Tuyển tập 198 câu VDC hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

ctvtoan5 4 năm trước 318 lượt xem 23 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Tuyển tập 198 câu VDC hàm số lượng giác và phương trình lượng giác". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Tài liệu gồm 83 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Tư Duy Mở, tuyển tập 198 câu vận dụng cao (VD - VDC) hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh khối 11 rèn luyện khi học tập chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1.

Hàm số và phương trình lượng giác Tuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com TUYỂNTẬP198CÂUVẬNDỤNGCAOLƯỢNGGIÁC L A T E X bởiTưDuyMở C¥u 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 4 x+cos 4 xcos2x+ 1 4 sin 2 2x+m=0 có nghiệm. A m<2. B 26m60. C 20. Líi gi£i. Tacósin 4 x+cos 4 x=12sin 2 xcos 2 x=1 1 2 sin 2 2x. Đặtt=cos2x;jtj61phươngtrìnhđãchothành1 1 2 1t 2 t+ 1 4 1t 2 +m=0. Hay f(t)=t 2 +4t3=4mvới16t61. Nhận thấy hàm số f(t) luôn đồng biến trên [1;1] nên phương trình đã cho có nghiệm khi f(1)64m6 f(1), 26m60. Chån ¡p ¡n B C¥u 2. TìmgiátrịnhỏnhấtM củahàmsốy=3sinx4cosx+3. A M=2. B M=6. C M=10. D M=2. Líi gi£i. Tacóy=3sinx4cosx+3=5 3 5 sinx 4 5 cosx +3=5sin(xa)+3,trongđóa thoảcosa = 3 5 vàsina = 4 5 . Từ16sin(xa)61tađược26y68.Tồntạixđểy=2nêngiátrịnhỏnhấtcủahàmsốlà2. Chån ¡p ¡n D C¥u 3. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy= sinx cot2x . A D =Rnfkp;k2Zg. B D =Rn kp 4 ;k2Z . C D =Rn kp 2 ;k2Z . D D =Rn n p 2 +kp;k2Z o . Líi gi£i. Điềukiện ( cot2x6=0 sin2x6=0 , ( cos2x6=0 sin2x6=0 ,sin2xcos2x6=0,sin4x6=0,x6= kp 4 . Chån ¡p ¡n B C¥u 4. Gọi m n là giá trị lớn nhất của a để bất phương trình p a 3 (x1) 2 + p a (x1) 2 6 4 p a 3 sin px 2 có ít nhất một nghiệm, trong đó m, n là các số nguyên dương và m n là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P=22m+n. A P=46. B P=35. C P=38. D P=24. Líi gi£i. Điềukiệnxácđịnhx6=1. L A T E X bði T÷ Duy Mð 1 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Bấtphươngtrìnhđãchotươngđươngvớibấtphươngtrìnhsau p a 3 (x1) 4 4 p a 3 sin px 2 (x1) 2 + p a60 , 4 p a 3 (x1) 2 1 2 sin px 2 2 + p a 1 4 sin 2 px 2 60: Nếua> 1 16 thì p a 1 4 sin 2 px 2 >0;8x,nênbấtphươngtrìnhvônghiệm. Nếua= 1 16 thìbấtphươngtrìnhtrởthành 1 8 (x1) 2 1 2 sin px 2 2 + 1 4 1sin 2 px 2 60 , 8 < : sin 2 px 2 =1 1 8 (x1) 2 = 1 2 sin px 2 , " x=3 x=1: Vậya= 1 16 làgiátrịlớnnhấtđểbấtphươngtrìnhcónghiệm. Suyram=1,n=16.VậtP=221+16=38. Chån ¡p ¡n C C¥u 5. Chocácsốthựcx;y;zthuộcđoạn[0;p].Cótấtcảbaonhiêubộbasố(x;y;z)thỏamãn sinx 1 = siny p 3 = sinz 2 vàx+y+z=p? A 5. B 3. C 4. D 6. Líi gi£i. Nếumộttrongbasốx;y;zcómộtsốbằngpthìhaisốcònlạibằng0,chonêntacóbanghiệm(p;0;0);(0;p;0);(0;0;p). Xét 0 < x;y;z < p, ta có 0 < sinx;siny;sinz < 1. Theo giả thiết sinx 1 = siny p 3 = sinz 2 và x+y+z = p suy ra sinx;siny;sinzlàđộdàibacạnhcủamộttamgiácvuôngvớix;y;zlàcácgócđốidiện,chonênx= p 6 ;y= p 3 ;z= p 2 . Chån ¡p ¡n C C¥u 6. Tìmtậpxácđịnhcủahàmsốy= sinx sin 2 x6sinx+8 . A D =Rnfp+k2pjk2Zg. B D =Rnfkpjk2Zg. C D =R. D D =Rnfk2pjk2Zg. Líi gi£i. Dosin 2 x6sinx+8=(sinx2)(sinx4)6=0vớimọix2RnênD =R. Chån ¡p ¡n C C¥u 7. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2 x+ 2(sin3x1)sin 2 p 4 x 2 =0? A 5điểm. B 6điểm. C 4điểm. D 7điểm. Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 2 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới (1sinx)(1+sinx)+(sin3x1)(1+sinx)=0 , " sinx=1 sin3x=sin(p+x) , x= kp 2 (k2Z): Vậycácnghiệmcủaphươngtrìnhđãchobiểudiễnbởi4điểmtrênđườngtrònlượnggiác. Chån ¡p ¡n C C¥u 8. Sốnghiệmcủaphươngtrình sinx x = p 18 là A Vôsố. B 3. C 1. D 2. Líi gi£i. Tacó sinx x = p 18 , 8 < : x6=0 sinx= p 18 x: Sốnghiệmcủaphươngtrìnhbằngsốđiểmchungcủahaiđồthịy=sinxvày= p 18 x. p p 2 p 2 p 1 1 y x 0 y=sinx y= p 18 x x 1 x 2 Đường thẳng y= p 18 x có hệ số góc bằng p 18 <1 nên cắt đồ thị y=sinx tại 3 điểm có hoành độ x 1 ;0;x 2 vớip < x 1 <0;01. B m>1. C 11. Chån ¡p ¡n B L A T E X bði T÷ Duy Mð 3 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 11. Gọi x 1 là nghiệm không âm nhỏ nhất, x 2 là nghiệm âm lớn nhất của phương trình tanxsin2x cos2x+2 2cosx 1 cosx =0.KhiđótổngS=x 1 +x 2 bằng A p 2 . B 1. C p 4 . D 0. Líi gi£i. Điềukiệnx6= p 2 +kp vớik2Z.Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới sinx cosx sin2xcos2x+4cosx 2 cosx =0 ,sinx2sinxcos 2 xcos2xcosx+2(2cos 2 x1)=0 ,sinx(12cos 2 x)cos2xcosx+2cos2x=0 ,sinxcos2xcos2xcosx+2cos2x=0 ,cos2x(sinx+cosx2)=0, " cos2x=0 sinx+cosx=2(vônghiệm) ,x= p 4 +k p 2 vớik2Z Tađượcx 1 = p 4 ,x 2 = p 4 .VậyS=0. Chån ¡p ¡n D C¥u 12. Biết tập hợp các giá trị của m để phương trình msin 2 x+2sin2x+3mcos 2 x=2 có nghiệm là đoạn [a;b].TínhgiátrịcủabiểuthứcT =a+3b. A T = 4 3 . B T = 8 3 . C T =8. D T = 8 9 . Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới: m 1cos2x 2 +2sin2x+3m 1+cos2x 2 =2 ,2sin2x+mcos2x=22m: (1) Phươngtrìnhđãchocónghiệm,(1)cónghiệm,hay 2 2 +m 2 >(22m) 2 ,06m6 8 3 )a+3b=8: Chån ¡p ¡n C C¥u 13. Chophươngtrìnhsin2xcos2x+jsinx+cosxj p 2cos 2 x+mm=0.Sốgiátrịnguyêncủatham sốmđểphươngtrìnhđãchocónghiệmthựclà A 5. B 9. C 3. D 2. Líi gi£i. sin2xcos2x+jsinx+cosxj p 2cos 2 x+mm=0 , 2sinxcosx+1+jsinx+cosxj= p 2cos 2 x+m+2cos 2 x+m , (jsinx+cosxj) 2 +jsinx+cosxj=2cos 2 x+m+ p 2cos 2 x+m , jsinx+cosxj+ 1 2 2 = p 2cos 2 x+m+ 1 2 2 , jsinx+cosxj= p 2cos 2 x+m , sin2x=cos2x+m , sin 2x p 4 = m p 2 : L A T E X bði T÷ Duy Mð 4 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Phươngtrìnhđãchocónghiệmkhijmj6 p 2, p 26m6 p 2.Nênm2f1;0;1g. Chån ¡p ¡n C C¥u 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin2x+ p 3cos2x=3m2 có nghiệm trong khoảng p 2 ;0 A 06m6 4 3 . B 06m< p 3+2 3 . C 06m6 p 3+2 3 . D 06m< 4 3 . Líi gi£i. Phươngtrình,sin 2x+ p 3 = 3m 2 1.Dox2 p 2 ;0 nên2x+ p 3 2 2p 3 ; p 3 . Vậysin 2x+ p 3 2 " 1; p 3 2 ! )16 3m 2 1< p 3 2 ,06m< p 3+2 3 Chån ¡p ¡n B . C¥u 15. Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrình 4 sin 4 x+cos 4 x 4 sin 6 x+cos 6 x sin 2 4x=m cónghiệm. A m>1. B 9 16 0 m64 . B " m>0 m<4 . C 46m60. D 40, " m>0 m64: Chån ¡p ¡n A C¥u 19. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos4x+6sinxcosx=m có hai nghiệmphânbiệttrênđoạn h 0; p 4 i ? A 4. B 3. C 2. D 1. Líi gi£i. Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2sin 2 2x3sin2x+m1=0. Nếu đặtt =sin2x; t2[0;1], thì phương trình trởthành2t 2 3t+m1=0(1). Từgiảthiếtsuyra 8 < : 98(m1)>0 m1 2 >0 )16m62. L A T E X bði T÷ Duy Mð 6 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Vớim=1giảiphươngtrìnhđượchainghiệmx=0; x= p 2 . Vớim=2kiểmtraphươngtrìnhđãchocónhiềuhơnhainghiệmtrongđoạn h 0; p 4 i . Vậy,chỉcómộtsốnguyênmthỏamãnbàitoánđólàm=1. Chån ¡p ¡n D C¥u 20. Tìmtấtcảcácgiátrịcủamđểphươngtrình4cos 2 2x4cos2x33m=0cónghiệm. A m2 1 2 ; 5 3 . B m2 4 3 ; 5 3 . C m2 4 3 ;+¥ . D 2 ¥; 5 3 . Líi gi£i. Đặtcos2x=t;jtj61.Phươngtrìnhđãchotrởthành:4t 2 4t3=3m. (1) Xéthàmsốg(t)=4t 2 4t3trênđoạn[1;1].Tacóbảngbiếnthiên: t g 0 (t) g(t) 1 1 2 1 0 + 5 5 4 4 3 3 Phươngtrìnhđãchocónghiệmkhiphươngtrình(1)cónghiệmt2[1;1], 4 3 6m6 5 3 . Chån ¡p ¡n B C¥u 21. Cho phương trình p 3sin 3 x 2 p 3 sin 2 xcosx 2+ p 3 sinxcos 2 x= p 3cos 3 x. Tìm tập hợp tấtcảcácnghiệmcủaphươngtrìnhtrênnằmtrongkhoảng(1;1). A p 4 ; p 6 . B p 4 ; p 6 . C p 4 ; p 6 ; p 3 . D p 4 ; p 6 ; 2p 3 . Líi gi£i. Nhậnxét:cosx=0khôngthỏaphươngtrình. Dođó,chia2vếcủaphươngtrìnhchocos 3 x,tađược p 3tan 3 x 2 p 3 tan 2 x 2+ p 3 tanx p 3=0, 2 6 6 6 4 tanx=1 tanx= p 3 3 tanx= p 3 , 2 6 6 6 6 4 x= p 4 +kp x= p 6 +kp x= p 3 +kp ;k2Z: Sođiềukiệnx2(1;1)tađượcx2 p 4 ; p 6 . Chån ¡p ¡n B L A T E X bði T÷ Duy Mð 7 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 22. Tậptấtcảcácgiátrịcủathamsốmđểphươngtrình m+ q m+1+ p 1+sinx=sinx cónghiệmlà[a;b].Giátrịa+b bằng A 1 2 + p 2. B 1 2 p 2. C 1 4 p 2. D 1 4 + p 2. Líi gi£i. Tacóm+ p m+1+ p 1+sinx=sinx,m+1+ p m+1+ p 1+sinx=1+sinx. Đặt 8 < : a= p 1+sinx b= q m+1+ p 1+sinx ,điềukiện06a6 p 2vàb>0. Khiđótacóhệ ( a 2 =m+1+b b= p m+1+a , ( a 2 =m+1+b (1) b 2 =m+1+a (2): Lấy(2)trừ(1)vếtheovếtacó b 2 a 2 =ab,(ab)(a+b+1)=0,a=b (vì06a6 p 2vàb>0). Tacóphươngtrìnha 2 =m+1+a,a 2 a1=mvới06a6 p 2. Xéthàmsố f(a)=a 2 a1với06a6 p 2.Bảngbiếnthiên a f 0 (a) f(a) 0 1 2 p 2 0 + 1 1 5 4 5 4 1 p 2 1 p 2 Suyram2 5 4 ;1 p 2 )a+b = 1 4 p 2. Chån ¡p ¡n C C¥u 23. Chophươngtrình sinx(2cos2x)2 2cos 3 x+m+1 p 2cos 3 x+m+2=3 p 2cos 3 x+m+2: Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsốmđểphươngtrìnhtrêncóđúng1nghiệmx2 0; 2p 3 . A 2. B 1. C 4. D 3. Líi gi£i. Điềukiện 8 > < > : 2cos 3 x+m+2>0 x2 0; 2p 3 .Tacó sinx(2cos2x)2 2cos 3 x+m+1 p 2cos 3 x+m+2=3 p 2cos 3 x+m+2 , 2sin 3 x+sinx=2 p 2cos 3 x+m+2 3 + p 2cos 3 x+m+2: (1) Xéthàmsố f(t)=2t 3 +t có f 0 (t)=6t 2 +1>0;8t2Rnênhàmsố f(t)đồngbiếntrênR. Dođó,(1), f(sinx)= f p 2cos 3 x+m+2 , p 2cos 3 x+m+2=sinx (2) Vìx2 0; 2p 3 nênsinx2[0;1]. L A T E X bði T÷ Duy Mð 8 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Khiđó(2),2cos 3 x+m+2=sin 2 x,m1=2cos 3 x+cos 2 x. Xéthàmsốg(x)=2cos 3 x+cos 2 x; x2 0; 2p 3 ,đặtu=cosx; u2 1 2 ;1 thìhàmsốtrởthànhh(u)=2u 3 +u 2 , h 0 (u)=6u 2 +2u=0, 2 6 6 4 u=02 1 2 ;1 u= 1 3 2 1 2 ;1 : Bảngbiếnthiêncủahàmh(u) u h 0 (u) h(u) 1 2 1 3 0 1 + 0 0 + 0 0 1 27 1 27 0 0 3 3 Yêucầubàitoán, 2 4 1 27 <m163 m1=0 , 2 4 46m< 28 27 m=1: Kếthợpm2Znêntanhậnm2f4;3;2;1g. Chån ¡p ¡n C C¥u 24. Chocácsốthực x 1 ;x 2 ;y 1 ;y 2 thayđổi,thỏamãn x 2 1 +x 2 2 =y 2 1 +y 2 2 =2:Tìmgiátrịlớnnhất P max của biểuthứcP=(1x 1 )(1y 1 )+(1x 2 )(1y 2 ): A P max =42 p 2. B P max =4+2 p 2. C P max =8. D P max =2. Líi gi£i. Đặtx 1 = p 2cosa,x 2 = p 2sina,y 1 = p 2cosb,y 1 = p 2sinb:BiểuthứcPđượcviếtlại P = 2 p 2sina p 2cosa p 2sinb p 2cosb+2cosacosb+2sinasinb = 22sin a+ p 4 2sin b+ p 4 +2cos(ab)68: NêngiátrịlớnnhấtcủaPbằng8. Chån ¡p ¡n C C¥u 25. Xácđịnhmđểphươngtrìnhmcos 2 2x4sinxcosx+m2=0cónghiệmtrongkhoảng 0; p 4 . A m<1. B 1 3 2 m6 47 64 : D 47 64 1 4 . C m61. D 2 4 m< 1 4 m>1 . Líi gi£i. Tacóy=sin 6 x+cos 6 x= 5 8 + 3 8 cos4x:Vì16cos4x61nênđểđồthịhàmsố y=sin 6 x+cos 6 xvàđườngthẳng y=mcóđiểmchungthì 5 8 3 8 6m6 5 8 + 3 8 , 1 4 6m61. Chån ¡p ¡n A C¥u 32. Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrình sin2x(2m+ p 2)(sinx+cosx)+2m p 2+1=0 cóđúnghainghiệmthuộc 0; 5p 4 : A m> p 2 2 . B m> 1 2 . C m6 1 2 . D p 2 2 (34P) 2 , 2 11 6P62: NêngiátrịlớnnhấtcủaPbằng2. Chån ¡p ¡n B C¥u 34. Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểtậphợpcácđiểmbiểudiễncácnghiệmcủaphươngtrình sin2x+2 p 2m(sinxcosx)+14m=0chỉlàmộtđiểmtrênđườngtrònlượnggiác. A m<0 m>1 . B m<0 m>1 . C m60 m>1 . D m60 m>1 . Líi gi£i. Đặtt=sinxcosx= p 2sin x p 4 ,t2[ p 2; p 2].Khiđó,phươngtrìnhđãchotrởthành t 2 2 p 2mt+4m2=0, " t= p 2 (1) t= p 2(2m1) (2) Ta có t = p 2,sin x p 4 =1,x= 3p 4 +k2p (k2Z). Để tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trìnhchỉlàmộtđiểmtrênđườngtrònlượnggiácthì p 2(2m1)< p 2 p 2(2m1)> p 2 , 2m1<1 2m1>1 , m<0 m>1: Chån ¡p ¡n A C¥u 35. Giảsửđoạn[m;M]làtậpgiátrịcủahàmsốy= sinx+cosx1 cosxsinx+2 .TínhS=M 2 +m 2 . A S=4. B S= 11 2 . C S=5. D S=6. Líi gi£i. Vìcosxsinx+26=08xnên y= sinx+cosx1 cosxsinx+2 , ycosxysinx+2y=sinx+cosx1 , (1+y)sinx+(1y)cosx=2y+1: Phươngtrìnhnàycónghiệmxnên (1+y) 2 +(1y) 2 >(2y+1) 2 , 2y 2 +4y160 , 2 p 6 2 6y6 2+ p 6 2 : TồntạixđểxảyracácdấubằngnêntacóM= 2+ p 6 2 vàm= 2 p 6 2 .TừđóM 2 +m 2 =5. Chån ¡p ¡n C L A T E X bði T÷ Duy Mð 13 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 36. Tìmtấtcảcácgiátrịmđể mcosx+m1 3+sinx+cosx <1đúngvới8x2R. A m6 7 3 . B m= 7 3 . C m< 7 3 . D m< 7 3 . Líi gi£i. Đặty= mcosx+m1 3+sinx+cosx ,ysinx+(ym)cosx=m3y1. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchySchwarz,tacó (m3y1) 2 6(y 2 +(ym) 2 )(sin 2 x+cos 2 x),7y 2 2(2m3)y+12m60 1 7 2m3 p 4m 2 +2m+2 6y6 1 7 2m3+ p 4m 2 +2m+2 . Tacóy<1;8x2R,maxy= 1 7 2m3+ p 4m 2 +2m+2 <1 , p 4m 2 +2m+2<102m, ( 102m>0 4m 2 +2m+2<(102m) 2 ,m< 7 3 . Chån ¡p ¡n D C¥u 37. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy=tanxcotx. A D =Rnfkp;k2Zg. B D =Rn kp 4 ;k2Z . C D =Rn n p 2 +kp;k2Z o . D D =Rn kp 2 ;k2Z . Líi gi£i. Điềukiện ( sinx6=0 cosx6=0 ,sinxcosx6=0,sin2x6=0,x6= kp 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 38. Giảsửphươngtrình(1sinx)sin 2 x(1+cosx)cos 2 x=0cótậpnghiệmdạng S= a+k2p;b+k2p;g+kp k2Z ,trongđóa;b2[0;p]vàg2 h p 2 ; p 2 i .TínhgiátrịbiểuthứcP=a+b+g. A P= 5p 4 . B P= 5p 2 . C P= p 4 . D P= 7p 4 . Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới (1sinx)(1cosx)(1+cosx)(1+cosx)(1sinx)(1+sinx)=0 ,(1sinx)(1+cosx)(sinx+cosx)=0 , 2 6 4 sinx=1 cosx=1 sinx+cosx=0 , 2 6 6 6 4 x= p 2 +k2p x=p+k2p x= p 4 +kp: Vậya+b+g = p 2 +p+ p 4 = 5p 4 . Chån ¡p ¡n A L A T E X bði T÷ Duy Mð 14 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 39. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn tất các nghiệm của phương trình sinxcosxcos2xcos4x= 1 8 ? A 16điểm. B 4điểm. C 2điểm. D 8điểm. Líi gi£i. Phươngtrìnhtươngđươngsin8x=1,x= p 16 + k2p 8 : sin cos Vậycó8điểmbiểudiễn. Chån ¡p ¡n D C¥u 40. Tìmtấtcảgiátrịcủa mđểphươngtrình sin 2 x+2sinxcosxmcos 2 x=2cónghiệmthuộckhoảng 0; p 4 i . A m>1. B 3 2 < > : x6= p 6 + kp 3 x6= p 2 +kp ;k2Z. Khiđó:tan3x=tanx,3x=x+kp,x= kp 2 ;k2Z. Sođiềukiệntacónghiệmcủaphươngtrìnhlà:x=kp;k2Z. Màx2 p 2 ;11p nên p 2 6kp611p, 1 2 6k611,k20;1;2;:::;11. Suyratổngcácnghiệmcầntìmlà: 11 å k=0 kp =66p. Chån ¡p ¡n D C¥u 45. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số y=tanx trên đoạn 3p 2 ; 3p 2 . Tìm số nghiệm của phươngtrìnhjtanxj=p trênđoạn 3p 2 ; 3p 2 . A 6. B 5. C 3. D 4. 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 x 2 1 1 2 3 y O Líi gi£i. Sốnghiệmcủaphươngtrìnhjtanxj=p bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsốy=jtanxjvàđườngthẳngy=p. L A T E X bði T÷ Duy Mð 17 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 x 1 1 2 3 4 y O Từđồthịsuyraphươngtrìnhcó6nghiệmtrênđoạn 3p 2 ; 3p 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 46. TínhtổngStấtcảcácnghiệmtrênkhoảng(0;100p)củaphươngtrìnhcosx=0. A S=5050p. B S=5000p. C S=4950p. D S=5100p. Líi gi£i. Tacócosx=0,x= p 2 +kp. Vìx2(0;100p)nênk2[0;99];k2Z.VậyS= 99 å k=0 p 2 +kp =5000p. Chån ¡p ¡n B C¥u 47. GiátrịlớnnhấtM vàgiátrịnhỏnhấtmcủahàmsốcủahàmsốy= sinx+2cosx+1 sinx+cosx+2 lầnlượtlà: A M=1;m=2. B M=2;m=1. C M=2;m=1. D M=1;m=2. Líi gi£i. Tacó y= sinx+2cosx+1 sinx+cosx+2 , ysinx+ycosx+2y=sinx+2cosx+1 , (y1)sinx+(y2)cosx=12y(): ythuộctậpgiátrịcủahàmsốkhivàchỉkhiphươngtrình(*)cónghiệm ,(y1) 2 +(y2) 2 >(12y) 2 ,y 2 +y260,26y61. TừđósuyraM=1vàm=2. Chån ¡p ¡n D C¥u 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 7+2cosx+m p 5+2cos2x=0 có hai nghiệm thựcphânbiệttrên 0; 4p 3 A 4. B 2. C 1. D 3. Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđương 7+2cosx+m p 4cos 2 x+3=0 L A T E X bði T÷ Duy Mð 18 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Đặtt=cosx.Vìx2 0; 4p 3 nênt2[1;1].Khiđótacóphươngtrình 7+2t+m p 4t 2 +3=0 , m= 7+2t p 4t 2 +3 : Xéthàmsố f(t)= 2t+7 p 4t 2 +3 ;8t2[1;1].Có f 0 (t)= 628t (4t 2 +3) p 4t 2 +3 ;8t2[1;1] Bảngbiếnthiên x y 0 y ¥ 1 3 14 1 +¥ + 0 5 p 7 7 5 p 7 7 2 p 39 3 2 p 39 3 9 p 7 7 Phươngtrìnhcó2nghiệm, 2 6 6 4 5 p 7 7 <m63 9 p 7 7 6m< 2 p 39 3 . Vìm2Znên " m=2;m=3 m=4 Chån ¡p ¡n D C¥u 49. GọiM; mlầnlượtlàgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủahàmsốy= p 3sinx cosx+2 .TínhMm. A 2. B 0. C 2. D 1. Líi gi£i. Tacó y= p 3sinx cosx+2 ,y(cosx+2)= p 3sinx, p 3sinxycosx=2y: (1) Chiacảhaivếcủa(1)cho p 3+y 2 tađược p 3 p 3+y 2 sinx y p 3+y 2 cosx= 2y p 3+y 2 : (2) Đặtcosa = p 3 p 3+y 2 vàsina = y p 3+y 2 ,từ(2)suyra sinxcosacosxsina = 2y p 3+y 2 ,sin(xa)= 2y p 3+y 2 : (3) Từ(3)suyra 2y p 3+y 2 61,4y 2 63+y 2 ,y 2 61,16y61: Cáchkhác:Điềukiệnđểphươngtrình(1)(ẩnx)luôncónghiệmlà ( p 3) 2 +(y) 2 >(2y) 2 ,3y 2 63,16y61: Dođó,M=1vàm=1.VậyMm=1. Chån ¡p ¡n D L A T E X bði T÷ Duy Mð 19 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 50. Nghiệmcủaphươngtrình cos2x+3sin2x+5sinx3cosx=3đượcbiểudiễnbởibaonhiêuđiểm trênđườngtrònlượnggiác? A 4. B 5. C 2. D 6. Líi gi£i. Phươngtrìnhtươngđươngvới 12sin 2 x+6sinxcosx+5sinx3cosx3=0 ,(2sin 2 x+5sinx2)+3cosx(2sinx1)=0 ,(2sinx1)(2sinx)+3cosx(2sinx1)=0 ,(2sinx1)(3cosxsinx+2)=0 , " 2sinx=1 3cosxsinx+2=0 , 2 6 6 6 6 4 x= p 6 +k2p x= 5p 6 +k2p sinx3cosx=2: (1) Phươngtrình(1)tươngđương 1 p 10 sinx 3 p 10 cosx= 2 p 10 , sin(xa)= 2 p 10 , 2 6 6 4 x=a+arcsin 2 p 10 +k2p x=a+parcsin 2 p 10 +k2p; ở đó a2 0; p 2 sao cho cosa = 1 p 10 . Vậy các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi bốn điểm trên đườngtrònlượnggiác. Chån ¡p ¡n A C¥u 51. Tìmsốnghiệmcủaphươngtrình5sin 2 x+sin2x=2sin 4 x 2 +2cos 4 x 2 trongkhoảng(1;3). A 3. B 4. C 2. D 1. Líi gi£i. Tabiếnđổisin 4 x 2 +cos 4 x 2 = (1cosx) 2 4 + (1+cosx) 2 4 = 1+cos 2 x 2 vàsin2x=2sinxcosx,phươngtrìnhđãchotrở thành5sin 2 x+2sinxcosxcos 2 x=1. Vớicosx=0, 8 < : sin 2 x=1 x= p 2 +kp ,phươngtrìnhkhôngthỏanêntaloạix= p 2 +kp. Vớicosx6=0,chiahaivếphươngtrìnhchocos 2 x,tađược 5tan 2 x+2tanx1=1+tan 2 x,4tan 2 x+2tanx2=0 , 2 4 tanx=1 tanx= 1 2 , 2 6 4 x= p 4 +kp x=arctan 1 2 +kp ;k2Z: Kếthợpđiềukiệnx2(1;3)tađượcsốnghiệmthỏalà3nghiệm. Chån ¡p ¡n A L A T E X bði T÷ Duy Mð 20 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 52. Tìmtậpnghiệmcủaphươngtrình2sin 4 x+7sin 2 xcos 2 x+cos 4 x=2. A p 2 +kp; p 6 +kp; k2Z . B p 6 +kp; p 6 +kp; k2Z . C p 2 +kp; p 6 +kp; k2Z . D p 2 +k p 3 ; k2Z . Líi gi£i. Vớicosx=0thìsin 2 x=1nênphươngtrìnhthỏamãn. Tađượcx= p 2 +kp,k2Zlàmộthọnghiệmcủaphươngtrình. Vớicosx6=0,chiahaivếchocos 4 x,tađược 2tan 4 x+7tan 2 x+1=2(1+tan 2 x) 2 ,3tan 2 x1=0 , 2 6 6 4 tanx= p 3 3 tanx= p 3 3 , 2 6 4 x= p 6 +kp x= p 6 +kp ;k2Z: Kếthợpcáchọnghiệmvớinhau,tađượcx= p 2 +k p 3 ,k2Z. Chån ¡p ¡n D C¥u 53. Cóbaonhiêuđiểmtrênđườngtrònlượnggiácbiểudiễncácnghiệmcủaphươngtrình 1cos2x sin 2 2x = 1+cot2x? A 2điểm. B 1điểm. C 4điểm. D 3điểm. Líi gi£i. Điềukiệncủaphươngtrìnhsin2x6=0:Khiđóphươngtrìnhđãchotươngđương 1cos2x=sin 2 2x(1+cot2x) ,1cos2x=sin 2 2x+sin2xcos2x , cos 2 2xcos2xsin2xcos2x=0 , cos2x(cos2xsin2x1)=0 , cos2x h p 2cos 2x+ p 4 1 i =0 ,x= p 4 + kp 2 : Vậycácnghiệmcủaphươngtrìnhđãchođượcbiểudiễnbởi4điểmtrênđườngtrònlượnggiác. Chån ¡p ¡n C C¥u 54. Tìmtậpnghiệmcủaphươngtrình2tanx+cotx= p 3+ 2 sin2x . A p 3 +kp; k2Z . B p 3 +kp; p 2 +kp; k2Z . C kp; p 3 +kp; k2Z . D p 3 +kp; k2Z . Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 21 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Điềukiệnđểphươngtrìnhcónghĩa: 8 > < > : sinx6=0 cosx6=0 sin2x6=0 ,sin2x6=0.Khiđó,tacó 2tanx+cotx= p 3+ 2 sin2x , 2sin 2 x+cos 2 x= p 3sinxcosx+1 , 2sin 2 x+(cos 2 x1) p 3sinxcosx=0 , sin 2 x p 3sinxcosx=0 , tan 2 x p 3tanx=0 , " tanx=0 (loại) tanx= p 3 (nhận) , x= p 3 +kp (nhận): Chån ¡p ¡n D C¥u 55. Phương trình sin2x12(sinxcosx)+12 = 0 có hai họ nghiệm dạng x = a+k2p;x = b + k2p (a;b2[0;p]).Tínha+b. A a+b =p. B a+b = 5p 2 . C a+b = 3p 4 . D a+b = 3p 2 . Líi gi£i. Đặtt=sinxcosx;t2 h p 2; p 2 i ,phươngtrìnhtrởthành: 1t 2 12t+12=0,t 2 +12t13=0, " t=1(nhận) t=13(loại): Vớit=1,sinxcosx=1, p 2sin x p 4 =1,sin x p 4 = 1 p 2 =sin p 4 , 2 6 4 x p 4 = p 4 +k2p x p 4 = 3p 4 +k2p , 2 4 x= p 2 +k2p x=p+k2p (k2Z). Vậya = p 2 vàb =p,dođóa+b = 3p 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 56. Cho phương trình sinx cos 2 x3cosx+2 = 0. Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn [0;2018p] của phươngtrìnhtrên. A 1018081p. B 1018018p. C 1020100p. D 1018080p. Líi gi£i. Điềukiệncosx6=1,x6=k2p;(k2Z). Phươngtrìnhđãchotươngđươngsinx=0,x=kp;(k2Z). Vậytổngtấtcảcácnghiệmtrongđoạn[0;2018p]củaphươngtrìnhlà p(1+3+5++2017)=1018081p. Chån ¡p ¡n A C¥u 57. Giảiphươngtrìnhsin2x3 p 3cos x p 4 +4=0. A 2 4 x= 5p 12 +k2p x= p 12 +k2p (k2Z). B 2 4 x= 5p 12 +kp x= p 12 +kp (k2Z). L A T E X bði T÷ Duy Mð 22 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C 2 4 x= 5p 12 +kp x= p 12 +k2p (k2Z). D 2 4 x= 5p 12 +k2p x= p 12 +kp (k2Z). Líi gi£i. Đặtt=sinx+cosx= p 2cos x p 4 ,t2[ p 2; p 2].Khiđó,phươngtrìnhđãchotrởthành t 2 1 3 p 3 p 2 t+4=0,t 2 3 p 6 2 t+3=0, 2 4 t= p 6 (loại) t= p 6 2 : Tacót= p 6 2 ,cos x p 4 = p 3 2 , 2 4 x= 5p 12 +k2p x= p 12 +k2p (k2Z). Chån ¡p ¡n A C¥u 58. Tìmsốnghiệmcủaphươngtrìnhcos(3sinx)=0trênkhoảng(p;3p). A 8. B 5. C 6. D 7. Líi gi£i. Tacócos(3sinx)=0,3sinx= p 2 +kp (*). Điềukiệnđể(*)cónghiệmlà36 p 2 +kp63)k=0;k=1. Dođó(*),sinx= p 6 . Dựavàođườngtrònlượnggiác,phươngtrìnhcó8nghiệmtrênkhoảng(2p;4p). cosx sinx O p 6 p 6 Chån ¡p ¡n A C¥u 59. Phươngtrìnhjcosxj= p 3 2 cóbaonhiêunghiệmtrênđoạn p; 7p 2 ? A 10. B 9. C 8. D 11. Líi gi£i. jcosxj= p 3 2 , 2 6 6 4 cosx= p 3 2 cosx= p 3 2 : Dựavàođườngtrònlượnggiác,phươngtrìnhcó9nghiệmtrênđoạn p; 7p 2 . cosx sinx O p 3 2 p 3 2 Chån ¡p ¡n B C¥u 60. Chocáchàmsốy=sin2xvày=cosxcóđồthịtrongcùnghệtọađộnhưsau L A T E X bði T÷ Duy Mð 23 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com x y O p 2 3p 2 p 2p 1 1 Hỏihaiđồthịcắtnhautạibaonhiêuđiểmcóhoànhđộthuộckhoảng(0;2018)? A 1285điểm. B 1284điểm. C 321điểm. D 4036điểm. Líi gi£i. - Hai đồ thị gặp nhau điểm đầu tiên có hoành độ nhỏ hơn 1, điểm thứ hai tại x= p 2 > 3 2 và có 4 giao điểm trong khoảng(0;2p);hơnnữa,cáchàmsốđãchotuầnhoànsaumỗikhoảng2p. -Lạicó2018=321:2p+avớia'1;098< p 2 .Nhưvậyngoài4:321=1284giaođiểmtrong321chukỳ2p đầutiên, haiđồthịcòngặpnhauthêm1lầnnữa. Chån ¡p ¡n A C¥u 61. Choy= msinx+1 2+cosx .Tìmmđểminy<1. A m<3. B m>2. C m<0. D m>2 p 2_m<2 p 2. Líi gi£i. Tacóy= msinx+1 2+cosx ,2y+ycosx=msinx+1,ycosxmsinx=12y (1). Phươngtrình(1)cónghiệmkhivàchỉkhi y 2 +m 2 >(12y) 2 , 3y 2 4y+1m 2 60 , 2 p 3m 2 +1 3 6y6 2+ p 3m 2 +1 3 ) miny= 2 p 3m 2 +1 3 : Dođó: miny<1 , 2 p 3m 2 +1 3 <1 , 2 p 3m 2 +163 , p 3m 2 1>5 , " m>2 p 2 m<2 p 2: Chån ¡p ¡n D C¥u 62. Xét hàm số f(x)=cos2x trên tập hợpD =[0;2p] và có đồ thị cho ở hình vẽ. Tìm số giao điểm tối đacủađườngthẳngy=mvớim2Rvàđồthịhàmsốg(x)=jf(x)j. L A T E X bði T÷ Duy Mð 24 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com x y O p 4 3p 4 5p 4 7p 4 p 2p 1 A 9. B 10. C 8. D 7. Líi gi£i. Đồthịhàmsốg(x)=jf(x)jvàđườngthẳngy=mnhưsau: x y O p 4 3p 4 5p 4 7p 4 p 2p 1 y=m Chån ¡p ¡n C C¥u 63. Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsốmđểphươngtrìnhcos2x(2m1)cosxm+1=0cóđúnghai nghiệmx2 h p 2 ; p 2 i . A 06m<1. B 10;8t luôncóhainghiệmphânbiệtt 1 ;t 2 . TheođịnhlýViét,tacót 1 t 2 =1)jt 1 jjt 2 j=1) 2 4 t 1 2 p 2; p 2 t 2 2 p 2; p 2 : Vậyphươngtrìnhluôncónghiệmvới8m2R. Chån ¡p ¡n A C¥u 65. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 3sinx+4cosx=(m 3 4m+3)x+ m+5vônghiệm? A Vôsố. B 1. C 2. D 3. Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 25 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Vớim=1tacóphươngtrình3sinx+4cosx=6(vônghiệm.) Vớim=3tacóphươngtrình3sinx+4cosx=8(vônghiệm.) Vớimọim6=1vàm6=3thìtathấyđồthịhàmsốy=3sinx+4cosxvàđồthịhàmsốbậcnhấty=(m 3 4m+3)x+ m+5luôncóítnhấtmộtgiaođiểmnênphươngtrìnhđãcholuôncónghiệm. Vậychỉcó2giátrịthựccủamđểphươngtrìnhđãchovônghiệm. Chån ¡p ¡n C C¥u 66. GiátrịlớnnhấtM vàgiátrịnhỏnhấtmcủahàmsốcủahàmsốy= sinx+2cosx1 sinx+cosx+2 lầnlượtlà: A M=1;m=2. B M=2;m=1. C M=2;m=1. D M= 5+ p 33 2 ;m= 5 p 33 2 . Líi gi£i. Tacó y= sinx+2cosx1 sinx+cosx+2 , y(sinx+cosx+2)=sinx+2cosx1 , (y1)sinx+(y2)cosx=12y (): Phươngtrình()cónghiệmkhivàchỉkhi (y1) 2 +(y2) 2 >(12y) 2 , 2y 2 10y+4>0 , 5 p 33 2 6y6 5+ p 33 2 : TừđótacóM= 5+ p 33 2 ;m= 5 p 33 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 67. Tìmtậpxácđịnhcủahàmsốy= cotx cosx1 . A D =Rn n p 2 +k2p;k2Z o . B D =Rnfkp;k2Zg. C D =Rnfk2p;k2Zg. D D =Rn kp 2 ;k2Z . Líi gi£i. Hàmsốxácđịnhkhi ( sinx6=0 cosx6=1 , ( x6=kp;k2Z x6=k2p;k2Z ,x6=kp;k2Z. Chån ¡p ¡n B C¥u 68. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy= 2 cos3x+cosx . A D =R. B D =Rn p 2 +kp; p 4 + kp 2 ;k2Z . C D =Rn p 4 + kp 2 ;k2Z . D D =Rn p 2 +kp; p 6 + kp 3 ;k2Z . Líi gi£i. Điềukiệncos3x+cosx6=0,2cos2xcosx6=0,x6= p 4 + kp 2 ;x6= p 2 +kp. Chån ¡p ¡n B L A T E X bði T÷ Duy Mð 26 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 69. Chophươngtrình p 5sinx+cos2x+2cosx=0.Tìmmệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsau. A Phươngtrìnhvônghiệmtrênkhoảng(p;2p). B Phươngtrìnhcónghiệmtrênkhoảng 0; p 2 . C Mộthọnghiệmcủaphươngtrìnhlàx= p 6 +k2p;k2Z. D Mọinghiệmx 0 củaphươngtrìnhđềuthỏamãnsin3x 0 =1. Líi gi£i. Tacó p 5sinx+cos2x+2cosx=0, ( cosx60 5sinx+cos2x=4cos 2 x ,x= 5p 6 +k2p;k2Z. Mặtkhác,sin3 5p 6 +k2p =sin 5p 2 =1.nênmọinghiệmx 0 củaphươngtrìnhđềuthỏamãnsin3x 0 =1. Chån ¡p ¡n D C¥u 70. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy= cotx 2cos 2 x3cosx+1 . A D =Rn n kp; p 3 +k2p; p 3 +k2pjk2Z o . B D =Rnfk2pjk2Zg. C D =Rn n k2p; p 3 +kp; p 3 +kpjk2Z o . D D =Rn n kp; p 3 +kp; p 3 +kpjk2Z o . Líi gi£i. Hàmsốxácđịnhkhi ( sinx6=0 2cos 2 x3cosx+16=0 , ( sinx6=0 (cosx1)(2cosx1)6=0 , 8 > > < > > : sinx6=0 cosx6=1 cosx6= 1 2 , 8 > > < > > : x6=kp x6=k2p x6= p 3 +k2p ;k2Z: Chån ¡p ¡n A C¥u 71. Cáchọnghiệmcủaphươngtrình2cos2x+sinx=sin3xcódạngx=a+2kp;x=b+ kp 2 (k2Z), vớia;b2 h 0; p 2 i .TínhP=ab. A P= p 2 4 . B P= 3p 2 4 . C P= p 2 16 . D P= p 2 8 . Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđương 2cos2x=2cos2xsinx ,2cos2x(1sinx)=0 , " cos2x=0 sinx=1 , 2 6 4 x= p 4 +k p 2 x= p 2 +k2p: Vậyab = p 2 p 4 = p 2 8 . L A T E X bði T÷ Duy Mð 27 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Chån ¡p ¡n D C¥u 72. TậpnghiệmScủaphươngtrìnhtan 3 x p 4 =tanx1là A S= n k2p; p 4 +k2p;k2Z o . B S= n p 4 +kp;k2Z o . C S= n k2p; p 4 +kp;k2Z o . D S= n kp; p 4 +kp;k2Z o . Líi gi£i. Điềukiện: 8 > < > : x p 4 6= p 2 +kp x6= p 2 +kp , 8 > < > : x6= 3p 4 +kp x6= p 2 +kp: PT , sinxcosx cosx+sinx 3 =tanx1 , tanx1 1+tanx 3 =tanx1; tanx6=1 , " tanx=1 tan 3 x+2tan 2 x+5tanx=0 , " tanx=1 tanx=0 , 2 4 x= p 4 +kp x=kp (k2Z): Chån ¡p ¡n D C¥u 73. Đồ thị các hàm số y= r cos2x+4cosx+3 2 và y= cosx là các đường cong trong hình nào dưới đây? A 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 2 1 1 y O B 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 1 1 2 y O L A T E X bði T÷ Duy Mð 28 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 1 1 2 y O D 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 2 1 1 y O Líi gi£i. Dễthấyởcảbốnphươngánđềucóđồthịhàmy=cosx. Tacóy= r cos2x+4cosx+3 2 = p (cosx+1) 2 =cosx+1. Suyrađồthịhàmsốy= r cos2x+4cosx+3 2 cóđượcbằngcáchtịnhtiếnđồthịhàmsốy=cosxlêntrên1đơnvị. Chån ¡p ¡n C C¥u 74. GiátrịlớnnhấtM vàgiátrịnhỏnhấtmcủahàmsốy=2sin x+ p 6 cos x+ p 3 +sin2xlầnlượt là: A M= 1 2 vàm= 1 2 . B M=0vàm=1. C M= 1 2 vàm= 3 2 . D M= p 2 1 2 vàm= p 2 1 2 . Líi gi£i. Tacó y = 2sin x+ p 6 cos x+ p 3 +sin2x = sin 2x+ p 2 +sin p 3 +sin2x = cos2x+sin2x 1 2 = p 2sin 2x+ p 4 1 2 : Tacó16sin 2x+ p 4 61nên p 2 1 2 6y6 p 2 1 2 . Vậymaxy= p 2 1 2 ,đạtđượckhix= p 8 ;miny= p 2 1 2 ,đạtđượckhix= 3p 8 . Chån ¡p ¡n D L A T E X bði T÷ Duy Mð 29 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 75. Trongtấtcảcácnghiệmcủaphươngtrìnhsinx p 3cosx= p 2,gọix 1 ,x 2 lầnlượtlànghiệmâmlớn nhấtvànghiệmdươngnhỏnhất.Biếtrằng x 1 +3x 2 = ap b ,với a, blàcácsốnguyêndươngvà a b làphânsốtối giản.TínhtổngT =2a+b: A T =15. B T =17. C T =5. D T =16. Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 1 2 sinx p 3 2 cosx= p 2 2 ,sin x p 3 =sin p 4 , 2 6 4 x p 3 = p 4 +k2p x p 3 = 3p 4 +k2p , 2 6 4 x= 7p 12 +k2p x= 13p 12 +k2p: Tatìmđượcx 1 = 11p 12 vàx 2 = 7p 12 .Lúcđó,x 1 +3x 2 = 5p 6 . Chån ¡p ¡n D C¥u 76. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 sin 4 x+cos 4 x +cos4x+2sin2x+m=0 có ít nhất mộtnghiệmx2 h 0; p 2 i . A m2 1 3 ;0 . B m2 10 3 ;2 . C m2 1 3 ;1 . D m2 8 3 ; 4 3 . Líi gi£i. Tacó:sin 4 x+cos4x=1 1 2 sin 2 2x;cos4x=12sin 2 2x. Dođóphươngtrìnhđãchotươngđươngvới:3sin 2 2x2sin2x=m+3. (1) Đặtt=sin2x,vớix2 h 0; p 2 i thìt2[0;1]. Phươngtrình(1)trởthành3t 2 2t=m+3. (2) Xéthàmsốg(t)=3t 2 2t trênđoạn[0;1].Bảngbiếnthiên: t g 0 (t) g(t) 0 1 3 1 0 + 0 0 1 3 1 3 1 1 Phươngtrìnhđãchocóítnhấtmộtnghiệmx2 h 0; p 2 i khiphươngtrình(2)cónghiệmt2[0;1],hay 1 3 6m+361, 10 3 6m62: Chån ¡p ¡n B L A T E X bði T÷ Duy Mð 30 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 77. SốgiờcóánhsángmặttrờicủamộtthànhphốAởvĩđộ40 bắctrongngàythứt củamộtnămkhông nhuậnđượcchobởihàmsố d(t)=3sin h p 182 (t80) i +12vớit2Zvà00vớimọit2R.Suyrahàmsốy= f(t)đồngbiếntrênR.Suyra (), f(tanx)= f(cot(3x)),tanx=cot(3x),x= p 4 kp 2 ;k2Z: Chån ¡p ¡n D C¥u 81. Tính tổng S của tất cả các nghiệm của phương trình cos2xcosx=1+sin2xsinxtrênđoạn[p;4p]. A S=5p. B S=3p. C S=4p. D S=6p. Líi gi£i. Tacó cos2xcosx=1+sin2xsinx , cos2xcosxsin2xsinx=1 , cosx=1: Vìx2[p;4p]nêntacócácnghiệmlàx=0;x=2p;x=4p.VậyS=6p. Chån ¡p ¡n D C¥u 82. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2sin 2 2x3sin2x+m1= 0 có đúng hai nghiệm x2 h 0; p 4 i . A m2 2; 17 8 . B m2 1; 17 8 . C m2(1;2). D m2 2; 17 8 . Líi gi£i. Đặtt=sin2x,vớix2 h 0; p 4 i )2x2 h 0; p 2 i )t2[0;1]. Phươngtrìnhđãchotrởthành:2t 2 +3t+1=m. (1) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc đoạn h 0; p 4 i nếu phương trình(1) có đúng hai nghiệmt2[0;1]. Xét hàmsốg(t)=2t 2 +3t+1trênđoạn[0;1].Bảngbiếnthiên: L A T E X bði T÷ Duy Mð 32 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com t g 0 (t) g(t) 0 3 4 1 + 0 1 1 17 8 17 8 2 2 Từbảngbiếnthiêntathấyphươngtrìnhg(t)=mcóhainghiệmtrênđoạn[0;1]khi26m< 17 8 . Chån ¡p ¡n D C¥u 83. Tậptấtcảnhữnggiátrịthựccủamđểphươngtrìnhmcosx+cos3x=1+cos2xcótámnghiệmphân biệttrênkhoảng p 2 ; 5p 2 làkhoảng(a;b).TínhgiátrịP=ba. A 2. B 9 4 . C 25 4 . D 4. Líi gi£i. Tacómcosx+cos3x=1+cos2x,cosx(4cos 2 x2cosx3+m)=0, " cosx=0 4cos 2 x2cosx3+m=0: Phương trìnhcosx=0,x= p 2 +kp,vìx2 p 2 ; 5p 2 )x2 p 2 ; 3p 2 . Đặtt=cosx. Với0 < > : f(1)>0 f(1)>0 f(0)<0 , 8 > < > : m1>0 m+3>0 m3<0 ,1 < > : 4m4 2m3 >0 4m4 2m3 61 , 8 > > < > > : m2(¥;1][ 3 2 ;+¥ 2m1 2m3 60 , 8 > > < > > : m2(¥;1][ 3 2 ;+¥ m2 1 2 ; 3 2 ,m2 1 2 ;1 : Vậyphươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhi 1 2 6m61. Chån ¡p ¡n B C¥u 87. Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịthựccủathamsố mđểphươngtrìnhcos 2 x2mcosx+6m9=0có nghiệmx2 p 2 ; p 2 : A 3 2 0;8x2 0; 2p 3 Do x2 o; 2p 3 nên 4x2 0; 8p 3 . Hình vẽ bên biểu diễn cung lượng giác có sốđo 8p 3 .Phươngtrìnhđãchocóhainghiệmkhivàchỉkhiđườngthẳngthẳng x=mcắtcunglượnggiácđótại3điểm.Vậy 1 2 6m<1. x y O A m 1 2 Chån ¡p ¡n B C¥u 91. Vớimỗicặp(a;b)(a;b2R),tađặtM(a;b)làgiátrịlớnnhấtcủa f(x)=jcosx+acos2x+bcos3xj. GọiM= min a;b2R M(a;b).Khẳngđịnhnàosauđâyđúng? A M2 0; 1 2 . B M2 1; 3 2 . C M2 1 2 ;1 . D M2 3 2 ;2 . Líi gi£i. max f(x)>max f p 3 ; f 5p 6 =max ( p 3 2 + a 2 ; p 3 2 + a 2 ) > p 3 2 .DođóM(a;b)> p 3 2 )M> p 3 2 : Mặtkhácxétg(x)=cosx 1 6 cos3x. Tacó:g 0 (x)=0,sinx+ 1 2 sin3x=0,4sin 3 xsinx=0, 2 4 x=kp x= p 6 +kp . g(kp)= 5 6 ,g p 6 +kp = p 3 2 .Vậymaxg(x)= p 3 2 hayM6 p 3 2 . NhưvậytacóM= p 3 2 . Chån ¡p ¡n C C¥u 92. Tìmtấtcảcácgiátrịcủamđểphươngtrìnhsin 6 x+cos 6 x=mcónghiệm. A m2[0; p 2]. B m2 1 4 ;1 . C m2[0;1]. D m2[1; p 2]. Líi gi£i. Tacósin 6 x+cos 6 x=1 3 4 sin 2 2x=1 3 4 1cos4x 2 . Phươngtrìnhđãchotươngđươngvớicos4x= 8m5 3 . Phươngtrìnhđãchocónghiệmkhi16 8m5 3 61, 1 4 6m61. Chån ¡p ¡n B L A T E X bði T÷ Duy Mð 37 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 93. Tìmmđểbấtphươngtrìnhsinx+cosx6m+sin2xcótậpnghiệmlàR. A m> 5 4 . B m> p 21. C m> 5 4 . D m> p 21. Líi gi£i. Đặtt=sinx+cosx= p 2sin x+ p 4 .Điềukiện p 26t6 p 2.Khiđó: t 2 =(sinx+cosx) 2 =1+2sinxcosx=1+sin2x)sin2x=t 2 1: Bấtphươngtrìnhđãchotrởthành: t6m+t 2 1,m>t 2 +t+1: (1) Yêu cầu bài toán là(1) nghiệm đúngvới mọit2[ p 2; p 2]. Do đồ thị hàm số f(t)=t 2 +t+1 là mộtParabol có đỉnhlàI 1 2 ; 5 4 ,bềlõmhướngxuốngnêntacóbảngbiếnthiênnhưsau t p 2 1 2 p 2 t 2 +t+1 p 21% 5 4 & p 2+1 Vậyyêucầubàitoánlàm> 5 4 . Chån ¡p ¡n A C¥u 94. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 p 4sinx+m+sinx = 3 p sin 3 x+4sinx+m8+2cónghiệmthực? A 22. B 18. C 21. D 20. Líi gi£i. Đặta= 3 p 4sinx+mvàb= 3 p sin 3 x+4sinx+m8. Khiđó:a 3 +sin 3 x=b 3 +8và a+sinx=b+2,(a+sinx) 3 =(b+2) 3 ,a 3 +sin 3 x+3asinx(a+sinx)=b 3 +8+3b2(b+2) ,(a+sinx)(asinx2b)=0, " a+sinx=0 asinx2b=0: TH1. a+sinx=0,m=sin 3 x4sinx. Dosinx2[1;1]nênsin 3 x4sinx2[5;5]hayphươngtrìnhcónghiệmkhim2[5;5]. TH2. asinx2b=0,sin 3 x(4sinx+m)=8(sin 3 x+4sinx+m8) , 8sin 3 x m=4sin 4 x8sin 3 x32sinx+64, 8sin 3 x m=4(sinx2) sin 3 8 ,m=84sinx. Dosinx2[1;1]nên(84sinx)2[4;12]hayphươngtrìnhcónghiệmkhim2[4;12]. Từhaitrườnghợptathuđượcm2[5;12]haycó18giátrịnguyêncủathamsốmthỏamãn. Chån ¡p ¡n B C¥u 95. Giảiphươngtrình2(tanxsinx)+3(cotxcosx)+5=0. L A T E X bði T÷ Duy Mð 38 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com A 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p x=arctan 3 2 +kp (k2Z). B 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p x=arctan 3 2 +k2p (k2Z). C 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p x=arctan 3 2 +kp (k2Z). D 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1 p 2 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1 p 2 2 p 2 ! +k2p x=arctan 3 2 +kp (k2Z). Líi gi£i. Điềukiệnsin2x6=0.Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 2sinx(sinxsinxcosx)+3cosx(cosxsinxcosx)+5sinxcosx=0 , (2sinx+3cosx)(sinx+cosxsinxcosx)=0 , " 2sinx+3cosx=0 (1) sinx+cosxsinxcosx=0 (2) Giải(1):Docosx=0khôngthỏamãn(1)nên(1)tươngđươngvới tanx= 3 2 ,x=arctan 3 2 +kp (k2Z): Giải(2):Đặtt=sinx+cosx= p 2sin x+ p 4 ,t2[ p 2; p 2].Khiđó,(2)trởthành t t 2 1 2 =0,t 2 2t1=0, " t=1+ p 2(loại) t=1 p 2: Tacó t=1 p 2,sin x+ p 4 = 1 p 2 p 2 , 2 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1 p 2 p 2 ! +k2p (k2Z). Chån ¡p ¡n A L A T E X bði T÷ Duy Mð 39 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 96. Tìmsốnghiệmcủaphươngtrìnhcos(3psinx)=cos(psinx)trênđoạn[p;4p]. A 22. B 20. C 21. D 19. Líi gi£i. cos(3psinx)=cos(psinx),3psinx=psinx+k2p, 2 4 sinx=k sinx= k 2 : Vì16sinx61vàk2Znên 2 6 6 4 sinx=0 sinx=1 sinx= 1 2 .Dựavàođườngtrònlượnggiác,phương trìnhcó21nghiệmtrênđoạn[p;4p]. Hoặc 2 6 6 6 6 6 4 x= kp 2 x= p 6 +k2p;x= 5p 6 +k2p x= p 6 +k2p;x= 7p 6 +k2p )kcó21giátrị. cosx sinx O 1 2 1 2 Chån ¡p ¡n C C¥u 97. Cho phương trình m(sinx+cosx)+sin2x= 0. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0;p]. A p 2 2 6m60. B 06m6 p 2 2 . C p 26m60. D 06m6 p 2. Líi gi£i. Đặtsinx+cosx=t;jtj6 p 2;suyrasinxcosx= t 2 1 2 . Khiđó,phươngtrìnhđãchotrởthành:mt+t 2 1=0,t 2 +mt1=0 (1). Vớix2[0;p]thì: 06x6p, p 4 6x+ p 4 6 5p 4 , p 2 2 6sin x+ p 4 61 ,16 p 2sin x+ p 4 6 p 2 ,16t6 p 2: Vậy để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc[0;p] thì (1) có đúng 2 nghiệm thỏa16t6 p 2. Nghĩa là ta cầncó: ( D>0 16t 1 > > > > > > < > > > > > > > : m 2 +4>0 (t 1 +1)(t 2 +1)>0 t 1 +t 2 +2>0 t 1 p 2 t 2 p 2 >0 t 1 +t 2 2 p 260 , 8 > > > > < > > > > : t 1 +t 2 +t 1 t 2 +1>0 t 1 +t 2 +2>0 t 1 t 2 p 2(t 1 +t 2 )+2>0 t 1 +t 2 2 p 260 , 8 > > > > < > > > > : m1+1>0 m+2>0 1+ p 2m+2>0 m2 p 260 , 8 > > > > > < > > > > > : m60 m62 m> 1 p 2 m>2 p 2 , p 2 2 6m60: L A T E X bði T÷ Duy Mð 40 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Vậy p 2 2 6m60làgiátrịcầntìmcủam. Chån ¡p ¡n A C¥u 98. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình 3 p m+3 3 p m+3cosx= cosx có nghiệmthực? A 5. B 2. C 3. D 7. Líi gi£i. Tacó: 3 p m+3 3 p m+3cosx=cosx,m+3 3 p m+3cosx=cos 3 x. Đặt 3 p m+3cosx=u)m+3cosx=u 3 thìphươngtrìnhtrêntrởthànhm+3u=cos 3 x. Đặtcosx=vthìtađược ( m+3v=u 3 m+3u=v 3 )3(vu)+(vu) v 2 +uv+u 2 =0,(vu) 3+v 2 +uv+u 2 =0: Do3+v 2 +uv+u 2 >0;8u;vnênphươngtrìnhtrêntươngđươngu=v. Suyra 3 p m+3cosx=cosx,m=cos 3 x3cosx. Đặtcosx=t;(16t61)vàxéthàm f(t)=t 3 3t trên[1;1]. Tacó f 0 (t)=3t 2 360;8t2[1;1]. Nênhàmsốnghịchbiếntrên[1;1])1= f(1)6 f(t)6 f(1)=2)26m62. Vậym2f2;1g. Chån ¡p ¡n B C¥u 99. Cho m < p là hai số nguyên dương trong đó m chẵn, p lẻ. Gọi n là số nghiệm của phương trình sinmx+sinpx=0trênkhoảng(0;p).Tínhgiátrịcủantheomvà p. A pm. B 2pm3. C p1. D m1. Líi gi£i. sinmx+sinpx=0,sinpx=sin(mx),x= k2p m+p hoặcx= p pm + k2p pm . 0< k2p m+p 1 2 . C 1 2 6m< 1 2 . D m<0_m>1. Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 41 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Đặtt=sinxcosx= p 2sin x p 4 ,jtj6 p 2. Khiđó,phươngtrìnhđãchotrởthành: t 2 2 p 2mt+4m2=0 D 0 =2m 2 4m+2=2(m1) 2 Suyraphươngtrìnhcónghiệmlà:t= p 2hoặct= p 2(2m1). t= p 2,x= 3p 4 +k2p (k2Z).Nhữngnghiệmnàyđượcbiểudiễnbởi1điểmtrênđườngtrònlượnggiác. t= p 2(2m1)nhậnđượckhijtj6 p 2,j2m1j61,06m61. Do đó, để tập nghiệm của phương trình có nhiều hơn 1 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì m phải thỏa2điềukiện: ( 06m61 p 2(2m1)6= p 2 ,06m<1: Vậy06m<1thìtậpnghiệmcủaphươngtrìnhđượcbiểudiễnnhiềuhơn1điểmtrênđườngtrònlượnggiác. Chån ¡p ¡n A C¥u 101. Tìmgiátrịnhỏnhấtcủahàmsốy=sin 4 x+cos 4 x. A 0. B 1 2 . C 1. D 2. Líi gi£i. Tacóy=sin 4 x+cos 4 x=sin 4 x+(1sin 2 x) 2 =2sin 4 x2sin 2 x+1. Đặtu=sin 2 x,tacó06u61. Dođóy= f(u)=u 2 2u+1. min x2[0; p 2 ] y= min u2(0;1) f(u)= f 1 2 = 1 2 . Dấubằngxảyrakhiu= 1 2 hayx= p 4 . Chån ¡p ¡n B C¥u 102. Tìm tập giá trị của m để phương trình 2sin 2 xmsin2x+(m+1)cos 2 x=1 không có 2 nghiệm thuộc 0; p 2 . A (¥;1]. B [0;1]. C (¥;0). D (1;+¥). Líi gi£i. Phươngtrình,sin 2 x2msinxcosx+mcos 2 x=0. Nhậnthấycosx=0khônglànghiệmcủaphươngtrình. Vớicosx6=0,chiacảhaivếchocos 2 xtađượctan 2 x2mtanx+m=0. Đặtt=tanx,vớix2 0; p 2 thìt >0.Phươngtrìnhtrởthànht 2 2mt+m=0. Đểphươngtrìnhcóhainghiệmthuộc 0; p 2 thìphươngtrìnhtheoẩnt phảicóhainghiệmthuộc(0;+¥). , 8 > > > < > > > : D 0 >0 b a >0 c a >0 , 8 > < > : m 2 m>0 2m>0 m>0 ,m>1. Vậyđểphươngtrìnhđãchokhôngcó2nghiệmthuộc 0; p 2 thìm61. Chån ¡p ¡n A L A T E X bði T÷ Duy Mð 42 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 103. Địnhtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrìnhcos 4 x+(1cosx) 4 =mvônghiệm. A m60. B m<0hoặcm>2. C m< 1 8 . D m< 1 8 hoặcm>17. Líi gi£i. Đặtt= 1 2 cosx,tacót 2 2 0; 9 4 .Phươngtrìnhđãchotrởthành2t 4 +3t 2 + 1 8 m=0().Yêucầubàitoántương đươngvớicáctrườnghợpsauđây TH1:Phươngtrình()vônghiệm,tươngứngvớim<1; TH2:Phươngtrình()cócácnghiệmđềuâm,tươngứngvới16m< 1 8 ; TH3:Phươngtrình()cómộtnghiệmlớnhơn 9 4 ,từđótìmđượcm>17. Nhưvậy,m< 1 8 hoặcm>17làcácgiátrịcầntìmcủathamsốm. Chån ¡p ¡n D C¥u 104. GiátrịlớnnhấtM vàgiátrịnhỏnhấtmcủahàmsốcủahàmsốy= cosx2sinx 2sinx lầnlượtlà: A M= 1 2 ;m= 1 2 . B M= 1 2 ;m=2. C M= 2+ p 19 3 ;m= 2 p 19 3 . D M=1;m= 2 3 . Líi gi£i. Tacóy= cosx2sinx 2sinx ,y(2sinx)=cosx2sinx,(y2)sinx+cosx=2y (). Phươngtrình()cónghiệmkhivàchỉkhi (y2) 2 +1>(2y) 2 , y 2 4y+4+1>4y 2 , 3y 2 +4y560 , 2 p 19 3 6y6 2+ p 19 3 : TừđótacóM= 2+ p 19 3 ;m= 2 p 19 3 . Chån ¡p ¡n C C¥u 105. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy= sinx cos 2 xsin 2 x . A D =Rn p 4 + kp 2 ;k2Z . B D =Rn n p 4 +kp;k2Z o . C D =Rn n p 2 +kp;k2Z o . D D =Rn kp 2 ;k2Z . Líi gi£i. Điềukiệncos 2 xsin 2 x6=0,cos2x6=0,x6= p 4 + kp 2 . Chån ¡p ¡n A C¥u 106. TổnggiátrịlớnnhấtvớigiátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcA=sin 2 x+sinxcosx+2cos 2 xlà A 3 2 . B p 2. C 3. D 3 2 + p 2 2 . L A T E X bði T÷ Duy Mð 43 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Líi gi£i. A=1+sinxcosx+cos 2 x=1+ 1 2 sin2x+ 1+cos2x 2 = 3 2 + 1 2 (sin2x+cos2x). Vì p 26sin2x+cos2x6 p 2nên 3 2 p 2 2 6A6 3 2 + p 2 2 . VậyminA+maxA=3. Chån ¡p ¡n C C¥u 107. Xét phương trình 5(1+cosx)=2+sin 4 xcos 4 x. Gọi M;m lần lượt là nghiệm lớn nhất và nhỏ nhấtcủaphươngtrìnhtrongkhoảng(0;100p).TínhtổngM+m. A 98p. B 101p. C 100p. D 99p. Líi gi£i. Phươngtrìnhtươngđươngvới2cos 2 x+5cosx+2=0, 2 4 cosx=2 cosx= 1 2 . Phươngtrìnhcosx= 1 2 ,x= 2p 3 +k2p. Trongkhoảng(0;100p)giátrịnhỏnhấtvàlớnnhấtcủahọnghiệmx= 2p 3 +k2p lầnlượtlà 2p 3 và 296p 3 . Trongkhoảng(0;100p)giátrịnhỏnhấtvàlớnnhấtcủahọnghiệmx= 2p 3 +k2p lầnlượtlà 4p 3 và 298p 3 . VậyM+m=100p. Chån ¡p ¡n C C¥u 108. Phươngtrình 1+cos2x cosx = sin2x 1cos2x tươngđươngvới A 2 6 6 6 6 6 4 x= kp 4 x= p 6 + k2p 3 x= p 2 k2p (k2Z). B 1cos 2 2x=sin2xcosx. C sin2x(sin2x+cosx)=0. D 2 6 4 x= p 6 +k2p x= 5p 6 k2p (k2Z). Líi gi£i. Điềukiện:sinxcosx6=0:Phươngtrìnhđãchotươngđương 2cos 2 x cosx = 2sinxcosx 2sin 2 x ,2sinx=1, 2 6 4 x= p 6 +k2p x= 5p 6 +k2p: Chån ¡p ¡n D C¥u 109. Xét phương trình cos 2 x+(a+b)cosx+2ab=0 với a;b là tham số. Có bao nhiêu bộ số thực (a;b)đểcácnghiệmcủaphươngtrìnhđãchocóđiểmbiểudiễntrênđườngtrònlượnggiáclàbađỉnhcủamột tamgiácđều? A 2. B 0. C Vôsố. D 1. Líi gi£i. Đặtt=cosx,tađượcphươngtrìnht 2 +(a+b)t+2ab=0 (1). Cácđiểmbiểudiễncáchọnghiệmcủaphươngtrìnhcosx=t đốixứngnhauquatrụcOx. Từgiảthiết,phươngtrình(1)phảicómộtnghiệmt=1vàmộtnghiệmt= 1 2 hoặct=1vàmộtnghiệmt= 1 2 . L A T E X bði T÷ Duy Mð 44 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Từđócóhaihệphươngtrình 8 > < > : a+b= 1 2 2ab= 1 2 và 8 > < > : a+b= 1 2 2ab= 1 2 . Giảicáchệnày,được2bộsố(a;b). Chån ¡p ¡n A C¥u 110. Xét phương trình 2sin 2 x+(m 2 1)sinx+2m+1=0 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là bốn đỉnh củamộthìnhchữnhật? A 0. B 1. C 2. D 3. Líi gi£i. Đặtt=sinx,đượcphươngtrình2t 2 +(m 2 1)t+2m+1=0 (1). Cácđiểmbiểudiễncáchọnghiệmcủaphươngtrìnhsinx=t đốixứngnhauquatrụcOy. Từ giả thiết, phải có hai điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đối xứng nhau qua gốc tọa độ, từ đó phương trình (1)phảicóhainghiệmđốinhau,từđócóm 2 1=0,m=1. Vớim=1thì(1)trởthành2t 2 +3=0.Phươngtrìnhnàyvônghiệm. Vớim=1thì(1)trởthành2t 2 1=0,t= 1 p 2 .Dễthấycácnghiệmcủaphươngtrìnhthỏamãnyêucầuđềbài. Chån ¡p ¡n B C¥u 111. Giảiphươngtrìnhtan 2 x= 1cos 3 x 1sin 3 x . A 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p x=kp x= p 4 +kp (k2Z). B 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p x=k2p x= p 4 +k2p (k2Z). C 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1+ p 2 p 2 ! +kp x= 3p 4 arcsin 1+ p 2 p 2 ! +kp x=k2p x= p 4 +kp (k2Z). D 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p x=k2p x= p 4 +kp (k2Z). L A T E X bði T÷ Duy Mð 45 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Líi gi£i. Điềukiệncosx6=0.Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 1cos 2 x 1sin 2 x = 1cos 3 x 1sin 3 x , (1cos 2 x)(1sin 3 x)=(1cos 3 x)(1sin 2 x) , (1cosx)(1+cosx)(1sinx)(1+sinx+sin 2 x) =(1sinx)(1+sinx)(1cosx)(1+cosx+cos 2 x) , (1cosx)(1+cosx)(1+sinx+sin 2 x)=(1+sinx)(1cosx)(1+cosx+cos 2 x) , " 1cosx=0 (1) (1+cosx)(1+sinx+sin 2 x)=(1+sinx)(1+cosx+cos 2 x) (2) Giải(1):1cosx=0,cosx=1,x=k2p (k2Z). Giải(2): (1+cosx)(1+sinx+sin 2 x)=(1+sinx)(1+cosx+cos 2 x) , 1+sinx+sin 2 x+cosx+cosxsinx+cosxsin 2 x =1+cosx+cos 2 x+sinx+sinxcosx+sinxcos 2 x , sin 2 xcos 2 x+sin 2 xcosxsinxcos 2 x=0 , (sinxcosx)(sinx+cosx+sinxcosx)=0 , " sinx=cosx (3) sinx+cosx+sinxcosx=0: (4) Giải(3):sinx=cosx,tanx=1,x= p 4 +kp (k2Z). Giải(4):Đặtt=sinx+cosx= p 2sin x+ p 4 ,t2[ p 2; p 2].Khiđó,(4)trởthành t+ t 2 1 2 =0,t 2 +2t1=0, t=1 p 2 (loại) t=1+ p 2 Tacót=1+ p 2,sin x+ p 4 = 1+ p 2 p 2 , 2 6 6 6 6 4 x= p 4 +arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p x= 3p 4 arcsin 1+ p 2 p 2 ! +k2p vớik2Z. Chån ¡p ¡n D C¥u 112. Phươngtrìnhcos(sinx)=1cóbaonhiêunghiệmtrênkhoảng(2p;4p)? A 6. B 8. C 5. D 7. Líi gi£i. Tacócos(sinx)=1,sinx=k2p (*). Điềukiệnđể(*)cónghiệmlà16k2p61)k=0. Dođó(*),sinx=0,x=lp.Vìx2(2p;4p)nênl2f1;0;1;2;3g. Chån ¡p ¡n C C¥u 113. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0;2023) của phương trình lượng giác p 3(1cos2x)+sin2x4cosx+8=4 p 3+1 sinx.TổngtấtcảcácphầntửcủaSlà A 312341 3 p. B 104760p. C 102827p. D 310408 3 p. L A T E X bði T÷ Duy Mð 46 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Líi gi£i. Tacó p 3(1cos2x)+sin2x4cosx+8=4 p 3+1 sinx ,2 p 3sin 2 x+2sinxcosx4cosx+8=4 p 3+1 sinx ,2 p 3sinx(sinx2)+2cosx(sinx2)=4(sinx2) ,2 p 3sinx+2cosx=4(vìsinx61<2) , p 3sinx+cosx=2,sinxcos p 6 +cosxsin p 6 =1 ,sin x+ p 6 =1,x+ p 6 = p 2 +k2p,x= p 3 +k2p(k2Z). Theođềbàix2(0;2023)) p 3 +k2p2(0;2023))2k+ 1 3 2 0; 2023 p )k2f0;1;:::;321g. TổngtấtcảcácphầntửcủaSlà 322 p 3 +(0+1+2++321)2p =322 p 3 +516812p = 310408 3 p. Chån ¡p ¡n D C¥u 114. Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrìnhsin 4 x+(sinx1) 4 =mcónghiệm thuộckhoảng h p 6 ; p 2 i : A 1 8 6m61. B m> 1 8 . C 1 8 4 p 21. Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvớisin2x4(sinxcosx)=m. Đặtt=sinxcosx= p 2sin x p 4 ,jtj6 p 2: Phươngtrìnhđãchotrởthànht 2 4t+1=m,t2 h p 2; p 2 i : Lậpbảngbiếnthiêncủa f(t)=t 2 4t+1)m= f(t)cónghiệmkhivàchỉkhi14 p 26m61+4 p 2: Chån ¡p ¡n B C¥u 116. Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịcủamđểphươngtrìnhsin 3 xcos 3 x=mcónghiệm. A 16m61. B 10;8t2 h p 2; p 2 i .Đẳngthứcxảyrakhit=12 h p 2; p 2 i . Suyra min [ p 2; p 2] f(t)=2. Tacó f(t)2=t 3 +3t2=(t1) 2 (2+t)60;8t2 h p 2; p 2 i .Đẳngthứcxảyrakhit=12 h p 2; p 2 i . Suyra max [ p 2; p 2] f(t)=2. Vậyphươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhi262m62,16m61. Cách2:Xéthàmsố f(t)=t 3 +3t trên[ p 2; p 2]tacóbảngbiếnthiênsau: t f 0 (t) f(t) p 2 1 1 p 2 0 + 0 p 2 p 2 2 2 2 2 p 2 p 2 Từđósuyraphươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhi16m61. Chån ¡p ¡n A C¥u 117. Giátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủahàmsốy=3sin 4 x+cos4xlầnlượtlà A 3và5. B 4và5. C 4và 5 11 . D 3và 5 11 . Líi gi£i. y=3 1cos2x 2 2 +2cos 2 2x1= 11 4 cos 2 2x 3 2 cos2x 1 4 Đặtt=cos2x;16t61.Tacóhàmsốy= 11 4 t 2 3 2 t 1 4 . Bảngbiếnthiên t y 1 3 11 1 4 4 5 11 5 11 1 1 Vậymaxy=4vàminy= 5 11 . Chån ¡p ¡n C C¥u 118. GiátrịlớnnhấtM vàgiátrịnhỏnhấtmcủahàmsốcủahàmsốy= 2+cosx sinx+cosx2 lầnlượtlà: A M= 1 3 ;m=3. B M= 1 3 ;m=3. C M=3;m= 1 3 . D M= 5+ p 19 2 ;m= 5 p 19 2 . Líi gi£i. Tacóy= 2+cosx sinx+cosx2 ,y(sinx+cosx2)=2+cosx ,ysinx+ycosx2y=2+cosx,ysinx+(y1)cosx=2+2y L A T E X bði T÷ Duy Mð 48 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Phươngtrìnhtrêncónghiệmkhivàchỉkhiy 2 +(y1) 2 >(2+2y) 2 ,2y 2 +10y+360, 5 p 19 2 6y6 5+ p 19 2 . Vậymaxy= 5+ p 19 2 ,miny= 5 p 19 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 119. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy= r 1cosx 1+cosx . A D =Rnfk2p;k2Zg. B D =Rn n p 2 +kp;k2Z o . C D =R. D D =Rnfp+k2p;k2Zg. Líi gi£i. Điềukiện 1cosx 1+cosx >0. Vì16cosx61nên1cosx>0và1+cosx>0vớimọix2R. Dođóđiềukiệnxácđịnhlà1+cosx6=0,x6=p+k2p. Chån ¡p ¡n D C¥u 120. Phươngtrìnhsin 2 xsin2x+2cos 2 x=1tươngđươngvớiphươngtrìnhnào? A 2tanx+1=0. B cosx(2sinx1)=0. C sinx(2sinx1)=0. D tanx(2tanx+1)=0. Líi gi£i. sin 2 xsin2x+2cos 2 x=1 , (1sin 2 x)2sinxcosx+2cos 2 x=0 , cosx(2sinx+1)=0: Chån ¡p ¡n B C¥u 121. Chophươngtrìnhchứathamsốthựcm (m2sinx)(msinx2)=(mcosx2)(m2cosx) Khim6=0,phươngtrìnhđãchocóbaonhiêunghiệmnằmtrongđoạn[20p;25p]? A 6. B 5. C 4. D 3. Líi gi£i. Phươngtrìnhtươngđươngvới (cosxsinx) 2m(cosx+sinx)(m 2 +4) =0, 2 6 6 4 x= p 4 +kp sin x+ p 4 = m 2 +4 2m p 2 () Phươngtrình()cónghiệmtươngđươngvới m 2 +4 2jmj p 2 61, jmj p 2 2 +260(vôlí). Với m6=0 có 20p6 p 4 +kp625p)k2f20;21;22;23;24g. Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thỏa mãn yêu cầubàitoán. Chån ¡p ¡n B C¥u 122. Tìm số nghiệm của phương trình (1+cos2x+sin2x)cosx+cos2x 1+tanx = cosx trong khoảng 0; p 2 . L A T E X bði T÷ Duy Mð 49 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com A 1. B 2. C 0. D 3. Líi gi£i. Trongkhoảng 0; p 2 phươngtrìnhđãchotươngđương (sinx+cosx)[(sinx+cosx+cosxsinx)cosx+cosxsinx1]=0 ,(sinx+cosx)(cosxsinx)(cosx+sinx+1)=0 , 2 6 4 sinx+cosx=0 cosxsinx=0 sinx+cosx+1=0 , 2 6 6 6 6 6 4 p 2sin x+ p 4 =0 p 2cos x+ p 4 =0 sin x+ p 4 = 1 p 2 , 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x= p 4 +kp x= p 4 +kp x= p 2 +k2p x= p 2 +k2p: Vìx2 0; p 2 nênx= p 4 . Chån ¡p ¡n A C¥u 123. Gọi x 1 ;x 2 ;:::;x n là tất cả các nghiệm của phương trình cos1009xcos1008x=0 với 0 32 p 2 2 . C m<1. D 32 p 2 2 0 f(t) p 2 1 p 2 0 + f( p 2) f( p 2) f(1) f(1) f( p 2) f( p 2) Sốnghiệmcủa()làsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố y= f(t)vớit2[ p 2; p 2]vàđườngthẳng y=2m.Dựavào bảngbiếnthiên,tathấy(*)cónghiệmt2[ p 2; p 2]khivàchỉkhi262m62 p 2+1, 12 p 2 2 6m61. Chån ¡p ¡n A C¥u 126. Tìmsốnghiệmcủaphươngtrình p xx 2 sin2017x=0. A 643nghiệm. B 644nghiệm. C 645nghiệm. D 642nghiệm. Líi gi£i. Tậpxácđịnhcủaphươngtrìnhlàxx 2 >0,x2[0;1]:Khiđó p xx 2 sin2017x=0, "p xx 2 =0 sin2017x=0 , 2 4 x2[0;1] x= kp 2017 : Kếthợpvớitậpxácđịnh,tacó06k6 2017 p ,k2f0;1;2;:::;642g:Vậyphươngtrìnhcó644nghiệm. Chån ¡p ¡n B C¥u 127. Tổngtấtcảcácnghiệmthuộc 0; p 2 củaphươngtrình8sinx= p 3 cosx + 1 sinx là A 7p 12 . B p 6 . C 3p 2 . D p 12 . Líi gi£i. Điềukiệnx6=k p 2 vớik2Z.Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 8sin 2 xcosx= p 3sinx+cosx,4(1cos2x)cosx= p 3sinx+cosx ,4cos2xcosx= p 3sinx3cosx,2(cos3x+cosx)= p 3sinx3cosx ,cos3x= 1 2 cosx p 3 2 sinx,cos3x=cos x+ p 3 , 2 6 4 x= p 6 +kp x= p 12 +k p 2 : Khiđócácnghiệmcủaphươngtrìnhthuộc 0; p 2 làx= p 6 ,x= 5p 12 .Tổngtấtcảcácnghiệmcủaphươngtrìnhthuộc 0; p 2 bằng 7p 12 . Chån ¡p ¡n A L A T E X bði T÷ Duy Mð 51 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 128. Gọi m là số nghiệm của phương trình cos 2x p 4 =1 thuộc đoạn[0;50]. Khẳng định nào sau đâylàđúng? A m>17. B 00. DođóM= p 3,m=0. Chån ¡p ¡n B C¥u 130. Tìmmđểphươngtrìnhsinx+cosx=m+sin2xvônghiệm. A 2 4 m> 5 4 m<1 p 2 . B 2 4 m> 5 4 m61 p 2 . C 2 4 m> 5 4 m61 p 2 . D 2 4 m> 5 4 m<1 p 2 . Líi gi£i. Đặtt=sinx+cosx= p 2sin x+ p 4 ,t2[ p 2; p 2].Khiđó,phươngtrìnhđãchotrởthành t=t 2 +m1,t 2 t=1m: (*) Đặt f(t)=t 2 t vớit2[ p 2; p 2].Tacó f( p 2)=2+ p 2, f( p 2)=2 p 2và f 1 2 = 1 4 . t a >0 f(t) p 2 1 2 p 2 0 + f( p 2) f( p 2) f 1 2 f 1 2 f( p 2) f( p 2) Sốnghiệmcủa()làsốgiaođiểmcủađồthịhàmsốy= f(t)vớit2[ p 2; p 2]vàđườngthẳngy=1m.Dựavào bảngbiếnthiên,tathấy()vônghiệmkhivàchỉkhi " 1m< 1 4 1m>2+ p 2 , 2 4 m> 5 4 m<1 p 2: L A T E X bði T÷ Duy Mð 52 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Chån ¡p ¡n A C¥u 131. Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrình2sinx+mcosx=1mcónghiệmthuộc đoạn h p 2 ; p 2 i . A 26m66. B 16m63. C 36m61. D 16m63. Líi gi£i. Cách1. Tacócos x 2 khônglànghiệmcủaphươngtrình.Đặtt=tan x 2 .Từphươngtrìnhvàgiảthiết,yêucầubàitoántrởthành tìmmđểphươngtrình f(t)=t 2 4t+1=2mcónghiệmt2[1;1].Bảngbiếnthiên t y 1 1 f(1) f(1) f(1) f(1) Trênđoạn[1;1]hàm f(t)nghịchbiến,vìvậyphươngtrình f(t)=2mcónghiệmkhivàchỉkhi , f(1)62m6 f(1),16m63: Cách2.Dom+1m6=0nêncos x 2 =0khônglànghiệmcủaphươngtrình(1). Đặtt=tan x 2 .Khiđósinx= 2t 1+t 2 ;cosx= 1t 2 1+t 2 .Phươngtrình(1)trởthành f(t)=t 2 4t+12m=0 (2) Để(1)cónghiệmx2 h p 2 ; p 2 i , x 2 2 h p 4 ; p 4 i ,thìphươngtrình(2)cónghiệmt2[1;1]. Trườnghợp1.Phươngtrình(2)cómộtnghiệmt2(1;1)vàmộtnghiệmt = 2[1;1] , f(1):f(1)<0,(62m)(22m)<0,1 > > > > < > > > > > : D 0 >0 1:f(1)>0 1:f(1)>0 1< S 2 <1 , 8 > > > < > > > : 2m+3>0 62m>0 22m>0 1<2<1 hệvônghiệm. Trườnghợp3.Xét f(1)=0,m=3,thỏamãn. Trườnghợp4.Xét f(1)=0,m=1,thỏamãn. Vậy16m63. Chån ¡p ¡n D C¥u 132. Phươngtrình tanx 1tan 2 x = cot x+ p 4 2 cóbaonhiêunghiệmtrongđoạn p 2 ;6p ? A 19. B 12. C 18. D 11. Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 53 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com tanx 1tan 2 x = cot x+ p 4 2 ,tan2x=cot x+ p 4 . (1) Điềukiện: 8 > < > : 2x6= p 2 +kp x+ p 4 6=kp , 8 > < > : x6= p 4 + kp 2 x6= p 4 +kp ;k2Z. Khiđó:(1),cot p 2 2x =cot x+ p 4 , p 2 2x=x+ p 4 +kp,x= p 12 + kp 3 ;k2Z. Trongđoạn p 2 ;6p có19nghiệm,nhưngdođiềukiệnnêncòn12nghiệm. Chån ¡p ¡n B C¥u 133. Phươngtrìnhtan2x+tanx=0cóbaonhiêunghiệmtrongđoạn[4p;5p]? A 27. B 18. C 28. D 19. Líi gi£i. Điềukiện: 8 > < > : 2x6= p 2 +kp x6= p 2 +kp , 8 > < > : x6= p 4 + kp 2 x6= p 2 +kp ,k2Z. Khiđó: tan2x+tanx=0,tan2x=tanx,tan2x=tan(x),2x=x+kp ,3x=kp,x= kp 3 ;k2Z(thỏađiềukiện) Màx2[4p;5p]nên4p6 kp 3 65p,126k615 Vậy,sốnghiệmlà28. Chån ¡p ¡n C C¥u 134. Cho phương trình sin2x+2cosx+cos2x2sinx1= 0. Tính tổng S tất cả các nghiệm thuộc (p;p)củaphươngtrìnhđãcho. A S= 2p 3 . B S=p. C S= 6p 7 . D S=2p. Líi gi£i. sin2x+2cosx+cos2x2sinx1=0 , (cosxsinx)(sinx+1)=0 , cos x+ p 4 (sinx+1)=0 , 2 6 4 x= p 4 +kp x= p 2 +k2p: Suyracácnghiệmthuộc(p;p)là p 4 ; 3p 4 ; p 2 .VậyS=p. Chån ¡p ¡n B C¥u 135. Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsốmđểphươngtrìnhjsinx+cos2xj=mcónghiệm? A 0. B 2. C 3. D 1. Líi gi£i. Đặtt=sinx,tacóphươngtrìnhm=j2t 2 t1j. Xéthàmsố f(t)=j2t 2 t1jvớit2[1;1],đượcmiềngiátrịcủa f(t)là[0;2]. Dođó,có3giátrịnguyêncủamđểphươngtrìnhcónghiệm. Chån ¡p ¡n C L A T E X bði T÷ Duy Mð 54 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 136. Phươngtrìnhsin5xsinx=0cóbaonhiêunghiệmthuộcđoạn[2018p;2018p]? A 16144. B 20179. C 16145. D 20181. Líi gi£i. Tacó sin5xsinx=0 ,sin5x=sinx , " 5x=x+k2p 5x=px+k2p , 2 6 4 x=k p 2 x= p 6 +k p 3 , 2 6 6 6 6 6 4 x=k p 2 (k2Z) x= 5p 6 +mp (m2Z) x= p 6 +np (n2Z): Vì x2[2018p;2018p] nên 8 > > > > > < > > > > > : 2018p6k p 2 62018p 2018p6 5p 6 +mp62018p 2018p6 p 6 +np62018p , 8 > > > > < > > > > : 40366k64036 12113 6 6m6 12103 6 12109 6 6n6 12107 6 . Do đó có 8073 giá trị k,4036giátrịm,4036giátrịn,suyrasốnghiêmcầntìmlà16145nghiệm. Chån ¡p ¡n C C¥u 137. Tìmtấtcảcácgiátrịcủamđểphươngtrìnhcos 2 x+(m4)cosx2m+4=0cóđúnghainghiệm x2 h p 3 ;2p i . A 2 4 m=1 3 2 6m63 . B 16m< 3 2 . C 16m6 3 2 . D 2 4 m=1 3 2 1(loại): Dựavàođườngtrònlượnggiáctathấyphươngtrìnhcóhainghiệmx2 h p 3 ;2p i khi 2 4 2m=1 1<2m< 1 2 , 2 4 m=1 3 2 < > : x6= p 2 +kp x6= p 4 +kp (k2Z). Khi đó, ta biến đổi phương trình về dạng sin 2 x= 2 1+a 2 . Từ đây dễ thấy để phươngtrìnhbanđầucónghiệmthìa 2 >1vàa 2 6=3,tươngđươngvớiđiềukiệna2(¥;1)[(1;+¥)n p 3 . Chån ¡p ¡n D C¥u 143. Số nghiệm của phương trình 4sin 3 xcos3x+4cos 3 xsin3x+3 p 3cos4x= 3 thuộc khoảng (0;p) là A 4. B 1. C 2. D 3. Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 4sin 3 x(4cos 3 x3cosx)+4cos 3 x(3sinx4sin 3 x)+3 p 3cos4x=3 ,12sin 3 xcosx+12cos 3 xsinx+3 p 3cos4x=3 ,4sinxcosx(cos 2 xsin 2 x)+ p 3cos4x=1 ,2sin2xcos2x+ p 3cos4x=1,sin4x+ p 3cos4x=1 ,sin 4x+ p 3 = 1 2 , 2 6 4 x= p 24 +k p 2 x= p 8 +k p 2 vớik2Z Vậycótấtcả4nghiệmthuộckhoảng(0;p)làx= 11p 24 ,x= 23p 24 ,x= p 8 ,x= 5p 8 . Chån ¡p ¡n A C¥u 144. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy= r 2sinx 1sinx . A D =Rn n p 2 +k2p;k2Z o . B D =Rnfk2p;k2Zg. C D = n p 2 +kp;k2Z o . D D = n p 2 +k2p;k2Z o . Líi gi£i. Điềukiện 2sinx 1sinx >0.Vì16sinx61nên2sinx>0và1sinx>0vớimọix2R. Dođóđiềukiệnxácđịnhlà1sinx6=0,x6= p 2 +k2p. Chån ¡p ¡n A L A T E X bði T÷ Duy Mð 57 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 145. Đểphươngtrìnhsin 6 x+cos 6 x=mcónghiệm,thamsốmphảithoảmãnđiềukiệnnàodướiđây? A 16m62. B 26m61. C 1 4 6m61. D 7 4 6m6 1 4 . Líi gi£i. Cách1:Dùngphươngpháploạitrừvì06sin 6 x+cos 6 x61. Cách2:Tacósin 6 x+cos 6 x=m, sin 2 x+cos 2 x 3 3sin 2 xcos 2 x=m,1 3 4 sin 2 2x=m. Từđósuyraphươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhi 1 4 6m61. Chån ¡p ¡n C C¥u 146. Tìmtậpnghiệmcủaphươngtrình p 3sin 2 x2sinxcosx p 3cos 2 x 2sinx+ p 3 4cos 2 x3 =0. A p 3 +kp; k2Z . B p 6 +k p 2 ; k2Z . C p 3 +kp; p 6 +kp; k2Z . D p 6 +(4k+1) p 2 ; k2Z . Líi gi£i. Điềukiện: 8 > > < > > : sinx6= p 3 2 cosx6= p 3 2 : Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới p 3sin 2 x2sinxcosx p 3cos 2 x=0. Xétthấycosx=0khôngthỏaphươngtrìnhnêntachia2vếchocos 2 x.Tađược p 3tan 2 x2tanx p 3=0, 2 4 tanx= p 3 tanx= p 3 3 , 2 6 4 x= p 3 +kp x= p 6 +kp: Kếthợpvớiđiềukiệntađượcx= p 3 +k2p = p 6 +(4k+1) p 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 147. Phương trình 1+ p 2 (sinxcosx)+ p 2sinxcosx=1+ p 2 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [p;p]? A 4. B 1. C 2. D 3. Líi gi£i. Đặtt=sinxcosx;t2[ p 2; p 2].Khiđó,sinxcosx= 1t 2 2 ,phươngtrìnhtrởthành (1+ p 2)t+ p 2(1t 2 ) 2 =1+ p 2, p 2t 2 2(1+ p 2)t+2+ p 2=0, " t=1 t=1+ p 2(loại): Tacót=1, p 2cos x+ p 4 =1,x+ p 4 = 3p 4 +k2p, 2 4 x= p 2 +k2p x=p+k2p (k2Z). Vậytrongđoạn[p;p]có3nghiệmlàp; p 2 ;p. Chån ¡p ¡n D L A T E X bði T÷ Duy Mð 58 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 148. Tìmnghiệmcủaphươngtrìnhjsin9xj+jsin4xj=0. A x= np 2 (n2Z). B x=n3p(n2Z). C x=np(n2Z). D x=n2p(n2Z). Líi gi£i. PT, ( sin9x=0 sin4x=0 , 8 > < > : x= kp 9 x= tp 4 (k;t2Z):Xétphươngtrìnhnghiệmnguyên kp 9 = tp 4 ,k=2+ t 4 : Dok;t2Z)t=4n(n2Z):Vậyx= tp 4 = 4np 4 =np(n2Z). Chån ¡p ¡n C C¥u 149. Cho hàm số y= 1msinx cosx+2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn[0;10] để giá trịnhỏnhấtcủahàmsốnhỏhơn2? A 3. B 6. C 9. D 1. Líi gi£i. Tậpxácđịnh:D =R. Tacó:y= 1msinx cosx+2 ,ycosx+msinx=12y. Phươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhi y 2 +m 2 >14y+4y 2 ,3y 2 4y+1m 2 60, 2 p 1+3m 2 3 6y6 2+ p 1+3m 2 3 Theođềbài,tacó: 8 > > > < > > > : min x2R y= 2 p 1+3m 2 3 <2 m2[0;10] m2Z , 8 > < > : p 1+3m 2 >8 m2[0;10] m2Z , 8 > < > : 3m 2 >63 m2[0;10] m2Z , 8 > < > : m 2 >21 m2[0;10] m2Z ,m2f5;6;7;8;9;10g Vậycó6giátrịnguyêncủathamsốmthỏamãnyêucầubàitoán. Chån ¡p ¡n B C¥u 150. Tínhtổngcácnghiệmcủaphươngtrìnhsin 2016 x+cos 2016 x=2 sin 2018 x+cos 2018 x trongkhoảng (0;2018). A 1285 2 2 p. B (642) 2 p. C 1285 4 2 p. D (643) 2 p. Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 59 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Tacó sin 2016 x+cos 2016 x=2 sin 2018 x+cos 2018 x , sin 2016 x2sin 2018 x+cos 2016x 2cos 2018 x=0 , sin 2016 x 12sin 2 x +cos 2016 x 12cos 2 x =0 , sin 2016 xcos2xcos 2016 xcos2x=0 , cos2x sin 2016 xcos 2016 x =0 , " cos2x=0 sin 2016 xcos 2016 x=0 , " cos2x=0 sinx=cosx , " cos2x=0 cos 2 xsin 2 x=0 , " cos2x=0 cos2x=0 , cos2x=0 , x= p 4 + kp 2 ; k2Z: Theoyêucầubàitoán,tatìmnghiệmthuộc(0;2018)nên 0 5 4 . B p 2+16m6 5 4 . C p 216m6 5 4 . D m6 5 4 . Líi gi£i. Đặtt=sinx+cosx= p 2sin x+ p 4 .Điềukiện p 26t6 p 2.Khiđó t 2 =(sinx+cosx) 2 =1+2sinxcosx=1+sin2x)sin2x=t 2 1: Phươngtrìnhđãchotrởthànht=m+t 2 1,m=t 2 +t+1 (1) Yêu cầu bài toán là(1) nghiệm đúngt2[ p 2; p 2]. Do đồ thị hàm số f(t)=t 2 +t+1 là một Parabol có đỉnh là I 1 2 ; 5 4 ,bềlõmhướngxuốngnêntacóbảngbiếnthiênnhưsau L A T E X bði T÷ Duy Mð 60 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com t p 2 1 2 p 2 t 2 +t+1 p 21% 5 4 & p 2+1 Vậyyêucầubàitoánlà p 216m6 5 4 . Chån ¡p ¡n C C¥u 152. Cho phương trình cos2x(2m+1)cosx+m+1 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm x2 p 2 ; 3p 2 . A 16m61. B 16m60. C 10. Tacó ( sin 2 x+t=m t 2 =m+sinx ,sin 2 xt 2 =tsinx,(sinx+t)(sinxt+1)=0. Nếusinx+t=0,sinx+ p m+sinx=0,sin 2 xsinx=m (1). Đểphươngtrình(1)cónghiệmthìD>0,m> 1 4 vàjsinxj61. (1), 2 6 6 4 sinx= 1+ p 4m+1 2 sinx= 1 p 4m+1 2 : 1+ p 4m+1 2 61, 1 4 6m60: 1 p 4m+1 2 61, 1 4 6m62: Nếusinxt+1=0,sin 2 x+sinx+1m=0. Giảitươngtựnhưtrêntađược 3 4 6m61hoặc 3 4 6m63. Vậycó3giátrịnguyêndươngcủamthỏamãnyêucầubàitoán. Chån ¡p ¡n D C¥u 154. Họnghiệmcủaphươngtrình sin2xcos2x+sinxcosx=1đượcbiểudiễnbởibaonhiêuđiểm trênđườngtrònlượnggiác? L A T E X bði T÷ Duy Mð 61 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com A 3. B 4. C 6. D 2. Líi gi£i. Phươngtrìnhtươngđươngvới 2sinxcosx2cos 2 x+sinxcosx=0 ,2cosx(sinxcosx)+sinxcosx=0 ,(sinxcosx)(2cosx+1)=0 , " sinxcosx=0 2cosx+1=0 , 2 6 4 x= p 4 +kp x= 2p 3 +k2p: Chån ¡p ¡n B C¥u 155. Tìmgiátrịnhỏnhấtmcủahàmsốy=tanx+2cotxtrênđoạn h p 6 ; p 4 i : A m=2 p 2. B m= 5 p 3 3 . C m=3. D m= 7 p 3 3 . Líi gi£i. Đặtt=tanx,t2 1 p 3 ;1 :Khiđóy=t+ 2 t = t+ 1 t + 1 t >2+1=3:Nêngiátrịnhỏnhấtcủahàmsốbằng3. Chån ¡p ¡n C C¥u 156. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình(m+1)cosx+(m1)sinx=2m+3 có 2nghiệmx 1 ;x 2 thỏamãnjx 1 x 2 j= p 3 ? A Vôsố. B Khôngtồntại. C 2. D 1. Líi gi£i. (m+1)cosx+(m1)sinx=2m+3 , m+1 p 2m 2 +2 cosx+ m1 p 2m 2 +2 sinx= 2m+3 p 2m 2 +2 ,cos(x+a)=cosb vớiđiềukiện16 2m+3 p 2m 2 +2 61 (trongđócosa = m+1 p 2m 2 +2 ;cosb = 2m+3 p 2m 2 +2 ) ,x=ba+k2p: Dođóx 1 ;x 2 códạngx 1 =b+a+k 1 2p vàx 2 =ba+k 2 2p (vìnếux 1 ;x 2 thuộccùngmộthọnghiệmthìjx 1 x 2 j= m2p vớim2Z).Dođójx 1 x 2 j= p 3 ,j2a+(k 1 k 2 )2pj= p 3 Suyracosj2a+(k 1 k 2 )2pj=cos p 3 ,cos2a = 1 2 ,cos2a = 1 2 : Mặtkháccos2a =2cos 2 a1nên 1 2 =2 m+1 p 2m 2 +2 2 1, 3 4 = (m+1) 2 2m 2 +2 ,m 2 4m+1=0,m=2 p 3; loại Vậykhôngtồntạimthỏamãnbài. Chån ¡p ¡n B L A T E X bði T÷ Duy Mð 62 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 157. TậpnghiệmScủaphươngtrìnhsin5x=5cos 3 2xsinxlà A S= ( kp;arctan r 6+ p 21 3 ! +kp;arctan r 6 p 21 3 ! +kp;k2Z ) . B S= ( arctan 6+ p 21 3 ! +kp;arctan 6 p 21 3 ! +kp;k2Z ) . C S= ( arctan r 6+ p 21 3 ! +kp;arctan r 6 p 21 3 ! +kp;k2Z ) . D S= ( kp;arctan 6+ p 21 3 ! +kp;arctan 6 p 21 3 ! +kp;k2Z ) . Líi gi£i. Tacó sin5x=5cos 3 2xsinx , sin4xcosx+cos4xsinx=5cos 2 2x(cos 2 xsin 2 x)sinx , 2sin2xcos2xcosx+(cos 2 2xsin 2 2x)sinx=5cos 2 2x(cos 2 xsin 2 x)sinx() cos2x=0,cosx=0khôngthỏamãn. Vớicosx6=0vàcos2x6=0,chiahaivếchocos 2 2x:cos 3 xtacó () , 2tan2x(1+tan 2 x)+(1tan 2 2x)tanx(1+tan 2 x)=5(1tan 2 x)tanx , 2 2tanx 1tan 2 x (1+tan 2 x)+ 1 4tan 2 x (1tan 2 x) 2 tanx(1+tan 2 x)=5(1tan 2 x)tanx() -Xéttanx=0,x=kp;k2Zlànghiệmcủaphươngtrình. -Xéttanx6=0;đặtt=tan 2 x;t6=0,t6=1,tacó () , 4 1t (1+t)+ 1 4t (1t) 2 (1+t)=5(1t) , 6t 3 24t 2 +10t=0, 2 6 6 4 t= 6+ p 21 3 t= 6 p 21 3 ) 2 6 6 6 6 4 tanx= s 6+ p 21 3 ; tanx= s 6 p 21 3 : Chån ¡p ¡n A C¥u 158. Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrình(1m)tan 2 x 2 cosx +1+3m=0 cónhiềuhơnmộtnghiệmthuộckhoảng 0; p 2 . A 8 > < > : 1 3 6m61 m6= 1 2 . B 8 > < > : 1 3 < > : m6= 1 2 2m 1m >1 , 8 > < > : m6= 1 2 1 3 12 p 2sin(2x+a)>1 p 5: Tồntạixđểy=1 p 5vàcũngtồntạixđểy=1+ p 5.DođóM=1+ p 5vàM=1 p 5.TatínhđượcM 2 +m 2 =12. Chån ¡p ¡n C C¥u 161. Các họ nghiệm của phương trình sin2xcosx= cos2x+sinx có dạng x= a+k2p; x= b + kp 2 (k2Z),vớia;b2 h 0; p 2 i .TínhS=a+b. A S= p 2 . B S= p 4 . C S= p 3 . D S= 3p 4 . Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđương sinx 2cos 2 x1 cos2x=0 , cos2x(sinx1)=0 , " cos2x=0 sinx=1 , 2 6 4 x= p 4 +k p 2 x= p 2 +k2p: Vậya+b = p 2 + p 4 = 3p 4 . Chån ¡p ¡n D C¥u 162. Cho phương trình 2sin 2 x+cos4xcos2x sinxcosx = 0. Tính diện tích đa giác có đỉnh là các điểm biểu diễngóclượnggiáccósốđoa trênđườngtrònlượnggiác,vớia lànghiệmcủaphươngtrìnhđãcho. A p 2. B 2 p 2. C 2 p 3. D p 3. Líi gi£i. Điềukiện:x6= p 4 +kp vớik2Z,vớiđiềukiệntrênphươngtrìnhtươngđươngvới 2sin 2 x+cos4xcos2x sinxcosx =0 , 2sin 2 x+cos4xcos2x=0 , 1cos2x+2cos 2 2x1cos2x=0 , 2cos 2 2x2cos2x=0 , " cos2x=0 cos2x=1 , 2 4 x= p 4 +kp x=kp (k2Z): L A T E X bði T÷ Duy Mð 65 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Biểu diễn nghiệm x= p 4 +kp và x=kp trên đường tròn lượng giác ta được hình chữnhậtABCDnhưhìnhvẽ. XéthìnhchữnhậtABCD,tacóS ABCD =2S ABC =2 1 2 1 p 2= p 2. x y O A B C D Chån ¡p ¡n A C¥u 163. GọiSlàtậphợptấtcảcácgiátrịcủaxthuộcđoạn h p 2 ;2p i saochobiểuthứcP= sinx+1 2+cosx nhận giátrịnguyên.TínhsốphầntửcủatậphợpS: A 2. B 3. C 4. D 1. Líi gi£i. P= sinx+1 2+cosx ,Pcosxsinx=12P.ĐiềukiệncónghiệmP 2 +1>(12P) 2 ,06P6 4 3 . Từđây,PnguyênnênP=0hoặcP=1. VớiP=0)sinx=1) 2 6 4 x= p 2 x= 3p 2 : VớiP=1)cosxsinx=1)sin x p 4 =sin p 4 ) 2 4 x= p 2 x=p: Chån ¡p ¡n C C¥u 164. Phươngtrình p 4x 2 (sin2px3cospx)=0cóbaonhiêunghiệm? A 6. B 10. C 4. D Vôsố. Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 8 > < > : 4x 2 >0 " 4x 2 =0 sin2px3cospx=0 , 8 > < > : 26x6x " x=2 cospx(2sinpx3)=0 , 8 > < > : 26x62 " x=2 cospx=0 , 8 > > < > > : 26x62 2 4 x=2 x= 1 2 +k(k2Z) , x2 2; 3 2 ; 1 2 ; 1 2 ; 3 2 ;2 : Vậyphươngtrìnhđãchocó6nghiệm. Chån ¡p ¡n A C¥u 165. Đồthịcáchàmsốy= p 2 2 (sinx+cosx)vày=sinxlàcácđườngcongtronghìnhnàodướiđây? L A T E X bði T÷ Duy Mð 66 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com A 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 1 1 y O B 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 1 1 y O C 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 1 1 y O D 2p 3p 2 p p 2 p 2 p 3p 2 2p x 1 1 y O Líi gi£i. Dễthấyởcảbốnphươngánđềucóđồthịhàmy=sinx: Tacóy= p 2 2 (sinx+cosx)=sin x+ p 4 : Suyrađồthịhàmsốy= p 2 2 (sinx+cosx)cóđượcbằngcáchtịnhtiếnđồthịhàmsốy=sinxsangtrái p 4 đơnvị. Chån ¡p ¡n A C¥u 166. Sốnghiệmcủaphươngtrình1+sin 3 2x+cos 3 2x= 1 2 sin4xthuộckhoảng p 2 ;p là A 2. B 1. C 3. D 4. Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 67 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 2sin4x+2(sin2x+cos2x)(1sin2xcos2x)=0 ,(2sin4x)+(sin2x+cos2x)(2sin4x)=0 ,(2sin4x)(sin2x+cos2x+1)=0,sin2x+cos2x=1 ,sin 2x+ p 4 = p 2 2 , 2 6 4 x= p 4 +kp x= p 2 +kp vớik2Z Nhưvậycó3nghiệmthuộc p 2 ;p là 2 6 6 6 6 6 4 x= p 4 x= p 2 x= 3p 4 : Chån ¡p ¡n C C¥u 167. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin 3 x m+ p 3cosx 3 m = 2sin x+ 2p 3 cónghiệm? A 6. B Vôsố. C 5. D 4. Líi gi£i. sin 3 x m+ p 3cosx 3 m=2sin x+ 2p 3 ,sin 3 x+sinx= m+ p 3cosx 3 +m+ p 3cosx Xéthàmsố f(t)=t 3 +t) f 0 (t)=3t 2 +1>08t2R)Hàmsố f(t)đồngbiếntrênR. Suyraphươngtrìnhcónghiệm,sinx=m+ p 3cosx. Dođóđểphươngtrìnhđãchocónghiệmthìđiềukiệncầnvàđủlà1+ p 3 2 >m 2 ,26m62. Vậycó5giátrịnguyêncủamthỏamãnyêucầubàitoán. Chån ¡p ¡n C C¥u 168. Đường cong trong hình dưới mô tả đồ thị của hàm số y=Asin(x+a)+B (A;B;a là các hằng số, a2 [p;0]).TínhS=A+B 3a p : A S=1. B S=2. C S=3. D S=0. 5p 6 O p 6 7p 6 x 1 3 y Líi gi£i. GTLNvàGTNNcủahàmsốlầnlượtlàjAj+BvàjAj+B.Kếthợpvớiđồthịđãcho,tasuyrajAj=2;B=1:Hơn nữa, GTLN của hàm số đạt tại x= p 6 nên sin p 6 +a =1; mà a2[p;0] nên ta suy ra sin p 6 +a =1 và a = 2p 3 :VậyS=1: Chån ¡p ¡n A L A T E X bði T÷ Duy Mð 68 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com C¥u 169. Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsốmđểphươngtrìnhcos2x+3sin 2 x3m+1=0cónghiệmtrong khoảng 0; p 2 i . A m2 2 3 ;1 . B m2 2 3 ;1 . C m2 2 3 ;1 . D m2 2 3 ;1 . Líi gi£i. Phươngtrình,sin 2 x+2=3m,dox2 0; p 2 i nên00 m 2 64 ,26m62. Cácgiátrịnguyêncủamlà2;1;0;1;2. Chån ¡p ¡n A C¥u 171. Nghiệmdươngnhỏnhấtcủaphươngtrìnhcosp x 2 +2x 1 2 =sin px 2 là A x= p 21 2 . B x= p 3+1 2 . C x= p 2+1 2 . D x= p 31 2 . Líi gi£i. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới cos h p 2 p(x 2 +2x) i =sin px 2 , sin p(x 2 +2x) =sin px 2 , " p(x 2 +2x)=px 2 +k2p p(x 2 +2x)=ppx 2 +k2p , " x=k 2x 2 +2x(2k+1)=0 ;(k2Z); Dox>0;k2Znênsuyrax= b+ p D 2a = 1+ p 4k+3 2 . L A T E X bði T÷ Duy Mð 69 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Đểxdươngvànhỏnhấtvớik2Zvà4k+3>0thìk=0. )minx= p 31 2 . Chån ¡p ¡n D C¥u 172. Sốnghiệmcủaphươngtrìnhcos 4 xcos2x+2018sin 2 x 3 =0trongđoạn[0;16]là A 1. B 3. C 0. D 2. Líi gi£i. Tacó cos 4 xcos2x+2018sin 2 x 3 =0, 1 4 (1+cos2x) 2 cos2x+2018sin 2 x 3 =0 , 1 4 (1cos2x) 2 +2018sin 2 x 3 =0 , 8 < : cos2x=1 sin x 3 =0 , 8 < : x=mp x 3 =np , ( m=3n x=mp Theogiảthiết06mp616)m=0;m=3. Chån ¡p ¡n D C¥u 173. Chophươngtrìnhsinxcos4xsin 2 2x=4sin 2 p 4 x 2 7 2 .Tìmsốnghiệmcủaphươngtrìnhthỏa mãnjx1j<3. A 1. B 4. C 2. D 3. Líi gi£i. Phươngtrìnhtươngđươngvới sinxcos4x 1cos4x 2 =2(1sinx) 7 2 ,2sinxcos4x+cos4x+2(2sinx+1)=0 ,(cos4x+2)(2sinx+1)=0 ,2sinx+1=0, 2 6 4 x= p 6 +k2p x= 7p 6 +k2p: Dojx1j<3nêntacócácnghiệmx= p 6 vàx= 7p 6 . Chån ¡p ¡n C C¥u 174. GọiSlàtậphợptấtcảcácnghiệmthuộckhoảng(0;2018)củaphươngtrình p 3(1cos2x)+sin2x4cosx+8=4 p 3+1 sinx:TínhtổngtấtcảcácphầntửcủaS: A 103255p. B 102827p. C 312341p 3 . D 310408p 3 . Líi gi£i. L A T E X bði T÷ Duy Mð 70 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Tacó p 3(1cos2x)+sin2x4cosx+8=4 p 3+1 sinx , p 3(1cos2x4sinx)+sin2x4cosx+84sinx=0 , p 3 2sin 2 x4sinx +2sinxcosx4cosx4sinx+8=0 ,2 p 3sinx(sinx2)+2(sinx2)(cosx2)=0 ,2(sinx2) p 3sinx+cosx2 =0 ,(sinx2) p 3 2 sinx+ 1 2 cosx1 ! =0 ,(sinx2) h sin x+ p 6 1 i =0 ,sin x+ p 6 =1 (vì sinx2<0;8x2R) ,x+ p 6 = p 2 +k2p ,x= p 3 +k2p: Xétx= p 3 +k2p2(0;2018))0< p 3 +k2p <2018, 1 6 1. B m< 1 8 hoặcm> 1 8 . C m6 1 4 hoặcm> 1 4 . D m62hoặcm>2. Líi gi£i. Điềukiệnx6= p 4 + kp 2 .Tacó sin 6 x+cos 6 x cos 2 xsin 2 x =2mtan2x,1 3 4 sin 2 2x=2msin2x: Đặtsin2x=t;(16t61),tađượcphươngtrình 3t 2 8mt+4=0: () ()cóD 0 =16m 2 +12>0nên()luôncóhainghiệmphânbiệt.Do cos2x6=0,sin2x6=1nênphươngtrìnhđã chocónghiệmthì()phảicónghiệmthuộckhoảng(1;1).Khiđómộttrongcáctrườnghợpsauxảyra Trườnghợp()có2nghiệmthuộc(1;1),tứclà 1 > < > > : 3:f(1)>0 3:f(1)>0 1< S 2 <1 , 8 > > < > > : 3(1+8m)>0 3(18m)>0 1< 4m 3 <1 , 8 > > > > > < > > > > > : m< 1 8 m> 1 8 3 4 1 8 : Vậyvớim< 1 8 hoặcm> 1 8 thìphươngtrìnhcónghiệm. Chån ¡p ¡n B C¥u 177. Trongkhoảng(0;20p)phươngtrình 2sin 2 xsinx1 2cosx p 3 =0cóbaonhiêunghiệm? A 20. B 10. C 30. D 15. Líi gi£i. Điềukiệnxácđịnh2cosx p 36=0. Khiđó,phươngtrìnhtươngđươngvới2sin 2 xsinx1=0, 2 4 sinx=1 sinx= 1 2 . Phươngtrìnhsinx=1,x= p 2 +k2p.Dễthấycácgiátrịnàythỏamãnđiềukiệnxácđịnhvàtrongkhoảng(0;20p) họnàycó10nghiệm. Phương trình sinx= 1 2 , 2 6 4 x= p 6 +k2p 5p 6 +k2p . Dễ thấy các giá trị x= 5p 6 +k2p thỏa mãn điều kiện xác định và trong L A T E X bði T÷ Duy Mð 72 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com khoảng(0;20p)họnàycó10nghiệm. Vậytrongkhoảng(0;20p)phươngtrìnhcó20nghiệm. Chån ¡p ¡n A C¥u 178. Tìmtấtcảcácsốthựcmđểphươngtrìnhcos3x+(m+1)cosxcos2x=1có7nghiệmphânbiệt trongkhoảng p 2 ;2p . A 10,tacó 4cos 2 x2cosx+m2=0, 2 6 6 4 cosx= 1+ p 94m 4 cosx= 1 p 94m 4 : Tacóm< 9 4 ,suyra 1+ p 94m 4 2 1 4 ;+¥ . Với 1+ p 94m 4 2(1;+¥),tađược 1 p 94m 4 2 ¥; 1 2 .Khiđóphươngtrình cosx= 1 p 94m 4 cótốiđa3nghiệmtrongkhoảng p 2 ;2p ,hayphươngtrìnhởđềbàicótốiđa5nghiệm. Với 1+ p 94m 4 2f1g,tađược 1 p 94m 4 2 1 2 .Suyratậpnghiệmcủaphươngtrìnhởđềbàilà S= p 2 ; 3p 2 ;0; 2p 3 ; 2p 3 ; 4p 3 : Với 1+ p 94m 4 2 1 4 ;1 ,tađược 1 p 94m 4 2 1 2 ; 1 4 .Khiđóphươngtrình cosx= 1+ p 94m 4 có2nghiệmtrongkhoảng p 2 ;2p . L A T E X bði T÷ Duy Mð 73 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com – Với 1 p 94m 4 2 1 2 ;0 ,phươngtrìnhcosx= 1 p 94m 4 có3nghiệmtrongkhoảng p 2 ;2p . Nênphươngtrìnhởđềbàicó7nghiệm. – Với 1 p 94m 4 2 0; 1 4 , phương trình cosx= 1 p 94m 4 có 2 nghiệm trong khoảng p 2 ;2p . Nênphươngtrìnhởđềbàicó6nghiệm. Vậycácgiátrịcủamphảithỏamãn 1 p 94m 4 2 1 2 ;0 hay00 , 1+mt=0,t= 1 m : Vậyđiềukiệnđểphươngtrìnhđãchonghiệmtrongkhoảng 0; p 4 là 1 2 < 1 m <1, 8 > < > : 1 m + 1 2 <0 1 m +1>0 , 8 > < > : 2+m 2m <0 m+1 m >0 , ( m2(2;0) m2(¥;1)[(0;+¥) ,m2(2;1): Chån ¡p ¡n C C¥u 180. Tìmđiềukiệncủamđểphươngtrìnhsin 2 x+cos2x=mcónghiệmtrênđoạn h p 6 ; p 3 i . A m<1. B 1 4 6m6 1 2 . C 1 4 6m61. D 06m61. Líi gi£i. Cách1.Tacó sin 2 x+cos2x=m, 1cos2x 2 +cos2x=m ,1cos2x+2cos2x=2m,cos2x=2m1: (1) Tacó p 6 6x6 p 3 , p 3 62x6 2p 3 .Dođó 1 2 6cos2x61.Vậyphươngtrình(1)cónghiệmkhivàchỉkhi 1 2 62m161, 1 2 62m62, 1 4 6m61: Cách2.Tacó sin 2 x+cos2x=m,sin 2 x+12sin 2 x=m,sin 2 x=1m: (2) L A T E X bði T÷ Duy Mð 74 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Dox2 h p 6 ; p 3 i nên 1 2 6sinx6 p 3 2 ,dođó06sin 2 x6 3 4 . Vậy(2)cónghiệm,061m6 3 4 , 1 4 6m61. Chån ¡p ¡n C C¥u 181. TìmtậpxácđịnhD củahàmsốy= x tanx . A D =Rn n p 2 +k2p;k2Z o . B D =Rn n p 2 +kp;k2Z o . C D =Rn kp 2 ;k2Z . D D =Rnfkp;k2Zg. Líi gi£i. Điềukiện ( tanx6=0 cosx6=0 , ( sinx6=0 cosx6=0 ,sinxcosx6=0,sin2x6=0,x6= kp 2 . Chån ¡p ¡n C C¥u 182. Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsốmđểphươngtrình 2sin 2 x+3sin2x(m+2)cos 2 x=3 cónghiệmtrongkhoảng p 4 ; p 4 . A 120. Tạit=1) f(1)= p 2+12017<0. Trên 1; 1 2 tacóg 0 (t)= 1 (1+t 2 ) 1 2 >0;h 0 (t)=2017 t ln 2 2017>0)g(t)vàh(t)làhàmđồngbiến. Màh( 1 2 )0) f(t)>0. Trên 1 2 ;1 tacóg 0 (t) 1 (1+t 2 ) 1 2 <1;h 0 (t)>1) f”(t)=g 0 (t)h 0 (t)<0) f 0 (t)đơnđiệugiảm) f(t)đếnlúc nàođósẽđơnđiệugiảm.Nênphươngtrình f(t)=0cótốiđamộtnghiệm.Dễthấyđólà t=0,sinx=0,x=kp(k2Z) Vậytrong[5p;2017p]có2023nghiệmthuộcdạngkp. Chån ¡p ¡n B C¥u 185. GiátrịlớnnhấtMvàgiátrịnhỏnhấtmcủahàmsốcủahàmsốy= 2sinx+cosx+3 2cosxsinx+4 lầnlượtlà: A M= 2 3 ;m=0. B M=2;m= 2 11 . C M=1;m=1. D M=1;m=2. Líi gi£i. y= 2sinx+cosx+3 2cosxsinx+4 , 2ycosxysinx+4y=2sinx+cosx+3 , (2y1)cosx(y+2)sinx=34y (1) Phươngtrình(1)cónghiệmkhivàchỉkhi (2y1) 2 +(y+2) 2 >(34y) 2 ,11y 2 24y+460, 2 11 6y62: Vậymaxy=2,miny= 2 11 . Chån ¡p ¡n B C¥u 186. Chophươngtrìnhsin 2 4x+(m 2 3)sin4x+m 2 4=0(mlàthamsố).Tìmmđểphươngtrìnhđã chocóđúng4nghiệmx2 3p 2 ;2p : A 26m<2. B m=2,m=2. C 26m62. D 20ápdụngbấtđẳngthứcAMGM tacóy>2 p 2+1. Vớit1<0ápdụngbấtđẳngthứcAMGM tacó1t+ 2 1t >2 p 2nêny612 p 2. Từđóy>2 p 21.Đẳngthứcxảyrakhit=12 p 2,haysin x+ p 4 = 1 p 2 p 2 nêntồntạix. Chån ¡p ¡n C C¥u 189. Tìmđiềukiệnxácđịnhcủahàmsốy= tanx cotx1 . A x6= p 2 +kp vàx6=kp vớik2Z. B x6= kp 2 vàx6= p 4 +kp vớik2Z. C x6= p 4 +kp vàx6=kp vớik2Z. D x6= p 2 +kp vàx6= p 4 +kp vớik2Z. Líi gi£i. Hàm tanx xácđịnhkhi x6= p 2 +kp,hàm cotx xácđịnhkhi x6=kp.Phânthứccónghĩakhi cotx6=1,x6= p 4 +kp. Vậyhàmsốcónghĩakhix6= kp 2 vàx6= p 4 +kp vớik2Z. Chån ¡p ¡n B C¥u 190. Phươngtrình (3+2sinx)cosx 2+cos 2 x sin2x =1cóbaonhiêunghiệmtrên[0;4p]? A 3. B 2. C 1. D 0. Líi gi£i. Điềukiện:sin2x6=0. Phươngtrình,3cosx+sin2x2cos 2 x=sin2x,cos 2 x3cosx+2=0, " cosx=1 cosx=2 . Phươngtrìnhcosx=2vônghiệm. Phươngtrìnhcosx=1,x=k2p;k2Zkhôngthỏađiềukiệnsin2x6=0. Chån ¡p ¡n D C¥u 191. Chohàmsố f(x)=(m1)sin4xcos4x+4mx+2018, mlàthamsố.Cótấtcảbaonhiêugiátrị nguyêncủamtrongđoạn[6;2018]đểphươngtrình f 0 (x)=0cónghiệm. A 2018. B 6. C 8. D 4. Líi gi£i. Tacó f 0 (x)=4(m1)cos(4x)+4cos(4x)+4m, f 0 (x)=0,(m1)cos(4x)+cos(4x)=m. Đểphươngtrình f 0 (x)=0cónghiệmkhivàchỉkhi(m1) 2 +1>m 2 ,m61. Vìm2[6;2018])66m61.Vậycótấtcả8giátrịnguyêncủamđểphươngtrình f 0 (x)=0cónghiệm. Chån ¡p ¡n C C¥u 192. Cho phương trình 3sinxcos 2 xsin 3 x=cos 5p 2 x (1). Gọi(H ) là hình tạo bởi các điểm biểudiễnnghiệmcủa(1)trênđườngtrònlượnggiác.Tínhdiệntíchhình(H ). A 2+ p 2 4 . B p 2(1+ p 2). C 2+ p 2 2 . D 1+ p 2. Líi gi£i. Tacó(1),3sinxcos 2 xsin 3 x=sinx L A T E X bði T÷ Duy Mð 78 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Vớicosx=0,phươngtrìnhtrởthànhsin 3 x=sinx,sinx=0(loại). Vớicosx6=0,tacó (1),3tanxtan 3 x=tanx(1+tan 2 x), " tanx=0 tanx=1: , 2 4 x=kp x= p 4 +kp (k2mathbbZ) cos sin O Cácđiểmbiểudiễnnghiệmđượcchonhưhìnhvẽ.Tacódiệntíchcủahình(H )bằng 411sin45 +211sin90 =1+ p 2: Chån ¡p ¡n D C¥u 193. Cho phương trình 2sin 2 x+ p 3sin2x2( p 3sinx+cosx)m= 0. Để phương trình chỉ có hai nghiệmx 1 ,x 2 thuộcđoạn h p 3 ; p 2 i thìm2(a;b).Giátrịcủabalà A 4. B 4 p 32. C 42 p 3. D 3 p 3. Líi gi£i. Đặtt= p 3sinx+cosx () )t 2 =3sin 2 x+cos 2 x+2 p 3sinxcosx=2sin 2 x+ p 3sin2x+1 )2sin 2 x+ p 3sin2x=t 2 1. Phươngtrìnhđãchotrởthành t 2 1=2tm=0,m+1=t 2 2t: (1) Dox2 h p 3 ; p 2 i nênt= p 3sinx+cosx=2sin x+ p 6 2[1;2]: Vớimỗit2[1; p 3)thìtươngứngsẽchomộtnghiệmxthuộcđoạn h p 3 ; p 2 i vàmỗit2[ p 3;2]thìsẽchohainghiệm x thuộc đoạn h p 3 ; p 2 i . Vậy yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc[1; p 3)hoặcchỉcómộtnghiệmthuộc[ p 3;2]vàkhôngcónghiệmthuộc[1; p 3). x y O L A T E X bði T÷ Duy Mð 79 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON LTuyºn tªp 198 c¥u vªn döng cao l÷ñng gi¡c Website. tuduymo.com Xéthàmsố f(t)=t 2 2t cóbảngbiếnthiên t f(t) 1 1 2 3 3 1 1 0 0 p 3 32 p 3 Dựavàobảngbiếnthiêntađược 14và4cos(ax+b)64. Dođó,phươngtrìnhđãchotươngđươngvới ( x 2 2x+5=4 4cos(ax+b)=4 , ( x=1 a+b=p+k2p;k2Z: Chån ¡p ¡n B L A T E X bði T÷ Duy Mð 82 Group. Cëng çng t÷ duy mð TON L

Xem thêm

Đề xuất cho bạn

Tài liệu