Trắc nghiệm VD – VDC hình học Oxyz – Đặng Việt Đông (có đáp án và lời giải chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay MỤC LỤC DẠNG 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN………………………………………………………1 DẠNG 2: MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN…………………………………………………….8 DẠNG 3: GÓC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG................................21 DẠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.........................................................................29 DẠNG 5: GÓC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI ĐƯỜNG THẲNG……………….44 DẠNG 6: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN.....................................................................................58 DẠNG 7: MIN, MAX TRONG HH OXYZ............................................................................................69 7.1. MIN, MAX VỚI MẶT PHẲNG...........................................................................................71 7.2 MIN, MAX VỚI ĐƯỜNG THẲNG.....................................................................................76 7.3 MIN, MAX VỚI MẶT CẦU.................................................................................................83 DẠNG 8: TỌA ĐỘ HÓA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN........................................................................91 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Véc tơ trong không gian * Định nghĩa Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng. 2. Vecto đồng phẳng * Định nghĩa: Ba vecto , , a b c    khác 0  gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Chú ý: n vecto khác 0  gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Các giá c ủa các vecto đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau. * Điều kiện để 3 vecto khác 0  đồng phẳng Định lý 1: , , a b c    đồng phẳng , m n     : a mb nc      * Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng Đ ịnh lý 2: Cho 3 vecto 1 2 3 , , e e e        không đồng phẳng. Bất kì một vecto a  nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực   1 2 3 , , x x x duy nhất 1 1 2 2 3 3 a x e x e x e            Chú ý: Cho vecto , , a b c    khác 0  : 1. , , a b c    đồng phẳng nếu có ba số thực , , m n p không đồng thời bằng 0 sao cho: 0 ma nb pc       2. , , a b c    không đồng phẳng nếu từ 0 0 ma nb pc m n p           3. Tọa độ của vecto Trong không gian xét hệ trục Ox , yz có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng   Oxy tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục Ox, , Oy Oz lần lượt là       1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 . i j k       a)   1 2 3 1 2 3 ; ; a a a a a a i a j a k           b)   , , M M M M M M M x y z OM x i y j z k             c) Cho     , , , , , A A A B B B A x y z B x y z ta có:   ; ; B A B A B A AB x x y y z z         và       2 2 2 . B A B A B A AB x x y y z z       d) M là trung điểm AB thì ; ; 2 2 2 B A B A B A x x y y z z M          e) Cho   1 2 3 ; ; a a a a   và   1 2 3 ; ; b b b b   ta có: D 3 D 1 D 2 a b c Δ 1 Δ 2 Δ 3 P ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b               1 1 2 2 3 3 ; ; a b a b a b a b          1 2 3 . ; ; k a ka ka ka     1 1 2 2 3 3 . . cos ; a b a b a b a b a b a b           2 2 2 1 2 3 a a a a       1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos cos ; . a b a b a b a b a a a b b b            (với 0, 0 a b       ) a  và b  vuông góc: 1 1 2 2 3 3 . 0 0 a b a b a b a b         a  và b  cùng phương: 1 1 2 2 3 3 : a kb k R a kb a kb a kb                4. Tích có hướng và ứng dụng Tích có hướng của   1 2 3 ; ; a a a a   và   1 2 3 ; ; b b b b   là:   2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b                  a. Tính chất: , , , a b a a b b                   , . sin , a b a b a b            a  và b  cùng phương: , 0 a b         , , a b c    đồng phẳng , . 0 a b c          b. Các ứng dụng tích có hướng Di ện tích tam giác: 1 , 2 ABC S AB AC              Th ể tích tứ diện 1 , . 6 ABCD V AB AC AD                  Th ể tích khối hộp: . ' ' ' ' , .AA' ABCD A B C D V AB AD                  5. Một số kiến thức khác a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số   k MA k MB          thì ta có: ; ; 1 1 1 A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k          với 1 k  b) G là trọng tâm tam giác ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C G G G x x x y y y z z z ABC x y z           G là trọng tâm tứ diện 0 ABCD GA GB GC GD                       ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. , , A B C thẳng hàng , AB AC          cùng phương , 0 AB AC                . Dạng 2. , , A B C là ba đỉnh tam giác  , , A B C không thẳng hàng , AB AC          không cùng phương , 0 AB AC                . Dạng 3.   ; ; G G G G x y z là trọng tâm tam giác ABC thì: ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C G G G x x x y y y z z z x y z          Dạng 4. Cho ABC  có các chân , E F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC  trên BC . Ta có: . AB EB EC AC           , . AB FB FC AC          Dạng 5. 1 , 2 ABC S AB AC                diện tích của hình bình hành ABCD là: , ABCD S AB AC              Dạng 6. Đường cao AH của ABC  : 1 . 2 ABC S AH BC    , 2. ABC AB AC S AH BC BC                Dạng 7. Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành: Từ t/c hbh có 4 cặp vecto bằng nhau AB DC          hoặc ... AD BC           tọa độ D . Dạng 8. Chứng minh ABCD là một tứ diện  ; ; AB AC AD             không đồng phẳng , . 0 AB AC AD                   . Dạng 9.   ; ; G G G G x y z là trọng tâm tứ diện ABCD thì: ; ; 4 4 4 A B C D A B C D A B C D G G G x x x x y y y y z z z z x y z             Dạng 10. Thể tích khối tứ diện ABCD : 1 , . 6 ABCD V AB AC AD                  Dạng 11. Đường cao AH của tứ diện ABCD : 1 3 . 3 BCD BCD V V S AH AH S      Dạng 12. Thể tích hình hộp: . ' ' ' ' , . ' ABCD A B C D V AB AD AA                  . Dạng 13. Hình chiếu của điểm   ; ; A A A A x y z lên các mặt phẳng tọa độ và các trục: Xem lại mục 1, công thức 17, 18. Dạng 14. Tìm điểm đối xứng với điểm qua các mặt phẳng tọa độ, các trục và gốc tọa độ: (Thiếu tọa độ nào thì đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ nào thì để nguyên tọa độ đó)   OXY :   1 ; ; A A A A x y z    OXZ :   2 ; ; A A A A x y z    OYZ :   3 ; ; A A A A x y z    OX :   4 ; ; A A A A x y z     OY :   5 ; ; A A A A x y z     OZ :   6 ; ; A A A A x y z   Qua gốc O :   7 ; ; A A A A x y z    Câu 1: Cho bốn điểm         1,2,3 ; 2, 2,3 ; 1,3,3 ; 1, 2, 4 . S A B C Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , BC CA và AB. Khi đó SMNP là: A. Hình chóp. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Tam diện vuông Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm       2;0; 2 , 3; 1; 4 , 2;2;0     A B C . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là:   A A A A x ;y ;z ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.   0; 3; 1   D B.   0;2; 1  D C.   0;1; 1  D D.   0;3; 1  D Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm   1;2;0 A ,   3; 4;1 B ,   1;3;2 D  . Tìm tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng 45 .  A.   5;9;5 C . B.   1;5;3 C . C.   3;1;1 C  . D.   3;7;4 C . Câu 4: Cho ba điểm       3;1;0 , 0; 1;0 , 0;0; 6 A B C   . Nếu tam giác A B C    thỏa mãn hệ thức 0 A A B B C C                     thì có tọa độ trọng tâm là: A.   1;0; 2 .  B.   2; 3;0 .  C.   3; 2;0 .  D.   3; 2;1 .  Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm       3;0;0 , , ,0 , 0;0; M N m n P p . Biết  0 13, 60 MN MON   , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức 2 2 2 A m n p    bằng A. 29. B. 27. C. 28. D. 30. Câu 6: Cho hình chóp . S ABCD biết         2; 2;6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1;2;3 A B C D    . Gọi H là trung điểm của , CD   SH ABCD  . Để khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 27 2 (đvtt) thì có hai điểm 1 2 , S S thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của 1 2 S S A.   0; 1; 3 I   . B.   1; 0;3 I C.   0;1;3 I . D.   1;0; 3 . I   Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , (3;0;8) B , ( 5; 4;0) D   . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB          bằng: A. 5 10. B. 6 10. C. 10 6. D. 10 5. Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       4; 2;0 , 2;4;0 , 2;2;1 A B C . Biết điểm   ; ; H a b c là trực tâm của tam giác ABC . Tính 3 S a b c    . A. 6 S   . B. 2 S   . C. 6 S  . D. 2 S  . Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm       ;0;0 , 1; ;0 , 1;0; A a B b C c với , , a b c là các số thực thay đổi sao cho   3;2;1 H là trực tâm của tam giác ABC . Tính S a b c    . A. 2 S  . B. 19 S  . C. 11 S  . D. 9 S  . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       4;0;0 , ; ;0 , 0;0; A B a b C c với   , , 0 a b c  thỏa mãn độ dài đoạn 2 10 AB  , góc  45 AOB   và thể tích khối tứ diện OABC bằng 8. Tính tổng T a b c    . A. 2 T  . B. 10 T  . C. 12 T  . D. 14 T  . Câu 11: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz cho các điểm   5;1;5 A ,   4;3; 2 B ,   3; 2;1 C   . Điểm   ; ; I a b c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính 2 a b c   ? A. 1. B. 3. C. 6 . D. 9  . Câu 12: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có   3; 1;1 A   , hai đỉnh , B C thuộc trục Oz và 1 AA   (C không ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay trùng với O ). Biết véctơ   ; ;2 u a b   với , a b   là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A C  . Tính 2 2 T a b   . A. 5 T  . B. 16 T  . C. 4 T  . D. 9 T  . Câu 13: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang ABCD có hai đáy , AB CD ; có tọa độ ba đỉnh       1;2;1 , 2;0; 1 , 6;1;0 A B C  . Biết hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh   ; ; D a b c , tìm mệnh đề đúng? A. 6 a b c    . B. 5 a b c    . C. 8 a b c    . D. 7 a b c    . Câu 14: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , cho hình thang cân ABCD có các đáy lần lượt là , AB CD . Biết   3;1; 2 A  ,   1;3; 2 B  ,   6;3;6 C  và   ; ; D a b c với ; ; a b c   . Tính T a b c    . A. 3 T   . B. 1 T  . C. 3 T  . D. 1 T   . Câu 15: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm   0; 1;2 A  ,   2; 3;0 B  ,   2;1;1 C  ,   0; 1;3 D  . Gọi   L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức . . 1 MA MB MC MD                     . Biết rằng   L là một đường tròn, tính bán kính đường tròn đó? A. 5 2 r  . B. 11 2 r  . C. 3 2 r  . D. 7 2 r  . Câu 16: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyz , cho các điểm   0;4 2 ;0 A ,   0;0;4 2 B , điểm   C Oxy  và tam giác OAC vuông tại C , hình chiếu vuông góc của O trên BC là điểm H . Khi đó điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng A. 2 2 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Câu 17: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác ABC với   2;0; 3 A  ;   1; 2; 4 B   ;   2; 1; 2 C  . Biết điểm   ; ; E a b c là điểm để biểu thức P EA EB EC                đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T a b c    A. 3 T  . B. 1 T  . C. 0 T  . D. 1 T   . Câu 18: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai điểm   1;3; 4 A  ,   9; 7; 2 B  . Tìm trên trục Ox toạ độ điểm M sao cho 2 2 MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất. A.   5;0;0 M . B.   2;0;0 M  . C.   4;0;0 M . D.   9;0;0 M . Câu 19: (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz , cho các điểm     1;1;2 ; 0; 1; 3 A B   . Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng   Oxz , giá trị nhỏ nhất của 2 3 OM MA MB                bằng? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1. B. 3 2 . C. 1 2 . D. 1 4 . Câu 20: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm   2;4; 1 A  ,   1;4; 1 B  ,   2;4;3 C ,   2;2; 1 D  , biết   ; ; M x y z để 2 2 2 2 MA MB MC MD    đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z   bằng A. 6 . B. 21 4 . C. 8 . D. 9 . Câu 21: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz , cho 3    OA i j k        ,   2; 2;1 B . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho 2 2 MA MB  nhỏ nhất. A.   0; 2;0 M  . B. 3 0; ;0 2 M       . C.   0; 3;0 M  . D.   0; 4;0 M  . Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm   1;1;1 A ,   2;1;0 B  ,   2; 3;1 C  .Điểm   ; ; S a b c sao cho 2 2 2 2 3 SA SB SC   đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T a b c    A. 1 2 T  . B. 1 T   . C. 1 3 T   . D. 5 6 T   . Câu 23: (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian Oxyz , cho các điểm     2 ;2 ;0 , 0;0; A t t B t với 0. t  Cho điểm P di động thỏa mãn . . . 3 OP AP OP BP AP BP                            . Biết rằng có giá trị a t b  với , a b nguyên dương và a b tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất là 3. Tính giá trị 2 Q a b   ? A. 5. B. 13 . C. 11. D. 9. Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh ( ;0;0) B m , (0; ;0) D m , (0;0; ) A n  với , 0 m n  và 4 m n   . Gọi M là trung điểm của cạnh CC  . Khi đó thể tích tứ diện BDA M  đạt giá trị lớn nhất bằng A. 245 108 . B. 9 4 . C. 64 27 . D. 75 32 . Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     3; 2; 4 , 1; 4; 4 A B    và điểm   0; ; C a b thỏa mãn tam giác ABC cân tại C và có diện tích nhỏ nhất. Tính 2 3 S a b   . A. 62 25 S  . B. 73 25 S  . C. 239 10 S  . D. 29 5 S  . Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho hai điểm     2; 2;0 , 2;0; 2 A B  và điểm   , , M a b c với , , a b c là các số thực thay đổi thỏa mãn 2 1 0 a b c     . Biết MA MB  và góc  AMB có số đo lớn nhất. Tính 2 3 S a b c    . A. 16 11 S  . B. 15 11 S  . C. 1 11 S   . D. 1 11 S  . Câu 27: Trong không gian Oxyz cho ba điểm       2;3; 1 , N 1;1;1 , P 1; m 1;2 M    . Tìm giá trị nhỏ nhất của số đo góc MNP  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 6 arccos 85 . B. 6 arcsin 85 C. 2 arccos 9 D. 2 arcsin 9 Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho và hai điểm , . Giả sử , là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng sao cho cùng hướng với và . Giá trị lớn nhất của bằng A. . B. . C. . D. . Câu 29: (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c A, B, C với , , 0 a b c  sao cho 2 1        CA BC AB OC OB OA . Giá trị lớn nhất của VO.ABC bằng A. 1 . 108 B. 1 . 486 C. 1 . 54 D. 1 . 162 Câu 30: (Đoàn Thượng) Trong không gian Oxyz , cho   1 ; 1 ;2 A  ,   2;0;3 B  ,   0;1; 2 C  . Gọi   ; ; M a b c là điểm thuộc mặt phẳng   Oxy sao cho biểu thức . 2 . 3 . S MA MB MB MC MC MA                              đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 12 12 T a b c    có giá trị là A. 3 T  . B. 3 T   . C. 1 T  . D. 1 T   . Oxyz   1; 1;0 a      4;7;3 A    4;4;5 B M N   Oxy MN      a  5 2 MN  AM BN  17 77 7 2 3  82 5  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa Trong không gian Oxyz phương trình dạng 0 Ax By Cz D     với 2 2 2 0 A B C    được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Phương tr ình mặt phẳng   : 0 P Ax By Cz D     với 2 2 2 0 A B C    có vec tơ pháp tuyến là   ; ; . n A B C   Mặ t phẳng   P đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và nhận vecto   ; ; , 0 n A B C n      làm vecto pháp tuyến dạng         0 0 0 : 0. P A x x B y y C z z       Nế u   P có cặp vecto     1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ; a a a a b b b b     không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trên  . P Thì vecto pháp tuyến của   P được xác định , n a b         . 2. Các trường hợp riêng của mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mp  : 0, Ax By Cz D      với 2 2 2 0. A B C    Khi đó: 0 D  khi và chỉ khi    đi qua gốc tọa độ. 0, 0, 0, 0 A B C D     khi và chỉ khi    song song trục Ox. 0, 0, 0, 0 A B C D     khi và chỉ khi    song song mặt phẳng   Ox . y , , , 0. A B C D  Đặt , , . D D D a b c A B C       Khi đó:   : 1 x y c a b z     3. Phương trình mặt chắn cắt các trục tọa độ tại các điểm       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; : A a B b C c 1 , 0 x y z abc a b c     4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:       : 0; : 0; : 0. Oyz x Oxz y Oxy z    5. Chùm mặt phẳng (lớp chuyên): Giả sử     ' d     trong đó: ( ) : 0 Ax By Cz D      và ( ') : ' ' ' ' 0 A x B y C z D      . Pt mp chứa d có dạng:     ' ' ' ' 0 m Ax By Cz D n A x B y C z D         (với 2 2 0) m n   . 6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho   : 0 Ax By Cz D      và   ' : ' ' ' ' 0 A x B y C z D         cắt   '  ' ' ' ' ' ' AB A B BC B C CB C B             //   '  ' ' ' ' ' ' ' ' AB A B BC B C va AD A D CB C B                 '  ' ' ' ' ' ' ' ' AB A B BC B C CB C B AD A D             Đặt biệt:     1 2 ' . 0 . ' . ' . ' 0 n n A A B B C C               ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 7. Khoảng cách từ   0 0 0 0 ; ; M x y z đến ( ) : 0 Ax By Cz D          0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C        Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0 . 8. Góc giữa hai mặt phẳng Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   0 0 0 90      : 0 P Ax By Cz D     và   : ' ' ' ' 0 Q A x B y C z D       2 2 2 2 2 2 . . ' . ' . ' cos = cos , . . ' ' ' P Q P Q P Q n n A A B B C C n n n n A B C A B C                            Góc giữa ( ) ) ,(   bằng hoặc bù với góc giữa hai vtpt .  .  1 2 ) ( n n         ( ) ' ' ' 0 AA BB CC    1. Các hệ quả hay dùng: Mặt phẳng    //    thì    có một vtpt là n n      với n   là vtpt của mặt phẳng    . Mặt phẳng    vuông góc với đường thẳng d thì    có một vtpt là d n u     với d u  là vtcp của đường thẳng d . Mặt phẳng   P vuông góc với mặt phẳng   Q     P Q n n           Mặt phẳng   P chứa hoặc song song với đường thằng d   d P n u          Hai điểm , A B nằm trong một mặt phẳng   P   p AB n           B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến. Dạng 1. Mặt phẳng ( )  đi qua điểm có vtpt ( ): hay 0 Ax By Cz D     với   0 0 0 D Ax By Cz     . Dạng 2. Mặt phẳng ( )  đi qua điểm có cặp vtcp , a b   Khi đó một vtpt của ( ) là , n a b            Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 3. Mặt phẳng ( )  qua 3 điểm không thẳng hàng , , A B C Cặp vtcp: , AB AC         Mặt phẳng ( )  đi qua A (hoặc B hoặcC ) và có vtpt , n AB AC               Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 4. Mặt phẳng trung trực đoạn AB Tìm tọa độ M là trung điểm của đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm) Mặt phẳng ( )  đi qua M và có vtpt n AB       Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 5. Mặt phẳng ( )  qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB ) Mặt phẳng ( )  đi qua M và có vtpt là vtcp của đường thẳng d (hoặc n AB        ) 1 2 n n ,      0 0 0 90 ( ),( )       0 0 0 M x ; y ; z   n A; B;C         0 0 0 0 A x x B y y C z z         0 0 0 M x ; y ; z ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 6. Mặt phẳng ( )  qua M và song song ( )  : 0 Ax By Cz D     Mặt phẳng ( )  đi qua M và có vtpt   ; ; n n A B C           Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 7. Mặt phẳng    đi qua M , song song với d và vuông góc với       có một vtpt là   , d n u n                  với d u    là vtcp của đường thẳng d và   n      là vtpt của    . Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 8. Mặt phẳng ( )  chứa M và đường thẳng d không đi qua M Lấy điểm     0 0 0 0 ; ; M x y z d  Tính 0 MM       . Xác định vtcp d u    của đường thẳng d Tính 0 , d n MM u                   Mặt phẳng ( )  đi qua M (hoặc 0 M ) và có vtpt n     Dạng 9. Mặt phẳng ( )  đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( )  , ( )  : Xác định các vtpt của ( )  và ( )  Một vtpt của ( )  là   , n u n                   Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 10. Mặt phẳng ( )  đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau 1 2 , d d : Xác định các vtcp , a b   của các đường thẳng 1 2 , d d Một vtpt của ( )  là , n a b            Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 11. Mặt phẳng ( )  qua , M N và vuông góc ( )  : Tính MN      Tính , n MN n                   Mặt phẳng ( )  đi qua M (hoặc N ) và có vtpt n     Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 12. Mặt phẳng    chứa đường thẳng d và vuông góc với       có một vtpt là , d n u n                 với d u    là vtcp của d Lấy điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z d    0 0 0 0 ; ; ( ) M x y z    Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 13. Mặt phẳng ( )  chứa   d và song song   / d (với ( ),( ') d d chéo nhau) Lấy điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z d    0 0 0 0 ; ; ( ) M x y z    Xác định vtcp ' ; d d u u       của đường thẳng d và đường thẳng ' d Mặt phẳng ( )  đi qua 0 M và có vtpt ' , d d n u u              Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 14. Mặt phẳng ( )  chứa hai đường thẳng song song 1 2 ,   Chọn điểm   1 1 1 1 1 ; ; M x y z   và   2 2 2 2 2 ; ; M x y z   n n ,     ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Tìm vtcp 1 u   của đường thẳng 1  hoặc vtcp 2 u    của đường thẳng 2  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )  là 1 1 2 , n u M M                     hoặc 2 1 2 , n u M M                    Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 15. Mặt phẳng ( )  đi qua 2 đường thẳng cắt nhau 1 2 , d d : Xác định các vtcp , a b   của các đường thẳng 1 2 , d d Một vtpt của ( )  là , n a b            Lấy một điểm M thuộc 1 d hoặc 2 d M   ( )  Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 16. Mặt phẳng ( )  đi qua đường thẳng   d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi: Giả sử ( )  có phương trình: Lấy 2 điểm , ( ) , ( ) A B d A B     (ta được hai phương trình (1), (2)) Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình (3) Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). Dạng 17. Mặt phẳng ( )  tiếp xúc với mặt cầu   S tại điểm H : Giả sử mặt cầu   S có tâm I và bán kính R . Vì H là tiếp điểm ( ) H    Một vtpt của ( )  là Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )  . Dạng 18. Mặt phẳng ( ')  đối xứng với mặt phẳng ( )  qua mặt phẳng ( ) P TH1: ( ) ( ) P d    : - Tìm , M N là hai điểm chung của ( ),( ) P  - Chọn một điểm ( ) I   . Tìm ’ I đối xứng I qua ( ) P - Viết phương trình mp ( ')  qua ’, , I M N . TH2: ( ) / /( ) P  - Chọn một điểm ( ) I   . Tìm ’ I đối xứng I qua ( ) P - Viết phương trình mp ( ')  qua ’ I và song song với ( ) P . CÁC DẠNG TOÁN KHÁC Dạng 1. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )  Cách 1: - H là hình chiếu của điểm M trên   P  - Giải hệ tìm được H . Cách 2: - Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với ( )  : ta có d a n       - Khi đó: H d   ( )   tọa độ H là nghiệm của hpt:   d và ( )  Dạng 2. Tìm điểm ’ M đối xứng M qua ( )  Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )  H là trung điểm của / MM (dùng công thức trung điểm)  tọa độ H . Dạng 3. Viết phương trình mp ( ') P đối xứng mp ( ) P qua mp   Q TH1: ( ) Q    P d  0 Ax By Cz+D      2 2 2 0 A B C    d M k ( ,( ))   n IH      MH n cuøng phöông H P , ( )           ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Lấy hai điểm bất kỳ   , ( ) ( ) A B P Q   (hay , A B d  ) - Lấy điểm ( ) M P  ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm / M đối xứng với M qua ( ) Q . - Mặt phẳng ( ') P là mặt phẳng đi qua d và ' M . TH2: ( ) Q / /   P - Lấy điểm ( ) M P  ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm / M đối xứng với M qua ( ) Q . - Mặt phẳng ( ') P là mặt phẳng đi qua ' M và song song ( ) P . C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ 0 2 2 2 0         y x y z Oxyz cho điểm   1;0;0 M và   0;0; 1  N , mặt phẳng   P qua điểm , M N và tạo với mặt phẳng   : 4 0    Q x y một góc bằng O 45 . Phương trình mặt phẳng   P là A. 0 2 2 2 0         y x y z . B. 0 2 2 2 0         y x y z . C. 2 2 2 0 2 2 2 0            x y z x y z . D. 2 2 2 0 . 2 2 2 0          x z x z Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho   : 4 2 6 0 P x y z     ,   : 2 4 6 0 Q x y z     . Lập phương trình mặt phẳng    chứa giao tuyến của     , P Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm , , A B C sao cho hình chóp . O ABC là hình chóp đều. A. 6 0 x y z     . B. 6 0 x y z     . C. 6 0 x y z     . D. 3 0 x y z     . Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: , và mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng . A. B. C. D. Câu 4: Cho tứ giác ABCD có         0;1; 1 ; 1;1;2 ; 1; 1;0 ; 0;0;1 . A B C D   Viết phương trình của mặt phẳng   P qua , A B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3. A. 15 4 5 1 0 x y z     . B. 15 4 5 1 0 x y z     . C. 15 4 5 1 0 x y z     . D. 15 4 5 1 0 x y z     Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ 0 2 2 2 0 y x y z         Oxyz cho điểm   1;0;0 M và   0;0; 1 N  , mặt phẳng   P qua điểm , M N và tạo với mặt phẳng   : 4 0 Q x y    một góc bằng O 45 . Phương trình mặt phẳng   P là 1 2 1 1 : 1 2 3 x y z        2 : 2 1 2 x t y t z t            2 2 2 ( ) : 2 2 6 5 0 S x y z x y z        ( )  1 2 ,   2 365 5  5 3 4 0; 5 3 10 0 x y z x y z         5 3 10 0 x y z     5 3 3 511 0; 5 3 3 511 0 x y z x y z           5 3 4 0 x y z     ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 0 2 2 2 0 y x y z         . B. 0 2 2 2 0 y x y z         . C. 2 2 2 0 2 2 2 0 x y z x y z            . D. 2 2 2 0 . 2 2 2 0 x z x z          Câu 6: Cho tứ giác ABCD có         0;1; 1 ; 1;1;2 ; 1; 1;0 ; 0;0;1 . A B C D   Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   Q song song với mặt phẳng   BCD và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng 1 . 27 A. 3 3 4 0 x z    . B. 1 0 y z    . C. 4 0 y z    . D. 4 3 4 0 x z    Câu 7: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   P cắt hai trục ' y Oy và ' z Oz tại     0, 1,0 , 0,0,1 A B  và tạo với mặt phẳng   yOz một góc 0 45 . A. 2 1 0 x y z     . B. 2 1 0 x y z     . C. 2 1 0; 2 1 0 x y z x y z         . D. 2 1 0; 2 1 0 x y z x y z         Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ , vuông góc với mặt phẳng và tiếp xúc với (S). A. 2 2 3 0 2 2 21 0            x y z x y z . B. 2 2 3 0 2 2 21 0            x y z x y z . C. 2 3 0 2 1 0            x y z x y z . D. 2 13 0 2 1 0            x y z x y z Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng 1 1 : 0 0 x t d y z         , 2 2 1 : 0 x d y t z         , 3 3 1 : 0 x d y z t         . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm   3;2;1 H và cắt ba đường thẳng 1 d , 2 d , 3 d lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . A. 2 2 11 0 x y z     . B. 6 0 x y z     . C. 2 2 9 0 x y z     . D. 3 2 14 0 x y z     . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y z d      . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d. A.   : 2 5 4 0. P x y z     B.   : 2 5 5 0. P x y z     C.   : 2 4 0. P x y z     D.   : 2 3 0. P x y    Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 1 2 , d d lần lượt có phương trình 1 2 2 3 : 2 1 3 x y z d      , 2 1 2 1 : 2 1 4 x y z d       . Phương trình mặt phẳng    cách đều hai đường thẳng 1 2 , d d là A. 7 2 4 0 x y z    . B. 7 2 4 3 0 x y z     . C. 2 3 3 0 x y z     . D. 14 4 8 3 0 x y z     . 2 2 2 2 6 4 2 0 x y z x y z        (1;6;2) v   ( ) : 4 11 0 x y z      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng và A. . B. . C. . D. . Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng   : 5 4 0 P x z    và hai đường thẳng 1 2 ; d d lần lượt có phương trình 1 1 1 2 1 ; . 1 1 2 2 1 1 x y z x y z           Viết phương trình của mặt phẳng     / / , Q P theo thứ tự cắt 1 2 , d d tại , A B sao cho 4 5 . 3 AB  A.     1 2 25 331 25 331 :5 0; :5 0 7 7 Q x z Q x z           . B.     1 2 :5 2 0; :55 11 14 0 Q x z Q x z       . C.     1 2 : 5 2 0; : 55 11 14 0 Q x z Q x z         . D.     1 2 :5 4 0; : 55 11 7 0 Q x z Q x z       Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng    đi qua điểm   1;2;3 M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B ,C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng    có phương trình là A. 2 3 14 0 x y z     . B. 1 0 1 2 3 x y z     . C. 3 2 10 0 x y z     . D. 2 3 14 0 x y z     . Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho   : 4 2 6 0 P x y z     ,   : 2 4 6 0 Q x y z     . Lập phương trình mặt phẳng    chứa giao tuyến của     , P Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm , , A B C sao cho hình chóp . O ABC là hình chóp đều. A. 6 0 x y z     . B. 6 0 x y z     . C. 6 0 x y z     . D. 3 0 x y z     . Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm   1;1;1 N . Viết phương trình mặt phẳng   P cắt các trục , , Ox Oy Oz lần lượt tại , , A B C (không trùng với gốc tọa độO ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A.   : 3 0 P x y z     . B.   : 1 0 P x y z     . C.   : 1 0 P x y z     . D.   : 2 4 0 P x y z     . Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng   : 0 Q x y z    và hai điểm     4, 3,1 , 2,1,1 . A B  Tìm điểm M thuộc mặt phẳng   Q sao cho tam giác ABM vuông cân tại . M A.   1; 2;1 17 9 8 ; ; 7 7 7 M M               . B.   1;2;1 17 9 8 ; ; 7 7 7 M M            . C.   1;2;1 13 5 9 ; ; 7 7 7 M M               . D.   1;1;1 9 9 8 ; ; 7 7 7 M M                P 1 2 : 1 1 1 y x z d     2 1 2 : . 2 1 1 y x z d         : 2 2 1 0 x P z      : 2 2 1 0 y P z      : 2 2 1 0 x P y      : 2 2 1 0 y P z    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho 2 điểm     1;3;2 , 3;2;1 A B và mặt phẳng   : 2 2 11 0. P x y x     Tìm điểm M trên   P sao cho 0 2 2, 30 . MB MBA    A.     1;2;3 1;4;1 M M     . B.     1; 2;3 1; 4;1 M M       . C.     2;1;3 4;1;1 M M     . D.     1; 2;3 1;4;1 M M       Câu 19: Trong không gian tọa độ , cho tám điểm , , , , , , , . Hỏi hình đa diện tạo bởi tám điểm đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng. A. 3. B. 6. C. 8. D. 9 Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm   1; 2;0 , A    0; 1;1 , B    2;1; 1 , C    3;1;4 D . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số. Câu 21: Trong không gian cho điểm (1 ; 3;2) M  .Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại , , A B C mà 0 OA OB OC    A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 22: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm (1 ;9;4) M và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B , C (khác gốc tọa độ) sao cho OA OB OC   . A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Câu 23: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d      và mặt phẳng   : 2 2 2 0 P x y z     .   Q là mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng   P một góc nhỏ nhất. Gọi   ; ;1 Q n a b     là một vectơ pháp tuyến của   Q . Đẳng thức nào đúng? A. 0 a b   . B. 1 a b    . C. 1 a b   . D. 2 a b    . Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc của hệ trục tọa độ, ( ;0;0) B a , (0; ;0) D a , (0;0; ) A b  ( 0, 0) a b   . Gọi M là trung điểm của cạnh CC  . Giá trị của tỉ số a b để hai mặt phẳng ( ) A BD  và   MBD vuông góc với nhau là A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1  . D. 1. Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho các điểm trong đó dương và mặt phẳng . Biết rằng vuông góc với và , mệnh đề nào sau đây đúng? A. B. C. D. Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       5;5;0 , 1;2;3 , 3;5; 1 A B C  và mặt phẳng   : x 5 0 P y z     . Tính thể tích V của khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng   P và SA SB SC   . A. 145 6 V  . B. 145 V  . C. 45 6 V  . D. 127 3 V  . Oxyz   2; 2; 0 A     3; 2; 0 B    3;3; 0 C   2;3; 0 D    2; 2; 5 M     2; 2;5 N     3; 2;5 P    2;3;5 Q  , Oxyz       1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A B b C c , b c   : 1 0 P y z      mp ABC   mp P     1 , 3 d O ABC  1. b c   2 1. b c   3 1. b c   3 3. b c   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       1;2; 1 , 2;4;1 , 1;5;3 A M N  . Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng   : 27 0 P x z    sao cho tồn tại các điểm , B D tương ứng thuộc các tia , AM AN để tứ giác ABCD là hình thoi. A.   6; 17;21 C  B.   20;15;7 C C.   6;21;21 C D.   18; 7;9 C  Câu 28: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ba điểm   2;1;2 A ,   2; 3;1 B  ,   3;2;2 C và mặt phẳng   : 3 0 x y z     . Gọi A  , B  , C  lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C lên    . D  là điểm sao cho A B C D     là hình bình hành. Diện tích hình bình hành A B C D     bằng A. 3 22 B. 4 11 . C. 8 11 . D. 6 22 . Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho ba mặt phẳng       : 2 1 0; : 2 8 0; : 2 4 0. x y z x y z x y z                Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng       ; ;    lần lượt tại , , . A B C Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 144 P AB AC   là? A. 108. B. 3 72 4. C. 96. D. 36. Câu 30: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz , cho hình chóp . S ABC có 3 2 SC AB   , đường thẳng AB có phương trình 1 1 1 4 1 x y z      và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60  . Khi ba điểm , , A B C cùng với ba trung điểm của ba cạnh bên của hình chóp . S ABC nằm trên một mặt cầu thì mặt phẳng   ABC có phương trình là A. 1 0 y z    . B. 4 14 0 x y z     .C. 2 7 8 0 x y z     . D. 4 14 0 x y z     . Câu 31: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm   1;1;1 A ,   1;0; 2 B   ,   2; 1;0 C  ,   2;2;3 D  . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng song song với , AB CD và cắt 2 đường thẳng , AC BD lần lượt tại , M N thỏa mãn 2 2 1 BN AM AM         . A. 0 . B. 2 . C. 3. D. 1. Câu 32: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz , cho điểm   1; 3;2 M  . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại A , B , C mà 0 OA OB OC    ? A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . Câu 33: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu     2 2 2 : 1 4 S x y z     và điểm   2;2;2 A . Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB , AC , AD với B , C , D là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng   BCD . A. 2 2 1 0 x y z     . B. 2 2 3 0 x y z     . C. 2 2 1 0 x y z     . D. 2 2 5 0 x y z     . Câu 34: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   ; ; H a b c với , , 0 a b c  . Mặt phẳng ( ) P chứa điểm H và lần lượt cắt các trục , , Ox Oy Oz tại , , A B C thỏa mãn H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng ( ) P là ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 2 2 x y z ab bc ca a b c abc      B. 3 x y z a b c    . C. 2 2 2 0 ax by cz a b c       . D. 2 2 2 3 3 3 0 a x b y c z a b c       . Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1; 2;1) A và (3; 1;5)  B . Mặt phẳng ( ) P vuông góc với đường thẳng AB và cắt các trục Ox , Oy và Oz lần lượt tại các điểm D , E và F . Biết thể tích của tứ diện ODEF bằng 3 2 , phương trình mặt phẳng ( ) P là A. 3 2 3 4 36 0 x y z     . B. 3 2 3 4 0 2 x y z     . C. 2 3 4 12 0 x y z     . D. 2 3 4 6 0 x y z     . Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm   4; 4;1 M  và chắn trên ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 1 2 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 37: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gianOxyz , cho mặt cầu   2 2 2 : 2 4 6 2 0 S x y z x y z        . Viết phương trình mặt phẳng    chứa Oy cắt mặt cầu   S theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8  . A.   : 3 0 x z    . B.   : 3 0 x z    . C.   : 3 0 x z    . D.   : 3 2 0 x z     . Câu 38: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (1;0;0), (0;1;0) A B . Mặt phẳng đi qua các điểm , A B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 1 6 có phương trình dạng 0 x ay bz c     . Tính giá trị 3 2 a b c   . A. 16 . B. 1. C. 10 . D. 6 Câu 39: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm   1;2;5 M . Mặt phẳng   P đi qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Thể tích của tứ diện OABC là A. 10 6 . B. 450 . C. 10. D. 45 . Câu 40: (Kim Liên) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   2;1; 2 A   ,   1;1;0 B  và mặt phẳng   : 1 0 P x y z     . Điểm C thuộc   P sao cho tam giác ABC vuông cân tại B . Cao độ của điểm C bằng A. 1 hoặc 2 3  . B. 1  hoặc 2 3 . C. 3  hoặc 1 3 . D. 1  hoặc 1 3  . Câu 41: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     1;2;1 , 3;4;0 A B , mặt phẳng   : 46 0 P ax by cz     . Biết rằng khoảng cách từ , A B đến mặt phẳng   P lần lượt bằng 6 và 3 . Giá trị của biểu thức T a b c    bằng A. 3  . B. 6  . C. 3 . D. 6 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 42: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ) : 1 1 1 1 ( S x y z       và mặt phẳng : 2 0 ( 2 11 ) P x y z     . Xét điểm M di động trên ( ) P ; các điểm , , A B C phân biệt di động trên ( ) S sao cho , , AM BM CM là các tiếp tuyến của ( ) S . Mặt phẳng ( ) ABC luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? A. 1 1 1 ; ; 4 2 2         . B.   0; 1;3  . C. 3 ;0;2 2       . D.   0;3; 1  . Câu 43: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm     1;1;1 , 2;0;2 A B ,     1; 1;0 , 0;3;4 C D   . Trên các cạnh , , AB AC AD lần lượt lấy các điểm ', ', ' B C D thỏa: 4 ' ' ' AB AC AD AB AC AD    . Viết phương trình mặt phẳng   ' ' ' B C D biết tứ diện ' ' ' AB C D có thể tích nhỏ nhất? A. 16 40 44 39 0 x y z     . B. 16 40 44 39 0 x y z     . C. 16 40 44 39 0 x y z     . D. 16 40 44 39 0 x y z     . Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong không gian Oxyz 1 2 : 1 2 1 x y z d      và mặt phẳng   : 2 2 4 0 P x y z     .Mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng   P góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là A. 2 0 x z    . B. 2 0 x z    . C. 3 1 0 x y z     . D. 3 0 x y z     . Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (2; 2;0) A  , đường thẳng 1 2 : 1 3 1 x y z       . Biết mặt phẳng ( ) P có phương trình 0 ax by cz d     đi qua A , song song với  và khoảng cách từ  tới mặt phẳng ( ) P lớn nhất. Biết , a b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a b c d    bằng bao nhiêu? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 1  . Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng 1 1 2 1 : 1 2 1 x y z d       và 2 2 : 3 2 x t d y t z            . Mặt phẳng   : 0 P ax by cz d     (với ; ; ; a b c d   ) vuông góc với đường thẳng 1 d và chắn 1 2 , d d đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tính a b c d    . A. 14  B. 1 C. 8  D. 12  Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng   : 3 5 0 P x y z     và hai điểm   1;0;2 A ,   2; 1;4 . B  Tìm tập hợp các điểm   ; ; M x y z nằm trên mặt phẳng   P sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. A. 7 4 7 0 . 3 5 0 x y z x y z            B. 7 4 14 0 . 3 5 0 x y z x y z            C. 7 4 7 0 . 3 5 0 x y z x y z            D. 3 7 4 5 0 . 3 5 0 x y z x y z            Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho 3 điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ và đến lớn nhất biết rằng không cắt đoạn . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ? A. B. C. D. . , Oxyz       1;0;1 ; 3; 2;0 ; 1;2; 2 A B C     P A B C   P   P BC   P   2; 0; 3 . G    3; 0; 2 . F    1 ;3;1 . E   0;3;1 H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   2;3;1 A  và hai mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     và   :2 2 5 0 Q x y z     . Gọi     , B P C Q   sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Tính P AB BC CA    . A. 2 321 9 P  . B. 2 231 9 P  . C. 321 9 P  . D. 231 9 P  . Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     và hai điểm     1;2;3 , 3;4;5 A B . Gọi M là một điểm di động trên   P . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 MA MB  bằng: A. 3 6 78  B. 3 3 78  C. 54 6 78  D. 3 3 Câu 51: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Mặt phẳng   P đi qua điểm   1;1;1 M cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại   ;0;0 A a ,   0; ;0 B b ,   0;0; C c sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó 2 3 a b c   bằng A. 12 . B. 21 . C. 15 . D. 18 . Câu 52: (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM 2019) Cho mặt cầu         2 2 2 : 1 2 5 16 S x y z       và điểm   1;2; 1 A  . Điểm   ; ; B a b c thuộc mặt cầu sao cho AB có độ dài lớn nhất. Tính a b c   . A. 6  . B. 2 . C. 2  . D. 12 . Câu 53: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 2 3 12 S x y z       và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0 P x y z     . Viết phương trình mặt phẳng song song với   P và cắt   S theo thiết diện là đường tròn   C sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn   C có thể tích lớn nhất. A. ( ) : 2 2 2 0 Q x y z     hoặc ( ) : 2 2 8 0 Q x y z     . B. ( ) : 2 2 1 0 Q x y z     hoặc ( ) : 2 2 11 0 Q x y z     . C. ( ) : 2 2 6 0 Q x y z     hoặc ( ) : 2 2 3 0 Q x y z     . D. ( ) : 2 2 2 0 Q x y z     hoặc ( ) : 2 2 2 0 Q x y z     . Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) .Viết phương trình mặt phẳng ( )  qua E và cắt nửa trục dương , , Ox Oy Oz lần lượt tại , , A B C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC . A. 2 11 0 x y z     . B. 8 66=0 x y z    . C. 2 18 0 x y z     . D. 2 2 12 0 x y z     . Câu 55: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng   P đi qua điểm   1;2;3 M và cắt các trục , , Ox Oy Oz lần lượt tại ba điểm , , A B C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 2 2 2 1 1 1 OA OB OC   có giá trị nhỏ nhất. A.   : 2 14 0 P x y z     . B.   : 2 3 14 0 P x y z     . C.   : 2 3 11 0 P x y z     . D.   : 3 14 0 P x y z     . Câu 56: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm   1;2;3 M và cắt ba tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất? A. 6 3 2 18 0 x y z     . B. 6 3 3 21 0 x y z     . C. 6 3 3 21 0 x y z     . D. 6 3 2 18 0 x y z     . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 0 P x y z     và hai điểm     3;4;1 , 7; 4; 3 A B   . Gọi   0 0 0 ; ; M x y z là điểm thuộc mặt phẳng   P sao cho   2 2 2 . . 96 MA MB MA MB MA MB                     và . MA MB đạt giá trị lớn nhất. Tính 0 y . A. 0 7 3 y  . B. 0 5 3 y  . C. 0 8 3 y   . D. 0 2 3 3 y  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay GÓC Câu 1: (Ba Đình Lần2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   P có phương trình: 1 0 ax by cz     với 0 c  đi qua 2 điểm   0;1 ;0 A ,   1 ;0;0 B và tạo với   Oyz một góc 60  . Khi đó a b c   thuộc khoảng nào dưới đây? A.   5;8 . B.   8;11 . C.   0;3 . D.   3;5 . Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 4 S x y z      và đường thẳng 2 : . 1 x t d y t z m t            Tổng các giá trị thực của tham số m để d cắt   S tại hai điểm phân biệt , A B và các tiếp diện của   S tại , A B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng A. 1,5  . B. 3 . C. 1  . D. 2,25  . Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   2; 2;0 , A   2;0; 2 B  và mặt phẳng   : 2 1 0 P x y z     . Tìm điểm   M P  sao cho MA MB  và góc  AMB có số đo lớn nhất. A. 14 1 1 ; ; . 11 11 11 M        B. 2 4 1 ; ; . 11 11 11 M        C.   2; 1 ; 1 . M   D.   2;2;1 . M  Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d: và d’: Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và đường thẳng . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là A. B. C. D. Câu 6: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho hinh lập phương 1 1 1 1 . ABCD A B C D biết   0;0;0 A ,   1 ;0;0 B ,   0;1 ;0 D ,   1 0;0;1 A . Gọi   : 3 0 P ax by cz     (với , , a b c    ) là phương trình mặt phẳng chứa 1 CD và tạo với mặt phẳng   1 1 BB D D một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của    T a b c bằng A. 1  . B. 6 . C. 4 . D. 3. 3 2 2            x t y t z t ' 5 ' 2 ' 3 2 5            x t y t z t 3 2 7 0     x y z 3 2 7 0     x y z 3 2 7 0      x y z 3 2 7 0     x y z x y z 2 5 0     x y z d 1 1 3 : 2 1 1           : 4 0 P y z      : x 4 0 P z       : x 4 0 P y z      : 4 0 P y z ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho góc giữa mặt phẳng và đường thẳng là lớn nhất. A. 6 0     x y z . B. 7 5 9 0     x y z . C. 6 0 x y z     . D. 3 0     x y z . Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 2 : 1 2 1 x y z d      và 2 2 1 : 2 1 2 x y z d      . Gọi   P là mặt phẳng chứa 1 d sao cho góc giữa mặt phẳng   P và đường thẳng 2 d là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A.   P có vectơ pháp tuyến là   1; 1;2 n    . B.   P qua điểm   0;2;0 A . C.   P song song với mặt phẳng   : 7 5 3 0 Q x y z     . D.   P cắt 2 d tại điểm   2; 1;4 B  . Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng và mp . Viết phương trình mặt phẳng qua d và tạo với một góc nhỏ nhất. A. B. C. D. KHOẢNG CÁCH Câu 10: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm   10;2;1 A và đường thẳng 1 1 : 2 1 3 x y z d     . Gọi   P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và   P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm   1 ;2;3 M  đến mp   P là A. 97 3 . 15 B. 76 790 . 790 C. 2 13 . 13 D. 3 29 . 29 Câu 11: Cho mặt phẳng   P đi qua hai điểm     3,0,4 , 3,0,4 A B  và hợp với mặt phẳng   xOy một góc 0 30 và cắt ' y Oy tại . C Tính khoảng cách từ O đến  . P A. 4 3 . B. 3 . C. 3 3 . D. 2 3 Câu 12: Trong không gian , Oxyz cho các điểm   1 ;0;0 , A   2;0;3 , B    0;0;1 M và   0;3;1 . N Mặt phẳng   P đi qua các điểm , M N sao cho khoảng cách từ điểm B đến   P gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến  . P Có bao mặt phẳng   P thỏa mãn đầu bài? Oxyz 1 1 2 : 1 2 1 x y z d      2 2 1 : 2 1 2 x y z d      ( ) P 1 d ( ) P 2 d : 1 2 2 x t d y t z t                    : 2 2 2 0 P x y z       R   P 3 0 x y z     3 0 x y z     3 0 x y z     3 0 x y z     ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. Có vô số mặt phẳng  . P B. Chỉ có một mặt phẳng  . P C. Không có mặt phẳng   P nào. D. Có hai mặt phẳng  . P Câu 13: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng    đi qua điểm   1;2;1 M và cắt các tia , , Ox Oy Oz lần lượt tại , , A B C sao cho độ dài , , OA OB OC theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng    . A. 4 21 . B. 21 21 . C. 3 21 7 . D. 9 21 . Câu 14: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với   1, 2,0 A  ;   3,3,2 B ;   1,2, 2 C  ;   3,3,1 D . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng   ABC bằng A. 9 7 2 B. 9 7 C. 9 14 D. 9 2 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng 4 4 2 7 0 x y z     và 2 2 1 0 x y z     chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là A. 27 8 V  B. 81 3 8 V  . C. 9 3 2 V  D. 64 27 V  Câu 16: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng     và . AB D BC D    A. 3 . 3 B. 3. C. 3 . 2 D. 2 . 3 Câu 17: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz cho   1 2 1 M ; ;  . Gọi   P là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Mặt phẳng   P cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B ,C . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . A. 27 6  . B. 216 6  . C. 972  . D. 243 2  . Câu 18: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   P đi qua điểm   2;3;5 M cắt các tia , , Ox Oy Oz lần lượt tại ba điểm , , A B C sao cho , , OA OB OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3 . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng   P là A. 16 91 . B. 24 91 . C. 32 91 . D. 18 91 . Câu 19: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 1 : 2 1 3     x y z d và mặt phẳng   : 2 0    P x y z . Mặt phẳng   Q chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng   P . Khoảng cách từ điểm   0;0;0 O đến mặt phẳng   Q bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 3 . B. 1 3 . C. 1 5 . D. 1 5 . Câu 20: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng       2 : 1 1 1 0 m P mx m m y m z       ( m là tham số) và đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương   1; 2; 3 u   . Đường thẳng  song song với mặt phẳng   Oxy ,  vuông góc với d và cắt mặt phẳng   m P tại một điểm cố định. Tính khoảng cách h từ   1; 5; 0 A  đến đường thẳng  . A. 5 2 h  . B. 19 h  . C. 21 h  . D. 2 5 h  . Câu 21: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho   1;2;2 A ,   2;1 ;2 B ,   1 ;5;1 C  ,   3;1 ;1 D và   0; 1;2 E  . Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều năm điểm đã cho? A. Vô số. B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi là mặt phẳng qua hai điểm và đồng thời hợp với mặt phẳng một góc . Khoảng cách từ O tới là A. B. C. D. Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c với , , a b c dương. Biết , , A B C di động trên các tia , , Ox Oy Oz sao cho 2 a b c    . Biết rằng khi , , a b c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng   P cố định. Tính khoảng cách từ   2016;0;0 M tới mặt phẳng   P . A. 2017 . B. 2014 3 . C. 2016 3 . D. 2015 3 . Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi d là đường thẳng đi qua điểm   1,0,0 A có hình chiếu trên mặt phẳng   : 2 2 8 0 P x y z     là ' d . Giả sử giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khoảng cách từ điểm   2, 3, 1 M   tới ' d là  và  . Tính giá trị của T     ? A. 2 B. 6 2 C. 2 2 D. 6 3 Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ đến (P) đạt giá trị lớn nhất. (P) có vectơ pháp tuyến là A. B. C. D. Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2;1;6 , 1; ( ) ( ) 2;4 A B và 1;3 ( ;2 . ) I Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua , A B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất. Oxyz      2;0;1 A   2;0;5 B    Oxz 0 45    . 3 2 3 . 2 1 . 2 2 . 2 (0; 1;2) M  ( 1;1;3) N    0;0;2 K (1;1 ; 1)  (1; 1;1)  (1 ; 2;1)  (2; 1;1)  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 7 6 35 0     x y z . B. 7 5 9 0     x y z . C. 6 0 x y z     . D. 3 0     x y z . Câu 27: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019)Trong không gian Oxyz , cho các điểm   0 0 M m; ; ,   0 0 N ;n; ,   0 0 P ; ; p không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn 2 2 2 3 m n p    . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng   MNP . A. 1 3 . B. 3 . C. 1 3 . D. 1 27 . Câu 28: Cho điểm (0;8;2) A và mặt cầu ( ) S có phương trình 2 2 2 ( ) : ( 5) ( 3) ( 7) 72 S x y z       và điểm (9; 7;23) B  . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua A tiếp xúc với ( ) S sao cho khoảng cách từ B đến ( ) P là lớn nhất. Giả sử (1; ; ) n m n   là một vectơ pháp tuyến của ( ) P . Lúc đó A. . 2. m n  B. . 2. m n   C. . 4. m n  D. . 4. m n   Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm   ;0;0 A a ,   0, ,0 B b ,   0,0, C c với a , b , c là những số dương thay đổi thỏa mãn 2 2 2 4 16 49 a b c    . Tính tổng 2 2 2 S a b c    khi khoảng cách từ O đến mặt phẳng   ABC đạt giá trị lớn nhất. A. 51 5 S  . B. 49 4 S  . C. 49 5 S  . D. 51 4 S  . Câu 30: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi   : 3 0 P ax by cz     (với , , a b c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm     0; 1 ;2 , 1 ;1;3 M N   và không đi qua điểm   0;0;2 H . Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng   P đạt giá trị lớn nhất. Tổng 2 3 12 T a b c     bằng A. 16  . B. 8 . C. 12 . D. 16 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Câu 31: (Sở Hà Nam)Trong không gian , Oxyz cho mặt phẳng   : 2 7 0 P x y z     và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 10 0 S x y z x z       . Gọi   Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng   P và cắt mặt cầu   S theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6  . Hỏi   Q đi qua điểm nào trong số các điểm sau? A.   6;0;1 M . B.   3;1;4 N  . C.   2; 1;5 J   . D.   4; 1 ; 2 K   . Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hai mặt cầu   2 2 2 1 : 6 S x y z    và         2 2 2 2 : 1 1 1 6 S x y z       . Biết rằng mặt phẳng     : 6 0 0 P ax by cz a      vuông góc với mặt phẳng   : 3 2 1 0 Q x y z     đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Tích abc bằng A. 2  . B. 2 . C. 0 . D. 1. Câu 33: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 : 2 2 1 0 S x y z x z       và đường thẳng 2 : 1 1 1 x y z d     . Hai mặt phẳng   P và ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   Q chứa d và tiếp xúc với mặt cầu   S tại A và B. Gọi   ; ; H a b c là trung điểm AB . Giá trị a b c   bằng A. 1 6 . B. 1 3 . C. 2 3 . D. 5 6 . Câu 34: (Ba Đình Lần2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   P : mx 2y z 1 0     ( m là tham số). Mặt phẳng   P cắt mặt cầu       2 2 2 S : x 2 y 1 z 9      theo một đường tròn có bán kính bằng 2 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m ? A. m 1   . B. m 2 5    . C. m 4   . D. m 6 2 5   . Câu 35: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   P : 2 2 7 0 x y z     và mặt cầu   S : 2 2 2 2 4 6 11 0 x y z x y z        . Mặt phẳng   Q song song với   P và cắt   S theo một đường tròn có chu vi bằng 6  có phương trình là A.  :2 2 17 0 Q x y z     . B.  :2 2 7 0 Q x y z     . C.  :2 2 19 0 Q x y z     . D.  :2 2 17 0 Q x y z     . Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c với , , 0. a b c  Biết rằng mặt phẳng   ABC đi qua điểm 2 4 4 ; ; 3 3 3 M       và tiếp xúc với mặt cầu         2 2 2 : 1 2 2 1. S x y z       Thể tích khối tứ diện OABC bằng: A. 4 . B. 6 . C. 9 . D. 12 . Câu 37: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 2 : 2 1 4 x y z d     và mặt cầu         2 2 2 : 1 2 1 2 S x y z       . Hai mặt phẳng   P và   Q chứa d và tiếp xúc với   S . Gọi M , N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN . A. 2 2 . B. 4 3 . C. 6 . D. 4 . Câu 38: (Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 2 1 2 9 S x y z       và hai điểm     2;0; 2 2 , 4; 4;0 A B     . Biết rằng tập hợp các điểm M thuộc   S sao cho 2 . 16 MA MO MB            là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng A. . B. . C. . D. . Câu 39: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 : 2 4 6 3 0 S x y z x y z m         . Tìm số thực m để   : 2 2 8 0 x y z      cắt   S theo một đường tròn có chu vi bằng 8  . A. 3 m   . B. 4 m   . C. 1 m   . D. 2 m   . 3 2 2 2 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 40: (Chuyên KHTN) Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng   P và   Q cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm   1;1;1 A và   0; 2;2 B  , đồng thời cắt các trục tọa độ , Ox Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử   P có phương trình 1 1 1 0 x b y c z d     và   Q có phương trình 2 2 2 0 x b y c z d     . Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2 b b c c  . A. 7. B. -9. C. -7. D. 9. Câu 41: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu   S đi qua điểm   2;5; 2 M  và tiếp xúc với các mặt phẳng   : 1 x   ,   : 1 y   ,   : 1 z    . Bán kính của mặt cầu   S bằng A. 4 . B. 3 2 . C. 1. D. 3 . Câu 42: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   S có tâm thuộc trục Oz . Biết mặt phẳng   Oxy và mặt phẳng    : 2 z  lần lượt cắt   S theo hai đường tròn có bán kính 2 và 4. Phương trình của   S là A.   2 2 2 2 16 x y z     . B.   2 2 2 4 16 x y z     . C.   2 2 2 4 20 x y z     . D.   2 2 2 2 20 x y z     . Câu 43: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz , cho các mặt phẳng   : 2 4 7 0 P x y z     ,   : 4 5 14 0 Q x y z     ,   : 2 2 2 0 R x y z     và   : 2 2 4 0 S x y z     . Biết mặt cầu       2 2 2 x a y b z c D       có tâm nằm trên   P và   Q , cùng tiếp xúc với   R và   S . Giá trị a b c   bằng A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Câu 44: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm (2;1;2) A và mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 1) 9 S x y z      . Mặt phẳng thay đổi luôn đi qua A cắt ( ) S theo thiết diện là đường tròn. Hãy tìm bán kính của đường tròn có chu vi nhỏ nhất. A. 3 2 . B. 1 2 . C. 2 . D. 3. Câu 45: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm (2;1;2) A và mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 1) 9 S x y z      . Mặt phẳng thay đổi luôn đi qua A cắt ( ) S theo thiết diện là đường tròn. Hãy tìm bán kính của đường tròn có chu vi nhỏ nhất. A. 3 2 . B. 1 2 . C. 2 . D. 3. Câu 46: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian , Oxyz cho mặt phẳng   : 6 0 P x z    và hai mặt cầu   2 2 2 1 : 25 S x y z    ;   2 2 2 2 : 4 4 7 0. S x y z x z       Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu   1 S ,   2 S và tâm I nằm trên   P là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 7 3  . B. 7 9  . C. 9 7  . D. 7 6  . Câu 47: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz , cho   P 2 2 5 0 x y z     và 2 mặt cầu   1 S :     2 2 2 2 1 1 x y z      ,   2 S :       2 2 2 4 2 3 4 x y z       . Gọi , , M A B lần lượt thuộc mặt phẳng   P và hai mặt cầu   1 S ,   2 S . Tìm giá trị nhỏ nhất S MA MB   . A.  min 11 S . B.   min 2 14 3 S . C.   min 15 3 S . D.   min 3 6 3 S . Câu 48: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho   1;2;1 A ,   3; 1 ;1 B  ,   1; 1 ;1 C   . Gọi   1 S là mặt cầu tâm A và bán kính 1 2 R  .   2 S ,   3 S lần lượt là mặt cầu tâm B , C và đều có bán kính bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với   2 S ,   3 S và cắt   1 S theo giao tuyến là đường tròn bán kính 3 r  . A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . Câu 49: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Trong không gian , cho điểm , đường thẳng và mặt cầu . Mặt phẳng chứa đường thẳng thỏa mãn khoảng cách từ điểm đến lớn nhất. Mặt cầu cắt theo đường tròn có bán kính bằng A. . B. . C. . D. . Oxyz   2; 3;4 A  1 2 : 2 1 2 x y z d             2 2 2 : 3 2 1 20 S x y z         P d A   P   S   P 5 1 4 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và có vec tơ chỉ phương   1 2 3 ; ; , 0 a a a a a      : 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t            Nếu 1 2 3 ; ; a a a đều khác không. Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau: 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a      Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D            với 1 1 1 2 2 2 , , , , , A B C A B C  thỏa 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0, 0. A B C A B C       2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao 1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' : ; ': ' ' ' ' ' ' x x a t x x a t d y y a t d y y a t z z a t z z a t                       Vtcp u  đi qua 0 M và ' d có vtcp ' u   đi qua 0 ' M , ' u u   cùng phương: 0 0 ' ' / / ' ; ' ' ' u ku u ku d d d d M d M d                        , ' u u   không cùng phương:   0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' x a t x a t y a t y a t I z a t y a t               d chéo d’  hệ phương trình   1 vô nghiệm d c ắt d’  hệ phương trình   1 có 1 nghiệm 1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' : ; ': ' ' ' ' ' ' x x a t x x a t d y y a t d y y a t z z a t z z a t                       Vtcp u  đi qua 0 M và ' d có vtcp ' u   đi qua 0 ' M     0 , ' 0 / / ' ' u u d d M d                     0 , ' 0 ' ' u u d d M d                      0 , ' 0 at ' , ' . 0 u u d c d u u MM                                  0 ' , ' . 0 d cheo d u u MM                3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp 1 Phương pháp 2 Trong không gian Oxyz cho:  :Ax+By+Cz+D=0  và 0 1 0 2 0 3 : x x a t d y y a t z z a t            Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua   0 0 0 ; ; M x y z có vtcp:   1 2 3 ; ; a a a a   và  :Ax+By+Cz+D=0  có vtpt   ; ; n A B C     d cắt   . 0 a n      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Pt:         0 1 0 2 0 3 0 1 A x a t B y a t C z a t D        Ph ương trình   1 vô nghiệm thì   / / d  Ph ương trình   1 có 1 nghiệm thì d cắt    Ph ương trình   1 có vô số nghiệm thì   d   Đặc biệt:   , d a n      cùng phương       . 0 / / a n d M               d nằm trên mp      . 0 a n M            4. Khoảng cách Khoảng cách từ   0 0 0 ; ; M x y z đến mặt phẳng  :Ax+By+Cz+D=0  cho bởi công thức   0 0 0 0 2 2 2 Ax , By Cz D d M A B C        Khoảng cách từ M đến đường thẳng   d Phương pháp 1: L ập ptmp    đi qua M và vuông góc với d. T ìm tọa độ giao điểm H của mp    và d   , d M d MH  Kho ảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1: d đi qua   0 0 0 ; ; M x y z ; có vtpt   1 2 3 ; ; a a a a   ' d đi qua   0 0 0 ' '; '; ' M x y z ; vtpt   1 2 3 ' '; '; ' a a a a     Lập phương trình mp    chứa d và song song với d’:       , ' ', d d d d M   Kho ảng cách từ M đến đường thẳng   d Phương pháp 2: ( d đi qua 0 M có vtcp u  )   0 , , M M u d M u                Kho ảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 2: d đi qua   0 0 0 ; ; M x y z ; có vtpt   1 2 3 ; ; a a a a   ' d đi qua   0 0 0 ' '; '; ' M x y z ; vtpt   1 2 3 ' '; '; ' a a a a       , ' . ' , ' , ' hop day a a MM V d S a a                           5. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đườ ng thẳng    đi qua   0 0 0 ; ; M x y z có VTCP   1 2 3 ; ; a a a a     '  đi qua   0 0 0 ' '; '; ' M x y z có VTCP   1 2 3 ' '; '; ' a a a a       1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . ' . ' . ' . ' cos cos , ' . ' . ' ' ' a a a a a a a a a a a a a a a a a a                       6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng    đi qua 0 M có VTCP a  , mặt phẳng    có VTPT   ; ; . n A B C   Gọi  là góc hợp bởi    và mặt phẳng     1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 Aa : sin cos , . Ba Ca a n A B C a a a             B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng   d đi qua   0 0 0 0 ; ; M x y z và có vtcp   1 2 3 ; ; a a a a   : ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1 2 3 o o o x x a t d y y a t t R z z a t ( ) : ( )             hoặc Dạng 2. Đường thẳng d đi qua A và B : Đường thẳng d đi qua A (hoặc B ) có vtcp d a AB         Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 3. Đường thẳng d qua A và song song  Đường thẳng d đi qua A và có vtcp d u u         Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 4. Đường thẳng d qua A và vuông góc mp( )  Đường thẳng d đi qua A và có vtcp d u n         Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 5. Đường thẳng   d qua A và vuông góc 2 đường thẳng 1 d và 2 d : Đường thẳng d đi qua A và có vtcp 1 2 , d d u u u             Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 6. Đường thẳng   d là giao tuyến của hai mặt phẳng     , P Q : Cách 1: Tìm một điểm và một vtcp. – Tìm toạ độ một điểm A d : Bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại) – Tìm một vtcp của d : , d P Q u n n               Cách 2: Tìm hai điểm , A B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Dạng 7. Đường thẳng   d đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và vuông góc với hai đường thẳng 1 2 , d d : Vì d  1 d , d  2 d nên một vtcp của d là: 1 2 , d d d u u u               Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 8. Đường thẳng   d đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z , vuông góc và cắt đường thẳng  . Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của 0 M trên đường thẳng  Ta có H  Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua 0 , M H (trở về dạng 2). Cách 2: Gọi   P là mặt phẳng đi qua 0 M và vuông góc với  ;   Q là mặt phẳng đi qua 0 M và chứa  . Khi đó   d P    Q  (trở về dạng 6). Cách 3: Gọi   P là mặt phẳng đi qua 0 M và vuông góc với  - Tìm điểm   B P    - Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm 0 , M B (quay về dạng 2). Dạng 9. Đường thẳng( ) d nằm trong mặt phẳng ( ) P , vuông góc và cắt đường thẳng  Tìm giao điểm M của  và ( ) P M d   P Q ( ) ( )    0 H M H u               0 0 0 1 2 3 x x y y z z d a a a ( ) :      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vì , d d P d P u u u u n u n                                     Dạng 10. Đường thẳng   d qua A và cắt 1 2 , d d : ( ) ( ) d     với mp( )  chứa A và 1 d ; mp( )  chứa A và 2 d (trở về dạng 6) Dạng 11. Đường thẳng( ) d nằm trong mặt phẳng( ) P và cắt cả hai đường thẳng 1 2 , d d : Tìm các giao điểm     1 2 . , A d P B d P     Khi đó d chính là đường thẳng AB (về dạng 2). Dạng 12. Đường thẳng   / / d  và cắt 1 2 , d d : Viết phương trình mặt phẳng   P chứa d và 1 d , mặt phẳng   Q chứa d và 2 d Khi đó   d P    Q  (trở về dạng 6). Dạng 13. Đường thẳng ( ) d qua A và  1 d , cắt 2 d : Cách 1: - Viết phương trình mp ( )  qua A và vuông góc với 1 d - Tìm 2 ( ) B d    - Khi đó   d chính là đường thẳng AB (về dạng 2). Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng   P qua A và vuông góc với 1 d - Viết phương trình mặt phẳng   Q chứa A và 2 d - Khi đó   d P    Q  . (trở về dạng 6) Cách 3: - Viết phương trình tham số t của đường thẳng 2 d (nếu chưa có). - Tìm điểm 2 B d d   ( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn 1 . 0 d AB u         Giải phương trình tìm được t B  - Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm , A B. Dạng 14. Đường thẳng     d P  cắt 1 2 , d d : Tìm mp( )  chứa   1 , ; ( ) d P mp   chứa   2 , d P  ( ) ( ) d     (trở về dạng 6). Dạng 15. Đường thẳng ’ d là hình chiếu của d lên ( )  : Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng    chứa d và vuông góc với ( )  . - Đường thẳng ' d là giao tuyến của ( )  và ( )  (trở về dạng 6). Cách 2: - Xác định A là giao điểm của d và ( )  . - Lấy điểm M A  trên d . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với ( )  . - Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của với ( )  . - Đường thẳng chính là đường thẳng AH (trở về dạng 2). Đặc biệt: Nếu d song song ( )  thì ' d là đường thẳng đi qua H và song song với d . Dạng 16. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau   1 d và   2 d : Cách 1:  d ' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Chuyển phương trình đường thẳng     1 2 , d d về dạng tham số và xác định 1 2 , u u       lần lượt là vtcp của     1 2 , d d . - Lấy , A B lần lượt thuộc     1 2 , d d (tọa độ , A B phụ thuộc vào tham số). - Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó: 1 2 0 0 AB u AB u                           1 2 . 0 * . 0 AB u AB u                      Giải hệ phương trình   * tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được , A B. - Viết phương trình đường vuông góc chung AB . Cách 2: - Vì d  d1 và d  d2 nên một vtcp của d là: 1 2 , d d d a a a               - Lập phương trình mặt phẳng   P chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và 1 d , bằng cách: + Lấy một điểm A trên 1 d . + Một vtpt của   P là: 1 , P d n a a             - Tương tự lập phương trình mặt phẳng   Q chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và 2 d . Khi đó   d P    Q  (trở về dạng 6). Cách 3: - Vì 1 d d  và 2 d d  nên một vtcp của d là: 1 2 , d d d a a a               - Lập phương trình mặt phẳng   P chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và 1 d , bằng cách: + Lấy một điểm A trên 1 d . + Một vtpt của   P là: 1 , P d n a a             - Tìm 2 ( ) M d P   . Khi đó viết phương trình d qua M có vtcp d a    . CÁC DẠNG TOÁN KHÁC Dạng 1. Tìm H là hình chiếu của M trên đường thẳng   d Cách 1: - Viết phương trình mp( )  qua M và vuông góc với   d : ta có d n a       - Khi đó: ( ) H d     tọa độ H là nghiệm của hpt:   d và ( )  . Cách 2: - Đưa   d về dạng tham số. Điểm H được xác định bởi: Dạng 2. Điểm / M đối xứng với M qua đường thẳng d : Cách 1: - Tìm hình chiếu H của M trên   d - Xác định điểm ' M sao cho H là trung điểm của đoạn ' MM (công thức trung điếm). Cách 2: - Gọi H là trung điểm của đoạn ' MM . Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của , ' M M (công thức trung điếm). d H d MH a            ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Khi đó toạ độ của điểm / M được xác định bởi: . Dạng 3. Đường thẳng ( ') d đối xứng đường thẳng ( ) d qua mặt phẳng   P TH1: ( ) d    P A  - Xác định A là giao điểm của d và ( ) P - Lấy điểm M d  ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm / M đối xứng với M qua ( ) P . - Đường thẳng chính là đường thẳng ' AM . TH2: ( ) d / /   P - Lấy điểm M d  ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm / M đối xứng với M qua ( ) P . - Đường thẳng chính là đường thẳng qua ' M và song song d . C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Đường thẳng  song song với 4 5 2 : 3 4 1 x y z d       và cắt cả hai đường thẳng 1 1 1 2 : 3 1 2      x y z d và 2 2 3 : 2 4 1     x y z d . Phương trình nào không phải đường thẳng  A. 4 1 1 : 3 4 1        x y z B. 7 2 3 3 3 : 3 4 1        y z x C. 9 7 2 : 3 4 1        x y z D. 4 1 1 : 3 4 1        x y z Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt và vuông góc với đường thẳng là A. . B. . C. . D. . Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 2 : 2 1 1 x y z d     và mặt phẳng   : 2 3 0. P x y z     Viết phương trình đường thẳng  nằm trong   P sao cho  vuông góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng  và d bằng 2. A. 7 4 : 1 1 1 3 : 1 1 1 x y z x y z                    . B. 7 4 : 1 1 1 3 : 1 1 1 x y z x y z                  . d MM a H d '             d ' d ' , Oxyz 1 2 : 1 1 1 x y z         : 2 2 4 0. P x y z     d   P d    3 : 1 2 1 x t d y t t z t                 3 : 2 2 2 x t d y t t z t               2 4 : 1 3 4 x t d y t t z t                  1 : 3 3 3 2 x t d y t t z t               ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C. 7 4 : 2 1 1 3 : 1 4 1 x y z x y z                 . D. 7 4 : 1 1 1 3 1 : 1 1 1 x y z x y z                       Câu 4: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua   1; 2; 4 A song song với   P : 2 4 0 x y z     và cắt đường thẳng : d 2 2 2 3 1 5 x y z      có phương trình: A. 1 2 4 2 x t y z t           . B. 1 2 2 4 2 x t y z t           . C. 1 2 2 4 4 x t y z t            . D. 1 2 4 2 x t y z t            . Câu 5: (Lương Thế Vinh Lần 3) Trong hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng 1 1 3 2 : 1 1 2 x y z d       và 2 3 : 1 3 x t d y t z t            . A. 2 2 4 1 3 2 x y z        . B. 3 1 2 1 1 1 x y z       . C. 1 3 2 3 1 1 x y z       . D. 1 1 6 1 x y z    . Câu 6: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 1 3 : 1 2 2 x y z d       và mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     , phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   P , cắt d và vuông góc với d là A. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t             . B. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t              . C. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t              . D. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t             . Câu 7: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng   : 3 0 P x y z     và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d      . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng   P có phương trình là A. 1 1 1 1 4 5 x y z        . B. 1 1 1 3 2 1 x y z        . C. 1 1 1 1 4 5 x y z       . D. 1 4 5 1 1 1 x y z      . Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 3 1 1 : , , 2 2 1 2 2 2 x y z d m m m                và mặt phẳng   : 6 0 P x y z     . Gọi đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng   P . Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng  vuông góc với giá của véctơ ( 1;0;1) a    ? A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 9: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Trong không gian toạ độ Oxyz , cho điểm   1;2;4 A và hai điểm , M B thoả mãn . . 0 MA MA MB MB            . Giả sử điểm M thay đổi trên đường thẳng 3 1 4 : 2 2 1 x y z d      . Khi đó điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là: A. 1 7 12 : 2 2 1 x y z d     . B. 2 1 2 4 : 2 2 1 x y z d      . C. 3 : 2 2 1 x y z d   . D. 4 5 3 12 : 2 2 1 x y z d      . Câu 10: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Trong không gian , cho 2 đường thẳng , và mặt phẳng . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , cắt và có phương trình là A. . B. . C. . D. . Câu 11: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng  : 5 4 0 P x y z     và đường thẳng 1 1 5 : 2 1 6 x y z d      . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng   P có phương trình là A. 2 3 2 2 x t y t z t              . B. 2 2 2 x t y t z t            . C. 1 3 2 1 x t y t z t           . D. 3 2 1 x t y z t           . Câu 12: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 d , 2 d và mặt phẳng (  ) có phương trình:   1 1 3 : 2 1 2 x t d y t t z t               , 2 2 4 : 3 2 2 x y z d       , ( ): 2 0 x y z      . Phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (  ), cắt cả hai đường thẳng 1 d và 2 d là A. 2 1 3 8 7 1 x y z       . B. 2 1 3 8 7 1 x y z        . C. 2 1 3 8 7 1 x y z       . D. 2 1 3 8 7 1 x y z       . Câu 13: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz , cho điểm   1;3;2 A , mặt phẳng   : 2 0 P x y z     và đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d      . Viết phương trình đường thẳng  cắt   P và d lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm của MN . Oxyz 1 2 : 1 3 x t d y t z t             2 : 1 2 2 x t d y t z t                   : 2 0 P x y z       P d d  3 1 2 1 1 1 x y z      1 1 1 1 1 4 x y z        2 1 1 1 1 1 x y z      1 1 4 2 2 2 x y z      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 : 3 2 2 x t y t z t             . B. 1 : 3 2 2 x t y t z t             . C. 1 : 3 2 2 x t y t z t              . D. 1 : 3 2 2 x t y t z t              . Câu 14: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có       1;1;2 , 2;3;1 , 3; 1;4 A B C   . Viết phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B A. 2 3 1 x t y t z t             . B. 2 3 1 x t y z t            . C. 2 3 1 x t y t z t             . D. 2 3 1 x t y t z t             . Câu 15: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   1;2;3 A và mặt phẳng   : 2 4 1 0 P x y z     . Đường thẳng   d đi qua điểm A , song song với mặt phẳng   P , đồng thời cắt trục Oz . Viết phương trình tham số của đường thẳng   d . A. 1 5 2 6 3 x t y t z t            . B. 2 2 x t y t z t          . C. 1 3 2 2 3 x t y t z t            . D. 1 2 6 3 x t y t z t            . Câu 16: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   2;1;5 A  và hai mặt phẳng   : 2 3 7 0, P x y z       : 3 2 1 0 Q x y z     . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng   P và điểm N nằm trên mặt phẳng   Q thỏa mãn 2 AN AM           . Khi M di động trên mặt phẳng   P thì quỹ tích điểm N là một đường thẳng có phương trình là A. 3 5 8 11 6 7 x t y t z t              . B. . C. . D. . Câu 17: (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 3 2 12 0 x y z      . Gọi , , A B C lần lượt là giao điểm của    với ba trục tọa độ, đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với    có phương trình là A. 3 2 3 2 3 2 x y z       . B. 3 2 3 2 3 2 x y z       . C. 3 2 3 2 3 2 x y z       . D. 3 2 3 2 3 2 x y z       . Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y z d       và mặt phẳng   : 3 0. P x y z     Gọi I là giao điểm của   , . d P Tìm   M P  sao cho MI vuông góc với d và 4 14. MI  7 11 8 5 6 7 x t y t z t             7 11 8 5 8 7 x t y t z t              2 5 3 11 1 7 x t y t z t             ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.     5;9; 11 3; 7;13 M M        . B.     5;7; 11 3; 7;13 M M        . C.     5;9; 11 3; 7;13 M M        . D.     5; 7;11 3;7; 13 M M       . Câu 19: Trong không gian Ox , yz cho hai mặt phẳng     : 2 2 0, : 2 2 1 0. P x y z Q x y z        Viết phương trình của đường thẳng d đi qua   0;0;1 , A nằm trong mặt phẳng   Q và tạo với mặt phẳng   P một góc bằng 0 45 . A. 1 2 : ; : 1 4 1 x t x t d y t d y t z t z                   . B. 1 2 : 2 1; : 1 1 4 1 x t x t d y t d y t z t z                    . C. 1 2 3 : 1 ; : 1 4 1 4 x t x t d y t d y t z t z t                     . D. 1 2 1 4 : 1 ; : 1 4 1 x t x t d y t d y t z t z                     Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy , AB CD thỏa mãn 2 CD AB  và diện tích bằng 27; đỉnh   1; 1;0 ; A   phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 2 1 3 . 2 2 1 x y z      Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm . A A.   2; 5;1 D   . B.   3; 5;1 D   . C.   2; 5;1 D  . D.   3; 5;1 D  Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho đường thẳng 3 2 1 : 2 1 1 x y z d       và mặt phẳng   : 2 0. P x y z     Gọi M là giao điểm giữa d và   P . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến  bằng 42. A. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                     . B. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                       . C. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                     . D. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                   Câu 22: Cho hai điểm và hai mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến. A. B. C. D.     1;2;3 , 2;4;4 M A   : 2 1 0, P x y z       : 2 4 0 Q x y z      M  , P   Q , B C ABC A AM 1 2 3 : 1 1 1 x y z         1 2 3 : 2 1 1 x y z        1 2 3 : 1 1 1 x y z       1 2 3 : 1 1 1 x y z        ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm   1;0; 1 A   , cắt 1 2 2 2 1 1 x y z       , sao cho   2 cos ; d  là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng 2 3 2 3 : 1 2 2 x y z        . Phương trình đường thẳng d là? A. 1 1 2 2 1 x y z      B. 1 1 4 5 2 x y z      C. 1 1 4 5 2 x y z       D. 1 1 2 2 1 x y z     Câu 24: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình: 1 1 2 1 1 x y z      . Gọi  là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường thẳng  ? A. 2 1 4 2 x t y t z t            B. 2 1 4 3 2 x t y t z t            C. 1 1 4 2 x t y t z t            D. 2 1 4 2 x t y t z t            Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ   ; 5 2 ;1 MN N t t t      gọi d đi qua   1;0; 1 A   , cắt 1 1 2 2 : 2 1 1 x y z        , sao cho góc giữa d và 2 3 2 3 : 1 2 2 x y z        là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 1 1 . 2 2 1 x y z      B. 1 1 . 4 5 2 x y z      C. 1 1 . 4 5 2 x y z       D. 1 1 . 2 2 1 x y z     Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ 2 3 2 1 2 x t y t z t              cho hai đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d      và 2 1 2 2 : 1 3 2 x y z d       . Gọi  là đường thẳng song song với   : 7 0 P x y z     và cắt 1 2 , d d lần lượt tại hai điểm , A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng  là. A. 12 5 . 9 x t y z t            B. 6 5 . 2 9 2 x t y z t                C. 6 5 . 2 9 2 x y t z t                D. 6 2 5 . 2 9 2 x t y t z t                 Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho điểm   3;3; 3 A   thuộc mặt phẳng   2 – 2 0 : 15 x y z     và mặt cầu   2 2 2 : (x 2) (y 3) (z 5) 100 S       . Đường thẳng  qua A, nằm trên mặt phẳng    cắt ( ) S tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là: A. 3 3 3 1 4 6 x y z      . B. 3 3 3 16 11 10 x y z       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C. 3 5 3 3 8 x t y z t             . D. 3 3 3 1 1 3 x y z      . Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 9 1 : , 4 3 1 x y z d      và mặt thẳng  :3 5 2 0 P x y z     . Gọi ' d là hình chiếu của d lên  . P Phương trình tham số của ' d là A. 62 25 . 2 61 x t y t z t           B. 62 25 . 2 61 x t y t z t           C. 62 25 . 2 61 x t y t z t            D. 62 25 . 2 61 x t y t z t           Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ   : 2 2 1 0 Q x y z     gọi d đi qua   3; 1;1 A  , nằm trong mặt phẳng   : 5 0 P x y z     , đồng thời tạo với 2 : 1 2 2 x y z     một góc 0 45 . Phương trình đường thẳng d là A. 3 7 1 8 . 1 15 x t y t z t              B. 3 1 . 1 x t y t z            C. 3 7 1 8 . 1 15 x t y t z t             D. 3 1 1 x t y t z            và 3 7 1 8 . 1 15 x t y t z t             Câu 30: (THTT số 3) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 1 : , 1 1 2 x y z d      2 1 3 : 2 4 2 x y z d       . Viết phương trình đường phân giác của những góc tù tạo bởi 1 2 , d d . A. 1 3 3 5 4 x y z       . B. 1 3 1 1 1 x y z      . C. 1 1 2 1 1 x y z     . D. 1 3 2 1 1 x y z     . Câu 31: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết   2;1;0 A ,   3;0;2 B ,   4;3; 4 C  . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A . A. 2 1 0 x y t z          . B. 2 1 x y z t         . C. 2 1 0 x t y z          . D. 2 1 x t y z t          . Câu 32: Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho mặt phẳng   : 2 0 P x y z     và hai đường thẳng 1 : 2 2 x t d y t z t           ; 3 ': 1 . 1 2 x t d y t z t               Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với   P ; cắt , d d  và tạo với d góc O 30 . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. A. 1 . 5 B. 1 . 2 C. 2 . 3 D. 1 . 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hai đường thẳng 1 1 2 : ; 1 2 1 x y z d     2 2 1 1 : 2 1 1 x y z d      và mặt phẳng   : 2 5 0. P x y z     Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng   P và cắt 1 2 , d d lần lượt tại , A B sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất. A. 1 2 2 : 1 1 1 x y z d      . B. 1 2 2 : 1 1 1 x y z d       . C. 1 2 2 : 1 1 1 x y z d      . D. 2 2 2 : 1 1 1 x y z d      Câu 34: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm   3;3; 3 A   thuộc mặt phẳng    có phương trình 2 – 2 15 0 x y z    và mặt cầu         2 2 2 : 2 3 5 100 S x y z       . Đường thẳng  qua A , nằm trên mặt phẳng    cắt ( ) S tại M , N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là A. 3 3 3 1 4 6 x y z      . B. 3 3 3 16 11 10 x y z       . C. 3 5 3 3 8 x t y z t             . D. 3 3 3 1 1 3 x y z      . Câu 35: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm   2;1;3 E , mặt phẳng   P đi qua ba điểm 3 ;0;0 2 A       , 3 0; ;0 2 B       ,   0;0; 3 C  và mặt cầu         2 2 2 : 3 2 5 36 S x y z       . Gọi  là đường thẳng đi qua điểm E , nằm trong   P và cắt   S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình  là A. 2 9 1 9 3 8 x t y t z t            . B. 2 5 1 3 3 x t y t z           . C. 2 1 3 x t y t z           . D. 2 4 1 3 3 3 x t y t z t            . Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua điểm   1; 1;2  A , song song với   : 2 3 0     P x y z , đồng thời tạo với đường thẳng 1 1 : 1 2 2       x y z một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là. A. 1 1 2 . 1 5 7       x y z B. 1 1 2 . 4 5 7       x y z C. 1 1 2 . 4 5 7      x y z D. 1 1 2 . 1 5 7        x y z Câu 37: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Đường thẳng  đi qua điểm   3;1;1 M , nằm trong mặt phẳng   : 3 0 x y z      và tạo với đường thẳng 1 : 4 3 3 2 x d y t z t            một góc nhỏ nhất thì phương trình của  là ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 2 x y t z t            . B. 8 5 3 4 2 x t y t z t                . C. 1 2 1 3 2 x t y t z t               . D. 1 5 1 4 3 2 x t y t z t               . Câu 38: Trong không gian cho đường thẳng 3 1 : 1 2 3 x y z      và đường thẳng 3 1 2 : 3 1 2 x y z d      . Viết phương trình mặt phẳng   P đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất. A. 19 17 2 77 . 0 0 x y z     B. 19 17 2 34 . 0 0 x y z     C. 31 8 5 91 . 0 x y z     D. 31 8 5 98 . 0 x y z     Câu 39: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm     1;2; 1 , 7; 2;3 A B   và đường thẳng d có phương trình 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t             . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là: A.   2;0;4 . M  B.   2;0;1 . M  C.   1;0;4 . M  D.   1;0;2 . M  Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho điểm (2;3;0), A (0; 2;0), B  6 ; 2;2 5 M        và đường thẳng : 0 . 2 x t d y z t          Điểm C thuộcd sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhấ thì độ dàiCM bằng A. 2 3. B. 4. C. 2. D. 2 6 . 5 Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm. và. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A.   1; 2;1 M   . B.   5;7;3 N . C.   3;4;3 P . D.   7;13;5 Q . Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   1;1;1 A và hai đường thẳng 1 2 2 : 1 2 x t d y z t            và 2 5 3 : 1 3 x s d y z s           . Gọi , B C là các điểm lần lượt di động trên 1 2 , d d . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AB BC CA    là? A. 2 29 . B. 2 985 . C. 5 10 29   . D. 5 10  . Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và . Gọi là điểm cách đều và trục . Khoảng cách ngắn nhất giữa và bằng: A. B. C. D. Oxyz 0 : 1 x d y t z           0;4;0 A M d ' x Ox A M 1 2 3 2 6 65 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi  là đường thẳng đi qua điểm   2,1,0 A , song song với mặt phẳng   : 0 P x y z    và có tổng khoảng cách từ các điểm     0, 2,0 , 4,0,0 M N tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉ phương của  là? A.   1,0,1 u      B.   2,1,1 u      C.   3, 2,1 u      D.   0,1, 1 u       Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với   2;3;3 A đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B là 3 3 2 , 1 2 1        x y z phương trình đường phân giác trong góc C là 2 4 2 . 2 1 1        x y z Đường thẳng AB có một véctơ chỉ phương là: A. 1 (0;1; 1) u      . B. 2 (2;1; 1) u      . C. 3 (1;2;1) u     . D. 4 (1; 1;0) u      . Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 2 1 3 : 2 2 3 x y z       và hai điểm   1; 1; 1 A   ,   2; 1;1 B   . Gọi , C D là hai điểm phân biệt di động trên đường thẳng  sao cho tồn tại điểm I cách đều tất cả các mặt của tứ diện ABCD và I thuộc tia Ox . Tính độ dài đoạn thẳng CD. A. 12 17 . 17 B. 17. C. 3 17 . 11 D. 13. Câu 47: (Yên Phong 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 3 0 x y z      và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d      . Gọi  là hình chiếu vuông góc của d trên    và   1;a; u b   là một vectơ chỉ phương của  với , a b   . Tính tổng a b  . A. 0 . B. 1 . C. 1  . D. 2  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay GÓC Câu 1: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng 1 2 1 3 : 1 1 2 x y z d      và 2 5 3 5 : 1 2 x y z d m      tạo với nhau góc 60  , giá trị của tham số m bằng A. 1 m   . B. 3 2 m  . C. 1 2 m  . D. 1 m  . Câu 2: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng   d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : .sin cos 0;( ) : .cos sin 0; 0; 2 P x z Q y z                    . Góc giữa ( ) d và trục Oz là: A. 30  . B. 45 . C. 60 . D. 90  . Câu 3: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng đi qua điểm   1; 1;2 A  , song song với mặt phẳng   : 2 3 0 P x y z     , đồng thời tạo với đường thẳng 1 1 : 1 2 2 x y z       một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 1 1 2 4 5 3 x y z       . B. 1 1 2 4 5 3 x y z       . C. 1 1 2 4 5 3 x y z       . D. 1 1 2 4 5 3 x y z      . KHOẢNG CÁCH Câu 4: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: 1 3 2 1 : 4 1 1 x y z d       và 2 1 2 : 6 1 2 x y z d      . Khoảng cách giữa chúng bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 5: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   2 2 1 M ; ;   ,   1 2 3 A ; ;  và đường thẳng 1 5 2 2 1 x y z d :      . Tìm vectơ chỉ phương u  của đường thẳng  đi qua M , vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất. A.   2 2 1 u ; ;   . B.   3 4 4 u ; ;   . C.   2 1 6 u ; ;  . D.   1 0 2 u ; ;  . Câu 6: (Sở Điện Biên) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng phẳng   : 2 2 1 0     P x y z và đường thẳng 1 1 : 1 2 1      x y z d . Biết điểm   ; ; A a b c   0  c là điểm nằm trên đường thẳng d và cách   P một khoảng bằng 1. Tính tổng    S a b c ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2  S . B. 2 5   S . C. 4  S . D. 12 5  S . Câu 7: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz , cho điểm (10;2;1) A và đường thẳng 1 1 : 2 1 3 x y z d     . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ( ) P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm ( 1;2;3) M  đến mặt phẳng ( ) P bằng A. 533 2765 . B. 97 3 15 . C 2 13 13 . D. 76 790 790 . Câu 8: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm     1;2;3 , 1;2;0 A B và   1;3;4 M  . Gọi d là đường thẳng qua B vuông góc với AB đồng thời cách M một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d có dạng   2; ; u a b  . Tính tổng a b  . A. 1. B. 2 . C. 1.  D. 2.  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu 9: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng . Đường thẳng song song với hai mặt phẳng và cắt tương ứng tại . Độ dài đoạn bằng A. . B. C. D. Câu 10: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   2;1;0 M và đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z       . Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M , cắt và vuông góc với  là A. 2 : 1 4 2 x t d y t z t            . B. 2 2 : 1 x t d y t z t            . C. 2 : 1 x t d y t z t           . D. 1 : 1 4 2 x t d y t z t            . Câu 11: (Sở Thanh Hóa 2019)Trong không gian Oxyz , cho điểm   2 ; 5 ; 3 A và đường thẳng 1 2 : 2 1 2 x y z d     . Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến ( ) P lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) P bằng A. 1 2 . B. 3 6 . C. 11 2 6 . D. 2 . Oxyz   : 2 1 0, P x y z       : 2 2 0, P x y z     1 1 1 : , 2 1 2 x y z      2 2 1 : 1 1 2 x y z            ; P Q 1 2 ,   , H K HK 8 11 7 5 6. 11 . 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 12: (CổLoa Hà Nội) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 3 1 d : 1 1 1 x y z       và 2 1 3 d : 2 2 1 x m y z       . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hai đường thẳng 1 d , 2 d có đúng một điểm chung? A. 2 . B. 0 . C. 1. D. vô số. Câu 13: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 3 1 : 2 1 2 2 x y z d m m        và mặt phẳng   : 6 0 P x y z     , hai điểm   2;2;2 A ,   1;2;3 B thuộc   P . Giá trị của m để AB vuông góc với hình chiếu của d trên   P là? A. 1 m  . B. 1 m   . C. 2 m  . D. 3 m   . Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   :2 2 3 0 P x y z     và hai đường thẳng 1 1 1 : 3 1 1 x y z d      ; 2 2 1 3 : 1 2 1 x y z d       . Xét các điểm A , B lần lượt di động trên 1 d và 2 d sao cho AB song song với mặt phẳng   P . Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương   9;8; 5 u     . B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương   5;9;8 u    . C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương   1; 2; 5 u     . D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương   1;5; 2 u    . Câu 15: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) rong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 2 1 : 2 2 1 x y z d        và 2 : 0 x t d y z t          . Mặt phẳng   P qua 1 d , tạo với 2 d một góc 45  và nhận vectơ   1; ; n b c  làm một vec tơ pháp tuyến. Xác định tích . b c . A. 4  . B. 4 . C. 4 hoặc 0 . D. 4  hoặc 0 . Câu 16: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm     1;2; 3 , 2; 2;1 A B    và mặt phẳng   : 2 2 9 0 x y z      . Xét điểm M thuộc    sao cho tam giác AMB vuông tại M và độ dài đoạn thẳng MB đạt giá trị lớn nhất. Phương trình đường thẳng MB là A. 2 2 2 1 2 x t y t z t              . B. 2 2 2 1 2 x t y t z t              . C. 2 2 1 2 x t y z t             . D. 2 2 1 x t y t z             . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 17: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2 1 1 : ; : 2 2 1 3 x t x y z d d y t z m              . Gọi S là tập tất cả các số m sao cho 1 d và 2 d chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng 5 19 . Tính tổng các phần tử của S . A. 11  . B. 12 . C. 12  . D. 11. Câu 18: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 4 4 6 2 x t d y t z t             ; 2 5 11 5 : 2 4 2 x y z d      . Đường thẳng d đi qua   5; 3;5 A  cắt 1 2 ; d d lần lượt ở , B C .Tính tỉ sô AB AC . A. 2 . B. 3 . C. 1 2 . D. 1 3 . Câu 19: (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm (1;0;2) A và đường thẳng 1 1 : 1 1 2 x y z d     . Đường thẳng  đi qua A, vuông góc và cắt d có phương trình là A. 2 1 1 : 2 2 1 x y z       . B. 2 1 1 : 1 1 1 x y z        . C. 1 2 : 1 1 1 x y z      . D. 1 2 : 1 3 1 x y z       . Câu 20: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gianOxyz , cho ba điểm       3;0;0 , 0;4;0 , 0;0; A B C c với c là số thực thay đổi khác 0 . Khi c thay đổi thì trực tâm H của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng A. 5 2 . B. 5 4 . C. 12 5 . D. 6 5 . Câu 21: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm (2;0;0), (0;3;0), (0;0;6) A B C và (1 ;1;1) D . Gọi  là đường thẳng qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến  là lớn nhất. Khi đó  đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. ( 1 ; 2;1) M   . B. (7;5;3) M . C. (3;4;3) M . D. (5;7;3) M . BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG - MẶT CẦU Câu 22: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian Oxyz , cho   :2 2 1 0 P x y z     ,     0;0;4 , 3;1;2 A B . Một mặt cầu   S luôn đi qua , A B và tiếp xúc với   P tại C . Biết rằng, C luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r . Tính bán kính r của đường tròn đó. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. Đáp án khác. B. 4 2 244651 3 r  . C. 2 244651 9 r  . D. 2024 3 r  . Câu 23: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) : S 2 2 2 2 2 1 0 x y z x z       và đường thẳng 2 : 1 1 1 x y z d     . Hai mặt phẳng ( ) P , ( ) P  chứa d và tiếp xúc với ( ) S tại T , T  . Tìm tọa độ trung điểm H của TT  . A. 7 1 7 ; ; 6 3 6 H        . B. 5 2 7 ; ; 6 3 6 H        . C. 5 1 5 ; ; 6 3 6 H        . D. 5 1 5 ; ; 6 3 6 H        . Câu 24: (Hàm Rồng ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 4 6 3 0 S x y z x y z m         . Tìm số thực m để   : 2 2 8 0 x y z      cắt   S theo một đường tròn có chu vi bằng 8  . A. 4 m   . B. 1 m   C. 2 m   . D. 3 m   . Câu 25: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng           : 1 1 1 3 2 8 0 P m x m y m z m         và điểm   4; 2; 7 A   . Khi m thay đổi, biết tập hợp hình chiếu của A trên mặt phẳng   P là một đường tròn, đường kính của đường tròn đó bằng A. 3 5 . B. 7 3 . C. 3 7 . D. 5 3 . Câu 26: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết   P là mặt phẳng cách đều hai đường thẳng 1 2 : 1 1 1 x y z d     và 2 1 2 : 2 1 1 x y z d       . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng   P A. 1 ;1;0 2 M       . B. 1 1; ;0 2 N        . C. 1 ;0;1 2 P        . D. 1 1;0; 2 Q        . Câu 27: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu     2 2 2 1 2 6 x y z      đồng thời song song với hai đường thẳng 1 2 1 : 3 1 1 x y z d       , 2 2 2 : 1 1 1 x y z d      . A. 2 3 0 2 9 0 x y z x y z            . B. 2 3 0 2 9 0 x y z x y z            . C. 2 9 0 x y z     . D. 2 9 0 x y z     . Câu 28: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm     1;2;3 , 2;4;4 M A và hai mặt phẳng   : 2 1 0 P x y z     ,   : 2 4 0. Q x y z     Viết phương trình đường thẳng  đi qua M , cắt ( ), ( ) P Q lần lượt tại , B C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. A. 1 2 3 1 1 1 x y z        . B. 1 2 3 2 1 1 x y z       . C. 1 2 3 1 1 1 x y z       . D. 1 2 3 1 1 1 x y z        . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 29: (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm     1;2; 1 , 3;0;3 A B  . Biết mặt phẳng   P đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng   P là: A. 2 2 5 0 x y z     . B. 2 3 0 x y z     . C. 2 2 4 3 0 x y z     . D. 2 2 0 x y z    . Câu 30: (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 4 0 P x y z     và điểm   2; 1;3 A  . Gọi  là đường thẳng đi qua A và song song với   P , biết  có một vectơ chỉ phương là   ; ; u a b c   , đồng thời  đồng phẳng và không song song với Oz . Tính a c . A. 2 a c  . B. 2 a c   . C. 1 2 a c   . D. 1 2 a c  . Câu 31: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 3 0 P x y z     và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d      . Đường thẳng ' d đối xứng với d qua mặt phẳng   P có phương trình là A. 1 1 1 1 2 7 x y z       . B. 1 1 1 1 2 7 x y z      . C. 1 1 1 1 2 7 x y z       . D. 1 1 1 1 2 7 x y z      . Câu 32: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz , cho các đường thẳng   1 1 : 0 5 x t d y z t            ;   2 0 : 4 2 5 3 x d y t z t             . Biết mặt cầu       2 2 2 2 x a y b z c R       nhận đoạn vuông góc chung của   1 d và   2 d làm đường kính. Giá trị 2 a b c   bằng A. 6 . B. 8 . C. 7 . D. 5 . Câu 33: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (1;2;3) A , ( 1;2;1) B  và mặt phẳng ( ) : 0 P x y z    . Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng P . Tính tỉ số AM BM . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 34: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đường thẳng 1 2 2 : 1 2 1 x y z d       và điểm   1;2;1 A . Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d , đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng   : 2 2 1 0 P x y z     . A. 2 R  . B. 4 R  . C. 1 R  . D. 3 R  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 35: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 4 1 5 : 3 1 2 x y z d        và 2 2 3 : 1 3 1 x y z d     . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với cả hai đường thẳng đã cho. A. 2 2 2 ( ) : ( 2) ( 1) ( 1) 24 S x y z       . B. 2 2 2 ( ) : ( 2) ( 1) ( 1) 24 S x y z       . C. 2 2 2 ( ) : ( 2) ( 1) ( 1) 6 S x y z       . D. 2 2 2 ( ) : ( 2) ( 1) ( 1) 6 S x y z       . Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 2 3 : 1 2 1 x y z d      và mặt phẳng   : 2 0 x y z      . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng    , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d có phương trình là A. 3 5 2 5 : 3 2 1 x y z        . B. 1 2 4 4 : 3 2 1 x y z         . C. 2 2 4 4 : 1 2 3 x y z        . D. 4 1 1 : 3 2 1 x y z       . Câu 37: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong không gian tọa độ Oxyz ,cho điểm   0;0; 2 A  và đường thẳng  có phương trình là 2 2 3 . 2 3 2 x y z      Phương trình mặt cầu tâm A , cắt  tại hai điểm B và C sao cho 8 BC  là A.       2 2 2 2 3 1 16 x y z       . B.   2 2 2 2 25 x y z     . C.   2 2 2 2 25 x y z     . D.   2 2 2 2 16 x y z     . Câu 38: (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 1 2 3 S x y z       và hai đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y z d      , 1 : . 1 1 1 x y z      Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu   S theo giao tuyến là một đường tròn   C có bán kính bằng 1 và song song với d và  . A. 3 0 y z    . B. 1 0 x y    . C. 1 0 x z    . D. 1 0 x z    . Câu 39: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 3 0 P x y z     và hai điểm   1 ;1;1 M ,   3; 3; 3 N    . Mặt cầu   S đi qua , M N và tiếp xúc với mặt phẳng   P tại điểm Q . Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. A. 2 11 3 R  . B. 6 R  . C. 2 33 3 R  . D. 4 R  . Câu 40: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đường thẳng d : 1 2 2 3 2 2 x y z       . Viết phương trình mặt cầu tâm   1;2; 1 I  cắt d tại các điểm A , B sao cho 2 3 AB  . A.       2 2 2 1 2 1 25 x y z       . B.       2 2 2 1 2 1 4 x y z       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C.       2 2 2 1 2 1 9 x y z       . D.       2 2 2 1 2 1 16 x y z       . Câu 41: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm   2;1;1 M , mặt phẳng   : 4 0 x y z      và mặt cầu         2 2 2 : 3 3 4 16 S x y z       . Phương trình đường thẳng  đi qua M và nằm trong    cắt mặt cầu   S theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng  đi qua điểm nào trong các điểm sau đây? A.   4; 3;3  . B.   4; 3; 3   . C.   4;3;3 . D.   4; 3; 3    . Câu 42: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm   1;3;2 A  và đường thẳng d có phương trình 1 4 2 x t y t z t           . Mặt phẳng   P chứa điểm A và đường thẳng d có phương trình nào dưới đây? A. 2 2 1 0. x y z     B. 0. x y z    C. 3 2 10 23 0. x y z      D. 2 3 4 0. x y z     Câu 43: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm   1;3;2 A  và đường thẳng d có phương trình 1 4 2 x t y t z t           . Mặt phẳng   P chứa điểm A và đường thẳng d có phương trình nào dưới đây? A. 2 2 1 0. x y z     B. 0. x y z    C. 3 2 10 23 0. x y z      D. 2 3 4 0. x y z     Câu 44: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho mặt cầu: .   2 2 2 : 2 4 6 0 S x y z x y z m        . Tìm m để (S) cắt đường thẳng   1 2 : 1 2 2 x y z        tại hai điểm , A B sao cho tam giác IAB vuông (Với I là tâm mặt cầu). A. 1 m   . B. 10 m  . C. 20 m   . D. 4 9 m   . Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Trong không gian , Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 2 : ; : 1 2 1 3 2 x t x t d y t d y t z t z t                             và mặt phẳng   : 2 0. P x y z     Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng   P và cắt cả hai đường thẳng , d d  có phương trình là A. 3 1 2 1 1 1 x y z      . B. 1 1 1 1 1 4 x y z        . C. 2 1 1 1 1 1 x y z      . D. 1 1 4 2 2 2 x y z      . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 46: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng     1 2 3 1 2 1 4 : , : 2 1 2 3 2 1 x y z x y z d d             và   3 3 2 : 4 1 6 x y z d      . Đường thẳng song song 3 d , cắt 1 d và 2 d có phương trình là A. 3 1 2 4 1 6 x y z      . B. 3 1 2 4 1 6 x y z        . C. 1 4 4 1 6 x y z      . D. 1 4 4 1 6 x y z      . Câu 47: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 1 1 : 2 1 2 x y z       và 2 1 1 1 : 2 2 1 x y z       . Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1  và 2  . A. 16 17  (đvdt). B. 4 17  (đvdt). C. 16 17  (đvdt). D. 4 17  (đvdt). Câu 48: (Sở Quảng NamT) Trong không gian Oxyz, cho tam giác đều ABC với   6;3;5 A và đường thẳng BC có phương trình tham số 1 2 2 x t y t z t           . Gọi  là đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng   ABC . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng  ? A.   1; 12;3 M   . B.   3; 2;1 N  . C.   0; 7;3 P  . D.   1; 2;5 Q  . Câu 49: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   1;2; 1 A  và   3;0;5 B . Điểm   ; ; M a b c thuộc mặt phẳng   : 2 2 10 0 P x y z     sao cho tam giác MAB cân tại M và có diện tích bằng 11 2 . Tính S a b c    . A. 7 3 S  . B. 19 3 S  . C. 1 S   . D. 1 3 S   . Câu 50: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho hai điểm   2;1;3 A ,   6;5;5 B . Gọi   S là mặt cầu đường kính AB . Mặt phẳng   P vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu   S và mặt phẳng   P ) có thể tích lớn nhất, biết rằng  : 2 0 P x by cz d     với , , b c d   . Tính S b c d    . A. 18 S  . B. 18 S   . C. 12 S   . D. 24 S  . Câu 51: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 4 0 P y   . Có bao nhiêu đường thẳng d song song với ba mặt phẳng   xOy ,   zOx ,   P đồng thời cách đều 3 mặt phẳng đó. A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 52: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian Oxyz , cho điểm   2; 3;4 M  , mặt phẳng   : 2 12 0 P x y z     và mặt cầu   S có tâm   1;2;3 I , bán kính 5 R  . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M , nằm trong   P và cắt   S theo dây cung dài nhất? A. 2 3 2 4 3 x t y t z t             . B. 2 3 3 9 4 3 x t y t z t             . C. 1 3 1 2 1 5 x t y t z t            . D. 3 2 5 x t y t z t             . Câu 53: (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 5 0 S x y z x y z        . Xét hai điểm , M N thay đổi với   M P  và   N S  sao cho vectơ MN      cùng phương với vectơ   1;0;1 u   . Độ dài đoạn MN lớn nhất bằng A. 3 . B. 3 2 . C. 5 2 . D. 2 . Câu 54: (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Trong không gian Oxyz , cho điểm   1;1;1 E , mặt cầu   2 2 2 : 4 S x y z    và mặt phẳng   : 3 5 3 0 P x y z     . Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong   P và cắt   S tại hai điểm A , B sao cho OAB là tam giác đều. Phương trình của  là A. 1 2 1 1 x t y t z t            . B. 1 4 1 3 1 x t y t z t            . C. 1 2 1 1 x t y t z t            . D. 1 1 1 2 x t y t z t            . Câu 55: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng   : 3 4 5 1 0 P x y z     và ba điểm       2;5; 3 , 2;1 ;1 , 2;0;1 . A B C   Tìm điểm     ;b;c 0 D a b  là điểm nằm trên   P sao cho có vô số mặt phẳng   Q đi qua hai điểm , C D và thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   Q gấp 3 lần khoảng cách từ B đến   . Q Tính . T abc  A. 0 . B. 16 . C. 12 . D. 16  . Câu 56: (Chuyên Thái Bình Lần3) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     1;1;1 , 2;2;1 A B và mặt phẳng   : 2 0 P x y z    . Mặt cầu   S thay đổi qua , A B và tiếp xúc với   P tại H . Biết H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 2 Câu 57: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 1 : 1 1 2      x y z m d và mặt cầu         2 2 2 : 1 1 2 9 S x y z       . Đường thẳng d cắt mặt cầu   S tại hai điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất khi 0  m m . Hỏi 0 m thuộc khoảng nào dưới đây? A.   1;1  . B. 1 ;1 2       . C. 1 1; 2         . D.   0;2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 58: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z d     , mặt phẳng   : 2 5 0 P x y z     và   1; 1;2 A  . Đường thẳng  cắt d và   P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Một vectơ chỉ phương của  là A.   4; 5; 13 u    . B.   2; 3; 2 u   . C.   1; 1; 2 u    . D.   3; 5; 1 u    . Câu 59: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng   : 2 2 2 0     P x y z và điểm   1; 2; 1 I   . Viết phương trình mặt cầu   S có tâm I và cắt mặt phẳng   P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5. A.         2 2 2 : 1 2 1 25.       S x y z B.         2 2 2 : 1 2 1 16.       S x y z C.         2 2 2 : 1 2 1 34.       S x y z D.         2 2 2 : 1 2 1 34.       S x y z Câu 60: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 1 0 P x y z     và hai đường thẳng 1 2 1 1 : , : 1 1 1 1 1 3 x y z x y z           . Biết rằng 1 2 , d d nằm trong mặt phẳng   P , cắt 2  và cách 1  một khoảng bằng 6 2 . Gọi     1 2 ; ;1 , 1; ; u a b u c d         lần lượt là vectơ chỉ phương của 1 2 , d d . Tính S a b c d     . A. 0 S  . B. 2 S  . C. 4 S  . D. 1 S  . Câu 61: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d      cắt mặt phẳng   : 2 6 0 P x y z     tại điểm M . Mặt cầu   S có tâm   ; ; I a b c với 0 a  thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng   P tại điểm A . Tìm tổng T a b c    khi biết diện tích tam giác IAM bằng 3 3 . A. 2 T   . B. 1 2 T  . C. 8 T  . D. 0 T  . Câu 62: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm   2; 1;2 M  và mặt cầu     2 2 2 : 1 9 S x y z     . Mặt phẳng   P đi qua M cắt   S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là A. 2 5 0 x y z     . B. 2 7 0 x y z     . C. 2 7 0 x y z     . D. 2 5 0 x y z     . Câu 63: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm   2;4;2 A và mặt cầu   2 2 2 2 1 x y z     . Gọi S là tập hợp các đường thẳng trong không gian đi qua điểm A cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt , B C thỏa mãn 12 AB AC   . Số phần tử của S là A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Câu 64: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng       2 2 :2 1 1 10 0 P mx m y m z       và điểm   2;11; 5 A  . Biết rằng khi m thay đổi, ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng   P và cùng đi qua A . Tổng bán kính của 2 mặt cầu đó bằng: A. 12 3 . B. 12 2 . C. 10 3 . D. 10 2 . Câu 65: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm   6;0;0 M ,   0;6;0 N ,   0;0;6 P . Hai mặt cầu có phương trình   2 2 2 1 : 2 2 1 0 S x y z x y       và   2 2 2 2 : 8 2 2 1 0 S x y z x y z        cắt nhau theo đường tròn   C . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa   C và tiếp xúc với ba đường thẳng , , MN NP PM . A. 1. B. 3 . C. Vô số. D. 4 . Câu 66: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hai đường thẳng 2 : 2 2 x d y t z t             t   , 3 1 4 : 1 1 1 x y z        và mặt phẳng   : 2 0 P x y z     . Gọi d ,   lần lượt là hình chiếu của d và  lên mặt phẳng   P . Gọi   ; ; M a b c là giao điểm của hai đường thẳng d  và   . Biểu thức . a b c  bằng A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 . Câu 67: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 : 2 2 1 0 S x y z y z       và hai điểm   2;0;0 A ,   3;1; 1 B  . Hai mặt phẳng   P và   P  chứa đường thẳng AB , tiếp xúc với   S tại T và T  .   ; ; H a b c là trung điểm đoạn TT  . Tính 2 a b c   . A. 2 2 . 3 a b c    B. 2 2 . 3 a b c     C. 1 2 . 2 a b c     D. 1 2 . 2 a b c    Câu 68: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 1 2 9 S x y z       và điểm   1;3; 1 M  . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn   C có tâm   ; ; J a b c . Tính 2a b c   . A. 134 25 . B. 116 25 . C. 84 25 . D. 62 25 . Câu 69: (Đặng Thành Nam Đề 2) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu     1 2 , S S có phương trình lần lượt là   2 2 2 2 2 2 1 2 : 25;( ) : ( 1) 4. S x y z S x y z        Một đường thẳng d vuông góc với véc tơ (1; 1;0) u    tiếp xúc với mặt cầu   2 S và cắt mặt cầu   1 S theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 . Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của ? d ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A.   1 1;1; 3 u    . B.   2 1;1; 6 u     . C. 3 (1;1;0) u     . D.   4 1;1; 3 u      . Câu 70: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng song song   :2 2 1 0, P x y z       :2 2 5 0 Q x y z     và điểm   1;1;1 A  nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng này. Gọi   S là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với cả   P và  . Q Biết khi   S thay đổi thì tâm I của nó luôn thuộc đường tròn   C cố định. Diện tích hình tròn giới hạn bởi   C là A. 2 3  . B. 4 9  . C. 16 9  . D. 8 9  . Câu 71: (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong không gian Oxyz, xét số thực (0;1) m  và hai mặt phẳng   : 2 2 10 0 x y z      và   : 1. 1 1 x y z m m      Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng     ,   . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6 . B. 3 . C. 9 D. 12 . Câu 72: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) S : 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) 27 x y z       . Gọi ( )  là mặt phẳng đi qua hai điểm (0;0; 4) A  , (2;0;0) B và cắt ( ) S theo giao tuyến là đường tròn ( ) C . Xét các khối nón có đỉnh là tâm của ( ) S và đáy là ( ) C . Biết rằng khi thể tích của khối nón lớn nhất thì mặt phẳng ( )  có phương trình dạng 0 ax by z d     . Tính P a b d    . A. 4 P   . B. 8 P  . C. 0 P  . D. 4 P  . Câu 73: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 14 : 1 2 3 3 S x y z       và đường thẳng 4 4 4 : 3 2 1 x y z d      . Gọi     0 0 0 0 ; ; 0 A x y z x  là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến mặt cầu   S có các tiếp điểm , , B C D sao cho ABCD là tứ diện đều. Tính giá trị của biểu thức 0 0 0 P x y z    . A. 6 P  . B. 16 P  . C. 12 P  . D. 8 P  . Câu 74: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , P Q R lần lượt di động trên ba trục tọa độ , Ox , Oy Oz ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho 2 2 2 1 1 1 1 8 OP OQ OR    . Biết mặt phẳng   PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu   S cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua 1 3 ; ;0 2 2 M         và cắt   S tại hai điểm , A B phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác AOB là A. 15 . B. 5 . C. 17 . D. 7 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 75: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 3 1 2 : 1 3 1 x y z        . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình 2 2 2 2 4 2 2( 1) 2 8 0 x y z x my m z m m           là phương trình của một mặt cầu   S sao cho có duy nhất một mặt phẳng chứa Δ và cắt   S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. A. 1. B. 6 . C. 7 . D. 2 . Câu 76: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu 2 2 2 1 ( ) : ( 1) ( 1) ( 2) 16 S x y z       và 2 ( ) : S 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 9 x y z       cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn với tâm là ( ; ; ) I a b c . Tính a b c   A. 7 4 . B. 1 4  . C. 10 3 . D. 1. Câu 77: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm   3;3; 3 M   thuộc mặt phẳng   : 2 2 15 0 x y z      và mặt cầu         2 2 2 : 2 3 5 100 S x y z       . Đường thẳng  qua M , nằm trên mặt phẳng    cắt   S tại , A B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  . A. 3 3 3 1 1 3 x y z      . B. 3 3 3 1 4 6 x y z      . C. 3 3 3 16 11 10 x y z       . D. 3 3 3 5 1 8 x y z      . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A - LÝ THUYẾT CHUNG 1 - Định nghĩa mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính . R Kí hiệu   ; . S O R Trong không gian với hệ trục Ox : yz - Mặt cầu   S tâm   , , I a b c bán kính R có phương trình là:       2 2 2 2 . x a y b z c R       - Phương trình: 2 2 2 2 2 2 0, x y z ax by cz d        với 2 2 2 0 a b c d     là phương trình mặt cầu tâm   ; ; , I a b c bán kính 2 2 2 R a b c d     . 2 - Vị trí tương đối của mặt phẳng   P và mặt cầu   S     , d I P R  khi và chỉ khi   P không cắt mặt cầu  . S     , d I P R  khi và chỉ khi   P tiếp xúc mặt cầu  . S     , d I P R  khi và chỉ khi   P cắt mặt cầu   S theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng   P có tâm H và có bán kính 2 2 . r R d   3 - Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng a) Cho mặt cầu   ; S O R và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của O lên  và d OH  là khoảng cách từ O đến  Nếu d R  thì  cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1) Nếu d R  thì  cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2) Nếu d R  thì  không cắt mặt cầu (H.3.3) B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1. Biết trước tâm   ; ; I a b c và bán kính R : Phương trình         2 2 2 2 ; : S I R x a y b z c R       Dạng 2. Tâm I và đi qua điểm A : Bán kính R IA  A O B H O H O H R I H P ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Phương trình         2 2 2 2 ; : S I R x a y b z c R       . Dạng 3. Mặt cầu đường kính AB Tâm I là trung điểm AB : Bán kính R IA   Phương trình         2 2 2 2 ; : S I R x a y b z c R       . Dạng 4. Mặt cầu tâm   ; ; I a b c tiếp xúc mặt phẳng    : Bán kính   2 2 2 ; Aa Bb Cc D R d I A B C         Phương trình         2 2 2 2 ; : S I R x a y b z c R       . Dạng 5. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua 4 điểm , , , A B C D ) Giả sử mặt cầu   S có dạng:   2 2 2 2 2 2 0 2 x y z ax by cz d        Thế tọa độ của điểm , , , A B C D vào phương trình (2) ta được 4 phương trình Giải hệ phương trình tìm , , , a b c d Viết phương trình mặt cầu. Dạng 6. Mặt cầu đi qua , , A B C và tâm   : 0 I Ax By Cz D       : Giả sử mặt cầu   S có dạng:   2 2 2 2 2 2 0 2 x y z ax by cz d        Thế tọa độ của điểm , , A B C vào phương trình (2) ta được 3 phương trình     ; ; 0 I a b c Aa Bb Cc D        Giải hệ 4 phương trình tìm , , , a b c d Viết phương trình mặt cầu. Dạng 7. Mặt cầu   S đi qua hai điểm , A B và tâm thuộc đường thẳng d Cách 1: Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t ) Ta có , ( ) A B S  2 2 IA IB R IA IB      . Giải pt tìm ra t  tọa độ I , tính được R . Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng trung trực   P của đoạn thẳng AB . Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I ) Bán kính R IA  . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm. (Chú ý: Nếu d    P hoặc / / d   P thì không sử dụng được cách 2 này) Dạng 8. Mặt cầu   S có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu   T cho trước: Xác định tâm J và bán kính ' R của mặt cầu   T Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu  . S (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài) Dạng 9. Mặt cầu   ' S đối xứng Mặt cầu   S qua mặt phẳng   P Tìm điểm ’ I đối xứng với tâm I qua mp   P Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm ’ I có bán kính ’ R R  . Dạng 10. Mặt cầu   ' S đối xứng mặt cầu   S qua đường thẳng d Tìm điểm ’ I đối xứng với tâm I qua mp d (xem cách làm ở phần đường thẳng) Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm ’ I có bán kính ’ R R  . 2 2 2 A B A B A B I I I x x y y z z x y z ; ;       2 AB ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho . Gọi là tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng đồng thời đi qua các điểm . Tìm biết A. . B. . C. . D. . Câu 2: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho . là điểm khác sao cho đôi một vuông góc. là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính A. . B. . C. . D. . Câu 3: (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   1;0; 1 A  ,   3; 2;1 B   . Gọi   S là mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng   Oxy , bán kính 11 và đi qua hai điểm A , B . Biết I có tung độ âm, phương trình mặt cầu   S là A. 2 2 2 6 2 0 x y z y      . B. 2 2 2 4 7 0 x y z y      . C. 2 2 2 4 7 0 x y z y      . D. 2 2 2 6 2 0 x y z y      . Câu 4: (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 9 S x y z    và mặt phẳng ( ) : 4 2 4 7 0. P x y z     Hai mặt cầu có bán kính là 1 R và 2 R chứa đường tròn giao tuyến của   S và ( ) P đồng thời cùng tiếp xúc với mặt phẳng ( ) :3 4 20 0. Q y z    Tổng 1 2 R R  bằng A. 63 8 . B. 35 8 . C. 5 . D. 65 8 . Câu 5: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho đường thẳng 1 2 2 : 1 2 1 x y z d       và điểm   1;2;1 A . Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d , đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng   : 2 2 1 0 P x y z     . A. 2 R  . B. 4 R  . C. 1 R  . D. 3 R  . Câu 6: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 2 1 9 S x y z       và hai điểm     4;3;1 , 3;1;3 A B ; M là điểm thay đổi trên   S . Gọi , m n là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cảu biểu thức 2 2 2 P MA MB   . Xác định   m n  . A. 64 . B. 60 . C. 68 . D. 48 . Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 1 2 4 S x y z       và điểm   1;1; 1 A  . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu   S theo ba giao tuyến là các đường tròn       1 2 3 , , C C C . Tổng ba bán kính của ba đường tròn   1 C ,   2 C ,   3 C là A. 6 . B. 4 3  . C. 3 3 . D. 2 2 3  . Câu 8: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho đường thẳng d : 1 2 2 3 2 2 x y z       . Viết phương trình mặt cầu tâm   1; 2; 1 I  cắt d tại các điểm A , B sao cho 2 3 AB  . A.       2 2 2 1 2 1 25 x y z       . B.       2 2 2 1 2 1 4 x y z       . C.       2 2 2 1 2 1 9 x y z       . D.       2 2 2 1 2 1 16 x y z       . Oxyz       2;1;4 ; 5;0;0 ; 1; 3;1 M N P    ; ; I a b c   Oyz , , M N P c 5 a b c    3 2 4 1 Oxyz       2;0;0 ; 0; 2;0 ; 0;0; 2 A B C    D O , , DA DB DC   ; ; I a b c ABCD S a b c    4  1  2  3  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 9: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 1 x y z    cắt mặt phẳng   : 2 y 2 z 1 0 P x     theo giao tuyến là đường tròn   C . Mặt cầu chứa đường tròn   C và qua điểm   1;1;1 A có tâm là điểm   ; ; I a b c , giá trị a b c   bằng A. 0,5. B. 1  . C. 0,5  . D. 1. Câu 10: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho mặt cầu           2 2 2 : 2 1 2 2 1 6 2 0 S x y z m x m y m z m            . Biết rằng khi m thay đổi mặt cầu   S luôn chứa một đường tròn cố định. Tọa độ tâm I của đường tròn đó là A.   1;2;1 I . B.   1; 2; 1 I    . C.   1;2; 1 I  . D.   1; 2;1 I   . Câu 11: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     và mặt phẳng   : 2 2 6 0 Q x y z     . Gọi   S là một mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng. Bán kính của   S bằng. A. 3. B. 9 2 . C. 3 2 . D. 9. Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm và . Mặt cầu tâm I đi qua và độ dài (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu là A. B. C. D. Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho       1;0;0 , 2; 1;2 , 1;1; 3 . A B C    Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục , Oy đi qua A và cắt mặt phẳng   ABC theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. A. 2 2 2 1 5 2 4 x y z           . B. 2 2 2 1 5 2 4 x y z           . C. 2 2 2 1 9 2 4 x y z           . D. 2 2 2 3 5 2 4 x y z           Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz viết phương trình mặt cầu có tâm   1;2;3 I và tiếp xúc với đường thẳng 2 . 1 2 2 x y z     A.     2 2 2 233 1 2 ( 3) 9 x y z       . B.     2 2 2 243 1 2 ( 3) 9 x y z       . C.     2 2 2 2223 1 2 ( 3) 9 x y z       . D.     2 2 2 333 1 2 ( 3) 9 x y z       Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho mặt cầu có phương trình 2 2 2 4 2 6 12 0 x y z x y z        và đường thẳng : 5 2 ; 4; 7 . d x t y z t      Viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu   S tại điểm   5;0;1 M biết đường thẳng  tạo với đường thẳng d một góc  thỏa mãn 1 cos . 7   A. 5 3 5 13 : 5 : 5 1 1 11 x t x t y t y t z t z t                         . B. 5 3 5 13 : 5 : 5 1 1 11 x t x t y t y t z t z t                         . Oxyz     0;2;0 , 1;1;4 A B    3; 2;1 C    S , , A B C 5 OI    S 1 R  3 R  4 R  5 R  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C. 5 3 5 13 : 5 : 5 1 1 11 x t x t y t y t z t z t                        . D. 5 3 5 13 : 5 : 5 1 1 21 x t x t y t y t z t z t                         Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho đường thẳng 1 2 : . 1 2 2 x y z d      Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu   S tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính bằng 2. A.   6 8 2 2;0; 2 ; ; 5 5 5 M M          . B.   6 8 2 2;0;2 ; ; 5 5 5 M M        . C.   7 8 4 2;0; 2 ; ; 5 5 5 M M          . D.   6 8 2 4;0; 2 ; ; 5 5 5 M M          Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hai đường thẳng 1 2 ,   có phương trình: 1 2 2 1 1 2 3 1 : ; : 1 4 2 1 1 1 x y z x y z              . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 , ?   A.   2 2 2 2 6 x y z     . B.   2 2 2 2 6 x y z     . C.   2 2 2 2 6 x y z     . D.   2 2 2 2 6 x y z     Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 3 0. S x y z x y z        Viết phương trình mặt phẳng   P chứa trục Ox và cắt mặt cầu   S theo một đường tròn có bán kính bằng 3. A.   : 2 0 P y z   . B.   : 2 0 P x z   . C.   : 2 0 P y z   . D.   : 2 0 P x z   Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d      và cắt mặt phẳng   : 2 6 0 P x y z     tại điểm . M Viết phương trình mặt cầu   S có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng   P tại điểm , A biết diện tích tam giác IAM bằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm. A.       2 2 2 : 1 1 6 S x y z      . B.       2 2 2 : 1 1 36 S x y z      . C.       2 2 2 : 1 1 6 S x y z      . D.       2 2 2 : 1 1 6 S x y z      Câu 20: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm       13; 1;0 , 2;1; 2 , 1;2;2 A B C    và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 6 67 0. S x y z x y z        Viết phương trình mặt phẳng   P đi qua qua , A song song với BC và tiếp xúc với mặt cầu     . S S có tâm   1;2;3 I và có bán kính 9. R  A.   : 2 2 28 0 P x y z      hoặc   :8 4 100 0 P x y z     . B.   : 2 2 28 0 P x y z      hoặc   :8 4 100 0 P x y z     . C.   : 2 2 28 0 P x y z      hoặc   :8 4 100 0 P x y z     . D.   : 2 2 2 28 0 P x y z      hoặc   :8 4 1000 0 P x y z     Câu 21: Trong không gian Ox , yz cho mặt cầu   2 2 2 : 4 2 2 3 0, S x y z x y z        mặt phẳng   : 1 0 P x y z     và hai điểm     1;1;0 , 2;2;1 . A B  Viết phương trình mặt phẳng    song ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay song với , AB vuông góc với mặt phẳng   P và cắt mặt cầu   S theo một đường tròn   C có bán kính bằng 3. A.   : 2 1 0 x y z      và mp   : 2 11 0 x y z      . B.   : 5 2 1 0 x y z      và mp   : 2 11 0 x y z      . C.   : 2 1 0 x y z      và mp   : 5 2 11 0 x y z      . D.   : 5 2 1 0 x y z      và mp   : 5 2 11 0 x y z      Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm     2;0;0 , 0;2;0 . A B Điểm C thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC là tam giác đều, viết phương trình mặt cầu   S có tâmO tiếp xúc với ba cạnh của tam giác . ABC A.   2 2 2 : 2 S x y z    . B.   2 2 2 : 2 S x y z     . C.   2 2 2 : 2 S x y z    . D.   2 2 2 : 2 S x y z     Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho đường thẳng 2 1 1 : 1 2 1 x y z d        và mặt cầu         2 2 2 : 1 2 1 25. S x y z       Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm   1; 1; 2 , M    cắt đường thẳng d và mặt cầu   S tại hai điểm , A B sao cho 8. AB  A. 1 6 : 1 2 2 9 x t y t z t                . B. 1 6 : 1 2 2 9 x t y t z t                . C. 1 6 : 1 2 2 9 x t y t z t              . D. 2 6 : 3 2 2 9 x t y t z t                Câu 24: Trong không gian Ox , yz viết phương trình mặt cầu   S tiếp xúc với mặt phẳng   : 2 2 1 0 Q x y z     tại   1; 1; 1 M   và tiếp xúc mặt phẳng   : 2 2 8 0 P x y z     A.               2 2 2 2 2 2 : 3 1 9 : 1 2 3 9 c x y z c x y z                . B.               2 2 2 2 2 2 : 3 1 9 : 1 2 3 9 c x y z c x y z                . C.               2 2 2 2 2 2 : 3 1 9 : 1 2 3 9 c x y z c x y z                . D.               2 2 2 2 2 2 : 3 1 81 : 1 2 3 81 c x y z c x y z                Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: , và mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng . A. B. C. 1 2 1 1 : 1 2 3 x y z        2 : 2 1 2 x t y t z t            2 2 2 ( ) : 2 2 6 5 0 S x y z x y z        ( )  1 2 ,   2 365 5  5 3 4 0; 5 3 10 0 x y z x y z         5 3 10 0 x y z     5 3 3 511 0; 5 3 3 511 0 x y z x y z           ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng . Mặt cầu S có tâm I nằm trên mặt phẳng , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng . Phương trình mặt cầu S là: A. hoặc B. hoặc C. hoặc D. hoặc Câu 27: Cho điểm   1;7;5 I và đường thẳng 1 6 : 2 1 3 x y z d      . Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là: A.       2 2 2 1 7 5 2018. x y z       B.       2 2 2 1 7 5 2017. x y z       C.       2 2 2 1 7 5 2016. x y z       D.       2 2 2 1 7 5 2019. x y z       Câu 28: Cho điểm (0;0;3) I và đường thẳng 1 : 2 . 2 x t d y t z t            Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm , A B sao cho tam giác IAB vuông là: A.   2 2 2 3 3 . 2 x y z     B.   2 2 2 8 3 . 3 x y z     C.   2 2 2 2 3 . 3 x y z     D.   2 2 2 4 3 . 3 x y z     Câu 29: Cho điểm   2;5;1 A và mặt phẳng ( ) : 6 3 2 24 0 P x y z     , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng   P . Phương trình mặt cầu ( ) S có diện tích 784  và tiếp xúc với mặt phẳng   P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: A.       2 2 2 8 8 1 196. x y z       B.       2 2 2 8 8 1 196. x y z       C.       2 2 2 16 4 7 196. x y z       D.       2 2 2 16 4 7 196. x y z       Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho ba đường thẳng 1 1 : 1, ; x d y t z t           2 2 : , ; 1 x d y u u z u            1 1 : . 1 1 1 x y z      Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả 1 2 , d d và có tâm thuộc đường thẳng ?  A.     2 2 2 1 1 1 x y z      . B. 2 2 2 1 1 1 5 2 2 2 2 x y z                         . C. 2 2 2 3 1 3 1 2 2 2 2 x y z                         . D. 2 2 2 5 1 5 9 4 4 4 16 x y z                         . 5 3 4 0 x y z       1,0, 1 A    : 3 0 P x y z       P 6 2        2 2 2 2 2 1 9 x y z             2 2 2 2 2 1 9. x y z             2 2 2 2 2 1 9 x y z             2 2 2 1 2 2 9 x y z             2 2 2 2 2 1 9 x y z             2 2 2 2 2 1 9 x y z             2 2 2 2 2 1 9 x y z             2 2 2 1 2 2 9 x y z       ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 31: Cho mặt cầu   2 2 2 : 2 4 1 0       S x y z x z và đường thẳng 2 : .           x t d y t z m t Tìm m để d cắt   S tại hai điểm phân biệt , A B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của   S tại A và tại B vuông góc với nhau. A. 1   m hoặc 4   m B. 0  m hoặc 4   m C. 1   m hoặc 0  m D. Cả , , A B C đều sai Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2 : 4 6 0       S x y z x y m và đường thẳng   1 1 : 2 1 2     x y z d . Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8. A. 24   m B. 8  m C. 16  m D. 12   m Câu 33: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng và mặt cầu S có phương trình . Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. A. 9 B. 12 C. 5 D. 2 Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (1 ;0;2), (3;1 ;4), (3; 2;1) A B C  . Tìm tọa độ điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng 3 11 2 và S có cao độ âm. A. ( 4; 6;4) S   . B. (3;4;0) S . C. (2;2;1) S . D. (4;6; 4) S  . Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   0;0;4 A , điểm M nằm trên mặt phẳng   Oxy và M O  . Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của OM . Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. 2 R  . B. 1 R  . C. 4 R  . D. 2 R  . Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm và mặt cầu (S) có phương trình: .Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. A. B. C. D. Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 3 : 1 2 1 x y z d       và mặt cầu   S tâm I có phương trình         2 2 2 : 1 2 1 18 S x y z       . Đường thẳng d cắt   S tại hai điểm , A B . Tính diện tích tam giác IAB . A. 8 11 . 3 B. 16 11 . 3 C. 11 . 6 D. 8 11 . 9 Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm 1 3 ; ;0 2 2         M và mặt cầu   2 2 2 : 8.    S x y z Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm , M cắt mặt cầu   S tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác . OAB A. 7  S . B. 4  S . C. 2 7  S . D. 2 2  S . Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   2;11; 5 A  và mặt phẳng ( ) : x 2y 2z 4 0      ( ) : 2x 2y z 1 0,      2 2 2 x y z 4x 6y m 0       (0;1;1), (1 ;0; 3), ( 1 ; 2; 3) A B C     2 2 2 2 2 2 0 x y z x z       7 4 1 ; ; 3 3 3 D         1 4 5 ; ; 3 3 3 D         7 4 1 ; ; 3 3 3 D       7 4 1 ; ; 3 3 3 D        ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay       2 2 : 2 1 1 10 0 P mx m y m z       . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng   P và cùng đi qua A . Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó. A. 2 2 . B. 5 2 . C. 7 2 . D. 12 2 . Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm và   4 3 SA SB SC cm    .Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng? A. 5cm B. 3 2cm C. 26cm D. 37cm Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 2 : 2 1 4 x y z d     và mặt cầu         2 2 2 : 1 2 1 2 S x y z       . Hai mặt phẳng   P và   Q chứa d và tiếp xúc với   S . Gọi , M N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng . MN A. 2 2. B. 4 . 3 C. 6. D. 4. Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , A a B b C c trong đó 0 a  , 0 b  , 0 c  và 1 2 3 7. a b c    Biết mặt phẳng   ABC tiếp xúc với mặt cầu         2 2 2 72 : 1 2 3 . 7 S x y z       Thể tích của khối tứ diện OABC là A. 2 . 9 B. 1 . 6 C. 3 . 8 D. 5 . 6 Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm   0;0;1 A ,   ;0;0 B m ,   0; ;0 C n và   1;1;1 D , với 0, 0 m n   và 1 m n   . Biết rằng khi , m n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng   ABC và đi qua D . Tính bán kính R của mặt cầu đó. A. 1 R  . B. 2 2 R  . C. 3 2 R  . D. 3 2 R  . Câu 44: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   1;0;0 A  và   2;3; 4 B . Gọi   P là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu       2 2 2 1 : 1 1 4 S x y z      và   2 2 2 2 : 2 2 0 S x y z y      . Xét M , N là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng   P sao cho 1 MN  . Giá trị nhỏ nhất của AM BN  bằng A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ; ;    là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia ;Oy;Oz Ox và mặt cầu         2 2 2 : cos cos cos 4 S x y z          . Biết   S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định có bán kính 1 2 ; R R . Tính 1 2 T R R   . A. T  8 . B. T  4 . C. T 11. D. T  9 . Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     1;2;0 , 2; 3;2 . A B   Gọi   S là mặt cầu đường kính AB và Ax là tiếp tuyến của   S tại ; A By là tiếp tuyến của   S tại B và . Ax By  Hai điểm , M N lần lượt di động trên , Ax By sao cho MN là tiếp tuyến của   S . Tính . . AM BN A. 19 . . 2 AN BM  B. . 48. AN BM  C. . 19. AN BM  D. . 24. AN BM  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 47: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 : ( 3) 8     S x y z và hai điểm   4;4;3 A ,   1;1;1 B Tập hợp tất cả các điểm M thuộc   S sao cho 2  MA MB là một đường tròn   C . Bán kính của   C bằng A. 7 . B. 6 . C. 2 2 . D. 3 . Câu 48: (Kim Liên) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 9 : 2 4 2 0 2 S x y z x y z        và hai điểm     0;2;0 , 2; 6; 2 A B   . Điểm   ; ; M a b c thuộc   S thỏa mãn tích . MA MB         có giá trị nhỏ nhất. Tổng a b c   bằng A. 1  B. 1 C. 3 D. 2 Câu 49: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm (1;0;0) A , (5;6;0) B và M là điểm thay đổi trên mặt cầu   2 2 2 : 1 S x y z    . Tập hợp các điểm M trên mặt cầu   S thỏa mãn 2 2 3 48 MA MB   có bao nhiêu phần tử? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 50: ( Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 ( ):( 2) ( 1) 2 9 S x y z       và hai điểm     2;0; 2 2 , 4; 4;0 A B     . Biết rằng tập hợp các điểm M thuộc ( ) S sao cho 2 . 16 MA MOMB            là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng A. 3 . B. 2 . C. 2 2 . D. 5 . Câu 51: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  : 2 2 2 0 P x y z     và mặt phẳng  : 2 2 10 0 Q x y z     song song với nhau. Biết (1; 2;1) A là điểm nằm giữa hai mặt phẳng   P và   Q . Gọi   S là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng   P và   Q . Biết rằng khi   S thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó A. 4 2 3 r  . B. 2 2 3 r  . C. 5 3 r  . D. 2 5 3 r  . Câu 52: (Chuyên Vinh Lần 2) Trong không gian cho mặt cầu và điểm . Từ kẻ các tiếp tuyến đến với các tiếp điểm thuộc đường tròn . Từ điểm di động nằm ngoài và nằm trong mặt phẳng chứa , kẻ các tiếp tuyến đến với các tiếp điểm thuộc đường tròn . Biết khi và có cùng bán kính thì luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó. A. . B. . C. . D. . Câu 53: (Chuyên Vinh Lần 2) Trong không gian cho hình cầu có tâm , bán kính . Một điểm cố định nằm ngoài hình cầu sao cho . Từ kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu với các tiếp điểm thuộc đường tròn . Trên mặt phẳng chứa đường tròn ta lấy một điểm thay đổi nằm ngoài mặt cầu . Từ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu với các tiếp điểm thuộc đường tròn . Biết rằng hai đường tròn và luôn có cùng bán kính. Hỏi khi đó điểm di chuyển trên một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? , Oxyz         2 2 2 : 2 4 6 24       S x y z   2;0; 2   A A   S    M   S      S            M r 6 2  r 3 10  r 3 5  r 3 2  r   S O R S   1   SO kR k S   1 C   P   1 C E   S E   2 C   1 C   2 C E  R ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. . B. . C. . D. . Câu 54: (Chuyên Vinh Lần 2) Trong không gian cho mặt cầu có phương trình . Từ điểm ta kẻ các tiếp tuyến đến với các tiếp điểm thuộc đường tròn . Từ điểm di động nằm ngoài và nằm trong mặt phẳng chứa , kẻ các tiếp tuyến đến với các tiếp điểm thuộc đường tròn . Biết khi và có cùng bán kính thì luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính chiều dài quảng đường khi di chuyển đúng vòng theo cùng một chiều trên đường tròn đó. A. . B. . C. . D. . Câu 55: (Chuyên Thái Nguyên) Trong không gian Oxyz , mặt cầu   S đi qua điểm   2; 2;5 A  và tiếp xúc với ba mặt phẳng     : 1, : 1 P x Q y    và   : 1 R z  có bán kính bằng A. 3 . B. 1. C. 2 3 . D. 3 3 . Câu 56: (Văn Giang Hưng Yên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho   1;0; 2 A ,   3;1;4 B ,   3; 2;1 C  . Tìm tọa độ điểm S , biết SA vuông góc với   ABC , mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . S ABC có bán kính bằng 3 11 2 và S có cao độ âm. A.   4;6; 4 S  . B.   4; 6; 4 S   . C.   4;6; 4 S   . D.   4; 6; 4 S    . Câu 57: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 2 3 25 S x y z       và   4; 6; 3 M . Qua M kẻ các tia Mx , My , Mz đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là A, B , C . Biết mặt phẳng   ABC luôn đi qua một điểm cố định   ; ; H a b c . Tính 3 a b c   . A. 9 . B. 14. C. 11. D. 20 . 4 1 .    k R R k 4 1 . 2    k R R k 4 1 .    k R R k 2 1 .    k R R k   S 2 2 2 1    x y z   2019;0;0 A   S    M   S      S            M l M 2019 4 2. 2019 1 2019    l 2019   l 8152722   l 4076361   l ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay GTLN, GTNN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ A - LÝ THUYẾT CHUNG Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số. Bài toán 1: Trong không gian , Oxyz cho các điểm ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z và mặt phẳng ( ) : 0. P ax by cz d     Tìm điểm ( ) M P  sao cho 1. MA MB  nhỏ nhất. 2. MA MB  lớn nhất với ( , ( )) ( , ( )). d A P d B P  Phương pháp:  Xét vị trí tương đối của các điểm , A B so với mặt phẳng ( ). P  Nếu ( )( ) 0 A A A B B B ax by cz d ax by cz d        thì hai điểm , A B cùng phía với mặt phẳng ( ). P  Nếu ( )( ) 0 A A A B B B ax by cz d ax by cz d        thì hai điểm , A B nằm khác phía với mặt phẳng ( ). P 1. MA MB  nhỏ nhất.  Trường hợp 1: Hai điểm , A B ở khác phía so với mặt phẳng ( ). P Vì , A B ở khác phía so với mặt phẳng ( ) P nên MA MB  nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi ( ) . M P AB    Trường hợp 2: Hai điểm , A B ở cùng phía so với mặt phẳng Gọi ' A đối xứng với A qua mặt phẳng ( ), P khi đó ' A và B ở khác phía ( ) P và MA MA   nên . MA MB MA MB A B       Vậy MA MB  nhỏ nhất bằng A B  khi ( ). M A B P    2. MA MB  lớn nhất.  Trường hợp 1: Hai điểm , A B ở cùng phía so với mặt phẳng ( ) P . Vì , A B ở cùng phía so với mặt phẳng ( ) P nên MA MB  lớn nhất bằng khi và chỉ khi ( ) . M P AB    Trường hợp 2: Hai điểm , A B ở khác phía so với mặt phẳng ( ) P . Gọi ' A đối xứng với A qua mặt phẳng ( ) P , khi đó ' A và B ở cùng phía ( ) P và MA MA   nên . MA MB MA MB A B       Vậy MA MB  lớn nhất bằng A B  khi ( ). M A B P    Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng ( ) P biết 1. ( ) P đi qua đường thẳng  và khoảng cách từ A   đến ( ) P lớn nhất 2. ( ) P đi qua  và tạo với mặt phẳng ( ) Q một góc nhỏ nhất 3. ( ) P đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất. Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số 1. Giả sử đường thẳng 1 1 1 : x x y y z z a b c       và 0 0 0 ( ; ; ) A x y z Khi đó phương trình ( ) P có dạng: 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z       Trong đó 0 bB cC Aa Bb Cc A a        ( 0 a  ) (1) AB (P). AB ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Khi đó 0 1 0 1 0 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ,( )) A x x B y y C z z d A P A B C         (2) Thay (1) vào (2) và đặt B t C  , ta đươc ( ,( )) ( ) d A P f t  Trong đó 2 2 ( ) ' ' ' mt nt p f t m t n t p      , khảo sát hàm ( ) f t ta tìm được max ( ) f t . Từ đó suy ra được sự biểu diễn của , A B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được , A B . 2. và 3. làm tương tự Cách 2: Dùng hình học 1. Gọi , K H lần lượt là hình chiếu của A lên  và ( ) P , khi đó ta có: ( ,( )) d A P AH AK   , mà AK không đổi. Do đó ( ,( )) d A P lớn nhất H K   Hay ( ) P là mặt phẳng đi qua K , nhận AK     làm VTPT. 2. Nếu    0 ( ) ( ),( ) 90 Q P Q     nên ta xét  và (Q) không vuông góc với nhau.  Gọi B là một điểm nào đó thuộc  , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với ( ) Q . Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ ( ), . CH P CK d   Góc giữa mặt phẳng ( ) P và mặt phẳng ( ) Q là  . BCH Ta có  sin . BH BK BCH BC BC   Mà BK BC không đổi, nên  BCH nhỏ nhất khi . H K   Mặt phẳng ( ) P cần tìm là mặt phẳng chứa  và vuông góc với mặt phẳng ( ) BCK . Suy ra , , P Q n u u n                        là VTPT của ( ) P . 3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc  , dựng đường thẳng ' d qua M và song song với d . Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ ( ), . AH P AK d   Góc giữa mặt phẳng ( ) P và đường thẳng ' d là  AMH . Ta có  cos . HM KM AMH AM AM   Mà KM AM không đổi, nên  AMH lớn nhất khi . H K   Mặt phẳng ( ) P cần tìm là mặt phẳng chứa  và vuông góc với mặt phẳng ( ', d   . Suy ra ' , , P d n u u u                        là VTPT của ( ) P . B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: MIN, MAX VỚI MẶT PHẲNG CHẮN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   1;2;1 M . Mặt phẳng   P thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia , , Ox Oy Oz tại , , A B C khác O . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC . A. 54. B. 6. C. 9. D. 18. Câu 2: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm với .Giả sử thay đổi nhưng thỏa mãn không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng A. B. C. D.       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c , , 0 a b c  , , a b c 2 2 2 2 a b c k    2 3 2 k 2 3 6 k 2 3 k 2 k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ , Oxyz phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm , cắt các tia , , Ox Oy Oz tại , , A B C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là A. B. C. D. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc tọa độ, ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) B a D a A b  với ( 0, 0) a b   . Gọi M là trung điểm của cạnh CC  . Giả sử 4 a b   , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A BDM  ? A. 64 max 27 A MBD V   B. max 1 A MBD V   C. 64 max 27 A MBD V    D. 27 max 64 A MBD V   DẠNG 2: MIN, MAX VỚI PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG Câu 1: (Thị Xã Quảng Trị) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm   0;1;2 A ,   1;1;1 B ,   2; 2;3 C  và mặt phẳng   : 3 0 P x y z     . Gọi   ; ; M a b c là điểm thuộc mặt phẳng   P thỏa mãn MA MB MC                đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2 3 a b c   bằng A. 7 . B. 5 . C. 3 . D. 2 . Câu 2: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Trong hệ trục , Oxyz cho điểm   1;3;5 ,  A   2;6; 1 ,  B   4; 12;5   C và mặt phẳng   : 2 2 5 0.     P x y z Gọi M là điểm di động trên  . P Gía trị nhỏ nhất của biểu thức                 S MA MB MC là A. 42. B. 14. C. 14 3. D. 14 . 3 Câu 3: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (1; 1; 1) A , ( 1; 2; 0) B  , (3; 1; 2) C  và M là điểm thuộc mặt phẳng   : 2 2 7 0 x y z      . Tính giá trị nhỏ nhất của 3 5 7 P MA MB MC                 . A. min 20 P  . B. min 5 P  . C. min 25 P  . D. min 27 P  . Câu 4: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm   1; 2; 2 A  ,   3; 1; 2 B   ,   4;0;3 C  . Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng   Oxz sao cho biểu thức 2 5 IA IB IC            đạt giá trị nhỏ nhất. A. 37 19 ;0; 4 4 I        . B. 27 21 ;0 ; 4 4 I        . C. 37 23 ;0 ; 4 4 I        . D. 25 19 ;0 ; 4 4 I        . Câu 5: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho   0 ;1;1 A ,   2 ; 1;1 B  ,   4 ;1;1 C và   : 6 0 P x y z     . Xét điểm   ; ; M a b c thuộc   mp P sao cho 2 MA MB MC                đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2 4 a b c   bằng: A. 6 . B. 12 . C. 7 . D5 . Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho nhỏ nhất? M(9;1 ;1)    1 7 3 3 x y z    1 27 3 3 x y z     1 27 3 3 x y z    1 27 3 3 x y z , Oxyz     1;0;2 ; 0; 1; 2 A B    : 2 2 12 0. P x y z     M   P MA MB  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. . B. . C. . D. 2 11 18 ; ; 5 5 5 M         . Câu 7: Cho hai điểm     1,3, 2 ; 9, 4,9 A B    và mặt phẳng   : 2 1 0. P x y z     Điểm M thuộc (P). Tính GTNN của . AM BM  A. B. C. D. Câu 8: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho     4;5;6 ; 1;1;2 A B , M là một điểm di động trên mặt phẳng   :2 2 1 0 P x y z     . Khi đó MA MB  nhận giá trị lớn nhất là? A. 77 . B. 41 . C. 7 . D. 85 . Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2 – 1 0 x y z    và hai điểm     3;1;0 , 9;4;9 . M N  Tìm điểm   ; ; I a b c thuộc mặt phẳng (P) sao cho đạt giá trị lớn nhất. Biết , , a b c thỏa mãn điều kiện: A. B. C. D. Câu 10: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho đạt giá trị lớn nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 11: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ ( ) Oxyz cho ba điểm (1;0;3) A ; ( 3;1;3) B  ; (1;5;1) C . Gọi ( ; ; ) o o o M x y z thuộc mặt phẳng tọa độ ( ) Oxy sao cho biểu thức 2 T MA MB MC                có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tính giá trị o o x y  ? A. 8 5 o o x y    . B. 8 5 o o x y   . C. 2 o o x y    . D. 2 o o x y   . Câu 12: (Hình Oxyz) Cho       1;3;5 , 2;6; 1 , 4; 12;5 A B C     và điểm   : 2 2 5 0 P x y z     . Gọi M là điểm thuộc   P sao cho biểu thức 4 S MA MB MA MB MC                           đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M. A. 3 M x  B. 1 M x   C. 1 M x  D. 3 M x   Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   2;1; 1 A  ,   0;3;1 B và mặt phẳng   : 3 0 P x y z     . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho 2MA MB          có giá trị nhỏ nhất. A.   4; 1;0 M   . B.   1; 4;0 M   . C.   4;1;0 M . D.   1; 4;0 M  . Câu 14: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   2;0;1 A ,   2;8;3 B  và điểm   ; ; M a b c di động trên mặt phẳng   Oxy . Khi MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị 3 a b c   bằng A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 .   2;2;9 M 6 18 25 ; ; 11 11 11 M         7 7 31 ; ; 6 6 4 M       6 204  7274 31434 6  2004 726 3  3 26 IM IN  21 a b c    14 a b c    5 a b c    19. a b c    Oxyz     1;1;0 , 3; 1;4 A B    : 1 0 x y z        M   MA MB    1;3; 1 M  3 5 1 ; ; 4 4 2 M        1 2 2 ; ; 3 3 3 M          0;2;1 M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 15: (HKII Kim Liên 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Cho hai điểm     3;5; 5 , 5; 3;7 A B    và mặt phẳng   : 0 P x y z    . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng   P sao cho 2 2 2 MA MB  lớn nhất. A.   2;1;1 M  . B.   2; 1;1 M  . C.   6; 18;12 M  . D.   6;18;12 M  . Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm     1;2;2 , 5;4;4 A B và mặt phẳng   : 2 – 6 0. P x y z    Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho 2 2 MA MB  nhỏ nhất là: A.   1;3;2  B.   2;1; 11  C.   1;1;5  D.   1; 1;7  Câu 17: Trong không gian tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng       : 2 1 0, 8; 7;4 , 1;2; 2 . P x y z A B        Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng   P sao cho 2 2 2 MA MB  nhỏ nhất. A.   0;0; 1 M  . B.   0;0;1 M . C.   1;0;1 M . D.   0;1;0 M Câu 18: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2; 2; 4) A  , ( 3;3; 1) B   và mặt phẳng ( ); 2 2 8 0 P x y z     . Xét Mlà điểm thay đổi thuộc ( ) P , giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 3 MA MB  bằng A. 145 . B. 108 . C. 105 . D. 135 . Câu 19: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với   2;1;3 A ,   1; 1;2 B  ,   3; 6;1 C  . Điểm   ; ; M x y z thuộc mặt phẳng   Oyz sao cho 2 2 2 MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P x y z    . A. 0 P  . B. 2 P  . C. 6 P  . D. 2 P   . Câu 20: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm       1;01;1 , 1;2;1 , 4;1; 2 A B C  và mặt phẳng   : 0 P x y z    . Tìm trên (P) điểm M sao cho 2 2 2 MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ A.   1;1; 1 M  B.   1;1;1 M C.   1;2; 1 M  D.   1;0; 1 M  Câu 21: (Cẩm Giàng) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm   10; 5;8 A   ,   2;1; 1 B  ,   2;3;0 C và mặt phẳng   : 2 2 9 0 P x y z     . Xét M là điểm thay đổi trên   P sao cho 2 2 2 2 3 MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 2 2 2 3 MA MB MC   . A. 54 . B. 282 . C. 256 . D. 328 . Câu 22: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong không gian Oxyz , cho các điểm   1;4;5 A ,   0;3;1 B ,   2; 1;0 C  và mặt phẳng   : 3 3 2 15 0 P x y z     . Gọi   ; ; M a b c là điểm thuộc mặt phẳng   P sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ M đến A, B, C nhỏ nhất. Tính a b c   . A. 5. B. 5  . C. 3. D. 3  . Câu 23: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  :3 5 0 P x y z     và hai điểm   1;0;2 A ,   2; 1;4 B  . Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng   P sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. A. 7 4 7 0 3 5 0 x y z x y z            . B. 7 4 14 0 3 5 0 x y z x y z            . C. 7 4 7 0 3 5 0 x y z x y z            . D. 7 4 5 0 3 5 0 x y z x y z            . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 24: (Ba Đình Lần2) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 5 0 S x y z x y z        . Giả sử   M P  và   N S  sao cho MN      cùng phương với vectơ   1;0;1 u   và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính . MN A. 3 MN  . B. 1 2 2 MN   . C. 3 2 MN  . D. 14 MN  . Câu 25: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   1;3; 4 A  ,   3;1;0 B . Gọi M là điểm trên mặt phẳng   Oxz sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là ngắn nhất. Tìm hoành độ 0 x của điểm M . A. 0 4 x  . B. 0 3 x  . C. 0 2 x  . D. 0 1 x  . Câu 26: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm và mặt phẳng . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng   P . A. . B. . C. . D. . Câu 27: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm , . Giả sử là điểm thay đổi trong mặt phẳng Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. . B. . C. . D. . Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Cho mặt phẳng và hai điểm . Biết sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hoành độ của điểm là A. . B. . C. . D. . Câu 29: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Trong không gian Oxyz , cho điểm   1;2;3 M . Mặt phẳng   : 0 P x Ay Bz C     chứa trục Oz và cách điểm M một khoảng lớn nhất, khi đó tổng A B C   bằng A. 6 . B. 3  . C. 3 . D. 2 . Câu 30: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   ; ; A a b c với a , b , c là các số thực dương thỏa mãn     2 2 2 5 9 2      a b c ab bc ca và   3 2 2 1      a Q b c a b c có giá trị lớn nhất. Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng   MNP là A. 4 4 12 0     x y z . B. 3 12 12 1 0     x y z . C. 4 4 0    x y z . D. 3 12 12 1 0     x y z . Câu 31: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho (1;2;1) M . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua M cắt các trục , , Ox Oy Oz lần lượt tại , , A B C sao cho   2 2 2 1 1 1 OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất. A.     ( ) : 2 3 8 0 P x y z . B.    ( ) : 1 1 2 1 y x z P . C.     ( ) : 4 0 P x y z . D.     ( ) : 2 6 0 P x y z .   3; 2;4 A          2 2 2 : 2 4 1 2 3 1 1 0 P m m x m m y m z m          5 29 33 21 Oxyz   1;2;3 A   4;4;5 B M ( ) : 2 2 2019 0. P x y z     . P AM BM   17 77 7 2 3  82 5    : 2 1 0 x y z          0; 1;1 , 1;1; 2 A B     M   MA MB  M x M 1 3 M x  1 M x   2 M x   2 7 M x  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 32: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong không gian Oxyz, cho các điểm   1;1;1 A ,   2;3;4 B ,   3;2;4 C ,   2; 1; 3 D    . Mặt phẳng   P thay đổi nhưng luôn qua D và không cắt cạnh nào của tam giác ABC . Khi tổng các khoảng cách từ A, B , C đến   P là lớn nhất thì   P có một phương trình dạng 29 0 ax by cz     . Tính tổng a b c   . A. 9. B. 5. C. 13. D. 14. Câu 33: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (1 ;1;1) A , ( 2;3;4) B  và ( 2;5;1) C  . Điểm ( ; ;0) M a b thuộc mặt phẳng   Oxy sao cho 2 2 2 MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng 2 2 T a b   bằng A. 10 T  . B. 25 T  . C. 13 T  . D. 17 T  . Câu 34: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (1 ;1;1) A , ( 2;3;4) B  và ( 2;5;1) C  . Điểm ( ; ;0) M a b thuộc mặt phẳng   Oxy sao cho 2 2 2 MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng 2 2 T a b   bằng A. 10 T  . B. 25 T  . C. 13 T  . D. 17 T  . Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm   2;0;6 A ,   2;4;0 B và   0;4;6 C . Biết M là điểm để biểu thức MA MB MC MO    đạt giá trị nhỏ nhất, phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm   3;0; 1 H  và M là A. 3 1 : 2 1 3 x y z       . B. 3 1 : 1 1 3 x y z      . C. 3 1 : 1 3 1 x y z       . D. 3 1 : 1 1 2 x y z        . Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 2) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   3; 2;2 A  ,   2;2;0 B  và mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     . Xét các điểm M , N di động trên   P sao cho 1 MN  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 MA NB  bằng A. 49,8. B. 45 . C. 53. D. 55,8 . Câu 37: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng     : 1 2 1 0 P mx m y z m       , với m là tham số. Gọi   T là tập hợp các điểm m H là hình chiếu vuông góc của điểm   3;3;0 H trên   P . Gọi , a b lần lượt là khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ nhất từ O đến một điểm thuộc   T . Khi đó, a b  bằng A. 5 2 . B. 3 3 . C. 8 2 . D. 4 2 . Câu 38: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyz cho   4; 2;6 A  ,   2;4;2 B ,  : 2 3 7 0 M x y z       sao cho . MA MB         nhỏ nhất. Tọa độ của M bằng A. 29 58 5 ; ; 13 13 13       . B.   4;3;1 . C.   1;3;4 . D. 37 56 68 ; ; 3 3 3        . Câu 39: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm   1;1;1 A ,   2;0;2 B   1; 1;0 C   ,   0;3;4 D . Trên các cạnh AB , AC , AD lần lượt lấy các điểm  B ,  C ,  D sao cho 4       AB AC AD AB AC AD và tứ diện    AB C D có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng      B C D là A. 16 40 44 39 0 x y z     . B. 16 40 44 39 0 x y z     . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C. 16 40 44 39 0 x y z     . D. 16 40 44 39 0 x y z     . DẠNG 3: MIN, MAX VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Câu 1: (Nguyễn Du số 1 lần3) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 3 5 : 2 2 2 x y d z      và hai điểm   4;3;0 A ,   1;9;3 B . Điểm   ; ; M a b c nằm trên d sao cho MA MB  nhỏ nhất. Khi đó, tổng a b c   thuộc khoảng nào dưới đây: A.   9;10 . B.   4;5 . C.   2;3 . D.   7;8 . Câu 2: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm   2 ; 2;4 A  ,   3;3; 1 B   và đường thẳng 5 2 : 2 1 1 x y z d       . Xét M là điểm thay đổi thuộc d , giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 3 MA MB  bằng A. 14. B. 160 . C. 4 10 . D. 18 . Câu 3: Cho đường thẳng và Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. A. B. C. D. Câu 4: Cho đường thẳng và hai điểm Biết điểm thuộc sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng bằng: A. . B. . C. . D. . Câu 5: Cho đường thẳng và hai điểm Biết điểm thuộc sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất là Khi đó, bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm   2;5;3 A , đường thẳng 1 2 : 2 1 2     x y z d . Biết rằng phương trình mặt phẳng   P chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng   P lớn nhất, có dạng 3 0     ax by cz (với , , a b c là các số nguyên). Khi đó tổng    T a b c bằng A. 3 . B. 3  . C. 2  . D. 5  . 1 1 2 : 1 1 2 x y z        (1;1;0), A (3; 1;4). B  M  MA MB  ( 1;1; 2). M   1 1 ; ;1 . 2 2 M        3 3 ; ; 3 . 2 2 M         (1; 1;2). M  1 1 2 : 1 1 2 x y z        (1;1;0), A ( 1;0;1). B  ( ; ; ) M a b c  T MA MB   a b c   8 8 33  33 8 3  4 33 8 3  1 : 1 1 1 x y z     (0;1; 3), A  ( 1;0; 2). B  M  T MA MB   max . T max T max 3 T  max 2 3 T  max 3 3 T  max 2 T  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 1 0 P y   , đường thẳng 1 : 2 1 x y t z           và hai điểm   1; 3;11 A   , 1 ;0;8 2 B       . Hai điểm , M N thuộc mặt phẳng ( ) P sao cho ( ; ) 2 d M   và 2 NA NB  . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . A. min 1 MN  . B. min 2 MN  . C. min 2 2 MN  . D. min 2 3 MN  . Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng hai điểm và . Biết điểm thuộc thì nhỏ nhất.Tìm A. B. C. D. Câu 9: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 1 3 : 1 2 3 x y z d      và hai điểm   2;0;3 A ,   2; 2; 3 B   . Biết điểm   0 0 0 ; ; M x y z thuộc d thỏa mãn 4 4 2 2 . P MA MB MA MB    nhỏ nhất. Tìm 0 y . A. 0 3 y  . B. 0 2 y  . C. 0 1 y  . D. 0 1 y   . Câu 10: (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm   2; 1; 2 A   và đường thẳng   d có phương trình 1 1 1 1 1 1 x y z       . Gọi   P là mặt phẳng đi qua điểm A, song song với đường thẳng   d và khoảng cách từ d tới mặt phẳng   P là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng   P vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. 6 0 x y    . B. 3 2 10 0 x y z     . C. 2 3 1 0 x y z     . D. 3 2 0 x z    . Câu 11: (TTHT Lần 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   2; 2;1 , M     1;2; 3 A  và đường thẳng 1 5 : 2 2 1 x y z d      . Tìm một vectơ chỉ phương u  của đường thẳng  đi qua M , vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. A.   2;2; 1 u    . B.   1;7; 1 u    . C.   1;0;2 u   . D.   3;4; 4 u    . Câu 12: (TTHT Lần 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   3; 1;0 A  và đường thẳng 2 1 1 : 1 2 1 x y z d       . Mặt phẳng    chứa d sao cho khoảng cách từ A đến    lớn nhất có phương trình là A. 2 0 x y z     . B. 0 x y z    . C. 1 0 x y z     . D. 2 5 0 x y z      . Oxyz   x t y t t z t 2 : 1 2 3                 A 2;0;3   B 2; 2; 3     M x y z 0 0 0 ; ;  MA MB 4 4  x 0 x 0 0  x 0 1  x 0 2  x 0 3  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 13: (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   3;0;1 A  ,   1; 1;3 B  và mặt phẳng   : 2 2 5 0 P x y z     . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng   P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. A. 3 1 : 26 11 2 x y z d      . B. 3 1 : 26 11 2 x y z d      . C. 3 1 : 26 11 2 x y z d     . D. 3 1 : 26 11 2 x y z d       . Câu 14: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình 1 2 1 x t y t z t            và điểm   1;2;3 A . Mặt phẳng   P chứa d sao cho     , d A P lớn nhất. Khi đó tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   P là A.   1;1;1 . B.   1;2;3 . C.   1; 1;1  . D.   0;1;1 . Câu 15: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0, P x y z     ( ) : ( 1) 2019 0 Q x my m z      . Khi hai mặt phẳng   P ,   Q tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng   Q đi qua điểm M nào sau đây? A.   2019; 1;1 M  . B.   0; 2019;0 M  . C.   2019;1;1 M  . D.   0;0; 2019 M  . Câu 16: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 2 : 1 2 1 x y z d      và 2 2 1 : 2 1 2 x y z d      . Phương trình mặt phẳng   P chứa   1 d sao cho góc giữa   P và đường thẳng   2 d là lớn nhất là: 0     ax y cz d . Giá trị của biểu thức T a c d    bằng A. 0  T . B. 3  T . C. 13 4   T . D. 6   T . Câu 17: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng 1 2 : 1 1 2 x y z d       và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( ) P A. ( 3;0;4) E  . B. (3;0;2) M . C. ( 1 ; 2; 1) N    . D. (1 ;2;1) F . Câu 18: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho tam giác nhọn ABC có đường phân giác trong góc A song song với đường thẳng   2 : 1 4 x d y t z t            . Đường thẳng AC có một véctơ chỉ phương   1 1;2; 1 u     . Biết đường thẳng AB có một véctơ chỉ phương   2 ; ; u a b c     với , , a b c  . Biểu thức 2 2 2 P a b c    có giá trị nhỏ nhất bằng A. 10 . B. 6 . C. 2 . D. 14 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 19: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Trong không gian Oxyz cho hai điểm     2; 2;1 , 1;2; 3 A B    và đường thẳng 1 5 : 2 2 1 x y z       . Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua A vuông góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm B một khoảng cách bé nhất. A.   2;2; 1 u   . B.   1;0;2 u  . C.   2;1;6 u  . D.   25; 29; 6 u    . Câu 20: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Trong không gian , Oxyz cho đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y z d      và điểm   2;1;2 A . Gọi  là đường thẳng đi qua , A vuông góc với d đồng thời khoảng cách giữa d và  là lớn nhất. Biết ( ; ; 4) v a b   là một véc- tơ chỉ phương của  . Tính giá trị a b  . A. 2. B. 8.  C. 2.  D. 4.  Câu 21: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 3 0 P x y z     và điểm   1;2;2 A . Gọi M là giao điểm của mặt phẳng   P và trục oy. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng   P , đi qua M sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d có giá trị lớn nhất. A. 3 : . 1 1 1 x y z d      B. 3 : . 1 3 1 x y z d     C. 3 : . 2 3 1 x y z d      D. 3 : . 1 1 3 x y z d     Câu 22: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gianOxyz , cho đường thẳng 1 1 : . 2 1 1 x y z        Hai điểm , M N lần lượt di động trên các mặt phẳng   : 2 x   ,   : 2 z   sao cho trung điểm K của MN luôn thuộc đường thẳng Δ. Giá trị nhỏ nhất của độ dài MN bằng A. 8 5 5 . B. 4 5 5 . C. 3 5 5 . D. 9 5 5 . Câu 23: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm     1;4;2 , 1;2;4 A B  và đường thẳng 1 2 : 1 1 2 x y z d      . Viết phương trình đường thẳng  qua A cắt d sao cho khoảng cách từ B đến  là nhỏ nhất. A. 1 15 4 18 2 19 x t y t z t            . B. 1 5 4 8 2 9 x t y t z t            C. 1 5 4 8 2 9 x t y t z t            . D. 1 15 4 18 2 19 x t y t z t            . Câu 24: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm   1;2; 3 A  ,   2; 2;1 B   và mặt phẳng   : 2 2 9 0 x y z      . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng    sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 2 2 1 2 x t y t z t              . B. 2 2 2 1 2 x t y t z t              . C. 2 2 1 2 x t y z t             . D. 2 2 1 x t y t z             . Câu 25: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng , điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua song song với sao cho khoảng cách giữa và lớn nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 26: (Chuyên KHTN lần2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d      và hai điểm     1;2;3 ; 1;0;2 A B  . Phương trình đường thẳng  đi qua B , cắt d sao cho khoảng cách từ A đến  đạt giá trị lớn nhất là A. 1 2 3 1 4 x y z     . B. 1 2 3 1 4 x y z       . C. 1 2 1 1 1 x y z       . D. 1 2 8 1 14 x y z       . Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   3;1;1 M ,   4;3;4 N và đường thẳng 7 3 9 : 1 2 1 x y z        . Gọi   ; ; I a b c là điểm thuộc đường thẳng  sao cho chu vi tam giác IMN nhỏ nhất. Tính T a b c    . A. 23 3 T  . B. 29 T  . C. 19 T  . D. 40 3 T  . Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm ( 2; 2;1) M   , (1 ;2; 3) A  và đường thẳng 1 6 : 2 2 1 x y z d      . Gọi  là đường thẳng qua M , vuông góc với đường thẳng d , đồng thời cách A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là A. 29 . B. 6 . C. 5. D. 34 9 . Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d        . Gọi    là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng   Oxy một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ   0;3; 4 M  đến mặt phẳng    bằng A. 30 . B. 2 6 . C. 20 . D. 35 . Câu 30: Trong không gian Oxyz cho hai điểm (1;2; 1) A  , (7; 2;3) B  và đường thẳng d có phương trình 1 2 2 3 2 2 x y z       . Điểm I thuộc d sao cho AI BI  nhỏ nhất. Hoành độ của điểm I là Oxyz   : 1 0 P x y z       1; 1;2 A  1 4 : 2 1 3 x y z       d A   P d  1 40 : 1 29 2 69 x t d y t z t             1 40 : 1 29 2 11 x t d y t z t             1 : 1 2 2 3 x t d y t z t             1 21 : 1 10 2 31 x t d y t z t             ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 81 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 . B. 0 . C. 4 . D. 1. Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 4 3 : 3 4 0 x t d y t z           . Gọi A là hình chiếu vuông góc của O trên d . Điểm M di động trên tia Oz , điểm N di động trên đường thẳng d sao cho MN OM AN   . Gọi I là trung điểm đoạn thẳng OA. Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng   , M d có tọa độ là A.   4;3;5 2 . B.   4;3;10 2 . C.   4;3;5 10 . D.   4;3;10 10 . Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho các điểm       2;2;2 , 2;4; 6 , 0;2; 8 A B C   và mặt phẳng   : 0 P x y z    . Xét các điểm M thuộc mặt phẳng   P sao cho  90 AMB   , đoạn thẳng CM có độ dài lớn nhất bằng A. 2 15 . B. 2 17 . C. 8. D. 9. Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 3 4 2 : 2 1 1 x y z d      và 2 điểm   6;3; 2 A  ,   1;0; 1 B  . Gọi  là đường thẳng đi qua B , vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến  là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của  có tọa độ A.   1 ;1; 3  . B.   1; 1; 1   . C.   1;2; 4  . D.   2; 1; 3   . Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho điểm   1;4;3 A và mặt phẳng   : 2 0 P y z   . Biết điểm B thuộc mặt phẳng   P , điểm C thuộc   Oxy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là A. 4 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 5 . Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho điểm   2; ;3;4 A  , đường thẳng 1 2 : 2 1 2 x y z d     và mặt cầu         2 2 2 : 3 2 1 20 S x y z       . Mặt phẳng   P chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến   P lớn nhất. Mặt cầu   S cắt   P theo đường tròn có bán kính bằng A. 5 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm   A 0; 1;1 ,   B 3; 0;-1 ,   C 0; 21; -19 và mặt cầu         2 2 2 : 1 1 1 1 S x y z       .   ; ; M a b c là điểm thuộc mặt cầu   S sao cho biểu thức 2 2 2 3 2 T MA MB MC    đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c   . A. 14 5 a b c    . B. 0 a b c    . C. 12 5 a b c    . D. 12 a b c    . Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm   2;2; 2 A   và điểm   3; 3;3 B  . Điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn 2 3 MA MB  . Điểm   ; ; N a b c thuộc mặt phẳng   : 2 2 6 0 P x y z      sao cho MN nhỏ nhất. Tính tổng T a b c    . A. 6 . B. 2  . C. 12 . D. 6  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   0; 1;2 A  ,   1;1;2 B và đường thẳng 1 1 : 1 1 1 x y z d     . Biết   ; ; M a b c thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị 2 3 T a b c    bằng: A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 10. Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   0; 1;2 A  ,   1;1;2 B và đường thẳng 1 1 : 1 1 1 x y z d     . Biết   ; ; M a b c thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 5 6 . Khi đó, giá trị 2 3 T a b c    bằng: A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 10. Câu 40: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   0; 1;2 A  ,   1;1;2 B và đường thẳng 1 1 : 1 1 1 x y z d     . Có bao nhiêu điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 1. A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm     1;5;0 , 3;3;6 A B và đường thẳng  có phương trình tham số 1 2 1 2 x t y t z t            . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng  sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là A.   1;0;2 ; M P = 2( 11 29)  B.   1;2;2 ; M P = 2( 11 29)  C.   1;0;2 ; M P = 11 29  D.   1;2;2 ; M P = 11 29  Câu 42: (SỞ LÀO CAI 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm   1; 5;0 A ,   3;3;6 B và đường thẳng 1 1 : 2 1 2 x y z d      . Điểm   ; ; M a b c thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác M A B nhỏ nhất. Khi đó biểu thức 2 3 a b c   bằng A. 5 . B. 7 . C. 9 . D. 3 . Câu 43: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có   1;1;6 A  ,   3; 2; 4 B    ,   1; 2; 1 C  ,   2; 2; 0 D  . Điểm   ; ; M a b c thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a b c   . A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0 . Câu 44: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm , , , . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó toạ độ điểm M là: A. B. C. D.   2;3;2 A   6; 1; 2 B     1; 4;3 C     1;6; 5 D    0;1; 1 M    2;11; 9 M    3;16; 13 M    1; 4;3 M   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 83 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay DẠNG 4: MIN, MAX VỚI MẶT CẦU Câu 1. (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (0;0;4), (3;2;6), (3; 2;6). A B C  Gọi M là điểm di động trên mặt cầu 2 2 2 ( ) : 4. S x y z    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC            bằng A. 2 34 . B. 6 5 . C. 4 10 . D. 2 29 . Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 5 0 S x y z x y z        . Giả sử   M P  và   N S  sao cho MN      cùng phương với véc tơ   1;0;1 u   và khoảng cách MN nhỏ nhất. Tính MN . A. 1 2 MN  . B. 1 MN  . C. 3 2 MN  . D. 2 MN  . Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 2 2 3 : 2 3 2 x y z d      và mặt cầu   2 2 2 : 4 3 0 S x y z z      . Giả sử M d  và   N S  sao cho MN      cùng phương với véc tơ   1;0;1 u   và khoảng cách MN nhỏ nhất. Tính MN . A. 2 MN  . B. 17 2 34 6 MN   .C. 17 2 34 6 MN   . D. 17 17 6 MN   . Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 2 2 3 : 2 3 2 x y z d      và mặt cầu   2 2 2 : 4 3 0 S x y z z      . Giả sử M d  và   N S  sao cho MN      cùng phương với véc tơ   1;0;1 u   và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN . A. 4 MN  . B. 17 2 34 6 MN   . C. 17 2 34 6 MN   .D. 17 17 6 MN   . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho   : 2 2 14 0 P x y z     và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 3 0 S x y z x y z        . Điểm     , M P N S   sao cho khoảng cách MN nhỏ nhất. Tính MN . A. 1 MN  . B. 3 MN  . C. 2 MN  . D. 4 MN  . Câu 6. Các số thực , , , , , a b c d e f thỏa mãn 2 2 2 2 4 2 6 0 2 2 14 0 a b c a b c d e f               . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu       2 2 2 P a d b e c f       là bao nhiêu? A. 1. B. 4 2 3  . C. 28 16 3  . D. 7 4 3  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 84 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 7. (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 2 2 4 S x y z       và mặt phẳng   : 2 1 0 P x y z     . Gọi M là một điểm bất kì trên mặt cầu   S . Khoảng cách từ M đến   P có giá trị nhỏ nhất bằng A. 4 6 2 3  . B. 0 . C. 6 2  . D. 2 6 2  . Câu 8. (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 2 14 0 P x y z     và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 3 0 S x y z x y z        . Gọi tọa độ điểm ( ; ; ) M a b c thuộc mặt cầu   S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng   P là lớn nhất. Tính giá trị biểu thức . K a b c    A. 1 K  . B. 2 K  . C. 5 K   . D. 2 K   . Câu 9. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu         2 2 2 : 1 2 3 9 S x y z       và mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     . Gọi   ; ; M a b c là điểm trên mặt cầu   S sao cho khoảng cách từ M đến   P là lớn nhất. Khi đó A. 5. a b c    B. 6. a b c    C. 7. a b c    D. 8. a b c    Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     1;2;0 , 2; 3;2 A B   . Gọi   S là mặt cầu đường kính AB và Ax là tiếp tuyến của   S tại A ; By là tiếp tuyến của   S tại B và Ax By  . Hai điểm , M N lần lượt di động trên , Ax By sao cho MN là tiếp tuyến của   S . Hỏi tứ diện AMBN có diện tích toàn phần nhỏ nhất là? A. 19 3 . B.   19 2 3  . C.   19 2 3  . D.   19 2 6  . Câu 11. Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu   2 2 2 : 11 S x y z    . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 AB BC CA DA BD CD      là? A. 99. B. 176. C. 132. D. 66 . Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm       ;0;0 , 0; ; , 0;0; A a B b c C c với 4, 5, 6 a b c    và mặt cầu   S có bán kính bằng 3 10 2 ngoại tiếp tứ diện OABC . Khi tổng OA OB OC   đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu   S tiếp xúc với mặt phẳng nào dưới đây? A. 2 2 2 6 3 2 0 x y z      B. 2 2 2 7 2 2 0 x y z      C. 2 2 2 3 2 2 0 x y z      D. 2 2 2 3 2 2 0 x y z      Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho với và . luôn tiếp xúc với 1 mặt cầu cố định có bán kính là bao nhiêu biết mặt cầu đó đi qua . Oxyz       0;0;1 , ;0;0 , 0; ;0 S M m N n , 0 m n  1 m n     SMN   1;1;1 M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 85 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. B. C. D. Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với       ;0;0 , 0; 1;0 , 0;0; 4 A m B m C m   thỏa mãn , , BC AD CA BD AB CD    điểm   ; ; I a b c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. 7 2 . B. 14 2 . C. 7 . D. 14 . Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm     1; 2;1 , 2;4;6 A B  . Điểm M di động trên AB và N là điểm thuộc tia OM sao cho . 4 OM ON  . Biết rằng N thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. A. 42 31 R  . B. 31 42 R  . C. 42 2 31 R  . D. 31 2 42 R  . Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm   ;0;0 A m ,   0; ;0 B n ,   0;0; 2 C  và   ; ; 2 D m n  , với , m n là các số thực thay đổi thỏa mãn 2 1 m n   . Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ nhất là? A. 105 10 . B. 17 4 . C. 21 5 . D. 17 2 . Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       ;0;0 , 0;1;0 , 0;0; A m B C n với , m n là các số thực thỏa mãn . 2 m n  . Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ nhất là? A. 2 . B. 5 2 . C. 3 2 . D. 2 2 . Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;1 A m B n C và   ; ;1 D m n với , m n là các số thực thỏa mãn . 2 m n  . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ nhất là? A. 2 . B. 6 2 . C. 3 2 . D. 5 2 . Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       ;0;0 , 0;1;0 , 0;0; A m B C n với , m n là các só thực thỏa mãn 2 2 m n   . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ nhất là? A. 2 . B. 5 2 . C. 3 5 10 . D. 3 5 2 . 2 2 1 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 86 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho       1,0,1 , 3, 4, 1 , 2, 2,3 A B C   . Đường thẳng d đi qua A , cắt các mặt cầu đường kính AB và AC lần lượt tại các điểm , M N không trùng với A sao cho đường gấp khúc BMNC có độ dài lớn nhất có vector chỉ phương là? A.   1,0, 2 u   B.   1, 0,1 u   C.   1,0, 1 u    D.   2,0, 1 u    Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai mặt phẳng     : 2 1 0; : 2 1 0. P x y z Q x y z         Gọi   S là mặt cầu có tâm thuộc trục Ox , đồng thời   S cắt   P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2;   S cắt   Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng . r Tìm r sao cho chỉ có duy nhất một mặt cầu   S thỏa mãn điều kiện bài toán. A. 10 . 2 r  B. 3 2 . 2 r  C. 3. r  D. 5 . 2 r  Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho tứ diện ABCD có , , A B C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng   : 1 1 4 x y z P m m m      với các trục tọa độ , , ; Ox Oy Oz trong đó   0;1; 4 m   là tham số thực thay đổi. Điểm , O D nằm khác phía với mặt phẳng   P và , , BC AD CA BD   . AB CD  Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ nhất là? A. 7 . 2 B. 14 . 2 C. 7. D. 14. Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     và mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 5 0 S x y z x y z        . Giả sử   M P  và   N S  sao cho MN      cùng phương với véc tơ   1;0;1 u   và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN . A. 3 MN  . B. 1 2 2 MN   . C. 3 2 MN  . D. 14 MN  . Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c với 4, 5, 6 a b c    và mặt cầu   S có bán kính bằng 3 10 2 ngoại tiếp tứ diện OABC . Khi tổng OA OB OC   nhỏ nhất thì mặt cầu   S tiếp xúc với mặt phẳng nào dưới đây? A. 2 2 2 6 3 2 0 x y z      . B. 2 2 2 3 2 2 0 x y z      . C. 2 2 2 7 2 2 0 x y z      . D. 2 2 2 3 2 2 0 x y z      . Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 : 1 1 1 4 S x y z       và mặt phẳng   : 2 2 2 7 0 P y z     . Gọi   Q là mặt phẳng thay đổi qua   2;1;1 A  và tiếp xúc với mặt cầu   S . Hỏi góc nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng     , P Q là? A. 2 10 2 arccos 9  . B. 10 1 arccos 9  . C. 2 10 2 arccos 9  . D. 10 1 arccos 9  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 87 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     10;2;1 , 3;1;4 A B và mặt cầu         2 2 2 : 1 2 1 9 S x y z       . Điểm M di động trên mặt cầu   S . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 MA MB  là? A. 3 14 . B. 9 . C. 3 11 . D. 6 3 . Câu 27. (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 3 : 2 2 1 x y z d     và mặt cầu         2 2 2 : 3 2 5 36 S x y z       . Gọi  là đường thẳng đi qua   2;1;3 A , vuông góc với đường thẳng d và cắt   S tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thằng  có một véctơ chỉ phương là   1; ; u a b   . Tính a b  . A. 4 . B. 2  . C. 1 2  . D. 5 . Câu 28. (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu         2 2 2 : 2 1 1 9 S x y z       và điểm     ; ; M a b c S  sao cho biểu thức 2 2 P a b c    đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T a b c    . A. 2 . B. 1. C. 2  . D. 1  . Câu 29. (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu         2 2 2 : 4 2 4 1 S x y z       . Điểm   ; ; M a b c thuộc   S . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 a b c   . A. 25 . B. 29 . C. 24 . D. 26 . Câu 30. (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu       2 2 2 : 3 4 4. S x y y      Xét hai điểm M , N di động trên   S sao cho 1. MN  Giá trị nhỏ nhất của 2 2 OM ON  bằng A. 10  . B. 4 3 5   . C. 5  . D. 6 2 5.   Câu 31. (Chuyên KHTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm       8;5; 11 , 5;3; 4 , 1;2; 6 A B C    và mặt         2 2 2 : 2 4 1 9 S x y z       . Gọi điểm   ; ; M a b c là điểm trên   S sao cho MA MB MC                đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm a b  . A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 9. Câu 32. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho x , y , z , a , b , c là các số thực thay đổi thỏa mãn       2 2 2 3 2 1 2 x y z       và 1 a b c    . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức       2 2 2 P x a y b z c       là A. 3 2  . B. 3 2  . C. 5 2 6  . D. 5 2 6  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 88 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 33. (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các mặt cầu   1 S ,   2 S ,   3 S có bán kính 1 r  và lần lượt có tâm là các điểm   0;3; 1 A  ,   2;1; 1 B   ,   4; 1; 1 C   . Gọi   S là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu   S có bán kính nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 10 R  . B. 10 1 R   . C. 2 2 1 R   . D. 2 2 R  . Câu 34. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 4 1 5 : 3 1 2 x y z         và 2 2 3 : . 1 3 1 x y z      Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1  và 2  . Gọi   S là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Bán kính của mặt cầu   S là A. 12 . B. 6 . C. 24 . D. 3 . Câu 35. (ĐH Vinh Lần 1) Cho mặt cầu và hai điểm . Gọi là điểm thuộc mặt mặt cầu Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. B. C. D. Câu 36. (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm   ; ; M a b c ( với , , a b c tối giản) thuộc mặt cầu   2 2 2 : 2 4 4 7 0 S x y z x y z        sao cho biểu thức 2 3 6 T a b c    đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị biểu thức 2 P a b c    bằng A. 12 7 . B. 8. C. 6 . D. 51 7 . Câu 37. (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong không gian Oxyz cho hai điểm (2; 3;2)  A , ( 2;1;4)  B và mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 4) 12 S x y z      . Điểm ( ; ; ) M a b c thuộc mặt cầu ( ) S sao cho . MA MB         nhỏ nhất, tính a b c   . A. 7 3 . B. 4  . C. 1. D. 4 . Câu 38. (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   2; 2; 4 A  ,   3; 3; 1 B   và mặt cầu         2 2 2 : 1 3 3 3 S x y z       . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu   S , giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 3 MA MB  bằng A. 103. B. 108. C. 105. D. 100. Câu 39. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu       2 2 2 : 1 4 8 S x y z      và điểm     3;0;0 ; 4; 2;1 A B . Điểm M thay đổi nằm trên mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P MA MB   . A. 2 2 P  . B. 3 2 P  . C. 4 2 P  . D. 6 2 P  . Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu         2 2 2 2 : 1 1 4 m m S x y z m       và hai điểm   2;3;5 A ,   1; 2;4 B . Tìm giá trị nhỏ nhất của m để trên   m S tồn tại điểm M sao cho 2 2 9 MA MB   . 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 4) 8 S x y z      (3;0;0), (4;2;1) A B M ( ). S 2 . MA MB  6. 2 6. 6 2. 3 2. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 89 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 m  . B. 3 3 m   . C. 8 4 3 m   . D. 4 3 2 m   . Câu 41. (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu 2 2 2 1 ( ) : 2 4 2 2 0 S x y z x y z        và 2 2 2 2 ( ) : 2 4 2 4 0 S x y z x y z        . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B nằm trên 1 ( ) S ; hai đỉnh C , D nằm trên 2 ( ) S . Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng A. 3 2 . B. 2 3 . C. 6 3 . D. 6 2 . Câu 42. (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Trong không gian Oxyz cho   A 0;0;2 ,   1;1;0 B và mặt cầu     2 2 2 1 : 1 4 S x y z     . Xét điểm M thay đổi thuộc   S . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 MA +2MB bằng A. 1 2 . B. 3 4 . C. 21 4 . D. 19 4 . Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm   9; 6; 11 A ,   5; 7; 2 B và điểm M di động trên mặt cầu         2 2 2 : 1 2 3 36 S x y z       . Giá trị nhỏ nhất của 2 M A M B  bằng A. 105 . B. 2 26 . C. 2 29 . D. 102 . Câu 44. Trong không gian , Oxyz cho điểm   0;1;9 A và mặt cầu         2 2 2 : 3 4 4 25. S x y z       Gọi   C là giao tuyến của   S với mặt phẳng  . Oxy Lấy hai điểm , M N trên   C sao cho 2 5. MN  Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây? A.   5;5;0 . B. 1 ; 4;0 . 5        C. 12 ; 3;0 . 5        D.   4;6;0 . Câu 45. Cho mặt cầu         2 2 2 : 2 1 3 9 S x y z       và hai điểm   1 ; 1 ; 3 A ,   21 ; 9 ; 13 B  . Điểm   ; ; M a b c thuộc mặt cầu   S sao cho 2 2 3MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức . . T a b c  bằng A. 3 . B. 8 . C. 6 . D. 18  . Câu 46. (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Trong không gian Oxyz , cho điểm   3;3; 3 A   , thuộc mặt phẳng   : 2 2 15 0 x y z      và mặt cầu         2 2 2 : 2 3 5 100 S x y z       . Gọi  là đường thẳng đi qua A , nằm trong    và cắt   S tại hai điểm B ,C. Để độ dài BC lớn nhất thì  có phương trình là A. 3 3 3 : 1 4 6 x y z       . B. 3 3 3 : 16 11 10 x y z        . C. 3 5 : 3 3 8 x t y z t              . D. 3 3 3 : 1 1 3 x y z       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 90 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 47. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu   S có phương trình 2 2 2 4 2 2 3 0 x y z x y z        và điểm   5;3; 2 A  . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt , . M N Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 . S AM AN   A. min 30 S  . B. min 20 S  . C. min 34 3 S   . D. min 5 34 9 S   . Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 : 1 S x y z    . Điểm M nằm trên   S có tọa độ dương, mặt phẳng   P tiếp xúc với   S tại M , cắt các tia , , Ox Oy Oz tại các điểm , , A B C . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức       2 2 2 1 1 1 T OA OB OC     là A. 24 . B. 27 . C. 64 . D. 8 . Câu 49. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 2 3 : 2 3 4 x y z d      và mặt cầu   S :       2 2 2 3 4 5 729 x y z       . Cho biết điểm   2; 2; 7 A    , điểm B thuộc giao tuyến của mặt cầu   S và mặt phẳng   : 2 3 4 107 0 P x y z     . Khi điểm M di động trên đường thẳng d giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB  bằng A. 5 30 . B. 2 7 . C. 5 29 . D. 742 . Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 1) ( 1) 6 S x y z       tâm I. Gọi ( )  là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng 1 3 : 1 4 1 x y z d      và cắt mặt cầu ( ) S theo đường tròn ( ) C sao cho khối nón có đỉnh I , đáy là đường tròn ( ) C có thể tích lớn nhất. Biết ( )  không đi qua gốc tọa độ, gọi ( , , ) H H H H x y z là tâm của đường tròn ( ) C . Giá trị của biểu thức H H H T x y z    bằng A. 1 3 . B. 4 3 . C. 2 3 . D. 1 2  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 91 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HHKG A - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bước 1: Chọn hệ trục tọa Xác định ba đường thẳng đồng quy và đôi một cắt nhau trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều …), hoặc dựa trên các mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ. Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán. Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận. Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầu của bài toán hình không gian. Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích … Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian. Hình hộp lập phương – Hình hộp chữ nhật Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho : Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , Chú ý: Tam diện vuông là một nửa của hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự như hình hộp chữ nhật. Với hình hộp đứng có đáy là hình thoi Chọn hệ trục tọa độ sao cho : Gốc tọa độ trùng với giao điểm của hai đường chéo của hình thoi Trục đi qua 2 tâm của 2 đáy Nếu thì , . Chú ý: Với lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân tại thì ta chọn hệ tọa độ tương tự như trên với gốc tọa độ là trung điểm , còn trục đi qua trung điểm hai cạnh . Hình chóp đều . Oxyz . ' ' ' ' ABCD A B C D (0;0;0), A ( ;0;0), B a ( ; ;0), (0; ;0) C a a D a '(0;0; ), '( ;0; ), A a B a a '( ; ; ), '(0; ; ) C a a a D a a x z y B' C' D' A' B A D C (0;0;0), ( ;0;0), ( ; ;0), (0; ;0) A B a C a b D b '(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c) A c B a c C a b c b . ' ' ' ' ABCD A B C D O ABCD Oz , , ' AC a BD b AA c    0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 2 2 2 a b a A B C                    z x y O B' C' D' A' B A D C ;0;0 , ' 0; ; , ' ;0; 2 2 2 b a b D A c B c                     ' 0; ; , ' ;0; 2 2 a b C c D c              . ' ' ' ABC A B C ABC B AC , B Ox C Oy   Oz , ' ' AC A C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 92 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1) Hình chóp tam giác đều , , ta chọn hệ tọa độ sao cho là trung điểm , . Khi đó Hình chóp từ giác đều , , ta chọn hệ tọa độ sao cho là tâm đáy . Khi đó: , Chú ý: Ngoài cách chọn hệ trục như trên ta có thể chọn hệ trục bằng cách khác. Chẳng hạn với hình chóp tam giác đều ta có thể chọn , trục đi qua và song song với . Hình chóp có 1) Nếu đáy là hình chữ nhật ta chọn hệ trục sao cho Nếu đáy là hình thoi, ta chọn hệ trục sao cho là tâm của đáy, và . Chú ý: Cho hình chóp có . S ABC , AB a  SH h  O BC , A Ox B Oy                 3 ;0;0 , 0; ;0 , 2 2 a a A B                3 0; ;0 , ;0; 2 6 a a C S h y x z H O A C B S . S ABCD , AB a  SH h  O , , B Ox C Oy S Oz             2 0; ;0 , 2 a A         2 ;0;0 , 2 a B         2 0; ;0 2 a C   2 ;0;0 , 0;0; 2 a D S h          x y z O B A D C S H O  Oy H BC . S ABCD ( ), SA ABCD SA h   , , , A O B Ox D Oy S Oz     x y z B A D C S O , B Ox C Oy   / / Oz SA x y z O B A D C S . S ABC ( ) SA ABC  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 93 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Nếu đáy là tam giác vuông tại thì cách chọn hệ trục hoàn toàn tương tự như hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Nếu đáy là tam giác cân tại thì ta chọn hệ trục tọa độ như hình chóp có đáy là hình thoi, khi đó gốc tọa độ là trung điểm cạnh . Hình chóp có Đường cao của tam giác là đường cao của hình chóp. Nếu tam giác vuông tại , ta chọn hệ trục sao cho . Khi đó . Chú ý: Nếu vuông tại ta chọn , vuông tại chọn . Nếu tam giác cân tại , cân tại thì ta chọn Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải. Ví dụ 1: Cho hình chóp có đôi một vuông góc. Điểm cố định thuộc tam giác có khoảng cách lần lượt đến các , , là . Tính để thể tích nhỏ nhất. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: Vì khoảng cách từ đến các mặt phẳng , , là nên . Suy ra phương trình Vì (1).Thể tích khối chóp : . Từ Vậy, đạt được khi  ABC A . S ABCD  ABC B . S ABCD AC . S ABC ( ) ( ) SAB ABC  SH h  SAB ABC A , AB a AC b   , , , A O B Oy C Ox    / / Oz SH     0;0;0 , 0; ;0 , ( ;0;0) A B a C b   0; ;0 , (0; ; ) AH c H c S c h   z y x A B C S H  B B O  C C O   ASB S ABC  C , , , H O C Ox B Oy S Oz     . O ABC , , OA a OB b OC c    M ABC   mp OBC   mp OCA   mp OAB 1, 2, 3 , , a b c . O ABC (0;0;0), ( ;0;0), O A a (0; ;0), B b (0;0; ) C c M   mp OBC   mp OCA   mp OAB 1, 2, 3   1;2;3 M ( ) : 1 x y z ABC a b c    1 2 3 ( ) 1 M ABC a b c      . O ABC x y z O M A B C . 1 6 O ABC V abc  3 1 2 3 1 2 3 1 (1) 1 3 . . 27 6 abc a b c a b c        min 27 OABC V     1 2 3 1 3 a b c     3, 6, 9 a b c ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 94 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tính theo thể tích của khối chóp và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng Lời giải. Gọi là hình chiếu của lên Ta có: . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: . Ta có Thể tích khối chóp : Vì Vậy . Ví dụ 3: Trên các tia của góc tam diện vuông lần lượt lấy các điểm sao cho .Gọi là đỉnh đối diện với của hình chữ nhật và là trung điểm của đoạn Mặt phẳng qua cắt mặt phẳng theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng 1. Gọi là giao điểm của với đường thẳng Tính độ dài đoạn thẳng ; 2. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp bởi mặt phẳng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải. . S ABCD ABCD 2a SA a  3 SB a  ( ) SAB , M N , AB BC a . S BMDN , SM DN H S ( ) AB SH ABCD   2 2 2 2 3 , 2 2 SA a a SA SB AB SA SB AH SH AB         x y z N M B A D C S H         3 0;0;0 , 2 ;0;0 , 0;2 ;0 , 2 ;2 ;0 , ;0;0 , ;0; 2 2 2 a a a A B a D a C a a H S                   ;0;0 , 2 ; ;0 M a N a a 2 2 2 2 1 .2 4 2 2 2 ADM CDN BNDM S S a a a S a a a          . S BMDN 3 2 1 1 3 3 . . .2 3 3 2 3 BMDN a a V SH S a      2 3 ;0; , 2 ; ;0 . 2 2 a a SM DN a a SM DN a                                     2 . 5 cos , . 5 . 5 SM DN a SM DN SM DN a a              , , Ox Oy Oz Oxyz , , A B C    , 2, , OA a OB a OC c  ( , 0) a c D O AOBD M . BC ( )  , A M ( ) OCD . AM E ( )  . OC OE . C AOBD ( )  C ( )  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 95 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Chọn hệ trục tọa độ , sao cho: 1. Vì là trung điểm của nên Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là Gọi thì là giao tuyến của với , ta có Vì nên do đó một véc tơ chỉ phương của là Ta có nên phương trình mặt phẳng là : Do đó 2. Ta có Mà nên Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp bởi mặt phẳng là (hay 2). Khoảng cách cần tìm : Ví dụ 4: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có và . 1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp; 2. Tìm điểm trên đường thẳng sao cho 3. Tìm điểm thuộc , thuộc sao cho . Từ đó tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và Lời giải. Oxyz (0; 0; 0), ( ; 0; 0), O A a   0; 2; 0 , B a   ; 2;0 , (0; 0; ) D a a C c M BC 2 0; ; . 2 2 a c M                   (0; 0; ), ; 2;0 OC c OD a a                  ; 2; ; 0 OC OD ac ac z x y H K M G I D O A B C E F ( ) OCD            2; 1; 0 . OCD n ( ) F CD    EF ( )  ( ) OCD . EF AM  2 ; ; 2 2 a c AM a                , (1; 2; 0), 2 OCD c n AM                  EF (1; 2; 0). EF u                         1 , 2; ; 3 2 2 EF u AM c c a ( )  2 3 2 2 0. cx cy az ac     ( ) 0; 0; . 3 3 c c Oz E OE            2 2 2 2 ( ) ; ; . 3 3 3 3 a a c CF CD F CD              2 2 COADB CAOD CBOD V V V   1 1 . . . 2 2 2 3 CEAFM CAEF CMEF COADB CAOD CBOD V V V CE CF CM CE CF V V V CO CD CB CO CD            . C AODB ( )  1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 6 ( , ( )) . 2 18 3 6 ac ac ac d C c c a c a        Oxyz . ' ' ' ' ABCD A B C D , , , ' A O B Ox D Oy A Oz      1, AB  2, AD  ' 3 AA E ' DD ' ' B E A C  M ' A C N BD , ' MN BD MN A C   ' A C BD ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 96 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1. Ta có . Hình chiếu của lên là , hình chiếu của lên là nên . Hình chiếu của lên mp và trục lần lượt là các điểm và nên . 2. Vì thuộc đường thẳng nên , suy ra Mà nên . Vậy . 3. Đặt Ta có , suy ra Theo giả thiết của để bài, ta có: Mà , , Khi đó trở thành Do đó . Vì là đường vuông góc chung của hai đường thẳng . Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a Lời giải. Vì hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng nên suy ra . (0;0;0), (1;0;0), A B (0;2;0), D '(0;0;3) A C ( ) Oxy C C Oz A   1;2;0 C ', ', ' B C D ( ) Oxy Oz , , B C D ' A   ' 1;0;3 , '(1;2;3), '(0;2;3) B C D x y z B' C' D' A' B A D C E ' DD   0;2; E z   ' 1;2; 3 B E z            ' 1;2; 3 A C         ' ' ' . ' 0 B E A C B E A C                  1 4 3 3 0 4 z z           0;2;4 E ' . ' ; . A M x A C BN y BD                           ' ' ' . ' ;2 ;3 3 AM AA A M AA x A C x x x                                     ;2 ;3 3 M x x x      . 1 ;2 ;0 1 ;2 ;0 AN AB BN AB y BD y y N y y                               . ' 0 . 0 MN A C MN BD                             ( )   1 ;2 2 ;3 3 MN x y y x x             ' 1;2; 3 A C           1;2;0 BD        ( )                                      53 1 4 4 9 9 0 14 3 10 61 1 4 4 0 3 5 1 44 61 x x y y x x x y x y y x x y y 53 106 24 17 88 ; ; , ; ;0 61 61 61 61 61 M N             MN ' , A C BD     2 2 2 6 61 ' , 1 (2 2 ) (3 3) 61 d A C BD MN x y y x x            , 2 B AB BC a ( ) SAB ( ) SAC ( ) ABC ( ) SA ABC  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 97 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, đặt Vì là trung điểm cạnh Tọa độ các đỉnh là: Suy ra Do đó là VTPT của mặt phẳng là VTPT của mặt phẳng Theo giả thiết ta có: Vì là trung điểm của nên Từ đó suy ra thể tích khối chóp là: . Ta có: Suy ra Vậy . B - BÀI TẬP Câu 1: Cho hình chóp . S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD ; M , N hai điểm nằm trên hai cạnh BC , CD. Đặt BM x  , DN y    0 , x y a   . Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng   SAM và   SMN vuông góc với nhau là: A.   2 2 x a a x y    . B.   2 2 2 x a a x y    . C.   2 2 2x a a x y    . D.   2 2 2 x a a x y    . Câu 2: Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết HB HC  ,  30 HBC   ; góc giữa mặt phẳng   SHC và mặt phẳng   HBC bằng 60 . Tính côsin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng   SHC ? , 0 SA x x   / / MN BC N  AC (0;0;0), (2 ;0;0), B A a   0;2 ;0 , (2 ;0; ), C a S a x     ;0;0 , ; ;0 M a N a a z y x N M B C A S       2 2 ;0; , 0;2 ;0 , 2 ;0;4 BS a x BC a BS BC ax a                            ;0; 2 n x a     ( ) SBC (0;0;1) k   ( ) ABC 0 2 2 2 2 . 1 2 1 cos60 12 2 3 2 2 . 4 n k a x a x a n k x a                , M N , AB CB 2 1 3 3 4 4 2 AMN ABC BMNC ABC a S S S S        . S BMNC 2 3 . 1 1 3 . .2 3. 3 3 3 2 S BMNC BMNC a V SA S a a          2 ;0;0 , ; ;2 3 , ; ;0 BA a SN a a a BN a a                     2 2 3 , 0; 4 3 ;2 , . 4 3 BA SN a a BA SN BN a                                       3 2 , . 4 3 2 39 , 13 2 13 , BA SN BN a a d AB SN a BA SN                                   ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 98 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 2 . B. 13 4 . C. 3 4 . D. 1 2 . Câu 3: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và , M N lần lượt là trung điểm của , SC SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng   GMN và   ABCD . A. 2 39 13 . B. 13 13 . C. 2 39 39 . D. 3 6 . Câu 4: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,  o 60 ABC  , 2 BC a  . Gọi D là điểm thỏa mãn 3 2 SB SD         . Hình chiếu của S trên mặt phẳng   ABC là điểm H thuộc đoạn BC sao cho 4 BC BH  . Biết SA tạo với đáy một góc o 60 . Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng A. o 90 . B. o 30 . C. o 60 . D. o 45 . Câu 5: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh bằng a . Lấy điểm M thuộc đoạn AD  , điểm N thuộc đoạn BD sao cho AM DN x   , 2 0 2 a x           . Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất. A. 2 a x  . B. 2 3 a x  . C. 2 4 a x  . D. 3 a x  . Câu 6: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB  OC a   . Gọi M là trung điểm BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM bằng A. 2 a . B. 2 3 a . C. 3 a . D. 2 a . Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh ( ;0;0) B m , (0; ;0) D m , (0;0; ) A n  với , 0 m n  và 4 m n   . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDA M  đạt giá trị lớn nhất bằng A. 75 32 . B. 245 108 . C. 9 4 . D. 64 27 . Câu 8: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC ,C D   và DD  . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ . A. 1 12 . B. 1 24 . C. 3 8 . D. 1 8 . Câu 9: Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng a . M là một điển thỏa mãn 1 2 CM AA             . Cô sin của góc giữa hai mặt phẳng   A MB  và   ABC bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 99 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 30 8 . B. 30 16 . C. 30 10 . D. 1 4 . Câu 10: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a . Một đường thẳng d đi qua đỉnh D  và tâm I của mặt bên BCC B  . Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng   BCC B   và   ABCD sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là A. 3 2 a . B. 3 5. 10 a . C. 2 5. 5 a . D. 2 3. 5 a . Câu 11: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Chứng minh hai đường chéo và của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và . A. 2 3 a . B. 2 3 a . C. 3 a . D. 2 a . Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng , có đáy .Gọi là trung điểm cạnh bên , biết hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng và . A. 14 8 . B. 5 2 3 . C. 5 28 . D. 5 14 28 . Câu 13: Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên bằng , đáy là tam giác vuông tại và hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Tính theo thể tích khối chóp A. 3 4 a . B. 3 2 a . C. 3 8 a . D. 3 12 a . Câu 14: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, , cạnh bên . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng . A. 3 a . B. 4 a . C. 2 a . D. 8 a . Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác có , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng ; tam giác vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác . Tính thể tích khối tứ diện theo . A. 3 3 208 a . B. 3 108 a . C. 3 9 208 a . D. 3 9 104 a . Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , là giao điểm của và . Tính theo thể tích khối tứ diện A. 3 9 a . B. 3 4 9 a . C. 3 5 9 a . D. 3 4 3 a . Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều có , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Gọi là trọng tâm tam giác . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo . . ' ' ' ' ABCD A B C D a ' ' B D ' A B ' ' B D ' A B . ' ' ' ABC A B C   , 2 , AB a AC a   0 120 BAC M ' BB ( ) MAC ( ' ') MA C ( ) MAC ( ' ') BCC B . ' ' ' ABC A B C 2a ABC , A , 3 AB a AC a   ' A ( ) ABC BC a '. A ABC . ' ' ' ABC A B C ABC AB BC a   ' 2 AA a  M BC a , ' AM B C . ' ' ' ABC A B C ' BB a  ' BB ( ) ABC 0 60 ABC C  0 60 BAC  ' B ( ) ABC ABC ' A ABC a . ' ' ' ABC A B C ABC , , ’ 2 , ’ 3 B AB a AA a A C a    M ' ' A C I AM ' A C a IABC . ' ' ' ABC A B C AB a    ' A BC   ABC 0 60 G ' A BC GABC a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 100 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 a . B. 4 a . C. 2 a . D. 8 a . Câu 18: Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật. , . Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng trùng với giao điểm và . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo . A. 2 2 a . B. 4 a . C. 2 a . D. 3 2 a . Câu 19: Cho hình tứ diện có cạnh vuông góc với mặt phẳng ; ; và . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. 6 15 17 . B. 6 34 17 . C. 34 17 . D. 6 3 17 . Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với đáy, , . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và là giao điểm của với mặt phẳng . Tính thể tích khối chóp A. 3 1863 1820 a . B. 3 1873 1820 a . C. 3 1863 182 a . D. 3 1263 1820 a . Câu 21: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ; ; góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng , tính thể tích khối chóp theo . A. 3 3 3 5 a . B. 3 15 5 a . C. 3 3 15 5 a . D. 3 8 15 5 a . Câu 22: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , và vuông góc với . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Gọi là giao điểm của . Chứng minh vuông góc với . Tính thể tích của khối tứ diện . A. 3 2 12 a . B. 3 2 3 a . C. 3 15 5 a . D. 3 2 36 a . Câu 23: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tính thể tích khối tứ diện . A. 3 3 32 a . B. 3 2 3 a . C. 3 5 96 a . D. 3 3 96 a . Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh . Gọi là điểm đối xứng của qua trung điểm của . là trung điểm của , là trung điểm của . Chứng minh vuông góc với và tính ( theo ) khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. 2 4 a . B. 2 2 a . C. 3 4 a . D. 8 a . 1 1 1 1 . ABCD A B C D ABCD AB a  3 AD a  1 A   ABCD AC BD   1 1 ADD A   ABCD 0 60 1 B   1 A BD a ABCD AD   ABC 4 AC AD cm   3 AB cm  5 BC cm  , M N , BD BC CM AN . S ABCD ABCD SA , 2 AB a AD a   3 SA a  , M N A , SB SD P SC ( ) AMN . S AMPN . S ABCD ABCD A B 2 ; AB AD a CB a    ( ) SBC   ABCD 0 60 I AB   SDI   SCI   ABCD . S ABCD a . S ABCD , AB a  2 AD a  SA a  ( ) mp ABCD , M N , AD SC I , BM AC ( ) mp SAC ( ) SMB ANIB . S ABCD a SAD , , M N P , , SB BC CD CMNP . S ABCD a E D SA M AE N BC MN BD a MN AC ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 101 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 25: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và ; là giao điểm của và . Biết vuông góc với mặt phẳng và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . A. 57 19 a . B. 2 57 19 a . C. 2 37 19 a . D. 57 38 a . Câu 26: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên ; hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là điểm thuộc đoạn . Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh là trung điểm của và tính thể tích khối tứ diện theo . A. 3 14 48 a . B. 3 12 3 a . C. 3 5 32 a . D. 3 14 24 a . Câu 27: Cho hình chóp có đáy là tam giác cân , vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt phẳng và tạo với nhau một góc . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .Tính thể tích khối chóp . A. 3 3 3888 a . B. 3 6 3888 a . C. 3 6 1233 a . D. 3 14 24 a . Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là . Gọi là trung điểm . Tính theo diện tích , biết vuông góc với . A. 2 10 16 a . B. 2 5 16 a . C. 2 10 8 a . D. 2 10 32 a . Câu 29: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên và vuông góc với . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Tính thể tích của khối chóp . A. 3 14 48 a . B. 3 3 3 25 a . C. 3 3 50 a . D. 3 3 3 50 a . Câu 30: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ; mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết và . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo . A. 6 5 7 a . B. 6 7 7 a . C. 7 7 a . D. 6 7 15 a . Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại với ; thuộc tia , thuộc tia và thuộc tia . Đường thẳng và tạo với nhau một góc thỏa . Gọi là trung điểm cạnh . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A. 3 2 a . B. 6 4 a . C. 6 2 a . D. 2 2 a . Câu 32: Cho lăng trụ đều có cạnh đáy bằng . Gọi là trung điểm , biết . Chọn hệ trục sao cho thuộc tia , thuộc tia và thuộc miền góc . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm thỏa . Tính thể tích khối đa diện . . S ABCD ABCD a M N AB AD H CN DM SH ( ) ABCD 3 SH a  DM SC a . S ABCD ABCD a SA a  S ( ) ABCD H , 4 AC AC AH  CM SAC M SA SMBC a . S ABC ABC , AB AC a    0 120 BAC  SA ( ) SAB ( ) SBC 0 60 , M N , SB SC . S AMN . S ABC a , M N , SB SC a AMN  ( ) AMN ( ) SBC . S ABC a 2 SA a  ( ) mp ABC , M N A , SB SC . A BCMN . S ABC ABC , 3 B BA a  4 BC a  ( ) SBC ( ) ABC 2 3 SB a   0 30 SBC  . S ABC B ( ) SAC a Oxyz . S ABCD ABCD , A B ; 2 AB BC a AD a    , A O B  Ox D Oy S Oz SC BD  1 cos 30   E AD . S BCE . ' ' ' ABC A B C a M ' CC ' AM B M  Oxyz , A O  C Ox ' A Oz B xOy ' ', ' ', ' A B A C BB , , N P Q ' ' A N NB  ' 2 ' , ' 3 A P C P B Q BQ   AMPNQ ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 13 3 12 a . B. 3 6 24 a . C. 3 13 6 12 a . D. 3 13 6 24 a . Câu 33: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , các cạnh bên có độ dài cùng bằng . Tính độ dài cạnh sao cho hình chóp có thể tích lớn nhất. A. 6 3 . B. 5 2 . C. 6 2 . D. 3 2 . Câu 34: Tứ diện đều có tâm là và có độ dài các cạnh bằng . Gọi theo thứ tự là hình chiếu của các đỉnh trên đường thẳng nào đó đi qua Tìm GTLN A. 7 4 . B. 7 3 . C. 4 3 . D. 1 3 . Câu 35: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết 6 2 a MN  . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng   SBD bằng A. 2 5 . B. 3 3 . C. 5 5 . D. 3 . Câu 36: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S CMN bằng A. 93 12 a . B. 29 8 a . C. 5 3 12 a . D. 37 6 a . Câu 37: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hình hộp đứng . ABCD A B C D     có đáy là hình thoi, tam giác ABD đều. Gọi , M N lần lượt là trung điểm BC và C D  , biết rằng MN B D   . Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt đáy   ABCD , khi đó giá trị cos  bằng A. 1 cos 3   . B. 3 cos 2   . C. 1 cos 10   . D. 1 cos 2   . Câu 38: (Đặng Thành Nam Đề 14) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2), B(−2;0;5), C(0;−1;7). Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy một điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết khi S di động trên d (S ≠ A) thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D. Tính độ dài đoạn thẳng AD. A. 3 3 AD  . B. 6 2 AD  . C. 3 6 AD  . D. 6 3 AD  . Câu 39: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz , cho điểm   1 ;0;0 A ,   0; 1;0 B  ,   0;0;1 C ,   1 ; 1 ;1 D  . Mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt   ACD theo thiết diện có diện tích S . Chọn mệnh đề đúng? A. 3 S   . B. 6 S   . C. 4 S   . D. 5 S   . Câu 40: (THTT số 3) Cho hình lăng trụ đứng .    ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân tại C , 2  AB a ,   AA a , góc giữa  BC và     ABB A bằng 60  . Gọi N là trung điểm  AA và M là trung điểm  BB . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng    BC N . . S ABCD 1cm , , SA SB SC 1cm SD . S ABCD ABCD S 2 , , , A B C D     , , , A B C D  . S 4 4 4 4 P SA SB SC SD         ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học Oxyz nâng cao ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 74 37 a . B. 74 37 a . C. 2 37 37 a . D. 37 37 a . Câu 41: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), 3 , SA AB cm   5 BC cm  và diện tích tam giác SAC bằng 2 6cm . Một mặt phẳng    thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại , , M N P . Tính giá trị nhỏ nhất m T của biểu thức 2 2 2 1 1 1 T AM AN AP    . A. 8 17 m T  . B. 41 144 m T  . C. 1 10 m T  . D. 1 34 m T  . Câu 42: (Nguyễn Khuyến)Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên 2  SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi Mlà trung điểm cạnh SD . Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ) AMC và ( ) SBC bằng A. 3 2 . B. 2 3 3 . C. 5 5 . D. 2 5 5 Câu 43: Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành, 3 AB  , 4 AD  ,  120 BAD   . Cạnh bên 2 3 SA  vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC ,  là góc giữa hai mặt phẳng   SAC và   MNP . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây: A.   60 ; 90     . B.   0 ; 30     . C.   30 ; 45     . D.   45 ; 60     . Vậy: 3 3 2 2 1 cos . 4 13 3 3 26    . Suy ra: 78 41'24''    . Câu 44: (Yên Phong 1) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng 1. Các điểm M , N lần lượt thuộc các đoạn A B   và A D   sao cho hai mặt phẳng   MAC  và   NAC  vuông góc với nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp . A A MC N   . A. 3 1 3  . B. 5 2 3  . C. 3 1 3  . D. 2 1 3  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và có vec tơ chỉ phương   1 2 3 ; ; , 0 a a a a a      : 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t            Nếu 1 2 3 ; ; a a a đều khác không. Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau: 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a      Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D            với 1 1 1 2 2 2 , , , , , A B C A B C  thỏa 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0, 0. A B C A B C       2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao 1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' : ; ': ' ' ' ' ' ' x x a t x x a t d y y a t d y y a t z z a t z z a t                       Vtcp u  đi qua 0 M và ' d có vtcp ' u   đi qua 0 ' M , ' u u   cùng phương: 0 0 ' ' / / ' ; ' ' ' u ku u ku d d d d M d M d                        , ' u u   không cùng phương:   0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' x a t x a t y a t y a t I z a t y a t               d chéo d’  hệ phương trình   1 vô nghiệm d cắt d’  hệ phương trình   1 có 1 nghiệm 1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' : ; ': ' ' ' ' ' ' x x a t x x a t d y y a t d y y a t z z a t z z a t                       Vtcp u  đi qua 0 M và ' d có vtcp ' u   đi qua 0 ' M     0 , ' 0 / / ' ' u u d d M d                     0 , ' 0 ' ' u u d d M d                      0 , ' 0 at ' , ' . 0 u u d c d u u MM                                  0 ' , ' . 0 d cheo d u u MM                3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp 1 Phương pháp 2 Trong không gian Oxyz cho:  :Ax+By+Cz+D=0  và 0 1 0 2 0 3 : x x a t d y y a t z z a t            Pt:         0 1 0 2 0 3 0 1 A x a t B y a t C z a t D        Phương trình   1 vô nghiệm thì   / / d  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua   0 0 0 ; ; M x y z có vtcp:   1 2 3 ; ; a a a a   và  :Ax+By+Cz+D=0  có vtpt   ; ; n A B C     d cắt   . 0 a n      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 0 0 0 1 2 3 x x y y z z d a a a ( ) :      1 2 3 o o o x x a t d y y a t t R z z a t ( ) : ( )             Phương trình   1 có 1 nghiệm thì d cắt    Phương trình   1 có vô số nghiệm thì   d   Đặc biệt:   , d a n      cùng phương       . 0 / / a n d M               d nằm trên mp      . 0 a n M            4. Khoảng cách Khoảng cách từ   0 0 0 ; ; M x y z đến mặt phẳng  :Ax+By+Cz+D=0  cho bởi công thức   0 0 0 0 2 2 2 Ax , By Cz D d M A B C        Khoảng cách từ M đến đường thẳng   d Phương pháp 1: Lập ptmp    đi qua M và vuông góc với d. Tìm tọa độ giao điểm H của mp    và d   , d M d MH  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1: d đi qua   0 0 0 ; ; M x y z ; có vtpt   1 2 3 ; ; a a a a   ' d đi qua   0 0 0 ' '; '; ' M x y z ; vtpt   1 2 3 ' '; '; ' a a a a     Lập phương trình mp    chứa d và song song với d’:       , ' ', d d d d M   Khoảng cách từ M đến đường thẳng   d Phương pháp 2: ( d đi qua 0 M có vtcp u  )   0 , , M M u d M u                Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 2: d đi qua   0 0 0 ; ; M x y z ; có vtpt   1 2 3 ; ; a a a a   ' d đi qua   0 0 0 ' '; '; ' M x y z ; vtpt   1 2 3 ' '; '; ' a a a a       , ' . ' , ' , ' hop day a a MM V d S a a                           5. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng    đi qua   0 0 0 ; ; M x y z có VTCP   1 2 3 ; ; a a a a     '  đi qua   0 0 0 ' '; '; ' M x y z có VTCP   1 2 3 ' '; '; ' a a a a       1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . ' . ' . ' . ' cos cos , ' . ' . ' ' ' a a a a a a a a a a a a a a a a a a                       6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng    đi qua 0 M có VTCP a  , mặt phẳng    có VTPT   ; ; . n A B C   Gọi  là góc hợp bởi    và mặt phẳng     1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 Aa : sin cos , . Ba Ca a n A B C a a a             B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng   d đi qua   0 0 0 0 ; ; M x y z và có vtcp   1 2 3 ; ; a a a a   : hoặc ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Dạng 2. Đường thẳng d đi qua A và B : Đường thẳng d đi qua A (hoặc B ) có vtcp d a AB         Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 3. Đường thẳng d qua A và song song  Đường thẳng d đi qua A và có vtcp d u u         Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 4. Đường thẳng d qua A và vuông góc mp( )  Đường thẳng d đi qua A và có vtcp d u n         Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 5. Đường thẳng   d qua A và vuông góc 2 đường thẳng 1 d và 2 d : Đường thẳng d đi qua A và có vtcp 1 2 , d d u u u             Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 6. Đường thẳng   d là giao tuyến của hai mặt phẳng     , P Q : Cách 1: Tìm một điểm và một vtcp. – Tìm toạ độ một điểm A d : Bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại) – Tìm một vtcp của d : , d P Q u n n               Cách 2: Tìm hai điểm , A B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Dạng 7. Đường thẳng   d đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và vuông góc với hai đường thẳng 1 2 , d d : Vì d  1 d , d  2 d nên một vtcp của d là: 1 2 , d d d u u u               Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d . Dạng 8. Đường thẳng   d đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z , vuông góc và cắt đường thẳng  . Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của 0 M trên đường thẳng  Ta có H  Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua 0 , M H (trở về dạng 2). Cách 2: Gọi   P là mặt phẳng đi qua 0 M và vuông góc với  ;   Q là mặt phẳng đi qua 0 M và chứa  . Khi đó   d P    Q  (trở về dạng 6). Cách 3: Gọi   P là mặt phẳng đi qua 0 M và vuông góc với  - Tìm điểm   B P    - Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm 0 , M B (quay về dạng 2). Dạng 9. Đường thẳng( ) d nằm trong mặt phẳng ( ) P , vuông góc và cắt đường thẳng  Tìm giao điểm M của  và ( ) P M d   Vì , d d P d P u u u u n u n                                     P Q ( ) ( )    0 H M H u               ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Dạng 10. Đường thẳng   d qua A và cắt 1 2 , d d : ( ) ( ) d     với mp( )  chứa A và 1 d ; mp( )  chứa A và 2 d (trở về dạng 6) Dạng 11. Đường thẳng( ) d nằm trong mặt phẳng( ) P và cắt cả hai đường thẳng 1 2 , d d : Tìm các giao điểm     1 2 . , A d P B d P     Khi đó d chính là đường thẳng AB (về dạng 2). Dạng 12. Đường thẳng   / / d  và cắt 1 2 , d d : Viết phương trình mặt phẳng   P chứa d và 1 d , mặt phẳng   Q chứa d và 2 d Khi đó   d P    Q  (trở về dạng 6). Dạng 13. Đường thẳng ( ) d qua A và  1 d , cắt 2 d : Cách 1: - Viết phương trình mp ( )  qua A và vuông góc với 1 d - Tìm 2 ( ) B d    - Khi đó   d chính là đường thẳng AB (về dạng 2). Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng   P qua A và vuông góc với 1 d - Viết phương trình mặt phẳng   Q chứa A và 2 d - Khi đó   d P    Q  . (trở về dạng 6) Cách 3: - Viết phương trình tham số t của đường thẳng 2 d (nếu chưa có). - Tìm điểm 2 B d d   ( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn 1 . 0 d AB u         Giải phương trình tìm được t B  - Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm , A B. Dạng 14. Đường thẳng     d P  cắt 1 2 , d d : Tìm mp( )  chứa   1 , ; ( ) d P mp   chứa   2 , d P  ( ) ( ) d     (trở về dạng 6). Dạng 15. Đường thẳng ’ d là hình chiếu của d lên ( )  : Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng    chứa d và vuông góc với ( )  . - Đường thẳng ' d là giao tuyến của ( )  và ( )  (trở về dạng 6). Cách 2: - Xác định A là giao điểm của d và ( )  . - Lấy điểm M A  trên d . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với ( )  . - Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của với ( )  . - Đường thẳng chính là đường thẳng AH (trở về dạng 2). Đặc biệt: Nếu d song song ( )  thì ' d là đường thẳng đi qua H và song song với d . Dạng 16. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau   1 d và   2 d : Cách 1: - Chuyển phương trình đường thẳng     1 2 , d d về dạng tham số và xác định 1 2 , u u       lần lượt là vtcp của     1 2 , d d .  d ' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Lấy , A B lần lượt thuộc     1 2 , d d (tọa độ , A B phụ thuộc vào tham số). - Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó: 1 2 0 0 AB u AB u                           1 2 . 0 * . 0 AB u AB u                      Giải hệ phương trình   * tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được , A B. - Viết phương trình đường vuông góc chung AB . Cách 2: - Vì d  d1 và d  d2 nên một vtcp của d là: 1 2 , d d d a a a               - Lập phương trình mặt phẳng   P chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và 1 d , bằng cách: + Lấy một điểm A trên 1 d . + Một vtpt của   P là: 1 , P d n a a             - Tương tự lập phương trình mặt phẳng   Q chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và 2 d . Khi đó   d P    Q  (trở về dạng 6). Cách 3: - Vì 1 d d  và 2 d d  nên một vtcp của d là: 1 2 , d d d a a a               - Lập phương trình mặt phẳng   P chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và 1 d , bằng cách: + Lấy một điểm A trên 1 d . + Một vtpt của   P là: 1 , P d n a a             - Tìm 2 ( ) M d P   . Khi đó viết phương trình d qua M có vtcp d a    . CÁC DẠNG TOÁN KHÁC Dạng 1. Tìm H là hình chiếu của M trên đường thẳng   d Cách 1: - Viết phương trình mp( )  qua M và vuông góc với   d : ta có d n a       - Khi đó: ( ) H d     tọa độ H là nghiệm của hpt:   d và ( )  . Cách 2: - Đưa   d về dạng tham số. Điểm H được xác định bởi: Dạng 2. Điểm / M đối xứng với M qua đường thẳng d : Cách 1: - Tìm hình chiếu H của M trên   d - Xác định điểm ' M sao cho H là trung điểm của đoạn ' MM (công thức trung điếm). Cách 2: - Gọi H là trung điểm của đoạn ' MM . Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của , ' M M (công thức trung điếm). - Khi đó toạ độ của điểm / M được xác định bởi: . Dạng 3. Đường thẳng ( ') d đối xứng đường thẳng ( ) d qua mặt phẳng   P d H d MH a            d MM a H d '             ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 81 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay TH1: ( ) d    P A  - Xác định A là giao điểm của d và ( ) P - Lấy điểm M d  ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm / M đối xứng với M qua ( ) P . - Đường thẳng chính là đường thẳng ' AM . TH2: ( ) d / /   P - Lấy điểm M d  ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm / M đối xứng với M qua ( ) P . - Đường thẳng chính là đường thẳng qua ' M và song song d . C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Đường thẳng  song song với 4 5 2 : 3 4 1 x y z d       và cắt cả hai đường thẳng 1 1 1 2 : 3 1 2      x y z d và 2 2 3 : 2 4 1     x y z d . Phương trình nào không phải đường thẳng  A. 4 1 1 : 3 4 1        x y z B. 7 2 3 3 3 : 3 4 1        y z x C. 9 7 2 : 3 4 1        x y z D. 4 1 1 : 3 4 1        x y z Lời giải Giải: Gọi M, N là giao điểm của  và 1 2 , d d . Khi đó M, N thuộc 1 2 , d d nên 2 2 ' 1 3 1 , 3 4 ' 2 2 '                        N M M N M N x t x t y t y t z t z t . Vector chỉ phương của  là   3 2 ' 3 ;4 4 ' ; 2 ' 2               MN t t t t t t  song song với 4 5 2 : 3 4 1       x y z d nên 3 2 ' 3 4 4 ' 2 ' 2 3 4 1            t t t t t t Giải hệ ta được 4 ' 1; 3     t t . Vậy   7 2 4; 1; 1 , 3; ; 3 3             N M Vậy 4 1 1 : 3 4 1        x y z Chọn A Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt và vuông góc với đường thẳng là A. . B. . d ' d ' , Oxyz 1 2 : 1 1 1 x y z         : 2 2 4 0. P x y z     d   P d    3 : 1 2 1 x t d y t t z t                 3 : 2 2 2 x t d y t t z t             ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C. . D. . Lời giải Chọn C Vectơ chỉ phương của , vectơ pháp tuyến của   P là     1 ;2;2 P n      . Vì . Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ . Lại có , mà . Suy ra . Vậy đường thẳng đi qua và có VTCP nên có phương trình . Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 2 : 2 1 1 x y z d     và mặt phẳng   : 2 3 0. P x y z     Viết phương trình đường thẳng  nằm trong   P sao cho  vuông góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng  và d bằng 2. A. 7 4 : 1 1 1 3 : 1 1 1 x y z x y z                    . B. 7 4 : 1 1 1 3 : 1 1 1 x y z x y z                  . C. 7 4 : 2 1 1 3 : 1 4 1 x y z x y z                 . D. 7 4 : 1 1 1 3 1 : 1 1 1 x y z x y z                       Lời giải Đường thẳng d có VTCP   2;1;1 . d u     Mặt phẳng   P có VTPT   1;2; 1 , p n      ta có   , 3; 3; 3 p d n u              Vì     1 , ; 0; 1;1 3 d P d VTPT u u u                        Khi đó, phương trình mặt phẳng   : 0 Q y z m    Chọn   1; 2;0 , A d   ta có:       4 2 ; ; 2 2 0 2 m m d A Q d d m              Với   4 : 4 0 m Q y z        2 4 : 1 3 4 x t d y t t z t                  1 : 3 3 3 2 x t d y t t z t                 : 1;1; 1 u             ; 4; 3;1 d d P d P d u u u u n d P u n                                    H P      1 2 2; 1;4 2 2 2 4 0 x t y t t H z t x y z                           ; d P d      H P    H d  d   2; 1;4 H     4; 3;1 d u      2 4 : 1 3 4 x t d y t t z t                ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 83 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vì     P Q      đi qua   7 4 7;0;4 : 1 1 1 x y z B         Với   0 : 0 m Q y z     Vì     P Q      đi qua   3 3;0;0 : 1 1 1 x y z C        Chọn A Câu 4: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua   1; 2; 4 A song song với   P : 2 4 0 x y z     và cắt đường thẳng : d 2 2 2 3 1 5 x y z      có phương trình: A. 1 2 4 2 x t y z t           . B. 1 2 2 4 2 x t y z t           . C. 1 2 2 4 4 x t y z t            . D. 1 2 4 2 x t y z t            . Lời giải Chọn A Ta có:   2;1;1   P n là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   P . Phương trình tham số của đường thẳng d là: 2 3 2 , 2 5 x t y t t z t              . Gọi  là đường thẳng cần tìm. Gọi M là giao điểm của  và d   2 3 ;2 ; 2 5 M t t t       1 3 ; ; 2 5 AM t t t           Do   // P  nên     . 0 2 1 3 2 5 0 12 0 0 P AM n t t t t t                       1;0; 2 AM         . Phương trình đường thẳng  đi qua   1; 2; 4 A và nhận   1;0; 2 AM        là một vec tơ chỉ phương là: 1 2 , 4 2 x t y t z t             . Câu 5: (Lương Thế Vinh Lần 3) Trong hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng 1 1 3 2 : 1 1 2 x y z d       và 2 3 : 1 3 x t d y t z t            . A. 2 2 4 1 3 2 x y z        . B. 3 1 2 1 1 1 x y z       . C. 1 3 2 3 1 1 x y z       . D. 1 1 6 1 x y z    . Lời giải Chọn A Gọi:   1 1 ';3 ';2 2 ' d M t t t       ,   2 3 ; ; 1 3 d N t t t         3 1 '; 3 '; 3 3 2 ' MN t t t t t t               . 1 2 , d d lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là     1 2 1; 1;2 , 3;1; 3 u u           . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 84 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vì  là đường vuông góc chung của 1 2 ; d d nên 1 2 . 0 6 ' 10 4 ' 1 10 ' 19 9 1 . 0 MN u t t t t t t MN u                                            2;2;4 , 3; 1;2 , 1; 3; 2 M N MN          Vậy phương trình 2 2 4 : 1 3 2 x y z         . Câu 6: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 1 3 : 1 2 2 x y z d       và mặt phẳng   : 2 2 3 0 P x y z     , phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   P , cắt d và vuông góc với d là A. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t             . B. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t              . C. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t              . D. 2 2 1 5 5 6 z t y t z t             . Lời giải Chọn B Mặt phẳng   P có vecto pháp tuyến   2; 2;1 n    . Đường thẳng d đi qua   1;1;3 M  và có vecto chỉ phương   1; 2; 2 u    nên phương trình tham số của d là: 1 1 2 3 2 x t y t z t             . Gọi   I P I I d I d I d                      I d P   . Vì   1 ;1 2 ;3 2 I d I t t t       , mà     1 2; 1;5 I P t I        . Gọi v  là vecto chỉ phương của đường thẳng  . Vì   P v n d v u                      nên ta chọn   , 2; 5; 6 v u n             . Vậy  đi qua   2; 1;5 I   và có vecto chỉ phương   2; 5; 6 v      nên có phương trình tham số là: 2 2 1 5 5 6 z t y t z t              . I d P ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 85 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 7: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng   : 3 0 P x y z     và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d      . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng   P có phương trình là A. 1 1 1 1 4 5 x y z        . B. 1 1 1 3 2 1 x y z        . C. 1 1 1 1 4 5 x y z       . D. 1 4 5 1 1 1 x y z      . Lời giải Chọn C Phương trình đường thẳng d qua (0; 1;2) A  , có 1 véc tơ chỉ phương (1; 2; 1) a    là   1 1 1 1 1 2 2 x t y t t R z t             . Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) P . Ta có   1 1 1 ; 1 2 ;2 M t t t d     và     1 1 1 ( ) 1 2 2 3 0 M P t t t          1 1 t     1;1;1 M  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng   P . Đường thẳng chứa AH đi qua   0; 1;2 A  và nhận vectơ pháp tuyến     1;1;1 P n   của   P làm vectơ chỉ phương có phương trình là   2 2 2 2 1 2 x t y t t R z t             . Lại có   2 2 2 ; 1 ;2 ( ) H t t t AH     và     2 2 2 2 2 ( ) 1 2 3 0 3 H P t t t t              2 1 8 1 4 5 1 ; ; ; ; 1; 4; 5 3 3 3 3 3 3 3 H MH                           . Hình chiếu cần tìm là đường thẳng ( ) MH , đi qua   1;1;1 M và có một véc tơ chỉ phương   1;4; 5 b    là 1 1 1 . 1 4 5 x y z       Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 3 1 1 : , , 2 2 1 2 2 2 x y z d m m m                và mặt phẳng   : 6 0 P x y z     . Gọi đường thẳng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 86 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng   P . Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng  vuông góc với giá của véctơ ( 1;0;1) a    ? A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có VTCP của đường thẳng d là   2 1;2; 2 d u m m     . VTPT của mặt phẳng   P là   1;1;1 P n   Gọi ( ) , (4 ; 3;2 1). ( ) ( ) Q d P Q d n u n m m m Q P                    Khi đó ( ) ( ) , ( 3 2;3 5;7). P Q P Q u n n m m                  Vì  vuông góc với giá của véctơ a  nên ta có . 0 1( 3 2) 7 0 3. u a m m              Cách 2: Ta có: d có VTCP là   2 1;2; 2 d u m m     .  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng   P và vuông góc với giá của véc tơ a  nên d vuông góc với giá của véc tơ a  . Khi đó   . 0 2 1 2 0 3 d a u m m m             . Câu 9: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Trong không gian toạ độ Oxyz , cho điểm   1;2;4 A và hai điểm , M B thoả mãn . . 0 MA MA MB MB            . Giả sử điểm M thay đổi trên đường thẳng 3 1 4 : 2 2 1 x y z d      . Khi đó điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là: A. 1 7 12 : 2 2 1 x y z d     . B. 2 1 2 4 : 2 2 1 x y z d      . C. 3 : 2 2 1 x y z d   . D. 4 5 3 12 : 2 2 1 x y z d      . Lời giải Chọn A Từ . . 0 MA MA MB MB            ta suy ra , , M A B thẳng hàng. Hơn nữa: 2 2 . . 0 . . . . MA MA MB MB MA MA MB MB MA MA MB MB MA MB                                    Vậy M là trung điểm AB . Vì M d  nên toạ độ   3 2 ;1 2 ; 4 M t t t        t   . Đặt toạ độ   ; ; B x y z ta có:       1 2 3 2 7 4 7 12 2 2 1 2 4 2 2 1 12 2 4 2 4 x t x t x y z y t y t z t z t                                 Vậy 1 B d  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 87 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 10: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Trong không gian , cho 2 đường thẳng , và mặt phẳng . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , cắt và có phương trình là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Tổng quát bài toán: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , cắt hai đường thẳng và cho trước. Gọi tọa độ điểm theo , tọa độ điểm theo . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên và cùng phương suy ra được và . Tìm được tọa độ và suy ra phương trình đường thẳng . Lời giải Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . Gọi là đường thẳng cần tìm và có nên , có nên . Ta có . Do nên , cùng phương . Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương nên có phương trình . Câu 11: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng  : 5 4 0 P x y z     và đường thẳng 1 1 5 : 2 1 6 x y z d      . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng   P có phương trình là A. 2 3 2 2 x t y t z t              . B. 2 2 2 x t y t z t            . C. 1 3 2 1 x t y t z t           . D. 3 2 1 x t y z t           . Lời giải Chọn C Gọi đường thẳng d  là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng   P Đường thẳng d đi qua điểm   1; 1; 5 A    và có véc tơ chỉ phương   2;1;6 d u   . Oxyz 1 2 : 1 3 x t d y t z t             2 : 1 2 2 x t d y t z t                   : 2 0 P x y z       P d d  3 1 2 1 1 1 x y z      1 1 1 1 1 4 x y z        2 1 1 1 1 1 x y z      1 1 4 2 2 2 x y z         P d d  A d     A t B d      B t     P AB     P n    t t  A B    P   1;1;1 n    A d    A d    1 2 ; ; 1 3 A t t t     B d     B d     2 ; 1 2 ; 2 B t t t          2 3;2 1; 2 3 1 AB t t t t t t                  P   AB     n  2 3 2 1 2 3 1 1 1 1 t t t t t t              3 4 2 4 2 t t t t            1 1 t t             1; 1; 4 3;1; 2 A B           B   1;1;1 n   3 1 2 1 1 1 x y z      ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 88 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Mặt phẳng   P có véc tơ pháp tuyến   ( ) 1;1; 5 P n    . Gọi   Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với   P     P Q d     . Véc tơ pháp tuyến của   Q là   (Q) ( ) , 11; 16; 1 P d n n u            . Phương trình của mặt phẳng   Q là : 11 16 10 0 x y z     . Do     P Q d    nên véc tơ chỉ phương của đường thẳng d  là     ' ( ) ( ) , 81; 54; 27 27 3;2;1 d Q P u n n               , suy ra d  có véc tơ chỉ phương là   1 3;2;1 u   . Kiểm tra với điểm   1;0;1 B thuộc đường thẳng ở khẳng định C ta thấy     , B P B Q   . Do đó phương trình của d  là : 1 3 2 1 x t y t z t           ,t   Câu 12: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 d , 2 d và mặt phẳng (  ) có phương trình:   1 1 3 : 2 1 2 x t d y t t z t               , 2 2 4 : 3 2 2 x y z d       , ( ): 2 0 x y z      . Phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (  ), cắt cả hai đường thẳng 1 d và 2 d là A. 2 1 3 8 7 1 x y z       . B. 2 1 3 8 7 1 x y z        . C. 2 1 3 8 7 1 x y z       . D. 2 1 3 8 7 1 x y z       . Lời giải Chọn A * Vì đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng 1 d và 2 d nên ta gọi M và N lần lượt là giao điểm của  với 1 d và 2 d . Hơn nữa, vì đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (  ) nên   , M N   . * Tìm tọa độ điểm M . Vì 1 M d  nên tọa độ điểm M có dạng   1 3 ;2 ; 1 2 M t t t     với t   . Vì     1 3 ;2 ; 1 2 M t t t       nên       1 3 2 1 2 2 0 1 t t t t            . Do đó   2;1; 3 M   . * Tìm tọa độ điểm N .   2 2 2 3 2 4 : : 0 2 3 2 2 4 2 x t x y z d d y t t z t                         . Vì 2 N d  nên tọa độ điểm N có dạng   2 3 ; 2 ; 4 2 N t t t      với t    . Vì     2 3 ; 2 ; 4 2 N t t t        nên       2 3 2 4 2 2 0 4 t t t t             . Do đó   10;8; 4 N   . * Ta có:   8 ; 7 ; 1 NM       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 89 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay * Đường thẳng  đi qua   2;1; 3 M   và nhận   8 ; 7 ; 1 NM       làm vectơ chỉ phương nên  có phương trình là 2 1 3 8 7 1 x y z       . Câu 13: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz , cho điểm   1;3;2 A , mặt phẳng   : 2 0 P x y z     và đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d      . Viết phương trình đường thẳng  cắt   P và d lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm của MN . A. 1 : 3 2 2 x t y t z t             . B. 1 : 3 2 2 x t y t z t             . C. 1 : 3 2 2 x t y t z t              . D. 1 : 3 2 2 x t y t z t              . Lời giải Chọn A Gọi   2 1; ; 1 N t t t    . Vì A là trung điểm của MN , suy ra   1 2 ;6 ;5 M t t t    . Điểm M nằm trong mặt phẳng   P , suy ra 1 2 6 5 2 0 t t t         1 t  . Suy ra tọa độ điểm   3;1; 2 N  . Ta có   2;2;4 NA       , chọn   1; 1; 2 u        . Phương trình đường thẳng  qua A , có véc-tơ chỉ phương u     là 1 3 2 2 x t y t z t            . Câu 14: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có       1;1;2 , 2;3;1 , 3; 1;4 A B C   . Viết phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B A. 2 3 1 x t y t z t             . B. 2 3 1 x t y z t            . C. 2 3 1 x t y t z t             . D. 2 3 1 x t y t z t             . Lời giải Chọn B *) Cách 1.Gọi   ; ; H a b c là hình chiếu vuông góc của B trên AC . Ta có :       2; 3; 1 , 2; 2;2 , 1; 1; 2 BH a b c AC AH a b c                       H là hình chiếu vuông góc của B trên . 0 BH AC AC H AC                       4 1 2 2 2 3 2 1 0 2 3 1 1 2 1 0 2 2 2 a b c a a b c a b b a b c a c c                                            Nên   1;3;0 H  ,   1;0; 1 BH       Đường cao BH đi qua B và có VTCP   1;0; 1 BH       có phương trình là:   2 3 1 x t y t z t              ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 90 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay *) Cách 2. Đường thẳng AC đi qua A và có VTCP   2; 2;2 AC       hay ta có thể chọn véc tơ chỉ phương của AC là   1; 1;1 U     nên phương trình của đường thẳng AC là:   1 1 2 x t y t t z t              Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC nên ta gọi   1 ;1 ;2 H t t t      3 ; 2 ;1 BH t t t           Ta có:         . 0 2 3 2 2 2 1 0 1 BH AC BH AC t t t t                            1;3;0 ; 1;0; 1 H BH         Vậy đường thẳng BH đi qua B và có VTCP   1;0; 1 BH       có phương trình là:   2 3 1 x t y t z t              Câu 15: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   1;2;3 A và mặt phẳng   : 2 4 1 0 P x y z     . Đường thẳng   d đi qua điểm A , song song với mặt phẳng   P , đồng thời cắt trục Oz . Viết phương trình tham số của đường thẳng   d . A. 1 5 2 6 3 x t y t z t            . B. 2 2 x t y t z t          . C. 1 3 2 2 3 x t y t z t            . D. 1 2 6 3 x t y t z t            . Lời giải Chọn B Giả sử đường thẳng   d cắt trục Oz tại điểm   0;0; B a ( a là số thực). Suy ra đường thẳng   d nhận   1;2;3 BA a      là một vecto chỉ phương. Mà   d song song với mặt phẳng   P và   2;1; 4 n   là một vecto pháp tuyến của   P nên: . 0 BA n BAn                2.1 1.2 4 3 0 2 a a        . Suy ra đường thẳng   d đi qua điểm   1;2;3 A và nhận   1;2;1 BA     là một vecto chỉ phương có phương trình tham số là: 1 2 2 3 x t y t z t            . Từ dữ kiện   d nhận   1;2;1 BA     là một vecto chỉ phương ta loại được đáp án A, C, D. Thử lại thấy điểm   0;0; 2 thuộc đường thẳng 1 2 2 3 x t y t z t            nên đáp án B là đáp án đúng. Câu 16: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   2;1;5 A  và hai mặt phẳng   : 2 3 7 0, P x y z       : 3 2 1 0 Q x y z     . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng   P và điểm N nằm trên mặt phẳng   Q thỏa mãn 2 AN AM           . Khi M di động trên mặt phẳng   P thì quỹ tích điểm N là một đường thẳng có phương trình là ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 91 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 3 5 8 11 6 7 x t y t z t              . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có phép vị tự tâm A tỉ số biến điểm M thành điểm N mà M là điểm nằm trên mặt phẳng   P Suy ra điểm N nằm trên mặt phẳng   ' P là ảnh của mặt phẳng   P qua phép vị tự tâm A tỉ số . Ta có , phép vị tự tâm A tỉ số biến B thành và     / / ' P P Do đó N thuộc hai mặt phẳng   Q và   ' P nên N thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng   Q và   ' P với lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng   ' P và   Q và d có vectơ chỉ phương . Câu 17: (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 3 2 12 0 x y z      . Gọi , , A B C lần lượt là giao điểm của    với ba trục tọa độ, đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với    có phương trình là A. 3 2 3 2 3 2 x y z       . B. 3 2 3 2 3 2 x y z       . C. 3 2 3 2 3 2 x y z       . D. 3 2 3 2 3 2 x y z       . Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có: mặt phẳng   : 2 3 2 12 0 x y z                  6;0;0 0; 4;0 0;0;6 . Ox A Oy B Oz C                  Mà đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng   ABC nên đường thẳng d là tập hợp các điểm cách đều 3 đỉnh , , A B C trong không gian  đường thẳng d là giao tuyến của các mp trung trực của các đoạn thẳng , , AB AC BC . 7 11 8 5 6 7 x t y t z t             7 11 8 5 8 7 x t y t z t              2 5 3 11 1 7 x t y t z t             2 2     2;0;1 B P  2     ' 6;1; 3 ' B P     ' : 2 3 4 0 P x y z          1 2 2;1;3 , 3; 2; 1 n n          2;3; 1 C d      1 2 ; 5;11; 7 u n n              2 5 : 3 11 1 7 x t d y t z t              ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 92 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay * Gọi   P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB  Mặt phẳng   P đi qua trung điểm   3; 2;0 M   của AB và nhận   3; 2;0 AM        là vectơ pháp tuyến  Phương trình của mặt phẳng   P là: 3 2 5 0 x y    . * Gọi   Q là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AC  Mặt phẳng   Q đi qua trung điểm   3;0;3 N  của AC và nhận   3;0;3 AN      là vectơ pháp tuyến  Phương trình của mặt phẳng   Q là: 0 x z   . * Lấy điểm   1; ; E y z  thuộc đường thẳng d , vì đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng   P và   Q nên tọa độ điểm E thỏa mãn hệ:   3 2 5 0 1 1;1;1 1 0 1 y y E z z                   * Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 2 12 0 x y z      nên đường thẳng d có 1 véctơ chỉ phương là   2;3; 2 u    , đồng thời d đi qua điểm   1;1;1 E  nên phương trình của d là 3 2 3 2 3 2 x y z       . Cách 2: Ta có: mặt phẳng   : 2 3 2 12 0 x y z                  6;0;0 0; 4;0 0;0;6 . Ox A Oy B Oz C                  Mà đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng   ABC nên đường thẳng d là tập hợp các điểm cách đều 3 đỉnh , , A B C trong không gian. Nhận xét: 3 cạnh , , OA OB OC đôi một vuông góc  dựng hình hộp chữ nhật . ' ' ' OADB CA D B Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là trung điểm I của đường chéo ' OD       1 1 ' 3; 2;3 3; 2;3 . 2 2 OI OD OA OB OC OI I                                    Mà I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp  I cách đều 3 đỉnh , , A B C  I nằm trên đường thẳng d cần tìm. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 2 12 0 x y z      nên đường thẳng d có 1 véctơ chỉ phương là   2;3; 2 u    , đồng thời d đi qua điểm   1;1;1 E  nên phương trình của d là 3 2 3 2 3 2 x y z       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 93 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y z d       và mặt phẳng   : 3 0. P x y z     Gọi I là giao điểm của   , . d P Tìm   M P  sao cho MI vuông góc với d và 4 14. MI  A.     5;9; 11 3; 7;13 M M        . B.     5;7; 11 3; 7;13 M M        . C.     5;9; 11 3; 7;13 M M        . D.     5; 7;11 3;7; 13 M M       . Lời giải Vì I d  nên   2 ; 1 2 ; . I t t t     Hơn nữa     2 1 2 3 0 1 1;1;1 I P t t t I            Gọi   ; ; . M a b c Do:   3 . 0 2 2 0 d M P a b c MI d IM u a b c                                1; 1; 1 , 1; 2; 1 d IM a b c u               Do       2 2 2 4 14 1 1 1 224. MI a b c         Khi đó ta có hệ phương trình:         2 2 2 2 3 2 1 5 3 2 2 0 4 3 9 7 11 13 1 1 1 224 1 16 a b c b a a a a b c c a b b c c a b c a                                                        Với       ; ; 5;9; 11 5;9; 11 a b c M     Với       ; ; 3; 7;13 3; 7;13 a b c M       Chọn A Câu 19: Trong không gian Ox , yz cho hai mặt phẳng     : 2 2 0, : 2 2 1 0. P x y z Q x y z        Viết phương trình của đường thẳng d đi qua   0;0;1 , A nằm trong mặt phẳng   Q và tạo với mặt phẳng   P một góc bằng 0 45 . A. 1 2 : ; : 1 4 1 x t x t d y t d y t z t z                   . B. 1 2 : 2 1; : 1 1 4 1 x t x t d y t d y t z t z                    . C. 1 2 3 : 1 ; : 1 4 1 4 x t x t d y t d y t z t z t                     . D. 1 2 1 4 : 1 ; : 1 4 1 x t x t d y t d y t z t z                     Lời giải Ta có   2;2;1 n   là vecto pháp tuyến của     , 1; 2;2 Q b    là vec tơ pháp tuyến của   P . Gọi   2 2 2 ; ; , 0 a a b c a b c      là một vecto chỉ phương của . d Vì đường thẳng d đi qua   0;0;1 A mà     0;0;1 , A A Q  Do đó   . 0 2 2 0 2 2 d Q a n a n a b c c a b                  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 94 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Góc hợp bởi d và   P bằng 0 45 :     0 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 sin 45 cos ; 2 . 3 18( ) 4 2 2 a b a b c a b a b a b c a b c a b c a b                             1 1; 4 1 1; 0 a b b a c a b b a c              Vậy 1 2 : ; : 1 4 1 x t x t d y t d y t z t z                   là các đường thẳng cần tìm. Chọn A Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy , AB CD thỏa mãn 2 CD AB  và diện tích bằng 27; đỉnh   1; 1;0 ; A   phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 2 1 3 . 2 2 1 x y z      Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm . A A.   2; 5;1 D   . B.   3; 5;1 D   . C.   2; 5;1 D  . D.   3; 5;1 D  Lời giải Đường thẳng CD qua   2; 1;3 M  có vec tơ chỉ phương   2;2;1 u   Gọi   2 2 ; 1 2 ;3 H t t t     là hình chiếu của A lên CD, ta có:       . 2 3 2 ;2.2 (3 1 0; 3;2 , , 3 AH u t t t t H d A CD AH                 Từ giả thiết ta có: 2 3 18 6; 3; 9 ABCD S AB CD AB AB DH HC AH         Đặt         2 ;2 ; 0 2 4;4;2 3;3;2 B A AB AB tu t t t t x x t AB B u                                 9 6;6;3 6;3;5 6 3 2; 2; 1 2; 5;1 6 HC AB C HD AB D                             Chọn A Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho đường thẳng 3 2 1 : 2 1 1 x y z d       và mặt phẳng   : 2 0. P x y z     Gọi M là giao điểm giữa d và   P . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến  bằng 42. A. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                     . B. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                       . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 95 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                     . D. 5 2 5 : 2 3 1 3 4 5 : 2 3 1 x y z x y z                   Lời giải Phương trình tham số của 3 2 : 2 1 x t d y t z t              Mặt phẳng   P có VTPT   1;1;1 , P n     d có VTCP   2;1; 1 d u      Vì     1; 3;0 M d P M     Vì  nằm trong   P và vuông góc với d nên:   ; 2; 3;1 d P VTCP u u n                  Gọi   ; ; N x y z là hình chiếu vuông góc của M trên  , khi đó:   1; 3; MN x y z         Ta có:           2 2 2 2 0 5; 2; 5 2 3 11 0 3; 4;5 1 3 42 42 MN u x y z N N P x y z N x y z MN                                                Với   5 2 5 5; 2; 5 : 2 3 1 x y z N           Với   3 4 5 3; 4;5 : 2 3 1 x y z N           Chọn A Câu 22: Cho hai điểm và hai mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến. A. B. C. D. Lời giải Gọi , từ giả thiết suy ra là trung điểm của , suy ra . nên có hai pt: Tam giác cân tại nên: Từ và có hệ: Đường thẳng qua và có pt . Chọn D     1;2;3 , 2;4;4 M A   : 2 1 0, P x y z       : 2 4 0 Q x y z      M  , P   Q , B C ABC A AM 1 2 3 : 1 1 1 x y z         1 2 3 : 2 1 1 x y z        1 2 3 : 1 1 1 x y z       1 2 3 : 1 1 1 x y z          ; ; B a b c M BC   2 ;4 ;6 C a b c        , B P C Q       2 1 0 1 2 8 0 2 . a b c a b c          ;     1; 2; 1 , 2 2 ;4 2 ;6 2 . AM BC a b c                ABC A   . 0 2 8 0 3 . AM BC a b c                    1 , 2   3     2 1 0 0 2 8 0 3 0;3; 2 , 2;1; 4 . 2 8 0 2 a b c a a b c b B C a b c c                              B C 1 2 3 : 1 1 1 x y z        ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 96 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm   1;0; 1 A   , cắt 1 2 2 2 1 1 x y z       , sao cho   2 cos ; d  là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng 2 3 2 3 : 1 2 2 x y z        . Phương trình đường thẳng d là? A. 1 1 2 2 1 x y z      B. 1 1 4 5 2 x y z      C. 1 1 4 5 2 x y z       D. 1 1 2 2 1 x y z     Lời giải Gọi   1 1 2 ;2 ; 2 M d M t t t         . d có vectơ chỉ phương là   2 2; 2; 1 d u AM t t t             . 2  có vectơ chỉ phương   2 1;2;2 u    .   2 2 2 2 cos ; 3 6 14 9 t d t t     . Xét hàm số   2 2 6 14 9 t f t t t    , ta suy ra được     min 0 0 f t f   . Do đó   2 min cos ; 0 d       khi 0 t  . Nên   2;2; 1 AM        . Vậy phương trình đường thẳng d là: 1 1 2 2 1 x y z      . Chọn A Câu 24: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình: 1 1 2 1 1 x y z      . Gọi  là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường thẳng  ? A. 2 1 4 2 x t y t z t            B. 2 1 4 3 2 x t y t z t            C. 1 1 4 2 x t y t z t            D. 2 1 4 2 x t y t z t            Lời giải PTTS của d là 1 2 1 x t y t z t             . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng  cần tìm là đường thẳng MH. Vì H thuộc d nên   1 2 ; 1 ; H t t t     suy ra (2 1; 2 ; ) MH t t t           . Vì MH d  và d có 1 VTCP là (2;1 ; 1) u    nên . 0 MH u         2 3 t  . Do đó 1 4 2 ; ; 3 3 3 MH               Vậy PTTS của  là: 2 1 4 2 x t y t z t            . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 97 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Chọn A Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ   ; 5 2 ;1 MN N t t t      gọi d đi qua   1;0; 1 A   , cắt 1 1 2 2 : 2 1 1 x y z        , sao cho góc giữa d và 2 3 2 3 : 1 2 2 x y z        là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 1 1 . 2 2 1 x y z      B. 1 1 . 4 5 2 x y z      C. 1 1 . 4 5 2 x y z       D. 1 1 . 2 2 1 x y z     Lời giải Gọi   1 1 2 ;2 ; 2 M d M t t t         d có vectơ chỉ phương   2 2; 2; 1 d a AM t t t               2  có vectơ chỉ phương   2 1;2;2 a        2 2 2 2 cos ; 3 6 14 9 t d t t     Xét hàm số   2 2 6 14 9 t f t t t    , ta suy ra được     min 0 0 0 f t f t     Do đó     min cos , 0 0 2;2 1 d t AM                 Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1 2 2 1 x y z      Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ 2 3 2 1 2 x t y t z t              cho hai đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d      và 2 1 2 2 : 1 3 2 x y z d       . Gọi  là đường thẳng song song với   : 7 0 P x y z     và cắt 1 2 , d d lần lượt tại hai điểm , A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng  là. A. 12 5 . 9 x t y z t            B. 6 5 . 2 9 2 x t y z t                C. 6 5 . 2 9 2 x y t z t                D. 6 2 5 . 2 9 2 x t y t z t                 Lời giải     1 2 1 2 ; ; 2 1 ; 2 3 ; 2 2 A d A a a a B d B b b b             có vectơ chỉ phương   2 ;3 2; 2 4 AB b a b a b a              P có vectơ pháp tuyến   1;1;1 P n     Vì   / / P  nên . 0 1 P P AB n AB n b a                     .Khi đó   1;2 5;6 AB a a a          ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 98 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay       2 2 2 2 2 1 2 5 6 6 30 62 5 49 7 2 6 ; 2 2 2 AB a a a a a a a                        Dấu " "  xảy ra khi 5 5 9 7 7 6; ; , ;0; 2 2 2 2 2 a A AB                      Đường thẳng  đi qua điểm 5 9 6; ; 2 2 A        và vec tơ chỉ phương   1;0;1 d u      Vậy phương trình của  là 6 5 2 9 2 x t y z t                Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho điểm   3;3; 3 A   thuộc mặt phẳng   2 – 2 0 : 15 x y z     và mặt cầu   2 2 2 : (x 2) (y 3) (z 5) 100 S       . Đường thẳng  qua A, nằm trên mặt phẳng    cắt ( ) S tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là: A. 3 3 3 1 4 6 x y z      . B. 3 3 3 16 11 10 x y z       . C. 3 5 3 3 8 x t y z t             . D. 3 3 3 1 1 3 x y z      . Lời giải Mặt cầu   S có tâm   2;3;5 I , bán kính 10 R  . Do (I,( )) R d   nên  luôn cắt   S tại A , B . Khi đó   2 2 (I, ) AB R d    . Do đó, AB lớn nhất thì     , d I  nhỏ nhất nên  qua H , với H là hình chiếu vuông góc của I lên    . Phương trình x 2 2t y 3 5 : 2 z t B t H                ( ) 2 2 2 2 3 – 2 5 15 0 H t t t            2; 7; t 2 3 H      . Do vậy AH (1 ;4;6)      là véc tơ chỉ phương của  . Phương trình của 3 3 3 1 4 6 x y z      Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 9 1 : , 4 3 1 x y z d      và mặt thẳng  :3 5 2 0 P x y z     . Gọi ' d là hình chiếu của d lên  . P Phương trình tham số của ' d là A. 62 25 . 2 61 x t y t z t           B. 62 25 . 2 61 x t y t z t           C. 62 25 . 2 61 x t y t z t            D. 62 25 . 2 61 x t y t z t           Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 99 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Cách 1: Gọi   A d P         12 4 ;9 3 ;1 3 0;0; 2 A d A a a a A P a A            d đi qua điểm   12;9;1 B Gọi H là hình chiếu của B lên   P   P có vectơ pháp tuyến   3;5; 1 P n      BH đi qua   12;9;1 B và có vectơ chỉ phương   3;5; 1 BH P a n               12 3 : 9 5 1 12 3 ;9 5 ;1 78 186 15 113 ; ; 35 35 7 35 186 15 183 ; ; 35 7 35 x t BH y t z t H BH H t t t H P t H AH                                         ' d đi qua   0;0; 2 A  và có vectơ chỉ phương   ' 62; 25;61 d a      Vậy phương trình tham số của ' d là 62 25 2 61 x t y t z t            Cách 2: Gọi   Q qua d và vuông góc với   P d đi qua điểm   12;9;1 B và có vectơ chỉ phương   4;3;1 d a       P có vectơ pháp tuyến   3;5; 1 P n        Q qua   12;9;1 B có vectơ pháp tuyến   , 8;7;11 Q d P n a n                   :8 7 11 22 0 Q x y z     ' d là giao tuyến của   Q và   P Tìm một điểm thuộc ' d , bằng cách cho 0 y  Ta có hệ   3 2 0 0;0; 2 ' 8 11 22 2 x z x M d x z y                  ' d đi qua điểm   0;0; 2 M  và có vectơ chỉ phương   ; 62; 25;61 d P Q a n n                 Vậy phương trình tham số của ' d là 62 25 2 61 x t y t z t            ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 100 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ   : 2 2 1 0 Q x y z     gọi d đi qua   3; 1;1 A  , nằm trong mặt phẳng   : 5 0 P x y z     , đồng thời tạo với 2 : 1 2 2 x y z     một góc 0 45 . Phương trình đường thẳng d là A. 3 7 1 8 . 1 15 x t y t z t              B. 3 1 . 1 x t y t z            C. 3 7 1 8 . 1 15 x t y t z t             D. 3 1 1 x t y t z            và 3 7 1 8 . 1 15 x t y t z t             Lời giải  có vectơ chỉ phương   1;2;2 a      d có vectơ chỉ phương   ; ; d a a b c       P có vectơ pháp tuyến   1; 1;1 P n                    0 0 2 2 2 2 2 2 2 ; 1 , 45 cos , cos 45 2 2 2 2 3 2 2 2 9 ; 2 d P d P a n b a c d d a b c a b c a b c a b c                              Từ 1 1 2 : 1 2 1 x y z      và 2 1 1 : 1 2 3 x y z      , ta có: 2 0 14 30 0 15 7 0 c c ac a c          Với 0 c  , chọn 1 a b   , phương trình đường thẳng d là 3 1 1 x t y t z            Với 15 7 0 a c   , chọn 7 15; 8 a c b       , phương trình đường thẳng d là 3 7 1 8 1 15 x t y t z t             Câu 30: (THTT số 3) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 1 : , 1 1 2 x y z d      2 1 3 : 2 4 2 x y z d       . Viết phương trình đường phân giác của những góc tù tạo bởi 1 2 , d d . A. 1 3 3 5 4 x y z       . B. 1 3 1 1 1 x y z      . C. 1 1 2 1 1 x y z     . D. 1 3 2 1 1 x y z     . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 101 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Ta viết phương trình tham số của     1 2 1 2 : 1 , : 4 1 2 3 2 x t x s d y t t d y s s z t z s                          . Tìm giao điểm của hai đường thẳng 1 d và 2 d . Ta có 1 2 1 1 4 0 1 2 3 2 t s t t s s t s                    suy ra   1;0;3 I là giao điểm của hai đường thẳng 1 d và 2 d . Lấy   1 0;1;1 6. A d IA    Gọi   2 1 2 ; 4 ;3 2 B s s s d     sao cho 6 IB  . Ta có 2 2 2 2 1 1 6 4 16 4 6 . 4 2 IB s s s s s           Vậy có 2 điểm thỏa mãn     0; 2;4 2;2;2 B B      . Với   0; 2;4 B  ta có     1;1; 2 , 1; 2;1 IA IB             . 3 0 IA IB AIB           là góc tù Theo yêu cầu bài toán ta viết phương trình của đường phân giác của góc  AIB với   0; 2;4 B  (không cần xét trường hợp kia) . Gọi M là trung điểm của AB suy ra 1 5 0; ; 2 2 M        , khi đó phương trình đường phân giác cần tìm là phương trình đường thẳng đi qua hai điêm   1;0;3 I và 1 5 0; ; 2 2 M        . Ta có 1 1 1; ; 2 2 IM               , chọn   2 2;1;1 u IM u           làm vectơ chỉ phương của đường phân giác. Vậy đường phân giác đi qua điểm   1;0;3 I và nhận   2;1;1 u   làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: 1 3 2 1 1 x y z     . Nhận xét: Có thể tìm vectơ chỉ phương của đường phân giác như sau: Ta có     1 2 1; 1;2 ; 2;4; 2 u u          lần lượt là véctơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 d và 2 d . Vì 1 2 . 6 0 u u         nên góc giữa hai vectơ đó là góc tù. Xét     1 2 1; 1;2 ; 2;4; 2 u u          . Ta có 1 6 u    , 2 2 6 u     . Đặt 1 1 1 1 2 ; ; 6 6 6 6 a u             ; 2 1 1 2 1 ; ; 2 6 6 6 6 b u              . Ta có 2 1 1 ; ; 6 6 6 a b           nên có thể chọn   2;1;1 u   là vectơ chỉ phương của đường phân giác. Câu 31: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết   2;1;0 A ,   3;0;2 B ,   4;3; 4 C  . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 2 1 0 x y t z          . B. 2 1 x y z t         . C. 2 1 0 x t y z          . D. 2 1 x t y z t          . Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có   1; 1;2 6 AB AB         ,   2;2; 4 2 6 AC AC         . Giả sử đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D . Khi đó: 1 1 1 2 2 2 DB AB DB DC DB DC DC AC                (*) (vì D nằm giữa B và C). Gọi     ; ; 3 ; ;2 D x y z DB x y z          ,   4 ;3 ; 4 DC x y z          . Thay vào (*) ta được hệ phương trình       1 10 3 4 2 3 1 3 1 2 0 1 2 4 2 x x x y y y z z z                                  . Vậy 10 ;1;0 3 D       . Suy ra 4 ;0;0 3 AD            . Đường phân giác trong của góc A đi qua điểm   2;1;0 A và có vectơ chỉ phương   3 1;0;0 4 u AD        nên có phương trình là: 2 1 0 x t y z          . Cách 2: Ta có   1; 1;2 6 AB AB             ,   2;2; 4 2 6 AC AC             . Lấy điểm E trên cạnh AB sao cho 1 AE  . Khi đó 1 1 1 2 ; ; 6 6 6 AE AB AB                      . Lấy điểm F trên cạnh AC sao cho 1 AF  . Khi đó 1 1 1 2 ; ; 6 6 6 AF AC AC                      . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Dựng hình bình hành AEDF , ta có 2 ;0;0 6 AD AE AF                      . Vì 1 AE AF   nên hình bình hành AEDF cũng là hình thoi. Do đó AD     là một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC . Vậy đường phân giác trong của góc A đi qua điểm   2;1;0 A và có vectơ chỉ phương là   6 1;0;0 2 u AD        nên có phương trình là: 2 1 0 x t y z          . Nhận xét: Đường phân giác trong của góc  BAC có vectơ chỉ phương là 1 1 u AB AC AB AC                    . . Cách 3: Ta có   1; 1;2 6 AB AB         ,   2;2; 4 2 6 AC AC         . Gọi I là trung điểm AC . Ta có   3;2; 2 I   và 6 AI  . Dựng hình bình hành ABKI , ta có   2;0;0 AK AB AI               . Vì 6 AB AI   nên hình bình hành ABKI cũng là hình thoi. Do đó AK     là một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC . Vậy đường phân giác trong của góc A đi qua điểm   2;1;0 A và có vectơ chỉ phương là   1 1;0;0 2 u AI       nên có phương trình là: 2 1 0 x t y z          . Câu 32: Trong không gian với hệ trục toạ độ , Oxyz cho mặt phẳng   : 2 0 P x y z     và hai đường thẳng 1 : 2 2 x t d y t z t           ; 3 ': 1 . 1 2 x t d y t z t               Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với   P ; cắt , d d  và tạo với d góc O 30 . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. A. 1 . 5 B. 1 . 2 C. 2 . 3 D. 1 . 2 Lời giải: Gọi  là đường thẳng cần tìm, P n    là VTPT của mặt phẳng   P . Gọi   1 ; ;2 2 M t t t   là giao điểm của  và d ; là giao điểm của và Ta có: Ta có   3 ;1 ;1 2 M t t t         ' d   ' 2 ;1 ; 1 2 2 MM t t t t t t                 MM  //       2 4 ; 1 ;3 2 P M P P t MM t t t MM n                                     O 2 4 6 9 3 cos30 cos , 1 2 36 108 156 d t t MM u t t t                       ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là . Khi đó, Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hai đường thẳng 1 1 2 : ; 1 2 1 x y z d     2 2 1 1 : 2 1 1 x y z d      và mặt phẳng   : 2 5 0. P x y z     Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng   P và cắt 1 2 , d d lần lượt tại , A B sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất. A. 1 2 2 : 1 1 1 x y z d      . B. 1 2 2 : 1 1 1 x y z d       . C. 1 2 2 : 1 1 1 x y z d      . D. 2 2 2 : 1 1 1 x y z d      Lời giải Vì     1 2 ; 1 ; 2 2 ; , 2 2 ;1 ;1 A d B d A a a a B b b b           Ta có   2 3; 2 3; 1 AB a b a b a b                 P có vec tơ pháp tuyến       1;1 ; 2 , / / AB n n AB P A P                   . 0 2 3 2 3 2 2 2 0 4 5; 1; 3 AB n AB n a b a b a b b a AB a a                                      Do đó:         2 2 2 2 5 1 3 2 2 27 3 3 AB a a a            min 3 3 AB   khi   2 1;2;2 a A         3; 3; 3 , 1;2;2 AB A P          Vậy phương trình đường thẳng 1 2 2 : . 1 1 1 x y z d      Chọn A Câu 34: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm   3;3; 3 A   thuộc mặt phẳng    có phương trình 2 – 2 15 0 x y z    và mặt cầu         2 2 2 : 2 3 5 100 S x y z       . Đường thẳng  qua A , nằm trên mặt phẳng    cắt ( ) S tại M , N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là A. 3 3 3 1 4 6 x y z      . B. 3 3 3 16 11 10 x y z       . C. 3 5 3 3 8 x t y z t             . D. 3 3 3 1 1 3 x y z      . Lời giải Chọn A 1 2 5 : 4 ; : 1 10 x x t y t y z t z t                          1 2 1 cos , . 2    ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Mặt cầu   S có tâm   2;3;5 I bán kính 10 R  . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuống góc của I lên  và mặt phẳng    .   IK    nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng    là. Phương trình tham số đường thẳng IK : 2 2 3 2 5 x t y t z t            . Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình 2 2 3 2 5 2 2 15 0 x t y t z t x y z                     2;7;3 K  . Vì      nên IH IK  . Do đó, IH nhỏ nhất khi H trùng với K . Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất. Khi đó, đường thẳng  cần tìm đi qua A và K . Đường thẳng  có phương trình là: 3 3 3 1 4 6 x y z      . Câu 35: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm   2;1;3 E , mặt phẳng   P đi qua ba điểm 3 ;0;0 2 A       , 3 0; ;0 2 B       ,   0;0; 3 C  và mặt cầu         2 2 2 : 3 2 5 36 S x y z       . Gọi  là đường thẳng đi qua điểm E , nằm trong   P và cắt   S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình  là A. 2 9 1 9 3 8 x t y t z t            . B. 2 5 1 3 3 x t y t z           . C. 2 1 3 x t y t z           . D. 2 4 1 3 3 3 x t y t z t            . Lời giải Chọn C Cách 1: A K I H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Mặt phẳng   P đi qua ba điểm 3 ;0;0 2 A       , 3 0; ;0 2 B       ,   0;0; 3 C  nên phương trình   P là 2 2 1 2 2 3 0 3 3 3 x y z x y z          . Dễ thấy   E P  . Mặt cầu   S có tâm   3;2;5 I , bán kính 6 R  . Giả sử K là hình chiếu của I lên   P , ta có:     / 2 2 2 2.3 2.2 5 3 2 3 2 2 1 I P IK d          . Do đó IK R  nên   S và   P cắt nhau và giao tuyến của chúng là đường tròn tâm K . Lại có       2 2 2 2 3 1 2 3 5 6 IE        IE R   , nên E nằm trong mặt cầu   S . Mà   E P  nên E nằm trong đường tròn giao tuyến của   S và   P . Giả sử  cắt   S tại D và G , F là hình chiếu của K lên  . Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với EK , nằm trên   P , cắt   S tại M và N . Ta có KF KE  DG MN   (theo tính chất mối quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ dây cung tới tâm). Mà MN không đổi nên DG nhỏ nhất khi và chỉ khi E F  . Khi đó KE   , ngoài ra   IK P IK     , do đó   IKE    IE   . Vậy u IE         ; P u n         , mà   1; 1; 2 IE        ,   2;2; 1 P n      Ta có:   ; 5; 5;0 P IE n             , chọn   1; 1;0 u       . Vì  đi qua   2;1;3 E nên phương trình  là 2 1 3 x t y t z           . Cách 2: Mặt phẳng   P đi qua ba điểm 3 ;0;0 2 A       , 3 0; ;0 2 B       ,   0;0; 3 C  nên phương trình   P là 2 2 1 2 2 3 0 3 3 3 x y z x y z          . Dễ thấy   E P  . Thay tọa độ điểm E vào vế trái của phương trình ( ) S ta được : 2 2 2 1 1 2 6 36     . Do đó E nằm trong mặt cầu ( ) S . Gọi , M N là giao điểm của  và mặt cầu ( ) S . Khi đó ta có: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 2 2 ( ( , )) MN R d I    , với , R I lần lượt là bán kính và tâm của mặt cầu ( ) S . Do đó MN nhỏ nhất khi ( , ) d I  lớn nhất. Ta lại có: ( , ) d I IE   , với IE cố định. Do đó: max ( , ) IE d I   . Khi đó: u IE         ; P u n         , mà   1; 1; 2 IE        ,   2;2; 1 P n      Ta có:   ; 5; 5;0 P IE n             , chọn   1; 1;0 u       . Ngoài ra  đi qua   2;1;3 E nên phương trình  là 2 1 3 x t y t z           . Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua điểm   1; 1;2  A , song song với   : 2 3 0     P x y z , đồng thời tạo với đường thẳng 1 1 : 1 2 2       x y z một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là. A. 1 1 2 . 1 5 7       x y z B. 1 1 2 . 4 5 7       x y z C. 1 1 2 . 4 5 7      x y z D. 1 1 2 . 1 5 7        x y z Lời giải  có vectơ chỉ phương   1; 2;2       a d có vectơ chỉ phương   ; ;     d a a b c   P có vectơ pháp tuyến   2; 1; 1       P n Vì   d P  nên . 0 2 0 2                       d P d P a n a n a b c c a b     2 2 2 2 2 5 4 5 4 1 cos , 3 5 4 2 3 5 4 2          a b a b d a ab b a ab b Đặt  a t b , ta có:     2 2 5 4 1 cos , 3 5 4 2      t d t t Xét hàm số     2 2 5 4 5 4 2     t f t t t , ta suy ra được:   1 5 3 max 5 3          f t f Do đó:   5 3 1 1 max cos , 27 5 5             a d t b Chọn 1 5, 7      a b c Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1 2 1 5 7       x y z Chọn A Câu 37: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Đường thẳng  đi qua điểm   3;1;1 M , nằm trong mặt phẳng   : 3 0 x y z      và tạo với đường thẳng 1 : 4 3 3 2 x d y t z t            một góc nhỏ nhất thì phương trình của  là ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 2 x y t z t            . B. 8 5 3 4 2 x t y t z t                . C. 1 2 1 3 2 x t y t z t               . D. 1 5 1 4 3 2 x t y t z t               . Lời giải Chọn B Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là   0;3; 2 u    . Mặt phẳng    có vectơ pháp tuyến là   1;1; 1 n    . Vì     . 0.1 3.1 2 . 1 5 0 u n          nên d cắt    . Gọi 1 d là đường thẳng đi qua M và 1 d // d , suy ra 1 d có phương trình: 3 1 3 1 2 x y t z t           . Lấy   1 3;4; 1 N d   . Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng    và đường thẳng  . Ta có:     , d NMH   và  sin . NH NK NMH MN MN   Do vậy    , d  nhỏ nhất khi K H  hay  là đường thẳng M K . Đường thẳng NK có phương trình: 3 4 1 x t y t z t             . Tọa độ điểm K ứng với t là nghiệm của phương trình:       5 3 4 1 3 0 3 t t t t            . Suy ra 4 7 2 ; ; 3 3 3 K       . Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là   5 4 1 1 ; ; 5; 4;1 3 3 3 3 MK                   Chọn B Câu 38: Trong không gian cho đường thẳng 3 1 : 1 2 3 x y z      và đường thẳng 3 1 2 : 3 1 2 x y z d      . Viết phương trình mặt phẳng   P đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 19 17 2 77 . 0 0 x y z     B. 19 17 2 34 . 0 0 x y z     C. 31 8 5 91 . 0 x y z     D. 31 8 5 98 . 0 x y z     Lời giải Chọn D Đường thẳng d có VTCP là   1 3;1;2 u    . Đường thẳng  đi qua điểm   3;0; 1 M  và có VTCP là   1;2;3 u   . Do   P   nên   M P  . Giả sử VTPT của   P là     2 2 2 ; ; , 0 n A B C A B C      . Phương trình   P có dạng     3 1 0 A x By C z      . Do   P   nên . 0 2 3 0 2 3 u n A B C A B C            . Gọi  là góc giữa d và   P . Ta có     1 2 2 2 2 2 2 1 . 3 2 3 2 3 2 . 14. 14. 2 3 u n B C B C A B C sin u n A B C B C B C                         2 2 2 2 2 5 7 5 7 1 5 12 10 14 14. 5 12 10 B C B C B BC C B BC C        . TH1: Với 0 C  thì 5 70 14 14 sin    . TH2: Với 0 C  đặt B t C  ta có   2 2 5 7 1 5 12 10 14 t sin t t      . Xét hàm số     2 2 5 7 5 12 10 t f t t t     trên  . Ta có     2 2 2 50 10 112 5 12 10 t t f t t t        .   2 8 8 75 5 5 14 0 50 10 112 0 7 7 0 5 5 t f f t t t t f                                   . Và     2 2 5 7 lim lim 5 5 12 10 x x t f t t t            . Bảng biến thiên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Từ đó ta có   75 14 Maxf t  khi 8 8 5 5 B t C    . Khi đó 1 8 75 . 5 14 14 sin f          . So sánh TH1 và Th2 ta có sin  lớn nhất là 75 14 sin   khi 8 5 B C  . Chọn 8 5 31 B C A        . Phương trình   P là     31 3 8 5 1 0 31 8 5 98 0 x y z x y z           . Câu 39: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm     1;2; 1 , 7; 2;3 A B   và đường thẳng d có phương trình 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t             . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là: A.   2;0;4 . M  B.   2;0;1 . M  C.   1;0;4 . M  D.   1;0;2 . M  Lời giải Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t). Từ đó ta có:         2 2 2 3 1; 2 2 ;2 5 3 1 2 2 2 5                   AM t t t AM t t t Tương tự:         2 2 2 3 5;2 2 ;2 1 3 5 2 2 2 1                  BM t t t BM t t t Từ (*): MA=MB =       2 2 2 3 1 2 2 2 5      t t t =       2 2 2 3 5 2 2 2 1      t t t Hay: 2 2 17 34 30 17 36 30 34 36 0 11 70 0 0               t t t t t t t t Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 ). Chọn A Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho điểm (2;3;0), A (0; 2;0), B  6 ; 2;2 5 M        và đường thẳng : 0 . 2 x t d y z t          Điểm C thuộcd sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhấ thì độ dài CM bằng A. 2 3. B. 4. C. 2. D. 2 6 . 5 Lời giải Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB  nhỏ nhất. 0 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 111 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vì       2 2 ;0;2 2 2 2 9, 2 2 4 C d C t t AC t BC t               2 2 2 2 2 9 2 2 4. AC CB t t         Đặt     2 2 2;3 , 2 2;2 u t v t        ápdụngbấtđẳngthức u v u v              2 2 2 2 2 2 9 2 2 4 2 2 2 25. t t          Dấubằngxảyrakhivàchỉ khi 2 2 2 2 2 3 7 7 3 6 7 3 ;0; 2 2 2. 2 5 5 5 5 5 5 2 2 t t C CM t                                 Chọn C Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm. và. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A.   1; 2;1 M   . B.   5;7;3 N . C.   3;4;3 P . D.   7;13;5 Q . Lời giải Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là:   : 1 2 3 6 0 3 2 6 x y z ABC x y z         . Dễ thấy   D ABC  .Gọi. lần lượt là hình chiếu vuông góc của , , A B C trên d . Suy ra       , , , ' ' ' d A d d B d d C d AA BB CC AD BD CD         .Dấu bằng xảy ra khi ' ' ' A B C D    . Hay tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến d lớn nhất khi d là đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng   1 2 : 1 3 ; 1 x t ABC d y t N d z t               chọn B Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   1;1;1 A và hai đường thẳng 1 2 2 : 1 2 x t d y z t            và 2 5 3 : 1 3 x s d y z s           . Gọi , B C là các điểm lần lượt di động trên 1 2 , d d . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AB BC CA    là? A. 2 29 . B. 2 985 . C. 5 10 29   . D. 5 10  . Lời giải Chọn A Gọi 1 2 , A A lần lượt là điểm đối xứng của A qua 1 2 , d d ta có 1 2 , BA BA CA CA   , do đó 1 2 1 2 2 29 P A B BC CA A A      . Dấu bằng xảy ra 1 1 2 2 1 2 , B d A A C d A A      . Trong đó     1 2 1 2 1;1; 3 , 3;1;7 , 2 29 A A A A    . Kiểm tra dấu bằng, dễ thấy 1 2 1 1 11 ;1; 6 12 A A d B           , 1 2 2 31 69 ;1; 17 17 A A d C         . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và . Gọi là điểm cách đều và trục . Khoảng cách ngắn nhất giữa và bằng: A. B. C. D. Lời giải Gọi ta có: . Do đó . Khi đó . Chọn C Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi  là đường thẳng đi qua điểm   2,1,0 A , song song với mặt phẳng   : 0 P x y z    và có tổng khoảng cách từ các điểm     0, 2,0 , 4,0,0 M N tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉ phương của  là? A.   1,0,1 u      B.   2,1,1 u      C.   3, 2,1 u      D.   0,1, 1 u       Lời giải Ta gọi   : 1 0 Q x y z     là mặt phẳng qua điểm   2,1,0 A , song song với mặt phẳng   : 0 P x y z    . Đồng thời ta phát hiện ra rằng điểm   2,1,0 A là trung điểm MN . Khi đó tổng khoảng cách     , MF NG MC ND=2d M Q    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  là đường thẳng đi qua A và hai hình chiếu C và D của các điểm     0, 2,0 , 4,0,0 M N tới mặt phẳng   Q . Chọn A Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với   2;3;3 A đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B là 3 3 2 , 1 2 1        x y z phương trình đường phân giác trong góc C là 2 4 2 . 2 1 1        x y z Đường thẳng AB có một véctơ chỉ phương là: Oxyz 0 : 1 x d y t z           0;4;0 A M d ' x Ox A M 1 2 3 2 6 65 2   ; ; M a b c       2 2 2 2 , , 1 d M Ox b c d M d a c             2 2 2 2 2 2 1 2 1 b c a c a b c               2 2 2 2 2 4 2 2 1 6 AM a b c b c          ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 113 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 1 (0;1; 1) u      . B. 2 (2;1; 1) u      . C. 3 (1;2;1) u     . D. 4 (1; 1;0) u      . Lời giải Chọn A Gọi (3 ;3 2 ;2 ) M t t t    là trung điểm cạnh AC , khi đó (4 2 ;3 4 ;1 2 ). C t t t    Mặt khác C thuộc đường phân giác trong góc C là  nên (4 2 ) 2 (3 4 ) 4 (1 2 ) 2 0 (4;3;1). 2 1 1 t t t t C              Gọi A  đối xứng với A qua phân giác trong góc ' .   C A CB Mặt phẳng    qua A và vuông góc với đường phân giác trong góc C :   : 2( 2) ( 3) ( 3) 0 x y z        . Gọi     2;4;2 H H      . Mặt khác : H là trung điểm AA  nên   2;5;1 A  . Phương trình đường thẳng BC qua , A C  là:     4 2 3 2 1 2;5;1 0; 2; 2 x t y t z BC BM B AB                     Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 2 1 3 : 2 2 3 x y z       và hai điểm   1; 1; 1 A   ,   2; 1;1 B   . Gọi , C D là hai điểm phân biệt di động trên đường thẳng  sao cho tồn tại điểm I cách đều tất cả các mặt của tứ diện ABCD và I thuộc tia Ox . Tính độ dài đoạn thẳng CD. A. 12 17 . 17 B. 17. C. 3 17 . 11 D. 13. Lời giải Chọn C Ta có     : 2 2 1 0; : 2 2 2 0. ACD x y z BCD x y z         Gọi   ;0;0 I m , với 0 m  , ta có         1 2 1 2 , , 1 3 3 m m m d I ACD d I BCD m             . Vì 0 m  nên   1;0;0 I và     , 1. d I BCD  Gọi   2 2;2 1; 3 3 , C t t t     ta có         : 4 4 5 4 6 6 7 6 0. ABC t x t y t z t         Vì               2 2 2 1 11 10 , , 1 1 8 4 4 5 4 6 6 11 t t d I ACD d I BCD t t t t z                    Suy ra     2 2 2 2 2 1 2 8 3 17 2 2 3 17 1 . 11 11 CD t t               Chọn đáp án C Câu 47: (Yên Phong 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 3 0 x y z      và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d      . Gọi  là hình chiếu vuông góc của d trên    và   1;a; u b   là một vectơ chỉ phương của  với , a b   . Tính tổng a b  . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 114 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A. 0 . B. 1 . C. 1  . D. 2  . Lời giải Chọn C Cách 1. Ta có mặt phẳng    nhận vectơ   1;1;1 n      là vectơ pháp tuyến, đường thẳng d đi qua điểm   0; 1;2 A   và nhận   1; 2; 1 d u      là vectơ chỉ phương. Gọi    là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng    . Ta có   3; 2;1 d n n u                . Khi đó đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng    và    . Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là   1; 4;5 u n n                  . Mà   1;a; u b   nên 4 a  , 5 b   . Vậy 1 a b    . Cách 2. Dễ dàng tính được tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng    là   1;1;1 I  . Trên đường thẳng lấy điểm   0; 1;2 A   và gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng    . Phương trình đường thẳng đi qua A và H có dạng: 0 1 2 x t y t z t             . Tọa độ của là H nghiệm của hệ 0 1 2 3 0 x t y t z t x y z                    2 3 t  . Vậy 2 1 8 ; ; 3 3 3 H        . Đường thẳng  đi qua hai điểm I và H nhận vectơ 1 4 5 ; ; 3 3 3 IH              là vectơ chỉ phương nên cũng nhận vectơ   1; 4; 5 u       là vectơ chỉ phương. Vậy 1 a b    .   I  H A d