Tổng Hợp Các Phương pháp tìm Nguyên hàm – Nguyễn Đình Sỹ

Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 1 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM * Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f(x) , cũng có nghĩa là ta đi tính một tích phân bất định : () I f x dx  . Ta có ba phương pháp : - Phương pháp phân tích . - Phương pháp đổi biến số . - Phương pháp tích phân từng phần Do đó điều quan trọng là f(x) có dạng như thế nào để ta ngiên cứu có thể phân tích chúng sao cho có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm được nguyên hàm của chúng . Hoặc sử dụng hai phương pháp còn lại - Sau đây là một số gợi ý giúp các em có thể nhận biết dạng của f(x) mà có phương pháp phân tích cụ thể , từ đó tìm được nguyên hàm của chúng . PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH I.TRƢỜNG HỢP : f(x) LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC 1 10 ( ) ..... nn nn f x a x a x a A.CÁCH TÌM 1. Sử dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số : f(x)= 1 1 ( ) . 1 x F x x C 2. Do đó nguyên hàm của f(x) là : 1 1 0 ..... 1 nn nn aa F x x x a x C nn B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA . Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau 1. 3 4 3 2 1 42 4 x x x x dx  2. 32 3 45 3 1 7 2 m mx x x m dx xx  3. 3 2 log 2sin 2 3cos 4 xx me a x x x dx  4. 2 3 t anx+3x-2 x dx x  GIẢI 1. 5 3 4 3 2 5 4 2 3 1 1 4 3 1 4 2 . 2 4 20 3 5 2 x x x x dx x x x x x C  2. 3 3 2 4 3 2 3 2 2 4 5 2 4 5 3 1 7 1 7 2 4 3 2. 2. m m m mx x x m dx x x x mx C x x x x  3. 3 2 1 3 2 log 2sin 2 3cos4 ln os2x+ sin 4 ln ln3 4 x x x x a me a x x x dx me x x x c x C a  4. 2 2 3 3 3 t anx+3x-2 4 ln osx 2 ln 3 2 x x dx x c x x C x  Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 2 II. TRƢỜNG HỢP f(x)LÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ : fx)= () () Px Qx * Trường hợp : Bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng bậc của Q(x) , thì bằng phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) được một đa thức A(x) và một số dư R(x) mà bậc của R(x) thấp hơn bậc của Q(x). Như vậy tích phân của A(x) ta tính được ngay ( như đã trình bày ở trên). Do vậy ta chỉ ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) trong trường hợp bậc tử thấp hơn bậc của mẫu , nghĩa là f(x) có dạng : () () () Rx fx Qx . Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) có một số dạng đặc biệt . 1. Hàm số f(x) có dạng : 2 1 0 ax I dx a bx c   * Ta phân tích : 2 2 2 ax 24 b bx c a x aa      , mà ta đã biết ở lớp 10 . * Xét ba trường hợp của  . Ta sẽ có ba dạng của f(x) và ta cũng có ba cách tìm nguyên hàm gợi ý sau : - Nếu : 2 2 2 22 ; 22 0 0ax 24 b u x k b aa bx c a x aa a u k           - Nếu : 2 2 2 0 2 4 2 bb a x au u x a a a               - Nếu : 2 1 2 1 2 2 0; 2 4 2 2 b b b a x a x x x x x x a a a a         Do vậy tích phân trên có thể giải như sau : - Trường hợp : 0  , thì 2 2 2 1 1 1 . ax I dx du bx c a u k  * Nếu đặt : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tan 1 tan 1 1 1 1 os . . 1 tan . 1 tan tan 1 tan u t du dt t dt ct I du t dt a u k ak t u k k t k k t    22 1 . t dt C ak ak  . ( với : tan arctanu u t t  ). - Trường hợp :  =0 thì : 22 1 1 1 1 ax 2 I dx du C b bx c u u x a  . Hay : 2 2 1 1 1 1 ax 2 2 I dx dx C b bx c a b ax x a a  Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 3 - Trường hợp : 0.  thì : 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ax I dx dx dx bx c a x x x x a x x x x x x    2 12 2 1 2 1 1 11 ln ln ln xx x x x x C a x x a x x x x . Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau : a. 2 1 1 dx xx  b. 2 1 23 dx xx  GIẢI a. 2 2 2 11 1 13 42 dx dx xx x  . Đặt : 2 1 3 3 tan 1 tan 4 2 2 x t dx t dt  . 2 2 2 1 1 3 3 . 1 tan 33 1 4 4 1 tan 44 dx t dt dt t C xx t    . Với : 1 3 2 3 tan arctan 4 2 4x-1 x t t b. 2 2 2 11 . 23 12 dx dx xx x  Đặt : 2 1 2 tan 2 1 tan x t dx t dt . 2 2 2 1 1 1 1 . 1 tan 2 3 2 2 2 tan 1 dx t dt dt t C xx t    Với : 11 1 2 tan tan arctan 22 xx x t t t Ví dụ 2 . Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a. 2 1 44 dx xx  b. 2 1 9 12 4 dx xx  GIẢI a. 2 2 1 1 1 4 4 2 2 dx dx C x x x x  b. 22 2 1 1 1 1 1 1 1 2 9 12 4 9 9 9 6 22 9 3 33 dx dx dx C x x x x xx            Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 4 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. 2 1 32 dx xx  b. 2 1 4 3 1 dx xx  GIẢI a. 2 1 1 1 1 1 2 ln 2 ln 1 ln 3 2 2 1 1 2 2 1 1 x dx dx dx dx x x C x x x x x x x     b. 2 1 1 1 1 1 1 1 . 1 11 4 3 1 4 3 1 11 4 44 dx dx dx dx x x x x xx                  41 1 1 1 1 1 ln 1 ln ln ln 1 3 4 3 3 4 1 4 x x x x C C x x    2. Hàm số f(x) có dạng : 2 Ax+B () ax fx bx c * Ta có hai cách tìm . -Cách một : Biến đổi tử số thành dạng : 2 Ax+B=d(ax ) 2 bx c D ax b dx D +) Nếu D=0 thì : 2 2 2 2 2 d ax 2 Ax+B ln ax ax ax ax bx c ax b dx dx bx c C bx c bx c bx c    +)Nếu D 0  thì : 2 2 2 2 2 d ax 2 Ax+B 1 ax ax ax ax bx c ax b dx dx D dx bx c bx c bx c bx c     2 2 1 ln ax ax bx c D dx C bx c  Trong đó : 2 1 ax dx bx c  , đã biết cách tìm ở ý 1. -Cách hai :( Chỉ áp dụng cho trường hợp mẫu số có hai nghiện thực 12 xx ) +) Ta biến đổi : 2 1 2 1 2 Ax+B Ax+B 1 * ax a x-x MN bx c x x a x x x x +) Sau đó quy đồng mẫu số vế phải thành : 2 1 2 1 1 2 1 2 11 M x x N x x M N x Mx Nx a x x x x a x x x x +) Đồng nhất hệ số hai tử số , ta có hệ : 21 M N A Mx Nx C  . Từ đó suy ra M,N +) Thay M,N vào (*) ta tính được tích phân : 12 2 12 Ax+B 1 ln ln ax M N M N dx dx dx x x x x C bx c a x x x x a a       Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 5 * Chú ý : Ta có thể tìm M,N bằng cách khác là thay lần lượt hai nghiệm của mấu số vào hai tử số , ta được hai phương trình .Từ hai phương trình ta suy ra M,N . Các bước tiếp theo lại làm như trên . CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. 2 2( 1) 23 x dx xx  b. 2 22 44 x dx xx  GIẢI a. 2 2 2 2 2 23 2( 1) 2 2 ln 2 3 2 3 2 3 2 3 d x x xx dx dx x x C x x x x x x    b. 2 2 2 2 2 43 22 24 ln 4 3 4 3 4 3 4 3 d x x x dx x dx x x C x x x x x x    Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. 2 32 23 x dx xx  b. 2 23 44 x dx xx  GIẢI a.Cách 1. Ta có : 2 2 2 22 3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 E x D x E D E x x x x x x . Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ phương trình : 2 2 2 3 3 22 23 3 2 1 2 2 22 2 3 2 3 2 3 1 x E E x DE x x x x x x D   . Vậy : 2 2 2 2 2 23 3 2 3 1 3 ln 2 3 1 2 3 2 2 3 2 3 2 d x x x dx dx x x J x x x x x x    Tính :J= 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 3 ln 2 3 4 1 3 4 4 3 x dx dx dx x x C x x x x x    Do đó : 2 2 3 2 3 1 1 ln 2 3 ln 2 3 2 4 3 xx dx x x C x x x  -Cách 2. Ta có : +) 2 3 1 3 3 2 3 2 * 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 A x B x A B x A B x x A B x x x x x x x x x x Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 6 Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ : 5 3 4 3 2 7 4 A AB AB B   Suy ra : 2 3 2 5 1 7 1 .. 2 3 4 1 4 3 x x x x x Vậy : 2 3 2 5 1 7 1 5 7 ln 1 ln 3 2 3 4 1 4 3 4 4 x dx dx dx x x C x x x x    . +) Phân tích f(x) đễn (*) .Sau đó thay hai nghiệm x=1 và x=3 vào hai tử số để tìm A,B , cụ thể ta có hệ hai phương trình sau : 5 3.1 2 (1 3) 4 3( 3) 2 ( 3 1) 7 4 A A B B   Các bước tiếp theo giống như trên . b..Ta có : 2 2 2 24 2 3 2 4 4 4 4 4 4 4 E x D x Ex D E x x x x x x . Đồng nhất hệ số hai tử số : Ta có hệ 2 2 1 4 3 7 EE D E D  Suy ra : 2 2 2 2 3 2 4 7 4 4 4 4 4 4 xx x x x x x x . Vậy : 2 2 22 2 3 2 4 1 7 7 ln 4 4 4 4 4 4 2 2 xx dx dx dx x x C x x x x x x    3. TỔNG QUÁT : a. Trường hợp mẫu số không có nghiệm thực có nghiệm thực (Tức là mẫu số vô nghiệm). * Ta phân tích như ở ví dụ 5- cách 1 b. Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm thực đơn * Ta phân tích giống như ví dụ 5a- cách 2. c. Trường hợp mẫu số có cả trường hợp không có nghiệm thực và trường hợp có nhiều nghiệm thực đơn . * Ta sử dụng cả hai phương pháp trên . CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. 2 3 3 12 12 xx dx x x x  b. 2 26 1 2 4 xx dx x x x  GIẢI a.Ta phân tích f(x)= 2 Ax x+2 1 1 2 3 3 12 1 2 1 2 1 2 Bx x C x x x x A B C x x x x x x x x x . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 7 Bằng cách thay các nghiệm thực của mẫu số vào hai tử số ta có hệ : 1 18 3 6 6 3 6 2 18 6 3 ( ) 12 0 12 2 6 x A A x B B f x x x x x C C     Vậy : 2 3 3 12 6 3 6 6ln 1 3ln 2 6ln 1 2 1 2 xx dx dx x x x C x x x x x x  b. Ta phân tích f(x)= 2 2 4 1 4 1 2 26 1 2 4 1 2 4 1 2 4 A x x B x x C x x x x A B C x x x x x x x x x Bằng cách thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số ta có hệ : 1 9 3 3 3 7 5 2 14 2 7 ( ) 1 2 4 4 30 6 5 x A x x B x f x x x x x C C     Vậy 2 2 6 3 7 5 3ln 1 7ln 2 5ln 4 1 2 4 1 2 4 xx dx dx x x x C x x x x x x  Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. 2 2 21 11 xx dx xx  b. 2 3 1 13 x dx xx  GIẢI a. Trong trường hợp này ,mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm thực và không có nghiệm thực . Các em hãy chú ý đến cách phân tích sau . Ta có f(x)= 2 2 222 11 21 1 11 1 1 1 1 A x x Bx C x x A Bx C xx x x x x . Thay x=1 vào hai tử ta dược : 2= 2A, cho nên A=1. Do đó (1) trở thành : 2 2 22 1 1 1 11 1 1 1 1 x x Bx C B x C B x C x x x x . Đồng nhất hệ số hai tử số , ta có hệ : 2 1 1 0 12 2 2 ( ) 11 1 1 1 BB C B C f x xx CA  Vậy : 2 2 2 2 1 1 1 2 ln 1 2 2 11 11 xx dx dx dx x J C xx xx    Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 8 * Tính J = 2 1 1 dx x  . Đặt : 2 22 tan 1 tan 1 1 tan x t dx t dt xt   . Cho nên : 2 22 11 . 1 tan ; : tan arctanx 1 1 tan dx t dt dt t do x t t xt    Do đó , thay tích phân J vào (2) ta có : 2 2 21 ln 1 arctanx+C 11 xx dx x xx  b.Ta phân tích f(x)= 2 3 3 2 1 13 1 3 1 1 x A B C D xx x x x x 23 3 3 1 3 1 3 1 13 A x B x x C x x D x xx Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số ta được : 1 1 2 4 2 5 3 10 64 32 x A A x D D      Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ hai phương trình 32 5 0 1 3 5 5 32 () 3 32 1 32 3 2 1 8 1 1 3 3 3 8 C D C D fx xx xx A B C D B  Vậy : 2 3 3 2 1 1 3 5 5 32 1 32 3 1 3 2 1 8 1 x dx dx xx x x x x  22 1 3 5 5 1 3 5 1 ln 1 ln 3 ln 8 1 32 32 8 1 32 3 4 1 4 1 x x x C C x x x xx III. . NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC . Để xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau : 1. Sử dụng dạng nguyên hàm cơ bản . 2. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần A. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 9 BÀI TOÁN 1. Xác định nguyên hàm các hàm số lƣợng giác bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản Dạng 1.: Tính tích phân bất định : sin sin dx I x a x b  Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức : 1= sin sin sin x a x b ab a b a b   Bước 2: Ta được : sin 1 sin sin sin sin sin x a x b dx I dx x a x b a b x a x b    sin os x-b sin os x-a 1 sin sin x+a sin x a c x b c dx a b x b  os x+b os x+a 11 ln sin ln sin sin sin sin x+a sin cc dx dx x b x a a b x b a b       sin 1 ln sin sin xb C a b x a * Chú ý Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau : 1. , os x+a os x+b dx I cc  sử dụng đồng nhất thức : sin 1 sin ab ab 2. , sin os x+b dx x a c  sử dụng đồng nhất thức : os a-b 1 os a-b c c . Ví dụ 1 . Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 1 () osx.cos x+ 4 fx c  . Giải Cách 1. Sử dụng đồng nhất thức : os x+ os 4 4 1 2 os x+ 4 os os 44 cx c cx cc          Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 10 Ta có : os x+ os x+ osx+sin x+ sinx 4 44 ( ) 2 2 sinx.cos x+ sinxcos x+ 44 cx cc F x dx dx                       = sin x+ osx sinx 4 2 2 ln sinx ln os x+ 2 ln sinx 4 cos x+ cos x+ 44 c dx dx c C                     Cách 2 : Dựa trên đặc thù của hàm số f(x) Ta có : 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 cosx sinx sinx-cosx sin x cotx-1 sinxcos x+ sin x 1- 4 sinx F x dx dx dx dx              cot cot 1 2 2 2 ln cot 1 cot 1 cot 1 d x d x xC xx  Dạng 2: Tính tích phân bất định : sinx+sin dx I  Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1. Biến đổi I về dạng : Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1) * Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau : 1. ;1 sinx+m dx Im   . 2. ;1 osx+m osx+cos dx dx I I m cc    Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 1 () 2sin 1 fx x Giải Biến đổi f(x) về dạng : 1 1 1 1 1 ( ) . 1 66 124 sinx+sin sin . os 2 sinx+ 6 12 12 2 fx xx c    Sử dụng đồng nhất thức : 6x+ 6x- 6x+ 6x- 6x+ 6x- os os . os sin sin os 2 12 12 12 12 12 12 6 1 6x+ 6x- 33 os sin os 6 12 12 2 c c c c c c                                     . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 11 Ta được : 6x+ 6x- os sin 2 2 6x+ 6x- 12 12 ( ) ln sin ln cos 6x+ 6x- 12 12 33 sin cos 12 12 c F x dx dx                                6x+ sin 2 12 ln 6x- 3 os 12 C c   . Dạng 3: Tính tích phân bất dịnh : t anx.tan x+ I dx  Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Biến đổi I về dạng : sinxsin osxcos os 1 osxcos cosxcos x c x c I dx dx dx c x x                1 os 1 cosx.cos x+ c dx x  Bước 2 : Áp dụng bài toán 1 để giải (1) * Chú ý : Phương pháp trên cũng được áp dụng đẻ giải các tích phân dạng : 1. tan cot I x x dx   2. cot cot I x x dx   Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau : t anx.tan x+ 4 I dx   Giải : Ta biến đổi f(x) về dạng : sinx.sin x+ osx.cos x+ os 44 4 ( ) 1 1 osx.cos x+ osx.cos x+ 44 c c fx cc                  22 ( ) 1 22 osx.cos x+ osx.cos x+ 44 dx dx F x dx dx dx x cc            Để tính : osx.cos x+ 4 dx J dx c   . Ta lựa chọn hai cách sau : Cách 1: Sử dụng dạng toán cơ bản . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 12 Sử dụng đồng nhất thức : sin sin 4 2 4 1 .sin osx-sinx.cos 44 22 sin 4 2 xx x c x               Ta được : sin osx-sinx.cos sin sinx 4 4 4 22 cosx osx.cos cos 44 x c x x J dx dx dx c x x                                 osx 2 ln os x+ ln cosx 2 ln 4 cos x+ c cC  Cách 2. Dựa trên đặc thù của hàm số dưới dấu tích phân . Ta có : 2 1 1 1 1 2 2 . osx cosx-sinx 1 t anx os osx.cos x+ 4 J dx dx dx c c x c     1 t anx 2 2 ln 1 t anx 1-tanx d C  . Dạng 4. Tính tích phân bất định : 1 a.sinx+b.cosx I dx  PHƢƠNG PHÁP CHUNG Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi Cách 1: Ta có . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . sin 2sin . os 2 tan os 2 2 2 2 dx dx dx I x x x x x a b a b a b cc    2 2 2 2 tan 11 2 ln tan 2 tan 2 x d x IC x a b a b  Chú ý : Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi biến số bằng cách đặt tan 2 x t . Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 () 3sinx+cosx fx Giải Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 13 Ta có : 11 () 22 3sinx+cosx 3 1 sin sinx+ osx 6 22 dx dx dx Fx x c     2 tan 2 12 ln tan 2 12 2 tan os sin os tan 2 12 2 12 2 12 2 12 2 12 x d dx dx x C x x x x x cc                               Dạng 5: Tính tích phân bất định sau : 11 22 sinx+b osx a sinx+b osx ac I dx c  PHƢƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Biến đối : 1 1 2 2 2 2 sinx+b osx=A sinx+b osx osx-b sinx a c a c B a c Bước 2: Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 A sinx+b osx osx-b sinx sinx+b osx sinx+b osx sinx+b osx Ax+Bln sinx+b osx a c B a c d a c I dx A dx B a c a c a c C    Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 4sin 3cos () sinx+2cosx xx f x dx  Giải Biến đổi : 4sin 3cos (sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx x x A . Đồng nhất hệ số hai tử số ,ta được : 2 4 2 2 3 1 A B A A B B  Khi đó : 2 sinx+2cosx osx-2sinx osx-2sinx ( ) 2 sinx+2cosx sinx+2cosx c c fx Do đó : osx-2sinx osx-2sinx ( ) ( ) 2 2 2 ln sinx+2cosx sinx+2cosx sinx+2cosx c dx c F x f x dx dx dx x C     Dạng 6. Tính tích phân bất định : 11 2 22 a sinx osx sinx+b osx bc I dx ac  Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1. Biến đổi : 1 1 2 2 2 2 sinx+b osx= A a sinx+b osx osx-b sinx a c c B a c . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 14 Bước 2. Khi đó : 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A a sinx+b osx osx-b sinx osx-b sinx osx+b sinx a sinx+b osx osx+b sinx 1 ln tan sin a sinx+b osx 2 osx+b sinx c B a c a c dx dx I dx A B ac c a c A dx A x B B dx C x c a c a b a b     Trong đó : 22 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ; cos ba a b a b . Ví dụ 6 : Tìm nguyên hàm của hàm số sau : 8cos ( ) . 2 3sin 2 os2x x fx xc Giải Biến đổi : 2 22 8cos 8cos () 3sin 2 3sinxcosx+cos 3 sinx+cosx xx fx xx Giả sử : 8cos 3sinx+cosx 3 osx-sinx 3 sinx+ a+b 3 osx x a b c a b c . Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ : 2 30 23 38 a ab b ab   Khi đó : 2 3 3 osx-sinx 2 () 3 sinx+cosx 3 sinx+cosx c fx Do đó : 3 osx-sinx 2 1 2 3 ( ) 2 3 ln tan 2 2 12 3sinx+cosx 3 sinx+cosx 3 sinx+cosx c dx dx x F x C   Chú ý : Trong ví dụ trên ta lấy kết quả ví dụ 4 cho : 2 3sinx+cosx dx  . Dạng 7. Tính tích phân bất định : 1 asinx+bcosx+c I dx  . Ta xét ba khả năng : 1. Nếu 22 c a b . Ta thực hiện phép biến đổi : 2 1 1 1 1 . asinx+bcosx+c 2 1 os x- os 2 x c cc c   Trong đó : 2 2 2 2 sin ; os = ab c a b a b Khi đó : 2 11 tan 22 os 2 dx x IC x cc c  2. Nếu : 22 c a b Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 15 Ta thực hiện phép biến đổi : 2 1 1 1 1 . asinx+bcosx+c 2 1 os x- sin 2 x c cc   Trong đó : 2 2 2 2 sin ; os =- ab c a b a b Khi đó : 2 11 cot 22 sin 2 dx x IC x cc  3. Nếu : 22 c a b  Ta thực hiện phép biến đổi bằng cách đổi biến số : tan 2 x t . Khi đó : 2 2 2 2 2 2 . 1 2t 1-t 2t sinx= ; osx= ;t anx= 1+t 1 1-t dt dx t c t  , thay vào tích phân đã cho () I f t dt  . Ví dụ 7. Tính tích phân sau : 2 2sin osx+1 dx I xc  . Giải Đặt : 2 2 tan 21 x dt t dx t  . Khi đó : 2 2 2 22 x 4 t an 2 1 1 1 2 ln ln x 41 2 2 2 tan +2 1 2 11 dt dt t t I dt C C tt t t t t t tt    Dạng 8. Tính tích phân bất định : 1 1 1 2 2 2 sinx+b osx+c sinx+b osx+c ac I dx ac  . Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1. Biến đổi : 1 1 1 2 2 2 2 2 sinx+b osx+c sinx+b osx+c osx-b sinx a c A a c B a c C Bước 2 : Khi đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 sinx+b osx+c osx-b sinx sinx+b osx+c A a c B a c C I ac  22 2 2 2 2 2 2 osx-b sinx sinx+b osx+c sinx+b osx+c a c dx dx A dx B C a c a c    2 2 2 2 2 2 Ax+Bln a sinx+b osx+c a sinx+b osx+c dx cC c  . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 16 Trong đó : 2 2 2 a sinx+b osx+c dx c  , được xác định ở dạng 4. Ví dụ 8 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 5sin () 2sin osx+1 x fx xc . Giải Biến đổi : 5sin 2sin osx+1 2cos sinx 2 sinx+ 2b-a osx+a+c x a x c b x c a b c Đồng nhất hệ số hai tử số : 2 5 2 2 0 1 02 a b a b a b a c c  Khi đó : 2 2sin osx+1 2cos sinx 2 2cos sinx 2 ( ) 2 2sin osx+1 2sinx-cosx+1 2sinx-cosx+1 x c x x fx xc Do vậy : 2cos sinx 2 2 2 ln 2sin osx+1 2 2sin osx+1 2sin osx+1 x dx dx I dx x x c J C x c x c    Với : 2sin osx+1 dx J xc  . ( Tích phân này đã giải ở ví dụ 7 ) Dạng 9: Tính tích phân bất định : 22 1 1 1 22 sin x+b sinxcosx+c os sinx+b osx a c x I dx ac  . PHƢƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1 : Biến đổi : 2 2 2 2 1 1 1 2 2 sin x+b sinxcosx+c os Asinx+Bcosx sinx+b osx sin os a c x a c C x c x Bước 2 : Khi đó : 22 22 2 2 2 2 Asinx+Bcosx sinx+b osx sin os Asinx+Bcosx sinx+b osx sinx+b osx a c C x c x dx IC a c a c    2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin ln tan sin 2 C dx C x A x B x A x B x C x a b a b  Trong đó : 22 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ; os = ba c a b a b . Ví dụ 9 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 2 4sin 1 () 3 sinx+cosx x fx . Giải Biến đối : 2 2 2 2 2 4sin 1 5sin os asinx+bcosx 3sinx+cosx sin os x x c x c x c x 22 3 sin 3 sinx. os os a c x a b c x b c c x . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 17 Đồng nhất hệ số hai tử số : 35 3 3 0 1 12 ac a a b b b c c   . Do đó : 21 3 sinx-cosx 3 osx-sinx- ln tan 2 2 12 3 sinx+cosx dx x I dx c C   . Chú ý : Ở ví dụ 4 , ta có : 21 ln tan 2 2 12 3 sinx+cosx dx x   Dạng 10. Tính tích phân bất định : 22 asin sin cos cos dx I x b x x c x  Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1 : Biến đổi I về dạng : 22 atan tan cot dx I x b x c x  Bước 2: Thực hiện phép đổi biến số : 22 22 1 t anx dt= 1 tan 1 cos 1 dt t dx x dx t dx dx xt  Khi đó : 2 dt I at bt c  . ( Ta đã có cách giải ở phần " Hàm phân thức " ) Ví dụ 10: Tính tích phân bất định : 22 3sin 2sin cos os dx I x x x c x  Giải Ta có : 2 22 t anx 3tan 2 tan 1 3tan 2 tan 1 os d dx I xx x x c x  . Đặt : 2 dt 1 1 1 1 1 1 1 3 3 t anx I= . ln ln 1 1 1 3 2 1 3 1 4 4 3 1 1 3 3 3 tt t dt C t t t t tt  Thay trả lại : 1 3tan 3 t anx I= ln 4 3tan 1 x tC x . B. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC ĐƢA VỀ CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN. Bài toán 2: Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác PHƢƠNG PHÁP CHUNG Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 18 Sử dụng phép biến đổi lượng giác , đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen thuộc . Các phép biến đổi lượng giác bao gồm : Phép biến đổi : Tích thành tổng ( Chúng ta đã thấy ở bài toán 1) Hạ bậc : 22 1 os2x 1 os2x os ; sin 22 cc c x x . Các kỹ thuật biến đổi khác . 1. Sử dụng phương pháp biến đổi : Tích sang tổng . Ở đây chúng ta sử dụng các công thức : 1 . osxcosy= os x+y os x-y 2 a c c c b. cos x-y os x+y sinxsiny= 2 c c. sin x+y sin sinxcosy= 2 xy d. sin x+y sin osxsiny= 2 xy c Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm : 1 os ax+b sin ax+b c dx C a  . Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số : ( ) os3xcos5x f x c Giải Ta biến đổi : cos8x+cos2x 1 1 ( ) os3xcos5x= os8x+ os2x 2 2 2 f x c c c Khi đó : 1 1 1 1 ( ) os8xdx+ os2xdx= sin8 sin 2 2 2 16 4 I f x dx c c x x C    Ví dụ 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số : ( ) t anx.tan tan 33 f x x x         Giải Ta biến đổi : sinx.sin sin 33 ( ) t anx.tan tan 33 osx.cos os 33 xx f x x x c x c x                         2 1 1 1 sinx. cos2x-cos os2x.sinx+ sinx sin 3 sinx sinx sin 3 3 2 2 2 1 1 1 2 os3x cos2x.cosx- osx os3x+cosx osx osx cos2x+cos 2 2 2 3 cx x c c c c c   Khi đó : os3x sin3 1 3sin3 1 1 ( ) ln os3x os3x 3 os3x 3 os3x 3 dc xx I f x dx dx dx c C c c c     2. Sử dụng công thức hạ bậc : Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 19 Ta nhớ lại các công thức sau : a. 22 1 os2x 1 os2x os ; sin 22 cc c x x . b. 3 3sin sin3 sin 4 xx x c. 3 3cos os3x os 4 xc cx d. 44 31 sin os os4x 44 x c x c e. 6 6 2 3 3 5 3 os sin 1 sin 2 1 1 os4x os4x 4 8 8 8 c x x x c c Ví dụ 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số : a. 3 ( ) sin .sin 3 f x x x b. 33 ( ) sin . os3x+cos .sin 3 f x xc x x Giải a. Ta có : 32 3sin sin 3 3 1 ( ) sin .sin 3 sin 3 sin 3 .sinx- sin 3 4 4 4 xx f x x x x x x 3 1 3 1 3 1 os2x-cos4x 1 os6x os2x+ os6x- os4x- 8 8 8 8 8 8 c c c c c . Do đó : 3 1 3 1 3 1 3 1 ( ) os2x+ os6x- os4x- sin 2 sin 6 sin 4 8 8 8 8 16 48 32 8 I f x dx c c c dx x x x x C  b.Ta biến đổi : 33 3sinx-sin3x os3x+3cosx ( ) sin . os3x+cos .sin 3 os3x sin 3 44 c f x xc x x c x         33 os3xsinx+sin3xcosx sin 4 44 cx Do đó : 33 ( ) sin 4 os4x+C 4 16 I f x dx xdx c  3. Sử dụng nhiều phép biến đổi khác nhau . Trong phương pháp này dòi hỏi HS cần linh hoạt vận dụng các công thức lượng giác . Ngoài ra còn biết cách định hướng để biến đổi sao cho sử dụng được bảng nguyên hàm . Ví dụ 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số : sin3 .sin 4 () t anx+cot2x xx fx Giải : Ta biến đổi : sin 3 .sin 4 sin 3 sin 4 sin 3 .sin 4 ( ) sin 3 .sin 4 .sin 2 sinx.sin2x+cosx.cos2x osx t anx+cot2x osx.sin2x cosx.sin2x x x x x x x f x x x x c c   1 1 1 osx-cos7x sin 2 sin 2 . osx-cos7xsin2x sin3 sinx-sin9x+sin5x 2 2 4 c x xc x . Do đó : 1 1 1 1 1 sin 3 sinx-sin9x+sin5x os3x- osx+ os9x- os5x+C 4 12 4 9 5 I x dx c c c c  . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 20 PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định . Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau : a/ Nếu : ( ) ( ) f x F x C  và với u=  (x) là hàm số có đạo hàm thì : ( ) ( ) f u du F u C  b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x= t  . Trong đó t  cùng với đạo hàm của nó ( ' t  là những hàm số liên tục ) thì ta được : ( ) ' ( ) ( ) f x dx f t t dt g t dt G t C       . Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau : Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định : () I f x dx  PHƢƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: chọn x= t  , trong đó t  là hàm số mà ta chọn thích hợp . Bước 2: lấy vi phân hai vế : ' dx t dt  Bước 3 : Biến đổi : ( ) ' f x dx f t t dt g t dt    Bước 4: Khi đó tính : ( ) ( ) ( ) f x dx g t dt G t C  . * Lưu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là : Dấu hiệu Cách chọn 22 ax sin 22 ost 0 t x a t t x a c            22 xa   ; sin 2 2 0; \ ost 2 a xt t a xt c                22 ax tan ; 22 cot 0; x a t t x a t t        a x a x a x a x  x=a.cos2t x a b x x=a+ 2 sin b a t Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 21 Ví dụ 1. Tính tích phân bất định a/ 3 2 1 dx x  b/ 2 23 dx xx  Giải a/ Đặt : x=sint ; t ; ostdt 22 dx c Suy ra : 32 33 22 ostdt ostdt tan cos os 1 1-sin dx c c dt dt t c t xt . Khi đó : 3 2 2 2 sin tan tan 1 sin 1 1 dx t x d t t C C tx x  b/ Vì : 2 2 2 2 3 1 2 x x x , nên Đặt : 2 1 1 2 tan ; ; 2. ;tan 2 2 os 2 dt x x t t dx t ct Suy ra : 2 22 22 2 1 ostdt . 1-sin 2 ost 2 23 2 tan 1 . os 12 dx dx dt dt c t c xx t c t x 1 ostdt ostdt . sint-1 sint+1 22 cc . Khi đó : 2 1 ostdt ostdt 1 sin 1 ln sint-1 sint+1 sin 1 2 2 2 2 23 dx c c t C t xx  (*) Từ : 2 2 22 22 1 1 sin 2 tan tan sin 1 1 sin 2 2 3 2 x xt t t t t x x . Ta tìm được sint , thay vào (*) ta tính được I . Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : 2 2 1 x dx I x  . Giải Vì điều kiện : 1 x , nên ta xét hai trường hợp : Với x>1 Đặt 2 1 2cos 2 ; 0; sin 2 4 sin 2 tdt x t dx tt  . Do đó : 22 2 2 3 3 3 2 2 2 2 sin os 1 2cos 2 2 sin 2 sin 2 8sin cos 1 1 sin 2 . 1 sin 2 t c t dt x dx tdt dt t t t t x t t Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 22 = 2 2 2 1 1 1 2 1 cot . tan . . 4 sin os tan os t t dt t c t t c t Vậy : 22 1 2 1 1 1 cot . (cot ) tan . (tan ) . (tan ) cot tan 2ln tan 4 tan 4 2 2 I I td t td t d t t t t C t          22 11 1 ln 1 22 x x x x C Với x<1 . Đề nghị học sinh tự làm . * Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn : Ta có : 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x dx dx x I x dx J K x x x x x    Với : J 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x dx x x dx x x I a x  Tích phân : 2 2 2 2 ln 1 1 ln 1 1 dx K x x I x x I x x x  2 2 2 2 11 2 1 ln 1 1 ln 1 22 I x x x x I x x x x C Ví dụ 3. Tính tích phân bất định : 3 2 1 dx I x  Giải Đặt : 2 tan ; ; 2 2 os dt x t t dx ct  Suy ra : 2 33 22 1 . ostdt os 1 1 tan dx dt c ct xt . Khi đó : 32 2 ostdt sin 1 1 dx x I c t C C x x  Chú ý : 1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì : 22 2 2 1 ost= ;sin 1+x 1 ; ost>0 cos ost;sint=tant.cost= 22 1 x ct x x t c t c x   2. Phương pháp trên áp dụng để giải bài toán tổng quát : 21 22 k dx kZ ax  . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 23 Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để tính tích phân : () I f x dx  . PHƢƠNG PHÁP CHUNG. Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Chọn t= x  . Trong đó x  là hàm số mà ta chọn thích hợp . Bước 2: Tính vi phân hai vế : ' dt t dt  . Bước 3: Biểu thị : ( ) ' ( ) f x dx f t t dt g t dt    . Bước 4: Khi đó : ( ) ( ) ( ) I f x dx g t dt G t C  * Chú ý : Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t là mẫu số Hàm số : ; f x x  t= x  Hàm .sinx+b.cosx .sinx+d.cosx+e a fx c x tan ; os 0 22 x tc  Hàm 1 fx x a x b Với : x+a>0 và x+b>0 : Đặt : t x a x b Với x+a<0 và x+b<0 , đặt : t x a x b Ví dụ 4. Tính tích phân bất định sau : 8 22 23 I x x dx  Giải Đặt : 8 2 2 2 8 8 9 2 6 21 2 3 2 3 2 2 33 3 dt xdx t t x x x t t t t x  . Vậy : 8 9 10 2 2 8 9 9 10 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 3 3 27 30 27 30 I x x dx t dt t dt t t C x x C    Ví dụ 5 : Tính tích phân bất định : 3 1 x dx x  Giải Đặt : t= 3 2 2 2 2 4 6 12 1 1 2 1 2 3 2 1 t tdt xt x dx x t t t dt t dx tdt x  . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 24 Vậy : 3 2 4 6 3 5 7 4 6 2 2 4 6 2 2 3 5 7 1 x dx t t t dt t t t t C x  23 4 6 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 x x x x x x x C Ví dụ 6: Tính tích phân bất định : 2 52 3 12 x x dx  Giải Đặt : t= 3 2 3 2 2 2 3 13 1 2 1 2 2 22 t x t x x xdx t dt   Do đó : 3 2 5 2 2 2 7 4 3 1 3 3 1 2 . 2 4 8 t x x dx t t dt t t dt Vậy : 2 5 2 7 4 8 5 6 3 2 3 3 3 1 1 3 1 2 5 8 8 8 8 5 320 x x dx t t dt t t t t t C  = 22 2 2 2 3 3 5 1 2 8 1 2 1 2 320 x x x C    Ví dụ 7: Tính tích phân bất định : 3 sin osx I x c dx  . Giải Đặt : t= 2 osx osx 2tdt=-sinxdx c t c  . Do đó : 3 2 4 6 2 sin osx 1 os osx sinxdx= t 1 2 2 x c dx c x c t tdt t t dt . Vậy : 3 6 2 7 3 3 2 2 2 1 sin osx 2 os osx osx osx+C 7 3 7 2 I x c dx t t dt t t C c x c c c  Ví dụ 8: Tính tích phân bất định : 3 2 osx.sin 1 sin cx I dx x  Giải Đặt : 2 2 sin 1 1 sin 2sin cos xt tx x xdx dt  Suy ra : 32 22 1 osx.sin 1 sin .2sin . osx.dx 1 1 1 1 1 sin 2 1 sin 2 2 t dt c x x xc dx dt x x t t . Vậy : 3 22 2 osx.sin 1 1 1 1 1 ln 1 sin ln 1 sin 1 sin 2 2 2 cx I dx dt t t C x x C xt    Ví dụ 9: Tính tích phân bất định : 2 8 os sin cx I dx x  Giải Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 25 Vì : 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 os os sin 1 sin 1 sin sin os sin sin sin c x c x x x x x cx x x x Đặt : t = 2 22 2 1 sin cot 1 1 cot 1 sin dt dx x x xt x  Suy ra : 2 22 2 2 2 2 2 8 6 2 os 1 1 cot cot 1 cot . 1 sin sin sin cx dx x dx x x dx t t dt x x x       Vậy : 2 2 4 6 3 5 7 8 os 1 2 1 2 sin 3 5 7 cx I dx t t t dt t t t C x  . Thay : t= cotx vào . Ví dụ 10 : Tính tích phân bất định : 2 0 dx Ia xa   Giải Đặt : 2 2 2 2 2 2 1 x x a dx x tdx dt dx t x x a dt dx t x a x a x a x a  Vậy : 2 2 ln ln dx dt I t C x x a C t xa  Ví dụ 11: Tính tích phân bất định : 12 dx I xx  Giải a. xét hai trường hợp : Với : 10 1. 20 x x x  Đặt : 12 t x x  Suy ra : 1 1 1 1 2 22 12 1 2 1 2 tdx dt dx dt dx t xx x x x x Vậy : 2 2ln 2ln 1 2 12 dx dt I t C x x C t xx  Với : 10 2. 20 x x x  Đặt t = 12 xx Suy ra : 1 1 1 1 2 22 1 2 1 2 1 2 tdx dt dx dt dx t x x x x x x Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 26 Vậy : 2 2ln 2ln 1 2 12 dx dt I t C x x C t xx  BÀI TẬP CHO HAI PHƢƠNG PHÁP : PHÂN TÍCH VÀ ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1 : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau a/ 9 2 1 x x dx  b/ 32 2 2 6 9 9 32 x x x dx xx  c/ 2 3 31 x dx x  d/ 2 3 2 xx dx x  Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2 2 1 x dx xx  b/ 2 4 1 1 x dx x  c/ 5 3 os sinx cx dx  d/ 3 sinx+cosx sinx-cosx dx  Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 4 sin dx x  b/ 1 sinx.sin x+ 6 dx   c/ 1 sinxcos x+ 4 dx   d/ 1 os x- os 63 dx c c x          Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 24 sin cos x xdx  b/ 23 sin cos x xdx  c/ 45 sin cos x xdx  d/ 4 tan xdx  Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 3 sinxcos dx x  b/ 4 sin cos dx xx  c/ 3 2 sin 1 os x dx cx  d/ 3 2 8 4 x dx x  Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/. 42 32 xdx xx  b/ 2 10 1 dx xx  Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 27 c/ 5 63 2 x dx xx  d/ 2 25 3 2 1 x dx xx  Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ sin 2 sinx 1 3cos x dx x  b/ 1 3ln ln xx dx x  c/ 22 sin 2 os 4sin x dx c x x  d/ 1 sin 2 cos2 cos sin xx dx xx  Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 22 sin 2 sin 2cos x dx xx  b/ 44 sin cos sin cos 1 xx dx xx  c/ sinx+7cosx+6 4sin 5cos 5 dx xx  d/ 3 3 3 sin sinx sin tan x dx xx  Bài 9: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 1 1 sinx+cosx dx  b/ 2 2 2 2 sinxcosx os sin dx a c x b x  c/ osx+sinxcosx 2 sinx c dx  d/ 2 sinxdx cosx sin 1 x  LUYỆN TẬP TẠI LỚP Tìm nguyên hàm các hàm số sau : 1. 1 0 2x 9 dx x3  2. 1 2 0 3 dx x 4x 5  3. 2 2 1 5 dx x 6x 9  4. 4 2 1 1 dx x (x 1)  5. 1 2 0 x3 dx (x 1)(x 3x 2)  6. 1 42 0 1 dx (x 4x 3)  7. 2 1 0 x 3x 2 dx x3  9. 2 1 2 0 x dx 4x  10. 1 2 0 x dx 4x  11. 1 2 2 0 4x 1 dx x 3x 2  12. 3 2 2 1 3x dx x 2x 1  13 . 1 32 0 4x 1 dx x 2x x 2  14. dx x x x x I  2 0 2 2 3 4 9 4 2 15. 1 2 0 x x 1 dx x4  16. 1 2 2 0 x 3x 10 dx x 2x 9  Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 28 17. 2 1 dx x1  1 4 0 x 18. 2 2 2 1 x dx x 7x 12  19.f(x)= 4 6 x1 dx x1 20. 1 2 4 1/ 2 1x dx 1x  PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. CÔNG THỨC : I udv uv vdu  Chứng minh : Giả sử hai hàm số : u=u(x) và v=v(x) liên tục và có đạo hàm . Cho nên : d(u.v)=v.du+u.dv . Suy ra : u.dv=d(u.v)-v.du , và . . . . . udv d uv vdu uv vdu dpcm     . Lý do sử dụng phương pháp tích phân từng phần : Đôi khi ta gặp phải những tích phân mà không thể sử dụng hai phương phương pháp : Phân tích và đối biến số , để tìm họ nguyên hàm trực tiếp được . Vì thế ta phải thông qua việc tìm họ nguyên hàm trực tiếp bằng một hàm số khác ( mà có thể sử dụng hai phương pháp đã biết để tìm ) . II. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phàn để tính () I f x dx  . PHƢƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : 12 ( ) ( ). ( ) I f x dx f x f x dx  Bước 2: Đặt : 1 1 2 2 ' ( ) () () () du f x dx u f x v f x dx dv f x     Bước 3: Khi đó : . . . udv uv vdu  Ví dụ 1: Tính tích phân bất định : 2 2 .ln 1 1 x x x I dx x  Giải Viết lại : 2 2 ln 1 . 1 xdx I x x x  . Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 29 Đặt : 2 2 22 2 2 1 ln 1 1 11 1 1 x u x x dx x du xdx x x x dv x vx    Khi đó : 2 2 2 2 . 1ln 1 1ln 1 I udv x x x dx x x x x C  Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : 2 ln osx os c I dx cx  Giải Ta viết lại : 2 ln osx . os dx Ic cx  Đặt : 2 2 2 sinx ln osx t anx cosx . t anx.ln cosx tan v= t anx os os uc du I udv xdx dx dx dv cx cx      . Khi đó : 2 1 t anx.ln cosx 1 t anx.ln cosx t anx-x+C os I dx cx  Bài toán 2: Tính tích phân bất định dạng : ( )sin ( ) osaxdx I P x axdx I P x c      . Với P(x) là một đa thức . PHƢƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn một trong hai cách sau : Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần , thực hiện theo các bước sau : +/ Bước 1: Đặt : '( ) () 1 osax sinaxdx cosaxdx 1 sin a du P x dx u P x c a dv v ax           +/ Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần : +/ Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức . Cách 2: ( Sử dụng phương pháp hệ số bất định ) . Ta thực hiện theo các bước sau : +/ Bước 1: Ta có : ( ) osaxdx=A(x)sinax+B(x)cosax+C 1 I P x c  Trong đó : A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x). +/ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) : ( ) osax=A'(x)cosax-A(x)a.sinax+B'(x)sinax+aB(x)cosax P x c +/ Bước 3: sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x) và B(x). Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 30 * Nhận xét : Nếu bậc của đa thức lớn hơn 3 , thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh , vì khi đó ta thực hiện số lần tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức . Cho nên ta đi đến nhận định như sau : - Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng 3 : Ta sử dụng cách 2. - Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng 2 : Ta sử dụng cách 1. Ví dụ 3: Tính tích phân bất định : 2 sin x xdx  Giải Ta có : 2 1 os2x 1 1 1 1 cos 2 1 2 2 2 4 2 c I x dx xdx x xdx x J    Tính : cos 2 J x xdx  Đặt : 11 sin 2 sin 2 sin 2 os2x+C 1 os2xdx 2 2 2 4 sin 2 2 du dx ux xx J x xdx x c dv c vx     Thay vào (1) : 22 1 1 1 1 1 sin 2 os2x sin 2 os2x 4 2 2 4 4 2 x I x x c x x x c C         Ví dụ 4: Tính tích phân bất định : 32 2 3 sinx I x x x dx  Giải Theo nhận xét trên , ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta có : 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 sinx osx+ sinx I x x x dx a x bx cx d c a x b x c x d  (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1) 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 sinx= a 3 2 osx x x x x a b x b c x c d c   32 1 2 1 2 1 2 1 - a 3 2 sinx 2 x a b x b c x c d   Đồng nhất thức ta được : 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 0 1 1; 0 3 0 3 1 1; 3 2 0 2 2 4; 2 0 3 1; 4 a a a a a b a b b b b c b c c c c d c d d d     Khi đó : 3 2 2 4 1 osx+ 3x 2 4 sinx+C I x x x c x . * Có nhận xét gì khi giải bằng cách lấy tích phân từng phần ba lần ( Do đây là đa thức bậc ba ). Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 31 Đặt : 2 32 3 2 2 3 2 2 23 osx 2 3 3 2 2 osxdx sinxdx osx du x x dx u x x x I c x x x x x c dv vc     (1 ) Tính :J= 2 3 2 2 osxdx x x c  Đặt : 2 1 2 1 1 1 62 3 2 2 sinx 3 2 2 6 2 sinxdx 2 osxdx sinx du x dx u x x J x x x dv c v     Tính : K= 6 2 sinxdx x  Đặt : 22 22 6 2 6 osx 6x-2 6 osxdx= osx 6x-2 6sin sinxdx osx u x du dx K c c c x dv v c    Thay các kết quả tìm được lần lượt vào (2) và (1) ta tính được I J= 22 sinx 3 2 2 osx 6x-2 6sin sinx 3 2 4 6 2 osx x x c x x x x c I= 3 2 2 osx 2 3 sinx 3 2 4 6 2 osx c x x x x x x c   3 2 2 4 1 osx+ 3x 2 4 sinx+C I x x x c x - Như vậy vấn đề đặt ra là : Em nào thấy cách nào dễ hiểu và không bị nhầm lẫn , thì chọn cách đó , không nhất thiết là dài hay ngắn , quan trọng nhất là kết quả phải chính xác . Bài toán 3: Tính tích phân bất định : ax ax sin osbxdx I e bxdx I e c      . ( Với a, b 0  ) PHƢƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng phương pháp tích phân từng phần , theo các bước sau : Bước 1: Đặt ax ax ax ax sin bxdx osbx 1 v= e dv=e a cos b sin 1 du b uc dx du b xdx u bx dv e dx ve a                  Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần Chú ý : Riêng đối với dạng tích phân này bao giờ cũng phải lấy tích phần từng phần hai lần . Ví dụ 5: Tính tích phân bất định sau : 22 sin x I e xdx  Giải Ta có : 2 2 2 2 2 2 1 os2x 1 1 1 1 sin os2xdx 1 2 2 2 4 2 x x x x x c I e xdx e dx e dx e c e J     Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 32 Tính tích phân J= 2 os2xdx x ec  . Đặt : 2 2 2 2 2x 2sin 2 os2x 11 os2x+ sin 2 os2x+K 2 1 22 dv=e 2 x x x x du xdx uc J e c e xdx e c ve dx     Tính tích phân K= 2 sin 2 x e xdx  . Đặt : 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2cos 2 sin 2 11 sin 2 os2xdx sin 2 3 1 22 2 x x x x x du xdx ux K e x e c e x J ve dv e dx     Từ (2) và (3) ta có hệ : 2 2 2 1 os2x 1 2 sin 2 os2x 1 4 sin 2x 2 x x x J K e c J e x c J K e   Thay vào (1) ta được : I= 2 2 2 1 1 1 1 1 . sin 2 os2x 1 sin 2 os2x 4 2 4 4 2 x x x e e x c e x c C Bài toán 4: Tính tích phân bất định : ax () I P x e dx  PHƢƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng phương pháp tích phân từng phần .Ta tiến hành theo các bước sau Bước 1: Đặt ax ax '( ) () 1 du P x dx u P x ve dv e dx a    Bước 2: Khi đó : ax ax 11 ( ) '( ) I e P x P x e dx aa  Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được đa thức . Ví dụ 6: Tính tích phân bất định : 3x I xe dx  Giải Đặt : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3 9 3 x x x x x x du dx ux I xe e dx xe e C ve dv e dx     Ví dụ 7 : Tính tích phân bất định : 22x I x e dx  Giải Đặt : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 .1 1 22 2 x x x x x du xdx ux I x e xe dx x e J ve dv e dx     Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 33 Tính tích phân J= 2x xe dx  . Đặt : 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 x x x x x x du dx ux J xe e dx xe e ve dv e dx     Thay vào (1) ta được : I= 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 4 4 x x x x x e xe e C e x x C * Chú ý : Qua hai ví dụ 6 và 7 ta thấy số lần lấy tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức P(x) . Nghĩa là : số bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng nhiều . Bài toán 5: Tính tích phân bất định : ( )ln I P x xdx  PHƢƠNG PHÁP CHUNG Ta lấy tích phân từng phần , theo các bước sau : Bước 1: Đặt : ln () () dx du ux x dv P x dx v P x dx     Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần , ta được một tích phân quen thuộc mà có thể tinh được bằng hai phương pháp đã biết . Ví dụ 8: Tính tích phân bất định sau : 2 2 ln I x x xdx  Giải Đặt : 2 32 ln 2 1 3 dx du ux x dv x x dx v x x    Suy ra : 3 2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 ln ln 3 3 3 3 dx I x x x x x x x x x dx xdx x                    I 3 2 3 2 1 1 1 ln 3 9 2 x x x x x C BÀI TẬP VỀ : PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1. Tính các tích phân bất định sau : a/ 22 1 x x e dx  b/ 2 sinxdx x  Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 34 c/ cos x xdx  d/ 2 1 t anx+tan x e x dx  Bài 2. Tính các tích phân bất định sau : a/ x e dx  b/ 2 lnx dx x  c/ 2 os3xdx x ec  d/ sin lnx dx  Bài 3. Tính các tích phân bất định sau : a/ 2 2 1 os x c xdx  b/ 2 .0 x bdx b   c/ 3 ln x xdx  d/ 2 2 log x xdx  Bài 4. Tính các tích phân bất định sau : a/ 2 2 sin 2 x xdx  b/ 2 os x dx cx  c/ 2 48 x x dx  d/ 1 sinx 1 osx x e dx c  Bài 5. Tính các tích phân bất định sau : a/ 2 2 2 x xe dx x  b/ 2 ln 1 x x dx  c/ 2 11 ln 11 x dx xx  d/ 23x x e dx  Bài 6. Tính các tích phân bất định sau : a/ ln 1 ln x dx xx  b/ 2 os3xdx x ec  c/ 3 sin xdx  d/ 2 ln 1 x dx x 