Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 1 CÁC PHẦN CHÍNH CỦA CHUYÊN ĐỀ VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ VẤN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VẤN ĐỀ 3. QUỸ TÍCH VẤN ĐỀ 4. TỈ LỆ VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX VẤN ĐỀ 6 TÍCH VÔ HƯỚNG Phần I: Đề Bài Trang: VĐ1-P1; VĐ2-P12; VĐ3-P14; VĐ4-P17; VĐ5-P20; VĐ6-P28 Phần II: Hướng Dẫn Giải Trang: VĐ1-P35; VĐ2-P74; VĐ3-P88; VĐ4-P99; VĐ5-P110; VĐ6-P149 VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ Email: daytoan2018@gmail.com Câu 1: Cho tam giác ABC biết 3, 4, 6 AB BC AC , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Gọi , , x y z là các số thực dương thỏa mãn . . . 0 x I A y IB z IC .Tính x y z P y z x A. 3 4 P . B. 41 12 P . C. 23 12 P . D. 2 3 P . Họ và tên tác giả: Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành Câu 2: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt , a AB b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau? A. 5 2 6 3 AG a b . B. 5 6 AG a b . C. 5 6 AG a b . D. 4 2 3 3 AG a b . Họ và tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet, Email: tiethanh.78@gmail.com Câu 3: Cho tam giác ABC với các cạnh A B c B C a CA b , , . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng. A. a I A b I B c IC 0 B. 0 b IA c IB a IC C. 0 c IA b IB a IC D. 0 c IA a IB b IC Họ và tên: Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm, Email: ilovemath.ddt@gmail.com Câu 4: Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, 0 30 ADC . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn DB theo hai vectơ DA và DC . Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 2 A. . DB DA DC B. 3 . b a DB DA DC b C. . b a DB DA DC b D. . DB bDA aDC Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh, Đ/c mail: honganh161079@gmail.com Email: kimduyenhtk@gmail.com, FB: Kim Duyên Nguyễn. Câu 5: Cho hình bình hành A BCD , M là điểm thỏa mãn 5 2 0 A M C A . Trên các cạnh AB , BC lần lượt lấy các điểm , P Q sao cho MP B C MQ A B / / , / / . Gọi N là giao điểm của AQ và CP . Giá trị của tổng A N A Q C N C P bằng: A. 21 19 B. 24 19 C. 23 19 D. 25 19 Họ và tên tác giả: Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao Email: thuangiaoyen@gmail.com Câu 6: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức M A M B M C 3 M D x M K . Tìm x: A. 2. B. 6. C. 5. D. 4. Email: kimduyenhtk@gmail.com, FB: Kim Duyên Nguyễn. Câu 7: Cho tam giác AB C , trên cạnh A C lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho 3 A M MC , 2 N C N B . Gọi O là giao điểm của A N và B M . Tính diện tích tam giác A B C biết diện tích tam giác O B N bằng 1. A. 24 . B. 20 . C. 30 . D. 45 Họ và tên: Nguyễn Thanh Hoài, Email: ngthhoai1705@gmail.com Câu 8: Cho tam giác ABC , gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho 3 IB IC . Gọi , J K lần lượt là những điểm trên cạnh , AC AB sao cho 2 ; 3 JA JC KB KA . Khi đó . . BC m AI n JK . Tính tổng P m n ? A. 34 P . B. 34 P . C. 14 P . D. 14 P . Họ và tên tác giả: Trần Ngọc Uyên Tên FB: Tran Ngoc Uyen, Email: ngocuyen203@gmail.com Câu 9: Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho 1 1 , 3 2 AM AB DN DC . Gọi I và J là các điểm thỏa mãn , BI mBC AJ nAI . Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu? Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 3 A. 1 3 B. 3 C. 2 3 D. 1 (Họ và tên tác giả: Phạm Văn Huấn, Tên FB: Pham Van Huan) Câu 10: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ y điểm M, trên cạnh BC lấ y N sao cho AM=3MB, NC=2BN. Gọi I là giao điểm của AN với CM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN bằng 2. A. 3 2 B. 33 2 C. 11 D. 9 11 Họ và tên: Hứa Nguyễn Tường Vy, Email: namlongkontum@gmail.com, FB: nguyennga Câu 11: Cho ∆ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thỏa mãn: 3 2 0 MA CM , 2 0 NA NB . Chọn mệnh đề đúng. A. 4 NG GM . B. 5 NG GM . C. 6 NG GM . D. 7 NG GM . (Họ và tên tác giả: Trần Công Sơn, Tên FB: Trần Công Sơn) Câu 12: (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC . Gọi A', B',C' là các điểm xác định bởi 2018 ' 2019 ' 0 A B A C , 2018 ' 2019 ' 0 B C B A , 2018 ' 2019 ' 0 C A C B . Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ABC và ' ' ' A B C có cùng trọng tâm. B. ' ' ' ABC A B C . C. ' ' ' ABC A B C . D. ABC và ' ' ' A B C có cùng trực tâm. (Email): tranminhthao2011@gmail.com Câu 13: ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M là trung điểm BC . Tính độ dài của vec tơ 1 2 2 AB AC A. 21 3 a . B. 21 2 a . C. 21 4 a . D. 21 7 a . Câu 14: Cho ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tìm x để H A H B H C x H O . A. x . 2 B. x 2 . C. x . 1 D. x 3. Họ và tên: Trần Quốc An, Email: tranquocan1980@gmail.com, Facebook: Tran Quoc An Câu 15: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL . Giả sử ngoài ra còn có CM kAL . Biết 2 2 cos a bk A c dk . Tính a b c d A. 18. B. 5. C. 26 . D. 17 . (Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam https://www.facebook.com/duynam.bui.1) Câu 16: Cho tam giác ABC . Gọi , , M N P là các điểm lần lượt thỏa mãn MA MB 3 0 , AN AC 1 3 , 2 3 0 PB PC Gọi K là giao điểm của AP và MN . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 4 A. KA KP 4 5 0 . B. KA KP 3 2 0 . C. KA KP 0 . D. KA KP . Họ và tên: Phạm Thanh My, Email: phamthanhmy@gmail.com, Facebook: Pham Thanh My Câu 17: Cho hình thang ( / / ) ABCD AB CD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết 20 . AB CD cm Tìm . AC BD A. 40 . cm . B. 20 . cm . C. 30 . cm . D. 10 . cm . Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Yến Tên FB: Nguyễn Yến, Email: ntyen.c3lqd@gmail.com Câu 18: Cho tam giác ABC có 3; 4 AB AC .Gọi AD là đường phân giác trong của góc A .Biết AD m AB n AC .Khi đó tổng m n có giá trị là: A. 1 B. 1 C. 1 7 D. 1 7 Họ và tên tác giả:Lê Thanh Lâm, Mail:quyphucvn@gmail.com Fb:Thanh Lâm Lê Câu 19: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC CA . , ' H H lần lượt là trực tâm các tam giác , ABC MNP . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A. 3 ' HA HB HC HH . B. 2 ' HA HB HC HH . C. 0 HA HB HC . D. 3 ' HM HN HP HH . Câu 20: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức: MD ME MF kMO A. 1 2 k . B. 1 k . C. 3 2 k . D. 2 k Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa Câu 21: Một giá đỡ hình tam được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân tại B. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N. Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối lượng của giá đỡ) A. 10 2 , 10 B C F N F N B. 10 , 10 2 B C F N F Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 5 C. 10 B C F F N D. 10 , 10 2 B C F N F Họ và tên: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng,Email: thanhdungtoan6@gmail.com Câu 22: Cho ba điểm A , B , C thuộc đường tròn tâm O , thỏa mãn 0 OA OC OB . Tính góc AOB ? A. 0 120 AOB . B. 0 90 AOB . C. 0 150 AOB . D. 0 30 AOB . Họ và tên: Trần Gia Chuân, Tên facebook: Trần Gia Chuân Câu 23: Cho tam giác ABC . Điểm M trên cạnh BC thỏa mãn . . AM AB AC 1 2 3 3 , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. 2 MB MC . B. 2 MB MC . C. 2 MC MB . D. 3 MC MB . Họ và tên: Trần Gia Chuân, Tên facebook: Trần Gia Chuân âu 24. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm , O M là một điểm tùy ý nằm bên trong tam giác đã cho; gọi '; '; ' A B C theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh ; BC CA và AB . Khi đó ta có đẳng thức vectơ ' ' ' , . 0, k k M A MB MC l MO k l l là phân số tối giản. Tính 2 2 2 . k l . A. 2 2 2 1 k l . B. 2 2 2 1 k l . C. 2 2 2 14 k l . D. 2 2 2 5 k l . Họ và tên tác giả: Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung Câu 24: Cho hình vuông ABCD, E,F thõa mãn 1 1 ; 3 2 BE BC CF CD ; AE BF I Ta có AI k AB l AD . Khi đó tỉ số k,l thõa mãn cặp nào sau: A. 3 2 ; 5 5 k l B. 6 2 ; 5 5 k l C. 5 3 ; 6 6 k l D. 6 1 ; 5 3 k l Họ tên: Nguyễn Thị Trang, Fb: Trang Nguyen Câu 25: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: 3 AM MC , 2 NC NB , gọi O là giao điểm của AN và BM .Tính diện tích ABC biết diện tích OBN bằng 1. A. 10. B. 20 . C. 25 . D. 30. (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Câu 26: Cho tam giác A B C có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng? A. 4 H A H B H C H O . B. 2 H A H B H C H O . C. 2 3 H A H B H C H O . D. 3 H A H B H C H O . Họ và tên: Nguyễn Văn Quân Tên FB: Quân Nguyễn, Email: Quanvan09@gmail.com Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 6 Câu 27: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho 4 AO OD . Gọi E CO AB , F BO AC , M AD EF . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 7 MO AD B. 2 15 MO AD C. 1 8 MO AD D. 2 7 EM BC Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng, Tên facebook: NT AG Câu 28: Cho hình thang ABCD có // AB CD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AC BD . Kẻ ( ) NH AD H AD và ( ) ME BC E BC . Gọi I ME NH , kẻ ( ) IK DC K DC . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng? A. . . . 0 MK IN NK IM MN IK B. .tan .tan .tan 0 IN N IM M IK K C. .cot .cot .cot 0 IN N IM M IK K D. 0 IM IN IK Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát,Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Câu 29: Cho ABC , điểm M thuộc cạnh BC sao cho 2018. 2019. ABM ACM S S . Đẳng thức nào sau đây sai? A. 2018. 4037. ABC ACM S S . B. 2018. 2019. 0 BM CM . C. 4037 . 2018 BC BM D. 2019 . 4037 ABM ABC S S . Câu 30: Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho 3 ABC AMC S S . Một đường thẳng cắt các cạnh , , AB AM AC lần lượt tại , , B M C phân biệt. Biết rằng 2 . AB AC AM k AB AC AM . Tìm số k . A. 1 k . B. 2 k . C. 3 k . D. 2 3 . (Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Câu 31: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là 1 2 , ,..., n A A A . Bạn Bình kí hiệu chúng là 1 2 , ,..., n B B B ( 1 n A B ). Vectơ tổng 1 1 2 2 ... n n A B A B A B bằng A. 0 . B. 1 n A A . C. 1 n B B . D. 1 n A B . (Sưu tầm, Tên FB: Trung Nguyễn Chí) Câu 32: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K sao cho AK a CK .Tính: 2 2 AM CM Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 7 A. 2a B. 2 a C. 2 1 a D. a Câu 33: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: 2 1 , 3 4 BD BC AE AC . Điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K,E thẳng hàng. Xác định tỷ số AK AD A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 Câu 34: Cho tam giác ABC vuông tại C, có , A C b B C a , D là chân đường cao kẻ từ C. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 2 2 2 2 2 2 a b CD CA CB a b a b . B. 2 2 2 2 2 2 a b CD CA CB a b a b . C. 2 2 2 2 2 2 a b CD AC BC a b a b D. 2 2 2 2 2 2 a b CD AC BC a b a b . Facebook: Lê Văn Kỳ, Email: lethithuy@thpthv.vn Câu 35: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm xác định bởi 5 7 0. IA IB IC Gọi E là giao điểm của AI và BG. Tính tỷ số . EA EI A. 2. B. 1 . 2 C. 3. D. 1 . 3 (Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền. Tên FB: Thu Huyen Nguyen) Câu 36: Cho 2 tia Ox, Oy vuông góc. Trên tia Ox lấy các điểm A,B sao cho OA = OB = 1. C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCMN. Trên đoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP. Gọi S là giao điểm của AM và PN. Giả sử OA k OC , AM x AS , NP y NS , 1 ; 2 1 k Khi x + y = 10 13 thì k = b a , với b a, và a, b nguyên tố cùng nhau thì a.b bằng A. 7 B. 4 C. 5 D. 12 Email: nghiepbt3@gmail.com, FB: Ngô Quang Nghiệp Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 8 Câu 37: Cho tam giác ABC . Giả sử điểm M nằm trên cạnh BC thỏa các tam giác , MAB MAC lần lượt có diện tích là 1 2 , S S . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 2 2 1 . S S AM S AB S AC B. 1 2 1 2 . S S AM S AB S AC C. 2 1 2 1 . S S AM S AB S AC D. 2 1 1 2 . S S AM S AB S AC Họ Tên: Lê Duy Tên FB: Duy Lê Email: Duyleag@gmail.com Câu 38: Cho tam giác ABC có có M là trung điểm của BC, 1 2 AI MI . Điểm K thuộc cạnh AC sao cho B,I,K thẳng hàng. Khi đó m KA CK n . Tính 25 6 2019 S m n A. 2019 S . B. 2068 S . C. 2018 S . D. 2020 S . Họ và tên tác giả: Nguyễn Đức Duẩn Tên FB: Duan Nguyen Duc, Email: Duanquy@gmail.com Câu 39: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I, J sao cho IA 2IB và 3JA 2JC 0 và thỏa mãn đẳng thức IJ kIG . Giá trị của biểu thức 2 2 500 P (25k 36)(k k 1) là: A. P 1235 B. P 0 C. 5 P 6 D. 6 P 5 Họ và tên: Nguyễn Quang Huy, Fb: Nguyễn Quang Huy, Email: boigiabao98@gmail.com Câu 40: Cho tam giác A BC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho AB C AMC S S 3 . Một đường thẳng cắt các cạnh A B AM A C , , lần lượt tại B M C ', ', ' phân biệt. Biết ' ' ' AB AC AM m n A B A C A M . Tính m n . A. 2. B. 5. C. 3. D. 4. (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Trà My, Tên FB: Nguyễn My) Câu 41: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho 4 AO OD . Gọi E CO AB , F BO AC , M AD EF . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 7 MO AD B. 2 15 MO AD C. 1 8 MO AD D. 2 7 EM BC Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng, Tên facebook: NT AG Câu 42: Cho hình thang ABCD có // AB CD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AC BD . Kẻ ( ) NH AD H AD và ( ) ME BC E BC . Gọi I ME NH , kẻ ( ) IK DC K DC . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng? A. . . . 0 MK IN NK IM MN IK B. .tan .tan .tan 0 IN N IM M IK K C. .cot .cot .cot 0 IN N IM M IK K D. 0 IM IN IK Câu 43: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt , a AB b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau? A. 5 2 6 3 AG a b . B. 5 6 AG a b . Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 9 C. 5 6 AG a b . D. 4 2 3 3 AG a b . Họ và tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet, Email: tiethanh.78@gmail.com Câu 44: Một đường thẳng cắt các cạnh , DA DC và đường chéo DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại các điểm , E F và . M Biết . , DE m DA . DF n DC ( , 0). m n Khẳng định đúng là: A. . m n DM DB m n . B. m DM DB m n . C. n DM DB m n . D. . m n DM DB m n . (Email): locleduc10@gmail.com (Họ và tên tác giả: Lê Đức Lộc, Tên FB: Lê Đức Lộc) Câu 45: Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao ; / / , 3; 2; AH a AB CD AB a AD a AB DC AC cắt BH tại I. Biết ; ; ; ; x y z AI AC x y z m N m . Tính tổng T x y z m A. 20 B. 18 C. 17 D. 21 Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui Câu 46: Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N. Với AB a , D C b , khi đó MN bằng: A. a. . AB b DC a b . B. . . b AB a DC a b . C. a. . AB b DC a b . D. . . b AB a DC a b . Họ và tên: Nguyễn Thanh Tâm Tên FB: Tâm Nguyễn Câu 47: Cho tam giác ABC đều tâm O ; điểm M thuộc miền trong tam giác OBC ; D , E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC , CA , AB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 2 MD ME MF MO . B. MD ME MF MO . C. 3 MD ME MF MO . D. 3 2 MD ME MF MO . Phan Minh Tâm VẤN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Email: phunghang10ph5s@gmail.com Câu 48: Cho hình bình hành ABCD có các điểm , , M I N lần lượt thuộc các cạnh , , AB BC CD sao cho 1 1 , , 3 2 AM AB BI kBC CN CD . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN . Xác định k để AI đi qua G . Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 10 A. 1 3 . B. 9 13 . C. 6 11 . D. 12 13 . Họ và tên tác giả: Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Câu 49: Cho tam giác A B C . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho A M A B A N A C 1 3 , 3 4 . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E. Đặt B E x B C . Tìm x để A, O, E thẳng hàng. Chọn C A. 2 3 B. 8 9 C. 9 13 D. 8 11 Ý tưởng: Cho tam giác ABC , I là trung điểm của BC . Gọi , , P Q R là các điểm xác định bởi: , , AP p AB AQ q AI AR r AC với 0 pqr . Chứng minh rằng: , , P Q R thẳng hàng khi và chỉ khi 2 1 1 q p r . Họ và tên: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng, Email: thanhdungtoan6@gmail.com Câu 50: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm BC ; P là điểm đối xứng với A qua B ; R là điểm trên cạnh AC sao cho 2 5 AR AC . Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong các điểm sau đây? A. Trọng tâm tam giác ABC . B. Trọng tâm tam giác ABI . C. Trung điểm AI . D. Trung điểm BI . (có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ là trung điểm BH, còn M chia AI theo tỷ số tính được) Câu 51: Cho ABC có H là trung điểm của AB và : 2 G AC GC AG . Gọi F là giao điểm của CH và BG . Tìm điểm I trên BC sao cho , , I F A thẳng hàng A. 2 . IC IB B. 2 . IB IC C. . IB IC D. 3 . IC IB Câu 52: Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm xác định bởi ; ; AM mAB AN nAI AP p AC , với 0 mnp . Tìm điều kiện của , , m n p để M, N, P thẳng hàng. A. mp mn np B. 2mp mn np C. 2np mn mp D. 2mn mp np Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Trà FB: Hoàng Trà Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 11 Câu 53: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và N là các điểm được xác định bởi 1 2 3 4 0 CN BC MA MB . Gọi P là giao điểm của AC và MN. Tính tỉ số diện tích tam giác ANP và tam giác CNP. A. 3 B. 7 2 C. 4 D. 2 Câu 54: Cho tam giác ABC . Gọi , D E lần lượt là các điểm thỏa mãn: 2 ; 3 BD BC 1 AC 4 AE . Điểm K trên AD thỏa mãn a b AK AD (với a b là phân số tối giản) sao cho 3 điểm , , B K E thẳng hàng. Tính 2 2 P a b . A. 10 P . B. 13 P . C. 29 P . D. 5 P . Câu 55: Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn: 2 4 0 IA IB IC K là điểm thỏa mãn: 2 3 0 KA KB KC P là điểm thỏa mãn: 0 PA mPB nPC Có bao nhiêu cặp , , , , , 10;10 m n m n Z m n sao cho , , I K P thẳng hàng. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Email: themhaitotoanyp1@gmail.com, (Fb: Lưu Thêm) Câu 56: Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: 2 BM BC AB , CN x AC BC . Xác định x để A, M , N thẳng hàng. A. 3. B. 1 . 3 C. 2. D. 1 . 2 Email : boyhanam@gmail.com Câu 57: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG , lấy K thuộc cạnh AC sao cho . Nếu thẳng hàng thì giá trị của nằm trong khoảng? A. B. C. D. (Họ tên: Nguyễn Thu Hương. Tên FB: Thu Hương) Câu 58: Cho tam giác , là điểm thuộc cạnh sao cho , thuộc sao cho , là điểm thuộc . Biết rằng ba điểm thẳng hàng khi . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Trần Văn Luật, Email: Tvluatc3tt@gmail.com, FB: Trần Luật Họ và tên: Hoàng Thị Kim Liên AK kAC B,I,K k 1 0; 6 1 0; 2 1 1 ; 5 3 1 ;1 5 ABC M AC 2. MA MC N BM 3 NB NM P BC , , A N P PB kPC 5 3; 2 k 5 ; 1 2 k 1 1; 2 1 ;0 2 Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 12 Câu 59: Cho tam giác . Gọi lần lượt nằm trên đường thẳng sao cho , . Tính tích để thẳng hàng? A. . B. . C. . D. . Email: lientiencl@gmail.com, Facebook: Kim Liên Câu 60: Cho hình bình hành ABCD gọi M là trung điểm của cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho . Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K. Khi đó ( là tối giản). Tính A. . B. . C. . D. . ( Tên FB: Phùng Hằng ) Câu 61: Cho hình thang có đáy , , . , lần lượt là các điểm thuộc cạnh và sao cho , . Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; Khi đó , với là phân số tối giản. Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui Câu 62: Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC, NC = 2BN. Gọi I là giao điểm của AN và BN. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN bằng 4. A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy Câu 63: Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho , N thuộc BM sao cho , P thuộc BC sao cho . Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng. A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Nguyễn Khắc Sâm Facebook: Nguyễn Khắc Sâm VẤN ĐỀ 3. QUỸ TÍCH Câu 64: Cho tam giác với là điểm thoả mãn , gọi là điểm thuộc và thoả mãn . Xác định để thẳng hàng. A. . B. . C. . D. Nguyễn Văn Dũng Fb: Nguyễn Văn Dũng, Email: dungtoanc3hbt@gmail.com Câu 65: Cho hình vuông tâm cạnh . Biết rằng tập hợp các điểm thỏa mãn là một đường tròn có bán kính . Khẳng định nào sau đây đúng? ABC M, N, P BC, CA, AB MB mMC , NC nNA PA k PB mnk M, N, P 1 1 2 2 1 3 AN AD m BK BC n m n S m n 16 S 17 S 18 S 19 S ABCD AB CD 2 CD AB M N AD BC 5 AM MD 3 2 BN NC P AC MN Q BD MN PM QN a PN QM b a b a b 386 385 287 288 110 ABC S 115 ABC S 125 ABC S 120 ABC S MC MA . 2 NM NB . 3 PC k PB . k 1 2 k 2 k 1 2 k 2 A B C J 2 5 3 0 J A J B J C E AB AE k A B k , , C E J 2; 1 k 1;0 k 0;1 k 1;2 k ABCD O 1 M 2 2 2 2 2 2 9 MA MB MC MD RSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 13 A. . B. . C. . D. . (Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh) Câu 66: Cho tam giác . Tập hợp những điểm thỏa mãn: là: A. Đường thẳng đi qua B. Đường thẳng qua và C. Đường tròn D. Một điểm duy nhất. (Họ và tên tác giả: Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung) Câu 67: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa thì điểm A luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính bằng A. . B. . C. . D. . (Họ và tên tác giả: Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo) Câu 68: Cho hai điểm và cố định. Tìm giá trị để tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện là một đường tròn. A. . B. . C. . D. . Câu 69: Cho tam giác vuông tại . Tìm tập hợp sao cho . A. Đường thẳng. B. Đường tròn. C. Đoạn thẳng. D. Một điểm. PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm, Email: Phamthanhliem1@gmail.com Câu 70: Cho tam giác vuông cân tại có . Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: . Gọi là trung điểm của . Kết luận nào sau đây đúng? A. là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng . B. là đoạn thẳng . C. là đường tròn cố định bán kính . D. là đường tròn tâm bán kính (Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3) Câu 71: Cho tam giác đều cạnh . Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức nằm trên một đường tròn có bán kính là: A. . B. . C. . D. . Câu 72: Cho . Tìm tập hợp các điểm sao cho: . A. Tập hợp các điểm là một đường tròn. 0;1 R 1;2 R 1 3 ; 2 2 R 3 ;2 2 R ABC M 4 2 MA MB MC MA MB MC A B C 2 BC a 2 2 . 4 MA MH MA a 2a 3 a 2 a a A B 0 k M 2 2 MA MB k 2 2 3 k AB 2 2 3 k AB 2 2 3 k AB 2 2 3 k AB ABC A M 2 2 2 MB MC MA ABC A 5 AB cm ( ) S M . . 25 MA MB MA MC I BC ( ) S AI ( ) S AI ( ) S 5 10 4 R ( ) S I 5 2 4 R ABC a M 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC C 3 a 4 a 3 2 a 6 a ABC M 3 2 2 MA MB MC MA MB MC MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 14 B. Tập hợp của các điểm là một đường thẳng. C. Tập hợp các điểm là tập rỗng. D. Tập hợp các điểm chỉ là một điểm trùng với . Câu 73: Cho tam giác đều cạnh . Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức nằm trên một đường tròn có bán kính là: A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga,Email: linhnga.tvb@gmail.com Câu 74: Cho đều, có cạnh bằng a. Khi đó tập hợp những điểm sao cho là: A. Đường tròn có bán kính . B. Đường tròn có bán kính . C. Đường tròn có bán kính . D. Đường tròn có bán kính . Câu 75: Cho tìm tập hợp điểm : Họ và tên tác giả: Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An, Email: antq4949@gmail.com Câu 76: Cho tam giác đều cạnh bằng . Biết rằng tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là đường tròn cố định có bán kính bằng: A. . B. . C. . D. . (Họ tên: Lê Thị Bích Hải, Tên face: Bich Hai Le) Câu 77: Cho tam giác có là trọng tâm . Tìm tập hợp điểm thỏa mãn . A. Đường tròn đường kính . B. Đường trung trực đoạn thẳng . C. Đường tròn đường kính . D. Đường trung trực đoạn thẳng . (Họ và tên tác giả: Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Câu 78: Cho đoạn thẳng . Biết rằng tập hợp điểm thỏa mãn là một đường tròn có bán kính . Tìm giá trị của . A. . B. . C. . D. . (Họ và tên tác giả: Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) M M M A ABC a M 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC C 3 a 4 a 3 2 a 6 a ABC M 2 . . . 6 a MA MB MB MC MC MA 3 a R 2 a R 2 3 a R 3 9 a R ABC M 2 . MB MC AM ABC 3 M 2 3 4 MA MB MC MB MA 1 1 3 3 2 1 2 ABC G M 2 2 2 3 MA MB MC BC MA MC MG CB AC AB AB AC AC 5 AB M 2 2 3 . MA MB MA MB R R 5 2 R 5 2 R 3 2 R 3 2 R Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 15 Câu 79: Cho tam giác , có bao nhiêu điểm thỏa ? A. . B. . C. vô số. D. Không có điểm nào. Họ và tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ, Email: huyenvanqt050185@gmail.com . VẤN ĐỀ 4. TỈ LỆ Câu 80: Cho có ; . Phân giác trong của góc cắt trung tuyến tại . Tính . A. . B. . C. . D. Họ và Tên: Trần Quốc Đại, Email: quocdai1987@gmail.com Câu 81: [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2 ] Cho gọi điểm nằm trên cạnh sao cho , là trung điểm của . Một đường thẳng bất kì qua và cắt các cạnh lần lượt tại . Tình tỉ số A. . B. . C. . D. Họ và Tên: Trần Quốc Đại, Email: quocdai1987@gmail.com Câu 82: Cho tam giác . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi là trung điểm của . Tia cắt tại . Tỉ số có giá trị là: A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Đức Tên FB: Đỗ Văn Đức Câu 83: (Bài toán tổng quát của bài toán 1). Cho tam giác . Gọi là điểm chia theo tỉ số . Trên các tia và lấy các điểm . cắt tại . Đặt , . Tỷ số có giá trị bằng A. . B. . C. . D. . Câu 84: (Hệ quả hay dùng của bài toán 2). Cho tam giác . Gọi là trung điểm của BC. Trên các tia và lấy các điểm . cắt tại . Đặt , . Tỷ số có giá trị bằng ABC M 5 MA MB MC 1 2 ABC 3 AB 4 AC AD BAC BM I AD AI 3 2 AD AI 10 7 AD AI 29 20 AD AI 7 5 AD AI ABC D BC 2 BD BC E AD E ; AB AC , M N 2 AB AC AM AN 2 6 AB AC AM AN 2 5 AB AC AM AN 28 2 5 AB AC AM AN 29 2 5 AB AC AM AN ABC AB D 2 AD DB AC E 3 CE EA M DE AM BC N BN CN 1 4 3 8 1 2 2 7 ABC I BC k AB AC , M N AI MN P AB b AM AC c AN AI AP 1 b kc k 1 b kc k 1 c kb k 1 c kb k ABC I AB AC , M N AI MN P AB b AM AC c AN AI APSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 16 A. . B. . C. . D. . Câu 85: Cho tam giác . Gọi lần lượt là các các điểm thỏa mãn . Điểm trên đoạn thẳng sao cho ba điểm thẳng hàng. Tìm tỉ số . A. . B. . C. . D. . Tên: Nam Phương Tên FB: Nam Phương, Email:nguyentrietphuong@gmail.com Câu 86: Cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại thỏa mãn . Qua trung điểm của dựng đường thẳng cắt tại . Tính tỉ số . A. . B. . C. . D. . Email: haivanxinh99@gmail.com Face Hải Vân Câu 87: Cho tam giác và điểm thỏa mãn . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Giá trị của tỉ số là: A. B. C. D. (Họ và tên tác giả: Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà) Câu 88: Cho tam giác . Điểm chia trung tuyến theo tỷ số kể từ đỉnh. Đường thẳng chia diện tích tam giác theo tỷ số , giá trị của bằng? A. B. C. D. (Họ tên: Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) Câu 89: Cho tam giác với là trung điểm . Lấy các điểm thỏa mãn , . Gọi là giao điểm của và . Đặt . Hỏi A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Tăng Lâm Tường Vinh, Facebook: tanglamtuong.vinh Câu 90: Cho tam giác . Trên cạnh lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao cho ; ; . Đường thẳng chia đoạn theo tỷ số . Giá trị của bằng? A. B. C. D. bc 2 b c 2 2 2 b c 2 bc b c ABC , D E 2 1 , 3 4 BD BC AE AC K AD , , B K E AD AK 1 3 AD AK 3 AD AK 2 3 AD AK 3 2 AD AK ABCD O 3 , 4 OC OA OD OB M AB MO CD N CN ND 3 4 1 4 2 3 1 3 ABC I 23 8 2018 0 IA IB IC AI BC J JB JC 23 8 2018 23 2018 8 8 23 ABC K AD 3:1 BK ABC ABF BCF S k S k 5 8 k 3 8 k 3 5 k 3 2 k ABC K BC M N , AM AB 3 4 AN AC 1 3 I MN AK MI xMN AI y AK , x y 3 2 4 3 1 5 3 ABC AB 3 2 AD DB 1 3 BE EC 4 1 BF FC AE DF KD k KF k 3 11 k 11 3 k 3 14 k 11 14 k Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 17 (Họ tên: Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) Câu 91: Cho tam giác . Kéo dài một đoạn , gọi là trung điểm của . Vẽ hình bình hành . Đường thẳng cắt tại . Tính tỉ số ? A. . B. . C. . D. . Câu 92: Họ và tên: Hoàng Ngọc Lâm,Email: hoangngoclammath1112@gmail.com Câu 93: Cho tam giác có , . Phân giác trong của góc cắt trung tuyến tại . Tính tỉ số . A. . B. . C. . D. . (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Câu 94: Cho hình bình hành , là điểm bất kì trên đoạn , đường thẳng cắt cạnh tại và đường thẳng tại sao cho . Tỷ số bằng A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát,Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Câu 95: Cho hai tam giác và ; gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác , . Tính tỉ số ta được kết quả : A. B. C. D. Họ và Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh, Email : manhluonghl4@gmail.com VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX Câu 96: Cho đều cạnh bằng 3, là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp . Đặt . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Khi đó, giá trị biểu thức là: A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Câu 97: Cho và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: , . Giá trị lớn nhất của là: A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Trần Văn Ngờ Tên FB: Tran Van Ngo Tth, Email: vanngodhqn@gmail.com ABC AB BE AB F AC EAFG AG BC K KB KC 1 4 3 8 1 5 2 7 ABC 3 AB 4 AC AD BAC BM I AD AI 13 8 11 6 10 7 10 5 ABCD O AC BO CD E AD F 2 EF BO AF AD 1 5 2 2 1 2 5 2 A B C A B C 1 1 1 2 2 2 , , A B C B C A C A B A B C 1 1 1 , , G G G 1 2 , , A B C A B C 1 1 1 , A B C 2 2 2 G G G G 1 2 1 3 1 2 3 2 ABC M ABC 2 2 2 P MA MB MC , a b P 4 T a b 3 6 9 12 ABC 2 2 2 2 x y z k k R cos cos cosB P xy C yz A zx 2 k 2 2 k 3 k 2 3 kSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 18 Câu 98: Cho hai điểm và , thỏa mãn : . Khi thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? A. . B. . C. . D. . ( Họ và tên tác giả : Đặng Mơ- Tư Duy Mở ) Câu 99: Cho tứ giác , M là điểm tùy ý và các điểm I, J, K cố định sao cho đẳng thức thỏa mãn với mọi điểm M: Giá trị của k là A. k = 3 B. k = 4 C. k = 5 D. k = 6 Câu 100: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BD và CK. Giá trị nhỏ nhất của bằng A. B. C. D. Câu 101: Cho hai điểm cố định G và là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. C. D. Họ và tên: Nguyễn Đức Hoạch – email: nguyenhoach95@gmail.com Câu 102: Cho hình thang có . Với mỗi điểm di động trên cạnh ta xác định điểm sao cho . Tìm độ dài nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Mail: nguyennga82nvc@gmail.com, FB: Nguyễn Nga Nvc Câu 103: Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = 2; CA = b; AB = c và điểm M di động Biểu thức F= đạt giá trị lớn nhất bằng A. 4 B. 12 C. 16 D. 24 Nguyễn Văn Công- Trường THPT Kinh Môn II, Gmail: nguyencongkm2@gmail.com Câu 104: Cho đều có cạnh bằng . Gọi là đường thẳng qua và song song , điểm di động trên . Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Vũ Viên Tên FB: Vũ Viên, Email: tieplen@gmail.com , ( ;6) A B I ( ;3) M I 60 AIB , , A B M 2 P MA MB 9 3 2 6 3 13 6 3 ABCD 3 . MA MB MC MD k MK cos 4 5 5 4 4 3 3 4 ' G ' ' '. A B C ' ' ' P AA BB CC ' GG 3 ' GG 2 ' GG 1 ' 3 GG 1 1 1 1 A B C D 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / / , 3 , 2 , 6 0 A B C D A B a C D a D A B C B A 1 G 1 1 A B 1 F 1 1 1 1 1 1 G F G C G D 1 1 G F 2 a 3 a 3 3 2 a 3 2 a 2 2 2 2 2 8MA b MB c MC ABC 2a d A BC M d 2 MA MB MC 2 3 a 3 a 3 4 a 3 2 aSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 19 Câu 105: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Phạm Khắc Thành, Email: phamkhacthanhkt@gmail.com Câu 106: Cho tam giác ABC có trung tuyến . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. . B. . C. . D. Mail: thuytrangmn@gmail.com Câu 107: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto có độ dài nhỏ nhất A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê, Email: hongle.ad@gmail.com Câu 108: Cho tam giác là tam giác đều cạnh bằng , là điểm di động trên đường thẳng . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: A. B. C. D. Họ và tên: Ngô Gia Khánh, Địa chỉ mail: ngkhanh4283@gmail.com Câu 109: Cho và có các trọng tâm G và cố định và . Khi đó giá trị nhỏ nhất của là: A. . B. . C. . D. . (Họ và tên tác giả: Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan) Câu 110: Cho tam giác với các cạnh ; . Gọi là đường phân giác trong của góc . Biết biểu thị vectơ . Tính . A. . B. . C. . D. . Mail: thongbui1987@gmail.com Câu 111: Cho có ; . Phân giác trong của góc cắt trung tuyến tại . Biết , với và tối giãn. Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 112: Cho tứ giác có và cùng vuông góc với , , , . Gọi là một điểm thuộc cạnh . Biết , giá trị lớn nhất của là A. . B. . C. . D. . , , a BC b CA c AB MA MB MC T a b c 3 3 3 3 3 3 2 ' ' AA CC ' , ' A BC C AB cos . B 4 5 2 5 1 1 2 aMA bMB cMC A B C a M A C 3 T M A M B M C M A M B M C 2 3 . 3 a M i n T 2 3. Min T a 3. Min T a 5 3 . 2 a M i n T ABC ' ' ' A B C ' G ' GG a AA' ' ' T BB CC T a 2 T a 3 T a 4 T a ABC , AB x AC y 0 x y AD A AD mAB nAC S m n 2 S 0 S 1 S 2 S ABC 3 AB 4 AC AD BAC BM I AD a AI b , a b a b 2 S a b 10 S 14 S 24 S 27 S ABCD AD BC AB 8 AB AD a BC b E CD 90 AEB T ab 4 16 8 64Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 20 Họ và tên tác giả: Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi, Email: lehongphivts@gmail.com Câu 113: Cho tứ giác có và cùng vuông góc với , , , . Cho là số thực dương thuộc và điểm thỏa mãn . Tìm hệ thức liên hệ giữa , , , để góc ? A. . B. . C. . D. . Câu 114: Cho tam giác có trọng tâm , qua dựng đường thẳng cắt cách cạnh , lần lượt tại , . Đặt , , gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính . A. . B. . C. . D. . (Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn) Câu 115: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho . Điểm M di động trên BC sao cho . Tìm x sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. A. B. C. D. Họ và tên: Nguyễn Thị Thu, Email: thutoan83@gmail.com, Facebook: Nguyễn Thị Thu Câu 116: Cho tam giác ABC đều cạnh , là đường thẳng qua B và tạo với AB một góc . Tìm giá trị nhỏ nhất của ? A. B. C. D. (Tác giả: Hoàng Thị Thúy - Facebook: Cỏ ba lá ) Câu 117: Cho tam giác đều cạnh nội tiếp đường tròn và điểm thay đổi trên . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 118: Cho lục giác đều cạnh . Trên đường chéo , lấy hai điểm , sao cho . Độ dài đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . (Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam https://www.facebook.com/duynam.bui.1) Câu 119: Cho hình chữ nhật có , . và lần lượt là trung điểm và . là điểm thỏa mãn và lớn nhất. Tính . ABCD AD BC AB AB h AD a BC b k 0;1 E 1 0 k EC k ED a b h k 90 AEB 1 1 k b ka h k k 1 1 kb k a hk k 1 1 kb k a h k k 1 1 k b ka hk k G G d AB AC M N AM x AB AN y AC m M T x y m M 10 3 17 6 11 6 5 2 1 BH HC 3 BM xBC MA GC 4 . 5 5 . 4 5 . 6 6 . 5 2 3 d 0 60 C 3 A MA MB MC 3 5 12 5 4 5 2 ABC 1 ( ) O M O s i MA MB MC s i 3 s i 4 3 3 s i 5 3 3 s i 2 3 s i ABCDEF a AC CE M N AM CN k AC CE 0 1 k 2 2 BM BN k 1 2 1 4 2 3 3 4 ABCD AD a AB b O I DB DO N 2 2 2 NA NC AB AD AD NB NBSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 21 A. B. C. D. . Câu 120: Cho tam giác ABC, Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Phuongthao.nguyenmaths@gmail.com Câu 121: Cho tam giác có là trọng tâm. Gọi là chân đường cao hạ từ sao cho . Điểm di động nằm trên sao cho . Tìm sao cho độ dài của vectơ đạt giá trị nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Câu 122: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đôi đáy AB. Lấy một điểm E sao cho và đồng thời thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của góc nằm trong khoảng nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Họ tên tác giả: Đoàn Phú Như, Tên fb: Như Đoàn, Email: doanphunhu@gmail.com Câu 123: Cho hình thang ABCD có , , góc tạo bởi hai véc tơ và bằng . Khi đó giá trị của bằng: A. . B. . C. . D. . (Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái ) Câu 124: Cho hình thang ABCD có , . Giá trị của biểu thức bằng: A. . B. . C. . D. . (Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái ) Câu 125: Cho tam giác có và đã biết. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng với mọi giá trị thực . Giá trị của nằm trong khoảng nào dưới đây? 2 2 2 3 2 a a b 2 2 2 a a b 2 2 2 3 4 a a b 2 2 2 4 a a b 3( ), 4( ), 5( ). AB cm BC cm CA cm 2 2 2 P MB MC MA 0 5 97 5 2 5 97 5 2 5 97 5 4 ABC G H A 1 3 BH HC M BC BM xBC x MA GC 4 . 5 5 . 6 6 . 5 5 . 4 3 2 BC DE CA CE ABC (95 ;100 ) (100 ;106 ) (106 ;115 ) (115 ;120 ) 2AB DC 8, 6 AC BD AC BD 120 ( ) AD BC 13 2 5 2 14 4 7 3 15 2 10 4 6 4 3 2AB DC 9, 6 AC BD 2 2 ( ) BC AD 15 80 3 12 14 ABC 60 BAC , AB AC . P k MA MB MC ( ) AB AC 0 k k 0 kSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 22 A. . B. . C. . D. . (Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái ) Câu 126: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto có độ dài nhỏ nhất A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê Câu 127: Cho tam giác đều cạnh a và điểm M thay đổi. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: A. B. C. D. Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le Câu 128: Cho tam giác có hai đường trung tuyến kẻ từ và vuông góc với nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm, Email: dvtam0189@gmail.com Câu 129: Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Một điểm di động sao cho . Gọi là hình chiếu của lên . Tính độ dài lớn nhất của ? A. B. C. D. Họ và tên: Phương Xuân Trịnh Tên FB:: Phương Xuân Trịnh, Email: phuongtrinhlt1@gmail.com Câu 130: Cho tam giác vuông tại . Gọi là góc giữa hai trung tuyến và . Giá trị nhỏ nhất của là:. A. . B. . C. . D. . Câu 131: Cho có trọng tâm G. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho . Điểm M di động trên BC sao cho . Tìm x sao cho độ dài vecto đạt giá trị nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . ( Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu) Câu 132: Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Một điểm di động sao cho . Gọi là hình chiếu của lên . Tính độ dài lớn nhất của ? (0;1) 3 ( ;2) 2 3 (1; ) 2 (2;3) aMA bMB cMC ABC 2 2 2 2 3 4 P MA MB MC 2 14a 2 14a 2 26 3 a 2 26 3 a A B C B C c os A 1 2 2 3 3 4 4 5 AB . a M MA MB MA MB H M AB MH . 2 a 3 . 2 a . a 2 . a ABC A BD CK cos 1 2 4 5 2 3 3 4 ABC 1 3 CH HB . CM x CB MA GB 8 5 5 6 6 5 5 8 AB . a M MA MB MA MB H M AB MHSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 23 A. B. C. D. Câu 133: Cho và là hai phân giác trong của tam giác . Biết , và . Khi đó bằng: A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo Câu 134: : Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Một điểm di động sao cho . Gọi là hình chiếu của lên . Tính độ dài lớn nhất của ? A. B. C. D. Câu 135: Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích là điểm , lần lượt thỏa mãn ; . Cắt miếng gỗ theo một đường thẳng qua , đường thẳng này đi qua lần lượt trên các cạnh . Khi đó diện tích miếng gỗ chứa điểm thuộc đoạn: A. . B. . C. . D. Họ và tên tác giả: Hoàng Tiến Đông, Tên FB: tiendongpt, Email: dongpt@c3phuctho.edu.vn Câu 136: Cho tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp . Tìm giá trị lớn nhất của . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 Đỗ Công Dũng, Email: congdung812@gmail.com Câu 137: Cho tam giác đều cạnh Gọi là điểm nằm trên cạnh Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức theo A. . B. . C. . D. . Câu 138: Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với các đỉnh A, C) Trên các đường thẳng AB, BC, lấy các điểm P và Q sao cho MP // BC, MQ // AB. Gọi N là giao hai đường thẳng AQ và CP. Giả sử . Tìm giá trị lớn nhất của m + n A. B. C. D. 2 Email: themhaitotoanyp1@gmail.com, (Fb: Lưu Thêm) Câu 139: : Cho tam giác có là trọng tâm. Gọi là chân đường cao hạ từ sao cho . Điểm di động nằm trên sao cho . Tìm sao cho độ dài của vectơ đạt giá trị nhỏ nhất. A. B. C. D. . 2 a 3 . 2 a . a 2 . a AD BE ABC 4 AB 5 BC 6 CA DE 5 3 9 5 CA CB 3 5 5 9 CA CB 9 3 5 5 CA CB 3 9 5 5 CA CB AB . a M MA MB MA MB H M AB MH . 2 a 3 . 2 a . a 2 . a S I O 0 IB IC 0 OA OI O , M N , AB AC A ; 4 3 S S ; 3 2 S S 3 ; 8 2 S S 3 ; 4 8 S S ABC 2 R 2 2 2 BC AB AC ABC . a M . AB 2 MA MB MC . a 3 4 a 3 2 a 3 8 a 2 3 3 a DC n DA m DN 3 4 4 3 2 1 ABC G H A 1 3 BH HC M BC BM xBC x MA GC 4 . 5 5 . 6 6 . 5 5 . 4Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 24 Họ và tên: Lê Thị Lan FB: Lê Lan, Email: lelanqx2@gmail.com Câu 140: Cho tam giác ABC có nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. M là điểm thuộc đường tròn (O). Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng Câu 141: Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm ,bán kính , là một điểm bất kì trên đường tròn. Giá trị lớn nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen, Email: giaohh2@gmail.com Câu 142: Cho tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Đồng Anh Tú Facebook: Anh Tú VẤN ĐỀ 6 TÍCH VÔ HƯỚNG Câu 143: Cho tam giác đều cạnh . Tính A. B. C. D. Họ và tên: Nguyễn Văn Nho Facebook: Nguyễn Văn Nho Câu 144: Cho tam giác có là trung tuyến, là trọng tâm. Một đường thẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại . Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D. Email: ngvnho93@gmail.com Câu 145: Cho các véc tơ thỏa mãn và . Tính . A. . B. . C. . D. . Tác giả: Quang Phi , , BC a AC b AB c , N n 2 2 2 P MA MB MC N n 2 12R 2 2 2 2 4R 9R a b c 2 2 2 2 2R 9R a b c 2 2 2 2 8R 9R a b c ABC O R M 2 2 2 2 3 S MA MB MC 2 21 R 2 21 R 2 2 21 R 2 2 21 R ABC 3 cos 2 2cos 2 2 3 cos 2 P A B C P 4 m in P 3 1 2 m i n P 2 3 3 m i n P 5 m i n ABC a . . . AB BC BC CA CA AB 2 3 2 a 2 3 2 a 2 3 2 a 2 3 2 a ABC AD G G , AB AC , M N 1 2 . . . 2 3 AM AN AN MB AM NC . . . AM AN AN MB AM NC 2 . ( . . ) 3 AM AN AN MB AM NC 3 . ( . . ) 2 AM AN AN MB AM NC , , a b c , , a a b b c c 3 0 a b c . . . A a b b c c a 2 2 2 3 2 c a b 2 2 2 3 2 a c b 2 2 2 3 2 b a c 2 2 2 3 2 c a b Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 25 Câu 146: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Biết rằng . Độ dài cạnh AC là: A. B. C. D. Họ và tên: Đoàn Thị Hường, Email: ngochuongdoan.6@gmail.com, Fb: Đoàn Thị Hường Câu 147: Cho tam giác có .Dựng điểm M sao cho . Đặt .Tính A. . B. . C. . D. . Họ tên: Đào Hữu Nguyên FB: Đào Hữu Nguyên, Mail: huunguyen1979@gmail.com Câu 148: Cho tam giác ABC vuông tại A. Quỹ tích điểm M thỏa mãn là A. Đường thẳng AC. B. Đường thẳng AB. C. Đường thẳng BC. D. Đường trung trực cạnh BC. Họ và tên tác giả: Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Câu 149: Cho tam giác đều cạnh , . Lấy các điểm , , lần lượt trên các cạnh , , sao cho , , . Tìm để . A. . B. . C. . D. Họ và tên tác giả: Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Câu 150: Cho tam giác vuông cân tại . Gọi là trung điểm và là điểm di động trên đường thẳng . Khi đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số . A. . B. . C. . D. . (Họ và tên tác giả: Nguyễn Đức Lợi, Tên FB: Nguyễn Đức Lợi) Câu 151: Cho có trọng tâm , là chân đường cao kẻ từ sao cho . Điểm di động trên sao cho . Tìm sao cho nhỏ nhất. A. B. C. D. Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền Câu 152: Cho tam giác ABC, nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn . Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Cho đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM tính giá trị biểu thức theo R. A. 8R 2 . B. 10R 2 . C. 12R 2 . D. 14R 2 . 2 . AM BC a 33 3 a AC 3 AC a 3 3 a AC 5 AC a ABC 0 90 , 1, 2 BAC AB AC , 3 AM BC AM . . AM x AB y AC 2 2 ? T x y 153 20 T 151 20 T 157 20 T 159 20 x 2 . . MB MC MA BC MA ABC 3a 0 a M N P BC CA AB BM a 2 CN a AP x 0 3 x a x AM PN 3 5 a x 4 5 a x 5 a x 2 5 a x ABC B M AB I MC 2IM AC AC AI 1 AC AI 2 AC AI 2 AC AI 3 2 AC AI ABC G H A 1 3 BH HC M BC BM xBC x MA GC 6 5 5 4 4 5 5 6 ; O R 2 2 2 2 AC AB BC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 26 Lời giải Họ và tên: Nguyễn Thị Trăng Fb: Trăng Nguyễn Câu 153: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, = Lấy điểm E trên tia MP và đặt .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP. A. k= . B. k= . C. k= . D. k= . Họ và tên tác giả: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Câu 154: Đẳng thức đúng với mọi điểm M. Khi đó tứ giác ABCD là hình gì. A. Hình thang vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi. D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Lời giải (Họ và tên tác giả: Phạm Trung Khuê, Tên FB: Khoi Pham) Câu 155: Cho hình vuông cạnh . Gọi lần lượt thuộc các đoạn thẳng và sao cho , và . Khi đó thuộc khoảng nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Nguyễn Đắc Giáp Facebook: dacgiap Câu 156: Cho hai vector thỏa mãn đồng thời các điều kiện , vector vuông góc với . Tính cosin của góc tạo bởi hai vector và . A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Tên FB: Ngonguyen Quocman Câu 157: Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh . Tìm giá trị biểu thức: A. B. C. D. Câu 158: Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho Gọi E là điểm thỏa mãn Khi Tính giá trị biểu thức . A. B. C. D. Họ và tên: Lê Thái Bình, Email: lebinhle80@gmail.com, Facebook: Lê Thái Bình Câu 159: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho . Gọi N là trung điểm CD. Tam giác BMN là A. Tam giác đều. B. Tam giác cân. M 0 60 ME kMP 2 3 2 5 1 3 1 2 . . MA AD MB BC ABCD a , M N BC AC 1 3 BM MC CN k AN AM DN k 3;5 5; 3 4; 2 2;4 , a b 2 7, 2 a b a b (3 ) a b ( ) a b a b 1 3 2 4 1 3 2 4 ; ; BC a CA b AB c 2 2 2 . . . OA OB OC K b c c a a b 1 2 K 1 3 K 1 K 1 4 K 1 . 3 C M CN C B CD . AE k A N . BE A M T k k 2 1 1 3 1 6 7 9 8 9 5 1 6 4 AC AMSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 27 C. Tam giác Vuông. D. Tam giác vuông cân Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa Câu 160: Cho tam giác . Gọi là trực tâm và là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác . Đặt , , . Tìm hệ thức liên hệ giữa , , sao cho vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh của tam giác . A. . B. . C. . D. . (Email): luongthanh80tm@gmail.com Câu 161: Cho tam giác có là trung tuyến, là trọng tâm. Một đường thẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại . Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D. (Sưu tầm, Họ và tên: Nguyễn Lương Thành, Tên FB: luongthanh.nguyen.7) Câu 162: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4.Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm trên cạnh AD sao cho ,CM vuông góc với BN.Khi đó k thuộc vào khoảng nào sau đây A. B. C. D. Họ và tên:Phan Thông, Email:quocthong1182@gmail.com, Facebook:Quocthongphan Câu 163: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, = Lấy điểm E trên tia MP và đặt .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP. A. k= . B. k= . C. k= . D. k= . Câu 164: Họ và tên: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm, Email: phamhongquangltv@gmail.com Câu 165: Cho tam giác có . là trung điểm của , là chân đường phân giác trong góc . Tính A. . B. . C. . D. (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Câu 166: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được xác định bởi và . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. ABC H O ABC BC a CA b AB c a b c OH A ABC 2 2 2 2a b c 2 2 2 2b a c 2 2 2 2c a b 2 2 2 2 2 b a c ABC AD G G , AB AC , M N 1 2 . . . 2 3 AM AN AN MB AM NC . . . AM AN AN MB AM NC 2 . ( . . ) 3 AM AN AN MB AM NC 3 . ( . . ) 2 AM AN AN MB AM NC AN k AD 1 0; 16 1 1 ; 16 20 1 1 ; 20 9 1 1 ; 9 6 M 0 60 ME kMP 2 3 2 5 1 3 1 2 ABC , , BC a CA b AB c M BC D A 2 AD 2 2 4c AD p p a b c 2 2 4bc AD p a b c 2 2 4bc AD p p a b c 2 2 4bc AD p p a b c 0 60 . BAC 2 MC MB 2 NB NA Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 28 A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Câu 167: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn . Biết rằng OM vuông góc với BI và . Tính góc . A. . B. C. . D. . Họ tên: Trần Ngọc Tên FB: Ngọc Trần, Email: soantailieutoanhoc2018@gmail.com Câu 168: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b. Gọi M là trung điểm của BC. Hệ thức giữa a, b, h để là A. . B. C. . D. . Họ và tên tác giả: Đào Trung Kiên (st) Tên FB: kienyenthe, Email: kienyenthe@gmail.com Câu 169: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn , . Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính diện tích của tam giác IBC theo a? A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Vũ Huỳnh Đức, Email: vutoanpvd@gmail.com, Facebook: vuhuynhduc2017 Câu 170: Cho tam giác đều và các điểm thỏa mãn , , . Tìm để vuông góc với . A. B. C. D. Họ và tên: Huỳnh Thanh Tịnh Tên FB: huynhthanhtinh, Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com Câu 171: : Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh . Tìm giá trị biểu thức: A. B. C. D. Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng. FB: Hùng Tăng Câu 172: Cho hai véc tơ và thỏa mãn các điều kiện Đặt và Tìm tất cả các giá trị của sao cho A. B. C. D. Họ và tên: Nguyễn Thị Huệ, FB: Nguyễn Thị Huệ, Gmail: nguyenthihue1611@gmail.com 2 2 6 4 5 0 c b bc 2 2 4 5 6 0 c b bc 2 2 6 5 4 0 c b bc 2 2 4 6 5 0 c b bc 2 2 OM OA OB OC 2 3 . AC BC BA ABC 30 45 60 120 D AM B 2 2 0 a h ab 2 2 0 h a ab 2 2 0 h b ab 2 2 0 b h ab 1 3 BM BC 1 3 AN AB 2 3 7 IBC a S 2 7 7 IBC a S 2 2 7 7 IBC a S 2 2 3 7 IBC a S ABC , , M N P BM k BC 2 3 CN CA 4 15 AP AB k AM PN 1 3 k 1 2 k 3 4 k ; ; BC a CA b AB c 2 2 2 . . . OA OB OC K b c c a a b 1 2 K 1 3 K 1 K 1 4 K a b 1 1, 2 a b 2 15. a b u a b 2 , . v ka b k k 0 , 60 . u v 3 5 4 . 2 k 3 5 4 . 2 k 17 5 . 2 k 17 5 . 2 k Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 29 Câu 173: Cho tứ giác , hai điểm thỏa mãn và Tính theo để A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê, Email: Lenguyet150682@gmail.com Câu 174: Cho tam giác có Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho và là điểm thuộc sao cho ( ). Biết ( là phân số tối giản, a,b là các số nguyên) sao cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng Tính giá trị biểu thức . A. B. C. D. Họ và tên tác giả: Trần Thanh Hà Tên FB: Hatran, Email: tranthanhha484@gmail.com Câu 175: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được xác định bởi và . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. A. B. C. D. Họ và tên tác giả: Đỗ Thế Nhất Tên FB: Đỗ Thế Nhất, Email: nhatks@gmail.com Câu 176: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho . Tìm k để CM BN. A. k=7,9 B. k=8 C. k=8,1 D. k=7.8 Câu 177: Cho hình bình hành có đường chéo lớn là . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Biểu thức nào sau đây là đúng. A. . B. . C. . D. . Họ và tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duy Tên FB: Ngọc Duy, Email: nguyenngocduyakgl@gmail.com Câu 178: Cho hình thang vuông , đường cao , cạnh đáy . Tìm hệ thức giữa để vuông góc trung tuyến của tam giác . A. . B. . C. . D. Email: thuy.tranthithanhdb@gmail.com ABCD , M N 2 0;2 0 MB MA NC ND . AD x BC cos cos DBC ADB x . MN BD 2 x 2 x 3 x 3 x ABC 6; 7; 5. AB BC CA M AB 2 AM MB N AC AN k AC k a k b a b CM . BN 2018 2019 5 T a b 2017. T 2020. T 2030. T 2030. T 0 60 . BAC 2 MC MB 2 NB NA 2 2 6 5 4 0 c b bc 2 2 6 5 0 c b bc 2 2 4 6 5 0 c b bc 2 2 4 6 5 0 c b bc AD kAN ABCD AC , E F C , AB AD 2 . . AB AH AD AF AC 2 . . AB AE AD AF AC 2 . . AB AE AD AH AC . . . AB AE AD AF AC AH ABCD AD h , AB a CD b , , a b h BD AM ABC 2 h a a b 2 h a b a h h b a a b h 2 2h a a b Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 30 Câu 179: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm chính giữa cung BC ( cung BC không chứa điểm A). Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau: A. B. C. D. Họ và tên tác giả: Nguyễn Quang Nam Tên FB: Quang Nam, Email: quangnam68@gmail.com Câu 180: Cho tam giác có . là trung điểm của , là chân đường phân giác trong góc . Tính A. B. C. D. Họ Tên: Lương Thị Hương Liễu Tên FB: Hương Liễu Lương, Email: lieuluong.290983@gmail.com Câu 181: Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có một trò chơi như sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với nhau một góc như hình vẽ dưới đây. Trên các đường thẳng và người ta để hai vật nặng cùng trọng lượng. Buộc hai vật thể với nhau bằng một thanh cứng sao cho mỗi vật đều có thể chuyển động được trên hai đường ray. Nối hai vật bằng một sợi giây vòng qua một cột có gốc tại . Người tham dự cuộc thi sẽ đứng tại vị trí điểm để kéo vật thể chuyển động trên . Người thắng cuộc sẽ là người kéo được vật thể ra xa nhất so với điểm gốc . Hãy dùng kiến thức toán học để tính toán vị trí xa nhất mà người tham dự cuộc thi có thể đạt được. A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Phạm Thành Trung Tên FB: Phạm Thành Trung, Email: trungthuong2009@gmail.com Câu 182: Cho tam giác ABC có AB= c,BC=a,CA=b. Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và . Tính . .sin .sin MA MB C MC B .cos .cos MA MB C MC B .sin .sin MA MB B MC C .cos .cos MA MB B MC C A B C , , B C a C A b A B c M B C D A 2 A D 2 4 2 c A D p p a b c 2 2 4 b c A D p a b c 2 2 4 b c A D p p a b c 2 2 4 b c A D p p a b c 0 30 Ox Oy 1 AB m O B Oy O O B A 1m 2m 3m 2m 3 2 CM AL cos ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 31 A. B. C. D. Câu 183: Cho hình chữ nhật ABCD có . Điểm M thuộc cạnh AD và N là trung điểm BC sao cho . Phân số tối giản có bằng bao nhiêu A. 29. B. 18. C. 16. D. 27. (Họ và tên tác giả: Trần Văn Đoàn, Tên FB: Trần Văn Đoàn) Câu 184: Cho tam giác có ; , . Gọi là trung điểm của và là chân đường phân giác trong góc của tam giác . Biết rằng trung tuyến vuông góc với phân giác trong . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Họ và tên: Nguyễn Thị Thỏa Tên FB: Nguyễn Thị Thỏa, Email: phamquynhanhbaby56@gmail.com Câu 185: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm bất kì trên cung nhỏ . Khi đó A. B. C. D. CÁC PHẦN CHÍNH CỦA CHUYÊN ĐỀ VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ VẤN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VẤN ĐỀ 3. QUỸ TÍCH VẤN ĐỀ 4. TỈ LỆ VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX VẤN ĐỀ 6 TÍCH VÔ HƯỚNG Phần II: Hướng Dẫn Giải Trang: VĐ1-P35; VĐ2-P74; VĐ3-P88; VĐ4-P99; VĐ5-P110; VĐ6-P149 VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ Email: daytoan2018@gmail.com Câu 186: Cho tam giác ABC biết 3, 4, 6 AB B C AC , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Gọi , , x y z là các số thực dương thỏa mãn . . . 0 x IA y IB z IC .Tính x y z P y z x A. 3 4 P . B. 41 12 P . C. 23 12 P . D. 2 3 P . Lời giải Họ và tên tác giả: Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành Chọn B 2 cos 2 A 5 1 cos 4 A 3 cos 2 A 1 cos 2 A 1; 3 AB CD MN BD m BN n NC m n ABC AB c BC a CA b M AB D A ABC CM AD 2 b c 2 c b a b c c a b BC MA MB MC MA MB MC MA MB MC 2 MA MB MC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 32 Dựng hình bình hành BDIE như hình vẽ. Khi đó IE I D IB IE I D IA I C I A I C Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: IE M B BC IA M A A C , ID B N A B I C N C A C Suy ra BC A B IB I A IC A C A C . Từ . . . 0 x IA y IB z IC suy ra . . x z IB IA I C y y . Do , I A I C là hai véc tơ không cùng phương suy ra 4 , 6 , 3 x t y t z t với 0 t . Vậy 41 12 x y z P y z x . Họ và tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet Email: tiethanh.78@gmail.com Câu 187: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt , a AB b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau? A. 5 2 6 3 AG a b . B. 5 6 AG a b . C. 5 6 AG a b . D. 4 2 3 3 AG a b . Lời giải Chọn A N M E D I A B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 33 * I là trung điểm của CD nên: 1 1 1 2 2 2 AI AC AD AB AD . * G là trọng tâm tam giác BCI nên: 1 1 1 3 3 3 AG AB AC AI , thay AC AB AD và 1 2 AI AB AD ta được 1 1 1 1 5 2 3 3 3 2 6 3 AG AB AB AD AB AD AB AD . Họ và tên: Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm Email: ilovemath.ddt@gmail.com Câu 188: Cho tam giác AB C với các cạnh A B c B C a CA b , , . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng. A. a IA b I B c IC 0 B. 0 b I A c IB a IC C. 0 c IA b IB a IC D. 0 c IA a IB b IC Lời giải Chọn A Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’ Ta có I C IA IB ' ' (*) Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có: ' ( ) ' IB B A c b IB IB IB CA b c 1 1 1 Tương tự: a I A I A c ' (2) Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có: I A B C B' C'Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 34 a b I C IA I B a I A b IB c I C c c 0 Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh Đ/c mail: honganh161079@gmail.com Câu 189: Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, 0 30 ADC . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn DB theo hai vectơ DA và DC . A. . DB DA DC B. 3 . b a DB DA DC b C. . b a DB DA DC b D. . DB bDA aDC Lời giải Kẻ BE // AD, E nằm trên cạnh CD. Ta có: 2 3 DE DE DB DA DE DA DC DA DC DC DC DC KC b a DA DC DA DC DC b . Vậy đáp án đúng là câu B. Email: kimduyenhtk@gmail.com FB: Kim Duyên Nguyễn. Câu 190: Cho hình bình hành A BCD , M là điểm thỏa mãn 5 2 0 A M C A . Trên các cạnh AB , BC lần lượt lấy các điểm , P Q sao cho MP B C MQ A B / / , / / . Gọi N là giao điểm của AQ và CP . Giá trị của tổng A N A Q C N C P bằng: Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 35 A. 21 19 B. 24 19 C. 23 19 D. 25 19 Lời giải Đặt A N x A Q C N y C P , Vì 2 / / , / / 5 B Q A P A M M Q A B M P B C B C A B A C Ta có: 2 2 2 3 ( ) 5 5 5 2 AQ A B BQ A B BC AB AC AB AC A P Nên 2 3 (1) 5 2 AN x A Q x AC x A P Do , , N C P thẳng hàng nên 2 3 10 1 5 2 19 x x x Mặt khác ( ) (1 ) (2) C N y C P A N A C y A P A C A N y A C y A P Từ (1) và (2) suy ra 3 15 2 19 y x . Do đó 25 19 AN CN x y AQ C P . Đáp án D Họ và tên tác giả: Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao Email: thuangiaoyen@gmail.com Câu 191: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức M A M B M C 3 M D x M K . Tìm x: A. 2. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn B Vì đẳng thức M A M B M C 3 M D x M K (1) thỏa mãn với mọi M nên nó đúng khi M trùng với K. Khi đó ta có: K A K B K C 3 K D x K K 0 (2). Gọi G là trọng tâm A B C , ta có K A K B K C 3 K G (3). Thay (3) vào (2) ta được 3 K G 3 K D 0 K G K D 0 , suy ra K là trung điểm của GD. Từ (1) ta có: N A D C B Q M P Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 36 M K K A M K K B M K K C K B 3 M K 3 K D ( K A K B K C 3 K D) 6 M K 6 M K Vậy 6 M K x M K suy ra x = 6. Họ và tên: Nguyễn Thanh Hoài Email: ngthhoai1705@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/hoaihappy Câu 192: Cho tam giác A B C , trên cạnh A C lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho 3 A M M C , 2 N C N B . Gọi O là giao điểm của A N và B M . Tính diện tích tam giác AB C biết diện tích tam giác OB N bằng 1. A. 24 . B. 20 . C. 30 . D. 45 Lời giải Chọn C Ta có: 1 B O x B A x B N và 1 A O y A M y A B . 1 1 A B y A M x y A B x B N 1 0 x y A B y A M x B N (1) Đặt , C B a C A b ta được 3 1 ; ; 4 3 AB a b AM b BN a Thay vào (1) và thu gọn ta được: 1 3 3 4 x x y a x y b a yb Suy ra 1 1 3 10 3 2 4 5 x x y x y x y y . Với 1 10 x ta được 1 1 1 10 10 B O B A B N 1 10 BO BN BA BN 1 10 N O NA 10 NA NO Vì 1 10 30 O NB NA B AB C S S S . O B A C N MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 37 Họ và tên tác giả: Trần Ngọc Uyên Tên FB: Tran Ngoc Uyen Email: ngocuyen203@gmail.com Câu 193: Cho tam giác ABC , gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho 3 IB IC . Gọi , J K lần lượt là những điểm trên cạnh , AC AB sao cho 2 ; 3 JA JC KB KA . Khi đó . . BC m AI n JK . Tính tổng P m n ? A. 34 P . B. 34 P . C. 14 P . D. 14 P . Lời giải Chọn B Ta có: 3 3 3 1 2 2 2 2 AI AB BI AB BC AB AC AB AC AB (1) 1 2 4 3 JK AK AJ AB AC (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 3 1 6 12 2 2 2 1 16 36 3 4 AI AC AB AC AI JK AB AI JK JK AC AB Ta có: 10 24 10; 24 34 BC AC AB AI JK m n m n . Chọn đáp án B. Email: huanpv@dtdecopark.edu.vn Câu 194: Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho 1 1 , 3 2 AM AB DN DC . Gọi I và J là các điểm thỏa mãn , BI mBC AJ n AI . Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu? A. 1 3 B. 3 C. 2 3 D. 1 (Họ và tên tác giả: Phạm Văn Huấn, Tên FB: Pham Van Huan) Lời giải Chọn A J là trọng tâm tam giác BMN khi và chỉ khi 3 AB AM AN AJ (9) Ta có M N C A B DSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 38 * 1 3 AM AB * 1 1 1 2 2 2 AN DN DA DC DC CA AC DC AC AB * AJ nAI n AB BI n AB mBC n AB m AC AB (1 ) n m AB mnAC Nên thay vào (9) ta có 1 1 3 (1 ) 3 3 2 AB AB AC AB n m AB mnAC 5 3 (1 ) 1 3 0 6 n m AB mn AC 5 3 (1 ) 0 1 6 3 1 3 0 n m mn mn Họ và tên: Hứa Nguyễn Tường Vy Email: namlongkontum@gmail.com FB: nguyennga Câu 195: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ y điểm M, trên cạnh BC lấ y N sao cho AM=3MB, NC=2BN. Gọi I là giao điểm của AN với CM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN bằng 2. A. 3 2 B. 33 2 C. 11 D. 9 11 Lời giải Chọn đáp án B Đặt ; BC a BA c . Suy ra 3 2 ; ; 4 3 AC a c AM c CN a Do A, I, N thẳng hàng nên (1 ) CI xCA x CN Và M, I, C thẳng hàng nên (1 ) AI y AC y AM Mặt khác (1 ) ( (1 ) ) AC AI CI y AC y AM xCA x CN 3 1 1 4 0 3 4 y x y x a c I N C B A MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 39 Mà ; a c không cùng phương suy ra 3 1 2 0 3 11 3 1 4 0 11 4 y x x y x y Với 2 2 9 2 11 11 11 11 x CI CA CN NI NA Hay 2 2 11 11 11 NCI NCA NCA S NI S NA S Mà 3 33 2 2 ABC ABC ANC S BC S S NC congsondienan@gmail.com Câu 196: Cho ∆ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thỏa mãn: 3 2 0 MA CM , 2 0 NA NB . Chọn mệnh đề đúng. A. 4 NG GM . B. 5 NG GM . C. 6 NG GM . D. 7 NG GM . (Họ và tên tác giả: Trần Công Sơn, Tên FB: Trần Công Sơn) Lời giải Chọn B . Gọi E là trung điểm BC. M, N là các điểm như hình vẽ. Ta có: 2 2 1 5 1 2 . 2 3 3 2 3 3 NG AG AN AE AB AB AC AB AB AC . 2 2 2 2 1 1 1 . 5 3 5 3 2 3 15 GM AM AG AC AE AC AB AC AB AC . Nên 5 1 1 1 5 5 3 3 3 15 NG AB AC AB AC GM . Vậy 5 NG GM . (Email): tranminhthao2011@gmail.com M G E N A B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 40 Câu 197: (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC . Gọi A', B',C' là các điểm xác định bởi 2018 ' 2019 ' 0 A B A C , 2018 ' 2019 ' 0 B C B A , 2018 ' 2019 ' 0 C A C B . Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ABC và ' ' ' A B C có cùng trọng tâm. B. ' ' ' ABC A B C . C. ' ' ' ABC A B C . D. ABC và ' ' ' A B C có cùng trực tâm. Lời giải Chọn A Ta có 2018 ' 2019 ' 0 A B A C 2018 ' 2019 ' 0 A A AB A A AC 4037 ' 2018 2019 0 A A AB AC (1) Tương tự ta có 4037 ' 2018 2019 0 ; 4037 ' 2018 2019 0 B B BC BA C C CA CB Cộng vế với vế lại ta được 4023 ' ' ' 0 ' ' ' 0 AA BB CC BA AC CB AA BB CC . Vậy ABC và ' ' ' A B C có cùng trọng tâm Câu 198: ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M là trung điểm BC . Tính độ dài của vec tơ 1 2 2 AB AC A. 21 3 a . B. 21 2 a . C. 21 4 a . D. 21 7 a . Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 41 Chọn B Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN . Khi đó ta có 1 , 2 2 AB AN AC AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có 1 2 2 AB AC AN AQ AP Gọi L là hình chiếu của A lên PN Vì 0 / / 60 MN AC ANL MNB CAB Xét tam giác vuông ANL ta có 0 3 sin .sin sin 60 2 4 AL a a ANL AL AN ANL AN 0 cos .cos cos60 2 4 NL a a ANL NL AN ANL AN Ta lại có 9 2 4 4 a a AQ PN PL PN NL AQ NL a Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có 2 2 2 2 2 2 3 81 21 21 16 16 4 2 a a a a AP AL PL AP Vậy 1 21 2 2 2 a AB AC AP Họ và tên: Trần Quốc An Email: tranquocan1980@gmail.com Facebook: Tran Quoc An Câu 199: Cho ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tìm x để H A H B H C x HO . A. x . 2 B. x 2 . C. x . 1 D. x 3. Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 42 Chọn A Gọi ' A là điểm đối xứng với A qua O, ta có: ' ' (1) A B AB CH A B CH AB Tương tự ta chứng minh được ' (2) BH A C Từ (1),(2) suy ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành. Do đó M là trung điểm của ' HA . Ta có: 2 ' HB HC HM HA ' 2 2. HA HB HC HA HA HO x buiduynam1993@gmail.com Câu 200: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL . Giả sử ngoài ra còn có CM kAL . Biết 2 2 cos a bk A c dk . Tính a b c d A. 18. B. 5. C. 26 . D. 17 . (Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam https://www.facebook.com/duynam.bui.1) Lời giải Chọn A H O C B A A ' M Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 43 Ta có ACM cân tại A 1 2 AC AM AB 2 c b với b AC , c AB . Theo đề bài AL là phân giác trong của góc A nên: 2 3 b c AL AB AC AM AC c b c b . 2 2 2 2 2 4 4 2 . 2 2 cos 9 9 AL AM AC AM AC b b A 2 8 1 cos 9 b A . Lai có 2 2 2 2 . AC AM AC AM CM 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 1 cos b A b CM CM b A . Từ 2 2 2 8 2 1 cos . 1 cos 9 CM kAL b A k b A 2 9 1 cos 4 1 cos A k A 2 2 9 4 cos 9 4 k A k . Vậy 18 a b c d . Họ và tên: Phạm Thanh My Email: phamthanhmy@gmail.com Facebook: Pham Thanh My Câu 201: Cho tam giác ABC . Gọi , , M N P là các điểm lần lượt thỏa mãn MA MB 3 0 , AN AC 1 3 , 2 3 0 PB PC Gọi K là giao điểm của AP và MN . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. KA KP 4 5 0 . B. KA KP 3 2 0 . C. KA KP 0 . D. KA KP . Lời giải Chọn C Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 44 Gọi I là giao điểm của MN và BC . Áp dụng định lý Menelaus ta có . . 1 IB NC MA IC NA MB 1 6 IB IC mà 2 3 0 PB PC P là trung điểm IC . Áp dụng định lý Menelaus ta có . . 1 KA IP MB KP IB MA 1 0 KA KA KB KP Câu 202: Cho hình thang ( / / ) ABCD AB CD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết 20 . AB CD cm Tìm . AC BD A. 40 . cm . B. 20 . cm . C. 30 . cm . D. 10 . cm . Lời giải Chọn B Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Yến Tên FB: Nguyễn Yến Email: ntyen.c3lqd@gmail.com I K P M N C B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 45 20 . AC BD BE BD BF DE cm Họ và tên tác giả:Lê Thanh Lâm Mail:quyphucvn@gmail.com Fb:Thanh Lâm Lê Câu 203: Cho tam giác ABC có 3; 4 AB AC .Gọi AD là đường phân giác trong của góc A .Biết AD m AB n AC .Khi đó tổng m n có giá trị là: A. 1 B. 1 C. 1 7 D. 1 7 Lời giải Chọn A Theo tính chất đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC ta có: 3 3 4 3( ) 4( ) 4 DB AB DC DB AC AD AB AD DC AC 4 3 7 4 3 7 7 AD AB AC AD AB AC .Ta có 4 3 ; 7 7 m n .Vậy tổng 1 m n . Chọn A Câu 204: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC CA . , ' H H lần lượt là trực tâm các tam giác , ABC MNP . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A. 3 ' HA HB HC HH . B. 2 ' HA HB HC HH . F E D C B A B C D A Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 46 C. 0 HA HB HC . D. 3 ' HM HN HP HH . Lời giải Chọn B ' H là trực tâm tam giác MNP nên ' H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên BHCD là hình bình hành suy ra 2 ' HA HB HC HA HD HH . Mail: kimlinhlqd@gmail.com Câu 205: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức: MD ME MF kMO A. 1 2 k . B. 1 k . C. 3 2 k . D. 2 k Lời giải Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa Chọn C Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 47 Gọi hình chiếu của M lên cạnh BC là D. Ta có 3 . ' ' 2 a a a S MD S S MD AA AO S AA S S . a MBC S S Tương tự cho các đánh giá khác. Do đó: 3 = 2 a b c MD ME MF S AO S BO S CO S 3 2 a b c S MO MA S MO MB S MO MC S 3 3 3 . 2 2 2 a b c a b c S S S MO S MA S MB S MC MO S S Cách Khác: Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC, CA, AB Họ và tên tác giả: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng Email: thanhdungtoan6@gmail.com Câu 206: Một giá đỡ hình tam được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân tại B. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N. Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối lượng của giá đỡ) A. 10 2 , 10 B C F N F N B. 10 , 10 2 B C F N F C. 10 B C F F N D. 10 , 10 2 B C F N F Lời giải Đáp án: B Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 48 Hệ chất điểm cân bằng nên 0 10 B C F F P F P F P N Tam giác ABC vuông cân tại B suy ra 10 2 2 10 2 B B C C F F F P N F F F P N Email: giachuan85@gmail.com Câu 207: Cho ba điểm A , B , C thuộc đường tròn tâm O , thỏa mãn 0 OA OC OB . Tính góc AOB ? A. 0 120 AOB . B. 0 90 AOB . C. 0 150 AOB . D. 0 30 AOB . Lời giải Họ và tên: Trần Gia Chuân Tên facebook: Trần Gia Chuân Chọn A Do 0 OA OC OB nên O là trọng tâm tam giác ABC . Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên tam giác ABC đều. Vậy góc 0 120 AOB Email: giachuan85@gmail.com Câu 208: Cho tam giác ABC . Điểm M trên cạnh BC thỏa mãn . . AM AB AC 1 2 3 3 , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. 2 MB MC . B. 2 MB MC . C. 2 MC MB . D. 3 MC MB . Lời giải Họ và tên: Trần Gia Chuân Tên facebook: Trần Gia Chuân Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 49 Chọn B Cách 1: Giả sử . BM k BC khi đó Ta có . . . . AM AB BM AB k BC AB k AC AB k AB k AC 1 Mà . . AM AB AC k 1 2 2 3 3 3 suy ra . . BM BC MB MC 3 2 2 Cách 2: . . . . . . . . . AM AB AC AM MB AM MC MB MC MB MC MB MC 1 2 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2 0 3 3 2 0 2 Email: cvtung.lg2@bacgiang.edu.vn Câu 209: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm , O M là một điểm tùy ý nằm bên trong tam giác đã cho; gọi '; '; ' A B C theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh ; BC CA và AB . Khi đó ta có đẳng thức vectơ ' ' ' , . 0, k k M A MB MC l MO k l l là phân số tối giản. Tính 2 2 2 . k l . A. 2 2 2 1 k l . B. 2 2 2 1 k l . C. 2 2 2 14 k l . D. 2 2 2 5 k l . Lời giải Họ và tên tác giả: Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung Chọn B Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh ; ; BC CA AB và các đường thẳng này cắt các cạnh của tam giác ABC tại các điểm 1 2 1 2 1 2 , , , , , A A B B C C như hình trên. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 50 Xét tam giác 1 2 MA A do tam giác ABC đều và tính chất của góc đồng vị nên góc 0 1 2 2 1 60 MA A MA A suy ra tam giác 1 2 MA A đều và ' A là trung điểm của 1 2 A A từ đó ta có: 1 2 1 ' 2 MA MA MA Chứng minh tương tự ta có 1 2 1 2 1 1 ' ; ' 2 2 MB MB MB MC MC MC . Suy ra 1 2 2 2 1 1 1 ' ' ' 2 MA MB MC MA MC MA MB MB MC , mặt khác các tứ giác 1 1 1 2 2 2 ; ; AB MC BA MC CA MB là hình bình hành nên 1 3 ' ' ' 2 2 MA MB MC MA MB MC MO 2 ' ' ' 3 MA MB MC MO . Vậy 2 2 2; 3 2 1 k l k l . Email: trang145@gmail.com Câu 210: Cho hình vuông ABCD, E,F thõa mãn 1 1 ; 3 2 BE BC CF CD ; AE BF I Ta có AI k AB l AD . Khi đó tỉ số k,l thõa mãn cặp nào sau: A. 3 2 ; 5 5 k l B. 6 2 ; 5 5 k l C. 5 3 ; 6 6 k l D. 6 1 ; 5 3 k l Lời giải Họ tên: Nguyễn Thị Trang Fb: Trang Nguyen Chọn B Kẻ EK//AB 1 1 3 6 EK EI EK CF AI AB Ta có: 6 6 6 1 6 2 ( ) ( ) ) 5 5 5 3 5 5 AI AE AB BE AB BC AB BC Câu 211: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: 3 AM MC , 2 NC NB , gọi O là giao điểm của AN và BM .Tính diện tích ABC biết diện tích OBN bằng 1. A. 10. B. 20 . C. 25 . D. 30. (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) A B C D F E I KSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 51 Lời giải Chọn D BO xBA x BN Vì , , A O N thẳng hàng nên: Tương tự: 1 AO y AM y AB ( 1) ( 1) AB AM AB BN y x y x hay 0 ( ) ( 1) AB AM BN x y y x (1) Đặt CB a , CA b . Ta có: 3 1 4 3 ; ; AB a b AM b BN a Thay vào (1) ta có: 3 1 0 4 3 x y a b yb x y a 1 3 3 4 x y x y a x y b a b Từ đó ta có: 1 1 10 3 2 3 5 4 x x x y y y x y Với 1 10 x 1 1 10 10 (1 ) BO BA BN 10 1 BO BN BA BN hay 10 1 NO NA 10 NA NO . Vì 1 10 30 ONB NAB ABC S S S . Họ và tên: Nguyễn Văn Quân Tên FB: Quân Nguyễn Email: Quanvan09@gmail.com Câu 212: Cho tam giác A B C có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng? A. 4 H A H B H C H O . B. 2 H A H B H C H O . C. 2 3 H A H B H C H O . D. 3 H A H B H C H O . Lời giải O N M C B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 52 Dễ thấy: 2 H A H B H C H O nếu tam giác A B C vuông. Nếu tam giác A BC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó: / / B H DC (vì cùng vuông góc với AC). / / BD C H (vì cùng vuông góc với AB). Suy ra B D C H là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì H B H C H D (1). Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên 2 H A H D H O (2). Từ (1) và (2) suy ra. 2 H A H B H C H O . Tên facebook: NT AG Câu 213: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho 4 AO OD . Gọi E CO AB , F BO AC , M AD EF . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 7 MO AD B. 2 15 MO AD C. 1 8 MO AD D. 2 7 EM BC Lời giải Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng Chọn B M F E D A B C O H O A B C D Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 53 Đặt: AB xAE , AC y AF , ( , ) x y . Theo bài ra ta có 4 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 AO AD AB AC x AE AC AB y AF Do , , O B F thẳng hàng nên 2 2 3 1 5 5 2 y y Do , , C O E thẳng hàng nên 2 2 3 1 5 5 2 x x Từ đó: 3 2 AB AC AD AE AF AM , lại có 4 2 5 15 AO AD MO AD Câu 214: Cho hình thang ABCD có // AB CD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AC BD . Kẻ ( ) NH AD H AD và ( ) ME BC E BC . Gọi I ME NH , kẻ ( ) IK DC K DC . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng? A. . . . 0 MK IN NK IM MN IK B. .tan .tan .tan 0 IN N IM M IK K C. .cot .cot .cot 0 IN N IM M IK K D. 0 IM IN IK Lời giải Chọn B Ta chứng minh ID IC Kẻ , AF BC BJ AD . Tứ giác ABFJ nội tiếp 180 180 O O ABF AJF DCB AJF Khi đó DCFJ là tứ giác nội tiếp. , NH ME là các đường trung bình của các tam giác , DBJ CAF , IH IE là các đường trung trực của , DJ CF nên IJ IF ID IC . Vậy ID IC KD KC // // NH BC NK ME NK MI MK AD MK HN MK NI Từ đó suy ra I là trực tâm tam giác MNK . Nên đáp án đúng là B J F K I E H M N A B D CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 54 Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Câu 215: Cho ABC , điểm M thuộc cạnh BC sao cho 2018. 2019. ABM ACM S S . Đẳng thức nào sau đây sai? A. 2018. 4037. ABC ACM S S . B. 2018. 2019. 0 BM CM . C. 4037 . 2018 BC BM D. 2019 . 4037 ABM ABC S S . Lời giải Chọn C Kẻ đường cao AH của ABC . Ta có 2019 4037 2018 2018 ABC ABM ACM ACM ACM ACM S S S S S S , suy ra A đúng. Tương tự D cũng đúng. Từ giả thiết ta có 1 . . 2019 2019 2 1 2018 2018 . . 2 ABM ACM AH BM S BM BM CM S CM AH CM , suy ra B đúng. (C sai vì 4037 . 2019 BC BM ). (Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Câu 216: Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho 3 ABC AMC S S . Một đường thẳng cắt các cạnh , , AB AM AC lần lượt tại , , B M C phân biệt. Biết rằng 2 . AB AC AM k AB AC AM . Tìm số k . A. 1 k . B. 2 k . C. 3 k . D. 2 3 . (Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Lời giải Chọn C C' B' M' A B C MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 55 Ta có 2 3 3 3 ABC AMC S S BC MC BM BC Đặt ' ; '= ; ' AB xAB AC yAC AM z AM Ta có ' ' ' ' B M AM AB z AM x AB 2 3 2 2 3 3 3 z z AB BM xAB z x AB BC z z z z x AB AC AB x AB AC Lại có: ' ' ' ' B C AC AB yAC xAB Mặt khác ' ' B M , ' ' B C cùng phương nên 2 3 1 2 3 3 z z x x y z x y Hay 2 3 ' ' ' AB AC AM AB AC AM . Từ đó suy ra 3 k . nguyenchitrung12@gmail.com Câu 217: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là 1 2 , ,..., n A A A . Bạn Bình kí hiệu chúng là 1 2 , ,..., n B B B ( 1 n A B ). Vectơ tổng 1 1 2 2 ... n n A B A B A B bằng A. 0 . B. 1 n A A . C. 1 n B B . D. 1 n A B . (Sưu tầm, Tên FB: Trung Nguyễn Chí) Lời giải Chọn A Lấy điểm O bất kì. Khi đó 1 1 2 2 1 2 1 2 ... ... ... n n n n A B A B A B A O A O A O OB OB OB Vì 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n B B B A A A nên 1 2 1 2 ... ... n n OB OB OB OA OA OA Do đó 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... 0 n n n n A B A B A B A O OA A O OA A O OA . Câu 218: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K sao cho AK a CK .Tính: 2 2 AM CM Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 56 A. 2a B. 2 a C. 2 1 a D. a Lời giải 0 AK a CK Ta có: 1 . . 1 1 a MK MA MC a a (1) Do , MK MS cùng phương nên: ( ) 2 l MK lMS MB MD Mặt khác 2 2 2 2 . . 0 (2) 2 2 b MB MA MA MA MB MC MD b b MD MC MC bl bl MK MA MC MA MC Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 1 1 2 1 2 bl MA a MA a a bl MC a MC Câu 219: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: 2 1 , 3 4 BD BC AE AC . Điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K,E thẳng hàng. Xác định tỷ số AK AD A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 57 Ba điểm K, B, E thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại sao cho: (1 ) AK AB AE (1) Đặt 1 2 ( ) 3 3 AK xAD x AB AC 1 2 2 ( ) 3 3 3 3 x x AK x AB AC AB AC (2) Áp dụng hệ quả 5 thì từ (1) và (2) ta có: 1 3 3 1 2 1 (1 ) 4 3 9 x x x Vậy 1 3 AK AD 1 3 AK AD Facebook: Lê Văn Kỳ Email: lethithuy@thpthv.vn Câu 220: Cho tam giác ABC vuông tại C, có , A C b B C a , D là chân đường cao kẻ từ C. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 2 2 2 2 2 2 a b CD CA CB a b a b . B. 2 2 2 2 2 2 a b CD CA CB a b a b . C. 2 2 2 2 2 2 a b CD AC BC a b a b D. 2 2 2 2 2 2 a b CD AC BC a b a b . Lời giải Chọn A K B C A E DSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 58 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . CB BD CB a a BC BD BA BD BD BA BA BA BA a b a b . Lại có: 2 2 2 a B A C A C B B D C A C B a b . Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b C D C B B D C B C A C B C A C B a b a b a b Email: huyenbla81@gmail.com Câu 221: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm xác định bởi 5 7 0. IA IB IC Gọi E là giao điểm của AI và BG. Tính tỷ số . EA EI A. 2. B. 1 . 2 C. 3. D. 1 . 3 (Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền. Tên FB: Thu Huyen Nguyen) Lời giải Chọn B Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: 3 . IA IB IC IG G A B C E I Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 59 Mà: 5 7 0. IA IB IC Vậy ta có: 6 6 3 IA IB IG 2BA IG / / 2 IG AB IG AB (hình vẽ) 1 . 2 EA AB EI IG Email: nghiepbt3@gmail.com Câu 222: Cho 2 tia Ox, Oy vuông góc. Trên tia Ox lấy các điểm A,B sao cho OA = OB = 1. C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCMN. Trên đoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP. Gọi S là giao điểm của AM và PN. Giả sử OA k OC , AM x AS , NP y NS , 1 ; 2 1 k Khi x + y = 10 13 thì k = b a , với b a, và a, b nguyên tố cùng nhau thì a.b bằng A. 7 B. 4 C. 5 D. 12 Lời giải FB: Ngô Quang Nghiệp Ta có: OM x OA x OA OM x OA AM x OA AS OA OS 1 OB xk OA xk OA x ON OC x OA x 1 1 OB xk OA kx x 1 , (1). Mặt khác: OB yk AP y OA y OB k ON OP y OB k NP y OB k NS ON OS OB k y OA y OB y k 1 1 , (vì AP = CA = 1 - k nên OB k AP 1 ) OB ky y k OA y 2 , (2). Từ (1) và (2), ta có ky y k kx y kx x 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 k k k y k k k x Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 60 Ta có: 4 1 4 3 10 13 1 2 2 1 2 2 1 10 13 2 2 2 k k k k k k k k y x Đối chiếu điều kiện, ta chọn 4 3 k . ĐÁP ÁN D. Họ Tên: Lê Duy Tên FB: Duy Lê Email: Duyleag@gmail.com Câu 223: Cho tam giác ABC . Giả sử điểm M nằm trên cạnh BC thỏa các tam giác , MAB MAC lần lượt có diện tích là 1 2 , S S . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 2 2 1 . S S AM S AB S AC B. 1 2 1 2 . S S AM S AB S AC C. 2 1 2 1 . S S AM S AB S AC D. 2 1 1 2 . S S AM S AB S AC Lời giải Chọn A Gọi , h d A BC . Ta có 1 2 1 , . 2 1 , . 2 d A BC BM S BM S CM d A BC CM 1 2 1 2 S BM MC S BA AM S MA AC S 2 1 2 1 S S AM S AB S AC Họ và tên tác giả: Nguyễn Đức Duẩn Tên FB: Duan Nguyen Duc Email: Duanquy@gmail.com Câu 224: Cho tam giác ABC có có M là trung điểm của BC, 1 2 AI MI . Điểm K thuộc cạnh AC sao cho B,I,K thẳng hàng. Khi đó m KA CK n . Tính 25 6 2019 S m n A. 2019 S . B. 2068 S . C. 2018 S . D. 2020 S . Lời giải Chọn B S 2 S 1 A B C MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 61 Ta có 1 ( ) 2 AM AB AC . Gọi điểm K thuộc cạnh AC sao cho . AK x AC . Ta có . BK AB x AC và 1 1 1 5 1 . 3 6 6 6 6 BI AB AM AB AB AC AB AC Để B,I,K thẳng hàng thì 1 1 5 1 5 6 6 x x 1 1 4 4 m KA CK n Vậy 25.1 6.4 2019 2068 S Họ và tên: Nguyễn Quang Huy Fb: Nguyễn Quang Huy Email: boigiabao98@gmail.com Câu 225: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I, J sao cho IA 2IB và 3JA 2JC 0 và thỏa mãn đẳng thức IJ kIG . Giá trị của biểu thức 2 2 500 P (25k 36)(k k 1) là: A. P 1235 B. P 0 C. 5 P 6 D. 6 P 5 Lời giải Thật vậy nếu ta gọi M là trung điểm của BC ta có: 2 2 1 1 5 IG AG AI AM 2AB . (AB AC) 2AB AC AB 5 3 2 3 3 Mặt khác ta lại có 2 6 1 5 6 IJ AJ AI AC 2AB ( AC AB) IG 5 5 3 3 5 Do đó 6 k 5 Nhận thấy 2 36 25k 36 25. 36 36 36 0 25 do đó P 0 .vậy chọn B (Email): nguyenmy181@gmail.com Câu 226: Cho tam giác A BC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho AB C AMC S S 3 . Một đường thẳng cắt các cạnh A B AM A C , , lần lượt tại B M C ', ', ' phân biệt. Biết ' ' ' AB AC AM m n A B A C A M . Tính m n . A. 2. B. 5. C. 3. D. 4. Lời giải A B C I K MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 62 Ta có ABC A M C S S BC MC BM BC 2 3 3 3 Đặt A B x A B A C y A C A M z A M ' ; '= ; ' Ta có B M A M A B z A M x A B ' ' ' ' z z A B BM x AB z x A B B C z z z z x A B A C AB x AB AC 2 3 2 2 3 3 3 B C A C A B y A C x A B ' ' ' ' Mặt khác B M ' ' , B C ' ' cùng phương nên z z x x y z x y 2 3 1 2 3 3 Hay AB AC AM A B AC A M 2 3 ' ' ' (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Trà My, Tên FB: Nguyễn My) Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng Tên facebook: NT AG Câu 227: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho 4 AO OD . Gọi E CO AB , F BO AC , M AD EF . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 7 MO AD B. 2 15 MO AD C. 1 8 MO AD D. 2 7 EM BC Lời giải Chọn B Đặt: AB xAE , AC y AF , ( , ) x y . M F E D A B C OSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 63 Theo bài ra ta có 4 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 AO AD AB AC x AE AC AB y AF Do , , O B F thẳng hàng nên 2 2 3 1 5 5 2 y y Do , , C O E thẳng hàng nên 2 2 3 1 5 5 2 x x Từ đó: 3 2 AB AC AD AE AF AM , lại có 4 2 5 15 AO AD MO AD Câu 228: Cho hình thang ABCD có // AB CD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AC BD . Kẻ ( ) NH AD H AD và ( ) ME BC E BC . Gọi I ME NH , kẻ ( ) IK DC K DC . Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng? A. . . . 0 MK IN NK IM MN IK B. .tan .tan .tan 0 IN N IM M IK K C. .cot .cot .cot 0 IN N IM M IK K D. 0 IM IN IK Lời giải Chọn B Ta chứng minh ID IC Kẻ , AF BC BJ AD . Tứ giác ABFJ nội tiếp 180 180 O O ABF AJF DCB AJF Khi đó DCFJ là tứ giác nội tiếp. , NH ME là các đường trung bình của các tam giác , DBJ CAF , IH IE là các đường trung trực của , DJ CF nên IJ IF ID IC . Vậy ID IC KD KC // // NH BC NK ME NK MI MK AD MK HN MK NI Từ đó suy ra I là trực tâm tam giác MNK . Nên đáp án đúng là B Họ và tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet Email: tiethanh.78@gmail.com J F K I E H M N A B D CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 64 Câu 229: Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt , a AB b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau? A. 5 2 6 3 AG a b . B. 5 6 AG a b . C. 5 6 AG a b . D. 4 2 3 3 AG a b . Lời giải Chọn A * I là trung điểm của CD nên: 1 1 1 2 2 2 AI AC AD AB AD . * G là trọng tâm tam giác BCI nên: 1 1 1 3 3 3 AG AB AC AI , thay AC AB AD và 1 2 AI AB AD ta được 1 1 1 1 5 2 3 3 3 2 6 3 AG AB AB AD AB AD AB AD . (Email): locleduc10@gmail.com Câu 230: Một đường thẳng cắt các cạnh , DA DC và đường chéo DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại các điểm , E F và . M Biết . , DE m DA . DF n DC ( , 0). m n Khẳng định đúng là: A. . m n DM DB m n . B. m DM DB m n . C. n DM DB m n . D. . m n DM DB m n . Lời giải Chọn D Đặt . ; . DM x DB EM yFM Khi đó: ( ) EM DM DE x m DA xDC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 65 ( ) FM DM DF xDA x n DC Ta có: ( ) ( ) . EM yFM x m DA xDC xyDA y x n DC Do ; DA DC không cùng phương nên ( ) x m xy x y x n Giải hệ được m y n và . mn x m n Vậy . m n DM DB m n (Họ và tên tác giả: Lê Đức Lộc, Tên FB: Lê Đức Lộc) Email: phuogthu081980@gmail.com Câu 231: Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao ; / / , 3; 2; AH a AB CD AB a AD a AB DC AC cắt BH tại I. Biết ; ; ; ; x y z AI AC x y z m N m . Tính tổng T x y z m A. 20 B. 18 C. 17 D. 21 Lời giải Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui ) 1 3 1 ) . . 3 ) AI AB BI AB kHB AB k AB AH k AB k AH HC AC AH HC AH AB AH AB AB I AC AI mAC Mà ; AH AB không cùng phương Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 66 3 1 1 6 3 6 3 3 11 11 6 1 3 11 21 k m m AI AC k m T tambc3vl@gmail.com Câu 232: Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N. Với AB a , D C b , khi đó MN bằng: A. a. . AB b DC a b . B. . . b AB a DC a b . C. a. . AB b DC a b . D. . . b AB a DC a b . Lời giải Họ và tên: Nguyễn Thanh Tâm Tên FB: Tâm Nguyễn Chọn B Do / / / / D MN AB C nên: D OD MA NB OA OB AB a M NC OC DC b . Do đó . a MA MD b ; . a NB NC b , nên: . 1 a OA OD b OM a b ; . 1 a OB OC b ON a b Có: . . . . 1 1 a a OB OA OC OD AB DC b AB a DC b b MN ON OM a a a b b b Câu 233: Cho tam giác ABC đều tâm O ; điểm M thuộc miền trong tam giác OBC ; D , E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC , CA , AB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 2 MD ME MF MO . B. MD ME MF MO . C. 3 MD ME MF MO . D. 3 2 MD ME MF MO . Lời giải. Phan Minh Tâm Chọn D Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 67 Từ M kẻ đường thẳng Mx AC cắt AB , BC tại H , K ; Từ M kẻ đường thẳng My AB cắt BC , CA tại P , Q; Từ M kẻ đường thẳng Mz BC cắt AB , AC tại R , S ; Suy ra HMR , PMK , QMS là các tam giác đều nên MD , ME , MF là các đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến. Khi đó 1 2 MD MP MK ; 1 2 ME MS MQ ; 1 2 MF MH MR . Ta được 1 2 MD ME MF MQ MH MP MR MS MK . Hay 1 1 2 2 MD ME MF MA MB MC MO OA MO OB MO OC . Mặt khác ta có tam giác ABC đều nên tâm O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên 0 OA OB OC ; Vậy 3 2 MD ME MF MO . VẤN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Email: phunghang10ph5s@gmail.com Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 68 Câu 234: Cho hình bình hành ABCD có các điểm , , M I N lần lượt thuộc các cạnh , , AB BC CD sao cho 1 1 , , 3 2 AM AB BI kBC CN CD . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN . Xác định k để AI đi qua G . A. 1 3 . B. 9 13 . C. 6 11 . D. 12 13 . Lời giải Họ và tên tác giả: Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Chọn C Gọi E là trung điểm của MB . Khi đó: AM ME EB Ta có: 1 3 EG EN 1 3 EA AG EA AN 2 1 2 2 1 4 1 1 5 1 . 3 3 3 3 3 9 3 2 18 3 AG AE AN AG AB AC CN AB AC AB AB AC Do BI kBC và điểm I nằm trên đoạn BC nên BI kBC 1 BA AI k BA AC AI k AB k AC Do AI đi qua G nên , , A I G thẳng hàng 1 18 6 1 3 5 1 5 11 18 3 k k k k k . Câu 235: Cho tam giác A B C . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho A M A B A N A C 1 3 , 3 4 . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E. Đặt BE x BC . Tìm x để A, O, E thẳng hàng. Chọn C A. 2 3 B. 8 9 C. 9 13 D. 8 11 Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 69 Ta có: A O A B AC 1 1 9 4 A E x A B x A C (1 ) A, E, O thẳng hàng A E k AO k k x A B x A C A B AC k x 36 9 (1 ) ; 9 4 13 13 Vậy x 9 13 là giá trị cần tìm. Họ và tên tác giả: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng Email: thanhdungtoan6@gmail.com Ý tưởng: Cho tam giác ABC , I là trung điểm của BC . Gọi , , P Q R là các điểm xác định bởi: , , AP p AB AQ q AI AR r AC với 0 pqr . Chứng minh rằng: , , P Q R thẳng hàng khi và chỉ khi 2 1 1 q p r . Chứng minh Ta có 1 2 2 2 2 q p q PQ AQ AP q AI p AB q AB AC p AB AB AC PR AR AP r AC p AB Do đó, , , P Q R thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực m sao cho PQ mPR 2 2 2 2 0 2 2 2 2 q p q q p mp q mr AB AC m r AC pAB AB AC 2 2 0 2 2 0 2 q p mp q mr (vì , AB AC không cùng phương) 1 2 1 1 2 1 2 2 2 q m q q p p r q p r q m r Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 70 Câu 236: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm BC ; P là điểm đối xứng với A qua B ; R là điểm trên cạnh AC sao cho 2 5 AR AC . Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong các điểm sau đây? A. Trọng tâm tam giác ABC . B. Trọng tâm tam giác ABI . C. Trung điểm AI . D. Trung điểm BI . Lời giải Đáp án: B Theo đề bài, 2 2 2 2 5 5 AP AB p AR AC r Gọi G là trọng tâm tam giác ABI , ta được 2 2 3 3 AG AH q Ta có 1 1 1 1 2 3 5 2 2 p r q suy ra P, G, R thẳng hàng. (có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ là trung điểm BH, còn M chia AI theo tỷ số tính được) Câu 237: Cho ABC có H là trung điểm của AB và : 2 G AC GC AG . Gọi F là giao điểm của CH và BG . Tìm điểm I trên BC sao cho , , I F A thẳng hàng A. 2 . IC IB B. 2 . IB IC C. . IB IC D. 3 . IC IB Lời giải J M R G H I B A C PSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 71 Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD và E là trung điểm của . AD Khi đó, ta có: 1 4 FH FC Vận dụng định lý Menelauyt trong HBC có , , A F I thẳng hàng 1 . . 1 . . 4 1 2 1 2 AH IB FC IB AB IC FH IC IB IC Vậy 2 . IC IB Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Trà FB: Hoàng Trà Câu 238: Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm xác định bởi ; ; AM mAB AN nAI AP p AC , với 0 mnp . Tìm điều kiện của , , m n p để M, N, P thẳng hàng. A. mp mn np B. 2mp mn np C. 2np mn mp D. 2mn mp np Lời giải Ta có MP AP AM pAC mAB MN AN AM nAI mAB . Mà 1 ( ) 2 AI AB AC ( ) ( ) 2 2 2 n n n MN AB AC mAB m AB AC Do 0 mnp nên M, N, Q thẳng hàng khi và chỉ khi 2 2 2 n n m mp mn np m p Chọn đáp án B. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 72 Nhận xét: Với bài toán trên thì việc cụ thể hóa bộ ba số m,n,p sao cho thỏa mãn điều kiện trên ta đều ra được bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Kết quả trên chúng ta có thể vận dụng vào để giải nhanh bài toán sau: Câu 239: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và N là các điểm được xác định bởi 1 2 3 4 0 CN BC MA MB . Gọi P là giao điểm của AC và MN. Tính tỉ số diện tích tam giác ANP và tam giác CNP. A. 3 B. 7 2 C. 4 D. 2 Lời giải. Ta có ANP CNP S PA S PC . Yêu cầu bài toán dẫn đến tìm tỉ số PA PC . Ta dễ dàng chứng minh được M, N, G thẳng hàng. Ta có 1 2 2( ) 2 2 3 3 4 2 3 4 3 4 ( 3 4 0) 2 7 CN BC CN GC GB GN GN GC GB GN GC GB GA GB GN GA GB MA MB vi MA MB GN GM Vậy G, M, N thẳng hàng. Mặt khác MN cắt AC tại P, nên M, G, P thẳng hàng. Áp dụng kết quả G, M, P thẳng hàng theo câu 1 vào ta có 4 7 AM mAB m 2 3 AG nAI n , . AP p AC Khi đó 4 4 2 2 4 2 2. . . . 7 7 3 3 5 mp mn np p p p , khi đó 4 PA PB . Vậy 4 ANP CNP S S Câu 240: Cho tam giác ABC . Gọi , D E lần lượt là các điểm thỏa mãn: 2 ; 3 BD BC 1 AC 4 AE . Điểm K trên AD thỏa mãn a b AK AD (với a b là phân số tối giản) sao cho 3 điểm , , B K E thẳng hàng. Tính 2 2 P a b . A. 10 P . B. 13 P . C. 29 P . D. 5 P . Lời giải Chọn A Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 73 Vì 1 1 3 (1) 4 4 4 AE AC BE BC BA Giả sử . . (1 ) AK x AD BK x BD x BA Mà 2 3 BD BC nên 2 . (1 ) 3 x AK x AD BK BD x BA Vì , , B K E thẳng hàng ( B E )nên có m sao cho BK mBE Do đó có: 3 2 (1 ) 4 4 3 m m x BC BA BC x BA Hay 2 3 1 0 4 3 4 m x m BC x BA Do ; BC BA không cùng phương nên 2 3 0;1 0 4 3 4 m x m x Từ đó suy ra 1 8 ; 3 9 x m Vậy 1 3 AK AD Email: themhaitotoanyp1@gmail.com Câu 241: Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn: 2 4 0 IA IB IC K là điểm thỏa mãn: 2 3 0 KA KB KC P là điểm thỏa mãn: 0 PA mPB nPC Có bao nhiêu cặp , , , , , 10;10 m n m n Z m n sao cho , , I K P thẳng hàng. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải Ta có PC n PB m PA Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 74 Có: 2 4 0 IA IB IC 0 4 2 PI PC PI PB PI PA PC PB PA PI 4 2 5 PC n PB m PI 4 2 1 2 5 Có: 2 3 0 2 3 0 6 2 3 KA KB KC PA PK PB PK PC PK PK PA PB PC 6 2 3 PK m PB n PC I,K,P thẳng hàng khi và chỉ khi PK PI 6 , 5 cùng phương 11 5 2 4 2 2 3 1 2 n m n m n m Do , , , , , 10;10 m n m n Z m n nên , 8; 1 , 3, 1 , 2,3 , 5,7 m n (Fb: Lưu Thêm) Email : boyhanam@gmail.com Bài em sưu tầm ạ ! Câu 242: Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: 2 BM BC AB , CN x AC BC . Xác định x để A, M , N thẳng hàng. A. 3. B. 1 . 3 C. 2. D. 1 . 2 Lời giải Chọn D Ta có 2 2 . 1 BM BC AB AM BC AB AM AC BC CN xAC BC CA AN xAC BC AN x AC BC Để , , A M N thẳng hàng thì 0 k sao cho AM k AN Hay 1 1 2 1 2 1 2 1 2 k x k x AC BC k AC BC k x Huonghungc3@gmail.com Câu 243: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG , lấy K thuộc cạnh AC sao cho AK kAC . Nếu B,I,K thẳng hàng thì giá trị của k nằm trong khoảng? A. 1 0; 6 B. 1 0; 2 C. 1 1 ; 5 3 D. 1 ;1 5 Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 75 Lời giải (Họ tên: Nguyễn Thu Hương. Tên FB: Thu Hương) Chọn B Không giảm tính tổng quát: giả sử tam giác ABC có: A(0;0);B 6;0 ;C 0;6 thì G 2;2 ;I 1;1 Gọi K 0;m Khi đó: IB 5; 1 ;KB 6; m . Để B,I,K thẳng hàng: 6 5m 6 m 5 suy ra 1 k 5 Họ và tên: Trần Văn Luật Email: Tvluatc3tt@gmail.com FB: Trần Luật Câu 244: Cho tam giác ABC , M là điểm thuộc cạnh AC sao cho 2. MA MC , N thuộc BM sao cho 3 NB NM , P là điểm thuộc BC . Biết rằng ba điểm , , A N P thẳng hàng khi PB kPC . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5 3; 2 k . B. 5 ; 1 2 k . C. 1 1; 2 . D. 1 ;0 2 . Lời giải Chọn B N O B C G K I Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 76 Ta có 1 1 3 3 3 4 4 2 NB NM AB AN AM AN AB AM AN AN AB AC . Do P là điểm thuộc BC nên PB k PC AB AP k AC AP 1 AB k AC k AP 1 1 1 k AP AB AC k k . Ba điểm , , A N P thẳng hàng khi và chỉ khi 1 2 1 4 4 1 3 1 2 h k k AP hAN h h k . Vậy 2 k . Họ và tên: Hoàng Thị Kim Liên Email: lientiencl@gmail.com Facebook: Kim Liên Câu 245: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho MB mMC , , NC nNA PA k PB . Tính tích mnk để M, N, P thẳng hàng? A. 1 . B. 1 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có : 1 1 1 1 1 ; ; ( ) ; m n MB BC BP AB BC m MC CN AC m k n 1 1 1 1 1 n MN AB AC m m n P N M A B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 77 1 1 1 1 m m MP AB AC m k m Để M, N, P thẳng hàng thì ta có : Câu 246: m 1 m 1 m 1 k 1 m mnk 1 1 1 n 1 m 1 m 1 n (Email): thuhangnvx@gmail.com Câu 247: Cho hình bình hành ABCD gọi M là trung điểm của cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho 1 3 AN AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K. Khi đó m BK BC n ( m n là tối giản). Tính S m n A. 16 S . B. 17 S . C. 18 S . D. 19 S . Lời giải ( Tên FB: Phùng Hằng ) Chọn B Ta có 1 1 2 2 2 1 1 5 1 3 3 2 6 2 AG AE AF AN AM AG AB AG AN AM AB AD AD AC AB AD AC AB 5 1 4 3 6 2 3 2 AD AB AD AB AD AB 1 4 2 9 AG AB AD . Đặt . BK x BC AK AB BK AB xBC AB xAD . Do A,G,K thẳng hàng thì 2 4 8 2 9 9 k k k AK k AG AB xAD AB AD x Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 78 Suy ra 8 9 m n Vậy 17 S Email: builoiyka@gmail.com Câu 248: Cho hình thang ABCD có đáy AB , CD , 2 CD AB . M , N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD và BC sao cho 5 AM MD , 3 2 BN NC . Gọi P là giao điểm của AC và MN ; Q là giao điểm của BD và MN ; Khi đó PM QN a PN QM b , với a b là phân số tối giản. Khi đó a b bằng A. 386. B. 385. C. 287 . D. 288 . Lời giải Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui Chọn A Gọi E là giao điểm của AD và BC . Ta có A, lần lượt là trung điểm của EC , ED . Giả sử PM xPN ; QN yQM . Ta có 1 EM xEN EP x 11 7 6 10 1 x EA EC x 11 7 6 1 10 1 x EA EC x x Do , , P A C thẳng hàng nên 11 7 1 6 1 10 1 x x x 55 21 30 30 x x 25 9 x . Vậy 25 9 PM PN . Ta có 1 EN yEM EQ y 7 11 5 12 1 y EB ED y 7 11 5 1 12 1 y EB ED y y Do , , Q B D thẳng hàng nên 7 11 1 5 1 12 1 y y y 84 55 60 60 y y 24 5 y . P Q N M A B D C ESản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 79 Vậy 24 5 QN QM . Suy ra 341 341; 45 386 45 PM QN a b a b PN QM . Cách 2: Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMN với ba điểm thẳng hàng là , , A P C , ta có . . 1 PM CN AE PN CE AM 3 6 25 . . 1 10 5 9 PM PM PN PN . Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EMN với ba điểm thẳng hàng là , , B Q D , ta có . . 1 QN DM BE QM DE BN 1 5 24 . . 1 12 2 5 QN QN QM QM . Vậy 341 341; 45 386 45 PM QN a b a b PN QM . Email: datltt09@gmail.com Câu 249: Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC, NC = 2BN. Gọi I là giao điểm của AN và BN. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN bằng 4. A. 110 ABC S . B. 115 ABC S . C. 125 ABC S . D. 120 ABC S . Lời giải Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy Chọn D Giả sử AI k AN ta có 1 (1) 3 BI BA k BN k BA k BI k BA BC Tương tự 4 3 3 (2) AM AC BM BA BC Vì B,I,M thẳng hàng nên từ(1) và(2) ta có 1 9 3 1 3 10 k k k Suy ra 10 40 ABN BNI S S 3 120 ABC ABN S S (Có thể dùng định lý Menelauyt để tính tỷ số) Email: samnk.thptnhưthanh@gmail.com Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 80 Câu 250: Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MC MA . 2 , N thuộc BM sao cho NM NB . 3 , P thuộc BC sao cho PC k PB . . Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng. A. k 1 2 . B. k 2 . C. k 1 2 . D. k 2 . Lời giải Họ và tên: Nguyễn Khắc Sâm Facebook: Nguyễn Khắc Sâm Chọn B Ta có: 1 . 2 1 4 1 . 4 . 3 . 3 . 3 AC AB AN AN AM AB AN AM AN AB NM NB ) 1 ( 1 . . k AP k AC k AB AP AC k AP AB PC k PB 2 1 1 1 AC k k AB k AP Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: 2 1 4 1 1 . h k k h k AN h AP 2 k . VẤN ĐỀ 3. QUỸ TÍCH Nguyễn Văn Dũng Fb: Nguyễn Văn Dũng Email: dungtoanc3hbt@gmail.com Câu 251: Cho tam giác A B C với J là điểm thoả mãn 2 5 3 0 J A J B J C , gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE k A B . Xác định k để , , C E J thẳng hàng. A. 2; 1 k . B. 1;0 k . C. 0;1 k . D. 1;2 k Lời giải A B C M P N Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 81 Ta có 2 5 3 0 2 2 5 5 3 0 7 3 2 5 0 J A J B J C J E E A J E E B J C J E J C EA EB Để , , C E J thẳng hàng thì 5 5 2 5 0 7 5 0 7 7 E A E B E A AB AE A B k . Chọn C Leminh0310@gmail.com Câu 252: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 1 . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn 2 2 2 2 2 2 9 MA MB MC MD là một đường tròn có bán kính R . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 0;1 R . B. 1;2 R . C. 1 3 ; 2 2 R . D. 3 ;2 2 R . (Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh) Lời giải Chọn C Vì ABCD là hình vuông tâm O nên ta có: 0 0 OA OC OB OD Theo giải thiết: 2 2 2 2 2 2 9 MA MB MC MD 2 2 2 2 2 2 9 MO OA MO OB MO OC MO OD 2 2 2 2 2 0 6 2 2 2 2 2 9 MO OA OB OC OD MO OA OC OB OD 2 6 3 9 1 MO MO . Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính 1 R . Email: thuyhung8587@gmail.com Câu 253: Cho tam giác ABC . Tập hợp những điểm M thỏa mãn: O D C B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 82 4 2 MA MB MC MA MB MC là: A. Đường thẳng đi qua A B. Đường thẳng qua B và C C. Đường tròn D. Một điểm duy nhất. Lời giải 4 2 MA MB MC MA MB MC 3 2 2 MA MB MC MA MA MI , ( I : là trung điểm BC ) 3 2 MG MA MA MI , (G : trọng tâm ABC ) 1 6 2 3 MJ IA MJ IA ,( J là trung điểm của AG ) 1 2 JM AG (không đổi). Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J , bán kính 2 AG R . Chọn đáp án C. (Họ và tên tác giả: Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung) ngoletao@gmail.com Câu 254: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với 2 BC a . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa 2 2 . 4 MA MH MA a thì điểm A luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính bằng A. 2a . B. 3 a . C. 2 a . D. a . (Họ và tên tác giả: Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo) Lời giải Chọn B Ta có A B C H M Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 83 1 . 4 MA MH BA CA BH CH . 1 . . 4 BA BH CA CH (do , BA CH CA BH 1 . . 4 BA BH CA CH (định lý chiếu vectơ) 2 1 4 BC Suy ra 2 2 2 2 2 1 . 4 .4 4 3 4 MA MH MA a a MA a AM a . Câu 255: Cho hai điểm A và B cố định. Tìm giá trị 0 k để tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện 2 2 MA MB k là một đường tròn. A. 2 2 3 k AB . B. 2 2 3 k AB . C. 2 2 3 k AB . D. 2 2 3 k AB . Lời giải Chọn D Gọi E là điểm thỏa mãn: 2 0 EA EB ta có 2 0 EA EB ta có: 2 2 2 2 MA MB k ME EA ME EB k 2 2 2 3 2 * ME k EA EB Mà 2 2 0 3 EA EB EA AB ; 1 3 EB AB nên 2 2 2 * 3 3 ME k AB 2 2 1 2 3 3 ME k AB Nếu 2 2 3 k AB : Quỹ tích điểm M là rỗng. Nếu 2 2 3 k AB : Quỹ tích điểm M là điểm E . Nếu 2 2 3 k AB : Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm E bán kính 2 1 2 3 3 R k AB . PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm Email: Phamthanhliem1@gmail.com Câu 256: Cho tam giác vuông ABC tại A . Tìm tập hợp M sao cho 2 2 2 MB MC MA . A. Đường thẳng. B. Đường tròn. C. Đoạn thẳng. D. Một điểm. Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 84 Chọn D 2 2 2 2 2 2 0 MB MC MA MB MC MA . Gọi E là điểm được xác định bởi 0 EB EC EA . ( E là điểm thứ tư của hình bình hành ABEC ). Ta có: 2 2 2 2 2 2 MB MC MA ME EB ME EC ME EA 2 2 2 2 ME EB EC EA 2 2 2 2 ME EB EC EB EC 2 2 2 . 2 . ME EB EC ME AB AC 2 ME . Vậy 2 0 ME . Nên tập hợp điểm M là điểm E . ( Cách chứng minh trên phục vụ cho cả tam giác ABC là tam giác thường và khi đó các tập hợp điểm là khác nhau ) Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn Câu 257: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có 5 AB cm . Gọi ( ) S là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: . . 25 MA MB MA MC . Gọi I là trung điểm của BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. ( ) S là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AI . B. ( ) S là đoạn thẳng AI . C. ( ) S là đường tròn cố định bán kính 5 10 4 R . D. ( ) S là đường tròn tâm I bán kính 5 2 4 R (Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3) Lời giải Chọn C Từ giả thiết: 2 2 2 2 2 2 5 2 1 1 . . 25 2 2 2 MA MB MA MC MA MB AB MA MC AC 2 2 2 2 2 2 2 50 50 2 100 MA MB MC MA MB MC Gọi D là điểm thỏa mãn 2 0 2 2 0 0 DA DB DC DA DI DA DI C A B I DSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 85 D là trung điểm của đoạn thẳng AI Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 MA MB MC MD DA DB DC Và 1 1 5 2 2 4 4 DA AI BC , 2 2 2 2 5 2 5 2 125 2 4 8 DB DC IB ID . Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 125 75 2 4 2 4 2. 2. 4 4 8 2 MA MB MC MD DA DB DC MD MD Ta có kết quả: 2 2 75 125 4 100 2 8 MD MD Như vậy ( ) S là đường tròn tâm D bán kính 5 10 4 R . Câu 258: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC nằm trên một đường tròn C có bán kính là: A. 3 a . B. 4 a . C. 3 2 a . D. 6 a . Lời giải Chọn D Gọi M lần lượt là trung điểm của BC . Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện: 4 0 IA IB IC Khi đó, ta có: 4 0 IA IB IC 4 2 0 IA IM 3 0 IA AM 1 3 AI AM . Suy ra: 3 6 a IA ; 2 2 21 6 a IB IC IM BM . Ta lại có: 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC 2 2 2 2 5 4 2 a MI IA MI IB MI IC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 86 2 2 2 2 2 5 6 2 4 4 2 a MI MI IA IB IC IA IB IC 6 a MI . Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 6 a R . Câu 259: Cho ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 3 2 2 MA MB MC MA MB MC . A. Tập hợp các điểm M là một đường tròn. B. Tập hợp của các điểm M là một đường thẳng. C. Tập hợp các điểm M là tập rỗng. D. Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A. Lời giải Chọn A Gọi I là điểm thỏa mãn 3 2 0 IA IB IC . 3 2 2 MA MB MC MA MB MC 2 3 2 MI IA IB IC BA CA 1 . Gọi N là trung điểm BC . Ta được: 1 2 2 MI AN IM AN . I , A, N cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính AN . Câu 260: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC nằm trên một đường tròn C có bán kính là: A. 3 a . B. 4 a . C. 3 2 a . D. 6 a . Lời giải Chọn D Gọi M lần lượt là trung điểm của BC . Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện: 4 0 IA IB IC Khi đó, ta có: 4 0 IA IB IC A A N CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 87 4 2 0 IA IM 3 0 IA AM 1 3 AI AM . Suy ra: 3 6 a IA ; 2 2 21 6 a IB IC IM BM . Ta lại có: 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC 2 2 2 2 5 4 2 a MA MB MC 2 2 2 2 5 4 2 a MI IA MI IB MI IC 2 2 2 2 2 5 6 2 4 4 2 a MI MI IA IB IC IA IB IC 6 a MI . Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 6 a R . Họ và tên tác giả: Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga Email: linhnga.tvb@gmail.com Câu 261: Cho ABC đều, có cạnh bằng a. Khi đó tập hợp những điểm M sao cho 2 . . . 6 a MA MB MB MC MC MA là: A. Đường tròn có bán kính 3 a R . B. Đường tròn có bán kính 2 a R . C. Đường tròn có bán kính 2 3 a R . D. Đường tròn có bán kính 3 9 a R . Lời giải Chọn C Gọi G là trọng tâm ABC . Suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và G cố định. Ta có 3 MA MB MC MG Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 88 2 2 2 2 2 2 9 2 . . . 9 MA MB MC MG MA MB MC MA MB MB MC MC MA MG Mà 2 2 2 2 2 2 MA MB MC MA MB MC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2. . 3 2. .0 3 3 2 3 3 3 . 3 2 3 MG GA MG GB MG GC MG GA GB GC MG GA GB GC MG GA GB GC MG MG GA a MG MG a Ta có 2 2 2 3 2 . . . 9 MG a MA MB MB MC MC MA MG 2 2 2 2 2 2 2 . . . 3 2 3 6 2 2 9 a MA MB MB MC MC MA MG a a MG a MG Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính 2 3 a R . Họ và tên tác giả: Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An Email: antq4949@gmail.com Câu 262: Cho ABC tìm tập hợp điểm M : 2 . MB MC AM Lời giải Gọi I là trung điểm của BC , ta có: 2 2 . . MB MC AM MI IB MI IC MA 2 2 2 2 2 . . 4 BC MI IC IB MI IC IB MA MI MA IC IB 2 2 (*) 4 4 BC BC MI MA MI MA AI MI MA Gọi O là trung điểm của AI , suy ra: 2 MI MA MO Suy ra: 2 2 2 * 2 . 4 . . 4 4 16 BC BC BC AI MO OI MO OI OM Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 89 Trên tia đối của tia OI lấy điểm H sao cho 2 . 16 BC OI OH hay 2 . 16 BC OI OH , suy ra điểm H xác định duy nhất. Dựng đường thẳng đi qua H và vuông góc với OI , khi đó với mọi điểm M nằm trên ta có: 2 . . . . . 16 BC OI OM OI OH HM OI OH OI HM OI OH . Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Email: Bichhai1975@gmail.com Câu 263: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3 . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2 3 4 MA MB MC MB MA là đường tròn cố định có bán kính bằng: A. 1. B. 1 3 . C. 3 2 . D. 1 2 . (Họ tên: Lê Thị Bích Hải, Tên face: Bich Hai Le) Lời giải Họ tên: Lê Thị Bích Hải. Tên face: Bich Hai Le Chọn B Gọi G là trọng tâm của tam giác . ABC Ta có 2 3 4 2 3 4 . MA MB MC MI IA MI IB MI IC Chọn điểm I sao cho 2 3 4 0 IA IB IC 3 0. IA IB IC IC IA Mà G là trọng tâm của tam giác ABC 3 . IA IB IC IG Khi đó 9 0 9 0 9 . IG IC IA IG AI IC IG CA Do đó 2 3 4 9 2 3 4 9 . MA MB MC MB MA MI IA IB IC AB MI AB Vì I là điểm cố định thỏa mãn nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm , I bán kính 1 . 9 3 AB r thongqna@gmail.com Câu 264: Cho tam giác ABC có là trọng tâm G . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn 2 2 2 3 MA MB MC BC MA MC MG CB AC . Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 90 A. Đường tròn đường kính AB . B. Đường trung trực đoạn thẳng AB . C. Đường tròn đường kính AC . D. Đường trung trực đoạn thẳng AC . (Họ và tên tác giả: Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Lời giải Chọn A Ta có MA MB MC BC MA CB BC MA . Gọi điểm I là trung điểm cạnh AC . Ta có 3 MA MC MG 2 3 MI MG 2 3 MB BI MB BG 2 2 3. 3 MB BI BI MB . Do đó 2 2 2 3 MA MB MC BC MA MC MG CB AC 2 2 2 MA MB AB 2 2 2 MA MB AB . Từ đó suy ra tam giác MAB vuông tại M hay tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB . Câu 265: Cho đoạn thẳng 5 AB . Biết rằng tập hợp điểm M thỏa mãn 2 2 3 . MA MB MA MB là một đường tròn có bán kính R . Tìm giá trị của R . A. 5 2 R . B. 5 2 R . C. 3 2 R . D. 3 2 R . (Họ và tên tác giả: Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Lời giải Chọn A Ta có 2 2 3 . MA MB MA MB 2 2 2 . . MA MB MA MB MA MB 2 . MA MB MA MB 2 . AB MA MB . Gọi điểm I là trung điểm cạnh AB . Ta có 2 . AB MA MB 2 . AB MI IA MI IB 2 . AB MI IA MI IA 2 2 2 AB MI IB 2 2 2 MI AB IB 2 2 5 4 MI AB 5 5 5 . 5 2 2 2 MI AB . Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn 2 2 3 . MA MB MA MB là đường tròn tâm I có bán kính 5 2 R . Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 91 Họ và tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ Email: huyenvanqt050185@gmail.com Câu 266: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thỏa 5 MA MB MC ? A. 1. B. 2 . C. vô số. D. Không có điểm nào. Lời giải. Chọn C Gọi G là trọng tâm của tam giác A B C , ta có 3 MA MB MC MG . Thay vào ta được: 5 5 3 5 3 MA MB MC MG MG , hay tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác A B C và bán kính bằng 5 3 . VẤN ĐỀ 4. TỈ LỆ Họ và Tên: Trần Quốc Đại Email: quocdai1987@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/tqd1671987 Câu 267: Cho ABC có 3 AB ; 4 AC . Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến BM tại I . Tính AD AI . A. 3 2 AD AI . B. 10 7 AD AI . C. 29 20 AD AI . D. 7 5 AD AI Lời giải Chọn B * Phân tích , AD AI theo các vectơ , AB AC . Ta có: 3 2 IB AB IM AM 2 3 0 IB IM 2 3 5 1 AB AM AI . 3 4 DB AB DC AC 4 3 0 DB DC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 92 4 3 7 2 AB AC AD . Lấy 2 2. 1 suy ra: 3 6 7 10 AC AM AD AI 7 10 0 AD AI 7 10 AD AI 10 7 AD AI . Câu 268: [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2 ] Cho ABC gọi điểm D nằm trên cạnh BC sao cho 2 BD BC , E là trung điểm của AD . Một đường thẳng bất kì qua E và cắt các cạnh ; AB AC lần lượt tại , M N . Tình tỉ số 2 AB AC AM AN A. 2 6 AB AC AM AN . B. 2 5 AB AC AM AN . C. 28 2 5 AB AC AM AN . D. 29 2 5 AB AC AM AN Lời giải Chọn A Do M nằm trên cạnh AB nên ta có . ( 1) AB k AM k Do N nằm trên cạnh AC nên ta có 1 AC l AN l Ta có 2 2 2 3 DB DC AB AD AC AD AB AC AD Suy ra . 2 . 6. 2 6 k AM l AN AE k AE ME l AE EN AE Suy ra 2 6 2 k l AE k EM lEN Do hai vecto AE và MN không cùng phương nên suy ra 2 6 0 2 6 2 6 AB AC k l k l AM AN Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Đức Tên FB: Đỗ Văn Đức Email: hoctoancunganhduc@gmail.com Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 93 Câu 269: Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 2 AD DB . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 3 CE EA . Gọi M là trung điểm của DE . Tia AM cắt BC tại N . Tỉ số BN CN có giá trị là: A. 1 4 . B. 3 8 . C. 1 2 . D. 2 7 . Lời giải Chọn B Giả sử N chia BC theo tỉ số x . Ta có: 1 1 1 1 AB xAC x AN AB AC x x x (1). Lại có: 1 1 2 1 1 1 2 2 3 4 3 8 AM AD AE AB AC AB AC (2). Vì AM và AN là 2 vectơ cùng phương nên 3 8 3 1 1 8 x x x x . Do đó 3 3 8 8 NB NB NC NC . Câu 270: (Bài toán tổng quát của bài toán 1). Cho tam giác ABC . Gọi I là điểm chia BC theo tỉ số k . Trên các tia AB và AC lấy các điểm , M N . AI cắt MN tại P . Đặt AB b AM , AC c AN . Tỷ số AI AP có giá trị bằng A. 1 b kc k . B. 1 b kc k . C. 1 c kb k . D. 1 c kb k . Lời giải Chọn B Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 94 Giả sử P chia MN theo tỉ số x. Ta có 1 AM xAN AP x 1 . . 1 1 AB x AC x b x c . Lại có: 1 1 1 AB k AC AB k AI AC k k k (1). Vì AP và AI đồng phương nên 1 1 1 1 x k k b x kc x 1 x b kc c x k b . Do đó 1 k AP AB AC b kc b kc (2). Từ (1) và (2) , ta có 1 AI b kc AP k . Câu 271: (Hệ quả hay dùng của bài toán 2). Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC. Trên các tia AB và AC lấy các điểm , M N . AI cắt MN tại P . Đặt AB b AM , AC c AN . Tỷ số AI AP có giá trị bằng A. bc . B. 2 b c . C. 2 2 2 b c . D. 2 bc b c . Lời giải Chọn B I là trung điểm của BC nên I chia BC theo tỷ số 1 k . Áp dụng kết quả ở bài 2, ta có: 1 1 1 2 b c AI b c AP . Tên: Nam Phương Tên FB: Nam Phương Email:nguyentrietphuong@gmail.com Câu 272: Cho tam giác ABC . Gọi , D E lần lượt là các các điểm thỏa mãn 2 1 , 3 4 BD BC AE AC . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho ba điểm , , B K E thẳng hàng. Tìm tỉ số AD AK . Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 95 A. 1 3 AD AK . B. 3 AD AK . C. 2 3 AD AK . D. 3 2 AD AK . Lời giải Chọn B Vì 1 4 AE AC nên 1 3 4 4 BE BC BA Giả sử (1 ) 2 (1 ) 2 3 3 AK xAD BK xBD x BA x BK BC x BA BD BC Do , , B K E thẳng hàng ta có: 8 2 0 9 4 3 1 3 1 0 3 4 m x m mBK BE m x x Vậy 3 AD AK Email: haivanxinh99@gmail.com Face Hải Vân Câu 273: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn 3 , 4 OC OA OD OB . Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N . Tính tỉ số CN ND . A. 3 4 . B. 1 4 . C. 2 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn A Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 96 Ta có 3 , 4 OC OA OD OB Đặt , 0 CN k k ND , ta có CN k ND CO ON k NO OD 1 1 1 k ON CO OD k k 3 4 1 1 k ON OA OB k k Vì , OM ON cùng phương nên có số thực k sao cho 2 k ON kOM ON OA OB Suy ra 3 6 8 3 4 1 1 4 1 k k k k k k k k . (Email): hatoanlgm@gmail.com Câu 274: Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn 23 8 2018 0 IA IB IC . Đường thẳng AI cắt đường thẳng BC tại J . Giá trị của tỉ số JB JC là: A. 23 8 B. 2018 23 C. 2018 8 D. 8 23 Lời giải Chọn C (Họ và tên tác giả: Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà) Giả sử 1 JB k JC k 1 1 1 k AJ AB AC k k . Từ giả thiết suy ra: 23 8 2018 0 AI AB AI AC AI 8 2018 2049 2049 AI AB AC . Do , , A I J thẳng hàng nên , AI AJ cùng phương N M o A B C DSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 97 1 2018 1 1 8 2018 8 2049 2049 k k k k . Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com Câu 275: Cho tam giác ABC . Điểm K chia trung tuyến AD theo tỷ số 3:1 kể từ đỉnh. Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỷ số ABF BCF S k S , giá trị của k bằng? A. 5 8 k B. 3 8 k C. 3 5 k D. 3 2 k Lời giải Đáp án D Do D là trung điểm của BC thiết: 1 ( ) 1 2 AD AB AC Gọi F là giao điểm của BK và AC. Mà ; ; A F C thẳng hàng: 2 AF mAC ; ; B K F thẳng hàng: 1 3 AK nAF n AB ; ; A K D thẳng hàng và 1 3 KD KA 3 4 4 AK AD Từ 2 ; 3 suy ra: . . 1 5 AK n m AC n AB Từ 1 ; 4 suy ra: 3 3 6 8 8 AK AC AB Do hai véctơ ; AB AC không cùng phương nên từ 5 ; 6 ta có: 3 5 . 8 8 3 3 1 8 5 m n n n m Do đó: 3 3 5 2 FA AF AC FC Vậy 3 2 ABF BCF S FA k S FC (Họ tên: Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) K F D B A C Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 98 Họ và tên: Tăng Lâm Tường Vinh Email: tanglamtuongvinh@gmail.com Facebook: tanglamtuong.vinh Câu 276: Cho tam giác ABC với K là trung điểm BC . Lấy các điểm M N , thỏa mãn AM AB 3 4 , AN AC 1 3 . Gọi I là giao điểm của MN và AK . Đặt MI xMN AI y AK , . Hỏi x y A. 3 2 . B. 4 3 . C. 1. D. 5 3 . Lời giải Chọn A Ta có MN AN AM AC AB 1 3 3 4 x x x x MI xMN AI AM x AC AB AI AC AB AM AC AB 1 3 3 3 3 3 4 3 4 3 4 y y AC AB AI y AK y AB AC 2 2 2 Mà AC AB , là 2 vector không cùng phương nên ta có y x x x y y x y 9 3 3 13 4 2 3 2 6 13 3 2 Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com Câu 277: Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao cho 3 2 AD DB ; 1 3 BE EC ; 4 1 BF FC . Đường thẳng AE chia đoạn DF theo tỷ số KD k KF . Giá trị của k bằng? A. 3 11 k B. 11 3 k C. 3 14 k D. 11 14 k Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 99 Lời giải Đáp án A Theo giả thiết: 3 3 1 2 5 AD AD AB DB 1 3 1 2 3 4 4 BE AE AB AC EC 4 1 4 3 1 5 5 BF AF AB AC FC Mà ; ; A K E thẳng hàng: 4 AK mAE ; ; D K F thẳng hàng: 1 5 AK nAF n AD Từ 2 ; 4 suy ra: 3 1 6 4 4 AK mAB mAC Từ 1 ; 3 ; 5 suy ra: 1 4 3 1 5 5 5 AK n AB AC n AB 3 2 4 7 5 5 5 n n AK AB AC Do hai véctơ ; AB AC không cùng phương nên từ 6 ; 7 ta có: 3 3 2 4 5 5 4 4 5 m n m n 1 2 4 3 5 15 5 14 n n n Vậy 3 11 3 14 14 11 KD AK AB AC k KF (Họ tên: Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) Họ và tên: Hoàng Ngọc Lâm Email: hoangngoclammath1112@gmail.com Facebook: Hoàng Ngọc Lâm Câu 278: Cho tam giác ABC . Kéo dài AB một đoạn BE AB , gọi F là trung điểm của AC . Vẽ hình bình hành EAFG . Đường thẳng AG cắt BC tại K . Tính tỉ số KB KC ? A. 1 4 . B. 3 8 . C. 1 5 . D. 2 7 . Lời giải Chọn A Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 100 Để xác định giao điểm K của AG và BC , ta tính AG theo AB và AC . Ta có: 1 2 2 AG AE AF AB AC . AG cắt BC tại điểm K mà 1 2 0 2 KB KC . Suy ra 1 4 KB KC . Câu 279: Cho tam giác ABC có 3 AB , 4 AC . Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến BM tại I . Tính tỉ số AD AI . A. 13 8 . B. 11 6 . C. 10 7 . D. 10 5 . (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Lời giải Chọn C Theo tính chất đường phân giác ta có 3 2 3 0 2 IB AB IB IM IM AM Và 3 4 3 0 4 DB AB DB DC DC AC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 101 Vậy ta có 2 3 0 4 3 0 IB IM DB DC 2 3 5 4 3 7 AB AM AI AB AC AD 4 6 10 4 3 7 AB AM AI AB AC AD Suy ra 3 6 7 10 AC AM AD AI 7 10 0 AD AI 10 7 AD AI . Hoặc ta có thể giải như sau: Ta có 3 3 3 4 4 4 BD AB BD DC BC BD DC AC 7 3 D 4 4 B BC 3 D 7 B BC Ta lại có 3 3 7 7 AD AB BD AB BC AB AC AB 4 3 7 7 AB AC . Theo tính chất phân giác, ta lại có 3 2 BI AB IM AM 3 2 BI IM 2 3 BI IM 2 3 BA AI IA AM 3 5 2 3 2 2 AI AB AM AB AC 2 3 7 4 3 7 5 10 10 7 7 10 AI AB AC AB AC AD Vậy 10 7 AD AI . Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Nhờ thầy cô góp ý! Câu 280: Cho hình bình hành ABCD , O là điểm bất kì trên đoạn AC , đường thẳng BO cắt cạnh CD tại E và đường thẳng AD tại F sao cho 2 EF BO . Tỷ số AF AD bằng A. 1 5 2 . B. 2 . C. 1 2 . D. 5 2 . Lời giải Chọn C E F C D A B OSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 102 Đặt: AF xAD 1 x và AO y AC 0 1 y . Theo định lý talet: 1 1 DE DF DE DF x x DE AB CE BC DC AF x x . Ta có: 1 BO BA y AC y AB y AD ; 1 1 x EF DF DE x AD AB x . Theo đề bài: 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x y x EF BO x y y x . Họ và Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh Email : manhluonghl4@gmail.com Câu 281: Cho hai tam giác A B C và A B C 1 1 1 ; gọi 2 2 2 , , A B C lần lượt là trọng tâm các tam giác BC A C A B A BC 1 1 1 , , . Gọi G G G 1 2 , , lần lượt là trọng tâm các tam giác A BC A B C 1 1 1 , , A B C 2 2 2 . Tính tỉ số G G G G 1 2 ta được kết quả : A. 1 3 B. 1 2 C. 3 D. 2 Lời giải Chọn C Vì , G G 1 là trọng tâm tam giác A B C A B C 1 1 1 , suy ra GG G A G B G C 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 G G G A G B G C A A B B C C G G A A B B C C Tương tự , G G 2 là trọng tâm tam giác A B C A B C 2 2 2 , suy ra G G G A G B G C 2 2 2 2 3 G G A A B B CC 2 2 2 2 3 Mặt khác AA BB CC A A BB CC A A B B C C 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 Mà 2 2 2 , , A B C lần lượt là trọng tâm các tam giác BC A CA B A BC 1 1 1 , , Suy ra A A B B C C A B A C B C B A C A C B 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 A A A B A A A C B B BC B B BA C C C A C C CB AA BB C C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Do đó AA BB CC AA BB CC AA BB CC 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 103 A A B B C C 1 1 1 1 3 . Vậy G G G G G G G G 1 2 1 2 1 3 3 . VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX Email: phunghang10ph5s@gmail.com Câu 282: Cho ABC đều cạnh bằng 3, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC . Đặt 2 2 2 P MA MB MC . Gọi , a b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . Khi đó, giá trị biểu thức 4 T a b là: A. 3 . B. 6 . C. 9. D. 12 . Lời giải Họ và tên tác giả: Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Chọn B. Gọi , O R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . 2 2. . ' 2 2 .2 2 4. . 2 4 .cos ; P MA MB MC MO OA MO OB MO OC MO MO OA OB OC OA OB OC R MO OA OA R MO OA R OM OA R R OM OA 2 min 6 P R khi và chỉ khi cos ; 1 OM OA M trùng A 2 2 max P R khi và chỉ khi cos ; 1 OM OA M trùng ' A là điểm đối xứng của A qua O 2 2 2 4 4.2 6 2 T a b R R R ABC đều cạnh bằng 3 2 3 2 6 R T R . Họ và tên tác giả: Trần Văn Ngờ Tên FB: Tran Van Ngo Tth Email: vanngodhqn@gmail.com Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 104 Câu 283: Cho ABC và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: 2 2 2 2 x y z k , k R . Giá trị lớn nhất của cos cos cosB P xy C yz A zx là: A. 2 k . B. 2 2 k . C. 3 k . D. 2 3 k . Lời giải Chọn B. Đặt 3 vectơ BX , CY , AZ tương ứng là x , y , z như hình vẽ. Ta có: 2 0 x y z 2 2 2 2 2 2 0 x y z x y yz xz 2 0 0 0 2 cos 180 2 cos 180 2 cos 180 0 k xy C yz A xz B 2 2 2 cos 2 cosA 2zxcosB 0 xycosC yzcosA zxcosB 2 k k xy C yz Vậy Max 2 2 k P Câu 284: Cho hai điểm , ( ;6) A B I và ( ;3) M I , thỏa mãn : 60 AIB . Khi , , A B M thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P MA MB ? A. 9. B. 3 2 6 . C. 3 13 . D. 6 3 . ( Họ và tên tác giả : Đặng Mơ- Tư Duy Mở ) Lời giải Bổ đề : Cho hai véc tơ u và v khác véc tơ 0 , ta luôn có : | | | | | | | . . | | | | | v u u v u v u v Chứng minh : Bình phương vô hướng vế phải ta được : 2 2 2 2 2 2 | | | | | | | | | | | | | . . | . . 2. . . . 2. | | | | | | | | | | | | v u v u v u u v u v u v v u u v u v u v u v u v Từ đó suy ra : | | | | | . . | | | | | | | v u u v u v u v (đpcm). Áp dụng vào bài toán cân bằng hệ số : Chúng ta có thể ghi nhớ công thức để áp dụng nhanh vào các bài toán cân bằng hệ số đối với đường tròn và mặt cầu như sau : Ta có : 2 | | 2| | P MA MB IA IM IB IM và 6, 3 IA IB IM Trong đó : 1 1 | | | . . | | 2 | 2 | | 2 4 IA IM IA IM IM IA IM IA IM IA IM IA Suy ra : 1 1 1 2| | 2| | 2 | | | 2 | 4 4 2 P IM IA IB IM IM IA IB IM IB IA Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 105 Có : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 | 2 | 4 2 . .cos 60 4.6 .6 2.6.6. 117 | 2 | 3 13 2 4 4 2 2 IB IA IB IA IA IB IB IA Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là min 3 13 P chọn đáp án C. Câu 285: Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý và các điểm I, J, K cố định sao cho đẳng thức thỏa mãn với mọi điểm M: 3 . MA MB MC MD kMK Giá trị của k là A. k = 3 B. k = 4 C. k = 5 D. k = 6 Lời giải Chọn D Vì 3 MA MB MC MD k MK thỏa mãn với mọi M. Do đó, đẳng thức cũng đúng với M K Tức là: 3 0 KA KB KC KD k KK Gọi G là trọng tâm 3 ABC KA KB KC KG 3 3 0 KG KD K là trung điểm GD. Mặt khác: 3 MA MB MC MD ( ) ( ) ( ) 3( ) MK KA MK KB MK KC MK KD ( 3 ) 6 6 KA KB KC KD MK MK 6 k Câu 286: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BD và CK. Giá trị nhỏ nhất của cos bằng A. 4 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 4 Lời giải Chọn A Ta có: 1 1 ( ). ( ) . 2 2 cos . . BA BC CA CB BD CK BD CK BD CK 2 . ( ) ) . . . . ) 4. . 4. . BA CA BC CA BA BC BA CA BACB BC CA BC CB BD CK BD CK Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 106 2 2 2 4. . 2. . BC BC BD CK BD CK (Vì tam giác ABC vuông tại A nên . 0) BA CA Mặt khác, 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . 2 4 2 4 Cauchy AB BC AC AC BC AB BD CK BD CK 2 2 2 2 2 2 5 4 4 4 AB AC BC BC BC BC Suy ra, 2 2 4 cos 5 5 4 BC BC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BD = CK hay ABC vuông cân tại A Câu 287: Cho hai điểm cố định G và ' G là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ' ' '. A B C Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ' ' ' P AA BB CC bằng A. ' GG B. 3 ' GG C. 2 ' GG D. 1 ' 3 GG Lời giải Chọn B Do G và ' G là trọng tâm , ' ' ' ABC A B C nên 0 GA GB GC và ' ' ' ' ' ' 0. G A G B G C Ta có: ' ' ' ( ' ' ') ( ' ' ') ( ' ' ') AA BB CC AG GG G A BG GG G B CG GG G C 3 ' ( ) ( ' ' ' ' ' ') GG GA GB GC G A G B G C 3 ' GG Mặt khác, ' ' ' ' ' ' ' ' ' P AA BB CC AA BB CC AA BB CC 3 ' 3 ' GG GG Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ', ', ' AA BB CC cùng hướng Họ và tên: Nguyễn Đức Hoạch – email: nguyenhoach95@gmail.com Mail: nguyennga82nvc@gmail.com Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 107 FB: Nguyễn Nga Nvc Câu 288: Cho hình thang 1 1 1 1 A B C D có 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / / , 3 , 2 , 6 0 A B C D A B a C D a D A B C B A . Với mỗi điểm 1 G di động trên cạnh 1 1 A B ta xác định điểm 1 F sao cho 1 1 1 1 1 1 G F G C G D . Tìm độ dài nhỏ nhất của 1 1 G F . A. 2 a . B. 3 a . C. 3 3 2 a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn B Gọi 1 1 1 1 Z A B C D , từ giả thiết suy ra tam giác 1 1 Z A B đều cạnh 3 a . Gọi 1 1 , H I lần lượt là trung điểm của 1 1 1 1 , A B C D , suy ra 1 1 , H I cố định và 1 1 1 1 3 3 2 a H I Z H Từ giả thiết ta có tứ giác 1 1 1 1 G D F C là hình bình hành, nên 1 1 1 1 1 1 2 2 3 G F G I H I a . Vậy độ dài nhỏ nhất của 1 1 G F bằng 3 a . Nguyễn Văn Công- Trường THPT Kinh Môn II Gmail: nguyencongkm2@gmail.com Câu 289: Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = 2; CA = b; AB = c và điểm M di động Biểu thức F= 2 2 2 2 2 8MA b MB c MC đạt giá trị lớn nhất bằng J 1 I 1 Z A 1 B 1 F 1 C 1 D 1 G 1 E 1 H 1Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 108 A. 4 B. 12 C. 16 D. 24 Lời giải Xét điểm I thỏa mãn: 2 2 8IA b IB c IC 0 (1) ( Dựng đường cao AH, dựng I sao cho A là trung điểm IH; I thỏa (1)) Bình phương hai vế của (1) chú ý rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2IA.IB IA IB AB ; 2IB.IC IB IC BC 2IC.IA IC IA AC rồi biến đổi ta được kết quả 2 2 2 2 2 2 2 8.IA b .IB c .IC 3b c . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F 8MA b MB c MC 8MA b MB c MC 8(MI IA) b (MI IB) c (MI IC) 4MI 8.IA b IB c IC 4MI 3b c b c 3b c 3 12 2 Họ và tên tác giả: Vũ Viên Tên FB: Vũ Viên Email: tieplen@gmail.com Câu 290: Cho ABC đều có cạnh bằng 2a . Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC , điểm M di động trên d . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 MA MB MC . A. 2 3 a . B. 3 a . C. 3 4 a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn B. Xét điểm I sao cho: 2 0 IA IB IC 2 0 IA IA AB IC 2 2 0 IA AB AC 2 0 IA AB CB A B C K I MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 109 2 BA BC IA BK (với K là trung điểm AC ). I là điểm thứ 4 của hình bình hành AIBK . Ta có: 2 MA MB MC 2 MI IA MI IB MI IC 2 2 2 2 MI IA IB IC MI MI . M d Min đạt được khi LM d . Khi đó: 60 60 30 30 MAI MAB IAB ABK 2 2 2 2 sin 30 2. sin 30 2sin 30 (2 ) 3 IM IA BK a a a . Họ và tên tác giả: Phạm Khắc Thành Email: phamkhacthanhkt@gmail.com Câu 291: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. Đặt , , a BC b CA c AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC T a b c . A. 3 3 . B. 3 . C. 3 3 . D. 3 2 . Lời giải Chọn B. Theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 3 4 3 2 3 a a a a b c a m b c a b c a m a am am Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 3 3 3 3 . . 2 . . 3 2 3 MA MAGA MAGA MG GA GA MG GA GA b c a a a GA b c a b c a Từ đó suy ra: 2 2 2 2 2 2 3 3 . MA MB MC MG GA GB GC GA GB GC a b c b c a Lại có 0 GA GB GC và 2 2 2 2 2 2 1 3 GA GB GC a b c Do đó 2 2 2 2 2 2 3 3 1 0 3 3 MA MB MC a b c a b c b c a . Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều đồng thời M trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 110 Mail: thuytrangmn@gmail.com Chủ đề: Vectơ. Câu 292: Cho tam giác ABC có trung tuyến ' ' AA CC ' , ' A BC C AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của cos . B A. 4 5 . B. 2 5 . C. 1. D. 1 2 Lời giải: Chọn. A. Đặt BC a , BA c ta có: 1 ' 2 AA a c và 1 ' 2 CC c a Do ' ' AA CC nên 1 1 0 2 2 a c c a 2 2 2 2 2 2 4 . 5 5 5 ac a c a c a c + Nếu 0 ac thì cos 1 B + Nếu 0 ac thì . 4 cos . 5 a c B a c . Dấu đẳng thức xảy ra khi a c Vậy giá trị nhỏ nhất của cosB là 4 5 , đạt dược khi tam giác ABC cân tại . B Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê Email: hongle.ad@gmail.com Câu 293: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Lời giải A A’ C C’ B G Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 111 Chọn B. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Theo tính chất phân giác trong: . DB AB c c DB DC DC AC b b , mà hai vecto DC , DB ngược hướng nên ta có 0 0 c DB DC bDB cDC b IB ID c IC ID b hay 0 bIB cIC b c ID (*) Mặt khác DB c DB c ac DB DC b BC b c b c c b c IA BA b c aIA b c ID ID BD ac a Mà , IA ID ngược hướng nên aIA b c ID Thay vào (*) ta có 0 bIB cIC aIA Vậy độ dài của aMA bMB cMC nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I Họ và tên: Ngô Gia Khánh Địa chỉ mail: ngkhanh4283@gmail.com Câu 294: Cho tam giác A B C là tam giác đều cạnh bằng a , M là điểm di động trên đường thẳng A C . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 T M A M B M C M A M B M C là: A. 2 3 . 3 a M i n T B. 2 3. Mi n T a C. 3. Mi n T a D. 5 3 . 2 a M i n T Lời giải +, Gọi G là trọng tâm tam giác A B C , ta có: . M A M B M C M G +, Dựng hình bình hành A B C D , ta được: A B C D ISản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 112 B A CD M A M B M C B A M C CD M C M D +, Khi đó 3 3 3 T M A M B M C M A M B M C M G M D G D ( Vì G,D nằm khác phía với đường thẳng AC) Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GD và đường thẳng AC hay M là trung điểm của AC + Nhận xét 4 4 3 2 3 . 3 3 2 3 a a G D B M Vậy 2 3. Mi n T a . Email: vntip3@gmail.com Câu 295: Cho ABC và ' ' ' A B C có các trọng tâm G và ' G cố định và ' GG a . Khi đó giá trị nhỏ nhất của AA' ' ' T BB CC là: A. T a . B. 2 T a . C. 3 T a . D. 4 T a . Lời giải Chọn C. Ta có: AA ' ' ' AG ' G'A ' BG ' G'B' CG ' G'C' 3 ' T BB CC GG GG GG GG Vậy AA ' ' ' AA ' ' ' AA ' ' ' 3 ' 3 ' 3 T BB CC BB CC BB CC GG GG a Giâ trị nhỏ nhất của T là 3a khi AA ', ', ' BB CC cùng phương. (Họ và tên tác giả: Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan) Mail: thongbui1987@gmail.com Câu 296: Cho tam giác ABC với các cạnh , AB x AC y ; 0 x y . Gọi AD là đường phân giác trong của góc A . Biết biểu thị vectơ AD mAB nAC . Tính S m n . A. 2 S . B. 0 S . C. 1 S . D. 2 S . Lời giải Chọn C. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 113 Theo tính chất đường phân giác trong của tam giác ta có DB AB x DC AC y DB x y DC điểm D chia đoạn thẳng BC theo tỉ số x k y Nên ta có: 1 x AB AC y x y AD AB AC x x y x y y 1 y x m n x y . Câu 297: Cho ABC có 3 AB ; 4 AC . Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến BM tại I . Biết AD a AI b , với , a b và a b tối giãn. Tính 2 S a b . A. 10 S . B. 14 S . C. 24 S . D. 27 S . Lời giải: Chọn C. Ta có: 3 2 IB AB IM AM 2 3 0 IB IM 2 3 5 1 AB AM AI . 3 4 DB AB DC AC 4 3 0 DB DC 4 3 7 2 AB AC AD . Từ 1 và 2 ta có hệ 2 3 5 4 3 7 AB AM AI AB AC AD 4 6 10 4 3 7 AB AM AI AB AC AD y x A C B D I M B C A DSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 114 6 3 10 7 AM AC AI AD 7 10 AD AI 7 10 AD AI 10 7 AD AI 10, 7 10 2.7 24 a b S Họ và tên tác giả: Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi Email: lehongphivts@gmail.com Câu 298: Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB , 8 AB , AD a , BC b . Gọi E là một điểm thuộc cạnh CD . Biết 90 AEB , giá trị lớn nhất của T ab là A. 4 . B. 16. C. 8 . D. 64 . Lời giải Chọn B. Vì E là một điểm thuộc cạnh CD nên tồn tại 0;1 k sao cho 1 0 k EC k ED . Khi đó, 1 k BC k BD BE và 1 k AC k AD AE . Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 1 . 1 . 1 . 1 1 1 1 1 8 1 BE AE k BC AC k k BC AD k k BD AC k BD AD k BC AB BC k k ab k k BA AD AB BC k BA AD AD k b k k ab k k ab k a kb 2 1 64 1 . k a k k Do 1 90 . 0 1 8 1 8 1 k k AEB BE AE kb k a k k b a k k . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 1 8 2 16 1 k k b a ab ab k k . Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi 4 a b và 0,5 k . Vậy max 16 T . Câu 299: Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB , AB h , AD a , BC b . Cho k là số thực dương thuộc 0;1 và điểm E thỏa mãn 1 0 k EC k ED . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , h , k để góc 90 AEB ? A. 1 1 k b ka h k k . B. 1 1 kb k a hk k . C. 1 1 kb k a h k k . D. 1 1 k b ka hk k . Lời giải Chọn C. Từ 1 0 k EC k ED suy ra 8 a b E A D B C h a b E A D B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 115 1 k BC k BD BE và 1 k AC k AD AE . Khi đó, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 1 . 1 . 1 . 1 1 1 1 1 1 BE AE k BC AC k k BC AD k k BD AC k BD AD k BC AB BC k k ab k k BA AD AB BC k BA AD AD k b k k ab k k h ab k a kb 2 2 1 1 . k a k k h Do 90 AEB nên . 0 1 1 BE AE kb k a h k k . Vậy hệ thức liên hệ giữa a , b , h , k để góc 90 AEB là 1 1 kb k a h k k . Câu 300: Cho tam giác có trọng tâm G , qua G dựng đường thẳng d cắt cách cạnh AB , AC lần lượt tại M , N . Đặt AM x AB , AN y AC , gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của T x y . Tính m M . A. 10 3 . B. 17 6 . C. 11 6 . D. 5 2 . (Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn) Lời giải Chọn B Ta có AM xAB , AN y AC , 1 1 3 3 AG AB AC . MN AN AM x AB y AC . 1 1 3 3 MG x AB AC . d M G D A B C NSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 116 Do M , N , G thẳng hàng nên MG kMN 1 3 1 3 x kx ky 1 1 3 1 3 k x ky 1 1 3 1 3 k x k y 1 1 3 x y . 3 1 x y x . Do M , N lần lượt nằm trên các cạnh AB , AC nên 1 , 1 2 x y . 1 1 2 3 x y xy 4 9 xy 4 3 3 T x y xy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3 x y . giá trị nhỏ nhất 4 3 m . Ta có 1 ;1 2 x 2 1 1 0 x x 2 2 3 1 0 x x 2 2 3 1 x x 2 2 1 3 1 x x 2 3 3 3 1 2 x x . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 x x Ta có 2 3 3 3 3 1 2 x T x y xy x giá trị lớn nhất là 3 2 M . Vậy 4 3 17 3 2 6 m M . Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Email: thutoan83@gmail.com Facebook: Nguyễn Thị Thu Câu 301: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho 1 BH HC 3 . Điểm M di động trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 117 A. 4 . 5 B. 5 . 4 C. 5 . 6 D. 6 . 5 Lời giải Chọn B. Dựng hình bình hành AGCE. Ta có MA GC MA AE ME ME FE . Do đó MA GC nhỏ nhất khi M F . Gọi P là trung điểm của AC; Q, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P, E trên BC. Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên BQ BP 3 BF BE 4 hay 4 BF BQ 3 . Có PQ là đường trung bình của AHC nên Q là trung điểm của HC hay 1 HQ HC 2 . 1 1 5 5 3 5 BQ BH HQ HC HC HC . BC BC 3 2 6 6 4 8 . Do đó 4 5 BF BQ BC 3 6 . Vậy 5 x 6 . gmail: hoangthuyvinhuni@gmail.com Câu 302: Cho tam giác ABC đều cạnh 2 3 , d là đường thẳng qua B và tạo với AB một góc 0 60 C . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 A MA MB MC ? A. 3 5 B. 12 5 C. 4 5 D. 2 Hướng dẫn giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 118 Gọi E là trung điểm AB. Gọi I là điểm thỏa mãn: 3 0 IA IB IC 2 3 0 IE IC I nằm giữa đoạn EC và 3 5 EI EC Ta có: 3 MA MB MC 2 3 3 MI IA IB MI IC 5MI Vậy 5 A MI min M là hình chiếu của I trên đường thẳng d. Đường thẳng d qua B và tạo với AB 1 góc 0 60 nên d song song AC và cắt EC tại K. . . KEB CEA g c g nên E là trung điêm KC 3 3 2 3. 3 2 2 EC a 3 9 .3 5 5 EI 9 24 3 5 5 KI EKB MKI EB KB MI KI . 12 5 EB KI MI KB (Tác giả: Hoàng Thị Thúy - Facebook: Cỏ ba lá ) Câu 303: Cho tam giác ABC đều cạnh 1 nội tiếp đường tròn ( ) O và điểm M thay đổi trên O . Gọi s , i lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC . Tính s i . A. 3 s i . B. 4 3 3 s i . C. 5 3 3 s i . D. 2 3 s i . Lời giải d E K A B C I MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 119 Dựng hình bình hành DBCA. Ta có . MA MB MC MD DA MD DB MD DC MD MD Gọi E là giao điểm khác C của DC với ( ) O . Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có MD DO OM DO OE DE và MD DO OM DO OC DC Dấu bằng xảy ra lần lượt khi M trùng E và M trùng C . Vậy 3 1 4 3 2 2 2 2 2 3 3 s i DE DC DC CE DC DC OC . buiduynam1993@gmail.com Câu 304: Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a . Trên đường chéo AC , CE lấy hai điểm M , N sao cho AM CN k AC CE 0 1 k . Độ dài 2 2 BM BN đạt giá trị nhỏ nhất khi k bằng bao nhiêu? A. 1 2 . B. 1 4 . C. 2 3 . D. 3 4 . (Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam https://www.facebook.com/duynam.bui.1) Lời giải Chọn B. Ta có BM BA AM mà AM k AM k AC AC k BC BA . Vậy BM BA k BC BA 1 BM k BC k BA . Lại có BN BC CN mà 2 CN k CN kCE k CF FE k BA BC CE . Vậy 1 2 BN k BC k BA . Khi đó 2 2 2 2 1 1 2 BM BN k BC k BA k BC kBA Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 120 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 . 1 4 4 1 . k BC k BA k k BC BA k BC k BA k k BC BA . Mà 2 2 2 BC BA a và 2 2 2 2 . 2 2 BC BA AC a BC BA . Vậy 2 2 2 2 6 3 2 BM BN a k k 0 1 k . 2 2 2 2 0 1 min min 6 3 2 k BM BN a k k . Xét 2 6 3 2 f k k k 0 1 k , ta có 0 1 1 13 min 4 8 k f k f . Vậy 2 2 2 13 min 8 a BM BN khi 1 4 k . Câu 305: Cho hình chữ nhật ABCD có AD a , AB b . O và I lần lượt là trung điểm DB và DO . N là điểm thỏa mãn 2 2 2 NA NC AB AD AD và NB lớn nhất. Tính NB . A. 2 2 2 3 2 a a b B. 2 2 2 a a b C. 2 2 2 3 4 a a b D. 2 2 2 4 a a b . Lời giải 2 2 4 4 4 4 NA NC AB AD NO BD NO OI NI Suy ra 2 2 AD a NI Để NB lớn nhất thì N là giao điểm của đường tròn tâm I bán kính 2 a với BD ( N và B khác phía so với I ). Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 121 Do đó 2 2 2 2 3 2 3 2 4 4 a a a b NB NI IB a b Họ tên tác giả: Đoàn Phú Như Tên fb: Như Đoàn Email: doanphunhu@gmail.com Câu 306: Cho tam giác ABC, 3( ), 4( ), 5( ). AB cm BC cm CA cm Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P MB MC MA là A. 0 . B. 5 97 5 2 . C. 5 97 5 2 . D. 5 97 5 4 . Lời giải: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì O là trung điểm AC. Gọi D đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC thì 0 DB DC DA Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P MB MC MA MB MC MA MD DB MD DC MD DA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 18 P MD DB DC DA MD DB DC DA MD DB DC DA MD Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi DM nhỏ nhất. Vì M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên DM nhỏ nhất khi và chỉ khi O,M,D theo thứ tự thẳng hàng. Ta có 2 2 2 2 1 1 1 . 2 2 4 OD OC CD AC AB OD AC AB AC AB AC AB 2 25 3 97 97 5 9 5.3. 4 5 4 2 2 OD MD OD OM Vậy 2 97 5 5 97 18 5 2 2 2 MinP . Chọn đáp án B Phuongthao.nguyenmaths@gmail.com M D C O B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 122 Câu 307: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho 1 3 BH HC . Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4 . 5 . B. 5 . 6 . C. 6 . 5 . D. 5 . 4 (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Lời giải Chọn B. Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME . Kẻ EF BC F BC . Khi đó MA GC ME ME EF . Do đó MA GC nhỏ nhất khi M F . Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q BC . Khi đó P là trung điểm GE nên 3 4 BP BE . Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên 3 4 BQ BP BF BE hay 4 3 BF BQ . Mặt khác, 1 3 BH HC . PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay 1 2 HQ HC . Suy ra 1 1 5 5 3 5 . . 3 2 6 6 4 8 BQ BH HQ HC HC HC BC BC Do đó 4 5 3 6 BF BQ BC . Câu 308: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đôi đáy AB. Lấy một điểm E sao cho 3 2 BC DE và đồng thời thỏa mãn CA CE . Giá trị nhỏ nhất của góc ABC nằm trong khoảng nào dưới đây? A. (95 ;100 ) . B. (100 ;106 ) . C. (106 ;115 ) . D. (115 ;120 ) . Lời giải: Q F E G P B C H A MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 123 Gọi ABC . Ta có: 2 2 2 2 . .cos AC AB BC AC AB BC AB BC (1) Lại có: 2 2 2 2 3 9 2 4 6 . .cos 2 4 CE CD DE AB BC CE AC AB BC AB BC (2) Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được : 2 2 5 3 5 3 5 15 0 3 8 . .cos cos 2. . 4 8 32 8 32 8 AB BC AB BC AB BC AB BC BC AB BC AB Suy ra: 118,96 GTNN của nằm trong khoảng (115 ;120 ) chọn đáp án D. Câu 309: Cho hình thang ABCD có 2AB DC , 8, 6 AC BD , góc tạo bởi hai véc tơ AC và BD bằng 120 . Khi đó giá trị của ( ) AD BC bằng: A. 13 2 5 2 . B. 14 4 7 3 . C. 15 2 10 4 . D. 6 4 3 . (Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái ) Lời giải: Ta có: AC AB BC và BD BC CD . Suy ra: 2 (2 ) 3 3 AC BD AB CD BC BC Bình phương vô hướng hai vế ta được: 2 2 2 2 2 14 9 4 4 . .cos120 4.8 6 4.8.6.cos120 3 BC AC BD AC BD BC B C A D E B C A D Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 124 Tương tự ta có: Ta có: AC AD DC và BD BA AD . Suy ra: 2 (2 ) 3 3 AC BD BA BC AD AD Bình phương vô hướng hai vế ta được: 2 2 2 2 2 4 7 9 4 4 . .cos120 8 4.6 4.8.6.cos120 3 AD AC BD AC BD AD Suy ra: 14 4 7 ( ) 3 AD BC chọn đáp án B. Câu 310: Cho hình thang ABCD có 2AB DC , 9, 6 AC BD . Giá trị của biểu thức 2 2 ( ) BC AD bằng: A. 15. B. 80 3 . C. 12. D. 14. (Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái ) Lời giải: Ta có: AC AB BC và BD BC CD . Suy ra: 2 (2 ) 3 3 AC BD AB CD BC BC Bình phương vô hướng hai vế ta được: 2 2 2 9 4 4 . BC AC BD AC BD (1) Tương tự ta có: Ta có: AC AD DC và BD BA AD . Suy ra: 2 (2 ) 3 3 AC BD BA BC AD AD Bình phương vô hướng hai vế ta được: 2 2 2 9 4 4 . AD AC BD AC BD (2) Lấy (1) trừ đi (2) vế theo vế, ta được : 2 2 2 2 2 2 9 6 15 3 3 AC BD BC AD Chọn đáp án A. Suy ra: 14 4 7 ( ) 3 AD BC chọn đáp án B. B C A D Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 125 Câu 311: Cho tam giác ABC có 60 BAC và , AB AC đã biết. Biểu thức . P k MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất bằng ( ) AB AC với mọi giá trị thực 0 k k . Giá trị của 0 k nằm trong khoảng nào dưới đây? A. (0;1) . B. 3 ( ;2) 2 . C. 3 (1; ) 2 . D. (2;3) . (Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái ) Lời giải: Ta có: | |.| | . | | . | | v u v u v u u v và: . | |.| | u v u v . Áp dụng vào bài này, ta có : . . . . . ( ). ( ). AB AC AB AC P k MA MB MC k MA MB MC k MA MA AB MA AC AB AC AB AC . ( ) . .| | AB AC AB AC P k MA AB AC MA k MA AB AC MA AB AC AB AC | | AB AC P MA k AB AC AB AC . Giả thiết cho biết: | | AB AC P MA k AB AC AB AC AB AC Suy ra: | | 0 | | AB AC AB AC k k AB AC AB AC Sử dụng bình phương vô hướng để tính: 2 2 2 | | 2 . 1 1 2.cos60 3 AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC Suy ra: 0 | | 3 AB AC k k AB AC . Vậy ta chọn đáp án B. Email: hongle.ad@gmail.com Câu 312: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Lời giải Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê Chọn B. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 126 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Theo tính chất phân giác trong: . DB AB c c DB DC DC AC b b , mà hai vecto DC , DB ngược hướng nên ta có 0 0 c DB DC bDB cDC b IB ID c IC ID b hay 0 bIB cIC b c ID (*) Mặt khác DB c DB c ac DB DC b BC b c b c c b c IA BA b c aIA b c ID ID BD ac a Mà , IA ID ngược hướng nên aIA b c ID Thay vào (*) ta có 0 bIB cIC aIA Vậy độ dài của aMA bMB cMC nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I Email: nguyentuyetle77@gmail.com Câu 313: Cho tam giác ABC đều cạnh a và điểm M thay đổi. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 3 4 P MA MB MC là: A. 2 14a B. 2 14a C. 2 26 3 a D. 2 26 3 a Lời giải Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có: 2 2 2( ) 3( ) 4( ) P MG GA MG GB MG GC = 2 2 (2 3 4 ) MG MG GA GB GC 2 2 (2 2 2 6 ) MG MG GA GB GC GB GC A B C D ISản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 127 2 2 2 ( 5 ) MG MG CB GC GC 2 2 2 2 ( 5 ) ( 5 ) 42 MG MG CB GC CB GC GC (Vì 2 2 2 2 2 ( 5 ) 10 . 25 43. 43 3 a CB GC CB CB GC GC GC ) 2 2 2 2 ( 5 ) 42 42 14 p MG CB GC GC GC a . Dấu “=”xẩy ra 5 MG GC CB . Vậy min 2 14 P a khi M là điểm thỏa mãn 5 MG GC CB Họ và tên tác giả: Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm Email: dvtam0189@gmail.com Câu 314: Cho tam giác A B C có hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của c os A . A. 1 2 . B. 2 3 . C. 3 4 . D. 4 5 . Lời giải Chọn D Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . AC A B Ta có: ; . BM AM AB CN AN AC Theo giả thiết B M C N nên ta có 0 C B N M hay . 0 A M A B A N A C A AC AM A N A M A C A N AB B Mà 1 2 AM AC và 1 2 AN AB nên suy ra 2 2 2 2 1 1 2 . 4 2 5 AC A B A C A B A A C AB AC AB A C B Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 128 Áp dụng định nghĩa tích vô hướng, kết hợp Bất đẳng thức Cosi ta có 2 2 2 2 . 2 cos cos . 2 2 . 4 . . 5 . 5 ; 5 AB AB A C A AB AC AB A C AB AC AC A B AC AB AC Dấu " " xảy ra khi A B A C hay tam giác A B C cân tại . A Vậy 4 m i n cos . 5 A Họ và tên: Cấn Việt Hưng Email: thuyhung8587@gmail.com FB: Viet Hung Câu 315: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng . a Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? A. . 2 a B. 3 . 2 a C. . a D. 2 . a Lời giải: Chọn A. Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN . Ta có MA MB MA MB MN BA hay MN AB . Suy ra MANB là hình chữ nhật nên 90 o AMB . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max . 2 2 AB a MH MO Họ và tên tác giả: Phương Xuân Trịnh Tên FB:: Phương Xuân Trịnh Email: phuongtrinhlt1@gmail.com Câu 316: Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi là góc giữa hai trung tuyến BD và CK . Giá trị nhỏ nhất của cos là:. A. 1 2 . B. 4 5 . C. 2 3 . D. 3 4 . Lời giải Chọn B. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 129 Ta có: . . . BD CK AD AB AK AC AD AC AK AB (do AB AC ) 2 2 2 1 1 2 2 AB AC BC . Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 4 BA BC AC CA CB AB BD CK BD CK 2 2 2 2 4 5 4 4 AB AC BC BC . Do đó: 2 2 2 . 4 4 cos . 2 . 5 5 BD CK BC BC BD CK BD CK BC . 4 cos 5 BD CK ABC vuông cân tại A . Vậy 4 min cos 5 . vanphu.mc@gmail.com Câu 317: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho 1 3 CH HB . Điểm M di động trên BC sao cho . CM x CB . Tìm x sao cho độ dài vecto MA GB đạt giá trị nhỏ nhất. A. 8 5 . B. 5 6 . C. 6 5 . D. 5 8 . Lời giải Chọn B. D K A B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 130 Dựng hình bình hành AGBE. Ta có MA GB MA AE ME MA GB ME ME EF min MA GB EF M F . Gọi P là trung điểm của AB . Khi đó P cũng là trung điểm của GE và 3 4 CP CE Gọi Q là hình chiếu vuông góc của P trên BC. Ta có CPQ và CEF đồng dạng nên 3 4 4 3 CQ CP CF CQ CF CE . Mặt khác PQ là đường trung bình của AHB nên 1 2 HQ HB . Theo giả thiết 1 3 CH HB Suy ra 1 1 5 3 2 6 CQ CH HQ HB HB HB Từ giả thiết 3 4 HB CB . Do đó 5 5 3 5 4 4 5 5 . . 6 6 4 8 3 3 8 6 CQ HB CB CB CF CQ CB CB ( Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu) Họ và tên tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai Email: maimai1.hn@gmail.com Câu 318: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng . a Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? A. . 2 a B. 3 . 2 a C. . a D. 2 . a Lời giải Chọn A Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 131 Gọi O là trung điểm của AB . Khi đó 2 MA MB MO . Ta có 2 MA MB MA MB MO BA hay 1 2 MO AB Suy ra MAB vuông tại M nên 90 o AMB . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max . 2 2 AB a MH MO Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo Email: nghianguyennhan78@gmail.com Câu 319: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết 4 AB , 5 BC và 6 CA . Khi đó DE bằng: A. 5 3 9 5 CA CB . B. 3 5 5 9 CA CB . C. 9 3 5 5 CA CB . D. 3 9 5 5 CA CB . Lời giải Chọn A. AD là phân giác trong của tam giác ABC nên 6 6 4 6 4 CD AC CD DB AB CD DB 6 3 10 5 CD CD CB CB . Tương tự: 5 5 9 9 CE CE CA CA . Vậy 5 3 9 5 DE CE CD CA CB . Câu 320: : Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng . a Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? A O B M HSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 132 A. . 2 a B. 3 . 2 a C. . a D. 2 . a Lời giải Chọn A. Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN . Ta có MA MB MA MB MN BA hay MN AB . Suy ra MANB là hình chữ nhật nên 90 o AMB . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max . 2 2 AB a MH MO Họ và tên tác giả: Hoàng Tiến Đông Tên FB: tiendongpt Email: dongpt@c3phuctho.edu.vn Câu 321: Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích là S điểm I , O lần lượt thỏa mãn 0 IB IC ; 0 OA OI . Cắt miếng gỗ theo một đường thẳng qua O , đường thẳng này đi qua , M N lần lượt trên các cạnh , AB AC . Khi đó diện tích miếng gỗ chứa điểm A thuộc đoạn: A. ; 4 3 S S . B. ; 3 2 S S . C. 3 ; 8 2 S S . D. 3 ; 4 8 S S Lời giải Chọn A Từ O kẻ // M N BC , suy ra: O là trung điểm M N . Ta có: . . 1 NN MA OM NA MM ON 1 , 0 2 NN MM x x NA MA . N' M' N O I A B C MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 133 1 1 NN xNA AN AN xNA NA AN x . 1 1 MM xMA M A MA xMA MA M A x . Ta có: 2 . 1 . 4. . 4 1 AMN ABC S AM AN AM AN S AB AC AM AN x . Xét hàm số: 2 4 1 f x x trên 1 0; 2 . suy ra: 3 4 4 3 AMN S S f x S . Đỗ Công Dũng Email: congdung812@gmail.com Câu 322: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 R . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 BC AB AC . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 Giải Chọn D Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Dựng hình bình hành ABMC Ta có OA OM MA 2 2 2 2 OA OM MA OM MA 1 Tương tự ta có: 2 2 2 2 OB OM MB OM MB 2 2 2 2 2 OC OM MC OM MC 3 Lấy 2 3 – 1 từng vế ta có: 2 2 2 2 2 2 R OM MB MC MA OM MB MC MA ( do tứ giác ABMC là hình bình hành nên MB MC MA ) Khi đó 2 2 2 2 2 R OM MB MC MA 2 2 2 2 4 OM MB MC MI 2 2 2 2 2 2 4 2 4 AB AC BC OM MB MC 2 2 2 2 2 2 2 OM MB MC AB AC BC mà MB AC , MC AB I M O C B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 134 nên 2 2 2 2 2 R OM AB AC BC 2 2 2 2 2 BC AB AC R OM 2 4 R Vậy giá trị lớn nhất của 2 2 2 BC AB AC là 4 . Đẳng thức xảy ra M O 2 2 3 AB AC R BC R . Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC có 0 120 BAC . Hay là tam giác ABC cân tại A và có 0 120 BAC . Họ và tên tác giả: Nguyễn Tân Quang Tên FB: Nguyễn Tân Quang Email: quangmath@gmail.com Câu 323: Cho tam giác đều ABC cạnh . a Gọi M là điểm nằm trên cạnh . AB Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 MA MB MC theo . a A. 3 4 a . B. 3 2 a . C. 3 8 a . D. 2 3 3 a . Lời giải Chọn B. Ta có 2 2 2 2 4 4 , MA MB MC MA MC MB MN MB MI MI trong đó , N I lần lượt là trung điểm của , . AC BN Do đó I cố định. Kẽ IH vuông góc với . AB Ta có . MI HI Tính được 0 3 3 .sin 30 . 2 8 a a BN IH BI Email: themhaitotoanyp1@gmail.com Câu 324: Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với các đỉnh A, C) Trên các đường thẳng AB, BC, lấy các điểm P và Q sao cho MP // BC, MQ // AB. Gọi N là giao hai đường thẳng AQ và CP. Giả sử DC n DA m DN . Tìm giá trị lớn nhất của m + n A. 3 4 B. 4 3 C. 2 1 D. 2 Lời giải H I N C B A MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 135 Đặt k AC AM k BC BQ và k AB BP 1 , 1 ; 0 k Có BQ AB x DA AQ x DA AN DA DN DA kx DC x DA DC x DA kx 1 , (1) Mặt khác BP CB y DC CP y DC CN DC DN DC k y DA y DC 1 DC y yk DA y 1 , (2) Từ (1) và (2), ta có 1 1 1 1 1 2 2 k k k y k k k x x y ky kx y Do đó DC k k k DA k k k DN 1 1 1 2 2 1 ; 0 , 3 4 4 3 2 1 1 1 1 2 2 k k k k n m 3 4 max n m , đạt được khi k = 2 1 hay M là trung điểm AC. (Fb: Lưu Thêm) Họ và tên: Lê Thị Lan FB: Lê Lan Email: lelanqx2@gmail.com Câu 325: : Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho 1 3 BH HC . Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4 . 5 B. 5 . 6 C. 6 . 5 D. 5 . 4 Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 136 Chọn B. Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME . Kẻ EF BC F BC . Khi đó MA GC ME ME EF . Do đó MA GC nhỏ nhất khi M F . Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q BC . Khi đó P là trung điểm GE nên 3 4 BP BE . Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên 3 4 BQ BP BF BE hay 4 3 BF BQ . Mặt khác, 1 3 BH HC . PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay 1 2 HQ HC . Suy ra 1 1 5 5 3 5 . . 3 2 6 6 4 8 BQ BH HQ HC HC HC BC BC Do đó 4 5 3 6 BF BQ BC . Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng Câu 326: Cho tam giác ABC có , , BC a AC b AB c nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. M là điểm thuộc đường tròn (O). Gọi , N n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P MA MB MC . Khi đó giá trị của N n bằng A. 2 12R . B. 2 2 2 2 4R 9R a b c . C. 2 2 2 2 2R 9R a b c . D. 2 2 2 2 8R 9R a b c . Lời giải Chọn B. Ta có: 2 2 2 P MO OA MO OB MO OC 2 2 6R 2 . 6R 2 . .cos MO OA OB OC MO OA OB OC 2 6R 2 . .cos R OA OB OC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 137 Vậy: ` 2 2 6R 2 . 6R 2 . R OA OB OC P R OA OB OC 4R. N n OA OB OC Mà: 2 2 3R 2 OA OB OC OAOB OBOC OAOC 2 2 2 2 ( ) 3R 2. 2 OA OB OA OB 2 2 2 2 9R a b c 2 2 2 2 4R. 9R N n a b c Họ và tên tác giả: Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen Email: giaohh2@gmail.com Câu 327: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O ,bán kính R , M là một điểm bất kì trên đường tròn. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 3 S MA MB MC là A. 2 21 R . B. 2 21 R . C. 2 2 21 R . D. 2 2 21 R . Lời giải Chọn C. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 S MA MB MC MO OA MO OB MO OC 2 2 3 2 2 3 .cos S MO OA OB OC MO OA OB OC 2 2 .cos S R CA CB Trong đó , 2 MO CA CB Do tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính R nên có cạnh là 3 R 2 2 2 2 0 2 2 4 . 4 15 4. . .cos60 21 CA CB CA CACB CB R CACB R 2 21 CA CB R 2 2 21.cos S R 2 2 21 S R Dấu bằng xảy ra khi cos 1 , 2 MO CA CB cùng chiều. Vậy 2 2 21 MaxS R Email: anhtu82t@gmail.com Câu 328: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 cos 2 2cos 2 2 3 cos 2 P A B C A. P 4 m in . B. P 3 1 2 m i n . C. P 2 3 3 m i n . D. P 5 m i n . Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 138 Họ và tên: Đồng Anh Tú Facebook: Anh Tú Chọn A Gọi O R , lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: 2 (2 3 ) 0 OA OB OC 2 2 2 4 3 4 . 4 3 . 2 3 . 0 OA OB OC OAOC OAOB OB OC 2 8 4 . .cos 2 4 3 . .cos 2 2 3 . .cos 2 0 R OAOC B OAOB C OB OC A 2 2 2 2 8 4 cos 2 4 3 cos 2 2 3 cos 2 0 R R B R C R A 3 cos 2 2cos 2 2 3 cos 2 4 A B C . Dấu bằng xẫy ra khi 0 0 0 45 , 60 , 75 A B C . Vậy P 4 m in . VẤN ĐỀ 6 TÍCH VÔ HƯỚNG Email: ngvnho93@gmail.com Câu 329: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính . . . AB BC BC CA CA AB A. 2 3 2 a B. 2 3 2 a C. 2 3 2 a D. 2 3 2 a Lời giải Họ và tên: Nguyễn Văn Nho Facebook: Nguyễn Văn Nho Chọn A Cách 1 Nhận xét: Với mọi điểm M bất kỳ, ta luôn có 2 2 2 2 2 . AB AM MB AM MB AM MB 2 2 2 1 . 2 AM MB AB AM MB Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 2 2 1 . 2 2 1 . 2 2 a AB BC AC AB BC a BC CA BA BC CA a CA AB CB CA AB 2 3 . . . 2 a AB BC BC CA CA AB . Cách 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Do tam giác ABC đều nên , , BM CP AN lần lượt là các hình chiếu của , , BC CA AB lên các cạnh BA, CB, AB. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 139 Áp dụng công thức chiếu, ta có 2 2 2 . . . . . 2 2 . . . . . 2 2 . . . . . 2 2 a a AB BC AB BM AB MB AB MB a a a BC CA BC CP BC PC BC PC a a a CA AB CA AN CA NA CA NA a Cộng vế theo vế ta được 2 3 . . . 2 a AB BC BC CA CA AB . Cách 3. Vì tam giác ABC đều nên 0 , , , 120 AB BC BC CA CA AB . Do đó 2 2 2 1 . . .cos , . . 2 2 1 . . .cos , . . 2 2 1 . . .cos , . . 2 2 a AB BC AB BC AB BC a a a BC CA BC CA BC CA a a a CA AB CA AB CA AB a a 2 3 . . . 2 a AB BC BC CA CA AB Câu 330: Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh , AB AC lần lượt tại , M N . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 2 . . . 2 3 AM AN AN MB AM NC B. . . . AM AN AN MB AM NC C. 2 . ( . . ) 3 AM AN AN MB AM NC D. 3 . ( . . ) 2 AM AN AN MB AM NC Lời giải Chọn B P N M B A CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 140 Trước hết ta chứng minh 1(1) BM CN AM AN Thật vậy, kẻ // // BP MN CQ MN BM PG AM AG CN QG AN AG Do đó (1) 1 ( ) ( ) PG QG PG QG AG GD PD GD DQ AG AG AG 2GD AG ( luôn đúng) Vậy ta có 1 BM CN AM AN . . . . . . cos cos cos BM AN CN AM AM AN AN MB AM NC AM AN A A A . . . AM AN AN MB AM NC ( Do cos 0 A ) Câu 331: Cho các véc tơ , , a b c thỏa mãn , , a a b b c c và 3 0 a b c . Tính . . . A a b b c c a . A. 2 2 2 3 2 c a b . B. 2 2 2 3 2 a c b . C. 2 2 2 3 2 b a c . D. 2 2 2 3 2 c a b . Lời giải Tác giả: Quang Phi Chọn A Ta có 2 2 3 0 3 9 a b c a b c a b c 2 2 2 2. . 9 a b a b c 2 2 2 9 . 2 c a b a b Q P N G D A B C MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 141 Tương tự ta có 2 2 2 2 2 3 3 9 6. . b c a b c a b c b c a 2 2 2 9 . 6 a b c b c . Và ta lại có 2 2 3 3 a c b a c b 2 2 2 2 2 2 9 9 6. . . 6 b a c a c a c b a c . Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 9 3 2 6 6 2 c a b a b c b a c c a b A . Họ và tên: Đoàn Thị Hường Email: ngochuongdoan.6@gmail.com Fb: Đoàn Thị Hường Câu 332: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Biết rằng 2 . AM BC a . Độ dài cạnh AC là: A. 33 3 a AC B. 3 AC a C. 3 3 a AC D. 5 AC a Bài giải Từ giả thiết M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC nên ta có 1 3 BM BC Đặt AB = x; AC = y ta có 2 2 2 4 x y a (1) (Tam giác ABC vuông tại A) Mặt khác từ 1 1 2 1 ( ) 3 3 3 3 AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC Nên có 2 2 2 1 . ( )( ) 3 3 AM BC a AB AC AC AB a 2 2 2 1 2 3 3 AC AB a ( Do . 0 AB AC ) 2 2 2 1 2 3 3 y x a (2) Từ (1) và (2) ta có 33 3 a y Chọn đáp án A Họ tên: Đào Hữu Nguyên FB: Đào Hữu Nguyên Mail: huunguyen1979@gmail.com Câu 333: Cho tam giác ABC có 0 90 , 1, 2 BAC AB AC .Dựng điểm M sao cho , 3 AM BC AM . Đặt . . AM x AB y AC .Tính 2 2 ? T x y A. 153 20 T . B. 151 20 T . C. 157 20 T . D. 159 20 x . Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 142 Chọn A Từ 2 2 2 2 2 2 2 . . 9 4 AM x AB y AC AM x AB y AC x y Và . . . . . 0 . ( ) . ( ) 9 4 AM BC x AB BC y AC BC x AB AC AB y AC AC AB x y Ta có hệ: 2 2 2 144 4 9 20 4 0 4 x x y x y x y . Suy ra 2 2 153 20 T x y . Email: truongthanhha9083@gmail.com Câu 334: Cho tam giác ABC vuông tại A. Quỹ tích điểm M thỏa mãn 2 . . MB MC MA BC MA là A. Đường thẳng AC. B. Đường thẳng AB. C. Đường thẳng BC. D. Đường trung trực cạnh BC. Lời giải Họ và tên tác giả: Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Chọn B Yêu cầu bài toán trở thành 2 2 2 ( ).( ) . ( ) . . ( ) ( ) (*) MA AB MA AC MA BC MA MA MA AB AC AB AC MA BC MA MA AB AC MA AB AC Gọi E là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật ABEC. Hệ thức (*) trở thành . . ( ) 0 ( ) 0 . 0 MA AE MA BC MA AE BC MA AE AC MACE MA AC Vậy điểm M thuộc đường thẳng AB. Câu 335: Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , 0 a . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC , CA , AB sao cho BM a , 2 CN a , AP x 0 3 x a . Tìm x để AM PN . A. 3 5 a x . B. 4 5 a x . C. 5 a x . D. 2 5 a x Lời giải Họ và tên tác giả: Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Chọn B Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 143 Ta có 1 3 AM AB BM AB BC 1 2 1 3 3 3 AM AB AC AB AB AC . Ta có 1 3 3 x PN AN AP AC AB a . Để AM PN thì 2 1 1 . 0 0 3 3 3 3 x AM PN AB AC AC AB a 2 2 2 2 1 . . 0 9 9 9 9 x x AB AC AB AC AB AC a a . 2 2 2 2 1 . .cos60 3 3 . .cos60 0 9 9 9 9 x x AB AC a a AB AC a a 2 2 2 1 2 1 1 3 3 9 9 3 3 0 9 2 9 9 9 2 x x a a a a a a a a . 2 5 4 2 0 2 5 a a ax x . Vậy 4 5 a x thì AM PN . Nguyenducloi qv2@gmail.com Câu 336: Cho tam giác ABC vuông cân tại B . Gọi M là trung điểm AB và I là điểm di động trên đường thẳng MC . Khi 2IM AC đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số AC AI . A. 1 AC AI . B. 2 AC AI . C. 2 AC AI . D. 3 2 AC AI . (Họ và tên tác giả: Nguyễn Đức Lợi, Tên FB: Nguyễn Đức Lợi) Lời giải Chọn B Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 144 Gọi N là trung điểm BC . Có 2 2 . IM AC IA IB IC IA IB IC IN Do đó 2IM AC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của N trên MC . Dựng hình vuông ABCD . Gọi P là trung điểm CD và H là giao điểm của AP với DN . Dễ dàng chứng minh được DN CM I DN . Lại có tứ giác AMCP là hình bình hành, suy ra / / AP CM . Do đó AP DI và H là trung điểm . DI Suy ra tam giác AID cân tại . A Vậy 2. AC AC AI AD Email: buivuongphung@gmail.com Câu 337: Cho ABC có trọng tâm G , H là chân đường cao kẻ từ A sao cho 1 3 BH HC . Điểm M di động trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho MA GC nhỏ nhất. A. 6 5 B. 5 4 C. 4 5 D. 5 6 Lời giải Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền Chọn D Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 145 Gọi I là trung điểm cạnh BC . 2 3 2 3 2 1 2 . 3 4 3 5 2 6 3 MA GC MC CG GA GC MC IA BC BM IH HA BC xBC CB HA x BC HA Suy ra 2 2 2 2 2 5 4 4 6 9 9 MA GC x BC HA HA Dấu “=” xảy ra khi 5 6 x . Email: nguyenthitrangtnh@gmail.com Câu 338: Cho tam giác ABC, nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn ; O R . Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Cho đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM tính giá trị biểu thức 2 2 2 2 AC AB BC theo R. A. 8R 2 . B. 10R 2 . C. 12R 2 . D. 14R 2 . Lời giải Họ và tên: Nguyễn Thị Trăng Fb: Trăng Nguyễn Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có: , 3 2 OA OB OC OB OC OG OM . Khi đó . 0 0 OG OM OG OM OA OB OC OB OC 2 . . 2 . 2 0 OAOB OAOC OB OC R 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 2 2 R AB R AC R BC R G C M I H B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 146 (chú ý 2 2 2 . 2 a b a b a b ) 2 2 2 2 2 12 AB AC BC R Email: phamhongquangltv@gmail.com Câu 339: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, M = 0 60 Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME kMP .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP. A. k= 2 3 . B. k= 2 5 . C. k= 1 3 . D. k= 1 2 . Lời giải Họ và tên tác giả: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Chọn B Ta có: NE NM ME kMP MN 1 MF (MP MN) 2 NE MF (MP MN) .( kMP MN )=0 . 2 2 MN.(MP MN) MN.MP MN 16 16 2 k 64 16 5 MP.(MP MN) MN.MP MP . (Email): Khueninhbinh2004@gmail.com Câu 340: Đẳng thức . . MA AD MB BC đúng với mọi điểm M. Khi đó tứ giác ABCD là hình gì. A. Hình thang vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi. D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Lời giải (Họ và tên tác giả: Phạm Trung Khuê, Tên FB: Khoi Pham) Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 147 Chọn B Đẳng thức . . MA AD MB BC đúng với mọi điểm M Cho M trùng với , A B ta được . 0 . 0 AB BC AB BC AB AD BA AD Cho M trùng với C ta được . . . . CA AD CB BC CB BA AD CA AB BC . . CB AD CA BC (vì . . 0 BA AD AB BC ) . . 0 . 0 . 0 CB AD CACB CB AD CA CB CD CB CD Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Email: dacgiap@gmail.com Câu 341: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi , M N lần lượt thuộc các đoạn thẳng BC và AC sao cho 1 3 BM MC , CN k AN và AM DN . Khi đó k thuộc khoảng nào dưới đây? A. 3;5 . B. 5; 3 . C. 4; 2 . D. 2;4 . Lời giải Họ và tên: Nguyễn Đắc Giáp Facebook: dacgiap Chọn B Ta có: 1 4 AM AB BM AB BC ; Từ CN k AN và N nằm giữa hai điểm , A C nên suy ra 0 k và 1 1 1 1 AN AC AB AD k k 1 1 DN DA AN DA AB AD k 1 1 . 0 0 4 1 AM DN AM DN AB BC DA AB AD k N M D A B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 148 2 1 1 1 . . . . . 0 1 4 4 1 AB DA AB AB AD BC DA BC AB BC AD k k 2 2 5 0 4 4 1 4 a a k k . Email: nnqman235@gmail.com Câu 342: Cho hai vector , a b thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 7, 2 a b a b , vector (3 ) a b vuông góc với ( ) a b . Tính cosin của góc tạo bởi hai vector a và b . A. 1 3 . B. 2 4 . C. 1 3 . D. 2 4 . Lời giải Họ và tên tác giả: Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Tên FB: Ngonguyen Quocman Chọn B Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 4 4 . 7 1 2 2 . 4 2 1 3 2 . 0 (3 ).( ) 0 . 2 a b a b a b a a b a b a b b a b a b a b a b a b . Suy ra . 2 cos( ; ) 4 . a b a b a b . Câu 343: Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh ; ; BC a CA b AB c . Tìm giá trị biểu thức: 2 2 2 . . . OA OB OC K b c c a a b A. 1 2 K B. 1 3 K C. 1 K D. 1 4 K Lời giải Áp dụng tính chất đường phân giác vào các phân giác , , OA OB OC ta luôn có: . . . 0 a OA b OB c OC . Từ đó 2 . . . 0 a OA b OB c OC 2 2 2 2 2 2 2. . . 2 . . . 2. . . . 0 a OA b OB c OC a bOAOB b c OB OC c a OC OA Vì 2 2 2 2 2 2. . OA OB BA OA OB c OAOB OA OB c Tương tự ta có: Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 149 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a OA b OB c OC ab OA OB c bc OB OC a ca OC OA b 2 2 2 2 2 2 1 a b c aOA bOB cOC abc a b c OA OB OC bc ac ab Chọn đáp án C. 1 K Họ và tên: Lê Thái Bình Email: lebinhle80@gmail.com Facebook: Lê Thái Bình Câu 344: Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho 1 . 3 C M C N C B C D Gọi E là điểm thỏa mãn . A E k A N Khi . B E A M Tính giá trị biểu thức T k k 2 1. A. 1 3 1 6 B. 7 9 C. 8 9 D. 5 1 6 Lời giải. Đặt ; AB a AD b . Ta có 2 2 3 3 3 BE BA AE B A k A N BA k A D D N k a k b a a k b và 2 . 3 A M A B BM a b Khi đó 2 3 2 3 . 0 0 . 3 3 4 k BE A M BE A M k k Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 150 Câu 345: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho 4 AC AM . Gọi N là trung điểm CD. Tam giác BMN là A. Tam giác đều. B. Tam giác cân. C. Tam giác Vuông. D. Tam giác vuông cân Lời giải Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa Chọn D Đặt , AD a AB b . Khi đó: 1 3 4 MB a b 1 1 ( ); 4 4 2 1 1 (3 ) 4 4 b AM AC a b AN AD DN a MN AC a b Ta có: 1 . ( 3 )(3 ) 16 MB MN a b a b 2 2 1 ( 3 3 8 . ) 0 1 16 a b a b MB MN 2 2 2 2 2 1 1 5 ( 3 ) ( 9 6 . ) 16 16 8 MB a b a b a b a 2 2 2 2 2 1 1 5 (3 ) (9 6 . ) 16 16 8 MN a b a b a b a Suy ra 2 MB MN Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M (Email): luongthanh80tm@gmail.com Câu 346: Cho tam giác ABC . Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Đặt BC a , CA b , AB c . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c sao cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. 2 2 2 2a b c . B. 2 2 2 2b a c . C. 2 2 2 2c a b . D. 2 2 2 2 2 b a c . Lời giải Chọn A Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 151 Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh được tứ giác BHCD là hình bình hành. Nên HB HC HD Ta có O là trung điểm của đoạn AD nên 2 HA HD HO Suy ra 2 HA HB HC HO Ta có: 2 OB OC OM AH ; tương tự ; OA OC BH OA OB CH OA OB OC OH Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA và AB . . 0 ( ).( ) 0 OH AM OH AM OA OB OC AB AC (3 ).( ) 0 OA AB AC AB AC 2 3 .( ) ( ) 0 OA AB AC AB AC 2 2 3 . 3 . 2 . 0 OA AB OA AC AB AB AC AC 2 2 3 . 3 . 2 . 0 AB AP AC AN AB AB AC AC 2 2 2 2 3 3 2 . 0 2 2 c b c AB AC b Lại có: 2 2 2 2 2 ( ) 2 . a BC AC AB b c AB AC 2 2 2 2 . AB AC b c a Suy ra: 2 2 2 2a b c . N P D M H O B C ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 152 (Sưu tầm, Họ và tên: Nguyễn Lương Thành, Tên FB: luongthanh.nguyen.7) Câu 347: Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh , AB AC lần lượt tại , M N . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 2 . . . 2 3 AM AN AN MB AM NC B. . . . AM AN AN MB AM NC C. 2 . ( . . ) 3 AM AN AN MB AM NC D. 3 . ( . . ) 2 AM AN AN MB AM NC Lời giải Chọn B Trước hết ta chứng minh 1(1) BM CN AM AN Thật vậy, kẻ // // BP MN CQ MN BM PG AM AG CN QG AN AG Do đó (1) 1 ( ) ( ) PG QG PG QG AG GD PD GD DQ AG AG AG 2GD AG ( luôn đúng) Vậy ta có 1 BM CN AM AN . . . . . . cos cos cos BM AN CN AM AM AN AN MB AM NC AM AN A A A . . . AM AN AN MB AM NC ( Do cos 0 A ) Họ và tên:Phan Thông Email:quocthong1182@gmail.com Q P N G D A B C MSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 153 Facebook:Quocthongphan Câu 348: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4.Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm trên cạnh AD sao cho AN k AD ,CM vuông góc với BN.Khi đó k thuộc vào khoảng nào sau đây A. 1 0; 16 B. 1 1 ; 16 20 C. 1 1 ; 20 9 D. 1 1 ; 9 6 Giải: Đặt AB a , AD b Ta có 1 1 2 2 CM CB BM AD AB b a BN BA AN AB k AD a kb Theo giả thiết ta có . 0 CM BN 1 1 1 . 0 16 .4 0 2 2 8 b a a kb k k Họ và tên tác giả: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Email: phamhongquangltv@gmail.com Câu 349: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, M = 0 60 Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME kMP .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP. A. k= 2 3 . B. k= 2 5 . C. k= 1 3 . D. k= 1 2 . Lời giải Chọn B Ta có: NE NM ME kMP MN 1 MF (MP MN) 2 NE MF (MP MN) .( kMP MN )=0 Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 154 . 2 2 MN.(MP MN) MN.MP MN 16 16 2 k 64 16 5 MP.(MP MN) MN.MP MP . Câu 350: Cho tam giác ABC có , , BC a CA b AB c . M là trung điểm của BC , D là chân đường phân giác trong góc A . Tính 2 AD A. 2 2 4c AD p p a b c . B. 2 2 4bc AD p a b c . C. 2 2 4bc AD p p a b c . D. 2 2 4bc AD p p a b c (Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Lời giải Chọn D Vì M là trung điểm của BC nên 1 2 AM AB AC Suy ra 2 2 2 2 1 1 2 4 4 AM AB AC AB ABAC AC Ta lại có 2 2 2 1 . 2 AB AC c b a nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2. 4 2 4 b c a AM c c b a b Theo tính chất đường phân giác thì BD AB c DC AC b Suy ra BD b BD DC DC DC c (*) Mặt khác BD AD AB và DC AC AD thay vào (*) ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 . 2 b AD AB AC AD b c AD bAB cAC c b c AD bAB bcABAC cAC b c AD b c bc c b a c b bc AD b c a b c a b c Hay 2 2 4bc AD p p a b c Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 155 Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Bài ở mức độ VD, nhờ thầy cô góp ý! Câu 351: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và 0 60 . BAC Các điểm M, N được xác định bởi 2 MC MB và 2 NB NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. A. 2 2 6 4 5 0 c b bc . B. 2 2 4 5 6 0 c b bc . C. 2 2 6 5 4 0 c b bc . D. 2 2 4 6 5 0 c b bc . Lời giải Chọn D Ta có: 2 2( ) 3 2 MC MB AC AM AB AM AM AB AC . Tương tự ta cũng có: 3 2 CN CA CB . Vậy: 0 (2 )(2 ) 0 AM CN AM CN AB AC CA CB 2 2 (2 )( 3 ) 0 2 3 5 . 0 AB AC AB AC AB AC AB AC . 2 2 2 2 5 2 3 0 4 6 5 0 2 bc c b c b bc . Họ tên: Trần Ngọc Tên FB: Ngọc Trần Email: soantailieutoanhoc2018@gmail.com Câu 352: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn 2 2 OM OA OB OC . Biết rằng OM vuông góc với BI và 2 3 . AC BC BA . Tính góc ABC . A. 30 . B. 45 C. 60 . D. 120 . Lời giải Chọn C Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 156 Ta có 2 . =0 2 2 0 OM BI OM BI OA OB OC BA BC 2 5 2 2 0 5 . +5 . 2 0 OB BA BC OB BA OB BC BA BC Gọi , H K tương ứng là trung điểm của đoạn , AB BC Khi đó 2 5 . +5 . 2 0 OB BA OB BC BA BC 2 5 . 5 . 2 0 OH HB BA OK KB BC BA BC 2 2 2 2 5 5 2 2 2.2 . 0 2 2 BC BC BA BC BA BC 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 0 . 2 2 4 BA BC AB BC AC AC AB BC Do đó 2 2 2 2 2 2 4 3 cos 2 2 . 3 AC AC BA BC AC ABC BA BC AC . Suy ra 60 ABC . Họ và tên tác giả: Đào Trung Kiên (st) Tên FB: kienyenthe Email: kienyenthe@gmail.com Câu 353: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b. Gọi M là trung điểm của BC. Hệ thức giữa a, b, h để D AM B là A. 2 2 0 a h ab . B. 2 2 0 h a ab C. 2 2 0 h b ab . D. 2 2 0 b h ab . Lời giải Chọn B M K H I O A B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 157 Ta có 2 2 2 2 D 2 . D 0 0 0 . 0 0 AM B AM B AB AC BD AB AD DC AD AB AB AD DC AB h a ab Họ và tên: Vũ Huỳnh Đức Email: vutoanpvd@gmail.com Facebook: vuhuynhduc2017 Câu 354: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn 1 3 BM BC , 1 3 AN AB . Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính diện tích của tam giác IBC theo a? A. 2 3 7 IBC a S . B. 2 7 7 IBC a S . C. 2 2 7 7 IBC a S . D. 2 2 3 7 IBC a S . Lời giải Chọn A 2 x+y=1 3 x+y=1 3 , : , , x I CN x y BI x BN y BC BI BN y BC và do I AM nên từ 2 3 3 x BI BA y BC ta cũng có 2 3 1 3 . x y Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 158 x+y=1 6 1 4 1 x= y= 2 7 7 7 7 3 1 3 , BI BA BC x y - Từ giả thiết ta có 2 1 CN= 3 3 CA CB 2 1 4 1 CN 3 3 7 7 8 4 2 1 0 21 21 21 21 . . . . . . BI CA CB BA BC BA CA BA CB BC CA BC CB BIC vuông tại I. 2 2 2 4 1 4 1 21 7 7 7 7 49 BI BA BC BI BA BC a 2 2 2 2 2 2 2 7 21 28 49 49 7 IC BC BI a a a IC a Vậy 2 3 1 2 7 . IBC a S BI IC . Họ và tên tác giả: Huỳnh Thanh Tịnh Tên FB: huynhthanhtinh Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com Câu 355: Cho tam giác đều ABC và các điểm , , M N P thỏa mãn BM k BC , 2 3 CN CA , 4 15 AP AB . Tìm k để AM vuông góc với PN . A. 1 3 k B. 1 2 k C. D. 3 4 k Lời giải Chọn A I M N C B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 159 ( ) BM k BC AM AB k AC AB (1 ) AM k AB k AC +) PN AN AP 4 1 15 3 AB AC . Để AM vuông góc với PN thì . 0 AM PN 4 1 (1 ) 0 15 3 k AB k AC AB AC 2 2 0 4(1 ) 1 4 ( ) 0 15 3 3 15 4(1 ) 1 4 ( )cos60 0 15 3 3 15 1 3 k k k k AB AC AB AC k k k k k Email: duyhung2501@gmail.com Câu 356: : Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh ; ; BC a CA b AB c . Tìm giá trị biểu thức: 2 2 2 . . . OA OB OC K b c c a a b A. 1 2 K B. 1 3 K C. 1 K D. 1 4 K Lời giải Chọn C Áp dụng tính chất đường phân giác vào các phân giác , , OA OB OC ta luôn có: . . . 0 a OA b OB c OC . Từ đó 2 . . . 0 a OA b OB c OC 2 2 2 2 2 2 2. . . 2 . . . 2. . . . 0 a OA b OB c OC a bOAOB b c OB OC c a OC OA Vì 2 2 2 2 2 2. . OA OB BA OA OB c OAOB OA OB c Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 160 Tương tự ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a OA b OB c OC ab OA OB c bc OB OC a ca OC OA b 2 2 2 2 2 2 1 a b c aOA bOB cOC abc a b c OA OB OC bc ac ab Chọn đáp án C. 1 K Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng. FB: Hùng Tăng Họ và tên: Nguyễn Thị Huệ FB: Nguyễn Thị Huệ Gmail: nguyenthihue1611@gmail.com Câu 357: Cho hai véc tơ a và b thỏa mãn các điều kiện 1 1, 2 a b 2 15. a b Đặt u a b và 2 , . v ka b k Tìm tất cả các giá trị của k sao cho 0 , 60 . u v A. 3 5 4 . 2 k B. 3 5 4 . 2 k C. 17 5 . 2 k D. 17 5 . 2 k Lời giải. Chọn A Từ giả thiết 2 1 2 15 2 15 . 2 a b a b a b . 9 . 2 3 2 u v a b ka b k , 2 2 2 6, 4 2 4 u u v v k k 0 2 9 3 1 3 5 2 , 60 4 . 2 2 6. 4 2 4 k u v k k k Họ và tên tác giả: Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê Email: Lenguyet150682@gmail.com Câu 358: Cho tứ giác ABCD , hai điểm , M N thỏa mãn 2 0;2 0 MB MA NC ND và . AD x BC Tính cos cos DBC ADB theo x để . MN BD A. 2 x . B. 2 x . C. 3 x . D. 3 x . Lời giải Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 161 Phân tích: Ta thấy . 0; ; ; ; MN BD MN BD DBC BD BC ADC AD BD nên cần phân tích MN theo AD và BC . Giải. Ta có biểu diễn 2 2 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 3 3 3 3 MN MA AN BA AN BN NA AN BN AN BC CN AD DN BC AD Vậy 2 1 3 3 MN BC AD . Do đó 2 . 0 2 .cos .cos 0 MN BD BC AD BD BC DBC AD ADB . Suy ra cos . 2 2 cos DBC AD x BC ADB Đáp án B. Họ và tên tác giả: Trần Thanh Hà Tên FB: Hatran Email: tranthanhha484@gmail.com Câu 359: Cho tam giác ABC có 6; 7; 5. AB BC CA Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho 2 AM MB và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC ( k ). Biết a k b ( a b là phân số tối giản, a,b là các số nguyên) sao cho đường thẳngCM vuông góc với đường thẳng . BN Tính giá trị biểu thức 2018 2019 5 T a b . A. 2017. T B. 2020. T C. 2030. T D. 2030. T Lời giải Chọn B Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 162 2 3 CM AM AC AB AC . BN AN AB k AC AB . Suy ra: 2 2 2 2 2 ( )( ) 3 3 3 k CM BN AB AC k AC AB AB AC AB k AC AB AC 2 2 2 2 2 . 6 2 6 7 AB A C B C AB A C C B AB AC B N C M k Theo giả thiết, ta có: 6; 7 2018.6 2019.7 5 2020. a b T Họ và tên tác giả: Đỗ Thế Nhất Tên FB: Đỗ Thế Nhất Email: nhatks@gmail.com Câu 360: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và 0 60 . BAC Các điểm M, N được xác định bởi 2 MC MB và 2 NB NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. A. 2 2 6 5 4 0 c b bc B. 2 2 6 5 0 c b bc C. 2 2 4 6 5 0 c b bc D. 2 2 4 6 5 0 c b bc Lời giải Chọn C Ta có: 2 2( ) 3 2 MC MB AC AM AB AM AM AB AC Tương tự ta cũng có: 3 2 CN CA CB Vậy: 0 (2 )(2 ) 0 AM CN AM CN AB AC CA CB (2 )( 3 ) 0 AB AC AB AC 2 2 2 3 5 . 0 AB AC AB AC 2 2 5 2 3 0 2 bc c b 2 2 4 6 5 0 c b bc Câu 361: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho AD kAN . Tìm k để CM BN. A. k=7,9 B. k=8 C. k=8,1 D. k=7.8 Lời giải Chọn B giải: Ta có 1 2 C M C B B M A D A B Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 163 1 B N B A A N AB A D k Để CM BN thì . 0 C M B N Mà 2 2 2 2 2 2 1 1 . 2 1 1 1 . . 2 2 1 1 1 1 2 2 2 CM B N AD A B AB AD k AD A B AD AB AB A D k k AD A B a a k k 2 2 1 1 . 0 2 0 2 4 1 0 8 2 CM BN a a k k k Vậy 8 k thì C M B N Họ và tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duy Tên FB: Ngọc Duy Email: nguyenngocduyakgl@gmail.com Câu 362: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC . Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên , AB AD . Biểu thức nào sau đây là đúng. A. 2 . . AB AH AD AF AC . B. 2 . . AB AE AD AF AC . C. 2 . . AB AE AD AH AC . D. . . . AB AE AD AF AC AH . Lời giải Chọn B Vì , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên , AB AD nên ta có: . . AB AE AC AB . . AD AF AC AD Suy ra: 2 . . AB AE AD AF AC AB AD AC (*) Do AC là đường chéo lớn nên 0 90 ABC và B nằm giữa hai điểm , A E . Suy ra . . AB AE AB AE Tương tự ta có: D nằm giữa hai điểm , A F . Suy ra . . AD AF AD AF Vậy đẳng thức (*) trở thành: 2 . . AB AE AD AF AC . Email: thuy.tranthithanhdb@gmail.com A C B D H E FSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 164 Câu 363: Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AD h , cạnh đáy , AB a CD b . Tìm hệ thức giữa , , a b h để BD vuông góc trung tuyến AM của tam giác ABC . A. 2 h a a b . B. 2 h a b a . C. h h b a a b h . D. 2 2h a a b Lời giải Chọn A Thay 1 . 2 AM AB AC , ta có: . 0 . 0 . . 0 AM BD AM BD AB AC BD AB BD AC BD (1) mà 2 2 . . AB BD AB AD AB AB a và 2 2 . . AC BD AD DC AD AB AD DC AB h ab nên: 2 1 h a a b . Họ và tên tác giả: Nguyễn Quang Nam Tên FB: Quang Nam Email: quangnam68@gmail.com Câu 364: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm chính giữa cung BC ( cung BC không chứa điểm A). Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau: A. .sin .sin MA MB C MC B B. .cos .cos MA MB C MC B C. .sin .sin MA MB B MC C D. .cos .cos MA MB B MC C Lời giải: Chọn C Ta có 2 2 . 2 . 2sin . . sin . (1) MA MA MO MA MA MO MA A MO A MA MA MA Tương tự 2sin . . sin . (2) MB B MO B MB MB , 2sin . . sin . (3) MC C MO C MC MC Từ (1), (2) và (3): h b a M A D B CSản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 165 sinA. sin . sin . 2 ( sin . sin . sin . ) 2 .0 0 MA B MB C MC MA MB MC MO A B C MA MB MC MO Ta sẽ chứng minh sin . sin . sin . 0 MA MB MC A B C MA MB MC (*) Thật vậy, 1 1 1 (*) . .sin . . .sinB. . .sinC. 0 2 2 2 MB MC A MA MA MC MB MB MA MC 0 a b c S MA S MB S MC ( đúng) ( với , , a b c S S S lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MAC, MAB) Vậy .sin .sin .sin 0 MA A MB B MC C .sin .sin .sin MA A MB B MC C (*) Theo bài ra: 0 sin sin 90 1 A thay vào (*): .sin .sin MA MB B MC C Họ Tên: Lương Thị Hương Liễu Tên FB: Hương Liễu Lương Email: lieuluong.290983@gmail.com Câu 365: Cho tam giác A B C có , , B C a C A b A B c . M là trung điểm của B C , D là chân đường phân giác trong góc A . Tính 2 A D A. 2 4 2 c A D p p a b c B. 2 2 4 b c A D p a b c C. 2 2 4 b c A D p p a b c D. 2 2 4 bc A D p p a b c Lời giải Chọn D * Vì M là trung điểm của BC nên 1 2 A M A B A C O A B C M M A B C D Hình 2.3 Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 166 Suy ra 2 2 2 2 1 1 2 4 4 AM AB A C A B A B A C A C Ta có 2 2 2 1 . 2 A B A C A B A C A B A C 2 2 2 1 2 AB AC CB 2 2 2 1 2 c b a nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2. 4 2 4 b c a A M c c b a b * Theo tính chất đường phân giác thì BD A B c D C A C b Suy ra BD c BD DC DC DC b (*) Mặt khác B D A D A B và DC A C A D thay vào (*) ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 . 2 c A D AB AC A D b c A D b AB c A C b b c AD b A B bc A B AC c AC b c AD b c bc c b a c b bc AD b c a b c a b c Hay 2 2 4 bc A D p p a b c Họ và tên tác giả: Phạm Thành Trung Tên FB: Phạm Thành Trung Email: trungthuong2009@gmail.com Câu 366: Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có một trò chơi như sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với nhau một góc 0 30 như hình vẽ dưới đây. Trên các đường thẳng Ox và Oy người ta để hai vật nặng cùng trọng lượng. Buộc hai vật thể với nhau bằng một thanh cứng 1 AB m sao cho mỗi vật đều có thể chuyển động được trên hai đường ray. Nối hai vật bằng một sợi giây vòng qua một cột có gốc tại O . Người tham dự cuộc thi sẽ đứng tại vị trí điểm B để kéo vật thể chuyển động trên Oy . Người thắng cuộc sẽ là người kéo được vật thể ra xa nhất so với điểm gốc O . Hãy dùng kiến thức toán học để tính toán vị trí xa nhất mà người tham dự cuộc thi có thể đạt được. Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 167 A. 1m. B. 2m . C. 3m . D. 2m . Lời giải Chọn B + Đặt ; ( , 0) OB x OA y x y . Khi đó theo định lý cosin ta có: 2 2 2 0 2 2 2 cos30 3 AB x y xy x y xy Do đó ta có hệ thức: 2 2 3 1 x y xy Xét phương trình bậc hai: 2 2 3 1 0 y xy x Phương trình có nghiệm y khi 2 2 3 4( 1) 0 0 2 x x x Vậy học vị trí xa nhất mà học sinh có thể đạt được cách O một khoảng là 2m Câu 367: Cho tam giác ABC có AB= c,BC=a,CA=b. Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và 3 2 CM AL . Tính cos A. A. 2 cos 2 A B. 5 1 cos 4 A C. 3 cos 2 A D. 1 cos 2 A Lời giải Chọn D Ta có: b c AL AB AC b c b c 2 2 2 CA CB AB AC CM Theo giả thiết: . 0 AL CM AL CM 2 2 2 2 2 0 cos 2 cos 2 0 2 1 cos 0 2 ( cos 1) bAB cAC AB AC bc bc A cb A cb c b A c b do A Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 4 2 b a c a b CM O B ASản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 168 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . 9 9 9 9 AL AB AC AB AC AB AC b a 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 3 . 3 2 4 9 4 CM CM a b a b AL AL b a 2 2 2 2 2 2 5 1 cos 2 4 2 b c a b a A bc b doantv.toan@gmail.com Câu 368: Cho hình chữ nhật ABCD có 1; 3 AB CD . Điểm M thuộc cạnh AD và N là trung điểm BC sao cho MN BD . Phân số tối giản m BN n NC có m n bằng bao nhiêu A. 29. B. 18. C. 16. D. 27. (Họ và tên tác giả: Trần Văn Đoàn, Tên FB: Trần Văn Đoàn) Lời giải Chọn B Ta có ( ) BD BA BC m BN BN m m BN BC k BC n NC BC m n m n 1 2 MN MA AB BN k BC AB . 0 BD MN nên 1 11 11 1 9 0 11, 7 2 18 11 7 k k m n Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thỏa Tên FB: Nguyễn Thị Thỏa Email: phamquynhanhbaby56@gmail.com Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 169 Câu 369: Cho tam giác ABC có AB c ; BC a , CA b . Gọi M là trung điểm của AB và D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . Biết rằng trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AD . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2 b c . B. 2 c b . C. a b c . D. c a b . Lời giải Chọn B Ta có D là chân đường phân giác trong góc A nên DB AB c DC AC b và DB , DC ngược hướng suy ra . . 0 c DB DC b DB c DC b Ta có: b c AD AB AC b c b c . Vì CM là trung tuyến nên 2 2 2 CA CB AB AC CM . Theo giả thiết: . 0 AL CM AL CM 2 0 bAB cAC AB AC 2 2 2 2 cos 2 cos 2 0 bc bc A cb A cb 2 1 cos 0 2 ( cos 1) c b A c b do A Vậy 2 c b . Câu 370: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC . Khi đó A. MA MB MC B. MA MB MC C. MA MB MC D. 2 MA MB MC Lời giải Chọn A Ta có 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 . 2. . 0 2. . 0 R OA OM MA R MA OM OA MA MA OM MA MA OM MA Tương tự 2. . 0 MB MB OM MB 2. . 0 MC MC OM MC Suy ra 2 ( ) 0 MA MB MC MA MB MC OM MA MB MC Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New Véc tơ- Tích Vô Hướng – Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com 170 Vì ; ; MA MB MC MA MB MC là các véc tơ đơn vị và đôi một tạo với nhau một góc 120 0 nên 0 MA MB MC MA MB MC , do đó 0 MA MB MC