Tài liệu tự học dành cho học sinh lớp 11 môn Toán - Giới hạn và liên tục

Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page1 CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm). Giả sử ( ) ; ab là một khoảng chứa điểm 0 x và f là một hàm số xác định trên tập hợp ( )   0 ;\ a b x . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến 0 x (hoặc tại điểm 0 x ) nếu với mọi dãy số ( ) n x trong tập hợp ( )   0 ;\ a b x mà 0 lim n xx = ta đều có ( ) lim n f x L = . Khi đó ta viết ( ) 0 lim xx f x L → = hoặc ( ) fx L → khi 0 xx → . Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực). Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ) ; a +  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới +  nếu với mọi dãy số ( ) n x trong khoảng ( ) ; a +  mà lim n x =+  ta đều có ( ) lim n f x L = . Khi đó ta viết ( ) lim x f x L → +  = hoặc ( ) fx L → khi x → +  . GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt 1) 0 0 lim xx xx → = . 2) 0 lim xx cc → = ( ) c  . Giới hạn đặc biệt 1) lim k x x → +  =+  . 2) lim 0 x k c x →   = . 3) 0 1 lim x x − → =−  . 4) 0 1 lim x x + → =+  . 5) ( ) khi 2 0 li khi 2 m x k kk k x → −  +   =  −       Định lí Nếu ( ) 0 lim xx f x L → = và ( ) 0 lim xx g x M → = thì 1) ( ) ( ) 0 lim xx f x g x L M →  =    . 2) ( ) ( ) 0 lim . . xx f x g x L M → =   . 3) ( ) ( ) 0 lim xx fx L g x M → = với 0 M  . Nếu ( ) 0 fx  và ( ) 0 lim xx f x L → = thì ( ) 0 lim xx f x L → = và ( ) 0 lim xx f x L → = . Định lí 1 Nếu ( ) 0 lim 0 xx f x L → = và ( ) 0 lim xx fx → =   thì ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 khi . lim 0 lim . khi . lim 0 xx xx xx L g x f x g x L g x → → → +     =    −     . Nếu ( ) 0 lim 0 xx gx → = thì ( ) ( ) ( ) ( ) 0 khi . 0 lim khi . 0 xx L g x fx gx L g x → +     =  −     . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page2 Giới hạn một bên ( ) ( ) ( ) 0 00 lim l i i lm m xx xx xx f x f x L f x L +− → →→  = = = . B. DẠNG TOÁ N VÀ BÀI TẬP Dạng 1. Tí nh giới hạn vô định dạng 0 0 , trong đó tử thứ c và mẫ u thứ c là cá c đa thứ c. Phương pháp gi ải: Khử dạng vô định bằng cách phân tí ch thà nh tí ch bằng cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng ché o), rồ i sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.  VÍ DỤ Ví dụ 1. Tí nh giới hạn 2 2 2 2 3 14 lim 4 x xx A x → +− = − . Đs: 11 4 A = . Lờ i giải Ta có 2 2 2 2 2 7 2(x 2)(x ) 2 3 14 2 7 11 2 lim lim lim 4 (x 2)(x 2) 2 4 x x x x x x A xx → → → −+ + − + = = = = − − + + ! Cầ n nhớ: ( ) ( ) 2 12 ( ) a f x x bx c a x x x x = + + = − − với 12 , xx là 2 nghiệ m của phương trì nh ( ) 0 fx = . Họ c sinh thườ ng quên nhân thêm a . Ví dụ 2. Tí nh giới hạn 32 32 2 2 5 2 3 lim 4 13 4 3 x x x x A x x x → − − − = − + − . Đs: 11 17 A = . Lờ i giải ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 1 2 5 2 3 2 1 11 lim lim lim 4 13 4 3 4 1 17 3 4 1 x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x → → → − + + − − − + + = = = = − + − − + − − + Nhậ n xé t: Bả ng chia Hooc – nơ (đầ u rơi, nhân tớ i cộ ng ché o) như sau: Phân tí ch 32 2 5 2 3 x x x − − − thà nh tí ch số : ( ) ( ) 3 2 2 2 5 2 3 3 2 1 x x x x x x  − − − = − + + Phân tí ch 32 4 13 4 3 x x x − + − thà nh tí ch số : Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page3 ( ) ( ) 3 2 2 4 13 4 3 3 4 1 x x x x x x  − + − = − − + . Ví dụ 3. Tí nh giới hạn 100 50 1 21 lim 21 x xx A xx → −+ = −+ . Đs: 49 24 A = . Lờ i giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 99 100 100 50 50 49 1 1 1 11 2 1 ( ) ( 1) lim lim lim 2 1 ( ) ( 1) 11 x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x → → → − − − − + − − − = = = − + − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 98 97 96 48 47 46 1 99 98 97 2 49 48 47 2 1 1 .... 1 1 lim 1 .... 1 1 1 .... 1 lim 1 .... 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → − + + + + + − − = − + + + + + − − − + + + + + − = − + + + + + − ( ) ( ) 99 98 97 2 49 48 47 2 1 .... 1 98 49 lim 48 24 .... 1 x x x x x x x x x x x → + + + + + − = = = + + + + + − !Cầ n nhớ: Hằ ng đẳ ng thứ c ( ) ( ) 1 2 2 1 1 .... 1 . n n n x x x x x x −− − = − + + + + + Chứng minh: Xé t cấ p số nhân 2 3 1 1, , , ,...., n x x x x − có n số hạ ng và 1 1, . u q x == Khi đó ( ) ( ) 2 1 2 1 1 11 1 ... 1. 1 1 1 ... . 11 nn n n n n qx S x x x u x x x x x qx −− −− = + + + + = =  − = − + + + + −−  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tí nh các giới hạn sau: 1) 2 2 2 32 lim 4 x xx A x → −+ = − . ĐS: 1 4 A = . 2) 2 2 1 1 lim 34 x x A xx → − = +− . ĐS: 2 5 A = . 3) 2 2 3 7 12 lim 9 x xx A x → −+ = − . ĐS: 1 6 A =− . 4) 2 2 5 9 20 lim 5 x xx A xx → −+ = − . ĐS: 1 5 A = . 5) 2 2 3 3 10 3 lim 56 x xx A xx → −+ = −+ . ĐS: 8 A = . 6) 2 2 1 23 lim 21 x xx A xx → +− = −− . ĐS: 4 3 A = . 7) 4 2 2 16 lim 68 x x A xx →− − = ++ . ĐS: 16 A =− . 8) 1 23 lim 54 x xx A xx → −− = −+ .ĐS: 4 3 A =− . 9) 3 2 2 8 lim 32 x x A xx → − = −+ . ĐS: 12 A = . 10) 3 2 2 8 lim 11 18 x x A xx →− + = ++ . ĐS: 12 7 A = . Bài 2. Tí nh các giới hạn sau: Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page4 1) 32 2 1 2 5 2 1 lim 1 x x x x A x → − + + = − . ĐS: 1 A =− . 2) 3 4 1 32 lim 43 x xx A xx → −+ = −+ . ĐS: 1 2 A = . 3) 32 32 1 2 5 4 1 lim 1 x x x x A x x x →− + + + = + − − . ĐS: 1 2 A = . 4) 43 32 1 1 lim 5 7 3 x x x x A x x x → − − + = − + − . ĐS: 3 2 A =− . 5) 32 2 3 2 3 9 7 3 lim 3 x x x x A x →− − + + + = − . ĐS: 18 19 3 6 A + = . 6) 32 42 3 5 3 9 lim 89 x x x x A xx → − + + = −− . ĐS: 0 A = . 7) 3 42 1 1 lim 43 x x A xx → − = −+ . ĐS: 3 4 A = . 8) 3 2 1 12 lim 28 x A xx →  =−  −−  . ĐS: 1 2 A = . 9) 22 2 11 lim 3 2 5 6 x A x x x x →  =+  − − − −  . ĐS: 2 A =− . 10) 23 1 11 lim 21 x A x x x →  =−  + − −  . ĐS: 1 9 A = . Bài 3. Tí nh các giới hạn sau: 1) 20 30 1 21 lim 21 x xx A xx → −+ = −+ . ĐS: 8 14 A = . 2) 50 2 1 1 lim 32 x x A xx → − = −+ . ĐS: 50 A =− . 3) ( ) 2 1 1 lim 1 n x x nx n A x → − + − = − (Với n là số nguyên). ĐS: 2 2 nn A − = . 4) ( ) ( ) 1 2 1 1 lim 1 n x x n x n A x + → − + + = − . ĐS: ( ) 1 2 nn A + = . 5) 23 23 1 ... lim ... n m x x x x x n A x x x x m → + + + + − = + + + + − ( , mn là số nguyên) . ĐS: ( ) ( ) 1 1 nn A mm + = + . 6) 1 lim 11 mn x mn A xx →  =−  −−  . ĐS: 2 mn A − = .  LỜI GIẢI Bài 1. 1) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 12 3 2 1 1 lim lim lim 4 2 2 2 4 x x x xx x x x A x x x x → → → −− − + − = = = = − − + + . 2) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 11 1 1 2 lim lim lim 3 4 1 4 4 5 x x x xx xx A x x x x x → → → −+ −+ = = = = + − − + + . 3) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 34 7 12 4 1 lim lim lim 9 3 3 3 6 x x x xx x x x A x x x x → → → −− − + − = = = = − − − + + . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page5 4) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 5 45 9 20 4 1 lim lim lim 5 5 5 x x x xx x x x A x x x x x → → → −− − + − = = = = −− . 5) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 1 3 3 10 3 3 1 lim lim lim 8 5 6 2 3 2 x x x xx x x x A x x x x x → → → −− − + − = = = = − + − − − . 6) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 13 2 3 3 4 lim lim lim 2 1 1 2 1 2 1 3 x x x xx x x x A x x x x x → → → −+ + − + = = = = − − − + + . 7) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 4 2 2 2 2 2 2 4 2 4 16 lim lim lim 16 6 8 2 4 4 x x x x x x x x x A x x x x x → − → − → − − + + − + − = = = = − + + + + + . 8) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 3 3 2 3 4 lim lim lim 3 54 1 4 4 x x x x x x xx A xx x x x → → → − + + −− = = = = − −+ − − − . 9) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 2 2 2 2 2 2 4 2 4 8 lim lim lim 12 3 2 2 1 1 x x x x x x x x x A x x x x x → → → − + + + + − = = = = − + − − − . ! C ầ n nh ớ : Hằ ng đẳ ng thứ c ( ) ( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b + = + − + và ( ) ( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b − = − + + . 10) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 2 2 2 2 2 2 4 2 4 8 12 lim lim lim 11 18 2 9 9 7 x x x x x x x x x A x x x x x → − → − → − + − + − + + = = = = + + + + + . Bài 2. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 2 5 2 1 2 3 1 lim lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x A x x x x → → → − − − − + + − − = = = = − − − + + . 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 42 2 1 1 1 12 3 2 2 1 lim lim lim 4 3 2 3 2 1 2 3 x x x xx x x x A x x x x x x x → → → −+ − + + = = = = − + + + − + + . 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 32 1 1 1 1 2 1 2 5 4 1 2 1 1 lim lim lim 1 1 2 11 x x x xx x x x x A x x x x xx → − → − → − ++ + + + + = = = = + − − − +− . 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 32 1 1 1 11 1 1 3 lim lim lim 5 7 3 3 2 13 x x x x x x x x x x x A x x x x xx → → → − + + − − + + + = = = = − − + − − −− . 5) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 33 3 2 3 2 3 7 3 3 2 3 9 7 3 lim lim 3 33 xx x x x x x x A x xx → − → −  + − + + + − + + +  = = −  − +−   ( ) 2 3 2 3 2 3 7 3 3 18 19 3 lim 6 3 x xx x →−  − + + + +  = − =  −  . 6) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 42 22 3 3 3 1 3 1 3 5 3 9 lim lim lim 0 89 3 3 1 3 1 x x x x x x x x x x A xx x x x x x → → → − − − − − + + = = = = −− − + + + + . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page6 7) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 42 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 13 lim lim lim 4 3 4 1 3 3 3 3 x x x x x x x x x A xx x x x x x x x → → → − − − − − − − − = = = = −+ − + − − + − − . 8) Ta có ( ) ( ) 3 3 3 22 1 12 12 16 lim lim 28 28 xx xx A xx xx →→ −+  = − =  −− −−  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 42 41 lim lim 2 4 2 2 2 4 xx xx x xx x x x →→ +− + = = = ++ − + + . 9) Ta có ( ) ( ) 22 22 22 22 1 1 5 6 3 2 lim lim 3 2 5 6 3 2 5 6 xx x x x x A x x x x x x x x →→ − − + − −  = + =  − − − − − − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 22 2 lim lim 2 31 2 3 1 xx x xx x x x →→ − = = = − −− − − − . 10) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 23 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 lim lim lim 21 2 1 2 1 x x x x x x x x x A x x x x x x x x x → → → − − − + − − +  = − = =  + − − + − − + − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 11 11 11 lim lim 9 21 1 2 1 xx xx x x x x x x x x →→ −+ + = = = + + + − + + + . Bài 3. 1) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 19 20 20 30 30 29 1 1 1 11 1 21 lim lim lim 2 1 1 11 x x x x x x x x x xx A x x x x x x x x → → → − − − − − − −+ = = = − + − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 17 19 18 28 27 29 28 11 1 ... 1 1 1 ... 1 lim lim 1 ... 1 1 1 ... 1 xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→ − + + + + − − − + + + − == − + + + + − − − + + + − ( ) ( ) 19 18 29 28 1 ... 1 18 9 lim 28 24 ... 1 x x x x x x x → + + + − = = = + + + − . 2) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 49 48 50 49 48 2 1 1 1 1 ... x 1 1 ... x 1 lim lim lim 50 3 2 1 2 2 x x x x x x x x x A x x x x x → → → − + + + + − + + + + = = = = − − + − − − 3) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 22 11 11 1 lim lim 11 n n xx x n x x nx n A xx →→ − − − − + − == −− ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 1 1 ... x 1 1 lim 1 nn x x x x n x x −− → − + + + + − − = − ( ) ( ) ( ) 12 12 2 11 1 ... x 1 ... x 1 lim lim 1 1 nn nn xx x x x n x x n x x −− −− →→ − + + + + − + + + + − == − − 1 2 2 1 1 1 ... x 1 1 lim 1 nn x x x x x −− → − + − + + − + − = − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 1 1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1 lim 1 n n n n x x x x x x x x x − − − − → − + + + + + − + + + + + + − = − ( ) ( ) 2 3 3 4 1 lim ... x 1 ... x 1 ... 1 n n n n x x x x x − − − − →  = + + + + + + + + + + +  ( ) ( ) 2 1 2 ... 1 2 nn nn − = − + − + + = . 4) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 nn n x x x x x n x x x n x x n x n A x x x + + → → → − − − − − − − + + = = = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 22 11 1 ... x 1 1 1 ... x lim lim 11 n n n n xx x x x x n x x x x n xx − − − →→ − + + + + − − − + + + − == −− 1 2 1 2 11 ... x 1 1 ... x 1 1 lim lim 11 n n n n xx x x x n x x x xx −− →→ + + + + − − + − + + − + − == −− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1 lim 1 n n n n x x x x x x x x x − − − − → − + + + + + − + + + + + + − = − ( ) ( ) 1 2 2 3 1 lim ... x 1 ... x 1 ... 1 n n n n x x x x x − − − − →  = + + + + + + + + + + +  ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ... 1 2 nn n n n + = + − + − + + = . 5) Ta có 2 3 1 2 2 3 1 2 11 ... 1 1 ... 1 1 lim lim ... 1 1 ... 1 1 n n n m m m xx x x x x n x x x x A x x x x m x x x x − − →→ + + + + − − + − + + − + − == + + + + − − + − + + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 2 2 3 1 1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1 lim 1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1 n n n n m m m m x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − − − → − + + + + + − + + + + + + − = − + + + + + − + + + + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 2 2 3 1 ... x 1 ... x 1 ... 1 lim ... x 1 ... x 1 ... 1 n n n n m m m m x x x x x x x x x − − − − − − − − → + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ... 1 1 lim 1 2 ... 1 1 x n n n n n m m m m m → + − + − + + + == + − + − + + + . 6) Ta có 11 11 lim lim 1 1 1 1 1 1 m n m n xx m n m n A x x x x x x →→        = − = − − −        − − − − − −        11 11 lim lim 1 1 1 1 mn xx mn x x x x →→     = − − −     − − − −     Và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1 1 ... x 1 1 ... 1 x 1 lim lim lim 1 1 1 1 x mm m m m x x x m x x x x m x x x −− → → → − + + + + − + − + + −  − = =  − − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 21 1 1 1 1 .... 1 ... lim 1 1 ... m m x x x x x x x x x x − − →  − + + + + + + + +  = − + + + + ( ) ( ) 22 21 1 1 1 .... 1 ... 1 2 3 ... 1 1 lim 1 ... 2 m m x x x x x mm x x x m − − → + + + + + + + + + + + + − − = = = + + + + Tương tự ta có 1 11 lim 1 1 2 n x nn xx → −  −=  −−  Vậy 1 11 lim 1 1 2 2 2 mn x m n m n m n xx → − − −  − = − =  −−  . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page8 Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng 0 0 , trong đó t ử thứ c và mẫ u thứ c có chứ a căn thứ c. Phương pháp gi ải: Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định.  VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính giới hạn 6 33 lim 6 x x B x → −+ = − . Đs: 1 6 B =− . Lờ i giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 66 3 3 3 3 33 lim lim 6 6 3 3 xx xx x B x xx →→ − + + + −+ == − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 666 93 6 1 1 1 lim lim lim 6 3 3 3 6 3 6 3 3 6 3 3 xxx x x x x x x x →→→ −+ − − − = = = = = − + + + + − + + − + + Ví dụ 2. Tính giới hạn 3 2 3 2 5 6 lim 2 x xx E x → + − − = − . Đs: 1 E =− . Lờ i giải Ta có 3 3 2 2 2 3 2 2 2 5 6 3 2 2 2 5 6 lim lim lim 2 2 2 x x x AB xx xx E x x x 3 22 2 3 3 3 2 8 3 2 2 lim lim 2 2 3 2 2. 3 2 4 xx x x A x x x x 2 22 2 3 3 3 3 32 31 lim lim 4 3 2 2. 3 2 4 2 3 2 2. 3 2 4 xx x xx x x x 2 2 2 4 5 6 5 2 2 5 6 lim lim lim 2 2 2 5 6 2 2 5 6 x x x xx x B x x x x x 2 55 lim 4 2 2 5 6 x xx Suy ra 15 1 44 E A B . Ví dụ 3. Tính giới hạn 3 1 5 3 2 lim 1 x x L x →− −+ = + . Đs: 5 12 L = . Lờ i giải Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page9 Ta có: 3 11 2 3 3 5 3 8 5 3 2 lim lim 1 1 5 3 2. 5 3 4 xx x x L x x x x 2 11 2 3 3 3 3 51 55 lim lim 12 5 3 2. 5 3 4 1 5 3 2. 5 3 4 xx x xx x x x . Ví dụ 4. Tính giới hạn 3 2 3 2 3 2 lim 2 x xx E x → + − − = − . Đs: 1 2 E − = . Lờ i giải Ta có 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 lim lim lim 2 2 2 x x x xx xx E x x x 22 2 3 3 3 2 8 3 2 4 lim lim 2 3 2 2 2 3 2 2. 3 2 4 xx xx xx x x x 22 2 3 3 3 2 3 2 lim lim 2 3 2 2 2 3 2 2. 3 2 4 xx xx xx x x x 222 3 3 3 3 1 3 1 lim lim 4 4 2 3 2 2 3 2 2. 3 2 4 xx x xx . Ví dụ 5. Tính giới hạn 3 0 1 2 . 1 4 1 lim x xx F x → + + − = . Đs: 7 F 3 = . Lờ i giải 3 3 00 1 2 . 1 4 1 1 2 1 1 2 . 1 4 1 lim lim xx x x x xx F xx 3 00 1 2 . 1 4 1 1 2 1 lim lim xx xx x xx 00 2 3 3 1 2 . 1 4 1 1 2 1 lim lim 1 2 1 1 4 1 4 1 xx xx x xx x x x 200 3 3 4. 1 2 2 4 7 lim lim 1 33 1 2 1 1 4 1 4 1 xx x x xx .  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau: Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page10 1) 8 8 lim 31 x x B x . Đs: 6 B 2) 2 1 42 lim 1 x xx B x . Đs: 1 4 B 3) 2 3 23 lim 26 x x x x B x . Đs: 1 4 B 4) 2 2 22 lim 4 x x B x . Đs: 1 16 B 5) 2 2 2 3 2 lim 4 x x B x . Đs: 3 16 B 6) 2 9 3 lim 9 x x B xx . Đs: 1 54 B 7) 2 2 22 lim 2 10 x x B xx . Đs: 1 36 B 8) 2 1 7 2 2 lim 1 x xx B x . Đs: 1 3 B 9) 2 2 1 2 5 2 8 lim 32 x x x x B xx . Đs: 5 2 B Bài 2. Tính các giới hạn sau: 1) 1 3 1 3 lim 83 x xx B x . Đs: 3 B 2) 1 32 lim 4 5 3 6 x x B xx . Đs: 3 2 B 3) 2 22 lim 13 x xx B xx . Đs: 1 4 B 4) 3 1 3 5 lim 2 3 6 x xx B xx . Đs: 3 B 5) 2 4 1 21 lim x x x x B xx . Đs: 0 B 6) 4 1 4 3 1 lim 1 x x B x . Đs: 1 B 7) 2 2 2 2 1 2 5 lim 13 x xx B xx . Đs: 25 3 B Bài 3. Tính các giới hạn sau: 1) 0 9 16 7 lim x xx L x . Đs: 7 24 B 2) 1 2 2 5 4 5 lim 1 x xx L x . Đs: 4 3 B 3) 3 2 6 2 2 8 lim 3 x xx L x . Đs: 5 6 L 4) 2 2 2 1 8 lim 2 x x x x L x . Đs: 8 L 5) 6 5 4 2 3 84 lim 6 x x x x L x . Đs: 74 3 L Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page11 6) 0 1 4 1 6 1 lim x xx L x . Đs: 5 L 7) 2 0 4 3 2 1 3 1 lim 21 x x x x L xx . Đs: 5 2 L 8) 2 1 3 7 4 3 2 2 1 lim 21 x x x x L xx . Đs: 17 16 L 9) 2 0 4 4 9 6 5 lim x xx L x . Đs: 5 12 L 10) 2 2 1 6 3 2 5 lim 1 x x x x L x . Đs: 11 6 L Bài 4. Tính các giới hạn sau: 1) 3 2 42 lim 2 x x L x . Đs: 1 3 L 2) 3 0 11 lim x x L x . Đs: 1 3 L 3) 3 2 3 12 lim 3 x x L x . Đs: 1 2 L 4) 3 1 72 lim 1 x x L x . Đs: 1 6 L 5) 3 8 2 lim 2 9 5 x x L x . Đs: 5 12 L 6) 3 3 1 1 lim 21 x x L x . Đs: 1 L 7) 3 3 2 1 10 2 1 lim 32 x xx L xx . Đs: 3 2 L 8) 3 2 2 8 11 7 lim 32 x xx L xx . Đs: 7 54 L 9) 32 3 1 73 lim 1 x xx L x . Đs: 1 4 L 10) 3 0 2 1 8 lim . x xx L x Đs: 11 12 L 11) 2 3 2 2 2 4 11 7 lim . 4 x x x x L x Đs: 5 72 L 12) 3 2 0 4 . 8 3 4 lim . x xx L xx Đs: 1 L Bài 5. Tính các giới hạn sau: 1) 0 11 lim . n x ax F x Đs: a n Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page12 2) 0 11 lim . nm x ax bx F x Đs: ab nm 3) 0 11 lim ( 0). 11 n m x ax F ab bx Đs: am bn 4) 0 11 lim . 11 nm x ax bx F x Đs: 2 ab nm  LỜI GIẢI Bài 1. 1) 8 8 8 8 3 1 8 3 1 8 lim lim lim 91 31 3 1 3 1 x x x x x x x x B x x xx 88 8 3 1 lim lim 3 1 6 8 xx xx x x . 2) 22 2 11 2 4 2 4 2 42 lim lim 1 1 4 2 xx x x x x xx B x x x x 2 2 111 22 1 4 4 1 lim lim lim 4 42 1 4 2 1 4 2 xxx xx x x x xx x x x x x x . 3) 22 2 33 2 2 3 2 3 23 lim lim 26 2 6 2 3 xx x x x x x x x x x B x x x x x 33 22 3 1 lim lim 4 2 3 2 3 2 2 3 xx xx x x x x x x x x . 4) 2 2 22 2 2 2 2 22 lim lim 4 4 2 2 xx xx x B x xx 2 2 lim 2 2 2 2 x x x x x 2 11 lim 16 2 2 2 x xx . 5) 2 22 2 2 2 2 3 2 2 3 2 4 3 2 2 3 2 lim lim lim 4 4 2 3 2 4 2 3 2 x x x xx x x B x x x x x 22 32 33 lim lim 16 2 2 2 3 2 2 2 3 2 xx x x x x x x . 6) 2 2 9 9 9 33 39 lim lim lim 9 9 3 9 3 x x x xx xx B xx x x x x x x 9 11 lim 54 3 x xx . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page13 7) 2 22 2 2 2 lim lim 2 10 2 2 5 2 2 xx xx B xx x x x 2 11 lim 36 2 5 2 2 x xx . 8) 2 2 2 11 7 2 2 7 2 2 lim lim 1 1 7 2 2 xx xx xx B x x x x 2 2 1 23 lim 1 7 2 2 x xx x x x 1 13 lim 1 1 7 2 2 x xx x x x x 1 31 lim 3 1 7 2 2 x x x x x . 9) 2 2 2 2 1122 2 5 2 8 2 5 2 8 lim lim 32 3 2 2 5 2 8 xx x x x x x x B xx x x x x x 2 11 2 2 2 1 2 17 2 19 17 lim lim 3 2 2 5 2 8 1 2 2 5 2 8 xx xx xx x x x x x x x x x x 1 2 2 17 5 lim 2 2 2 5 2 8 x x x x x x . Bài 2. 1) 1 1 1 2 1 8 3 2 8 3 3 1 3 lim lim lim 3 8 3 3 1 3 1 3 1 3 x x x x x x xx B x x x x x x 2) 1 32 lim 4 5 3 6 x x B xx 1 1 4 5 3 6 lim 1 3 2 x x x x xx 1 4 5 3 6 lim 32 x xx x 3 2 . 3) 2 22 lim 13 x xx B xx 2 2 1 3 lim 2 2 2 2 x x x x x x x 2 13 lim 2 2 2 x xx xx 1 4 . 4) 3 1 3 5 lim 2 3 6 x xx B xx 3 2 3 2 3 6 lim 3 1 3 5 x x x x x x x 3 2 2 3 6 lim 1 3 5 x xx xx 3. 5) 2 4 1 21 lim x x x x B xx 2 1 22 21 lim 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x 2 1 22 1 lim 1 2 2 1 x x x x x x x x x 122 1 lim 2 2 1 x x x x x x x x 0 . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page14 6) 4 1 4 3 1 lim 1 x x B x 1 32 4 44 41 lim 1 4 3 4 3 4 3 1 x x x x x x 32 1 4 44 4 lim 4 3 4 3 4 3 1 x x x x 1. 7) 2 2 2 2 1 2 5 lim 13 x xx B xx 22 222 2 2 4 1 3 lim 2 2 1 2 5 x x x x x x x x x 2 2 2 2 1 3 lim 2 1 2 5 x xx xx 25 3 . Bài 3. 1) 0 9 16 7 lim x xx L x 0 9 3 9 4 lim x xx x 0 9 3 16 4 lim x xx xx x 0 11 lim 9 3 16 4 x xx 7 24 . 2) 1 2 2 5 4 5 lim 1 x xx L x 1 2 2 2 5 4 3 lim x xx x 1 2 1 5 1 2 2 2 5 4 3 lim 1 x xx xx x 1 25 lim 2 2 2 5 4 3 x xx 4 3 . 3) 3 2 6 2 2 8 lim 3 x xx L x 3 2 6 6 2 2 2 lim 3 x xx x 3 6 9 2 2 4 2 6 3 2 2 2 lim 3 x xx xx x 3 33 22 6 3 2 2 2 lim 3 x xx xx x 3 22 lim 6 3 2 2 2 x xx 5 6 . 4) 2 2 44 2 2 2 21 lim 2 x xx x x x xx x 2 2 2 2 2 2 21 lim 2 x x x x x xx x 2 2 lim 2 2 21 x x xx xx 8. 5) 6 5 4 2 3 84 lim 6 x x x x L x 6 5 4 2 3 3 5 4 16 96 lim 6 x x x x x x 2 2 2 1 8 lim 2 x x x x L x 22 2 2 1 2 4 lim 2 x x x x x xTài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page15 6 5 4 2 3 3 16 6 lim 6 x x x x x 6 26 5 4 16 6 2 3 3 lim 6 x x xx x x 6 10 8 lim 16 2 3 3 x x x 74 3 . 6) 0 1 4 1 6 1 lim x xx L x 2 0 24 10 1 1 lim x xx x 2 0 2 24 10 1 1 lim 24 10 1 1 x xx x x x 0 2 24 10 lim 24 10 1 1 x xx x x x 2 0 24 10 lim 24 10 1 1 x x xx 5. 7) 2 1 4 3 2 1 3 1 lim 21 x x x x L xx 22 1 4 3 2 1 21 lim 11 x xx xx xx 2 2 22 1 4 3 2 1 21 lim 1 2 1 1 4 3 2 1 x xx xx x x x x x x 1 14 lim 2 1 4 3 2 1 x x x x x 5 2 . 8) 2 1 3 7 4 3 2 2 1 lim 21 x x x x L xx 2 1 4 3 7 2 2 1 2 lim 1 x x x x x x 2 2 2 1 4 2 1 4 16 48 14 49 2 2 2 1 7 4 3 lim 1 x xx x x x xx xx x 22 2 1 1 4 1 2 2 2 1 7 4 3 lim 1 x xx xx xx x 1 14 lim 7 4 3 2 2 2 1 x x x x x 17 16 . 9) 2 0 4 4 9 6 5 lim x xx L x 2 0 4 4 2 9 6 3 lim x x x x x x 22 2 0 4 4 4 4 9 6 6 9 4 4 2 9 6 3 lim x x x x x x x x x x x x 22 2 0 2 4 3 9 6 3 lim x xx x x x x x 0 11 lim 2 4 4 9 6 3 x x x x x 5 12 . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page16 10) 2 2 1 6 3 2 5 lim 1 x x x x L x 2 2 1 2 2 1 6 3 lim 1 x x x x x 2 2 2 1 6 3 4 4 21 6 3 2 lim 1 x x x x x xx x 2 2 2 1 1 21 6 3 2 lim 1 x x x xx x 1 1 lim 2 6 3 2 x xx 11 6 . Bài 4. 1) 3 2 42 lim 2 x x L x 2 3 2 3 48 lim 2 16 2 4 4 x x x x x 3 2 2 3 4 lim 16 2 4 4 x xx 1 3 . 2) 3 0 11 lim x x L x 0 2 3 3 11 lim 1 1 1 x x x x x 2 0 3 3 1 lim 1 1 1 x xx 1 3 . 3) 3 2 3 12 lim 3 x x L x 2 3 2 3 22 3 9 lim 3 1 2 1 4 x x x x x 2 3 3 22 3 3 lim 1 2 1 4 x x xx 1 2 . 4) 3 1 72 lim 1 x x L x 1 2 3 3 1 lim 1 . 7 2 7 4 1 x x x xx x 2 1 3 3 1 lim 7 2 7 4 x x xx 1 6 . 5) 3 8 2 lim 2 9 5 x x L x 3 2 3 8 8 24 lim 2 16 2 9 5 x x xx x x 8 2 3 3 2 9 5 lim 2 2 4 x x xx 5 12 . 6) 3 3 1 1 lim 21 x x L x 3 2 3 1 2 3 3 1 1 lim 1 2 2 1 x x xx x xx 2 3 3 3 2 1 3 2 2 1 lim 1 x xx xx 1. 7) 3 3 2 1 10 2 1 lim 32 x xx L xx 3 3 1 10 2 2 1 lim 12 x xx xxTài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page17 3 2 33 3 3 1 22 1 10 2 2 10 2 4 lim 12 x x x xx xx 2 2 33 3 3 1 2 1 1 1 10 2 2 10 2 4 lim 12 x x x x x xx xx 2 2 33 3 3 1 21 1 10 2 2 10 2 4 lim 2 x xx xx x 3 2 . 8) 3 2 2 8 11 7 lim 32 x xx L xx 3 2 2 8 11 3 lim 32 x x xx 2 2 73 lim 32 x x xx 2 2 3 3 8 11 27 lim 1 2 8 11 3 8 11 9 x x x x x x 2 79 lim 1 2 7 3 x x x x x 2 2 3 3 8 lim 1 8 11 3 8 11 9 x x x x 2 1 lim 1 7 3 x xx 8 1 7 27 7 54 . 9) 3 2 3 2 33 1 1 1 7 3 7 2 3 2 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x L x x x 32 11 22 33 3 3 7 8 3 4 lim lim 1 3 2 1 7 2 7 4 xx xx xx x x x 32 11 22 33 3 3 11 lim lim 1 3 2 1 7 2 7 4 xx xx xx x x x 2 22 11 33 3 3 1 1 1 1 1 lim lim 4 2 4 32 7 2 7 4 xx x x x x xx . 10) 33 0 0 0 2 1 8 2 1 2 8 2 lim lim lim x x x x x x x L x x x 00 2 3 3 4 1 4 88 lim lim 2 1 2 8 2 8 4 xx x x xx x x x 2 00 3 3 4 1 1 11 lim lim 1 12 12 2 1 2 8 2 8 4 xx x xx . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page18 11) 22 33 2 2 2 2 2 2 2 4 11 7 2 4 11 3 7 3 lim lim lim 4 4 4 x x x x x x x x x L x x x 2 3 2 22 2 2 2 2 3 3 2 4 11 27 7 9 lim lim 4 7 3 4 2 4 11 3 2 4 11 9 xx x x x xx x x x x x 2 22 2 2 2 2 3 3 2 2 4 2 lim lim 4 7 3 4 2 4 11 3 2 4 11 9 xx xx x xx x x x x x 22 2 22 3 3 24 1 lim lim 2 7 3 2 2 4 11 3 2 4 11 9 xx x xx x x x x x 1 1 5 9 24 72 12) 3 3 22 00 4 . 8 3 2 2 4 4 4 . 8 3 4 lim lim xx x x x xx L x x x x 3 22 00 00 2 3 3 00 2 3 3 4 . 8 3 2 2 4 4 lim lim 4 . 8 3 8 2 4 4 lim lim 1 4 2 1 8 3 2 8 3 4) 4 .3 2 lim lim 1 4 2 1 8 3 2 8 3 4 11 1. 22 xx xx xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x Bài 5. 1) 00 12 1 1 1 1 lim lim 1 1 ... 1 1 n xx nn n nn ax ax F x x ax ax ax 12 0 lim . 1 1 ... 1 1 nn x n nn aa n ax ax ax 2) 00 1 1 1 1 11 lim lim nm nm xx ax bx ax bx F xx 00 1 1 1 1 lim lim . nm xx ax bx a b x x n m 3) 00 1 1 1 1 1 lim lim . 1 1 1 1 nn mm xx ax ax F x bx bx x Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page19 Xét 0 11 lim ; n x ax a A xn 0 11 lim m x bx b B xm 1 .. a am F b n bn m 4) 00 1 1 1 1 11 lim lim 1 1 1 1 nm nm xx ax bx ax bx F xx 00 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 nm xx ax bx xx 00 1 1 1 1 lim . lim . 1 1 1 1 nm xx ax x bx x xx xx Ta có 0 11 lim n x ax a A xn 0 11 lim m x bx b B xm 0 0 0 11 lim lim lim 1 1 2 11 11 x x x xx x Cx x x .2 .2 2 a b a b F n m n m . Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x →. Phương pháp gi ải: - Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi x → +  1. lim k x x → +  = +  2. 2 lim 21 k x khi k l x khi k l → −  +  =  =  −  = +  3. lim 0 k x c x → +  = (c h ằng s ố) - Đối với dạng phân số không căn, ta làm tương tự như giới hạn dãy số, tức rút bậc cao nhất của tử và mẫu, sau đó áp dụng công thức trên. - Ngoài việc đưa ra khỏi căn bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt khi nào đưa ra ngoài căn, khi nào liên hợp. Phương pháp suy luận cũng tương tự như giới hạn của dãy số, nhưng cần phân biệt khi x → +  hoặc x → −   VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính giới hạn ( ) 32 lim 6 9 1 . x A x x x → +  = − − + + Đs: . Lờ i giải 3 23 6 9 1 lim 1 x Ax x x x (vì 3 lim x x và 23 6 9 1 lim 1 1 x x x x ). Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page20 Ví dụ 2. Tính giới hạn 3 23 31 lim 2 6 6 x xx B xx . Đs: 1 6 . Lờ i giải 3 23 23 3 3 3 31 31 1 1 1 0 0 1 lim lim 26 26 0 0 6 6 6 6 xx x xx xx B x xx xx . Ví dụ 2. Tính giới hạn 2 lim 1 2 x C x x x . Đs: . Lờ i giải 2 22 1 1 1 1 lim 1 2 lim 1 2 xx C x x x x x x x x → −  → −          = + + + = + + +                     22 1 1 1 1 lim 1 2 lim 2 1 xx x x x x x x x → −  → −        = − + + + = − + + = −                   (Vì lim x x và 2 11 lim 2 1 2 1 1 0 x xx ).  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) 32 lim 3 2 x A x x . Đs: . 2) 32 lim 3 1 x A x x . Đs: . 3) 42 lim 2 1 x A x x . Đs: . 4) 42 lim 2 3 x A x x . Đs: . 5) 42 lim 6 x A x x . Đs: . Bài 2. Tính các giới hạn sau: 1) 18 lim 21 x x B x . Đs: 4 B . 2) 2 lim 1 x x B x . Đs: 1 B . 3) 43 4 2 7 15 lim 1 x xx B x . Đs: 2 B . 4) 3 32 2 3 4 lim 1 x xx B xx . Đs: 2 B . 5) 2 3 37 lim 21 x xx B x . Đs: 0 B . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page21 6) 32 2 lim 3 4 3 2 x xx B xx . Đs: 2 9 B . 7) 34 7 4 3 2 1 lim 22 x xx B x . Đs: 8 B . 8) 20 30 50 2 3 3 2 lim 12 x xx B x . Đs: 30 3 2 B . 9) 2 33 lim 4 x xx B x . Đs: B . 10) 3 2 2 3 lim 5 x xx B x . Đs: B . Bài 3. Tính các giới hạn sau: 1) 2 lim 3 2 10 x C x x x . Đs: 17 2 . 2) 42 21 lim 12 x xx C x . Đs: . 3) 2 lim 4 4 1 2 13 x C x x x . Đs: 14. 4) 2 lim 5 x C x x x . Đs: 9 2 . 5) 2 lim 2 1 x C x x . Đs: . 6) 2 lim 4 2021 x C x x x . Đs: 2019 . 7) 22 lim 1 x C x x x . Đs: 1 2 . 8) 2 23 lim 5 x x C xx . Đs: -2. 9) 4 2 2 lim 4 3 1 2 x C x x x . Đs: 3 4 . 10) 2 2 lim 23 x x x x C x . Đs: 1 2 . 11) 2 lim 1 1 x C x x x . Đs: 3 2 . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page22 12) 2 lim 10 x x x x C x . Đs: 2 . 13) 22 lim 4 9 21 4 7 13 x C x x x x . Đs: 1 2 14) 22 2 2 4 3 7 1 lim 2 1 . 3 x x x x x C x x x . Đs: 1. 15) 2 lim 4 4 1 2 3 . x C x x x Đs: 4 16) 3 3 lim 1 . 53 x x Cx xx Đs: -1 17) 2 lim 16 3 4 5 . x C x x x Đs: 43 8 18) 3 52 2 lim . 3 x xx Cx xx Đs: 2 19) 2 lim 3 1 x C x x x . Đs: 5 2 Bài 4. Tính các giới hạn sau: 1) 3 52 2 lim . 3 x xx x xx . Đs: 2 . 2) 2 23 lim 5 x x xx . Đs: 2. 3) 2 2 2 3 1 lim 4 1 1 x x x x xx . Đs: 4. 4) 4 2 2 23 lim 52 x x x x x xx Đs: 21 2 . 5) 2 2 2 1 3 4 5 lim 1 3 2 9 10 x x x x x x x . Đs: 8 3 . 6) 3 23 3 1 1 8 lim 69 x xx x . Đs: 1 6 . 7) 2 2 2 1 3 lim 5 x xx xx . Đs: 2 5 . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page23 8) 2 2 4 3 1 lim 9 3 5 3 x x x x x x x . Đs: 1 4 9) 22 21 lim x x x x x x . Đs: 1. 10) 2 83 lim 6 4 3 x x x x x . Đs: 2. 11) 2 2 1 7 2 lim 3 2 5 3 x xx x x x . Đs: 1. 12) 2 1 2 lim 1 x xx x . Đs: 1. Bài 5. Tính các giới hạn sau: 2 1) lim x x x x . Đs: . 2 2) lim 4 x x x x . Đs: 2 . 3) lim 2 2 x xx . Đs: 0. 22 4) lim 1 x x x x . Đs: 1 2 . 2 5) lim 4 1 2 x x x x . Đs: 0. 2 6) lim 3 5 1 x x x x . Đs: 5 2 . 3 32 7) lim 27 3 x x x x . Đs: 1 27 . 2 8) lim 2 4 2 1 x x x x . Đs: 1 2 . 2 9) lim 2 3 4 4 3 x x x x . Đs: 4 . 4 2 2 10) lim 4 3 1 2 x x x x . Đs: 3 4 . 2 11) lim 4 3 1 2 4 x x x x . Đs: 19 4 . 2 12) lim 4 4 1 2 3 x x x x . Đs: 4 . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page24 3 23 2 4 13) lim 2 4 3 x x x x x x x . Đs: 16 9 . 3 3 14) lim 8 1 2 1 x xx . Đs: 1.  LỜI GIẢI Bài 1. 1) 3 3 32 lim 1 x Ax xx , (vì 3 lim x x và 3 32 lim 1 1 0 x xx ). 2) 33 33 3 1 3 1 lim 1 , ì lim à lim 1 1 0 x x x A x v x v x x x x . 3) 44 2 4 2 4 2 1 2 1 lim 1 , ì lim à lim 1 1 0 x x x A x v x v x x x x . 4) 44 2 4 2 4 2 3 2 3 lim 1 , ì lim à lim 1 1 0 x x x A x v x v x x x x . 5) 44 2 4 2 4 1 6 1 6 lim 1 , ì lim à lim 1 1 0 x x x A x v x v x x x x . Bài 2. 1) 1 1 8 8 1 8 0 8 lim lim lim 4 1 1 2 1 2 0 2 2 x x x x x x x B x x x x . 2) 2 2 1 1 2 1 0 lim lim lim 1 1 1 1 1 0 1 1 x x x x x x x B x x x x . 3) 4 43 4 4 4 4 4 4 7 15 7 15 2 2 2 7 15 2 0 0 lim lim lim 2 1 1 1 1 0 1 1 x x x x xx xx xx B x x x x . 4) 3 3 2 3 2 3 32 3 33 3 4 3 4 22 2 3 4 2 0 0 lim lim lim 2 1 1 1 1 1 1 0 0 11 x x x x xx x x x x B xx x x x x x . 5) 2 3 37 lim 21 x xx B x 3 2 3 2 3 3 33 3 1 7 3 1 7 0 0 0 lim lim 0 11 20 22 xx x x x x x x x x xx . 6) 32 2 lim 3 4 3 2 x xx B xx 2 2 24 lim 3 4 3 2 x xx xx Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page25 3 3 22 44 22 lim lim 4 2 4 2 3 3 3 3 xx x xx x x x x x 2 0 2 3 0 3 0 9 7) 34 7 4 3 2 1 lim 22 x xx B x 34 34 77 31 42 4 0 2 0 lim 8 3 2 0 2 x xx x . 8) 20 30 50 2 3 3 2 lim 12 x xx B x 20 30 20 30 30 50 50 32 23 2 0 3 0 3 lim 2 1 2 0 2 x xx x . 9) 2 33 lim 4 x xx B x 2 2 2 13 13 3 3 lim lim . , 4 4 1 1 xx x xx xx x x x x 2 13 3 ì lim à lim 3 4 1 xx xx v x v x . 10) 3 2 2 3 lim 5 x xx B x 3 23 23 2 23 23 2 2 lim lim . , 5 5 1 1 xx x xx xx x x x x 23 2 23 2 ì lim à lim 2 5 1 xx xx v x v x . Bài 3. 1) 2 lim 3 2 10 x C x x x 2 10 lim 3 2 x x x x 2 32 10 lim 32 x x x x x 2 32 10 lim 32 x x x x x 2 2 3 10 lim 32 11 x x xx 3 17 10 22 . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page26 2) 42 21 lim 12 x xx C x 2 2 4 2 4 1 1 1 1 22 lim lim 1 1 2 2 xx x x x x x x x x x , 24 11 2 2 ì lim à lim 0 1 2 2 xx xx v x v x 3) 2 lim 4 4 1 2 13 x C x x x 2 13 lim 4 4 1 2 x x x x 22 2 4 4 1 4 13 lim 4 4 1 2 x x x x x x x 2 2 41 13 lim 41 42 x x xx xx 2 1 4 13 lim 41 42 x x x xx xx 2 1 4 13 lim 41 42 x x x xx xx 2 1 4 13 lim 14 41 42 x x xx 4) 2 lim 5 x C x x x 11 5 lim 1 5 lim 1 1 xx x x x xx 1 11 19 5 lim 5 lim 2 11 1 1 1 1 xx x x xx . 5) 2 lim 2 1 x C x x 22 11 lim 2 lim 1 2 xx x x x xx , 2 1 ì lim 1 2 1 2 0 à lim xx v v x x . 6) 2 lim 4 2021 x C x x x 44 2021 lim 1 2021 lim 1 1 xx x x x xx 4 11 44 2021 lim 2021 lim 2021 2019 2 44 1 1 1 1 xx x x xx . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page27 7) 22 22 1 lim 1 lim 1 xx x C x x x x x x 22 2 11 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 2 11 11 xx x xx x x x x x x x x x xx 8) 2 23 lim 5 x x C xx 22 2 3 23 20 lim lim 2 1 5 1 5 1 0 0 11 xx x x xx x x x x x . 9) 4 2 2 lim 4 3 1 2 x C x x x 22 24 31 lim 4 2 x xx xx 2 4 2 2 2 4 2 4 3 1 1 4 4 3 3 lim lim 4 3 1 3 1 4 2 4 2 xx x x x x x x x x . 10) 2 2 lim 23 x x x x C x 1 12 lim 23 x xx x x 1 1 12 12 1 2 1 lim lim 3 3 22 2 2 xx x x x x x x . 11) 2 lim 1 1 x C x x x 2 11 1 lim 1 x xx xx 2 11 1 lim 1 1 x x xx 2 2 11 11 1 lim 11 11 x xx x xx 2 1 1 13 1 lim 1 22 11 11 x x xx . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page28 12) 2 lim 10 x x x x C x 11 11 11 lim lim 2 10 10 1 1 xx x xx x x x x x . 13) 22 lim 4 9 21 4 7 13 x C x x x x 22 9 21 7 13 lim 4 4 x xx x x x x 22 22 9 21 7 13 44 lim 9 21 7 13 44 x x x x x x x x x x 22 34 2 21 lim 2 2 2 9 21 7 13 44 x x x x x x . 14) 22 2 2 4 3 7 1 lim 2 1 . 3 x x x x x C x x x 3 2 3 2 3 22 2 2 44 3 7 1 3 7 1 4 lim lim 1 2 .1 1 3 1 3 2 . 1 2 . 1 xx xx x x x x x x x x x xx x x x x 15) 2 lim 4 4 1 2 3 x C x x x 2 41 3 lim 4 2 x xx xx 2 2 41 44 3 lim 41 42 x xx x xx 2 1 4 4 3 lim 3 4 4 41 42 x x xx . 16) 3 3 lim 1 53 x x Cx xx 2 3 2 2 33 11 1 1 0 1 lim 1 lim 1 1. 1 5 3 5 3 0 0 1 11 xx xx x xx x x x x x . 17) 2 lim 16 3 4 5 x C x x x 33 5 lim 16 4 5 lim 16 4 3 16 16 3 3 3 43 5 lim 5 lim 5 5 . 4 4 8 8 33 16 4 16 4 xx xx x x x xx x x xx Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page29 18) 3 52 2 lim 3 x xx Cx xx 3 2 2 5 35 35 1 1 2 2 lim lim 2. 13 13 1 1 xx x x x x x xx xx 19) 2 lim 3 1 x C x x x 2 11 3 lim 1 x xx xx 2 11 3 lim 1 1 x x xx 2 2 11 11 3 lim 11 11 x xx x xx 2 1 1 15 3 lim 3 22 11 11 x x xx . Bài 4. 1) 33 5 2 2 5 2 24 1 2 22 lim . lim . . lim 1 . 2 13 33 x x x x x x x x x x xx x x x x x x xx . 2) 2 22 3 2 23 23 lim lim lim 2 1 5 1 5 5 11 x x x x x x xx x x x x x . 3) 2 22 2 22 1 2 1 2 1 1 3 1 1 3 2 3 1 1 3 lim lim lim 4 21 1 1 1 4 1 1 4 1 4 1 x x x xx x x x x x x x x xx xx x x x . 4) 22 4 2 2 22 2 1 3 1 3 2 1 2 1 2 3 2 1 lim lim lim 55 5 2 2 22 x x x xx x x x x x x x x xx x xx . 5) 2 22 2 22 1 5 1 1 5 2 1 3 4 2 3 4 2 1 3 4 5 8 lim lim lim 3 1 10 1 1 10 1 3 2 9 10 1 3 2 9 3 2 9 x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x . 6) 3 23 2 3 2 3 1 1 1 1 3 1 8 3 1 8 3 1 1 8 1 lim lim lim 9 6 9 6 9 6 6 x x x xx xx x x x x xx x . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page30 7) 2 22 13 3 2 1 1 2 1 1 2 1 3 2 lim lim lim 1 5 5 5 5 x x x xx xx xx x x x x x x . 8) 2 22 2 22 3 1 3 1 4 1 4 4 3 1 1 lim lim lim 4 1 3 1 3 3 9 3 5 3 9 5 3 9 5 x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x . 9) 22 1 2 2 1 2 1 2 lim lim lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x xx x x x x x xx x x x x . 10) 2 22 3 8 8 3 8 3 lim lim lim 2 1 3 1 3 6 4 3 6 4 6 4 x x x xx x x x x xx x x x x . 11) 2 22 2 22 1 1 2 1 7 2 1 7 1 7 2 lim lim lim 1 3 2 3 2 3 3 2 5 3 1 5 3 1 5 x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x . 12) 22 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 lim lim lim 1 1 11 1 x x x xx xx x x x x xx x . Bài 5. 2 11 1) lim lim 1 lim 1 1 x x x x x x x x x xx . 1 ì lim à lim 1 1 2 xx V x v x . 22 2 2 44 2) lim 4 lim lim 2 4 4 11 x x x x x x x x x x x x x x x . 22 4 3) lim 2 2 lim lim 0 22 22 11 x x x xx xx xx x xx . 4 1 1 ì lim 0 à lim 2 22 11 xx Vv x xx . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page31 22 22 22 2 1 1 4) lim 1 lim lim 11 1 11 x x x x x x x x x x x x x xx xx 2 1 1 1 lim 2 11 11 x x xx . 2 2 2 2 2 4 1 2 3 5) lim 4 1 2 lim lim 41 4 1 2 12 x x x x x x x x x x x x xx xx 2 3 lim 0 4 1 2 11 x x x x x . 2 2 2 2 2 3 5 1 54 6) lim 3 5 1 lim lim 35 3 5 1 11 x x x x x x x x x x x x x xx xx 2 4 5 5 lim 2 3 5 1 11 x x x x x . 3 2 3 3 32 2 33 3 2 3 2 2 27 27 7) lim 27 3 lim 27 3 27 9 xx x x x x x x x x x x x x 2 22 2 2 2 3 3 3 3 11 lim lim 27 1 1 1 1 27 3 27 9 27 3 27 9 xx x x x x x x x x . 22 2 2 2 4 4 2 1 2 1 8) lim 2 4 2 1 lim lim 21 2 4 2 1 24 x x x x x x x x x x x x x xx xx 2 1 2 1 lim 2 21 24 x x xx . 2 2 2 22 2 3 4 4 3 16 6 9) lim 2 3 4 4 3 lim lim 2 3 4 4 3 2 3 4 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page32 22 6 16 16 6 lim lim 4 4 3 3 4 3 2 3 4 2 4 xx x x xx x x x x x 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 22 24 4 3 1 4 3 1 10) lim 4 3 1 2 lim lim 31 4 3 1 2 42 x x x x x x x x x x x x x xx xx 2 24 1 3 3 lim 4 31 42 x x xx . 2 2 2 2 2 4 3 1 2 4 19 15 11) lim 4 3 1 2 4 lim lim 31 4 3 1 2 4 4 2 4 x x x x x x x x x x x x x xx xx 2 15 19 19 lim 4 3 1 4 42 x x x x x . 2 2 2 2 2 4 4 1 2 3 16 8 12) lim 4 4 1 2 3 lim lim 41 4 4 1 2 3 4 2 3 x x x x x x x x x x x x x xx xx 2 8 16 lim 4 4 1 3 42 x x x x x . 13) 3 2 3 3 2 3 2 2 22 2 33 2 2 3 2 3 4 4 2 4 3 lim lim . 4 4 3 2 4 3 44 xx x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x x 2 33 3 24 4 16 lim . . 39 44 1 1 1 x x xx 14) 3 3 3 3 2 2 33 33 8 1 2 1 lim 8 1 2 1 lim 8 1 2 1 8 1 2 1 xx xx xx x x x x Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page33 2 2 2 33 33 12 6 2 lim 8 1 2 1 8 1 2 1 x xx x x x x 2 2 2 33 33 62 12 lim 1. 1 1 1 1 8 2 8 2 x xx x x x x Dạng 4. Giới hạn một bên 0 xx + → hoặc 0 xx − → . Phương pháp gi ải: - Sử dụng các định lý về giới hạn hàm số Chú ý: 0 0 0 0 x x x x xx +   − →   0 0 0 0 x x x x xx −   − →    VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính giới hạn 1 23 lim . 1 x x A x + → − = − Đs: . − Lờ i giải Vì 1 11 lim 2 3 1 0 23 lim 1 0 lim 1 1 1 1 0 x xx x x xA x x x x . Ví dụ 2. Tính giới hạn 2 15 lim . 2 x x A x + → − = − Đs: . − Lờ i giải Vì 2 22 lim 15 13 0 15 lim 2 0 lim 2 2 2 2 0 x xx x x xA x x x x . Ví dụ 3. Tính giới hạn 3 2 lim . 3 x x A x − → − = − Đs: . − Lờ i giải Vì ( ) ( ) 3 33 lim 2 1 0 2 lim 3 0 lim 3 3 3 3 0 x xx x x xA x x x x − −− → →→ − − = −    −  − =  = = −   −  →    −    . Ví dụ 4. Tính giới hạn 2 1 lim . 24 x x A x + → + = − Đs: . + Lờ i giải Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page34 Vì ( ) ( ) 2 22 lim 1 3 0 1 lim 2 4 0 lim 24 2 2 2 4 0 x xx x x xA x x x x + ++ → →→ + + =    +  − =  = = +  −  →    −    . Ví dụ 5. Tính giới hạn ( ) 2 4 5 lim . 4 x x A x − → − = − Đs: . − Lờ i giải Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 44 2 lim 5 1 0 5 lim 4 0 lim 4 4 4 0 x xx x x xA x xx − −− → →→ − − = −    −  − =  = = −   −   →  −   . Ví dụ 6. Tính giới hạn ( ) 2 3 38 lim . 3 x x A x − → − = − Đs: . + Lờ i giải Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 33 2 lim 3 8 1 0 38 lim 3 0 lim 3 3 3 0 x xx x x xA x xx − −− → →→ − − =    −  − =  = = +   −   →  −   . Ví dụ 7. Tính giới hạn ( ) ( ) 2 2 3 2 5 3 lim . 3 x xx A x + →− +− = + Đs: . − Lờ i giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 3 3 3 2 1 3 2 5 3 2 1 lim lim lim 3 33 x x x xx x x x x xx + + + → − → − → − −+ + − − == + ++ Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 33 lim 2 1 7 0 2 5 3 lim 3 0 lim 3 3 3 3 0 x xx x xx xA x x x x + ++ →− → − → − +  − = −   +−  + =  = = −   +   → −   −  +   . Ví dụ 8. Tính giới hạn 2 2 11 lim . 24 x A xx − →  =−  −−  Đs: . − Lờ i giải Ta có: ( ) ( ) 2 22 1 1 1 lim lim 2 4 2 2 xx x A x x x x −− →→ +  = − =  − − − +  Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page35 Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 lim 1 3 0 11 lim 2 2 0 lim 24 2 2 2 2 0 x xx x x x A xx x x x x − −− → →→ − + =      − + =  = − = −      −−   →    − +    . Ví dụ 9. Tính giới hạn 2 2 2 lim . 2 5 2 x x B xx − → − = −+ Đs: 1 . 3 − Lờ i giải Vì 2 2 2 2 x x x x − →    − = − Do đó ( ) ( ) 22 2 1 1 lim lim 2 2 1 2 1 3 xx x B x x x −− →→ −− = = = − − − − . Ví dụ 10. Tính giới hạn 3 3 lim . 5 15 x x B x + → − = − Đs: 1 . 5 Lờ i giải Vì 3 3 3 3 x x x x + →    − = − Do đó ( ) 33 3 1 1 lim lim 5 3 5 5 xx x B x −− →→ − = = = − .  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) 3 1 1 lim . 23 x x A xx − → − = +− Đs: 1 . 7 − 2) 2 2 lim . 2 x x B x → − = − Đs: Không tồ n tại. 3) 2 3 9 lim . 3 x x C x → − = − Đs: Không tồ n tại. Bài 2. Tính các giới hạn sau: 1) 2 2 1 2 2 1 3 lim . 21 x x x x x C xx − → − + − + = −+ Đs: 7 . 4 2) 2 2 lim . 11 x x C x − → − = −− Đs: 2. − 3) 2 2 3 7 12 lim . 9 x xx D x − → −+ = − Đs: 1 . 6 4) 2 2 2 56 lim . 4 x xx D x − → −+ = − Đs: 1 . 2 Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page36 5) 23 1 11 lim . x xx D xx − → − + − = − Đs: 1. 6) ( ) 32 1 5 lim 1 . 23 x x Dx xx + → + =− +− Đs: 0. 7) 3 2 1 32 lim . 54 x xx D xx − → −+ = −+ Đs: 3 . 3 Bài 3. 1) Tính giới hạn ( ) 1 lim x C f x → = với ( ) 42 3 5 6 1 . 31 x x x khi x fx x x khi x  − −   =  −   Đs: 2 − 2) Tính giới hạn ( ) 1 lim x C f x → = với ( ) 2 31 . 1 7 2 1 x khi x fx x khi x −   =  − +    Đs: 2 − . 3) Tính giới hạn ( ) 2 lim x C f x →− = với ( ) 32 2 . 1 10 2 x khi x fx x x khi x −  −  = +   +  −  Đs:8 . Bài 4. Tìm m để hàm số ( ) 3 22 1 1 1 1 x khi x fx x mx x m khi x  + −  = +   − +  −  có giới hạn tại 1. x =− Đs: 1 m = hoặc 2 m =− .  LỜI GIẢI Bài 1. 1) 3 1 1 lim . 23 x x A xx − → − = +− Vì ( ) 1 1 1 1 . x x x x − →    − = − − Do đó ( ) ( ) ( ) 2 2 11 1 11 lim lim . 2 2 3 7 1 2 2 3 xx x A xx x x x −− →→ −− − = = = − ++ − + + 2) 2 2 lim . 2 x x B x → − = − +) Vì ( ) 2 2 2 2 x x x x − →    − = − − nên ( ) ( ) 22 2 lim lim 1 1 2 xx x x −− →→ −− = − = − − . +) Vì 2 2 2 2 x x x x + →    − = − nên 22 2 lim lim1 1 2 xx x x −− →→ − == − . Suy ra 22 22 lim lim 22 xx xx xx −+ →→ −−  −− nên không tồ n tại giới hạn của 2 2 lim . 2 x x B x → − = − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page37 3) 2 3 9 lim . 3 x x C x → − = − Ta có 3 3 . 3 lim . 3 x xx C x → −+ = − Do đó: +) ( ) 2 3 3 3 9 3 . 3 lim lim lim 3 6. 33 x x x x xx x xx + + + → → → − −+ = = + = −− +) ( ) ( ) 2 3 3 3 9 3 . 3 lim lim lim 3 6. 33 x x x x xx x xx − − − → → → − − − + = = − + = − −− Suy ra giới hạn của 2 3 9 lim 3 x x C x → − = − không tồ n tại. Bài 2. 1) 2 2 1 2 2 1 3 lim . 21 x x x x x C xx − → − + − + = −+ Vì ( ) 1 1 0 1 1 x x x x − →  −   − = − − . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 1 3 2 3 4 3 lim lim lim 1 1 1 2 3 x x x x x x x x x x x C x x x x x − − − → → → − − − + − + − − = = = − − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 4 3 4 3 7 lim lim . 4 23 1 2 3 xx xx x xx x x x −− →→ −+ + = = = ++ − + + 2) 2 2 lim . 11 x x C x − → − = −− Vì ( ) 2 2 0 2 2 x x x x − →  −   − = − − . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 1 1 lim lim 1 1 2 11 xx xx Cx x −− →→ − − − +  = = − − + = −  −− . 3) 2 2 3 7 12 lim . 9 x xx D x − → −+ = − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 34 3 . 4 4 1 lim lim lim . 3 . 3 3 6 33 x x x xx x x x D x x x xx − − − → → → −− − − − = = = = − + + −+ 4) 2 2 2 56 lim . 4 x xx D x − → −+ = − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 23 2 . 3 3 1 lim lim lim . 2 2 . 2 2 22 x x x xx x x x D x x x xx − − − → → → −− − − − = = = = − + + −+ Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page38 5) 23 1 11 lim . x xx D xx − → − + − = − Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 11 11 11 lim lim lim 1. 1 1 x x x xx xx x D x xx xx − − − → → → − − − − − − −− = = = = − − 6) ( ) 32 1 5 lim 1 . 23 x x Dx xx + → + =− +− Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 1 5 1 5 lim lim 0. 33 1 3 3 xx x x x x D xx x x x ++ →→   − + − +  = − = − =  ++  − + +    7) 3 2 1 32 lim . 54 x xx D xx − → −+ = −+ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 12 12 23 lim lim lim . 1 4 1 4 4 3 x x x xx xx x D x x x x x − − − → → → −+ −+ + = = = = − − − − − Bài 3. 1) Ta có: +) ( ) ( ) 3 11 lim lim 3 2. xx f x x x −− →→ = − = − +) ( ) ( ) 42 11 lim lim 5 6 5 6 1 2. xx f x x x x ++ →→ = − − = − − = − +) Vì ( ) ( ) 11 lim lim 2 xx f x f x −+ →→ = = − nên hàm số ( ) fx có giới hạn tại 1 x = và ( ) 1 lim 2. x fx → =− 2) Ta có: +) ( ) ( ) 11 lim lim 3 2. xx f x x −− →→ = − = − +) ( ) ( ) 2 11 lim lim 1 7 2 2. xx f x x ++ →→ = − + = − +) Vì ( ) ( ) 11 lim lim 2 xx f x f x −+ →→ = = − nên ( ) 1 lim 2. x C f x → = = − 3) Ta có: +) ( ) ( ) ( ) 22 32 lim lim 8. 1 xx x fx x −− → − → − − == + +) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 lim lim 10 8. xx f x x ++ → − → − = + = +)Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 22 lim lim 8 xx f x f x −+ → − → − == nên ( ) 2 lim 8. x C f x →− == Bài 4. Ta có: Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page39 +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 3. 1 x x x x f x x x x − − − → − → − → − + = = − + = + +) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 lim lim 1. xx f x mx x m m m ++ → − → − = − + = + + +) Để hàm số có giới hạn tại 1 x =− thì 22 1 3 1 2 0 . 2 m m m m m m =  = + +  + − =   =−  Dạng 5. Giới hạn của hàm số lượng giác Phương pháp gi ải: - Sử dụng các định lý về giới hạn hàm số - Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác - Lưu ý: 0 sin lim 1 x x x  VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính giới hạn 2 6 2sin 1 lim . 4cos 3 x x A x  → − = − Đs: 1 . 2 A =− Lờ i giải Ta có: ( ) 22 2 6 6 6 6 2sin 1 2sin 1 2sin 1 1 1 lim lim lim lim . 4cos 3 1 4sin 1 2sin 2 4 1 sin 3 x x x x x x x A x x x x     → → → → − − − − = = = = = − − − + −− Ví dụ 2. Tính giới hạn 2 4 2 sin 1 lim . 2cos 1 x x A x  → − = − Đs: 1 . 2 A =− Lờ i giải Ta có: ( ) 22 2 4 4 4 4 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 1 1 lim lim lim lim . 2cos 1 1 2sin 2 2 1 sin 1 1 2 sin x x x x x x x A xx x x     → → → → − − − − = = = = = − −− −− + Ví dụ 3. Tính giới hạn 0 cos4 1 lim . sin 4 x x A x → − = Đs: 0. A = Lờ i giải Ta có: 2 2 2 2 00 cos4 1 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 lim lim sin 4 2sin 2 cos2 xx x x x x x A x x x →→ − − − − == 2 00 2sin 2 sin 2 lim lim 0. 2sin 2 cos 2 cos 2 xx xx x x x →→ −− = = = Ví dụ 4. Tính giới hạn 0 1 sin 2 cos2 lim . 1 sin 2 cos2 x xx A xx → −− = +− Đs: 1. A =− Lờ i giải Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page40 Ta có: ( ) ( ) 22 22 00 1 2sin cos cos sin 1 sin 2 cos 2 lim lim . 1 sin 2 cos 2 1 2sin cos cos sin xx x x x x xx A xx x x x x →→ − − − −− == +− + − − ( ) ( ) 2 2 0 0 0 2sin sin cos 2sin 2sin cos sin cos lim lim lim 1. 2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − −− = = = = − + + +  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) 0 1 sin 2 cos2 lim . 1 sin 2 cos2 x xx A xx → +− = −− Đs: 1. A =− 2) 0 sin 2 lim . 1 sin 2 cos2 x x A xx → = −− Đs: 1. A =− 3) 0 sin 7 sin5 lim . sin x xx A x → − = Đs: 2. A = 4) 0 sin5 sin3 lim . sin x xx A x → − = Đs: 2. A = 5) 0 1 cos lim . sin x x A x → − = Đs: 0. A = 6) 3 cos3 2cos 2 2 lim . sin 3 x xx A x  → ++ = Đs: 23 . 3 A = 7) 2 1 sin 2 cos 2 lim . cos x xx A x  → ++ = Đs: 2. A = Bài 2. Tính các giới hạn sau: 1) 0 1 cos lim . 1 cos x ax B bx → − = − Đs: 2 . a B b  =   2) 0 sin5 lim . x x B x → = Đs: 5. B = 3) 3 0 sin5 .sin3 .sin lim 45 x x x x B x → = . Đs: 1 . 3 B = 4) 2 0 1 cos lim x x B x → − = . Đs: 1 . 2 B = 5) 0 1 cos5 lim 1 cos3 x x B x → − = − . Đs: 25 9 B = . 6) 2 0 1 cosa lim x x B x → − = . Đs: 2 2 a B = . 7) 2 0 1 cos 2 lim sin x x B xx → − = . Đs: 4 B = . 8) 3 0 sin tan lim x xx B x → − = . Đs: 1 . 2 B =− 9) 3 0 tan sin lim sin x xx B x → − = . Đs: 1 2 B = . 10) 3 0 1 cos lim sin x x B xx → − = . Đs: 3 2 B = . Bài 3. Tính các giới hạn sau: 1) ( ) 2 4 0 cos8 1 sin 3 lim 3. x xx B x → − = . Đs: 48 B =− . 2) 0 1 2 1 lim sin 2 x x B x → −+ = . Đs: 1 2 B − = . 3) 2 0 1 cos cos 2 lim x x B x → − = . Đs: 3 2 B = . 4) 3 2 0 1 cos lim tan x x B x → − = . Đs: 1 6 B = . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page41 5) 3 2 4 tanx 1 lim 2sin 1 x B x  → − = − . Đs: 1 . 3 B = 6) 3 0 1 tan 1 sin lim x xx B x → + − + = . Đs: 1 4 B = . 7) ( ) 2 0 1 cos lim . 11 x x B x → − = −− Đs: 2 B = . 8) 2 2 0 1 cos lim x xx B x → +− = . Đs: 1 B = . 9) 0 1 2 1 sin lim 3 4 2 x xx B xx → − + + = + − − . Đs: 0 B = . 10) 3 2 0 2 1 1 lim sin x xx B x → + − + = . Đs: 1. Bài 4. Tính các giới hạn sau: 1) 4 lim tan 2 tan . 4 x C x x   →   =−     Đs: 1 2 C = 2) ( ) 2 1 cos lim . x x C x   → + = − Đs: 1 2 C = 3) ( ) 2 sin 1 lim . 43 x x C xx  → − = −+ Đs: 1 . 2 C − = 4) sin sin lim . xa xa C xa → − = − Đs: cos . Ca =  LỜI GIẢI Bài 1. 1) ( ) ( ) 22 22 00 1 2sin cos cos sin 1 sin 2 cos 2 lim lim . 1 sin 2 cos 2 1 2sin cos cos sin xx x x x x xx A xx x x x x →→ + − − +− == −− − − − ( ) ( ) 2 2 0 0 0 2sin sin cos 2sin 2sin cos sin cos lim lim lim 1. 2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → + ++ = = = = − − − − 2) ( ) 22 00 sin 2 2sin cos lim lim . 1 sin 2 cos 2 1 2sin cos cos sin xx x x x A xx x x x x →→ == −− − − − ( ) 2 0 0 0 2sin cos 2sin cos cos lim lim lim 1. 2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x → → → = = = = − − − − 3) 0 0 0 sin 7 sin5 2cos6 .sin lim lim lim2cos6 2 sin sin x x x x x x x Ax xx → → → − = = = = . 4) 0 0 0 sin5 sin3 2cos4 .sin lim lim lim2cos4 2 sin sin x x x x x x x Ax xx → → → − = = = = . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page42 5) 2 0 0 0 2sin sin 1 cos 22 lim lim lim 0 sin 2sin .cos cos 2 2 2 x x x xx x A x x x x → → → − = = = = . 6) ( ) 3 2 2 3 33 4cos 3cos 2 cos sin 2 cos3 2cos 2 2 lim lim sin3 3sin 4sin xx x x x x xx A x x x  →→ − + − + ++ == − ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 33 cos 4cos 3 4cos 4cos 3cos 4cos lim lim sin 3 4sin sin 3 4 1 cos xx x x x x x x xx xx  →→ −+ −+ ==  − −−  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 cos 2cos 1 4 cos 2cos 3 2cos 1 cos 2cos 3 23 lim lim lim . sin 2cos 1 2cos 1 sin 2cos 1 3 sin 4cos 1 x x x xx x x x x x x x x x x xx    → → →  +− + − +  = = = = − + +  −  7) 2 22 1 sin 2 cos 2 2cos 2sin cos lim lim cos cos xx x x x x x A xx  →→ + + + == ( ) ( ) 22 2cos cos sin lim lim 2 cos sin 2. cos xx x x x xx x  →→ + = = + = Bài 2. 1) 2 2 2 0 0 0 2 2sin sin 1 cos 2 2 2 lim lim lim . . . 1 cos 2sin sin 2 2 2 x x x ax ax bx ax a a A bx ax bx bx b b → → →   −  = = = =   −    (Vì 0 sin 2 lim 1 2 x ax ax → = và 0 2 lim 1 sin 2 x bx bx → = ). 2) 00 sin 5 sin 5 lim lim 5. 5 5 xx xx B xx →→  = = =   . (Vì 0 sin5 lim 1 5 x x x → = ). 3) 3 00 sin 5 .sin 3 .sin sin 5 sin 3 sin 1 1 lim lim . . . 45 5 3 3 3 xx x x x x x x B x x x x →→  = = =   (Vì 0 sin5 lim 1 5 x x x → = , 0 sin3 lim 1 3 x x x → = , 0 sin lim 1 x x x → = ). 4) 2 2 2 00 2sin 1 cos 1 2 lim lim 2 .4 2 xx x x B x x →→ − = = =    , (vì 2 2 0 sin 2 lim 1 2 x x x → =    . 5) 2 2 2 2 0 0 0 2 2 53 5 sin . 2sin 1 cos5 25 25 22 2 lim lim lim . 3 1 cos3 9 9 53 2sin .sin 2 22 x x x xx x x B x x xx → → →     −   = = = =  −     Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page43 (Vì 2 2 0 5 sin 2 lim 1 5 2 x x x → =    và 2 0 2 3 2 lim 1 3 sin 2 x x x →    = ). 6) 2 22 2 2 00 2sin 1 cosa 2 lim lim . 42 2 xx ax x a a B x ax →→   −  = = =       , (vì 2 2 0 sin 2 lim 1 2 x ax ax → =    ). 7) 2 2 2 2 0 0 0 sin 2 4sin .cos sin lim lim lim .4cos 4 .sin .sin x x x x x x x Bx x x x x x → → →  = = = =   , (vì 0 sinx lim 1 x x → = ). 8) 3 3 3 0 0 0 sin sin sin tan sin .cos sin cos lim lim lim cos x x x x x x x x x x x B x x x x → → → − −− = = = ( ) 2 2 3 00 sin sin 1 cos 2sin 2 1 2 lim lim . . cos 4cos 2 2 xx x xx x x x x x x →→   −− − − −  = = =       . (vì 0 sinx lim 1 x x → = và 2 2 0 sin 2 lim 1 2 x x x →    =    ). 9) 3 3 3 0 0 0 sin sin tan sin sin sin .cos cos lim lim lim sin sin sin x cos x x x x x x x x x x x B x x x → → → − −− = = = 2 2 0 0 0 2 2 2 2sin 1 cos 1 1 2 lim lim lim sin x.cos 2 4.sin .cos .cos cos .cos 2 2 2 x x x x x x x x x xx → → → − = = = = 10) ( ) ( ) ( ) 22 2 00 2sin 1 cos cos 1 cos 1 cos cos 2 lim lim sin 2 .sin .cos 22 xx x xx x x x B xx xx x →→ ++ − + + == 2 0 sin 1 cos cos 3 2 lim . 2 2cos 22 x x xx xx →   ++ ==    , (vì 0 sin 2 lim 1 2 x x x → = ). Bài 3. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 4 44 0 0 0 cos8 1 sin 3 cos8 1 sin 3 2sin 4 sin 3 lim lim lim 3 3 cos8 1 3 cos8 1 x x x xx xx xx B x x x x x → → → − − − = = = ++ Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page44 = 22 0 sin 4 sin3 96 lim . . 48 43 cos8 1 x xx xx x →  −     =−      +       2) 00 1 2 1 2 1 1 lim lim . sin 2 sin 2 2 1 2 1 xx xx B xx x →→ − + −  = = = −  ++  3) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 0 0 0 1 cos 1 2sin 1 cos cos 2 1 cos cos 2 lim lim lim 1 cos cos 2 1 cos cos 2 x x x x x x x x B x x x x x x x → → → −− −− = = = ++ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 00 2 2 0 sin cos cos 1 2sin sin 2sin cos lim lim 1 cos cos 2 1 cos cos 2 sinx 1 2cos 3 lim . . 2 1 cos cos 2 xx x x x x x x x x x x x x x x x x xx →→ → + − − + == ++  +  ==   +    4) ( ) 3 2 2 00 3 2 3 2 1 cos 1 cos lim lim sin tan 1 cos cos cos xx xx B x x xx x →→ −− == ++ ( ) ( ) 22 2 00 33 2 2 2 2 2 33 4sin cos cos 1 2 lim lim 6 2sin cos 1 cos cos 2cos 1 cos cos 22 xx x x x x x x x x x x x →→ = = = + + + + . 5) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 3 44 tanx 1 tan 1 lim lim 2sin 1 sin cos tan tan 1 xx x B x x x x x  →→ −− == − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 2 2 2 33 44 sin cos 11 cos lim lim . 3 sin cos tan tan 1 cos sin cos tan tan 1 xx xx x x x x x x x x x x  →→ − = = = − + + + + + 6) ( ) 3 3 00 1 tan 1 sin tan sin lim lim 1 tan 1 sin xx x x x x B x x x x →→ + − + − == + + + ( ) ( ) ( ) 2 33 00 2 0 2sin sin sin sin cos 2 lim lim cos 1 tan 1 sin cos 1 tan 1 sin sin sin 2 1 2 lim . . 4 4 1 tan 1 sin 2 xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →→ → − == + + + + + +      ==   + + +     Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page45 7) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2sin 1 1 sin 2 1 1 1 cos 22 lim lim lim . 2 4 11 2 x x x xx x x x B x x x → → →   +−  +−  −  = = = =   −−     . 8) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 1 cos 1 cos sin lim lim lim 1 cos 1 cos x x x x x x x x x B x x x x x x x → → → + − + − + = = = + + + + 2 2 22 0 sin 1 1 1 1 = lim . 1 22 1 cos 1 cos x x x x x x x →  + = + =  + + + +  . 9) 0 0 0 1 2 1 sin 1 2 1 sin lim = lim lim 3 4 2 3 4 2 3 4 2 x x x x x x x B x x x x x x → → → − + + − + =+ + − − + − − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 200 00 2 3 4 2 sin 3 4 2 lim lim 1 1 2 1 2 3 4 2 sin 3 4 2 lim lim . 1 1 1 2 1 4 4 0. xx xx x x x x x x xx x x x xx x x x xx xx →→ →→ − + + + + + + =+ −+ − − + + − + + +  + + + =+   −− − − + +  =−= 10) 3 3 3 2 2 2 0 0 0 0 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 lim lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x B x x x x → → → → + − + + − + − + + − − + = = = + ( ) ( ) 2 00 2 322 3 2 lim lim 1 sin 2 1 1 sin 1 1 1 xx xx xx x x x →→ − = + =  ++ + + + +   . Bài 4. 1) 4 lim tan 2 tan 4 x C x x   →   =−     Đặt 4 tx  =− , vì 0. 4 xt  →  → Khi đó: ( ) 2 0 0 0 cos 2 1 lim tan 2 ( 1) tan lim cot 2 tan lim 2 2cos 2 t t t t C t t t t t  → → →   = + − = = =     . 2) ( ) 2 1 cos lim x x C x   → + = − Đặt tx  =− , vì 0. xt  →  → Khi đó: 2 22 00 2sin 1 cos 1 2 lim lim . 2 tt t t C tt →→ − = = = 3) ( ) 2 sin 1 lim 43 x x C xx  → − = −+ Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page46 Đặt tx  =− , vì 1 0. xt →  → Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 sin 1 sin 1 sint 1 lim lim lim 4 3 1 3 2 2 x x t xx C x x x x t t  → → → −− = = = = − − + − − − . 4) sin sin lim xa xa C xa → − = − Đặt t x a =− . vì 0. x a t →  → Khi đó: ( ) 00 2 2cos .sin sin sin 22 lim lim cos 2. 2 tt t a t t a a Ca t t →→ + +− = = = . C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1. 2 3 3 lim . 6 x x xx → − −− ĐS: 1 5 2. 2 3 2 15 lim . 3 x xx x → +− − ĐS : 8 3. 2 3 3 lim 23 x x xx →− + +− ĐS: 1 4 4. 2 2 2 32 lim . 4 x xx x → −+ − ĐS: 1 . 4 5. 2 2 2 32 lim . 4 x xx x →− ++ − ĐS: 1 4 − 6. 2 2 3 7 12 lim . 9 x xx x → −+ − ĐS: 1 6 − . 7. 2 2 1 1 lim . 34 x x xx → − +− ĐS: 2 5 8. 2 2 2 6 lim . 4 x xx x → +− − ĐS: 5 . 4 9. 2 2 2 2 3 14 lim . 4 x xx x → +− − ĐS: 11 . 4 10. 2 2 3 9 l im . 43 x x xx → − −+ ĐS: 3 11. 2 2 2 3 10 lim . 4 18 x xx xx → −− +− ĐS: 11 7 . 12. 2 2 5 5 lim . 25 x xx x → − − ĐS: 1 . 2 13. 2 2 2 4 lim . 2 10 12 x x xx → − −+ ĐS: 2 14. 2 2 2 4 lim . 26 x x xx → − −− ĐS: 4 . 7 − 15. 2 2 3 56 lim . 3 x xx xx → −+ − ĐS: 1 . 3 16. 2 2 5 9 20 lim . 5 x xx xx → −+ − ĐS: 1 . 5 17. 2 2 3 3 10 3 lim . 56 x xx xx → −+ −+ ĐS: 8 18. 2 2 3 23 lim . 21 x xx xx → +− −− ĐS: 4 19. 32 2 3 56 lim . 9 x x x x x → −+ − ĐS: 1 . 2 − 20. 4 2 2 16 lim . 68 x x xx →− − ++ ĐS: 16. − 21. 3 2 2 8 lim . 56 x x xx → − −+ ĐS: 12 22. 3 2 2 8 lim . 11 18 x x xx →− + ++ ĐS: 12 . 7 Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page47 23. 2 3 2 22 lim . 22 x xx x → − − + − ĐS: 2 2 1 . 6 − 24. 3 2 2 8 lim . 32 x x xx → − −+ ĐS: 12. 25. 3 2 2 22 lim . 2 x x x →− + − ĐS: 32 . 2 − 26. ( ) 3 0 11 lim . x x x → +− ĐS: 3. 27. ( ) 3 0 1 27 lim . x x x → +− ĐS: 27. 28. 4 2 3 27 lim . 2 3 9 x xx xx → − −− ĐS: 9. 29. 32 2 5 10 8 lim . 2 x x x x x → − + − − ĐS: 2. 30. 32 2 1 2 5 2 1 lim . 1 x x x x x → − + + − ĐS: 1. − 31. 3 2 2 24 lim . 4 x xx x → −− − ĐS: 5 . 2 32. 32 2 2 32 lim . 6 x x x x xx →− ++ −− ĐS: 2 . 5 − 33. 2 3 2 2 10 lim . 6 x xx xx →− −− −+ ĐS: 9 . 11 − 34. 32 2 1 1 lim . 21 x x x x xx → − − + −+ ĐS: 2. 35. 2 3 2 4 lim . 32 x x xx → − −− ĐS: 4 . 9 36. 32 2 2 22 lim . 4 x x x x x → − − + − ĐS: 3 . 4 37. 2 32 1 34 23 lim x xx xx → +− +− . ĐS: 5 8 38. 32 2 1 3 4 2 3 lim 3 2 1 x x x x xx → − − + −− . ĐS: 1 4 − 39. 32 2 2 52 lim 32 x x x x xx → + − − −+ ĐS: 11 40. 3 2 1 2 5 3 lim 32 x xx xx → −+ −+ ĐS: -1 41. 2 32 2 28 lim 3 4 6 x xx x x x →− −− + − + ĐS: 6 19 − . 42. 3 42 1 1 lim 43 x x xx → − −+ ĐS: 3 4 . 43. 32 42 3 5 3 9 lim 89 x x x x xx → − + + −− ĐS: 0 . 44. 32 42 1 3 6 5 4 1 lim 9 8 1 x x x x xx → − + − +− ĐS: 2 5 . 45. 1 23 lim 54 x xx xx → +− −+ ĐS: 4 3 − . 46. 3 4 1 32 lim 43 x xx xx → −+ −+ ĐS: 1 2 . 47. 54 2 2 22 lim 4 x x x x x → − + − − ĐS: 17 4 . 48. 43 32 1 1 lim 5 7 3 x x x x x x x → − − + − + − ĐS: 3 2 − . 49. 32 32 3 2 5 2 3 lim 4 13 4 3 x x x x x x x → − − − − + − ĐS: 11 17 . 50. 32 32 1 2 5 4 1 lim 1 x x x x x x x →− + + + + − − ĐS: 1 2 . 51. 32 32 3 2 5 2 3 lim 4 12 4 12 x x x x x x x → − − − − + − ĐS: 11 20 . 52. 3 2 3 2 1 21 lim ( 1) x xx x → −+ − ĐS: 1 9 . 53. 4 3 2 32 2 2 8 7 4 4 lim 3 14 20 8 x x x x x x x x →− + + − − + + + ĐS: 7 4 − . 54. 32 2 3 2 3 9 7 3 lim 3 x x x x x →− − + + + − ĐS: 73 6 55. 4 3 2 4 3 2 1 5 9 7 2 lim 3 3 2 x x x x x x x x x → − + − + − + + − ĐS: 0 . 56. 5 4 3 2 2 1 5 lim 1 x x x x x x x → + + + + − − ĐS: 15 2 . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page48 57. 2 1 12 lim 11 x xx →  −  −−  ĐS: 1 2 . 58. 3 2 1 12 lim 28 x xx →  −  −−  ĐS: 1 2 . 59. 22 2 11 lim 3 2 5 6 x x x x x →  +  − + − +  ĐS: 2 − . 60. 2 2 2 3 26 lim 24 x xx xx →− −−  −  +−  ĐS: 7 2 . 61. 23 1 11 lim 21 x x x x →  −  + − −  ĐS: 2 9 . 62. 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim x x x x x → + + + − ĐS: 6 . 63. 1 1 lim 1 n m x x x → − − ĐS: n m . 64. 2 1 1 lim ( 1) n x x nx n x → − + − − ĐS: ( 2)( 1) 2 nn −− . 65. 100 50 1 21 lim 21 x xx xx → −+ −+ ĐS: 2 . 66. 2 1 ... lim 1 n x x x x n x → + + + − − ĐS: ( 1) 2 nn + . Lờ i giải 1. ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 1 1 lim lim =lim . 6 2 3 2 5 x x x xx x x x x x → → → −− == − − + − + 2. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 35 2 15 lim lim =lim 5 8 33 x x x xx xx x xx → → → −+ +− = + = −− 3. 2 3 3 lim 23 x x xx →− + +− ( ) ( ) 3 3 lim 31 x x xx →− + = +− 4. 2 2 2 32 lim 4 x xx x → −+ − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 lim 22 x xx xx → −− = −+ 3 11 lim . 14 x x →− == − 2 11 lim . 24 x x x → − == + 5. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 12 3 2 1 1 lim lim = lim . 4 2 2 2 4 x x x xx x x x x x x x → − → − → − ++ + + + = = − − − + − 6. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 34 7 12 4 1 lim lim =lim . 9 3 3 3 6 x x x xx x x x x x x x → → → −− − + − = = − − − + + 7. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 11 1 1 2 lim lim =lim 3 4 1 4 4 5 x x x xx xx x x x x x → → → −+ −+ == + − − + + 8. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 23 6 3 5 lim lim =lim . 4 2 2 2 4 x x x xx x x x x x x x → → → −+ + − + == − − + + 9. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 7 2 3 14 2 7 11 lim lim =lim . 4 2 2 2 4 x x x xx x x x x x x x → → → −+ + − + == − − + + 10. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 33 93 l im lim =lim 3. 4 3 3 1 1 x x x xx xx x x x x x → → → −+ −+ == − + − − − 11. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 5 3 10 3 5 11 lim lim =lim . 4 18 2 4 9 4 9 17 x x x xx x x x x x x x x → → → −+ − − + == + − − + + Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page49 12. ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 5 5 51 lim lim =lim . 25 5 5 5 2 x x x xx x x x x x x x → → → − − == − − + + 13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 42 lim lim lim 2. 2 10 12 2 2 3 2 3 x x x xx xx x x x x x → → → −+ − − − = = = − + − − − 14. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 4 2 4 lim lim lim . 2 6 2 2 3 2 3 7 x x x xx xx x x x x x → → → −+ − − − − = = = − − − + + 15. ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 23 5 6 2 1 lim lim =lim . 3 2 2 3 x x x xx x x x x x x x → → → −− − + − == −− 16. ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 5 45 9 20 4 1 lim lim =lim . 5 5 5 x x x xx x x x x x x x x → → → −− − + − == −− 17. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 1 5 6 3 1 lim lim =lim 8. 3 2 3 2 x x x xx x x x x x x x x → → → −− − + − == − − − − 18. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 13 2 3 3 lim lim =lim 4. 2 1 1 2 1 2 1 x x x xx x x x x x x x x → → → −+ + − + == − − − − − 19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 3 3 3 2 3 2 5 6 1 lim lim =lim 9 3 3 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − −+ = = − − − + − − 20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 16 lim lim = lim 16 6 8 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x x → − → − → − + − + + − − = = − + + + + + 21. 3 2 2 8 lim 56 x x xx → − −+ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 lim 23 x x x x xx → − + + −− 22. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 22 2 2 4 8 lim lim 11 18 2 9 xx x x x x x x x x → − → − + − + + = + + + + ( ) 2 2 24 lim 12. 3 x xx x → − + + == − 2 2 2 4 12 lim . 97 x xx x →− −+ == + 23. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 lim lim = lim . 6 2 2 2 2 2 2 2 x x x xx x x x x x x x x x → → → − − + − − + − + − == − + + − + + 24. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 2 2 2 2 4 8 2 4 lim lim =lim 12. 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + − + + == − + − − − 25. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 lim lim = lim . 22 2 22 x x x x x x x x x x x xx → − → − → − − − + + − + = = − − − −+ Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page50 26. ( ) ( ) 3 32 2 0 0 0 11 33 lim lim lim 3 3 3. x x x x x x x xx xx → → → +− ++ = = + + = 27. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 3 3 3 9 1 27 lim lim =lim 3 3 3 9 27. x x x x x x x xx xx → → →  + + + + +−   = + + + + =  28. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 4 2 3 3 3 3 3 9 3 9 27 lim lim =lim 9. 2 3 9 3 2 3 2 3 x x x x x x x x x x xx x x x x x → → → − + + + + − == − − − + + 29. ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 2 2 2 3 4 5 10 8 lim lim = lim 3 4 2. 22 x x x x x x x x x xx xx → → → − − + − + − = − + = −− 30 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 2 5 2 1 2 3 1 lim lim =lim 1. 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − + + − − = = − − − + + 31. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 5 lim lim =lim . 4 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + − − + + == − − + + 32. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 lim lim = lim . 6 2 3 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x x → − → − → − + + + ++ = = − − − + − − 33. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 2 2 2 2 5 2 10 2 5 9 lim lim lim . 6 2 3 11 2 2 3 x x x xx x x x x x x x x x x → − → − → − +− − − + = = = − − + − + + − + 34. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 2 1 1 1 11 1 lim . lim =lim 1 2. 21 1 x x x xx x x x x xx x → → → −+ − − + = + = −+ − 35. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 3 2 2 2 22 4 2 4 lim lim = lim . 3 2 9 2 1 1 x x x xx xx xx x x x → → → −+ −+ == −− − + + 36. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 3 lim lim =lim . 4 2 2 2 4 x x x xx x x x x x x x x → → → −− − − + − == − − + + 37. 2 3 2 2 2 1 1 1 3 4 ( 1)( 4) 4 5 lim lim lim 2 3 ( 1)(2 3 3) 2 3 3 8 x x x x x x x x x x x x x x x → → → + − − + + = = = + − − + + + + 38 3 2 2 2 2 1 1 1 3 4 2 3 ( 1)(3 3) 3 3 1 lim lim lim 3 2 1 ( 1)(3 1) 3 1 4 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − + − − − − − = = = − − − − + + 39. 3 2 2 2 2 2 2 2 5 2 ( 2)( 3 1) 3 1 lim lim lim 11 3 2 ( 2)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → + − − − + + + + = = = − + − − − . 40. 3 2 2 2 1 1 1 2 5 3 ( 1)(2 2 3) 2 2 3 lim lim lim 1 3 2 ( 2)( 1) 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + − + − + − = = = − − + − − − . 41. 2 3 2 2 2 2 2 2 2 8 ( 2)( 4) 4 6 lim lim lim 3 4 6 ( 2)(3 2 3) 3 2 3 19 x x x x x x x x x x x x x x x x → − → − → − − − + − − = = = − + − + + − + − + . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page51 42. 3 2 2 4 2 3 2 3 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 3 lim lim lim 4 3 ( 1)( 3 3) 3 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − − − − − = = = − + − + − − + − − . 43. 3 2 2 2 4 2 3 2 3 2 3 3 3 5 3 9 ( 3)( 2 3) 2 3 lim lim lim 0 8 9 ( 3)( 3 3) 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + − − − − − = = = − − − + + + + + + . 44. 3 2 2 2 4 2 3 2 3 2 1 1 1 3 3 3 6 5 4 1 (3 1)(2 1) 2 1 2 lim lim lim 9 8 1 (3 1)(3 3 1) 3 3 1 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + − − − + − + = = = + − − + + + + + + . 45. 1 1 1 2 3 ( 1)( 3) 3 4 lim lim lim 3 5 4 ( 1)( 4) 4 x x x x x x x x x x x x x → → → + − − + + = = = − − + − − − . 46. 32 4 2 2 2 1 1 1 3 2 ( 2)( 2 1) 2 1 lim lim lim 4 3 ( 2 1)( 2 3) 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + − + + = = = − + − + + + + + . 47. 5 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ( 2)( 1) 1 17 lim lim lim 4 ( 2)( 2) 2 4 x x x x x x x x x x x x x → → → − + − − + + = = = − − + + . 48. 4 3 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 ( 2 1)( 1) 1 3 lim lim lim 5 7 3 ( 2 1)( 3) 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − + − + + + + + = = = − − + − − + − − . 49. 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 5 2 3 ( 3)(2 1) 2 1 11 lim lim lim 4 13 4 3 ( 3)(4 1) 4 1 17 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − + + + + = = = − + − − − + − + . 50. 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 5 4 1 (2 1)( 2 1) 2 1 1 lim lim lim 1 ( 1)( 2 1) 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x → − → − → − + + + + + + + = = = + − − − + + − . 51. 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 5 2 3 ( 3)(2 1) 2 1 11 lim lim lim 4 12 4 12 4( 3)( 1) 4( 1) 20 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − + + + + = = = − + − − + + . 52. 322 33 2 33 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 1 ( 1) 1 1 lim lim lim ( 1) 9 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x → → → − + − = = = − − + + + + . 53. 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 8 7 4 4 (2 1)( 4 4) 2 1 7 lim lim lim 3 14 20 8 (3 2)( 4 4) 3 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → − → − → − + + − − − + + − = = = − + + + + + + + . 54. 3 2 2 2 33 2 3 9 7 3 ( 3)(2 (3 2 3) 7 3 3) lim lim 3 ( 3 )( 3 ) xx x x x x x x x xx → − → − − + + + + − − + − = − −+ 2 3 2 (3 2 3) 7 3 3 7 3 lim 6 3 x xx x →− − − + − == − 55. 4 3 2 3 4 3 2 2 1 1 1 5 9 7 2 ( 1) ( 2) 1 lim lim lim 0 3 3 2 ( 1) ( 2)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + − + − − − = = = − + + − − − + + . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page52 56. 5 4 3 2 4 3 2 2 11 5 ( 1)( 2 3 4 5) lim lim 1 ( 1)( 1) xx x x x x x x x x x x x x x →→ + + + + − − + + + + = − − + 4 3 2 1 2 3 4 5 15 lim 12 x x x x x x → + + + + == + . 57. 2 1 1 1 1 2 1 1 1 lim lim lim 1 1 ( 1)( 1) 1 2 x x x x x x x x x → → → −  − = = =  − − − + +  . 58. 3 2 2 2 2 2 1 12 ( 2)( 4) 4 1 lim lim lim 2 8 ( 2)( 2 4) 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x → → → − + +  − = = =  − − − + + + +  . 59. 22 2 2 2 1 1 2( 2) 2 lim lim lim 2 3 2 5 6 ( 2)( 3)( 1) ( 3)( 1) x x x x x x x x x x x x x → → → −  + = = = −  − + − + − − − − −  . 60. 2 2 2 2 2 3 26 2( 5)( 2) 2( 5) 7 lim lim lim 2 4 ( 2)( 2) 2 2 x x x x x x x x x x x x x → − → − → − − − − + −  − = = =  + − − + −  . 61. 2 3 2 2 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 2 lim lim lim 2 1 ( 1)( 2)( 1) ( 2)( 1) 9 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + +  − = = =  + − − − + + + + + +  . 62. ( ) 2 2 0 0 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 (6 11 6) lim lim lim 6 11 6 6 x x x x x x x x x xx xx → → → + + + − + + = = + + = . 63. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( 1)( ... 1) ... 1 lim lim lim 1 ( 1)( ... 1) ... 1 n n n n n m m m m m x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x m − − − − − − − − → → → − − + + + + + + + + = = = − − + + + + + + + + . 64. 12 22 11 1 ( 1)( ... 1) n( 1) lim lim ( 1) ( 1) n n n xx x nx n x x x x x xx −− →→ − + − − + + + + − − = −− 1 2 2 1 ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) lim 1 nn x x x x x x −− → − + − + + − + − = − ( ) 2 3 3 4 1 lim ( ... 1) ( ... 1) ... 1 n n n n x x x x x x x − − − − → = + + + + + + + + + + + ( 2)( 1) ( 2) ( 3) ... 2 1 2 nn nn −− = − + − + + + = 65. 100 50 1 21 lim 21 x xx xx → −+ −+ . 99 98 49 48 1 ( 1)( ... 1) ( 1) lim ( 1)( ... 1) ( 1) x x x x x x x x x x x → − + + + + − − = − + + + + − − 99 98 49 48 1 ... 49 lim ... 24 x x x x x x x → + + + == + + + 66. 22 11 ... ( 1) ( 1) ... ( 1) lim lim 11 nn xx x x x n x x x xx →→ + + + − − + − + + − = −− 12 1 ( 1) ( 1)( 1) ... ( 1)( ... 1) lim 1 nn x x x x x x x x x −− → − + − + + + − + + + + = − 12 1 lim(1 ( 1) ... ( ... 1)) nn x x x x x −− → = + + + + + + + + ( 1) 1 2 3 ... n 2 nn + = + + + + = Bài 2. Tính các giới hạn sau: 1. 1 32 lim 1 x x x → +− − ĐS: 1 4 . 2. 2 2 lim 31 x x x →− + +− ĐS: 2 Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page53 3. 6 33 lim 6 x x x → −+ − ĐS: 1 6 − . 4. 8 8 lim 31 x x x → − −+ ĐS: 6 − . 5. 2 1 42 lim 1 x xx x →− + + − + ĐS: 1 4 − . 6. 2 3 3 lim 26 x x x x x → −− − ĐS: 1 4 . 7. 2 2 22 lim 4 x x x → +− − ĐS: 1 16 . 8. 2 2 2 3 2 lim 4 x x x → −− − ĐS: 3 16 − . 9. 2 3 9 lim 12 x x x → − +− ĐS: 24. 10. 2 9 3 lim 9 x x xx → − − ĐS: 1 54 − . 11. 2 7 49 lim 23 x x x → − −− ĐS: 56 − . 12. 2 1 23 lim 1 x xx x → −+ − ĐS: 7 8 . 13. 2 3 32 lim 3 x xx xx → −+ − ĐS: 2 9 . 14. 2 2 1 lim 21 x xx xx → − −− ĐS: . 15. 2 2 4 1 3 lim 2 x x xx → +− − ĐS: 1 3 . 16. 2 4 3 3 3 lim 4 x x xx → −− − ĐS: 1 8 . 17. 2 2 22 lim 2 10 x x xx → +− +− ĐS: 1 4 . 18. 2 2 32 lim 11 x xx x → −+ −− ĐS: 2 . 19. 2 4 34 lim 53 x xx x → −− +− ĐS: 30. 20. 2 1 3 1 2 lim 2 x x xx → +− +− ĐS: 1 4 . 21. 2 1 1 lim 1 x x x → − − ĐS: 1 4 . 22. 2 2 3 3( 1) lim 3 4 1 x xx x → −+ −+ ĐS: 12 − . 23. 3 2 0 11 lim x x xx → +− + ĐS: 0 . 24. 3 2 2 lim 13 x x x →− + −− ĐS: 1 2 − . 25. 2 2 1 21 lim x xx xx → −− − ĐS: 0 . 26. 2 2 2 5 5 lim 2 x xx xx → + + − − ĐS: 2 3 . 27. 2 1 lim 2 7 4 x xx xx → − + + − ĐS: 3 4 . 28. 2 1 2 7 2 lim 1 x xx x →− − + − − ĐS: 1 6 . 29. 2 2 1 2 5 2 8 lim 32 x x x x xx →− + − + + ++ ĐS: 5 2 . 30. 2 5 6 2 lim 2 x xx x → − − + − ĐS: 1. 31. 1 33 lim 3 2 2 x x xx →− + + − + ĐS: 6 . 32. 22 2 3 2 6 2 6 lim 43 x x x x x xx → − + − + − −+ ĐS: 1 3 − . 33. 2 4 1 21 lim 4 x x x x x →− + + − − + ĐS: 0 . 34. 2 22 lim 73 x x x → −+ +− ĐS: 3 2 − . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page54 35. 9 3 lim 52 x x x → − −− ĐS: 2 3 − . 36. 1 3 1 3 lim 83 x xx x → + − + +− ĐS: 3 . 37. 2 22 lim 13 x xx xx → +− − − − ĐS: 1 4 − . 38. 1 32 lim 4 5 3 6 x x xx → +− + − + ĐS: 3 2 . 39. 3 1 3 5 lim 2 3 6 x xx xx → + − − + − + ĐS: 3 − . 40. 2 2 2 2 1 2 5 lim 13 x xx xx → + − + + − + ĐS: 25 3 . 41. 2 1 1 lim 33 x x x x x → − + + − ĐS: 4 3 − . 42. 4 1 4 3 1 lim 1 x x x → +− − ĐS: 1. 43. 4 3 2 2 1 3 3 lim 22 x x x x x x → − + − + + − ĐS: 1. Lờ i giải 1. Ta có 1 1 1 3 2 ( 3 2)( 3 2) 1 1 lim lim lim 14 ( 1)( 3 2) 3 2 x x x x x x x x x x → → → + − + − + + = = = − − + + + + . 2. Ta có 2 2 2 2 ( 2)( 3 1) lim lim lim( 3 1) 2 3 1 ( 3 1)( 3 1) x x x x x x x x x x → − → − → − + + + + = = + + = + − + − + + . 3. Ta có 6 6 6 3 3 (3 3)(3 3) 1 1 lim lim lim 66 ( 6)(3 3) 3 3 x x x x x x x x x x → → → − + − + + + − = = = − − − + + + + 4. Ta có 8 8 8 8 ( 8)(3 1) 3 1 lim lim lim 6 1 3 1 (3 1)(3 1) x x x x x x x x x x → → → − − + + + + = = = − − − + − + + + . 5. Ta có 2 22 1 1 1 4 2 ( 1) 1 lim lim lim 14 ( 1)( 4 2) 4 2 x x x x x x x x x x x x x x → − → − → − + + − + = = = − + + + + − + + − . 6. Ta có 2 2 2 2 33 2 3 ( 2 3 )( 2 3 ) lim lim 26 (2 6)( 2 3 ) xx x x x x x x x x x x x x x x →→ − − − − − + = − − − + 22 33 ( 3) 1 lim lim 4 2( 3)( 2 3 ) 2( 2 3 ) xx x x x x x x x x x x →→ − = = = − − + − + . 7. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 4 16 ( 2)( 2)( 2 2) ( 2)( 2 2) x x x xx x x x x x x → → → + − − = = = − − + + − + + − . 8. Ta có 2 2 2 2 2 3 2 3(2 ) 3 3 lim lim lim 4 16 ( 2)( 2)(2 3 2) ( 2)(2 3 2) x x x xx x x x x x x → → → − − − = = = − − − + + − + + − . 9. Ta có 2 3 3 3 9 ( 3)( 3)( 1 2) lim lim lim ( 3)( 1 2) 24 1 2 ( 1 2)( 1 2) x x x x x x x xx x x x → → → − + − + +  = = + + + =  + − + − + + . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page55 10. Ta có 2 9 9 9 3 9 1 1 lim lim lim 9 54 (9 )( 3) ( 3) x x x xx xx x x x x x → → → − − − = = = − − − + + . 11. Ta có 2 77 49 ( 7)( 7)(2 3) lim lim 2 3 (2 3)(2 3) xx x x x x x x x →→ − − + + − = − − − − + − 77 ( 7)( 7)(2 3) lim lim( 7)(2 3) 56 7 xx x x x xx x →→ − + + − = = − + + − = − − 12. Ta có 2 2 1 1 1 2 3 4 3 4 3 7 lim lim lim 18 ( 1)( 1)(2 3) ( 1)(2 3) x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + − − + = = = − − + + + + + + . 13. Ta có 2 2 3 3 3 3 2 2 3 1 2 lim lim lim 39 ( 3)( 3 2 ) ( 3 2 ) x x x x x x x x xx x x x x x x x → → → − + − − + = = = − − + + + + . 14. Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1)( 2 1) ( 2 1) lim lim lim 2 1 ( 1) 21 x x x x x x x x x x x x x x x xx → → → − − − + − + = = =  − + − − − −− . 15. Ta có 2 2 2 2 4 1 3 4( 2) 4 1 lim lim lim 23 ( 2)( 4 1 3) ( 4 1 3) x x x xx xx x x x x x → → → + − − = = = − − + + + + . 16. Ta có 2 4 4 4 3 3 3 3( 4) 3 1 lim lim lim 48 ( 4)( 3 3 3) ( 3 3 3) x x x xx xx x x x x x → → → − − − = = = − − − + − + . 17. Ta có 2 2 2 2 2 2 ( 2 2)( 2 2) 2 lim lim lim 2 10 ( 2)(2 5)( 2 2) (2 5)( 2)( 2 2) x x x x x x x xx x x x x x x → → → + − + − + + − == +− − − + + − − + + 2 11 lim 4 (2 5)( 2 2) x xx → = = − − + + 18. Ta có 2 2 2 2 3 2 ( 1)( 2)( 1 1) lim lim lim( 1)( 1 1) 2 1 1 ( 1 1)( 1 1) x x x x x x x x xx x x x → → → − + − − − + = = − − + = − − − − − + . 19. Ta có 2 4 4 4 3 4 ( 1)( 4)( 5 3) lim lim lim( 1)( 5 3) 30 4 53 x x x x x x x x xx x x → → → − − + − + + = = + + + = − +− . 20. Ta có 2 1 1 1 3 1 2 3( 1) 3 1 lim lim lim 24 ( 1)( 2)( 3 1 2) ( 2)( 3 1 2) x x x xx xx x x x x x → → → + − − = = = +− − + + + + + + . 21. Ta có 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 14 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x xx x x x x x x → → → −− = = = − + − + + + . 22. Ta có 2 22 3 4( 1) ( 2)(3 2)(3 4 1) lim lim 3 4 1 (3 4 1)(3 4 1) xx x x x x x x x x →→ − + − + + + = − + − + + + 2 ( 2)(3 2)(3 4 1) lim 4(2 ) x x x x x → − + + + = − 2 (3 2)(3 4 1) lim 12 4 x xx → + + + = = − . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page56 23. Ta có 3 3 2 2 33 0 0 0 11 lim lim lim 0 ( 1)( 1 1) ( 1)( 1 1) x x x x x x xx x x x x x → → → +− = = = + + + + + + + . 24. Ta có 33 22 3 2 2 2 2 ( 2)( 1 3) 1 3 1 lim lim lim ( 2)( 2 4) ( 2 4) 2 13 x x x x x x x x x x x x x → − → − → − + + − + − + = = = − + − + − − + −− . 25. Ta có 22 2 22 1 1 1 2 1 ( 1) ( 1) lim lim lim 0 ( 1)( 2 1) ( 2 1) x x x x x x x xx x x x x x x x → → → − − − − − − = = = − − − + − + 26. Ta có 2 2 22 2 5 5 12 20 lim lim 2 ( 2)( 2 5 ( 5)) xx x x x x xx x x x x →→ + + − − + − = − − + − + 22 ( 2)( 10) ( 10) 2 lim lim 3 ( 2)( 2 5 ( 5)) ( 2 5 ( 5)) xx x x x x x x x x x x →→ − − − − − = = = − + − + + − + 27. Ta có 2 2 1 1 1 ( 1)( 2 7 ( 4) ( 2 7 ( 4) 3 lim lim lim 10 9 ( 9) 4 2 7 4 x x x x x x x x x x x x x x x xx → → → − − + − − + − − = = = − + − − − + + − 28. Ta có 2 2 11 2 7 2 2 3 lim lim 1 ( 1)( 1)(( 2) 7 2 ) xx x x x x x x x x x → − → − − + − − − = − − + − − − 1 31 lim 6 ( 1)(( 2) 7 2 ) x x x x x →− + == − − − − 29. Ta có 2 2 2 11 2 5 2 8 2 17 5 lim lim 3 2 2 ( 2)((2 5) 2 8) xx x x x x xx x x x x → − → − + − + + + == ++ + + + + + 30. Ta có 2 2 2 5 6 2 4( 2) 4 lim lim lim 1 2 ( 2)( 5 6 2) ( 5 6 2) x x x x x x x x x x x x → → → − − + − = = = − − − + + − + + . 31. Ta có 11 3 3 3( 1)( 3 2 2) lim lim 1 3 2 2 xx x x x x x xx → − → − + + + + + = + + − + 1 lim 3( 3 2 2) 6 x xx →− = + + + = . 32. Ta có 22 2 22 33 2 6 2 6 4 1 lim lim 4 3 3 ( 1)( 2 6 2 6) xx x x x x xx x x x x x →→ − + − + − − == −+ − − + + + − . 33. Ta có 2 4 22 11 2 1 1 lim lim 0 ( 1)( 2 1 ) xx x x x x xx x x x x x x → − → − + + − − + == + − + + + + − . 34. Ta có 22 2 2 7 3 3 lim lim 2 7 3 2 2 xx xx xx →→ − + + + = − = − + − + + . 35. Ta có 99 3 5 2 2 lim lim 3 5 2 3 xx xx xx →→ − − + = − = − − − + . 36. Ta có 11 3 1 3 2( 8 3) lim lim 3 8 3 3 1 3 xx x x x x x x →→ + − + + + == + − + + + . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page57 37. Ta có 22 2 2 1 3 1 lim lim 4 1 3 2 2 xx x x x x x x x x →→ + − − + − = = − − − − + + . 38. Ta có 11 3 2 4 5 3 6 3 lim lim 2 4 5 3 6 3 2 xx x x x x x x →→ + − + + + == + − + + + . 39. Ta có 33 1 3 5 2 3 6 lim 2lim 3 2 3 6 1 3 5 xx x x x x x x x x →→ + − + + + + = − = − + − + + + + . 40. Ta có 22 22 22 2 1 2 5 1 3 2 5 lim lim 2 3 1 3 2 1 2 5 xx x x x x x x x x →→ + − + + + + == + − + + + + . 41. Ta có 2 32 2 11 1 3 ( 3 ) 4 lim lim 5 4 3 3 33 xx x x x x x x x x x x →→ − + − − = = − − + − − + + − . 42. Ta có 4 32 11 4 44 4 3 1 4 lim lim 1 1 (4 3) (4 3) 4 3 1 xx x x x x x →→ −− == − − + − + − + . 43. Ta có 4 3 2 2 1 3 3 lim 1 22 x x x x x x → − + − + + = − . Bài 3. Tính các giới hạn sau: 1. 3 2 42 lim 2 x x x → − − . ĐS: 1 3 . 2. 3 1 5 3 2 lim 1 x x x →− −+ + ĐS: 5 12 . 3. 3 2 0 11 lim x x xx → −− + ĐS: 1 3 . 4. 3 1 2 5 3 lim 1 x x x → −+ − ĐS: 5 12 − . 5. 3 2 3 3 lim 12 x x x → − −− ĐS: 2 . 6. 3 1 1 lim 12 x x x → − +− ĐS: 3 . 7. 3 2 1 54 lim 21 x xx xx → −− −− ĐS: 2 9 . 8. 3 1 1 lim 1 x x x → − − ĐS: 3 . 9. 3 3 2 3 27 lim 1 4 28 x x xx → − + − + ĐS: 54. 10. 3 3 3 52 lim 30 x x xx → +− +− ĐS: 1 336 . 11. 3 3 2 1 10 2 1 lim 32 x xx xx →− + + − ++ . ĐS: 3 2 . 12. 3 2 1 1 lim 32 x x x → − + + − ĐS: 2 3 . 13. 3 1 1 lim 72 x x x → − +− . ĐS: 6 . 14. 2 3 1 32 lim 1 x x x →− +− + ĐS: 3 2 − . 15. 33 1 21 lim 1 x xx x → −− − . ĐS: 2 3 . 16. 3 2 1 1 lim 21 x x x → − −+ ĐS: 1. Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page58 17. 3 3 1 1 lim 4 4 2 x x x → − +− . ĐS: 1. 18. 33 2 1 2 lim 1 x xx x →− ++ − ĐS: 1 3 − . 19. 33 3 1 9 2 6 lim 1 x xx x → + + − + . ĐS: 1 12 . 20. 3 3 3 19 2 lim 4 3 3 x x x → −+ −− ĐS: 27 8 − . 21. 33 2 0 11 lim 4 x xx xx → + − − − . ĐS: 1 6 − . 22. 3 3 1 2 1 1 lim 1 x x x → −− − ĐS: 2 9 . 23. 3 2 32 lim 3 2 2 x xx x → +− −− . ĐS: 1 − . 24. 3 4 0 11 lim 2 1 1 x x x → +− +− ĐS: 2 3 . Lời giải 1) Ta có 3 3 2 22 3 4 2 4 1 lim lim . 23 16 2 4 4 xx x x xx →→ − == − ++ 2) Ta có ( ) 3 2 11 3 3 5 3 2 5 5 lim lim . 1 12 5 3 2 5 3 4 xx x x xx → − → − −+ == + − − − + 3) Ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 00 2 3 3 1 1 1 1 lim lim . 3 1 1 1 1 xx x xx x x x →→ −− == + + + − + − 4) Ta có ( ) 3 2 11 3 3 2 5 3 5 5 lim lim . 1 12 4 2 5 3 5 3 xx x x xx →→ − + − = = − − + + + + 5) Ta có ( ) 2 3 22 3 3 233 1 2 1 4 3 lim lim 2. 3 12 xx xx x x x →→ − + − + − == + −− 6) Ta có ( ) ( ) 2 3 3 3 11 1 lim lim 1 2 2 3. 12 xx x xx x →→ − = − − + − = +− 7) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 2 11 2 3 3 5 4 4 2 lim lim . 2 1 9 2 1 5 4 5 4 4 xx x x x x xx x x x →→ − − − − + == −− + − + − + 8) Ta có ( ) 3 2 3 3 11 1 lim lim 1 3. 1 xx x xx x →→ − = + + = − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page59 9) Ta có 3 3 2 3 27 lim 1 4 28 x x xx → − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 9 1 1 4 28 4 28 lim 3 2 9 x x x x x x x x x x x →  − + + + + + + + +   = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 9 1 1 4 28 4 28 lim 72. 29 x x x x x x x xx →  + + + + + + + +   == ++ 10) Ta có ( ) ( ) 3 3 33 2 2 3 3 5 2 1 1 lim lim . 30 336 3 10 5 5 4 xx x xx x x x x →→ +− == +−  + + + + + +   11) Ta có 3 3 2 1 10 2 1 lim 32 x xx xx →− + + − ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 2 2 3 33 3 3 3 3 9 lim 1 2 10 2 1 10 2 1 x x x x x x x x x x →− − + + =  + + + + − + + −   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 33 3 3 6 9 3 lim . 2 2 10 2 1 10 2 1 x xx x x x x x →− −+ ==  + + + − + + −   12) Ta có ( ) ( ) 2 3 211 3 2 3 1 3 2 2 lim lim . 3 32 11 xx xx x x x x →→ − + + == +− + + + 13) Ta có ( ) 2 3 3 3 11 7 2 7 4 1 lim lim 6. 7 2 1 xx xx x xx →→ + + + + − == + − + 14) Ta có ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 11 11 3 2 3 lim lim . 2 1 32 xx x x x x x x → − → − − − + +− = = − + ++ 15) Ta có ( ) ( ) 33 2 11 3 2 3 3 2 1 1 2 lim lim . 3 1 2 1 2 1 xx x x x x x x x x →→ − − + == − − + − + 16) Ta có ( ) 2 3 3 3 3 3 2 11 3 2 2 1 1 lim lim 1. 21 1 xx xx x x xx →→ − − − + − == −+ ++ 17) Ta có ( ) ( ) 2 3 3 3 3 11 3 2 3 4 4 2 4 4 4 1 lim lim 1. 4 4 2 41 xx xx x x xx →→ + + + + − == +− ++ 18) Ta có ( ) ( ) ( ) 33 2 11 2 3 2 3 3 2 2 1 lim lim . 13 1 2 2 xx xx x x x x x x → − → − ++ = = − −  − + − + +   Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page60 19) Ta có 33 3 1 9 2 6 lim 1 x xx x →− + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 33 3 31 lim . 2 1 9 9 2 6 2 6 x x x x x x x →− ==  − + + − + − + +   20) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 3 33 2 3 33 3 9 3 4 3 3 19 2 27 lim lim . 8 4 3 3 4 19 2 19 4 xx x x x x x xx →→ − + − + −+ = = −  −− − − − − +   21) Ta có ( ) ( ) ( ) 33 2 00 22 3 2 33 1 1 2 1 lim lim . 46 4 1 1 1 xx xx xx x x x x →→ + − − = = − −  − + + − + −   22) Ta có ( ) ( ) 3 3 11 2 2 3 3 2 1 1 2 2 lim lim . 19 1 2 1 2 1 1 xx x x x x x x →→ −− == −  + + − + − +   23) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 22 2 2 3 3 1 3 2 2 32 lim lim 1. 3 2 2 3 3 2 3 2 xx xx xx x x x x x →→ − + − + +− = = −  −− + + + +   24) Ta có ( ) ( ) ( ) 4 3 4 00 2 3 3 2 1 1 2 1 1 1 1 2 lim lim . 3 2 1 1 2 1 1 1 xx xx x x xx →→ + + + + +− ==  +− + + + +   Bài 4. Tính các giới hạn sau: 1) 0 9 16 7 lim . x xx x → + + + − ĐS: 7 24 2) 1 2 2 5 4 5 lim . 1 x xx x → + + + − − ĐS: 4 3 3) 3 2 6 2 2 8 lim . 3 x xx x → + + − − − ĐS: 5 6 4) 0 2 1 4 4 lim . x xx x → + + + − ĐS: 5 4 5) 2 2 7 7 lim . 2 x x x x x → + + + − − ĐS: 8 3 6) 2 2 2 1 8 lim . 2 x x x x x → − + − − ĐS:8 7) ( ) 6 5 4 2 3 84 lim . 6 x x x x x → − − + − − ĐS: 74 3 8) 3 0 1 2 1 3 lim . x xx x → + − + ĐS: 0 9) 332 1 73 lim . 1 x xx x → + − + − ĐS: 1 4 − 10) 3 2 2 8 11 7 lim . 32 x xx xx → + − + −+ ĐS: 7 54 11) 3 0 2 1 8 lim . x xx x → + − − ĐS: 13 12 12) 3 2 1 3 5 3 lim . 1 x xx x → + − + − ĐS: 1 4 13) 2 3 1 75 lim . 1 x xx x → + − − − ĐS: 7 12 14) 3 2 3 2 3 2 lim . 2 x xx x → + − − − ĐS: 1 2 − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page61 15) 3 2 3 2 5 6 lim . 2 x xx x → + − − − ĐS: 1 − 16) 3 2 2 2 2 4 11 7 lim . 4 x x x x x → + + − + − ĐS: 5 . 72 17) 3 32 2 1 57 lim . 1 x xx x → − − + − ĐS: 11 24 − 18) 3 3 2 2 3 4 24 2 8 2 3 lim . 4 x x x x x → − + + − − − ĐS: 17 16 − 19) 3 2 2 1 3 2 4 2 lim . 32 x x x x xx → − − − − −+ ĐS: 5 6 20) 3 2 1 2 1 3 2 2 lim . 1 x x x x x → − + − − − ĐS: 3 2 21) 3 2 4 2 0 1 1 2 lim . x xx xx → + − − + ĐS: 1 2 22) 3 4 2 6 7 2 lim . 2 x xx x → + − + − ĐS: 13 96 − 23) 0 1 4 . 1 6 1 lim . x xx x → + + − ĐS:5 24) 3 0 1 2 . 1 4 1 lim . x xx x → + + − ĐS: 7 3 25) 3 1 3 1. 2 2 lim . 1 x xx x → + − − − ĐS: 1 12 26) 3 2 0 4 . 8 3 4 lim . x xx xx → + + − + ĐS:1 27) 2 0 4 4 9 6 5 lim . x xx x → + + − − ĐS: 5 12 − 28) 3 2 0 1 2 1 3 lim . x xx x → + − + ĐS: 1 2 29) ( ) 2 2 1 6 3 2 5 lim . 1 x x x x x → + + − − ĐS: 11 6 30) 2 1 4 3 2 1 3 1 lim . 21 x x x x xx → − + − − + −+ ĐS: 5 . 2 − 31) 2 1 3 7 4 3 2 2 1 lim . 21 x x x x xx → − − + + + − −+ ĐS: 17 16 − 32) 2 2 2 44 lim . 2 8 2 2 3 4 x xx x x x → −+ + − − + − ĐS: 8 9 33) 3 2 32 1 6 2 2 lim . 1 x xx x x x → +− − − + ĐS: 1 8 34) ( ) 3 22 2 2 2 6 5 3 9 7 lim 2 x x x x x x → − + − − + − ĐS: 1 2 35) 3 2 0 1 2 1 3 lim . x xx x → + − + ĐS: 1 2 36) 3 2 0 1 4 1 6 lim . x xx x → + − + ĐS: 2 Lờ i giải 1) 0 9 16 7 lim . x xx I x → + + + − = Ta có 0 9 3 16 4 lim x xx I xx →  + − + − =+    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 9 3 9 3 16 4 16 4 lim 9 3 16 4 x x x x x x x x x →  + − + + + − + +  =+  + + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) 00 9 9 16 16 lim lim 9 3 16 4 9 3 16 4 xx x x x x x x x x x x x x →→     + − + −     = + = +     + + + + + + + +     0 1 1 1 1 7 lim . 6 8 24 9 3 16 4 x xx →  = + = + =  + + + +  Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page62 2) 1 2 2 5 4 5 lim . 1 x xx I x → + + + − = − Ta có 1 2 2 2 5 4 3 lim 11 x xx I xx →  + − + − =+   −−  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 5 4 3 5 4 3 lim 1 2 2 2 1 5 4 3 x x x x x x x x x →  + − + + + − + +  =+  − + + − + +  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4 5 4 9 lim 1 2 2 2 1 5 4 3 x xx x x x x →  + − + −  =+  − + + − + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 5 1 lim 1 2 2 2 1 5 4 3 x xx x x x x →  −−  =+  − + + − + +  1 2 5 2 5 4 lim . 4 6 3 2 2 2 5 4 3 x xx →  = + = + =  + + + +  3) 3 2 6 2 2 8 lim . 3 x xx I x → + + − − = − Ta có 3 2 6 6 2 2 2 lim 33 x xx I xx →  + − − − =+   −−  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 6 3 6 3 2 2 2 2 2 2 lim 3 6 3 3 2 2 2 x x x x x x x x x →  + − + + − − − +  =+  − + + − − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 6 9 2 2 4 lim 3 6 3 3 2 2 2 x x x x x x x →  +− −−  =+  − + + − − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 lim 3 6 3 3 2 2 2 x xx x x x x →  −−  =+  − + + − − +  3 2 2 2 2 5 lim . 6 4 6 6 3 2 2 2 x xx →  = + = + =  + + − +  4) 0 2 1 4 4 lim . x xx I x → + + + − = Ta có 0 2 1 2 4 2 lim x xx I xx →  + − + − =+    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 1 1 1 4 2 4 2 lim 1 1 4 2 x x x x x x x x x →  + − + + + − + +  =+  + + + +  ( ) ( ) ( ) 0 2 1 1 44 lim 1 1 4 2 x x x x x x x →  +− +−  =+  + + + +  0 2 1 2 1 5 lim 2 4 4 1 1 4 2 x xx →  = + = + =  + + + +  5) 2 2 7 7 lim . 2 x x x x I x → + + + − = − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page63 Ta có ( ) 2 2 2 2 2 4 7 3 lim 2 x x x x x I x → − + + + − + + − = − 2 2 2 4 7 3 lim 2 22 x xx x xx →  + − + − = + + +   −−  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 7 3 7 3 2 lim 2 2 2 2 7 3 x x x x x x x x x →  + − + + + − + +  = + +  − + + − + +  2 2 1 2 1 8 2 lim 2 . 4 6 3 2 2 7 3 x xx →  = + + = + + =  + + + +  6) 2 2 2 1 8 lim . 2 x x x x I x → − + − = − Ta có ( ) 2 2 2 2 1 4 1 4 4 lim 2 x x x x x I x → − − + − − + − = − 2 2 4 1 4 4 lim 2 1 22 x xx x xx →  − − − = − + +   −−  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 4 1 1 1 1 2 2 4 1 1 2 lim 2 lim 2 2 2 1 1 2 1 1 xx xx x x x x x x x x x →→     − − − + − + − −     = + + = + + +     − − + + − + +     2 44 2 lim 2 2 4 8. 2 11 x x x →  = + + + = + + =  −+  7) ( ) 6 5 4 2 3 84 lim . 6 x x x x I x → − − + − = − Ta có ( ) 6 5 30 2 3 26 2 3 78 6 lim 6 x x x x x I x → − − + − − + − = − ( ) ( ) 6 26 2 3 3 5 6 2 3 6 lim 6 6 6 x x xx x x x x →  −− −− −  = + +  − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) 6 26 2 3 3 2 3 3 lim 5 2 3 1 6 2 3 3 x xx x xx →  − − − +  = − + +  − − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 66 26 2 3 9 26.2 6 15 lim 1 15 lim 1 6 2 3 3 6 2 3 3 xx xx x x x x →→ − − − = + + = + + − − + − − + 6 52 52 74 15 lim 1 15 1 . 63 2 3 3 x x → = + + = + + = −+ 8) 3 0 1 2 1 3 lim . x xx I x → + − + = Ta có 33 00 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 lim lim xx x x x x I x x x →→  + − + − + + − − + = = +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 3 0 2 3 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 1 1 2 1 lim 1 2 1 1 1 3 1 3 x x x x xx xx x x x →  − + + + + + + − + +  =+  ++ + + + +  Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page64 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 00 2 3 3 3 3 1 1 3 1 2 1 2 3 lim lim 1 2 1 1 2 1 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 xx x x x xx xx x x x →→   −+  + − −  = + = +   ++ ++ + + + + + + + +    23 0. 23 − = + = 9) 332 1 73 lim . 1 x xx I x → + − + = − Ta có 332 1 7 2 2 3 lim 1 x xx I x → + − + − + = − 332 1 7 2 2 3 lim 11 x xx xx →  + − − + =+   −−  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 3 3 3 3 22 1 2 2 3 33 3 7 2 7 2 7 4 2 3 2 3 lim 1 2 3 1 7 2 7 4 x x x x xx xx x x x →   + − + + + +  − + + +    =+   − + + − + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 3 33 3 43 78 lim 1 2 3 1 7 2 7 4 x x x xx x x x →   −+ +−  =+   − + + − + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 2 2 3 33 3 11 lim 1 2 3 1 7 2 7 4 x xx xx x x x →   −−  =+   − + + − + + + +     ( ) 2 22 1 3 33 3 1 1 3 2 1 lim . 12 4 4 23 7 2 7 4 x x x x x xx →  + + +  = − = − = −  ++ + + + +   10) 3 2 2 8 11 7 lim . 32 x xx I xx → + − + = −+ Ta có 33 2 2 2 22 8 11 3 3 7 8 11 3 3 7 lim lim 3 2 3 2 3 2 xx x x x x I x x x x x x →→  + − + − + + − − + = = +   − + − + − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 3 2 2 2 2 3 3 8 11 3 8 11 3 8 11 9 3 7 3 7 lim 3 2 3 7 3 2 8 11 3 8 11 9 x x x x xx x x x x x x x →  + − + + + + − + + +  =+  − + + + − + + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 97 8 11 27 lim 3 2 3 7 3 2 8 11 3 8 11 9 x x x x x x x x x x →  −+  +− =+  − + + + − + + + + +  Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page65 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 82 2 lim 1 2 3 7 1 2 8 11 3 8 11 9 x x x x x x x x x x →  − − =+  − − + + − − + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 8 1 8 1 7 lim . 27 6 54 1 3 7 1 8 11 3 8 11 9 x xx x x x →   = − = − =  − + + − + + + +   11) 3 0 2 1 8 lim . x xx I x → + − − = Ta có 33 00 2 1 2 2 8 2 1 2 2 8 lim lim xx x x x x I x x x →→  + − + − − + − − − = = +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 3 0 2 3 3 2 8 4 2 8 8 2 1 1 1 1 lim 11 4 2 8 8 x x x x xx xx x x x →  − − + − + − + − + +  =+  ++ + − + −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 3 3 2 1 1 8 8 lim 11 4 2 8 8 x xx xx x x x →  + − − −  =+  ++ + − + −   ( ) 2 0 3 3 2 1 2 1 13 lim . 2 12 12 11 4 2 8 8 x x xx →   = + = + =  ++ + − + −  12) 3 2 1 3 5 3 lim . 1 x xx I x → + − + = − Ta có 33 22 11 3 5 2 2 3 3 5 2 2 3 lim lim 1 1 1 xx x x x x I x x x →→  + − + − + + − − + = = +   − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 2 2 2 3 1 2 3 22 3 3 5 2 3 5 2 3 5 4 2 3 2 3 lim 1 2 3 1 3 5 2 3 5 4 x x x x xx xx x x x →   + − + + + +   − + + +   =+   − + + − + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 22 3 43 3 5 8 lim 1 2 3 1 3 5 2 3 5 4 x x x xx x x x →   −+ +−  =+   − + + − + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 22 3 31 1 lim 1 2 3 1 3 5 2 3 5 4 x x x xx x x x →   − −  =+   − + + − + + + +     Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page66 ( ) ( ) 2 1 3 22 3 31 1 6 1 1 lim . 12 4 4 23 3 5 2 3 5 4 x x x xx →  +  = − = − =  ++ + + + +   13) 2 3 1 75 lim . 1 x xx I x → + − − = − Ta có 22 33 11 7 2 2 5 7 2 2 5 lim lim 1 1 1 xx x x x x I x x x →→  + − + − − + − − − = = +   − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 22 3 1 2 2 3 3 7 2 7 2 7 4 2 5 2 5 lim 1 2 5 1 7 2 7 4 x x x x xx xx x x x →  + − + + + + − − + −  =+  − + − − + + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 3 45 78 lim 1 2 5 1 7 2 7 4 x x x xx x x x →  −−  +− =+  − + − − + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 3 11 lim 1 2 5 1 7 2 7 4 x xx xx x x x →   −− =+  − + − − + + + +   ( ) 22 1 3 3 1 1 1 2 7 lim . 12 4 12 25 7 2 7 4 x x x xx →  +  = + = + =  +− + + + +  14) 3 2 3 2 3 2 lim . 2 x xx I x → + − − = − Ta có 33 22 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 lim lim 2 2 2 xx x x x x I x x x →→  + − + − − + − − − = = +   − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 2 3 2 lim 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 4 x x x x xx xx x x x →  + − + + + + − − + −  =+  − + − − + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 3 2 3 2 8 lim 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 4 x x x xx x x x →  −−  +− =+  − + − − + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 32 63 lim 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 4 x x x xx x x x →  − − =+  − + − − + + + +   ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 1 lim . 12 4 2 2 3 2 3 2 2 3 2 4 x x xx →  −  = − = + = −  +− + + + +  Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page67 15) 3 2 3 2 5 6 lim . 2 x xx I x → + − − = − Ta có 33 22 3 2 2 2 5 6 3 2 2 2 5 6 lim lim 2 2 2 xx x x x x I x x x →→  + − + − − + − − − = = +   − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 4 2 5 6 2 5 6 lim 2 2 5 6 2 3 2 2 3 2 4 x x x x xx xx x x x →  + − + + + + − − + −  =+  − + − − + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 5 6 3 2 8 lim 2 2 5 6 2 3 2 2 3 2 4 x x x xx x x x →  −−  +− =+  − + − − + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 32 10 5 lim 2 2 5 6 2 3 2 2 3 2 4 x x x xx x x x →  − − =+  − + − − + + + +   ( ) 2 2 3 3 3 5 3 5 lim 1. 12 4 2 5 6 3 2 2 3 2 4 x x xx →  −  = − = + = −  +− + + + +  16) 3 2 2 2 2 4 11 7 lim . 4 x x x x I x → + + − + = − Ta có 33 22 2 2 2 22 2 4 11 3 3 7 2 4 11 3 3 7 lim lim 4 4 4 xx x x x x x x I x x x →→  + + − + − + + + − − + = = +   − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 4 11 3 2 4 11 3 2 4 11 9 3 7 3 7 lim 4 3 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 x x x x x x x xx xx x x x x x →   + + − + + + + + +   − + + +   =+   − + + − + + + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 3 97 2 4 11 27 lim 4 3 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 x x xx xx x x x x x →   −+ + + −  =+   − + + − + + + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 4 16 2 lim 4 3 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 x x x x xx x x x x x →   + − −  =+   − + + − + + + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 4 2 lim 4 3 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 x xx x xx x x x x x →   −+ −  =+   − + + − + + + + + +    Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page68 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 22 3 24 1 12 1 5 lim . 108 24 72 2 3 7 2 2 4 11 3 2 4 11 9 x x xx x x x x x →   + −  = − = + =   + + + + + + + + + +     17) 3 32 2 1 57 lim . 1 x xx I x → − − + = − Ta có 33 3 2 3 2 2 2 2 11 5 2 2 7 5 2 2 7 lim lim 1 1 1 xx x x x x I x x x →→  − − + − + − − − + = = +   − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 2 2 2 3 33 1 2 23 3 2 2 2 3 2 7 4 2 7 7 5 2 5 2 lim 1 5 2 1 4 2 7 7 x x x x xx xx x x x →   − + + + + +  − − − +   =+   − − + − + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 23 3 2 2 2 3 87 54 lim 1 5 2 1 4 2 7 7 x x x xx x x x →   −+ −−  =+   − − + − + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 2 23 3 2 2 2 3 11 lim 1 5 2 1 4 2 7 7 x xx xx x x x →   −−  =+   − − + − + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 322 3 1 1 3 1 11 lim . 8 12 24 1 5 2 4 2 7 7 x xx xx xx →  − + + −−  = + = − + = −  + − + + + + +   18) 3 3 2 2 3 4 24 2 8 2 3 lim . 4 x x x x I x → − + + − − = − Ta có 3 3 2 2 3 4 24 6 2 2 8 8 2 3 lim 4 x x x x I x → − − + + − + − − = − 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 4 24 6 2 2 8 8 2 3 lim lim lim 4 4 4 x x x I I I x x x x x x → → → − − + − − − = + + − − − 1 I 3 3 2 2 3 4 24 6 lim 4 x x x → −− = − ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 33 2 3 3 2 3 4 24 2 4 24 4 24.2 2 lim 4 4 24 4 24.2 2 x x x x x x x →  − − − + − +   =  − − + − +   Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page69 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 33 2 3 3 2 3 4 24 8 lim 4 4 24 4 24.2 2 x x x x x → −− =  − − + − +   ( ) ( ) ( ) 3 2 2 33 2 3 3 2 3.4 8 lim 4 4 24 4 24.2 2 x x x x x → − =  − − + − +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 33 3 3 2 12 2 2 4 lim 2 2 4 24 4 24.2 2 x x x x x x x x → − + + =  − + − + − +   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 33 3 3 2 12 2 4 lim 2 4 24 4 24.2 2 x xx x x x → − + + =  + − + − +   144 3 48 = − = − . 2 I 2 2 22 lim 4 x x x → +− = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 lim 4 2 2 x xx xx → + − + + = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 24 lim 2 2 2 2 x x x x x → +− = − + + + ( ) ( ) 11 lim 16 2 2 2 x xx → − = = − + + + 3 I 2 2 8 8 2 3 lim 4 x x x → −− = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 1 2 3 1 2 3 lim 4 1 2 3 x xx xx → − − + − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 1 2 3 lim 22 x x xx → −− = +− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8.2 2 lim 2 2 1 2 3 x x x x x → − = − + + + ( ) ( ) 2 16 lim 2 1 1 2 3 x xx → = + + + − 16 2 8 == 1 32 16 I = − − + 17 16 =− . Bài 5. Tính các giới hạn sau: 1 ( ) 3 lim 2 3 x xx → +  − ĐS: + 2. ( ) 32 lim 3 2 x xx →−  −+ ĐS: − 3. ( ) 32 lim 6 9 1 x x x x → +  − − + + ĐS: − 4. ( ) 3 lim 3 1 x xx →−  − + − ĐS: + 5. ( ) 42 lim 2 1 x xx → +  −+ ĐS: + 6. ( ) 42 lim 8 10 x xx →−  −+ ĐS: + 7. ( ) 42 lim 2 3 x xx → +  − + + ĐS: − 8. ( ) 42 lim 6 x xx →−  − − + ĐS: − 9. 2 lim 3 4 x xx →   −+ ĐS: + 10. ( ) 2 lim 2 1 x xx → −  ++ ĐS: + 11. ( ) 2 lim 1 2 x x x x → −  + + + ĐS: − 12. ( ) 2 lim 4 1 x x x x → +  + + − ĐS: + 13. ( ) lim 1 9 1 x xx → +  + − + ĐS: − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page70 14. ( ) lim 16 7 9 3 x xx → −  + + + ĐS: không tồ n tại giới hạn Lờ i giải 1. ( ) 3 lim 2 3 x I x x →+  =− Ta có ( ) 3 lim 2 3 x I x x →+  =− 3 2 3 lim 2 x x x → +   = − = +    . (vì 3 lim x x → +  = +  và 2 3 lim 2 2 0 x x → +   − =    ) 2. ( ) 32 lim 3 2 x I x x → −  = − + . Ta có ( ) 32 lim 3 2 x I x x → −  = − + 3 3 32 lim 1 x x xx → −   = − + = −    . (vì 3 lim x x → −  = −  và 3 32 lim 1 1 x xx → −   − + =   ). 3. ( ) 32 lim 6 9 1 x I x x x →+  = − − + + . Ta có 3 23 6 9 1 lim 1 x Ix x x x → +   = − − + + = −    . (vì 3 lim x x → +  = +  và 23 6 9 1 lim 1 1 0 x x x x → +   − − + + = −    ). 4. ( ) 3 lim 3 1 x I x x → −  = − + − Ta có 3 23 31 lim 1 x Ix xx → −   = − + − = +    . (vì 3 lim x x → −  = −  và 23 31 lim 1 1 0 x xx → −   − + − = −    ). 5. ( ) 42 lim 2 1 x I x x → +  = − + Ta có 4 24 21 lim 1 x Ix xx → +   = − + = +    . (vì 4 lim x x → +  = +  và 24 21 lim 1 1 0 x xx → +   − + =    ). 6. ( ) 42 lim 8 10 x I x x →−  = − + Ta có 4 24 8 10 lim 1 1 0 x Ix xx → −   = − + =    (vì 4 lim x x → −  = +  và 24 8 10 lim 1 1 0 x xx → −   − + =    ) 7. ( ) 42 lim 2 3 x I x x → +  = − + + Ta có 4 24 23 lim 1 x Ix xx → +   = − + + = −    . ( vì 4 lim x x → +  = +  và 24 23 lim 1 1 0 x xx → +   − + + = −    ). 8. ( ) 42 lim 6 x I x x → −  = − − + Ta có 4 24 16 lim 1 x Ix xx → −   = − − + = −    . (vì 4 lim x x → −  = +  và 24 16 lim 1 1 x xx → −   − − + = −   ) 9. 2 lim 3 4 x I x x →   = − + . Ta có 2 2 34 lim 1 x Ix xx →   = − +   2 34 lim 1 x x xx →   = − + = +   . (vì lim x x →   = +  và 2 34 lim 1 1 0 x xx →   − + =    ). 10. ( ) 2 lim 2 1 x I x x → −  = + + Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page71 Ta có ( ) 2 lim 2 1 x I x x → −  = + + 2 1 lim 2 1 x x x → −   = − + + = +     . (vì lim x x → − = − và 2 1 lim 2 1 2 1 0 x x → −   − + + = − +     ). 11. ( ) 2 lim 1 2 x I x x x → −  = + + + 2 11 lim 1 2 x x xx → −   = − + + + = −     . (vì lim x x → − = − , 2 11 lim 1 2 1 0 x xx → −   − + + + =     ). 12. ( ) 2 lim 4 1 x I x x x → +  = + + − 2 11 lim 4 1 x x xx → +   = + + − = +     (vì lim x x → + = + , 2 11 lim 4 1 1 0 x xx → +   = + + − =     ). 13. ( ) lim 1 9 1 x I x x → +  = + − + 11 lim 1 9 x x xx → +   = + − + = −     . (vì lim x x →+  = +  , 11 lim 1 9 x x xx → +   = + − + = −     ). 14. ( ) lim 16 7 9 3 x I x x → −  = + + + Tập xác định của hàm số ( ) 16 7 9 3 f x x x = + + + là 1 ; 3 D  = − +     . Ta có khi x → −  hàm số ( ) 16 7 9 3 f x x x = + + + không xác định. Do đó ( ) lim 16 7 9 3 x xx → −  + + + không tồ n tại. Bài 6. Tính các giới hạn sau: 1. 2 lim 1 x x x → +  + − . ĐS: 1 2. 2 lim 1 x x x → −  + . ĐS: 2 3. 1 lim 21 x x x → +  − − .ĐS: 1 2 − 4. 32 lim 1 x x x → −  − + . ĐS: 3 5. 3 32 2 3 4 lim 1 x xx xx → +  +− − − + . ĐS: 2 − 6. ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 lim 5 1 2 x xx x x x → +  − −+ . ĐS: 6 5 7. 43 4 2 7 15 lim 1 x xx x → −  +− + . ĐS: 2 8. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 7 1 lim 2 1 3 x xx xx → +  +− −+ . ĐS: 0 9. ( ) ( ) ( ) 22 4 1 5 2 lim 31 x xx x → −  −+ + . ĐS: 25 81 10. ( ) ( ) ( ) ( ) 43 5 2 1 1 2 lim 2 2 3 x xx xx → −  +− ++ .ĐS: 1 4 − 11. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 lim 2 1 1 x xx xx → −  ++ +− . ĐS: − 12. ( ) ( ) ( ) 34 5 2 21 lim 12 x xx xx → −  +− − . ĐS: 1 32 − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page72 13. 32 2 lim 3 4 3 2 x xx xx → −  −  −+  . ĐS: 2 9 14. 2 3 37 lim 21 x xx x → −  −+ − .ĐS: 0 15. 3 4 22 lim 23 x xx xx → +  ++ ++ ĐS: 0 16. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 7 1 lim 2 1 3 x xx xx → +  +− −+ ĐS: 0 17. ( ) ( ) 2 2 4 1 2 3 lim 61 x xx xx → −  ++ −+ ĐS: − 18. 3 2 22 lim 23 x xx xx → +  ++ ++ ĐS: + 19. 43 3 22 lim 23 x x x x xx → −  + + + ++ ĐS: − 20. 43 23 22 lim 2 x x x x xx → +  + + + − ĐS: − 21. 43 11 lim 27 x xx x → +  −+ − ĐS: + 22. 42 21 lim 12 x xx x → +  +− − ĐS: + 23. 4 lim 12 x xx x → +  − − ĐS: + 24. ( ) ( ) 53 3 23 21 lim 21 x xx x x x → +  +− −+ ĐS: 1 25. 3 3 1 lim 21 x xx x → +  ++ + ĐS: 1 26. 42 21 lim 12 x xx x → +  +− − ĐS: − Lờ i giải 1. 2 lim 1 x x I x → +  + = − 2 1 lim 1 1 x x x x x → +   +   =  −   2 1 lim 1 1 x x x → +  +   =  −   1 = . 2. 2 lim 1 x x I x → −  = + 2 lim 1 1 x x x x → −   +   2 lim 1 1 x x → −  = + 2 = . 3. 1 lim 21 x x I x →+  − = − 1 1 lim 1 2 x x x x x → +   −   =  −   1 1 1 lim 1 2 2 x x x → +  − = = − − . 4. 32 lim 1 x x I x → −  − = + 2 3 lim 1 1 x x x x x → −  −   =  +   2 3 lim 1 1 x x x → −   −   =  +   3 = . 5. 3 32 2 3 4 lim 1 x xx I xx → +  +− = − − + 3 23 3 3 34 2 lim 11 1 x x xx x xx → +  +−   =  − − +   23 3 34 2 lim 2 11 1 x xx xx → +   +−   =−  − − +   . 6. 2 2 2 1 3 . 2 lim 12 51 x xx x I xx xx → +  −   =     −+         2 1 32 6 lim 12 5 51 x x xx → +  −   ==     −+         . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page73 7. 43 4 2 7 15 lim 1 x xx I x → −  +− = + 4 4 4 4 7 15 2 lim 1 1 x x xx x x → −  +−   =  +   4 4 7 15 2 lim 2 1 1 x xx x → −   +−   ==  +   . 8. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 7 1 lim 2 1 3 x xx I xx → +  +− = −+ 2 2 3 3 11 47 lim 13 21 x xx xx xx xx → +      +−         =     −+         2 3 11 47 lim 0 13 21 x x xx x xx → +      +−         ==     −+         . 9. ( ) ( ) ( ) 22 4 1 5 2 lim 31 x xx I x → −  −+ = + 22 22 4 4 12 15 lim 1 3 x xx xx x x → −      −+         =  +   22 4 12 15 25 lim 81 1 3 x xx x → −      −+         ==  +   . 10. ( ) ( ) ( ) ( ) 43 5 2 1 1 2 lim 2 2 3 x xx I xx → −  +− = ++ 43 43 5 52 2 11 12 lim 23 21 x xx xx xx xx → −      +−         =     ++         43 5 2 11 12 1 lim 4 23 21 x xx xx → −      +−         = = −     ++         . 11. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 lim 2 1 1 x xx I xx → −  ++ = +− 2 4 2 2 22 2 22 11 lim 11 21 x xx xx xx xx → −      ++         =     +−         2 2 2 2 22 . 1 1 lim 11 21 x x xx xx → −      ++         = = −      +−         (vì lim x x → − = − , 2 2 2 2 22 11 1 lim 0 2 11 21 x xx xx → −      ++         =     +−         ). 12. ( ) ( ) ( ) 34 5 2 21 lim 12 x xx I xx → −  +− = − 34 34 5 52 21 11 lim 1 2. x xx xx xx x → −      +−         =  −   34 5 21 11 1 lim 32 1 2 x xx x → −      +−         = = −  −   . 13. 32 2 lim 3 4 3 2 x xx I xx → −  =−  −+  . Ta có 32 2 lim 3 4 3 2 x xx I xx → −  =−  −+  ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 3 4 lim 3 4 3 2 x x x x x xx → −  + − − = −+ ( ) ( ) 32 2 24 lim 3 4 3 2 x xx xx → −  + = −+ 3 2 4 2 lim 42 33 x x x xx xx → −   +   =     −+         4 2 2 lim 42 9 33 x x xx → −   +   ==     −+         . 14. 2 3 37 lim 21 x xx I x → −  −+ = − 2 2 3 3 3 1 7 lim 1 2 x x x x x x x → −  −+   =  −   2 3 3 1 7 lim 0 1 2 x x x x x → −  −+   =  −   . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page74 Bài 7. Tính các giới hạn sau: 1. 1 23 lim 1 x x x + → − − . ĐS: − 2. 2 15 lim 2 x x x + → − − . ĐS: − 3. 3 2 lim 3 x x x − → − − . ĐS: + 4. ( ) 2 4 5 lim 4 x x x − → − − . ĐS: − 5. 2 31 lim 2 x x x − → −+ − . ĐS: + 6. 1 31 lim 1 x x x − → − − . ĐS: − 7. 2 65 lim 48 x x x + → − − . ĐS: − 8. 2 1 lim 24 x x x + → + − . ĐS: + 9. 3 3 lim 5 15 x x x + → − − . ĐS: 1 5 10. ( ) 3 71 lim 3 x x x − →− − + .ĐS: − 11. 2 2 2 lim 2 5 2 x x xx − → − −+ . ĐS: 1 3 12. 3 1 1 lim 23 x x xx + → − +− . ĐS: 1 7 13. 3 1 1 lim 23 x x xx − → − +− . ĐS: 1 7 − 14. 2 2 32 lim 2 x xx x + → −+ − .ĐS: 1 15. 2 3 9 lim 3 x x x → − − ĐS: không tồ n tại 16. 2 4 4 lim 20 x x xx → − +− ĐS: không tồ n tại 17. 2 2 lim 11 x x x − → − −− ĐS: 2 18. 3 3 lim 5 11 2 x x x − → − −− ĐS: 4 5 − 19. 3 2 2 lim 11 x x x − → − −− ĐS: 3 − 20. 2 3 5 25 lim 41 x x x − → − −− ĐS: 30 − 21. ( ) 2 3 38 lim 3 x x x + → − − ĐS: + 22. 3 2 2 25 3 lim 2 x x xx → +− −− ĐS: 1 81 23. 2 2 32 lim 4 16 x x x + → + − ĐS: + 24. 0 lim x xx xx + → + − ĐS: 1 − 25. 2 2 4 lim 2 x x x + → − − ĐS: 0 26. 0 2 lim x xx xx + → + − ĐS: 2 − 27. ( ) ( ) ( ) 1 21 lim 11 x xx xx + →− ++ + − − ĐS: 1 28. 2 2 3 69 lim 9 x xx x − → −+ − ĐS: 1 6 − 29. 2 2 1 43 lim 65 x xx xx − → −+ − + − ĐS: − 30. ( ) 2 54 1 32 lim x xx xx + →− ++ + ĐS: 0 31. ( ) 2 2 lim 2 4 x x x x + → − − ĐS: 0 32. ( ) ( ) 3 2 1 lim 1 1 x x x x + →− + − ĐS: 0 33. ( ) 2 1 5 lim 1 23 x x x xx + → + − +− ĐS: 0 34. 1 1 lim 2 1 1 x xx xx − → − − + − ĐS: 1 2 35. 0 1 lim 2 x x x x + →  −    ĐS: 0 36. ( ) ( ) 2 2 3 2 5 3 lim 3 x xx x + →− +− + ĐS: − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page75 37. 2 2 11 lim 24 x xx − →  −  −−  ĐS: − 38. 3 2 1 32 lim 54 x xx xx − → −+ −+ ĐS: 3 5 − Lờ i giải 1 1 23 lim 1 x x x + → − = −  − vì ( ) ( ) 1 1 lim 2 3 1 lim 1 0 1 0, 1 x x x x xx + + → → + − = −    −=   −   →   . 2. 2 15 lim 2 x x x + → − = −  − vì ( ) ( ) 2 2 lim 15 13 lim 2 0 2 0, 2 x x x x xx + + → → + − = −    −=   −   →   . 3. 3 2 lim 3 x x x − → − = +  − vì ( ) ( ) 3 3 lim 2 1 lim 3 0 3 0, 3 x x x x xx − − → → − − = −    −=   −   →   . 4. ( ) 2 4 5 lim 4 x x x − → − = −  − vì ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 lim 5 1 lim 4 0 4 0, 4 x x x x xx − − → → − − = −    −=    −   →  . 5. 2 31 lim 2 x x x − → −+ = +  − vì ( ) ( ) 2 2 lim 3 1 5 lim 2 0 2 0, 2 x x x x xx − − → → − − + = −    −=   −   →   . 6. 1 31 lim 1 x x x − → − = −  − vì ( ) ( ) 1 1 lim 3 1 2 lim 1 0 1 0, 1 x x x x xx − − → → − −=    −=   −   →   . 7. 2 65 lim 48 x x x + → − = −  − vì ( ) ( ) 2 2 lim 6 5 4 lim 4 8 0 4 8 0, 2 x x x x xx + + → → + − = −    −=   −   →   . 8. 2 1 lim 24 x x x + → + = +  − vì ( ) ( ) 2 2 lim 1 3 lim 2 4 0 2 4 0, 2 x x x x xx + + → → + +=    −=   −   →   . 9. Do 3 x + → nên 33 xx − = − suy ra 33 3 3 lim lim 5 15 5 15 xx x x xx ++ →→ − − == −− 3 11 lim 55 x + → = . 10. ( ) 3 71 lim 3 x x x − →− − = −  + vì ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 lim 7 1 22 lim 3 0 3 0, 3 x x x x xx − − →− →− −  − = −   +=    +   → −  . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page76 11. Do 2 x − → nên 22 xx − = − suy ra ( ) ( ) 2 22 2 2 lim lim 2 5 2 2 1 2 xx x x x x x x −− →→ − − = − + − − 2 11 lim 2 1 3 x x − → == − . 12. Do 1 x + → nên 11 xx − = − suy ra ( ) ( ) 3 2 11 1 1 lim lim 23 1 2 2 3 xx x x xx x x x ++ →→ − − = +− − + + 2 1 11 lim 2 2 3 7 x xx + → = ++ . 13. Do 1 x − → nên 11 xx − = − suy ra ( ) ( ) 3 2 11 1 1 lim lim 23 1 2 2 3 xx x x xx x x x −− →→ − − = +− − + + 2 1 11 lim 2 2 3 7 x xx − → − =− ++ . 14. Ta có ( ) ( ) 2 3 2 1 2 x x x x − + = − − , do 2 x + → nên 2 3 2 0 xx − +  , suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 32 12 lim lim lim 1 1 22 x x x xx xx x xx + + + → → → −+ −− = = − = −− . 15. Ta có ( ) ( ) 2 33 9 33 lim lim 33 xx x xx xx →→ − +− = −− TH1: 3 x  ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 9 33 lim lim lim 3 6 33 x x x x xx x xx + + + → → → − +− = = + = −− . TH2: 3 x  ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 9 33 lim lim lim 3 6 33 x x x x xx x xx − − − → → → − − + − = = − − = − −− . Do 22 33 99 lim lim 33 xx xx xx +− →→ −−  −− nên không tồ n tại 2 3 9 lim 3 x x x → − − . 16. Ta có ( ) ( ) 2 44 44 lim lim 45 20 xx xx xx xx →→ −− = −+ +− TH1: 4 x  , ta có ( ) ( ) 2 4 4 4 4 4 1 1 lim lim lim 4 5 5 9 20 x x x xx x x x xx + + + → → → −− = = = − + + +− TH2: 4 x  , ta có ( ) ( ) 2 4 4 4 4 4 1 1 lim lim lim 4 5 5 9 20 x x x xx x x x xx + − − → → → − − − − = = = − + + +− Do 2 4 4 lim 20 x x xx + → − +−  2 4 4 lim 20 x x xx − → − +− nên không tồn tại 2 4 4 lim 20 x x xx → − +− . 17. Do 2 x − → nên 22 xx − = − suy ra 2 2 lim 11 x x x − → − −− ( ) ( ) 2 2 1 1 lim 11 x xx x − → − − + = −− ( ) 2 lim 1 1 2 x x − → − + = . 18. Do 3 x − → nên 23 xx − = − suy ra 3 3 lim 5 11 2 x x x − → − −− ( ) ( ) 3 3 5 11 2 lim 5 11 4 x xx x − → − − + = −− ( ) 3 5 11 2 4 lim 55 x x − → − − + = = − . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page77 19. Do 2 x − → nên 22 xx − = − suy ra 3 2 2 lim 11 x x x − → − −− ( ) ( ) 2 33 2 2 1 1 1 lim 11 x x x x x − → − − + − + = −− ( ) ( ) 2 33 2 lim 1 1 1 3 x xx − → = − − + − + = − . 20. Ta có ( ) ( ) 2 25 5 5 x x x − = − + , do 5 x − → nên 2 25 0 x− , suy ra 2 3 5 25 lim 41 x x x − → − −− ( ) ( ) 2 233 5 25 4 4 1 lim 41 x x x x x − → − − + − + = −− ( ) ( ) ( ) 2 33 5 lim 5 4 4 1 30 x x x x − → = − + − + − + = − . 21. ( ) 2 3 38 lim 3 x x x + → − = +  − , vì ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 lim 3 8 1 lim 3 0 3 0, 3 x x x x xx + + → → + −=    −=    −   →  . 22. Ta có 3 2 2 25 3 lim 2 x x xx → +− −− ( ) ( ) ( ) 2 2 33 25 27 lim 2 1 25 3 25 9 x x x x x x → +− = − + + + + + ( ) ( ) 2 2 33 11 lim 81 1 25 3 25 9 x x x x → == + + + + + . 23. 2 2 32 lim 4 16 x x x + → + = +  − , vì ( ) 2 2 2 2 lim 3 2 8 lim 4 16 0 4 16 0, 2 x x x x xx + + → → + +=    −=    −   →  . 24. 0 lim x xx xx + → + − ( ) ( ) 00 1 1 lim lim 1 1 1 xx xx x x xx ++ →→ + + = = = − − − . 25. 2 2 4 lim 2 x x x + → − − ( ) ( ) ( ) 22 22 lim lim 2 2 0 2 xx xx xx x ++ →→ −+ = = − + = − . 26. 0 2 lim x xx xx + → + − = ( ) ( ) 00 2 2 lim lim 2 1 1 xx xx x x xx ++ →→ + + = = − − − . 27. Ta có ( ) ( ) ( ) 1 21 lim 11 x xx xx + →− ++ + − − ( ) ( ) ( ) 11 2 1 2 lim lim 1 11 1 1 1 xx x x x x xx ++ → − → − + + + = = = −+ + − + . 28. Ta có ( ) 2 2 6 9 3 3 x x x x − + = − = − , do 3 x − → nên 2 6 9 3 x x x − + = − , suy ra 2 2 3 69 lim 9 x xx x − → −+ − ( ) ( ) 2 2 3 3 3 6 9 3 1 1 lim lim lim 9 3 3 3 6 x x x x x x x x x x − − − → → → − + − − = = = = − − − + + . 29. Do 1 x − → nên 10 x− , từ đó ta có 2 2 1 43 lim 65 x xx xx − → −+ − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 13 lim 15 x xx xx − → −− = − − − ( ) ( ) 1 13 lim 15 x xx xx − → −− = − − − ( ) 1 3 lim 15 x x xx − → − = −− 1 13 lim . 5 1 x x x x − →  − = = −    − −  . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page78 vì 1 32 lim 54 x x x − → − =− − và 1 1 lim 1 x x − →  = +   −  . 30. ( ) 2 54 1 32 lim x xx xx + →− ++ + ( ) ( ) ( ) 2 1 12 lim 1 x xx xx + →− ++ = + ( ) ( ) 2 1 12 lim 0 x xx x + →− ++ == . 31. ( ) 2 2 lim 2 4 x x x x + → − − ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 lim 2 lim 0 2 2 2 xx xx x x x x x ++ →→ − = − = = − + + . 32. Ta có ( ) ( ) 3 2 1 lim 1 1 x x x x + →− + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 lim 1 1 11 x x x x x xx + →− = + − + −+ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 lim 1 0 1 x xx xx x + →− + = − + = − . 33. Do 1 x + → nên 10 x − , vì thế ta có ( ) 2 1 5 lim 1 23 x x x xx + → + − +− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 51 lim 13 x xx xx + →  +−  =  −+  ( ) ( ) 1 51 lim 0 3 x xx x + →  +−  ==  +  . 34. ( ) 11 11 lim lim 2 1 1 1 2 1 xx x x x x xx xx −− →→ −− = − + − − + − 1 1 lim 2 21 x x x − → == +− . 35. 0 1 lim 2 x x x x + →  −    ( ) 2 0 1 lim 2 x xx x + →  −  =   ( ) 0 lim 2 1 0 x xx + → = − = . 36. ( ) ( ) 2 2 3 2 5 3 lim 3 x xx x + →− +− + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 2 1 3 21 lim lim 3 3 xx xx x x x ++ → − → − −+ − = = = −  + + . 37. 2 2 11 lim 24 x xx − →  −  −−  ( ) ( ) 2 21 lim 22 x x xx − →  +− =   −+  2 11 lim . 22 x x xx − → + = = −   +−  . 38. Do 1 x − → nên 10 x− , suy ra ( ) 2 1 1 1 x x x − = − = − nên ta có 3 2 1 32 lim 54 x xx xx − → −+ −+ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 21 lim 14 x xx xx − → +− = −+ ( ) ( ) ( ) 1 12 lim 14 x xx xx − → −+ = −+ 1 23 lim 45 x x x − → −+ = = − + . Bài 8. Tính các giới hạn sau: 1) 0 sin5 lim x x x → . ĐS: 5 2) 0 tan 2 lim 3 x x x → . ĐS: 2 3 3) 2 0 1 cos lim x x x → − . ĐS: 1 2 4) 3 0 sin5 .sin3 .sin lim 45 x x x x x → . ĐS: 1 3 5) 0 1 cos5 lim 1 cos3 x x x → − − 6) 2 0 1 cos 2 lim .sin x x xx → − . ĐS: 4 7) ( ) 0 sin lim 0 1 cos x x ax a ax →  − . ĐS: 2 a 8) 0 1 cos lim 1 cos x ax bx → − − . ĐS: 2 2 a b 9) ( ) 2 0 1 cos lim ; 0 x x a x → −  ĐS: 2 2 a 10) 3 0 sin tan lim x xx x → − ĐS: 1 2 − Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page79 11) 3 0 tan sin lim . sin x xx x → − ĐS: 1 2 12) sin sin lim . xa xa xa → − − ĐS: cos a 13) cos cos lim xb xb xb → − − ĐS: sinb − 14) 0 1 2 1 lim sin 2 x x x → −+ ĐS: 1 2 − 15) ( ) ( ) 0 cos cos lim x a x a x x → + − − ĐS: 2sin a − 16) tan tan lim xc xc xc → − − ĐS: 2 1 cos c 17) 3 0 1 cos lim sin x x xx → − ĐS: 3 2 18) 22 22 sin sin lim xa xa xa → − − ĐS: sin 2 2 a a 19) 2 0 cos cos lim x xx x  → − ĐS: 22 2  − 20) ( ) 3 2 8 lim tan 2 x x x →− + + ĐS:12 21) 0 1 cos cos2 cos3 lim . 1 cos x x x x x → − − ĐS:1422) ( ) ( ) 2 0 sin 2 2sin sin lim . x a x a x a x → + − + + ĐS: ( ) sin  − 23) 0 sin tan lim ;( 0) () x ax bx ab a b x → + + + ĐS: 1 24) 2 0 cos3 cos5 cos7 lim x x x x x → − ĐS: 33 2 − 25) 0 cos cos cos lim . 1 cos x ax bx cx x → − − ĐS: 2 2 2 2 bac −− 26) ( ) ( ) 0 sin sin lim tan( ) tan( ) x a x a x a x a x → + − − + − − ĐS: 3 cos a 27) 3 2 0 2 1 1 lim . sin x xx x → + − + ĐS: 1 28) 2 4 0 sin 2 sin sin 4 lim x x x x x → − ĐS: 6 29) 2 cos lim . 2 x x x   →− + ĐS: 1 30) 0 2 sin sin 2 lim 1 sin 2 x xx x x → −  −   ĐS: -1 31) 2 2 0 1 cos lim . x xx x → +− ĐS: 1 32) 3 0 1 tan 1 sin lim x xx x → + − + ĐS: 1 4 33) 2 0 1 cos5 cos7 lim . sin 11 x xx x → − ĐS: 37 121 34) 1 32 lim tan( 1) x x x → +− − ĐS: 1 4 35) ( ) 2 1 cos lim . x x x   → + − ĐS: 1 2 36) 2 1 sin( 1) lim 43 x x xx → − −+ ĐS: 1 2 − 37) 2 2 0 1 cos 2 lim . x xx x → +− ĐS: 5 2 38) 2 0 1 cos cos 2 lim x xx x → − ĐS: 3 2 Lờ i giải. 1) 00 sin 5 sin 5 lim lim 5 5 5 xx xx xx →→  =  =   . 2) 00 tan 2 2 tan 2 2 lim lim . 3 3 2 3 xx xx xx →→  =  =   Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page80 3) 2 2 22 0 0 0 2sin sin 1 cos 1 1 2 2 lim lim lim 2 42 2 x x x x x x x xx → → →         −    = =  =        . 4) 3 00 sin 5 sin 3 sin 1 sin 5 sin 3 sin 1 lim lim 45 3 5 3 3 xx x x x x x x x x x x →→  =    =   . 5) 22 2 0 0 0 2 5 5 3 2sin sin 1 cos5 25 4 25 2 2 2 lim lim lim 3 5 3 1 cos3 4 9 9 2sin sin 2 2 2 x x x x x x x x x x x → → →           −  = =    =     −            . 6) 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos 2 sin 2 4sin cos sin lim lim lim lim 4cos 4 sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → −  = = =  =   . 7) 2 2 0 0 0 2 sin sin 1 sin 4 2 2 lim lim lim 1 cos 2 2sin sin 22 x x x ax x ax x ax ax a ax ax ax ax a a → → →      = =     =  −      . 8) 22 2 22 22 0 0 0 2 2sin sin 1 cos 4 2 2 2 lim lim lim 1 cos 4 2sin sin 2 2 2 x x x ax ax bx ax a a bx ax bx bx b b → → →           −  = =    =     −            . 9) 2 2 22 22 0 0 0 2sin sin 1 cos 22 lim lim lim 2 42 2 x x x ax ax ax a a ax xx → → →     −  = =   =       . 10) Ta có ( ) 33 00 sin cos 1 sin tan lim lim cos xx xx xx x x x →→ − − = 2 2 3 00 2sin sin sin 2 sin 1 1 22 lim lim . cos cos 4 2 2 xx xx x x x x x x x →→   −    = = −    = −       11) ( ) ( ) ( ) 3 2 0 0 0 sin 1 cos tan sin 1 1 lim lim lim . sin cos 1 cos 2 cos sin 1 cos x x x xx xx x x x x x x → → →  − − = = =   + −  12) Ta có 2cos sin sin sin 22 lim lim xa xa x a x a xa x a x a → → +− − = −− sin 2 lim cos cos . 2 2 xa xa xa a xa → −   + =  =  −   Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page81 13) Ta có 2sin sin cos cos 22 lim lim x b x b x b x b xb x b x b →→ +− − − = −− sin 2 lim sin sin . 2 2 xb xb xb b xb → −   + = −  = −  −   14) Ta có ( ) 00 1 2 1 1 2 1 lim lim sin 2 sin 2 1 2 1 xx xx x xx →→ − + − − = ++ 0 1 2 1 lim . sin 2 2 1 2 1 x x x x →  = −  = −  ++  15) Ta có 00 2sin sin cos( ) cos( ) 22 lim lim xx a x a x a x a x a x a x xx →→ + + − + − + − + − − = 0 sin lim 2sin 2sin . x x aa x →  = −  = −   16) ( ) ( ) ( ) 2 sin sin tan tan 1 1 lim lim lim cos cos cos cos cos . x c x c x c x c x c xc x c x c x c x c x c c → → → −− − = =  =  − − −  17) Ta có ( ) ( ) 2 3 00 1 cos 1 cos cos 1 cos lim lim sin sin xx x x x x x x x x →→ − + + − = ( ) 22 2 00 2sin 1 cos cos sin 1 cos cos 1 3 22 lim lim . 22 2 sin cos cos 2 2 2 2 xx xx xx xx x x x x x →→  ++  ++ = =   =    18) Ta có ( ) ( ) 22 22 1 cos 2 1 cos 2 sin sin 22 lim lim x a x a xa xa x a x a x a →→ −− − − = − − + ( ) ( ) 2sin sin cos 2 cos 2 lim lim 2( )( ) 2( )( ) x a x a a x a x ax x a x a x a x a →→ − + − − == − + − + sin( ) sin( ) sin 2 lim . 2 xa a x a x a x a a x a → +−  =  =  +−  19) Ta có ( ) ( ) 22 00 2sin sin cos cos 22 lim lim xx xx xx xx      →→ +− − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 0 sin sin 22 lim 2 . 2 2 2 22 x xx xx               → +−   + − − = −     =  +−    20) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 8 lim lim lim 2 4 12. tan 2 tan( 2) tan( 2) x x x x x x x x xx x x x → − → − → − + − + +  + = = − +  =  + + +  21) Ta có 00 1 cos cos2 cos3 1 cos cos (1 cos2 ) cos cos2 (1 cos3 ) lim lim 1 cos 1 cos xx x x x x x x x x x xx →→ − − + − + − = −− Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page82 2 2 0 22 3 2sin 2sin 2 lim 1 cos cos cos 2 2sin 2sin 22 x x x x x x xx →   = + +    2 2 2 2 0 3 sin sin 2 2 2 lim 1 4cos 9cos cos 2 1 4 9 14. 3 sin sin sin 2 2 2 x x x x x x x x x x x x →                 = + + = + + =                        22) Ta có ( ) ( ) ( ) 22 00 sin 2 2sin( ) sin 2sin cos 2sin lim lim xx a x a x a a x x a x xx →→ + − + + + − + = ( ) 2 22 00 4sin sin 2sin( )(cos 1) 2 lim lim xx x ax a x x xx →→ −+ +− == ( ) 2 0 sin 1 2 lim 4sin sin . 4 2 x x a x a x →      = − +   = −       23) Ta có 0 0 0 sin tan sin tan sin tan lim lim lim 1. ( ) ( ) x x x ax bx ax bx ax bx a b ax bx a b ax bx ax bx a b x a b x a b a b → → →  +    ++ = = = = + + + + 24) Ta có 22 00 cos3 cos5 cos7 cos3 cos5 cos5 cos5 cos7 lim lim xx x x x x x x x x xx →→ − − + − = 2 22 00 7 2sin 4 sin 2cos5 sin 2sin 4 sin cos5 (1 cos7 ) 2 lim lim xx x x x x x x x x xx →→ − +− == 2 0 7 sin sin 4 sin 49 49 33 2 lim 8 2 cos5 8 . 7 4 4 2 2 2 x x xx x x xx →      =   −    = − = −       25) Ta có 22 00 cos cos cos cos cos cos cos cos lim lim xx ax bx cx ax bx bx bx cx xx →→ − − + − = ( ) ( ) 2 22 00 ( ) ( ) 2sin sin cos (1 cos ) 2sin sin 2cos sin 2 2 2 2 2 lim lim xx b a x b a x a b x a b x cx bx cx bx xx →→ −− ++ + − − == ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 () sin sin sin 2 2 2 lim 2 2 cos . () 4 4 2 2 2 22 2 x b a x a b x cx b a c b a c b a c bx a b x cx b a x →  − +    − − − −  =    −    = − =  + −      Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page83 26) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 00 sin( ) sin( ) 2cos sin lim lim sin 2 tan tan cos cos xx a x a x a x x a x a x a x a x →→ + − − = + − − +− ( ) ( ) 3 0 cos cos cos lim cos cos x a a x a x a x → +− == 27) Ta có 33 22 00 2 1 1 2 1 1 1 1 lim lim cos sin xx x x x x xx →→ + − + + − + − + = ( ) 2 2 33 22 0 2 2 1 1 1 1 1 lim sin x xx x xx x → − + ++ + + + + = ( ) 2 33 22 0 2 2 1 1 1 1 1 lim 1. sin x xx x xx x x → − ++ + + + + == 28) Ta có ( ) 2 44 00 sin 2 sin 2 2sin cos2 sin 2 sin sin 4 lim lim xx x x x x x x x xx →→ − − = ( ) 44 00 3 4sin 2 sin sin sin 2sin 2 sin cos cos 2 22 lim lim xx xx xx x x x x xx →→ − == 0 3 sin sin 3 sin 2 sin 22 lim 4 6. 3 22 22 x xx xx xx xx →   =      =    29) 22 sin cos 2 lim lim 1 22 xx x x xx    → − → −  +   == ++ . 30) ( ) 0 0 0 2 sin 1 2cos sin sin 2 sin 1 2cos lim lim lim 1 cos cos 1 2sin 2 x x x xx x x x x x x x x x x → → → − −−  = =  = −    −   . 31) Ta có 22 22 00 1 cos 1 1 1 cos lim lim xx x x x x xx →→ + − + − + − = 2 22 0 1 1 1 cos lim x xx xx →  + − − =+    ( ) 2 2 2 022 2sin 11 2 lim 11 x x x x xx →   +− =+  ++   2 2 0 sin 1 1 1 1 2 lim 1 22 1 2 2 1 x x x x →      = +  = + =   ++     . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page84 32) ( ) 3 3 00 1 tan 1 sin 1 tan 1 sin lim lim 1 tan 1 sin xx x x x x x x x x →→ + − + + − − = + + + ( ) ( ) 3 0 sin 1 cos lim cos 1 tan 1 sin x xx x x x x → − = + + + ( ) 2 3 0 2sin sin 2 lim cos 1 tan 1 sin x x x x x x x → = + + + ( ) 2 0 sin 2 sin 1 1 2 lim 44 cos 1 tan 1 sin 2 x x x x x x x x →      =    =   + + +     . 33) ( ) 22 00 1 cos5 cos5 1 cos7 1 cos5 cos7 lim lim sin 11 sin 11 xx x x x xx xx →→ − + − − = 22 22 0 57 2sin 2cos5 sin 22 lim sin 11 sin 11 x xx x xx →   =+    22 22 0 57 sin sin 25 11 49 11 22 lim cos5 57 242 sin11 242 sin11 22 x xx xx x xx xx →                = +                         25 49 37 242 242 121 = + = . 34) ( ) ( ) ( ) 11 3 2 3 4 lim lim tan 1 tan 1 3 2 xx xx x xx →→ + − + − = − − + + ( ) 1 1 1 1 lim tan 1 4 32 x x x x →  − =  =   − ++  . 35) ( ) ( ) 2 22 2cos 1 cos 2 lim lim xx x x xx   →→ + = −− ( ) 2 2 2 2sin sin 11 22 lim lim 22 2 xx xx x x     →→  −  −                  = =  =  −  −      . 36) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 11 lim lim lim . 4 3 1 3 1 3 2 x x x x x x x x x x x x → → → − − −  = = = −  − + − − − −  . 37) 22 22 00 1 cos 2 1 1 1 cos 2 lim lim xx x x x x xx →→ + − + − + − = ( ) 2 2 2 2 2 2 00 22 1 1 1 cos 2 1 1 2sin lim lim 11 xx x x x x x x x xx →→   + − − + −  = + = +    ++    2 2 0 1 sin 1 5 lim 2 2 22 11 x x x x →   = +  = + =     ++  . 38) ( ) 22 00 1 cos cos 1 cos 2 1 cos cos 2 lim lim xx x x x xx xx →→ − + − − = Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page85 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 00 2sin cos 1 cos 2 cos 1 cos 2 1 cos 2 lim lim 1 cos 2 xx x xx xx x x x x xx →→   −  − −  = + = +   +    ( ) 2 2 200 sin sin 1 1 sin 1 3 22 lim lim 1 2 2 2 2 1 cos 2 1 cos 2 xx xx x x x xx →→               =  =   = + =       +  +              Bài 9. Tính các giới hạn sau: 1) 0 cos3 cos lim cos5 cos x xx xx → − − ĐS: 1 3 2) 2 6 1 2sin lim 4cos 3 x x x  → − − ĐS: 1 2 3) 2 1 sin 2 cos 2 lim cos x xx x  → ++ ĐS: 24) 0 sin 7 sin5 lim sin x xx x → − ĐS: 2 5) 4 2 2cos lim sin 4 x x x   → −  −   ĐS: 2 6) 3 0 1 cos lim sin x x x → − ĐS: 1 6 7) 3 3 sin cos lim sin 3 x xx x  → − ĐS: 2 3 − 8) 4 lim tan 2 .tan 4 x xx   →   −     ĐS: 1 9) 3 cos3 2cos 2 2 lim sin 3 x xx x  → ++ ĐS: 23 3 10) 3 2 3 tan 1 lim 2sin 1 x x x  → − − ĐS: 1 12 − Lờ i giải 1) 0 0 0 0 sin cos3 cos 2sin 2 sin sin 1 lim lim lim lim sin 3 cos5 cos 2sin 3 sin 2 sin 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → −− = = = = −−  . 2) 22 6 6 6 1 2sin 1 2sin 1 1 lim lim lim 4cos 3 1 4sin 1 2sin 2 x x x xx x x x    → → → −− = = = − − + . 3) ( ) 2 2 2 2 1 sin 2 cos 2 2cos sin 2 lim lim lim 2cos 2sin 2 cos cos x x x x x x x xx xx    → → → + + + = = + = . 4) 0 0 0 sin 7 sin5 2cos6 sin lim lim lim2cos6 2 sin sin x x x x x x x x xx → → → − = = = . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page86 5) 4 4 4 2 2 cos 2 cos cos 2 2 2cos 4 lim lim lim sin sin sin 4 4 4 x x x x x x x x x        → → →   −  −  −     ==       − − −             4 4sin sin 8 2 8 2 lim 2sin cos 2 8 2 8 x xx xx    →     − + −         =     −−         4 2sin 82 lim 2 cos 28 x x x    →  +   ==  −   6) ( ) 2 3 2 00 3 3 22 1 cos cos 1 cos lim lim tan sin 1 cos cos xx xx x x x x x →→ − − =   + +   ( ) 2 0 3 3 2 cos 1 lim 6 1 cos 1 cos cos x x x x x → ==  +  + +   7) ( ) sin 3 3 3 3 3 3 3 2sin 3 3 sin 3 2sin 3 sin 3 cos 2 3 lim lim lim lim sin 3 sin 3 3 sin 3 3 3 3 3 x x x xx x x x xx xx x x               → → → → − − −       −        − −    −      = = = = − −+   −     −  −   . 8) ( ) 2 2 4 4 4 2 tan 1 tan 2 tan lim tan 2 tan lim lim 1 4 1 tan 1 tan 1 tan x x x x x x xx xx x     → → →   −      − =  = =   −+     +  . 9) 32 3 33 cos3 2cos 2 2 4cos 3cos 4cos lim lim sin 3 3sin 4sin xx x x x x x x x x  →→ + + − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2cos 1 2cos 3 cos lim 2sin 3 2sin 3 sin x x x x x x x  → −+ = +− ( ) 3 cos cos 2cos 3 cos 3 lim 3 x x x x   →  −+   = ( ) ( ) 3 sin 2cos 3 cos 23 26 lim 3 cos 2sin 3 sin 26 x x xx x xx    →  − + +   ==  ++   10) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 33 44 tan 1 cos tan 1 lim lim 2sin 1 1 tan . tan tan 1 xx xx x x x x x  →→ − − = −  − + +   ( ) ( ) 2 2 33 4 cos lim 1 tan tan tan 1 x x x x x  → − =  + + +   1 12 =− . Tài li ệu t ự học dành cho HS L ớp 11 GI ỚI H ẠN VÀ LIÊN T ỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Page87 Bài 10. Tính các giới hạn sau: 1) 0 cos4 1 lim sin 4 x x x → − ĐS: 0 2) 0 1 sin 2 cos2 lim 1 sin 2 cos2 x xx xx → +− −− ĐS: 1 − 3) 0 sin 2 lim 1 sin 2 cos2 x x xx → −− ĐS: 1 − 4) 0 1 cos lim sin x x x → − ĐS: 0 5) 0 sin5 sin3 lim sin x xx x → − ĐS: 2 6) 0 11 lim sin tan x xx →  −   ĐS: 0 7) 2 4 2 sin 1 lim 2cos 1 x x x  → − − ĐS: 2 4 − 8) 6 sin 6 lim 1 2sin x x x   →  −   − ĐS: 23 3 9) 4 sin 4 lim 1 2 sin x x x   →  −   − ĐS: 2 10) 0 2 lim cot sin 2 x x x →  −   ĐS: 0