Tuyển tập các chuyên đề trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 và HSG lớp 9 năm 2018-2019-2020

ctvtoan5 5 năm trước 1006 lượt xem 69 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Tuyển tập các chuyên đề trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 và HSG lớp 9 năm 2018-2019-2020". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 1 

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG LỚP 9

NĂM HỌC 2018-2019-2020

Mục lục

Chuyên đề 1:Căn bậc hai và bài toán liên quan .......................................................................................... 2

Chuyên đề 2:Bất đẳng thức-min-Max ........................................................................................................ 19

Chuyên đề 3:Phương trình ......................................................................................................................... 31

Chuyên đề 4:Hệ phương trình ................................................................................................................... 47

Chuyên đề 5:Hàm số ................................................................................................................................... 57

Chuyên đề 6:Giải bài toán bằng cách lập phương trình,hệ phương trình,bài toán thực tế ................... 72

Chuyên đề 7:Hình học ................................................................................................................................. 82

Chuyên đề 8:Số học ................................................................................................................................... 123

Ngày 23/10/2019

Vũ Ngọc Thành Bản vàng Pheo- Mường So-Phong Thổ-Lai Châu

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 2 

Căn bậc hai và bài toán liên quan

Dùng điện thoại quét mã vạch để xem lời giải chi tiết

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Rút gọn biêu thức 2 18 A   .

Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:

a) 45 2 20 A  

 

3 5 27

3 12

3 5



  



Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Khi 7 x  biểu thức

2 1 x  

có giá trị là

. B.

. C.

. D. 2 .

Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: 27 12 A  

Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Giá trị rút gọn của biểu thức

2 27 300 3 75 P   

A. 31 3. B. 3. C. 8 3. D. 3 3. 

Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Điều kiện của x đề biểu thức 2 4 x  có nghĩa

là

x   B. 2. x  C. 2. x   D.

x 

Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:

A 32 6. 3

   .

Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Rút gọn: A =

   

5 3 5 3 6   

Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức 5( 5 2) 20 P   

Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

4 8 2 3 6

2 2 3

   



 

Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Rút gọn các biểu thức sau:

a) 3 4 2 25 4 9  

b) 3 3 5 12 2 27  

Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Cho biểu thức 16 25 4 A .    So

sánh A với 2

1 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 3 

Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020)

1. Rút gọn các biểu thức: 9 45 3 5 K   

2. Rút gọn các biểu thức:

4 2

x x x

x x

 

 



(với 0 x  )

Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Lào Cai năm 2019-2020) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 4 3  .

 

5 6 5  

Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020) Tính 27 4 12 3  

Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020) Tính giá trị của các biểu thức sau

1 6 4 A  

 

5 5 3 3 5 B   

 

2 5 2 C   

Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức sau:

 

12 2 5 3 60. A   

4 6 9

x x x

x x

 





với 0 < x < 3.

Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

3 6

9 3 3

x x

x x x

  

  

(với 0, 9 x x   ).

Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức :

1 1 1

2 2 1 1

a a a

   

 

  

   

 

   

với 0 a  và 1 a  .

Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020)

a) Rút gọn biểu thức

 

12 2 1

3 2

A    



b) Cho biểu thức

1 2 1

x x x x x

  

  

với 0 x  và 1 x  . Rút gọn biểu thức B và tìm

x để 8 B  .

Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

 

. 4

2 2

P x

x x

 

  

 

 

 

(với 0 x  và x 4  )

Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho biểu thức:

2 5 1

3 6 2

x x x x



  

   

với 0; 4. x x  

1. Rút gọn A

2. Tìm giá trị của cảu A khi 6 4 2 x  

Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020)

1. Thực hiện phép tính: 4 3 9 2  .

2. Rút gọn các biểu thức:

2 28

) a ( 

, với 2 > a . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 4 

Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh THUA THIEN HUE năm 2019-2020) a) Tìm giá trị của x sao cho biểu thức

1 A x   có giá trị dương.

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị biểu thức

2 2 2

2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5 B   

c) Rút gọn biểu thức

1 1

a a a

C a

a a

   

 

 

   

 

   

với 0 a  và 1 a  .

Câu 25. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho

 





x x

và

1 2 1

1 1 1

 

  

   

x x

x x x x x

với 0  x , 1  x .

a).Tính giá trị của biếu thức A khi 2  x .

b).Rút gọn biểu thức B .

c).Tìm x sao cho .   C A B nhận giá trị là số nguyên.

Câu 26. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Chứng minh A =

2 5 6 ( 5 1) 2018 A      là một số nguyên

Câu 27. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

1 2 1

2 1 1

a b b

a a b

  



  

với a < 1 và b > 1

Câu 28. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho biểu thức

   

2 2

1 1

3 1

1 1

x x

  



 



 

với 0 x  , 1 x  .

b) Tìm x là số chính phương để 2019 A là số nguyên.

Câu 29. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020)Cho biểu thức

3 1

 



 

 

 

 

x x x

với 0; 1   x x .

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm giá trị của x để 1  P .

Câu 30. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho biểu thức: 2 1 2 1 A x x x x      

với 1 x 

a) Tính giá trị biểu thức A khi 5 x  .

b) Rút gọn biểu thức A khi 1 2 x   .

Câu 31. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

 

2 2 1

2 1

4 2 2

x x

x x x

 

 



 

 

    

 

với 0; 4 x x   .

Câu 32. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho biểu thức

   

2 2

1 1

3 1

1 1

x x

  



 



 

với 0 x  , 1 x  .

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x là số chính phương để 2019 A là số nguyên. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 5 

Câu 33. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Rút gọn biếu thức:

 

3 45 5 1

5 1

   



Câu 34. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: 20 45 3 80 A   

Câu 35. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho biểu thức:

1 1 3

3 3

  

 

 

 

 

x x x

(với 0; 9   x x ).

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để

 B .

Câu 36. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020)

Cho hai biểu thức

 

4 1







và

15 2 1

25 5 5

 

 

 

 

  

 

x x

x x x

với 0; 25   x x .

1) Tìm giá trị của biểu thức A khi 9 x  .

2) Rút gọn biểu thức B .

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức .  P A B đạt giá trị nguyên lớn nhât.

Câu 37. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Rút gọn các biểu thức sau:

a) A 50 18.  

2 2

2 2 1 a

B :

a a a 1 a 2a 1



 

 

 

   

 

(với a 0  và a 1   ).

Câu 38. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Rút gọn các biểu thức:

a) A 72 8.  

2 2

1 1 1 a

B :

a a a 1 a 2a 1



 

 

 

   

 

với a 0  và a 1   .

Câu 39. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:

2 1 2

9 3 3

   



  

   

  

   

x x x

x x x x x

với 0, 9, 25    x x x .

Câu 40. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Cho hai biểu thức:

 

20 45 3 5 : 5; A   

2 9 x x x

x x 

 

  (với 0 x  ).

a) Rút gọn các biểu thức , . A B

b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức B bằng giá trị biểu thức . A

Câu 41. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2019-2020) Cho biểu thức 4x 9x 2

   với

0 x 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P biết 6 2 5 x   (không dùng máy tính cầm tay).

Câu 42. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020)

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức





có nghĩa. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 6 

b) Chứng minh đẳng thức 1 1 1

1 1

a a a a

a a

  

     

 

     

 

 

 

   

 

  

 

0, 1 . a a  

Câu 43. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho biểu thức

1 1

4 2 2

  

  

x x x

1) Tìm các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?

2) Rút gọn biểu thức.

3) Tính giá trị của M biết 16  x

Câu 44. (Tuyển sinh tỉnh Lào Cai năm 2019-2020) Cho biểu thức

2x 2x 1 1

x 1 x 1 x 1



  

  

với x 0; x 1  

a)Rút gọn biểu thức H

b)Tìm tất cả các giá trị của x để x H 0  

Câu 45. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức 4 25 9 T   

Câu 46. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

6 2

7 2 8 3 7

 

 

Câu 47. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho biểu thức

1 1

a a

  

 

với

0 , 1 a a  

a)Rút gọn P

b)Tính giá trị của P khi a =3

Câu 48. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020)

1)Rút gọn biểu thức A 3 2 2 3 2 2    

2)Chứng minh rằng

 

2 1 6

. a 3 1

a 9 a 3 a 3

 

   

 

  

 

Với 0, 9   a a

Câu 49. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Khi 7 x  biểu thức

2 1 x  

có giá trị là

. B.

. C.

. D. 2 .

Câu 50. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức

a) 2 48 3 75 2 108 A    b) 19 8 3 19 8 3 B    

Câu 51. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:

2 28

2 3 7

A   



Câu 52. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) Tính giá trị của các biểu thức sau:

3 49 25   A

(3 2 5) 20    B

Câu 53. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Cho 0 a b c    và

2 2 2

1 a b c    . Tính giá trị

của biểu thức

4 4 4

M a b c    .

Câu 54. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho , , a b c là ba số thực thỏa

mãn điều kiện: 1 a b c    . Tính giá trị biểu thức:

   

3 3 3

3 1 A a b c ab c c       . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 7 

Câu 55. (HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Cho biểu thức

P x

x x

  

 

với

1 x  .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

2 4 2

2 1 P x x     .

Câu 56. (HSG toán 9 tỉnh Sơn La năm 2018-2019) Cho biểu thức

6 4 3

3 2 3 4

3 3 8

x x



 

 



Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Câu 57. (HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm 2018-2019)

1) Rút gọn biểu thức

1 2 5

2 2 1 2

x x x x x

x x x x x x

   

   

  

   

    

   

, với 0 x  , 4 x 

2) Cho

3 3

7 50 , 7 50. a b    

Không dùng máy tính, chứng minh rằng các biểu thức

M a b   và

7 7

N a b   có giá trị đều là số chẵn.

Câu 58. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019)

Cho biểu thức

1 1

1 : 1

1 1 1 1

   

   

    

   

   

   

xy x xy x x x

xy xy xy xy

với 0 x  ; 0 y  và 1.  xy

a. Rút gọn P .

b. Tính giá trị của biểu thức P khi

3 3

4 2 6 4 2 6     x và

6   y x .

Câu 59. (HSG toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019)

a)Cho  

3 2

1 1 ( 1)

: 0; 1

1 1 1

x x x x

P x x

x x x

 

   

     

 

  

 

Rút gọn P và chứng minh 1 P  .

b)Không dùng máy tính chứng minh đẳng thức

3 3

3 3 3

1 2 4

2 1

9 9 9

    .

Câu 60. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Cho 0 a  , 1 a  . Rút gọn biểu thức sau:

 

6 4 2. 20 14 2 3 3 1 : 1 2019

2 1

S a a a

 



 

        

 



 

Câu 61. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Rút gọn biểu thức:

2x 16 x 6 x 2 3

P 2

x 2 x 3 x 1 x 3

  

   

   

Câu 62. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các số thực

, , x y a thoản mãn

2 4 2 2 4 2

3 3

x x y y y x a     .

Chứng minh rằng

3 3 2 2 2

x y a   . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 8 

Câu 63. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số a, b, c,

x, y, z đều khác 0 và thỏa mãn các điều kiện 1   

x y z

a b c

và

0   

a b c

x y z

. Chứng minh

rằng :

2 2 2

1   

x y z

a b c

Câu 64. (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho hai số , x y thỏa

2 2

4 5 2

5 2 2

 



 

x xy y

. Tính

giá trị biểu thức

3 2 





x y

Câu 65. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Cho a, b, c là ba số

thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện: a b c 0   

và

1 1 1

a b c

   . Tính giá trị của biểu

thức

2 2 2

1 1 1

M 1 1 1 .

a b c

     

     

     

     

Câu 66. (HSG toán 9 tỉnh HCM năm 2018-2019) Cho , x y là các số thực sao cho

2 1 1

 

 x y x y

. Tính

giá trị của biểu thức

2 2



x y

y x

Câu 67. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Cho các số , , 1 a b c   và các số , , x y z khác 0

thỏa mãn

x by cz

y cz ax

z ax by

  



 





 



Tính tổng

1 1 1

a b c

  

  

Câu 68. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số

thực a, b thỏa mãn :

2 2

a b  . Đặt

2 2 2 2

a b a b

 

 

 

Tính

8 8 8 8

a b a b

 

 

 

theo M.

Câu 69. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020)Cho ba số thực

dương , a b và c thỏa mãn    1. a b a c b c Tính giá trị của biểu thức

     

  

  

2 2 2 2 2 2

2 2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

1 1 1

b c c a a b

T a b c

a b c

Câu 70. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số

, , a b c thỏa mãn 2019 ab bc ca    . Chứng minh

2 2 2

2019 2019 2019

a bc b ca c ab

a b c

  

  

  

Câu 71. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Tồn tại hay không

ba số thực , , a b c thỏa mãn

2 2 2

2019

a b c

b ac c ab a bc

  

  

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 9 

Câu 72. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho hai số

thực , a b thỏa mãn a ab b   

2 2

4 7 0 ( a b  và a b   ). Tính giá trị của biểu thức

a b a b

 

 

 

2 3 2

Câu 73. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực , a b

khác 0 thỏa mãn

1 1

a b

 

1. Tính giá tri của biểu thức

 

2 2

4 4

a b

a b ab



 

2. Chứng minh rằng:

3 3 3

( 2) ( 1) ( 1) 3( ) 6 0 a b a b a b          

Câu 74. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)Cho ; x y là hai số

thỏa mãn 1 x y   . Hãy tính

4 4 3 2 2 2 3 2

2 2 2 . A x y x x y x y y        .

Câu 75. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Cho số thực x thỏa mãn

3. x

  Tính giá trị biểu thức

. P x

 

Câu 76. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ninh bảng A năm 2018-2019) Cho x, y là các số thực dương, z là số

thực khác 0 thỏa mãn điều kiện

1 1 1

x y z

   .

Chứng minh

x y x z y z     

Câu 77. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020)Cho các số

thực dương a, b, c khác 0 thoã mãn 2 a b bc 2 c a 0    . Hãy tính giá trị của biểu thức : A =

2 2 2

bc ca ab

a b c

 

Câu 78. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Cho x, y là

các số thực thỏa mãn điều kiện

   

2 2

x x 1 y y 1 2.      Tính giá trị của biểu thức

2 2

Q x y 1 y x 1.    

Câu 79. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Cho biểu thức

1 5 9

25 5 5

 

  

  

x x x

với 0, 25   x x .

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm tất cả các giá trị của x để P < 1.

Câu 80. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:

   

2 3 5 2 3 5

2 2 3 5 2 2 3 5

 

 

   

Câu 81. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:

   

13 4 3 7 4 3 8 20 2 43 24 3 B       .

Câu 82. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho , x y

là

các số thực dương và

3 2 2 2 2 3 3 3 3 3

1. P x x x y y y y x x y          VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 10 

Chứng minh rằng

3 2 3

1 . x y P   

Câu 83. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị của biểu

thức

4 3 2

2 3 38 5

4 5

x x x x

x x

   



 

khi 2 3 x   .

Câu 84. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị của biểu

thức:

1 5 1 5

 



 



Câu 85. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020)

Cho biểu thức

1 2 2

: 1

1 1 1

x x

x x x x x x

   

  

   

    

   

với 0, 1 x x   .

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm tất các giá trị của x để 1 P  .

Câu 86. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)

Cho biểu thức

   

 

4 1 4 1

. 1

4 1

x x x x

x x

    

 

 

 



 

 

trong đó 1, 2 x x   .

a)Rút gọn biểu thức A

b)Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức A là số nguyên.

Câu 87. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều

kiện

6 20 15 0 a a    ,

15 20 6 0 b b    , 1 ab  . Tính giá trị biểu thức:

 

9 1

ab ab



 

Câu 88. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

   

 

      

   



  

   

a a

a a a a a

1 3 5 ( 1)

. 1

1 4

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .

Câu 89. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

3 16 7 1 3

2 3 3 1

x x x x

   

  

   

( 0, 1 x x   ).

Câu 90. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020)

Rút gọn biểu thức

4 4 4

2 2 4

a a a

a a

  



 

, với 0, 4 a a   .

Câu 91. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

4 2 3 6 2 5

5 3

A     



Câu 92. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức

  1 ( )

3 3 1

2 2 2

x x y

x x

x xy y x x y y x y x xy y

 

 

  

 

     

 

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tìm các số nguyên x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 11 

Câu 93. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức:

24 3 2 2

2 2 3 5 6

x x x x

x x x x x x

 

   

 

  

 

       

 

, (với 0, x  4, 9 x x   ).

1. Rút gọn biểu thức A .

2. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 94. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Rút gọn các biểu

thức sau:

1. 4 3 2 27 12 A    .

1 2 1

a a

a a a

 

 







 









  

   

, (với 0, 1 a a   ).

Câu 95. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020)

1)Tìm điều kiện xác định:

1 2

2 1

x x

 

 

2)Rút gọn: 5 12 27 B  

3) Rút gọn:



 



Câu 96. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho biểu

thức:

3 9 3 2 1

2 1 2

a a a

a a a a

  

   

   

1)Rút gọn biểu thức A.

2)Tìm giá trị của a để 2 A  .

Câu 97. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

Rút gọn: ( 5 3)( 5 3) 6 A    

Câu 98. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019)Cho các số , , a b c thỏa mãn

ab bc ca 2019abc    và   2019 a b c 1    . Tính

2019 2019 2019

A a b c    .

Câu 99. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) a) Cho a là số thực

khác 1 và 1  . Rút gọn biểu thức

2 3

1 2 1

1 1

a a a

a a

  



 

 

 

  

 

  



 



 

b) Cho các số thực , , x y a thoản mãn

2 4 2 2 4 2

3 3

x x y y y x a     .

Chứng minh rằng

3 3 2 2 2

x y a   .

Câu 100. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho

2 1 2

1 .

1 1 2 1

x x x x x x x x

x x x x

 

    

  

 

  

 

với

0, 1,

x x x    . Rút gọn P. Tìm các

giá trị của x sao cho

P  . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 12 

Câu 101. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

3 1 3

1 1 1 1

x x x

x x x x x x x

 









   









     

 

(với 0 x  ).

Rút gọn biểu thức . P Tìm các giá trị của x để

P 

Câu 102. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức

    2 15 8 2 1. A x x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

b) Tìm x để  3. A

Câu 103. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho

  

3 3

1 2 4. x Tính giá trị đúng của biểu thức      

5 4 3 2

4 2 2019. A x x x x x

Câu 104. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức





có nghĩa.

b) Chứng minh đẳng thức 1 1 1

1 1

a a a a

a a

  

     

 

     

 

 

 

   

 

  

 

0, 1 . a a  

Câu 105. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020)

1) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức

 

3 5 . 3 5

10 2

 





2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

2 3 2

x x

 





tại 2020 2 2019 x  

Câu 106. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Tính giá trị các biểu

thức sau:

) 4 3  a

b) 5 (6 5)  

Câu 107. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020)

Cho biểu thức

2 2 1 1

1 1 1



  

  

x x

x x x

(với 0; 1   x x )

a)Rút gọn biểu thức H .

b)Tìm tất cả các giá trị của x để 0   x H

Câu 108. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020)

Tính giá trị biểu thức

   

2 3 1 3 2 1 13 4 3 19 6 2 T      .

Câu 109. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020)1) Phân tích đa

thức sau thành nhân tử:

3 2

10 8 D x x x    

Câu 110. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Tìm điều kiện

xác định của biểu thức

2019 3

9 3

x x

 

 

Câu 111. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020)

Cho biểu thức

1 1

4 :

1 1 1

a a a a a

P a

a a a

   

  

  

   

  

   

với 0, 1. a a  

1) Rút gọn biểu thức . P VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 13 

2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên.

Câu 112. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho

3 5 2 3 3 5 2 3 x       . Tính giá trị của biểu thức   2 P x x   .

Câu 113. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác

định của biểu thức

2019 3

9 3

x x

 

 

Câu 114. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho biểu thức

1 1 1

4 .

1 1

a a

P a

a a a a

 

 

  

 

 

 

với 0, 1. a a  

1) Rút gọn biểu thức . P

2) Tính giá trị của P khi 9 4 2. a  

Câu 115. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Với x 0  , xét

hai biểu thức

2 x



 và

x 3 2 x 9

x x 3 x

 

 



. Tìm tất cả các giá trị của x để

A 5

B 3



Câu 116. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Rút gọn biểu

thức

5 6 7 33 128 1

3 2

  





Câu 117. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

3 2 2 2

: 1

2 3 5 6 2

x x x x

x x x x x x

 

     

   

 

     

 

a)Rút gọn biểu thức A.

b)Tìm x để

2 P A

  đạt giá trị lớn nhất.

Câu 118. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Tìm a , biết:

   

 

   

 

2 2

1 1 2 1 1 2 1 1

4 1 1

        

 

 

a a a a a a

a a a a

Câu 119. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

2 2 8 1

1 1 3

 

    

  

 

   

 

x x x x x x

x x x x x

với 0  x . Rút gọn biểu thức A và tìm x để

6  A .

Câu 120. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho a là số

thực khác 1 và 1  . Rút gọn biểu thức

2 3

1 2 1

1 1

a a a

a a

  



 

 

 

  

 

  



 



 

Câu 121. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu

thức

x x x x x

x x x x x x

  

  

 

2 3 1

với , x x   0 1. Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 14 

Câu 122. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

4 9 3 1 2 1

3 2 1 2

x x x x

    

  

   

(với 0 x  ).

a) Rút gọn biểu thức A ;

b) Tìm giá trị lớn nhất của A .

Câu 123. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020)

a)Rút gọn biểu thức:

A = 1

 



 



 

3 2 2

2 3 5 6

x x x

x x x x

 

  

 

 

   

 

(với 0; 4; 9 x x x    )

b)Cho

( 3 1) 10 6 3

21 4 5 3

 



 

hãy tính

2 2019

( 4 2) B x x   

Câu 124. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức:

  2 1 1

 

 

   

 



 

xy x y xy

x y xy x x y y

(với 0; 0   x y ).

1. Rút gọn biểu thức P.

2. Biết 16  xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 125. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho

3 3

70 4901 70 4901.     x Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng minh x là số

nguyên tố.

Câu 126. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)Rút gọn biểu

thức: 4 10 2 5 4 10 2 5 A       .

Câu 127. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho

3 3

2 2 3 2 2 3 1 x      . Tính giá trị biểu thức

 

3 2

3 9 P x x x   

Câu 128. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020)

Tính tổng

2 2

1 1 1 1

...

3 1 5 3 7 5

2019 2019 2

    

  

 

Câu 129. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức

 

2 2 2 1

a a

 



 

với 0, 4 a a   .

Câu 130. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020)

a) Cho biểu thức:

 

1 1 1

  

 

 

 

 



x x x

. Tìm điều kiện xác định của P và giá trị

của x để

 P .

b) Rút gọn biểu thức

46 5 61 69 28 5.     A

Câu 131. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Tính giá trị

biểu thức:

 

2018

5 4 3

4 4 5 5 2 2019 P x x x x      

tại VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 15 

1 2 1

2 2 1







Câu 132. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)Rút gọn

2 2

1 3 2 1 3 2

2 2 1 3 1 3

   

 

   

   

 

   

Câu 133. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020)Rút gọn

biểu thức

 

3 5 27 20 5 3 15 A     .

Câu 134. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu

thức =

√

a)Rút gọn biểu thức .

b)Tính giá trị của biểu thức khi = 4 2√3.

Câu 135. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020)

Cho biểu thức  

2 3 8 1 1

1 2 1 1

x x x x x x

P x

x x x x

 

    

    

 

   

 

với 0, 1 x x   .

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm tất cả số nguyên tố x để 1 P  .

Câu 136. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020)

Cho biểu thức

2 2 2 1

1 1 1

x x x x x

x x x x x x

 

  

   

 

    

 

với 0. x 

a) Rút gọn biểu thức . P

b) Chứng minh: 3. P 

Câu 137. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

 

2 1 2 2

1 1 1

x x x x x

x x x x

  

  

   

với 0, 1. x x  

Tìm tất cả các giá trị của x để 0. A 

Câu 138. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu

thức

3x 9x 3 x 1 x 2

P .

x x 2 x 2 x 1

   

  

   

Tìm x để P 3. 

Câu 139. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức

1 1 1

1 1

A x

x x x x

 

  

  

 

  

 

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 140. (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019) Rút gọn biểu thức 12 4 2 2 3 4 6 A    

Câu 141. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) 1) Rút gọn biểu thức:

2 3

3 3 3

. 1

3 3 27 3

x x x x

   

   

   

  

   

. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 16 

2) Tính tổng :

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 ..... 1

1 2 2 3 2018 2019

B          

Câu 142. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực

dương , , , a b c d thỏa .

a b c d

b c d a

   Tính giá trị của biểu thức

2 6 2019 2020 43

2 3 4 5

a b c d

   



  

Câu 143. (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Cho biểu thức

2 1 1

1 1

x x x

x x x x

  

  



  

với 0  x và 1.  x

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để

A 

Câu 144. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Tính giá trị biểu thức  

3 3

3 x y A x y     ,

biết rằng

3 3

3 2 2 3 2 2 x     ;

3 3

17 12 2 17 12 2 y    

Câu 145. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho biểu thức

2 1

: 1

1 1 1

x x

x x x x x x

   

  

   

    

   

, với x 0; x 1.  

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm tất cả các giá trị của x để

P   .

Câu 146. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Rút gọn biểu thức:

3 3

2( ) 2 2

2 2 2 2

2 2

a b a a b

P a

a ab b b ab

a b

 

 

    

 

  



 

với 0, 0, 2 . a b a b   

Câu 147. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Rút gọn biểu thức:

 

3 2 3 33 12 5 37 30 3 A      .

Câu 148. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho biểu thức

 

3 3

2 2 2

. .

2 2 2 2

2 2

a b a a b

Q a

a ab b b ab

a b

 

   

    

 

  



 

1. Tìm điều kiện của a và b để biểu thức Q xác định. Rút gọn biểu thức Q .

2. Cho

26 15 3



 và

7 4 3



 Tính giá trị của . Q

Câu 149. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Tính giá trị của biểu thức

A 3 5 3 5     .

Câu 150. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho

3 1 3 3

y x z

xy x yz y xz z

  

     

và 9 xyz  . Tính 10 1 P  . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 17 

Câu 151. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho , , x y z là các số dương thỏa mãn:

4 x y z xyz     .

Chứng minh rằng:             4 4 4 4 4 4 8 x y z y z x z x y xyz           .

Câu 152. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho biểu thức

 

3 3

x y x x y y

xy y

x y x x y y

  



 

 

với , 0 x y  và x y  .Chứng minh rằng giá trị của

biểu thức A không phụ thuộc giá trị của biến.

Câu 153. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho , , a b c là các

số thỏa mãn điều kiện

3 3 3

3 a b c abc    và 1 a b c    . Tính giá trị của biểu thức

5 6 2019 Q a b c    .

Câu 154. (HSG toán 9 tỉnh Lai Châu năm 2018-2019) Cho biểu thức:

2 1 1

1 1 1

x x x

x x x x x

   

     

 

 

   

 

 

 

 

   

       

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để

P  .

Câu 155. (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Rút gọn biểu thức:

3 5 2 6 11 6 2

2 6 2 5 7 2 10

   



   

Câu 156. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019)Cho

2 3 5 13 48

6 2

  





, chứng minh A

là một số nguyên

Câu 157. (HSG toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm 2018-2019) Cho biểu thức

3 2( 3) 3

2 3 1 3

x x x x

  

  

   

với 0; 9. x x  

a)Rút gọn biểu thức A .

b)Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Câu 158. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019)

a) Rút gọn biểu thức:

4 1 9 4 2

2 7 2 10 7 89 28 10

 

 

   

b) Cho , , 0  x y z thỏa mãn



 

 

zx z z

y y

z z

Chứng minh rằng:

1 1 1

  

      xy x yz yz y zx z

Câu 159. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Rút gọn

3 3 2 9

1 :

2 3 6

   

   

   

   



   

   

x x x x x

x x x x

với 0 x  , 4 x  , 9 x  .

Câu 160. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 18 

a) Cho biểu thức:

1 3 2

1 1 1

x x x x x

  

   

với  x 0 . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức A.

b) Rút gọn biểu thức: 4 10 2 5 4 10 2 5 B      

Câu 161. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Cho biểu thức

3 3 4 4

2 2 1 1

x x x

x x x x x

 

 

   

với 1 x  . Rút gọn biểu thức A và tìm x để 1 A  .

Câu 162. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Rút gọn biểu thức

 

x x

C x

   



với 0 x  .

Câu 163. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Trị năm 2018-2019) Cho 4 10 2 5 4 10 2 5 a       .

a) Chứng minh a là nghiệm phương trình

2 4 0. a a   

b) Tính giá trị của biểu thức

4 3 2

4 6 4

2 12

a a a a

a a

   



 

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 19 

Bất đẳng thức-min-Max

Dùng điện thoại quét mã vạch để xem lời giải chi tiết

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  1 a b c ,

Chứng minh rằng:

  

     

4 4 4 4 4 4

a b b c ca

a b a b b c b c c a ca

Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn

6       a b c ab bc ac . Chứng minh rằng:

3 3 3

3   

a b c

b c a

Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

 

2 6 3 6 2 16

2 2 2

2 2 3

a b b c

b a c

  



 

  

Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn

điều kiện 1  abc

Chứng minh

1 1 1

2 2 2

  

   a b c

Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b =

4ab

Chứng minh rằng:

2 2

4 1 4 1 2

a b

b a

 

 

.Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020)Cho , , x y z là ba số dương. Chứng minh

 

1 1 1

9 x y z

x y z

 

     

 

 

Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Chứng minh

1 1 1

... 38

2 3 400

    .

Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

( )

2 2 2 4

ab bc ca

a b c

a b c b c a c a b

    

     

Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn

a+b+c=1. Chứng minh rằng:

2 4 ( 1 )( 1 )( 1 ) a b c a b c      

2 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 20 

Câu 10. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giả sử ba

số thực , , a b c thỏa mãn điều kiện 0 a  ,

3 b a  , a b c abc    . Chứng minh rằng:

1 2 3



 .

Câu 11. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số

dương , , x y z thỏa

 xyz .

Chứng minh rằng:

     

2 2 2

.     

  

yz zx xy

xy yz zx

x y z y z x z x y

Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Câu 12. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số dương

, , z x y thỏa

z xy  .

Chứng minh rằng:

     

2 2 2

yz z x xy

xy yz z x

x y z y z x z x y

    

  

Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Câu 13. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số

thực , , x y z thỏa mãn 0 1; 0 1; 0 1. x y z       Chứng minh rằng

 

3 3

2 3

x y z xyz

x y z yz

 

     

Câu 14. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020)

1)Cho số thực dương x , chứng minh

1 7 5

2 18 18



 



2)Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn

2 2 2

3 a b c    . Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

a b b c c a

  

  

  

Câu 15. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực

dương , , a b c . Chứng minh

2 2 2

a b c a b c

b c a

a b c

 

   

 

Câu 16. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Cho các số thực

dương , , a b c thỏa mãn

1 1 1

1 1 1 a b c

  

  

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c

a a b b b b c c c c a a

  

     

Câu 17. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

Cho hai số thực dương , a b

thỏa mãn 4 a b ab   .

Chứng minh rằng:

2 2

4 1 4 1 2

a b

b a

 

 

Câu 18. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Chứng

minh

1 1 1

... 38

2 3 400

    . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 21 

Câu 19. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Cho số thực x thỏa

mãn 1 1 x    . Chứng minh rằng

1 1 2 x x x      .

Câu 20. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Cho , , x y z

là các số thực dương thỏa mãn 2019 . x y z xyz    Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

1 2019 1 1 2019 1 1 2019 1

2019.2020 .

y y x x z z

xyz

x y z

        

  

Câu 21. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số

thực , , a b c thỏa mãn

     

4 4 4 4 4 4

8 a b b c c a     . Chứng minh rằng

     

2 2 2 2 2 2

1 a ab b b bc c c ca a        .

Câu 22. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho , , x y z là các số

thực không âm thỏa mãn

x y z    Chứng minh rằng

2 4 2. x xy xyz   

Câu 23. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số

thực dương x, y, z. Chứng minh

1 1 1 1 1 1

x y z x 2y y 2z z 2x

 

    

 

  

 

. Đẳng thức xảy ra

khi nào?

Câu 24. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho , , a b c là các số

thực dương thỏa mãn 1 ab bc ca    . Chứng minh rằng

2 2 2

1 1 1 2 a b b c c a       .

Dấu “ ”  xảy ra khi nào?

Câu 25. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) Cho a và b là hai

số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện

4 4

4 4 a a b b    .

a) Chứng minh rằng 0 2 a b    .

b) Biết rằng

4 4

4 4 0 a a b b k      . Chứng minh rằng 0 k ab    .

Câu 26. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực

, a , b c thỏa mãn: 1 a  , 1 b  , 1 c  và 0 a b c    .

Chứng minh:

2018 2019 2020

2 a b c    .

Câu 27. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Cho ba số thực dương

, , a b c thỏa mãn: 3. a b c    Chứng minh rằng:

2 2 2

1 362

121

a b c ab bc ca

 

   

Câu 28. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Cho

4 5. A a a     Chứng minh 0 . A a    

Câu 29. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh

     

9 4 x y z xyz x y z xy yz zx         với , , x y z là các số thực không âm. Đẳng thức

xảy ra khi nào?

Câu 30. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Cho các

số thực dương , x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 22 

2 2

xy x y

y x x y

   



Câu 31. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực

, a b sao cho 4; 6 a b   . Chứng minh:

11 7

2 4 3 9 24.

a b

a b ab



     

Câu 32. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Cho , , a b c là các số

thực dương, chứng minh rằng

a b a

b c a c

 



Câu 33. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh rằng tồn

tại vô số số nguyên dương n sao cho

2019

2 2020



Câu 34. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020)

Cho , , x y z là các số dương thỏa mãn 2 x y z    . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

2019 2 2019 2019 2 2019 2019 2 2019 2 2020. x xy y y yz z z zx x         

Câu 35. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020)Cho , , a b c là các

số dương thỏa mãn 2 . a b c abc    

Chứng minh

1 1 1 3

2 ab bc ca

  

Câu 36. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số

dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng ;

1 1 1

a b c

ab a bc b ca c

  

     

Câu 37. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Cho ba số

dương x, y, z thỏa mãn xyz 2.  Chứng minh

2 2 2 2 2 2

x 2y 4z 1

2x y 5 6y z 6 3z 4x 16 2

  

     

Câu 38. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số nguyên dương

, , a b c thỏa mãn 1 abc . Chứng minh rằng:

  

  

a b c

b ac c ab a bc

Câu 39. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Cho 3 số thực dương

, , a b c thỏa mãn 1 abc  . Chứng minh rằng:

           

3 3 3

1 1 1 1 1 1 4

a b c

b c c a a b

  

     

Câu 40. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019)

Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a > 1, b > 1, c > 1, d > 1. Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2 2

1 1 1 1

a b c d

b c d a

   

   

Câu 41. (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn

1.  abc VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 23 

Chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3

1 1 1

1 1 1 a b b c c a

  

     

Câu 42. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Cho , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn

3 a b c    Chứng minh rằng

3 3 3

1 1 1 5 a b b c c a      

Câu 43. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Cho , , 0 a b c  thỏa mãn 3. a b c    Chứng

minh rằng

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

  

Câu 44. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Cho , , x y z là các số thực dương nhỏ hơn 4 . Chứng

minh rằng trong các số

1 1



 x y

1 1



 y z

1 1



 z x

luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn

hoặc bằng 1.

Câu 45. (HSG toán 9 tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019)

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2018 2019 A x x    

b)Cho là các số thực dương và

1 x y z   

. Chứng minh rằng:

1 x yz y zx z xy xy yz zx         

Câu 46. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho , , 0 a b c  thỏa mãn 8 abc  . Chứng minh

rằng

3 3 3

1 1 1

1 1 1 a b c

  

  

Câu 47. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019)Cho các số thực không âm , , a b c thỏa

3 a b c    .

Chứng minh:   3 abc ab bc ca    .

Câu 48. (HSG toán 9 tỉnh Lai Châu năm 2018-2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1.

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

3 3.

x y y z z x

xy yz zx

     

  

Câu 49. (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Cho ba số dương , , x y z thoả mãn điều kiện:

673 xy yz zx    .

Chứng minh rằng:

2 2 2

2019 2019 2019

x y z

x yz y zx z xy x y z

  

       

Câu 50. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019)Cho , , a b c là ba số thực dương thõa mãn

1 abc  . Chứng minh

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4

a b c

a b b c c a

  

     

Câu 51. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Cho , , 0. a b c  Chứng minh rằng:

     

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 6 c c a b c a a b c a b b c a b a b c

 

    

 

        

 

Câu 52. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Cho , , 0 x y z  thỏa mãn 2019 x y z    .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

1 3 3 3

4 4 4

xy yz zx x y z

   

 

. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 24 

Câu 53. (HSG toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2018-2019) Cho các số thực

1 2

, ,..., x [0; 1]

x x  . Chứng

minh rằng

2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

(1 x ... ) 4( ... )

n n

x x x x x x x          

Câu 54. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Cho x , y , z  0 thõa mãn 2 x y x xyz    

Chứng minh rằng:

 

6 2 x y z xy yz zx      

Câu 55. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Với , , x y z là độ dài ba cạnh của một tam

giác.

Chứng minh rằng       y z x z x y x y z xyz        .

Câu 56. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nhọn   AB AC  , đường

phân giác AD ( D thuộc BC ). Các điểm E và F lần lượt chuyển động trên các cạnh AB và

AC sao cho BE CF  . Trên cạnh BC lấy các điểm P và Q sao cho EP và FQ cùng song

song với AD .

a) So sánh BP và CQ .

b) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AEF thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 57. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Trị năm 2018-2019)

a) Cho a , b , c là các số thực bất kì. Chứng minh

2 2 2

. a b c ab bc ca     

b) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn: 1, 1, 1 a b c    và 9 ab bc ca    .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

P a b c   

Câu 58. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019) Chứng minh rằng nếu , a , b c là độ dài ba

cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

2 2 2

3 3 3 4 13     a b c abc .

Câu 59. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho các số dương , , a b c . Chứng minh rằng:

 

3 3 3 3 3 3

2 2 2

19b a 19c b 19a c

3 a b c

ab 5b bc 5c ca 5a

  

    

  

Câu 60. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Giải bất phương trình 7 – 2 4 3 x x  

Câu 61. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn

2019 x y z    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

x y z

x yz y zx z xy

  

  

Câu 62. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020) Cho hai số thực , x y thỏa mãn 3; 3. x y  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

21 3 T x y

y x

 

   

   

 

Câu 63. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

x+ y + z ≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

zx yz xy z y x

 



 



1 1

2 2 2

Câu 64. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm , a b thỏa mãn

2 2

2 a b   . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

a b

 





Câu 65. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho , x y là các số thực dương thỏa 1. x y  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 1. A x y x

     VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 25 

Câu 66. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 3 x y  

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 5

5 2 5

xy x y

 

 

Câu 67. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho , x y là hai số thực thỏa

x y

 







. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

x y







Câu 68. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Cho , x y là các số thực thỏa mãn điều kiện

2 2

1 x y  

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     3 3 . P x y   

Câu 69. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm , a b thỏa mãn

2 2

2 a b   . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

a b

 





Câu 70. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn:

x 2y 3z 2    .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

xy 3yz 3xz

xy 3z 3yz x 3xz 4y

  

  

Câu 71. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Cho biểu thức

4 4

P a b ab    với , a b là các số

thực thỏa mãn

2 2

3 a b ab    . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P .

Câu 72. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương , a b thỏa mãn:

3 1    a b ab .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

  



P a b

a b

Câu 73. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương , a b thỏa mãn

3 1    a b ab .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

12ab

P a b

a b

  



Câu 74. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:

2 2 2

3 x y z xyz   

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

4 4 4

x y z

x yz y xz z xy

  

  

Câu 75. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Cho các số dương , , a b c thỏa mãn điều kiện:

2019    a b c .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2          P a ab b b bc c c ca a .

Câu 76. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Cho , , a b c là ba số dương thỏa mãn

6. a b c   

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 2 3 2 3 2

ab bc ca

a b c b c a c a b

   

     

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 26 

Câu 77. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Với x 0  , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x 3x 2019

 



Câu 78. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x

+ y

– 3xyz = 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2

P (x y z) 4(x y z xy yz zx)

        

Câu 79. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Cho , , x y z là các

số thực dương và thỏa mãn 0 . x y yz zx x y z     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 2 2

x y z

y z z x x y

  

  

Câu 80. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực

không âm , , x y z thỏa mãn 3 x y z    . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

2 2 2

6 25 6 25 6 25 M x x y y z z          .

Câu 81. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho , , a b c là các

số dương thỏa mãn điều kiện 3 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

Câu 82. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các số thực

, x y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

2 2

2 6 13 4 26 24 46 P xy x y x y x y         .

Câu 83. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)

a)Cho , , a b c là các số thực bất kì và , , x y z là các số dương. Chứng minh:

 

2 2 2

a b c a b c

x y z x y z

 

  

 

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     

3 3 3

8 8 8 a b c

a b c b a c c a b

  

  

  

với , , a b c là số

dương thỏa mãn 1 abc  .

Câu 84. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai số thực

, a b thỏa mãn 1 2, 1 2 a b     . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

P a b

b a

   

  

   

   

Câu 85. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số dương

, , x y z thoả mãn điều kiện 5 xy yz zx    . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

3 3 x y z   .

Câu 86. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho , , x y z là các số thực thuộc

đoạn 0;2  

 

thỏa mãn điều kiện 3 x y z    .

a)Chứng minh rằng

2 2 2

6 x y z    .

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3

3 P x y z xyz     .

Câu 87. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Giả sử x và y là hai

số thỏa mãn x y  và x.y = 1. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 27 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

x y







Câu 88. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho các số thực

dương , , a b c thay đổi và thoả mãn     4. ab b c c a ab c

1) Chứng minh

1 1 1

2 2 2 a b c

  

  

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

     

  

     

2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 4 2 4 2 4

a b b c c a

Câu 89. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức

4 4 , K a b ac bc    với , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn 2 1. a b c   

1) Chứng minh

K  

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . K

Câu 90. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Gọi a,b,c là độ dài

ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

       

3 3 3 2 2 2

P a b c a b c a 1 b 1 c 1 .

         

Câu 91. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Cho các số thực

dương ; x y

thỏa mãn 1 x y   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

1 P x y

x y

 

  

 

 

Câu 92. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho các số

dương , , x y z thỏa mãn: 4 32 xy xz yz   

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 2

16 16 P x y z   

Câu 93. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực

, x y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

2 2

2 6 13 4 26 24 46 P xy x y x y x y         .

Câu 94. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho , a b , c

là các số thực không âmthỏa mãn điều kiện 3 a b c    .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3

1 1 1 P a b b c c a       .

Câu 95. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho ; ; x y z là ba số

thực dương thỏa mãn ( ) ( ) 0. x x z y y z     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 2 2

2 2 2 2

4 x y x y

x z y z x y

 

  

  

Câu 96. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020)

a) Chứng minh rằng với mọi số thực a,b luôn có:  

2 2

a b a b

   và  

2 1

ab a b

  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 28 

b) Cho x, y,z là các số thực dương thỏa mãn

   

2 2 2

5 x y z 9x y z 18yz 0       . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức

2x y z

y z

 





Câu 97. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho a, b, c là ba số

thực thỏa mãn điều kiện a + b + c =10. Tính giá trị nhỏ nhất của

2 2 2

M a b c    .

Câu 98. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực

dương , , a b c thỏa mãn 2. abc a b c     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

1 1 1

. P

a b b c c a

  

  

Câu 99. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho ba số thực

dương , , a b c thỏa mãn 1  abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     

2 2 2

1 5 1 5 1 5

4 4 4

        

   

     

a b b c c a

ab a bc b ca c

Câu 100. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Xét các số thực

; ; ( 0)  a b c a sao cho phương trình bậc hai

0    ax bx c có hai nghiệm ; m n thỏa mãn:

0 1;0 1     m n . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2   



 

a ac ab bc

a ab ac

Câu 101. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực

, , thỏa mãn

0 , ,

2 3 4 3

a b c



 







  



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 9 8

(3 4 2) (4 8 3) (2 3 1)

a b c b a c c a b

  

     

Câu 102. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai số dương

x, y thỏa mãn

       

3 3

6 2 4 x x y xy x y x y xy        . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

x y

y x

 

  

 

 

Câu 103. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số

dương a, b, c thỏa mãn 4    a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

  

  

a a b b c c

a b b c c a

Câu 104. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Cho , , x y z là các

số thực dương

a) Chứng minh rằng  

2 2 2

     x y z x y z

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức    P x y z . Biết       1 1 1 18       x x y y z z .

Câu 105. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020)

a)Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤ 1. Chứng minh rằng:

≤

√

b)Cho , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( + )

+ 4 ≤ 12. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 29 

Tìm giá trị lớn nhất của =

+ 2018.

Câu 106. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Tìm giá

trị nhỏ nhất của







Câu 107. (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y 1   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   

4 3 3 4

P 2x x 2y 1 y 2x 1 2y      

Câu 108. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn

điều kiện 4. a b c    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3 2 3 3 3 2

. P a b b c c a abc ab bc ca bca        

Câu 109. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn các điều

kiện

( )( ) 4 a c b c c    . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

a b ab

b c a c bc ca

  

  

Câu 110. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Cho , y, z x là các số thực không âm thỏa mãn

điều kiện

2 2 2

+ y + z + 2xyz = 1 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 P xy yz zx xyz     .

Câu 111. (HSG toán 9 tỉnh HCM năm 2018-2019) Cho , , a b c là ba số thực sao cho 2    a b c và

2 3 1    ab c c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

  P a b .

Câu 112. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn

3. a b c    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2 2 2

2 2 2 2

3 25 25

2 16 7 2 16 7

c a a b

a ab b b bc c



  

   

Câu 113. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Với các số thực dương , , a b c thay đổi thỏa mãn

điều kiện

2 2 2

2 1     a b c abc , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức     P ab bc ca abc .

Câu 114. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Cho số thực 0 a  . Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 3 2

3 1 a a a a

a a

   





Câu 115. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Cho , , 0  a b c thỏa mãn

2 2 2

2019

2018

   



 

 

a b c

a b c .

Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2

  

  

a b c

a bc b ca c ab

Câu 116. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

ab bc ca

a b b c c a

  

  

biết , , a b c là các số dương thỏa mãn

1 1 1

bc ca ab

   .

Câu 117. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3 4







. " " 

Câu 118. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019)Cho , , a b c là các số thực dương. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức: VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 30 

4 4 4

a b c

a b b c c a

     

  

     

  

     

Câu 119. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng B năm 2018-2019) Cho , , a b c là các số thực dương. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

a b c

a b b c c a

     

  

     

  

     

Câu 120. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Cho ba số thực , , x y z thỏa mãn

1 1 1

2 1 2 1 2 1 x y z

  

  

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

x y y z z x

x x y y y z z z x

  

  

  

Câu 121. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho các số thực , a , b , c thỏa mãn 1 a b c   

. Tìm giá trị lớn nhất của D ab ac   .

Câu 122. (HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm 2018-2019) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn

1 0. x y z    

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

     

3 3

x y

x yz y xz z xy



  

Câu 123. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn

đẳng thức 5 xy yz zx    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

   

2 2 2

3 3 2

6 5 6 5 5

x y z

 



    

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 31 

Phương trình

Dùng điện thoại quét mã vạch để xem lời giải chi tiết

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho phương trình:

( 1) 0 x m x m     . Tìm

m để phương trình trên có một nghiệm

bằng 2 . Tính nghiệm còn lại.

Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020) Cho phương trình:

2 3 1 0 x x    có

hai nghiệm

1 2

, x x . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:

1 2

2 1

1 1

x x

 

 

 

Câu 3. (HSG toán 9 tỉnh Trà Vinh năm 2018-2019) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC.

Giả sử phương trình: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x a x b x b x c x c x a          có nghiệm kép. Tính số

đo các góc của tam giác ABC.

Câu 4. (HSG toán 9 tỉnh Trà Vinh năm 2018-2019) Cho phương trình:

2 2

2 2 2 0 x mx m     (1) (m

là tham số). Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm (

1 2

0 x x   )Tìm giá trị của m

để nghiệm lớn nhất của phương trình đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5. (HSG toán 9 tỉnh Trà Vinh năm 2018-2019) Giải các phương trình

1 1

1 x x

x x

   

4 20 5 9 45 4

x x x      

Câu 6. (HSG toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Giải phương trình

3 8 6 3 1 3 8 6 3 1 3 4 x x x x x          .

Câu 7. (HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm 2018-2019) Giả sử

1 2

, x x

là hai nghiệm của phương trình

2 4 0 x kx    ( k là tham số). Tìm tất cả các giá trị của k sao cho :

2 2

1 2

2 1

x x

   

 

   

   

Câu 8. (HSG toán 9 tỉnh Sơn La năm 2018-2019) Cho phương trình

2( 1) 3 3 0 x m x m      . ( m

là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phản biệt

1 2

, x x sao cho

2 2

1 2 1 2

5 M x x x x    đạt giá

trị nhỏ nhất.

b) Tìm m để phương trình có bai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

3 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 32 

Câu 9. (HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Tìm m để phương trình  

2 1 18 0 x m x    

có hai nghiệm thực phân biệt

1 2

, x x sao cho biểu thức

   

2 2

1 2

4 25 Q x x    đạt giá trị nhỏ

nhất.

Câu 10. (HSG toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm 2018-2019) Cho phương trình

 

2 2

– 2 4 8 – 9 0 x m x m m     .

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b)Tìm m nguyên dương để phương trình đã cho có hai nghiệm

1 2

, x x sao cho

2 2

1 2

60 x x

x x

 





đạt giá trị nguyên.

Câu 11. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019) Cho phương trình

2 0 x mx m    (m là tham

số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x thỏa mãn

1 2

2 x x   .

Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) 1) Cho phương trình

( 2) 8 0      x m x m

(1) với m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi 8   m .

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

1 2

; x x thỏa

1 2

0   x x .

Câu 13. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Gọi

1 2

; x x

là nghiệm của phương trình

 

2 2 3 0 1 x mx m     (với m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

1 2

2 2

1 2 1 2

2 7

2 1

x x

x x x x



 

  

Câu 14. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Chứng minh rằng

3 3

9 4 5 9 4 5 x    

là

một nghiệm của phương trình sau

 

2019

3 17 1 0. x x    

Câu 15. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Cho phương trình

4 2 2 5 x x x m      (m

là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 16. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Cho phương trình

 

2 2

3 2 2 5 3 0 x m x m m       , x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả giá trị của m để phương

trình có ít nhất một nghiệm dương.

Câu 17. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

trình    

2 2 16 0 x x mx     có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Câu 18. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Cho hai số thức , m n khác 0 thỏa mãn

1 1 1

2 m n

 

Chứng minh rằng phương trình

   

2 2

0 x mx n x nx m      luôn có nghiệm

Câu 19. (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho

3 3

6 3 10; 6 3 10 a b     . Tìm

phương trình bậc hai có hai nghiệm là

a và

b , đồng thời các hệ số đều là số nguyên và hệ

số của

x bằng 2019. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 33 

Câu 20. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Tìm m để phương

trình

2 2 6 0 x mx m     có hai nghiệm

1 2

, x x thỏa mãn

2 2

1 2

11. x x  

Câu 21. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương

trình (ẩn x)

x (m 1) x m 6 0.     

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai

nghiệm

1 2

x , x sao cho biểu thức

2 2

1 2

A (x 4)(x 4)    có giá trị lớn nhất.

Câu 22. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá

trị của tham số m để phương trình

2( 1) 2 0 x m x     có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x

sao cho

1 2

x x  và

1 2

| | | | 4. x x   

Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2019-2020) Giải các phương trình

7 10 0 x x   

Câu 24. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho abc là

số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình

0 ax bx c    không có nghiệm hữu tỉ.

Câu 25. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) Cho phương

trình:

2 0 x x m     ( m là tham số).

a) Tìm tất cả tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

, . x x

b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x , tìm tất cả tham số m để

2 2

1 2

1 1 5

4 x x

  .

Câu 26. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Cho

phương trình    

1 2 3 4 0 m x m x m       .

Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm

1 2

, x x bé hơn 2.

Câu 27. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Cho phương

trình

( + 2) + 3 3 = 0 (1) với là tham số. Tìm các giá trị của để phương

trình (1) có hai nghiệm phân biệt

sao cho

là độ dài hai cạnh góc vuông của một

tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 5.

Câu 28. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Giải

phương trình

6 5 0 x x    .

Câu 29. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)Phương trình

 

3 2 6 0 x x     có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình

4 2

0 x bx c      *

. Tìm ; b c và giải phương trình   * ứng với ; b c vừa tìm được.

Câu 30. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình

 

2 2

3 2 2 5 3 0       x m x m m , x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để

phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

Câu 31. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai phương

trình

6 2 0 x ax b    và

4 3 0 x bx a    với , a b là các số thực. Chứng minh nếu

3 2 2 a b   thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 32. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Cho

phương trình

2 4    x mx m (1) (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm

x ;

x thỏa mãn:

2 2

1 2

2 1

  

x x

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 34 

Câu 33. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình

5 4 9 0 x x m     (1), với m là tham số. Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn

   

2 2

1 1 2 2

1 8 1 5 x x x x    

Câu 34. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Giải phương trình:

3 2 0 x x   

Câu 35. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Cho phương

trình    

2 2

2 3 1 0 1 x m x m      , với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình

  1 có hai nghiệm

1 2

, x x thỏa mãn

3 3 2 2

1 2 1 2 1 2

x x x x x x    .

Câu 36. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Cho phương

trình:  

2 4 0 1 x x m    , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

  1 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 4 .

Câu 37. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình:

1 0. x mx m     (1)

a)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.

b)Giả sử

1 2

, x x là hai nghiệm của phương trình (1), đặt

1 2

2 2

1 2 1 2

4 6

2(1 )

x x

x x x x





  

Với giá trị nào của m thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 38. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) Cho phương trình

0 ax bx c      1 thỏa mãn các điều kiện: 0 a  và 2 ac b a c    .

a) Chứng minh rằng phương trình   1 có hai nghiệm

1 2

, x x và

   

1 2

1 1 0 x x    và    

1 2

1 1 0 x x    .

b) Biết rằng a c  . Chứng minh rằng

1 2

1 , 1 x x    .

Câu 39. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Cho phương trình

(ẩn x , tham số m ):

 

2 1 12 0     x m x .   1

a)Với các giá trị nào của số thực m thì phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x sao

cho

1 2 1 2

2 25    x x x x ?

b)Tìm tất cả các giá trị của số thực m để phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x

thỏa mãn  

2 2

1 2

7 2 1 0     x x m .

Câu 40. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho phương trình

2( 1) 2 6 0 x m x m      (với m là tham số).

a) Giải phương trình với 3. m 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x thỏa mãn

2 2

1 2

32. x x  

Câu 41. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Cho phương

trình

2 2

2( 2) 5 0 x m x m      (với m là tham số).

a) Giải phương trình với 0. m 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x (giả sử

1 2

x x 

) thỏa mãn

1 2

| | | 1| 5. x x   

Câu 42. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 35 

Cho phương trình

2( ) 4 0 x a b x ab     (x là ẩn số; a, b là các tham số). Tìm điều kiện của

a và b để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một nghiệm

dương.

Câu 43. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020)

a)Giải phương trình

3 2 0    x x

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình

2 2

2( 1) 0     x m x m có hai nghiệm

phân biệt

1 2

; x x thỏa mãn:

1 2 1 2

( ) 6 2     x x m x x .

Câu 44. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)Cho

phương trình

2 4 4 0 (1) x mx m     , m là tham số

a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều

kiện

1 2

2 8 5 0 x mx m    

Câu 45. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) Giải phương trình

6 5 0    x x

Câu 46. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả các

giá trị của tham số m để phương trình    

2 2 0 x m x m có hai nghiệm phân biệt

, x

x thỏa mãn  

1 2

2 10. x x

Câu 47. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình

4 0 x x m    (1) ( m

là tham số). Tìm các giá trị của m

để phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt

1 2

; x x thỏa mãn

 

2 2

1 2

1 1

4( 2). x x m

x x

 





    







 

 

Câu 48. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho các đa thức

 

P x x ax b    ,  

Q x x cx d    với , , , a b c d là các số thực..

a) Tìm tất cả các giá trị của , a b để 1 và a là nghiệm của phương trình   0 P x  .

b) Giả sử phương trình   0 P x  có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x và phương trình   0 Q x  có

hai nghiệm phân biệt

3 4

, x x sao cho        

3 4 1 2

P x P x Q x Q x    . Chứng minh rằng

1 2 3 4

x x x x    .

Câu 49. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

Cho phương trình

2 6 2 5 0 x x m    

1) Giải phương trình với 2 m  .

2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

, x

x thỏa mãn:

1 2

1 1

x x

  .

Câu 50. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Giải phương

trình: 5 1 7 0 x x    

Câu 51. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Giải phương trình

2 3 5 0 x x    .

Câu 52. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Cho phương trình

bậc hai

1 0 x m x m     , với m là tham số.

a) Giải phương trình đã cho khi 4 m  . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 36 

b) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm

1 2

, x x thỏa mãn hệ thức

1 2

1 1

2019



 

x x

Câu 53. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Tìm m để phương

trình  

2 1 4 0 x m x m     ( x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm

1 2

, x x thỏa mãn

3 2 3 2

1 1 2 2

x x x x    .

Câu 54. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các đa thức

 

P x x ax b    ,  

Q x x cx d    với , , , a b c d là các số thực..

a) Tìm tất cả các giá trị của , a b để 1 và a là nghiệm của phương trình   0 P x  .

b) Giả sử phương trình   0 P x  có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x và phương trình   0 Q x  có

hai nghiệm phân biệt

3 4

, x x sao cho        

3 4 1 2

P x P x Q x Q x    . Chứng minh rằng

1 2 3 4

x x x x    .

Câu 55. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình

( 2) 0 x m x m     (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có

hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x thỏa mãn điều kiện

 

1 2 1 2

2 5 6 x m x x x     .

Câu 56. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Giải các phương trình

2 3 2 0 x x   

5 2 0 x x  

4 2

4 5 0 x x   

Câu 57. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020)Cho phương trình

   

2 2

x 2 1 2 3 0 1 , m x m m       với m là tham số.

a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm

x và

x sao cho biểu thức

2 2

1 2 1 2

5 x x x x   đạt giá trị

nhỏ nhất thì tham số m là một phân số tối giản

( , p q là các số nguyên, 0 q  ). Hãy tính

2 2

p q







Câu 58. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Cho phương trình

 

2018 2019 2020 0 x m x     ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm

1 2

, x x thỏa mãn:

2 2

1 1 1 2

2019 2019 x x x x      .

Câu 59. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của

tham số m để phương trình

2 2

2 1 0      x mx m m có hai nghiệm

1 2

, x x thỏa

2 2

2 1 1

2 6 19    x x mx .

Câu 60. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020) Giải các phương trình:

1 ) 7 10 0 x x   

4 2

2 ) 5 36 0 x x   

Câu 61. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Giải phương trình:

7 10 0 x x    (không giải

trực tiếp bằng máy tính cầm tay) VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 37 

Câu 62. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Giải phương trình

6 5 0    x x

Câu 63. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Giải các phương trình

2 2

5x 13x 6 0   

4 2

x 2x 15 0   

Câu 64. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Giải phương trình

5 4 0    x x

Câu 65. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Giải phương trình:

x 2x 0   .

Câu 66. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

20 0 x x   

4 2

4 5 9 0 x x   

2 8

3 5 1

x y

  



  



Câu 67. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Giải phương trình   

6 0 x x .

Câu 68. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Tập nghiệm của phương trình

5 6 0 x x    là

A.   3;2 .  B.   1;6 . C.   2;3 . D.   6; 1 .  

Câu 69. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Gọi

1 2

, x x là hai nghiệm của phương trình

3 12 14 0. x x    Giá trị của biểu thức

1 2

T x x   bằng

A. 4.  B. 4. C.

 D.

Câu 70. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020)

Tìm m để phương trình:  

2 2

2 1 3 7 0 x m x m m       vô nghiệm.

Câu 71. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020)

Giải phương trình:

2 3 0 x x   

Câu 72. (Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Cho phương trình:  

2 4 5 1 x mx m    (m là

tham số).

a) Giải phương trình   1 khi 2 m   .

b) Chứng minh phương trình   1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

c) Gọi

x ;

x là hai nghiệm của phương trình   1 . Tìm m để:

 

1 1 2

1 33

1 2 762019

2 2

x m x x m       .

Câu 73. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2019-2020) Giải phương trình:

12 0 x x   

Câu 74. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Cho phương trình x 4x m 1 0     . Tìm

m để phương trình có hai nghiệm

1 2

x ,x thỏa mãn

2 2

1 2 1 2

x x 10x x 2020    .

Câu 75. (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Giải phương trình

3x 5 x 2 4x 2x 3       .

Câu 76. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình :

2 2

2 1 1 3 x x x x x      

Câu 77. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Cho phương trình

4 0 x x m    (m là

tham số)

a) Biết phương trình có một nghiệm bằng 1  . Tính nghiệm còn lại.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm

1 2

x ,x thỏa mãn    

1 2

3 1 3 1 4 x x    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 38 

Câu 78. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Cho phương trình (ẩn x )

6 0 x x m   

a)Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x ,x .

b)Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x ,x thỏa mãn điều kiện

2 2

1 2

12 x x   .

Câu 79. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho phương trình:

2 (2 1) 1 0 (1)      x m x m trong đó m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi 2 m  .

b) Tìm m để phương trình (1) có hai ngiệm thỏa mãn:

2 2

1 2 1 2

4 4 2 1    x x x x

Câu 80. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Cho phương trình

2 4 4 0 (1) x mx m     ,

m là tham số

a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều

kiện

1 2

2 8 5 0 x mx m    

Câu 81. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2019-2020) Cho phương trình

2x 6x 3 1 0 m     (với

m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm

1 2

, x x thỏa mãn:

3 3

1 2

9 x x  

Câu 82. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Cho phương trình

2 4 4 0 x mx m       1

( x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình   1 khi 1. m 

b) Xác định các giá trị của m để phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x thỏa mãn

điều kiện  

1 1 2 2

12. x x x x   

Câu 83. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Cho phương trình:

(2 1) 3 0     x m x (m

là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x với

mọi m. Tìm các giá trị của m sao cho

1 2

5   x x và

1 2

 x x .

Câu 84. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Cho phương trình

4 1 0 x x m     (m là tham

số)

a) Giải phương trình với m = 4.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

1 1 2 2

( 2) ( 2) 20 x x x x     .

Câu 85. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho phương trình 2x

- 6x + 2m – 5 = 0 (m là

tham số)

1)Giải phương trình với m = 2

2)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

1 2

1 1

x x

 

Câu 86. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Cho phương trình

x 4x m 4 0    

(m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x ,x thỏa mãn

   

1 2 2

x 1 x 3x m 5 2       . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 39 

Câu 87. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Cho phương trình

x 6x m 3 0    

(m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x ,x thỏa mãn

   

1 2 2

x 1 x 5x m 4 2      .

Câu 88. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Chứng minh rằng phương trình :

(2 1) 2 4 0 x m x m      luôn có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

2 2

1 2

A x x   .

Câu 89. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Cho phương trình:

x (2m n)x (2m 3n 1) 0       (1) (m, n là tham số).

1)Với n 0  , chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

2)Tìm m, n để phương trình (1) có hai nghiệm

1 2

x , x thỏa mãn

1 2

x x 1    và

2 2

1 2

x x 13.  

Câu 90. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho phương trình

2 2 1 0 x mx m    

 

1 với

m là tham số. Tìm m để phương trình

 

1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x sao cho

1 2 1 2

3 2 1 x x x x m      .

Câu 91. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Cho phương trình

   

1 4 0 1 , x m x m m      là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi 1. m 

b) Tìm giá trị của m

để phương trình (1) có hai nghiệm

1 2

, x x

thỏa mãn

   

2 2

1 1 2 2

2. x mx m x mx m     

Câu 92. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2019-2020) Cho phương trình:

2 0 x ax b     ( , a b

là tham số).

Tìm các giá trị của tham số , a b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x thoả

điều kiện:

1 2

3 3

1 2

x x

  



 



Câu 93. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) Cho phương trình bậc hai

 

2 2 0     x m x m ( ) ( m là tham số)

a)Chứ

ng minh rằng phương trình ( ) luôn có

nghiêm với moi số m .

b)Tìm các giá trị của m để phương trình ( ) có hai nghiệm

1 2

; x x thỏa mãn

 

1 2

1 1



  

x x

Câu 94. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho phương trình

2 2 1 0 x m x m    

 

1 với

m là tham số. Tìm m để phương trình

 

1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x sao cho

1 2 1 2

3 2 1 x x x x m      .

Câu 95. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình

   

4 1 0 x x m có hai nghiệm phân biệt

x và

x thỏa  

3 3

1 2

100 x x

Câu 96. (Tuyển sinh tỉnh TS10-20-PHU THO năm 2019-2020) Cho phương trình

3 0 x mx   

(m là tham số). VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 40 

a) Giải phương trình với 2. m 

b) C/minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của . m

c) Gọi

1 2

, x x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để

1 2

( 6)( 6) 2019. x x   

Câu 97. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2019-2020) Cho phương trình

3 11 0 x x m       1 (với

m là tham số)

1. Với giá trị nào của m thì phương trình   1 có nghiệm kép

2. Tìm m để phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x sao cho

1 2

2017 2018 2019 x x  

Câu 98. (Tuyển sinh tỉnh THUA THIEN HUE năm 2019-2020) Cho phương trình:

   

2 2

2 2 4 0 1 x m x m m      (với x là ẩn số).

a) Giải phương trình   1 khi 1 m  .

b) Chứng minh rằng phương trình   1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Tìm các giá trị của m để phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x thỏa mãn điều

kiện

2 1

1 2

3 3

x x

   .

Câu 99. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Cho phương trình  

5 2 0 1 x x m     với

m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi 6 m  .

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm

1 2

, x x sao cho biểu thức

 

1 2 1 2

8 S x x x x    đạt giá trịNINH lớn nhất.

Câu 100. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020)

1. Giải phương trình

4 3 0 x x   

2. Cho phương trình:

 

    

2 1 2 5 0 x m x m với m là tham số.Chứng minh rằng

phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa

mãn hệ thức

   

        

2 2

1 1 2 2 2 1

2 2 3 2 2 3 19 x m x x m x m x x m .

Câu 101. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho phương trình: 0 1 2

    m x x , với m

là tham số.

1. Giải phương trình với m = 1

2. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho hai nghiệm phân biệt

x và

x thỏa mãn:

). m m ( x x x x

2 1

4 6    

Câu 102. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020) Cho phương trình

2 2

( ) 2 1 1 0 x m x m     

( m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

1 2

; x x sao cho biểu thức

1 2

. x x

x x





có giá trị nguyên.

Câu 103. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020) Cho phương trình:

2 2

2 3 0      x mx m m (1),

với m là tham số.

a) Giải phương trình (1) với m = 4.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm

1 2

, x x và biểu thức:

1 2 1 2

P x x x x    đạt giá trị nhỏ nhất. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 41 

Câu 104. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho các đa thức

 

1 1 1

P x m x n x k    ,  

2 2 2

Q x m x n x k    ,  

3 3 3

R x m x n x k   

với , ,

i i i

m n k là các số thực và 0, 1,2,3

m i   . Giả sử phương trình   0 P x  có hai nghiệm

phân biệt

1 2

, a a ; phương trình   0 Q x  có hai nghiệm phân biệt

1 2

, b b ; phương trình

  0 R x  có hai nghiệm phân biệt

1 2

, c c thỏa mãn

       

1 1 2 2

P c Q c P c Q c    ,

       

1 1 2 2

P b R b P b R b    ,

       

1 1 2 2

Q a R a Q a R a    .

Chứng minh rằng

1 2 1 2 1 2

a a b b c c      .

Câu 105. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Cho phương trình x

– (m – 2)x - 6 = 0 (1)

(với m là tham số)

1)Giải phương trình (1) với m = 0

2)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

3)Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình . Tìm các giá trị của m để

2 1 2 1

x x x (m 2)x 16    

Câu 106. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho phương trình:

( 2 ) 1 0 ( 1 ) x m x m     

(m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Khi đó tìm m để biểu thức

2 2

1 2 1 2

3 A x x x x    đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 107. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020) Cho phương trình

 

x m 3 x m 1 0      (ẩn

x , tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x ;x sao cho

1 2

x x



 

Câu 108. (Tuyển sinh tỉnh Lào Cai năm 2019-2020)

a)Giải phương trình:

x 3x 2 0   

b)Tìm các giá trị của tham số m để phương trình

2 2

x 2(m 1)x m 0     có hai nghiệm

phân biệt

1 2

x ,x thỏa mãn hệ thức  

1 2 1 2

x x 6m x 2x     .

Câu 109. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Giải phương

trình

   

4 2 4 2 2 . x x x      

Câu 110. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Giải phương trình

 

3 4 11 2 5 3 7 x x x x      .

Câu 111. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Giải phương trình

4 2 2 1 1 0 x x x      .

Câu 112. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Giải phương trình:

3 4 4 1 16 8 1 x x x x        .

Câu 113. (HSG toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2018-2019) Giải phương trình:

(10 11 )( 1) x x x

 

   

 

 

Câu 114. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng B năm 2018-2019) Giải phương trình:

2 6 4 13

x x

   

  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 42 

Câu 115. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019) Giải phương trình:

8 4

2 3

2 5

x x



  



Câu 116. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019)Giải phương trình

4 15 20 4 10 7 1 x x x x       .

Câu 117. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Giải phương trình

 

2 1 (4 ) 2( 1)      x x x

Câu 118. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Giải phương trình:

2 1 1     x x .

Câu 119. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Giải phương trình

 

3 1 2 3 7 2 4 4 2. x x x x x        

Câu 120. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

 

2 2

2 3 2 2 1 2 3 x x x x x       .

Câu 121. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Giải phương trình

5 6

2 2 2

2 6

x x



    

 

Câu 122. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

8 3 7 6 8 x x x x     .

Câu 123. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình:

6 5 7 x x x    

Câu 124. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020)

Giải phương trình:

   

2 2 5 1 0      x x x .

Câu 125. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

6 8 3 2. x x x    

Câu 126. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình

2 2

x 7x 14 3 (2x 5)(x 3x 4)       .

Câu 127. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình

3 2

12 1 20 0 x x x x      .

Câu 128. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Giải phương trình

  2 1 5 1 . x x x   

Câu 129. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình:

2 2

2 2 2 2

2 14 2 2 1 0

( )( 12) 6( ) 16

x y y y

x y x xy y x y



     





      





Câu 130. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình

   

5 1 5 5. x x x x     

Câu 131. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Giải phương trình:

5 1 7 3 4 x x x      .

Câu 132. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

2 2

3 8 3 8 6 2 2 1 1 . x x x x       VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 43 

Câu 133. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020) Giải phương trình:

2 2

5 27 25 5 1 4. x x x x      

Câu 134. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019) Giải phương trình:

3 1 6 3 14 8 0. x x x x       

Câu 135. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ninh bảng A năm 2018-2019) Giải phương trình

6 3 2 2 1 x x x x     .

Câu 136. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình  

1 9 8 x x x     .

Câu 137. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị

của tham số m để phương trình  

4 2 2

1 1 0 x m x m m       có đúng ba nghiệm phân biệt.

Câu 138. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình

2 2

2 3 2 4 6 21 11 x x x x      

Câu 139. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình:

1 1.

  



Câu 140. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình

2 4 2

5 1 7 1 0. x x x x      

Câu 141. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Giải phương trình:

 

2 3

2 2 5 1 x x    .

Câu 142. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Giải phương trình

4 8

4 9     x x

x x

Câu 143. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giải

phương trình:

   

 

2 2 3

1 3 2 3 2 1 9 x x x x       

Câu 144. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2019-2020) Giải phương trình

4 2

3 4 0 x x   

Câu 145. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Giải phương trình:

4 2

7 18 0.    x x

Câu 146. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Số nghiệm của phương trình

4 2

3 2 0 x x   

là

A.1 . B.2 . C.3 . D.4 .

Câu 147. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình:

2 2

2x 3x 10 x 2x 4

x 2 x 2

   



 

Câu 148. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2019-2020) Giải các phương trình

 

2 2

2 6 12 9 0 x x x x     

Câu 149. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Giải phương trình:

   

2 1 13 0 x x x     

Câu 150. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Số nghiệm của phương trình

4 2

3 2 0 x x   

là

A.1 . B.2 . C.3 . D.4 . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 44 

Câu 151. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2019-2020) Giải phương trình 3 3 x x x   

Câu 152. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020)Giải phương trình

4 2

2 8 0 x x    .

Câu 153. (HSG toán 9 tỉnh Sơn La năm 2018-2019) Giải phương trình

2 2

2 13

2 5 3 2 3

x x

x x x x

 

   

(*)

Câu 154. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Trị năm 2018-2019) Giải phương trình

         

1 2 3 4 5 360. x x x x x      

Câu 155. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Giải phương trình

 

3 2 2 4

4 5

2 2 4.

     x x x x x

Câu 156. (HSG toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm 2018-2019) Giải phương trình

1 4

4 5 0 x x

x x

     .

Câu 157. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019)Tìm nghiệm   ; x y thỏa mãn phương trình:

2 2 2 4

4 1 4 2 3 16 5            x x x y y x y .

Câu 158. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình

4 3 2 2

2 2 2( 1 1). x x x x x x       

Câu 159. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Giải phương trình:

 

3 3 6

x x

  



Câu 160. (HSG toán 9 tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019) Giải phương trình

2 2 2

3 6 7 5 10 14 4 2 x x x x x x        

Câu 161. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Giải phương trình

24 12 6 x x    

Câu 162. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Tìm số tự nhiên m để phương trình

     

1 6 7 x x x x m     có bốn nghiệm nguyên phân biệt.

Câu 163. (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Giải phương trình

2 2

3 3 6.     x x x x

Câu 164. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Giải phương trình

2 2

4 5 5 2 x x x x      (1);

Câu 165. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 2

x y xy

x y

   



 



Câu 166. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

 

     

2 2 2

1 3 10

2 1 2 3 2 7 x x x x x x

Câu 167. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

     

2 2

2 2 2 2 1 0 x x x x

Câu 168. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

 

6 3 5 2

3 3 9 1. x x x x     

Câu 169. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình:

8 12 1 8 5 x x x     . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 45 

Câu 170. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

2 2

5 3 6 7 4 0

( 2) 3 3

x y y x

y y x x





     







   





Câu 171. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình  

4 2 1 1 x x x x      .

Câu 172. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020)

Giải phương trình:

2 2

x x

x x x x

 

   

Câu 173. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình + √4

= 2 + 3√4

Câu 174. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Giải

phương trình

4 3 0

x x

  

 

Câu 175. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

4 2 9

4 2 1

  

 

x x

Câu 176. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

4 2

20 0 x x   

Câu 177. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Giải

phương trình

2 1 5 2 2 2 11 5          x x x x x ;

Câu 178. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)Giải phương

trình:

 

2 2

10 10 12 x x x x     .

Câu 179. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Giải

phương trình

3 3

2 3 3 2.    x x

Câu 180. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình

       

4 4 2 2

x 1 x 3 8 x 1 x 3 2m 0         ( m là tham số). Tìm các giá trị của m

để phương trình có nhiều hơn hai nghiệm phân biệt.

Câu 181. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình:

2 2 1 3 3 ( 2)( 1) x x x x x        

Câu 182. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình:

2 2

3 5 3 7 x x x x     

Câu 183. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương

trình:

    1 4 1 4 1 x x x x        .

Câu 184. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương

trình x x x x     

2 2

2 2 19 4 74

Câu 185. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

 

2 2

4 4 3     x x x x .

Câu 186. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Giải phương trình

1 1. x x    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 46 

Câu 187. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

1 5 2 2 ( 1)(5 ) x x x x        .

Câu 188. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

     

2 1 3 12 x x x     .

Câu 189. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình:

2 7 2 1 8 7 1 x x x x x          .

Câu 190. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Giải phương trình:

4 4 3 x x   

Câu 191. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Giải phương trình: 3( 1) 5 2 x x    .

Câu 192. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) Giải phương trình 3 3

x  

Câu 193. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2019-2020) Giải phương trình 3(x + 2) = x +36

Câu 194. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Gọi

1 2 3

; ; x x x là 3 nghiệm của phương trình:

3 2

5 5 1 0     x x x .

Tính giá trị của biểu thức

2 2 2

1 2 3

1 1 1

x x x

   .

Câu 195. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai số thực

phân biệt a và b thỏa mãn điều kiện  

3 3 2 2

3 a b a b ab    . Tính giá trị của biểu thức

T a b ab    .

Câu 196. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Giải phương trình:

4 4 9 3    x x

Câu 197. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Giải phương trình:

24 2 2 3 6 12       x x x x x .

Câu 198. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương

trình x 3 3 2x 3 x 1 2x 3 2 2.        

Câu 199. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình

1 1

1 1 x x

 

 

Câu 200. (HSG toán 9 tỉnh Lai Châu năm 2018-2019) Cho phương trình: (2 3) 0. x m x m     (m là

tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho:

2 2

1 2

x x  đạt GTNN

(min).

Câu 201. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

Tìm x biết: 4 2 0 x  

Câu 202. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Tìm x biết: 4x + 2 = 0

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 47 

Hệ phương trình

Dùng điện thoại quét mã vạch để xem lời giải chi tiết

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 7

3 27

x y

   



 



Câu 2. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

3 5

2 18

x y

  



 



Câu 3. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020)

a) Giải hệ phương trình

2 1

 





 



x y

b) Tìm tham số a để hệ phương trình

7 2 5 1

 





  



x y a

có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa

mãn 2  y x .

Câu 4. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Không sử dụng

máy tính bỏ túi, giải hệ phương trình

2 4

3 2 1

x y

  



  



Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

   



 



2 7

2 7 1

x y

Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Lào Cai năm 2019-2020)

a) Giải hệ phương trình

x y 5

2x y 1

 





 



b) Tìm tham số a để hệ phương trình

x y a

7x 2y 5a 1

  



  



. Có nghiệm duy nhất   x; y thỏa

mãn y 2x 

Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

2 5

x y

  



 



(không

giảitrực tiếp bằng máy tính cầm tay)

Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 1

  



 



x y

4 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 48 

Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 5

5 9

x y

  



  



Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

3x 4y 17

5x 2y 11

 





 



Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

3 5

2 0

 





 



x y

y x

Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

3 4 5

6 7 8

x y

  



 



Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

3 7

x y

  



 



Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

3 3

2 7

  



 



x y

Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Nghiệm của hệ phương trình

2 3 5

3 2 12

x y

  



  



là

46 9

; .

13 13

 



 

 

B.   2; 3 .  C.

5 5

46 39

; .

 

 

 

 

D.   2;3 . 

Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Bạn Thanh trình bày Câu 17.(Tuyển sinh tỉnh

Bến Tre năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

7 3 5

3 3

x y

 





 



(2.0 điểm)

Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

3 2 11

x y

  





 



Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 4

x y

  



 



Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương

trình:

2 5

2 4

  



 



x y

Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2019-2020) Giải các phương trình

4 7

5 2

x y

  



 



Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

3 3

4 3 18

x y

 





  



Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

4 3

2 1

  



 



x y

(không sử

dụng máy tính cầm tay).

Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 2 2

2 2 2 2 2



  





  





x y

Câu 25. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 3

x y



  





  





VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 49 

Câu 26. (Tuyển sinh tỉnh THUA THIEN HUE năm 2019-2020) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải

hệ phương trình

4 7

3 5

x y

  



 



Câu 27. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

3 2 11

2 5

x y

  



 



Câu 28. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

4x 3 1

3 2

x y

  



  



Câu 29. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

2 11

x y

  





 



Câu 30. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Giải hệ phương trình sau:

3 1

2 5

x y

  



 



Câu 31. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

3 2

2 3.

x y

  



 



Câu 32. (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

   

2 2

xy 2x y 6

x 1 y 2 8

   





   





Câu 33. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

   

6 13

2 2 3 2

x y

x x y x

 







   





Câu 34. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)

Giải hệ phương trình:

   

2 2

2 4

x y y

x x y xy

   





  





Câu 35. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình:

   

3 2 3 1

1 4 54 0



    





    





x y x y

Câu 36. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020)

Giải hệ phương trình:

3 3 2 2

4 4 12

x y

x y x y

  



   



Câu 37. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình sau:

2 2

4 2 2 4

1 3

9 1

x xy y

x x y y



   







  





Câu 38. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

x y xy

x y xy y x

   





    



Câu 39. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ninh bảng A năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2

8 2 3 4 2

5 4

y y x x x

x y

     





  



. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 50 

Câu 40. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

2 2

2 5

6 12 16

x y x y

x y x xy



   





     



Câu 41. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

2 3

( 2 )(1 ) 2

( 1) 2

y x y x x x

x y x y



    





   





Câu 42. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng B năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

2 6

2 6.

x y x

y x y



  





  





Câu 43. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

   

1 2 1

4 5 1 6 13



   

   







     



x y x y

xy x y

x y x y x

Câu 44. (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

x x y

y y x

  





  



Câu 45. (HSG toán 9 tỉnh Lai Châu năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 0

6 12 0

x y xy y x

x y x

     





    



Câu 46. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

 

2 2

1 2

2 2

x y xy x

x x y x y

    





   





Câu 47. (HSG toán 9 tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

2 2

3 11

x y xy

   



  



Câu 48. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Cho a và b là các số thực thỏa mãn:

3 2

2 7 0

2 3 5 0

a a a

b b b

    



   



. Tính a b 

Câu 49. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình:

2 2

x y y x

x x y

   





  





Câu 50. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

   

2 2

1 4

1 2

x xy y y

x x y y

    





   





Câu 51. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Giải hệ phương trình sau:

 

   

4 3

1 4 2 5 2 1 5

5 10

+ + x y y x

x x y x y y





     







   



 

Câu 52. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Giải phương trình

6 12 8

2 1 2 .

x x x x y y

x x y



   





  





VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 51 

Câu 53. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 1 3 1 2

3 2 2 .

x y y x x y

x x y y



       



   





Câu 54. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

3 2 6 4

8 2

2 5 5

x xy y y

x y

   





   





Câu 55. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

4 5

x xy y

x y x

   





  





Câu 56. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình





    







   





2 2

2 3 2 3 2

4 1

x y y x

y xy x y

Câu 57. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

+ 2

= 4

Câu 58. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 2

5 5 42

7 6 42

x xy x y

xy y x



   





   



Câu 59. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020)Giải hệ

phương trình sau:

2 2

2 2 4



     





  



x y x y x y

x y

Câu 60. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 4

2 4 2 5

5 7 18 4

y xy x y

x y x





   







   



 

Câu 61. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình:

 

2 2

3 1 1 3 1 3

x y y x y x y

x y



      





 





Câu 62. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình:

2 4 3

( 3) 4 ( 4) 1 2 0

y x y x

x y y x



    





      





Câu 63. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình:

3 3 2 2

( 1) ( 1) 0

4 4 2 7

      





    





x y x y y x

x y x y

Câu 64. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

4 2 3

7 4 6 13.

    





   





x y x y

x y xy y

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 52 

Câu 65. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

4 3 0

2 5 3 13 0.

y y xy x

y y x y

     





     





Câu 66. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

2 2

3 3

1 1

x y



  







  





Câu 67. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

     

4 3 5 2 1 1

3 5 6 11

x y y x x y

xy y x



      





  









Câu 68. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 4

x y y

x y x y





 







  



 

Câu 69. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

   

2 2

3 3

x y 5

x 2y x 5 y 5 55.

  





     





Câu 70. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

7 4 4

3 2 0

x y y

x x y y x y



  





    





Câu 71. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

2 2

2 2 4 0

5 1 3 1 6

x y xy x y

x y x y

     







     





Câu 72. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

2 3 0

x x y y x y

x x y



    





  





Câu 73. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

4 8 ( 2)

3 3 2 1

x y y x x

x y y





   







   



 

Câu 74. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 2

( )( 2) 4( 2)

( 2)( 2) 4( 2)

x y x y y

x y y x y y

     





      





Câu 75. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

x xy y 7 0

x xy 2y 4(x 1)

    





   





VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 53 

Câu 76. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Giải hệ phương

trình:

 

3 3

9 3 6 26 2

xy x y

xy x y x y

  





   





Câu 77. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

3 2 2

2 2 2 4 0

4 1 3 7

x x x y x y

x xy x x y

      





     





Câu 78. (HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

1 2 1 (1)

1 2 1 (2)

x x y

y y x



   





    



Câu 79. (HSG toán 9 tỉnh Sơn La năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

3 2

2 2

2 12 0 (1)

8 12 (2)

x xy y

y x

   



 



Câu 80. (HSG toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019)Tìm a,b,c biết

2 2 2

; ;

1 1 1

b c a

a b c

b c a

  

  

Câu 81. (HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

2 2

4 2 3

xy x y

x y x y x y

  





   



Câu 82. (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

4 1

4 1.

4 1



  



  





  





x y z

y z x

z x y

Câu 83. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

x y x

x xy y y

   





    





2 2 4

3 6 0

9 6 3 9 0

Câu 84. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

   

2 2

1 3 1

1 3 3 .

x y

x y x y



   





    





Câu 85. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

2 2

x y 8

y 2y 1 x 2x 1 9

5xy 4x 4y 4



 



   





  



Câu 86. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

( 1)( 1) 6

( 1) 7

x xy

x y y

   



  



Câu 87. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

 

2 2

6 0

( )

1 3 0

x y





  



 



 



      







  



 





VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 54 

Câu 88. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình





   







   



 

4 2 5

5 1

2 2

3 6

x y x y

Câu 89. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Giải

hệphương trình:

2 2

x y

x y xy

  



  



Câu 90. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình:

3 5 3

1 4

4 1

1 4

x y

 

  



 









 



 



Câu 91. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình:

1 3

2 1

1 5

2 1

x y



 



 







 

  



Câu 92. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

 

2 4

4 2

x y xy

xy x y



  





   





Câu 93. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

( , )

x x y y

x y



  







 





 .

Câu 94. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 2

3 3

2 0

xy y x

x xy y

   





  





Câu 95. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

3 3 3

2 2

1 19

x y x

xy y x

  







  





Câu 96. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các cặp

số hữu tỉ   ; x y thỏa mãn hệ phương trình

3 3

2 2

4 4 0

10 7 2 9

x y x y

x xy y

    





   



Câu 97. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Giải hệ phương trình:

7 2 5

2 2

x y x y



   





   





Câu 98. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

2 2 2 2

( ) 185

( ) 65



   





    



x xy y x y

. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 55 

Câu 99. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

2 1

1 2

2 2



  













 







Câu 100. (Tuyển sinh tỉnh TS10-20-PHU THO năm 2019-2020) Giải hệ phương trình sau

2 2

1 1

2 2

1 1

x y

y x

x y



 



 





 



  



 



Câu 101. (HSG toán 9 tỉnh Trà Vinh năm 2018-2019) Giải các hệ phương trình

2 2

x xy y

x y

   



 



1 1

2 1

2 3

2 1

x y



 



 







 



 



Câu 102. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Trị năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

3 3

2 2

x y

x y xy

  



  



Câu 103. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 2 2

x x y y

x y x y xy

    





    



Câu 104. (HSG toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2018-2019) Giải hệ phương trình:

3 3

2( ) 1 0

3( ) 32 0

x y xy

x y x y

    





     



Câu 105. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

2 1

1 4 ( )



  







   





x y

x y x y

Câu 106. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

2 3

1 1

1 4

x x

y y

x x

y y y

  

   

  

  





   





Câu 107. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

3 2 2

x (x y) x y 1

x (xy 3) 3xy 3

   





  





VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 56 

Câu 108. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình :

1 1 9

x y

xy y x



   







   





Câu 109. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

1 1

1 3

x y



  











 







Câu 110. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

2 6 6 2

    





 







x xy y x

Câu 111. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình

   

2 2

2 2 2 2

2 2

x y x y x y

x y

y x

      





 

 



   

 

 



Câu 112. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

3 5

5 2 1

x y



  





  





Câu 113. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương

trình

( )

2 2 2 2

185

x xy y x y



   





    



Câu 114. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải hệ phương trình

   

2 2

x y xy 2x 5y

x 2x x y 3 3y

    





    





VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 57 

Hàm số

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Cho Parabol  

: 2 P y x  và đường thẳng

  : 3 2 d y x   .

a) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ Oxy ;

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).

Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Cho Parabol  

P : y x   và đường thẳng

  2 d : y x  

a) Vẽ     P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .

b) Viết phương trình đường thẳng   d' song song với   d và tiếp xúc với   P .

Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020)

Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho parabol

) : (P y x  .

c)Vẽ parabol ( . ) P

d)Hai điểm , A B thuộc ( . ) P có hoành độ lần lượt là 2; 1.  Viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm A và . B

Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

x y  và đồ thị hàm số 2 - 3x y 

Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2019-2020) Cho parabol (P)

y x  và đường thẳng

2( 1) 2 y m x m m     (m là tham số, m   ).

a)Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua điểm I (1; 3).

b)Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi

1 2

, x x là hoành

độ hai điểm A, B; tìm m sao cho

2 2

1 2 1 2

x x 6 2020 x x    .

Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020)

Cho parabol





( ) :

P y x và đường thẳng   ( ): 4 d y x .

5 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 58 

a. Vẽ ( ) P và ( ) d trên cùng hệ trục tọa độ.

b. Tìm tọa độ giao điểm của ( ) P và ( ) d bằng phép tính.

Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Tìm các giá trị của m 

để hàm số y =

(2m – 1) x

đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại x = 0.

Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2019-2020) Cho hai hàm số 3 y x  

và

2 y x   có đồ thị

lần lượt là   d và   P

1. Vẽ   d và   P trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

2. Tìm tọa độ giao điểm của   d và   P bằng phép toán

Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Tìm m để đồ thị hàm số  

(2 1) y m x đi qua

điểm (1 ;5) A .

Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Vẽ đồ thị của hàm số 

y x .

Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho hàm số

 

0 y a x a   . Điểm

 

1;2 M

thuộc đồ thị hàm số khi

A. 2 a  . B.

a  . C. 2 a   . D.

a  .

Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số

y x   có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): 2 3 y x m   (với m là tham số) cắt (P) tại hai

điểm

phân biệt có hoành độ là

1 2

, x x thỏa mãn  

2 1 1

3 2 6. x x x m x   

Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho parabol

 

P y x  và đường thẳng

 

: d y x m    ( x là ẩn, m tham số).

a) Tìm tọa độ giao điểm của parabol

 

P với đường thẳng

 

d khi 4 m  .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

 

d cắt parabol

 

P tại hai điểm phân biệt

   

1 1 2 2

; , ; A x y B x y thỏa mãn

1 2 1 2

5 x x y y   .

Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Cho Parabol (P):

2 y x   và đường thẳng

(d): y x m   (với m là tham số).

a) Vẽ parabol (P). VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 59 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có

hoành độ

1 2

, x x thỏa mãn điều kiện

1 2 1 2

. x x x x  

Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2019-2020) Cho Parabol

( ) :

P y x  và đường thẳng

( ) : 1 d y x m    ( m là tham số)

1) Vẽ đồ thị  . P

2) Gọi     ; , ;

B B A A

A x y B x y là hai giao điểm phân biệt của   d và  . P Tìm tất cả các giá

trị của tham số m để 0

x  và 0.

x 

Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) 1) Cho parabol

( ) :

 P y x và đường thẳng

( ) : 2   d y x .

a) Vẽ parabol ( ) P và đường thẳng ( ) d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy .

b) Viết phương trình đường thẳng

( ) :   d y ax b song song với ( ) d và cắt ( ) P tại điểm A

có hoành độ bằng 2  .

Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)

Cho hàm số

3 y x  có đồ thị   P và đường thẳng   : 2 1 d y x   . Tìm tọa độ giao điểm của

  P và   d bằng phép tính.

Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho hàm số

 

0 y a x a   . Điểm

 

1;2 M

thuộc đồ thị hàm số khi

A. 2 a  . B.

a  . C. 2 a   . D.

a  .

Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy , cho parabol

 

: 2 . P y x   Vẽ  . P

Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Điểm nào sau đây là giao điểm của đường thẳng

  : 2 3 d y x   và parabol

 

: ?

P y x  

A.   2; 1 . M   B.   2; 6 . M   C.   6;9 . M  D.   6; 9 . M 

Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) (0,5 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số

2 . y x  

Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Trong mặt phẳng toạ độ , Oxy cho parabol

 

: P y x  và đường thẳng  

: 2 4 8 3 d y x m m     ( m là tham số thực). Tìm các giá trị

của m để   d và   P cắt nhau tại hai điểm phân biệt    

1 1 2 2

; , ; A x y B x y thoả mãn điều

kiện

1 2

10. y y   VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 60 

Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Cho hàm số

y ax  có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số đó là

. y x   B.

2 . y x   C.

2 . y x  D.

. y x 

Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Xác định hệ số a của hàm số

y ax  , biết đồ

thị của hàm số đó đi qua điểm   A 3;1  .

Câu 25. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol   P

có phương trình

 y x và đường thẳng   d có phương trình 3     y mx m (với m là

tham số).

1) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol   P , biết điểm M có hoành độ bằng 4.

2) Chứng minh đường thẳng   d luôn cắt parabol   P tại hai điểm phân biệt. Gọi

1 2

, x x

lần lượt là hoành độ của hai điểm , A B . Tìm m để

2 2

1 2 1 2

2 20    x x x x .

Câu 26. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng

( ) : 2 1    d y mx m và parabol

( ) :  P y x

a)Chứng minh ( ) d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt

b)Tìm tất cả giá trị của m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1 2

, x x

thỏa mãn

1 2 1 2

1 1 2



  

x x x x

Câu 27. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ parabol (P):

y x



Câu 28. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2019-2020) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm

  2; 2 T   , parabol   P có phương trình

8 y x   và đường thẳng d có phương trình

2 6 y x    .

a) Điểm T có thuộc đường thẳng d không?

b) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol   P

Câu 29. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho Parabol

 

2 P : y x  và đường thẳng

  2 4 d : y x  

1 

yVŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 61 

1.Vẽ Parabol

  P và đường thẳng

  d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .

2.Tìm tọa độ giao điểm của Parabol

  P và đường thẳng

  d bằng phép tính.

3.Viết phương trình đường thẳng

  d ' : y ax b   . Biết rằng

  d ' song song với

  d và

 

và đi qua điểm

  2 3 N ; .

Câu 30. (Tuyển sinh tỉnh Lào Cai năm 2019-2020) 1) Cho đường thẳng (d): y x 1   và parabol

(P):

y 3x 

a) Tìm tọa độ A thuộc parabol (P) biết điểm A có hoành độ x 1  

b) Tìm b để đường thẳng (d) và đường thẳng (d’):

y x b

  cắt nhau tại một điểm trên

trục hoành.

Câu 31. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020) Cho Parabol

 

P : y 2x  và đường thẳng

  d : y 3x 1   . Tìm tọa độ giao điểm của

  P và

  d bằng phép tính.

Câu 32. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số

y x 

b)Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (P) với đường thẳng (d): y=x

Câu 33. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho parabol

   

: 2 0 P y ax a   và đường thẳng

: 4 2 d y x a   . Tìm a để d cắt   P tại hai điểm phân

biệt , M N có hoành độ ,

M N

x x sao cho

8 1

M N M N

x x x x

 



đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 34. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho parabol

 

: 2 P y x 

và đường thẳng : 2 1 d y x m    , với m

là tham số.

a) Khi 2, m  hãy vẽ parabol

  P và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng tọa độ; đồng

thời tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để parabol

  P

cắt đường thẳng d

tại hai điểm phân

biệt có hoành độ

1 2

, x x thỏa mãn

1 2

x x   

Câu 35. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai hàm số

y x  và

 

1 1 y m x    (với m là tham số) có đồ thị lần lượt là

 

P và d . Tìm m để

 

P cắt d tại hai điểm phân biệt

 

1 1

; A x y ,

 

2 2

; B x y sao cho

 

3 3 3 3

1 2 1 2

18 y y x x    . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 62 

Câu 36. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Cho ( ) P là đồ thị

của hàm số

y x  và

 

d là đồ thị của hàm số 2 y x    . Tìm a và b để đồ thị

 

 của

hàm số y a x b   song song với

 

d và cắt ( ) P tại điểm có hoành độ bằng 1  .

Câu 37. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Cho parabol

( ) : P y x  và đường thẳng : 2 2 d y x m    , với m là tham số. Xác định giá trị của m để

d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt.

Câu 38. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Trong mặt

phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) d

có phương trình

4 3 2 3 y mx m m     và

parabol ( ) P

có phương trình

y x  . Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để ( ) d cắt ( ) P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1 2

, x x sao cho

1 2

4 . 2

x x m

x x





 

có giá trị nguyên.

Câu 39. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Trong mặt phẳng

tọa độ Ox y , cho parabol ( ) P có phương trình

y x  và đường thẳng ( ) d có phương trình

3 y mx   (với m là tham số).

1. Chứng minh đường thẳng ( ) d luôn cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt A và B .

2. Gọi

1 2

, x x lần lượt là hoành độ của A và B . Tính tích các giá trị của m để

1 2

2 1 x x   .

Câu 40. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Trong hệ trục

tọa độ Oxy, cho parabol (P):

2 y x  và đường thẳng (d): 3 2 1 y x m    .Tìm m để (d) cắt (P) tại

2 điểm nằm về 2 phía của đường thẳng Oy.

Câu 41. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Trên mặt phẳng

tọa độ Oxy , cho (P)

y x  và đường thẳng (d) y 2mx 2m 3   

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Gọi

1 2

y , y lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Tìm tất cả các giá

trị m để

1 2

y y 5   .

Câu 42. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Cho parapol

 

: P y x  và đường thẳng

 

: 2 1 d y x m    , m là tham số. Tìm m để

đường thẳng

 

d cắt parapol

 

P tại hai điểm

   

; , ;

A A B B

A x y B x y sao cho

A B

B A

y y

x x



  .

Câu 43. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020)

Cho đường thẳng (d): 1   y x và Parabol (P):

3  y x

a) Tìm tọa độ điểm A thuộc Parabol (P), biết điểm A có hoành độ 1   x . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 63 

b) Tìm b để đường thẳng (d) và đường thẳng (d'):

  y x b

cắt nhau tại một điểm trên

trục hoành.

Câu 44. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho hàm số

2 y x  có đồ thị là (P) và hàm số 6 4 y x m    có đồ thị là (d). Tìm m để (P) và (d) tiếp

xúc với nhau.

Câu 45. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho parabol

( ) :   P y x và đường thẳng ( ) : 2    d y x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ

1 2

, x x thỏa mãn

2 2

1 2

3   x x .

Câu 46. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Trên mặt phẳng tọa

độ Oxy, cho hai đường thẳng

( ) : ( 1) 2    d y m x m và

( ) : ( 3) 2     d y m x m (m là

tham số).

1. Tìm m để

( ) d song song với

( ) d .

2. Chứng minh: với mọi m đường thẳng

( ) d luôn đi qua một điểm cố định.

3. Tìm m để

1 2

( ),( ) d d cắt nhau tại ( ; )

M M

M x y thỏa mãn 2020 ( 2)  

M M

A x y đạt giá trị

nhỏ nhất.

Câu 47. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Cho hàm

số

 

    

2 2

( ) 4 5 . y f x m m x Hãy so sánh (2 0 1 9) f và ( 2 0 2 0) . f

Câu 48. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)Trong mặt

phẳng tọa độ Oxy , cho parabol  

P y x  và đường thẳng

: 2 d y x  .

a)Tìm tọa độ hai điểm , A B thuộc   P  

A B

x x  sao cho tam giác OAB vuông cân tại O .

b)Viết phương trình của đường thẳng

d , biết

d song song với

d và

d có duy nhất một

điểm chung với   P .

Câu 49. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho parabol (P):

2 y x  , các đường thẳng (d1):

y x   . Viết phương trình đường thẳng (d2), biết d2

vuông góc với d1 và d2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5 17 AB OI  , với I là

trung điểm của đoạn AB.

Câu 50. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)Cho hàm số

 

0 y ax a   có đồ thị   P .

a) Xác định hệ số a biết đồ thị   P đi qua điểm

 

5; 50 . A Vẽ đồ thị hàm số ứng với a vừa

tìm được. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 64 

b) Với giá trị a vừa tìm ở trên, cho biết điểm   ; M m n thuộc đồ thị   P . Hỏi điểm   ; N n m

có thuộc đồ thị   P được hay không? Tìm điểm đó nếu có ( , m n là hai số khác 0).

Câu 51. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Cho hàm

số

y x   có đồ thị   P và đường thẳng   d :   1 3 y m x m     (với m là tham số).

a)Vẽ

 . P

b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để   P và   d cắt nhau tại hai điểm phân biệt , A B có

hoành độ tương ứng ,

A B

x x sao cho biểu thức

2 2

A B

Q x x   đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 52. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho parabol

 

: P y x  và đường thẳng d đi qua điểm   0;1 M có hệ số góc k .

a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt   P tại hai điểm , A B phân biệt với mọi giá

trị k .

b) Chứng minh OAB  là tam giác vuông với mọi giá trị k (O là gốc tọa độ).

Câu 53. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Trên mặt

phẳng tọa độ Oxy, cho parabol

(P) : y x

 và đường thẳng

(d): y x 3.

  Gọi

A A B B

A(x ; y ), B(x ; y ) (với

A B

x x  ) là các giao điểm của (P) và (d),

C C

C(x ;y ) là điểm thuộc

(P) sao cho

A C B

x x x .  

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

Câu 54. (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol

( ) : 0,5 P y x   và đường thẳng

( ) : 1,5 2 1 d y x m    . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại các điểm

khác gốc tọa độ và có hoành độ gấp hai lần tung độ.

Câu 55. (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Cho parabol

 

P : y x  . Tìm các giá trị của

m để đường thẳng

 

d : y 2x m 1    cắt parabol

 

P tại hai điểm

 

1 1

A x ;y và

 

2 2

B x ;y

thỏa mãn

1 2 1 2

y y x x 12   .

Câu 56. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy một đường thẳng

d có hệ số góc k đi qua điểm   0;3 M và cắt Parabol  

: P y x  tại hai điểm , . A B Gọi , C D

lần lượt là hình chiếu vuông góc của , A B trên trục . Ox Viết phương trình đường thẳng , d

biết hình thang ABCD có diện tích bằng 20.

Câu 57. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho hàm số

y x  có đồ thị là   P và đường

thẳng d có phương trình   2 3 , y m x m     với m là tham số. Tìm các giá trị của m để d VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 65 

cắt   P tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1 2

, x x sao cho

2 2

1 1 2 2

2 1

2 2

x mx m x mx m

x x

   

  

Câu 58. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Cho parabol

(P): y x  và đường thẳng

(d): y x m   ( m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt , A B ( , A B

không trùng gốc tọa độ O). Gọi ', ' A B lần lượt là hình chiếu vuông góc của , A B lên trục

hoành. Tìm m để diện tích tứ giác ' ' ABB A bằng

Câu 59. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Một xe tải có chiều rộng là 2, 4 m và chiều

cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng

là 4m và khoảng từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dày của

cổng).

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi parabol  

: P y ax  (với 0 a  ) là hình

chiếu biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Tìm a .

b) Hỏi xe tải có thể đi qua cổng được không? Tại sao?

Câu 60. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho hàm số   4 4     y m x m ( m là tham

số)

a).Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên  .

b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol

 

:  P y x tại hai điểm phân biệt. Gọi

x ,

x là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho

   

1 1 2 2

1 1 18     x x x x .

c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng   d . Chứng minh khoảng cách từ điểm   0;0 O

đến   d không lớn hơn 65 .

Câu 61. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020) Hai đường thẳng 1 y x   và 2 8 y x    cắt

nhau tại điểm B và lần lượt cắt trục Ox tại điểm A, C (hình 1). Xác định tọa độ các điểm A,

B, C và tính diện tích tam giác ABC.

Câu 62. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết rằng

đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; -1) và N(2; 1). VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 66 

Câu 63. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

   

1 2

: 3 và : 2 3 d y x d y x      .

Câu 64. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho đường thẳng   : ax+b d y  . Tìm a, b để

đường thẳng (d) song song với đường thẳng   ' : 5x+6 d y  và đi qua điểm   2;3 A

Câu 65. (Tuyển sinh tỉnh THUA THIEN HUE năm 2019-2020) Cho đường thẳng : d y ax b   . Tìm

giá trị của a và b sao cho đường thẳng d đi qua điểm   0; 1 A  và song song với đường thẳng

: 2019 y x    .

Câu 66. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020) Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng

áp suất khí quyển và là 1 atm (atmosphere). Bên dưới mặt nước, áp suất nước tăng thêm 1

atm cho mỗi 10 mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất ( ) y a t m và độ sâu ( ) x m

dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất   y a x b .

a. Xác định các hệ số a và b.

b. Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là 2,85atm?

Câu 67. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Cho hàm số y = ax + b với a  0. Xác định

các hệ số a, b biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 2019 và cắt trục tung

tại điểm có tung độ là 2020.

Câu 68. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

 

: 2 1 d y x và đường thẳng  

: 3 d y x .

Câu 69. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến

trên  ?

A. 1 y x   . B. 2 3 y x   . C.

 

1 2 y x   . D. 2 6 y x    .

Câu 70. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) Cho hàm số có đồ thị là Parabol   P :

0,25  y x .

a)Vẽ đồ thị   P của hàm số đã cho.

b)Qua điểm   0;1 A vẽ đường thẳng song song với trục hoành Ox cắt   P tại

hai điểm E và F . Viết tọa độ của E và F .

Câu 71. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường

thẳng

1 2 3

: : 2 1; ; 2. : 3 d x y d x y x y d      

Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng d song song với đường thẳng

d đồng thời đi qua

giao điểm của hai đường thẳng

d và

d .

Câu 72. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến

trên  ? VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 67 

A. 1 y x   . B. 2 3 y x   . C.

 

1 2 y x   . D. 2 6 y x    .

Câu 73. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020) Tìm m để đường thẳng   5 2 2019 y m x   

song song với đường thẳng 3 y x   .

Câu 74. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Cho điểm   ; A a b là giao điểm của hai đường

thẳng   d và   l như hình vẽ bên.

Cặp số   ; a b là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

3 4 5

4 3 2

x y

  



 



2 3 8

3 2 1

x y

  



  



2 5 9

3 6 0

x y

   



 



5 4 14

4 5 3

x y

   



  



Câu 75. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Cho đường thẳng  

: d y ax b   song song với

đường thẳng  

: 2 1 d y x    và cắt trục tung tại điểm   0;3 . A Giá trị của biểu thức

2 3

a b 

bằng

A. 23. B. 1. C. 31. D. 13.

Câu 76. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Cho hàm số 2 y ax   có đồ thị là đường thẳng

  d như hình vẽ bên dưới. Hệ số góc của đường thẳng   d bằng

A. 3. B. 3.  C. 2. D. 1.

Câu 77. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Hàm số nào sau đâu là hàm số bậc nhất?

1 y

  B. 2 3. y x   C. 3 2. y x    D.

3 . y x 

2 

OVŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 68 

Câu 78. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

d có phương trình:

y x

   . Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với trục hoành và trục

tung; H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài các đoạn thẳng OH (đơn vị đo trên các

trục tọa độ là xentimét).

Câu 79. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng

  d : y ax b   đi qua hai điểm  

M 1;5 và  

N 2;8 .

Câu 80. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng

n d) : y ( mx   đi qua hai điểm  

A 2;7 và  

B 1;3 .

Câu 81. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho đường thẳng (d): y = 2x – 2

a) Vẽ đường thẳng (d) trong hệ trục tọa độ Oxy.

b) Tìm m để đường thẳng (d’): y = (m-1)x + 2m song song với đường thẳng (d)

Câu 82. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = mx

+ 3 đi qua điểm A(1;5)

Câu 83. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Cho hai đường thẳng (d1): 2 5   y x và (d2):

4   y x m (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d1) và (d2) cắt nhau tại

một điểm trên trục hoành Ox.

Câu 84. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hai

hàm số   4 11 y m x   

và

2 y x m    cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 85. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020)

a)Tìm m để đường thẳng (d):

 

y m 1 x m m

    đi qua điểm   M 1; 1 

b)Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tịa hai điểm phân biệt A và B. Gọi

1 2

x ;x là hoàng độ hai điểm A, B. Tìm m sao cho

2 2

1 2 1 2

x x 6x x 2019   

Câu 86. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020)

Xác định hệ số a và b của hàm số y ax b   biết đồ thị của nó là đường thẳng (d) song

song với đường thẳng 3 2019 y x    và đi qua điểm  

2;1 M

Câu 87. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Tìm điều kiện của m để hàm số

 

y 2m 4 x  

đồng biến khi x 0 

Câu 88. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Viết phương trình đường thẳng AB , biết

  A 1; 4   và

  B 5; 2

Câu 89. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các giá trị của

tham số m sao cho

 

5 2 3 y m x     là một hàm số nghịch biến. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 69 

Câu 90. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Trong mặt

phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng  

2 4

: 2 d y m x m    và  

2 2

: 2

d y x

 



( m

là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số m để  

d và  

d cắt nhau tại một

điểm A duy nhất sao cho diện tích hình thang ABHK bằng

. Biết   1;2 B  và hai điểm

, H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và A lên trục hoành.

Câu 91. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Trong mặt phẳng

tọa độ Oxy , cho đường thẳng     : 2 2 d y m x    với m là tham số và 2 m  . Tìm tất cả

các giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng   d bằng

Câu 92. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Cho đường

thẳng ( ) : 2 1 d y x   . Xác định giá trị của a và b để đường thẳng ( ) : y ax b    đi qua

điểm (1; 2) A  và song song với đường thẳng ( ) d .

Câu 93. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Xác định hàm số

y ax b   biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1) và có hệ số góc là -6.

Câu 94. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Tìm m để

đường thẳng (d) : y 3x 2m   cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2  .

Câu 95. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

Cho đường thẳng ( ) : 2 2 d y x  

a) Vẽ đường thẳng ( ) d trong hệ trục tọa độ Oxy .

b) Tìm m để đường thẳng (d ) : ( 1) 2 y m x m     song song với đường thẳng ( ) d .

Câu 96. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)Xác

định hệ số a và b của hàm số y ax b   biết đồ thị của nó là đường thẳng (d) song song với

đường thẳng 3 2019 y x    và đi qua điểm  

2;1 M

Câu 97. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Tìm

tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

 

1 7 y m x    và đường thẳng

3 5 y x m   

(với 1 m   ) là hai đường thẳng song song.

Câu 98. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị

của tham số m để đường thẳng

 

1 7 y m x    và đường thẳng 8 4 y x m    (với 1 m   ) là hai

đường thẳng song song.

Câu 99. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Trong mặt

phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng     : d y m x m     2 1 và

    ' : d x m y m     2 2 trong đó m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường

thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 70 

Câu 100. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019)

Cho hai đường thẳng

( ) : ( 2) 2 0 d mx m y m      và

( ) : (2 ) 2 0 d m x my m     

a) Tìm điểm cố định mà

( ) d luôn đi qua và điểm cố định mà

( ) d luôn đi qua với mọi m

b) Chứng minh hai đường thẳng

( ) d ,

( ) d luôn cắt nhau tại một điểm I và khi m thay đổi

thì điểm I luôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 101. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Cho hàm số

 

4 4 3 2 y m m x m      có đồ

thị là d . Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt

tại hai điểm A , B sao cho tam giác OAB có diện tích là 1

cm (O là gốc tọa độ, đơn vị đo

trên các trục là cm ).

Câu 102. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Đường thẳng y ax b   đi qua điểm

 

;4 , 2;7

A B

 

 

 

Tính

3 3

M 13 5 13 5 b b a b a b    

Câu 103. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Viết phương trình đường thẳng d đi qua   1;2 A

và cách gốc tọa độ khoảng cách lớn nhất.

Câu 104. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

   

: 5 2    d y m m x m ( m là tham số) và đường thẳng

( ) : 6 3     d y x m . Tìm m để

hai đường thẳng đó song song với nhau.

Câu 105. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ninh bảng A năm 2018-2019) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho

đường thẳng (d) có phương trình 2 y x    và điểm

M(a ; b) thỏa mãn điều kiện M nằm trong góc phần tư (I) và M thuộc đường thẳng (d).

Hãy tìm a, b để biểu thức

2 2

a b ab

B a b

b a a b

    



đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 106. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy

, cho đường thẳng   d :   –1 3 – 4   m x y m

và   ' d :   –1   x m y m . Tìm m để   d cắt   ' d tại điểm M sao cho



30  MOx .

Câu 107. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho

đường thẳng d có phương trình y mx m 1    ( m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị

của m để đường thẳng d tạo với các trục tọa độ , Ox Oy một tam giác có diện tích là 2 .

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 71 

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 72 

Giải bài toán bằng cách lập pt

Dùng điện thoại quét mã vạch để xem lời giải chi tiết

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020)Tình cảm gia đình có sức mạnh phi trường. Bạn Vì

Quyết Chiến - Cậu bé 13 tuổi quathương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài

180km từ Sơn La đến bệnh việnNhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp 7

giờ, bạn ấy được lên xe khách vàđi tiếp 1 giờ 30 phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe khách

lớn hơn vận tốc của xe đạp là35km/h. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến.

Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Bác Bình gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân

hàng A, kì hạn một năm. Cùng ngày, bác gửi tiết kiệm 150 triệu đồng vào ngân hàng B, kì hạn

một năm, với lãi suất cao hơn lãi suất của ngân hàng A là 1% / năm. Biết sau đúng 1 năm kể từ

ngày gửi tiền. Bác Bình nhận được tổng sổ tiền lãi là 16.5 triệu đồng từ hai khoản tiền gửi tiết

kiệm nêu trên. Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là bao nhiêu phần

trăm?

Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau,

có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị trí A ở bở bên này sang vị trí B ở bờ bên kia, đường

thẳng AB vuông góc với các bờ sông. Do bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia

tại vị tri C cách B mội khoảng bằng 30 m. Biết khúc sông rộng 150 m, hỏi dòng nước đã đẩy

chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây).

Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Một đội công nhân đặt kế hoạch sản xuất

250 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu, họ thực hiện đúng kế hoạch. Mỗi ngày sau đó, họ

đều vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự

định. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội công nhân đó làm được bao nhiêu sản phẩm?

Biết rằng năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau.

Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Hai người thợ cùng làm một công việc trong

9 ngày thì xong. Mỗi ngày, lượng công việc của người thợ thứ hai làm được nhiều gấp ba

lần lượng công việc của người thợ thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm

xong công việc đó trong bao nhiêu ngày

Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2019-2020) Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019

– 2020, số thí sinh vào trường THPT chuyên bằng

số thí sinh thi vào trường PTDT Nội

trú. Biết rằng tổng số phòng thi của cả hai trường là 80 phòng thi và mỗi phòng thi có

đúng 24 thí sinh. Hỏi số thí sinh vào mỗi trường bằng bao nhiêu?

Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh THUA THIEN HUE năm 2019-2020) Hưởng ứng Ngày Chủ nhật xanh do

UBND tỉnh phát động với chủ đề “Hãy hành động để Thừa Thiên Huế thêm Xanh, Sạch, Sáng”,

một trường THCS đã cử học sinh của hai lớp 9A và 9B cùng tham gia làm tổng vệ sinh một con

6 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 73 

đường, sau

giờ thì làm xong công việc. Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A

làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm riêng thì sau

bao nhiêu giờ sẽ làm xong công việc?

Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020) Quy tắc sau đây cho ta biết được

ngày thứ n , tháng t , năm 2019 là ngày thứ mấy trong tuần. Đầu tiên, ta tính giá trị của

biểu thức T n H   , ở đây H được xác định bởi bảng sau:

Tháng t

2; 3; 11

9; 12 4; 7 1; 10

H 3  2  1  0 1 2 3

Sau đó, lấy T chia cho 7 ta được số dư r (0 6) r   .

Nếu 0 r  thì ngày đó là ngày thứ Bảy.

Nếu 1 r  thì ngày đó là ngày Chủ Nhật.

Nếu 2 r  thì ngày đó là ngày thứ Hai.

Nếu 3 r  thì ngày đó là ngày thứ Ba.

…

Nếu 6 r  thì ngày đó là ngày thứ Sáu.

Ví dụ:

Ngày 31/12 /2019có 31, 12, 0 31 0 31 n t H T n H          . Số 31 chia cho 7

có số dư là 3 nên ngày đó là thứ Ba.

a. Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày 02/ 09/2019 và 20 /11/2019 là

ngày thứ mấy?

b. Bạn Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng 10 / 2019 . Hỏi ngày sinh nhật của

Hằng là ngày mấy? Biết rằng ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của 3 và là thứ

Hai.

Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020) Một nhóm gồm 31 học sinh tổ chức

một chuyến du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho các bạn tham gia). Sau khi đã

hợp đồng xong, vào giờ chót có 3 bạn bận việc đột xuất không đi được nên họ không

đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm 18000 đồng so với dự kiến

ban đầu để bù lại cho 3 bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí mỗi chuyến đi là bao

nhiêu?

Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020) Bạn Dũng trung bình tiêu thụ 15

ca-lo cho mỗi phút bơi và 10 ca-lo cho mỗi phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất 1,5 giờ

cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1200 ca-lo. Hỏi hôm nay, bạn Dũng đã mất bao

nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động này?

Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích

150m

. Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5m . Tính chiều rộng mảnh vườn.

Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Một địa phương cấy 10ha giống lúa loại

I và 8ha giống lúa loại II. Sau một mùa vụ, địa phương đó thu hoạch và tính toán

sản lượng thấy:

+ Tổng sản lượng của hai giống lúa thu về là 139 tấn; VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 74 

+ Sản lượng thu về từ 4ha giống lúa loại I nhiều hơn sản lượng thu về từ 3ha

giống lúa loại II là 6 tấn.

Hãy tính năng suất lúa trung bình ( đơn vị: tấn/ ha) của mỗi loại giống lúa.

Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh TS10-20-PHU THO năm 2019-2020) Lớp 9A và lớp 9B của một trường

THCS dự định làm 90 chiếc đèn ông sao để tặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu.

Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp

9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng số đèn

từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau, hỏi nếu cả hai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu

ngày để hoàn thành công việc đã dự định ?

Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B . Vận

tốc của ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc của ô tô thứ hai là 10 km/h nên ô tô thứ nhất đến B trước

ô tô thứ hai

giờ. Tính vận tốc mỗi ô tô biết quãng đường AB dài 150 km.

Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và

điểm 10 của mình thấynhiều hơn16 bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và

điểm 10 đó là 160 . Hỏi An được bao nhiêu bài điểm 9 và bao nhiêu bài điểm 10 ?

Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để

vận chuyển 20 tấn hàng hóa theo một hợp đồng. Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn

nên phải thay bằng những xe nhỏ. Mỗi xe nhỏ vận chuyển được khối lượng ít hơn 1 lần so với

mỗi xe lên theo dự định. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe

nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi mỗi xe nhỏ vận chuyển bao nhiêu tấn hàng hóa? (Biết các

xe cùng loại thi có khối lượng vận chuyển như nhau).

Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Người thứ nhất đi đoạn đường từ địa điểm A đến địa

điểm B cách nhau 78km. Sau khi người thứ nhất đi được 1 giờ thì người thứ hai đi theo chiều ngược

lại vẫn trên đoạn đường đó từ B về A. Hai người gặp nhau ở địa điểm C cách B một quãng đường

36km. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của người thứ hai lớn hơn vận tốc của người

thứ nhất là 4km/h và vận tốc của mỗi người trong suốt đoạn đường là không thay đổi.

Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) (An Giang)

Trường A tiến hành khảo sát 1500 học sinh về sự yêu thích hội hoạ, thể thao, âm nhạc và các

yêu thích khác. Mỗi học sinh chỉ

chọn một yêu thích. Biết số học sinh yêu thích hội h ọ a chiếm

lê ̣ 20% so với số học sinh khảo sát.

Số học sinh yêu thích thể thao hơn số học sinh yêu thích âm nhạc là

30 học sinh; số học sinh

yêu thích thể thao và hội họa bằng với số học sinh yêu thích âm nhạc và

yêu thích khác.

a)Tính số học sinh yêu thích hội họa.

b)Hỏi tổng số học sinh yêu thích thể thao và âm nhạc là bao nhiêu?

Hội

họa

Âm

nhạc

Thể

thao

Yêu

thích

khác VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 75 

Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Có một vụ tai nạn ở vị trí B tại chân của một

ngọn núi (chân núi có dạng đường tròn tâm O, bán kính 3 km) và một trạm cứu hộ ở vị trí A

(tham khảo hình vẽ). Do chưa biết đường đi nào để đến vị trí tai nạn nhanh hơn nên đội cứu hộ

quyết định điều hai xe cứu thương cùng xuất phát ở trạm đến vị trí tai nạn theo hai cách sau:

Xe thứ nhât : đi theo đường thẳng từ A đến B, do đường xấu nên vận tốc trung bình của xe là 40

km/h.

Xe thứ hai: đi theo đường thẳng từ A đến C với vận tốc trung bình 60 km/h, rồi đi từ C đến B

theo đường cung nhỏ CB ở chân núi với vận tốc trung bình 30 km/h ( 3 điểm A, O, C thẳng

hàng và C ở chân núi). Biết đoạn đường AC dài 27 km và



90 ABO  .

a) Tính độ dài quãng đường xe thứ nhất đi từ A đến B.

b) Nếu hai xe cứu thương xuất phát cùng một lúc tại A thì xe nào thì xe nào đến vị trí tai nạn

trước ?

Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2019-2020)Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm

140 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã

vượt năng suất dự định là 4 sản phẩm mỗi ngày. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm

hơn dự định 4 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm.

Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác

260 tấn mũ trong một thời gian nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày nông trường đều khai thác vượt

định mức 3 tấn. Do đó, nông trường đã khai thác được 261 tấn và song trước thời hạn 1 ngày.

Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác được bao nhiêu tấn mũ cao su.

Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ

thì hoàn thành được

công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai

ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là

bao nhiêu?

Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Đầu năm học, Hội khuyến học của một tỉnh tặng cho

trường A tổng số 245 quyển sách gồm sách Toán và sách Ngữ văn. Nhà trường đã dùng

số sách

Toán và

số sách Ngữ văn đó để phát cho các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Biết rằng mỗi

bạn nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn. Hỏi Hội khuyến học tỉnh đã tặng

cho trường A mỗi loại sách bao nhiêu quyển?

Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và

điểm 10 của mình thấynhiều hơn16 bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và

điểm 10 đó là 160 . Hỏi An được bao nhiêu bài điểm 9 và bao nhiêu bài điểm 10 ?

Câu 25. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020)

Chân núi VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 76 

Một bồn chứa xăng đặt trên xe gồm hai nửa hình cầu có đường kính là 2,2m và một

hình trụ có chiều dài 3,5m (hình 2). Tính thể tích của bồn chứa xăng (kết quả làm tròn

đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy).

Câu 26. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020)

Sau Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019-2020, học sinh hai lớp 9A và 9B tặng

lại thư viện trường 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo.

Trong đó, mỗi học sinh lớp 9A tặng 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo;

mỗi học sinh lớp 9B tặng 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số

sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi

lớp.

Câu 27. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Đề chuẩn bị tốt cho việc tham gia kỳ thi Tuyển sinh

vào lớp 10 THPT, bạn An đến của hàng sách mua thêm 1 bút bi để làm bài tự luận và 1 bút chì

để làm bài trắc nghiệm khách quan. Bạn An trả cho của hàng hết 30000 đồng khi mua hai cây bút

trên. Mặt khác, người bán hàng cho biết tổng số tiền thu được khi bán 5 bút bi và 3 bút chì bằng

với tổng số tiền thu được khi bán 2 bút bi và 5 bút chì. Giá bán của mỗi bút bi và mỗi bút chì lần

lượt là

A. 12000 đồng và 18000 đồng. B. 18000 đồng và 12000 đồng.

C. 16000 đồng và 14000 đồng. D. 14000 đồng và 16000 đồng.

Câu 28. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Trong kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm

2019, tổng chỉ tiêu tuyển sinh của Trường THPT A và trường THPT B là 900 học sinh. Do cả hai

trường đều có chất lượng giáo dục rất tốt nên sau khi hết hạn thời gian điều chỉnh nguyên vọng

thì số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A và Trường THPT B tăng lần lượt là

15% và 10% so với chỉ tiêu ban đầu. Vì vậy, tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển của cả hai trường

là 1010. Hỏi số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển của mỗi trường là bao nhiêu?

Câu 29. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ

phương trình :

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất

làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai

đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành

xong công việc trên.

Câu 30. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Một đội xe vận tải được phân công chở

112 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe

còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết

rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Câu 31. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Một đội xe vận tải được phân công

chở 144 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 77 

xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe,

biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Câu 32. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo

nguyên tắc trồng thành các hang, mỗi hang có số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác

Bình đã trồng thêm 2 hàng, mỗi hang thêm 3 cây so với dự kiến ban đầu nên trồng được

tất cả 391 cây. Tính số cây trên 1 hàng mà bác Bình dự kiến trồng ban đầu.

Câu 33. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may

xong 360 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng

đã may được nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo

kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi

ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo?

Câu 34. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020)Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng

nếu chiều rộng tăng thêm 2 , m chiều dài giảm đi 2m thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm

30 ; m

và nếu chiều rộng giảm đi 2 , m chiều dài tăng thêm 5m thì diện tích thửa ruộng

giảm đi

20 . m Tính diện tích thửa ruộng trên.

Câu 35. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2019-2020) Trung tâm thương mại VC của thành phố NT có

100 gian hàng. Nếu mỗi gian hàng của Trung tâm thương mại VC cho thuê với giá 100.000.000

đồng (một trăm triệu đồng) một năm thì tất cả các gian hàng đều được thuê hết. Biết rằng, cứ mỗi

lần tăng giá 5% tiền thuê mỗi gian hàng một năm thì Trung tâm thương mại VC có thêm 2 gian

hàng trống. Hỏi người quản lý phải quyết định giá thuê mỗi gian hàng là bao nhiêu một năm để

doanh thu của Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất?

Câu 36. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Ông Khôi sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có

chu vi là 100m . Ông ta định bán mảnh đất

đó với giá thị trường là 15 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất

đó biết

rằng chiều dài gấp bốn lần chiều rộng.

Câu 37. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Quãng đường AB dài 60km, một người đi xe đạp

từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định. Sau khi đi được nửa quãng đường người đó giảm

vận tốc 5km/h trên nửa quãng đường còn lại. Vì vậy, người đó đã đến B chậm hơn quy định 1

giờ. Tính vận tốc và thời gian quy định của người đó.

Câu 38. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020) Trong lễ phát động phong trào trồng cây nhân

dịp kỷ niệm ngày sinh Bác Hồ, lớp 9A được giao trồng 360 cây. Khi thực hiện có 4 bạn được

điều đi làm việc khác, nên mỗi học sinh còn lại phải trồng thêm 1 cây so với dự định. Hỏi lớp

9A có bao nhiêu học sinh? (biết số cây trồng của mỗi học sinh như nhau)

Câu 39. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Tổng của chữ số hàng

trăm và chữ số hàng đơn vị của một số có ba chữ số là 14. Nếu viết số đó theo thứ

tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396. Tìm số đó biết rằng chữ số

hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị.

Câu 40. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Một người mang trứng ra

chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và

số

trứng còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và

số trứng còn lại. Ngày thứ ba bán được VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 78 

24 trứng và

số trứng còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết

số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đó bán được là bao

nhiêu và bán hết trong mấy ngày ?

Câu 41. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Một nhà toán học

trẻ chưa đến 40 tuổi, khi được hỏi: bao nhiêu tuổi, đã trả lời như sau: “Tổng, hiệu, tích,

thương của tuổi tôi và tuổi con trai tôi cộng lại bằng 216”. Hỏi nhà toán học trẻ bao nhiêu

tuổi?

Câu 42. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Trên quãng

đường dài 20 km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B

đến A . Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ lại 15 phút

(vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đường

BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên

quáng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên

quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A là 48 phút.

Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu?

Câu 43. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Anh Bình vừa tốt

nghiệp đại học loại xuất sắc nên được nhiều công ty mời về làm việc, trong đó có công ty A và

công ty B. Để thu hút người tài, cả hai công ty đưa ra hình thức trả lương trong thời gian thử việc

như sau:

Công ty A: Anh Bình được nhận 1400 USD ngay sau kí hợp đồng thử việc và mỗi tháng được

trả lương 1700 USD.

Công ty B: Anh Bình được nhận 2400 USD ngay sau kí hợp đồng thử việc và mỗi tháng được

trả lương 1500 USD.

Em hãy tư vấn giúp Anh Bình lựa chọn công ty thử việc sao cho tổng số tiền nhận được là

nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 tháng đến 8 tháng.

Câu 44. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Quãng đường từ

Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột dài 120 km. Một người dự định đi xe máy từ Gia Nghĩa

đến thành phố Buôn Ma Thuột với vận tốc không đổi. Sau khi đi được 45 phút, người ấy dừng

lại nghỉ 15 phút. Để đến thành phố Buôn Ma Thuột đúng thời gian đã dự định, người đó phải tăng

vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc của người đi xe máy theo dự định

ban đầu.

Câu 45. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Năm nay tổng số

tuổi của Nam và mẹ là 36 tuổi, hai năm sau tuổi của mẹ gấp 3 lần tuổi của Nam.

Hỏi năm nay Nam bao nhiêu tuổi ?

Câu 46. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Hai vòi nước cùng

chảy vào bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi

thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng,

mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?

Câu 47. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Cho một hình

chữ nhật, nếu tăng mỗi cạnh của nó lên 2cm thì diện tích của nó tăng lên 44cm

, nếu giảm

chiều dài đi 2cm và giảm chiều rộng đi 1cm thì diện tích của nó giảm đi 26cm

. Tính diện

tích của hình chữ nhật đã cho.

Câu 48. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Một đoàn xe

vận tải nhận chuyên chở 84 tấn hàng. Hôm làm việc do có 7 xe được bổ sung thêm vào VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 79 

đoàn xe nên mỗi xe được chở bớt đi 1 tấn hàng so với dự định ban đầu. Biết khối lượng

hàng mỗi xe chuyên chở như nhau, hỏi đoàn xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?

Câu 49. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hàng, mỗi

hàng có số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác Bình đã trồng thêm 2 hàng,

mỗi hàng thêm 3 cây so với dự kiến ban đầu nên đã trồng được tất cả 391 cây. Tính

số cây trên một hàng mà bác Bình dự kiến trồng ban đầu.

Câu 50. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Trên quãng

đường dài 20 km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ

từ B đến A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ lại

15 phút (vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi, vận tối của Bình trên

quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn

vận tốc của An trên quáng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn

vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với

Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu?

Câu 51. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Ông

Khôi sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 100m . Ông ta định bán mảnh đất đó với

giá thị trường là 15 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất đó biết

rằng chiều dài gấp bốn lần chiều rộng.

Câu 52. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Từ ngày

1/1/ 2019 đến ngày 20 / 5 / 2019 , giá bán lẻ xăng RON 95 có đúng bốn lần tăng và một

lần giảm. Các thời điểm thay đổi giá xăng RON 95 trong năm 2019 (tính đến ngày

20 / 5 / 2019) được cho bởi bảng sau (giá xăng được tính theo đơn vị đồng, giá được niêm

yết cho 1 lít xăng):

Ngày 1/1 2/3 2/4 17/4 2/5 17/5

Giá

17600 18540 20030 21230 ... 21590

Từ 16 giờ chiều 2 / 5 / 2019 , giá bán lẻ 1 lít xăng RON 95 tăng thêm khoảng

25 so với

giá 1 lít xăng RON 95 ngày 1/1/ 2019 . Nếu ông A mua 100 lít xăng RON 95 ngày

2 /1/ 2019 thì cũng với số tiền đó ông A sẽ mua được bao nhiêu lít xăng RON 95 vào

ngày 3 / 5 / 2019 ? Cũng trong hai ngày đó ( 2 /1 và 3 / 5 ), ông B đã mua tổng cộng 200

lít xăng RON 95 với tổng số tiền là 3850000 đồng, hỏi ông B đã mua bao nhiêu lít xăng

RON 95 vào ngày 3 / 5 / 2019 ?

Câu 53. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Hai lớp 9A và 9B

của một trường quyên góp sách ủng hộ. Trung bình mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 5 quyển, mỗi

bạn lớp 9B ủng hộ 6 quyển nên cả hai lớp ủng hộ 493 quyển. Tính số học sinh mỗi lớp

biết tổng số học sinh của hai lớp là 90.

Câu 54. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020)Một thửa

ruộng hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 40m , chiều dài hơn chiều rộng 8 . m Tính diện tích

thửa ruộng đó.

Câu 55. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Một đoàn học sinh đi tham quan quảng trường

Đại Đoàn Kết tỉnh Gia Lai. Nếu mỗi ô tô chở 12 người thì thừa 1 người. Nếu bớt đi 1 ô VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 80 

tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh

đi tham quan và có bao nhiêu ô tô? Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 12 người.

Câu 56. (HSG toán 9 tỉnh HCM năm 2018-2019) An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa. Sau đó 5 phút,

Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn. Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C

rồi gặp Bình ở địa điểm D . Tính vận tốc của mỗi người biết rằng quãng đường Sài Gòn – Biên

Hòa dài 39 km; 6  CD km; vận tốc của An bằng 1,5 vận tốc của Bình và bằng

vận tốc của

Cường.

Câu 57. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe

gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh Honda Future

với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này

thì số lượng xe mà khách sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa

lượng tiêu thụ dong xe đang ăn khách này, doanh nghiệp định giảm giá bán và ước tính rằng, theo

tỉ lệ cứ giảm 100 nghìn mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra bán ra trong một năm tăng 20 chiếc. vậy

doanh nghiệp phải bán với gia bao nhiêu để sau khi giảm giá sẽ thu lợi nhận cao nhất?

Câu 58. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Một robot chuyển động từ A đến B theo cách

sau: đi được 5m thì dừng 1 giây, rồi đi tiếp 10m dừng lại 2 giây, rồi đi tiếp 15m thì dừng lại 3

giây,…Cứ như vậy, robot đi từ A đến B kể cả nghỉ hết 551 giây. Tính quãng đường robot

chuyển động từ A đến B . Biết rằng khi đi, robot chuyển động với vận tốc 2,5m /giây.

Câu 59. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019)Một chiếc ô tô khởi hành từ thành phố Rạch Giá

đến thành phố Hồ Chí Minh dài 280km với vận tốc ban đầu là 80km/giờ. Giả sử cứ sau mỗi giờ

vận tốc ô tô lại giảm 5 km. Hỏi mất bao lâu thì ô tô đến thành phố Hồ Chí Minh ?

Câu 60. (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Do bị bệnh bại não nên tay chân của Cảnh (11 tuổi,

bản Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không đi lại được từ

lúc mới chào đời. Lên 6 tuổi, nhìn bạn bè cắp sách đến trường em cũng muốn mẹ cho đi học.

Thương con ham học, những ngày đầu Cảnh được người thân cõng đến trường. Ít ngày sau, chứng

kiến cảnh người thân của bạn phải vất vả bỏ bê công việc, Khanh đã quyết định cõng bạn vượt

qua con đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tới trường.

Lúc về, trên quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc ít hơn lúc đi 0,2

m/s. Do đó, thời gian cõng bạn lúc về của Khanh chậm hơn lúc đi là 12 phút 30 giây. Tính vận

tốc lúc cõng bạn đi của Khanh.

Câu 61. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc

, AC đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km/h. Một người đi từ A đến

B rồi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc (cả

lúc đi lẫn lúc về) là 10 km/h, vận tốc xuống dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 20 km/h, vận tốc trên

đoạn đường nằm ngang là 15 km/h.

Câu 62. (HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Nhà bạn An có một cái bể chứa nước hình trụ có

chiều cao h 1 (m)  và đường kính mặt đáy (không kể bề dày thành bể) là  

d dm 



. Ban

đầu bể không có nước, An đã sử dụng 2 cái thùng để xách nước đổ vào bể, một thùng loại 7 lít

và một thùng loại 4 lít. Sau nhiều lượt đổ nước vào bể, nhưng An không nhớ mình đã xách mỗi

loại thùng trên bao nhiêu lần. Em hãy tính giúp xem An đã xách mỗi loại bao nhiêu lần? Biết

rằng thùng luôn được đong đầy nước trước khi đổ vào bể chứa.

Câu 63. (HSG toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Để liên hoan cuối năm,lớp 9A đã mua 22

gói kẹo gồm 3 loại :chuối ,chocola và dừa hết 445000đ. Biết 4 gói kẹo chuối giá 11000đ; 3 gói

kẹo chocola giá 50000đ và mỗi gói kẹo dừa giá 15000đ. Hỏi lớp 9A đã mua bao nhiêu gói kẹo

mỗi loại? VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 81 

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 82 

Hình học

Dùng điện thoại quét mã vạch để xem lời giải chi tiết

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020)Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN

vuông góc với nhau. Trên tia đối của tiaMA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC

(H thuộc BC).

a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp.

b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC.

c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp MHC là K. Chứng minh 3

điểm C, K, E thẳng hàng.

Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Cho đựờng tròn tâm O một điểm M nằm ngoài

đường tròn. Từ M kẻ đường thẳng đi qua tâm O , cắt đường tròn tại hai điểm , A B ( A nằm

giữa M và B ). Kẻ đường thẳng thứ hai đi qua M , cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt , C D

(C nằm giữa M và D , C khác A ). Đường thẳng vuông góc với MA tại M cắt đường thẳng

BC tại N , đường thẳng NA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E .

a. Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh DE vuông góc với MB .

Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Cho  ABC vuông tại C nội tiếp trong đường

tròn tâm O, đường kính AB = 2R,



60 ABC  . Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB, K là

trung điểm đoạn thẳng AC. Tiếp tuyến tại B của đường tròn tâm O cắt AC kéo dài tại điểm D.

a) Chứng minh tứ giác CHOK nội tiếp trong một đường tròn

b) Chứng minh rằng AC.AD= 4R

c) Tính theo R diện tích của phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O.

Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Cho tam giác nhọn ABC (AB

đường cao AH, nội tiếp đường tròn (O). Gọi D và E thứ tự là hình chiếu vuông góc

của H lên AB và AC.

a) Chứng minh các tứ giác AEHD và BDEC nội tiếp được đường tròn.

b) Vẽ đường kính AF của đường tròn (O). Chứng minh

BC AB.BD AC.CE   và AF vuông góc với DE.

c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh O’ là trung

điểm của HF.

d) Tính bán kính đường trò (O’) biết 8 6 10 BC cm, DE cm, AF cm.   

7 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 83 

Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6 . cm

Điểm N nằm trên cạnh CD sao cho 2 DN cm  , P là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho

BP DN  .

a) Chứng minh ABP ADN    và tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn.

b) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP .

c) Trên cạnh BC , lấy điểm M sao cho



45 MAN   . Chứng minh MP MN  và tính diện tích

tam giác . AMN

Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB

và CD vuông goác với nhau. Gọi E là điểm thuộc cung nhỏ BC ( E không trùng với B và

C), tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại E cắt đường thẳng AB tại I. Gọi F là giao điểm

của DE và AB, K là điểm thuộc đường thẳng IE sao cho KF vuông góc với AB.

a. Chứng minh tứ giác OKEF nội tiếp.

b. Chứng minh

c. Chứng minh . = 2

d. Gọi M là giao điểm của OK với CF, tính tan

khi

= 45

Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2019-2020) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C

là một điểm nằm trên đường tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA, vẽ đường

thẳng d vuông góc với AB tại I, d cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P, AM cắt đường

tròn (O) tại điểm thứ hai K.

a) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng.

c) Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q, biết BC = R. Tính độ dài

BK và diện tích tứ giác QAIM theo R.

Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm

O bán kính R, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Trê cung

nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Gọi I,K,P lần lượt là hình chiếu vuông góc

của M trên các đường thẳng AB, AC, BC

1)Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp;

2)Chứng minh

 

 M PK MBC

3)Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích . . M I M K M P đạt giá trị nhỏ

nhât..

Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh THUA THIEN HUE năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm O đường kính

AB. Trên đường tròn   O lấy điểm C không trùng B sao cho AC BC  . Các tiếp tuyến của

đường tròn   O tại A và tại C cắt nhau tại D. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, E

là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC.

a) Chứng minh OECH là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Chứng minh

 

2 90 BCF CFB    .

c) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CH. Chứng minh hai đường thẳng EM và AB

song song với nhau.

Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020) Cho tam giác A B C có A B A C 

nội tiếp đường tròn ( ) O . Hai đường tròn BD và C E của tam giác A B C cắt nhau tại . H VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 84 

Đường thẳng A H cắt B C và ( ) O lần lượt tại F và K ( K A  ). Gọi L là hình chiếu

của D lên . A B

a) Chứng minh rằng tứ giác BE DC nội tiếp và

. B D BL BA  

b) Gọi J là giao điểm của K D và ( ), O ( ). J K  Chứng minh rằng

 

. B J K B D E 

c) Gọi I là giao điểm của B J và . ED Chứng minh tứ giác A LIJ nội tiếp và I là trung

điểm . ED

Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Kẻ dây

cung CD vuông góc với AB tại H ( H nằm giữa A và O , H khác A và O ). Lấy điểm G

thuộc CH ( G khác C và H ), tia AG cắt đường tròn tại E khác A .

a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp.

b).Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD. Chứng minh: . .  KC KD KE KB .

c).Đoạn thẳng AK cắt đường tròn O tại F khác A . Chứng minh G là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác HEF .

d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF . Chứng

minh   HE HF MN .

Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( O)

kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C là tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm

của OA và BC.

a. Chứng minh OB

= OH. OA

b. EF là một dây cung của (O) đi qua H sao cho A, E, F không thẳng hàng. Chứng

minh bốn điểm A, E, O, F nằm trên cùng một đường tròn.

Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Cho đường tròn (O). Đường thẳng d tiếp

xúc với đường tròn ( O) tại A. Trên d lấy một điểm B( B khác A), vẽ đường tròn

(B, BA) cắt đường tròn ( O) tại điểm C ( C khác A). Chứng minh BClà tiếp tuyến

của (O).

Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Cho tam giác ABC( AB< AC) có ba góc

nhọn nội tiếp đường tròn (O). Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các cung nhỏ AC,

AB sao cho BP vuông góc với AC, CQ vuông góc với AB. Gọi I, J lần lượt là giao

điểm của PQ với AB và AC. Chứng minh IJ.AC = AI.CB.

Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp

đường tròn tâm O , hai đường cao BD và CE cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại P và Q

  , P B Q C  

1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn

2. Gọi H là giao điểm của BD và CE . Chứng minh . . HB HP HC HQ 

Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm O . Từ điểm M nằm ngoài

đường tròn tâm O vẽ các tiếp tuyến MA , MB với   O ( A , B là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến

MCD không đi qua tâm O , C nằm giữa M và D .

1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh

. MA MC MD 

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 85 

Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh TS10-20-PHU THO năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A có

đường cao  . AD D BC  Gọi I là trung điểm của ; AC kẻ AH vuông góc với BI tại

. H

a) Chứng minh tứ giác ABDH nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . ABDH

b) Chứng minh tam giác BDH đồng dạng với tam giác . BIC

c) Chứng minh

. . . .

AB HD AH BD AD BH  

Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho đường tròn ( ) C có tâm I và có bán kính

2 R a  . Xét điểm M thay đổi sao cho IM a  . Hai dây , AC BDđi qua M và vuông góc với

nhau. ( , , , A B C D thuộc ( ) C ). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.

Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường

tròn tâm O . Gọi I là trung điểm AB . Đường thẳng qua I vuông góc AOvà cắt AC tại J .

Chứng minh: , , B C J và I cùng thuộc một đường tròn.

Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn

 

O kẻ hai

tiếp tuyến , A B A C tới đường tròn ( , B C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính B K . Biết



30 B AC 



, số đo của cung nhỏ C K là

A.30  . B.60  . C.120 . D.150 .

Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho đường tròn

 

O , hai điểm , A B nằm trên

 

sao cho



90º A O B  . Điểm C nằm trên cung lớn A B sao cho A C B C  và tam giác A B C

có ba góc đều nhọn. Các đường cao , A I B K của tam giác A B C cắt nhau tại điểm H . B K cắt

 

O tại điểm N (khác điểm B ); A I cắt

 

O tại điểm M (khác điểm A); NA cắt MB tại điểm

D . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CI HK nội tiếp một đường tròn.

b) M N là đường kính của đường tròn

 

O .

c) O C song song với DH .

Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M

bất kì thuộc đường tròn sao cho

 

MA MB    M A  . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp

tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt CN ở D.

a) Chứng minh bốn điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OD song song BM.

c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm

của AI và BD là G. Chứng minh ba điểm N, G, O thẳng hàng.

Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi

M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M không trùng với B, C). Gọi H, K,

D theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác AHMK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh MH .MC = MK .MB.

c) Tìm vị trí của điểm M để DH + DK lớn nhất.

Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và

E là điểm tùy ý trên nửa đường tròn đó (E khác A, B). Lêy1 điểm H thuộc đoạn EB (H khác E, VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 86 

B). Tia AH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là F. Kéo dài tia AE và tia BF cắt nhau tại I.

Đường thẳng IH cắt nửa đường tròn tại P và cắt AB tại K.

a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn.

b) chứng minh

 

AIH ABE 

c) Chứng minh:



cos

PK BK

ABP

PA PB







d) Gọi S là giao điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Khi tứ giác AHIS

nội tiếp được đường tròn , chứng minh EF vuông góc với EK.

Câu 25. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2019-2020)Cho đường tròn   ; O R . Từ một điểm M ở

ngoài đường tròn   ; O R sao cho 2 OM R  , vẽ hai tiếp tuyến , MA MB với   O ( , A B là

hai tiếp điểm). Lấy một điểm N tuỳ ý trên cung nhỏ . AB Gọi , , I H K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của N trên , , . AB AM BM

1) Tính diện tích tứ giác MAOB theo . R

2) Chứng minh:

 

. NIH NBA 

3) Gọi E là giao điểm của AN và , IH F là giao điểm của BN và IK . Chứng minh tứ

giác IENF nội tiếp được trong đường tròn.

4) Giả sử , , O N M thẳng hàng. Chứng minh:

2 2 2

2 NA NB R  

Câu 26. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm O đường kính 2  AB R .

Gọi C là trung điểm của OA , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn ( ) O tại

hai điểm phân biệt M và N . Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M ). Gọi H là

giao điểm của AK và MN .

a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh

.  AK AH R .

c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho  KI KM . Chứng minh  NI BK .

Câu 27. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm O , bán kính R và một

đường thẳng d không cắt đường tròn ( ) O . Dựng đường thẳng OH vuông góc với đường thẳng

d tại điểm H . Trên đường thẳng d lấy điểm K (khác điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA

và KB với đường tròn ( ) O , ( A và B là các tiếp điểm) sao cho A và H nằm về hai phía của

đường thẳng OK .

a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được trong đường tròn.

b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại điểm I . Chứng minh rằng IA IB IH IO    và I

là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định.

c) Khi 2 , 3 OK R OH R   . Tính diện tích tam giác KAI theo R .

Câu 28. (Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm

I, Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ; H là giao điểm hai dây AQ

và BI.

a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.

b) Chứng minh: . . CI AI HI BI  .

c) Biết 2 AB R  . Tính giá trị biểu thức: . . M AI AC BQ BC   theo R.

Câu 29. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   O

đường kính   AC BA BC  . Trên đoạn thẳng OC lấy điểm I bất kỳ  . I C  Đường thẳng BI VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 87 

cắt đường tròn   O tại điểm thứ hai là . D Kẻ CH vuông góc với BD  , H BD  DK vuông

góc với AC  . K AC 

a) Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.

b) Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4 cm và



ABD  . Tính diện tích tam giác . ACD

c) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt đường thẳng BD tại . E Chứng minh rằng khi

I thay đổi trên đoạn thẳng OC   I C  thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 30. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn

 

O kẻ hai

tiếp tuyến , A B A C tới đường tròn ( , B C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính B K . Biết



30 B A C 



, số đo của cung nhỏ C K là

A.30  . B.60  . C.120 . D.150 .

Câu 31. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho đường tròn

 

O , hai điểm , A B nằm trên

 

sao cho



90º A O B  . Điểm C nằm trên cung lớn A B sao cho A C B C  và tam giác A B C

có ba góc đều nhọn. Các đường cao , A I BK của tam giác A B C cắt nhau tại điểm H . B K cắt

 

O tại điểm N (khác điểm B ); A I cắt

 

O tại điểm M (khác điểm A ); NA cắt MB tại điểm

D . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CI HK nội tiếp một đường tròn.

b) MN là đường kính của đường tròn

 

O .

c) O C song song với DH .

Câu 32. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020)Cho tam giác ABC vuông cân ở , A đường cao

 . AH H BC  Trên AC lấy điểm   , M M A M C   và vẽ đường tròn đường kính

. MC Kẻ BM cắt AH tại E và cắt đường tròn tại . D Đường thẳng AD cắt đường tròn

tại . S Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDEF là một tứ giác nội tiếp.

 

. BCA ACS 

Câu 33. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Xét hai đường tròn bất kỳ có tâm không trùng nhau

   

2 1 1 2

; , ; O R O R và

1 2

. R R  Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì

1 2 1 2

. O O R R  

B. Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau thì

1 2 1 2

. O O R R  

C. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì

1 2 1 2

. O O R R  

D. Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì

1 2 1 2

. O O R R  

Câu 34. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Diện tích của một hình tròn có bán kính bằng 4 cm

là

4 . cm  B.

64 . cm  C.

16 . cm  D.

8 . cm 

Câu 35. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Cho tam giác nhọn ABC   AB AC  nội tiếp

đường tròn tâm . O Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H  D thuộc , AC E thuộc . AB Gọi

, M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và . AC

a) Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp.

b) Chứng minh . . . AE AM AD AN  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 88 

c) Gọi K là giao điểm của ED và , MN F là giao điểm của AO và , MN I là giao điểm của

ED và . AH Chứng minh F là trực tâm của tam giác . KAI

Câu 36. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Trên đường tròn   O lấy các điểm phân biệt

, , A B C sao cho



114 AOB   (như hình vẽ bên dưới). Số đo của



ACB bằng

A. 76 .  B. 38 .  C. 114 .  D. 57 . 

Câu 37. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Cho đường thẳng d cắt đường tròn   O tại hai

điểm phân biệt , . A B Biết khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d bằng 8 cm và độ dài đoạn

thẳng AB bằng 12 cm. Bán kính của đường tròn   O bằng

A. 10 cm. B. 4 13 . cm C. 20 cm. D. 4 5 cm.

Câu 38. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB

và CD vuông góc với nhau. Điểm M thuộc cung nhỏ BD sao cho



BOM 30 .  Gọi N là

giao điểm của CM và OB. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt OB, OD kéo dài lần

lượt tại E và F. Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P.

1) Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh tam giác EMN là tam giác đều.

3) Chứng minh NC OP  .

4) Gọi H là trực tâm của tam giác AEF. Hỏi ba điểm A, H, P có thẳng hàng không? Vì

sao ?

Câu 39. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho nửa đường tròn   ; O R đường kính AB . Trên

cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn   ; O R vẽ các tiếp tuyến , Ax By với nửa đường

tròn đó. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn   ; O R (với M khác A , M khác B ),

tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt , Ax By lần lượt tại C và D .

a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O .

c) Chứng minh

.  AC BD R .

b) Kẻ   ,   MN AB N AB ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN .

Câu 40. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (  AB AC ) nội

tiếp đường tròn   O . Hai đường cao BE và

CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H .

1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF .

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I

đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với

tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 89 

Câu 41. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm

ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là

tiếp điểm). Đường thẳng (d) thay đổi đi qua M, không đi qua O và luôn cắt đường

tròn tại hai điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D).

a) Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

MC.MD MA . 

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD

luôn đi qua điểm cố định khác

Câu 42. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm

ngoài đường tròn đó. Qua M

kẻ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (E, F là tiếp điểm). Đường thẳng (d) thay

đổi đi qua M, không đi qua O và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt P và Q

(P nằm giữa M và Q).

a) Chứng minh EMFO là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

MP.MQ ME . 

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ

luôn đi qua điểm cố định khác

Câu 43. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm I

nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I, đường thẳng

này cắt đường tròn (O) tại M và N. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BM và AN,

Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và

AM lần lượt tại K và H.

a) Chứng minh rằng tứ giác SKAM nội tiếp.

b) Chứng minh rằng SA.SN = SB.SM

c) Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Chứng minh rằng 3 điểm H, N, B thẳng hàng.

Câu 44. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Cho tam giác ABC nhọn (AB

tròn (O). Vẽ các đường cao BD, CE của tam giác ABC ( , D AC E AB   ).

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.

b) Gọi giao điểm của AO với BD và ED lần lượt là K, M.

Chứng minh:

2 2 2

1 1 1

MD KD AD

  .

Câu 45. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai

tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường

thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O) (AM < AN, MN không đi

qua O). Gọi I là trung điểm của MN.

1) Chứng minh: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: AH.AO = AM.AN và tứ giác MNOH

là tứ giác nội tiếp.

3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng

minh rằng M là trung điểm của EF. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 90 

Câu 46. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn   O vẽ

hai tiếp tuyến , AD AE ( , D E là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ABC

của đường tròn   O

sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và ; C

tia AC nằm giữa hai tia AD và . AO Từ

điểm O kẻ OI AC  tại . I

a) Chứng minh năm điểm , , , , A D I O E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh IA là tia phân giác của



DIE và

. . AB AC AD 

c) Gọi K và F lần lượt là giao điểm của ED với AC và . OI Qua điểm D vẽ đường

thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và . P Chứng minh D

là trung

điểm của . HP

Câu 47. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm (O) với đáy AB cố định

không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn.

M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC . Gọi I là giao điểm của BN và

CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp.

b) Chứng minh MK.MN MI.MC 

c) chứng minh tam giác AKI cân tại K.

Câu 48. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao

AH . Vẽ đường tròn   A bán kính AH . Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với   A cắt đường thẳng

AC tại D (điểm I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau).

a) Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp.

b) Cho 4 , 3 . AB cm AC cm   Tính AI .

c) Gọi HK là đường kính của   A . Chứng minh rằng BC BI DK   .

Câu 49. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Cho đường tròn

 

O đường kính AB. Trên đường

thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa

A, C. Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn

 

O (K là tiếp điểm ), tiếp tuyến tại A của đường tròn

 

O cắt

đường thẳng CK tại H. Gọi I là giao điểm OH và AK, J là giao điểm của BH với đường tròn

 

(J không trùng với B).

a) Chứng minh AJ.HB = AH.AB.

b) Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên một đường tròn.

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P. Tính

AH HP

HP CP

 .

Câu 50. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định. Điểm A

di động trên cung lớn BC (AB < AC) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt

nhau tại H. Gọi K là giao điểm của EF với BC.

1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh: . .  KB KC KE KF

3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) ( )  M A . Chứng minh  MH AK . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 91 

Câu 51. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Cho đường tròn

  O,R , đường kính AB . Kẻ tiếp

tuyến Ax với đường tròn

  O,R và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P sao cho AP R  , từ P kẻ tiếp

tuyến thứ hai tiếp xúc với đường tròn

  O,R tại M .

a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh BM song song OP .

c) Biết đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BM tại N , AN cắt OB tại K , PM cắt ON

tại I , PN cắt OM tại J . Chứng minh ba điểm K,I ,J thẳng hàng.

Câu 52. (Tuyển sinh tỉnh Lào Cai năm 2019-2020) Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài đường tròn

(O). kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B và C là các tiếp điểm) với đường tròn. Trên cung lớn BC lấy

điểm A sao cho AB < AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt

đường tròn (O) tại D và E (MD < ME),cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp.

b) Chứng minh FD.FE FB.FC;FI FE FD.FE   

c) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt

đường tròn (O) tại K (K khác Q). Chứng minh 3 điểm P, K, M thẳng hàng.

Câu 53. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020) Cho ABC  nhọn nội tiếp đường tròn

  O . Các

đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H

  D BC;E AC;F AB    , tia FE cắt đường tròn tại M

. Chứng minh

AM AH.AD 

Câu 54. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Từ điểm A nằm ngoài đường tròn

  O , vẽ tiếp

tuyến AB ( B là tiếp điểm) và cát tuyến ACD không đi qua tâm O ( C nằm giữa A và D ). Gọi

E là trung điểm của CD . Chứng minh ABOE là tứ giác nội tiếp.

Câu 55. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn

(AB

vuông góc với AB ( ) M A B  và kẻ HN vuông góc với AC ( ) N AC  . Vẽ đường kính

AE của đường tròn (O) cắt MN tị I, Tia MN cắt đường tròn (O) tại K

a)Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp

b)Chứng minh AM.AB=AN.AC

c)Chứng minh tứ giác CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân

Câu 56. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Qua điểm A năm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến

AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm. Gọi E là trung điểm của đoạn AC, F là giao điểm

thứ hai của EB với (O)

1)Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp và CEF  BEC

2)Gọi K là giao điểm thứ hai của AF với đường tròn (O). Chứng minh BF.CK = BK.CF

3)Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABF

Câu 57. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho điểm

M thuộc nữa đường tròn   O đường kính AB   , , M A M B MA MB    . Tia phân giác của

góc AMB cắt AB tại C . Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng

, AM BM theo thứ tự tại , D H .

a)Chứng minh rằng: CA CH  .

b)Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của  , O F là hình chiếu

vuông góc của D trên tiếp tại B của. Chứng minh rằng: , , E M F thẳng hàng. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 92 

c)Gọi

1 2

, S S theo thứ tự là diện tích của các từ giác ACHE và BCDF . Chứng minh rằng:

1 2

CM S S   .

Câu 58. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020) Cho ABC

cân tại



 

90 

A A nội tiếp đường tròn  . O Gọi D là điểm trên

cung AB không chứa C ( D khác A và B ). Hai dây AD và BC kéo dài cắt nhau tại . E

Đường thẳng qua E và song song với CD cắt AB kéo dài tại . F Vẽ tiếp tuyến FG với

đường tròn   O ( G là tiếp điểm).

a) Chứng minh .  FG FE

b) Từ trung điểm I của cạnh BC kẻ  .   IJ AC J AC Gọi H là trung điểm của IJ .

Chứng minh .  AH BJ

Câu 59. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020) Cho A B C  cân

tại



 

A A  nội tiếp đường tròn

 

. O Gọi D là điểm trên

cung A B không chứa C ( D khác A và B ). Hai dây AD và B C kéo dài cắt nhau

tại . E Đường thẳng qua E và song song với C D cắt A B kéo dài tại . F Vẽ tiếp tuyến

F G với đường tròn

 

O ( G là tiếp điểm).

a) Chứng minh . FG F E 

b) Từ trung điểm I của cạnh B C kẻ

 

. I J A C J A C   Gọi H là trung điểm của

I J . Chứng minh . A H B J 

Câu 60. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Cho tam giác nhọn

   ABC AB AC nội tiếp đường tròn   O . Các đường cao , , AD BE CF của tam giác

ABC cắt nhau tại H .

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC , K là điểm đối xứng của H qua . I Chứng minh

ba điểm , , A O K thẳng hàng.

c) Chứng minh .  AK EF

d) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có tan .tan 3  B C thì / / . OH BC

Câu 61. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường

tròn tâm , O bán kính R và đường tròn tâm I bán kính r   r R  tiếp xúc trongtại A .

Đường thẳng nối hai tâm cắt đường tròn tâm I tại B và đường tròn tâm O tại . C Đường

trung trực của đoạn thẳng B C cắt đường tròn O tại , M N và cắt B C tại . P Nối AM cắt

đường tròn tâm I tại . E

a ) Chứng minh tứ giác MEBP nội tiếp và

 

. A M O N M C 

b) Chứng minh , , N B E thẳng hàng và , . I P R OP r  

c) Chứng tỏ P E là tiếp tuyến của đường tròn tâm . I

Câu 62. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Cho ABC  không cân, biết

ABC  ngoại tiếp đường tròn   I . Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 93 

đường tròn   I . Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC, biết AD cắt

đường tròn   I tại điểm N   N D  , gọi K là giao điểm của AI và EF.

a) Chứng minh rằng AK.AI = AN.AD và các điểm I, D, N, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn   I .

Câu 63. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Cho đường tròn   ; O R và

hai điểm B, C cố định sao cho góc



120 BOC  . Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho

ABC  nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ACF  cắt nhau tại K   K A  . Gọi H là giao điểm

của BE và CF.

a) Chứng minh KA là phân giác trong góc



BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ

giác BHCK theo R.

Câu 64. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho đường

tròn

  O và đường thẳng d

không có điểm chung. Gọi H

là hình chiếu vuông góc của O trên

d . Từ điểm M trên d

(khác điểm H ) kẻ các tiếp tuyến , MA MB

với đường tròn

  O ( , A B là

các tiếp điểm, tia MB

nằm giữa hai tia MA và ). MH Gọi , C D

lần lượt là hình chiếu vuông

góc của H trên các đường thẳng , . MA MB

a) Gọi E

là giao điểm của hai đường thẳng AB

và . OH

Chứng minh

. . OE OH OB 

b) Gọi I

là hình chiếu vuông góc của H

trên đường thẳng . AB

Chứng minh ba điểm , , I C D

thẳng hàng.

c) Chứng minh

AM AB MB

HC HI HD

  

Câu 65. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác A B C

có ba góc nhọn, A B A C  . Các đường cao , , A D B E C F của tam giác A B C cắt nhau tại

điểm H . Gọi

 

O là đường tròn ngoại tiếp tứ giác D H E C , trên cung nhỏ E C của đường

tròn

 

O lấy điểm I (khác điểm E ) sao cho I C I E  . Đường thẳng D I cắt đường thẳng

CE tại điểm N , đường thẳng E F cắt đường thẳng CI tại điểm M .

a) Chứng minh rằng . . NI ND N E N C  .

b) Chứng minh rằng đường thẳng M N vuông góc với đường thẳng C H .

c) Đường thẳng H M cắt đường tròn

 

O tại điểm K (khác điểm H ), đường thẳng K N

cắt đường tròn

 

O tại điểm G (khác điểm K ), đường thẳng M N cắt đường thẳng BC

tại điểm T . Chứng minh rằng ba điểm , , H T G thẳng hàng.

Câu 66. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020)Cho đường tròn   O

đường kính 2 AB R  và C là một điểm thuộc đường tròn   O (C khác A và khác B ). Trên

nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB có chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với   O tại A và tia

By tiếp xúc với   O tại B . Tiếp tuyến của   O tại C cắt tia Ax , By lần lượt tại M và . N

a) Chứng minh rằng . . . CM CN AM BN  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 94 

b) Trên tia BC lấy điểm D sao cho BA BD  . Tia AD cắt cung nhỏ AC tại . I Chứng minh

rằng diện tích tam giác ABD gấp đôi diện tích tam giác . ABI

c) Tính tỉ số giữa diện tích tam giác AOI và diện tích tứ giác IOBD , biết diện tích tam giác

IBD bằng

d) Tìm diện tích nhỏ nhất của các hình thang vuông ABNM khi C thay đổi trên đường tròn

 . O

Câu 67. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác nhọn

ABC có ba đường cao ', ', ' AA BB CC và trực tâm H . Lấy điểm D sao cho tứ giác

BHCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) ABDC là tứ giác nội tiếp.

. ' . ' . ' 1

. ' . ' . ' 3

BC HA CA HB AB HC

BC AA CA BB AB CC

 



 

c) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ' ' ' A B C .

Câu 68. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho đường tròn

  O , bán kính R , ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi

AA ,

BB ,

CC là các đường

cao của tam giác ABC (

A thuộc BC ,

B thuộc CA ,

C thuộc AB ). Đường thẳng

1 1

AC cắt

đường tròn   O tại ' A và ' C (

A nằm giữa ' A và

C ). Các tiếp tuyến của đường tròn   O tại

' A và ' C cắt nhau tại ' B .

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng

1 1 1 1 1

. . HC AC AC HB  .

b) Chứng minh rằng ba điểm , ', B B O thẳng hàng.

c) Khi tam giác ABC là tam giác đều, hãy tính ' ' A C theo R .

Câu 69. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam

giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn   O và AB AC  . Gọi , D E lần lượt là chân

đường cao của tam giác ABC hạ từ , A B . Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ B lên

đường thẳng AO .

a) Chứng minh rằng , , , B D E F là bốn đỉnh của một hình thang cân.

b) Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của BC .

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng AO và đường tròn   O , M và N lần

lượt là trung điểm của EF và CP . Tính số đo góc BMN .

Câu 70. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Cho tam giác

nhọn ABC không cân AB AC  , trực tâm H và đường trung tuyến AM . Gọi K là hình chiếu

vuông góc của H lên AM , D là điểm đối xứng của A qua M và L là điểm đối xứng của K

qua AC

a)Chứng minh tứ giác BCHK và ABLC nội tiếp.

b)Chứng minh

 

LAB MAC 

c)Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên , AL X là giao điểm của AL và BC .

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IXM và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tiếp

xúc nhau.

Câu 71. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Cho hình vuông

ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Các điểm , N P theo thứ tự thuộc các

cạnh , BC CD sao cho / / MN AP . Chứng minh rằng: VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 95 

1)Tam giác ADP đồng dạng với tam giác NBM .

. BN DP OB 

3) DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OPN .

4)Ba đường thẳng , , BD AN PM đồng quy.

Câu 72. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường tròn

  ; O R đường kính AB . Kẻ hai đường thẳng d và d  lần lượt là hai tiếp tuyến tại các tiếp điểm

A và B của đường tròn   O . Điểm M thuộc đường tròn   O ( M khác A và B ), tiếp tuyến

tại M của đường tròn   O cắt , d d  lần lượt tại C và D . Đường thẳng BM cắt d tại E .

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng , CM , CA CE .

b) Đường thẳng EO cắt hai đường thẳng ,  d AD lần lượt tại I và J . Chứng minh các điểm

, , , A B I J cùng thuộc một đường tròn.

c) Giả sử , AE BD  tính độ dài đoạn thẳng AM theo R .

Câu 73. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Cho nửa đường

tròn tâm O đường kính 2  A B R và điểm C di động trên nửa đường tròn ( C không

trùng với , A B ). Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt các tiếp tuyến tại A và B của

nửa đường tròn ( ) O lần lượt tại P và Q Gọi M là giao điểm của A C với OP , N

là giao điểm của BC với O Q .

a) Chứng minh tứ giác M N Q P nội tiếp một đường tròn.

b) Chứng minh

.  A P B Q R .

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác M N Q P và S là diện tích của tứ giác

O P I Q . Tìm giá trị nhỏ nhất của S theo R .

Câu 74. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường tròn ( ; ) O R

, DC là một dây cung cố định không qua O . Gọi S là điểm di động trên tia đối của tia

DC ( S không trùng D ). Qua S kẻ hai tiếp tuyến SA , SB với đường tròn ( ; ) O R ( A, B

là hai tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng DC .

a) Chứng minh năm điểm , , , , S A B I O

cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi H là giao điểm của SO và AB . Chứng minh

 

DHC DOC  .

c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi S di động.

Câu 75. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Đường tròn nội tiếp tam giác

ABC tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại , , M N P . Gọi K là hình chiếu vuông góc

của M lên NP . Chứng minh rằng KM là phân giác góc BKC .

Câu 76. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho tam giác đều ABC . Gọi

, M N là hai điểm nằm trên cạnh BC sao cho góc MAN bằng

30 ( M nằm giữa B và N ). Gọi

K là giao điểm của hai đường tròn

 

ABN và

 

ACM . Chứng minh rằng:

a)Hai điểm K và C đối xứng với nhau qua AN ;

b) Đường thẳng AK đi qua tâm đường tròn

 

AMN .

Câu 77. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Cho đường tròn

tâm O, đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (sao cho B khác C) và vẽ đường VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 96 

tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Qua M kẻ

một dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường tròn (O’) tại I.

a) Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.

b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI

= MB.MC.

Câu 78. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Cho tam giác

A B C nội tiếp đường tròn ( ) O ( A B A C  ), điểm M là trung điểm của cạnh BC .

Đường phân giác trong của góc



B A C cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ( ) O tại điểm

P ( P khác A). Gọi E là điểm đối xứng với D qua M . Qua D kẻ đường thẳng vuông

góc với BC cắt đường thẳng A O tại H . Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC

cắt đường thẳng A D tại F . Gọi K là giao điểm của P E và D H .

1. Chứng minh tứ giác DEF K là hình chữ nhật.

2. Chứng minh . . . D B D C D A D P D H D K   , từ đó suy ra tứ giác BH C K nội tiếp

đường tròn ( ) I .

3. Gọi T là giao điểm của A D và ( ) I ( T khác F ). Chứng minh đường thẳng H T

vuông góc với đường thẳng A D .

4. Đường tròn ngoại tiếp tam giác M TP cắt đường thẳng T H tại điểm Q ( Q khác T ). Chứng

minh đường thẳng Q A tiếp xúc với đường tròn ( ) O .

Câu 79. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Cho đường tròn

( ; ) O R và điểm A sao cho 3 O A R  . Qua A kẻ hai tiếp tuyến A B và A C của đường

tròn ( ) O , với B và C là hai tiếp điểm. Kẻ cát tuyến A M N của đường tròn ( ) O ( M nằm

giữa hai điểm A và N ). Gọi H là giao điểm của O A và BC .

1. Chứng minh tứ giác A B O C nội tiếp.

2. Chứng minh . . A M A N A H A O  .

3. Chứng minh H B là đường phân giác của góc



MH N .

4. Gọi , I K lần lượt là hình chiếu của M trên A B và A C . Tìm giá trị lớn nhất của

. M I M K khi cát tuyến A M N quay quanh A.

Câu 80. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho tam giác

A B C

có ba góc nhọn ( ), AB AC 

nội tiếp đường tròn ( ). O Hai đường cao B D và C E

của tam giác A B C cắt nhau tại điểm . H Đường tròn ( ) O cắt đường tròn đường kính

A H

tại điểm thứ hai F ( F khác A).

1) Chứng minh tam giác BE F đồng dạng với tam giác . C DF

2) Gọi N là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của đường tròn ( ). O Đường thẳng F N

cắt cạnh BC tại điểm . K Chứng minh tia H K là tia phân giác của góc . BHC

3) Hai tia phân giác của góc A B H và góc A C H cắt nhau tại điểm . I Gọi P là giao điểm

của đoạn thẳng O N và cạnh . B C Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng . A H Chứng minh

, , P I Q là ba điểm thẳng hàng.

Câu 81. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Cho tam giác

A B C có ba góc nhọn ( ), A B A C  nội tiếp đường tròn ( ). O Gọi điểm I

là tâm đường VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 97 

tròn nội tiếp tam giác . A B C Tia A I cắt đoạn thẳng BC

tại điểm , J

cắt đường tròn ( ) O

tại điểm thứ hai M ( M khác A).

1) Chứng minh

. . M I M J M A 

2) Kẻ đường kính M N của đường tròn ( ). O Đường thẳng A N

cắt các tia phân giác trong

của góc A B C và góc A C B lần lượt tại các điểm P và . Q Chứng minh N là trung điểm

của đoạn thẳng . P Q

3) Lấy điểm

E bất kỳ thuộc cung nhỏ M C của đường tròn ( ) O ( E

khác M ). Gọi F là

điểm đối xứng với điểm I qua điểm . E Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng P C và

. Q B Chứng minh bốn điểm , , , P Q R F cùng thuộc một đường tròn.

Câu 82. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường tròn (O

; R) đường kính AB, M là một điểm nằm trên đoạn AB (M không trùng A, B). Qua

M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AB, trên (d) lấy điểm C nằm ngoài đường

tròn. Kẻ các tiếp tuyến CE, CF với đường tròn (E, F là tiếp điểm). Gọi H, K lần

lượt là giao điểm của CA, CB với đường tròn, I là giao điểm của AK và BH.

a) Chứng minh MC là tia phân giác của góc EMF.

b) Chứng minh rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng.

c) Xác định vị trí điểm C để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên

đường thẳng EF.

Câu 83. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Cho đường

tròn (O;R), A là một điểm cố định nằm ngoài đường tròn, qua A kẻ đường thẳng d vuông

góc với OA. Từ điểm B thuộc đường thẳng d (B khác A) kẻ các tiếp tuyến BD, BC với

đường tròn (O) (D, C là các tiếp điểm). Dây CD cắt OB tại N, cắt OA tại P.

1) Chứng minh rằng:

. . OA OP OB ON R  

2) Gọi E là giao điểm của AO với đường tròn (O) (O nằm giữa A và E). Khi B di chuyển

trên đường thẳng d, chứng minh trọng tâm G của tam giác ACE chạy trên một đường tròn

cố định.

Câu 84. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho đường

tròn (O) có đường kính 2 AB R  , I là trung điểm của đoạn OA và dây CD vuông góc với

OA tại I. Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC, E là giao điểm của AM và CD.

1)Chứng minh rằng:

. AE AM R 

2)Tính số đo góc



BCD

3)Xác định vị trí của M để tổng ( MB MC MD   ) đạt giá trị lớn nhất.

Câu 85. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)

Cho đường tròn ( ) O đường kính AB , điểm I nằm giữa hai điểm A và O ( I khác

A và O ). Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I , đường thẳng này cắt đường tròn

( ) O tại M và N . Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BM và AN , qua S kẻ

đường thẳng song song với MN , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM

lần lượt tại K và H .

1)Chứng minh rằng tứ giác SKAM nội tiếp.

2)Chứng minh rằng . . SA SN SB SM 

3)Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 98 

4)Chứng minh rằng 3 điểm , , H N B thẳng hàng.

Câu 86. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường

tròn   O , bán kính R , ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi

AA ,

BB ,

CC là các

đường cao của tam giác ABC (

A thuộc BC ,

B thuộc CA ,

C thuộc AB ). Đường thẳng

1 1

AC cắt đường tròn   O tại ' A và ' C (

A nằm giữa ' A và

C ). Các tiếp tuyến của đường

tròn   O tại ' A và ' C cắt nhau tại ' B .

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng

1 1 1 1 1

. . HC AC AC HB  .

b) Chứng minh rằng ba điểm , ', B B O thẳng hàng.

c) Khi tam giác ABC là tam giác đều, hãy tính ' ' A C theo R .

Câu 87. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020)Cho đường

tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H bất kì (H không trùng với A và

O), kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn

(O), từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm và M

thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A). Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của các

đường thẳng CM, CN với đường thẳng AB. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB

cắt MN tại K. Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt CP và CQ lần lượt tại D và

1) Chứng minh tứ giác OMDK là tứ giác nội tiếp và HC là tia phân giác của



MHN

2) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh I là trung điểm của PQ.

3) Chứng minh ba đường thẳng PN, QM và CH đồng quy.

Câu 88. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

nhọn nội tiếp đường tròn   O ( ). AB AC  Kẻ đường cao   AH H BC  của tam giác

ABC và kẻ đường kính AD của đường tròn  . O

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng . DH Chứng minh OM là đường trung trực của đoạn

thẳng . BC

b) Gọi , S T là các giao điểm của đường tròn   O với đường tròn tâm A bán kính ; AH F là

giao điểm của ST và . BC Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với D H tại . E Chứng minh

. FB FC FH  và ba điểm , , F E A thẳng hàng.

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính

. AH

Câu 89. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho đường

tròn

( ) O tiếp xúc trong với đường tròn ( ) O tại điểm . A Các dây cung , B C B D của đường tròn

( ) O

tiếp xúc với

( ) O theo thứ tự tại E và . F Gọi I là giao điểm của EF với tia phân giác của



. CAD

a) Chứng minh rằng

 



D AF D C B

b) Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . B C D

Câu 90. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai đường tròn

(O) và (O )  không cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Các tiếp tuyến tại A VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 99 

của (O) và (O )  cắt (O )  và (O) lần lượt tại C và D . Trên đường thẳng AB lấy M sao cho B

là trung điểm đoạn AM .

a) Chứng minh hai tam giác ABD và CBA đồng dạng

b) Chứng minh

MB BD.BC 

c) Chứng minh ADMC là tứ giác nội tiếp

Câu 91. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Cho

đường tròn

 

O đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A, C. Kẻ

tiếp tuyến CK với đường tròn

 

O (K là tiếp điểm ), tiếp tuyến tại A của đường tròn

 

O cắt

đường thẳng CK tại H. Gọi I là giao điểm OH và AK, J là giao điểm của BH với đường tròn

 

(J không trùng với B).

a) Chứng minh AJ.HB = AH.AB.

b) Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên một đường tròn.

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P. Tính

AH HP

HP CP

 .

Câu 92. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường tròn

 

; O R có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi sao cho CD

không vuông góc cũng không trùng với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của

 

; O R . Các đường

thẳng BC

và BD cắt d tương ứng tại E và F

1. Chứng minh rằng CDFE là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi M là trung điểm của EF và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF. Chứng minh

rằng tứ giác KMBO là hình bình hành.

3. Gọi H là trực tâm tam giác DEF, chứng minh H luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Câu 93. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Cho hình chữ nhật

ABCD có 2 , 2 AB a BC a   . Lấy đoạn AB làm đường kính, dựng về

phía ngoài hình chữ nhật nửa đường tròn. Điểm M thuộc nữa đường tròn đó. Các đường thẳng

MD, MC

cắt AB lần lượt tại N, L. Chứng minh

2 2

AL BN



 .

Câu 94. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Cho đường tròn (O)

và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B và C là các

tiếp điểm) với đường tròn. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB < AC. Từ

điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại

D và E ( MD < ME), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a)Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp.

b) Chứng minh FD. FE = FB. FC; FI. FM = FD. FE

c) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường

thẳng QF cắt đường tròn (O) tại K (K khác Q). Chứng minh 3 điểm P, K, M thẳng

hàng.

Câu 95. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 100 

Cho đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn (O). Kẻ

( ) AH BC H BC   . Gọi I, K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác AHB,

AHC. Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M, N.

a)Chứng minh tam giác AMN vuông cân.

b)Chứng minh

AMN ABC

S S  (

AMN

S ,

ABC

S lần lượt là diện tích các tam giác AMN và ABC).

Câu 96. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường tròn (O;

R). Hai dây AB, CD song song với nhau sao cho tâm O nằm trong dải song song tạo bởi

AB và CD. Biết khoảng cách giữa hai dây đó bằng 11 cm và 10 3 , 16 AB cm CD cm   .

Tính R.

Câu 97. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Cho hình bình

hành ABCD  . BD AC  Đường tròn   O đường kính AC cắt các tia , AB AD lần lượt tại , H I

khác . A Trên dây HI lấy điểm K sao cho

 

. HCK ADO  Tiếp tuyến tại C của đường tròn   O cắt BD

tại E ( D nằm giữa , B E ). Chứng minh rằng:

1) CHK DAO   # và

AO KC



2) K là trung điểm của đoạn . HI

2 2

. 4 . EI EH OB AE  

Câu 98. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho tam giác

nhọn ABC (với AB AC  ) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác trong và đường

phân giác ngoài của



BAC cắt đường tròn   O lần lượt tại D và E (cùng khác A ). Gọi

G là hình chiếu vuông góc của E lên cạnh AC , gọi M và N tương ứng là trung điểm

của các đoạn thẳng BC và BA . Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng GM , H là giao

điểm của đường thẳng AB và đường thẳng MG , F là giao điểm của đường thẳng MN

và đường thẳng AE .

a)Chứng minh rằng hai đường thẳng AD và GM song song.

b)Chứng minh FH MC  .

c)Chứng minh 2. KE KN EN   .

Câu 99. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

vuông tại , A đường cao  . AH H BC  Đường tròn   O đường kính HC cắt cạnh AC tại . N Tiếp tuyến

với đường tròn ( ) O tại N cắt cạnh AB tại . M Chứng minh rằng:

1) Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.



90 . AMH 



3) CN AH . BM HC BH BC  

Câu 100. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Cho tam giác

nhọn ABC   AB AC  nội tiếp đường tròn   O . Gọi E là điểm nằm chính giữa của cung nhỏ

BC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho EM EC  , đường thẳng BM cắt đường tròn   O tại

N ( N khác B ). Các đường thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F .

a)Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED .

b)Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 101 

c)Gọi I là trung điểm của AN , tia IM cắt đường tròn   O tại K . Chứng minh đường thẳng

CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK .

Câu 101. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020)Cho đường

tròn tâm O bán kính R. Dây cung BC cố định, không đi qua tâm O. Điểm A di chuyển

trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BM, CN của tam giác ABC

cắt nhau tại H, gọi I là trung điểm của BC.

1. Chứng minh AH 2.OI  .

2. Chứng minh khi A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn thì H di

chuyển trên một cung tròn cố định, hãy chỉ ra tâm và bán kính của cung tròn đó.

3. Khi BC R 3  , chứng minh AM.NH HM.NA OI.BC   .

Câu 102. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai đường tròn

  O và   ' O cắt nhau tại , M N . Kẻ dây MA của đường tròn   O tiếp xúc với   ' O và

dây MB của đường tròn   ' O tiếp xúc với   O . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB

cắt đường thẳng MN tại P ( P khác M ). Chứng minh rằng PN MN  .

Câu 103. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) HÌnh chữ nhật

ABCD nội tiếp đường tròn    có tâm O , bán kính 2  R a . Tiếp tuyến của    tại C

cắt các tia , AB AD lần lượt tại , E F .

a)Chứng minh rằng . .  AB AE AD AF và BEFD là tứ giác nội tiếp.

b)Đường thẳng d qua A , d vuông góc với BD và d cắt    , EF theo thứ tự tại , M N

 .  M A Chứng minh rằng BMNE là tứ giác nội tiếp và N là trung điểm của EF .

c)Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF . Tính IN theo a .

Câu 104. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác

nhọn ABC (AB AC)  nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H.

Ba điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. Gọi I là

trung điểm của cạnh BC, P là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng DF cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là K.

a) Chứng minh PB.PC PE.PF  và KE song song với BC.

b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là Q. Chứng

minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn.

Câu 105. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho đường

tròn   ; O R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn

thẳng OB ( M khác O và P ). Tia CM cắt đường tròn   O tại N ; DB cắt CN tại P ; AN cắt

CD tại Q

a)Chứng minh

PQ AB ∥

b)Chứng minh CAQ  đồng dạng với AMC  , từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi

khi M di động trên đoạn thẳng OB

c)Chứng minh hệ thức

CQ CN

AM AN

 



 

 

d)Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng OB để NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp tam giác CPQ . Tính OM theo R trong trường hợp đó VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 102 

Câu 106. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)Cho đường tròn

( ; ) O R , đường kính AB , điểm M nằm trên đoạn OB ( M khác O và B ). Từ M kẻ đường

thẳng vuông góc với AB cắt   O tại hai điểm C và E . Gọi F là hình chiếu của C trên

AE và I là hình chiếu của M trên CF . Đường thẳng AI cắt   O tại điểm thứ hai H .

a) Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp;

b) Tiếp tuyến tại C của   O cắt đường thẳng AB tại D . Gọi  

O là đường tròn ngoại tiếp

tam giác CHD

(điểm

O là tâm đường tròn). Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến

của  

O ;

c) Gọi

O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMD . Biết

OM  , tính diện tích

tam giác

1 2

OO O theo R .

Câu 107. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Từ một điểm I nằm

ngoài đường tròn   O kẻ hai tiếp tuyến IAvà IB đến đường tròn ( , A B là các tiếp điểm).

Tia Ix nằm giữa hai tia IA và IB và Ix không đi qua tâm O, tia Ix cắt đường tròn tại hai

điểm C và E ( E nằm giữa C và I ), đoạn IO cắt đoạn thẳng AB tại . M Chứng minh

rằng:

a)Tứ giác OMEC nội tiếp được trong một đường tròn.

 

AMC AME 

MB IE

MC IC

 



 

 

Câu 108. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, vẽ AH vuông góc với BC tại H,

vẽ đường kính AD cắt BC tại I, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho IM song song với CD.

1. Chứng minh: Tứ giác AHIM nội tiếp một đường tròn.

2. Chứng minh: . .  AB AC AH AD .

3. Chứng minh: HM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH.

4. Chứng minh:

. . 4   AB CD AC BD R .

Câu 109. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Cho hình vuông

ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R . Trên cung nhỏ AD lấy điểm E bất kì ( E không

trùng với A và D ). Trên tia EB cắt các đường thẳng , AD AC lần lượt tại I và K . Tia EC cắt

các đường thẳng , DA DB lần lượt tại M và N . Hai đường thẳng , AN DK cắt nhau tại P .

1. Chứng minh : Tứ giác EPND nội tiếp một đường tròn

2. Chứng minh :

 

EKM DKM 

3. Khi M là trung điểm của AD , tính độ dài đoạn thẳng AE theo R

Câu 110. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho tam giác

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm . O Các đường cao , , AD BE CF cắt đường tròn

  O lần lượt tại các điểm , , . M N P Chứng minh 4.   

AM BN CP

AD BE CF

Câu 111. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho tam giác

ABC vuông cân tại C nội tiếp đường tròn tâm . O M là điểm thuộc cung nhỏ

  , .   AC M A M C H là giao điểm của BM và . AC K là hình chiếu của H lên . AB VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 103 

a. Chứng minh CA là đường phân giác của góc



. MCK

b. Trên tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A lấy điểm P sao cho C và P nằm cùng phía so

với đường thẳng AB đồng thời thỏa mãn



AP MB AB

Chứng minh BP đi qua trung điểm

của . HK

Câu 112. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Từ điểm

M nằm ngoài đường tròn ( ), O kẻ hai tiếp tuyến MA

và MB với đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng AB

( , ), I A IA IB  

kẻ dây cung BN của đường tròn ( ) O sao cho BN song song với

. MI Gọi C là điểm chính giữa của cung lớn BN và D là điểm chính giữa của cung

nhỏ . BN Hai đường thẳng MI và CD cắt nhau tại . H

a. Chứng minh năm điểm , , , , M A H O B cùng nằm trên một đường tròn.

b. Kẻ dây cung CE của đường tròn ( ) O

đi qua . I Chứng minh IE vuông góc với

. ME

Câu 113. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Cho tam

giác ABC có ba góc nhọn với H là trực tâm. Một đường tròn đi qua hai điểm B

và C cắt các đoạn thẳng , A C A B lần lượt tại hai điểm

    ' , ' ( ' , ' , ' , ' ) . B C B A B C C A C B Gọi ' H là trực tâm của tam giác ' ' . A B C

Chứng minh các đường thẳng ' , ' , ' BB C C H H đồng quy.

Câu 114. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Từ điểm A nằm

ngoài đường tròn   O , vẽ hai tiếp tuyến , AB AC ( , B C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm

của OA và BC . Kẻ đường kính BK của   O , AK cắt   O tại E , AB cắt CK tại P .

1. Chứng minh

. AB AE AK  và tứ giác OHEK nội tiếp.

2. Chứng minh CE HE  và

 

OKH OAE  .

3. Tia BK và tia AC cắt nhau tại F , kẻ CI BK  ( I BK  ), AK và CI cắt nhau

tại M . Gọi N là trung điểm của AB . Chứng minh ba điểm , , F M N thẳng hàng.

Câu 115. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho đường tròn

(O) đường kính AB. Trên cùng mặt phẳng bờ AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của

(O). Trên (O), lấy điểm C (CA < CB) và trên đoạn thẳng OA lấy điểm D (D khác

O, A). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lượt tại E, F. AC cắt

DE tại G, BC cắt DF tại H, OC cắt GH tại I.

1. Chứng minh hai tam giác AGE, FHC đồng dạng và I là trung điểm của GH.

2. Gọi J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

3. Gọi M là giao điểm của JO và DK. Chứng minh tam giác JOK vuông và ba đường

thẳng DE, IM, KO đồng quy.

Câu 116. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Cho đường

tròn (O) cố định và điểm A cố định ở ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ đường thẳng tiếp xúc với

đường tròn (O) tại B. Một tia Ax thay đổi, nằm trong miền



OAB , cắt đường tròn (O) tại hai điểm

C, D (C ở giữa A và D). Từ B kẻ BH vuông góc với AO tại H. Chứng minh rằng:

a) Tích . AC AD không đổi; VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 104 

b) CHOD là tứ giác nội tiếp;

c) Phân giác của



CHD cố định.

Câu 117. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

vuông tại A nội tiếp đường tròn

 

O có tâm O .

a)Trên cung nhỏ



AB của đường tròn

 

O lấy điểm D (khác , A B ). Gọi K là giao điểm thứ hai

của đường tròn tâm A bán kính AC với đường thẳng BD . Chứng minh AD là đường trung trực

của CK .

b)Lấy P là điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác , O C ). Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc

của P trên AB và AC. Gọi Q là điểm đối xứng của P qua đường thẳng EF . Chứng minh Q

thuộc đường tròn

 

O .

Câu 118. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Cho hình vuông

ABCD có cạnh bằng 4 cm. E là trung điểm cạnh BC . Đường thẳng qua B vuông góc với DE

tại H và cắt đường thẳng CD tại F . Gọi K là giao điểm của AH và BD .

a) Chứng minh tứ giác DKHF nội tiếp được đường tròn.

b) Tính diện tích tứ giác BKEH .

Câu 119. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

nhọn ( )  AB AC nội tiếp đường tròn tâm O . Các đường cao BD , CE cắt nhau tại H , BC cắt

DE tại F , AF cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là K .

a) Chứng minh . . . FK FA FE FD FB FC   .

b) Vẽ đường kính AI của đường tròn ( ) O và gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh H là

trực tâm của tam giác AMF .

Câu 120. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Cho tam

giác ABC nhọn với . AB AC  Đường tròn ( ) O đường kính BC cắt các cạnh , AB AC lần lượt

tại , F E ( F khác B và E khác C ). BE cắt CF tại , H AH cắt BC tại . D

a)Chứng minh AEHF và AFDC là các tứ giác nội tiếp.

b)Chứng minh DA là tia phân giác của góc



. EDF

c)Gọi K là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC .

Chứng minh . . . KE KF KD KO 

d)Gọi , P Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên đường thẳng . EF

Chứng minh . DE DF PQ  

Câu 121. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Cho đường

tròn ( ; ) và đường tròn (

; ′) cắt nhau tại hai điểm phân biệt và . Trên tia

đối của tia lấy điểm . Kẻ tiếp tuyến , với đường tròn ( ; ), trong đó

, là các tiếp điểm và nằm trong đường tròn (

; ′). Đường thẳng , cắt

đường tròn (

; ′) lần lượt tại và ( , khác ). Tia cắt tại . Chứng

minh rằng:

a)Tứ giác nội tiếp.

b) đồng dạng với .

c)′ vuông góc với . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 105 

Câu 122. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Cho

đường tròn tâm O và kí hiệu là   O . Gọi T là điểm nằm ngoài   O . Từ T vẽ hai tiếp

tuyến của   O với , A B lần lượt là các tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của AB và OT .

a) Chứng minh:

4 .



b) Một đường thẳng đi qua H và cắt đường tròn   O tại hai điểm , M N sao cho



30 MTN 

Tính số đo



MON .

Câu 123. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020)

Cho tam giác ABC nhọn có . Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp

xúc với các cạnh , , AB BC CA lần lượt tại các điểm , , M N E . Gọi K là giao điểm của BO

và NE .

a) Chứng minh:



90 .

ACB

AOB  

b) Chứng minh: năm điểm , , , , A M K O E cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi T là giao điểm của BO với AC . Chứng minh: . . KT BN KB ET  .

Câu 124. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

vuông tại , B đường cao

 . BH H AC  Gọi

   là đường tròn tâm C bán kính . CB

Gọi F là một điểm bất kì trên đoạn thẳng BH ( F khác B và H ). AF cắt

   tại

hai điểm , D E ( D nằm giữa A và E ). Gọi K là trung điểm . DE

a) Chứng minh rằng FKCH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng . . . ; AD AE AH AC AF AK  

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK tiếp xúc với

   tại . B

Câu 125. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020)Trên đường tròn

( ) O đường kính AB lấy điểm C (C khác

và

B ), điểm D nằm trên đoạn thẳng

AB sao cho . BD AC  Kẻ DE vuông góc với AC tại , E đường phân giác trong

của góc



BAC cắt DE và ( ) O lần lượt tại G và F ( F

khác A). Đường thẳng CG

cắt AB và ( ) O theo thứ tự tại I và H ( H khác

C ). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AGDH

nội tiếp đường tròn.

b) Ba điểm , H D và F thẳng hàng.

c) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng . AD

Câu 126. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Cho tam giác

nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt (O)

tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC tại E khác

C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B.

1. Chứng minh rằng hai tam giác BDF, CDE đồng dạng

2. Chứng minh rằng ba điểm E , M, F thẳng hàng và OA EF 

3. Đường phân giác của



BAC cắt EF tại điểm N. Đường phân giác của



CEN

cắt CN tại P, đường phân giác của



BFN cắt BN tại Q. Chứng minh rằng PQ song song

với BC.

 

BAC ACB VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 106 

Câu 127. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác

nhọn ABC có AB AC  và trực tâm là T. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác

ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC; I và K lần lượt là hình chiếu

vuông góc của D trên AB và AC; E và F lần lượt là trung điểm của AC và IH.

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng.

b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng và DEF là tam giác vuông.

c) Chứng minh

BC AB AC

DH DI DK

 

Câu 128. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác nhọn ABC có

AB < AC. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại

các điểm D, E, F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, gọi N là giao điểm của hai đường thẳng

ID và EF. Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại các

điểm Q, P. Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng EF tại điểm K.

a) Chứng minh các tứ giác INQF, INEP nội tiếp đường tròn và tam giác IPQ cân.

b) Chứng minh

 

 IAM FKI .

c) Chứng minh hai đường thẳng IM, DK vuông góc với nhau.

Câu 129. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

nhọn nội tiếp đường tròn

  O , tia phân giác



BAC cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn

  O tại I . Các tiếp tuyến tại B và C của

  O cắt nhau tại T . Gọi , P Q lần lượt là điểm

thuộc , TC TB sao cho / / DP AC và / / DQ AB .

a) Chứng minh tứ giác BDIQ nội tiếp.

b) Chứng minh AD vuông góc với PQ .

c) Đường thẳng CQ cắt đường thẳng AB tại M , đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM

cắt TC tại N ( N khác C ). Chứng minh / / MN BC .

Câu 130. (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho 8 đường tròn có cùng bán kính, biết rằng khi

sắp 3 đường tròn và 5 đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng sao cho khoảng cách giữa hai

tâm liền kề bằng nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa hai đường tròn biên bằng 20 cm và 32 cm

(hình vẽ). Tính bán kính đường tròn.

Câu 131. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố

định. Gọi C là một điểm di động trên (O) sao cho C khác A, C khác B và C không nằm chính giữa

cung AB . Vẽ đường kính CD của (O). Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A . Hai đường thẳng BC,

BD cắt d tại E, F.

1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn

2) Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE . Chứng minh :

AB = 2.IM

3) Gọi H là trực tâm DEF  . Chứng minh khi điểm C di động trên (O) thì điểm H luôn chạy

trên một đường tròn cố định.

Câu 132. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Cho hai đường tròn   ; O R và   ; I r tiếp

xúc ngoài tại   A R r  . Vẽ dây AB của   ; O R và dây AC của   ; I r sao cho AC AB  . Gọi

MN là tiếp tuyến chung ngoài cùa 2 đường tròn với ( ) M O  , ( ) N I 

1) Chứng minh ba đường thẳng BC, OI và MN đồng quy.

2) Xác định số đo



AOB để diện tích ABC  lớn nhất. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 107 

Câu 133. (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

O và điểm

D bất kì trên cạnh AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Gọi P và Q là các giao điểm

của MN với đường tròn

 

O (điểm P thuộc cung nhỏ BC và điểm Q thuộc cung nhỏ CA). Gọi I là giao điểm

khác B của BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP. Gọi K là giao điểm của DI với AC.

a) Chứng minh rằng tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng PK.QC QB.PD  .

c) Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP. Đường thẳng IG cắt BA tại E.

Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số

không đổi.

Câu 134. (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Từ một điểm A cố định nằm ngoài đường

tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AB, AC (với B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE

không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E) đến đường tròn (O). Tiếp tuyến tại D của

đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh chu vi tam giác AMN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến

ADE.

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Chứng minh

 

AID OIE. 

c) DI kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm F (khác D). Chứng minh tâm của đường

tròn nội tiếp tam giác AEF luôn nằm trên một đường cố định.

Câu 135. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

 , O đường cao . AH Gọi M là giao điểm của AO và BC . Chứng minh rằng

HB MB AB

HC MC AC

  . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 136. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho hai đường tròn   O và   ' O cắt nhau tại

hai điểm phân biệt A và B ( AB không là đường kính của   ' O ). Các tiếp tuyến tại A và

tại B của   ' O cắt nhau tại C . Các đường thẳng AC và BC cắt   O tại điểm thứ hai lần

lượt là D và E . Lấy điểm G di chuyển trên cung



AB của đường tròn   ' O (phần nằm bên

trong   O , điểm G không trùng với điểm A và B ). Các đường thẳng AG và BG cắt   O

tại điểm thứ hai lần lượt tại H và K . Hai đường thẳng DK và HE cắt nhau tại . I

a. Chứng minh điểm I nằm trên một cung tròn cố định khi G thay đổi.

b. Chứng minh rằng ba điểm C , G và I thẳng hàng.

Câu 137. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019)

1) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn     O AB AC  và đường cao AD . Vẽ

đường kính AE của đường tròn   O .

a) Chứng minh rằng . . AD AE AB AC  .

b) Vẽ dây AF của đường tròn   O song song với , BC EF cắt AC tại , Q BF cắt AD tại

P . Chứng minh rằng PQ song song với BC .

c) Gọi K là giao điểm của AE và BC . Chứng minh rằng:

. . . . . AB AC AD AK BD BK CD CK  

2) Cho tam giác ABC có

 

90 , 20 BAC ABC  

 

. Các điểm E và F lần lượt nằm trên các

cạnh , AC AB sao cho



10 ABE 



và



30 ACF 



. Tính



CFE . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 108 

Câu 138. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn  . O Vẽ hai

tiếp tuyến , ( , AB AC B C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của   O sao cho ADE nằm

giữa hai tia AO và ( , AB D E thuộc  ). O Đường thẳng qua D song song với BE cắt , BC AB

lần lượt tại , . P Q

a) Gọi H là giao điểm của BC với . OA Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp.

b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua . E Chứng minh rằng , , A P K thẳng hàng.

Câu 139. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Cho đường tròn

  ; O R và điểm I cố định nằm

bên trong đường tròn ( I khác O ), qua I dựng hai dây cung bất kì AB và CD. Gọi

, N, P, Q M lần lượt là trung điểm của , IB, IC, ID IA .

a) Chứng minh rằng bốn điểm , P, N, Q M cùng thuộc một đường tròn.

b)Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau tại I .

Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MPNQ có diện tích lớn nhất.

Câu 140. (HSG toán 9 tỉnh HCM năm 2018-2019) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn

  O . Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OC , đường thẳng này cắt AC tại D và cắt   O tại

E ( E khác B ). Cho biết 8  AB cm và 4  BC cm, tính độ dài các đoạn thẳng DE , OA và OD

Câu 141. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn

 , O điểm M thuộc cung nhỏ BC của   O (M khác B và C); MA và MD cắt BC

lần lượt tại E, F. Đường trung trực của BE cắt , BD MA lần lượt tại P và ; K đường

trung trực của CF cắt , CA MD lần lượt tại Q và . L

1. Chứng minh rằng 3 điểm , , K O L thẳng hàng.

2. Chứng minh đường thẳng MO chia đôi đoạn . PQ

3. Cho PK cắt AC tại ; S QL cắt BD tại ; T ST cắt , MA MD lần lượt tại U và

. V Chứng minh rằng 4 điểm , , , U V K L cùng thuộc một đường tròn.

Câu 142. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A    AB AC . Đường

tròn   I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại , , D E F . Gọi S là

giao điểm của AI và DE .

a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS .

b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của . BC Chứng minh rằng ba điểm , , K O S thẳng

hàng.

c) Gọi M là giao điểm của KI và . AC Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC

cắt đường thẳng DE tại N . Chứng minh rằng  AM AN .

Câu 143. (HSG toán 9 tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019) Cho tam giác ABC và đường tròn   O nội tiếp

tam giác đó. Gọi , , H I K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh , , AB AC BC với đường tròn   O .

Trên cạnh , AB AC lần lượt lấy các điểm , M N sao cho BM CN BC   .

a)Chứng minh

  

 

KHI BAC ABC  

b)Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.

c)Xác định vị trí điểm M trên AB sao cho đoạn thẳng MN ngắn nhất. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 109 

Câu 144. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Cho ba điểm cố định , , A B C thẳng hàng theo

thứ tự đó. Một đường tròn ( ) O thay đổi luôn đi qua B và C . Vẽ các tiếp tuyến AD và AE với

đường tròn ( ) O , D và E là các tiếp điểm.

a) Chứng minh rằng .  AD AB AC , từ đó suy ra D thuộc một đường tròn cố định.

b) Gọi MN là đường kính của đường tròn ( ) O vuông góc với BC . Gọi K là giao điểm của AM

với đường tròn ( ) O . Chứng minh rằng ba đường thẳng , AB DE và NK đồng quy.

Câu 145. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho tam giác MNP có 3 góc

  

, , M N P nhọn,

nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao

, , MD NE PF của tam giác MNP cắt nhau tại H .

Chứng minh rằng:

a) 2 MH OQ  .

b) Nếu 2 MN MP NP   thì sin sin 2sin N P M   .

. . 2 ME FH MF HE R   biết 2 NP R  .

Câu 146. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho hai đường tròn

 

O và

 

tiếp xúc ngoài

nhau tại điểm I . Vẽ đường tròn

  O tiếp xúc trong với

 

O và

 

O lần lượt tại B và C . Từ

điểm I vẽ đường thẳng d vuông góc với

1 2

O O , d cắt cung lớn và cung nhỏ BC của

  O lần

lượt tại điểm , A Q . Cho AB cắt

 

O tại điểm thứ hai là , E AC cắt

 

O tại điểm thứ hai là . D

a) Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp ;

b) Chứng minh rằng

OA vuông góc với DE ;

c) Vẽ đường kính MN của

  O vuông góc với AI (điểm M nằm trên



AB không chứa điểm C

). Chứng minh rằng ba đường thẳng , , AQ BM CN đồng quy.

Câu 147. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019)Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với

AD là đường kính. Biết 2 5 AB BC cm   và 6 CD cm  . Tính bán kính của đường tròn (O).

Câu 148. (HSG toán 9 tỉnh Lai Châu năm 2018-2019) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R và

C là một điểm cố định nằm giữa A và B. Lấy điểm D thuộc (O) (D khác A, B). Qua D vẽ một

đường thẳng vuông góc với CD cắt tiếp tuyến Ax, By tại M, N. Gọi P là giao điểm của AD và CM,

Q là giao điểm của BD và CN. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CQDP nội tiếp.

b) AM.BN = AC.BC.

c) Qua D kẻ tiếp tuyến của (O) cắt Ax, By lần lượt tại E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

AED BFD

S S 

Câu 149. (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn   AB AC 

nội tiếp đường tròn   ; O R . Vẽ đường tròn tâm K đường kính BC cắt các cạnh , AB AC lần

lượt tại các điểm , F E . Gọi H là giao điểm của BE và CF .

a) Chứng minh OA vuông góc EF .

b) Từ A dựng các tiếp tuyến , AM AN với đường tròn   K ( , M N là các tiếp điểm và N thuộc

cung nhỏ EC ). Chứng minh rằng: , , M H N thẳng hàng.

Câu 150. (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( ; ) O R

, điểm M di động trên cung nhỏ BC . Xác định vị trí của M để S MA MB MC    đạt giá trị

lớn nhất và khi đó tính S . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 110 

Câu 151. (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Cho đường tròn   O đường kính AB . Từ một

điểm C thuộc đường tròn   O kẻ CH vuông góc AB (C khác A và B ; H thuộc AB ). Đường

tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn   O tại D và E . Chứng minh DE đi qua trung điểm

của CH .

Câu 152. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019)

Cho tam giác ABC cân tại , A đường cao BH và đường phân giác AE cắt nhau tại . M Chứng

minh rằng EH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính . AM

Câu 153. (HSG toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn   ABC AB AC  nội tiếp

trong đường tròn   O , các đường cao , BE CF cắt nhau tại H ( , E AC F AB   ).

a)Gọi K EF BC   ,   L AK O   với L A  . Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và

HL AK  .

b)Chứng minh rằng đường thẳng HL đi qua trung điểm của BC .

c)Gọi T là điểm trên đoạn thẳng FC sao cho



90 ATB  . Chứng minh rằng các đường

tròn ngoại tiếp hai tam giác KLT và CET tiếp xúc với nhau.

Câu 154. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn   ; , O R

vẽ đường tròn   '; ' O R   '  R R tiếp xúc với cạnh AD tại , H tiếp xúc với cạnh BC tại G và

tiếp xúc trong với đường tròn ( ) O tại M (điểm M thuộc cung CD không chứa điểm ). A Vẽ

đường thẳng  tt là tiếp tuyến chung tại M của hai đường tròn ( ) O và ( )  O (tia Mt nằm trên nửa

mặt phẳng bờ là đường thẳng MA chứa điểm ). D

a) Chứng minh rằng

  

  DHM DMt AMH và , MH MG lần lượt là tia phân giác của các



AMD

và



. BMC

b) Đường thẳng MH cắt đường tròn   O tại E (E khác ). M Hai đường thẳng HG và CE cắt

nhau tại . I Chứng minh rằng

 

.  EHI EIM

c) Chứng minh rằng đường thẳng HG đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác . ACD

Câu 155. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019)

1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn   O . Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường

cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của tam giác đó. Đường thẳng EF cắt đường tròn   O tại điểm thứ

nhất M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tại

N . Chứng minh rằng:

a. EF OA  .

b. AM AN  .

2. Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trong tam giác đó sao cho

 

90 ADB ACB  

và AC.BD AD.BC  . Chứng minh

AB CD

AC BD

 .

Câu 156. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng B năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp

đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của

tam giác đó. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ nhất M (M khác phía

với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tại N. Chứng

minh rằng: VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 111 

a) EF  OA.

b) AM = AN.

Câu 157. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường

tròn tâm O . M là điểm bất kì trên dây BC ( M khác B và C ). Vẽ đường tròn tâm D đi qua

M và tiếp xúc với AB tại B , vẽ đường tròn tâm E đi qua M và tiếp xúc với AC tại C . Gọi N

là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ( ) D và ( ) E .

a) Chứng minh rằng tứ giác ABNC nội tiếp. Từ đó chứng minh điểm N thuộc đường tròn ( ) O

và ba điểm , , A M N thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng DE luôn nằm trên một đường thẳng cố định

khi điểm M di động trên dây BC .

Câu 158. (HSG toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), D thuộc BC (D

không trùng với B, C) và (O  ) tiếp xức trong với (O) tại K, tiếp xúc với đoạn CD, AD tại F, E.

Các đường thẳng KF, KE cắt (O) tại M, N.

a. Chứng minh rằng MN song song với EF.

b. Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC.

c. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC.

Câu 159. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019)

Cho đường tròn   O và dây cung BC a  không đổi (O không thuộc BC ), A là điểm di động

trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD , BE , CK cắt nhau tại H (

D BC  , E AC  , K AB  ).

a) Trong trường hợp

 

BHC BOC  , tính AH theo a .

b) Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí của A để tích . DH DA nhận giá trị lớn nhât.

Câu 160. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường

tròn ( ) O đường kính 2 , , AD a BC a  



30 . ADB  Gọi E là giao điểm của hai đường

thẳng AB và , CD F là giao điểm của hai đường thẳng AC và , BD I là trung điểm của

. EF

a) Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn ( ). O

b) Tính diện tích tứ giác OBIC theo . a

c) Trên tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại , A lấy điểm M thuộc nửa mặt phẳng bờ AD

chứa điểm B sao cho



30 . ADM  Đường thẳng MB cắt đường tròn ( ) O tại điểm N (N

khác ). B Dựng đường kính NK của đường tròn ( ). O Chứng minh ba đường thẳng

, AK BD và MO đồng quy.

Câu 161. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho nữa đường tròn tâm O đường kính

2 AB R  . Gọi C là trung điểm của AO , vẽ tia Cx vuông góc với AB cắt nữa đường tròn tại I

. Lấy K là điểm bất kỳ trên đoạn CI ( K khác C và I ). Tia AK cắt nữa đường tròn   O tại M

, tia BM cắt tia Cx tại D . Vẽ tiếp tuyến với đường tròn   O tại M cắt tia Cx tại N .

a) Chứng minh rằng KMN  cân.

b) Tính diện tích ABD  theo R khi K là trung điểm của CI .

c) Khi K di động trên CI . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp AKD  đi qua điểm cố định

thứ hai khác A . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 112 

Câu 162. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ninh bảng A năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC)

nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính CD của (O), tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường

thẳng AB tại M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến đường thẳng OM.

a)Chứng minh MA.MB = MD

và AHOB là tứ giác nội tiếp;

b)Chứng minh HD là tia phân giác của góc AHB;

c)CA, CB cắt đường thẳng OM lần lượt tại P và Q. Chứng minh O là trung điểm của PQ.

.Câu 163.(HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AH là

đường cao. Trên đoạn HC lấy điểm M ( M khác H và C ). Gọi ; I J lần lượt là chân đường

vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB , N là điểm đối xứng của M qua IJ .

a) Chứng minh rằng ABCN nội tiếp đường tròn   T .

b) Kéo dài AM cắt đường tròn   T tại   P ( P khác A). Chứng minh rằng

1 1 1

PM PB PC

  .

c) Gọi D là trung điểm của AH , kẻ HK vuông góc với CD tại K .

Chứng minh rằng

 

BAK KHC  .

Câu 164. (HSG toán 9 tỉnh Sơn La năm 2018-2019) Cho ba điểm A , B , C cố định nằm trên đường thẳng

d ( B nằm giữa A và C ). Vẽ đường tròn tâmO thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không

nằm trên đường thẳng d ). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến của   O tại M và N . Gọi I là trung

điểm của , BC AO cắt MN tại H và cắt đường tròn   O tại cácđiểm P và Q ( P nằm giữa A và

O ), BC cắt MN tại K .

a) Chứng minh rằng bốn điểm O , M , N , I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng điểm K cố định khi đường tròn   O thay đổi.

c) Gọi D là trung điểm của HQ , từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP

tại E . Chứng minh rằng P là trung điểm của ME .

Câu 165. (HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm 2018-2019) Cho đường tròn   ; O R và một điểm A cố định

ở bên ngoài đường tròn, 2 OA R  . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB , AC đến đường tròn   O ( B ,

C là các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt dây BC tại I . Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ

BC . Tiếp tuyến tại M của đường tròn   O cắt AB , AC lần lượt ở E , F . Dây BC cắt OE ,

OF lần lượt tại các điểm P , Q .

1. Chứng minh



60 ABI  và tứ giác OBEQ nội tiếp.

2. Chứng minh 2 EF PQ 

3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ nhất. Tính

diện tích nhỏ nhất đó theo R .

Câu 166. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH

, gọi , I , J K lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ABH , ACH . Gọi

giao điểm của các đường thẳng , AJ AK với cạnh BC lần lượt là E và . F

a) Chứng minh: I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF .

b) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán

kính bằng nhau.

Câu 167. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Cho hai đường tròn  

1 1

; O R ,  

2 2

; O R cắt nhau

tại 2 điểm A và B . Một đường thẳng   d bất kì qua A cắt 2 đường tròn  

1 1

; O R ,  

2 2

; O R lần VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 113 

lượt tại M , N . Tiếp tuyến tại M của  

1 1

; O R và tiếp tuyến tại N của  

2 2

; O R cắt nhau tại I .

Tìm giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN khi   d quay quanh A .

Câu 168. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Cho ABC  nội tiếp trong đường tròn tâm O ,

bán kính R . Chứng minh 2 .sinA BC R  (Xét cả 3 trường hợp: tam giác vuông, tam giác nhọn,

tam giác tù). Chú ý: Nếu  và  là hai góc bù nhau thì sin sin    .

Câu 169. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019)Cho đường tròn   T có tâm O và đường kính

AB cố định. Gọi M là điểm di động trên đường tròn   T sao cho M không trùng với A và B

. Gọi C là điểm đối xứng với điểm O qua điểm . A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt

AM tại N , đường thẳng BM cắt đường thẳng CN tại . F Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng

NF ngắn nhất thì A là trọng tâm tam giác BNF .

Câu 170. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Cho hình vuông ABCD. Gọi

S là diện

tích phần giao

của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD.

S là diện tích phần còn lại của

hình vuông nằm ngoài hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính

Câu 171. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường

cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 6cm, Tính độ dài các cạnh AC, BC của tam giác

ABC.

Câu 172. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

vuông cân tại Acó đường

trung tuyến BM ( M thuộc cạnh AC ). Biết 2 AB a  . Tính theo a độ dài AC , AM và BM .

Câu 173. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác A B C vuông tại A . Gọi H là chân

đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh B C . Biết 12 AH c m  ,

H C

 . Độ dài đoạn B C là

A.6 cm . B.8 cm . C.4 3 cm . D.12 cm .

Câu 174. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho tam giác ABC có

4 , 4 3 , 8 . AB cm AC cm BC cm   

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Tính số đo

 

, B C và độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Câu 175. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020)

Cho tam gia

́ c ABC vuông tại A có 4 , 3   AB cm AC cm . Lấy điêm ̉ D thuộc cạnh

   AB AB AD . Đường tròn   O đường kính BD cắt CB tại E , kéo dài CD cắt đường

tròn   O tại F .

a)Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp.

C B

D A

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 114 

b)Biết

3  BF cm

. Tính

và diện tích tam giác

BFC

c)Kéo dài AF cắt đường tròn   O tại điểm G . Chứng minh rằng BA là tia phân giác của góc

CBG .

Câu 176. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao

AH và đường trung tuyến AM . Biết 3 ; 4   AH cm HB cm . Hãy tính , , AB AC AM và diện tích

tam giác ABC .

Câu 177. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác A B C vuông tại A . Gọi H là chân

đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh B C . Biết 12 A H c m  ,

H B

H C

 . Độ dài đoạn B C là

A.6 cm . B.8 cm . C.4 3 cm . D.12 cm .

Câu 178. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020)

Cho tam giác ABC vuông tại , A đường cao . AH Biết 3 , 4 . AB cm AC cm   Tính đọ

dài đường cao , AH tính



cos ACB và chu vi tam giác . ABH

Câu 179. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Anh Bình đứng tại vị trí A cách một đài kiểm soát

không lưu 50 m và nhìn thấy đỉnh C của đài này dưới một góc 55  so với phương nằm ngang

(như hình vẽ bên dưới). Biết khoảng cách từ mắt của anh Bình đến mặt đất bằng 1,7 m. Chiều

cao BC của đài kiểm soát không lưu bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. 40,96 m. B. 71, 41 m. C. 42,96 m. D. 73,11 m.

Câu 180. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

, biết 5 AB cm ; 

3 BH cm  . Tính AH ,AC và



sinCAH

Câu 181. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường

cao

  H BC  . Biết BH 3cm, BC 9cm   . Tính độ dài AB .

Câu 182. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020)

Cho tam giác A B C . Các điểm , , D E F theo thứ tự thuộc các cạnh , , BC C A A B sao cho tứ

giác A F D E nội tiếp. Chứng minh rằng:

4 .

D EF

ABC

S EF

S AD

 Trong đó ,

DE F ABC

S S

lần lượt là diện tíchcác tam giác D E F và . AB C

Câu 183. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho hình bình

hành ABCD có



90 ABC  , hạ DE, DF, DK lần lượt vuông góc với AB, BC, AC. Gọi I là

giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng các điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường

tròn. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 115 

Câu 184. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho hình thang

A B C D vuông tại A và , D  2 , C D c m





60 A B C và C A vuông góc với . C B Tính diện

tích S của hình thang . A B C D

Câu 185. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Tam giác ABC có

 

90 C B   và AH là đường cao của tam giác. Chứng minh rằng

. AH BH CH  .

Câu 186. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

cân tại A (



90 A  ), đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại D. Dựng DE

vuông góc với AC ( ) E AC  . Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = HE.

Câu 187. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Cho tam giác

ABC vuông tại A có 6cm, 10cm. AB BC   Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnh . BC

Câu 188. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

vuông tại A có 6cm, 10cm. AB BC   Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh . BC Tính

độ dài . BH

Câu 189. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác ABC

vuông tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD BA  . Gọi , M N lần lượt

là trung điểm của , AC AD . Đường thẳng qua B và song song với AD cắt MN tại E .

a)Chứng minh tứ giác NAEB là hình chữ nhật.

b)Chứng minh rằng

 

ACE DCN  .

Câu 190. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Tứ giác ABCD

có chu vi 18cm ,

 AB BC ,

 CD BC và 2  AD AB . Tính độ dài các cạnh của tứ giác

ABCD . Biết  AC CD , tính diện tích tứ giác ABCD .

Câu 191. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) Cho tam giác

ABC có AB AC  . Gọi

1 2

, d d lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài góc BAC  .

Gọi , M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên

1 2

, d d . Gọi , P Q lần lượt là hình

chiếu vuông góc của C lên

1 2

, d d .

a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của , AB AC .

b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC .

c) Trên

d lấy các điểm E và F sao cho ABE BCA    và ACF CBA    . (E thuộc nửa

mặt phẳng bờ AB chứa ; C F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa ). B Chứng minh rằng

BE AB

CF AC

 .

d) Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L . Chứng minh

rằng các đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC .

Câu 192. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hình bình

hành ABCD có góc A nhọn. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên các

đường thẳng AB, AD.

a) Chứng minh

AB.AH AD.AK AC   . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 116 

b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lần lượt lấy hai điểm M, N (M khác B, M khác C) sao cho

hai tam giác ABM và ACN có diện tích bằng nhau; BD cắt AM và AN lần lượt tại E và

F. Chứng minh

BM DN

BC DC

  và BE DF EF   .

Câu 193. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Trong các tam giác có

cạnh đáy bằng , a chiều cao ứng với cạnh đáy bằng h ( a , h cho trước, không đổi). Hãy

tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

Câu 194. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hình thang cân

 

/ / ABCD AB CD có 2 2 8 CD AD AB    . Tính diện tích của hình thang cân đó.

Câu 195. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác nhọn

ABC có



60 BAC 



và AB AC  . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với

, AB AC lần lượt tại D và E . Kéo dài , BI CI lần lượt cắt DE tại F và G , gọi M là trung điểm

BC . Chứng minh tam giác MFG đều.

Câu 196. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)Cho hình chữ nhật

ABCD , hai điểm , K P thuộc hai cạnh AD và BC sao cho tam giác DKP đều và có

cạnh 18 cm . Biết đường chéo BD đi qua trung điểm N của đoạn KP . Đường thẳng

qua A song song với KP cắt BC tại M .

a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD .

b) Chứng minh rằng tứ giác AKNM nội tiếp.

Câu 197. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Cho hình

vuông ABCD có cạnh bằng 12a , gọi E là trung điểm của CD, gọi F là điểm thuộc cạnh

CB sao cho 4 CF a  . Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD

sao cho GH song song EF . Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện

tích lớn nhất.

Câu 198. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020)

Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của AC và BD sao cho:

2 3

; .

5 4

AO BO

CO DO

  Gọi K

là điểm cố định bên ngoài tứ giác ABCD . Gọi d là đường thẳng đi qua K và không cắt

tứ giác ABCD . Gọi , , , M E F N lần lượt là hình chiếu của , , , A B C D lên đường thẳng d .

Tìm vị trí của đường thẳng d để 5 4 2 3 AM BE CF DN    đạt giá trị lớn nhất.

Câu 199. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho hình

chữ nhật ABCD có 2 4 ( 0) AB AD a a    . Đường thẳng vuông góc với AC tại

C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và . F

a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp.

b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF . Tính độ dài đoạn thẳng ID

theo . a

c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt

đường thẳng AD tại N. Gọi

S là diện tích của tam giác CME và

S là diện tích của

tam giác AMN. Xác định vị trí của M sao cho

 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 117 

Câu 200. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Cho tam giác đều

ABC . Vẽ các tia Bx , Cy cùng phía với A đối với BC sao cho / / Bx AC , / / Cy AB . Một

đường thẳng d đi qua A cắt , Bx Cy theo thứ tự ở , D E . Gọi I là giao điểm của CD và

BE . Xác định vị trí của đường thẳng d để tam giác BIC có diện tích lớn nhất.

Câu 201. (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại C, biết



, BAC AB a    . Lấy một điểm D nằm bên trong tam giác ABC sao cho CD vuông góc với

DB và góc

 

ACD DBA  . Gọi E là giao điểm của AB và CD.

a. Tính độ dài đoạn AE theo  và a .

b. Goi F là giao điểm của DB và AC. Chứng minh

. FC FD FB  .

Câu 202. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi D là

trung điểm của cạnh BC . Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD ( M không trùng với A ). Gọi , N P

theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh , AB AC và H là hình chiếu vuông

góc của N lên đường thẳng . PD

a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I . Chứng minh ba

điểm , , H N I thẳng hàng.

Câu 203. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho ABC  có điểm , M N lần lượt là trung

điểm hai cạnh CA và CB . Gọi P là giao điểm của tia MN với đường tròn ngoại tiếp

ABC  . Chứng minh

AC AB BC

PB PC PA

  

Câu 204. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Cho hình vuông . ABCD Trên các cạnh , CB CD

lần lượt lấy các điểm , ( M N M khác B và , C N khác C và ) D sao cho



45 . MAN   Chứng

minh rằng đường chéo BD chia tam giác AMN thành phần có diện tích bằng nhau.

Câu 205. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD

. Tia phân giác của góc A cắt BD tại I . Biết 10 5 , 5 5 IB cm ID cm   . Tính diện tích tam

giác ABC .

Câu 206. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

a) Khi 12 AB cm  tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp bằng

. Tính diện tích

tam giác

b) Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên , AB AC . Chứng minh rằng:

BE CH CF BH AH BC  

Câu 207. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019) Cho hình vẽ bên, với ABCD là hình vuông có

cạnh bằng a , BD song song với CE và BD BE  . Tính số đo góc



BEC .

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 118 

Câu 208. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm là điểm

. H Chứng minh

( )

HA HB HC AB BC CA     

. Câu 209. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Trên các cạnh , BC CD của hình

vuông lấy lần lượt hai điểm N, E sao cho



45 EAN   . Đường thẳng BD cắt AN và AE lần

lượt tại H và K. Chứng minh rằng các điểm , H , N , C , E K nằm trên cùng một đường tròn.

Câu 210. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Qua điểm M trong tam giác ABC kẻ // DK AB

, // EF AC , // PQ BC ( , E P AB  , , K F BC  , , D Q CA  ). Biết diện tích các tam giác MPE

, MQD , MKF lần lượt là

x ;

y ;

z với x , y , z là các số thực dương. Tính diện tích tam giác

ABC theo x , y , z .

Câu 211. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có 3 AB  , 4 AC  ,

5 BC  . Xét các hình chữ nhật MNPQ sao cho điểm M , N thuộc cạnh BC , P thuộc cạnh

AC , Q thuộc cạnh AB . Hãy xác định các kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện

tích lớn nhất.

Câu 212. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC ( ) AB AC  có ba

đường cao , , AD BE CF đồng quy tại . H

a) Chứng minh . . HE CB HC EF  .

b) Một đường thẳng qua H cắt hai đường thẳng , AB AC lần lượt tại , M N sao cho H

là trung điểm của . MN Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN đi qua trung

điểm của đoạn thẳng . BC

Câu 213. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Trị năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A ( ); AC AB 

Gọi H là hình chiếu của A trên BC , D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH ( D A  , D H  ) .

Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F ( F nằm giữa B và D ); M là

điểm trên đoạn thẳng AB sao cho

 

2 ACF BFM  ; MF cắt AH tại N .

a) Chứng minh . . BH BC BE BF  và tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh HD là phân giác góc



EHF

c) Chứng minh F là trung điểm MN

Câu 214. (HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Cho tam giác đều ABC . Trên tia đối của tia CB

lấy điểm D sao cho



15 CAD   . Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại E . Tia phân

giác trong của B cắt AD ở K . Chứng minh rằng AK ED  .

Câu 215. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường

cao BE và . AD Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC .

a) Chứng minh: nếu / / HG BC thì tan .tan 3.  B C

b) Chứng minh:

tan .tan .tan tan tan tan    A B C A B C .

Câu 216. (HSG toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường

cao AH.

a)Biết HC - HA = 4cm,



tan

ACB  . Tính độ dài AB,AC.

b)Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC; M là trung điểm của BC.

Chứng minh EF ⊥ AM.

c)Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh

HE HF

 . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 119 

Câu 217. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Cho tam giác ABC cân tại A có



36 A   . Tính

tỉ số

Câu 218. (HSG toán 9 tỉnh Trà Vinh năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, CM là

đường trung tuyến. Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt BC ở H. Tính tỉ số

Câu 219. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Trên

cạnh BC lấy điểm M , trên cạnh CD lấy điểm N sao cho chu vi tam giác CMN bằng 2a .

Chứng minh rằng góc MAN có số đo không đổi.

Câu 220. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho tam giác ABC , có



BAC 90  , H là chân

đường vuông góc hạ tự , A

 

CAH 3BAH  , , AH 6cm BH 3cm   Tính diện tích tam giác ABC

Câu 221. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Giải hệ

phương trình

3 3

2 2

8 2

   





  





x y y x

x y x y

Câu 222. (Tuyển sinh tỉnh THUA THIEN HUE năm 2019-2020) Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình

trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 6cm , bán kính đáy bằng 1cm . Người ta thả từ từ lần lượt

vào cốc nước một viên bi hình cầu và một vật có dạng hình nón đều bằng thủy tinh (vừa khít như

hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngoài. Tính thể tích của lượng nước còn lại trong

chiếc cốc (biết rằng đường kính của viên bi, đường kính của đáy hình nón và đường kính của đáy

cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).

Câu 223. (Tuyển sinh tỉnh Thành Phố HCM năm 2019-2020)

Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh

thái ở Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS, họ phát hiện một sự

trùng hợp khá thú vị là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng một kinh tuyến

và lần lượt ở các vĩ tuyến 47

và 72

a. Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm) giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là

một cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng 20 000km.

b. Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết

quả của bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 120 

hình cầu và thể tích của hình cầu được tính theo công thức 

.3,14.

V R với R là bán

kính hình cầu.

Câu 224. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Thể tích của một hình cầu có bán kính bằng 15cm

là

300 . cm  B.

4500 . cm  C.

225 . cm  D.

100 . cm 

Câu 225. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Khi thả chìm hoàn toàn tượng một con ngựa nhỏ

bằng đá vào một ly nước có dạng hình trụ thì người ta thấy nước trong ly dâng lên 1,5cm và

không tràn ra ngoài. Biết diện tích đáy của ly nước bằng

80 . cm Thể tích của tượng ngựa đá

bằng

40 . cm B.

1200 . cm C.

120 . cm D.

400 . cm

Câu 226. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020)Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là

12 cm, bán kính đáy là 2cm, lượng nước trong cốc cao 8cm. Người ta thả vào cốc nước 6

viên bi hình cầu có cùng bán kính 1cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc

dâng lên. Hỏi sau khi thả 6 viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu

xentimét? (Giả sử độ dày của cốc là không đáng kể)

Câu 227. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy

r 4  cm, độ dài đường sinh l 5  cm.

Câu 228. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều

cao 1 75 , m và diện tích đáy là

0 32 , m . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối

nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

Câu 229. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Một hình trụ có diện tích xung quanh

140 ( ) cm  và chiều cao là 7( ). h cm 

Tính thể tích của hình trụ đó.

Câu 230. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Một hình trụ có chiều cao bằng 5m và diện tích

xung quanh bằng

20 m  . Tính thể tích của

hình trụ.

Câu 231. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Tính thể tích một hình cầu có diện tích mặt cầu

bằng

144 cm 

Câu 232. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Tính thể tích của một

hình cầu, biết diện tích mặt cầu bằng

36 cm  .

Câu 233. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Một

hình trụ có chiều cao bằng 5m và diện tích xung quanh bằng

20 m  . Tính thể tích của hình trụ.

Câu 234. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Một hình trụ

có diện tích hình tròn đáy là

9 cm ,  độ dài đường sinh là 6 cm. Tính thể tích hình trụ đó.

Câu 235. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Một hình trụ có bán

kính đáy là 3cm, độ dài đường sinh là 6 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.

Câu 236. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)Một chiếc bút chì

có dạng hình trụ có đường kính đáy 8 mm và chiều cao bằng 200 mm . Thân bút chì

được làm bằng gỗ, phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng hình trụ có

chiều cao bằng chiều dài bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm . Tính thể tích

phần lõi và phần gỗ của bút chì. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 121 

Câu 237. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác

đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 20 cm và 1 cm . Người ta xếp cây nến trên

vào trong một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp.

Tính thể tích cái hộp.

Câu 238. (HSG toán 9 tỉnh HCM năm 2018-2019) Hộp phô mai có dạng hình trụ, đường kính đáy 12, 2

cm và chiều cao 2, 4 cm.

a)Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát bên trong hộp và độ dày của giấy gói từng miếng

không đáng kể. Hỏi thể tích của mỗi miếng phô mai là bao nhiêu ?

b)Tính diện tích giấy gói được sử dụng cho một miếng phô mai.

(Ghi kết quả gần đúng chính xác đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

Câu 239. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Đơn giản biểu thức

   

A sin cos sin cos 2 cos         

Câu 240. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Tính số đo góc

nhọn  biết

2 2

10sin 6cos 8     .

Câu 241. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)

Cho góc nhọn  có tan 2   . Tính

2 2

2sin 3sin cos cos

sin cos cos 1

   

  

 



 

Câu 242. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Chứng

minh rằng:

sin( ) sin .cos cos .sin    B C B C B C .

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 122 

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 123 

Số học

Dùng điện thoại quét mã vạch để xem lời giải chi tiết

Câu 1. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Cho đa thức

( ) ax P x bx c      * a   thỏa mãn     9 6 2019. P P  

Chứng minh     10 7 P P  là một số lẻ.

Câu 2. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho   P x là

một đa thức bậc n với hệ số nguyên, n 2  . Biết     P 1 .P 2 2019,  chứng minh rằng

phương trình   P x 0  không có nghiệm nguyên.

Câu 3. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Dãy số  

a thỏa mãn

n n

a a n N



    và

2 19

25 a a   . Tính tổng

1 2 20

S a a a      .

Câu 4. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020) Chứng minh

rằng số

4 4

( 1) 1     M n n chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên

dương.

Câu 5. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh rằng

số ( )     M n n

4 4

1 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên

dương.

Câu 6. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Gọi n số

 

1 2 3

; ; ; ... ; , 3

x x x x n n    thỏa mãn: mỗi số

 

1 ,

x i n  bằng 2 0 1 9 hoặc 2 0 1 9  và

1 2 2 3 1 1

.. . 0 .

n n n

x x x x x x x x



     Chứng minh rằng n là một bội của 4 .

Câu 7. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Chứng minh rằng số có dạng

6 4 3 2

2 2 A n n n n     không phải là số chính phương, trong đó , 1 n N n   .

Câu 8. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020)Cho , , a b c là các số

nguyên thỏa mãn

2019 2020 2021

a b c   là bội số của 6. Chứng minh rằng

2021 2022 2023

a b c   cũng là

bội số của 6.

Câu 9. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho ba số

nguyên dương , , a b c thỏa mãn

3 3 3

a b c   chia hết cho 14 . Chứng minh rằng abc cũng

chia hết cho 14 .

Câu 10. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các số tự nhiên

n thỏa mãn

2019

4 3

 có chữ số tận cùng là 7.

8 Chuyên đề VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 124 

Câu 11. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho , m n là hai số nguyên. Chứng

minh rằng nếu

 

7 2 m n mn   chia hết cho 225 thì mn cũng chia hết cho 225.

Câu 12. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả các

số tự nhiên n sao cho7 147

 là số chính phương.

Câu 13. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho biểu thức

 

2 P ab a b    , với , a b là các số nguyên. Chứng minh nếu giá trị của biểu thức P

chia hết cho 3 thì P chia hết cho 9.

Câu 14. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức

     

1 4 6 , P a b c a b c     với , , a b c là các số nguyên thỏa mãn 2019. a b c   

Chứng minh giá trị của biểu thức P chia hết cho 6.

Câu 15. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả số tự nhiên

n để giá trị của biểu thức 2 2 Q n n n      là số nguyên.

Câu 16. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Cho a, b, c là các

số nguyên đôi một khác nhau thỏa mãn:

3 3 3

a b c 3abc.    Chứng minh

 

4 4 4

2 a b c   là số chính phương.

Câu 17. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Tìm tất cả các

số chính phương có 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống

nhau.

Câu 18. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho hai số tự

nhiên a, b thỏa mãn:

2 2

2 3 a a b b    . Chứng minh rằng: 2 2 1 a b   là số chính phương.

Câu 19. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các số

nguyên tố ; p q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

p q p  chia hết cho

p q  .

ii)

pq q  chia hết cho

q p  .

Câu 20. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho trước số

nguyên dương . m Tìm một số nguyên dương n sao cho 1 m n   là số chính phương và

1 m n  là lập phương của một số tự nhiên.

Câu 21. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Chứng minh

rằng nếu n là số nguyên thì

n n 

cũng là số nguyên.

Câu 22. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả các

cặp số tự nhiên   ; x y sao cho

 

2 2

2 3 2 1 x y x y     và

 

2 2

5 4 2 3 x y x y     đều là

các số chính phương.

Câu 23. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Tìm các cặp số

nguyên dương   ; x y sao cho

x y x y   chia hết cho

1 xy y   .

Câu 24. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020)

a) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 2 1

 chia hết cho 9 . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 125 

b) Cho n là số tự nhiên 3 n  . Chứng minh rằng 2 1

 không chia hết cho 2 1

 với mọi

số tự nhiên m sao cho 2 m n   .

Câu 25. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh rằng

với mọi số nguyên dương n, số

4 4

9.3 8.2 2019   

n n

M chia hết cho 20.

Câu 26. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Số tự nhiên

n 

1 1 1 có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích của tất cả các ước số đó.

Câu 27. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Cho a là

số tự nhiên không chia hết cho 5 và 7. Chứng minh

   

4 4 2

1 1 5 1 a a a    chia hết cho 35.

Câu 28. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Cho ( ) P x

là đa thức bậc bốn và có hệ số của bậc cao nhất là 1. Biết rằng

       

2 0 1 6 2 0 1 7 , 2 0 1 7 2 0 1 8 , 2 0 1 8 2 0 1 9, 2 0 1 9 2 0 2 0 . P P P P     Chứng

minh ( 2 0 2 0) P là một số tự nhiên chia hết cho 5.

Câu 29. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh rằng

với mọi số tự nhiên n thì

9 1   n n không chia hết cho 6 .

Câu 30. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Với mỗi số thực , x

kí hiệu

 

x là số nguyên lớn nhất không vượt quá . x Ví dụ

2 1; 2

 

   

   

 

a) Chứng minh rằng

     

1 1 1 x x x x x        với mọi . x  

b) Có bao nhiêu số nguyên dương 840 n  thỏa mãn n

 

 

là ước của ? n

Câu 31. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Cho số tự nhiên

có 3 chữ số abc .

Chứng minh rằng: abc chia hết cho 21 khi và chỉ khi 2 4 a b c  

chia hết cho 21.

Câu 32. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Cho hai số

nguyên dương x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện

2 15

2 x 1 y   . Chứng minh rằng x

chia hết cho 15.

Câu 33. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh

 

2019 2020

11...122...25 A  là số chính phương.

Câu 34. (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019)

1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: 46 296.13

n n

 chia hết cho 1947

2) Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ số của A một

đơn vị thì ta được số chính phương B cũng gồm 4 chữ số . Tìm hai số A và B.

Câu 35. (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Chứng minh rằng với n là số chẵn thì

n 20n 96  

chia hết cho 48.

Câu 36. (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Tìm số tự nhiên n sao cho

18 2020   n n là một số chính phương.

Câu 37. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Chứng minh rằng trong 12 số tự nhiên bất

kỳ có ba chữ số, luôn tồn tại hai số sao cho khi ghép chúng lại cạnh nhau để được một số

có sáu chữ số chia hết cho 11. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 126 

Câu 38. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số

3 15 A n n   chia hết cho 18.

Câu 39. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Biết ; a b là các số nguyên dương thỏa mãn

2 2

  a ab b chia hết cho 9, chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3.

Câu 40. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9 11 

là tích của

k   , 2    k k số tự nhiên liên tiếp.

Câu 41. (HSG toán 9 tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019)

a)Chứng minh rằng

7 12 A a a    luôn chia hết cho 6 với mọi số a   .

b)Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Câu 42. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Chứng minh rằng

3 3 3 3

1 2 3

...

a a a a     chia hết

cho 3, biết

1 2 3

, , ,...,

a a a a là các chữ số của

2018

2019 .

Câu 43. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho biểu thức

1 2 3 2019

... P a a a a      với

1 2 3 2019

; ; ;...; a a a a là các số nguyên dương và P chia hết cho 30. Chứng minh rằng

5 5 5 5

1 2 3 2019

... Q a a a a      chia hết cho 30.

Câu 44. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019) Cho đa thức hệ số nguyên

 

1 1 0

...

n n

P x a x a x a x a



     và hai số nguyên , a b khác nhau.

Chứng minh:     P a P b  chia hết cho   a b  .

Câu 45. (HSG toán 9 tỉnh Lai Châu năm 2018-2019) Tìm dư trong phép chia:

200 91 2

2 1 cho 1. x x x   

Câu 46. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Chứng minh rằng

3 2

2 3 n n n   chia hết cho 6

với mọi số nguyên n .

Câu 47. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019) Chứng minh rằng

2 4 16

A    chia

hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Câu 48. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng B năm 2018-2019) Chứng minh rằng 4 17

A   chia hết

cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Câu 49. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Tìm các số tự nhiên n sao cho

2019 2020

C   là số chính phương.

Câu 50. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho , , a b c là các số nguyên thỏa mãn

2018 a b c c    . Chứng minh rằng

3 3 3

A a b c    chia hết cho 6.

Câu 51. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho

    1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... . 1 . 2 B n n n        với

n   . Chứng minh rằng B không là số

chính phương.

Câu 52. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ninh bảng A năm 2018-2019) Tìm tất cả các số nguyên sao cho

giá trị biểu thức

2 18 3 n n   chia hết cho 13.

Câu 53. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Trị năm 2018-2019) Cho các số nguyên a , b , c thỏa mãn

2 2

2 2 2 2

2 a c c

a b a c b c

 

  

. Chứng minh bc là một số chính phương.

Câu 54. (HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm 2018-2019) Cho

n   . Chứng minh rằng nếu 2 1 n  và

3 1 n  là các số chính phương thì n chia hết cho 40 . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 127 

Câu 55. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Chứng minh rằng:

. . ... . . ...

1 1 1 1

A 1 2 3 2017 2018 1

2 3 2017 2018

 

     

 

 

chia hết cho 2019 .

Câu 56. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Cho đa thức

4 3 2

( ) P x x ax bx cx d      . Biết

(1) 3, (2) 6, (3) 11 P P P    .

Tính 4 (4) ( 1) Q P P   

Câu 57. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019) Cho đa thức   P x hệ số nguyên thỏa   9 10 P 

và   10 9 P  . Tồn tại hay không số nguyên

x sao cho  

0 0

P x x  .

Câu 58. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Cho các đa thức ( ) P x và ( ) Q x thỏa mãn

   

( ) 1

    

 

P x Q x Q x với mọi . x Biết rằng hệ số của ( ) P x là các số nguyên không âm và

(0) 0.  P Tính

    3 3 2 .   

 

P P P

Câu 59. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) a) Tìm a và b để đa thức

4 3 2

( ) 2 3 + a P x x x x x b     là bình phương của một đa thức.

Câu 60. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả

các số nguyên x cho





là một số nguyên.

Câu 61. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả

các số tự nhiên n để phương trình

2 2

1 0     x n x n (ẩn số x) có các nghiệm là số nguyên.

Câu 62. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các số

tự nhiên n để phương trình     x n x n

2 2

1 0 (ẩn số x) có các nghiệm là số nguyên.

Câu 63. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả các

số nguyên tố , , x y z

thỏa mãn

      2 3 4 8 . x y z xyz    

Câu 64. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các cặp

số nguyên dương

 

; x y thỏa mãn

   

2 2

1 30 x y x y x y      .

Câu 65. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả

các cặp số nguyên   ; x y thỏa mãn

2 2 2 3 2 2

4 4 3 1 0 x y x y y x y       .

Câu 66. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả cặp

số nguyên   ; x y thỏa mãn

   

2 2

2020 2019 2 1 5 x y xy    

Câu 67. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các bộ số tự

nhiên  

1 2 3 2019

; ; ;...; a a a a thỏa mãn:

1 2 3 2019

2 2 2 2 3

1 2 3 2019

... 2019

... 2019 1

a a a a

     





     





Câu 68. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các

nghiệm nguyên dương của phương trình

2 2

2 1 3 x y x y    .

Câu 69. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên

của phương trình

2 2

3 2 2 10 4 0 x y xy x y       .

Câu 70. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Tìm nghiệm nguyên

của phương trình    

2 2

3 1 2      x x x y y .

Câu 71. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Có 5 đội bóng

đá A, B, C, D, E thi đấu trong một bảng theo thể thức vòng tròn (mỗi đội gặp nhau 2 trận, VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 128 

trận lượt đi và trận lượt về). Trong mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không

có điểm, đội hòa được 1 điểm. Kết thúc vòng bảng, số điểm của mỗi đội được thống kê

như sau:

Đội.A.B.C.D.E

Điểm.15.14.10.5.4

Hỏi trong tất cả các trận đấu đã diễn ra có bao nhiêu trận hòa?

Câu 72. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Tìm các cặp

số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện:

2 2

6 10 2( 5 ) x xy y x y     .

Câu 73. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả các

cặp số nguyên dương   x; y thỏa mãn

2 2

x xy y x y 3      .

Câu 74. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các cặp

số nguyên   , x y thỏa mãn

2 2

x y



 



Câu 75. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Tìm nghiệm

nguyên dương của phương trình x y x y      3 1

Câu 76. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)Tìm các số

nguyên không âm , a , b n

thỏa mãn:

3 2 2

n a b

  





  





Câu 77. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các nghiệm

nguyên (, ) của phương trình √ + = √2020.

Câu 78. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa

độ Oxy , điểm   , M a b được gọi là điểm nguyên nếu cả a và b đều là số nguyên. Chứng minh

rằng tồn tại điểm I trong mặt phẳng tọa độ và 2019 số thực dương

1 2 2019

; ; R R R  sao cho có

đúng k điểm nguyên nằm trong đường tròn   ;

I R với mọi k là số nguyên dương không vượt

quá 2019.

Câu 79. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các

cặp số nguyên   ; x y thỏa mãn

 

1 2

2 5 1 2 65

x y y x x



     

Câu 80. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả

các giá trị nguyên của x để

4 2

4 3 2

3 7 3 6

  



   

x x x

x x x x

nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 81. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các nghiệm

nguyên của phương trình

9 3 3 0      x xy x y .

Câu 82. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Giải

phương trình nghiệm nguyên 4

= 2 + √199

Câu 83. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các số

nguyên tố , , x y z thỏa mãn 1.

x z  

Câu 84. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả

các cặp số nguyên (x;y) thoã mãn :

2 4 3 2

y y x x x x      VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 129 

Câu 85. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Có bao nhiêu

số nguyên x sao cho

2020

3x 1 

là số nguyên ?

Câu 86. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên , x y

thỏa mãn      

2 2

9 3 24 2 28 0 x xy x y y

Câu 87. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các số , x y

nguyên thỏa mãn:

3 3 2

2 3 1 0 x y y y      .

Câu 88. (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

4 2

4y 6y 1 x    .

Câu 89. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2 2 2

2 1 2 xy x y x y xy      

Câu 90. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên

2 2

2 2 6 4 20. x y xy x y     

Câu 91. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Tìm các số nguyên , x y thỏa mãn

5 7 3 .

x x   

Câu 92. (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

2 2 2

2 2 3 x x y y xy xy       .

Câu 93. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên   ; x y của phương trình:

2 2

1 2 x y y x     .

Câu 94. (HSG toán 9 tỉnh Lai Châu năm 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2 2

2 4 19 3 x x y    .

Câu 95. (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2 5 3 1 x y xy    .

Câu 96. (HSG toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm 2018-2019) Tìm tất cả các cặp   ; x y nguyên thỏa mãn

     

2 2

2 2 2 2 2 4 5 x y x y xy x y         .

Câu 97. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

         

1 1 6 2 2 1 1 .            x y x y xy y x y x y

Câu 98. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2 2 5 . y x y xy     .

Câu 99. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng B năm 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

5 2 . xy y  

Câu 100. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

2 2 2 2

5 22 121 0 x y x y x      .

Câu 101. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa

mãn

2 2

2 2 4 6 1 0. x y xy x y      

Câu 102. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Tìm các số nguyên , x y thỏa mãn 4 1 3

x y

 

Câu 103. (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ninh bảng A năm 2018-2019) Chứng minh rằng không tồn tại hai

số nguyên x, y thỏa mãn

3 3

2019 x y   . VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 130 

Câu 104. (HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm 2018-2019) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

   

2 2

2 1 x y x y x y x      .

Câu 105. (HSG toán 9 tỉnh Trà Vinh năm 2018-2019) Chứng minh rằng không tồn tại các số

nguyên x, y, z thỏa mãn

3 3 3

2017 x y z x y z      

Câu 106. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020)Trong một

buổi tổ chức tuyên dương các học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện,

ngoại trừ bạn An, hai người bất kì đều bắt tay nhau, An chỉ bắt tay với những người mình

quen. Biết rằng một cặp (hai người) chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng

420 lần bắt tay. Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi tổ chức tuyên dương đó?

Câu 107. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020)

Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 2 0 2 0 cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự nhiên từ 1 đến

1 0 0 9 . Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh của đa giác đã cho (kí hiệu là , , , A B C D với các số

được đánh tương ứng là , , , a b c d ) sao cho A B C D là hình chữ nhật và . a b c d   

Câu 108. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Cho 2020 cái kẹo

vào 1010 chiếc hộp sao cho không có hộp nào chứa nhiều hơn 1010 cái kẹo và mỗi hộp

chứa ít nhất 1 cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong

các hộp đó bằng 1010 cái.

Câu 109. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Trên bàn có hai

túi kẹo : túi thứ nhất có 22 viên kẹo, túi thứ hai có 29 viên kẹo. An và Bình cùng chơi

một trò chơi như sau : mỗi lượt chơi, một bạn sẽ chọn một túi kẹo và lấy ít nhất 1 viên

kẹo trong túi kẹo đó. Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình. Bạn đầu tiên không

thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người lấy kẹo trước,

hãy chỉ ra chiến thuật chơi để An luôn là người thắng cuộc.

Câu 110. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Mỗi điểm trong

một mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ.

1) Chứng minh trong mặt phẳng đó tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu và có

khoảng cách bằng . d

2) Gọi tam giác có ba đỉnh được tô bởi cùng một màu là tam giác đơn sắc. Chứng minh trong mặt

phẳng đó tồn tại hai tam giác đơn sắc là hai tam giác vuông và đồng dạng với nhau theo tỉ số

2019

k 

Câu 111. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Viết lên bảng 2019

số:

1 1 1 1

1; ; ; ... ; ;

2 3 2018 2019

. Từ các số đã viết xóa đi 2 số bất kì ; x y rồi viết lên bảng số

x y  

(các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến

khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?

Câu 112. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Huyện KS có 33

công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của huyện KS hợp tác với ít nhất 97

công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các

công ty của huyện KS.

Câu 113. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Cho tập hợp A gồm

41 phần tử là các số nghuên khác nhau thỏa mãn tổng của 21 phần tử bất VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 131 

kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử còn lại. Biết các số 401 và 402 thuộc tập A. Tìm tất cả các phần

tử của

tập hợp A.

Câu 114. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Trước ngày

thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn

học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn

lớp 9A nhận được số lượng bút tổng cộng là 25.

Câu 115. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Cho 12 điểm trên

mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít

nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của

mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.

Câu 116. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Trong hình

tròn có diện tích bằng

1009cm lấy 2019 điểm phân biệt bất kì sao cho không có ba điểm

nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong 2019 điểm đó luôn tìm được ba điểm tạo thành

một tam giác có diện tích nhỏ hơn

1cm .

Câu 117. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) Trong một

buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ

10 học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng một quốc gia.

a) Gọi k là số các quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng



 .

b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60 . Chứng minh rằng có thể tìm

được ít nhất là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.

Câu 118. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Trên một

bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu ( dấu +

sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau:

Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, , ,..., . i  1 2 2 0 1 9

Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu j  3 1lần, , ,..., . j  1 2 2 0 1 9

Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên.

Câu 119. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho trước p

là số

nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm

 

;0 A p và

 

;0 B p thuộc trục Ox

. Có bao nhiêu tứ giác ABCD nội tiếp sao cho các điểm , C D thuộc trục Oy và đều có

tung độ là các số nguyên dương.

Câu 120. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Hai bạn Thái

và Nguyên cùng chơi trò lấy kẹo trong một hộp có 2019 chiếc kẹo. Cách chơi như sau: “ Mỗi

người đến lượt mình được lấy một số kẹo bất kỳ là lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2, ai lấy

được chiếc kẹo cuối cùng là người thắng cuộc”. Bạn Thái là người được lấy kẹo trước. Hãy chỉ

ra một chiến thuật giúp cho bạn Nguyên luôn là người thắng cuộc.

Câu 121. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho 19 điểm

nằm trong hay nằm trên cạnh của một lục giác đều cạnh 3 . cm Chứng minh có ít nhất hai trong số

các điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá 3 . cm

Câu 122. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 132 

Có một nhóm bạn đi hái nấm. Số nấm của bạn hái được ít nhất bằng

tổng số nấm hái

được. Số nấm của bạn hái được nhiều nhất bằng

tổng số nấm hái được. Hỏi nhóm bạn

đó có bao nhiêu người?

Câu 123. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020)

Cho các số tự nhiên 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Từ các số tự nhiên trên ta thành lập số tự nhiên gồm

ba chữ số khác nhau và số tự nhiên được thành lập phải chia hết cho 3. Ta thành lập được

tất cả bao nhiêu số tự nhiên như vậy?

Câu 124. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Có 15 bạn học sinh

nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại

một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ.

Câu 125. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Trong mặt

phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt sao cho không có hai đường thẳng nào song song

và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các

đường thẳng đã cho gọi là tam giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các

đường thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674.

Câu 126. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Bạn Bình có 19 viên bi màu

xanh, 21 viên bi màu đỏ và 23 viên bi màu vàng. Bình thực hiện một trò chơi theo quy tắc sau: Mỗi

lần Bình chọn 2 viên bi có màu khác nhau, rồi sơn chúng bởi màu thứ ba (Ví dụ: Nếu Bình chọn 2

viên bi gồm 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ thì Bình sơn 2 viên bi này thành màu vàng).

Hỏi sau một số hữu hạn lần thực hiện trò chơi theo quy tắc trên, bạn Bình có thể thu được tất cả các

viên bi cùng một màu hay không ? Tại sao ?

Câu 127. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Từ một đa giác đều

đỉnh, chọn ra 7

đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là

ba đỉnh của một tam giác cân.

Câu 128. (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Trên đường tròn (C) bán kính bằng 1

cho 2019 điểm phân biệt

1 2 3 4 2019

A ,A ,A ,A ,...,A . Chứng minh rằng tồn tại một

điểm M trên (C) thỏa mãn

1 2 3 2019

MA MA MA , ... MA 2019.     

Câu 129. (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích

của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số

các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có

diện tích không lớn hơn 1.

Câu 130. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi môn

Toán được mang số báo danh là số tự nhiên trong khoảng từ 1 đến 1000. Chứng minh

rằng có thể chọn ra 9 học sinh thi toán có tổng các số báo danh được mang chia hết cho

Câu 131. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh,

đoàn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi. Mỗi thí sinh có số báo danh là một số tự

nhiên trong khoảng từ 1 đến 907. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn

có tổng các số báo danh chia hết cho 9.

Câu 132. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Xét bảng ô vuông cỡ 10 10  gồm 100 hình vuông

có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai

15 3VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 133 

số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh

rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần.

Câu 133. (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Trên mặt phẳng có 25 điểm phân biệt, biết rằng

trong 3 điểm bất kỳ đã cho bao giờ cũng tìm được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn

1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính 1 chứa không ít hơn 13 điểm trong 25

điểm nói trên.

Câu 134. (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Bên trong đường tròn có đường kính 19 AB 

cho 38 đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng có độ dài bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng vuông

góc hoặc song song với AB và giao ít nhất hai đoạn trong 38 đoạn đã cho.

Câu 135. (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019) Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên

tiếp từ 1 đến 50 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và

viết một số mới bằng 2 a b   lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối

cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

Câu 136. (HSG toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm 2018-2019) Cho đa giác đều 30 đỉnh. Chứng minh rằng

trong các đỉnh đó, bất kì một bộ gồm có 9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình

thang cân.

Câu 137. (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Cho một đa giác có 10 đỉnh như hình vẽ (4 đỉnh

, , , A B C D hoặc , , , B C D E hoặc , , , C D E F hoặc … hoặc , , , J A B C được gọi là 4 đỉnh liên tiếp

của đa giác). Các đỉnh của đa giác được đánh số một cách tùy ý bởi các số nguyên thuộc tập hợp

  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 (biết mỗi đỉnh chỉ được đánh bởi một số, các số được đánh ở các đỉnh

là khác nhau). Chứng minh rằng ta luôn tìm được 4 đỉnh liên tiếp của đa giác được đánh số mà

tổng các số đó lớn hơn 21.

Câu 138. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019) Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019

điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng

nằm trong hình vuông

đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho.

Câu 139. (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng B năm 2018-2019) Cho 2019 điểm phân biệt trong đó

không có ba điểm nào thẳng hàng và một đường thẳng (d) không đi qua các điểm đã

cho. Chứng minh rằng số giao điểm của các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm trong

2019 điểm nói trên với đường thẳng (d) là một số chẵn.

Câu 140. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Cho 8 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ

hơn 210. Chứng minh rằng trong 8 đoạn thẳng đó luôn tìm được ba đoạn thẳng để ghép thành

một tam giác.

Câu 141. (HSG toán 9 tỉnh Sơn La năm 2018-2019) Cho hình vuông ABCD và 2019 đường thẳng phân

biệt thỏa mãn: Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành

hai phần có tỷ số diện tích là

Chứng minh rằng trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất 505

đường thẳng đồng quy.

Câu 142. (HSG toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019)Cho 1000 điểm phân biệt , ,...

1 2 1000

M M M trên

mặt phẳng. Vẽ một đường tròn   C bán kính R 1  tùy ý. Chứng minh rằng tồn tại điểm S trên

đường tròn   C sao cho ...

1 2 1000

SM SM SM 1000     .

Câu 143. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Tìm tất cả số tự

nhiên x để giá trị của biểu thức

3 2

3 3 P x x x     là lũy thừa của một số nguyên tố. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 134 

Câu 144. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả

các cặp số nguyên tố (, ) sao cho

= 41.

Câu 145. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên

dương , , p m n thỏa mãn  

2 5

2 1

p n , trong đó p là số nguyên tố.

Câu 146. (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn

4 9 p p   là

số chính phương.

Câu 147. (HSG toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Tìm tất cả các bộ số nguyên tố ( p ; q ; r ) sao

cho 160 pqr p q r     .

Câu 148. (HSG toán 9 tỉnh Thái Bình năm 2018-2019)Tìm tất cả các bộ số nguyên dương   ; ; x y z sao cho

2019



x y

y z

là số hữu tỉ và

2 2 2

  x y z là số nguyên tố.

Câu 149. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Cho n là số nguyên

dương thỏa mãn

12 1 n  là số nguyên. Chứng minh rằng

2 12 1 2 n   là số chính

phương.

Câu 150. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Tìm tất cả

các số nguyên tố p sao cho

59 p  có đúng sáu ước số dương.

Câu 151. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho tập

hợp X thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại 2019 tập con

1 2 2019

, ,..., A A A của X sao cho mỗi

tập con

1 2 2019

, ,..., A A A có đúng ba phần tử và hai tập ,

i j

A A đều có đúng một phần tử

chung với mọi 1 2019 i j    . Chứng minh rằng

a) Tồn tại 4 tập hợp trong các tập hợp

1 2 2019

, ,..., A A A sao cho giao của 4 tập hợp này có

đúng một phần tử.

b) Số phần tử của X phải lớn hơn hoặc bằng 4039 .

Câu 152. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các

ước nguyên dương của

p là một số chính phương.

Câu 153. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020)Trong một buổi tổ

chức tuyên dương các học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ

bạn An, hai người bất kì đều bắt tay nhau, An chỉ bắt tay với những người mình quen.

Biết rằng một cặp (hai người) chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420

lần bắt tay. Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi tổ chức tuyên dương đó?

Câu 154. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho tập hợp

T gồm 2019

số nguyên dương đôi một khác nhau và số lớn nhất thuộc T là 4036. Chứng minh

rằng trong tập hợp T có hai số phân biệt mà số này là bội của số kia.

Câu 155. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Cho

0 1 2 2019

A 2 2 2 ... 2      và

2020

B 2  . Chứng minh rằng: A,B là hai số tự nhiên liên tiếp.

Câu 156. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020)

Biết rằng

         

2018 chö õ soá 1 2018 chö õ soá 5

1111...15555...5 là tích của hai số lẻ liên tiếp. Tính tổng hai số lẻ đó.

Câu 157. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Tìm một số tự

nhiên có 4 chữ số dạng abcd , biết tích hai số ab và cd bằng 380 đồng thời nếu tăng số ab

thêm 1 đơn vị và giảm số cd đi 1 đơn vị thì tích vẫn không đổi. VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 VÀ HSG 9 – NĂM HỌC – 2018-2019-2020

Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 135 

Câu 158. (Tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Tìm số tự nhiên có

bốn chữ số có dạng abcd sao cho

 

2 *

abcd k k    và 1 ab cd   (các chữ số tự nhiên , , , a b c d

có thể giống nhau).

Câu 159. (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương

của số đó sau khi đã bỏ đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị cộng với số đó bằng 2419.

Câu 160. (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số, biết

rằng số đó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

Câu 161. (HSG toán 9 tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Có thể

lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019

Câu 162. (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Cho

2 2 2

1 1 ... 1

2.3 3.4 2020.2021

     

   

     

     

S là một

tích của 2019 thừa số. Tính S (kết quả để dưới dạng phân số tối giản).

Câu 163. (HSG toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Tìm các số thực a biết

15; 15 a

  đều là

các số nguyên.

Câu 164. (HSG toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2018-2019)

a. Chứng minh rằng trong năm số nguyên dương đôi một phân biệt tồn tại 4 số có tổng là hợp số.

b. Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1, 2, 3,..., 2018 rồi viết ra 2018 số dư tương ứng, sau đó

bạn Việt chia số 2019 cho 1, 2, 3,..., 2019 rồi viết ra 2019 số dư tương ứng. Hỏi ai có tổng số dư

lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu.

Câu 165. (HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Chứng minh rằng tổng các chữ số của một số chính

phương bất kỳ không thể bằng 2019 .

Câu 166. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019) Với mỗi số thực x , ta định nghĩa phần nguyên

của x , kí hiệu   x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x . Hãy tìm phần nguyên của:

2 2 2

4 36 10 3 B x x x x      trong đó x là số nguyên dương.

Câu 167. (HSG toán 9 tỉnh Tiền Giang năm 2018-2019)

1. Tìm số tự nhiên n biết rằng khi bỏ đi ba chữ số tận cùng bên phải của nó thì được một số mới

có giá trị bằng

n .

2. Tìm năm số thực dương sao cho mỗi số bằng bình phương của tổng bốn số còn lại.

Xem thêm

Đề xuất cho bạn

Tài liệu

33969 lượt tải

16103 lượt tải

9691 lượt tải

8544 lượt tải

7120 lượt tải

154340 lượt xem

115253 lượt xem

103614 lượt xem

81299 lượt xem

79437 lượt xem