là trung điểm BC . Biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 3 3 a . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) SCD bằng A. 3 6 a . B. 3 a . C. 3 4 a . D. 3 2 a . Câu 8: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tứ diện đều cạnh 1 và điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện. A. 6 . B. 6 9 . C. 3 2 . D. 6 3 . Câu 9: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng bằng r . Khoảng cách từ , , , A B C D đến các mặt đối diện lần lượt là 7 3 5 4 ; ; ; 5 2 3 3 . Khi đó r bằng: A. 10 59 . B. 59 10 . C. 420 1147 . D. 1147 420 . Câu 10: (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a , 2 SA a  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng   SCD . A. 4 5 5 a . B. 4 5 25 a . C. 2 5 5 a . D. 8 5 25 a . Câu 11: (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho khối chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình bình hành, 4 AD a  , 6 SA SB SC SD a     . Khi khối chóp . S ABCD có thể tích đạt giá trị lớn nhất, sin của góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   SCD bằng A. 6 6 . B. 15 5 . C. 5 5 . D. 3 3 . Câu 12: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp . S ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B có 2 AC BC  , đường trung tuyến BM , đường phân giác trong CN và MN a  . Các mặt phẳng   SBM và   SCN cùng vuông góc với mặt phẳng   ABC . Thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 3 3 8 a . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và IB bằng A. 3 4 a . B. 3 8 a . C. 3 4 a . D. 3 8 a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 13: (Ba Đình Lần2) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , 17 2 a SD  . Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt   ABCD là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của AD . Khoảng cách giữa hai đường SD và HK bằng A. 3 5 a . B. 3 7 a . C. 3 5 a . D. 21 5 a . Câu 14: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho tứ diện ABCD có 3 AB a  , 2 AC a  , 5 AD a  ;    0 60 BAC CAD DAB    . Tính     , d C ABD . A. 2 6 3 a . B. 6 9 a . C. 6 3 a . D. 2 6 9 a . Câu 15: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 2 và độ dài cạnh bên bằng 5 . Gọi   S là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD , có tâm O . Lấy G là trọng tâm tam giác SAD . Lấy điểm M bất kì trên   S . Khoảng cách GM đạt giá trị nhỏ nhất bằng A. 17 31 12  . B. 17 31 12  . C. 15 33 12  . D. 15 33 12  . Câu 16: (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu của A  lên mặt phẳng   ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đó. A. 3 3 12 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 24 a . Câu 17: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hình hộp chữ nhật .     ABCD A B C D . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B C  là 2 5 5 a , giữa hai đường thẳng BC và AB  là 2 5 5 a , giữa hai đường thẳng AC và  BD là 3 3 a . Thể tích khối hộp .     ABCD A B C D bằng A. 3 8a . B. 3 4a . C. 3 2a . D. 3 a . Câu 18: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình hộp . ABCD A B C D     có A B  vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD , góc giữa AA  và   ABCD bằng 45 . Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB  và DD  bằng 1. Góc giữa mặt   BB C C   và mặt phẳng   CC D D   bằng 60  . Thể tích khối hộp đã cho là A. 2 3 . B. 2 . C. 3 . D. 3 3 . Câu 19: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho lăng trụ . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 , a ' ' , AA A D  hình chiếu vuông góc của ' A thuộc hình vuông , ABCD khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và ' AB bằng 6 10 a . Tính thể tích khối chóp ' A MNP trong đó , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , ', '. CD CC DD A. 3 12a . B. 3 a . C. 3 2a . D. 3 3a . Câu 20: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho lăng trụ . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 , a ' ' , AA A D  hình chiếu vuông góc của ' A thuộc bên trong hình vuông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay , ABCD khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và ' AB bằng 6 10 a . Tính thể tích khối chóp ' A MNP trong đó , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , ', '. CD CC DD A. 3 12a . B. 3 a . C. 3 2a . D. 3 3a . DẠNG 6: ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 1: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập. Chiều cao của kim tự tháp này là 144 m , đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh dài 230 m . Các lối đi và phòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự tháp. Biết một lần vận chuyển gồm 10 xe, mỗi xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 3 3 2,5.10 / kg m . Số lần vận chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là: A. 740600 . B. 76040 . C. 7406 . D. 74060 . Câu 2: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi 0 x x  là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là 0 V . Tìm 0 V . A. 48 đvtt B. 16 đvtt C. 64 đvtt D. 64 3 đvtt Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt của rubic có 9 ô vuông), biết chu vi mỗi ô (ô hình vuông trên một mặt) là 4cm. A. 27 cm 3 . B. 1728 cm 3 . C. 1 cm 3 . D. 9 cm 3 . Câu 4: Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình 1 và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình 2 . Biết cạnh hình vuông bằng 20cm ,   OM x cm  . Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất? A. 9 x cm  . B. 8 x cm  . C. 6 x cm  . D. 7 x cm  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 5: Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 3m ; 1, 2m ; 1,8m (người ta chỉ xây hai mặt thành bể như hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm , chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm . Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bể đó và thể tích thực của bể chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể). A. 738 viên, 5742 lít. B. 730 viên, 5742 lít. C. 738 viên, 5740 lít. D. 730 viên, 5740 lít. Câu 6: Cho một cây nến hình lăng trụ lục gác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15cm và 5cm . Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng A. 1500 ml . B. 600 6 ml . C. 1800 ml . D. 750 3 ml . Câu 7: Một miếng bìa hình tròn có bán kính là 20cm . Trên biên của miếng bìa, ta xác định 8 điểm , , , , , , , A B C D E F G H theo thứ tự chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau. Cắt bỏ theo các nét liền như hình vẽ để có được hình chữ thập ABNCDPEFQGHM rồi gấp lại theo các nét đứt , , , MN NP PQ QM tạo thành một khối hộp không nắp. Thể tích của khối hộp thu được là: A.   4000 2 2 4 2 2 2   B.   3 4000 2 2 2  . C.   4000 2 2 4 2 2   . D.   3 4000 2 2  . Câu 8: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có 60 AD cm  , 40 AB cm  . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng A. 4000 3   3 cm B. 2000 3   3 cm C. 400 3   3 cm D. 4000 2   3 cm 1 ,8dm 1dm 1dm 3m 1 ,2m ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 9: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có 60 AD cm  . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A. 20 x  . B. 15 x  . C. 25 x  . D. 30 x  . Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng  . x cm Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của lỗ hình vuông là tâm của mặt hình lập phương, các cạnh lỗ hình vuông song song với các cạnh của hình lập phương và có độ dài   y cm như hình vẽ bên. Tìm thể tích V của khối gỗ sau khi đục biết rằng 80 ; 20 . x cm y cm   A. 3 490000cm . B. 3 432000cm . C. 3 400000cm . D. 3 390000cm . Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng   x cm .Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện,tâm của lỗ hình vuông là tâm của mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vuông song song với cạnh của hình lập phương và có độ dài   y cm (như hình vẽ bên).Tính tỉ số S V ,trong đó V của khối gỗ sau khi đục và S là tổng diện tích mặt (trong và ngoài)khối gỗ sau khi đục. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.       6 3 2 x y S V x y x y     . B.       3 3 2 x y S V x y x y     . C.       2 3 2 x y S V x y x y     . D.       9 3 2 x y S V x y x y     . Câu 12: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích   3 V m , hệ số k cho trước (k - tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Gọi , , 0 x y h  lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định , , 0 x y h  xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. , , x y h lần lượt là A.       3 3 3 2 2 2 1 2 1 2 2 ; ; . 4 4 2 1 k V k k V kV x y h k k       B.       3 3 3 2 2 2 1 2 1 2 ; ; 2 . 4 4 2 1 k V k k V kV x y h k k       C.       3 3 3 2 2 2 1 2 1 2 ; 2 ; . 4 4 2 1 k V k k V kV x y h k k       D.       3 3 3 2 2 2 1 2 1 2 ; 6 ; . 4 4 2 1 k V k k V kV x y h k k       Câu 13: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt bỏ các tam giác cân bên ngoài của tấm nhôm, phần còn lại gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng   x m , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 2 2 5 x  B. 1 2 x  C. 2 4 x  D. 2 3 x  Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện đều và tất cả các cạnh đều bằng a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện của viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên. A. 2 3 4 a . B. 2 3 4 a . C. 2 3 4 a . D. 2 3 4 a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 15: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 3 1, 296 . m Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước , , a b c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước , , a b c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày của kính không đáng kể. A. 3,6 ; 0,6 ; 0,6 a m b m c m    B. 2, 4 ; 0,9 ; 0,6 a m b m c m    C. 1,8 ; 1, 2 ; 0,6 a m b m c m    D. 1, 2 ; 1, 2 ; 0,9 a m b m c m    Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích là . Hãy tính chiều cao của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất? A. m B. 2 h m  C. 3 2 h m  D. 5 2 h m  Câu 17: Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 3 72dm và chiều cao là 3 . dm Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước , a b (đơn vị dm) như hình vẽ. Tính , a b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể. A. 24, 24. a b   B. 3, 8. a b   C. 3 2, 4 2. a b   D. 4, 6. a b   Câu 18: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m 3 . Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể. A. 3,6 ; 0,6 ; 0,6 a m b m c m    B. 2, 4 ; 0,9 ; 0,6 a m b m c m    C. 1,8 ; 1, 2 ; 0,6 a m b m c m    D. 1, 2 ; 1, 2 ; 0,9 a m b m c m    b dm a dm 3 dm c b a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 19: Từ một tấm tôn có kích thước 90cmx3m người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt là hình thang ABCD có hinh dưới. Tính thể tích lớn nhất của máng xối. A. 3 40500 3cm B. 3 40500 2cm C. 3 40500 6cm D. 3 40500 5cm Câu 20: Để làm một máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước 0,9 3 m m  người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới. Biết mặt cắt của máng xối (bị cắt bởi mặt phẳng song song với hai mặt đáy) là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ có chiều cao bằng chiều dài của tấm tôn. Hỏi   x m bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất? A. 0,5 x m  . B. 0,65 x m  . C. 0, 4 x m  . D. 0, 6 x m  . Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài   d m và chiều rộng   r m với 2 . d r  Chiều cao bể nước là   h m và thể tích bể là 3 2 . m Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất? A.   3 3 2 2 m . B.   3 2 3 m . C.   3 3 2 m . D.   2 2 3 3 m . Câu 22: Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng A. 2 3 x V  B. 3 x V  C. 1 4 x V  D. x V  Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A quyết định mua tặng vợ một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có đáy hình vuông và không có nắp. Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dạy lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là . Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của phải là? A. B. C. D. 3m 90cm 3m 30cm 30cm 30cm D B C A h;x h;x x 2;h 4   x 4;h 2   3 4; 2   x h 1; 2   x h 3m 0,9 m 0,3m 0,3m x m 0,3m 3m 0,3m x x (a) Tấm tôn (b) Máng xối (c) Mặt cắt ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 24: Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài   10 m được đặt song song và cách mặt đất   h m . Nhà có 3 trụ tại , , A B C vuông góc với   ABC . Trên trụ A người ta lấy hai điểm , M N sao cho , AM x AN y   và góc giữa   MBC và   NBC bằng 90  để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà. A. 5 3 . B. 10 3 . C. 10 . D. 12 . Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước. Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là A. 3 2 2 V  . B. 3 2 6 V . C. 3 2 3 6V . D. 3 2 3 2 V  . Câu 26: Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật (không nắp) bằng tôn thể tích 3 665,5 dm . Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh ( ) x dm , chiều cao ( ) h dm . Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm x để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất. A. 10,5( ) dm . B. 12( ) dm . C. 11( ) dm . D. 9( ) dm . Câu 27: Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng A. 2 3 x V  B. 3 x V  C. 1 4 x V  D. x V  Câu 28: Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể) A. 1180 viên, 8820 lít B. 1180 viên, 8800 lít C. 1182 viên, 8820 lít D. 1180 viên, 8800 lít Câu 29: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh là a, người ta gấp nó thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều (như hình vẽ). Từ một mảnh giấy hình vuông khác cũng có cạnh là a, người ta gấp nó thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác h h h h x x 5m 2m 1dm 1dm 1m V H' V H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay đều (như hình vẽ). Gọi 1 2 , V V lần lượt là thể tích của lăng trụ tứ giác đều và lăng trụ tam giác đều. So sánh 1 V và 2 V . A. 1 2 V V  B. 1 2 V V  C. 1 2 V V  D. Không so sánh được Câu 30 (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho một cái hộp hình chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lượt là 4 cm , 6cm , 9cm như hình vẽ. Một con kiến ở vị trí A muốn đi đến vị trí B . Biết rằng con kiến chỉ có thể bò trên cạnh hay trên bề mặt của hình hộp đã cho. Gọi x cm là quãng đường ngắn nhất con kiến đi từ A đến B . Khẳng định nào sau đây đúng? A.   15;16 x  . B.   13;14 x  . C.   12;13 x  . D.   14;15 x  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay DẠNG 4: CỰC TRỊ THỂ TÍCH CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Câu 1: Cho hình chóp . S ABC có 1 SA SB SC    . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 4 . D. 1 12 . Lời giải Chọn B . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng SBC . Ta có  1 1 1 1 . . . . . .sin . . . 3 6 6 6 SBC V AH S AH SB SC BSC AS SB SC     . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi    , , sin 1 AH AS AS SBC SA SB SB SC SC SA SB SC BSC                    . Câu 2: Cho hình chóp . S ABC có , , 1. AB SA x BC S y AC SB C       Thể tích khối chóp . S ABC lớn nhất khi tổng x y  bằng: A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 4 3 Lời giải Ta gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . SA BC Dễ chứng minh được ( ) SA MBC  và MBC  cân tại M Tính được: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 4 4 4 4 BC SA BC x y MN MB AB         Do đó: 2 2 . 1 1 . 6 4 S ABC x y V V xy     Vì 2 2 2 x y xy   nên   2 1 2 1 ( ) . 2 6 2 12 xy V xy xy xy     . Dấu bằng xảy ra khi . x y  Đến đây, có hai hướng xử lý: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Thứ nhất, sử dụng BĐT Côsi:   3 2 2 32 2 2 ( ) 2 4. . (2 ) 4. . 2 2 3 27 xy xy xy xy xy xy xy xy                   Dấu bằng xảy ra 2 4 . 2 3 3 2 x y x y x y xy xy                Thứ hai, đặt t xy  và xét 2 ( ) (2 ) f t t t   , đạt GTLN khi 4 3 t  , suy ra 2 4 . 3 3 x y x y      Câu 3: Nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích tứ diện đó lớn nhất là bao nhiêu? A. 1 4 B. 3 4 C. 1 8 D. 5 8 Lời giải Giả sử tứ diện ABCD có cạnh lớn nhất là AB , suy ra các tam giác ACD và BCD có tất cả các cạnh đều không lớn hơn 1. Các chiều cao AF và BE của chúng không lớn hơn 2 1 , 4 a  trong đó 1. CD a   Chiều cao hình tứ diện 2 AF 1 4 a AH    (do tam giác AHF vuông tại H có AF là cạnh huyền) Thể tích của khối tứ diện là:   2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . 1 4 3 3 2 3 2 4 24 BCD a V S AH BE CD AH a a a             Để tìm giá trị lớn nhất của V ta xét biểu thức   2 4 . a a  Vì 0 1 a   nên   2 4 3 a a   và   2 1 1 4 . 24 8 V a a    Chọn C. Câu 4: (Sở Vĩnh Phúc) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC . Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại M và N . Gọi 1 V , V theo thứ tự là thể tích khối chóp . S AMKN và khối chóp . S ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số 1 V V bằng A. 1 2 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 3 8 . Lời giải Chọn C F H B C D A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Đặt 1 SA a SA   , SB b SM  , 2 SC c SK   , SD d SN  , có 3 a c   . Áp dụng công thức tính nhanh tỉ lệ thể tích: . 1 . 4 S AMKN S ABCD V V a b c d V V abcd      , với a c b d    . Suy ra: 3 b d   . Khi đó 1 2 6 3 3 1 8 4 3 4 2 V V bd bd b d            , dấu bằng xảy ra khi 3 2 b d   . Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số 1 V V bằng 1 3 khi 3 2 SB SD SM SN   . Chứng minh bài toán: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm A  , B  , C  , D  lần lượt nằm trên các cạnh SA , SB , SC , SD . Đặt SA a SA   , SB b SB   , SC c SC   , SD d SD   . Chứng minh rằng: : . . 4 S A B C D S ABCD V a b c d V abcd         và a c b d    . Lời giải Ta có: ABCD là hình bình hành nên: . . 2 2 ABCD ABD S ABCD S ABD S S V V     . Khi đó: . . . . . 1 1 1 . . . . 2 S A B D S A B D S ABD S ABCD S ABD V SA SB SD V V V V SA SB SD abd abd abd               . . . . . . 1 1 1 . . . . 2 S B C D S B C D S BCD S ABCD S BCD V SB SC SD V V V V SB SC SD bcd bcd bcd               . Suy ra:   . . . . . . 1 1 . . 2 2 2 S ABCD S A B C D S A B D S B C D S ABCD S ABCD a c V V V V V V abd bcd abcd                   1 . Chứng minh tương tự như trên ta cũng có:   . . 2 S ABCD S A B C D b d V V abcd         2 . Từ   1 và   2 suy ra: a c b d    . K N M D C B A S D B C A S B' D' A' C' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay       . . . . 2 2 4 4 S ABCD S ABCD S ABCD S A B C D b d V b d V a b c d V V abcd abcd abcd             . Vậy: . . 4 S A B C D S ABCD V a b c d V abcd         . Câu 5: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A  , C  thỏa mãn 1 1 , 3 5 SA SA SC SC                     . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng A C   cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại , B D   và đặt . . S A B C D S ABCD V k V      . Giá trị nhỏ nhất của k là bao nhiêu? A. 1 60 . B. 1 30 . C. 4 15 . D. 15 16 . Lời giải Chọn A Đặt . S ABCD V V  , ta có: 3 5 8 SB SD SA SC SB SD SA SC           . Đặt 0, 0 SB SD x y SB SD         1 1 4 x y x y           . . 1 1 . . 1 15 30 2 S A B C S A B C V SA SB SC x V xV SA SB SC V              . . . 1 1 . . 1 15 30 2 S A D C S A D C V SA SD SC y V yV SA SD SC V              . Do đó   . . 1 30 S A B C D S ABCD V k x y V        4 1 1 8 2 60 x y k       . Câu 6: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C  là trung điểm cạnh SC . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng AC  cắt các cạnh , SB SD tại , B D   . Đặt . . S B C D S ABCD V m V     . Giá trị nhỏ nhất của m bằng : A. 2 27 . B. 4 27 . C. 1 9 . D. 2 9 . Lời giải Chọn C Đặt . . 1 . . 1 2 2 S B C D S ABCD V SB SC SD V V xy SB SC SD V           . 1 ; 2 SB SD m xy x y SB SD            ; 1 1 1 2 3 SA SC x y SA SC         . Sử dụng bất đẳng thức AM GM  ta có 1 1 2 4 1 9 9 xy m x y xy       . Câu 7: Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A và trung điểm N cạnh SC cắt cạnh , SB SD lần lượt tại , M P . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMNP . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 8 V . B. 3 8 V . C. 4 V . D. 3 V . Lời giải Chọn C Ta có 1 1, , , 2 SA SN x y z t SA SB SC M S S SP D       . Và 1 1 1 1 1 1 1 2 3 x z y t y t         . Do đó   . 1 1 1 1 1 3 3 3 .1. 4 4 2 4 S AMNP xyzt V V V yt ytV x y z t              . Mặt khác . 2 4 3 3 9 3 S AMNP yt y t V yt yt V        . Câu 8: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình hình hành. Các điểm A  , C  thỏa mãn 1 1 , 3 5 SA SA SC SC                    . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng A C   cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại , B D   và đặt . . S A B C D S ABCD V k V      . Tính giá trị lớn nhất của k là bao nhiêu? A. 4 105 . B. 1 30 . C. 4 15 . D. 4 27 . Lời giải Chọn A Đặt . S ABCD V V  , ta có: 3 5 8 SB SD SA SC SB SD SA SC           . Đặt 0, 0 SB SD x y SB SD       . . . 1 1 . . 1 15 30 2 S A B C S A B C V SA SB SC x V xV SA SB SC V              . . . 1 1 . . 1 15 30 2 S A D C S A D C V SA SD SC y V yV SA SD SC V              . Do đó   . . 1 30 S A B C D S ABCD V k x y V        và 1 1 8 x y   . Không mất tính tổng quát, giả sử 1 1 x 4 4 y    , từ 1 1 8 8 y x x y y        1 1 30 30 8 y k x y y y             với 1 1 4 y   . Ta có   2 1 8 1 1 0, y ;1 30 4 8 k y                      . Vậy   max 1 1 4 1 1 30 7 105 k k           . Câu 9: Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi , M N thứ tự là các điểm di động trên các cạnh , AB AD sao cho 2 4 AB AD AM AN   . Gọi ' V là thể tích khối chóp . S AMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của ' V . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 4 V B. 1 6 V C. 1 8 V D. 1 3 V Lời giải Chọn A Đặt 1 1 1 2 2 1 ; 4 1 4 1 4 AB AD x y x AM x AN y x y x            2 2 . 1 1 . ' 2 2 4 1 4 1 SAMN S ABCD V AM AN x x xy V V V AB AD x x        2 1 ;1 4 1 1 min 4 1 4 2 x x x                 Câu 10: Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi , M N thứ tự là các điểm di động trên các cạnh , AB AD sao cho 2 4 AB AD AM AN   . Gọi ' V là thể tích khối chóp . S MBCDN . Tìm giá trị lớn nhất của ' V . A. 1 4 V B. 2 3 V C. 3 4 V D. 1 3 V Lời giải Chọn C Đặt 1 1 1 2 2 1 ; 4 1 4 1 4 AB AD x y x AM x AN y x y x            2 2 . 1 1 . ' 1 2 2 4 1 4 1 SAMN S ABCD V AM AN x x xy V V V AB AD x x               2 1 ;1 4 3 1 max 1 4 1 4 2 x x x                  Câu 11: Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành. Mặt phẳng    đi qua A , trung điểm I của SO cắt các cạnh , , SB SC SD lần lượt tại , , M N P . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMNP . A. 18 V . B. 3 V . C. 6 V . D. 3 8 V . Lời giải Chọn C D A B C S N M D A B C S N M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Với 1 SA x SA   , 2 3 SM y SB   , 1 2 SN z SC   , SP t SD  ta có 1 1 1 1 x z y t    . Xét tam giác SAC ta có   1 1 2 2 1 1 4 SO SC SO SA SC SI SA SN SI SN SI SA SN z                                                    Mặt khác 3 điểm , , A I N thẳng hàng nên 1 1 1 1 4 4 3 z z     . Vậy       2 . 1 ;1 4 1 1 1 1 2 1 min 4 3 4 1 2 6 S AMNP xyzt t V V V f t V f t f x y z t t                             Dấu bằng xảy ra khi 1 1 ; 2 2 t y   tức    đi qua trung điểm của , SB SD . Câu 12: Cho hình chóp . , S ABCD SA là đường cao, đáy là hình chữ nhật với , , . SA a AB b AD c    Trong mặt phẳng   SDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N, mp   AMN cắt SC tại K. Xác định M thuộc SB sao cho SAMKN V đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó. A. ax min , 8 9 SAMKN m SAMKN abc abc V V     B. ax min , 8 10 SAMKN m SAMKN abc abc V V     C. ax min , 9 10 SAMKN m SAMKN abc abc V V     D. ax min , 10 11 SAMKN m SAMKN abc abc V V     Lời giải Gọi O là tâm hình chữ nhật . ABCD Ta có: 2 3 SG SO  và K AG SC   và K là trung điểm SC 1 1 1 . . . . . . . . 2 4 12 SMAK SMAK SBAC SBAC SBAC V SM SA SK SM SM SM V V V a b c V SB SA SC SB SB SB      Tương tự 1 . . . 12 SNAK SN V a b c SC  . M G K O C D A B S N P N I O C A D B S M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Do đó: 1 . . 12 SAMKN SM SN V a b c SB SC         Trong mp   SBD : . . . 1 . 2 2 2 2. . 2. . . 3 SMN SMG SGN SMG SGN SBD SBO SBO SBO S S S S S SM SN SG SM SG SN SM SN SM SN S SB SC S S S SO SB SO SB SB SC SB SC                 Do M, N lần lượt nằm trên cạnh SB, SD nên: 1 1 2 2 SB SM SM SB SB      Đặt 1 , 1 2 SM t t SN          thì 1 . . 3 3 1 SN SN SN t t t SC SC SC t            Nhận thấy SAMKN V đạt GTLN, GTNN nếu:   3 1 SM SN t f t t SB SC t      với 1 1. 2 t   Ta có       2 2 2 1 9 6 ' 1 3 1 3 1 t t f t t t       Nên   2 ' 0 , 0 3 f t t t     (loại).   1 3 3 2 4 , 1 , . 2 2 2 3 3 f f f                Do vậy 8 SAMKN abc V  là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với . B 9 SAMKN abc V  là GTNN khi MB chiếm 1 phần . SB Chọn A Câu 13: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm ', ' A C thỏa mãn 1 ' 3 SA SA         , 1 ' 5 SC SC          . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng ' ' A C cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại ', ' B D và đặt . ' ' ' ' . S A B C D S ABCD V k V  . Giá trị lớn nhất của k là? A. 4 105 . B. 1 30 . C. 4 15 . D. 4 27 . Lời giải Chọn A Đặt . S ABCD V V  , ta có ' ' SB SD SB SD   ' ' SA SC SA SC  3 5 8    Mặt khác . ' ' ' ' ' ' 1 . . 1 15 2 S A B C V SA SB SC x SA SB SC V   . ' ' ' 1 30 S A B C V xV   H M G O D B S N ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay . ' ' ' . ' ' ' ' ' ' 1 . . 1 15 2 1 30 S A C D S A C D V SA SD SC y SA SD SC V V yV     Do đó   . ' ' ' ' . 1 30 S A B C D S ABCD V k x y V    , trong đó ' SB x SB  , ' SD y SD  Và 1 ;1 8 1 4 ( ) max ( ) (1) 30 8 1 105 x k f x x f x f x                    . Câu 14: Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA, SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M  , N  , P  ,Q  lần lượt là hình chiếu của M , N , P , Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM SA để thể tích khối đa diện . MNPQ M N P Q     đạt giá trị lớn nhất. A. 3 4 . B. 2 3 . C. 1 2 D. 1 3 . Lời giải Chọn B Đặt SM x SA    0 1 x   , kí hiệu V , h lần lượt là thể tích và chiều cao của khối chóp đã cho, theo Thales ta có: MN NP PQ SM x AB BC CD SA     ; và         , 1 , d M ABCD AM x SA d S ABCD          , 1 d M ABCD x h    . Vì vậy:     . . . , MNPQ M N P Q V MN MQ d M ABCD        2 1 . . . x x AB AD h     2 3 1 x x V   . Sử dụng bất đẳng thức AM GM  ta có:   2 1 x x    1 . . 2 2 2 x x x   3 1 2 2 4 2 3 27 x x x            . Do đó . 4 9 MNPQ M N P Q V V      . Dấu " "  xảy ra 2 2 x x    2 3 x   . Chọn B Câu 15: Cho khối chóp . S ABC . Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA, SB , SC lần lượt tại M , N , P . Gọi M  , N  , P  lần lượt là hình chiếu của M , N , P trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM SA để thể tích khối đa diện . MNP M N P    đạt giá trị lớn nhất. P' Q' N' A P M' Q D C B N M S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 4 . B. 2 3 . C. 1 2 . D. 1 3 . Lời giải Chọn B Đặt SM x SA    0 1 x   , kí hiệu V , h lần lượt là thể tích và chiều cao của khối chóp đã cho, theo Thales ta có: MN NP MP SM x AB BC CA SA     ; và         , 1 , d M ABC AM x SA d S ABC          , 1 d M ABC x h    ; 2 MNP ABC S x S  . Vì vậy:     . . , MNP M N P MNP V S d M ABC       2 1 . . ABC x x S h     2 3 1 x x V   . Sử dụng bất đẳng thức AM GM  ta có:   2 1 x x    1 . . 2 2 2 x x x   3 1 2 2 4 2 3 27 x x x            . Do đó 4 9 MNPQM N P V V     . Dấu " "  xảy ra 2 2 x x    2 3 x   . Chọn B Câu 16: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là . V Điểm P là trung điểm của , SC một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và . N Gọi 1 V là thể tích của khối chóp . . S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? A. 1 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . G là trọng tâm tam giác SAC . Ta có , , M G N thẳng hàng. Do ABCD là hình bình hành nên . . . 1 2 S ADC S ABC S ABCD V V V   . Theo công thức tỉ số thể tích ta có: . . . . . . 1 1 . 1 2 4 2 S AMP S AMP S AMP S ADC S ABCD S ABCD V V V SM SP SM SM V SD SC SD V SD V      S A B C D O N P M G B N' P' A P M' N C M S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Tương tự . . . . . . 1 1 . 1 2 4 2 S ANP S ANP S ANP S ABC S ABCD S ABCD V V V SN SP SN SN V SB SC SB V SB V      Từ đó suy ra . . . . . . 1 1 4 4 S AMP S ANP S AMNP S ABCD S ABCD S ABCD V V V SM SN SM SN V V SD SB V SD SB                   Hay 1 1 4 V SM SN V SD SB         Ta chứng minh 3 SD SB SM SN   . Thậy vậy, qua , B D kẻ các đường song song với MN cắt SO lần lượt tại , E F . Ta có: ; SD SF SB SE SD SB SE SF SM SG SN SG SM SN SG       2 3 2. 3 2 SD SB SO SM SN SG      Đặt ; SD SB x y SM SN   . Ta có 3 x y   Mặt khác   1 2 1 1 1 1 3 3 1 4 4 4 4 3 V SM SN x y V SD SB x y xy xy x y                       Vậy 1 V V nhỏ nhất bằng 1 3 . Câu 17: Cho hình chóp . S ABC có 30 ASB BSC CSA        và SA SB SC a    . Mặt phẳng   P qua A cắt hai cạnh , SB SC lần lượt tại , B C   sao cho chu vi tam giác AB C   nhỏ nhất. Gọi 1 2 , V V lầ lượt là thể tích các khối chóp . , . S AB C S ABC   . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 3 2 2 V V   . B. 1 2 3 1 V V   . C. 1 2 4 2 3 V V   . D. 1 2 2 1 V V   . Lời giải Chọn C Đặt 1 2 , . . V SB SC SB SC x y x y SB SC V SB SC          . Khi đó:     2 2 2 2 2 2 2 2. . .cos 2. . .cos30 1 3 AB SA SB SA SB ASB a ax a ax a x x               . 2 1 3 AB a x x      Tương tự: 2 1 3 AC a y y     , 2 2 3 B C a x xy y      S A C B C' B' S B D O G M N E F ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có: 2 2 2 2 2 1 3 1 3 3 p AB AC B C a x x y y x xy y                       2 2 2 2 2 3 1 3 1 1 3 2 2 2 2 a y y x x x x                                              2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 3 ( 1 1 3 ) 2 2 2 2 a x x a x x a x x x x                            . 2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x x a a                                                                  . Dấu bằng xảy ra khi:   2 1 2 3 2 , 3 1 3 1 3 1 4 2 3 3 2 y x V x x x y V y               . Câu 18: Cho khối chóp . S ABC có SA SB SC a     60 ASB   ,  90 BSC   ,  120 ASC   . Gọi , M N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho CN AM SC AB  . Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp . S AMN . A. 3 2 72 a . B. 3 5 2 72 a . C. 3 5 2 432 a . D. 3 2 432 a . Lời giải Chọn C Ta có thể tích khối chóp . S ABC à 2 2 3 3 0 1 1 2 1 6 2 2 12 a a V                  . Đặt   0 1 CN AM m m SC AB     , ta có , , SA a SB b SC c                 , a b c a       , 2 2 . , . 0, . 2 2 a a a b b c a c           . Theo đẳng thức trên ta có đẳng thức vectơ     1 , . SN m c SM SA AM a mAB a m b a                                   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay         1 1 1 MN SN SM m c a m b a m a mb m c                                      . Do đó         2 2 2 2 2 1 1 11 3 5 3 12 MN m a mb m c a m m a             . Dấu bằng xảy ra tại   . 0 3 3 0 5 . . . 6 5 1 2 5 2 1 . . 6 6 12 432 S AMC SN SN AM m V V V SC SC AB a a m m V         . Câu 19: (Sở Bắc Ninh) Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt các cạnh , SB SC lần lượt tại , M N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số . . S AMN S ABC V V là? A. 4 9 . B. 3 8 . C. 1 3 . D. 1 2 . Lời giải Chọn A Gọi , , E F G lần lượt là trung điểm , , BC SA EF suy ra G là trọng tâm tứ diện SABC . Điểm I là giao điểm của AG và SE . Qua I dựng đường thẳng cắt các cạnh , SB SC lần lượt tại , M N . Suy ra   AMN là mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu bài toán. Kẻ   // ,  GK SE K SA suy ra K là trung điểm FS . 3 4    KG AK SI AS . Mà 1 2 2 3    KG SI SE SE . b c a C A B S M N ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cách 1: Kẻ // , // BP MN CQ MN ;   ,  P Q SE . Ta có: ;   SM SI SN SI SB SP SC SQ .     BEP CEQ  E là trung điểm PQ 2    SP SQ SE (đúng cả trong trường hợp   P Q E ). Ta có:   2 2 2 . 2 2 . 4 . . 1. . 9 4               AM GM S AMN S ABC V SA SM SN SI SI SI SI SI V SA SB SC SP SQ SE SE SP SQ . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi   SP SQ SE . Hay //    P Q E MN BC . Vậy tỉ số nhỏ nhất là 4 9 . Cách 2: Ta chứng minh được 3   SB SC SM SN . Thật vậy, qua I kẻ các đường thẳng lần lượt song song , SB SC cắt , SC SB tương ứng tại , D L . Ta có: 3 3 . 3.               SB DB SB IQ NI SB NI IQ DI IQ SM NM SM NM IQ NI SM NM ,   1 . Lại có: 3 3 . 3.               SC LC SC IP MI SC MI IP LI IP MI IP SN MN SN MN SN MN ,   2 . Từ   1 và   2 ta có: 3 3           SB SC NI MI SM SN NM MN . Đặt ;   SB SC x y SM SN . Suy ra 3   x y . Ta có:   . 2 . 1 1 4 . . 9 4       AM GM S AMN S ABC V SA SM SN V SA SB SC xy x y . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi 3 // 2    x y MN BC . Vậy tỉ số nhỏ nhất là 4 9 . Cách 3: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Đặt  SB x SM ;  SC y SN , với 0  x , 0  y . Ta có 2 1 1 ( ) ( ) 3 3 3 3 3                                     x y SI SE SB SC xSM ySN SM SN . Do I , M , N thẳng hàng nên 1 3 3 3      x y x y . Ta có . 2 . 1 1 1 1 4 . . 9 ( ) 2       S AMN S ABC V SM SN x y V SB SC x y xy . Vậy . . S AMN S ABC V V đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 9 khi  x y , hay MN đi qua I và song song với BC . Câu 20: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi P là điểm trên cạnh SC sao cho 5 . SC SP  Một mặt phẳng ( )  qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và . N Gọi 1 V là thể tích của khối chóp . . S AMPN Tìm giá trị lớn nhất của 1 V V . A. 1 15 . B. 1 25 . C. 3 25 . D. 2 15 . Lời giải Chọn C Ta có 1 V V . . S AMPN S ABCD V V  . . . S APN S APM S ABCD V V V   . . . . 2 2 S APN S APM S ACD S ABC V V V V   1 . . 2 SP SN SP SM SC SD SC SB         1 10 SN SM SD SB         . Đặt SM a SB  , SN b SD  , 0 , 1 a b   . Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Trong mặt phẳng   SAC , AP SO I   . Xét tam giác SOC có . . 1 PS AC IO PC AO IS  2 IO IS   1 3 SI SO   . Xét tam giác SBD có . SMN SBD S SM SN S SB SD  . a b  . Mặt khác, SMN SMI SNI SBD SBD S S S S S   2 2 SMI SNI SBO SDO S S S S   1 . . 2 SM SI SN SI SB SO SD SO           1 6 a b   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vậy,   1 6 a b ab   , do 1 6 a  không thoả mãn hệ thức nên 6 1 a b a   , do 0 1 b   nên 0 1 6 1 a a    1 5 a   . Từ đó,   1 1 10 V a b V   1 10 6 1 a a a          với 1 1 5 a   . Xét hàm số   6 1 x y f x x x     với 1 ;1 5 x        .   2 1 1 6 1 y x     , 0 y      2 6 1 1 x     0 l 1 3 x x         . Ta có 1 6 5 5 f        , 1 2 3 3 f        ,   6 1 5 f  . Vậy     1 ;1 5 6 max 1 5 x f x f          . Từ đó, giá trị lớn nhất của 1 V V bằng 3 25 khi M trùng B hoặc N trùng D . Cách 2: * Đặt 1 SA a SA   ; SB b SM  ; 5 SC c SP   ; SD d SN  . * Ta có a c b d    1 5 6 b d d b        . *   . 2 . 1 5 6 3 1 . 4 4.1. .5. 6 5 6 S AMPN S ABCD V a b c d b b V abcd b b b b              . * Xét     2 3 1 . ; 1;5 5 6 f b b b b     (dob , 1 d  ).     2 2 3 2 6 . 5 6 b f b b b        ;   0 3 f b b     . Bảng biến thiên: b 1 3 5   f b   0    f b 3 25 3 25 1 15 Kết luận: Giá trị lớn nhất của 1 3 25 V V  . Câu 21: Khối tứ diện ABCD có 1 AB  và tất cả các cạnh còn lại có độ dài không vượt quá 1. Hỏi thể tích lớn nhất của khối tứ diện đó là? A. 3 8 . B. 1 8 . C. 1 24 . D. 3 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Tứ diện ABCD có 1 AB  , các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1. Đặt   , 0;1 CD a x   Gọi M là trung điểm của BC , K là hình chiếu của B lên CD và H là hinfhc hiếu của A trên   mp BCD . Khi đó ta có 1 1 . . . (1) 3 6 ABCD BCD V AH S x BK AH   Có 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 4 4 2 BC BD CD x BM BM x         Tương tự ta cũng có 2 1 4 2 AM x   Mà   2 2 1 1 4 (2), 4 3 2 2 BK BM BK x AH AM x        Từ (1), (2), (3) suy ra     2 1 4 ; 0;1 24 ABCD V x x x    Xét hàm số     2 1 4 , 0;1 24 f x x x x    là hàm đồng biến nên     1 1 1 8 8 ABCD f x f V     (Dấu bằng xẩy ra khi hai tam giác , ACD BCD là hai tam giác đều có cạnh bằng 1 và , H K trùng với M . Khi đó 3 1 2 AB   ) Chọn B Câu 22: Khối tứ diện ABCD có   1 AB x x   và có tất cả các cạnh còn lại có độ dài không vượt quá 1. Tính x khi thể tích của khối tứ diện đó lớn nhất. A. 2 3 3 x  . B. 6 2 x  . C. 3 2 2 x  . D. 2 6 3 x  . Lời giải Chọn B Tứ diện ABCD có 1 AB x   , các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1. Đặt   , 0;1 CD a y   Gọi M là trung điểm của BC , K là hình chiếu của B lên CD và H là hinfhc hiếu của A trên   mp BCD . Khi đó ta có 1 1 . . . (1) 3 6 ABCD BCD V AH S y BK AH   Có 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 4 4 2 BC BD CD y BM BM y         Tương tự ta cũng có 2 1 4 2 AM y   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Mà   2 2 1 1 4 (2), 4 3 2 2 BK BM BK y AH AM y        Từ (1), (2), (3) suy ra     2 1 4 ; 0;1 24 ABCD V y y y    Xét hàm số     2 1 4 , 0;1 24 f y y y y    là hàm đồng biến nên     1 1 1 8 8 ABCD f y f V     Dấu bằng xẩy ra khi hai tam giác , ACD BCD là hai tam giác đều có cạnh bằng 1 và , H K trùng với M . Khi đó 3 6 2 2 x AB    Câu 23: Cho tứ diện ABCD có 4 , AB a CD x   và tất cả các cạnh còn lại bằng 3 . a Tìm x để khối tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. A. 2 10 . x a  B. 10 . x a  C. 6 x a  . D. 3a . Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm , AB H là hình chiếu của C lên mặt  , ABD K là trung điểm . CD 2 2 2 2 9 4 5 . 2 AB DI BD a a a CI             2 2 2 2 2 2 20 5 . 2 4 2 CD x a x IK DI a             2 2 2 2 20 . . 20 2 . 5 2 5 a x x IK CD x a x CH ID a a      Thể tích khối tứ diện lớn nhất khi CH lớn nhất. 2 2 2 2 2 2 20 20 10 5. 2 x a x x a x a CD a        Đạt được khi 2 2 2 20 10. x a x x a     Câu 24: Cho khối tứ diện ABCD có AB x  , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 2 x  . Hỏi có bao nhiêu giá trị của x để khối tứ diện đã cho có thể tích bằng 2 12 . A. 1. B. 6 . C. 4 D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có   2 2 2 2 2 2 1 cos 1 ,cos 2 . 2(2 ) 2 CA CB CD x CA CB AB x ACB BCD CA CB x                 Vậy     2 2 2 3 2 2 2 2 (2 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 6 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x V x x                                                   . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   2 1 2 6 6 2 0, 275842 6 2 12 x x x x x x            . Câu 25: Xét khối tứ diện ABCD có AB x  và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. 6 x  . B. 14 x  . C. 3 2 x  . D. 3 3 x  . Lời giải Chọn D Gọi E là trung điểm của AB , ta có các tam giác , CAB DAB lần lượt cân tại , C D nên   , CE AB DE AB AB ECD     . Suy ra 1 . 3 ABCD CDE V AB S  Ta có 2 2 2 12 4 x CE DE AD AE      Gọi F là trung điểm của CD , ta có EF CD  và 2 2 2 2 12 12 9 4 4 4 x x FE DE DF        , Suy ra 2 1 . 3. 9 2 4 CDE x S FE CD    Khi đó 2 2 2 2 3 3 3 36 9 36 3 3 3 4 6 6 2 x x x V x x x               . Câu 26: Cho khối chóp . S ABC có SA a  , 2 SB a  , 3 SC a  . Thể tích lớn nhất của khối chóp là A. 3 6 a . B. 3 6 2 a . C. 3 6 3 a . D. 3 6 6 a . Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu của A lên 1 ( ) . 3 SBC SBC V AH S   . Ta có AH SA  ; dấu “=” xảy ra khi   AS SBC  . a a 2 a 3 A S B C H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  1 1 . .sin . 2 2 SBC S SB SC SBC SB SC   , dấu “=” xảy ra khi SB SC  . Khi đó, 1 1 1 1 . 3 3 2 6 SBC V AH S AS SB SC SA SB SC        . Dấu “=” xảy ra khi , , SA SB SC đôi một vuông góc với nhau. Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là 3 1 6 . . 6 6 a V SA SB SC   . Câu 27: Cho hình chóp . S ABC có 2 SA SB SC    , đáy ABC là tam giác vuông tại A , 1 AB  . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC . A. 5 8 . B. 5 4 . C. 2 3 . D. 4 3 . Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu của S lên   ABC . Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  . Hay H là trung điểm BC . Đặt AC x  . Khi đó 2 1 BC x   , 2 15 2 x SH   . Ta có:   2 2 2 1 1 1 15 . . . . . . . 3 6 6 2 15 1 5 . 12 2 8 ABC x V SH S SH AB AC x x x         . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 2 15 15 2 x x x     . Câu 28: Cho hình chóp . S ABC có 1 SA SB SC BA BC      . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC ? A. 1 6 . B. 2 12 . C. 1 8 . D. 3 12 . Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi H là hình chiếu của S lên   ABC . Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  . Vì ABC  cân tại B nên H thuộc đường trung trực BM của AC . Đặt AC x  . Ta có: 2 2 1 1 4 . . . . 1 2 2 4 4 ABC x x x S BM AC x      và 2 1 4 4 ABC abc R S x    . Mặt khác chiều cao của khối chóp: 2 2 2 2 2 2 3 4 x SH SB BH SB R x        . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Thể tích khối chóp:   2 2 2 2 2 3 1 1 3 4 1 . . . . 3 3 4 4 12 8 ABC x x x x x V SH S x         . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 2 3 3 2 x x x     . Cách 2: Gọi , K I lần lượt là hình chiếu của C lên   SAB và SB . Thể tích khối chóp: 1 1 1 3 3 1 . . . . . . . 3 3 3 2 4 8 SAB SAB V CK S CI S    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hình chiếu của C lên   SAB trùng trung điểm SB . Câu 29: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hình chóp . S AB C D đều, có cạnh bên bằng 1. Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD bằng A. 4 27 . B. 1 6 . C. 4 3 27 . D. 3 12 . Lời giải Chọn C  Gọi O là giao điểm của AC và BD   SO ABCD   . 1 . . 3 S ABCD ABCD V SO S   . Đặt AB x    0 x  . 2 2 2 x BD x OD     . Tam giác SOD vuông tại O 2 2 2 2 2 1 2 2 x x SO SD OD          0; 2 x   (do 0) SO  Khi đó: 2 2 2 2 . 1 2 2 . . . 2 3 6 2 S ABCD x V x x x     .  Xét hàm số   2 2 . 2 f x x x   với   0; 2 x  .     2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 . 2 . 2 2 2 x x x x x x f x x x x x x x               . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay         3 0 2 3 0 3 4 0 3 2 3 3 x l f x x x x l x TM                     . Ta có bảng biến thiên Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD bằng 2 4 6 4 3 . 6 9 27  . Câu 30: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hình chóp . S ABCD có SA x  , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng 2. Giá trị của x để thể tích khối chóp đó lớn nhất là A. 2 2 . B. 2 . C. 7 . D. 6 . Lời giải Chọn D Vì 2 SB SC SD    nên hình chiếu H của S lên ABCD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Mà tứ giác ABCD có các cạnh bằng nhau nên tứ giác ABCD là hình thoi, do đó H AC  ; SBD  ; CBD  ; ABD  có các cạnh tương ứng bằng nhau nên SO AO CO   SAC   vuông tại S . 2 2 2 4 AC SA SC x      . SAC  vuông tại S , có đường cao SH nên 2 2 2 2 1 1 1 2 4 x SH SH SA SC x      . Lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 12 4 4 4 4 2 AC x x x OB OC BC OB BC OB              .     2 2 1 . 4 12 2 ABCD S AC OB x x     . Ta có 2 2 2 . 1 1 1 12 . . . . 12 . 2 3 3 3 2 S ABCD ABCD x x V SH S x x        . O C D A B S H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 12 6 6 x x x x       . Cách 2. Theo giả thiết ta có hai tam giác SBC , SCD là hai tam giác đều bằng nhau. Gọi M là trung điểm của SC suy ra   BM MC MC MBD DM MC        . Ta có . . . 2. 4. S ABCD S BCD C MBD V V V   . Ta lại có   . 1 1 1 1 . . . . .sin sin 3 3 2 2 C MBD MBD V MC S MB MD BMD BM D     ,   1, 3 MC MB MD    . Do đó để . S ABCD V lớn nhất  . C MBD V lớn nhất    sin 1 90 BMD BMD     . Xét D MB  vuông tại M , khi đó 2 2 2. D D 6 x SA MO B M MB       . Câu 31: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết SA x  với   0 2 3 x   và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 2. Tìm x để thể tích của khối chóp . S ABCD đạt giá trị lớn nhất? A. 2 . B. 2 2 . C. 6 2 . D. 6 . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình thoi ABCD và H là hình chiếu vuông góc của S lên AC Ta có 1 ( ) SO OA OC 2 ABD CBD SBD c c c AC            Mà SO là trung tuyến của SAC  nên SAC  vuông tại S . M O B D A C S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Lại có ( ) ( ) ( ), (1) BD AC BD SAC ABCD SAC BD SO          Và ( ) ( ) SAC ABCD AC   ; , (2) SH AC  . Từ (1) và (2) ta có ( ) SH ABCD  . Trong SAC  vuông tại S có 2 2 2 2 1 1 1 2 4 ; 4 4 x AC x SH SH x x        . Trong OAB  vuông tại O có 2 2 2 3 2 4 AC x OB AB           . Thể tích hình chóp là . 1 1 1 . . . .2. . . . 3 3 3 S ABCD ABCD ABC V SH S SH S SH AC OB     2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 12 . . 4. 3 (12 ) . 2 3 4 3 3 2 4 x x x x x x x x           . . S ABCD V lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi 2 2 12 6 x x x     . Câu 32: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Một mặt phẳng không qua S và cắt các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q thỏa mãn 2 SA SM         , 3 SC SP         . Tính tỉ số SB SN khi biểu thức 2 2 4 SB SD T SN SQ               đạt giá trị nhỏ nhất. A. 11 2 SB SN  . B. 5 SB SN  . C. 4 SB SN  . D. 9 2 SB SN  . Lời giải Chọn C Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD , gọi I MP AC   . Lấy điểm N SB  , NI SD Q   . Do đáy ABCD là hình bình hành nên ta chứng minh được hệ thức sau: SA SC SB SD SM SP SQ SN    (1). Đặt SB x SQ  , SD y SN  với 0; 0 x y   . Theo bài ta được 2 3 5 x y     . Theo bài, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 4 T x y   với 0, 0 x y   và 5 x y   . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   2 2 2 2 2 2 1 1 5 1. .2 1 4 2 2 x y x y                          suy ra 2 2 4 20 x y   . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 4 4 1 1 2 5 1 5 x y x y x x y y x y                        . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 20 đạt được khi 4 x  , 1 y  hay 4 SB SN  . Câu 33: (Ba Đình Lần2) Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên là một số thực dương không đổi. Gọi  là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp và mặt đáy. Khi thể tích của kim tự tháp lớn nhất, tính sin  . A. 6 sin 3   . B. 3 sin 3   C. 5 sin 3   . D. 3 sin 2   . Lời giải Chọn B * Đặt SC a  với 0 a  . * ( ) ( ) SO ABCD SC ABCD C       suy ra  SCO   . * .cos ; .sin OC a SO a     . * 2 2 .cos ; 2.cos 2 AC AC OC a AB a       . * 2 2 2 2 .cos ABCD S AB a    . 3 2 3 2 . 1 2 2 . . .sin .cos .sin .(1 sin ) 3 3 3 S ABCD ABCD V SO S a a         * Xét hàm 2 (1 ) y t t   với sin 0 1 t t        * Lập bảng biến thiên ta tìm được 3 3 t  thì hàm số y đạt giá trị lớn nhất. Câu 34: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC AB AC a      và 2 BC x  (trong đó a là hằng số và x thay đổi thuộc khoảng 3 0; 2 a         ). Tính thể tích lớn nhất max V của hình chóp . S ABC ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 8 a . B. 3 2 4 a . C. 3 2 12 a . D. 3 6 a . Lời giải Chọn A Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ) ABC . Vì SA SB SC   nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tam giác ABC cân tại A . Gọi A  là trung điểm của BC . Khi đó AA  là đường trung trực của tam giác ABC nên điểm O nằm trên đường thẳng AA  . Ta có: 2 2 2 2 AA AB BA a x       nên 2 2 2 2 1 1 . 2 2 2 ABC S BC AA x a x x a x       . Lại có: . . 4 ABC AB AC BC S R  2 2 2 2 2 2 . . .2 4 4 . 2 ABC AB AC BC a x a OA R S x a x a x        . Trong tam giác vuông SAO , ta có: 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4( ) 2 ( ) a a a x SO SA AO a a x a x         . Thể tích 2 2 2 2 2 2 . 2 2 1 1 3 4 . . .2 3 4 3 3 2 12 S ABC ABC a a x a V SO S x a x x a x a x        . Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 4 3 4 3 2 3 4 2 2 x a x a x a x      . Do đó: 3 2 . 3 . 12 2 8 S ABC a a V a   . Vậy 3 8 max a V  khi 2 2 3 2 3 4 8 x a x x a     . Câu 35: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 1 6 V  , góc  45 ACB   và 3 2 AC AD BC    . Hỏi độ dài cạnh CD ? A. 2 3 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay         1 1 1 . . , . . . .sin 45 . , 3 3 2 ABC V S d D ABC CA CB d D ABC        1 1 . . . , 6 2 CA CB d D ABC  1 . . . 6 2 CA CB AD  (1) . Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương AD , BC , 2 AC , ta có 3 2 . . 3 2 AC BC AD AC BC AD                . Do đó, 3 1 1 2 . 6 3 6 AC BC AD V                 (2) . Mặt khác ta có V = 1 6 , do đó để thõa mãn yêu cầu bài toán thì từ (1) và (2), đẳng thức phải xảy ra, tức là ( ) 1 2 DA ABC AC BC AD          2 2 3 1 , 1, 2 CD AC DA CD BC AD AC              . Câu 36: (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng   ABC lấy điểm M sao cho AM x  . Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên , . AB MB Đường thẳng qua , E F cắt d tại N . Xác định x để thể tích khối tứ diện BCMN nhỏ nhất. A. 2 2 x  . B. 1 x  . C. 2 x  . D. 2 x  . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Do   MB FC MB EFC FB EF MB EC          . Xét các tam giác vuông: , , . NAE BFE BAM    Ta có . . 2 NA AE NAE BFE BAM AM AN AE BA BA AM           .     2 1 1 2 3 2 3 2 6 . . . . . . 3 3 4 3 3 BCMN ABC V S AM AN AM AN AM AN        Vậy 2 6 min 3 BCMN V  khi 2 AM AN   hay 2. x  Câu 37: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hình chóp . S ABC , trong đó ( ) SA ABC  , SC a  và đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh C . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABC . Khi thể tích khối chóp . S ABC đạt giá trị lớn nhất thì sin 2  bằng A. 3 3 . B. 3 2 . C. 2 3 5 . D. 2 2 3 . Lời giải Chọn D E A C M N B F ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Đặt AC BC x   , 2 2 SA a x   . Ta có thể tích khối chóp . S ABC là 2 2 2 2 4 6 1 1 1 1 . . . . 3 3 2 6 ABC V SA S a x x a x x       . Xét hàm số   2 4 6 f x a x x   với 0 x a   .   2 3 5 0 4 6 0 6 3 x f x a x x a x             . Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích khối chóp . S ABC đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 6 3 a x  . Khi đó 3 3 sin 3 a SA SC a     , 6 6 3 cos 3 a AC SC a     . Vậy 3 6 2 2 sin 2 2sin .cos 2. . 3 3 3       . Câu 38: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho hình chóp . S ABC có SA x  , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng a . Để thể tích khối chóp lớn nhất thì giá trị x bằng A. 6 2 a . B. 2 a . C. 3 2 a . D. a . Lời giải Chọn A Cách 1: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Đặt    0 0 ; 60 ; 60 . ABS ABC CBS         Ta có 3 2 2 2 2 . . . 1 1 1 cos cos cos 2cos cos cos cos cos 6 6 2 2 B SAC BA BC BS a V                 . B SAC V đạt GTLN khi 2 1 1 cos cos 2 2     đạt GTLN 1 cos 4    . Với 1 cos 4   ta được 2 2 6 2 . .cos . 2 a x BA BS BA BS      Cách 2: Gọi , E F lần lượt là trung điểm SA và BC . Vì BAS  và CAS  lần lượt cân tại B và C nên   BE SA SA BEC CE SA        Ta có 2 2 2 2 4 3 2 x BE CE a a x EF      Suy ra 2 2 1 3 . 2 4 BEC a a x S BC EF     . A S C B A C S B E F ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vậy   2 2 2 2 2 3 3 1 1 3 . . 3 3 4 12 2 8 SABC BEC x a x a a x a a V SA S x         Dấu " "  xảy ra khi 2 2 6 3 . 2 a x a x x     Câu 39: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , 2 SA AB a   . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy   ABC . Gọi , H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tìm thể tích lớn nhất max V của khối chóp . S AHK . A. 3 max 2 6 a V  . B. 3 max 3 6 a V  . C. 3 max 3 3 a V  . D. 3 max 2 3 a V  . Lời giải Chọn A Đặt AC x  2 2 2 2 4 BC AB AC a x      Ta có 1 . . . 6 SABC V SA BC AC  2 2 1 .2 . 4 6 a x a x   2 2 4 3 ax a x   Vì vậy . . . S AHK S ABC SH SK V V SB SC  2 2 2 2 1 4 . . 2 3 SA ax a x SC   3 2 2 3 2 2 2 4 2 . 3 4 6 a x a x a a x     3 max 2 6 a V   . Câu 40: Cho tam giác ABC vuông cân tại B , 2 AC  . Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng   ABC lấy điểm , M N khác phía với mặt phẳng   ABC sao cho . 1 AM AN  . Tìm thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện MNBC .? A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 12 . D. 2 3 . Lời giải Chọn D Tam giác ABC vuông cân tại B , 2 2 AC AB BC     . Ta có       1 1 1 1 . . . . 3 3 2 3 MNBC ABC V AM AN S AM AN AB BC AM AN       A B C S H K ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Sử dụng BĐT cauchy ta có 2 2 . 2 3 MNBC AM AN AM AN V      . Câu 41: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có 1 SA  . Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC là? A. 1 6 . B. 2 12 . C. 3 12 . D. 1 12 . Lời giải Chọn A Gọi O là tâm của tam giác đều ABC . Gọi   0 1 R OA x x     Ta tính được 2 2 1 SO SA R x     Cạnh của tam giác đều ABC là 0 2 0 2 1 3 3 2 sin 60 3 sin 60 2 4 ABC a R x S a x      Vậy   2 2 . 4 2 4 6 1 3 . 1 3 4 3 3 1 8 4 S ABC ABC V SO S x x x x x x        Cách 1: Dùng Cauchy: Có     2 2 2 4 2 4 2 3 . 1 1 1 4 1 1 1 3 1 1 2 2 4 27 6 S ABC x x x x x x x V            . Cách 2: Dùng hàm         4 6 3 5 3 0 1 4 6 ; 0 2 f x x x x f x x x f x x             . Dùng bảng biế thiên thì   f x đạt giá trị lớn nhất tại 3 2 x  khi đó   . 0 1 4 1 max 27 6 S ABC x f x V      Câu 42: Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng  , , . ABC SC a SCA     Xác định góc  để thể tích khối chóp SABC lớn nhất. A. 1 arcsin 3   B. 2 arcsin 7   C. 1 arcsin 5   D. 1 3arcsin 3   Lời giải   3 2 3 2 . os ; .sin 1 1 1 . . . . sin . os 3 6 6 1 sin 1 sin 6 SABC ABC BC AC a c SA a V S SA AC BC SA a c a               Xét hàm số:   3 f x x x   trên khoảng   0;1 . Ta có:     2 1 ' 1 3 , ' 0 . 3 f x x f x x       Từ đó ta thấy trên khoảng   0;1 hàm số   f x liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay     0;1 1 2 max 3 3 3 x f x f          hay 1 arcsin , 0 2 3              Chọn A Câu 43: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  45 MAN  . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là? A. 2 1 9  . B. 2 1 3  . C. 2 1 6  . D. 2 1 9  . Lời giải Chọn B Đặt DM x  , BN y  ta có         tan tan tan 45 tan 1 1 tan .tan DAM BAN x y DAM BAN xy DAM BAN          . Suy ra 1 1 x y x    . và 2 2 2 1 AM AD DM x     ,   2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 x x AN AB BN y x x                  . Vì vậy       2 1 1 1 2 1 . . . sin 45 2 1 3 6 6 1 3 AMN x V SA S SA AM AN f x f x            . Câu 44: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  60 MAN   . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là A. 2 3 3  . B. 2 3 9  . C. 2 3 3 3  . D. 2 3 3 9  . Lời giải Chọn C Đặt , DM x BN y   . Ta có:         tan tan tan 60 tan 1 1 tan .tan DAM BAN x y DAM BAN xy DAM BAN          1 3 3 x y x     . 2 2 2 1 AM AD DM x     , 2 2 2 2 1 3 1 1 3 x AN AB BN y x                 . Vì vậy     2 . 3 1 1 1 . . . . . .sin 60 3 6 6 3 S AMN AMN x V SA S SA AM SN x        . Ta có         2 3 1 2 3 3 2 3 3 6 3 x f x f x        . Câu 45: Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc, I là tâm nội tiếp tam giác ABC . Mặt phẳng   P thay đổi qua I , cắt các tia SA , SB , SC lần lượt tại , , A B C    . Biết 2 SA SB   , 7 SC  . Hỏi thể tích của khối chóp . S A B C    có giá trị nhỏ nhất là? A. 243 7 256 . B. 7 3 . C. 81 7 256 . D. 27 7 256 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay · Ta có . . . . . S A B C S ABC SA SB SC V V SA SB SC        · Ta có 2, 7 SA SB SC    . 1 1 . . 7 6 3 S ACB V SA SB SC    · Từ 2, 7 2, 3 SA SB SC AB BC AC        · Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên: . . . 0 BC IA CA IB AB IC                    . . 0 BC SA SI CA SB SI AB SC SI                            BC CA AB SI SA SB SC AB BC CA AB BC CA AB BC CA                        . . . . BC SA CA SB AB SC SA SB SC AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC                            . · Do bốn điểm , , , A B C I    đồng phẳng nên . . . 1 BC SA CA SB AB SC AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC             · Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 . . . BC SA CA SB AB SC AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC               3 3 . . 3 . . . AB BC CA SA SB SC SA SB SC AB BC CA           3 3 3 . . 27. . . 1 3 . . . . . AB BC CA SA SB SC SA SB SC AB BC CA SA SB SC SA SB SC AB BC CA AB BC CA               ·     . . . 3 3 27. . . 27.2.3.3 1 81 7 . . . 7 3 256 2 3 3 S A B C S ABC S ABC SA SB SC AB BC CA V V V SA SB SC AB BC CA               Dấu bằng xảy ra . . . 1 . . . BC SA CA SB AB SC AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC BC SA CA SB AB SC AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC                                8 9 2 9 8 4 3 7 3 4 SB SA SA SB SB SA SC SC SC                             . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 46: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1,   SO ABCD  và 1 SC  . Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD là? A. 2 3 9 B. 2 3 3 . C. 2 3 27 . D. 4 3 27 . Lời giải Chọn D Đặt OC x   2 2 2 1 OB BC OC x      2 4 2 1 ABCD OBC S S x x    và 2 2 2 1 SO SC OC x     vì vậy   2 1 2 1 . 3 3 ABCD x x V S SO    =     2 2 2 2 2 1 1 3 x x x   3 2 2 2 2 2 1 1 4 3 3 3 27 x x x             . Dấu bằng xảy ra khi 2 2 2 1 x x   1 3 x   . Câu 47: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  45 MAN  . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là? A. 2 1 9  . B. 2 1 3  . C. 2 1 6  . D. 2 1 9  . Lời giải Chọn B Đặt DM x  , BN y  ta có         tan tan tan 45 tan 1 1 tan .tan DAM BAN x y DAM BAN xy DAM BAN          . Suy ra 1 1 x y x    . và 2 2 2 1 AM AD DM x     ,   2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 x x AN AB BN y x x                  . Vì vậy       2 1 1 1 2 1 . . . sin 45 2 1 3 6 6 1 3 AMN x V SA S SA AM AN f x f x            . Câu 48: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  30 MAN   . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là? A. 1 9 . B. 1 3 . C. 2 27 . D. 4 27 . Lời giải Chọn A Đặt , DM x BN y   . Ta có:         tan tan tan 30 tan 1 1 tan .tan DAM BAN x y DAM BAN xy DAM BAN          3 1 3 x y x     . 2 2 2 1 AM AD DM x     , 2 2 2 2 3 1 1 1 3 x AN AB BN y x                 . Vì vậy   2 . 1 1 1 . . . . . .sin 30 3 6 6 3 1 S AMN AMN x V SA S SA AM SN x        . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có     2 1 1 1 9 3 6 3 1 x f x f x            . Câu 49: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1 AB  , cạnh bên 1 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho  60 MAN   . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S AMN là A. 2 3 3  . B. 2 3 9  . C. 2 3 3 3  . D. 2 3 3 9  . Lời giải Chọn C Đặt , DM x BN y   . Ta có:         tan tan tan 60 tan 1 1 tan .tan DAM BAN x y DAM BAN xy DAM BAN          1 3 3 x y x     . 2 2 2 1 AM AD DM x     , 2 2 2 2 1 3 1 1 3 x AN AB BN y x                 . Vì vậy     2 . 3 1 1 1 . . . . . .sin 60 3 6 6 3 S AMN AMN x V SA S SA AM SN x        . Ta có         2 3 1 2 3 3 2 3 3 6 3 x f x f x        . Câu 50: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với 4 AD a  . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 6 a . Tìm thể tích max V của khối chóp . S ABCD . A. 3 max 8 3 a V  . B. 3 max 4 6 3 a V  . C. 3 max 8 V a  . D. 3 max 4 6 V a  . Lời giải Chọn A Do 6 SA SB SC SD a     nên hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng   ABCD trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do vậy ABCD là một hình chữ nhật và H là giao điểm của AC và BD . Đặt 0 AB x   ta có: 2 2 2 2 16 AC AD AB x a     , 2 2 2 2 1 8 4 2 AC SH SA a x     . Vì vậy 2 2 1 2 8 . . . . 3 3 ax a x S ABCD SO AB AD    . Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 2 2 3 3 2 2 2 max 8 8 8 8 4 2 3 3 x a x a a x a x a V V          . Câu 51: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và thể tích bằng V . Gọi , M N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB và AD sao cho 2 4 AB AD AM AN   . Gọi ' V là thể tích khối chóp . S MBCDN . Tìm giá trị nhỏ nhất của ' V . A. 1 4 V . B. 2 3 V . C. 3 4 V . D. 1 3 V . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Lời giải Chọn B Ta có 1 ' 1 . . 2 AM AN V V AB AD         1 2 xy V         Trong đó , 0< , <1 1 2 4 AM AN x y x y AB AD x y            2 1 1 4 1 4 x y x x            Vì vậy 2 2 ' 1 4 1 3 x V V V x           min 2 ' 3 V V   . Câu 52: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm ', ' A C thỏa mãn 1 ' 3 SA SA         , 1 ' 5 SC SC          . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng ' ' A C cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại ', ' B D và đặt . ' ' ' ' . S A B C D S ABCD V k V  . Giá trị nhỏ nhất của k là? A. 1 60 . B. 1 30 . C. 3 4 V . D. 15 16 . Lời giải Chọn A Đặt . S ABCD V V  , ta có ' ' SB SD SB SD   ' ' SA SC SA SC  3 5 8    Mặt khác . ' ' ' ' ' ' 1 . . 1 15 2 S A B C V SA SB SC x SA SB SC V   . ' ' ' 1 30 S A B C V xV   . ' ' ' . ' ' ' ' ' ' 1 1 . . 1 15 30 2 S A C D S A C D V SA SD SC y V yV SA SD SC V     . ' ' ' 1 30 S A B C V xV   Do đó   . ' ' ' ' . 1 30 S A B C D S ABCD V k x y V    , trong đó ' SB x SB  , ' SD y SD  Và   1 1 4 x y x y          4 1 8 2 x y     1 60 k   . Câu 53: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng   SAB bằng 0 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM. Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp SABH đạt giá trị lớn nhất bằng: A D B C S M N A D B C S A' B' C' D' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 2 3 a B. 3 2 2 a C. 3 2 6 a D. 3 2 12 a Lời giải Ta có góc giữa SC và mặt phẳng   SAB là  0 30 CSB  Trong tam giác SBC có 0 .cot 30 3 SB BC a   Trong tam giác SAB có 2 2 2 SA SB AB a    Thể tích khối chóp . S ABH là: . 1 1 1 2 . . . 2 . 3 3 2 6 S ABH ABH a V S SA HA HB a HA HB    Ta có 2 2 2 2 HA HB AB a    và theo bất đẳng thức AM GM  ta có: 2 2 2 2 2 . . 2 a a HA HB HA HB HA HB      Đẳng thức xảy ra khi  0 45 HA HB ABM M D      Khi đó 2 3 . 2 2 2 . . 6 6 2 12 S ABH a a a a V HA HB    Chọn D Câu 54: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có 2 SA SB SC a    . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD . A. 3 2 6 3 a . B. 3 32 3 9 a . C. 3 4 6 9 a . D. 3 32 3 27 a . Lời giải Chọn D Ta có: SA SB SC SD    ABCD  nội tiếp đường tròn bán kính R . Ta có: 2 2 2 2 4 h cb R a R     và           2 2 sin 2 sin sin , . sin , 2 2 2 R ABC R BAD AC DB AC BD AC BD S R    2 2 2 3 (0;2 ) 2 4 2 6 32 3 ( ) ( ) 3 3 3 27 a Sh R a R a a V f R max f R f                Câu 55: Khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA SB SC a    , Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABCD là: A. 3 8 a . B. 3 4 a . C. 3 3 8 a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC x  . Gọi O AC BD   . Vì SA SB SC   nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . H BO   . Ta có 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 x a x a x OB a             2 2 2 2 1 1 4 4 . . 2 2 2 4 ABC a x x a x S OB AC x      2 2 2 2 2 2 . . 4 4 4 4. 4 ABC a a x a x a HB R S x a x a x       . 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 a a a x SH SB BH a a x a x         2 2 2 2 . . 2 2 1 2 3 4 2 2. . . . 3 3 4 4 S ABCD S ABC ABC a a x x a x V V SH S a x         2 2 2 3 2 2 1 1 3 . 3 3 3 2 2 x a x a a x a x a             Câ a 54: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng   SAB bằng 0 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng . BM Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp . S ABH đạt giá trị lớn nhất bằng: A. 3 2 6 a . B. 3 2 3 a . C. 3 2 2 a . D. 3 2 12 a . Lời giải Chọn D Góc giữa SC và   SBC là   0 30 CSB CSB   Ta có  2 2 tan 3; 2 BC CSB SB a SA SB AB a SB       Đặt   , 0 , CM x x a DM a x       x a O A S D C B H C D B A S M H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có   BM SH BM SAH BM AH BM SA          Ta có   2 1 1 1 1 . , . . ; 2 2 2 2 2 BMC ADM ABM ABCD AMC ADM a S BC CM ax S AD DM a a x S S S S          Ta có 2 2 2 1 . 2 ABM a S AH BM AH a x     ; 2 2 2 2 ax BH AB AH a x     Thể tích của khối chóp . S ABH là 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 . . . 2. . . 3 3 2 6 6 ABH a ax x V SA S SA BH AH a a a x a x a x        (*) Xét hàm số     2 2 , 0; x f x x a a x    Ta có       2 2 2 2 2 ; 0 a x f x f x x a a x         Trên đoạn   0;a ta có     0, 0; f x x a     Vậy giá trị lớn nhất của V tại x a  3 2 12 mzx V a   Cách 2: Từ (*) 3 4 4 2 2 2 2 1 2 . . 6 6 2 12 x a V a a a x a     . Dấu  khi: x a  . Cách 3: Dễ thấy H nhìn AB dưới góc vuông nên . S ABH V lớn nhất khi ABH S lớn nhất khi và chỉ khi H O  (tâm của hình vuông ) x a   . Từ đó có kết quả. Câu 56: Cho hai đường thẳng , Ax By chéo nhau và vuông góc nhau, có AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó và AB a  . Hai điểm M và N lần lượt di động trên Ax và By sao cho MN b  . Xác định độ dài đoạn thẳng AM theo a và b sao cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất. A. 2 2 3 b a AM   . B. 2 2 2 b a AM   . C. 2 2 2 b a AM   . D. 2 2 3 b a AM   . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Dựng hình hộp chữ nhật . AMEF BQPN sao cho , M Ax N By   . Khi đó MN là đường chéo của hình hộp và 0 b a   . Đặt 0 AM m   . Có tam giác ABM vuông tại A suy ra 2 2 2 2 2 BM AM AB m a     . Lại có tam giác BMN vuông tại B nên 2 2 2 2 2 BN MN BM b m a      . Ta có: 2 2 2 . 1 . . . 6 ABMN M ABN V V a m b m a     . Đặt   2 2 2 f m m b m a    ,  2 2 0; m b a     . Có:   2 2 2 2 2 2 2 ' b a m f m b m a        2 2 ' 0 2 b a f m m      . Bảng biến thiên: Vậy ta có:    2 2 2 2 0; 2 b a b a max f x       khi 2 2 2 b a m   .   2 2 12 ABMN a b a maxV    khi 2 2 2 b a m   hay 2 2 2 b a AM   . Nhận xét: Ta có thể đánh giá max V bằng cách sử dụng bất đẳng thức sau: 2 2 2 x y xy   . Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 1 . . . . 6 6 2 ABMN m b m a a V a m b m a          2 2 12 ABMN a b a V    .   2 2 2 2 2 2 2 max 12 2 ABMN a b a b a V m b m a m           hay 2 2 2 b a AM   . Câu 57: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho x là các số thực dương. Xét các hình chóp S.ABC có cạnh SA x  , các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp S.ABC có giá trị lớn nhất, giá trị của x bằng. A. 6 2 . B. 3 2 . C. 3 4 . D. 1. Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, SA . H là hình chiếu vuông góc của S lên AM . Ta có:       BC AM BC SAM ABC SAM BC SM          .. Mà       SH AM; AM SAM ABC SH ABC      Do SBC; ABC   là hai tam giác đều cạnh bằng 1 nên 3 SM AM 2   . Tam giác SMN vuông tại N có 2 2 3 x 1 MN 3 x 4 4 2     ; ABC 3 S 4  . 2 . 3 3 MN SA x x SH AM    2 2 2 2 S.ABC ABC 1 1 x 3 x 3 1 1 x 3 x 1 V .SH.S . . .x 3 x . 3 3 4 12 12 2 8 3          . Dấu " "  xảy ra khi 2 6 x 3 x x 2     . Câu 58: (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích khối chóp . S AMPN . Giá trị lớn nhất của 1 V V thuộc khoảng nào sau đây ? A. 1 0; 5       . B. 1 1 ; 5 3       . C. 1 1 ; 3 2       . D. 1 ;1 2       . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi O AC BD   , G AP SO   , suy ra G là trọng tâm tam giác SAC . Gọi   P là mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Dễ thấy:             P SBD MN P SAC AP SBD SAC SO             MN , AP, SO đồng quy hay M , N , G thẳng hàng. Đặt: SM x SD    0 1 x   và SN y SB    0 1 y   .   . . 1 . . 1 1 1 . . . . 2 2 4 S AMP S ANP S ADC S ABP V V V SA SM SP SA SN SP x y V V V SA SD SC SA SB SC                    . Từ tỷ lệ: 1 1 1 . . . 2 2 3 SMN SMG SNG SBD SDO SBO S S S SM SN SM SG SN SG SM SN S S S SD SB SD SO SB SO SD SB                                .    1 3 xy x y   . Lại có:       1 1 0 1 0 x y xy x y         . Từ đó suy ra:   2 1 0 3 x y     hay 3 2 x y   . Vậy 1 V V lớn nhất bằng 3 8 . Câu 59: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho tứ diện ABCD có AB x  , CD y  , tất cả các cạnh còn lại bằng 2 . Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn nhất tính xy . A. 2 3 . B. 4 3 . C. 16 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn C Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AB CD . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Tam giác , ADB CAB là hai tam giác cân cạnh đáy AB nên DM AB  và CM AB  . Suy ra   AB MCD  . . . 1 1 . . . . 3 3 ABCD B MCD A MCD MCD MCD V V V BM S AM S     . 3 MCD x S  . Tam giác   . . ABC ABD c c c    nên CM DM  MN CD   .   2 2 2 2 2 1 1 1 . . . . 2 2 2 MCD S CD MN y MC CN y BC BM CN       2 2 1 4 2 4 4 x y y      2 2 1 16 4 y x y    .     2 2 1 16 16 2 . . 16 2 12 12 12 ABCD xy xy V x y xy xy xy xy          3 3 16 2 1 1 16 12 3 12 3 xy xy xy                  . Dấu bằng xảy ra khi 16 16 2 3 x y x y xy xy xy               . Vậy thể tích ABCD đạt giá trị lớn nhất khi 16 3 xy  . Câu 60: ( Sở Phú Thọ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy . ABCD . là hình vuông cạnh bằng 2, 2 SA  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD   AN AM  sao cho mặt phẳng   SMC vuông góc với mặt phẳng  . SNC Khi thể tích khối chóp . S AMCN đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của 2 2 1 16 AN AM  bằng: A. 17 . 4 B. 5. C. 5 . 4 D. 2. Lời giải Chọn B Đặt   , 0 2 AM x AN y y x      Chọn hệ trục tọa độ O xyz tương ứng như hình vẽ. Ta có:   0;0;0 A ,   0;0;2 S ,   ;0;0 M x ,   0; ;0 N y   2;2;0 C . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta có:   ;0; 2 SM x       ,   2;2; 2 SC       ,   0; y; 2 SN       .     , 4;2 4;2 SMC n SM SC x x                 . Lại có     , 2 4; 4; 2 SNC n SN SC y y                    Do     SMC SNC  nên     . 0 SMC SNC n n            4. 2 4 2 4 . 4 2 . 2 0 y x x y          .   12 2 2 8 0 2 1 2 2 3 2 x y xy x y y               Ta có   . 1 1 . . . . 3 3 S AMNC AMNC AMN CMN V S SA S S SA    . Mà 2 SA  , 1 . , 2 2 AMN x y S AM AN                ,   2 . 1 , 2 2 CMN x y x y S CM CN                  . Suy ra     . 2 1 2 .2 3 2 2 3 S AMNC x y xy xy V x y             . Để . S AMNC V đạt giá trị lớn nhất thì   x y  đạt giá trị lớn nhất. Xét 12 2 2 P x y y y       2 2 2 4 12 8 2 2 y y y y y P y y            .           2 2 2 2 1 8 2 y y y y P y y             2 2 2 2 4 2 8 2 y y y y y P y y               2 2 4 6 2 y y P y y       .   2 2 10 0 4 6 0 2 10 y P y y y y                   . So điều kiện ta nhận 2 10 2 2 10. y x            1; 2 2 3 2 1 11 1 x Max P y P y              (thỏa yêu cầu đề bài). Vậy 2 2 1 16 5. y x   Câu 61: (Sở Phú Thọ) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất, giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B . S ABCD ABCD 2 2 SA  SA M N AB ( ) AD AN AM    SMC   SNC . S AMCN 2 2 1 16 AN AM  17 4 5 5 4 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , . Suy ra . Đặt , , , suy ra , . , , . , . Do nên . , do nên . . Do đó . Xét với , . ; . Lập BBT ta suy ra . Vậy . Cách 2: Đặt , , . Gọi ; ; . là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó: . Ta có: . Do đó góc giữa và bằng góc giữa và . Suy ra . Oxyz   0;0;0 A   2;0;0 B   0;2;0 D   0;0;2 S   2;2;0 C AM x  AN y    , 0;2 x y  ; x y    ;0;0 M x   0; ;0 N y   ;0; 2 SM x         2;2; 2 SC         0; ; 2 SN y         1 , 4;2 4;2 n SM SC x x                     2 , 4 2 ; 4; 2 n SN SC y y                         SMC SNC      1 2 . 0 4 4 4 4 2 4 4 0 n n y x xy               2 8 xy x y     8 2 2 x y x     2 y  8 2 2 1 2 x x x          4 2 2 AMCN ABCD BMC DNC S S S S x y x y             . 1 2 . 3 3 S AMCD AMCN V SA S x y    2 8 2 3 2 x x x           2 2 8 3 2 x x      2 2 8 3 2 x f x x      1;2 x      2 2 2 4 8 3 2 x x f x x        2 0 4 8 0 f x x x       2 2 3 x     2 2 3 x            1;2 max 1 2 2 f x f f    . 1 2 max 2 2 1 S AMCN x y V x y                    2 ( ) 1 x do x y y        2 2 16 1 AM AN   2 2 16 1 5 x y    AM x  AN y    , 0;2 x y  x y  O AC DB   E BD CM   F BD CN   H O SC 2 3 HO    SC OH SC HE SC HBD SC BD SC HF                SCM   SCN HE HF HE HF  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Mặt khác . Tính , : Ta có: , và nếu , thì gọi là trung điểm của , khi đó: . Tương tự: . Mà . Nếu hoặc thì ta cũng có . Tóm lại: . Suy ra: . Khảo sát hàm số ta được : . Cách 3. Đặt Dựng . Ta có . Tương tự . Trong mặt phẳng dựng . Mặt phẳng cắt tại . Dựa vào điều kiện bài toán dễ dàng chứng minh được tứ giác là hình chữ nhật và . Ta có . và . Do hình chữ nhật nên Do nên . Do . Ta có: . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .   . 1 2 . 3 3 S AMCN AMCN V SA S x y    OE OF 0 x  0 y  2 x  2 y  K AM 2 4 2 4 2 4 4 OE KM x OE EB OB x OE EB MB x x x x x            2 4 y OF y       2 . 2 2 12 OE OF OH x y      2 x  2 y      2 . 2 2 12 OE OF OH x y          2 2 12 x y            . 1 2 2 2 12 . 2 2 4 2 4 3 3 3 3 2 S AMCN AMCN V SA S x y x y x x                        . 1 2 max 2 2 1 S AMCN x y V x y                    2 ( ) 1 x do x y y        2 2 16 1 AM AN   2 2 16 1 5 x y    , (0 2) AM m AN n n m      , ( , ) AP CM AQ CN P CM Q CN     2 2 4 (2 ) AP AM m AP BC CM m      2 2 4 (2 ) n AQ n    ( ) SAP ( ), (V ) AL SP L SP AV SQ SQ     ( ) ALV SC H ALHV AH SC  2 2 2 1 1 1 3 8 AH SA AC    2 8 3 AH   2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 m m AL SA SP m      2 2 2 2 2 4 m AL m m     2 2 2 2 2 4 n AV n n    2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 ( 4)( 2( ) 8) 0 2 4 2 4 3 n m AV AL AH mn m n mn m n n n m m                  4 2 2 0 mn m n mm m n          2( ) 8 mn m n    0 2 ( 2)( 2) 0 2( ) 4 0 12 4( ) 0 3 n m m n mn m n m n m n                    D 1 1 4 .2.(2 ) .2.(2 ) 2 2 ANCM ABC BMC DNC S S S S m n m n           1 2 . ( ) 2 3 3 SAMCN AMCN V SA S m n     2, 1 m n   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Khi đó . Bài tập tương tự: Câu 62: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Gọi , là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh , sao cho luôn vuông góc với mặt phẳng . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện . Tính . A. . B. . C. D. Câu 63: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a , trọng tâm G .  là đường thẳng qua G và vuông góc với   BCD . A chạy trên  sao cho mặt cầu ngoại tiếp ABCD có thể tích nhỏ nhất. Khi đó thể tích của khối ABCD là A. 3 3 12 a . B. 3 12 a . C. 3 2 12 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm AD , O là giao điểm của mặt phẳng trung trực AD với AG , khi đó O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . ABCD Gọi ; 0 AD x x   . Từ đó ta tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 1 1 3 2 2 2 3 3 3 AD x x x R OA AG x DG a a a x x x x                 . Thể tích khối cầu nhỏ nhất khi R nhỏ nhất hay 2 2 4 1 1 . 3 a y x x   lớn nhất. Đặt 2 1 , 0 t t x   . 2 2 . 3 a y t t     . Đây là tam thức bậc hai đạt giá trị lớn nhất khi 2 2 1 3 2 2. 3 t a a           . 6 3 a x   hay 2 2 2 3 3 3 a a a AG    . Lúc đó thể tích ABCD bằng 2 3 1 1 3 . . . 3 3 4 12 3 BCD a a a V AG S     . Chú thích: 2 2 1 16 5 AN AM   ABCD 1 M N BC BD   AMN   BCD 1 V 2 V ABMN 1 2 V V  17 2 216 17 2 72 17 2 144 2 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Đề gốc không cho a là độ dài cạnh nào, nhưng với đáp án B nên dự đoán thêm đề vào a là độ dài cạnh tam giác đều BCD . Do lúc đầu nhầm tưởng tích thể tích khối cầu ABCD nhỏ nhất nên đặt AD x  , bạn đọc có thể đặt AG x  để việc tính toán thuận tiện và nhanh hơn. Câu 64: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , SA SB SC a    . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD lớn nhất bằng A. 3 3 4 a . B. 3 2 a . C. 3 4 a D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn B Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp của . ABC  Mà SA SB SC   nên   SH ABCD  . Đặt   0 2 . OC x a x AC x      COB  vuông tại O  2 2 2 2 2 2 2 . BO BC OC a x BD a x        Ta có: . . . 4 ABC AB AC BC S BH  Suy ra 1 . , . . 2 4 AB BC AC BO AC BH  2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 a a a x BH BH a x       SHB  vuông tại H    4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 . 4 2 a a a x SH SB BH a a x a x         Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 4 1 1 1 . 4 3 4 (3 ). 3 3 2 3 3 2 SABCD ABCD a a x V SH S x a x ax a x a x a x a x                Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:         3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 SABCD a x a x x a x a x a x a x a x a V             Dấu '' ''  xảy ra 2 2 2 3 6 3 . 2 2 a a x a x x x        Vậy thể tích khối chóp . S ABCD lớn nhất bằng 3 2 a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 65: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Biết rằng   0 90 ASB ASD   , mặt phẳng chứa AB và vuông góc với   ABCD cắt SD tại N . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện DABN . A. 3 2 3 a . B. 3 2 3 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 4 3 3 a . Lời giải Chọn A Dựng mặt phẳng chứa AB và vuông góc với   ABCD . Ta có     0 90 ASB ASD SAB SAD ch cgv        SB SD SO BD     Mà   AC BD BD SAC    Trong   SAC hạ ( ) SH AC SH ABCD    . Khi đó trong   SAC qua A kẻ đường thẳng song song với SH và cắt SC tại K Vậy mặt phẳng cần dựng là   KAB Dựng giao điểm N của   KAB và SD Qua K kẻ đường thẳng song song với / / CD AB và cắt SD tại N *) Tính . D ABN V Ta có       . AD 1 1 . 2 . 3 3 ( ) D ABN ABN ABN AK AK ABCD AD ABN V AD S a S AD AB gt              Lại có 2 . 1 2 . . . 2 3 ABN D ABN a S AB AK a AK V AK     Vậy . D ABN V max AK  max Đặt SA x  ta có 2 2 4 SB SD a x    Lại có trong hình vuông ABCD thì 2 2 2 AC BD a OA OB OC OD a        Xét SOB  vuông tại O ta có 2 2 2 SO a x   Xét SAO  có 2 2 2 , , 2 SO a x SA x OA a     nên SAO  vuông tại S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Áp dụng hệ thức lượng trong SAO  vuông tại S , SH là đường cao ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x a x SH a SO a x OH OA a             Khi đó 2 2 4 2 a x CH OH OC a     Xét KAC  có / / SH AK nên theo định lý Talet ta có 2 2 2 2 2 2 . . 2 . 4 AK AC AC a x a x AK SH SH CH CH a x       Cách 1: Tìm AK max, coi 1 a  , sử dụng Casio, mode 7 2 2 2 2 . 2 ( ) 4 ?0 ? 2 x x f x x start end    Ta thấy ( ) max 1 max f x AK a    Khi đó 3 2 max 3 a V  . Vậy chọn đáp án A. Cách 2: Coi 1 a  , xét hàm số   2 2 2 2 2 2 . 2 8 6 ( ) '( ) 4 2 4 x x x f x f x x x x         trên   0; 2 Xét 2 '( ) 0 3 f x x    Bảng biến thiên Vậy 2 2 ( ) max max 2 2. 4 4 f x AK a a     Khi đó 3 2 max 3 a V  . Câu 66: (Sở Điện Biên) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi , M N là hai điểm nằm trên hai cạnh , SC SD sao cho 1 2 SM SC  và 2 SN ND  , biết G là trọng tâm của tam giác SAB . Tỉ số thể tích . GMND S ABCD V m V n  ( , m n là các số nguyên dương và   , 1 m n  ). Giá trị của m n  bằng A. 17 . B. 19 . C. 21 . D. 7 . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Chọn B . . . 2 1 3 3 S GMN GMND S GMD S GMD V SN V V V SD     . . . . . 1 1 2 2 S GMD S GMD S GCD S GCD V SM V V V SC     . . 2 3 S GCD S ECD V SG V SE   . Suy ra . . . . . 1 1 1 2 1 1 1 1 . . . . 3 3 2 3 9 9 2 18 GMND S GMD S ECD S ECD S ABCD S ABCD V V V V V V      . Suy ra . . 1 18 S GMND S ABCD V V  . Do đó 1; 18 19 m n m n      . Câu 67: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Trong các khối chóp tứ giác đều . S ABCD mà khoảng cách từ A đến mp ( ) SBC bằng 2a , khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng A. 3 2 3a . B. 3 2a . C. 3 3 3a . D. 3 4 3a . Lời giải Chọn A G E N M D B C A S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi I là trung điểm của AD; K là trung điểm của CB, O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Trong tam giác SOK kẻ đường cao OL. Ta có ( ;( )) d O SBC OL  và 1 1 ( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) 2 2 d O SBC d I SBC d A SBC a    . Suy ra OL a  . Đặt OK x  , x a  suy ra độ dài cạnh đáy hình chóp đều . S ABCD là 2x . Xét trong tam giác SOK vuông tại O có OL là đường cao, ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x a a x ax OS OS OL OK a x a x x a x a            Suy ra thể tích khối chóp . S ABCD là 3 2 2 2 2 2 1 4 4 . . 3 3 ax a x V x x a x a     Đặt 3 2 2 4 ( ) . 3 a x f x x a       2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 . 2 3 4 4 '( ) . . 3 3 x x x a x x x a a a x a f x x a x a x a          6 '( ) 0 2 a f x x    . Bảng biến thiên: K I O C A B D S L ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Suy ra   3 3 ; 6 Min Min ( ) 12 2 3 2 x a a V f x f a a                Câu 68: PT 47.1. [2H1-3.6-4] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Trong các khối chóp tam giác đều . S ABC mà khoảng cách từ A đến mp ( ) SBC bằng 3a , khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng A. 3 6 3a . B. 3 9 2 a . C. 3 9a . D. 3 12 3a . Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC; G là trọng tâm tam giác đều ABC. Trong tam giác SGM kẻ đường cao GH. Ta có ( ;( )) d G SBC GH  và 1 (G;( )) ( ;( )) 3 d SBC d A SBC a   . Suy ra GH a  . Gọi GM x  , x a  suy ra độ dài cạnh đáy của tam giác ABC là 2 3 . 2 3 3 x x  . Xét trong tam giác SGM vuông tại G có GH là đường cao, ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x a a x ax SG GS GH GM a x a x x a x a            Suy ra thể tích khối chóp . S ABC là   3 2 2 2 2 2 1 3 . 2 3 . . 3 . 3 4 ax x V x a x a x a     Đặt 3 2 2 ( ) 3 . x f x a x a       2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 . 2 3 '( ) 3 . 3 . x x x a x x x a x a f x a a x a x a x a          6 '( ) 0 2 a f x x    . Bảng biến thiên: G M A C B S H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Suy ra   3 ; 6 9 Min Min ( ) 2 2 x a a a V f x f               Câu 69: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , 2 SA  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng   SMC vuông góc với mặt phẳng   SNC . Tính tổng 2 2 1 1 T AN AM   khi thể tích khối chóp . S AMCN đạt giá trị lớn nhất. A. 13 9 T  . B. 2 T  . C. 5 4 T  . D. 2 3 4 T   . Lời giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ Axyz với:   0;0;0 A ,   0;0; 2 S ,   2;0;0 B ,   2; 2;0 C ,   0; 2;0 D ¸   ;0;0 M a ,   0; ;0 N b     , 0;2 a b    2;2;0 AC      ,   ;0;0 AM a       ,   0; ;0 AN b        2;2; 2 SC       ,   ;0; 2 SM a       ,   0; ; 2 SN b         , 4; 2 4; 2 SM SC a a                  1 2; 2; n a a     là VTPT của mp   SCM   , 4 2 ; 4; 2 SN SC b b                    2 2 ; 2; n b b        là VTPT của mp   SCN         1 2 1 2 . 0 2 2 2 2 0 8 2 2 0 SCM SCN n n n n b a ab b a ab                             8 2 8 2 2 0 2 a a b a b a          Mà:       8 2 ( 2; 4] 0 8 2 2 0 2 1; 4 4 4 8 2 2 0 ; 2 1; 2 2 2 a a a a b a a a a a a a                                         b 2 a 2 M B C D A S N ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Do đó:   1;2 a  1 1 , , 2 2 AMCN AMC ACN S S S AM AC AN AC                                2 1 1 8 2 8 .2 .2 2 2 2 2 a a a b a b a a a            Xét hàm số   2 8 2 a f a a    trên   1;2     2 2 4 8 ' 2 a a f a a     ;     2 2 2 3 1;2 ' 0 4 8 0 2 2 3 a f a a a a                  Ta có:   1 3 f  khi 1, 2 a b     2 3 f  khi 2, 1 a b     2 3 4 4 3 f      khi 2 2 3, 2 2 3 a b       Khi đó:     0;2 2, 1 3 1, 2 a a b Max f a a b           . . 1 . . 3 S AMCN AMCN V SA S  đạt giá trị lớn nhất  AMCN S đạt giá trị lớn nhất 2, 1 1, 2 a b a b         * 2, 1 a b     2;0;0 2 AM AM         ,   0;1;0 1 AN AN        Vậy: 2 2 1 1 1 5 1 4 4 T AN AM      . * 1, 2 a b     1;0;0 1 AM AM         ,   0; 2;0 2 AN AN        Vậy: 2 2 1 1 1 5 1 4 4 T AN AM      . Kết luận: 2 2 1 1 5 4 T AN AM    . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Câu 70: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác đều. Tam giác ABC  có diện tích bằng 3 3 và nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng , 0; 2           . Tìm  để thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    đạt giá trị lớn nhất. A. 1 tan 6   . B. tan 6   . C. tan 2   . D. 3 tan 2   . Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó   AB MCC    Góc giữa   ABC  và   ABC là  CMC    Đặt , 0 AB x x   2 3 4 ABC x S   , 3 .tan tan 2 x CC CM      2 3 . 3 3 3 . tan tan 4 2 8 ABC A B C x x x V         Ta lại có cos 3 3 cos ABC ABC S S      2 3 3 3.cos 2 3cos 4 x x       . 3 .24cos 3cos .tan 9 3.sin cos 8 ABC A B C V              2 . 9 3. cos 1 cos ABC A B C V         Xét hàm số   2 3 ( ) (1 ) , 0;1 f t t t t t t      Ta có 2 ( ) 1 3 f t t     Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi 1 3 t  và 2 max ( ) 3 3 f t  Khi đó . max 6 ABC A B C V     1 cos tan 2 3       . Câu 71: Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài đường chéo AC  bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 . B. 8 2 . C. 16 2 . D. 24 3 . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Chọn C. Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , 0 c  Ta có 2 2 2 2 2 36; 2 2 2 36 ( ) 72 6 2 a b c S ab bc c AC a a b c a b c                  3 3 3 6 2 16 2 3 3 3 a b c a b c abc abc                        . Vậy 16 2 Max V  Câu 72: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp chữ nhật đã cho? A. max 8 V  . B. max 12 V  . C. max 8 2 V  . D. max 6 6 V  . Lời giải Chọn C Gọi , , a b c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có * Độ dài đường chéo 2 2 2 6 d a b c     . * Tổng diện tích các mặt   2 36 S ab bc ca     . Ta tìm giá trị lớn nhất của V abc  . Ta có 2 2 2 6 2 a b c a b c ab bc ac          . Mà             2 2 4 6 2 4 18 4 18 6 2 0 4 2 b c bc a a b c a a a              . Khi đó       3 2 18 6 2 6 2 18 V abc a a a a a a f a         . Khảo sát hàm số   y f a  trên 0;4 2     . Ta có   2 0 3 2 a f a a          . So sánh         0 0, 2 8 2, 3 2 0, 4 2 8 2 f f f f     ta được max 8 2 V  . Câu 73: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp đã cho. A. max 16 2 V  . B. max 16 V  . C. max 6 6 V  . D. max 12 3 V  . Lời giải Chọn B Gọi , , a b c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có   2 2 2 2 2 2 4 32 8 24 2 6 a b c a b c a b c a b c                      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Suy ra     2 2 2 2 20 2 a b c a b c ab bc ca                2 2 4 8 4 20 8 0 4 b c bc a a a a               .       2 20 8 8 20 V abc a a a f a a a a             . Suy ra         max 0;4 max 2 4 16 V f a f f     Câu 74: Tìm max V là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm và diện tích toàn phần bằng 2 18 . cm A. 3 max 6 . V cm  B. 3 max 5 . V cm  C. 3 max 4 . V cm  D. 3 max 3 . V cm  Lời giải Chọn C. Đặt , , a b c là kích thước của hình hộp thì ta có hệ 2 2 2 18 9 a b c ab bc ac          . Suy ra 6. a b c    Cần tìm GTLN của . V abc  Ta có     6 9 9 6 . b c a bc a b c a a           Do       2 2 4 6 4 9 6 0 4. b c bc a a a a               Tương tự 0 , 4 b c   . Ta lại có   9 6 V a a a        . Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4. Câu 75: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp chữ nhật đã cho? A. max 8 V  . B. max 12 V  . C. max 8 2 V  . D. max 6 6 V  . Lời giải Chọn C Gọi , , a b c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có * Độ dài đường chéo 2 2 2 6 d a b c     . * Tổng diện tích các mặt   2 36 S ab bc ca     . Ta tìm giá trị lớn nhất của V abc  . Ta có 2 2 2 6 2 a b c a b c ab bc ac          . Mà             2 2 4 6 2 4 18 4 18 6 2 0 4 2 b c bc a a b c a a a              . Khi đó       3 2 18 6 2 6 2 18 V abc a a a a a a f a         . Khảo sát hàm số   y f a  trên 0;4 2     . Ta có   2 0 3 2 a f a a          . So sánh         0 0, 2 8 2, 3 2 0, 4 2 8 2 f f f f     ta được max 8 2 V  . Câu 76: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6 . Tìm thể tích lớn nhất max V của hình hộp đã cho. A. max 16 2 V  . B. max 16 V  . C. max 6 6 V  . D. max 12 3 V  . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Gọi , , a b c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có   2 2 2 2 2 2 4 32 8 24 2 6 a b c a b c a b c a b c                      Suy ra     2 2 2 2 20 2 a b c a b c ab bc ca                2 2 4 8 4 20 8 0 4 b c bc a a a a               .       2 20 8 8 20 V abc a a a f a a a a             . Suy ra         max 0;4 max 2 4 16 V f a f f     Câu 77: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có AB x  , 1 AD  . Biết rằng góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng   ABB A   bằng 30  . Tìm giá trị lớn nhất max V của thể tích khối hộp . ABCD A B C D     . A. 3 3 4 max V  . B. 1 2 max V  . C. 3 2 max V  . D. 3 4 max V  . Lời giải Chọn C Vì . ABCD A B C D     là hình hộp chữ nhật nên   BC ABB A    . Suy ra:          ; ; 30 A C ABB A A C A B BA C           . A BC   vuông tại B nên 3 tan 30 BC A B     . A AB   vuông tại A nên 2 2 AA A B AB     2 3 x   . Thể tích khối hộp:   . . V x AB BC A A   2 3 x x   với   0; 3 x  . Có:   2 2 2 3 3 x V x x x      2 2 3 2 3 x x    . Cho   0 V x   2 3 2 0 x      6 , 0 2 x x    . Có bảng biến thiên: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vậy 3 2 max V  khi 6 2 x  . Câu 78: (Quỳnh Lưu Nghệ An) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 8 – 3 năm 2019. Ông A đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là h và x . Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của h và x là? A. 2 h  , 4 x  . B. 3 2 h  , 4 x  . C. 2 h  , 1 x  . D. 4 h  , 2 x  . Lời giải Chọn A Ta có thể tích chiếc hộp: 2 32 V x h   (đvtt), với , 0 x h  . Suy ra 2 32 h x  . Phần mạ vàng của chiếc hộp: 2 2 8 S x xh   2 2 32 2 8 . x x x   2 256 2x x   . Cách 1 Ta có 2 256 2x x  2 2 3 128 128 128 128 2 3 2 . . 96 x x x x x x      (BĐT AM-GM). Đẳng thức xảy ra khi 2 128 2x x  hay 4 x  , khi đó 2 h  . Cách 2. Xét hàm số   2 256 2 f x x x   với 0 x  . Ta có   3 2 2 256 4 256 4 x f x x x x      ,   3 0 4 256 4 f x x x       ;   4 96 f  . BBT x 0 4     f x   0    f x     96 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại 4 x  , khi đó 2 h  . Vậy phương án A đúng. Câu 79: (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho khối lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Các điểm M , N lần lượt di động trên các tia AC , B D   sao cho 2 AM B N a    . Thể tích khối tứ diện AMNB  có gía trị lớn nhất là: A. 3 12 a . B. 3 6 a . C. 3 3 6 a . D. 3 2 12 a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Lời giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:   0;0;0 B  ,   0;0; B a ,   ;0; A a a ,   0; ; C a a ,   0; ;0 C a  ,   ; ;0 D a a  . Giả sử ,0 2 B N x x a     . Ta có: 2 x B N B D a                ; ;0 2 2 x x N       . Do 2 AM B N a    nên 2 AM a x   . Ta có: 1 2 x AM AC a                   ; ; 2 2 x x M a a        1 ; . 6 AMB N V B M B N B A                         2 2 1 2 ,0 2 6 ax a x x a    .  Giá trị lớn nhất của thể tích là 3 12 a .