Tập giá trị và GTLN – GTNN của hàm số lượng giác - Tài liệu tự học Toán 11

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 1 PHƯƠNG PHÁP 1. Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số   y f x  xác định trên miền D R  . a. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số   y f x  trên D nếu     0 0 , , f x M x D x D f x M            b. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số   y f x  trên D nếu     0 0 m, , f x x D x D f x m            2. Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này a) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn : 2 2 1 sin 1 0 sin 1 1 cos 1 0 cos 1 x x x x                  b) Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.  MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số 3 sin y x   Lời giải Tập xác định D   . Ta có: 1 sin 1 x x       1 sin 1 x x           3 1 3 sin 3 1 x x           4 2 y x       Ta có: 4 y  khi sin 1 x   và 2 y  khi sin 1 x  Vậy min 2 y  và max 4 y  . Bài 2. Tìm tập giá trị T của hàm số 3cos 2 5 y x   TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 2 Lời giải Tập xác định D   . Ta có: 1 cos 2 1 3 3cos 2 3 3 5 3cos 2 5 3 5 8 2 x x x y                    Vậy tập giá trị của hàm số 3cos 2 5 y x   là   8; 2 T    Bài 3. Tìm tập giá trị T của hàm số 2 2 sin 2cos 1 y x x    trên khoảng  Lời giải Ta có:   2 2 2 2 2 sin 2cos 1 sin 2 1 sin 1 3 sin y x x x x x          Với x   thì 2 2 0 sin 1 0 sin 1 x x        2 3 3 sin 3 1 2 x       Vậy tập giá trị của hàm số 2 2 sin 2cos 1 y x x    trên  là   2 ; 3 T  Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 1 cos 1 y x   Lời giải ĐKXĐ: co s x - 1 x k 2       . TXĐ:   / 2 D k      Ta có: 1 1 : 1 cos 1 0 1 cos 2 1 cos 2 x D x x x             Ta có: 1 2 y  khi c os x 1  . Vậy, 1 mi n 2 y  . Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2sin 1 3 P x           Lời giải Ta có: sin 1 2sin 2 2sin 1 1 3 3 3 x x x                                  Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin 1 3 x           . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1  . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2017 cos8 2016 2017 y x           A. min 1; maxy 4033 y   B. min 1; maxy 4033 y    C. min 1; maxy 4022 y   D. min 1; max 4022 y y    Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên  Ta có 10 1 cos8 1, 2017 x x               10 2017 2016 2017 cos8 2016 2017 2016, 2017 x x                   . 10 1 2017 cos8 2016 4033, 2017 x x                 Ta có 1 y   khi 10 cos8 1 2017 x           ; 4033 y  khi 10 cos8 1 2017 x          . Vậy min 1; maxy 4033 y    . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 4 cos y x  là: A. 0 và 4. B.  4 và 4. C. 0 và 1. D.  1 và 1. Lời giải Chọn B Tập xác định:   0 ; D    . Ta có:   1 cos 1, 0 ; x x          4 4co 4 ; s , 0 x x         Ta có 4 y   khi cos 1 x   và 4 y  khi cos 1 x  . Vậy min 4 ; max 4 y y    Câu 3. Cho hàm số sin . 4 y x          Giá trị lớn nhất của hàm số là: A. 1  . B. 0 . C. 1. D. 4  . Lời giải Chọn C Ta có: 1 sin 1 4 x            . Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số sin 4 y x          là 1. Câu 4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 cos 2 y x    là: A. 0 và 2 1  . B. 1  và 2 1  . C. 2  và 1  D. 1  và 1 Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 4 Chọn C Ta có 2 2 1 cos 2 sin 2 sin 2 y x x x        Mặt khác 0 sin 1 2 sin 2 1 x x         2 1 y      Ta có: 2 y   khi sin 0 x  và 1 y   khi sin 1 x  Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là 2  và 1  . Câu 5. Cho hàm số 2sin 2 3 y x            . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 4 , y x      B. 4 , y x     C. 0 , y x     D. 2 , y x     Lời giải Chọn C Ta có 1 sin 1, 3 x x               2 2sin 2 , 3 x x                 4 2sin 2 0 , 3 x x                 Ta có: 4 y  khi sin 1 3 x           và 0 y  khi sin 0 3 x          Suy ra chọn đáp án C.  MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2017 cos 8 2016 2017 y x           . Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên  . Ta có : 10 1 cos 8 1 2017 x            , x    10 2017 2017 cos 8 2017 2017 x             , x    10 1 2017 cos 8 2016 4033 2017 x              , x    Ta có 1 y   khi 10 cos 8 1 2017 x           ; 4033 y  khi 10 cos 8 1 2017 x          . Vậy min 1; maxy 4033 y    . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2cos sin 2 5 y x x    . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 5 Lời giải Ta có 2 2cos sin 2 5 y x x    cos 2 sin 2 6 x x    2 cos 2 6 4 x           . Do 2 2 cos 2 2 4 x            nên 2 6 2 cos 2 6 2 6 4 x               . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x    là 6 2  . Bài 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos y x x   . Tính P M m   . Lời giải Ta có in cos 2 si 4 s n x x x y            . Mà 2 1 sin 1 2 sin 2 2 2 4 4 2 2 M x x P m                                   . Vậy 2 2 P  . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 1 cos 2 x y x    . Lời giải Cách 1 : cos 2 0 x   , x    . Vậy   sin 1 sin 1 cos 2 cos 2 x y x y x x        sin cos 1 2 0 x y x y      . Ta có     2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 1 4 4 1 3 4 0 0 3 y y y y y y y y                . Vậy min 0 y  min. Cách 2 : Ta có sin 1 0 0 min 0 sin 1 cos 2 0 x y y x x               . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x    . Lời giải Cách 1: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x    2 2cos 1 3 sin 2 2 x x     cos 2 3 sin 2 2 x x    1 3 2 cos 2 sin 2 2 2 2 x x            2cos 2 2 3 x           . Mặt khác 0 2cos 2 2 4 3 x            , x    0 4 y    , x    . Cách 2: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x    2 2cos 1 3 sin 2 2 x x     cos 2 3 sin 2 2 x x      * Ta có 1 3 2 1 3 2 y        0 4 y    . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 sin 2cos y x x   . A. 2 M  , 0 m  . B. 2 M  , 1 m  . C. 3 M  , 1 m  . D. 3 M  , 0. m  Lời giải Chọn B Ta có:   2 2 2 2 2 2 sin 2cos sin cos cos 1 cos y x x x x x x        . Do 2 2 1 cosx 1 0 cos x 1 1 cos x 2          . Suy ra 2 1 M m      . Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 8sin 3cos2 y x x   . Tính Tính 2 2 P M m   . A. 1 P  . B. 2 P  . C. 112 . D. 130 P  . Lời giải Chọn A Ta có:   2 2 2 2 8sin 3cos 2 8sin 3 1 2sin 2sin 3 y x x x x x        . Mà 1 sinx 1    2 2 0 sin 1 3 2sin 3 5 x x        3 5 y    . Suy ra: 5 3 M m      . Do đó: 2 2 1 P M m    . Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin 4cos 1 y x x    . A. max 8 y  , min 6 y   . B. max 4 y  , min 6 y   . C. max 6 y  , min 8 y   . D. max 6 y  , min 4 y   . Lời giải Chọn B Ta có 3sin 4cos 1 3sin 4cos 1 y x x x x y          * Ta coi   * như là phương trình cổ điển với 3 a  , 4 b  , 1 c y   . Phương trình   * có nghiệm khi và chỉ khi   2 2 2 2 9 16 1 6 4 a b c y y           . Vậy max 4 y  , min 6 y   . Chú ý: Ta có thể áp dụng bất đẳng thức BCS như sau:     2 2 2 2 1 3sin 4cos 3 4 sin cos 5 y x x x x        . Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 sin sin 2 y x x    . A. 7 min ;max 4 4 y y   . B. 7 min ;max 2 4 y y   . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 7 C. min 1; max 1 y y    . D. 1 min ;max 2 2 y y   . Lời giải Chọn A Đặt sin x u  ;   1;1 u   . Xét hàm số: 2 2 y u u    trên   1 ;1  . Ta có:   1 1;1 2 2 b a     . Từ đây có bảng biến thiên Ta kết luận:     1;1 7 min 4 f u   và   1;1 max 4 1 y u      . Hay 7 1 min sin 4 2 y x    và max 4 sin 1 y x     . Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin 2cos 3 2 cos x x y x     A. 2 min 3 y   ; max 2 y  B. 2 min 3 y  ; max 2 y  . B. 1 min 2 y  ; 3 max 2 y  . D. 1 min 2 y   ; 3 max 2 y  . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos 2 0 x   , x    . sin 2cos 3 2 cos x x y x     sin 2cos 3 2 cos x x y y x        sin 2 cos 3 2 0 x y x y       . Ta có:     2 2 2 1 2 3 2 y y     2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y         2 3 8 4 0 y y     2 2 3 y    . Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sin x 2cos x 3 2 2 cos x     thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max 2  . Lúc này chỉ còn A và B. Thử với 2 min y 3   thì không có nghiệm. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 8  MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3cos 2 3 y x           Lời giải Vì 1 cos 1 3 x            nên 3 3cos 3 3 2 3 2 1 5 2 x y y                      . Vậy tập gái trị của hàm số là   1;5  . Bài 2. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3 2sin 2 y x   . Lời giải Ta có: 1 sin 2 1 2 2sin 2 2 1 3 2sin 2 5 1 3 2sin 2 5 x x x x                . Vậy tập giá trị của hàm số là 1; 5     . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 4sin cos 1 y x x   . Lời giải Ta có 2sin 2 1 y x   . Do 1 sin 2 1 2 2sin 2 2 1 2sin 2 1 3 x x x             1 3 y     . * 1 sin 2 1 2 2 2 4 y x x k x k                  . * 3 sin 2 1 4 y x x k         . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, đạt được khi 4 x k     . giá trị nhỏ nhất bằng 1  , đạt được khi 4 x k      . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 2 4 3sin 2 y x   . Lời giải Ta có: 2 2 0 sin 1 1 4 3sin 4 x x       . * 2 1 sin 1 cos 0 2 y x x x k           . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 9 * 2 4 sin 0 y x x k       . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , đạt được khi x k   . giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi 2 x k     . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2sin 3 y x   . Lời giải Ta có 1 2sin 3 5 1 5 x y       . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max 5 y  , đạt được khi sin 1 2 2 x x k       . Giá trị nhỏ nhất bằng min 1 y  , đạt được khi 1 2 2 x x k         . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm tập giá trị hàm số sau 1 3sin 2 4 y x           . A.   2;4  . B.   2;2  . C.   1;4  . D.   2;3  . Lời giải Chọn A Ta có: 1 sin 2 1 3 3sin 2 3 2 1 3sin 2 4 4 4 4 x x x                                     . 2 4 y     . Vậy tập giá trị của hàm số là   2;4  . Câu 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2cos 3 3 3 y x           A. min 2 y  , max 5 y  . B. min 1 y  , max 4 y  . C. min 1 y  , max 5 y  . D. min 1 y  , max 3 y  . Lời giải Chọn C Ta có: 1 cos 3 1 2 2cos 3 2 1 2cos 3 3 5 1 5 3 3 3 x x x y                                       . min 1 y  đạt được khi 4 2 9 3 x k     . max 5 y  đạt được khi 2 9 3 x k     . Câu 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 1 2cos 1 y x    A. max 1 y  , min 1 3 y   . B. max 3 y  , min 1 3 y   . C. max 2 y  , min 1 3 y   . D. max 0 y  , min 1 3 y   . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 10 Lời giải Chọn D Ta có 2 1 2cos 1 3 1 3 0 x y        . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max 0 y  , đạt được khi 2 x k     . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min 1 3 y   , đạt được khi x k   . Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2 4 y x           . A. min 2 y   , max 4 y  . B. min 2 y  , max 4 y  . C. min 2 y   , max 3 y  . D. min 1 y   , max 4 y  . Lời giải Chọn A Ta có: 1 sin 2 1 2 4 4 x y                 2 sin 2 1 4 8 y x x k                    min 2 y     3 4 sin 2 1 4 8 y x x k                 max 4 y   Câu 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 3 2cos 3 y x   A. min 1 y  , max 2 y  . B. min 1 y  , max 3 y  . C. min 2 y  , max 3 y  . D. min 1 y   , max 3 y  . Lời giải Chọn C Ta có: 2 0 cos 3 1 1 3 x y      .  2 1 cos 3 1 3 k y x x       min 1 y   .  2 3 cos 3 0 6 3 k y x x         max 3 y   . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 11  MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 3sin 4 12 y x           Lời giải Ta có 2 2 2 sin 1 3sin 3 3sin 4 7 12 12 12 x x x                               . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   2 2sin sin 2 10 f x x x    . Lời giải Ta có   2 2sin sin 2 10 f x x x    11 sin 2 cos 2 x x    11 2 sin 2 4 x           . Do 1 sin 2 1 4 x            2 2 sin 2 2 4 x             nên 11 2 sin 2 11 2 4 x            . Dấu " ''  xảy ra khi 3 sin 2 1 4 8 x x k                 ,   k   . Vậy   max 11 2 f x   . Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x    . Lời giải Ta có 2 2cos sin 2 5 y x x    cos 2 sin 2 6 x x    2 cos 2 6 4 x           . Do 2 2 cos 2 2 4 x            nên 2 6 2 cos 2 6 2 6 4 x               . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x    là 6 2  . Bài 4. Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 3 sin cos y x x    . Tính M m  . Lời giải Ta có:       2 2 2 3 1 2 3 sin cos 2 3 1 x x          . Vậy 0 M m   . Bài 5. Cho hàm số 12 7 4sin y x   có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn 5 ; 6 6          . Tìm , M m . Lời giải Ta có: 5 6 6 x      1 sin 1 2 x     1 1 sin 2 x      4 4sin 2 x      3 7 4sin 9 x     4 12 4 3 7 4sin x     . Hay 4 4 3 y   . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 12 Vậy 4 M  , 4 3 m  . Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin y x  trên đoạn 5 ; 6 6          . Lời giải 2cos 0 2 y x x k         , k   . Với 5 ; 6 6 x           suy ra: 2 x   . 1 6 y           , 2 2 y         , 5 1 6 y         . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1  . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  MỨC ĐỘ 2 Câu 1. Tìm tập giá trị của hàm số 3sin cos 2 y x x    . A. 2; 3      . B. 3 3; 3 1        . C.   4;0  . D.   2;0  . Lời giải Chọn C Xét 3sin cos 2 y x x    2 sin .cos cos .sin 2 6 6 x x            2sin 2 6 x           . Ta có 1 sin 1 6 x            4 2sin 2 0 6 x              4 0 y     với mọi x   . Vậy tập giá trị của hàm số là   4;0  . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sin 2cos 1 sin cos 2 x x y x x      là A. 1 2 m   ; 1 M  . B. 1 m  ; 2 M  . C. 2 m   ; 1 M  . D. 1 m   ; 2 M  . Lời giải Chọn C Ta có     sin 2cos 1 1 sin 2 cos 1 2 sin cos 2 x x y y x y x y x x              * . Phương trình   * có nghiệm       2 2 2 2 1 2 1 2 2 0 2 1 y y y y y y               . Vậy 2 m   ; 1 M  . Câu 3. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 12 7 4sin y x   trên đoạn 5 ; 6 6          là NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 13 A. 12 5 M  ; 4 3 m  . B. 4 M  ; 4 3 m  . C. 12 5 M  ; 12 7 m  . D. 4 M  ; 12 11 m  . Lời giải Chọn B Do 5 1 12 ; sin ;1 0 6 6 2 7 4sin x x y x                        ; 12 7 12 1 4 7 4 sin 12 sin ;1 ;4 7 4sin 4 2 3 y y y y x x y x y                         . Do đó     1 ;1 2 max 1 4 M f t f           và   1 ;1 2 1 4 min 2 3 m f t f                  . Câu 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin y x  trên đoạn ; 2 3           lần lượt là A. 1 2  ; 3 2  . B. 3 2  ; 1  . C. 3 2  ; 2  . D. 2 2  ; 3 2  . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 x       sin sin sin 2 3 x                    3 1 sin 2 x      . Vậy ; 2 3 3 max sin 3 2 y                      ; ; 2 3 min sin 1 2 y                      . Câu 5. Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2cos 1 cos 2 x y x    . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 9 0 M m   . B. 9 0 M m   . C. 9 0 M m   . D. 0 M m   . Lời giải Chọn C Ta có 2cos 1 5 2 cos 2 cos 2 x y x x       . Mà 1 cos 1 x     3 cos 2 1 x       5 5 5 3 cos 2 x       1 5 2 3 3 cos 2 x       1 3 3 y    . Vậy 1 3 M  và 1 cos 1 x     9 0 M m   . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 14  MỨC ĐỘ 3 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2020cos 8 2021 2019 y x           . Lời giải Ta có 10 1 cos 8 1, 2019 x x               . Nên 10 2020 2020cos 8 2020 2019 x            10 1 2020cos 8 2021 4041 2019 x             . Vậy min 1 y  đạt được khi 10 cos 8 1 2019 x           , max 4041 y  đạt được khi 10 cos 8 1 2019 x          . Bài 2. Tìm GTNN của hàm số 2 cos 2 cos y x x    . Lời giải Ta có cos 1 x   , dấu “  ” xảy ra khi cos 1 x   . (1) Mặt khác 2 2 2 0 cos 1 1 cos 0 1 2 cos 2 x x x            . 2 2 cos 1 x    , dấu “  ” xảy ra khi cos 1 x   . (2) Từ (1) và (2) ta có 2 cos 2 cos 0 x x    . Suy ra min 0 y  , đạt được khi   cos 1 2 x x k k          . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: cos 2 3 sin 2 2 y x x    . Lời giải Ta có 1 3 cos 2 3 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 2 y x x x x               2 cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 2 2 3 3 3 x x x                      . Mặt khác 1 cos 2 1 2 2cos 2 2 0 2cos 2 2 4 3 3 3 x x x                                    . Vậy min 0 y  đạt được khi cos 2 1 3 x           , max 4 y  đạt được khi cos 2 1 3 x          . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 cos 2 3 sin .cos 1 y x x x    trên đoạn 7 0; 12        . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 15 Lời giải Ta có cos 2 3 sin 2 2 2cos 2 2 3 y x x x              . Đặt 2 3 t x    . Theo giả thiết 7 3 0; ; 12 3 2 x t                   . Ta lập BBT của hàm số   2cos 2 f t t   trên 3 ; 3 2         . Từ bảng biến thiên ta có   7 3 0; ; 12 3 2 min min 0 y f t                  , đạt được khi 3 t x        7 3 0; ; 12 3 2 max max 3 y f t                  , đạt được khi 0 3 t x     Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 cos cos 2 y x x    . Lời giải Đặt cos x t  ;   1;1 t   Xét hàm số bậc hai:   2 2 f t t t    trên   1;1  . Ta có:   1 1;1 2 2 b a     . Từ đây có bảng biến thiên Ta kết luận:     1;1 7 min min 4 y f t    , đạt được khi 1 cos 2 x  ;     1;1 max max 4 y f t    , đạt được khi cos 1 x   . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 16 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 2 2sin cos 2 y x x   . A. max 4 y  , 3 min 4 y  . B. max 3 y  , min 2 y  . C. max 4 y  , min 2 y  . D. max 3 y  , 3 min 4 y  . Lời giải Chọn D Đặt 2 sin , 0 1 cos 2 1 2 t x t x t       .   2 2 2 1 3 2 1 2 4 2 1 2 2 4 y t t t t t                 . Cách 1: Do 2 1 1 3 1 9 0 1 2 0 2 2 2 2 2 4 t t t                  3 3 4 y    . Cách 2: Có ' 8 2 y t     1 0 0;1 4 y t       . Ta có:   0 1 y  ; 1 3 4 4 y        ;   1 3 y  . Vậy max 3 y  đạt được khi 2 x k     . 3 min 4 y  đạt được khi 2 1 1 cos 2 1 sin 4 2 4 x x     . 1 cos 2 2 2 2 3 6 x x k x k               . Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau   2 2 tan cot 3 tan cot 1 y x x x x      . A. min 2 y   . B. min 4 y   . C. min 5 y   . D. min 1 y   . Lời giải Chọn C Ta có:     2 tan cot 3 tan cot 3 y x x x x      . Đặt 2 tan cot 2 sin 2 t x x t x      . Suy ra   2 3 3 y t t f t     . Bảng biến thiên Vậy min 5 y   đạt được khi 4 x k      . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 17 Câu 3. Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 sin 2 sin y x x    là M , m . Tính M m  . A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có 1 sin 0 , y x x     và 2 2 2 2sin 2 sin y x x    . Mà 2 2 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 x x x x      . Suy ra 2 0 4 0 2 y y      . Vậy min 0 y  đạt được khi 2 2 x k      . max 2 y  đạt được khi 2 2 x k     . Vậy 2, 0 M m   hay 2 M m   . Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin 2cos 3 2 cos x x y x     . A. 2 min ; max 2 3 y y    . B. 2 min ; max 2 3 y y   . C. 1 3 min ; max 2 2 y y   . D. 1 3 min ; max 2 2 y y    . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos 2 0 x   , x    . sin 2cos 3 2 cos x x y x     sin 2cos 3 2 cos x x y y x        sin 2 cos 2 3 x y x y      Ta có             2 2 2 2 2 2 2 3 sin 2 cos 1 2 sin cos 5 4 y x y x y x x y y            2 2 4 12 9 4 5 0 y y y y        2 3 8 4 0 y y     2 2 3 y    Cách 2: (dùng sau khi học xong bài phương trình bậc nhất theo sin và cos). Ta có cos 2 0 x   , x    . sin 2cos 3 2 cos x x y x     sin 2cos 3 2 cos x x y y x        sin 2 cos 3 2 0 x y x y       Ta có     2 2 2 1 2 3 2 y y     2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y         2 3 8 4 0 y y     2 2 3 y    . Cách 3: sử dụng máy tính cầm tay. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 18 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sin 2cos 3 2 2 cos x x x     thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max 2  . Lúc này chỉ còn A và B Thử với 2 min 3 y   thì không có nghiệm. Từ đây chọn B. Câu 5. Cho hàm số   4 4 sin cos 2 sin .cos h x x x m x x    . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là A. 1 1 2 2 m    . B. 1 0 2 m   . C. 1 0 2 m    . D. 1 2 m  . Lời giải Chọn A Xét hàm số       2 2 2 2 sin cos sin 2 g x x x m x      2 2 2 2 2 sin cos 2sin cos sin 2 x x x x m x     2 1 1 sin 2 sin 2 2 x m x    . Đặt sin 2 t x    1;1 t    . Hàm số   h x xác định với mọi x     0, g x x        2 1 1 0, 1;1 2 t mt t           2 2 2 0, 1;1 t mt t        . Đặt   2 2 2 f t t mt    trên   1;1  . Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên. Ta thấy       1;1 max 1 f t f   hoặc       1;1 max 1 f t f    . Ycbt   2 2 2 0 f t t mt     ,   1;1 t        1;1 max 0 f t        1 0 1 0 f f         1 2 0 1 2 0 m m           1 1 2 2 m     . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 19  MỨC ĐỘ 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos cos sin y x x x x   . Lời giải Điều kiện xác định: sin 0 cos 0 x x          . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm sin cos x x và cos sin x x ta có : sin cos cos sin 2 sin cos sin cos x x x x x x x x   1 1 2 sin 2 sin 2 0 2 2 y x x    . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2 0 2 , , 2 k x x k k x k            . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sinx 2cos 3 2 cos x y x     . Lời giải Ta có: cos 2 0, x x R     . Khi đó: sinx 2cos 3 2 cos x y x     s inx 2 cos 3 2 cos x y y x          sinx 2 cos 3 2 0 * y x y       Phương trình   * có nghiệm     2 2 2 1 2 3 2 y y      2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y         2 3 8 4 0 y y     2 2 3 y    . Vậy 2 min ;max 2 3 y y   . Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 2 cot cot 2 tan .tan 2 P a b a b     . Lời giải Ta có:               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot 2cot .cot 2 tan .tan 2 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2cot .cotb.tan .tan 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 6 6 P a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b                        Vậy min 6 y  , đạt được khi 2 2 2 2 cot 1 cot cot cot .cot tan .tan cot 1 a a b a b a b b              ,( ) 4 2 k a b k         . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 1 1 1 os 5 2sin 2 2 y c x x     . Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 20 Ta có 2 2 2 2 1 1 1 5 1 1 os 5 2sin 1 os sin 2 2 2 4 2 y c x x y c x x          Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 2 1 1 os 2 c x  ; 2 5 1 sin 4 2 x  ta có: 2 2 2 2 2 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1 os 1. sin 1 1 . 1 os sin 2. 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 c x x c x x            . Vậy 22 min 2 y  , xảy ra khi 2 2 1 5 1 1 os sin , 2 4 2 6 c x x x k k            . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 4 sin cos sin cos y x x x x    . Lời giải Ta có 4 4 sin cos sin cos y x x x x    2 2 1 2sin cos sin cos y x x x x     2 1 1 1 sin 2 sin 2 2 2 y x x     2 2 1 1 1 9 1 1 9 1 sin 2 sin 2 2 2 4 8 2 2 8 y x y x                               . Vậy 9 max 8 y  , đạt được khi 1 sin 2 2 x  . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho , , 0 x y z  và 2 x y z     . Tìm giá trị lớn nhất của 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan y x y y z z x       A. max 1 2 2 y   . B. max 3 3 y  . C. max 4 y  . D. max 2 3 y  . Lời giải Chọn D Ta có   tan tan 2 2 2 x y z x y z x y z                     tan tan 1 1 tan .tan tan x y x y z     tan .tan tan .tan 1 tan .tan x z y z x y     tan .tan tan .tan tan .tan 1 x z y z x y     Ta thấy tan .tan ; tan .tan ; tan .tan x z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề bài cho. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có: 1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan x y y z z x             2 2 2 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .ta 1 1 1 . n x z y z x y           tan .tan tan .tan tan .ta 2 n 3 3 3 x z y z x y      . Vậy max 2 3 y  . Câu 2: Hàm số   2 2 3 1 tan 3cot 2 tan x y x x    đạt giá trị nhỏ nhất là A. 1  . B. 3 2 3  . C. 2 2 2  . D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có 2 1 tan cot 2 2 tan x x x   . Từ đó suy ra   2 2 2 2 3 1 tan 3cot 2 3cot 2 2 3 cot 2 2 tan x y x x x x      NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 21   2 3 cot 2 1 1 1, x x         . Vậy 1 min 1 cot 2 3 y x     . Câu 3: Hàm số 2cos sin 4 y x x           đạt giá trị lớn nhất là A. 5 2 2  . B. 5 2 2  . C. 5 2 2  . D. 5 2 2  . Lời giải Chọn C Ta có: 1 2cos sin 2cos 2 sin 4 4 2 y x x x x                       1 2cos sin cos 2 x x x    1 1 2 cos sin 2 2 x x          . Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: 2 2 2 2 1 1 2 5 2 2 2 2 y y                   . Do đó 5 2 2 5 2 2 y      . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2  . Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số sin 1 cos 2 m x y x    nhỏ hơn 2 . A. 3. B. 5. C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có: sin 1 cos 2 sin 1 sin cos 2 1 cos 2 m x y y x y m x m x y x y x              *   * có nghiệm khi   2 2 2 2 2 2 1 3 4 1 0 m y y y y m         2 2 2 1 3 2 1 3 3 3 m m y        2 2 2 max 2 1 3 2 1 3 4 5 3 m y m m           . Do m     2; 1;0;2;1 m     . Vậy có 5 giá trị của m thỏa ycbt. Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2020 được cho bởi một hàm số   4sin 60 10 178 y t     , với t Z  và 0 366 t   . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?. A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Lời giải Chọn A Vì     sin 60 1 4sin 60 10 14 178 178 t y t          . Khi đó, ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất là NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 22     14 sin 60 1 60 2 149 356 178 178 2 y t t k t k                . Mà 149 217 0 366 0 149 356 366 356 356 t k k           . Vì k   nên 0 k  . Với 0 149 k t    tức rơi vào ngày 28 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2020 là năm nhuận nên tháng 2 có 29 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 366 t   thì ta biết năm này tháng 2 có 29 ngày). NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 23